دروس مادة الرياضيات للفصل الثالث سنة ثانية ثانوي شعبة تسيير و اقتصاد

‫ﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ‪ 1‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻫﻭ ‪6×5‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ‪ 2‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻫﻭ ‪6×5‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ‪ 3‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻫﻭ ‪6×5‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ‪ 4‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻫﻭ ‪6×5‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ‪ 5‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻫﻭ ‪6×5‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ‪ 6‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻫﻭ ‪6×5‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ‪ 7‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻫﻭ ‪6×5‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻋﺩﺩ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻫﻭ‪:‬‬ ‫‪ 6×5 + 6×5 + 6×5 + 6×5 + 6×5 + 6×5 + 6×5‬ﻭﻫﻭ ) ‪7× ( 6×5‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻫﻭ ‪210‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫ﻴﻌﺒﺭ‪ ،‬ﻋﺎﺩﺓ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫\"ﻨﺴﺤﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﺼﻨﺩﻭﻕ ‪ 3‬ﻜﺭﺍﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ﻭﺒﺩﻭﻥ ﺇﺭﺠﺎﻉ\"‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ﻫﺎﻤﺔ‪:‬‬‫ﺍﻟﺘﺠﺎﺭﺏ ﺍﻟﻤﻨﺼﻭﺹ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﻭﺠﻬﺔ ﻫﺫﻩ‪ ،‬ﻤﺜل ﺭﻤﻲ ﻨﺭﺩ ﺃﻭ‬‫ﺭﻤﻲ ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ ﺘﻌﺘﺒﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﺠﺎﺭﺏ ﺍﻟﻤﺭﺠﻌﻴﺔ ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺇﻋﺘﻤﺎﺩﻫﺎ ﻤﺤﺎﻜﺎﺓ‬ ‫ﺘﺠﺎﺭﺏ ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ ﻟﻬﺎ‪.‬‬

‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:1‬‬‫‪ Ω‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ‪ Ω = {α, β ,γ } :‬ﻨﻘﻭﻡ‬ ‫ﺒﻨﻤﺫﺠﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪P(α‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P(β‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 1‬ﺃﺤﺴﺏ ) ‪P(γ‬‬‫‪ 2‬ﻋﻴﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺜﻡ ﺃﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل‬ ‫ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:2‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻨﺭﺩ ﻤﻜﻌﺏ ‪ D‬ﺃﻭﺠﻬﻪ ﺘﺤﻤل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ‪ 6،5،4،3،2،1‬ﺭﻤﻴﻨﺎ ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪D‬‬‫ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﻌﻠﻭﻱ‬ ‫‪ 2000‬ﻤﺭﺓ ﻓﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫‪123456‬‬ ‫‪301 513 136 457 304 289‬‬‫ﻨﺭﻤﻲ ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪ D‬ﻤﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻭﻨﻬﺘﻡ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤﻠﻪ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ﻟﻠﻭﺠﻪ‬ ‫ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻘﻊ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪. D‬‬‫‪ 1‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ Ω‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺜﻡ ﻗﻡ ﺒﻨﻤﺫﺠﺔ‬ ‫ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪ 2‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ‪.‬‬ ‫‪ \": A‬ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺭﻗﻡ ﻓﺭﺩﻱ\"‬

