الرياضيات العلمي - الصف الثاني عشر

‫‪ )4‬ع ِّين قاعدة �لقتر�ن ق(�س) = �أ�س‪ + 3‬ب �س‪ + 2‬جـ �س ‪ +‬د ‪� ( ،‬أ ≠‪ ،0‬ب‪ ،‬جـ‪ ،‬د �أعد�د حقيقية)‬ ‫�لذي يمر منحناه بالنقطة (‪ ،)5 ،1‬ومعادلة �لمما�س لمنحناه عند نقطة �لنعطاف (‪ ،)1 ،2‬هي ‪:‬‬ ‫�س ‪�3 +‬س – ‪0= 7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ )5‬إ�ذ� كان ق(�س) =‬ ‫�س‬ ‫‪ ،‬هـ(�س) = �س ‪ 3‬ف أاجب عما ياأتي‪:‬‬ ‫�أ ) قارن مجالت �لتقعر لك ٍّل من �لقتر�نين ق‪ ،‬هـ‪.‬‬ ‫ب) جد قيم �س �لتي يكون عندها ك ٌّل من �لقتر�نين ق‪ ،‬هـ غير مت�شل‪.‬‬ ‫جـ) جد نقط �لنعطاف لك ٍّل من �لقتر�نين ق‪ ،‬هـ إ�ن ُوجدت‪.‬‬ ‫‪ )6‬يمثل �ل�شكل (‪ )18-3‬منحنى ق(�س)‪ ،‬ومنحنى ق(�س) للاقتر�ن ق(�س) �لمع ّرف على ح‪ً َ.‬‬ ‫�عتمد على ذلك في � إلجابة عن �لأ�شئلة � آلتية‪:‬‬ ‫�أ ) ع ِّين مجالت �لتز�يد و�لتناق�س للاقتر�ن ق‪.‬‬ ‫ب) ع ِّين قيم �س �لتي يكون للاقتر�ن عندها قيم ق�شوى محلية با�شتخد�م‪:‬‬ ‫(‪� )1‬ختبار �لم�شتقة � ألولى‪.‬‬ ‫(‪� )2‬ختبار �لم�شتقة �لثانية‪.‬‬ ‫جـ ) ع ِّين مجالت �لتقعر للاقتر�ن ق‪.‬‬ ‫د ) ع ِّين نقط �لنعطاف للاقتر�ن ق‪.‬‬ ‫�ل�شكل (‪)18-3‬‬ ‫‪199‬‬

‫‪iƒ°ü≤dG º«≤dG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫ﺧﺎﻣ ًﺴﺎ‬ ‫‪Applications of Extreme Values‬‬ ‫�شفيحة من �لورق م�شتطيلة �ل�شكل م�شاحتها ‪�128‬شم‪ ،2‬ير�د طباعة �إعلان عليها‪� ،‬إذ�‬ ‫‪1‬‬ ‫�شم‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫كان عر�س ك ٍّل من �لهام�شين في ر أ��س �لورقة و أ��شفلها ‪�1‬شم‪ ،‬وفي ك ٍّل من �لجانبين‬ ‫فجد ُبع َد ْي �لورقة بحيث تكون �لم�شاحة �لمطبوعة أ�كبر ما يمكن‪.‬‬ ‫تو�جهك كثير من �لق�شايا (�لم�شائل) �لحياتية في �لعلوم و�لهند�شة و�لقت�شاد وغيرها‪ ،‬تحتاج إ�لى‬ ‫معرفة �أكبر قيمة أ�و�أ�شغر قيمة لكمية متغيرة‪ ،‬ولحل هذه �لم�شائل تلج أا إ�لى تحويلها من �شور لفظية �إلى‬ ‫معادلتو�قتر�نات؛من�أجل�إيجاد�لقيم�لق�شوىلها‪.‬وفيماي أاتينقدمبع�س�لم�شائلفيتلك�لمو��شيع‬ ‫بو�شفها �أمثلة محلولة تو�شح كيفية �لتعامل معها ريا�ش اًّيا‪ ،‬ومن ثَم تجد لها �لقيم �لق�شوى �لمطلوبة‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫قطعة أ�ر� ‪m‬س م�شتطيلة �ل�شكل‪ ،‬محيطها ‪ 800‬متر‪ .‬جد ُبع َدي قطعة � ألر�س لتكون م�شاحتها أ�كبر‬ ‫ما يمكن‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫نفر�س �أ َّن �س‪� ،‬س ُبعد� قطعة � ألر�س‪ ،‬وم�شاحتها م‪ ،‬كما في‬ ‫�ل�شكل (‪.)19-3‬‬ ‫�ل�شكل (‪)19-3‬‬ ‫�لمعطيات‪ :‬محيط قطعة �لأر�س = ‪ 800‬متر‪.‬‬ ‫�لمطلوب‪ :‬إ�يجاد قيمتي �س‪� ،‬س لتكون م أ�كبر ما يمكن‪.‬‬ ‫�كتب �لمعادلة �لتي تربط بين �لمتغير�ت؛ بحيث ت�شبح �لكمية �لمطلوب �إيجاد قيمتها �لق�شوى‪،‬‬ ‫�قتر� ًنا لمتغير م�شتقل و�حد‪.‬‬ ‫م = �س �س ‪)1( ......‬‬ ‫ولجعل �لعلاقة بدللة متغير و�حد �س �أو �س‪ ،‬و ِّظف معطيات �لم�شاألة‪ ،‬وهي �أ َّن محيط قطعة‬ ‫� ألر�س=‪800‬م أ�ي �أ َّن‪:‬‬ ‫‪�2‬س ‪�2 +‬س=‪ ، 800‬ومنها �س =‪� - 400‬س ‪)2( ......‬‬ ‫‪200‬‬

