คู่มือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 เล่ม 1

คูม่ ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเตม็ 49 3. แนวคิด ใช้การลองแทนคา่ ลงใน เพ่อื ท�ำ ให้ประโยคเปน็ จรงิ 1) 28 2) 25 3) 1 4) -17 5) -1 6) -1 7) 10 8) -800 9) -144 10) 25 4. แนวคิด อาจสมมุตจิ �ำ นวนเต็มใด ๆ แทน a และ b แล้วคำ�นวณหาค่า c จากนน้ั จึงพิจารณา c ท่ีกำ�หนดให้บนเสน้ จ�ำ นวน วา่ อยใู่ นต�ำ แหน่งท่สี มเหตสุ มผลหรือไม่ 1) ไมอ่ ยู่ในตำ�แหน่งที่สมเหตุสมผล เนื่องจาก a และ b เปน็ จ�ำ นวนเตม็ บวก และ a > b ดังนั้น c ควรจะอยทู่ ่ี a หรอื อยู่ระหวา่ ง 0 กับ a 2) ไม่อยใู่ นต�ำ แหน่งทส่ี มเหตสุ มผล เนอื่ งจาก a และ b เปน็ จำ�นวนเตม็ ลบท้ังคู ่ ดงั นน้ั c ควรจะอยู่ทางขวาของ 0 3) ไม่อยใู่ นต�ำ แหนง่ ท่สี มเหตสุ มผล เน่ืองจากมีบางกรณีท่ี c สามารถอยรู่ ะหวา่ ง 0 กับ b ได ้ เช่น b มคี า่ นอ้ ยมาก ๆ เชน่ -80 และ a เปน็ 320 จะทำ�ให้ c อยูร่ ะหวา่ ง 0 กบั b 4) ไม่อยู่ในตำ�แหน่งทส่ี มเหตสุ มผล เนอ่ื งจากไมม่ จี �ำ นวนเต็ม c ทเี่ ทา่ กบั a ÷ b 5) ไม่อย่ใู นตำ�แหน่งท่ีสมเหตสุ มผล เน่อื งจาก a เป็นจ�ำ นวนเตม็ ลบทีม่ ีคา่ สัมบรู ณ์มากกวา่ ค่าสัมบรู ณ์ ของ b ซ่งึ เป็นจำ�นวนเต็มบวก ดงั น้นั c ควรจะอย่ทู ่ี a หรอื อยูท่ างขวาของ a และทางซ้ายของ 0 5. แนวคดิ โดยเฉลีย่ แลว้ น้�ำ ทะเลเปล่ียนแปลงไป (-6) ÷ 6 = -1 เมตรต่อช่วั โมง น่ันคอื ในชว่ งเวลา 9 นาฬิกา ถงึ 15 นาฬกิ า น้�ำ ทะเลลดลงเฉลยี่ 1 เมตรต่อชั่วโมง 6. แนวคดิ เนอื่ งจาก ตอ้ งการแบ่งส้มออกเปน็ กอง กองละเทา่ ๆ กัน ให้แตล่ ะกองมีจ�ำ นวนมากทส่ี ุด และไมเ่ หลอื เศษ โดยทีส่ ้มแต่ละสายพนั ธุไ์ มป่ นกัน จ�ำ นวนส้มแต่ละกองตามเงื่อนไขขา้ งต้น จะตอ้ งเป็นจำ�นวนเตม็ ท่มี ากทีส่ ดุ ท่หี าร 48, 60 และ 84 ไดโ้ ดยไม่เหลอื เศษ ซึ่งคือ ห.ร.ม. ของทั้งสามจำ�นวน ไดแ้ ก่ 12 ดงั นั้น ต้องแบง่ ส้มแตล่ ะสายพนั ธุอ์ อกเปน็ กองละ 12 ผล นั่นคอื เราแบ่งส้มสายพนั ธ์ุที่หน่งึ ได้ 4 กอง สายพนั ธุ์ทส่ี องได้ 5 กอง และสายพนั ธทุ์ ส่ี ามได้ 7 กอง ดงั นน้ั จะแบง่ ส้มได้ทงั้ หมด 16 กอง กองละ 12 ผล สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

50 บทท่ี 1 | จำ�นวนเตม็ คู่มอื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 7. แนวคดิ เส้นทางที่ 1 รถออกทุก 30 นาที จะได้ว่า หลังจากเวลา 07:30 น. นายทา่ จะปล่อยรถโดยสารของเสน้ ทางท่ี 1 เมือ่ เวลาผ่านไป (นาท)ี 30, 60, 90, 120, 150, ... ซึ่งจ�ำ นวนเหล่าน้เี ป็นพหุคณู ของ 30 เส้นทางท่ี 2 รถออกทุก 40 นาที จะได้วา่ หลังจากเวลา 07:30 น. นายทา่ จะปลอ่ ยรถโดยสารของเสน้ ทางที่ 2 เม่ือเวลาผ่านไป (นาที) 40, 80, 120, 160, 200, ... ซ่งึ จำ�นวนเหล่านี้เปน็ พหุคูณของ 40 เส้นทางที่ 3 รถออกทกุ 50 นาที จะไดว้ ่า หลังจากเวลา 07:30 น. นายท่าจะปล่อยรถโดยสารของเสน้ ทางที่ 3 เมอื่ เวลาผ่านไป (นาท)ี 50, 100, 150, 200, 250, ... ซ่งึ จ�ำ นวนเหลา่ น้ีเป็นพหุคูณของ 50 ดังน้ัน ถา้ ปล่อยรถโดยสารท้งั สามเสน้ ทางพร้อมกนั ครง้ั แรก แลว้ นายทา่ จะปลอ่ ยรถโดยสาร ท้งั สามเส้นทางพรอ้ มกันครง้ั ต่อไป เม่ือเวลาผ่านไปเท่ากับพหคุ ณู ร่วมที่น้อยทีส่ ดุ ของ 30, 40 และ 50 หรือ ค.ร.น. ของ 30, 40 และ 50 น่ันเอง เนอ่ื งจาก ค.ร.น. ของ 30, 40 และ 50 คือ 600 แสดงว่า นายทา่ จะปลอ่ ยรถโดยสารทงั้ สามเส้นทางพรอ้ มกันครั้งตอ่ ไป เมอื่ เวลาผา่ นไป 600 นาที หรือ 10 ชว่ั โมง เนือ่ งจาก นายทา่ ปลอ่ ยรถโดยสารออกท้งั สามเสน้ ทางครัง้ แรกเมือ่ เวลา 07:30 น. ดังนัน้ นายท่าจะปลอ่ ยรถโดยสารทง้ั สามเสน้ ทางพรอ้ มกนั ครง้ั ต่อไปเวลา 17:30 น. 8. 1) ในสัปดาหน์ ้ี มอี ุณหภูมิสงู สุดเฉล่ียเปน็ [4 + 3 + 2 + 3 + 3 + (-1) + 0] ÷ 7 = 2 องศาเซลเซียส 2) ในสัปดาหน์ ้ี มีอุณหภมู ิต�ำ่ สดุ เฉลี่ยเปน็ [2 + (-1) + (-2) + (-1) + (-3) + (-5) + (-4)] ÷ 7 = -2 องศาเซลเซยี ส 3) ในวันศกุ ร์มอี ณุ หภมู ิเฉลี่ยเปน็ [(-1) + (-5)] ÷ 2 = -3 องศาเซลเซียส 4) แนวคิด อาจวิเคราะห์ขอ้ มูลโดยใช้ตาราง เพ่ือใหก้ ารหาและเปรยี บเทียบอุณหภมู ิเฉลย่ี ง่ายข้ึน ดังนี้ วัน อาทิตย์ จนั ทร์ องั คาร พุธ พฤหสั บดี ศกุ ร์ เสาร์ อณุ หภูมิสงู สุด (°C) 4 3 2 3 3 -1 0 อณุ หภมู ิตำ�่ สดุ (°C) 2 -1 -2 -1 -3 -5 -4 อณุ หภมู เิ ฉล่ยี (°C) 3 1 0 1 0 -3 -2 ดังนั้น วนั ทมี่ อี ณุ หภมู ิเฉลยี่ สูงสุด คอื วนั อาทติ ย์ 5) แนวคดิ เนื่องจากอุณหภูมิเฉล่ียของท้ังสัปดาห์หาได้จากการนำ�อุณหภูมิเฉลี่ยในแต่ละวันของสัปดาห์นั้น ๆ มารวมกัน แล้วหารดว้ ยจำ�นวนวนั ในสปั ดาห ์ ซง่ึ จากข้อ 4) จะได้วา่ อณุ หภมู เิ ฉล่ียของสปั ดาหน์ เี้ ปน็ [3 + 1 + 0 + 1 + 0 + (-3) + (-2)] ÷ 7 = 0 องศาเซลเซียส สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเตม็ 51 1.6 สมบตั ขิ องการบวกและการคณู จำ�นวนเต็ม (3 ช่ัวโมง) จดุ ประสงค์ นกั เรยี นสามารถน�ำ ความรแู้ ละสมบัติการดำ�เนนิ การของจ�ำ นวนเต็มไปใชใ้ นการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์ ความเข้าใจทคี่ ลาดเคลอ่ื น นักเรียนอาจเข้าใจว่าสมบัติการสลับท่ีและสมบัติการเปล่ียนหมู่เป็นจริงสำ�หรับทุกการดำ�เนินการ แต่ในความเป็นจริง สมบัติการสลบั ทแ่ี ละสมบตั กิ ารเปลย่ี นหมู่เปน็ จริงส�ำ หรับการบวกและการคูณเทา่ น้นั สอื่ ท่แี นะน�ำ ให้ใช้ในข้อเสนอแนะในการจัดกจิ กรรมการเรียนรู้ ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 1.6 : จัตรุ สั กล ข้อเสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้ ในหวั ขอ้ นเี้ ปน็ เรอื่ งเกย่ี วกบั สมบตั ขิ องการบวกและการคณู จ�ำ นวนเตม็ โดยเนน้ ใหน้ กั เรยี นเขา้ ใจสมบตั กิ ารสลบั ท ่ี สมบตั ิ การเปล่ียนหม ู่ สมบตั กิ ารแจกแจง และสมบัติของศนู ย์และหน่งึ เพอ่ื นำ�สมบัติเหลา่ น้ี ไปช่วยใหก้ ารคิดค�ำ นวณงา่ ยขึ้น กจิ กรรม ทคี่ รคู วรจัดมดี งั น้ี 1. ครูแนะน�ำ สมบตั ิของการบวกและการคูณจำ�นวนเตม็ ไดแ้ ก่ สมบัติการสลับท ี่ สมบตั ิการเปล่ยี นหมู ่ สมบตั ิการ แจกแจง และสมบตั ขิ องศนู ยแ์ ละหนงึ่ โดยยกตัวอยา่ งใหน้ กั เรยี นไดส้ ังเกตกอ่ นทีจ่ ะสรุปสมบตั ิแตล่ ะข้อ สำ�หรับ เน้ือหาในช้ันน้ี จะขยายความเข้าใจเก่ียวกับสมบัติให้ครอบคลุมในส่วนของจำ�นวนเต็มลบ ซ่ึงเพิ่มข้ึนจากระดับ ประถมศึกษา 2. ครูควรให้นักเรียนได้ฝึกการคิดคำ�นวณในใจ โดยใช้ความรู้สึกเชิงจำ�นวน และสมบัติของการบวกและการคูณ จำ�นวนเตม็ เช่น (-20) + 78 + (-80) + 22 ซง่ึ ครอู าจใช้ชวนคดิ 1.18 ในการฝึกฝนเพม่ิ เติม 3. ครูอาจใช้ “กิจกรรมเสนอแนะ 1.6 : จัตุรัสกล” เพ่ือตรวจสอบความเข้าใจเก่ียวกับสมบัติของหนึ่ง นอกจากน้ี ครอู าจหาโจทยเ์ พิม่ เติม เพอื่ ใหน้ ักเรยี นได้ฝกึ ใช้สมบัตติ ่าง ๆ ในการหาค�ำ ตอบ และฝึกทกั ษะการคดิ คำ�นวณ เช่น จงเติมเคร่อื งหมาย > , < หรือ = ลงใน เพ่ือท�ำ ให้ประโยคต่อไปนีเ้ ป็นจริง 1) 745 + 435 + 603 747 + 437 + 606 2) 350 + 350 + 350 + 350 + 350 (-5) × 350 3) 70 + 71 + 72 -3 × 71 4) 50 × 15 51 × 15 5) 350 ÷ 8 350 ÷ 9 6) -1,500 ÷ 56 -1,499 ÷ 56 7) 2,000 ÷ (-10) (-2,000) ÷ 10 8) (-15) × 16 × (-2) (-2) × 16 × (-15) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

