เสริมคิดคณิตศาสตร์ม.ต้น 51-52

”¢ª³™± ‡²™„“°££¡²£²£¨¶©²‚±É™žÉ™· ²™

‡ √¡‘ §‘¥... §≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢—ÈπæÈπ◊ ∞“π  ”π°— æ≤— π“π«—µ°√√¡°“√®—¥°“√»÷°…“  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢π—È æπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√

‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢πÈ— æÈ◊π∞“π ‡√¬’ ∫‡√¬’ ß  ”π°— æ—≤π“π«µ— °√√¡°“√®—¥°“√»°÷ …“ °≈àÿ¡«‘®¬— ·≈–æ—≤π“Õߧå°√·Ààß°“√‡√¬’ π√Ÿâ  ß«π≈¢‘  ‘∑∏Ï‘  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢π—È æ◊Èπ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ æ¡‘ æå§√Èß— ∑Ë’ 1 æ.». 2552 ®”π«πæ‘¡æå 2,000 ‡≈¡à ISBN 978-616-202-184-8 æ¡‘ æ∑å Ë’ ‚√ßæ¡‘ æ™å ÿ¡πÿ¡ À°√≥°å “√‡°…µ√·Àßà ª√–‡∑»‰∑¬ ®”°—¥ 79 ∂ππß“¡«ß»«å “π ·¢«ß≈“¥¬“« ‡¢µ®µ®ÿ °— √ °√ßÿ ‡∑æ¡À“π§√ 10900 ‚∑√. 0-2561-4567 ‚∑√ “√ 0-2579-5101 𓬂™§¥’ ÕÕ «ÿ √√≥ ºâŸæ¡‘ æåºâŸ‚¶…≥“ æ.». 2552 °≈à¡ÿ «‘®¬— ·≈–æ≤— π“Õߧå°√·Ààß°“√‡√’¬π√Ÿâ ‚§√ß°“√æ≤— π“§ÿ≥¿“æ°“√‡√’¬π√Ÿ â  àŸ “°≈ www.khangkhun.net

§”π”  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—ÈπæÈ◊π∞“π ¡’π‚¬∫“¬¬°√–¥—∫§ÿ≥¿“æ¡“µ√∞“π°“√»÷°…“ ¢È—πæÈ◊π∞“π ·≈–„™â°√–∫«π°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ °√–∫«π°“√«‘®—¬æ—≤π“§ÿ≥¿“æ°“√‡√’¬π√Ÿâ ‡ªìπ‡§√Ë◊Õß¡◊Õ„π°“√¢—∫‡§≈Ë◊Õππ‚¬∫“¬ Ÿà°“√ªØ‘∫—µ‘ ·≈–„π‚Õ°“ ∑Ë’ ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“ ¢—Èπæ◊Èπ∞“𠉥â√—∫‡™‘≠®“°°√–∑√«ß·≈–Àπ૬ߓπ∑“ß°“√»÷°…“µà“ߪ√–‡∑» „π°“√æ‘®“√≥“π—°‡√’¬π ‡¢â“√à«¡°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ √–¥—∫π“π“™“µ‘ ®÷߉¥â¥”‡π‘πß“π‚§√ß°“√æ—≤π“§ÿ≥¿“æ°“√‡√’¬π√Ÿâ Ÿà “°≈ °®‘ °√√¡°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«‘™“°“√ √–¥∫— π“π“™“µ‘ ‚¥¬¡«’ —µ∂ÿª√– ß§‡å æËÕ◊ ‡ªî¥‚Õ°“ „Àπâ °— ‡√’¬π‰¥â·≈°‡ª≈Ë’¬π ‡√¬’ π√ Ÿâ ‡àŸ «∑«’ ™‘ “°“√ ·≈–‰¥æâ ≤— 𓧫“¡ “¡“√∂‡µ¡Á µ“¡»°— ¬¿“æ  ”À√∫— °®‘ °√√¡°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«™‘ “°“√ ®÷߇ªìπ‡«∑’·Ààߪ√– ∫°“√≥åπÕ°ÀâÕ߇√’¬π ·≈–‡ªìπ°â“«Àπ÷ËߢÕßπ—°‡√’¬π∑Ë’‰¥â¡’‚Õ°“ ©“¬·««·Ààß §«“¡ “¡“√∂ ¥—ßπ—È𠧫“¡ ”§—≠®÷ß¡‘‰¥âÕ¬àŸ∑’Ë√“ß«—≈®“°°“√·¢àߢ—π∑’Ëπ—°‡√’¬π‰¥â√—∫‡∑à“π—Èπ À“°·µà §«“¡ ”‡√®Á π—πÈ §◊Õª√– ∫°“√≥°å “√‡√¬’ π√ŸâÕ—π‡ªìπª√– ∫°“√≥åµ√ß∑’∑Ë √ߧÿ≥§à“¢Õßπ—°‡√’¬π ‡Õ° “√™¥ÿ ‡ √¡‘ §¥‘ §≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ (·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552) ‡ªπì º≈º≈µ‘ ®“°°“√»÷°…“«‘‡§√“–Àå‡πÕ◊È À“À≈—° Ÿµ√„π°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ √–¥—∫π“π“™“µ‘ ‡πâπ¥â“π°√–∫«π°“√∑“ߧ≥‘µ»“ µ√å ·≈–„™â‡ªìπæ‘¡æ凢’¬«„π°“√ √â“ß·∫∫∑¥ Õ∫ ∑“ߧ≥‘µ»“ µ√å·≈–«‘∑¬“»“ µ√å„™â„π°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√√–¥—∫‡¢µæ◊Èπ∑Ë’°“√»÷°…“ ·≈–°“√·¢àߢ—π ∑“ß«™‘ “°“√√–¥∫— ª√–‡∑» ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °π°— ‡√¬’ π∑¡’Ë §’ «“¡ “¡“√∂∑“ߧ≥µ‘ »“ µ√‡å ªπì µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ 𠉪·¢ßà ¢π— ∑“ß«™‘ “°“√ √–¥∫— π“π“™“µ‘ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 ‡Õ° “√™¥ÿ π’È  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√ °“√»°÷ …“¢πÈ— æπÈ◊ ∞“π‡º¬·æ√‡à ªπì ·π«∑“ßÀπßË÷ „π°“√æ≤— π“§≥ÿ ¿“æ°“√‡√¬’ π√⟷≈–æ≤— π“¢¥’ §«“¡ “¡“√∂ ¢Õßπ—°‡√’¬π„Àâ “¡“√∂°â“«∑—π‚≈° °â“«∑—π°“√‡ª≈Ë’¬π·ª≈ß µ≈Õ¥®π “¡“√∂π” Ë‘ß∑Ë’‰¥â®“°°“√‡√’¬π√Ÿâ ‰ªª√∫— „™â„π™«’ ‘µª√–®”«π— ‰¥Õâ ¬à“ß¡’§«“¡ ÿ¢ „π‚Õ°“ π’È  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢—ÈπæπÈ◊ ∞“π ¢Õ¢Õ∫§ÿ≥§≥–∑”ß“π∑ÿ°∑à“π∑Ë’‰¥â ¡’ à«π√à«¡®—¥∑”‡Õ° “√™ÿ¥‡ √‘¡§‘¥§≥‘µ»“ µ√å ·≈–¢Õ¢Õ∫§ÿ≥Àπ૬ߓπ∑Ë’‡°’ˬ«¢âÕß„π°“√√à«¡ √â“ß √√§å ‡ª¥î ‚Õ°“ „Àâπ—°‡√¬’ π‰∑¬‰¥°â “â «‰°≈ Ÿà “°≈  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢π—È æ◊πÈ ∞“π 情¿“§¡ 2552



§”™’·È ®ß  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—Èπæ◊Èπ∞“π ‚¥¬ ”π—°æ—≤π“π«—µ°√√¡°“√®—¥°“√»÷°…“ ‰¥â®—¥∑”‡Õ° “√™ÿ¥‡ √‘¡§‘¥§≥‘µ»“ µ√å·≈–‡ √‘¡§‘¥«‘∑¬“»“ µ√å (·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552) ·≈–‡ªìπº≈º≈‘µ®“°°“√¥”‡π‘πß“π‚§√ß°“√æ—≤π“§ÿ≥¿“æ°“√‡√’¬π√Ÿâ  àŸ “°≈ °‘®°√√¡°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ √–¥—∫π“π“™“µ‘ ®—¥∑”¢È÷π‡æË◊Õ‡º¬·æ√à‡ªìπ·π«∑“ßÀπË÷ß  ”À√—∫§√ŸºŸâ Õπ„™â„π°“√®—¥°‘®°√√¡°“√‡√’¬π√⟠·≈– ”À√—∫π—°‡√’¬π„™â‡ªìπ·∫∫Ωñ°‡ √‘¡∑—°…–‡æ‘Ë¡æŸπ ª√– ∫°“√≥å æ—≤𓧫“¡ “¡“√∂∑“ߥâ“π§≥‘µ»“ µ√å·≈–«‘∑¬“»“ µ√å ‡ªìπ°“√‡æ‘Ë¡¢’¥§«“¡ “¡“√∂ ¥â“π°√–∫«π°“√§‘¥ ·≈–‡µ√’¬¡§«“¡æ√âÕ¡π°— ‡√’¬π‡æË◊Õ°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«‘™“°“√ √–¥∫— π“π“™“µ‘ ‡Õ° “√™ÿ¥‡ √‘¡§‘¥§≥‘µ»“ µ√å·≈–‡ √‘¡§‘¥«‘∑¬“»“ µ√å ª√–°Õ∫¥â«¬·∫∫∑¥ Õ∫ §≥µ‘ »“ µ√å·≈–·∫∫∑¥ Õ∫«‘∑¬“»“ µ√å ∑Ë’„™â„π°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 ¢Õß ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢È—πæπÈ◊ ∞“π ®”π«π 3 ‡≈à¡ ¥—ßµÕà ‰ªπÈ’ ‡≈¡à ∑’Ë 1 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫ª√–∂¡»°÷ …“ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 ‡≈à¡∑Ë’ 2 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 ‡≈¡à ∑Ë’ 3 ‡ √¡‘ §¥‘ ...«‘∑¬“»“ µ√å √–¥∫— ª√–∂¡»÷°…“ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 ‡Õ° “√™ÿ¥‡ √‘¡§‘¥§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ (·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552) ‡ªπì °“√𔇠πÕ«∏‘ ’°“√ ¬ÿ∑∏»“ µ√å°“√·°â‚®∑¬ªå í≠À“ ·≈–„™â‡ªìπ¬∑ÿ ∏«‘∏’ „π°“√‡©≈¬·π«§‘¥·∫∫∑¥ Õ∫∑Ë’„™â„π°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√√–¥—∫‡¢µæ◊Èπ∑’Ë°“√»÷°…“ ·≈–°“√·¢àߢ—π ∑“ß«‘™“°“√√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551-2552  ”À√—∫‡π◊ÈÕÀ“ “√–∑Ë’‰¥â𔇠πÕ„π‡Õ° “√π’È ‡ªìπ·π«∑“ßÀπË÷ß„π°“√·°â‚®∑¬åªí≠À“∑Ë’À≈“°À≈“¬ ¿“¬„µâ°√Õ∫‡πÈ◊ÕÀ“ “√–∑Ë’„™â„π°“√·¢àߢ—π§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— π“π“™“µ‘  ”π°— æ≤— π“π«µ— °√√¡°“√®—¥°“√»°÷ …“ 情¿“§¡ 2552



