คู่มือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 เล่ม 1

คู่มือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ 99 3. A D F G PI B HC E จากการสรา้ ง จะได้ PD, PE และ PF เป็นเสน้ ตั้งฉากท่ลี ากจากจุด P ไปยงั AB, BC และ AC ตามลำ�ดับ ข้อสงั เกตท่เี ป็นไปได้ เช่น ถ้าใหจ้ ุดตัดบน AB, BC และ AC คือ จุด G จดุ H และจุด I ตามล�ำ ดับ จะได้ว่า PG เป็นส่วนสูงเสน้ หนงึ่ ของ DAPB PH เปน็ สว่ นสูงเส้นหนึง่ ของ DBPC และ PI เปน็ สว่ นสูงเส้นหน่ึงของ DAPC ดงั นั้น อาจหาพน้ื ทีข่ อง DABC ได้ ถา้ ทราบความยาวของดา้ นทัง้ สามและสว่ นสงู เหลา่ น้ี 4. D K G MJ O LH F EN I เนื่องจากเราทราบมาแลว้ วา่ เมือ่ ใชก้ ารสรา้ งพ้ืนฐานทางเรขาคณิตข้อที่ 2 ในการแบง่ ครึ่งสว่ นของเส้นตรง เสน้ ท่ี แบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงใด ๆ จะต้ังฉากกับส่วนของเส้นตรงนั้นด้วย ดังนั้น เราสามารถสร้างเส้นแบ่งคร่ึงและ ตัง้ ฉากกบั ดา้ นแตล่ ะดา้ นของรูปสามเหลี่ยม DEF ได้ดังนี้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

100 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ คูม่ ือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 1. สร้าง GH แบง่ ครึ่ง DE ทจ่ี ุด M 2. สรา้ ง IJ แบ่งคร่งึ EF ที่จุด N 3. สร้าง KL แบง่ ครงึ่ FD ทจี่ ดุ O ดังน้ัน GH, IJ และ KL จึงเป็นเสน้ แบง่ ครึ่งและตั้งฉากกบั DE, EF และ FD ซ่งึ เปน็ ด้านของรูปสามเหล่ยี ม DEF ตามลำ�ดบั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 101 2.3 การสรา้ งรูปเรขาคณิต (4 ชั่วโมง) จุดประสงค์ นกั เรยี นสามารถ 1. อธิบายและสร้างรูปเรขาคณิตโดยการใช้การสร้างพื้นฐานทางเรขาคณติ 2. ส�ำ รวจ สังเกต และคาดการณเ์ ก่ยี วกับสมบตั ทิ างเรขาคณิต และน�ำ ไปใช้ในการแก้ปัญหา ความเขา้ ใจที่คลาดเคลือ่ น 1. นักเรียนอาจเข้าใจคลาดเคล่ือนว่า การหาระยะห่างระหว่างเส้นตรงหรือส่วนของเส้นตรงสองเส้น สามารถหาได้จาก การวดั ระยะหา่ งทต่ี �ำ แหนง่ ใดกไ็ ดร้ ะหวา่ งเสน้ ตรงหรอื สว่ นของเสน้ ตรงสองเสน้ นนั้ ซงึ่ ในความเปน็ จรงิ เราตอ้ งก�ำ หนด จดุ บนเสน้ ตรงหรอื สว่ นของเสน้ ตรงหนง่ึ กอ่ น แลว้ จงึ วดั ระยะหา่ งจากจดุ นนั้ มาตงั้ ฉากกบั เสน้ ตรงหรอื สว่ นของเสน้ ตรง อกี เสน้ หนง่ึ 2. นกั เรียนอาจเขา้ ใจคลาดเคล่อื นว่า สว่ นสูงของรูปสามเหลี่ยมต้องอยภู่ ายในรูปสามเหลยี่ มเทา่ น้นั สือ่ ท่ีแนะนำ�ให้ใช้ในข้อเสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้ 1. วงเวียน และสันตรง 2. โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หรือซอฟต์แวร์เรขาคณติ พลวตั อืน่ ๆ 3. ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 2.3 : สรา้ งสวนสนกุ ข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ ในหัวข้อนี้เป็นเรื่องเกี่ยวกับการสร้างรูปเรขาคณิต โดยเน้นฝึกปฏิบัติให้นักเรียนได้ใชว้ งเวยี นและสนั ตรง หรอื โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หรือซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัตอ่ืน ๆ ในการสร้างรูปเรขาคณิตเก่ียวกับมุม รูปสามเหล่ียม เสน้ ขนาน และรูปส่ีเหลีย่ ม รวมทัง้ ใหม้ ีการสังเกต สำ�รวจ และคาดการณเ์ กยี่ วกบั สมบตั ิทางเรขาคณิต ทง้ั น้ี ครคู วรจะพัฒนา ความรสู้ ึกเชงิ ปริภูมิ และการนกึ ภาพเกยี่ วกับรูปเรขาคณติ กจิ กรรมที่ครูควรจัดมีดังน้ี 1. ในการสอนการสร้างรปู เรขาคณิต ครูควรใชค้ ำ�ถามประกอบการอธิบายและสาธิต เพ่อื ให้นักเรียนเชือ่ มโยงความรู้ เก่ยี วกบั การสร้างพืน้ ฐานทางเรขาคณิตทีเ่ รยี นมาแลว้ มาท�ำ ความเขา้ ใจเก่ียวกับการสร้างรปู เรขาคณิต ซง่ึ ไดแ้ ก่ ✤ การสรา้ งมมุ ท่ีมขี นาดตา่ ง ๆ ✤ การสร้างและสำ�รวจเกีย่ วกบั รูปสามเหลี่ยม ✤ การสร้างเส้นขนาน ✤ การสร้างรูปสีเ่ หลี่ยม สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

102 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต คมู่ อื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 2. ในการจัดกิจกรรมเพ่ือสร้างรูปเรขาคณิตเกี่ยวกับการสร้างมุมที่มีขนาดต่าง ๆ และเพ่ือให้นักเรียนได้ใช้ความรู้สึก เชิงจ�ำ นวน ครคู วรชใ้ี หน้ ักเรียนเห็นความสัมพันธร์ ะหวา่ งมมุ ที่มขี นาดตา่ งกนั เช่น ✤ มุมท่ีมีขนาด 75 องศา 75 อาจไดม้ าจาก 60 + 15 หรือ 30 + 30 + 15 หรือ 90 – 15 ✤ มมุ ที่มขี นาด 150 องศา 150 อาจได้มาจาก 120 + 30 หรือ 90 + 60 หรือ 180 – 30 ✤ มมุ ทมี่ ขี นาด 210 องศา 210 อาจไดม้ าจาก 180 + 30 หรอื 270 – 60 3. ครจู ดั กจิ กรรม เพอ่ื ใหน้ กั เรยี นไดส้ �ำ รวจ สงั เกต และคาดการณเ์ กย่ี วกบั สมบตั ทิ างเรขาคณติ โดยใชก้ จิ กรรมตอ่ ไปน้ี ✤ กจิ กรรม : สำ�รวจเสน้ มธั ยฐานของรูปสามเหลี่ยม ✤ กิจกรรม : สำ�รวจเส้นแบ่งคร่งึ มุมของรปู สามเหลีย่ ม ✤ กิจกรรม : สำ�รวจส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดยอดของรูปสามเหล่ียมมาต้ังฉากกับด้านตรงข้ามหรือ สว่ นตอ่ ของด้านตรงขา้ มกับจดุ ยอดนนั้ ✤ กิจกรรม : สำ�รวจเสน้ ตรงท่ีแบ่งครึ่งและต้งั ฉากกบั ด้านของรปู สามเหลี่ยม ท้งั น้ี นักเรียนสามารถใช้วงเวยี นและสันตรง หรือโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หรอื ซอฟตแ์ วร์ เรขาคณติ พลวตั อ่นื ๆ ในการส�ำ รวจ โดยครคู วรใชค้ ำ�ถามกระตุน้ เพื่อนำ�ไปสกู่ ารสรา้ งขอ้ ความคาดการณ์ รวมถงึ สำ�รวจผลทไี่ ดว้ ่าเป็นไปตามข้อความคาดการณห์ รอื ไม่ 4. ครูอาจใช้ “กจิ กรรมเสนอแนะ 2.3 : สรา้ งสวนสนุก” เพือ่ ใหเ้ ห็นการน�ำ สมบตั ทิ างเรขาคณิตทีเ่ กยี่ วกับ จุดจวบ ของเส้นแบ่งครงึ่ มุมท้ังสามของรปู สามเหลีย่ มไปใช้ในการแกป้ ญั หา สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 103 กจิ กรรม : ส�ำ รวจเส้นมธั ยฐานของรปู สามเหลยี่ ม กิจกรรมนี้ เป็นกิจกรรมสำ�หรับฝึกให้นักเรียนสืบเสาะ สังเกต และคาดการณ์เก่ียวกับสมบัติของรูปสามเหลี่ยม เพื่อให้นักเรียนได้ฝึกใช้การสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิตในการสร้างเส้นมัธยฐาน และสำ�รวจส่ิงที่นักเรียนค้นพบผ่านการลงมือ ปฏบิ ัติ ซ่งึ นกั เรยี นอาจใช้ซอฟต์แวร์เรขาคณติ พลวัตช่วยในการสรา้ ง โดยมีอปุ กรณ์ และข้ันตอนการดำ�เนินกิจกรรม ดังนี้ อปุ กรณ์ ซอฟตแ์ วรเ์ รขาคณิตพลวัต ขัน้ ตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม 1. ครูให้นกั เรยี นสร้างรปู สามเหลีย่ ม ABC 2. ครใู ห้นกั เรยี นสร้างเสน้ มัธยฐานของรปู สามเหลี่ยม ABC ใหค้ รบทั้งสามเสน้ 3. ครูให้นักเรียนสังเกตผลที่ได้จากการสร้างในข้อ 2 เปรียบเทียบและอภิปรายผลท่ีได้จากการสังเกตกับเพื่อนในห้อง เพอ่ื น�ำ ไปส่ขู ้อสรปุ ที่ค้นพบ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