52 บทที่ 1 | จำ�นวนเตม็ คมู่ ือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 กจิ กรรมเสนอแนะ 1.6 : จตั ุรัสกล กจิ กรรมจตั รุ สั กล เปน็ กจิ กรรมทส่ี ง่ เสรมิ ความรคู้ วามเขา้ ใจเกย่ี วกบั สมบตั ขิ องหนงึ่ และชว่ ยพฒั นาทกั ษะและกระบวนการ ทางคณติ ศาสตรใ์ นดา้ นการให้เหตุผล โดยมีอุปกรณ์และขัน้ ตอนการดำ�เนินกิจกรรม ดงั น้ี อุปกรณ์ ใบกิจกรรมเสนอแนะ 1.6 : จตั ุรัสกล ข้นั ตอนการดำ�เนนิ กิจกรรม 1. ครูให้นักเรียนแต่ละคนท�ำ ใบกิจกรรมเสนอแนะ 1.6 : จตั ุรัสกล 2. ครแู ละนกั เรยี นรว่ มกนั อภปิ รายเกย่ี วกบั แนวคดิ ทใ่ี ชใ้ นการท�ำ จตั รุ สั กล เชน่ นกั เรยี นมแี นวคดิ อยา่ งไรในการแกป้ ญั หา และรว่ มกันเฉลยใบกจิ กรรมดังกล่าว สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 1 | จำ�นวนเต็ม 53 ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 1.6 : จัตรุ ัสกล 1. จงเตมิ 1 หา้ จ�ำ นวน และ -1 อกี สจ่ี �ำ นวนลงในชอ่ งตารางแตล่ ะชอ่ ง เพอ่ื ท�ำ ใหผ้ ลคณู ของจ�ำ นวนในแนวนอน แนวตั้ง และแนวเส้นทแยงมุม เทา่ กับ 1 2. จงเตมิ 1 สจ่ี �ำ นวน และ -1 อกี หา้ จ�ำ นวนลงในชอ่ งตารางแตล่ ะชอ่ ง เพอ่ื ท�ำ ใหผ้ ลคณู ของจ�ำ นวนในแนวนอน แนวตั้ง และแนวเสน้ ทแยงมมุ เทา่ กับ -1 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

54 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเต็ม คู่มอื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 เฉลยใบกิจกรรมเสนอแนะ 1.6 : จัตรุ ัสกล 1. จงเตมิ 1 หา้ จ�ำ นวน และ -1 อกี สจ่ี �ำ นวนลงในชอ่ งตารางแตล่ ะชอ่ ง เพอ่ื ท�ำ ใหผ้ ลคณู ของจ�ำ นวนในแนวนอน แนวตง้ั และแนวเส้นทแยงมุม เทา่ กับ 1 -1 1 -1 11 1 -1 1 -1 2. จงเตมิ 1 สจ่ี �ำ นวน และ -1 อกี หา้ จ�ำ นวนลงในชอ่ งตารางแตล่ ะชอ่ ง เพอ่ื ท�ำ ใหผ้ ลคณู ของจ�ำ นวนในแนวนอน แนวตง้ั และแนวเส้นทแยงมมุ เทา่ กบั -1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 1 | จำ�นวนเต็ม 55 เฉลยชวนคดิ ชวนคดิ 1.18 2) 501 3) -713 4) 90 6) -220 1) 400 5) -90 ชวนคดิ 1.19 6 ชวนคดิ 1.20 1) 0 = 0 × a 2) a เปน็ จำ�นวนเต็มใด ๆ 3) a ท่ีได้จากข้อ 2) มีมากกว่าหน่งึ จำ�นวน 4) หา a ท่แี นน่ อนไม่ได้ เพราะ a แทนจ�ำ นวนเตม็ ได้ทุกจำ�นวน ซ่ึงลว้ นแต่ทำ�ใหป้ ระโยค 0 = 0 × a เป็นจริง 5) ไมม่ ีจำ�นวนเตม็ b ใด ๆ ทที่ �ำ ให้ 0 × b = 8 ดังน้นั เราจงึ หา 8 ÷ 0 ไมไ่ ด้ 6) ไมม่ ีค�ำ ตอบส�ำ หรับ 8 ÷ 0 เพราะไมส่ ามารถหาจ�ำ นวนมาคูณกับ 0 แลว้ ไดผ้ ลลัพธเ์ ท่ากับ 8 7) การหารจ�ำ นวนใด ๆ ดว้ ย 0 มีคำ�ตอบทีห่ ลากหลาย จงึ ไมม่ ีค�ำ ตอบที่แน่นอน หมายเหตุ : จากชวนคดิ นี้ ครอู าจขยายความคดิ เพื่อใหไ้ ด้ขอ้ สรุปว่า “ในทางคณิตศาสตร์ จะไม่ใช้ 0 เป็นตวั หาร” ชวนคดิ 1.21 การลบจำ�นวนใด ๆ อาจทำ�ไดอ้ กี วิธีหนึ่ง คอื หาจ�ำ นวนทม่ี าบวกกับตัวลบแล้วเทา่ กบั ตัวต้ัง ซง่ึ ในท่ีน้แี มค่ า้ มีล�ำ ดับการคดิ เพอ่ื หาค่าของ 500 – 234 โดยเริ่มจากการบวกเพ่ิมให้เปน็ จำ�นวนเตม็ สบิ เตม็ ร้อย จนถงึ จำ�นวนที่ตอ้ งการ ดังน้ี 234 + 6 = 240 240 + 60 = 300 300 + 200 = 500 ดังน้นั แมค่ า้ ทอนเงนิ ให้พชร 266 บาท สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

56 บทที่ 1 | จ�ำ นวนเตม็ คูม่ อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 เฉลยแบบฝกึ หดั แบบฝึกหดั 1.6 1. 1) (-420)∙[39 + (-40)] = (-420)∙(-1) = 420 2) [(-27) – (-27)] × (-582) = 0 × (-582) = 0 3) [(-24) – (-24)] ÷ (-50) = 0 ÷ (-50) = 0 4) 199 ÷ [17 + (-18)] = 199 ÷ (-1) = -199 5) (-23 × 10) + (22 × 10) = (-23 + 22) × 10 = -1 × 10 = -10 6) (-4 × 13) – (9 × 13) = (-4 – 9) × 13 = -13 × 13 = -169 7) [(-9)(-5)] – [(-9)(-12)] = (-9)[-5 – (-12)] = (-9)7 = -63 8) 97 × 15 = (100 – 3) × 15 = (100 × 15) – (3 × 15) = 1,455 9) -12 × 198 = -12 × (200 – 2) = (-12 × 200) – (-12 × 2) = -2,376 10) (-496) × (-25) = 496 × 25 = (500 – 4) × 25 = (500 × 25) – (4 × 25) = 12,400 2. แนวคิด แบบฝึกหดั ขอ้ นีเ้ น้นให้นกั เรยี นใช้สมบัติการด�ำ เนินการในการแกป้ ญั หา ดงั นนั้ จงึ ควรใหน้ กั เรียนสังเกตประโยคทใ่ี ห้มาก่อน และวิเคราะห์วา่ ต้องใช้สมบตั ใิ ด ซึง่ ครอู าจใชก้ ารถามตอบในชนั้ เรียน เพือ่ พฒั นาทกั ษะการใหเ้ หตผุ ลควบคไู่ ปดว้ ย 1) 33 (สมบัติการสลบั ท่สี ำ�หรบั การบวก) 2) 20 (สมบัตกิ ารสลบั ทีส่ �ำ หรบั การคณู ) 3) -17 (สมบัติการเปล่ียนหม่สู ำ�หรบั การบวก) 4) 1 (สมบัติของหนึ่ง) 5) -11 (สมบตั กิ ารเปลี่ยนหม่สู �ำ หรบั การคณู ) 6) 0 (สมบตั ิของศูนย)์ 7) -100 (สมบตั ิของศูนย)์ 8) -104 (สมบัติของหนึ่ง) 9) -7 (สมบัตกิ ารสลบั ท่ีส�ำ หรับการบวก และสมบัตกิ ารเปลีย่ นหมสู่ ำ�หรับการบวก) 10) -20 (สมบัตกิ ารแจกแจง และสมบตั กิ ารสลบั ท่ีส�ำ หรับการคูณ) 11) -90 (สมบตั กิ ารแจกแจง) 12) 9 (สมบตั ิการแจกแจง) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 1 | จำ�นวนเต็ม 57 3. คำ�ตอบมีได้หลากหลาย เชน่ วธิ ีท่ี 1 คิดจากกงุ้ ฝอยน้ำ�หนกั 3 กิโลกรมั 4 ขีด ซ่ึงเทา่ กบั 34 ขดี แลว้ จงึ น�ำ ราคากงุ้ ฝอยขีดละ 10 บาท คณู กับ นำ�้ หนกั วิธีที่ 2 คิดโดยแบ่งนำ้�หนักกุ้งฝอยออกเป็นสองส่วน คือ 3 กิโลกรัม และ 4 ขีด แล้วนำ�เงินค่ากุ้งฝอยแต่ละส่วน มารวมกัน วิธที ี่ 3 คดิ โดยน�ำ เงินค่ากุ้งฝอยน�ำ้ หนัก 3 กโิ ลกรัมคร่งึ หักออกด้วยเงินคา่ กุ้งฝอยน้ำ�หนัก 1 ขดี ซง่ึ คิดราคากุ้งฝอยได้เป็น 340 บาท 4. ค�ำ ตอบมีไดห้ ลากหลาย เชน่ วธิ ที ี่ 1 คิดจากจ�ำ นวนเสือ้ 3 ตวั และกางเกง 4 ตัว คูณกับราคาเสือ้ และราคากางเกง ตามล�ำ ดับ วธิ ที ี่ 2 คดิ จากราคาเส้อื ตัวละ 100 บาท 3 ตวั รวมกับราคากางเกงตัวละ 200 บาท 4 ตวั แล้วนำ�มาหกั ออกดว้ ย ราคาท่ีคิดเกินไป คือ ตัวละ 1 บาท ซง่ึ คิดราคาเสื้อและกางเกงไดเ้ ปน็ 1,093 บาท 5. ค�ำ ตอบมีไดห้ ลากหลาย เชน่ วธิ ีท่ี 1 คดิ จากราคานม จ�ำ นวน 18 ลัง น�ำ มาคูณกับราคาตอ่ ลัง วธิ ที ่ี 2 คดิ โดยแบง่ จำ�นวนลงั ของนมออกเป็นสามส่วน คอื 10 ลัง 4 ลัง และ 4 ลงั แลว้ น�ำ มาคณู กับราคาตอ่ ลงั วิธที ี่ 3 คิดโดยน�ำ ราคานม จำ�นวน 20 ลงั หกั ออกด้วยราคานม จ�ำ นวน 2 ลงั ซ่ึงคิดราคานมไดเ้ ป็น 4,500 บาท สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

