دليل عاشر المعلم-الفصل الأول

‫الريا�ضيات‬ ‫ال�صف العا�شر‬ ‫دليل المعلم‬

‫أه ًل بك‬ ‫في مناهج الرياضيات المطورة‬ ‫الريا�ضيات‬ ‫عزيزي المع ِّلم‪ ،‬يســ ُّرنا في هذه المقدمة أ ْن ُنب ِّين لك الأســس العلمية والتربوية التي قامت عليها‬ ‫اْﻟاَْﻟﻮاَْْﻟﻮﺣاََْْﻟﻮﺣﺪاََُْْﻟﻮﺣﺪاةََُْْﻟﻮﺣﺪةََُْﻮﺣﺪةَُْ‪5‬ﺣﺪةَُ‪4‬ﺪةُُ‪3‬ةﻣَﺗ‪ْ2‬اﺮﻌا‪1‬ﻟْﺎﺗﱠََﺘاﻟﻴﻷْﻟَْاُﻤﺠْﱠﻋﻟُﺐﻄَﺔﻬْﺪﺠﺮاﻴاْْاَُُِْﻟﻤحدﺪَﻷﱠُﺒﻳْﻊﻴُِﻋﺎﺔﺿﻧ‪:‬ﺪْﺎاﻤاَِِْدَتﻦﻷَْوَﻋُﻣْﻣﻨﺪِاﺰَﻘُﻟﺎَدَﺘرَْﻴَﻧُﺣِﺘّﺘﻦﻬﺎﻰ‪20‬مونكاتهــــاجبااللرتيامارضييان‪،‬توالدلميطلوالرةمبع ِّلطرمي‪،‬قاةلتمـبـسيـتـتطجة ّل‪،‬ىوذفليهاكتبلعرك الضجبوعانضبااللععنلاميصــــةرومالنتركبتاويةببالوطاضلوحب‪.،‬‬ ‫‪NforaCtuiroricnuluaml DCeveelnoptmeenrt‬‬ ‫ونحــن إذ نعرض هذه المقدمة فإ ّنا نأمــل أ ْن تكون ُم ِعينًا لك على فهم كيفية اســتعمال المناهج‬ ‫ال‪£‬ال‪1Ö‬الريا�ضيات‬ ‫‪àc‬ا‪Ü‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ا’‪∫hC‬‬ ‫ال�ضف‬ ‫ال�ضف ا’‪àc - ∫ Ch‬ا‪ Ü‬ال‪£‬ال‪Ö‬‬ ‫اْﻟاَْﻟﻮاَْْﻟﻮﺣاََْْﻟﻮﺣﺪاََُْْﻟﻮﺣﺪةََُْﻮﺣﺪةَُْﺣﺪةَُ‪5‬ﺪةُ‪4‬ة‪2ُ3‬ﻣاﻟ‪1‬ﻌاْﱠﺎﻟََﻟﺗﻄََْْﺠﺮﺮاْﺠْﺗَُُﻤﻴحﺔﻷُُْﻊاﻋْﻟﺐَﺪﺒااْﻴُﺎَدﻷﻧ ْﺎﻋِﺪتا ِد َو ُﻣﻘﺎَرَﻧُﺘﻬﺎالمطورة‪ ،‬وتوظيفها بصورة صحيحة داخل غرفة الصف‪ ،‬بما ُيح ِّقق الفائدة المنشودة منها‪.‬‬ ‫ال‪Qó‬ا‪S‬ض» ا ‪h’C‬‬ ‫ال‪�Ø‬ضل‬ ‫تتناول المقدمة الجوانب الآتية‪:‬‬ ‫∫‬ ‫ال‪�Ø‬ضل ال‪Qó‬ا‪S‬ض» ا’‪∫ Ch‬‬ ‫‪NforaCtuiroricnuluaml DCeveelnoptmeenrt‬‬ ‫‪Ω2020/`g1441‬‬ ‫ال‪�Ø‬ضلال‪Qó‬ا‪S‬ض»ا ‪ ∫h’C‬ال�ضفال‪ã‬ا‪àc-Ê‬ا‪Ü‬ال‪£‬ال‪2Ö‬الريا�ضيات‬ ‫آﺣﺎ ﹲد ﹶﻋ ﹶﺸﺮا ﹲت ﻣﹺﺌﺎ ﹲت‬ ‫‪NforaCtuiroricnuluaml DCeveelnoptmeenrt‬‬ ‫ال�ضف الرا‪àc - ™H‬ا‪ Ü‬ال‪£‬ال‪äÉ«°VÉjôdGÖ‬‬ ‫ ‪1.‬خطة الخطوات الست لتدريس الرياضيات‪.‬‬ ‫ال‪�Ø‬ضل ال‪Qó‬ا‪S‬ض» ا ‪∫h’C‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ ‪2.‬أنواع التقويم‪ ،‬وأدواته‪.‬‬ ‫الريا�ضيات‬ ‫ال�ضف ا‪ÿ‬ا‪àc - ¢ùe‬ا‪ Ü‬ال‪£‬ال‪äÉ«°VÉjôdGÖ‬‬ ‫‪NforaCtuiroricnuluaml DCeveelnoptmeenrt‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ا ْﻟ ُﻤ ْﺤ َﺘﻮﻳﺎت‬ ‫ ‪3.‬تعزيز لغة الرياضيات وإثراؤها‪.‬‬ ‫اﻟْ َﻮ ْﺣ َﺪ ُة ‪ 1‬ا ْﻷَ ْﻋﺪا ُد‪َ :‬ﺟ ْﻤ ُﻌﻬﺎ‬ ‫ ‪4.‬بعض استراتيجيات التع ُّلم‪:‬‬ ‫ال‪�Ø‬ضل ال‪Qó‬ا‪S‬ض» ا ‪∫h’C‬‬ ‫ال�ضف ا‪ÿ‬ا‪àc - ¢ùe‬ا‪ Ü‬ال‪£‬ال‪Ö‬‬ ‫َوﻃَ ْﺮ ُﺣﻬﺎ‬ ‫اﻟْ َﻮ ْﺣ َﺪ ُة‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟْ َﻮ ْﺣ َﺪ ُة‬ ‫اﻟ ﱠﻀ ْﺮ ُب َواﻟْ ِﻘ ْﺴ َﻤ ُﺔ‬ ‫‪3‬‬ ‫َﺧﺼﺎﺋِ ُﺺ ا ْﻷَ ْﻋﺪا ِد‬ ‫اﻟْ َﻮ ْﺣ َﺪ ُة‬ ‫اﻟْ ُﻜﺴﻮ ُر َواﻟْ َﻌ َﻤﻠِ ّﻴﺎ ُت َﻋﻠَ ْﻴﻬﺎ‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻟْ َﻮ ْﺣ َﺪ ُة‬ ‫ﺗَ ْﻤﺜﻴ ُﻞ اﻟْ َﺒﻴﺎﻧﺎ ِت َوﺗَ ْﻔﺴﻴ ُﺮﻫﺎ‬ ‫‪5‬‬ ‫الريا�ضيات‬ ‫ •التع ُّلم القائم على المشاريع‪.‬‬ ‫ال‪�Ø‬ضل ال‪Qó‬ا‪S‬ض» ا’‪∫ Ch‬‬ ‫ •التع ُّلم باستعمال التكنولوجيا‪.‬‬ ‫ال�ضف ال‪ù‬ضا‪äÉ«°VÉjôdG™H‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ال�ضف ال‪ù‬ضا‪àc - ™H‬ا‪ Ü‬ال‪£‬ال‪Ö‬‬ ‫اﻟاﻮﻟاﺣﻮﻟﺪاﺣﻮﻟ ُةﺪﺣﻮ ُةﺪﺣ ُةﺪ‪ُ 4‬ة‪23‬اﻟ‪1‬ﱠاﺰﻟوااﻤﻳﻷاﺎﻌﺎﻷﺳودﻋاﻟﺪﻻُاﺲ ُﻤتُدا َﻟاااﻀﻟﻟﻠﱠﻟﺼﱢﻨَﺨﻌﺤﺎﻤﻄﻴّﺴ ُﱠﺒﻴتﺤ ﱠﺤﻴ ُﺔ ُﺔوﺘُﺔاﻟوﺘاﻮﻟﺤﻳﻤﺎﻮﻳﻘﺎﻼتد ُﻳت ُﺮااﻟﻟﻬﺠﻨﺒﺪﺮ ﱠﻳﺳُﺔ ّﻴ ُﺔ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪Ω2020/`g1441‬‬ ‫ال‪�Ø‬ضل ال‪Qó‬ا‪S‬ض» ا ‪∫h’C‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪BA‬‬ ‫‪x‬‬ ‫'‪B‬‬ ‫'‪A‬‬ ‫'‪C‬‬ ‫ال‪�Ø‬ضل ال‪Qó‬ا‪S‬ض» ا’‪∫ Ch‬‬ ‫ ‪5.‬مهارات التفكير العليا‪.‬‬ ‫‪äÉ«°VÉjôdG‬‬ ‫‪NforaCtuiroricnuluaml DCeveelnoptmeenrt‬‬ ‫‪Ω2020/`g1441‬‬ ‫ ‪6.‬الوصول إلى الطلبة كاف ًة‪.‬‬ ‫ال‪�Ø‬ضل ال ال�ضف العا�ضر‪10‬‬ ‫ســنُق ِّدم لك أي ًضا ‪-‬في نهاية هذه المقدمة‪ -‬بعض استراتيجيات التدريس الشائعة؛ لتكون مرج ًعا‪،‬‬ ‫‪Qó‬ا‪S‬ض» ا’‪∫ Ch‬‬ ‫و ُم ِعينًا لك عند التخطيط لتقديم دروسك‪.‬‬ ‫ال‪à£`c‬ا``ل`ا‪ÜÖ‬‬ ‫‪a‬‬

‫ خطة الخطوات الست لتدريس الرياضيات‪1:‬‬ ‫ُيق ِّدم لك دليل المع ِّلم خطة واضحة لســير الدرس‪ ،‬تحوي ســت خطوات (مراحل)‪ ،‬هي‪ :‬التهيئة‪ ،‬والاستكشاف‪ ،‬والتدريس‪ ،‬والتدريب‪ ،‬والإثراء‪ ،‬والختام‪.‬‬ ‫وتتض َّمن كل خطوة من هذه الخطوات مقترحات وإرشادات تساعدك على تقديم الدرس بنجاح‪.‬‬ ‫التهيئة‬ ‫‪1‬‬ ‫تهــدف هذه المرحلة إلى تهيئة الطلبــة لموضوع الدرس‪،‬‬ ‫ولكن دون ذكر لأ ٍّي من أفكاره‪ ،‬وتوجد مقترحات في دليل‬ ‫المع ِّلم ُت ِعينك على تقديم التهيئة بنجاح في فقرة (التهيئة)‪.‬‬ ‫قد تحوي هذه الفقرة نشا ًطا مبن ًّيا على معرفة الطلبة السابقة؛‬ ‫لذا قد يرصد المع ِّلم في أثناء هذه المرحلة بعض الأخطاء‬ ‫المفاهيمية و ُيص ِّححها قبل بدء الدرس‪.‬‬ ‫الاستكشاف‬ ‫‪2‬‬ ‫التدريس‬ ‫‪3‬‬ ‫تهــدف هذه المرحلة إلــى إثارة فضــول الطلبة لموضوع‬ ‫مــن المتوقع أ ْن تؤدي مرحلة (الاستكشــاف) إلــى حدوث حالة‬ ‫الدرس‪ ،‬ولكــن دون تقديــم معلومات جاهــزة لهم؛ إذ‬ ‫مــن عدم التوازن في المفاهيم لدى الطلبــة‪ ،‬فتبدأ مرحلة (التع ُّلم)‬ ‫يتع َّين عليك عزيــزي المع ِّلم في هــذه المرحلة أداء دور‬ ‫في إعادة التــوازن لديهم‪ ،‬بحيــث يتم َّكنون مــن تكوين خبرات‬ ‫ال ُمي ِّســر‪ ،‬وذلك بتوجيه الطلبة إلى قراءة المســألة الواردة‬ ‫مشــتركة محددة تساعدهم على إدراك المفاهيم‪ ،‬وإتقان العمليات‬ ‫في فقرة (أستكشــف) في كتاب الطالــب‪ ،‬ومنحهم وق ًتا‬ ‫والمهارات‪ .‬تســتغرق هذه المرحلة كثي ًرا من وقت الدرس؛ فهي‬ ‫كاف ًيا لدراســتها والتفكير فيها‪ ،‬ثم طرح الأسئلة المقترحة‬ ‫تشــمل تقديم فقرات الشــرح‪ ،‬وأمثلة الدرس جميعها؛ لذا استعن‬ ‫عليهــم‪ ،‬التي ورد ذكرها في بند (الاستكشــاف) من دليل‬ ‫بالإرشادات الواردة في فقرة (التدريس) في دليل المع ِّلم‪ ،‬لتتم َّكن‬ ‫المع ِّلم‪ .‬ليس شــر ًطا أ ْن يتم َّكن الطلبة من الإجابة بصورة‬ ‫صحيحة؛ لذا اقبل إجاباتهم‪ ،‬ثم انظر فيها لاح ًقا بعد انتهاء‬ ‫من تنفيذ هذه المرحلة المهمة بنجاح‪.‬‬ ‫الدرس‪ ،‬وتأ َّكد أ َّنهم ســيجيبون إجابة صحيحة عنها‪ .‬عل ًما‬ ‫بأ َّن تمارين بعض الدروس ُت ِحيل الطلبة إلى المســألة في‬ ‫فقرة (أستكشف)؛ لح ِّلها في نهاية الدرس‪.‬‬ ‫‪b‬‬

‫التدريب‬ ‫‪4‬‬ ‫فــي هذه المرحلــة يتد َّرب الطلبــة على أنواع‬ ‫مختلفة من المســائل المجــ َّردة والحياتية في‬ ‫فقرتي (أتدرب و أحل المســائل) و(مهارات‬ ‫التفكيــر العليــا) داخل غرفــة الصف‪ ،‬وذلك‬ ‫لترســيخ المفاهيم الجديدة‪ ،‬وزيــادة الطلاقة‬ ‫الإجرائية لديهم‪ .‬قد ُيك ِمل الطلبة هذه المرحلة‬ ‫فــي المنزل‪ .‬وكذلــك التدريبات والمســائل‬ ‫الواردة في الصفحة المقابلة للدرس في كتاب‬ ‫التمارين‪.‬‬ ‫الإثراء‬ ‫‪5‬‬ ‫ُت َع ُّد توســعة المفاهيم والعمليات والمهارات‬ ‫الختام‬ ‫‪6‬‬ ‫الهدف الأســاس لهذه المرحلة‪ ،‬ويتم َّثل ذلك‬ ‫هـي المرحلـة الأخيـرة مـن مراحـل تقديـم الـدرس‪ ،‬التـي تهـدف إلى‬ ‫في إشــراك الطلبــة في مهام تتض َّمــن مفاهيم‬ ‫وعمليات أوســع وأكثر عمقا‪ُ .‬تو ِّفر لك مناهج‬ ‫تجميـع الأفـكار المختلفـة التـي تض َّمنهـا الـدرس‪ ،‬ثم عرضهـا بصورة‬ ‫الرياضيــات المطــورة مصــادر ِعــ َّدة لإثراء‬ ‫مترابطـة‪ ،‬فضل ًا عـن اشـتمالها علـى مقترحـات تسـاعدك علـى تقديم‬ ‫الطلبة ذوي المســتوى فوق المتوســط‪ ،‬منها‬ ‫هـذه الفقـرة بنجاح‪.‬‬ ‫الفقــرة الخاصة بالإثراء أو التوســعة في دليل‬ ‫المع ِّلم التي تحوي مســأل ًة‪ ،‬أو نشــا ًطا صف ًّيا‪،‬‬ ‫أو حاســوب ًّيا‪ ،‬إضاف ًة إلى مشروع الوحدة الذي‬ ‫يثري معرفة الطلبة بموضوعات الوحدة‪.‬‬ ‫‪c‬‬

‫ أنواع التقويم وأدواته‪2:‬‬ ‫التقويم جزء لا يتجزأ من عملية التع ُّلم؛ فهو ُيوا ِكب جميع خطواتها‪ ،‬ويضمن اســتمرارها وصو ًل إلى تحقيق الهدف‪ُ .‬يع َّرف التقويم بأ َّنه عملية ُتستع َمل فيها‬ ‫معلومات من مصادر ُمتع ِّددة للوصول إلى حكم عن تحصيل الطلبة الدراســي‪ .‬وقد أبرزت مناهج الرياضيات المطورة ثلاثة أنواع مختلفة من التقويم‪ ،‬هي‪:‬‬ ‫التقويم التشخيصي‪ ،‬والتقويم التكويني‪ ،‬والتقويم الختامي‪.‬اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪1‬‬ ‫أﺳﺘﻌ ﱡﺪ ﻟﺪراﺳ ِﺔ اﻟﻮﺣﺪ ِة‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪ :1‬اﻷﺳ ُﺲ واﻟﻤﻌﺎدﻻ ُت‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪–b ±‬‬ ‫ﹸـﺬﻌﻖﻴﱠﻛﻰـُﺮﹺـاﻋﻟﹴـﺔـﻌ‪ ،‬ﱠﻮﺪاﻣﹲةﻨﹾﻣﻟﹺـﻬــ ﹶﺤـ ﹺﱢﺎﻞ‪:،‬ﻞايلهأسدــاف باقهلةتذاﺑﺑااﻟﺎﺎلقﻟﻟاﻘلﺘﺘلﺎاﺒنﻧوﻌـزﻮيﺴﻮـمﻴﻳﹸنوة ﹺماﻂلعﻟ ﹺاﺾدﻌملﺎرتﱡامن اسلشةتاقخلويميومص إلضـيوـ‪:‬عىالتجحددييدد؛مماد يىساامعت)ـد‪2‬ـا–لا(م)كع‪ِّ1‬لا(لم‪4‬طلع–بل‪2‬ة‪))c‬ىا‪a‬ل‪1‬ت‪4(1‬م–ح‪2‬ع(–در‪2‬يف√َ‪b‬ةد‪=√±22a‬‬ ‫)‪–(–1‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻤﺮاﺟﻌ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫أﺳﺘﻌﻴ ﹸﻦ‬ ‫اﻹﺟﺎﺑ ﹺﺔ‬ ‫ﻣ ﹶﻦ‬ ‫ﺗﺄ ﱡﻛﺪي‬ ‫ﻋﺪ ﹺم‬ ‫ﺣﺎ ﹺل‬ ‫وﻓﻲ‬ ‫ﺑﺪراﺳ ﹺﺔ اﻟﻮﺣﺪ ﹺة‪،‬‬ ‫اﻟﺒﺪ ﹺء‬ ‫ﻗﺒ ﹶﻞ‬ ‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺗﻲ‬ ‫أﺧﺘﺒ ﹸﺮ‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫أﺧﺘﺒ ﹸﺮ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺗﻲ‬ ‫ﻣﺮاﺟﻌ ﹲﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪–1 , x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت‬ ‫ﻣ ﹶﻦ‬ ‫ﻛ ﱟﻞ‬ ‫ﺣﻠﻮ ﹺل‬ ‫ﻋﺪ ﹶد‬ ‫ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد‬ ‫اﺑﻟﺎﺘﺮﺳﺑﺘﻴﻌﻌﻴﻤ ﹶﺎﺔ‪:‬ﹺل ا‪0‬ﻟﻘﺎ=ﻧﻮ‪ 2‬ﹺن‪1‬اﻟ–ﻌﺎ ﱢم‪ 4،x‬ﹶأ ﹺﺟ‪ +‬ﹸﺪ‪2‬ﻗﻴ‪ x‬ﹶﻢ‪.‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ‬ ‫=‪−7‬‬ ‫‪0‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‬ ‫ﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6x‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎﻣﻼ ﹺت‪:‬‬ ‫‪2 x2 – 4x + 4 = 0‬‬ ‫‪a = 1,‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪4,‬‬ ‫‪c‬‬ ‫=‬ ‫‪–12‬‬ ‫‪3 x2 – 2x + 7 = 0‬‬ ‫‪2– 4ac‬‬ ‫اﻟﻌﺎ ﱡم‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪–b±√b‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫اﻟﻘﺎﻧﻮ ﹸن‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹶﺔ‪:‬‬ ‫‪4 x2 + x − 6 = 0‬‬ ‫=‬ ‫–‬ ‫‪4±√64‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ واﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪5 x2 + 4x − 1 = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6 x2 + 2x − 5 = 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫–‬ ‫–‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫–‬ ‫‪4+‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪x = –6, x‬‬ ‫ﻫﻤﺎ‪:‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‬ ‫ما يلز امﻟهﺤمﺎﻟمﹸﺔ انﻷموعﻟالﻰ‪:‬جاﻋﻨتﺪتﻣتﺎم َّث‪–1‬ل ف=ي‪x‬م‪:‬صادر التع ُّلم الإضافية‪ .‬تحتوي مناهج‬ ‫ﱡم‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﹶﺣ ﹼﻼ‬ ‫إذ ﹾن‪،‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻛ ﹼﹰﻼ ﻣ ﹾﻦ أﻧﻈﻤ ﹺﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻨﻈﺎ ﹶم اﻵﺗ ﹶﻲ ﹸﻣﺴﺘﻌ ﹺﻤ ﹰﻼ ﻃﺮﻳﻘ ﹶﺔ اﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‪:‬‬ ‫‪7 4x + 3y = 11‬‬ ‫‪y=x–3‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫الرياضيات المطورة على أداة تقويم تشــخيصي في بداية كل وحدة‪ ،‬وهي ‪y = x – 1‬‬ ‫‪2x + y = 5‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ‬ ‫ﺛ ﱠﻢ‬ ‫)‪،(2‬‬ ‫ﻓ–ﻲ‪x‬اﻟ‪3‬ﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‬ ‫‪2y = 10‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫‪:1‬‬ ‫اﻟﺨﻄــﻮ ﹸة‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ )‪(1‬‬ ‫ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸض‬ ‫‪8 x − 2y = 1‬‬ ‫‪2x − 4y = −3‬‬ ‫‪3x – 2(x–3) = 10‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ اﻟﻨﺎﺗﺠ ﹶﺔ‪.‬‬ ‫‪y = –1 –1 = −2‬‬ ‫موجودة فﺑﺘيﻌﻮكﻳتا ﹺﺾب ال‪1‬تم–ار=ين‪ x‬بﻓعنﻲوااﻟﻤنﻌ(ﺎأدﻟس ﹺﺔت اعﻟدﺨل ﱢﻄدﻴرﹺﺔاسة الوحدة)‪.‬‬ ‫ﺑﻔ ﱢﻚ اﻷﻗﻮا ﹺس‬ ‫‪3x – 2x + 6 = 10‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪9 2x − 4y = 1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x=4‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫= ‪5x − 10y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪،‬‬ ‫إﺣﺪ￯‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫اﻟوﻟﺘﺨﻜﻄ ﹺﻮﻦ ﹸةاﻟ‪2‬ﻤ‪:‬ﻌﹸأﺎﻋدﻟﱢﻮﹶﺔ ﹸ )ض‪1‬ﻗ(ﻴﻤﻹﹶﺔﻳاﻟﺠ ﹸﺎﻤﺘﹺدﻐﻗ ﱢﻴﻴ ﹺﺮﻤ ﹺﺔ‪x‬‬ ‫‪.y‬‬ ‫اﻟ ﹶﺤ ﱡﻞ اﻷو ﹸل‪. (x, y) = (− 1, − 2) :‬‬ ‫‪y=4–1=3‬‬ ‫)‪(3–2) (80‬‬ ‫أﻛﺘ ﹸﺐ ﻛ ﹰﹼﻼ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻓﻲ أﺑﺴ ﹺﻂ ﺻﻮر ﹴة‪:‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﹶﺣ ﱡﻞ اﻟﻨﻈﺎ ﹺم ﻫ ﹶﻮ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ )‪.(4, 3‬‬ ‫ﻟﹺﻠﺘﺤ ﱡﻘ ﹺﻖ ﻣ ﹾﻦ ﹺﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ اﻷو ﱢل‪ ،‬ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸض اﻟﺰو ﹶج اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﺗ ﹶﺐ )‪ (−1, −2‬ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹺﺔ‬ ‫ﺷﺎ ٌد‬ ‫)‪(3–3) (50‬‬ ‫أﻛﺘ ﹸﺐ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻓﻲ أﺑﺴ ﹺﻂ ﺻﻮر ﹴة‪:‬‬ ‫ﺾ اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ ﻓﻲ ﻛﻠﺘﺎ‬ ‫‪(4 × 3xy)11‬‬ ‫ﺎ ﹺم؛ ﻟﻜﻴﻼ ﻳﻜﻮ ﹶن‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2xp‬‬ ‫ﺻﺤﻴ ﹴﺢ‪ ،‬ﺑﺤﻴ ﹸﺚ‬ ‫‪11‬‬ ‫‪6x4 y3‬‬ ‫‪= 411 × 311 × x11 × y11‬‬ ‫ﻗ ﱠﻮ ﹸة ﺣﺎﺻ ﹺﻞ اﻟﻀﺮ ﹺب‬ ‫واﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫‪2xy‬‬ ‫‪2xp‬‬ ‫‪12 (54xy3)2‬‬ ‫‪= 221 × 311 × x10 × y11‬‬ ‫ﺑواﻜﻟﺘﺘﺎﺒﺑ ﹺﺔﺴﻴ‪ 11‬ﹺ)ﻂ‪،411 = (22‬‬ ‫‪7x5y4‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪6‬‬ ‫✓ ‪x − y = − 1 − (− 2) = 1‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹺﺔ‬ ‫✓ ‪x2 + y2 = (− 1) 2 + (− 2) 2 = 1 + 4 = 5‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣ ﹾﻦ‬ ‫ب  التقويم التكويني‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫اﻟﺤﺎﻟ ﹸﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴ ﹸﺔ‪ :‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪: x = 2‬‬ ‫يحـدث هﺑﺘـﻌذاﻮاﻳلنـ ﹺﺾوع‪ 2‬مـ=ن‪ x‬اﻓلتﻲقاوﻟيﻤـﻌمﺎفدﻟـ ﹺﺔياﻟأثنﺨـاﱢﻄﻴء ﹺﺔعمليـة التدريـس‪ ،‬ويهـدف إل‪1‬ـ=ى م‪1‬تاب–عـ‪2‬ة ت=ع ُّل‪y‬ـم الطلبـة أو ًل بـأول‪ ،‬والتأ ُّكـد أ َّن العمليـة التعليميـة التع ُّلميـة تسـير‬ ‫فـي اتاﻟجـﹶﺤا ﱡهﻞتاﻟﺜحﺎقﻧيـﻲ‪:‬ق)أ‪1‬ه ‪,‬دا‪2‬ف(هـا= ا)ل‪y‬من‪,‬ش‪x‬ـ(و‪.‬دة‪ ،‬وأ َّنـه لا يوجـد انحـراف عـن مسـارها؛ مـا يسـاعد المع ِّلـم علـى اتخـاذ القـرارات الصحيحـة‪ ،‬مثـل‪ :‬الاسـتمرار‬ ‫فـي عﻟﹺمﻠﺘليـﺤ ﱡةﻘـاـلتﹺﻖدﻣري ﹾﻦـ ﹺﺻس‪،‬ﱠﺤأﹺﺔواﻟال ﹶتﺤ ﱢعﻞدايﻟﺜـﺎﻧلــعلﻲي‪،‬هﹸأـﻋا ﱢ‪،‬ﻮ أﹸوضاالﻟنﺰظوـ ﹶرجفايﻟ ﹸهﻤـﺮاﱠﺗمﹶـﺐ )ن‪,1‬ج‪2‬د(يـﻓـدـ‪.‬ﻲمـﻛ ﱟنﻞ أﻣد ﹶﻦوااﻟﻤتﻌاﺎلتدﻟق ﹺﺔوايﻟـﺨم اﱢﻄلﻴتﹺﺔكوينـي‪ :‬الأسـئلة الشـفوية‪ ،‬والملاحظـات غيـر الرسـمية‪،‬‬ ‫والاختوبااﻟﺘراﺮﺑﻴتﻌﻴالﹺﺔق‪:‬صيرة‪.‬‬ ‫َﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ٍم‬ ‫‪Equations‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪1‬‬ ‫‪ُc‬ﻣ‪ti‬ﻜ‪ a‬ﱠﻮ‪ٍ r‬ن‪ad‬ﻣ‪ْ u‬ﻦ‪Q‬ﻣ‪d‬ﻌ‪n‬ﺎ‪a‬دﻟ‪ٍ r‬ﺔ‪ea‬ﺧ‪in‬ﻄﱢ‪L‬ﻴ ‪ٍf‬ﺔ‪o‬وﻣ‪em‬ﻌ‪t‬ﺎ‪s‬د‪y‬ﻟ‪ٍ S‬ﺔ‪a‬ﺗﺮ‪g‬ﺑ‪n‬ﻴ‪i‬ﻌ‪lv‬ﻴ‪ٍ o‬ﺔ‪− y = 2 − 1 = 1 ✓S‬التكويني في كل درس‪ ،‬تتم َّثل ‪x‬‬ ‫للتقويم‬ ‫أدوات‬ ‫ﺑمﺎنﻟﺘاﻌهﻮﻳج ال ﹺرﺾيﻓاﻲضايﻟاﻤﻌتﺎادلﻟ ﹺمﺔ اطﻟوﺨرةﱢﻄﻴ ﹺعﺔلى‬ ‫تحتــوي‬ ‫َأﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪–b‬‬ ‫‪±‬‬ ‫‪√b2‬‬ ‫–‬ ‫‪4ac‬‬ ‫اﻟﻘﺎﻧﻮ ﹸن اﻟﻌﺎ ﱡم‬ ‫ﺗﻮﺟ ﹸﺪ ﻃﺮاﺋــ ﹸﻖ ﹺﻋــ ﱠﺪ ﹲة ﻟﹺ ﹶﺤ ﱢﻞ‬ ‫‪2a‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟــ ﹴﺔ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴــ ﹴﺔ‪ ،‬ﻣﻨﹾﻬــﺎ‪:‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫اﻟﺘﺤﻠﻴــ ﹸﻞ إﻟــﻰ اﻟﻌﻮاﻣــ ﹺﻞ‪،‬‬ ‫في مسائلﺑﺎﻟ(ﺘأتﻌﻮحﻳ َّقق ﹺﺾمﻓنﻲفاﻟهﻤمﻌﺎيد)ﻟاﹺﺔلتاﻟﺘيﺮتﺑﻴلﻌﻴي ﹺﺔكل مثال‪x2 + y2 = (2) 2 + (1) 2 = 4 + 1 = 5 ✓ .‬‬ ‫)‪–(–1‬‬ ‫‪±‬‬ ‫‪√(–1)2‬‬ ‫–‬ ‫–()‪4(1‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫)‪2(1‬‬ ‫واﻟﻘﺎﻧﻮ ﹸن اﻟﻌﺎ ﱡم‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫اﻟﺤﺎﻟ ﹸﺔ اﻷوﻟﻰ‪ :‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪: x = –1‬‬ ‫‪x = –1 , x = 2‬‬ ‫‪y=x–1‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪ x = – 1‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹺﺔ‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫‪y = –1 –1 = −2‬‬ ‫اﻟ ﹶﺤ ﱡﻞ اﻷو ﹸل‪. (x, y) = (− 1, − 2) :‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ﹶم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗ ﹶﻲ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹶﺗﺤ ﱠﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ﹺﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ‪:‬‬ ‫اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹺﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‬ ‫ﻛ ﱟﻞ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪(−1,‬‬ ‫)‪−2‬‬ ‫اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﺗ ﹶﺐ‬ ‫اﻟﺰو ﹶج‬ ‫ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸض‬ ‫اﻷو ﱢل‪،‬‬ ‫اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ‬ ‫ﹺﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ‬ ‫ﻟﹺﻠﺘﺤ ﱡﻘ ﹺﻖ ﻣ ﹾﻦ‬ ‫إرﺷﺎ ٌد‬ ‫واﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫‪2x + y = 12‬‬ ‫ﻣ ﹶﻦ‬ ‫ﻳﺠ ﹸﺐ ﺗﻌﻮﻳ ﹸﺾ اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ ﻓﻲ ﻛﻠﺘﺎ‬ ‫‪y = x2 + 5x − 6‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺘ ﹺﻲ اﻟﻨﻈﺎ ﹺم؛ ﻟﻜﻴﻼ ﻳﻜﻮ ﹶن‬ ‫✓ ‪x − y = − 1 − (− 2) = 1‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹺﺔ‬ ‫اﻟ ﹶﺤ ﱡﻞ ﻏﻴــ ﹶﺮ ﺻﺤﻴ ﹴﺢ‪ ،‬ﺑﺤﻴ ﹸﺚ‬ ‫)‪(2, 8), (-9, 30‬‬ ‫✓ ‪x2 + y2 = (− 1)2 + (− 2)2 = 1 + 4 = 5‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ‬ ‫ﹸﻳﺤ ﱢﻘ ﹸﻖ إﺣﺪ￯ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣ ﹾﻦ‬ ‫اﻟﺤﺎﻟ ﹸﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴ ﹸﺔ‪ :‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪: x = 2‬‬ ‫دو ﹺن اﻷﹸﺧﺮ￯‪.‬‬ ‫اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹺﺔ‬ ‫‪y=2–1=1‬‬ ‫)‪(2,1‬‬ ‫اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﺗ ﹶﺐ‬ ‫اﻟﺰو ﹶج‬ ‫‪ x = 2‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹺﺔ‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫ﻓــﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‬ ‫)‪. (x, y) = (2, 1‬‬ ‫اﻟ ﹶﺤ ﱡﻞ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪:‬‬ ‫ﹺﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ اﻟﺜﺎﻧــﻲ‪ ،‬ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸض‬ ‫ﻟﹺﻠﺘﺤ ﱡﻘــ ﹺﻖ ﻣ ﹾﻦ‬ ‫واﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫✓ ‪x−y=2−1=1‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹺﺔ‬ ‫ﻳﻮﺟــ ﹸﺪ ﹶﺣ ﹼﻼ ﹺن ﻟﻨﻈﺎ ﹺم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺎ ﹺل اﻟﺴــﺎﺑ ﹺﻖ‪ .‬وﻟﻜ ﹾﻦ‪ ،‬ﻫ ﹾﻞ ﻳﻮﺟ ﹸﺪ ﻧﻈــﺎ ﹸم ﻣﻌﺎدﻻ ﹴت ﻟ ﹸﻪ ﹶﺣ ﱞﻞ‬ ‫✓ ‪x2 + y2 = (2)2 + (1)2 = 4 + 1 = 5‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ‬ ‫واﺣ ﹲﺪ؟ ﻟﻤﻌﺮﻓ ﹺﺔ اﻹﺟﺎﺑ ﹺﺔ‪ ،‬ﹶأدر ﹸس اﻟﻤﺜﺎ ﹶل اﻵﺗ ﹶﻲ‪.‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫‪11‬‬ ‫)‪(2, 8), (-9, 30‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ﹶم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗ ﹶﻲ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹶﺗﺤ ﱠﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ﹺﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ‪:‬‬ ‫‪2x + y = 12‬‬ ‫‪y = x2 + 5x − 6‬‬ ‫ﻳواﻮﺣﺟ ﹲـﺪـ؟ ﹸﺪﻟ ﹶﻤﺣﻌﹼﺮﻼﻓ ﹺنﹺﺔﻟاﻨﻹﻈﺎﺟﹺمﺎاﺑﻟﹺﺔ‪،‬ﻤ ﹶأﻌﺎددر ﹸﻻس ﹺاتﻟﻓﻤﺜﻲﺎ ﹶاﻟل اﻤﺜﺎﻵﺗﹺل ﹶاﻲﻟ‪.‬ﺴــﺎﺑ ﹺﻖ‪ .‬وﻟﻜ ﹾﻦ‪ ،‬ﻫ ﹾﻞ ﻳﻮﺟ ﹸﺪ ﻧﻈــﺎ ﹸم ﻣﻌﺎدﻻ ﹴت ﻟ ﹸﻪ ﹶﺣ ﱞﻞ‬ ‫‪11‬‬ ‫‪d‬‬

‫اﺧﺘﺒﺎ ُر ﻧﻬﺎﻳ ِﺔ اﻟﻮﺣﺪ ِة‬ ‫جـ  التقويم الختامي‪:‬‬ ‫يأتي هذا التقويم في نهاية عملية التدريس‪ ،‬أو في نهاية الوحدة‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻛ ﹼﹰﻼ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻷﹸ ﱢﺳ ﱠﻴ ﹺﺔ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻛ ﱠﻞ ﻧﻈﺎ ﹺم ﻣﻌﺎدﻻ ﹴت ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹶﺗﺤ ﱠﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ﹺﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ اﻟﺤ ﱢﻞ‪:‬‬ ‫الدراسية‪ .‬ويساعد المع ِّلم على تحديد الطلبة الذين أتقنوا ح ًّدا ُم َع َّينًا من‬ ‫المهام المنوطة بهم في أثناء تدريس وحدة دراسية‪ ،‬أو فصل دراسي‪.‬‬ ‫–‬ ‫‪1‬‬ ‫–‪1 c‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1 y = 4x‬‬ ‫‪2 y − x = 15‬‬ ‫ُتو ِّفر المناهج المطورة للمع ِّلم أداة للتقويم الختامي في كل وحدة‪،‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = 5 – x2‬‬ ‫ﻻ ﻳﻮﺟ‪4‬ﺪ‪6‬ﺣ=ﻞ‪2‬ﻟ‪y‬ﻠﻨﻈ‪+‬ﺎ‪2‬م‪x.‬‬ ‫تتم َّثل في (اختبار الوحدة) الذي يحوي مسائل متنوعة تشمل‬ ‫‪27‬‬ ‫)‪(1, 4), (-5, -20‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪15‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫نتاجات الوحدة كلها‪.‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪5 2 = 52t –1‬‬ ‫‪c=-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,3‬‬ ‫ تعزيز لغة الرياضيات وإثراؤها‪3:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪t‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪–x‬‬ ‫‪4 y = −x2 − x + 12‬‬ ‫ُت َعـ ُّد المصطلحـات إحـدى ركائـز تع ُّلـم الرياضيـات؛ فهي الوعـاء الذي يحمـل المعاني‬ ‫‪2‬‬ ‫الرياضيـة‪ ،‬وينقلهـا بيـن المسـائل والسـياقات المختلفة‪.‬‬ ‫‪432 = 3x+1‬‬ ‫‪22x‬‬ ‫= ‪17 500‬‬ ‫‪52x‬‬ ‫‪3 y = x2 − 4x + 5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ولهـذا أبرزت مناهـج الرياضيات المطـورة المصطلحات‬ ‫×‬ ‫‪x = - 1.5‬‬ ‫‪= −x2 +‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪y = x2‬‬ ‫‪+ 7x +‬‬ ‫الرياضيـة التـي يتع َّرفهـا الطلبـة أول مـ َّرة‪ ،‬وم َّيزتهـا بلـون‬ ‫‪y‬‬ ‫‪(2, 1), (0,‬‬ ‫)‪5‬‬ ‫‪(-4, 0),‬‬ ‫)‪(0, 12‬‬ ‫مختلـف داخـل نصـوص الشـرح‪ ،‬وأوردت مرادفاتها من‬ ‫‪x=2‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻛ ﱠﻞ ﻧﻈﺎ ﹺم ﻣﻌﺎدﻻ ﹴت ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫اللغـة الإنجليزيـة بهدف إثـراء معرفـة الطلبة‪.‬‬ ‫‪36x+4 = 6y‬‬ ‫‪19 52x+4 = 5y–3‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ c‬ﺛﺎﺑ ﹰﺘﺎ ﻓﻲ ﻧﻈﺎ ﹺم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗﻲ‪ ،‬ﻓﺄﹶ ﹺﺟ ﹸﺪ‪:‬‬ ‫‪36y = 36x+6‬‬ ‫‪7y–x = 49‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪3x − 2y = 7‬‬ ‫)‪(-5, -3‬‬ ‫)‪(-2, 4‬‬ ‫‪x2 − y2 = c‬‬ ‫ﺗﺪرﻳ ﹲﺐ ﻋﻠﻰ اﻻﺧﺘﺒﺎرا ﹺت اﻟﺪوﻟﻴ ﹺﺔ‬ ‫‪ 5‬ﹶﺣ ﱠﻞ ﻫﺬا اﻟﻨﻈﺎ ﹺم‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن ‪(3, 1), (5.4, 4.6) c = 8‬‬ ‫‪ 6‬ﺟﻤﻴ ﹶﻊ ﻗﻴ ﹺﻢ ‪ c‬اﻟﻤﻤﻜﻨ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ ﻻ ﺗﺠﻌ ﹸﻞ ﻟﻠﻨﻈﺎ ﹺم أ ﱠي ﹶﺣ ﱟﻞ‪.‬‬ ‫‪ 20‬أ ﱡي اﻷزوا ﹺج اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﺗﺒ ﹺﺔ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ﹶﺣ ﹰﹼﻼ ﻟﻨﻈﺎ ﹺم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت‪:‬‬ ‫‪c x2 + y2 = 4‬‬ ‫‪c ≥ 10‬‬ ‫‪7y‬‬ ‫<‬ ‫اﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨ ﹺﺔ‪6x2 :‬‬ ‫أﺟ ﹸﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋ ﹶﺔ ﺣ ﱢﻞ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3x + y = 6‬‬ ‫‪ 3 −‬ﺑﺤ ﱢﻞ ﻧﻈﺎ ﹺم‬ ‫اﻧﻈﺮ اﻟﻤﻠﺤﻖ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫)‪b) (0, 2‬‬ ‫‪y = 3 − 7x‬‬ ‫)‪a) (1, 3‬‬ ‫)‪d) (−2, −2‬‬ ‫‪y = 6x2‬‬ ‫)‪c) (2, 0‬‬ ‫ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ ﻛ ﹰﹼﻼ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻓﻲ أﺑﺴ ﹺﻂ ﺻﻮرةﹴ‪:‬‬ ‫اﻟﻔﺎر ﹺغ‬ ‫اﻟﻤﺮ ﱠﺑ ﹺﻊ‬ ‫ﻓــﻲ‬ ‫وﺿ ﹸﻌﻬﺎ‬ ‫اﻟﺘﻲ ﻳﺠ ﹸﺐ‬ ‫اﻟﻌﺒﺎر ﹸة اﻟﺠﺒﺮﻳ ﹸﺔ‬ ‫‪21‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫= ‪8x2 y3‬‬ ‫‪23 × 2–4‬‬ ‫‪2y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪64 3 16‬‬ ‫□‬ ‫‪x‬‬ ‫‪27 9‬‬ ‫–)‪q–2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫–)‪b–6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 √a3b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(27a 2‬‬ ‫‪(16p4‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b) 4x4y2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪√2 q 5‬‬ ‫‪(729a4‬‬ ‫–)‪b–2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪d) x2y2‬‬ ‫–‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8p5‬‬ ‫‪a) 2x4y‬‬ ‫‪(64p2‬‬ ‫‪q–1‬‬ ‫‪c) 2xy‬‬ ‫)‬ ‫‪ 22‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﺟﻤﻴ ﹶﻊ ﻗﻴ ﹺﻢ ‪ p‬اﻟﺘــﻲ ﺗﺠﻌ ﹸﻞ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹺﺔ‬ ‫ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹾﻦ ‪ a‬ﹶو ‪ b‬ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪ y =2x + p‬ﻻ ﻳﻘﻄ ﹸﻊ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ‪p ≤ -2‬‬ ‫‪. y = x2 + 3x − 1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪= xa‬‬ ‫‪27x 3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3a x b‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪x2 –x2‬‬ ‫‪x– x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪a = -0.5‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪3,‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪35‬‬ ‫ بعض استراتيجيات التعلُّم‪4:‬‬ ‫أ  التعلُّم القائم على المشاريع‪.‬‬ ‫ُي َع ُّدالتع ُّلمالقائمعلىالمشاريعأحدأساليبالتع ُّلمالحديثةالتيتدمجبين‬ ‫المعرفة والفعل؛ إذ يدرس الطلبة معارف المناهج الدراسية الأساسية‪ ،‬ثم‬ ‫ُيط ِّبقونها في ح ِّل مشكلات حقيقية‪ ،‬وصو ًل إلى‪ ‬نتائج قابلة للتطبيق‪ .‬تساعد‬ ‫هــذه الطريقة الطلبة على تنمية قدراتهم ومهاراتهم؛ فهي تراعي الفروق الفردية‬ ‫بينهم‪ ،‬و ُتن ّمي لديهم الثقة بالنفــس‪ ،‬و ُتح ِّفزهم على الإبداع‪ ،‬والتواصل‪ ،‬والابتكار‪،‬‬ ‫وتح ُّمل المسؤولية‪ ،‬و ُت ِع ُّدهم للحياة‪ ،‬وتح ُّثهم على العمل والإنتاج‪.‬‬ ‫‪e‬‬

‫ب  التعلُّم باستعمال التكنولوجيا‪.‬‬ ‫ُتس ِهم التكنولوجيا إسها ًما فاع ًل في تع ُّلم الرياضيات؛ فهي ُتو ِّفر تمثيلات بصرية‬ ‫للمفاهيم الرياضية بصورة تفاعلية تزيد من رغبة الطلبة في التع ُّلم‪ ،‬وتساعد على‬ ‫استكشــاف المفاهيم الجديدة‪ .‬إ َّن توافر الأدوات التكنولوجية يساعد الطلبة‬ ‫على التأ ُّمل والتحليل والتفكير بــد ًل من إضاعة أوقاتهم في إجراء‬ ‫الحسابات الرتيبة‪.‬‬ ‫تمنــح أدلة المعلمين في مناهــج الرياضيات المطورة فرصة‬ ‫توظيف عدد من البرمجيات التعليمية في تدريس الطلبة؛ ســواء‬ ‫أكان ذلك في المدرسة‪ ،‬أم في المنزل‪.‬‬ ‫ مهارات التفكير العليا‪5:‬‬ ‫تهدف مهارات التفكير العليا إلى تح ّدي قدرات الطلبة في‬ ‫مجال التفسير‪ ،‬والتحليل‪ ،‬ومعالجة المعلومات؛ لذا‪ ،‬فهي ُتن ّمي‬ ‫قدراتهم على التأ ُّمل‪ ،‬والتفكير‪ ،‬والاستقصاء‪ ،‬واكتشاف العلاقات‪.‬‬ ‫تمنـح مناهـج الرياضيات المطـورة الطلبة فرصـة لتطوير مهـارات التفكير‬ ‫العليـا فـي كل درس‪ ،‬بطرحهـا مسـائل مرتبطـة بنتاجـات الـدرس؛‬ ‫إذ تحـوي فقـرة (مهـارات التفكيـر العليا) عـد ًدا من المسـائل‬ ‫ضمـن العناويـن الآتية‪:‬‬ ‫تبرير‪ :‬يتط َّلب ح ُّل هذه المسائل تبرير خطوات الح ِّل جميعها‪.‬‬ ‫تح ٍّد‪ :‬تتض َّمن هذه المسائل أفكا ًرا غير مألوفة ُتم ِّثل تح ِّد ًيا للطلبة‪.‬‬ ‫مسألة مفتوحة‪ :‬يوجد لهذه المسألة عدد من الحلول الصحيحة‪ ،‬وليس ح ًّل واح ًدا فقط‪.‬‬ ‫أكتشف الخطأ‪ :‬يتع َّين على الطلبة في هذا النوع من المسائل تحديد الخطأ في إجابة معطاة؛ ما ُيح ِّتم عليهم إدراك مفاهيم الدرس بصورة عميقة‪.‬‬ ‫أ ُّيها مختلف‪ :‬يتع َّين على الطلبة في هذا النوع من المسائل تحليل عدد من الخيارات المعطاة‪ ،‬ثم تحديد خيار واحد فقط مختلف عن البقية‪.‬‬ ‫ما السؤال‪ُ :‬يعطى الطلبة في هذا النوع من المسائل إجابة لمسألة ما‪ ،‬ثم ُيط َلب إليهم كتابة هذه المسألة‪.‬‬ ‫‪f‬‬