104 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ คูม่ อื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 เฉลยกจิ กรรม : ส�ำ รวจเส้นมัธยฐานของรปู สามเหลีย่ ม A O B DC จากการส�ำ รวจ จะไดว้ า่ ในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ เส้นมธั ยฐานทั้งสามตัดกันท่ีจดุ จุดหนง่ึ หมายเหต ุ จากรปู จุด O เปน็ จดุ เซนทรอยด์ (centroid) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต 105 กจิ กรรม : สำ�รวจเส้นแบง่ ครงึ่ มุมของรูปสามเหล่ียม กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมสำ�หรับฝึกให้นักเรียนสืบเสาะ สังเกต และคาดการณ์เก่ียวกับสมบัติของรูปสามเหล่ียม เพ่ือให้ นักเรียนได้ฝึกใช้การสร้างพ้ืนฐานทางเรขาคณิตในการสร้างเส้นแบ่งคร่ึงมุมของรูปสามเหลี่ยม และสำ�รวจส่ิงท่ีนักเรียนค้นพบ ผา่ นการลงมอื ปฏบิ ตั ิ ซง่ึ นกั เรยี นอาจใชซ้ อฟตแ์ วรเ์ รขาคณติ พลวตั ชว่ ยในการสรา้ ง โดยมอี ปุ กรณ์ และขนั้ ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม ดงั นี้ อุปกรณ์ ซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัต ขัน้ ตอนการดำ�เนนิ กิจกรรม 1. ครใู ห้นกั เรียนสรา้ งรปู สามเหล่ียม LMN 2. ครใู หน้ ักเรยี นสรา้ งเสน้ แบ่งครึง่ มุมของรูปสามเหล่ยี ม LMN ใหค้ รบทงั้ สามเส้น 3. ครูให้นักเรียนสังเกตผลที่ได้จากการสร้างในข้อ 2 จากนั้น เปรียบเทียบและอภิปรายผลท่ีได้จากการสังเกต กับเพอ่ื นในหอ้ ง เพอื่ นำ�ไปสู่ข้อสรปุ ทค่ี น้ พบ 4. ครแู ละนักเรยี นรว่ มกนั สรปุ ขอ้ ค้นพบที่ไดจ้ ากข้อ 3 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

106 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ คูม่ ือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 เฉลยกจิ กรรม : สำ�รวจเสน้ แบง่ ครึง่ มมุ ของรปู สามเหล่ียม N O LM จากการส�ำ รวจ จะไดว้ ่า ในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ เส้นแบง่ ครงึ่ มุมภายในทัง้ สามจะตัดกนั ท่ีจดุ จุดหนึ่ง หมายเหต ุ จากรปู จุด O เป็นศนู ย์กลางวงกลมแนบใน (incenter) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 107 กิจกรรม : สำ�รวจสว่ นของเสน้ ตรงทลี่ ากจากจดุ ยอดของ รปู สามเหลย่ี มมาต้ังฉากกบั ดา้ นตรงขา้ มหรอื ส่วนต่อของ ด้านตรงข้ามกบั จุดยอดนนั้ กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมสำ�หรับฝึกให้นักเรียนสืบเสาะ สังเกต และคาดการณ์เกี่ยวกับสมบัติของรูปสามเหลี่ยม เพอื่ ใหน้ กั เรยี นไดฝ้ กึ ใชก้ ารสรา้ งพน้ื ฐานทางเรขาคณติ ในการสรา้ งสว่ นของเสน้ ตรงทลี่ ากจากจดุ ยอดของรปู สามเหลย่ี มมาตง้ั ฉาก กับด้านตรงข้ามกับจุดยอดน้ันหรือส่วนต่อของด้านตรงข้าม และสำ�รวจสิ่งท่ีนักเรียนค้นพบ ผ่านการลงมือปฏิบัติ ซึ่งนักเรียน อาจใชซ้ อฟต์แวรเ์ รขาคณติ พลวตั ช่วยในการสร้าง โดยมอี ปุ กรณ์ และขัน้ ตอนการดำ�เนินกจิ กรรม ดงั น้ี อุปกรณ์ ซอฟต์แวรเ์ รขาคณิตพลวัต ขั้นตอนการดำ�เนนิ กิจกรรม 1. ครูใหน้ ักเรียนสร้างรูปสามเหลี่ยม PQR 2. ครูให้นักเรียนสร้างส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมมาต้ังฉากกับด้านตรงข้ามหรือส่วนต่อ ของดา้ นตรงข้ามกบั จดุ ยอดน้นั ให้ครบทง้ั สามเส้น 3. ครใู ห้นักเรยี นสังเกตผลทไ่ี ดจ้ ากการสร้างในขอ้ 2 จากน้นั เปรยี บเทียบและอภปิ รายผลท่ีได้จากการสงั เกตกับเพอ่ื น ในห้อง เพ่ือนำ�ไปสู่ข้อสรุปทคี่ ้นพบ 4. ครแู ละนกั เรียนร่วมกันสรปุ ขอ้ ค้นพบทไี่ ดจ้ ากขอ้ 3 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

108 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ คมู่ อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 เฉลยกิจกรรม : สำ�รวจส่วนของเสน้ ตรงท่ลี ากจากจดุ ยอดของ รูปสามเหลีย่ มมาตง้ั ฉากกับดา้ นตรงขา้ มหรอื ส่วนต่อของ ด้านตรงขา้ มกบั จดุ ยอดน้นั P O QR จากการสำ�รวจ จะไดว้ ่า ส่วนสงู หรอื สว่ นตอ่ ของสว่ นสูงของรูปสามเหลย่ี มใด ๆ จะตัดกนั ทจ่ี ุดจุดหนึง่ หมายเหต ุ จากรูป จดุ O เปน็ จุดออร์โทเซนเตอร์ (orthocentre) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ 109 กจิ กรรม : เส้นตรงที่แบง่ ครง่ึ และตงั้ ฉากกับดา้ นของรูปสามเหลยี่ ม กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมสำ�หรับฝึกให้นักเรียนสืบเสาะ สังเกต และคาดการณ์เก่ียวกับสมบัติของรูปสามเหล่ียม เพื่อให้นักเรียนได้ฝึกใช้การสร้างพ้ืนฐานทางเรขาคณิตในการสร้างเส้นตรงที่แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับด้านของรูปสามเหลี่ยม และ สำ�รวจส่ิงที่นักเรียนค้นพบ ผ่านการลงมือปฏิบัติ ซึ่งนักเรียนอาจใช้ซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัตช่วยในการสร้าง โดยมีอุปกรณ์ และขั้นตอนการดำ�เนนิ กิจกรรม ดังน้ี อปุ กรณ์ ซอฟตแ์ วร์เรขาคณติ พลวตั ขัน้ ตอนการดำ�เนินกจิ กรรม 1. ครูใหน้ ักเรียนสรา้ งรปู สามเหลี่ยม RST 2. ครูใหน้ กั เรยี นสร้างเส้นตรงที่แบ่งคร่งึ และตั้งฉากกบั ดา้ นของรูปสามเหลี่ยม RST ใหค้ รบทั้งสามเส้น 3. ครใู ห้นักเรียนสงั เกตผลที่ไดจ้ ากการสร้างในข้อ 2 จากนนั้ เปรยี บเทยี บและอภิปรายผลทีไ่ ดจ้ ากการสงั เกตกบั เพ่อื น ในห้อง เพอื่ นำ�ไปสูข่ ้อสรปุ ท่ีคน้ พบ หมายเหตุ ครูควรใหเ้ วลานกั เรียนสรา้ งขอ้ ความคาดการณ์ อภปิ รายและนำ�เสนอเหตผุ ล สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

110 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต ค่มู ือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 เฉลยกจิ กรรม : เสน้ ตรงทแี่ บง่ คร่ึงและตั้งฉากกับดา้ นของรูปสามเหล่ียม T O S R จากการสำ�รวจ จะได้วา่ เส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับดา้ นแต่ละดา้ นของรปู สามเหลย่ี ม RST จะตดั กนั ทจ่ี ดุ จดุ หนงึ่ หมายเหต ุ จากรปู จดุ O เปน็ ศูนย์กลางวงล้อม (circumcentre) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต 111 กจิ กรรมเสนอแนะ 2.3 : สรา้ งสวนสนุก กจิ กรรมน้ี เปน็ กจิ กรรมทช่ี ว่ ยสรา้ งเสรมิ ประสบการณเ์ กย่ี วกบั การแบง่ ครง่ึ มมุ ใหเ้ หน็ วา่ ทกุ จดุ บนเสน้ แบง่ ครง่ึ มมุ จะอยหู่ า่ ง จากแขนของมมุ ทง้ั สองเปน็ ระยะเทา่ กนั เสมอ และใหเ้ หน็ สมบตั เิ กยี่ วกบั การตดั กนั ของเสน้ แบง่ ครง่ึ มมุ ทงั้ สามของรปู สามเหลย่ี ม ซึ่งนกั เรยี นสามารถเรียนรู้โดยการสงั เกต สบื เสาะ และหาข้อสรปุ จากการลงมือปฏิบตั ิดว้ ยการใช้วงเวียนและสนั ตรง หรืออาจ ใชโ้ ปรแกรม The Geometer’s Sketchpad และสามารถน�ำ ความรไู้ ปใชแ้ กป้ ญั หา โดยมอี ปุ กรณแ์ ละขนั้ ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม ดงั นี้ อุปกรณ์ 1. ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 2.3 : สรา้ งสวนสนุก 2. วงเวยี นและสนั ตรง หรอื โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หรอื ซอฟตแ์ วรเ์ รขาคณติ พลวตั อน่ื ๆ ในการสรา้ ง และสำ�รวจ ข้นั ตอนการดำ�เนินกจิ กรรม 1. ครูน�ำ เสนอปัญหาที่อยู่ในใบกิจกรรมเสนอแนะ 2.3 : สร้างสวนสนุก 2. ให้นักเรียนใช้ความรูเ้ ร่ืองการแบง่ คร่งึ มมุ และการสร้างเส้นตั้งฉาก มาประกอบการคิดแก้ปัญหา ทง้ั นี้ อาจให้นักเรียน ใชว้ งเวยี นและสนั ตรง หรอื โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หรอื ซอฟตแ์ วรเ์ รขาคณติ พลวตั อน่ื ๆ ในการสรา้ ง และสำ�รวจ 3. เม่ือนักเรียนได้ตำ�แหน่งท่ีจะสร้างสวนสนุก และวิธีการสร้างถนนให้มีระยะทางส้ันท่ีสุดแล้ว ครูควรใช้คำ�ถาม ขยายความคดิ เชน่ ถ้าต�ำ แหนง่ ของหมบู่ ้านท้ังสามเปล่ยี นแปลงไป นกั เรียนยังสามารถใชแ้ นวคดิ ข้างต้น ในการหา ต�ำ แหน่งของสวนสนกุ ได้หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