58 บทที่ 1 | จำ�นวนเตม็ คูม่ อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 กจิ กรรมท้ายบท : นกั ขดุ เพชร กจิ กรรมน้ี เนน้ ใหน้ กั เรยี นไดต้ รวจสอบความเขา้ ใจของตนเองในเรอ่ื งของการบวก การลบ การคณู และการหารจ�ำ นวนเตม็ และพฒั นาความรสู้ กึ เชงิ จ�ำ นวนเกยี่ วกบั การด�ำ เนนิ การของจ�ำ นวนเตม็ ซง่ึ เปน็ เปา้ หมายหลกั ส�ำ หรบั การเรยี นในบทเรยี นน ี้ ทงั้ นี้ ครูอาจใหน้ กั เรียนทำ�กิจกรรมน้ีนอกเวลาเรยี น โดยมขี น้ั ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม ดงั น้ี อุปกรณ์ - ขั้นตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม 1. ครูให้นักเรียนแต่ละคนทำ�กิจกรรมท้ายบท : นักขุดเพชร ในหนังสือเรยี น 2. ครูให้นักเรยี นช่วยกันเฉลยคำ�ตอบ พร้อมทั้งอธบิ ายวิธีคิดและการไดม้ าซึ่งคำ�ตอบ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 1 | จ�ำ นวนเต็ม 59 เฉลยกจิ กรรมทา้ ยบท : นักขดุ เพชร ข้อความแทนความในใจจากผม คือ “กดลิฟต์ 1 ครั้ง เทา่ กับเปดิ ไฟนีออน 500 ดวง” หมายเหต ุ ขอ้ ความดังกล่าวเป็นข้อความเพื่อรณรงค์ใหล้ ดการใชพ้ ลงั งาน โดยกระทรวงพลงั งาน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

60 บทที่ 1 | จำ�นวนเตม็ คู่มอื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 เฉลยแบบฝกึ หัดทา้ ยบท 1. 1) (-35) – [(-14) + (-82)] = (-35) – (-96) = 61 2) 99 + (-33) – (-66) = 66 – (-66) = 132 3) (-21)∙[(-22) + 23] = (-21)∙1 = -21 4) [(-30) – (-90)] ÷ (-12) = 60 ÷ (-12) = -5 5) -10[54 ÷ (-27)](-1) = -10(-2)(-1) = 20(-1) = -20 6) [22∙(-4)] ÷ [24 + (-16)] = (-88) ÷ 8 = -11 7) [5 – (-3)] × [(-8) ÷ 2] = 8 × (-4) = -32 8) 5 – (-3) × (-8) ÷ 2 = 5 – 24 ÷ 2 = 5 – 12 = -7 9) [(8 – 5) × (-2)] + [(-27) ÷ (-3)] = [3 × (-2)] + 9 = -6 + 9 = 3 10) 8 – 5 × (-2) + (-27) ÷ (-3) = 8 – (-10) + 9 = 18 + 9 = 27 2. 1) -10 2) 14 3) -46 4) 12 8) 3 5) -4 6) 1 7) -99 9) 88 10) 7 3. แนวคิด 1 ครอู าจใหน้ ักเรียนใช้ปฏิทนิ ประกอบการหาคำ�ตอบ เพ่ือชว่ ยให้นักเรียนแก้ปญั หาไดง้ ่ายขนึ้ เนอ่ื งจาก ขา้ วกลอ้ งมาเยยี่ มแม่ทกุ 4 วัน ขา้ วเปลอื กมาเยย่ี มแม่ทกุ 5 วนั และขา้ วปัน้ มาเยีย่ มแม่ทกุ 6 วนั ดงั นั้น วนั ทแ่ี มพ่ บกับลูกท้ังสาม เป็นดังนี้ เดือน วันที่แมพ่ บกับลกู ข้อสรปุ เมษายน ขา้ วกล้อง ขา้ วเปลือก ข้าวปั้น แม่จะได้พบข้าวกล้องและข้าวป้ันพร้อมกัน ครง้ั ต่อไปวันท่ี 26 เมษายน 14 14 14 18 19 20 22 24 26 26 29 30 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 1 | จำ�นวนเต็ม 61 เดือน วันทแี่ มพ่ บกบั ลกู ขอ้ สรุป พฤษภาคม ขา้ วกลอ้ ง ขา้ วเปลอื ก ข้าวป้ัน ✤ แม่จะได้พบข้าวกลอ้ งและข้าวเปลือก พรอ้ มกันครั้งต่อไปวนั ท่ี 4 พฤษภาคม มถิ ุนายน 442 898 ✤ แมจ่ ะได้พบขา้ วเปลือกและขา้ วป้ัน 12 14 14 พรอ้ มกันครัง้ ต่อไปวนั ท่ี 14 พฤษภาคม 16 19 20 20 24 26 แมจ่ ะได้พบลูกทัง้ สามคน 24 29 พร้อมกันคร้ังต่อไปวันท่ี 13 มิถนุ ายน 28 131 587 9 13 13 13 18 19 17 23 25 21 28 25 29 แนวคิด 2 ใช้ ค.ร.น. ในการแกป้ ัญหาดังกล่าว ได้ดังนี้ ✤ ถา้ ตอ้ งการหาวันท่ีแม่จะไดพ้ บข้าวกล้องและข้าวเปลอื กพร้อมกันครง้ั ตอ่ ไป ต้องหา ค.ร.น. ของ 4 และ 5 ซ่ึงได้ 20 และเมอ่ื นับตอ่ ไป 20 วนั จะตรงกับวนั ที่ 4 พฤษภาคม ✤ ถ้าตอ้ งการหาวันท่แี ม่จะไดพ้ บขา้ วกลอ้ งและข้าวป้ันพร้อมกนั คร้ังตอ่ ไป ต้องหา ค.ร.น. ของ 4 และ 6 ซง่ึ ได้ 12 และเม่ือนบั ตอ่ ไป 12 วนั จะตรงกับวันท่ี 26 เมษายน ✤ ถา้ ต้องการหาวันทีแ่ มจ่ ะไดพ้ บข้าวเปลือกและขา้ วปนั้ พร้อมกันครง้ั ตอ่ ไป ตอ้ งหา ค.ร.น. ของ 5 และ 6 ซ่งึ ได้ 30 และเมือ่ นบั ตอ่ ไป 30 วัน จะตรงกบั วนั ท่ี 14 พฤษภาคม ✤ ถ้าต้องการหาวนั ที่แมจ่ ะไดพ้ บลกู ทัง้ สามคนพร้อมกนั ครัง้ ต่อไป ต้องหา ค.ร.น. ของ 4, 5 และ 6 ซง่ึ ได้ 60 และเมื่อนับตอ่ ไป 60 วนั จะตรงกับวนั ท่ี 13 มถิ ุนายน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

62 บทที่ 1 | จ�ำ นวนเต็ม คู่มอื ครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 4. แนวคดิ เนือ่ งจาก ต้องการจัดแถวนักเรียนชายและนักเรียนหญิงให้ได้แถวละเท่า ๆ กัน และให้ได้แถวยาวท่ีสุด โดยไมใ่ ห้นักเรยี นชายและนักเรยี นหญิงอยใู่ นแถวเดียวกัน จ�ำ นวนนักเรียนในแต่ละแถวตามเงื่อนไขข้างตน้ จะตอ้ งเปน็ จ�ำ นวนนับที่มากทีส่ ุดที่หาร 64 และ 96 ลงตัว ซึ่งเป็น ห.ร.ม. ของทั้งสองจ�ำ นวน นน่ั คอื 32 ดงั นนั้ ต้องจัดแถวนักเรียนชายและนักเรียนหญิงแถวละ 32 คน ซึ่งจะได้นักเรียนชาย 2 แถว และ นักเรยี นหญิง 3 แถว น่นั คือ จะจดั แถวนกั เรยี นได ้ 2 + 3 = 5 แถว แถวละ 32 คน 5. 1) อณุ หภมู ขิ องอาหารกอ่ นทจี่ ะนำ�ไปแชแ่ ขง็ แบบเร็ว เท่ากับ 5 + 120 = 125 องศาเซลเซียส 2) อาหารท่ตี ม้ สุกแลว้ ถกู ลดอุณหภมู ิลง 125 – (-25) = 150 องศาเซลเซยี ส 3) เมื่อเวลาผ่านไป 1 นาท ี อณุ หภูมขิ องอาหารแชแ่ ข็งเปลย่ี นแปลงไปโดยเฉล่ยี (-150) ÷ 30 = -5 องศาเซลเซยี ส 6. แนวคิด เนอ่ื งจาก ความสงู ท่เี พิม่ ขนึ้ ทุก ๆ 1,000 ฟุต จากระดับนำ้�ทะเล อุณหภูมิจะลดลง 2 องศาเซลเซียส จะได้วา่ ทค่ี วามสูงประมาณ 29,000 ฟตุ จากระดับน้ำ�ทะเล อณุ หภูมิจะเปล่ยี นแปลงไป (29,000 ÷ 1,000) × (-2) = -58 องศาเซลเซยี ส และจากท่ีโจทย์ก�ำ หนดใหว้ ่า อณุ หภูมิที่ระดับน้�ำ ทะเลเปน็ 15 องศาเซลเซยี ส ดงั น้ัน อณุ หภูมทิ ี่ยอดเขาเอเวอเรสตป์ ระมาณ 15 + (-58) หรอื -43 องศาเซลเซยี ส 7. 1) ดาวศกุ ร ์ และมีอุณหภูมิประมาณ 470 องศาเซลเซยี ส 2) ดาวเนปจนู และมอี ณุ หภมู ิประมาณ -200 องศาเซลเซยี ส 3) ดาวพฤหัสบดมี ีอณุ หภมู ิเฉล่ยี บนพ้นื ผวิ มากกว่าดาวเนปจนู อยปู่ ระมาณ -110 – (-200) = 90 องศาเซลเซียส 4) แนวคดิ ผลรวมของอุณหภูมิเฉล่ียบนพ้ืนผิวของดาวพฤหัสบดีและดาวเสาร์ต่างจากอุณหภูมิเฉลี่ยบนพื้นผิว ของดาวเนปจูนอยู่ประมาณ -250 – (-200) = -50 องศาเซลเซยี ส นน่ั คือ ผลรวมของอุณหภูมิเฉลี่ยบนพ้ืนผิวของดาวพฤหัสบดีและดาวเสาร์ตำ่�กว่าอุณหภูมิเฉล่ีย บนพืน้ ผิวของดาวเนปจนู อยปู่ ระมาณ 50 องศาเซลเซียส 5) แนวคดิ เนื่องจาก โลกมอี ุณหภมู เิ ฉลยี่ บนพ้ืนผวิ ประมาณ 15 องศาเซลเซียส ดงั นน้ั อณุ หภมู ทิ เ่ี ปน็ สามเทา่ ของอณุ หภมู เิ ฉลย่ี บนพน้ื ผวิ ของโลก คอื 3 × 15 = 45 องศาเซลเซยี ส จะไดว้ ่า ดาวเคราะห์ท่ีมีอุณหภูมิเฉลี่ยบนพ้ืนผิวน้อยกว่าอุณหภูมิเฉลี่ยบนพื้นผิวโลกอยู่ประมาณ 3 เท่า จะมีอณุ หภูมเิ ป็น 15 – 45 = -30 องศาเซลเซียส จากภาพ จงึ ไดว้ า่ ดาวองั คารมอี ณุ หภมู เิ ฉลยี่ บนพนื้ ผวิ นอ้ ยกวา่ อณุ หภมู เิ ฉลยี่ บนพนื้ ผวิ โลกอยปู่ ระมาณ 3 เทา่ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเต็ม 63 6) แนวคดิ เนื่องจาก ดาวอังคารมีอณุ หภูมเิ ฉลีย่ บนพน้ื ผิวประมาณ -30 องศาเซลเซยี ส จะได้ว่า ถา้ อณุ หภมู ิเฉลี่ยบนพ้ืนผิวของดาวองั คารลดลง 6 เทา่ จะมีอุณหภูมปิ ระมาณ 6 × (-30) = -180 องศาเซลเซยี ส และดาวยเู รนสั มอี ุณหภมู เิ ฉลีย่ บนพื้นผิวประมาณ -195 องศาเซลเซยี ส ดงั น้นั ถ้าอุณหภูมิเฉล่ียบนพื้นผิวของดาวอังคารลดลงไปอีก 6 เท่า แล้วอุณหภูมิเฉลี่ยบนพ้ืนผิวของ ดาวองั คารจะตา่ งจากอณุ หภมู เิ ฉลย่ี บนพน้ื ผวิ ของดาวยเู รนสั อยปู่ ระมาณ -180 – (-195) = 15 องศาเซลเซียส นั่นคอื ถา้ อณุ หภมู เิ ฉลย่ี บนพน้ื ผวิ ของดาวองั คารลดลงไปอกี 6 เทา่ แลว้ จะมอี ณุ หภมู เิ ฉลย่ี สงู กวา่ อณุ หภมู ิ เฉลี่ยบนพน้ื ผิวของดาวยูเรนัสอย่ปู ระมาณ 15 องศาเซลเซยี ส 7) แนวคิด เน่อื งจาก ระบบสุริยะเป็นระบบท่ีมีดวงอาทิตย์เป็นศูนย์กลาง และมีดาวเคราะห์เป็นบริวาร 8 ดวง โดยอย่หู ่างจากดวงอาทิตยต์ ามล�ำ ดบั ต่อไปน้ี ดาวพุธ ดาวศกุ ร์ โลก ดาวองั คาร ดาวพฤหสั บดี ดาวเสาร ์ ดาวยเู รนัส และดาวเนปจนู จากภาพ จะเห็นว่าดาวเคราะห์ส่วนใหญ่ถ้ามีระยะห่างจากดาวเคราะห์น้ัน ๆ ถึงดวงอาทิตย์ย่ิงมาก อณุ หภมู ิเฉลย่ี บนพืน้ ผิวของดาวเคราะหน์ น้ั ๆ จะยิง่ ต�ำ่ ยกเวน้ ดาวศุกร์ท่ีอยู่หา่ งจากดวงอาทติ ย์ มากกว่าดาวพุธ แต่กลับมีอุณหภูมิเฉล่ีย บนพื้นผิวสูงกว่าดาวพุธ ท้ังนี้เนื่องจากดาวศุกร์มี บรรยากาศที่หนาทึบ และเต็มไปด้วยก๊าซคาร์บอนไดออกไซด์ ทำ�ให้เกิดภาวะเรือนกระจก จึงเปน็ สาเหตุให้อณุ หภมู เิ ฉลี่ยบนพื้นผิวของดาวศกุ รส์ งู กวา่ ดาวพุธ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

