ฟิสิกส์ทั่วไป 1 มข.

5.2 การหมนุ ของวัตถุแขง็ เกร็งดว้ ยความเร่งเชิงมุมคงท่ี 91 ความเรง่ เชงิ มุมมีหนว่ ยเป็น rad/s2 เนือ่ งจากปรมิ าณท้งั ความเรว็ เชิงมุมและความเร่งเชิงมมุ เปน็ ปรมิ าณเวกเตอร์ดงั น้ันการระบปุ รมิ าณเหล่าน้ีจะต้องมีทงั้ ขนาดและทศิ ทาง ในการกำหนด ทศิ ทางของความเรว็ เชงิ มุม จะใช้กฎมือขวาดงั แสดงในรปู ที่ 5.2 ในขณะทศิ ของความเร่ง เชงิ มุมจะขึน้ อยู่กบั อัตราการเปล่ยี นความเรว็ เชงิ มุมกล่าวคอื ถา้ ความเร็วเชงิ มุมมีอตั ราเพ่ิม ข้ึน ทศิ ของความเร่งเชิงมมุ จะมีทิศเดียวกับความเรว็ เชิงมมุ แต่ถ้ามีอัตราลดลง ความเรง่ เชงิ มมุ ก็จะมีทิศตรงข้ามกับความเรว็ เชิงมุม ω ω (a) (b) รูปท่ี 5.2: แสดงทศิ ของความเร็วเชงิ มุมโดยใช้กฎมอื ขวาเม่อื (a) วตั ถุหมุนทวนเข็มนาฬกิ า และ (b) หมนุ ตามเขม็ นาฬกิ า 5.2 การหมนุ ของวตั ถแุ ข็งเกรง็ ด้วยความเรง่ เชงิ มมุ คงที่ เมือ่ วตั ถุหมนุ ด้วยความเร่งเชงิ มุมคงท่จี ะไดว้ ่าสมการทเ่ี กีย่ วข้องกับจลนศาสตรก์ ารหมนุ ดงั ตอ่ ไปนี้ ωf = ωi + αt (5.8) (5.9) θf = θi + ωit + 1 αt2 (5.10) 2 ωf2 = ωi2 + 2α (θf − θi) เมื่อ ωi และ ωf คือ ความเร็วเชิงมมุ ตน้ และความเรว็ เชิงมมุ สดุ ทา้ ยตามลำดับθi และ θf คอื ระยะเชงิ มุมต้นและระยะเชงิ มุมสดุ ท้ายตามลำดบั ตวั อย่างที่ 3.1 ลอ้ วงกลมหมุนรอบแกนที่ตงึ อยู่กับที่ดว้ ยความเรง่ เชิงมมุ คงที่ 3.5 rad/s2 ถ้าความเร็วเชิงมุมของลอ้ วงกลมท่เี วลา ti = 0 มคี า่ เทา่ กบั 2.0 rad/s จงคำนวณ (ก) ในเวลา 2 วนิ าที ลอ้ วงกลมจะหมนุ ได้ก่ีรอบ

92 การเคล่อื นที่ของวตั ถแุ ขง็ เกรง็ (ข) ขนาดของความเรว็ เชิงมุมทเ่ี วลา 2 วนิ าที วิธีทำ (ก) โดยอาศยั สมการ 5.9 เพอื่ หาการกระจัดเชงิ มมุ ในชว่ งเวลาตงั้ แตเ่ ร่ิมตน้ จนถึงเวลา 2 วนิ าที ดงั น้ี Δθ = θf − θi = ωit + 1 αt2 2 = (2.0 rad/s)(2 s) + 1 rad/s2)(2 s)2 (3.5 2 = 11.0 rad ในการหมุน 1 รอบ มีระยะเชงิ มุมเทา่ กับ 2π rad ดังนั้นเม่อื วัตถุหมนุ ได้ระยะเชิงมุมเปน็ 11.0 rad จะมีจำนวนรอบการหมนุ เท่ากบั 11 = 1.75 รอบ 2π (ข) ความเรว็ เชิงมุมท่ีเวลา 2 วนิ าที หาได้ดังน้ี ωf = ωi + αt = 2 rad + (3.5 rad/s2)(2.0 s) ω = 9.0 rad/s 5.3 ความสัมพันธร์ ะหวา่ งปรมิ าณเชงิ มมุ และปรมิ าณเชิงเส้น พิจารณาที่จุดใดๆบนวตั ถุแข็งเกร็งท่ีกำลงั หมุนดว้ ยความเร็วเชงิ มุม ω ดงั แสดงในรปู ท่ี 5.3 ความเรว็ เชงิ เส้น v ที่จดุ ดงั กล่าวจะมคี วามสัมพนั ธ์กบั ความเรว็ เชงิ มมุ ดงั นี้ v = dr = r dθ = rω (5.11) dt dt และเมื่อวัตถุหมนุ ดว้ ยความเร่งเชิงมุมคงท่ี จดุ ที่อยู่บนวตั ถุจะมีความเรง่ ในแนวเส้นสัมผสั (tangential acceleration, at) และความเรง่ ในแนวรัศมี (radial acceleration, ar) ซง่ึ จะ เกย่ี วพนั ปรมิ าณเชิงมุมดังน้ี at = dv dω = rα =r (5.12) dt dt (5.13) ar = v2 = rω2 r ดงั น้นั ความเรง่ ลพั ธ์ที่จดุ ใดๆบนวตั ถุแขง็ เกรง็ คอื การรวมกันแบบเวกเตอร์ขององค์ประกอบ ความเร่งทง้ั สองแนวซงึ่ มีขนาดเทา่ กบั (5.14) √√ a = a2t + ar2 = r2α2 + r2ω2 = r α2 + ω2