112 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ คมู่ อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 ใบกิจกรรมเสนอแนะ 2.3 : สร้างสวนสนกุ ปญั หา “สรา้ งสวนสนกุ ” หมู่บา้ นดอนหวาย ไรข่ งิ และศาลายา มีถนนสายตรงเช่ือมระหว่างหมู่บา้ นทัง้ สาม ดงั รูป ดอนหวาย ไรข� ิง ศาลายา คณะกรรมการของหมบู่ า้ นทง้ั สามตกลงใจทจ่ี ะสรา้ งสวนสนกุ ใหอ้ ยหู่ า่ งจากถนนทง้ั สามสายเปน็ ระยะทางเทา่ กนั 1. จงหาต�ำ แหน่งที่จะสรา้ งสวนสนุก 2. ถ้าต้องการสร้างถนนเล็ก ๆ จากสวนสนุกไปยังถนนใหญ่แต่ละสายท่เี ช่อื มหม่บู ้าน โดยให้มีระยะทาง สน้ั ทส่ี ดุ จะสรา้ งอยา่ งไร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ 113 เฉลยกจิ กรรมเสนอแนะ 2.3 : สร้างสวนสนกุ 1. จงหาตำ�แหนง่ ท่จี ะสรา้ งสวนสนุก ตำ�แหนง่ ทจี่ ะสร้างสวนสนกุ คือ จุดตัดของเส้นแบง่ ครึ่งมุม ดงั รปู ดอนหวาย ไรข� ิง ศาลายา 2. ถ้าต้องการสร้างถนนเล็ก ๆ จากสวนสนุกไปยังถนนใหญ่แต่ละสายท่ีเช่ือมหมู่บ้าน โดยให้มีระยะทางส้ันท่ีสุด จะสรา้ งอยา่ งไร สร้างไดโ้ ดยใหแ้ นวของถนนเลก็ ๆ จากสวนสนุกตงั้ ฉากกบั ถนนใหญ่แต่ละสาย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

114 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต คู่มอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 เฉลยชวนคิด ชวนคดิ 2.7 าร ราง ล นว ิด า าร ราง น าน าง รขา ิ ขอ าร �ง รง ง า ดานนน �หนด ห �น ขนาด นว ดิ าร �ง รง ขนาด ขนาด นว ิด าร ง� รง ขนาด ชวนคดิ 2.8 ขนาด น� นว ิดอน น าร ราง ชวนคิด 2.9 นว ิด น าร รางไดหลาย นว ิด น� นว ดิ น าร รางไดหลาย นว ดิ �น าร ราง ✤ ✤ ✤ าร ราง ✤ ✤ ✤ ✤ ชวนคิด 2.10 ด ง ลางของดานนน าดวา� รง น ดดาน หลอของร า หลย ชวนคิด 2.11 หลอ าดวา� รง น ง� รง ชวนคดิ 2.12 าดวา� รง น ดดาน หลอหรอ �วน อ� ของดาน หลอของร า หลย นล สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 115 ชวนคดิ 2.13 1. เสน้ ตรงน้ีจะต้งั ฉากกบั ดา้ นทเี่ หลอื 2. เส้นตรงนี้จะแบง่ ครงึ่ ด้านท่เี หลอื ชวนคดิ 2.14 เสน้ แบง่ ครงึ่ มมุ สว่ นสงู และเสน้ แบง่ ครง่ึ และตงั้ ฉาก มโี อกาสทมี่ จี ดุ ตดั รว่ มกนั เพยี งจดุ เดยี ว ถา้ รปู สามเหลย่ี ม รปู น้ันเปน็ รปู สามเหลย่ี มด้านเท่า ชวนคดิ 2.15 �CD ขนานกับ �AB เพราะขนาดของมมุ ภายในท่อี ยูบ่ นข้างเดียวกันของเสน้ ตดั รวมกนั ได้ 180° ชวนคิด 2.16 มีวธิ ีการสรา้ งแบบอื่นอกี เชน่ การสร้างรูปสามเหลย่ี ม DEF ให้ DE มคี วามยาวเปน็ สองเทา่ ของ AB มุม DEF มีขนาดเท่ากับมุม ABC และมุม FDE มีขนาดเท่ากับมุม CAB โดยใช้การสร้างพ้ืนฐาน ทางเรขาคณติ ข้อท่ี 1 และ 3 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

116 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ คมู่ ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 เฉลยมุมเทคโนโลยี มุมเทคโนโลยี รูปหลายเหลี่ยมมหี ลายประเภท เช่น รูปสามเหลี่ยมดา้ นเท่า เช่น ΔEFA รูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก เช่น ΔDGB รูปสามเหลี่ยมหน้าจว่ั เช่น ΔEGA รปู สี่เหลยี่ มผนื ผ้า เชน่ EFBC รปู สเ่ี หล่ยี มรปู ว่าว เช่น EFGC รูปสเ่ี หล่ยี มขนมเปยี กปูน เชน่ EACD รูปสีเ่ หลย่ี มคางหมู เชน่ DGBC รูปหา้ เหล่ียม เช่น รูปห้าเหลยี่ ม EGBCD สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 117 รปู หกเหลี่ยม เชน่ รูปหกเหล่ียม EFGBCD เฉลยแบบฝึกหัด แบบฝึกหัด 2.3 ก 1 . 1) แนวคิด 2212 = 45 = 90 – 45 สรา้ ง 2 2 C D E 22–12o B A 1. สรา้ ง CˆAB ใหม้ ีขนาด 90o 2. สรา้ ง �AD แบง่ ครึ่ง CˆAB จะได้ DˆAB และ CˆAD แตล่ ะมุมมีขนาด 45o 3. สร้าง �AE แบง่ คร่ึง DˆAB จะได้ DˆAE และ EˆAB แต่ละมมุ มขี นาด 221–2o สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

118 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ คูม่ ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 2) แนวคิด 135 = 90 + 45 C สร้าง D 135o A OB 1. สรา้ ง AˆOB ใหเ้ ป็นมมุ ตรง 2. สร้าง BˆOC ให้มขี นาด 90o 3. สร้าง �OD แบ่งคร่ึง AˆOC ท�ำ ให้ CˆOD และ DˆOA แต่ละมุมมขี นาด 45o ดงั นน้ั BˆOD = BˆOC + CˆOD = 90 + 45 = 135o 3) แนวคิด 240 = 180 + 60 สรา้ ง 240o 180o A 60o O B C 1. สร้าง AˆOB ใหเ้ ปน็ มุมตรง 2. สรา้ ง AˆOC ใหม้ ีขนาด 60o ดังนน้ั มุมกลับ BOC = AˆOB + AˆOC = 180 + 60 = 240o 2. แนวคดิ จากการสร้าง จะได้ BAˆD = 60o และ DAˆE = 60o เนอ่ื งจาก AF ท่ีสร้างได้นี้ เป็นเส้นแบ่งคร่งึ มมุ DAE จะได้ DAˆF = 30o ดงั น้ัน FAˆB = BAˆD + DAˆF = 60 + 30 = 90o สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 119 3. สรา้ ง Y C ab ลาก �AX A BX 1. ทีจ่ ุด A สรา้ ง �AY ใหต้ งั้ ฉากกบั �AX 2. สร้าง AC บน �AY ให้ยาวเท่ากบั a หน่วย 3. ใชจ้ ดุ C เป็นจุดศนู ยก์ ลาง รศั มยี าวเทา่ กบั b หน่วย เขยี นส่วนโค้งใหต้ ดั �AX ใหจ้ ุดตัดคือ จุด B ลาก BC จะได้ DABC เป็นรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก ตามต้องการ 4. สรา้ ง D C O 45o 45o A B DAOB เปน็ รูปสามเหลีย่ มหน้าจัว่ และเป็นรปู สามเหล่ียมมุมฉากด้วย เน่อื งจาก DˆAB = AˆBC = 90o และ �AO แบง่ ครงึ่ DˆAB และ �BO แบง่ ครงึ่ AˆBC จะได้ OˆAB = OˆBA = 9—20 = 45o ดงั นน้ั DAOB เปน็ รปู สามเหลย่ี มหนา้ จวั่ (สมบตั ขิ อ้ หนง่ึ ของรปู สามเหลย่ี มหนา้ จวั่ ทก่ี ลา่ ววา่ มมุ ทฐ่ี านมขี นาด เท่ากนั ) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

