AYT Matematik Ders İşleyiş Modülü Limit ve Türev

Bu kitabın her hakkı saklıdır ve AYDIN YAYINLARI’na aittir. 5846 sayılı yasanın hükümlerine göre kitabın düzeni, metni, soru ve şekilleri kısmen de olsa hiçbir şekilde alınıp yayımlana- maz, fotokopi ya da başka bir teknikle çoğaltılamaz. Yayın Sorumlusu : Can TEKİNEL Yazarlar : Nesibe AYDIN - Aytuğ ÇAĞLAYAN Dizgi – Grafik Tasarım : Aydın Yayınları Dizgi Birimi ISBN No : 978 - 605 - 7945 - 39 - 6 Yayıncı Sertifika No : 16753 Basım Yeri : Ertem Basım Yayın Ltd. Şti. • 0312 640 16 23 İletişim : AYDIN YAYINLARI [email protected] Tel: 0312 418 10 02 • 0850 577 00 71 Faks: 0312 418 10 09 0533 051 86 17 aydinyayinlari aydinyayinlari * Karma TestlerTürev KARMA TEST-6 Bölüm Kapağı 1. Gerçel sayılar kümesinde tanımlı f fonksiyonu; 3. Bir kenarının uzunluğu 12 cm olan kare şeklindeki | |f ( x ) = x . x2 şekil I deki kartonun köşelerinden 4 kare kesilerek atılıyor. ÜNwİwVwE.ayRdinSyaİyTinlaEri.YcoEm.trHAZIRLIK ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK kuralı ile tanımlanıyor. MATEMATİK - 2 6. MODÜL Buna göre, Modülün sonunda I. f fonksiyonu x = 0 noktasında türevlidir. tüm alt bölümleri II. x = 2 ve x = -2 noktasındaki teğetleri dik kesi- Şekil – I Şekil – II içeren karma testler Alt bölümlerin şirler. Kalan kısım ile şekil II deki gibi üstü açık bir dikdört- başlıklarını içerir. III. x = 2 ve x = -2 noktalarındaki teğetleri y ekse- genler prizması şeklinde bir kutu yapılıyor. ni üzerinde kesişirler. ifadelerinden hangisi veya hangileri kesinlikle Buna göre, kesilen eş karelerin kenar uzunlu- doğrudur? ğu x cm olmak üzere, elde edilen dikdörtgenler prizmasının; A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III I. Hacmini veren fonksiyon [ 0, 6 ] aralığında ta- D) I ve II E) I ve III nımlıdır. LİMİT VE TÜREV II. Hacmi x = 2 için en büyük değerini alır. yer alır. ➤ LİMİT III. Yüzey alanını veren fonksiyonun kuralı Yeni Nesil Sorular A ( x ) = 144 - 4x2 dir. Modülün genelinde yorum ifadelerinden hangisi veya hangileri kesinlikle yapma, analiz etme vb. becerileri ölçen kurgulu doğrudur? 2. f ( x ) = 0 denkleminin köklerinden birini tahmin et- A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II mek için, ➤ Limit Kavramı • 2 f_ xn i D) II ve III E) I, II ve III f'_ xn i xn + 1 = xn - , f'_ xn i ≠ 0 ➤ Mutlak Değer ve Parçalı Fonksiyonların Limiti • 12 denklemini kullanır. YENİ NESİL SORULAR - 2 f ( x ) = x2 - 2 denkleminTinü preovzitif kökü beş ondalık ➤ Belirsiz Limitler • 18 Konu İşleyişi basamağı kadar 2 = 1, 41421 sayısıdır. 4. y ➤ Süreklilik • 26ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 6. MODÜL LİMİT VE TÜREV 1. Şekilde y = f ( x ) ve y = g ( x ) fonksiyonlarının grafi- n = 0 ve x0 = 1 başlangğıiç vdeeriğlmeirşitior.lmak üzere, www.aydinyayinlari.com.tr f fonksiyonunun pozitif kökü için, y = g(x) 1 5 x I. n değeri arttıkça 2 sayısı4n+ın2 hgeyrçek değerine –2 3 ulaşılır. –1 O 1 LİMİT KAVRAMI II. n = 0 için bulunan sonuçta 42+h sayısının eşitin- 4. x adet ürünün toplam maliyeti y TL ise orta–la2ma y = f'(x) ÖRNEK 2 y = f(x) Limit deki rakamlardan 1 tanesi doğru bulunmuştur. y III. n = 1 için bulunan sonuçta 24 sayısının eşitin- maliyet fonksiyonu olarak tanımlanır. x TANIM f : R → R, f ( x ) = x2 fonksiyonu veriliyor. x adet ürünün toplam maliy[e-ti2 y, 5= ] xa2r+al ı3ğ6ın TdLa iltea nvıem- lı y = f ( x ) fonksiyonunun ➤ Karma Testler • 34 x değişkeni bir a gerçek sayısına a dan küçük deki rakamlardan 3 tanesi doğrudur. rilmxiştir. Grafik ve tablo yardımıyla x değişkeninin 1 e yakla- Bu bölümdeki örnek türevinin grafiği yukarıda verilmiştir. değerler alarak yaklaşıyorsa bu yaklaşım du- şırken f ( x ) değerinin yaklaştığı değeri bulmaya ça- soruların çözümlerine 2 2+h lışınız. akıllı tahta uygulamasından ifadelerinden hangisi veya haOngileri kesinlikle Buna göre, ortalama malfiyfoent kfisyiaytoınnıunneunn kgüraçfüiğki, ➤ Yeni Nesil Sorular • 37rumuna soldan yaklaşım, a dan büyük değer- ler alarak yaklaşıyorsa bu yaklaşım durumuna doğrudur? Buna göre, lim f^ 2 + h h.g^ 2 + h hd-eğf^e2rih.kga^ç2ThL dir? • Sürekli bir fonksiyon grafiğidir. A) Yalnız I C) 1•8 ( -2D,) 32 )0 n oktaEs) ı2n4dan başlamaktadır. sağdan yaklaşım denir. B) I ve II Ch)\" I 0ve III h A) 6 B) 12 Soldan yaklaşım x → a- D) II ve III ifadesEin)i nI, eIIş vieti IaIIşağıdakilerden hangisidir? Buna göre, f ( 0 ) + f ( 1 ) + f ( 3 ) + f ( 5 ) toplamı Sağdan yaklaşım x → a+ A) 16 B) 12 C) 10 D) 8 E) 6 kaçtır? ile gösterilir. 1. E 2. E 109 3. B 4. BA) -3 B) -2 C) -1 D) 0 E) 1 sorulara yer verilmiştir. Ayrıca modül sonunda –0,3 –0,2 –0,1 0,1 0,2 0,3 0,4 2. Sıfır polinomundan farklı bir P ( x ) polinomunun bi- rinci türevi P' ( x ), ikinci türevi P'' ( x ) olmak üzere, 0 P ( 2x ) = P' ( x ) . P'' ( x ) eşitliği veriliyor. – ler Buna göre, –0,01 –0,05 –0,01 –0,005 –0,001 0 0,001 0,005 0,01 0,05 0,1 ulaşabilirsiniz. 5. Şekilde, f ( x ) = mx fonksiyonunun grafiği verilmiş- x → 0– 1 x → 0+ TANIM tir. x değişkeni bir a gerçek sayısına soldan yak- y f(x) = mx Görüleceği üzere 0 ( sıfır ) a daha yakın değer- laşırken y = f ( x ) fonksiyonunun aldığı değer- I. P ( x ) 3. dereceden polinomdur. 1 xx tamamı yeni nesil sorulardan ler seçilmesi her seferinde mümkündür. Bu du- ler ℓ1 gerçek sayısına yaklaşıyorsa, ℓ1 gerçek II. P ( x ) polinomunun baş katsayısı 4 dur. oluşan testler bulunur. rum, değer vererek yaklaşımın sezgisel sonuç- sayısına y = f (x ) fonksiyonunun x = a daki sol- m pozitif gerçel sayı olmak üzere, lar vermesine yol açar. dan limiti denir. 9 g: [1, ∞) → R III. P ( x ) polinomunun sabit terimi 0 dır. g : x → { Taralı bölgenin alanı } lim f (x) = ,1 şeklinde gösterilir. ifadelerinden hangisi veya hangileri kesinlikle x \" a– doğrudur? y A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II ℓ1 y = f(x) Alt Bölüm Testleri D) I ve III E) I, II ve III ÖRNEK 1 Her alt bölümün sonunda o bölümle ilgili f(x) testler yer alır. TEST - 14f : R → R, f ( x ) = 5x 3. f, g : R+ → R şeklinde tanımlanıyor. Süreklilik fonksiyonu için x değişkeni 2 ye sağdan ve soldan O xa x f ve g fonksiyonları ff 1 p= g_ x i eşitliğini sağlıyor. Buna göre, Şekilde y = f ( x ) doğ- y x yaklaşırken f ( x ) değer1le.rinin yaklaştığı deyğeri bulu- rusal fonksiyonunun 4lim. f(x) = ℓ1 I. g birebir fonksiyondur. nuz. grafiği verilmiştir. x a– 4 g'^ x h - gc 1 m 3x - 1 3 II. g artan fonksiyondur. y = f(x) 3 lim = 0 x\" 1 III. g fonksiyonunun [ x, x + 1 ] aralığındaki değişim Çözüm 4 hızı 1 dir. 3 2 x 1,5 1,7 1,9 1,95 1,99 ....... 2 ÖRNEK 3 2 f ( x ) 7,5 8,5 9,5 9,75 9,95–2 ....... 10 ifadelerinden hangisi kesinlikle doğrudur? x f : R → R, f ( x ) = 2x - 1 fonksiyonu veriliyor. 1 olduğuna göre, f'_ 3 i ifadesinin eşiti kaçtır? O f' '_ 3 i lim f (x) kaçtır? x x → 2- için f ( x ) → 10 x \" 2– –3 –2 –1 O 1 2 3 1 ve y = 1 A) - 1 B) - 3 C) - 2 D) 3 A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II x 2,5 2,3 2,1 Buna göre, y = 6 2 32 f ( x ) 12,9 11,5 10,5 2,05 2,01 ....... f –1 ^ x h + 2 f^ x h+ 2 y = f(x) E) -6 D) I ve III E) I, II ve III 2 Grafikte verilen y = f ( x ) fonksiyonu için aşağı- 10f,o25nk1s0iy,0o5nla..r..ı.n.. ın g1e0rçek sayılar kümesinde sü- dakilerden hangisi yanlıştır? x → 2+ için f ( x ) → 10 reksiz olduğu x değerlerinin toplamı kaçtır? A) lim f^ x h = lim f^ x h = 3 1. D 2. E 3. B 111 4. B 5. C A) -5 B) -3 C) -1 D) 1 E) 3 x \" 0– x \" 0+ x değişkeni 2 ye yaklaşırken f ( x ) değerinin 10 a yaklaştı- B) lim f^ x h = 4 x \" – 2– ğını hissederiz. C) Fonksiyonun süreksiz olduğu tüm noktalarda li- 2. f^ x h = x2 - 6x + k 2 miti de yoktur. 2. 1 D3). 3[ -3, 3 ] aralığında fonksiyonu süreksiz yapan 4 fonksiyonu her x reel sayısı için sürekli olduğu- nokta vardır. na göre, k gerçek sayısı aşağıdaki eşitsizlikler- den hangisini sağlar? E) lim f^ x h + lim f^ x h – lim f^ x h = –1 x \" 1+ x \" 3– x \" 2+ A) k ≤ 9 B) k ≥ 0 C) k ≥ 9 D) 0 < k < 9 E) -9 ≤ k < 9 3. y 5. f: R → R Kitaptaki örnek soruların PDF çözümlerine 3 y = f(x) Z www.aydinyayinlari.com.tr adresinden 2 ]] x2 ulaşabilirsiniz. - 6x , x<2 1 f^ x h = [ 17 , x=2 –1 O 1 2 3 4 x ]] +k , x>2 \\ 2x fonksiyonu tanımlanıyor. Yukarıda grafiği verilen f fonksiyonu için, Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle I. 1 ve 3 noktalarındaki limitleri toplamı 3 tür. yanlıştır? II. ( -1, 4 ) aralığında f fonksiyonunun süreksiz ol- A) x = 2 de limitinin olması için k = -12 olmalıdır. duğu noktalar kümesi { 0, 1, 2, 3 } tür. B) lim f^ x h = 8 dir. III. 3 noktada f fonksiyonunun limiti olduğu halde, x \" 2– sürekli değildir. C) f_ 2 i = 17 dir. D) y = f ( x ) fonksiyonu x = 2 de süreksizdir. ifadelerinden hangileri doğrudur? E) y = f ( x ) fonksiyonunun x = 2 de sürekli olması A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III için f ( 2 ) = -8 ve k = -12 olmalıdır. D) II ve III E) I, II ve III 1. B 2. C 3. B 31 4. D 5. B

www.aydinyayinlari.com.tr ·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 6. MODÜL MATEMATİK - 2 LİMİT VE TÜREV  ³ LİMİT ³ Limit Kavramı t 2 ³ Mutlak Değer ve Parçalı Fonksiyonların Limiti t 12 ³ Belirsiz Limitler t 18 ³ Süreklilik t 26 ³ Karma Testler t 34 ³ Yeni Nesil Sorular t 37 1

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 6. MODÜL -÷.÷5
7&
5·3&7 www.aydinyayinlari.com.tr -÷.÷5
,\"73\".* Limit ÖRNEK 2 TANIM G

3
Z
3
G

Y

= x2

GPOLTJZPOV
WFSJMJZPS

Y
EFóJõLFOJ
CJS
B
HFS¿FL
TBZŽTŽOB
B
EBO
LпÐL
(SBGJL
WF
UBCMP
ZBSEŽNŽZMB
Y
EFôJöLFOJOJO

F
ZBLMB- EFóFSMFS
BMBSBL
ZBLMBõŽZPSTB
CV
ZBLMBõŽN
EV- öŽSLFO

G

Y

EFôFSJOJO
ZBLMBöUŽôŽ
EFôFSJ
CVMNBZB
ÀB- SVNVOB
TPMEBO
ZBLMBöŽN
B
EBO
CÐZÐL
EFóFS- MŽöŽOŽ[ MFS
BMBSBL
ZBLMBõŽZPSTB
CV
ZBLMBõŽN
EVSVNVOB
TBôEBO
ZBLMBöŽN
EFOJS 0,8 0,9 0,95 0,99 .... 1 .... 1,01 1,05 1,1 1,2 0,64 0,81 0,9025 0,9801 .... 1 .... 1,0201 1,1025 1,21 1,44
4PMEBO
ZBLMBõŽN
Y
Z
B-
4BóEBO
ZBLMBõŽN
Y
Z
B+ y
JMF
HËTUFSJMJS 1,21 1,0201 1 0,9025 0,91 –0,3 –0,2 –0,1 0,1 0,2 0,3 0,4 0 x O – ler 0,91 0,95 1 1,01 1,1 –0,01 –0,05 –0,01 –0,005 –0,001 0 0,001 0,005 0,01 0,05 0,1 x Z
0– x Z
0+ TANIM
(ËSÐMFDFóJ
Ð[FSF


TŽGŽS

B
EBIB
ZBLŽO
EFóFS- Y
EFóJõLFOJ
CJS
B
HFS¿FL
TBZŽTŽOB
TPMEBO
ZBL- MFS
TF¿JMNFTJ
IFS
TFGFSJOEF
NÐNLÐOEÐS
#V
EV- MBõŽSLFO
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
BMEŽóŽ
EFóFS- SVN
EFóFS
WFSFSFL
ZBLMBõŽNŽO
TF[HJTFM
TPOV¿- MFS
ø1
HFS¿FL
TBZŽTŽOB
ZBLMBõŽZPSTB
ø1
HFS¿FL
MBS
WFSNFTJOF
ZPM
B¿BS TBZŽTŽOB
Z
=
G
Y

GPOLTJZPOVOVO
Y
=
B
EBLJ
TPM- EBO
MJNJUJ
EFOJS lim – f (x) = ,1
õFLMJOEF
HËTUFSJMJS x\"a y y = f(x) ø1 ÖRNEK 1 f(x) G

3
Z
3
G

Y

= 5x O xa x GPOLTJZPOV
JÀJO
Y
EFôJöLFOJ

ZF
TBôEBO
WF
TPMEBO
ZBLMBöŽSLFO
G

Y

EFôFSMFSJOJO
ZBLMBöUŽôŽ
EFôFSJ
CVMV- lim f(x) = ø1 nuz. x a– Çözüm ÖRNEK 3 x 1,5 1,7 1,9 1,95 1,99  2 G

3
Z
3


G

Y

= 2x -


GPOLTJZPOV
WFSJMJZPS

G

Y
7,5 8,5 9,5 9,75 9,95   lim f (x) LBÀUŽS x Z 2– J¿JO

G

Y

Z
 – x 2,5 2,3 2,1      2 G

Y
12,9 11,5         x\"2 x Z 2+ J¿JO

G

Y

Z
 x Z 2-
PMEVôVOEBO
Y
<

JÀJO
G Y
= 2x -

JODFMFZFDFôJ[ x<2 Y
EFóJõLFOJ

ZF
ZBLMBõŽSLFO
G

Y

EFóFSJOJO

B
ZBLMBõUŽ- 2x < 4 óŽOŽ
IJTTFEFSJ[ 2x - 1 < 3 G

Y

< 3 lim – f (x) = 3 x\"2 2 2. 1 3. 3

www.aydinyayinlari.com.tr -÷.÷5
7&
5·3&7 6. MODÜL ·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, TANIM TANIM
Y
EFóJõLFOJ
CJS
B
HFS¿FL
TBZŽTŽOB
TBóEBO
ZBL- y y = f(x) MBõŽSLFO
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
BMEŽóŽ
EFóFSMFS
ø ø2
HFS¿FL
TBZŽTŽOB
ZBLMBõŽZPSTB
ø2
HFS¿FL
TB- ZŽTŽOB
Z
=
G
Y

GPOLTJZPOVOVO
x =
B
EBLJ
TBô- Oa x dan limiti
EFOJS lim f (x) = ,2
õFLMJOEF
HËTUFSJMJS lim f (x) = lim f (x) = , & lim f (x) = , x \" a– x\"a x \" a+ x \" a+ y y = f(x) Z
=
G

Y

GPOLTJZPOV
Y
=
B
J¿JO
MJNJUMJEJS f(x) ø2 y c y = f(x) O ax x ø lim f(x) = ø2 x x a+ Oa lim f (x) = lim f (x) = , & lim f (x) = , x \" a+ x \" a– x\"a ÖRNEK 4 Z
=
G

Y

GPOLTJZPOV
Y
=
B
J¿JO
MJNJUMJEJS G

3
Z
3


G

Y

= 3x + 5
G
GPOLTJZPOVOVO
Y
=
B
J¿JO
UBOŽNTŽ[
PMNBTŽ
WF- fonksiyonunun x =

BQTJTMJ
OPLUBTŽOEBLJ
TBôEBO
MJ- ZB
HËSÐOUÐTÐOÐO
GBSLMŽ
PMNBTŽ
MJNJUJ
FULJMFNF[ NJUJOJ
CVMVOV[ x Z 1+
PMEVôVOEBO

Y
> 1 için y ø2 G
Y

= 3x + 5 i inDFMFZFDFôJ[ ø1 x>1 3x > 3 3x + 5 > 8 Oa x y = f(x) G
Y
>

PMEVôVOEBO
lim f (x) = 8 + x\"1 lim f (x) = ,1 _ PMEVóV
J¿JO x \" a– bb lim f (x)

ZPLUVS ` ,1 ! ,2 x\"a lim f (x) = ,2 bb x \" a+ a TANIM y y = f(x)
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
Y
=
B
OPLUBTŽOEBLJ
TBó- ø EBO
WF
TPMEBO
MJNJUMFSJ
CJSCJSJOF
FõJUTF
Z
=
G