5.4 พลังงานจลนข์ องการหมนุ 93 y ω x vi ri mi θ O รูปท่ี 5.3: วัตถหุ มนุ รอบแกน z ท่ีผ่านจุด O ดว้ ยอตั ราเรว็ เชิงมมุ ω 5.4 พลงั งานจลนข์ องการหมุน อนุภาคมวล mi ที่ประกอบเป็นวตั ถุแขง็ เกร็งซ่ึงกำลังหมุนรอบแกน z ดว้ ยอัตราเรว็ เชิงมุม ω ดงั รปู 5.3 จะมพี ลงั งานจลนเ์ ปน็ Ki = 1 mivi2 (5.15) 2 (5.16) เนื่องจาก vi = riω ดงั น้ัน สมการ 5.15 เขยี นใหมไ่ ดเ้ ปน็ Ki = 1 miri2ω 2 2 เมอ่ื รวมพลังงานจลน์ของอุภาคทั้งหมดที่ประกอบข้นึ มาเปน็ วัตถุแขง็ เกรง็ ทำให้ได้พลังงาน จลนข์ องการหมนุ เปน็ ดงั น้ี KR = Ki = ( 1 mi ri2 )ω 2 = 1( miri2)ω2 (5.17) 2 2 ii i เม่ือ I = miri2 ซึง่ เรียกวา่ โมเมนต์ความเฉอ่ื ย (moment of inertia) มหี นว่ ยเป็น kg.m2 ดงั น้ันสมการท่ี 5.17 เขียนใหมไ่ ดเ้ ป็น KR = 1Iω2 (5.18) 2 ในสมการที่ 5.18 แสดงให้วา่ พลงั งานจลน์ทเี น่ืองจากการหมุนของวตั ถุแขง็ เกรง็ จะขน้ึ อยู่กบั ค่าโมเมนต์ความเฉื่อยและอัตราเรว็ เชิงมุม โมเมนตค์ วามเฉอื่ ยของวตั ถุในการหมนุ จะคลา้ ยคลงึ

94 การเคลือ่ นทีข่ องวัตถแุ ขง็ เกรง็ y w x b aa b รปู ที่ 5.4: ระบบอนุภาคทป่ี ระกอบเป็นวัตถุแขง็ เกร็งกำลังหมนุ รอบแกน z กับความเฉือ่ ยของวตั ถุในการเปลีย่ นตำแหนง่ ในแนวเส้นตรง แต่อยา่ งไรก็ตามค่าโมเมนต์ ความเฉื่อยจะขนึ้ อยู่กับลกั ษณะรปู ร่างของวัตถดุ ว้ ย ตัวอยา่ งท่ี 5.2 วัตถุทรงกลมเลก็ ๆส่ีก้อนวางอยู่ที่ตำแหนง่ บนแกน x และ y และยดึ ติด กนั ด้วยแท่งยาวท่ีมีมวลน้อยมาก ดังรูปท่ี 5.4 ถา้ ทรงกลมทัง้ สี่มีรัศมีน้อยมากเม่ือเทียบกับ ระยะทางระหว่างวัตถุแต่ละอนั ถงึ จดุ หมุน O จงหาโมเมนต์ความเฉือ่ ยในการหมุนรอบแกน z และพลงั งานจลนข์ องการหมุนน้ี วิธีทำ โมเมนตร์ อบแกน z คอื Iz มีคา่ เทา่ กับ Iz = miri2 = M a2 + M a2 + mb2 + mb2 i = 2M a2 + 2mb2 และพลงั งานจลนข์ องการหมนุ คอื KR = 1Iω2 = 1 (2M a2 + 2mb2)ω2 2 2 = (M a2 + mb2)ω2