 “√∫—≠ Àπâ“ §”π” 1 §”™·’È ®ß 3  “√∫≠— 11 ·∫∫∑¥ Õ∫·≈–·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ 45 57 „π°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551 ✿ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ—°‡√’¬π√–¥∫— ‡¢µæÈπ◊ ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551 ✿ ·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§—¥‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥—∫‡¢µæÈπ◊ ∑Ë°’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551 ✿ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æË◊Õ°“√§—¥‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551 ✿ ·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æÕË◊ °“√§—¥‡≈◊Õ°µ«— ·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2551 ·∫∫∑¥ Õ∫·≈–·π«§‘¥·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ 109 „π°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2552 111 ✿ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµπâ 121 ‡æËÕ◊ °“√§¥— ‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ—°‡√’¬π√–¥—∫‡¢µæÈ◊π∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552 147 ✿ ·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ 155 ‡æË◊Õ°“√§—¥‡≈◊Õ°µ«— ·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥—∫‡¢µæπÈ◊ ∑Ë°’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2552 ✿ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æ◊ËÕ°“√§—¥‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552 ✿ ·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æÕ◊Ë °“√§—¥‡≈◊Õ°µ—«·∑ππ°— ‡√’¬π√–¥—∫ª√–‡∑» ª√–®”ªï æ.». 2552

·∫∫∑¥ Õ∫·≈–·π«§‘¥·∫∫∑¥ Õ∫ §≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ „π°“√·¢àߢπ— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢πÈ— æÈπ◊ ∞“π

·∫∫∑¥ Õ∫ §≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ‡æË◊Õ°“√§—¥‡≈◊Õ°µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥—∫‡¢µæ◊Èπ∑’Ë°“√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢—πÈ æ◊Èπ∞“π

·∫∫∑¥ Õ∫§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈◊Õ°µ«— ·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑’Ë°“√»÷°…“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢È—πæ◊Èπ∞“𠧔™’È·®ß 1. ·∫∫∑¥ Õ∫©∫—∫πÈ’ ‡ªìπ·∫∫∑¥ Õ∫™π¥‘ ‡µ¡‘ §”µÕ∫ ‡«≈“ 2 ™Ë—«‚¡ß 2. ·∫∫∑¥ Õ∫¡’ 30 ¢Õâ §–·ππ‡µ¡Á 100 §–·ππ ·∫àßÕÕ°‡ªìπ 2 µÕπ §Õ◊ µÕπ∑Ë’ 1 µ—Èß·µà¢âÕ 1-20 ¢Õâ ≈– 3 §–·ππ √«¡ 60 §–·ππ µÕπ∑’Ë 2 µ—Èß·µà¢âÕ 21-30 ¢Õâ ≈– 4 §–·ππ √«¡ 40 §–·ππ 3. „À⇢’¬π™Ë◊Õ-™◊ËÕ °ÿ≈ ‚√߇√’¬π ‡≈¢∑’Ë Õ∫ ÀâÕß Õ∫  ”π—°ß“π‡¢µæ◊Èπ∑’Ë°“√»÷°…“ ≈ß„π°√–¥“…§”µÕ∫ 4. ‡¢¬’ π‡©æ“–§”µÕ∫¥«â ¬ª“°°“ ¥’ ”À√◊Õ π’ È”‡ßπ‘ ≈ß„π°√–¥“…§”µÕ∫„Àâµ√ß°∫— ¢Õâ §”∂“¡ 5. ∂ⓧ”µÕ∫¡¡’ “°°«“à 1 §”µÕ∫ „ÀâµÕ∫„Àâ§√∫·≈–∂°Ÿ µÕâ ß∑—ÈßÀ¡¥ ®÷ß®–‰¥§â –·ππ 6. ‰¡Õà π≠ÿ “µ„Àâ„™‡â §√ËÕ◊ ߧ‘¥‡≈¢ À√◊Õ‡§√◊ÕË ß¡Õ◊ „¥ Ê „π°“√§”π«≥ 7. °“√µ—¥ π‘ ¢Õߧ≥–°√√¡°“√∂Õ◊ ‡ªìπ¢Õâ ¬ÿµ‘ ¢Õ„Àâπ—°‡√’¬π∑ÿ°§π‚™§¥’ ‚§√ß°“√æ—≤π“§≥ÿ ¿“æ°“√‡√¬’ π√ âŸ Ÿ à “°≈  ”π—°æ—≤π“π«—µ°√√¡°“√®¥— °“√»÷°…“ ·∫∫∑¥ Õ∫π’È ‡ªπì ≈‘¢ ∑‘ ∏‘Ï¢Õß ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢—Èπæ◊Èπ∞“π À“â ¡‡º¬·æ√à Õâ“ßÕ‘ß À√◊Õ‡©≈¬ °àÕπ‰¥√â ∫— Õπ≠ÿ “µ 4 ‡ √‘¡§‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢πÈ— æ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ µÕπ∑Ë’ 1 1. °√–ªÜÕß∑√ß°√–∫Õ°„∫ÀπË÷ß¡’§«“¡ Ÿß‡ªìπ 2 ‡∑à“¢Õß√—»¡’¢Õß°√–ªÜÕß ‡∑π”È 92π ≈Ÿ°∫“»°å ‡´πµ‘‡¡µ√ ≈ß„π°√–ªÜÕß„∫πÈ’ ·≈â«À¬àÕπ≈Ÿ°·°â« ´Ë÷ß¡’æ◊Èπ∑’˺‘« 36𠵓√“߇´πµ‘‡¡µ√ ≈߉ª„π°√–ªÕÜ ß ·≈«â ∑”„Àπâ È”‡µ¡Á °√–ªÕÜ ßæÕ¥’ ∂“â °√–ªÕÜ ß„∫π¡È’ æ’ π◊È º«‘ ¢“â ß k𠵓√“߇´πµ‡‘ ¡µ√ ·≈â« k ¡’§“à ‡∑à“„¥ 2. ¥‘ππÈ”¡π— ∑√ß°≈¡ 3 °âÕπ ¡’Õµ— √“ «à π¢Õß√—»¡’‡ªìπ 3 : 2 : 1 π”¡“ªπíô √«¡°π— ‡ªìπ°âÕπ∑√ß°≈¡ ∂â“√—»¡¢’ Õß∑√ß°≈¡„À¡‡à ªπì 3 a ‡∑à“¢Õß√»— ¡’°Õâ π∑’‡Ë ≈°Á ∑Ë ’ ÿ¥ ·≈â« a ¡§’ “à ‡∑“à „¥ 3. °”Àπ¥„Àâ a = 360, b = 545, c = 645 ·≈– d = 730 ®ß‡√¬’ ß≈”¥∫— ®“°¡“°‰ªÀ“πÕâ ¬ 4. ∂â“ 4x3 › 7x2 + Ax › 6 = Bx2 + Cx + D ‡¡Õ◊Ë A, B, C ·≈– D ‡ªìπ§à“§ßµ—« 4x › 3 ·≈â« B2 + C2 + D2 ¡§’ à“‡∑à“„¥ 5. √∂¬πµ§å —πÀπËß÷ «‘ßË ¥â«¬§«“¡‡√Á« ¡”Ë ‡ ¡Õ k °‘‚≈‡¡µ√µÕà ™«Ë— ‚¡ß ∂“â √∂¬πµå§π— πÈ’„™âπ”È ¡π— n ≈‘µ√ µÕà °“√«Ë‘ß√–¬–∑“ß 100 °‚‘ ≈‡¡µ√ ·≈â«„π‡«≈“ m π“∑’ √∂¬πµ§å π— π’È„™πâ È”¡π— °’≈Ë µ‘ √ 6. ®”π«π ÕßÀ≈°— ®”π«πÀπËß÷ ‡¡Ë◊Õ ≈∫— À≈—°°—π·≈«â ®–¡§’ “à ¡“°°«à“‡¥‘¡Õ¬àŸ 20% ®ßÀ“®”π«ππÈ—π 7. ¡’®”π«π‡µÁ¡∫«°°®Ë’ ”π«πµÈ—ß·µà 1 ∂ß÷ 1990 ∑’Ë 3 À√◊Õ 5 À“√‰¡à≈ßµ—« ‡ √¡‘ §‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 5

