รายวิชาคณิตศาสตร์ (พค31001)

51 U = ( 1 , 2 , 3 , . . . , 10 } ่ีทยดโU งอขตซเบัสนปเB ะลแ A หใดนหาํก4 ่ีทงายอวัต / / / n ( A ∪ B) / าหงจ วลแn (A ∪ B ) = 5 , n (A ) = 3 , n (B) = 6 าถ าํทีธิว / / n ( U ) = 10 , n (A ∪ B ) = 5 , n (A ) = 3 , n (B) = 6 กาจ / ′ / n (A ∪ B ) = n (A ∪ B) ∴ n ( A ∩ B) = 10 – 5 = 5 n (A) = 10 – 3 = 7 n ( A ∪ B ) = n ( A ) + n (B) - n ( A ∩ B) n ( A ∪ B ) = 7 + 6 – 5 = 8 / ∴ n ( A ∪ B) = 10 - 8 = 2 นักมวรวัตงาบกิชามสีมC ตซเะลแB ตซเA ตซเาถ• n (A ∪ B ∪ C ) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A ∩ B) – n (B ∩ C) - n (A ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C) ตซเงอขกิชามสนวนาํจงดสแพาภนใขลเวัต ปูรกาจาณราจิพ5 ่ีทงายอวัต ดไะจ 1) n (U) = 60 2) n (A) = 26 3) n (B ∩ C) = 7 4) n (A ∩ C) = 8 5) n (A ∩ B ∩ C ) = 3

52 าหญปกแรากนใชใปไตซเาํนราก3.2 นผแนยีขเราก อืค็กกามนชยโะรปชใามาํน่ีทง่ิส ตซเงอ่ืรเูรมาวคชใยดโยทจโาหญปกแราก ้ีนปไอตดยีอเะลยาราษกึศะจ่ีทงัด ดักาํจตซเงอขกิชามสงอ่ืรเูรมาวคาํนะลแ รอลเยออ - นนวเพาภ นค23 นางกันพ ตนยถรีมนค18 นางกันพ าวบพ นค80 นางกันพีมง่ึนหงหแทัษิรบ1 ่ีทงายอวัต ตนยถระลแงอเวัตงอขนาบีม นค9 นางกันพะลแ งอเวัตงอขนปเนาบีม าหงจ งอเวัตงอขนปเนาบีมอืรหตนยถรีม่ีทดมหง้ัทนางกันพนวนาํจ1) งอเวัตงอขนาบอืรหตนยถรีมมไ่ีทนางกันพนวนาํจ2) ตนยถรีม่ีทนางกันพงอขตซเนทแ A หใ าํทีธิว งอเวัตงอขนปเนาบีม่ีทนางกันพงอขตซเนทแB ้ีนงัดดไพาภนผแนใงลลูมอขบักงอลคดอส่ีทนางกันพนวนาํจนยีขเ 1) n (A) = 18 , n (B) = 23 , n (A ∩ B) = 9 n (A ∪ B) = n(A) + n(B) - n (A ∩ B) = 18 + 23 – 9 = 32 าณราจิพ นค32 นปเงอเวัตงอขนาบีมอืรหตนยถรีม่ีทนางกันพนวาํจ น้ันงัด นค80 ดมหง้ัทนางกันพกาจงอ่ืนเ2) นค= 80 - 32 = 48 งอเวัตงอขนาบอืรหตนยถรีมมไ่ีทนางกันพ อืคน่ัน นค48 นปเงอเวัตงอขนาบอืรหตนยถรีมมไ่ีทนางกันพ น้ันงัด

53 นยีรเบอช่ีทาษกึศกันาวบพ นค100 าษกึศกันงอขบอชมาวคบักวย่ีกเจวราํสรากนใ2 ่ีทงายอวัต นยีรเบอชมไ่ีทาษกึศกัน นค60 ยทไาษาภนยีรเบอช่ีทาษกึศกัน นค 52 รตสาศติณค รตสาศติณคนยีรเบอช่ีทาษกึศกันาหงจ นค14 ีมยทไาษาภนยีรเบอชมไะลแรตสาศติณค ยทไาษาภะลแ รตสาศติณคนยีรเบอช่ีทาษกึศกันงอขตซเนทแ A หใ1 ่ีทดิควนแ าํทีธิว ยทไาษาภนยีรเบอช่ีทาษกึศกันงอขตซเนทแB n (A) = 52 , n(B) = 60 กาจ / / / / n ( A ∩ B ) = 14 = n ( A ∪ B ) [∴A ∩ B = ( A ∪ B ) ] / / ∴ n ( A ∪ B ) = 100 n ( A ∪ B ) = n(A) + n(B) - n (A ∩ B) 100 – 14 = 52 + 60 - n (A ∩ B) 86 = 52 + 60 - n (A ∩ B) n (A ∩ B) = 112 - 86 = 26 นค26 ีม ยทไาษาภะลแรตสาศติณคนยีรเบอช่ีทาษกึศกันนวนาํจ น้ันงัด 2 ่ีทดิควนแ ยทไาษาภะลแรตสาศติณคนยีรเบอช่ีทาษกึศกันนวนาํจนทแ x หใ ้ีนงัดดไรากมสนยีขเพาภนผแกาจ ( 52 - x ) + x + ( 60 - x ) = 100 - 14 112 - x = 86 x = 112 - 86 = 26 นค26 ีม ยทไาษาภะลแรตสาศติณคนยีรเบอช่ีทาษกึศกันนวนาํจ น้ันงัด

54 นยีรเ นค800 ษฤกงัอาษาภนยีรเาษกึศกันีม นค1,000 ีมง่ึนหาขาสาษกึศกัน3 ่ีทงายอวัต าวบารทกายอ นค280 าชิวงอสง้ัทนยีรเกอืลเะลแ นค 400 รอตเวิพมอค วยีดเาชิวงยีพเษฤกงัอาษาภนยีรเ่ีทนค่ีกาษกึศกันีม1) วยีดเาชิวงยีพเรอตเวิพมอคนยีรเ่ีทนค่ีกาษกึศกันีม2) ยลเง่ึนหาชิวดใาชิวนยีรเดไมไ่ีทนค่ีกาษกึศกันีม3) นักมอรพาชิวงอสง้ัทนยีรเดไมไ่ีทนค่ีกาษกึศกันีม4) ดมหง้ัทาษกึศกันงอขตซเนทแ U หใ าํทีธิว ษฤกงัอาษาภาชิวนยีรเ่ีทาษกึศกันงอขตซเ นทแA รอตเวิพมอคาชิวนยีรเ่ีทาษกึศกันงอขตซเ นทแB าชิวงอสง้ัทนยีรเ่ีทาษกึศกันงอขตซเ นทแA ∩ B n ( U ) = 1,000 , n ( A ) = 800 , n ( B ) = 400 , n (A ∩ B) = 280 ้ีนงัดดไพาภนผแนยีขเ นค800 - 280 = 520 นวนาํจีมวยีดเาชิวงยีพเษฤกงัอาษาภนยีรเ่ีทาษกึศกัน1) นค400 - 280 = 120 นวนาํจีมวยีดเาชิวงยีพเรอตเวิพมอคนยีรเ่ีทาษกึศกัน2) นวนาํจีมง่ึซพาภนผแนใางเรแ่ีทนวสอืค ยลเง่ึนหาชิวดใาชิวนยีรเดไมไ่ีทาษกึศกัน3) นค1,000 - 520 - 280 - 120 = 80 บักาทเ

55 าชิวงยีพเง่ึนหาชิวดใาชิวนยีรเ่ีทาษกึศกัน อืค นักมอรพาชิวงอสง้ัทนยีรเมไ่ีทาษกึศกัน4) นวนาํจีมง่ึซ พาภนผแนใางเรแ่ีทนวส อืค ยลเดใาชิวนยีรเมไ่ีทาษกึศกันบักมวร วยีดเ นค520 + 120 + 80 = 720 อืรห1,000 - 280 = 720 บักาทเ ,นค. 113 ก ดินชชใูผีมาวบพ ค, ข, ก อืค ดินช 3 ูบสชใูผจวราํสรากนใ4 ่ีทงายอวัต .ก ดินช, นค. 45 ข ะลแ. ก ดินชชใ, นค. 190 ค ดินช, นค. 180 ข ดินช 3 ง้ัทชใมไ, นค15 ดินช3 ง้ัท, นค. 20 ค ะลแ. ข ดินช, นค. 25 ค ะลแ ดมหง้ัทจวราํสรากบัราขเูผงอขนวนาํจาหงจ นค72 ดินช าํทีธิว 1 ่ีทดิควนแ .ก ดินชูบสชใูผนทแ A หใ .ข ดินชูบสชใูผนทแB .ค ดินชูบสชใูผนทแC n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A ∩ B) – n (B ∩ C) กาจ - n ( A ∩ C ) + n (A ∩ B ∩ C) n (A) = 113 ่ีทยดโ n (B) = 180 n (C) = 190 n (A ∩ B) = 45 n (A ∩ C) = 25 n (B ∩ C) = 20 n (A ∩ B ∩ C) = 15 n (A ∪ B ∪ C ) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A ∩ B) – n (B ∩ C) - n (A ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C) ∴ n (A ∪ B ∪ C) = 113 + 180 + 190 - 45 – 20 – 25 + 15 = 408

56 นค. = 408 ค อืรห. ข อืรห. ก ูบสชใ่ีทูผนวนาํจ นค= 72 ดินช3 ง้ัทชใมไ่ีทูผนวนาํจ นค408 + 72 = 480 ดมหง้ัทจวราํสรากบัราขเูผงอขนวนาํจ น้ันงัด 2 ่ีทดิควนแ .ก ดินชูบสชใูผนทแ A หใ .ข ดินชูบสชใูผนทแB .ค ดินชูบสชใูผนทแC . = 58 + 30 + 10 + 15 + 160 + 5 + 130ค อืรห. ข อืรห. ก ูบสชใ่ีทูผนวนาํจ นค= 408 นค= 72 ดินช3 ง้ัทชใมไ่ีทูผนวนาํจ นค408 + 72 = 480 ดมหง้ัทจวราํสรากบัราขเูผงอขนวนาํจ น้ันงัด

57 3 ่ีทดัหกฝบบแ ้ีนปไอตตซเงดสแอ่ืพเหใดนหาํก่ีทพาภนผแางเรแงจ1. 1) B′ 2) A ∩ B′ 3) A′ 4) A ∪ B ′ 5) A ∪ B′ ′ หใดนหาํก่ีทพาภนผแกาจ2. าคาหงจ 1) A′ ′ 2) ( ∩ BA ) 3) A′ U B 4) A ∩ ′ B

58 พาภนผแกาจ3. งจ บัดาํลมาต6 ะลแ100 ,40,25, กิชามสนวนาํจีม่ีทตซเนปเA∩B ะลแ U , A, B หใดนหาํก ้ีนปไอตงาราตนใงล ๆ งาตตซเงอขกิชามสนวนาํจมิตเ A - B B - A A ∩ B A′ B′ ( A ∪ B ตซเ กิชามสนวนาํจ นัตนิมตบแนลเบอช นค27 งอปงปนลเบอช าวบพ นค75 าฬีกนลเบอชนยีรเูผมาถบอสรากกาจ4. ะลแลอบตุฟง้ัทบอช นค14 งอปงปะลแลอบตุฟง้ัทบอช นค42 ลอบตุฟนลเบอช นค34 นค7 ทภเะรปมาสง้ัทบอช นค10 นัตนิมดบแะลแงอปงปง้ัทบอช นค12 นัตนิมตบแ นค่ีกีมวยีดเทภเะรปาฬีกนลเบอช่ีทาษกึศกันาวาหงจ

59 4 ่ีททบ ลผุตหเหใราก ญัคาํสะราส ตกเงัสรากกาจดไ่ีทงิรจมาวคบพนคกาจงัลหยาภลผปุรสรากนปเยันปุอบบแลผุตหเหใราก1. ารเปไว่ัทบบแูรมาวคนปเามปุรสทบาํนวลแยอยีณรก ๆ กุทกาจง้ัรค ๆ ยาลหงอลดทรากอืรห ”ณรากดาคมาวคอข“ าว้ีนบบแปุรสอขกยีรเ ่ีทปุรสอขะาพฉเงึนาํคะจตแจ็ทเมาวคอืรหงิรจมาวคงึถงึนาํคดไมไยันรินบบแลผุตหเหใราก2. น้ันาทเดไามกออปุรสงอต งัวหดาค่ีทูรนยีรเรากลผ ดไยันรินะลแยันปุอบบแลผุตหเหใรากชใะลแยาบิธอ1. ดไรอลเยออ – นนวเพาภนผแชใยดโ มไอืรหลผมสุตหเมสลผุตหเงาอรากาวดไกอบ2. าหอ้ืนเยาขบอข ลผุตหเหใราก1 ่ีทงอ่ืรเ รอลเยออ – นนวเพาภนผแชใยดโลผุตหเงาอราก2 ่ีทงอ่ืรเ

60 ลผุตหเหใราก1 ่ีทงอ่ืรเ นปเะจาวมไลผุตหเบักูยอน้ึขงอตารเนคงอขติวีชนินเาํดรากะารพเ ญัคาํสมาวคีมลผุตหเหใราก ่ีทนาฐน้ืพนปเงัยง้ัทกีอ น้ิสง้ัทบอกะรปลผุตหเชใงอตนปเาํจารเ จในิสดัตรากะลแ งยแตโราก อ่ืชเมาวค หใราก กแดไ ทภเะรป2 นปเงบแ ลผุตหเหใราก ยวดกีอ ๆ งาตรตสาศงอขูรมาวคาหรากนใญัคาํส ยันรินบบแลผุตหเหใรากะลแ ยันปุอบบแลผุตหเ ( Inductive Reasoning ) ยันปุอบบแลผุตหเหใราก1.1 กาจดไ่ีทงิรจมาวคบพนครากกาจงัลหยาภลผปุรสราก งึถยามห ยันปุอบบแลผุตหเหใราก ูรมาวคนปเามปุรสทบาํนวลแ ๆยอยีณรกๆกุทกาจ ง้ัรคๆยาลหวลแามงอลดทรากอืรห ตกเงัสชใราก งิรจมาวคดึยยดโลผุตหเหใราก งึถยามห ยันปุอบบแลผุตหเหใราก ง่ึนหยันกีออืรห ปไว่ัทบบแ ญหในวสงิรจมาวคูสปไน็หเบพ่ีทยอยนวส ยันปุอบบแลผุตหเหใรากงายอวัต กตนัวะตศิทงาทกตะลแ กออนัวะตศิทงาทน้ึขยติทาองวดนัวๆ กุท: าวบพตกเงัสยษุนม1. อมสเกตนัวะตศิทงาทกตะลแ กออนัวะตศิทงาทน้ึขยติทาองวด: าวปุรสงึจ ง้ัรคกุทยวดามยาชยุกนตีมะจยทไดัผวย๋ีตเยวกอ้ืซปไมแณุค่ีทง้ัรคกุท าวบพ ีรทนุส2. ยาชยุกนตีมงอตยทไดัผวย๋ีตเยวก าวปุรสงึจ ยอนติลผลผดไะจน้ันป กามกอมหีมดใปาถ าวบพปยาลหามตกเงัสงวมะมนวสวาช3. งอลดทนคยาลหนวสวาชีมามอต ยอนติลผลผหใาํท่ีทุตหเาสนปเกอมหาวปุรสงึจาขเ น้ึขกามติลผลผดไะจาวบพ ๆกามกอมหีมอ่ืมเ งวมะมอชงาลาํ้นดีฉ น้ึขกามติลผลผดไหใาํทะจ ๆกามกอมหีมนอตงวมะมอชงาลราก าวปุรสงึจ

61 จใยาบสมาวคีมะจีดมาวคาํท่ีทง้ัรคกุท าวบพ ิตับมสยาน4. จใยาบสมาวคดิกเหใาํทะจีดมาวคาํทราก าวลผปุรสงึจ รตสาศติณคงาทยันปุอบบแลผุตหเหใรากงายอวัต นวนาํจงอสูคนวนาํจงอขกวบลผบักวย่ีกเลผปุรสยันปุอบบแลผุตหเหใรากชใงจ1. )ูคนวนาํจ0+2 = 2 ( )ูคนวนาํจ2+4 = 6 ( )ูคนวนาํจ4+6 = 10 ( )ูคนวนาํจ6+8 = 14 ( )ูคนวนาํจ8+10 = 18 ( ูคนวนาํจนปเนวนาํจงอสูคนวนาํจงอขกวบลผ าวลผปุรส 2. 11×11 = 121 11×111 = 12321 1111×1111 = 1234321 11111×11111 = 123454321 3. (1 × 9) + 2 = 11 (12 × 9) + 3 = 111 (123 × 9) + 4 = 1111 (1234 × 9) + 5 = 11111 ตกเงัสอข ปไอมสเงิรจมไะจจาอยันปุอบบแลผุตหเหใรากงอขปุรสอข1) ปุรสูผงอขณรากบสะรปบักูยอน้ึขจาอยันปุอบบแลผุตหเหใรากงอขลผปุรสราก2) นักนอืมหเงอตนปเาํจมไยันปุอบบแลผุตหเหใรากกาจดไ่ีทปุรสอข3)  a = 8ดไะจa นวนาํจ าหงจ2, 4, 6 , a นวนาํจ ดนหาํก1. งายอวัต a นวนาํจ าหงจ2, 4, 6 , a นวนาํจ ดนหาํก2. 4 + 6 = 10 าวะารพเ a = 10 ดไะจ  a = 22ดไะจa นวนาํจ าหงจ2, 4, 6 , a นวนาํจ ดนหาํก3. 22 = (4 × 6)-2 ะลแ6 = (2 × 4)-2 าวะารพเ

62 ดไดาลพดิผ จาอยันปุอบบแลผุตหเหใรากงอขปุรสอข4) 2  F(n) = n - 79n + 1601หใ งายอวัต F(n) นใn บันนวนาํจาคนทแงอลดท ะาพฉเนวนาํจนปเ F(1) = 1523 ดไn = 1 ะาพฉเนวนาํจนปเ F(2) = 1447 ดไn = 2 ะาพฉเนวนาํจนปเ F(3) = 1373 ดไn = 3 ∴ F(n) = n - 79n + 1601 2 ะาพฉเนวนาํจนปเ F(79) ดไn = 79 นทแง่ัทะรกนจ ๆยอ่ืรเปไn าคนทแ บันนวนาํจกุทบัรหาํส ะาพฉเนวนาํจนปเn - 79n + 1601 าวดไปุรสจาอ วาลกงัดงอลดทรากกาจ 2  F(n) = n - 79n + 1601ตแ 2 2 F(80) = 80 - (79)(80) + 1601 = 1681 = (41)(41) ะาพฉเนวนาํจนปเมไ∴ F(80)

63 1 ่ีทดัหกฝบบแ ้ีนปไอตงาวงอชนใงลบอตาํคมิตเงจ 1) 1,4,9,16,  ,  ,49, 64,  ,  2) 2,7,17,  ,52 ,  ,  3) 5,10,30,120,  ,  12345679 × 9 = 111111111 าถ4) 12345679 × 18 = 222222222 12345679 × 27 = 333333333 12345679 ×  = 12345679 ×  = 999999999 2 = 2 าถ5) 2+4 = 6 2+4+6 = 12 2+4+6+8 = 20 2+4+6+8+ = 30 2+4+ +8+ + 12 =  2+ + +8+ 12+14 =  2+ + +8+ +12+14+ = 

64 (Deductive reasoning) ยันรินบบแลผุตหเหใราก1.2. ูร่ีทง่ิสนปเง่ึซ มายินทบอืรห ฏก งลกตอข อ่ืชเมาวคนปเจาอ่ีทนาฐน้ืพูรมาวคาํนราก นปเ ปุรสอขูสปไาํนลผุตหเาหอ่ืพเ งิรจนปเาวบัรมอยะลแนอกาม ะาพฉเ งึถงึนาํคะจตแ จ็ทเมาวคอืรหงิรจมาวค งึถงึนาํคดไมไ ยันรินบบแลผุตหเหใราก น้ันาทเดไามกอองอต่ีทปุรสอข ้ีนงัดพาภนผแกาจ ยันรินบบแลผุตหเหใรากรากนวบะรกาณราจิพ ยันรินบบแลผุตหเหใรากงายอวัต วัตงล2 ยวดราห่ีทนวนาํจงึถยามหูคนวนาํจ1) ุตหเ1. วัตงล2 ยวดราห2) 10 ูคนวนาํจนปเ10 ลผ ีฐษรศเนปเ ทาบนาล10 าวกกามราคานธนใกาฝนิงเีมะลแนิส้ีนหีมมไ่ีทนค1) ุตหเ2. ทาบนาล11 ราคานธนใกาฝนิงเีมะลแนิส้ีนหีมมไะนามณุค2) ีฐษรศเนปเะนามณุค ลผ

65 ีดพาภขุสีมงอตะจนคกุทงจแรากาฬีกกัน1) ุตหเ3. ยทไิตาชมีทลอบตุฟกันนปเ์ิดกัศิตรยีกเ2) ีดพาภขุสีม์ิดกัศิตรยีกเ ลผ ปุรสอขาหงึจวลแ นอกงายองาบงิรจมาวคอืรหนาฐน้ืพูรมาวคบัรมอยรากาวน็หเะจงายอวัตกาจ งายอดไลผปุรสรากนปเอ่ืมเอต็กงอตกูถะจลผปุรสราก ลผ าวกยีรเง่ึซ น้ันวลแบัรมอย่ีทง่ิสกาจ นชเ(valid) ลผมสุตหเมส าํ้นยอลาํลกุทอืรเ1) ุตหเ ดไาํ้นยอลกิตสาลพาํ้นงัถ2) อืรเนปเกิตสาลพาํ้นงัถ ลผ ารเ่ีทรากตแ งิรจนปเะจอขงอสง้ัทุตหเอืรหงาออขาวมแ ลผมสุตหเมสมไนตงาขกาจลผปุรสราก นใปุรสอข ปไอมสเอืรเนปเงอตะจดไาํ้นยอล่ีท ๆน่ือง่ิสาวมาวคยามหดไมไ็กดไาํ้นยอลาํลกุทอืรเ าว บารท ลผมสุตหเมสมไ่ีทปุรสรากนปเงึจนตงาขงายอวัต ตกเงัสอข งิรจนปเลผ ะลแ งิรจนปเุตหเ1. าข6 ีมวัตกุทมุมงมแ ุตหเ กปีมวัตกุท าข6 ีม่ีทวตัสะลแ กปีมวัตกุทมุมงมแน้ันงัด ลผ จ็ทเนปเลผ ะลแ จ็ทเนปเุตหเ2. ง่ึนห่ีทลัวงาร่ีรอตเตอลกูถาํดยานาถ ุตหเ ยามกามนิงเีมะจาํดยาน ง่ึนห่ีทลัวงาร่ีรอตเตอลกูถมไาํดยานตแ กามมไนิงเีมาํดยานน้ันงัด ลผ จ็ทเนปเจาอลผะลแงิรจนปเจาอุตหเ3. ปไอมสเงิรจนปเงอตะจปุรสอขาวนักะรปดไมไลผมสุตหเมสปุรสลผ4.

66 2 ่ีทดัหกฝบบแ มไอืรหลผมสุตหเมสาวดไ่ีทลผบอสจวรตงจ อไงอตดัวหขไนปเ่ีทนคกุทนค1. ุตหเ1) อไีนุมอ่ืชนค2. ดัวหขไนปเีนุม ลผ นทดอนคนปเนคกุทานวาช1. ุตหเ2) านวาชนปเีมยาน2. นทดอนคนปเีมยาน ลผ ดไนิบะจกปีมวตัส1. ุตหเ3) กปีมวตัสนปเศทเกอจะรกกน2. ดไนิบศทเกอจะรกกน ลผ วัตงล3 ยวดราหะจ วัตงล9 ยวดราห่ีทม็ตเนวนาํจ1. ุตหเ4) วัตงล3 ยวดราห2. 15 วัตงล9 ยวดราห15 ลผ าขีมมไดินชงาบมนยวดกูลงย้ีลเวตัส1. ุตหเ5) าขีมมไูง2. มนยวดกูลงย้ีลเวตัสนปเูง ลผ

67 รอลเยออ- นนวเงอขพาภนผแชใยดโลผุตหเงาอราก2 ่ีทงอ่ืรเ ดไาขเ. 1707 - 1783 ศ.ค งาวหะรูยอติวีชีม ดนลแรอซเสิวสวาชรตสาศติณคกันนปเ รอลเยออ ยดโ ว็รเดวระลแ ยาง่ีทรากีธิวนปเง่ึซ มลกงว นชเ ดปปูรชใยดโลผมสุตหเมสมาวคบอสจวรตรากีธิวบพนค ้ีนงัดรากกัลหีม ตซเะลตแตซเนทแงวะลตแมลกงวนยีขเ1. นักวย่ีกเบาคหใมลกงวนยีขเ็กนักธนัพมัสตซเ2 ีมาถ2. นักกาจงาหกยแหใมลกงวนยีขเ็กนักธนัพมัสมไตซเ2 ตซเาถ3. รอลเยออ- นนวเพาภนผแชใยดโลผมสุตหเมสมาวคบอสจวรตรากงดสแงัผนผแ

68 ้ีนงัด บบแ6 ีมลผุตหเหใรากนใชใ่ีท รอลเยออ – นนวเพาภนผแะลแ ลผะลแุตหเอืรห มาวคอข

69 พาภนผแชใยดโลผุตหเหใรากงอขลผมสุตหเมสมาวคบอสจวรตราก งายอวัต าขงอสีม่ีทง่ิสนปเนคกุทนค1 : ุตหเ1. นคนปเนคกุทจวราํต2 : าขงอสีม่ีทง่ิสนปเนคกุทจวราํต ปุรสลผ 2 ุตหเกาจ1 ุตหเกาจ มวรพาภนผแ นปเนคกุทจวราํต\" าวงดสแ\" าข2 ีมง่ิส\" งอขงวนใูยอ\" จวราํต\" งอขงว าวน็หเะจพาภนผแกาจ ลผมสุตหเมส้ีนลผุตหเหใราก น้ันงัด หใดนหาํก่ีทปุรสลผบักงอลคดอสง่ึซ\" าขงอสีมนค วายนขีมวัตงาบขันุส1 : ุตหเ2. นัฉงอขขันุสนปเมอม2 : วายนขีม่ีทขันุสนปเมอม ปุรสลผ ลผมสุตหเมสมไ วายนขีม่ีทขันุสนปเมอม าว่ีทปุรสลผ น้ันงัด

70 3 ่ีทดัหกฝบบแ รอลเยออ – นนวเพาภนผแชใยดโ มไอืรหลผมสุตหเมสาวดไ่ีทลผบอสจวรตงจ นาบกอนกออมไ็กายีลทคแ กตนฝาถ1. ุตหเ1) กตนฝ2. นาบกอนกออมไายีลทคแ ลผ ดไรตษกเาขเบอสาขเวลแนยีรเนัยขยาชมสาถ1. ุตหเ2) ดไมไรตษกเาขเบอสยาชมส2. นยีรเนัยขมไยาชมส ลผ ดละจิมูภหณุอวลแน้ืชศากาอาถ1. ุตหเ3) กอมหดิกเวลแ ดลิมูภหณุอาถ2. น้ืชศากาอ3. กอมหดิกเะจ ลผ บลนวนาํจนปเอืรห กวบนวนาํจนปเ1. a ุตหเ4) กวบนวนาํจนปเมไ2. a บลนวนาํจนปเa ลผ าขงอสีมวัตงาบวมแ1. ุตหเ5) าขงอสีมวัตกุทงูยกน2. วมแนปเวัตงาบกน ลผ

71 5 ่ีททบ ชใปไาํนรากะลแิติมณกโีรตนวสารตัอ ญัคาํสะราส นักาทเะจนักาทเ่ีทมุมมาขงรตูยอ่ีทนาดงอขนวสารตัอ นักยาลคดใูคมย่ีลหเมาสปูราถ1. ้ีนงัดวไๆงาตาคดนหาํกกูถะจ นาด2 นาดวายมาวคนวสารตัอ ปูรกุทกาฉมุมมย่ีลหเมาสปูรนใ2. มุมมาขงรตนาดงอขวายมาวคงาวหะรนวสารตัอบักาทเะจ(sine) ดใมุมงอขนซไาค2.1 กาฉมุมมาขงรตนาดงอขวายมาวคบัก น้ัน มุมติชะรปนาดวายมาวคงาวหะรนวสารตัอบักาทเะจ(cosine) ดใมุมงอขนซไคโาค2.2 กาฉมุมมาขงรตนาดวายมาวคบัก งรตนาดงอขวายมาวคงาวหะรนวสารตัอ บักาทเะจ(tangent) ดใมุมงอขตนจเนทแาค2.3 ๆน้ันมุมติชะรปนาดงอขวายมาวคบักมุมมาข าวกยีรเtangent ะลแsine , cosine งอขบัลกนวส วลแ้ีนาค3 กัลหิติมณกโีรตนวสารตัอกาจกอน3. บัดาํลมาตcotangent ะลแcosecant , secant ถรามาส นวสารตัอะลตแงอขะาพฉเาคีม าศงอ60 ะลแ30,45 มุมงอขิติมณกโีรตนวสารตัอ4. ดไนจูสิพ ะลแ ณษกัลญัสคยโะรปนปเหใยทจโาหญปนย่ีลปเรากยดโาํทะจ งอขวย่ีกเ่ีทยทจโาหญปกแราก5. งาทะยะรดัวรากบักวย่ีกเาหญปกแชใปไาํนรากะาพฉเยดโบอตาํคาหยวชรากนใิติมณกโีรตนวสารตัอชใ งูสมาวคะลแ งัวหดาค่ีทูรนยีรเรากลผ ดไิติมณกโีรตนวสารตัอาคาหรากยาบิธอ1. ดไ60 ะลแ30 , 45 มุมงอขิติมณกโีรตนวสารตัอาคาห2. 0 0 0 ดไดัวรากะลแ งูสมาวค งาทะยะรบักวย่ีกเาหญปกแชใปไิติมณกโีรตนวสารตัอาํน3. าหอ้ืนเยาขบอข ิติมณกโีรตนวสารตัอ1 ่ีทงอ่ืรเ าศงอ60 ะลแ30, 45 มุมงอขิติมณกโีรตนวสารตัอ2 ่ีทงอ่ืรเ ดัวรากะลแ งูสมาวค งาทะยะรบักวย่ีกเาหญปกแชใปไ ิติมณกโีรตนวสารตัอาํนราก3 ่ีทงอ่ืรเ

72 ิติมณกโีรตนวสารตัอ1 ่ีทงอ่ืรเ ธนัพมัสมาวคาหยดโ ๆ งาตมย่ีลหเมาสปูรดัวรากยวดาว รตสาศติณคงอขง่ึนหงนขแนปเ นางะลแ อืรเนิดเราก รตสาศาราดาชิวอตญัคาํสมาวคีม มย่ีลหเมาสปูรงอข่ีทน้ืพะลแ มุม นาดงาวหะร าชิวบัรหาํสกามนชยโะรปีม าํ้นมแงอขงาวกมาวคาหะลแ าขเูภงอขงูสงสณวนาํครากนใชใจวราํส งยีสเ งสแ นชเ น่ืลคนปเพาภสีมง่ึซ ุถตัวบักวย่ีกเาษกึศรากะลแ รตสาศมรรกวศิว รตสาศายทิว ุยทิวะลแาฟฟไก็ลหเมแ ้ีนนยีรเทบนใชใามาํนงอต่ีทมิดเูรมาวค ยาลคมย่ีลหเมาสิตับมส1. ้ีนงัด ูค3 นักาทเมุมงอขดานขีม่ีทปูรงอสมย่ีลหเมาสปูราณราจิพ ปูรงัด นักยาลคะจ้ีนปูร2 มย่ีลหเมาส วลแ ูค3 ง้ัทมุมอตมุมนักาทเมุมีม ปูร2 มย่ีลหเมาสปูราถ B Y c a z x b X Z A C y 2 ่ีทปูร1 ่ีทปูร ปูรกาจ ˆ A = X , B = Y , C = Z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ปูร งอขนักยาลครากิตับมสกาจะลแXYZ มย่ีลหเมาสปูรบักยาลคABC มย่ีลหเมาสปูร น้ันงัด อืคามมาตลผดไะจมย่ีลหเมาส a = b = c อืรหAB = BC = AC XY YZ XZ x y z ABC มย่ีลหเมาสนใบัดาํลมาตAC ะลแAB, BC นาดงอขวายมาวคนปเa,b,c อ่ืมเ XYZ มย่ีลหเมาสนใบัดาํลมาตXZ ะลแXY,YZ นาดงอขวายมาวคนปเx,y,z

73 b x a = าวดไะจa = กาจ x y b y y c b = าวดไะจb = y z c z c x a = าวดไะจa = x z c z ปูรงอขนาดงอสนาดงอขวายมาวคงอขนวสารตัอ นักยาลคปูรงอสมย่ีลหเมาสปูรีมาถ อืคน่ัน ยดโ ง่ึนหปูรกีอมย่ีลหเมาสปูรงอขนาดงอสนาดงอขวายมาวคงอขนวสารตัอบักาทเะจ ง่ึนหปูรมย่ีลหเมาส นักาทเ่ีทมุมบักมาขงรตูยอนักยันมส่ีทนาดนปเงอตะจน้ันวายมาวคาห่ีทมย่ีลหเมาสปูรงอขนาด่ีท กาฉมุมนปเมไ่ีทมุมีมง่ึซ กาฉมุมมย่ีลหเมาสปูรนปเงอสง้ัทมย่ีลหเมาสปูราถ นักวยีดเงอนาํทนใ ปูรงัดX มุมบักาทเA มุมนปเาวิตมมสนักาทเ B c z Y a x A b C X y Z  )ูค3 ง้ัท มุมอตมุมนักาทเมุมีม( นักยาลค้ีนปูรงอสมย่ีลหเมาสปูร าวบพ z a = x , a = x , c = าวดไะจน้ันงัด c z b y b y มย่ีลหเมาสปูราถ มาต็กก็ลเอืรหญหใดานขีมะจวาลกงัดมย่ีลหเมาสปูราวมไ ปุรส ง่ึนหปูรมย่ีลหเมาสปูรงอขนาดงอสนาดงอขวายมาวคนวสารตัอ วลแนักยาลคปูรงอสง้ัท ยันมส่ีทง่ึนหปูรกีอมย่ีลหเมาสปูรงอขนาดงอสนาดงอขวายมาวคงอขนวสารตัอบักาทเะจ ) นักาทเ่ีทมุมบักมาขงรตูยอ่ีทนาดนปเงอต้ีนงึถวาลก่ีทนาด( อมสเนัก

74 กาฉมุมมย่ีลหเมาสิตับมส2. งรตนาดงอขวายมาวคนปเa , b , c ีมะลแC ่ีทกาฉมุมีม่ีท กาฉมุมมย่ีลหเมาสปูรนปเ ABC หใาถ บัดาํลมาตC ะลแA , B มุมมาข c a b กาฉมุมมาขงรตนาด าวกยีรเ ยวนหc วายกาฉมุมมาขงรตูยอ่ีทนาดนปเAB นาด A มุมมาขงรตนาด าวกยีรเ ยวนหa วายA มุมมาขงรตูยอ่ีทนาดนปเBC นาด A มุมดิชะรปนาด าวกยีรเ ยวนหb วายB มุมมาขงรตูยอ่ีทนาดนปเAC นาด กาฉมุมนปเ มุมีมง่ึซ กาฉมุมมย่ีลหเมาสปูรนปเABC าถ กาฉมุมมาขงรตนาดวายมาวคนทแc กาฉมุมบอกะรปนาดงอขวายมาวคนทแb ะลแa ้ีนปไอตงัดกาฉมุมมย่ีลหเมาสปูรงอขมาสง้ัทนาดงอขวายมาวคงาวหะรธนัพมัสมาวคดไะจ c = a + b 2 2 2 A มุมมาขงรตนาดงอขวายมาวคนทแa อ่ืมเ B มุมมาขงรตนาดงอขวายมาวคนทแb C มุมมาขงรตนาดงอขวายมาวคนทแc

75 สัรกโาทปทบีฎษฤท บักวย่ีกเูรรวคอข มุมบอกะรปนาดะลแกาฉมุมมาขงรตนาดงาวหะรธนัพมัสมาวคบักวย่ีกเาวคนคาษกึศดไสัรกโาทป าทปทบีฎษฤทกแดไ ง่ึนหทบดุส่ีทงยีสเอ่ืชีมะลแกแากเ่ีททบีฎษฤทนปเง่ึซ กาฉมุมมย่ีลหเมาสงอขกาฉ าวมาวคจใีมง่ึซ สัรกโ กาฉมุมมาขงรตนาดนบสัรุตัจมย่ีลหเ่ีสงอข่ีทน้ืพ ๆดใกาฉมุมมย่ีลหเมาสนใ กาฉมุมบอกะรปนาดนบสัรุตัจมย่ีลหเ่ีส่ีทน้ืพงอขกวบลผบักาทเะจ ทบีฎษฤทมาต ้ีนปไอตกาฉมุมมย่ีลหเมาสปูรงอขนาดงอขวายมาวคงาวหะรธนัพมัสมาวคนยีขเงจ งายอวัต สัรกโาทปงอข 1). a 3 5 a 2). 12 13

76 สัรกโาทปทบีฎษฤทมาตกาฉมุมมย่ีลหเมาสปูรงอขนาดวายมาวคงาวหะรธนัพมัสมาวคาณราจิพ าํทีธิว 5 = a 2 + 3 2 2 a 2 + 9 = 25 2 a 2 = 16 =a 4 น้ันงัด 2). 2 a 2 + 12 = 13 a 2 + 144 = 169 b 2 = 25 b = 5 น้ันงัด ิติมณกโีรตนวสารตัอ งรตนาดงอขวายมาวคนปเa , b , c ีมะลแC ่ีทกาฉมุมีม่ีทกาฉมุมมย่ีลหเมาสปูรนปเ ABC หใาถ บัดาํลมาตC ะลแA , B มุมมาข B c a A A b C กาฉมุมมย่ีลหเมาสปูรงอขนาดงอขวายมาวคกาจดิกเ่ีทนวสารตัอ อืค ิติมณกโีรตนวสารตัอ

77 a c อืรห กาฉมุมมาขงรตนาดงอขวายมาวคอตA มุมมาขงรตนาดงอขวายมาวคงอขนวสารตัอ1. A มุมงอข (sine) นซไ าวกยีรเ b c อืรห กาฉมุมมาขงรตนาดงอขวายมาวคอตA มุม ดิชะรปนาดงอขวายมาวคงอขนวสารตัอ2. A มุมงอข (cosine) นซไคโ าวกยีรเ a b อืรหA มุม ดิชะรปนาดงอขวายมาวคอตA มุมมาขงรตนาดงอขวายมาวคงอขนวสารตัอ3. A มุมงอข (tangent) ตนจเนทแ าวกยีรเ มย่ีลหเมาสปูรนใมลหแมุมนปเA อ่ืมเA งอขิติมณกโีรตนวสารตัอ าว้ีนมาสง้ัทนวสารตัอกยีรเ าวดไปุรสจาออืรหกาฉมุม A มุมม าขงรตนาด งอขวายมาวค sin A = กาฉมุมม าขงรตนาด งอขวายมาวค มุมA ดิชะรปนาด งอขวายมาวค cos A = กาฉมุมม าขงรตนาด งอขวายมาวค A มุมม าขงรตนาด งอขวายมาวค tan A = มุมA ดิชะรปนาด งอขวายมาวค ABC กาฉมุมมย่ีลหเมาสปูรดนหาํก งายอวัต 6 ้ีนปไอตาคาหงจ ปูรงัด มาสง้ัทนาดวายมาวคีม กาฉมุมนปเC มุมีม tan A ะลแ1. sin A, cos A tan B 8 ะลแ2. sin B, cos B ดไะจ สัรกโาทปทบีฎษฤทกาจ กาฉมุมนปเC มุมีม กาฉมุมมย่ีลหเมาสปูรนปเABC ดนหาํก าํทีธิว 2 2 AB = AC + BC าว 2 AC = 8 , BC = 6 าคนทแ 2 2 AB 2 = 8 + 6 น้ันงัด AB 2 = 64 + 36 AB 2 = 100 10 อืรหAB 2 = 10× 10 2 AB = 10 อืคน่ัน

78 A มุม่ีทาณราจิพรากยดโtan A ะลแsin A, cos A าคาห(1) A BC 6 3 มุมม าขงรตนาด งอขวายมาวค sin A = = = = AB 10 5 กาฉมุมม าขงรตนาด งอขวายมาวค AC 8 4 มุมA ดิชะรปนาด งอขวายมาวค cos A = = = = AB 10 5 กาฉมุมม าขงรตนาด งอขวายมาวค A BC 6 3 มุมม าขงรตนาด งอขวายมาวค tan A = = = = AC 8 4 มุมA ติชะรปนาด งอขวายมาวค B มุม่ีทาณราจิพรากยดโtan B ะลแsin B, cos B าคาห(2) B AC 8 4 มุมม าขงรตนาด งอขวายมาวค = AB = 10 = 5 กาฉมุมม าขงรตนาด งอขวายมาวคsin B = BC 6 3 มุมB ดิชะรปนาด งอขวายมาวค cos B = = = = AB 10 5 กาฉมุมม าขงรตนาด งอขวายมาวค B AC 8 4 มุมม าขงรตนาด งอขวายมาวค tan B = = = = BC 6 3 มุมB ติชะรปนาด งอขวายมาวค าวดไะจวลแกาฉมุมนปเC มุมีม่ีทกาฉมุมมย่ีลหเมาสปูรนปเABC าถ ตกเงัสอข ˆ ˆ 0 1. A + B = 180 − C ˆ = 180 − 90 = 90 0 0 0 2. sin A = cos B 3. cos A = sin B

79 1 ่ีทดัหกฝบบแ มย่ีลหเมาสปูรงอขวายมาวคงอขธนัพมัสมาวคนยีขเงจ ้ีนปไอตหใดนหาํก่ีทกาฉมุมมย่ีลหเมาสปูรกาจ1. อืลหเ่ีทนาดงอขวายมาวคาหะลแ สัรกโาทปทบีฎษฤทชใยดโกาฉมุม (1) (2) 0 ปูรงัด มาสง้ัทนาดงอขวายมาวคะลแC ˆ = 90 ีม กาฉมุมมย่ีลหเมาสปูรนปเABC ดนหาํก2. tan A ะลแ1) sin A , cos A าหงจ tan B ะลแ2) sin B , cos B B

80 ตนจเนทแอืรห(cos) นซไคโอืรห(sin) นซไาคนปเ ้ีนปไอตหใดนหาํก่ีทิติมณกโีรตนวสารตัอาวาหงจ3. หใดนหาํก่ีทมุมงอข(tan) AC = 8 ะลแAB = 10 นาดีม กาฉมุมนปเC มุมีมยดโ กาฉมุมมย่ีลหเมาสปูรนปเABC ดนหาํก4. BC นาดวายมาวค1 ) าหงจ tan A ะลแ2) sin A , cos A tan B ะลแ3) sin B , cos B มุมA, มุมมาขงรตนาดวายมาวคนปเa,b,c ะลแ กาฉมุมนปเC มุมีมยดโABC มย่ีลหเมาสปูรหใดนหาํก5. บัดาํลมาตC มุมะลแB b,c าคาหงจcot A = 3 , a = 5 าถ(1) 3 tan A าคาหงจa = 9 ะลแcos B = าถ(2) 5

81 าศงอ30 ,45 , 60 มุมงอขิติมณกโีรตนวสารตัอาคาหราก2 ่ีทงอ่ืรเ าศงอ60 มุมงอขิติมณกโีรตนวสารตัอาคาหราก ้ีนงัด ยวนห2 ะลนาดวายนาดีมABD าทเนาดมย่ีลหเมาสปูราณราจิพ A B 0 0 30 30 0 30 2 2 2 B 60° 60° D A 60° C 1 C 1 1 ่ีทBD บักกาฉง้ัตะจA มุมง่ึรคงบแนสเA มุม ง่ึรคงบแAC กาลABD าทเนาดมย่ีลหเมาสปูรกาจ ะลแ ปูรงัด ยวนห BC = CD = 1 ดไะจADC ะลแABC ยาลคมย่ีลหเมาสงอขิตับมสงอขกัลหชใยดโC ดุจ กาจ ้ีนงัดดไสัรกโาทปงอขิตับมสณุคชใABC กาฉมุมมย่ีลหเมาสปูร B 2 2 AB = AC + BC 2 30 0 2 2 2 2 2 = 1 + BC 2 4 = 1 BC+ BC 2 = 4 − 1 60° BC 2 = 3 A C 1 BC = 3 BC = 3 นาด าวดไะจ Sin 60 = 3 น้ันงัด 0 2 1 Cos 60 = 0 2

82 Tan 60 = 3 = 3 0 1 นักวยีดเงอนาํทนใ าศงอ30 มุมงอขิติมณกโีรตนวสารตัอาคาหราก 1 Sin 30 = น้ันงัด 0 2 Cos 30 = 3 0 2 Tan 30 = 1 0 3

83 ้ีนงัด ญัคาํส่ีทิติมณกโีรตงอขนวสารตัอ ปุรส 1 sin 30 = cos 30 = 3 tan 30 = 1 อืคน่ัน 0 0 0 2 2 3 1 1 1 0 sin 45 0 = cos 45 0 = tan 45 = = 1 2 2 1 3 1 3 0 0 0 sin 60 = cos 60 = tan 60 = = 3 2 2 1

84 นาฐน้ืพมุมงอขิติมณกโีรตาคาํจรากนใยวชอืมว้ินชใราก ูรมาวคด็รกเ ยาซอืมชใงอต อืมว้ินชใยดโนาฐน้ืพิติมณกโีรตาคาํจราก ้ีนปไอตงัดนอตน้ัขีม อืควาลกนาฐน้ืพมุมงอขิติมณกโีรตาคาํจชใ้ีนรากีธิว มุมนปเ าวขปไยาซกาจงยีรเว้ินบักูคบัจมุมขลเงอม ามกออยาซอืมบแ1. าศงอ ้ีชว้ินอง็ก ้ีชว้ินบักงรตะจ็กcos าหาวิตมมส น้ันว้ินองหใดใมุมงอขิติมณกโีรตาคาหรากงอตอ่ืมเ2. วไบ็กเ ดในัชกงฟงอขาคาหอ่ืมเ)\" นักนอืมหเ/k/ งยีสเกออ(าวข) cos-นักยาลคงยีสเกออ(ยาซ\"sin- าวฎกอืถ3. น้ันนัชกงฟบักงอลคดอส่ีทงฝอืมว้ินนวนาํจจในสหใ ีมาวาํจจาออืรห( งอสยวดราหวลแงอส่ีทการดิตจในส่ีทนาดอืมว้ินนวนาํจาํน าคาหะจอ่ืพเo จในส่ีทนาดอืมว้ินนวนาํจงอขงอส่ีทการ นปเะจ็กนาออ่ืมเ อืมาฝนบูยอๆญหใวัตงอสขลเ งาน งาลก( ว้ินมาสกีอาวขนาดงาทูยออืลหเอืมว้ินีมาวดไะจ็กcos 30 บัรหาํส) อืมาฝราห sin บักน้ันนัชกงฟงอขิตับมสชใ็กน่ือิติมณกโีรตนัชกงฟบัรหาํส cos30= ดไะจ็ก) ยอก tan=sin/cos นชเcos ะลแ

85 งาราตกาจดไาห3 ) ่ีทงนหแาํตมยินศทงึถ (ตนจเนทแะลแ นซไคโ นซไงอขณามะรปยดโาค ูยอาคีมะจ90 ะลแ0 งาวหะรูยอาคีม่ีทมุมงอข ตนจเนทแะลแ นซไคโ นซไงอขาค่ีทยดโ ้ีนปไอต 0 0 1 ะลแ0 งาวหะร

86 ้ีนปไอตหใดนหาํก่ีทมย่ีลหเมาสปูรกาจa, b งอขาคาหงจ งายอวัต BC sin 32 0 = าํทีธิว AB 0 BC = a , AB = 10 ะลแsin 32 = . 0 530 าคนทแ อืคน่ัน530.0 = a น้ันงัด 10 =a 10× . 0 530 =a 3 . 5 ้ีนปไอตาคาหงจ sin 45 0 0 . 1 − tan 45 cos 45 0 0 0 . 2 sin 30 0 sin 60 + cos 30 0 cos 60 2 2 . 3 (cos 30 0 ) (sin+ 30 0 ) 0 0 0 0 0 . 4 tan 2 30 + 2 sin 60 + tan 45 − tan 60 + cos 2 30 0 0 0 0 0 . 5 cos 60 − tan 2 45 + 4 tan 2 30 + cos 2 30 − sin 30 3 าํทีธิว 1 sin 45 0 2 1 2 0 . 1 − tan 45 = − 1 = × − 1 = 1 - 1 = 0 cos 45 0 1 2 1 2  1   3   3   1  3 3 2 3 3 0 . 2 sin 30 0 sin 60 + cos 30 0 cos 60 =     +      = + = = 0     2    2    2   2  4 4 4 2   2 2 2  . 3 (cos 30 0 ) (sin+ 30 0 ) =    3  2 +  1   = 3 + 1 = 4 = 1    2   2  4 4 4 2 . 4 tan 2 30 + 2 sin 60 + tan 45 − tan 60 + cos 2 30 =   1  2 + 2  3  + 1− 3   3   0 0 0 0 0  +         3   2   2  1 3 = + 3 + 1− 3 + 3 4 25 = 12 4 1 4  1  2  3  2 1 . 5 cos 60 − tan 2 45 + tan 2 30 + cos 2 30 − sin 30 = − ( ) 1 +   +   − 0 0 0 0 0 2 3 2 3   3     2   2 1 4 3 1 = − 1+ + − 2 9 4 2 = 7 36

87 ๆน่ือิติมณกโีรตนวสารตัอ ะลแ นซไคโ นซไ าวกยีรเ่ีทกาฉมุมมย่ีลหเมาสปูรงอขนาดงอขวายมาวคงอขนวสารตัอ งนขแรตสาศติณคนในตงอ้ืบเกัลหนปเง่ึซ(Trigonometric ratio) ิติมณกโีรตนวสารตัอาวกยีรเ ตนจเนทแ มย่ีลหเมาสปูรบักวย่ีกเดัวรากงึถยามห(Trigonometry) ิติมณกโีรต าวกยีรเ่ีท ง่ึนห ้ีนงัด มายินทบยวดดนหาํกง่ึซ นวสารตัอ3 กีอิติมณกโีรตนวสารตัอีม อ่ืมเcos A งอขบัลกนวสอืคsec A อืรหsecant A ยวดนทแนยีขเA มุมงอขตนคแีซ1. cos A ≠ 0 อ่ืมเsec A = 1 อืคน่ันcos A ≠ 0 cos A อ่ืมเsin A งอขบัลกนวสอืคcosec A อืรหcosecant A ยวดนทแนยีขเA มุมงอขตนคแีซคโ2. sin A ≠ 0 อ่ืมเcosec A = 1 อืคน่ันsin A ≠ 0 sin A อ่ืมเtan A งอขบัลกนวสอืคcot A อืรหcotangent A ยวดนทแนยีขเA มุมงอขตนจเนทแคโ3. tan A ≠ 0 อ่ืมเcotangent A = 1 อืคน่ันtan A ≠ 0 tan A

88

89 2 ่ีทดัหกฝบบแ ้ีนปไอตาคาหงจ1. 1) sin 30 0 sin 60 − cos 30 0 cos 60 0 0 2) (sin 60 0 ) (cos+ 60 0 ) 2 2 3) 1− tan 45 0 งาราตกาจ้ีนปไอติติมณกโีรตนวสารตัอาคาหงจ2. 1) sin 20 0 2) sin 38 0 3) cos 50 0 4) cos 52 0 5) tan 77 0 6) tan 89 0 ปูรงัด กาฉมุมนปเC มุมีม กาฉมุมมย่ีลหเมาสปูรนปเ ABC หใ3. cos B, sin B, tan B, sec B, cosec B, cot B าหงจ ้ีนปไอตมย่ีลหเมาสปูรกาจc อืรหa, b าคาหงจ4. (1)

90 (2) (3) มุมA, มุมมาขงรตนาดวายมาวคนปเa,b,c ะลแ กาฉมุมนปเC มุมีมยดโABC มย่ีลหเมาสปูรหใดนหาํก5. บัดาํลมาตC มุมะลแB b,c าคาหงจcot A = 3 , a = 5 าถ(1) 3 tan A าคาหงจa = 9 ะลแcos B = าถ(2) 5

91 ะลแงูสมาวคะลแงาทะยะราหบักวย่ีกเาหญปกแชใปไิติมณกโีรตนวสารตัอาํนราก3 ่ีทงอ่ืรเ ดัวราก ดใมุมาคบารท่ีทยดโงูสนวสอืรหงาทะยะร วายมาวคาหรากนใกามนชยโะรปีมิติมณกโีรตนวสารตัอ ดไอืลหเ่ีทนาดาหถรามาสะจวลแ กาฉมุมมย่ีลหเมาสปูรงอขง่ึนหนาดดในาดงอขวายมาวคะลแ ง่ึนหมุม บารน้ืพวนแบักนานข่ีทนสเ อืค าตยาสบัดะรนสเ าตยาสบัดะราวกาํ่ตูยอ มุมงอขง่ึนหงาขนขแ่ีทมุม อืค มกมุม าตยาสบัดะรนสเาวกงูสูยอง่ึนหงาขนขแ่ีทมุม อืค ยงเมุม

92 ง่ึนหงอ่ืรคเ นิบงอ่ืรคเน็หเาขเ รตมเ100 งาทะยะรนปเง่ึนหงัลหนาบกาจงาหูยอนืยรพมส1 ่ีทงายอวัต กาจงูสูยอ นิบงอ่ืรคเาวาหงจ าศงอ60 ยงเมุมนปเงอมาขเ่ีทวนแะลแ ีดอพนาบาคงัลหอืนหเูยอนิบ รตมเ่ีกนิดน้ืพ 0 60 = 100 3 มุมมาขงรตนาดงอขวายมาวค อืคน่ัน 100 3 นิดน้ืพกาจงาหูยอนิบงอ่ืรคเงอขงูสมาวค าวดไน็หเะจ 60 0 มุมาํทดไนับาถ ีดอพงพแาํกบอขงึถดไนับยาลป งพแาํกบักูยอดาพ ตุฟ50 วายดไนับ2 ่ีทงายอวัต รไาทเงพแาํกกาจงาหูยอดไนับาวาหงจ งพแาํกบัก

93 มุม60 0 กาฉมุม ดิชะรปนาด งอขวายมาวคcos 60 0 = าํทีธิว มาขงรตนด งอขวายมาวค 0 มุม60 ดิชะรปนาด งอขวายมาวค1 = 2 50 50 0 60 = มุมติชะรปนาดงอขวายมาวค ดไะจ 2 ตุฟ25 บักาทเงพแาํกบักดไนับงาวหะระยะร น้ันงัด าตยาสดอทาขเอ่ืมเ รตมเ50 ลเะทาํ้นผบัดะรกาจงูสง่ึซ ง่ึนหงหแนัชงูสาผานหนบูยอนืยรพมส3 ่ีทงายอวัต งฝกาจงาหูยอ้ีนาํลอืรเ าศงอ30 ดานขีมบัดะรนสเบักาํทาตยาสวนแ่ีทมุม ลเะทงาลกง่ึนหาํลอืรเงัยปไ รตมเ่ีกณามะรปยดโ าํทีธิว ูยอนืยรพมส่ีทงนหแาํตนปเ A หใ รตมเ50 อืค าผานหงอขลเะทาํ้นกาจงูสมาวคะยะรนทแAC งฝกาจงาหูยออืรเ่ีทะยะรนปเBC ˆ 0  BC ˆ A = D A B = 30ดไะจAD // BC กาจ กาฉมุมมย่ีลหเมาสปูรนปเABC AC tan 30 0 = น้ันงัด BC 1 = 50 3 BC BC = 50 3 ≈ 50× . 1 732 BC ≈ 86 6 .

94 3 ่ีทดัหกฝบบแ าํท มไนตดอยะลแ มไนตางเงอขยาลปนาผกาล่ีทงรตนสเงอขวนแ รตมเ20 วายางเดอทง่ึนหนตมไนต1. มไนตงอขงูสมาวคาหงจ มไนตงอขางเบัก าศงอ30 มุม งธาสเดอย่ีทปไง็ลเรากนใชใอ่ืพเ าศงอ45 ดานขมุมาํทงึจ นยีรเงรโงธาสเงอขงูสมาวคาหรากงอตยันิว2. ีมยันิว รตมเ16 งธาสเนคโงาหูยอง่ึซดุจ่ีทูยอปไวากอ่ืมเ ีดอพดไงธาสเดอย่ีทปไงอมาขเน้ันง็ลเ่ีทะณขนใาถ รตมเ่ีกณามะรปงูสงธาสเาวาหงจ รตมเิตนซเ160 งูสมาวค รตมเลโิก1 ุลพดุจ่ีทงนหแาํตกาจงาหนิดน้ืพนบณรากตกเงัสดุจดนหาํกยดโ ง่ิดวนแนใปไน้ึขุลพดุจ3. นปเณรากตกเงัสดุจกาจงาหูยอะลแ ดใาทเงูสปไน้ึขุลพ นิดน้ืพบัก าศงอ60 มุมาํทุลพน็หเงอม่ีทะณขนใ ดใาทเงาทะยะร

95 6 ่ีททบ ฑณัภติลผบบแกออรากะลแอืมงอ่ืรคเชใราก ญัคาํสะราส ติณคาขรเปูรงารสรากนใ ๆ งาตอืมงอ่ืรคเชใกอืลเราก1. ๆ งาตนางกันาํสราคาออืรห ยัศาอกัพ่ีทราคาอ ฑณัภุรคอืรหุดสัวบบแกออราก นัวาํจะรปติวีชนใ2. นอทะสรากะลแ นุมหราก นานขนอ่ืลเราก บบแปูรบักงอขวย่ีกเะจ น้ันาคนิสงอขาคลูมม่ิพเรากรากนใยวชนวสีมะจ จในสาน มางยวส ีด่ีทาคนิสงอขฑณัภุจรรบีมราก3. ดไ ๆ งัวหดาค่ีทูรนยีรเรากลผ ดไอืมงอ่ืรคเชใยดโติณคาขรเปูรงารส1. ราก นานขนอ่ืลเรากกาจดไ่ีทปูระลแ บบแนตปูรงาวหะรธนัพมัสมาวคยาบิธอะลแหะารคเิว2. ดไนุมหรากะลแนอทะส รตสาศติณคาขรเงาทงลปแรากกาจนอทะสรากะลแ นุมหราก นานขนอ่ืลเรากบักวย่ีกเิตับมสาํน3. ดไะปลิศนาง บบแกออรากนใชใปไ ติณคาขรเงาทะลแ าหอ้ืนเยาขบอข อืมงอ่ืรคเชใยดโติณคาขรเงาทปูรงารสราก1 ่ีทงอ่ืรเ ติณคาขรเงาทงลปแราก2 ่ีทงอ่ืรเ ะลแ รตสาศติณคงาทงลปแรากชใยดโะปลิศนางครรสงารสรากอ่ืพเบบแกออราก3 ่ีทงอ่ืรเ ติณคาขรเงาท

96 อืมงอ่ืรคเชใยดโติณคาขรเปูรงารสราก1 ่ีทงอ่ืรเ มไ กาฉมไ ก็ลหเตุฟ ดัทรรบมไ นชเ งรตนัสชใยดโดไงารสถรามาส ิติมงอสติณคาขรเปูร1.1 รากบอกะรปอ่ืพเ นยีวเงวชใ มุมงอขดานขอืรห มุมดัวอ่ืพเ รอตเกรทแรปโมไชใ วายมาวคดัวอ่ืพเ ีท รากงอต่ีทดานขีม่ีทมุมงารสรากนใยวชอืรห มลกงวบอรวายมาวคนทแ่ีทงคโนสเงารส ติณคาขรเปูรงาวหะรธนัพมัสมาวคะลแติณคาขรเปูรงอข ๆ งาติตับมส ๆ งาติตับมสนวทบทรวคนยีรเูผ ิติมงอสติณคาขรเปูรงารสรากนใจใาขเมาวคีมาษกึศกันหใอ่ืพเ ้ีนงัดิติมมาสะลแิติมงอสติณคาขรเปูรงอข าผนืผมย่ีลหเ่ีสปูร1. กาฉมุมนปเ่ีสง้ัทมุมีม1. นักนานขะลแูคงอสนักาทเวายนักมาขงรตูยอ่ีทนาด2. นักะลแนักง่ึรคงบแมุมงยแทนสเ3. วายนาดงอขวายมาวคx งาวกนาดงอขวายมาวค= าผนืผมย่ีลหเ่ีสงอข่ีทน้ืพ4. าผนืผมย่ีลหเ่ีสงอขปูรบอรวายมาวค5. ) วายนาดงอขวายมาวค) + ( 2 x งาวกนาดงอขวายมาวค= ( 2 x สัรุตัจมย่ีลหเ่ีสปูร2. กาฉมุมนปเ่ีสง้ัทมุม1. นักาทเวาย่ีสง้ัทนาด2. นักกาฉง้ัตะลแ นักะลแนักง่ึซง่ึรคงบแมุมงยแทนสเ3. 1 งอขณูคลผ× อืรห นาดวายมาวคx นาดวายมาวค= สัรุตัจมย่ีลหเ่ีสปูรงอข่ีทน้ืพ4. 2 มุมงยแทนสเวายมาวค

97 นานขนาดมย่ีลหเ่ีสปูร3. ูคงอสนักนานขะลแนักาทเวายนักงรตนาดีม1. นักาทเมไวายตแ นักะลแนักง่ึรคงบแมุมงยแทนสเ2. งูสนวสX นาฐวายมาวค= นานขนาดมย่ีลหเ่ีสปูรงอข่ีทน้ืพ3. นูปกยปเมนขมย่ีลหเ่ีสปูร4. ูคงอสนักนานขนักมาขงรตนาดีม1. นักาทเวาย่ีสง้ัทนาด2. นักกาฉง้ัตะลแ นักะลแนักง่ึซง่ึรคงบแมุมงยแทนสเ3. 1 วายมาวคงอขณูคลผ× อืรห งูสนวสx นาฐวายมาวค= นูปกยปเมนขมย่ีลหเมาสปูร่ีทน้ืพ4. 2 มุมงยแทนสเงอข

98 วาวปูรมย่ีลหเ่ีสปูร5. ูค2 นักาทเวายนักดิชะรปนาดีม1. นักกาฉง้ัตนสเงอสมุมงยแทนสเ2. นักาทเมไวายตแ นักะลแนักง่ึซง่ึรคงบแมุมงยแทนสเ3. 1 มุมงยแทนสเงอขวายมาวคงอขณูคลผ= × วาวปูรมย่ีลหเ่ีสปูรงอข่ีทน้ืพ4. 2 ูมหงาคมย่ีลหเ่ีสปูร6. ูค1 นักนานขนาดีม1. 1 งูสนวสX นานขูคนาดงอขวายมาวคงอขกวบลผ= × ูมหงาคมย่ีลหเ่ีสปูรงอข่ีทน้ืพ2. 2 มลกงวปูร7. มลกงวงอขีมศัร าวกยีรเ อมสเนักาทเ่ีทะยะรนปเงวบอรนสเงัยปไงาลกยนูศดุจงาทะยะร1. ีมศัรงอขาทเ2 นปเวายงาลกยนูศนาผนสเ2. = rπ มลกงว่ีทน้ืพ3. 2 2 rπ มลกงวงอขบอรนสเวายมาวค4.

99 ิติมมาสติณคาขรเปูร1.2 มาวคอืรห งูสมาวค วายมาวค งาวกมาวคง้ัทีมง่ึซงารปูรงดสแถรามาสิติมมาส ติณคาขรเปูร นชเ ิติมมาสติณคาขรเงรทปูรงายอวัต านห นชเ มย่ีลหเ่ีสปูรนปเงาขนาดวิผะลแนักนานขะลแนักาทเยาทวัหดัตานหีม่ีทิติมมาสปูรนปเ มึซิรป มย่ีลหเาหมึซิรป มย่ีลหเ่ีสมึซิรป มย่ีลหเมาสมึซิรป มย่ีลหเมาสปูรนปเงาขนาดวิผ มลหแดอยีม่ีทิติมมาสติณคาขรเปูรนปเ ดิมะรีพ งยีอเงูส มย่ีลหเมาสนาฐดิมะรีพ มย่ีลหเ่ีสนาฐดิมะรีพ กาฉมุมมย่ีลหเ่ีสงรทปูรนปเ น็ยเูต นชเ นัวาํจะรปติวีชนใน็หเบพ่ีทิติมมาสติณคาขรเปูรงายอวัต นตนปเ มลกยวรกปูรนปเ มีรกศอไ กอบะรกงรทปูรนปเ งอปะรกาลป มย่ีลหเ่ีสมึซิรปอืรห ธนัพมัสมาวคีม ิติมงอสะลแิติมมาสติณคาขรเปูระาพฉเยดโนัวาํจะรปติวีชนใบพ่ีทติณคาขรเปูร ะจน็หเงอม่ีทพาภบยีทเบยีรปเราก กนแาํจราก ธนัพมัสมาวคาหตกเงัสรากชใงอตง่ึซ กามงายอนัก นย่ีลปเรากีมอ่ืมเ หใดนหาํก่ีทง่ิสงอขงารปูราดเดาครากชใะลแ งาทะยะร งนหแาํต ดานขยาบิธอถรามาส ๆ งาตนาดนใงอมมุมอืรหงนหแาํต

100 มึซิรปปูร่ีลคราก นชเ ิติมงอสติณคาขรเปูรงอขพาภนปเะจดไ่ีทพาภ ิติมมาสติณคาขรเปูร่ีลคราก1.3 กาฉมุมมย่ีลหเ่ีสงรท มย่ีลหเ่ีสนาฐ ดิมะรีพปูร่ีลคราก ิติมมาสติณคาขรเปูรงาวขดัตราก1.4 ะจน้ึขดิกเ่ีทพาภ นัก ๆ งาตวนแนใิติมมาสติณคาขรเปูรงาวขดัตามิติมงอสติณคาขรเปูราํนอ่ืมเ นชเ นัก ๆ งาตะณษกัลีม มลกงวปูรนปเิติมงอสพาภดไะจ ยวรกนาฐบักนานขวนแนใบานะรยวดดัตอ่ืมเ มลกยวรก าลบโาลาพปูรนปเพาภดไะจ ยวรกนาฐบักกาฉง้ัตวนแนใบานะรยวดดัตอ่ืมเ มลกยวรก ีรงวนปเพาภดไะจ นาฐบักกาฉง้ัตมไะลแนาฐบักนานขมไ่ีทบานะรยวดดัตอ่ืมเ มลกยวรก