ฟิสิกส์ทั่วไป 1 มข.

2.3 แรงและการเคล่อื นที่เปน็ วงกลม 45 fs n fs mg (a) (b) รปู ที่ 2.15: (a) แรงเสยี ดทานสถิตในทศิ ทางพงุ่ เข้าหาจดุ ศนู ย์กลางความโค้งเพื่อบงั คับใหร้ ถ เคลอ่ื นท่ีบนทางโค้งราบและ (b) แผนภาพวัตถุอิสระของรถยนต์ และอตั ราเรว็ สูงสุดจะเกิดข้ึนเมอื่ แรงเสียดทานสถติ มคี า่ สงู สุด นัน่ คอื fs,max = μsn = m vm2 ax r vmax = μsmgr = √ m μsgr vmax = (0.5)(9.8 m/s2)(35 m) vmax = 13.1m/s ตัวอย่างท่ี 10 วศิ วกรออกแบบถนนโค้งให้มีความเอยี งโดยให้ขอบถนนด้านนอกสูงกวา่ ขอบ ด้านใน เม่อื รถยนต์แลน่ เลยี้ วโค้งดว้ ยขนาดความเรว็ พอดีตามท่ีวิศกรออกแบบไว้ และถ้า ไม่คิดความเสียดทานระหว่างยางรถยนต์กบั ถนน ดงั รูป 2.16 กำหนดให้อตั ราเร็วในการ เคล่อื นท่ีบนทางโค้งนี้เท่ากบั 13.4 m/s และรัศมีความโคง้ เท่ากบั 50 m ถนนควรจะมีความ เอยี งดว้ ยมุมเทา่ ไร? วธิ ีทำ เม่อื พจิ ารณาจากแผนภาพวัตถุอิสระ จะเห็นวา่ องค์ประกอบของแรงปฎิกิริยาท่ีพ้ืน ถนนกระทำต่อรถยนต์ n ในแนวราบทำให้เกิดความเร่งความสศู่ ูนยก์ ลาง นั้นคอื Fr = mar (1) v2 (2) n sin θ = m r Fy = 0 n cos θ = mg

46 แรงและกฎการเคลือ่ นท่ี (a) (b) n n cos θ θ n sin θ mg mg θ รปู ที่ 2.16: รถยนตก์ ำลงั วงิ่ บนถนนโคง้ ทมี่ คี วามเอยี งเปน็ มุม θ (a) และแผนภาพวตั ถอุ ิสระ ของรถยนต์ (b) สมการ (1) หารดว้ ยสมการ (2) จะได้ v2 (13.4)2 = 20.1◦ tan θ = (50)(9.8) rg θ = tan−1 ตวั อยา่ งท่ี 11 นกั บนิ มวล m กำลงั ขับเครือ่ งบินไอพน่ เปน็ วงกลมในแนวดง่ิ ด้วยอตั ราเรว็ คงท่ี 225 m/s รศั มีวงโคจร 2.70 km ดังรูปท่ี 2.17 จงหาแรงท่ีเบาะนัง่ กระทำต่อนักบนิ คน ขับท่ตี ำแหนง่ (ก) ดา้ นล่างสุดของวงกลม (ข) ด้านบนสุดของวงกลม วธิ ที ำ พจิ ารณาทีต่ ำแหน่งด้านล่างสดุ ของวงกลมจะได้แรงทเี่ บาะน่งั กระทำตอ่ นกั บนิ เปน็ ดังนี้ Fr = nbot − mg = v2 m r v2 v2 nbot = mg + m r = mg 1+ rg (225)2 nbot = mg 1 + (2.7 × 103)(9.8) nbot = 2.91mg

2.4 แบบฝึกหดั 47 Top nbot Bottom ntop (a) mg mg (b) (c) รูปที่ 2.17: นักบนิ ขบั เครือ่ งบนิ ให้เคลือ่ นท่ีเป็นวงกลมในแนวด่งิ ด้วยอตั ราเรว็ คงตัว (a) และแผนภาพวตั ถุอสิ ระของนกั บนิ ที่ตำแหน่งล่างลุดของวงกลม (b) และที่ตำแหน่งบนสดุ ของวงกลม (c) ในทำนองเดยี วกันทีต่ ำแหนง่ ด้านบนสุดของวงกลมจะได้ v2 Fr = ntop + mg = m r ntop = v2 − mg = mg v2 − 1 m rg r ntop = mg (2.7 (225)2 − 1 × 103)(9.8) ntop = 0.91mg ผลที่ได้เราจะเห็นว่าแรงที่เบาะน่ังกระทำตอ่ นักบนิ ท่ีตำแหน่งด้านลา่ งจะมากกว่าดา้ นบนสดุ ของการเคลอื่ นทเี่ ป็นวงกลมในแนวด่งิ และในตำแหนง่ อ่ืนๆก็สามารถวิเคราะหห์ าได้ในลักษณะ เดยี วกันนี้ 2.4 แบบฝกึ หดั 1. แรงสองแรงคอื F1 = 20 N และ F2 = 15 N กระทำต่อมวลขนาด 5 kg จงหาขนาด และทิศทางความเร่งในรปู 2.18 (a) และ (b) 2. ถงุ ปูนซีเมนต์นำ้ หนกั 325 N แขวนด้วยเสน้ เชอื กดงั แสดงในรปู 2.19 โดยเชือกสอง เส้นทำมมุ กับแนวระดับคือ θ1 = 60 องศา และ θ2 = 25 องศา เมื่อระบบอยูใ่ นสมดุล

48 แรงและกฎการเคลอ่ื นที่ F2 F2 90.0◦ F1 60.0◦ F1 m m (a) (b) รูปท่ี 2.18: โจทยป์ ัญหาขอ้ 1 จงหาขนาดแรงตึงในเส้นเชือก T1, T2 และ T3 θ1 θ2 T1 T2 T3 รปู ท่ี 2.19: สำหรบั โจทยป์ ัญหาข้อ 2 3. มวล 1 kg มีความเร่งขนาด 10 m/s2 ในทิศทำมุม 30 องศากับแนวแรง F1 ดงั รปู 2.20 ถ้าแรง F2 = 5.0 N จงหาขนาดของ F1 4. ระบบที่แสดงในรูปท่ี 2.21 (a), (b) และ (c) อยู่ในสภาวะสมดุล ถา้ เสกลบนสปรงิ ถกู ปรับให้อ่านค่าในหนว่ ยของนิวตัน จงหาวา่ คา่ ท่ีอา่ นได้บนสปริงในทั้งสามระบบมีค่า เทา่ ใด 5. กลอ่ งมวล m = 2.0 kg ถกู ปล่อยจากหยดุ นิง่ ที่ตำแหน่งความสงู จากพนื้ โต๊ะ h = 0.50 m และปล่อยให้ไถลลงมาจากหยดุ น่ิงตามพ้นื เอยี งซ่งึ มีมุมเอียง θ = 30 องศา ดงั รูป ที่ 2.22 พ้ืนเอียงไม่มคี วามเสียดทานที่ถกู ตรึงกบั พน้ื โตะ๊ โดยที่พื้นโตะ๊ สูงจากพนื้ ดนิ H = 2.00 m จงหาค่าต่อไปนี้ (ก) ความเร่งของกล่องขณะทไ่ี ถลลงมาตามพ้ืนเอียง (ข) ความเรว็ ของกลอ่ งขณะทีห่ ลุดออกจากขอบด้านล่างสุดของพน้ื เอียง

2.4 แบบฝึกหัด 49 F2 a = 10.0 m/s2 1.0 kg 30.0◦ F1 รูปท่ี 2.20: สำหรับโจทย์ปญั หาข้อ 2 (a) (b) (c) 5.0 kg 5.0 kg 5.0 kg 30.0◦ 5.0 kg 5.0 kg รูปที่ 2.21: โจทยป์ ญั หาข้อ 4 m h θ H R รปู ท่ี 2.22: โจทย์ปญั หาข้อ 5

50 แรงและกฎการเคลอ่ื นที่ (ค) เวลาทใี่ ชใ้ นการเคลอ่ื นทตี่ ้ังแต่เรม่ิ ตน้ จนตกถงึ พืน้ ดิน (ง) ตำแหน่งทีต่ กพ้นื ของกลอ่ งใบนี้อยู่หา่ งจากขาโตะ๊ เท่าใด (R) 6. มวลขนาด 2.0 kg วางอยบู่ นมวลขนาด 5 kg สมั ประสทิ ธค์ิ วามเสียดทานจลน์ระหว่าง ผิววตั ถุมวล 5 kg กบั พน้ื คอื 0.2 เมอ่ื ออกแรงดึงวตั ถุมวล 5 kg ไปทางขวามือดงั รปู 2.23 (ก) จงหาขนาดของแรงที่จำเป็นต้องใช้เพ่ือผลักให้วัตถุทัง้ สองเคลอื่ นท่ีไปทางขวา ดว้ ยความเร่ง 3.0 m/s2 (ข) จงหาค่าสมั ประสทิ ธขิ์ องความเสยี ดทานสถติ ท่ีนอ้ ยที่สดุ ระหวา่ งผวิ สัมผัสของวตั ถุ ทั้งสองซ่งึ จะทำใหว้ ตั ถุมวล 2 kg ไม่ไถลไปภายใต้ความเรง่ ขนาด 3.0 m/s2 2.0 kg F 5.0 kg รปู ที่ 2.23: โจทย์ปญั หาข้อ 6 7. รถรางมีมวล 500 kg เม่อื บรรทุกผูโ้ ดยสารจนเต็มและกำลงั เคลอื่ นท่ีบนรางโค้ง ดงั แสดงในรปู 2.24 (ก) ถา้ รถรางมีอตั ราเร็ว 20 m/s ทจี่ ุด A แรงทีร่ างกระทำตอ่ รถเปน็ เทา่ ไร (ข) อัตราเร็วสูงสุดขณะท่ีรถรางอยู่ท่ีจดุ B และยงั คงเคลอ่ื นท่ีอยู่บนรางได้โดยที่ไม่ หลดุ ออกนอกเส้นทาง B 15.0 m 10.0 m A รปู ท่ี 2.24: โจทย์ปญั หาข้อ 7

2.4 แบบฝกึ หดั 51 8. ระยะหา่ งระหวา่ งเสาโทรศพั ทเ์ ทา่ กับ 50.0 m เม่ือมนี กตวั หน่งึ บนิ มาเกาะท่สี ายโทรศพั ท์ ตรงกงึ่ กลางระหวา่ งเสาทัง้ สองทำให้สายหย่อนลงไปเปน็ ระยะ 0.2 m ให้เขยี นแผนภาพ วัตถอุ ิสระของนกขนาดของแรงตงึ ในสายโทรศัพทท์ ่ีนกกระทำมคี ่าเปน็ เท่าไหร่ (ไมค่ ิด นำ้ หนกั ของสายโทรศัพท์) 9. จากรูป 2.25 แรงสองแรงท่ีกระทำกับรถยนตค์ นั หนึ่งเพ่อื จะให้เคลื่อนที่ไป จงหาขนาด ของแรงลพั ธ์และถา้ รถยนต์มวล 3000 kg ความเร่งของรถยนต์มีขนาดเปน็ เทา่ ไหร่ (ไมค่ ดิ แรงเสยี ดทาน) 450 N 400 N 10◦ 30◦ รูปท่ี 2.25: โจทย์ปญั หาขอ้ 9 10. วตั ถุมวล 2.0 kg เร่ิมเคลื่อนท่ีจากหยุดนิ่งไถลลงตามพน้ื เอียงที่มีความยาวตามพ้นื เอียง 80 cm ในเวลา 0.5 วินาที แรงลพั ธ์ที่กระทำตอ่ วัตถุไปตามพ้ืนเอียงมีค่าเปน็ เทา่ ไหร่

52 แรงและกฎการเคลื่อนท่ี

บทท่ี 3 งานและพลังงาน 3.1 งานท่ที ำโดยแรงคงท่ี เมือ่ วัตถุอันหนึง่ ถูกแรงภายนอก F ซ่งึ มีขนาดและทศิ ทางคงท่ีกระทำแลว้ ทำให้วตั ถุนั้นมี การเคล่อื นที่ได้ระยะการกระจัด d ดงั รูป 3.1 งาน (Work, W ) ท่ีเกิดขน้ึ เน่อื งจากแรงนี้มี นยิ ามเป็นดงั น้ีคอื W = F · d = F d cos θ (3.1) จากนิยามของงานในสมการ 3.1 พบว่า งาน ในทางฟสิ กิ ส์ หมายถงึ ผลคณู ระหว่างขนาด องค์ประกอบของแรงในทศิ ทางท่ีวัตถเุ คลอื่ นทไ่ี ปกบั ขนาดของการกระจัดน้ัน ซงึ่ เปน็ ปริมาณ สเกลาร์ มีหนว่ ยเปน็ นวิ ตัน.เมตร (N.m) หรอื จลู (Joule, J) และจากนิยามของงาน จะเหน็ ว่างานมีคา่ เปน็ ได้ท้งั ค่าบวก (+) คา่ ลบ (-) และ ศูนย์ (0) ขึ้นอยู่กบั ทิศของแรงท่ี กระทำตอ่ วตั ถุเทียบกับทศิ การกระจัด เชน่ ถา้ แรงภายนอกที่กระทำกบั วตั ถุมีทิศตงั้ ฉากกับ การเคลือ่ นทง่ี านของแรงนม้ี ีค่าเปน็ ศูนย์ (เพราะว่า มมุ θ = 90◦) F θ F cos θ d รูปท่ี 3.1: แรงขนาดคงท่กี ระทำกบั วัตถุในทิศทำมุม θ กับแนวราบ

54 งานและพลังงาน ตัวอย่างท่ี 1 ชายคนหนง่ึ ออกแรงดึงวัตถมุ วล m ดว้ ยขนาด 50 นิวตนั ในทศิ ทำมมุ 30 องศา กบั แนวราบดังรปู 3.2 วัตถุเคลื่อนท่ีในแนวราบได้ระยะ 3.0 เมตร จงคำนวณหางานที่ชาย คนนีท้ ำกบั วตั ถนุ ี้ วธิ ีทำ จากนิยามของงานเราจะไดว้ ่า งานของแรงที่ชายคนน้ีกระทำตอ่ วัตถุคือ W = F cos θd = (50 N)(cos 30.0◦)(3.0 m) W = 130 J นอกจากน้ีจะเห็นว่าสง่ิ หนงึ่ ที่เราได้เรยี นรู้จากโจทย์ปัญหาน้ีคอื ว่า แรงโน้มถว่ งของโลก mg และแรงที่พนื้ ดันวัตถุ n ไม่ทำให้เกิดงาน หรืองานมีค่าเปน็ ศูนย์ เน่อื งจากว่า มีทิศตง้ั ฉาก กบั การเคล่อื นที่ n 50 N 30◦ mg รูปที่ 3.2: แรงขนาด 50 นวิ ตนั กระทำกับวตั ถใุ นทศิ ทำมมุ 30 องศากบั แนวราบ ตวั อย่างท่ี 2 อนภุ าคกอ้ นหน่งึ กำลงั เคลือ่ นทอ่ี ยใู่ นระนาบ xy โดยมีเวกเตอรข์ องการกระจดั เปน็ d = 2.0ˆi + 3.0ˆj ซง่ึ อย่ภู ายใต้แรงกระทำ F = 5.0ˆi + 2.0ˆj จงคำนวณ (ก) ขนาดของการกระจัดและขนาดของแรง (ข) งานทที่ ำโดยแรงน้ี (ค) มุมระหว่างเวกเตอร์ F กับ d วิธีทำ (ก) ขนาดของการกระจดั และแรงคอื d = x2 + y2 = (2.0)2 + (3.0)2 = 3.6 m F = Fx2 + Fy2 = (5.0)2 + (2.0)2 = 5.4 N

3.2 งานทท่ี ำโดยแรงไม่คงท่ี 55 (ข) โดยใชน้ ยิ ามของงาน W = F · d ทำให้ได้ W = (5.0ˆi + 2.0ˆj) · (2.0ˆi + 3.0ˆj) = (5.0ˆi)(2.0ˆi) + (5.0ˆi)(3.0ˆj) + (2.0ˆj)(2.0ˆi) + (2.0ˆj)(3.0ˆj) = 10 + 0 + 0 + 6 = 16 J (ค) มมุ ระหวา่ งเวกเตอรท์ ้ังสองหาได้จากนิยามการของการคณู แบบสเกลารข์ องสองเวกเตอร์ น่นั คอื F · d = F d cos θ cos θ = F ·d = 16 = 0.82 F d (5.4)(3.6) θ = cos−1(0.82) = 34.9◦ 3.2 งานท่ที ำโดยแรงไม่คงที่ ในการหางานของแรงที่มีค่าไม่คงที่เราจะเริ่มจากการพจิ ารณาในช่วงเวลาสนั้ ๆ หมายความ วา่ ในชว่ งเวลาการเปลยี่ นแปลงการกระจดั เลก็ ๆ ถอื วา่ แรงทกี่ ระทำต่อวตั ถมุ คี ่าเปลี่ยนแปลง นอ้ ยมากจนถือได้วา่ มีค่าคงที่ ลองพิจารณาในรปู 3.3(a) ซง่ึ แสดงการเปล่ยี นแปลงของแรง กบั ระยะทางในแนวแกน x การหางานในช่วง xi ถึง xf ทำได้โดยการแบ่งช่วงดังกล่าวออก เป็นส่วนเล็กๆขนาดเท่ากนั Δx ดงั นัน้ งานของแรงท่ีเกดิ ข้นึ ในช่วงเล็กๆ นี้เท่ากับพ้นื ที่ใต้ กราฟนั่นคอื ΔW = FxΔx เม่อื ทำการรวมงานของแตล่ ะช่วงท้งั หมดเราจะไดง้ านของแรงที่ กระทำตอ่ วตั ถใุ นชว่ ง xi ถงึ xf เป็นดงั น้ี xf (3.2) W ≈ FxΔx xi ในกรณีที่แรงมกี ารเปลี่ยนคา่ อย่างต่อเน่ือง เราอาจจะพจิ ารณาในรูป 3.3(b) ได้วา่ งานท่ไี ดใ้ น ชว่ งระยะทางจาก xi ถงึ xf ก็คอื การอินทิเกรตพน้ื ทใี่ ต้กราฟดังกลา่ วน้นั คอื xf xf (3.3) W = lim FxΔx = Fxdx Δx→0 xi xi

56 งานและพลังงาน Fx Area = ΔA = FxΔx Fx Work xi xf x xi xf x Δx (b) (a) รปู ท่ี 3.3: แสดงวธิ ีการคำนวณหางานของแรงท่ีไม่คงที่ (a) ทำการแบง่ พื้นที่ใต้กราฟออก เปน็ สว่ นเลก็ ๆ และ(b) งานของแรงที่เปลยี่ นแปลงอย่างตอ่ เนือ่ ง 3.2.1 งานที่ทำโดยแรงดึงกลับของสปรงิ แรงดึงกลบั ของสปรงิ เปน็ ตวั อย่างหนง่ึ ของแรงท่ไี มค่ งท่แี ละเป็นไปตามกฎของฮกุ ค์ (Hooke’s law) ซึ่งมีขนาดเปน็ Fs = −kx (3.4) เม่ือ k คอื คา่ คงที่ของสปริง มีหน่วยเป็น N/m ซง่ึ เปน็ ค่าที่วดั ความยดื หยนุ่ ของสปรงิ เครอื่ งหมายลบท่ีปรากฏในสมการ ?? แสดงให้เหน็ ว่า ทศิ ของแรงทีก่ ระทำตอ่ วัตถโุ ดยสปรงิ จะมีทิศตรงขา้ มกับการกระจดั ซึ่งจะดงึ วัตถุเขา้ สู่จุดสมดลุ เสมอคือท่ี x = 0 ดังรูป 3.4 สมมุตวิ ตั ถถุ กู ผลักออกไปทางซา้ ยเปน็ ระยะ xmax จากตำแหน่งสมดลุ และหลังจากนน้นั ปล่อย ให้เคล่ือนทภ่ี ายใตแ้ รงดึงกลับของสปรงิ งานทีท่ ำโดยสปริง (Ws) เนือ่ งจากวัตถเุ คลื่อนทจ่ี าก xi = −xmax ถึง xf = 0 คือ Ws = xf 0 = 1 kx2max (3.5) 2 Fsdx = (−kx)dx xi −xmax ในทำนองเดยี วกนั งานท่ีทำโดยสปริงเน่ืองจากวัตถุเคลือ่ นจาก xi = 0 ถงึ xf = xmax จะ ได้Ws = − 1 kxm2 ax ดงั นนั้ งานสทุ ธิของแรงดงึ กลับของสปริงในการเคล่อื นวตั ถจุ ากตำแหนง่ 2 xi = −xmax ถงึ xf = xmax มีคา่ เปน็ ศูนย์ ในรูป 3.4(d) แสดงกราฟระหวา่ งแรง Fs กบั x งานท่ีคำนวณได้จากสมการ 3.5 คอื พน้ื ใต้กราฟส่วนที่แรเงาน่นั เอง ในกรณีทวั่ ไปท่ีวตั ถุมี การกระจดั จาก x = xi ถงึ x = xf เราจะได้งานท่ีทำโดยแรงสปริงเป็นดงั นี้ Ws = xf = 1 kx2i − 1 kxf2 (3.6) 2 2 (−kx)dx xi

3.3 พลงั งานจลนแ์ ละทฤษฎีงาน-พลงั งานจลน์ 57 (a) Fs (d) Fs Area= 1 kx2max 2 x x kxmax (b) x Fs = 0, x = 0 xmax Fs = −kx x Fs (c) x x x=0 รปู ที่ 3.4: แรงดงึ กลับของสปริง (a) วตั ถุกระจัดไปทาง +x (b) วตั ถุอยู่ท่ีตำแหน่งสมดุล x = 0 (c) วัตถุกระจดั ไปทาง −x และ (d) กราฟแสดงความสัมพันธร์ ะหวา่ งแรง Fx กบั x 3.3 พลงั งานจลน์และทฤษฎีงาน-พลงั งานจลน์ เมอ่ื วัตถุเคล่ือนท่ีไปภายใต้แรงลัพธ์ท่ีกระทำต่อวัตถุน้นั งานที่เกดิ จากแรงลพั ธ์นี้จะสมั พนั ธ์ กบั การเปล่ยี นแปลงพลังงานจลน์ ในรปู ที่ 3.5 แสดงการเคลอ่ื นท่ีของวัตถุมวล m ภายใต้ การกระทำของแรงลัพธ์ F ขนาดคงท่ี ทำให้วตั ถุเคลือ่ นท่ีดว้ ยความเร่ง a จากนิยามของ งานและจากกฎการเคลือ่ นท่ีข้อท่ี 2 ของนวิ ตันทำให้เราได้ W = F d = (ma)d 1 และ a = vf − vi d = 2 (vi + vf )t t W = m vf − vi 1 t 2(vi + vf )t W = 1 mvf2 − 1 mvi2 2 2





























72 งานและพลงั งาน d 30◦ รปู ท่ี 3.15: โจทยป์ ญั หาขอ้ 3 ก็เคล่อื นที่ตอ่ ไปได้ระยะอีกเปน็ x ก่อนที่จะหยุดน่งิ สปรงิ มีค่าคงที่ของแรงเปน็ k = 400 N/m จงหาระยะ d เปน็ เทา่ ไร 4. กล่องมวล 70 kg ถกู ดงึ จากจุดหยดุ น่งิ ให้เคลอ่ื นท่ีบนพืน้ ราบดว้ ยแรง 230 N หาก ในชว่ งระยะ 11 m แรกพนื้ ไม่มีความเสียดทานแต่อีก 10 m ถัดไปพืน้ มีสัมประสทิ ธ์ิ ความเสยี ดทานเทา่ กบั 0.25 จงคำนวณหาอัตราเรว็ ของกลอ่ งเม่ือเคลอ่ื นที่ได้ระยะทาง 21 m 5. กลอ่ งมวล 5 kg เคล่ือนที่ด้วยความเรว็ v0 = 6 m/s บนพน้ื ราบท่ีไม่มีความเสยี ดทาน และตรงเขา้ ชนสปริงท่ีมีคา่ คงตวั k = 500 N/m หากกำหนดให้สปรงิ มีมวลน้อยมาก จงหา • ระยะทีส่ ปริงถกู กดมากท่ีสุดและ • หากสปริงถกู กดไดไ้ ม่เกนิ 0.20 m จงหาคา่ ความเรว็ v0 ทม่ี ากท่สี ดุ A h R รปู ท่ี 3.16: โจทยป์ ัญหาข้อ 4 6. ลกู ปัดมวล m = 5 กรัม ไถลไปตามรางที่ไม่มีความเสียดทานดังรูป 3.16 ถ้าลูกปัด เรม่ิ ปล่อยจากระดบั ความสูงจากพืน้ h = 3.5R เมอ่ื R คือรศั มีความโคง้ ของวงกลม จงหาอัตราเร็วของลกู ปัดที่ตำแหนง่ A ซ่ึงเปน็ ตำแหนง่ บนสุดของวงกลมและแรงที่ รางกระทำตอ่ ลกู ปดั ณ ตำแหนง่ ดังกลา่ วเป็นเท่าไร

3.9 แบบฝกึ หัด 73 7. สปริงเบา 2 ตัวถูกนำมาแขวนตอ่ กนั ในแนวดิ่งโดยปลายล่างของสปริงตัวท่ี 1 ใช้ แขวนวัตถุมวล m กำหนดให้สปริงตวั ที่ 1 และตัวท่ี 2 มีคา่ คงตัวของสปรงิ เท่ากบั k1 และ k2 ตามลำดบั • จงคำนวณระยะท้ังหมดทีส่ ปริงทง้ั สองยืดออก • คา่ คงตวั ยังผลของสปริงเมื่อพิจารณาสปริงทัง้ สองเป็นระบบเดียวกัน m h ymax θ รูปท่ี 3.17: โจทย์ปัญหาข้อ 5 8. กลอ่ งไม้ไถลตามรางโค้งที่ไม่มีความเสียดทานและเคล่ือนท่ีต่อไปตามพ้นื เอียงดังรูป 3.17 ถ้าสัมประสิทธ์ิระหวา่ งกลอ่ งไม้กบั พืน้ เอียงคือ μk ให้พสิ จู น์ให้เหน็ ว่าความสงู มากทีส่ ุดที่กลอ่ งไมเ้ คล่อื นที่ไปไดต้ ามพ้ืนเอียงคอื ymax = h 1+μk cot θ 9. วตั ถุสามอันมีมวล m1 = 5.0 kg , m2 = 10 kg และ m3 = 15 kg ผูกตดิ กนั ดว้ ย เชอื กและคล้องผ่านรอกท่ีไม่มีความเสยี ดทาน ดังรูป 3.18 ถ้าหากพน้ื ในระนาบไม่มี ความเสยี ดทานและระบบถูกปลอ่ ยจากหยุดนิง่ โดยใช้แนวคิดของพลงั งานจงหาอตั รา เรว็ ของวตั ถมุ วล m3 หลงั จากทวี่ ัตถมุ วลดังกลา่ วเคลือ่ นทลี่ งได้ระยะ 4 เมตร m2 m1 m3 รปู ที่ 3.18: สำหรับโจทย์ข้อที่ 9

74 งานและพลังงาน 10. อนภุ าคมวล 200 กรัม ถูกปลอ่ ยจากตำแหน่งอยู่นิง่ A บนดา้ นข้างด้านในของภาชนะ คร่งึ ทรงกลมรัศมี R = 30 cm ดังรูป 3.19 จงคำนวณหา (1) พลังงานศกั ย์โนม้ ถ่วง ทจ่ี ดุ A เทยี บกบั จุด B (2) พลังงานจลนท์ ี่จุด B (3) อตั ราเร็วที่จดุ B (4) พลงั งาน ศักยืที่จุด C เทยี บกับจุด B (5) พลังงานจลน์ที่จุด C A C 2R/3 R B รปู ที่ 3.19: สำหรบั โจทยข์ ้อท่ี 10

บทที่ 4 โมเมนตมั เชงิ เสน้ และการชน 4.1 โมเมนตมั เชงิ เสน้ นยิ ามของโมเมนตัมเชิงเส้น (linear momentum, p) ของวตั ถุมวล m เคลื่อนท่ดี ว้ ยความเรว็ v มคี า่ เป็นดงั น้ี p = mv (4.1) โมเมนตัมเชิงเสน้ เปน็ ปรมิ าณเวกเตอรซ์ ึง่ มอี งคป์ ระกอบตามแนวแกน x, y และ z ดงั นีค้ อื px = mvx py = mvy pz = mvz (4.2) เมอ่ื วัตถุเคล่อื นท่ีโดยมีการเปลยี่ นแปลงความเร็วทำให้โมเมนตมั ของวัตถุเปล่ยี นแปลงซึง่ เป็นผลมาจากการท่ีวตั ถุมีแรงลัพธ์ที่ไม่เป็นศูนย์มากระทำตอ่ วัตถุ (กฏการเคลื่อนท่ีข้อท่ี 2 ของนิวตนั ) นน่ั คือ F = dp = d(mv) = m v = ma (4.3) dt dt dt จากสมการที่ 4.3 จะเห็นว่า แรงมีคา่ เท่ากับอตั ราการเปล่ียนแปลงโมเมนตมั เชิงเส้น 4.2 การคงตวั ของโมเมนตมั เชิงเสน้ พิจารณาการชนของระบบ 2 อนุภาคดงั รปู ท่ี 4.1 เม่อื ระบบไม่มีแรงภายนอกมากระทำใน ระหว่างการเคลื่อนท่ีวัตถุมวล m1 และมวล m2 ตา่ งออกแรงดงึ ดดู ต่อกันดังนน้ั ทำให้ได้แรง ทีว่ ัตถุมวล m2 กระทำตอ่ วตั ถุมวล m1 คอื F21 ในทำนองเดียวกนั แรงท่มี วล m1 กระทำต่อ มวล m2 คือ F12 นนั่ คือจะไดว้ า่

76 โมเมนตมั เชงิ เส้นและการชน p1 = m1v1 m1 m2 p2 = m2v2 รปู ที่ 4.1: การชนกันของระบบสองอนุภาค F21 = dp1 และF12 = dp2 dt dt จากกฏการเคลื่อนทขี่ อ้ ท่ี 3 ของนิวตันแรงสองแรงน้ีเปน็ แรงคกู่ ริ ยิ า นน่ั คอื F12 = −F21 F21 + F12 = 0 dp1 + dp2 = d + p2) = 0 dt dt dt (p1 dp (4.4) =0 dt เมือ่ p = p1 + p2 คือ โมเมนตมั เชิงเส้นรวมของระบบ และจากสมการ 4.4 แสดงให้เหน็ วา่ ผลรวมของโมเมนตมั เชิงเสน้ ของระบบมีค่าคงที่ถา้ ไม่มีแรงลพั ธ์ภายนอกมากระทำต่อระบบ นี่คอื หลักการคงตวั ของโมเมนตมั เชิงเส้น (conservation of linear momentum) ซึ่งแสดงได้ ดังนี้ p1i + p2i = p1f + p2f (4.5) เมือ่ p1i และ p2i คอื โมเมนตมั เชิงเส้นตอนเร่มิ ต้นของวัตถุทัง้ สอง และp1f และ p2f คือ โมเมนตัมเชิงเส้นตอนสดุ ทา้ ย สำหรับในกรณที วั่ ๆไปเราสามารถเขยี นสรุปหลักการคงตวั ของ โมเมนตมั ของระบบทีป่ ระกอบด้วยหลายๆอนุภาคได้โดยแยกตามองค์ประกอบในแตล่ ะแกน ดงั น้ีคือ pix = pf x piy = pf y piz = pf z (4.6) system system system system system system

4.3 การดลและโมเมนตัม 77 4.3 การดลและโมเมนตัม พจิ ารณาแรงหน่งึ แรงกระทำต่ออนภุ าคในชว่ งเวลาหนง่ึ และแรงดงั กลา่ วอาจจะมคี ่าเปล่ยี นแปลง ตามเวลาจากกฏขอ้ ท่ี 2 ของนวิ ตนั F = dp หรอื dp = F dt เมื่อทำการอินทิเกรตสมการ dt ดงั กลา่ วเราจะทราบการเปลย่ี นแปลงโมเมนตมั ตลอดช่วงเวลาท่ีถกู แรงกระทำเรยี กปริมาณ น้ีว่า การดล (Impulse) ซง่ึ ก็คอื การเปลย่ี นแปลงโมเมนตมั tf (4.7) Δp = pf − pi = F dt ti จากสมการ 4.7 เนื่องจากแรงไม่คงที่ ดงั น้นั เพือ่ ความสะดวกจงึ นิยามแรงเฉล่ียมีค่าเป็น F¯ ≡ 1 tf (4.8) Δt ti F dt ทำให้ไดข้ นาดของการดลในเทอมของแรงเฉี่ยเปน็ ดงั นี้ (4.9) I = F¯Δt ในสถานะการณ์ทางกายภาพหลายๆอยา่ งเราจะใช้การประมาณการดลท่ีซึ่งสมมตวิ ่าแรงที่กระทำ ตอ่ วัตถนุ นั้ กระทำในช่วงเวลาสัน้ ๆแตข่ นาดมากกวา่ แรงอ่ืนท่ีมีอยขู่ ณะนั้นมาก ตวั อยา่ งที่ 1 ในการทดสอบการชนของรถยนต์คันหน่งึ รถยนต์มมี วล 1500 kg พุง่ ชนกำแพง ด้วยความเร็วตน้ 15 m/s หลังจากชนรถยนต์กระเด็นออกมาดว้ ยความปลาย 2.6 m/s ดังรปู 4.2 ถา้ ชว่ งเวลาของการชนครงั้ น้คี ือ 0.15 วินาทจี งหาขนาดของการดลและแรงดลนี้ Before After -15.0 m/s 2.60 m/s รปู ที่ 4.2: การทดสอบการชนของรถยนต์คนั หน่งึ วธิ ที ำ จากนยิ ามการดลของวัตถใุ นช่วงเวลาหน่ึงจะได้ว่า I = Δp = pf − pi = mvf − mvi = m(vf − vi) = 1500(2.6 − (−15)) = 2.64 × 104 kg.m/s

78 โมเมนตัมเชิงเส้นและการชน และแรงดลมคี า่ เท่ากบั F¯ = Δp = 2.64 × 104 = 1.76 × 105 N Δt 0.15 ตอบ ขนาดการดลและแรงดลมคี า่ เท่ากับ 2.64 × 104 kg.m/s และ 1.76 × 105 N ตามลำดับ 4.4 การชนแบบยดื หยุ่น การชนแบบยืดหยุ่น (Elastic collision) ของวัตถสุ องวัตถุใดๆก็คอื การชนกนั ทท่ี ำใหพ้ ลังงาน จลน์และโมเมนตัมรวมของระบบกอ่ นและหลังการชนกันมีค่าเท่ากัน จากรปู 4.3 สมมติ อนุภาคท้งั สองพงุ่ เข้าชนกันและเป็นการชนแบบยดื หย่นุ ด้วยจากหลกั การคงตัวของโมเมนตมั และการคงตวั ของพลงั งานจลนจ์ ะไดว้ า่ Before collision After collision v1i v2i v1f m1 m2 v2f m1 m2 รปู ท่ี 4.3: การชนกนั ในแบบ 1 มติ ิของระบบสองอนุภาค m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f (4.10) (4.11) 1 m1v12i + 1 m2v22i = 1 m1v12f + 1 m2v22f 2 2 2 2 ในการคำนวณใดยใช้สมการข้างต้นจำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องกำหนดเครื่องหมายให้กบั ความ เร็วของวตั ถุ โดยให้ความเรว็ มีค่าเปน็ บวกเมอื่ เคลอื่ นที่ไปทางขวามือ (+x) และมีคา่ เป็น ลบเม่ือเคล่ือนที่ไปทางซ้ายมือ (-x) และจากสองสมการน้ีทำให้เราสามารถเขยี นแสดงความ สัมพนั ธ์ระหวา่ งความเร็วต้นกับความเรว็ ปลายของวัตถุทัง้ สองไดด้ งั นี้ v1f = m1 − m2 v1i + 2m2 v2i (4.12) v2f = m1 + m2 v1i + m1 + m2 v2i (4.13) m2 − m1 2m1 m1 + m2 m1 + m2

4.5 การชนแบบไม่ยืดหยุน่ 79 4.5 การชนแบบไม่ยดื หย่นุ การชนของวัตถุซึง่ ทำให้พลังงานจลน์รวมของระบบก่อนชนและหลงั ชนมีค่าไม่เท่ากัน แต่ โมเมนตัมรวมยังคงที่ เรยี กวา่ การชนแบบไม่ยืดหยนุ่ (Inelastic collision) ในการเฉพาะที่ วตั ถุชนกันแลว้ มวลท้งั สองตดิ กนั ไปดงั รปู 4.4 เราเรียกว่า การชนแบบไม่ยดื หยนุ่ สมบูรณ์ (Perfectly inelastic collision) และผลจากการชนดงั กลา่ วทำให้เราหาคา่ ความเร็วหลังการ ชนไดด้ ังน้ี Before collision After collision v1i v2i vf m1 m2 m1 + m2 รปู ท่ี 4.4: การชนกนั ในแบบ 1 มิติของระบบสองอนุภาคแบบไม่ยดื หยุ่นสมบรู ณ์ p1i + p2i = pf m1v1i + m2v2i = (m1 + m2)vf vf = m1v1i + m2v2i (4.14) m1 + m2 ตัวอยา่ งที่ 2 ลูกปนื มวล m1 ถูกยงิ ออกไปในแนวระดบั พงุ่ เข้าชนกบั แทง่ ไม้มวล m2 ท่ี แขวนอยนู่ ิ่งในแนวดงิ่ ด้วยเชอื กมวลเบา ลูกปืนฝงั เข้าไปในเนื้อไมแ้ ละแกวง่ ขน้ึ ในไปที่ระดบั ความสงู h จากระดับเดิมดงั รูป 4.5 จงหาความเรว็ ของลกู ปืนก่อนชนกบั แทง่ ไม้ v m1 + m2 h m1 m2 รูปท่ี 4.5: สำหรับโจทยต์ ัวอย่างท่ี 2

80 โมเมนตัมเชิงเสน้ และการชน วิธที ำ เนอื่ งจากแท่งไมอ้ ยู่น่ิงตอนเรม่ิ ตน้ v2i = 0 และลกู ปืนมีความเรว็ v1i = v หลงั จากชน มวลท้งั สองตดิ กันไปด้วยความเร็ว vf ดังนั้นจากหลกั การคงตัวของโมเมนตัมจะไดว้ ่า m1v1i + m2v2i = (m1 + m2)vf m1v + 0 = (m1 + m2)vf vf = m1v m1 + m2 หลงั จากชนแล้วแทง่ ไม้แกว่งข้นึ ไปท่ีระดับความสงู h จากระดับเดิม โดยใช้หลักการคงตวั ของพลังเชงิ กลจะไดว้ า่ Ki + Ui = Kf + Uf 1 (m1 + m2)vf2 + 0 = 0 + (m1 + m2)gh 2 1 vf2 = 1 m12v2 = gh 2 2 (m1 + m2)2 v2 = 2 (m1 + m2)2 gh m21 v = m1 + m2 2gh m1 ตอบ ความเรว็ ของลกู ปนื ก่อนชนมคี ่าเทา่ กบั m1 +m2 √ h m1 2g ตวั อย่างท่ี 3 กล่องวตั ถุมวล m1 = 1.6 kg เคลือ่ นที่ไปทางขวาด้วยความเรว็ 4 m/s บน พ้ืนราบลน่ื และพุ่งเข้าชนกบั สปรงิ ที่ยึดกับมวล m2 = 2.1 kg ซง่ึ กำลงั เคลอ่ื นท่ีไปทางซ้าย ดว้ ยความเร็ว 2.5 m/s ดงั รปู 4.6 ถา้ คา่ คงท่ขี องสปริง k = 600 N/m จงหา (ก) ความเร็วของมวล m2 ขณะทีม่ วล m1 มคี วามเร็ว 3.0 m/s ไปทางขวาหลังจากการชน (ข) ระยะทสี่ ปริงถกู อัดขณะเกดิ การชน v1f v2f v1i v2i k m2 k m1 m1 m2 Before collision After collision รูปที่ 4.6: สำหรับโจทย์ตัวอย่างที่ 3

4.6 การชนแบบ 2 มติ ิ 81 วิธที ำ (ก) โดยใชห้ ลกั การคงตัวของโมเมนตมั จะได้วา่ p1i + p2i = p1f + p2f m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f (1.6)(4.0) + (2.1)(−2.5) = (1.6)(3.0) + (2.1)v2f v2f = −1.74 m/s (ข) โดยใช้หลักการคงตัวของพลังงานเชงิ กลจะไดว้ ่า Ki + Ui = Kf + Uf 1 m1 v12i + 1 m2v22i + 0 = 1 m1v12f + 1 m2v22f + 1 kx2 2 2 2 2 2 x = 0.173 m ตอบ ความเร็วของวตั ถุมวล m2 คือ 1.74 m/s เคลอื่ นทไ่ี ปทาง −x และระยะทีส่ ปรงิ ถกู อัด หลงั การชนเทา่ กบั 0.173 เมตร 4.6 การชนแบบ 2 มิติ พิจารณาการชนของอนุภาคในระนาบ xy โดยท่ีเรม่ิ ต้นอนภุ าคมวล m2 หยดุ น่ิง ขณะที่มวล m1 เคลอื่ นที่ดว้ ยความเร็วพงุ่ เขา้ ชนดังรปู 4.7 โดยใช้หลักการคงตัวของโมเมนตมั ตามแกน x และ y ทำใหไ้ ด้ v1f sin θ v1f v1f cos θ v1i θ φ v2f cos φ Before collision −v2f sin φ v2f After collision รปู ที่ 4.7: การชนในแบบ 2 มิติของระบบ 2 อนุภาค

82 โมเมนตมั เชงิ เสน้ และการชน m1v1ix + m2v2ix = m1v1fx + m2v2fx (4.15) m1v1iy + m2v2iy = m1v1fy + m2v2fy (4.16) (4.17) m1v1i = m1v1f cos θ + m2v2f cos φ (4.18) 0 = m1v1f sin θ − m2v2f sin φ ถา้ หากการชนเป็นแบบยดื หยุ่นจะได้วา่ พลงั งานจลน์กอ่ นและหลังการชนจะมีคา่ เท่ากนั น่นั คอื 1 m1v12i = 1 m1v12f + 1 m2v22f (4.19) 2 2 2 ตวั อย่างที่ 4 นกั กีฬาคนหนึง่ แทงลูกบลิ เลยี ดให้เคล่อื นที่ไปดว้ ยความเรว็ v1i ในทศิ +x พุ่ง เข้าชนลกู บลิ เลยี ดอีกลูกหน่ึงซ่งึ หยดุ นงิ่ หลังจากการชนลกู บิลเลยี ดท้ังสองกระเดน็ ทำมุม กบั แนวแกน+x เปน็ มมุ ดงั แสดงในรปู 4.8 สมมติในการชนนี้เปน็ แบบยดื หยนุ่ จงคำนวณ หาค่ามุม θ y v2f v1i 35◦ x θ v1f รปู ท่ี 4.8: สำหรบั โจทย์ตวั อยา่ งที่ 4 วธิ ีทำ จากหลกั การคงตัวของโมเมนตมั ทำให้ได้ m1v1i = m1v1f + m2v2f v1i = v1f + v2f และพลังงานจลน์ของระบบก่อนและหลังการชนคือ 1 m1v12i = 1 m1v12f + 1 m1v22f 2 2 2 v12i = v12f + v22f

4.7 จุดศูนย์กลางมวล 83 เนอื่ งจาก v12i = v1i · v1i = (v1f + v2f ) · (v1f + v2f ) = v12f + v22f + 2v1f · v2f เพราะว่ามุม ระหวา่ งเวกเตอร์ v1f กบั v2f คือ θ + 35◦ ดังน้นั จะได้ว่า v1f · v2f = v1f v2f cos(θ + 35) v12i = v12f + v22f + 2v1f v2f cos(θ + 35) จากสมการขา้ งต้นทำให้เราสามารถคำนวณหาค่ามมุ θ ได้ดังน้ี 0 = 2v1f v2f cos(θ + 35) 0 = cos(θ + 35) θ + 35 = 90 θ = 90 − 35 = 55◦ ตอบ ลูกบิลเลียดทั้งสองทำมมุ กนั 55 องศา หลังจากการชน 4.7 จุดศูนย์กลางมวล พจิ ารณาในกรณีระบบที่มี n อนภุ าค การหาตำแหน่งของจุดศนู ยก์ ลางมวลคำนวณไดจ้ าก n m1x1 + m2x2 + · · · + mnxn mixi m1 + m2 + · · · + mn xC M = = i=1 (4.20) (4.21) M (4.22) n m1y1 + m2y2 + · · · + mnyn miyi m1 + m2 + · · · + mn yC M = = i=1 M n m1z1 + m2z2 + · · · + mnzn mizi m1 + m2 + · · · + mn zC M = = i=1 M ในกรณีของระบบอนุภาคท่ีกระจายอยา่ งต่อเน่ืองดังรปู 4.9 จดุ ศูนย์กลางมวลจะคำนวณได้ จากการหาการอินติเกรตดังน้ี xCM = xdm (4.23) yCM = (4.24) zCM = M (4.25) ydm M zdm M

84 โมเมนตัมเชงิ เสน้ และการชน y Δmi ri CM x rCM z รูปที่ 4.9: การหาจุดศูนย์กลางมวลของระบบอนภุ าคทม่ี กี ารกระจายอย่างต่อเน่ือง เม่อื ri = xiˆi + yiˆj + zikˆ คอื เวกเตอร์บอกตำแหนง่ ของอนภุ าค i ที่มีมวล Δmi และ rCM = xCM xˆ + yCMˆj + zCM kˆ คอื เวกเตอรบ์ อกตำแหนง่ ของจุดศนู ย์กลางมวล ตวั อยา่ งที่ 5 จากรปู 4.10 จงคำนวณหาจุดศนู ยก์ ลางมวลของแทง่ ไม้ยาวสม่ำเสมอ L และ มวล M y dm = λdx L x O x dx รูปท่ี 4.10: สำหรับโจทย์ตัวอยา่ งที่ 5 วธิ ีทำ เนือ่ งจากแท่งไมว้ างตามแกน x ดังนนั้ yCM = 0 และ zCM = 0 ถา้ กำหนดให้ λ คือ ความหนาแนน่ มวลต่อความยาวจะได้วา่ λ= M พจิ ารณาความยาวสว่ นเลก็ ๆ dx ซ่ึงมีมวล L dm = λdx จากนยิ ามของจดุ ศูนย์กลางมวล ทำใหไ้ ดว้ า่ 11 L xCM = M xdm = M λxdx 0 λ x2 L λL2 == M 2 0 2M L2 M L xCM = 2M = L 2

4.7 จดุ ศูนยก์ ลางมวล 85 ตอบ จุดศูนยก์ ลางมวลของแท่งวัตถุคอื L 2 ตัวอยา่ งท่ี 6 จงคำนวณหาจดุ ศนู ยก์ ลางมวลของวัตถุรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉากที่มีมวล M ดงั รปู 4.11 y dm c b y dx O x x a รปู ที่ 4.11: สำหรับโจทยต์ วั อย่างท่ี 6 วธิ ีทำ เรมิ่ จากพิจารณาวตั ถสุ ว่ นเล็กๆ ซงึ่ มีขนาดเปน็ dx มวล dm โดยท่ี M 2M dm = (ydx) = ydx 1 ab ab 2 ดงั นั้นพกิ ัดตามแกน x ของจดุ ศูนย์กลางมวล คือ 1 1 a 2M xCM = M xdm = x ydx M0 ab 2a = xydx ab 0 เพ่ือทำการคำนวณหาคา่ อินทเิ กรตจำเป็นต้องแสดงค่า y ในเทอมของตัวแปร x โดยพิจารณา จากความสัมพนั ธข์ องรปู สามเหลยี่ มคลา้ ยจะไดว้ ่า y = b =⇒ y = b x a x a แทนค่าของ y ลงในสมการขา้ งต้นจะได้ว่า 2a b 2 a xCM = ab x xdx = a2 a x2dx 0 0 2 x3 a = a2 3 0 xCM = 2 a 3

86 โมเมนตมั เชิงเสน้ และการชน โดยการคำนวณในแบบเดยี วกันเราจะได้พกิ ดั ของจดุ ศูนยก์ ลางมวลตามแกน y ดงั นี้ yCM = 1 b 3 ตอบ จดุ ศนู ยก์ ลางมวลของรูปสามเหลยี่ มดงั กลา่ วคือ xCM = 2 a และ yCM = 1 b 3 3 4.8 แบบฝึกหัด 1. ลกู เบสบอลมวล 0.145 kg เคลอื่ นท่ีตามแนวแกน +x ดว้ ยความเรว็ 3.4 m/s และ ลกู เทนนิสมวล 0.057 kg เคลอ่ื นท่ตี ามแนว −x ดว้ ยความเร็ว 6.2 m/s จงคำนวณหา ขนาดและทิศของโมเมนตมั รวมของระบบทีป่ ระกอบไปดว้ ยลูกเบสบอลและลกู เทนนสิ mM vf vbi รปู ท่ี 4.12: สำหรบั โจทยข์ ้อที่ 3 2. ลกู กอลฟ์ มวล 0.045 kg ถกู ตีดว้ ยไม้กอล์ฟจากจุดหยุดนง่ิ จนมีความเรว็ 40 m/s กำหนดให้เวลาที่ไม้กอลฟ์ สมั ผสั ลูกกอล์ฟเท่ากับ 2 ms จงคำนวณแรงเฉลี่ยที่เกดิ ขน้ึ บนลกู กอลฟ์ v = 32 m/s k รปู ที่ 4.13: สำหรับโจทยข์ อ้ ท่ี 5 3. ลกู บอลมวล m = 50 g ถกู ยิงด้วยอัตราเร็ว vbi = 25 m/s เขา้ ไปภายในปนื สปริงมวล M = 250 g ซึ่งกำลังอยู่นิ่งโดยลูกบอลจะติดอยู่ในกระบอกปนื ที่ตำแหน่งกดสปริง มากที่สดุ ดังรปู 4.12 กำหนดให้ไม่ตอ้ งพจิ ารณาพลงั งานความรอ้ นที่เกดิ ขน้ึ จากความ เสียดทานระหว่างลกู บอลกับกระบอกปืน จงคำนวณหา • อัตราเรว็ ของปืนสปริงหลังจากลูกบอลตดิ อย่นู งิ่ ภายในกระบอกปืน • สดั ส่วนระหวา่ งพลังงานที่สะสมในสปริงกับพลังงานจลน์เริม่ ต้นของลกู บอล

4.8 แบบฝกึ หัด 87 L v v 2 m M รปู ที่ 4.14: สำหรับโจทยข์ อ้ ที่ 6 4. ปนื กระบอกหนงึ่ ยิงกระสนุ มวล 30 g ไปชนและฝงั ในกล่องมวล 1.5 kg ซึ่งวางอยู่ น่งิ ดา้ นหนา้ ปืน หากสัมประสทิ ธ์ิความเสยี ดทานจลน์ระหว่างพ้นื ราบกับกลอ่ งเท่ากบั 0.25 และภายหลงั จากกระสุนชนกบั กลอ่ ง กลอ่ งเคล่อื นท่ีได้ระยะทาง10 m กอ่ นจะ หยุดนง่ิ จงคำนวณหาอตั ราเรว็ ของกระสนุ v1 = v v2i = 0 v1f Before collision α β v2f After collision รปู ที่ 4.15: สำหรับโจทยข์ อ้ ท่ี 7 5. ลกู ดอกอนั หนงึ่ มวล 25 g ถกู ปาไปที่เป้ามวล 1.6 kg ดว้ ยความเรว็ 32 m/s ดงั รปู 4.13 ภายหลงั จากการปาเป้าสปริงที่ตดิ อยู่ดา้ นหลังของเปา้ จะเคลือ่ นที่ถอยไป เปน็ ระยะ 2.4 cm จงคำนวณหาคา่ คงตัว k ของสปริง กำหนดให้เปน็ สปริงเชงิ เสน้ ตามกฎของฮกุ 6. กระสุนมวล m เคล่ือนท่ีด้วยอตั ราเร็ว v เข้าชนกับลูกต้มุ มวล M ท่ีแขวนดว้ ยแทง่ วัตถเุ บายาว L หลังจากชนกนั กระสนุ จะทะลุผ่านลูกต้มุ ด้วยอตั ราเร็ว v/2 ดงั รูป 4.14 จงคำนวณหาอตั ราเร็ว v ท่ีนอ้ ยที่สุดซึง่ เพียงพอที่จะทำให้ลูกตุ้มแกว่งเปน็ วงกลมใน แนวดงิ่ ได้พอดี 7. จงพสิ ูจน์ว่าภายหลงั จากการชนแบบยดื หยนุ่ ของวตั ถุสองอันท่ีมีมวลเท่ากันโดยวตั ถุ

88 โมเมนตมั เชงิ เสน้ และการชน 60◦ L = 40 mA mB รปู ที่ 4.16: สำหรบั โจทยข์ อ้ ท่ี 8 หนง่ึ เคลื่อนท่ีเข้าชนอกี วัตถุหน่ึงท่ีเป็นเปา้ นิง่ ดงั รูป 4.15 แล้วจะมีมมุ ระหว่างความเรว็ หลงั ชนของวัตถุท้งั สองเทา่ กับ 90◦ เสมอ 8. วัตถุ A และวัตถุ B มีมวล mA = 50 g และ mB = 70 g ถูกแขวนไวด้ ้วยเชอื กดงั รูป 4.16วัตถุ A ถกู ดึงใหเ้ อียงทำมมุ 60◦ กับแนวดิง่ จากนน้ั ปลอ่ ยให้เคล่ือนท่ี กำหนดให้ เป็นการชนแบบยดื หยุ่น จงหา • ความเร็วของวตั ถุ A ก่อนชนกับวัตถุ B • ความเรว็ ของวตั ถุท้งั สองหลังชน • ความสูงทว่ี ัตถแุ ตล่ ะอนั สามารถเคล่ือนท่ีไดห้ ลงั จากชนกัน 0.7R 2R R รูปท่ี 4.17: สำหรับโจทย์ข้อที่ 10 9. โมเลกุลของนำ้ ประกอบด้วยออกซเิ จน 1 อะตอม และไฮโดรเจน 2 อะตอมยดึ กันด้วย พันธะเคมีโดยมีมุมระหว่างพันธะทัง้ สอง 106◦ ถา้ ความยาวของพนั ธะเท่ากับ 0.100 นาโนเมตรจงหาวา่ จุดศนู ย์กลางมวลของโมเลกุลนีอ้ ยูท่ ีต่ ำแหนง่ ไหน 10. แผ่นวงกลมสม่ำเสมอรัศมี 2R ถูกเจาะออกเป็นรปู วงกลมขนาดเล็กรัศมี R โดยจุดศนู ยก์ ลาง ของวงกลมขนาดเล็กที่เจาะอยู่หา่ งจากจุดศนู ยก์ ลางของแผ่นวงกลมเท่ากบั 0.70R ดงั รูป 4.17 จงคำนวณจุดศนู ยก์ ลางมวลของแผน่ วงกลมรศั มี 2R ที่ถกู เจาะน้ี

บทที่ 5 การเคลอ่ื นที่ของวัตถุแขง็ เกร็ง 5.1 ความเรว็ เชงิ มมุ และความเรง่ เชิงมมุ วัตถุแข็งเกรง็ (rigid body) ในทน่ี ี้หมายถงึ วัตถุที่มีรูปรา่ งใดๆซึง่ ไม่เปล่ยี นแปลงเม่ือมี แรงภายนอกมากระทำหรืออาจจะกลา่ วได้วา่ ระยะห่างระหวา่ งจุดสองจดุ บนวตั ถุดังกล่าวมี คา่ คงท่ี ในการศกึ ษากลศาสตร์ของการเคลอ่ื นที่ของวตั ถุแขง็ เกรง็ จะเริ่มจากการหมนุ รอบ แกนท่ีคงที่ พจิ ารณาการหมุนของวตั ถุแข็งเกร็งรูปร่างใดๆที่วางอยู่บนระนาบ xy และหมนุ รอบแกน z ท่ีมีจุดหมุนอยู่ที่จดุ O ดงั รปู ที่ 5.1(a) ทุกๆสว่ นของวัตถุนี้จะหมนุ รอบจดุ O ดว้ ยอัตราเร็วเชิงมุมเดียวกัน และมีเส้นทางการเคลือ่ นท่ีเป็นวงกลมเนอ่ื งจากระยะหา่ งจาก จดุ หมุนถึงตำแหนง่ ใดๆบนวตั ถุมีค่าคงที่ตลอด เชน่ อนภุ าคท่ีอยู่ที่จดุ P ซงึ่ อยู่ห่างจากจุด O เป็นระยะทาง r ก็จะเคล่อื นท่ีเป็นวงกลม ถ้าขณะเรมิ่ ต้นอนภุ าคเคลอื่ นท่ี จากตำแหนง่ บนแกน x ไปตามส่วนโคง้ จนถึงจดุ P ไดร้ ะยะทางเปน็ s ดงั น้นั ระยะทางเชงิ มุมท่ีได้คอื θ = s (5.1) r ระยะทางเชิงมุมในสมการที่ 5.1 จะเห็นว่าไม่มีหน่วย แต่เพ่ือความสะดวกในการวดั ได้มีการ กำหนดหนว่ ยใหเ้ ปน็ เรเดียน(radian) การเคล่อื นที่ครบหน่งึ รอบไดร้ ะยะทางเท่ากับ 2πr คิด เปน็ มมุ เท่ากบั 2π rad. หรือ 360◦ ดงั น้นั ความสัมพันธ์ระหวา่ งมมุ ในหนว่ ยเรเดยี น (rad.) และในหนว่ ยองศา (deg.) กค็ ือ π (5.2) θ (rad.) = 180◦ θ (deg.) เมอื่ วตั ถแุ ข็งเกร็งมีการหมุน อนุภาคทุกตวั ที่ประกอบเป็นวัตถุแขง็ เกรง็ จะเคลอ่ื นทไ่ี ปพร้อมกัน พจิ ารณาการเคลือ่ นที่ของอนุภาคใดๆโดยเริ่มต้นอนภุ าคอยู่ท่ีจุด P ที่เวลา ti มีระยะเชิงมมุ

90 การเคล่ือนทขี่ องวัตถุแข็งเกร็ง y y w Q, tf r P r P, ti s θf θ x θi x O O (a) (b) รูปท่ี 5.1: (a) วัตถุแข็งเกร็งหมนุ รอบแกนที่ผ่านจดุ O และ (b) การกระจดั เชิงมมุ ของ อนภุ าคเนือ่ งจากการหมุน เปน็ θi เมอ่ื เคลือ่ นท่ีมาอยู่ที่จดุ P ท่ีเวลา tf มีระยะเชงิ มุมเป็น θf ดังรูป 5.1(b) การกระ จดั เชิงมมุ (Angular displacement) ของอนภุ าคนี้จากจดุ P ไปยงั จุด Q คือ Δθ = θf − θi (5.3) อัตราสว่ นของการกระจดั เชงิ มุมตอ่ ช่วงเวลา เรียกวา่ ความเรว็ เชงิ มุมเฉลีย่ ω¯ มีหน่วยเป็น rad/s θf − θi Δθ tf − ti Δt ω¯ = = (5.4) เมื่อพิจารณาในช่วงเวลาสน้ั ๆ (Δt → 0) ความเร็วเชิงมมุ เฉลย่ี จะกลายเป็นความเร็วเชงิ มุม ขณะใดขณะหนึ่งนัน่ คือ ω = lim Δθ = dθ Δt→0 Δt dt (5.5) ในการหมุนรอบแกนใดๆ ถา้ วตั ถุมีการเปล่ยี นความเรว็ เชิงมมุ จาก ωi เป็น ωf จะได้ความ เรง่ เชิงมุมเฉลย่ี (α¯) คอื α¯ = ωf − ωi = Δω (5.6) tf − ti Δt ในทำนองเดียวกันสำหรบั การเปล่ยี นความเร็วเชงิ มุมในช่วงสั้นๆ ความเร่งเชิงมุมเฉล่ียจะ กลายเป็นความเร่งเชิงมุมขณะใดขณะหน่ึงดงั น้ี Δω dω (5.7) α = lim = Δt→0 Δt dr