‫‪ \": B‬ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺭﻗﻡ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪\"3‬‬‫‪ \": C‬ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺭﻗﻡ ﺯﻭﺠﻲ ﺃﻭ ﻋﻠﻰ ﺭﻗﻡ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪\"3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:3‬‬‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﺼﻨﺩﻭﻕ ﻋﻠﻰ ﻋﺩﺩ ﻤﻌﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﺭﺍﺕ ﺍﻟﺤﻤﺭﺍﺀ ﻭﻋﺩﺩ ﻤﻌﻴﻥ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﻜﺭﺍﺕ ﺍﻟﺒﻴﻀﺎﺀ‬‫ﻨﺴﺤﺏ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺼﻨﺩﻭﻕ ‪ 3‬ﻜﺭﺍﺕ ﻓﻲ ﺁﻥ ﻭﺍﺤﺩ ﻭﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ‬‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺤﻤﺭﺍﺀ\" ﻫﻭ‬ ‫ﺍﻟﻜﺭﺍﺕ‬ ‫\"ﺠﻤﻴﻊ‬‫‪68‬‬‫ﻓﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \"ﻭﺍﺤﺩﺓ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل‪ ،‬ﻤﻥ ﺍﻟﻜﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ‬ ‫ﺒﻴﻀﺎﺀ\"؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:4‬‬‫ﻴﺘﻜﻭﻥ ﻗﺴﻡ ﻤﻥ ‪ 40‬ﺘﻠﻤﻴﺫﺍ‪ 20% .‬ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﻻ ﻴﻤﺎﺭﺴﻭﻥ ﺃﻴﺔ ﺭﻴﺎﻀﺔ‪،‬‬‫‪ 50%‬ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﻴﻤﺎﺭﺴﻭﻥ ﻜﺭﺓ ﺍﻟﻘﺩﻡ ﻭ ‪ 42,5%‬ﻴﻤﺎﺭﺴﻭﻥ ﺃﻟﻌﺎﺏ ﺍﻟﻘﻭﻯ‬‫ﻭﻜل ﺘﻠﻤﻴﺫ ﻴﻤﺎﺭﺱ ﺭﻴﺎﻀﺘﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻜﺜﺭ‪.‬‬ ‫ﻨﺄﺨﺫ‪ ،‬ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ‪ ،‬ﺘﻠﻤﻴﺫﺍ ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﺴﻡ‬‫‪ 1‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ﻴﻤﺎﺭﺱ ﻜﺭﺓ ﺍﻟﻘﺩﻡ ﻭﺃﻟﻌﺎﺏ ﺍﻟﻘﻭﻯ‬‫‪ 2‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ﻴﻤﺎﺭﺱ ﻜﺭﺓ ﺍﻟﻘﺩﻡ ﻓﻘﻁ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:5‬‬‫‪ Ω‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪ P ،‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ‪ Ω‬ﻭ ‪A‬‬ ‫ﻭ ‪ B‬ﺤﺎﺩﺜﺘﺎﻥ ﻤﺘﻌﻠﻘﺘﺎﻥ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‬‫‪ 1‬ﻨﻌﻁﻲ ‪ P( A) = 0,3‬ﻭ ‪ P(A ∪ B) = 0,7‬ﻭ‪P(A ∩ B) = 0,1‬‬

‫ﺃﺤﺴﺏ )‪P(B‬‬‫‪ 2‬ﻨﻌﻁﻲ ‪ P(B) = 0,2 ، P( A) = 0,1‬ﻭ ‪P( A ∩ B) = 0,5‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ )‪ P(A ∪ B‬؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:6‬‬‫ﺘﺠﺭﺒﺔ ﺘﻜﻤﻥ ﻓﻲ ﺭﻤﻲ ﻨﺭﺩ ‪ D‬ﺃﻭﺠﻬﻪ ﺘﺤﻤل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ‪ 6،5،4،3،2،1‬ﻗﺼﺩ‬‫ﺍﻻﻫﺘﻤﺎﻡ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤﻠﻪ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ﻟﻠﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻭﻗﻊ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻨﺭﺩ‪،‬‬‫ﺘﻜﻭﻥ ‪ Ω‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻫﻲ ﺒﺤﻴﺙ }‪Ω = {1,2,3,4,5,6‬‬‫ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪ D‬ﻤﺯﻴﻑ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﻨﻤﺫﺠﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻭﻓﻕ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪P‬‬‫ﻴﺤﻘﻕ\" )‪ P(1), P(2), P(3), P(4), P(5), P(6‬ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ‬‫\"‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 1‬ﺃﺤﺴﺏ )‪P(6), P(5), P(4), P(3), P(2), P(1‬‬‫‪ 2‬ﺇﺫﺍ ﺭﻤﻴﻨﺎ ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪ D‬ﻤﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻓﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺭﻗﻡ ﺯﻭﺠﻲ ؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:7‬‬‫ﺘﻜﻤﻥ ﻟﻌﺒﺔ ﻓﻲ ﺭﻤﻲ ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ ﻭﻨﺭﺩ ﻓﻲ ﺁﻥ ﻭﺍﺤﺩ‪.‬‬‫‪ 1‬ﺃﻨﺸﻲﺀ ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ \"ﺭﻤﻲ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ﻭﺍﻟﻨﺭﺩ\"‬‫‪ 2‬ﻗﻭﺍﻋﺩ ﺍﻟﻠﻌﺒﺔ ﺒﺤﻴﺙ ﺇﺫﺍ ﻅﻬﺭ ‪ P‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ﺍﻟﻼﻋﺏ ﻴﻜﺴﺏ‬‫ﻋﺩﺩﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻅﻬﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺭﺩ ﻭﺇﺫﺍ ﻅﻬﺭ ‪ F‬ﻋﻠﻰ‬‫ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ﺍﻟﻼﻋﺏ ﻴﻜﺴﺏ ﻋﺩﺩﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻅﻬﺭ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺭﺩ ﺍﻟﻨﺎﻗﺹ ‪.1‬‬