120 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณิต คมู่ ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 เนอ่ื งจาก AˆOB + OˆAB + OˆBA = 180o (ผลบวกของขนาดของมมุ ภายในของรปู สามเหลย่ี มเทา่ กบั สองมมุ ฉาก) จะได ้ AˆOB + 45o + 45o = 180o AˆOB = 90o ดังน้นั DAOB เป็นรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก 5. สรา้ ง C 45o a 45o A B จากการสรา้ ง จะได้ AB เปน็ ฐานของรูปสามเหล่ียม ABC ยาว a หนว่ ย เนอ่ื งจาก ต้องการให้ AˆCB มขี นาด 90o จะต้องสร้างมุมทีฐ่ านทง้ั สองมุมของรปู สามเหลย่ี มให้มีขนาดเท่ากับ 45o จะได้ DABC เป็นรปู สามเหลยี่ มหนา้ จว่ั ตามตอ้ งการ 6. สร้าง A Q B R C P จากการสรา้ ง �AR และ�BP เปน็ เสน้ ทต่ี ง้ั ฉากกบั สว่ นตอ่ ของ BC และ AC ตามล�ำ ดบั และ �CQ ตง้ั ฉากกบั AB จะได้ AR, BP และ CQ เปน็ สว่ นสงู ของ DABC สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ 121 แบบฝึกหดั 2.3 ข A D 1. สรา้ ง B C 1. ลาก CA 2. สร้าง CˆAD ใหม้ ีขนาดเท่ากับขนาดของ BˆCA โดยให้ BˆCA และ CˆAD เป็นมุมแยง้ จะได้ �AD เป็นแนวถนนทข่ี นานกบั แนวคลองชลประทาน �BC 2. 1) สรา้ ง D F E a AB 1. สร้าง �AB 2. สร้าง �AD ต้ังฉากกับ �AB ที่จดุ A และให้ AD ยาว a หน่วย 3. ที่จุด D สรา้ ง�EF ตง้ั ฉากกับ �AD จะได้ �EF ขนานกบั �AB และอย่หู า่ งจาก �AB เท่ากับ a หนว่ ย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

122 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ ค่มู อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 2) สร้าง X YD b C a E 60o b B A 1. สรา้ ง AB ยาว b หน่วย 2. สร้าง XˆAB ใหม้ ีขนาด 60o 3. ตัด �AX ทจ่ี ดุ D ให้ AD = a หน่วย 4. สรา้ ง �EY ใหข้ นานกบั �AB และผา่ นจดุ D โดยสรา้ ง AˆDY และ XˆAB ใหเ้ ปน็ มมุ แยง้ ทม่ี ขี นาดเทา่ กนั 5. ตัด �DE ทจี่ ุด C ให้ DC = b หน่วย 6. ลาก BC จะได้ ABCD เปน็ รปู สี่เหลีย่ มด้านขนาน ตามต้องการ อาจสร้างอีกวธิ หี นง่ึ ดังน้ี สร้าง P D b C a 60o b B A 1. สร้าง AB ยาว b หนว่ ย 2. สร้าง PˆAB ใหม้ ีขนาดเท่ากับ 60o 3. ตดั �AP ท่จี ุด D ให้ AD = a หน่วย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 123 4. ใช้ B และ D เปน็ จดุ ศนู ย์กลางรศั มียาวเทา่ กับ a หน่วย และ b หนว่ ย ตามล�ำ ดับ เขยี นส่วนโค้ง ให้ตัดกันท่ีจดุ C 5. ลาก BC และ DC จะได้ ABCD เปน็ รูปส่ีเหลี่ยมด้านขนาน ตามตอ้ งการ 3) สร้าง PQ b C D2 b 2 b 2 135o A b B 2 วธิ สี รา้ งในท�ำ นองเดียวกนั กบั ขอ้ 2) โดยสร้าง DˆAB ใหม้ ีขนาดเท่ากบั 135o และสรา้ ง AB = AD = DC = BC = b2– หนว่ ย จะได้ ABCD เป็นรูปสเ่ี หล่ียมขนมเปยี กปูน ตามตอ้ งการ 4) สรา้ ง D 2a C a a B A 2a สร้างในทำ�นองเดยี วกนั กบั ข้อ 2) และข้อ 3) จะได้ ABCD เปน็ รูปสีเ่ หลี่ยมผนื ผ้า ตามตอ้ งการ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

124 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต คู่มอื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 3. สร้าง AB CR D EF 1. สร้าง �AB ขนานกับ �EF โดยสรา้ ง BˆEF และ AˆBE ใหเ้ ปน็ มมุ แย้งท่ีมีขนาดเท่ากนั 2. สร้าง �CD ขนานกับ �EF โดยสร้าง RˆEF และ CˆRE ใหเ้ ป็นมุมแย้งที่มขี นาดเท่ากนั 3. �AB จะขนานกับ �CD เพราะวา่ AˆBE = BˆEF จากการสรา้ ง ข้อ 1 RˆEF = CˆRE จากการสรา้ ง ขอ้ 2 และ BˆEF = RˆEF จะได้ AˆBE = CˆRE สมบัตขิ องการเทา่ กัน แต่ CˆRE = BˆRD เส้นตรงสองเสน้ ตัดกันขนาดของมมุ ตรงข้ามยอ่ มเทา่ กัน ดังนั้น AˆBE = BˆRD สมบัตขิ องการเทา่ กัน นน่ั คือ �AB ขนานกบั �CD ถา้ เส้นตรงเส้นหนึ่งตดั เสน้ ตรงอีกคูห่ น่ึง ท�ำ ใหม้ ุมแยง้ มีขนาดเท่ากนั แล้ว เส้นตรงคนู่ ้ันจะขนานกัน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 125 กิจกรรมท้ายบท : แผนทย่ี อ่ –ขยาย กิจกรรมน้ี มีจุดมุ่งหมายเพ่ือให้นักเรียนได้ใช้ความรู้เร่ืองการสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิตจากสถานการณ์ท่ีกำ�หนดให้ ในการสรา้ งแผนทท่ี งั้ การขยายเสน้ ทางเดนิ และการยอ่ เสน้ ทางเดนิ ซง่ึ นกั เรยี นสามารถเรยี นรโู้ ดยการลงมอื ปฏบิ ตั ิ โดยมอี ปุ กรณ์ และขนั้ ตอนการด�ำ เนินกจิ กรรม ดังน้ี อปุ กรณ์ 1. ใบกจิ กรรม : แผนที่ย่อ–ขยาย 2. วงเวียนและสนั ตรง ขั้นตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม 1. ครูน�ำ เสนอสถานการณ์ทอ่ี ยู่ในใบกิจกรรม : แผนที่ย่อ–ขยาย 2. ครูให้นักเรียนใช้ความรู้เรื่องการสร้างพ้ืนฐานทางเรขาคณิตในการสร้างตามภารกิจที่ได้รับมอบหมาย 2 ภารกิจ โดยใชว้ งเวยี นและสนั ตรง 3. เมื่อนักเรียนสร้างได้ครบตามท่ีกำ�หนดแล้ว ครูอาจตรวจสอบความถูกต้องของเส้นทางเดินด้วยกระดาษลอกลาย เพือ่ ความรวดเรว็ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

126 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณิต ค่มู อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ใบกจิ กรรม : แผนทยี่ ่อ-ขยาย ชวพงษ์และเพื่อน ๆ เตรยี มจดั กิจกรรมคา่ ยคณติ ศาสตร์ ชอื่ ฐานวา่ “ย่อกพ็ บ ขยายกเ็ จอ...ขมุ ทรพั ยล์ า่ รางวัล!” โดยปฏบิ ตั ิภารกจิ เป็นกลมุ่ กลมุ่ ละ 4 คน ให้ตวั แทนสมาชกิ ในกลมุ่ รับแผนทางเดนิ เพอื่ ปฏิบตั ิ 2 ภารกจิ ดงั น้ี a a 105º 2a 2 a 105º 2 60º a 2 a 120º 30º 120º a a 2 ภารกิจท่ี 1 : ให้สมาชกิ ในกลุ่มรว่ มกันขยายเส้นทางเดนิ แตล่ ะเส้นใหย้ าวเปน็ สองเท่าของความยาวเดมิ โดยใช้ เพียงเครื่องมือวงเวียนและสันตรงเท่าน้ัน เมื่อขยายเส้นทางเดินแล้ว ให้ส่งผลมาตรวจสอบ ถ้าถูกต้อง สมาชิกในกลุ่ม จะได้รับจำ�นวนกา้ ว (a) เพอ่ื เดนิ หาขมุ ทรพั ยต์ ่อไป ภารกจิ ท่ี 2 : ใหส้ มาชกิ ในกลมุ่ รว่ มกนั ยอ่ เสน้ ทางเดนิ แตล่ ะเสน้ ใหย้ าวเปน็ ครงึ่ หนงึ่ ของความยาวเดมิ โดยใชเ้ พยี ง เครื่องมือวงเวียนและสันตรงเท่านั้น เมื่อย่อเส้นทางเดินแล้ว ให้ส่งผลมาตรวจสอบ ถ้าถูกต้อง สมาชิกในกลุ่มจะได้รับ จำ�นวนก้าว (a) เพือ่ เดนิ หาขมุ ทรัพย์ต่อไป สมมุติว่านักเรียนเป็นหน่ึงในผู้ร่วมรับผิดชอบฐาน จงสร้างเส้นทางเดินของท้ังสองภารกิจด้วยเคร่ืองมือวงเวียน และสนั ตรงเพอื่ ใชต้ รวจสอบความถูกต้องของเส้นทางเดนิ แต่ละเสน้ ทีเ่ กิดจากการย่อและขยายดังกล่าวข้างต้น สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 127 ภารกจิ ที่ 1 ภารกจิ ที่ 2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

