دليل ثانوي ثانوي علمي

‫ا�ستراتيجية التقويم‪ :‬الورقة والقلم‪.‬‬ ‫أ�داة التقويم‪� :‬سلم التقدير (‪.)2-1‬‬ ‫متو�سط �ضعيف‬ ‫ممتاز جيد ج ًّدا جيد‬ ‫م ؤ��شرات الأداء‬ ‫البند‬ ‫‪ 1‬نهاية اقترانات ك�سرية‬ ‫‪--‬يب��د�أ بالتعوي���ض المبا��شر عند ح�س��اب نهاية‬ ‫اقتران ن�سبي عند نقطة‪.‬‬ ‫‪--‬يجد نهاية اقتران ك�سري عندما تقترب قيمة �أ‬ ‫من �صفر المقام‪.‬‬ ‫‪--‬يجد نهاية اقتران ك�سري بتوظيف ال�ضرب في‬ ‫المرافق التربيعي‪.‬‬ ‫‪--‬يج��د نهاية اق�تران ك�سري بتوظي��ف توحيد‬ ‫المقامات‪.‬‬ ‫‪--‬يجد نهاية اقتران ك�سري بتوظيف ال�ضرب في‬ ‫المرافق التكعيبي‪.‬‬ ‫نهاية اقترانات مثلثية‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫جا �س‬ ‫‪--‬يجد مجال الاقتران المثلثي‪.‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫�س‬ ‫‪--‬يتو�صل للحقيقة‪ :‬نهـــــــا‬ ‫�س←‪0‬‬ ‫‪--‬يوظف النظرية لح�ساب نهاية اقترانات ك�سرية‬ ‫تحوي اقترانات مثلثية‪.‬‬ ‫‪--‬يجد قيمة النهاية لاقترانات مثلثية عند نقطة؛‬ ‫با�ستخدام المتطابقات المثلثية المنا�سبة‪.‬‬ ‫الات�صال عند نقطة‬ ‫‪--‬يف�سر مفهوم الات�صال عند نقطة هند�س ًّيا‪.‬‬ ‫‪--‬يحدد ات�صال اقتران عند نقطة من خلال‬ ‫منحناه‪.‬‬ ‫‪--‬يطبق �شروط ات�صال اقتران عند نقطة للبحث‬ ‫في ات�صال الاقترانات عند نقطة‪.‬‬ ‫‪--‬يبرهن نظريات الات�صال‪.‬‬ ‫‪49‬‬

‫متو�سط �ضعيف‬ ‫ممتاز جيد ج ًّدا جيد‬ ‫م�ؤ�شرات الأداء‬ ‫البند‬ ‫‪ 4‬الات�صال على فترة‬ ‫‪--‬يف�سر مفهوم (ات�صال اقتران على فترة)‪.‬‬ ‫‪--‬يف�سر مفه��وم ات�ص��ال اقتران عل��ى نقطة من‬ ‫اليمين‪.‬‬ ‫‪--‬يف��سر مفه��وم ات�صال اق�تران عن��د نقطة من‬ ‫الي�سار‪.‬‬ ‫‪--‬يكتب ال�صيغة الرمزية للات�صال عند نقطة من‬ ‫اليمين ومن الي�سار‪.‬‬ ‫‪- -‬يبح��ث في ات�ص��ال اق�تران على ف�ترة من خلال‬ ‫البحث في �شروط الات�صال على فترة‪.‬‬ ‫جيد ج ًّدا‪ :‬يبدي فه ًما‪ ،‬وقد يحتاج إ�لى الم�ساعدة‪.‬‬ ‫ممتاز‪ :‬يبدي فه ًما عمي ًقا‪ ،‬ولا يحتاج إ�لى الم�ساع دة‪ .‬‬ ‫متو�سط‪ :‬يبدي فه ًما‪� ،‬ضعي ًفا ويحتاج إ�لى الم�ساعدة‪.‬‬ ‫جيد‪ :‬يبدي فه ًما جزئ ًّيا‪ ،‬ويحتاج �إلى الم�ساعدة‪ .‬‬ ‫�ضعيف‪ :‬لا يبدي فه ًما‪ ،‬ويحتاج �إلى الم�ساعدة‪.‬‬ ‫ا�ستراتيجية التقويم‪ :‬الملاحظة‪.‬‬ ‫�أداة التقويم‪ :‬قائمة الر�صد (‪.)3-1‬‬ ‫ت�ستخدم هذه ا ألداة لتقويم عمل الطلبة في المجموعات التعاونية‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫رقم المجموعة ‪1‬‬ ‫المعيار‬ ‫تعاون �أفراد المجموعة‪.‬‬ ‫الالتزام بزمن المهمة‪.‬‬ ‫الدقة في الحل‪.‬‬ ‫توزيع المهام وا ألدوار‪.‬‬ ‫* ي�ستخدم المعلم هذه الأداة عند متابعته أ�عمال المجموعات‪.‬‬ ‫‪50‬‬

‫ا�ستراتيجية التقويم‪ :‬مراجعة الذات‪.‬‬ ‫�أداة التقويم‪� :‬سجل و�صف �سير التعلم (‪.)4-1‬‬ ‫ا�سم الطالب‪ .................:‬مو�ضوع الدر�س‪...................:‬‬ ‫تعلمت اليوم‪:‬‬ ‫‪....................................................................................................................................................‬‬ ‫‪....................................................................................................................................................‬‬ ‫‪....................................................................................................................................................‬‬ ‫واجهت �صعوبة في فهم الآتي‪:‬‬ ‫‪....................................................................................................................................................‬‬ ‫‪....................................................................................................................................................‬‬ ‫‪....................................................................................................................................................‬‬ ‫ملاحظات المعلم‪:‬‬ ‫‪....................................................................................................................................................‬‬ ‫‪....................................................................................................................................................‬‬ ‫‪....................................................................................................................................................‬‬ ‫‪51‬‬

‫ا�ستراتيجية التقويم‪ :‬الورقة والقلم‪.‬‬ ‫أ�داة التقويم‪ :‬اختبار نهاية الوحدة ‪ -‬النهايات والات�صال‪.‬‬ ‫‪ )1‬معتم ًدا ال�شكل المجاور الذي يمثل منحنى‬ ‫الاقتران ق ‪ ،‬جد كلاً مما ي�أتي‪:‬‬ ‫ق(�س)‬ ‫نهـــــــا‬ ‫)‬ ‫�أ‬ ‫�س←‪3‬‬ ‫ق(�س)‬ ‫نهـــــــا‬ ‫ب)‬ ‫�س←‪1‬‬ ‫‪ )2‬إ�ذا كانت نهـــــــا �س‪ + 2‬جـ �س ‪ 20 -‬موجودة‪ ،‬فجد قيمة الثابت جـ‬ ‫�س ‪5 -‬‬ ‫�س←‪5‬‬ ‫‪ ) 3‬معتم ًدا ال�شكل المجاور الذي يمثل منحنى الاقتران ق‬ ‫المعرف على الفترة [‪�، )3 ، 3-‬أجب عن كل مما ي�أتي‪:‬‬ ‫�أ ) ما قيم �أ التي يكون عندها‬ ‫غير موجودة؟‬ ‫ق(�س)‬ ‫نهـــــــا‬ ‫�س← أ�‬ ‫ب) ما قيم جـ حيث نهـــــــا ق(�س) = ‪ 2-‬؟‬ ‫�س←جـ‬ ‫ظا �س ‪1 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ )4‬جد كلاًّ من النهايات ا آلتية‪:‬‬ ‫‪�4‬س ‪π +‬‬ ‫�س‬ ‫‪-1‬‬ ‫ن�هســــ←ـــ‪-‬ـ‪4‬ــ‪π‬ا‬ ‫ب)‬ ‫ ‬ ‫�س‪1 +‬‬ ‫�أ ) نهـــــــا‬ ‫�س←‪� 0‬س‬ ‫جا‪�2‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫ن�هســــ←ـــ‪π‬ا‬ ‫)‬ ‫د‬ ‫�س ظا� س ‬ ‫جـ) ن�هســــ←ــ‪0‬ـا‪+‬‬ ‫‪ +‬جتا‪�3‬س‬ ‫جا‪�3‬س‬ ‫ظا ‪�3‬س ‪3 -‬ظا�س‬ ‫هـ) ن�هســــ←ــ‪0‬ـا‪+‬‬ ‫�س‪3‬‬ ‫= ‪ ، 4‬فجد قيم كل من الثابتين �أ ‪ ،‬ب‬ ‫‪ -‬جتاب �س‬ ‫�أجتا�س‬ ‫إ�ذا كانت ن�هســــ←ــ‪0‬ـا‪+‬‬ ‫‪)5‬‬ ‫�س‪2‬‬ ‫‪52‬‬

‫حلول �أ�سئلة اختبار نهاية الوحدة‬ ‫‪)1‬‬ ‫�أ ) غير موجودة؛ لأ َّن الاقتران غير معرف في فترة مفتوحة تحوي العدد‪3‬‬ ‫ب) غير موجودة؛ أل َّن النهاية من اليمين لا ت�ساوي النهاية من الي�سار‪.‬‬ ‫‪ ) 2‬جـ = ‪1-‬‬ ‫‪ )3‬‬ ‫�أ ) (‪}1{ ∪ )∞ ، 3 [ ∪ ]3-،∞-‬‬ ‫ب) ( ‪)1، 3-‬‬ ‫‪) 4‬‬ ‫ب) ‪0.5‬‬ ‫�أ ) ‪ 0.5-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫د)‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫جـ)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫هـ) ‪8‬‬ ‫‪ )5‬أ� = ‪ ، 1‬ب = ‪3 ±‬‬ ‫‪53‬‬



‫‪2á«fÉãdG IóMƒdG‬‬ ‫‪π°VÉØàdG‬‬ ‫تت�ضمن بع�ض الظواهر في حياتنا تغي ًرا في كمياتها‬ ‫�أو قيا�ساتها بالن�سبة إ�لى متغير �آخر‪ ،‬مثل �سرعة �صاروخ‬ ‫بالن�سبة للزمن‪ ،‬أ�و قيمة إ�لى عملة بالن�سبة لعملة �أخرى‪�،‬أو‬ ‫حجم بالون كروي �إلى طول لطول ن�صف قطره‪� ... ،‬إلخ‪،‬‬ ‫ُي�ستخدم علم التفا�ضل في درا�سة مثل هذه التغيرات‪.‬‬ ‫تطور علم التفا�ضل عبر درا�سة ثلاث م�سائل رئي�سة هي‪:‬‬ ‫م�س أ�لة المما�س و م�س أ�لة ال�سرعة و م�س أ�لة القيم الق�صوى‬ ‫(الكبرى وال�صغرى) ‪.‬‬ ‫و�سنقدم في هذه الوحدة مفهوم الم�شتقة وقواعد �إيجادها‪.‬‬ ‫يتوقع من الطالب بعد نهاية هذه الوحدة �أن يكون قاد ًرا على‪:‬‬ ‫و�صف القاطع والمما�س لمنحنى اقتران هند�س ًّيا‪.‬‬ ‫�إظهار فهم للم�شتقة و إ�يجادها با�ستخدام التعريف‪.‬‬ ‫و�صف وح�ساب الم�شتقة ا ألولى لاقتران عند نقطة با�ستخدام التعريف ب�صيغ مختلفة‪.‬‬ ‫ا�ستخدام رموز مختلفة للتعبير عن الم�شتقة ا ألولى‪.‬‬ ‫التمييز بين الات�صال والقابلية للا�شتقاق عند نقطة‪.‬‬ ‫تعليل عدم قابلية الا�شتقاق‪.‬‬ ‫‪55‬‬

‫تهيئة الوحدة‬ ‫‪ )1‬اربط كل عبارة في العمود الأيمن بما ينا�سبها في العمود الأي�سر‪:‬‬ ‫‪ )1‬اقتران يمكن ر�سم منحناه على ورقة با�ستخدام القلم دون الحاجة �إلى رفعه‪.‬‬ ‫أ�) اقتران‬ ‫‪ )2‬عدد جـ تقترب منه قيم الاقتران ق كلما اقتربت �س من �أ‪.‬‬ ‫ب) ميل الم�ستقيم‬ ‫‪ )3‬علاقة تربط كل قيمة من المجال بقيمة واحدة فقط من المدى‪.‬‬ ‫جـ) اقتران مت�صل‬ ‫د) نهــــــــا ق(�س) = جـ ‪ )4‬ن�سبة فرق ال�صادات �إلى فرق ال�سينات في الم�ستوى الإحداثي‪.‬‬ ‫�س←‪+1‬‬ ‫‪ )5‬قيمة الاقتران ق عند �أ ي�ساوي جـ ‪.‬‬ ‫‪ )6‬علاقة تربط كل قيمة من المجال بقيمة واحدة على الأقل من المدى‪.‬‬ ‫‪π‬‬ ‫في ال�س ؤ�الين ‪ 3 ، 2‬اختر الإجابة ال�صحيحة ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مع الاتجاه الموجب لمحور ال�سينات ‪ ،‬هو ‪:‬‬ ‫ميل الم�ستقيم الذي ي�صنع زاوية قيا�سها‬ ‫‪) 2‬‬ ‫د) ‪1‬‬ ‫جـ) ‪ 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب)‬ ‫‪3‬‬ ‫�أ)‬ ‫‪2‬‬ ‫�س‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫هو ‪:‬‬ ‫ق(�س)‬ ‫مجال الاقتران‬ ‫‪ )3‬‬ ‫�س ‪2 -‬‬ ‫ب) [ ‪) ∞، 2‬‬ ‫�أ) ( ‪) ∞ ، 2‬‬ ‫جـ) ح د) ح ‪} 2 ،1 { -‬‬ ‫* اعتمد على منحنى الاقتران ق(�س) المر�سوم في ال�شكل للإجابة عن الأ�سئلة من ‪� 4‬إلى ‪.13‬‬ ‫‪ -‬اذكر إ�ن كانت النهاية موجودة �أم لا‪� .‬ص‬ ‫ق(�س)‬ ‫‪ )5‬نهــــــــا ق(�س)‬ ‫‪ )4‬نهــــــــا ق(� س) ‬ ‫‪3‬‬ ‫�س←‪-3‬‬ ‫�س←‪+3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )7‬نهـــــــا ق(�س)‬ ‫‪ )6‬نهـــــــا ق(�س ) ‬ ‫‪1‬‬ ‫�س←‪4‬‬ ‫�س←‪3‬‬ ‫‪12 34‬‬ ‫‪ )9‬نهـــــــا ق(�س) �س‬ ‫‪ )8‬نهـــــــا ق(�س ) ‬ ‫�س←‪1‬‬ ‫�س←‪2‬‬ ‫‪ -‬اذكر �إن كان الاقتران مت�صلاً �أم لا عند النقطة المطلوبة‪:‬‬ ‫‪� )12‬س = ‪� )13 3‬س = ‪4‬‬ ‫‪� )11‬س = ‪2‬‬ ‫‪� ) 10‬س = ‪1‬‬ ‫‪ -‬في ا أل�سئلة ‪ 14‬إ�لى ‪16‬؛ جد قيم الاقتران ق عند قيمة (قيم) �س المب َّينة‪:‬‬ ‫‪ )14‬ق(�س) = | ‪�4‬س – ‪� ، | 12‬س = ‪� ، 5‬س = ‪1-‬‬ ‫‪ )15‬ق(�س) = [ ‪�2‬س ‪� ، ] 8 -‬س = ‪� ، 4‬س = ‪3.1‬‬ ‫‪56‬‬

‫‪π‬‬ ‫�س=‬ ‫‪،‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪) 16‬ق(�س) = ‪8‬جا�س جتا�س ‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -‬في التمارين (‪� 17‬إلى ‪ )20‬جد النهاية‪:‬‬ ‫‪ ) 17‬نهـــــــا (�س‪�3 - 2‬س ‪)5 +‬‬ ‫�س←‪1‬‬ ‫‪ )18‬نهــــــــا ‪�4 - 1‬س‬ ‫�س←‪2-‬‬ ‫�س‪1 - 2‬‬ ‫‪ )19‬نهــــــــا‬ ‫�س‪� - 2‬س ‪2 -‬‬ ‫�س←‪1-‬‬ ‫جا ‪�6‬س‬ ‫نهـــــــا‬ ‫‪)20‬‬ ‫‪� 3‬س‬ ‫�س←‪0‬‬ ‫في التمرينين ‪ 22 ، 21‬جد ميل الم�ستقيم المار بالنقطتين‪:‬‬ ‫‪)1 ،2( ، )2 ، 4( ) 22‬‬ ‫‪)4 ،3 -( ، )1 - ، 2( )21‬‬ ‫‪� ،‬س ≥ ‪2‬‬ ‫‪�3‬س ‪6 -‬‬ ‫‪ )23‬إ�ذا كان ق(�س) =‬ ‫‪� ،‬س < ‪2‬‬ ‫‪�3 - 6‬س‬ ‫فابحث في ات�صال الاقتران ق عند �س = ‪2‬‬ ‫�إجابات التهيئة‬ ‫جـ ‪ 1 :‬د‪2 :‬‬ ‫ب‪4 :‬‬ ‫‪� )1‬أ ‪3 :‬‬ ‫‪ )2‬جـ ‬ ‫‪ )5‬موجودة‬ ‫‪� )3‬أ ‪ )4‬موجودة ‬ ‫‪ )6‬موجود ة ‬ ‫‪ )9‬موجودة‬ ‫‪ )10‬مت�ص ل ‬ ‫‪ )13‬غير مت�صل‬ ‫‪ )7‬غير موجود ة ‪ )8‬موجودة ‬ ‫‪ 16 ، 8 )14‬‬ ‫‪3 )17‬‬ ‫‪ )11‬مت�ص ل ‪ )12‬غير مت�صل ‬ ‫‪1 - )21‬‬ ‫‪ 3 )16‬‬ ‫‪� )15‬صفر‪2 - ،‬‬ ‫‪ 2 )20‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)19‬‬ ‫‪ 3 )18‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ )23‬مت�صل‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪)22‬‬ ‫‪57‬‬

‫الف�صل الأول‪ :‬معدل التغير والم�شتقات‬ ‫عدد الح�ص�ص ح�صتان‬ ‫معدل التغير‬ ‫�أول‬ ‫نتاجات التعلم‬ ‫‪- -‬يجد معدل التغير في فترة محددة‪.‬‬ ‫‪- -‬يف�سر مفهوم معدل التغير هند�س ًّيا‪ ،‬وفيزيائ ًّيا‪.‬‬ ‫التكامل الر أ��سي‬ ‫‪- -‬الاقترانات الحقيقية‪ ،‬والاقترانات الخا�صة ( المت�شعبة والقيمة المطلقة و�أكبر عدد �صحيح ) في ال�صف‬ ‫الحادي ع�شر العلمي‪.‬‬ ‫‪- -‬القاطع في ال�صف العا�شر الأ�سا�سي ‪.‬‬ ‫التكامل ا ألفقي‬ ‫‪- -‬ال�سرعة المتو�سطة في مبحث الفيزياء‪.‬‬ ‫المفاهيم والم�صطلحات والرموز‬ ‫م�صادر التعلم‬ ‫‪- -‬التغير في �س‪� ∆ :‬س‪ ،‬التغير في �ص‪� ∆ :‬ص‬ ‫‪- -‬كتاب الطالب‪ ،‬ال�صفحات (‪.)81-74‬‬ ‫‪- -‬معدل التغير في �ص بالن�سبة �إلى �س‪:‬ــــ∆∆ــ��ــسصــ‬ ‫‪- -‬القاطع‪ ،‬زاوية ميل القاطع‪ ،‬ال�سرعة المتو�سطة (ع)‪.‬‬ ‫التعلم القبلي‬ ‫‪- -‬قيمة اقتران عند نقطة‪ ،‬نهاية اقتران عند نقطة‪ ،‬الات�صال عند نقطة ‪ ،‬الات�صال على فترة‪ ،‬طرق �إيجاد‬ ‫النهايات‪ ،‬ميل الم�ستقيم‪.‬‬ ‫استراتيجيات التدريس‬ ‫التدري�س المبا�شر (الأ�سئلة والأجوبة)‪ ،‬التعلم في مجموعات (المناق�شة‪ ،‬فكر‪-‬انت ِق زميلًا‪�-‬شارك)‪،‬التفكيرالناقد(التحليل)‪.‬‬ ‫�إجراءات التنفيذ‬ ‫‪1 -1‬التمهي��د من خلال طرح ال�س���ؤال الآتي على الطلبة‪ :‬كيف تع ّرف ميل م�س��تقيم ي�ش��ترك مع منحنى‬ ‫اقتران في نقطتين من نقاطه؟ (ي�سمى قاط ًعا)‪.‬‬ ‫‪58‬‬