‫وبالتعوي�س في (‪ )1‬تجد أ� َّن‪:‬‬ ‫م(�س) = �س (‪� - 400‬س) حيث ‪� <0‬س < ‪ 400‬لماذ�؟‬ ‫وبذلك ت�شبح (م) بال�شورة �لآتية‪:‬‬ ‫م(�س) = ‪�400‬س ‪� -‬س‪ )3( ..... 2‬وهو �قتر�ن بمتغير و�حد (�س)‪ ،‬وقابل للا�شتقاق‪.‬‬ ‫و إليجاد �لقيم �لق�شوى �لمطلوبة للاقتر�ن م(�س) ن�شتق �لمعادلة (‪ )3‬ونتحقق من ذلك كما ياأتي‪:‬‬ ‫م (�س) = ‪�2 - 400‬س‪.‬‬ ‫م (�س) =‪ 0‬أ�ي �أ َّن ‪�2 - 400‬س=‪ ،0‬ومنه �س = ‪َ200‬‬ ‫ولختبار أ� َّن للاقتر�ن قيمة عظمى عند �س=‪ 200‬تجد م (�س) عند �س = ‪َ200‬‬ ‫م (�س) = ‪ ، 2-‬ومنه م (‪ً 2- = )200‬‬ ‫إ�ذن للاقتر�ن قيمة عظمى محلية عند (�س =‪ )200‬لماذ�؟ً ً‬ ‫�أي تكون م�شاحة قطعة �لأر�س أ�كبر ما يمكن عندما �س =‪ 200‬متر‬ ‫وبالتعوي�س عن قيمة �س في �لمعادلة (‪ )2‬تجد �أ َّن‬ ‫�س =‪ 200 = 200 - 400‬متر‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫مجموع عدد مع مثلي عدد �آخر ي�شاوي ‪ ،40‬جد �لعددين بحيث يكون حا�شل �شربهما �أكبر ما‬ ‫يمكن م�شتخد ًما تطبيقات �لتفا�شل‪.‬‬ ‫لحل ا‪FÉ°ùŸ‬ل ا‪ª©d‬ل«‪Y á‬ل≈ ا‪ º«≤d‬ا‪ ∂æµÁ ;iƒ°ü≤d‬ا‪ ´ÉÑJ‬ا‪ƒ£ÿ‬ا‪ ä‬ا’‪:á«JB‬‬ ‫‪� )1‬قر أ� �لم�شاألة وحدد �لمتغير�ت‪ ،‬و�ر�شم �شك ًلا تو�شيح اًّيا للم�ش أالة‪.‬‬ ‫‪ )2‬حــدد �لمتغــير �لمطلوب �إيجاد قيمتــه �لق�شوى‪ ،‬و�كتب �لمعادلة (�لعلاقــة) �لتي تربط هذ�‬ ‫�لمتغير بالمتغير�ت � ألخرى‪.‬‬ ‫‪� )3‬كتب �لمتغير �لمطلوب �إيجاد قيمته �لق�شوى كاقتر�ن في متغير و�حد‪.‬‬ ‫‪ )4‬حدد مجال �لقتر�ن �لنا‪� œ‬إن أ�مكن‪.‬‬ ‫‪�� )5‬شتخدم ما تعلمته في �لدرو�س �ل�شابقة في �إيجاد �لقيم �لق�شوى (�ختبار �لم�شتقة �لثانية‪،‬‬ ‫�ختبار �لم�شتقة �لأولى)‪.‬‬ ‫‪201‬‬

‫‪2‬‬ ‫متوازي م�ستطيلات قاعدته مربعة ال�شكل‪ ،‬ومجموع أ�طوال أ�حرفه ي�ساوي ‪�600‬سم‪ ،‬جد أ�بعاد‬ ‫متوازي الم�ستطيلات التي تجعل حجمه أ�كبر ما يمكن‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫افر�ض �أ َّن �س طول قاعدته‪،‬و�ص ارتفاعه‪ ،‬و أ� َّن ح حجمه‪.‬‬ ‫كما في ال�شكل (‪.)20-3‬‬ ‫المعطيات‪:‬‬ ‫ال�شكل (‪)20-3‬‬ ‫مجموع أ�طوال �أحرف متوازي الم�ستطيلات (‪�6 00‬سم)‬ ‫المطلوب‪:‬‬ ‫�إيجاد أ�بعاد متوازي الم�ستطيلات �س‪� ،‬ص ليكون حجمه (ح) أ�كبر ما يمكن‪.‬‬ ‫اكتب المعادلة التي تربط بين المتغيرات؛ بحيث ت�صبح الكمية المطلوب إ�يجاد قيمتها الق�صوى‬ ‫اقترا ًنا لمتغير واحد كالآتي‪:‬‬ ‫ح = �س‪�2‬ص ‪)1( .....‬‬ ‫و إليجاد �أحد المتغيرين �س �أو �ص بدلالة الآخر‪ ،‬ا�ستخدم معطيات الم�س أ�لة وهي أ� َّن مجموع �أطوال‬ ‫أ�حرفه ي�ساوي (‪�600‬سم)‪ ،‬أ�ي أ� َّن‪:‬‬ ‫‪�4‬ص ‪�8 +‬س = ‪ 600‬ومنها �ص = ‪�2-150‬س ‪)2( .....‬‬ ‫وبالتعوي�ض في (‪ )1‬تجد �أ َّن‪:‬‬ ‫ح(�س) = �س‪�2-150(2‬س) حيث ‪� <0‬س < ‪ ( 75‬لماذا؟)‬ ‫= ‪�150‬س‪�2-2‬س‪ )3( ..... 3‬وهو اقتران بمتغير واحد‬ ‫ولإيجاد القيم الق�صوى المطلوبة للاقتران ح(�س) ا�شت َّق المعادلة (‪ ،)3‬وتحقق من ذلك كما ي�أتي‪:‬‬ ‫ح(�س) = ‪�300‬س ‪�6-‬س‪2‬‬ ‫وتكون ح(�س) =‪ 0‬عندما ‪�300‬س‪�6-‬س‪� ،0= 2‬أي عندما �س =‪� ،50‬س= ‪( 0‬تهمل)َ‬ ‫ولاختبار أ� َّن للاقتران قيمة عظمى عند (�س=‪ )50‬جد ح(�س) عند �س=‪َ50‬‬ ‫ح(�س) = ‪�12 -300‬س‪ ،‬ومنه ح(‪ً 300- = )50‬‬ ‫وبما �أ َّن ح(‪� 0 < )50‬إذن للاقتران ح قيمة عظمى محلية عند �س =‪ ،50‬وبالتعوي�ض في المعادلة (‪ً ً ً)2‬‬ ‫‪202‬‬

‫تجد أ� َّن �ص=‪ ،50‬أ�ي �أ َّن حجم متوازي الم�ستطيلات يكون أ�كبر ما يمكن عندما تكون �س=‪� 50‬سم‪،‬‬ ‫�ص =‪�50‬سم‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ُح َّل الم�س�ألة الواردة في بداية الدر�س‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫جد النقطة الواقعة في الربع ا ألول على منحنى ق(�س) = �س‪4-2‬‬ ‫التي تكون �أقرب ما يمكن إ�لى النقطة (‪)0،6‬‬ ‫الحل‬ ‫افر�ض النقطة (�س‪�،‬ص) تقع على منحنى ق و�أ َّن ف ال ُبعد‬ ‫بين النقطة (�س‪�،‬ص) والنقطة (‪.)0،6‬انظر ال�شكل (‪.)21-3‬‬ ‫ال�شكل (‪)21-3‬‬ ‫المعطيات‪:‬‬ ‫ق(�س)= �س‪ ، 4-2‬إ�حداثيا النقطة (‪.)0،6‬‬ ‫المطلوب‪� :‬إيجاد �إحداثيي النقطة (�س‪�،‬ص) لتكون الم�سافة ف �أقل ما يمكن‪.‬‬ ‫اكتب المعادلة التي تربط بين المتغيرات؛ بحيث ت�صبح الم�سافة ف المطلوب �إيجاد قيمتها الق�صوى‬ ‫اقترا ًنا لمتغير واحد‪ ،‬كالآتي‪:‬‬ ‫ف = (�س‪�( +2)6-‬ص‪� ، 2)0-‬ص = �س‪4 -2‬‬ ‫ف = (�س‪� + 2)6-‬ص‪�2 = 2‬س‪�12 - 2‬س ‪)1(......... 32 +‬‬ ‫و إليجاد القيم الق�صوى المطلوبة للاقتران ف؛ ا�شتق المعادلة (‪ )1‬وتحقق من ذلك كما ي�أتي‪:‬‬ ‫‪�4‬س ‪12 -‬‬ ‫الجدول (‪)13-3‬‬ ‫‪�2‬س‪�12 - 2‬س ‪32 +‬‬ ‫‪ ،‬ف = ‪َ َ0‬‬ ‫ف= ‪*2‬‬ ‫ومنه‪�4 :‬س ‪ 0 =12 -‬ومنه �س = ‪3‬‬ ‫وبدرا�سة �إ�شارة ف في الجدول (‪ )13-3‬تجد �أ َّن‪َ:‬‬ ‫للاقتران ف قيمة �صغرى محلية عند �س=‪، ،3‬بالتعوي�ض تجد �أ َّن �ص= ‪5‬‬ ‫�أي أ� َّن الم�سافة ف تكون �أقل ما يمكن عندما تكون النقطة (�س‪�،‬ص) هي (‪) 5 ،3‬‬ ‫‪203‬‬