128 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต คู่มือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 เฉลยกิจกรรมทา้ ยบท : แผนท่ยี อ่ -ขยาย ภารกิจที่ 1 : น าง ดิน ิด า ารขยาย นดงน a 105o a 60o 2a 105o 4a a 2a 120o 120o 2a 30o a ภารกจิ ท่ี 2 : น าง ดิน ดิ า ารย�อ นดงน a a 2 4 a a 4 a 4a 2 a a 4 2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 129 เฉลยแบบฝึกหัดท้ายบท 1. สรา้ ง D C b 60o a 105o 45o B A จากการสร้าง จะได้ AB ยาว a หน่วย DˆAB และ AˆBC มีขนาด 60 + 45 = 105 องศา BC ยาว b หนว่ ย และ DˆCB มขี นาด 90o 2. สร้าง X C AO B D Y สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

130 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต ค่มู ือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 1) 1. ลากเสน้ ผา่ นศูนยก์ ลาง AB 2. ทจี่ ดุ O สรา้ ง �XY ตง้ั ฉากกับ AB และตัดวงกลมทีจ่ ุด C และจดุ D จะได้ AˆOC = CˆOB = BˆOD = DˆOA = 90o 2) ลาก AC, CB, BD และ DA จะได้ ACBD เป็นรปู สเี่ หลี่ยมจัตรุ ัส เพราะวา่ จากการใชว้ งเวียนตรวจสอบความยาวของด้านท้งั สี่ของ ACBD พบว่า AC = CB = BD = DA และใชว้ งเวยี นตรวจสอบขนาดของมุมภายในท้ังสข่ี อง ACBD พบวา่ AˆCB = CˆBD = BˆDA = DˆAC เน่ืองจากผลบวกของขนาดของมมุ ภายในของรปู สเ่ี หลีย่ มใด ๆ เทา่ กับ 360o ดงั นั้น AˆCB = CˆBD = BˆDA = DˆAC = 90o น่นั คือ ACBD เปน็ รปู สี่เหลี่ยมจตั รุ ัส เพราะมดี า้ นทัง้ สยี่ าวเท่ากนั และขนาด ของมุมภายในแต่ละมุมเท่ากับ 90o 3. สร้าง CB A 60o 60o 60o D 60o6O0o60o EF รูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าท่ีมีขนาดเท่ากัน 6 รูป มุมภายในแต่ละมุม มีขนาด 60o เรียงต่อกันโดยมีจุดยอดมุมของรูปสามเหล่ียมทุกรูปร่วมกันหน่ึงจุด จะได้มุมรอบจุดน้ีมีขนาด 360o ซง่ึ มวี ิธกี ารสรา้ งดังนี้ 1. สร้างรปู วงกลมท่มี ีจุด O เป็นจุดศนู ยก์ ลาง กำ�หนดรัศมียาวเทา่ กับ OA 2. ให้จดุ A เป็นจุดศูนยก์ ลาง รศั มียาวเทา่ กับ OA เขียนสว่ นโค้งตดั เสน้ รอบวง ให้จุดตดั คอื จุด B สรา้ ง OB จะได้ AˆOB = 60o ดงั นน้ั ΔABO เป็นรูปสามเหลีย่ มด้านเท่า 3. ใหจ้ ุด B เป็นจดุ ศนู ยก์ ลาง รัศมยี าวเทา่ กับ OA เขียนสว่ นโคง้ ตัดเส้นรอบวง ให้จุดตัดคอื จดุ C สร้าง OC จะได้ BˆOC = 60o 4. ทำ�ต่อในทำ�นองเดียวกันกบั ข้อ 3 จะได้จดุ D จุด E และจุด F ตามล�ำ ดับ จะได้ รปู ABCDEF เปน็ รูปหกเหล่ยี มดา้ นเทา่ มุมเท่า สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ 131 4. สรา้ ง C B D E 45o 454o 5o A 45o 45o O45o 45o 45o FH G รปู แปดเหลย่ี มด้านเทา่ มมุ เท่าประกอบดว้ ยรปู สามเหลี่ยมหนา้ จั่วทมี่ ขี นาดเท่ากัน 8 รูปเรยี งตอ่ กนั โดยมจี ดุ ยอด ของรปู สามเหลย่ี มทกุ รปู รว่ มกนั หนงึ่ จดุ ขนาดของมมุ ของรปู สามเหลยี่ มแตล่ ะรปู ทจ่ี ดุ ยอดเทา่ กบั 45o จะไดม้ มุ รอบจดุ มขี นาด 360o จะได้ รปู ABCDEFGH เปน็ รูปแปดเหล่ยี มด้านเท่ามุมเทา่ 5. 1) สร้าง S R PQ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

132 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต ค่มู ือครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 2) สร้าง R S PQ 6. แนวคิด จากการสรา้ งให้ AY ต้ังฉากกับ �BC ใหจ้ ดุ ตัดคือ จุด X จะได้ AX แทนเส้นทางทต่ี อ้ งการหา AX แทนระยะทสี่ ้นั ท่สี ุดระหว่างต�ำ แหนง่ ที่กวางยนื อยู่กบั ล�ำ ธารรมิ ทงุ่ หญ้า จากการวัด จะได้ AX = 2.7 เซนติเมตร ดงั นนั้ ระยะทางทก่ี วางอยู่ห่างจากแนวล�ำ ธารเท่ากบั 2.7 × 1,000 = 2,700 เซนติเมตร หรือ 27 เมตร 7. แนวคดิ ใหร้ ิมฝั่งแม่น้ำ�คือ �AC และ�BD ดงั รูป วธิ หี าตำ�แหน่งที่จะสรา้ งสะพานท�ำ ได้ดังน้ี 1. สรา้ ง �AP ใหต้ ้ังฉากกบั �BD ท่จี ดุ X 2. สรา้ ง�RS แบง่ ครง่ึ และต้ังฉากกบั XB จะได้ �RS เป็นแนวเสน้ ตรงท่ีจะสรา้ งสะพาน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 133 8. สร้าง CG E FD AB 1) สร้าง �CD ขนานกับ �AB 2) สรา้ ง ΔAEB, ΔAFB และ ΔAGB โดยใหม้ จี ุดยอด E, F และ G อย่บู น �CD 3) ΔAEB, ΔAFB และ ΔAGB มสี ว่ นสูงยาวเทา่ กัน เพราะวา่ ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันแลว้ ระยะหา่ ง ระหว่างเส้นทั้งสองจะยาวเท่ากัน นอกจากน้ี พ้ืนที่ของรูปสามเหล่ียมท้ังสามจะเท่ากันด้วย เพราะว่า แตล่ ะรูปมีฐานยาวเทา่ กนั (กำ�หนดให้) และส่วนสงู ยาวเท่ากนั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

134 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ คมู่ ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 9. สรา้ ง G C B D F I AE 1) สรา้ งจุด E เปน็ จุดก่งึ กลางของ AB 2) สร้าง �EF ให้ขนานกับ BC ให้ �EF ตัดกับ AC ใหจ้ ุดตัดคือ จดุ F 3) AF = CF 4) สรา้ ง �AG ใหต้ ง้ั ฉากกบั BC และใหจ้ ุดตัดของ �AG กบั EF และ BC คอื จุด I และจดุ D ตามล�ำ ดับ จะได้ AI เป็นส่วนสูงของ ΔAEF และ AD เป็นสว่ นสงู ของ ΔABC จากการตรวจสอบโดยใชว้ งเวยี น จะได้ AI ยาวเปน็ คร่ึงหนง่ึ ของ AD 5) จากการตรวจสอบโดยใช้วงเวียน จะได้วา่ ฐาน EF ของ ΔAEF ยาวเปน็ ครงึ่ หนึ่งของฐาน BC 6) พื้นทขี่ อง ΔAEF = 12– × EF × AI [( ) ( )]= 12– × 12– × BC × 12– × AD = 12– × 12– × 12– × BC × AD ( )= 14– 12– × BC × AD = 14– (พืน้ ท่ีของ ΔABC) จะได้ พ้นื ท่ขี อง ΔAEF เป็น 14– ของพืน้ ที่ของ ΔABC สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 135 ตัวอยา่ งแบบทดสอบท้ายบท 1. จากรปู ที่กำ�หนดให้ นกั เรยี นสามารถสรปุ เกีย่ วกับมมุ ได้อยา่ งไรบ้าง (1 คะแนน) A DF B EC 2. การสร้างมุมที่มีขนาด 7.5 องศา เริ่มต้นด้วยการสร้างมุมที่มีขนาดกี่องศา และระบุขั้นตอนโดยไม่ต้องลงมือสร้าง (1 คะแนน) 3. จากรูป �OX แบ่งครง่ึ RˆOY และ �OZ แบ่งคร่ึง YˆOS จงแสดงวิธกี ารหาขนาดของ XˆOZ (2 คะแนน) YZ X ROS สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

136 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ คูม่ อื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 4. จากรูป จงแสดงวิธีหาขนาดของ NˆOP (1 คะแนน) P N OQ 25o 130o M 5. แตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ ขอ้ ใดบา้ งทไ่ี มส่ ามารถสรา้ งได้ พรอ้ มบอกเหตผุ ลประกอบ (3 คะแนน) ก. รปู สามเหลย่ี มที่มีมมุ แหลมทกุ มมุ ข. รปู สามเหล่ียมท่มี มี ุมฉากสองมมุ ค. รูปสามเหลยี่ มท่มี คี วามยาวดา้ นเป็น 3, 5 และ 8 หนว่ ย ง. รปู สามเหลย่ี มที่มีด้านประกอบมมุ ฉากแต่ละด้านสั้นกวา่ ด้านตรงข้ามมมุ ฉาก จ. รูปสามเหลย่ี มทม่ี ีมุมท่ฐี านทั้งสองเป็นมุมป้านและมขี นาดเท่ากนั ฉ. รปู สามเหล่ียมทีม่ มี มุ ทีฐ่ านเทา่ กนั และแตล่ ะมมุ มขี นาดเป็นสองเท่าของมมุ ยอด 6. จงใส่เครื่องหมาย  เมื่อขนาดของมุมในแต่ละข้อต่อไปนี้สามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและสันตรง และ × เมื่อขนาด ของมมุ ไมส่ ามารถสร้างได้ดว้ ยวงเวยี นและสนั ตรง (4 คะแนน) 1) 18 องศา 2) 22.5 องศา 3) 37.5 องศา 4) 52.5 องศา 5) 82.5 องศา 6) 105 องศา 7) 112.5 องศา 8) 145 องศา สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 137 7. วชิ ยั เลน่ กฬี าสนกุ เกอร์ ถา้ ก�ำ หนดใหก้ ารเคลอ่ื นทข่ี องลกู สนกุ เกอรม์ มี มุ ตกกระทบเทา่ กบั มมุ สะทอ้ น ดงั ภาพ จงวาดและ อธิบายวธิ ีการสรา้ งตำ�แหนง่ ท่ลี กู สนุกเกอรก์ ระทบกบั ขอบโต๊ะจำ�นวน 2 ครง้ั โดยใชว้ งเวยี นและสันตรง (3 คะแนน) มมุ ตกกระทบ มุมสะทอ้ น ลกู สนกุ เกอร์ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