·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—πÈ æÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 8. ¡’≈Ÿ°‡µã“ 2 ≈Ÿ° ·µà≈–≈Ÿ°¡’À¡“¬‡≈¢ 0, 1, 2, 3, 4 ·≈– 5 Õ¬àŸÀπâ“≈–ÀπË÷ßÀ¡“¬‡≈¢ ‡¡◊ËÕ‚¬π≈Ÿ°‡µã“∑—Èß Õß≈Ÿ°æ√âÕ¡°—πÀπË÷ߧ√È—ß ®ßÀ“§«“¡πà“®–‡ªìπ¢Õ߇Àµÿ°“√≥å∑Ë’º≈√«¡¢Õß ®”π«π∑ªË’ √“°Ø∫πÀπâ“≈°Ÿ ‡µã“‡ªπì ®”π«π‡©æ“– 9. 1 ∑»π‘¬¡µ”·Àπßà ∑’Ë 7000 §◊Õ‡≈¢‚¥¥„¥ 7000 10. ≈”¥∫— x , x , x , ... 123 𬑠“¡‚¥¬ x = 4 ·≈– x = 3 › 3 ‡¡◊ÕË n ≥ 1 ®ßÀ“§à“ x 1 n+1 x 46 n 11. ∂â“ N ‡ªìπ®”π«π‡µÁ¡∫«° ·≈– N › 1991 ‡ªìπ°”≈ß—  Õß ¡∫√Ÿ ≥å ·≈â« N ¡’∑—ÈßÀ¡¥°§Ë’ à“ 2 12. ∂“â A = 22551, B = 32551 ·≈⫺≈∫«°¢ÕßÀ≈—°Àπ«à ¬¢Õß A + B ¡’§“à ‡∑“à „¥ 13. ∂â“ x + y = 30 ·≈– x3 + y3 = 8100 ·≈â« x2 + y2 ¡’§“à ‡∑à“„¥ 14. ∂“â §”µÕ∫∑—Èß “¡¢Õß ¡°“√ x3 › 8x2 + cx + d = 0 ‡ªπì ®”π«π‡µ¡Á ∑Ë·’ µ°µ“à ß°—π ·≈–º≈∫«°¢Õߧ”µÕ∫‡∑à“°∫— 8 ‡¡◊ËÕ c, d ‡ªìπ®”π«π®√‘ß ·≈«â c + d ¡’§à“‡∑à“„¥ 15. ¢Õâ ¡Ÿ≈™¥ÿ ÀπßË÷ ‡ªìπ¥—ßπÈ’ 4, a, 5, b, 7, c, 7, 8 ∂â“¢Õâ ¡≈Ÿ ™¥ÿ π¡’È ’∞“ππ‘¬¡‡∑à“°∫— 8 ·≈–§à“‡©≈¬’Ë ‡≈¢§≥µ‘ ‡∑à“°—∫ 7 ·≈«â ¡∏— ¬∞“π¢ÕߢÕâ ¡≈Ÿ ™¥ÿ πÈ’¡§’ “à ‡∑“à „¥ 6 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢πÈ— æÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ 16. ∂â“ (n› 1 )2 + (n+ 1 )2 = 16 ·≈â« (n2+ 1 )3 ¡§’ à“‡∑à“„¥ n n n2 17. ®ß·ª≈ß 1100101011 „À⇪ìπ®”π«π∑’Ë· ¥ß¥â«¬‡≈¢∞“π ‘∫À° („π√–∫∫‡≈¢∞“π ‘∫À°  Õß °”Àπ¥„Àâ A ·∑π 10, B ·∑π 11, C ·∑π 12, D ·∑π 13, E ·∑π 14 ·≈– F ·∑π 15) 18. A √Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ ABC ¡’¡ÿ¡ C ‡ªìπ¡ÿ¡©“° ®ÿ¥ M, P, Q, R ·≈– S ‡ªìπ®ÿ¥°÷Ëß°≈“ß R ¢Õß AB, BC, BM, MA ·≈– AC µ“¡≈”¥∫— ∂â“ AB = 32 Àπ૬ ·≈⫇ âπ√Õ∫√Ÿª¢Õß√Ÿª SM  ’ˇÀ≈’ˬ¡ PQRS ¬“«°ÀË’ π«à ¬ Q CB P 19. √Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡√ŸªÀπ÷Ëß¡’®ÿ¥¬Õ¥®ÿ¥Àπ÷Ëß §◊Õ ( 1 , 0) ∂â“Õ’° Õß®ÿ¥∑’ˇÀ≈◊Õ‡ªìπ®ÿ¥µ—¥¢Õß°√“ø 2 ¢Õß ¡°“√ y = 3x2 + 4x + 1 ·≈– y = 3 + 2x › x2 ·≈«â æ◊Èπ∑Ë¢’ Õß√ªŸ  “¡‡À≈¬Ë’ ¡√Ÿªπ’È ‡ªπì °’˵“√“ßÀπ«à ¬ 20. √ªŸ  ’‡Ë À≈¬Ë’ ¡®µ— √ÿ  — A, B, C ·≈– D µÈß— Õ¬àŸ∫π XY ´÷ßË ¬“« 29 Àπ૬ ¥—ß√Ÿª ∂â“√ªŸ  ‡Ë’ À≈’ˬ¡®—µÿ√ — C ¡’æπ◊È ∑Ë’ 4 µ“√“ßÀπ૬ ·≈–Õ—µ√“ à«πæπÈ◊ ∑¢Ë’ Õß√ªŸ  Ë’‡À≈¬Ë’ ¡®—µ√ÿ  — A : B : D ‡ªìπ 4 : 9 : 16 ·≈⫺≈∫«°¢Õßæ◊Èπ∑’√Ë Ÿª ’‡Ë À≈’¬Ë ¡®µ— ÿ√—  A, B ·≈– D ‡ªπì °Ëµ’ “√“ßÀπ૬ D A B Y X C ‡ √¡‘ §‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 7

·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢È—πæπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ µÕπ∑’Ë 2 21. ABC ‡ªìπ√ªŸ  “¡‡À≈ˬ’ ¡ ¡¡’ ÿ¡ ABC ‡ªìπ¡¡ÿ ©“° DBME, FDNG ·≈– HFPK ‡ªìπ√Ÿª Ë‡’ À≈Ë’¬¡ ®—µÿ√ — Õ¬¿àŸ “¬„π√Ÿª “¡‡À≈¬Ë’ ¡¡¡ÿ ©“° ABC ∂â“ BM = 3 ‡´πµ‘‡¡µ√ ·≈– MC = 1 ‡´πµ‡‘ ¡µ√ ¥—ß√ªŸ ·≈«â æπÈ◊ ∑’ Ë à«π∑·’Ë √‡ß“‡ªìπ°’˵“√“߇´πµ‡‘ ¡µ√ (µÕ∫‡ªìπ∑»π‘¬¡ 2 µ”·Àπßà ) G E C KP N 1 ´¡. M 3 ´¡. A HF D B 22. °”Àπ¥„Àâ cos2A = cos2A › sin2A ‡¡Ë◊Õ 0 Ì < A < 90 Ì ∂â“ 4cosA = 1 ·≈â« 8 6 sin A ¡’§à“‡∑à“„¥ 2 23. ¡’≈«¥Àπ“¡¬“« 300 ‡¡µ√ µâÕß°“√≈âÕ¡∑’Ë¥‘π∫πΩíòß·¡àπ”È ‡ªìπ§Õ°«—«√Ÿª Ë’‡À≈’ˬ¡¡ÿ¡©“°  Õߧհµ‘¥°—π ‚¥¬·µà≈–§Õ°¡’§«“¡°«â“߇∑à“°—π ·µà§«“¡¬“«¢ÕߧհÀπ÷Ë߇ªìπ§√÷ËßÀπË÷ߢÕß Õ°’ §Õ°Àπß÷Ë ∂“â µÕâ ß°“√≈Õâ ¡√«È— „À≥ºâ ≈√«¡¢ÕßæπÈ◊ ∑ Ë’ Õߧհ¡“°∑ Ë’ ¥ÿ ®–‰¥æâ πÈ◊ ∑√’Ë «¡°µË’ “√“߇¡µ√ AB 24. ABCDEFGH ‡ªìπ°≈àÕß∑√ß≈°Ÿ ∫“»°å¢π“¥ D 9 Ó 9 Ó 9 ≈Ÿ°∫“»°åÀπ૬ F C ®ÿ¥ X Õ¬Ÿà∫π¥â“π AB ·≈–∑”„Àâ AX : AB = 1 : 3 G ®ÿ¥ Y Õ¬Ÿà∫π¥â“π GH ·≈–∑”„Àâ GY : GH = 1 : 3 ·≈–®¥ÿ Z Õ¬àŸ∫π¥“â π DE ∑”„Àâ DZ : DE = 2 : 3 E H æ◊πÈ ∑¢Ë’ Õß√ªŸ  “¡‡À≈ˬ’ ¡ XYZ ‡ªìπ°Ë’µ“√“ßÀπ«à ¬ 8 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢Èπ— æπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 25. ABC ‡ªìπ√Ÿª “¡‡À≈Ë’¬¡¥—ß√Ÿª ‡ âπ·∫àߧ√Ë÷ß BAC æ∫ BC ∑Ë’ D ∂â“ AB + AD = CD, AD + AC = BC ·≈– ACB = 20 Õß»“ ·≈â«¢π“¥¢Õß ABC ‡∑“à °—∫°Õ’Ë ß»“ A < < < B 20 Ì D C 26. A 20 6 Q P x x C B ®“°√Ÿª AP = 20 Àπ૬ AQ = 6 Àπ૬ BP = CQ = x Àπ«à ¬ ∂â“æπ◊È ∑√Ë’ Ÿª “¡‡À≈’ˬ¡ APQ ‡∑“à °—∫æÈ◊π∑Ë√’ ªŸ  ’ˇÀ≈ˬ’ ¡ BCQP ·≈â« x ¡§’ à“‡∑à“„¥ 27. ∂“â x = 2 › 1 ·≈«â 1 + 6x + 3x2 + x6 › 2x7 › 2x8 + 2x9 + x10 ¡’§à“‡∑à“„¥ ‡ √¡‘ §‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 9