5.5 การคำนวณหาค่าโมเมนตค์ วามเฉ่อื ย 95 z ri mi O y x รูปที่ 5.5: วตั ถแุ ขง็ เกรง็ ท่มี วลกระจายอย่างต่อเนอื่ งกำลงั หมนุ รอบแกน z 5.5 การคำนวณหาค่าโมเมนตค์ วามเฉ่ือย เม่ือวัตถุมมี วลกระจายอย่างต่อเน่อื ง ผลบวกของมวลคูณกับระยะทางกำลังสองดงั ท่ีไดน้ ิยาม ไวใ้ นหัวข้อทผ่ี ่านมาจะเปลี่ยนเป็นการอินทิกรัล ใหจ้ นิ ตนาการโดยแบง่ วตั ถุออกเปน็ ช้นิ เลก็ ๆ ซงึ่ มีมวลเปน็ Δm ซึ่งมีระยะห่างต้ังฉากจากแกนหมนุ เปน็ r ดังรูป 5.5 ดงั น้นั เมอ่ื ใช้ เงอื่ นไขลมิ ิตของ Δm เขา้ สู่ศนู ย์ ทำให้การคำนวณหาค่าโมเมนต์ความเฉอ่ื ยของวตั ถุท่ีมมี วล กระจายอยา่ งต่อเน่อื งสามารถใชว้ ธิ กี ารอนิ ทิกรลั ได้ดังนี้ I = lim ri2Δmi = r2dm (5.19) Δmi →0 i แต่เน่ืองจาก ρ = M เมือ่ ρ คอื ความหนาแน่นเชิงปรมิ าตรมีหนว่ ยเปน็ kg.m−3 เม่อื M V และ V คือ มวลและปรมิ าตรท้ังหมดของวตั ถุดังนัน้ dm = ρdV ทำใหส้ มการท่ี 5.19 เขยี น ใหม่ได้เปน็ I = ρ r2dV (5.20) ในกรณีท่ีวตั ถุมีรปู ร่างเปน็ แผน่ บางๆ หรือมีรูปร่างเป็นเส้นยาว ความหนาแน่นเชิงปรมิ าตร จะกลายเป็นความหนาแน่นเชงิ พืน้ ผิว (suface density: σ = M ) และ ความหนาแน่นเชิง A เสน้ (linear density: λ = M ) เมื่อ A และ L คอื พื้นที่และความยาว ตามลำดับในกรณี L ดงั กล่าวทำใหไ้ ด้ dm = σdA และ dm = λdL วิธีการคำนวณหาโมเมนต์ความเฉื่อยตามทีก่ ล่าวมารอบแกนใดๆท่ีไมผ่ า่ นจุดศนู ย์กลาง มวลของวัตถคุ ่อนขา้ งย่งุ ยากแมก้ ระทั่งวตั ถทุ ม่ี คี วามสมมาตรสูง อยา่ งไรกต็ ามกม็ วี ิธีการเพอ่ื หาคา่ โมเมนต์ความเฉอ่ื ยรอบแกนหมุนใดๆ ซ่ึงเรียกว่า วิธีทฤษฎีแกนขนาน (parallel-axis theorem) ซึ่งกลา่ วว่าโมเมนต์ความเฉอ่ื ยรอบแกนใดๆที่ขนานและอยู่ห่างเป็นระยะ D กบั แกนซึ่งผา่ นจดุ ศูนยก์ ลางมวลจะมีคา่ ดงั น้ี (ดูรูปที่ 5.6) และในรูปที่ 5.7 แสดงค่าโมเมนต์

96 การเคล่อื นท่ีของวตั ถุแข็งเกรง็ Iz ICM z D CM y x รูปท่ี 5.6: การหาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน z ดว้ ยวิธีทฤษฎีแกนขนาน ความเฉอ่ื ยของวตั ถุทม่ี คี วามสมมาตรสูง (5.21) I = ICM + M D2 ตัวอยา่ งท่ี 5.3 จงหาโมเมนต์ความเฉือ่ ยของห่วงมวล M และรศั มี R รอบแกนท่ีตัง้ ฉากกบั ระนาบหว่ งและผ่านจุดศนู ย์กลางมวลดงั รปู 5.8 วิธีทำ มวลส่วนเล็กๆท้งั หมด dm มีระยะห่างจากแกนหมนุ เท่ากันคือ r = R ดังนั้นจาก สมการที่ 5.19 จะได้โมเมนตค์ วามเฉ่ือยรอบแกน z ทผี่ า่ นจดุ O Iz = r2dm = R2 dm Iz = M R2 ตัวอย่างที่ 5.4 จงหาโมเมนต์ความเฉือ่ ยของแท่งวตั ถุตรงขนาดสมำ่ เสมอมวล M และยาว L รอบแกนที่ต้ังฉากกบั แท่งวตั ถุและผา่ นจุดศูนยก์ ลางมวลดงั รปู 5.9 วธิ ที ำ พจิ ารณาส่วนของความยาว dx ซ่งึ มีมวลเป็น dm มคี ่าเท่ากบั M dm = λdx = dx L

5.5 การคำนวณหาคา่ โมเมนต์ความเฉอื่ ย 97 รูปที่ 5.7: โมเมนต์ความเฉือ่ ยของวัตถรุ ูปทรงตา่ งๆ y dm x R O รูปท่ี 5.8: มวลสว่ นเลก็ ๆ dm ของหว่ งทัง้ หมดอยู่หา่ งจากจดุ O เทา่ กนั

98 การเคลอื่ นที่ของวตั ถุแข็งเกร็ง y dx x Ox L รูปที่ 5.9: แท่งวัตถุขนาดสมำ่ เสมอยาว L แทนค่า dm นล้ี งในสมการ 5.19 และ r = x จะได้ Iy = r2dm = L/2 x2 M dx −L/2 L M L/2 = x2dm L −L/2 M x3 L/2 = 1 M L2 Iz = L 3 −L/2 12 ตัวอยา่ งท่ี 5.4 จงหาโมเมนต์ความเฉ่ือยของทรงกระบอกตนั ขนาดสมำ่ เสมอมวล M รศั มี R และยาว L รอบแกนท่ผี ่านจุดศูนยก์ ลางมวลดงั รูป 5.10 วธิ ีทำ เพอื่ ความสะดวกเราจะแบ่งทรงกระบอกออกเปน็ ชน้ั ทรงกระบอกบางๆจำนวนมาก และ แตล่ ะช้นั จะมรี ัศมี r ความหนาเป็น dr และยาว L ดงั นน้ั ปรมิ าตรของแตล่ ะช้ันทรงกระบอก คอื dV = LdA = (2πrdr)L และมวล dm = ρdV = ρ2πrLdr เมื่อแทนคา่ ลงในสมการ ท่ี 5.19 ทำใหไ้ ด้ Iz = r2dm = 2πρL R r3dr = 1 πρLR4 02 เพราะวา่ ปรมิ าตรท้งั หมดของทรวกระบอกคอื V = πR2L และเราจะเห็นว่าρ = M = M V π R2 L เมอื่ แทนคา่ ρ ลงในสมการข้างตน้ จะได้ Iz = 1 M R2 2

5.6 ทอรค์ 99 z dr r R L รปู ท่ี 5.10: คำนวณคา่ โมเมนต์ความเฉือ่ ยของทรงกระบอกตัน 5.6 ทอรค์ ทอร์ค (Torque) คือ ปรมิ าณที่บง่ บอกถงึ แนว้ โน้มของการหมุนรอบจดุ หมุนใดๆ ซ่ึงมีนยิ าม ดงั นคี้ ือ τ =r×F (5.22) ทอร์ค เป็นปริมาณเวกเตอรม์ ที ศิ ซึ่งต้ังฉากกบั เวกเตอร์ r และ F และขนาดของทอร์คคอื τ = rF sinφ (5.23) จากสมการ 5.23 ขนาดของทอร์ค คอื ผลคณู ของระยะทางจากจุดหมนุ ถงึ ตำแหน่งท่ีแรง กระทำกบั ขนาดของแรงนั้นในแนวตง้ั ฉากกบั ระยะทางดังรูปท่ี 5.11 ระยะทางจากจดุ หมุน ถงึ แนวของแรงท่ีกระทำในแนวต้งั ฉาก d ซงึ่ เรียกว่า moment arm ของแรง F เม่อื วัตถุ มีแรงจากภายนอกหลายแรงกระทำตอ่ วัตถุ ทอร์คลัพธท์ ี่กระทำต่อวัตถุรอบจุดหมุนใดๆจะมี ค่าเทา่ กับผลรวมแบบเวกเตอรข์ องทอร์คย่อยๆ ดงั นี้ n (5.24) τnet = τi = τ1 + τ2 + ... + τn i=1 ลองพิจารณากรณที ม่ี ีแรงสองแรง คือ แรง F1 และ F2 กระทำตอ่ วตั ถุใหห้ มนุ รอบจุด O ดงั รูปที่ 5.12 ทอรค์ เน่ืองจากแรง F1 จะหมุนวตั ถุในทิศทางทวนเขม็ นาฬกิ าให้เป็นบวก (+)

100 การเคล่ือนทีข่ องวัตถแุ ข็งเกร็ง F sin φ F r O φ d F cos φ Line of action รูปที่ 5.11: ทอรค์ ของการหมนุ รอบจดุ O เนอ่ื งจากมีแรงภายนอกกระทำ F1 d1 O d2 F2 รูปท่ี 5.12: ทอร์คของแรงภายนอกสองแรงรอบจุดหมุน O สว่ นทอร์คเนื่องจากแรง F2 ทำให้วตั ถุหมนุ ตามเขม็ นาฬิกาให้เปน็ ลบ (-) ดงั นน้ั ขนาดของ ทอร์คลพั ธ์คอื τ = τ1 − τ2 = F1d1 − F2d2 (5.25) และจากสมการที่ 5.24 จะเห็นวา่ เมอื่ ขนาดของทอรค์ ลัพธ์ไม่เป็นศูนย์วตั ถุจะหมนุ ด้วยดว้ ย ความเรง่ เชิงมมุ ซึง่ เก่ยี วขอ้ งกบั โมเมนต์ความเฉ่ือยของวัตถรุ อบแกนหมนุ นัน้ ดงั นี้ τnet = τ = Iα (5.26) ตัวอยา่ งท่ี 5.6 ลอ้ วงกลมมวล M รัศมี R และมีค่าโมเมนต์ความเฉือ่ ย I กำลงั หมนุ รอบ แกนในแนวระดบั ดงั รปู 5.13 เส้นเชอื กมวลเบาพนั รอบล้อวงกลมซง่ึ ปลายดา้ นหนึ่งของเส้น เชอื กผกู ติดกบั วตั ถุมวล m จงคำนวณหาความเรง่ เชงิ เส้นของวตั ถุ และแรงตงึ ในเสน้ เชอื ก

5.6 ทอรค์ 101 M R O T T m mg รูปที่ 5.13: แรงตงึ ในเสน้ เชือกทำให้เกิดทอร์ครอบจดุ O วธิ ที ำ ทอรค์ กระทำต่อลอ้ หมุนรอบจดุ O τ = Iα เนอ่ื งจากแรงตึงในเส้นเชอื ก T ทำ ให้ได้ τ = Iα = TR (1) TR α= I และโดยการประยกุ ตก์ ฎขอ้ ที่ 2 ของนวิ ตนั กับการเคลอ่ื นทข่ี องวตั ถมุ วล m น่นั คอื Fy = mg − T = ma (2) mg − T a= m เน่ืองจากความเรง่ a จะสมั พนั ธ์กับความเร่งเชิงมมุ α คือ a = Rα และจากสมการ (1) และ (2) ทำให้ได้ a = Rα = T R2 mg − T = (3) Im (4) mg T = 1+ mR2 I เม่อื แทนค่าสมการ (4) ลงในสมการ (2) เพ่ือหาคา่ a และ α ทำให้ได้ดังนี้ g a = 1 + I/mR2 ag α= = R R + I/mR

102 การเคล่ือนท่ขี องวัตถุแข็งเกร็ง T2 a T1 m1 T2 T1 (a) T3 a m1 m2 n1 m2 m1g m2g T2 T2 (b) n2 mpg mpg T1 T3 (c) รูปที่ 5.14: (a) ระบบมวล m1 และ m2 ยดึ ตดิ กนั ด้วยเสน้ เชือกท่คี ลอ้ งผา่ นรอกท่ไี มม่ ีความ ฝืด(b) และ (c) แสดงแผนภาพวตั ถุอสิ ระของวัตถแุ ตล่ ะอนั ตัวอย่างที่ 5.7 วัตถมุ วล m1 และ มวล m2 เช่อื มตอ่ กนั ด้วยเชอื กมวลเบาซ่ึงคล้องผา่ นรอก สองตวั ท่ีเหมือนกนั รอกทง้ั สองไม่มีความฝืด มีรัศมีเปน็ R และโมเมนต์ความเฉ่ือยเป็น I ดงั รูป 5.14a จงหาขนาดของความเรง่ ของมวลแต่ละกอ้ นและแรงตึงในเสน้ เชอื ก T1, T2 และT3 วิธที ำ พจิ ารณาแผนภาพวตั ถุอสิ ระรูปที่ 5.14b และโดยการประยุกต์กฎการเคลอื่ นที่ขอ้ ที่ 2 นิวตัน ทำใหไ้ ด้ m1g − T1 = m1a (1) T3 − m2g = m2a (2) พิจารณาการหมุนของรอกทง้ั สองจะได้ทอร์ครอบจุดหมุนเนือ่ งจากแรงตึงในเสน้ เชือก (ดูรปู ท่ี 5.14c) มีค่าเปน็ ดังน้ี (T1 − T2)R = Iα (3) (T2 − T3)R = Iα (4)