138 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต คู่มือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 เฉลยตัวอย่างแบบทดสอบท้ายบท 1. จากรูปท่กี �ำ หนดให้ นักเรยี นสามารถสรปุ เก่ียวกับมุมไดอ้ ยา่ งไรบา้ ง (1 คะแนน) A DF BE C ค�ำ ตอบมไี ด้หลากหลาย เช่น AˆBC มขี นาดเป็นสองเท่าของ AˆBF หรือ FˆBC AˆBF หรอื FˆBC มีขนาดเป็นครึง่ หน่งึ ของ AˆBC AˆBF มขี นาดเท่ากับ CˆBF ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงคข์ องบทเรยี น ข้อ 1 นักเรียนสามารถใชว้ งเวียนและสนั ตรง หรอื ซอฟต์แวรเ์ รขาคณิตพลวตั ในการสร้างพน้ื ฐานทางเรขาคณิต เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 1 คะแนน ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน ตอบไมถ่ ูกต้องหรือไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน 2. การสรา้ งมุมที่มีขนาด 7.5 องศา เร่ิมตน้ ด้วยการสร้างมุมทมี่ ขี นาดก่ีองศา และระบขุ น้ั ตอนโดยไมต่ ้องลงมือสร้าง (1 คะแนน) การสร้างมมุ ทม่ี ีขนาด 7.5 องศา เร่มิ ตน้ ดว้ ยการสร้างมมุ ทม่ี ีขนาด 60 องศา แบ่งครึ่งมุมครั้งทีห่ น่ึงได้มุมทม่ี ีขนาด 30 องศา แบ่งคร่ึงมมุ คร้งั ที่สองไดม้ ุมทีม่ ขี นาด 15 องศา และ แบ่งครง่ึ มุมครง้ั ทส่ี ามได้มมุ ทม่ี ขี นาด 7.5 องศา ความสอดคล้องกบั จดุ ประสงค์ของบทเรยี น ขอ้ 1 นกั เรยี นสามารถใช้วงเวยี นและสนั ตรง หรือซอฟตแ์ วรเ์ รขาคณิตพลวัต ในการสรา้ งพนื้ ฐานทางเรขาคณติ เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 1 คะแนน ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน ตอบไมถ่ กู ตอ้ งหรอื ไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 139 3. จากรูป �OX แบง่ คร่ึง RˆOY และ �OZ แบง่ ครึ่ง YˆOS จงแสดงวธิ ีการหาขนาดของ XˆOZ (2 คะแนน) YZ X ROS จากรปู �OX แบ่งครึง่ RˆOY และ �OZ แบ่งคร่ึง YˆOS จะได้ XˆOZ มขี นาด 90 องศา เนือ่ งจาก RˆOY + YˆOS = 180o RˆOY YˆOS ดังนั้น + = 180 = 90o 2 2 2 น่ันคอื XˆOZ = 90o ความสอดคล้องกับจุดประสงค์ของบทเรียน ขอ้ 2 นักเรียนสามารถใช้วงเวียนและสันตรง หรือซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัต ในการสร้างรูปเรขาคณิตและ น�ำ ไปใชแ้ กป้ ัญหาในชวี ิตจริง เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเตม็ 2 คะแนน โดยมเี กณฑก์ ารใหค้ ะแนน ดงั นี้ ✤ เขยี นแสดงวิธที �ำ สมบูรณแ์ ละหาค�ำ ตอบไดถ้ กู ตอ้ ง ได ้ 2 คะแนน ✤ เขียนแสดงวธิ ีท�ำ ไมส่ มบรู ณ์ แตห่ าค�ำ ตอบไดถ้ กู ตอ้ ง หรอื เขียนแสดงวธิ ีทำ� แตห่ าค�ำ ตอบไม่ถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ✤ ไม่เขียนแสดงวธิ ีทำ� และได้ค�ำ ตอบไม่ถูกตอ้ ง หรือไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน 4. จากรปู จงแสดงวิธหี าขนาดของ NˆOP (1 คะแนน) N P OQ 25o 130o M สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

140 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต ค่มู อื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 จากรปู NˆOP มีขนาด 25 องศา เนอ่ื งจาก MˆON = 180 – OMˆN – MˆON = 180 – 130 – 25 = 25o และ PˆOQ = 60o ดังนนั้ NˆOP = 180 – 25 – 60 = 95o ความสอดคล้องกบั จุดประสงคข์ องบทเรียน ขอ้ 2 นักเรียนสามารถใช้วงเวียนและสันตรง หรือซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัต ในการสร้างรูปเรขาคณิตและ น�ำ ไปใชแ้ กป้ ัญหาในชวี ิตจริง เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 1 คะแนน ตอบถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ตอบไม่ถูกต้องหรอื ไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน 5. แตล่ ะข้อต่อไปนี้ ข้อใดบา้ งทไ่ี มส่ ามารถสร้างได้ พรอ้ มบอกเหตุผลประกอบ (3 คะแนน) ก. รูปสามเหลี่ยมที่มมี มุ แหลมทุกมมุ ข. รปู สามเหลี่ยมที่มีมุมฉากสองมุม ค. รปู สามเหลี่ยมทม่ี ีความยาวด้านเปน็ 3, 5 และ 8 หนว่ ย ง. รูปสามเหลย่ี มทมี่ ีด้านประกอบมุมฉากแต่ละดา้ นสั้นกวา่ ดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก จ. รูปสามเหลี่ยมทมี่ มี มุ ท่ฐี านทั้งสองเป็นมุมปา้ นและมขี นาดเทา่ กัน ฉ. รูปสามเหลี่ยมที่มีมมุ ทฐ่ี านเทา่ กันและแตล่ ะมุมมขี นาดเป็นสองเท่าของมุมยอด ขอ้ ข, ค และ จ ไมส่ ามารถสรา้ งเป็นรูปสามเหลี่ยมได้ ขอ้ ข เพราะผลรวมของขนาดของมมุ ภายในของรปู สามเหลี่ยมเทา่ กบั 180 องศา รปู สามเหลี่ยม จึงมสี องมุมฉาก ไม่ได้ ขอ้ ค เพราะรปู สามเหลย่ี มจะตอ้ งมผี ลรวมของความยาวของดา้ นสองดา้ นของรปู สามเหลย่ี มมากกวา่ ความยาวดา้ น ของอีกด้านหนึง่ ทเ่ี หลอื เสมอ ขอ้ จ เพราะผลรวมของขนาดของมมุ ภายในของรปู สามเหล่ยี มเท่ากบั 180 องศา ดงั นน้ั มมุ ที่ฐานสองมมุ รวมกัน จะมีขนาดมากกวา่ 180 องศา ไม่ได้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ 141 ความสอดคล้องกับจุดประสงค์ของบทเรยี น ข้อ 2 นักเรียนสามารถใช้วงเวียนและสันตรง หรือซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัต ในการสร้างรูปเรขาคณิตและ น�ำ ไปใชแ้ กป้ ญั หาในชวี ิตจริง เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 3 คะแนน โดยมเี กณฑก์ ารใหค้ ะแนน ดังนี้ ✤ ตอบถกู ตอ้ ง และใหเ้ หตผุ ลได้ถูกต้อง 3 ข้อ ได้ 3 คะแนน ✤ ตอบถูกตอ้ ง และใหเ้ หตุผลได้ถูกต้อง 2 ข้อ ได้ 2 คะแนน ✤ ตอบถกู ต้อง และให้เหตุผลไดถ้ ูกตอ้ ง 1 ข้อ ได ้ 1 คะแนน ✤ ตอบไม่ถกู ต้องทั้งสามข้อหรือไมต่ อบ ได ้ 0 คะแนน 6. จงใส่เครื่องหมาย  เมื่อขนาดของมุมในแต่ละข้อต่อไปนี้สามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและสันตรง และ × เมื่อขนาด ของมมุ ไม่สามารถสรา้ งไดด้ ้วยวงเวยี นและสนั ตรง (4 คะแนน) 1) × 18 องศา 2)  22.5 องศา 3)  37.5 องศา 4)  52.5 องศา 5)  82.5 องศา 6)  105 องศา 7)  112.5 องศา 8) × 145 องศา แนวคดิ ขนาดของมุมทส่ี ามารถสร้างไดด้ ว้ ยสันตรงและวงเวยี น มดี งั นี้ ( ) 2) 22.5 = 15 + 15 3) 37.5 = 30 + 7.5 2 60 + 45 5) 82.5 = {90 + [(90 + 60) ÷ 2]} ÷ 2 4) 52.5 = 2 7) 112.5 = {120 + [(120 + 90) ÷ 2]} ÷ 2 6) 105 = 120 + 90 2 ความสอดคลอ้ งกับจดุ ประสงคข์ องบทเรยี น ข้อ 1 นักเรียนสามารถใช้วงเวียนและสันตรง หรอื ซอฟตแ์ วร์เรขาคณิตพลวตั ในการสรา้ งพื้นฐานทางเรขาคณิต เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 4 คะแนน ข้อละ 0.5 คะแนน ตอบถกู ต้อง ได้ข้อละ 0.5 คะแนน ตอบไมถ่ กู ต้องหรือไม่ตอบ ได้ข้อละ 0 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

