الرياضيات العلمي - الصف الثاني عشر

‫‪6‬ع ‪6� -‬س‬ ‫= نعهــ←ـ�ــسا‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫‪�6‬س ‪6 -‬ع‬ ‫ع �س‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫نهـــــا‬ ‫=‬ ‫ع←�س‬ ‫‪6-‬‬ ‫=‬ ‫‪�(6‬س ‪-‬ع)‬ ‫نهـــــا‬ ‫=‬ ‫ع �س(ع ‪� -‬س)‬ ‫�س‪2‬‬ ‫ع←�س‬ ‫‪ )4‬ابحث الم�شتقة عندما ‪� <2‬س < ‪5‬‬ ‫ق(�س ‪ +‬هـ) ‪ -‬ق(�س)َ‬ ‫هـ‬ ‫ق(�س) = نهـهـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫‪)1+‬‬ ‫(‪�3‬س‬ ‫‪-‬‬ ‫‪)1 +‬‬ ‫هـ)‬ ‫‪+‬‬ ‫نهـهـــ←ــ‪0‬ا ‪�(3‬س(‬ ‫=‬ ‫هـ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪�3‬س‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫هـ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪�3‬س‬ ‫نهـهـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫=‬ ‫هـ‬ ‫=‪3‬‬ ‫‪3‬هـ‬ ‫= نهـهــــ←ـ‪0‬ا‬ ‫هـ‬ ‫مما �سبق تجد �أ َّن‪:‬‬ ‫‪� <1 ،‬س < ‪2‬‬ ‫‪6-‬‬ ‫�س‪2‬‬ ‫َق(�س) =‬ ‫غير موجودة ‪� ،‬س = ‪5،2،1‬‬ ‫‪� <2 ،‬س < ‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪99‬‬

‫‪ )1‬ابحث في قابلية ا�صتقاق كل اقتران مما ي أاتي عند قيمة ( قيم) �س المبينة إازاء ك ٍّل منها‪:‬‬ ‫‪� ،‬س = ‪1‬‬ ‫�س‬ ‫=‬ ‫ق(�س)‬ ‫)‬ ‫أا‬ ‫�س ‪1 -‬‬ ‫ب) ع(�س) = (�س ‪� [)2 -‬س ] ‪� ،‬س = ‪2‬‬ ‫جـ) ل(�س) = [ ‪�2 - 3‬س ] ‪� ،‬س = ‪� ، 41‬س= ‪1 -‬‬ ‫�س‪�2 + 2‬س ‪� ≤ 0 ،‬س <‪3‬‬ ‫د ) ك(�س) = ‪�6‬س‪� ≤ 3 ، 3 -‬س ≤ ‪� 5‬س=‪� ، 0‬س= ‪� ،3‬س = ‪5‬‬ ‫‪� ،‬س ≠ ‪9‬‬ ‫�س ‪9 -‬‬ ‫‪� ،‬س = ‪9‬‬ ‫‪ )2‬اإذا كان ق(�س) = �س ‪3 -‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪� ،‬س ≤ ‪1‬‬ ‫فجد ق(‪ )9‬إان ُوجدت‪َ.‬‬ ‫�س‪2‬‬ ‫‪ )3‬إاذا كان هـ(�س) = ‪�2‬س ‪ +‬اأ ‪� ،‬س > ‪1‬‬ ‫اقترا ًانا قاب ًال لل�صتقاق عند �س= ‪َ ، 1‬فجد قيمة الثابت أا‪.‬‬ ‫‪�2-1-‬س ‪� ،‬س < ‪1-‬‬ ‫�س‪�≤1- ، 2‬س≤‪1‬‬ ‫‪ )4‬اإذا كان ق(�س) =‬ ‫�س ‪� ،‬س >‪1‬‬ ‫ابحث في قابلية الاقتران ق لل�صتقاق على مجاله‪ ،‬واكتب قاعدة ق(�س)‪َ.‬‬ ‫�س < ‪2‬‬ ‫‪ )5‬اإذا كان ع(�س) = �س‪�2-2‬س ‪،‬‬ ‫�س ≥ ‪2‬‬ ‫‪�2‬س ‪� -‬س‪، 2‬‬ ‫فابحث في قابلية الاقتران ع لل�صتقاق عند �س = ‪2‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪� ،‬س ≤ ‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ )6‬اإذا كان ق(�س) =‬ ‫‪� < 0 ،‬س<‪4‬‬ ‫‪� - 5‬س‬ ‫‪�1- 5‬س‬ ‫‪� ،‬س ≥ ‪4‬‬ ‫فابحث في قابلية الاقتران ق لل�صتقاق على مجاله‪ ،‬واكتب قاعدة ق (�س)‪َ.‬‬ ‫[ �س ] ‪� ≤1 ،‬س < ‪2‬‬ ‫‪ )7‬إاذا كان ق(�س) = | �س‪� ≤2 ، |3-‬س ≤ ‪4‬‬ ‫فابحث في قابلية الاقتران ق لل�صتقاق على مجاله‪ ،‬واكتب قاعدة ق(�س)‪َ.‬‬ ‫‪101‬‬

‫ﻗﻮاﻋﺪ اﻻﺷﺘﻘﺎق‬ ‫اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ Rules of Differentiation .äÉ≤à°ûŸG OÉéj’E ¥É≤à°T’G óYGƒb Ωóîà°ùJ .á©HGôdG á≤à°ûŸG ≈àM IÉ£©e äÉbÓY h äÉfGÎb’ É«∏©dG äÉ≤à°ûŸG óŒ .ájôFGódG äÉfGÎb’G äÉ≤à°ûe óŒ .áÑcq ôŸG äÉfGÎb’G ≠«n °Up á≤à°ûe OÉéjE’ á∏°ù∏°ùdG IóYÉb Ωóîà°ùJ .á«æª°V ábÓY á≤à°ûe óŒ (1)¥É≤à°T’G óYGƒb ‫أو ًﻻ‬ Differentiation Rules 1 n.4 = ¢S óæY (¢S)¥ óéan , |¢S| 3¢S = (¢S)¥ ¿Éc GPEG √ò¡H äÉ≤à°ûe OÉéjGE øs µdh ,∞jô©àdG ΩGóîà°SÉH ᣫ°ùH äÉfGÎbG á≤à°ûe OÉéjEG É≤k HÉ°S â°SQO Ö∏£àj 4 = ¢S óæY |¢S|3¢S = (¢S)¥ hCG (5 – ¢S6 + 3¢S ) = (¢S)¥ πãe äÉfGÎb’ á≤jô£dG .ádƒ£e ájÈL äÉ«∏ªY AGôLGE .Iöüàfl ¥ô£H á≤à°ûŸG OÉéjEG øe ∂浪`J óYGƒb º∏©àà°S ¢SQódG Gòg ‘ (1) IóYÉb n.ì ¢S πµd , Gôk Ø°U = (¢S)¥ ¿s ÉE a , âHÉK OóY `L å«M , `L = (¢S)¥ ¿Éc GPGE ¿ÉgÈdG ¿ƒµj á≤à°ûŸG ∞jô©J ΩGóîà°SÉH (`L- `L ) (¢S)¥ - (`g +¢S)¥ `g É`0``←``¡`gf = `g É0``←```¡`gf = (¢S) ¥ nGôk Ø°U = π«eh ,»≤aCG º«≤à°ùe `L = (¢S)¥ âHÉãdG ¿GÎbÓd ÊÉ«ÑdG π«ãªàdG ¿s ÉC H É«v °Sóæg áé«àædG √òg Ò°ùØJ .Gôk Ø°U =»≤a’C G º«≤à°ùŸG 102

‫‪1‬‬ ‫‪ 3‬فجد َق(�س) ‪َ ،‬ق(‪َ ،)1‬ق(‪)4 -‬‬ ‫إاذا كان ق(�س) =‬ ‫الحل‬ ‫ق (�س) = ‪ ،0‬لكل �س ح ؛ لاأ َّن ق(�س) اقتران ثابت‪َ.‬‬ ‫َق (‪َ ،0 = )1‬ق(‪0 = )4 -‬‬ ‫‪(2)IóYÉb‬‬ ‫إاذا كان ق(�س) = �سن ‪ ،‬حيث ن عدد �صحيح موجب ‪ ،‬فاإ َّن ق(�س) = ن �سن‪َ1-‬‬ ‫البرهان‬ ‫�سنحتا‪ ê‬الحقيقة الا‪JB‬ية ‘ البرهان‬ ‫ع ن – �س ن = (ع – �س) ( ع ن –‪ + 1‬ع ن –‪�2‬س ‪ +‬ع ن – ‪�3‬س‪ +... + 2‬ع �س ن – ‪� +2‬س ن –‪)1‬‬ ‫ق(ع) ‪ -‬ق(�س)‬ ‫ق(�س) = نعهـــــ←ــ�ـاس‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫( الم�صتقة الاأولى من التعريف)َ‬ ‫عن ‪� -‬سن‬ ‫= نعهـــ←ــ�ــسا‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫)‬ ‫‪ + ... +‬ع �سن –‪� + 2‬سن –‪1‬‬ ‫(ع ‪� -‬س) (عن –‪ + 1‬عن –‪� 2‬س ‪ +‬عن –‪� 3‬س‪2‬‬ ‫نعهـــ←ــ�ـاس‬ ‫=‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫= نعهـــ←ــ�ـسا (عن –‪ + 1‬عن –‪� 2‬س ‪ +‬عن –‪� 3‬س‪ + ... + 2‬ع �سن –‪� + 2‬سن –‪) 1‬‬ ‫= �سن –‪� + 1‬سن –‪� + 1‬سن –‪� + ... + 1‬سن –‪ 1‬ن من المرات‬ ‫= ن �سن –‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )3‬ق(�س) = �س‪12‬‬ ‫جد ق(�س) ثم جد ق(‪ )1-‬في ك ٍّل مما ي أاتي‪َ َ:‬‬ ‫‪103‬‬ ‫‪ )2‬ق(�س) = �س‬ ‫‪ )1‬ق(�س) = �س‪5‬‬

‫الحل‬ ‫‪َ ،‬ق (‪5 = )1-‬‬ ‫‪ )1‬ق (�س) = ‪� 5‬س‪4‬‬ ‫‪َ ،‬ق (‪1 = )1-‬‬ ‫‪ )2‬ق(�س) = ‪� × 1‬س‪ََ1 = 0‬‬ ‫‪َ ،‬ق (‪12- = )1-‬‬ ‫‪ )3‬ق (�س) = ‪� 12‬س‪َ11‬‬ ‫نحتا‪ ê‬اإيجاد م�صتقات اقترانات مكونة من جمع اأو طرح اأو �سرب أاو ق�صمة اقترانا ٍت‬ ‫ب�صيط ًاة‪� ،‬صنناق�س إايجاد هذه الم�صتقات في القواعد الاآتية‪.‬‬ ‫‪(3)IóYÉb‬‬ ‫إاذا كان ق اقترا اًنا قاب ًال لل�صتقاق عند �س‪ ،‬جـ عدد ثابت‪ ،‬وكان هـ (�س) =جـ ق(�س) ‪ ،‬ف إا َِّنن‪:‬‬ ‫الاقتران هـ (�س) قابل لل�صتقاق عند �س و أان هـ (�س) =جـ ق (�س)‪َ َ.‬‬ ‫البرهان‬ ‫هـ (ع) ‪ -‬هـ (�س)‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫جـ ق (ع) ‪ -‬جـ ق (�س)‬ ‫ع ‪� -‬سَ‬ ‫= نهعــــ←ـ�ــسـا‬ ‫هـ (�س) = نعهــــ←ـ�ـســا‬ ‫= جـ ق (�س)َ‬ ‫ق (ع) ‪ -‬ق (�س)‬ ‫= جـ نهعــــ←ـ�ـسـا‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫اأي اأ َّن م�صتقة عدد ثابت م†سرو اًبا في اقتران ي�صاوي العدد الثابت م†سرو اًبا في م�صتقة الاقتران‪.‬‬ ‫�س‪3‬‬ ‫‪ )3‬ق(�س) =‬ ‫‪3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫جد ق (�س) في ك ٍّل مما ي أاتي‪َ:‬‬ ‫‪ )1‬ق (�س) =‪�4‬س‪ )2 5‬ق(�س) = ‪� -‬س‪6‬‬ ‫الحل‬ ‫‪ )1‬ق (�س) = ‪�5(×4‬س‪�20 = )4‬س‪َ4‬‬ ‫‪ )2‬ق (�س) = (‪�6()1-‬س‪�6- = )5‬س‪َ5‬‬ ‫‪ )3‬ق (�س) = ‪�3( π1‬س‪� π3 = )2‬س‪َ2‬‬ ‫‪104‬‬