64 บทท่ี 1 | จำ�นวนเตม็ คมู่ อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 ตัวอย่างแบบทดสอบท้ายบท 1. ให้นักเรียนพิจารณาว่า ข้อความในแต่ละข้อต่อไปนี้ถูกหรือผิด โดยไม่ต้องคำ�นวณหาผลลัพธ์ แล้วทำ�เคร่ืองหมาย P หรือ  ลงใน หนา้ ขอ้ ความ พร้อมทงั้ แสดงเหตผุ ลประกอบ (16 คะแนน) 1) -719 + 305 มากกว่า -719 + (-305) เพราะ 2) -836 นอ้ ยกว่า -836 4 -4 เพราะ 3) (-93)(-125) นอ้ ยกวา่ 93 × 125 เพราะ 4) (-65)(13) เท่ากบั 65 × (-13) เพราะ 5) 0 – (-218) นอ้ ยกว่า 0 + 218 เพราะ 6) 1,350 – 110 มากกวา่ 1,350 – 110 5 -5 เพราะ 7) ถา้ a = -65 และ b = -56 แล้ว a < b เพราะ 8) ถา้ a = 87, b = -12 และ c = -11 แล้ว a + b > a + c เพราะ 2. จงหาผลลพั ธใ์ นแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี (5 คะแนน) 1) [12 ÷ (-3)] × 2 = 2) (-7) × [3 – (-7)] = 3) 24 ÷ (-3 – 3) = 4) [5 × (-2)] ÷ [3 – (4 – 6)] = 5) จำ�นวนเต็มจำ�นวนหนึง่ เมือ่ บวกกับ -40 แล้ว มีผลบวกเปน็ 45 จ�ำ นวนเตม็ จำ�นวนนน้ั คอื สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเตม็ 65 3. เมื่อกำ�หนดให ้ a เป็นจ�ำ นวนเตม็ บวก และ b เป็นจ�ำ นวนเตม็ ลบ จงพจิ ารณาวา่ ข้อความในแต่ละขอ้ เปน็ จรงิ หรือไม่ พร้อมทง้ั ให้เหตผุ ลประกอบ (12 คะแนน) 1) a + b เปน็ จ�ำ นวนเตม็ บวก เปน็ จรงิ / ไม่เป็นจริง / สรุปไมไ่ ด้ เพราะ 2) a – a เปน็ จำ�นวนเตม็ ลบ เป็นจรงิ / ไม่เป็นจริง / สรุปไม่ได้ เพราะ เปน็ จริง / ไม่เปน็ จรงิ / สรุปไมไ่ ด้ เปน็ จริง / ไม่เปน็ จริง / สรุปไมไ่ ด้ เปน็ จริง / ไม่เปน็ จรงิ / สรปุ ไม่ได้ 3) b – a เปน็ จำ�นวนเต็มลบ เป็นจริง / ไมเ่ ปน็ จรงิ / สรุปไมไ่ ด้ เพราะ 4) a × b เป็นจำ�นวนเต็มบวก เพราะ 5) b × a เปน็ จ�ำ นวนเต็มลบ เพราะ 6) a × (b + b) เป็นจำ�นวนเตม็ บวก เพราะ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

66 บทท่ี 1 | จำ�นวนเต็ม ค่มู ือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 เฉลยตัวอย่างแบบทดสอบท้ายบท 1. ให้นักเรียนพิจารณาว่า ข้อความในแต่ละข้อต่อไปน้ีถูกหรือผิด โดยไม่ต้องคำ�นวณหาผลลัพธ์ แล้วทำ�เคร่ืองหมาย P หรอื  ลงใน หนา้ ขอ้ ความ พร้อมท้งั แสดงเหตุผลประกอบ (16 คะแนน) P 1) -719 + 305 มากกว่า -719 + (-305) P 2) เพราะ ตัวตั้ง -719 เท่ากัน แตต่ วั บวก 305 มากกว่า -305 Î 3) P 4) -836 นอ้ ยกวา่ -836 Î 5) 4 -4 P 6) เ พราะ -8436 มผี ลหารเปน็ จ�ำ นวนลบ แต่ -8-436 มีผลหารเปน็ จำ�นวนบวก P 7) (-93)(-125) น้อยกวา่ 93 × 125 Î 8) เพราะ -93 กับ 93 และ -125 กับ 125 แตล่ ะคู่ ตา่ งกม็ ีค่าสัมบูรณ์เทา่ กัน และผลคณู ของ ทั้งสองจำ�นวนต่างกเ็ ปน็ จำ�นวนเต็มบวก จึงทำ�ให ้ (-93)(-125) เท่ากับ 93 × 125 (-65)(13) เทา่ กบั 65 × (-13) เพราะ -65 กับ 65 มคี า่ สัมบรู ณ์เท่ากนั 13 กับ -13 มีค่าสมั บูรณเ์ ทา่ กัน และผลคณู ของ ทัง้ สองจำ�นวนต่างก็เปน็ จ�ำ นวนเต็มลบ 0 – (-218) น้อยกวา่ 0 + 218 เพราะ 0 – (-218) เขยี นในรปู การบวกไดเ้ ปน็ 0 + 218 1,350 – 110 มากกว่า 1,350 – 110 5 -5 เ พราะ 1,3505– 110 มผี ลลพั ธเ์ ปน็ จำ�นวนบวก แต ่ 1,350-5– 110 มีผลลัพธเ์ ปน็ จ�ำ นวนลบ ดงั น้ัน 1,3505– 110 มากกวา่ 1,350-5– 110 ถ้า a = -65 และ b = -56 แล้ว a < b เพราะ -65 < -56 ถ้า a = 87, b = -12 และ c = -11 แลว้ a + b > a + c เพราะ -12 < -11 หรือ b < c ดังนัน้ a + b < a + c สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 1 | จ�ำ นวนเต็ม 67 ความสอดคลอ้ งกบั จุดประสงคข์ องบทเรยี น ขอ้ 1 นกั เรียนสามารถเปรยี บเทียบจำ�นวนเต็ม ข้อ 2 นักเรยี นสามารถหาผลบวก ผลลบ ผลคณู และผลหารของจ�ำ นวนเตม็ เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 16 คะแนน ข้อละ 2 คะแนน สว่ นที่ 1 เลือกตอบ ตอบถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน ตอบไม่ถกู ตอ้ งหรอื ไมต่ อบ ได ้ 0 คะแนน สว่ นท่ี 2 ให้เหตผุ ล ใหเ้ หตผุ ลไดส้ มเหตุสมผล ได้ 1 คะแนน ให้เหตผุ ลไมส่ มเหตสุ มผล หรือไมใ่ ห้เหตผุ ล ได้ 0 คะแนน 2. จงหาผลลัพธใ์ นแตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ี (5 คะแนน) 1) [12 ÷ (-3)] × 2 = -8 2) (-7) × [3 – (-7)] = -70 3) 24 ÷ (-3 – 3) = -4 4) [5 × (-2)] ÷ [3 – (4 – 6)] = -2 5) จำ�นวนเตม็ จำ�นวนหนึ่ง เมอื่ บวกกบั -40 จะมีผลบวกเปน็ 45 จ�ำ นวนจ�ำ นวนน้ัน คือ 85 ความสอดคลอ้ งกบั จดุ ประสงค์ของบทเรียน ข้อ 2 นักเรียนสามารถหาผลบวก ผลลบ ผลคณู และผลหารของจำ�นวนเต็ม เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน ขอ้ ละ 1 คะแนน ตอบถูกตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน ตอบไม่ถูกต้องหรือไม่ตอบ ได ้ 0 คะแนน 3. เมือ่ กำ�หนดให ้ a เป็นจำ�นวนเตม็ บวก และ b เป็นจ�ำ นวนเต็มลบ จงพิจารณาว่า ข้อความในแตล่ ะข้อเป็นจริงหรือไม่ พรอ้ มทัง้ ใหเ้ หตุผลประกอบ (12 คะแนน) 1) a + b เปน็ จ�ำ นวนเตม็ บวก เปน็ จรงิ / ไมเ่ ปน็ จริง / สรุปไม่ได้ เพราะ เราไมท่ ราบว่าคา่ สมั บูรณ์ของ a มากกวา่ b หรอื ไม่ ถา้ มากกวา่ จึงจะไดว้ ่า a + b เปน็ จ�ำ นวนเตม็ บวก 2) a – a เปน็ จำ�นวนเต็มลบ เปน็ จริง / ไม่เปน็ จรงิ / สรุปไมไ่ ด้ เพราะ a – a = 0 3) b – a เปน็ จำ�นวนเต็มลบ เปน็ จรงิ / ไม่เปน็ จรงิ / สรุปไม่ได้ เพราะ เม่อื น�ำ จำ�นวนเต็มลบ ลบด้วยจำ�นวนเตม็ บวก จะไดผ้ ลลบเปน็ จำ�นวนเต็มลบเสมอ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