142 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 7. วชิ ยั เลน่ กฬี าสนกุ เกอร์ ถา้ ก�ำ หนดใหก้ ารเคลอ่ื นทข่ี องลกู สนกุ เกอรม์ มี มุ ตกกระทบเทา่ กบั มมุ สะทอ้ น ดงั ภาพ จงวาดและ อธิบายวิธกี ารสร้างต�ำ แหนง่ ที่ลกู สนกุ เกอรก์ ระทบกับขอบโตะ๊ จำ�นวน 2 ครั้ง โดยใช้วงเวียนและสันตรง ลักษณะต�ำ แหน่งทล่ี กู สนุกเกอร์กระทบกบั ขอบโตะ๊ จ�ำ นวน 2 ครง้ั เปน็ ดังน้ี EC ลกู สนุกเกอร์ A BF D วธิ สี รา้ ง 1. สร้าง EˆBC ให้มขี นาดเท่ากับ AˆBE โดยใช้การสรา้ งพื้นฐานทางเรขาคณิตขอ้ ท่ี 3 2. สรา้ ง BC 3. สรา้ ง CF ให้ตั้งฉากกบั EC ที่จดุ C โดยใช้การสร้างพ้ืนฐานทางเรขาคณติ ขอ้ ท่ี 6 4. สร้าง FˆCD ใหม้ ขี นาดเท่ากับ BˆCF โดยใช้การสร้างพ้ืนฐานทางเรขาคณิตขอ้ ท่ี 3 ความสอดคลอ้ งกบั จุดประสงค์ของบทเรยี น ข้อ 1 นกั เรยี นสามารถใช้วงเวียนและสนั ตรง หรอื ซอฟตแ์ วรเ์ รขาคณติ พลวตั ในการสรา้ งพนื้ ฐานทางเรขาคณติ เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 3 คะแนน โดยมเี กณฑก์ ารใหค้ ะแนน ดังนี้ ✤ สรา้ งมุมไดถ้ ูกต้อง 3 มมุ ได้ 3 คะแนน ✤ สรา้ งมมุ ไดถ้ กู ตอ้ ง 2 มมุ ได้ 2 คะแนน ✤ สร้างมมุ ได้ถกู ต้อง 1 มุม ได้ 1 คะแนน ✤ สร้างไมถ่ กู ต้อง หรอื ไม่สร้าง ได้ 0 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 3 | เลขยกก�ำ ลัง 143 บทที่ 3 เลขยกกำ�ลงั บทเลขยกกำ�ลงั ประกอบด้วยหวั ขอ้ ย่อย ดงั ตอ่ ไปน้ี 3.1 ความหมายของเลขยกก�ำ ลัง 2 ช่วั โมง 3.2 การคูณและการหารเลขยกกำ�ลงั 5 ชัว่ โมง 3.3 สญั กรณว์ ทิ ยาศาสตร์ 2 ช่ัวโมง สาระและมาตรฐานการเรยี นรู้ สาระ จ�ำ นวนและพีชคณติ มาตรฐาน ค 1.1 เขา้ ใจความหลากหลายของการแสดงจำ�นวน ระบบจำ�นวน การดำ�เนนิ การของจำ�นวน ผลที่เกดิ ข้นึ จากการด�ำ เนินการ สมบตั ิของการด�ำ เนินการ และน�ำ ไปใช้ ตวั ชวี้ ัด เข้าใจและใช้สมบัติของเลขยกกำ�ลงั ทมี่ เี ลขชีก้ ำ�ลงั เปน็ จ�ำ นวนเต็มบวกในการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์และปญั หาในชวี ิตจรงิ จุดประสงคข์ องบทเรยี น นักเรียนสามารถ 1. เขียนจำ�นวนท่ีกำ�หนด ให้อยู่ในรูปเลขยกกำ�ลังที่มีเลขชี้กำ�ลังเป็นจำ�นวนเต็มบวก และหาค่าของเลขยกกำ�ลังที่มี เลขช้กี ำ�ลงั เปน็ จ�ำ นวนเตม็ บวก 2. หาผลคูณและผลหารของเลขยกกำ�ลังเมื่อเลขช้ีกำ�ลังเป็นจำ�นวนเต็มบวก และนำ�สมบัติของเลขยกกำ�ลังไปใช้ใน การค�ำ นวณ 3. เขียนจ�ำ นวนท่มี ีคา่ มาก ๆ ใหอ้ ยใู่ นรูปสญั กรณ์วิทยาศาสตร ์ และหาคา่ ของจำ�นวนทอี่ ยูใ่ นรปู สัญกรณ์วทิ ยาศาสตร์ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

144 บทที่ 3 | เลขยกก�ำ ลงั คู่มือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ความเชื่อมโยงระหวา่ งตวั ชว้ี ดั กบั จุดประสงค์ของบทเรยี น เน่อื งจากตัวช้วี ัดกล่าวถึงการเข้าใจและการใช้สมบัติของเลขยกกำ�ลังท่ีมีเลขชี้กำ�ลังเป็นจำ�นวนเต็มบวกในการแก้ปัญหา คณิตศาสตร์และปัญหาในชีวิตจริง และเน้ือหาในบทนี้จะเน้นเลขยกกำ�ลังท่ีมีฐานเป็นจำ�นวนเต็ม เศษส่วน และทศนิยมท่ีเป็น จำ�นวนบวกเท่านั้น ดังน้ัน เพ่ือให้การเรียนรู้ของนักเรียนในเร่ืองเลขยกกำ�ลังสอดคล้องกับตัวช้ีวัด ครูควรจัดประสบการณ์ให้ นักเรียนสามารถ 1. เขา้ ใจเกี่ยวกบั เลขยกกำ�ลงั ท่ีมีเลขชก้ี ำ�ลังเปน็ จำ�นวนเต็มบวก โดยนกั เรยี นควรบอกความหมายของเลขยกก�ำ ลังได ้ รวมทง้ั เขยี นจ�ำ นวนทกี่ �ำ หนด ใหอ้ ยใู่ นรปู ของเลขยกก�ำ ลงั ทมี่ เี ลขชก้ี �ำ ลงั เปน็ จ�ำ นวนเตม็ บวก และหาคา่ ของเลขยก ก�ำ ลงั ท่ีมเี ลขชก้ี ำ�ลงั เป็นจ�ำ นวนเต็มบวก 2. เข้าใจเกี่ยวกับสมบัติของเลขยกกำ�ลัง และนำ�สมบัติของเลขยกกำ�ลังไปใช้ในการแก้ปัญหา ซ่ึงสะท้อนได้จาก การท่ีนักเรียนสามารถนำ�ความรู้และสมบัติของเลขยกกำ�ลังไปใช้ในการหาผลคูณและผลหารของเลขยกกำ�ลัง เมือ่ เลขชก้ี ำ�ลังเป็นจำ�นวนเตม็ บวก ตลอดจนสามารถน�ำ ไปใช้ได ้ 3. เขา้ ใจเกีย่ วกับสัญกรณ์วทิ ยาศาสตร์ โดยสามารถเขยี นจ�ำ นวนทีม่ คี า่ มาก ๆ ให้อยู่ในรปู สัญกรณ์วทิ ยาศาสตร์ และ หาค่าของจำ�นวนท่ีอยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ได้ รวมท้ังสามารถนำ�ไปใช้ในการแก้ปัญหาในชีวิตจริง และตระหนกั ถึงความสมเหตุสมผลของค�ำ ตอบที่ได้ ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ทักษะและกระบวนการ 3.1 หวั ขอ้ 3.3 ทางคณติ ศาสตร์ ความหมายของ 3.2 สัญกรณ์ การคูณและการหาร วทิ ยาศาสตร์ การแกป้ ัญหา เลขยกก�ำ ลงั เลขยกกำ�ลัง การสือ่ สารและการสอ่ื ความหมาย ✤ ทางคณติ ศาสตร์ ✤✤ การเชอื่ มโยง ✤ ✤ การใหเ้ หตผุ ล การคิดสรา้ งสรรค์ ✤ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 3 | เลขยกกำ�ลัง 145 2+2=4 ความร้พู น้ื ฐานท่ีนักเรียนต้องมี ครูอาจทบทวนความรู้พนื้ ฐานทีน่ กั เรยี นต้องมีก่อนเรียน ดังน้ี 1. ตัวประกอบของจ�ำ นวนนบั 2. ตวั ประกอบเฉพาะ 3. การแยกตัวประกอบ ความคดิ รวบยอดของบทเรยี น เลขยกก�ำ ลงั เปน็ สญั ลกั ษณแ์ ทนจ�ำ นวนทป่ี ระกอบดว้ ยฐานและเลขชกี้ �ำ ลงั เราสามารถเขยี นจ�ำ นวนทอ่ี ยใู่ นรปู การคณู ของ จ�ำ นวนทีซ่ �ำ้ ๆ กนั ให้อยูใ่ นรปู เลขยกก�ำ ลังได้ สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ เป็นสัญลักษณ์ท่ีใช้แทนจำ�นวนที่มีค่ามาก ๆ หรือจำ�นวนที่มีค่าน้อย ๆ มีรูปทั่วไปเป็น A × 10n เมอื่ 1 ≤ A < 10 และ n เป็นจำ�นวนเตม็ เราใช้สญั กรณ์วทิ ยาศาสตร์ในการส่อื ความหมายให้กระชับและเขา้ ใจงา่ ยขน้ึ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