‫ﺍﻟﻨﺭﺩ ﺍﻷﺨﻀﺭ‬‫ﻨﻘﺒل ﺃﻥ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ﻭﺍﻟﻨﺭﺩ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ﺘﻭﺍﺯﻨﺎ ﻜﺎﻤل ﺇﺫﺍ ﻗﻤﻨﺎ ﺒﻬﺫﻩ‬ ‫ﺍﻟﻠﻌﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪ 1‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﻨﻜﺴﺏ ‪ 3‬ﻨﻘﻁ؟‬ ‫‪ 2‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﻨﻜﺴﺏ ‪ 6‬ﻨﻘﻁ؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪:8‬‬‫ﻨﺭﻤﻲ ﻨﺭﺩﻴﻥ ﻤﻜﻌﺒﻴﻥ ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺎﻥ ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ ﺃﺼﻔﺭ ﻭﺍﻵﺨﺭ ﺃﺨﻀﺭ ﺃﻭﺠﻪ ﻜل‬‫ﻤﻨﻬﻤﺎ ﺘﺤﻤل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪) 6‬ﺍﻟﻨﺭﺩﺍﻥ ﻋﺎﺩﻴﺎﻥ(‪ ،‬ﻤﺨﺎﺭﺝ \"ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‬‫ﻫﻲ ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺎﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (a,b‬ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﺍﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻅﻬﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺭﺩ‬ ‫ﺍﻷﺼﻔﺭ ﻭ ‪ b‬ﺍﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻅﻬﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺭﺩ ﺍﻷﺨﻀﺭ‪.‬‬ ‫‪ 1‬ﺃﻨﻘل ﺜﻡ ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺭﺩ ﺍﻷﺼﻔﺭ‬ ‫‪1 23 456‬‬ ‫)‪1 (1,1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪3 (2,3‬‬ ‫)‪4 (4,4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪6 (1,6‬‬ ‫‪ 1‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺜﻨﺎﺌﻴﺔ )‪ (a,b‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪ a + b ≥ 8‬؟‬

‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:1‬‬ ‫‪P(β‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪P(α‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫} ‪r = {α, β ,γ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 1‬ﺤﺴﺎﺏ ) ‪P(γ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪P(r) = P(α ) + P(β ) + P(γ ) :‬‬ ‫ﻭ‪P(r) =1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪P(α ) + P(β ) + P(γ ) = 1 :‬‬ ‫‪P(γ‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪P(γ‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪6‬‬‫‪ 2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ E‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫}‪E = {φ,{α},{β},{γ },{α, β},{α,γ },{β ,γ },r‬‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻜل ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ‬‫‪P(γ‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪P(β‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪P(α‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫ﺴﺒﻕ‬ ‫ﻤﻤﺎ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪P(φ) = 0‬‬ ‫‪P({α‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪β‬‬ ‫)}‬ ‫=‬ ‫‪P(α‬‬ ‫)‬ ‫‪+‬‬ ‫‪P(β‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪P({α‬‬ ‫‪,γ‬‬ ‫)}‬ ‫=‬ ‫‪P(α‬‬ ‫)‬ ‫‪+‬‬ ‫‪P(γ‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪P({β‬‬ ‫‪,γ‬‬ ‫)}‬ ‫=‬ ‫‪P(β‬‬ ‫)‬ ‫‪+‬‬ ‫‪P(γ‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪P(r) =1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:2‬‬‫‪ 1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ r‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻟﺩﻴﻨﺎ‪r = {1,2,3,4,5,6} :‬‬ ‫ﻨﻤﺫﺠﺔ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ﺒﻨﻤﺫﺠﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬‫‪ 1 2 3 4 5 6‬ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ ‪wi‬‬‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ) ‪P(wi‬‬ ‫‪301‬‬ ‫‪513‬‬ ‫‪136‬‬ ‫‪457‬‬ ‫‪304‬‬ ‫‪289‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪ 2‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻜل ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ‪.‬‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ \": A‬ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺭﻗﻡ ﻓﺭﺩﻱ\"‬‫(‪P‬‬ ‫)‪A‬‬ ‫=‬ ‫)}‪P({1,3,5‬‬ ‫=‬ ‫)‪P(1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪P(3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪P(5‬‬ ‫=‬ ‫‪741‬‬ ‫=‬ ‫‪0,3705‬‬ ‫‪2000‬‬‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ \": B‬ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺭﻗﻡ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪\"3‬‬ ‫(‪P‬‬ ‫)‪B‬‬ ‫=‬ ‫)}‪P({3,6‬‬ ‫=‬ ‫)‪P(3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪P(6‬‬ ‫=‬ ‫‪425‬‬ ‫=‬ ‫‪0,2125‬‬ ‫‪2000‬‬‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ \": C‬ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺭﻗﻡ ﺯﻭﺠﻲ ﺃﻭ ﻋﻠﻰ ﺭﻗﻡ ﻤﻀﺎﻋﻑ‬ ‫ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪\"3‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪\":‬ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺭﻗﻡ ﺯﻭﺠﻲ\"‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﻫﻲ ‪ A‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬

‫)‪P(C) = P( A ∪ B) = P( A) + P(B) − P( A ∩ B‬‬‫)‪= 1− P( A) + P(B) − P( A ∩ B‬‬‫=‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪741‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪425‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪289‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪2000‬‬‫=‬ ‫‪2000 − 741+ 425 − 289‬‬ ‫‪2000‬‬‫=‬ ‫‪1395‬‬ ‫‪2000‬‬‫‪= 0,6975‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:3‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪B‬‬ ‫‪\": A‬ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻜﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺤﻤﺭﺍﺀ\"‬‫‪ \": B‬ﻭﺍﺤﺩﺓ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل‪ ،‬ﻤﻥ ﺍﻟﻜﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺒﻴﻀﺎﺀ\"‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪B‬‬‫ﻨﻘﻭﻡ ﺒﻨﻤﺫﺠﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫)‪P(B) = 1 − P(A‬‬ ‫ﻷﻥ‪ B :‬ﻫﻲ ‪ A‬ﻭﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫)‪P(B‬‬ ‫‪=1−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪67‬‬ ‫‪68‬‬ ‫‪68‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:4‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪\": A‬ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ﻴﻤﺎﺭﺱ ﻜﺭﺓ ﺍﻟﻘﺩﻡ\"‬ ‫‪ \": B‬ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ﻴﻤﺎﺭﺱ ﺃﻟﻌﺎﺏ ﺍﻟﻘﻭﻯ\"‬‫‪ 1‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ﻴﻤﺎﺭﺱ ﻜﺭﺓ ﺍﻟﻘﺩﻡ ﻭﺃﻟﻌﺎﺏ ﺍﻟﻘﻭﻯ‬

‫ﻨﻘﻭﻡ ﺒﻨﻤﺫﺠﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪P‬‬‫ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ‪ \":‬ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ﻴﻤﺎﺭﺱ ﻜﺭﺓ ﺍﻟﻘﺩﻡ ﻭﺃﻟﻌﺎﺏ ﺍﻟﻘﻭﻯ\" ﻫﻲ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪A ∩ B‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬‫)‪P( A ∪ B) = P( A) + P(B) − P( A ∩ B‬‬‫)‪P( A ∩ B) = P( A) + P(B) − P( A ∪ B‬‬ ‫‪50‬‬ ‫×‬ ‫‪40‬‬ ‫‪42,5‬‬ ‫×‬ ‫‪40‬‬ ‫‪80‬‬ ‫×‬ ‫‪40‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪40‬‬‫=‬ ‫‪50‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪42,5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬‫‪= 0,125‬‬‫‪ 2‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ﻴﻤﺎﺭﺱ ﻜﺭﺓ ﺍﻟﻘﺩﻡ ﻓﻘﻁ‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ C‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ‪ \":‬ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ﻴﻤﺎﺭﺱ ﻜﺭﺓ ﺍﻟﻘﺩﻡ ﻓﻘﻁ؟ ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬‫)‪ A = C ∪ (A ∩ B‬ﺤﻴﺙ‪(A ∩ B)∩ C = φ :‬‬ ‫)‪P( A) = P(C) + P( A ∩ B‬‬ ‫)‪P(C) = P( A) − P( A ∩ B‬‬ ‫=‬ ‫‪50‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪12,5‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪= 0,375‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:5‬‬ ‫‪ 1‬ﺤﺴﺎﺏ )‪P(B‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ P( A) = 0,3 :‬ﻭ ‪ P(A ∪ B) = 0,7‬ﻭ‪P( A ∩ B) = 0,1‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬

‫)‪P(B) =1− P(B‬‬ ‫))‪= 1− (P( A ∪ B) − P( A) + P( A ∩ B‬‬ ‫)‪= 1− (0,7 − 0,3 + 0,1‬‬ ‫‪= 0,5‬‬ ‫‪ 2‬ﺤﺴﺎﺏ )‪P(A ∪ B‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ P(B) = 0,2 ، P( A) = 0,1 :‬ﻭ ‪P( A ∩ B) = 0,5‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫)‪P( A ∪ B) = P( A) + P(B) − P( A ∩ B‬‬ ‫))‪= (1− P( A)) + (1− P(B )) − (1− P( A ∩ B‬‬ ‫)‪=1− P(A) − P(B) + P(A∩ B‬‬ ‫‪P( A ∪ B) = 1− 0,3 − 0,4 + 0,5‬‬ ‫‪= 0,8‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:6‬‬‫ﺘﺠﺭﺒﺔ ﺘﻜﻤﻥ ﻓﻲ ﺭﻤﻲ ﻨﺭﺩ ‪ D‬ﺃﻭﺠﻬﻪ ﺘﺤﻤل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ‪ 6،5،4،3،2،1‬ﻗﺼﺩ‬‫ﺍﻻﻫﺘﻤﺎﻡ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤﻠﻪ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ﻟﻠﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻭﻗﻊ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻨﺭﺩ‪،‬‬‫ﺘﻜﻭﻥ ‪ Ω‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻫﻲ ﺒﺤﻴﺙ }‪Ω = {1,2,3,4,5,6‬‬‫ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪ D‬ﻤﺯﻴﻑ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﻨﻤﺫﺠﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻭﻓﻕ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪P‬‬‫ﻴﺤﻘﻕ\" )‪ P(1), P(2), P(3), P(4), P(5), P(6‬ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ‬ ‫\"‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 1‬ﺤﺴﺎﺏ ﻜﻼ ﻤﻥ‪P(6), P(5), P(4), P(3), P(2), P(1) :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 :‬‬‫‪P(1) +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪P(1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪P(1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪P(1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P(1) +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪P(1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻥ‪:‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪32‬‬

‫‪63‬‬ ‫)‪P(1‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫ﺃﻥ‪:‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪32‬‬ ‫)‪P(1‬‬ ‫=‬ ‫‪32‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪63‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫)‪P(2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪P(1‬‬ ‫=‬ ‫‪16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪63‬‬ ‫)‪P(3‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪P(1‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪63‬‬ ‫)‪P(4‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪P(1‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪63‬‬ ‫)‪P(5‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪P(1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪16‬‬ ‫‪63‬‬ ‫= )‪P(6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪P(1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪32‬‬ ‫‪63‬‬‫‪ 2‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺭﻗﻡ ﺯﻭﺠﻲ‬‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ﻫﻭ‪ P({2,4,6}) :‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫)‪P({2,4,6}) = P(2) + P(4) + P(6‬‬‫=‬ ‫‪16‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪63‬‬‫=‬ ‫‪21‬‬ ‫‪63‬‬‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:7‬‬‫ﺘﻜﻤﻥ ﻟﻌﺒﺔ ﻓﻲ ﺭﻤﻲ ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ ﻭﻨﺭﺩ ﻓﻲ ﺁﻥ ﻭﺍﺤﺩ‪.‬‬‫‪ 1‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ \"ﺭﻤﻲ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ﻭﺍﻟﻨﺭﺩ\"‬