68 บทที่ 1 | จำ�นวนเต็ม คมู่ อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 4) a × b เปน็ จำ�นวนเตม็ บวก เป็นจริง / ไมเ่ ป็นจรงิ / สรุปไม่ได้ เพราะ เมอ่ื น�ำ จำ�นวนเต็มบวก คณู ดว้ ยจำ�นวนเตม็ ลบ จะไดผ้ ลคูณเป็นจำ�นวนเต็มลบเสมอ 5) b ÷ a เปน็ จำ�นวนเตม็ ลบ เปน็ จริง / ไมเ่ ป็นจริง / สรปุ ไม่ได้ เพราะ เราไมท่ ราบว่า b ÷ a จะมผี ลหารเป็นจำ�นวนเตม็ หรอื ไม่ 6) a × (b + b) เป็นจำ�นวนเตม็ บวก เป็นจริง / ไมเ่ ปน็ จรงิ / สรุปไม่ได้ เพราะ b + b เป็นจำ�นวนเต็มลบ ดังน้ัน จำ�นวนเต็มบวกคูณด้วยจำ�นวนเต็มลบ จะได้ผลคูณเป็นจำ�นวน เตม็ ลบเสมอ ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงค์ของบทเรียน ขอ้ 3 นกั เรยี นสามารถน�ำ ความรูเ้ รอื่ งจ�ำ นวนเต็มไปใชใ้ นการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 12 คะแนน ขอ้ ละ 2 คะแนน ส่วนท่ี 1 เลอื กตอบ ตอบถูกตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน ตอบไมถ่ ูกต้องหรอื ไม่ตอบ ได ้ 0 คะแนน ส่วนที่ 2 ใหเ้ หตผุ ล ใหเ้ หตผุ ลได้สมเหตสุ มผล ได้ 1 คะแนน ให้เหตผุ ลไมส่ มเหตุสมผล หรอื ไม่ใหเ้ หตผุ ล ได้ 0 คะแนน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 69 บทที่ 2 การสรา้ งทางเรขาคณิต บทการสร้างทางเรขาคณิตประกอบด้วยหัวขอ้ ย่อย ดังต่อไปนี้ 2.1 รปู เรขาคณติ พืน้ ฐาน 1 ชั่วโมง 2.2 การสร้างพ้นื ฐานทางเรขาคณติ 6 ชัว่ โมง 2.3 การสร้างรูปเรขาคณิต 4 ชว่ั โมง สาระและมาตรฐานการเรยี นรู้ สาระ การวัดและเรขาคณติ มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวิเคราะหร์ ูปเรขาคณิต สมบัตขิ องรูปเรขาคณิต ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งรปู เรขาคณติ และ ทฤษฎีบททางเรขาคณติ และนำ�ไปใช้ ตวั ชีว้ ัด ใช้ความรู้ทางเรขาคณิตและเครื่องมือ เช่น วงเวียนและสันตรง รวมทั้งโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หรือโปรแกรมเรขาคณิตพลวัตอ่ืน ๆ เพ่ือสร้างรูปเรขาคณิต ตลอดจนนำ�ความรู้เก่ียวกับการสร้างน้ีไปประยุกต์ใช้ ในการแก้ปญั หาในชวี ิตจรงิ จุดประสงคข์ องบทเรียน นกั เรียนสามารถ 1. ใชว้ งเวยี นและสันตรง หรอื ซอฟตแ์ วรเ์ รขาคณิตพลวตั ในการสรา้ งพนื้ ฐานทางเรขาคณติ 2. ใชว้ งเวยี นและสนั ตรง หรือซอฟตแ์ วรเ์ รขาคณิตพลวัต ในการสร้างรูปเรขาคณิตและนำ�ไปใช้แก้ปญั หาในชวี ติ จรงิ ความเชอื่ มโยงระหวา่ งตวั ช้ีวดั กับจดุ ประสงค์ของบทเรยี น เนื่องจากตัวช้ีวัดกล่าวถึงการใช้ความรู้ทางเรขาคณิตและเครื่องมือในการสร้างรูปเรขาคณิต และการนำ�ความรู้เกี่ยวกับ การสร้างดังกล่าวไปใช้ในการแก้ปัญหา เพ่ือให้การเรียนรู้ของนักเรียนในเรื่องการสร้างทางเรขาคณิตสอดคล้องกับตัวช้ีวัด ครคู วรจัดประสบการณ์ให้นกั เรียนสามารถ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

70 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต คู่มือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 1. ใช้ความรู้ทางเรขาคณติ และเคร่อื งมือ เช่น วงเวยี นและสันตรง รวมทัง้ โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หรอื ซอฟตแ์ วรเ์ รขาคณติ พลวตั อน่ื ๆ เพอื่ สรา้ งรปู เรขาคณติ ซงึ่ สะทอ้ นไดจ้ ากการทนี่ กั เรยี นสามารถอธบิ ายลกั ษณะ และสมบัติของรูปเรขาคณิตพื้นฐาน รวมท้ัง สามารถใช้วงเวียนและสันตรง หรือซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัต ในการสร้างพน้ื ฐานทางเรขาคณติ และบอกขั้นตอนการสร้างได้ 2. นำ�ความรู้เกย่ี วกบั การสรา้ งพื้นฐานทางเรขาคณิตไปประยกุ ต์ใช้ในการแกป้ ญั หาในชีวติ จรงิ ซงึ่ สะท้อนได้จากการ ที่นักเรียนสามารถใช้วงเวียนและสันตรง หรือซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัตในการสร้าง และบอกข้ันตอนการสร้าง รปู เรขาคณติ รวมทง้ั ส�ำ รวจ สงั เกต และคาดการณเ์ กย่ี วกบั สมบตั ทิ างเรขาคณติ และน�ำ ไปใชแ้ กป้ ญั หาในชวี ติ จรงิ ได้ ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ทกั ษะและกระบวนการ 2.1 หวั ขอ้ 2.3 ทางคณติ ศาสตร์ รูปเรขาคณิต 2.2 การสรา้ ง การสรา้ ง พืน้ ฐานทาง รปู เรขาคณิต การแกป้ ญั หา พนื้ ฐาน การส่อื สารและการสอ่ื ความหมาย เรขาคณิต ทางคณิตศาสตร์ การเช่อื มโยง ✤ การใหเ้ หตผุ ล การคิดสรา้ งสรรค์ ✤ ✤✤ ✤✤ 2+2=4 ความรู้พนื้ ฐานทน่ี ักเรยี นตอ้ งมี ครูอาจทบทวนความรพู้ ื้นฐานทน่ี ักเรยี นต้องมีกอ่ นเรียน ดังนี้ 1. รปู เรขาคณติ และสมบตั ขิ องรปู เรขาคณติ เชน่ รปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ รปู สามเหลย่ี มหนา้ จวั่ รปู สเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั และ รปู สเ่ี หล่ยี มดา้ นขนาน 2. เสน้ ขนาน ความคิดรวบยอดของบทเรยี น การสร้างพ้ืนฐานทางเรขาคณิต เป็นการสร้างเก่ียวกับส่วนของเส้นตรง มุม และเส้นตั้งฉาก โดยใช้เคร่ืองมือที่สำ�คัญ เพียงสองชนิด ได้แก่ วงเวยี นและสนั ตรง การสร้างดงั กลา่ วน�ำ ไปส่กู ารสร้างรูปเรขาคณิต และน�ำ ไปประยกุ ต์ใช้ในการแกป้ ัญหา ในชวี ิตจริง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 71 2.1 รปู เรขาคณติ พ้นื ฐาน (1 ชวั่ โมง) จดุ ประสงค์ นกั เรียนสามารถ 1. อธบิ ายลกั ษณะและสมบตั ขิ องจดุ เสน้ ตรง สว่ นของเส้นตรง รงั สี และมุม 2. เปรียบเทียบความยาวของส่วนของเส้นตรง และขนาดของมมุ โดยใช้วงเวยี น ความเขา้ ใจทคี่ ลาดเคลอื่ น 1. นกั เรยี นอาจเขา้ ใจคลาดเคลอ่ื นวา่ เสน้ ตรงและรงั สสี ามารถหาความยาวได้ เนอ่ื งจากนกั เรยี นพจิ ารณาเฉพาะความยาว ของเส้นตรงและรงั สีที่ปรากฏ 2. นักเรียนอาจเข้าใจคลาดเคลื่อนว่าขนาดของมุมขึ้นอยู่กับความยาวแขนของมุม เช่น จากรูปด้านล่าง นักเรียนเข้าใจ คลาดเคลื่อนว่า มุม ABC มีขนาดเล็กกว่ามุม DEF เพราะแขนของมุม ABC สั้นกว่า ทำ�ให้มีมุมขนาดเล็กกว่า ซึ่งแทจ้ รงิ แล้ว มุมทง้ั สองมขี นาดเทา่ กัน F C B A E D สอ่ื ท่แี นะน�ำ ใหใ้ ช้ในข้อเสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรียนรู้ 1. วงเวียน และสันตรง 2. โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หรือซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัตอื่น ๆ 3. ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 2.1 ก : นับจำ�นวนเส้นตรง 4. ใบกิจกรรมเสนอแนะ 2.1 ข : นับจำ�นวนจุดตัด ขอ้ เสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรียนรู้ ในหวั ขอ้ นเ้ี ปน็ เรอ่ื งเกยี่ วกบั รปู เรขาคณติ พนื้ ฐาน ซง่ึ ครคู วรแนะน�ำ อนยิ ามและนยิ ามเกยี่ วกบั จดุ เสน้ ตรง สว่ นของเสน้ ตรง รังสี และมมุ ซึ่งเป็นพืน้ ฐานในการสรา้ งรูปเรขาคณติ ทง้ั น้ี ครูควรพฒั นาความรสู้ กึ เชงิ ปริภูมิ (spatial sense) และการนกึ ภาพ (visualization) เกีย่ วกับรูปเรขาคณิตใหก้ ับนักเรยี น กิจกรรมท่ีครคู วรจดั มีดงั น้ี 1. ครูควรเช่อื มโยงความร้เู ร่อื งรูปเรขาคณิต และสมบัติของรูปเรขาคณิต ท่นี ักเรียนเคยเรียนมาแล้ว มาแนะนำ�จุด และเสน้ ตรง ซง่ึ จะน�ำ ไปสกู่ ารนยิ ามสว่ นของเสน้ ตรง รงั สี และมมุ รวมทง้ั แนะน�ำ สมบตั ขิ องจดุ และเสน้ ตรง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