‫‪2 -2‬الانطلاق من هذا ال�س�ؤال لبيان الحاجة �إلى معلومات تتعلق بالاقتران لتعريف ميل هذا الم�ستقيم‪،‬‬ ‫و�أنهم في هذا الدر�س �سوف يتعلمون كيف يجدون ميل القاطع لمنحنى اقتران‪.‬‬ ‫‪3 -3‬مراجعة الطلبة بالمو�ضوعات ا آلتية‪ :‬قيمة اقتران عند نقطة‪ ،‬ميل الم�ستقيم �إذا ُعلمت نقطتان عليه‪،‬‬ ‫ظل الزاوية‪.‬‬ ‫‪4 -4‬مفهوم التغير من مواقف حياتية‪ ،‬ويمكن الا�ستعانة ب أ�مثلة وردت في مقدمة هذه الوحدة �صفحة (‪.)72‬‬ ‫‪5 -5‬تعريف التغير في �س ورمزه ∆ �س من الكتاب �صفحة (‪ ،)75‬ثم مناق�شة مثال (‪ )1‬وتكليف الطلبة‬ ‫بحل تدريب (‪ )1‬والتحقق من ا إلجابات‪ ،‬وت�أكيد �أنه من الممكن �أن يكون التغير في �س �سال ًبا كما‬ ‫في فرع (‪.)1‬‬ ‫‪6 -6‬تقديم تعريف التغير في �ص ورمزه ∆�ص من الكتاب �صفحة (‪ ،)75‬والتركيز على ال�صور المختلفة‬ ‫لكتابته وارتباطه في التغير في �س‪ ،‬ثم مناق�شة مثال (‪.)2‬‬ ‫‪7 -7‬تعريف معدل التغير في �ص بالن�سبة إ�لى �س‪ :‬ــــ∆∆ــ��ــسصــ من الكتاب �صفحة (‪ ،)76‬والتركيز على‬ ‫ال�صور المختلفة لكتابته‪ ،‬و�أن معدل التغير يكون على فترة‪ ،‬ثم مناق�شة المثالين (‪ .)4،3‬ت�أكيد �أن‬ ‫فترة التغير قد تت�ضمن نقطة ت�شعب كما في مثال (‪.)4‬‬ ‫‪8 -8‬تق�سيم الطلبة �إلى مجموعات ثنائية‪ ،‬وتكليفهم بحل التدريبين (‪ )3،2‬ومتابعة حلولهم لتقديم التغذية‬ ‫الراجعة‪.‬‬ ‫‪9 -9‬مناق�شة التف�سير الهند�سي لمعدل التغير؛ كما ورد في الكتاب �صفحة (‪ )78‬ثم مناق�شة مثال (‪،)5‬‬ ‫وتكليف الطلبة بحل تدريب (‪ )4‬للت أ�كد من امتلاكهم مهارة إ�يجاد معدل التغير للاقتران في فترة معطاة‪.‬‬ ‫‪1010‬مناق�ش��ة التف�س��ير الفيزيائي لمعدل التغير كما ورد في الكتاب �ص��فحة (‪ ،)78‬ثم مناق�ش��ة مثال (‪،)6‬‬ ‫ث��م توجيه الطلبة �إلى حل تدريب (‪ )5‬على �ش��كل مجموعات ثنائية‪ ،‬ومتابعة حلولهم لتقديم التغذية‬ ‫الراجعة‪.‬‬ ‫‪1111‬حل و مناق�شة مثال (‪ ،)7‬ثم تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ )6‬للت�أكد من فهمهم‪.‬‬ ‫‪1212‬تق�سيم الطلبة �إلى مجموعات (‪ )6-4‬وتكليفهم بتنفيذ ورقة العمل (‪ )1-2‬بند أ�ول ًا‪ ،‬متابعة الطلبة‬ ‫وتقديم الدعم لهم‪.‬‬ ‫‪1313‬ختم الدر�س من خلال �س�ؤال الطلبة‪ :‬ماذا تعلمتم في هذا الدر�س؟ وما المفاهيم التي وردت في‬ ‫الدر�س؟ والا�ستماع إ�لى إ�جاباتهم وتعزيزها‪.‬‬ ‫‪1414‬تكليف الطلبة بحل تمارين وم�سائل واج ًبا بيت ًّيا‪ ،‬ومتابعة حلولهم لتقديم التغذية الراجعة والدعم‬ ‫اللازم لهم‪.‬‬ ‫‪59‬‬

‫معلومات �إ�ضافية‬ ‫‪- -‬ت�ستعمل معدلات التغير في مجالات حياتية كثيرة‪ ،‬مثل‪ :‬درا�سة تزايد عدد ال�سكان‪ ،‬معدلات الربح‪،‬‬ ‫ال�سرعة والت�سارع‪.‬‬ ‫�أخطاء �شائعة‬ ‫قد يخطئ الطلبة في تطبيق قاعدة إ�يجاد ميل القاطع أ�و معدل التغير في الفترة [ �س‪� ،1‬س‪] 2‬؛ فيطبقون‬ ‫��سص‪21‬‬ ‫القاعدة بال�شكل‪:‬‬ ‫�قس(‪�1‬س‪)2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ق(� �س‪1‬س)‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫�ص‪1‬‬ ‫∆ �ص‬ ‫أ�كد تطبيق القاعدة لدى الطلبة بال�شكل ال�صحيح‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫�س‪2‬‬ ‫=‬ ‫∆ �س‬ ‫مراعاة الفروق الفردية‬ ‫علاج‬ ‫�إذا كان ق(�س) = ‪�4‬س ‪ ، 3 +‬فجد ما ي�أتي ‪:‬‬ ‫‪ ) 1‬التغير في �س عندما تتغير �س من ‪� 1‬إلى ‪)2( . 3‬‬ ‫‪ )2‬التغير في الاقتران ق عندما تتغير �س من ‪� 1‬إلى ‪)8( . 3‬‬ ‫‪ ) 3‬معدل التغير في الاقتران ق في الفترة [ ‪)4( . ]3 ،1‬‬ ‫إ�ثراء‬ ‫‪ ) 1‬هل يختلف معدل التغير في الاقتران الخطي ‪ /‬الاقتران التربيعي باختلاف الفترة ؟ برر إ�جابتك‪.‬‬ ‫‪ )2‬هل يمكن �أن يكون لمنحنى اقتران قاطعا عمودي على محور ال�سينات ؟ برر �إجابتك‪.‬‬ ‫‪� )3‬إذا كان ق(�س) اقترا ًنا ثاب ًتا في الفترة [ �س‪� ،1‬س‪ ] 2‬فجد معدل تغير الاقتران ق في هذه الفترة‪.‬‬ ‫‪� )4‬إذا كان ق(�س) = �أ �س‪ - 2‬ب �س‪ + 2‬جـ ‪� ،‬أ ‪ ،‬ب ‪ ،‬جـ ح؛ ف أ�ثبت �أن معدل التغير في الفترة‬ ‫[ �س‪� ،1‬س‪ ] 2‬ي�ساوي �أ (�س‪� + 1‬س‪ + ) 2‬ب‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪ ) 1‬لا يختلف في الاقتران الخطي؛ لأن معدل تغير الاقتران في �أية فترة هو ميل الخط الم�ستقيم‪.‬‬ ‫يختلف في الاقتران التربيعي؛ لأن معدل التغير في �أية فترة هو ميل القاطع في تلك الفترة وهذا‬ ‫يختلف من فترة لأخرى‪.‬‬ ‫‪ )2‬لا؛ لأن المنحنى الذي له قاطع عموي لا يمثل اقترا ًنا‪.‬‬ ‫‪� ) 3‬صفر‪.‬‬ ‫‪ )4‬طبق قانون معدل التغير للح�صول على المطلوب‪.‬‬ ‫‪60‬‬

‫استراتيجيات التقويم وأدواته‬ ‫ا�ستراتيجية التقويم‪ :‬مراجعة الذات‪ ،‬التوا�صل‪ ،‬الملاحظة‪.‬‬ ‫�أداة التقويم‪� :‬سلم التقدير (‪ ،)1 -2‬قائمة الر�صد (‪ ،)3 -2‬قائمة الر�صد (‪.)6 -2‬‬ ‫إجابات التمارين والمسائل والتدريبات‬ ‫التدريبات‬ ‫(‪ )1‬الفرع الأول ‪ 0.3 -‬الفرع الثاني ‪1‬‬ ‫(‪ 12 )3‬‬ ‫(‪1 - )4‬‬ ‫(‪ 4 .1- ) 2‬‬ ‫(‪11 )5‬م‪/‬ث (‪3 - )6‬‬ ‫التمارين والم�سائل‬ ‫(‪ )2‬هـ ‪ )3( 2 +‬النقطة �أ ( ‪) 4.4 ، 1.9‬‬ ‫‪� )1‬أ ) ‪ 6‬ب) هـ‪3 + 2‬هـ‬ ‫‪ )4‬م�ساحة المربع ق(�س) = �س‪� ،2‬س طول �ضلع ال�صفيحة‪.‬‬ ‫ط ِّبق قاعدة معدل تغير ق (�س) في فترة فتكون ا إلجابة = ‪� 12.1‬سم ‪2‬‬ ‫‪ )5‬ط ِّبق قاعدة معدل تغير هـ (�س) في فترة فتكون ا إلجابة = ‪11 -‬‬ ‫‪ )6‬ط ِّبق قاعدة معدل تغير ف(ن) في فترة فتكون ا إلجابة‪ :‬أ�) ‪ 25‬ب) ‪ Δ - 12 (5‬ن)‬ ‫‪ )7‬ط ِّبق قاعدة معدل تغير هـ (�س) في فترة وا�ستخدم المعلومة المعطاة فتكون ا إلجابة = ‪6‬‬ ‫‪ )8‬ط ِّبق قاعدة معدل تغير ق(�س) في كل الفترات المعطاة ‪ .‬تكون الإجابة المطلوبة= ‪11‬‬ ‫‪ )9‬معدل تغير ق (�س) في الفترة [ ‪ ،1 - = ] 2 ،1‬ق(‪5 = )1‬‬ ‫فت[رة‪1‬ف‪،‬ت �كسو‪2‬ن]ا تلإحجا�بصةل=على‪43‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫ا إلجابة‬ ‫‪.‬‬ ‫�س‪2‬‬ ‫في‬ ‫تربيعية‬ ‫معادلة‬ ‫معدل تغير ق(�س) في‬ ‫ط ِّبق قاعدة‬ ‫‪)10‬‬ ‫تغير ق (�س) في الفترة‬ ‫ط ِّب‪-‬ق م‪12‬عدل‬ ‫‪)11‬‬ ‫‪)12‬‬ ‫�إجابات ورقة العمل (‪)1-2‬‬ ‫ب) التغير‪ ، 8 -‬معدل التغير ‪4‬‬ ‫‪� )1‬أ ) التغير ‪ ،8‬معدل التغير ‪ 4‬‬ ‫جـ) التغير ‪� ∆ 4‬س ‪ ،‬معدل التغير ‪4‬‬ ‫‪� )2‬أ ) التغير ‪ ،20‬معدل التغير‪ 1 0‬ب) التغير ‪ ، 21 -‬معدل التغير ‪7‬‬ ‫جـ) التغير (∆ �س)‪� 2 + 2‬س‪� ∆ 1‬س ‪� ∆ 2 +‬س ‪ ،‬معدل التغير ‪� 2‬س‪� ∆ + 1‬س ‪2+‬‬ ‫‪ )3‬التغير ‪ ،1‬معدل التغير‪4‬‬ ‫‪61‬‬

‫الف�صل ا ألول‪ :‬معدل التغير والم�شتقات‬ ‫عدد الح�ص�ص ثلاث ح�ص�ص‬ ‫الم�شتقة ا ألولى‬ ‫ثان ًيا‬ ‫نتاجات التعلم‬ ‫‪- -‬يتعرف الم�شتقة ا ألولى لاقتران عند نقطة‪ ،‬هند�س ًّيا‪.‬‬ ‫‪- -‬يف�سر الم�شتقة ا ألولى لاقتران عند نقطة‪ ،‬هند�س ًّيا‪.‬‬ ‫‪- -‬يجد الم�شتقة ا ألولى لاقتران عند نقطة با�ستخدام التعريف ‪ ،‬وب�صورتها العامة‪.‬‬ ‫‪- -‬يبحث في قابلية ا�شتقاق اقتران على فترة‪.‬‬ ‫التكامل الر أ��سي‬ ‫‪- -‬الاقترانات الن�سبية والك�سرية‪ ،‬في ال�صف الحادي ع�شر العلمي‪.‬‬ ‫‪- -‬المما�س في وحدة الدائرة في ال�صف العا�شر ‪.‬‬ ‫المفاهيم والم�صطلحات والرموز‬ ‫م�صادر التعلم‬ ‫الم�شتقة ا ألولى لاقتران عند النقطة ( �س‪� ،1‬ص‪)1‬‬ ‫‪- -‬كتاب الطالب‪ ،‬ال�صفحات (‪.)92-82‬‬ ‫رمزها ق(�س‪ ،)1‬الم�شتقة ا ألولى لاقتران عند نقطةَ‬ ‫‪- -‬من�صة �إدراك للتعلم المدر�سي‪:‬‬ ‫مــن اليمــين رمـــزها ق‪� (+‬س‪ ،)1‬الم�شتقـــة ا ألولىَ‬ ‫لاقتران عند نقطة من الي�سار رمزها ق‪�( -‬س‪َ.)1‬‬ ‫‪https: //edraak.org / learn /k12/‬‬ ‫‪math-g12-jo-vv1‬‬ ‫التعلم القبلي‬ ‫‪- -‬معدل تغير اقتران على فترة‪ ،‬نهاية اقتران عند نقطة‪ ،‬طرق إ�يجاد النهايات‪ ،‬التف�سير الهند�سي لمعدل التغير‪.‬‬ ‫استراتيجيات التدريس‬ ‫التدري�س المبا�شر (الأ�سئلة وا ألجوبة‪ ،‬ورقة عمل)‪ ،‬التعلم في مجموعات (المناق�شة‪ ،‬فكر‪-‬انت ِق زميلًا‪�-‬شارك)‪.‬‬ ‫�إجراءات التنفيذ‬ ‫‪1 -1‬التمهيد من خلال طرح ال�س�ؤال الآتي‪ :‬كيف نع ّرف مما�س منحنى اقتران عند نقطة تقع عليه؟ ا�ستمع‬ ‫ل إلجابات وب ّنِي لهم �أننا �سنجيب على ال�س ؤ�ال في هذا الدر�س‪.‬‬ ‫‪ 2 -2‬إ�براز �أهمية الم�شتقة الأولى في الريا�ضيات والعلوم الأخرى؛ فمثلاً في الفيزياء م�شتقة الم�سافة بالن�سبة‬ ‫للزمن هي ال�سرعة‪ ،‬وم�شتقة ال�سرعة بالن�سبة للزمن هي الت�سارع‪ ,‬وفي الكيمياء الم�شتقة هي معدل التفاعل‪.‬‬ ‫‪62‬‬

‫‪3 -3‬مراجع��ة مع��دل تغير اقتران على ف�ترة‪ ،‬ونهاية اقتران عند نقط��ة‪ ،‬وطرق إ�يجاد النهايات‪ ،‬والتف�س�ير‬ ‫الهند�سي لمعدل التغير عن طريق توجيه ا أل�سئلة‪ ،‬والا�ستماع إلجابات الطلبة وتعزيزها‪.‬‬ ‫‪4 -4‬تقديم مفهوم الم�شتقة ا ألولى هند�س ًّيا كما ورد في الكتاب �صفحة (‪ ،)82‬وت أ�كيد أ�ن هذا إ�جابة على‬ ‫ال�س�ؤال المطروح في بداية الح�صة‪ ،‬تعريف الطلبة بالرموز المختلفة للم�شتقة الأولى عند نقطة‪ ،‬كتابة‬ ‫تعريف الم�شتقة عند نقطة على اللوح ب�شكل وا�ضح‪.‬‬ ‫‪5 -5‬تقديم مفهومي قابلية الا�شتقاق‪ ،‬وعدم قابلية الا�شتقاق عند نقطة‪ ،‬والتركيز على ربطهما بوجود‬ ‫وجود النهاية أ�و عدم وجودها‪.‬‬ ‫‪6 -6‬حل مثال (‪ )1‬ومناق�شته في �صفحة (‪ )84‬من الكتاب‪ ،‬والتركيز على طريقة ح�ساب الم�شتقة عند‬ ‫نقطة‪ ،‬ثم مناق�شة المثال (‪ )2‬الذي يوظف الم�شتقة في �إيجاد النهايات‪.‬‬ ‫‪7 -7‬تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ )1‬ومتابعة الحلول‪ ،‬ور�صد ا ألخطاء ثم مناق�شة الإجابات ‪.‬‬ ‫‪8 -8‬ا�شتقاق ال�صورة الثانية للم�شتقة بالتعاون مع الطلبة تحت عنوان «تعميم» وت أ�كيد أ�ن ال�صورتين متكافئتان‪.‬‬ ‫‪9 -9‬حل المثالين (‪ )4 ،3‬ومناق�شتهما وت أ�كيد ا�ستخدام ال�صورة الثانية للم�شتقة‪ .‬تكليف الطلبة بحل تدريب‬ ‫(‪ )2‬ومتابعة الحلول ور�صد ا ألخطاء ثم مناق�شة الإجابات وتقديم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪1010‬تقديم تعريف كل من الم�شتقة من اليمين والم�شتقة من الي�سار عند نقطة‪ ،‬والرموز الم�ستخدمة في التعبير‬ ‫عنهما والعلاقة بينهما‪ ،‬وبين الم�شتقة الأولى عند نقطة‪ ،‬ثم مناق�شة مثال (‪ )5‬لتو�ضيح طريقة البحث في‬ ‫الم�شتقة عند نقطة الت�شعب‪ ،‬وربطها ب إ�يجاد نهاية اقتران عند نقط الت�شعب‪.‬‬ ‫‪1111‬تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ )3‬لإك�س��ابهم القدرة على ح�س��اب الم�شتقة ا ألولى عند نقطة الت�شعب‪،‬‬ ‫ومتابعة الحلول‪ ،‬ور�صد الأخطاء ثم مناق�شة ا إلجابات‪.‬‬ ‫‪1212‬تقديم فكرة الحاجة إ�لى التعامل مع الم�شتقة الأولى بو�صفها اقترا ًنا؛ كما �سيرد لاح ًقا في تطبيقات‬ ‫التفا�ضل‪ ،‬وتقديم ال�صورتين الم�ستخدمتين إليجاد الم�شتقة كما وردتا في الكتاب �صفحة (‪.)87‬‬ ‫‪1313‬مناق�شة عدم قابلية ا�شتقاق اقتران عند طرفي فترة مغلقة معرف عليها‪ ،‬وربط ذلك بخبرات الطلبة في‬ ‫إ�يجاد النهاية عند طرفي الفترة المغلقة‪ ،‬تقديم التعميم الوارد في نهاية �صفحة (‪. )87‬‬ ‫‪1414‬حل مثال (‪ )6‬ومناق�شته ب�شكل متعمق؛ ألن حله يمثل طريقة بحث م�شتقة اقتران على فترة مغلقة‪ ،‬وت أ�كيد‬ ‫�إمكانية إ�يجاد ق(�س) بطريقتين‪ ،‬ثم مناق�شة مثال (‪ )7‬بو�صفه ت أ�كي ًدا على ا�ستخدام الم�شتقة كاقتران في �س‪.‬‬ ‫‪1515‬تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ )4‬من خلال مجموعات ثنائية‪ ،‬بالتحقق من امتلاك الطلبة مهارة �إيجادَ‬ ‫الم�شتقة ب�شكل عام‪.‬‬ ‫‪1616‬حل مثال (‪ )8‬بو�صفه مثالاً �أو تطبي ًقا عمل ًّيا على الم�شتقة‪ ،‬والتركيز على الربط بين الم�شتقة‪ ،‬ومعدل تغير‬ ‫اق�تران عند نقطة‪ .‬ثم تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ )5‬ومتابعة الحلول؛ لتقديم التغذية الراجعة والدعم‬ ‫اللازم‪.‬‬ ‫‪63‬‬

