เสริมคิดคณิตศาสตร์มัธยม 55-56

เสริมคิด...คณิตศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา ตวั อย่างแบบทดสอบการแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555-2556 ISBN 978 - 616 - 372 - 287 - 4 พิมพ์คร้งั แรก พ.ศ. 2557 จำ�นวนพิมพ ์ 1,000 เล่ม เรียบเรยี ง กลุม่ วจิ ัยและพฒั นาองค์กรแหง่ การเรียนรู้ ส�ำ นักพฒั นานวตั กรรมการจัดการศกึ ษา สำ�นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขัน้ พ้นื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ สงวนลขิ สิทธิ์ ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขนั้ พน้ื ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร จัดพิมพโ์ ดย โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรียนรสู้ สู่ ากล กลุ่มวจิ ัยและพัฒนาองค์กรแห่งการเรียนรู้ ส�ำ นักพฒั นานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพืน้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ พิมพ์ท ่ี โรงพมิ พอ์ งค์การสงเคราะหท์ หารผ่านศกึ เลขที่ 2/9 ซอย 31 ถนนกรุงเทพ-นนทบุรี เขตบางซอ่ื กรุงเทพฯ 10800 โทรศพั ท์ 0-2587-3137 โทรสาร 0-2587-3295

คำ�น�ำ ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน มีนโยบายยกระดับคุณภาพ มาตรฐานการศึกษาข้ันพื้นฐาน และใช้กระบวนการแข่งขันทางวิชาการ กระบวนการวิจัยพัฒนาคุณภาพการเรียนรู้เป็นเครื่องมือในการขับเคลื่อนนโยบายสู่การปฏิบัติ และในโอกาสท่ีสำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐานได้รับเชิญจากกระทรวง และหน่วยงานทางการศึกษาต่างประเทศในการพิจารณานักเรียนเข้าร่วมแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ จึงได้ดำ�เนินงานโครงการพัฒนาคุณภาพการเรียนรู้สู่สากล กิจกรรม การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ โดยมีวัตถุประสงค์เพ่ือเปิดโอกาสให้นักเรียน ได้แลกเปลี่ยนเรียนรู้สู่เวทีวิชาการ และได้พัฒนาความสามารถเต็มตามศักยภาพ สำ�หรับ กิจกรรมการแข่งขันทางวิชาการจึงเป็นเวทีแห่งประสบการณ์นอกห้องเรียน และเป็นก้าวหนึ่ง ของนักเรียนที่ได้มีโอกาสฉายแววแห่งความสามารถ ดังนั้น ความสำ�คัญจึงมิได้อยู่ท่ีรางวัล จากการแข่งขันท่ีนักเรียนได้รับเท่านั้น หากแต่ความสำ�เร็จนั้นคือประสบการณ์การเรียนรู้ อนั เป็นประสบการณ์ตรงท่ีทรงคุณคา่ ของนักเรยี น เอกสารชุดเสริมคิด...คณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา (แบบทดสอบการแข่งขัน ทางวิชาการ ระดับนานาชาติ...ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 – 2556) เปน็ ผลผลิตจากการศกึ ษาวเิ คราะห์ เนอื้ หาหลกั สตู รในการแขง่ ขนั ทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ทเี่ นน้ ดา้ นกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ และวิทยาศาสตร์ เพื่อสร้างแบบทดสอบ ที่ใช้ในการแข่งขันทางวิชาการ ระดับเขตพ้ืนที่ การศึกษา การแข่งขันทางวิชาการระดับประเทศ เพ่ือคัดเลือกนักเรียนที่มีความสามารถ ทางคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ เป็นตัวแทนนักเรียนไปแข่งขันทางวิชาการระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 – 2556 เอกสารชุดน้ี สำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน ใช้เผยแพร่เป็นแนวทางในการพัฒนาคุณภาพการเรียนรู้และพัฒนาขีดความสามารถ ของนักเรียนให้สามารถก้าวทันโลกก้าวทันการเปลี่ยนแปลง ตลอดจนสามารถนำ�สิ่งท่ีได้ จากการเรียนรไู้ ปปรบั ใชใ้ นชวี ติ ประจำ�วนั ไดอ้ ยา่ งมคี วามสุข โอกาสนี้ ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พนื้ ฐาน ขอขอบคณุ คณะท�ำ งานทกุ ทา่ น ท่ีได้มีส่วนร่วมจัดทำ�เอกสารชุดเสริมคิด...คณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา และขอขอบคุณ หน่วยงานทเ่ี ก่ียวขอ้ งในการรว่ มสร้างสรรคเ์ ปดิ โอกาสให้นักเรยี นไทยไดก้ า้ วไกลส่สู ากล ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพนื้ ฐาน

ค�ำ ชี้แจง ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน โดยสำ�นักพัฒนานวัตกรรม การจัดการศึกษาได้จัดทำ�เอกสารชุดเสริมคิด...คณิตศาสตร์และ เสรมิ คดิ ...วทิ ยาศาสตร์ (แบบทดสอบการแขง่ ขนั ทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555–2556) และเป็นผลผลิตจากการดำ�เนินงานโครงการพัฒนาคุณภาพการเรียนรู้สู่สากล กิจกรรม การแข่งขันทางวิชาการระดับนานาชาติ จัดทำ�ข้ึนเพ่ือเผยแพร่เป็นแนวทางหนึ่งสำ�หรับ ครูผู้สอนใช้ในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ และสำ�หรับนักเรียนใช้เป็นแบบฝึกเสริมทักษะ เพ่ิมพูนประสบการณ์ พัฒนาความสามารถทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ เป็นการเพ่ิม ขีดความสามารถด้านกระบวนการคิดและเตรียมความพร้อมนักเรียนเพื่อการแข่งขัน ทางวิชาการระดับนานาชาติ เอกสารชุดเสริมคิด...คณิตศาสตร์และเสริมคิด...วิทยาศาสตร์ ประกอบด้วย แบบทดสอบคณิตศาสตร์และแบบทดสอบวิทยาศาสตร์ท่ีใช้ในการแข่งขัน ทางวิชาการ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 – 2556 ของสำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน จำ�นวน 3 เลม่ ดงั ตอ่ ไปนี้ เลม่ ท่ี 1 เสรมิ คดิ ...คณิตศาสตร์ ระดบั ประถมศึกษา แบบทดสอบการแขง่ ขนั ทางวชิ าการระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555–2556 เลม่ ท่ี 2 เสริมคิด...คณติ ศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษาตอนตน้ แบบทดสอบการแขง่ ขนั ทางวชิ าการระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555–2556 เล่มที่ 3 เสรมิ คิด...วิทยาศาสตร์ ระดบั ประถมศกึ ษา แบบทดสอบการแขง่ ขนั ทางวชิ าการระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555–2556 เอกสารชุดเสริมคิด...คณิตศาสตร์ ระดับประถมศึกษา (แบบทดสอบการแข่งขัน ทางวิชาการระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 – 2556) เป็นการนำ�เสนอวิธีการ ยทุ ธศาสตร์ การแก้โจทย์ปัญหาและใช้เป็นยุทธวิธีในการเฉลยแนวคิดแบบทดสอบท่ีใช้ในการแข่งขัน ทางวิชาการระดับเขตพ้ืนที่การศึกษาและการแข่งขันทางวิชาการระดับประเทศ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555–2556 ส�ำ หรบั เนอื้ หาสาระทไี่ ดน้ �ำ เสนอในเอกสารนเี้ ปน็ แนวทางหนงึ่ ในการแกโ้ จทยป์ ญั หา ทห่ี ลากหลายภายใตก้ รอบเน้ือหาสาระทใี่ ชใ้ นการแขง่ ขนั คณิตศาสตรร์ ะดับนานาชาติ ส�ำ นกั พัฒนานวตั กรรมการจดั การศึกษา

สารบัญ หนา้ 7 ค�ำ น�ำ 17 ค�ำ ชี้แจง 37 สารบัญ 45 Ì แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา 71 การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับเขตพน้ื ทก่ี ารศกึ ษา ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 83 113 Ì แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศกึ ษา 123 การแข่งขันทางวิชาการ ระดับเขตพื้นทก่ี ารศึกษา ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 152 Ì แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา การแข่งขันทางวชิ าการ ระดบั ประเทศ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 Ì แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา การแขง่ ขนั ทางวชิ าการ ระดบั ประเทศ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 Ì แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา การแข่งขนั ทางวิชาการ ระดับเขตพน้ื ทกี่ ารศึกษา ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 Ì แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดับเขตพืน้ ทกี่ ารศึกษา ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 Ì แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดับประเทศ ประจำ�ปี พ.ศ. 2556 Ì แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา การแข่งขันทางวชิ าการ ระดบั ประเทศ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2556 Ì คณะผจู้ ัดทำ�



การแขงขนั ทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ แบกบาทรดแสขอปงบขรคะนั ณจทาํ าติ ปงศวาพชิส.าตศกร.า์2ร5ะ5รดะ5บั ดมบั ัธนยามนศาึกชษาาติ ประจําป พ.ศ. 2555 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ แบบทดสอบการปแขระงขจนัำ�ปทีาพง.วศิช.า2ก5า5ร5ระดบั ประเทศ แบบ(ท(ครดณอสบิตอแศบรากกสาตรรรแะ ดขรบังะขดเขนั ับตทปพารนื้งะวทถิช่กีมาาศกรึกาศรษกึ ารษ)ะาด)บั ประเทศ (คณติ ศาสตร ระดับประถมศึกษา)



ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้ันพื้นฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษา (รอบแรก ระดับเขตพน้ื ทกี่ ารศึกษา) สอบวันท่ี 29 มกราคม 2555 เวลา 09.30 – 11.30 น. (2 ชวั่ โมง) คำ�ชี้แจง 1. แบบทดสอบฉบับน้ี เป็นแบบทดสอบชนิดเติมคำ�ตอบฉบับภาษาไทยและฉบับภาษาอังกฤษ (ไมต่ อ้ งแสดงวธิ ีทำ�) มจี �ำ นวน 7 หน้า 2. แบบทดสอบมีจำ�นวน 30 ข้อ คะแนนเตม็ 100 คะแนน แบง่ เปน็ 2 ฉบบั ฉบบั ท่ี 1 แบบทดสอบคณิตศาสตร์ฉบบั ภาษาไทย จ�ำ นวน 25 ข้อ มี 3 ตอน ตอนท่ี 1 จ�ำ นวน 10 ข้อ ข้อละ 2 คะแนน รวม 20 คะแนน ตอนท่ี 2 จ�ำ นวน 10 ข้อ ข้อละ 4 คะแนน รวม 40 คะแนน ตอนที่ 3 จำ�นวน 5 ขอ้ ขอ้ ละ 6 คะแนน รวม 30 คะแนน ฉบับที่ 2 แบบทดสอบคณติ ศาสตรฉ์ บบั ภาษาองั กฤษ จำ�นวน 5 ข้อ ข้อละ 2 คะแนน รวม 10 คะแนน 3. กระดาษคำ�ตอบมี 1 แผ่น ใหน้ กั เรยี นเขยี น ชอ่ื -นามสกลุ เลขประจำ�ตัวสอบ หอ้ งสอบ ชอ่ื โรงเรยี น ส�ำ นกั งานเขตพน้ื ทก่ี ารศกึ ษาประถมศกึ ษา/มธั ยมศกึ ษา ใหค้ รบในกระดาษค�ำ ตอบ 4. ค�ำ ตอบแตล่ ะขอ้ ทน่ี กั เรยี นตอบ ตอ้ งตอบลงในกระดาษค�ำ ตอบและใหต้ รงกบั ขอ้ ค�ำ ถามเทา่ นน้ั 5. ไมอ่ นุญาตใหใ้ ช้เคร่อื งคิดเลข โทรศพั ท์ หรอื เครือ่ งมืออิเล็กทรอนิกสใ์ ดๆ ในการค�ำ นวณ 6. นักเรียนจะออกจากห้องสอบได้หลังจากเริ่มสอบไปแล้ว 1 ช่ัวโมง โดยวางกระดาษคำ�ตอบ กระดาษทด และแบบทดสอบไว้บนโต๊ะ 7. การตดั สินของคณะกรรมการถอื เป็นขอ้ ยุติ แบบทดสอบฉบับน้ี เปน็ ลิขสทิ ธ์ขิ อง ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขนั้ พ้นื ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หา้ มเผยแพร่ อา้ งอิง ตัดต่อ ดดั แปลงหรือเฉลย ก่อนได้รบั อนุญาต

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขนั้ พน้ื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หนา้ 10 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 (รอบแรก ระดับเขตพ้ืนท่ีการศึกษา) แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา ฉบบั ท่ี 1 แบบทดสอบคณิตศาสตรฉ์ บับภาษาไทย ตอนท่ี 1 จ�ำ นวน 10 ข้อ ต้ังแต่ข้อที่ 1 – 10 ขอ้ ละ 2 คะแนน 1 กำ�หนดให้พิกัดจุด A(-5,2), B(3,2) และ C(1,k) ถ้า k > 0 และรูปสามเหลี่ยม ABC มีพื้นที่ 12 ตารางหน่วย แล้ว k มคี า่ เท่าใด 2. ณเดชน์นำ�ลกู บาศกไ์ มต้ นั ขนาด 5 x 5 x 5 ลกู บาศก์หนว่ ย มาเจาะตรงกลางออกท้ัง 6 ด้าน ให้ทะลุถึงด้านตรงข้าม ด้วยเครื่องเจาะไม้ ดังรูป ถ้าพ้ืนท่ีในแต่ละด้านท่ีเจาะออกไปขนาด 3 x 3 ตารางหนว่ ย แลว้ ปรมิ าตรของไมท้ ่ีเจาะออกไปกลี่ ูกบาศก์หนว่ ย 3. สินค้า A ขายไปราคา 555 บาท ได้กำ�ไร 11% สนิ ค้า B ขายไปราคา 5,555 บาท ไดก้ ำ�ไร 1% ถ้าขายสินคา้ ทั้งสองชิ้นรวมแล้วได้ก�ำ ไร % และ a เปน็ จำ�นวนเตม็ แล้ว a มีค่าเทา่ ใด 4. ถา้ ผลบวกของความยาวของเสน้ ทแยงมมุ ทัง้ สองของรปู สเ่ี หลย่ี มจตั รุ ัสเทา่ กบั เซนตเิ มตร แลว้ เส้นรอบรูปของรูปส่ีเหล่ยี มจัตุรัสรูปน้ียาวกีเ่ ซนติเมตร 5. ถา้ 3 เป็นค�ำ ตอบหน่งึ ของสมการ 3x2 + bx + 3 = 0 แลว้ b มีค่าเท่าใด 6. ถา้ แล้ว m มคี ่าเทา่ ใด สำ�นกั พัฒนานวัตกรรมการจัดการศกึ ษา

สำ�นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพ้ืนฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หน้า 11 การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบแรก ระดับเขตพนื้ ที่การศกึ ษา) แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา 7. ผลส�ำ เรจ็ อย่างงา่ ย เปน็ เท่าใด 8. จ�ำ นวนเตม็ บวกทม่ี ากทีส่ ดุ ทนี่ ำ�ไปหาร 283, 427 และ 715 แล้วเหลือเศษเท่ากันคือจำ�นวนใด 9. เศษจากการหาร x2555 + 2555 ดว้ ย x + 1 เปน็ เทา่ ใด 10. ถ้า N เมื่อ N เป็นจำ�นวนนับ แล้วผลรวมของเลขโดดทั้งหมดของ N เปน็ เท่าใด ตอนท่ี 2 จ�ำ นวน 10 ขอ้ ตัง้ แต่ขอ้ ที่ 11 – 20 ขอ้ ละ 4 คะแนน 11. จำ�นวนเต็มบวก 4 หลัก ซึ่งมีเลขโดดในหลักร้อยและหลักพันเป็นเลขโดด 6 หรือ 9 เท่านั้น ส่วนหลกั ท่ีเหลอื เปน็ เลขโดดทีห่ ารด้วย 3 ไมล่ งตัวมีกจี่ �ำ นวน 12. ค่าเฉล่ียเลขคณิตของคะแนนจากการยิงปืน 100 ครั้ง เป็น 7.45 คะแนน โดยมีคะแนน จากการยงิ แต่ละครงั้ ดงั ตาราง คะแนน 5 6 7 8 10 จำ�นวนครง้ั a 7 b 43 21 จากข้อมูล ทไี่ ดด้ งั ตาราง a + 3b มีค่าเท่าใด 13. กำ�หนด x และ y เป็นจำ�นวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับ (x - 7) (y - 7) = 29 แล้ว x + y มีคา่ เทา่ ใด 14. กำ�หนดให้ a และ b เป็นจำ�นวนเต็มบวกถ้า b < a และ a เป็นค่าที่น้อยที่สุดที่ทำ�ให้ 2x (ax - 6) + 4x 2 + b = 0 มคี ำ�ตอบเป็นจ�ำ นวนจริงเพียงคา่ เดียวแลว้ a มคี ่าเทา่ ใด โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นรสู้ ่สู ากล

สำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพ้นื ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หน้า 12 การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 (รอบแรก ระดบั เขตพืน้ ทีก่ ารศกึ ษา) แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา 15. หนังสือเล่มหน่ึงใช้เลขโดดทงั้ หมด 444 ตัว เพอื่ เขียนเลขหนา้ โดยเริ่มจากหนา้ ท่ี 1 และไม่มี หนา้ ใดหน้าหนงึ่ ขาดหายไป แล้วหนงั สือเลม่ นี้มที ้งั หมดกี่หน้า 16. ถา้ ผลคูณของจ�ำ นวนเต็มบวกส่ีจ�ำ นวนที่ไม่ซาํ้ กันเปน็ 60 แล้วค่าสูงสุดท่เี ปน็ ไปไดข้ องผลบวก ของจ�ำ นวนท้ังส่ีจำ�นวนนเ้ี ปน็ เท่าใด 17. ถ้าโก๋ะต๋โี ยนลูกเต๋า 3 ลูกพรอ้ มกนั 1 ครัง้ แลว้ วธิ ีท่ีไดผ้ ลรวมของแตม้ ไม่เกิน 6 มกี ี่วธิ ที ี่ เปน็ ไปไดท้ ง้ั หมด 18. ABCD เป็นรูปส่ีเหลี่ยมคางหมู มีด้าน AB ขนานกับด้าน CD และด้าน CD ยาวเป็น สองเท่าของด้าน AB จุด E เป็นจุดก่ึงกลางของเส้นทแยงมุม BD ถ้ารูปส่ีเหลี่ยม ABCD มพี ื้นท่ี 18 ตารางหน่วย แล้วรปู สามเหลย่ี ม ADE มพี นื้ ทกี่ ่ตี ารางหน่วย 19. ถ้า x, y, z เปน็ จำ�นวนจรงิ บวกท่สี อดคล้องกับระบบสมการ (x + y) (x + y + z) = 128 (y + z) (x + y + z) = 224 (x + z) (x + y + z) = 160 แล้ว 2y + z - x มีค่าเทา่ ใด 20. ถ้าวงกลมสองวงรัศมี 4 และ 6 หน่วย มีจุดศูนย์กลางอยู่บนเส้นตรงเดียวกันและสัมผัสกัน คอร์ด AB สัมผัสวงกลมท่ีจุด F ดังรูป แล้ว คอร์ด AB ยาวก่ีหน่วย (ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำ�แหน่ง โดยกำ�หนดให้ 3 = 1.73, 2 = 1.41, 5 = 2.24) B F A OE ส�ำ นกั พฒั นานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พนื้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หนา้ 13 การแข่งขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 (รอบแรก ระดบั เขตพนื้ ทก่ี ารศึกษา) แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มธั ยมศกึ ษา ตอนท่ี 3 จ�ำ นวน 5 ข้อ ตงั้ แต่ขอ้ ที่ 21 – 25 ข้อละ 6 คะแนน 21. ค่าของ เป็นเท่าใด 22. กำ�หนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียม มี AB = 2011 หน่วย, BC = 2012 หน่วย และ CA = 2013 หนว่ ย วงกลม 0 สมั ผสั วงกลมท่ีลอ้ มรอบ ABC ท่ีจดุ A สมั ผัส BC ที่จดุ D ตัด AB และ AC ท่ีจดุ E และ F ตามลำ�ดับ EF ยาวกห่ี นว่ ย 23. ก�ำ หนดให้ ABC เปน็ รูปสามเหล่ยี มที่มีมมุ B เป็นมมุ ฉาก มี AB = 40 หน่วย BC = 30 หนว่ ย M เป็นจดุ แบง่ ครึ่ง AC ถ้า N เปน็ จดุ บนระนาบเดียวกันทีท่ �ำ ให้ AN = CN = 65 หนว่ ย แล้วรปู สามเหลี่ยม BMN มพี น้ื ทก่ี ่ีตารางหนว่ ย 24. ก�ำ หนดให้ a, b, c, d, f เปน็ เลขโดด n เป็นจำ�นวนเตม็ บวกหกหลกั ท่ีเขียนในรูป abcabc m เป็นจำ�นวนเตม็ บวกส่ีหลกั ทเ่ี ขยี นในรปู dffd ถ้า f = 0 แล้วจ�ำ นวนคู่อนั ดบั (m,n) ทัง้ หมดทที่ �ำ ให้ m + n เป็นจำ�นวนเต็มมีก่คี ู่อนั ดับ 25. ก�ำ หนดให้ x, y และ z เปน็ จำ�นวนจรงิ ทม่ี ีคา่ มากกว่า 3 และสอดคลอ้ งกบั สมการ = 36 คา่ มากทส่ี ดุ ทเี่ ปน็ ไปไดข้ อง x2 + y2 + z2 เปน็ เทา่ ใด โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรยี นรสู้ ่สู ากล

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พ้ืนฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หน้า 14 การแขง่ ขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 (รอบแรก ระดับเขตพืน้ ทก่ี ารศกึ ษา) แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมัธยมศกึ ษา ฉบบั ที่ 2 แบบทดสอบคณติ ศาสตรฉ์ บับภาษาอังกฤษ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ฉบบั ภาษาองั กฤษจำ�นวน 5 ขอ้ ข้อละ 2 คะแนน รวม 10 คะแนน 26. In a class of 50 students each student donated 200 Baht to help 2 of their classmates, who were victims of a flood disaster. How much money did each victim receive? (The donator exclude the victims, both victims received equal amount of money) 27. Which of the following expressions is equivalent to 3x – 2 ? a. 18 – 5(x – 1) – 10x + 11 b. 15x + 22 – 12(x – 2) c. 6(x – 1) – 9(x – 2) – 10 d. 5(1 – x) – 8(1 – x) + 1 28. A father is four times as old as his son, and the difference between their ages is 36 years. How old is his father ? 29. In the figure given below, If AB // CD, BAG = 20°, GED = 22°, FED = 58°, EAG = y°, EGA = x° then x + y = ? F D B C E 58 22 xG y 20 A ส�ำ นักพฒั นานวัตกรรมการจดั การศึกษา

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพ้ืนฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หน้า 15 การแขง่ ขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบแรก ระดับเขตพน้ื ท่ีการศึกษา) แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา 30. ABCD is a quadrilateral and BD is one of the diagonals perpendicular to DC as shown in figure. If AB = CD = 5 cm, AD = BC = 13 cm, BD = 12 cm and the area of ABCD = a cm2 then a = ? DC AB โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรยี นรสู้ ่สู ากล



การแขง ขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ แนวคิดกแาบรบแทขดปง สขรอะนั บจทคาํ าปณงวิตพชิ ศ.าศกส.าต2รร5์5รระ5ะดบั นมาัธนยมาชศาึกตษิ า ประจําป พ.ศ. 2555 การแข่งขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ แบบทดสอบการปแขระง ขจนัำ�ปทีาพง.วศชิ .า2ก5า5ร5ระดบั ประเทศ แบบ(ท(ครดณอสบติ อแศบรากกสาตรรรแะ ดขรบังะขดเขนั บั ตทปพาร้ืนงะวทถิชก่ีมาาศกรึกาศรษกึ ารษ)ะาด)บั ประเทศ (คณติ ศาสตร ระดับประถมศกึ ษา)



สำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พนื้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา (รอบแรก ระดับเขตพืน้ ท่ีการศกึ ษา) สอบวันที่ 29 มกราคม 2555 เวลา 09.30 – 11.30 น. (2 ชั่วโมง) ค�ำ ชแี้ จง 1. แบบทดสอบฉบับน้ี เป็นแบบทดสอบชนิดเติมคำ�ตอบฉบับภาษาไทยและฉบับภาษาอังกฤษ (ไม่ต้องแสดงวิธที ำ�) 2. แบบทดสอบมีจ�ำ นวน 30 ขอ้ คะแนนเต็ม 100 คะแนน แบ่งเป็น 2 ฉบับ ฉบับที่ 1 แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ฉบบั ภาษาไทย จ�ำ นวน 25 ขอ้ มี 3 ตอน ตอนที่ 1 จ�ำ นวน 10 ข้อ ขอ้ ละ 2 คะแนน รวม 20 คะแนน ตอนที่ 2 จ�ำ นวน 10 ขอ้ ข้อละ 4 คะแนน รวม 40 คะแนน ตอนท่ี 3 จ�ำ นวน 5 ขอ้ ข้อละ 6 คะแนน รวม 30 คะแนน ฉบับท่ี 2 แบบทดสอบคณติ ศาสตรฉ์ บับภาษาองั กฤษ จ�ำ นวน 5 ขอ้ ข้อละ 2 คะแนน รวม 10 คะแนน 3. กระดาษค�ำ ตอบมี 1 แผ่น ให้นักเรียนเขยี น ช่ือ-นามสกุล เลขประจำ�ตวั สอบ หอ้ งสอบ ช่อื โรงเรยี น สำ�นกั งานเขตพนื้ ทก่ี ารศกึ ษาประถมศกึ ษา/มธั ยมศกึ ษา ให้ครบในกระดาษคำ�ตอบ 4. ค�ำ ตอบแตล่ ะขอ้ ทน่ี กั เรยี นตอบ ตอ้ งตอบลงในกระดาษค�ำ ตอบและใหต้ รงกบั ขอ้ ค�ำ ถามเทา่ นน้ั 5. ไมอ่ นญุ าตใหใ้ ช้เคร่อื งคดิ เลข โทรศพั ท์ หรอื เคร่ืองมอื อิเลก็ ทรอนิกสใ์ ดๆ ในการคำ�นวณ 6. นักเรียนจะออกจากห้องสอบได้หลังจากเริ่มสอบไปแล้ว 1 ช่ัวโมง โดยวางกระดาษคำ�ตอบ กระดาษทด และแบบทดสอบไว้บนโตะ๊ 7. การตัดสนิ ของคณะกรรมการถือเป็นข้อยตุ ิ แนวคดิ แบบทดสอบฉบับน้ี เปน็ ลขิ สทิ ธ์ขิ อง สำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพืน้ ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หา้ มเผยแพร่ อา้ งอิง ตดั ตอ่ ดัดแปลงหรอื เฉลย ก่อนได้รับอนญุ าต

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พน้ื ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หน้า 20 การแขง่ ขนั ทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 (รอบแรก ระดบั เขตพื้นทก่ี ารศกึ ษา) แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศกึ ษา ฉบับท่ี 1 แบบทดสอบคณิตศาสตรฉ์ บับภาษาไทย ตอนท่ี 1 จำ�นวน 10 ข้อ ต้งั แต่ขอ้ ที่ 1 – 10 ขอ้ ละ 2 คะแนน 1. กำ�หนดให้พิกัดจุด A(-5,2), B(3,2) และ C(1,k) ถ้า k > 0 และรูปสามเหลี่ยม ABC มีพืน้ ท่ี 12 ตารางหน่วย แลว้ k มีค่าเทา่ ใด แนวคดิ 1 x 2 ตอบ 5 2. ณเดชนน์ ำ�ลูกบาศกไ์ ม้ตนั ขนาด 5 x 5 x 5 ลูกบาศกห์ น่วย มาเจาะตรงกลางออกทั้ง 6 ด้าน ให้ทะลุถึงด้านตรงข้าม ด้วยเครื่องเจาะไม้ ดังรูป ถ้าพื้นที่ในแต่ละด้านที่เจาะออกไปขนาด 3 x 3 ตารางหนว่ ย แล้วปริมาตรของไมท้ เี่ จาะออกไปก่ลี กู บาศกห์ นว่ ย แนวคดิ (3 x 3 x 5) + 4(3 x 3 x 1) = 81 ตอบ 81 ลกู บาศกห์ น่วย ส�ำ นกั พฒั นานวตั กรรมการจัดการศึกษา

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พนื้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หนา้ 21 การแข่งขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 (รอบแรก ระดับเขตพื้นทีก่ ารศกึ ษา) แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มัธยมศกึ ษา 3. สนิ คา้ A ขายไปราคา 555 บาท ได้ก�ำ ไร 11% สินคา้ B ขายไปราคา 5,555 บาท ไดก้ ำ�ไร 1% ถ้าขายสินค้าท้ังสองช้นิ รวมแลว้ ไดก้ ำ�ไร % และ a เป็นจ�ำ นวนเตม็ แล้ว a มีคา่ เทา่ ใด แนวคิด 555 x 100 สนิ คา้ A ราคาทนุ 111 = 500 บาท สินค้า B ราคาทุน 5555 x 100 = 5500 บาท 101 สนิ ค้าทงั้ สองชนิ้ รวมแลว้ ก�ำ ไร 110 x 100 = 11 % ดังนัน้ a = 11 6000 6 ตอบ 11 4. ถา้ ผลบวกของความยาวของเสน้ ทแยงมมุ ทง้ั สองของรปู สี่เหลย่ี มจัตรุ สั เทา่ กับ เซนตเิ มตร แลว้ เสน้ รอบรูปของรูปสีเ่ หล่ียมจตั ุรัสรปู นยี้ าวกี่เซนติเมตร แนวคดิ x2 + x2 = (9 2) 2 x = 9 เสน้ รอบรูปของรูปสีเ่ หล่ยี มจตั รุ สั รปู น้ียาว 4x = 36 เซนติเมตร ตอบ 36 เซนติเมตร โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรียนรสู้ สู่ ากล

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขนั้ พ้ืนฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หนา้ 22 การแข่งขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบแรก ระดับเขตพ้นื ที่การศึกษา) แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษา 5. ถ้า 3 เป็นค�ำ ตอบหนง่ึ ของสมการ 3x2 + bx + 3 = 0 แลว้ b มคี ่าเท่าใด แนวคิด จะได้ 3x2 + bx + 3 = (x - 3)(3x - 1) b = - 10 ตอบ -10 6. ถา้ แลว้ m มคี ่าเทา่ ใด แนวคิด m = 2 เป็นเทา่ ใด ตอบ 2 7. ผลสำ�เร็จอย่างง่าย แนวคิด ตอบ 26 หรอื 64 ส�ำ นกั พัฒนานวัตกรรมการจัดการศกึ ษา

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพน้ื ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หน้า 23 การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบแรก ระดบั เขตพื้นทก่ี ารศกึ ษา) แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศกึ ษา 8. จ�ำ นวนเตม็ บวกทมี่ ากท่สี ุดท่ีนำ�ไปหาร 283, 427 และ 715 แลว้ เหลอื เศษเทา่ กนั คอื จ�ำ นวนใด แนวคดิ 283 = ax + r ______________(1) 427 = ay + r ______________(2) 715 = az + r ______________(3) (2) - (1) 144 = a(y - x) (3) - (2) 288 = a(z - y) (3) - (1) 432 = a(z - x) จำ�นวนท่ีมากทสี่ ดุ ทห่ี าร 144, 288 และ 432 ลงตวั คอื 144 ตอบ 144 9. เศษจากการหาร x2555 + 2555 ด้วย x + 1 เปน็ เท่าใด แนวคดิ x2555 + 2555 = x2555 + 1 + 2554 = (x + 1)P(x) + 2554 ตอบ 2554 10. ถ้า N เมื่อ N เป็นจำ�นวนนับ แล้วผลรวมของเลขโดดท้ังหมดของ N เป็นเทา่ ใด + 1 = 333... 3 + 1 = 333 ... 34 แนวคดิ N = 669 ตัว 669 ตัว จะไดผ้ ลรวมของเลขโดดท้ังหมด (3 x 668) + 4 = 2008 ตอบ 2008 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรยี นรสู้ ู่สากล

สำ�นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พนื้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หน้า 24 การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบแรก ระดบั เขตพ้นื ทีก่ ารศึกษา) แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา ตอนที่ 2 จำ�นวน 10 ขอ้ ต้งั แตข่ อ้ ที่ 11 – 20 ข้อละ 4 คะแนน 11. จำ�นวนเต็มบวก 4 หลกั ซ่งึ มเี ลขโดดในหลกั รอ้ ยและหลักพันเป็นเลขโดด 6 หรือ 9 เท่านนั้ ส่วนหลกั ทเ่ี หลือเปน็ เลขโดดทีห่ ารดว้ ย 3 ไมล่ งตวั มีก่ีจำ�นวน แนวคดิ พัน รอ้ ย สิบ หนว่ ย � � � � หลักรอ้ ยและหลกั พนั เขียนดว้ ย 6, 9 ได้ 2 x 2 = 4 วธิ ี อีก 2 หลักทเ่ี หลือเขยี นดว้ ย 1, 2, 4, 5, 7, 8 ได้ 6 x 6 = 36 วิธี จ�ำ นวนบวก 4 หลักทตี่ อ้ งการมไี ด้ 4 x 36 = 144 จ�ำ นวน ตอบ 144 จ�ำ นวน 12. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนจากการยิงปืน 100 คร้ัง เป็น 7.45 คะแนน โดยมีคะแนน จากการยงิ แต่ละคร้ัง ดงั ตาราง คะแนน 5 6 7 8 10 จ�ำ นวนคร้งั a 7 b 43 21 จากข้อมลู ท่ไี ด้ดงั ตาราง a + 3b มีค่าเท่าใด แนวคิด คะแนน 5 6 7 8 10 จ�ำ นวนครั้ง a 7 b 43 21 คะแนน x จำ�นวนครัง้ 5a 42 7b 344 210 5a+7b = 7.45 × 100 - 596 = 149 a+b = 100 - 71 = 29 -4a - 4b = -116 a+3b = 33 ตอบ 33 ส�ำ นกั พัฒนานวตั กรรมการจดั การศึกษา

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพน้ื ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หนา้ 25 การแข่งขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบแรก ระดับเขตพน้ื ทีก่ ารศึกษา) แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศกึ ษา 13. ก�ำ หนด x และ y เปน็ จำ�นวนเตม็ บวกทสี่ อดคล้องกบั (x - 7)(y - 7) = 29 แล้ว x + y มคี ่า เทา่ ใด แนวคดิ (x - 7)(y - 7) = 29 จะได ้ x - 7 = 1 และ y - 7 = 29 x = 8, y = 36 x + y = 44 ตอบ 44 14. กำ�หนดให้ a และ b เป็นจำ�นวนเต็มบวกถ้า b < a และ a เป็นค่าท่ีน้อยที่สุดที่ทำ�ให้ 2x (ax - 6) + 4x 2 + b = 0 มีคำ�ตอบเปน็ จำ�นวนจรงิ เพยี งคา่ เดยี วแลว้ a มคี า่ เท่าใด แนวคิด (2a + 4)x2 - 12x + b = 0 มีคำ�ตอบเป็นจำ�นวนจริงเพยี งคา่ เดียวเมอ่ื 144 - 8ab - 16b = 0 18 - ab - 2b = 0 b(a + 2) = 18 18 = 1 x 18 = 2 x 9 = 3 x 6 b 123 a + 2 18 9 6 a 16 7 4 a ที่นอ้ ยทส่ี ดุ คอื 4 ตอบ 4 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรียนรู้สู่สากล

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้ันพน้ื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หนา้ 26 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบแรก ระดับเขตพ้นื ทก่ี ารศกึ ษา) แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มธั ยมศกึ ษา 15. หนังสือเล่มหน่ึงใช้เลขโดดทั้งหมด 444 ตัว เพื่อเขียนเลขหน้าโดยเริ่มจากหน้าที่ 1 และไม่มี หน้าใดหน้าหน่ึงขาดหายไป แล้วหนังสือเล่มนม้ี ีท้ังหมดกห่ี น้า แนวคดิ 1 - 9 ใชเ้ ลขโดด 9 ตัว 10 - 99 ใช้เลขโดด (99 - 10 + 1) (2) = 90 x 2 = 180 ตวั จะเหลอื ท่ตี อ้ งใชอ้ กี 444 - 9 - 180 = 255 จะไดท้ ั้งหมด = 85 หนงั สือเลม่ น้ีมี 99 + 85 = 184 หน้า ตอบ 184 หน้า 16. ถ้าผลคูณของจำ�นวนเต็มบวกสี่จำ�นวนที่ไม่ซํ้ากันเป็น 60 แล้วค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของผลบวก ของจ�ำ นวนทง้ั ส่ีจ�ำ นวนนี้เป็นเท่าใด แนวคิด ผลบวกจะมีค่ามากสุด เม่อื หนงึ่ จำ�นวนในสจ่ี �ำ นวนนม้ี ีคา่ มากสุด นน่ั คอื สามจำ�นวนแรกมีคา่ นอ้ ยสุด ใหเ้ ปน็ 1, 2, 3, =10 ค่าสูงสุดท่ีเป็นไปไดข้ องผลบวกของจ�ำ นวนทั้งสี่จ�ำ นวนนีค้ ือ 1+2+3+10 = 16 ตอบ 16 ส�ำ นกั พฒั นานวัตกรรมการจัดการศึกษา

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพืน้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หน้า 27 การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบแรก ระดบั เขตพื้นท่ีการศึกษา) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมัธยมศกึ ษา 17. ถา้ โกะ๋ ตโี๋ ยนลูกเต๋า 3 ลูกพรอ้ มกนั 1 คร้งั แลว้ วิธที ่ีไดผ้ ลรวมของแต้มไมเ่ กนิ 6 มกี ี่วธิ ีทเี่ ปน็ ไป ได้ท้ังหมด แนวคดิ 111, 112, 121, 211 113, 131, 311 122, 212, 221 123, 132, 213, 231, 312, 321 222 114, 141, 411 ตอบ 20 วธิ ี 18. ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู มีด้าน AB ขนานกับด้าน CD และด้าน CD ยาวเป็น สองเท่าของด้าน AB จุด E เป็นจุดก่ึงกลางของเส้นทแยงมุม BD ถ้ารูปส่ีเหล่ียม ABCD มพี ้ืนท่ี 18 ตารางหนว่ ย แล้วรปู สามเหลี่ยม ADE มีพน้ื ทก่ี ีต่ ารางหนว่ ย แนวคดิ = 3 ตารางหน่วย พนื้ ทีข่ องรูปสามเหลยี่ ม ADE = ตอบ 3 ตารางหนว่ ย โครงการพฒั นาคุณภาพการเรยี นรสู้ ูส่ ากล

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พื้นฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หน้า 28 การแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 (รอบแรก ระดบั เขตพนื้ ท่ีการศึกษา) แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษา 19. ถ้า x, y, z เปน็ จำ�นวนจรงิ บวกท่ีสอดคลอ้ งกับระบบสมการ (x + y)(x + y + z) = 128 (y + z)(x + y + z) = 224 (x + z)(x + y + z) = 160 แล้ว 2y + z - x มีคา่ เทา่ ใด แนวคดิ 2(x + y + z)(x + y + z) = 512 x + y + z = 16 x + y = 8 y + z = 14 x + z = 10 z = 8, x = 2, y = 6 2y + z - x = 12 + 8 - 2 = 18 ตอบ 18 ส�ำ นักพัฒนานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพน้ื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หนา้ 29 การแข่งขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบแรก ระดบั เขตพนื้ ทกี่ ารศกึ ษา) แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา 20. ถา้ วงกลมสองวงรัศมี 4 และ 6 หน่วย มจี ดุ ศนู ย์กลางอยู่บนเส้นตรงเดียวกนั และสัมผัสกัน ดงั รูป คอร์ด AB สมั ผัสวงกลมท่ีจุด F ดงั รูป แล้ว คอรด์ AB ยาวกห่ี น่วย (ตอบเปน็ ทศนยิ ม 2 ต�ำ แหน่งโดยกำ�หนดให้ 3 = 1.73, 2 = 1.41, 5 = 2.24) B F A OE แนวคดิ ให้ E เปน็ จดุ ศนู ยก์ ลางวงกลมเลก็ ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมใหญ่ ให้ AB ยาว 2x หน่วย OD ยาว y หนว่ ย ∆ADO ~ ∆AFE y=3 AD2 = 62 - 32 = (9)(3) AD = 3 3 AB = 6 3 หนว่ ย = 6 x 1.73 = 10.38 หนว่ ย ตอบ 10.38 หน่วย โครงการพฒั นาคุณภาพการเรยี นร้สู ู่สากล

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขนั้ พื้นฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หน้า 30 การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 (รอบแรก ระดับเขตพน้ื ทีก่ ารศึกษา) แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา ตอนท่ี 3 จ�ำ นวน 5 ขอ้ ตัง้ แตข่ ้อที่ 21 – 25 ข้อละ 6 คะแนน 21. ค่าของ เป็นเท่าใด แนวคิด 12 12 5000 + 992 ! 992 + 5000 = 2 !100+ 9900 22 982 22 ! 200+ 5000 + 982 ! 9800 + 5000 = 2 !12 12 5000 + 22 + 22 5000 + 32 \" 32 5000 + ...+   \"100+ 200+ 300+ 992 ! 992 + 5000 = 99 9900 ตอบ 99 ส�ำ นกั พัฒนานวัตกรรมการจัดการศึกษา

สำ�นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พืน้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หนา้ 31 การแข่งขนั ทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 (รอบแรก ระดับเขตพื้นท่ีการศึกษา) แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา 22. กำ�หนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียม มี AB = 2011 หน่วย, BC = 2012 หน่วย และ CA = 2013 หน่วย วงกลม 0 สมั ผสั วงกลมทลี่ ้อมรอบ ABC ท่จี ดุ A สัมผัส BC ทจี่ ุด D ตดั AB และ AC ท่จี ดุ E และ F ตามลำ�ดบั EF ยาวกห่ี น่วย แนวคิด จะไดB2AA22200้AB0A0DCBA1111DCB1331D===แบ22CB่ง00===DDค1142ร1B0ง่ึ\"!D2CB22B240B0DDA011D141BC220Dx-2แB24ล0Dะ12EF // BC = 2021=1 ตอบ 1509 หน่วย 2011 2 BBDD22= BE= \"BEAx BA   # 2011 &2 = BEBE\"x2200111 % 2 ( $ ' BBEE== 2204014111)AAEE== 3((32)02101)1 44 *∆AAEEFF~~*∆AABBCC 3((32)021021)2 )EEFF== 44 =1=5019509 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นรสู้ ูส่ ากล

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พน้ื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หน้า 32 การแขง่ ขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบแรก ระดับเขตพนื้ ที่การศึกษา) แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา 23. กำ�หนดให้ ABC เป็นรปู สามเหลี่ยมทีม่ มี ุม B เป็นมมุ ฉาก มี AB = 40 หนว่ ย BC = 30 หนว่ ย M เปน็ จุดแบ่งครง่ึ AC ถ้า N เป็นจุดบนระนาบเดียวกนั ท่ที �ำ ให้ AN = CN = 65 หน่วย แลว้ รูปสามเหลย่ี ม BMN มีพนื้ ท่ีกีต่ ารางหน่วย แนวคิด MN2 = 652 - 252 = 40 x 90 MN = 60 AMS ABC AAMB = BMCS = SA CA 2450 = M30S = SA 50 MS 34 (25) SA 45 (25) BS 40 54 (25) BTS AMS ABMT BASS BT 7 พน้ื ที่ BMN 21 7 60 210 ตอบ 210 ตารางหน่วย ส�ำ นักพฒั นานวัตกรรมการจัดการศึกษา

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พนื้ ฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หน้า 33 การแข่งขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 (รอบแรก ระดับเขตพ้นื ท่กี ารศึกษา) แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา 24. ก�ำ หนดให้ a, b, c, d, f เปน็ เลขโดด n เป็นจ�ำ นวนเตม็ บวกหกหลักทเ่ี ขียนในรปู abcabc m เปน็ จ�ำ นวนเต็มบวกสห่ี ลักท่เี ขยี นในรูป dffd ถ้า f = 0 แลว้ จำ�นวนคูอ่ ันดบั (m, n) ท้ังหมดทีท่ ำ�ให้ m + n เป็นจ�ำ นวนเตม็ มีกี่คู่อันดบั แนวคิด m+n = abc abc + dood = 1,001 · abc + 1,001 · d = 1,001 · (abc + d) ดังนน้ั abc + d = 1,001 จะได้ a = 9, b = 9 และ c + d = 11 (c, d) = (2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6), (6, 5), (7, 4), (8, 3), (9, 2) ดังน้นั จำ�นวนคูอ่ นั ดับ (m, n) ท้งั หมด 8 คู่อันดับ ตอบ 8 ค่อู ันดบั โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรูส้ ู่สากล

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขัน้ พ้ืนฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หน้า 34 การแข่งขนั ทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 (รอบแรก ระดบั เขตพื้นทก่ี ารศกึ ษา) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา 25. กำ�หนดให้ x, y และ z เปน็ จำ�นวนจรงิ ที่มคี า่ มากกวา่ 3 และสอดคล้องกับสมการ = 36 คา่ มากท่สี ุดทเ่ี ปน็ ไปไดข้ อง x2 + y2 + z2 เปน็ เท่าใด แนวคดิ x + 2 = y + z -2 y + 4 = z + x - 4 z + 6 = x + y - 6 x + y + z = 24 2x = 20 2y = 16 2z = 12 x = 10 y = 8 z = 6 x2 + y2 + z2 = 200 ตอบ 200 ส�ำ นกั พฒั นานวตั กรรมการจัดการศึกษา

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พืน้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หน้า 35 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 (รอบแรก ระดบั เขตพ้นื ทก่ี ารศึกษา) แนวคดิ แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา ฉบับที่ 2 แบบทดสอบคณติ ศาสตรฉ์ บับภาษาอังกฤษ แบบทดสอบคณติ ศาสตรฉ์ บับภาษาองั กฤษจ�ำ นวน 5 ข้อ ขอ้ ละ 2 คะแนน รวม 10 คะแนน 26. In a class of 50 students each student donated 200 Baht to help 2 of their classmates, who were victims of a flood disaster. How much money did each victim receive? (The donator exclude the victims, both victims received equal amount of money) Solution Ans. 4800 Baht 27. Which of the following expressions is equivalent to 3x – 2 ? Solution a. 18 – 5(x – 1) – 10x + 11 = - 15x + 34 b. 15x + 22 – 12(x – 2) = 3x + 46 c. 6(x – 1) – 9(x – 2) – 10 = – 3x + 2 d. 5(1 – x) – 8(1 – x) + 1 = 3x – 2 Ans. d 28. A father is four times as old as his son, and the difference between their ages is 36 years. How old is his father ? Solution 4x - x = 36, x = 12 His father is 48 years old. Ans. 48 years old โครงการพฒั นาคุณภาพการเรียนรู้สสู่ ากล

ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พืน้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หน้า 36 การแขง่ ขนั ทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 (รอบแรก ระดบั เขตพื้นทกี่ ารศกึ ษา) แนวคิดแบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษา 29. In the figure given below, If AB // CD, BAG = 20°, GED = 22°, FED = 58°, EAG = y°, EGA = x° then x + y = ? F C E 58 D 22 xG y B A 20 Solution 1 ลากเส้นขนานกบั AB ผา่ นจดุ G จะได้ x = 42 , y = 38 x + y = 80 Solution 2 ∆ AGE FEG = EGA + EAG 58° + 22° = x + y x + y = 80 Ans. 80 degrees 30. ABCD is a quadrilateral and BD is one of the diagonals perpendicular to DC as shown in figure. If AB = CD = 5 cm, AD = BC = 13 cm, BD = 12 cm and the area of ABCD = a cm2 then a = ? DC Solution a = 12 x 5 = 60A B Ans. 60 cm2 ส�ำ นักพฒั นานวัตกรรมการจัดการศกึ ษา

การแขงขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ แบบกทาดรแสขอปงบขรคะันณจทิตําาศปงาวพสิชต.าศรก.์ าร2ระ5ด5รับะ5มดธับยนมาศนกึ าษชาาติ ประจาํ ป พ.ศ. 2555 การแข่งขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ แบบทดสอบการปแขระงขจนั�ำ ปทีาพง.วศชิ .า2ก5า5ร5ระดบั ประเทศ แบบ(ทคดณสติ อ(ศบราอกสบาตรสรแอ ขรงงะรขดะนั บั ดทปับารปงะวรถชิะมาเทศกกึศารษ) าร)ะดบั ประเทศ (คณติ ศาสตร ระดับประถมศึกษา)



ส�ำ นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พ้ืนฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร การแขง่ ขนั ทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา (รอบสอง ระดบั ประเทศ) สอบวนั ท่ี 4 มนี าคม 2555 เวลา 09.30 – 11.30 น. (2 ชวั่ โมง) คำ�ช้ีแจง 1. แบบทดสอบฉบับนี้ เป็นแบบทดสอบคณิตศาสตร์ฉบับภาษาไทยและฉบับภาษาอังกฤษ ชนดิ เตมิ คำ�ตอบ (ไมต่ อ้ งแสดงวิธีทำ�) 2. แบบทดสอบมจี �ำ นวน 30 ข้อ คะแนนเตม็ 100 คะแนน แบ่งเป็น 2 ฉบับ ฉบับท่ี 1 แบบทดสอบคณิตศาสตรฉ์ บบั ภาษาไทย จำ�นวน 25 ขอ้ มี 3 ตอน ตอนท่ี 1 ขอ้ ที่ 1 – 5 ข้อละ 2 คะแนน รวม 10 คะแนน ตอนท่ี 2 ข้อที่ 6 – 20 ขอ้ ละ 3 คะแนน รวม 45 คะแนน ตอนท่ี 3 ขอ้ ที่ 21 – 25 ขอ้ ละ 6 คะแนน รวม 30 คะแนน ฉบับที่ 2 แบบทดสอบคณิตศาสตร์ฉบับภาษาอังกฤษ จำ�นวน 5 ขอ้ มี 3 ตอน ตอนที่ 1 ข้อที่ 26 – 27 ข้อละ 2 คะแนน รวม 4 คะแนน ตอนที่ 2 ขอ้ ท ่ี 28 – 29 ขอ้ ละ 3 คะแนน รวม 6 คะแนน ตอนที่ 3 ขอ้ ที่ 30 ข้อละ 5 คะแนน รวม 5 คะแนน 3. กระดาษค�ำ ตอบมี 1 แผ่น ให้นักเรยี นเขยี น ชอ่ื -นามสกุล เลขประจ�ำ ตัวสอบ หอ้ งสอบ ชือ่ โรงเรยี น ส�ำ นกั งานเขตพนื้ ท่ีการศกึ ษาประถมศกึ ษา/มธั ยมศึกษา ใหค้ รบในกระดาษคำ�ตอบ 4. คำ�ตอบแตล่ ะข้อท่นี กั เรยี นตอบ ตอ้ งตอบลงในกระดาษคำ�ตอบและให้ตรงกับขอ้ คำ�ถามเทา่ น้นั 5. ไม่อนุญาตให้ใช้เครื่องคดิ เลข โทรศพั ท์ หรอื เครื่องมืออเิ ลก็ ทรอนกิ ส์ใดๆ ในการคำ�นวณ 6. นกั เรียนจะออกจากห้องสอบไดห้ ลงั จากเร่ิมสอบไปแลว้ 1 ช่ัวโมง โดยวางกระดาษคำ�ตอบ กระดาษทด และแบบทดสอบไว้บนโต๊ะ 7. การตดั สินของคณะกรรมการถอื เป็นขอ้ ยตุ ิ แบบทดสอบฉบับนี้ เปน็ ลขิ สิทธิข์ อง สำ�นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาข้ันพ้ืนฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร ห้ามเผยแพร่ อา้ งองิ ตัดต่อ ดัดแปลงหรอื เฉลย ก่อนไดร้ บั อนุญาต

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หนา้ 40 การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดับประเทศ) แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา ฉบบั ที่ 1 แบบทดสอบคณิตศาสตรฉ์ บบั ภาษาไทย ตอนท่ี 1 จำ�นวน 5 ข้อ ต้ังแตข่ ้อท่ี 1 – 5 ขอ้ ละ 2 คะแนน 1. จากรูป ถา้ AD = DC, ED = BD และมุม BDC = 40º แล้วมมุ ABE มีขนาดกอ่ี งศา 2. จะสรา้ งจ�ำ นวนเตม็ บวกสามหลักทเี่ ลขโดดแต่ละหลักมี 2 อย่างนอ้ ยหนึง่ ตวั และ 3 อยา่ งนอ้ ย หนง่ึ ตัวทแี่ ตกต่างกันไดก้ ่ีวธิ ี 3. มจี ำ�นวนเตม็ บวกสามหลักก่จี �ำ นวนที่เปน็ ไปตามเงื่อนไขต่อไปน้ี จำ�นวนน้ัน หารดว้ ย 2 เหลือเศษ 1 จ�ำ นวนนั้น หารดว้ ย 3 เหลอื เศษ 2 จำ�นวนนน้ั หารดว้ ย 4 เหลอื เศษ 3 จำ�นวนน้นั หารดว้ ย 5 เหลอื เศษ 4 จ�ำ นวนนั้น หารด้วย 8 เหลอื เศษ 7 4. ถา้ a, b, c เป็นจ�ำ นวนจรงิ ทสี่ อดคล้องกบั สมการ a + b + c = 7 และ แล้ว มคี ่าเท่าไร (ตอบในรูปทศนิยมหน่งึ ต�ำ แหนง่ ) 5. ถ้า x, y เป็นจำ�นวนเต็มบวก และเป็นคำ�ตอบของสมการ x2 - y2 = 45 แล้วคู่อันดับ (x, y) ทเ่ี ปน็ ไปได้ทง้ั หมดมกี ีค่ ู่อนั ดบั ส�ำ นกั พฒั นานวตั กรรมการจดั การศึกษา