72 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ ค่มู ือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 2. ครูอาจให้นักเรียนเชื่อมโยงความรู้พ้ืนฐานทางเรขาคณิตกับส่ิงท่ีพบเห็นท่ัวไปในชีวิตจริง โดยการสำ�รวจและ ยกตวั อย่างส่ิงต่าง ๆ ท่มี สี ว่ นประกอบของจุด ส่วนของเสน้ ตรง รงั สี และมมุ หรอื ดูรูปภาพประกอบ เช่น จุดแสดงต�ำ แหน่งบนแผนท ่ี ส่วนของเสน้ ตรงจากขอบไมบ้ รรทดั รงั สจี ากลำ�แสงเลเซอร์ มุมท่ีเกดิ จากการพับกระดาษ 3. ครูอาจใชโ้ ปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หรอื ซอฟตแ์ วร์เรขาคณติ พลวตั อ่ืน ๆ แสดงให้นกั เรยี นเข้าใจ ลักษณะและสมบัติของรูปเรขาคณิตพ้ืนฐาน ซ่ึงจะช่วยพัฒนาความรู้สึกเชิงปริภูมิ และการนึกภาพเก่ียวกับ รปู เรขาคณิตพ้ืนฐาน 4. ครอู าจใช้ “กจิ กรรมเสนอแนะ 2.1 ก : นบั จ�ำ นวนเสน้ ตรง” และ “กจิ กรรมเสนอแนะ 2.1 ข : นับจ�ำ นวนจดุ ตัด” เพอื่ ใหไ้ ดข้ อ้ สรปุ เก่ียวกับความสัมพนั ธ์ของจำ�นวนจุดและจำ�นวนเส้นตรงทสี่ งั เกตพบจากการท�ำ กจิ กรรม 5. ครคู วรอธบิ ายและสาธติ การเปรยี บเทยี บความยาวของสว่ นของเสน้ ตรง และขนาดของมมุ โดยใชว้ งเวยี น จากนน้ั ก�ำ หนดสว่ นของเสน้ ตรงทม่ี คี วามยาวแตกตา่ งกนั และมมุ ทมี่ ขี นาดหลากหลาย แลว้ ใหน้ กั เรยี นลงมอื ปฏบิ ตั โิ ดยใช้ วงเวียนในการเปรียบเทียบความยาวของส่วนของเส้นตรงและขนาดของมุม ทั้งนี้ ครูอาจช้ีให้นักเรียนเห็นว่า เมอ่ื ตอ่ แขนของมุมทง้ั สองข้างออกไปเร่ือย ๆ ขนาดของมุมจะไม่เปลี่ยนแปลง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 73 กิจกรรมเสนอแนะ 2.1 ก : นับจ�ำ นวนเสน้ ตรง กจิ กรรมน้ี เปน็ กจิ กรรมทชี่ ว่ ยสรา้ งเสรมิ ความเขา้ ใจเกยี่ วกบั สมบตั ขิ องจดุ และเสน้ ตรง ฝกึ ใหน้ กั เรยี นคนุ้ เคยกบั การคน้ หา แบบรูปจากการสังเกตและสืบเสาะ สามารถบอกจำ�นวนเส้นตรงท่ีลากผ่านจุดครั้งละสองจุด เมื่อกำ�หนดจุดหลาย ๆ จุดให้ โดยมอี ปุ กรณ์และขั้นตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม ดงั นี้ อปุ กรณ์ ใบกิจกรรมเสนอแนะ 2.1 ก : นบั จำ�นวนเส้นตรง ขน้ั ตอนการดำ�เนินกิจกรรม 1. ครูให้นักเรียนทำ�ใบกิจกรรมเสนอแนะ 2.1 ก : นับจำ�นวนเสน้ ตรง โดยลากเส้นตรงผ่านจุดคร้ังละสองจุด แล้วเติม จำ�นวนเส้นตรง และเขยี นจ�ำ นวนเส้นตรงในรปู ผลบวกของจำ�นวนนบั 2. ครูใหน้ กั เรยี นสังเกตความสัมพันธ์ระหว่างจำ�นวนเสน้ ตรงกับจ�ำ นวนจดุ ในข้อน้นั แล้วตอบค�ำ ถามตอนที่ 2 ข้อ 1) 3. ครูให้นักเรียนใชค้ วามสมั พันธ์ที่ได้จากการตอบค�ำ ถามตอนที่ 2 ขอ้ 1) ในการตอบค�ำ ถามข้อที่ 2) ของตอนเดยี วกนั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

74 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ คู่มอื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 2.1 ก : นบั จ�ำ นวนเส้นตรง ตอนท่ี 1 ให้นักเรียนลากเส้นตรงผ่านจุดครั้งละสองจุด แล้วบันทึกจำ�นวนเส้นตรง พร้อมท้ังเขียนจำ�นวนเส้นตรงในรูป ผลบวกของจำ�นวนนบั ขอ้ จำ�นวนจดุ รูปทสี่ รา้ ง จ�ำ นวน จ�ำ นวนเส้นตรงในรูป เส้นตรง ผลบวกของจำ�นวนนับ ก2 1 1 ข3 3 1+2 ค4 ง5 จ6 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 75 ตอนท่ี 2 จากตารางข้างต้น จงตอบคำ�ถามตอ่ ไปนี้ 1) ในแต่ละข้อ จำ�นวนเส้นตรงท่ีได้ สัมพันธ์กับจำ�นวนจดุ ในขอ้ นนั้ อยา่ งไร 2) ถา้ ก�ำ หนดจำ�นวนจดุ เป็น 7, 8 และ 9 จดุ โดยไมม่ สี ามจดุ ใดอย่บู นเสน้ ตรงเดียวกัน จ�ำ นวนเส้นตรง ทีล่ ากผ่านจุดเหลา่ นี้ คร้ังละสองจุดมีก่ีเสน้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

76 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ คูม่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 เฉลยใบกิจกรรมเสนอแนะ 2.1 ก : นับจ�ำ นวนเสน้ ตรง ตอนท่ี 1 รูปท่ีสร้าง จ�ำ นวน จ�ำ นวนเสน้ ตรงในรูป เส้นตรง ผลบวกของจ�ำ นวนนบั 1 1 ขอ้ จ�ำ นวนจุด ก2 ข3 3 1+2 ค4 6 1+2+3 ง5 10 1 + 2 + 3 + 4 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 77 ขอ้ จ�ำ นวนจุด รูปทีส่ รา้ ง จ�ำ นวน จ�ำ นวนเส้นตรงในรปู เสน้ ตรง ผลบวกของจ�ำ นวนนบั จ6 15 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ตอนที่ 2 1) ในแตล่ ะข้อ จ�ำ นวนเสน้ ตรงทไี่ ด้ สมั พันธก์ ับจำ�นวนจุดในขอ้ นน้ั อย่างไร จ�ำ นวนเสน้ ตรงเทา่ กับผลบวกของจ�ำ นวนนับ ตัง้ แตห่ นึ่งจนถงึ จำ�นวนจดุ ลบด้วยหนงึ่ เช่น เม่ือจ�ำ นวนจดุ เท่ากับ 4 จ�ำ นวนเสน้ ตรงเทา่ กับ 1 + 2 + 3 หรอื 6 เส้น 2) ถ้าก�ำ หนดจ�ำ นวนจุดเปน็ 7, 8 และ 9 จดุ โดยไมม่ ีสามจุดใดอยูบ่ นเส้นตรงเดียวกัน จ�ำ นวนเส้นตรงทล่ี ากผ่าน จุดเหล่าน้ี ครัง้ ละสองจุดมีก่ีเสน้ 21, 28 และ 36 เส้น ตามลำ�ดับ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

78 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต คมู่ อื ครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 กิจกรรมเสนอแนะ 2.1 ข : นบั จ�ำ นวนจุดตดั กจิ กรรมนี้ เปน็ กจิ กรรมทชี่ ว่ ยสรา้ งเสรมิ ความเขา้ ใจเกยี่ วกบั สมบตั ขิ องจดุ และเสน้ ตรง ฝกึ ใหน้ กั เรยี นคนุ้ เคยกบั การคน้ หา แบบรูปจากการสังเกตและสืบเสาะ รวมท้งั สามารถบอกจำ�นวนจดุ ตดั ของเส้นตรงเมื่อก�ำ หนดเสน้ ตรงหลาย ๆ เสน้ ให้ โดยมี อปุ กรณ์และขั้นตอนการด�ำ เนินกจิ กรรม ดงั นี้ อุปกรณ์ ใบกิจกรรมเสนอแนะ 2.1 ข : นับจ�ำ นวนจุดตัด ขั้นตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม 1. ครใู หน้ กั เรียนทำ�ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 2.1 ข : นับจำ�นวนจุดตดั โดยใหน้ ักเรียนเขียนเสน้ ตรงและเตมิ จำ�นวนจดุ ตัด พร้อมท้งั เขยี นจำ�นวนจดุ ตดั ในรูปผลบวกของจ�ำ นวนนบั 2. ครูใหน้ ักเรียนสังเกตความสมั พันธ์ระหวา่ งจ�ำ นวนจุดตัดกับจำ�นวนเสน้ ตรงในข้อนน้ั แล้วตอบค�ำ ถามตอนท่ี 2 ข้อ 1) 3. ครใู ห้นกั เรยี นใช้ความสัมพนั ธ์ที่ได้จากการตอบค�ำ ถามตอนที่ 2 ข้อ 1) ในการตอบคำ�ถามข้อ 2) ของตอนเดียวกัน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 79 ใบกิจกรรมเสนอแนะ 2.1 ข : นบั จำ�นวนจุดตดั ตอนท่ี 1 ใหน้ ักเรียนเขียนเส้นตรงโดยให้เส้นตรงสองเสน้ ใด ๆ ตอ้ งตัดกนั เสมอ แล้วบนั ทึกจ�ำ นวนจดุ ตดั พร้อมท้ังเขียน จำ�นวนจุดตัดในรูปของผลบวกของจำ�นวนนับ ข้อ จ�ำ นวน รูปที่สรา้ ง จ�ำ นวนจุดตดั จ�ำ นวนจุดตัดในรูป เสน้ ตรง ผลบวกของจ�ำ นวนนับ ก2 11 ข3 3 1+2 ค4 ง5 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

80 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต คมู่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ตอนที่ 2 จากตารางขา้ งต้น จงตอบคำ�ถามตอ่ ไปน้ี 1. ในแตล่ ะข้อ จ�ำ นวนจดุ ตัดที่ได้ สัมพนั ธ์กบั จ�ำ นวนเส้นตรงในข้อน้นั อย่างไร 2. ถา้ ก�ำ หนดจำ�นวนเสน้ ตรงเป็น 6, 7 และ 8 เสน้ โดยที่ไม่มีเส้นตรงคใู่ ดขนานกนั และไม่มเี สน้ ตรง สามเสน้ ใด ๆ ตัดกนั ท่จี ุดจดุ เดยี วกนั จุดตัดท่ีเกดิ ขึ้นทัง้ หมดมีก่จี ุด สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณิต 81 เฉลยใบกจิ กรรมเสนอแนะ 2.1 ข : นบั จำ�นวนจุดตัด ตอนท่ี 1 ขอ้ จำ�นวน รปู ทสี่ ร้าง จำ�นวนจดุ ตัด จ�ำ นวนจุดตัดในรปู เส้นตรง ผลบวกของจ�ำ นวนนบั ก2 11 ข3 3 1+2 ค4 6 1+2+3 ง5 10 1 + 2 + 3 + 4 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

82 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต คู่มอื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ตอนท่ี 2 1. ในแต่ละขอ้ จ�ำ นวนจุดตดั ท่ีได้ สมั พนั ธก์ ับจำ�นวนเส้นตรงในข้อน้ันอยา่ งไร จำ�นวนจุดตัดเทา่ กับผลบวกของจ�ำ นวนนบั ตง้ั แต่หนึ่งจนถงึ จ�ำ นวนเส้นตรงลบด้วยหนงึ่ เชน่ เม่ือจำ�นวนเสน้ ตรง เทา่ กับ 3 จ�ำ นวนจดุ ตัดเท่ากบั 1 + 2 หรือ 3 จดุ 2. ถา้ ก�ำ หนดจ�ำ นวนเสน้ ตรงเปน็ 6, 7 และ 8 เสน้ โดยทไ่ี มม่ เี สน้ ตรงคใู่ ดขนานกนั และไมม่ เี สน้ ตรงสามเสน้ ใด ๆ ตัดกนั ทจ่ี ุดจุดเดียวกัน จุดตัดท่ีเกิดขนึ้ ท้งั หมดมกี จ่ี ุด 15, 21 และ 28 จุด ตามล�ำ ดับ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต 83 เฉลยชวนคดิ ชวนคิด 2.1 มมุ ระหวา่ งเขม็ สน้ั และเขม็ ยาวของนาฬกิ าทห่ี อนาฬกิ าแหง่ หนง่ึ กบั นาฬกิ าขอ้ มอื ของตนเอง ในเวลาเดยี วกนั มขี นาดเท่ากนั เพราะขนาดของมุมไม่ไดข้ ้นึ อยูก่ ับความยาวของแขนของมุม เฉลยแบบฝึกหัด แบบฝกึ หดั 2.1 1. บอกไม่ได้วา่ มีรงั สกี ี่เส้น เพราะเราสามารถเขียนรังสีท่มี จี ดุ A เป็นจดุ ปลาย ไปได้ทุกทศิ ทาง จึงมรี งั สจี �ำ นวนไม่จ�ำ กดั ทม่ี จี ุด A เปน็ จดุ ปลาย เช่น E F A B D C 2. ส่วนของเสน้ ตรงส้นั ท่สี ดุ 3. ชื่อมมุ ทัง้ หมดมีดังนี้ BˆAC, BˆAD, BˆAE, CˆAD, CˆAE, DˆAE, มุมกลับ BAC, มมุ กลบั BAD, มุมกลบั BAE, มมุ กลับ CAD, มุมกลับ CAE และมุมกลบั DAE C D B AE สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