‫‪3‬‬ ‫يقع الم�ستطيل �أ ب جـ د في المنطقة المح�صورة بين منحنى ق(�س)=�س‪�4 - 2‬س ‪ 4 +‬والم�ستقيم‬ ‫�ص= ‪ 4‬بحيث يقع ر�أ�ساه �أ‪ ،‬ب على منحنى ق‪ ،‬ور أ��ساه ا آلخران جـ‪ ،‬د على الم�ستقيم �ص= ‪،4‬‬ ‫جد ُبع َد ْي الم�ستطيل �أ ب جـ د لتكون م�ساحته �أكبر ما يمكن‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫�أ (‪ ،)20،0‬ب (‪ )5،0‬نقطتان ثابتتان‪ ،‬جـ نقطة تتحرك على محور ال�سينات الموجب‪ ،‬جد بعد‬ ‫النقطة جـ عن نقطة ا أل�صل ليكون قيا�س الزاوية أ� جـ ب أ�كبر ما يمكن‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫افر�ض أ� َّن (هـ) قيا�س الزاوية أ� جـ ب‪( ،‬هـ‪ )1‬قيا�س الزاوية ب جـ م‪( ،‬هـ‪ )2‬قيا�س الزاوية أ� جـ م‪ ،‬طول‬ ‫جـ م = �س كما في ال�شكل (‪.)22-3‬‬ ‫المعطيات‪� :‬أ (‪ ،)20،0‬ب (‪ ،)5،0‬جـ نقطة تتحرك‬ ‫على محور ال�سينات‪.‬‬ ‫المطلوب‪ :‬إ�يجاد �أكبر قيا�س ممكن للزاوية أ� جـ ب‪.‬‬ ‫اكتب المعادلة التي تربط المتغيرات بحيث ت�صبح الكمية‬ ‫المطلوب إ�يجاد قيمتها الق�صوى‪ ،‬اقترا ًنا لمتغير واحد‪.‬‬ ‫ال�شكل (‪)22-3‬‬ ‫ظاهـ‪ - 2‬ظاهـ‪1‬‬ ‫ظاهـ‪1‬‬ ‫ظاهـ‪2‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫ظا(هـ‪ -2‬هـ‪= )1‬‬ ‫هـ =‬ ‫ظا‬ ‫ومنه‬ ‫هـ‪=1‬‬ ‫ظا‬ ‫‪20‬‬ ‫‪ ،‬ظا هـ‪=2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪�15‬س‬ ‫‪15‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪20‬‬ ‫هـ =‬ ‫ظا‬ ‫= �س‪ 100+2‬وبا�شتقاق الطرفين تجد �أ َّن‪:‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫�س‪100+2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫�س‪2‬‬ ‫�س‬ ‫*‬ ‫‪20‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫�س‬ ‫‪�15 -1500‬س‪2‬‬ ‫(�س‪َ2)100 + 2‬‬ ‫=‬ ‫‪�15‬س‪�30-1500+ 2‬س‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪�15 - )15()100+‬س*‪�2‬س‬ ‫(�س‪2‬‬ ‫=‬ ‫هـ‬ ‫*‬ ‫قا‪2‬هـ‬ ‫(�س‪2)100+2‬‬ ‫(�س‪2)100+ 2‬‬ ‫‪204‬‬

(14-3) ∫hó÷G 10= ¢S ¬æeh 0 = 2¢S15-1500 ÉeóæY 0= `g n n:¿s GC óŒ (14-3) ∫hó÷G ‘ `g IQÉ°TGE á°SGQóHh 10=¢S ÉeóæY (`g) ájhGõ∏d øµ‡ ¢SÉ«b ÈcCG ¿s GC …CG á£≤f øY äGóMh 10 QGó≤à `L á£≤ædG ó©ÑJ ÉeóæY …CG .π°U’C G 4 GPEG ,º°S8 ɪ¡æe πx c ∫ƒW ,Ú©∏°†dG ≥HÉ£àe å∏ãe πµ°T ≈∏Y ,»Ñ°ûN ìƒd ¢üb ≈dEG êÉàëf Ée ÈcCG å∏ãŸG áMÉ°ùe π©Œ »àdG `g ájhGõdG ¢SÉ«b óéa ,IÒ¨àe `g å∏ãŸG ¢SGC Q ájhGR âfÉc .øµÁ 5 ,ºFÉb …ôFGO •hô πNGO ¬©°Vh øµÁ ,πµ°ûdG á©Hôe ¬JóYÉb ºFÉb »YÉHQ Qƒ°TƒŸ ºéM ÈcCG óL .º°S(9) ¬YÉØJQGh º°S(6) •hôîŸG IóYÉb ô£b ∞°üf ∫ƒW π◊G .º°S(9) ¬YÉØJQGh ,º°S(6) •hôîŸG IóYÉb ô£b ∞°üf ∫ƒW :äÉ«£©ŸG •hô πNGO ¬©°Vh øµÁ ,πµ°ûdG ¬©Hôe ¬JóYÉb ,ºFÉb »YÉHQ Qƒ°TƒŸ ºéM ÈcCG OÉéjGE :܃∏£ŸG .º°S9 ¬YÉØJQGh º°S6 √ô£b ∞°üf ∫ƒW ºFÉb …ôFGO ¬YÉØJQGh ,(≥f2) Qƒ°TƒŸG IóYÉb ô£b ∫ƒW ¿s GC ¢VôaG .(¢S) ¬JóYÉb ™∏°V ∫ƒWh (´) íÑ°üJ å«ëH äGÒ¨àŸG ÚH §HôJ »àdG ádOÉ©ŸG ÖàcG Ò¨àŸ Éfk GÎbG iƒ°ü≤dG ɡફb OÉéjEG ܃∏£ŸG ᫪µdG .(23-3) πµ°ûdG ô¶fG .óMGh (23-3) πµ°ûdG (1)..... ´2¢S =ì ∫ÓN øe äÉã∏ãŸG ¬HÉ°ûJh ,¢SQƒZÉã«a ájô¶f Ωóîà°SG ôNB’G ád’óH ´ ,¢S øjÒ¨àŸG óMGC OÉéjE’h 205