146 บทที่ 3 | เลขยกกำ�ลงั คมู่ ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 3.1 ความหมายของเลขยกก�ำ ลงั (2 ชั่วโมง) จดุ ประสงค ์ นักเรยี นสามารถ 1. บอกความหมายของเลขยกกำ�ลัง 2. เขยี นจ�ำ นวนท่ีกำ�หนดให้อยใู่ นรูปเลขยกก�ำ ลังท่ีมเี ลขชีก้ ำ�ลงั เปน็ จ�ำ นวนเตม็ บวก 3. หาคา่ ของเลขยกก�ำ ลังทม่ี เี ลขช้ีกำ�ลงั เป็นจ�ำ นวนเตม็ บวกที่กำ�หนดให้ ความเขา้ ใจทีค่ ลาดเคล่อื น 1. นกั เรยี นอาจเขา้ ใจคลาดเคลื่อนโดยระบุฐานของเลขยกกำ�ลังไม่ถกู ตอ้ ง เชน่ เขา้ ใจคลาดเคลือ่ นว่า ฐานของ -32 คือ -3 ซง่ึ ฐานทถ่ี ูกตอ้ งคือ 3 เขา้ ใจคลาดเคลอื่ นว่า ฐานของ 52 3 คือ 25 ซงึ่ ฐานท่ีถูกตอ้ งคือ 2 2. นักเรียนอาจเข้าใจคลาดเคลือ่ นวา่ เลขยกกำ�ลังท่ีอย่ใู นรปู (a + b)n คอื an + bn เช่น (5 + 2)2 = 52 + 22 ซงึ่ ไม่ถกู ตอ้ ง เนือ่ งจาก (5 + 2)2 = 72 = 49 แต่ 52 + 22 = 25 + 4 = 29 จึงทำ�ให ้ (5 + 2)2 ≠ 52 + 22 สื่อที่แนะน�ำ ใหใ้ ชใ้ นข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้ ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 3.1 : เปล่ยี นแปลงไปอย่างไร ข้อเสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรียนรู้ ในหัวข้อนี้เป็นเร่ืองเก่ียวกับความหมายของเลขยกกำ�ลัง โดยเน้นให้นักเรียนเห็นว่าเลขยกกำ�ลังเป็นจำ�นวน ซึ่งใช้แสดง แทนจ�ำ นวนท่เี ขยี นในรปู การคณู ของจำ�นวนทีซ่ �ำ้ ๆ กนั ทง้ั น้ี ครคู วรพฒั นาความรสู้ ึกเชงิ จำ�นวนให้กับนักเรยี น เพ่ือให้เขา้ ใจถึง ค่าของเลขยกกำ�ลังทแี่ สดงให้เห็นถงึ การเพมิ่ ขึน้ หรือลดลงอยา่ งรวดเร็ว กจิ กรรมท่คี รูควรจดั มดี ังนี้ 1. ครูแนะนำ�ความหมายของเลขยกกำ�ลังจากบทนิยาม โดยอาจชช้ี วนใหน้ กั เรยี นเชอื่ มโยงจากความรู้เดมิ เช่น พ้นื ท่ี ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส พ้ืนที่ของวงกลม หรือสถานการณ์ที่เกิดขึ้นในชีวิตจริง เช่น การแบ่งเซลล์ของแบคทีเรีย และชใ้ี หเ้ หน็ ประโยชนข์ องการใชเ้ ลขยกก�ำ ลงั แทนจ�ำ นวนทอ่ี ยใู่ นรปู การคณู ของจ�ำ นวนทซี่ �ำ้ ๆ กนั ซงึ่ ครคู วรระวงั ความหมายและการอา่ นเลขยกก�ำ ลงั กลา่ วคอื an หมายถงึ จ�ำ นวนทม่ี ี a คณู กนั n ตวั และอา่ นวา่ “a คณู กนั n ตวั ” ไม่ใช่ “n ครัง้ ” เช่น 23 มี 2 คณู กัน 3 ตวั คือ 2 × 2 × 2 ซงึ่ ไม่เท่ากับ 2 คูณกัน 3 ครัง้ หรือ 2 × 2 × 2 × 2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 3 | เลขยกกำ�ลงั 147 นอกจากน้ี ครูควรย้ำ�ว่า ในการเขียนเลขยกกำ�ลังที่มีฐานเป็นจำ�นวนลบหรือเศษส่วน ต้องเขียนฐานไว้ใน วงเลบ็ เพื่อส่ือความหมายใหถ้ ูกต้อง เช่น เม่อื ฐานเป็น -5 และเลขชกี้ ำ�ลังเป็น 2 ตอ้ งเขียนเป็น (-5)2 ( )เ ม่ือฐานเปน็ 43 3 3 และเลขช้กี �ำ ลงั เป็น 3 ต้องเขยี นเปน็ 4 2. ครูต้องพัฒนาความรู้สึกเชิงจำ�นวนเก่ียวกับเลขยกกำ�ลังให้กับนักเรียน เพ่ือให้เข้าใจถึงค่าของเลขยกกำ�ลังที่แสดง ใหเ้ หน็ ถงึ การเพม่ิ ขน้ึ หรอื ลดลงอยา่ งรวดเรว็ โดยใชส้ ถานการณก์ ารแบง่ เซลลข์ องแบคทเี รยี เพอ่ื ชใ้ี หน้ กั เรยี นเหน็ วา่ ถ้าร่างกายของคนเราติดเช้ือแบคทีเรียชนิดที่ให้โทษ เช่น เช้ืออหิวาตกโรค เมื่อเวลาผ่านไปเรื่อย ๆ จะมีจำ�นวน แบคทเี รยี ในรา่ งกายเพม่ิ ขน้ึ อยา่ งรวดเรว็ ถา้ ไมม่ กี ารใหย้ าฆา่ เชอื้ อาการทร่ี า่ งกายแสดงออกจะทวคี วามรนุ แรงอยา่ ง รวดเรว็ ตามเชื้อแบคทเี รียทเ่ี พิ่มข้นึ นัน้ นอกจากน้ี ครยู งั สามารถใช้แบบฝึกหัด 3.1 ข ข้อท่ี 3 หรอื อาจใช้ “กิจกรรมเสนอแนะ 3.1 : เปลีย่ นแปลง ไปอยา่ งไร” เพ่อื ใหน้ กั เรียนเห็นการเปลย่ี นแปลงของค่าทไี่ ด้จากการยกกำ�ลงั ของเลขยกกำ�ลังทีม่ ีฐานแตกตา่ งกัน 3. ครูควรเน้นย้ำ�กับนักเรียนว่า การเขียนจำ�นวนบางจำ�นวนให้อยู่ในรูปเลขยกกำ�ลังอาจมีได้มากกว่าหน่ึงแบบ เช่น การเขยี น 16 ในรูปเลขยกก�ำ ลงั ท่ีมีเลขชี้กำ�ลังมากกวา่ 1 อาจเขียนเปน็ 24, 42, (-2)4 หรือ (-4)2 กไ็ ด ้ โดยครูอาจ ยกตัวอย่างอื่นเพ่ิมเติมประกอบการถามตอบเพ่ือตรวจสอบความเข้าใจของนักเรียน เช่น 64 อาจเขียนเป็น 82, (-8)2, 43, 26 หรอื (-2)6 ซงึ่ ในการเขียนค�ำ ตอบ ไมจ่ ำ�เปน็ ต้องเขยี นให้ไดค้ รบทุกแบบ 4. ครคู วรเนน้ ยำ�้ ว่า ในการเขียนเลขยกก�ำ ลงั แทนจำ�นวนใด ๆ นน้ั นักเรียนตอ้ งสามารถระบุฐานและเลขช้กี �ำ ลงั ของ เลขยกก�ำ ลังนนั้ ๆ ได้ เช่น การเขียน 216 ในรปู เลขยกกำ�ลงั 216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 23 × 33 เนอื่ งจาก 23 × 33 ยงั ไมอ่ ยใู่ นรปู ทส่ี ามารถระบไุ ดว้ า่ ฐานและเลขชกี้ �ำ ลงั เปน็ จ�ำ นวนใด แตเ่ มอื่ จดั รปู ใหมเ่ ปน็ 216 = (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3) = 6 × 6 × 6 = 63 จะไดว้ า่ 216 เขยี นในรูปเลขยกกำ�ลังไดเ้ ปน็ 63 ทม่ี ี 6 เป็นฐาน และมี 3 เปน็ เลขชกี้ �ำ ลงั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

148 บทที่ 3 | เลขยกกำ�ลงั คู่มอื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 กจิ กรรมเสนอแนะ 3.1 : เปลี่ยนแปลงไปอยา่ งไร กจิ กรรมนี้ เป็นกิจกรรมที่ชว่ ยพฒั นาความรู้สกึ เชิงจ�ำ นวนใหก้ บั นักเรียน มงุ่ ใหศ้ กึ ษาแบบรปู ของเลขยกก�ำ ลงั ซ่ึงค่าของ เลขยกก�ำ ลงั จะเปลย่ี นแปลงไปอยา่ งไรนนั้ ยอ่ มขนึ้ อยกู่ บั ฐานและเลขชกี้ �ำ ลงั ค�ำ ตอบของนกั เรยี นอาจมหี ลากหลาย โดยมอี ปุ กรณ์ และขน้ั ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม ดังนี้ อปุ กรณ์ ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 3.1 : เปลย่ี นแปลงไปอย่างไร ขน้ั ตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม 1. ครแู บง่ นกั เรียนออกเปน็ กล่มุ กลุ่มละ 3–4 คน 2. ครูใหน้ ักเรียนสังเกตคา่ ของเลขยกก�ำ ลังท่ีเปลย่ี นแปลงไป แลว้ ช่วยกันตอบคำ�ถามลงในใบกจิ กรรม 3. ครูอาจให้นักเรยี นแตล่ ะกลมุ่ น�ำ เสนอและอภปิ รายผลทไ่ี ด้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี