ฟิสิกส์ทั่วไป 1 มข.

วชิ า 315 102 ฟสิ กิ ส์ท่วั ไป 1 General Physics I y v v vy −vx d m vx x vy v d vx zd ดร. ศรีประจกั ร์ ครองสขุ ภาควชิ าฟิสกิ ส์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น

2

สารบัญ สารบัญ i คำนำ 1 1 การเคลื่อนท่ีแบบ 1 และ 2 มติ ิ 1 1.1 เวกเตอรแ์ ละสมบัตขิ องเวกเตอร์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 สมบัติของเวกเตอร์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 การคูณของสองเวกเตอร์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 การเคล่อื นที่ใน 1 มติ ิ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 การกระจัด (Displacement) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 ความเร็ว (Velocity) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 ความเรง่ (Acceleration) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.4 การเคล่อื นทีด่ ว้ ยความเร่งคงตวั . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.5 การตกอย่างอิสระของวตั ถุ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 การเคล่ือนทแ่ี บบ 2 มิติ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1 การกระจดั ความเร็ว และความเร่ง . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.2 การเคลือ่ นทแี่ บบโปรเจทไตล์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.3 การเคลอ่ื นทีแ่ บบวงกลม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.4 ความเร็วสมั พัทธ์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4 แบบฝึกหัด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 i

ii สารบัญ 2 แรงและกฎการเคลื่อนท่ี 31 2.1 กฎการเคลื่อนท่ขี องนิวตนั . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.1 กฎการเคลอ่ื นทขี่ อ้ ท่ี 1 ของนิวตัน . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.2 กฎการเคล่อื นท่ขี อ้ ที่ 2 ของนิวตนั . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.3 กฎการเคลอ่ื นท่ขี อ้ ที่ 3 ของนิวตนั . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 แรงเสยี ดทาน (Forces of Friction) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 แรงและการเคลอื่ นที่เป็นวงกลม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.1 การเคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยอตั ราเรว็ คงที่ . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.2 การเคลอื่ นท่เี ป็นวงกลมดว้ ยอัตราเร็วไม่คงท่ี . . . . . . . . . . . . 43 2.4 แบบฝึกหัด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3 งานและพลังงาน 53 3.1 งานท่ที ำโดยแรงคงท่ี . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2 งานที่ทำโดยแรงไมค่ งที่ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2.1 งานท่ที ำโดยแรงดงึ กลบั ของสปรงิ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3 พลงั งานจลน์และทฤษฎีงาน-พลังงานจลน์ . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.4 งานเน่ืองจากแรงเสยี ดทาน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.5 กำลงั . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.6 พลงั งานศักย์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.6.1 พลงั งานศักยโ์ น้มถ่วง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.6.2 พลงั งานศกั ย์ยดื หยุ่น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.7 การอนุรกั ษข์ องพลังงานเชงิ กล . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.8 งานที่ทำโดยแรงท่ไี มอ่ นุรักษ์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.9 แบบฝึกหัด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4 โมเมนตัมเชิงเส้นและการชน 75 4.1 โมเมนตมั เชิงเส้น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2 การคงตวั ของโมเมนตัมเชงิ เส้น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

สารบัญ iii 4.3 การดลและโมเมนตัม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.4 การชนแบบยืดหย่นุ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.5 การชนแบบไม่ยืดหยุน่ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.6 การชนแบบ 2 มิติ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.7 จุดศูนย์กลางมวล . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.8 แบบฝึกหดั . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5 การเคล่ือนทีข่ องวตั ถุแข็งเกร็ง 89 5.1 ความเรว็ เชิงมมุ และความเรง่ เชิงมุม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.2 การหมนุ ของวตั ถุแข็งเกรง็ ดว้ ยความเร่งเชิงมมุ คงที่ . . . . . . . . . . . . . 91 5.3 ความสมั พนั ธร์ ะหว่างปริมาณเชงิ มมุ และปรมิ าณเชิงเสน้ . . . . . . . . . . . 92 5.4 พลงั งานจลนข์ องการหมุน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.5 การคำนวณหาค่าโมเมนตค์ วามเฉอื่ ย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.6 ทอรค์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.7 งาน พลังงานและกำลงั งานสำหรบั การหมนุ . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.8 การเคลื่อนที่แบบกลิง้ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.9 โมเมนตมั เชิงมมุ และการคงตัวของโมเมนตัมเชงิ มุม . . . . . . . . . . . . . 108 5.9.1 โมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาค . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.9.2 โมเมนตัมเชงิ มมุ ของการหมุนวัตถแุ ข็งเกรง็ . . . . . . . . . . . . . 109 5.9.3 การคงตวั ของโมเมนตมั เชิงมมุ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.10 สมดุลของวตั ถแุ ขง็ เกร็ง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.11 แบบฝกึ หดั . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6 การเคล่ือนท่แี บบออสซลิ เลต 121 6.1 การเคล่ือนทแ่ี บบซิมเปิลฮารโ์ มนิกส์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.1.1 ความเรว็ และความเรง่ ของการเคลอื่ นท่แี บบ SHM . . . . . . . . . 123 6.1.2 ความถเี่ ชงิ มมุ ของการส่ันแบบ SHM . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.2 พลังงานของการออสซลิ เลตแบบซมิ เปิลฮาร์โมนิกส์ . . . . . . . . . . . . . 126

iv สารบัญ 6.3 การประยกุ ต์การเคลอื่ นทแ่ี บบ SHM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.3.1 ลูกต้มุ นาฬกิ าอยา่ งง่าย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.3.2 Physical Pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.3.3 Torsional Pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.4 การออสซิลเลตแบบมีความหนว่ ง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.5 แบบฝึกหัด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7 กลศาสตรข์ องไหล 137 7.1 ความดันและความหนาแนน่ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.1.1 ความดัน (Pressure) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.1.2 ความหนาแนน่ (Density) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.2 ความดันทีข่ ึ้นอยูก่ ับความลกึ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.3 การวดั ความดัน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 7.4 แรงลอยตัวและหลักของอาร์คีมีดสี . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.5 พลวตั ขิ องไหลและสมการความต่อเนื่อง . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 7.5.1 สายกระแส . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7.5.2 สมการความตอ่ เนอื่ ง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7.6 สมการแบรน์ ูลลี . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.7 แบบฝกึ หัด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 8 เทอร์โมไดนามกิ ส์ 155 8.1 อณุ หภมู ิและกฏข้อท่ีศูนย์ของเทอรโ์ มไดนามกิ ส์ . . . . . . . . . . . . . . . 155 8.2 การขยายตัวเชิงความรอ้ น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 8.3 ความร้อนและพลังงานภายใน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 8.3.1 ความจคุ วามร้อน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 8.3.2 ความร้อนแฝง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 8.4 งานและความร้อนในกระบวนการเทอร์โมไดนามกิ ส์ . . . . . . . . . . . . . 159 8.5 กฎขอ้ ท่หี นึง่ ของเทอรโ์ มไดนามกิ ส์ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

สารบญั v 8.6 การนำความรอ้ น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 8.7 ทฤษฎีจลน์ของกาซ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 8.7.1 แบบจำลองของกาซอดุ มคติ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 8.7.2 ความดนั ของกาซทีบ่ รรจใุ นภาชนะลูกบาศก์ . . . . . . . . . . . . . 168 8.7.3 อณุ หภูมิของกาซ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 8.8 เครือ่ งจักรความรอ้ นและกฎข้อทส่ี องของเทอรโ์ มไดนามิกส์ . . . . . . . . . 170 8.9 แบบฝึกหดั . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

vi สารบญั

คำนำ เนื้อหาในตำราเล่มน้ีผู้เขยี นจัดทำขึ้นโดยมีวตั ถปุ ระสงค์เพ่ือใช้ในการเรียนการสอนรายวชิ า 315 102 ฟสิ ิกส์ทั่วไป 1 สำหรบั นกั ศกึ ษาคณะวทิ ยาศาสตร์และคณะศึกษาศาสตร์่ เนอื้ หา สว่ นใหญ่จะอ้างองิ จากตำราภาษาอังกฤษท่ีได้มีการจดั วางลำดบั ของเน้ือหาอย่างเปน็ ระบบ และงา่ ยต่อการทำความเข้าใจของนกั ศึกษาทำให้นกั ศึกษามีทกั ษะในการคิดวิเคราะห์และแก้ โจทย์ปัญหาได้ดีขนึ้ ในปจั จุบนั ตำราวชิ าฟสิ กิ ส์พ้นื ฐานท่ีมีคณุ ภาพมีจำนวนมากซึง่ นักศกึ ษา สามารถที่หาไดโ้ ดยง่ายแตส่ ิ่งสำคัญสำหรับนกั ศึกษาในการเรียนวิชาฟิสิกสน์ ัน้ ก็คอื ต้องไดอ้ า่ น และทบทวบเน้ือหาที่เรียนซึง่ จะทำให้นักศกึ ษาได้มีความรู้ ความเขา้ ใจในเน้ือหาได้ดีย่ิงข้ึน ดงั นนั้ ผู้เขยี นกห็ วังเป็นอยา่ งยงิ่ วา่ ตำราเล่มน้คี งจะชว่ ยให้นักศึกษาทเี่ รียนในวชิ าน้ีได้รับความ รู้ ความเขา้ ใจในเนื้อหาวิชาฟิสกิ ส์เพ่มิ ข้นึ และนอกจากนี้ก็หวังว่าคงจะเป็นประโยชน์สำหรับ นักเรยี นหรอื ผทู้ ส่ี นใจวชิ าฟสิ กิ สพ์ ้นื ฐานไมม่ ากกน็ อ้ ย ในการเขียนตำราเล่มนี้อาจจะมขี อ้ ผดิ พลาดเกิดขนึ้ บา้ งเปน็ ธรรมดาผเู้ ขยี นขอน้อมรบั คำ ติชมและขอ้ แนะนำที่เปน็ เป็นโยชน์จากผ้อู ่านทกุ ทา่ นเพ่อื จะได้นำไปปรับปรงุ เนอื้ หาให้ดียง่ิ ขน้ึ ตอ่ ไป ดร. ศรีประจักร์ ครองสุข ภาควชิ าฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั ขอนแกน่

2 สารบญั

บทท่ี 1 การเคลือ่ นทแ่ี บบ 1 และ 2 มิติ การศึกษาการเคล่อื นท่ีของวัตถุใดๆโดยพิจารณาความสมั พันธ์ระหว่างตำแหน่ง (space) กับ เวลา ความเร็วและความเรง่ ของวัตถนุ ั้นโดยไม่คำนงึ ถึงต้นเหตขุ องการทำให้เกดิ การเคล่ือนที่ เราเรียกว่าจลศาสตร์ของการเคลอ่ื นที่(kinematics) สำหรับในบทน้ีเราจะศกึ ษาการเคลอ่ื นที่ แบบ 1 มติ ิ (การเคล่ือนที่ในแนวเส้นตรง) และการเคลอื่ นทีแ่ บบ 2 มติ ิและนอกจากนย้ี ังจะ กล่าวถงึ พื้นฐานเกยี่ วกับปรมิ าณเวกเตอร์ซงึ่ มีความจำเปน็ ในการบรรยายการเคลอ่ื นที่ของ วตั ถุและยงั เปน็ พน้ื ฐานสำหรับการศึกษาในเนือ้ หาวิชาฟสิ กิ ส์ 1.1 เวกเตอรแ์ ละสมบัตขิ องเวกเตอร์ ปริมาณตา่ งๆในทางฟสิ ิกสแ์ บง่ ออกเปน็ สองกลมุ่ คอื ปริมาณเวกเตอร์ (vector quantity) และ ปรมิ าณสเกลาร์ (scalar quantity) ปรมิ าณเวกเตอร์จะต้องมีการระบุทง้ั ขนาดและทศิ ทางจงึ จะสื่อความหมาย เชน่ การกระจดั (displacement) ความเร็ว (velocity) ความเรง่ (acceler- ation) แรง (force) สนามไฟฟา้ และสนามแมเ่ หลก็ เป็นต้น สว่ นปริมาณสเกลาร์ ระบุเพียง ขนาดอย่างเดียวเชน่ มวล ความดนั อุณหภมู ิ ปริมาตร และความหนาแนน่ เปน็ ตน้ โดย ทว่ั ไปจะเขียนปริมาณเวกเตอร์โดยใช้ลกู ศรไว้ขา้ งบนตวั อกั ษร เชน่ เวกเตอร์ A เขยี นแทน ดว้ ย A ส่วนขนาดของเวกเตอร์ A เขียนแทนด้วย A ในการเขียนรูปเวกเตอร์ใดๆจะใช้ ขนาดความยาวของลกู ศรแทนขนาดของเวกเตอรแ์ ละหวั ลูกศรแทนทศิ ของเวกเตอร์ 1.1.1 สมบตั ิของเวกเตอร์ • การเท่ากนั ของสองเวกเตอร์ เวกเตอร์ A และ เวกเตอร์ B เทา่ กันก็ต่อเมอื่ เวกเตอร์ ทั้งสองมีขนาดเทา่ กนั และมที ิศทางเดยี วกันดังรปู 1.1

2 การเคลื่อนทแ่ี บบ 1 และ 2 มติ ิ AB รปู ที่ 1.1: การเทา่ กันของเวกเตอร์ A และ B • การบวกสองเวกเตอร์ (1) การบวกสองเวกเตอร์ดว้ ยการวาดรูปสามเหลีย่ ม เมือ่ กำหนดให้เวกเตอร์ A และ B มีขนาดและทศิ ทางดังรปู 1.2(a) เม่ือนำเวกเตอร์ A+B หาไดโ้ ดยการลากเวกเตอร์ A กอ่ นจากนำเวกเตอร์ B มาต่อที่หวั ลกู ศรของเวกเตอร์ A โดยท่ียังคงขนาดและ ทศิ ทางเดิมของเวกเตอร์ B ส่วนเวกเตอร์ผลลพั ธ์(R) หาจากการลากลกู ศรโดยเริม่ จากปลายของเวกเตอร์ A ไปบรรจบท่ีหวั ลูกศรของเวกเตอร์ B ดังรูป 1.2(b) (2) B R=A+B θ B AA (a) (b) รปู ที่ 1.2: การบวกเวกเตอร์ A และ B โดยการวาดรูปสามเหลยี่ ม การบวกสองเวกเตอรด์ ้วยการวาดรูปสเ่ี หลย่ี มดา้ นขนาน ทำไดโ้ ดยลากลกู ศรออกจาก จุดเดียวกนั นนั่ คอื ให้หางเวกเตอรท์ งั้ สองประกบกันจากดงั รูป 1.3 จากนนั้ ให้ลากเสน้ ประ กบเพื่อสร้างเป็นรปู สเี่ หล่ยี มดา้ นขนานและเวกเตอร์ของเวกเตอร์ R = A + B หาได้ จากการลากเส้นตรงในแนวทะแยงมมุ ของสเ่ี หลี่ยมด้านขนาน B B R=A+B A Aθ (a) (b) รปู ท่ี 1.3: การบวกเวกเตอร์ A และ B โดยการวาดรปู สี่เหล่ยี มดา้ นขนาน

1.1 เวกเตอรแ์ ละสมบัติของเวกเตอร์ 3 • การบวกเวกเตอร์ที่มากกวา่ สองเวกเตอร์ สำหรับกรณีที่มีหลายเวกเตอร์ เช่น A, B และC การบวกเวกเตอร์เหล่าน้ีก็จะกระทำ ในลกั ษณะเดยี วกันกบั การบวกแบบสองเวกเตอร์ ดงั แสดงในรูป 1.4 นน่ั คอื นำหาง เวกเตอรท์ สี่ องมาต่อทีห่ วั ของเวกเตอรแ์ รกและำนำหางเวกเตอร์ท่สี ามมาตอ่ หวั เวกเตอร์ ที่สองสว่ นเวกเตอรล์ พั ธก์ ็คือลากลกู ศรออกจากหางเวกเตอรแ์ รกไปยังหวั ของเวกเตอร์ ที่สามนน่ั เอง R C =A+B B +C C B AA รปู ที่ 1.4: การบวกเวกเตอร์ A, B และ C • การสลบั ที่การบวกกนั ของสองเวกเตอร์ การสลับตำแหนง่ การบวกของสองเวกเตอร์ ให้เวกเตอร์ลพั ธ์เทา่ กันดงั แสดงในรปู 1.5 นั่นคือ A+B =B+A R=A+B BB A R=B+A A รปู ที่ 1.5: การสลับที่ของการบวกเวกเตอร์ A และ B • การจัดกลมุ่ สำหรบั การบวกกันของเวกเตอร์ การบวกเวกเตอร์หลายเวกเตอรส์ ามารถ จัดกลมุ่ การบวกไดแ้ ละให้เวกเตอรล์ พั ธเ์ ท่ากัน ดงั แสดงในรูป 1.6 นน่ั คือ (A + B) + C = A + (B + C)

4 การเคลอื่ นท่แี บบ 1 และ 2 มติ ิ CC (A + B) + C A + (B + C) B+C A+B B B AA รูปท่ี 1.6: การจัดกลมุ่ สำหรบั การบวกเวกเตอร์ A, B และ C • ค่าลบของเวกเตอร์ (Negative of a vector) เช่น เวกเตอร์ −A คอื เวกเตอร์ที่มี ขนาดเทา่ กบั เวกเตอร์ A แตม่ ีทศิ ตรงข้าม • การคณู ปริมาณสเกลาร์ (m) กบั ปรมิ าณเวกเตอร์ เชน่ B = mA ความหมายคือ เวกเตอร์B มขี นาดความยาวเป็นจำนวน m เทา่ ของเวกเตอร์ A แตม่ ีทิศทางเดียวกนั • การลบเวกเตอร์ เชน่ A − B = A + (−B) ซ่ึงกค็ อื การบวกเวกเตอร์ A กับเตอร์ลบ ของ B ดงั แสดงในรูปท่ี 1.7 B A R = A + (−B) −B รูปท่ี 1.7: เวกเตอร์ลพั ธ์ทไี่ ด้จากการบวกเวกเตอร์ A กบั เวกเตอรล์ บของ B • การขนาดเวกเตอร์ลพั ธ์และทิศทาง ในกรณีท่ีสองเวกเตอร์ำใดๆ เช่น A และ B ทำ มุมกันเปน็ มมุ θ ดังรูป 1.8 การหาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ท่ีได้จากการบวกกันของ สองเวกเตอรน์ ส้ี ามารถคำนวณได้โดยใช้ กฎของโคไซน์ (cosine’s law) ดงั นี้คือ R2 = (A + B cos θ)2 + (B sin θ)2 (1.1) = A2 + 2AB cos θ + B2 cos2 θ + B2 sin2 θ R2 = A2 + B2(cos2 θ + sin2 θ) + 2AB cos θ √ R = A2 + B2 + 2AB cos θ

1.1 เวกเตอรแ์ ละสมบัติของเวกเตอร์ 5 สำหรับทิศของเวกเตอร์หาได้จาก tan α = A B sin θ θ + B cos α = tan−1 B sin θ (1.2) A + B cos θ นอกจากน้ีท้งั ขนาดและทศิ ทางของเวกเตอร์ลัพธ์สามารถหาได้จากความสมั พนั ธ์ตาม กฎของไซน์ดังนี้ RAB (1.3) == sin γ sin β sin α Rβ B B sin θ α γθ A B cos θ รูปท่ี 1.8: แสดงวธิ กี ารคำนวณหาขนาดและทศิ ทางของเวกเตอร์ลพั ธข์ องการบวก A กับ B • เวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ย (unit vector) คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ 1 หน่วยความยาว ซ่ึงมีนยิ ามเปน็ ดงั น้คี ือ A (1.4) eˆA = A เวกเตอร์หนงึ่ หน่วยของเวกเตอร์ A หาได้จากอตั ราสว่ นของเวกเตอร์ A ตอ่ ขนาด ของเวกเตอร์ A สำหรบั เวกเตอร์หนงึ่ หน่วยในแนวแกน x, y และ z จะเขียนดว้ ย สญั ลักษณ์ ˆi, ˆj และ kˆ ตามลำดบั ดังนนั้ ในการเขยี นเวกเตอร์ใดๆในระบบพิกัดฉาก (cartesian coordinate) ดังรูป 1.9 สามารถเขยี นในรปู ของผลบวกของเวกเตอร์ย่อย ในแตล่ ะองคป์ ระกอบตามแกน x, y และ z ไดด้ งั นี้ A = Ax + Ay + Az = Axˆi + Ayˆj + Azkˆ โดยท่ีขนาดของเวกเตอร์องค์ประกอบตามแกนตา่ งๆและขนาดของเวกเตอร์ A หาได้

6 การเคลอ่ื นท่ีแบบ 1 และ 2 มิติ จากความสมั พันธน์ ้ี Ax = A sin θ cos φ Ay = A sin θ sin φ Az = A cos θ A = Ax2 + Ay2 + A2z ในกรณีท่ีเวกเตอร์วางตวั ในระนาบ (2 มิติ) การแยกเวกเตอร์ใดๆไปเป็นเวกเตอร์ z Az A θ kˆ ˆj Ay y ˆi Ax φ x รปู ที่ 1.9: แสดงเวกเตอร์ A เวกเตอรอ์ งคป์ ระกอบของเวกเตอร์ A ในระบบพิกดั ฉาก องค์ประกอบตามแกน x และ y ทำได้ดงั นี้ จากรูป 1.10 จะไดว้ ่า A = Ax + Ay = Axˆi + Ayˆj Ax = A cos θ; Ay = A sin θ A = A2x + A2y • การรวมเวกเตอร์ด้วยวิธีแยกองค์ประกอบ ในกรณีทีม่ หี ลากเวกเตอร์การหาเวกเตอร์ลัพธ์เนื่องจากการบวกกนั ของเหล่านีส้ ามารถ ทำไดโ้ ดยการแยกเวกเตอรแ์ ตล่ ะตวั ออกเป็นองคป์ ระกอบตามแกน x, y และ z จากน้นั รวมเวกเตอร์ย่อยในแต่ละองค์ประกอบน้นั กจ็ ะไดเ้ วกเตอร์ลัพธ์ในแต่ละแกนและสุดท้าย

1.1 เวกเตอรแ์ ละสมบตั ิของเวกเตอร์ 7 y Ay A ˆj x O ˆi Ax รูปที่ 1.10: การแยกเวกเตอร์ Aลงบนแกน x และ y คือนำค่าเวกเตอรล์ ัพธ์ตามแกนทั้งสามมาคำนวณหาขนาดและทศิ ทางของเวกเตอร์ลัพธ์ เชน่ สมมติ กำหนดให้ A1 = A1xˆi + A1yˆj + A1zkˆ A2 = A2xˆi + A2yˆj + A2zkˆ ... = ... An = Anxˆi + Anyˆj + Anzkˆ เราจะได้ขนาดเวกเตอรล์ ัพธต์ ามแกน x, y และ z มคี ่าเป็นดงั นี้ n Rx = (A1x + A2x + · · · + Anx) = Aix i=1 n Ry = (A1y + A2y + · · · + Any) = Aiy i=1 n Rz = (A1z + A2z + · · · + Anz) = Aiz i=1 และขนาดของเวกเตอร์ลพั ธ์และทิศของเวกเตอร์หาได้ดงั นี้คอื R = Rx2 + Ry2 + Rz2 θ = tan−1 Rz R 1.1.2 การคณู ของสองเวกเตอร์ การคณู ปรมิ าณเวกเตอร์มีอยู่สองประเภทคือการคูณของสองเวกเตอร์แลว้ ได้ผลลัพธ์ออกมา เปน็ ปริมาณสเกลาร์ เรยี กวา่ การคณู แบบสเกลาร์ (scalar product) กบั การคณู ของสองเวกเตอร์ แล้วได้ผลลพั ธ์ออกมาเป็นปรมิ าณเวกเตอร์ เรียกวา่ การคณู แบบเวกเตอร์ (vector product)

8 การเคลื่อนทีแ่ บบ 1 และ 2 มิติ • การคูณแบบสเกลาร์ มีนยิ ามดงั น้ีคอื กำหนดให้ A กบั B ซ่ึงทำมมุ กนั เป็นมมุ θ ดัง รปู 1.11(a) การคูณแบบสเกลาร์ของสองเวกเตอรค์ ือ A · B = AB cos θ (1.5) • การคูณแบบเวกเตอร์ กำหนดให้ A กบั B ซ่ึงทำมมุ กันเป็นมุม θ ในระนาบเดียวกนั ดงั รูป 1.11(b) การคูณของสองเวกเตอร์ทำให้ได้เวกเตอร์ R ในทศิ ตัง้ ฉากกับเวกเตอร์ ทั้งสองและมีทศิ พุง่ ขนึ้ (การหาทิศของการคณู แบบเวกเตอร์จะใช้กฎมอื ขวา โดยให้ นว้ิ หวั แมม่ ือแทนทิศของเวกเตอร์ R ส่วนนว้ิ ทั้งส่ีจะวนรอบโดยเร่ิมจากเวกเตอร์ A และวนไปหาเวกเตอร์ B) สว่ นขนาดของเวกเตอร์ R หาได้จาก R = A × B = AB sin θ (1.6) R=A×B B B θ θ A A (b) (a) รปู ที่ 1.11: การคูณของสองเวกเตอร์ คือ A กับ B (a) แบบผลคณู สเกลาร์ (b) แบบผลคูณ เวกเตอร์ 1.2 การเคล่ือนที่ใน 1 มิติ 1.2.1 การกระจดั (Displacement) การกระจดั (Displacement) คอื ปริมาณทว่ี ดั การเปลย่ี นตำแหนง่ การเคลอื่ นทข่ี องวตั ถุ ถา้ ให้ วตั ถุอันหนึ่งเคลอ่ื นที่ในแนวเสน้ ตรงจากตำแหน่งเริม่ ตน้ เป็น xi เมอ่ื เวลาผ่านไปวตั ถุมาอยู่

1.2 การเคลือ่ นที่ใน 1 มติ ิ 9 ที่ตำแหน่ง xf ดงั นั้นวัตถมุ ีการกระจดั เป็น (1.7) Δx = xf − xi การกระจดั เป็นปรมิ าณเวกเตอร์ ซ่ึงมตี ้องระบทุ ง้ั ขนาดและทศิ ทาง สว่ นระยะทาง (distance) จะวัดขนาดอยา่ งเดียวยกตวั อย่างเช่น พจิ ารณาในรปู ท่ี 1.12 รถยนต์กำลังเคลอื่ นท่ีในแนว เสน้ ตรงจากตำแหน่ง A ไปยงั ตำแหน่ง B C, D, E และ F ตามลำดับ การกระจัดของ รถยนต์จากตำแหนง่ A ไปตำแหน่ง B คือ Δx = xB − xA = 20 m สว่ นการกระจัดจาก ตำแหน่ง A ไปตำแหนง่ D คือ Δx = xD − xA = −30 m แต่ถา้ วัดระยะทางจากตำแหนง่ A ไปยงั ตำแหน่ง D คือ s = sAB + sBC + sCD = 20 + 10 + 40 = 70 m จะเหน็ วา่ การกระจดั มีคา่ เป็นบวกหรือลบได้ซง่ึ เครื่องหมายจะเป็นการระบุทิศทางเทยี บกับจดุ เรม่ิ ตน้ สว่ นระยะ ทางจะมีค่าเปน็ บวกเสมอ Starting Point A B x (m) -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 FE D C x (m) -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 รูปที่ 1.12: รถยนตก์ ำลังเคล่อื นที่ในแนวเส้นตรง 1.2.2 ความเรว็ (Velocity) อตั ราส่วนระหวา่ งปริมาณการกระจดั กับช่วงเวลาที่ใช้ เรียกวา่ ความเรว็ เฉลย่ี (average ve- locity, v¯x) น่ันคือ Δx xf − xi Δt tf − ti v¯x = = (1.8) ส่วนอตั ราสว่ นระหว่างระยะทาง (s) กบั ช่วงเวลา เรียกวา่ อัตราเรว็ เฉลยี่ (average speed) ซ่งึ เปน็ ปริมาณสเกลาร์น่ันคือ อตั ราเร็วเฉลย่ี = ระยะทางทงั้ หมด เวลาท้ังหมด

10 การเคล่อื นทแี่ บบ 1 และ 2 มิติ ในกรณที ี่พิจารณาในชว่ งเวลาสนั้ ๆ (Δt มีคา่ เขา้ ใกล้ศนู ยม์ ากๆ แต่ไม่เทา่ กบั ศนู ย)์ ความเรว็ เฉล่ยี จะเรียกว่าความเรว็ ขณะใดขณะหนง่ึ (instantaneous velocity, vx) นน่ั คือ Δx dx vx = lim = (1.9) Δt→0 Δt dt และอัตราเรว็ เฉลี่ยจะเรียกวา่ อตั ราเรว็ ขณะใดขณะหน่ึง (instantaneous speed) ซงึ่ มีขนาด เท่ากบั ขนาดของความเร็วขณะใดขณะหน่งึ นัน่ เอง หน่วยการวดั ความเรว็ หรอื อัตราเรว็ คอื เมตรต่อวินาที (m/s) ตวั อย่างท่ี 1 จากรปู ที่ 1.12 ทำการบนั ทึกการกระจดั เทยี บกบั จุดอา้ งอิง (O) และเวลาของ การเคลอ่ื นท่ขี องรถยนต์ได้ผลดงั แสดงในตาราง 1.1 และผลทไ่ี ด้นำมาเขยี นกราฟดังรูป 1.13 จงหาการกระจัด ความเร็วเฉลยี่ และอัตราเรว็ เฉลีย่ ระหว่างจุด A กบั จดุ F ตารางท่ี 1.1: ตำแหนง่ ของรถยนต์ท่ีเวลาตา่ งๆ ตำแหน่ง เวลา (s) x (m) A 0 30 B 10 52 C 20 38 D 30 0 E 40 -37 F 50 -53 วธิ ที ำ จากขอ้ มูลในตารางจะเหน็ ว่าที่ตำแหนง่ A และตำแหนง่ F มีคา่ การกระจดั เทยี บกับ จุดอ้างองิ O คือ xA = 30 และ xB = −53 ดังนนั้ จากนยิ ามของการกระจัดจะได้ Δx = xF − xA = −53 − 30 = −83 m และความเรว็ เฉล่ยี ระหว่างสองจุดน้คี ือ v¯x = Δx = xF − xA Δt tF − tA = −53 − 30 = −83 = −1.7 m/s 50 − 0 50

1.2 การเคล่ือนทใ่ี น 1 มิติ 11 x (m) B 60 C 40 A 20 0 D -20 E -40 -60 F 10 20 30 40 50 t (s) 0 รปู ท่ี 1.13: สำหรบั โจทยต์ วั อยา่ งที่ 1 ส่วนอตั ราเร็วเฉล่ยี หาไดจ้ ากอัตราสว่ นของระยะทางทัง้ หมดที่รถยนตเ์ คลื่อนทีไ่ ปได้ตั้งแต่จดุ A ถงึ จุด F กับชว่ งเวลาท่ใี ช้ นนั่ คือ ระยะทางทง้ั หมด m/s อตั ราเรว็ เฉลี่ย = เวลาทัง้ หมด = 22 + 52 + 53 = 2.5 50 ตัวอยา่ งที่ 2 อนุภาคอนั หนึ่งเคลื่อนท่ตี ามแกน x ตำแหนง่ ของอนภุ าคมคี า่ เปล่ียนแปลงตาม เวลาตามความสัมพันธ์ x = −4t + t2 เมอื่ x มีหน่วยเป็นเมตร (m) และ t วัดในหน่วยของ วนิ าที (s) จงหา (ก) การกระจัดของอนภุ าคในชว่ งเวลา t=0 ถึง t = 1 วนิ าที และในช่วง t = 1 ถึง t = 3 วินาที (ข) ความเรว็ เฉล่ียของอนภุ าคในช่วงเวลาดงั กลา่ ว วธิ ที ำ (ก) จากสมการความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งตำแหน่งกบั เวลาทำให้วา่ ti = 0, xi = −4(0)+2(0)2 = 0 และ tf = 1, xf = −4(1) + 2(1)2 = −2 ดงั นั้นการกระจัดในชว่ งเวลา t=0 ถงึ t=1 คือ Δx = xf − xi = −2 − 0 = −2 m

12 การเคลือ่ นที่แบบ 1 และ 2 มิติ ในทำนองเดยี วกนั สำหรับการกระจัดในช่วง t=1 ถึง t=3 จะได้ Δx = xf − xi = [−4(3) + 2(3)2] − [−4(1) + 2(1)2] = 8 m (ข) ความเรว็ เฉลี่ยของอนภุ าคในช่วงเวลา t=0 ถึง t = 1 คอื v¯ = Δx = −2 = −2 m/s Δt 1 และความเรว็ เฉล่ยี ของอนุภาคในช่วงเวลา t=1 ถงึ t = 3 คอื Δx 8 v¯ = Δt = 2 = 4 m/s 1.2.3 ความเรง่ (Acceleration) นยิ ามของความเรง่ เฉล่ียของวตั ถคุ ือการเปล่ยี นแปลงความเร็ว (Δvx) หารดว้ ยช่วงเวลา (Δt) ท่ีเกิดการเปลีย่ นแปลงความเรว็ นัน้ นัน่ คอื a¯x ≡ Δvx = vxf − vxi (1.10) Δt tf − ti พจิ ารณาจากรปู 1.14 ซ่ึงเปน็ กราฟระหว่างความเรว็ กับเวลา จะเห็นวา่ จากนิยามของความ vx a¯x = Δv vxf Δt B A Δvx vxi Δt ti tf t รปู ที่ 1.14: กราฟของความเร็วและเวลาในการเคล่ือนทข่ี องอนภุ าคอันหน่ึง เร่งเฉล่ียระหวา่ งการเปล่ยี นแปลงความเร็วจากจุด A ไปยังจุด B ก็คือความชนั ของกราฟ

1.2 การเคลอื่ นทใี่ น 1 มิติ 13 เสน้ ตรงท่ลี ากเชอ่ื มต่อระหวา่ งสองจดุ นนั้ ถ้าเราพจิ ารณาว่าจุดสองจดุ อยูใ่ กล้กันมากๆ น้นั คอื ช่วงเวลา Δt → 0 แลว้ เราจะไดน้ ยิ ามของความเรง่ ขณะใดขณะหนึ่งเปน็ ดังน้ี ax ≡ lim Δvx = dvx (1.11) Δt dt Δt→0 เนื่องจากว่า vx = dx/dt ดังนน้ั ความเร่งยงั สามารถเขียนไดอ้ ีกแบบดังน้ี ax = dvx = d dx d2x (1.12) dt dt dt = dt2 ซงึ่ จะเห็นว่าสมการ 1.12 ความเร่งมีค่าเท่ากบั อนุพันธ์อันดบั สองของ x เทียบกบั t ในรูป 1.15 จะแสดงความเก่ียวพันระหว่างกราฟของความเรว็ -เวลา และกราฟของความเรง่ -เวลา จะพบวา่ ความเร่งทจ่ี ุดใดๆจะเท่ากับค่าความชนั (slope) ของกราฟความเรว็ -เวลาท่จี ดุ นนั้ vx ax B C A A B tC tA tB t tA tB tC t C (a) (b) รูปท่ี 1.15: ความสัมพันธ์ระหว่างกราฟของความเร็ว-เวลาและความเร่ง-เวลาท่ีตำแหน่ง ต่างๆ ตวั อย่างที่ 3 อนภุ าคอันหนึง่ เคล่ือนที่ตามแกน x ดว้ ยความเร็วท่ีแปรตามเวลาดังสมการ vx = 40 − 5t2 จงหาความเรง่ เฉลี่ยในชว่ งเวลา t=0 ถงึ t=2 และความเร่งที่เวลา t =2 วินาที วธิ ที ำ จากนยิ ามของความเรง่ เฉล่ียตามสมการ 1.10 ทำใหไ้ ด้ vxi = 40 − 5(0)2 = 40 m/s vxf = 40 − 5(2)2 = 20 m/s a¯x = vxf − vxi = 20 − 40 = −10 m/s2 tf − ti 2−0

