รายวิชาคณิตศาสตร์ (พค31001)

151 8 ่ีททบ นปเะจานมาวค ญัคาํสะราส รากฑณกเฎกยัศาองอต ๆดใงอลดทรากอืรห าํทะรกรากกาจดิกเ่ีทดมหง้ัทธพัลลผนวนาํจบันราก1. ว็รเดวร กวดะสะลแยางหใาํทะจงึจบัน กามน้ึขดิกเสากอโีม ง่ึนหณรากุตหเดใณรากุตหเาวบารทหใงดสแ่ีทนวนาํจ อืค นปเะจานมาวค2. อืค จใาขเมาวคาํทบารทงอตนปเาํจ่ีทง่ิส ดใงยีพเยอนอืรห (Random Experiment) มุสงอลดทราก- (Sample Space) ซปเสลปเมซแ-  (Event)ณรากุตหเ- บัก ๆน้ันณรากุตหเงอขกิชามสนวนาํจบยีทเบยีรปเรากนปเ ๆดใณรากุตหเงอขนปเะจานมาวค3. ดไจในิสดัตรากอืรหณรกายพรากนใยวชะจ่ีทาคนปเง่ึซ ซปเสลปเมซแงอขกิชามสนวนาํจ งัวหดาค่ีทูรนยีรเรากลผ ะลแบันรากบักวย่ีกเนตงอ้ืบเฑณกเฎกชใยดโ ณรากุตหเงอขน้ึขดิกเจาอ่ีทธพัลลผนวนาํจาห1. ดไยางงายอมไนตพาภนผแ งอขนปเะจานมาวคาหะลแณรากุตหเงอขนปเะจานมาวค ณรากุตหเ มุสงอลดทรากยาบิธอ2. ดไหใดนหาํก่ีทณรากุตหเ จในิสดัตรากนใยวชะลแณรากดาครากนใชใปไนปเะจานมาวคบักวย่ีกเูรมาวคาํน3. าหอ้ืนเยาขบอข มไนตพาภนผแะลแบันรากบักวย่ีกเนตงอ้ืบเฎก1 ่ีทงอ่ืรเ ณรากุตหเงอขนปเะจานมาวค2 ่ีทงอ่ืรเ ชใปไนปเะจานมาวคาํนราก3 ่ีทงอ่ืรเ

152 มไนตพาภนผแะลแบันรากบักวย่ีกเนตงอ้ืบเฎก1. ดิกเะจ่ีทรากีธิวีมถรามาส่ีทงายอยาลหงอลดทรากอืรหาํทะรกรากีมารเนคงอขนัวาํจะรปติวีชนใ ฎกีมยดโ ดมหง้ัทบันรากกาจดไน้ึขดิกเจาอ่ีทีธิวนวนาํจอืรหบบแปูรนวนาํจาหราก ีธิวยาลหดไธพัลลผ ้ีนงัดนางาํทรากกาจบันรากบักวย่ีกเนตงอ้ืบเ นอตน้ัขงอสอืรหงายอ2 ีม่ีทนางาํทราก1. 1. ดไงอส่ีทงายอนางาํทะจ่ีทีธิวีมกรแงายอนางาํทีธิวะลตแนใะลแ ีธิว ดไาํทีธิวีมกรแงายอนางาถ n 1 ีธิว บักาทเงายองอสง้ัทนางาํท่ีทีธิวนวนาํจวลแ ีธิว n2 n 1 n2 ้ีนงัดดไนางาํทรากงัผนผแนยีขเถรามาส 2 ่ีทงายอนาง1 ่ีทงายอนาง ีธิว× ีธิว ดไบัน n 1 n2 ีธิว= × งายองอสง้ัทนางาํทีธิวนวนาํจ n 1 n2 งายอวัตงัด มไนตพาภนผแ ชใยดโดไีธิวะลตแบันรากลผงจแกจแถรามาสน้ึขยางหใจใาขเมาวคอ่ืพเ ้ีนปไอต ีธิว่ีกดมหง้ัทดไธพัลลผดิกเ ง้ัรค1 นักมอรพนัอ2 ญยีรหเนยโ1 ่ีทงายอวัต งายอ2 นางาํทรากนปเ ง้ัรค1 นักมอรพนัอ2 ญยีรหเนยโ าํทีธิว 2 ่ีทญยีรหเ1 ่ีทญยีรหเ  2 × 2ดไดัจ ยอกดิกเจาอ อืรห(H ) วัหดิกเจาออืค ีธิว 2 ดไดิกเ1 ่ีทญยีรหเงอขดิกเราก กรแงายอนาง กีอดไ2 ่ีทญยีรหเดิกเีธิวีมงัย1 ่ีทญยีรหเดิกเ่ีทีธิวะลตแนใะลแ ดไ็ก(T ) (T ยอกดิกเจาออืรห(H) วัหดิกเจาออืค ีธิว 2 ดไดิกเ2 ่ีทญยีรหเงอขดิกเราก2 ่ีทงายอนาง ) ีธิว = 2 ×2 = 4 ดไดิกเ ง้ัรค1 นักมอรพนัอ2 ญยีรหเนยโราก น้ันงัด

153 งดสแถรามาส นอตน้ัข2 อืรหงายอ2 ีม่ีทนางาํทรากนปเ นักมอรพนัอ2 ญยีรหเนยโราก ้ีนงัดดไมไนตพาภนผแชใยดโ ดิกเ่ีทณรากุตหเ น้ึขดิกเ่ีทณรากุตหเ2 ่ีทญยีรหเ1 ่ีทญยีรหเ บอตHH, HT, TH, TT อืค ีธิว 4 ดไดิกเ ง้ัรค1 นักมอรพญยีรหเ2 ญยีรหเนยโ อืคน่ัน วัต5 นักงาตต้ิชเอ้ืสเีมง่ึนหนคยาช2 ีทงายอวัต วัต3 นักงาตวายาขงกเงากะลแ พาภนผแงัดดไงดสแดไปไนปเ่ีทดมหง้ัทีธิวาหรากนใยวชมไนตพาภนผแชใถรามาสารเ าํทีธิว ้ีนงาลงาข ีธิว15 ดมหง้ัทดไบันนักงาตกตแ่ีท้ีนนคยาชงอขยากงตแรากาวบพะจมไนตพาภนผแกาจ

154 ีธิว่ีกดมหง้ัทดไดิกเ ง้ัรค1 นักมอรพกูล2 าตเกูลนยโ3 ่ีทงายอวัต งายอ2 นางาํทรากนปเ ง้ัรค1 นักมอรพกูล2 าตเกูลนยโ าํทีธิว 2 ่ีทกูล1 ่ีทกูล  6 × 6ดไดัจ 1 , านหยางหจาออืค ีธิว 6 ดไดิกเ านห6 ีมง่ึซ1 ่ีทกูลาตเกูลงอขดิกเราก กรแงายอนาง 6 ) อืรห2, 3 …., ีธิว = 6 ×6 = 36 ดไดิกเ ง้ัรค1 นักมอรพกูล2 าตเกูลนยโ∴ ้ีนงัดดไ ธพัลลผงจแกจแถรามาส ( 1 , 1) ( 1 , 2 ) (1 , 3 ) ( 1 , 4) ( 1 , 5) ( 1 , 6) ( 2 , 1) ( 2 , 2 ) (2 , 3 ) ( 2 , 4) ( 2 , 5) ( 2 , 6) ( 3 , 1) ( 3 , 2 ) (3 , 3 ) ( 3 , 4) ( 3 , 5) ( 3 , 6) ( 4 , 1) ( 4 , 2 ) (4 , 3 ) ( 4 , 4) ( 4 , 5) ( 4 , 6) ( 5 , 1) ( 5 , 2 ) (5 , 3 ) ( 5 , 4) ( 5 , 5) ( 5 , 6) ีธิว36 บอต( 6 , 1) ( 6 , 2 ) (6 , 3 ) ( 6 , 4) ( 6 , 5) ( 6 , 6) นอตน้ัขมาสอืรหงายอ3 ีม่ีทนางาํทราก1. 2. อืรห มไนตพาภนผแนยีขเรากนในอตน้ัขนวนาํจตแ นักวยีดเงอนาํทนใดิควนแีมะจบันราก ้ีนปไอตงายอวัตงัด นักงอ่ืนเอตาํทงอต่ีทนอตน้ัข3 อืรหนาง3 ีมะจ นยีซเีทราคณูคลผาหราก ีสะลแ ดานข 2 ตนยงอ่ืรคเีม บบแ2 ามกออตนยถรงัถวัตติลผง่ึนหงหแตนยถรทัษิรบ4 ่ีทงายอวัต งายอตนยถรชใงอตะจ ีสกุทะลแ ดานขกุท บบแกุทบรคหใตนยถรงดสแรากงอตาถ ีส3 นัก ๆ งาต นัค่ีกดุส่ีทยอน

155 ้ีนงัดลผดไะจ (Tree Diagram ) มไนตพาภนผแชใยดโ1 ่ีทีธิว อืคน้ัข3 ีมนางาํทราก 3 ่ีทน้ัข2 ่ีทน้ัข1 ่ีทน้ัข นางลผ ีส งอ่ืรคเ งัถวัต ดานขกุทีสกุทบบแกุทบรคะจงึจ นัค12 ยอนงายองดสแตนยถรีมงอตะจ น้ันงัด นยีซเีทราคณูคลผชใยดโ2 ่ีทีธิว  A = { , }ตนยถรงัถวัตงอขตซเนปเ A หใ 2ถ1 ถ  B = { , }ตนยงอ่ืรคเงอขตซเนปเB 2ค1 ค B = { , , } ๆ งาตีสงอขตซเนปเC 3ส2 ส1 ส ้ีนงัดดไนักบอกะรปามตนยงอ่ืรคเะลแงัถวัตาํน )} ค ถ) , ( ค, ถ) , ( ค ถ) , ( ค ถA × B = { ( 1 , 1 2 , 2 2 4 1 , 2 บบแn(AxB) = n(A) x n(B) = 4 ๆ งาตีสาทามวลแบอกะรป่ีทงอ่ืรคเบักงึถวัตาํน ), ส ค ถ), ( ส ค ถ), ( ส ค ถ), ( ส ค ถ), ( ส ค ถ), ( ส ค ถ( A × B ) × C = { ( 1 , 2, 1 1 , 1, 3 1 , 2, 3 1 , 2, 2 1 , 1, 2 1 , 1, 1 )} ส ค ถ), ( ส ค ถ), ( ส ค ถ), ( ส ค ถ), ( ส ค ถ), ( ส ค ถ( 2 , 1, 1 2 , 2, 3 2 , 2, 2 2 , 1, 2 2 , 1, 3 2 , 2, 1 N ( A ×B× C ) = n(AxB) x n(C) = n(A) x n(B) x n(C) = 2 x 2 x 3 = 12 นัค12 ยอนงายองดสแตนยถรชใงอต น้ันงัด

