รายวิชาคณิตศาสตร์ (พค31001)

201 8) เซตวาง 9) เซตจํากัด 10) เซตอนันต 5. เซตตอไปนี้เซตใดบางที่เปนเซตที่เทากัน 1) A = B 2) D = E 3) F ≠ G 4) Q = H แบบฝกหัดที่ 2 1) ถา A = { 0,1,2,3,4,5}, และ B { 1,2,3,4 } จงหา 1) A ∪ B = { 0,1,2,3,4,5} 2). B ∪A = { 0,1,2,3,4 ,5} 3). A ∩B = { 1,2,3,4 } 4). B ∩A = { 1,2,3,4 } 5). A – B = {0,5} 6). B – A = φ 2). กําหนดให U = { 1,2,3,..,10 } A = { 2,4,6,8,10 } B = { 1,3,5,7,9} C = { 3,4,5,6,7 } จงหา 9. A ∩ B = { φ } 10. B ∪ C = { 1,3,4,5,6,7,9} 11. B ∩C = { 3,5,7} 12. A ∩C = { 4,6} 13. C′ = { 1,2,8,9,10} 14. C ∩ = { 2,8,10 } ′ A 15. C ∩ = {1,9} ′ B 16. ( A = { 1,3,5,7,9}

202 3 ่ีทดัหกฝบบแ ้ีนปไอตตซเงดสแอ่ืพเหใดนหาํก่ีทพาภนผแางเรแงจ1. 1) B′ 2) A ∩ B′ 3) A′

203 4) A ∪ ′ B ′ 5) A ∪ B′ หใดนหาํก่ีทพาภนผแกาจ2. าคาหงจ 1. A′={ 6,7,8} ′ 2. ( ∩ BA ) = {1,2,3,6,7,8} 3. A′ UB= { 4,5,6,7,8} 4. A ∩ = { 6,7,8} ′ B

204 พาภนผแกาจ3. 40-6 6 25-6 =34 =19 100-34-6-19 = 41 มิตเงจ บัดาํลมาต6 ะลแ100 ,40,25, กิชามสนวนาํจีม่ีทตซเนปเA∩B ะลแ U , A, B หใดนหาํก ้ีนปไอตงาราตนใงล ๆ งาตตซเงอขกิชามสนวนาํจ A - B B - A A ∩ B A′ B′ ( A ∪ B ตซเ 34 19 6 19 + 41 = 60 34 + 41 = 75 34 + 6 + 19 = 59 กิชามสนวนาํจ นค34 นัตนิมตบแนลเบอช นค27 งอปงปนลเบอช าวบพ นค75 าฬีกนลเบอชนยีรเูผมาถบอสรากกาจ4. บอช นค12 นัตนิมตบแะลแลอบตุฟง้ัทบอช นค14 งอปงปะลแลอบตุฟง้ัทบอช นค42 ลอบตุฟนลเบอช ีมวยีดเทภเะรปาฬีกนลเบอช่ีทาษกึศกันาวาหงจ นค7 ทภเะรปมาสง้ัทบอช นค10 นัตนิมดบแะลแงอปงปง้ัท นค่ีก นค42 ลอบตุฟนลเA = าํทีธิว นค34 นัตนิมดบแนลเB = นค27 งอปงปนลเC = นัตนิมดบแ ลอบตุฟ งอปงป นค= 23 + 17 + 12 = 52 วยีดเทภเะรปาฬีกนลเบอช่ีทาษกึศกันนวนาํจ

205 เฉลย บทที่ 4 การใหเหตุผล แบบฝกหัดที่ 1 จงเติมคําตอบลงในชองวางตอไปนี้ 6) 1, 4, 9, 16, , , 49 , 64, , 100 25 36 81 7) 2, 7, 17, , 52 , , 107 32 77 8) 5, 10, 30, 120, , 3,600 600 9) 36 = 444444444 45 = 555555555 81 = 999999999 10) 2 + 4 + 6 + 8 + = 30 10 2 + 4 + 6 + 8 + + 12 = 42 10 2 + + + 8 + +12 + 14 = 56 10 4 6 2 + + + 8 + +12 + 14 + = 72 6 10 4 16

206 2 ่ีทดัหกฝบบแ มไอืรหลผมสุตหเมสาวดไ่ีทลผบอสจวรตงจ1. ลผมสุตหเมส1) ลผมสุตหเมส2) ลผมสุตหเมสมไ3) ลผมสุตหเมสมไ4) ลผมสุตหเมสมไ5. 3 ่ีทดัหกฝบบแ รอลเยออ – นนวเพาภนผแชใยดโ มไอืรหลผมสุตหเมสาวดไ่ีทลผบอสจวรตงจ1. 1) กตนฝ นาบกอนกออมไ ายีลทคแ ลผมสุตหเมส าวดไปุรส2 ะลแ1 ่ีทุตหเกาจ

207 2) นยีรเนัยขนค นยีรเนัยขนค ยาชมส ยาชมส นยีรเนัยขนค ยาชมส ลผมสุตหเมสมไ าวดไปุรส นักยวดลผ ยาลหดไีมน้ึขดิกเะจ่ีทลผ าวดไน็หเะจ2 ะลแ1 ่ีทุตหเกาจ 3) ลผมสุตหเมส น้ันดไ่ีทปุรสลผ ุตหเ3 ง้ัทณรากุตหเกาจ าวดไน็หเะจ

208 4) บลนวนาํจ กวบนวนาํจ ลผมสุตหเมส น้ันดไ่ีทลผ2 ะลแ1 ่ีทุตหเกาจ าวดไน็หเะจ 5. าข 2 วตัส าข 2 วตัส ลผมสุตหเมสมไ าวดไปุรส นักยวดลผ ยาลหดไีมน้ึขดิกเะจ่ีทลผ2 ะลแ1 ่ีทุตหเกาจ าวดไน็หเะจ

209 5 ่ีททบ ยลฉเ ิติมณกโีรต 1 ่ีทดัหกฝบบแ กาฉมุมมย่ีลหเมาสปูรงอขวายมาวคงอขธนัพมัสมาวคนยีขเงจ ้ีนปไอตหใดนหาํก่ีทกาฉมุมมย่ีลหเมาสปูรกาจ1. อืลหเ่ีทนาดงอขวายมาวคาหะลแ สัรกโาทปทบีฎษฤทชใยดโ (1) 2 a 2 = 25 − 24 าํทีธิว 2 = 625 – 576 = 49 a = 7 (2) c 2 = 12 + 9 าํทีธิว 2 2 = 144 +81 = 225 a = 15

210 0 ปูรงัด มาสง้ัทนาดงอขวายมาวคะลแC ˆ = 90 ีม กาฉมุมมย่ีลหเมาสปูรนปเABC ดนหาํก2. tan A ะลแ1) sin A , cos A าหงจ tan B ะลแ2) sin B , cos B B 12 sin A = 5 sin B = 13 13 12 cos A = cos B = 5 13 13 12 tan A = 5 tan B = 12 5 งอข(tan) ตนจเนทแอืรห(cos) นซไคโอืรห(sin) นซไาคนปเ ้ีนปไอตหใดนหาํก่ีทิติมณกโีรตนวสารตัอาวาหงจ3. หใดนหาํก่ีทมุม 1. sin A 2. 1 tan B 3. cos A 4. cos B

211 AC = 8 ะลแAB = 10 นาดีม กาฉมุมนปเC มุมีมยดโ กาฉมุมมย่ีลหเมาสปูรนปเABC ดนหาํก4. BC นาดวายมาวค1 ) าหงจ AB 2 = 10 − 8 A าํทีธิว 2 2 = 100 - 64 = 36 10 8 a = 6 2) sin A = 6 10 cos A = 8 B a C 10 6 tan A = 8 3) sin B = 8 10 cos B = 6 10 8 tan B = 6

212 ะลแB มุมA, มุมมาขงรตนาดวายมาวคนปเa,b,c ะลแ กาฉมุมนปเC มุมีมยดโABC มย่ีลหเมาสปูรหใดนหาํก5. บัดาํลมาตC มุม b,c B าคาหงจcot A = 3 , a = 5 าถ(1) b cot A = AC = c าํทีธิว BC a b 3 = a 5 =b 5 3 A C AB = AC + BC b สัรกโาทปทบีฏษฤทกาจ 2 2 2 2 2 2 c = b + a = 5( 3 ) 2 + 5 2 = 75+ 25 = 100 3 tan A าคาหงจa = 9 ะลแcos B = าถ(2) 5 าํทีธิว a cos a = c a 3 = 5 c ∴c = a × 5 = 15 c สัรกโาทปทบีฎษฤทกาจ 2 2 AB = AC + BC 2 2 c = b + a อืรห 2 2 2 2 2 15 = 6 + 9 b = 225 – 81 2 = 144 ∴b = 12 a 9 3 tan A = = = น้ันงัด b 12 4

213 2 ่ีทดัหกฝบบแ ้ีนปไอตาคาหงจ1. 1) sin 30 0 sin 60 − cos 30 0 cos 60 0 0  1   3  −  3   1   = 0          2  2    2   2     2 2 2) (sin 60 0 ) (cos+ 60 0 ) 2  3    2 +   1   = 3 + 1 = 4 = 1    2   2  4 4 4 3) 1− tan 45 0 1− 1 = 0 2 งาราตกาจ้ีนปไอติติมณกโีรตนวสารตัอาคาหงจ2. 1) sin 20 = 0.342 0 2) sin 38 = 0.616 0 3) cos 50 = 0.643 0 4) cos 52 = 0.616 0 5) tan 77 = 4.331 0 6) tan 89 = 57.290 0 ปูรงัด กาฉมุมนปเC มุมีม กาฉมุมมย่ีลหเมาสปูรนปเ ABC หใ3. 2 2 2 AB = AC + BC าํทีธิว 2 2 = 5 + 12 = 25 + 144 = 169 AB = B 12 cos B = 13 5 sin B = 13 5 tan B = 12 13 sec B = 12

214 13 cosec B = 5 12 cot B = 5 4. จงหาคา a, b หรือ c จากรูปสามเหลี่ยมตอไปนี้ (1) จาก cos 30 = 2 3 0 c 3 = 2 3 2 c c = 2 3 × 2 = 4 3 a จาก sin 30 0 = c a 1 = 2 4 =a 1× 4 = 2 2 ดังนั้น a = 2 และ c = 4 (2)

215 b 0 จาก sin 45 = 8 b 1 = 2 8 8 =b = 4 2 2 b จาก tan 45 0 = a 4 2 1 = a a = 4 2 ดังนั้น a = 4 2 และ =b 4 2 (3) 0 จาก  CB ˆ D มี CB ˆ D = 90 CD sin 45 0 = BD 1 CD = 2 3 2 3 2 CD = = 3 2 CD tan 45 0 = BC 3 1 = a a =3

216 จาก  ABC มี CA ˆ B = 90 0 BC sin 60 0 = AB 3 3 = 2 c 3× 2 =c 3 =c 2 3 AC cos 60 0 = AB 1 = b 2 2 3 1× 2 3 =b 2 =b 3 ดังนั้น a = 3 , =b 3 และ =c 2 3

217 3 ่ีทดัหกฝบบแ 30 มุมาํท มไนตดอยะลแ มไนตางเงอขยาลปนาผกาล่ีทงรตนสเงอขวนแ รตมเ20 วายางเดอทง่ึนหนตมไนต1. มไนตงอขงูสมาวคาหงจ มไนตงอขางเบัก าศงอ

218 าถ งธาสเดอย่ีทปไง็ลเรากนใชใอ่ืพเ าศงอ45 ดานขมุมาํทงึจ นยีรเงรโงธาสเงอขงูสมาวคาหรากงอตยันิว2. งูสมาวคีมยันิว รตมเ16 งธาสเนคโงาหูยอง่ึซดุจ่ีทูยอปไวากอ่ืมเ ีดอพดไงธาสเดอย่ีทปไงอมาขเน้ันง็ลเ่ีทะณขนใ รตมเ่ีกณามะรปงูสงธาสเาวาหงจ รตมเิตนซเ160

219 ่ีทะณขนใ รตมเลโิก1 ุลพดุจ่ีทงนหแาํตกาจงาหนิดน้ืพนบณรากตกเงัสดุจดนหาํกยดโ ง่ิดวนแนใปไน้ึขุลพดุจ3. ดใาทเงาทะยะรนปเณรากตกเงัสดุจกาจงาหูยอะลแ ดใาทเงูสปไน้ึขุลพ นิดน้ืพบัก าศงอ60 มุมาํทุลพน็หเงอม

220 6 ่ีททบ ยลฉเ ฑณัภติลผบบแกออรากะลแอืมงอ่ืรคเชใราก 1 ่ีทดัหกฝบบแ ปูรงัดกาฉมุมมย่ีลหเ่ีสมุมดนหาํก1. าผนืผ. ก าศงอ. 90 ข งยแทวนแ. ค BDEG มย่ีลหเ่ีส นปเบักบอกะรปปูรBDE 2 มย่ีลหเมาส. ง ้ีนปไอติติมมาสงรทงอข่ีลคปูรนยีขเงจ2.

221

222 หใดนหาํก่ีทงาขนาดพาภ านหนาดพาภ นบนาดพาภงอมมุมกาจิติมมาสงรทปูรนยีขเงจ3.

223 2 ่ีทดัหกฝบบแ หใดนหาํก่ีทงาทศิทะลแบบแนตปูรกาจนานขนอ่ืลเรากกาจดิกเ่ีทพาภนยีขเหใ1. .ข. ก A C B C D B A งอเนานขนอ่ืลเรากงอขงาทะยะระลแงาทศิท บบแนตพาภดนหาํกยดโนานขนอ่ืลเรากพาภนยีขเหใ2. .ข. ก

224 3. หใดนหาํก่ีทงนหแาํตงอขดักิพ พาภ Y A(- C - , 5 ( ′ 3) B(- C X / 0 A (2,- / B (1,- C Y D A′ ) 3 - , 5 - ( C B′ ) 5 - , 3 - ( A C′ - , 0 ( 2) / D (- X 0 B / C / A / B

225 3 ่ีทดัหกฝบบแ วลแหใดนหาํก่ีทปูราณราจิพงจ งจแ้ีชาํค นอทะสปูรนยีขเ- นอทะสนสเนยีขเ- นอทะสรากกาจน้ึขดิกเ่ีทมย่ีลหเมาสปูรงอขมุมงอขดอยดุจงอขดักิพดุจกอบ- ดไ่ีทนอทะสนสเนบดุจงาบดักิพดุจกอบ- Ä

226 4 ่ีทดัหกฝบบแ 1. Y B ่ีทBA ′′ C′ มย่ีลหเมาสปูรมิตเหใ C ABC มย่ีลหเมาสนุมหรากกาจดิกเ ม็ขเนวทนุมหยดโ วยีดเงายองยีพเX ๐ (0 , 0) ดุจชใะลแ90 ากิฬาน นุมหดุจนปเ 0

227 2. Y ดิกเ่ีทOXYZ มย่ีลหเ่ีสปูรมิตเหใY / / / / X OXYZ มย่ีลหเ่ีสนุมหรากกาจ ม็ขเนวทนุมหยดโ วยีดเงายองยีพเZ X ๐ (0 , 0) ดุจชใะลแ270 ากิฬาน นุมหดุจนปเ

228 3. Y B  ่ีทBA ′′ งรตนสเงอขนวสมิตเหใ งรตนสเงอขนวสนุมหรากกาจดิกเ มาตนุมหยดโ วยีดเงายองยีพเ AB ๐0 X (-2, -2) ดุจชใะลแ90 ากิฬานม็ขเ นุมหดุจนปเ

229 4. Y ่ีทBA ′′ C′ มย่ีลหเมาสปูรมิตเหใ ABC มย่ีลหเมาสนุมหรากกาจดิกเ ม็ขเนวทนุมหยดโ วยีดเงายองยีพเ0 (-4 , -2) ดุจชใะลแ90 ากิฬานB X ๐ นุมหดุจนปเ C

230 ยลฉเ ิติถส7 ่ีททบ 1 ่ีทดัหกฝบบแ พีชาอ พาภนาถส ุยาอ ศพเ นชเ วัรคบอรคนใลคคุบบักงอขวย่ีกเ่ีทิติถสลูมอขนยีขเงจ1. ะรสิอนางาํท, งาจกูล, รากชารบัร: พีชาอ ป45.2 วัรคบอรคนในคงอขย่ีลฉเุยาอ บอต ดินช5 ะลงายอามณามิรปงิชเะลแพาภณุคงิชเลูมอขงายอวัตกยงจ2. รคนาหมพทเงุรกนใตนยถร นวนาํจ1. ณามิรปงิชเลูมอข บอต วัรคบอรคนใรตุบนวนาํจ2. วพแนาบ.นศก าษกึศกันงอขย่ีลฉเกันหาํ้น3. นอืดเนิงเมาตกยแนางนคนวนาํจ4. ปไน้ึขปไ20 ุยาอีม่ีทมุชะรปมวราขเูผงอขนวนาํจ5. มรบอมวราขเูผงอขพาภนาถส1. พาภณุคงิชเลูมอข บอสาขเ่ีทาษกึศกันีม่ีทดัวหงัจอ่ืชยาร2. บัดาํล54 3 มคารกมนอืดเนใดุส่ีทกามาษกัรามยวปูผีม่ีทครโ3. นางงรโนในคงอขดอืลเมุลก4. อืถบันยทไศทเะรปนในค่ีทตสิรคานสาศ5. ณามิรปงิชเลูมอขะลแ พาภณุคงิชเลูมอขนปเ้ีนปไอตลูมอขาวาณราจิพงจ3. นางิตับิฏปะณขนใยากงารพาภขุสงึถมาถบอสกูถง่ึนหงหแนางงรนในางกันพ- ณามิรป พาภณุค ขลเวัตนปเามกออบอตหใมไะจบอตาํคะารพเ พาภณุคงิชเลูมอข นปเ ดุมสงอห่ีทมุลกบพปไรากนใยาจชใาคงึถมาถบอสกูถ่ีทง่ึนหนวนาํจาษกึศกัน- ณามิรป พาภณุค ดไนักบยีทเบยีรปเามาํนถรามาส ขลเวัตงาทลูมอขนปเยาจชใาคะารพเ ณามิรปงิชเลูมอข นปเ งายอวัตกยะลแยาบิธองจ รไงายอิมูภยิตุทลูมอขกาจงาติมูภมฐปลูมอข4. ฯลฯ งรตยดโลูมอขนปเ่ีทงลหแกาจจวราํสอืรห บ็กเงอตารเ่ีทลูมอขนปเิมูภมฐปลูมอข บอต วลแนอกวไมวรบวรบ็กเรากีม่ีทลูมอขงลหแกาจบ็กเลูมอขนปเิมูภยิตุทลูมอข

231 )บอตาํคยาลหดไบอต( มวรบวรรากนใดใีธิวชใรวค้ีนปไอตลูมอข5. บอต มาถบอสบบแชใ ณษาภมัส จวราํส1 มาถบอสบบแชใ ณษาภมัส จวราํส2 นคะลีทนาบูมหนใก็ดเกันหาํ้นง่ัชปไนชมุชขุสณราธาสกาจลูมอข มาถบอสบบแชใ3 งอลดท มาถบอสบบแ4. ขุสณราธาสกาจลูมอข5 ๆ งาตรากีธิวยดโลูมอขมวรบวรบ็กเรากงอขยีสเอขีดอขกอบงจ6. าํยนมแงอตกูถ1. ีดอข บอต กึลงิชเลูมอขดไ2. ลูมอขงอขนวถบรคณรูบมสมาวค3. ชใูผงอขรากงอตมาวคงรต4. ยีสเอข าลวเชใงอต1. นับุจจปนปเยาจชใาคีม2. นอ่ืลคเดาคกึทนับจาอลูมอขบ็กเราก3. ้ีนงัดนปเง่ึนหงหแมรรกหาสตุอนางงรโนในค50 นวนาํจนางนคงอข ) ป( ุยาอจวราํสรากลูมอข7. 27 35 21 49 24 29 22 37 32 49 33 28 30 24 26 45 38 22 40 46 20 31 18 27 25 42 21 30 25 27 26 50 31 19 53 22 28 36 24 23 21 29 37 32 38 31 36 28 27 41 8 นปเน้ัชคาภรตนัองอขงาวกมาวคดนหาํก

232 ่ีถมาวคงจแกจแงาราตงารสงจ1. ่ีถมาวค ดีขยอร นนแะค 16 – 23 //// //// 9 24 – 31 //// //// //// //// // 22 32 – 39 //// //// 10 40 – 47 //// 5 48 – 55 //// 4 น้ัชงาลกง่ึกดุจะลแงิรจทแ่ีทน้ัชดักาํจดีขาหงจ2. น้ัชงาลกง่ึกดุจ งาลดักาํจดีข นบดักาํจดีข ่ีถมาวค นนแะค 16 – 23 9 23.5 15.5 19.5 24 – 31 22 31.5 23.5 27.5 32 – 39 10 39.5 31.5 33.5 40 – 47 5 47.5 40.5 43.5 48 – 55 4 55.5 47.5 51.5 ธทัพมัสมสะส่ีถมาวคะลแ ธทัพมัส่ีถมาวค มสะส่ีถมาวคาหงจ3. มสะส่ีถมาวค มสะส่ีถมาวค ่ีถมาวค ่ีถมาวค นนแะค ธทัพมัส ธทัพมัส 16 – 23 9 0.18 9 0.18 24 – 31 22 0.44 31 0.62 32 – 39 10 0.2 41 0.82 40 – 47 5 0.1 46 0.92 48 – 55 4 0.08 50 1 ้ีนดุชลูมอขงอขยัสิพาหงจ4. 53 – 18 = 35 ป45 าวกาํ่ตุยาอีม่ีทนางนคนวนาํจาหงจ5. นค44

233 2 ่ีทดัหกฝบบแ ้ีนงัด มัรกลโิกนปเกันหาํ้นีมง่ึซ นค20 ก็ดเกันหาํ้นงอขมยินนาฐะลแ นาฐยธัม ติณคขลเย่ีลฉเาคาหงจ1. 32 60 54 48 60 52 46 35 60 38 44 48 49 54 47 48 44 48 60 32 x = 959 = 47 . 95 ย่ีลฉเาค 20 32 32 35 38 44 44 46 47 48 48 48 48 49 52 54 54 60 60 60 60 นาฐยธัม = N + 1 = 10 5 . นาฐยธัมงอขงนหแาํต 2 = 48 60 ะลแ48 มยินนาฐ ง่ึนหงหแนางกันาํสนใงาจกูลงอขนัวอตษศเิพดไยารงดสแงาราต2. มสะส่ีถมาวค(x) fx งาลกดุจ(f) นวนาํจ) ทาบ (ดไยาร 140 – 144 1 142 142 1 145 – 149 2 147 294 3 150 – 154 34 152 5168 37 155 – 159 25 157 3925 62 160 – 164 10 162 1620 72 165 - 169 5 167 835 77 170 – 174 3 172 516 80 ∑ f = 80 ∑ fx =12 , 500 ∑ fx ( x) = ติณคขลเย่ีลฉเาค1. ∑ f 12 , 500 = 80 = 156.25 ทาบ156.25 ย่ีลฉเนัวอตษศเิพดไยาร

234 155 – 159 น้ัขนใูยอนาฐยธัม: N = 80 = 40 ∴ นาฐยธัม2. 2 2 155 – 159 อืคูยอนาฐยธัมีม่ีทน้ัชคาภรตนัอ  N   − ∑ fl  Md = Lo + i  2  รตูสกาจ    fm      N = 80 , i = 50, Lo = 154.5 , ∑ f l = 37 , fm = 25 อ่ืมเ ∴ Md = 154 6 . + 5  40 − 37  = 155 . 10    25  ทาบ155.10 นปเาคีมนัวอตษศเิพดไยารงอขนาฐยธัม 150 – 154 น้ัชนใูยอมยินนาฐ: มยินนาฐ3.  d    Mo = Lo + i  1  รตูสกาจ  d 1 + d 2    Lo = 149.5, d = 34 – 25 = 9, d = 34 – 2 = 32, I = 5 อ่ืมเ 1 2 ∴ Mo = 149 5 . + 5    9  = 150 5 .    9 + 32  ทาบ150.5 นปเาคีม นัวอตษศเิพดไยารงอขมยินนาฐ

235 3 ่ีทดัหกฝบบแ กามดไง่ึซ2546 ะลแ 2545 ปนใง่ึนหงหแอภเาํอลาบายพงรโงอข) นใขไนค (ขไนคนวนาํจ าวหใดนหาํก1. ศพเีม 2546 ป นค3,820 งิญห นค4,571 ยาชศพเีม. 2545 ศ.พ ้ีนงัดนปเลาบายพงรโงอขจวราํสรากกาจ ลูมอขอนสเาํนงจ นค4,259 งิญห5,830 ยาช มาวคทบปูรนใ. ก ้ีนงัดีม2546 ะลแ 2545 ปนใ ง่ึนหงหแลาบายพงรโนใขไนคนวนาํจจวราํสรากกาจลผ นวนาํจีม 2546 ปนใะลแ นค3,820 งิญห นค4,571 ยาช นปเงบแ8,391 ดมหง้ัท ขไนคนวนาํจีม 2545 ป นค4,259 งิญห5,830 ยาช นปเงบแ นค10,089 ดมหง้ัท งาราตง่ึกมาวคอข/ มาวคทบปูรนใ. ข ้ีนงัดีม2546 ะลแ 2545 ปนใ ง่ึนหงหแลาบายพงรโนใขไนคนวนาํจจวราํสรากกาจลผ นค3,820 งิญห นค4,571 ยาชศพเีม. 2545 ศ.พ นค4,259 งิญห5,830 ยาชศพเีม. 2546 ศ.พ งหแาษกึศรากนับาถสงอขนตนอตาษกึศมยธัมบัดะราษกึศกันงอขะลยอร งาราตปูรนใอนสเาํน่ีทลูมอขกาจ2. ้ีนงัดีม 2546 ปนใกัลหาชิว4 นในยีรเรากลผดไ ง่ึนห นยีรเรากลผบัดะร าชิวดวมห 4 3 2 1 0  4.49 9.51 22.88 43.58 16.28รตสาศติณค 5.82 12.14 26.55 41.18 13.10 ยทไาษาภ  4.82 11.23 23.50 39.81 19.91รตสาศายทิว 9.04 16.60 29.10 34.75 9.09 าษกึศมคงัส 84.55 13.67 มวร ้ีนปไอตมาถาํคบอตงจงาราตกาจ นปเดิคะลแดุส่ีทยอน0 บัดะรดไะลแดุส่ีทกาม4 นยีรเรากลผบัดะรดไาษกึศกัน่ีทดใาชิวดวมห1. รไาทเะลยอร 0 บัดะรดไะลแ9.04 ะลยอรนปเดิค าษกึศมคงัสาชิวอืค ดุส่ีทกาม4 นยีรเรากลผบัดะรดไ่ีทาชิว บอต 9.09 ะลยอรนปเดิค าษกึศมคงัสาชิวอืค ดุส่ีทยอน

236 1 นยีรเรากลผ บอต ดในยีรเรากลผบัดะรดไญหในวสาษกึศกัน2. รตสาศติณคาชิว1 นยีรเรากลผ บอตบัรดไดุส่ีทกามนวนาํจีมาษกึศกัน่ีทนยีรเรากลผบัดะร3. รตสาศติณคาชิว4 นยีรเรากลผ บอตบัรดไดุส่ีทยอนนวนาํจีมาษกึศกัน่ีทนยีรเรากลผบัดะร4. รไงายอนปเ้ีนงหแนับาถสงอขนยีรเรากลผงึถปุรสยดโวาลก5. ีม่ีทาชิว าชิวกุท2 ดรกเะลแ1 ดรกเ ่ีทูยอนยีรเรากลผบัดะรีมะจญหในวสาษกึศกัน้ีนงหแนับาถส บอต มคงัสะลแ ยทไาษาภ รตสาศายทิวนปเามงลงอร รตสาศติณค อืค ดุส่ีทกาม0) ดรกเดไ( นาผมไบอสาษกึศกัน าษกึศ ้ีนงัด. 2545 ศ.พ ปะลแ. 2544 ศ.พ ปนใ ๆ งาตทภเะรปงอขาราพงายติลผณามิรปงดสแงาราต6. ) นัตนาล( ติลผรากณามิรป ศทเะรป  2545ป 2544 ป 2.5 3.0 ยีซเลเาม 3.0 4.0 ยีซเีนดโนิอ 2.0 3.5 ยทไ 1.5 2.0 มานดยีวเ 1.0 1.5 วาล นยีขเงจ  2544ปนใ ๆ งาตศทเะรปงอขาราพงายติลผรากบยีทเบยีรปเรากงดสแงทแิมูภนผแ1. 3 2.5 2 1.5 าราพงาย 1 0.5 0 วาล ยทไ ยีซเลเาม

237  2545ปนใะลแ 2544 ปนใ ๆ งาตศทเะรปงอขาราพงายติลผรากบยีทเบยีรปเรากงดสแงทแิมูภนผแ2. 4 3.5 3 2.5 .2544ศ.พ2 .2545ศ.พ1.5 1 0.5 0 วาล ยทไ ยีซเลเาม  2544ปนใศทเะรปะลตแงอขาราพงายติลผรากบยีทเบยีรปเรากงดสแมลกงวิมูภนผแ3. ยีซเลเาม ยีซเีนดโนิอ ยทไ มานดยีวเ วาล .ศ.พ งึถ. 2540 ศ.พ ตแง้ัตดไบัจ่ีทม็คเาํ้นวตัสะลแดืจาํ้นวตัสณามิรปบยีทเบยีรปเรากงดสแฟารกนยีขเงจ4. 2546 ) นัตนัพ ( ดไบัจ่ีทณามิรป .ศ.พ ม็คเาํ้นวตัส ดืจาํ้นวตัส 2540 1,550 130 2541 1,529 141 2542 1,395 159 2543 2,068 161 2544 1,538 122 2545 1,352 147 2546 1,958 145

238 . 2540 – 2546ศ.พตแง้ัตดไบัจ่ีทม็คเาํ้นวตัสะลแดืจาํ้นวตัสณามิรปบยีทเบยีรปเรากงดสแฟารก 2,500 2,000 1,500 ดืจาํ้นวตัส ม็คเาํ้นวตัส 1,000 500 0 2540 2542 2544 2546 4 ่ีทดัหกฝบบแ งาบดใรากกัลหยัศาองอตจในิสดัตรากบอกะรปชใามลูมอขกอืลเราก1. ดไอืถอ่ืชเ1. นวถบรค2. ยัมสนัท3. ยวดบอกะรปงายอวัตกยมอรพยาบิธองจ รไงายอ ศทเนสราส บักงาต ลูมอข2. งอขง่ิส ลคคุบ นชเ ๆ งาตง่ิสบักงอขวย่ีกเ่ีทณรากุตหเอืรห งิรจจ็ทเอข งึถยามห ลูมอข ูยอน้ึขนวถบรค าํยนมแงอตกูถงอตลูมอข งอ่ืนเอตงายอน้ึขดิกเ่ีทณรากุตหเบักวย่ีกเงอ่ืรเนปเลูมอข ฯลฯ ่ีทนาถส ลูมอขบ็กเรากงอขว็รเดวรมาวคงอขญัคาํสมาวคหใ่ีทรากนินเาํดูผบัก นปเยามหมาวคลปแะลแหะารคเิว ณวนาํค ลผลวมะรปรากบบะรนาผ ลูมอขาํนรากกาจดิกเ ศทเนสราส ดไนชยโะรปชใปไาํนถรามาส่ีทมาวคอข

239 8 ่ีททบ ยลฉเ นปเะจานมาวค 1 ่ีทดัหกฝบบแ มไนติมูภนผแนยีขเีธิวยดโ ๆงาตานหน้ึขะจญยีรหเ่ีทนวนาํจาหงจ ง้ัรค3 ญยีรหเ1 ญยีรหเนยโ1. ีมอขะลตแยทจโ อข5 นวนาํจ กอืลเวัต4 ยันรปบบแยทจโ ยวดบอกะรป รตสาศติณคาชิวบอสดทรากนใ2. ีธิว่ีกีมดมหง้ัทดไปไนปเ่ีทมาถาํคบอตรากีธิวนวนาํจวลแ น้ันาทเกอืลเวัตง่ึนหงยีพเงอตกูถ่ีทบอตาํค ีธิว4 ×4 ×4 ×4 ×4 = 1,024 ีม นักงาตกตแ่ีทวถแาขเนืย่ีทีธิวนวนาํจาวาหงจ ง่ึนหนารงอขนัวงาลกราหาออ้ืซอ่ืพเวถแาขเนืย นค5 นยีรเกันีม3. ีธิว่ีกดมหง้ัทีม ีธิว5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 บอต ีมสินนทแาฬีกนัขงขแรากนในค1 งิญห นค1 ยาชงาวหะรนัขงขแูคดัจรากงอต นค5 งิญห นค6 ยาชีม4. ีธิว่ีกดมหง้ัทนวนาํจ ีธิว6 × 5 = 30 บอต ปไะจ่ีทกอืลเยดโ าคนิสพรรสงาห่ีทงอขอ้ืซ ะลแราคาตตัภ่ีทน็ยเราหาอนาทะรปบัรปไนักดัน นค3 นอ่ืพเ5. กอืลเีธิวีมะจ้ีนนคมาสง้ัท งหแ4 าคนิสพรรสงาหีมะลแ งหแ5 ราคาตตัภีมง่ึซ งอขอ้ืซะลแราหาอนาทะรปบัร ีธิว่ีกดมหง้ัทดไวาลกงัดาํทะรก ีธิว5 × 4 = 20 บอต

240 6 ีมุยาอบัดะรงิญห ยาชศพเ อืคขไนอ่ืงเกาจาณราจิพยดโ นางาํทาขเนางกันพรคัมสบัรดปเง่ึนหงหแทัษิรบ6. ีธิว่ีกดมหง้ัทดไรคัมสูผกนแาํจรากีธิวีมะจ้ีนทัษิรบวลแ ทภเะรป10 พีชาชิวาขาสีมะลแ บัดะร ีธิว2 X 6 X 10 = 60 ีม บอต ณษาภมัสาขเูผกาจนคง่ึนหนางกันพดไกอืลเดัคะจีธิวีมะจ นค8 นวนาํจนางาํทาขเนคบัรณษาภมัสรากกาจ7. ดมหง้ัท ีธิว8 บอต ่ีทีธิวนวนาํจาหงจ ง้ัรค4 ญยีรหเ1 ญยีรหเนยโรากกาจน้ึขดิกเ่ีทลผงดสแอ่ืพเมไนตพาภนผแนยีขเงจ8. ่ีทยดโ ้ีนง้ัรคญยีรหเนยโรากนในักงาตกตแ ง้ัรค1 งยีพเวัหานหีม2. ยลเวัหานหีมมไ1. ง้ัรค3 งยีพเวัหานหีม4. ง้ัรค2 ง้ัทานหีม3. ง้ัรค4 วัหานหีม5. บอต ณรากุตหเ4 ่ีทง้ัรค3 ่ีทง้ัรค2 ่ีทง้ัรค1 ่ีทง้ัรค ีธิว1 (T,T,T,T) = 1 ีธิว2. (H,T,T,T),(T,H,T,T),(T,T,H,T),(T,T,T,H) = 4 ีธิว3. (H,H,T,T),(H,T,H,T),(H,T,T,H),(T,H,H,T)(T,H,T,H) (T,T,H,H) = 6 ีธิว4. (H,H,H,T)(H,H,T,H) (H,T,H,H) (T,H,H,H) = 4 ีธิว5. (H,H,H,H) = 1

241 2 ่ีทดัหกฝบบแ ๆน้ันงอลดทรากนใจในส่ีทณรากุตหเะลแซปเสลปเมซแนยีขเงจ ้ีนปไอตมุสงอลดทรากกาจ2. ง้ัรคง่ึนหนัองอสญยีรหเนยโรากกาจญยีรหเงอสวัหดไ(1) (H,H) , (H,T) ,(T,H) ,(T,T) ดมหง้ัทน้ึขดิกเ่ีทลผ 1 = (H,H) = จในส่ีทณรากุตหเ 4 ง้ัรคง่ึนหกูลงอสาตเกูลนยโรากกาจ6 อืรห2 นปเงอสง้ัทาตเกูลานหนบมตแงอขมวรลผดไ(2) {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), ดมหง้ัทน้ึขดิกเ่ีทลผ (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} = (1,1) (1,5), (2,4), (3,3), (4,2) ,(5,1) จในส่ีทณรากุตหเ 10 งึถ1 ขลเยามหนยีขเง่ึซบใ10 กาลสกาจ8 อืรห7 อืรห6 อืรห5 ขลเยามหกาลสดไบิยห(3) วไบักาํก 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ดมหง้ัทน้ึขดิกเ่ีทลผ = 5, 6, 7, 8 จในส่ีทณรากุตหเ ูยอนยีรเนาท่ีทนยีรเงอหนใยาซอืมดันถ่ีทนยีรเกันดไ(4) นอสูผงอขจินิพยลุดนใูยอ บอต บใ7 ลัวงารีมมไะลแ บใ3 ลัวงารีม่ีทกาลสยวดบอกะรป่ีทกาลสบัจรากกาจลัวงารีม่ีทกาลสดไ(5) 7ผ6, ผ5, ผ4, ผ3, ผ2, ผ1, ผ3, ถ2, ถ1, ถ ่ีทลัวงาร ดมหง้ัทน้ึขดิกเ่ีทลผ 3ถ2, ถ1, ถ= ลัวงารกูถ่ีทสากอโอืค จในส่ีทณรากุตหเ วัรคบอรคมาสง้ัทชใาผบ็ยเรกัจีมาววัรคบอรค3 วัรคบอรคกาจบอตาํคดไ(6) มไมไมไ, ีมมไมไ, มไีมมไ, ีมีมมไ, มไมไีม, ีมมไีม, มไีมีม, ีมีมีม ดมหง้ัทน้ึขดิกเ่ีทลผ ีมีมีม วัรคบอรค3 ง้ัทาผกัซงอ่ืรคเีมอืค จในส่ีทณรากุตหเ ง่ึซงอลกกาจ กูล3 นืคสใมไบบแกูละลีทลอบกูลบิยหรากนใ กูล1 าํดีส กูล2 วาขีสลอบกูลดไ(7) าํดีสลอบนทแ ด ะลแ วาขีสลอบนทแ ข หใ กูล2 าํดีสะลแ กูล3 วาขีสลอบกูลุจรรบ ขดด, ดขด, ขขค, คคข, ขคข, คขข, ขคข อืค ดมหง้ัทน้ึขดิกเ่ีทลผ ขขค, ขคข, คขข, ขคข อืค จในส่ีทณรากุตหเ กูลงอสนักมอรพาตเกูลดอทรากนใง่ึนหกูลดใกูลาตเกูลกาจ2 มตแดไอืรหนักนอืมหเ่ีทมตแดไ(8)

242 {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), ดมหง้ัทน้ึขดิกเ่ีทลผ (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} = (1,1) (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) ,(6,6) จในส่ีทณรากุตหเ ง้ัรคง่ึนห กูลง่ึนหาตเกูลดอทะลแญยีรหเง่ึนหญยีรหเนยโรากกาจ4 าวกกาม่ีทมตแะลแวัหดไ(9) (H,1) ,(H,2), (H,3),(H,4),(H,5),(H,6) ดมหง้ัทน้ึขดิกเ่ีทลผ (T,1) ,(T,2), (T,3),(T,4),(T,5),(T,6) = (H,5),(H,6) จในส่ีทณรากุตหเ ่ีทานหด็ชเษาดะรกงอขีสงึถาดาชุสวาสงานมาถบอสรากกาจูพมชีสอืรหาฟีส อืคบอช่ีทีสดไ(10) งอืลหเะลแ วยีขเ ูพมช าฟ วาข อืค ีส5 ดมหง้ัทีสกาจีสงอสบอช งอืลหเ, วยีขเ, ูพมช, าฟ, วาข น้ึขดิกเ่ีทลผ ูพมช, าฟ จในส่ีทณรากุตหเ S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } าถ1. = { 0 2, 4, 6, 8 } , Ε1 Ε2 = {1, 3 ,5 ,7 ,9 } Ε3 ={ 2, 3, 4, 5 } Ε4 = { 1, 6, 7 } ะลแ ้ีนปไอตณรากุตหเนใูยอ่ีทS งอขกิชามสาหงจ (2)  = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 8,} (2)  = { } Ε1 Ε3 Ε1 Ε2 (3) = {0, 1, 6, 7, 8, 9} (4) (  ) = {1} Ε′ 3 Ε′ 3 Ε4 Ε2 ′ (5) ( S Ε3 ) = {0, 1, 6, 7, 8} (6) ( Ε′ 1  Ε′ 2 ) Ε′ 3 = { } ้ีนปไอตณรากุตหเงดสแรอลเยออ – นนวเงอขพาภนผแนยีขเงจ2 อขนใ , , ณรากุตหเกาจ2. Ε1 Ε2 Ε3 (1) Ε1  Ε′ 2 = {0, 2, 4, 6, 8} (2)( Ε1  Ε2 ) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} ′ (3) ( Ε1  Ε3 ) Ε2

243 ง่ึนหงหแลาบายพงรโงอข ) ป15 นิกเมไุยาอ( ก็ดเกนผแยวปูผงอขุยาอจวราํสรากนใ3. ป9 งึถ 1 ตแง้ัตุยาอีมยวปูผ่ีทณรากุตหเนปเ าถ Ε1 ป5 าวกยอนุยาอีมยวปูผ่ีทณรากุตหเนปเ Ε2 ป9 าวกกามุยาอีมยวปูผ่ีทณรากุตหเนปเ ะลแ Ε3 ป9 าวกยอนุยาอีมยวปูผ่ีทณรากุตหเนปเ(1)  าหงจ Ε1 Ε2 ป5 าวกยอนุยาองึถ ป 1 ตแง้ัตุยาอ่ีทยวปูผ่ีทณรากุตหเนปเ(2) Ε1  Ε2 ยาตนจดิกเตแง้ัตุยาอีมยวปูผ่ีทณรากุตหเนปเ(3) (  ) Ε1 Ε3 Ε2 ป9 าวกกามุยาอะลแ ป5 าวกยอนุยาอยวปูผ่ีทณรากุตหเนปเ(4)  Ε2 Ε3 บัจ่ีทบใกาลสนใวไบักาํกนยีขเ่ีทขลเจในสาถ ูยอบักาํก9 งึถ0 ขลเีมง่ึซ บใ10 กาลสกาจ บใ1 กาลสบัจรากนใ5 หใยดโ ดไ ูคนวนาํจนปเวไบักาํกนยีขเ่ีทขลเ่ีทณรากุตหเนปเ Ε1 ่ีคนวนาํจนปเวไบักาํกนยีขเ่ีทขลเ่ีทณรากุตหเนปเΕ2 ะาพฉเนวนาํจนปเวไบักาํกนยีขเ่ีทขลเ่ีทณรากุตหเนปเ Ε3 วัตงล3 ยวดราห่ีทนวนาํจนปเวไบักาํกนยีขเ่ีทขลเ่ีทณรากุตหเนปเΕ4 อ่ืมเกิชามสงจแกจแง้ัทมอรพ อืรห, , ปูรนใ้ีนปไอตณรากุตหเนยีขเงจ Ε1 Ε2 Ε3 Ε4 ะาพฉเนวนาํจอืรห่ีคอืรหูคนวนาํจนปเวไบักาํกนยีขเ่ีทขลเ(5) Ε = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} วัตงล3 ยวดราห่ีทะาพฉเนวนาํจนปเวไบักาํกนยีขเ่ีทขลเ(6) Ε = { 3 } วัตงล3 ยวดราห่ีทนวนาํจนปเมไะลแ ่ีคนวนาํจนปเมไวไบักาํกนยีขเ่ีทขลเ(7) Ε = {0, 2, 4, 6, 8}  {1, 2, 4, 5, 7, 8} นวนาํจอืรหะาพฉเนวนาํจนปเ่ีทูคนวนาํจนปเวไบักาํกนยีขเ่ีทขลเ(8) Ε = { }

244 3 ่ีทดัหกฝบบแ กามีมาวน้ึขดิกเะจ่ีทสากอโงึถปุรสะลแ ณรากุตหเงอขนปเะจานมาวคาหงจ ง้ัรค1 กูล1 าตเกูลนยโรากนใ1. ดใงยีพเยอนอืรห 4 มตแดไ1. 4 มตแยางห กูล1 าตเกูลนยโ่ีทณรากุตหเนทแE P ( E ) = 1 = . 0 167 6 กามยอนน้ึขดิกเสากอโีม้ีนณรากุตหเ ูคมตแดไ4. ูคมตแดไกูล1 าตเกูลนยโ่ีทณรากุตหเนทแE 3 1 P ( E ) = = 6 2 50% ะลยอรดิกเสากอโีมอืรห นัก ๆ าทเน้ึขดิกเมไะลแน้ึขดิกเสากอโีม้ีนณรากุตหเ 4 าวกกามมตแดไ5. 4 าวกกามมตแดไ กูล1 าตเกูลนยโ่ีทณรากุตหเนทแE 2 1 P ( E ) = = = . 0 33 6 3 ยอนดิกเสากอโีม้ีนณรากุตหเ 7 าวกยอนมตแดไ6. 7 าวกยอนมตแดไ กูล1 าตเกูลนยโ่ีทณรากุตหเนทแE 6 P ( E ) = = 1 6 นอนนแน้ึขดิกเสากอโีม้ีนณรากุตหเ 0 าวกกามมตแดไ7. 0 าวกกามมตแดไ กูล1 าตเกูลนยโ่ีทณรากุตหเนทแE 6 P ( E ) = = 1 6 ่ีคมตแนปเอืรห6 าวกกามมตแดไ8. ่ีคมตแอืรห6 าวกกามมตแดไ กูล1 าตเกูลนยโ่ีทณรากุตหเนทแE 1 ่ีคมตแดไ กูล1 าตเกูลนยโ่ีทณรากุตหเนทแE 2 3 1 P ( E 1  E 2 ) = = = 5 . 0 6 2 50% น้ึขดิกเสากอโีม้ีนณรากุตหเ

245 ่ีคมตแนปเะลแ3 าวกกามมตแดไ7. > 3 มตแดไ กูล1 าตเกูลนยโ่ีทณรากุตหเนทแE 1 ่ีคมตแดไ กูล1 าตเกูลนยโ่ีทณรากุตหเนทแE 2 1 P ( E 1  E 2 ) = = . 0 166 6 กามยอนน้ึขดิกเสากอโีม้ีนณรากุตหเ นใ10 นปเมวรมตแดไะลแกรแง้ัรคนใ7 นปเมวรมตแดไะจ่ีทนปเะจานมาวค ง้ัรคงอสกูล2 าตเกูลดอท2. ดใาทเบักาทเ2 ่ีทง้ัรค 7 นปเมวรมตแดไ กูล2 าตเกูลดอทรากนทแE 1 10 นปเมวรมตแดไ กูล2 าตเกูลดอทรากนทแE 2 3 2 1 P ( E 1  E 2 ) = × = = . 0 166 36 36 6 กามยอนดิกเสากอโีม้ีนณรากุตหเ นค7 งาชกอืลเรากงอตาถ นค 4 มไงาชะลแ นค6 นูปงาช ยวดบอกะรป นค10 ีมง่ึนหมุลกงารสอกงาช3. ดใาทเบักาทเ นค 3 มไงาชะลแ นค4 นูปงาชดไะจ่ีทนปเะจานมาวค ้ีนมุลกกาจ นปเง่ึซ ดอลห4 นิงเาํ้นีสฟไดอลหะลแอลห4 ีดดอลหนปเง่ึซดอลห6 งดแีสฟไดอลหุจรรบง่ึนหบใงอลก4. ดไะจ่ีทนปเะจานมาวค นืคสใมไบบแ ง้ัรค2 ดอลห1 ะลง้ัรคฟไดอลหบิยหมุสรากนใ ดอลห2 ีดดอลห ดใาทเบักาทเาคีม ง้ัรคงอสง้ัทีดดอลหนปเะลแ นักวยีดเีสฟไดอลห กูลนปเ กูล2 ลอบกูลบิยหรากีธิวนวนาํจ่ีทยดโ ง่ึนหนวนาํจวาขีสะลแ กูล3 งดแีสลอบกูลีมง่ึนหบใงอลก5. 2 ง้ัทวาขีสลอบกูลดไะจ่ีทนปเะจานมาวควลแ กูล2 นัพมอรพลอบกูลบิยหมุสาถ9 บักาทเ นักนอืมหเีสลอบ ดใาทเบักาทเกูล

246 9 ่ีททบ ยลฉเ พีชาอนางนใรตสาศติณคงาทรากนวบะรกะษกัทชใราก 1 ่ีทดัหกฝบบแ ทาบ9,000 ะล ๆ นอืดเนิงเบัรดไคงาภุศ1. งมโว่ัช8 ะลนัวิตกปมาตนางาํทาลวเดนหาํก 9,000 ทาบ= 300 ะลนัวดไยารีมะจคงาภุศ น้ันงัด 30 300 ทาบ= 37.50 ะลงมโว่ัชดไยารีมคงาภุศะลแ 8 2. มคาวนัธนอืดเ ราสเ รกุศ สัหฤพ ธุพ ราคงัอ รทนัจ ยติทาอ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 นัว19 นางาํทนัวนใงาจาคบัรดไพาภุส มคาวนัธนอืดเ นัว3 ิตกปมาตดุยหนัวนใงาจาคบัรดไิธทิสีมะลแ ทาบ370 ะลนัวงาจาคดไะลแ = (19 + 3) × 370 มคาวนัธนอืดเงาจาคบัรดไพาภุส น้ันงัด ทาบ= 8,140

247 3. มคาหงิสนอืดเ ราสเ รกุศ สัหฤพ ธุพ ราคงัอ รทนัจ ยติทาอ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 งมโว่ัช8 ะลนัวนางาํท ทาบ12,000 ะลนอืดเดไยารีมาดิธ 12,000 ทาบ= = 50 ะลงมโว่ัชบัรดไ่ีทงาจาค 8× 30 ีณพเะรปมาตดุยหนัวนในางาํทามอ่ืมเ งาจาคบัรดไงึจ ทภเะรปกุทดุยหนัวนใงาจาคบัรดไิธทิสีมาดิธ งมโว่ัช8 ะล ๆ นัว1 ีณพเะรปมาตดุยหนัวนในางาํท าทเ1 กีอ งมโว่ัช8 นปเดิคดุยหนัวนในางาํท น้ันงัด = 1 ×50 × 8 ดุยหนัวนใงาจาคบัรดไาดิธ ทาบ= 400 นใงาจาคงอข าทเ2 ดุยหนัวนในางาํทาคบัรดไะจ หาดปัสาํจะรปดุยหนัวนปเง่ึซ ราสเนัวนางาํท นางาํทนัว = 4 × 3 งมโว่ัช3 ะลๆ นัว 4 ราสเนัวนางาํท งมโว่ัช= 12  = 2 ×50 ×12ราสเนัวนใงาจาคบัรดไะจ น้ันงัด ทาบ= 1,200 = 400 + 1,200 น้ิสง้ัทดุยหนัวนในางาํทาคบัรดไะจ ทาบ= 1,600 = 12,000 + 1,600 มคาหงิสนอืดเงอขดมหง้ัทงาจาคบัรดไะจะลแ ทาบ= 13,600

248 4. ...................................งอขยาจยาร– บัรยารงดสแีชญับ หาดปัส1 นใ นิงเนวนาํจ นิงเนวนาํจ ยาจรากยาร ป นอืดเ นัว บัรรากยาร ป นอืดเ นัว .ตส ทาบ. ตส ทาบ 44 - งาทาํจะรปถราค. 54 ย.พ2,100 - 6 รากกาจงาจาคนิงเบัร. 54 ย.พ6 120 - ราหาอาค หาดปัส1 นางาํท 44 - ถราค. 54 ย.พ7 นิงเนปเ ทาบ300 ะลนัว 120 - ราหาอาค  100 -ทพัศรทโาค 44 - ถราค. 54 ย.พ8 120 - ราหาอาค 150 - าฟฟไาค าํ้นาค 44 - ถราค. 54 ย.พ9 100 - ราหาอาค 44 - ถราค. 54 ย.พ10 110 - ราหาอาค 50 - อืสงันหาค 44 - ถราค. 54 ย.พ11 150 - ราหาอาค 299 - าผอ้ืสเาค 44 - ถราค. 54 ย.พ12 115 - ราหาอาค  50 -ทพัศรทโาค 1,792 - ยาจยารมวร2,100 - บัรยารมวร 308 - ปไกยอืลหเงคดอย

249 30 = × 45,000 ยาขรากนใานหยานาค5. 100 ทาบ= 13,500 ทาบ13,500 านหยานาคนิงเดไีลชญัอ น้ันงัด ิธทิสมิรุปนุหาคลูม× ลผนปนิงเารตัอ= ิธทิสมิรุปนุหงอขนุหอตลผนปนิงเ6. = 5% × 160 5 = × 160 100 ทาบ= 8 นุห1,500 ดมหง้ัทิธทิสมิรุปนุหีมนามจพตแ ทาบ= 8 × 1,500 = 12,000 น้ิสง้ัทลผนปนิงเดไะจนามจพ น้ันงัด ้ีนงัด รากนินเาํดดไารทัภุส7. นค50 นวนาํจ นุรยัวงายอวัตมุลกมุส1. ้ีนงัดปุรสอขดไูพมชแุจรรบดวขงอขีสงอ่ืรเ นค50 ง้ัทงายอวัตมุลกมาถบอส2. ่ีถมาวค ีส 15 าฟีส 32 ูพมชีส 3 วาขีส 50 มวร (Mode) มยินนาฐาค อืค ชใ่ีทิติถสาคนปเาถ งายอวัตมุลกงอขมยินมาวคจวราํสรากนปเกาจงอ่ืนเ3. = 32) ่ีถมาวค( ดุส่ีทกามมยินงายอวัตมุลกะารพเ ูพมชีส อืค มยินนาฐาค ดัหกฝบบแกาจ งทแิมูภนผแชใยดโอนสเาํนาม2 อขกาจลูมอขาํน4. 35 30 25 าฟีส20 ูพมชีส 15 วาขีส 10 5 0 วาขีส ูพมชีส าฟีส

250 ทาบ= 25,000 × 12 = 300,000 นิมเะรปงึพดไนิงเีม์ิดกัศยาน าํทีธิว8. ทาบ60,000 นิกเมไตแนิมเะรปงึพดไนิงเงอข40 ะลยอรดไยาจชใาค กัห 40 ทาบ× 300,000 = 120,000 ยาจชใาค 100 น้ันาทเทาบ 60,000 คแดไกัหถรามาสตแ ทาบ 120,000 ดไณวนาํค์ิดกัศยานงอขยาจชใาคตแ นอยหดลาค กัห ทาบ 30,000 ดไนิงเีมูผ ทาบ50,000 ติวีชนักะรปย้ีบเาค ทาบ20,000 ์ิดกัศยานาดรามงอขพาภขุสนักะรปย้ีบเาค ทาบ = 30,000 + 50,000 + 20,000 = 100,000 ดไนอยหดลาคกัหมวร )นอยหดลาคกัห+ ยาจชใาคกัห– ( นิมเะรปงึพดไนิงเ= ์ิดกัศยานงอขิธทุสดไนิงเ = 300,000 – (60,000 + 100,000) ทาบ= 140,000 าดมรรธลคคุบดไนิงเีษาภยีสเราการตัองาราตมาต ดไนิงเีษาภยีสเงอตมไ ทาบ 0 – 150,000 ดไนิงเ บบแน่ืยงอตตแ ีษาภนวเกยรากบัรดไ ทาบ140,000 ิธทุสดไนิงเีมะารพเ ีษาภยีสเงอตมไ์ิดกัศยาน∴ . 91)ด.ง.ภ( าดมรรธลคคุบดไนิงเีษาภรากยารงดสแ วาย× งาวก= าณษฆโชใ่ีทลิทวไนผแ่ีทน้ืพ าํทีธิว9. รตมเงาราต= 0.9 × 1.8 = 1.62 ทาบ= 1.62 × 250 = 405 าํทดัจาค บบแกออาค+ าํทดัจาค= ดมหง้ัทนิงเยาจงอตะจ∴ ทาบ= 405 + 500 = 905