‫معطيات الم�س�ألة‪� :‬أي أ� َّن‪:‬‬ ‫(‪2‬نق)‪� =2‬س‪� + 2‬س‪ 2‬ومنه ‪4‬نق‪�2 = 2‬س‪ 2‬أ�ي أ� َّن‪:‬‬ ‫‪2‬نق‪� = 2‬س‪)2(..... 2‬‬ ‫ومنه ‪3‬نق= ‪2 -18‬ع‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫نق‬ ‫ومن الت�شابة تجد‬ ‫‪9‬‬ ‫‪-9‬ع‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪3-18‬نق) ‪)3(.....‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ع=‬ ‫وبتعوي�ض ك ٍّل من (‪ )2‬و(‪ )3‬في المعادلة (‪ )1‬تجد أ� َّن‬ ‫ح(نق) = ‪18‬نق‪3 - 2‬نق‪ )4(..... 3‬وهو اقتران بمتغير واحد‪.‬‬ ‫ولإيجاد القيم الق�صوى المطلوبة للاقتران ح‪ ،‬ا�شتق المعادلة (‪ )4‬وتحقق من ذلك كما ي�أتي‪:‬‬ ‫ح(نق) = ‪36‬نق ‪9 -‬نق‪2‬‬ ‫وتكون ح (نق) = ‪ ،0‬عندما ‪36‬نق ‪9 -‬نق‪ 0 = 2‬أ�ي عندما نق = ‪ ، 4‬نق = ‪( 0‬تهمل)َ‬ ‫ولاختبار أ� َّن للاقتران قيمة عظمى محلية جد ح(نق)َ‬ ‫ح (نق) = ‪18 - 36‬نق ً‬ ‫ومنه ح (‪ً0< 36- = 72 - 36 = )4‬‬ ‫�إذن للاقتران قيمة عظمى محلية عند نق = ‪ .4‬لماذا؟ً‬ ‫أ�ي �أ َّن أ�كبر حجم للمو�شور عندما تكون نق = ‪4‬‬ ‫ومنه يكون حجم مو�شور ح(‪�96 = 64 × 3 - 16 × 18 = )4‬سم‪.3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫جد حجم أ�كبر مخروط دائري قائميمكن و�ضعه داخل مخروط دائري قائم‪ ،‬طول ن�صف قطرقاعدته‬ ‫‪�6‬سم‪،‬وارتفاعه‪�12‬سم‪،‬بحيثيقعر أ��سالمخروطالداخليعلىمركزقاعدةالمخروطالخارجي‪.‬‬ ‫‪206‬‬

‫‪6‬‬ ‫يقف رجل عند النقطة أ� التي تبعد ‪6‬كم جنوب النقطة ب‪،‬‬ ‫يريد �أن ي�صل إ�لى النقطة جـ الواقعة �شرق النقطة ب ‪ ،‬مرو ًرا‬ ‫بالنقطة د ‪� ،‬إذا كان ي�سير ب�سرعة ‪3‬كم‪�/‬ساعة عند لاانتقال‬ ‫من النقطة أ� إ�لى النقطة د‪ ،‬وي�سير ب�سرعة ‪6‬كم‪�/‬ساعة عند‬ ‫ال�شكل (‪)24-3‬‬ ‫لاانتقال من النقطة د �إلى النقطة جـ ‪ ،‬فح ِّدد موقع النقطة‬ ‫د بحيث ي�صل في �أق�صر وقت ممكن‪ ،‬عل ًما ب أ� َّن ال ُبعد بين‬ ‫النقطة ب والنقطة جـ (‪ )15‬كم‪ .‬انظر ال�شكل (‪.)24-3‬‬ ‫الحل‬ ‫المعطيات‪ :‬أ� ب = ‪6‬كم‪ ،‬ب جـ = ‪15‬كم‬ ‫�سرعة الرجل عند لاانتقال من �أ �إلى د = ‪3‬كم‪�/‬ساعة‬ ‫�سرعة الرجل عند لاانتقال من د إ�لى جـ = ‪6‬كم‪�/‬ساعة‬ ‫المطلوب‪ :‬تعيين موقع النقطة (د) الذي يجعل الرجل ي�صل �إلى النقطة (جـ) مرو ًرا بالنقطة (د)‬ ‫ب�أق�صر وقت‪.‬‬ ‫اكتب المعادلة التي تربط بين المتغيرات بحيث ت�صبح الكمية المطلوب �إيجاد قيمتها الق�صوى اقترا ًنا‬ ‫لمتغير واحد‪.‬‬ ‫الم�سافة‬ ‫ال�سرعة‬ ‫الزمن =‬ ‫‪)1( .............‬‬ ‫‪ � -6 1 5 +‬س ‬ ‫ف‬ ‫=‬ ‫ن‬ ‫‪3‬‬ ‫ولإيجاد أ�حد المتغيرين �س أ�و ف بدلالة ا آلخر ا�ستخدم نظرية فيثاغور�س من خلال معطيات‬ ‫الم�س�ألة؛ �أي أ� َّن‪:‬‬ ‫ف‪� = 2‬س‪ ، 36 + 2‬ومنه ف = �س‪)2( ............. 36 + 2‬‬ ‫وبالتعوي�ض في المعادلة (‪ )1‬نجد �أ َّن‪:‬‬ ‫‪ )3( .............‬وهو اقتران بمتغير واحد‬ ‫‪� -6 15‬س‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‪36 + 2‬‬ ‫ن(�س) =‬ ‫‪3‬‬ ‫‪207‬‬

‫ولإيجاد �لقيم �لق�شوى �لمطلوبة للاقتر�ن ن ��شتق �لمعادلة (‪ )3‬وتحقق من ذلك كما ي أاتي‪:‬‬ ‫‪�2‬س ‪� -‬س‪َ36 +2‬‬ ‫*‬ ‫‪1‬‬ ‫)=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪� 2‬س‬ ‫(‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ن(�س) =‬ ‫‪� 2‬س‪36 +2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س‪+2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫وتكون ن (�س)= ‪ 0‬عندما ‪� 2‬س= �س‪ 36 + 2‬ومنه ‪�3‬س‪� 36=2‬أي عندما �س= ‪َ3 2‬‬ ‫ولختبار �أ َّن للاقتر�ن قيمة �شغرى محلية ندر�س �إ�شارة ن في �لجدول (‪ )15-3‬تجد أ� َّن‪:‬‬ ‫�لجدول (‪)15-3‬‬ ‫للاقتر�ن قيمة �شغرى محلية عند �س = ‪3 2‬‬ ‫أ�ي �أ َّن �لنقطة د تبعد عن ب بمقد�ر ‪ 3 2‬كم‬ ‫‪6‬‬ ‫يقع حقل نفط في �لبحر عند �لنقطة أ� �لتي تبعد ‪2‬كم عن أ�قرب نقطة ب على �ل�شاحل‪ ،‬و�أردنا‬ ‫أ�ن ن�ش َّ‪� ï‬لبترول من �لحقل إ�لى �لم�شفاة �لتي تقع عند �لنقطة جـ على �ل�شاحل‪ ،‬وتبعد ‪6‬كم‬ ‫من ب وذلك بو��شطة أ�نابيب في �لبحر على خط م�شتقيم حتى �لنقطة د على �ل�شاحل‪ ،‬ثم‬ ‫بو��شطة �أنابيب على �لياب�شة على خط م�شتقيم من د إ�لى جـ ‪ ،‬على فر�س أ� َّن �لأنابيب في �لبحر‬ ‫وفي �لياب�شة في م�شتوى و�حد‪� ،‬إذ� كانت تكلفة �لأنابيب تحت �شطح �لبحر ‪ 500000‬دينار‬ ‫لك ِّل كيلومتر وعلى �لياب�شة ‪ 300000‬دينار لكل كيلومتر‪ ،‬ف أاجب عما ي أاتي‪:‬‬ ‫‪� )1‬أين يجب �أن تكون د لتحقق أ�قل تكلفة ممكنة؟‬ ‫‪� )2‬أين يجب �أن تكون د لتحقق أ�كبر تكلفة ممكنة؟‬ ‫�ل�شكل (‪)25-3‬‬ ‫‪208‬‬

.øµÁ Ée ÈcCG ¬Hƒ∏≤eh Oó©dG ™ªL œÉf π©éj …òdG ] 3 , 1 ]IÎØ∏d »ªàæj …òdG Oó©dG óL (1 2 2 øe á浇 áMÉ°ùe πbGC óL ,3º°S π 1000 ¬ªéM ,≈∏YC’G øe ìƒàØe πµ°ûdG ÊGƒ£°SGC AÉYh (2 .¬©«æ°üàd í«Ø°üdG á£≤ædG øY Égó©Ho »àdG 2¢S =¢U ábÓ©dG ≈æëæe ≈∏Y á©bGƒdG (¢U,¢S)GC á£≤ædG »«KGóMEG óL (3 .øµÁ Ée πbCG (0 , 18)Ü Éãk ∏ãe ÚÑLƒŸG Ú«KGóM’E G øjQƒëŸG ™e ™æ°üjh (4,3) á£≤ædÉH Qq ÉŸG º«≤à°ùŸG ádOÉ©e óL (4 .øµÁ Ée πbCG ¬àMÉ°ùe Égô£b ∫ƒW IôFGO ∞°üf (26-3) πµ°ûdG πãÁ (5 øe IôFGódG ≈∏Y ácô◊G `L á£≤ædG äCGóH ,(º°S5)ÜCG Éãk ∏ãe ô£≤dG ™e º°SÎd áYÉ°ùdG ÜQÉ≤Y √ÉŒÉH Ü á£≤ædG (26-3) πµ°ûdG å∏ãŸG áMÉ°ùe π©Œ »àdG `L Ü CG ájhGõdG ¢SÉ«b óL .øµÁ ÉeÈcCG å«ëH º°S4 Égô£b ∞°üf ∫ƒW IôFGO πNGO ¬ª°SQ øµÁ π«£à°ùŸ á浇 áMÉ°ùe ÈcGC óL (6 .IôFGódG ≈∏Y ¿GôN’B G √É°SCGQh IôFGódG ô£b ≈∏Y ¬JóYÉb ≥Ñ£æJ ,äGóMh 4 ¬JôFGO ô£b ∞°üf ∫ƒWh , …ôFGódG ôjó≤àdÉH `g ájõcôŸG ¬àjhGR ¢SÉ«b …ôFGO ´É£b (7 »àdG `g ᪫b óL .´ ¬YÉØJQGh ,≥f ¬JóYÉb ô£b ∞°üf ∫ƒW ,ºFÉb …ôFGO •hô ≈dGE ∫n ƒu Mo .øµ‡ ºéM ÈcGC œÉædG •hôîª∏d π©Œ ≥f `g (27-3) πµ°ûdG 209

‫‪ )8‬م�صنع للأجهزة الكهربائية ينتج �س جها ًزا �سنو ًّيا يبيع كل جهاز ب�سعر (‪� 0.01 -200‬س)‬ ‫دينار‪ ،‬ف�إذا كان تكلفة إ�نتاج هذه ا ألجهزة (‪�50‬س‪ )20+‬دينار‪َ ،‬فكم جها ًزا ينتج الم�صنع‬ ‫لتحقيق �أكبر ربح ممكن �سنو ًّيا ؟‬ ‫ال�شكل (‪)28-3‬‬ ‫‪ )9‬معتم ًدا ال�شكل (‪ )28-3‬الذي يمثل ال�شكل الرباعي ‬ ‫م ب جـ د ‪ ،‬الذي فيه ال�ضلع م ب ثابت وطوله ‪�2‬سم‬ ‫وفيه م د ثابت طوله ‪�1‬سم‪ ،‬إ�لا أ� َّن و�ضعه متحول‪،‬‬ ‫يمكنه أ�ن يدور في م�ستوى حول النقطة م‪ ،‬أ�ما الزاوية‬ ‫دجـ ب فهي قائمة ‪ ،‬وال�ضلعان جـ د ‪ ،‬جـ ب متطابقان‬ ‫دو ًما‪ .‬جد قيا�س الزاوية(هـ) التي تجعل م�ساحة ال�شكل‬ ‫الرباعي عندها أ�كبر ما يمكن‪.‬‬ ‫‪ )10‬جد أ�كبر م�ساحة ممكنة ل�شبه منحرف يمكن ر�سمه‬ ‫تحت محور ال�سينات بحيث تكون �إحدى قاعدتيه على‬ ‫محور ال�سينات ور أ��ساه ا آلخران على منحنى لااقتران‬ ‫ق(�س) = �س‪ ، 4 - 2‬انظر ال�شكل (‪.)29-3‬‬ ‫ال�شكل (‪)29-3‬‬ ‫‪210‬‬

Ü Ω GC å∏ãŸG ¬«a …òdG ,(30-3) πµ``°ûdG Gók ªà©e (1 ¿GÎ``b’G ≈``æëæe ¢ùª`j Ü GC ¬1©∏+``L``¢``S``°V=…(¢òS``)`¥`dG ᪫b óL , ((1)¥ ,1) óæY …hÉ°ù``J å∏ãª`dG áMÉ``°ùe π©Œ »àdG I`óLMâh H94ÉãdG .á©Hôe (30-3) πµ°ûdG øY √ó©Ho ¿s GE å«ëH º«≤à°ùe §N ≈∏Y º«°ùLo ∑ôëàj (2 ¿ óL ,]π,0] ¿ ,¿ 2ÉL – 2 =(¿)± ábÓ©dÉH ≈£©e á«fÉK ¿ ó©Hn QÉàeC’ÉH π°U’C G á£≤f .¬àYöS É¡«a Ωó©æJ »àdG á¶ë∏dG ‘ º«°ù÷o G ´QÉ°ùJ :»JCÉj ɇ Óv c óéa ,ì ¢S , ¢S27 - 3¢S 3 = (¢S)¥ ¿Éc GPEG (3 .áLôM §≤f ¥ ¿GÎbÓd ÉgóæY ¿ƒµj »àdG ¢S º«b ( GC .¥ ¿GÎbÓd ¢übÉæàdG äGÎah ójGõàdG äGÎa (Ü .É¡Yƒf Éæk «Ñe iƒ°üb º«b ¿GÎbÓd ÉgóæY ¿ƒµj »àdG ¢S º«b ( `L :å«M , O + ¢S `L + 2¢S Ü + 3¢S CG = (¢S)¥ ¿GÎb’G IóYÉb Úu Y (4 √ÉæëæŸ ¢SɪŸG ádOÉ©eh (5,0) á£≤ædÉH ¥ ¿GÎb’G ≈æëæe ôÁh ,áàHÉK á«≤«≤M OGóYCG O , `L , Ü , CG .(11- ,2) »g ±É£©fG á£≤f √ÉæëæŸh ,0= 9-¢U + ¢S9 :»g ((1)¥,1) á£≤ædG óæY :óL (¢S)¥ Ohó◊G Òãµd ≈dhC’G á≤à°ûŸG ≈æëæe (31-3) πµ°ûdG πãÁ (5 .¥ ¿GÎbÓd áLô◊G §≤ædG ( GC .¥ ¿GÎbÓd ¢übÉæàdG äGÎah ójGõàdG äGÎa (Ü .á«∏fi iƒ°üb º«b ¿GÎbÓd ÉgóæY ¿ƒµj »àdG ¢S º«b ( `L .¥ ≈æëæŸ ô©≤àdG äGÎa ( O .±É£©fG á£≤f ¿GÎbÓd ÉgóæY ¿ƒµj »àdG ¢S º«b ( `g (31-3) πµ°ûdG 211

‫‪� )6‬إذا كان لااقتران ق(�س) مت�صل على [ ‪، ] 4 ، 1-‬‬ ‫جـ �س‪� + 2‬س ‪ +‬هـ ‪� ≤ 1- ،‬س < ‪1‬‬ ‫وكان ق(�س) = �أ �س ‪ +‬ب‬ ‫‪� ≤ 1 ،‬س ≤‪4‬‬ ‫و ُم ِّث َل منحنى الم�شتقة الأولى للاقتران ق كما في‬ ‫ال�شكل (‪ ،)32-3‬فجد ك ًّال مما يلي‪:‬‬ ‫أ� ) مجموعة قيم �س الحرجة للاقتران ق‪.‬‬ ‫ال�شكل (‪)32-3‬‬ ‫ب) فترات التزايد‪ ،‬وفترات التناق�ص للاقتران ق‪.‬‬ ‫جـ) قيم �س التي يكون عندها للاقتران ق قيم ق�صوى محلية‪.‬‬ ‫د ) قيم ك ٍّل من الثوابت �أ‪ ،‬ب‪ ،‬جـ ‪ ،‬د‪ ،‬هـ ‪ ،‬عل ًما ب أ� َّن ق(‪ ، 2=)1-‬ق(‪8=)4‬‬ ‫‪ )7‬يمثل ال�شكل (‪ )33-3‬مثلث �أ ب جـ قائم الزاوية في ب‬ ‫فيه أ� ب= ‪�6‬سم‪ ،‬ب جـ= ‪�8‬سم‪ ،‬وبداخله م�ستطيل يقع‬ ‫ر أ��سان من ر�ؤو�سه على وتر المثلث والر�أ�سان الآخران‬ ‫يقع ك ٌّل منهما على �ضلعي القائمة‪ .‬جد �أبعاد الم�ستطيل‬ ‫التي تجعل م�ساحته أ�كبر ما يمكن‪.‬‬ ‫ال�شكل (‪)33-3‬‬ ‫‪ )8‬يتكون هذا ال�س�ؤال من (‪ )11‬فقرة من نوع لااختيار‬ ‫من متعدد‪ ،‬يلي كل فقرة (‪ )4‬بدائل‪ ،‬واحد منها فقط �صحيح‪� ،‬ضع دائرة حول رمز البديل‬ ‫ال�صحيح ‪-:‬‬ ‫(‪ )1‬تتحرك نقطة على خط م�ستقيم بحيث إ� َّن الم�سافة (ف) با ألمتار التي تقطعها في زمن قدره‬ ‫(ن) ثانية هي‪ :‬ف(ن) =‪6‬ن‪ - 2‬ن‪ ،13 + 3‬الم�سافة ف عندما ي�صبح الت�سارع �صف ًرا هي‪:‬‬ ‫ب) ‪ 18‬م‬ ‫أ� ) ‪14‬م‬ ‫د ) ‪ 34‬م‬ ‫جـ) ‪ 29‬م‬ ‫(‪ )2‬معدل تغير حجم كرة بالن�سبة إ�لى طول ن�صف قطرها عندما يكون طول ن�صف قطرها‬ ‫ب)‪� π 4‬سم‪�/3‬سم‬ ‫‪�5‬سم ي�ساوي‪:‬‬ ‫د ) ‪�π100‬سم‪�/3‬سم‬ ‫�أ ) ‪�100‬سم‪�/3‬سم‬ ‫جـ) ‪� π 20‬سم‪�/3‬سم‬ ‫‪212‬‬

‫(‪ )3‬وعاء على �شكل مخروط دائري قائم ر�أ�سه إ�لى �أ�سفل‪ ،‬ارتفاعه ‪�16‬سم‪ ،‬وطول ن�صف‬ ‫قطر قاعدته ‪�4‬سم‪�ُ ،‬ص َّب الماء فيه بمعدل ‪�π 2‬سم‪/3‬ث‪ ،‬ف�إ َّن معدل تغير ارتفاع الماء فيه في‬ ‫اللحظة التي يكون ارتفاع الماء ‪�8‬سم ي�ساوي‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب)‪� 2‬سم‪/‬ث‬ ‫�سم‪/‬ث‬ ‫‪2‬‬ ‫أ� )‬ ‫د ) ‪� π12‬سم‪/‬ث‬ ‫‪1‬‬ ‫�سم‪/‬ث‬ ‫‪8‬‬ ‫جـ)‬ ‫(‪�)4‬إذاكانق(�س)=‪�12‬س‪(6+‬م–‪�)2‬س‪2‬ف�إ َّنقيممالتيتجعلمنحنىالاقترانقمقع ًراللأ�سفل‪:‬‬ ‫ب) ( ‪]2 ، ∞ -‬‬ ‫�أ ) [‪)∞ ، 2‬‬ ‫جـ) (‪ ) ∞ ، 2‬د ) ( ‪π )2 ، ∞ -‬‬ ‫(‪� )5‬إذا كان لمنحنى الاقتران ق(�س) = جا ‪�4‬س نقطة انعطاف عند �س = ‪ 4‬ف�إ َّن ميل‬ ‫المما�س عندها ي�ساوي‪:‬‬ ‫�أ ) ‪ 4-‬ب) ‪4‬‬ ‫الفترة‪:‬‬ ‫على‬ ‫متناق�ص‬ ‫ق‬ ‫د ) ‪1-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‪�2 - 2‬س‬ ‫جـ) ‪2-‬‬ ‫(‪)6‬‬ ‫�س‪2‬‬ ‫ف�إ َّن منحنى الاقتران‬ ‫�إذا كان ق(�س) =‬ ‫ب) (‪)∞ ،1‬‬ ‫�أ ) (‪)0 ، ∞ -‬‬ ‫د ) ( ‪]1 ، 0‬‬ ‫جـ) [ ‪ ]1 ، 0‬‬ ‫(‪ )7‬ال�شكل (‪ )34-3‬يمثل منحنى ق (�س) للاقتران ق كثير الحدود المعرف علىح‪ً،‬‬ ‫�إذا كان للاقتران ق نقطة حرجة عند (‪ ،1‬ق(‪ ،))1‬ف�إ َّن ق(‪ )1‬هي قيمة‪:‬‬ ‫أ� ) عظمى محلية ‬ ‫ب) عظمى مطلقة‬ ‫جـ) �صغرى مطل قة ‬ ‫ال�شكل (‪)34-3‬‬ ‫د ) �صغرى محلية‬ ‫(‪� )8‬إذا كان ق(�س)= ‪� 3‬س‪� : 2‬س [‪ ، ]1 ، 1-‬ف إ� َّن للاقتران ق قيمة �صغرى مطلقة عند‬ ‫النقطة‪:‬‬ ‫ب) (‪)1،1‬‬ ‫�أ ) (‪)1،1-‬‬ ‫د ) (‪)1،0‬‬ ‫جـ) (‪)0،0‬‬ ‫‪213‬‬

‫(‪ُ )9‬يراد�صنععلبةمفتوحةمنا ألعلىمنقطعةكرتونم�ستطيلةال�شكل�أبعادها‪�16‬سم‪�30،‬سم‬ ‫وذلك بق�ص مربعات مت�ساوية من زواياها الأربع طول ك ٍّل منها (�س) وحدة ‪ ،‬ثم ط ّي‬ ‫الجوانب للأعلى‪ ،‬ما قيمة �س التي تجعل حجم العلبة �أكبر ما يمكن؟‬ ‫‪10‬‬ ‫�سم‬ ‫‪3‬‬ ‫ب)‬ ‫أ� )‪�12‬سم‬ ‫جـ) ‪� 10‬سم‬ ‫د ) ‪�8‬سم‬ ‫(‪ )10‬إ�ذا كان ق(�س)= جتا�س ‪ -‬جا�س‪�:‬س [‪ ]π، 0‬ف�إ َّن قيمة �س التي يكون للاقتران عندها‬ ‫قيمة �صغرى مطلقة هي‪:‬‬ ‫‪π‬‬ ‫ب)‬ ‫ ‬ ‫�أ ) ‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪π3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫د)‬ ‫‪2‬‬ ‫جـ)‬ ‫∗(‪� )11‬أي المنحنيات في ال�شكل (‪ )35-3‬يمثل ر�سم لااقتران ق الذي فيه ق (‪َ ،0> )0‬‬ ‫َق (‪ً ، 0 < )1‬ق(�س) �سالبة دائ ًما‪:‬‬ ‫�أ ) ب)‬ ‫جـ) د)‬ ‫ال�شكل (‪)35-3‬‬ ‫∗ ال�س�ؤال من �أ�سئلة لااختبارات الدولية‪.‬‬ ‫‪214‬‬

‫ملحق(‪)1‬‬ ‫قوانين ريا�ضية مهمة(المعدلات المرتبطة‪ ،‬تطبيقات القيم الق�صوى)‬ ‫�س �ص‬ ‫‪ )1‬الم�سافة بين نقطتين (�س‪� ، 1‬ص‪�( , )1‬س‪� ، 2‬ص‪ )9 )2‬محيط الم�ستطيل = ‪�( 2‬س‪�+‬ص)‬ ‫م�ساحة الم�ستطيل = (�س * �ص)‬ ‫ف= (�س‪� - 2‬س‪�( + 2)1‬ص‪� - 2‬ص‪2 )1‬‬ ‫حيث �س‪ :‬البعد ا ألول �ص‪ :‬البعد الثاني‬ ‫‪ )2‬نظرية فيثاغور�س‪( :‬الوتر)‪ = 2‬مجموع مربعي ‪ )10‬محيط المربع = ‪�4‬س‬ ‫�س‬ ‫�ص م�ساحة المربع = �س‪2‬‬ ‫ع‬ ‫طولي ال�ضلعين ا آلخرين‪.‬‬ ‫حيث �س‪ :‬طول ال�ضلع‬ ‫�س‬ ‫ع‪� =2‬س‪� + 2‬ص‪2‬‬ ‫‪ )3‬قانون جيب التمام‪ :‬لإيجاد �ضلع في مثلث ُع ِل َم فيه ‪ )11‬محيط الدائرة =‪2‬نق ‪π‬‬ ‫طولا �ضلعين وزاوية مح�صورة بينهما‪:‬‬ ‫نق‬ ‫م�ساحة الدائرة =‪π‬نق‪2‬‬ ‫حيث نق‪ :‬طول ن�صف القطر‬ ‫ل‬ ‫ل‪�=2‬س‪�+2‬ص‪�2-2‬س �ص جتاهـ‬ ‫هـ‬ ‫�س‬ ‫�ص‬ ‫نق‪ 2‬هـ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ )12‬م�ساحة القطاع الدائري =‬ ‫‪ )4‬بعد النقطة (�س‪� ، 1‬ص‪ )1‬عن الم�ستقيم‬ ‫‪2‬‬ ‫أ� �س ‪ +‬ب �ص ‪ +‬جـ = ‪0‬‬ ‫طول القو�س = نق* هـ هـ‬ ‫البعد = | أ� �س‪ + 1‬ب �ص‪+ 1‬جـ|‬ ‫حيث هـ‪ :‬الزاوية المركزية نق‬ ‫أ�‪ + 2‬ب‪2‬‬ ‫طول القاعدة * الارتفاع‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪ )13‬م�ساحة المثلث‬ ‫�ص‪)1‬‬ ‫�إحداثيات منت�صف الم�سافة بين نقطتين (�س‪، 1‬‬ ‫‪)5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إ�ذا ُع ِل َم فيه طولا �ضلعين وزاوية مح�صورة بينهما( )‬ ‫�ص‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�ص‪1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫�س‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‪1‬‬ ‫(�س‪� ، 2‬ص‪ )2‬هو‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫هـ الزاوية المح�صورة بين ال�ضلعين‬ ‫جـَ َ َ‬ ‫=‬ ‫ب‬ ‫=‬ ‫جأ�ا أ�‬ ‫قانون الجيب‬ ‫‪)6‬‬ ‫مم�س�اساحةحالمةثلالمثثل=ث‪21‬متططاوبل اقل ا�ضللأع ا�ضلألوالع*=طول ا‪21‬ل�ض�لعسا‪2‬لثاجناي‪6*0‬جاهـ‬ ‫جاب‬ ‫جاجـ‬ ‫حيث �س‪ :‬طول �ضلع المثلث‬ ‫أ�‬ ‫ب جـ‬ ‫‪� )7‬إذا ت�شابه مثلثان ف�إن الن�سبة بين �أطوال الأ�ضلاع ‪ )14‬م�ساحة متوازي ا أل�ضلاع‬ ‫جـ ب‬ ‫أ� جـ‬ ‫= طول القاعدة * الارتفاع‬ ‫ب أ�‬ ‫=‬ ‫ع �ص‬ ‫=‬ ‫�س ع‬ ‫المتناظرة مت�ساوية‬ ‫�ص �س‬ ‫مجموع طولي‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ )15‬م�ساحة �شبه المنحرف =‬ ‫ع جـ‬ ‫‪2‬‬ ‫القاعدتين المتوازيتين * الارتفاع‬ ‫�ص �س‬ ‫�أ‬ ‫ب‬ ‫‪ )16‬الم�سافة = ال�سرعة * الزمن‬ ‫‪ )8‬الربح = �سعر البيع ‪� -‬سعر التكلفة‬ ‫‪215‬‬

‫‪ )22‬المن�سور(المو�ســور) القائم‪ :‬هو مج�ســم لــه قاعدتان‬ ‫‪ )17‬حجم المكعب = �ص‪3‬‬ ‫م�ســتويتان ومتطابقتــان ومتوازيتــان‪ ،‬واأ�ســطحه‬ ‫الم�ساحة الكلية = ‪� 6‬ص‪2‬‬ ‫الجانبية م�ستطيلات‪ ،‬اإذا كان‪ â‬قاعدته مثلثة ال�سكل‬ ‫�ص‬ ‫الم�ساحة الجانبية = ‪� 4‬ص‪2‬‬ ‫ي�ســم≈ من�ســو ‪k‬را قائ ‪k‬ما ثلاث ‪v‬يــا‪ ،‬واإذا كانــ‪ â‬قاعدته‬ ‫حيث �ص‪:‬طول �سلع المكعب‬ ‫مربعة ال�سكل ي�سم≈ من�سو ‪k‬را قائ ‪k‬ما رباع ‪v‬يا‪.‬‬ ‫‪)18‬حجممتوازيالم�ستطيلات=الطول*العر�ص*الرتفاع م�ساحة المن�سور القائم الجانبية = محيط القاعدة * الرتفاع‬ ‫حجم المن�سور القائم = م�ساحة القاعدة * الرتفاع‬ ‫الم�ساحة الجانبية = ‪�( 2‬ص‪�+‬ص)*ع‬ ‫الم�ساحةالكلية=الم�ساحةالجانبية‪+‬مجموعم�ساحتيالقاعدتين‬ ‫= ‪�(2‬ص‪�+‬ص)*ع ‪�2+‬ص �ص‬ ‫ع‬ ‫�ص �ص‬ ‫‪ )23‬الهرم القائم‪ :‬عبارة عن مج�سم تكون قاعدته منتظمة‪،‬‬ ‫‪ºFÉ≤dG …ôFGódG •hôîŸG (19‬‬ ‫‪π‬‬ ‫وا ألوجه الجانبية عبارة عن مثلثات متطابقة ال�سلعين‪،‬‬ ‫نق‪2‬ع‬ ‫‪3‬‬ ‫ا◊جم =‬ ‫وي�سم≈ ارتفاع المثلث المتطابق ال�سلعين‪ :‬الرتفاع‬ ‫عل‬ ‫‪ π =•hôîŸG í£°S áMÉ°ùe‬نق ل‬ ‫نق‬ ‫الجانبي للهرم‪ .‬وي�سم≈ الهرم بالهرم القائم الثلاثي إاذا‬ ‫كان‪ â‬قاعدته مثلث متطابق الأ�سلاع‪ ،‬وهر ‪k‬ما قائ ‪k‬ما‬ ‫الرتفاع‬ ‫*‬ ‫المح�سجاربماحاعلة ‪v‬ياهالإارجذماانابلكيقاةانئللم‪â‬هقر=امعد=‪13‬تهمم‪�21‬رسمباحعيةحاةطلاا�للسققااكععلدد‪.‬ةة‬ ‫‪ )20‬ال�سطوانة‪:‬‬ ‫الرتفاع‬ ‫*‬ ‫ا◊جم = ‪ π‬نق‪ 2‬ع‬ ‫الم�ساحة الجانبية =‪ π 2‬نق ع‬ ‫الم�ساحة الكلية = ‪ π 2‬نق‪ π 2+ 2‬نق ع‬ ‫ع‬ ‫نق‬ ‫‪á``jhGõdG »``g :¢``VÉØîf’G hCG ´É``ØJQ’G á``jhGR (24‬‬ ‫نق نق‬ ‫نق‪3‬‬ ‫‪π4‬‬ ‫‪ )21‬الكرة‬ ‫المح�ســورة بين خــط الب�سر (النظــر) وا‪ÿ‬ط ا ألفقي‬ ‫‪3‬‬ ‫ا◊جم =‬ ‫الما ‪q‬ر بالعين‪.‬‬ ‫نق‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫م�ساحة �سطح الكرة =‪4‬‬ ‫‪216‬‬

‫م‪ äÉ≤HÉ£à‬م‪ã‬ل‪á«ã‬‬ ‫جا�ص ‪-‬جا�ص=‪2‬جتا ‪�( 21‬ص‪� +‬ص) جا ‪�( 12‬ص ‪� -‬ص)‬ ‫ظا�ص = ججتاا��صص ‪ ،‬ظتا�ص = ججتاا��صص‬ ‫جا�ص ‪ +‬جا�ص=‪2‬جا ‪�( 21‬ص‪� +‬ص) جتا ‪�( 21‬ص ‪� -‬ص)‬ ‫‪1‬‬ ‫قتا�ص =‬ ‫قا�ص = جتا‪�1‬ص ‪،‬‬ ‫جا�ص‬ ‫جتا�ص ‪-‬جتا�ص= ‪2-‬جا ‪�( 12‬ص‪�+‬ص)جا ‪�( 12‬ص ‪� -‬ص)‬ ‫جا‪�2‬ص ‪ +‬جتا‪�2‬ص =‪1‬‬ ‫جتا�ص‪ +‬جتا�ص=‪2‬جتا ‪�( 12‬ص‪�+‬ص)جتا ‪�( 21‬ص ‪� -‬ص)‬ ‫‪ +1‬ظا‪�2‬ص = قا‪�2‬ص‬ ‫‪ +1‬ظتا‪�2‬ص = قتا‪�2‬ص‬ ‫‪� -‬ص) = جا�ص‬ ‫‪π‬‬ ‫جتا (‬ ‫جـا‪�2‬ص=‪ 2‬جا�ص جتا�ص‬ ‫‪2‬‬ ‫جتا‪�2‬ص= ‪2-1‬جا‪�2‬ص‬ ‫‪� -‬ص) = جتا�ص‬ ‫‪π‬‬ ‫جا (‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� -‬ص) = ظتا�ص‬ ‫‪π‬‬ ‫(‬ ‫ظا‬ ‫= ‪2‬جتا‪�2‬ص‪1-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= جتا‪�2‬ص‪ -‬جا‪�2‬ص‬ ‫جا (اأ ‪ +‬ب) = جااأجتاب ‪ +‬جتااأ جاب‬ ‫‪� -‬ص) = ظا�ص‬ ‫‪π‬‬ ‫ظتا (‬ ‫جا (اأ ‪ -‬ب) = جا أاجتاب ‪ -‬جتا أا جاب‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� +‬ص) = جتا�ص‬ ‫‪π‬‬ ‫جا (‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� +‬ص) = ‪-‬جا�ص‬ ‫‪π‬‬ ‫جتا (‬ ‫جتا (اأ ‪ +‬ب) = جتا أاجتاب ‪ -‬جا أا جاب‬ ‫‪2‬‬ ‫جتا (اأ ‪ -‬ب) = جتااأجتاب ‪ +‬جا أا جاب‬ ‫جا (‪� - π‬ص) = جا�ص‬ ‫ظا أا ‪ +‬ظاب‬ ‫‪ -1‬ظااأ ظاب‬ ‫جتا (‪� - π‬ص) = ‪-‬جتا�ص‬ ‫ظا ( أا ‪ +‬ب) =‬ ‫ظا (‪� - π‬ص) = ‪ -‬ظا�ص‬ ‫ظا أا ‪ -‬ظاب‬ ‫ظا ( أا ‪ -‬ب) =‬ ‫‪ +1‬ظا أا ظاب‬ ‫جا (‪� + π‬ص) = ‪ -‬جا�ص‬ ‫جا‪�2‬ص= ‪ -1( 21‬جتا‪�2‬ص)‬ ‫جتا (‪� + π‬ص) = ‪ -‬جتا�ص‬ ‫جتا‪�2‬ص= ‪ + 1( 21‬جتا‪�2‬ص)‬ ‫ظا (‪� + π‬ص) = ظا�ص‬ ‫جا (‪� -‬ص) = ‪ -‬جا�ص‬ ‫‪2‬ظا�ص‬ ‫ظا‪�2‬ص=‬ ‫جتا (‪� -‬ص) = جتا�ص‬ ‫‪ -1‬ظا‪�2‬ص‬ ‫ظـا (‪� -‬ص) = ‪-‬ظا�ص‬ ‫جا�ص جا�ص= ‪( 12‬جتا(�ص‪� -‬ص) ‪ -‬جتا(�ص ‪� +‬ص))‬ ‫جا�ص جتا�ص= ‪( 21‬جا(�ص ‪� +‬ص) ‪ +‬جا(�ص‪� -‬ص))‬ ‫جتا�ص جتا�ص= ‪( 12‬جتا(�ص ‪� +‬ص) ‪ +‬جتا(�ص‪� -‬ص))‬ ‫‪217‬‬