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขัน้ พนื้ ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หน้า 41 การแข่งขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดับประเทศ) แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษา ตอนท่ี 2 จ�ำ นวน 15 ข้อ ตั้งแต่ข้อท่ี 6 – 20 ขอ้ ละ 3 คะแนน 6. ถ้า a, b, c เป็นคำ�ตอบของสมการ (x + 8)2 (x + 9)2 + (x + 8)2 = 8 (x +9)2 แลว้ a2 + b2 + c2 มีคา่ เท่าไร 7. ในรปู สามเหลี่ยมมมุ แหลม ABC มี AD เปน็ เสน้ แบ่งคร่ึงมุม BAC พบ BC ทจ่ี ดุ D ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหล่ียม ABC และ H เป็นจุดตัดของเส้นส่วนสูง ทงั้ สามเส้นของรูปสามเหลยี่ ม ABC ถา้ AD = AC และ AC ตงั้ ฉากกบั OH แลว้ มมุ ABC มขี นาดกีอ่ งศา 8. ถา้ a และ b เปน็ จำ�นวนจรงิ ซงึ่ แลว้ มีคา่ เทา่ ไร 9. ก�ำ หนดให้ ABC เปน็ รูปสามเหล่ยี ม D เปน็ จดุ กงึ่ กลางของ BC E เป็นจดุ แบง่ ครึง่ AD F เปน็ จดุ แบง่ ครงึ่ BE และ AB ตดั CF ทจ่ี ดุ M ถา้ AM : BM = a : b เมอื่ a และ b เปน็ จ�ำ นวน เต็มบวกแล้ว ค่านอ้ ยทสี่ ุดของ a2 + b2 เป็นเท่าไร 10. ถ้าจำ�นวนค่ี 3 จำ�นวนท่ีเรียงติดต่อกัน มีผลรวมของกำ�ลังสองของแต่ละจำ�นวนเป็นจำ�นวน 4 หลักและเลขโดดท้ัง 4 ตัวของจำ�นวน 4 หลักนี้เป็นเลขโดดตัวเดียวกัน แล้วจำ�นวน 4 หลกั น้ีมีคา่ เท่าไร 11. ในแต่ละสัปดาห์วรนุชขับรถไปติดต่อลูกค้า 5 วัน โดยหยุดงานวันอาทิตย์และวันจันทร์ วรนชุ ได้จดบนั ทึกเรม่ิ วดั ระยะทางเป็นกิโลเมตรจากหน้าปัดของรถยนต์ ดงั น้ี วนั อาทิตย ์ 23041 วนั จนั ทร์ 23058 วันอังคาร 23103 วนั พธุ 23157 วันพฤหัสบด ี 23225 วันศุกร์ 23270 วันเสาร์ 23350 อยากทราบวา่ โดยเฉล่ียแล้ววรนุชขบั รถไปทำ�งานวนั ละก่ีกโิ ลเมตร โครงการพัฒนาคุณภาพการเรียนรสู้ สู่ ากล

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพืน้ ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หน้า 42 การแข่งขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดับประเทศ) แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา 12. ครง่ึ วงกลม O แนบในรปู สามเหลี่ยม ABC โดยที่จดุ O อยบู่ น BC ถ้า AB = 12 หน่วย BC = 25 หนว่ ย และ CA = 18 หนว่ ย แล้ว CO ยาวเท่ากบั ก่ีหน่วย 13. ถา้ แล้ว มีคา่ เท่าไร 14. ในการตอบแบบสอบถามจำ�นวน 5 ขอ้ ซง่ึ แตล่ ะค�ำ ถามมคี �ำ ตอบ 3 ประเภท คือ ตอบรบั ปฏิเสธ และไมอ่ อกความเหน็ ถ้า a เป็นความน่าจะเป็นทีจ่ ะตอบรับ 2 ขอ้ ปฏเิ สธ 2 ข้อ และไม่ออก ความเห็น 1 ข้อ แลว้ มีค่าเทา่ ไร 15. ถา้ เตมิ ตัวเลขลงในตารางจตั รุ ัสขนาด 3 x 3 ทท่ี �ำ ให้ผลบวกของทกุ แนวคอื แนวตง้ั แนวนอน และแนวทแยงมมุ เทา่ กัน แลว้ คา่ ของ x + y + z น้อยกวา่ a2 + b2 + c2 อยเู่ ทา่ ไร y a 11 b93 cxz 16. ในช่วงเทศกาลวันวาเลนไทน์ พ่อค้าคนหน่ึงลงทุนซื้อดอกกุหลาบสีแดงและดอกกุหลาบสีขาว รวมกนั มากกว่า 2,000 ดอก แต่ไม่ถงึ 2,400 ดอก เป็นเงนิ 3,200 บาท โดยดอกกหุ ลาบสแี ดง มีตน้ ทุนราคาดอกละ 2 บาท ดอกกุหลาบสีขาวราคาต้นทนุ ดอกละ 1 บาท ดังนนั้ พอ่ ค้าคนน้ี จะสามารถซื้อดอกกุหลาบสีแดงไดม้ ากทสี่ ุดกดี่ อก 17. ถ้า 3-x = x 3+x แล้ว ( 3 x+1)3 มีค่าเท่าไร 18. ก�ำ หนดให้ ABCD เปน็ รปู สีเ่ หล่ียม มี ABD = ADB = 20º และ CAD = 35º ถ้า มมุ ACD = 30º แลว้ มมุ ACB มขี นาดกอ่ี งศา 19. ก�ำ หนดให้ A(a, b) และ B(c, d) เป็นจดุ บนกราฟพาราโบลาซง่ึ มีสมการเป็น y = 3x2 + 2012x - 3 โดยท่ี จดุ ก�ำ เนิด O(0, 0) เป็นจุดแบง่ ครึ่งส่วนของเสน้ ตรง AB ถ้า A(a, b) เป็นจุดในจตภุ าค (quadrant) ที่ 1 แล้ว a + b มีคา่ เท่าไร 20. ถ้า p เป็นความนา่ จะเปน็ ทจี่ ำ�นวนเตม็ บวก 12 หลกั ซ่งึ สร้างจากตัวเลขโดด 1, 4 หรอื 7 เท่านั้น และหารดว้ ย 12 ลงตวั แลว้ 144 p มคี ่าเทา่ ไร ส�ำ นกั พฒั นานวตั กรรมการจดั การศึกษา

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพน้ื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หนา้ 43 การแข่งขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดับประเทศ) แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ ระดบั มธั ยมศึกษา ตอนท่ี 3 จำ�นวน 5 ขอ้ ต้ังแตข่ อ้ ที่ 21 – 25 ขอ้ ละ 6 คะแนน 21. ถ้า และ เป็นจำ�นวนจริงท่ีเป็นคำ�ตอบของสมการ แล้ว มีค่าเท่าไร 22. ก�ำ หนดให้ ABC เป็นรปู สามเหลยี่ ม มี AB = 80 หน่วย BC = 19 หนว่ ย และ AC = 91 หนว่ ย P และ Q เป็นจดุ บน AC ทท่ี �ำ ให้ PC = 11 หนว่ ย และ AQ = 72 หน่วย ถา้ Q อยรู่ ะหวา่ งจดุ A กับจุด P แลว้ มมุ PBQ มีขนาดกอ่ี งศา 23. ก�ำ หนดให้ ดp้ว,ยbn8,4n, 1แ2ล0ะ, 1a2n6,แ4ท5น0 จ�ำ นวนเต็มบวกซ่งึ ทำ�ให้ p = nbn + an เมื่อ 0 < an < n ถ้าแทน n และ n - an = 2 แล้ว p มีค่าน้อยทสี่ ุดเปน็ เทา่ ไร 24. ถา้ x และ y เปน็ จำ�นวนเตม็ บวก ซึ่งเปน็ ค�ำ ตอบของสมการ x2 + y2 = (12 + 22)(22 + 32)(32 + 42)(42 + 52) แลว้ คู่อันดับ (x,y) ทั้งหมดทเี่ ปน็ ไปไดม้ กี ี่คู่อันดบั 25. จากรูปกำ�หนดให้ BC = 18 หน่วย PQ = 9 หน่วย ถ้าพื้นท่ีรูปสามเหลี่ยม CQR เป็น 90 ตารางหน่วย แลว้ AP เท่ากบั กี่หน่วย โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรู้สสู่ ากล