156 ีธิวนวนาํจาหถรามาส าวบพ วลแนยีซเีทราคณูคลผงอขรากีธิวะลแมไนตพาภนผแาณราจิพอ่ืมเ นปเงารสามาํนถรามาสงึจ ีธิวงอสง้ัทงอขรากกัลหกาจ นักวยีดเนชเดไนางาํทรากนใบบแปูรนวนาํจอืรห ้ีนงัดดไฎกนปเปุรสยดโ ดไง่ึนหงายอดใงายอนางาํทรากนใีธิวนวนาํจาหรากบักวย่ีกเนตงอ้ืบเฎก าหญปยทจโกแบันรากฎกชใรากนในอตน้ัขปุรส นักงอ่ืนเอต่ีทนอตน้ัข่ีกนปเกอองบแดัจ รไะออืคน้ันามดนหาํกยทจโ่ีทณรากุตหเอืรหนางาวาณราจิพ1. วไกึทนับ นอตน้ัขะลตแนใามดนหาํก่ีท ๆ งาตขไนอ่ืงเาณราจิพ2. งึจวลแนอกดุส่ีทกามขไนอ่ืงเีม่ีทน้ัขกาจม่ิรเงอตยดโ น้ัขะลตแนใดไนางาํทกอืลเรามาส่ีทีธิวนวนาํจาห3. ญัคาํสมาวคมาต ามงลงอรขไนอ่ืงเีม่ีท ๆ น่ือน้ัขาณราจิพ ดมหง้ัทดไน้ึขดิกเจาอ่ีทีธิวนวนาํจอืรหบบแปูรนวนาํจดไะจ นักณูคนอตน้ัขะลตแนใดไ่ีทีธิวนวนาํจาํน4. ะลแ กิญญัรหเ นาธะรปงอร นาธะรป ยวดปไบอกะรปะจง่ึนหดุชรากมรรกง้ัตกอืลเรากนใ4 ่ีทงายอวัต นค6 ดมหง้ัทรคัมสูผีมาถ น้ันาทเวยีดเงนหแาํตงยีพเดไงนหแาํตงราํดะจนคะลตแรากมรรกยดโ าขลเ ่ีทยดโ นักงาตบบแ่ีกดมหง้ัทดไีมะจ้ีนดุชรากมรรกง้ัตกอืลเรากลผ นค4 งิญหนปเ นค2 ยาชนปเ มิตเม่ิพเขไนอ่ืงเีมมไ1. งิญหนปเงอตาขลเะลแ ยาชนปเนาธะรปหใดนหาํก2. ๆ นวลงิญหนปเงอตรากมรรก3. งอร นาธะรป งนหแาํต4 รากมรรกกอืลเหใ นค4 งิญหนปเ นค2 ยาชนปเ นค6 รคัมสูผีม าํทีธิว าขลเ กิญญัรหเ นาธะรป วยีดเงนหแาํตดไนปเนคะลตแ มิตเม่ิพเขไนอ่ืงเีมมไ1) ีธิว 6 ดไกอืลเ นาธะรปงนหแาํต ีธิว 5 ดไกอืลเ นาธะรปงอรงนหแาํต ีธิว 4 ดไกอืลเ กิญญัรหเงนหแาํต ีธิว 3 ดไกอืลเ าขลเงนหแาํต ีธิว= 6 × 5 × 4 × 3 = 360 ีมรากมรรกกอืลเรากนใีธิวนวนาํจ น้ันงัด งิญหนปเงอตาขลเะลแ ยาชนปเนาธะรปดนหาํก2) ีธิว 2 ดไกอืลเ ยาชนปเนาธะรปงนหแาํต ีธิว 4 ดไกอืลเ งิญหนปเ่ีทาขลเงนหแาํต ีธิว 4 ดไกอืลเ) อืลหเ่ีทนค( กิญญัรหเงนหแาํต ) ยาทดุสอืลหเ่ีทนค( ีธิว 3 ดไกอืลเ นาธะรปงอรงนหแาํต ีธิว= 2 × 4 × 3 × 4 = 96 ีมรากมรรกกอืลเรากนใีธิวนวนาํจ น้ันงัด

157 ๆ นวลงิญหูผนปเงอตรากมรรก3) ีธิว 2 ดไกอืลเ ยาชนปเนาธะรปงนหแาํต ีธิว 4 ดไกอืลเ งิญหนปเาขลเงนหแาํต ) อืลหเ่ีทงิญหะาพฉเ( ีธิว 4 ดไกอืลเ นาธะรปงอรงนหแาํต ) อืลหเ่ีทงิญหะาพฉเ( ีธิว 3 ดไกอืลเ กิญญัรหเงนหแาํต 0020ีธิว= 2 × 4 × 3 × 4 = 96 ีมรากมรรกกอืลเรากนใีธิวนวนาํจ น้ันงัด นักงาต รษกัอ3 ยวดบอกะรปมหใาํคงารสามาํน“ PHYSIC” าวาํคนใรษกัอกาจ5 ่ีทงายอวัต ่ีทยดโ) น้ันาลหเาํคงอขยามหมาวคจในสมไ( มิตเม่ิพเขไนอ่ืงเีมมไ1. ดมหง้ัทะนชญัยพนปเงอต2. รษกัอวัต6 ดมหง้ัทมวร วัต5 ะนชญัยพะลแวัต1 ะรสนปเPHYSIC าวาํคนใรษกัอ าํทีธิว 1 2 3 ่ีทวัตรษกัอ ีธิว = 6 × 5 × 4 = 120 ดไงารส รษกัอวัต3 ยวดบอกะรปาํคงารส1. ีธิว = 5 × 4 × 3 = 60 ดไงารส ดมหง้ัทะนชญัยพนปเงอตาวขไนอ่ืงเีม2. 6 ่ีทงายอวัต นักงาตขไนอ่ืงเีมยดโ มุชะรปงอหกออ- าขเนิดเรากนใีธิวาหงจ ูตะรป3 ีมง่ึนหงหแมุชะรปงอห ้ีนงัด าขเนิดเรากนใีธิวนวนาํจ1. กออ- าขเนิดเรากนใีธิวนวนาํจ2. นักูตะรปาํ้ซมไยดโ กออ- าขเนิดเรากนใีธิวนวนาํจ3. มิดเูตะรปชใยดโ กออ- าขเนิดเรากนใีธิวนวนาํจ4. 3 ะลแ1 2 ขลเยามห ูตะรป3 ีมมุชะรปงอหูตะรป าํทีธิว กออ าขเ นิดเราก ีธิว= 3 มุชะรปงอหาขเนิดเีธิวนวนาํจ1. )ดไาํ้ซูตะรปชใ( ีธิว= 3 × 3 = 9 กออ- าขเ นิดเรากีธิวนวนาํจ2. ีธิว= 3 × 2 = 6 นักูตะรปาํ้ซมไยดโ กออ- าขเนิดเรากีธิวนวนาํจ3.

158 ีธิว= 3 × 1 = 3 มิดเูตะรปชใยดโ กออ- าขเนิดเรากีธิวนวนาํจ4. 7 ่ีทงายอวัต ่ีทยดโอืสงันหกจแีธีวนวนาํจาหงจ นค4 นยีรเกันหใกจแรากงอต นักงาตกตแมลเ5 อืสงันหีมูรค มิตเม่ิพเขไนอ่ืงเีมมไ1. มลเ1 นิกเอืสงันหดไรคใีมมไ2. มลเะลีทกจแรากาณราจิพงอตอืสงันหกจแราก าํทีธิว 1 2 3 4 ่ีทมลเอืสงันห ีธิว = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 ดไกจแน้ันงัด ) ดไาํ้ซกจแ( ขไนอ่ืงเีมมไ1. กีอหใกจแมไะจวลแดไ าํ้ซดไรคใีมมไ าวลปแ มลเ1 นิกเดไรคใีมมไ2. ีธิว= 5 × 4 × 3 ×2 = 120 อืสงันหกจแีธิวีมะจ น้ันงัด

159 1 ่ีทดัหกฝบบแ มไนติมูภนผแนยีขเีธิวยดโ ๆงาตานหน้ึขะจญยีรหเ่ีทนวนาํจาหงจ ง้ัรค3 ญยีรหเ1 ญยีรหเนยโ1. อข5 นวนาํจ กอืลเวัต4 ยันรปบบแยทจโ ยวดบอกะรป รตสาศติณคาชิวบอสดทรากนใ2. ดไปไนปเ่ีทมาถาํคบอตรากีธิวนวนาํจวลแ น้ันาทเกอืลเวัตง่ึนหงยีพเงอตกูถ่ีทบอตาํคีม อขะลตแยทจโ ีธิว่ีกีมดมหง้ัท ่ีทวถแาขเนืย่ีทีธิวนวนาํจาวาหงจ ง่ึนหนารงอขนัวงาลกราหาออ้ืซอ่ืพเวถแาขเนืย นค5 นยีรเกันีม3. ีธิว่ีกดมหง้ัทีม นักงาตกตแ าฬีกนัขงขแรากนในค1 งิญห นค1 ยาชงาวหะรนัขงขแูคดัจรากงอต นค5 งิญห นค6 ยาชีม4. ีธิว่ีกดมหง้ัทนวนาํจีม สินนทเ ่ีทกอืลเยดโ าคนิสพรรสงาห่ีทงอขอ้ืซ ะลแราคาตตัภ่ีทน็ยเราหาอนาทะรปบัรปไนักกัน นค3 นอ่ืพเ5. มาสง้ัท งหแ4 าคนิสพรรสงาหีมะลแ งหแ5 ราคาตตัภีมง่ึซ งอขอ้ืซะลแราหาอนาทะรปบัรปไะจ ีธิว่ีกดมหง้ัทดไวาลกงัดาํทะรกกอืลเีธิวีมะจ้ีนนค ุยาอบัดะรงิญห ยาชศพเ อืคขไนอ่ืงเกาจาณราจิพยดโ นางาํทาขเนางกันพรคัมสบัรดปเง่ึนหงหแทัษิรบ6. ีธิว่ีกดมหง้ัทดไรคัมสูผกนแาํจรากีธิวีมะจ้ีนทัษิรบวลแ ทภเะรป10 พีชาชิวาขาสีมะลแ บัดะร6 ีม าขเูผกาจนคง่ึนหนางกันพดไกอืลเดัคะจีธิวีมะจ นค8 นวนาํจนางาํทาขเนคบัรณษาภมัสรากกาจ7. ดมหง้ัทณษาภมัส ่ีทีธิวนวนาํจาหงจ ง้ัรค4 ญยีรหเ1 ญยีรหเนยโรากกาจน้ึขดิกเ่ีทลผงดสแอ่ืพเมไนตพาภนผแนยีขเงจ8. ่ีทยดโ ้ีนง้ัรคญยีรหเนยโรากนในักงาตกตแ ง้ัรค1 งยีพเวัหานหีม2. ยลเวัหานหีมมไ1. ง้ัรค3 งยีพเวัหานหีม4. ง้ัรค2 ง้ัทานหีม3. ง้ัรค4 วัหานหีม5.

160 ณรากุตหเงอขนปเะจานมาวค2. รากนใชใอ่ืพเ สากอโอืรห ณรากุตหเณามะรปรากอืรห นเะคดาครากบักบพกัมนัวาํจะรปติวีชนใ กิชามสนวนาํจงาวหะรนวสารตัอบักูยอน้ึข ดใงยีพเยอนกามีมดไดิกเะจ น้ันณรากุตหเ่ีทสากอโ จในิสดัต ้ีนาลหเาํคบัก จใาขเมาวคาํทะลแ บารทงอตงึจนยีรเูผนางาํทรากงอขง้ัรคนวนาํจบัก น้ันณรากุตหเงอข ตแ นอนนแงายอดไธพัลลผุบะรถรามาสมไ่ีทงอลดทราก อืค(Random Experiment) มุสงอลดทราก1. งาบดไน้ึขรไะอดิกเสากอโีมน้ันงอลดทรากงอขธพัลลผาวดไกอบ 6 อืรห1, 2, 3, 4, 5 มตแ อืค ดไน้ึขดิกเะจ่ีทมตแ ง้ัรค1 กูล1 าตเกูลนยโงอลดทราก1 ่ีทงายอวัต ้ีนมตแ6 นใรไะอมตแนปเะจาวดไกอบถรามาสมไง่ึซ 1, 2, 3, 4, 5, 6 มตแอืคน้ึขดิกเะจ่ีทดมหง้ัทธพัลลผน้ันงัด งอปงปกูล นปเะจจาอดไบิยห่ีทงอปงปกูล ีส5 กูล5 ีมง่ึซ งอลกกาจ กูล1 งอปงปกูลบิยหราก2 ่ีทงายอวัต มสอืรห วยีขเ งดแ าฟ วาขีส มสอืรห วยีขเ งดแ าฟ วาขีสงอปงปกูล อืคน้ึขดิกเะจ่ีทดมหง้ัทธพัลลผน้ันงัด บิสาหญยีรหเะลแ ญยีรหเ1 ทาบญยีรหเนยโรากนใดมหง้ัทดไน้ึขดิกเะจจาอ่ีทลผนยีขเงจ3 ่ีทงายอวัต ญยีรหเ 1 คงาตส าํทีธิว ะลแ วัห นทแ H หใาถ ยอกอืรหวัหอืคน้ึขดิกเจาอ่ีทลผ ญยีรหเ1 ทาบญยีรหเนยโรากนใ ยอก นทแ T หใ 1 ะลงายอคงาตสบิสาหญยีรหเะลแทาบญยีรหเนยโรากกาจดมหง้ัทดไน้ึขดิกเจาอ่ีทลผาหรากนใ ้ีนงัดดไยวชพาภนผแชใจาอ ญยีรหเ

161 ลผนทแบัดนัอูคงอขง่ึนหวัตกิชามสหใยดโดไน้ึขดิกเจาอ่ีทดมหง้ัทลผนยีขเบัดนัอูคชใารเาถ น้ันะฉ บิสาหญยีรหเกาจน้ึขดิกเจาอ่ีทลผนทแบัดนัอูคงอขงอส่ีทวัตกิชามส ทาบญยีรหเกาจน้ึขดิกเจาอ่ีท ดไะจ คงาตส (T, T) ะลแ(H, H), (H, T), (T, H) อืค ดไน้ึขดิกเะจจาอ่ีทดมหง้ัทลผ รากกาจ ดมหง้ัท รากงอต่ีทง่ิสยวดบอกะรปกิชามสีม่ีทตซเนปเ(Sample Space ) ซปเสลปเมซแ2. S ยวดนทแนยีขเUniversal Set ) าวกยีรเง้ัรคงาบ( ง่ึนหงายอดใงายองอลดท ดไะจามน้ึขะจรไะอานหาวูดรากงอตาถาตเกูลนยโรากนใ4 ่ีทงายอวัต นชเ 6 อืรห5 อืรห4 อืรห3 อืรห2 อืรห1 มตแน้ึขาตเกูล อืคดไน้ึขดิกเะจจาอ่ีทธพัลลผ S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } อืค ดไ่ีทซปเสลปเมซแน้ันงัด กูล2 าตเกูลดอทงอลดทรากยดโมุสงอลดทรากกาจ5 ่ีทงายอวัต น้ึขยางห่ีทาตเกูลงอขมตแงอขซปเสลปเมซแาหงจ1. สากอโีม่ีทาตเกูลงอขมตแนยีขเงอตารเน้ันงัด น้ึขยางห่ีทาตเกูลงอขมตแจในสยทจโกาจงอ่ืนเ1. าํทีธิว ่ีทยดโ น้ึขดิกเะจจาอ่ีทธพัลลผนทแ (a , b) หใกวดะสมาวคอ่ืพเะลแ ดมหง้ัทามน้ึขยางหะจ่ีท กรแกูลาตเกูลงอขน้ึขยางห่ีทมตแนทแa งอส่ีทกูลาตเกูลงอขน้ึขยางห่ีทมตแนทแb อืคมุสงอลดทรากงอขซปเสลปเมซแน้ันงัด S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

162 มุสงอลดทรากกาจ จในสารเ่ีทณรากุตหเอืรหSample Space งอขตซเบัสนปเ่ีทตซเ อืค (event) ณรากุตหเ3. ดไะจ ดไ่ีทมตแนวนาํจ อืคจในส่ีทธพัลลผาถ ง้ัรค1 กูล1 าตเกูลนยโรากนใ7 ่ีทงายอวัต S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  E1 = {3, 6}ดไะจ วัตงล3 ยวดราหง่ึซมตแดไ่ีทณรากุตหเนปเ E หใาถ 1  E2 = {3, 4, 5, 6}ดไะจ2 าวกกามมตแดไ่ีทณรากุตหเนปเE 2 าหงจ กูล2 งุถกาจกออลอบกูลบิยห กูล2 งดแีส กูล3 วาขีสลอบกูลีมง่ึนหบใงุถ8 ่ีทงายอวัต วาขีสลอบกูลดไะจ่ีทณรากุตหเะลแ ลอบกูลงอขีสงอขซปเสลปเมซแ1. งดแีส กูล1 วาขีสนปเลอบกูลดไะจ่ีทณรากุตหเะลแ ดไามบิยห่ีทลอบกูลงอขซปเสลปเมซแ2. กูล1 งดแีสะลแวาขีสอืคีสงอสูยอีมลอบกูละลแ ลอบกูลงอขีสบักวย่ีกเจในสารเกาจงอ่ืนเ1. าํทีธิว }งดแ, วาขS = { ซปเสลปเมซแ น้ันงัด วาขีสลอบกูลดไะจ่ีทณรากุตหเนปเ B หใิตมมส }วาขB = { น้ันงัด ามน้ึขบิยหกูถ่ีทกูละลตแลอบกูลงอขซปเสลปเมซแจในสารเกาจงอ่ืนเ2. อืคS ซปเสลปเมซแน้ันงัด } ด ด, ด ข, ด ข, ด ข, ด ข, ด ข, ด ข, ด ข, ข ข, ข ขS = { 1 2 1 3 1 1 1 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 2 1 2 กูล1 งดแีส ะลแ กูล1 วาขีสลอบกูลนปเธพัลลผ่ีทณรากุตหเนปเ C หใ อืค C ณรากุตหเ น้ันงัด } ด ข, ด ข, ด ข, ด ข, ด ข, ด ขC = { 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 งดแ นทแ ด ะลแ วาข นทแ ข ุตหเยามห ยอนงายอวัหกออะจ่ีทณรากุตหเงอขธพัลลผาหงจ ง้ัรค2 ญยีรหเ1 ทาบญยีรหเนยโ10 ่ีทงายอวัต ง้ัรค2 ญยีรหเ1 ทาบญยีรหเนยโรากกาจน้ึขดิกเะจจาอ่ีทดมหง้ัทธพัลลผาหราก ง้ัรค1 ้ีนงัด มไนตพาภนผแชใยดโ

163 TT ะลแHH, HT, TH อืค บบแ4 ีม มุสงอลดทรากกาจน้ึขดิกเะจจาอ่ีทดมหง้ัทธพัลลผ HT ะลแHH, TH อืค บบแ3 ีม ง้ัรค1 ยอนงายอวัหกออะจ่ีทณรากุตหเ งอขธพัลลผอืคน่ัน ณรากุตหเงอขนปเะจานมาวค4. สากอโีมง่ึนหณรากุตหเดใณรากุตหเาวบารทหใงดสแ่ีทนวนาํจ อืค ณรากุตหเงอขนปเะจานมาวค ดใงยีพเยอนอืรหกาม น้ึขดิกเ น้ึขดิกเหใะจ( จในสารเ่ีทณรากุตหเนวนาํจงอขนวสารตัอบักาทเ ๆ ดใณรากุตหเงอขนปเะจานมาวค ้ีนงัดณวนาํคดิครากนใรตูสีมง่ึซ ดไน้ึขดิกเะจจาอ่ีทดมหง้ัทธพัลลผนวนาํจอต) ดไ็กน้ึขดิกเมไอืรห จในส ารเ่ีทณรา กุตหเงอขธ พัลลผนวนาํจ ดไน้ึขด ิกเะจจาอ่ี ทดมหง้ัทธ พัลลผนวนาํจ = ณรากุตหเงอขนปเะจานมาวค นัก ๆาทเดไน้ึขดิกเสากอโีมวัตะลตแมุสงอลดทรากกาจน้ึขดิกเะจจาอ่ีทดมหง้ัทลผอ่ืมเ จในสารเ่ีทณรากุตหเ นทแ E หใดนหาํก ณรากุตหเงอขนปเะจานมาวค นทแP(E) ณรากุตหเงอขกิชามสนวนาํจ นทแn(E) ดไน้ึขดิกเะจจาอ่ีทดมหง้ัทธพัลลผงอขกิชามสนวนาํจ นทแn(S) P( E ) = n (E ) น้ันงัด n (S ) มาวคาหงจ กูล 2 ามบิยหมุสาถ0, 1,2 , 3 อืค้ีนงัดวไบักาํกขลเยามหนยีขเ กูล4 งอปงปกูลีม1 ่ีทงายอวัต 3 าวกกามขลเวัตงอขมวรลผดไะจ่ีทนปเะจาน ซปเสลปเมซแนปเ S หใ าํทีธิว S = {(0, 1),(0, 2),(0, 3),(1, 2),(1, 3),(2, 3) }  n(S) = 6ดไะจ บารทกายอยทจโ่ีทง่ิสอืรหณรากุตหเนปเE E = {(1, 3),(2, 3)}  n (E) = 2ดไะจ n ( ) 2 1 E  ( ) =EP =ดไาคนทแp( E =) อืคนบงาขรตูสกาจ อืคน่ัน n ( ) S 6 3 1 บักาทเ3 าวกกามขลเวัตงอขมวรลผดไะจ่ีทนปเะจานมาวค 3

164 ตกเงัสอข S ซปเสลปเมซแนใูยอนใกิชามสนปเงอต E ณรากุตหเนใวัตกุทกิชามส1. 0 ≤ n(E)≤n(S) น้ันงัด าวดไะจS ซปเสลปเมซแนใ ๆ ดใณรากุตหเนปเE าถ2. 2.1 0≤P(E)≤1 นอนนแน้ึขดิกเงอตน้ันณรากุตหเงึถยามหP(E)=1 าถ2.2 ดิกเมไงอตน้ันณรากุตหเงึถยามหP(E)=0 าถ P(S)=1 าวดไะจ ซปเสลปเมซแนปเS าถ2.3

165 2 ่ีทดัหกฝบบแ ๆน้ันงอลดทรากนใจในส่ีทณรากุตหเะลแซปเสลปเมซแนยีขเงจ ้ีนปไอตมุสงอลดทรากกาจ1. ง้ัรคง่ึนหนัองอสญยีรหเนยโรากกาจญยีรหเงอสวัหดไ(1) ง่ึนหกูลงอสาตเกูลนยโรากกาจ6 อืรห2 นปเงอสง้ัทาตเกูลานหนบมตแงอขมวรลผดไ(2) ง้ัรค งึถ1 ขลเยามหนยีขเง่ึซบใ10 กาลสกาจ8 อืรห7 อืรห6 อืรห5 ขลเยามหกาลสดไบิยห(3) วไบักาํก10 ูยอนยีรเนาท่ีทนยีรเงอหนใยาซอืมดันถ่ีทนยีรเกันดไ(4) ีมมไะลแ บใ3 ลัวงารีม่ีทกาลสยวดบอกะรป่ีทกาลสบัจรากกาจลัวงารีม่ีทกาลสดไ(5) บใ7 ลัวงาร วัรคบอรคมาสง้ัทชใาผบ็ยเรกัจีมาววัรคบอรค3 วัรคบอรคกาจบอตาํคดไ(6) ีสลอบกูลุจรรบง่ึซงอลกกาจ กูล3 ลอบกูลบิยหรากนใ กูล1 าํดีส กูล2 วาขีสลอบกูลดไ(7) กูล2 าํดีสะลแ กูล3 วาข นักมอรพาตเกูลดอทรากนใง่ึนหกูลดใกูลาตเกูลกาจ2 มตแดไอืรหนักนอืมหเ่ีทมตแดไ(8) กูลงอส กูลง่ึนหาตเกูลดอทะลแญยีรหเง่ึนหญยีรหเนยโรากกาจ4 าวกกาม่ีทมตแะลแวัหดไ(9) ง้ัรคง่ึนห ษาดะรกงอขีสงึถาดาชุสวาสงานมาถบอสรากกาจูพมชีสอืรหาฟีส อืคบอช่ีทีสดไ(10) งอืลหเะลแ วยีขเ ูพมช าฟ วาข อืค ีส5 ดมหง้ัทีสกาจีสงอสบอช่ีทานหด็ชเ S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } าถ1. = { 0 2, 4, 6, 8 } Ε1 , Ε2 = {1, 3 ,5 ,7 ,9 } Ε3 ={ 2, 3, 4, 5 } Ε4 = { 1, 6, 7 } ะลแ ้ีนปไอตณรากุตหเนใูยอ่ีทS งอขกิชามสาหงจ  Ε3 (1) Ε1 (2) Ε1  Ε2 3 4 (3) Ε′ 3 (4) (Ε′  Ε )  Ε 2 ′ (5) ( S Ε3 ) (6) (Ε′  Ε′ )  Ε′ 2 3 1

166 ้ีนปไอตณรากุตหเงดสแรอลเยออ – นนวเงอขพาภนผแนยีขเงจ2 อขนใ, ,  Ε1 Ε2 Ε3ณรากุตหเกาจ2. 3 (1) Ε1  Ε′ 2 (3) (Ε 1  Ε )  Ε 2 ′ 1 2 2 3 (2)(Ε 1  Ε ) (4) (Ε′  Ε′ )  Ε′ ง่ึนหงหแลาบายพงรโงอข ) ป15 นิกเมไุยาอ( ก็ดเกนผแยวปูผงอขุยาอจวราํสรากนใ3. ป9 งึถ 1 ตแง้ัตุยาอีมยวปูผ่ีทณรากุตหเนปเ Ε1 าถ ป5 าวกยอนุยาอีมยวปูผ่ีทณรากุตหเนปเ Ε2 ป9 าวกกามุยาอีมยวปูผ่ีทณรากุตหเนปเ Ε3 ะลแ  (1) Ε1  Ε2 (3) (Ε 1  Ε 3 ) Ε 2 าหงจ (2) Ε1  Ε2 (4) Ε2  Ε3 บใกาลสนใวไบักาํกนยีขเ่ีทขลเจในสาถ ูยอบักาํก9 งึถ0 ขลเีมง่ึซ บใ10 กาลสกาจ บใ1 กาลสบัจรากนใ4 หใยดโ ดไบัจ่ีท ูคนวนาํจนปเวไบักาํกนยีขเ่ีทขลเ่ีทณรากุตหเนปเ Ε1 ่ีคนวนาํจนปเวไบักาํกนยีขเ่ีทขลเ่ีทณรากุตหเนปเ Ε2 ะาพฉเนวนาํจนปเวไบักาํกนยีขเ่ีทขลเ่ีทณรากุตหเนปเ Ε3 วัตงล3 ยวดราห่ีทนวนาํจนปเวไบักาํกนยีขเ่ีทขลเ่ีทณรากุตหเนปเ Ε4 อ่ืมเกิชามสงจแกจแง้ัทมอรพ Ε1 Ε2 Ε3 ปูรนใ้ีนปไอตณรากุตหเนยีขเงจ Ε4 อืรห, , ะาพฉเนวนาํจอืรห่ีคอืรหูคนวนาํจนปเวไบักาํกนยีขเ่ีทขลเ(1) วัตงล3 ยวดราห่ีทะาพฉเนวนาํจนปเวไบักาํกนยีขเ่ีทขลเ(2) วัตงล3 ยวดราห่ีทนวนาํจนปเมไะลแ ่ีคนวนาํจนปเมไวไบักาํกนยีขเ่ีทขลเ(3) ะาพฉเนวนาํจนปเ่ีทูคนวนาํจนปเวไบักาํกนยีขเ่ีทขลเ(4)

167 ชใปไนปเะจานมาวคาํนราก4. น้ึขดิกเะจสากอโีมน้ันๆงาตณรากุตหเาวบารทาษกึศ่ีทูผหใรากงอต ชใปไนปเะจานมาวคาํนราก นชเ จในิสดัตรากบอกะรปรากนใยวชอ่ืพเ ดใงยีพเยอนอืรห กาม ดัตมาลหวาขบักงดแพโกแดไ งดแีส อืค ดินช4 ีส2 นปเงบแ บใ52 ีมง่ึนหบัราํสพไ1 ่ีทงายอวัต ีสอืรหาํดพโดไวลแบใ1 ามบิยห่ีทนปเะจานมาวคาหงจ บใ13 ีมดินชะลตแ กิจกอดบักาํดพโ กแดไ าํดีส งดแ ีธิว 52 ดไะจบใ1 ะลีทามบิยห บใ52 ีมดมหง้ัทพไS = าํทีธิว n(S) = 52 น้ันงัด บใ26 ีมงดแีสพไะลแ บใ13 ีมาํดพโพไE = n(E) = 13 + 26 = 39 น้ันงัด n ( ) 39 3 E  ( ) =EP =ดไาคนทแp( E =) รตูสกาจ n ( ) S 52 4 3 บักาทเ งดแีสอืรหาํดพโดไวลแบใ 1 พไบิยห่ีทนปเะจานมาวค 4 งูสดไปไนปเสากอโีมาวอืถ75 % น้ึขดิกเสากอโีมงดแพโอืรห าํดพโพไดไวลแ บใ 1 พไ าวดไปุรส ะจ่ีทนปเะจานมาวคาหงจ ูยอบักาํก0 - 9 ขลเีมง่ึซ บใ10 กาลสกาจบใ1 กาลสบิยหรากนใ2 ่ีทงายอวัต 7 ขลเ5 ขลเ3 ขลเ2 ขลเีมกาลสะาพฉเนวนาํจนปเดไบิยห ีธิว 10 ดไบิยหงึจ บใ1 ะลีทามบิยห บใ10 ีมกาลสS = าํทีธิว S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,} n(S)=10 ะาพฉเนวนาํจนปเ่ีทกาลสE = E ={2,3,5,7,} n(E)=4 E n ( ) 4 2  ( ) =EP =ดไาคนทแp( E =) รตูสกาจ n ( ) S 10 5 2 บักาทเ ะาพเาํจนวนาํจนปเดไบิยหะจ่ีทนปเะจานมาวค 5 สากอโีมาวอืถ40 % น้ึขดิกเสากอโีม ะาพเาํจนวนาํจนปเดไบิยหะจ่ีทนปเะจานมาวค าวดไปุรส ยอนน้ึขดิกเ

168 13 นปเมตแงอขมวรลผ่ีทสากอโาหงจ ง้ัรค1 นักมอรพ กูล2 าตเกูลดอทรากนใ3 ่ีทงายอวัต 6 + 6 = 12 อืคดุสงูสมวรลผีมะจกูล2 าตเกูล าํทีธิว ดไมไปไนปเ่ีทณรากุตหเนปเงึจ13 นปเะจ่ีทมตแงอขมวรลผบารทรากงอตยทจโ 0 บักาทเ13 นปเมตแงอขมวรลผ่ีทสากอโ ยลเน้ึขดิกเสากอโีมมไ น้ัน13 นปเมตแงอขมวรลผวลแกูล2 าตเกูลดอทะจ่ีทสากอโ าวดไปุรส

169 3 ่ีทดัหกฝบบแ าวน้ึขดิกเะจ่ีทสากอโงึถปุรสะลแ ณรากุตหเงอขนปเะจานมาวคาหงจ ง้ัรค1 กูล1 าตเกูลนยโรากนใ1. ดใงยีพเยอนอืรหกามีม 4 มตแดไ1) ูคมตแดไ2) 4 าวกกามมตแดไ3) 7 าวกยอนมตแดไ4) 0 าวกกามมตแดไ5) ่ีคมตแนปเอืรห6 าวกกามมตแดไ6) ่ีคมตแนปเะลแ3 าวกกามมตแดไ7) ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 10 นปเมวรมตแดไะลแกรแง้ัรคนใ7 นปเมวรมตแดไะจ่ีทนปเะจานมาวค ง้ัรคงอสกูล2 าตเกูลดอท2. ดใาทเบักาทเ2 ่ีทง้ัรคนใ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. งาชกอืลเรากงอตาถ นค 4 มไงาชะลแ นค6 นูปงาช ยวดบอกะรป นค10 ีมง่ึนหมุลกงารสอกงาช3. ดใาทเบักาทเ นค 3 มไงาชะลแ นค4 นูปงาชดไะจ่ีทนปเะจานมาวค ้ีนมุลกกาจ นค7 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ดอลห4 นิงเาํ้นีสฟไดอลหะลแดอลห4 ีดดอลหนปเง่ึซดอลห6 งดแีสฟไดอลหุจรรบง่ึนหบใงอลก4. ะจานมาวค นืคสใมไบบแ ง้ัรค2 ดอลห1 ะลง้ัรคฟไดอลหบิยหมุสรากนใ ดอลห2 ีดดอลหนปเง่ึซ ดใาทเบักาทเาคีม ง้ัรคงอสง้ัทีดดอลหนปเะลแ นักวยีดเีสฟไดอลหดไะจ่ีทนปเ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. กูล2 ลอบกูลบิยหรากีธิวนวนาํจ่ีทยดโ ง่ึนหนวนาํจวาขีสะลแ กูล3 งดแีสลอบกูลีมง่ึนหบใงอลก5. กูลดไะจ่ีทนปเะจานมาวควลแ กูล2 นัพมอรพลอบกูลบิยหมุสาถ9 บักาทเ นักนอืมหเีสลอบกูลนปเ ดใาทเบักาทเกูล2 ง้ัทวาขีสลอบ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

170 9 ่ีททบ พีชาอนางนใรตสาศติณคงาทรากนวบะรกะษกัทชใราก ญัคาํสะราส นาดนใง้ัทพีชาอาขาสยาลหกาลหีม น้ันนยีซเาอมคาชะรปมุลกนใะลแมคงัสนใพีชาอบอกะรปราก รากงวนใพีชาอ รากดัจราหิรบรากะลแ ครรสงารสดิคมาวค มรรกยชิณพ มรรกรตษกเ มรรกหาสตุอ นยีรเูผง่ึซ พีชาอมุลกกุทบอืกเงอขวย่ีกเปไาขเรตสาศติณคงาทรากนวบะรกะษกัทชใรากีมนวลวาลกงัด ชใตกุยะรปามยาลปนอตาษกึศมยธัมบัดะรนใรตสาศติณคนยีรเดไ่ีทะษกัทะลแูรมาวคาํนถรามาส งัวหดาค่ีทูรนยีรเรากลผ รตสาศติณคงาทะษกัทชใ่ีทนยีซเาอมคาชะรปมุลกะลแมคงัสนใพีชาอนางหะารคเิวถรามาส1. ดไพีชาอนางบักรตสาศติณคงาท ๆ งาตูรมาวคงยโมอ่ืชเรากนใถรามาสมาวคีม2. าหอ้ืนเยาขบอข รตสาศติณคงาทะษกัทชใ่ีทพีชาอนางงอขทภเะรป ะณษกัล1 ่ีทงอ่ืรเ ะลแมคงัสนใพีชาอนางบักงยโมอ่ืชเปไรตสาศติณคงาทูรมาวคาํนราก2 ่ีทงอ่ืรเ นยีซเาอมคาชะรป

171 รตสาศติณคงาทะษกัทชใ่ีทพีชาอนางงอขทภเะรป ะณษกัล1 ่ีทงอ่ืรเ ฯลฯ งมะรป วตัสงย้ีลเราก กัผกูลปราก รไาํท านาํทราก พีชาอ กแดไ มรรกรตษกเพีชาอมุลก1.1 รตสาศติณคงาทะษกัทชใ่ีทนตงอ้ืบเนางะณษกัล(1) มรรกรตษกเชืพกูลปะจ่ีทดาลตงอขจวราํสราก1. าว่ีทน้ืพงอขวายมาวค งาวกมาวคบักูยอน้ึขง่ึซ นิด่ีทน้ืพมยีรตเราก2. งอรดุข งลปแาํทรากนใ าวงาราต่ีก นาง่ีก รไ่ีก่ีทน้ืพชใรากบอกะรปูผ นวส1 าํ้นอบ นวส1 กัผกูลป่ีทน้ืพ นวส1 าน่ีทน้ืพนปเชใอ่ืพเ นตนปเ นวส 1 ยัศาอูยอ่ีทน้ืพ นวส1 วตัสงย้ีลเราก ๆ น่ือุธนัพชืพะลแ กัผ วาขุธนัพด็ลมเมยีรตเราก3. รไอตมัรกลโิก่ีกดานขชใาวยุปมยีรตเราก4. ยอนกามณามิรปนใ ง้ัรค2 ะลนัวาํ้นดร าวดนหาํกงอตง่ึซ นิดนวรพ าํ้นดรราก5. รไาทเ ะลแ าดเะส นชเ พาภวีชงาทชืพูรตัศดัจาํกราสชใยดโงลมแาฆายดีฉราก6. ดัจาํกายมสผอ่ืพเ นวสดัส นวสารตัองอ่ืรเูรมาวคชใ นตนปเ ๆ น่ือรพไนุมส นพดีฉนอกาํ้นบักชืพูรตัศ กูลปรากตแง้ัตาลวเะยะรณวนาํครากะษกัทชใงอตง่ึซ ติลผลผวย่ีกเบ็กเราก7. ติลผลผวย่ีกเบ็กเรากะยะรงึถนจ ติลผลผบ็กเ่ีทนาถสะลแุดสัวงอขน้ืชมาวคบอสจวรตราก- ติลผลผาษกัรบ็กเรากนใ่ีทน้ืพณวนาํคราก- ยาจ– บัรีชญับาํทดัจรากะษกัทชใงอตง่ึซ ติลผลผยานหาํจราก8. ดไ่ีทติลผลผนวนาํจกึทนับดจราก าดมรรธลคคุบดไนิงเีษาภณวนาํคราก9.

172 ชใ่ีทียลโนโคทเะลแอืมงอ่ืรคเ(2) ขลเดิคงอ่ืรคเ1. คุบตนโรอตเวิพมอคอืรหยาจยาร บัรยารกึทนับดุมส2. งึถนจกูลปรากตแง้ัตตโบิตเญิรจเรากาลวเะยะรกึทนับดจดุมส3. ติลผลผวย่ีกเบ็กเราก ชใ่ีทรตสาศติณคงาทูรมาวค(3) ่ีทน้ืพาหราก วายมาวคดัวราก1. นิด่ีทน้ืพงอขวายมาวคงาวกมาวคอตยุปมสผรากนในวสารตัอ2. ดไ่ีทติลผลผง่ัชราก3. มัรกลโิกอตยาขาคารดนหาํกราก4. ๆ น่ือะลแนางงรแงาจาค งอ่ืรเ ราห ณูค บล กวบราก5. นัวาํจะรปยาจยาร บัรยารีชญับาํทราก6. าดมรรธลคคุบดไนิงเีษาภณวนาํคราก7. มรรกหาสตุอ กแดไ ๆงาตมรรกหาสตุอนางงรโนในางกันพพีชาอ กแดไ มรรกหาสตุอพีชาอมุลก1.2 ฯลฯ ตนมเีซนูป กิตสาลพ ก็ลหเ สลเนตแส พมิพง่ิสะลแษาดะรก ูนหนขาผ คิมารซเณรกปุอมาชยวถ น็ยเงอห รตสาศติณคะษกัทชใ่ีทนตงอ้ืบเนางะณษกัล(1) นัวาํจะรปดไยารนิงเณวนาํคราก1. าลวเงวลนางาํทาคนิงเณวนาํคราก2. นตบทย้ีบเกอดอืรห่ีทงคย้ีบเกอดะลแูกนิงเณวนาํคราก3. นัวาํจะรปยาจยาร– บัรยารีชญับาํทราก4. )ุดสัพยาจกิบเราก อ้ืซดัจราก( ุดสัพีชญับาํทดัจราก5.

173 ดาลตรากยัจิวะลแจวราํสราก6. าดมรรธลคคุบดไนิงเีษาภณวนาํคราก7. ชใ่ีทียลโนโคทเะลแอืมงอ่ืรคเ(2) ขลเดิคงอ่ืรคเ1. รอตเวิพมอคงอ่ืรคเ2. มรรกหาสตุอาขาสะลตแนใมรรกหาสตุอรกัจงอ่ืรคเ3. มุหอหกิตสาลพนปเค็พแอืรหงอลกงลฑณัภุจรรบงอ่ืรคเ4. ชใ่ีทรตสาศติณคงาทะษกัทะลแูรมาวค(3) ดุยหาลนัวกัหยดโนอืดเาํจะรป หาดปัสาํจะรปดไยารนิงเณวนาํคราก1. งมโว่ัชยารงาจาคอตงมโว่ัชนวนาํจนปเาลวเงวลนางาํทาคนิงเณวนาํคราก2. )นตบทย้ีบเกอด, ่ีทงคย้ีบเกอด( ย้ีบเกอดะลแูกนิงเณวนาํคราก3. นัวาํจะรปยาจ– บัรีชญับาํทราก4. าดมรรธลคคุบดไนิงเีษาภณวนาํคราก5. ม่ืดงอ่ืรคเะลแราหาอนารรากบอกะรปูผ ยาขาคพีชาอ กแดไ มรรกยชิณาพพีชาอมุลก1.3 ดาลตนในุหยาขอ้ืซรากจิกรุธ ยพัรทมิราหงัสอยาขอ้ืซรากจิกรุธ งสยาขะลแกีลปยาขรากบอกะรปูผ นตนปเ ดาลตราก ีชญับาํทรากพีชาอ ยพัรทกัลห รตสาศติณคะษกัทชใ่ีทนตงอ้ืบเนางะณษกัล(1) นใณรกปุอุดสัวอืรห ้ีอากเ ะตโงาวดัจรากณวนาํคราก ่ีทนาถสมยีรตเดัจราก1. ยาขราก งสยาขอืรหกีลปยาขาครากนใบิดุถตัวอ้ืซดัจราก2.

174 นิงเนอทราก ยวนหอตาคนิสาคารณวนาํคราก าคนิสยานหาํจราก3. )ุดสัพยาจกิบเราก อ้ืซดัจราก( ุดสัพีชญับาํทดัจราก4. นัวาํจะรปยาจ– บัรีชญับาํทดัจราก5. นิงเมออราก นิงเนอถราก นิงเกาฝราก6. นใะษกัทชใงอตง่ึซ มรรกยชิณาพอืรหยาขาคจิกรุธนางนใธนัพมัสาชะรปราก7. บัพนผแนวนาํจะลแดานข รษกัอวัตดานข าณษฆโยาปงอขดานขณวนาํคราก าณษฆโวิลปบใอืรห าดมรรธลคคุบดไนิงเีษาภณวนาํคราก8. ชใ่ีทียลโนโคทเะลแอืมงอ่ืรคเ(2) ขลเดิคงอ่ืรคเ1. นิงเนอท– นิงเบ็กเงอ่ืรคเ2. รอตเวิพมอคงอ่ืรคเ3. ฟวเรคโมไงอ่ืรคเ4. มไลผาํ้นนปงอ่ืรคเ5. ชใ่ีทรตสาศติณคงาทะษกัทะลแูรมาวค(3) ยาขรากนใณรกปุอ ุดสัวอืรห้ีอากเ ะตโ งาวดัจอ่ืพเยอสชใ่ีทน้ืพงอขดานขณวนาํคราก1. นัวะลตแนใบิดุถตัวอ้ืซดัจรากณามิรปณวนาํคราก2. ุดสัพอ้ืซดัจรากนใณวนาํคราก3. นัวาํจะรปยาจ– บัรีชญับาํทดัจราก4. าณษฆโวิลปนผแ บัพนผแอืรหธนัพมัสาชะรป าณษฆโยาปงอขดานขณวนาํคราก5. าดมรรธลคคุบดไนิงเีษาภณวนาํคราก6. ยัศาอูยอ่ีทงตแกตบบแกออรากจิกรุธ าณษฆโจิกรุธ กแดไ ครรสงารสดิคมาวคนาดพีชาอมุลก1.4 นตนปเ ญัวขงอขาชเะรกดัจราก ดีรหงวพาํทรากจิกรุธ บัดะรปนักจแะลแมไกอดดัจราก มอยหนวสะลแนางกันาํส

175 รตสาศติณคะษกัทชใ่ีทนตงอ้ืบเนางะณษกัล(1) จิกรุธาํทดัจรากนในางน้ิชอืรห่ีทน้ืพงอขงรทปูร รตามิรป ดานขมยีรตเดัจราก1. นางน้ิชอืรห่ีทน้ืพงอขงูสมาวค วายมาวค งาวกมาวคดัวรากชใงอตง่ึซ ิติมมาสติณคาขรเปูรชใยดโงรทปูรบบแกออราก นางน้ิชครรสงารสฐษิดะรปชใรากนใณรกปุอุดสัวงอขณามิรปณวนาํคราก2. มอยหนวสงตแกตดัจรากอืรห าคนิสยาขาคารดนหาํกอ่ืพเณวนาํคราก3. )ุดสัพยาจกิบเราก อ้ืซดัจราก( ุดสัพีชญับาํทดัจราก4. นัวาํจะรป ยาจ– บัรีชญับาํทดัจราก5. ณวนาํครากนใะษกัทชใงอตง่ึซ ทภเะรปกุทจิกรุธพีชาอนใธนัพมัสาชะรปราก6. วิลปนผแ บัพนผแอืรหธนัพมัสาชะรปยาปนผแาํทดัจรากนในาฐน้ืพนปเ าดมรรธลคคุบดไนิงเีษาภณวนาํคราก7. ชใ่ีทียลโนโคทเะลแอืมงอ่ืรคเ(2) ขลเดิคงอ่ืรคเ1. รอตเวิพมอคงอ่ืรคเ2. าคนิสบบแกออรากนใปูรจ็รเาํสมรกแรปโ3. ชใ่ีทรตสาศติณคงาทะษกัทะลแูรมาวค(3) นใชใ่ีทงรทปูรบบแกอออืรห่ีทน้ืพงอขรตามิรป วิผ่ีทน้ืพณวนาํคราก1. พีชาอนางาํทราก นางน้ิช ครรสงารส ฐษิดะรปชใ่ีทณรกปุอ ุดสัวงอขณามิรปณวนาํคราก2. าคนิสยาขาคารดนหาํกอ่ืพเ รไาํกะลแนุทนตณวนาํคราก3. )ุดสัพยาจกิบเราก อ้ืซดัจราก( ุดสัพีชญับาํทดัจราก4. นัวาํจะรปยาจ– บัรีชญับาํทดัจราก5. าดมรรธลคคุบดไนิงเีษาภณวนาํคราก6.

176 วย่ีทเงอทรากะลแรากิรบนางมุลกพีชาอ กแดไ รากิรบรากะลแรากดัจราหิรบพีชาอมุลก1.5 ะลแรากานทนัสรากิรบ ุยาองูสูผลแูดรากิรบ ก็ดเะลแกราทลแูดรากิรบ ยัภดอลปมาวคาษกัรรากิรบนาง นตนปเ าฬีกราก รตสาศติณคะษกัทชใ่ีทนตงอ้ืบเนางะณษกัล(1) รากิรบหใรากนใงาทะยะรณวนาํคราก รากิรบหใรากนใ่ีทน้ืพจวราํสราก1. รากิรบหใรากนใณรกปุอ ุดสัวอ้ืซดัจราก2. นใ่ีทานหาจเงอขนางงนหแาํตมาตนอืดเนิงเดนหาํกะลแรคัมสบัรราก3. รากิรบหใราก นางกันาํสาํจะรป่ีทานหาจเงอขมาย- รวเูยอราก าลวเงาราตาํทดัจราก4. ยาขาคารดนหาํกง้ัทมวร รากิรบหใรากะลแวย่ีทเงอทรากดนหาํกาํทดัจราก5. ่ีทน้ืพะลตแนใรากิรบ รากิรบหใ่ีทะนหาพนายงอขงิลพเอ้ืชเนัมาํ้นชใรากณวนาํคราก6. ุดสัพยาจกิบเรากะลแ ุดสัพีชญับาํทดัจราก7. นัวาํจะรปยาจ– บัรีชญับาํทดัจราก8. รากิรบหใรากธนัพมัสาชะรป าณษฆโยาปนผแาํทดัจราก9. ลูมอขอนสเาํนรากะลแนางยารปุรสาํทดัจราก10. าดมรรธลคคุบดไนิงเีษาภณวนาํคราก11. ชใ่ีทียลโนโคทเะลแอืมงอ่ืรคเ(2) ขลเดิคงอ่ืรคเ1. รอตเวิพมอคงอ่ืรคเ2. ยากงัลาํกกอองอ่ืรคเ3. ุยาองูสูผะลแก็ดเกราทกแมน ม่ืดาํ้น ราหาอมยีรตเรากนใณรกปุอ4. รากิรบหใรากนใะนหาพนาย5. รากิรบหใ่ีทดุจอืรห่ีทนาถสงอข่ีทนผแ6.

177 ชใ่ีทรตสาศติณคงาทะษกัทะลแูรมาวค(3) งาทะยะรดัวรากะลแ่ีทน้ืพณวนาํคราก1. รากิรบหใอ่ืพเาหดัจ อ้ืซดัจงอตนปเาํจ่ีทณรกปุอ ุดสัวงอขณามิรปณวนาํคราก2. ่ีทานหาจเงอขนางงนหแาํตดนหาํกะลแนอืดเนิงเณวนาํคราก3. นางิตับิฏปรากงาราตาํทดัจราก4. รากิรบหใ่ีทงาทะยะรอตตนยถรงิลพเอ้ืชเชใรากณวนาํคราก5. นตงอ้ืบเีชญับาํทดัจราก6. ลูมอขอนสเาํนอืรหนางยารปุรสาํทดัจรากนใิติถสชใราก7. าดมรรธลคคุบดไนิงเีษาภณวนาํคราก8. นยีซเาอมคาชะรปะลแมคงัสนใพีชาอนางบักงยโมอ่ืชเปไรตสาศติณคงาทูรมาวคาํนราก2 ่ีทงอ่ืรเ พีชาอนางมุลกง้ัทพีชาอนางมุลก5 ง้ัทพีชาอนางบักงยโมอ่ืชเปไรตสาศติณคูรมาวคาํนรากนใ ครรสงารสดิคมาวคพีชาอนางมุลก มรรกยชิณาพพีชาอนางมุลก มรรกหาสตุอพีชาอนางมุลก มรรกรตษกเ มุลกกุทชใามรตสาศติณคงาทูรมาวคะษกัทาํนงอต่ีทรากิรบะลแรากดัจราหิรบนาดพีชาอนางมุลกะลแ ณวนาํคราก งาจาคนิงเณวนาํคราก นอืดเาํจะรป นัวาํจะรปยาจยาร– บัรยารีชญับาํทดัจราก นชเ พีชาอ นักงาตรตสาศติณคูรมาวคะษกัทชใะจจาอพีชาอมุลกกุทพีชาอมุลก นตนปเ าดมรรธลคคุบดไนิงเีษาภ น้ันาทเกามนักชใ่ีทรตสาศติณคงาทะษกัทนปเ่ีทงายอวัตอนสเาํนะจ้ีนทบนใ น้ันงัด ปไกออ นัวาํจะรปยาจ- บัรีชญับาํทดัจรากะษกัท2.1 กัผกูลปรกรตษกเงอขนัวาํจะรปยาจยาร– บัรยารีชญับาํทดัจราก1 ่ีทงายอวัต ทาบ480 ฟไาค าํ้นาค ทาบ2,000 ยุปะลแุธนัพด็ลมเาคยาจ2554 มคาลุต10 ่ีทนัว ทาบ1,500 กัผยาขรากกาจนิงเบัรดไ ทาบ200 ราหาอาคยาจ ทาบ 590 ทพัศรทโาคยาจ ทาบ280 ราหาอาคยาจ2554 มคาลุต12 ่ีทนัว ทาบ3,600 กัผยาขรากกาจนิงเบัรดไ ทาบ 1,100 ตนยถรนัมาํ้นาคยาจ ทาบ250 ม่ืดาํ้นาคยาจ ทาบ500 ราหาอาคยาจ ทาบ300 อืสงันหาคยาจ2554 มคาลุต15 ่ีทนัว ทาบ2,200 กัผยาขรากกาจนิงเบัรดไ ทาบ1,800 าผอ้ืสเาคยาจ ทาบ 400 รตนยพาภมชรตับาคยาจ ทาบ300 ราหาอาคยาจ2554 มคาลุต16 ่ีทนัว ทาบ3,000 กัผยาขรากกาจนิงเบัรดไ ทาบ480 กิตาลพงุถาคยาจ

178 นิงเนวนาํจ นิงเนวนาํจ ยาจรากยาร ป นอืดเ นัว บัรรากยาร ป นอืดเ นัว .ตส ทาบ. ตส ทาบ 2,000 - ยุปะลแุธนัพด็ลมเาค. 54 ค.ต1,500 - 10 กัผยาขรากกาจนิงเบัร. 54 ค.ต10 480 - าฟฟไาค าํ้นาค 200 - ราหาอาค 280 - ราหาอาค. 54 ค.ต3,600 - 12 กัผยาขรากกาจนิงเบัร. 54 ค.ต12  590 -ทพัศรทโาค  1,100 -ตนยถรนัมาํ้นาค 300 - อืสงันหาค. 54 ค.ต2,200 - 15 กัผยาขรากกาจนิงเบัร. 54 ค.ต15 500 - ราหาอาค 250 - ม่ืดาํ้นาค 1,800 - าผอ้ืสเาค 300 - ราหาอาค. 54 ค.ต3,000 - 16 กัผยาขรากกาจนิงเบัร. 54 ค.ต16  400 -รตนยพาภมชรตับาค 480 - กิตสาลพงุถาค 8,680 - มวร10,300 - มวร 1,620 - ปไกยอืลหเงคดอย งาจาคนิงเณวนาํครากะษกัท2.2 รทนัจนัวนางาํทาลวเดนหาํกง่ึซ ง่ึนหงหแทัษิรบงอขดาอะสมาวคาํทนางกันพนปเวายเพ2 ่ีทงายอวัต ดุยหนัวนใงาจาคบัรดไิธทิสีมวายเพ ทาบ320 ะล ๆ นัวยารนปเงาจาคบัรดไราสเนัวงึถ ามวายเพ มคาลุตนอืดเนใ นางาํทงอตมไยดโปาํจะรปนอผกัพดุยหนัวะลแีณพเะรปมาต นใรทนัจนัวบักงรตมคาลุต1 ่ีทนัวะลแ ิตกปนางาํทาลวเมาตนางาํทนัวนในัวกุทนางาํท วายเพ้ีนนอืดเนใาวบารทกายอ มคาลุต23 ่ีทนัว อืค นัว1 ีณพเะรปมาตดุยหนัวีม้ีนนอืดเ รไาทเงาจาคบัรดไ

179 าํทีธิว มคาลุตนอืดเ ราสเ รกุศ สัหฤพ ธุพ ราคงัอ รทนัจ ยติทาอ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 มาตดุยหนัวนใงาจาคบัรดไิธทิสีมะลแ นัว26 นางาํทนัวนใงาจาคบัรดไวายเพ มคาลุตนอืดเ ทาบ320 ะลนัวงาจาคบัรดไะลแ นัว1 ีณพเะรป = (26 + 1) × 320 มคาลุตนอืดเนใงาจาคบัรดไวายเพ น้ันงัด ทาบ= 8,640 ลผนปนิงเะลแานหยานาคนิงเณวนาํครากะษกัท2.3 ง่ึนหงหแทัษิรบบักหใทาบ4,500 าคารีมง่ึซ าฟฟไงอ่ืรคเยาขนทแวัตนปเยัชญัสยาน3 ่ีทงายอวัต รไาทเทัษิรบหในิงเงสงอตยัชญัส าวบารทกายอ10% านหยานาคดิคทัษิรบ 10 ทาบ= × 4,500 = 450 ยาขรากนในทแวัตจ็นหเาํบ าํทีธิว 100 ทาบ= 4,500 – 450 = 4,050 ทัษิรบหในิงเงสงอตยัชญัส น้ันงัด าคลูม นุห150 นวนาํจ ง่ึนหงหแาฟฟไชใงอ่ืรคเยานหาํจทัษิรบงอขิธทิสมิรุปนุหีมารทัภ4 ่ีทงายอวัต รไาทเน้ิสง้ัทลผนปนิงเบัรดไะจาขเปน้ิส10% ลผนปนิงเารตัอ ทาบ100 ะลนุห ิธทิสมิรุปนุหาคลูม× ลผนปนิงเารตัอ= ิธทิสมิรุปนุหงอขนุหอตลผนปนิงเ าํทีธิว = 10% × 100 10 = × 100 100 ทาบ= 10 นุห150 นวนาํจิธทิสมิรุปนุหีมารทัภ = 150 × 10 น้ิสง้ัทลผนปนิงเบัรดไะจารทัภ น้ันงัด ทาบ= 1,500

180 ลูมอขอนสเาํนอืรหนางยารปุรสรากนใิติถสชใรากะษกัท2.4 นางกันพบัรหาํสรอตเวิพมอคมรบอรากงรคโนางนินเาํดรากนางยารปุรสราก4 ่ีทงายอวัต นางนินเาํดรากลผ นปเรากนินเาํดยดโ นางกันพบัรหาํสรอตเวิพมอคมรบอรากงรคโาํทดัจดไง่ึนหงหแนัมาํ้นทัษิรบ ้ีนงัด นุร3 มรบอาขเูผนวนาํจ มรบอ่ีทนัว มรบอมรกแรปโ ่ีทนุร . 54 10ย.ก Excel 5 – 9 ทฟอซรคโมไมรกแรปโชใราก1 . 54 10ย.กPhotoShop 12 – 16 มรกแรปโชใราก2 . 54 10ย.ก Access 19 – 23 ทฟอซรคโมไมรกแรปโชใราก3 บอสดทรากนินเาํดดไมรบอรากดัจูผยดโมรบอรากลผนิมเะรปรากีมะลแมรบอรากนินเาํดอ่ืมเ านหวากมาวคบอสจวรตอ่ืพเ มรบอรากงัลหะลแนอกบอสดทบบแชใยดโ นางกันพกแจใาขเมาวค ูรมาวค ยดโ ดใงยีพเยอนกามมรบอรากบัราขเนอกงวชกาจน้ึขม่ิพเูรมาวคบัรดไนางกันพมรบอรากงัลหยาภ าว รากลผะลแณวนาํครากนอตน้ัขปุรสง่ึซ นุระลตแนใมรบอรากบัราขเูผงอขย่ีลฉเนนแะคกาจาณราจิพ ้ีนงัดดไรากนินเาํด นค10 ง้ัทนคกุทมรบอาขเูผหใมรบอรากาหอ้ืนเนใจใาขเมาวค ูรมาวคดัวบอสดทบบแาํน1. ม็ตเนนแะคีมะจบอสดทบบแ นุระลตแง่ึซ นนแะค่ีกะลนคดไาวนคะลตแมรบอาขเูผงอขนนแะคหใจวรต กึทนับบบแนใงล1 – 10 ่ีทนคตแง้ัตลคคุบยารนปเนนแะคกอรกามาํนวลแ นุร3 ง้ัทนักาทเ นนแะค20 ้ีนงัด นุระลตแนใ( x) นนแะคงอขย่ีลฉเาคณวนาํคอ่ืพเ นนแะค มรบอรากงัลหนนแะค มรบอรากนอกนนแะค )นนแะค20 ม็ตเนนแะค) (นนแะค20 ม็ตเนนแะค( ่ีทนค นุรมรกแรปโ นุรมรกแรปโ นุรมรกแรปโ นุรมรกแรปโ นุรมรกแรปโ นุรมรกแรปโ 3 ่ีท2 ่ีท1 ่ีท3 ่ีท2 ่ีท1 ่ีท 1 8 9 7 15 14 14 2 7 6 8 14 13 13 3 9 5 9 17 12 15 4 10 7 8 16 15 12 5 7 5 7 15 11 16 6 8 8 6 14 13 14 7 6 7 10 16 12 13

181 8 11 10 9 18 14 15 9 9 6 8 13 12 13 10 10 5 7 14 13 12 85 68 79 152 129 137 มวรนนแะค นค10 ง้ัทงอข ( x) = 85 ÷10 ( x) = 68 ÷10 ( x) = 79 ÷10 ( x) = 152÷10 ( x) = 129÷10 ( x) = 137÷10 นนแะคณวนาํค = 8.5 = 6.8 = 7.9 = 15.2 = 12.9 = 13.7 าํนยดโย่ีลฉเ นนแะค∴ นนแะค∴ นนแะค∴ นนแะค∴ นนแะค∴ นนแะค∴ มวรนนแะค = ย่ีลฉเ= ย่ีลฉเ= ย่ีลฉเ= ย่ีลฉเ= ย่ีลฉเ= ย่ีลฉเ นวนาํจยวดราห นนแะค13.7 นนแะค12.9 นนแะค15.2 นนแะค7.9 นนแะค6.8 นนแะค8.5 อืค ดมหง้ัทนค นค10 = 8.5× 100 = 6.8× 100 = 7.9× 100 = 15.2× 100 = 12.9× 100 = 13.7× 100 ะลยอรณวนาํค 20 20 20 20 20 20 นนแะคงอข = 42.50 % = 34.00 % = 39.50 % = 76.00 % = 64.50 % = 68.5 % นนแะค20 ม็ตเ ม็ตเนนแะคงอขรไาทเะลยอรนปเดิคน้ันย่ีลฉเนนแะค าวณวนาํครากลผะลแดไณวนาํค่ีทย่ีลฉเนนแะคาํน2. ้ีนงัด นางยารปุรสงาราตนใงลกอรกาม1 อขกาจ (x) ย่ีลฉเนนแะค(x) ย่ีลฉเนนแะค นนแะค20 ม็ตเนนแะคกาจ นนแะค20 ม็ตเนนแะคกาจ มรบอรากมรกแรปโ ะลยอรนปเดิค มรบอรากงัลห ะลยอรนปเดิค มรบอรากนอก ม็ตเนนแะคงอข ม็ตเนนแะคงอข 8.50 42.50 15.20 76.00 มรกแรปโชใราก1 ่ีทนุร  Excelทฟอซรคโมไ 6.80 34.00 12.90 64.50 มรกแรปโชใราก2 ่ีทนุร PhotoShop 7.90 39.50 13.70 68.50 มรกแรปโชใราก3 ่ีทนุร  Accessทฟอซรคโมไ นุร3 ง้ัทมรบอรากงัลหมรบอรากบัราขเูผงอขย่ีลฉเนนแะคกาจาณราจิพอ่ืมเ าวบพ งาราตกาจ รากบัราขเูผ าวงดสแ อืควาลก นุรกุทมรบอรากนอกย่ีลฉเนนแะคกาจน้ึขม่ิพเย่ีลฉเนนแะคีม าวดไน็หเะจ าวบพะลแ นางกันพหใมรบอดัจดไทัษิรบ่ีทาหอ้ืนเนใน้ึขกามม่ิพเจใาขเมาวค ูรมาวคบัรดไญหในวสมรบอ ม็ตเนนแะคงอข76.00 ะลยอรนปเดิค นนแะค15.20 ย่ีลฉเนนแะคดไ อืค ดุส่ีทกามย่ีลฉเนนแะคดไ1 ่ีทนุร น้ัน2 ่ีทนุรนวส ม็ตเนนแะคงอข68.50 ะลยอรนปเดิค นนแะค13.70 ย่ีลฉเนนแะคดไ3 ่ีทนุร อืค ามงลงอร ม็ตเนนแะคงอข64.50 ะลยอรนปเดิค นนแะค12.90 ย่ีลฉเนนแะคดไ อืค ดุส่ีทยอนย่ีลฉเนนแะคดไ

182 าดมรรธลคคุบดไนิงเีษาภณวนาํครากะษกัท2.5 ดไนิงเงอข40 ะลยอรดไยาจชใาคกัหถรามาสปน้ิส ทาบ28,000 ะล ๆ นอืดเนิงเบัรดไคชโยาน งายอวัต ติวีชนักะรปย้ีบเาคกัห ทาบ 30,000 ดไนิงเีมูผนอยหดลาคกัห ทาบ60,000 นิกเมไตแ นิมเะรปงึพ รากยารงดสแบบแน่ืยคชโยานปน้ิส ทาบ36,450 นาบอ้ืซอ่ืพเมืยูกนิงเย้ีบเกอดกัห ทาบ25,000 รไาทเนิงเนปเีษาภะราํชงอตะราํชาถ มไอืรหีษาภะราํชงอตมรรธลคคุบดไนิงเีษาภ าํทีธิว ทาบ= 28,000 × 12 = 336,000 คชโยานงอขนิมเะรปงึพดไนิงเ ทาบ60,000 นิกเมไตแ นิมเะรปงึพดไนิงเงอข40 ะลยอร ยาจชใาค กัห 40 ทาบ× 336,000 = 134,400 ยาจชใาค 100 น้ันาทเทาบ 60,000 คแดไกัหถรามาสตแ ทาบ 134,400 ดไณวนาํคคชโยานงอขยาจชใาคตแ ทาบ 30,000 ดไนิงเีมูผนอยหดลาค กัห ทาบ25,000 ติวีชนักะรปย้ีบเาค ทาบ36,450 นาบอ้ืซอ่ืพเมืยูกนิงเย้ีบเกอด ทาบ = 30,000 + 25,000 + 36,450 = 91,450 ดไนอยหดลาคกัหมวร )นอยหดลาคกัห+ ยาจชใาค– ( นิมเะรปงึพดไนิงเ= คชโยานงอขิธทุสดไนิงเ = 336,000 – (60,000 + 91,450) ทาบ= 184,550 ีษาภยีสเงอตมไ ทาบ0 – 150,000 ิธทุสดไนิงเ าดมรรธลคคุบดไนิงเีษาภยีสเราการตัองาราตมาต 10% ีษาภยีสเ ทาบ150,000 – 500,000 นิกเ่ีทนวส ทาบ= 184,550 – 150,000 =34,550 ีษาภยีสเงอต่ีทิธทุสดไนิงเีมคชโยาน 10 ทาบ= 34,550 × = 3,455 100 ทาบ3,455 ีษาภยีสเคชโยาน∴ าดมรรธลคคุบดไนิงเีษาภารตัองาราต ิธทุสดไนิงเ มสะสีษาภ น้ัขงอขดุสงูส ะลตแนใีษาภ ดไนิงเีษาภ ีษาภารตัอ ิธทุสดไนิงเ ดุสงูสนวนาํจ ตแง้ัติธทุสดไนิงเน้ัข น้ัขะลตแ ดไนิงเน้ัข ะลยอร น้ัขงอข 0 นวเกย100,000 100,000 .......... .... 5 .............. .... งึถ0 0 นวเกย150,000 50,000 .......... .... 10 .............. .... งึถ100,000 นิกเ 500,000 350,000 .......... .... 10 .............. .... 35,000 35,000 งึถ150,000 นิกเ 1,000,000 500,000 .......... … 20 .............. … 100,000 135,000 งึถ500,000 นิกเ 4,000,000 3,000,000 .......... … 30 .............. … 900,000 1,035,000 งึถ1,000,000 นิกเ .......... … 37 .............. … ปไน้ึขทาบ4,000,000 นิกเ → มวร

183 รากิรบหใรากธนัพมัสาชะรปอ่ืพเาณษฆโยาปนผแาํทดัจรากนใณวนาํคราก2.6 ลินวไนผแยวดาํท่ีทาณษฆโนผแดานขีมยดโ ดัวหงัจนใวย่ีทเงอทรากนวชญิชเาณษฆโนผแาํท งายอวัต ะลรตมเงาราตาํทดัจาค ทาบ400 บบแกออาคดิคนารงาท รตมเ1.5 วาย รตมเ1.2 งาวกดานขีม รไาทเดมหง้ัทนิงเยาจงอตะจ ทาบ250 วาย× งาวก= าณษฆโชใ่ีทลินวไนผแ่ีทน้ืพ าํทีธิว รตมเงาราต= 1.2 × 1.5 = 1.8 ทาบ= 1.8 × 250 = 450 าํทดัจาค บบแกออาค+ าํทดัจาค= ดมหง้ัทนิงเยาจงอตะจ∴ ทาบ= 450 + 400 = 850

184 1 ่ีทดัหกฝบบแ ะลนัวิตกปมาตนางาํทาลวเดนหาํกง่ึซ ง่ึนหงหแปูรจ็รเาํสาผอ้ืสเบ็ยเนางงรโงอขนางกันพนปเคงาภุศ1. ดไยารีมคงาภุศะลแ รไาทเะลนัวดไยารีมคงาภุศ าวาหงจ ทาบ9,000 ะล ๆ นอืดเนิงเบัรดไ งมโว่ัช8 รไาทเะลงมโว่ัช ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ งึถรทนัจนัวนางาํทาลวเดนหาํกง่ึซ ง่ึนหงหแศากาอบัรปงอ่ืรคเติลผนางงรโงอขนางกันพนปเพาภุส2. ะลแีณพเะรปมาตดุยหนัวนใงาจาคบัรดไิธทิสีมพาภุส ทาบ370 ะล ๆ นัวยารนปเงาจาคบัรดไรกุศนัว มาตนางาํทนัวนในัวกุทนางาํทามพาภุส มคาวนัธนอืดเนในางาํทงอตมไยดโปาํจะรปนอผกัพดุยหนัว อืค นัว3 ีณพเะรปมาตดุยหนัวีม้ีนนอืดเนใยติทาอนัวบักงรต มคาวนัธ1 ่ีทนัวะลแิตกปนางาํทาลวเ รไาทเงาจาคบัรดไพาภุส ้ีนมคาวนัธนอืดเนใาวาหงจ31 ะลแ5, 10 ่ีทนัว ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________

185 ตแง้ัติตกปนางาํทาลวเ รกุศนัวงึถรทนัจนัวนางาํทาลวเดนหาํกง่ึซ ง่ึนหงหแทัษิรบงอขนางกันพนปเาดิธ3. ทาบ12,000 ะลนอืดเดไยารีมาดิธ. น12.00 – 13.00 าลวเงาวหะรกัพดุยห. น08.00 – 17.00 าลวเ 12 ่ีทนัว อืค นัว1 ีณพเะรปมาตดุยหนัวีม้ีนนอืดเนใะลแรทนัจนัวบักงรต1 ่ีทนัว มคาหงิสนอืดเนใ นางาํทามาดิธ้ีนนอืดเนใ นางาํทงอตมไยดโทภเะรปกุทดุยหนัวนใงาจาคบัรดไิธทิสีมาดิธ มคาหงิส บัรดไ นัว1 ีณพเะรปมาตดุยหนัวนในางาํทามาดิธหใงาจยานาถ ิตกปนางาํทาลวเมาตนางาํท นัวกุท งาวหะร นัว4 กีอิตกปงาจาคงอขาทเ2 นปเม่ิพเงาจาคบัรดไราสเนัวนในางาํทะลแ าทเ1 กีองาจาค ้ีนมคาหงิสนอืดเนใาดิธงอขดมหง้ัทดไยาระลแดมหง้ัทดุยหนัวนในางาํทาคาหงจ. น09.00 – 12.00 าลวเ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ หาดปัส1 นใงอเวัตงอขยาจ– บัรยารีชญับาํทงจ4. ................................................... งอขยาจ– บัรยารีชญับ นิงเนวนาํจ นิงเนวนาํจ ยาจรากยาร ป นอืดเ นัว บัรรากยาร ป นอืดเ นัว .ตส ทาบ. ตส ทาบ

186 านหยานาคดิคทัษิรบ ง่ึนหงหแทัษิรบบักหใ ทาบ45,000 าคารีม่ีทวัรคงอ่ืรคเยาขนทแวัตนปเีลชญัองาน5. รไาทเานหยานาคนิงเดไีลชญัองานาวบารทกายอ30% ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ทาบ160 ะลนุหาคลูม นุห1,500 นวนาํจ ง่ึนหงหแงอ้ืบเะรกติลผทัษิรบงอขิธทิสมิรุปนุหอืถนามจพ6. รไาทเดมหง้ัทลผนปนิงเดไะจนามจพปน้ิสอ่ืมเ5% ลผนปนิงเารตัอ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________

187 จวราํสรากาํทหใทัษิรบกาจยามหบอมบัรดไง่ึนหงหแมผะรสูพมชแติลผทัษิรบนางกันพนปเารทัภุส7. รากนินเาํดะจารทัภุส นค50 นวนาํจ นุรยัวยามหาปเมุลกบัรหาํสูพมชแุจรรบชใ่ีทดวขีสงอขมยินมาวค ลูมอขอนสเาํนรากงึถนจจวราํสรากตแง้ัตรไงายอ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ตแ นิมเะรปงึพดไนิงเงอข40 ะลยอรดไยาจชใาคกัหถรามาสปน้ิส ทาบ25,000 ะลนอืดเดไยารีม์ิดกัศ8. ทาบ50,000 ติวีชนักะรปย้ีบเาคกัห ทาบ 30,000 ดไนิงเีมูผนอยหดลาคกัหถรามาส ทาบ60,000 นิกเมไ รากยารงดสแบบแน่ืย์ิดกัศยานปน้ิส ทาบ20,000 ์ิดกัศยานงอขาดรามงอขพาภขุสนักะรปย้ีบเาคกัห รไาทเนิงเนปเีษาภะราํชาถ มไอืรหีษาภะราํชงอตาดมรรธลคคุบดไนิงเีษาภ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________

188 รตมเ1.8 วาย รตมเ0.90 งาวกดานขีม ยัภบสะรปูผอืลหเยวชคาจิรบรากนวชญิชเาณษฆโลินวไนผแ9. รไาทเดมหง้ัทนิงเยาจงอตะจ ทาบ250 ะลรตมเงาราตาํทดัจาค ทาบ500 บบแกออาคดิคนารงาท ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________

189 ดัหกฝบบแยลฉเ

190 1 ่ีททบ ยลฉเ งิรจนวนาํจบบะร 1 ่ีทดัหกฝบบแ กรรตอนวนาํจอืรห ะยกรรตนวนาํจ ม็ตเนวนาํจ บันนวนาํจนปเดในวนาํจ้ีนปไอตหใดนหาํก่ีทนวนาํจ1. ะย ะยกรรตอนวนาํจ ะยกรรตนวนาํจ ม็ตเนวนาํจ บันนวนาํจ งิรจนวนาํจ อข 2 1 − , 9 − 7 5 , 2 , 1 , 0 , 2 1 0, 1, -9 -9, − 7 ,5 ,0 ,1 2 2 3 2 3 5 2 , 5 − 7 7 , 3 , 12 , 3 , 12 3, 12 − 7 ,3 ,12 , 5 2 7 3 4 3 4 3 2.01,0.666...,-13 , -13 2.01, 0.666, …,-13 4 2.3030030003..., 2.3030030003... 5 −π ,− 1 , 6 , 2 ,− 5 . 7 6 , -7, 5 − 1 , 6 , -7.5 − , π 2 3 3 2 3 3 3 2 12 1 − 12 6 25 ,− 17 ,− , , 3 , 9 12 , π 25, -17, 3, 25, -17, , 1 5 2 25, 3 , 12 5 π 12, 9 2 9 , 3, 12 จ็ทเอืรหงิรจนปเ้ีนปไอตมาวคอขาวาณราจิพงจ2. งิรจ1) งิรจ2) จ็ทเ3) งิรจ4) งิรจ5) จ็ทเ6)

191 2 ่ีทดัหกฝบบแ นักาทเรากิตับมสชใยดโงาวงอชมิตเนยีรเูผหใ1. a +5 = b + 5 วลแa = b าถ9. -3a = -3b วลแa = b าถ10. a = b วลแa + 4 = b + 4 าถ11. a +1 = c + 5 วลแb + 2 = c - 5 ะลแa +1 = b +2 าถ12. 2 2 ( +x ) 1 = x 2 + 2 +x 1 วลแx 2 + 2 +x 1 = ( +x ) 1 าถ13. 3 2x = 3y วลแx = y าถ14. 2 2 2 ( −x ) 1 = x 2 − 2 +x 1 วลแx + 1 = 2 x าถ15. 1 1 ) b ab ( ) = (a + วลแab = a + b าถ16. 2 2 ดใิตับมสมาตงิรจนปเ้ีนปไอตอขะลตแนใมาวคอขาวกอบงจ ๆดใงิรจนวนาํจนปเc ะลแ a , b หใดนหาํก2. กวบรากงอข่ีทบัลสรากิตับมส1) 3 + 5 = 5 + 3 กวบรากงอขมุลกนย่ีลปเรากิตับมส2) (1+2)+3 = 1+(2+3) กวบรากงอข่ีทบัลสรากิตับมส3) (-9)+5 = 5 +(-9) ณูครากงอขดปิตับมส งิรจนวนาํจนปเ4) (8 × 9) ณูครากงอข่ีทบัลสรากิตับมส5) 5 × 3 = 15 = 3 × 5 งจแกจแราก6) 2(a+b) = 2a +2b กวบรากงอขมุลกนย่ีลปเรากิตับมส7) (a + b) + c = a+( b + c) กวบรากงอข่ีทบัลสรากิตับมส8) 9a +2a = 11 a = 2a + 9a งจแกจแราก9) 4 × (5 + 6) = (4 × 5) + (4 × 6) งจแกจแราก10) c(a +b) = ac +bc ณูครากงอขดปิตับมสอืรหกวบรากงอขดปิตับมสีมมไอืรหีม ้ีนปไอตอขะลตแนใหใดนหาํก่ีทตซเ3 . ณูคราก ,กวบรากดปิตับมสีม1) { 1 , 3, 5 } กวบรากดปิตับมสีม2) { 0 } ีม งิรจนวนาํจงอขตซเ3) ีม ะยกรรตนวนาํจงอขตซเ4) ีม วัตงล3 ยวดราห่ีทนวนาํจงอขตซเ5)

192 อขะลตแนในวนาํจงอขกวบรากสรอวเนิอาหงจ4. -8 อืค8 งอขกวบรากสรอวเนิอ1) 5 อืค- 5 งอขกวบรากสรอวเนิอ2) 0.567 อืค- 0.567 งอขกวบรากสรอวเนิอ3) 1 อืค3 − 2 งอขณูครากสรอวเนิอ4) 3 − 2 5 − 3 อืค1 งอขณูครากสรอวเนิอ5) 5 − 3

193 3 ่ีทดัหกฝบบแ )ๆดใงิรจนวนาํจนปเรปแวัตอ่ืมเ( นักาทเมไรากิตับมสกอบนยีรเูผหใ1. ยนูศบักาทเมไ่ีทบักาทเนวนาํจยวดณูครากิตับมส2x <6 วลแx < 3 าถ9. ยนูศบักาทเมไ่ีทบักาทเนวนาํจยวดณูครากิตับมส-2y -14 วลแy>7 าถ10. นักาทเ่ีทนวนาํจยวดกวบรากิตับมสx+2 > 7 วลแx+1 > 6 าถ11. กวบรากบัรหาํสกออดัตรากิตับมสy< 2 วลแy+3 < 5 าถ12. ดอทยาถรากิตับมสx<y วลแ7< y ะลแx< 7 าถ13. นักาทเ่ีทนวนาํจยวดกวบรากิตับมสa+1 > 0 +1 วลแa > 0 าถ14. นักาทเ่ีทนวนาํจยวดกวบรากิตับมสb + (-2) < 0+(-2) วลแb< 0 าถ15. ยนูศบักาทเมไ่ีทนักาทเนวนาํจยวดณูครากิตับมส(-1)c < (-1)(-2) วลแc> -2 าถ16. ้ีนปไอตงิรจนวนาํจงอขงวชงอขะณษกัลงดสแนวนาํจนสเชใงจ2. 1) (2,7) 2) [3,6] 3) [-1,5) 4) (-1,4] 5) (2, ∞)

194 6) (-∞,4) 7) (0,8) 8) [-5,4)

195 4 ่ีทดัหกฝบบแ x ≥ 2} อืรห{ x | x ≤ -2 อืค รากมสองอขบอตาํคบอตาํคตซเ -3 < x < 3 { x | -3 < x <3} อืค รากมสองอขบอตาํคบอตาํคตซเ { x|1< x<7} อืค รากมสองอขบอตาํคบอตาํคตซเ − X ≥ 1 อืรห− X ≤ − 5 X ≤ − 1 อืรหX ≥ 5 x≤-1} อืรห{x|x ≥5 อืค รากมสองอขบอตาํคบอตาํคตซเ 5 – x > 0 0 ≤ 5 – x ≤ 0 อืรห5 – x < 0 -x < -5 -x > -5 -5 ≤ -x ≤-5 5 ≥ x ≥ 5 x > 5 x < 5 -1 ≤ 2x – 9 ≤ 1 -8 < 3x – 4 < 8 -1 + 9 ≤ 2x ≤ 1 + 9 - 8 +4 < 3x < 8 +4 8 ≤ 2x ≤ 10 -4 < 3x < 12 4 ≤ x ≤ 5 − 4 3 < x < 4 12 – 4x > 0 อืรห0 ≤ 6 – 3x ≤ 0 |2 – 4x < 0 – 4x > -12 อืรห-6 ≤ -3x≤ -6 -4x < -12 x < 3 อืรห2 ≥x ≥ 0 x > 3

196 2 ่ีททบ ยลฉเ งัลาํกกยขลเ 1 ่ีทดัหกฝบบแ ้ีนปไอตงัลาํกกยขลเงอขงัลาํก้ีชขลเะลแนาฐกอบงจ1. 3 อืคงัลาํก้ีชขลเ6 อืคนาฐ1) -5 อืคงัลาํก้ีชขลเ1.2 อืคนาฐ2) 0 อืคงัลาํก้ีชขลเ-5 อืคนาฐ3) 1 3 อืคงัลาํก้ีชขลเ อืคนาฐ4) 2 ้ีนปไอตงัลาํกกยขลเงอขาคาหงจ2. 1) - 1,024 2) 1 625 3) 1.728 4) 27 ม็ตเนวนาํจนปเงัลาํก้ีชขลเะลแยางงายอปูรนใูยอหใาํทงจ3. 1. a 8 12 2. 5 = 5 = 15 , 625 6  2  20 3.    3  4. ( ) 1.1 15 5. x 10

197 2 ่ีทดัหกฝบบแ ้ีนปไอตงิรจนวนาํจงอขn ่ีทการงอขาคาหงจ1. 1) 5 2) 8 3) -3 4) -5 2 5) 3 6) 2 7) 5 งิรจนวนาํจนปเมไ8) − 64 ≠ 8 9) -2 4 งิรจนวนาํจนปเมไ10) − 16 ≠ 2 n ่ีทการ งอขิตับมสชใยดโ ยางายอปูรนใูยอหใ้ีนปไอตนวนาํจนยีขเงจ2. 1) 5 = 5 2) 2 = 2 3 3 2 3) ( 2)− 3 = (-2) 4) ( 2)− 5 = (-2) 5 3 5) ( 3)− 2 = (-3) 5) ( 2)− 4 = (-2) 4 6) 200 = 10 2 7) 75 = 5 3 3 8) 240 = 2 3 30 9) 45 = 3 5 10) 5 15 = 75 = 5 3 11) 81⋅ 3 32 = 6 3 12 3 2 12) 4 = 4 = 13) 3 5 = 3 5 9 9 3 8 2

198 3 ่ีทดัหกฝบบแ ยางงายอปูรนใูยอหใ้ีนปไอตนวนาํจาํทงจ1. 1) 2x 2 2) 4 3) 2y 2 4) (-2) 5) 6 2 − 2 + 4 2 = 9 2 6) ( )( ) ( )( ) 52531053 + = 3 50 + ( )( ) 56 = 15 2 + 30 3 7) 8 a = 2 a 3 8) 3 3 2 × 3 4 = 3 3 8 = 6 4 ่ีทดัหกฝบบแ ยางงายอปูรนใูยอหใ้ีนปไอตนวนาํจาํทงจ1. 2 1) 8x 2 8x = 2 × 2 × 2 × x × x าํทีธิว = 2 x 2 3 2) 3 − 27 3 = 3 าํทีธิว 3 − 27 3 ( )( )( ) 333 −− − = 3 = -1 ( ) 3− 2 3) ( 2 + 8 + 18 + 32) 2 2 ( 2 + 8 + 18 + 32) = ( 2 + 2 2 + 3 2 + 4 ) 2 าํทีธิว 2 = ( 10 ) 2 = (100 )( ) 2002 =

199 5 − 32 2 6 4) 3 27 + 3 (64) 2 5 − 32 2 6 3 + 3 = ( ) 2− + 64 3 าํทีธิว 27 (64) 2 3 ( ) 2 2 8 = ( ) 2− + 64 3 ( ) 8 3 1 = ( ) 2− + 3 8 = − 16 + 3 = − 13 24 24 24 2 1 5) 8 3 ⋅ 18 2 4 144 6 2 1 ( ) 2 8 3 ⋅ 18 2 = 2 3 3 × 18 าํทีธิว 4 144 6 4 144 6 = 4 × 3 2 4 9 = 2 3 4 9 1 3 − 125 3 2 6) + 1 − 3 ( 8) 2 (27) − 2 1 3 − 125 3 2 1 + 1 = ( ) 5− − าํทีธิว 3 ( 8)− 2 (27) − 2 4 9 = − 45 − 4 = − 49 = 1− 13 − 36 36 36

200 ดัหกฝบบแ ยลฉเ ตซเ3 ่ีททบ 1 ่ีทดัหกฝบบแ กิชามสงจแกจแบบแ้ีนปไอตตซเนยีขเงจ1. ,วกแะรส,าลขงส,ราการปรทุมส,ีนาธรฏษารุส,รทนิรุส,ีรุบณรรพุส,มารคงสรทุมส,รคาสรทุมส1) { }ีรุบหงิส,ีรุบะรส 2) { a,e,i,o,u } 3) { 100,101,…,999} 4) {2,4,6,8,10,12,14,16,18} 5) { -121,-122,-123,….} 6) { 6,7,8,9,10,11,12,13,14} 7) { φ } ้ีนปไอตตซเงอขกิชามสนวนาํจกอบงจ2. 1) 1 2) 6 3) 24 4) 8 ขไนอ่ืงเกอบบบแ้ีนปไอตตซเนยีขเงจ3. 2 ≤ x ≤ 8 } ะลแูคม็ตเนวนาํจนปเ1) { x | x } กวบม็ตเนวนาํจนปเ2) { x | x x = 1,2,3,… } ง่ึซม็ตเนวนาํจนปเ3) { x | x = x 2 ตนันอตซเอืรหดักาํจตซเอืรเงาวตซเนปเ ้ีนปไอตตซเาณราจิพงจ4. ดักาํจตซเ1) ดักาํจตซเ2) ตนันอตซเ3) งาวตซเ4) งาวตซเ5) งาวตซเ6) ดักาํจตซเ7)