5.7 งาน พลงั งานและกำลงั งานสำหรบั การหมุน 103 โดยการนำสมการ (3) บวกกบั สมการ (4) ทำให้ได้ (T1 − T3)R = 2Iα (5) และนำสมการ (1) บวกกบั สมการ (2) กจ็ ะได้ T3 − T1 + m1g − m2g = (m1 + m2)a (6) T1 − T3 = (m1 − m2)g − (m1 + m2)a โดยการนำสมการ (6) แทนลงในสมการ (5) และใช้ความสมั พันธ์ของ α = a/R ทำให้เรา หาค่าความเรง่ ของวตั ถแุ ต่ละกอ้ นไดเ้ ป็นดังน้ี [(m1 − m2)g − (m1 + m2)a] R = 2Iα a (m1 − m2)g − (m1 + m2)a = 2I R2 a = (m1 − m2)g (7) m1 + m2 + 2 I R2 จากคา่ ความเร่งที่ได้ในสมการ (7) นำไปแทนลงใน (1) และ (2) จะหาคา่ T1 และ T3 ได้ และค่า T2 หาจากสมการ (3) หรอื จากสมการ (4) ตามลำดับ 5.7 งาน พลงั งานและกำลังงานสำหรับการหมุน เม่ือวัตถมุ ีการหมนุ รอบจดุ หมนุ O ไดร้ ะยะการกระจดั ds ภายใตแ้ รงภายนอกกระทำF โดย ที่ตำแหนง่ ท่แี รงกระทำอยูห่ า่ งจากจดุ O เปน็ ระยะ r และทำมุม φ กับแนวระยะทางดังกลา่ ว ดงั แสดงในรปู ที่ 5.15 ทำใหเ้ กดิ งานขึ้นดว้ ยขนาดเป็น dW = F .ds = (F sin φ)rdθ เนอ่ื งจากปรมิ าณ rF sin φ คือขนาดของทอร์คทีจ่ ดุ O ดังน้ันงานเน่อื งจากการหมุนวตั ถุคอื dW = τ dθ โดยใช้ความสมั พันธ์ τ = Iα = I dω = I dω . dθ = Iω dω ดงั นั้นทำให้ dt dθ dt dθ dW = τ dθ = Iωdω (5.27) เมอื่ วตั ถุหมนุ ด้วยความเรว็ เชิงมุมจาก ωi เปน็ ωf และการกระจดั เชงิ มุมเปล่ยี นจาก θi เปน็ θf งานท้งั หมดที่ได้จงึ มคี ่าเท่ากบั W= θf = dW = τ dθ θi ωf I ω dω ωi

104 การเคลื่อนท่ขี องวตั ถแุ ขง็ เกร็ง F φ ds dθ r O รูปที่ 5.15: แรงภายนอกกระทำตอ่ วัตถทุ ่จี ดุ O ทำให้เกดิ งานเนื่องจากการหมุน W = 1 I ωf2 − 1 I ωi2 (5.28) 2 2 เมื่อ I คือโมเมนต์ความเฉอ่ื ยรอบจดุ O จากสมการ 5.28 จะเหน็ ว่างานของการหมุน ก็ คือการเปล่ียนแปลงของพลังงานจลน์ของการหมนุ ซึ่งก็คือทฤษฎีงาน-พลงั งานจลน์น่ันเอง สำหรบั กำลังงาน (Power, P) คอื อัตราการสว่ นของงานตอ่ หนงึ่ หน่วยเวลานัน่ คือ P = dW = τ dθ = τω (5.29) dt dt ตวั อยา่ งท่ี 5.8 พจิ ารณาวตั ถุมวล m1 และ m2 โดยที่ m1 = m2 เช่อื มตอ่ กนั ดว้ ยเชือกท่ี คล้องผา่ นรอกดังแสดงในรปู 5.16 รอกรศั มี R และมโี มเมนตค์ วามเฉ่ือยรอบแกนหมนุ เป็น I เส้นเชอื กไมล่ ืน่ ไหลบนรอกและระบบถกู ปล่อยจากหยดุ นิง่ จงหาอตั ราเร็วเชงิ เส้นของวตั ถุ ทงั้ สองหลังจากวัตถุมวล m2 ตกลงมาได้ระยะ h และ อัตราเร็วเชงิ มมุ ของรอก ณ เวลานัน้ วิธที ำ เนอื่ งจากวา่ เชือกไม่มีการลน่ื ไหลบนรอกทำให้รอกมีการหมุนและถา้ ไม่คดิ ผลของแรง เสยี ดทานท่แี กนหมนุ ดงั น้นั พลงั งานเชงิ กลของระบบมีคา่ คงทีน่ น่ั คือ พลังงานจลน์ของระบบ ทเี่ พ่มิ ขึน้ จะเทา่ กับพลังงานศักยข์ องระบบท่ีลดลงเพราะว่าพลงั งานจลน์ตอนเร่ิมตน้ Ki = 0 ทำใหเ้ ราได้ ΔK = Kf − Ki = 1 m1vf2 + 1 m2 vf2 + 1 I ωf2 −0 2 2 2 เมื่อ vf คอื อตั ราเร็วเชิงเส้นซึง่ เปน็ ค่าเดียวกันสำหรับมวลทั้งสอง และเนื่องจาก vf = Rωf ดังน้ัน ΔK = 1 I vf2 2 m1 + m2 + R2

5.8 การเคลอ่ื นทแี่ บบกลงิ้ 105 R m2 hh m1 รปู ที่ 5.16: การเคล่อื นท่ีของระบบมวล m1 และ m2 ท่ีเชอ่ื มต่อกนั ดว้ ยเชือกซึง่ คล้องผ่าน รอก จากรปู ท่ี 5.16 จะเห็นว่าพลงั งานศักย์ที่ลดลงของระบบเนือ่ งจากมวล m2 ตกลงมา และได้ รับพลงั งานศกั ย์เนอ่ื งจากมวล m1 เคลอื่ นท่ีขึ้น นนั่ คือ ΔU2 = m2gh และ ΔU1 = m1gh โดยการประยกุ ต์หลักการคงตวั ของพลังงานจะไดว้ า่ ΔK + ΔU1 + ΔU2 = 0 1 I vf2 + m1gh − m2gh = 0 2 m1 + m2 + R2 2(m2 − m1)gh 1/2 vf = m1 + m2 + I R2 และเนื่องจาก vf = Rωf ดงั น้นั อตั ราเชงิ มมุ ของรอกมีคา่ เป็น vf 1 2(m2 − m1)gh 1/2 R R ωf = = m1 + m2 + I R2 5.8 การเคล่อื นท่แี บบกลิ้ง การเคลือ่ นท่แี บบกลิ้ง (Rolling Motion) คอื การเคล่อื นที่ผสมผสานระหวา่ งการเลือ่ นตำแหนง่ (Translation) กับการหมนุ (Rotation) การเคลือ่ นท่ีดังกลา่ วจะเหน็ ว่าวัตถุจะหมนุ รอบแกน ที่ไม่คงที่ พจิ ารณาการกลิง้ ของทรงกระบอกรัศมี R บนพน้ื ราบโดยไม่มีการไถลดังรปู 5.17 ความเรว็ และความเรง่ ของจุดศูนยก์ ลางมวล (vCM ) จะเก่ียวพนั กับความเร็วเชิงมมุ (ω) และ

106 การเคลอื่ นทข่ี องวัตถุแข็งเกรง็ R θ s s = Rθ รูปท่ี 5.17: ทรงกระบอกกลิ้งบนพ้ืนราบ ความเรง่ เชิงมุม (α) ของการหมนุ ดังน้ี ds dθ vCM = = R = Rω (5.30) dt dt (5.31) aCM = dvCM dω = Rα dt =R dt ความเร็วเชิงเส้นของจุดศนู ยก์ ลางมวลและของจดุ อน่ื ๆบนและภายในทรงกระบอกแสดงดัง รปู 5.18 ทุกๆจดุ บนทรงกระบอกจะมีความเรว็ เชิงมุมเดียวกนั ดงั นนั้ ความเรว็ เชงิ เสน้ ท่ีจุด ตา่ งๆจะขนึ้ อยู่กบั ระยะห่างระหว่างจุดนนั้ กับจุดหมนุ เช่นท่ีจดุ P และ P ระยะทางจากจดุ P ถึง P เป็นสองเทา่ ของระยะทางจากจดุ ศูนย์กลางมวล (CM) ถงึ จุด P ดงั นั้นจึงมีความ เร็วเป็น2vCM = 2Rω ทศิ ทางของความเรว็ เชงิ เส้นจะตั้งฉากกบั แนวเสน้ ตรงที่ลากจากจุด หมนุ (P) ถึงจดุ นัน้ ๆ ดงั แสดงในรปู เมอ่ื วตั ถมุ ีการกลิ้งพลังงานจลน์ของการเคลอ่ื นทีค่ อื P 2vCM Q CM vCM P รปู ที่ 5.18: แสดงขนาดและทศิ ทางของความเรว็ เชงิ เสน้ ของจุดต่างๆบนและภายในวตั ถุ ทรงกระบอกทกี่ ำลงั กลิง้ บนพ้ืนราบ K = 1 IP ω2 (5.32) 2