Y

Oa GPOLTJZPOVOVO
Y
=
B
J¿JO
MJNJUJ
WBSEŽS
EFOJS lim f (x) = lim f (x) = , ise lim f (x) = , + – x\"a x x\"a x\"a
4Bó
WF
TPM
MJNJUMFS
CJSCJSJOEFO
GBSLMŽ
PMVSTB
GPOL- TJZPOVO
MJNJUJ
Y
=
B
J¿JO
ZPLUVS lim f (x) yoktur _ #V
EVSVNEB
WBS
PMBO
MJ- x \" a– bb NJU
HF¿FSMJEJS lim f (x) ! lim – f (x) ise xli\"ma f (x)
ZPLUVS ` bb lim f (x) = , PMVS x \" a+ x \"a lim f (x) = , a x\"a x \" a+ 4. 8 3

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 6. MODÜL -÷.÷5
7&
5·3&7 www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 5 TANIM ôFLJMEF
Z
=
G
Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
WFSJMNJõUJS f (x) = 2n g (x) , g (a) = 0
JTF
B
LSJUJL
OPLUBEŽS y f(x) log g (x), g (a) = 0
JTF
B
LSJUJL
OPLUBEŽS 2 b f (x) = g(x)
I

B

=

JTF
B
LSJUJL
OPLUBEŽS 1 h(x) –1 x f (x) = * g1 (x) x2a O 2
JTF
B
LSJUJL
OPLUBEŽS g2(x) x#a lim f (x) + lim f (x) f (x) = g (x) , g (a) = 0
JTF
B
LSJUJL
OPLUBEŽS #VOB
HÌSF

x \" + x \" 2–

LBÀUŽS 2 f ( 2) lim + f (x) = 2 , lim– f ( x) = 1, f (2) = 2 UYARI x\"2 x\"2 ,SJUJL
OPLUBMBS
J¿JO
MJNJU
JODFMFOJSLFO
TBó
WF
TPM
MJNJ- UF
CBLŽMŽS
,SJUJL
PMNBZBO
OPLUBMBSEB
CFMJSTJ[MJL
ZB- 3 SBUNŽZPSTB lim f ^ x h = f^ a h EŽS PMEVôVOEBO

DFWBQ


EJS x\"a 2 ÖRNEK 6 y ÖRNEK 7 4 –3 3 lim (x2 - 1)

MJNJUJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS 2 x\"3 –1 O 1 f 32 - 1 = 8 lim (x2 - 1) = 8 –2 x x\"3 3 :VLBSŽEB
HSBGJóJ
WFSJMFO
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOV
J¿JO ÖRNEK 8 lim x - 2

JGBEFTJOJO
FöJUJ
LBÀUŽS x\"2

* lim f (x) = 3 ** lim f (x) = 4 x = 2 için 0
PMEVôVOEBO
LSJUJL
OPLUB
WBS x \" 3+ + x \" _ 0 *** lim f (x) = 2 *7 lim f (x) = 2 lim + x-2=0 b x \" 1– x \" –1 x\"2 b ` lim x-2 = 0 lim – b x\"2 x\"2 x-2 yoktur b 7 lim f (x) = yoktur 7* lim f (x) = yoktur a x\"–3 – x \" 2 JGBEFMFSJOEFO
LBÀ
UBOFTJ
EPôSVEVS *
EPôSVEVS ÖRNEK 9 **
EPôSVEVS ***
lim – f (x) = 3
PMEVôVOEBO
ZBOMŽöUŽS lim x3 + 7x2 - 8x + 1 JGBEFTJOJO
FöJUJ
LBÀUŽS x\"1 x2 - x + 1 x\"1 *7

lim f (x) = 0
PMEVôVOEBO
ZBOMŽöUŽS x =

LSJUJL
OPLUB
EFôJM x \" –1 32 1 + 7.1 - 8.1 + 1 7

lim f (x) = –2
PMEVôVOEBO
ZBOMŽöUŽS x \" –3 =1 12 - 1 + 1 7*
lim – f (x)

WBSEŽS
4FÀFOFL
ZBOMŽöUŽS x\"2 32 x + 7x - 8x + 1 lim = 1 x\"1 x2 - x + 1 3 4 7. 8 8. 0 9. 1 5. 6. 2 2

www.aydinyayinlari.com.tr -÷.÷5
7&
5·3&7 6. MODÜL ·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, -JNJU
²[FMMJLMFSJ ÖRNEK 12 D
O
N
WF
B
`
3
L
` N+
J¿JO lim ^ sin x + cos x h MJNJUJOJ
CVMVOV[ x\" r
G

Y

=
D
JTF
lim f (x) = c x\"a 2 ππ
Z
=
G

Y

QPMJOPN
JTF
lim f (x) = f (a) x\"a sin + cos = 1 + 0 = 1 22 lim f (x) = m , lim g (x) = n
J¿JO x\"a x\"a lim (k.f (x) \" g (x)) = k.m \" n ÖRNEK 13 x\"a x-2 lim (f (x) .g (x)) = m.n lim MJNJUJOJ
CVMVOV[ x\"a x\"4 x+1 lim f f (x) p= m (n ≠ 0 ise) 4-2 x\"a g (x) n =0 4+1 lim fk (x) = mk x\"a lim cf(x) = cm ÖRNEK 14 x\"a rx `

3
J¿JO
G

Y

#
I

Y

#
H

Y


WF Y
á



WF


Y
á


PMNBL
Ð[FSF lim a2 - x MJNJUJOJ
CVMVOV[ lim f (x) = lim g (x) = m ise lim h (x) = m a \" x x3 - a2 x\"a x\"a x\"a
PMVS lim 2k + 1 f (x) = 2k + 1 m x2 - x x (x - 1) 1 x\"a == 3 2 x2 (x - 1) x x - x lim 2k f (x) = 2k m ÖRNEK 15 x\"a (m > 0 için geçerlidir, m = 0 kritik nokta ince- lim log3^ 2x - 1h MJNJUJOJ
CVMVOV[ lenir. m < 0 için limit yoktur.) x\"5 ÖRNEK 10 log (2.5 - 1) = 2 3 lim x - 4 MJNJUJOJ
CVMVOV[ x\"3 x+1 3-4 =- 1 ÖRNEK 16 3+1 4 lim e3x – 1 MJNJUJOJ
CVMVOV[ x\"2 3.2–1 5 e =e ÖRNEK 11 sinc r m MJNJUJOJ
CVMVOV[ ÖRNEK 17 x lim lim arcsin x MJNJUJOJ
CVMVOV[ x\"4 x x \" ^ –1 h π 2 π sin 22 BSDTJO -
= - 4 = 2 = 48 4 1 2 5 12. 1 13. 0 1 15. 2 16. e5 π 10. - 11. 14. x 17. - 2 4 8

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 6. MODÜL -÷.÷5
7&
5·3&7 www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 18 ÖRNEK 21 lim f^ x h = 2 ve lim g^ x h = - 1
PMEVóVOB
HËSF
8x + 4x x\"3 x\"3 lim

MJNJUJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS x \" 1 4x + ex –1 BöBôŽEB
WFSJMFO
JGBEFMFSEFO
LBÀ
UBOFTJ
EPôSVEVS

* lim ^ 2f^ x h - g^ x hh = 5 ** lim f^ x h =-2 8 + 4.1 10 x\"3 x \" 3 g^ x h 1 1–1 = =2 4 +e 5 *** lim 3 g^ x h = - 1 *7 lim g^ x h = 4 x\"3 x\"3 7 lim a f2^ x h - g3^ x h k = 6 ÖRNEK 22 x\"3 lim x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1 *
xl\"im3 ^ 2f^ x h - g^ x h h = 5 için 2.2 -

-

=

% x \" 99 x3 + 3x2 + 3x + 1 MJNJUJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS f^ x h 2 ** xl\"im3 g^ x h = - 2 için = - 2 % ^ x + 1 h4 -1 lim = lim (x + 1) = 100 x \" 99 ^ x + 1 h3 x \" 99 ***
xl\"im3 3 g^ x h = - 1 için

3 - 1 = - 1 % *7 xl\"im3 g^ x h = 4 için
- 1 = 1 : 7
xl\"im3 a 2 ^ x h- g3^ x h k = 6 için
2 - ^ - 1 h3 = 5 : 2 f ÖRNEK 19 ÖRNEK 23 lim 92f^ x h + x2 - 3x + 1C = 5 PMEVôVOB
HÌSF f^ x h = 2x + 1

PMEVóVOB
HËSF

x\"3 3x - 5 lim f^ x h JGBEFTJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS x\"3 lim f–1^ x h
MJNJUJOJO
FöJUJ
LBÀUŽS x\"1 lim f (x) = , olsun. x\"3 lim –1 (x) = lim 5x + 1 6 2.ø + 32 - 3.3 + 1 = 5 x\"1 f = =6 x \" 1 3x - 2 1 2ø + 1 = 5


























ø = 2 ÖRNEK 20 ÖRNEK 24 lim ^ x2 + 3x + 2 h4 MJNJUJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS G
3
-




Z
3 x \" 1 ^ 2x2 + x + 3 h3 f (x) = x2 - 4x
GPOLTJZPOV
WFSJMJZPS
#VOB
HËSF B lim f (x) MJNJUJOJ
CVMVOV[ x\"5 C lim f (x) MJNJUJOJ
CVMVOV[ x\"4 a 2 + 3.1 + 2 k4 4 2 1 6 B
5 - 4.5 = 5 = =6 _ a 2.12 + 1 + 3 k3 3 b 6 lim + 2 - 4x = + = 0 bb C

x \" 4 x 0 lim – ` lim f (x) = 0 x\"4 2 – b x\"4 x - 4x = 0 yoktur bb a 18. 3 19. 2 20. 6 6 21. 2 22. 100 23. 6 24. B 5 C

www.aydinyayinlari.com.tr -÷.÷5
7&
5·3&7 6. MODÜL ·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, ÖRNEK 25 ÖRNEK 28 lim x sin 1


MJNJUJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
õFLJMEFLJ
HJCJEJS
x\"0 x y 1 2 - 1 # sin # 1 O 2 4x x –2 y = f(x) 1 - x # x sin # x x 1 lim - x # lim x sin # lim x x\"0 x\"0 x x\"0 11 0 # lim x sin # 0 & lim x. sin = 0 x\"0 x x\"0 x ÖRNEK 26 #VOB
HÌSF f^ x h = x + 1
PMEVóVOB
HËSF

*

lim ^ fof h(x) = 2 EJS x \" 0+
**

lim ^ fof h(x) = - 2 EJS x \" –2+ ***

lim ^ fof h(x) = 2 EJS x \" 4+ ZBSHŽMBSŽOEBO
IBOHJMFSJ
EPôSVEVS
lim _ fof i _ x i
MJNJUJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS
x\"3 lim + ^ fof h(x) = lim + f (x) = 2

%PôSV x\"0 x \" –2 lim f (x) = 3 + 1 = 2 lim + ^ fof h(x) = f (2) = –2 %PôSV x\"3 x \" –2 lim fof (x) = lim f (x) = 2 + 1 = 3 lim+ ^ fof h(x) = lim– f^ x h = 2 %PôSV x\"3 x\"2 x\"4 x\"0 ÖRNEK 27 ÖRNEK 29 Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
õFLJMEFLJ
HJCJEJS
ôFLJMEF
Z
=
G

Y

WF
Z
=
H
Y
GPOLTJZPOMBSŽOŽO
HSBGJLMF- SJ
WFSJMNJõUJS y 6 y = f(x) yy 4 22 –2 2 2x O x –2 O y=g(x) –2 y = f(x) –4 4 x O #VOB
HÌSF
lim ^ fog h(x) + lim ^ gof h(x) ifadesi- x \" 0+ x \" 0– #VOB
HÌSF
lim + ^ fofof h(x)
LBÀUŽS
nin soOVDV
LBÀUŽS \"4 x lim + ^ fofof h(x) = lim + ^ fof h(x) lim + ^ fog h(x) = lim + f (x) = –2 x\"0 x\"2 x\"4 x\"0 lim – ^ gof h(x) = lim – g (x) = 4 = lim – f (x) = 6 x\"0 x\"2 x\"0 –2 + 4 = 2 25. 0 26. 3 27. 6 7 28. *
**
WF
*** 29. 2

TEST - 1 -JNJU
,BWSBNŽ 1. x =

BQTJTMJ
OPLUBTŽOEB
UBOŽNMŽ
PMBO
Z
=
G

Y

GPOL- 3. y y = f(x) * lim f (x) = 0
EŽS x \" 2+ TJZPOVOVO
CB[Ž
Y
EFóFSMFSJOJO
HËSÐOUÐMFSJ
IFTBQMB- 2 x OŽQ
BõBóŽEBLJ
UBCMP
PMVõUVSVMNVõUVS 1 3 ** lim f (x) = 2
EJS x\"3 x         1         O2 G

Y
3,7525   3,97 3,999          ***
Z


G

Y

GPOLTJZPOV

r
x `
3
J¿JO
MJNJUMJEJS
#VOB
HÌSF
WFSJMFO
CV
UBCMPEBO
FMEF
FEJMFDFL :VLBSŽEBLJ
UBCMPEB
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
*
5BCMP
Y
EFóFSMFSJOJO

F
B[BMBSBL
ZBLMBõŽSLFO
WF
CV
GPOLTJZPOMB
JMHJMJ
JGBEFMFS
WFSJMNJõUJS HËSÐOUÐMFSJO

F
ZBLMBõUŽóŽ
IJTTJOJ
ZBSBUŽZPS ** lim f (x) = 4
#VOB
HÌSF
CV
JGBEFMFSEFO
IBOHJMFSJ
EPôSVEVS x \" 1– \"
:BMOŽ[
*
#
*
WF
***
$
**
WF
*** ***
5BCMPEBLJ
EFóFSMFS
ZBSEŽNŽZMB
Z
=
G

Y

GPOLTJ- &
*
**
WF
*** ZPOVOVO
Y
=

J¿JO
MJNJUJ
TËZMFOFNF[
%
*
WF
**

ZBSHŽMBSŽOEBO
IBOHJMFSJ
EPôSVEVS \"
:BMOŽ[
*
#
:BMOŽ[
**
$
*
WF
*** 4. y
%
**
WF
***
&
*
**
WF
*** 3 2 1 –1 O 1 x 3 y = f(x) 2.
Z
=
BY
+
C
EPóSVTBM
GPOLTJZPOV
J¿JO
Y
=

BQTJTMJ

:VLBSŽEBLJ

Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO

HSBGJ
ôJOF
HÌSF
BöBôŽEBLJMFSE
FO
IBOHJTJ

EPôSVE
VS OPLUBTŽOŽO
FUSBGŽOEBLJ
CB[Ž
EFóFSMFS
BMŽOBSBL
BõB- óŽEBLJ
UBCMP
PMVõUVSVMNVõUVS \"
G

-


UBOŽNMŽ
WF
lim f (x) = 1 x \" –1 x 1,8 1,92 1,965 1,98 1,995 2         2,2 G

Y
2,6   2,93 2,96 2,99 3       3,16   #
G




UBOŽNMŽ
WF
lim f (x) = 2 x\"1
7FSJMFO
CJMHJMFS
EPôSVMUVTVOEB
UBCMPZB
CBLŽMB- SBL
ZBQŽMBO $
G

-


UBOŽNMŽ
WF
lim f (x) = 2 x \" –1 *
5BCMP
Y
EFóFSMFSJOJO

ZF
TPMEBO
ZBLMBõŽSLFO
G

Y

HËSÐOUÐMFSJOJO
BSUBSBL

F
ZBLMBõUŽóŽOŽ
IJT- % lim f (x) = 0 TFUUJSJS x\"0 ** lim f (x) = 3
UÐS &
G




UBOŽNMŽ

WF

lim f (x) = 3 x \" 2– x\"1 5. ôFLJMEF

Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO

HSBGJóJ
WFSJMNJõUJS y –3 1 x –2 *** lim f (x)
ZPLUVS –1 23 x\"2 1 y = f(x)
ZBSHŽMBSŽOEBO
IBOHJMFSJ
EPôSVEVS –1 \"
:BMOŽ[
***
#
:BMOŽ[
**
$
:BMOŽ[
*
#VOB
HÌSF
[-3, 3]

BSBM
ŽôŽOE
BLJ
UBN
TBZŽMBSŽO

%
*
WF
**
%
**
WF
*** kaç tanesinde G


GPOLTJZPOVOVO
UBO
ŽNTŽ[
PM EVôV
IBMEF
MJN
JUJ
WBSEŽS \"

#

$

%

&
 1. C 2. D 8 3. B 4. & 5. B

-JNJU
,BWSBNŽ TEST - 2 1. x2 - x - 2 6. y lim y = f(x) x\"2 x+2 3
JGBEFTJOJO
FöJUJ
OFEJS \"
-
#
-
$

%

&
 –2 O x :VLBSŽEBLJ
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJôJOF
HÌSF
lim f(x) ifadesiOJO
FöJUJ
OFEJS x2 + 2mx + 1 x \" 1 f–1 ^ x h lim = 1 2. x\"1 x+2 \"
- 27
#
- 27
$
- 27 2 4 8 PMEVôVOB
HÌSF

m
HFSÀFL
TBZŽTŽ
LBÀUŽS %

&
27 \"
- 11
#
- 7
$

%
7
&
11 4 22 22 7.
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
õFLJMEFLJ
HJCJEJS

y 2 y = f(x) –4 –2 x 3. Z
á



WF


Z
á

PMNBL
Ð[FSF O2 –2 y3 - x2 lim

B
` [ -5, 5 ]
J¿JO

lim f (x) > lim f (x) x \" y y2 - x JGBEFTJOJO
FöJUJ
LBÀUŽS x \" – x \" a+ a \"
Z
#
Z
$
Z
%
Y
&
Y
FöJUTJ[MJôJOJ
TBôMBZBO
LBÀ
UBOF
B
UBN
TBZŽTŽ
WBS- EŽS \"

#

$

%

&
 4. lim
Y2 +
BY
+


+ lim ^ x2 - bx + 4 h = 8 8. Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
õFLJMEFLJ
HJCJEJS x\"1 x \" –1 y oMEVôVOB
HÌSF
B
+
C

UPQMBNŽOŽO
FöJUJ
LBÀUŽS 4 y = f(x) 2 \"

#

$

%

&
-1 –5 –3 –2 O x –4 35 5. lim [

G

Y

+ x3 - 5x2 +
Y
- 1 ] = 5 lim f (x) = 2
FõJUMJóJOJ
TBóMBZBO
B
EFóFSMFSJOJO
– x\"1 x \" PMEVôVOB
HÌSF

lim
G

Y

JGBEFTJOJO
FöJUJ
OF- a EJS x \" 1 UPQMBNŽ
O
lim f (x) = 2
FõJUMJóJOJ
TBóMBZBO
C
EF- \" b+ x óFSMFSJOJO
UPQMBNŽ
L
PMEVóVOB
HËSF
n -
L
LBÀUŽS \"
-1
#

$

%

&
 \"
-
#
-
$

%

&
 1. C 2. D 3. \" 4.
& 5.
& 9 6. C 7. & 8. B

TEST - 3 -JNJU
,BWSBNŽ 1. lim > lim x2 - y2 + x - y H 6. lim x2 - 4 x\"1 y\"0 xy + 1 x \" 2–
JGBEFTJOJO
FöJUJ
LBÀUŽS ifadesinJO
TPOVDV
WBSTB
LBÀUŽS \"

#

$

%
-
&
-2 \"

#
ZPLUVS


$

%
-
&
 2. f^ x h = x + 2 PMEVóVOB
HËSF 7. lim sin x - cos x x-3 x \" π sin x + cos x lim ^ fof h^ x h ifadFTJOJO

FöJti kaçUŽS
JGBEFTJOJO
TPOVDV
WBSTB
LBÀUŽS x\"2 \"

#

$
-1 \"
2
#
1
$

%
- 1
&
- 2
%
ZPLUVS


&
2 7 7 77 3. x4 - 4x3 + 6x2 - 4x + 1 8. lim arctanf x2 + 4x - 2 p lim x\"1 2 - 3x x \" 1001 x3 - 3x2 + 3x - 1
JGBEFTJOJO
FöJUJ
OFEJS
MJNJUJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS \"

#

$

%

&
 \"
- π
#
- π
$
π
%
π
&
π 6 34 3 2 4. lim log a 3 x2 + 3x + 5 k 9. lim 2x + 1 - log2^ 3x + 2 h x\"1 3 x\"2 3 x-3
MJNJUJOJO
EFôFSJ
LBÀUŽS
MJNJUJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS \"

#
1
$
2
%

&
 \"

#

$
-
%
-
&
-7 3 3 5. lim x2 + 4x - 3 10. lim sin x + cos x – x \" tanx \" 2 sin x - cos x 2 limitinin
TPOVDV
LBÀUŽS
JGBEFTJOJO
TPOVDV
WBSTB
LBÀUŽS \"

#

$

%







&
:PLUVS \"

#

$

%
-
&
-3 1. \" 2. \" 3. D 4. C 5.
\" 10 6. B 7. C 8. B 9. D 10. \"

-JNJU
,BWSBNŽ TEST - 4 1. f (x) = x2 - ax + 4 4.
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
õFLJMEFLJ
HJCJEJS y fonksiyonu rx `
3
JÀJO
MJNJUMJ
PMEVôVOB
HÌSF
B
y = f(x) HFSÀFL
TBZŽTŽOŽO
EFôFS
BSBMŽôŽ
OFEJS \"
[ -

]
#

-


14 5x –4 O $
3
-

-


%
3
- [ -

]

&
3 #VOB
HÌSF lim f (x) = 0
FöJUMJôJOJ
TBôMBZBO
x \" a+ B
HFSÀFL
TBZŽTŽOŽO
BMBCJMFDFôJ
EFôFSMFS
UPQMBNŽ
LBÀUŽS \"
-
#

$

%

&
 2.
*
lim - x2 + 2x - 1 = 0 5.
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
õFLJMEFLJ
HJCJEJS x\"1 y 2 y = f(x) ** lim 2x–1 = 1 x\"1 *** lim x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0 1 x\"1 arcsin x –2 2x O
JGBEFMFSJOEFO
IBOHJMFSJ
LFTJOMJLMF
EPôSVEVS \"
*
WF
**
#
*
WF
***
$
**
WF
*** –2
%
*
**
WF
***
&
:BMOŽ[
** #VOB
HÌSF

lim ^ fofof h(x) limitinin sonucu x \" 0+ LBÀUŽS \"

#

$

%
-
&
-1 3.
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
õFLJMEFLJ
HJCJEJS 6.
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
õFLJMEFLJ
HJCJEJS y y = f(x) y 2 –2 23 4 x O –4 –2 1 4x –2 O y = f(x)
#VOB
HÌSF
lim f (x) = 0
FöJUMJôJOJ
TBôMBZBO

#VOB
HÌSF
BöBôŽEBLJ
TFÀFOFLMFSEF
WFSJMFO
MJ- x \" a+ NJUMFSEFO
IBOHJTJOJO
TPOVDV
EJôFSMFSJOEFO
GBSLMŽEŽS B
HFSÀFL
TBZŽTŽOŽO
BMBCJMFDFôJ
EFôFSMFS
UPQMBNŽ
\"
lim ^ fofof h(x)
#
lim ^ fof h(x) LBÀUŽS x \" 0+ + x \" 4 $
lim ^ fof h(x)
%
lim ^ fofof h(x) x \" 3+ x \" 3– \"

#

$

%
-
&
-1













&
lim ^ fof h(- x) x \" 2– 1. \" 2. C 3. & 11 4. B 5. D 6. B

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 6. MODÜL -÷.÷5
7&
5·3&7 www.aydinyayinlari.com.tr .65-\",
%&ó&3
7&
1\"3¦\"-*
'0/,4÷:0/-\"3*/
-÷.÷5÷ .VUMBL
%FôFS
'POLTJZPOVOVO
-JNJUJ ÖRNEK 4 KURAL xli\"ma f^ x h

MJNJUJ
WBSTB lim x + x MJNJUJOJ
IFTBQMBZŽOŽ[ x\"0 x x lim f (x) = lim f (x)
FõJUMJóJ
TBóMBOŽS x\"a x\"a
&óFS
G

Y

=

PMVSTB
LSJUJL
OPLUB
¿Ë[ÐNÐ
ZBQŽ- xx _ x + x = 2 =2 b MŽS

4Bó
WF
TPM
MJNJU
CBLŽMŽS lim+ b bb x\"0 ` xx
1BS¿BMŽ
GPOLTJZPOMBSŽO
TŽOŽS
EFóFSMFSJ
LSJUJL
OPL- b j lim + =2 UB
PMEVóVOEBO
TBó
WF
TPM
MJNJU
CBLŽMŽS
%JóFS
lim– OPLUBMBS
UBOŽNMŽ
PMEVóV
BSBMŽLUBLJ
GPOLTJZPOMBS- -x x b x\"0 xx EB
CBLŽMŽS x\"0 x + -x bb = -2 = 2 a ÖRNEK 5 ÖRNEK 1 5x - 2x - x x+ x+2 lim x MJNJUJOJ
IFTBQMBZŽOŽ[ lim
MJNJUJOJ
IFTBQMBZŽOŽ[ x \" 0– x\"3 x-1 3+ 3+2 8 5x - 2x + x 5x + 3x = =4 lim – x = lim – x 2 x\"0 x\"0 3-1 - 8x = lim – =-8 x\"0 x ÖRNEK 2 x-3 x-3 lim + lim – x-3 x \" 3+ x - 3 ÖRNEK 6 x \" 3 JGBEFTJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS lim f x2 + 1 - x - 3 p MJNJUJOJ
IFTBQMBZŽOŽ[ x \" 3+ x-3 x-3 3-x _ b lim– = lim– =-1 b x-3 x - 3 b x\"3 x\"3 ` j -1 + 1 = 0 2 x-3 lim+ x-3 x-3 b lim + d x + 1 - x-3 n=9+1-1=9 x\"3 x\"3 x-3 = lim+ x-3 =1 b b x\"3 a ÖRNEK 3 ÖRNEK 7 x2 - 1 lim cos x lim limJUJOJ
IFTBQMBZŽOŽ[ x\" π + cos x
MJNJUJOJ
IFTBQMBZŽOŽ[ x \" 1 x2 - 1 2 2 - 1 _ lim + x =1 b x\"1 b bb 2 lim – 2 - 1 ` lim x -1 yoktur. lim - cos x x\"1 x =-1 2 π+ 2 b x\"1 x -1 x\" cos x 1-x = - 1 b 2 bb 2 - 1 a x 1. 4 2. 0 3. ZPLUVS 12 4. 2 5. –8 6. 9 7. –1

www.aydinyayinlari.com.tr -÷.÷5
7&
5·3&7 6. MODÜL ·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 1BSÀBMŽ
'POLTJZPOMBSŽO
-JNJUJ ÖRNEK 11 ÖRNEK 8 2x + 1 x<2 f (x) = * x2 GPOLTJZPOV
WFSJMJZPS Z ]] x$2 [ f ( x) = ]] 2x - 1 x<1 #VOB
HÌSF
lim f (4 - 2x)
MJNJUJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS \\ x2 + 3x + 1 x = 1 GPOLTJZPOV
WFSJMJZPS x \" + 2 x>1 1 BVOB
HÌSF lim + f (4 - 2x) = lim – f (x) = 5 x\"1 x\"2 lim f^ x h - lim f (x) + lim f (x) + x \" 1– x\"2 x \" 1 JGBEFTJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS lim – f (x) = 2 - 1 = 1 _ b x\"1 b lim + f (x) = 3 + 2 = 5 b j 5 - 1 + 8 = 12 ` x\"1 b ÖRNEK 12 b lim f (x) = 3.2 + 2 = 8 b Z x< π x\"2 2 a ] a sin x + b ] x$ π f (x) = [ 2 ]] cos x + 2 \\ GPOLTJZPOV rx `
3
J¿JO
MJNJUMJEJS
ÖRNEK 9 lim f (x) = 0 x\"0 f (x) = ' 2 - 3x x < 1 PMEVóVOB
HËSF PMEVôVOB
HÌSF

B
C

HFSÀFL
TBZŽ
JLJMJTJ
OFEJS x+1 x$1 lim f (x)
MJNJUJOJO
EFôFSJ
WBSTB
LBÀUŽS lim f (x) = 0 ise 0 + b = 0 j

C
= 0 x\"1 x\"0 lim f (x) = 1 + 1 = 2 limπ + f (x) = limπ – f (x) j a +
C
= 2 j a = 2 + x\"1 x\" x\" 22 lim – f (x) = 2 - 3 = - 1
x\"1 B
C
JLJMJTJOJO
FöJUJ


EŽS lim + f (x) ! lim – f (x) x\"1 x\"1 PMEVôVOEBO
lim f (x) yoktur. x\"1 ÖRNEK 10 ÖRNEK 13 x $ 2 GPOLTJZPOV
WFSJMJZPS x<2 f(x) = * x2 + a ax + 6 f (x) = * x2 + x x<1 #VOB
HÌSF
lim f (x + 1) = b ! R
PMEVôVOB
HÌSF
x+a x$1 x\"1
B
C

TŽSBMŽ
JLJMJTJ
OFEJS GPOLTJZPOVOVO
rx `
3
J¿JO

MJNJUMJ
PMEVóV
CJMJOJZPS
lim + f (x + 1) = lim – f (x + 1) x\"1 x\"1 #VOB
HÌSF
B
`
3
LBÀUŽS lim+ f (x) = lim– f (x) j 1 + a = 12 + x\"2 x\"2 lim + f (x) = lim – f (x) 1 ja=1 4 + a = 2a + 6 j a = -2 x\"1 x\"1 lim f (x + 1) = 2

PMVS

x\"1 B
C
JLJMJTJOJO
FöJUJ
-2, 2
EJS 8. 12 9. ZPLUVS





10. 1 13 11. 5 12. 






13. m

TEST - 5 .VUMBL
%FôFS
'POLTJZPOVOVO
-JNJUJ x2 + 4x + 3 6. A = {-
-



}

WF

B
` Z+
PMNBL
Ð[FSF lim 1. – x \" – 4 x-5 lim f x - 10 + x - 9 + . . . x + x + 1 +. . . x + 10 p MJNJUJOJO
EFôFSJ
LBÀUŽS x\"a + x - 10 x-9 x x+1 x + 10 \"
1
#
1
$
1
%
1
&
1 limitinin sonucu en çok
LBÀUŽS 7 6 5 4 3 \"

#

$

%

&
 2. lim 2x - 3x - 1 7. lim f sin x + 2 cosx p – sin x x \" –3 x \" MJNJUJOJO
EFôFSJ
LBÀUŽS π \"

#

$

%

&

MJNJUJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS \"

#

$
3
%
- 1
&
 22 x-3 8. lim a 2x + 2 - 7 - log ^ 6x + 4 h - 5 k x\"2 3. lim 2 x \" 3+ 9 - x2 %
1
&
1
MJNJUJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS MJNJUJOJO
EFôFSJ
LBÀUŽS
36 \"
- 1
#
- 1
$

63 \"

#

$

%

&
 4. x2 - 4x + 3 9.
*



Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
Y
=
B
MJNJUJ
WBSTB
lim x\"3 x-6 +3 | |





Z
=
G

Y


GPOLTJZPOVOVO
Y
=
B
J¿JO
MJNJUJ
WBSEŽS | |**
Z
= G

Y


GPOLTJZPOVOVO
MJNJUJ
Y
=
B
J¿JO
WBSTB
MJNJUJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS Z
=

G

Y

GPOLTJZPOVOVO
MJNJUJ
WBSEŽS \"

#
2
$
1
%
1
&
 3 39 ***
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
rx `
3
J¿JO
MJNJUMJ
CJS
5. lim f x x-2 p | |GPOLTJZPO
JTF
Z
=
G

x
GPOLTJZPOV
EB
r
x `
3
x\"1 - x x-2 J¿JO
MJNJUMJEJS MJNJUJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS *7
(FS¿FM
TBZŽMBSEB
UBOŽNMŽ
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOV
\"
-
#
-
$

%

&
 | |J¿JO
Z
=
G

x
GPOLTJZPOV
Y
=
B
B
`
3–
J¿JO
MJNJUMJ
JTF
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOEB
Y
=
B
J¿JO
MJNJU- MJEJS
#VOB
HÌSF
ZVLBSŽEB
WFSJMFO
ZBSHŽMBSEBO
LBÀ
UB- OFTJ
LFTJOMJLMF
EPôSVEVS \"

#

$

%

&
 1. & 2. \" 3. \" 4. \" 5. & 14 6. & 7. & 8. D 9. C

.VUMBL
%FôFS
WF
1BSÀBMŽ
'POLTJZPOMBSŽO
-JNJUJ TEST - 6 1. Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
õFLJMEFLJ
HJCJEJS 4. lim ln^ x2 - 5x + 6 h y x \" 2+ limitinin TPOVDV
WBSTB
LBÀUŽS –6 1 35x \"
:PLUVS
#
-
$
Þ –2 O
%

&
 y = f(x) #VOB
HÌSF
lim f (x)
MJNJUJOJO
WBSPMBCJMNFTJ
x \" a f (x) 3x + 1 , x ≠ 5 JÀJO
B
HFSÀFM
TBZŽMBSŽOŽO
EFôFS
LÑNFTJ
OFEJS 5. f^xh = * GPOLTJZPOV
WFSJMJZPS 7 , x=5 \"

#

-6, -

b




#VOB
HÌSF $
3
- { -6, -2, 3, 5}
%
3
- { -6, -2, 1, 3, 5 } lim f^xh + lim f^xh + lim f^xh + lim f^xh

















&
[ -6, -2 ] b [ 3, 5 ] b


x \" 5+ x \" 5– x \" –2 x \" 1+
JGBEFTJOJO
EFôFSJ
LBÀUŽS \"

#

$

%
-
&
-5 2.
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
õFLJMEFLJ
HJCJEJS Z x3 – 1 x <1 ]] x2 – 2 1≤x≤3 y y = f(x) [ 3 6. f^ x h = ]] \\ –6 x 2x + 1 x >3 –3 O 3 fonksiyonu için xli\"m2– f^xh + lim f^xh – lim 3f^xh x \" 1+ x \" 3+ –3 JGBEFTJOJO
EFôFSJ
LBÀUŽS
#VOB
HÌSF \"
-
#
-
$
-
%

&
 lim fa x k + lim fa - x k x \" –3– – x \" 0 limitinin TPOVDV
LBÀUŽS Z x< π ] a sin x + b cos x 4 ] \"

#

$

%
-
&
-6 7. f^ x h = [ x$ π 4 ]] a cos x - b sin x \\
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOV
WFSJMNJõUJS 3. lim x2 - 1 lim f (x) = 2 x\" π x \" – 1- x 4 1 PMEVôVOB
HÌSF

B C

HFSÀFL
TBZŽ

JLJMJTJ
BöBôŽ- MJNJUJOJO
EFôFSJ
LBÀUŽS EBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS \"
-
#
-
$

%

&
 \"




#


-

$




%




&


-
1. C 2. \" 3. \" 15 4. \" 5. B 6. \" 7. D

TEST - 7 1BSÀBMŽ
'POLTJZPOMBSŽO
-JNJUJ 1. x-2 x<2 4.
ôFLJMEF
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
WFSJMNJõUJS f^ x h = * x2 + 1 x$2 y y = f(x) g^ x h = ' 2x x$5 –4 2 5x 10 - x x<5 –2 O
GPOLTJZPOMBSŽ
WFSJMNJõUJS
#VOB
HÌSF
lim ^ gof h(x) - lim ^ gof h(x)
Jö- x \" 2+ x \" 2– leminin TPOVDV
LBÀUŽS g (x) = * 2x f(x) < 0 x+1 f(x) $ 0 \"

#

$

%

&
 fonksiyonu için, 2.
G

Y

= x2 - 3x + 2 * lim g (x) = 6 x \" 5+ 2x + 1 x<0 g_ x i = * x2 - 1 x$0 ** lim g (x) = - 4 x \" –2+ *** lim g (x) = 4 x\"2 GPOLTJZPOMBSŽ
WFSJMNJõUJS *7 lim g (x) = –3 x\"–4
JGBEFMFSJOEFO
LBÀ
UBOFTJ
EPôSVEVS
#VOB
HÌSF
lim ^ gof h^ x h - lim ^ gof h^ x h
Jö- \"

#

$

%

&
 + x \" 1+ x \" 2 leminin TPOVDV
LBÀUŽS \"

#

$

%
-
&
-2 3.
ôFLJMEFLJ
HSBGJL
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOB
BJUUJS
Z ]] y [ ]] 2 \\ 3x 5. f (x) = 2x + 1 x#0 y = f(x) x2 –2 O 1 3x - 1 0<x#3 –2 - 11 x>3
GPOLTJZPOV
WFSJMJZPS
#VOB
HÌSF g (x) = * 2x2 - 1 x<1 lim f (x) + lim f (x) + lim f (x) = 5 x-3 x$1 + x \" –1– + x \" x \"
GPOLTJZPOV
J¿JO 0 P lim ^ fog h(x) - lim ^ fog h(x)
FöJUMJôJOJ
TBôMBZBO
1
TBZŽTŽOŽO
BMBCJMFDFôJ
EF- ôFSMFS
ÀBSQŽNŽ
LBÀUŽS x \" 1+ x \" – \"
12 2
#

$
- 12 2 1
JöMFNJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS
%
-
&
- \"
-
#
-
$

%

&
 1. & 2. & 3. D 16 4. D 5. \"

1BSÀBMŽ
'POLTJZPOMBSŽO
-JNJUJ TEST - 8 1.
N
`
;
J¿JO 4.
G

3
Z
3 Z 2x x#0 2x + 1 0#x<3 ]] x>0 f (x) = * x2 - 3x + 1 3#x15 f (x) = [ x2 - mx +
GPOLTJZPOV
WFSJMJZPS ]] 6x + m - 4 k \\
GPOLTJZPOV
WFSJMJZPS r
x `
3
J¿JO
G
Y

=
G

Y
+


PMEVóVOB
HËSF r
B
`
3
J¿JO
lim f (x) = b ! R
PMEVóVOB
HËSF
lim f (x) - lim f (x) x\"a x \" 1903+ x \" 215+
L
HFSÀFL
TBZŽTŽOŽO
BMBCJMFDFôJ
EFôFS
LÑNFTJ
OF- JöMFNJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS EJS \"


R
D
#
<

R

$



> \"
-
#
-
$

%

&

%




&


R
D Z 2 2 + x–1 x#0 ]] 0<x#1 x x>1 2.
f (x) = [ ax + b 5. G

3
Z
3 ]] ln ex \\ fonksiyonunun r
x `
3
JÀJn limitli olEVôVOB
HÌ- f (x) = ' 2x + a 0#x12 bx + 1 2#x<5 SF

lim f (x)

MJNJUJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS x \" a.b
GPOLTJZPOV
r
x `
3
J¿JO
MJNJUMJEJS \"

#
5
$
1
%
9
&
1 r
x `
3
J¿JO
G

Y

=
G

Y
-


PMEVóVOB
HËSF 8 2 84 a +
C
UPQMBNŽOŽO
FöJUJ
LBÀUŽS \"
-
#
-
$
-
%
-
&
 3.
G

3
- {} Z
3 Z sin x x$ π ] 2 ]] x f(x) = [ x< π Z ] cos x + k 2 ]] 2x + 1 x <-1 [ 3x - 1 -1#x#2 ]] x2 6. f (x) = \\ 2<x ]] x 2 \\ fonksiyonu rx `
3
JÀJO
MJmitli oldVôVOB
HÌSF
L deôFSJ
LBÀUŽS
GPOLTJZPOV
WFSJMJZPS \"