‫ الوصول إلى الطلبة كاف ًة‪6:‬‬ ‫تراعي مناهج الرياضيات المطورة تكا ُفؤ الفرص بين الطلبة‪ ،‬وخصوصية كل طالب (التمايز)‪ ،‬وتساعد ك ًّل منهم على تجاوز عثراته‪ ،‬وتعزيز مناحي تف ُّوقه‪.‬‬ ‫ُيم ِكن للمع ِّلم تحقيق التمايز عن طريق أربعة عناصر رئيسة‪ ،‬هي‪:‬‬ ‫المحتوى‪ُ :‬يق َصــد بذلك ما يحتــاج الطالب إلى‬ ‫تع ُّلمــه‪ ،‬وكيفية حصولــه علــى المعلومة‪ ،‬ومن‬ ‫الأمثلــة على تحقيق التمايز فــي المحتوى تقديم‬ ‫الأفكار باســتعمال الوسائل الســمعية والبصرية‬ ‫والمحسوسة‪.‬‬ ‫الأنشطة‪ :‬هي الأنشــطة التي يشارك فيها الطالب؛‬ ‫لكي يفهم المحتوى‪ ،‬أو ُيت ِقن المهارة‪ .‬ومن الأمثلة‬ ‫علــى تحقيق التمايــز في هذا العنصر اســتعمال‬ ‫الأنشطة ال ُمتد ِّرجة التي يشارك فيها جميع الطلبة‪،‬‬ ‫ولكنَّهم يتقدمون فيها إلى مســتويات مختلفة‪ ،‬أو‬ ‫منح الطلبة ذوي المســتوى دون المتوســط وق ًتا‬ ‫إضاف ًّيا لإنجاز المهام‪.‬‬ ‫المن َتجـات‪ :‬المشـاريع التـي يتع َّيـن علـى الطالب‬ ‫تنفيذهـا؛ للتـد ُّرب علـى مـا تع َّلمـه فـي الوحـدة‪،‬‬ ‫وتوظيفـه فـي حياتـه‪ ،‬والتو ُّسـع فيه‪ .‬ومـن الأمثلة‬ ‫علـى تحقيـق التمايـز فـي المنتجـات السـماح‬ ‫للطلبـة بالعمـل وحدهـم‪ ،‬أو فـي مجموعـات‬ ‫صغيـرة لابتـكار من َتجاتهـم الخاصـة بحسـب‬ ‫ميولهـم‪.‬‬ ‫بيئـة التع ُّلـم‪ُ :‬يق َصـد بهـا عناصـر البيئـة الصفيـة‬ ‫جميعهـا‪ .‬ومـن الأمثلـة علـى تحقيـق التمايـز في‬ ‫بيئـة التع ُّلـم التح ُّقـق مـن وجـود أماكن فـي غرفة‬ ‫الصـف‪ُ ،‬يم ِكـن للطلبـة العمـل فيها بهـدوء‪ ،‬ومن‬ ‫دون إلهـاء‪ .‬وكذلـك أماكـن ُأخرى ُتسـ ِّهل العمل‬ ‫التعاونـي بيـن الطلبة‪.‬‬ ‫‪g‬‬

‫استراتيجيات تدريس إضافية‬ ‫عزيزي المع ِّلم‪ ،‬تساعدك مناهج الرياضيات المطورة على تطبيق أحدث استراتيجيات التدريس‪ ،‬بما تحويه من عناصر منظمة في كتاب الطالب‪ ،‬ومقترحات‪،‬‬ ‫وإرشــادات مناسبة للتدريس في دليل المع ِّلم‪ ،‬عل ًما بأ َّن مســألة تطبيقها متروكة لك؛ إذ ُيم ِكنك اختيار طريقة التدريس التي تراها مناسبة داخل غرفة الصف؛‬ ‫فأن َت أكثر عل ًما بأحوال غرفة الصف‪ ،‬والوسائل والتجهيزات المتوافرة في مدرستك‪.‬‬ ‫في ما يأتي بعض استراتيجيات التدريس الإضافية التي قد تساعدك على تقديم دروسك‪:‬‬ ‫التعلُّم المقلوب‪:‬‬ ‫نموذج تربوي يهدف إلى اســتعمال التقنيات الحديثة وشــبكة الإنترنت على نح ٍو يســمح للمع ِّلم بإعداد الدرس عــن طريق مقاطع الفيديو‪ ،‬أو‬ ‫الملفــات الصوتية‪ ،‬أو غير ذلك من الوســائط؛ لي َّط ِلع عليها الطلبة في منازلهم (تظ ُّل متاحة لهم على مدار الوقت)‪ ،‬باســتعمال حواســيبهم‪ ،‬أو‬ ‫هواتفهــم الذكية‪ ،‬أو أجهزتهم اللوحية قبل الحضــور إلى غرفة الصف‪ .‬في حين ُيخ َّصص وقت اللقاء الصفي فــي اليوم التالي لتطبيق المفاهيم‬ ‫والمحتوى العام الذي شــاهدوه‪ ،‬وذلك في صورة سلسلة من أنشطة التع ُّلم النشط‪ ،‬والأنشطة الاستقصائية‪ ،‬والتجريبية‪ ،‬وح ِّل المسائل الرياضية‪،‬‬ ‫والعمل بروح الفريق‪ ،‬وتقييم التق ُّدم في سير العمل‪.‬‬ ‫بطاقة الخروج‪:‬‬ ‫أســلوب يتض َّمن مهمة قصيرة ُين ِّفذها الطلبة في مرحلة ختام الدرس‪ .‬وفيه يجيب الطلبة عن أســئلة قصيرة ُمح َّددة مكتوبة في بطاقات صغيرة‪ ،‬ثم‬ ‫يجمع المع ِّلم البطاقات ليقرأ الإجابات‪ ،‬ثم ُيع ِّلق عليها في الحصة التالية‪ ،‬في ما ُيم ِّثل تغذية راجعة يستند إليها في الحصة اللاحقة‪.‬‬ ‫رفع اليد (إشارة الصمت)‪:‬‬ ‫أسلوب ُيستع َمل لإدارة الصف‪ .‬وفيه يرفع المع ِّلم يده‪ ،‬فيستجيب الطلبة برفع أيديهم‪ ،‬وإنهاء مناقشاتهم فو ًرا‪ُ .‬ت َع ُّد هذه الاستراتيجية طريقة فاعلة‬ ‫وســريعة للفت انتباه الطلبة‪ ،‬و ُيم ِكن اســتخدامها في بداية الحصة‪ ،‬أو للإعلان عن انتهاء النشاط‪ .‬تجدر الإشارة إلى أ َّن رفع المع ِّلم يده يجب أ ْن‬ ‫ُيقا َبل باستجابات ثلاث‪ :‬رفع جميع الطلبة أيديهم من دون استثناء‪ ،‬والتزامهم الصمت التام‪ ،‬والإصغاء‪.‬‬ ‫‪h‬‬

‫الرؤوس ال ُمرقَّمة‪:‬‬ ‫أســلوب ُيســتع َمل لإدارة الصف‪ ،‬وتوزيع المســؤوليات‪ .‬وهو يهدف إلى إبقاء الطلبة في وضع استعداد دائم‪ ،‬عن طريق الاختيار‬ ‫العشــوائي لمشاركاتهم وإجابتهم عن الأســئلة‪ .‬ففي العمل الجماعي يكون لكل طالب في المجموعة رقم خاص‪ ،‬وعندما يسعى‬ ‫المع ِّلم إلى الحصول على إجابة ســؤال بصورة عشــوائية‪ ،‬فإ َّنه يختار رق ًما من دون أ ْن يعرف صاحبه‪ ،‬فيجيب الطالب عن السؤال‪،‬‬ ‫وقد يساعده على الإجابة أفراد المجموعة‪.‬‬ ‫أنا أُف ِّكر‪ ،‬نحن نُف ِّكر‪:‬‬ ‫أسلوب ُيســتع َمل لتطوير تفكير الطلبة ضمن مجموعات‪ .‬وفيه ُت ِع ُّد كل مجموعة ورقة تتض َّمن جدو ًل من عمودين؛ عنوان الأول‪:‬‬ ‫(أنا ُأف ِّكر)‪ ،‬وعنوان الثاني‪( :‬نحن ُنف ِّكر)‪ .‬ثم يطرح المع ِّلم سؤا ًل يجيب عنه الطلبة بصورة فردية في العمود الأول‪ ،‬ثم ُينا ِقش الطلبة‬ ‫إجاباتهم للاتفاق على إجابة واحدة ُتك َتب في العمود الثاني‪ ،‬و ُيم ِكن تغيير الورقة عند الحاجة‪ .‬يســاعد هذا الأسلوب الطلبة على‬ ‫التفكير في الموضوع‪ ،‬وتأ ُّمل التغ ُّير في تفكيرهم نتيجة التحدث إلى الآخرين‪.‬‬ ‫الألواح الصغيرة‪:‬‬ ‫أســلوب ُيســتع َمل للتقويم‪ .‬وفيه ُيم ِســك كل طالب بلوح صغير ( ُيم ِكن أ ْن ُيصنع من قطعة كرتون مق ًّوى‪ ،‬أو قطعة خشب صغيرة‬ ‫ُيك َتب عليها بالطبشــور‪ ،‬أو قطعة كرتون عليها لاصق ش ّفاف ُيك َتب عليها بقلم اللوح الأبيض)‪ ،‬ثم يطرح المع ِّلم سؤا ًل يجيب عنه‬ ‫كل طالب بالكتابة على اللوح‪ ،‬ثم رفعه إلى أعلى؛ ليتم َّكن المع ِّلم من مشــاهدة الإجابات بســهولة‪ُ .‬يس ِهم هذه الأسلوب في زيادة‬ ‫مشاركة الطلبة؛ لأ َّنهم يجيبون جمي ًعا في الوقت نفسه من دون إحداث فوضى‪ ،‬و ُيس ِهم أي ًضا في التقويم التكويني؛ إذ ُيلا ِحظ المع ِّلم‬ ‫نسبة إجابات الطلبة الصحيحة‪.‬‬ ‫‪i‬‬

‫الوحد ُة‬ ‫‪1‬‬ ‫مخطط الوحدة‬ ‫عدد‬ ‫خطوات تنفيذ‬ ‫المصطلحات المصادر والأدوات‬ ‫النتاجات‬ ‫اسم الدرس‬ ‫الحصص‬ ‫مشروع الوحدة‬ ‫تهيئة الوحدة‬ ‫ •ورقة المصادر ‪1‬‬ ‫المعادلة التربيعية‬ ‫‪1‬‬ ‫توزيع الطلبة إلى‬ ‫ •ورقة المصادر ‪2‬‬ ‫نظام معادلات‬ ‫مجموعات صغيرة غير‬ ‫الأسس‬ ‫متجانسة‪.‬‬ ‫ •برمجية جيوجبرا‪ .‬الخطوتان‪ :‬الأولى‪ ،‬والثانية‪1 .‬‬ ‫ •يستخدم برمجية جيوجبرا لحل نظام معادلات‬ ‫معمل برمجية‬ ‫خطية وتربيعية بيان ًّيا‪.‬‬ ‫جيوجبرا‪ :‬حل أنظمة‬ ‫ •برمجية جيوجبرا‪ ،‬متابعة الخطوة الثانية‪3 .‬‬ ‫الآلة الحاسبة‪.‬‬ ‫المعادلات بيان ًّيا‪.‬‬ ‫ •يحل نظا ًما مكو ًنا من معادلة خطية وأخرى‬ ‫الدرس‪ :1‬حل نظام‬ ‫تربيعية‪.‬‬ ‫مكون من معادلة خطية‬ ‫ •يتعرف عدد الحلول الممكنة لحل نظام مكون‬ ‫ومعادلة تربيعية‪.‬‬ ‫من معادلة خطية ومعادلة تربيعية‪.‬‬ ‫ •ينمذج مسألة حياتية باستعمال نظام مكون من‬ ‫معادلة خطية ومعادلة تربيعية‪ ،‬ويحله‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الخطوة الثالثة‪.‬‬ ‫ •برمجية جيوجبرا‪.‬‬ ‫ •يحل نظا ًما مكو ًنا من معادلتين تربيعيتين‪.‬‬ ‫الدرس‪ :2‬حل نظام‬ ‫ •يتعرف عدد الحلول الممكنة لحل نظام مكون‬ ‫مكون من معادلتين‬ ‫من معادلتين تربيعيتين‪.‬‬ ‫تربيعيتين‪.‬‬ ‫ •ينمذج مسألة حياتية باستعمال نظام مكون من‬ ‫معادلتين تربيعيتين‪ ،‬ويحله‪.‬‬ ‫الأس النسبي •الآلة الحاسبة‪ .‬متابعة الخطوة الثالثة‪ .‬وبدء ‪3‬‬ ‫ •يتعرف الأسس النسبية وخصائصها‪.‬‬ ‫الدرس‪ :3‬تبسيط‬ ‫الاستعداد لعرض النتائج‪.‬‬ ‫ •يكتب مقادير أسية في أبسط صورة‪.‬‬ ‫المقادير الأسية‪.‬‬ ‫المعادلة الأسية •برمجية جيوجبرا‪ .‬استكمال التحضير لعرض ‪3‬‬ ‫ •يحل معادلات أسية‪.‬‬ ‫الدرس‪:4‬‬ ‫النتائج‪.‬‬ ‫حل المعادلة الأسية‪• .‬يحل أنظمة معادلات أسية‪.‬‬ ‫عرض النتائج‪1 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫عرض نتائج المشروع‪.‬‬ ‫‪17‬‬ ‫اختبار الوحدة‬ ‫مجموع الحصص‬ ‫‪6A‬‬

‫اﻷﺳ ُﺲ واﻟﻤﻌﺎدﻻ ُت‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة‬ ‫الوحد ُة‬ ‫‪Exponents and Equations‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣﺎ أﻫﻤﻴ ُﺔ ﻫﺬ ِه‬ ‫نظرة عامة على الوحدة‪:‬‬ ‫تعلم الطلبة فيما سبق حل معادلات خطية وتربيعية‪ ،‬وحل‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ِة؟‬ ‫أنظمة معادلات مكونة من معادلتين خطيتين‪ ،‬وسيتعلمون‬ ‫في هذه الوحدة حل معادلات غيــر خطية‪ ،‬مثل‪ :‬المعادلة‬ ‫ﹸﺗﺴــﺘﺨ ﹶﺪ ﹸم أﻧﻈﻤــ ﹸﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت ﻓــﻲ ﻛﺜﻴ ﹴﺮ ﻣ ﹾﻦ‬ ‫الأســية‪ ،‬وعدة أنواع مــن أنظمة المعــادلات‪ ،‬مثل‪ :‬حل‬ ‫ﻣﺠﺎﻻ ﹺت اﻟﺤﻴــﺎ ﹺة‪ .‬ﻓﺨﺒــﺮا ﹸء اﻷرﺻــﺎ ﹺد اﻟﺠﻮﻳ ﹺﺔ‬ ‫نظام مكــون من معادلة خطية وأخرى تربيعية‪ ،‬أو معادلتين‬ ‫‪ -‬ﻣﺜ ﹰﻼ‪ -‬ﹸﻳﻌ ﱢﺒــﺮو ﹶن ﻋ ﹺﻦ اﻟﻌﻼﻗ ﹺﺔ ﺑﻴــ ﹶﻦ درﺟ ﹺﺔ اﻟﺤﺮار ﹺة‪،‬‬ ‫تربيعيتين ومعادلتين أســيتين‪ ،‬وتبسيط مقادير جبرية‪ .‬وقد‬ ‫وﺳﺮﻋ ﹺﺔ اﻟﺮﻳﺎ ﹺح‪ ،‬واﻟﻀﻐ ﹺﻂ اﻟﺠﻮ ﱢي‪ ،‬وﻣﻌﺪ ﹺل اﻟﻬﻄ ﹺﻞ‪،‬‬ ‫تعلم الطلبة ســاب ًقا الربط بين الأســس والجذور‪ ،‬وتبسيط‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪا ﹺم ﻧﻈﺎ ﹺم ﻣﻌﺎدﻻ ﹴت ﻏﻴ ﹺﺮ ﺧ ﱢﻄ ﱟﻲ؛ ذﻟ ﹶﻚ أ ﱠن أ ﱠي‬ ‫المقادير العددية والجبرية باســتعمال الأســس النســبية‪،‬‬ ‫ﺗﻐ ﱡﻴ ﹴﺮ ﻓﻲ أﺣــ ﹺﺪ ﻫﺬ ﹺه اﻟﻌﻮاﻣ ﹺﻞ ﻳﺆ ﹼدي إﻟﻰ ﺗﻐ ﱡﻴ ﹴﺮ ﻓﻲ‬ ‫وتقدير قيم الجذور التربيعية‪ ،‬وســوف يبنون على ذلك في‬ ‫هذه الوحدة لتعلم الاقتران الأســي‪ ،‬واســتعماله لنمذجة‬ ‫اﻟﻌﻮاﻣ ﹺﻞ اﻷﹸﺧﺮ￯‪.‬‬ ‫مسائل حياتية عن النمو والاضمحلال الأسي‪.‬‬ ‫ﺳ َﺄﺗﻌ ﱠﻠ ُﻢ ﻓﻲ ﻫﺬ ِه اﻟﻮﺣﺪ ِة‪:‬‬ ‫ﺗﻌ ﱠﻠ ْﻤ ُﺖ ﺳﺎﺑ ًﻘﺎ‪:‬‬ ‫ ﹶﺣ ﱠﻞ ﻣﻌﺎدﻻ ﹴت ﺗﺮﺑﻴﻌﻴ ﹴﺔ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻟﺘﺤﻠﻴ ﹺﻞ‪.‬‬ ‫الترابط الرأسي بين الصفوف‬ ‫ﹶﺣ ﱠﻞ ﻧﻈﺎ ﹴم ﹸﻣﻜــ ﱠﻮ ﹴن ﻣ ﹾﻦ ﻣﻌﺎدﻟ ﹴﺔ ﺧ ﱢﻄﻴــ ﹴﺔ‪ ،‬و ﹸأﺧﺮ￯‬ ‫ ﹶﺣ ﱠﻞ ﻣﻌﺎدﻻ ﹴت ﺗﺮﺑﻴﻌﻴ ﹴﺔ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻟﻘﺎﻧﻮ ﹺن اﻟﻌﺎ ﱢم‪.‬‬ ‫ﺗﺮﺑﻴﻌﻴ ﹴﺔ‪.‬‬ ‫ ﹶﺣــ ﱠﻞ أﻧﻈﻤ ﹺﺔ ﻣﻌﺎدﻻ ﹴت ﺗﺘﻀ ﱠﻤــ ﹸﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺧ ﱢﻄﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫ﹶﺣ ﱠﻞ ﻧﻈﺎ ﹴم ﹸﻣﻜ ﱠﻮ ﹴن ﻣ ﹾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪.‬‬ ‫ﺑ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴﺮ ﹾﻳ ﹺﻦ‪.‬‬ ‫ ﻗﻮاﻋ ﹶﺪ اﻷﺳ ﹺﺲ اﻟﺼﺤﻴﺤ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫اﻷﺳ ﹶﺲ اﻟﻨﺴﺒﻴ ﹶﺔ‪ ،‬وﺧﺼﺎﺋ ﹶﺼﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﹶﺣ ﱠﻞ أﻧﻈﻤ ﹺﺔ ﻣﻌﺎدﻻ ﹴت ﹸأ ﱢﺳ ﱠﻴ ﹴﺔ‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫لاح ًقا‬ ‫الصف العاشر‬ ‫ساب ًقا‬ ‫ •حل أنظمة المعادلات‪ :‬معادلة خطية وأخرى‬ ‫الصف الحادي عشر (العلمي)‬ ‫تربيعية‪ ،‬معادلتان تربيعيتان‪ ،‬معادلتان أسيتان‪.‬‬ ‫الصف التاسع‬ ‫ •التحليل إلى العوامل‪.‬‬ ‫ •حل أنظمة المتباينات‪.‬‬ ‫ •تعرف عدد الحلول الممكنة لنظام من‬ ‫ •تعرف الاقترانات الأسية واللوغاريتمية‬ ‫المعادلات‪.‬‬ ‫ •حل معادلة تربيعية بطرائق مختلفة (التحليل‪،‬‬ ‫إكمال المربع‪ ،‬القانون العام)‪.‬‬ ‫وخصائصها‪.‬‬ ‫ •حل مسائل رياضية وحياتية عن أنظمة‬ ‫ •حل معادلات أسية‪.‬‬ ‫المعادلات‪.‬‬ ‫ •استعمال مميز المعادلة التربيعية في تحديد‬ ‫ •حل مسائل تتضمن تطبيقات اقتصادية على‬ ‫عدد حلولها‪.‬‬ ‫الاقترانات الأسية واللوغاريتمية‪.‬‬ ‫ •تعرف الأسس النسبية وخصائصها‪.‬‬ ‫ •تبسيط مقادير أسية‪.‬‬ ‫الصف الثامن‬ ‫ •حل معادلات أسية‪.‬‬ ‫ •حل نظام مكون من معادلتين خطيتين جبر ًّيا‬ ‫ •التح ُّقق من صحة الحل باستعمال‬ ‫وبيان ًّيا‪.‬‬ ‫البرمجيات‪.‬‬ ‫ •الأسس وقوانينها‪.‬‬ ‫‪6‬‬

‫مشروع الوحدة‪ :‬أنظمة المعادلات في حياتنا‪.‬‬ ‫ﻣﺸﺮو ُع‬ ‫أﻧﻈﻤ ُﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ِت ﻓﻲ ﺣﻴﺎﺗِﻨﺎ‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ِة‬ ‫هــدف المشــروع‪ :‬يهدف مشــروع الوحــدة إلى ربط‬ ‫الرياضيــات بالحيــاة‪ ،‬وتنمية مهارات البحــث والتمثيل‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﻤﺸﺮو ِع اﻟﺒﺤ ﹸﺚ ﻋ ﹾﻦ أﻧﻈﻤ ﹺﺔ ﻣﻌﺎدﻻ ﹴت ﻓﻲ ﻧﻤﺎذ ﹶج ﺣﻴﺎﺗﻴ ﹴﺔ‪.‬‬ ‫والتفســير والنمذجة‪ ،‬بالبحث عن صور لنمــاذج حياتية‬ ‫اﻟﻤﻮا ﱡد واﻷدوا ُت ﺷﺒﻜ ﹸﺔ اﻹﻧﺘﺮﻧ ﹾﺖ‪ ،‬ﺑﺮﻣﺠﻴ ﹸﺔ ﺟﻴﻮﺟﺒﺮا‪.‬‬ ‫تظهر فيها منحنيات ومستقيمات متقاطعة‪ ،‬مثل‪ :‬الشوارع‪،‬‬ ‫ﺧﻄﻮا ﹸت ﺗﻨﻔﻴ ﹺﺬ اﻟﻤﺸﺮو ﹺع‪:‬‬ ‫والجسور‪ ،‬والطرق المتقاطعة‪ ،‬والمنشآت المعمارية‪.‬‬ ‫‪ 1‬أﺑﺤ ﹸﺚ ﻣ ﹶﻊ أﻓﺮا ﹺد ﻣﺠﻤﻮﻋﺘﻲ ﻓﻲ ﺷــﺒﻜ ﹺﺔ اﻹﻧﺘﺮﻧ ﹾﺖ ﻋ ﹾﻦ ﺻﻮ ﹴر ﻟﻨﻤﺎذ ﹶج ﺣﻴﺎﺗﻴ ﹴﺔ ﺗﻈﻬ ﹸﺮ ﻓﻴﻬﺎ ﻣﻨﺤﻨﻴﺎ ﹲت وﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﹲت ﻣﺘﻘﺎﻃﻌ ﹲﺔ )ﻣﺜ ﹸﻞ‪:‬‬ ‫خطوات تنفيذ المشروع‬ ‫اﻟﺠﺴﻮ ﹺر‪ ،‬وﻧﻮاﻓﻴ ﹺﺮ اﻟﻤﻴﺎ ﹺه‪ ،‬وﺧﺮاﺋ ﹺﻂ اﻟﻄﺮ ﹺق(‪ ،‬أ ﹾو أﻟﺘﻘ ﹸﻂ ﺻﻮ ﹰرا ﻟﺬﻟ ﹶﻚ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ أﺣﻔ ﹸﻈﻬﺎ ﻓﻲ ﻣﻠ ﱟﻒ ﻋﻠﻰ ﺟﻬﺎ ﹺز اﻟﺤﺎﺳﻮ ﹺب‪.‬‬ ‫ •ع ِّرف الطلبة بالمشروع وأهميته في تعلم موضوعات‬ ‫‪ 2‬أﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ ﺑﺮﻣﺠﻴ ﹶﺔ ﺟﻴﻮﺟﺒﺮا ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻣﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺎ ﹺت اﻟﻤﺘﻘﺎﻃﻌ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻈﻬ ﹸﺮ ﻓﻲ اﻟﺼﻮ ﹺر ﺑﺎﺗﺒﺎ ﹺع اﻟﺨﻄﻮا ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫الوحدة‪.‬‬ ‫ •و ِّزع الطلبة إلــى مجموعات غير متجانســة‪ ،‬يتكون‬ ‫ﻣ ﹾﻦ ﺷﺮﻳ ﹺﻂ اﻷدوا ﹺت‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ أﺧﺘﺎ ﹸر اﻟﺼﻮر ﹶة اﻟﺘﻲ ﺣﻔﻈ ﹸﺘﻬﺎ‪12 .‬‬ ‫أﻧﻘ ﹸﺮ ﻋﻠﻰ أﻳﻘﻮﻧ ﹺﺔ‬ ‫كل منها مــن (‪ )5-7‬طلبة‪ ،‬ثم اطلب إليهم أن يوزعوا‬ ‫‪11‬‬ ‫الأدوار بينهم‪ ،‬ويختاروا ُمق ِّر ًرا لكل مجموعة‪.‬‬ ‫ •اذكر للطلبة المواد والأدوات اللازمة لتنفيذ المشروع‪،‬‬ ‫ﹸأﻋ ﱢﺪ ﹸل ﻣﻮﻗ ﹶﻊ اﻟﺼﻮر ﹺة‪ ،‬وأﺧﺘﺎ ﹸر ﻣﻘﺎ ﹰﺳﺎ ﻣﻨﺎﺳ ﹰﺒﺎ ﻟﻬﺎ ﺑﺘﺤﺮﻳ ﹺﻚ اﻟﻨﻘﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ A‬ﹶو ‪ B‬اﻟﻠﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺗﻈﻬﺮا ﹺن ﻋﻠ ﹾﻴ ‪90‬ﻬ‪1‬ﺎ‪.‬‬ ‫مثــل‪ :‬جهــاز الحاســوب‪ ،‬وبرمجية جيوجبــرا‪ ،‬وآلة‬ ‫التصويــر‪ ،‬فض ًل عــن بيان عناصــر المنتــج النهائي‬ ‫‪8‬‬ ‫المطلــوب منهم‪ُ ،‬مؤ ِّكــ ًدا لهم أهميــة توثيق خطوات‬ ‫تنفيذ المشــروع أو ًل بأول‪ ،‬وتعزيزه بالصور المناسبة‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﻌﺎدﻟــ ﹶﺔ أﺣ ﹺﺪ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴــﺎ ﹺت اﻟﺘﻲ ﺗﻈﻬ ﹸﺮ ﻓﻲ اﻟﺼــﻮر ﹺة‪ ،‬وذﻟ ﹶﻚ‬ ‫وكذلك ذ ِّكرهم بإمكانية استعمال خاصية طباعة الشاشة‬ ‫‪6‬‬ ‫(‪ )print screen‬الموجودة علــى لوحة المفاتيح في‬ ‫جهاز الحاسوب لتوثيق خطوات التنفيذ المتعلقة بجهاز‬ ‫‪G‬‬ ‫‪HI‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻣ ﹾﻦ ﺷــﺮﻳ ﹺﻂ‬ ‫ﺑﺘﺤﺪﻳ ﹺﺪ ﺑﻌ ﹺﺾ اﻟﻨﻘﺎ ﹺط ﻋﻠ ﹾﻴ ﹺﻪ ﺑﺎﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹺل أﻳﻘﻮﻧ ﹺﺔ‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻷدوا ﹺت‪.‬‬ ‫الحاسوب وبرمجية جيوجبرا‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ •و ِّضح للطلبة معايير تقييم أعمالهم‪ ،‬مســتعينًا بســلم‬ ‫‪E‬‬ ‫‪J‬‬ ‫التقدير‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ •ب ِّيــن للطلبة الأوقات التي يمكــن فيها تنفيذ خطوات‬ ‫المشــروع‪ .‬فمث ًل‪ُ ،‬تن َّفذ الخطوة الثانيــة بعد الانتهاء‬ ‫‪D K1‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13‬‬ ‫من معمل برمجية جيوجبرا (حــل أنظمة المعادلات‬ ‫‪–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0‬‬ ‫بيان ًّيا)‪ ،‬ويمكن البدء بتنفيذ الخطوة الثالثة بعد الانتهاء‬ ‫من الــدرس الأول (حل نظام مكون من معادلة خطية‬ ‫‪C l–1‬‬ ‫أﻛﺘ ﹸﺐ اﻟﺼﻴﻐ ﹶﺔ )‪FitPoly ({C, D, E, F, G, H, I, J, K, L},n‬‬ ‫ومعادلة تربيعية)‪ ،‬أو بعــد الانتهاء من الدرس الثاني‪،‬‬ ‫‪–2‬‬ ‫‪–3‬‬ ‫بحسب النظام الذي يختارون حله‪.‬‬ ‫ •عند انتهاء الوحدة‪ ،‬ح ِّدد وق ًتا مناســ ًبا لعرض النتائج‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪–4‬‬ ‫التي تو َّصل إليها الطلبة‪ ،‬ونا ِقشهم فيها‪.‬‬ ‫‪–5‬‬ ‫ﻟﻴﻈﻬ ﹶﺮ ﻣﻨﺤﻨﹰﻰ ﻓﻮ ﹶق اﻟﺼﻮر ﹺة‪،‬‬ ‫ﻓﻲ ﺷــﺮﻳ ﹺﻂ اﻹدﺧﺎ ﹺل‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ أﻧﻘ ﹸﺮ‬ ‫ •اطلب إليهم تسجيل تقييمهم الذاتي لمشروعهم‪.‬‬ ‫‪–6‬‬ ‫ •اطلب إلى طلبة الصف التصويت على المشروع الأفضل‪.‬‬ ‫‪–7‬‬ ‫وﻣﻌﺎدﻟ ﹲﺔ ﻓﻲ ﺷﺮﻳ ﹺﻂ اﻹدﺧﺎ ﹺل‪.‬‬ ‫عرض النتائج‬ ‫‪–8‬‬ ‫ •الفت انتباه الطلبة إلى ضرورة اســتعمال التكنولوجيا‬ ‫في عرض نتائج المشــروع‪ ،‬وإعداد عرض تقديمي‪،‬‬ ‫‪–9‬‬ ‫يحوي صو ًرا لمراحل التنفيذ‪.‬‬ ‫أﺳــﺘﻌﻤ ﹸﻞ اﻟ ﹸﻤﺆ ﱢﺷــ ﹶﺮ ﻓﻮ ﹶق اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﻟﻀﺒ ﹺﻂ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻈﺎﻫ ﹺﺮ‪،‬‬ ‫ •و ِّضح للطلبة أهمية اشــتمال التقرير على الصعوبات‬ ‫ﺑﺤﻴ ﹸﺚ ﻳﻨﻄﺒ ﹸﻖ ﺗﻤﺎ ﹰﻣﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺬي ﻓﻲ اﻟﺼﻮر ﹺة‪.‬‬ ‫التي واجهتهم‪ ،‬وكيفية التغلــب عليها‪ ،‬والمعلومات‬ ‫الجديدة التي تع َّرفوها‪ ،‬ومقترحاتهم عن كيفية تطوير‬ ‫ﹸأﻛ ﱢﺮ ﹸر اﻟﺨﻄﻮا ﹺت اﻟﺴﺎﺑﻘ ﹶﺔ ﻟﺘﺤﺪﻳ ﹺﺪ ﻣﻌﺎدﻻ ﹺت اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺎ ﹺت اﻷﹸﺧﺮ￯ اﻟﺘﻲ ﺗﻈﻬ ﹸﺮ ﻓﻲ اﻟﺼﻮر ﹺة‪.‬‬ ‫المشروع؛ تعزي ًزا لمهارات حل المشكلات لديهم‪.‬‬ ‫‪ 3‬أﻛﺘــ ﹸﺐ ﻣﻊ أﻓﺮا ﹺد ﻣﺠﻤﻮﻋﺘﻲ ﻧﻈﺎ ﹶم ﻣﻌﺎدﻻ ﹴت ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ﻣﻨﺤﻨﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓــﻲ ﻛ ﱢﻞ ﺻﻮر ﹴة‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﻧﺨﺘﺎ ﹸر إﺣﺪ￯ ﻫﺬ ﹺه اﻷﻧﻈﻤ ﹺﺔ ﻟﻨ ﹸﺤ ﱠﻠﻬﺎ‬ ‫ﺟﺒﺮ ﹼﹰﻳﺎ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﻧﺘﺤ ﱠﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ﹺﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ ﺑﺈﻇﻬﺎ ﹺر ﻧﻘﺎ ﹺط ﺗﻘﺎﻃ ﹺﻊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓﻲ ﺑﺮﻣﺠﻴ ﹺﺔ ﺟﻴﻮﺟﺒﺮا‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻋﺮ ﹸض اﻟﻨﺘﺎﺋ ﹺﺞ‪:‬‬ ‫ﹸأ ﹺﻋ ﱡﺪ ﻣ ﹶﻊ أﻓﺮا ﹺد ﻣﺠﻤﻮﻋﺘﻲ ﻋﺮ ﹰﺿﺎ ﺗﻘﺪﻳﻤ ﹰﹼﻴﺎ ﹸﻧﺒ ﱢﻴ ﹸﻦ ﻓﻴ ﹺﻪ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫ﺧﻄﻮا ﹸت ﺗﻨﻔﻴ ﹺﺬ اﻟﻤﺸﺮو ﹺع ﹸﻣﻮ ﱠﺿﺤ ﹰﺔ ﺑﺎﻟﺼﻮ ﹺر )ﻧﺴﺘﻌﻤ ﹸﻞ ﺧﺎﺻﻴ ﹶﺔ ﻃﺒﺎﻋ ﹺﺔ اﻟﺸﺎﺷ ﹺﺔ(‪.‬‬ ‫ﺑﻌ ﹸﺾ اﻟﺼﻌﻮﺑﺎ ﹺت اﻟﺘﻲ واﺟ ﹾﻬﻨﺎﻫﺎ ﻓﻲ أﺛﻨﺎ ﹺء اﻟﻌﻤ ﹺﻞ ﺑﺎﻟﻤﺸﺮو ﹺع‪ ،‬وﻣﻌﻠﻮﻣ ﹲﺔ ﺟﺪﻳﺪ ﹲة ﺗﻌ ﱠﺮ ﹾﻓﻨﺎﻫﺎ ﻓﻲ أﺛﻨﺎ ﹺء اﻟﻌﻤ ﹺﻞ ﺑﺎﻟﻤﺸﺮو ﹺع‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫أداة تقييم المشروع‬ ‫‪321‬‬ ‫مؤشر الأداء‬ ‫الرقم‬ ‫‪ 1‬ن َّفذ أفراد المجموعة خطوات المشروع على النحو المطلوب‪.‬‬ ‫‪ 2‬عرض أفراد المجموعة المشروع بطريقة واضحة‪.‬‬ ‫‪ 3‬و َّثق أفراد المجموعة مصادر المعلومات التي تع َّرفوها‪.‬‬ ‫‪ 4‬عمل أفراد المجموعة بروح الفريق‪.‬‬ ‫‪ 5‬استطاع أفراد المجموعة التعبير عن الصور بمعادلات جبرية‪.‬‬ ‫‪ 6‬حل أفراد المجموعة النظام جبر ًّيا‪ ،‬وتحققوا من صحة الحل‪.‬‬ ‫‪ 7‬حل أفراد المجموعة نظام المعادلات ح ًّل صحي ًحا‪.‬‬ ‫إنجاز المهمة بوجود أكثر من خطأ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إنجاز المهمة بوجود خطأ بسيط‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫إنجاز المهمة بصورة صحيحة من دون خطأ‪.‬‬

‫أﺳﺘﻌ ﱡﺪ ﻟﺪراﺳ ِﺔ اﻟﻮﺣﺪ ِة‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪ :1‬اﻷﺳ ُﺲ واﻟﻤﻌﺎدﻻ ُت‬ ‫التقويم القبلي (التشخيصي)‪:‬‬ ‫ •استعمل صفحة (أستعد لدراســة الوحدة) في كتاب‬ ‫أﺧﺘﺒ ﹸﺮ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺗﻲ ﻗﺒ ﹶﻞ اﻟﺒﺪ ﹺء ﺑﺪراﺳ ﹺﺔ اﻟﻮﺣﺪ ﹺة‪ ،‬وﻓﻲ ﺣﺎ ﹺل ﻋﺪ ﹺم ﺗﺄ ﱡﻛﺪي ﻣ ﹶﻦ اﻹﺟﺎﺑ ﹺﺔ أﺳﺘﻌﻴ ﹸﻦ ﺑﺎﻟﻤﺮاﺟﻌ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫التمارين لتســاعد طلبتك على تذ ُّكر المعرفة السابقة‬ ‫اللازمة لدراســة هذه الوحدة‪ ،‬مثل‪ :‬حل المعادلات‬ ‫أﺧﺘﺒ ﹸﺮ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺗﻲ‬ ‫ﻣﺮاﺟﻌ ﹲﺔ‬ ‫الخطيــة‪ ،‬وحل نظام مكــون من معادلتيــن خطيتين‬ ‫بيان ًّيا وجبر ًّيا (بالحذف‪ ،‬والتعويض)‪ ،‬وحل معادلات‬ ‫ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد ﻋﺪ ﹶد ﺣﻠﻮ ﹺل ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹶﺔ‪. x2 + 4x – 12 = 0 :‬‬ ‫تربيعية باستعمال القانون العام والتحليل‪ ،‬إضاف ًة إلى‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻼن ﺣﻘﻴﻘﻴﺎن ‪1 x2 + 6x − 7 = 0‬‬ ‫ﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻟﻘﺎﻧﻮ ﹺن اﻟﻌﺎ ﱢم‪ ،‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴ ﹶﻢ اﻟﻤﻌﺎﻣﻼ ﹺت‪:‬‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﺣﻘﻴﻘﻲ واﺣﺪ ‪2 x2 – 4x + 4 = 0‬‬ ‫الأسس الصحيحة والعمليات عليها‪.‬‬ ‫ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻠﻮل ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ‪3 x2 – 2x + 7 = 0‬‬ ‫‪a = 1, b = 4, c = –12‬‬ ‫ •و ِّجــه الطلبة إلــى حل الأســئلة في عمــود (أختبر‬ ‫–‪–b±√b 2‬‬ ‫معلوماتــي)‪ ،‬ثم تجــ َّول بينهم‪ ،‬وحــث الطلبة الذين‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹶﺔ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪4ac‬‬ ‫اﻟﻘﺎﻧﻮ ﹸن اﻟﻌﺎ ﱡم‬ ‫يواجهون صعوبة في حل أي ســؤال إلى قراءة المثال‬ ‫‪4 x2 + x − 6 = 0 x1 = 2 , x2 = -3‬‬ ‫‪5 x2 + 4x − 1 = 0 x1 =-2-√5 , x2=-2+√5‬‬ ‫=‬ ‫–‬ ‫‪4±√64‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ واﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫المقابل له في عمود (مراجعة)‪.‬‬ ‫‪6 x2 + 2x − 5 = 0 x1 =-1-√6 , x2=-1+√6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ •اختر ســؤا ًل واجه الطلبة صعوبة فــي حله‪ ،‬ثم اكتب‬ ‫على اللــوح أحد حلول الطلبة غيــر الصحيحة ‪-‬من‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫–‬ ‫–‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫–=‬ ‫‪4+8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫دون ذكر اسم الطالب‪ ،-‬وأدر نقا ًشا عنه‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻫﻤﺎ‪:‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‬ ‫ﹶﺣ ﹼﻼ‬ ‫إذ ﹾن‪،‬‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبــة بتحليل المعادلات التربيعية باســتعمال‬ ‫= ‪–6, x‬‬ ‫طريقة التحليل إلى العوامل‪ُ ،‬منا ِق ًشا إياهم في السؤال‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻛ ﹼﹰﻼ ﻣ ﹾﻦ أﻧﻈﻤ ﹺﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻨﻈﺎ ﹶم اﻵﺗ ﹶﻲ ﹸﻣﺴﺘﻌ ﹺﻤ ﹰﻼ ﻃﺮﻳﻘ ﹶﺔ اﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‪:‬‬ ‫الآتي‪:‬‬ ‫‪7 4x + 3y = 11 x = 2‬‬ ‫‪y=x–3‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫أحل المعادلات الآتية‪:‬‬ ‫‪2x + y = 5 y = 1‬‬ ‫)‪3x – 2y = 10 (2‬‬ ‫‪1   x 2 + 5x = -4‬‬ ‫اﻟﺨﻄــﻮ ﹸة ‪ :1‬ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸض اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ )‪ (1‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ )‪ ،(2‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ‬ ‫‪2   x 2 + 2x -15 = 0‬‬ ‫ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﻟﻠﻨﻈﺎم ‪8 x − 2y = 1‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ اﻟﻨﺎﺗﺠ ﹶﺔ‪.‬‬ ‫‪2x − 4y = −3‬‬ ‫‪3  6x 2 - 5x + 1 = 0‬‬ ‫‪3x – 2(x–3) = 10‬‬ ‫ﺑﻔ ﱢﻚ اﻷﻗﻮا ﹺس‬ ‫‪9 2x − 4y = 1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻋﺪد ﻻ ﻧﻬﺎﺋﻲ ﻣﻦ اﻟﺤﻠﻮل‬ ‫‪3x – 2x + 6 = 10‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫ •أخبِر الطلبة أنه يمكنهم حل السؤال باستعمال القانون‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫العام‪.‬‬ ‫= ‪5x − 10y‬‬ ‫‪x=4‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :2‬ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸض ﻗﻴﻤ ﹶﺔ اﻟ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴ ﹺﺮ ‪ x‬ﻓﻲ إﺣﺪ￯ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪،‬‬ ‫وﻟﺘﻜ ﹺﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ )‪ (1‬ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪.y‬‬ ‫‪y=4–1=3‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﹶﺣ ﱡﻞ اﻟﻨﻈﺎ ﹺم ﻫ ﹶﻮ اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ )‪.(4, 3‬‬ ‫أﻛﺘ ﹸﺐ ﻛ ﹰﹼﻼ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻓﻲ أﺑﺴ ﹺﻂ ﺻﻮر ﹴة‪:‬‬ ‫‪(4 × 3xy)11‬‬ ‫أﻛﺘ ﹸﺐ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻓﻲ أﺑﺴ ﹺﻂ ﺻﻮر ﹴة‪:‬‬ ‫‪2xp‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪(3–2) (80‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(3–3) (50‬‬ ‫‪411‬‬ ‫×‬ ‫‪311 × x11‬‬ ‫×‬ ‫‪y11‬‬ ‫‪6x4 y3‬‬ ‫=‬ ‫‪2xp‬‬ ‫ﻗ ﱠﻮ ﹸة ﺣﺎﺻ ﹺﻞ اﻟﻀﺮ ﹺب‬ ‫‪2xy‬‬ ‫‪3x3 y2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪(54xy3)2‬‬ ‫‪2916y2‬‬ ‫=‬ ‫‪221‬‬ ‫×‬ ‫‪311‬‬ ‫×‬ ‫‪x10‬‬ ‫×‬ ‫‪y11‬‬ ‫ﺑواﻜﻟﺘﺘﺎﺒﺑ ﹺﺔﺴﻴ‪ 11‬ﹺﻂ)‪،411 = (22‬‬ ‫‪7x5y4‬‬ ‫‪7x3‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪6‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫ •لتحديد عدد حلــول المعادلة‪ ،‬ذ ِّكر الطلبــة بمميز المعادلــة التربيعية وحالاته‬ ‫الثلاث‪:‬‬ ‫(المميز > ‪ :0‬يوجد حلان حقيقيان‪ ،‬المميز = ‪ :0‬يوجد حلان متماثلان (حل‬ ‫واحد حقيقي)‪ ،‬المميز < ‪ :0‬لا توجد حلول حقيقية)‪.‬‬ ‫ •لحل الأســئلة‪ ،7 :‬و‪ ،8‬و‪ ،9‬ذ ِّكر الطلبة بنظام المعادلات الخطية‪ ،‬وعدد حلول‬ ‫النظــام‪ .‬ذ ِّكرهم أي ًضا بحل النظام باســتعمال طريقة الحذف‪ ،‬وذلك بمناقشــة‬ ‫السؤال الآتي‪:‬‬ ‫‪1  x+y=5‬‬ ‫‪2  2y = 4 - x‬‬ ‫‪  x=y+1‬‬ ‫‪  5x + 10y = 20‬‬ ‫‪7A‬‬

‫معم ُل‬ ‫َﺣ ﱡﻞ أﻧﻈﻤ ِﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ِت ﺑﻴﺎﻧ ًّﻴﺎ‬ ‫ﻣﻌﻤ ُﻞ‬ ‫برمجي ِة‬ ‫‪Solving Systems of Equations Graphically‬‬ ‫ﺑﺮﻣﺠﻴ ِﺔ‬ ‫جيوجبرا‬ ‫ﺟﻴﻮﺟﺒﺮا‬ ‫التعلم القبلي‪:‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜﻨﹸﻨﻲ اﺳﺘﻌﻤﺎ ﹸل ﺑﺮﻣﺠﻴ ﹺﺔ ﺟﻴﻮﺟﺒﺮا )‪ (GeoGebra‬ﻟﺘﻤﺜﻴ ﹺﻞ أﻧﻈﻤ ﹺﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت‪ ،‬و ﹶﺣ ﱢﻠﻬﺎ ﺑﻴﺎﻧ ﹰﹼﻴﺎ‪.‬‬ ‫ •نظام المعادلات وحله‪.‬‬ ‫أﺳﺘﻌﻤ ﹸﻞ اﻟﺮاﺑ ﹶﻂ ‪ www.geogebra.org/download‬ﻟﺘﺜﺒﻴ ﹺﺖ ﻧﺴﺨ ﹺﺔ ‪ GeoGebra Classic 6‬ﻣ ﹾﻦ ﻫﺬ ﹺه اﻟﺒﺮﻣﺠﻴ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ ﺟﻬﺎ ﹺز‬ ‫ •عدد حلول النظام‪.‬‬ ‫اﻟﺤﺎﺳــﻮ ﹺب‪ .‬ﹸﻳﻤ ﹺﻜﻨﹸﻨﻲ أﻳ ﹰﻀﺎ اﺳﺘﻌﻤﺎ ﹸل اﻟﻨﺴﺨ ﹺﺔ اﻟﻤﺘﻮاﻓﺮ ﹺة ﻓﻲ ﺷــﺒﻜ ﹺﺔ اﻹﻧﺘﺮﻧ ﹾﺖ ﻣ ﹾﻦ دو ﹺن ﺣﺎﺟ ﹴﺔ إﻟﻰ ﺗﺜﺒﻴﺘﹺﻬﺎ ﻓﻲ ﺟﻬﺎ ﹺز اﻟﺤﺎﺳﻮ ﹺب ﻋ ﹾﻦ‬ ‫‪8‬‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻃﺮﻳ ﹺﻖ اﻟﺮاﺑ ﹺﻂ اﻹﻟﻜﺘﺮوﻧ ﱢﻲ‪www.geogebra.org/classic :‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ح ِّمــل نســخة مــن برمجيــة جيوجبــرا فــي‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻧﺸﺎ ٌط ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ﹶم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ اﻵﺗ ﹶﻲ ﺑﻴﺎﻧ ﹼﹰﻴﺎ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﺑﺮﻣﺠﻴ ﹺﺔ ﺟﻴﻮﺟﺒﺮا‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫أجهــزة الحاســوب بمختبــر المدرســة‪ ،‬واعمل‬ ‫‪eq1 3‬‬ ‫‪x2 + y2 = 13‬‬ ‫علــى تحديثهــا باســتمرار‪ُ ،‬مســتع ِم ًل الرابــط‪:‬‬ ‫‪x2 – y = 7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪https://www.geogebra.org/download‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9 10‬‬ ‫‪-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫التهيئة‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :1‬ﹸأﻣ ﱢﺜ ﹸﻞ ﺑﻴﺎﻧ ﹰﹼﻴﺎ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹶﺔ‪-3 . x2 + y2 = 13 :‬‬ ‫ﹸأد ﹺﺧ ﹸﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ ﻓﻲ ﺣﺎﺳﺒ ﹺﺔ ﺟﻴﻮﺟﺒﺮا‪ ،‬ﺑﺎﻟﻨﻘ ﹺﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻔﺎﺗﻴ ﹺﺢ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪-4 :‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫ • َتو َّجه مع الطلبة إلى مختبر الحاسوب في المدرسة‪.‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪-96‬‬ ‫ •و ِّزع الطلبة إلى مجموعات ثنائية غير متجانسة‪ ،‬بحيث‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :2‬ﹸأﻣ ﱢﺜ ﹸﻞ ﺑﻴﺎﻧ ﹼﹰﻴﺎ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹶﺔ‪4 . x2 – y = 7 :‬‬ ‫يكون أحد الطالبين في كل مجموعة محي ًطا بمهارات‬ ‫ﹸأد ﹺﺧ ﹸﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ ﻓﻲ ﺣﺎﺳﺒ ﹺﺔ ﺟﻴﻮﺟﺒﺮا‪ ،‬ﺑﺎﻟﻨﻘ ﹺﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻔﺎﺗﻴ ﹺﺢ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪eq1 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الحاسوب‪ ،‬والآخر من ذوي المستوى فوق المتوسط‬ ‫‪-10 -8 -6 -4 -2 0‬‬ ‫‪2 4 6 8 10‬‬ ‫‪ -‬ما أمكن‪ -‬لتحقيق التشاركية‪.‬‬ ‫ﹸأﻻ ﹺﺣــ ﹸﻆ أ ﱠن ﻣﻨﺤﻨ ﹶﻴ ﹺﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎ ﹺن ﻓﻲ أرﺑ ﹺﻊ ﻧﻘــﺎ ﹴط؛ ﻣﺎ ﻳﻌﻨﻲ وﺟﻮ ﹶد أرﺑﻌ ﹺﺔ ﺣﻠﻮ ﹴل ‪-2‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة تشــغيل أجهزة الحاســوب‪ ،‬وفتح‬ ‫ﻟﻨﻈﺎ ﹺم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت‪-4 .‬‬ ‫برمجية جيوجبرا (‪.)GeoGebra‬‬ ‫‪e-6q2‬‬ ‫ •ع ِّرف الطلبــة بإمكانيات برمجية جيوجبــرا الجبرية‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫والهندســية‪ .‬فمث ًل‪ ،‬يمكن استعمال هذه البرمجية في‬ ‫‪-10‬‬ ‫حل المعادلات‪ ،‬ورسم المجسمات والأشكال ثنائية‬ ‫ال ُب ْعد‪ ،‬وقياس الزوايا وأطوال القطع المستقيمة‪.‬‬ ‫ •اطلب إلى عدد من الطلبة رسم منحنيين ُيم ِّثلان كل حالة على اللوح‪ ،‬ثم اسأل الطلبة‪:‬‬ ‫التدريس‬ ‫‪2‬‬ ‫ »أيكم يوافقهم الرأي؟‬ ‫ •و ِّضــح للطلبة كيفية تنفيذ النشــاط‪ ،‬ودعهــم ُين ِّفذوه‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫ » َم ْن يعرض رس ًما آخ َر؟‬ ‫بأنفسهم‪.‬‬ ‫ •إذا توافر جهاز عرض في المختبر‪ ،‬فاعرض خطوات النشــاط أمام الطلبة‪ ،‬ثم‬ ‫ •اطلــب إلى أفراد المجموعــات تطبيق الخطوات على‬ ‫اطلب إليهم بدء تنفيذ الخطوات نفسها في أسئلة بند (أتدرب)‪.‬‬ ‫التوالي‪ ،‬وتج َّول بينهم ُمر ِش ًدا و ُمسا ِع ًدا و ُمو ِّج ًها‪ ،‬وتأ َّكد‬ ‫ •أخبِر الطلبة أنه يمكنهم تنزيــل برمجية جيوجبرا على هواتفهم الذكية من متجر الهاتف‪،‬‬ ‫فض ًل عن وجود العديد من البرمجيات والآلات الحاسبة البيانية التي يمكنهم استعمالها‪.‬‬ ‫أن كل فرد في المجموعة قد تم َّكن من تنفيذ النشاط‪.‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في عدد نقــاط التقاطع التي ُتم ِّثل حلول‬ ‫تنويع التعليم‪:‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة ذوي المستوى دون المتوســط حل معادلة خطية فقط أو تربيعية‬ ‫النظام‪ ،‬وعلاقة عدد الحلــول بعدد نقاط التقاطع‪ ،‬ثم‬ ‫بيان ًّيا باســتعمال برمجية جيوجبــرا‪ ،‬في خطوة أولى‪ ،‬وتــد َّرج معهم في خطوات‬ ‫اطرح عليهم السؤالين الآتيين‪:‬‬ ‫التطبيق حتى يتمكنوا من حل النظام المبين في النشاط‪.‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى البحث في شــبكة الإنترنت عن الاســتعمالات الممكنة لبرمجية‬ ‫ »هل تتوقع أن يكون عدد الحلول أربعة دائ ًما؟‬ ‫جيوجبــرا‪ ،‬ثم كتابة تقرير عن ذلك‪ ،‬وقراءته أمــام الزملاء؛ تعزي ًزا لمهارتي البحث‬ ‫ »هل يوجد نظام لــه ثلاثة حلول‪ ،‬أو حلان‪ ،‬أو حل‬ ‫واحد‪ ،‬أو ليس له حل؟‬ ‫والتواصل لديهم‪.‬‬ ‫‪8‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪1‬‬ ‫التدريب‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻣ ﹾﻦ ﺷــﺮﻳ ﹺﻂ اﻷدوا ﹺت‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ أﻧﻘ ﹸﺮ‬ ‫اﻟﺨﻄﻮ ﹸة ‪ :3‬ﹸأﺣــ ﱢﺪ ﹸد إﺣﺪاﺛﻴﺎ ﹺت ﻧﻘﺎ ﹺط اﻟﺘﻘﺎﻃ ﹺﻊ ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﻨﺤﻨ ﹶﻴ ﹺﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ .‬أﺧﺘﺎ ﹸر‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة الإجابة عن الأســئلة (‪ )1-6‬في بند‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﻨ ﹶﻴ ﹺﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﻓﺘﻈﻬ ﹸﺮ إﺣﺪاﺛﻴﺎ ﹸت ﻧﻘﺎ ﹺط اﻟﺘﻘﺎﻃ ﹺﻊ‪.‬‬ ‫(أتدرب)‪ ،‬وتج َّول بينهم ُمر ِش ًدا و ُمسا ِع ًدا و ُمو ِّج ًها‪.‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ •اختر بعض الأخطاء التــي وقع فيها الطلبة ‪ -‬من دون‬ ‫‪33‬‬ ‫ذكر اسماء الطلبة؛ تجن ًبا لإحراجهم‪ ،-‬ثم نا ِقش طلبة‬ ‫‪A 22‬‬ ‫الصف فيها‪.‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪–5 –4 –3 –2 –1 00‬‬ ‫‪11 22 33 44 55‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪––11‬‬ ‫‪––22‬‬ ‫‪C‬‬ ‫  الواجب البيتي‪:‬‬ ‫‪D ––33‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة أن يحلوا في البيت الأســئلة التي لم‬ ‫يتمكنوا من حلها في غرفة الصف‪.‬‬ ‫‪––44‬‬ ‫‪––55‬‬ ‫ •في اليوم التالي‪ ،‬ا َّط ِلع على حلول الطلبة‪ ،‬ونا ِقشهم في‬ ‫‪––66‬‬ ‫أي صعوبات واجهوها في أثناء الحل‪.‬‬ ‫‪––77‬‬ ‫إﺣﺪاﺛﻴﺎ ﹸت ﻧﻘﺎ ﹺط اﻟﺘﻘﺎﻃ ﹺﻊ ﻫ ﹶﻲ‪(-3, 2), (3, 2), (2, -3), (-2, -3) :‬؛ ﻣﺎ ﻳﻌﻨﻲ أن ﺣﻠﻮ ﹶل ﻧﻈﺎ ﹶم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫اﻟ ﹶﺤ ﱡﻞ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪x = 3, y = 2 :‬‬ ‫اﻟ ﹶﺤ ﱡﻞ اﻷو ﹸل‪x = –3, y = 2 :‬‬ ‫الإثراء‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻟ ﹶﺤ ﱡﻞ اﻟﺮاﺑ ﹸﻊ‪x = –2, y = –3 :‬‬ ‫اﻟ ﹶﺤ ﱡﻞ اﻟﺜﺎﻟ ﹸﺚ‪x = 2, y = –3 :‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى استعمال برمجية جيوجبرا في تحديد‬ ‫أﺗﺪرب‬ ‫عدد الحلول الممكنة لأنظمة معادلات مختلفة‪ ،‬مثل‪:‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻛ ﱠﻞ ﻧﻈﺎ ﹺم ﻣﻌﺎدﻻ ﹴت ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﺑﻴﺎﻧ ﹼﹰﻴﺎ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﺑﺮﻣﺠﻴ ﹺﺔ ﺟﻴﻮﺟﺒﺮا‪:‬‬ ‫ »نظام من معادلتين خطيتين‪.‬‬ ‫ »نظام من معادلة خطية وأخرى تربيعية‪.‬‬ ‫ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ‪1 y= x – 4 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = x2‬‬ ‫‪(-1.97, 3.881),‬‬ ‫)‪3 x + y = 16 (8.625, 7.375‬‬ ‫‪2x2 + 3y2 = 12‬‬ ‫) ‪(1.97, 3.881‬‬ ‫‪x2 – y2 = 20‬‬ ‫ »نظام من معادلتين تربيعيتين‪.‬‬ ‫‪x2 + 2y2 = 34‬‬ ‫ •أو أي أنظمــة أخرى‪ ،‬ثــم إعداد تقريــر بالنتائج التي‬ ‫ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ‪4 3x + 4y = 1 .‬‬ ‫)‪5 y = 6x (0.493, 2.959‬‬ ‫ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ‪6 x = 7 + y .‬‬ ‫تو َّصل إليهــا كل منهم ُمو َّثقة بالصور‪ ،‬أو باســتعمال‬ ‫‪y = x2 + 5‬‬ ‫‪x2 + y2 = 9‬‬ ‫‪y = 3x2 – 2‬‬ ‫خاصية طباعة الشاشة‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫تعليمات المشروع‪:‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى البحث في شــبكة الإنترنت عن صور‬ ‫إرشادات للمعلم‬ ‫لنمــاذج حياتية تظهر فيهــا منحنيات ومســتقيمات‬ ‫متقاطعة (مثل‪ :‬الجســور‪ ،‬ونوافير الميــاه‪ ،‬وخرائط‬ ‫يمكن إعادة توزيع الطلبة في بعض المجموعات قبل البدء بحل أسئلة بند‬ ‫الطرق)‪ ،‬أو التقاط صــور لذلك‪ ،‬ثم حفظها في ملف‬ ‫(أتدرب)؛ تعزي ًزا لتبادل الخبرات بينهم‪.‬‬ ‫بجهاز الحاسوب‪.‬‬ ‫ •اطلب إليهم استعمال برمجية جيوجيبرا لإيجاد معادلة كل‬ ‫من المنحنيات المتقاطعة التي تظهر في الصور المخزنة‪.‬‬ ‫ •ذ ِّكرهم بضرورة توثيق خطوات تنفيذ المشروع بالطرائق‬ ‫التي يرونها مناسبة‪ ،‬مثل خاصية طباعة الشاشة‪.‬‬ ‫الختام‬ ‫‪5‬‬ ‫ •و ِّجــه كل طالب إلى كتابة نظام من معادلتين‪ ،‬ثم إمراره‬ ‫إلى زميله في المجموعة؛ لحله بيان ًّيا باستعمال برمجية‬ ‫جيوجبرا‪.‬‬ ‫ •اطلب إلى كل طالب أن يتحقق من حل زميله‪.‬‬ ‫‪9‬‬

‫الدرس‬ ‫َﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ٍم ُﻣﻜ ﱠﻮ ٍن ﻣ ْﻦ ﻣﻌﺎدﻟ ٍﺔ ﺧﻄﱢﻴ ٍﺔ وﻣﻌﺎدﻟ ٍﺔ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴ ٍﺔ‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪Solving a System of Linear and Quadratic Equations‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫  فكر ُة الدر ِس‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﺪر ِس ﹶﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ﹴم ﹸﻣﻜ ﱠﻮ ﹴن ﻣ ﹾﻦ ﻣﻌﺎدﻟ ﹴﺔ ﺧ ﱢﻄﻴ ﹴﺔ وﻣﻌﺎدﻟ ﹴﺔ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴ ﹴﺔ‪.‬‬ ‫ •حل نظام مكون من معادلة خطية وأخرى تربيعية‪.‬‬ ‫ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ ‪ y = x - 3‬ﻃﺮﻳ ﹰﻘﺎ ﻣﺴﺘﻘﻴ ﹰﻤﺎ داﺧ ﹶﻞ إﺣﺪ￯ اﻟﻤﺪ ﹺن‪،‬‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ُﺔ اﻟﻴﻮ ِم‬ ‫ •حــل مســائل رياضيــة وحياتيــة باســتعمال أنظمة‬ ‫ﻓﻲ ﺣﻴ ﹺﻦ ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ ‪ y = x2 - 3x -10‬ﻃﺮﻳ ﹰﻘﺎ آﺧ ﹶﺮ ﻣﻨﺤﻨ ﹰﻴﺎ‬ ‫المعادلات‪.‬‬ ‫داﺧ ﹶﻞ اﻟﻤﺪﻳﻨ ﹺﺔ ﻧﻔ ﹺﺴﻬﺎ‪ .‬ﻫ ﹾﻞ ﻳﺘﻘﺎﻃ ﹸﻊ ﻫﺬا ﹺن اﻟﻄﺮﻳﻘﺎ ﹺن أ ﹾم ﻻ؟‬ ‫التعلم القبلي‪:‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜﻨﹸﻨﻲ ﹶﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ﹴم ﹸﻣﻜ ﱠﻮ ﹴن ﻣ ﹾﻦ ﻣﻌﺎدﻟ ﹴﺔ ﺧ ﱢﻄﻴ ﹴﺔ و ﹸأﺧﺮ￯ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴ ﹴﺔ ﺑﺎﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﻃﺮﻳﻘ ﹺﺔ اﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‪ ،‬وذﻟ ﹶﻚ‬ ‫ •نظام المعادلات وحله‪.‬‬ ‫ﺑﻜﺘﺎﺑــ ﹺﺔ أﺣ ﹺﺪ اﻟ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴﺮ ﹾﻳ ﹺﻦ ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟــ ﹺﺔ اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹺﺔ ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ اﻵﺧ ﹺﺮ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﺗﻌﻮﻳ ﹺﻀ ﹺﻪ ﻓــﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ‬ ‫ •عدد حلول النظام‪.‬‬ ‫و ﹶﺣ ﱢﻠﻬﺎ‪.‬‬ ‫التهيئة‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ﹶم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗ ﹶﻲ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹶﺗﺤ ﱠﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ﹺﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ‪:‬‬ ‫‪x–y=1‬‬ ‫‪x2 + y2 = 5‬‬ ‫ •اكتب نظام المعادلات‪ ،‬الآتي على السبورة‪x y = 10:‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜﻨﹸﻨﻲ اﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹸل ﺑﺮﻣﺠﻴ ﹺﺔ ﺟﻴﻮﺟﺒﺮا )‪ ،(GeoGebra‬أ ﹾو ﺣﺎﺳــﺒ ﹴﺔ ﺑﻴﺎﻧﻴ ﹴﺔ‪ ،‬ﻟﺘﻤﺜﻴــ ﹺﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺑﻴﺎﻧ ﹰﹼﻴﺎ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ , x + y = 7‬واسأل الطلبة‪:‬‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ ﻧﻔ ﹺﺴ ﹺﻪ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺘﻤﺜﻴ ﹺﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧ ﱢﻲ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ .‬ﹸأﻻ ﹺﺣ ﹸﻆ أ ﱠن ﻣﻨﺤﻨ ﹶﻴ ﹺﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫ﻳﺘﻘﺎﻃﻌــﺎ ﹺن ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ؛ ﻣﺎ ﻳﻌﻨــﻲ أ ﱠن ﻟﻠﻨﻈﺎ ﹺم ﹶﺣ ﱠﻠ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ .‬أ ﹶﺗﺤ ﱠﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ذﻟ ﹶﻚ ﺟﺒﺮ ﹼﹰﻳﺎ ﺑﺎﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹺل‬ ‫‪x2 + y2 = 5 2‬‬ ‫ »بماذا يختلف هذا النظام عن ما تعرفونه؟‬ ‫ »كيف يمكن حله باعتقادكم؟‬ ‫ﻃﺮﻳﻘ ﹺﺔ اﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ •استمع لإجابات أكبر عدد من الطلبة‪ ،‬واسألهم دائما‪:‬‬ ‫‪-2 -1 0‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪x‬‬ ‫من يؤيــد الإجابة؟ لمــاذا؟ من لديــه إجابة أخرى؟‬ ‫‪-1‬‬ ‫اذكرها‪ .‬وذلك لتعزيــز مهارات التواصــل واحترام‬ ‫‪x–y=1‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹸﺔ‬ ‫‪x–y=1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫الرأي والرأي الآخر لديهم‪.‬‬ ‫ﺑﻜﺘﺎﺑ ﹺﺔ ‪ y‬ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ ‪x‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫ •ثم وضح لهم أنهم سيتعرفون على حل مثل هذا النظام‬ ‫‪y=x–1‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪ y‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ‬ ‫‪x2 + (x – 1) 2 = 5‬‬ ‫في هذا الدرس‪.‬‬ ‫‪x2 + x2 – 2x + 1 = 5‬‬ ‫ﺑﻔ ﱢﻚ اﻟﻘﻮﺳ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫‪2x2 – 2x – 4 = 0‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪x2 – x – 2 = 0‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻘﺴﻤ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ ‪2‬‬ ‫ﻟﹺ ﹶﺤ ﱢﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻟﻘﺎﻧﻮ ﹺن اﻟﻌﺎ ﱢم‪ ،‬ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد ﻗﻴ ﹶﻢ اﻟﻤﻌﺎﻣﻼ ﹺت‪:a = 1, b = –1, c = –2 :‬‬ ‫‪10‬‬ ‫الاستكشاف‬ ‫‪2‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة قراءة (مسألة اليوم‪ ،‬ثم اسألهم‪:‬‬ ‫تعزيز اللغة ودعمها‪:‬‬ ‫ك ِّرر المصطلحات الرياضية المســتخدمة في الدرس بكل مــن اللغتين العربية‬ ‫ »لمــاذا ُع ِّبر عن الطريق المســتقيم بمعادلة خطية‪،‬‬ ‫وعن الطريــق المنحنــي بمعادلــة تربيعية؟ لأن‬ ‫والإنجليزية‪ ،‬وش ِّجع الطلبة على استعمالها‪.‬‬ ‫في ما يأتي بعض المصطلحات التي يمكن التركيز عليها‪:‬‬ ‫التمثيل البيانــي للمعادلة الخطية خط مســتقيم‪،‬‬ ‫والتمثيل البياني للمعادلة التربيعية قطع مكافئ‪.‬‬ ‫المعادلة ‪equation‬‬ ‫ »هل يمكن معرفة إذا كان الطريقان متقاطعين أم لا؟‬ ‫المعادلة التربيعية ‪quadratic eqation‬‬ ‫نعم‪ ،‬يمكن معرفة ذلك عن طريق التمثيل البياني‪.‬‬ ‫نظام المعادلات ‪system of equations‬‬ ‫ »هل يمكن إيجاد نقاط تقاطــع الطريقين من دون‬ ‫تمثيلهما بيان ًّيا؟ نعم‪ ،‬يمكن إيجاد ذلك جبر ًّيا‪.‬‬ ‫ »هل يمكن لحل النظام في هذه المســألة أن يساعد‬ ‫المهندســين؟ نعم‪ ،‬يمكــن أن يســاعدهم على‬ ‫تخطيط الطرق والجســور والدواويــر المرورية‬ ‫وغير ذلك‪.‬‬ ‫‪10‬‬

‫ملاحظات المعلم‬ ‫التدريس‬ ‫‪3‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •اكتب معادلة خطية (‪ ،)linear equation‬ثم اطلب إلى الطلبة حلها‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •اكتب معادلة تربيعية ( ‪ ،)quadratic equation‬ثم اطلب إلى الطلبة حلها بطريقتين مختلفتين‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫(القانون العام‪ ،‬والتحليل)‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •م ِّثل المعادلة الخطية والمعادلة التربيعية بيان ًّيا‪ ،‬ثم اسأل الطلبة‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »ما عدد الحلول التي ُتح ِّقق المعادلة الخطية؟ كيف يمكن إيجادها من التمثيل البياني لمنحنى‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫المعادلة؟‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »ما عدد الحلول التي ُتح ِّقق المعادلة التربيعية؟ كيف يمكن إيجادها من التمثيل البياني لمنحنى‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫المعادلة؟‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ »ما عدد نقاط التقاطع (‪ )intersection points‬؟‬ ‫ »ماذا ُتم ِّثل هذه النقاط للمنحنيين م ًعا؟‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة اقتراح طريقة جبرية لإيجاد نقاط التقاطع‪.‬‬ ‫ •امنح الطلبة (‪ )2-3‬دقائق لمحاولة حل السؤال جبر ًّيا‪.‬‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫ •ابدأ بشرح المثال الذي يتناول حل نظام معادلات له حلان مختلفان‪ ،‬ثم اكتب على اللوح خطوات‬ ‫الحل بصورة واضحة‪.‬‬ ‫ • ب ِّين للطلبة أنه يمكن جعل ‪ x‬موضو ًعا للقانون بد ًل من ‪.y‬‬ ‫ •حل المعادلة التربيعة على اللوح ُمســتع ِم ًل القانون العام‪ ،‬وب ِّين للطلبة أنه يمكن حلها باستعمال‬ ‫طريقة التحليل إلى العوامل‪.‬‬ ‫ •ن ِّبه الطلبة إلى ضرورة التعويض في المعادلتين للتح ُّقق من صحة الحل‪ ،‬ثم اطلب إليهم ذكر مثال‬ ‫علــى زوج مرتب ُيح ِّقق معادلة دون الأخرى‪ ،‬مثل‪ )4, 3( :‬الذي ُيح ِّقق المعادلة الخطية فقط‪ ،‬أو‬ ‫(‪ )1, 2‬الذي ُيح ِّقق المعادلة التربيعية‪.‬‬ ‫ •أخبِر الطلبة أنــه يوجد حلان للنظام‪ ،‬وأن ذلك يتوافق مع التمثيــل البياني للنظام‪ ،‬ثم اكتب على‬ ‫اللوح الحلين في أزواج مرتبة واضحة‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫إرشادات‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •في المثــال ‪ ،1‬و ِّجه الطلبة إلى اســتعمال الأقواس في خطوة التعويــض (‪،)substitute‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫وش ِّجعهم على كتابة كل خطوة من خطوات الحل بوضوح‪.‬‬ ‫ •أر ِشد الطلبة إلى إيجاد المميز (‪ )discriminant‬للمعادلة التربيعية؛ لتحديد عدد حلولها‪،‬‬ ‫ثم تحديد عدد حلول النظام‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫‪10A‬‬

‫ التقويم التكويني‪:‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪1‬‬ ‫ •و ِّزع الطلبة إلى مجموعات‪.‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪–b ± √b2 – 4ac‬‬ ‫اﻟﻘﺎﻧﻮ ﹸن اﻟﻌﺎ ﱡم‬ ‫َأﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫ﺔ‬ ‫ •اطلب إلــى أفــراد المجموعات حــل التدريب في‬ ‫‪2a‬‬ ‫ﺗﻮﺟ ﹸﺪ ﻃﺮاﺋــ ﹸﻖ ﹺﻋــ ﱠﺪ ﹲة ﻟﹺ ﹶﺤ ﱢﻞ‬ ‫‪S‬‬ ‫بند (أتحقق مــن فهمي)؛ على أن يحــل أفراد بعض‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟــ ﹴﺔ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴــ ﹴﺔ‪ ،‬ﻣﻨﹾﻬــﺎ‪:‬‬ ‫المجموعات السؤال باستعمال القانون العام‪ ،‬ويحل‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫)‪–(–1‬‬ ‫‪±‬‬ ‫‪√(–1)2‬‬ ‫–‬ ‫)‪4(1)(– 2‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫اﻟﺘﺤﻠﻴــ ﹸﻞ إﻟــﻰ اﻟﻌﻮاﻣــ ﹺﻞ‪،‬‬ ‫أفراد بعضها الآخر الســؤال نفسه باســتعمال طريقة‬ ‫)‪2(1‬‬ ‫واﻟﻘﺎﻧﻮ ﹸن اﻟﻌﺎ ﱡم‪.‬‬ ‫التحليل‪.‬‬ ‫‪x = –1 , x = 2‬‬ ‫ •تج َّول بين أفــراد المجموعات ُمر ِشــ ًدا و ُمســا ِع ًدا‬ ‫إرﺷﺎ ٌد‬ ‫‪y=x–1‬‬ ‫اﻟﺤﺎﻟ ﹸﺔ اﻷوﻟﻰ‪ :‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪: x = –1‬‬ ‫ﻳﺠ ﹸﺐ ﺗﻌﻮﻳ ﹸﺾ اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ ﻓﻲ ﻛﻠﺘﺎ‬ ‫و ُمو ِّج ًها‪ ،‬وق ِّدم لهم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪y = –1 –1 = −2‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪ x = – 1‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹺﺔ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺘ ﹺﻲ اﻟﻨﻈﺎ ﹺم؛ ﻟﻜﻴﻼ ﻳﻜﻮ ﹶن‬ ‫ •اختر بعض الإجابات التي تحــوي أخطاء مفاهيمية‪،‬‬ ‫اﻟ ﹶﺤ ﱡﻞ ﻏﻴــ ﹶﺮ ﺻﺤﻴ ﹴﺢ‪ ،‬ﺑﺤﻴ ﹸﺚ‬ ‫ثم نا ِقشها على اللوح‪ ،‬ولا تذكر اسم المجموعة التي‬ ‫اﻟ ﹶﺤ ﱡﻞ اﻷو ﹸل‪. (x, y) = (− 1, − 2) :‬‬ ‫ﹸﻳﺤ ﱢﻘ ﹸﻖ إﺣﺪ￯ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣ ﹾﻦ‬ ‫أخطأت في الإجابة؛ تجن ًبا لإحراجها‪.‬‬ ‫ﻟﹺﻠﺘﺤ ﱡﻘ ﹺﻖ ﻣ ﹾﻦ ﹺﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ اﻷو ﱢل‪ ،‬ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸض اﻟﺰو ﹶج اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﺗ ﹶﺐ )‪ (−1, −2‬ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹺﺔ‬ ‫دو ﹺن اﻷﹸﺧﺮ￯‪.‬‬ ‫! أخطاء مفاهيمية ‪:‬‬ ‫واﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫ •قد يخطــئ بعــض الطلبة من ذوي المســتوى‬ ‫✓ ‪x − y = − 1 − (− 2) = 1‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹺﺔ‬ ‫دون المتوســط في التمييز بين المعادلة الخطية‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ ✓ ‪x2 + y2 = (− 1) 2 + (− 2) 2 = 1 + 4 = 5‬‬ ‫والمعادلة التربيعية؛ لذا‪ ،‬و ِّجههم باستمرار‪.‬‬ ‫ •قد يخطئ بعض الطلبة في إشارات الحدود عند‬ ‫‪y=2–1=1‬‬ ‫اﻟﺤﺎﻟ ﹸﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴ ﹸﺔ‪ :‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪: x = 2‬‬ ‫إعادة ترتيب المعادلة الخطية؛ لذا ن ِّبههم إلى هذا‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪ x = 2‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹺﺔ‬ ‫الخطأ باستمرار‪ ،‬واجعلهم يعتادون التح ُّقق‪.‬‬ ‫اﻟ ﹶﺤ ﱡﻞ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪. (x, y) = (2, 1) :‬‬ ‫ •قد يواجــه بعض الطلبة صعوبات في حســاب‬ ‫ﻟﹺﻠﺘﺤ ﱡﻘــ ﹺﻖ ﻣ ﹾﻦ ﹺﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ اﻟﺜﺎﻧــﻲ‪ ،‬ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸض اﻟﺰو ﹶج اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﺗ ﹶﺐ )‪ (2,1‬ﻓــﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹺﺔ‬ ‫قيمة المميــز(‪)discriminant‬؛ لــذا ذ ِّكرهم‬ ‫بصيغته الرياضية‪ُ ،‬مؤ ِّكــ ًدا أهمية كتابة المعادلة‬ ‫واﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫التربيعية بالصورة الآتية‪:‬‬ ‫✓ ‪x−y=2−1=1‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹺﺔ‬ ‫✓ ‪x2 + y2 = (2) 2 + (1) 2 = 4 + 1 = 5‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ‬ ‫‪ax2 + bx + c = 0‬‬ ‫)‪(2, 8), (-9, 30‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ليســهل عليهــم تحديد قيمــة كل معامــل بصورة‬ ‫صحيحة‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ﹶم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗ ﹶﻲ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹶﺗﺤ ﱠﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ﹺﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ‪:‬‬ ‫ثم ذ ِّكرهم بالحالات الثلاث‪:‬‬ ‫‪2x + y = 12‬‬ ‫‪y = x2 + 5x − 6‬‬ ‫المميز > ‪ :0‬يوجد حلان حقيقيان‪.‬‬ ‫ﻳﻮﺟــ ﹸﺪ ﹶﺣ ﹼﻼ ﹺن ﻟﻨﻈﺎ ﹺم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺎ ﹺل اﻟﺴــﺎﺑ ﹺﻖ‪ .‬وﻟﻜ ﹾﻦ‪ ،‬ﻫ ﹾﻞ ﻳﻮﺟ ﹸﺪ ﻧﻈــﺎ ﹸم ﻣﻌﺎدﻻ ﹴت ﻟ ﹸﻪ ﹶﺣ ﱞﻞ‬ ‫المميز= ‪ :0‬يوجد حلان متماثلان (حل حقيقي)‪.‬‬ ‫واﺣ ﹲﺪ؟ ﻟﻤﻌﺮﻓ ﹺﺔ اﻹﺟﺎﺑ ﹺﺔ‪ ،‬ﹶأدر ﹸس اﻟﻤﺜﺎ ﹶل اﻵﺗ ﹶﻲ‪.‬‬ ‫المميز < ‪ :0‬لا توجد حلول حقيقية‪.‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ﹶم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ •ابدأ بشرح المثال الذي يتناول حل نظام له حل واحد‪،‬‬ ‫ثم اكتب على اللوح خطوات الحل بصورة واضحة‪.‬‬ ‫‪2y = 8‬‬ ‫‪2y = 8‬‬ ‫ •حــل المعادلة التربيعه ُمســتع ِم ًل طريقة التحليل الى‬ ‫‪y = 3 − 2x − x2‬‬ ‫ﻋﻨ ﹶﺪ ﺗﻤﺜﻴ ﹺﻞ ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺘ ﹺﻲ اﻟﻨﻈﺎ ﹺم ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴــﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ ﻧﻔ ﹺﺴ ﹺﻪ‪ ،‬ﹸﻳﻼ ﹶﺣ ﹸﻆ وﺟﻮ ﹸد ﻧﻘﻄ ﹺﺔ ﺗﻘﺎﻃ ﹴﻊ واﺣﺪ ﹴة‬ ‫‪4‬‬ ‫العوامل‪ ،‬ثم اسأل الطلبة‪:‬‬ ‫ﻛﻤــﺎ ﻓﻲ اﻟﺘﻤﺜﻴ ﹺﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧ ﱢﻲ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر؛ ﻣﺎ ﻳﻌﻨﻲ أ ﱠن ﻟﻠﻨﻈﺎ ﹺم ﹶﺣ ﹼﹰﻼ واﺣــ ﹰﺪا ﻓﻘ ﹾﻂ‪ .‬أ ﹶﺗﺤ ﱠﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ذﻟ ﹶﻚ ﺟﺒﺮ ﹰﹼﻳﺎ‬ ‫‪3‬‬ ‫ »هــل يمكن حــل المعادلة بطريقة أخــرى؟ نعم‪،‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﻃﺮﻳﻘ ﹺﺔ اﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‪:‬‬ ‫يمكن حلها باستعمال طريقة القانون العام‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = 3 – 2x – x2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ •أخبِر الطلبة أنه يوجد للنظام حل واحد فقط‪ ،‬وأن ذلك‬ ‫يتوافق مع التمثيل البياني للنظام‪.‬‬ ‫‪-4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1234‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫ •اكتب على اللوح الحل في زوج مرتب واضح‪.‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫ •ن ِّبه الطلبة إلى ضرورة التعويض في المعادلتين للتح ُّقق‬ ‫من صحة الحل‪ ،‬ثم اطلب إليهم ذكر مثال على زوج‬ ‫‪2y = 8‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹸﺔ‬ ‫‪-3‬‬ ‫مرتب ُيح ِّقق معادلة دون الأخرى‪.‬‬ ‫‪y=4‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻘﺴﻤ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ ‪2‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪4 = 3 − 2x − x2‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪ y‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ‬ ‫ التقويم التكويني‪:‬‬ ‫‪x2 + 2x + 1 = 0‬‬ ‫ •و ِّزع الطلبــة إلى مجموعات‪ ،‬ثم أعــ ِط ك َّل مجموعة‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫رق ًما‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﻃﺮﻳﻘ ﹺﺔ اﻟﺘﺤﻠﻴ ﹺﻞ إﻟﻰ اﻟﻌﻮاﻣ ﹺﻞ‪ .‬ﻫ ﹾﻞ ﺗﻮﺟ ﹸﺪ ﻃﺮﻳﻘ ﹲﺔ ﹸأﺧﺮ￯؟‬ ‫ •و ِّجه أفــراد المجموعات ذوات الأرقــام الفردية إلى‬ ‫حــل التدريب في بند (أتحقق من فهمي) باســتعمال‬ ‫‪(x + 1)(x + 1) = 0‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺤﻠﻴ ﹺﻞ‬ ‫طريقة التحليــل‪ ،‬وو ِّجه أفــراد المجموعات ذوات‬ ‫‪x+1=0‬‬ ‫الأرقام الزوجية إلى حل التدريب نفســه باســتعمال‬ ‫‪x = −1‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴ ﹸﺔ اﻟﻀﺮ ﹺب اﻟﺼﻔﺮ ﱢي‬ ‫ﺑ ﹶﺤ ﱢﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‬ ‫القانون العام‪.‬‬ ‫‪y = 3 − 2x − x2‬‬ ‫‪y = 3 − 2(−1) − (−1) 2‬‬ ‫ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸض ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ x‬ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪: y‬‬ ‫ •اختر بعض الإجابات التي تحــوي أخطاء مفاهيمية‪،‬‬ ‫ثم نا ِقشها على اللوح‪ ،‬ولا تذكر اسم المجموعة التي‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹸﺔ‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪x‬‬ ‫أخطأت في الإجابة؛ تجن ًبا لإحراجها‪.‬‬ ‫‪y=4‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﹶﺣ ﱡﻞ اﻟﻨﻈﺎ ﹺم ﻫ ﹶﻮ اﻟﺰو ﹸج اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﺗ ﹸﺐ )‪. (− 1, 4‬‬ ‫ﻟﹺﻠﺘﺤ ﱡﻘ ﹺﻖ ﻣ ﹾﻦ ﹺﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ‪:‬‬ ‫‪4 =? 3 − 2(−1) − (−1) 2‬‬ ‫✓ ‪4=4‬‬ ‫)‪(0, -2‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ﹶم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗ ﹶﻲ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹶﺗﺤ ﱠﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ﹺﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ‪:‬‬ ‫‪y = x2 − 2‬‬ ‫‪y+2=0‬‬ ‫‪12‬‬ ‫إرشادات‪:‬‬ ‫ •في المثال ‪ ،2‬ذ ِّكر الطلبة بكيفية تحليل المعادلة التربيعية‪ ،‬وعلاقة إشارة كل‬ ‫من الحد الأوسط والحد الأخير فيها بالإشارات داخل أقواس التحليل‪.‬‬ ‫ •في تدريب (أتحقق من فهمي) للمثال ‪ ،2‬أر ِشــد الطلبة إلى استعمال مميز‬ ‫المعادلة التربيعية للتأ ُّكد أن لها ح ًّل وحي ًدا‪ ،‬ون ِّوه دائ ًما بتأثير ذلك في عدد‬ ‫حلول النظام‪.‬‬ ‫‪12‬‬

‫مثال ‪3‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪1‬‬ ‫ •و ِّزع الطلبــة إلى مجموعات‪ ،‬ثم أعــ ِط ك َّل مجموعة‬ ‫ﻻﺣ ﹾﻈ ﹸﺖ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺎﻟ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟﺴﺎﺑﻘ ﹾﻴ ﹺﻦ وﺟﻮ ﹶد ﹶﺣ ﱟﻞ أ ﹾو ﹶﺣ ﱠﻠ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻟﻨﻈﺎ ﹺم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت‪ .‬وﻟﻜ ﹾﻦ‪ ،‬ﻫ ﹾﻞ ﺗﻮﺟ ﹸﺪ أﻧﻈﻤ ﹸﺔ‬ ‫رق ًما‪.‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻ ﹴت ﻟﻴ ﹶﺲ ﻟﻬﺎ ﹶﺣ ﱞﻞ؟ ﻟﻤﻌﺮﻓ ﹺﺔ اﻹﺟﺎﺑ ﹺﺔ‪ ،‬ﹶأدر ﹸس اﻟﻤﺜﺎ ﹶل اﻵﺗ ﹶﻲ‪.‬‬ ‫ •و ِّجه أفــراد المجموعات ذوات الأرقــام الفردية إلى‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪3‬‬ ‫حل المثال بجعل ‪ x‬موضو ًعــا للقانون‪ ،‬وو ِّجه أفراد‬ ‫المجموعــات ذوات الأرقام الزوجية إلى حل المثال‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ﹶم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫نفسه بجعل ‪ y‬موضو ًعا للقانون‪.‬‬ ‫‪y+x=5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ •تج َّول بين أفــراد المجموعات ُمر ِشــ ًدا و ُمســا ِع ًدا‬ ‫‪x2 + y2 = 9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﹶﻳﺘﺒ ﱠﻴ ﹸﻦ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺘﻤﺜﻴ ﹺﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧ ﱢﻲ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر أ ﱠن ﻣﻨﺤﻨ ﹶﻴ ﹺﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻻ ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎ ﹺن ﻓﻲ أ ﱢي ﻧﻘﻄ ﹴﺔ؛ ﻣﺎ ﻳﻌﻨﻲ ﻋﺪ ﹶم‬ ‫و ُمو ِّج ًها‪ ،‬وق ِّدم لهم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫وﺟﻮ ﹺد ﹶﺣ ﱟﻞ ﻟﻨﻈﺎ ﹺم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت‪ .‬أ ﹶﺗﺤ ﱠﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ذﻟ ﹶﻚ ﺟﺒﺮ ﹼﹰﻳﺎ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﻃﺮﻳﻘ ﹺﺔ اﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‪:‬‬ ‫‪x2 + y2 = 9 3‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في إجاباتهم‪ ،‬بطرح الأسئلة الآتية‪:‬‬ ‫‪y+x=5‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹸﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y+x=5‬‬ ‫ »مــا عــدد حلــول المعادلــة التربيعيــة الناتجة؟‬ ‫ﺑﻜﺘﺎﺑ ﹺﺔ ‪ x‬ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ ‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12345 x‬‬ ‫ب ِّرر إجابتك‪ .‬لا يوجد حل للمعادلة؛ لأن مميزها‬ ‫‪x=5−y‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪ x‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ‬ ‫‪(5−y) 2 + y2 = 9‬‬ ‫‪-3 -2 -1 0‬‬ ‫صفر‪.‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪-1‬‬ ‫ »هــل يوجــد حــل للنظــام؟ بــ ِّرر إجابتــك‪.‬‬ ‫‪25 − 10y + y2 + y2 = 9‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫لا‪ ،‬لا يوجد حل للنظام؛ لأنه لا يوجد حل للمعادلة‬ ‫‪2y2 − 10y + 16 = 0‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫التربيعية الناتجة من استعمال طريقة التعويض‪.‬‬ ‫ »هــل ُيؤ ِّثــر المتغيــر الــذي تجعلــه موضو ًعــا‬ ‫ﻟﹺ ﹶﺤــ ﱢﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟــ ﹺﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴــ ﹺﺔ اﻟﻨﺎﺗﺠــ ﹺﺔ ﺑﺎﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻟﻘﺎﻧــﻮ ﹺن اﻟﻌﺎ ﱢم‪ ،‬ﹸأﺣــ ﱢﺪ ﹸد ﻗﻴــ ﹶﻢ اﻟﻤﻌﺎﻣﻼ ﹺت‪:‬‬ ‫للقانــون فــي حــل النظــام؟ بــ ِّرر إجابتــك‪.‬‬ ‫لا‪ ،‬لا يؤثــر؛ لأن جعــل ‪ x‬أو ‪ y‬موضو ًعا للقانون‬ ‫‪: a = 2, b = –10, c = 16‬‬ ‫ُينتِج معادلة مميزها سالب‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪–b‬‬ ‫‪±‬‬ ‫‪√b2‬‬ ‫–‬ ‫‪4ac‬‬ ‫اﻟﻘﺎﻧﻮ ﹸن اﻟﻌﺎ ﱡم‬ ‫ •اطلــب إلى الطلبــة اقتــراح حلــول وتعويضها في‬ ‫‪2a‬‬ ‫المعادلتين للتح ُّقق من عدم وجود حل للنظام‪.‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫)‪–(–10) ± √(–10)2 – 4(2)(16‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫)‪2(2‬‬ ‫ •أ ِّكد عدم وجود حل للنظام باســتعمال التمثيل البياني‬ ‫الموجود‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫‪± √–28‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪2‬‬ ‫تنويع التعليم‪:‬‬ ‫َأﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫ •و ِّجه الطلبة ذوي المستوى المتوسط وفوق المتوسط‬ ‫ﹸأﻻ ﹺﺣ ﹸﻆ أ ﱠﻧ ﹸﻪ ﻋﻨ ﹶﺪ ﺗﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻗﻴ ﹺﻢ ‪ ،a‬ﹶو ‪ ،b‬ﹶو ‪ c‬ﻓﻲ اﻟﻘﺎﻧﻮ ﹺن اﻟﻌﺎ ﱢم‪ ،‬ﻳﻨﺘ ﹸﺞ ﺟﺬ ﹲر ﺗﺮﺑﻴﻌ ﱞﻲ ﻟﻌﺪ ﹴد ﺳﺎﻟ ﹴﺐ‪.‬‬ ‫ﻻ ﻳﻮﺟ ﹸﺪ ﻋﺪ ﹲد ﺣﻘﻴﻘ ﱞﻲ ﻣﺮ ﱠﺑ ﹸﻌ ﹸﻪ‬ ‫إلى حل النظام الآتي‪:‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﻻ ﻳﻮﺟ ﹸﺪ ﹶﺣ ﱞﻞ ﻟﻬﺬا اﻟﻨﻈﺎ ﹺم‪.‬‬ ‫ﻋﺪ ﹲد ﺳﺎﻟ ﹲﺐ‪.‬‬ ‫‪xy=2‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫‪y=x+1‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ﹶم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫إرشاد‪ :‬بعد حل مثال ‪ ،3‬الفت انتباه الطلبة إلى‬ ‫‪ x − y = 0‬ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﻟﻠﻨﻈﺎم‪.‬‬ ‫التح ُّقق من صحة الحل باستعمال برمجية جيوجبرا‬ ‫(في البيت‪ ،‬أو في مختبر الحاســوب‪ ،‬أو باســتعمال‬ ‫‪y = x2 + 3x + 2‬‬ ‫الهواتف الذكية)‪.‬‬ ‫‪13‬‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫فــي المثال ‪ ،3‬قد يحســب بعــض الطلبة الجــذر التربيعي لعدد ســالب‪ ،‬مثل‬ ‫‪ √-4 = -2‬؛ لذا ذ ِّكرهم بمفهوم الجذر التربيعي للعدد‪ ،‬واطلب إليهم ذكر مثال‬ ‫على عدد ُيض َرب في نفسه‪ ،‬ويكون ناتجه سال ًبا؛ لإقناعهم بأن ذلك غير ممكن‪.‬‬ ‫‪13‬‬

‫ﻧﺘﻴﺠ ٌﺔ‬ ‫ مثال ‪ :4‬من الحياة‬ ‫ﻷ ﱢي ﻧﻈــﺎ ﹴم ﻳﺘﻜ ﱠﻮ ﹸن ﻣ ﹾﻦ ﻣﻌﺎدﻟــ ﹴﺔ ﺧ ﱢﻄﻴ ﹴﺔ و ﹸأﺧﺮ￯ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴ ﹴﺔ‪ ،‬ﺗﻜﻮ ﹸن واﺣﺪ ﹲة ﻣــ ﹶﻦ اﻟﻌﺒﺎرا ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‬ ‫ •ل ِّخــص حالات حلول نظام مكون مــن معادلة خطية‬ ‫ﺻﺤﻴﺤ ﹰﺔ‪:‬‬ ‫ومعادلة تربيعية‪ ،‬ثم نا ِقش الطلبة فيها‪ ،‬واسألهم‪:‬‬ ‫‪ 1‬وﺟﻮ ﹸد ﹶﺣ ﱠﻠ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ 2 .‬وﺟﻮ ﹸد ﹶﺣ ﱟﻞ واﺣ ﹴﺪ ﻓﻘ ﹾﻂ‪ 3 .‬ﻋﺪ ﹸم وﺟﻮ ﹺد ﹶﺣ ﱟﻞ‪.‬‬ ‫ »هل يوجد نظــام من معادلتين خطيــة وتربيعية له‬ ‫ﺗﻮﺟ ﹸﺪ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎ ﹲت ﺣﻴﺎﺗﻴ ﹲﺔ ﻛﺜﻴﺮ ﹲة ﻟﹺ ﹶﺤ ﱢﻞ اﻷﻧﻈﻤ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺘﻜ ﱠﻮ ﹸن ﻣ ﹾﻦ ﻣﻌﺎدﻟ ﹴﺔ ﺧ ﱢﻄﻴ ﹴﺔ و ﹸأﺧﺮ￯ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴ ﹴﺔ‪.‬‬ ‫ثلاثة حلول؟‬ ‫ »لماذا؟‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :4‬ﻣﻦ اﻟﺤﻴﺎة‬ ‫ﹶﺳــ ﹼﺠﺎد ﹲة ﻣﺼﻨﻮﻋــ ﹲﺔ ﻳﺪو ﹰﹼﻳــﺎ‪ ،‬ﻣﺠﻤــﻮ ﹸع ﹸﺑ ﹾﻌ ﹶﺪ ﹾﻳﻬــﺎ ‪ ،7 m‬وﻃــﻮ ﹸل ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫــﺎ ‪ .5 m‬ﹶأ ﹺﺟــ ﹸﺪ ﹸﻛ ﹼﹰﻼ ﻣــ ﹾﻦ‬ ‫ » َم ْن ُيؤ ِّيد الإجابة؟‬ ‫ » َم ْن لديه إجابة أخرى؟‬ ‫ﻃﻮﻟﹺﻬﺎ‪ ،‬وﻋﺮ ﹺﺿﻬﺎ‪.‬‬ ‫لا‪ ،‬لا يوجــد نظام من معادلتيــن خطية وتربيعية‬ ‫له ثلاثة حلول‪ ،‬ويمكن تقديــم التبرير عن طريق‬ ‫ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﹸﺑ ﹾﻌ ﹶﺪ ﹺي اﻟ ﱠﺴ ﹼﺠﺎد ﹺة‪ ،‬ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ ﻧﻈﺎ ﹶم ﻣﻌﺎدﻻ ﹴت ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﻤﺴﺄﻟ ﹶﺔ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻠ ﹸﻪ‪.‬‬ ‫الرسم‪.‬‬ ‫ﹶأﻓﺘﺮ ﹸض أ ﱠن ﻃﻮ ﹶل اﻟ ﱠﺴــ ﹼﺠﺎد ﹺة ﻫ ﹶﻮ ‪ ، x‬وأ ﱠن ﻋﺮ ﹶﺿﻬــﺎ ﻫ ﹶﻮ ‪ ، y‬وﺑﻤﺎ أ ﱠن ﻣﺠﻤﻮ ﹶع ﹸﺑ ﹾﻌ ﹶﺪ ﹺي اﻟ ﱠﺴــ ﹼﺠﺎد ﹺة ﻫ ﹶﻮ‬ ‫‪ ،7 m‬ﻓﺈ ﱠن‪ ، x + y = 7 :‬وﺑﻤﺎ أ ﱠن ﹸﻗ ﹾﻄ ﹶﺮ اﻟ ﱠﺴــ ﹼﺠﺎد ﹺة ﻫ ﹶﻮ ‪ ،5 m‬ﻓﺈ ﱠن )ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﻧﻈﺮﻳ ﹺﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس(‪:‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة المســألة فــي المثال الرابع‪ ،‬ثم‬ ‫اسألهم‪:‬‬ ‫‪ ، x2+ y2= 25‬إذ ﹾن‪ ،‬أﺻﺒ ﹶﺢ ﻟﺪ ﹾﻳﻨﺎ ﻧﻈﺎ ﹲم ﻳﺘﻜ ﱠﻮ ﹸن ﻣ ﹾﻦ ﻣﻌﺎدﻟ ﹴﺔ ﺧ ﱢﻄﻴ ﹴﺔ و ﹸأﺧﺮ￯ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴ ﹴﺔ‪.‬‬ ‫ »من لديه معلومات عن صناعة السجاد في الأردن‪،‬‬ ‫‪y+x=7‬‬ ‫وفي العا َلم؟‬ ‫‪x2 + y2 = 25‬‬ ‫ﻗ ﹾﺪ ﺗﺴــﺘﻐﺮ ﹸق ﺻﻨﺎﻋ ﹸﺔ اﻟ ﱠﺴ ﹼﺠﺎد ﹺة‬ ‫ •ابدأ بشــرح المثــال الحياتي‪ ،‬ثم اكتــب على اللوح‬ ‫واﻵ ﹶن‪ ،‬ﺳ ﹶﺄ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻨﻈﺎ ﹶم ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﻃﺮﻳﻘ ﹺﺔ اﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‪:‬‬ ‫اﻟﻴﺪوﻳ ﹺﺔ اﻟﺼﻐﻴﺮ ﹺة ‪ 4‬أﺷــﻬ ﹴﺮ ﻣ ﹶﻦ‬ ‫خطوات الحل بصــورة واضحة‪ُ ،‬مر ِّكــ ًزا على كيفية‬ ‫تحديــد المتغيرات‪ ،‬وتكوين المعــادلات‪ ،‬وتدريب‬ ‫‪x+y=7‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹸﺔ‬ ‫اﻟﻌﻤ ﹺﻞ اﻟ ﹸﻤﺘﻮا ﹺﺻ ﹺﻞ‪.‬‬ ‫الطلبة على تحديد معطيات المسألة‪.‬‬ ‫‪y=7−x‬‬ ‫ﺑﻜﺘﺎﺑ ﹺﺔ ‪ y‬ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ ‪x‬‬ ‫َأﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫‪x2 + (7 − x) 2 = 25‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪ y‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ‬ ‫ﹶأ ﹶﺗﺤ ﱠﻘ ﹸﻖ ﻣــ ﹾﻦ ﹺﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ اﻟﺘﺤﻠﻴ ﹺﻞ‬ ‫ •اكتب على اللوح نظــام المعادلات الــذي ُيع ِّبر عن‬ ‫‪2x2 − 14x + 24 = 0‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ﺧﺎﺻﻴ ﹺﺔ اﻟﺘﻮزﻳ ﹺﻊ‪.‬‬ ‫المسألة‪ ،‬وو ِّجه الطلبة إلى حله‪.‬‬ ‫‪x2 − 7x + 12 = 0‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻘﺴﻤ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ ‪2‬‬ ‫في المثال ‪ ،4‬يخطئ بعض الطلبة بعدم استثناء القيم‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹶﺔ ﺑﺎﻟﺘﺤﻠﻴ ﹺﻞ إﻟﻰ اﻟﻌﻮاﻣ ﹺﻞ‪:‬‬ ‫السالبة من الحل؛ لذا ذ ِّكرهم أن قيم ‪ ،x‬و‪ y‬هنا ُتم ِّثل‬ ‫‪(x − 4)(x − 3) = 0‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺤﻠﻴ ﹺﻞ‬ ‫طول السجادة وعرضها‪.‬‬ ‫‪ x − 3 = 0‬او ‪x − 4 = 0‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴ ﹸﺔ اﻟﻀﺮ ﹺب اﻟﺼﻔﺮ ﱢي‬ ‫‪ x = 3‬او ‪x = 4‬‬ ‫ﺑ ﹶﺤ ﱢﻞ ﻛ ﱢﻞ ﻣﻌﺎدﻟ ﹴﺔ‬ ‫‪14‬‬ ‫‪14‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪1‬‬ ‫إرشاد‪ :‬ذ ِّكر الطلبة بقانون فيثاغورس قبل‬ ‫‪y=7−3‬‬ ‫ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸض ﻗﻴ ﹶﻢ ‪ x‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹺﺔ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻗﻴ ﹺﻢ ‪:y‬‬ ‫البدء بحل التدريب في بند (أتحقق من فهمي)‪.‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪ x = 3‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹺﺔ‬ ‫‪y=4‬‬ ‫ﻗﻴﻤ ﹸﺔ ‪ y‬اﻷوﻟﻰ‬ ‫‪y=7−4‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪ x = 4‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹺﺔ‬ ‫ﻗﻴﻤ ﹸﺔ ‪ y‬اﻟﺜﺎﻧﻴ ﹸﺔ ‪y = 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫إذن‪ ،‬ﹶﺣ ﱡﻞ اﻟﻨﻈﺎ ﹺم ﻫ ﹶﻮ‪ (4, 3) :‬ﹶو )‪.(3, 4‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أ ﱠن ﻃﻮ ﹶل اﻟ ﱠﺴ ﹼﺠﺎد ﹺة أﻛﺒ ﹸﺮ ﻣ ﹾﻦ ﻋﺮ ﹺﺿﻬﺎ‪ ،‬ﻓﺈ ﱠن اﻟﻄﻮ ﹶل ﻫ ﹶﻮ ‪ ،4 m‬واﻟﻌﺮ ﹶض ﻫ ﹶﻮ ‪3 m‬‬ ‫التدريب‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة بند (أتدرب وأحل المسائل)‪ ،‬ثم‬ ‫ﻣﺰرﻋ ﹲﺔ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠ ﹸﺔ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ‪ ،‬ﻃﻮ ﹸل ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ ‪ ،50 m‬وﻣﺤﻴ ﹸﻄﻬﺎ ‪ .140 m‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﹸﺑ ﹾﻌ ﹶﺪ ﹺي اﻟﻤﺰرﻋ ﹺﺔ‪ .‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫اطلب إليهم حل الأسئلة ذوات الأرقام الزوجية من ‪1‬‬ ‫أﺗﺪرب وأﺣﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬ ‫إلى ‪ ،18‬وتابِعهم في هذه الأثناء‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻛ ﹰﹼﻼ ﻣ ﹾﻦ أﻧﻈﻤ ﹺﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹶﺗﺤ ﱠﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ﹺﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ‪:‬‬ ‫ •و ِّزع الطلبة إلى مجموعات غير متجانســة‪ ،‬ثم اطلب‬ ‫‪1 y = x2 + 6x − 3‬‬ ‫‪2 y = x2 + 4x – 2‬‬ ‫‪3 y = x2 + 4‬‬ ‫إليهم حل مسائل مهارات التفكير العليا‪.‬‬ ‫ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﻟﻠﻨﻈﺎم‪x − y = –1 .‬‬ ‫ •تج َّول بين أفــراد المجموعات ُمر ِشــ ًدا و ُمســا ِع ًدا‬ ‫)‪y = 2x – 3 (0, -3), (-4, -11) y + 6 = 0 (-2, -6‬‬ ‫و ُمو ِّج ًها‪ ،‬وق ِّدم لهم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪4 y =x2 + 5x − 1‬‬ ‫‪5 y = x2 + 4x + 7‬‬ ‫‪6 y = x2 − 2x + 4‬‬ ‫ •نا ِقش أفراد المجموعات في حلولها‪.‬‬ ‫)‪y – 3 = 0 (-2, 3‬‬ ‫ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﻟﻠﻨﻈﺎم‪y = x .‬‬ ‫‪2x + 3y = 1(-5.89, 4.26),‬‬ ‫)‪(0.226, 0.18‬‬ ‫‪8 y = x2 + 2x + 1‬‬ ‫‪9 x2 + y2 = 4‬‬ ‫ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﻟﻠﻨﻈﺎم‪x + y = 5 .‬‬ ‫‪7 x2 +y2 = 8‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫)‪(-1, 0‬‬ ‫‪2x + 3y = 7((2-0.7.6838,,20..74576)),‬‬ ‫‪12 (x – 1)2 = 4‬‬ ‫‪11 x2 + (y – 1)2 = 17‬‬ ‫)‪y = 5 – x (3, 2), (-1, 6‬‬ ‫‪10 x2 +y2 = 10‬‬ ‫)‪(1, -3), (1, 5‬‬ ‫تنويع التعليم‪:‬‬ ‫)‪x – y = 2 (-1, -3), (3, 1‬‬ ‫‪x=1‬‬ ‫إذا واجه الطلبة ذوي المســتوى دون المتوسط صعوبة في‬ ‫‪ 13‬ﺑﺮﻛ ﹲﺔ‪ :‬ﺑﺮﻛ ﹸﺔ ﻣﺎ ﹴء ﻗﺎﻋﺪ ﹸﺗﻬﺎ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠ ﹸﺔ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ‪ ،‬وﻣﺤﻴ ﹸﻄﻬﺎ ‪ ،16 m‬واﻟﻔﺮ ﹸق ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﺮ ﱠﺑ ﹶﻌ ﹾﻲ ﹸﺑ ﹾﻌ ﹶﺪ ﹾﻳﻬﺎ ‪ .16 m2‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﹸﺑ ﹾﻌ ﹶﺪ ﹾﻳﻬﺎ‪ .‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫حل الأســئلة في بند (أتدرب وأحل المسائل)‪ ،‬فضع ك ًّل‬ ‫‪ 14‬أﻋﺪا ﹲد‪ :‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻌﺪد ﹾﻳ ﹺﻦ اﻟﻤﻮﺟﺒ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟﻠﺬ ﹾﻳ ﹺﻦ ﻣﺠﻤﻮ ﹸﻋ ﹸﻬﻤﺎ ‪ ،12‬واﻟﻔﺮ ﹸق ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﺮ ﱠﺑ ﹶﻌ ﹾﻴ ﹺﻬﻤﺎ ‪ 24‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫منهم مع طالب آخر من ذوي المســتوى المتوسط وفوق‬ ‫‪ 15‬ﻫﻨﺪﺳ ﹲﺔ‪ :‬داﺋﺮﺗﺎ ﹺن ﻣﺠﻤﻮ ﹸع ﻣﺤﻴ ﹶﻄ ﹾﻴ ﹺﻬﻤﺎ ‪ ،12π cm‬وﻣﺠﻤﻮ ﹸع ﻣﺴﺎﺣ ﹶﺘ ﹾﻴ ﹺﻬﻤﺎ ‪ .20π cm2‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹶﺮ ﻛ ﱟﻞ ﻣﻨﹾ ﹸﻬﻤﺎ‪ .‬اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫المتوسط؛ ليتشاركا في حل الأسئلة‪.‬‬ ‫‪15‬‬ ‫إرشاد‪ :‬ذ ِّكر الطلبة بقانوني محيط الدائرة‪،‬‬ ‫إجابات‪:‬‬ ‫ومساحة الدائرة قبل البدء بحل السؤال ‪.15‬‬ ‫(أتحقق من فهمي ‪ :)4‬افترض أن طول المزرعة هو ‪ ،x‬وأن عرضها هو ‪:y‬‬ ‫  الواجب المنزلي‪:‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة ح ّل مســائل الــدرس جميعها من‬ ‫‪x2 + y2 = 2500‬‬ ‫كتاب التمارين واج ًبا منزل ًّيا‪ ،‬لكن ح ِّد ِد المسائ َل التي‬ ‫‪2x + 2y = 140‬‬ ‫يمكنهم ح ّلها في نهاية كل حصة بحسب ما يت ّم تقديمه‬ ‫)‪⇒ (x, y) = (40, 30‬‬ ‫من أمثلة الدرس وأفكاره‪.‬‬ ‫‪  )13‬افترض أن الطول هو ‪ ، x‬وأن العرض هو ‪:y‬‬ ‫ •يمكــن أيضا إضافة المســائل التي لــم يح ّلها الطلبة‬ ‫‪2x + 2y = 16‬‬ ‫داخل الغرفة الصفية إلى الواجب المنزلي‪.‬‬ ‫‪x2 - y2 = 16‬‬ ‫‪15‬‬ ‫الحل‪(5, 3) :‬‬ ‫‪  )14‬افترض أن العدد الأول هو ‪ ،x‬وأن العدد الثاني هو ‪:y‬‬ ‫‪x + y = 12‬‬ ‫‪x2 - y2 = 24‬‬ ‫الحل‪(7, 5) :‬‬ ‫‪  )15‬قطر الدائره الأولى ‪ ، r1‬قطر الدائره الثانية ‪r2‬‬ ‫‪2πr1 + 2πr2 = 12π‬‬ ‫‪π r12 + πr22 = 24π‬‬ ‫‪r1 = 2, r2 = 4‬‬

‫‪ 16‬أﻋﻤﺎ ﹲر‪ :‬ﻗﺎ ﹶﻟ ﹾﺖ ﺷــﻴﻤﺎ ﹸء‪ » :‬ﹸﻋ ﹾﻤﺮي أﻛﺒ ﹸﺮ ﺑﺄرﺑ ﹺﻊ ﺳــﻨﻮا ﹴت ﻣ ﹾﻦ ﹸﻋ ﹾﻤ ﹺﺮ أﺧﻲ ر ﹼﻳﺎ ﹶن‪ ،‬وﻣﺠﻤﻮ ﹸع ﹸﻣﺮ ﱠﺑ ﹶﻌــ ﹾﻲ ﹸﻋ ﹾﻤ ﹶﺮ ﹾﻳﻨﺎ ﻫ ﹶﻮ ‪ .«346‬ﻣﺎ ﹸﻋ ﹾﻤ ﹸﺮ‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫ﺷﻴﻤﺎ ﹶء؟ اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫ •أشــ ِرك الطلبــة كاف ًة في حــل هذه المســائل؛ لتنمية‬ ‫‪ 17‬ﻟﻮﺣــ ﹲﺔ‪ :‬ﻟﻮﺣ ﹲﺔ ﻣﺴــﺘﻄﻴﻠ ﹸﺔ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ‪ ،‬ﻃﻮ ﹸﻟﻬﺎ ﻳﺴــﺎوي ﹺﻣ ﹾﺜ ﹶﻠ ﹾﻲ‬ ‫مهارات التفكير العليا لديهم‪.‬‬ ‫ﻋﺮ ﹺﺿﻬﺎ‪ ،‬وﻃﻮ ﹸل ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ ‪ ، √1.25 m‬ﹸأﺣﻴ ﹶﻂ ﺑﻬﺎ إﻃﺎ ﹲر‪ ،‬ﺗﻜﻠﻔ ﹸﺔ‬ ‫اﻟﻤﺘ ﹺﺮ اﻟﻤﺮﺑ ﹺﻊ اﻟﻮاﺣ ﹺﺪ ﻣﻨﹾ ﹸﻪ ﺑﺎﻟﺪﻳﻨﺎ ﹺر ‪ . 2.25‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﺗﻜﻠﻔ ﹶﺔ اﻹﻃﺎ ﹺر‪.‬‬ ‫ •تذ َّكــر أنه ليس شــر ًطا أن يتم َّكن الطلبــة كاف ًة من حل‬ ‫المسائل جميعها‪ ،‬ولكن يجب عليهم أن يحاولوا حلها‪،‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫ويمكن التغلــب على ذلك بالطلب إلى الطلبة حل هذه‬ ‫الأســئلة ضمن مجموعات غير متجانسة‪ ،‬وتشجيعهم‬ ‫‪ 18‬زراﻋ ﹲﺔ‪ :‬ﻗ ﱠﺴ ﹶﻢ ﻓﻴﺼ ﹲﻞ ‪ 41m2‬ﻣ ﹾﻦ ﻣﺰرﻋﺘﹺ ﹺﻪ إﻟﻰ ﻣﻨﻄﻘﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣﺮ ﱠﺑﻌ ﹶﺘ ﹺﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ زر ﹶﻋ ﹸﻬﻤﺎ ﺑﻤﺤﺼﻮ ﹶﻟ ﹺﻲ اﻟﻄﻤﺎﻃ ﹺﻢ واﻟﺒﻄﺎﻃﺎ‪ .‬إذا زا ﹶد‬ ‫ﹸﺑ ﹾﻌ ﹸﺪ اﻟﻤﻨﻄﻘ ﹺﺔ اﻟﻤﺰروﻋ ﹺﺔ ﺑﺎﻟﻄﻤﺎﻃ ﹺﻢ ﻣﺘ ﹰﺮا واﺣ ﹰﺪا ﻋﻠﻰ ﹸﺑ ﹾﻌ ﹺﺪ اﻟﻤﻨﻄﻘ ﹺﺔ اﻟﻤﺰروﻋ ﹺﺔ ﺑﺎﻟﺒﻄﺎﻃﺎ‪ ،‬ﻓﻤﺎ ﻣﺴﺎﺣ ﹸﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘ ﹺﺔ اﻟﻤﺰروﻋ ﹺﺔ ﺑﻜ ﱢﻞ‬ ‫على تبرير الحلول التي يتو َّصلون إليها‪.‬‬ ‫ﻣﺤﺼﻮ ﹴل؟ اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫الإثراء‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 24-19‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‪.‬‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻌﻠﻴﺎ‬ ‫ •و ِّجه بعض الطلبة ‪ -‬بعد مناقشــة المثال الرابع‪ -‬إلى‬ ‫البحث في شــبكة الانترنت أو مكتبة المدرســة عن‬ ‫‪ 19‬ﺗﺒﺮﻳ ﹲﺮ‪ :‬ﹸﺻ ﱢﻤ ﹶﻤ ﹾﺖ ﻧﺎﻓﻮر ﹲة ﺑﺼﻮر ﹴة ﻳﺨﺮ ﹸج ﻣﻨﹾﻬﺎ اﻟﻤﺎ ﹸء ﺑﺤﺴ ﹺﺐ اﻟﻌﻼﻗ ﹺﺔ‪ ،y + x2 = 10 :‬إذا ﹸو ﹺﺿ ﹶﻌ ﹾﺖ وﺣﺪ ﹸة إﻧﺎر ﹴة ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴ ﹺﻢ‬ ‫اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟ ﹸﺘ ﹸﻪ‪ ،y = 12 + x :‬ﻓﻬ ﹾﻞ ﻳﺼ ﹸﻞ ﻣﺎ ﹸء اﻟﻨﺎﻓﻮر ﹺة إﻟﻰ وﺣﺪ ﹺة اﻹﻧﺎر ﹺة؟‬ ‫صناعة البسط في التراث الأردني‪ ،‬ثم كتابة تقرير عن‬ ‫‪ 20‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬إذا ﻋﻠ ﹾﻤ ﹸﺖ أ ﱠن اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹶﺔ‪ y = 3x + p :‬ﺗﻘﻄ ﹸﻊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‪ y = 2x2 + 3x −5 :‬ﻓﻲ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ واﺣﺪ ﹴة ﻓﻘ ﹾﻂ‪ ،‬ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤ ﹸﺔ ‪p‬؟‬ ‫ذلك‪ ،‬ثم قراءته في الإذاعة المدرسية‪.‬‬ ‫‪ 21‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬أﺟ ﹸﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋ ﹶﺔ ﺣ ﱢﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨ ﹺﺔ‪ ،5x – 6 < 3x2 – 7x + 2 :‬ﺑﺤ ﱢﻞ ﻧﻈﺎ ﹺم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫ •و ِّجه بعض الطلبة إلى البحث في شــبكة الإنترنت أو‬ ‫‪y = 3x2 – 7x + 2‬‬ ‫مكتبة المدرسة عن تطبيق حياتي على نظام مكون من‬ ‫‪y = 5x – 6‬‬ ‫معادلة خطية وأخرى تربيعية‪ ،‬وحله‪.‬‬ ‫ •ن ِّبه الطلبة إلى ضرورة توثيق مصدر المعلومة دائ ًما‪.‬‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ﹲﺔ ﻣﻔﺘﻮﺣ ﹲﺔ‪ :‬ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ ﺛﻼ ﹶث ﻣﻌﺎدﻻ ﹴت ﺧ ﱢﻄﻴ ﹴﺔ ﹸﺗﻜ ﱢﻮ ﹸن ﻛ ﱞﻞ ﻣﻨﹾﻬﺎ ﻣ ﹶﻊ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ‪ y = x2 :‬ﻧﻈﺎ ﹰﻣﺎ ﹸﻳﺤ ﱢﻘ ﹸﻖ إﺣﺪ￯ اﻟﺤﺎﻻ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫التو ُّسع‪:‬‬ ‫‪ 22‬ﻳﻮﺟ ﹸﺪ ﹶﺣ ﹼﻼ ﹺن ﻟﻠﻨﻈﺎ ﹺم‪.‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة ذوي المستوى المتوسط وفوق المتوسط‬ ‫‪ 23‬ﻳﻮﺟ ﹸﺪ ﹶﺣ ﱞﻞ واﺣ ﹲﺪ ﻟﻠﻨﻈﺎ ﹺم‪.‬‬ ‫إلى حل النظام الآتي‪:‬‬ ‫‪ 24‬ﻻ ﻳﻮﺟ ﹸﺪ ﹶﺣ ﱞﻞ ﻟﻠﻨﻈﺎ ﹺم‪.‬‬ ‫‪x y = 2   y = x + 1‬‬ ‫‪16‬‬ ‫تعليمات المشروع‪:‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى استكمال الخطوة الثانية من المشروع‪،‬‬ ‫إرشاد‪:‬‬ ‫ومحاولة الانتهاء من جمع الصور‪ ،‬وإيجاد معادلات‬ ‫يمكن حل السؤال رقم ‪ 21‬بيان ًّيا بالاستعانة ببرمجية جيوجبرا‪ ،‬وتوضيح منطقة الحل‬ ‫بيان ًّيا (المنطقة التي يقع فيها منحنى المعادلة التربيعية فوق منحنى المعادلة الخطية ‪-‬‬ ‫المنحنيات التي اختاروها من الصور التي اعتمدوها‪.‬‬ ‫الخط المستقيم)‪.‬‬ ‫الختام‬ ‫‪6‬‬ ‫! تنبيه!‬ ‫ •و ِّزع الطلبة إلى مجموعات غير متجانسة‪.‬‬ ‫ •أح ِضــر صندوقين‪ ،‬يحوي الأول ِعــ َّدة بطاقات ُكتِب‬ ‫في السؤال ‪ 17‬نبه الطلبة إلى وجود خطأ في السؤال واطلب إليهم اكتشافه‪ .‬الخطأ هو‬ ‫على كل منهــا معادلة خطيــة‪ ،‬ويحــوي الثاني ِع َّدة‬ ‫كتابة كلمة (المربع) بدل (الطولي)‪ .‬اطلب الى الطلبة تعديلها على كتبهم‪.‬‬ ‫بطاقات ُكتِب على كل منها معادلة تربيعية‪.‬‬ ‫ •اطلب إلى أفراد كل مجموعة تحديد ُمم ِّثل لها؛ ليختار‬ ‫بطاقــة من كل صنــدوق‪ ،‬ثم يحل أفــراد المجموعة‬ ‫النظام المكون من المعادلتين بأسرع وقت ممكن‪.‬‬ ‫ •الفت انتباه أفراد كل مجموعة إلى أنه يمكن لهم إعادة‬ ‫اختيار بطاقة واحدة فقط من أحد الصندوقين في حال‬ ‫حصلوا علــى نظام له عدد لا نهائي مــن الحلول‪ ،‬أو‬ ‫ليس له حل‪.‬‬ ‫‪16‬‬

‫الدرس‬ ‫َﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ٍم ُﻣﻜ ﱠﻮ ٍن ﻣ ْﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺘ ْﻴ ِﻦ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴﺘﻴْ ِﻦ‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪Solving a System of Two Quadratic Equations‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫  فكر ُة الدر ِس‬ ‫ﹶﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ﹴم ﹸﻣﻜ ﱠﻮ ﹴن ﻣ ﹾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺑ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴﺮ ﹾﻳ ﹺﻦ‪.‬‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﺪر ِس‬ ‫ •حل نظام مكون من معادلتين تربيعيتين بمتغيرين‪.‬‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ُﺔ اﻟﻴﻮ ِم‬ ‫ •تعرف عدد الحلول الممكنة لنظام مكون من معادلتين‬ ‫اﺳﺘﻌﻤ ﹶﻞ ﺧﺒﻴ ﹸﺮ ﺗﺴــﻮﻳ ﹴﻖ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻵﺗﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻟﺘﻤﺜﻴ ﹺﻞ ﻣﻘﺪا ﹺر‬ ‫ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻌﺮ ﹺض واﻟﻄﻠ ﹺﺐ ﻟﺴــﻠﻌ ﹴﺔ ﺗﺠﺎرﻳ ﹴﺔ؛ ﹸﺑ ﹾﻐ ﹶﻴ ﹶﺔ ﺗﺤﺪﻳ ﹺﺪ ﻧﻘﺎ ﹺط اﻟﺘﻮاز ﹺن‬ ‫تربيعيتين‪.‬‬ ‫اﻟﺘﻲ ﻳﺘﺴــﺎو￯ ﻋﻨ ﹶﺪﻫﺎ اﻟﻌﺮ ﹸض ﻣ ﹶﻊ اﻟﻄﻠ ﹺﺐ ﻓﻲ اﻟﺴــﻮ ﹺق‪ ،‬ﺣﻴ ﹸﺚ ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ‬ ‫ •حل مسائل رياضية وحياتية على أنظمة المعادلات‪.‬‬ ‫‪ x‬ﺳــﻌ ﹶﺮ اﻟﻮﺣﺪ ﹺة‪ ،‬و ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ‪ y‬ﻋــﺪ ﹶد اﻟﻮﺣﺪا ﹺت اﻟﻤﺒﻴﻌ ﹺﺔ‪ .‬ﻫــ ﹾﻞ ﹸﻳﻤ ﹺﻜﻨﹸﻨﻲ‬ ‫التعلم القبلي‪:‬‬ ‫ﻣﺴﺎﻋﺪ ﹸة اﻟﺨﺒﻴ ﹺﺮ ﻋﻠﻰ ﺗﺤﺪﻳ ﹺﺪ ﻧﻘﺎ ﹺط اﻟﺘﻮاز ﹺن؟‬ ‫ •حل نظام مكون من معادلتين خطيتين‪.‬‬ ‫ •حل معادلة تربيعية بالقانون العام والتحليل‪.‬‬ ‫‪y = x2 + 6x‬‬ ‫ •حل نظام مكون من معادلة خطية ومعادلة تربيعية‪.‬‬ ‫‪y = –x2 + 24x‬‬ ‫ﻟﹺ ﹶﺤــ ﱢﻞ ﻧﻈﺎ ﹴم ﻳﺘﻜ ﱠﻮ ﹸن ﻣ ﹾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﹸﺗﺴــﺎو￯ أو ﹰﹼﻻ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘــﺎ ﹺن ﺑﻌ ﹸﻀ ﹸﻬﻤﺎ ﺑﺒﻌ ﹴﺾ ﻟﺘﻜﻮﻳ ﹺﻦ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟ ﹴﺔ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴ ﹴﺔ واﺣﺪ ﹴة‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ﹶم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗ ﹶﻲ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹶﺗﺤ ﱠﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ﹺﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y = x2 + 4x – 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y = –x2 + 2x – 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻋﻨ ﹶﺪ ﺗﻤﺜﻴ ﹺﻞ ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺘ ﹺﻲ اﻟﻨﻈﺎ ﹺم ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴــﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ ﻧﻔ ﹺﺴ ﹺﻪ‪ ،‬ﹸﻳﻼ ﹶﺣ ﹸﻆ أ ﱠن ﻣﻨﺤﻨﻴ ﹾﻴ ﹺﻬﻤﺎ ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎ ﹺن ﻓﻲ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪12345‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪x2+‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫–‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫ﻧﻘﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر؛ ﻣﺎ ﻳﻌﻨﻲ أ ﱠن ﻟﻠﻨﻈﺎ ﹺم ﹶﺣ ﱠﻠ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ .‬أ ﹶﺗﺤ ﱠﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ذﻟ ﹶﻚ ﺟﺒﺮ ﹼﹰﻳﺎ‪.‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫التهيئة‬ ‫ﺑﺪاﻳ ﹰﺔ‪ ،‬ﻳﺠ ﹸﺐ ﻣﺴﺎوا ﹸة ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺘ ﹺﻲ اﻟﻨﻈﺎ ﹺم اﻟﻤﻌﻄﻰ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ اﻟﻨﺎﺗﺠ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫‪-7 y = –x2 + 2x – 3‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪x2 + 4x – 3 = –x2 + 2x – 3‬‬ ‫ﺑﻤﺴﺎوا ﹺة اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫‪-9‬‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبة بمفهوم كل من‪ :‬نظام المعادلات (‪system‬‬ ‫‪2x2 + 2x = 0‬‬ ‫ﺑﺠﻤ ﹺﻊ اﻟﺤﺪو ﹺد اﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬ ﹺﺔ‪ ،‬واﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫َأﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫‪ ،)of equations‬وحــل النظــام‪ ،‬ثــم ذكرهم بعدد‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜﻨﹸﻨــﻲ ﹶﺣــ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟــ ﹺﺔ‬ ‫الحلول التي يمكــن إيجادها عند حل نظام مكون من‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹶﺔ اﻟﻨﺎﺗﺠ ﹶﺔ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻟﺘﺤﻠﻴ ﹺﻞ‪:‬‬ ‫اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ اﻟﻨﺎﺗﺠ ﹺﺔ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل‬ ‫معادلتين خطيتين بيان ًّيا‪ ،‬وارتباطها بوضع المستقيمين‬ ‫في المستوى الإحداثي (حل واحد في حالة التقاطع‪،‬‬ ‫‪2x (x + 1) = 0‬‬ ‫ﺑﺘﺤﻠﻴ ﹺﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ اﻟﻨﺎﺗﺠ ﹺﺔ‬ ‫اﻟﻘﺎﻧﻮ ﹺن اﻟﻌﺎ ﱢم أﻳ ﹰﻀﺎ‪.‬‬ ‫وعدم وجود حلول في حالة التوازي‪ ،‬وعدد لا نهائي‬ ‫من الحلول في حالة تطابق المســتقيمين)‪ .‬ثم ذكرهم‬ ‫‪ x = 0‬ﹶو ‪x = –1‬‬ ‫ﹶﺣ ﹼﻼ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‬ ‫بعدد الحلــول الممكنة في حالة النظــام المكون من‬ ‫معادلــة تربيعية وأخرى خطية (عــدم وجود حل‪ ،‬أو‬ ‫ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪ ، y‬ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸض ﻗﻴﻤ ﹶﺘ ﹾﻲ ‪ x‬ﻓﻲ أ ﱟي ﻣ ﹾﻦ ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺘ ﹺﻲ اﻟﻨﻈﺎ ﹺم‪:‬‬ ‫وجــود حل واحــد‪ ،‬أو وجود حلين)‪ ،‬وارســم على‬ ‫‪17‬‬ ‫اللوح تمثيلات تقريبية ُتو ِّضح الحالات الثلاث‪.‬‬ ‫ •اطلب إلى أحــد الطلبة كتابــة معادلــة تربيعية على‬ ‫السبورة‪ ،‬ثم اكتب المعادلة ‪ x2 + y2 = 9‬ووضح لهم‬ ‫أنه تكون لدينا نظام من معادلتين‪ ،‬واسألهم‪:‬‬ ‫ »ما اســم نظــام المعــادلات الــذي أمامكم على‬ ‫السبورة؟‬ ‫ »كيف يمكن حله باعتقادكم؟‬ ‫ •اســتمع لإجابات أكبر عدد من الطلبة‪ ،‬واســألهم دائما‪:‬‬ ‫من يؤيد الإجابة؟ لماذا؟ من لديه إجابة أخرى؟ اذكرها‪.‬‬ ‫وذلــك لتعزيز مهارات التواصل واحتــرام الرأي والرأي‬ ‫الآخر لديهم‪ .‬ثم وضح لهم أنهم سيتعرفون على حل مثل‬ ‫هذا النظام في هذا الدرس‪ ،‬واكتب عنوانه على السبورة‪.‬‬ ‫‪17‬‬

‫ملاحظات المعلم‬ ‫الاستكشاف‬ ‫‪2‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة (مسألة اليوم) الواردة في بداية الدرس (امنحهم دقيقة أو دقيقتين لذلك)‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •اكتب على اللوح المعادلتين الواردتين في المسألة‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •اسأل الطلبة‪ :‬ما نوع المعادلات في هذا النظام؟‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •ثم اسألهم‪ :‬كيف يمكن حل هذا النظام؟‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •استمع لإجابات الطلبة من دون تقديم تغذية راجعة لهم‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫تعزيز اللغة ودعمها‪:‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫كرر المصطلحات الرياضية المســتخدمة في الدرس باللغتين العربية والإنجليزية‪ ،‬وشجع الطلبة على‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫استعمالها‪.‬‬ ‫التدريس‬ ‫‪3‬‬ ‫ •اطرح السؤال الآتي على الطلبة‪:‬‬ ‫ »عندمــا يتكون نظام المعــادلات المراد ح ّلــه من معادلتيــن تربيعيتيــن ‪two quadratic‬‬ ‫– ‪ equations‬مثــل الحالة التي في مســألة اليوم – ما عدد الحلــول التي يمكنك الحصول‬ ‫عليها؟ لماذا؟‬ ‫ •امنــح الطلبة بعض الوقت لتقديم إجاباتهم وتبريرهــا‪ .‬وإذا أجاب أحدهم إجابة معينة ولتكن (‬ ‫ح ّلين) اطلب إليه توضيح إجابته بتمثيل بياني تقريبي‪.‬‬ ‫ •وضح للطلبــة أن إيجاد إحداثيي نقاط التقاطع ‪-‬إن وجدت‪ -‬بالطرق الجبرية هو ما ســيتعلموه‬ ‫في هذا الــدرس‪ ،‬وأن إحداثيات نقاط التقاطــع ‪ intersection points‬هي (الحلول الممكنة‬ ‫للنظام)‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •ناقــش حل المثال الذي يوضح طريقة حل نظام من معادلتين تربيعيتين لهما حلان مختلفان على‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫السبورة مراعيا تبرير كل خطوة‪.‬‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫ •ن ّبه الطلبة بعد خطوة مســاواة المعادلتين م ًعا إلى أهمية جعل الطرف الأيمن من المعادلة يساوي‬ ‫���������������������������������������������‬ ‫صف ًرا وتجميع الحدود المتشــابهة في الطرف الأيسر منها (أو العكس) ليتمكن من حل المعادلة‬ ‫التربيعية‪ ،‬أ ّكد أنه لا فرق بين جعل الطرف الأيمن أو الأيسر من المعادلة يساوي صف ًرا‪.‬‬ ‫ •ذ ّكــر الطلبة بإخــراج العامل المشــترك ‪ common factor‬كطريقة لتحليــل المقادير الجبرية‬ ‫‪. algebraic expressions‬‬ ‫ •أكد أنه يوجد للنظام ح ّلين من خلال التمثيل البياني الموجود في كتاب الطالب وأ ّشر إلى الحلول‬ ‫على التمثيل البياني (يمكن رسم شكل تقريبي على السبورة)‪.‬‬ ‫‪17A‬‬

‫ التقويم التكويني‪:‬‬ ‫اﻟﺤﺎﻟ ﹸﺔ اﻷوﻟﻰ‪ :‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ‪:x = 0‬‬ ‫ •اطلب إلــى الطلبة حل التدريب فــي بند (أتحقق من‬ ‫‪y = – (0) 2 + 2(0) – 3‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪ x = 0‬ﻓﻲ إﺣﺪ￯ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫فهمي) بعد كل مثال (فرد ًّيا‪ ،‬أو ضمن مجموعات غير‬ ‫‪y = –3‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫متجانسة)‪.‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬اﻟ ﹶﺤ ﱡﻞ اﻷو ﹸل ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﻫ ﹶﻮ‪.(x, y) = (0, –3) :‬‬ ‫ •اختر بعض الإجابات التي تحــوي أخطاء مفاهيمية‪،‬‬ ‫ثم نا ِقشــها على اللوح‪ ،‬ولا تذكر اســم َم ْن أخطأ في‬ ‫اﻟﺤﺎﻟ ﹸﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴ ﹸﺔ‪ :‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ‪:x = –1‬‬ ‫الإجابة؛ تجن ًبا لإحراجه‪.‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪ x = –1‬ﻓﻲ إﺣﺪ￯ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪y = –(–1) 2 + 2(–1) –3‬‬ ‫! أخطاء شائعة‪:‬‬ ‫‪y = –6‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫إرﺷﺎ ٌد‬ ‫ﻟﹺﻠﺘﺤ ﱡﻘ ﹺﻖ ﻣ ﹾﻦ ﹺﺻ ﱠﺤــ ﹺﺔ اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ‪،‬‬ ‫فــي تدريب (أتحقق مــن فهمي) قــد يواجه بعض‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬اﻟ ﹶﺤ ﱡﻞ اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﻫ ﹶﻮ‪. (x, y) = (-1, –6) :‬‬ ‫ﹸأﻋــ ﱢﻮ ﹸض ﻗﻴﻤ ﹶﺘــ ﹾﻲ ‪ x‬ﹶو ‪y‬‬ ‫الطلبــة صعوبات في جعــل أحد طرفــي المعادلة‬ ‫ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹾﻦ ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺘ ﹺﻲ اﻟﻨﻈﺎ ﹺم‪.‬‬ ‫يساوي صف ًرا‪ ،‬فيحذفون ‪-‬مث ًل‪ x2 -‬و ‪-x2‬؛ لذا أ ِّكد‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﺣ ﱡﻞ اﻟﻨﻈﺎ ﹺم ﻫ ﹶﻮ‪.(–1 , –6) , (0 , –3) :‬‬ ‫باستمرار وجوب إضافة النظير الجمعي إلى الحدود‬ ‫ﹸﺗﺠﺮ￯ ﺳﺒﺎﻗﺎ ﹸت اﻟﻤﺮاﺣ ﹺﻞ ﻋﻠﻰ‬ ‫)‪(1, 0), (-3, 0‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ﻣــﺪا ﹺر أﻳﺎ ﹴم‪ ،‬وﻫــ ﹶﻲ ﺗﻘﺎ ﹸم ﻋﻠﻰ‬ ‫في طرفي المعادلة‪.‬‬ ‫ﻣﺴــﺎرا ﹴت ﻣﺘﻨﻮﻋ ﹴﺔ ﻣ ﹾﻦ ﺣﻴ ﹸﺚ‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ﹶم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗ ﹶﻲ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹶﺗﺤ ﱠﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ﹺﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ‪:‬‬ ‫اﻟﺘﻀﺎرﻳــ ﹸﺲ‪ ،‬ﻣﺜــ ﹺﻞ‪ :‬اﻟﻄﺮ ﹺق‬ ‫ مثال ‪ :2‬من الحياة‬ ‫اﻟ ﹸﻤﻨﺒ ﹺﺴﻄ ﹺﺔ‪ ،‬واﻟﻄﺮ ﹺق اﻟﺠﺒﻠﻴ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫‪y = -x2 –2x + 3‬‬ ‫ •اسأل الطلبة‪:‬‬ ‫ »أيكم يركب د ّراجة؟‬ ‫‪y = x2 + 2x –3‬‬ ‫ »ماذا تعرفون عن سباقات المراحل؟‬ ‫ •استمع لإجابات أكبر عدد من الطلبة‪ ،‬وش ِّجعهم على‬ ‫ﻗــ ﹾﺪ ﻳﺘﻘﺎﻃ ﹸﻊ ﻣﻨﺤﻨﻴﺎ ﻣﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓﻲ ﻧﻘﻄ ﹴﺔ واﺣﺪ ﹴة ﻓﻘــ ﹾﻂ‪ ،‬وﻋﻨﺪﺋ ﹴﺬ ﻳﻜﻮ ﹸن ﻟﻨﻈﺎ ﹺم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت‬ ‫الحديث عــن تجاربهم الشــخصية؛ لتعزيز مهارات‬ ‫اﻟﺬي ﹸﺗﻜ ﱢﻮ ﹸﻧ ﹸﻪ ﻫﺎﺗﺎ ﹺن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﺎ ﹺن ﹶﺣ ﱞﻞ وا ﹺﺣ ﹲﺪ‪.‬‬ ‫التواصل‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :2‬ﻣﻦ اﻟﺤﻴﺎة‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في مسألة الســباقات الواردة في المثال‪،‬‬ ‫ُمؤ ِّك ًدا أن تطبيقات أنظمة المعادلات التربيعية متعددة‬ ‫ﺳﺒﺎﻗﺎ ﹲت‪ :‬ﻓﻲ أﺣ ﹺﺪ ﺳــﺒﺎﻗﺎ ﹺت اﻟﻤﺮاﺣ ﹺﻞ‪ ،‬ﺳﻠ ﹶﻚ ﹸﻣﺘﺴﺎﺑﹺ ﹲﻖ ﻣﺴــﺎ ﹰرا ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻠ ﹸﻪ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹸﺔ‪y = x2 :‬‬ ‫في حياتنا‪.‬‬ ‫ﻓﻲ ﺣﻴ ﹺﻦ ﺳــﻠ ﹶﻚ ﹸﻣﺘﺴﺎﺑﹺ ﹲﻖ آﺧ ﹸﺮ ﻣﺴــﺎ ﹰرا ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻠ ﹸﻪ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ‪ .y = x2 + 3x –2 :‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻧﻘﻄ ﹶﺔ اﻟﺘﻘﺎﻃ ﹺﻊ ﺑﻴ ﹶﻦ‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حل المثال الذي يعرض حل نظام من‬ ‫ﻣﺴﺎ ﹶر ﹺي اﻟ ﹸﻤﺘﺴﺎﺑﹺﻘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪.‬‬ ‫معادلتين تربيعيتين له حل واحد‪.‬‬ ‫ •ن ِّبه الطلبة ‪ -‬بعد خطوة مســاواة المعادلتين م ًعا‪ -‬إلى‬ ‫‪y = x2 + 3x – 2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﻋﻨ ﹶﺪ ﺗﻤﺜﻴ ﹺﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺑﻴﺎﻧ ﹼﹰﻴﺎ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ‬ ‫إمكانيــة التخ ُّلص من الحد ‪ x2‬مــن الطرفين (بإضافة‬ ‫‪5 y = x2‬‬ ‫اﻟﻤﺠــﺎو ﹺر‪ ،‬ﹸﻳﻼ ﹶﺣ ﹸﻆ وﺟﻮ ﹸد ﻧﻘﻄ ﹺﺔ ﺗﻘﺎﻃ ﹴﻊ واﺣﺪ ﹴة‬ ‫النظير الجمعي)‪ ،‬ثم تجميع الحدود التي تحوي ‪ x‬في‬ ‫ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﻨﺤﻨﻴ ﹾﻴ ﹺﻬﻤﺎ؛ ﻣﺎ ﻳﻌﻨﻲ أ ﱠن ﻟﻨﻈﺎ ﹺم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت‬ ‫‪4‬‬ ‫الطرف الأيسر‪ ،‬ثم اسألهم‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﹶﺣ ﹰﹼﻼ واﺣ ﹰﺪا‪ .‬أ ﹶﺗﺤ ﱠﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ذﻟ ﹶﻚ ﺟﺒﺮ ﹰﹼﻳﺎ‪.‬‬ ‫ »كم عدد حلول النظــام؟ لماذا؟ عدد حلول النظام‬ ‫‪2‬‬ ‫هو حل واحد؛ لأنه ينتج من المعادلة الخطية حل‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺑﺪاﻳ ﹰﺔ‪ ،‬ﻳﺠ ﹸﺐ ﻣﺴﺎوا ﹸة ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺘ ﹺﻲ اﻟﻨﻈﺎ ﹺم اﻟﻤﻌﻄﻰ‪،‬‬ ‫ﺛ ﱠﻢ ﹶﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ اﻟﻨﺎﺗﺠ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫واحد فقط‪.‬‬ ‫‪-5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪12345‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ •اســتعمل التمثيل البياني الموجود في كتاب الطالب‬ ‫‪-1‬‬ ‫للتح ُّقق مــن صحة الحل‪ ،‬وتأكيــد وجود حل واحد‬ ‫للنظام‪ ،‬ثــم اكتب الحل في صــورة زوج مرتب عند‬ ‫‪-2‬‬ ‫نقطــة التقاطع (يمكنك رســم منحنيــي المعادلتين‬ ‫‪-3‬‬ ‫بصورة تقريبية على اللوح)‪.‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪18‬‬ ‫إرشاد‪ :‬قد يتساءل بعض الطلبة عن سبب وجود مسارين مختلفين‬ ‫في مسألة السباقات؛ لذا أخبِرهم أن ذلك لا يعني بالضرورة اختلاف‬ ‫المسافة التي يقطعها كل متسابق‪.‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪1‬‬ ‫‪x2 + 3x – 2 = x2‬‬ ‫ﺑﻤﺴﺎوا ﹺة اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫‪x2 + 3x – 2 - x2 = 0‬‬ ‫ﺑﻄﺮ ﹺح ‪ x2‬ﻣ ﹾﻦ ﻛﻼ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫إرشادات عامة‪:‬‬ ‫‪3x – 2 = 0‬‬ ‫ﺑﺠﻤ ﹺﻊ اﻟﺤﺪو ﹺد اﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬ ﹺﺔ‪ ،‬واﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫ •أ ِّكد دائ ًما أهمية التح ُّقق من صحة الحل‪.‬‬ ‫ •أ ِّكد علــى عدد حلول النظام الناتجة في كل مرة‪،‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫واربط ذلك بالخطوة المناسبة من خطوات الحل‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻗﻴﻤ ﹺﺔ‬ ‫الجبري‪.‬‬ ‫اﻟﻨﻈﺎ ﹺم‪:‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺘ ﹺﻲ‬ ‫ﻣ ﹾﻦ‬ ‫أ ﱟي‬ ‫‪ x‬ﻓﻲ‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫‪ ،y‬وذﻟ ﹶﻚ‬ ‫ﻗﻴﻤ ﹶﺔ‬ ‫ﹶأﺟ ﹸﺪ‬ ‫ﺑﻌ ﹶﺪ ذﻟ ﹶﻚ‬ ‫مثال ‪3‬‬ ‫= ‪( ) ( )y‬‬‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪–2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻗﻴﻤ ﹺﺔ‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ •ب ِّين للطلبة عدد الحلول التي نوقشــت في المثالين‪1،‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ 2‬واســألهم هل تتوقعون وجود حالات أخرى لعدد‬ ‫الحلول الممكنة لنظام مكون من معادلتين تربيعيتين؟‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫ •اســتمع لإجابات الطلبة ووضح لهم مع الرسم على‬ ‫‪9‬‬ ‫الســبورة الحالات الخمس التــي ُتم ِّثل عدد الحلول‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﹶﺣــ ﱡﻞ ﻧﻈــﺎ ﹺم اﻟﻤﻌــﺎدﻻ ﹺت ﻫــ ﹶﻮ‪:‬‬ ‫الممكنة (‪ ،)possible solutions‬وهي تتراوح بين‬ ‫= ‪ ،x‬وﻧﻘﻄــ ﹸﺔ ﺗﻘﺎﻃــ ﹺﻊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻴ ﹾﻴــ ﹺﻦ ﻫــ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫‪( 0‬لا تقاطع)‪ ،‬و ‪( 4‬أربع نقاط تقاطع)‪ ،‬مثل الحالات‬ ‫(‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‬ ‫في الشكل الآتي‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫     ‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫  ‬ ‫ﹸﺗﻤ ﱢﺜــ ﹸﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟــ ﹸﺔ‪ y = x2 + 2x :‬ﻣﺴــﺎ ﹶر ﹸﻣﺘﺰ ﱢﻟــ ﹴﺞ ﻋﻠــﻰ اﻟﺠﻠﻴ ﹺﺪ‪ ،‬ﻓﻲ ﺣﻴــ ﹺﻦ ﹸﺗﻤ ﱢﺜــ ﹸﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ‪:‬‬ ‫رﻳﺎﺿــ ﹸﺔ اﻟﺘﺰ ﱡﻟ ﹺﺞ ﻫــ ﹶﻲ إﺣﺪ￯‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة رسم تمثيلات تقريبية غير تلك التي‬ ‫أﺳــﺮ ﹺع اﻟ ﱢﺮﻳﺎﺿﺎ ﹺت ﻏﻴ ﹺﺮ اﻵﻟﻴ ﹺﺔ؛‬ ‫ُع ِرضت عليهــم للحالات المختلفة لعــدد الحلول‬ ‫‪ y = x2 – x + 5‬ﻣﺴﺎ ﹶر ﹸﻣﺘﺰ ﱢﻟ ﹴﺞ آﺧ ﹶﺮ‪ .‬ﹶأﺑﺤ ﹸﺚ ﻋ ﹾﻦ ﺟﻤﻴ ﹺﻊ اﻟﻨﻘﺎ ﹺط اﻟﺘﻲ ﻗ ﹾﺪ ﻳﺼﻄﺪ ﹸم ﻋﻨ ﹶﺪﻫﺎ اﻟ ﹸﻤﺘﺰ ﱢﻟﺠﺎ ﹺن‬ ‫ﻓﻘ ﹾﺪ ﺗﺼ ﹸﻞ ﺳﺮﻋ ﹸﺔ اﻟ ﹸﻤﺘﺰ ﱢﻟ ﹺﺞ إﻟﻰ‬ ‫الممكنة لنظام مكون من معادلتين تربيعيتين‪.‬‬ ‫‪( )5 , 55‬‬ ‫إذا ﻟ ﹾﻢ ﻳﻜﻮﻧﺎ ﺣﺬر ﹾﻳ ﹺﻦ‪.‬‬ ‫‪200 km/h‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حل المثال الثالث الذي يعرض نظا ًما‬ ‫‪39‬‬ ‫من معادلتين تربيعيتين ليس له حل حقيقي‪.‬‬ ‫ﻋﺮ ﹾﺿﻨﺎ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﺎﻟ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟﺴﺎﺑﻘ ﹾﻴ ﹺﻦ أﻧﻈﻤ ﹶﺔ ﻣﻌﺎدﻻ ﹴت ﺗﺮﺑﻴﻌﻴ ﹴﺔ ﻟﻬﺎ ﹶﺣ ﹼﻼ ﹺن ﹶأ ﹾو ﹶﺣ ﱞﻞ واﺣ ﹲﺪ‪ .‬وﻟﻜ ﹾﻦ‪ ،‬ﻫ ﹾﻞ ﻳﻮﺟ ﹸﺪ‬ ‫ •الفت انتباه الطلبة إلى أهميــة اختبار المميز للمعادلة‬ ‫داﺋ ﹰﻤﺎ ﹶﺣ ﱞﻞ ﻟﻠﻨﻈﺎ ﹺم اﻟ ﹸﻤﻜ ﱠﻮ ﹺن ﻣ ﹾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ؟ ﹶأدر ﹸس اﻟﻤﺜﺎ ﹶل اﻵﺗ ﹶﻲ‪.‬‬ ‫التربيعية الناتجة‪ ،‬وذ ِّكرهم أنه إذا كان المميز أقل من‬ ‫صفر‪ ،‬فإنه لا توجد حلول حقيقية للمعادلة التربيعية؛‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪3‬‬ ‫ما يعني عدم وجود حل لنظام المعادلات التربيعية‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ﹶم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫ •للتح ُّقق من صحة الحل‪ ،‬استعمل التمثيل البياني‬ ‫الموجود في كتاب الطالب‪.‬‬ ‫‪y = x2 + x + 2‬‬ ‫(يمكنك رسم شكل تقريبي على اللوح)‪.‬‬ ‫‪y = – x2 – x + 1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪19‬‬ ‫ﻋﻨ ﹶﺪ ﺗﻤﺜﻴــ ﹺﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺑﻴﺎﻧ ﹼﹰﻴﺎ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‪ ،‬ﹸﻳﻼ ﹶﺣ ﹸﻆ ﻋﺪ ﹸم وﺟــﻮ ﹺد ﻧﻘﺎ ﹺط ﺗﻘﺎﻃ ﹴﻊ ﺑﻴ ﹶﻦ‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻴ ﹾﻴ ﹺﻬﻤﺎ؛ ﻣﺎ ﻳﻌﻨﻲ ﻋﺪ ﹶم وﺟﻮ ﹺد ﹶﺣ ﱟﻞ ﻟﻨﻈﺎ ﹺم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت‪ .‬أ ﹶﺗﺤ ﱠﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ذﻟ ﹶﻚ ﺟﺒﺮ ﹰﹼﻳﺎ‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺑﺪاﻳ ﹰﺔ‪ ،‬ﻳﺠ ﹸﺐ ﻣﺴﺎوا ﹸة ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺘ ﹺﻲ اﻟﻨﻈﺎ ﹺم اﻟﻤﻌﻄﻰ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ اﻟﻨﺎﺗﺠ ﹺﺔ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪:x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 y = x2 + x +2‬‬ ‫‪1 y = –x2 – x + 1‬‬ ‫‪x2 + x + 2 = –x2 – x + 1‬‬ ‫ﺑﻤﺴﺎوا ﹺة اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫‪-3 -2 -1 0‬‬ ‫‪12345‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪2x2 + 2x + 1 = 0‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪19‬‬

‫إرشاد‪:‬‬ ‫ﺑﻌ ﹶﺪ ذﻟ ﹶﻚ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ اﻟ ﹸﻤﻤ ﱠﻴ ﹺﺰ ‪ ∆ = b2 – 4ac‬ﻟﺘﺤﺪﻳ ﹺﺪ إذا ﻛﺎ ﹶن ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ اﻟﻨﺎﺗﺠ ﹺﺔ ﹶﺣ ﱞﻞ أ ﹾم ﻻ‪.‬‬ ‫َأﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫ •في المثال ‪ ،3‬أ ِّكد ضرورة إيجاد قيمة المميز كلما‬ ‫ﻗﻴ ﹸﻢ اﻟﻤﻌﺎﻣﻼ ﹺت ﻫﻲ‪ .a = 2, b = 2, c = 1 :‬وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻓﻲ اﻟ ﹸﻤﻤ ﱠﻴ ﹺﺰ ﻳﻨﺘ ﹸﺞ‪:‬‬ ‫ﻳﻌﺘﻤ ﹸﺪ ﻋﺪ ﹸد ﺟﺬو ﹺر اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‬ ‫نتج من مساواة معادلتي النظام معادلة تربيعية في‬ ‫وأﻧﻮا ﹸﻋﻬﺎ ﻋﻠــﻰ ﻗﻴﻤ ﹺﺔ اﻟ ﹸﻤﻤ ﱢﻴ ﹺﺰ‬ ‫الصورة الآتية‪ ax2 + bx + c = 0 :‬؛ للتأ ُّكد أن‬ ‫‪∆ = (2)2 – 4(2)(1) = – 4‬‬ ‫ﻗﻴﻤ ﹸﺔ اﻟ ﹸﻤﻤ ﱠﻴ ﹺﺰ ﺳﺎﻟﺒ ﹲﺔ‪ .‬إذ ﹾن‪ ،‬ﻻ ﻳﻮﺟ ﹸﺪ ﹶﺣ ﱞﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‪ .‬وﻣﻨ ﹸﻪ ﻻ ﻳﻮﺟ ﹸﺪ ﹶﺣ ﱞﻞ ﻟﻬﺬا اﻟﻨﻈﺎ ﹺم‪.‬‬ ‫اﻟﺬي ﹸﻳﺮ ﹶﻣ ﹸﺰ إﻟﻴ ﹺﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣ ﹺﺰ )∆(‪،‬‬ ‫المعادلة التربيعية ليس لها حلول حقيقية‪.‬‬ ‫ •للتح ُّقق من صحة الحل‪ ،‬اطلب إلى الطلبة تمثيل‬ ‫ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﻟﻠﻨﻈﺎم‪.‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ﺣﻴ ﹸﺚ‪:‬‬ ‫منحنيي معادلتي النظام بيان ًّيا باســتخدام برمجية‬ ‫‪y = x2 + 4‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ﹶم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫‪∆ = b2 – 4ac‬‬ ‫جيوجبرا‪.‬‬ ‫‪y = – x2 + 2‬‬ ‫مثال ‪4‬‬ ‫ﻋﺮ ﹾﺿﻨﺎ ﻓﻲ اﻷﻣﺜﻠ ﹺﺔ اﻟﺴــﺎﺑﻘ ﹺﺔ أﻧﻈﻤ ﹰﺔ ﻟﻬﺎ ﹶﺣ ﹼﻼ ﹺن‪ ،‬أ ﹾو ﹶﺣ ﱞﻞ واﺣ ﹲﺪ‪ ،‬أ ﹾو ﻟﻴ ﹶﺲ ﻟﻬﺎ ﹶﺣ ﱞﻞ‪ .‬وﻟﻜ ﹾﻦ‪ ،‬ﻫ ﹾﻞ ﻳﻮﺟ ﹸﺪ‬ ‫ﻧﻈﺎ ﹲم ﹸﻣﻜ ﱠﻮ ﹲن ﻣ ﹾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﻟ ﹸﻪ ﺛﻼﺛ ﹸﺔ ﺣﻠﻮ ﹴل‪ ،‬أ ﹾو أرﺑﻌ ﹲﺔ؟ ﹶأدر ﹸس اﻟﻤﺜﺎ ﹶل اﻵﺗ ﹶﻲ‪.‬‬ ‫ •يحتوي نظام المعادلات في المثال الرابع على معادلتين‬ ‫تربيعيتيــن‪ :‬الأولى ُتم ِّثــل معادلة دائــرة (‪،)circle‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪4‬‬ ‫والثانية ُتم ِّثــل معادلة قطع مكافئ )‪ ،(Parabola‬وله‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ﹶم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ اﻵﺗ ﹶﻲ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹶﺗﺤ ﱠﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ﹺﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ‪:‬‬ ‫أربعة حلول مختلفة‪.‬‬ ‫ •أخبِر الطلبــة أنه يمكن حل النظام باســتعمال طريقة‬ ‫‪x2 + y2 = 13‬‬ ‫الحذف(‪ ، )elimination‬ثم اسألهم‪:‬‬ ‫‪x2 – y = 7‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ »أيهما أفضل‪ :‬حذف المتغير ‪ x‬أم المتغير ‪y‬؟ لماذا؟‬ ‫ﻋﻨــ ﹶﺪ ﺗﻤﺜﻴــ ﹺﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺑﻴﺎﻧ ﹼﹰﻴﺎ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠــﺎو ﹺر‪ ،‬ﹸﻳﻼ ﹶﺣ ﹸﻆ وﺟﻮ ﹸد ‪ 4‬ﻧﻘــﺎ ﹺط ﺗﻘﺎﻃ ﹴﻊ ﺑﻴ ﹶﻦ‬ ‫‪4 x2 + y2 = 13‬‬ ‫ »لماذا لا يمكن التخ ُّلص من المتغير ‪ y‬؟‬ ‫ •نا ِقــش الطلبة في حل المثال على اللوح‪ ،‬وشــ ِّجعهم‬ ‫‪3‬‬ ‫على تبرير كل خطوة تقوم بها‪.‬‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻴ ﹾﻴ ﹺﻬﻤﺎ؛ ﻣﺎ ﻳﻌﻨﻲ وﺟﻮ ﹶد أرﺑﻌ ﹺﺔ ﺣﻠﻮ ﹴل ﻟﻨﻈﺎ ﹺم اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ .‬أ ﹶﺗﺤ ﱠﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ذﻟ ﹶﻚ ﺟﺒﺮ ﹼﹰﻳﺎ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ • ُح َّل المعادلة التربيعية بالتحليل إلى العوامل‪ ،‬ثم اسأل‬ ‫‪1‬‬ ‫الطلبة‪:‬‬ ‫ »كيف يمكــن التح ُّقق من قابلية المعادلة للتحليل؟‬ ‫ﻳﻈﻬ ﹸﺮ اﻟ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴ ﹸﺮ ‪ x‬ﻓﻲ ﻛﻠﺘﺎ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺑﺎﻟﻘ ﱠﻮ ﹺة ﻧﻔ ﹺﺴــﻬﺎ؛ ﻟﺬا ﹸﻳﻤ ﹺﻜﻨﹸﻨﻲ اﺳﺘﻌﻤﺎ ﹸل اﻟﺤﺬ ﹺف ﻟﻠﺘﺨ ﱡﻠ ﹺﺺ ﻣ ﹾﻦ‬ ‫‪-3 -2 -1 0‬‬ ‫‪123‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻫﺬا اﻟ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴ ﹺﺮ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ اﻟﻨﺎﺗﺠ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻮي ﹸﻣﺘﻐ ﱢﻴ ﹰﺮا واﺣ ﹰﺪا ﻫ ﹶﻮ ‪:y‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫ذ َّكر الطلبة بالمميز‪.‬‬ ‫ • ُح َّل المعادلــة التربيعية باســتعمال القانون العام في‬ ‫‪-2‬‬ ‫الهامش‪ ،‬ثم اسأل الطلبة‪:‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫ »أي الطريقتين تفضلــون‪ :‬التحليل إلى العوامل أم‬ ‫‪x2 + y2 = 13‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫القانون العام؟ لماذا؟‬ ‫ •أخبِــر الطلبة أنــه يمكن التعويض عــن ‪ y‬في أي من‬ ‫‪(–) x2 – y = 7‬‬ ‫‪-5 x2 – y = 7‬‬ ‫معادلتي النظام للحصول على قيم ‪ x‬المقابلة‪.‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫ •اكتب جميع الحلول في صورة أزواج مرتبة واضحة‪.‬‬ ‫ •للتح ُّقق من صحــة الحل‪ ،‬اســتعمل التمثيل البياني‬ ‫‪y2 + y = 6‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻄﺮ ﹺح‬ ‫‪-7‬‬ ‫الموجود في كتاب الطالب‪ ،‬وع ِّين الحلول عليه‪.‬‬ ‫‪y2 + y – 6 = 0‬‬ ‫ﺑﻄﺮ ﹺح ‪ 6‬ﻣ ﹾﻦ ﻛﻼ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫ •(يمكنك رسم شكل تقريبي على اللوح)‪.‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜﻨﹸﻨﻲ ﹶﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ اﻟﻨﺎﺗﺠ ﹺﺔ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻟﻘﺎﻧﻮ ﹺن اﻟﻌﺎ ﱢم‪ ،‬أ ﹺو اﻟﺘﺤﻠﻴ ﹺﻞ‪:‬‬ ‫‪(y + 3) (y – 2) = 0‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺤﻠﻴ ﹺﻞ‬ ‫‪x2 = –3 + 7‬‬ ‫إذ ﹾن‪y = –3 , y = 2 :‬‬ ‫ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸض ﻗﻴﻤ ﹶﺘ ﹾﻲ ‪ y‬ﻓﻲ إﺣﺪ￯ ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺘ ﹺﻲ اﻟﻨﻈﺎ ﹺم ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻗﻴ ﹺﻢ ‪:x‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪y = –3‬‬ ‫‪20‬‬ ‫إرشاد‪:‬‬ ‫في المثال ‪ ،4‬ذ ِّكر الطلبة بكيفية تحليل المعادلة التربيعية‪ ،‬وعلاقة إشارة كل من‬ ‫الحد الأوسط والحد الأخير فيها بالإشارات داخل قوسي التحليل‪.‬‬ ‫! أخطاء شائعة‪:‬‬ ‫في المثال ‪ ،4‬قــد يخطئ بعض الطلبة عند كتابة الحلول في صورة أزواج مرتبة‬ ‫بقلب مواضع الإحداثيين؛ نظ ًرا إلى اختلاف هذا المثال عن الأمثلة السابقة؛ إذ‬ ‫يجــب إيجاد قيمة ‪ y‬أولاً؛ لذا أ ِّكد لهم طريقــة الكتابة الصحيحة في صورة (‪x ,‬‬ ‫‪ ،)y‬ثم و ِّجههم إلى إمكانية استعمال أقلام ملونة عند كتابة الأزواج المرتبة كما‬ ‫هو ُمب َّين في كتاب الطالب‪.‬‬ ‫‪20‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪1‬‬ ‫‪x=±2‬‬ ‫ﺑ ﹶﺤ ﱢﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‬ ‫إرشادات‪:‬‬ ‫‪x2 = 2 + 7 = 9‬‬ ‫إذ ﹾن‪x = 2 , x = –2 ،‬‬ ‫ •في المثال ‪ ،4‬ن ِّبه الطلبة إلى ضرورة إعادة ترتيب‬ ‫‪x = ±3‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪y = 2‬‬ ‫الحدود المتشابهة أســفل بعضها عند استعمال‬ ‫طريقة الحذف؛ ليســهل عليهــم تحديد المتغير‬ ‫ﺑ ﹶﺤ ﱢﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‬ ‫الذي سيحذفونه‪.‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﺗﻮﺟ ﹸﺪ أرﺑﻌ ﹸﺔ ﺣﻠﻮ ﹴل ﻟﻠﻨﻈﺎ ﹺم‪ ،‬ﻫ ﹶﻲ‪ ، (–2 , –3) :‬ﹶو)‪ ،(2 , –3‬ﹶو )‪ ، (3 , 2‬ﹶو)‪.(–3 , 2‬‬ ‫ﹶأ ﹶﺗﺤ ﱠﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ﹺﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ ﻫﺬ ﹺه اﻟﺤﻠﻮ ﹺل ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﻀﻬﺎ ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹾﻦ ﻣﻌﺎدﻟ ﹶﺘ ﹺﻲ اﻟﻨﻈﺎ ﹺم‪.‬‬ ‫ •للتح ُّقق من صحة الحل‪ ،‬و ِّجه الطلبة إلى تعويض‬ ‫كل مــن الحلول الثلاثة فــي معادلتي النظام‪ ،‬ثم‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫اعرض أمامهم التمثيل البياني المرفق‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ﹶم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ اﻵﺗ ﹶﻲ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹶﺗﺤ ﱠﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ﹺﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ‪ :‬اﻧﻈﺮ اﻟﻤﻠﺤﻖ‬ ‫‪x2 + y2 = 16‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى اســتعمال برمجية جيوجبرا ‪-‬إن‬ ‫‪3y – x2 = –12‬‬ ‫أمكن ذلــك‪ -‬للتح ُّقق من صحــة الحل‪ ،‬حيث‬ ‫أﺗﺪرب وأﺣﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬ ‫سيظهر الشكل الآتي‪:‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻛ ﹰﹼﻼ ﻣ ﹾﻦ أﻧﻈﻤ ﹺﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹶﺗﺤ ﱠﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ﹺﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ‪:‬‬ ‫‪1 y = 2x2 + x – 5‬‬ ‫‪2 y = x2 – 4x + 1‬‬ ‫‪3 y = x2 + 1‬‬ ‫‪y = –x2 – 2x – 5‬‬ ‫‪y = 2x2 – 3‬‬ ‫)‪(-1, -4), (0, -5‬‬ ‫‪y = –2x2 – 4‬‬ ‫)‪(-2, 5), (2, 5‬‬ ‫ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﻟﻠﻨﻈﺎم‪.‬‬ ‫‪4 y = x2 + x + 1‬‬ ‫‪5 y = –x2 + 5x‬‬ ‫‪6 y = x2‬‬ ‫‪y = –x2 + x – 2‬‬ ‫‪y = x2 – 5x‬‬ ‫‪y = x2 + x + 6‬‬ ‫ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﻟﻠﻨﻈﺎم‪.‬‬ ‫)‪(0, 0) ,(5, 0‬‬ ‫)‪(-6, 36‬‬ ‫‪7 y = -x2 + 6x + 8‬‬ ‫‪8 x2 + y2 = 16‬‬ ‫‪9 5x2 – 2y2 = 18‬‬ ‫‪y = -x2 – 6x + 8‬‬ ‫‪y = x2 – 5‬‬ ‫‪3x2 + 5y2 = 17‬‬ ‫)‪(0, 8‬‬ ‫اﻧﻈﺮ اﻟﻤﻠﺤﻖ‬ ‫)‪(2, 1), (2, -1), (-2, 1), (-2, -1‬‬ ‫‪x2 + (y – 2)2 = 4‬‬ ‫‪ 10‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻧﻘﺎ ﹶط اﻟﺘﻘﺎﻃ ﹺﻊ ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺪاﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ‪:‬‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبة بإمكانيــة تنزيل برمجية جيوجبرا من‬ ‫‪x2 + y2 = 9‬‬ ‫متجر الهاتف‪ ،‬وتحميله في هواتفهم الذكية‪.‬‬ ‫اﻧﻈﺮ اﻟﻤﻠﺤﻖ‬ ‫‪ 11‬ﻋﺪدا ﹺن‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮ ﹸع ﻣﺮ ﱠﺑ ﹶﻌ ﹾﻴ ﹺﻬﻤﺎ ‪ ،89‬واﻟﻔﺮ ﹸق ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﺮ ﱠﺑ ﹶﻌ ﹾﻴ ﹺﻬﻤﺎ ‪ ،39‬ﻣﺎ ﻫﺬا ﹺن اﻟﻌﺪدا ﹺن؟ اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫‪21‬‬ ‫التدريب‬ ‫‪4‬‬ ‫إرشاد‪ :‬و ِّجه الطلبة إلى استعمال القانون العام والآلة الحاسبة في حل‬ ‫ •و ِّجــه الطلبة إلى قــراءة الأســئلة في بنــد (أتدرب‬ ‫السؤالين‪ ،8 :‬و‪.10‬‬ ‫وأحــل المســائل)‪ ،‬ثــم نا ِقشــهم في حل الأســئلة‬ ‫إجابات‪:‬‬ ‫(‪ )4, 6, 8, 10, 12, 14‬علــى اللوح‪ ،‬ثم اطلب إليهم‬ ‫‪  )11‬افترض أن العدد الأول هو ‪ ، x‬وأن العدد الثاني هو ‪:y‬‬ ‫حل بعض الأسئلة ضمن مجموعات ثنائية‪.‬‬ ‫‪x2 + y2 = 89‬‬ ‫ •تجــ َّول بين أفــراد المجموعات ُمر ِشــ ًدا و ُمســا ِع ًدا‬ ‫‪x2 - y2 = 39‬‬ ‫و ُمو ِّج ًها‪ ،‬وق ِّدم لهم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫بحل نظام المعادلات التربيعية‪ ،‬ينتج‪:‬‬ ‫  الواجب المنزلي‪:‬‬ ‫)‪(8,5), (-8, 5), (8, -5), (-8, -5‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة ح ّل مســائل الــدرس جميعها من‬ ‫كتاب التمارين واج ًبا منزل ًّيا‪ ،‬لكن ح ِّد ِد المســائ َل التي‬ ‫يمكنهم ح ّلها في نهاية كل حصة بحسب ما يت ّم تقديمه‬ ‫من أمثلة الدرس وأفكاره‪.‬‬ ‫ •يمكن أيضا إضافة المسائل التي لم يح ّلها الطلبة داخل‬ ‫الغرفة الصفية إلى الواجب المنزلي‪.‬‬ ‫‪21‬‬

‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪ 12‬ﻓﻴﺰﻳﺎ ﹸء‪ :‬ﹸﻗ ﹺﺬ ﹶﻓ ﹾﺖ ﻛﺮﺗﺎ ﹺن رأﺳــ ﹼﹰﻴﺎ ﻓﻲ اﻟﻮﻗ ﹺﺖ ﻧﻔ ﹺﺴــ ﹺﻪ ﻣ ﹾﻦ ﻣﻮﻗﻌ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ‪ y = –2t2 + 12t + 10 :‬ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ‬ ‫ارﺗﻔﺎ ﹶع اﻟﻜﺮ ﹺة اﻷوﻟﻰ ﺑﺎﻷﻣﺘﺎ ﹺر ﺑﻌ ﹶﺪ ﻣﺮو ﹺر ‪ t‬ﺛﺎﻧﻴ ﹴﺔ‪ ،‬وﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ‪ y = –2t2 + 4t + 42 :‬ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ارﺗﻔﺎ ﹶع اﻟﻜﺮ ﹺة اﻟﺜﺎﻧﻴ ﹺﺔ‪ ،‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة حل المســائل ‪15, 16, 17, 18, 19‬‬ ‫اﻟﺰﻣ ﱠﻦ اﻟﺬي ﻳﺘﺴﺎو￯ ﻋﻨ ﹶﺪ ﹸه ارﺗﻔﺎ ﹸع ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻜﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ارﺗﻔﺎ ﹶع ﻛ ﱢﻞ ﻛﺮ ﹴة ﻓﻲ ﺗﻠ ﹶﻚ اﻟﻠﺤﻈ ﹺﺔ‪t = 4 sec, y = 25m .‬‬ ‫ضمن مجموعات غير متجانســة‪ ،‬ثــم اطلب إلى أفراد‬ ‫بعضها توضيح كيفية تو ُّصلهم إلى الحل في كل مسألة‪،‬‬ ‫‪ 13‬ﺛﻘﺎﻓ ﹲﺔ ﻣﺎﻟﻴ ﹲﺔ‪ :‬ﺑﺎﻟﻌﻮد ﹺة إﻟﻰ ﻣﻘﺪﻣ ﹺﺔ اﻟﺪر ﹺس‪ ،‬ﹶأﺳــﺘﻌﻤ ﹸﻞ ﻧﻈﺎ ﹶم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻟﻤﻌﻄﻰ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻧﻘﺎ ﹺط اﻟﺘﻮاز ﹺن اﻟﺘﻲ ﻳﺘﺴــﺎو￯ ﻋﻨ ﹶﺪﻫﺎ‬ ‫وامنح بقية الطلبة فرصة نقد حلول زملائهم وتقويمها‪.‬‬ ‫اﻟﻌﺮ ﹸض واﻟﻄﻠ ﹸﺐ‪ .‬اﻧﻈﺮ اﻟﻤﻠﺤﻖ‬ ‫الإثراء‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 14‬أرا ﹴض‪ :‬ﻗﻄﻌ ﹸﺔ أر ﹴض ﻋﻠﻰ ﺷﻜ ﹺﻞ ﻣﺜﻠ ﹴﺚ ﹸﻣﺘﻄﺎﺑﹺ ﹺﻖ اﻟﻀﻠﻌ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﻃﻮ ﹸل ﺿﻠ ﹺﻌ ﹺﻪ اﻟ ﹸﻤﺘﻄﺎﺑﹺ ﹺﻖ ‪ ،50 m‬وﻣﺴﺎﺣ ﹸﺘ ﹸﻪ ‪ .1200 m2‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل‬ ‫ﻗﺎﻋﺪﺗﹺ ﹺﻪ‪ ،‬وارﺗﻔﺎ ﹶﻋ ﹸﻪ‪ .‬اﻧﻈﺮ اﻟﻤﻠﺤﻖ‬ ‫ •وجه الطلبة إلى حل النظام الآتي‪:‬‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻌﻠﻴﺎ‬ ‫‪x y = 6 , x2 + y2 = 16‬‬ ‫ﻻ ﻳﻤﻜﻦ إﻳﺠﺎد ﻋﺪدﻳﻦ ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺮﺑﻌﻴﻬﻤﺎ‬ ‫‪ 15‬ﺗﺒﺮﻳ ﹲﺮ‪ :‬ﻗﺎ ﹶﻟ ﹾﺖ زﻳﻨ ﹸﺐ إ ﱠﻧ ﹸﻪ ﻻ ﻳﻮﺟ ﹸﺪ ﹶﺣ ﱞﻞ ﻟﻨﻈﺎ ﹺم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪ x2 + y2 = 4‬ﻳﺴﺎوي ‪ ،4‬وﻳﺴﺎوي ‪ 9‬ﻓﻲ آ ﹴن ﻣ ﹰﻌﺎ‪.‬‬ ‫‪x2 + y2 = 9‬‬ ‫ﻫ ﹾﻞ ﻗﻮ ﹸل زﻳﻨ ﹶﺐ ﺻﺤﻴ ﹲﺢ؟ ﹸأﺑ ﱢﺮ ﹸر إﺟﺎﺑﺘﻲ‪.‬‬ ‫تعليمات المشروع‪:‬‬ ‫إﺟﺎﺑﺎت ﻣﺘﻌﺪدة‪ ،‬ﻣﻨﻬﺎ‪:‬‬ ‫ﺗﻮﺟﺪ‬ ‫ﹶﺣ ﱞﻞ‪.‬‬ ‫ﻟ ﹸﻪ‬ ‫ﻟﻴ ﹶﺲ‬ ‫ﺗﺮﺑﻴﻌﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫ﻣ ﹾﻦ‬ ‫ﹸﻣﻜ ﱠﻮ ﹰﻧﺎ‬ ‫ﻧﻈﺎ ﹰﻣﺎ‬ ‫ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ‬ ‫ﻣﻔﺘﻮﺣ ﹲﺔ‪:‬‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ﹲﺔ‬ ‫‪16‬‬ ‫‪x2 + y2 = 9 , x2 + y‬‬ ‫‪= 10‬‬ ‫ •اطلب إلــى الطلبة تنفيــذ الإجــراءات المكتوبة في‬ ‫الخطوة الثالثــة؛ وذلك بكتابة نظام معــادلات ُيم ِّثل‬ ‫‪ 17‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ﹶم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗ ﹶﻲ‪ :‬اﻧﻈﺮ اﻟﻤﻠﺤﻖ‬ ‫منحنيين متقاطعين في كل صورة‪ ،‬ثم اختيار أحد هذه‬ ‫الأنظمــة‪ ،‬وحلها جبر ًّيا‪ ،‬ثــم التح ُّقق من صحة الحل‬ ‫‪x2 – 3xy + 2y2 = 0‬‬ ‫باستعمال برمجية جيوجبرا‪.‬‬ ‫‪x2 + xy = 6‬‬ ‫ •أخبِر الطلبة أنه يمكنهم اختيــار نظامين‪ ،‬وإيجاد حل‬ ‫‪ 18‬ﻣﺴﺄﻟ ﹲﺔ ﻣﻔﺘﻮﺣ ﹲﺔ‪ :‬ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ ﻧﻈﺎ ﹰﻣﺎ ﻣ ﹾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ؛ ﻋﻠﻰ أ ﹾن ﺗﻜﻮ ﹶن اﻟﻨﻘﻄ ﹸﺔ )‪ (5, 3‬أﺣ ﹶﺪ ﺣﻠﻮﻟﹺ ﹺﻪ‪.‬‬ ‫كل منهما‪ :‬أحدهما نظام يحوي معادلة خطية ومعادلة‬ ‫ﺗﻮﺟﺪ إﺟﺎﺑﺎت ﻣﺘﻌﺪدة‪ ،‬ﻣﻨﻬﺎ‪(x - 5)2 + (y - 1) 2 = 4, x2 - 10x + y = -22 :‬‬ ‫تربيعية‪ ،‬والآخر نظام يحوي معادلتين تربيعيتين‪.‬‬ ‫‪ 19‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬ﻗﻄﻌ ﹲﺔ ﻣ ﹾﻦ ور ﹴق ﹸﻣ ﹶﻘ ﹰﻮ￯ ﻣﺴــﺘﻄﻴﻠ ﹸﺔ اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ‪ ،‬ﻣﺴــﺎﺣ ﹸﺘﻬﺎ ‪ ،216 cm2‬ﹸﺛﻨ ﹶﻲ ﻃﻮﻻﻫﺎ‪،‬‬ ‫ •ذ ِّكرهم بضــرورة توثيــق خطوات تنفيذ المشــروع‬ ‫و ﹸﻟ ﹺﺼﻘﺎ ﻣ ﹰﻌﺎ‪ ،‬ﻓﺘﺸ ﱠﻜ ﹶﻞ أﻧﺒﻮ ﹲب أﺳﻄﻮاﻧ ﱞﻲ ﺣﺠ ﹸﻤ ﹸﻪ ‪ .224 cm3‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﹸﺑ ﹾﻌ ﹶﺪ ﹾي ﻗﻄﻌ ﹺﺔ اﻟﻮر ﹺق‪.‬‬ ‫بالطريقة التي يرونها مناســبة‪ ،‬مثل اســتعمال خاصية‬ ‫اﻧﻈﺮ اﻟﻤﻠﺤﻖ‬ ‫طباعة الشاشة‪.‬‬ ‫‪22‬‬ ‫الختام‬ ‫‪6‬‬ ‫إرشادات‪:‬‬ ‫ •اطرح على الطلبة الأسئلة الآتية‪:‬‬ ‫ •بعد حل المســألة ‪ ،17‬اطلب إلى الطلبة تفسير عدد الحلول‪ ،‬ومحاولة رسم‬ ‫ »ماذا يعني النظام المكون من معادلتين تربيعيتين؟‬ ‫شــكل تقريبي لوضع منحنيي المعادلتين‪ ،‬ثم و ِّجههم إلى اســتعمال برمجية‬ ‫جيوجبرا (في مختبر الحاسوب‪ ،‬أو في البيت‪ ،‬أو باستعمال هواتفهم الذكية)‬ ‫ »ماذا ُيق َصد بحل النظام؟‬ ‫ »كم عدد الحلول الممكنة لنظام مكون من معادلتين‬ ‫لتمثيل المعادلتين (انظر التمثيل المرفق)‪.‬‬ ‫تربيعيتين؟‬ ‫ •اســتمع لإجابات أكبر عــدد ممكن مــن الطلبة‪ ،‬ثم‬ ‫اسألهم‪:‬‬ ‫ » َم ْن ُيؤ ِّيد الإجابة؟‬ ‫ » َم ْن لديه إجابة أخرى؟‬ ‫ »اذكر هذه الإجابة‪.‬‬ ‫ •لحل المعادلة في الســؤال ‪ ،19‬و ِّجه الطلبة إلى استعمال برمجية جيوجبرا ‪-‬‬ ‫إن أمكن ذلك‪ ،-‬ثم نا ِقشهم في الحل الذي اس ُتب ِعد‪ ،‬وسبب استبعاده‪.‬‬ ‫‪22‬‬

‫ﺗﺒﺴﻴ ُﻂ اﻟﻤﻘﺎدﻳ ِﺮ اﻷُ ﱢﺳﻴﱠ ِﺔ‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫الدرس‬ ‫‪Simplifying Exponential Expressions‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﺪر ِس ﻣﻌﺮﻓ ﹸﺔ اﻷﺳ ﹺﺲ اﻟﻨﺴﺒﻴ ﹺﺔ وﺗﺒﺴﻴ ﹸﻄﻬﺎ‪.‬‬ ‫اﻷﹸ ﱡس اﻟﻨﺴﺒ ﱡﻲ‪.‬‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎ ُت‬ ‫  فكر ُة الدر ِس‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ُﺔ اﻟﻴﻮ ِم‬ ‫ •تعرف الأسس النسبية وخصائصها‪.‬‬ ‫ﺣﺪﻳﻘ ﹲﺔ ﻣﺮﺑﻌ ﹸﺔ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ‪ ،‬ﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﺿﻠ ﹺﻌﻬﺎ ﹸﻣﻌ ﹰﻄﻰ ﺑﺎﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﺠﺒﺮ ﱢي‬ ‫ •كتابة مقادير أسية في أبسط صورة‪.‬‬ ‫اﻟﻤﺮ ﱠﺑﻌ ﹺﺔ؟‬ ‫ﺑﺎﻟﻮﺣﺪا ﹺت‬ ‫ﻣﺴﺎﺣ ﹸﺘﻬﺎ‬ ‫ﻣﺎ‬ ‫‪،2x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪z4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻣﺮاﺟﻌ ُﺔ اﻟﻤﻔﺎﻫﻴ ِﻢ‬ ‫التعلم القبلي‪:‬‬ ‫ •حل مسائل على قوانين الأسس‪.‬‬ ‫ﻷ ﱢي ﻋــﺪ ﹴد ﺣﻘﻴﻘــ ﱟﻲ ‪ ،a‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ n‬ﹶو ‪ m‬ﻋﺪد ﹾﻳــ ﹺﻦ ﺻﺤﻴﺤ ﹾﻴــ ﹺﻦ ﻣﻮﺟﺒ ﹾﻴــ ﹺﻦ )‪ ،(n > 1‬ﻓــﺈ ﱠن‪:‬‬ ‫ •تبسيط الأسس في حدود جبرية‪.‬‬ ‫ •إجراء العمليات الحسابية على الأعداد النسبية‪.‬‬ ‫ﻋﺪ ﹰدا‬ ‫ﻳﻜﻮ ﹸن‬ ‫اﻟﺠﺬ ﹶر‬ ‫ﻓﺈ ﱠن‬ ‫زوﺟ ﹼﹰﻴﺎ‪،‬‬ ‫ﻋﺪ ﹰدا‬ ‫‪n‬‬ ‫ﹶو‬ ‫‪،‬‬ ‫‪a‬‬ ‫<‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ‬ ‫إذا‬ ‫إ ﹼﻻ‬ ‫‪،‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪√n am‬‬ ‫=‬ ‫‪(√n a)m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻏﻴ ﹶﺮ ﺣﻘﻴﻘ ﱟﻲ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 27 3‬‬ ‫‪( )1‬‬ ‫‪√3 27 1‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻓﻲ أﺑﺴ ﹺﻂ ﺻﻮر ﹴة‪:‬‬ ‫التهيئة‬ ‫‪27 3‬‬ ‫=‬ ‫ﺑﻜﺘﺎﺑ ﹺﺔ اﻟﻤﻘﺪا ﹶر ﻓﻲ ﺻﻮر ﹺة اﻟﺠﺬ ﹺر اﻟﺜﺎﻟ ﹺﺚ‬ ‫ﺑﺘﺤﻠﻴ ﹺﻞ اﻟﻌﺪ ﹺد ‪ 27‬إﻟﻰ ﻋﻮاﻣ ﹺﻠ ﹺﻪ اﻷوﻟﻴ ﹺﺔ‬ ‫‪= √3 3×3×3‬‬ ‫ •اكتب على اللوح تعريف الأس (القوة)‪ ،‬وذ ِّكر الطلبة‬ ‫بعناصرها‪.‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫ﺑﻜﺘﺎﺑ ﹺﺔ اﻟﻤﻘﺪا ﹺر ﻓﻲ ﺻﻮر ﹺة اﻟﺠﺬ ﹺر اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ ﻣﺮﻓﻮ ﹰﻋﺎ ﻟ ﹸﻸ ﱢس ‪3‬‬ ‫َأﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫ﺑﺘﺤﻠﻴ ﹺﻞ اﻟﻌﺪ ﹺد ‪ 4‬إﻟﻰ ﻋﻮاﻣ ﹺﻠ ﹺﻪ اﻷوﻟﻴ ﹺﺔ‬ ‫ﻷ ﱢي ﻋــﺪ ﹴد ﺣﻘﻴﻘــ ﱟﻲ ‪ ،a‬إذا ﻛﺎ ﹶن‬ ‫ •اكتــب قوانيــن الأســس الصحيحــة (‪integer‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ،)exponents‬وو ِّضحها بأمثلة‪.‬‬ ‫‪2 42‬‬ ‫ •ب ِّين كيفية تبســيط الحــدود الجبريــة (‪algebraic‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪ )terms‬باســتعمال قوانين الأسس (‪exponential‬‬ ‫‪4 2 = √4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ُ ،)laws‬مع ِّز ًزا ذلك بأمثلة‪.‬‬ ‫‪= √2×2‬‬ ‫ •خ ِّصص وق ًتا للإجابة عن أسئلة الطلبة‪.‬‬ ‫ •اكتب علــى اللوح ِع َّدة جذور‪ ،‬ثــم اطلب إلى الطلبة‬ ‫‪= (2)3‬‬ ‫‪ n‬ﻋﺪ ﹰدا ﺻﺤﻴ ﹰﺤــﺎ ﻣﻮﺟ ﹰﺒﺎ‪ ،‬ﻓﺈ ﱠن‪:‬‬ ‫كتابتها في صورة أسس‪ ،‬مستعملين قوانين الأسس‪.‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة تخمين موضوع الدرس‪.‬‬ ‫)‪= (2 × 2 × 2‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ اﻷﺳ ﹺﺲ‬ ‫‪،‬‬ ‫‪an‬‬ ‫=‬ ‫‪a×a×a×a×….×a‬‬ ‫‪ n‬ﻣﺮة‬ ‫‪=8‬‬ ‫و ﹸﻳﺴ ﹼﻤﻰ ‪ a‬اﻷﺳﺎ ﹶس‪ ،‬ﹶو‪ n‬اﻷﹸ ﱠس‪.‬‬ ‫‪23‬‬ ‫تعزيز اللغة ودعمها‪:‬‬ ‫الاستكشاف‬ ‫‪2‬‬ ‫ك ِّرر المصطلحات الرياضية المستخدمة في الدرس بكل من اللغتين العربية والإنجليزية‪،‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة المســألة في بند (مسألة اليوم)‪،‬‬ ‫وش ِّجع الطلبة على استعمالها‪.‬‬ ‫ثم اسألهم‪:‬‬ ‫ »أيكم شاهد حديقة مربعة؟‬ ‫ »أين شاهد ذلك؟‬ ‫ »ما قانون مساحة المربع؟ ‪A = L 2‬‬ ‫‪21‬‬ ‫»ما مساحة الحديقة؟ ‪z 4)2‬‬ ‫ ‬ ‫‪A = (4x 5 y 3‬‬ ‫ »هل يمكن كتابة هذا الحد الجبري بصورة أخرى؟ نعم‪.‬‬ ‫ »اذكرها‪ .‬يمكن تبســيط هــذا الحــد‪ ،‬وكتابته في‬ ‫‪42‬‬ ‫صورة‪A = 16x 5 y 3 z 8 :‬‬ ‫‪23‬‬

‫التدريس‬ ‫‪3‬‬ ‫–‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(81‬‬ ‫–‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪∜81 -5‬‬ ‫اﻟﺼﻮر ﹸة اﻟﺠﺬرﻳ ﹸﺔ‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺑﺘﺤﻠﻴ ﹺﻞ اﻟﻌﺪ ﹺد ‪ 81‬إﻟﻰ ﻋﻮاﻣ ﹺﻠ ﹺﻪ اﻷوﻟﻴ ﹺﺔ‬ ‫)‪(81‬‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫‪= ∜3 × 3 × 3 × 3 -5‬‬ ‫ •اكتــب تعريــف الأس النســبي (‪rational‬‬ ‫‪= (3)–5‬‬ ‫‪ ،)exponential‬ثم و ِّضحه للطلبة ُمع َّز ًزا بأمثلة‪.‬‬ ‫ •اسأل الطلبة‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ اﻷﹸ ﱢس اﻟﺴﺎﻟ ﹺﺐ‬ ‫َأﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫‪(3)5‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ اﻷﺳ ﹺﺲ‬ ‫ »مــا معنــى تبســيط الأســس (‪simplifying‬‬ ‫‪)exponents‬؟ كتابتها في أبسط صورة‪.‬‬ ‫=‬ ‫‪(3‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫)‪3‬‬ ‫اﻟﺼﻮر ﹸة اﻟﺠﺬرﻳ ﹸﺔ‬ ‫ﻷ ﱢي ﻋــﺪ ﹴد ﺣﻘﻴﻘ ﱟﻲ ‪،a ≠ 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺑﺘﺤﻠﻴ ﹺﻞ اﻟﻌﺪ ﹺد ‪ –8‬إﻟﻰ ﻋﻮاﻣ ﹺﻠ ﹺﻪ اﻷوﻟﻴ ﹺﺔ‬ ‫‪1‬‬ ‫ »كيف ُتب ِّســط ح ًّدا جبر ًّيا ُمع ًطــى؟ بتطبيق قوانين‬ ‫ﻛﺎ ﹶن‬ ‫= ‪a –n‬‬ ‫‪an‬‬ ‫ﻓﺈ ﱠن‪:‬‬ ‫الأسس‪.‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫وإذا‬ ‫‪.‬‬ ‫‪243‬‬ ‫ •استمع لإجابة أحد الطلبة‪ ،‬ثم اسأل زملاءه‪:‬‬ ‫‪ a‬ﻣﺮﻓﻮ ﹰﻋﺎ ﻟﻠﻘ ﱠﻮ ﹺة اﻟﺴﺎﻟﺒ ﹺﺔ ﻓﻲ‬ ‫ » َم ْن يوافقه في الرأي؟‬ ‫‪7‬‬ ‫ » َم ْن لديه إجابة أخرى؟‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻟﻤﻘﺎ ﹺم‪ ،‬ﻓﺈ ﱠن‪= an :‬‬ ‫‪4 (– 8) 3‬‬ ‫‪a –n‬‬ ‫ •وذلك لتعزيز مهارات التواصل لــدى الطلبة (التعبير‬ ‫عن الرأي‪ ،‬واحترام الرأي الآخر)‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪∛–8 7‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة فــي حل المثال‪ُ ،‬مر ِّكــ ًزا على تبرير كل‬ ‫= ‪(–8) 3‬‬ ‫خطوة‪.‬‬ ‫‪= ∛–2 × –2 × –2 7‬‬ ‫‪= (–2)7‬‬ ‫‪= –128‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻓﻲ أﺑﺴ ﹺﻂ ﺻﻮر ﹴة‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫–‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪a) 32 5 2‬‬ ‫‪b) 9 2 243‬‬ ‫)‪(16‬‬ ‫ﻣﺮاﺟﻌ ُﺔ اﻟﻤﻔﺎﻫﻴ ِﻢ‬ ‫ﺧﺼﺎﺋ ﹸﺺ ﺿﺮ ﹺب اﻟﻘﻮ￯ وﻗﺴﻤﺘﹺﻬﺎ‬ ‫ﻷ ﱢي ﻋﺪد ﹾﻳ ﹺﻦ ﺣﻘﻴﻘﻴ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ a‬ﹶو ‪ b‬وﻋﺪد ﹾﻳ ﹺﻦ ﺻﺤﻴﺤ ﹾﻴ ﹺﻦ ‪ m‬ﹶو ‪ ،n‬ﻓﺈ ﱠن‪:‬‬ ‫‪1 an × am= an+m‬‬ ‫ﺿﺮ ﹸب اﻟﻘﻮ￯‬ ‫ﻗ ﱠﻮ ﹸة اﻟﻘﻮ￯‬ ‫إرشاد‪:‬‬ ‫‪2 (an)m = an×m‬‬ ‫ﻗ ﱠﻮ ﹸة ﻧﺎﺗ ﹺﺞ اﻟﻀﺮ ﹺب‬ ‫‪n‬‬ ‫وأن‬ ‫‪،‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪√n am‬‬ ‫أن‬ ‫الطلبــة‬ ‫ذ ِّكر‬ ‫‪،1‬‬ ‫المثال‬ ‫فــي‬ ‫‪3 (ab)n = an × bn‬‬ ‫ﻗﺴﻤ ﹸﺔ اﻟﻘﻮ￯‬ ‫‪a n‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪an‬‬ ‫=‬ ‫‪an–m‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪a‬‬ ‫≠‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻗ ﱠﻮ ﹸة ﻧﺎﺗ ﹺﺞ اﻟﻘﺴﻤ ﹺﺔ‬ ‫‪am‬‬ ‫ُيس ّمى دليل الجذر‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫≠‬ ‫‪0‬‬ ‫‪24‬‬ ‫ التقويم التكويني‪:‬‬ ‫! أخطاء شائعة‪:‬‬ ‫ •و ِّجــه الطلبة إلى حــل التدريب في بنــد (أتحقق من‬ ‫في‬ ‫‪m‬‬ ‫فيكتبون‬ ‫الجذر‪،‬‬ ‫دليــل‬ ‫في‬ ‫الطلبة‬ ‫بعض‬ ‫يخطئ‬ ‫قد‬ ‫‪،1‬‬ ‫المثــال‬ ‫ •في‬ ‫فهمي) بعد كل مثال‪.‬‬ ‫‪an‬‬ ‫ •اختر بعض الإجابات التي تحوي أخطاء مفاهيمية‪ ،‬ثم‬ ‫نا ِقشها على اللوح‪ ،‬ولا تذكر اسم الطالب الذي أخطأ‬ ‫مث ًل‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫بين ‪a3‬‬ ‫الفرق‬ ‫لهم‬ ‫خطئهم‪ُ ،‬مب ِّينًا‬ ‫إلى‬ ‫ن ِّبههم‬ ‫لذا‬ ‫‪ m√an‬؛‬ ‫صورة‬ ‫في الإجابة؛ تجن ًبا لإحراجه‪.‬‬ ‫‪،‬و‪a3‬‬ ‫إرشــاد‪ :‬في المثال ‪ ،1‬قد يواجه بعض الطلبة‬ ‫ •قد يخطئ بعــض الطلبة‪ ،‬فيجــدون الجذر التربيعــي (أو أي جذر دليله‬ ‫ذوي المســتوى دون المتوسط صعوبة في استعمال‬ ‫زوجي) لعدد ســالب؛ لذا ب ِّين لهم دائ ًما أنه عــدد غير حقيقي‪ ،‬ثم اطلب‬ ‫إليهم ذكر مثال على عدد ُيض َرب في نفســه مرتان أو أربع مرات‪ ،‬ويكون‬ ‫قوانين الأســس؛ لذا امنحهم بعض الوقت‪ ،‬وز ِّودهم‬ ‫بأمثلة سهلة‪ُ ،‬من ِّو ًها إياهم بضرورة تبرير كل خطوة في‬ ‫الناتج ‪ -16‬مث ًل؛ لإقناعهم بأن ذلك غير ممكن‪.‬‬ ‫الحل؛ ما يساعدهم على حفظ قوانين الأسس‪.‬‬ ‫‪24‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪1‬‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫ﺗﻨﻄﺒــ ﹸﻖ ﺧﺼﺎﺋــ ﹸﺺ ﺿﺮ ﹺب اﻟﻘﻮ￯ وﻗﺴــﻤﺘﹺﻬﺎ اﻟﺘﻲ در ﹾﺳــ ﹸﺘﻬﺎ ﺳــﺎﺑ ﹰﻘﺎ ﻟﻸﺳــ ﹺﺲ اﻟﺼﺤﻴﺤ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ •نا ِقش الطلبــة في بند (مراجعــة المفاهيم‪ :‬خصائص‬ ‫اﻷﺳ ﹺﺲ اﻟﻨﺴﺒﻴ ﹺﺔ )‪ (rational exponents‬أﻳ ﹰﻀﺎ‪.‬‬ ‫ضرب القوى وقسمتها)‪ُ ،‬مر ِّك ًزا على تسمية كل قانون‬ ‫‪1‬‬ ‫–‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬ ‫من قوانين الأسس؛ ليسهل عليهم حفظها‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ •ابدأ حــل المثال بكتابــة التفاصيل جميعها‪ ،‬واســم‬ ‫‪y‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻓﻲ أﺑﺴ ﹺﻂ ﺻﻮر ﹴة‪:‬‬ ‫القانون في الهامش عند استعماله‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫–‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫–‪y‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺿﺮ ﹸب اﻟﻘﻮ￯‬ ‫ •أ ِّكد للطلبة أنه يمكن اســتعمال أكثر من قانون في حل‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺑﺠﻤ ﹺﻊ اﻷﺳ ﹺﺲ‬ ‫‪y2‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ اﻷﹸ ﱢس اﻟﺴﺎﻟ ﹺﺐ‬ ‫المسألة نفسها‪.‬‬ ‫‪= y–1‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫إرشـاد‪ :‬فـي المثـال ‪ ،2‬قـد يواجـه بعـض‬ ‫الطلبـة ذوي المسـتوى دون المتوسـط صعوبـة‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻟﺼﻮر ﹸة اﻟﺠﺬرﻳ ﹸﺔ‬ ‫فـي إجـراء العمليـات علـى الأعـداد النسـبية؛ لـذا‬ ‫‪y‬‬ ‫ذ ِّكرهـم بكيفيـة جمـع الأعـداد النسـبية ‪(rational‬‬ ‫‪41‬‬ ‫ﻗ ﱠﻮ ﹸة ﻧﺎﺗ ﹺﺞ اﻟﻀﺮ ﹺب‬ ‫‪2 x3 2‬‬ ‫اﻟﺼﻮر ﹸة اﻟﺠﺬرﻳ ﹸﺔ‬ ‫)‪ ،numbers‬وطرحهـا‪ ،‬وضربهـا‪ ،‬وقسـمتها‪.‬‬ ‫‪x = x4 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= x3‬‬ ‫‪= ∛x2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 a × b2 2‬‬ ‫‪a × b2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫×‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪= √a3 × b3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪z8‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪z8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪z z=8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫–‬ ‫ﻗﺴﻤ ﹸﺔ اﻟﻘﻮ￯‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪z8‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪6‬‬ ‫اﻟﺼﻮر ﹸة اﻟﺠﺬرﻳ ﹸﺔ‬ ‫تنويع التعليم‪:‬‬ ‫‪= z8‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة ذوي المســتوى المتوســط وفوق‬ ‫‪3‬‬ ‫َأﺗﻌ ﱠﻠ ُﻢ‬ ‫‪= z4‬‬ ‫ﺗﻨﻘﺴ ﹸﻢ اﻟﺠﺬو ﹸر ﺑﺤﺴ ﹺﺐ دﻟﻴ ﹺﻞ‬ ‫المتوسط حل السؤال الآتي‪:‬‬ ‫اﻟﺠــﺬ ﹺر إﻟﻰ ﻧﻮﻋ ﹾﻴــ ﹺﻦ‪ ،‬ﻫﻤﺎ‪:‬‬ ‫‪= ∜z3‬‬ ‫أثبِت صحة ما يأتي‪:‬‬ ‫اﻟﺠﺬو ﹸر اﻟﻔﺮدﻳ ﹸﺔ‪ ،‬واﻟﺠﺬو ﹸر‬ ‫اﻟﺰوﺟﻴ ﹸﺔ‪.‬‬ ‫‪25‬‬ ‫ ‬ ‫‪x -3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ ‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪x -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪x2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪x -3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ ‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪x -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ ‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ ) (‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‬ ‫‪x -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫ ‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‬ ‫‪x -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪x2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪25‬‬

‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x4 4‬‬ ‫‪5 y2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫فــي المثال ‪ ،2‬قــد يخطئ بعض الطلبة في تبســيط‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫×‬ ‫ﻗ ﱠﻮ ﹸة ﻧﺎﺗ ﹺﺞ اﻟﻘﺴﻤ ﹺﺔ‬ ‫‪y2‬‬ ‫=‬ ‫ﻗ ﱠﻮ ﹸة اﻟﻘﻮ￯‬ ‫‪y2‬‬ ‫×‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻟﺼﻮر ﹸة اﻟﺠﺬرﻳ ﹸﺔ‬ ‫أ ِّكد‬ ‫لذا‪،‬‬ ‫‪x -‬؛‬ ‫‪3‬‬ ‫إلى‬ ‫‪x -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫الأسس السالبة‪ ،‬فيبسطون‬ ‫=‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x -1‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫لهم ضرورة تغيير إشارة الأس عند نقل التعبير الأسي‬ ‫‪x3‬‬ ‫من المقام إلى البســط أو العكــس‪ ،‬ثم تطبيق قوانين‬ ‫=‬ ‫‪√y‬‬ ‫الأسس المناسبة لحالة التبسيط‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪√5 x4‬‬ ‫‪√3 x2‬‬ ‫‪√5 x4‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ اﻷﹸ ﱢس اﻟﻨﺴﺒ ﱢﻲ‬ ‫‪√3 x2‬‬ ‫‪x5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪=x4‬‬ ‫–‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻗﺴﻤ ﹸﺔ اﻟﻘﻮ￯‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﺼﻮر ﹸة اﻟﺠﺬرﻳ ﹸﺔ‬ ‫‪= x15‬‬ ‫إرشادات‪:‬‬ ‫‪= √15 x2‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ •فــي المثــال ‪ ،2‬و ِّضــح للطلبــة خاصية الأس‬ ‫‪7‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻓﻲ أﺑﺴ ﹺﻂ ﺻﻮر ﹴة‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫الصفري‪ ،‬ثم أثبِته على اللوح‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫–‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪a3‬‬ ‫×‬ ‫‪a‬‬ ‫–‬ ‫‪√21a‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪b) x 2‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫‪y×z 4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪z‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪√x 7‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫‪x n‬‬ ‫ •ن ِّوه لهم بأن‪:‬‬ ‫‪9‬‬ ‫–‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y3‬‬ ‫‪√5 x 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪√7 x 3‬‬ ‫‪√35 x‬‬ ‫‪d) x 2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪√10 x 29‬‬ ‫‪e) y2‬‬ ‫‪√x 3‬‬ ‫)‪f‬‬ ‫‪x5‬‬ ‫ﻣﻔﻬﻮ ٌم أﺳﺎﺳ ﱞﻲ‬ ‫ﺗﻜﻮ ﹸن اﻟﻌﺒﺎر ﹸة اﻷﹸ ﱢﺳ ﱠﻴ ﹸﺔ ﻓﻲ أﺑﺴ ﹺﻂ ﺻﻮر ﹴة إذا‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﻇﻬ ﹶﺮ اﻷﺳﺎ ﹸس ﹶﻣ ﱠﺮ ﹰة واﺣﺪ ﹰة‪ ،‬وﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ اﻷﺳ ﹸﺲ ﺟﻤﻴ ﹸﻌﻬﺎ ﻣﻮﺟﺒ ﹰﺔ‪.‬‬ ‫‪ 2‬ﻟ ﹾﻢ ﺗﺘﻀ ﱠﻤ ﹺﻦ اﻟﻌﺒﺎر ﹸة ﻗ ﱠﻮ ﹶة اﻟﻘﻮ￯‪.‬‬ ‫‪ 3‬ﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ اﻟﻜﺴﻮ ﹸر واﻟﺠﺬو ﹸر ﺟﻤﻴ ﹸﻌﻬﺎ ﻓﻲ أﺑﺴ ﹺﻂ ﺻﻮر ﹴة‪.‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪26‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪1‬‬ ‫مثال ‪3‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪3‬‬ ‫ •اشــرح ما تعنيه كتابة العبارة الأسية في أبسط صورة‪،‬‬ ‫ُمو ِّض ًحا كل شرط بمثال‪.‬‬ ‫ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ ﻛ ﹼﹰﻼ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻓﻲ أﺑﺴ ﹺﻂ ﺻﻮر ﹴة‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن أ ﹰﹼﻳﺎ ﻣ ﹶﻦ اﻟ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴﺮا ﹺت ﻻ ﻳﺴﺎوي ﺻﻔ ﹰﺮا‪:‬‬ ‫ •نا ِقــش الطلبة في حل المثــال الثالث علــى اللوح‪،‬‬ ‫‪4 –7‬‬ ‫ُمستع ِم ًل قوانين الأسس النسبية‪ ،‬ثم اطلب إليهم تبرير‬ ‫) ‪(6x 3) (y 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪–8 –2‬‬ ‫كل خطوة (لماذا؟)‪.‬‬ ‫) ‪(2x 3 ) (y 5‬‬ ‫‪6x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫–‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪x y× ×4‬‬ ‫–‬ ‫‪–8‬‬ ‫‪–7‬‬ ‫–‬ ‫‪–2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻗﺴﻤ ﹸﺔ اﻟﻘﻮ￯‬ ‫‪–8 –2‬‬ ‫=‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪2x 3 y 5‬‬ ‫‪= 3x 4 y –1‬‬ ‫اﻷﹸ ﱡس اﻟﺴﺎﻟ ﹸﺐ‬ ‫=‬ ‫‪3x4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪(3xy‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪(6y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( ) ( )–3 5 4‬‬ ‫‪9x 2 x 2 y10‬‬ ‫التدريب‬ ‫‪4‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪( ) ( )3xy 2 6y 5‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫×‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺿﺮ ﹸب اﻟﻘﻮ￯‬ ‫‪–3 5 4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫×‬ ‫‪x –3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫×‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة الأســئلة في بند (أتدرب وأحل‬ ‫‪( ) ( )9x 2 x 2 y10‬‬ ‫‪y 10‬‬ ‫المسائل)‪ ،‬ثم اطلب إليهم حلها‪.‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪y 10‬‬ ‫ •إذا واجــه بعــض الطلبة صعوبة في حل أي مســألة‪،‬‬ ‫×‪=2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫×‬ ‫فاختر طال ًبا تم َّكن من حل المسألة‪ ،‬واطلب إليه كتابة‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫حله على اللوح‪.‬‬ ‫‪y 10‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في حل الأسئلة ‪ 16,18, 20‬على اللوح‪.‬‬ ‫‪x y= 2 1–1‬‬ ‫‪19‬‬ ‫–‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ اﻟﻘﻮ￯‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳ ﹸﻒ اﻷﹸ ﱢس اﻟﺼﻔﺮ ﱢي‬ ‫َأﻓﻬ ُﻢ‬ ‫‪= 2x0 y 2‬‬ ‫‪= 2√y3‬‬ ‫اﻟﺼﻮر ﹸة اﻟﺠﺬرﻳ ﹸﺔ‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹾﺖ ‪ n = m‬ﻓﺈ ﱠن‪:‬‬ ‫‪an‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫‪am‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n–n‬‬ ‫=‬ ‫‪aº‬‬ ‫‪3 √3 64x12y3‬‬ ‫إذ ﹾن‪.aº =1 ،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺻﻮر ﹸة اﻷﹸ ﱢس اﻟﻨﺴﺒ ﱢﻲ‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪√3 64x12y3 = (64x12y3) 3‬‬ ‫ﻗ ﱠﻮ ﹸة ﻧﺎﺗ ﹺﺞ اﻟﻀﺮ ﹺب‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة الأســئلة في بند (مهارات التفكير‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫العليا)‪ ،‬ثم اطلب إليهم حل المســائل (‪ )22–28‬ضمن‬ ‫‪1 12 3‬‬ ‫مجموعات‪.‬‬ ‫‪= (64) 3 (x) 3 (y) 3‬‬ ‫ •تج َّول بين أفراد المجموعات ُمر ِش ًدا و ُمسا ِع ًدا و ُمو ِّج ًها‪،‬‬ ‫‪= 4x4y‬‬ ‫وق ِّدم لهم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ ﻛ ﹼﹰﻼ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻓﻲ أﺑﺴ ﹺﻂ ﺻﻮر ﹴة‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن أ ﹼﹰﻳﺎ ﻣ ﹶﻦ اﻟ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴﺮا ﹺت ﻻ ﻳﺴﺎوي ﺻﻔ ﹰﺮا‪:‬‬ ‫–‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3√3 y 8‬‬ ‫‪125y‬‬ ‫–‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪√4 x 17‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10xy 3‬‬ ‫‪9x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪250 c) ∜16x18y22 2√x 9 × y 11‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪5‬‬ ‫–‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪√x 3 ×√42 y 73‬‬ ‫‪7‬‬ ‫–‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5x 2 y‬‬ ‫‪27‬‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫  الواجب المنزلي‪:‬‬ ‫في المثال ‪ ،3‬قــد يخطئ بعض الطلبة في تبســيط العبارات الأســية ذات‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة ح ّل مســائل الــدرس جميعها من‬ ‫كتاب التمارين واج ًبا منزل ًّيا‪ ،‬لكن ح ِّد ِد المسائ َل التي‬ ‫‪ ،‬فلا ُيط ِّبقون قواعد الأســس تطبي ًقا صحي ًحا‪،‬‬ ‫) ‪(16p4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الاقواس‪ ،‬مثل‪:‬‬ ‫يمكنهم ح ّلها في نهاية كل حصة بحسب ما يت ّم تقديمه‬ ‫‪2‬‬ ‫من أمثلة الدرس وأفكاره‪.‬‬ ‫) ‪(4p2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ •يمكــن أيضا إضافة المســائل التي لــم يح ّلها الطلبة‬ ‫ويطرحــون القوى على الرغم من عدم تســاوي الحــد الجبري في كل من‬ ‫داخل الغرفة الصفية إلى الواجب المنزلي‪.‬‬ ‫البسط والمقام‪ ،‬أو يختصرون البسط والمقام من دون مراعاة تساوي القوى؛‬ ‫لذا ذ ِّكرهم بقوانين الأسس‪ ،‬وشروط تطبيق كل منها‪.‬‬ ‫‪27‬‬

‫الإثراء‬ ‫‪5‬‬ ‫أﺗﺪرب وأﺣﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬ ‫ •و ِّجــه كل طالب إلى البحث في شــبكة الإنترنت عن‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻓﻲ أﺑﺴ ﹺﻂ ﺻﻮر ﹴة‪:‬‬ ‫ورقة عمل تتض َّمن تبســيط المقادير الأسية‪ ،‬ثم حلها‬ ‫وعرضها عليه؛ لتقديــم التغذية الراجعة له‪ ،‬ثم اطلب‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫–‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫إليه حفظها في ملف أعمال الطالب‪.‬‬ ‫‪1 512 9 2‬‬ ‫‪2 125 3 25‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪36‬‬ ‫ •أ ِّكد للطلبة ضرورة توثيق مصدر ورقة العمل‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4 (–243) 5 729‬‬ ‫ﻋﺪد ﻏﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ‪5 (–25) 2 .‬‬ ‫‪6 (–8) 3 -128‬‬ ‫‪z‬‬ ‫–‬ ‫‪4‬‬ ‫×‬ ‫‪z‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪5‬‬ ‫‪√7 x 3‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻓﻲ أﺑﺴ ﹺﻂ ﺻﻮر ﹴة‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9 (a3 × b) 3 a2√3 b 2‬‬ ‫تعليمات المشروع‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪√2 y3‬‬ ‫‪13‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة اســتكمال الخطــوة الثالثة والنتهاء‬ ‫‪11 √6 y9‬‬ ‫‪k2 ×k2‬‬ ‫منها‪ ،‬وبدء العمــل بخطوة عرض نتائج المشــروع‪،‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪k2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪√6 x 17‬‬ ‫وإضافة كل العناصر المطلوبة فيه‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ •في حال واجه الطلبة صعوبة في إعداد العرض‪ ،‬اطلب‬ ‫إليهم استعمال شــبكة الإنترنت‪ ،‬أو الاستعانة بمع ِّلم‬ ‫‪2‬‬ ‫ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻓﻲ أﺑﺴ ﹺﻂ ﺻﻮر ﹴة‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن أ ﹼﹰﻳﺎ ﻣ ﹶﻦ اﻟ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴﺮا ﹺت ﻻ ﻳﺴﺎوي ﺻﻔ ﹰﺮا‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫الحاسوب‪.‬‬ ‫‪40x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫–‪y‬‬ ‫‪7‬‬ ‫–‬ ‫‪27x‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪y‬‬ ‫–‬ ‫‪4‬‬ ‫‪xz2‬‬ ‫‪(a2b3)–2 × ab4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a–1b2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3√y z2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪13‬‬ ‫–‪5x y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫–‬ ‫‪16‬‬ ‫‪4√x 3 y2‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪3x2y‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪y–5‬‬ ‫‪√3 x‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪a2b4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪(8p–6q3) 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(4x –1y 3 ) 2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪12q‬‬ ‫‪(x2y) 3 (xy2) 3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫–‬ ‫‪3‬‬ ‫‪p3‬‬ ‫‪17 2 2‬‬ ‫‪27p3q‬‬ ‫‪(xy) 2‬‬ ‫‪x3 y3‬‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻌﻠﻴﺎ‬ ‫‪ 19‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ اﻟﻌﺒﺎر ﹺة اﻷﹸ ﱢﺳ ﱠﻴ ﹺﺔ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫إرشاد‪ :‬ذ ِّكر الطلبة أنه لا يجوز الاختصار بين‬ ‫‪-1 (–5)43 + (− 1)43 + (5)43‬‬ ‫البسط والمقام في حالة وجود جمع أو طرح في‬ ‫أحدهما في الاسئلة ‪. 21, 22, 23‬‬ ‫‪ 20‬ﺗﺒﺮﻳ ﹲﺮ‪ :‬ﺗﺘﻀﺎﻋ ﹸﻒ ﻋ ﱢﻴﻨ ﹲﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﺨﺘﺒ ﹺﺮ ‪ 3‬ﹶﻣ ﹼﺮا ﹴت ﻛ ﱠﻞ أﺳﺒﻮ ﹴع‪ .‬إذا ﻋﻠ ﹾﻤ ﹸﺖ أ ﱠن ﻓﻴﻬﺎ ‪ 7300‬ﺧﻠﻴ ﹴﺔ ﺑﻜﺘﻴﺮﻳ ﹴﺔ‪ ،‬ﻓﻜ ﹾﻢ ﺧﻠﻴ ﹰﺔ ﺳﻴﺼﺒ ﹸﺢ ﻓﻴﻬﺎ ﺑﻌ ﹶﺪ‬ ‫ﻣﺮو ﹺر ‪ 5‬أﺳﺎﺑﻴ ﹶﻊ؟ ﹸأﺑ ﱢﺮ ﹸر إﺟﺎﺑﺘﻲ‪ .‬اﻧﻈﺮ اﻟﻤﻠﺤﻖ‬ ‫ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻓﻲ أﺑﺴ ﹺﻂ ﺻﻮر ﹴة‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن أ ﹼﹰﻳﺎ ﻣ ﹶﻦ اﻟ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴﺮا ﹺت ﻻ ﻳﺴﺎوي ﺻﻔ ﹰﺮا‪:‬‬ ‫‪35‬‬ ‫–‬ ‫‪1‬‬ ‫–‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪r 2+r 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r2 + r3‬‬ ‫اﻧﻈﺮ اﻟﻤﻠﺤﻖ‬ ‫‪y‬‬ ‫–‪2‬‬ ‫‪2y‬‬ ‫اﻧﻈﺮ اﻟﻤﻠﺤﻖ‬ ‫‪1+x‬‬ ‫‪+ x2‬‬ ‫اﻧﻈﺮ اﻟﻤﻠﺤﻖ‬ ‫‪21‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫–‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2x 2‬‬ ‫–‬ ‫‪2y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫الختام‬ ‫‪ 24‬ﺗﺒﺮﻳ ﹲﺮ‪ :‬ﹸأﻗﺎ ﹺر ﹸن ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﻌﺪد ﹾﻳ ﹺﻦ‪ 2175 :‬ﹶو ‪ 575‬اﻋﺘﻤﺎ ﹰدا ﻋﻠﻰ ﺧﺼﺎﺋ ﹺﺺ اﻷﺳ ﹺﺲ‪ ،‬ﻣ ﹾﻦ دو ﹺن اﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‪ .‬ﹸأﺑ ﱢﺮ ﹸر إﺟﺎﺑﺘﻲ‪.‬‬ ‫نشاط (مسابقة بين المجموعات)‪:‬‬ ‫‪575 < 2175‬‬ ‫‪28‬‬ ‫ •و ِّزع الطلبة إلى مجموعات غير متجانسة‪.‬‬ ‫ •اكتب على اللوح تعبي ًرا أســ ًّيا (يمكن الاستعانة بأحد‬ ‫الســؤالين الآتيين‪ ،‬أو ما تراه مناســ ًبا)‪ ،‬ثم اطلب إلى‬ ‫الطلبة كتابته في أبسط صورة‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫(‬ ‫‪27‬‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ (8a6) 3‬‬ ‫‪9(3a4)-2‬‬ ‫)‪2   √(36a4‬‬ ‫ •المجموعة الفائزة هي التي تكتب المقدار الأســي في‬ ‫أبسط صورة في أسرع وقت‪.‬‬ ‫‪28‬‬

‫َﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ِﺔ اﻷُ ﱢﺳ ﱠﻴ ِﺔ‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫الدرس‬ ‫‪Solving Exponential Equation‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻓﻜﺮ ُة اﻟﺪر ِس ﹶﺣ ﱡﻞ ﻣﻌﺎدﻻ ﹴت ﹸأ ﱢﺳ ﱠﻴ ﹴﺔ‪ ،‬ﹶﺣ ﱡﻞ أﻧﻈﻤ ﹺﺔ ﻣﻌﺎدﻻ ﹴت ﹸأ ﱢﺳ ﱠﻴ ﹴﺔ‪.‬‬ ‫  فكر ُة الدر ِس‬ ‫ •حل معادلة أسية‪.‬‬ ‫اﻟﻤﺼﻄﻠﺤﺎ ُت اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ اﻷﹸ ﱢﺳ ﱠﻴ ﹸﺔ‪.‬‬ ‫ •حل نظام معادلات أسية‪.‬‬ ‫ﺗﺴــﺘﻐﺮ ﹸق اﻟﺰﻧﺒﻘ ﹸﺔ اﻟﻤﺎﺋﻴــ ﹸﺔ ‪ 26‬ﻳﻮ ﹰﻣﺎ ﻟﺘﻨﻤ ﹶﻮ ﺑﺼﻮر ﹴة ﻛﺎﻣﻠــ ﹴﺔ‪ .‬إذا ﻋﻠ ﹾﻤ ﹸﺖ‬ ‫ﻣﺴﺄﻟ ُﺔ اﻟﻴﻮ ِم‬ ‫أ ﱠن اﻟﺰﻫﺮ ﹶة ﺗﻨﻤﻮ ﻳﻮﻣ ﹰﹼﻴﺎ ﺑﻤﻘﺪا ﹺر اﻟ ﱢﻀ ﹾﻌ ﹺﻒ ﻋ ﹺﻦ اﻟﻴﻮ ﹺم اﻟﺴــﺎﺑ ﹺﻖ‪ ،‬ﻓﻜ ﹾﻢ ﻳﻮ ﹰﻣﺎ‬ ‫ﹶﻳﻠﺰ ﹸﻣﻬﺎ ﻟﺘﺼ ﹶﻞ إﻟﻰ ﻧﺼ ﹺﻒ ﻣﺮﺣﻠ ﹺﺔ اﻟﻨﻤ ﱢﻮ؟‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟــ ﹸﺔ اﻷﹸ ﱢﺳــ ﱠﻴ ﹸﺔ )‪ (exponential equation‬ﻫــ ﹶﻲ ﻣﻌﺎدﻟ ﹲﺔ ﺗﺘﻀ ﱠﻤ ﹸﻦ ﻗ ﹰﻮ￯ ﹸأﺳ ﹸﺴــﻬﺎ ﹸﻣﺘﻐ ﱢﻴﺮا ﹲت‪،‬‬ ‫التعلم القبلي‪:‬‬ ‫وﻳﺘﻄ ﱠﻠ ﹸﺐ ﹶﺣ ﱡﻠﻬﺎ ﻛﺘﺎﺑ ﹶﺔ ﻃﺮ ﹶﻓ ﹺﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ﺑﺼﻮر ﹺة ﻗ ﱠﻮ ﹴة ﻟﻸﺳﺎ ﹺس ﻧﻔ ﹺﺴ ﹺﻪ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ اﻟﻤﻘﺎرﻧ ﹶﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﹸأ ﱠﺳ ﹺﻲ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‪،‬‬ ‫ •حل المعادلة الخطية‪.‬‬ ‫ﹶوﻓ ﹶﻖ اﻟﻘﺎﻋﺪ ﹺة اﻟﺘﻲ ﻧ ﱡﺼﻬﺎ‪\" :‬إذا ﺗﺴﺎ ﹶو ﹾت ﻗ ﱠﻮﺗﺎ ﹺن ﻟ ﹸﻬﻤﺎ اﻷﺳﺎ ﹸس ﻧﻔ ﹸﺴ ﹸﻪ‪ ،‬ﻓﺈ ﱠن ﹸأ ﱠﺳ ﹾﻴ ﹺﻬﻤﺎ ﻣﺘﺴﺎوﻳﺎ ﹺن‪\".‬‬ ‫ •حل المعادلة التربيعية‪.‬‬ ‫ •حل نظام من معادلتين‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬ ‫ •تبســيط حــدود ومقادير جبريــة باســتعمال قوانين‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻷﹸ ﱢﺳ ﱠﻴ ﹶﺔ اﻵﺗﻴ ﹶﺔ‪:‬‬ ‫الأسس‪.‬‬ ‫‪1 5 3x+2 = 25 x–1‬‬ ‫‪52 = 25‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪53x+2 = (52)x–1‬‬ ‫اﻷﺳﺎﺳﺎ ﹺن ﻣﺘﺴﺎوﻳﺎ ﹺن‬ ‫)‪53x+2 = 52(x–1‬‬ ‫ﺑﻤﺴﺎوا ﹺة اﻷﺳ ﹺﺲ‬ ‫‪3x + 2 = 2x – 2‬‬ ‫ﺑ ﹶﺤ ﱢﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‬ ‫التهيئة‬ ‫‪x = –4‬‬ ‫ﻗ ﱠﻮ ﹸة اﻟﻘﻮ￯‬ ‫ﺿﺮ ﹸب اﻟﻘﻮ￯‬ ‫‪2‬‬ ‫× ‪8x = 2‬‬ ‫‪1x‬‬ ‫ﺑﻤﺴﺎوا ﹺة اﻷﺳ ﹺﺲ‬ ‫ﹶأﺑﺤــ ﹸﺚ‪ :‬ﻗــ ﱠﻮ ﹸة اﻟﻌــﺪ ﹺد ‪2‬‬ ‫ •اكتب على اللوح معادلة خطية (‪،)linear equation‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺑ ﹶﺤ ﱢﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‬ ‫أ ﹾو ‪ 2x‬ﻣﻬﻤــ ﹲﺔ ﺟ ﹼﹰﺪا ﻓــﻲ ﻋﻠ ﹺﻢ‬ ‫ثم اطلب إلى الطلبة حلها‪.‬‬ ‫‪(23)x = 2 × (2–1) x‬‬ ‫اﻟﺤﺎﺳﻮ ﹺب‪ ،‬ﻟﻤﺎذا؟‬ ‫ •اكتب المعادلة الخطية في صورة أس أساســه العدد ‪5‬‬ ‫‪23x = 2 × 2 –x‬‬ ‫مث ًل‪ ،‬ثم اكتب الطرف الآخر؛ على أن يساوي العدد ‪5‬‬ ‫‪23x = 2 –x+1‬‬ ‫ •اطلب الى الطلبة اقتراح اسم المعادلة الناتجة‪.‬‬ ‫‪3x = –x + 1‬‬ ‫ •اســتمع لإجابات الطلبة من دون تقديم تغذية راجعة‬ ‫لهم‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة تخمين موضوع الدرس‪.‬‬ ‫‪29‬‬ ‫تعزيز اللغة ودعمها‪:‬‬ ‫الاستكشاف‬ ‫‪2‬‬ ‫كــ ِّرر المصطلحات الرياضية المســتخدمة فــي الدرس بكل مــن اللغتين العربية‬ ‫والإنجليزية‪ ،‬وش ِّجع الطلبة على استعمالها‪.‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة المســألة في بند (مسألة اليوم)‪،‬‬ ‫ثم اسألهم‪:‬‬ ‫ »هل يمكــن التعبير عن نمو الزهــر بمعادلة؟ نعم‪،‬‬ ‫‪y = 2x‬‬ ‫ »هل تزداد قيمة ‪ y‬مع ازدياد قيمة ‪ x‬أم تنقص؟ تزداد‪.‬‬ ‫ »ما نوع المعادلة في المسألة؟ معادلة أسية‪.‬‬ ‫ •اســتمع لإجابات الطلبة من دون تقديم تغذية راجعة‬ ‫لهم‪.‬‬ ‫‪29‬‬

‫التدريس‬ ‫‪3‬‬ ‫‪√7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪72‬‬ ‫مثال ‪1‬‬ ‫= ‪(72)x+1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺻﻮر ﹸة اﻷﹸ ﱢس اﻟﻨﺴﺒ ﱢﻲ‬ ‫ •ابدأ بشــرح مفهوم المعادلة الأسية ‪(exponential‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪ ،equation‬ثم اسأل الطلبة‪:‬‬ ‫‪72‬‬ ‫= ‪72x+2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻗ ﱠﻮ ﹸة اﻟﻘﻮ￯‬ ‫ »مــاذا ُيق َصد بحــل المعادلة الأســية؟ إيجاد قيمة‬ ‫المتغير الذي يجعل المعادلة عبارة صحيحة‪.‬‬ ‫‪72x+2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪–1‬‬ ‫ﻗﺴﻤ ﹸﺔ اﻟﻘﻮ￯‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻷﺳﺎﺳﺎ ﹺن ﻣﺘﺴﺎوﻳﺎ ﹺن‬ ‫ » َم ِن اقترح طريقة لحل المعادلة الأسية؟‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫ •استمع لإجابة أحد الطلبة‪ ،‬ثم اسأل زملاءه‪:‬‬ ‫ﺑﻤﺴﺎوا ﹺة اﻷﺳ ﹺﺲ‬ ‫‪72x+2‬‬ ‫=‬ ‫–‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺑ ﹶﺤ ﱢﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‬ ‫ » َم ْن يوافقه في الرأي؟‬ ‫‪2‬‬ ‫ » َم ْن لديه إجابة أخرى؟‬ ‫‪7‬‬ ‫ •استمع لإجابات الطلبة‪ ،‬ثم ق ِّدم لهم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫ •نا ِقــش الطلبة في حــل المثال‪ُ ،‬مؤ ِّكــ ًدا لهم ضرورة‬ ‫‪2x +‬‬ ‫=‪2‬‬ ‫–‬ ‫‪1‬‬ ‫التح ُّقق من صحة الحل بالتعويض في طرفي المعادلة‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫–‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻷﹸ ﱢﺳ ﱠﻴ ﹶﺔ اﻵﺗﻴ ﹶﺔ‪:‬‬ ‫)‪4a‬‬ ‫‪x – 5 = 322x + 1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪15‬‬ ‫× ‪b) 9x = 3‬‬ ‫‪1 x1‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫‪6252x + 1 = 5‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪√5‬‬ ‫‪16‬‬ ‫ﻣﻔﻬﻮ ٌم أﺳﺎﺳ ﱞﻲ‬ ‫اﻟﺼﻴﻐــ ﹸﺔ اﻟﻌﺎﻣــ ﹸﺔ ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن اﻷﹸ ﱢﺳــ ﱢﻲ ﻫــ ﹶﻲ‪ ، y = a(b)x :‬ﺣﻴــ ﹸﺚ ‪ a‬ﹶو ‪ b‬ﻋــﺪدا ﹺن ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ ﹺن‪،‬‬ ‫ﹶو ‪a ≠ 0 , b ≠ 1, b > 0‬‬ ‫إرشاد‪ :‬في المثال ‪ ،1‬و ِّجه الطلبة إلى استعمال‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :2‬ﻣﻦ اﻟﺤﻴﺎة‬ ‫ﻗ ﹾﺪ ﻳﺤﺘﻮي اﻟ ﹺﻐﺮا ﹸم اﻟﻮاﺣ ﹸﺪ ﻣ ﹶﻦ‬ ‫الآلة الحاسبة للتح ُّقق من صحة الحل‪.‬‬ ‫ﺑﺪ ﹶأ ﹾت دﻋﺎ ﹸء ﺗﺠﺮﺑ ﹶﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﻣﺨﺘﺒ ﹺﺮ اﻟﻌﻠﻮ ﹺم ﺑﺎﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹺل ‪ 5000‬ﺧﻠﻴ ﹴﺔ ﺑﻜﺘﻴﺮﻳ ﹴﺔ‪ .‬وﺑﻌ ﹶﺪ ﻣﺮو ﹺر ‪ 3‬ﺳــﺎﻋﺎ ﹴت‬ ‫اﻟﺘﺮﺑ ﹺﺔ ﻋﻠــﻰ ﻧﺤ ﹺﻮ ‪ 1010‬ﺧﻼﻳﺎ‬ ‫ﻻﺣ ﹶﻈ ﹾﺖ أ ﱠن ﻋﺪ ﹶد اﻟﺨﻼﻳﺎ اﻟﺒﻜﺘﻴﺮﻳ ﹺﺔ ﻗ ﹾﺪ أﺻﺒ ﹶﺢ ‪ 11000‬ﺧﻠﻴ ﹰﺔ‪ ،‬وأ ﱠن ﻋﺪ ﹶدﻫﺎ ﻛﺎ ﹶن ﻳﺘﻐ ﱠﻴ ﹸﺮ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒ ﹺﺔ ﻧﻔ ﹺﺴﻬﺎ‬ ‫تنويع التعليم‪:‬‬ ‫ﻛ ﱠﻞ ﺳﺎﻋ ﹴﺔ‪ .‬ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ اﻗﺘﺮا ﹰﻧﺎ ﹸأ ﱢﺳ ﹼﹰﻴﺎ ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ﻋﺪ ﹶد اﻟﺨﻼﻳﺎ اﻟﺒﻜﺘﻴﺮﻳ ﹺﺔ ﺑﻌ ﹶﺪ أ ﱢي ﻋﺪ ﹴد ﻣ ﹶﻦ اﻟﺴﺎﻋﺎ ﹺت‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ أﺳﺘﻌﻤ ﹸﻠ ﹸﻪ‬ ‫ﺑﻜﺘﻴﺮﻳ ﹴﺔ ﻣﺨﺘﻠﻔ ﹺﺔ اﻷﻧﻮا ﹺع‪.‬‬ ‫إذا واجه الطلبة ذوي المســتوى دون المتوسط صعوبة في‬ ‫توحيد الأساس؛ فذ ِّكرهم بنواتج القوة (الأسس) لأعداد‪،‬‬ ‫ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻋﺪ ﹺد اﻟﺨﻼﻳﺎ اﻟﺒﻜﺘﻴﺮﻳ ﹺﺔ ﺑﻌ ﹶﺪ ‪ 12‬ﺳﺎﻋ ﹰﺔ‪.‬‬ ‫‪30‬‬ ‫مثل‪ ،2, 3, 4, 5, 10 :‬وشــ ِّجعهم علــى كتابتها وحفظها؛‬ ‫أو ﹰﻻ‪ :‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻻﻗﺘﺮا ﹶن اﻷﹸ ﱢﺳــ ﱠﻲ اﻟﺬي ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ﻋﺪ ﹶد اﻟﺨﻼﻳﺎ اﻟﺒﻜﺘﻴﺮﻳ ﹺﺔ ﺑﻌ ﹶﺪ أ ﱢي ﻋﺪ ﹴد ﻣ ﹶﻦ اﻟﺴــﺎﻋﺎ ﹺت‪ .‬ﻓﻲ‬ ‫لكي تساعدهم في أثناء الحل‪.‬‬ ‫اﻟﺼﻴﻐ ﹺﺔ اﻟﻌﺎﻣ ﹺﺔ ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن اﻷﹸ ﱢﺳــ ﱢﻲ‪ ،‬ﻳﻮﺟ ﹸﺪ ﹸﻣﺘﻐ ﱢﻴﺮا ﹺن ‪ ،y , x‬وﻫﻤﺎ ﹸﻳﻤ ﱢﺜﻼ ﹺن اﻟﺰﻣ ﹶﻦ وﻋﺪ ﹶد اﻟﺨﻼﻳﺎ‬ ‫اﻟﺒﻜﺘﻴﺮﻳ ﹺﺔ ﻓﻲ ﺗﺠﺮﺑ ﹺﺔ دﻋﺎ ﹶء‪ .‬ﹶأﻓﺘﺮ ﹸض أ ﱠن اﻟﺰﻣ ﹶﻦ ﻫ ﹶﻮ ‪ ، x‬وأ ﱠن ﻋﺪ ﹶد اﻟﺨﻼﻳﺎ اﻟﺒﻜﺘﻴﺮﻳ ﹺﺔ ﻫ ﹶﻮ ‪.y‬‬ ‫ﺑﺪ ﹶأ ﹾت دﻋﺎ ﹸء ﺗﺠﺮﺑ ﹶﺘﻬﺎ ﻋﻨ ﹶﺪ اﻟﺰﻣ ﹺﻦ ‪ ، x = 0‬ﹸﻣﺴﺘﻌ ﹺﻤﻠ ﹰﺔ ‪ 5000‬ﺧﻠﻴ ﹴﺔ ﺑﻜﺘﻴﺮﻳ ﹴﺔ؛ أ ﹾي‪:‬‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫في المثال ‪ ،1‬يخطــئ بعض الطلبة في تطبيق قوانين‬ ‫الأســس عند محاولة إيجاد أساس مشترك في طرفي‬ ‫المعادلة‪ .‬فمث ًل‪:‬‬ ‫قــد يكتبــون ‪ 34y = 9 y + 1‬في صــورة ‪34y = 3 2y + 1‬‬ ‫أو يكتبــون ‪ 2x = 16 2x‬فــي صــورة ‪ 2x = 2 4x‬؛ لذا‬ ‫اطلب إليهم استعمال الأقواس في الخطوات الأولى‬ ‫من الحل‪ ،‬وتجزئة الحل إلى خطوات‪ ،‬أو اســتعمال‬ ‫أي طريقة يجدونها مناسبة‪.‬‬ ‫‪30‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪1‬‬ ‫ مثال ‪ :2‬من الحياة‬ ‫ •اكتــب على اللــوح الصيغة العامة للاقتران الأســي‬ ‫‪y = a (b)x‬‬ ‫اﻟﺼﻴﻐ ﹸﺔ اﻟﻌﺎﻣ ﹸﺔ ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن اﻷﹸ ﱢﺳ ﱢﻲ‬ ‫)‪ ،(exponential function‬ثــم ب ِّيــن للطلبــة‬ ‫‪5000 = a(b)0‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪ ،x = 0‬وﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪y = 5000‬‬ ‫عناصرها‪.‬‬ ‫‪a = 5000‬‬ ‫‪b0 = 1‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة تحديــد المعطيات والمطلوب في‬ ‫‪y = 5000 (b)x‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪a‬‬ ‫المثال؛ لفهم المسألة قبل حلها‪.‬‬ ‫ﻋﻨ ﹶﺪ اﻟﺰﻣ ﹺﻦ ‪ x = 3‬أﺻﺒ ﹶﺢ اﻟﻌﺪ ﹸد ‪ 11000‬ﺧﻠﻴ ﹰﺔ ﺑﻜﺘﻴﺮﻳ ﹰﺔ؛ أ ﹾي‪:‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في خطــوات الحل على اللوح‪ ،‬واطلب‬ ‫‪11000 = 5000 (b)3‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫إليهم تبرير كل خطوة‪.‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤ ﹺﺔ ﻛﻼ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻋﻠﻰ ‪5000‬‬ ‫‪11000‬‬ ‫=‬ ‫‪b3‬‬ ‫إرشادات‪:‬‬ ‫‪5000‬‬ ‫اﻟﺠﺬ ﹸر اﻟﺘﻜﻌﻴﺒ ﱡﻲ ﻟﻠﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫ •في المثــال ‪ ، 2‬قــد يواجه بعــض الطلبة ذوي‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫المســتوى دون المتوســط صعوبة فــي تكوين‬ ‫‪b = ∛151000000‬‬ ‫المعادلــة؛ لــذا ســاعدهم على تحديــد القيم‬ ‫المعطاة في المسألة‪ ،‬وما ُتم ِّثله من متغيرات في‬ ‫‪b ≈ 1.3‬‬ ‫َأﺗﻌ ﱠﻠ ُﻢ‬ ‫ﻹﻳﺠــﺎ ﹺد ﻗﻴﻤــ ﹺﺔ ‪(1.3)12‬‬ ‫الصيغة العامة للاقتران الأسي‪.‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﹸﻳﻤ ﹺﻜﻨﹸﻨﻲ اﻟﺘﻌﺒﻴ ﹸﺮ ﻋ ﹾﻦ ﻋﺪ ﹺد اﻟﺨﻼﻳﺎ اﻟﺒﻜﺘﻴﺮﻳ ﹺﺔ ﺑﻌ ﹶﺪ ‪ x‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﺴﺎﻋﺎ ﹺت ﺑﺎﻻﻗﺘﺮا ﹺن اﻷﹸ ﱢﺳ ﱢﻲ‪:‬‬ ‫ﺑﺎﺳــﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‪،‬‬ ‫ •و ِّجــه الطلبة إلــى اســتعمال الآلة الحاســبة؛‬ ‫‪y = 5000 (1.3)x‬‬ ‫لمســاعدتهم فــي أثنــاء الحــل‪ ،‬ود ِّربهم على‬ ‫أﺿﻐ ﹸﻂ ﻋﻠﻰ اﻷزرا ﹺر‪:‬‬ ‫ﺛﺎﻧ ﹰﻴﺎ‪ :‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻋﺪ ﹶد اﻟﺨﻼﻳﺎ اﻟﺒﻜﺘﻴﺮﻳ ﹺﺔ ﺑﻌ ﹶﺪ ‪ 12‬ﺳﺎﻋ ﹰﺔ‪:‬‬ ‫استعمالها بصورة صحيحة‪.‬‬ ‫‪1.3‬‬ ‫‪y = 5000 (1.3)12‬‬ ‫ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸض ‪ x = 12‬ﻓﻲ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن‬ ‫=‪^ 1 2‬‬ ‫‪y ≈ 116490‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل اﻵﻟ ﹺﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒ ﹺﺔ‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ﺑﻠــ ﹶﻎ ﻋﺪ ﹸد اﻟﺰاﺋﺮﻳــ ﹶﻦ ﻟﻤﻮﻗ ﹴﻊ ﺗﻌ ﱡﻠﻤ ﱟﻲ ﻋﻠﻰ ﺷــﺒﻜ ﹺﺔ اﻹﻧﺘﺮﻧ ﹾﺖ ‪ 579‬زاﺋ ﹰﺮا ﻓﻲ اﻟﻴﻮ ﹺم اﻷو ﹺل ﻣ ﹾﻦ إﻧﺸــﺎ ﹺء‬ ‫اﻟﻤﻮﻗ ﹺﻊ‪ ،‬وﻓــﻲ اﻟﻴﻮ ﹺم اﻟﺘﺎﻟﻲ زا ﹶد اﻟﻌﺪ ﹸد ﻟﻴﺼ ﹶﻞ إﻟﻰ ‪ 1386‬زاﺋ ﹰﺮا‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶن ﻋﺪ ﹸد اﻟ ﱡﺰ ﹼوا ﹺر ﻳﺘﻐ ﱠﻴ ﹸﺮ ﺑﺎﻟﻨﺴــﺒ ﹺﺔ‬ ‫ﻧﻔ ﹺﺴﻬﺎ ﻛ ﱠﻞ ﻳﻮ ﹴم‪ ،‬ﻓ ﹶﺄﻛﺘ ﹸﺐ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ اﻷﹸ ﱢﺳ ﱠﻴ ﹶﺔ اﻟﺘﻲ ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ﻋﺪ ﹶد زاﺋﺮي اﻟﻤﻮﻗ ﹺﻊ ﺑﻌ ﹶﺪ أ ﱢي ﻋﺪ ﹴد ﻣ ﹶﻦ اﻷﻳﺎ ﹺم‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ‬ ‫‪y = 579 (2.4)x-1‬‬ ‫أﺳﺘﻌﻤ ﹸﻠﻬﺎ ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﻋﺪ ﹺد ﹺﻫ ﹾﻢ ﺑﻌ ﹶﺪ ‪ 10‬أﻳﺎ ﹴم‪.‬‬ ‫ﺑﻌﺪ ‪ 10‬أﻳﺎم ﻳﺼﺒﺢ اﻟﻌﺪد ‪ 1494310‬زاﺋ ﹰﺮا‪.‬‬ ‫ﻧﻤﺎ ﻋﺪ ﹸد ﹸﻣﺴــﺘﺨ ﹺﺪﻣﻲ اﻟﻤﻮاﻗ ﹺﻊ‬ ‫اﻟﺘﻌﻠﻴﻤﻴ ﹺﺔ ﺑﻤﺎ ﻧﺴﺒ ﹸﺘ ﹸﻪ ‪ 900%‬ﻣﻨ ﹸﺬ‬ ‫ﹸﻳﺴــﺘﻌ ﹶﻤ ﹸﻞ اﻟﻘﺎﻧﻮ ﹸن ‪ A = p(1 + r)n‬ﻟﺤﺴﺎ ﹺب ﺟﻤﻠ ﹺﺔ اﻟﻤﺒﻠ ﹺﻎ )اﻟﻤﺒﻠ ﹸﻎ ﺑﻌ ﹶﺪ اﺳﺘﺜﻤﺎ ﹺر ﹺه( ﻓﻲ ﺣﺎﻟ ﹺﺔ اﻟﺮﺑ ﹺﺢ‬ ‫ﻋﺎ ﹺم ‪2000‬م‪.‬‬ ‫اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﻛ ﹺﺐ‪ ،‬ﺣﻴ ﹸﺚ ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ‪ A‬ﺟﻤﻠ ﹶﺔ اﻟﻤﺒﻠ ﹺﻎ‪ ،‬ﹶو ‪ p‬اﻟﻤﺒﻠ ﹶﻎ اﻟﺤﺎﻟ ﱠﻲ )اﻟﻤﺒﻠ ﹸﻎ اﻟﻤﺮا ﹸد اﺳــﺘﺜﻤﺎ ﹸر ﹸه(‪ ،‬ﹶو‪ r‬ﻧﺴﺒ ﹶﺔ‬ ‫اﻟﺮﺑ ﹺﺢ‪ ،‬ﹶو‪ n‬اﻟﺰﻣ ﹶﻦ ﺑﺎﻟﺴﻨﻮا ﹺت‪.‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪31‬‬

‫ مثال ‪ :3‬من الحياة‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :3‬ﻣﻦ اﻟﺤﻴﺎة‬ ‫ •و ِّضــح للطلبة مفهــوم جملة المبلغ فــي حالة الربح‬ ‫اﺳــﺘﺜﻤ ﹶﺮ ﺳﻠﻴﻤﺎ ﹸن ‪ 6000‬دﻳﻨﺎ ﹴر ﻓﻲ ﺷﺮﻛ ﹴﺔ ﺻﻨﺎﻋﻴ ﹴﺔ‪ ،‬ﺑﻨﺴــﺒ ﹺﺔ رﺑ ﹴﺢ ﻣﻘﺪا ﹸرﻫﺎ ‪ ،20%‬وﻗ ﹾﺪ أﺻﺒ ﹶﺢ اﻟﻤﺒﻠ ﹸﻎ‬ ‫ال ُمر َّكب‪ُ ،‬مب ِّينًا لهم أنه من التطبيقات المهمة للمعادلة‬ ‫‪A = p(1 + r)n‬‬ ‫ﺑﻌ ﹶﺪ ‪ n‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﺴﻨﻴ ﹶﻦ ‪ 10368‬دﻳﻨﺎ ﹰرا‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﺰﻣ ﹶﻦ ‪.n‬‬ ‫َأﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫الأسية‪.‬‬ ‫ﻗﺎﻧﻮ ﹸن ﺟﻤﻠ ﹺﺔ اﻟﻤﺒﻠ ﹺﻎ‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في خطــوات الحل على اللوح‪ ،‬واطلب‬ ‫‪10368 = 6000 (1 + 0.2)n‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‬ ‫ﻟﺘﺤﻮﻳــ ﹺﻞ ‪ 20%‬إﻟﻰ ﻛﺴــ ﹴﺮ‬ ‫إليهم تبرير كل خطوة‪.‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻘﺴﻤ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ ‪6000‬‬ ‫ﻋﺸﺮ ﱟي‪ ،‬ﹶأﻗ ﹺﺴ ﹸﻢ ﻋﻠﻰ ‪،100‬‬ ‫ •أ ِّكد لهم ضــرورة التح ُّقق من صحة الحل؛ بالتعويض‬ ‫‪216‬‬ ‫=‬ ‫‪(1.2)n‬‬ ‫‪125‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴ ﹺﻂ‬ ‫في المعادلة‪.‬‬ ‫‪3 = (1.2)n‬‬ ‫اﻷﺳﺎﺳﺎ ﹺن ﻣﺘﺴﺎوﻳﺎ ﹺن‬ ‫‪20‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪20%‬‬ ‫=‬ ‫‪100‬‬ ‫=‬ ‫‪0.2‬‬ ‫مثال ‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(1.2)3 = (1.2)n‬‬ ‫ •و ِّضح للطلبة مفهوم نظام المعادلات الأسية‪ ،‬وكيفية‬ ‫حله بطرح الأسئلة الآتية‪:‬‬ ‫‪n=3‬‬ ‫ﺑﻤﺴﺎوا ﹺة اﻷﺳ ﹺﺲ‬ ‫ »ماذا يعني لك اسم (نظام من معادلتين أسيتين)؟‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬اﺳﺘﺜﻤ ﹶﺮ ﺳﻠﻴﻤﺎ ﹸن اﻟﻤﺒﻠ ﹶﻎ ﻣ ﱠﺪ ﹶة ‪ 3‬ﺳﻨﻮا ﹴت‪.‬‬ ‫ »كم متغي ًرا فيه؟‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫ »ما معنى حل نظام المعادلات الأسية؟‬ ‫ »اقترح طريقة لحل النظام‪.‬‬ ‫اﺷﺘﺮ ﹾت ﻏﻴﺪا ﹸء أﺳــﻬ ﹰﻤﺎ ﺑﻤﺒﻠ ﹺﻎ ‪ 50000‬دﻳﻨﺎ ﹴر‪ ،‬ﺑﻨﺴﺒ ﹺﺔ رﺑ ﹴﺢ ﺑﻠ ﹶﻐ ﹾﺖ ‪ ،10%‬وﻗ ﹾﺪ أﺻﺒ ﹶﺢ اﻟﻤﺒﻠ ﹸﻎ ‪60500‬‬ ‫ » َم ْن لديه طريقة أخرى؟‬ ‫‪60500 = 50000(1.1)x‬‬ ‫دﻳﻨﺎ ﹴر ﺑﻌ ﹶﺪ ‪ n‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﺴﻨﻮا ﹺت‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﺰﻣ ﹶﻦ ‪.n‬‬ ‫ •استمع لإجابات الطلبة‪ ،‬وق ِّدم لهم التغذية الراجعة‪ ،‬ثم‬ ‫‪x=2‬‬ ‫و ِّضح مفهوم نظام المعادلتين الأسيتين‪ ،‬وكيفية حله‪.‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في خطــوات الحل على اللوح‪ ،‬واطلب‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜﻨﹸﻨــﻲ ﹶﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ﹴم ﹸﻣﻜ ﱠﻮ ﹴن ﻣ ﹾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﹸأ ﱢﺳــ ﱠﻴﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺑﻜﺘﺎﺑ ﹺﺔ ﻃﺮ ﹶﻓ ﹺﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟــ ﹺﺔ اﻷوﻟﻰ ﻓﻲ ﺻﻮر ﹺة ﻗ ﱠﻮ ﹴة‬ ‫ﻟﻸﺳﺎ ﹺس ﻧﻔ ﹺﺴــ ﹺﻪ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﻣﺴﺎوا ﹺة ﹸأ ﱠﺳ ﹺﻲ اﻟﻄﺮﻓ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﺗﻜﺮا ﹺر ذﻟ ﹶﻚ ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴ ﹺﺔ‪ ،‬ﻓﻴﺘﻜ ﱠﻮ ﹸن ﻧﻈﺎ ﹲم ﻣ ﹾﻦ‬ ‫إليهم تبرير كل خطوة‪.‬‬ ‫ •أ ِّكد لهم ضــرورة التح ُّقق من صحة الحل؛ بالتعويض‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪.‬‬ ‫في المعادلتين‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪4‬‬ ‫إرشاد‪:‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ﹶم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫ •في المثــال ‪ ،4‬قد يواجه بعض الطلبة صعوبة في‬ ‫حل نظام المعادلات باســتعمال طريقة الحذف‬ ‫‪42x × 2y = 64‬‬ ‫(‪ ،)elimination‬أو التعويض (‪)substitute‬؛‬ ‫‪9x × 3y = 81‬‬ ‫لذا ذ ِّكرهم بهاتين الطريقتين بذكر مثال بسيط‪.‬‬ ‫‪42x × 2y = 64‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ اﻷﹸ ﱢﺳ ﱠﻴ ﹸﺔ اﻷوﻟﻰ‬ ‫‪(22) 2x × 2y = 26‬‬ ‫ﺑﺘﺤﻠﻴ ﹺﻞ اﻟﻌﺪد ﹾﻳ ﹺﻦ ‪ 4‬ﹶو‪ 64‬إﻟﻰ ﻋﻮاﻣ ﹺﻠ ﹺﻬﻤﺎ اﻷوﻟﻴ ﹺﺔ‬ ‫‪24x × 2y = 26‬‬ ‫ﻗ ﱠﻮ ﹸة اﻟﻘﻮ￯‬ ‫‪24x+y = 26‬‬ ‫ﺿﺮ ﹸب اﻟﻘﻮ￯‬ ‫‪4x + y = 6‬‬ ‫ﺑﻤﺴﺎوا ﹺة اﻷﺳ ﹺﺲ‬ ‫‪32‬‬ ‫‪32‬‬

‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪1‬‬ ‫التدريب‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺑﺘﻄﺒﻴ ﹺﻖ اﻟﺨﻄﻮا ﹺت ﻧﻔ ﹺﺴﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴ ﹺﺔ ﺗﻨﺘ ﹸﺞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹸﺔ اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹸﺔ ‪2x + y = 4‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة الأســئلة في بند (أتدرب وأحل‬ ‫المسائل)‪ ،‬ثم اطلب إليهم حلها‪.‬‬ ‫‪4x + y = 6‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ﹶم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻟﺨ ﱢﻄ ﱠﻲ اﻟﻨﺎﺗ ﹶﺞ ﺑﺎﻟﺤﺬ ﹺف‪:‬‬ ‫َأﺗﺬ ﱠﻛ ُﺮ‬ ‫ •إذا واجــه بعــض الطلبة صعوبة في حل أي مســألة‪،‬‬ ‫‪(–) 2x + y = 4‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﹺﻜﻨﹸﻨــﻲ ﹶﺣــ ﱡﻞ ﻧﻈــﺎ ﹺم‬ ‫فاختر طال ًبا تم َّكن من حل المسألة‪ ،‬واطلب إليه كتابة‬ ‫اﻟﻤﻌــﺎدﻻ ﹺت اﻟﺨ ﱢﻄــ ﱢﻲ‬ ‫‪2x = 2‬‬ ‫ﺑﻄﺮ ﹺح اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‬ ‫حله على اللوح‪.‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺤﺬ ﹺف‪ ،‬أ ﹺو اﻟﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ‪.‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻘﺴﻤ ﹺﺔ ﻋﻠﻰ ‪x = 1 2‬‬ ‫‪4(1) + y = 6‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ﻗﻴﻤ ﹺﺔ ‪ x‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴ ﹺﺔ‬ ‫‪4+y=6‬‬ ‫ﺑ ﹶﺤ ﱢﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ‬ ‫‪y=2‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬ﹶﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ﹺم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت ﻫ ﹶﻮ‪x = 1 , y = 2 :‬‬ ‫‪( )4x‬‬‫‪13‬‬‫‪,‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ‬ ‫  الواجب المنزلي‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪256y‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ﹶم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة ح ّل مســائل الــدرس جميعها من‬ ‫كتاب التمارين واج ًبا منزل ًّيا‪ ،‬لكن ح ِّد ِد المسائ َل التي‬ ‫‪= 64‬‬ ‫يمكنهم ح ّلها في نهاية كل حصة بحسب ما يت ّم تقديمه‬ ‫‪32x × 9y = 243‬‬ ‫من أمثلة الدرس وأفكاره‪.‬‬ ‫أﺗﺪرب وأﺣﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬ ‫ •يمكــن أيضا إضافة المســائل التي لــم يح ّلها الطلبة‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻷﹸ ﱢﺳ ﱠﻴ ﹶﺔ اﻵﺗﻴ ﹶﺔ‪:‬‬ ‫داخل الغرفة الصفية إلى الواجب المنزلي‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪64 = (32)3–x‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪815x + 1 = 274x – 3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪128x – 5 = 2‬‬ ‫‪71‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪√2‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪( )11 3x + 1‬‬ ‫‪x+7‬‬ ‫‪4x + 5‬‬ ‫‪√28 7x – 2 7‬‬ ‫‪2 11‬‬ ‫= ‪√7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪647x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5 √11‬‬ ‫‪= 11 3.75‬‬ ‫‪( )6‬‬ ‫‪164x‬‬ ‫‪58‬‬ ‫–‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7 9x2 × 27x2 = 243 x = 1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪52x × 25x = 125‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2x2‬‬ ‫×‬ ‫‪26x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-1 , -5‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪4‬‬ ‫‪32‬‬ ‫ •و ِّزع الطلبة إلى مجموعات غير متجانســة‪ ،‬ثم و ِّجههم‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ أﻧﻈﻤ ﹶﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹶﺔ‪:‬‬ ‫إلى حل المسائل‪.‬‬ ‫‪10 5y = 25x–3‬‬ ‫‪11 3y = 32x+y‬‬ ‫‪12 52x × 25y = 125‬‬ ‫ •نا ِقش أفراد كل مجموعة في إجاباتها‪.‬‬ ‫‪125y = 25x–1 x = 4, y = 2‬‬ ‫‪27y = 27x+3 x = 0, y = 3‬‬ ‫‪8x‬‬ ‫=‬ ‫‪16‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ •اطلب إلى أفراد كل مجموعة تبرير حلهم في كل مسألة‬ ‫‪2y‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫(يمكن توجيه أفراد كل مجموعــة إلى تقييم حل أفراد‬ ‫‪33‬‬ ‫مجموعة أخرى)‪.‬‬ ‫ •استمع لإجابات أفراد المجموعات‪ ،‬وق ِّدم لهم التغذية‬ ‫الراجعة‪.‬‬ ‫‪33‬‬

‫الإثراء‬ ‫‪5‬‬ ‫ • ُح َّل المعادلة الأسية‪22x - 2x+4 + 64 = 0 :‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪92–x = 816y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪16–x‬‬ ‫‪= 16–3y–3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪92–n‬‬ ‫=‬ ‫‪3m2 - 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪64 –3x‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪–2x–3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪8x2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2m2 × 2n = 64‬‬ ‫‪216‬‬ ‫‪= 363y‬‬ ‫‪2y + 1‬‬ ‫‪(0,‬‬ ‫)‪-1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫(‬ ‫‪7‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪15043‬‬ ‫)‪(m, n) = (-3,3), (3, -3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ • ُح َّل نظام المعادلات الآتي‪:‬‬ ‫‪ 164x-1‬‬ ‫ ‬ ‫‪= 4y+x‬‬ ‫‪ 16‬ﺛﻘﺎﻓ ﹲﺔ ﻣﺎﻟﻴ ﹲﺔ‪ :‬ﻳﺘﻀﺎﻋ ﹸﻒ ﻣﺒﻠ ﹲﻎ ﻳﺴــﺘﺜﻤ ﹸﺮ ﹸه ﻋﻠ ﱞﻲ ‪ 3‬أﺿﻌﺎ ﹴف ﻛ ﱠﻞ ﺷﻬ ﹴﺮ‪ .‬إذا أﺻﺒ ﹶﺢ اﻟﻤﺒﻠ ﹸﻎ ﺑﻌ ﹶﺪ ‪ 4‬ﺷﻬﻮر ‪ 1701‬دﻳﻨﺎ ﹰرا‪ ،‬ﻓﻜ ﹾﻢ دﻳﻨﺎ ﹰرا‬ ‫‪64y-2‬‬ ‫ﻛﺎ ﹶن رأ ﹸس اﻟﻤﺎ ﹺل؟ اﻧﻈﺮ اﻟﻤﻠﺤﻖ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 17‬ﺳﻴﺎر ﹲة‪ :‬اﺷــﺘﺮ￯ ﺳﻌﻴ ﹲﺪ ﺳﻴﺎر ﹰة ﺑﻤﺒﻠ ﹺﻎ ‪ 15000‬دﻳﻨﺎ ﹴر‪ .‬إذا ﹶﻗ ﱠﻠ ﹾﺖ ﻗﻴﻤ ﹸﺔ اﻟﺴﻴﺎر ﹺة ﺑﻨﺴﺒ ﹺﺔ ‪ 20%‬ﺳﻨﻮ ﹰﹼﻳﺎ‪ ،‬ﻓﺒﻌ ﹶﺪ ﻛ ﹾﻢ ﺳﻨ ﹴﺔ ﺗﺼﺒ ﹸﺢ ﻗﻴﻤ ﹸﺘﻬﺎ‬ ‫‪(625- 2 )4-y‬‬ ‫ ‬ ‫‪64y-2‬‬ ‫‪ = 5 2x + 4y‬‬ ‫‪ 6144‬دﻳﻨﺎ ﹰرا؟ ﺑﻌﺪ ‪ 4‬ﺳﻨﻮات‬ ‫تعليمات المشروع‪:‬‬ ‫‪ 18‬ﺑﻜﺘﻴﺮﻳﺎ‪ :‬ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﻤﻘﺪا ﹸر ‪ 3t–2‬ﻋﺪ ﹶد اﻟﺨﻼﻳﺎ اﻟﺒﻜﺘﻴﺮﻳ ﹺﺔ ﻓﻲ ﺗﺠﺮﺑ ﹴﺔ ﻣﺨﺒﺮﻳ ﹴﺔ ﺑﻌ ﹶﺪ ﻣﺮو ﹺر ‪ t‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﺴﺎﻋﺎ ﹺت‪ .‬ﻣﺎ اﻟﺰﻣ ﹸﻦ اﻟﻼز ﹸم ﻟﻴﺼﺒ ﹶﺢ‬ ‫ﻋﺪ ﹸد اﻟﺨﻼﻳﺎ اﻟﺒﻜﺘﻴﺮﻳ ﹺﺔ ‪ 2187‬ﺧﻠﻴ ﹰﺔ؟ اﻧﻈﺮ اﻟﻤﻠﺤﻖ‬ ‫ •ذ ِّكر الطلبــة بقرب موعــد عرض نتائج المشــروع‪،‬‬ ‫‪ 19‬ﻫﻨﺪﺳ ﹲﺔ‪ :‬ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ ﻓﻲ أﺑﺴ ﹺﻂ ﺻﻮر ﹴة ﻋﺒﺎر ﹰة ﹸأ ﱢﺳ ﱠﻴ ﹰﺔ ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ﺣﺠ ﹶﻢ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ‪ .‬اﻧﻈﺮ اﻟﻤﻠﺤﻖ‬ ‫ووجوب الانتهاء مــن تجهيزه‪ ،‬والتح ُّقــق من توافر‬ ‫العناصر المطلوبة جميعها؛ استعدا ًدا لعرضه‪.‬‬ ‫ •ذ ِّكــر الطلبة بأداة تقييم المشــروع الــواردة في بداية‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫الوحدة‪.‬‬ ‫‪42x+1‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪8x+1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪51+5x‬‬ ‫الختام‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻌﻠﻴﺎ ‪ 23 - 20‬اﻧﻈﺮ اﻟﻤﻠﺤﻖ‬ ‫مسابقة (التحديات الثلاثة)‪:‬‬ ‫‪ 20‬ﺗﺒﺮﻳ ﹲﺮ‪ :‬ﻫ ﹾﻞ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﹶﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻷﹸ ﱢﺳ ﱠﻴ ﹺﺔ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪ 2 + 2x = 1 :‬؟ ﹸأﺑ ﱢﺮ ﹸر إﺟﺎﺑﺘﻲ‪.‬‬ ‫ •أح ِضر ثلاثــة صناديق‪ ،‬ثم اكتب علــى الأول عبارة‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 21‬ﺗﺒﺮﻳ ﹲﺮ‪ :‬ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ اﻵﺗﻴ ﹶﺔ‪ ،‬ﹸﻣﺒ ﱢﺮ ﹰرا ﺧﻄﻮا ﹺت اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫–‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫(التحدي ‪ ،)1‬واكتب على الثاني عبارة‪( :‬التحدي ‪،)2‬‬ ‫‪ 22‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬ﻣﺎ ﻗﻴﻤ ﹸﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹾﻦ ‪ x‬ﹶو ‪ y‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫واكتب على الثالث عبارة‪( :‬التحدي ‪.)3‬‬ ‫‪36x – y + 1‬‬ ‫‪= 48x + y‬‬ ‫ •ضــع مجموعة من الأوراق في كل صندوق‪ُ ،‬كتِب في‬ ‫‪54x + y – 1‬‬ ‫‪ 23‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ﹶم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻷﹸ ﱢﺳ ﱠﻴ ﹺﺔ اﻵﺗ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫كل منها سؤال مناسب (استعن بالجدول الآتي)‪.‬‬ ‫ »حل المعادلة‪. .............. :‬‬ ‫‪2x + 3y = 10‬‬ ‫‪2x + 1 + 3y + 1 = 29‬‬ ‫ )‪a‬‬ ‫ ‪x-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‬ ‫ )‪ b‬‬ ‫ ‪x -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‪ = 25x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫التحدي‬ ‫‪34‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪c)  x2x-1 = 3x+1  d) 22y × 22-y = 2-y‬‬ ‫ ‪a)  252x = 51-x‬‬ ‫ ‪b) 81-‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ = 272y+1‬‬ ‫التحدي‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‪c) ( 40196 )-‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ = 162z-1‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪1‬‬ ‫التحدي‬ ‫‪a)  2 2-x × 32x = 108‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪b)  1875 = 32x-1 ×53+x‬‬ ‫‪c) 23x+1 × 55+2x = 800‬‬ ‫ •ق ِّسم مجموعة من طلبة الصف إلى فريقين (كل فريق‬ ‫يتأ َّلف من ‪ 5‬طلبة)‪.‬‬ ‫ •اطلــب إلى أفراد كل مجموعة ترشــيح متســابق من‬ ‫فريقهم لســحب ورقة من صندوق (التحدي ‪ ،)1‬ثم‬ ‫حل السؤال المكتوب في الورقة خلال دقيقتين‪.‬‬ ‫ •يحصل الفريق الذي إجابته صحيحة على نقطة‪.‬‬ ‫ •ك ِّرر الخطوة الســابقة للصندوق الثاني‪ ،‬ثم الثالث مع‬ ‫متابعة تسجيل النقاط‪.‬‬ ‫ •الفريق الفائز هو الذي يجمع نقا ًطا أكث َر‪.‬‬ ‫‪34‬‬

‫اﺧﺘﺒﺎ ُر ﻧﻬﺎﻳ ِﺔ اﻟﻮﺣﺪ ِة‬ ‫الوحد ُة‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻛ ﹰﹼﻼ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻷﹸ ﱢﺳ ﱠﻴ ﹺﺔ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻛ ﱠﻞ ﻧﻈﺎ ﹺم ﻣﻌﺎدﻻ ﹴت ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹶﺗﺤ ﱠﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ﹺﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ اﻟﺤ ﱢﻞ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪c11x=57 =-52-127010–,.315c==25212x–91x‬‬ ‫–‪c‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1 y = 4x‬‬ ‫‪2 y − x = 15‬‬ ‫التقويم الختامي‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = 5 – x2‬‬ ‫‪x2 + y2 = 64‬‬ ‫ •و ِّزع الطلبــة إلى مجموعات غير متجانســة‪ ،‬ثم و ِّزع‬ ‫‪14 5 2 = 52t –1‬‬ ‫)‪(1, 4), (-5, -20‬‬ ‫ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﻟﻠﻨﻈﺎم‪.‬‬ ‫على كل منها الأسئلة (‪.)1-18‬‬ ‫=‪t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ •اطلب إلى أفراد كل مجموعة مناقشة إجابات الأسئلة‬ ‫‪3‬‬ ‫الخاصة بهم‪.‬‬ ‫‪16 432 = 3x+1 × 22x‬‬ ‫‪3 y = x2 − 4x + 5‬‬ ‫‪4 y = −x2 − x + 12‬‬ ‫ •تج َّول بين أفــراد المجموعات ُمر ِشــ ًدا و ُمســا ِع ًدا‬ ‫‪x=2‬‬ ‫‪y = −x2 + 5‬‬ ‫‪y = x2 + 7x + 12‬‬ ‫)‪(2, 1), (0, 5‬‬ ‫)‪(-4, 0), (0, 12‬‬ ‫و ُمو ِّج ًها‪ ،‬وق ِّدم لهم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻛ ﱠﻞ ﻧﻈﺎ ﹺم ﻣﻌﺎدﻻ ﹴت ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫ •نا ِقش أفراد المجموعات في حل بعض المسائل على‬ ‫‪18 36x+4 = 6y‬‬ ‫‪19 52x+4 = 5y–3‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ c‬ﺛﺎﺑ ﹰﺘﺎ ﻓﻲ ﻧﻈﺎ ﹺم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗﻲ‪ ،‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ‪:‬‬ ‫اللوح‪.‬‬ ‫‪36y = 36x+6‬‬ ‫‪7y–x = 49‬‬ ‫‪3x − 2y = 7‬‬ ‫تدري ٌب على الاختبارا ِت الدولي ِة‬ ‫)‪(-2, 4‬‬ ‫)‪(-5, -3‬‬ ‫‪x2 − y2 = c‬‬ ‫ع ِّرف الطلبــة بالاختبــارات الدولية‪ُ ،‬مب ِّينًا لهــم أهميتها‬ ‫ﺗﺪرﻳ ﹲﺐ ﻋﻠﻰ اﻻﺧﺘﺒﺎرا ﹺت اﻟﺪوﻟﻴ ﹺﺔ‬ ‫ﹶﺣ ﱠﻞ ﻫﺬا اﻟﻨﻈﺎ ﹺم‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن ‪(3, 1), (5.4, 4.6) c = 8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫مســتعينًا بالمعلومة أدناه‪ ،‬ثم و ِّجههم إلى حل الأسئلة في‬ ‫‪6‬‬ ‫بند (تدريب على الاختبــارات الدولية) بصورة فردية‪ ،‬ثم‬ ‫‪ 20‬أ ﱡي اﻷزوا ﹺج اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﺗﺒ ﹺﺔ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ﹶﺣ ﹰﹼﻼ ﻟﻨﻈﺎ ﹺم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت‪:‬‬ ‫ﺟﻤﻴ ﹶﻊ ﻗﻴ ﹺﻢ ‪ c‬اﻟﻤﻤﻜﻨ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ ﻻ ﺗﺠﻌ ﹸﻞ ﻟﻠﻨﻈﺎ ﹺم أ ﱠي ﹶﺣ ﱟﻞ‪.‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c ≥ 10‬‬ ‫‪7‬‬ ‫نا ِقشهم في إجاباتها على اللوح‪.‬‬ ‫‪x2 + y2 = 4‬‬ ‫أﺟ ﹸﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋ ﹶﺔ ﺣ ﱢﻞ اﻟﻤﺘﺒﺎﻳﻨ ﹺﺔ‪ 3 − 7y < 6x2 :‬ﺑﺤ ﱢﻞ ﻧﻈﺎ ﹺم‬ ‫يتقدم طلبة الصف العاشــر فــي الأردن لاختبار البرنامج‬ ‫‪3x + y = 6‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗﻲ‪ :‬اﻧﻈﺮ اﻟﻤﻠﺤﻖ‬ ‫الدولــي لتقييم أداء الطلــب)‪ (PISA‬في مجالات القراءة‬ ‫والرياضيــات والعلوم‪ ،‬وفيمــا يخــص الرياضيات فإن‬ ‫)‪a) (1, 3‬‬ ‫)‪b) (0, 2‬‬ ‫‪y = 3 − 7x‬‬ ‫المعرفــة الرياضية وفق هــذا البرنامج ُيع ّبــر عنها بمدى‬ ‫)‪c) (2, 0‬‬ ‫)‪d) (−2, −2‬‬ ‫‪y = 6x2‬‬ ‫قدرة الفــرد على صياغة‪ ،‬وتوظيف‪ ،‬وتفســير الرياضيات‬ ‫في أوضــاع مختلفــة‪ ،‬إذ تتضمــن القدرة علــى التفكير‬ ‫‪ 21‬اﻟﻌﺒﺎر ﹸة اﻟﺠﺒﺮﻳ ﹸﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﺠ ﹸﺐ وﺿ ﹸﻌﻬﺎ ﻓــﻲ اﻟﻤﺮ ﱠﺑ ﹺﻊ اﻟﻔﺎر ﹺغ‬ ‫ﹶأﻛﺘ ﹸﺐ ﻛ ﹼﹰﻼ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻓﻲ أﺑﺴ ﹺﻂ ﺻﻮر ﹴة‪:‬‬ ‫الرياضــي واســتخدام المفاهيم والإجــراءات والحقائق‬ ‫والأدوات لوصف الظواهر والتنبؤ بها‪ .‬و تسعى لمساعدة‬ ‫‪2‬‬ ‫صانعي القرارات وراســمي السياسات التربوية في الدول‬ ‫‪64 3 16‬‬ ‫المشــاركة على تحديد معايير حقيقية وواقعية لأداء نظمها‬ ‫‪a‬‬ ‫= ‪ 8x2 y3‬ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫‪2y‬‬ ‫ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪27 9‬‬ ‫التربوية‪ ،‬وتعينهــم في تقييم النجاحــات أو الإخفاقات‪،‬‬ ‫□‬ ‫‪x‬‬ ‫‪23 × 2–4‬‬ ‫وهذه الدراســات والبرامج يشــارك الأردن فــي دوراتها‬ ‫بانتظام منذ أوائل تسعينات القرن العشرين‪ .‬عليك عزيزي‬ ‫‪(16p4‬‬ ‫)‪q–2‬‬ ‫–‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(27a‬‬ ‫‪3‬‬ ‫–)‪b–6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫المعلم تشجيع الطلبة على الاهتمام بحل مثل هذه الأسئلة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫والاهتمام بالمشاركة في الدراسات وبرامج القييم الدولية‬ ‫‪a) 2x4y‬‬ ‫‪b) 4x4y2‬‬ ‫بكل جدية‪ ،‬وتضمين امتحاناتك المدرسية مثل نوعية هذه‬ ‫‪10‬‬ ‫–)‪(64p2q–1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪√2 q 5‬‬ ‫‪11‬‬ ‫–)‪(729a4b–2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 √a 3b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الأسئلة‪.‬‬ ‫‪c) 2xy‬‬ ‫‪d) x2y2‬‬ ‫‪8p5‬‬ ‫‪ 22‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﺟﻤﻴ ﹶﻊ ﻗﻴ ﹺﻢ ‪ p‬اﻟﺘــﻲ ﺗﺠﻌ ﹸﻞ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺨ ﱢﻄﻴ ﹺﺔ‬ ‫ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹾﻦ ‪ a‬ﹶو ‪ b‬ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪ y =2x + p‬ﻻ ﻳﻘﻄ ﹸﻊ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹺﺔ ‪p ≤ -2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪. y = x2 + 3x − 1‬‬ ‫‪27x 3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫= ‪3a x b‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪x2 –x2‬‬ ‫‪= xa‬‬ ‫‪x– x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪3,‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫‪a = -0.5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪35‬‬

‫كتاب التمارين‬ ‫َﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ٍم ُﻣﻜ ﱠﻮ ٍن ﻣ ْﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻴْ ِﻦ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴﺘ ْﻴ ِﻦ‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫َﺣ ﱡﻞ ﻧﻈﺎ ٍم ُﻣﻜ ﱠﻮ ٍن ﻣ ْﻦ ﻣﻌﺎدﻟ ٍﺔ ﺧﻄﱢﻴ ٍﺔ وﻣﻌﺎدﻟ ٍﺔ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴ ٍﺔ‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻛ ﹼﹰﻼ ﻣ ﹾﻦ أﻧﻈﻤ ﹺﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ أﺗﺤ ﱠﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ﹺﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ‪:‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻛ ﹰﹼﻼ ﻣ ﹾﻦ أﻧﻈﻤ ﹺﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴ ﹺﺔ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ أﺗﺤ ﱠﻘ ﹸﻖ ﻣ ﹾﻦ ﹺﺻ ﱠﺤ ﹺﺔ اﻟ ﹶﺤ ﱢﻞ‪:‬‬ ‫‪1 y = x2 – 6x + 9‬‬ ‫‪2 y – 3x2 = x + 2‬‬ ‫‪3 y = 0.5x2 + 0.5x + 1‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪةﹸ ‪ :1‬اﻷﺳﺲﹸ واﻟﻤﻌﺎدﻻتﹸ‬ ‫‪1 y = 7x +15‬‬ ‫‪2 y−x=1‬‬ ‫‪3 y − x = 10‬‬ ‫‪y = x2 – 3x‬‬ ‫‪y = –6x2 + 7x‬‬ ‫‪y = –x2 + 2x + 4‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪةﹸ ‪ :1‬اﻷﺳﺲﹸ واﻟﻤﻌﺎدﻻتﹸ‬ ‫‪y = 3x2 + 5x − 2‬‬ ‫‪y = 2x2 − 11x + 16‬‬ ‫‪x2 + y2 = 50‬‬ ‫)‪(3, 0‬‬ ‫ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ‬ ‫)‪(2, 4), (-1, 1‬‬ ‫)‪(-2.07 , 0.5‬‬ ‫)‪(1.77, 2.775), (4.22, 5.22‬‬ ‫)‪(-5, 5‬‬ ‫‪4 y = 2x2 + 8x + 4‬‬ ‫‪5 y – x2 = 0‬‬ ‫‪6 y = x2 + x – 1‬‬ ‫‪4 x + y = 20‬‬ ‫‪y = x2 + 2x + 4‬‬ ‫‪y + x2 = 0‬‬ ‫‪y = 5 – x2‬‬ ‫‪x2 − y2 = 16‬‬ ‫‪5 y−x=0‬‬ ‫‪6 y = 2x − 5‬‬ ‫)‪(0, 4), (-6, 28‬‬ ‫)‪(0, 0‬‬ ‫)‪(1.5, 2.75), (-2, 1‬‬ ‫)‪(10.4, 9.6‬‬ ‫‪y = x2 + 3x + 2‬‬ ‫‪y = x2 − 2x‬‬ ‫‪7 y = x2 + x + 2‬‬ ‫‪8 y = x2 + 2x + 2‬‬ ‫‪9 y = –x2 + 2x + 2‬‬ ‫‪7 y=x−1‬‬ ‫ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﻟﻠﻨﻈﺎم‪.‬‬ ‫ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﻟﻠﻨﻈﺎم‪.‬‬ ‫‪y + x2 + 2 = 0‬‬ ‫‪y = –x2 – 2x + 2‬‬ ‫‪y = –x2 – 2x + 2‬‬ ‫‪y = x2 − 3x + 2‬‬ ‫ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ‬ ‫)‪(0, 2), (-2, 2‬‬ ‫)‪(0, 2‬‬ ‫)‪(1, 0), (3, 2‬‬ ‫‪8 y − 2x = 1‬‬ ‫‪9 y−x+1=0‬‬ ‫‪y = 5x2 + 4y − 1‬‬ ‫‪y = x2 + 3x‬‬ ‫‪10 y2 = –x2 + 4‬‬ ‫‪11 4y + 9x2 = 25‬‬ ‫‪12 x2 + y2 = 16‬‬ ‫‪10 y = 2‬‬ ‫‪y = 0.5x2 –2‬‬ ‫‪y – x2 = 3x – 4‬‬ ‫‪y2 = (x – 3)2‬‬ ‫‪x2 + y2 = 4‬‬ ‫)‪(-0.86, -0.73), (0.46, 1.93‬‬ ‫ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﻟﻠﻨﻈﺎم‪.‬‬ ‫)‪(0, -2), (-2, 0), (2, 0‬‬ ‫)‪(1.3, 1.57), (0.46, -2.4‬‬ ‫)‪(3.91, 0.83), (1.03, 3.86‬‬ ‫)‪(0, 2‬‬ ‫‪11 y − x = 1‬‬ ‫‪12 y = 2 − 3x‬‬ ‫‪ 13‬ﻛﺮ ﹸة ﻃﺎﺋﺮ ﹴة‪ :‬ﻓﻲ أﺛﻨﺎ ﹺء ﻟﻌ ﹺﺐ ﺳــﺎﻣﻴ ﹶﺔ وﻫﻨ ﹶﺪ ﻛﺮ ﹶة اﻟﻄﺎﺋﺮ ﹺة‪ ،‬ر ﹶﻣ ﹾﺖ ﺳﺎﻣﻴ ﹸﺔ اﻟﻜﺮ ﹶة ﻋﻠﻰ ﺷﻜ ﹺﻞ ﻣﻨﺤﻨﹰﻰ ﻣﻌﺎدﻟ ﹸﺘ ﹸﻪ ‪ ،y = –x2 + 3‬ﺛ ﱠﻢ ر ﹶﻣ ﹾﺖ‬ ‫‪y = x2 + 6x + 8‬‬ ‫‪y = x2 − 4x + 3‬‬ ‫ﻫﻨ ﹸﺪ اﻟﻜﺮ ﹶة ﻋﻠﻰ ﺷﻜ ﹺﻞ ﻣﻨﺤﻨﹰﻰ ﻣﻌﺎدﻟ ﹸﺘ ﹸﻪ ‪ . y = –x2 + 2x‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ إﺣﺪاﺛﻴﺎ ﹺت ﻧﻘﻄ ﹺﺔ اﻟﺘﻘﺎ ﹺء اﻟﻜﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ‪.‬‬ ‫ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﻟﻠﻨﻈﺎم‪.‬‬ ‫ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ ﻟﻠﻨﻈﺎم‪.‬‬ ‫)‪y (1.5, 0.75‬‬ ‫‪x2 + y2 = 900‬‬ ‫‪ 13‬ﺣﺪاﺋ ﹸﻖ‪ :‬ﺣﺪﻳﻘ ﹲﺔ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠ ﹸﺔ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ‪ ،‬ﻃﻮ ﹸل ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ ‪ ،30 m‬وﻣﺤﻴ ﹸﻄﻬﺎ ‪ .84 m‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﹸﺑ ﹾﻌ ﹶﺪ ﹾﻳﻬﺎ‪.‬‬ ‫‪2x + 2y = 84‬‬ ‫)‪⇒ (x, y) = (24, 18‬‬ ‫‪20‬‬ ‫وﻣﺤﻴ ﹸﻄﻬﺎ ‪ .8 m‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﹸﺑ ﹾﻌ ﹶﺪ ﹾﻳﻬﺎ‪.‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪√34‬‬ ‫‪m‬‬ ‫ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮﻫﺎ‬ ‫ﻃﻮ ﹸل‬ ‫اﻟﺸﻜ ﹺﻞ‪،‬‬ ‫ﻣﺴﺘﻄﻴﻠ ﹶﺔ‬ ‫ﹶﺳ ﹼﺠﺎد ﹰة‬ ‫ﻟﻴﻠﻲ‬ ‫اﺷﺘ ﹶﺮ ﹾت‬ ‫ﹶﺳ ﹼﺠﺎ ﹲد‪:‬‬ ‫= )‪, 2x + 2y = 8 , (x, y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪√34‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪15 y = 20 - x2‬‬ ‫= ‪x2 + y2‬‬ ‫)‪(2.5, 1.5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 14‬أﺑﺮا ﹲج‪ :‬أرا ﹶد ﻣﺮﻛ ﹸﺰ ﺣﺮاﺳ ﹴﺔ إﻳﺠﺎ ﹶد ﻧﻘﺎ ﹺط اﻟﺘﻘﺎﻃ ﹺﻊ اﻟ ﹸﻤﺒ ﱠﻴﻨ ﹺﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﻤﺠﺎو ﹺر‬ ‫ﻣﺮ ﱠﺑ ﹶﻌ ﹾﻲ‬ ‫دﻳﻨﺎر ﹾﻳ ﹺﻦ‪،‬‬ ‫ﻫ ﹶﻮ‬ ‫ﻫﺪﻳ ﹸﻞ‬ ‫أﺧ ﹸﺘﻬﺎ‬ ‫ا ﱠدﺧ ﹶﺮ ﹾﺗ ﹸﻪ‬ ‫اﻟﺬي‬ ‫واﻟﻤﺒﻠ ﹸﻎ‬ ‫رزا ﹸن‬ ‫ا ﱠدﺧ ﹶﺮ ﹾﺗ ﹸﻪ‬ ‫اﻟﺬي‬ ‫اﻟﻤﺒﻠ ﹺﻎ‬ ‫ﺑﻴ ﹶﻦ‬ ‫اﻟﻔﺮ ﹸق‬ ‫ﻛﺎ ﹶن‬ ‫إذا‬ ‫ا ﱢدﺧــﺎ ﹲر‪:‬‬ ‫‪15‬‬ ‫وﻛﺎ ﹶن ﻣﺠﻤﻮ ﹸع‬ ‫‪1100‬‬ ‫‪x2 + y2 = 64‬‬ ‫ﻟﺘﺮﻛﻴ ﹺﺐ أﺑﺮا ﹺج ﻣﺮاﻗﺒ ﹴﺔ ﻋﻨﺪﻫﺎ‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ إﺣﺪاﺛﻴﺎ ﹺت ﻫ ﹺﺬ ﹺه اﻟﻨﻘﺎ ﹺط‪.‬‬ ‫)‪x - y = 2 , x2 + y2 = 74 , (x, y) = (7, 5‬‬ ‫ﻣﺎ ﻣ ﹶﻌ ﹸﻬﻤﺎ ‪ 74‬دﻳﻨﺎ ﹰرا‪ ،‬ﻓﻜ ﹾﻢ دﻳﻨﺎ ﹰرا ا ﱠدﺧ ﹶﺮ ﹾت ﻛ ﱞﻞ ﻣﻨﹾ ﹸﻬﻤﺎ؟‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(3.58, 7.15), (-3.58, 7.15),‬‬ ‫‪ 16‬ﻧﻘــﻮ ﹲد‪ :‬ﻗﺎ ﹶل ﻣﺎز ﹲن إ ﱠن ﻣﺠﻤﻮ ﹶع ﻣﺎﻟﺪ ﱠي وﻟﺪ￯ أﺧﻲ ﻣ ﹾﻦ ﻧﻘﻮ ﹴد ﻫ ﹶﻮ ‪ 7‬دﻧﺎﻧﻴ ﹶﺮ‪ ،‬وإ ﱠن اﻟﻔﺮ ﹶق ﺑﻴ ﹶﻦ ﻣﺮ ﱠﺑ ﹶﻌ ﹾﻲ ﻣﺎ ﻣ ﹶﻌﻨﺎ ﻫ ﹶﻮ ‪ 7‬دﻧﺎﻧﻴ ﹶﺮ‪ .‬ﻛ ﹾﻢ دﻳﻨﺎ ﹰرا‬ ‫‪x5 1100 12‬‬ ‫)‪(5.11, -6,15), (-5.11, -6.15‬‬ ‫ﻣ ﹶﻊ ﻣﺎز ﹴن وأﺧﻴ ﹺﻪ؟ )‪(4, 3‬‬ ‫‪––110 0‬‬ ‫‪––45 0‬‬ ‫إرﺷﺎد‪ :‬ﻟﺤﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ ‪ ،14 ، 13 ، 12 ، 11‬اﺳﺘﻌﻤﻞ اﻟﻘﺎﻧﻮن ‪–5‬‬ ‫‪ 17‬إذا ﻛﺎ ﹶن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴ ﹸﻢ ‪ y = 3x – 4‬ﻳﻘﻄ ﹸﻊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ y = x2 – px + 4‬ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،‬ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤ ﹸﺔ ‪P‬؟ اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫اﻟﻌﺎم واﻵﻟﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪–1–100‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪√6 x 17‬‬ ‫َﺣ ﱡﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ِﺔ اﻷُ ﱢﺳﻴﱠ ِﺔ‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫ﺗﺒﺴﻴ ُﻂ اﻟﻤﻘﺎدﻳ ِﺮ اﻷُ ﱢﺳﻴﱠ ِﺔ‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ ﻛ ﹼﹰﻼ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻓﻲ أﺑﺴ ﹺﻂ ﺻﻮر ﹴة‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪64 = (16)5x+7 - 11‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪49 = (343)7x+1- 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪162x+3 = 4x+1 - 5‬‬ ‫‪4 363x–1 = 6x–2 0‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪةﹸ ‪ :1‬اﻷﺳﺲﹸ واﻟﻤﻌﺎدﻻتﹸ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪216‬‬ ‫‪3‬‬ ‫–‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪3‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪةﹸ ‪ :1‬اﻷﺳﺲﹸ واﻟﻤﻌﺎدﻻتﹸ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1 16 4‬‬ ‫‪2 36 2‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪4 (81) 4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 x1‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫–‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫–‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪96‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪125‬‬ ‫‪5 (–27) 3 9‬‬ ‫‪6 (–64) 3 16‬‬ ‫‪25‬‬ ‫× ‪125x = 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫× ‪6 81x = 3‬‬ ‫‪7 1285x–4 = 2 57‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪√2 70‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪32x+1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫أﻛﺘ ﹸﺐ ﻛ ﹼﹰﻼ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻓﻲ أﺑﺴ ﹺﻂ ﺻﻮر ﹴة‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن أ ﹼﹰﻳﺎ ﻣ ﹶﻦ اﻟ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴﺮا ﹺت ﻻ ﻳﺴﺎوي ﺻﻔ ﹰﺮا‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3x+2‬‬ ‫‪272–x‬‬ ‫‪25 2‬‬ ‫‪3x+1‬‬ ‫–‪=x‬‬ ‫–‪2‬‬ ‫‪–1‬‬ ‫‪91–x‬‬ ‫‪31–x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪125–x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10‬‬ ‫=‬ ‫‪25x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪32–x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪64 3‬‬ ‫‪1000 3‬‬ ‫‪100 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫–‪y‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪z z×7‬‬ ‫–‪z‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫–‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫–‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫×‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪y3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 13‬ﻛﻬﺮﺑﺎ ﹸء‪ :‬ﺗﻘﺎ ﹸس ﹺﺷــ ﱠﺪ ﹸة اﻟﺘﻴــﺎ ﹺر اﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋ ﱢﻲ ﺑﻮﺣﺪ ﹺة اﻷﻣﺒﻴــ ﹺﺮ ‪ .A‬إذا ﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ اﻟﻌﻼﻗ ﹸﺔ ﺑﻴ ﹶﻦ ﹺﺷــ ﱠﺪ ﹺة اﻟﺘﻴﺎ ﹺر ‪ Ι‬واﻟﺰﻣــ ﹺﻦ ﺑﺎﻟﺜﻮاﻧﻲ ‪ t‬ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫–‬ ‫‪3‬‬ ‫‪√3 x‬‬ ‫‪ ،Ι = 2–t‬ﻓﺒﻌ ﹶﺪ ﻛ ﹾﻢ ﺛﺎﻧﻴ ﹰﺔ ﺗﺼﺒ ﹸﺢ ﹺﺷ ﱠﺪ ﹸة اﻟﺘﻴﺎ ﹺر ‪0.125 A‬؟ ‪t = 3‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪16 √5 x 4‬‬ ‫‪xx x13‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪yx15‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y3‬‬ ‫‪x7‬‬ ‫–‬ ‫‪3‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪14‬‬ ‫–‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ 14‬ﻟﻌﺒ ﹸﺔ ﺷﻄﺮﻧ ﹶﺞ‪ :‬ﺣﺼ ﹶﻞ ﹸﻣﺨﺘ ﹺﺮ ﹸع ﻟﻌﺒ ﹺﺔ اﻟﺸﻄﺮﻧ ﹺﺞ ﻋﻠﻰ ﻣﻜﺎﻓﺄ ﹴة ﻣ ﹶﻦ اﻟ ﹶﻤﻠ ﹺﻚ‪ ،‬ﻫ ﹶﻲ ﺣﺒﻮ ﹲب ﻣ ﹶﻦ اﻟﻘﻤ ﹺﺢ‪ :‬ﺣ ﱠﺒ ﹸﺔ ﻗﻤ ﹴﺢ ﻋ ﹺﻦ اﻟﻤﺮ ﱠﺑ ﹺﻊ اﻷو ﹺل ﻓﻲ‬ ‫أﻛﺘ ﹸﺐ ﻛ ﹼﹰﻼ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻓﻲ أﺑﺴ ﹺﻂ ﺻﻮر ﹴة‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑﺄ ﱠن أ ﹰﹼﻳﺎ ﻣ ﹶﻦ اﻟ ﹸﻤﺘﻐ ﱢﻴﺮا ﹺت ﻻ ﻳﺴﺎوي ﺻﻔ ﹰﺮا‪:‬‬ ‫ﻟﻮﺣ ﹺﺔ اﻟﺸﻄﺮﻧ ﹺﺞ‪ ،‬وﺣ ﱠﺒﺘﺎ ﹺن ﻋ ﹺﻦ اﻟﻤﺮ ﱠﺑ ﹺﻊ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪ ،‬وأرﺑ ﹸﻊ ﺣ ﹼﺒﺎ ﹴت ﻋ ﹺﻦ اﻟﻤﺮ ﱠﺑ ﹺﻊ اﻟﺜﺎﻟ ﹺﺚ‪ ،‬وﺛﻤﺎﻧﻲ ﺣ ﹼﺒﺎ ﹴت ﻋ ﹺﻦ اﻟﻤﺮ ﱠﺑ ﹺﻊ اﻟﺮاﺑ ﹺﻊ‪ ،‬وﻫﻜﺬا‪ .‬إذا‬ ‫‪8x‬‬ ‫–‬ ‫‪7‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪10xy‬‬ ‫–‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪(4y‬‬ ‫–‬ ‫‪7‬‬ ‫)‬ ‫×‬ ‫‪(24xy‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪48y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻛﺎ ﹶن ﻋﺪ ﹸد ﺣ ﹼﺒﺎ ﹺت اﻟﻘﻤ ﹺﺢ اﻟﺘﻲ ﺣﺼ ﹶﻞ ﻋﻠ ﹾﻴﻬﺎ ﻓﻲ اﻟﻤﺮ ﱠﺑ ﹺﻊ ‪ x‬ﻫ ﹶﻮ ‪ ،4096‬ﻓﻤﺎ ﻗﻴﻤ ﹸﺔ ‪x‬؟ اﻟﻤﺮﺑﻊ ‪12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﹶأ ﹸﺣ ﱡﻞ أﻧﻈﻤ ﹶﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x6‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪18‬‬ ‫–‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y 25‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪(2x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪y‬‬ ‫‪(y‬‬ ‫–‬ ‫‪5‬‬ ‫)‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2x 2 y‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪3y‬‬ ‫‪(125y‬‬ ‫–‬ ‫‪2‬‬ ‫×‬ ‫‪(10x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪5‬‬ ‫‪21 √3 2x27y9‬‬ ‫‪22 √9x8y4 3x4 y2‬‬ ‫‪( ) ( )20‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪250y‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪√3 2x9y3‬‬ ‫–‬ ‫‪2‬‬ ‫–‪y‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪15 125x × 25 −y = 625 (1.428571, 0.142857‬‬ ‫ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﻟﻠﻨﻈﺎم ﺣﻞ‪16 16x × 23y = 2048 .‬‬ ‫‪5xy‬‬ ‫‪x5‬‬ ‫‪4x × 2y = 8‬‬ ‫‪49x × 7y = 16807‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻋﺪد ﻻﻧﻬﺎﺋﻲ ﻣﻦ اﻟﺤﻠﻮل‪17 25x × 5y = 125 .‬‬ ‫‪18 27x × 92y = 81‬‬ ‫‪ 23‬ﺑﻜﺘﻴﺮﻳﺎ‪ :‬ﺗﺘﻀﺎﻋ ﹸﻒ ﻋ ﱢﻴﻨ ﹸﺔ ﺑﻜﺘﻴﺮﻳﺎ ﻣﺨﺒﺮﻳ ﹴﺔ ‪ 4‬ﹶﻣ ﹼﺮا ﹴت ﻛ ﱠﻞ أﺳﺒﻮ ﹴع‪ .‬إذا ﻛﺎ ﹶن ﻓﻲ اﻟﻌ ﱢﻴﻨ ﹺﺔ ‪ 3500‬ﺧﻠﻴ ﹴﺔ ﺑﻜﺘﻴﺮﻳ ﹴﺔ اﻟﻴﻮ ﹶم‪ ،‬ﻓﻜ ﹾﻢ ﻳﺼﺒ ﹸﺢ ﻋﺪ ﹸدﻫﺎ‬ ‫‪42x × 22y = 64‬‬ ‫‪25x ×32y = 128‬‬ ‫ﺑﻌ ﹶﺪ ﻣﺮو ﹺر ‪ 7‬أﺳﺎﺑﻴ ﹶﻊ؟ ‪57344000‬‬ ‫)‪(1.6, -0.2‬‬ ‫‪ 24‬ﺗﺠــﺎر ﹲة‪ :‬ﻳﺘﻀﺎﻋ ﹸﻒ ﺛﻤ ﹸﻦ ﻗﻄﻌ ﹺﺔ أر ﹴض ﺳــﻨﻮ ﹼﹰﻳﺎ ﺑﻤﻘﺪا ﹺر اﻟﻀﻌ ﹺﻒ‪ .‬ﻛ ﹾﻢ ﺳــﻴﺼﺒ ﹸﺢ ﺛﻤﻨﹸﻬﺎ ﺑﻌ ﹶﺪ ‪ 3‬ﺳــﻨﻮا ﹴت‪ ،‬ﻋﻠ ﹰﻤﺎ ﺑــﺄ ﱠن ﺛﻤﻨﹶﻬﺎ اﻟﻴﻮ ﹶم‬ ‫‪ 5000‬دﻳﻨﺎ ﹴر؟ ‪40000‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪35A‬‬

‫‪  )22‬‬ ‫إجابات صفحة ‪:16‬‬ ‫ملحق الإجابات‬ ‫‪ -‬م ِّثل للطلبة المعادلة ‪ y = x2‬بيان ًّيا‪ ،‬وليكن الرأس‪. (0, 0) :‬‬ ‫‪  )16‬افترض أن عمر شيماء هو ‪ ، x‬وأن عمر ريان هو ‪:y‬‬ ‫‪-‬اقبل كل المعادلات الخطية‪ ،‬وم ِّثلها بيان ًّيا‪ُ ،‬مح ِّد ًدا الحالة التي ُتح ِّققها‪ ،‬ثم‬ ‫‪x=y+4‬‬ ‫اطلب إلى الطالب حلها جبر ًّيا‪.‬‬ ‫‪x2 + y2 = 346‬‬ ‫إرشاد‪ :‬استعمل برمجية جيوجبرا في حل هذا السؤال‪.‬‬ ‫)‪⇒ (15, 11‬‬ ‫إجابات صفحة ‪:21‬‬ ‫أي إن عمر شيماء ‪ 15‬عا ًما‪ ،‬وعمر ريان ‪ 11‬عا ًما‪.‬‬ ‫(أتحقق من فهمي ‪:)4‬‬ ‫‪  )17‬افترض أن الطول هو ‪ ،x‬وأن العرض هو ‪:y‬‬ ‫‪x2 + y2 = 16‬‬ ‫‪3y - x2 = -12‬‬ ‫‪x = 2y‬‬ ‫‪x2 + y2 = 1.25‬‬ ‫‪x2 + y 2 = 16‬‬ ‫بإعادة الترتيب‬ ‫‪-x2 + 3y = -12‬‬ ‫)‪⇒ (1, 0.5‬‬ ‫‪y2 + 3y = 4‬‬ ‫بجمع المعادلتين‬ ‫التكلفة = طول المحيط × سعر المتر الواحد= ‪ 6.75‬دنانير‪.‬‬ ‫‪y2 + 3y - 4 = 0‬‬ ‫بإعادة الترتيب‬ ‫‪(y + 4)(y - 1) = 0‬‬ ‫بالتحليل‬ ‫‪  )18‬افترض أن طول ضلع المنطقة المزروعة بالبطاطا هو ‪.x‬‬ ‫‪y = -4, y = 1‬‬ ‫إذن‪ :‬يكون طول ضلع المنطقة المزروعة بالطماطم هو‪x + 1 :‬‬ ‫‪x2 -(-4)2 = 16‬‬ ‫خاصية حاصل الضرب الصفري‬ ‫‪x2 = 0‬‬ ‫بتعويض ‪ y = 4‬في المعادلة الأولى‬ ‫‪(x + 1)2 + x2 = 41‬‬ ‫‪x = 0‬‬ ‫‪x2 + x – 20 = 0‬‬ ‫‪x2 + (1)2 = 16‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫‪x=4‬‬ ‫‪x2 = 15‬‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫بتعويض ‪ y = 1‬في المعادلة الأولى‬ ‫أي إن طــول ضلع المنطقــة المزروعة بالبطاطا هــو ‪ 4‬أمتار‪ ،‬وطول ضلع‬ ‫ ‪x = √15‬‬ ‫المنطقة المزروعة بالطماطم هو ‪ 5‬أمتار‪.‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫)‪(0, -4), (√15 , 1), (-√15 , 1‬‬ ‫‪  )19‬بحــل المعادلتين‪ ،‬يتب َّين عدم وجود حل للنظام؛ ما يعني عدم وصول‬ ‫بأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬ ‫المياه إلى وحدة الإنارة‪.‬‬ ‫الحلول الثلاثة‪ ،‬هي‪:‬‬ ‫‪  )20‬ع ِّوض المعادلة الخطية في المعادلة التربيعية‪:‬‬ ‫للتح ُّقــق من صحة الحل‪ ،‬و ِّجــه الطلبة إلى تعويــض كل حل من الحلول‬ ‫‪y = 2x2 + 3x - 5‬‬ ‫الثلاثة في معادلتي النظام‪ ،‬ثم اعرض أمامهم التمثيل البياني المرفق‪.‬‬ ‫‪3x + p = 2x2 + 3x -5‬‬ ‫‪  )8‬بجمع المعادلتين‬ ‫‪2x2 - (5 +p) = 0‬‬ ‫‪ + x2 + y2 = 16‬‬ ‫المميز يساوي صف ًرا؛ لأنه يوجد حل واحد فقط‪.‬‬ ‫‪ -x2 + y = -5‬‬ ‫إذن‪:‬‬ ‫‪y2 + y = 11‬‬ ‫‪D = b2 - 4ac‬‬ ‫‪y2 + y -11 = 0‬‬ ‫‪D = (0)2 + 4(2)(5+p) = 0‬‬ ‫‪y ≈ 2.85, y ≈ -3.85‬‬ ‫‪x2 = 2.85 + 5 = 7.85‬‬ ‫‪40 + 8p = 0‬‬ ‫‪x ≈ 2.80, x ≈ -2.80‬‬ ‫‪p = -5‬‬ ‫‪x2 = -3.85 + 5 = 1.15‬‬ ‫‪x ≈1.07, x ≈-1.07‬‬ ‫‪  )21‬أو ًل‪ :‬حــل نظام المعادلات بتعويض المعادلــة الخطية في المعادلة‬ ‫)‪(2.80, 2.85), (-2.80, 2.85), (1.07, -3.85), (-1.07,-3.85‬‬ ‫التربيعية‪:‬‬ ‫الحل‪. (0.85, -1.77), (3.15, 9.77) :‬‬ ‫ثان ًيا‪ :‬اختر ثلاث نقاط عشوائ ًّيا‪ ،‬بحيث تكون النقاط ُمو َّزعة كالآتي‪:‬‬ ‫نقطــة بين حلي النظام مثل‪ ،(2, 2) :‬ونقطة على يســار الحل الأصغر مثل‪:‬‬ ‫)‪ ،(0, 4‬ونقطة على يمين الحل الأكبر مثل‪.(4, 12) :‬‬ ‫ثال ًثا‪ :‬ع ِّوض كل نقطة من النقــاط الثلاث في المتباينة؛ لتحصل على عبارة‬ ‫صحيحة‪ ،‬فيكون حل النظام هو‪:‬‬ ‫‪ ، x < 0.85‬أو ‪x > 3.15‬‬ ‫‪35B‬‬

‫= ‪x = 2y ⇒ y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x ⇒ x2 + xy = x2 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪x2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2 = 6‬‬ ‫‪  )10‬بطرح المعادلة (‪ )1‬من (‪)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪- x2 + (y-2)2 = 4 → (1‬‬ ‫‪⇒ x2 = 4 ⇒ x = 2 , y = 1‬‬ ‫)‪ x2 + y2 = 9 → (2‬‬ ‫ملحق الإجابات‬ ‫الحلول هي‪(√3 , √3 ), (-√3 , -√3 ), (2, 1), (-2, -1) :‬‬ ‫‪  )19‬‬ ‫‪y2 - (y-2)2 = 5‬‬ ‫‪x2 + y2 = 500‬‬ ‫‪y2 - y2 + 4y - 4 = 5‬‬ ‫= ‪y = 2πr ⇒ r‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪4y = 9‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y2x‬‬ ‫‪250‬‬ ‫‪9‬‬ ‫(‪V = πr2x = π‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫= )‪)2 (x‬‬ ‫‪4π‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪= 2.25‬‬ ‫⇒‬ ‫‪y2‬‬ ‫=‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫‪9‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫⇒‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫=‬ ‫‪500‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪√63‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x ≈ 1.98‬‬ ‫‪⇒ x3 - 500x + 1000 = 0‬‬ ‫)‪(1.98, 2.25), (-1.98, 2.25‬‬ ‫‪x ≈ 21.28 cm , y ≈ 6.85 cm ,‬‬ ‫بحل المعادلة‬ ‫إجابات صفحة ‪:22‬‬ ‫‪or x ≈ 2.02 cm , y ≈ 22.25 cm ,‬‬ ‫‪  )13‬‬ ‫‪or x ≈ -23.30‬‬ ‫(مرفوض)‬ ‫إجابات صفحة ‪:28‬‬ ‫‪x2 + 6x = -x2 + 24x‬‬ ‫تهمل ‪x = 0‬‬ ‫‪⇒2x2 - 18x = 0‬‬ ‫‪  )20‬افترض أن الزمن= ‪.x‬‬ ‫‪⇒x2 - 9x = 0‬‬ ‫إذن‪:‬‬ ‫ ‪⇒x (x - 9) = 0‬‬ ‫‪⇒x = 0, x = 9‬‬ ‫عدد الخلايا البكتيرية هو ‪ 7300‬عند الزمن ‪.x = 0‬‬ ‫)‪⇒(9.135‬‬ ‫‪ y = 7300 (3)x‬‬ ‫‪  )14‬افترض أن طول القاعدة هو ‪ ،2x‬وأن الارتفاع هو ‪:y‬‬ ‫‪ y = 1773900‬‬ ‫‪x2 + y2 = 2500 ⇒ y = √2500 - x2‬‬ ‫‪  )21‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(2x)(y) = 1200 ⇒ xy = 1200 ⇒ x √2500 - x2 = 1200‬‬ ‫‪  )22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  )23‬‬ ‫‪⇒ x2 (2500-x2) = 1440000‬‬ ‫ ‬ ‫)‪(r + r2‬‬ ‫=‬ ‫‪r‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪r(r + r2‬‬ ‫‪⇒ x4 - 2500x2 + 1440000 = 0‬‬ ‫= ‬ ‫‪r-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪u = x2 ⇒ u2 - 2500u + 1440000 = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ = 1‬‬ ‫‪u = 2500‬‬ ‫‪√490000‬‬ ‫‪⇒ u = 1600, u = 900‬‬ ‫‪√r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2 = 1600 ⇒ x = 40, y = 30‬‬ ‫‪x2 = 900 ⇒ x= 30, y = 40‬‬ ‫ ‪y-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 - 2y-1‬‬ ‫أي إن طول القاعدة = ‪ ،80 m‬والارتفاع= ‪30 m‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 - 2y-1‬‬ ‫ )) ((‬ ‫‪= y-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أو‪:‬‬ ‫ ‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ = y-1‬‬ ‫طول القاعدة = ‪ ،60 m‬والارتفاع = ‪40 m‬‬ ‫= ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  )17‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1 + x + 2x‬‬ ‫‪1 + 3x‬‬ ‫‪x2 - 3xy + 2y2 = 0 ⇒ (x - 2y)(x - y) = 0‬‬ ‫=‪ 1‬‬ ‫‪⇒ x = 2y , or x = y‬‬ ‫‪2x 2 2√x‬‬ ‫‪x = y ⇒ x2 + xy = x2 + x2 = 2x2 = 6‬‬ ‫‪⇒ x2 = 3 ⇒ x = √3 , y = √3‬‬ ‫‪35C‬‬

‫إجابات صفحة ‪:34‬‬ ‫‪)23‬‬ ‫‪  )16‬‬ ‫‪2x + 3y = 20 + 32‬‬ ‫‪y = a(3)x‬‬ ‫ملحق الإجابات‬ ‫‪2x+1 + 3y+1 = 21 + 33‬‬ ‫‪1701 = a(3)4 ⇒ a = 21‬‬ ‫‪⇒ x = 0, y = 2‬‬ ‫‪y = 21(x)x‬‬ ‫‪x = 0 ⇒ y = 21‬‬ ‫إجابات (اختبار نهاية الوحدة) صفحة ‪:35‬‬ ‫‪  )18‬‬ ‫‪   )7‬الحل‪:‬‬ ‫‪ y = 3t-2‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪) , (-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪, 13.5‬‬ ‫‪ 2187 = 3t-2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3t‬‬ ‫اختيار ثلاث نقاط عشوائية؛ على أن تقع الأولى بين الحلين‪ ،‬وتكون الثانية‬ ‫ ‬ ‫= ‪2187‬‬ ‫‪32‬‬ ‫أقل من الحل الأول‪ ،‬وتكون الثالثة أكبر من الحل الثاني‪ ،‬فينتج‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪9‬‬ ‫= ‪× 2187‬‬ ‫‪3t‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫>‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,x<-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ ‬ ‫‪19683‬‬ ‫=‬ ‫‪3t‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ 19683 = 3t‬‬ ‫‪ 39 = 3t‬‬ ‫إجابات (كتاب التمارين) صفحة ‪:7‬‬ ‫‪ t = 9‬‬ ‫‪   )17‬الحل‪:‬‬ ‫‪  )19‬حجــم متــوازي المســتطيلات هــو ‪ ،V‬والطــول ‪ ، ı‬والعرض ‪،w‬‬ ‫والارتفاع‪:h ‬‬ ‫‪x2 - (p + 3) x + 8 = 0‬‬ ‫‪b2 - 4ac > 0‬‬ ‫‪V=ı×w×h‬‬ ‫‪(p - 3)2 - 4(1)(8) > 0‬‬ ‫‪p2 - 6p - 23 > 0‬‬ ‫ق ِّسم الشكل إلى ثلاثة متوازي مستطيلات‪:‬‬ ‫)∞ ‪(-∞ , 3 - 4√2 ), (3 - 4√2 , 3 + 4√2 ), (3 + 4√2 ,‬‬ ‫‪ = 42x-1 ×2x× 51+5x + 8x+1 ×2x× 51+5x + 42x+1 ×2x× 51+5x‬المساحة‬ ‫) ‪p = (3 - 4√2 , 3 + 4√2‬‬ ‫‪  )20‬لا يوجد حل للمعادلة الأسية؛ لأنه لا يوجد حل للمعادلة‪:‬‬ ‫‪2x = -1‬‬ ‫المعادلة‪:‬‬ ‫فتصبح‬ ‫‪،‬‬ ‫ ‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫في‬ ‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫اضرب‬ ‫ ‬ ‫‪)21‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x -4√x + 3 = 0‬‬ ‫وبحلها بالتحليل إلى العوامل‪ ،‬أو باستعمال القانون العام‪ ،‬ينتج‪:‬‬ ‫‪x = 3.1‬‬ ‫‪(2×2×3×3)x-y+1‬‬ ‫‪  )22‬بالتحليل إلى العوامل‪ ،‬ينتج‪:‬‬ ‫‪(2×3×3×3)x+y-1‬‬ ‫‪= (2×2×2×2×3)x + y‬‬ ‫‪2 → 2x - 2y + 2 - x - y + 1 = 4x + 4y‬‬ ‫)‪⇒ 3x + 7y = 3 ...............(1‬‬ ‫‪3 → 2x - 2y + 2 - 3x - 3y + 3 = x + y‬‬ ‫)‪⇒ 2x + 6y = 5 ...............(2‬‬ ‫بحل النظام الخطي‪ ،‬ينتج‪:‬‬ ‫)‪(x, y) = (-4.25, 2.25‬‬ ‫‪35D‬‬

‫الوحد ُة‬ ‫‪2‬‬ ‫مخطط الوحدة‬ ‫خطوات تنفيذ عدد‬ ‫المصادر والأدوات‬ ‫المصطلحات‬ ‫النتاجات‬ ‫اسم الدرس‬ ‫مشروع الوحدة الحصص‬ ‫ •كتاب التمارين ‪1‬‬ ‫تهيئة الوحدة‬ ‫الخطوة الأولى‪3 .‬‬ ‫الدائرة‪ ،‬مركز الدائرة‪• ،‬المنقلة‪.‬‬ ‫الدرس‪ :1‬أوتار •يتعرف الوتر‪ ،‬والقطر‪ ،‬والمماس‪ ،‬والقاطع في الدائرة‪.‬‬ ‫نصف القطر‪ ،‬القطر‪• ،‬المسطرة‪.‬‬ ‫الدائرة وأقطارها •يتعرف العلاقات بين الوتر والقطر والمماس والنظريات‬ ‫الوتر‪ ،‬القاطع‪• ،‬الفرجار‪.‬‬ ‫المرتبطة بها‪ ،‬وتوظيفها لإيجاد أطوال زوايا مجهولة‬ ‫ومماساتها‪.‬‬ ‫المماس‪ ،‬نقطة •الآلة الحاسبة‪.‬‬ ‫وقياساتها‪.‬‬ ‫ •جهاز الحاسوب‪.‬‬ ‫التماس‪.‬‬ ‫ •يبرهن صحة علاقات باستعمال خصاص الأوتار والأقطار‬ ‫ •برمجية جيوجبرا‪.‬‬ ‫والمماسات‪.‬‬ ‫متابعة الخطوة ‪3‬‬ ‫القوس‪ ،‬القطاع •المنقلة‪.‬‬ ‫ •يحسب طول قوس من دائرة‪.‬‬ ‫الدرس‪:2‬‬ ‫الأولى‪ ،‬والبدء‬ ‫ •المسطرة‪.‬‬ ‫الدائري‪.‬‬ ‫الأقواس والقطاعات •يحسب مساحة القطاع الدائري‪.‬‬ ‫بتنفيذ الخطوة‬ ‫ •الفرجار‪.‬‬ ‫ •يحل مسائل تتضمن طول القوس ومساحة القطاع الدائري‪.‬‬ ‫الدائرية‪.‬‬ ‫ •الآلة الحاسبة‪ .‬الثانية‪.‬‬ ‫ •جهاز الحاسوب‪.‬‬ ‫ •برمجية جيوجبرا‪.‬‬ ‫متابعة الخطوة ‪3‬‬ ‫ •المنقلة‪.‬‬ ‫الزاوية المركزية‪،‬‬ ‫ •يتعرف الزاوية المركزية والزاوية المحيطية والعلاقة بينهما‪.‬‬ ‫الدرس‪:3‬‬ ‫الثانية‪ ،‬والبدء‬ ‫ •المسطرة‪.‬‬ ‫الزاوية المحيطية‪،‬‬ ‫ •يتعرف العلاقة بين قياسات الزوايا المحيطية المشتركة في‬ ‫الزوايا في الدائرة‪.‬‬ ‫بتنفيذ الخطوة‬ ‫ •الفرجار‪.‬‬ ‫الزاوية المقابلة‬ ‫القوس نفسه‪.‬‬ ‫لقطر الدائرة‪ ،‬الزاوية •الآلة الحاسبة‪ .‬الثالثة‪.‬‬ ‫ •يتعرف الشكل الرباعي الدائري وخصائصه‪.‬‬ ‫المماسية‪ ،‬القوس •جهاز الحاسوب‪.‬‬ ‫ •يتعرف الزاوية المماسية وعلاقتها بالزاوية المحيطية‬ ‫المقابل‪ ،‬الشكل •برمجية جيوجبرا‪.‬‬ ‫المشتركة معها في القوس نفسه‪.‬‬ ‫الرباعي الدائري‪• .‬ورقة المصادر (‪.)1‬‬ ‫ •يوظف هذه العلاقات لإيجاد قياسات زوايا مجهولة في‬ ‫الدائرة‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫متابعة الخطوة‬ ‫معادلة الدائرة‪• ،‬جهاز الحاسوب‪.‬‬ ‫ •يتعرف الصورة القياسية والصورة العامة لمعادلة الدائرة‪.‬‬ ‫الدرس‪:4‬‬ ‫الثالثة‪ ،‬والبدء‬ ‫الصورة القياسية •برمجية جيوجبرا‪.‬‬ ‫ •يكتب معادلة دائرة إذا ُعلم مركزها وطول نصف قطرها‪.‬‬ ‫معادلة الدائرة‪.‬‬ ‫بتنفيذ الخطوة‬ ‫ •يجد إحداثيي المركز وطول نصف القطر من معادلة الدائرة‪ .‬لمعادلة الدائرة‪،‬‬ ‫الرابعة‪.‬‬ ‫الصورة العامة‬ ‫ •تحديد إن كان مستقيم معطى يشكل مما ًّسا أم لا لدائرة‬ ‫لمعادلة الدائرة‪.‬‬ ‫أعطيت معادلتها‪.‬‬ ‫ •يجد طول القطعة المماسية من نقطة خارجية إلى نقطة‬ ‫التماس على دائرة علمت معادلتها‪.‬‬ ‫ •برمجية جيوجبرا‪ .‬بدء الاستعداد ‪1‬‬ ‫ •يتعرف أوضاع دائرتين مرسومتين في مستوى واحد‪.‬‬ ‫استكشاف الدوائر‬ ‫لعرض النتائج‪.‬‬ ‫ •يستكشف علاقة المسافة بين المركزين‪ ،‬وطولي نصفي‬ ‫المتماسة‪.‬‬ ‫ •ورقة المصادر (‪.)2‬‬ ‫القطرين لدائرتين متماستين من الداخل أو من الخارج‪.‬‬ ‫الدوائر المتماسة‪• ،‬جهاز الحاسوب‪ .‬استكمال التحضير ‪3‬‬ ‫ •يصف أوضاع دائرتين في المستوى‪.‬‬ ‫الدرس‪:5‬‬ ‫لعرض النتائج‪.‬‬ ‫المماس المشترك‬ ‫ •يحسب طول المماس المشترك الداخلي والخارجي‪.‬‬ ‫الدوائر المتماسة‪.‬‬ ‫الداخلي‪ ،‬المماس‬ ‫ •يوظف علاقة المسافة بين المركزين‪ ،‬وطولي نصفي‬ ‫المشترك الخارجي‬ ‫القطرين لدائرتين‪ ،‬وطول المماس المشترك لإيجاد أطوال‬ ‫مجهولة‪.‬‬ ‫ •جهاز الحاسوب‪1 .‬‬ ‫عرض نتائج المشروع‬ ‫اختبار الوحدة ‪2‬‬ ‫مجموع الحصص ‪20‬‬ ‫‪36A‬‬

‫اﻟﺪاﺋﺮ ُة‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة‬ ‫الوحد ُة‬ ‫‪Circle‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣﺎ أﻫﻤﻴ ُﺔ ﻫﺬ ِه‬ ‫نظرة عامة على الوحدة‪:‬‬ ‫تعلــم الطلبة فيما ســبق الدائرة‪ ،‬ورســمها‪ ،‬وخصائصها‪،‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ِة؟‬ ‫وحســاب محيطهــا ومســاحتها‪ ،‬وســيتعلمون في هذه‬ ‫الوحدة مماســات الدائرة‪ ،‬والعلاقات المختلفة بين أقطار‬ ‫ﹸﺗ ﹶﻌ ﱡﺪ اﻟﺪاﺋﺮ ﹸة أﺣ ﹶﺪ أﻛﺜ ﹺﺮ اﻷﺷﻜﺎ ﹺل ﻇﻬﻮ ﹰرا‬ ‫الدائرة وأوتارها ومماساتها‪ ،‬ويتعرفون الزوايا في الدائرة‪،‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺳﻄ ﹺﺢ اﻷر ﹺض‪ ،‬ﺑ ﹾﻞ ﻓﻲ ﺟﻤﻴ ﹺﻊ اﻟﻜﻮ ﹺن‪.‬‬ ‫وخصائص المضلــع الرباعي الدائــري‪ ،‬وطول القوس‪،‬‬ ‫ومســاحة القطاع الدائري‪ ،‬والصورتين القياســية والعامة‬ ‫ﻓﻬ ﹶﻲ ﺗﻈﻬ ﹸﺮ ﺟﻠ ﹰﹼﻴﺎ ﻓﻲ ﺻــﻮ ﹺر اﻟﻜﻮاﻛ ﹺﺐ‪ ،‬وﻓﻲ‬ ‫لمعادلــة الدائــرة‪ ،‬ويكتبــون معادلة الدائــرة إذا توافرت‬ ‫ﺑﺆﺑ ﹺﺆ اﻟﻌﻴ ﹺﻦ‪ ،‬وﻓﻲ اﻟﻔﺎﻛﻬ ﹺﺔ‪ ،‬وﺟﺬو ﹺع اﻷﺷﺠﺎ ﹺر‪،‬‬ ‫معلومات كافية‪ ،‬ويميزون الدوائــر المتقاطعة والمتباعدة‬ ‫وﻏﻴ ﹺﺮ ذﻟ ﹶﻚ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﺨﻠﻮﻗﺎ ﹺت‪ .‬وﻗ ﹺﺪ اﺳــﺘﻔﺎ ﹶد‬ ‫والمتماسة من الداخل والمتماسة من الخارج‪ ،‬ويحسبون‬ ‫اﻹﻧﺴــﺎ ﹸن ﻣ ﹶﻦ اﻟﺨﺼﺎﺋــ ﹺﺺ اﻟﻔﺮﻳﺪ ﹺة ﻟﻬﺬا‬ ‫طول المماس المشترك‪.‬‬ ‫اﻟﺸــﻜ ﹺﻞ اﻟ ﹸﻤﻌ ﱠﻘ ﹺﺪ ﻓﻲ ﻣﺠﺎﻻ ﹴت ﹺﻋ ﱠﺪ ﹴة‪،‬‬ ‫ﻣﺜ ﹺﻞ‪ :‬اﻟﻬﻨﺪﺳ ﹺﺔ‪ ،‬واﻟﺼﻨﺎﻋ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫الترابط الرأسي بين الصفوف‬ ‫ﺳ َﺄﺗﻌ ﱠﻠ ُﻢ ﻓﻲ ﻫﺬ ِه اﻟﻮﺣﺪ ِة‪:‬‬ ‫ﺗﻌ ﱠﻠ ْﻤ ُﺖ ﺳﺎﺑ ًﻘﺎ‪:‬‬ ‫ إﻳﺠﺎ ﹶد ﻣﺤﻴ ﹺﻂ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪ ،‬وﻣﺴﺎﺣﺘﹺﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﺣﺴﺎ ﹶب ﻃﻮ ﹺل اﻟﻘﻮ ﹺس‪ ،‬وﻣﺴﺎﺣ ﹺﺔ اﻟﻘﻄﺎ ﹺع اﻟﺪاﺋﺮ ﱢي‪.‬‬ ‫ ﺗﻤﻴﻴ ﹶﺰ ﺣﺎﻻ ﹺت ﺗﻄﺎ ﹸﺑ ﹺﻖ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎ ﹺت‪ ،‬وﺗﺸﺎ ﹸﺑ ﹺﻬﻬﺎ‪.‬‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺎ ﹺت ﺑﻴ ﹶﻦ اﻟﺰواﻳﺎ ﻓﻲ اﻟﺪاﺋــﺮ ﹺة‪ ،‬واﻹﻓﺎد ﹶة ﻣﻨﹾﻬﺎ ﻓﻲ‬ ‫ إﻳﺠــﺎ ﹶد ﻣﺠﻤﻮ ﹺع ﻗﻴــﺎ ﹺس زواﻳﺎ ﻛ ﱟﻞ ﻣــ ﹶﻦ اﻟﻤﺜﻠ ﹺﺚ‪،‬‬ ‫إﻳﺠﺎ ﹺد زواﻳﺎ ﻣﺠﻬﻮﻟ ﹴﺔ‪.‬‬ ‫واﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋ ﱢﻲ‪.‬‬ ‫ إﻳﺠــﺎ ﹶد اﻟﻤﺴــﺎﻓ ﹺﺔ ﺑﻴــ ﹶﻦ ﻧﻘﻄﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ ﻓﻲ اﻟﻤﺴــﺘﻮ￯‬ ‫ﻛﺘﺎﺑ ﹶﺔ ﻣﻌﺎدﻟ ﹺﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة‪ ،‬وإﻳﺠــﺎ ﹶد اﻟﻤﺮﻛ ﹺﺰ وﻧﺼ ﹺﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ‬ ‫ﻣ ﹾﻦ ﻣﻌﺎدﻟ ﹺﺔ داﺋﺮ ﹴة ﻣﻌﻠﻮﻣ ﹴﺔ‪.‬‬ ‫اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ‪.‬‬ ‫اﻟﻌﻼﻗ ﹶﺔﺑﻴ ﹾﻦداﺋﺮﺗ ﹾﻴ ﹺﻦ‪،‬وﻣﺎﻫﻴ ﹶﺔاﻟﻤﻤﺎ ﹼﺳﺎ ﹺتاﻟﻤﺸﺘﺮﻛ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫‪36‬‬ ‫الصف العاشر‬ ‫ساب ًقا‬ ‫ •تعرف خصائص الأوتار والأقطار والمماسات في الدائرة‪.‬‬ ‫الصف التاسع‬ ‫ •حساب طول القوس ومساحة القطاع الدائري‪.‬‬ ‫ •إيجاد ال ُب ْعد بين نقطتين في المستوى الإحداثي‪.‬‬ ‫ •تعرف العلاقات بين الزوايا في الدائرة وتوظيفها لإيجاد‬ ‫ •إيجاد إحداثيي نقطة منتصف قطعة مستقيمة‪.‬‬ ‫قياسات زوايا مجهولة‪.‬‬ ‫ •تعرف خصائص المضلع الرباعي الدائري‪.‬‬ ‫الصف الثامن‬ ‫ •تعرف نظريات المثلث المتطابق الضلعين‪.‬‬ ‫ •إيجاد معادلة الدائرة بصورها المختلفة‪.‬‬ ‫ •استخدام البرهان الهندسي في تشابه الأشكال الهندسية وتطابقها‪.‬‬ ‫ •تعرف الأوضاع المختلفة لدائرتين في مستوى واحد‪.‬‬ ‫ •استنتاج العلاقات الخاصة بالمسافة بين مركزي دائرتين‬ ‫ •تمييز حالات تشابه المثلثات وتطابقها‪.‬‬ ‫الصف السابع‬ ‫متماستين‪.‬‬ ‫ •تعرف عناصر الدائرة وحساب محيطها ومساحتها‪.‬‬ ‫ •حساب طول المماس المشترك الداخلي أو الخارجي لدائرتين‬ ‫‪36‬‬ ‫في مستوى واحد‪.‬‬