‫‪1717‬حل المثال (‪ )9‬ومناق�شته وت أ�كيد طريقة حله باعتبار المهارات التي فيه من المهارات العقلية العليا‪.‬‬ ‫‪1818‬تق�سيم الطلبة إ�لى مجموعات (‪ )6-4‬وتكليفهم بتنفيذ ورقة العمل (‪ .)2-2‬ثم متابعة الطلبة وتقديم‬ ‫الدعم لهم ثم ختم الدر�س ب�س�ؤالهم عن المفاهيم والتعريفات التي وردت في الدر�س‪.‬‬ ‫‪1919‬تكليف الطلبة بحل تمارين وم�سائل واج ًبا بيت ًّيا‪ ،‬ومتابعة حلولهم لتقديم التغذية الراجعة والدعم‬ ‫اللازم لهم‪.‬‬ ‫معلومات �إ�ضافية‬ ‫‪�- -‬سيناق�ش الدر�س القادم العلاقة بين الا�شتقاق والات�صال عند نقطة‪ .‬إ�ذا كان اقتران غير مت�صل عند نقطة‬ ‫فهو غير قابل للا�شتقاق عند هذه النقطة‪ .‬في هذا الدر�س ُي�ستخدم تعريف الم�شتقة لبحث قابلية الا�شتقاق‬ ‫عند نقطة‪ ،‬وفي هذه الحالة لا حاجة للبحث في الات�صال‪.‬‬ ‫‪- -‬ا�ستخدم العلماء القدماء مفهوم الم�شتقة في الهند�سة على أ�نه ميل المما�س ‪ .‬أ�ول من اكت�شف م�شتقة كثير‬ ‫الحدود �شرف الدين الطو�سي (‪ 1213 – 1135‬م )‪� .‬أما الاتجاه الحديث في ح�ساب التفا�ضل فيعود �إلى‬ ‫ا إ��سحق نيوتن (‪ )1727 – 1643‬وليبنتز (‪ )1716 – 1646‬وكان نيوتن �أول من طبق التفا�ضل في‬ ‫الفيزياء النظرية‪ .‬طور ليبنتز أ�كثر رموز التفا�ضل الم�ستخدمة حال ًّيا‪.‬‬ ‫أ�خطاء �شائعة‬ ‫قد يخطئ بع�ض الطلبة في ح�ساب م�شتقة اقتران با�ستخدام التعريف عند نقطة الت�شعب؛ نتيجة الخط أ�‬ ‫بح�ساب قيمة الاقتران عند هذه النقطة ‪ .‬فمثل ًا في الاقتران‪:‬‬ ‫‪� ،‬س ≥ ‪3‬‬ ‫�س‪ 2‬‬ ‫‪� ،‬س < ‪3‬‬ ‫ق(�س) = ‪�2‬س ‪1 +‬‬ ‫ق(‪ 9 = )3‬ومن الخط�أ القول ق(‪7 = ) 3‬‬ ‫�أ ِّكد �أن قيمة الاقتران عند نقطة الت�شعب تكون في الجزء الذي فيه الم�ساواة‪.‬‬ ‫مراعاة الفروق الفردية‬ ‫علاج‬ ‫‪ )1‬ا�ستخدم تعريف الم�شتقة الأولى عند نقطة إليجاد م�شتقة كل اقتران عند النقطة المطلوبة‪:‬‬ ‫�أ ) ق(�س) = �س ‪� ، 2 +‬س = ‪ 1‬ب) ق(�س)= �س ‪� ،‬س = ‪4‬‬ ‫‪ )2‬جد ق (�س) با�ستخدام تعريف الم�شتقة‪َ:‬‬ ‫�أ ) ق(�س) = ‪�3‬س ب) ق(�س) = �س‪� 6 + 2‬س ‪.‬‬ ‫‪64‬‬

‫‪1‬‬ ‫ب)‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪� )1‬أ ) ‪ 1‬‬ ‫ب) ‪� 2‬س ‪6 +‬‬ ‫‪ )2‬أ� ) ‪ 3‬‬ ‫�إثراء‬ ‫‪ )1‬إ�ذا كان ق(�س) = �س ‪ ، 2 -‬ف�أجب عما ي�أتي‪:‬‬ ‫�أ ) هل يوجد مما�س للاقتران ق عند �س = ‪2‬؟‬ ‫ب) هل يوجد عدد جـ بحيث يكون ق (جـ) = ‪َ0‬‬ ‫جـ) اقترح فترة يكون لمنحنى الاقتران مما�س عند نقطة من نقاطها‪.‬‬ ‫‪� ) 2‬إذا كان ن عد ًدا �صحي ًحا موج ًبا ف�أثبت أ� َّن‪:‬‬ ‫ق(�س ‪ +‬نهـ) ‪ -‬ق(�س ‪ -‬نهـ)‬ ‫= ‪2‬ن ق (�س)َ‬ ‫هـ‬ ‫نهــــــــا‬ ‫هـ ←‪0‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫ب) لا‬ ‫‪� )1‬أ ) لا ؛ أل َّن ق غير قابل للا�شتقاق عند �س = ‪ 2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ ،‬مما�س عند �س =‬ ‫جـ) [ ‪] 3 ،2‬‬ ‫‪ ) 2‬اتبع خطوات مثال ‪ 9‬من هذا الدر�س ‪.‬‬ ‫استراتيجيات التقويم وأدواته‬ ‫ا�ستراتيجية التقويم‪ :‬مراجعة الذات ‪ ،‬التوا�صل‪ ،‬الورقة والقلم‪.‬‬ ‫�أداة التقويم ‪� :‬سلم الت َّقدير ( ‪ ،)1-2‬قائمة الر�صد ( ‪ ،)3-2‬ورقة العمل (‪.)2-2‬‬ ‫إجابات التمارين والمسائل والتدريبات‬ ‫التدريبات‬ ‫(‪ )2‬افر�ض ‪ 5‬هـ = ل ‪ ،‬الإجابة ‪10 -‬‬ ‫‪5 )1( )1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪) 2‬‬ ‫‪ ،‬ق‪َ2 = )1(+‬‬ ‫‪ ) 3‬ق(‪ ، 4 = )1-‬ق(‪ )1‬غير موجودة ‪ ،‬ق‪َ َ َ4 = )1(-‬‬ ‫‪� - 8‬س‪2‬‬ ‫(�س‪2)8 + 2‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪ ) 5‬م(�س) = �س‪ . 2‬معدل التغير عند نقطة م (�س) =‪�2‬س ( با�ستخدام التعريف) ‪ ،‬م (‪� 40= )20‬سمَ َ‬ ‫‪65‬‬

‫التمارين والم�سائل‬ ‫‪1‬‬ ‫جـ)‬ ‫‪� )1‬أ ) ‪ 5 -‬ب) ‪ 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ د ) ق(‪ )0‬غير موجودة ‪ ،‬ق(‪ )6‬غير موجودة ‪ ،‬ق(‪َ َ َ5= )3‬‬ ‫‪َ3‬‬ ‫ هـ) ك(‪ ، 2- = )1‬ك(‪ )2‬غير موجود ة َ َ‬ ‫‪2‬‬ ‫و ) ق(‪= )1 -‬‬ ‫جـ) ‪� 3‬س‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‬ ‫‪4‬‬ ‫�س‪+ 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� )2‬أ )‬ ‫ب) ‪�2‬س ‪ 6 -‬‬ ‫�س‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ د ) ‪� 3 3‬س‪2‬‬ ‫‪� )3‬أ ) إ��ضافة وطرح ق(�س) في الب�سط ثم ف�صل الك�سر �إلى جز�أين ‪.‬‬ ‫ب) �إ�ضافة وطرح ع ق(ع) في الب�سط ثم ف�صل الك�سر �إلى جز أ�ين ‪.‬‬ ‫جـ) �إخراج ‪ 3‬عاملاً م�شتر ًكا من الب�سط ثم �إ�ضافة وطرح ع ق(�س) من الب�سط‪ ،‬ثم ف�صل الك�سر �إلى جز أ�ين‪.‬‬ ‫‪ )4‬إ��ض��افة وطرح ق(‪ )5‬في الب�س��ط ثم ف�ص��ل الك�سر إ�لى جز أ�ين‪ ،‬ثم فر�ض ‪4‬هـ = م ‪ 2 -،‬هـ = ل أ�و أ�ية‬ ‫رموز �أخرى‪.‬‬ ‫‪ )5‬تطبيق ال�صيغة الثانية من تعريف الم�شتقة عند نقطة‪.‬‬ ‫‪ )6‬ع = نق ‪ ، 2 +‬م(نق) = ‪ π 2‬نق ( نق ‪ ، )2 +‬م (‪�π 28 =)6‬سمَ‬ ‫‪24 ) 7‬‬ ‫‪ ) 8‬ح ( ل) = ل‪ ، 3‬ح (‪ 12 = )2‬وحدة مربعة (با�ستخدام التعريف)‪َ.‬‬ ‫‪ ) 9‬ا�شتق حجم الكرة بالن�سبة �إلى طول ن�صف القطر با�ستخدام التعريف‪.‬‬ ‫�إجابات ورقة العمل (‪)2-2‬‬ ‫‪ )1‬أ� ) ‪ 4‬ب) ‪3‬‬ ‫‪ )2‬با�ستخدام التعريف ق‪ ، 2 - = )3 -( -‬ق‪� = )3 -(+‬صف ًرا ‪ ،‬ق(‪ )3 -‬غير موجودةَ َ َ‬‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ا�ستخدم التعريف ‪ .‬ا إلجابة‬ ‫‪ )3‬‬ ‫‪66‬‬

‫الف�صل ا ألول‪ :‬معدل التغير والم�شتقات‬ ‫عدد الح�ص�ص ح�صتان‬ ‫الات�صال والا�شتقاق‬ ‫ثال ًثا‬ ‫نتاجات التعلم‬ ‫‪- -‬يف�س العلاقة بين ات�صال اقتران عند نقطة‪ ،‬وقابلية ا�شتقاقه عند هذه النقطة‪.‬‬ ‫‪- -‬يدر�س قابلية اقتران للا�شتقاق عند نقطة معينة م�ستعي ًنا بالات�صال‪.‬‬ ‫‪- -‬يبين الحالات التي يكون فيها الاقتران غير قابل للا�شتقاق عند نقطة‪.‬‬ ‫التكامل الر أ��سي‬ ‫‪- -‬الاقترانات الحقيقية في ال�صف الحادي ع�شر العلمي‪.‬‬ ‫المفاهيم والم�صطلحات والرموز‬ ‫م�صادر التعلم‬ ‫‪- -‬قابلية اقتران للا�شتقاق عند نقطة‪ ،‬ات�صال اقتران‬ ‫‪- -‬كتاب الطالب‪ ،‬ال�صفحات (‪.)101-93‬‬ ‫عند نقطة‪.‬‬ ‫‪- -‬من�صة إ�دراك للتعلم المدر�سي‬ ‫‪https: //programs.edraak.org /‬‬ ‫‪learn /k12/math-g12-jo-vv1‬‬ ‫التعلم القبلي‬ ‫‪- -‬نهاية اقتران عند نقطة‪ ،‬طرق إ�يجاد النهايات‪،‬ات�صال اقتران عند نقطة‪ .‬الم�شتقة الأولى لاقتران عند نقطة‪،‬‬ ‫الم�شتقة ا ألولى لاقتران عند نقطة من اليمين ‪ ،‬الم�شتقة ا ألولى لاقتران عند نقطة من الي�سار‪.‬‬ ‫استراتيجيات التدريس‬ ‫التدري�سالمبا�شر(الأ�سئلةوالأجوبة‪،‬التدريباتوالتمارين)‪،‬التعلمفيمجموعات(المناق�شة‪،‬فكر‪-‬انت ِقزميلًا‪�-‬شارك)‪،‬الا�ستق�صاء‪.‬‬ ‫�إجراءات التنفيذ‬ ‫‪1 -1‬التمهيد للدر�س من خلال مراجعة تعريف ات�صال اقتران عند نقطة‪ ،‬وقابلية اقتران للا�شتقاق عند‬ ‫نقطة‪ ،‬الم�شتقة من اليمين عند نقطة ‪ ،‬الم�شتقة من الي�سار عند نقطة‪.‬‬ ‫‪2 -2‬عر�ض م�سائل لاقترانات مت�صلة عند نقاط معينة‪ ،‬بحيث يكون بع�ضها قابل ًا للا�شتقاق وبع�ضها غير‬ ‫قابل للا�شتقاق عند هذه النقاط؛ على �أن تت�ضمن الم�سائل اقترانات تت�شعب قواعدها عند النقاط المعنية‪،‬‬ ‫ويكون المطلوب فيها بحث الات�صال وقابلية الا�شتقاق عند النقط المحددة‪.‬‬ ‫‪67‬‬

‫‪3 -3‬تق�سيم الطلبة إ�لى مجموعات (‪ ،)6–4‬والطلب إ�ليهم ا إلجابة عن الأ�سئلة التي ُعر�ضت في الفقرة‬ ‫ال�سابقة؛ بحيث ُتعطى كل مجموعة �س ؤ�ال ًا واحداً‪ ،‬ثم عر�ض حلول المجموعات‪.‬‬ ‫‪4 -4‬طرح ال�س�ؤال‪ :‬إ�ذا كان الاقتران ق مت�صل ًا عند نقطة؛ فهل يكون قابل ًا للا�شتقاق عند هذه النقطة؟‬ ‫الا�ستماع للإجابات من المجموعات؛ لا�ستق�صاء العلاقة بين الات�صال وقابلية الا�شتقاق عند نقطة‬ ‫بالا�ستعانة بالأمثلة ال�سابقة التي ُح َّلت‪.‬‬ ‫‪5 -5‬طــرح ال�ســــ�ؤال‪ :‬إ�ذا كان الاقتران ق قابلاً للا�شتقاق عند نقطة فهل يكون مت�صلاً عند هـذه النقطة؟‬ ‫الا�ستمــاع للإجــابات ثم عر�ض نظرية (‪ )1‬والتركيز على الفر�ضيــات‪ ،‬والعلاقـــات المت�ضمنة فيها‬ ‫ومناق�شة برهانها‪.‬‬ ‫‪6 -6‬حل مثال (‪ )1‬ومناق�شته بو�صفه تطبي ًقا على النظرية والتركيز على مثل هذا النوع من الأ�سئلة‪� .‬أكد‬ ‫المعنى الهند�سي لوجود الم�شتقة عند نقطة‪ ،‬وهو وجود مما�س واحد فقط لمنحنى الاقتران عند هذه‬ ‫النقطة‪ ،‬وهذا من أ�هم التطبيقات الهند�سية في التفا�ضل‪.‬‬ ‫‪7 -7‬حل مثال (‪ )2‬ومناق�شته لتو�ضيح �أن عك�س النظرية غير �صحيح‪ ،‬ودعم هذه الحقيقة با إل�شارة ألمثلة‬ ‫َح َّلتها المجموعات في المهمة ال�سابقة‪ ،‬ثم توجيه الطلبة �إلى حل تدريب (‪ ،)1‬ومتابعتهم لتقديم الدعم‪.‬‬ ‫‪ 8 -8‬طرح ال�س ؤ�ال ‪ :‬إ�ذا كان الاقتران غير مت�صل عند نقطة؛ فهل يمكن �أن يكون قابلاً للا�شتقاق عند هذه‬ ‫النقطة؟ الا�ستماع ل إلجابات ولت أ�كيد أ�ن ا إلجابة ال�صحيحة في ن�ص نظرية (‪ ،)2‬ثم عر�ض النظرية‪.‬‬ ‫‪9 -9‬حل ومناق�شة مثال (‪ )3‬والت�أكيد توظيف نظرية (‪ )2‬في حل الجزء الثاني منه‪ .‬ثم توجيه الطلبة �إلى حل‬ ‫تدريب (‪ ،)2‬ومتابعة حلولهم لتقديم التغذية الراجعة والدعم اللازم‪.‬‬ ‫‪1010‬حل و مناق�شة مثال (‪ )4‬وت أ�كيد أ�نه نمط آ�خر من الأ�سئلة ُيطلب فيه بحث الم�شتقة على مجال الاقتران‪،‬‬ ‫وهذا يتطلب البحث في م�شتقة الاقتران على فترة إ��ضافة‪� ،‬إلى البحث عن قابلية الاقتران للا�شتقاق عند‬ ‫نقطة (نقاط) الت�شعب إ�ن وجدت‪.‬‬ ‫‪1111‬ختم الدر�س بتكليف الطلبة بتنفيذ ورقة العمل (‪ )3-2‬ومتابعة الطلبة وتقديم الدعم لهم و�س ؤ�الهم عن‬ ‫العلاقة بين الات�صال والا�شتقاق‪ ،‬والنظريات التي تدعم هذه العلاقة‪.‬‬ ‫‪1212‬تكليف الطلبة بحل تمارين وم�سائل بو�صفها واج ًبا بيت ًّيا‪ ،‬ثم مناق�شة الإجابات في الح�صة القادمة‪.‬‬ ‫‪68‬‬

‫معلومات �إ�ضافية‬ ‫‪- -‬توفر النظرية (‪ )2‬في ال�صفحة (‪ )97‬من الكتاب المدر�سي الوقت والجهد عند البحث في قابلية اقتران‬ ‫للا�شتقاق عند نقطة‪ .‬يمكن تو�ضيح الفكرة بعر�ض المثال ا آلتي‪:‬‬ ‫‪�- -‬إذا كان ق(�س)= �س ‪� +‬س ‪� ، 1 +‬س ≥ ‪ ،4‬ابحث في قابلية الاقتران ق للا�شتقاق عند �س = ‪.4‬‬ ‫‪� ،‬س < ‪4‬‬ ‫‪�2‬س ‬ ‫الحل‪:‬الاقتران غير مت�صل عند �س= ‪ 4‬فهو غير قابل للا�شتقاق عندها‪.‬‬ ‫�أخطاء �شائعة‬ ‫‪- -‬قد ي�ص ُعب على الطلبة فهم العلاقة بين الات�صال والا�شتقاق عند الربط بين النظريتين ‪2 ، 1‬؛ ولذا �أكد‬ ‫م�ضمون النظريتين وكيفية ا�ستخدامهما من خلال ا ألمثلة التو�ضيحية‪.‬‬ ‫مراعاة الفروق الفردية‬ ‫‪� ،‬س ≥ ‪3‬‬ ‫علاج‬ ‫‪� ،‬س < ‪3‬‬ ‫‪ ،‬ف�أجب عما ي أ�تي‪:‬‬ ‫�س‪ 2‬‬ ‫�إذا كان ق(�س)=‬ ‫‪�3‬س ‬ ‫‪ )1‬ب ّين �أن ق مت�صل عند �س = ‪. 3‬‬ ‫‪ )2‬ا�ستخدم تعريف الم�شتقة لتثبت �أ َّن ق غير قابل للا�شتقاق عند �س = ‪3‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪ )1‬ط ِّبق �شروط الات�صال‪.‬‬ ‫‪ )2‬ا�ستخدم تعريف الم�شتقة لتجد الم�شتقة من اليمين والي�سار‪.‬‬ ‫�إثراء‬ ‫اكتب اقترا ًنا مت�صل ًا على مجاله و مت�شع ًبا عند نقطتين من نقاطه؛ بحيث يكون قابلاً للا�شتقاق عند نقطة‬ ‫وغير قابل للا�شتقاق عند الأخرى‪.‬‬ ‫الحل‪ :‬انظر إ�جابات الطلبة وتحقق منها‪.‬‬ ‫استراتيجيات التقويم وأدواته‬ ‫ا�ستراتيجية التقويم‪ :‬مراجعة الذات‪ ،‬التوا�صل‪ ،‬الملاحظة‪ ،‬الورقة والقلم‪.‬‬ ‫أ�داة التقويم‪� :‬سلم التقدير (‪ ،)1-2‬قائمة الر�صد (‪ ،)3- 2‬قائمة الر�صد (‪ ،)6- 2‬ورقة العمل (‪.)3- 2‬‬ ‫‪69‬‬

‫إجابات التمارين والمسائل والتدريبات‬ ‫التدريبات‬ ‫‪ ) 1‬الفرع الأول غير مت�صل عند �س= ‪ 2‬؛ لأن النهاية من اليمين ≠ النهاية من الي�سار‪.‬‬ ‫الفرع الثاني غير قابل للا�شتقاق عند �س= ‪ 2‬؛ لأن الم�شتقة من اليمين ≠ الم�شتقة من الي�سار‪.‬‬ ‫‪ )2‬غير قابل للا�شتقاق عند �س = ‪ 2‬؛ لأنه غير مت�صل عندها ‪ ،‬ق(‪َ. 8 = )4‬‬ ‫التمارين والم�سائل‬ ‫‪� )1‬أ ) غير قابل للا�شتقاق عند �س=‪ 1‬؛ لأنه غير مت�صل عندها‪.‬‬ ‫ب) غير قابل للا�شتقاق عند �س= ‪ 2‬؛ لأن الم�شتقة من اليمين ≠ الم�شتقة من الي�سار‪.‬‬ ‫=‪ ، 0‬وغير قابل للا�شتقاق عند �س = ‪ 1 -‬لأنه غير مت�صل عندهاَ ( )‬‫‪1‬‬ ‫جـ ) ل‬ ‫‪4‬‬ ‫د ) غير قابل للا�شتقاق عند �س = ‪� ، 0‬س = ‪ 5‬غير قابل للا�شتقاق عند �س= ‪ 3‬لأن الم�شتقة‬ ‫من اليمين ≠ الم�شتقة من الي�سار‪.‬‬ ‫‪َ1‬‬ ‫ق(‪=)9‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪� )3‬أ = ‪1 -‬‬ ‫‪� ،‬س < ‪1-‬‬ ‫‪ 2-‬‬ ‫‪� ≤ 1- ،‬س < ‪1‬‬ ‫‪�2‬س َ‬ ‫‪ ) 4‬ق(�س)=‬ ‫‪� ،‬س = ‪1‬‬ ‫‪� ،‬س >‪1‬‬ ‫غير موجود ة ‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ )5‬غير قابل للا�شتقاق عند �س= ‪ 2‬؛ لأن الم�شتقة من اليمين ≠ الم�شتقة من الي�سار‪.‬‬ ‫‪� ، 0‬س < ‪0‬‬ ‫‪� < 0 ، 1-‬س < ‪4‬‬ ‫‪� ،‬س = ‪5 ، 4 ، 0‬‬ ‫غير موجود ة ‬ ‫‪ ) 6‬ق(�س)=َ‬ ‫‪� ،‬س >‪� ، 4‬س ≠ ‪5‬‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪� - 5‬س)‪ 2‬‬ ‫‪70‬‬

‫‪� < 1 ،‬س < ‪2‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ )7‬ق(�س)=َ‬ ‫‪� < 2 ،‬س < ‪3‬‬ ‫‪ 1 -‬‬ ‫‪� < 3 ،‬س < ‪4‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫غير موجود ة‬ ‫‪� ،‬س = ‪4 ، 3 ، 2 ،1‬‬ ‫إ�جابات ورقة العمل (‪)3-2‬‬ ‫‪ ) 1‬غير قابل للا�شتقاق عند �س = ‪ 1‬؛ لأ َّن الم�شتقة من اليمين ≠ الم�شتقة من الي�سار‬ ‫غير قابل للا�شتقاق عند �س = ‪ 2‬؛ لأ َّنه غير مت�صل عند ‪. 2‬‬ ‫‪ )2‬أ� = ‪5‬‬ ‫‪ )3‬الاقتران القابل للا�شتقاق عند نقطة يكون مت�صلاً عند هذه النقطة‪.‬‬ ‫الاقتران غير مت�صل عند نقطة يكون غير قابل للا�شتقاق عند هذه النقطة‪.‬‬ ‫الاقتران المت�صل عند نقطة قد يكون قابلاً للا�شتقاق‪ ،‬وقد لا يكون قابلاً للا�شتقاق عند هذه النقطة‪.‬‬ ‫‪71‬‬

‫الف�صل الثاني‪ :‬قواعد الا�شتقاق‬ ‫عدد الح�ص�ص ح�صتان‬ ‫قواعد الا�شتقاق ‪1‬‬ ‫�أول‬ ‫نتاجات التعلم‬ ‫‪- -‬ي�ستخدم قواعد الا�شتقاق إليجاد الم�شتقات‪.‬‬ ‫التكامل الر أ��سي والأفقي‬ ‫‪- -‬كتاب الريا�ضيات جمع الاقترانات وطرحها في ال�صفين العا�شر الأ�سا�سي‪ ،‬والحادي ع�شر العلمي‪.‬‬ ‫المفاهيم والم�صطلحات والرموز‬ ‫م�صادر التعلم‬ ‫‪ - -‬م�شتقة مجموع اقترانين‪ ،‬م�شتقة طرح اقترانين‬ ‫‪- -‬كتاب الطالب‪ ،‬ال�صفحات (‪.)109-102‬‬ ‫‪ - -‬من�صة إ�دراك للتعلم المدر�سي‬ ‫‪https: //programs.edraak.org /‬‬ ‫‪learn /k12/math-g12-jo-vv1‬‬ ‫التعلم القبلي‬ ‫‪- -‬قابلية اقتران للا�شتقاق عند نقطة‪ ،‬الاقتران الثابت‪ ،‬جمع الاقترانات وطرحها‪ ،‬اقتران كثير حدود‪.‬‬ ‫‪ - -‬العلاقة ع ن– �سن = (ع – �س) ( عن – ‪ + 1‬عن – ‪�2‬س ‪ +‬ع ن – ‪�3‬س‪ +... + 2‬ع �سن – ‪� +2‬سن –‪)1‬‬ ‫استراتيجيات التدريس‬ ‫التدري�سالمبا�شر(الأ�سئلةوالأجوبة‪ ،‬أ�وراقعمل)‪،‬التعلمفيمجموعات(فكر‪-‬انت ِقزميلًا‪�-‬شارك)‪،‬حلالم�شكلاتوالا�ستق�صاء‪.‬‬ ‫�إجراءات التنفيذ‬ ‫‪1 -1‬التمهيد للدر�س من خلال طرح ال�س ؤ�ال‪ :‬إ�ذا كان كل من ق(�س)‪ ،‬هـ(�س) قابل ًا للا�شتقاق عند �س‪1‬‬ ‫وكان ل(�س) = ق(�س) ‪+‬هـ(�س)‪ ،‬هل ل(�س) قابل ًا للا�شتقاق عند �س‪1‬؟ إ�ن كانت ا إلجابة نعم فكيف‬ ‫تجد ل(�س‪ )1‬؟ كرر ال�س�ؤال �إذا كان م(�س) = ق(�س) ‪ -‬هـ(�س)‬ ‫‪2 -2‬تكليف الطلبـــة ب إ�يجــاد م�شتقــــة اقـــتران مثـــل ق(�س) = ‪� 2‬س‪� + 3‬س‪� 8 - 2‬أو الاقتــــران ق(�س)َ‬ ‫= �س‪� | 3‬س| أ�و �أي اقتران �آخر م�شابه؛ با�ستخدام تعريف الم�شتقة‪ ،‬ثم �س�ؤال الطلبة عن الوقت‬ ‫الم�ستهلك والجهد المبذول إليجاد الم�شتقة‪ ،‬والتو�صل معهم �إلى أ�همية ا�ستخدام طرق بديلة‬ ‫لإيجاد م�شتقة اقترانات من هذا النوع‪.‬‬ ‫‪72‬‬

‫‪3 -3‬مناق�شة قاعدة الا�شتقاق (‪ )1‬وتف�سيرها هند�س ًّيا‪ ،‬وحل �أمثلة كافية بو�صفها تطبي ًقا عليها‪.‬‬ ‫‪4 -4‬كتابة العلاقة عن– �سن = (ع ‪� -‬س) ( ع ن – ‪ + 1‬ع ن – ‪�2‬س ‪ +‬عن – ‪�3‬س‪ +... + 2‬ع �سن – ‪� + 2‬سن –‪)1‬‬ ‫على اللوح وتو�ضيح الحاجة �إليها في البرهان‪ ،‬ثم عر�ض قاعدة (‪ )2‬ومناق�شة برهانها مع الطلبة والتركيز‬ ‫عليها باعتبارها من القواعد الأ�سا�سية في الا�شتقاق‪ ،‬مناق�شة مثال (‪ )2‬بو�صفه مثال ًا مبا�ش ًرا على القاعدة‪.‬‬ ‫‪5 -5‬تق�سيم الطلبة إ�لى مجموعات (‪ )6 - 4‬وتوجيههم �إلى إ�ثبات �صحة القاعدة (‪ )3‬مع المتابعة‪ ،‬وتقديم‬ ‫الدعم ح�سب الحاجة‪ ،‬ثم عر�ض �أعمال المجموعات أ�مام ال�صف‪ ،‬ثم مناق�شة المثالين (‪ )4 ،3‬وت أ�كيد‬ ‫أ�ن حل مثال (‪ )4‬يتم دون الحاجة �إلى إ�عادة تعريف القيمة المطلقة‪ .‬تكليف المجموعات بحل تدريب‬ ‫(‪ ،)1‬ثم عر�ض �أعمال المجموعات �أمام ال�صف‪ ،‬الت�أكد من تطبيق قواعد الا�شتقاق ب�شكل �صحيح‪.‬‬ ‫‪6 -6‬مناق�شة قاعدة (‪ )4‬المتعلقة بال�س ؤ�ال المطروح في بداية الح�صة‪ ،‬ومناق�شة برهانها وت أ�كيد �أنها إ�حدى‬ ‫�أهم قواعد الا�شتقاق‪ ،‬ثم التعبير عن القاعدة بالكلام �إ�ضافة �إلى الرموز‪ ،‬ومن ثم مناق�شة مثال (‪.)5‬‬ ‫‪7 -7‬مناق�شة التعميم المتعلق با�شتقاق مجموع ن من الاقترانات‪ ،‬ثم النتيجة المتعلقة بقابلية اقتران كثير‬ ‫الحدود للا�شتقاق على ح‪.‬‬ ‫‪8 -8‬حل الأمثلة (‪ )8 ، 7 ، 6‬ومناق�شتها على اللوح با�ستراتيجية حل الم�شكلات بم�شاركة الطلاب‪،‬‬ ‫والتركيز على �إعادة تعريف اقترانات القيمة المطلقة و�أكبر عدد �صحيح وتطبيق قواعد الا�شتقاق‬ ‫ب�شكل �صحيح؛ بهدف تنمية قدرات الطلبة على اختيار القاعدة المنا�سبة‪.‬‬ ‫‪9 -9‬تكليف المجموعات بحل التدريبين(‪ ،)3، 2‬ومتابعتها لتقديم التغذية الراجعة والدعم اللازم‪ ،‬ثم‬ ‫عر�ض أ�عمال المجموعات أ�مام ال�صف‪.‬‬ ‫‪1010‬ختم الدر�س بتكليف الطلبة بتنفيذ ورقة العمل (‪ ،)4-2‬ومتابعة الطلبة وتقديم الدعم لهم و�س�� ؤ�الهم‬ ‫عن قواعد الا�شتقاق التي تعلموها في هذا الدر�س‪ ،‬ولماذا يتم ا�ستخدامها‪ ،‬ويمكن ختم الدر�س بتنفيذ‬ ‫م�سابقة �أو لعبة بين الطلبة حول نتاجات الدر�س‪.‬‬ ‫‪1111‬تكليف الطلبة بحل تمارين وم�سائل بو�صفها واج ًبا بيت ًّيا‪ ،‬ثم مناق�شة ا إلجابات في الح�صة القادمة‪.‬‬ ‫معلومات �إ�ضافية‬ ‫يعتمد إ�يجاد الم�شتقات على ا�ستخدام قواعد الا�شتقاق؛ لذلك لا بد للطالب من فهم قواعد الا�شتقاق‬ ‫وحفظها واختيار المنا�سب منها عند حل التمارين والم�سائل ‪ ،‬ي�شبه هذا ا ألمر �إيجاد النهايات الذي يعتمد‬ ‫على ا�ستخدام الطريقة المنا�سبة لإيجاد النهاية‪.‬‬ ‫‪73‬‬

‫�أخطاء �شائعة‬ ‫‪ -‬قد يخطئ بع�ض الطلبة في إ�يجاد م�شتقة الاقتران الثابت من النمط ق(�س) = حـ‪ ، 3‬حـ عدد ثابت‪،‬‬ ‫فيكتبون ق (�س) = ‪ 3‬حـ‪ .2‬أ�كد أ�ن حـ‪ ، 2‬حـ‪ ، 3‬حـ‪... ، 4‬الخ كلها أ�عداد ثابتة بالن�سبة إ�لى �س و أ� َّن م�شتقةَ‬ ‫الثابت �صفر ‪ .‬ق ّدم تدريبات م�شابهة‪.‬‬ ‫‪ -‬في بع�ض الاقترانات مثل ق(�س) = ‪� 3‬س‪�6 - 4‬س‪�5 + 3‬س ‪2 +‬؛ قد يخطئ الطلبة بالقول إ� َّن ق(‪َ0=)0‬‬ ‫أل َّن ق(‪� ، 2 = )0‬أكد لهم ب�أنه يجب إ�يجاد ق (�س) �أولا ثم التعوي�ض بال�صفر‪َ.‬‬ ‫مراعاة الفروق الفردية‬ ‫علاج‬ ‫‪ ) 1‬جد ق(�س) لكل مما ي أ�تيَ‬ ‫�أ ) ق(�س) = ‪ 2 π‬ب) ق(�س) = �س‪� + 3‬س‪�4 - 2‬س ‪7 -‬‬ ‫‪� )2‬إذا كان ق(�س) = ل(�س) ‪ 2 +‬هـ (�س) وكان ل (‪ ، 4 = )1‬هـ (‪ 3 - = )1‬فجد ق (‪َ َ َ.)1‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪� )1‬أ ) �صف ر ب) ‪� 3‬س‪� 2 + 2‬س – ‪4‬‬ ‫‪2 - )2‬‬ ‫إ�ثراء‬ ‫‪ ) 1‬كرة طول ن�صف قطرها (�س ) وحدة تتمدد بالحرارة محافظة على �شكلها‪ ،‬اكتب قاعدة لح�ساب‬ ‫معدل تغير حجم الكرة بالن�سبة لطول ن�صف قطرها‪ ،‬ثم جد معدل تغير حجم الكرة عندما يكون‬ ‫طول ن�صف قطرها ‪� 10‬سم‪.‬‬ ‫‪ )2‬إ�ذا كان ق(�س) = جـ �س‪� 4 + 3‬س ‪ ،‬جـ ثاب ًتا وكان‬ ‫= ‪ 10‬فجد قيمة الثابت جـ ‪.‬‬ ‫ق(‪ + 1-‬هـ) ‪ -‬ق(‪)1-‬‬ ‫نهــــــــا‬ ‫هـ‬ ‫هـ ←‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ح (‪� π400 = )10‬سم‪َ َ2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ح = ‪ π4‬نق‪2‬‬ ‫‪ π‬نق‪، 3‬‬ ‫ح=‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪ )2‬ق(‪ ، 10 = )1 -‬ومنه جـ = ‪َ2‬‬ ‫‪74‬‬

‫استراتيجيات التقويم وأدواته‬ ‫ا�ستراتيجية التقويم ‪ :‬مراجعة الذات‪ ،‬التوا�صل‪ ،‬الملاحظة‪ ،‬الورقة والقلم‪.‬‬ ‫�أداة التقويم‪� :‬سلم التقدير (‪ ،)2-2‬قائمة الر�صد (‪ ،)4-2‬قائمة الر�صد (‪ ،)6-2‬ورقة العمل (‪.)4-2‬‬ ‫إجابات التمارين والمسائل والتدريبات‬ ‫الفرع الثالث‪1 :‬‬ ‫الفرع الثاني ‪� 8 - :‬س ‬ ‫التدريبات‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )1‬الفرع الأول ‪� :‬صف ر‬ ‫‪5 )2‬‬ ‫‪ )3‬الفرع ا ألول ‪�32 :‬س‪� 50 – 3‬س‪ 4‬الفرع الثاني‪ :‬ق(�س) = ‪� + 2‬س ‪ ،‬ق(‪َ1 = )0.4‬‬ ‫التمارين والم�سائل‬ ‫‪� )1‬أ ) � صفر ب) ‪� 40‬س‪9‬‬ ‫�س‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫د‬ ‫جـ) �ص فر ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪� )2‬أ ) ‪� 2‬س ‪ 3 +‬‬ ‫�س‬ ‫‪2‬‬ ‫ب)‬ ‫جـ) ‪� π4‬س‪ 2‬‬ ‫د ) �س‪� + 3‬س‪1 - 2‬‬ ‫‪� )3‬أ ) ‪ 2 -‬ب) ‪9‬‬ ‫جـ) ‪ 19.2 -‬د ) ‪4‬‬ ‫‪� )4‬أ ) ‪ 3 0‬ب) ‪11‬‬ ‫‪� )5‬أ = ‪ ، 6 -‬ب = ‪2‬‬ ‫‪ ) 6‬ا�شتق جز�أي الاقتران ثم جد ق ‪( +‬جـ)‪ ،‬ق‪( -‬جـ) ‪ ،‬ق(جـ) = ل(جـ)َ َ َ َ‬ ‫�إجابات ورقة عمل (‪)4-2‬‬ ‫الاقتران ق(�س) = جـ ق(�س) = �س ق(�س) = �سن ق(�س) = ل(�س) ‪ ±‬هـ (�س) ق(�س) = حـ ل(�س)‬ ‫الم�شتقة َق(�س) = ‪َ 0‬ق(�س) =‪ 1‬ق(�س) = ن �سن‪َ َ1-‬ق(�س) = َل(�س) ‪ ±‬هـَ (�س) َق(�س) = حـ َل(�س)‬ ‫ق(�س) =|‪�2‬س‪|6 -‬‬ ‫‪�2 -‬س‪َ4‬‬‫�س‪3‬‬‫‪1‬‬‫ق(�س)=‬‫ق(�س) = ‪ π6‬ق(�س) = �س‪ 2‬ق(�س) = �س‪�[ 4‬س]‬ ‫الاقتران‬ ‫َق (‪2 - = ) 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫قيمة‬ ‫َق (‪7 - = ) 1‬‬ ‫َق( ‪12 = ) 3‬‬ ‫) =‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫َق(‬ ‫َق(‪0 = ) 2-‬‬ ‫الم�شتقة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪75‬‬

‫الف�صل الثاني‪ :‬قواعد الا�شتقاق‬ ‫عدد الح�ص�ص ثلاث ح�ص�ص‬ ‫قواعد الا�شتقاق ‪2‬‬ ‫ثان ًيا‬ ‫نتاجات التعلم‬ ‫‪- -‬ي�ستخدم قواعد الا�شتقاق إليجاد الم�شتقات‪.‬‬ ‫التكامل الر أ��سي والأفقي‬ ‫‪�- -‬ضرب اقترانات كثيرات الحدود وق�سمتها في ال�صف العا�شر‪.‬‬ ‫‪�- -‬ضرب الاقترانات‪ ،‬والاقترانات الك�سرية في ال�صف الحادي ع�شر العلمي ‪.‬‬ ‫المفاهيم والم�صطلحات والرموز‬ ‫م�صادر التعلم‬ ‫‪- -‬م�شتقة حا�صل �ضرب اقترانين‪ ،‬م�شتقة حا�صل‬ ‫‪- -‬كتاب الطالب‪ ،‬ال�صفحات (‪.)118-110‬‬ ‫ق�سمة اقترانين‪.‬‬ ‫‪- -‬من�صة �إدراك للتعليم المدر�سي‬ ‫‪https: //programs.edraak.org /‬‬ ‫‪learn /k12/math-g12-jo-vv1‬‬ ‫التعلم القبلي‬ ‫‪- -‬قابلية اقتران للا�شتقاق عند نقطة‪ ،‬م�شتقة الاقتران الثابت‪ ،‬م�شتقة جمع اقترانين‪ ،‬م�شتقة طرح اقترانين‪.‬‬ ‫استراتيجيات التدريس‬ ‫التدري�س المبا�شر( ا أل�سئلة والأجوبة‪ ،‬أ�وراق عمل)‪ ،‬التعلم في مجموعات (المناق�شة‪ ،‬فكر‪-‬انت ِق زميلًا‪�-‬شارك)‪( ،‬التعلم‬ ‫التعاوني الجماعي)‪ ،‬التعلم من خلال الن�شاط‪ ،‬حل الم�شكلات والا�ستق�صاء‪.‬‬ ‫�إجراءات التنفيذ‬ ‫‪1 -1‬التمهيد للدر�س بطرح ال�س ؤ�ال‪� :‬إذا كان كل من ق(�س)‪ ،‬هـ(�س) قابل ًا للا�شتقاق عند �س‪ ،1‬وكان‬ ‫ل(�س)= ق(�س) ×هـ(�س) هل ل(�س) قابل للا�شتقاق عند �س‪1‬؟ �إن كانت ا إلجابة نعم فكيف تجد‬ ‫ل(�س)‬ ‫≠‬ ‫هـ(�س‪)1‬‬ ‫هـ(�س)‬ ‫‪َ.0‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ل(�س‪ )1‬؟ كرر ال�س�ؤال إ�ذا كان م(�س)=‬ ‫‪2 -2‬تق�سيم الطلبة �إلى مجموعات (‪ )6-4‬والطلب �إليهم تنفيذ ورقة العمل (‪.)5-2‬‬ ‫‪3 -3‬عر�ض ما تو�صلت إ�ليه المجموعات‪ ،‬وتو�ضيح �أهمية وجود قاعدة إليجاد م�شتقة حا�صل �ضرب‬ ‫اقترانين؛ لما توفره من جهد ووقت‪.‬‬ ‫‪76‬‬

‫‪4 -4‬كتابة القاعدة (‪ )1‬على اللوح‪ ،‬المتعلقة ب إ�يجاد م�شتقة حا�صل �ضرب اقترانين على اللوح بالرموز والتعبير‬ ‫عنها بالكلام‪ ،‬ثم مناق�شة المثال (‪ )1‬بو�صفه تطبي ًقا مبا�ش ًرا على القاعدة‪ ،‬وتكليف الطلبة بحل تدريب (‪.)1‬‬ ‫‪5 -5‬عر �ض القاعدة (‪ ،)2‬المتعلقة ب�إيجاد م�شتقة حا�صل ق�سمة اقترانين بالرموز والتعبير عنها بالكلام‪،‬‬ ‫ثم مناق�شة المثال (‪ )2‬بو�صفه تطبي ًقا مبا�ش ًرا على القاعدة‪ ،‬وتكليف الطلبة بحل تدريب (‪.)2‬‬ ‫‪6 -6‬عر�ض أ�مثلة إليجاد م�شتقات اقترانات ت�شتمل على حالات يكون فيها الب�سط عد ًدا ثاب ًتا والمقام اقترا ًنا‬ ‫للتمهيد للو�صول �إلى النتيجة (‪ .)1‬عر�ض حالات يكون فيها الب�سط اقترا ًنا والمقام عد ًدا ثاب ًتا‪ ،‬وحلها‬ ‫بطريقتين الأولى باعتبارها ب�س ًطا ومقا ًما والأخرى باعتبارها عد ًدا ثاب ًتا م�ضرو ًبا باقتران؛ مثال‪:‬‬ ‫�س‪1 + 2‬‬ ‫( �س‪)1 + 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫ق(�س)=‬ ‫ ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7 -7‬مناق�ش��ة نتيج��ة (‪ )1‬والت أ�كيد �أنها حالة خا�ص��ة م��ن القاعدة‪ )2( ،‬ثم تكلي��ف المجموعات ب�إثبات‬ ‫�صحتها في فقرة (فكر وناق�ش) �صفحة (‪.)112‬‬ ‫‪8 -8‬مناق�شة نتيجة ‪ 2‬والت أ�كيد �أنها تعميم للقاعدة (‪ )2‬من قواعد الا�شتقاق (‪ ،)1‬ثم مناق�شة مثال (‪.)3‬‬ ‫‪9 -9‬تكليف المجموعات بتنفيذ ما ورد في فقرة (فكر وناق�ش) �صفحة (‪ )113‬ثم بحل تدريب (‪ ،)3‬ومتابعة‬ ‫�أعمال المجموعات لتقديم الدعم اللازم والتغذية الراجعة‪ ،‬ثم عر�ض ما تو�صلت �إليه المجموعات‪.‬‬ ‫‪1010‬مناق�ش��ة خطوات م�ش��تقة اقتران مت�ش��عب الواردة في كتاب الطالب �ص��فحة (‪ ،)114‬وت أ�كيد تنفيذ‬ ‫الخطوات المتبعة في الكتاب‪ ،‬وخا�صة عند نقاط الت�شعب‪.‬‬ ‫‪1111‬حل المثالين (‪ )5 ، 4‬ومناق�شتهما بو�صفها تطبي ًقا مبا�ش ًرا على إ�يجاد م�شتقة اقتران مت�شعب‪.‬‬ ‫‪1212‬تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ ،)4‬ومتابعة الحلول وتقديم الم�ساعدة ح�سب الحاجة‪.‬‬ ‫‪1313‬التركي��ز على �أن فهم م�ش��تقات الاقترانات الأ�سا�س��ية وحفظها‪ ،‬وقواعد الا�ش��تقاق �أمران مهمان في‬ ‫إ�يجاد م�ش��تقات الاقترانات ا ألخرى‪ .‬و أ�كد كذلك �أنه يمكن ت�س��هيل عملية ا�شتقاق بع�ض الاقترانات‬ ‫عند كتابتها ب�صورة �إخرى‪.‬‬ ‫‪1414‬ختم الدر�س ب�س�� ؤ�ال الطلبة عن قواعد الا�ش��تقاق التي تعلموها في هذا الدر�س وفي الدر�س ال�س��ابق‬ ‫ولماذا يتم ا�س��تخدامها‪ ،‬متابعة الطلبة وتقديم الدعم لهم‪ ،‬ويمكن عمل م�س��ابقة بين طالبين �أو فريقين‬ ‫على قواعد الا�شتقاق (‪.)2( ،)1‬‬ ‫‪1515‬تكليف الطلبة بحل تمارين وم�سائل بو�صفها واج ًبا بيت ًّيا‪ ،‬ثم مناق�شة الإجابات في الح�صة القادمة‪.‬‬ ‫معلومات إ��ضافية‬ ‫�إذا ا�س ُتخدم تعريف الم�شتقة ا ألولى لبحث قابلية اقتران للا�شتقاق عند نقطة الت�شعب فلا حاجة لبحث الات�صال‪،‬‬ ‫�أما البحث في الات�صال قبل البحث في الا�شتقاق؛ فهو لتوفير الوقت والحكم بعدم قابلية الاقتران للا�شتقاق‬ ‫عند نقطة �إذا كان غير مت�صل عندها‪� .‬إذا كانت نتيجة البحث ات�صال الاقتران عند نقطة؛ فيمكن ا�ستخدام‬ ‫قواعد الا�شتقاق في حالة كون �أجزاء الاقتران على طرفي نقطة الت�شعب اقترانات كثيرة حدود أ�و ك�سرية‪.‬‬ ‫‪77‬‬

‫أ�خطاء �شائعة‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫ق(�س)‬ ‫‪7‬‬ ‫‪�4‬س ‪+‬‬ ‫‪ -‬قد يخطئ الطلبة في إ�يجاد م�شتقة‬ ‫‪3‬‬ ‫‪�3‬س‬ ‫�أو على ال�صورةَ َ‬ ‫ال�صورة‬ ‫على‬ ‫ق (�س)=‬ ‫‪�4(3‬س‪�3(4-)7+‬س)‬ ‫لمعالجة ذلك �أكد ال�صيغة ال�صحيحة مع مزيد من ا ألمثلة‪.‬‬ ‫ق (�س)= ‪�9‬س‪َ2‬‬ ‫مراعاة الفروق الفردية‬ ‫�س‪� + 2‬س‬ ‫ب) ق(�س) =‬ ‫علاج‬ ‫‪�4‬س‬ ‫‪ )1‬جد ق (�س) لكل مما ي�أتي‪َ:‬‬ ‫�أ ) ق(�س) = ( ‪�2‬س‪� - 1( )4 + 3‬س)‬ ‫‪ )2‬إ�ذا كان ل(‪ ، 2 - = )3‬ل (‪ ،8 = )3‬هـ(‪ ، 2 = )3‬هـ (‪ 10 - = )3‬جد ق (‪ )3‬في كل مما ي أ�تي‪:‬‬ ‫ل(�س)َ َ َ‬ ‫هـ(�س)‬ ‫ب) ق(�س)=‬ ‫ �أ ) ق(�س) = ل(�س) × هـ (�س) ‬ ‫‪1‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ب)‬ ‫‪� )1‬أ ) ‪� 6‬س‪� 8 - 2‬س‪ 4 - + 3‬‬ ‫‪ )2‬أ� ) ‪ 4 -‬ب) ‪1-‬‬ ‫�إثراء‬ ‫‪ )1‬إ�ذا كان ل(�س) × ق(�س) = جـ ‪ ،‬حيث جـ عدد ثابت وكان ق (‪ ، 3 = )2‬ق(‪ 2- = )2‬جـ‬ ‫فجد ل (‪َ .)2‬‬ ‫بعدَ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫و‬ ‫الج�سم‬ ‫بعد‬ ‫�ص‬ ‫‪،‬‬ ‫�س‬ ‫محدبة‪،‬‬ ‫لعد�سة‬ ‫)‬ ‫(ع‬ ‫الب�ؤري‬ ‫البعد‬ ‫بين‬ ‫تربط‬ ‫�ص‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‬ ‫=‬ ‫ع‬ ‫‪ )2‬العلاقة‬ ‫ال�صورة المتكونة له عن مركز العد�سة على الترتيب؛ إ�ذا كانت ع = ‪� 2‬سم ‪ ،‬فجد‪:‬‬ ‫�أ ) �صيغة عامة لمعدل تغير �ص بالن�سبة �إلى �س‪.‬‬ ‫ب) مع ّدل تغير �ص بالن�سبة إ�لى �س؛ عندما تكون �س = ‪� 12‬سم‪.‬‬ ‫‪3-‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ثم ا�شتق وعو�ض‪ .‬الإجابة‬ ‫اكتب ل(�س) بدلالة ق(�س)‬ ‫‪)1‬‬ ‫ب)‬ ‫ا�شتق �ص= (�س‪ 2) 24--‬‬ ‫�أ ) اكتب �ص بدلالة �س ثم‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪َ0.04 -‬‬ ‫‪78‬‬

‫استراتيجيات التقويم وأدواته‬ ‫ا�ستراتيجية التقويم‪ :‬مراجعة الذات‪ ،‬التوا�صل‪ ،‬الملاحظة‪ ،‬الورقة والقلم‪.‬‬ ‫�أداة التقويم‪� :‬سلم التقدير (‪ ،)2-2‬قائمة الر�صد ( ‪ ،)4-2‬قائمة الر�صد ( ‪ ،)6-2‬اختبار ق�صير‪.‬‬ ‫إجابات التمارين والمسائل والتدريبات‬ ‫‪32-‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫التدريبات‬ ‫‪9‬‬ ‫‪� 4 – 2 )1‬س‪� 18 - 3‬س ‪ 2‬‬ ‫‪� 2-‬س‬ ‫‪2-‬‬ ‫الفرع الثاني‪:‬‬ ‫‪3 2-‬‬ ‫ا ألول‪:‬‬ ‫الفرع‬ ‫‪)3‬‬ ‫�س‪2‬‬ ‫�س‪ 3‬‬ ‫ ‪� ،‬س < ‪1‬‬ ‫‪4-‬‬ ‫(�س ‪ 2)1 +‬‬ ‫‪ )4‬ق(�س)= غير موجود ة َ‬ ‫‪� ،‬س = ‪1- ، 1‬‬ ‫‪� ، 1‬س >‪1‬‬ ‫فكر وناق�ش �صفحة (‪)112‬‬ ‫نتيجة (‪)1‬‬ ‫بتطبيق قاعدة م�شتقة ق�سمة اقترانين‬ ‫�أ * ل (�س)‬ ‫(�س)‬ ‫ل‬ ‫* ‪� - 0‬أ *‬ ‫ل(�س)‬ ‫(ل(�س))‪2‬‬ ‫(ل(�س))‪2‬‬ ‫ل(�س)‬‫≠‪َ َ َ0‬‬‫‪،‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ق(�س)‬ ‫فكر وناق�ش �صفحة (‪)113‬‬ ‫‪�( -‬س‪�3()3 - 4‬س‪)2‬‬ ‫‪�4‬س‪3‬‬ ‫*‬ ‫�س‪3‬‬ ‫(�س‪2)3‬‬ ‫‪�9 +‬س‪َ2‬‬ ‫‪�4‬س‪�3 - 6‬س‪6‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ق(�س)‬ ‫�س‪6‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪�9 +‬س‪2‬‬ ‫�س‪6‬‬ ‫=‬ ‫ ‬ ‫�س‪4‬‬ ‫�س‪6‬‬ ‫التمارين والم�سائل‬ ‫‪� )1‬أ ) ‪� 5‬س‪� 2 + 4‬س ب) ‪� 16‬س‪�9 - 3‬س‪� 16 - 2‬س ‪10 +‬‬ ‫‪�2‬س‪�6 + 2‬س ‪2 +‬‬ ‫د)‬ ‫‪�3‬س‪�2 - 2‬س‪3‬‬ ‫جـ)‬ ‫(‪�2‬س ‪2)3 +‬‬ ‫(‪� - 1‬س)‪ 2‬‬ ‫‪79‬‬

‫‪� ،‬س > ‪3‬‬ ‫‪�3‬س‪�4 - 2‬س ‪3 -‬‬ ‫ب) ق(�س) =َ‬ ‫‪� )2‬أ ) ‪�4‬س‪�3 - 3‬س‪� 24 - 2‬س ‪1 2 -‬‬ ‫غير موجود ة ‬ ‫‪� ،‬س = ‪3‬‬ ‫‪� ،‬س < ‪3‬‬ ‫‪�4‬س ‪�3 -‬س‪ 3 + 2‬‬ ‫‪� <1 ،‬س < ‪4‬‬ ‫ ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪�2‬س‪8 - 2‬‬ ‫�س‪2‬‬ ‫(�س‪2)4 + 2‬‬ ‫‪� ،‬س = ‪5 ،4‬‬ ‫د ) ق(�س) = غير موجود ةَ‬ ‫ ‬ ‫جـ)‬ ‫‪� < 4 ،‬س < ‪5‬‬ ‫� ‪4‬س‪ 2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫د)‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-‬‬ ‫جـ)‬ ‫‪5‬‬ ‫‪� )3‬أ ) ‪ 1‬ب) ‪19‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ب) ‪-‬‬ ‫ ‬ ‫‪� )4‬أ ) ‪22 -‬‬ ‫‪8-‬‬ ‫جـ)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ب)‬ ‫‪ )5‬أ� ) ‪ 2.8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ )6‬اعتبر ل(�س) × م(�س) الاقتران ا ألول ‪ ،‬هـ(�س) الاقتران الثاني ثم طبق م�شتقة �ضرب اقترانين مرتين‪.‬‬ ‫‪ )7‬بفر�ض م(�س) = هـ(�س) = ل(�س) ثم تطبيق النتيجة في �س ؤ�ال ‪. 6‬‬ ‫‪� ،‬س ≤ ‪1‬‬ ‫‪�1 2‬س‪َ َ 2‬‬ ‫‪� ،‬س > ‪1‬‬ ‫‪�1 2‬س‪ 3‬‬ ‫ق (‪ ، 12 = )1‬ق(�س) =‬ ‫‪) 8‬‬ ‫‪� ،‬س > ‪0‬‬ ‫‪�3‬س‪�1 2 + 2‬س ‬ ‫‪� ،‬س =‪0‬‬ ‫‪ )9‬ق (‪ ، 0 = )0‬ق(�س) = ‪َ َ 0‬‬ ‫‪� ،‬س < ‪0‬‬ ‫‪�3 -‬س‪�12 - 2‬س ‬ ‫‪� )10‬أ = ‪ ، 11‬ب = ‪3 -‬‬ ‫‪80‬‬

‫�إجابات ورقة عمل (‪)5-2‬‬ ‫(‪� )1‬أ) ألن كلاًّ منها كثير حدود‪.‬‬ ‫ب) ق (�س) = ‪� 3‬س‪ ، 4 - 2‬هـ (�س) = ‪� 4‬س‪� 6 + 3‬س‪َ َ4 - 2‬‬ ‫جـ) ل(�س) = �س‪�2 + 7‬س‪� 4 – 6‬س‪� 6 - 5‬س‪�12+ 4‬س‪� 16 + 3‬س‪� 24 - 2‬س‬ ‫ل (�س) =‪� 7‬س‪� 12 + 6‬س‪� 20 - 5‬س‪�24 - 4‬س‪� 36 + 3‬س‪�32 + 2‬س ‪24 -‬‬ ‫د ) ق(�س) ×هـ (�س) ‪ +‬هـ(�س) × ق (�س) = ‪� 7‬س‪� 12 + 6‬س‪� 20 - 5‬س‪�24 - 4‬س‪� 36+ 3‬س‪َ+ 2‬‬ ‫‪�32‬س ‪َ َ24 -‬‬ ‫هـ) ا إلجابة نف�سها‪.‬‬ ‫و) م (�س) = د(�س) × و (�س) ‪ +‬و (�س) × د (�س)‬ ‫‪� )2‬أ ) ق (�س) = ‪� 2‬س ‪ ، 1 -‬هـ (�س) = ‪( ، 1‬هـ(�س))‪� ( = 2‬س ‪َ َ2)2 +‬‬ ‫ب) ل(�س) = �س ‪ ، 3 -‬ل (�س) = ‪َ َ1‬‬ ‫جـ) ‪َ 1‬‬ ‫د ) الإجابة نف�سها ‪.‬‬ ‫هـ) نعم‪.‬‬ ‫و ) تابع اختيارات الطلبة وحلولهم ‪.‬‬ ‫‪81‬‬

‫الف�صل الثاني‪ :‬قواعد الا�شتقاق‬ ‫عدد الح�ص�ص ح�صتان‬ ‫الم�شتقات العليا‬ ‫ثال ًثا‬ ‫نتاجات التعلم‬ ‫‪- -‬يجد الم�شتقات العليا لاقترانات وعلاقات معطاة حتى الم�شتقة الرابعة‪.‬‬ ‫التكامل الر�أ�سي وا ألفقي‬ ‫‪- -‬الاقترانات والعمليات عليها في ال�صفين العا�شر والحادي ع�شر العلمي‪.‬‬ ‫‪- -‬الاقترانات المت�شعبة في ال�صف الحادي ع�شر العلمي‪.‬‬ ‫المفاهيم والم�صطلحات والرموز‬ ‫م�صادر التعلم‬ ‫‪�3‬صً‬ ‫‪ - -‬م�شتقات عليا‬ ‫‪- -‬كتاب الطالب‪ ،‬ال�صفحات (‪.)123-119‬‬ ‫‪- -‬الم�شتقة الثانية ق(�س)‪،‬‬ ‫�س‪2‬‬ ‫‪- -‬من�صة �إدراك للتعلم المدر�سي‬ ‫‪�3‬صًَ‬ ‫‪- -‬الم�شتقة الثالثة ق(�س)‪،‬‬ ‫‪https: //programs.edraak.org /‬‬ ‫�س‪3‬‬ ‫‪learn /k12/math-g12-jo-vv1‬‬ ‫‪�4‬ص‬ ‫‪- -‬الم�شتقة الرابعة ق(‪�()4‬س)‪،‬‬ ‫�س‪4‬‬ ‫التعلم القبلي‬ ‫‪- -‬الم�شتقة ا ألولى لاقتران عند نقطة‪ ،‬قواعد الا�شتقاق‪ ،1‬قواعد الا�شتقاق ‪.2‬‬ ‫استراتيجيات التدريس‬ ‫التدري�س المبا�شر (الأ�سئلة والأجوبة‪ ،‬أ�وراق العمل)‪،‬التعلم في مجموعات (المناق�شة‪ ،‬فكر‪-‬انت ِق زميلًا‪�-‬شارك)‪ ،‬التفكير‬ ‫الناقد ( التحليل)‪.‬‬ ‫�إجراءات التنفيذ‬ ‫‪1 -1‬التمهيد للدر�س بتذكير الطلبة بالم�شتقة الأولى وقواعد الا�شتقاق ‪ 1‬و ‪. 2‬‬ ‫‪2 -2‬تكليف الطلبة ب إ�يجاد م�شتقة ق(�س) = �س‪ ، 3‬ق(�س) = ‪� 3‬س‪ ، 2‬ثم �إيجاد م�شتقة الم�شتقة ا ألولى‪َ.‬‬ ‫(ق) (�س) = ‪�6‬س‪ .‬اطرح على الطلبة ال�س�ؤال ا آلتي‪ :‬هل يمكننا إ�يجاد م�شتقة الم�شتقة ا ألولى؟ ا�ستمع‬ ‫�إلى ا إلجابات‪ ،‬وكلف الطلبة بت�أييد �أو نفي �إجابات بع�ضهم متب ًعا ا�ستراتيجية التفكير الناقد وتو�صلَ َ‬ ‫معهم �أنه من الممكن الا�ستمرار في �إيجاد الم�شتقات المتتالية لبع�ض الاقترانات مثل‪:‬‬ ‫‪82‬‬

‫لعدد غير منت ٍه من المرات والح�صول على اقتران مختلف في كل حالة‪ ،‬يختلف‬ ‫‪5‬‬ ‫ق(�س) =‬ ‫�س‪2‬‬ ‫ا ألمر لدوال أ�خرى حيث يمكن �إيجاد الم�شتقة عد ًدا من المرات‪ ،‬وبعدها تت�ساوى الم�شتقات فمثلا‬ ‫في الاقتران ق(�س) = �س‪ 4‬تت�ساوى الم�شتقات بد ًءا من الخام�سة لتكون �صف ًرا‪.‬‬ ‫‪3 -3‬تقديم مفهوم الم�شتقات العليا من الكتاب �صفحة (‪ ،)119‬وكتابة رموزها المختلفة وت أ�كيد �ضرورة‬ ‫قابلية الم�شتقة للا�شتقاق؛ إليجاد الم�شتقة التي تليها‪ ،‬و أ�ننا �سنكتفي بالم�شتقة الرابعة في هذا الدر�س‪.‬‬ ‫‪4 -4‬حل مثال (‪ )1‬ومناق�شته ثم تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ ،)1‬ومتابعة حلولهم لتقديم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪5 -5‬حل مثال (‪ )2‬ومناق�شته وت أ�كيد أ�ن حله يعتمد على ت�ساوي المقادير الجبرية‪ ،‬ثم تكليف الطلبة بحل‬ ‫تدريب (‪.)2‬‬ ‫‪6 -6‬ح��ل مثال (‪ )3‬ومناق�ش��ته وت�أكيد المهارات والمفاهيم المت�ض��منة فيه‪ ،‬مثل‪ :‬اختب��ار قابلية الاقتران‬ ‫للا�شتقاق عند نقطة وقابلية كثير الحدود للا�شتقاق على مجاله‪ ،‬ثم تكليف الطلبة بحل تدريب (‪.)2‬‬ ‫‪7 -7‬خت��م الدر�س بتكليف الطلبة بتنفيذ ورقة العمل (‪ .)5-2‬متابعة الطلبة وتقديم الدعم لهم و�س�� ؤ�الهم‬ ‫عن المفاهيم والرموز التي وردت في الدر�س‪.‬‬ ‫‪8 -8‬ت�شكيل مجموعات غير متجان�سة من (‪ )6-4‬وتكليفهم بحل تمارين وم�سائل �صفحة (‪،122‬‬ ‫‪ ،)123‬ومتابعة حلولهم لتقديم التغذية الراجعة والدعم اللازم‪.‬‬ ‫معلومات إ��ضافية‬ ‫‪- -‬ذ ِّكر الطلاب ب�أن الم�شتقة الأولى لاقتران الم�سافة بالن�سبة �إلى الزمن هي ال�سرعة‪ ،‬و أ�ن الم�شتقة الثانية لاقتران‬ ‫الم�سافة بالن�سبة �إلى الزمن هي الت�سارع‪.‬‬ ‫‪- -‬كلف الطلبة بالبحث على ا إلنترنت عن تطبيقات الم�شتقات العليا في الحياة اليومية ‪.‬‬ ‫�أخطاء �شائعة‬ ‫‪- -‬قد ُيغفل الطلبة اختبار قابلية الا�شتقاق لإيجاد الم�شتقات المتتالية مما ي ؤ�دي �إلى خط�أ ب�إيجاد هذه الم�شتقات‪.‬‬ ‫أ�كد �ضرورة �إجراء الط َّلبة اختبارات الا�شتقاق في كل مرحلة من مراحل ح�ساب الم�شتقات العليا‪.‬‬ ‫مراعاة الفروق الفردية‬ ‫علاج‬ ‫‪� )1‬إذا كان ق(�س) = �س‪� + 3‬س‪ 6 - 2‬جد ق(�س) ‪ ،‬ق (‪)1‬‬ ‫‪ ) 2‬إ�ذا كان ق(�س) = | �س ‪ ،| 2 -‬فاكتب قاعدة ق(�س)‪ًَ ً.‬‬ ‫‪� )3‬إذا كان ق(�س) = �س× ل(�س) وكان ل(�س) قابلاً للا�شتقاق مرتين؛ فاكتب قاعدة ق(�س)‪ً َ.‬‬ ‫‪83‬‬

‫الحل‪:‬‬ ‫‪ )1‬ق(�س) = ‪� 3‬س‪�2 + 2‬س ‪ ،‬ق(�س) = ‪� 6‬س ‪ ، 2 +‬ق (‪ًَ ً َ6 = )1‬‬ ‫‪� ، 1‬س > ‪2‬‬ ‫‪ )2‬ق(�س)= غير موجو د ‪� ،‬س = ‪َ2‬‬ ‫‪� ، 1 -‬س < ‪2‬‬ ‫‪ )3‬ق(�س)= �س ل(�س) ‪ 2 +‬ل(�س)ً ً َ‬ ‫�إثراء‬ ‫‪) 1‬جد الاقتران كثير الحدود من الدرجة الثالثة الذي فيه ق(‪ ، 0 = )1-‬ق(‪ ،3 = )1-‬ق(‪، 2 - = )1-‬‬ ‫ق (‪ً َ ًَ.6 = )1-‬‬ ‫‪ )2‬إ�ذا كان كل من ق ‪ ،‬ل اقترانين قابلين للا�شتقاق؛ فجد ( ل ق ‪ -‬ق ل) (�س) دون إ�جراء عملية الا�شتقاق‪ً.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪ )1‬ق(�س) = �أ �س‪ + 3‬ب �س‪ + 2‬جـ �س ‪ +‬د ‪ ،‬ع ِّو�ض بالمعلومات المعطاة لتح�صل على‪:‬‬ ‫�أ =‪ ، 1‬ب = ‪ ،2‬جـ = ‪ ، 4‬د = ‪ ، 3‬ق(�س) = �س‪� 2 + 3‬س‪� 4 + 2‬س ‪3 +‬‬ ‫‪ )2‬الإجابة �صفر لأن ل ق – ق ل = ‪0‬‬ ‫استراتيجيات التقويم وأدواته‬ ‫ا�ستراتيجية التقويم‪ :‬مراجعة الذات‪ ،‬التوا�صل‪ ،‬الملاحظة‪ ،‬الورقة والقلم‪.‬‬ ‫�أداة التقويم‪� :‬سلم التقدير (‪ ،)2-2‬قائمة الر�صد ( ‪ ،)4-2‬قائمة الر�صد ( ‪ ،)6-2‬ورقة العمل ( ‪.)6-2‬‬ ‫إجابات التمارين والمسائل والتدريبات‬ ‫إ�جابات التدريبات‬ ‫‪ )1‬الفرع الأول – ‪ 38‬الفرع الثاني ‪248‬‬ ‫‪ ) 2‬الا�شتقاق ‪ 3‬مرات ثم ا�ستخدام المعلومة المعطاة ‪� ،‬أ = ‪.6‬‬ ‫‪ )3‬الفرع الأول‪ .‬جد ق(�س) ‪ ،‬ق(�س) ح�سب قواعد الا�شتقاق ثم اختبر ق(‪ ، )0‬ق(‪.)0‬‬ ‫الفرع الثاني‪ .‬اكتب ق(�س)‪ ،‬ق(�س) من الفرع الأول ‪ً َ ً َ.‬‬ ‫الفرع الثالث‪ .‬جد ق(�س) ح�سب القواعد ثم اختبر ق (‪ًَ ً َ ًَ)0‬‬ ‫‪84‬‬

‫‪� ،‬س > ‪0‬‬ ‫‪�6‬س ‪ 2+‬‬ ‫جـ) ق(�س)=ً‬ ‫‪2‬‬ ‫ب)‬ ‫التمارين والم�سائل‬ ‫غير موجود ة ‬ ‫�س‪ 3‬‬ ‫‪� ،‬س = ‪0‬‬ ‫‪�6-‬س ‪ 2 -‬‬ ‫‪� )1‬أ) ‪� 24‬س‪ 7 -‬‬ ‫‪� ،‬س < ‪0‬‬ ‫‪270 - ) 2‬‬ ‫‪� )3‬إيجاد ن �أولاً ثم �أ ‪� ،‬أ = ‪2 4‬‬ ‫)(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ )4‬تطبيق قواعد الا�شتقاق مرتين‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� )5‬أ ) �س= ‪ 12 ، 2-‬‬ ‫‪،2-‬‬ ‫جـ)‬ ‫‪) ∞ ،‬‬ ‫[‬ ‫‪،‬‬ ‫‪]2-‬‬ ‫ب) الفترتين (‪،∞ -‬‬ ‫‪� )6‬أ ) ‪� 24‬س ‪� 630 +‬س‪ 8-‬‬ ‫ب) ‪ 6‬أ�‬ ‫جـ) ‪24‬‬ ‫‪� )7‬أ ) �صف ر ب ) ‪ 1‬‬ ‫‪ ) 8‬ق(�س) = �س‪ 2‬ل(�س) ‪� 4 +‬س ل(�س) ‪ 2 +‬ل(�س)‬ ‫ق (�س) = �س‪ 2‬ل(�س) ‪� 6 +‬س ل(�س) ‪ 6 +‬ل(�س)ً ً َ‬ ‫‪ )9‬ا�ستخدام قواعد الا�شتقاق مرتين‪َ ً ًَ ًَ.‬‬ ‫‪ )10‬ق(�س) = �أ �س‪ + 2‬ب �س ‪ +‬جـ ‪ .‬جد ق(�س) ‪ ،‬ق(�س)‪ً َ.‬‬ ‫ ط ِّبق المعلومات المعطاة لتح�صل على ق(�س) = ‪� 2‬س‪� 6 - 2‬س ‪7 +‬‬ ‫‪ )11‬ا�شتق الطرف الأي�سر لتح�صل على الطرف ا أليمن‪.‬‬ ‫‪ )12‬جد هـ (�س) ‪،‬ا�ستخدم العلاقة ل(�س)× ق(�س) = جـ ثم ا�شتقها‪.‬‬ ‫ جد هـ (�س) وعو�ض لتح�صل على المطلوب‪َ َ ًَ.‬‬ ‫‪ًَ 2 )13‬‬ ‫‪ )14‬م > ‪3‬‬ ‫إ�جابات ورقة عمل (‪)6-2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫ق(�س)‬ ‫�س‪�2- 3‬س‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ق(�س) =‬ ‫ق(�س) = ‪� π6‬س‪5‬‬ ‫ق(�س) = �س‪4‬‬ ‫الاقتران‬ ‫�س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫�س‪� 12 – 2‬س‪5‬‬ ‫‪� π30‬س‪4‬‬ ‫‪� 4‬س‪3‬‬ ‫الم�شتقة الأولى َق(�س)‬ ‫�س‪2‬‬ ‫‪�12‬س‪2‬‬ ‫‪�24‬س‬ ‫الم�شتقة الثانية ق(�س)ً‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� 2‬س – ‪� 60‬س‪4‬‬ ‫‪� π120‬س‪3‬‬ ‫الم�شتقة الثالثة ق(�س)ًَ‬ ‫�س‪3‬‬ ‫‪� 240 – 2‬س‪3‬‬ ‫‪�π360‬س‪2‬‬ ‫ق(‪ًَ48 = )2‬‬ ‫‪6-‬‬ ‫قيمة الم�شتقة‬ ‫�س‪4‬‬ ‫‪ًَ3-‬‬‫=‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫ق(‬ ‫ق(‪ π360 = )1-‬ق( ‪ًَ ًَ3 720-2 = ) 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪85‬‬

‫الف�صل الثاني‪ :‬قواعد الا�شتقاق‬ ‫عدد الح�ص�ص ح�صتان‬ ‫م�شتقات الاقترانات المثلثية‬ ‫راب ًعا‬ ‫نتاجات التعلم‬ ‫‪- -‬يجد م�شتقات الاقترانات المثلثية‪.‬‬ ‫التكامل الر�أ�سي‬ ‫‪- -‬الاقترانات المثلثية في ال�صف الحادي ع�شر العلمي‪.‬‬ ‫‪- -‬الن�سب المثلثية في مبحث الريا�ضيات في ال�صفين التا�سع والعا�شر الأ�سا�سي‪.‬‬ ‫المفاهيم والم�صطلحات والرموز‬ ‫م�صادر التعلم‬ ‫‪ - -‬الاقتران المثلثي‪ ،‬م�شتقة الاقتران المثلثي‪ ،‬رموز‬ ‫‪- -‬كتاب الطالب‪ ،‬ال�صفحات (‪.)130-124‬‬ ‫الاقترانات المثلثية‪.‬‬ ‫‪- -‬من�صة إ�دراك للتعلم المدر�سي‬ ‫‪https: //programs.edraak.org /‬‬ ‫‪learn /k12/math-g12-jo-vv1‬‬ ‫التعلم القبلي‬ ‫‪- -‬الم�شتقة ا ألولى لاقتران عند نقطة‪ ،‬قواعد الا�شتقاق ‪ ،1‬قواعد الا�شتقاق ‪.2‬‬ ‫جا �س‬ ‫=‪1‬‬ ‫�س‬ ‫الاقترانات المثلثية‪ .‬نهـــــــا‬ ‫�س←‪0‬‬ ‫استراتيجيات التدريس‬ ‫التدري�س المبا�شر (�أوراق عمل‪ ،‬التدريبات والتمارين)‪ ،‬التعلم في مجموعات (المناق�شة‪ ،‬فكر‪-‬انت ِق زميلًا‪�-‬شارك)‪.‬‬ ‫إ�جراءات التنفيذ‬ ‫‪1 -1‬التمهيد للدر�س بتذكير الطلبة بالموا�ضيع الآتية‪:‬‬ ‫الم�شتقة الأولى للاقتران و بال�صورتين الم�ستخدمتين لإيجادها‪ ،‬قواعد الا�شتقاق (‪ )1‬و (‪ ،)2‬النظرية‪،‬‬ ‫= ‪ ،1‬المتطابقات المتعلقة بالفرق بين جيبي زاويتين و الفرق بين جيبي تمام زاويتين‬ ‫جا �س‬ ‫نهـــــــا‬ ‫�س‬ ‫�س←‪0‬‬ ‫الموجودة في كتاب الطالب �صفحة (‪ )124‬تحت عنوان (تذكر)‪.‬‬ ‫‪86‬‬

‫‪2 -2‬طرح ال�س�ؤال الآتي‪ :‬هل يوجد م�شتقات للاقترانات المثلثية؟ و إ�ن كانت ا إلجابة نعم؛ فما م�شتقـــة‬ ‫الاقتران ق(�س) = جا �س ؟‬ ‫‪3 -3‬عر�ض قاعدة (‪� )1‬صفحة (‪ ،)124‬ومناق�شة برهانها مع الطلبة‪ ،‬ثم مناق�شة المثالين (‪.)2 ،1‬‬ ‫‪4 -4‬تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ ،)1‬والتركيز على �إيجاد م�شتقة اقترن مثلثي عند عدد محدد‪.‬‬ ‫‪5 -5‬عر�ض قاعدة (‪� )2‬صفحة (‪ ،)125‬ومناق�شة برهانها مع الطلبة‪ ،‬ثم مناق�شة ا ألمثلة (‪ )5 ،4 ،3‬مع‬ ‫ت أ�كيد المهارات‪.‬‬ ‫‪6 -6‬تق�سيم الطلبة �إلى مجموعات غير متجان�سة من (‪ ،)5- 3‬وتكليفهم بحل التدريبين (‪ )3 ،2‬والت أ�كيد‬ ‫�أن م�شتقات الاقترانات في تدريب (‪ )3‬تعتبر قواعد لا�شتقاق اقترنات مثلثية �أ�سا�سية؛ يجب حفظها‬ ‫لا�ستخدامها في �إيجاد م�شتقات اقترانات أ�خرى‪.‬‬ ‫‪7 -7‬حل مثال (‪ )6‬ومناق�شته كما ورد في الكتاب‪ ،‬ثم تكليف المجموعات بحل المثال بطريقة أ�خرى؛‬ ‫وذلك بتحويل الاقتران بدلالة جا‪ ،‬جتا ثم ا�شتقاقه ثم تكليفهم بحل تدريب (‪� )4‬صفحة (‪.)128‬‬ ‫‪8 -8‬التركي��ز عل��ى أ�ن فهم م�ش��تقات الاقترانات المثلثي��ة ا أل�سا�س��ية وحفظها وقواعد الا�ش��تقاق أ�مران‬ ‫مهمان في إ�يجاد م�ش��تقات الاقترانات الأخرى‪ .‬و أ�كد كذلك �أنه يمكن ت�سهيل عملية ا�شتقاق بع�ض‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‬ ‫ظا‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫‪+‬‬ ‫ظا�س‬ ‫�س‬ ‫الاقترانات عند كتابتها ب�صورة �أخرى مثل ق(�س) =‬ ‫�س‬ ‫‪9 -9‬تكليف الطلبة بتنفيذ ورقة العمل (‪ ،)7-2‬ومتابعة الطلبة وتقديم الدعم لهم ح�سب الحاجة‪.‬‬ ‫‪1010‬ختم الدر�س ب�س�ؤال الطلبة عن قواعد ا�شتقاق الاقترانات المثلثية‪ ،‬وربط العلاقة بين الاقتران وم�شتقته‬ ‫‪π‬‬ ‫والعلاقات ال�سابقة بينها ما �أمكن مثل ًا ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(جا �س) = جتا�س‪،‬جا‪�2‬س ‪ +‬جتا‪� 2‬س = ‪ ،1‬جا�س = جتا (‬ ‫‪� -‬س) ‪ .... ،‬إ�لخ‪ .‬وذلك ل�سهولةَ‬ ‫حفظ العلاقات بين الاقترانات المثلثية وللحاجة �إليها في مواقف مختلفة‪.‬‬ ‫‪1111‬تكليف المجموعات بحل تمارين وم�سائل في ال�صفحة (‪ ،)130 ، 129‬ومتابعة حلولهم لتقديم‬ ‫التغذية الراجعة والدعم اللازم حين الحاجة‪.‬‬ ‫معلومات �إ�ضافية‬ ‫‪- -‬ذ ّكر الطلبة ب�أن المتغير �س يجب أ�ن يكون بالتقدير الدائري عند ا�شتقاق الاقترانات المثلثية‪ ،‬ويمكن �إيجاد‬ ‫م�شتقة اقتران مثل ق(�س) = جتا �س‪� ،‬س بالقيا�س ال�ستيني بعد �أن تتعرف قاعدة ال�سل�سلة في الدر�س‬ ‫اللاحق‪.‬‬ ‫‪87‬‬

‫�أخطاء �شائعة‬ ‫‪- -‬كثي ًرا ما يخطئ الطلبة في �إ�شارة م�شتقة الاقترانات المثلثية ‪� .‬أكد �أ َّن إ��شارة م�شتقات الاقترانات جا �س‪،‬‬ ‫ظا �س‪ ،‬قا�س موجبة‪ ،‬و�أ َّن �إ�شارة م�شتقة الاقترانات جتا �س‪ ،‬ظتا �س‪ ،‬قتا �س �سالبة‪.‬‬ ‫مراعاة الفروق الفردية‬ ‫علاج‬ ‫‪ -‬جد ق(�س) لكل مما ي�أتي‪َ:‬‬ ‫�أ ) ق(�س) = �س جا �س ب) ق(�س) = ظا�س ‪ +‬جتا�س‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫�أ ) �س جتا�س ‪ +‬جا �س ب) قا‪�2‬س ‪ -‬جا�س‬ ‫�إثراء‬ ‫�ضرب‬‫اقترانين‪َ َ.‬‬‫حا�صل‬ ‫= جتا‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫�س فجد ق (�س)‪ :‬م�ستخد ًما م�شتقة‬ ‫ق(�س)‬ ‫ق(�س)‬ ‫كان‬ ‫�إذا‬ ‫‪)1‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ،‬فجد‬ ‫كان‬ ‫�إذا‬ ‫‪)2‬‬ ‫= ‪�2‬س جا(‪� - π 2‬س)‪ ،‬فجد ق (‬ ‫‪π‬‬ ‫‪�π3<20‬س<≤�س‪2 π<32‬‬ ‫‪،‬‬ ‫جا �س ‬ ‫‪،‬‬ ‫‪� )3‬إذا كان ق(�س) = �أ �س ‪ +‬ب ‬ ‫كل من �أ‪ ،‬ب‪.‬‬ ‫قيمة‬ ‫فجد‬ ‫‪،‬‬ ‫‪π2‬‬ ‫قابل ًا للا�شتقاق عند �س =‬ ‫‪3‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪ - ) 1‬جا‪�2‬س‬ ‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪) 2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪،‬ب=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪� )3‬أ = ‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫استراتيجيات التقويم وأدواته‬ ‫ا�ستراتيجية التقويم‪ :‬مراجعة الذات‪ ،‬التوا�صل‪ ،‬الملاحظة‪ ،‬الورقة والقلم‪.‬‬ ‫�أداة التقويم‪� :‬سلم التقدير (‪ ،)2-2‬قائمة الر�صد ( ‪ ،)4-2‬قائمة الر�صد ( ‪ ،)6-2‬ورقة العمل ( ‪.)7-2‬‬ ‫‪88‬‬

‫إجابات التمارين والمسائل والتدريبات‬ ‫التدريبات‬ ‫‪1 )2 7 )1‬‬ ‫‪� )3‬إعادة تعريف الاقترانات بدلالة جا �س‪،‬جتا�س ثم تطبيق قاعدة الق�سمة‪2 )4 .‬‬ ‫التمارين والم�سائل‬ ‫‪� )1‬أ ) ‪ 3‬جتا �س ‪ +‬جا �س ب) �س‪ 2‬جتا �س ‪� 2 +‬س جا �س ‬ ‫د ) قا‪�2‬س ‪π 3 -‬‬ ‫جـ) جتا�سجت‪+‬ا‪��2‬سسجا� س ‬ ‫و ) ‪-‬قتا�س ظتا�س ‪� +‬س قتا‪�2‬س ‪ -‬ظتا�س‬ ‫هـ) �صف ر ‬ ‫‪� 5 ) 2‬ص‬ ‫‪1-‬‬ ‫ب) ‪2 -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫�أ‬ ‫‪) 3‬‬ ‫‪π2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫هـ )‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪π‬‬ ‫د)‬ ‫جـ) ‪1 -‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ )4‬جد �ص ثم �صفي كل حالة ثم ع ِّو�ض في المعادلة المطلوبة‪ً َ:‬‬ ‫ب) ‪π ، 0 ، π -‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪π3‬‬ ‫‪� )5‬أ ) ‪-‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� )6‬أ ) قتا‪�3‬س ‪ +‬قتا�س ظتا‪�2‬س ب) ‪2‬حا�س ‪� -‬س حتا�س‬ ‫‪� )7‬أ = �صف ًرا ‪ ،‬ب = ‪1‬‬ ‫‪� )8‬أعد تعريف ق(�س) ثم اختبر قابلية ق للا�شتقاق عند �س = ‪ ، π‬ق(‪ = )π‬غيرموجودة‪َ.‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪) 9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫إ�جابات ورقة عمل (‪)7-2‬‬ ‫قا�س قتا�س‬ ‫‪)1‬‬ ‫قا �س ظا �س ‪ -‬قتا �س ظتا �س‬ ‫الاقتران ق(�س) جا�س جتا�س ظا�س ظتا�س‬ ‫الم�شتقة ق(�س) جتا�س ‪ -‬جا �س قا‪�2‬س ‪-‬قتا‪�2‬سَ‬‫‪π‬‬ ‫ب) ‪3 2- 3 π-‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� )2‬أ)‬ ‫‪22‬‬ ‫‪� )3‬أ) ‪ -‬قتا �س ظتا �س – ‪� 8‬س ب) قا‪�2‬س‬ ‫‪89‬‬

‫الف�صل الثاني‪ :‬قواعد الا�شتقاق‬ ‫عدد الح�ص�ص ثلاث ح�ص�ص‬ ‫قاعدة ال�سل�سلة‬ ‫خام�ًسا‬ ‫نتاجات التعلم‬ ‫‪- -‬ي�ستخدم قاعدة ال�سل�سلة لإيجاد م�شتقة �صيغ الاقترانات المركبة‪.‬‬ ‫التكامل الر�أ�سي‬ ‫‪- -‬تركيب الاقترانات في ال�صف الحادي ع�شر العلمي ‪.‬‬ ‫المفاهيم والم�صطلحات والرموز‬ ‫م�صادر التعلم‬ ‫‪- -‬م�شتقة تركيب اقترانين‪ ،‬قاعدة ال�سل�سلة‪.‬‬ ‫‪- -‬كتاب الطالب‪ ،‬ال�صفحات (‪.)137-131‬‬ ‫‪- -‬من�صة �إدراك للتعلم المدر�سي‬ ‫‪https: //programs.edraak.org /‬‬ ‫‪learn /k12/math-g12-jo-vv1‬‬ ‫التعلم القبلي‬ ‫‪- -‬الم�شتقة ا ألولى لاقتران عند نقطة‪ ،‬قواعد الا�شتقاق ‪ ،1‬قواعد الا�شتقاق ‪ ،2‬م�شتقات الاقترانات المثلثية‪.‬‬ ‫تركيب الاقترانات‪.‬‬ ‫استراتيجيات التدريس‬ ‫التدري�س المبا�شر (ا أل�سئلة وا ألجوبة)‪ ،‬التعلم في مجموعات (المناق�شة‪ ،‬فكر‪-‬انت ِق زميلًا‪�-‬شارك)‪ ،‬حل الم�شكلات‬ ‫والا�ستق�صاء‪.‬‬ ‫�إجراءات التنفيذ‬ ‫‪1 -1‬التمهيد للدر�س بطرح ال�س ؤ�ال الوارد في بداية الدر�س‪ ،‬ب نِّي لهم �أ َّن ا�ستخدام القواعد ال�سابقة إليجاد‬ ‫هذه الم�شتقة يحتاج كثي ًرا من الجهد؛ وهذا ي�ؤكد أ�همية وجود قاعدة إليجاد م�شتقة مثل هذه الاقترانات‪.‬‬ ‫‪2 -2‬مراجعة الطلبة بتركيب اقترانين و�شروط قابلية التركيب‪ ،‬كما ورد في كتاب الطالب �صفحة (‪)131‬‬ ‫تحت عنوان تذكر‪ ،‬يمكن ا�ستخدام الر�سم للتو�ضيح‪.‬‬ ‫‪3 -3‬مناق�شة قاعدة ال�سل�سلة التي تت�ضمن �إيجاد م�شتقة تركيب اقترنين‪ ،‬والتركيز على آ�لية تطبيقها‪ ،‬وعر�ض‬ ‫ال�صورتين المتكافئتين لقاعدة ال�سل�سلة‪.‬‬ ‫‪90‬‬

‫‪4 -4‬حل الأمثلة (‪ )3 ،2 ،1‬ومناق�شتها والتركيز على المهارات المت�ضمنة في كل مثال‪ ،‬وال�سبب الذي من‬ ‫أ�جله ا�س ُتخدمت قاعدة ال�سل�سة في حلها‪ ،‬و كان من ال�صعب الحل بقواعد الا�شتقاق ال�سابقة‪.‬‬ ‫‪5 -5‬تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ )1‬وا إل�شارة إ�لى أ�ن الجزء ا ألول منه يحل الم�شكلة المطروحة في بداية الدر�س‪.‬‬ ‫‪6 -6‬تقديم النتيجة الموجودة في نهاية �صفحة (‪ )133‬التي تت�ضمن ا�شتقاق اقتران مرفوع لقوة‪ ،‬و ت أ�كيد‬ ‫أ�نها توفر الوقت والجهد في ا�شتقاق كثير من الاقترانات‪ ،‬ثم تكليف الطلبة ببرهنة هذه النتيجة من‬ ‫خلال مجموعات ثنائية‪ ،‬ومتابعة الحلول لتقديم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪7 -7‬حل مثال (‪ )4‬ومناق�شته وتكليف المجموعات الثنائية بحل تدريب (‪ ،)2‬ومتابعة الحلول وتقديم‬ ‫التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪8 -8‬حل الأمثلة (‪ )7 ،6 ،5‬ومناق�شتها وت أ�كيد الأفكار و المهارات المت�ضمنة في كل مثال وهي‪ :‬في مثال‬ ‫(‪ )5‬اقتران مثلثي مرفوع لقوة‪ ،‬مثال (‪ )6‬اقتران كثير حدود داخل اقتران مثلثي‪ ،‬مثال (‪ )7‬اقتران‬ ‫داخل اقتران مثلثي‪.‬‬ ‫‪9 -9‬تق�سيم الطلبة �إلى مجموعات غير متجان�سة (‪ )6-4‬وتكليفهم ب�إثبات �صحة القواعد الموجودة تحت‬ ‫عنوان تعميم �صفحة (‪ ،)135‬وربطها بالقواعد الموجودة في در�س م�شتقات الاقترانات المثلثية‪.‬‬ ‫‪1010‬حل ومناق�شة ومثال (‪ )8‬بو�صفه ت أ�كيد تطبي ًقا على إ�حدى القواعد ال�سابقة الموجودة في التعميم ثم‬ ‫تكليف الطلبة بحل تدريب (‪. )3‬‬ ‫‪1111‬حل المثالين (‪ )10، 9‬ومناق�شتهما‪ ،‬وت أ�كيد تطبيق قاعدة ال�سل�سلة على نموذجين جديدين من تركيب‬ ‫الاقترانات‪.‬‬ ‫‪ 1212‬تكليف الطلبة بحل تدريب (‪ )4‬لاكت�ساب مهارة تطبيق قاعدة ال�سل�سة على نماذج جديدة من تركيب‬ ‫الاقترانات‪ ،‬كما ورد في المثالين (‪.)10 ، 9‬‬ ‫‪1313‬تكليف الطلبة بتنفيذ ورقة العمل (‪ )8-2‬ومتابعة حلولهم وتقديم الدعم لهم ح�سب الحاجة‪.‬‬ ‫‪1414‬ختم الدر�س ب�س�ؤال الطلبة عن ال�صيغ المختلفة لقاعدة ال�سل�سلة وما أ�هميتها في ا�شتقاق ال�صيغ المختلفة‬ ‫في تركيب الاقترانات‪.‬‬ ‫‪1515‬تكليف المجموعات بحل تمارين وم�سائل �صفحة (‪.)139 ، 138‬‬ ‫معلومات إ��ضافية*‬ ‫كيف ت�شتق اقترا ًنا مثلث ًّيا زاويته بالدرجات ؟‬ ‫‪�π‬س‬ ‫بالتقدير الدائري‪.‬‬ ‫‪180‬‬ ‫تذكر �س بالدرجات =‬ ‫‪�π‬س‬ ‫جتا‬ ‫‪�π‬س‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫‪�π‬س‬ ‫(جا(‬ ‫�س‬ ‫‪180‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪180‬‬ ‫* غير مطلوب في امتحان الثانوية العامة‪.‬‬ ‫‪91‬‬

‫أ�خطاء �شائعة‬ ‫قد يخطئ بع�ض الطلبة في تطبيق قاعدة ال�سل�سلة فيكتبون (ق ‪ °‬هـ) (�س) = ق (�س) × هـ (�س) ‪ .‬ر ّكزَ َ َ‬ ‫على تطبيق القاعدة ب�شكل �صحيح‪.‬‬ ‫مراعاة الفروق الفردية‬ ‫علاج‬ ‫ب) ق(�س) = ‪ 4‬جا �س‪2‬‬ ‫‪ ) 1‬جد ق (�س) لكل مما ي أ�تي‪َ:‬‬ ‫�أ ) ق(�س) = ( �س‪�3 + 2‬س – ‪ 10) 6‬‬ ‫ب) �س (ق(�س)‪))2 + 3‬‬ ‫‪ ) 2‬جد ما ي�أتي بدلالة ق ‪َ:‬‬ ‫�أ ) �س (ق(�س‪ )) 1 + 3‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫ب) ‪� 8‬س جتا �س‪2‬‬ ‫‪� )1‬أ ) ‪� 2 ( 10‬س ‪� ( )3 +‬س‪� 3 + 2‬س – ‪ 9) 6‬‬ ‫ب) ‪ ( 3‬ق(�س))‪ × 2‬ق(�س)َ‬ ‫‪� )2‬أ ) ق(�س‪�3 × )1+ 3‬س‪َ 2‬‬ ‫�إثراء‬ ‫‪� )1‬إذا كان ق (�س) = جا �س‪� ، 2‬ص = ق‬ ‫‪ ،‬فجد �صَ ( ) َ‬‫‪�2‬س ‪1 -‬‬ ‫�س ‪1 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫�س‬ ‫وكان (ع ‪ °‬ق) (‪ ، 12 = )3‬فما قيمة أ� ؟َ‬ ‫�أ�س‪3‬‬ ‫=‬ ‫ع(�س)‬ ‫‪،‬‬ ‫‪ )2‬ق(�س) =‬ ‫‪ )3‬إ�ذا كان �ص = ظا�س ‪ ،‬برهن �أن �ص(‪6 = )3‬قا‪�4‬س ‪4 -‬قا‪�2‬س‬ ‫�ص‬ ‫‪ )4‬إ�ذا كان �ص = ع‪ ، 1 + 2‬ع = ‪�8‬س – ‪� ، 6‬س = ‪ 4‬ل فجد‬ ‫ل‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪) (2‬‬ ‫‪�2‬س ‪1 -‬‬ ‫جا‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ )1‬‬ ‫�س ‪1 +‬‬ ‫(�س ‪2)1 +‬‬ ‫‪4 - ) 2‬‬ ‫‪ )3‬ا�شتق ‪ 3‬مرات‪ ،‬ثم �أج ِر العمليات اللازمة لتح�صل على المطلوب‪.‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫–‬ ‫ل‬ ‫‪32‬‬ ‫‪(64‬‬ ‫ا إلجابة‬ ‫‪.‬‬ ‫القاعدة‬ ‫هذه‬ ‫ح�سب‬ ‫ا�شتق‬ ‫‪،‬‬ ‫�س‬ ‫*‬ ‫ع‬ ‫*‬ ‫�ص‬ ‫=‬ ‫�ص‬ ‫‪) 4‬‬ ‫ل‬ ‫�س‬ ‫ع‬ ‫ل‬ ‫‪92‬‬