14 การเคลื่อนที่แบบ 1 และ 2 มิติ และความเรง่ ท่ีเวลา t =2 คือ ความเรง่ ขณะใดขณะหน่งึ นนั่ เอง ดังนั้น ax = dvx = d (40 − 5t2) = −10t dt dt ax(t = 2) = −10(2) = −20 m/s2 1.2.4 การเคล่อื นทด่ี ว้ ยความเรง่ คงตัว ในกรณีของการเคลือ่ นท่ีดว้ ยความเรง่ คงตวั น้ี ความเร่งเฉลี่ยกับความเรง่ ขณะใดขณะหนง่ึ จะ เท่ากันดังนนั้ จากสมการ 1.10 เราเขียน a¯x แทนดว้ ย ax และกำหนดให้ ti = 0 และ tf = t ทำให้ได้ ax = vxf − vxi t vxf = vxi + axt (1.13) จากสมการ 1.13 จะเห็นวา่ เราสามารถหาคา่ ความเร็วของวัตถุที่เวลาใดๆก็ได้ถ้าหากว่ารู้คา่ ความเร็วเริม่ ตน้ และรคู้ วามเรง่ การเปล่ียนแปลงความเร็วจะเพิ่มขน้ึ อย่างเชงิ เสน้ ตามเวลา เพราะความเรง่ ของการเคล่ือนท่ีมีคา่ คงตัวดังรูป 1.16 ทำใหไ้ ด้ว่า ความเร็วเฉลยี่ ในช่วงเวลา ใดๆจะเท่ากบั ค่าเฉลี่ยของความเรว็ ของสองจุดนั้นๆ v¯x = vxi + vxf (1.14) 2 vx Slope = ax axt 0 vxf vxi t t รูปท่ี 1.16: กราฟของความเรว็ -เวลาของการเคลือ่ นที่ภายใต้ความเรง่ คงตวั จากนยิ ามของความเร็วเฉลยี่ ในสมการ 1.8 และใชค้ วามสัมพันธ์ในสมการ 1.14 ทำให้ ไดส้ มการของการกระจดั ในอีกรปู แบบหนงึ่ ดงั น้ี xf − xi = v¯xt = vxi + vxf t (1.15) 2

1.2 การเคลือ่ นท่ีใน 1 มิติ 15 และโดยการแทนคา่ vxf จากสมการ 1.13 ลงในสมการ 1.15 จะได้อีกรปู แบบหนึง่ ของความ สัมพันธ์ระหว่างการกระจดั ความเรว็ และความเร่งดังน้ี xf − xi = vxit + 1 ax t2 (1.16) 2 และนอกจากนย้ี ังสามารถแสดงความสมั พนั ธ์ระหวา่ งความเร็วสุดท้ายกับความเรง่ และการกระ จดั โดยทไี่ มม่ ีตวั แปรของเวลาเข้ามาปรากฎในสมการดังน้ี xf − xi = 1 + vxf ) vxf − vxi = vx2f − vx2i 2 (vxi ax 2ax vx2f = vx2i + 2ax(xf − xi) (1.17) ภายใตก้ ารเคลอ่ื นท่ีด้วยความเร่งคงตวั น้ที ำใหเ้ ราได้สมการทีจ่ ะใช้ในการวเิ คราะหโ์ จทยป์ ญั หา สำหรบั การเคลือ่ นท่ีของวัตถุใดๆได้ดงั สรุปในตาราง 1.2 การเลอื กใช้สมการใดนั้นในการ คำนวณจะขึ้นอยู่กับเง่อื นไขของโจทย์ปัญหาวา่ ตอ้ งการหาคา่ ปริมาณใดและมีตวั แปรไหนท่ี เราทราบคา่ แลว้ ตารางที่ 1.2: สมการของการเคล่อื นท่ีของวัตถุในแนวเส้นตรงภายใตค้ วามเรง่ คงตวั สมการ ขอ้ มูลท่ไี ดจ้ ากสมการ vxf = vxi + axt ความเร็วทเี่ ปน็ ฟังกช์ ันของเวลา การกระจดั ที่เป็นฟังกช์ นั ของความเร็วและเวลา xf − xi = 1 (vxi + vxf )t การกระจัดทีเ่ ป็นฟงั กช์ ันของเวลา 2 ความเรว็ ทเ่ี ปน็ ฟงั กช์ นั ของการกระจัด xf − xi = vxit + 1 axt2 2 vx2f = vx2i + 2ax(xf − xi) ตวั อยา่ งที่ 4 รถบรรทุกซงึ่ จอดหยดุ น่ิงบนถนนตรงถกู ขบั ออกไปด้วยความเรง่ 2 m/s2 จน มีอตั ราเรว็ 20 m/s หลงั จากนั้นรถบรรทกุ เคล่ือนที่ต่อดว้ ยอตั ราเรว็ คงที่เป็นเวลา 20 วินาที และหลงั จากนน้ั รถถกู เบรกให้หยุดภายในเวลา 5 วนิ าทีจงหาระยะทางทั้งหมดท่ีรถบรรทกุ เคลือ่ นที่ไปได้ วิธีทำ ในโจทย์คำถามนี้เราพจิ ารณาการเคล่ือนทีอ่ อกเปน็ 3 ช่วงดงั นี้ คอื ช่วงท่ี 1 รถบรรทกุ เคลือ่ นทีด่ ว้ ยความเรง่ คงตวั ขนาดการกระจดั หาไดด้ งั นี้ Δx1 = xf − xi = v¯xt = (vxi + vxf ) t (1) 2

16 การเคลอื่ นทแ่ี บบ 1 และ 2 มติ ิ จากสมการ (1) เราตอ้ งทราบคา่ ของเวลาทใ่ี ช้ในการเคลื่อนทใี่ นช่วงนี้ซง่ึ หาได้จากความ สมั พนั ธ์ ax = Δvx = vxf − vxi = vxf − 0 Δt tf − ti t t= vxf = 20m/s = 10s ax 2m/s2 จากน้นั แทนคา่ t ลงในสมการ (1) เราจะไดข้ นาดของการกระจัดในช่วงที่ 1 ดงั นี้ (20m/s − 0)(10s) (2) Δx1 = 2 = 100m ชว่ งที่ 2 รถบรรทุกเคล่ือนท่ีดว้ ยอัตราเรว็ คงที่ ขนาดของการกระจดั หาได้ดังนี้ (3) Δx2 = v¯xt = vxf t = (20m/s)(20s) = 400m ชว่ งที่ 3 รถบรรทุกเคลือ่ นทดี่ ้วยความหนว่ ง (ความเรง่ มคี า่ เปน็ ลบ) ขนาดของการกระ จัดในชว่ งนีค้ ือ Δx3 = v¯xt = (vxi + vxf ) t = 20m/s + 0 (5s) = 50m (4) 2 2 ดงั นน้ั ระยะทางทงั้ หมดทร่ี ถบรรทกุ เคลอ่ื นทไ่ี ดค้ อื Δx = Δx1 + Δx2 + Δx3 = 100 + 400 + 50 = 550m 1.2.5 การตกอยา่ งอสิ ระของวตั ถุ เม่อื ปล่อยให้วัตถุตกลงสู่พน้ื โลก (ตำแหนง่ ท่ีปล่อยอยู่ใกล้ๆกบั ผวิ โลกและไม่คดิ แรงตา้ น จากอากาศ) วัตถุทุกอยา่ งจะเคลือ่ นที่หลน่ ลงไปด้วยความเร่งเดยี วกันภายใต้สนามโนม้ ถว่ ง ของโลก Galileo Galilei ซ่งึ เปน็ นกั วิทยาศาสตร์ชาวอติ าลี (1564-1642) ที่ได้ทำการทดลอง ยนื ยันคำกล่าวนี้เป็นคนแรกและหา คา่ ความเร่งเนื่องจากแรงโนม้ ถว่ งของโลก (gravitation- al acceleration, g) ซง่ึ มีคา่ เทา่ กับ 9.80 m/s2 ความเร่งโน้มถว่ งของโลกจะมีทศิ ดึงวตั ถุเข้า สู่จดุ ศูนย์กลางของโลกเสมอ การตกของวัตถุอยา่ งอสิ ระก็เป็นการเคลอ่ื นท่ีในหนง่ึ มิติดว้ ย ความเร่งคงตัวเหมอื นกับหัวขอ้ ที่ผ่านมาดงั น้นั สมการของการเคลือ่ นท่ีตามท่ีสรปุ ในตารางที่

1.2 การเคล่อื นท่ใี น 1 มติ ิ 17 1.2 ก็จะปรบั เลก็ น้อยให้สอดคลอ้ งกับทิศทางการเคลอื่ นท่ี กลา่ วคอื x จะแทนด้วย y และ ให้ay = −g = −9.8 น่ันคอื เราจะได้ว่าสมการการเคล่อื นที่ของวตั ถุที่ตกอย่างอสิ ระในแนว แกน y คือ vyf = vyi − gt (1.18) (1.19) yf − yi = vyit − 1 gt2 (1.20) 2 vy2f = vy2i − 2g(yf − yi) ตวั อย่างท่ี 5 ชายคนหนึง่ โยนกอ้ นหินข้นึ ไปในแนวดงิ่ ดว้ ยความเร็วต้น20 m/s จากขอบตกึ ถา้ ตกึ น้ีสงู 50 m และก้อนหินตกลงมาเฉียดขอบตึกและตกกระทบพื้นด้านลา่ งดงั รปู 1.17 กำหนดใหเ้ วลาเริม่ ตน้ ท่ีตำแหนง่ A คือ tA = 0 และ yA = 0 จงหา (ก) เวลาที่ก้อนหนิ ข้ึนไปถึงจดุ สงู สดุ (จุด B) (ข) ความสงู ทจี่ ดุ B (ค) เวลาทกี่ อ้ นหินตกกลับลงมาอย่ทู ่ีระดับเดยี วกับจดุ เร่ิมตน้ โยน (จุด C) (ง) ความเรว็ ของกอ้ นหินขณะอยู่ท่จี ดุ C (จ) ความเรว็ และตำแหนง่ ทเ่ี วลา t = 5 s วธิ ที ำ (ก) ที่จดุ สงู สุด (จุด B) ก้อนหนิ มีความเร็วเป็นศนู ย์ ดงั นนั้ จากสมการการเคลอ่ื นที่ในแนว ดิ่งสำหรบั ความเรว็ ของวัตถุท่ีตำแหน่งใดๆคือ vyf = vyi − gt นัน่ คอื เราหาเวลาที่ใช้ในการ เคลือ่ นทข่ี นึ้ ไปถึงจุดสูงสุดได้ดังนี้ t = vyf − vyi = 0 − 20 m/s −g −9.8 m/s2 t = 20 = 2.04 s 9.8 (ข) ระยะสูงสุดที่ก้อนหนิ เคล่ือนทึี้่ขึน้ ไปหาจากความสมั พันธ์ yf − yi = vyit − 1 gt2 เมอื่ 2 yi = yA = 0 และ yf = yB ทำใหไ้ ดว้ ่า yB = vyit − 1 gt2 = (20 m/s)(2.04 s) − 1 (9.8 m/s2)(2.04 s)2 2 2 yB = 20.4 m

18 การเคลอื่ นทแี่ บบ 1 และ 2 มติ ิ B yA C x 50.0 m D E รปู ท่ี 1.17: โยนวัตถขุ นึ้ ไปในแนวด่งิ ภายใต้แรงโนม้ ถ่วงของโลก (ค) เวลาท่ีกอ้ นหินใช้ในการเคล่อื นท่ีกลับมาอยู่ท่ีระดบั เดิมนนั่ คือ yi = yf = 0 ดงั นัน้ เรา สามารถคำนวณหาคา่ เวลาไดด้ งั น้ี yC − yA = vyAt − 1 gt2 2 0 = 20t − 19.8t2 2 t(20.0 − 4.9t) = 0 t = 0, 4.08 จากการแก้สมการเราได้คำตอบท่ีมีสองคา่ คอื t = 0 และ t = 4.08 s แต่ที่สอดคล้องกับ ตำแหนง่ ที่จดุ C คือ t = 4.08 วินาที ซงึ่ เปน็ เวลาที่กอ้ นหินใช้ในการเคลื่อนท่ีจากจดุ A มา ยังจดุ C นน่ั เอง (ง) ความเรว็ ทต่ี ำแหน่ง C จะมคี ่าเป็นดังนี้ vyC = vyA − gt = (20 m/s) − 1 (9.8 m/s2)(4.08 s) 2 vyC = −20.0 m/s

1.3 การเคล่อื นทีแ่ บบ 2 มิติ 19 (จ) ความเร็วของก้อนหินที่เวลา t = 5 s หาไดด้ ังนี้ vyD = vyA − gt = (20 m/s) − (9.8 m/s2)(5 s) vyD = −29.0 m/s ตำแหน่งของกอ้ นหนิ ที่เวลา t= 5.0 คอื yD − yA = vyAt − 1 gt2 2 yD − 0 = (20 m/s)(5.0 s) − 1 (9.8 m/s2)(5.0 s)2 2 yD = −22.5 m 1.3 การเคลือ่ นที่แบบ 2 มติ ิ 1.3.1 การกระจดั ความเร็ว และความเรง่ พิจารณาการเคล่ือนท่ีของอนุภาคตามเสน้ ทางดงั รปู 1.18 จากจดุ A ไปยงั จดุ B ที่จดุ A อนุภาคมีเวกเตอร์บอกตำแหนง่ (position vector) เป็น ri และท่ีจุด B มีเวกเตอร์บอก ตำแหน่งเป็น rf เมือ่ ri = xiˆi + yiˆj และ rj = xjˆi + yjˆj ดังนั้นการกระจัด (Δr) ของอนุภาคจากจุด A ไปยงั จดุ B มคี า่ เป็น Δr = rf − ri = (xf − xi)ˆi + (yf − yi)ˆj = Δxˆi + Δyˆj ความเรว็ เฉลย่ี ของอนภุ าคในชว่ งเวลา Δt = tf − ti คอื อตั ราส่วนของการกระจดั ตอ่ เวลา Δr (1.21) v¯ = Δt ความเร็วขณะใดขณะหนึ่งคือ Δr dr v = lim = (1.22) Δt→0 Δt dt (1.23) ความเร่งเฉลี่ยและความเรง่ ขณะใดขณะหน่ึงมีนยิ ามดงั นีค้ ือ (1.24) a¯ = Δv = vf − vi Δt tf − ti Δv dv a = lim = Δ→0 Δt dt

20 การเคลอื่ นที่แบบ 1 และ 2 มิติ y A Δr ri rj B Path of particle O x รปู ที่ 1.18: การเคลอื่ นทข่ี องอนุภาคในระนาบ xy 1.3.2 การเคล่ือนที่แบบโปรเจทไตล์ การเคลือ่ นแบบโปรเจทไตล์ คอื การเคลือ่ นที่ของวัตถุทัง้ ในแนวแกน x และในแนวแกน y ไปพร้อมๆกนั โดยที่วัตถุมีความเร่งเฉพาะในแนวแกน y คือความเร่งเนือ่ งจากแรงโน้มถ่วง ของโลก g ส่วนในแนวแกน x วตั ถุเคลือ่ นที่ดว้ ยความเรว็ คงตัวลักษณะเส้นทางของการ เคลอื่ นท่ีแบบนี้จะเปน็ เส้นโค้งพาราโบลาดังแสดงในรปู 1.19 เรมิ่ ตน้ วัตถุมีความเร็ว vi ทำ มุมกับแกน x เปน็ มมุ θi ดงั นัน้ องคป์ ระกอบของความเร็วตามแกน x และแกน y คือ vxi = vi cos θi และ vyi = vi sin θi (1.25) พจิ ารณาการเคล่อื นท่ตี ามแนวแกน x เมือ่ xi = 0, ax = 0 ดงั นนั้ จะได้ว่าระยะทางและ ความเรว็ ของวัตถุทเ่ี วลาใดๆในแนวแกน x มคี า่ เปน็ Δx = xf − xi = vxit = (vi cos θi)t (1.26) vxf = vxi = vi cos θi = ค่าคงท่ี (1.27) พจิ ารณาการเคลื่อนทีต่ ามแนวแกน y เมือ่ yi = 0, ay = −g ดังนนั้ ระยะการกระจัดและ ความเรว็ ในแนวแกน y จงึ มคี ่าเปน็ ดงั นี้ Δy = yf − yi = vyit − 1 gt2 = (vi sin θi)t − 1 gt2 (1.28) 2 2 (1.29) vyf = vyi − gt = (vi sin θi) − gt การคำนวณหาระยะพสิ ยั และระยะสูงสุดของการเคลอื่ นทแ่ี บบโปรเจทไตล์ ทจ่ี ดุ สงู สุดของ การเคลอ่ื นที่จะได้ว่า ความเร็วในแนวแกน y มีคา่ เปน็ ศูนย์ vvf = 0 ดงั นั้นเวลาที่ใช้ในการ

1.3 การเคลอ่ื นท่แี บบ 2 มิติ 21 y vy = 0 g C vy v vxi D vyi vi B vxi vxi vy v θi E vxi x A vxi θi vy v รูปที่ 1.19: การเคลอ่ื นของวตั ถุแบบโปรเจทไตลใ์ นระนาบ xy ขึน้ ไปถึงจดุ สงู สุดหาได้ดงั นี้ vvf = vyi − gtA ⇒ 0 = vi sin θi − gtA tA = vi sin θi g เม่ือแทนคา่ ของเวลาลงในสมการของการกระจัดในแนวแกน y ทำให้ได้ระยะสูงสดุ (maxi- mum height: h) มีค่าเปน็ ดังน้ี θi) vi sin θi 1g vi sin θi 2 g 2 g h = (vi sin − h = vi2 sin2 θi (1.30) 2g เมื่อพิจารณาการเคลอ่ื นท่ีในแนวแกน x จะได้วา่ เวลาที่ใช้ตั้งแต่เรม่ิ ตน้ จนกระทง่ั วตั ถุตกลง มาอยู่ทร่ี ะดบั เดิมจะมีคา่ เปน็ สองเท่าของเวลาทใ่ี ชใ้ นการเคลื่อนขึ้นไปถงึ จุดสูงสดุ นน้ั คือ 2tA ดังน้ัน ระยะพสิ ัย (horizontal range: R) หาได้ดังน้ี R = vxitB = (vi cos θi)(2tA) = (vi cos θi ) 2vi sin θi = 2vi2 sin θi cos θi g g R = vi2 sin 2θi (1.31) g จากสมการของระยะพสิ ัยจะพบว่าระยะทางไกลสุดจะขน้ึ อยู่กับขนาดของความเร็วตน้ และ มมุ ท่ีความเร็วต้นทำกับแนวระดับ ดงั นัน้ ถา้ ต้องการให้วัตถุเคลอื่ นท่ีได้ระยะพิสัยมากทสี่ ุดท่ี

22 การเคล่อื นท่ีแบบ 1 และ 2 มติ ิ ความเร็วตน้ คงทค่ี า่ หน่ึงนน้ั มมุ ที่ความเรว็ ต้นกระทำกบั แกน x จะตอ้ งมีค่าเทา่ กับ 45◦ หรือ sin 2θi = 1 น่นั คือ 2θi = 90◦ ⇒ θi = 45◦ น่นั เอง y A vyA = 0 vi h θi B O x R รูปที่ 1.20: ระยะพิสัยและระยะสงู สุดของการเคลื่อนท่แี บบโปรเจทไตล์ ตวั อย่างที่ 6 เคร่อื งบนิ ลำหน่งึ กำลังเคล่ือนที่ไปในแนวระดับด้วยอัตราเร็ว 40 m/s และบิน อยู่สูงจากระดับพื้นดิน 100 m ถ้าโยนวตั ถุลงมาจากเครอื่ งบนิ วตั ถุจะตกลงมากระทบพน้ื ดิน ท่ีตำแหน่งใดเทียบกับจุดที่ปล่อยลงมาดังรูป 1.21 และความเรว็ ของวัตถุขณะที่ตกกระทบ พ้นื วิธทืี ำ ขณะทป่ี ล่อยวัตถุให้ตกลงมาความเรว็ เร่ิมต้นของวตั ถจุ ะเท่ากบั ความเรว็ ของเครื่องบนิ vxi = 40 m/s vyi0 และกำหนดให้ ณ จุดที่ปลอ่ ย xi = 0, yi = 0 ดงั น้นั ระยะการกระจดั ตามแนวราบหาได้จาก xf = vxit = 40t (1) หาเวลาต้ังแต่เรม่ิ ปล่อยจนตกถงึ พ้นื จากสมการ yf = vyit − 1 gt2 ⇒ −100 = 0− 1 (9.8)t2 2 2 t2 = 2(100) ⇒ t = 4.52 s 9.8 แทนคา่ t ลงในสมการ (1) ทำใหไ้ ดร้ ะยะการกระจดั ตามแนวราบเป็นดังน้ี xf = (40)(4.52) = 181 m

1.3 การเคลอ่ื นท่แี บบ 2 มติ ิ 23 องคป์ ระกอบของความเรว็ ของวัตถใุ นแนวแกน x และแกน y หาได้ดังนค้ี อื vxf = vxi = 40 m/s vyf = vyi − gt = 0 − (9.8)(4.52) = −44.3 m/s ดังนั้นขนาดความเรว็ ของวตั ถขุ ณะทตี่ กกระทบพน้ื มีค่าเปน็ v = vx2f + vy2f = (40)2 + (−44.3)2 = 59.9 m/s vx = 40 m/s 100 m รูปที่ 1.21: สำหรบั โจทย์ตัวอย่างที่ 6 ตวั อย่างที่ 7 นักสกีเคลอ่ื นท่ีพุง่ ออกจากรางสกีตามแนวระดับด้วยอตั ราเรว็ 25 m/s ดังรปู 1.22 นกั สกจี ะตกกระทบพ้ืนท่ตี ำแหน่งใดเม่ิือเทียบกับตำแหนง่ เริ่มต้นกำหนดใหร้ ะดับความ ชันเอียงทำมมุ กบั แนวระดับเปน็ มมุ 30◦ และระยะทางตามแนวพน้ื เอียงท่ีวัดจากตำแหน่ง เร่ิมตน้ จนถึงจุดทีต่ กกระทบคือ d วธิ ที ำ การกระจดั ตามแนวแกน x และตามแนวแกน y หาไดจ้ าก Δx = xf − xi = vxit = 25t (1) (2) Δy = yf − yi = vyit − 1 gt2 = 0 − 1 gt2 = − 1 (9.8)t 2 2 2 เน่ืองจาก Δx = d cos 35◦ และ Δy = −d sin 35◦ ดงั นั้นเม่อื แทนคา่ เหล่าน้ลี งในสมการ (1) และ (2) ทำให้

24 การเคลอื่ นท่ีแบบ 1 และ 2 มติ ิ d cos 35◦ = 25t (3) −d sin 35◦ = −1 (9.8)t2 (4) 2 สมการ (4) หารดว้ ยสมการ (3) ทำใหไ้ ด้ tan 35◦ = 9.8 t ⇒ t = (50)(tan 35◦) = 3.57 s 2(25) 9.8 (25)(3.57) d = cos 35◦ = 109 m และจาก d ที่ได้แทนกลบั ลงในสมการ (3) และ (4) ทำให้ระยะการกระจดั ท้ังในแนว แกน x และแกน y มีค่าเป็นดงั น้ี Δx = (109) cos 35◦ = 89.3 m Δy = −(109) sin 35◦ = −62.5 m (0,0) 25.0 m/s θ = 35◦ y x รูปที่ 1.22: สำหรบั โจทย์ตวั อย่างที่ 7

1.3 การเคลือ่ นท่แี บบ 2 มิติ 25 1.3.3 การเคลื่อนท่ีแบบวงกลม เม่ือวัตถุเคล่ือนท่ีเป็นวงกลมหรือเป็นเสน้ ทางโคง้ ความเร็วของวัตถุจะมีการเปลีย่ นแปลงอยู่ ตลอดเวลาอาจจะมีการเปลี่ยนเฉพาะทิศทางอย่างเดยี ว ขณะท่ขี นาดของความเรว็ ยังคงที่ (ซงึ่ เรยี กว่าเปน็ เคล่อื นที่ด้วยอัตราเร็วคงตัว) หรอื อาจจะเปลยี่ นทั้งขนาดและทิศทางไปพรอ้ มๆ กนั ก็ได้ ผลจากการเปลี่ยนความเรว็ นี้ทำให้ให้เกดิ ความเรง่ ในการเคล่ือนท่ีขนึ้ ดังแสดงในรูป 1.23 พจิ ารณากรณที ีว่ ัตถุเคลอ่ื นที่เป็นวงกลมรัศมี r ดว้ ยอตั ราเร็วคงท่ดี งั นนั้ ความเรง่ ทเ่ี กิด ขึน้ จึงมเี ฉพาะในแนวเข้าสู่จดุ ศูนยก์ ลางของวงกลม หรือเรียกวา่ ความเรง่ เข้าสู่ศูนยก์ ลาง (ar) A vi vf vi r B Δθ Δv vf Δr r θ O รูปที่ 1.23: แสดงการเปลี่ยนทิศของความเรว็ เมือ่ วตั ถเุ คล่ือนทเุี่ ปน็ วงกลมด้วยอตั ราเร็วคงท่ี ar = vf − vi = Δv (1.32) tf − ti Δt จากรปู 1.23 โดยพจิ ารณาจากคณุ สมบตั ขิ องสามเหลีย่ มคล้าย ทำใหไ้ ด้ความสมั พนั ธ์ดงั นี้ Δv = Δr ⇒ Δv = vΔr v r r จากนยิ ามของความเร่งเข้าส่ศู นู ย์กลางทำให้ไดข้ นาดของความเร่งน้ีมคี ่าเปน็ Δv v Δr v2 ar = = . = (1.33) Δt r Δt r สำหรบั กรณีท่วี ัตถเุ คลอื่ นเป็นเส้นทางโคง้ ซึ่งความเรว็ มีการเปล่ียนค่าทง้ั ขนาดและทศิ ทางอยู่ ตลอดเวลาดงั รูป1.24 ความเร่งของวตั ถุจงึ มีท้งั สององคป์ ระกอบคอื มีความเรง่ ในแนวเดียวกนั กับการเคล่อื นที่ (at) กบั ความเรง่ เข้าสู่ศูนย์กลาง (ar) น่นั คือ a = at + ar (1.34) โดยที่ขนาดความเร่งในแนวเสน้ สัมผสั หาได้จาก at = d|v|/dt และขนาดความเร่งเข้าสู่ ศนู ย์กลาง ar = v2/r

26 การเคลือ่ นท่ีแบบ 1 และ 2 มติ ิ Path of particle B at ar a C ar a ar at A at a รูปท่ี 1.24: แสดงการเปล่ยี นแปลงความเร็วท้ังขนาดและทิศทางเมื่อเคล่ือนท่ีเป็นเสน้ ทาง โคง้ 1.3.4 ความเร็วสัมพัทธ์ ความเรว็ สมั พทั ธ์ (relative velocity) คอื การวัดความเร็วของสองผสู้ ังเกตทุ ี่อยู่ในกรอบอ้างอิง ที่แตกต่างกนั กล่าวคือผู้สงั เกตุหนงึ่ กำลังเคลือ่ นที่สมั พัทธ์กบั อีกผู้สงั เกตุ ดงั นนั้ ความเรว็ ของวัตถทุ ีว่ ดั ได้นัน้ จึงขึน้ อยู่กบั ความเร็วของผสู้ ังเกตนุ น้ั เทยี บกับวัตถุ เชน่ บนถนนทางดว่ น มีผูส้ ังเกตคุ นหนึ่งทีย่ ืนหยดุ นงิ่ อย่ขู ้างถนนทำการวัดความเร็วรถยนตค์ ันหนึง่ ได้ 60 กโิ ลเมตร ต่อช่วั โมง ส่วนผู้สงั เกตุอกี คนน่งั อยู่บนรถบรรทกุ ที่กำลงั ว่งิ ไปในทิศทางเดียวกนั ดว้ ยความ เรว็ 50 กโิ ลเมตรต่อช่ัวโมงผู้สังเกตุท่อี ยู่บนรถบรรทุกจะวดั ความเรว็ ของรถยนต์ได้เปน็ 10 กิโลเมตรต่อชวั่ โมงเท่านัน้ yA rAE rAB = rAE − rBE E rBE x B รปู ท่ี 1.25: ตำแหนง่ ของรถยนต์ A เทยี บกบั ตำแหนง่ รถยนต์ B ในการวัดความเร็วจะขึ้นอยกู่ ับกรอบอา้ งองิ (reference frame) ของผูส้ ังเกต ซงึ่ กรอบอา้ งองิ

1.3 การเคลือ่ นทแ่ี บบ 2 มติ ิ 27 ก็คือระบบพิกัดนนั่ เอง สำหรับในกรณีสองมติ ิการคำนวณหาความเร็วสัมพทั ธ์อาจจะดูสบั สบ ดังน้ันจงึ ต้องมีแนวทางท่ีเป็นระบบในการวิเคราะห์ดงั แสดงในรปู 1.25 กำหนดให้ E เปน็ ผู้ สังเกตุ สมมตวิ า่ หยุดนิ่งเทียบกบั พนื้ ดนิ และรถยนต์สองคันระบดุ ้วย A และ B โดยท่ี rAE = เวกเตอรบ์ อกตำแหน่งของรถยนต์ A เทียบกบั E rBE = เวกเตอรบ์ อกตำแหน่งของรถยนต์ B เทียบกับ E rAB = เวกเตอรบ์ อกตำแหนง่ ของรถยนต์ A เทยี บกับ B ดังนน้ั การกระจัดของรถยนต์ A เทียบกบั รถยนต์ B คอื (1.35) rAB = rAE − rBE (1.36) และความเรว็ สัมพัทธ์ของรถยนต์ A เทยี บกบั B หาได้จาก vAB = vAE − vBE ตวั อย่างที่ 8 เรอื ลำหนึ่งหันหวั เรือไปทางทศิ เหนือเพ่ือขา้ มแมน่ ำ้ ไปยงั ฝ่งั ตรงข้ามดว้ ยความ เร็ว 10 km/h เทยี บกับน้ำดงั รปู 1.26 กระแสนำ้ ไหลไปทางทิศตะวนั ออกดว้ ยความเร็ว 5 km/h เทียบกับพน้ื ดนิ จงหาความเรว็ ของเรอื เมื่อเทียบกับผสู้ ังเกตทุ อ่ี ยู่ทฝี่ ั่งด้านตรงข้าม vrE N E vbr vbE θ รปู ที่ 1.26: สำหรบั โจทย์ตวั อยา่ งที่ 7 วธิ ที ำ กำหนดให้ vBR = ความเร็วของเรือเทยี บกับนำ้ vBE คอื ความเร็วของเรอื เทยี บกับ

28 การเคลอ่ื นท่แี บบ 1 และ 2 มิติ พ้นื ดิน และ vRE คือ ความเร็วของกระแสน้ำเทยี บกับพนื้ ดิน ดงั นั้น vBR = vBE − vRE ความเร็วของเรือเทียบกับผู้สังเกตทุ อี่ ยบู่ นฝั่งตรงข้ามหาได้ดงั นี้คือ vBE = vBR + vRE ขนาดของความเร็วคอื vBE = (vB2 R) + (vR2 E) = (52) + (10)2 = 11.2 km/h ทิศทางหาไดจ้ าก θ = tan−1 vBR = tan−1 5 = 26.6◦ vRE 10 นนั่ คอื เรอื จะเคลอ่ื นที่ดว้ ยความเรว็ ขนาด 11.2 km/h ในทิศทำมมุ 26.6 องศา ตะวันออกเฉียงเหนือ เมอ่ื เทียบกับพน้ื ดนิ 1.4 แบบฝึกหัด 1. เวกเตอร์สองอนั ทำมมุ 110 องศา เวกเตอร์อันแรกยาว 20 หน่วย ทำมมุ 40 องศา กับเวกเตอรล์ พั ธ์ จงหาขนาดของเวกเตอรท์ ่สี อง และขนาดของเวกเตอรล์ ัพธ์ 2. กำหนดให้ A = 3ˆi + 2ˆj − 5kˆ และ B = −2ˆi + ˆj + 4kˆ จงหา A + B และ A − B 3. กำหนดให้ A + B = 11ˆi − ˆj + 5kˆ และ A − B = 5ˆi + 11ˆj + 9kˆ จงหา A และ B 4. จงหาเวกเตอรห์ นึง่ หนว่ ยของเวกเตอร์ A = 4ˆi + 3ˆj − 7kˆ 5. แรงสามแรงท่ีกระทำตอ่ อนภุ าคหนง่ึ มีค่าดงั น้ี F1 = 20ˆi − 36ˆj + 73kˆ, F2 = −17ˆi + 21ˆj − 46kˆ และ F3 = −12kˆ จงหาขนาดของเวกเตอรล์ พั ธ์ 6. จงหาคา่ ของ a ท่ีทำให้เวกเตอร์ A = 2ˆi − 3ˆj + 5kˆ และ B = 3ˆi + aˆj − 2kˆ ต้งั ฉาก กนั 7. ถ้ากำหนดให้ A = 3ˆi + 4ˆj − 5kˆ และ B = 3ˆi − ˆj − 2kˆ จงหา (ก) ขนาดของ A และ B (ข) A · B (ค) A × B

1.4 แบบฝกึ หัด 29 8. รถบรรทุกเรม่ิ เคล่อื นท่ีจากสภาวะหยุดนิง่ ด้วยความเรง่ 5 m/s2 จงหาอัตราเร็วและระ ยทางการเคลอ่ื นที่หลงั จาก 4 วินาทีผา่ นพน้ ไป 9. กลอ่ งใบหน่งึ ไถลลงตามพนื้ เอียงดว้ ยความเร่ง เริม่ ตน้ จากหยดุ นงิ่ และมีความเร็วเป็น 2.7 m/s ในเวลา 3 วนิ าที จงหา ความเรง่ และระยะทางการเคลื่อนทใี่ น 6 วนิ าทีแรก 10. รถไฟใตด้ นิ ขบวนหน่งึ เริ่มเคล่ือนท่จี ากหยดุ นิ่งและเร่งด้วยอตั รา 1.60 m/s2 เปน็ เวลานาน 14 วนิ าที แล้วแลน่ ตอ่ ด้วยอัตราเรว็ คงตวั เป็นเวลา 70 วินาที และแล่นช้าลงดว้ ยอัตรา 3.50 m/s2 จนกระท่งั หยุดทีส่ ถานีถดั ไป จงหาระยะทางทั้งหมดทแี่ ล่นได้ 11. ถ้าตวั หมดั กระโดดขนึ้ ตรงๆได้สูง 0.44 m อตั ราเรว็ ตอนต้นที่มนั กระโดดจากพนื้ เป็น เท่าใด และตวั หมดั ลอยอยูใ่ นอากาศได้นานเท่าใด 12. ทง้ิ ก้อนอฐิ กอ้ นหน่ึงลงมา (อตั ราเรว็ ต้นเปน็ ศูนย)์ จากหลงั คาตกึ ก้อนอฐิ กระทบพ้นื ในเวลา 2.50 วนิ าที ถ้าไมค่ ดิ แรงตา้ นของอากาศ จงหา (ก) ตึกสูงเท่าใด (ข) ความเร็วของกอ้ นอฐิ เปน็ เทา่ ใดกอ่ นกระทบพ้นื 46.0 m v = 1.2 m/s 1.80 m รปู ท่ี 1.27: สำหรบั โจทยข์ ้อท่ี 14 13. รถยนต์คันหน่ึงและรถบรรทุกคนั หนึ่งเรมิ่ แล่นจากจดุ หยุดน่ิงท่เี วลาเดยี วกันโดยรถยนต์ อยู่หลงั รถบรรทกุ เปน็ ระยะขนาดหน่งึ รถบรรทกุ มีความเร่งคงตวั 2.10 m/s2 และ รถยนตม์ คี วามเร่ง 3.40 m/s2 รถยนตแ์ ล่นทนั รถบรรทุกเมอ่ื รถบรรทุกเคล่ือนทไ่ี ด้ระยะ ทาง 40.0 m (ก) รถยนต์ใชเ้ วลานานเทา่ ใดในการไล่ทันรถบรรทุก (ข) ตอนต้ังตันรถยนต์อยู่ห่างจากรถบรรทกุ เทา่ ใด (ค) รถแตล่ ะคนั มีอตั ราเร็วเท่าใดขณะอย่เู คียงกัน

30 การเคลอ่ื นทีแ่ บบ 1 และ 2 มิติ 14. นกั ศึกษาคนหนง่ึ อยู่บนหลงั คาตึกฟสิ ิกส์ซ่งึ สงู 46.0 m จากพนื้ ดงั รปู 1.27 อาจารย์ สอนฟสิ กิ ส์ทา่ นหนงึ่ สูง 1.80 m กำลงั เดนิ อยขู่ า้ งตึกด้วยอัตราเร็วคงตัว 1.20 m/s ถา้ นกั ศึกษาคนนี้ตอ้ งการท้งิ ไข่ลงบนหวั ของอาจารยฟ์ ิสิกสค์ นน้ี นักศึกษาควรจะปล่อยไข่ ตอนท่อี าจารย์อยทู่ ่ไี หน ใหส้ มมตวิ ่าไข่ตกอย่างเสรี 15. ขวา้ งลูกบอลจากยอดตึกแรกไปยังตกึ ท่ีสองดว้ ยความเร็วต้น 20 m/s ในแนวทำมุม 37 องศากับแนวราบดงั รปู 1.28 จงหา (ก) ลกู บอลตกกระทบผนังตกึ ทสี่ องท่ตี ำแหนง่ สงู หรือตำ่ กวา่ ระดบั เดิมเท่าไร (ข) ความเร็วท่ลี กู บอลกระทบผนัง (ค) เวลาทีใ่ ช้ในการเคล่ือนท่ีเป็นเท่าไร vi y 37◦ 50 m รปู ที่ 1.28: สำหรบั โจทยข์ อ้ ที่ 15 16. จากรูป 1.29 จงพิสูจน์ให้เห็นว่า การเคลอ่ื นแบบโปรเจคไตน์ตามพ้นื เอยี ง มีระยะ d เป็นไปตามสมการขา้ งลา่ งน้ี d = 2vi2 cos θi sin(θi − φ) g cos2 φ Path of the projectile vi d θi φ รูปท่ี 1.29: สำหรับโจทยข์ อ้ ท่ี 16

บทท่ี 2 แรงและกฎการเคลื่อนท่ี 2.1 กฎการเคล่อื นท่ขี องนิวตนั 2.1.1 กฎการเคลือ่ นทข่ี ้อที่ 1 ของนิวตัน กฎข้อที่ 1 ของนวิ ตนั กลา่ ววา่ เมอ่ื ไม่มแี รงภายนอกมากระทำตอ่ วตั ถวุ ตั ถุที่หยุดนง่ิ กจ็ ะหยุดนิ่ง ตอ่ ไปและวัตถทุ กี่ ำลังเคลื่อนทีก่ จ็ ะเคลือ่ นที่ต่อไปในแนวเสน้ ตรงด้วยความเร็วคงทีน่ นั่ คือวตั ถุ จะรักษาสภาพการเคลื่อนที่ตามเดมิ ตราบใดท่ีไม่มีแรงภายนอกมากระทำหรอื แรงลพั ธ์มีคา่ เปน็ ศนู ย์ดงั แสดงในรูปท่ี 2.1 ในสภาวะการณ์แบบน้ีกลา่ วได้วา่ วัตถุอยู่ในสภาวะสมดุล และ เขียนเป็นสมการได้ดงั นี้ F =0 (2.1) แนวโนม้ ของวตั ถุในการต้านสภาพการเคลือ่ นท่ีเนื่องจากแรงภายนอกมากระทำเรยี กว่าความ เฉอื่ ย (Inertia) และมวลเป็นสมบตั ิของวตั ถุที่บ่งบอกว่าวัตถุน้นั มีความเฉือ่ ยมากนอ้ ยแค่ ไหนซ่งึ เปน็ สมบตั ิท่ีไม่ข้นึ อยู่กับสภาพแวดล้อมและวธิ ีการวัด สำหรบั การวดั ในระบบมาตรา ฐานสากล (SI unit) มวลมีหนว่ ยเป็นกิโลกรัม (kg) ดังน้ันวัตถุใดทม่ี ีมวลมากจะมคี วามเฉอ่ื ย มาก นน่ั หมายความวา่ จะตอ้ งใช้แรงมากเพ่อื ที่จะทำให้วตั ถุมีการเปลย่ี นสภาพการเคลื่อนที่ และจากกฎขอ้ ที่1 ถา้ แรงลัพธ์มีคา่ เป็นศนู ย์กระทำตอ่ วัตถุวัตถุจะไม่มีความเร่งหรือความ เร่งเปน็ ศูนย์ (a = 0) ในการบรรยายการเคลอ่ื นที่ของวตั ถุจะตอ้ งมีกรอบอา้ งองิ ท่ีเรียกวา่ กรอบเฉอื่ ย (Inertia frame) ซ่งึ เปน็ กรอบอา้ งองิ ที่ไม่มีความเร่ง ดงั น้นั กฎขอ้ ที่ 1 ของนวิ ตันจงึ เรยี กอีกอย่างวา่ เปน็ กฎแห่งความเฉอื่ ย

32 แรงและกฎการเคล่อื นที่ F =0 v=0 v รูปท่ี 2.1: วตั ถหุ ยุดน่ิงอยู่กบั ท่ี (v = 0) หรอื เคลอ่ื นท่ไี ปดว้ ยความเรว็ คงตวั (v = ค่าคงที)่ F5 F4 m F1 F = ma F2 F3 รปู ที่ 2.2: แรงลัพธ์ท่ีเกดิ จากการรวมแบบเวกเตอร์ของแรงย่อย F1, F2, F3, F4, F5 มีค่าไม่ เปน็ ศูนย์กระทำต่อวตั ถทุ ำใหว้ ตั ถเุ คลือ่ นท่ีไปด้วยความเรง่ a 2.1.2 กฎการเคล่อื นทขี่ อ้ ที่ 2 ของนิวตัน กฎข้อท่ี 2 ของนิวตัน กลา่ ววา่ เม่ือมีแรงลพั ธ์ที่ไม่เป็นศูนย์มากระทำกระทำวัตถุวตั ถุจะ เคลื่อนทีไ่ ป ดว้ ยความเร่งโดยทีค่ วามเร่งนั้นจะแปรผันตรงกับแรงลัพธ์ทม่ี ากระทำและแปรผนั ผกผันกับมวลวตั ถุดังสมการท่ี 2.2 ความเรง่ ของวตั ถุจะมีทศิ ทางเดยี วกับทิศของแรงลัพธ์ ดังรปู ที่ 2.2 F = ma (2.2) เมือ่ a คือ ความเร่ง และ m คือ มวลวัตถุและจากสมการที่ 2.2 อาจจะเขียนในรปู แบบของ แรงองคป์ ระกอบตามแกน x, y และ z ไดด้ งั นี้ Fx = max Fy = may Fz = maz (2.3) ในระบบ SI แรงมหี นว่ ยเป็น นิวตัน (N) โดยท1่ี N = 1 kg.m/s2

2.1 กฎการเคลอ่ื นที่ของนวิ ตัน 33 y F2 60◦ x 20◦ F1 รูปท่ี 2.3: อนภุ าคมวล m ถูกแรงสองแรงกระทำให้เคลือ่ นทใี่ นระนาบ xy ตัวอย่างท่ี 1 อนภุ าคอันหนงึ่ มีมวล 0.3 kg ถูกแรงสองแรงกระทำดังรปู 2.3 แรง F1 มี ขนาด 5.0 N และแรง F2 มขี นาด 8.0 N จงหาขนาดและทศิ ทางของความเรง่ ของอนภุ าคน้ี วิธีทำ แรงลัพธ์ที่กระทำในแนวแกน x คอื Fx = F1x + F2x = F1 cos(−20◦) + F2 cos 60◦ = (5.0)(0.940) + (8.0)(0.500) = 8.7 N แรงลัพธ์ในแนวแกน y คือ Fy = F1y + F2y = F1 sin(−20◦) + F2 sin 60◦ = (5.0)(−0.342) + (8.0)(0.866) = 5.2 N จากกฎข้อท่ี 2 ของนวิ ตันในรปู แบบของแรงลัพธ์องคป์ ระกอบตามแกน x และ y ทำให้ได้ ความเร่งองคป์ ระกอบตามแกนดังกล่าวเป็นดังน้ี ax = Fx = 8.7 = 29 m/s2 ay = m 0.30 m/s2 Fy = 5.2 = 17 m 0.30 ดังนนั้ ขนาดของความเรง่ จงึ มคี า่ เป็น a = (29)2 + (17)2 = 34 m/s2 และมที ิศเทยี บกับแกน +x คือ θ = tan−1 ay = tan−1 17 = 30◦ ax 29

34 แรงและกฎการเคล่อื นที่ 2 F12 F21 1 รปู ที่ 2.4: วตั ถุ 1 และ วตั ถุ 2 ออกแรง ดงึ ดูด ซ่ึงกนั และกนั ด้วย ขนาด เท่ากนั แต่ทศิ ตรงกันขา้ ม 2.1.3 กฎการเคลอื่ นทีข่ ้อท่ี 3 ของนวิ ตัน กฎข้อท่ี 3 ของนิวตัน กลา่ ววา่ ถ้าวัตถุสองอนั มีอันตรกริ ิยาต่อกัน แรงท่ีวตั ถุ 1 กระทำตอ่ วตั ถุ 2 (F12) มีขนาดเทา่ กบั แรงท่ีวตั ถุ 2 กระทำตอ่ วัตถุ 1 (F21) แต่มีทศิ ตรงกนั ข้าม นัน่ คอื F12 = −F21 (2.4) เม่อื F12 เปน็ แรงกิริยา (Action force) และ F21 เป็นแรงปฏกิ ิรยิ า (Reaction force) แรง สองแรงน้เี ป็นแรงค่กู ิริยาซึง่ กระทำทว่ี ัตถคุ นละอันดงั รูปที่ 2.4 พจิ ารณากลอ่ งใบหนง่ึ วางนง่ิ อยู่บนโตะ๊ ดังรูปท่ี 2.5 เราสามารถระบุแรงคู่กิริยาได้ดังน้ีคือ แรงที่กลอ่ งกดลงบนพ้ืนโต๊ะ (n ) จะมีแรงปฏิกิริยาเป็น แรงท่ีพ้นื โตะ๊ ดันกล่อง (n) ในขณะที่แรงกริ ยิ าที่โลกดงึ ดูดกล่อง เขา้ หา (Fg) จะมแี รงปฎกิ ริ ยิ าเป็นแรงทีก่ ลอ่ งดึงดูดโลกเข้าหา (Fg) แตจ่ ะเห็นว่า แรง n กบั แรง Fg ไม่ใช่แรงคู่กริ ยิ า เพราะวา่ แรงทงั้ สองกระทำที่วัตถุอันเดียวกัน น่นั คือFg = −Fg และ n = n n Fg n Fg รปู ท่ี 2.5: แสดงแรงคู่กริ ยิ าของกล่องลกู บาศก์ที่วางอย่บู นโต๊ะ