สำ�นกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พ้นื ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หน้า 44 การแข่งขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดับประเทศ) แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดบั มัธยมศึกษา ฉบับที่ 2 แบบทดสอบคณิตศาสตรฉ์ บบั ภาษาองั กฤษ ตอนท่ี 1 จำ�นวน 2 ข้อ ตั้งแตข่ ้อท่ี 26 – 27 ข้อละ 2 คะแนน 26. Find the area of the shaded region in the diagram, in square units. 27. Of the numbers from 1 to 1000 inclusive, how many are divisible by 5 or 9 but not both ? ตอนท่ี 2 จ�ำ นวน 2 ขอ้ ตง้ั แตข่ อ้ ท่ี 28 – 29 ขอ้ ละ 3 คะแนน 28. In quadrilateral ABCD it is given that AB = BC = 3, ABC = 100° , and CDA = 130° , Find the length of BD. 29. ABC is an acute-angled triangle. AD is an altitude, BE is a median and CF is an angle bisector. CF meets AD at M and DE at N MN = 1, FM = 2, CN = 3 If the area of ABC is a square units and b is prime number then a + b = ? ตอนที่ 3 จำ�นวน 1 ข้อ คือขอ้ ท่ี 30 ขอ้ ละ 5 คะแนน 30. Find the sum of all integers n with the property that is also an integer. ส�ำ นกั พฒั นานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา

การแขงขนั ทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ แนวคดิ กแาบรบแทขดปงสขรอะนั บจทคาํ าปณงวติพิชศ.าศกส.าต2รร5์5รระ5ะดบั นมาัธนยมาชศากึ ตษิ า ประจาํ ป พ.ศ. 2555 การแขง่ ขันทางวิชาการ ระดับนานาชาติ แบบทดสอบการปแขระง ขจนั�ำ ปทีาพง.วศิช.า2ก5า5ร5ระดบั ประเทศ แบบ(ทคดณสติ อ(ศบราอกสบาตรสรแอ ขรงงะรขดะนั บั ดทปบั ารปงะวรถิชะมาเทศกึกศารษ) าร)ะดบั ประเทศ (คณติ ศาสตร ระดบั ประถมศึกษา)



ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพน้ื ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ การแข่งขันทางวชิ าการ ระดับนานาชาติ ประจ�ำ ปี พ.ศ. 2555 แนวคดิ แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศึกษา (รอบสอง ระดับประเทศ) สอบวนั ท่ี 4 มีนาคม 2555 เวลา 09.30 – 11.30 น. (2 ชว่ั โมง) คำ�ช้ีแจง 1. แบบทดสอบฉบับนี้ เป็นแบบทดสอบคณิตศาสตร์ฉบับภาษาไทยและฉบับภาษาอังกฤษ ชนดิ เติมค�ำ ตอบ (ไมต่ อ้ งแสดงวธิ ีท�ำ ) 2. แบบทดสอบมจี ำ�นวน 30 ขอ้ คะแนนเตม็ 100 คะแนน แบ่งเปน็ 2 ฉบับ ฉบบั ที่ 1 แบบทดสอบคณิตศาสตร์ฉบบั ภาษาไทย จ�ำ นวน 25 ขอ้ มี 3 ตอน ตอนที่ 1 ข้อท่ี 1 – 5 ข้อละ 2 คะแนน รวม 10 คะแนน ตอนที่ 2 ข้อท่ี 6 – 20 ข้อละ 3 คะแนน รวม 45 คะแนน ตอนท่ี 3 ข้อท่ี 21 – 25 ขอ้ ละ 6 คะแนน รวม 30 คะแนน ฉบับที่ 2 แบบทดสอบคณติ ศาสตร์ฉบับภาษาอังกฤษ จ�ำ นวน 5 ข้อ มี 3 ตอน ตอนที่ 1 ขอ้ ท่ ี 26 – 27 ข้อละ 2 คะแนน รวม 4 คะแนน ตอนท่ี 2 ขอ้ ท ่ี 28 – 29 ข้อละ 3 คะแนน รวม 6 คะแนน ตอนท่ี 3 ข้อท่ี 30 ขอ้ ละ 5 คะแนน รวม 5 คะแนน 3. กระดาษค�ำ ตอบมี 1 แผ่น ใหน้ ักเรยี นเขยี น ชือ่ -นามสกุล เลขประจ�ำ ตวั สอบ หอ้ งสอบ ชอื่ โรงเรยี น สำ�นกั งานเขตพนื้ ทกี่ ารศกึ ษาประถมศกึ ษา/มัธยมศกึ ษา ใหค้ รบในกระดาษค�ำ ตอบ 4. คำ�ตอบแตล่ ะขอ้ ที่นกั เรยี นตอบ ตอ้ งตอบลงในกระดาษค�ำ ตอบและให้ตรงกับข้อค�ำ ถามเท่านั้น 5. ไม่อนุญาตใหใ้ ชเ้ ครอ่ื งคิดเลข โทรศัพท์ หรอื เคร่อื งมืออิเลก็ ทรอนิกสใ์ ดๆ ในการค�ำ นวณ 6. นกั เรียนจะออกจากหอ้ งสอบได้หลังจากเร่มิ สอบไปแล้ว 1 ช่วั โมง โดยวางกระดาษคำ�ตอบ กระดาษทด และแบบทดสอบไวบ้ นโต๊ะ 7. การตัดสนิ ของคณะกรรมการถือเปน็ ขอ้ ยุติ แนวคดิ แบบทดสอบฉบับนี้ เป็นลขิ สิทธข์ิ อง สำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพน้ื ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ หา้ มเผยแพร่ อ้างอิง ตัดตอ่ ดดั แปลงหรือเฉลย ก่อนได้รบั อนุญาต

ส�ำ นักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ หนา้ 48 การแขง่ ขันทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษา ฉบับที่ 1 แบบทดสอบคณิตศาสตรฉ์ บับภาษาไทย ตอนท่ี 1 จำ�นวน 5 ขอ้ ตงั้ แต่ขอ้ ท่ี 1 – 5 ขอ้ ละ 2 คะแนน 1. จากรูป ถา้ AD = DC, ED = BD และมุม BDC = 40º แลว้ มมุ ABE มีขนาดกีอ่ งศา แนวคดิ x x y 40 ํ ใน ∆ ADC 2x + y + 40° = 180° 2x + y = 140° ใน ∆ BED ; BED = EBD = = 90° - ABE + EBD +140° - x = 180° ABE + - x = 40° ABE = -50° + x + = -50° + 70° = 20° ตอบ 20 องศา ส�ำ นักพัฒนานวัตกรรมการจัดการศึกษา

สำ�นักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร หน้า 49 การแขง่ ขนั ทางวชิ าการ ระดบั นานาชาติ ประจำ�ปี พ.ศ. 2555 (รอบสอง ระดับประเทศ) แนวคิดแบบทดสอบคณิตศาสตร์ ระดับมธั ยมศกึ ษา 2. จะสรา้ งจำ�นวนเต็มบวกสามหลักที่เลขโดดแตล่ ะหลักมี 2 อยา่ งนอ้ ยหนงึ่ ตวั และ 3 อย่างนอ้ ย หนงึ่ ตวั ท่ีแตกตา่ งกันได้กีว่ ิธี แนวคิด 0 , 1 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 2 3 ___ ได้ 8 จำ�นวน 3 2 ___ ได้ 8 จ�ำ นวน 2 ___ 3 ได้ 8 จำ�นวน 3 ___ 2 ได้ 8 จำ�นวน ___ 2 3 ได้ 7 จำ�นวน ___ 3 2 ได้ 7 จ�ำ นวน 2 2 3 สลบั กนั ได้ 3 จำ�นวน 3 3 2 สลับกนั ได้ 3 จำ�นวน จำ�นวนวธิ ีทั้งหมด 32 + 14 + 6 = 52 วิธี ตอบ 52 วิธี 3. มจี �ำ นวนเตม็ บวกสามหลกั กีจ่ ำ�นวนทเ่ี ป็นไปตามเง่อื นไขต่อไปนี้ จ�ำ นวนน้ัน หารด้วย 2 เหลอื เศษ 1 จ�ำ นวนนั้น หารดว้ ย 3 เหลือเศษ 2 จำ�นวนนน้ั หารด้วย 4 เหลือเศษ 3 จำ�นวนน้ัน หารด้วย 5 เหลือเศษ 4 จ�ำ นวนนั้น หารดว้ ย 8 เหลอื เศษ 7 แนวคดิ ที่ 1 ใหจ้ �ำ นวนนนั้ คอื N N = 2a + 1 เมอื่ a เป็นจ�ำ นวนนับ N = 3b + 2 เมอ่ื b เปน็ จำ�นวนนบั N = 4c + 3 เม่อื c เป็นจำ�นวนนับ N = 5d + 4 เมอ่ื d เป็นจ�ำ นวนนับ N = 8e + 7 เมอื่ e เป็นจ�ำ นวนนบั N + 1 = 2a + 2 = 2(a+1) N + 1 = 3b + 3 = 3(b+1) N + 1 = 4c + 4 = 4(c+1) โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นรู้สู่สากล