84 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต คู่มอื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 4. ชื่อมุมมีดงั นี้ P AQ 1) PˆAB และ CˆAQ P AQ C B C B X S X S Y T Y T 2) BˆAC, AˆCB และ CˆBA 3) PˆAQ, QˆAB, BˆAC, CˆAP, มมุ กลับ PAQ, มมุ กลบั QAB, มมุ กลบั BAC, มุมกลบั CAP และมมุ รอบจุด A 5. เมื่อใชว้ งเวยี นตรวจสอบ พบว่า a = d 6. DABC เป็นรูปสามเหลย่ี มหนา้ จ่วั DDEF เป็นรปู สามเหล่ียมด้านไมเ่ ทา่ DPQR เปน็ รูปสามเหลี่ยมดา้ นเท่า 7. 1) แนวคดิ อาจเขียนรังสีและสร้างส่วนของเส้นตรงที่ยาวเท่ากับระยะทางแต่ละช่วงให้ต่อเนื่องกันบนรังสีน้ัน แล้ววัดความยาวคร้ังเดยี ว ดงั นี้ 11 เซนตเิ มตร จะได้ ระยะทางตามเส้นทางในแผนทีย่ าว 11 เซนติเมตร ดังน้นั ระยะทางจรงิ เปน็ 11 × 1,000 เมตร หรอื 11 กโิ ลเมตร 2) ระยะห่างในแผนที่ยาว 9.5 เซนติเมตร ดังนัน้ ระยะหา่ งจรงิ เป็น 9.5 × 1,000 เมตร หรือ 9.5 กิโลเมตร 8. ขนาดของมุมเปน็ ดงั นี้ 2) 120o 3) 180o 1) 30o 5) 270o 6) 300o 4) 210o สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ 85 9. จากการส�ำ รวจสามารถสร้างเขม็ นาฬกิ าท่ีท�ำ มุม 90o ได้ เช่น 00:16 นาฬกิ า 00:49 นาฬิกา 01:21 นาฬกิ า 01:54 นาฬกิ า 02:27 นาฬิกา 03:32 นาฬกิ า 07:21 นาฬกิ า 09:00 นาฬิกา สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

86 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ คมู่ ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 2.2 การสร้างพนื้ ฐานทางเรขาคณติ (6 ชัว่ โมง) จดุ ประสงค์ นักเรียนสามารถสร้างและบอกขั้นตอนการสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิตเก่ียวกับส่วนของเส้นตรง มุม และเส้นต้ังฉาก ที่กำ�หนดให้ โดยใช้วงเวียนและสันตรง หรือโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หรอื ซอฟตแ์ วร์เรขาคณติ พลวตั อน่ื ๆ ความเข้าใจที่คลาดเคล่อื น นักเรียนอาจเข้าใจคลาดเคลื่อนว่าเม่ือเขียนส่วนโค้งด้วยวงเวียนแล้ว จะสร้างส่วนของเส้นตรงจากปลายเหล็กแหลมของ วงเวยี นไปยงั สว่ นโค้งได้เพียงเส้นเดยี วเท่านนั้ ดังรูป B A ซงึ่ ทีจ่ รงิ แลว้ จะสร้างสว่ นของเสน้ ตรงจากปลายเหล็กแหลมของวงเวียนไปยังสว่ นโคง้ ไดเ้ ปน็ จ�ำ นวนไม่จำ�กัด ดงั รูป B A ส่ือทแ่ี นะน�ำ ใหใ้ ชใ้ นข้อเสนอแนะในการจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้ 1. วงเวียน และสันตรง 2. โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หรอื ซอฟตแ์ วร์เรขาคณติ พลวตั อืน่ ๆ ข้อเสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรียนรู้ ในหัวข้อนเ้ี ป็นเร่ืองเกย่ี วกบั การสร้างพ้นื ฐานทางเรขาคณติ ครูควรเนน้ การฝกึ ปฏบิ ัติให้นักเรยี นได้ใช้วงเวยี นและสันตรง หรือโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หรอื ซอฟต์แวร์เรขาคณติ พลวตั อื่น ๆ ในการสรา้ งพน้ื ฐานทางเรขาคณติ เก่ียวกบั ส่วนของเส้นตรง มุม และเส้นตงั้ ฉาก รวมทงั้ จัดกิจกรรมใหน้ กั เรียนไดส้ งั เกต ส�ำ รวจ และคาดการณเ์ กย่ี วกบั การสร้าง เพ่ือเป็น พื้นฐานในการสร้างรูปเรขาคณิตอย่างง่าย ท้ังน้ี ครูควรจะพัฒนาความรู้สึกเชิงปริภูมิ และการนึกภาพเกี่ยวกับรูปเรขาคณิต กจิ กรรมทค่ี รูควรจดั มีดังน้ี สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 87 1. ครูควรจัดกิจกรรมให้นักเรียนได้ฝึกปฏิบัติ สังเกต สำ�รวจ และคาดการณ์ในการสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิต เกี่ยวกับ ส่วนของเสน้ ตรง มมุ และเสน้ ตั้งฉาก ดงั นี้ ✤ การสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิตเกี่ยวกับส่วนของเส้นตรง ได้แก่ การสร้างส่วนของเส้นตรงให้ยาวเท่ากับ ความยาวของส่วนของเส้นตรงท่กี ำ�หนดให้ และการแบง่ ครึ่งสว่ นของเส้นตรงที่ก�ำ หนดให้ ✤ การสรา้ งพน้ื ฐานทางเรขาคณติ เกยี่ วกบั มมุ ไดแ้ ก่ การสรา้ งมมุ ใหม้ ขี นาดเทา่ กบั ขนาดของมมุ ทกี่ �ำ หนดให้ และ การแบ่งครึง่ มุมท่ีก�ำ หนดให้ ✤ การสรา้ งพื้นฐานทางเรขาคณิตเก่ียวกับเสน้ ตัง้ ฉาก ได้แก่ การสรา้ งเสน้ ตัง้ ฉากจากจุดภายนอกมายงั เสน้ ตรง ท่ีกำ�หนดให้ และการสรา้ งเส้นตั้งฉากทจ่ี ุดจุดหนึง่ ทอ่ี ยบู่ นเส้นตรงทกี่ ำ�หนดให้ 2. ครคู วรใช้คำ�ถามขยายความคดิ เพอื่ ใหน้ กั เรยี นใช้การนึกภาพและความรู้สกึ เชงิ ปริภมู ิในการคาดการณ์ เช่น ✤ ในการแบง่ ครง่ึ สว่ นของเสน้ ตรง เหตใุ ดจงึ ตอ้ งกางวงเวยี นมากกวา่ ครง่ึ หนงึ่ ของความยาวของสว่ นของเสน้ ตรง ✤ การแบ่งคร่ึงมุม และการสร้างเส้นตง้ั ฉาก มีความเกย่ี วขอ้ งกันอยา่ งไร ✤ เปน็ ไปได้หรอื ไม่ ท่ีจะแบ่ง AB ออกเปน็ 3 สว่ น หรือ 5 ส่วน ทเ่ี ท่ากัน โดยใชก้ ารสร้างพ้ืนฐาน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

88 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ คมู่ ือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 เฉลยชวนคดิ ชวนคิด 2.2 ไมส่ ามารถสรา้ งรปู สามเหลย่ี มหนา้ จว่ั ได้ เพราะเมอื่ ก�ำ หนดดา้ นทย่ี าว q หนว่ ย เปน็ ฐาน ดา้ นทย่ี าว p หนว่ ย ซึ่งเปน็ ดา้ นประกอบมมุ ยอดจะต้องมคี วามยาวมากกว่าครงึ่ หนงึ่ ของดา้ นที่ยาว q หนว่ ย จงึ จะสามารถสรา้ ง รูปสามเหล่ียมหน้าจ่ัวได้ เน่ืองจากผลบวกของความยาวด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมต้องมากกว่า ความยาวของดา้ นทีเ่ หลือเสมอ ดังภาพ pp q ชวนคิด 2.3 ถ้าส่วนของเส้นตรงที่กำ�หนดให้อยู่บนกระดาษหรือวัสดุท่ีสามารถพับได้ สามารถทำ�ได้โดยพับให้จุดปลาย ของส่วนของเส้นตรงท่ีกำ�หนดให้ทับกันสนิทพอดี รอยพับท่ีเกิดข้ึนคือเส้นแบ่งคร่ึงส่วนของเส้นตรงนั้น หากส่วนของเสน้ ตรงน้นั อยบู่ นวสั ดุท่ีพบั ไมไ่ ด้ ยงั จำ�เปน็ ตอ้ งใช้วงเวียนในการแบง่ คร่งึ ส่วนของเส้นตรงนั้น ชวนคดิ 2.4 ตวั อยา่ งการสร้างมุมกลับขนาด 300 องศา อาจทำ�ไดโ้ ดยสร้างมมุ แหลมขนาด 60 องศา ก่อน ซ่ึงจะได้ มมุ กลับขนาด 300 องศา ดังรปู 300º 60º ชวนคดิ 2.5 รูปสามเหลย่ี มหนา้ จ่วั ชวนคิด 2.6 ไม่เสมอไป เชน่ ไม่สามารถสร้างเส้นตรงจากจุด P ไปต้ังฉากกับส่วนของเส้นตรง AB ได้ ดงั รูป p A B สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 89 เฉลยแบบฝกึ หัด แบบฝกึ หัด 2.2 ก 1. สร้าง Aa aB T จากการสรา้ ง จะได้ AB ยาวเทา่ กับ 2a หนว่ ย 2. สร้าง Aa bB T จากการสร้าง จะได้ AB ยาวเท่ากบั a + b หนว่ ย สร้าง a T P RbQ จากการสรา้ ง จะได้ PR ยาวเท่ากบั a – b หน่วย (สร้าง PQ ใหย้ าวเท่ากับ a หน่วย แลว้ ใช้จดุ Q เป็นจุดศนู ยก์ ลาง รศั มียาวเท่ากบั b หนว่ ย เขียนสว่ นโคง้ ตัด PQ ให้จุดตัดคอื จดุ R) 3. สรา้ ง C ab Ac B สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