5.8 การเคลอ่ื นท่ีแบบกลิ้ง 107 เมอ่ื IP คือ โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนท่ีผา่ นจดุ P และโดยการประยุกต์ใช้ทฤษฎีแกน ขนานจะไดI้ P = ICM + MR2 จากสมการ 5.32 ทำให้ได้พลังงานจลน์ของการกลิ้งมีค่าเปน็ K = 1 IC M ω2 + 1 MR2ω2 2 2 K = 1 IC M ω2 + 1 M vC2 M (5.33) 2 2 นนั่ คือ พลังงานจลน์ท้ังหมดของการกล้ิงเท่ากับพลงั งานจลน์ของการหมนุ รอบแกนที่ผ่าน จุดศนู ย์กลางมวลบวกกับพลังงานจลนข์ องการเล่ือนตำแหน่งของจุดศนู ยก์ ลางมวล ตวั อยา่ งที่ 5.9 ทรงกลมตนั มวล M รัศมี R กลิ้งลงตามพนื้ เอยี งซง่ึ ทำมมุ θ กบั แนวราบดัง รูป 5.19 และพ้นื เอียงไม่มีความเสยี ดทาน จงหาความเรว็ ของจุดศูนย์กลางมวลขณะที่ทรง กลมกล้งิ ลงมาถึงปลายดา้ นล่างของพ้นื เอยี ง (โดยใชห้ ลักการคงตัวพลังงาน) M R ω h θ vCM รูปท่ี 5.19: วัตถทุ รงกลมกลิง้ บนพืน้ เอยี งท่ไี ม่มคี วามฝืด วิธที ำ โดยใชห้ ลกั การคงตวั ของพลงั งานในการวเิ คราะหจ์ ะเห็นวา่ เร่ิมต้นทรงกลมหยดุ น่ิง พลงั งานจลน์ Ki = 0 ส่วนพลงั งานศักย์ Ui = Mgh และเมื่อทรงกลมเคล่ือนที่มาท่ี ตำแหนง่ ปลายดา้ นล่างสุด พลังงานศกั ย์ Uf = 0 (เป็นตำแหนง่ อา้ งอิง) ส่วนพลงั งานจลน์มี คา่ เปน็ 1 vCM 2 1 vC2 2 R 2 Kf = ICM + M M timesKf = 1 ICM +M vC2 M 2 R2





































126 การเคลือ่ นทแ่ี บบออสซิลเลต เมื่อ x และ t มหี น่วยเปน็ เมตรและวินาที ตามลำดับ จงหา (ก) อัมปลจิ ดู ความถี่ และคาบของการเคลอื่ นทนี่ ี้ (ข) ความเร็วและความเรง่ ของวตั ถทุ ีเ่ วลา t ใดๆ (ค) ใชผ้ ลที่ได้จากขอ้ (ข) หาตำแหนง่ ความเร็ว และความเร่งทเ่ี วลา t = 1 วนิ าที (ง) ความเรว็ สงุ สดุ และความเรง่ สูงสดุ วิธีทำ โดยเทียบกับสมการการกระจดั ในรูปทว่ั ๆไป x = A cos(ωt + φ) ทำให้ได้ (ก) อมั ปลจิ ูด : A=4 เมตร ความถี:่ f = ω = π = 1 = 0.5 เฮิรท์ ซ์ 2π 2π 2 และ คาบ: T = 1 = 1 วนิ าที f 0.5 (ข) ความเรว็ และความเร่งทเ่ี วลาใดหาไดด้ ังนี้ v = dx = d 4 cos(πt + π ) dt dt 4 π = −4π sin πt + 4 dv d −4 sin(πt + π ) a= = dt dt 4 π = −4π2 cos πt + 4 (ค) การกระจดั ความเร็วและความเรง่ ท่เี วลา t = 1 วินาที x = 4 cos π(1) + π = 4 cos 5π = −2.83 4 4 v = −4π sin π = −4π sin 5π = −8.89 π(1) + 4 4 a = −4π2 cos π = −4π2 cos 5π = 27.90 π(1) + 44 (ง) ความเร็วสูงสุดและความเร่งสูงสดุ vmax = ωA = 4π = 12.6 amax = ω2A = 4π2 = 39.5 6.2 พลงั งานของการออสซลิ เลตแบบซิมเปิลฮาร์โมนิกส์ พลังงานรวมของระบบ (E) มวลยึดกับสปริงท่มี กี ารออสซลิ เลตแบบ SHM คอื ผลรวมพลังงาน จลน์ (K) กับพลงั งานศกั ย์ (U) E = K + U = 1 mv2 + 1 kx2 (6.15) 22