2.1 กฎการเคล่ือนทีข่ องนวิ ตนั 35 37◦ 53◦ T1 T2 y T3 T3 W = 125 N T1 T2 37◦ 53◦ x W T3 (a) (b) (c) รูปที่ 2.6: (a) วัตถุหนกั 125 N แขวนอยู่น่งิ ด้วยเส้นเชอื กสามเสน้ (b) และ (c) แสดง แผนภาพวัตถอุ สิ ระทีแ่ รงกระทำตอ่ ก้อนวัตถแุ ละจุดเชื่อมต่อของเสน้ เชือกทั้งสามตามลำดับ ตัวอย่างที่ 2 วตั ถุกอ้ นหนง่ึ หนกั 120 N แขวนอยู่นิ่งด้วยเสน้ เชือกดังรปู 2.6 จงหาขนาด แรงตึงในเสน้ เชือกทง้ั สามเส้นนี้ วิธที ำ เมื่อวัตถหุ ยุดน่ิงแสดงว่าแรงลพั ธท์ กี่ ระทำต่อวัตถุมคี ่าเปน็ ศนู ย์ นนั่ คือวตั ถุอย่ใู นสมดลุ ดังนัน้ จากกฎขอ้ ที่ 1 ของนวิ ตัน จะได้ว่า F = 0 หรอื Fx = 0 Fy = 0 พิจารณาในรปู (b) จะได้ว่า Fy = T3 = W = 125 N และในทำนองเดียวกัน จากรปู (c) จะได้ (1) (2) Fx = −T1 cos 37◦ + T2 cos 50◦ = 0 Fy = T1 sin 37◦ + T2 sin 53◦ − T3 = 0

36 แรงและกฎการเคลื่อนที่ a n1 n2 y F m1 m2 x Fp p (a) m1 m2 m1g m2g (b) (c) รปู ท่ี 2.7: (a) วัตถุมวล m1 และ m2 ถกู ผลกั ด้วยแรงที่คงที่ให้เคล่อื นไปตามแนวราบ (b) และ (c) แสดงแผนภาพของแรงกระทำต่อวัตถุแตล่ ะอันตามลำดบั จากสมการ (1) หาคา่ T2 ในเทอม T1 จากน้นั นำไปแทนลงในสมการ (2) เพ่ือหา T1 และ T2 ดงั นี้ cos 37◦ T2 = T1 cos 53◦ = 1.33 T1 T1 sin 37◦ + 1.33 T1 sin 53◦ − 125 = 0 T1 = 75.1 N, และ T2 = 99.9 N ตวั อยา่ งท่ี 3 มวล m1 และ m2 วางติดกันอยู่บนพนื้ ราบท่ีไมม่ คี วามเสยี ดทาน ถ้าออกแรง ขนาดคงทีF่ ผลกั วตั ถอุ อกไปตามแนวระดบั ดงั รปู 2.7 จงหาขนาดความเรง่ ของวตั ถุทั้งสอง และแรงกระทำระหว่างระหวา่ งวัตถุ วธิ ีทำ พจิ ารณาในรปู (a) ความเร่งของวตั ถุท้งั สองเท่ากันเน่ืองจากวตั ถุท้งั สองเคล่อื นไป พรอ้ มกนั ดงั นั้น จากกฎข้อท่ี 2 ของนิวตนั จะไดว้ ่า Fx(system) = F = (m1 + m2)ax F ax = m1 + m2 ขนาดของแรงท่ีกระทำระหวา่ งวตั ถุทงั้ สองหาได้โดยการเขียนแผนภาพของแรงลงบนวัตถุ แต่ละอันดงั รปู (b) และ (c) ซงึ่ จะเห็นวา่ แรง p กบั p เปน็ แรงภายในระบบ โดยพจิ ารณา จากรปู (c) เราจะได้วา่ Fx = p = m2ax = m2 F m1 + m2

2.1 กฎการเคลื่อนที่ของนิวตนั 37 และโดยกฎขอ้ ที่ 3 ของนิวตนั สองแรงน้ีเปน็ แรงคู่กิริยาซึ่งมีขนาดเทา่ กันแตท่ ิศตรงกนั ข้าม นน่ั คอื p = p = m2ax = m2 F m1 + m2 ตัวอย่างที่ 4 วัตถุสองอนั มีมวล m1 และ m2 แขนดว้ ยเสน้ เชือกและคลอ้ งผ่านรอกท่ีไม่ มีความฝดื ดังรูป 2.8 จงหาขนาดของความเรง่ ของวัตถุท้งั สองและขนาดแรงตงึ ในเส้นเชือก วธิ ที ำ จากรูป (a) วัตถุทัง้ สองจะมีขนาดความเร่งเทา่ กนั โดยใช้กฎข้อท่ี 2 ของนิวตันกับ การเคลื่อนทข่ี องวัตถมุ วล m1 และมวล m2 ไดด้ ังน้ี (ดูรูป (b) ประกอบ) Fy = T − m1g = m1ay (1) Fy = m2g − T = m2ay (2) นำสมการ (1) บวกกบั สมการ (2) จะได้ −m1g + m2g = m1ay + m2ay ay = m2 − m1 g (3) m1 + m2 แทนคา่ ความเร่งจากสมการ (3) ลงในสมการ (1) หรือสมการ (2) ทำให้ได้คา่ แรงตึงในเสน้ เชือก T = 2m1m2 g m1 + m2 ตัวอย่างท่ี 5 วัตถุสองอนั มีมวล m1 และ m2 ผูกตดิ กันดว้ ยเส้นเชือกมวลเบาและคล้องผา่ น รอกที่ไม่มีความฝดื ปล่อยให้วตั ถุมวล m2 ไถลลงตามพืน้ เอยี งดังรปู 2.8 สมมติพ้ืนเอียงไม่ มีความฝืด จงหาขนาดของความเร่งของวัตถุทงั้ สองและขนาดแรงตงึ ในเสน้ เชือก วธิ ที ำ พิจารณาการเคลื่อนทขี่ องมวล m1 จะไดว้ ่า (1) (2) Fx = 0 Fy = T − m1g = m1ay = m1a

38 แรงและกฎการเคลอื่ นที่ TT a m1 m2 m1 m1g m2g a (b) m2 (a) รูปที่ 2.8: (a) วตั ถุมวล m1 และ m2 ผกู ตดิ กันด้วยเชอื กมวลเบาและคล้องผ่านรอกในแนว ดิง่ (b) แสดงแผนภาพของแรงกระทำต่อวัตถุแตล่ ะอนั ตามลำดบั พจิ ารณาการเคลอ่ื นที่ของมวล m2 และใส่แกนพกิ ัดให้เหมาะสม (ในท่นี ้ีเลือกให้แกน x ขนานกับพื้นเอยี ง) ทำให้ได้ Fx = m2g sin θ − T = m2ax = m2a (3) Fy = n − m2g cos θ = 0 (4) จากสมการ (2) แก้สมการเพื่อหาค่า T และนำค่าท่ีได้ลงไปแทนในสมการ (3) เราจะได้ ขนาดของความเรง่ ดังนี้ a = m2g sin θ − m1g m1 + m2 จากน้ันนำคา่ ความเร่งทไี่ ด้แทนกลับลงในสมการ (2) จะได้ค่าแรงตึงในเสน้ เชือก T = m1m2g(sin θ + 1) m1 + m2 2.2 แรงเสียดทาน (Forces of Friction) เมอื่ วัตถเุ คลือ่ นท่ีบนพ้นื ผวิ หรอื เคลือ่ นท่ผี า่ นตัวกลางท่ีมีความหนดื เชน่ อากาศ น้ำ เป็นตน้ จะมีความต้านทานการเคลอ่ื นทเี่ กิดขึ้นเนอ่ื งจากวตั ถุมีอนั ตรกิรยิ ากับส่ิงทีอ่ ยู่รอบๆวตั ถุ แรง

2.2 แรงเสียดทาน (Forces of Friction) 39 yy a n m2 TT m1 m2g sin θ θ x (a) m2g cos θ θ x m1g m2g (b) (c) รปู ท่ี 2.9: (a) ระบบวัตถุมวล m1 และ m2 ท่ีผกู ตดิ กันด้วยเชือกมวลเบาและคล้องผา่ นรอก ซึง่ ตดิ อยู่ที่ปลายด้านบนของพื้นเอียงและ (b) และ (c) แสดงแรงท่ีกระทำตอ่ วตั ถุแตล่ ะอัน ตามลำดับ (a) (b) n n Motion fs F fk F mg mg (c) |f | fs,max F fk = μkn = fs 0 F Static region Kinetic region รปู ท่ี 2.10: แรงเสียดทานที่เกดิ ข้นึ ระหวา่ งผิวสมั ผสั ของวตั ถุท้ังสอง (a) แรงเสยี ดทาน สถติ (b) แรงเสียดทานจลน์ และกราฟแสดงผลการทดลองระหวา่ งแรงเสยี ดทานกับแรงจาก ภายนอก

40 แรงและกฎการเคลอื่ นที่ ต้านท่ีเกดิ ขึน้ นี้ เรยี กว่า แรงเสยี ดทาน (frictional force) ในกรณีของวัตถุท่ีเคลือ่ นที่บน พนื้ ผิวใดๆแรงเสียดทานนี้จะข้นึ อยู่กบั ผิวสมั ผัสของวตั ถุท้งั สอง และมีทศิ ตรงข้ามกบั การ เคลอ่ื นทีเ่ สมอ สำหรับการเคลือ่ นท่ใี ด แรงเสยี ดทานมี 2 ชนดิ คอื แรงเสยี ดทานสถติ (static frictional force, fs) ซงึ่ จะเกิดข้ึนเมอื่ วตั ถหุ ยุดน่ิง และ แรงเสียดทานจลน์ (kinetic friction- al force, fk) เปน็ แรงทีเ่ กดิ ขึน้ ขณะท่วี ตั ถุมกี ารเคลื่อนที่ ดงั รปู ท่ี 2.10 และผลจากทดลอง แสดงให้เห็นว่าแรงเสียดทานสถติ ที่เกิดข้นึ จะแปรผนั ตรงกบั การเพ่มิ ขึ้นของแรงภายนอก (Applied force, F ) และเพ่มิ ข้ึนจนถงึ ค่าสูงสุดของแรงเสยี ดทานสถติ (fs,max) ซง่ึ ณ จดุ นี้ เองวัตถเุ รมิ่ จะขยบั ท่ีจะเคลอ่ื นที่ และหลังจากจุดนข้ี นาดของแรงเสยี ดทานจะลดลงและคงที่ ในชว่ งนี้วตั ถุจะเคลือ่ นท่ีอยู่ภายใต้แรงเสียดทานจลน์ (ดูรูป 2.10(c) ประกอบ) และในการ ทดลองยงั พบว่าแรงเสยี ดทานสถิตสูงสุดและแรงเสยี ดทานจลน์จะแปรผนั ตรงกับขนาดของ แรงต้ังฉาก (Normal force, n) นน่ั คือแรงเสียดทานสถติ สูงสดุ มคี ่าเท่ากับ fs,max = μsn (2.5) และแรงเสยี ดทานจลนม์ ีคา่ เท่ากับ fk = μkn (2.6) เมอื่ μs และ μk คอื ค่าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตและคา่ สมั ประสิทธิ์ความเสียดทาน จลน์ ตามลำดับ ซึง่ ค่าสัมประสทิ ธ์ิท้ังสองนี้จะขึ้นอยู่กับธรรมชาติของผิวสมั ผัสของวัตถุท้ัง สอง ตัวอย่างท่ี 6 วตั ถุมวล m วางหยดุ นิง่ อยู่ท่ีปลายดา้ นบนพืน้ เอียงดังรูป 2.11 พ้ืนเอียงมี ความเสยี ดทาน จงหาว่ามุมเอียงจะมีคา่ เปน็ เทา่ ไรจึงจะทำใหว้ ัตถนุ ี้เริ่มทจ่ี ะเคลือ่ นที่ วธิ ที ำ ในขณะทวี่ ัตถหุ ยดุ นง่ิ จากกฎของนวิ ตนั ขอ้ ที่ 1 จะไดว้ า่ Fx = mg sin θ − fs = max = 0 (1) Fy = n − mg cos θ = may = 0 (2) จากสมการ (2) จะได้ mg = n และนำไปแทนลงในสมการ (1) ทำใหไ้ ด้ cos θ n (3) fs = mg sin θ = cos θ sin θ = n tan θ เมือ่ วตั ถเุ ร่ิมจะเคลื่อนทีแ่ สดงวา่ ขนาดของแรงเสียดทานสถิตมีคา่ สงู สุด น่ันคอื fs = fs,max = μsn