·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢—πÈ æπ◊È ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 28.  ¡— ª√– ‘∑∏¢Ï‘ Õß x88 ®“°º≈§Ÿ≥ (x+1) (x+2) (x›3) (x+4) (x+5) (x›6) ... (x+88) (x+89) (x›90) ¡’§“à ‡∑“à „¥ 29. ®ßÀ“§”µÕ∫¢Õß ¡°“√ 108 378 › x › x2 › 2916 = x2› 2916 x + 54 30. °”Àπ¥ S = 1 + 1 + 1 + ... + 1  «à π∑Ë’‡ªπì ®”π«π‡µÁ¡¢Õß S ¡§’ “à ‡∑“à „¥ 23 1000000 2 10 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫ §≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ‡æË◊Õ°“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ—«·∑ππ—°‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæ◊Èπ∑Ë’°“√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢πÈ— æÈπ◊ ∞“π

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—πÈ æ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ µÕπ∑’Ë 1 1. °√–ªÜÕß∑√ß°√–∫Õ°„∫ÀπßË÷ ¡’§«“¡ Ÿß‡ªπì 2 ‡∑“à ¢Õß√»— ¡’¢Õß°√–ªÜÕß ‡∑π”È 92π ≈°Ÿ ∫“»°å ‡´πµ‘‡¡µ√ ≈ß„π°√–ªÜÕß„∫π’È ·≈â«À¬àÕπ≈Ÿ°·°â« ´÷Ëß¡’æÈ◊π∑Ë’º‘« 36𠵓√“߇´πµ‘‡¡µ√ ≈߉ª„π°√–ªÕÜ ß·≈«â ∑”„Àπâ ”È ‡µ¡Á °√–ªÕÜ ßæÕ¥’∂“â °√–ªÕÜ ß„∫π¡È’ æ’ πÈ◊ ∑º’Ë «‘ ¢“â ßk𠵓√“߇´πµ‡‘ ¡µ√ ·≈â« k ¡§’ à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ æÈ◊π∑˺’ «‘ ¢Õß≈°Ÿ ·°â« = 36𠵓√“߇´πµ‘‡¡µ√ ∴ 4πr2 = 36π r2 = 9 r = 3 ‡´πµ‡‘ ¡µ√ ª√‘¡“µ√¢Õß≈°Ÿ ·°â« = 4 πr3 3 = 4 π(3)3 = 36π ≈Ÿ°∫“»°å‡´πµ‘‡¡µ√ 3 ∴ ª√‘¡“µ√¢Õß°√–ªÕÜ ßπâÕ¬∑ ’Ë ¥ÿ = 92π + 36π = 128π ∴ πr2h = 128π πr2(2r) = 128π r3 = 64 r = 4 ∴ h = 8 ‡´πµ‡‘ ¡µ√ æπÈ◊ ∑’ºË «‘ ¢â“ß = 2πrh = 2 Ó π Ó 4 Ó 8 = 64𠵓√“߇´πµ‡‘ ¡µ√ ∴ k = 64 µÕ∫ 64 12 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢π—È æπ◊È ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 2. ¥‘ππ”È ¡π— ∑√ß°≈¡ 3 °Õâ π ¡’Õµ— √“ à«π¢Õß√»— ¡’‡ªìπ 3 : 2 : 1 π”¡“ªπôí √«¡°—π‡ªπì °âÕπ∑√ß°≈¡ ∂â“√—»¡’¢Õß∑√ß°≈¡„À¡‡à ªìπ 3 a ‡∑“à ¢Õß√—»¡’°Õâ π∑‡Ë’ ≈Á°∑’Ë ¥ÿ ·≈«â a ¡’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ „Àâ√»— ¡’¢Õß∑√ß°≈¡‡≈°Á ∑ Ë’ ¥ÿ ‡∑à“°∫— x Àπ«à ¬ ª√¡‘ “µ√¢Õß∑√ß°≈¡∑È—ßÀ¡¥ = 4 πx3 + 4 π(2x)3 + 4 π(3x)3 3 3 3 ª√‘¡“µ√¢Õß∑√ß°≈¡„À¡à = 4 πR3 3 ∴ 4 πR3 = 4 πx3 + 4 π8x3 + 4 π27x3 3 3 3 3 4 πR3 = 4 πx3 (1 + 8 + 27) 3 3 R3 = 36 x3 R = 3 36 x √—»¡¢’ Õß∑√ß°≈¡„À¡‡à ªπì 3 36 ‡∑à“¢Õß√»— ¡∑’ √ß°≈¡∑ˇ’ ≈Á°∑’ Ë ÿ¥ ∴ a = 36 µÕ∫ 36 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 13

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢π—È æπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 3. °”Àπ¥„Àâ a = 360, b = 545, c = 645 ·≈– d = 730 ®ß‡√’¬ß≈”¥—∫®“°¡“°‰ªÀ“πâÕ¬ ·π«§‘¥ ®“° a = 360 = (34)15 = 8115 b = 545 = (53)15 = 12515 c = 645 = (63)15 = 21615 d = 730 = (72)15 = 4915 ‡√’¬ß≈”¥∫— ®“°¡“°‰ªπÕâ ¬ §Õ◊ c, b, a, d µÕ∫ c, b, a, d 14 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢πÈ— æÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 4. ∂“â 4x3 › 7x2 + Ax › 6 = Bx2 + Cx + D ‡¡◊ËÕ A, B, C ·≈– D ‡ªìπ§“à §ßµ«— 4x › 3 ·≈â« B2 + C2 + D2 ¡’§“à ‡∑“à „¥ ·π«§‘¥ x2 › x + 2 4x › 3 ) 4x3 › 7x2 + Ax › 6 4x3 › 3x2 ›4x2 + Ax ›4x2 + 3x (A›3) x › 6 8x › 6 ¥ß— πÈ—π x2 › x + 2 = Bx2 + Cx + D ®–‰¥â B = 1, C = ›1, D = 2 ∴ B2 + C2 + D2 = 12 + (›1)2 + 22 = 6 µÕ∫ 6 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 15

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢πÈ— æ◊πÈ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ 5. √∂¬πµå§π— Àπ÷ßË «‘Ëߥ«â ¬§«“¡‡√Á« ¡”Ë ‡ ¡Õ k °‘‚≈‡¡µ√µàÕ™«—Ë ‚¡ß ∂â“√∂¬πµ§å π— π’È„™âπ”È ¡—π n ≈µ‘ √ µÕà °“√«‘ßË √–¬–∑“ß 100 °‚‘ ≈‡¡µ√ ·≈â«„π‡«≈“ m π“∑’ √∂¬πµ§å —ππÈ’„™âπ”È ¡—π°≈’Ë µ‘ √ ·π«§‘¥ k °‘‚≈‡¡µ√ „™â‡«≈“«ßË‘ 60 π“∑’ 100 °‘‚≈‡¡µ√ „™â‡«≈“«ßË‘ 60 Ó 100 π“∑’ k 60 Ó 100 π“∑’ „™âπÈ”¡π— n ≈‘µ√ k 1 π“∑’ „™âπ”È ¡—π nk ≈µ‘ √ 60 Ó 100 m π“∑’ „™πâ È”¡—π mnk ≈µ‘ √ 6000 µÕ∫ mnk ≈‘µ√ 6000 16 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢—πÈ æπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 6. ®”π«π ÕßÀ≈—°®”π«πÀπß÷Ë ‡¡ËÕ◊  ≈∫— À≈—°°—π·≈â«®–¡’§à“¡“°°«à“‡¥‘¡Õ¬àŸ 20% ®ßÀ“®”π«πππ—È ·π«§¥‘ ∑’Ë 1 „Àâ®”π«π ÕßÀ≈°— §Õ◊ xy ¥—ßπÈπ— xy = 10x + y ∴ ®”π«π∑ ’Ë ≈∫— À≈—°§Õ◊ yx = 10y + x ‡æ‘¡Ë 20% ®“°‡¥¡‘ = 20 (10x+y) = 2x + y 100 5 ∴ 10y + x = 10x + y + 2x + y = 12x + 6y 5 5 ¥ß— ππÈ— 50y + 5x = 60x + 6y 44y = 55x x = 44 = 4 y 55 5 ®”π«ππ—Èπ§◊Õ 45 ·π«§‘¥∑’Ë 2 „À®â ”π«π 2 À≈—° §◊Õ x y ¥ß— πÈ—π x y = 10x + y ®”π«π∑’Ë ≈—∫À≈°— ·≈⫇ªìπ 10y + x ‡¥‘¡ 100 ‡ª≈ˬ’ π‡ªπì 120 ‡¥¡‘ 10x + y ‡ª≈’ˬπ‡ªìπ 120 (10x+y) 100 12x + 1.2y = 10y + x 11x = 8.8y x = 4 À√Õ◊ x : y = 4 : 5 y 5 ¥—ßπ—Èπ ®”π«π∑Ë’µâÕß°“√ §◊Õ 45 µÕ∫ 45 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 17

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢Èπ— æπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 7. ¡®’ ”π«π‡µ¡Á ∫«°°’®Ë ”π«πµÈ—ß·µà 1 ∂ß÷ 1990 ∑’Ë 3 À√◊Õ 5 À“√‰¡≈à ßµ—« ·π«§‘¥ ®”π«π‡µÁ¡∫«°µ—Èß·µà 1 ∂÷ß 1990 ∑Ë’ 3 À“√≈ßµ«— ¡’ [19390] = 663 ®”π«π ®”π«π‡µ¡Á ∫«°µ—Èß·µà 1 ∂ß÷ 1990 ∑’Ë 5 À“√≈ßµ«— ¡’ [19590] = 398 ®”π«π ®”π«π‡µ¡Á ∫«°µß—È ·µà 1 ∂÷ß 1990 ∑’Ë 15 À“√≈ßµ«— ¡’ [119590] = 132 ®”π«π ®”π«π‡µÁ¡∫«°®“° 1 ∂÷ß 1990 ∑’ËÀ“√¥â«¬ 3 À√◊Õ 5 ≈ßµ—«¡’ 663 + 398 › 132 = 929 ®”π«π π—Ëπ§Õ◊ ®”π«π‡µ¡Á ∫«°µßÈ— ·µà 1 ∂÷ß 1990 ∑Ë’ 3 À√Õ◊ 5 À“√‰¡à≈ßµ—«¡∑’ —ÈßÀ¡¥ 1990 › 929 = 1061 ®”π«π µÕ∫ 1061 ®”π«π 18 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢πÈ— æπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ 8. ¡’≈Ÿ°‡µã“ 2 ≈Ÿ° ·µà≈–≈Ÿ°¡’À¡“¬‡≈¢ 0, 1, 2, 3, 4 ·≈– 5 Õ¬àŸÀπâ“≈–Àπ÷ËßÀ¡“¬‡≈¢ ‡¡Ë◊Õ‚¬π≈Ÿ°‡µã“∑—Èß Õß≈Ÿ°æ√âÕ¡°—πÀπË÷ߧ√—Èß ®ßÀ“§«“¡πà“®–‡ªìπ¢Õ߇Àµÿ°“√≥∑å Ë’º≈√«¡¢Õß ®”π«π∑ª’Ë √“°Ø∫πÀπ“â ≈°Ÿ ‡µ“ã ‡ªπì ®”π«π‡©æ“– ·π«§‘¥ ≈°Ÿ ∑Ë’ 1 0 1 2 34 5 ≈°Ÿ ∑Ë’ 2 (0, 3) (0, 4) (0, 5) 0 (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) 1 (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) 2 (2, 0) (2, 1) (2, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) 3 (3, 0) (3, 1) (3, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) 4 (4, 0) (4, 1) (4, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) 5 (5, 0) (5, 1) (5, 2) „π°“√‚¬π≈°Ÿ ‡µ“ã 2 ≈°Ÿ æ√Õâ ¡°π— Àπß÷Ë §√ßÈ— º≈≈æ— ∏∑å ßÈ— À¡¥∑Õ’Ë “®‡°¥‘ ¢πÈ÷ ‰¥¥â ß— · ¥ß„πµ“√“ß ®–‰¥â n(S) = 6 Ó 6 = 36 ®“°µ“√“ß “¡“√∂À“‡Àµ°ÿ “√≥∑å º’Ë ≈√«¡¢Õß®”π«π∑ª’Ë √“°Ø∫πÀπ“â ≈°Ÿ ‡µ“ã ‡ªπì ®”π«π‡©æ“– ´÷Ëߺ≈√«¡∑Ë’‰¥‡â ªìπ 2, 3, 5, 7 ‡™πà (0, 2), (0, 3), (0, 5), (1, 1), (1, 2), (1, 4), ... º≈≈—æ∏∑å ’‡Ë °¥‘ ¢÷Èπµ“¡‡ßË◊Õπ‰¢∑Ë°’ ”Àπ¥ ®–‰¥â n(E) = 17 ¥—ßππ—È §«“¡πà“®–‡ªπì ¢Õ߇Àµÿ°“√≥å∑µË’ Õâ ß°“√ = 17 36 µÕ∫ 17 36 ‡ √‘¡§‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 19

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢π—È æπ◊È ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 9. 1 ∑»π‘¬¡µ”·Àπßà ∑Ë’ 7000 §Õ◊ ‡≈¢‚¥¥„¥ 7000 ·π«§‘¥ 1 = 0.1⋅42857⋅ µÕ∫ 1 7 1 = 1 Ó 1 7000 7 1000 = 0.0001⋅42857⋅ 7000 = 6 Ó 1166 + 4 = 3 + 6 Ó 1166 + 1 10. ≈”¥—∫ x , x , x , ... 123 3n ‡¡◊ÕË n ≥ 1 ®ßÀ“§à“ x 𑬓¡‚¥¬ x = 4 ·≈– x = 3 › x 46 1 n+1 ·π«§‘¥ „Àâ x = 4 1 ¥ß— ππÈ— x = 3› 3 = 3› 3 = 9 x 4 4 2 1 x = 3› 3 = 3 › 12 = 3› 4 = 5 x 9 3 3 3 2 20 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢π—È æÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ x = 3› 3 = 3› 9 = 6 5 5 5 4 3 x = 3› 3 = 3› 15 = 3 = 1 6 6 6 2 5 5 x = 3› 3 = 3›6 = ›3 1 6 2 x = 3 › (›33 ) = 4 7 ®–‡ÀÁπ«à“ x ¢Èπ÷ Õ¬°àŸ —∫ x ‡∑“à πÈπ— n+1 n ≈”¥∫— ®–¡’ x = x 71 x =x 82 x =x 93 ⋅⋅⋅ = x= x = 6 = 1 1 5 5 x 7Ó6+4 4 46 µÕ∫ 115 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 21

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢È—πæÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ 11. ∂â“ N ‡ªπì ®”π«π‡µÁ¡∫«° ·≈– N2 › 1991 ‡ªπì °”≈ß—  Õß ¡∫√Ÿ ≥å ·≈â« N ¡’∑—ßÈ À¡¥°’Ë§à“ ·π«§‘¥ „Àâ N2 › 1991 ‡ªπì °”≈ß—  Õß ¡∫√Ÿ ≥å ∴ N2 › 1991 = M2 ‡¡◊ËÕ N > M > 0 ∴ N2 › M2 = 1991 (N›M) (N+M) = 1991 = 11 Ó 181 ·µà 0 < N › M < N + M ·≈– N < M < 0 ®÷߇ªìπ‰ª‰¥â 2 °√≥’ °) N › M = 1 ·≈– N + M = 1991 ®–‰¥â 2N = 1 + 1991, N = 996 ¢) N › M = 11 ·≈– N + M = 181 ®–‰¥â 2N = 11 + 181, N = 96 µÕ∫ 2 §“à 12. ∂â“ A = 22551, B = 32551 ·≈«â º≈∫«°¢ÕßÀ≈°— Àπ૬¢Õß A + B ¡’§“à ‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ A = 22551 A ¡’À≈—°Àπ૬‡ªìπ 8 ‡π◊ËÕß®“° 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32, ... π” 2551 ˚ 4 ‡À≈◊Õ‡»… 3 æ‘®“√≥“∑’Ë 23 = 8 B = 32551 B ¡’À≈—°Àπ૬‡ªìπ 7 ‡π◊ËÕß®“° 31 = 3, 32 = 9, 33 = 27, 34 = 81, 35 = 243, ... ·µà 2551 ˚ 4 ‡À≈◊Õ‡»… 3 æ‘®“√≥“∑’Ë 33 = 27 º≈∫«°¢ÕßÀ≈—°Àπ«à ¬¢Õß A + B = 8 + 7 = 15 µÕ∫ 15 22 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢Èπ— æÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 13. ∂“â x + y = 30 ·≈– x3 + y3 = 8100 ·≈«â x2 + y2 ¡§’ “à ‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ x3 + y3 x + y = 270 2 › 1; x2 › xy + y2 = 270 ............................................. 1 µÕ∫ 480 x + y = 30 ∴ (x+y)2 = 900 x2 + 2xy + y2 = 900 ............................................. 2 3xy = 630 xy = 210 ·∑π„π 1 x2 › 210 + y2 = 270 x2 + y2 = 480 14. ∂“â §”µÕ∫∑Èß—  “¡¢Õß ¡°“√ x3 › 8x2 + cx + d = 0 ‡ªπì ®”π«π‡µ¡Á ∑·’Ë µ°µ“à ß°—π ·≈–º≈∫«°¢Õߧ”µÕ∫‡∑à“°—∫ 8 ‡¡◊ÕË c, d ‡ªπì ®”π«π®√‘ß ·≈â« c + d ¡§’ “à ‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ ∴º≈∫«°¢Õߧ”µÕ∫‡ªπì 8 = 1 + 2 + 5 = 1 + 3 + 4 §”µÕ∫¡’ 2 ™ÿ¥ §◊Õ x = 1, 2, 5  ¡°“√§Õ◊ (x›1) (x›2) (x›5) = 0................... 1 ·≈– x = 1, 3, 4  ¡°“√§◊Õ (x›1) (x›3) (x›4) = 0................... 2 ®“° 1 ; (x›1) (x2›7x+10) = 0 ➝ x3 › 8x2 + 17x › 10 = 0 ®“° 2 ; (x›1) (x2›7x+12) = 0 ➝ x3 › 8x2 + 19x › 12 = 0 ∴ c + d = 17 › 10 = 7 À√Õ◊ 19 › 12 = 7 µÕ∫ 7 ‡ √‘¡§‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 23

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢—ÈπæÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 15. ¢Õâ ¡Ÿ≈™¥ÿ Àπß÷Ë ‡ªìπ¥—ßπ’È 4, a, 5, b, 7, c, 7, 8 ∂“â ¢Õâ ¡Ÿ≈™ÿ¥π¡’È ’∞“ππ‘¬¡‡∑à“°—∫ 8 ·≈–§à“‡©≈ˬ’ ‡≈¢§≥µ‘ ‡∑à“°∫— 7 ·≈â«¡—∏¬∞“π¢ÕߢâÕ¡≈Ÿ ™ÿ¥πÈ¡’ ’§à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ ¢âÕ¡Ÿ≈™¥ÿ πÈ’¡’ 8 µ«— §Õ◊ 4, a, 5, b, 7, c, 7, 8 ∞“ππ‘¬¡ = 8 ¥ß— πÈπ— ¢âÕ¡≈Ÿ ™¥ÿ π’ȵâÕß¡’ 8 ®”π«π „Àâ b = 8 ·≈– c = 8 n ∑x §à“‡©≈¬Ë’ ‡≈¢§≥µ‘ = x = i=1 i = 7 n 7 = 4+a+5+8+7+8+7+8 8 7 = a + 47 8 a + 47 = 56 a = 56 › 47 =9 ¢Õâ ¡≈Ÿ ™¥ÿ π‡’È ¡◊ËÕ‡√’¬ß≈”¥—∫®“°πâÕ¬‰ª¡“° §◊Õ 4, 5, 7, 7, 8, 8, 8, 9 ∴ ¡—∏¬∞“π §◊Õ 7+8 = 7.5 2 µÕ∫ 7.5 24 ‡ √‘¡§‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢È—πæπ◊È ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ 16. ∂â“ (n› 1 )2 + (n+ 1 )2 = 16 ·≈â« (n2+ 1 )3 ¡§’ “à ‡∑à“„¥ n n n2 ·π«§‘¥ (n› 1 )2 + (n+ 1 )2 = 16 n n (n2›2+ 1 ) + (n2+2+ 1 ) = 16 n2 n2 = 16 =8 2n2 + 2 = 83 = 512 n2 n2 + 1 n2 (n2+ 1 )3 n2 µÕ∫ 512 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 25

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢π—È æπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ 17. ®ß·ª≈ß 1100101011 „À‡â ªπì ®”π«π∑’·Ë  ¥ß¥«â ¬‡≈¢∞“π ‘∫À° („π√–∫∫‡≈¢∞“π ∫‘ À°  Õß °”Àπ¥„Àâ A ·∑π 10, B ·∑π 11, C ·∑π 12, D ·∑π 13, E ·∑π 14 ·≈– F ·∑π 15) ·π«§¥‘ ∑’Ë 1 §“à ª√–®”À≈°— ¢Õ߇≈¢∞“π ∫‘ À° 1 À≈°— ‡∑“à °∫— §“à ª√–®”À≈°— ¢Õ߇≈¢∞“π Õß 4 À≈°— 殑 “√≥“ 001100101011  Õß 1011 = 1 Ó 23 + 0 Ó 22 + 1 Ó 2 + 1 Ó 1  Õß = 8 + 2 + 1 = 11 0010 = 1 Ó 2  Õß =2 0011 = 2 + 1  Õß =3 ¥ß— π—πÈ 1100101011 = 32B  Õß  ∫‘ À° ·π«§‘¥∑’Ë 2 1100101011 = 1 Ó 29 + 1 Ó 28 + 1 Ó 25 + 1 Ó 23 + 1 Ó 2 + 1 Ó 20  Õß = [2(24)2+(24)2] + 2(24) + (8+2+1) = 3(16)2 + 2(16) + 11 = 32B  ‘∫À° µÕ∫ 32B À√Õ◊ 32B  ‘∫À° 16 26 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢πÈ— æÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ A R √Ÿª “¡‡À≈Ë’¬¡ ABC ¡’¡ÿ¡ C ‡ªìπ¡ÿ¡©“° ®ÿ¥ M, P, Q, R ·≈– S ‡ªìπ®ÿ¥°÷Ëß°≈“ß 18. M ¢Õß AB, BC, BM, MA ·≈– AC µ“¡≈”¥∫— ∂“â AB = 32 Àπ૬ ·≈⫇ πâ √Õ∫√ªŸ ¢Õß√Ÿª S Q  ’‡Ë À≈ˬ’ ¡ PQRS ¬“«°ËÀ’ π«à ¬ C B P ·π«§‘¥ A ≈“° à«π¢Õ߇ âπµ√ß CM ®–‰¥â M ‡ªìπ®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ߢÕß«ß°≈¡ R ∑’Ë¡’ AB ‡ªπì ‡ âπº“à π»Ÿπ¬°å ≈“ß ®–‰¥â AM = MC = MB = 16 Àπ«à ¬ S M ‡πÕË◊ ß®“° S ·≈– P ‡ªπì ®¥ÿ °÷Ëß°≈“ߢÕß AC ·≈– CB Q 1 2 ∴ SP = AB C B P „π∑”πÕ߇¥¬’ «°—π SR = 1 CM ·≈– PQ = 1 CM 22 ∴ ‡ âπ√Õ∫√ªŸ ¢Õß√Ÿª Ë‡’ À≈Ë’¬¡ PQRS ¬“« = RQ + QP + PS + SR = 16 + 8 + 16 + 8 = 48 Àπ૬ µÕ∫ 48 Àπ«à ¬ ‡ √¡‘ §‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 27

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢È—πæπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 19. √ªŸ  “¡‡À≈’ˬ¡√ŸªÀπß÷Ë ¡’®ÿ¥¬Õ¥®¥ÿ Àπ÷Ëß §Õ◊ (1 , 0) ∂“â Õ°’  Õß®ÿ¥∑’ˇÀ≈Õ◊ ‡ªπì ®¥ÿ µ¥— ¢Õß°√“ø 2 ¢Õß ¡°“√ y = 3x2 + 4x + 1 ·≈– y = 3 + 2x › x2 ·≈â«æπ◊È ∑’¢Ë Õß√ªŸ  “¡‡À≈ˬ’ ¡√ªŸ π’È ‡ªìπ°’µË “√“ßÀπ«à ¬ ·π«§‘¥ y (1 , 3 3 ) 2 4 (›1, 0) ( 1 , 0) x 2 ®¥ÿ ∑°Ë’ √“ø y = 3x2 + 4x + 1 ·≈– y = 3 + 2x › x2 µ¥— °—π À“‰¥®â “° 3x2 + 4x + 1 = 3 + 2x › x2 2x2 + x › 1 = 0 (2x›1) (x+1) = 0 x = 1 , ›1 2 1 3 ·∑π§à“ x = 2 „π ¡°“√ y= 3x2 + 4x +1 ®–‰¥â y = 3 4 ·∑π§“à x = ›1 „π ¡°“√ y = 3x2 + 4x + 1 ®–‰¥â y = 0 ∴ ®ÿ¥¬Õ¥¢Õß√Ÿª “¡‡À≈¬’Ë ¡ §Õ◊ ( 1 , 3 3 ), (›1, 0), ( 1 , 0) 2 4 2 æπÈ◊ ∑’√Ë Ÿª “¡‡À≈’¬Ë ¡ = 1 Ó 1 1 Ó 3 3 2 2 4 = 2 13 µ“√“ßÀπ૬ 16 µÕ∫ 2 13 µ“√“ßÀπ૬ À√Õ◊ 2.8125 µ“√“ßÀπ«à ¬ 16 28 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢π—È æπ◊È ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 20. √Ÿª ‡’Ë À≈Ë’¬¡®—µÿ√ — A, B, C ·≈– D µßÈ— Õ¬∫àŸ π XY ´ß÷Ë ¬“« 29 Àπ૬ ¥—ß√Ÿª ∂â“√Ÿª ’‡Ë À≈’¬Ë ¡®—µ√ÿ —  C ¡æ’ ◊Èπ∑Ë’ 4 µ“√“ßÀπ«à ¬ ·≈–Õµ— √“ «à πæÈ◊π∑¢Ë’ Õß√ªŸ  ‡Ë’ À≈Ë’¬¡®µ— ÿ√—  A : B : D ‡ªìπ 4 : 9 : 16 ·≈⫺≈∫«°¢Õßæ◊Èπ∑Ë’√ªŸ  ’ˇÀ≈’¬Ë ¡®—µ√ÿ  — A, B ·≈– D ‡ªìπ°’µË “√“ßÀπ૬ A B D X C Y ·π«§¥‘ ∑’Ë 1 ‡π◊ËÕß®“° C ¡æ’ π◊È ∑Ë’ 4 µ“√“ßÀπ«à ¬ ¥“â π¢Õß√ªŸ  ‡Ë’ À≈¬Ë’ ¡®—µÿ√—  C = 2 Àπ«à ¬ ∴ º≈√«¡¢Õߥâ“π√Ÿª A √ªŸ B √ªŸ D = 29 › 2 = 27 Àπ«à ¬ ·µÕà µ— √“ à«π¢Õßæ◊πÈ ∑Ë¢’ Õß√ªŸ A : B : D = 4 : 9 : 16 ¥—ßπÈπ— „Àæâ πÈ◊ ∑’Ë√Ÿª A √Ÿª B √ªŸ D ‡ªìπ 4x, 9x, 16x µ“√“ßÀπ«à ¬ µ“¡≈”¥∫— ∴ ¥“â π·µà≈–¥â“π¢Õß√ªŸ A √ªŸ B √Ÿª D ‡ªπì 2 x, 3 x, 4 x Àπ«à ¬ µ“¡≈”¥—∫ ¥—ßπÈπ— 2 x + 3 x + 4 x = 27 (2+3+4) x = 27 x = 27 9 =3 x=9 ∴ æπÈ◊ ∑’Ë√ªŸ A √ªŸ B √Ÿª D ‡∑“à °∫— 36, 81, 144 µ“√“ßÀπ«à ¬ µ“¡≈”¥∫— ¥—ßππÈ— º≈∫«°¢Õßæ◊πÈ ∑Ë√’ ªŸ  Ë’‡À≈’¬Ë ¡®µ— ÿ√ — A, B, D = 36 + 81 + 144 = 261 µ“√“ßÀπ«à ¬ ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 29

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢π—È æÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ ·π«§‘¥∑’Ë 2 ‡π◊ËÕß®“° C ¡’æπÈ◊ ∑Ë’ 4 µ“√“ßÀπ«à ¬ ¥“â π¢Õß√ªŸ  Ë‡’ À≈¬’Ë ¡®—µ√ÿ —  C = 2 Àπ૬ ∴ º≈√«¡¢Õߥâ“π√Ÿª A √Ÿª B √Ÿª D = 29 › 2 = 27 Àπ«à ¬ ·µÕà µ— √“ «à π¢ÕßæÈ◊π∑¢’Ë Õß√Ÿª A : B : D = 4 : 9 : 16 ®–‰¥âÕ—µ√“ «à π¢Õߧ«“¡¬“«¥â“π√Ÿª A √Ÿª B √ªŸ D= 2 : 3 : 4 ∴ 2k + 3k + 4k = 27 9k = 27 k=3 ¥ß— ππÈ— §«“¡¬“«¥â“π¢Õß√Ÿª A = 6 Àπ૬ §«“¡¬“«¥“â π¢Õß√Ÿª B = 9 Àπ«à ¬ ·≈–§«“¡¬“«¥“â π¢Õß√Ÿª D = 12 Àπ૬ ¥—ßππÈ— º≈∫«°¢Õßæ◊πÈ ∑’Ë√Ÿª ’ˇÀ≈ˬ’ ¡®—µ√ÿ  — A, B, D = 36 + 81 + 144 = 261 µ“√“ßÀπ«à ¬ µÕ∫ 261 µ“√“ßÀπ«à ¬ 30 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢πÈ— æπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ µÕπ∑Ë’ 2 21. ABC ‡ªπì √ªŸ  “¡‡À≈Ë’¬¡ ¡¡’ ÿ¡ ABC ‡ªπì ¡ÿ¡©“° DBME, FDNG ·≈– HFPK ‡ªπì √ªŸ  ‡Ë’ À≈¬’Ë ¡ ®µ— √ÿ  — Õ¬¿Ÿà “¬„π√ªŸ  “¡‡À≈¬’Ë ¡¡¡ÿ ©“° ABC ∂“â BM = 3 ‡´πµ‡‘ ¡µ√ ·≈– MC = 1 ‡´πµ‡‘ ¡µ√ ¥ß— √ªŸ ·≈«â æ◊Èπ∑’ Ë à«π∑Ë’·√‡ß“‡ªìπ°’˵“√“߇´πµ‡‘ ¡µ√ (µÕ∫‡ªìπ∑»π¬‘ ¡ 2 µ”·Àπßà ) G E C K N 1 ´¡. P M 3 ´¡. A HF D B ·π«§‘¥ BM = 3 ‡´πµ‘‡¡µ√, MC = 1 ‡´πµ‡‘ ¡µ√ (°”Àπ¥„Àâ) EM = 3 ‡´πµ‡‘ ¡µ√ (§«“¡¬“«¥“â π¢Õß√Ÿª Ë‡’ À≈¬’Ë ¡®—µÿ√ — DBME) ∆ ABC ~ ∆ EMC ~ ∆ GNE ~ ∆ KPG (¡¡ÿ ∑ Ë’ ¡π—¬°—π¡’¢π“¥‡∑à“°π— ) ¥ß— π—Èπ AB = AC = BC EM EC MC ‡πË◊Õß®“° BC = 4 ‡´πµ‘‡¡µ√ MC = 1 ‡´πµ‡‘ ¡µ√ EM = 3 ‡´πµ‘‡¡µ√ ¥ß— πÈπ— AB = 4 3 1 AB = 12 ‡´πµ‡‘ ¡µ√ ·≈– NE = MC DE BC ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 31

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢—ÈπæÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ ¥—ßπÈπ— NE = 1 34 „π∑”πÕ߇¥¬’ «°π— ¥ß— π—Èπ NE = 3 ‡´πµ‡‘ ¡µ√ 4 DN = 3 › 3 = 2 1 = 9 ‡´πµ‘‡¡µ√ 4 44 PG = MC FG BC PG = 1 9 4 4 9 Ó 1 =9 ‡´πµ‘‡¡µ√ PG = 4 4 16 FP = 9 ›9= 36 › 9 = 27 ‡´πµ‡‘ ¡µ√ 4 16 16 16 æ◊Èπ∑Ë’√Ÿª “¡‡À≈Ë’¬¡ ABC = 1 Ó 12 Ó 4 = 24 µ“√“߇´πµ‘‡¡µ√ 2 æÈ◊π∑’Ë√Ÿª Ë‡’ À≈ˬ’ ¡®—µÿ√ — DBME = 32 = 9 µ“√“߇´πµ‘‡¡µ√ æÈ◊π∑Ë√’ ªŸ  ‡Ë’ À≈’¬Ë ¡®—µ√ÿ  — FDNG = 92 = 81 µ“√“߇´πµ‡‘ ¡µ√ 42 16 æπÈ◊ ∑’√Ë Ÿª ’ˇÀ≈’¬Ë ¡®µ— ÿ√ — HFPK = 272 = 729 µ“√“߇´πµ‘‡¡µ√ 162 256 æ◊Èπ∑’Ë à«π∑·Ë’ √‡ß“ = 24 › 9 › 81 › 729 µ“√“߇´πµ‡‘ ¡µ√ 16 256 = 15 › ( 1861 + 729 ) µ“√“߇´πµ‘‡¡µ√ 256 = 15 › 1296 + 729 µ“√“߇´πµ‘‡¡µ√ 256 = 15 › 7.91 = 7.09 µ“√“߇´πµ‘‡¡µ√ µÕ∫ 7.09 µ“√“߇´πµ‡‘ ¡µ√ 32 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢—πÈ æπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 22. °”Àπ¥„Àâ cos2A = cos2A › sin2A ‡¡ËÕ◊ 0 Ì < A < 90 Ì ∂â“ 4cosA = 1 ·≈â« 8 6 sin A ¡§’ à“‡∑“à „¥ 2 ·π«§‘¥ ‡πÕ◊Ë ß®“° cos2A = cos2A › sin2A cos2A = (1›sin2A) › sin2A; (cos2A = 1 › sin2A) ¥ß— ππÈ— cos2A = 1 › 2 sin2A ®“°‚®∑¬å cosA = 1 À√◊Õ cos2 ( A ) = 1 4 2 4 ®–‰¥â cosA = 1 › 2sin2 A 2 1 = 1 › 2 sin2 A 4 2 2sin2 A = 1› 1 = 3 2 4 4 sin2 A = 3 2 8 sin A = ±3 2 22 ·µ‡à πËÕ◊ ß®“° 0 Ì < A < 90 Ì ¥ß— π—πÈ sin A ‡ªπì §“à ∫«° 2 ®–‰¥â sin A = 3 2 22 8 6 sin A = 12 2 µÕ∫ 12 ‡ √¡‘ §¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 33

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢π—È æ◊Èπ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ 23. ¡’≈«¥Àπ“¡¬“« 300 ‡¡µ√ µâÕß°“√≈âÕ¡∑’Ë¥‘π∫πΩòíß·¡àπ”È ‡ªìπ§Õ°«—«√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡¡ÿ¡©“°  Õߧհµ‘¥°—π‚¥¬·µà≈–§Õ°¡’§«“¡°«â“߇∑à“°—π ·µà§«“¡¬“«¢ÕߧհÀπ÷Ë߇ªìπ§√÷ËßÀπË÷ߢÕß Õ°’ §Õ°Àπß÷Ë ∂“â µÕâ ß°“√≈Õâ ¡√«—È „À≥ºâ ≈√«¡¢Õßæπ◊È ∑ Ë’ Õߧհ¡“°∑ ’Ë ¥ÿ ®–‰¥æâ πÈ◊ ∑√’Ë «¡°µ’Ë “√“߇¡µ√ ·π«§‘¥ ®“°¢âÕ¡Ÿ≈∑Ë‚’ ®∑¬å°”Àπ¥Õ“®‡¢’¬π‡ªπì ·ºπº—ß®”≈Õ߉¥¥â —ßπÈ’ „À⧫“¡¬“«¢ÕߧհÀπ÷ßË ‡∑“à °—∫ x ‡¡µ√ ®–‰¥â ·¡àπÈ” §«“¡¬“«¢ÕßÕ’°§Õ°Àπ÷Ë߇∑à“°—∫ 2x ‡¡µ√ ‡πÕ◊Ë ß®“°≈«¥Àπ“¡¬“« 300 ‡¡µ√ x 2x ®–‰¥§â «“¡°«“â ߇∑“à °—∫ 300 › 3x = 3(100›x) = 100 › x 33 „Àâ y = æÈ◊π∑’˧հ«—« ®–‰¥â y = x(100›x) + 2x(100›x) y = 100x › x2 + 200x › 2x2 y = 300x › 3x2 ∴ ›b y = ax2 + bx + c, a < o ¡§’ “à y  ßŸ  ÿ¥ ‡¡◊ËÕ x = 2a ∴ x = ›300 2(›3) = 50 34 ‡ √‘¡§‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπ◊È ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢πÈ— æπ◊È ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ ¥ß— ππ—È ®–µÕâ ß≈Õâ ¡√«—È ‚¥¬„À§â «“¡¬“«¢Õߧհ‡≈°Á ‡∑“à °∫— 50 ‡¡µ√ §«“¡¬“«¢Õߧհ„À≠à ‡∑à“°—∫ 100 ‡¡µ√ ·≈–§«“¡°«â“߇∑“à °∫— 50 ‡¡µ√ ∴ æπÈ◊ ∑§Ë’ Õ°‡≈°Á = 50 Ó 50 = 2500 µ“√“߇¡µ√ æ◊Èπ∑Ë’§Õ°„À≠à = 100 Ó 50 = 5000 µ“√“߇¡µ√ π—Ëπ§◊Õ º≈√«¡¢Õßæ◊πÈ ∑’∑Ë —ßÈ  Õߧհ = 2500 + 5000 = 7500 µ“√“߇¡µ√ µÕ∫ 7500 µ“√“߇¡µ√ 24. B A ABCDEFGH ‡ªπì °≈àÕß∑√ß≈Ÿ°∫“»°¢å π“¥ 9 Ó 9 Ó 9 ≈Ÿ°∫“»°åÀπ૬ D C ®¥ÿ X Õ¬∫Ÿà π¥â“π AB ·≈–∑”„Àâ AX : AB = 1 : 3 F G ®ÿ¥ Y Õ¬Ÿà∫π¥â“π GH ·≈–∑”„Àâ GY : GH = 1 : 3 ·≈–®ÿ¥ Z Õ¬Ÿ∫à π¥“â π DE ∑”„Àâ DZ : DE = 2 : 3 E H æÈπ◊ ∑Ë’¢Õß√ªŸ  “¡‡À≈¬Ë’ ¡ XYZ ‡ªìπ°Ë’µ“√“ßÀπ«à ¬ ‡ √¡‘ §‘¥...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 35

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢È—πæÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ ·π«§‘¥ ‡πÕ◊Ë ß®“° XG2 = XB2 + BG2 A3 X 6 B XG2 = 62 + 92 = 32(4+9) = 117 ‡πÕ◊Ë ß®“° XY2 = XG2 + YG2 D C ®–‰¥â XY2 = 117 + 9 = 126 .............. 1 6F ‡πÕ◊Ë ß®“° YZ2 = YE2 + ZE2 Z G YZ2 = (62+92) + 32 3 Y 36 = 117 + 9 = 126 .............. 2 E H ‡πÕË◊ ß®“° ZX2 = XD2 + DZ2 ZX2 = (32+92) + 62 = 126 ...... 3 ®“°¢Õâ ¡Ÿ≈¢â“ßµπâ ®–‰¥â XY = YZ = ZX ¥ß— ππÈ— √ªŸ ∆ XYZ ‡ªπì √Ÿª “¡‡À≈ˬ’ ¡¥“â π‡∑“à ´÷Ëß¡’¥“â 𬓫¥â“π≈– 3 14 Àπ«à ¬ ‡πËÕ◊ ß®“°æÈπ◊ ∑’Ë¢Õß√ªŸ  “¡‡À≈¬Ë’ ¡¥“â π‡∑à“‡∑à“°∫— 3 (¥â“π)2 4 ¥ß— πÈ—π æÈ◊π∑Ë’¢Õß√Ÿª “¡‡À≈Ë’¬¡ XYZ = 3 (3 14)2 4 3 = (9Ó14) 4 63 3 = µ“√“ßÀπ૬ 2 µÕ∫ 63 3 µ“√“ßÀπ૬ À√◊Õ 54.558 µ“√“ßÀπ૬ 2 36 ‡ √¡‘ §‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢπ— ∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕ◊Ë °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢πÈ— æπÈ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√ 25. ABC ‡ªπì √Ÿª “¡‡À≈ˬ’ ¡¥ß— √ªŸ ‡ πâ ·∫àߧ√÷Ëß BAC æ∫ BC ∑Ë’ D ∂â“ AB + AD = CD, AD + AC = BC ·≈– ACB = 20 Õß»“ ·≈â«¢π“¥¢Õß ABC ‡∑à“°—∫°’ËÕß»“ A < < < B 20 Ì D C ·π«§‘¥ A <12 x < x y E < 3 < < zz B6 5 4 = 20 Ì C< zD x+y <<  √“â ß„Àâ E ‡ªπì ®ÿ¥∫π AC ∑∑’Ë ”„Àâ AB = AE ≈“° DE ∴ ∆ ABD ≅ ∆ ADE ∴ ‡ªìπ¥“â π√à«¡, 1 = 2, AB = AE) ( AD < < ∴ BD = DE ·≈– 3 = 6 AB + AD = CD ·≈– AD + AC = BC ∴ DE = EC ‡ √¡‘ §‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 37

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢πÈ— æ◊Èπ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ ∆ EDC ‡ªπì √ªŸ  “¡‡À≈ˬ’ ¡Àπ⓮˗« 4 = 5 = 20 Ì 3 = 4 + 5 = 40 Ì ABC = 6 = 40 Ì < <<< << < µÕ∫ 40 Õß»“ 26. A 20 6 Q P x x C B ®“°√ªŸ AP = 20 Àπ«à ¬ AQ = 6 Àπ«à ¬ BP = CQ = x Àπ«à ¬ ∂“â æÈ◊π∑Ë√’ ªŸ  “¡‡À≈¬Ë’ ¡ APQ ‡∑“à °—∫æ◊πÈ ∑√Ë’ Ÿª ‡’Ë À≈¬’Ë ¡ BCQP ·≈«â x ¡§’ à“‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ A 20 6 P a cx Q B xb C 38 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢—ÈπæÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ ≈“° à«π¢Õ߇ âπµ√ß CP „Àâ æÈ◊π∑’Ë ∆ APQ = a µ“√“ßÀπ«à ¬ b µ“√“ßÀπ૬ æ◊Èπ∑Ë’ ∆ CPQ = c µ“√“ßÀπ«à ¬ æπ◊È ∑Ë’ ∆ BCP = æÈπ◊ ∑’Ë ∆ APQ = 6 = x æπÈ◊ ∑Ë’ ∆ CPQ ∴ a 6 ........................................... 1 b x æÈ◊π∑’Ë ∆ APC = 20 æπÈ◊ ∑Ë’ ∆ BCP x ∴ a+b = 20 ........................................... 2 c x ∴a = b + c (°”Àπ¥„À)â ·∑π a „π 1 ; b+c = 6 b x 1 + c = 6 ........................................... 3 b x ·∑π a „π 2 ; 2b + c = 20 c x 1 + 2b = 20 ........................................... 4 c x ®“° 3 ; c = 6 › 1 ........................................... 5 b x ®“° 4 ; 2b = 20 › 1 ........................................... 6 c x ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 39

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢È—πæÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏°‘ “√ 5 Ó 6 ; c Ó 2b = ( 6 ›1) (2x0›1) b c x 2 = 120 › 26 + 1 x2 x 0 = 120 › 26 › 1 x2 x 0 = (3x0+1) ( 4 ›1) x ∴ x = 4 À√◊Õ x = ›30 ·µà x = ›30 „™â‰¡à‰¥â ¥ß— ππ—È x = 4 µÕ∫ 4 40 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥—∫¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»÷°…“¢π—È æ◊Èπ∞“π °√–∑√«ß»°÷ …“∏°‘ “√ 27. ∂â“ x = 2 › 1 ·≈â« 1 + 6x + 3x2 + x6 › 2x7 › 2x8 + 2x9 + x10 ¡’§“à ‡∑à“„¥ ·π«§‘¥ ∴ x = 2›1 x2 = 2 › 2 2 + 1 = 3 › 2 2 x4 = 9 › 12 2 + 8 = 17 › 12 2 ®“° 1 + 6x + 3x2 + x6 › 2x7 › 2x8 + 2x9 + x10 = 1 + 3x (2+x) + x6 (1›2x) › 2x8 (1›x) + x10 = 1 + 3 ( 2›1) (2+ 2›1) + x6(1›2 2+2) › 2x8 (1› 2+1) + x10 = 1 + 3( 2›1) ( 2+1) + x6 [3›2 2›x2 (4›2 2)+x4] = 1 + 3 + x6 [3›2 2›(3›2 2) (4›2 2)+17›12 2] = 4 + x6 [3›2 2›(12›6 2›8 2+8)+17›12 2] = 4 + x6 [3›2 2›(20›14 2)+17›12 2] = 4 + x6 [3›2 2›20+14 2+17›12 2] = 4 + x6 [0] =4 µÕ∫ 4 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥‘µ»“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 41

‡©≈¬/·π«§¥‘ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°Ë’ “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢Èπ— æÈπ◊ ∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 28.  ¡— ª√– ∑‘ ∏¢Ï‘ Õß x88 ®“°º≈§≥Ÿ (x+1) (x+2) (x›3) (x+4) (x+5) (x›6) ... (x+88) (x+89) (x›90) ¡’§à“‡∑“à „¥ ·π«§‘¥ °”Àπ¥„À â —¡ª√– ∑‘ ∏¢Ï‘ Õß x88 ‡ªìπ S ®–‰¥â 2S = (1+2›3+4+5›6+...+88+89›90)2 › (12+22+32+...+902) 2S = (1305)2 › 247065 2S = 1703025 › 247065 S = 727980 µÕ∫ 727980 42 ‡ √‘¡§¥‘ ...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥—∫¡—∏¬¡»÷°…“µÕπµâπ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢ßà ¢π— ∑“ß«™‘ “°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552

‡©≈¬/·π«§‘¥ ·∫∫∑¥ Õ∫§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ‡æÕË◊ °“√§¥— ‡≈Õ◊ °µ«— ·∑ππ°— ‡√¬’ π√–¥∫— ‡¢µæπÈ◊ ∑°’Ë “√»°÷ …“ ª√–®”ªï æ.». 2551  ”π—°ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢π—È æÈ◊π∞“π °√–∑√«ß»÷°…“∏‘°“√ 29. ®ßÀ“§”µÕ∫¢Õß ¡°“√ 108 = 378 › x › x2 › 2916 x2 › 2916 x + 54 ·π«§‘¥ ∴ 542 = 2916 „Àâ x = 54y ‡∑“à °—∫‰¥µâ √ß°—π ®–‰¥â 2 = 7 › y › y2 › 1 y2 › 1 y+1 2y + 2 = (7›y) y2 › 1 › (y2›1) y2 + 2y + 1 = (7›y) (y›1)(y+1) (y+1)4 = (7›y)2 (y›1) (y+1) ‡¡ÕË◊ y + 1 ≠ 0 ∴ (y+1)3 = (7›y)2 (y›1) y3 + 3y2 + 3y + 1 = (49›14y+y2) (y›1) y3 + 3y2 + 3y + 1 = y3 › 15y2 + 63y › 49 18y2 › 60y + 50 = 0 9y2 › 30y + 25 = 0 (3y›5)2 = 0 y= 5 3 ∴ x = 54 Ó 5 = 90 3 µÕ∫ 90 ‡ √‘¡§‘¥...§≥µ‘ »“ µ√å √–¥∫— ¡∏— ¬¡»°÷ …“µÕπµπâ ·∫∫∑¥ Õ∫°“√·¢àߢ—π∑“ß«‘™“°“√ ª√–®”ªï æ.». 2551-2552 43