‫‪1‬‬ ‫�س‬ ‫جد م�صتقة ك ٍّل من الاقترانات الاآتية‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )3‬ق‪�(3‬س) =‬ ‫‪ )2‬ق‪�(2‬س) = ‪�4 -‬س‪2‬‬ ‫‪)1‬ق‪�(1‬س) = ‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫إاذا كان ق(�س) = �س‪� |4‬س | فجد ق (‪َ)2-‬‬ ‫الحل‬ ‫ع ّبر عن ق(�س) دون ا�صتخدام رمز القيمة المطلقة حول العدد ‪:2-‬‬ ‫ق(�س) = �س‪� - ×4‬س = ‪� -‬س‪ ، 5‬لماذا؟‬ ‫ق (�س) = ‪�5-‬س‪4‬‬ ‫∴ ق (‪َ80- = 4)2-( 5- = )2-‬‬ ‫‪َ(4)IóYÉb‬‬ ‫قاعد‪ I‬ا÷‪ ™ª‬وال‪ìô£‬‬ ‫اإذا كان كل‪ w‬من الاقترانين ل‪ ،‬م قاب اًل لل�صتقاق عند �س‪ ،‬وكان‪،‬‬ ‫ق(�س) = ل(�س) ‪ +‬م(�س) ‪ ،‬هـ (�س) = ل(�س) ‪ -‬م(�س)‬ ‫فاإ َّن ك ًّال من الاقترانين ق‪ ،‬هـ قابل لل�صتقاق عند �س‪ ،‬وتكون‪:‬‬ ‫‪��((n‬سس))==ل‪n‬ل‪��((n‬سس))‪��((n Ωn Ω–+‬سس))‬ ‫ق‪n‬‬ ‫ه`‬ ‫البرهان‬ ‫ل(ع) ‪ +‬م(ع) ‪ -‬ل(�س) ‪ +‬م(�س)( ) ( )‬ ‫ع ‪� -‬سَ‬ ‫= نعهــ←ـ�ــســا‬ ‫ق(ع) ‪ -‬ق(�س)‬ ‫ق (�س) = نعهـــ←ـ�ـسـا‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫م(ع) ‪ -‬م(�س)‬ ‫‪ +‬نعهـــ←ـ�ـســا‬ ‫ل(ع) ‪ -‬ل(�س)‬ ‫= نعهـــ←ـ�ـسـا‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫= ل (�س) ‪ +‬م (�س)‬ ‫ل إاثبات أا َّن هـ (�س) = ل (�س) – م (�س)‪ ،‬يمكن كتابة هـ(�س) على ال�صورة‪َ َ:‬‬ ‫هـ (�س) = ل(�س) ‪ )1-( +‬م(�س) وبا�صتخدام قاعدة م�صتقة مجموع اقترانين؛ وقاعدة م�صتقة حا�صلَ َ َ‬ ‫‪105‬‬

‫�سربعددثابتفياقترانتجداأ َّنهـ َ(�س)= َل(�س)‪)1–(+‬مَ(�س)ومنههـ َ(�س)= َل(�س)– مَ(�س)‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ )2‬ق(�س) = ‪� 4‬س‪� π - 5‬س‪6‬‬ ‫جد ق (�س) في ك ٍّل مما ياأتي ‪َ:‬‬ ‫‪ )1‬ق(�س) = ‪� 7‬س‪� 3 + 2‬س‪4‬‬ ‫الحل‬ ‫‪ )1‬ق (�س) = ‪� 14‬س ‪� 3 4 +‬س‪3‬‬ ‫‪ )2‬ق (�س) = ‪� 20‬س‪�π 6 - 4‬س‪ََ5‬‬ ‫وب�صورة عامة ‪ :‬إاذا كان ك ‪w‬ل من الاقترانات ق‪ ،1‬ق‪ ، ...،2‬قن قاب اًل لل�صتقاق عند �س وكان ‪:‬‬ ‫ل(�س) = ق‪�(1‬س) ‪ +‬ق‪�(2‬س) ‪ +‬ق‪�(3‬س) ‪ + ... +‬قن(�س)‪،‬ف إا َّن‪:‬‬ ‫ل (�س) = ق‪�(1‬س) ‪ +‬ق‪�(2‬س) ‪ +‬ق‪�(3‬س) ‪ + ... +‬قن(�س)‪n n n n n‬‬ ‫‪áé«àf‬‬ ‫اإذا كان ق اقترا اًنا كثير حدود ‪ ،‬فاإ َّن ق قابل لل�صتقاق لكل �س ح‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫اإذا كان ق(�س) = �س‪�6 – 4‬س‪ ، 4 + 2‬فجد ك اًّل مما ي أاتي ‪:‬‬ ‫‪ )2‬قيم �س التي يكون عندها لمنحنى الاقتران ق مما�س اأفقي‪.‬‬ ‫ال‪1‬ح)ل َق(�س)‬ ‫‪ )1‬ق(�س) =‪�4‬س‪�12- 3‬سَ‬ ‫‪ )2‬يكون المما�س اأفق ًاّيا عندما ق(�س) = ‪َ0‬‬ ‫أاي اأ َّن ‪�4‬س‪�12- 3‬س =‪0‬‬ ‫‪�4‬س( �س‪0= )3–2‬‬ ‫ومنه �س= ‪� ، 0‬س = ‪3 ±‬‬ ‫∴ يكون المما�س اأفق اًّيا عند �س= ‪� ،0‬س = ‪3 ±‬‬ ‫‪106‬‬

‫‪2‬‬ ‫إ�ذا كان ق(�س) = ‪�5‬س‪�2( 4‬س ‪3� -‬س ) فجد ق ( ‪َ)1-‬‬ ‫‪7‬‬ ‫إ�ذا كان ق(�س) = ‪� 4‬س‪�2 [ - 3‬س ‪ ]1+‬فجد ق (‪َ)0.6‬‬ ‫الحل‬ ‫�أعد تعريف الاقتران ق دون ا�ستخدام رمز اقتران �أكبر عدد �صحيح حول �س =‪0.6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)1،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫[‬ ‫وبما أ� َّن ‪0.6‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫[ ‪�2‬س ‪ ]1+‬يغير قاعدته بعد كل فترة طولها‬ ‫[ ‪�2‬س ‪2 = ]2.2[ = ] 1 + 0.6 × 2[ = ]1+‬‬ ‫�إذن ت�صبح القاعدة ق(�س) = ‪� 4‬س‪2 –3‬‬ ‫ق (�س) = ‪�12‬س‪2‬‬ ‫ق (‪ََ4.32 = 2)0.6( ×12 = )0.6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫إ�ذا كان ق(�س) = | �س‪� 3 + | 2-‬س‪ ، 2‬فجد ق (‪َ.)1‬‬ ‫الحل‬ ‫�أعد تعريف الاقتران ق(�س) دون ا�ستخدام رمز القيمة المطلقة ‪.‬‬ ‫لاحظ �أ َّن | �س‪� -2 = | 2-‬س حول العدد ‪1‬‬ ‫وعليه ف إ� َّن ق(�س) = ‪�3‬س‪� –2‬س ‪2 +‬‬ ‫َق (�س) = ‪�6‬س ‪1-‬‬ ‫‪َ3‬ق(‪5 = )1‬‬ ‫�أجب عن ك ٍّل مما ي�أتي ‪:‬‬ ‫‪� )1‬إذا كان ق(�س)= ‪�2‬س‪�4 ( 3‬س – ‪�5‬س‪ )2‬فجد ق (�س)‪.‬‬ ‫‪� )2‬إذا كان ق(�س) = [ ‪�3‬س ‪� | + ] 1 +‬س | فجد ق (‪َ َ.)0.4‬‬ ‫‪107‬‬

‫‪ )1‬جد الم�صتقة الاأولى لكلٍّ من الاقترانات الاآتية ‪:‬‬ ‫ب) �س = ‪� 4‬س‪10‬‬ ‫اأ ) ق(�س) = ‪30‬‬ ‫�س)‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=(‬ ‫ق(�س)‬ ‫)‬ ‫د‬ ‫جـ) �س = ‪2 π 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )2‬جد ��سس لكلٍّ من الاقترانات الاآتية ‪:‬‬ ‫(�س‪)8+ 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب) �س =‬ ‫أا ) �س = �س‪�3 + 2‬س ‪4 -‬‬ ‫‪4‬‬ ‫�س‪� - 3‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫�س‪+ 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫د ) �س =‬ ‫‪� π‬س‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫جـ) �س =‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ )3‬جد ق(�س ) لك ٍّل من الاقترانات الاآتية عند قيمة �س المبينة إازاء ك ٍّل منها ‪َ:‬‬‫‪1‬‬ ‫‪� ،‬س = ‪1 -‬‬ ‫�س‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ق(�س) =‬ ‫أا‬ ‫‪� ،‬س = ‪3‬‬ ‫ب) ق(�س) = �س‪�3 | + 2‬س – ‪| 6‬‬ ‫‪� ،‬س = ‪2.4‬‬ ‫�س ‪�4- ]5+‬س‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جـ) ق(�س) =[‬ ‫‪2‬‬ ‫د ) ق(�س) = ‪�3‬س ‪� [+‬س ‪� | - ] 0.1 +‬س | ‪� ،‬س = ‪1-‬‬ ‫‪ )4‬اإذا كان ل‪ ،‬هـ اقترانين قابلين لل�صتقاق‪ ،‬وكان ل(‪ ، 4 = ) 2-‬هـ (‪ ، 3- = ) 2-‬فجد ق(‪َ َ َ)2-‬‬ ‫في كلٍّ مما ياأتي‪:‬‬ ‫أا ) ق(�س) = ‪ 6‬ل(�س) – ‪2‬هـ (�س)‬ ‫ل(�س) ‪ +‬هـ (�س) ‪� +‬س‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب) ق(�س) =‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� ،‬س ≤ ‪1‬‬ ‫أا �س‪ +2‬ب �س‬ ‫‪� ،‬س > ‪1‬‬ ‫‪ )5‬اإذا كان ق(�س) = ‪ -4‬ب �س‪ +2‬اأ �س‬ ‫وكانت ق (‪ )1‬موجودة ‪ ،‬فجد قيمة ك ٍّل من الثابت ْين اأ ‪ ،‬ب‪َ.‬‬ ‫‪108‬‬

‫‪� ،‬س ≤ جـ‬ ‫ل( �س)‬ ‫‪ )6‬إاذا كان ق(�س) = ل (جـ) ( �س‪-‬جـ) ‪� ،‬س > جـَ‬ ‫وكان ق(�س) اقترا ًانا مت�ص اًل عند �س= جـ ‪ ،‬وكان ل(�س) اقترا اًنا قاب اًل لل�صتقاق عند �س = جـ‪.‬‬ ‫ف أاثبت اأ َّن الاقتران ق قابل لل�صتقاق عند �س = جـ ‪ ،‬ثم جد ق(جـ) ‪َ.‬‬ ‫‪109‬‬

‫‪Differentiation Rules 2‬‬ ‫‪2 ¥É≤à°T’G óYGƒb‬‬ ‫ﺛﺎﻧ ًﻴﺎ‬ ‫‪ ،‬فجد ق (�س) ‪َ.‬‬ ‫‪�4‬س‪3 - 2‬‬ ‫اإذا كان ق(�س) =‬ ‫�س‪�2 + 4‬س ‪1+‬‬ ‫تعلمت �صاب اًقا القواعد العامة لا�صتقاق نوع معين من الاقترانات‪ ،‬و�صتتعرف في هذا الدر�س‬ ‫قواعد أاخر‪.i‬‬ ‫لاإيجاد م�صتقة الاقتران ق(�س) = ( �س‪�6 + 3‬س ‪�4 ( ) 5 -‬س‪ )1+ 2‬جد نا‪ œ‬ال†سرب ثم‬ ‫ا�صتخدم قواعد الا�صتقاق ال�صابقة‪.‬‬ ‫ق(�س) = ‪� 4‬س‪� 25 + 5‬س‪� 20 –3‬س‪� 6 + 2‬س ‪5 -‬‬ ‫ق (�س) = ‪� 20‬س‪�75 + 4‬س‪� 40 – 2‬س ‪َ6 +‬‬ ‫يمكن اإيجاد ق(�س) دون اإيجاد نا‪ œ‬ال†سرب كما في القاعدة ال آاتية‪َ:‬‬ ‫‪(1)IóYÉb‬‬ ‫قاعد‪ I‬ال†‪Üö‬‬ ‫إاذا كان الاقترانان ل‪ ،‬هـ قابلين لل�صتقاق عند �س‪ ،‬وكان ق(�س)= ل(�س) × هـ (�س) ‪ ،‬ف إا َّن‬ ‫الاقتران ق يكون قاب اًل لل�صتقاق عند �س‪ ،‬و إا َّن‪:‬‬ ‫ق(�س) = ل(�س) × ه` (�س) ‪ +‬ه` (�س) × ل(�س)‪n n n‬‬ ‫اأي أا َّن م�صتقة حا�صل �سرب اقترانين ت�صاوي‪:‬‬ ‫الاقتران الا‪C‬ول × م�ستقة ال‪ã‬ا‪ + Ê‬الاقتران ال‪ã‬ا‪ × Ê‬م�ستقة ال ‪C‬اول‬ ‫‪1‬‬ ‫�س (�س‪�6 + 3‬س)‬ ‫إاذا كان ق(�س) = ( �س‪�6 + 3‬س) ( ‪�4‬س‪ )3 - 2‬فجد ق (�س)‪َ.‬‬ ‫الحل‬ ‫ق (�س) = ( �س‪�6 + 3‬س) �س ( ‪�4‬س‪�4 ( + )3 - 2‬س‪َ)3 - 2‬‬ ‫‪110‬‬

‫= ( �س‪�6 + 3‬س) ( ‪�8‬س) ‪�4 ( +‬س‪�3( )3 - 2‬س‪)6 + 2‬‬ ‫= ‪�8‬س‪�48 + 4‬س‪�12 + 2‬س‪�24 + 4‬س‪�9 - 2‬س‪� 20 = 18 - 2‬س‪� 63 + 4‬س‪18 - 2‬‬ ‫ُح َّل المثال (‪ )1‬بطريقة اأخر‪.i‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س ‪ )3 +‬فجد ق (�س)‪َ.‬‬ ‫إاذا كان ق(�س) = ( ‪� 2 - 4‬س‪( )3‬‬ ‫‪(2)IóYÉb‬‬ ‫(�س)‬ ‫ل‬ ‫قاعد‪ I‬الق�س‪ª‬ة‬ ‫(�س)‬ ‫هـ (�س) ≠ ‪، 0‬‬ ‫‪،‬‬ ‫هـ‬ ‫اإذا كان الاقترانان ل‪ ،‬هـ قابلين لل�صتقاق عند �س‪ ،‬وكان ق(�س) =‬ ‫فاإ َّن الاقتران ق يكون قاب ًال لل�صتقاق عند �س‪ ،‬و إا َّن‬ ‫ه`(�س) * ل(�س) ‪ -‬ل(�س) * ه` (�س)‪n n n‬‬‫ق(�س) =‬ ‫(ه`(�س))‪2‬‬ ‫أاي أا َّن م�صتقة حا�صل ق�صمة اقترانين ت�صاوي ‪:‬‬ ‫المقا‪ * Ω‬م�ستقة الب�سط ‪ -‬الب�سط * م�ستقة المقا‪Ω‬‬ ‫( المقا‪2) Ω‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ،‬فجد َق (�س) ‪.‬‬ ‫�س‪� + 3‬س‬ ‫اإذا كان ق(�س) =‬ ‫�س‪5 + 2‬‬ ‫الحل‬ ‫ا�صتخدم قاعدة الق�صمة لتجد اأ َّن‪:‬‬ ‫�س (�س‪)5 +2‬‬ ‫(�س‪* )5 +2‬‬ ‫�س (�س‪� +3‬س) ‪�( -‬س‪� +3‬س) *َ‬ ‫(�س‪2)5 +2‬‬ ‫ق(�س) =‬ ‫(�س‪�3( )5 +2‬س‪�( - )1 +2‬س‪� +3‬س)(‪�2‬س)‬ ‫=‬ ‫(�س‪2)5 +2‬‬ ‫�س‪�14 +4‬س‪5 + 2‬‬ ‫=‬ ‫(‪�3‬س‪� +4‬س‪�15 + 2‬س‪�2( - )5 +2‬س‪�2 +4‬س‪)2‬‬ ‫=‬ ‫(�س‪2)5 +2‬‬ ‫(�س‪2)5 +2‬‬ ‫‪111‬‬

‫�س =‪2 1‬‬ ‫��سس�س=‪1‬‬ ‫فجد‬ ‫‪�6‬س ‪1 +‬‬ ‫اإذا كان �س =‬ ‫�س‪4 - 2‬‬ ‫قد تواجهك بع†س الاقترانات المك ّونة من ب�صط ومقام يكون ب�صطها عد اًدا ثاب ًاتا ‪ .‬النتيجة ال آاتية‬ ‫ُت�صهل عليك العمليات الجبرية ل إايجاد م�صتقة مثل هذه الاقترانات‪.‬‬ ‫‪(1)áé«àf‬‬ ‫إاذا كان الاقتران ل قاب اًل لل�صتقاق عند �س‪ ،‬أا عدد ثابت وكان‪:‬‬ ‫أا‬ ‫‪ ٠‬ف إا ِنّن الاقتران ق يكون قاب ًال لل�صتقاق عند �س‪ ،‬واإ َّن‪:‬‬ ‫‪ ،‬ل(�س) ≠‬ ‫ق(�س) =‬ ‫ل(�س)‬ ‫‪ -‬اأ ل(�س)َ َ‬ ‫( ل(�س) )‪2‬‬ ‫ق (�س) =‬ ‫ف ِّ‪ôµ‬وناق�س‬ ‫أاثبت نتيجة (‪.)1‬‬ ‫‪(2)áé«àf‬‬ ‫إاذا كان ق(�س) = �سن ‪� ،‬س ≠ ‪ ، 0‬ن عدد �صحيح �صالب‪ ،‬ف إا َّن ق(�س) = ن �سن‪َ1-‬‬ ‫البرهان‬ ‫افر�س اأ َّن ن = ‪ -‬م ‪� ،‬س ≠ ‪ 0‬حيث م عدد �صحيح موجب‪ ،‬فيكون ق(�س) = �س ن = �س‪ -‬م‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫�س م‬ ‫با�صتخدام خ�صائ�س الاأ�ص�س يكون ق(�س) =‬ ‫�سم ‪2-1-‬م‬ ‫م * �سم‪1-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫�سم * ‪( )1( - 0‬م �سم‪)1-‬‬ ‫(�سم)‪2‬‬ ‫(�سم)‪2‬‬ ‫‪-‬م‬‫�س‪-‬م ‪َ1-‬‬‫=‬ ‫‪-‬م‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ق (�س) =‬ ‫ق (�س) = ‪-‬م �س‪-‬م ‪ = 1-‬ن �سن‪ 1-‬ل أان ‪ -‬م = نَ‬ ‫‪112‬‬

‫‪3‬‬ ‫الاآتية‪:‬‬ ‫الاقترانات‬ ‫من‬ ‫جد م�صتقة ك ٍّل‬ ‫‪ )2‬ق(�س)‬ ‫‪π‬‬ ‫‪)1‬ل(�س) =‬ ‫�س‪3 - 4‬‬ ‫‪ )3‬ع(�س) =‬ ‫�س‪4-‬‬ ‫=‬ ‫�س‪2‬‬ ‫�س‪3‬‬ ‫الحل‬ ‫‪ )1‬با�صتخدام النتيجة (‪ )1‬يكون‪:‬‬ ‫‪َπ 2-‬‬ ‫�س‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪� 2( π -‬س )‬ ‫ل (�س) =‬ ‫(�س‪2)2‬‬ ‫‪ )2‬با�صتخدام النتيجة (‪ )2‬يكون‪:‬‬ ‫‪َ4-‬‬ ‫�س‪5‬‬ ‫ق (�س) = ‪� 4 -‬س‪� 4 - = 1- 4-‬س‪= 5-‬‬ ‫‪ )3‬يمكن اإعادة كتابة ق على ال�صورة‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫�س‪4‬‬ ‫= �س ‪� 3 -‬س‪3 -‬‬ ‫�س‪3‬‬ ‫= �س‪-‬‬ ‫�س‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫�س‪3‬‬ ‫ع (�س) =‬ ‫با�صتخدام النتيجة (‪ )2‬وقواعد الا�صتقاق يكون ‪:‬‬ ‫‪َ9‬‬ ‫�س ‪4‬‬ ‫ع (�س) = ‪� )3-(3 - 1‬س‪� 9 + 1 = 4-‬س‪+ 1 = 4-‬‬ ‫ف ِّ‪ôµ‬وناق�س‬ ‫ُح َّل فرع (‪ )3‬من مثال (‪ )3‬بطريقة اأخر‪.i‬‬ ‫‪3‬‬ ‫جد ��سس لك ٍّل مما ي أاتي ‪:‬‬ ‫‪� -‬س‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س=‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪� )1‬س=‬ ‫�س‬ ‫�س ‪2‬‬ ‫‪113‬‬

‫�س ≥ أ�‬ ‫‪،‬‬ ‫ل( �س)‬ ‫م�شتقة الاقترانات المت�شعبة‬ ‫�س < �أ‬ ‫‪،‬‬ ‫هـ (�س)‬ ‫لإيجاد م�شتقة الاقتران المت�شعب ق(�س) =‬ ‫حيث ل (�س) موجودة لكل �س > �أ ‪ ،‬هـ (�س) موجودة لك ِّل �س < أ� ‪ ،‬اتبع الخطوات ا آلتية‪:‬‬ ‫‪ )1‬جد ل (�س) عندما �س > �أ‪ ،‬هـ (�س) عندما �س < �أ فيكون ‪َ َ:‬‬ ‫ل( �س) ‪� ،‬س > �أَ َ‬ ‫ق(�س) = هـ (�س) ‪� ،‬س < �أَ ََ‬ ‫‪)2‬ابحث في ات�صال ق(�س) عند �س = �أ وهناك حالتان ‪:‬‬ ‫أ� ) ق اقتران غير مت�صل عند �س = أ� وبنا ًء عليه ق غير قابل للا�شتقاق عند �س = أ� ( نظرية ‪2‬‬ ‫في الات�صال والا�شتقاق)‬ ‫ب) ق مت�صل عند �س = �أ وفي هذه الحالة يجب بحث قابلية الا�شتقاق عند �س = �أ با�ستخدام‬ ‫تعريف الم�شتقة عند نقطة‪.‬‬ ‫ويمكنك ا�ستخدام قواعد الا�شتقاق في الاقترانات المت�شعبة التي قواعدها على �صورة‬ ‫كثيرات حدود �أو ن�سبية‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪� ،‬س ≥ ‪1‬‬ ‫‪�8‬س‪�4 + 3‬س‬ ‫إ�ذا كان ق(�س) = ‪�8‬س‪�12 + 2‬س ‪� ، 8 -‬س < ‪ ، 1‬فجد ق(�س)‪َ.‬‬ ‫الحل‬ ‫‪ )1‬عندما �س>‪ ، 1‬ق اقتران مت�صل؛ أل َّنه على �صورة كثير حدود‪ ،‬إ�ذن ق(�س) = ‪�24‬س‪4 + 2‬‬ ‫عندما �س <‪ ،1‬ق اقتران مت�صل؛ لأ َّنه على �صورة كثير حدود‪� ،‬إذن ق(�س) = ‪� 16‬س ‪ََ12 +‬‬ ‫‪�24‬س‪� ، 4 + 2‬س > ‪1‬‬ ‫أ�ي �إ َّن ق (�س) = ‪�16‬س ‪� ، 12 +‬س < ‪َ1‬‬ ‫‪114‬‬

‫‪ )2‬ابحث في قابلية الاقتران ق للا�شتقاق عند �س = ‪.1‬‬ ‫ق مت�صل عند �س= ‪ 1‬لماذا؟‬ ‫ق‪َ28 = 4 + 2)1(24 = )1( +‬‬ ‫ق‪َ28 = 12 + )1(16 = )1( -‬‬ ‫بما �أن ق‪ = )1(+‬ق‪َ َ28= )1(-‬‬ ‫إ�ذن َق (‪28 = )1‬‬ ‫يمكنك الآن كتابة ق (�س) لكل �س ح على ال�صورة ‪َ:‬‬ ‫‪�24‬س‪� ، 4 + 2‬س > ‪1‬‬ ‫ق (�س) = ‪� ، 28‬س = ‪َ1‬‬ ‫‪�16‬س ‪� ، 12 +‬س < ‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫إ�ذا كان ق(�س) = �س‪� |3‬س ‪ | 2 -‬فابحث في قابلية الاقتران ق للا�شتقاق على ح ‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫‪� )1‬أعد كتابة الاقتران ق دون ا�ستخدام رمز القيمة المطلقة‪.‬‬ ‫�س ‪� ، 2 -‬س ≥ ‪2‬‬ ‫‪� - 2‬س ‪� ،‬س < ‪2‬‬ ‫| �س ‪= |2 -‬‬ ‫وعليه ف�إ َّن‪:‬‬ ‫�س‪�2 - 4‬س‪� ، 3‬س ≥ ‪2‬‬ ‫ق (�س) = ‪�2‬س‪� - 3‬س‪� ، 4‬س < ‪2‬‬ ‫‪ )2‬عندما �س >‪ ، 2‬ق مت�صل لأ َّنه على �صورة كثير حدود‪ ،‬ق (�س) = ‪�4‬س‪�6 – 3‬س‪2‬‬ ‫عندما �س <‪ ، 2‬ق مت�صل أل َّنه على �صورة كثير حدود‪ ،‬ق (�س) = ‪�6‬س‪�4 – 2‬س‪َ3‬‬ ‫‪�4‬س‪�6 - 3‬س‪� ، 2‬س > ‪َ 2‬‬ ‫أ�ي أ� َّن ق (�س) = ‪�6‬س‪�4 - 2‬س‪� ، 3‬س < ‪َ2‬‬ ‫‪115‬‬

‫‪ )3‬ابحث في قابلية الاقتران ق للا�شتقاق عند �س = ‪.2‬‬ ‫ق اقتران مت�صل عند �س= ‪ 2‬لماذا؟‬ ‫ق‪َ8 = 2)2(6 -3)2(4 = )2( +‬‬ ‫ق‪َ8 - = 3)2(4 - 2)2(6 = )2( -‬‬ ‫بما �أ َّن ق‪ ≠ )2(+‬ق‪ )2(-‬ف إ� َّن ق (‪ )2‬غير موجودة‪َ َ َ.‬‬ ‫يمكنك الآن كتابة ق (�س) لك ِّل �س ح على ال�صورة ‪َ:‬‬ ‫‪�4‬س‪�6 - 3‬س‪� ، 2‬س > ‪2‬‬ ‫ق (�س) = غير موجودة ‪� ،‬س = ‪َ2‬‬ ‫‪�6‬س‪�4 - 2‬س‪� ، 3‬س < ‪2‬‬ ‫�س ≤ ‪1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫�س > ‪1‬‬ ‫�س ‪1 +‬‬ ‫�س ‪، 1 +‬‬ ‫�إذا كان ق(�س) =‬ ‫فابحث في قابلية الاقتران ق للا�شتقاق على ح‪.‬‬ ‫‪116‬‬

‫‪ )1‬جد ��سس في ك ٍّل مما ي أاتي‪:‬‬ ‫ب) �س = (�س‪�2 - 3‬س ‪�4 ( )1 +‬س ‪)3 -‬‬ ‫أا ) �س = �س‪� + 1 ( 2‬س‪)3‬‬ ‫�س‪1 - 2‬‬ ‫د ) �س =‬ ‫�س‪3‬‬ ‫جـ) �س =‬ ‫‪�2‬س ‪3 +‬‬ ‫‪� - 1‬س‬ ‫‪ )2‬جد ق(�س) في ك ٍّل مما ياأتي‪َ:‬‬ ‫اأ ) ق(�س) = �س(�س ‪� ( )2 +‬س‪�3 - 2‬س – ‪)6‬‬ ‫ب) ق(�س) = | �س ‪�( | 3 -‬س‪� + 2‬س)‬ ‫�س‪�2 - 2‬س ‪4 +‬‬ ‫جـ) ق(�س) =‬ ‫�س‪4 + 2‬‬ ‫( ‪] 5 ،1‬‬ ‫‪� ،‬س‬ ‫|�س‪�5 -2‬س ‪|4 +‬‬ ‫) ق(�س) =‬ ‫د‬ ‫�س (�س ‪)1 -‬‬ ‫‪ )3‬إاذا علمت أا َّن هـ (�س) قاب ‪l‬ل لل�صتقاق و أا َّن هـ (‪ ، 3 = )2‬هـ (‪ ،1- = )2‬فجد ق (‪ )2‬في ك ٍّلَ َ‬ ‫مما ياأتي‪:‬‬ ‫ب) ق(�س) = ‪�3‬س‪2‬هـ (�س) ‪�5 -‬س‬ ‫اأ ) ق(�س) = �س هـ (�س)‬ ‫‪�2‬س ‪1 +‬‬ ‫) ق(�س) =‬ ‫د‬ ‫‪1‬‬ ‫جـ) ق(�س) = هـ (�س) ‪-‬‬ ‫‪ 3‬هـ (�س)‬ ‫هـ(�س)‬ ‫‪ )4‬اإذا كان ل‪ ،‬هـ اقترانين قابلين لل�صتقاق وكان ل (‪، 3 = )2-‬ل (‪ ، 1 - = )2-‬هـ(‪َ4 = )2-‬‬ ‫هـ (‪ ، 6- = )2-‬فجد ق (‪ )2-‬في ك ٍّل مما ي أاتي‪:‬‬ ‫هـ(�س)َ َ‬ ‫ل(�س) ‪1+‬‬ ‫ب) ق(�س) =‬ ‫أا ) ق(�س) = ل(�س) × هـ(�س)‬ ‫‪117‬‬

‫‪ )5‬جد ق(�س) في ك ٍّل مما ي أاتي‪ ،‬عند قيمة �س المبينة إازاء ك ٍّل منها‪َ:‬‬ ‫أا ) ق(�س) = �س‪�2 [- 2‬س ‪� ، ]1 +‬س = ‪1.4‬‬ ‫‪� ،‬س = ‪2‬‬ ‫ب) ق(�س) = [|‪��214‬سس‪]3|1+-‬‬ ‫‪� ،‬س = ‪1-‬‬ ‫‪�2‬س ‪1 +‬‬ ‫جـ) ق(�س) =‬ ‫�س‪4- 2‬‬ ‫‪ )6‬اإذا كانت ل‪ ،‬م‪ ،‬هـ اقترانات قابلة لل�صتقاق عند �س‪ ،‬فا�صتخدم قاعدة م�صتقة حا�صل �سرب‬ ‫اقترانين ل إاثبات اأ َّن‪:‬‬ ‫�س (ل(�س) * م(�س) * هـ(�س))‬ ‫= ل(�س) * م(�س) * هـ (�س) ‪ +‬ل(�س) * هـ(�س) * م (�س) ‪ +‬م(�س) * هـ(�س) * ل(�س)َ َ َ‬ ‫‪ )7‬اعتمد على النتيجة في ال�ص ؤوال( ‪ ) 6‬لاإثبات أا َّن ‪:‬‬ ‫�س (ل(�س))‪(3 = 3‬ل(�س))‪َ * 2‬ل(�س)‬ ‫‪�4‬س‪� ، 3‬س ≤ ‪1‬‬ ‫‪ )8‬إاذا كان ق(�س) = ‪�3‬س‪� ، 1 + 4‬س > ‪1‬‬ ‫فابحث في قابلية الاقتران ق لل�صتقاق عند �س = ‪ ، 1‬ثم اكتب قاعدة ق(�س)‪َ.‬‬ ‫‪ )9‬إاذا كان ق(�س) = | �س | ( �س‪�6 + 2‬س) ‪ ،‬فابحث في قابلية الاقتران ق لل�صتقاق‬ ‫لجميع قيم �س ح ‪.‬‬ ‫‪� ،‬س ≤ ‪2‬‬ ‫اأ �س‪ - 2‬ب �س‬ ‫‪ )10‬إاذا كان ق(�س) = ‪ -4‬ب �س‪ + 3‬اأ�س ‪� ،‬س > ‪2‬‬ ‫وكان ق اقترا اًنا قاب اًل لل�صتقاق عند �س = ‪ ، 2‬فجد ك اًّل من الثابتين أا ‪ ،‬ب ‪.‬‬ ‫‪118‬‬

‫‪Higher Derivatives‬‬ ‫ﺛﺎﻟ ًﺜﺎ ‪É«∏©dG äÉ≤à°ûŸG‬‬ ‫إاذا كان ق(�س) = (‪�2‬س‪�3 -4‬س ‪�( )1 +‬س‪ ،)7 + 2‬فجد ق(‪ً.)1-‬ا‬ ‫تعلمت �صاب ًاقا اأ َّنه إاذا كان �س = ق(�س) اقترا ًانا قاب اًل لل�صتقاق‪ ،‬ف إا َّن م�صتقته بالن�صبة إالى �س‬ ‫ُت�صمى الم�صتقة ال أاولى للقتران ق‪ ،‬و ُيرمز لها باأحد الرموز الاآتية‪:‬‬ ‫�س ‪�� ،‬سس ‪� ،‬س (ق (�س)) ‪ ،‬ق(�س)‬ ‫لاحظ أا َّن ق (�س) اقتران في �س يمكن أان يكون قابل لل�صتقاق بالن�صبة اإلى �س‪ ،‬وم�صتقة ق(�س)َ َ َ َ‬ ‫ُت�صمى الم�ستقة ال‪ã‬انية للقتران ق‪ ،‬و ُيرمز لها ب أاحد الرموز الاآتية‪:‬‬ ‫�س ‪�2 ،‬س�‪2‬س ‪� ،‬س ق (�س) ‪ ،‬ق(�س)( )‬ ‫‪öT ) ójôJ áÑJQ …GC øe ¿GÎbG á≤à°ûe Ö°ù– ¿CG ∂æµÁ‬ط ‪ ¿s GE å«M , )ÉgOƒLh‬الم�ستقة ال‪ã‬ال‪ã‬ة هياً َ ًا‬ ‫�س (ق (�س)) ‪،‬ق (�س)ًَا ًا اًَ‬‫‪،‬‬‫‪�3‬س‬‫م�صتقة الم�صتقة الثانية و ُيرمز لها باأحد الرموز‪� :‬س ‪،‬‬ ‫�س‪3‬‬ ‫ُت�صمى مثل هذه الم�صتقات بالم�ستقات الع∏يا للقتران ق‪ .‬لاحظ أا َّن الت�صل�صل �سروري في اإيجاد‬ ‫الم�صتقات‪ ،‬فمث ًال ل إايجاد الم�صتقة الثالثة لاقتران؛ يجب إايجاد الم�صتقة ال أاولى ثم الثانية ثم الثالثة‪.‬‬ ‫اإ َّن ا�صتخدام الاإ�صارات ‪ ) (////‬للتعبير عن الم�صتقة الرابعة غير عملي وكذلك ال أامر بالن�صبة اإلى‬ ‫الم�صتقات الخام�صة وال�صاد�صة ‪ ... ،‬اإل‪ .ï‬لذلك ُت�صتخدم الاأعداد ال�صحيحة بين قو�صين للتعبير‬ ‫عن الم�صتقات الرابعة ‪ ،‬والخام�صة ‪ ... ،‬اإل‪ .ï‬فمث ًال �س(‪ )4‬أاو ق(‪�()4‬س) تعبر عن الم�صتقة الرابعة‬ ‫للقتران ق‪� .‬صنكتفي ب إايجاد الم�صتقات حتى الرابعة في هذا الدر�س‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إاذا كان ق(�س) = ‪�4‬س‪�2 - 5‬س‪�6 + 3‬س‪ . 1 + 2‬فجد ق (�س)اًَ‬ ‫الحل‬ ‫ق(�س) = ‪� 20‬س‪�6 - 4‬س‪�12 + 2‬سَ‬ ‫ق(�س) = ‪�80‬س‪�12 - 3‬س ‪12 +‬اً‬ ‫‪119‬‬

‫ًَق(�س) = ‪� 240‬س‪12 - 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ )1‬إ�ذا كان ق(�س) = ‪�5‬س‪�4 - 3‬س‪�6 + 2‬س ‪ ، 1 +‬فجد ق(‪ً.)1-‬‬ ‫‪ُ )2‬ح َّل الم�س�ألة الواردة في بداية الدر�س‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�إذا كان ق(�س) = �س ن ‪ ،‬وكان ق(�س) = ‪�24‬سن‪ ، 3-‬فجد قيمة ن ‪ًَ.‬‬ ‫الحل‬ ‫ق (�س) = ن �سن‪َ1-‬‬ ‫ق (�س) = ن (ن ‪� )1-‬سن‪ً2-‬‬ ‫ق (�س) = ن (ن ‪( )1-‬ن ‪� )2 -‬سن‪�24 = 3-‬سن‪ًَ3-‬‬ ‫∴ ن (ن ‪( )1-‬ن ‪24 = )2 -‬‬ ‫ابحث عن ثلاثة �أعداد متتالية حا�صل �ضربها ‪.24‬‬ ‫الأعداد هي ‪4 ،3 ،2‬‬ ‫أ�ي �أ َّن ن = ‪.4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫�سن ‪ ،‬وكان ق (�س) =‬ ‫�أ�س‪, 2‬‬‫فجد قيمة الثابت �أ‪ًَ.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫إ�ذا كان ق (�س) =‬ ‫�س‪� ، 2‬س ≥ ‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪� ، 0‬س < ‪ ، 0‬ف�أجب عن ك ٍّل مما ي�أتي‪:‬‬ ‫�إذا كان ق(�س) =‬ ‫‪ )1‬بينّ أ� َّن الاقتران ق قابل للا�شتقاق عند �س = ‪0‬‬ ‫‪ )2‬اكتب قاعدة ق(�س) لجميع قيم �س ح ‪َ.‬‬ ‫‪ )3‬بينّ �أ َّن ق(‪ )0‬غير موجودة‪ً.‬‬ ‫‪120‬‬

‫الحل‬ ‫‪ )1‬ق اقتران مت�صل لجميع قيم �س > ‪ 0‬لأ َّنه على �صورة كثير حدود ‪ ،‬ق(�س) = ‪�2‬س‪.‬‬ ‫ق اقتران مت�صل لجميع قيم �س < ‪ 0‬لأ َّنه اقتران ثابت ‪ ،‬ق(�س) = �صف ًرا ‪َ.‬‬ ‫‪�2‬س ‪� ،‬س > ‪َ 0‬‬ ‫∴ َق(�س) = ‪� ، 0‬س < ‪0‬‬ ‫ق اقتران مت�صل عند �س = ‪ ، 0‬تح َّق ْق من ذلك‪.‬‬ ‫ق‪َ0 = )0(2 = )0(+‬‬ ‫َق‪0 = )0( -‬‬ ‫بما �أ َّن ق‪ = )1( +‬ق‪َ َ0= )1(-‬‬ ‫إ�ذن ق(‪ ، 0 = )0‬ويكون الاقتران ق قاب اًل للا�شتقاق عند �س = ‪َ0‬‬ ‫‪ )2‬يمكنك كتابة ق (�س) لجميع قيم �س ح على ال�صورة ‪َ:‬‬ ‫‪ �2‬س ‪� ،‬س > ‪0‬‬ ‫‪�2‬س ‪� ،‬س > ‪0‬‬ ‫‪� ،‬س = ‪0‬‬ ‫ق(�س) = ‪ 0‬‬ ‫‪� ،‬س < ‪0‬‬ ‫ ‪0‬‬ ‫ ‪� ، 0‬س ≤ ‪0‬‬ ‫�أوَ‬ ‫ ‪� ، 2‬س > ‪0‬‬ ‫‪ )3‬اتبع الخطوات ال�اسبقة لت�صل �إلى ق(�س) = ‪� ، 0‬س < ‪ً0‬‬ ‫ًق‪ً ،2 = )0(+‬ق‪0 = )0(-‬‬ ‫بما �أ َّن ق‪ ≠ )0(+‬ق‪ )0(-‬ف�إ َّن ق(‪ )0‬غير موجودة‪ً ً ً.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫�س‪� ، 3‬س ≥ ‪0‬‬ ‫‪� ، 0‬س < ‪ ، 0‬ف�أجب عن ك ٍّل مما ي أ�تي‪:‬‬ ‫إ�ذا كان ق (�س) =‬ ‫‪ )1‬ب نّي �أ َّن ك ًّال من ق(‪ ،)0‬ق(‪ )0‬موجودة‪ ،‬ثم جد قيمة ك ٍّل منها‪ً َ.‬‬ ‫‪)2‬اكتب قاعدة كل من ق (�س)‪،‬ق(�س) لجميع قيم �س ح ‪ً َ.‬‬ ‫‪ )3‬ب نّي أ� َّن ًَق(‪ )0‬غير موجودة‪.‬‬ ‫‪121‬‬

‫ب) �س= �س�‪2‬س‪1 +‬‬ ‫‪ )1‬جد الم�صتقة الثانية لك ٍّل من الاقترانات ال آاتية ‪:‬‬ ‫�س‪� 6 - 2‬س‬ ‫‪7‬‬ ‫) �س = ‪�4‬س‪- 3‬‬ ‫اأ‬ ‫‪2‬‬ ‫جـ) �س = |�س| ( �س‪� + 2‬س)‬ ‫‪ )2‬اإذا كان ق(�س) = ( �س‪�4 + 2‬س) ( �س‪ ،)1 + 3‬فجد قيمة ق (‪ ×)1-‬ق(‪ َ)1-‬اً‬ ‫‪ )3‬اإذا كان ق(�س) = �س ن ‪ ،‬ن عدد �صحيح موجب وكانت ق(�س) = اأ �س فجد قيمة الثابت أا ‪.‬اًَ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪� ،‬س ≠ ‪ ، 0‬فاأثبت اأ َّن �س =‬ ‫�‪2‬س‬ ‫‪2‬‬‫�س‪3‬اً‬ ‫‪ )4‬إاذا كان �س =‬ ‫‪ )5‬إاذا كان ق(�س) = �س‪�3 + 4‬س‪� 6 - 3‬س‪� - 2‬س ‪ ،‬فجد قيم �س التي تحقق ما ياأتي ‪:‬‬ ‫جـ) ًاق(�س) < ‪0‬‬ ‫ب) اًق(�س) ≥‪0‬‬ ‫اأ ) ًاق(�س) = ‪0‬‬ ‫‪ )6‬جد الم�صتقة الثالثة لك ٍّل من الاقترانات الاآتية ‪:‬‬ ‫اأ ) �س = �س‪�3 - 4‬س‪5-‬‬ ‫ب) �س = اأ�س‪ + 3‬ب �س‪ + 2‬جـ �س ‪ ،‬حيث اأ ‪ ،‬ب‪ ،‬جـ ثوابت‪.‬‬ ‫‪ )7‬جد قيمة ك ٍّل مما ياأتي ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اأ ) اًَق(‪ )π‬حيث ق(�س) = �س‪�6 - 2‬س‬ ‫�س‪3‬اً‬‫‪3‬‬ ‫�س‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب)‬ ‫‪-‬‬ ‫‪20‬‬ ‫=‬ ‫ق(‪ )1-‬حيث ق(�س)‬ ‫جـ) ق(‪ )1()4‬حيث ق (�س) = �‪1‬س‬ ‫‪ )8‬إاذا كان ك ‪w‬ل من ل ‪ ،‬ل ‪ ،‬ل قاب ًال لل�صتقاق عند �س‪ ،‬وكان ق(�س) = �س‪ 2‬ل(�س)َ اً‬ ‫فجد ًاق (�س) ‪ً ،‬اَق(�س)‪.‬‬ ‫‪122‬‬

‫‪ ) 9‬اإذا كان ك ‪w‬ل من الاقترانين ل‪ ،‬هـ قاب ًال لل�صتقاق مرتين‪ ،‬ف أاثبت اأ َّن ‪:‬‬ ‫(ل × هـ)ًا (�س) = ( اًل× هـ) (�س) ‪َ (2 +‬ل × هـ َ) (�س) ‪ ( +‬ل × هـاً) (�س)‬ ‫‪ )10‬جد قاعدة اقتران كثير الحدود ق من الدرجة الثانية الذي فيه ق(‪ ،3 = )1‬ق (‪َ2- = )1‬‬ ‫ًاق(‪.4 = )1‬‬ ‫‪ )11‬اإذا كان ك ‪w‬ل من الاقترانين ل‪ ،‬هـ قاب اًل لل�صتقاق مرتين ف أاثبت اأ َّن ‪:‬‬ ‫ل(�س) هـَاً (�س) ‪ -‬اًل(�س) هـ(�س) = �س (ل(�س) هـ َ (�س) ‪َ -‬ل(�س) هـ(�س))‬ ‫‪ )12‬اإذا كانت ل‪ ،‬ق‪ ،‬هـ اقترانات قابلة لل�صتقاق حتى الم�صتقة الثالثة وكان‬ ‫هـ (�س) = ل(�س) × ق(�س) ‪ ،‬ل(�س) × ق(�س) = جـ ‪ ،‬حيث جـ عدد ثابت ف أاثبت أا َّن‪َ َ:‬‬ ‫هـاًَ (�س) = ل(�س) × ًاَق(�س) ‪ +‬ق(�س) × لًَا(�س)‬ ‫‪ )13‬اإذا كان ق(�س) = أا �س‪6� + 4‬س‪ ، 1‬أا ثابت ‪ ،‬وكان ق (‪ 90 = )2‬فجد قيمة الثابت أا‪.‬اًَ‬ ‫‪ )14‬إاذا كان ق(�س) = ‪� 8‬س ‪(4 -‬م ‪� )3 -‬س‪ ، 2‬فجد قيم الثابت م التي تجعل ق(�س) < ‪ً0‬ا‬ ‫‪123‬‬

‫‪á«ã∏ãŸG äÉfGÎb’G äÉ≤à°ûe‬‬ ‫راﺑ ًﻌﺎ‬ ‫‪Derivatives of Trigonometric Functions‬‬ ‫)‪َ.‬‬ ‫‪π‬‬ ‫اإذا كان ق(�س) = قا�س ‪ +‬ظا�س ‪ ،‬فجد ق (‬ ‫‪6‬‬ ‫تعلمت �صاب ًاقا الاقترانات المثلثية وتمثيلها البياني‪ ،‬وفي هذا الدر�س �صتتعلم إايجاد م�صتقة هذه‬ ‫الاقترانات‪.‬‬ ‫ق(ع ) ‪ -‬ق(�س)َ‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫تعرفت �صاب اًقا اأ َّن الم�صتقة ال أاولى للقتران ق عند �س هي‪ :‬ق (�س) = نعهــ←ـ�ــسـا‬ ‫جا�س‬ ‫=‪1‬‬ ‫�س‬ ‫ن�هســــ←ــ‪0‬ا‬ ‫�صت�صتخدم هذا التعريف والنظرية‬ ‫لاإثبات القاعدتين الاآتيتين‪:‬‬ ‫‪1 Ió`YÉ`b‬‬ ‫إاذا كان ق(�س) = جا �س ‪� ،‬س ح ‪ ،‬فاإ َّن ق (�س) = جتا �سَ‬ ‫البرهان‬ ‫‪ّ òJ‬ك‪ô‬‬ ‫ق(ع ) ‪ -‬ق(�س)َ‬ ‫(�س)‬ ‫ق‬ ‫جاع‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫ججتاا��سس==‪-2‬جت‪2‬اجاعع‪2+� 2+‬س�سجاجاعع‪� 2�-2-‬سس‬ ‫‪-‬‬ ‫نهــــــا‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫جتاع‬ ‫ع ←�س‬ ‫جاع ‪ -‬جا�س‬ ‫= نعهــ←ـ�ــسـا‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫‪� -‬س‬ ‫ع‬ ‫جا‬ ‫‪� +‬س‬ ‫ع‬ ‫‪2‬جتا‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫= نعهــ←ـ�ــسـا‬ ‫‪� -‬س‬ ‫ع‬ ‫جا‬ ‫ع ‪� +‬س‬ ‫جتا‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫=عنهـ←ــ�ـسـا‬ ‫ع ‪� +‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫ع ‪�2-‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫= �س ‪� +‬س‪ ،‬وعندما ع ←�س‪ ،‬فاإ َّن �س←‪٠‬‬ ‫يكون‬ ‫بفر�س اأ َّن �س =‬ ‫‪124‬‬

‫جا�سَ ( )‬ ‫*‬ ‫∴ ق (�س)‬ ‫�س‬ ‫جتا (�س ‪� +‬س)‬ ‫= ن�هســــ←ــ‪0‬ا‬ ‫= جتا(�س ‪=1 * )0 +‬جتا �س‬ ‫جا�س‬ ‫= ن�هســــ←ــ‪0‬ا جتا (�س ‪� +‬س) *�نسهـــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫�س‬ ‫‪1‬‬ ‫جا �س ‪ ،‬فجد ق(�س)‪َ.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اإذا كان ق(�س) = �س‪+2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الحل‬ ‫جتا �سَ‬‫‪1‬‬ ‫ق (�س) = ‪�2‬س ‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪َ.‬‬‫)‬ ‫‪6‬‬ ‫ق(‬ ‫‪6‬جا�س ‪ ،‬جد‬ ‫‪-‬‬ ‫‪�2‬س‬ ‫=‬ ‫ق(�س)‬ ‫إاذا كان‬ ‫الحل‬ ‫ق (�س) = ‪ 6 - 2‬جتا�س‬ ‫‪ََ3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫=‪3-2‬‬ ‫‪32‬‬ ‫=‪×6-2‬‬ ‫) = ‪ 6 - 2‬جتا‬ ‫ق(‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫)َ‬‫‪3‬‬ ‫إاذا كان ق(�س) = ‪ 2‬جا�س ‪�6+‬س ‪ ،‬فجد ق(‬ ‫‪2 IóYÉ``b‬‬ ‫اإذا كان ق(�س) = جتا �س ‪� ،‬س ح ‪ ،‬فاإ َّن ق(�س) = ‪ -‬جا�س‪َ.‬‬ ‫ق(ع ) ‪ -‬ق(�س)‬ ‫البرهان‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫جتاع ‪ -‬جتا �سَ‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫= نعهــ←ـ�ــسـا‬ ‫ق(�س) = نعهــ←ـ�ــسـا‬ ‫‪125‬‬

‫‪� -‬س‬ ‫ع‬ ‫جا‬ ‫ع ‪� +‬س‬ ‫جا‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫= (‪ )1-‬نعهــ←ـ�ــسـا‬ ‫‪-‬‬ ‫ع‬ ‫‪2‬‬ ‫�س( )‬‫‪2‬‬ ‫جا‬ ‫*‬ ‫ع ‪� +‬س‬ ‫جا‬ ‫= (‪ )1-‬نعهــ←ـ�ــسا‬ ‫‪2‬‬ ‫ع ‪�2-‬س‬ ‫= �س ‪� +‬ص‪،‬‬ ‫ع ‪�2+‬س‬ ‫يكون‬ ‫‪� -‬س‬ ‫بفر�ض �ص = ع‬ ‫‪2‬‬ ‫عندما ع ← �س ‪ ،‬ف�إ َّن �ص ←‪0‬‬ ‫جا�صَ ( )‬ ‫�ص‬ ‫∴ ق (�س) = (‪ )1-‬ن�هـصــــ←ـا‪ 0‬جا (�س ‪� +‬ص) *‬ ‫‪ -‬جا�س * ‪1‬‬ ‫=‬ ‫جا�ص‬ ‫= (‪ )1-‬ن�هصــــ←ــ‪0‬ا جا (�س ‪� +‬ص) * ن�صهــــ←ــ‪0‬ا‬ ‫�ص‬ ‫∴ َق (�س) = ‪ -‬جا �س‬ ‫‪π‬‬ ‫جتا�س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫�س‬ ‫)‪َ.‬‬ ‫فجد ق (‬ ‫‪،0‬‬ ‫‪� ،‬س ≠‬ ‫�إذا كان ق(�س) =‬ ‫الحل‬ ‫ط ِّبق قاعدة م�شتقة خارج ق�سمة اقترانين‪:‬‬ ‫‪ -‬جا �س ‪ -‬جتا �س *‬ ‫�س (�س)‬ ‫�س (جتا �س) ‪( -‬جتا �س) *‬ ‫�س *‬ ‫�س‪2‬‬ ‫�س‪2‬‬ ‫ق (�س) =‬ ‫‪َ1‬‬ ‫�س *‬ ‫=‬ ‫‪� -‬س جا�س ‪ -‬جتا�س‬ ‫=‬ ‫�س‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2 π92‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪3-‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫* ‪- 32‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‪-‬‬ ‫‪َπ‬‬ ‫‪ -‬جتا‬ ‫‪π‬‬ ‫* جا‬ ‫‪π‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪π‬‬ ‫(‬ ‫ق‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫(‬ ‫)‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪126‬‬

‫‪4‬‬ ‫إ�ذا كان �ص = أ� جا�س ‪ +‬ب جتا�س ‪� ،‬أ‪،‬ب ح ‪ ،‬ف�أثبت أ� َّن �ص ‪� +‬ص = ‪ً0‬‬ ‫الحل‬ ‫�ص = أ� جتا�س– ب حا�س‬ ‫�ص = – أ�حا�س– ب جتا�س = – ( �أجا�س ‪ +‬ب جتا�س)َ‬ ‫أ�ي �أ َّن �ص = – �ص ومنه �ص ‪� +‬ص = �صف ًراً‬ ‫‪ً ً2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫إ�ذا كان ق(�س) = �س جا�س ‪ ،‬فجد ق ( ‪َ.) 2‬‬ ‫يمكنكا�ستخدامالقاعدتين‪2،1‬في�إيجادم�شتقاتالاقتراناتالمثلثية‪:‬ظا�س‪،‬ظتا�س‪،‬قا�س‪،‬قتا�س‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫�إذا كان ق(�س) = ظا�س ‪ ،‬ف�أثبت �أ َّن ق (�س) = قا‪�2‬س‪َ.‬‬ ‫البرهان‬ ‫جا�س‬ ‫جتا �س‬ ‫=‬ ‫ق(�س)‬ ‫بال�صورة‬ ‫ق‬ ‫الاقتران‬ ‫كتابة‬ ‫يمكنك‬ ‫‪1‬‬ ‫جتا‪�2‬س ‪ +‬جا‪�2‬س‬ ‫ط ِّبق قاعدة الق�سمة في الا�شتقاق‪.‬‬ ‫جتا‪�2‬س‬ ‫جتا‪�2‬س‬ ‫�س‬ ‫جا‬ ‫‪-‬‬ ‫*‬ ‫جتا�س ‪ -‬جا �س‬ ‫*‬ ‫جتا�س‬ ‫جتا‪�2‬س‬ ‫= قا‪�2‬سَ‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫(�س)‬ ‫ق‬ ‫‪3‬‬ ‫ا�ستخدم القاعدتين (‪ )2( ،)1‬في �إثبات قواعد ا�شتقاق الاقترانات‪ :‬ظتا�س ‪ ،‬قتا�س‪ ،‬قا�س كما‬ ‫في الجدول الآتي‪:‬‬ ‫الم�شتقة‪ :‬ق(�س)َ‬ ‫الاقتران‪ :‬ق(�س)‬ ‫قا�س‬ ‫قا�س ظا �س‬ ‫قتا�س‬ ‫‪ -‬قتا�س ظتا�س‬ ‫ظتا�س‬ ‫‪ -‬قتا‪�2‬س‬ ‫‪127‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪َ1‬‬‫=‬ ‫ق (�س)‬ ‫إاذا كان ق(�س) = قتا�س ‪ +‬ظتا�س ‪ ،‬فاأثبت اأ َّن‬ ‫جتا�س‪1-‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫البرهان‬ ‫جا�س‬ ‫ق (�س) = – قتا�س ظتا�س – قتا‪�2‬س =‬ ‫‪َ1‬‬‫‪-‬‬‫جتا�س‬ ‫*‬ ‫جا�س‬ ‫جا‪�2‬س‬ ‫‪-‬جتا�س ‪1 -‬‬ ‫جا‪�2‬س‬ ‫=‬ ‫(جتا�س ‪)1 +‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪ -1‬جتا‪�2‬س‬ ‫‪( -‬جتا�س‪)1+‬‬ ‫=‬ ‫(‪ -1‬جتا�س) (‪ +1‬جتا�س)‬ ‫‪1-‬‬ ‫=‬ ‫‪ -1‬جتا�س‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫جتا�س‪1-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ُح َّل الم�ساألة الواردة في بداية الدر�س‪.‬‬ ‫‪128‬‬

: á«JB’G äÉfGÎb’G øe πx µd ¢¢US óL(1 ¢SÉL2¢S = ¢U (Ü ¢SÉàL – ¢SÉL3 = ¢U ( GC ¢S π 3 - ¢S ÉX = ¢U ( O ¢S ¢S ÉàL = ¢U (`L ¢S ÉàX ¢S - ¢S Éàb = ¢U ( h ¢S 2ÉàL + ¢S2ÉL = ¢U (`g πx c k. ¢U ád’óH ¢U6 + ¢U óéa , ¢SÉL = ¢U ¿Éc GPEG (2 äÉfGÎb’G øe πx µd (¢S)¥ óL (3 ¢S ÉàL ¢SÉL = (¢S)¥ ( GC n:É¡æe óæY á«J’B G AGREGπ3áæ«Ñ=ŸG¢¢SS,᪫b π 4 = ¢S , (¢S -)ÉàL + (¢S -)ÉL = (¢S)¥ (Ü π = ¢S , ¢SÉàL = (¢S)¥ (`L ¢SÉL +1 π 6 = ¢S , ¢SÉ`b ¢S = (¢S)¥ ( O π = ¢S , ¢S + ¢SÉX = (¢S)¥ ( `g 3 ¢SÉL kGôk Ø°U = ¢U + ¢U ádOÉ©ª∏d Óv M Èo n à©jo ¢SÉL = ¢U , ¢SÉàL =¢U øe Óv c ¿s CG âÑKCG (4 n: »JÉC j ɇ πx c ‘ 0 = (¢S)¥ ádOÉ©ŸG ≥≤– »àdG [π 2 , π 2-] IÎØdG ‘ ¢S º«b óL (5 ¢S É`b = (¢S)¥ (Ü ¢SÉàL + ¢S = (¢S)¥ ( CG 129

‫ياأتي‪:‬‬ ‫مما‬ ‫لك ٍّل‬ ‫‪�2‬س‬ ‫‪ )6‬جد‬ ‫�س‪2‬‬ ‫ب) �س = �س جتا �س – ‪4‬جـا �س‬ ‫اأ ) �س = قتا�س‬ ‫جتا�س ‪� ،‬س ≤ ‪0‬‬ ‫‪ )7‬اإذا كان ق(�س) =‬ ‫أا�س ‪ +‬ب ‪� ،‬س < ‪0‬‬ ‫فجد قيمة ك ٍّل من الثابتين أا ‪ ،‬ب التي تجعل الاقتران ق قاب ًلا للا�ستقاق عند �س= ‪0‬‬ ‫‪ )8‬اإذا كان ق(�س) = |جا �س|‪� ،‬س [‪ ]π 2 ، 0‬فابحث في قابلية الاقتران ق للا�ستقاق عند �س= ‪. π‬‬ ‫[‪ ]π 2 ، 0‬فجد قيمة ( قيم ) �س التي تجعل المما�س‬ ‫�س ‪� ،‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ )9‬اإذا كان ق(�س) = جا�س ‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫لمنحنى ق أافق ًّيا‪.‬‬ ‫‪130‬‬

‫‪Chain Rule‬‬ ‫ﺧﺎﻣ ًﺴﺎ ‪á∏°ù∏°ùdG IóYÉb‬‬ ‫اإذا كان �س = (�س‪� - 3‬س)‪ ، 6‬فجد ��سس‬ ‫تعلمت �ساب ًقا بع�س قواعد الا�ستقاق التي تمكنك من اإيجاد م�ستقات اقترانات ب�سيطة‪ ،‬مثل‪:‬‬ ‫م�ستقة حا�سل جمع‪ ،‬أاو طرح‪ ،‬اأو �سرب‪ ،‬اأو ق�سمة اقترانين‪ .‬في هذا الدر�س �ستتعلم اإيجاد م�ستقة‬ ‫�سي≠ لاقترانات مركبة‪.‬‬ ‫‪ôcòJ‬‬ ‫‪ Ö«côJ‬ا‪Îb‬ا‪Úf‬‬ ‫اإذا كان ق ‪ ،‬هـ اقترانين حيث �س = ق(ع) ‪،‬ع = هـ (�س) وكان مدى هـ مجموعة جزئية‬ ‫من مجال ق ‪ ،‬فاإ َّنه يمكن كتابة �س على ال�سورة‪:‬‬ ‫�س = ق(ع) = ق(هـ (�س)) اأو (ق ‪ °‬هـ)(�س)‪.‬‬ ‫‪IóYÉ`b‬‬ ‫‪b‬ا‪ IóY‬ال‪°ù∏°ù‬ة‬ ‫اإذا كان الاقترانان ق‪ ،‬هـ قابلين للا�ستقاق عند �س‪ ،‬وكان الاقتران ق قاب ًلا للا�ستقاق عند‬ ‫هـ (�س)‪ ،‬فيكون الاقتران المركب (ق ‪ °‬هـ)(�س) قاب ًلا للا�ستقاق عند �س و إا َّن‪:‬‬ ‫(ق ‪ °‬هـ)َ (�س) = َق (هـ(�س)) × هـ َ (�س)‪.‬‬ ‫في ال�سكل المجاور تجد أا َّن‪:‬‬ ‫�س = ق(ع) ‪)1( ...........‬‬ ‫ع = هـ (�س) ‪)2( ...........‬‬ ‫اأي أا َّن �س = ق(هـ (�س)) = (ق ‪ °‬هـ)(�س)‬ ‫اإن اإيجاد ��سس يعني إايجاد م�ستقة تركيب اقترانين أاي اأ َّن‪:‬‬ ‫��سس = (ق‪°‬هـ)َ(�س) = َق (هـ(�س)) × هـ َ (�س)‬ ‫ح�سب قاعدة ال�سل�سلة‬ ‫‪131‬‬

‫لاأ َّن ع = هـ (�س)‬ ‫= ق (ع) × هـ (�س) ‪)3( ..............‬‬ ‫من العلاقة (‪َ َ)2‬‬‫ع‬ ‫�س‬ ‫�عس من العلاقة (‪ ،)1‬هـ (�س) =‬ ‫لكن ق (ع)=‬ ‫بالتعوي�س في العلاقة (‪ )3‬ينتج اأ َّن‪َ َ:‬‬ ‫‪º«ª©J‬‬ ‫ع‬ ‫�عس *‬ ‫��سس =‬ ‫�س‬ ‫وهذه �سورة أاخرى لقاعدة ال�سل�سلة‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إاذا كان �س= (�س‪ 10)1- 3‬فجد ��سس‬ ‫الحل‬ ‫يمكن حــل الم�س أالة با�ستخــدام قاعدة ال�سل�سـلة‪ ،‬حيث نكـتب �س على �سـورة اقـتران مركب‬ ‫متغيره (�س) بفر�س ع = �س‪ ، 1 – 3‬في�سبح �س = ع‪ 10‬وبا�ستخدام قاعدة ال�سل�سلة تح�سل على‬ ‫ع‬ ‫��سس = �عس *‬ ‫�س‬ ‫= ‪10‬ع‪�3( × 9‬س‪ ، )2‬عو�س عن ع بدلالة �س لتح�سل على ‪:‬‬ ‫��سس = ‪�( 10‬س‪�3( × 9)1 – 3‬س‪�30 = )2‬س‪�(2‬س‪. 9)1 –3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اإذا كان ق(�س) = �س‪ ، 2‬هـ (�س) = ‪�6 -1‬س ‪ ،‬فجد ك ًّلا مما ي أاتي‪:‬‬ ‫‪( )1‬ق ‪ °‬هـ)َ(�س)‬ ‫‪( )2‬ق ‪ °‬هـ)َ(‪)1‬‬ ‫الحل‬ ‫‪ََ،‬قق((ه َهــ‪�-�((1‬سس‪)�))6‬س=)× ه‪×-‬ـ َ‪6�(-6‬س)‬ ‫َق (�س) = ‪�2‬س‬ ‫‪( )1‬ق ‪ °‬هـ)َ(�س) =‬ ‫=‬ ‫‪132‬‬

‫= ‪�6-1 (2‬س) × ‪�72 = 6-‬س ‪12-‬‬ ‫‪( )2‬ق ‪ °‬هـ) (‪َ60 = 12- )1(72 = )1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫اإذا كان ل(�س) = ظا �س‪ ، 3‬فجد ل (�س)َ‬ ‫الحل‬ ‫ابحث عن اقترانين ق ‪ ،‬هـ بحيث يكون ل = ق ‪ °‬هـ‬ ‫بفر�س هـ (�س) = �س‪ ، 3‬ق(�س) = ظا�س ‪ ،‬فاإ َّن‪:‬‬ ‫هـ (�س) = ‪�3‬س‪ ، 2‬ق (�س) = قا‪�2‬سَ َ‬ ‫ق(هـ (�س)) = ق(�س‪ = )3‬ظا �س‪ = 3‬ل(�س)‬ ‫ل (�س) = ق(هـ (�س)) × هـ (�س)‬ ‫= ق (�س‪�3 × )3‬س‪َ ََ َ2‬‬ ‫= (قا‪�2‬س‪�3( ) 3‬س‪�3 = )2‬س‪2‬قا‪�2‬س‪. 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إا ُذحا َّلكاالمن�ساألقة(�السو)ار=دة‪2‬بد�ايسة ا‪+‬لد�ر‪�1‬سس‪،.‬‬ ‫(�س)َ‬ ‫(ق ‪ °‬هـ)‬ ‫فجد‬ ‫= جا�س‬ ‫(�س)‬ ‫هـ‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫من فوائد قاعدة ال�سل�سلة إايجاد م�ستقة اقتران مرفوع لقوة مثل �س= ( ل(�س)) ن ‪� ،‬س= جان�س‬ ‫واقترانات اأخرى مثل �س= جاهـ(�س) ‪ ......‬إال‪ï‬‬ ‫‪áé«àf‬‬ ‫إاذا كان ل(�س) اقترا ًنا قاب ًلا للا�ستقاق عند �س ‪ ،‬وكان �س = ( ل(�س))ن‪ ،‬حيث ن عدد‬ ‫�سحيح ‪ ،‬ف إا َّن ��سس = ن ل(�س) ن‪ * 1-‬ل (�س)( ) َ‬ ‫‪133‬‬

‫= ل(�س)َ‬ ‫ع‬ ‫البرهان‬ ‫�س‬ ‫بفر�ض ع = ل (�س) ‪ ،‬ومنه‬ ‫فيكون �ص = ع ن ‪ ،‬ومنه �عص = ن عن‪ =1-‬ن (ل(�س))ن‪1-‬‬ ‫ع‬ ‫�عص *‬ ‫��سص =‬ ‫با�ستخدام قاعدة ال�سل�سلة ينتج �أ َّن‪:‬‬ ‫�س‬ ‫∴ ��سص = ن (ل(�س))ن‪ * 1-‬ل(�س)َ‬ ‫‪4‬‬ ‫�إذا كان �ص = ( قتا �س ‪ +‬ظتا �س)ن‪ ،‬ن عدد �صحيح موجب فبينِّ �أ َّن ��سص = ‪ -‬ن �ص قتا�س‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫��سص = ن( قتا �س ‪ +‬ظتا �س)ن‪ - ( 1-‬قتا�س ظتا�س ‪ -‬قتا‪�2‬س)‬ ‫= ن( قتا �س ‪ +‬ظتا �س)ن‪ - × 1-‬قتا�س( ظتا�س ‪ +‬قتا�س)‬ ‫= ‪ -‬ن ( قتا �س ‪ +‬ظتا �س)ن × قتا�س‬ ‫ومنه ��سص = ‪ -‬ن �ص قتا�س‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� )1‬إذا كان �ص = ( قا �س ‪ +‬ظا �س)‪ ،2‬فجد ��سص عند �س= ‪0‬‬ ‫با�ستخدام النتيجة ال�سابقة‬ ‫‪5‬‬ ‫إ�ذا كان �ص = ظا ‪�4‬س ‪ ،‬فجد ��سص ‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫�ص = (ظا �س)‪4‬‬ ‫��سص = ‪(4‬ظا �س)‪( 3‬ظا �س) َ‬ ‫ = ‪(4‬ظا �س)‪ ( 3‬قا‪�2‬س) = ‪4‬ظا‪�3‬س قا‪�2‬س‬ ‫‪134‬‬

‫��سس ‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫إاذا كان �س = جتا( �س‪ ، )1+ 2‬فجد‬ ‫‪�2‬س‬ ‫=‬ ‫ع‬ ‫‪،‬‬ ‫الحل‬ ‫�س‬ ‫بفر�س ع = �س‪1+ 2‬‬ ‫‪� ،‬عس = ‪ -‬جا ع = ‪ -‬جا(�س‪)1+2‬‬ ‫�س = جتا ع‬ ‫قاعدة ال�سل�سلة‬ ‫ع‬ ‫= �عس *‬ ‫��سس‬ ‫�س‬ ‫= ‪ -‬جا (�س‪�2 × )1+ 2‬س‬ ‫= ‪�2-‬س جا (�س‪)1+ 2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫اإذا كان هـ (�س) اقترا ًنا قاب ًلا للا�ستقاق عند �س وكان �س = جا(هـ (�س))‪ ،‬ف أاثبت اأ َّن ‪:‬‬ ‫��سس = هـ (�س) جتا(هـ (�س))َ‬ ‫= هـ َ (�س)‬ ‫ع‬ ‫البرهان‬ ‫�س‬ ‫بفر�س ع = هـ (�س) ‪ ،‬ومنه‬ ‫‪ ،‬ومنه �عس = جتاع = جتا (هـ (�س))‬ ‫�س = جا ع‬ ‫قاعدة ال�سل�سلة‬ ‫ع‬ ‫= �عس *‬ ‫��سس‬ ‫�س‬ ‫= جتا(هـ (�س)) × هـ (�س) = هـ (�س) جتا(هـ (�س))‪َ َ.‬‬ ‫‪º«ª©J‬‬ ‫اإذا كان ع اقترا ًنا قاب ًلا للا�ستقاق عند �س ‪ ،‬فيمكنك ا�ستخدام قاعدة ال�سل�سلة في إاثبات �سحة‬ ‫�س (جتاع) = ‪ -‬جاع × �سع‬ ‫‪)2‬‬ ‫القواعد ال آاتية‪:‬‬ ‫�س ( ظتاع) = ‪ -‬قتا‪2‬ع × �سع‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪� )1‬س (جا ع) = جتاع × �سع‬ ‫�س (قتاع) = ‪ -‬قتاع ظتاع × �سع‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪� )3‬س (ظاع) = قا‪2‬ع × �سع‬ ‫‪� )5‬س ( قاع) = قاع ظاع × �سع‬ ‫‪135‬‬

‫‪8‬‬ ‫�إذا كان �ص= جتا‪�(3‬س‪ 2)1-2‬فجد ��سص‬ ‫الحل‬ ‫��سص = (‪ 3‬جتا‪�(2‬س‪-( )2)1 - 2‬جا(�س‪�(2( )2)1-2‬س‪�2 * )1-2‬س)‬ ‫= ‪� 12-‬س (�س‪ )1 - 2‬جتا‪�(2‬س‪ 2)1 - 2‬جا(�س‪2)1-2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ )2‬ق(�س) = ( �س‪�2 + 3‬س ‪7 )8 -‬‬ ‫جد ق(�س) لك ٍّل مما ي�أتي ‪َ:‬‬ ‫‪ )1‬ق(�س) = قا‪� 4‬س‬ ‫‪ )3‬ق(�س) = جا‪� 4‬س‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫�إذا كان ق(‪�3‬س ) = ‪� 6‬س‪�9 + 2‬س ‪ ،‬فجد ق (‪َ) 3‬‬ ‫الحل‬ ‫ق(‪�3‬س ) ُي�شكل تركي ًبا لاقترانين‬ ‫با�شتقاق الطرفين ‪:‬‬ ‫ق ( ‪�3‬س) × ‪�12 = 3‬س ‪َ9 +‬‬ ‫�ضع �س = ‪ 1‬فتح�صل على ق ( ‪)3‬‬ ‫∴ ق( ‪ ، 9 + )1(12 = 3 × )3‬ومنه‪ :‬ق(‪َ َ َ7 = 3 + 4 = )3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪π‬‬ ‫)َ َ‬‫‪6‬‬‫(‬‫هـ‬ ‫‪ ،‬فجد‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫إ�ذا كان هـ (�س) = ق ( حا ‪�2‬س) وكان ق (‬ ‫‪2‬‬ ‫الحل‬ ‫با�شتقاق الطرفين نجد أ� َّن‪:‬‬ ‫هـ َ (�س) = َق ( جا‪�2‬س) (جا‪�2‬س)َ = ‪ 2‬جتا‪�2‬س ق (جا‪�2‬س)َ‬ ‫‪136‬‬

‫‪π‬‬‫)َ َ‬‫ق(حا‬ ‫)‬ ‫‪π‬‬ ‫(‬ ‫جتا‬ ‫×‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪π‬‬ ‫(‬ ‫هـ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)َ‬‫‪3‬‬ ‫×ق(‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪×2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫×‪8=8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪×2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪� -‬س‪ ، 2‬فجد ق ( ‪َ)7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إ�ذا كان ق(�س‪= )1 - 3‬‬ ‫�س‬ ‫‪137‬‬

1 : »JCÉj ɇ πx c ‘ ¢¢US OÉéjE’ á∏°ù∏°ùdG IóYÉb Ωóîà°SG (1 5(1 + 2¢S) = ¢U (Ü 8(4 + ¢S2 –3¢S ) = ¢U ( CG (¢S -2¢S )ÉàL = ¢U ( O 4¢S = ¢U (`L 4(3¢S - 1) :»JCÉj ɇ Óv c óéa , 1 + 3¢S = (¢S) `g , ¢S2- 2¢S = (¢S)¥ ¿Éc GPEG (2 (1) n(¥ ° `g) (Ü (1) n(`g ° ¥) ( CG , 3 = (2) `g ¿Éch ɪ¡«dÉ› ≈∏Y ¥É≤à°TÓd Ú∏HÉbh ì ≈∏Y Úaô©e ÚfGÎbG `g ,¥ ¿Éc GPEG (3 :»JCÉj ɇ Óv c óéa , 6- = (2) n `g , 4 = (3) ¥n (Ü ° 3 = ¢S óæY n((2¢S)¥) (2)n (`g ¥) ( GC í«ë°U OóY ¿ å«M , ((¢S)`g) ¿ÉL =¢U ¿Éch ,¢S óæY ¥É≤à°TÓd Ók HÉb (¢S) `g ¿Éc GPGE (4 :¿s CG âÑKCÉa n(¢S) `g * ((¢S)`g) ÉàL((¢S)`g) 1-¿ÉL ¿ = ¢¢US : »JÉC j ɇ πx c ‘ ¢¢US óL (5 ¢S – 3¢S = ´ , ´ÉX = ¢U ( GC 5(1 + 2¢S) =∫ , ∫2 + 2∫ = ¢U (Ü k0= ¢U + ¢U :¿s GC âÑKCÉa ,( π +¢S) ÉàL =¢U ¿Éc GPGE (6 2 ¢S4Éb = ¢¢US : ¿s CG øgÈa , ¢S3ÉX 1 + ¢S ÉX =¢U ¿Éc GPEG (7 3 138

‫‪ ) 8‬جد ��سس لك ٍّل من الاقترانات ال آاتية عند قيمة �س المبينة اإزاء ك ٍّل منها ‪:‬‬ ‫�س = ‪) (1‬‬‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫�س‬ ‫�س ‪+‬‬ ‫�س =‬ ‫ب)‬ ‫‪9‬‬ ‫�س =‬ ‫‪،‬‬ ‫أا ) �س = حا‪�3 2‬س‬ ‫‪،‬‬ ‫جتا‪�2‬س‬ ‫‪:‬‬ ‫ياأتي‬ ‫مما‬ ‫ك ٍّل‬ ‫� ًس في‬ ‫جد‬ ‫)‬ ‫‪9‬‬ ‫ظا‬ ‫�س‬ ‫اأ )‬ ‫ب) �س= �س‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫�س =‬ ‫�س‬ ‫]‬ ‫‪π‬‬ ‫(‪،0‬‬ ‫‪ )10‬إاذا كان ق اقترا ًنا قاب ًلا للا�ستقاق وكان ق (حا‪�2‬س) = قتا (‪�2‬س) حيث �س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪|.‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫َق (‬ ‫فجد‬ ‫�س = ‪1‬‬‫‪ )11‬إاذا كان �س = ق( �س‪�2 + 2‬س) ‪ ،‬ق(‪ ، 5 = )3‬فجد ��سسَ‬ ‫‪ )12‬إاذا كان ق(‪�4‬س) = �س (�س‪ ، )3+ 2‬فجد ق (‪َ.)4‬‬ ‫‪ )13‬اإذا كان ق(�س) = �س‪�2+ 3‬س ‪ ،‬هـ (�س) = ‪�3‬س‪ ، 2‬فجد ك ًّلا مما ي أاتي ‪:‬‬ ‫ب) ( َق ‪ °‬هـ َ )َ (‪)2‬‬ ‫أا ) ( َق ‪ °‬هـ)َ(‪)1‬‬ ‫د ) ( َق ‪ °‬هـ َ )ً (‪)3‬‬ ‫جـ) ( َق ‪ °‬هـ)ً (‪)1-‬‬ ‫‪139‬‬

‫‪Implicit Differentiation‬‬ ‫‪»æª°†dG ¥É≤à°T’G‬‬ ‫ﺳﺎد ًﺳﺎ‬ ‫)‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جد معادلة المما�س لمنحنى العلاقة �س‪� + 2‬س‪ 1 = 2‬عند النقطة (‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫تعلمت �ساب ًقا إايجاد م�ستقات لاقترانات معطاة ب�سورة وا�سحة على ال�سكل �س = ق(�س)‬ ‫�س‪� ، 4 + 2‬س≤‪0‬‬ ‫مثل �س = ( �س‪� ، 3)1+2‬س = �س‪2‬ظا�س ‪� ،‬س = ‪�6 - 4‬س ‪� ،‬س>‪0‬‬ ‫و ُت�سمى اقترانات �سريحة؛ ل أان المتغير التابع (�س) يظهر وحي ًدا في طرف والمتغير الم�ستقل (�س)‬ ‫في الطرف الاآخر‪ .‬في هذا الدر�س �سوف تجد م�ستقات علاقات اأو معادلات قد ي�سعب فيها ف�سل‬ ‫المتغير الم�ستقل عن المتغير التابع‪ ،‬و ُت�سمى ‪H‬ال©لا‪b‬ا‪ ä‬ال†‪«æª°‬ة‪.‬‬ ‫يمكنك الح�سول على اأك‪ Ì‬من اقتران من علاقة �سمنية واحدة؛ فمث ًلا من العلاقة �س‪� + 2‬س‪1=2‬‬ ‫يمكنك الح�سول على �س= ‪� -1 +‬س‪ 2‬وهذه علاقة مكونة من اقترانين �س= ‪� -1‬س‪، 2‬‬ ‫�س= ‪� -1 -‬س‪ . 2‬في هذا الدر�س �سوف تتعرف كيفية اإيجاد ��سس لعلاقات �سمنية ‪.‬‬ ‫‪éj’E‬ا‪�� O‬سس ل©لا‪b‬ة ‪«æª°V‬ة ا‪ ™ÑJ‬ا‪ƒ£ÿ‬ا‪ ä‬ا ‪«J’B‬ة ‪:‬‬ ‫‪ )1‬ا�ستق طرفي المعادلة بالن�سبة إالى �س‪.‬‬ ‫التي تحوي ��سس‬ ‫ال آاخر‪.‬‬ ‫الطرف‬ ‫في‬ ‫الحدود‬ ‫وباقي‬ ‫طرف‪،‬‬ ‫في‬ ‫عام ًلا م�ستر ًكا‪.‬‬ ‫اأجخ ِِّمرعجالحد��وسسد‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪ )4‬جد ��سس ب إاجراء عملية الق�سمة‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إاذا كان ‪�4‬س – ‪�2‬س ‪ ، 0= 8 +‬فجد ��سس‬ ‫‪140‬‬

‫الحل‬ ‫في هذا المثال يمكنك إايجاد ��سس بطريقتين ‪:‬‬ ‫الطريقة ال أاولى ‪ :‬التعبير عن �س بدلالة �س ( إايجاد علاقة �سريحة بين �س‪� ،‬س)‬ ‫‪1‬‬ ‫��سس =‬ ‫‪1‬‬ ‫‪�2‬س ‪8 -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س ‪،2 -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫�س=‬ ‫الطريقة الثانية ‪ :‬ا�ستقاق طرفي المعادلة بالن�سبة اإلى �س با�ستخدام قاعدة ال�سل�سلة‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫��سس =‬ ‫��سس‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ، 0 = 2-‬منه‬ ‫‪*4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اإذا كان �س‪� + 3‬س‪� 6 = 3‬س �س ‪ ،‬ف أاجب عن ك ٍّل مما ي أاتي‪:‬‬ ‫‪ )1‬جد �س ‪َ.‬‬ ‫‪ )2‬جد ميل المما�س المر�سوم لمنحنى العلاقة عند النقطة ( ‪.)3 ،3‬‬ ‫الحل‬ ‫‪� 3 )1‬س‪� 3 + 2‬س‪� 2‬س = ‪�6‬س × �س ‪� +‬س × ‪6‬‬ ‫‪� 3‬س‪� 2‬س ‪�6 -‬س �س = ‪�6‬س – ‪� 3‬س‪َ َ2‬‬ ‫‪�3‬س ( �س‪�2 -2‬س) = ‪�6‬س – ‪� 3‬س‪َ َ2‬‬ ‫‪�2‬س ‪� -‬س‪َ2‬‬ ‫�س‪�2 - 2‬سَ‬ ‫=‬ ‫‪�6‬س ‪�3 -‬س‪2‬‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫‪�(3‬س‪�2 - 2‬س)‬ ‫‪ )2‬عندما �س = ‪� ، 3‬س = ‪3‬‬ ‫‪23 - 3 * 2‬‬ ‫‪3 * 2 - 23‬‬ ‫= ‪َ1-‬‬ ‫�س =‬ ‫‪3‬‬ ‫اإذا كان ‪�4‬س‪ -2‬جا �س = �س‪ ، 2‬فجد �س ‪َ.‬‬ ‫الحل‬ ‫‪� 2×4‬س � َس – جتا�س × � َس = ‪�2‬س‬ ‫‪141‬‬

‫‪� 8‬س �س – �س جتا�س = ‪�2‬س‬ ‫�س (‪�8‬س – جتا�س) = ‪�2‬سَ َ‬ ‫‪�2‬سَ‬ ‫‪�8‬س‪-‬جتا�سَ‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫‪� 2 )2‬س �س – �س‪� = 1+ 3‬س ‪�2 +‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫جد ��سس لك ٍّل مما ياأتي‪:‬‬ ‫‪� 3)1‬س‪�4 – 2‬س‪8 = 2‬‬ ‫‪� )3‬س‪� + 2‬س = ظا�س‬ ‫يمكنك ا�ستخدام الا�ستقاق ال�سمني لتعميم م�ستقة �سن ؛ عندما يكون ن عد ًدا ن�سب ًّيا كما في‬ ‫النظرية الاآتية ‪:‬‬ ‫‪ájô``¶f‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫م‬ ‫م‬ ‫��سس =‬ ‫عدد ن�سبي فاإ َّن ‪:‬‬ ‫م‬ ‫م‬ ‫(�س) ن‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫إاذا كان �س= �س ن ‪ ،‬حيث‬ ‫البرهان‬ ‫م‬ ‫ارفع طرفي المعادلة �س= �س ن اإلى ال أا�س ن لتح�سل على ‪:‬‬ ‫بالن�سبة إالى �س لتح�سل على ‪:‬‬ ‫�سمن ًّيا‬ ‫ثم ا�ستق الطرفين‬ ‫�سن = �س م ‪،‬‬ ‫��سس = م �س م ‪1-‬‬ ‫ن �سن‪× 1-‬‬ ‫م‬ ‫�سم ‪ -1-‬م ‪+‬‬ ‫م‬ ‫=‬ ‫م‬ ‫�سم ‪1-‬‬ ‫*‬ ‫م‬ ‫=‬ ‫�سم ‪1-‬‬ ‫*‬ ‫م‬ ‫=‬ ‫�سم ‪1-‬‬ ‫*‬ ‫م‬ ‫��سس =‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫(�س)م ‪-‬‬ ‫م‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫)ن ‪1-‬‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫�سن ‪1-‬‬ ‫ن‬ ‫(�س‬ ‫‪1-‬‬ ‫م‬ ‫�س‬ ‫م‬ ‫��سس =‬ ‫اإذن‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫‪142‬‬

‫��سس عند �س = ‪16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪� ،‬س >‪ ، 0‬فجد‬ ‫إاذا كان �س‪� = 2‬س ‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪� 12‬س‪-‬‬ ‫��سس‬ ‫الحل‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪� 2‬س *‬ ‫‪�2‬س ‪2‬‬ ‫عندما �س=‪ 16‬تكون �س = ‪ 2‬وعليه تكون‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪16‬‬ ‫‪1‬‬ ‫��سس =‬ ‫‪2*4‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪áé«àf‬‬ ‫إاذا كان ق(�س) اقترا ًنا قاب ًلا للا�ستقاق عند �س ‪ ،‬وكان �س= (ق(�س))ن‪ ،‬حيث ن عدد‬ ‫ن�سبي‪ ،‬فاإ َّن ��سس = ن(ق(�س))ن‪ * 1-‬ق (�س)َ‬ ‫‪5‬‬ ‫اإذا كان �س= هـ (�س) ‪ ،‬وكان هـ (�س) اقترا ًنا قاب ًلا للا�ستقاق عند �س ف أاثبت اأ َّن‪:‬‬ ‫هـ (�س)‬ ‫��سس =‬ ‫‪ 2‬هـ (�س)‬ ‫‪َ) (1‬‬ ‫الحل‬ ‫هـ (�س) بال�سورة �س= هـ(�س) ‪ ، 2‬وبما اأ َّن هـ (�س) اقتران قابل‬ ‫يمكنك التعبير عن �س=‬ ‫للا�ستقاق عند �س ‪ ،‬فيمكن تطبيق النتيجة ال�سابقة لتح�سل على ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪َ ) ( َ1-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫��سس =‬ ‫‪2‬‬ ‫(�س) =‬ ‫هـ‬ ‫*‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(�س))‬ ‫(هـ‬ ‫*‬ ‫‪2‬‬ ‫هـ (�س) ‪ * 2‬هـ (�س)‬ ‫= هـ (�س)َ َ‬ ‫هـ (�س)‬ ‫*‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2‬هـ (�س)‬ ‫‪1‬‬ ‫(هـ (�س)) ‪2‬‬ ‫‪143‬‬

‫‪6‬‬ ‫إ�ذا كان ( �س ‪� -‬ص)‪� = 5‬س‪ ، 2‬فجد ��سص عند النقطة ( ‪.)0 ،1‬‬ ‫الح ل‬ ‫ا�شتق الطرفين بالن�سبة �إلى �س لتح�صل على ‪:‬‬ ‫‪�(5‬س ‪� -‬ص)‪�� -1( 4‬سص ) = ‪�2‬س‬ ‫‪�2‬س‬ ‫��سص ) =‬ ‫(‪-1‬‬ ‫‪�(5‬س ‪� -‬ص)‪4‬‬ ‫‪�2‬س‬ ‫=‪-1‬‬ ‫�ص‬ ‫�س‬ ‫‪�(5‬س ‪� -‬ص)‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪-1‬‬ ‫‪1*2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫=‬ ‫|‬ ‫�ص‬ ‫�س‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4)0-1(5‬‬ ‫(‪)0،1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�ص‬ ‫لك ٍّل مما ي�أتي‪:‬‬ ‫�س‬ ‫جد‬ ‫‪�( )2‬س – �ص) ‪� –2‬ص = ‪0‬‬ ‫‪� )1‬ص ‪ +‬جتا �س = ‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫إ�ذا كان �س = ظتا ‪�2‬ص ف�أثبت �أ َّن �ص = ‪� -‬ص جا‪�4‬صً َ‬ ‫الحل‬ ‫ا�شت َّق الطرفين بالن�سبة �إلى �س‬ ‫‪�2‬صَ‬ ‫‪ -( =1‬قتا‪�2 2‬ص)( ‪�2‬ص)‬ ‫جا‪2‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫=‬ ‫‪1-‬‬ ‫�ص =‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬قتا‪�22‬ص‬ ‫(‪2‬جا ‪�2‬ص) (جتا‪�2‬ص)(‪�2‬ص)َ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬جا�س جتا�س= جا‪�2‬س‬ ‫�ص = ‪-‬‬ ‫(جا ‪�4‬ص) (‪�2‬ص)ً َ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪-‬‬ ‫�ص = ‪� -‬ص جا ‪�4‬صً َ َ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪144‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ف�أثبت �أ َّن ‪:‬‬ ‫)‪،‬‬ ‫(‪، 0‬‬ ‫إ�ذا كان جتا �ص = �س ‪� ،‬ص‬ ‫‪1-‬‬ ‫=‬ ‫��سص‬ ‫‪� -1‬س‪2‬‬ ‫‪� 2‬ص ⎥‬ ‫‪8‬‬ ‫�س‪2‬ن = ‪1‬‬ ‫إ�ذا كان �ص = ن‪� ، 4‬س= ‪6‬ن ‪ ، 1 +‬فجد‬ ‫الحل‬ ‫�ص‬ ‫��سص =‬ ‫قاعدة ال�سل�سلة‬ ‫�نس‬ ‫*‬ ‫ن‬ ‫‪،‬‬ ‫�س‬ ‫�نس جد �أولا‬ ‫لتجد‬ ‫ن‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫�نس‬ ‫= ‪ 6‬ومنه‬ ‫�س‬ ‫‪6‬‬ ‫ن‬ ‫��سص = ( ‪4‬ن‪× )3‬‬ ‫ن‪3‬‬ ‫‪23‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫لأ َّن الا�شتقاق بالن�سبة إ�لى �س‬ ‫�سن‬ ‫= ‪ 23 * 3‬ن‪* 2‬‬ ‫‪�2‬ص‬ ‫�س‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ن‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬ن‪*2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪�2‬ص‬ ‫عندما ن =‪، 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫�س‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫عند ن =‬ ‫‪�2‬ص‬ ‫إ�ذا كان �س = جا ‪3‬ن ‪� ،‬ص = جتا‪3‬ن ‪ ،‬فجد‬ ‫�س‪2‬‬ ‫‪145‬‬

2¢S4 + 3¢S = 2¢U (Ü : »JÉC j ɇ πx µd ¢¢US óL (1 2¢S = (¢U ¢S)ÉL ( O 16 = 2¢U4 + 2¢S ( GC ¢U ¢S = 3¢U + 3¢S (`L : »JÉC j ɇ πx µd ¢U2 óL (2 2¢S 16 = 2¢U3 + 2¢S4 (Ü ¢S4 = 3(¢U ¢S) ( CG 2 + ¢U = ¢S ÉL ( O ¢U ÉàL ¢S = ¢U (`L : É¡æe πx c AGRGE áæ«ÑŸG §≤ædG óæY á«JB’G äÉbÓ©dG øe πx µd ¢¢US ᪫b óL (3 π π ( 2 , 4 ) , 2 π = ¢U ÉàL + ¢U ¢S 8 ( GC (1- ,1) , 2 = 3¢U + ¢U ¢S2 –3¢S (Ü (1 ,4) , 3= 2 + 4 (`L ¢U ¢S n. ¢U óéa ,¢SÉàL 2¢U = (¢U + ¢S)ÉL ¿Éc GPEG (4 ÉgQGó≤e ájhGR ¢SɪŸG ÉgóæY ™æ°üj »àdG 3 = ¢U + ¢S ábÓ©dG ≈æëæe ≈∏Y á£≤ædG óL (5 .äÉæ«°ùdG QƒëŸ ÖLƒŸG √ÉŒ’G ™e °135 ¢S3 + 2¢S = ¢U (Ü :»JÉC j ɇ πµd ¢¢US óL (6 2(1 + ¢S2) 3 =¢U ( CG 146

‫‪ ) 7‬اإذا كان �س = جا�س ‪ ،‬ف أاثبت اأ َّن �س = ظا�س قا‪�2‬س‪ً.‬‬ ‫)‪.‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪π‬‬ ‫(‬ ‫عند النقطة‬ ‫��سس‬ ‫‪ ) 8‬إاذا كان �س جتا‪�2‬س = �س جا ‪�2‬س ‪ ،‬فجد‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ ) 9‬إاذا كان �س �س = جا�س‪ ،‬فاأثبت أا َّن‪� :‬س �س ‪�2 +‬س ‪� +‬س �س = ‪َ ً0‬‬ ‫عند ن = ‪.1‬‬ ‫‪�2‬س‬ ‫فجد‬ ‫‪،‬‬ ‫‪4‬ن‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫‪ )10‬إاذا كان �س = ن‪2 + 3‬ن ‪،‬‬ ‫�س‪2‬‬ ‫ن‬ ‫‪ )11‬اإذا كان �س ‪� +‬س = جا �س‪ ،‬ف أاثبت اأ َّن‪:‬‬ ‫(�س)‪� =2‬س (ظتا �س‪ -‬قتا�س)َ ً‬ ‫‪ )12‬إاذا كان �س = جا�س ‪� +‬س �س ‪ ،‬ف أاثبت أا َّن ‪:‬‬ ‫�س ‪� +‬س = ‪��-21‬سسً َ‬ ‫‪147‬‬

‫‪ )1‬إاذا كان ق(�س) = ظا�س وتغيرت �س من �س اإلى �س ‪ +‬هـ ‪ ،‬ف أاثبت أا َّن مع ّندل التغير للاقتران ق‬ ‫ي�ساوي‪:‬‬ ‫قا‪�2‬س * ظاهـ‬ ‫هـ (‪ -1‬ظا�س *ظاهـ)‬ ‫)‪َ.‬‬‫‪π‬‬ ‫ق(‬ ‫لاإيجاد‬ ‫الم�ستقة‬ ‫تعريف‬ ‫فا�ستخدم‬ ‫‪�2‬س‪،‬‬ ‫جا‬ ‫=‬ ‫ق(�س)‬ ‫كان‬ ‫‪ )2‬إاذا‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ ،‬جد َق(�س)‪.‬‬ ‫‪� ≤ 0 ،‬س<‪1‬‬ ‫�س‪�2+2‬س‪2+‬‬ ‫‪� ≤ 1 ،‬س ≤‪3‬‬ ‫‪ )3‬ليكن ق(�س) = [�س ] ‪�4 +‬س‬ ‫‪ )4‬اإذا كان ل(�س) اقترا ًنا قاب ًلا للا�ستقاق عند �س = ‪ ، 1-‬ل(‪ ،1 = )1-‬ل (‪َ2 = )1-‬‬ ‫فجد ق (‪ )1-‬في ك ٍّل مما ياأتي ‪َ:‬‬ ‫(ل(�س))‪2‬‬ ‫ب) ق(�س) =‬ ‫اأ ) ق(�س) = �س‪ * 5 +‬ل(�س)‬ ‫�س‪� - 2‬س‬ ‫‪π‬‬ ‫ل(�س))‬ ‫‪3‬‬ ‫(‬ ‫ظا‬ ‫=‬ ‫ق(�س)‬ ‫)‬ ‫د‬ ‫ل(�س)‬ ‫جـ) ق(�س) = ل (�س) ‪-‬‬ ‫�س‬ ‫‪ )5‬أا ) إاذا علمت أا َّن �س = �س ظا �س ‪ ،‬فاأثبت اأ َّن ‪:‬‬ ‫�س = ‪2‬قا‪�2‬س( ‪� + 1‬س)ً‬ ‫ب) اإذا كان جا �س = �س ‪� | ،‬س|< ‪ ، 1‬ف أاثبت اأ َّن ‪:‬‬ ‫)‬ ‫‪π‬‬ ‫(‪،0‬‬ ‫‪� ،‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� -1‬س‪2‬‬ ‫�س‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫ن‬ ‫عند‬ ‫‪�2‬س‬ ‫‪ )6‬اإذا كان �س = ن‪4 –2‬ن ‪� ،‬س = ‪2‬ن – ‪ ، 5‬فجد‬ ‫�س‪2‬‬ ‫‪ )7‬إاذا كان ق ‪ ،‬هـ اقترانين قابلين للا�ستقاق؛ بحيث كان هـ (�س) = ق(�س ) ‪،‬‬ ‫ق(�س ) = ‪ -‬هـ ( �س ) ‪ ،‬وكان ل(�س) = (هـ (�س))‪( + 2‬ق (�س))‪ ، 2‬فجد ل (�س) ‪َ َ َ.‬‬ ‫‪148‬‬