#
2
$


#VOB
HÌSF
Z
=

GPG


Y

GPOLTJZPOVOVO
MJNJUTJ[
PMEVôV
Y
HFSÀFM
TBZŽMBSŽO
UPQMBNŽ
LBÀUŽS
%
2 2
&
 \"
-
#

$

%

&
-2 1. \" 2. B 3. \" 17 4. C 5. \" 6. D

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 6. MODÜL -÷.÷5
7&
5·3&7 www.aydinyayinlari.com.tr #&-÷34÷;
-÷.÷5-&3 TANIM ÖRNEK 3 1R

Þ
-
Þ
3
Þ
ޙ
WF
0+,–
UJQJOEFLJ
MJ- lim x3 - 1 MJNJUJOJ
IFTBQMBZŽOŽ[ 3 0+,– x \" 1 x2 - 1 NJUMFSJO
TPOVDV
CFMJSTJ[EJS #V
NPEÐMEF
CFMJSTJ[
MJNJUMFSEFO
TBEFDF

B
a x - 1 ka 2 + x + 1 k 3 x EFóJOFDFóJ[  lim = x \" 1 a x - 1 k^ x + 1 h 2 0
#FMJSTJ[MJôJ 0 TANIM f (x) ÖRNEK 4 lim
MJNJUJ
IFTBQMBOŽSLFO
lim f (x) = 0 x \" a g (x) x\"a x2 - 1 + x - 1 f (x) lim MJNJUJOJ
IFTBQMBZŽOŽ[ WF
lim g (x) = 0
PMVZPSTB
lim
MJNJUJ- x\"a x \" a g (x) x\"1 x-1 OJO
TPOVDV
CFMJSTJ[EJS x-1^ x+1 +1h = 2+1
Z
=
G

Y

WF
Z
=
H

Y

GPOLTJZPOMBSŽOEB
CFMJSTJ[- lim MJóF
ZPM
B¿BO
UFSJNMFS
TBEFMFõUJSJMFSFL
CFMJSTJ[- x\"1 x-1 MJL
PSUBEBO
LBMEŽSŽMŽS
4BEFMFõNFZFO
¿FõJUMFSJOF
EFóJOJMNFZFDFLUJS ÖRNEK 5 0+ , 0+ , 0– , 0–
CFMJSTJ[MJL
WFSJSLFO 0+ 0– 0– 0– 1-3 x lim MJNJUJOJ
IFTBQMBZŽOŽ[ 0 = 0 , 0 = 0
PMEVóVOB
EJLLBU
FEJMNFMJEJS x \" 1 x2 - 1 0+ 0– 0+ ve 0–
JTF
UBOŽNTŽ[EŽS 00 ÖRNEK 1 x = a3 için x = 1 j a = 1 lim x2 - 3x + 2 MJNJUJOJ
IFTBQMBZŽOŽ[ 1-a 1-a x \" 1 x2 - 1 lim = lim a\"1 6 a\"1 5  - 1 a a - 1 k^ + + . . . . . + 1 h a a a 1 =- 6 ^ x - 2 h^ x - 1 h - 1 lim – = x\"1 ^ x + 1 h^ x - 1 h 2 ÖRNEK 2 ÖRNEK 6 lim x4 - 1 MJNJUJOJ
IFTBQMBZŽOŽ[ lim x - 3 x MJNJUJOJ
IFTBQMBZŽOŽ[ x \" 1 x2 - 1 x\"1 4 x-6 x x = a12 için x Z1 j a Z1 a x 2 - 1 ka 2 + 1 k 64 4 ^ a - 1 h^ a + 1 h x a -a a lim =2 lim = lim 2 ^ h x\"1 a\"1 a3 - a2 a \" 1 a 2 a - 1 x - 1 =2 1 2. 2 18 3 4. 2 + 1 5. - 1 6. 2 1. - 3. 26 2

www.aydinyayinlari.com.tr -÷.÷5
7&
5·3&7 6. MODÜL ·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, ÖRNEK 7 ÖRNEK 11 lim ^ 2x2 - x - 1 h2 MJNJUJOJ
IFTBQMBZŽOŽ[ lim x2 + ax + b = 2 x \" 1 x3 + x2 - 5x + 3 x \" 1 x2 - 1 ^ 2x + 1 h2 ^ x - 1 h2 9 PMEVóVOB
HËSF
a +
C
LBÀUŽS lim = x \" 1 ^ x + 3 h^ x - 1 h2 4 2 x + ax + b lim
MJNJUJOJO

ZF
FöJU
PMNBTŽ
JÀJO x\"1 x2 - 1 1 + a +
C
=


PMNBMŽEŽS ÖRNEK 8 lim x -x ÖRNEK 12 x \" 0+ MJNJUJOJ
IFTBQMBZŽOŽ[ lim x2 + mx + n = 3 x. x x \" 2 x2 - 4 FõJUMJóJ
WFSJMJZPS
x > 0 için x-x lim + =0 x\"0 2 x #VOB
HÌSF m +
O
UPQMBNŽ
LBÀUŽS ÖRNEK 9 0 1BZEB

PMVQ
TPOVÀ

ÀŽLUŽôŽOB
HÌSF

CFMJSTJ[MJôJ
PM- 4 - 3x + 7 lim MJNJUJOJ
IFTBQMBZŽOŽ[ 0 x\"3 2- x+1 NBMŽEŽS ^ x - 2 hd x - n n 2 lim = 3 x \" 2 ^ x - 2 h^ x + 2 h n =3 2- 2 - ^ 3x + 7 h 2+ x+1 2 4 4 lim · n x \" 3 4 + 3x + 7 2 = - 10 - ^ x + 1 h 2 2 9 - 3x 2 + x + 1 3·4 3 n = - 20 lim · = = ÷GBEFOJO
QBZŽ

Y
-



Y
+



= x2 + 8x - 20 x \" 3 4 + 3x + 7 3-x 82 m=8 m + n = -12 ÖRNEK 10 ÖRNEK 13 lim 1-3 x+1 MJNJUJOJ
IFTBQMBZŽOŽ[ lim a - x - 5 = L x\"0 x\"3 x-3 x PMEVôVOB
HÌSF
-
HFSÀFL
TBZŽTŽ
LBÀUŽS lim a-x-5
MJNJUJOJ
HFSÀFL
TBZŽ
PMNBTŽ
JÀJO
0 x\"3 1-^x+1h 1 x-3 0 lim - x \" 0 1 + 3 ^ x + 1 h + 3 ^ x + 1 h2 x CFMJSTJ[MJôJ
PMNBMŽEŽS a - 3 - 5 = 0 a - 3 = 25 a = 28 -x -1 lim = x \" 0 xa 1 + 3 x + 1 + 3 ^ x + 1 h2 k 3 28 - x - 25 1 -1 lim . = lim 28 - x + 5 x\"3 28 - x + 5 x - 3 x \" 3 -1 = 10 9 3 1 19 11. –1 1 7. 8. 0 9. 10. - 12. –12 13. - 10 4 2 3

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 6. MODÜL -÷.÷5
7&
5·3&7 www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 14 ÖRNEK 16 ôFLJMEF
Z
=
G
Y

JLJODJ
EFSFDFEFO
QPMJOPNVOVO
HSBGJóJ
ôFLJMEF
Z
=
G
Y

JLJODJ
EFSFDFEFO
GPOLTJZPOV
WF
Z
=
H

Y

õFLJMEFLJ
HJCJEJS
EPóSVTBM
GPOLTJZPOVOVO
HSBGJLMFSJ
WFSJMNJõUJS
y y y = g(x) 3 2 –3 O x –2 O 3x 3 y = f(x) y = f(x) #VOB
HÌSF

lim f^ x h
MJNJUJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS x \" 3 6x - 18 lim f^ x h = 5 PMEVôVOB
HÌSF
H



LBÀUŽS x \" –2 g^ x + 2 h 12 polinomun denklemi, 1 H
Y

=
NY

WF

G
Y

=
B


Y
+



Y
-

y =
B

Y
+


Y
-









=
B


-







B
= - 3 - 1 ^ x + 3 h^ x - 3 h 16 1 2 =
B
-
3 1 lim = - . = - - =a x\"3 6^ x - 3 h 36 3 3 - 1 ^ x + 2 h^ x - 3 h 3 5 -5 5 lim = ise = x\"2 m^ x + 2 h 12 - 3m 12 m=4 ÖRNEK 15 g (x) = 4x & g (1) = 4 Z
=
G
Y

пÐODÐ
EFSFDFEFO
QPMJOPNVOVO
HSBGJóJ
õFLJM- ÖRNEK 17 EFLJ
HJCJEJS
Z
=
G
Y

пÐODÐ
EFSFDFEFO
QPMJOPNVOVO
HSBGJóJ
õFLJM- y deLJ
HJCJEJS
y = f(x) y –2 O 2 x f^ x h O2x lim = 6 y = f(x) x \" 2 x2 - 4 PMEVôVOB
HÌSF
G



LBÀUŽS y =
G
Y

QPMJOPNVOVO
EFOLMFNJ lim x2 = 1 PMEVôVOB
HÌSF
G



LBÀUŽS y =
B

Y
-


Y


Y
+


EŽS x \" 0 f^ x h 4 lim - a^ x - 2 h.x.^ x + 2 h ise 2a = 6 y = ax2

Y
-

x\"2 =6 a=3 2 ^ x - 2 h^ x + 2 h x 1 11 & a =-2 lim =& = x \" 0 ax2 ^ x - 2 h 4 - 2a 4 G



=


-





= -9 f (x) = - 2x2 (x - 2) & f (1) = 2 1 15. –9 20 16. 4 17. 2 14. - 3

www.aydinyayinlari.com.tr -÷.÷5
7&
5·3&7 6. MODÜL ·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, ÖRNEK 18 ÖRNEK 23 cos 2x x2 - x - 1 - 1 lim
MJNJUJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS lim limitinJO
TPOVDV
LBÀUŽS x \" π cos x - sin x x\"1 x+3 -4 4 lim a cos x - sin x k^ cos x + sin x h 2 x^ 1 - x h =2 1+x-x -1 π x\" cos x - sin x lim = lim =-1 x\"1 x+3-4 x\"1 x-1 4 ÖRNEK 19 ÖRNEK 24 lim tan x - 1
MJNJUJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS x2 - x x \" π cot x - 1 lim limitiniO
TPOVDV
LBÀUŽS x \" 0+ x + 2 - x2 - 2 4 limπ tan x - 1 = limπ tan x - 1 = limπ (- tan x) 2 2 x\" x\" 1 - tan x x\" x x 1 lim + x - = lim + x - = lim + 1-x 4 tan x 4 tan x 4 x\"0 x\"0 x\"0 1+x -1 2 2 =-1 x+2+x -2 x +x =1 ÖRNEK 20 ÖRNEK 25 lim 1 + tan2x - sec2x
MJNJUJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS G

Y

= x2 +

GPOLTJZPOV
WFSJMJZPS
#VOB
HÌSF 2 cos x - 1 + f (x) - f (1) x\" π lim
MJNJUJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS x\"1 x-1 3 22 1 + tan x - sec x 0 lim = lim =0 + 2 cos x - 1 + π 2 cos x - 1 2 2 π x -1 x\" x\" 3 x +1-2 = lim (x + 1) 3 lim = lim x-1 x\"1 x\"1 x-1 x\"1 =2 ÖRNEK 21 ÖRNEK 26 lim 2x + 2 - 16
JGBEFTJOJO
FöJUJ
LBÀUŽS G

Y

= x3

GPOLTJZPOV
WFSJMJZPS
x \" 2 22x - 16 2 2 ^ x - 4 h 41 2 lim = = x \" 2 ^ 2x - 4 h^ 2x + 4 h 8 2 f (x + t) - f (x) #VOB
HÌSF
lim limitinin sonucu kaç- t\"0 t ÖRNEK 22 UŽS lim - 1 + 2x + 3x - 6x
JGBEFTJOJO
FöJUJ
LBÀUŽS f^ x + t h - f (x) 33 lim = lim (x + t) - x x\"0 32x + 3x - 2 x\"0 t x\"0 t ^ x h^ x h 1 - 2x t a ^ x + t h2 + ^ x + t hx + 2 k 3 x lim 2 - 1 1 - = lim =0 = lim x\"0 t x \" 0 ^ 3x + 2 h^ 3x - 1 h x\"0 x = 2 + 2 + 2 = 2 3 +2 x x x 3x 18. 2 1 22. 0 21 23. –1 24. 1 25. 2 26. 3x2 19. –1 20. 0 21. 2

TEST - 9 #FMJSTJ[
-JNJUMFS 1. lim f x x - 3 3 p 6. lim f x - 4 x p x\"3 x- 3 x\"1 3 x-6 x ifadFTJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS ifBEFTJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS \"
3
#

$

%

&
 \"

# 1
$
2
%
3
&
 8 3 2 2. B
>


PMNBL
Ð[FSF lim f x2 - ax3 p 7. lim x2 + ax + b = 7 x\"a x-a x \" 2 x2 - 4 4 limitinin
EFôFSJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS PMEVôVOB
HÌSF, a +
C

UPQMBNŽ
LBÀUŽS \"
- a
#
B
$
a
%
B
&
B \"
-
#
-
$

%

&
 2 2 8. lim 3x - 1 - x - 2 - 7 3. lim f x + 4 - 6 p JGBEFTJOJO
FöJUJ
LBÀUŽS x\"3 x2 - 9 x\"2 x-2
JGBEFTJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS \"
1
#
1
$
1 \"
1
#
- 1
$
1
%
-
&
 6 26 36 3 39
%
1
&
1 46 56 9. x2 - 4x + 4 lim x \" 2+ 8 - 2x2 4. C
`
3

WF

B
>

J¿JO


iGBEFTJOJO
FöJUJ
LBÀUŽS a-x-1 lim = b \"
-
#
-
$
- 1 %
1
&
 x\"1 x-1 84 PMEVôVOB
HÌSF

B
+
C

UPQMBNŽ
LBÀUŽS \"
- 1
#
1
$

%
3
&
 22 2 Z x -1 , x≠1 ]] , x=1 10. f^ x h = [ ]] x -1 \\ 4 5. lim f x - 2 x + 1 p GPOLTJZPOV

J¿JO
lim f^ x h = a ve lim f^ x h = b x-1 x \" 1+ x \" 1– x\"1 ifadesiniO
EFôFSJ
LBÀUŽS PMEVôVOB
HÌSF
B
-
C
GBSLŽ
LBÀUŽS \"

#
1
$

%
3
&
 \"
-
#
-
$

%

&
 2 2 1. D 2. C 3. B 4. D 5.
\" 22 6. D 7. \" 8. \" 9. C 10. &

#FMJSTJ[
-JNJUMFS TEST - 10 1. cos 2x 6. lim f 9x - 4x + 16x - 25x p lim 3x - 2x 4x - 5x + x\"0 x\"e 5r 1+ 2 sin x o 4 JGBEFTJOJO
FöJUJ
LBÀUŽS
JGBEFTJOJO
FöJUJ
LBÀUŽS \"
-
#
-
$
-
%

&
 \"

#

$

%

&
 2. lim sin x - cos x 7. lim f 2x + 2 - 16 + e2x–4 - ex–2 p 4x - 16 ex–2 - 1 x \" π 1 - cot x x\"2 4 JGBEFTJOJO
EFôFSJ
LBÀUŽS JGBEFTJOJO
FöJUJ
LBÀUŽS \"
- 1
#
1
$

%
3
&
 22 22 2 \"
- 2
#
-
$

%

&
2 22 8. 1+3 x lim x \" –1 1 + 7 x 3. lim tan x. sin x MJNJUJOJO
EFôFSJ
LBÀUŽS x \" 0 1 - cos x \"
1
#
3
$

%
7
&
11 JGBEFTJOJO
FöJUJ
LBÀUŽS 7 7 33 \"
-
#
-
$

%

&
 tan25x 9. Z x2 - 4x - 5 , x≠-1 ]] , x =-1 4. lim f^ x h = [ x+1 x \" 0 ^ 1 - cos 5x h. 1 - sin x ]] -6 \\ PMBSBL
WFSJMJZPS
JGBEFTJOJO
FöJUJ
LBÀUŽS lim f^ x h = m ve lim f^ x h = k x \" –1+ x \" – –1 \"
-
#

$

%

&
 PMEVôVOB
HÌSF
N
-
L
JGBEFTJOJO
FöJUJ
LBÀUŽS \"
-
#
-
$
-
%
-
&
- 5. lim ; tan x - cot x E 10. lim x + x3 + x5 - 3
MJNJUJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS x2 - 1 x \" r cos x - sin x 4 JGBEFTJOJO
FöJUJ
LBÀUŽS x\"1 \"
- 2 2
#
-
$
- 2 &
- 1 2 \"
1
#
3
$
5
%
7
&
9
%
-
2 4 2 2 22 2 1. & 2. C 3. & 4. D 5. \" 23 6. B 7. D 8. D 9. D 10. &

TEST - 11 #FMJSTJ[
-JNJUMFS 1.
ôFLJMEF
Z
=
G

Y


WF

Z
=
H

Y

GPOLTJZPOMBS
ŽOŽO
HSB- tan x - 1 GJLMFSJ
WFSJMN
JõUJS
4. x \"limπ 3 y 3 - cot x 1 3 MJNJUJOJO
EFôFSJ
LBÀUŽS 3 x \"
– 3
#
- 1
$
-
%

&
3 3 –3 O y = f(x) y = g(x)
#VOB
HÌSF
lim f^ x h
MJNJUJOJO
EFôFSJ
LBÀUŽS x \" 3 g^ x h #
3
$
2
%
1
&
- 1 5. lim log2 f x–4 5 x\"4 p \"

2x + 8 – 4 93 3 MJNJUJOJO
EFôFSJ
LBÀUŽS \"
-
#
-
$
- 1 %
1
&
 44 2.
(SBGJLUF
G
QBSBCPMÐ
WF
H
EPóSVTV
WFSJMNJõUJS 6. 3 4x - 4 - 2 y lim f x \" 3 2x - 6 g 3x O4 MJNJUJOJO
EFôFSJ
LBÀUŽS f^ x h \"
1
#

$
1
%
1
&
 36
#VOB
HÌSF
lim ifadesinJO
EFôFSJ
LBÀUŽS x \" 0 g^ x h \"
-
#
-
$

%

&
 7. lim 4x + 1 - 64 x\"2 3.
Z
=
G

Y

EPóSVTBM
GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
õFLJMEFLJ
4x - 16 HJCJEJS
MJNJUJOJO
EFôFSJ
OFEJS y y = f(x) \"

#

$

%

&
 4 –2 x 2x + 10 - x2 + 7 O lim 8. x\"3 x2 - 9
#VOB
HÌSF
lim f (x) limitinin sonucu MJNJUJOJO
EFôFSJ
LBÀUŽS x \" –2 f–1 (- 2x) \"
- 1
#
- 1
$
1
%
1
&
1 LBÀUŽS 6 12 12 6 3 \"

#

$

%
-
&
-2 1. \" 2. B 3. & 24 4. D 5. & 6. D 7. B 8. \"

#FMJSTJ[
-JNJUMFS TEST - 12 1. x4 + mx3 + nx2 6.
G

Y

= x2 +
Y
GPOLTJZPOV
WFSJMJZPS lim x \" 2 ^ x - 2 h2
#VOB
HÌSF
lim f (1 + k) - f (1 - k) limitinin so- JGBEFTJ
CJS
HFSÀFM
TBZŽZB
FöJU
PMEVôVOB
HÌSF

k\"0 k n -
N
LBÀUŽS OVDV
LBÀUŽS \"

#

$

%

&
 \"
-
#
-
$

%

&
 2. 2x - 1 - 3x - 2 7. x4 - 2x3 + 4x2 - x - 2 lim lim x \" 1 3x + 1 - 2x x\"1 x2 - 1 ifadesinin FöJUJ
LBÀUŽS
MJNJUJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS \"
1
#
2
$
3
%
1
&
1 \"

#
3
$

%
5
&
 5 5 5 42 2 2 3. x \"limπ cot 4x cos2 2x - 1 8 sin2 2x 2 lim JGBEFTJOJO
EFôFSJ
LBÀUŽS 8. x \" 0 sin x. sin 4x \"
-
#
-
$
-
%

&
 limitinin sonucu
LBÀUŽS \"

#

$
-
%

&
-2 | |4.
G

Y

= x + 2
GPOLTJZPOV
WFSJMJZPS
#VOB
HÌSF
lim f (x) - f (2) limitinin sonucu LBÀUŽS x\"2 x-2 \"

#

$

%

&
 9.
Z
=
G
Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
õFLJMEFLJ
HJCJEJS y 2 y = f(x) 5.
G

Y

= x
GPOLTJZPOV
WFSJMJZPS 45° O 45° x –2 2 Buna gÌSF
lim f (x + k) - f (x) limitinin sonu- k\"0 k f (x) f (x) x+2 DV
OFEJS
#VOB
HÌSF
lim + lim ifade- x \" 2+ x - 2 – #
1
x \" x –2 \"
x

%
2 $
2 x TJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS x &
1 \"

#

$

%
-
&
-2 2x 1. & 2. B 3. D 4. \" 5. & 25 6. & 7. D 8. B 9. C

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 6. MODÜL -÷.÷5
7&
5·3&7 www.aydinyayinlari.com.tr 4·3&,-÷-÷, TANIM TANIM
#Põ
LÐNFEFO
GBSLMŽ
CJS
\"
LÐNFTJOEF
UBOŽNMŽ
G
#JS
GPOLTJZPO
UBOŽNMŽ
PMEVóV
IFS
EFóFS
J¿JO
TÐ- GPOLTJZPOV
J¿JO
B
`
\"
PMNBL
Ð[FSF SFLMJ
JTF
CV
GPOLTJZPOB
TÑSFLMJ
GPOLTJZPO
EFOJS lim f (x) = f ( a )
FõJUMJóJOJ
TBóMŽZPSTB
Z
=
G

Y

²[FMMJLMFSJ x\"a
Z
=
G

Y

WF
Z
=
H

Y

GPOLTJZPOMBSŽ
Y
=
B
J¿JO
TÐ- GPOLTJZPOV
Y =
B
EB
TÐSFLMJEJS
EFOJS SFLMJ
GPOLTJZPOMBS
PMNBL
Ð[FSF
7FSJMFO
UBOŽNEBO
EB
BOMBõŽMBDBóŽ
Ð[FSF
CJS

Z
=

LG
÷
H

Y

Y
=
B
J¿JO
TÐSFLMJEJS

L
`
3
GPOLTJZPOVO
Y
=
B
EB
TÐSFLMJ
PMNBTŽ
J¿JO 
G

B

EFóFSJ
PMNBMŽEŽS
#JS
CBõLB
EFZJõMF
GPOLTJ-
Z
=

G

H


Y

Y
=
B
J¿JO
TÐSFLMJEJS ZPO
UBOŽNMŽ
PMNBMŽEŽS y = f f p ^ x h, x =
B
J¿JO
TÐSFLMJEJS g  lim f (x) = x l\"ima– f (x)
PMNBMŽEŽS


H

B

â

PMNBL
LPõVMVZMB x \" a+ | |
Z
=
G

Y


GPOLTJZPOV
Y
=
B
J¿JO
TÐSFLMJEJS
'POLTJZPO
Y
=
B
J¿JO
MJNJUMJ
PMNBMŽEŽS  lim f (x) = f (a)
ZBOJ
MJNJU
EFóFSJ
JMF
GPOLTJZPOVO
ÖRNEK 1 x\"a HËSÐOUÐTÐ
BZOŽ
PMNBMŽEŽS
#V
NBEEFMFSEFO
IFSIBOHJ
CJSJ
TBóMBONŽZPSTB
y GPOLTJZPOB x =
B
EB
TÑSFLTJ[
EFOJS 4 3 y y = f(x) Z
=
G

Y

Y
=
B
EB
UBOŽNTŽ[
2 oa x PMEVóV
J¿JO
Y
=
B
EB
TÐSFL- TJ[EJS 1 –4 x –2 O 24 y = f(x) y y = f(x) Z
=
G

Y

JO
Y
=
B
J¿JO
MJNJUJ
x ` [ -

]
BSBMŽôŽOEBLJ
LBÀ
UBN
TBZŽ
EFôFSJ
JÀJO


oa x ZPLUVS
Y
=
B
EB
TÐSFLTJ[- EJS y =
G

Y

GPOLTJZPOV
TüSFLMJEJS y =
G

Y

GPOLTJZPOV
Y
= -


WF
Y
=

JÀJO
TÑSFLTJ[EJS 9 - 2 =

UBOF
UBN
TBZŽ
BQTJTMJ
OPLUBEB
TÑSFLMJEJS y y = f(x) Z
=
G

Y

JO
Y
=
B
J¿JO
MJNJU
ÖRNEK 2 oa EFóFSJ
HËSÐOUÐTÐOEFO
GBSL- y x MŽEŽS
Y
=
B
EB
TÐSFLTJ[EJS 2 y –3 1 x oa –2 –1 O3 Z
=
G

Y


Y
=
B
J¿JO
TÐSFL- MJEJS
Y
=
C
J¿JO
TÐSFLTJ[EJS 12 y = f(x) –1 bx y = f(x) x ` [ -3, 3 ] BSBMŽôŽOEBLJ
LBÀ
UBN
TBZŽ
EFôFSJ
JÀJO


y =
G

Y

GPOLTJZPOV
süSFLTJ[EJS UYARI x = -2 , x = -1 , x =


WF
Y
= 2 için, #JS
GPOLTJZPOVO
TÐSFLMJ
PMEVóV
FO
HFOJõ
BSBMŽL
UB- y =
G

Y

GPOLTJZPOV
TÑSFLTJ[EJS
5BN
TBZŽ
EFôFSJ

OPL- OŽN
LÐNFTJEJS UB 26 1. 7 2. 4

www.aydinyayinlari.com.tr -÷.÷5
7&
5·3&7 6. MODÜL ·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, ÖRNEK 3 ÖRNEK 7 f (x) = * 2x - 3 , x 11 Z x3 - 8 , x!2 x+a , x$1 ] x=2 f^ x h = ] GPOLTJZPOV
3
EF
TÑSFLMJ
PMEVôVOB
HÌSF
B `
3
LBÀ- [ UŽS ]] x 2 - 4 \\ a , fonksiyonu x =

BQTJTMJ
OPLUBEB
TÑSekli oMEVôVna lim – f (x) = lim + f (x) = f (1) HÌSF

B

HFSÀFL
TBZŽTŽ
LBÀUŽS x\"1 x\"1 2 - 3 = 1 + a a = -2 lim f (x) = f (2) x\"2 3 - 8 2 = 3 = a = f (2) x x + 2x + 4 lim = lim x\"2 2 x\"2 x+2 x -4 ÖRNEK 4 f^ x h = Z 4x - 5 , x 21 fonksiyonu x = 1 de sü- ÖRNEK 8 ]] a2 - 5 SFLMJ
PMEVôVOB
HÌSF
[ -x , x =1 B

OŽO
BMBCJMFDFôJ
EFôFS- ]] , x11 MFSJO
LÑNFTJ
OFEJS Z \\ ] ] x2 - 2x + 5 , x #-1 lim + f (x) = lim – f (x) = f (1) f^ x h = [ mx + n , -11x12 x\"1 x\"1 ]] \\ x2 4 - 5 = -1 = a2 - 5 a =



WFZB

B
= -2 + x + 1 , x$2 r
x `
3
JÀJO
TÑSFLMJ
PMEVôVOB
HÌSF

N + n toplaNŽ
LBÀUŽS lim + f (x) = lim – f (x) = f (1) x\"1 x\"1 ÖRNEK 5 Z x-2 x 11 GPOLTJZPOV
3
EF
TÑSFLMJ
1+2+5=n-mj n-m=8 ]] x =1 PMEVôVOB
HÌSF
B
+
C
, x21 UPQMBNŽ
LBÀUŽS lim + f (x) = lim – f (x) = f (2) x\"2 x\"2 f^ x h = [ a + 2 , ]] \\ b - 3x , 4 + 2 + 1 = 2 m + n j 2m + n = 7 lim + f (x) = lim – f (x) = f (1) 2m + n = 7 4 n = 23  1 x\"1 x\"1 m =- 2n - 2n = 16 3 3 | 1 - 2 | =
C
- 3 = a + 2 22 n+m=





C
= 4 a = -1 3 a +
C
= 3 ÖRNEK 6 ÖRNEK 9 Z x-1 , x#0 fonksiyonu tam sa- f^ x h = 3x - 8 ] , 01x#1 ZŽMBS
LÑNFTJOEFLJ
x2 - 2x + k ] , x21 LBÀ
EFôFS
JÀJO
TÑ- ] x+4 SFLTJ[EJS fonksiyonu rx `
3
JÀJO
TÑSFLMJ
PMEVôVOB
HÌSF
L
HFS- ÀFL
TBZŽTŽOŽO
en küçük
UBN
TBZŽ
EFôFSJ
LBÀUŽS f^ x h = [ 1 - x ] 1BZEB
JÀJO
D <


PMNBMŽEŽS ] x-1 4 - 4k < 0 1<k ] x+3 L
OJO
UBN
TBZŽ
EFôFSJ
FO
B[

PMVS \\ x = -4, x =



JÀJO
TÑSFLTJ[EJS x = -

UBOŽNTŽ[ x=0 ise lim + f (x) ! lim – f (x) x\"0 x\"0 3. –2 4. {–2, 2} 5. 3 6. 2 27 7. 3 8. 22 9. 2 3

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 6. MODÜL -÷.÷5
7&
5·3&7 www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 10 ÖRNEK 13 f^ x h = -x + 2 + x + 2
G

Y

=

UBOY
+ 1 x+3 x-1 GPOLTJZPOVOVO
HFSÀFM
TBZŽMBS
LÑNFTJOEF
TÑSFLTJ[
PMEVôV
EFôFSMFS
LÑNFTJ
OFEJS GPOLTJZPOV
LBÀ
UBN
TBZŽ
EFôFSJ
JÀJO
TÑSFLMJEJS 3tan3x +

JÀJO
TÑSFLTJ[
EFôFSMFS
DPTY
=

JMF
CVMVOVS 2-x –3 2 π $0 – x!1 3x = + πk k ! Z x+3 2 –+ 5BOŽNTŽ[ (x x= π + π k k!z2 63
-3, 2 ] - { 1 }
TÑSFLMJ
PMEVôV
FO
HFOJö
LÑNF 
UBN
TBZŽ
EFôFSJ
JÀJO
TÑSFLMJEJS ÖRNEK 11 ôFLJMEF
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
WFSJMNJõUJS ÖRNEK 14 y f^ x h = 1 + tan x 5 sin x - cos x 3 GPOLTJZPOVOVO
HFSÀFM
TBZŽMBS
LÑNFTJOEF
TÑSFLTJ[
oMEVôV
EFôFSMFS
LÑNFTJ
OFEJS 1 x O sinx =
DPTY













7











DPTY
= 0 π tanx = 1 x = + πk π 2 y = f(x) x = + πk 4 g^ x h = 1
GPOLTJZPOV
HFSÀFL
TBZŽMBS
LÑNF- 2 - f^ x h ( x x = π + πk , x = π + πk, k ! z 2 42 TJOEFLJ
LBÀ
OPLUBEB
TÑSFLTJ[EJS y =

EPôSVTV
ÀJ[JMEJôJOEF
HSBGJôJO

OPLUBEB
LFTJMEJôJ
HÌSÑMÑS
WF
TÑSFLTJ[
PMEVôV
OPLUBMBSŽO
TBZŽTŽ

UÑS ÖRNEK 12 ÖRNEK 15 f^ x h = 2x2 - 4x + 1 f^ x h = x g^ x h = x2 + 4x ^ 3 + cos 2x h ^ 1 - 3 cos2x h x fonksiyonu [ 0, 22

BSBMŽôŽOEB
LBÀ
OPLUBEB
TÑSFLTJ[- h^ x h = elnx EJS GPOLTJZPOMBSŽOEBO
IBOHJTJ
WFZB
IBOHJMFSJ
Y
= 0 için TÑSFLTJ[EJS cos2x = -


FöJUMJôJOJ
TBôMBZBO
EFôFS
ZPLUVS 1 - 3cos2x = 0 ise cos x = 1 ¦Ì[ÑN
H
WF
I
GPOLTJZPOMBSŽ
Y
=

JÀJO
UBOŽNTŽ[
PMEVôVO- EBO
TÑSFLTJ[EJS 3 1 cos x = - 3 WFSJMFO
BSBMŽLUB
ZVLBSŽEBLJ
FöJUMJLMFSJ
TBôMBZBO

UBOF
Y
EFôFSJ
WBSEŽS 28 13. % x x = π + π k , k ! Z / 14. % x x = π + πk , x = π + πk, k ! z / 63 42 10. 4 11. 4 12. 4 15. H
WF
I

www.aydinyayinlari.com.tr -÷.÷5
7&
5·3&7 6. MODÜL ·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, ÖRNEK 16 UYARI Z
=
G

Y

GPOLTJZPOV
HFS¿FM
TBZŽMBSEB
UBOŽNMŽ
WF
TÐSFL- G

B


G

C

>


PMNBTŽ
EVSVNVOEB
Z
=
G

Y

GPOL- MJ
CJS
GPOLTJZPOEVS TJZPOVOVO
B
C
BSBMŽóŽOEB
LËLÐ
PMNBEŽóŽ
BOMBNŽ- OB
HFMNF[ #VOB
HÌSF | |

*
Z
=
G
Y

| |

**

Z
=
G

x
***

Z
= f^ x h *7

Z
=
G

Y
+

ÖRNEK 17 7 Z
= 2 3FFM
TBZŽMBSEB
UBOŽNMŽ
G

Y

= x3 - x2 + 3 fonksiyo- f^ x h OVOVO
BöBôŽEBLJ
BSBMŽLMBSŽO
IBOHJTJOEF
en az
CJS
LÌ- LÑ
WBSEŽS GPOLTJZPOMBSŽOEBO
LBÀ
UBOFTJ
HFSÀFM
TBZŽMBSEB
LFTJO- \"
<


>
#
<


>
$
<
-

> MJLMF
TÑSFLMJEJS %
<
-

>
&
<
-3, -
y = |
G
Y
|, y =
G

| x |


WF
Z
=
G

Y
+

G

-

= -8 - 4 + 3 = -9 GPOLTJZPOMBSŽ
TÑSFLMJEJS G

-

= -1 - 1 + 3 = 1 y = f^ x h; y = f^ x h
JO
OFHBUJG
EFôFSMFSJ
JÀJO G


-


G

-

<

PMEVôVOEBO
FO
B[
CJS
LÌL

-2, -

BSB- y = 2 ; y = f^ x h
JO

PMEVôV
EFôFSJ
JÀJO
TÑSFLTJ[EJS MŽôŽOEB
CVMVOVS f^ x h \"SB
%FôFS
5FPSFNJ TANIM ÖRNEK 18 G

Y

= x2 - 4 - sinx fonksiyonunun [

Ö
]
BSBMŽôŽOEB

Z
=
G

Y

GPOLTJZPOV
[
B
C
]
BSBMŽóŽOEB
TÐSFLMJ
FO
B[
CJS
LÌLÑ
WBS
NŽEŽS PMTVO
G



= 0 - 4 - 0 = -4
G

B

Q
G

C

JTF
G

B

<
G

C

ZB
EB
G

C

<
G

B

G
Ö

=
Ö2 - 4 - 0 > 0 EJS G




G

Ö

<


PMEVôVOEBO
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO

#V
EVSVNEB
D
`
[
B
C
]
J¿JO
G

B

#
G

D


#
G

C

[

Ö
]
BSBMŽôŽOEB
FO
B[
CJS
LÌLÑ
WBSEŽS ZB
EB
G

C

#
G

D


#
G

B
PMBDBL
õFLJMEF
D
EFóF- ÖRNEK 19 SJ
WBSEŽS
G

Y

= 2x

WF

H

Y

= x2 y y f(b) f(a) GPOLTJZPOMBSŽOŽO
[ -1, 0 ]
BSBMŽôŽOEB
FO
B[
CJS
OPLUBEB
f(c) f(c) LFTJöUJôJOJ
ZB
EB
LFTJöNFEJôJOJ
HÌTUFSJOJ[ f(a) f(b) G

Y

-
H

Y

=
I

Y

GPOLTJZPOV
JÀJO
UBOŽNMBOŽSTB O ac b xx I

Y

= 2x - x2 O ac b I



= 1 - 0 = 1 UYARI 11 Z
=
G

Y

GPOLTJZPOV

[
B
C
]
BSBMŽóŽOEB
TÐSFLMJ
PMTVO I

-

= - 1 = - G

B

G

C

<

JTF
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO

B
C

22 BSBMŽóŽOEB
FO
B[
CJS
LËLÐ
WBSEŽS I




I

-

<

PMEVôVOEBO y y G
Y

= 2x
WF
H

Y

= x2
GPOLTJZPOMBSŽ
[ -1, 0 ]
BSBMŽôŽOEB
FO
f(b) f(a) B[
CJS
OPLUBEB
LFTJöJSMFS a bxa bx f(a) f(b) 16. 3 29 17. D 18. WBS





19. LFTJöJS

TEST - 13 4ÑSFLMJMJL Z 1 - 3x , x 1-1 ] 1. y ] ] 9 - x2 ]] 3 5. f^ x h = [ x2 , -1#x#2 2 ] x^ x + 3 h ] ]x –3 1 2 ]] , x22 –2 –1 O1 x \\ - 2x2 + 5x + 3 fonksiyoOVOVO
HFSÀFL
TBZŽMBS
LÑNFTJOEF
TÑ- y = f(x) SFLTJ[
PMEVôV
LBÀ
OPLUB
WBSEŽS
õFLJMEF
HSBGJôJ
WFSJMFO
Z
=
G

Y

GPOLTJZ
POV

\"

#

$

%

&
 x ` [-3, 3]
BSBMŽ
ôŽOEBLJ
LBÀ
UBN
TBZŽ
EFôFSJ
JÀJO
TÑS
FLMJE
JS \"

#

$

%

&
 2. y 6. f^ x h = x2 + 4x 2 x2 – mx + 9 GPOLTJZPOV
UFL

OPLUBEB

TÑSFLTJ[

PMEVôVOB
1 1 3 x HÌSF
N
ZFSJOF
HFMFCJMFDFL
EFôFSMFSJO
ÀBSQŽNŽ
–2 –1 O 2 LBÀUŽS –1 \"
-
#
-
$
-
%
-
&
-16 y = f(x)
õFLJMEFLJ

G

GPOLTJZPOV
Y
` [-3, 3]


BSBMŽôŽO
EBLJ
7. f^ x + 2 h = x – 2 GPOLTJZPOV

WFSJMJZPS LBÀ
UBN
TBZŽ
EFôFSJ
JÀJO
MJNJUJ
PMNB
TŽOB
LBSöŽO
x2 – 4x TÑSFLT
J[EJS #VOB
HÌSF
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
HFSÀFL
TB- \"

#

$

%

&
 ZŽMBS
LÑNFTJOEF
TÑSFLTJ[
PMEVôV
OPLUBMBSŽO
BQ- TJTMFSJ
UPQMBNŽ
LBÀUŽS 3. f^ x h = * x2 - 1 , x 2 2 \"

#

$

%

&
 2x + a , x # 2 fonLTJZPOVOVO

3
EF

TÑ
SFLMJ

PMEVôVOB
HÌSF
B
HFSÀFL
TBZŽTŽ
LBÀUŽS \"
-
#

$

%

&
 8. (FSÀFM
TBZŽMBSEB
UBOŽNMŽ
-
WF
ÌSUFO
G
GPOLTJ- Z 2x + a , x11 yonu için, ]] 4. f^ x h = [ 3 , x = 1 I I*
G

TÐSFLMJ
CJS
GPOLTJZPO
JTF
G


TÐSFLMJEJS ]] \\ b - 2x , x>1 **
Z
=
G–1
Y


GPOLTJZPOV
TÐSFLMJ
JTF
Z
=
G

Y

GPOL- TJZPOV
TÐSFLMJEJS GPOLTJZPOV

3
EF
TÑSekli PMEVôVOB
HÌSF
B
+
C
***
G
GPOLTJZPOV
TÐSFLMJ
JTF
1
GPOLTJZPOV
TÐSFLMJEJS UPQMBNŽ
LBÀUŽS f I I*7 G


GPOLTJZPOV
TÐSFLMJ
JTF
G

GPOLTJZPOV
TÐSFLMJEJS
ZBSHŽMBSŽOEBO
LBÀ
UBOFTJ kesinlikle EPôSVEVS \"

#

$

%

&
 \"

#

$

%

&
 1. \" 2. D 3. \" 4. & 30 5. D 6. \" 7. C 8. C

4ÑSFLMJMJL TEST - 14 1. y ôFLJMEF
Z
=
G

Y

EPó- 4. y SVTBM
GPOLTJZPOVOVO
4 y = f(x) HSBGJóJ
WFSJMNJõUJS 3 4 –2 x 2 O 1 –3 –2 –1 O 1 2 3 x
#VOB
HÌSF
y = 1

WF

y = 1 f–1^ x h + 2 f^ x h+ 2 y = f(x) fonksiyPOMBSŽOŽO
HFSÀFL
TBZŽMBS
LÑNFTJOEF
TÑ-
(SBGJLUF
WFSJMFO
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOV
JÀJO
BöBôŽ- SFLTJ[
PMEVôV
Y
EFôFSMFSJOJO
UPQMBNŽ
LBÀUŽS EBLJMFSEFO
IBOHJTJ
ZBOMŽöUŽS \" lim f^ x h = lim f^ x h = 3 – + \"
-
#
-
$
-
%

&
 x \" x \" 0 0 # lim f^ x h = 4 x \" – 2– $
'POLTJZPOVO
TÐSFLTJ[
PMEVóV
UÐN
OPLUBMBSEB
MJ- NJUJ
EF
ZPLUVS 2. f^ x h = x2 - 6x + k % [ -3, 3 ]
BSBMŽóŽOEB
GPOLTJZPOV
TÐSFLTJ[
ZBQBO


GPOLTJZPOV
IFS
Y
SFFM
TBZŽTŽ
JÀJO
TÑSFLMJ
PMEVôV- OPLUB
WBSEŽS OB
HÌSF
L
HFSÀFL
TBZŽTŽ
BöBôŽEBLJ
FöJUTJ[MJLMFS- EFO
IBOHJTJOJ
TBôMBS & lim f^ x h + lim f^ x h – lim f^ x h = –1 + x \" 3– x \" 2+ x \" 1 \"
L
â

#
L
ã

$
L
ã


%

<
L
<

&
-
â
L
< 9 3. y 5. G
3 Z
3 y = f(x) Z 3 ]] x2 2 - 6x , x<2 f^ x h = [ 17 , x=2 ]] +k , x>2 1 \\ 2x x GPOLTJZPOV
UBOŽNMBOŽZPS
–1 O 1 2 3 4
:VLBSŽEB
HSBGJôJ
WFSJMFO
G

GPOLTJZPOV
JÀJO
#VOB
HÌSF
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJ
LFTJOMJLMF
*

WF

OPLUBMBSŽOEBLJ
MJNJUMFSJ
UPQMBNŽ

UÐS ZBOMŽöUŽS **

-



BSBMŽóŽOEB
G
GPOLTJZPOVOVO
TÐSFLTJ[
PM- EVóV
OPLUBMBS
LÐNFTJ
\\




^
UÐS \" x =

EF
MJNJUJOJO
PMNBTŽ
J¿JO
L
= -
PMNBMŽEŽS ***

OPLUBEB
G
GPOLTJZPOVOVO
MJNJUJ
PMEVóV
IBMEF
# lim f^ x h = 8

EJS TÐSFLMJ
EFóJMEJS – x \" 2 $ f_ 2 i = 17
EJS
JGBEFMFSJOEFO
IBOHJMFSJ
EPôSVEVS %
Z
=
G

Y


GPOLTJZPOV
Y
=

EF
TÐSFLTJ[EJS \"
:BMOŽ[
*
#
*
WF
**
$
*
WF
*** &
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
Y
=


EF
TÐSFLMJ
PMNBTŽ
J¿JO
G



= -

WF
L
= -
PMNBMŽEŽS
%
**
WF
***
&
*
**
WF
*** 1. B 2. C 3. B 31 4. D 5. B

TEST - 15 4ÑSFLMJMJL Z ax + b , x<2 5. k `
;
PMNBL
Ñ[FSF ]] , x=2 Z 1. f(x) = [ 6 ]] 5tx , x≥3 ]] 2x2 - c , x>2 f(x) = [ 1 , x<3 \\ ]] \\ x-k GPOLTJZPOV
3
EF
TÑSFLMJ
PMEVôVOB
HÌSF
fonksiyonu rx `
3
JÀJO
TÑSFLMJ
PMEVôVOB
HÌSF
2a +
C +
D

UPQMBNŽ
LBÀUŽS t HFSÀFL
TBZŽTŽOŽO
FO
LÑÀÑL
EFôFSJ
OFEJS \"

#

$

%

&
 \"
- 1
#
- 1
$
- 1
%
- 1
&
-1 20 15 10 5 2. 
< x <
Õ

PMNBL
Ð[FSF
6. y f (x) = cot x 2 cos x + sin x 1 x –2 –1 O 1 2 3 4
GPOLTJZPOVOVO
BöBôŽEBLJ
LÑNFMFSJO
IBOHJTJO- de süSFLMJ
PMEVôV
IFSIBOHJ
CJS
Y
EFôFSJ
ZPLUVS \"
* π , 3π 4
#
* 3π , π , 7π 4
õFLJMEF
HSBGJôJ
WFSJMFO
G

GPOLTJZPOV
LBÀ
OPLUB- 22 44 EB
MJNJUJ
SFFM
TBZŽ
PMNBTŽOB
SBôNFO
TÑSFLMJ
EF- ôJMEJS $
* π , π , 3π 4 %
* π , 3π , 7π , 3π 4 \"

#

$

%

&
 22 22 4 2

&
* 3π , π , 7π 4 7. B
C
`
3


J¿JO




G

3
Z
3
24 Z t3 – 8 , t<2 ] , t=2 ] , t>2 ]] t – 2 3. G

3
Z
3 f (t) = [ GPOLTJZPOV
WFSJMJZPS ] Z kx2 + 3 a – 10 ]] , x<2 ] , x≥ 2 f ( x) = [ 3 ] ]] -1 \\ 3at + b \\ ^ k hx + 3
#VOB
HÌSF
G

GPOLTJZPOVOVO
U
= 2 noktasŽOda f fonksiyonunun x = 2 apsisli noktaTŽOEB
TÑ- TÑSekli olmaTŽ
JÀJO

B
C

JLJMJTJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
SFLMJ
PMNBTŽ
JÀJO
L
HFSÀFL
TBZŽTŽ
LBÀ
PMNBMŽEŽS IBOHJTJ
PMNBMŽEŽS \"
-
#
- 3
$

%
1
&
 \"

-


#

-2, -

$


-
2 2
%

-2, -

&

-

8. G

3+ Z
3
4. f^xh = 3x2 – 6x + 7 Z 7x - 7 ]] , x≠7 ^a – 1hx2 + 2ax – 3 f(x) = [ fonksiyonu rY
HFSÀFL
TBZŽTŽ
JÀJO
TÑSFLMJ
PMEV- ]] x-7 ôVOB
HÌSF
B

B
+


JGBEFTJOJO
FO
CÑZÑL tam \\ k , x=7 TBZŽ
EFôFSJ
LBÀUŽS GPOLTJZPOV
WFSJMJZPS \"
-
#
-
$

%

&

G
GPOLTJZPOVOVO
3+
EB
TÑSFLMJ
PMEVôV
CJMJOEJôJ- OF
HÌSF
L
HFSÀFL
TBZŽTŽ
LBÀUŽS \"

#

$

%
1
&
1 24 1. C 2. B 3. C 4. C 32 5. B 6. C 7. & 8. D

4ÑSFLMJMJL TEST - 16 1.
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
WFSJMNJõUJS
4.

Z
= x3 + x2 + x -
 y
GPOLTJZPOVOVO
HFSÀFL
TBZŽ
LÌLMFSJOEFO
CJSJ
BöBôŽEBLJ
BSBMŽLMBSŽO
IBOHJTJOEF
CVMVOVS 2 1 \"




#




$



–5 –3 –2 O 2 x
%




&



5 –2 y = f(x) | |
#VOB
HÌSF
H

Y

=
G

- x

GPOLTJZPOVOVO
TÑ- SFLTJ[
PMEVôV
BQTJTMFSJO
ÀBSQŽNŽ
LBÀUŽS \"

#

$

%

&
 2.
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
WFSJMNJõUJS 5.
Z
=
NY
+ 3 EPôSVTV
G

Y

= x2 + x + 2 fonksiyo- y OVOV
LFTUJôJ
OPLUBMBSEBO
TBEFDF
CJSJOJO
BQTJTJ- OJO




BSBMŽôŽOEB
LBMEŽôŽ
CJMJOEJôJOF
HÌSF
N
2 HFSÀFL
TBZŽMBSŽOŽO
BMBCJMFDFôJ
EFôFS
BSBMŽôŽ
BöB- ôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS O1 2 –3 –1 45 8x \"


R

#




$

-Þ

–2 6 y = f(x) &


Þ

%

-Þ


–3
#VOB
HÌSF
BöBôŽEBLJ
GPOLTJZPOMBSŽO
IBOHJTJ
HFSÀFL
TBZŽMBS
LÑNFTJOEF
TÑSFLMJEJS \"
1
#
1
$
1 f^ x h+ 1 f^ x h f^ x h- 1 %
1
&
1 f^ x h- 2 f^ x h- 3 6.

G

Y

= x3 +
BY2 +
CY
+ 1 GPOLTJZPOV
G




G



<


FõJUTJ[MJóJOJ
TBóMŽZPS Z 3x
G

Y

=

EFOLMFNJOJO
HFSÀFM
LÌLMFSJ
BSBTŽOEB

]] x2 + nx + k x$0 x1 < x2 < x3
CBôŽOUŽTŽ
PMEVôVOB
HÌSF
Y1, x2
WF
4x + n - 2 3. f(x) = [ x ile ilgili oMBSBL
BöBôŽEBLJ
TFÀFOFLMFSEFO
IBO- ]] \\ x<0 3 gisi dPôSVEVS r x `
3
J¿JO
TÐSFLMJ

G


GPOLTJZPOV
WFSJMNJõUJS \" x1 <

< x2 < 2 < x3 #VOB
HÌSF
L
HFSÀFL
TBZŽTŽOŽO
BMBCJMFDFôJ
EFôFS
# x1 < x2 <

< x3< 2 BSBMŽôŽ
OFEJS $ x <

< 2 < x2< x \"


R

#


R

$



1 3
%

-Þ


&

-Þ

% x1 <

< x2 < x3 < 2 & x1 < x2 <

< 2 < x3 1. \" 2. & 3. B 33 4. B 5. C 6. \"

KARMA TEST - 1 Limit 1. 3 + 2x 5. lim 2log2a x2 + 2x k lim x \" 2 x2 + x + 1 x \" –1 liNJUJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS
MJNJUJOJO
WBSTB
EFôFSJ
LBÀUŽS \"

#
9
$
7
%

&

3 \"
:PLUVS
#
-
$
 5 5 5
%

&
 6.
G

3
- {1} Z
3 2.
(FS¿FL
TBZŽMBS
LÐNFTJOEF
TÐSFLMJ
CJS
G
GPOLTJZPOV Z x2 - 4x , x<0 ] lim ^ f^ x2 h + 2x - 3 h = 7 ]] x\"2 f_ x i = [ 3x + 6 , 0#x<2
FõJUMJóJOJ
TBóMŽZPS ] x-1
#VOB
HÌSF
lim a f^ x + 3 h - 3x2 k limitinin so- ]] x\"1 \\ x2 - 4 , x$2 OVDV
LBÀUŽS fonksiyoOV
JMF
JMHJMJ
PMBSBL
WFSJMFO *
4ÐSFLTJ[
PMEVóV

UBOF
Y
EFóFSJ
WBSEŽS \"

#

$

%

&
 ** lim f^ x h = 0

EŽS x \" 2+ *** lim f^ x h = 12

FõJUMJóJOJ
TBóMBZBO

UBOF
B
+ x\"a HFS¿FM
TBZŽTŽ
WBSEŽS sin 2x - 1
JGBEFMFSJOEFO
IBOHJTJ
WFZB
IBOHJMFSJ
LFTJOMJLMF
lim EPôSVEVS 3. + cos 2x \"
:BMOŽ[
*
#
*
WF
**
$
:BMOŽ[
** x\" π 4
%
**
WF
***
&
:BMOŽ[
***
MJNJUJOJO
TPOVDV
LBÀUŽS \"
-
#
-
$

%

&
 7. lim x3 - 3x2 + 6x + k = t + x2 + 2x - 3 x \" 1
FöJUMJôJOJ
TBôMBZBO
L
WF
U
HFSÀFL
TBZŽMBSŽOŽO
UPQ- MBNŽ
LBÀUŽS 4.
G

3
Z
3 \"
-
#
- 13
$
- 9
%
- 15
&
- 7 Z 4 4 44 ] x2 + 6x + a , x<0 f_ x i = [ ] x3 3x2 \\ + + 2 - a , x$0 fonksiyonu r x `
3
JÀJO
TÑSFLMJ
PMEVôVOB
HÌSF
8. f_ x i = x2 + 2x + 3 lim f^ x h + lim f^ x h x2 - mx + 9 x\"1 x \" –1 fonksiyonu r x `
3
JÀJO
TÑSFLMJ
PMEVôVOB
HÌ- ifadesinin sonucu kaçUŽS SF
N
UBN
TBZŽMBSŽOŽO
BMBCJMFDFôJ
LBÀ
GBSLMŽ
EFôFS
WBSEŽS \"

#
-
$

%
-1 &
 \"

#

$

%

&
 1. \" 2. D 3. C 4. & 34 5. \" 6. C 7. B 8. D

Limit KARMA TEST - 2 1. x =

J¿JO
UBOŽNTŽ[
PMBO
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO


3.
(FS¿FL
TBZŽMBS
LÐNFTJOEF
UBOŽNMŽ
G
GPOLTJZPOVOVO
x =

DJWBSŽOEBLJ
CB[Ž
EFóFSMFSJ
BõBóŽEBLJ
UBCMPEB
TÐSFLTJ[
PMEVóV
CJS
UBOF
OPLUB
WBSEŽS
WFSJMNJõUJS #V
OPLUBOŽO
BQTJTJ
x 1,9 1,99 1,995 1,999 2       2,1 G Y -  -  -5,298 -  -  -5,298 -  -  lim f (x) + lim f (x) = 0 x \" x+ x\"x – 5BOŽNTŽ[ 1 1
FõJUMJóJOJ
TBóMBZBO
Y1
OFHBUJG
HFS¿FL
TBZŽTŽEŽS
#V
UBCMPZB
CBLBSBL
FMEF
FEJMFO
#VOB
HÌSF * lim f^ x h

CJMJOFNF[ | |*
Z

G

Y

| |**
Z

G

x x\"2 ***
Z

G


-
Y
**
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOV
3
-
\\

^
EF
TÐSFLMJ
JTF
Y


*7
Z

G2
Y
J¿JO
B[BMBOEŽS

GPOLTJZPOMBSŽOEBO
LBÀ
UBOFTJ
r x `
3
JÀJO
TÑ- ***
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOV
TÐSFLMJ
PMEVóV
FO
HFOJõ
SFLMJEJS BSBMŽLUB
-
EJS \"

#

$


%

&
 *7
G



= -
PMBSBL
GPOLTJZPO
Y
=

EF
UBOŽNMŽ
IB- MF
HFUJSJMJSTF
lim f^ x h = - 7

PMVS x\"2
JGBEFMFSJOEFO
LBÀ
UBOFTJ
LFTJOMJLMF
EPôSVEVS \"

#

$

%

&
 4.
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
õFLJMEF
WFSJMNJõUJS
y 2 y = f(x) –4 O x –2 2 2.
B
`
3
PMNBL
Ð[FSF –2 r
G


Y

= x2 +
B
JLJODJ
EFSFDFEFO
GPOLTJZPOVOV
HSB-
#VOB
HÌSF
BöBôŽEBLJ
GPOLTJZPOMBSEBO
IBOHJTJ
GJóJ
Ð[FSJOEF
CJS
\"

L
O

OPLUBTŽ
BMŽOŽZPS
TÑSFLMJEJS r

#BõMBOHŽ¿
OPLUBTŽ
WF
\"
OPLUBTŽOB
FõJU
V[BLMŽLUB
\" g_ x i = f_ x i CVMVOBO
OPLUBMBSŽO
PMVõUVSEVóV
OPLUBMBSŽO
HFP- NFUSJL
ZFSJ
Z
=
H

Y

GPOLTJZPOV
PMBSBL
UBOŽNMB- # g_ x i = fa x k OŽZPS * f_ x i , x#0 $ g_ x i = , x>0 -2 - f_ x i r

Z
=
H

Y

GPOLTJZPOVOVO
Z
FLTFOJOJ
LFTUJóJ
OPLUB- OŽO
PSEJOBUŽ
N
EJS % g_ x i = * f_ x - 1 i , x#0 , x>0 r lim m = 3 f_ x i + 2 k\"0 Z 1
:VLBSŽEBLJ
CJMHJMFSF
HÌSF
G



LBÀUŽS ] 2 ]] f_ x i - , x#0 , x>0 \"

#

$

%

&
 & g_ x i = [ 1 ] ]] \\ f_ x i 1. \" 2. B 35 3. B 4. C

KARMA TEST - 3 Limit 1.
Z
=
G

Y

GPOLTJZPOV
HFS¿FL
TBZŽMBS
LÐNFTJOEF
TÐ- |3. A = { x -
# x # 
Y
` Z }

PMNBL
Ð[FSF SFLMJ
CJS
GPOLTJZPOEVS G

3
- A Z
3 r
J
` {


}
J¿JO
YJ < xJ
+ 1

PMNBL
Ð[FSF f_ x i = x + 10 x + 9 x - 10
G

Y1
=
G

Y2
=
G

Y5
=
G

Y8
= 5
G

Y3
=
G

Y6
= 1 + +...+ x - 10
G

Y

=
G

Y7
=
 x + 10 x + 9
FõJUMJLMFSJ
WFSJMJZPS
GPOLTJZPOV
UBOŽNMBOŽZPS
#VOB
HÌSF
G

Y

= 2 denkleminin en az kaç tane LÌLÑ
WBSEŽS B
`
\"
J¿JO
lim f^ x h = k

EJS + x \" a
#VOB
HÌSF
L
TBZŽMBSŽOŽO
BMBCJMFDFôJ
EFôFSMFSJO
UPQMBNŽ
LBÀUŽS \"

#

$

%

&
 \"

#

$

%

&
 2. Z
=
G

Y

GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJ
õFLJMEF
WFSJMNJõUJS

4.
(FS¿FL
TBZŽMBSEB
UBOŽNMŽ
WF
TÐSFLMJ
PMBO
G
GPOLTJZP- y OV
r x `
3
J¿JO
G

Y
+


=
G

Y

FõJUMJóJOJ
TBóMŽZPS 2 y = f(x)
G



=
G



= -

WF

G



=


PMEVôVOB
HÌ- –3 2 x SF
G

Y

= 0 denkleminin [0, 100]
BSBMŽôŽOEB
en O az
LBÀ
LÌLÑ
WBSEŽS –2 \"

#

$

%

&


G
+
H

GPOLTJZPOVOVO
TÑSFLMJ
PMEVôV
CJMJOEJôJ- OF
HÌSF
H
GPOLTJZPOV
BöBôŽEBLJ
GPOLTJZPOMBS- EBO
IBOHJTJ
PMBCJMJS Z ] f_ x i , x > 0 \" g_ x i = ]] 2 [ , x=0 5. f_ x i = x2 + n ] - 4 i , x<0 x2 - 5x + 6 ]] f_ x GPOLTJZPOV
JMF
JMHJMJ
PMBSBL \\ f_ x i , x ≠ 0 r
(FS¿FL
TBZŽMBS
LÐNFTJOEF
MJNJUTJ[
PMEVóV
CJS
OPL- UB
WBSEŽS # g_ x i = * 1 , x=0 Z ] x , f_ x i > 0 ] r
G




-1 $ g_ x i = [ 2 , f_ x i = 0 ] ] -4 - x , f_ x i < 0 CJMHJMFSJ
WFSJMJZPS \\ Z ]] x-2 , x<0
#VOB
HÌSF
G

-O

LBÀUŽS [ 0 , x=0 % g_ x i = \"

#
6
$

%
12
&
2 11 77 ]] 2 - x2 , x>0 \\ | |&
H

Y

=
G

Y

-
G

Y
1. & 2. D 36 3. D 4. & 5. C

Limit <(1m1(6m/6258/$5 1. ôFLJMEF
HËTUFSJMFO
FMFLUSJL
EFWSFMFSJ
J¿JO
PIN
LBOV- 3.
B
HFS¿FL
TBZŽ
PMNBL
Ð[FSF OV
7
= I3
EFOLMFNJ
JMF
UBOŽNMBOŽS
#V
EFOLMFNEF
7
BY2 +
Y
-

=


WPMU
PMBSBL
HFSJMJN
I
BNQFS
PMBSBL
BLŽN
3
PIN
PMB- SBL
EJSFO¿
õFLMJOEF
UBOŽNMBONŽõUŽS

EFOLMFNJOJO
B
> -

WF
B
=

J¿JO
[ŽU
JõBSFUMJ
JLJ
LË- LÐ
WBSEŽS R VI
#V
LËLMFS +– x+_ a i = -2 + 2 1+a ; x–_ a i = -2 - 2 1+a a a
õFLMJOEF
UBOŽNMBONŽõUŽS 7
OJO

WPMU
PMEVôV
CJS
FMFLUSJL
EFWSFTJOEF
#VOB
HÌSF * I =
 
BNQFS
J¿JO
EJSFO¿

PIN
B
ZBLMBõŽS * lim + x+_ a i = 1 ** I =
 
BNQFS
J¿JO
EJSFO¿

PIN
B
ZBLMBõŽS a \"0 | |*** I -
 




BSBMŽóŽ
J¿JO
EJSFODJO
BMBCJMFDFóJ
** lim x–^ a h

JGBEFTJOJO
EFóFSJ
ZPLUVS UBN
TBZŽ
EFóFSJ
FO
¿PL

PIN
EVS a\"0 *** lim x–^ah = 2 a \" –1+
JGBEFMFSJOEFO
IBOHJMFSJ
LFTJOMJLMF
EPôSVEVS
JGBEFMFSJOEFO
IBOHJMFSJ
LFTJOMJLMF
EPôSVEVS \"
:BMOŽ[
*
#
:BMOŽ[
***
$
*
WF
*** \"
:BMOŽ[
*
#
*
WF
**
$
*
WF
***
%
*
**
WF
***
&
*
WF
**
%
**
WF
***
&
*
**
WF
*** 2.
.FUBMMFS
ŽTŽUŽMEŽLMBSŽOEB
HFOMFõJS
TPóVUVMEVLMBSŽOEB
4.
B
WF
C
HFS¿FL
TBZŽMBSŽ
J¿JO JTF
CÐ[ÐMÐSMFS
™
$
BSUBO
TŽDBLMŽóB
TBIJQ
CJS
MBCP- a+b+ a-b SBUVWBSEB

TBOUJNFUSF
HFOJõMJóJOEFLJ
BMÐNJOZVN
¿VCVL
U
TŽDBLMŽóŽOEB
NBY

B
C

=

JGBEFTJ
UBOŽNMBOŽZPS h = 10 + t - 60 10000 TBOUJNFUSF
HFOJõMJóJOEF
PMBDBLUŽS
#VOB
HÌSF 2 *
U
=
 
EFóFSJ
J¿JO
¿VCVóVO
HFOJõMJóJ

DN

#VOB
HÌSF ZF
ZBLMBõŽS * lim max\" a, b , = b **
U
=
 
EFóFSJ
J¿JO
¿VCVL
CÐ[ÐMNFZF
CBõMBS a\"b | |*** U
-

#
 
BSBMŽóŽOEBLJ

TŽDBLMŽL
EFóFSMFSJ
** lim max\" a, b , = a b\"a J¿JO
¿VCVLUB
IFN
CÐ[ÐMNF
IFN
HFOMFõNF
HË- SÐMÐS *** NBY
\\
B
C
^
JGBEFTJ
B
WF
C
TBZŽMBSŽOEBO
CÐZÐL
PMBOŽ
HËTUFSJS
JGBEFMFSJOEFO
IBOHJMFSJ
kesinlikle EPôSVEVS
JGBEFMFSJOEFO
IBOHJMFSJ
LFTJOMJLMF
EPôSVEVS \"
:BMOŽ[
*
#
:BMOŽ[
**
$
*
WF
** \"
:BMOŽ[
*
#
:BMOŽ[
**
$
*
WF
**

%
**
WF
***
&
*
**
WF
***
%
*
WF
***
&
*
**
WF
*** 1. D 2. & 37 3. & 4. &

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, www.aydinyayinlari.com.tr  ³ TÜREV ³ Türev Kavramı t 39 ³ Türev Alma Kuralları t 44 ³ Parçalı Fonksiyonların Türevi t 51 ³ Türev Teoremleri t 44 ³ Türevin Fiziksel Yorumu t 63 ³ Türevin Geometrik Yorumu t 68 ³ Artan - Azalan Fonksiyonlar t 76 ³ Maksimum - Minimum Problemleri t 89 ³ Polinom Grafikleri t 97 ³ Karma Testler t 104 ³ Yeni Nesil Sorular t 110 38

www.aydinyayinlari.com.tr -÷.÷5
7&
5·3&7 6. MODÜL ·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 5·3&7
,\"73\".* TANIM TEOREM f : ( a, b ) Z R, y = f ( x ) fonksiyonu veriliyor. f ( x) - f^ x h 0 lim >f p^ x - x0 hH = lim 6 f (x) - f^ x0 h@ x0 ` ( a, b ) olmak üzere, x-x \" x0 x \" x0 0 x x l\"imx f(x) - f(x0) f(x) - f^ x0 h f^ h 0 x - x0 lim x - x0 · lim ^ x - x h = lim 9 x - f^ x hC \" \"x 0 \" 0 x x x 0 x x 0 0
MJNJUJ
WBS
WF
CJS
HFS¿FM
TBZŽZB
FõJU
JTF
CV
MJNJU
f'^ x h.0 = lim 9f^ x h - f^ x0 hC x\"x EFóerine y = f ( x ) fonksiyonunun x = x0 apsisli 0 OPLUBTŽOEBLJ
türevi denir. 0 0 = lim 9 f^ x h - f^ x hC x\"x 0 dx 0 f' (x0), dy sembolleri ile ifade edilir. f^ x h = lim f^ x h x\"x x = x0 0 0 y Sonuç olarak y = f ( x ) fonksiyonu x = x0 için tü- revli ise bu noktada süreklidir
EFSJ[
#V
ËOFS- f(x) f(x) – f(x0) NFOJO
LBSõŽU
UFSTJ
EF
EPóSV
PMBDBóŽOEBO
TÐSFL- f(x0) x – x0 TJ[
PMEVóV
OPLUBMBSEB
GPOLTJZPOVO
UÐSFWJ
ZPL- O tur. x0 x x Sonuç: f(x) - f(x0) +
#JS
GPOLTJZPOVO
Y
= x0
BQTJTMJ
OPLUBTŽOEB
UÐSF- x - x0 0 vinin olabilmesi için, lim = f'a x k 1. x = x0
BQTJTMJ
OPLUBTŽOEB
TÐSFLMJ
PMNBMŽEŽS 2.
0
OPLUBEB
TBóEBO
WF
TPMEBO
UÐSFWMFSJ
FõJU
WF
x\"x + HFS¿FM
TBZŽ
PMNBMŽEŽS 0 y f(x0) f(x0) – f(x) f(x) x0–x x O x x0 f(x) - f(x ) 0 = f'a x– k lim ÖRNEK 1 x \" x– x-x 0 0 f : R Z R, f ( x ) = x2 fonksiyonu veriliyor. 0 #VOB
HÌSF
Gh



WBSTB
LBÀUŽS -JNJU
LPOVTVOEB
ËóSFOEJLMFSJNJ[J
IBUŽSMBSTBL
CJS
GPOLTJZPOVO
MJNJUJOJO
PMBCJMNFTJ
J¿JO
TBóEBO
WF
TPMEBO
MJNJUMFSJOJO
FõJU
PMNBTŽ
HFSFLJS
#V
EV- lim f^ x h= lim– f^ x h= f^ 2h= 4 süreklidir. rumda bir fonksiyonun türevinin olabilmesi için + x\"2 x\"2 TBóEBO
MJNJU
PMBSBL
IFTBQMBEŽóŽNŽ[
TBóEBO
UÐ- f^ x h- f^ 2 h x2 - 4 lim ^x+2h= 4 lim = lim = + x-2 + x-2 + SFWJ
JMF
TPMEBO
MJNJU
PMBSBL
IFTBQMBEŽóŽNŽ[
TPM- x\"2 x\"2 x\"2 EBO
UÐSFWJ
JMF
FõJU
PMNBTŽ
HFSFLJS f^ x h- f^ 2 h x2 - 4 = lim– ^ x + 2 h = 4 x-2 f'a x+0 k = f'a x – k ise f'^ x0 h

WBSEŽS lim– x-2 = lim– x\"2 0 x\"2 x\"2 f'a x0+ k ≠ f'a x–0 k ise f'( x0 ) yoktur. f'(2+) = f'(2-) = 4 39 1. 4

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 6. MODÜL -÷.÷5
7&
5·3&7 www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 2 ÖRNEK 4 2x + 1 x < 1 c `
3
JÀJO

G

Y

=
D

GPOLTJZPOVOVO
UÑSFWJ
OFEJS f : R Z R, f^ x h = * x2 x $ 1 GPOLTJZPOVOVO
UÑSFWJ
WBSTB
LBÀUŽS lim f^ x + h h- f^ x h = lim c-c =0 h\"0 h h\"0 h lim+ f^ x h = 1 _ bb x\"1 ` lim f^ x h yoktur. lim– f^ x h = 3 bb x\"1 a x\"1 x = 1 için y = f ( x ) süreksiz oldVôV
JÀJn türevsizdir. ÖRNEK 3 ÖRNEK 5 | |f : R Z R, f ( x ) = x fonksiyonu veriliyor. f : R Z R, f ( x ) = xn fonksiyonu veriliyor. #VOB
HÌSF
Gh



GPOLTJZPOVOVO
UÑSFWJ
WBSTB
LBÀUŽS dy Buna göre,

JGBEFTJOJO
FöJUJ
OFEJS dx lim+ f^ x h = lim– f^ x h = f^ 0 h = 0 f (x + h) - f (x) ^ x + h hn - xn lim = lim x\"0 x\"0 h\"0 h h\"0 h f^ x h- f^ 0 h x h:^ x + h hn–1 + ^ h + h hn–2x + . . . + xn–1 D lim+ = lim+ x = 1 x-0 = lim = n–1 x\"0 x\"0 h\"0 n.x f^ x h- f^ 0 h -x h lim– x-0 = lim– x =-1 x\"0 x\"0 f'(0+
â
Gh –) , y = f ( x ) fonksiyonunun x = 0 için türe- vi yoktur. TANIM ÖRNEK 6 y f : R Z R, f ( x ) = x1/3 f(x + h) PMEVôVOB
HÌSF
Z
=
Gh

Y

JGBEFTJOJO
FöJUJ
OFEJS f(x) f(x + h) – f(x) f (x + h) - f (x) 3 x+h-3 x h lim = lim h\"0 h h\"0 h x O x x+h = lim h 11 ·= h\"0 h 3 ^ x + h h2 + 3 ^ x + h h.x + 3 2 32 lim f^ x + h h - f^ x h = f'^ x h x 3x h\"0 h ifadesi f
GPOLTJZPOVOVO
UÐSFWJEJS
#ÐUÐO
UÐSFW
ÖRNEK 7 LVSBMMBSŽ
CV
UBOŽNEBO
FMEF
FEJMJS
f : R Z R, f ( x ) = x y', y = f' ( x ), dy , d ^ f^ x hh, Dx ^ f^ x hh GPOLTJZPOV
JÀJO
Gh



EFôFSJ
LBÀUŽS dx dx ifadeleri f fonksiyonunun tÐSFWJOJO
GBSLMŽ
CJ¿JN- MFSEF
ZB[ŽMŽõŽEŽS d2y d2 lim f^ h h- f^ 0 h = lim h-0 = lim 1 , y'', f'', ^ f^ x hh h\"0 h h\"0 h h\"0 h dx2 dx2 HFSÀFM
TBZŽ
EFôJMEJS
Gh 
ZPLUVS
JLJODJ
UÐSFW
PMBSBL
JGBEF
FEJMJS 2. türevsiz 3. türevsiz 40 4. 0 5. n.xn–1 6. 1 7. yoktur. 32 3x

www.aydinyayinlari.com.tr -÷.÷5
7&
5·3&7 6. MODÜL ·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, ÖRNEK 8 ÖRNEK 10 f ( x ) = x2 + 4x +


PMEVóVOB
HËSF
lim f^ x + 7h h - f^ x + 3h h = g^ x h f (x) - f (2) f^ x + h h- f^ x h h\"0 h2 - h i. lim ii. lim h FõJUMJóJOJ
TBóMBZBO
Z
= g ( x ) fonksiyonu için g ( x ) = k.f'( x ) x\"2 x-2 h\"0 f (4 + h) - f (4) f (5 + 2h) - f (5) PMEVôVOB
HÌSF
L
HFSÀFM
TBZŽTŽ
LBÀUŽS iii. lim h iv. lim h h\"0 h\"0 f^ x + 7h h - f^ x + 3h h ifadelerinin sonuçlBSŽ
WBSTB
CVMVOV[ lim = f'^ x h h \" 0 x + 7h - ^ x + 3h h f^ x h- f^ 2 h 2 f^ x + 7h h - f^ x + 3h h lim = f'^ x h i) lim = lim x + 4x + 3 - 15 x\"2 x-2 x\"2 x-2 h\"0 4h ^ x + 6 h^ x - 2 h f^ x + 7h h - f^ x + 3h h lim = 4f'^ x h = lim =8 h\"0 h x\"2 x-2 g^ x h = hli\"m0 f^ x + 7h h - f^ x + 3h h f^ x + h h- f^ x h = f'^ x h 2 ii) lim h -h h\"0 h f^ x + 7h h - f^ x + 3h h 1 2 2 2 = hli\"m0 h · hli\"m0 h - 1 + 2xh + + 4x + 4h + 3 - - 4x - 3 x h x = lim h g^ x h = 4.f'^ x h.^ - 1 h & g^ x h = - 4f'^ x h , k = -4 olur. h\"0 h^ 2x + h + 4 h lim = 2x + 4 h\"0 h iii) lim f^ 4 + h h- f^ 4 h ÖRNEK 11 = f'^ 4 h j f'(x) = 2x + 4j f'(4) = 12 h\"0 h iv) lim f^ 5 + 2h h - f^ 5 h 1 f^ 5 + 2h h - f^ 5 h G
3
EF
UBOŽNMŽ
WF
UÐSFWMJ
CJS
GPOLTJZPO
h\"0 = lim 2h 2 h\"0 h f^ h h f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ve lim = 3 FõJUMJLMFSi ve- f^ 5 + 2h h - f^ 5 h h\"0 h lim = 2f'(5) = 28 h\"0 h riliyor. Buna göre, y =
Gh

Y

LBÀUŽS f^ x + y h - f^ x h f^ y h = lim y = 3 j f'(x) = 3 ÖRNEK 9 lim y y\"0 f ( x ) = x3 -
Y

PMEVôVOB
HÌSF
y\"0 lim f^ 1 + h h - f^ 1 - 2h h h\"0 h ÖRNEK 12 JGBEFTJOJO
FöJUJ
OFEJS f, R de UBOŽNMŽ
WF
UÐSFWMJ
CJS
GPOLTJZPO f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) - 3xy f^ 1 + h h - f^ 1 - 2h h lim = f'^ 1 h f (h) h \" 0 1 + h - ^ 1 - 2h h lim = 5 PMEVôVOB
Höre, G
h




LBÀUŽS h\"0 h f^ 1 + h h - f^ 1 - 2h h lim = f'^ 1 h h\"0 3h f ( x + y ) = f( x ) + f ( y ) - 3xy lim f^ 1 + h h - f^ 1 - 2h h · 1 = f'^ 1 h f ( x + y ) - f(x) = f(y) - 3xy h\"0 h 3 f^ x + y h- f^ x h f^ y h y = y - 3x f^ 1 + h h - f^ 1 - 2h h lim = f'^ 1 h.3 f^ x + y h- f^ x h f^ y h = lim - 3x h\"0 h lim y y\"0 y y\"0 f'(x) = 3x2- 1 j
f'(1) =

PMEVôVOEBO
DFWBQ

PMVS f'(x) = 5 - 3x j f'(3) = -4 8. i) 8, ii) 2x + 4, iii) 12, iv) 28 9. 6 41 10. –4 11. 3 12. –4

TEST - 1 5ÑSFW
,BWSBNŽ 1. f^ x h = x x fonksiyonu veriliyor. 5. y = f ( x )
GPOLTJZPOVOVO
HSBGJóJOF

Y
f ( x ) ) nokta- f^ x h- f^ 0 h TŽOEBO
¿J[JMFO
UFóFUJO
FóJNJ
WF
Z
= f ( x ) fonksiyo- x Buna göre, lim ifadesinin so- OVOVO
Y
BQTJTMJ
OPLUBTŽOEBLJ
BOMŽL
EFóJõJN
PSBOŽOŽ
+ x \" 0 nucu kBÀUŽS f^ x + h h- f^ x h ölçen lim h
MJNJUJOF
FóFS
MJNJU
HFS- h\"0 A) 1
#

$

%
-1 E) - 1 2 2 ¿FL
TBZŽZB
FõJUTF
Z
= f ( x ) fonksiyonunun x apsisli OPLUBTŽOEBLJ
UÐSFWJ
EFOJS Buna göre, y = x2 - 6x fonksiyonunun x teki tü- SFWJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJEJS | |2. f ( x ) = x2 - 4 fonksiyonu veriliyor. A) 2x -

#
Y
+

$
Y2 -
Y f^ x h- f^ 2 h
%
Y
&
-2x

MJNJUJOJO
TPOV- Buna göre, lim + x-2 x \" 2 cu LBÀUŽS \"

#

$

%
-2 E) -4 6. x =

BQTJTMJ
OPLUBTŽOEB
UÐSFWMJ
CJS
G
GPOLTJZPOV
J¿JO
f ( 1 ) = 2 ve lim f2^1 + hh- f2^1h = 12 dir. h\"0 h2 + 2h 3. f ( x ) = x3 + x fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f' ( 1 ) kaçUŽS Buna göre, lim f^ 1 + 2h h - f^ 1 - h h

MJNJUJOJO
\"

#

$

%

&
 h\"0 4h sonuDV
LBÀUŽS \"

#

$

%

&
 7. y = f ( x )
EPóSVTBM
GPOLTJZPOV
JMF
JMHJMJ
PMBSBL 4. lim f^ x + h h- f^ x h = f'^ x h
PMEVóVOB
HËSF
r f(1) = 2 h\"0 h f^ 1 + 2h h - f^ 1 - h h r lim h = 12 h\"0 f^ x + 3a h - f^ x - a h lim a\"0 2a
FõJUMJLMFSJ
WFSJMJZPS
MJNJUJOJO
FöJUJ
OFEJS
#VOB
HÌSF
G



LBÀUŽS A) -2 f ' ( x ) #
G
h

Y

$

G
h

Y

\"

#

$

%
-2 E) -4 E) 4 f ' ( x )
%

G
' ( x ) 1. C 2. \" 3. B 4. C 42 5. \" 6. B 7. D

5ÑSFW
,BWSBNŽ TEST - 2 1. f'^ x0 h = x l\"imx f^ x h- f^ x0 h 4. y = f ( x ) fonksiyonunun x0
BQTJTMJ
OPLUBTŽOEBLJ

x- x0 0 \"OMŽL
EFóJõJN
PSBOŽ
lim fa x0 + h k - f^ x0 h

UŽS ifadesi y = f ( x ) fonksiyonunun x = x0 apsisli nok- h\"0 h UBTŽOEBLJ
UFóFUJOJO
FóJNJOJ
WFSNFLUFEJS
#VOB
HÌSF
BöBôŽEBLJ
GPOLTJZPOMBSŽO
IBOHJTJO- EF
BOMŽL
EFôJöJN
PSBOŽ
Y
=

JÀJO
FO
CÑZÑLUÑS Buna göre, y = x - 2 fonksiyonunun x =

BQ- A) x3 +
Y2
#
Y4 +
Y
$
Y2 + x + 7 TJTMJ
OPLUBTŽOEBLJ
UFôFUJOJO
FôJNJ
BöBôŽEBLJ
MJ- NJUMFSEFO
IBOHJTJOF
FöJUUJS
%
x + 4 E) 3 x + 1 A) lim x-2-1
#
lim x-2- x x\"3 x\"3 x-3 x $
lim x-2- 5
%
lim x-2+1 x\"3 x-3 x\"3 x+3 x-2 E) lim x\"3 3 5.
G
3
EF
UBOŽNMŽ
WF
UÐSFWMJ
CJS
GPOLTJZPO
PMNBL
Ð[FSF r lim f^ h h =2 h\"0 h r f ( x + y ) - f ( y ) = f ( x ) + x2 y + xy2 r lim f^ x h- f^ 2 h =k 2. x2 + 3x - 4 x\"2 x-2 lim x\"1 x-1 F
õJUMJLMFSJ
WFSJMJZPS
MJNJUJ
BöBôŽda verilen foOLTJZPOMBSEBO
IBOHJ-
#VOB
HÌSF
L
HFSÀFM
TBZŽTŽOŽO
FöJUJ
LBÀUŽS sinin x =

BQTJTMJ
OPLUBTŽOEBLJ
UÑSFWJOJ
JGBEF
FEFS \"

#

$

%

&
 A) x2 + 3x -

#
Y2 -
Y
$
Y3 + 3
%
Y
+ 4 E) x2 + x + 2 6. n $ 2 olmak üzere, 3. y = f ( x ) fonksiyonu türevlenebilir bir fonksiyon ol- y = f ( x )
GPOLTJZPOV
O
EFSFDFEFO
CJS
QPMJOPNEVS mak üzere, Buna göre, lim f^ 1 + 2h h - 2f^ 1 + h h + f^ 1 h f^ x h- f^ 0 h h\"0 h2 lim x \" 0 x3 + 4x2 + 3x ifadesiOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJOF
FöJU- MJNJUJOJO
FöJUJ
BöBôŽEBLJMFSEFO
IBOHJTJOF
FöJUUJS UJS \"

Gh



#

Gh



$
Gh


\"
Gh



#
G



$
-f' ( 1 )
%
1 f' ( 0 ) 1
%
Ghh



&
Gh



- f' ( 0 ) 2 E) f' ( 0 ) 3 1. \" 2. \" 3. & 43 4. B 5. & 6. D

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 6. MODÜL -÷.÷5
7&
5·3&7 www.aydinyayinlari.com.tr 5·3&7
\"-.\"
,63\"--\"3* TANIM ÖRNEK 3
D
` R için f ( x ) =
D
JTF
Gh

Y

= 0 f ( x ) = 4y3 - 1
PMEVôVOB
HÌSF G
h



LBÀUŽS m, n ` R için f ( x ) = mx + n ise f'( x ) = m f' ( 3 ) = 0 a, n ` R için f ( x ) = a.xn ise f' ( x ) = n.a.xn-1 f ( x ) = g ( x ) ± h ( x ) ise f' ( x ) = g' ( x ) ± h' ( x ) k ` R için f ( x ) = k.g ( x ) ise f' ( x ) = k.g' ( x ) f ( x ) = g ( x ).h ( x ) ise ÖRNEK 4 f' ( x ) = g' ( x ) . h ( x ) + g ( x ) . h ' ( x ) f ( x ) = 4x3
PMEVôVOB
HÌSF

Gh
fonksiyonu
OFEJS f^ x h = g^ x h ^ h^ x h ≠ 0 h ise f' ( x ) = 12x2 h^ x h ÖRNEK 5 g'^ x h.h^ x h - g^ x h.h'^ x h f ( x ) =


Y
- 2 ) 2 PMEVôVOB
HÌSF f' fonksiyonu

OFEJS f'^ x h = f' ( x ) = 10 ( x - 2 ) h2^ x h n ` R için f ( x ) = ( g ( x ) )n ise f'( x ) = n.( g ( x ) )n-1. g' ( x ) g'^ x h f^ x h = g^ x h ise f'^ x h = 2 g^ x h n ` N ve n $ 2 için, f^ x h = n g^ x h ise f'^ x h = g'^ x h n. n gn–1^ x h ÖRNEK 1 ÖRNEK 6 f ( x ) = -3
PMEVôVOB
HÌSF

Gh

GPOLTJZPOV

OFEJS f ( x ) = 7 ( x - 1 )3 PMEVôVOB
HÌSF

Gh
fonksiyonu ne- EJS f' ( x ) = 0 f' ( x ) = 21 (x - 1)2 ÖRNEK 2 ÖRNEK 7 f ( x ) =

Õ2 PMEVôVOB
HÌSF

G
h




LBÀUŽS f ( x ) = x3 +
Y2
PMEVôVOB
HÌSF

Z
=
G
h

Y


OFEJS f' ( 1 ) = 0 f' ( x ) = 3x2 + 10x 1. 0 2. 0 44 3. 0 4. 12x2 5. 10(x – 2) 6. 21(x – 1)2 7. 3x2 + 10x

www.aydinyayinlari.com.tr -÷.÷5
7&
5·3&7 6. MODÜL ·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, ÖRNEK 8 SONUÇ f ( x ) = x2 - 7x PMEVôVOB
HÌSF


Z
=
G
h

Y


OFEJS
B
C
D
WF
E
` R olmak üzere, f^ x h = ax + b cx + d f' ( x ) = 2x - 7 fonksiyonu için f'^ x h = ad - bc ÖRNEK 9 ^ cx + d h2 f(x) = (x - 1)(x + 2) ÖRNEK 13 PMEVôVOB
HÌSF

Z
=
G
h

Y


OFEJS f (x) = x2 + 1 PMEVôVOB
HÌSF
Gh
fonksiyonu neEJS f' ( x ) = x + 2 + x - 1 = 2x + 1 x 2x.x - ^ 2 + 1 h 2 f' ( x ) = x = x -1 22 xx ÖRNEK 14 ÖRNEK 10 f (x) = x3 + 4x2 PMEVôVOB
HÌSF
Gh
fonksiyonu neEJS x4 f ( x ) = x2 . ( x3 + 1 ) PMEVôVOB
HÌSF
y =
G
h

Y

OFEJS f' ( x ) = a 3x2 + 8x kx4 - 4x3 ^ x3 + 4x2 h f' ( x ) = 2x (x3+ 1) + x2.3x2 = 5x4 + 2x 8 ÖRNEK 11 x f ( x ) = (x - 1) . x . (x + 1) PMEVôVOB
HÌSF G
h

GPOLTJZPOV
OFEJS x+8 f'(x) = - f' ( x ) = x(x + 1) + (x - 1) (x + 1) + (x - 1)x = 3x2- 1 3 x ÖRNEK 15 f (x) = x PMEVôVOB
HÌSF

Gh
fonksiyonu

OFEJS 1 f' ( x ) = 2x ÖRNEK 12 f (x) = x + 1 PMEVôVOB
HÌSF
Gh
fonksiyonu neEJS ÖRNEK 16 x+2 f ( x ) = 5x3 PMEVôVOB
HÌSF f' fonksiyonu

OFEJS x+2-^x+1h 1 2 f' ( x ) = = 15x 3 f' ( x ) = = · 5x ^ x + 2 h2 ^ x + 2 h2 32 2 5x 8. 2x – 7 9. 2x + 1 10. 5x2 + 2x 11. 3x2 – 1 1 45 2 - 1 x+8 1 3 12. 14. - 15. 16. · 5x 13. x ^ x + 2 h2 3 2x 2 x 2 x

·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, 6. MODÜL -÷.÷5
7&
5·3&7 www.aydinyayinlari.com.tr ÖRNEK 17 ÖRNEK 22 f ( x ) = x2 + 5x PMEVôVOB
HÌSF

Gh
fonksiyonu

OFEJS f ( x ) = 2x3 - 3x2 +
Y
-

PMEVóVOB
HËSF f (x) - f ( –2) 2x + 5 f' ( x ) = lim EFôFSJ
LBÀUŽS x \" –2 x + 2 2 2 + 5x f' ( x ) = 6x2 - 6x + 5 x f'(-2) = 24 + 12 + 5 = 41 ÖRNEK 18 ÖRNEK 23 f ( x ) = 3 4x + 1

PMEVôVOB
HÌSF

Gh
fonksiyonu
OFEJS f ( x ) = ( 2x - 1 )2 ( 3 -
Y



Y
+ 2 ) f' ( x ) = 4 PMEVôVOB
HÌSF
G
h



LBÀUŽS 3 3 ^ 4x + 1 h2 f' ( x ) = 2(2x - 1) 2(3 - x) (5x + 2) + (2x - 1)2 (-1) (5x + 2) + (2x - 1)2 (3 - x) 5 f'(0) = -24 -2 + 15 = -11 ÖRNEK 19 35$7m.<2/ f (x) = 3 1 - 3x PMEVôVOB
HÌSF
G
h



LBÀUŽS i ` {1, 2, ..., n} olmak üzere, türevlenebilir h ve 2x + 1 gi
GPOLTJZPOMBSŽ
J¿JO
f ( x ) = g1( x ) . g2( x ) ... gn
Y


I

Y

PMTVO
&óFS
-5 h ( a ) = 0 ve gi
B

á

PMVZPSTB
f' ( a ) = h' ( a ) . g1( a ) . g2( a ) ... gn( a ) olur. f' ( x ) = ^ 2x + 1 h2 5 j f'(0) = - 3· 3 - 3x + 1 2 3 n d 2x + 1 ÖRNEK 24 f^ x h = x3.3 x2 - 6x + 1 fonksiyonu veriliyor. x-1 ÖRNEK 20 3 x2 + 2 #VOB
HÌSF
Gh



LBÀUŽS f (x) = x
PMEVóVOB
HËSF
G
h



LBÀUŽS 2 f^ x h = 3 . 3 x2 - 6x + 1 j
I



=

H



â
 h 4442x -414443 2x + 2 x 3 33 6x 14 g^ x h h^ x f' ( x ) = j f'(1) = 3. 3 9 = 3 f' ( 0 ) =
Ih




H



= 0 3 a x2 + 2 x k2 3. ÖRNEK 21 ÖRNEK 25 f ( x ) = ( x2 + 3x ) ( x - 2 )2 fonksiyonu veriliyor. f^ x h = x6 + x3 + 7x fonksiyonu veriliyor. x2 + 4x + 14 #VOB
HÌSF
Gh



LBÀUŽS #VOB
HÌSF
Gh



LBÀUŽS f' ( x ) = (2x + 3) (x - 2)2 + (x2+ 3x) 2(x - 2) f' ( 0 ) = 12 5 + x 2 + 7 f^ x h = 5x . x j
I


=

H



â
 2 h^ x h 1x4 4+442x 4+41443 g^ x h 11 f' ( 0 ) =
Ih




H



= 1· = 22 17. 2x + 5 18. 4 5 20. 3 3 21. 12 46 1 22. 41 23. –11 24. 0 25. 2 3 ^ 4x + 1 h2 19. - 3 2 x + 5x 3 2 3

www.aydinyayinlari.com.tr -÷.÷5
7&
5·3&7 6. MODÜL ·/÷7&34÷5&:&
)\";*3-*, ÖRNEK 26 ÖRNEK 30 f (x) = x2 . 2x + 3 - 2 1 - x 1

Y

CJS
QPMJOPN
GPOLTJZPO
WF
PMEVôVOB
HÌSF G
h



LBÀUŽS P ( x ) + P ' ( x ) = 3x2 + x - 2 f^ x h = 2 . >2x + 3 . - 2>1 - x PMEVôVOB
HÌSF 1




LBÀUŽS 6x EFS
1

Y


=
O
EFS
1h
Y

= n - 1 h^ x h g^ x h u^ x h 1
Y

+
1h
Y

= 3x2 + x -


PMEVôV
JÀJO
O
= 2 1

Y

= ax2 + bx + c I 
=
I'(0) =


PMEVôVOEBO
Gh 
= -2u'(0) 1h Y
= 2ax + b 1

Y


+
1h
Y

= ax2 + ( b + 2a ) x + b +
D

PMEVôVOEBO f' ( 0 ) = 0 . 3 - (-1) = 1 a = 3, b + 2a = 1, b + c = -2 j b = -5, c = 3 1

Y

= 3x2- 5x + 3 j
1 
= 1 NOT ÖRNEK 31 f ( x ) = ( x - a )n

H

Y


FõJUMJóJOJ
TBóMBZBO
G
WF
H
QPMJOPNMBSŽ
J¿JO
O
> 2 ise f' ( a ) = f'' ( a ) = 0 olur. y = P ( x ) ve polinomu x.P( x ) - P'( x ) = 2x2 + 3x - 2 eõJUMJóJOJ
TBóMŽZPS ÖRNEK 27 #VOB
HÌSF
1 Y
LBÀUŽS P ( x ) = ( x - 2 )4 ( x + 2 )3 QPMJOPNV
JÀJO
1h



+
1hh

-

UPQMBNŽ
LBÀUŽS EFS
1
Y


=
O

WF

EFS
1
Y

= n - 1 1h



=

WF
1hh

-2 ) = 0 >x P^ x h - >P'^ x h 2 = 2x + 3x - 2 n + 1. derece n–1. derece n + 1 = 2, n = 1 1

Y

= ax + b j
Y1 Y
-
1h Y
= ax2 + bx - a #V
EVSVNEB
B
= 2, b = 3 olur. ÖRNEK 28 1
Y


= 2x +

1



= 5 #BõLBUTBZŽTŽ

PMBO

EFSFDFEFO
CJS
Z
= f ( x ) polino- ÖRNEK 32 mu için P( 2 ) = P' ( 2 ) = 0
PMEVôVOB
HÌSF
1



LBÀUŽS y =
1

Y

WF
QPMJOPNV
JÀJO
1 Y
= (x - 2)2
ÀÑOLÑ
1 
=
1h 
= 0 x2· d P^ x h + x.d2P^ x h = 2x3 + x2 + 2x 1 
= 1 dx dx2 ÖRNEK 29 PMEVôVOB
HÌSF
1h



LBÀUŽS #BõLBUTBZŽTŽ

PMBO

EFSFDFEFO
CJS
Z
= P ( x ) polinomu EFS
1
Y


= n olsun. 2 için P(1) = P' ( 1 ) = P'' ( 1 ) = P(-1) = P' ( -1 ) = P'' ( -1) = 0 PMEVôVOB
HÌSF
1



LBÀUŽS derf 2 d P^ x h p=n+1 derf x· d P^ x h p=n-1 1 
=
1h

=
1hh 
JTF
Y
- 1)3, 4, ..., n


ÀBSQBOŽ
WBS x· dx ve 2 1h -1) =
1h

-1 ) =
1hh -1) ise (x + 1)3, 4, ..., n
ÀBSQBOŽ
WBS 1

Y

= 1. ( x - 1 )3 ( x + 1)3 olur. j

1



= 27 n + 1 = 3, n = 2 dx 1

Y

= ax2+ bx + c için, x2 (2ax + b) + x.2a = 2x3 + x2 + 2x 2ax3 + bx2 + 2ax = 2x3 + x2 + 2x için a = 1, b = 1 1h
Y

= 2x + 1 j
1h 
= 3 26. 1 27. 0 28. 1 29. 27 47 30. 1 31. 5 32. 3

TEST - 3 5ÑSFW
\"MNB
,VSBMMBSŽ 1. f^ x h = 3 5. f (x) = 2x + 3 2x - 7


PMEVóVOB
HËSF 3x - 1
PMEVôVOB
HÌSe, f ' ( 2


EFôFSJ
LBÀUŽS f^ x h- f^ 2 h lim A) -
#
- 11
$
- 3
%

&
 x\"2 x-2 25 4 BöBôŽEBLJMFS
EFO
IBOHJTJOF
FöJUUJS \"

#

$

%

&
 2. f ( x ) = x2 - 8x +


PMEVôVOB
HÌSF
lim f^ h - 1 h - f^ –1 h h\"0 h 6. f ( x ) = ( 3x + 1 )2 ( 2x + a ), f ' ( 0 ) = 0
BöBôŽE
BLJ
MFSEFO
IBOHJTJOF
FöJUUJS
PMEVôVOB
HÌSF

B

HFSÀFL
TBZŽTŽ
LBÀUŽS A) -
#
-
$
-
%
-4 E) -2 \"

#

$
- 1
%
- 1 E) -1 32 3. f ( x ) = ( x - 1 ) ( x2 -



PMEVôVOB
HÌSF
7. f ( x ) = ( x3 -
Y
+ 1 )3 f^ x h- f^ 2 h
PMEVôVOB
HÌSF
Gh




EFôFSJ
LBÀUŽS lim A) -
#
-
$
-
%

&
 x\"2 x-2
JGBEFTJ
OJO
FöJUJ
LBÀUŽS \"

#

$

%

&
 4. f^ x h = x3 + 1 8. f^ x h = 1 - 2 + 3 x2 x x2 x3
PMEVôVOB
HÌSF

G
h




EFôFSJ
LBÀUŽS PMEVôVOB
HÌSF


G
h




EFôFSJ
LBÀUŽS A) -
#
-
$

%

&
 A) - 2
#

$
2 4 4
%
2 E) 1 2 1. D 2. \" 3. & 4. C 48 5. B 6. C 7. \" 8. \"