‫استراتيجيات التقويم وأدواته‬ ‫ا�ستراتيجية التقويم‪ :‬مراجعة الذات‪ ،‬التوا�صل‪ ،‬الملاحظة‪ ،‬الورقة والقلم‪ ،‬التقويم المعتمد على الأداء‪.‬‬ ‫�أداة التقويم‪� :‬سلم التقدير (‪ ،)2-2‬قائمة الر�صد ( ‪ ،)4-2‬قائمة الر�صد ( ‪ ،)5-2‬ورقة العمل ( ‪.)8-2‬‬ ‫إجابات التمارين والمسائل والتدريبات‬ ‫التدريبات‬ ‫‪ )1‬الفرع ا ألول‪� ( 6 :‬س‪� - 3‬س)‪� 3 ( 5‬س‪ ) 1 - 2‬الفرع الثاني‪ 2 :‬جتا�س – قتا�س ظتا�س‬ ‫‪2 )2‬‬ ‫‪ )3‬الفرع ا ألول‪ 4 :‬قا ‪� 4‬س ظا‪� 4‬س ‪ ،‬الفرع الثاني‪� (7 :‬س‪� 2 + 3‬س ‪� 3( 6) 8 -‬س‪، )2 + 2‬‬ ‫الفرع الثالث‪� 8 :‬س جا‪�(3‬س‪ )2‬جتا (�س‪)2‬‬ ‫‪17-‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪48‬‬ ‫التمارين والم�سائل‬ ‫‪�10-‬س‬ ‫ب)‬ ‫‪� )1‬أ ) ‪�(8‬س‪� 2 - 3‬س ‪� 3 ( 7)4 +‬س‪) 2 - 2‬‬ ‫(�س‪6)1 + 2‬‬ ‫جـ) ‪(�4‬س‪+� 1-(13‬س‪5�)22‬س‪ )3‬‬ ‫د ) ( ‪� 2 – 1‬س) جا ( �س‪� –2‬س)‬ ‫‪� )2‬أ ) ‪ 6‬‬ ‫ب) �صفر‬ ‫ب) ‪3 8‬‬ ‫‪� )3‬أ ) ‪ 2 4 -‬‬ ‫‪ )4‬بفر�ض ع = هـ(�س) فيكون �ص= جانع‪ .‬طبق قاعدة ال�سل�سلة‪.‬‬ ‫ب) ‪� 20‬س ( �س‪� (( 4) 1 + 2‬س‪) 1 + 5) 1 + 2‬‬ ‫‪ )5‬أ�) قا‪�( 2‬س‪� - 3‬س) (‪�3‬س‪ ) 1 - 2‬‬ ‫‪ )6‬ا�ستخدم قاعدة ال�سل�سلة ثم ع ِّو�ض‪.‬‬ ‫‪ ) 7‬ا�ستخدم قاعدة ال�سل�سلة ‪.‬‬ ‫ب) �صفر‬ ‫‪� )8‬أ ) ‪ 3 2 3‬‬ ‫‪2 +‬جتا‪�2‬س ‪�4 -‬س‪ 2‬جتا‪�2‬س‬ ‫‪�4‬س جا‪�2‬س‬ ‫ب)‬ ‫ظا( � ‪1‬س) ‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫قا‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أ�)‬ ‫‪)9‬‬ ‫�س‪3‬‬ ‫�س‬ ‫�س‪3‬‬ ‫ثم عو�ض‪ .‬الإجابة ‪4 -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ )10‬ا�ستخدم قاعدة ال�سل�سلة‪ ،‬ثم جد �س عندما جا‪�2‬س =‬ ‫‪2‬‬ ‫‪93‬‬

‫‪ )11‬ا�ستخدم قاعدة ال�سل�سلة ثم ع ِّو�ض‪ .‬ا إلجابة ‪20‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)12‬‬ ‫د) ‪216‬‬ ‫جـ) ‪ 3 24‬‬ ‫‪� )13‬أ ) ‪ 108‬ب) ‪ 432‬‬ ‫�ص = ‪2‬جال‬ ‫ظال‬ ‫‪1‬‬ ‫�ص =‬ ‫‪2‬‬ ‫�ص =‬ ‫�ص = ل‪3‬‬ ‫�إجابات ورقة عمل (‪)8-2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ل‬ ‫‪)1‬‬ ‫�ص = ق ( ل)‬ ‫‪�3‬س‬ ‫ل=‬ ‫ل = ‪�π‬س‪2‬‬ ‫ل = �س‪2‬‬ ‫ل = ‪�4‬س ‪2 -‬‬ ‫ل = هـ (�س)‬ ‫‪2‬‬ ‫�س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬جا‬ ‫ظا‪�π‬س‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�ص = (ق‪°‬هـ)(�س) ( ‪�4‬س ‪3) 2 -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪�π‬سقا‪�π2‬س‪2‬‬ ‫‪َ4-‬‬ ‫�ص‬ ‫‪2‬‬ ‫�س‬ ‫�س‪3‬‬ ‫�س‬ ‫‪3‬جتا‬ ‫‪�4 (12‬س ‪2) 2 -‬‬ ‫(ق‪°‬هـ) (�س) �أو‬ ‫‪30- )2‬‬ ‫‪ )3‬ا�ستخدم قاعدة ال�سل�سلة ثم اجعل �س =‪ . 1-‬الإجابة‪12-‬‬ ‫‪94‬‬

‫الف�صل الثاني‪ :‬قواعد الا�شتقاق‬ ‫عدد الح�ص�ص ثلاث ح�ص�ص‬ ‫الا�شتقاق ال�ضمني‬ ‫�ساد�ًسا‬ ‫نتاجات التعلم‬ ‫‪- -‬يجد م�شتقة علاقة �ضمنية‪.‬‬ ‫التكامل الر أ��سي‬ ‫‪- -‬الاقترانات والعلاقات في ال�صف الثامن‪.‬‬ ‫‪- -‬الاقترانات والعمليات عليها في ال�صفين العا�شر والحادي ع�شر العلمي‪.‬‬ ‫المفاهيم والم�صطلحات والرموز‬ ‫م�صادر التعلم‬ ‫‪- -‬الا�شتقاق ال�ضمني‪.‬‬ ‫‪- -‬كتاب الطالب‪ ،‬ال�صفحات (‪.)147-140‬‬ ‫‪- -‬العلاقة ال�ضمنية‪.‬‬ ‫‪- -‬من�صة إ�دراك للتعلم المدر�سي‬ ‫‪https: //programs.edraak.org /‬‬ ‫‪learn /k12/math-g12-jo-vv1‬‬ ‫التعلم القبلي‬ ‫‪- -‬الم�شتقة ا ألولى لاقتران عند نقطة‪ ،‬قواعد الا�شتقاق ‪ ،1‬قواعد الا�شتقاق ‪ ،2‬م�شتقات الاقترانات المثلثية‪.‬‬ ‫تركيب الاقترانات‪.‬‬ ‫استراتيجيات التدريس‬ ‫التدري�س المبا�شر (�أوراق العمل ‪ ،‬التدريبات والتمارين)‪ ،‬التعلم في مجموعات ( فكر‪-‬انت ِق زميلًا‪�-‬شارك) حل الم�شكلات‬ ‫والا�ستق�صاء‪.‬‬ ‫إ�جراءات التنفيذ‬ ‫‪1 -1‬التمهيد للدر�س بتذكير الطلبة بالاقتران والعلاقة‪ ،‬و�أن العلاقة بين �س‪� ،‬ص قد لا تكون اقترا ًنا لكن لا‬ ‫يمنع من إ�يجاد ميل المما�س؛ وبالتالي معادلة المما�س لمنحنى العلاقة عند نقطة من نقاطها‪.‬‬ ‫‪2 -2‬طرح ال�س ؤ�ال الوارد في بداية الدر�س‪ ،‬وتو�ضيح أ�ن العلاقة المذكورة في ال�س�ؤال معادلة دائرة مركزها‬ ‫نقطة ا أل�صل‪ .‬من ا إلجابات المتوقعة نجد ميل ن�صف قطر الدائرة الذي ي�صل بين هذه النقطة ومركز‬ ‫الدائرة‪ ،‬ثم نجد ميل المما�س (المما�س يعامد ن�صف القطر عند نقطة التما�س) ثم نجد معادلة المما�س‪.‬‬ ‫‪3 -3‬الانطلاق من ال�س ؤ�ال المطروح في بداية الدر�س؛ للتو�صل �إلى �ضرورة �إيجاد طريقة جديدة في‬ ‫الا�شتقاق؛ لحل مثل هذه الق�ضايا‪ .‬مناق�شة مفهوم العلاقة ال�صريحة والعلاقة ال�ضمنية كما ورد في‬ ‫‪95‬‬

‫بداية الدر�س‪ .‬و إ�عطاء أ�مثلة كافية عليهما‪ ،‬ثم ت�سمية الطريقة الجديدة في الا�شتقاق‪ ،‬التي تحل م�شاكل‬ ‫الا�شتقاق في العلاقات ال�ضمنية بالا�شتقاق ال�ضمني‪.‬‬ ‫‪4 -4‬مناق�شة خطوات إ�يجاد م�شتقة علاقة �ضمنية كما وردت في ال�صفحة (‪ )140‬من الكتاب‪.‬‬ ‫‪5 -5‬حل مثال (‪ )1‬ومناق�شته‪ ،‬والتركيز على الا�شتقاق بالطريقتين العادية وال�ضمنية‪ .‬ثم عر�ض �أمثلة ُيطلب‬ ‫فيها إ�يجاد الم�شتقة لعلاقات لا يمكن فيها ف�صل المتغيرين لتكوين علاقة �صريحة؛ كما في المثالين (‪،2‬‬ ‫‪)3‬؛ ليكت�شف الطلبة �أ َّن الحل الوحيد إليجاد الم�شتقة هو الا�شتقاق ال�ضمني‪.‬‬ ‫‪6 -6‬ت�ش��كيل مجموع��ات غير متجان�س��ة ( ‪ ،)6-4‬وتكليفها بحل تدريب (‪ )1‬ثم بره��ان النظرية المتعلقة‬ ‫با�شتقاق �ص= �سن ؛ حيث ن عدد ن�سبي م�ستخد ًما ا�ستراتيجية حل الم�شكلات‪ .‬يف�ضل �إر�شاد الطلبة‬ ‫�إلى الخطوة ا ألولى بالبرهان‪ ،‬وتقديم الم�س��اعدة ح�سب الحاجة‪ ،‬ثم عر�ض أ�عمال المجموعات وتقديم‬ ‫التغذية الراجعة ثم عر�ض البرهان ال�صحيح‪.‬‬ ‫‪7 -7‬حـل مثـال (‪ )4‬ومناق�ش��ته بو�ص��فه تطبي ًقا مبا�ش ًرا على النظريـــة ثم عر�ض النتيجة المتعلقة با�ش��تقــاق‬ ‫�ص= (ق �س))ن‪ ،‬والتركيز على هذه النتيجة؛ ألنها تو ِّفر الوقت في الا�شتقاق‪.‬‬ ‫‪8 -8‬حل المثالين (‪ )6 ،5‬ومناق�ش��تهما بو�ص��فهما تطبيقين على النتيجة ال�س��ابقة‪ ،‬ثم تكليف المجموعات‬ ‫بحل تدريب (‪ ،)2‬عر�ض إ�جابات الطلبة‪ ،‬وتقديم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪9 -9‬حل مثال (‪ )7‬ومناق�شته‪ ،‬وتو�ضيح ا ألفكار المختلفة التي وردت فيه‪ ،‬مثل‪ :‬الا�شتقاق ال�ضمني وقواعد‬ ‫الا�ش��تقاق والم�ش��تقات العليا‪ ،‬ثم مناق�شة مثال (‪ ،)8‬والتركيز على أ�نه �ش��كل آ�خر من أ��شكال تركيب‬ ‫الاقترانات التي تجد م�شتقتها بقاعدة ال�سل�سلة‪.‬‬ ‫‪1010‬تكليف المجموعات بحل التدريبين (‪ )4 ،3‬بو�صفهما تطبيقين على المثالين (‪ ) 8 ، 7‬ثم عر�ض �إجابات‬ ‫الطلبة‪ ،‬وتقديم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪1111‬تكليف الطلبة بتنفيذ ورقة العمل (‪ ،)9-2‬ومتابعة حلولهم وتقديم الدعم ح�سب الحاجة‪.‬‬ ‫‪1212‬ختم الدر�س ب�س ؤ�ال الطلبة عما تعلموه في هذا الدر�س ونماذج من م�سائل الا�شتقاق الجديدة (التي‬ ‫ُح َّلت بالا�شتقاق ال�ضمني وكان ي�صعب حلها بالا�شتقاق العادي‪.‬‬ ‫‪1313‬تكليف المجموعات بحل تمارين وم�سائل �صفحة (‪ ،)147 ،146‬ومناق�شة ا إلجابات في الدر�س‬ ‫لتقديم التغذية الراجعة والدعم اللازم لهم‪.‬‬ ‫معلومات �إ�ضافية‬ ‫‪ -‬تذكر �أن الا�شتقاق ال�ضمني يعني �أن ت�شتق بالن�سبة إ�لى المتغير الم�ستقل‪ ،‬وعادة ما يكون �س‪ .‬وينتج‬ ‫عن الا�شتقاق علاقة بين �س ‪� ،‬ص ‪� ،‬ص ‪.‬‬ ‫‪ -‬تذكير الطلبة �أنه في معظم الأحيان من ال�صعب إ�يجاد �ص بدلالة �س فقط ‪ ،‬أ�ما ح�ساب �ص عند نقطةَ‬ ‫محددة ( �س‪� ،1‬ص‪ )1‬ف�أمر ب�سيط‪َ َ .‬‬ ‫‪96‬‬

‫�أخطاء �شائعة‬ ‫في ال�صفوف ال�سابقة تعلمنا أ�ن مما�س الدائرة هو م�ستقيم ي�شترك مع الدائرة في نقطة واحدة فقط‪ ،‬من‬ ‫الأخطاء ال�شائعة تعميم هذا التعريف على مما�سات منحنيات الاقترانات‪ .‬وال�صحيح �أ َّن م�ستقي ًما ما يكون‬ ‫مما�ًّسا لمنحنى اقتران عند نقطة من نقاطه؛ �إذا كانت الم�شتقة الأولى للاقتران موجودة عند هذه النقطة ‪،‬‬ ‫لكن هذا المما�س قد يم�س �أو يقطع منحنى الاقتران عند نقطة أ�و نقاط �أخرى غير هذه النقطة‪.‬‬ ‫مراعاة الفروق الفردية‬ ‫علاج‬ ‫‪ )1‬م ِّيز العلاقات ال�صريحة من ال�ضمنية في ما ي�أتي‪ ،‬ثم ا�شتق العلاقات ال�ضمنية‪:‬‬ ‫�أ ) �س‪�4 - 2‬ص = �س ب) �ص ‪� +‬س‪ = 2‬ظا �ص‬ ‫جـ) �س‪� 5 - 3‬س = �ص ‪ 1+‬د ) �س �ص‪ - 2‬جتا �ص= ‪� 4‬س‬ ‫‪�2‬س‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫�أ ) �صري حة ‬ ‫ب) �ضمنية ‪� ،‬ص = ظا‪�2‬صَ‬ ‫‪� - 4‬ص‪َ2‬‬ ‫جـ) �صريحة ‬ ‫=‬ ‫د) �ص‬ ‫‪�2‬س �ص ‪ +‬حا�ص‬ ‫‪1‬‬‫=‬ ‫�ص‬ ‫�إثراء ‪:‬‬ ‫‪� )1‬إذا كان �س‪� + 2‬ص‪� = 2‬أ‪ 2‬عد ًدا ثاب ًتا ف�أثبت أ� َّن‬ ‫�أ| ً َ |‬‫‪3‬‬‫(�ص)‪]2‬‬ ‫[‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�ص‬ ‫‪� )2‬إذا كان جتا (�س ‪� +‬ص) = �س‪� 2‬ص فجد‬ ‫�س‬ ‫‪ )3‬أ�عط مثال ًا على م�ستقيم يم�س منحنى اقتران عند نقطة ويقطعه عند نقطة أ�خرى‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪ )1‬ا�شتق �ضمن ًّيا مرتين ‪ ،‬لاحظ �أ َّن ( �ص‪� = 2‬ص × �ص هو مربع الم�شتقة‪� .‬أجر العمليات والتعوي�ضَ َ َ‬ ‫حيثما لزم لتح�صل على المطلوب‪.‬‬ ‫‪�-‬ص ‪ -‬جا(�س ‪� +‬ص)َ‬‫=‬ ‫�ص‬ ‫‪) 2‬‬ ‫�س ‪ +‬جا(�س ‪� +‬ص)‬ ‫‪ ) 3‬لاحظ إ�جابات الطلبة‪.‬‬ ‫‪97‬‬

‫استراتيجيات التقويم وأدواته‬ ‫ا�ستراتيجية التقويم‪ :‬مراجعة الذات‪ ،‬التوا�صل‪ ،‬الملاحظة‪ ،‬الورقة والقلم‪ ،‬التقويم المعتمد على الأداء‪.‬‬ ‫�أداة التقويم‪� :‬سلم التقدير (‪ ،)2-2‬قائمة الر�صد ( ‪ ،)4-2‬قائمة الر�صد ( ‪ ،)5-2‬ورقة العمل ( ‪.)9-2‬‬ ‫إجابات التمارين والمسائل والتدريبات‬ ‫‪�2‬س‬ ‫الثالث‪:‬‬ ‫الفرع‬ ‫‪�2 - 1‬ص‬ ‫الفرع الثاني‪:‬‬ ‫�س‬ ‫*‬ ‫‪3‬‬ ‫التدريبات‬ ‫قا‪� 2‬ص ‪1 -‬‬ ‫‪�2‬س ‪�3 -‬ص‪2 - 2‬‬ ‫�ص‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ )1‬الفرع الأول ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪�(2‬س ‪� -‬ص)‬ ‫الثاني‪:‬‬ ‫الفرع‬ ‫‪ )2‬الفرع ا ألول ‪� 2 :‬ص جا�س‬ ‫‪�2‬س ‪�2 -‬ص ‪+‬‬ ‫‪ )3‬ا�شتق الطرفين ثم جد جا �ص بدلالة �س ثم عو�ض‪.‬‬ ‫‪ )4‬ا�شتق �ضمن ًّيا مرتين‪ ،‬ثم عو�ض ‪.‬ا إلجابة ‪1‬‬ ‫التمارين والم�سائل‬ ‫‪�3‬س‪�8 + 2‬س‬ ‫ب)‬ ‫* ��سص ‬ ‫‪1-‬‬ ‫)‬ ‫‪� )1‬أ‬ ‫‪�4‬ص �س‪�4 + 3‬س‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫�ص‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫د‬ ‫ ‬ ‫‪�3‬س‪2‬‬ ‫�ص ‪-‬‬ ‫جـ)‬ ‫�س‬ ‫جتا(�س �ص)‬ ‫‪� -‬س‬ ‫‪�3‬ص‪2‬‬ ‫�ص‬ ‫‪� -‬س‬ ‫�ص‬ ‫‪4‬‬ ‫�ص‬ ‫�ص ‪-‬‬ ‫�س‬ ‫‪�2‬س �ص ‪�3 +‬ص‬ ‫‪4‬‬ ‫�ص‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫�س‪2‬‬ ‫�س‪� 4‬ص‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)َ‬ ‫(‬ ‫‪-‬‬ ‫ب)‬ ‫ َ َ‬ ‫‪-‬‬ ‫*‬ ‫‪-‬‬ ‫)‬ ‫‪� )2‬أ‬ ‫حا�ص( �ص ‪ +‬حتا�ص) ‪+‬‬ ‫(‪� + 1‬س جا�ص)‪2‬‬ ‫�ص جتا �سَ‬ ‫�ص جا�س ‪+‬‬ ‫د ) ‪2-‬‬ ‫�س � ص َ َ‬ ‫‪-‬‬ ‫جـ)‬ ‫�ص‬ ‫ب) ‪5 -‬‬ ‫‪π4‬‬ ‫‪ )3‬أ� )‬ ‫‪ π2-1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جـ)‪-‬‬ ‫ ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪98‬‬