90 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ คู่มอื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 1. สรา้ ง AB ยาวเท่ากับ c หน่วย 2. ใชจ้ ุด A เปน็ จุดศนู ยก์ ลาง รัศมยี าวเท่ากบั a หนว่ ย และใชจ้ ดุ B เป็นจดุ ศูนย์กลาง รัศมียาวเท่ากบั b หนว่ ย เขียนสว่ นโคง้ ตัดกนั ใหจ้ ุดตดั คือ จดุ C 3. ลาก AC และ BC จะได้ DABC เปน็ รปู สามเหลี่ยมตามต้องการ 4. สรา้ ง A bb Ba CT 1. สรา้ ง BC ยาวเทา่ กับ a หน่วย 2. ใชจ้ ุด B และจุด C เปน็ จดุ ศูนย์กลาง รศั มยี าวเทา่ กับ b หนว่ ย เขยี นสว่ นโคง้ ตดั กนั ใหจ้ ดุ ตดั คอื จุด A 3. ลาก AB และ AC จะได้ DABC เป็นรปู สามเหลย่ี มหนา้ จวั่ 5. สรา้ ง แบ่งครึ่งสว่ นของเสน้ ตรงที่ยาว b หน่วย จะได้ ส่วนแบง่ แต่ละสว่ นยาว 2b– หน่วย 2b 2b สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 2 | การสรา้ งทางเรขาคณติ 91 A C a b aa 2 Aa B T B bC T 2 รปู ท่ี 1 รูปที่ 2 วิธีสร้างรูปท่ี 1 1. สรา้ ง AB ยาวเทา่ กับ a หน่วย 2. ใชจ้ ุด A เปน็ จุดศนู ย์กลาง รศั มยี าวเท่ากบั a หนว่ ย และใชจ้ ุด B เปน็ จุดศูนย์กลาง รัศมียาวเทา่ กบั 2b– หนว่ ย เขียนสว่ นโค้งตดั กัน ใหจ้ ุดตัดคอื จุด C 3. ลาก BC และ AC จะได้ DABC เป็นรูปสามเหลย่ี มหนา้ จั่วตามตอ้ งการ วธิ สี รา้ งรูปที่ 2 1. สรา้ ง BC ยาวเท่ากบั 2b– หน่วย 2. ใช้จุด B และจดุ C เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมยี าวเทา่ กับ a หน่วย เขยี นสว่ นโคง้ ตัดกนั ให้จดุ ตดั คอื จุด A 3. ลาก AB และ AC จะได้ DABC เป็นรูปสามเหลย่ี มหน้าจ่ัวตามตอ้ งการ 6. 1) สร้าง C 2a 3a A 2a BT 3a จากการสร้าง จะได้ DABC ทีม่ ดี ้านยาว 2a, 3a และ 4a หน่วย ตามตอ้ งการ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

92 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณิต คู่มอื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 2) ผลบวกของความยาวด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมต้องมากกว่าความยาวของด้านท่ีเหลือเสมอ เพราะถ้า สร้างฐานของรูปสามเหล่ียมให้ยาวเท่ากับ 3a หน่วย แล้ว ผลบวกของความยาวของด้านอีกสองด้านเท่ากับ a + 2a = 3a พอดี จะเห็นวา่ รูปท่สี ร้างได้นั้น ส่วนของเส้นตรงทยี่ าว a และ 2a ไม่ชนกัน จึงไม่เกิดเป็น รปู สามเหลี่ยมได้ ดังภาพ a 2a B Aa 2a 3) ไมส่ ามารถสรา้ งได้ เพราะใชแ้ นวคิดเดยี วกับขอ้ 2) 7. สรา้ ง A E C FB 1. แบ่งครง่ึ AB จะได้ AC = CB 2. แบ่งครึ่ง AC จะได้ AE = EC 3. แบง่ ครง่ึ CB จะได้ CF = FB จากการสรา้ ง จะได้ AE, EF, CF และ FB เป็นสว่ นของเสน้ ตรง 4 ส่วน ท่ีแต่ละสว่ นยาวเท่ากัน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต 93 8. เราสามารถแบ่งเป็นสว่ นทยี่ าวเทา่ กัน ได้ดงั นี้ 1) เราสามารถแบง่ ได้ 2 สว่ น 4 ส่วน 8 สว่ น 16 สว่ น … หรือมแี บบรูปเป็น ครง้ั ท่ี 1 แบ่งได้ 2 = 2 สว่ น ครั้งที่ 2 แบ่งได้ 2 × 2 = 4 ส่วน ครงั้ ที่ 3 แบง่ ได้ 2 × 2 × 2 = 8 สว่ น ⋮ ซง่ึ จะแบง่ ได้ตามแบบรปู นี้ไปเรอื่ ย ๆ กลา่ วคือ ในกรณีทั่วไปจะแบ่งได้ 2 × 2 × 2 × . . . × 2 ส่วน เม่ือ n แทน จำ�นวนคร้งั ของการแบง่ n ตัว 2) เราไม่สามารถแบ่งส่วนของเส้นตรงออกเป็น 10 ส่วน ท่ียาวเท่ากันได้ เพราะการแบ่งคร่ึงส่วนของเส้นตรง แตล่ ะสว่ น จะได้จำ�นวนส่วนแบง่ เป็น 2, 4, 8, 16, … เทา่ น้ัน 9. แนวคดิ ใหจ้ ุด A และ B แทนต�ำ แหนง่ บา้ นของเสรแี ละสันติ ตามล�ำ ดับ บ้านของเสรี บา้ นของสนั ติ A O B มาตราสว่ น 1 : 500 หาตำ�แหนง่ ของบ่อนำ้�โดยการแบ่งครงึ่ AB จากการสรา้ ง จะได้จุด O เป็นตำ�แหน่งของบ่อน�ำ้ จากการวดั จะได้ AO = OB = 3.5 เซนตเิ มตร บา้ นของเสรแี ละสนั ตอิ ยหู่ า่ งจากบอ่ น�ำ้ 3.5 × 500 = 1,750 เซนตเิ มตร หรอื เทา่ กบั 17.50 เมตร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

94 บทท่ี 2 | การสรา้ งทางเรขาคณิต ค่มู ือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 1 10. การแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวมาก ๆ สามารถทำ�ได้โดยกางวงเวียนรัศมียาวเท่ากันแบ่งส่วนของเส้นตรง จากจุดปลายทั้งสองเข้ามาหาจุดก่ึงกลางของส่วนของเส้นตรงนี้ จนกว่าจะเหลือส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวส้ันพอ ท่ีจะใชว้ งเวียนแบง่ คร่ึงสว่ นของเส้นตรงได้ ดงั ตัวอย่าง A CO D B จากรูป กางวงเวยี นรศั มียาวเทา่ กนั แบง่ ส่วนของเส้นตรงจากจดุ ปลาย A และ B ใหจ้ ำ�นวนครั้งท่แี บ่งจากปลายทั้งสอง เท่ากนั จนได้จดุ C และจุด D ซึ่ง CD มีความยาวพอที่จะใชว้ งเวียนแบ่งครง่ึ ได้ แล้วใชก้ ารแบ่งครง่ึ CD จะไดจ้ ุด O เปน็ จุดกึ่งกลางของ AB แบบฝกึ หัด 2.2 ข 1. สร้าง A 2. สรา้ ง BC จากการสร้าง จะได้ AˆBC มีขนาดเท่ากบั ขนาดของมุมที่ก�ำ หนดให้ Z YX จากการสรา้ ง จะได้ XˆYZ มีขนาดเท่ากบั ขนาดของมมุ กลับท่ีก�ำ หนดให้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 95 3. สร้าง R PQ จากการสรา้ ง จะได้ RˆPQ มีขนาดเทา่ กับสองเท่าของขนาดของ AˆBC ที่กำ�หนดให้ 4. สรา้ ง C D AB จากการสรา้ ง CˆAB ให้มขี นาดเท่ากับขนาดของ PˆQR และสร้าง DˆAB ใหม้ ขี นาดเท่ากบั ขนาดของ MˆON จากรูป จะได้ CˆAD = CˆAB – DˆAB ดงั น้ัน CˆAD = PˆQR – MˆON 5. สรา้ ง AˆBC ให้มีขนาดนอ้ ยกวา่ 180° AD BC E 1) จากการสรา้ ง �BD เป็นเส้นแบง่ ครึง่ AˆBC และ �BE เปน็ เส้นแบง่ ครึ่งมุมกลับ ABC สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

96 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ คู่มือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 1 2) จะไดข้ อ้ ความคาดการณว์ า่ �BD และ �BE ซงึ่ เป็นเส้นแบง่ ครึง่ มมุ ในข้อ 1) ตอ่ เป็นเสน้ ตรงเดยี วกัน ซึ่งสามารถ แสดงให้เห็นว่าเป็นจริงได้ดงั น้ี เนอื่ งจาก DˆBA + AˆBE = 21– AˆBC + 21– (ขนาดของมมุ กลับ ABC) = 21– (AˆBC + ขนาดของมมุ กลบั ABC) = 21– (360o) = 180o ดังน้ัน �BD และ �BE ตอ่ เปน็ เสน้ ตรงเดียวกัน ซึ่งเป็นขนาดของมุมตรง 6. สร้าง E D C F AB จากการสรา้ ง จะได้ CˆAB มีขนาดเทา่ กบั ขนาดของ XˆYZ �AD แบง่ ครึ่ง CˆAB �AE แบง่ ครง่ึ CˆAD และ �AF แบง่ ครึ่ง DˆAB ดังนัน้ CˆAE = EˆAD = DˆAF = FˆAB 1) ไม่สามารถแบ่ง XˆYZ ออกเป็น 3 มมุ 5 มมุ หรือ 6 มุม ทแี่ ตล่ ะมมุ มขี นาดเทา่ กันดว้ ยวธิ ีการข้างตน้ ได้ 2) โดยใชก้ ารแบ่งครงึ่ มุม เราสามารถแบง่ XˆYZ ออกเปน็ มุมทม่ี ีขนาดเทา่ กนั 2 มมุ 4 มมุ 8 มมุ 16 มมุ … หรือมีแบบรปู เป็นดงั นี้ ครั้งที่ 1 แบ่งได้ 2 = 2 มมุ ครัง้ ที่ 2 แบง่ ได้ 2 × 2 = 4 มุม ครัง้ ท่ี 3 แบ่งได้ 2 × 2 × 2 = 8 มมุ ⋮ ซึง่ จะแบง่ ไดต้ ามแบบรูปนีไ้ ปเรือ่ ย ๆ กล่าวคอื ในกรณที ่ัวไปจะแบง่ ได้ 2 × 2 × 2 × . . . × 2 มมุ เมื่อ n แทน จำ�นวนครั้งของการแบง่ n สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 บทที่ 2 | การสร้างทางเรขาคณติ 97 7. สร้าง C A aB จากการสร้าง จะได้ DABC มี AB = a หนว่ ย AˆBC = PQˆR และ BˆAC = XˆYZ 8. สรา้ ง X R Y PQ S จากการสรา้ ง จะได้ �QX แบ่งคร่งึ PQˆR และ �QY แบ่งครึ่ง RˆQS 1) PQˆR + RˆQS = 180o 2) 1–2 PQˆR + 1–2 RˆQS = 1–2 (PQˆR + RˆQS) = 1–2 (180o) = 90o 3) XˆQY = 90o เพราะว่า XˆQY = XˆQR + RˆQY = –12 PQˆR + 1–2 RˆQS = 90o สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

98 บทท่ี 2 | การสร้างทางเรขาคณติ คู่มอื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 แบบฝกึ หดั 2.2 ค C 1. AO B D 1) จากการสรา้ ง CD แบง่ ครึ่ง AB ทีจ่ ุด O 2) CD ตัง้ ฉากกบั AB ทจ่ี ดุ O เพราะว่า AˆOC + BˆOC = 180o (ขนาดของมมุ ตรง) ซ่ึงจากการใช้วงเวียนวดั ขนาดของ AˆOC และ BˆOC จะพบวา่ AˆOC = BˆOC ดังนัน้ AˆOC = BˆOC = 21– (180o) = 90o 2. P C AO B D 1) จากการสรา้ ง �CD แบ่งครึ่ง AB ที่จดุ O จากขอ้ 1 จะไดว้ ่า �CD ต้ังฉากกบั AB ท่ีจุด O ดว้ ย 2) ให้จดุ P เปน็ จุดใด ๆ บน �CD เมื่อใชว้ งเวียนตรวจสอบความยาวของ PA และ PB จะไดว้ า่ PA = PB สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี