الرياضيات العلمي - الصف الثاني عشر

‫‪ )1‬إ�ذا كان ق(�س) = [ �س] ‪ ،‬فما مجموعة قيم �س التي يكون عندها ق اقترا ًنا غير مت�صل؟‬ ‫‪ )2‬اقترح قاعدة لاقتران �أكبر عدد �صحيح بحيث يكون مت�صلا عند �س= ‪ ، 1‬وغير مت�صل عند‬ ‫�س = ‪2‬‬ ‫‪� ،‬س <‪1‬‬ ‫أ� �س‪ - 3‬ب �س‪1+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪� ،‬س = ‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫�إذا كان ق(�س) =‬ ‫‪� ،‬س > ‪1‬‬ ‫�س‪�(– 2‬أ ‪ +‬ب)�س ‪2 +‬‬ ‫مت�صلاً عند �س = ‪ 1‬فجد قيمة ك ٍّل من الثابتين �أ ‪ ،‬ب ‬ ‫الحل‬ ‫بما أ� َّن ق مت�صل عند �س= ‪� 1‬إذن‪:‬‬ ‫‪ )1‬ن �هـســــ←ـ‪1‬ـا‪�( -‬أ �س‪ - 3‬ب �س ‪ = )1+‬ق(‪)1‬‬ ‫�أ ‪ -‬ب ‪1 ............................................ 5 = 1 +‬‬ ‫‪ )2‬ن �هـســـ←ــ‪1‬ــ‪+‬ا �س‪ ( - 2‬أ� ‪ +‬ب) �س‪) (5 = 2 +‬‬ ‫‪ ( – 1‬أ� ‪ +‬ب ) ‪2 .................................... 5 = 2 +‬‬ ‫بتب�سيط المعادلتين ‪ 2 ، 1‬ينتج‪:‬‬ ‫أ� – ب = ‪� ، 4‬أ ‪ +‬ب = ‪2-‬‬ ‫وبحلهما ينتج أ� = ‪ ، 1‬ب = ‪3-‬‬ ‫‪� ،‬س < ‪3‬‬ ‫�أ �س‪ + 2‬ب ‬ ‫�إذا كان ق(�س) =‬ ‫‪� ،‬س = ‪3‬‬ ‫‪ 6‬‬ ‫‪� ،‬س > ‪3‬‬ ‫�أ �س ‪ 2 -‬ب ‬ ‫مت�صلاً عند �س = ‪ ، 3‬فجد قيمة ك ٍّل من الثابتين �أ ‪ ،‬ب‬ ‫‪49‬‬

‫ن¶ريات الت�ضال (‪)Continuity Theorems‬‬ ‫‪(1)ájô¶f‬‬ ‫�إذ� كان ق �قتر�ن كثير حدود فاإ َّن ق مت�سل على ح‪.‬‬ ‫‪(2)ájô¶f‬‬ ‫إ�ذ� كان ق ‪ ،‬ل �قتر�نين مت�سلين عند �ص= �أ ‪ ،‬فاإ َّن‪:‬‬ ‫‪� )1‬لاقتر�ن ق ‪ +‬ل مت�سل عند �ص = �أ‬ ‫‪� )2‬لاقتر�ن ق ‪ -‬ل مت�سل عند �ص = �أ‬ ‫‪� )3‬لاقتر�ن ق × ل مت�سل عند �ص = أ�‬ ‫�ل‪f‬اق¶لقت‪ô‬ر�‪j‬غن‪á‬ي)ر‪3‬مل(تق�س ملتع�نسدل�عصند=� أ�ص‪=،‬إ�ذ�أ�‬ ‫�سف ًر�‪.‬‬ ‫‪ ،‬ل( أ� ) ≠‬ ‫‪)4‬‬ ‫) = �سف ًر�‪.‬‬ ‫كانت ل( أ�‬ ‫‪)5‬‬ ‫�إذ� كان ق �قتر� ًنا مت�س ًلا عند �ص= أ� ‪ ،‬ق(�ص)≥‪ ، 0‬في فترة مفتوحة تحتوي �أ ‪ ،‬ف إا َّن �لاقتر�ن‬ ‫هـ (�ص) = ق(�ص) �قتر�ن مت�سل عند �ص = �أ‬ ‫برهان نظرية (‪ )2‬فرع (‪)1‬‬ ‫�لمعطيات‪� :‬لاقتر�نان ق‪ ،‬ل مت�سلان عند �ص = �أ‬ ‫�لمطلوب‪� :‬إثبات �أ َّن �لاقتر�ن ق ‪ +‬ل مت�سل عند �ص = أ�‬ ‫ال‪È‬ها¿‪:‬‬ ‫�فر�ص �أ َّن هـ = ق ‪ +‬ل‬ ‫هـ ( �أ ) = ق ( �أ ) ‪ +‬ل ( أ� ) من تعريف �لاقتر�ن هـ‪.‬‬ ‫وحيث �إ َّن ق‪ ،‬ل �قتر�نان مت�سلان عند �ص = �أ فاإ َّن‪:‬‬ ‫ن�هصـــ←ـ�أا هـ (�ص) = �نصهــ←ـأ�ـا ق (�ص) ‪ +‬ن�صهـــ←�أـا ل(�ص)‬ ‫= ق ( �أ ) ‪ +‬ل ( أ� )‬ ‫وعليه ف إا َّن �لاقتر�ن هـ مت�سل عند �ص= أ�‬ ‫‪50‬‬

(2) ájô¶f øe 4 ,3 ,2:´hôØdG øgôH ¢ûbÉfh ôµa :ÜGƒ°üdG ÖàcG ºK ,á«J’B G äGQÉÑ©dG ‘ CÉ£ÿG ∞°ûàcG ¿GÎbG ìôW øY èàf ¬fC’ ; 0= ¢S óæY π°üàe ÒZ ,]¢S] - ]1 + ¢S ] = (¢S)∫ ¿GÎb’G (1 0 =¢S óæY π°üàe ÒZ ɪgÓch ,ôNGB øe π°üàe ¿GÎbG ƒg (¢S)¥ ¿s ÉE a , 1 =¢S óæY Ók °üàe Éfk GÎbG 1 – ¢S = (¢S)¥ ¿Éc GPEG (2 . 1 = ¢S óæY 2> ¢S , 2 - 3¢S 2> ¢S , 4 + 2¢S 5 2 ≤ ¢S , ¢S 3 = (¢S)´ , 2 ≤ ¢S , 6 + ¢S = (¢S)¥ ¿Éc GPEG 2 = ¢S óæY (´ + ¥) ¿GÎb’G ∫É°üJG ‘ åëHÉa π◊G 2 = ¢S óæY ¥ ¿GÎb’G ∫É°üJG ‘ åëHG (1 8 = (¢S)¥ É+``2``←```¢¡Sf 8 = (2)¥ , 8 = (¢S)¥ É-``2``←``¡¢fS 2=¢S óæY π°üàe (¢S)¥ ∴ 2 = ¢S óæY ´ ¿GÎb’G ∫É°üJG ‘ åëHG (2 6 = (¢S)´ É`+``2``←```¢¡Sf 6 = (2)´ , 6 = (¢S)´ É`-`2``←``¡¢`Sf 2 = ¢S óæY π°üàe (¢S)´ ∴ 51

‫وح�سب نظرية (‪ )2‬فرع (‪ ،)1‬ف�إ َّن (ق ‪ +‬ع) (�س) مت�صل عند �س=‪2‬‬ ‫إ�ر�شاد‪ :‬يمكنك حل المثال ال�سابق من خلال �إيجاد قاعدة الاقتران (ق‪+‬ع)(�س)‪ ،‬ثم البحث في‬ ‫ات�صاله عند �س=‪2‬‬ ‫‪� ،‬س <‪1‬‬ ‫�س‪2‬‬ ‫‪�2+ 1‬س ‪� ،‬س <‪1‬‬ ‫‪� ،‬س ≥ ‪1‬‬ ‫⏐�س⏐‬ ‫�إذا كان ق(�س) = ‪� 3‬س‪� ، 2‬س ≥ ‪ ، 1‬ل(�س) =‬ ‫فابحث في ات�صال الاقتران (ق ×ل ) عند �س= ‪ 1‬بطريقتين‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫إ�ذا كان ق(�س) = (�س‪ ، 2)1-‬ل(�س) = [ ‪� -2‬س] ‪ ،‬فابحث في ات�صال الاقتران (ق×ل)‬ ‫عند �س = ‪3‬‬ ‫الحل‬ ‫ق(�س) = (�س ‪ 2)1 -‬مت�صل عند �س = ‪ 3‬لأنه كثير حدود مت�صل على مجاله‪.‬‬ ‫ل(�س) = [‪� - 2‬س] غير مت�صل عند �س = ‪ 3‬لأنها نقطة تفرع‪.‬‬ ‫لا ن�ستطيع ا�ستخدام نظرية (‪ )2‬فرع (‪ )3‬للبحث في ات�صال الاقتران ق × ل ‪ ،‬لماذا؟‬ ‫لابد من إ�يجاد قاعدة الاقتران (ق×ل)(�س) والبحث في ات�صاله عند �س = ‪3‬‬ ‫(ق × ل)(�س) = (�س ‪� - 2 [ × 2)1-‬س]‬ ‫اكتب الاقتران ب�صورة مجز أ�ة في فترة تحوي العدد ‪ 3‬مثل ( ‪] 4 ، 2‬‬ ‫(ق×ل)(�س) = (�س ‪�<2 ، 1- × 2)1-‬س ≤ ‪3‬‬ ‫(�س ‪� <3 ، 2- × 2)1-‬س ≤ ‪4‬‬ ‫ابحث في ات�صاله عند �س = ‪3‬‬ ‫ن �هـســـ←ــ‪3‬ــ‪+‬ـا (ق × ل)(�س) = ‪8- = 2)1- 3( × 2-‬‬ ‫‪52‬‬

‫ن�هصـــ←ــ‪3‬ــ‪-‬ـا (ق × ل)(�ص) = ‪4- = 2)1- 3 ( ×1-‬‬ ‫بما �أ َّن ن�صهـــ←ــ‪3‬ـ‪+‬ـا (ق × ل)(�ص) ≠ ن�صهـــ←ــ‪3‬ـ‪-‬ـا (ق × ل)(�ص) �إذن ن�هصـــ←ــ‪3‬ـا (ق × ل)(�ص) غيرموجودة‬ ‫∴ (ق×ل)(�ص) غير مت�سل عند �ص = ‪3‬‬ ‫ت`حد‪ç‬‬ ‫ناق�ص ‪R‬ملا‪A‬ك في �لحالات �لتي لا ن�ستطيع فيها توظيف نظريات �لات�سال في �لحكم على‬ ‫�ت�سال �لاقتر�نات‪.‬‬ ‫إ�ذ� كان ق(�ص) = (�ص‪ ، 3)5-‬هـ (�ص) = [�ص ‪]2 +‬‬ ‫فابحث في �ت�سال �لاقتر�ن (ق×‪ )`g‬عند ك ٍّل من �س= ‪� ، 2-‬ص = ‪5‬‬ ‫‪53‬‬

‫‪ )1‬معتم ًد� �ل�سكل (‪� )27-1‬لذي يـمثل منحنى �لاقـتر�ن ق‪ ،‬ما قـيم �ص �لتي يـكون عنـدها ق‬ ‫غير مت�سل مع ذكر �ل�سبب ؟‬ ‫�ل�سكل (‪)27-1‬‬ ‫‪ )2‬إ�ذ� كان ق(�ص) = [ ‪�4‬ص ‪، ]4 -‬فابحث في �ت�سال �لاقتر�ن ق عند �ص= ‪1.25‬‬ ‫‪� )3‬بحث في �ت�سال �لاقتر�ن ق(�ص) = �‪1‬ص‪1�--‬ص‪ 2‬عند �ص = ‪1‬‬ ‫عند �ص = ‪2‬‬ ‫�ص‪4 -2‬‬ ‫‪� )4‬بحث في �ت�سال �لاقتر�ن هـ (�ص) =‬ ‫�ص ‪2-‬‬ ‫‪� ،‬ص <‪0‬‬ ‫⏐ظا �ص⏐‬ ‫‪� ،‬ص ≥‪0‬‬ ‫‪� )5‬إذ� كان ق(�ص) = �ص‬ ‫‪ - 1‬جتا�ص‬ ‫فابحث في �ت�سال �لاقتر�ن ق عند �ص= ‪0‬‬ ‫‪� ،‬ص > ‪3‬‬ ‫�ص ‪3 -‬‬ ‫‪� ،‬ص ≤ ‪3‬‬ ‫‪ )6‬إ�ذ� كان ل (�ص) = ⏐�ص‪⏐9 - 2‬‬ ‫فابحث في �ت�سال �لاقتر�ن ل عند �ص = ‪3‬‬ ‫‪54‬‬

‫‪� ،‬س ≠ ‪2‬‬ ‫⏐�س⏐‪2-‬‬ ‫‪� ،‬س = ‪2‬‬ ‫‪� ) 7‬إذا كان ق(�س) = �س ‪2-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫فابحث في ات�صال الاقتران ق عند �س=‪2‬‬ ‫‪� +6‬س ‪� ،‬س ≤ ‪2-‬‬ ‫‪ ) 8‬إ�ذا كان ك(�س) =‬ ‫‪� -2‬س ‪� ≤2- ،‬س < ‪2‬‬ ‫‪�2‬س ‪� ، 1-‬س ≥ ‪2‬‬ ‫فابحث في ات�صال الاقتران ك عند �س= ‪2‬‬ ‫� �أس ‪� +‬س‪� <0 ، 2‬س ≤ ‪2‬‬ ‫‪� ) 9‬إذا كان ع (�س) = [�س] ‪� <2 ، 3+‬س < ‪3‬‬ ‫‪� ،‬س = ‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫مت�صلاً عند �س= ‪ ، 2‬فجد قيمة الثابت �أ‪.‬‬ ‫‪� ،‬س ≠‪1‬‬ ‫�س‪� + 3‬س‪�2+ 2‬س‪4-‬‬ ‫‪� )10‬إذا كان ل(�س) =‬ ‫�س ‪1 -‬‬ ‫‪� ،‬س =‪1‬‬ ‫‪�5‬س ‪1 -‬‬ ‫فابحث في ات�صال الاقتران ل عند �س= ‪1‬‬ ‫‪� ،‬س <‪2‬‬ ‫�س‪� + 2‬س‬ ‫‪� )11‬إذا كان ق(�س) =‬ ‫‪� ،‬س=‪2‬‬ ‫[�س ‪]4 +‬‬ ‫‪� ،‬س >‪2‬‬ ‫�س‪6� + 5 + 2‬س‬ ‫فابحث في ات�صال الاقتران ق عند �س = ‪2‬‬ ‫‪55‬‬

‫‪� ≤0 ،‬س<‪2‬‬ ‫�س‪ + 2‬ب‬ ‫‪� ≤2 ،‬س ≤‪3‬‬ ‫‪� )12‬إذا كان ل(�س)= |�س| ‪5-‬‬ ‫فجد قيمة الثابت ب التي تجعل الاقتران ل مت�صلاً عند �س = ‪2‬‬ ‫‪� )13‬إذا كان ق(�س) = ‪� 3‬س ‪� ، 5 +‬س �ص‬ ‫‪� 2‬س‪� ، 4- 2‬س �ص حيث �ص مجموعة ل أاعداد ال�صحيحة‬ ‫فابحث في ات�صال الاقتران ق عند �س= ‪3‬‬ ‫�س‪� ، 2‬س <‪1‬‬ ‫‪�2 + 2‬س ‪� ،‬س <‪1‬‬ ‫‪ ،‬هـ(�س) = |‪�2‬س| ‪� ،‬س ≥ ‪1‬‬ ‫‪� )14‬إذا كان ق(�س) = ‪�3‬س‪� ، 2‬س ≥‪1‬‬ ‫فابحث في ات�صال الاقتران (ق ‪ +‬هـ) عند �س = ‪1‬‬ ‫‪56‬‬

‫‪Continuity on an Interval‬‬ ‫ﺛﺎﻧ ًﻴﺎ ‪IÎa ≈∏Y ∫É°üJ’G‬‬ ‫معتم ًد� �ل�سكل (‪ )28-1‬الذي يمثل منحنى ك ٍّل من الاقتران ق والاقتران ل ا‪ô©Ÿ‬فين على ‪،ì‬‬ ‫جد ك اًّل مم� ي أ�تي‪:‬‬ ‫�ل�سكل (‪)28-1‬‬ ‫‪ )3‬ن�صهـــ←ــ‪0‬ـ‪-‬ا ل(�ص)‬ ‫‪ )1‬ن�هصـــ←ــ‪0‬ـ‪+‬ا ق(�ص)‬ ‫‪ )4‬ل (‪)0‬‬ ‫‪ )2‬ق(‪)0‬‬ ‫ماذ� تلاحظ؟‬ ‫ت©لم‪ â‬في الد‪�Q‬س ال‪ù‬ص�بق �شروط ات�ص�ل اقتران عند نق‪£‬ة‪ .‬وفي ‪g‬ذا الد‪�Q‬س �صتت©‪� ±ô‬شروط‬ ‫�ت�سال �قتر�ن على فترة‪.‬‬ ‫في �ل�سكل (‪ )28-1‬لا بد �أنك لاحظت �أ َّن ن�هصــــ←ــ‪0‬ا‪ +‬ق(�ص) = ق(‪ 0 = )0‬وفي هذه �لحالة‬ ‫يكون ق مت�س ًلا عند �ص= ‪ 0‬من �ليمين‪.‬‬ ‫و أ� َّن ن�صهـــ←ــ‪0‬ـ‪-‬ا ل(�ص) = ل(‪ ، 0 = )0‬وفي هذه �لحالة يكون ل مت�س ًلا عند �ص=‪ 0‬من �لي�سار‪.‬‬ ‫‪57‬‬

‫ف‪µ‬ر وناق‪¢û‬‬ ‫�در�ص �ل�سكل (‪ ºK )28-1‬اأج‪ Ö‬عن كل مم� ي أ�تي‪:‬‬ ‫‪ )1‬م� �شروط ات�ص�ل اقتران عند عد‪ O‬من اليمين?‬ ‫‪ )2‬م� �شروط ات�ص�ل اقتران عند عد‪ O‬من الي‪ù‬ص�‪?Q‬‬ ‫�نظر �ل�سكل(‪ )29-1‬لاحظ أ� َّن‪:‬‬ ‫�لاقتر�ن هـ مت�سل عند �ص = �أ من �ليمين‪ ،‬لماذ�؟‬ ‫و أ�ي�سا �لاقتر�ن هـ مت�سل عند �ص = ب من �لي�سار‪ ،‬لماذ�؟‬ ‫كما �أن �لاقتر�ن هـ مت�سل عند كل �ص تنتمي للفـترة‬ ‫( أ� ‪ ،‬ب) ‪ ،‬لماذ�؟‬ ‫�ل�سكل (‪)29-1‬‬ ‫في هذه �لحالة نقول إ� َّن �لاقتر�ن هـ مت�سل على �لفترة[�أ ‪ ،‬ب]‪.‬‬ ‫ت`حد‪ç‬‬ ‫تح َّد‪ ç‬بل¨تك ا‪U�ÿ‬صة عن �شروط ات�ص�ل اقتران على فترة م¨لقة‪ ،‬وفترة مفت‪Mƒ‬ة‪ ،‬وفترة‬ ‫ن�سف مغلقة أ�و ن�سف مفتوحة‪.‬‬ ‫إ�ذ� كان ق �قتر� ًنا مع َّر ًفا على �لفترة [ أ� ‪ ،‬ب] فاإن‪:‬‬ ‫‪ )1‬ق يكون مت�س ًلا عند �ص= أ� من �ليمين‪� ،‬إذ� كانت ن�هصــــ←ـ أ�ــ‪+‬ا ق(�ص) = ق( �أ )‬ ‫‪ )2‬ق يكون مت�س ًلا عند �ص= ب من �لي�سار‪ ،‬إ�ذ� كانت ن�هصــــ←ــبــ‪-‬ا ق(�ص) = ق(ب)‬ ‫‪ )3‬ق يكون مت�س ًلا على �لفترة (�أ ‪ ،‬ب) �إذ� كان مت�س ًلا عند كل �ص (�أ ‪ ،‬ب)‬ ‫‪ )4‬ق يكون مت�س ًلا على �لفترة [�أ ‪ ،‬ب] �إذ� كان مت�س ًلا على �لفترة ( أ� ‪ ،‬ب) ومت�س ًلا عند‬ ‫�ص= أ� من �ليمين‪ ،‬و مت�س ًلا عند �ص= ب من �لي�سار‪.‬‬ ‫‪58‬‬

‫م‪Ó‬ح¶ة‬ ‫‪ )1‬يكون �لاقتر�ن ق مت�س ًلا على �لفترة [ أ� ‪ ،‬ب)‪� ،‬إذ� كان مت�س ًلا عند كل �ص ∍ (�أ ‪ ،‬ب)‪،‬‬ ‫ومت�س ًلا عند �ص= �أ من �ليمين‪.‬‬ ‫‪ )2‬يكون �لاقتر�ن ق مت�س ًلا على �لفترة (�أ ‪ ،‬ب]‪� ،‬إذ� كان مت�س ًلا عند كل �ص ∍ ( أ� ‪ ،‬ب)‪،‬‬ ‫ومت�س ًلا عند �ص= ب من �لي�سار‪.‬‬ ‫‪ )3‬يكون �لاقتر�ن ق مت�س ًلا على �لفترة ( �أ ‪ )∞ ،‬إ�ذ� كان مت�س ًلا عند كل �ص ∍ ( أ� ‪. )∞ ،‬‬ ‫‪ )4‬يكون �لاقتر�ن ق مت�س ًلا على �لفترة (‪ ، ∞-‬ب) إ�ذ� كان مت�س ًلا عند كل �ص ∍ (‪ ، ∞-‬ب)‪.‬‬ ‫‪ )5‬يكون �لاقتر�ن ق مت�س ًلا على ح �إذ� كان مت�س ًلا عند كل �ص ∍ ح ‪.‬‬ ‫ف‪µ‬ر وناق‪¢û‬‬ ‫�قر أ� �لعبار�ت �لاآتية ثم �أجب بنعم �أو لا‪ ،‬وق ‪q‬دم تبري ًر�‪:‬‬ ‫‪ )1‬كثير�ت �لحدود مت�سلة على ح‪.‬‬ ‫‪� )2‬لاقتر�نات �لن�سبية مت�سلة على ح‪.‬‬ ‫‪ )3‬إ�ذ� كان �لاقتر�ن مت�س ًلا على ح‪ ،‬ف إانه يكون مت�س ًلا على أ�ية فترة جزئية منها‪.‬‬ ‫‪� )4‬لاقتر�نان �لد�ئريان (جا�ص‪ ،‬جتا�ص) مت�سلان على ح‪.‬‬ ‫ت`حد‪ç‬‬ ‫تح ‪q‬د‪� ç‬إلى ‪R‬ملائك كيف تحدد نقط عدم �لات�سال للاقتر�نات �لد�ئرية (�لقا‪W‬ع‪ ،‬قا‪W‬ع‬ ‫�لتمام‪� ،‬لظل ‪ ،‬ظل �لتمام)‪.‬‬ ‫‪� ≤ 2- ،‬ص <‪1‬‬ ‫‪�2‬ص ‪2 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪� ≤ 1 ،‬ص ≤ ‪5‬‬ ‫�ص ‪4 +‬‬ ‫�إذ� كان ق(�ص) =‬ ‫فابحث في �ت�سال �لاقتر�ن ق على �لفترة [‪] 5 ، 2-‬‬ ‫الحل‬ ‫‪� )1‬لاقتر�ن ق مت�سل على �لفترة (‪ ) 1 ، 2-‬لاأنه على �سورة كثير حدود‪.‬‬ ‫‪59‬‬

‫‪ )2‬الاقتران ق مت�صل على الفترة (‪ )5 ،1‬أل َّنه على �صورة كثير حدود‪.‬‬ ‫‪ )3‬ابحث في ات�صال الاقتران ق عند نقطة التفرع وهي‪� :‬س=‪1‬‬ ‫ن�هســـ←ــ‪1‬ــ‪+‬ـا ق(�س) = ‪5 = 4 + 1‬‬ ‫ن�هســـ←ــ‪1‬ــ‪-‬ـا ق(�س) = ‪4 = 2 + 1 × 2‬‬ ‫ق(‪5 = )1‬‬ ‫بما �أ َّن ن�سهـــ←ــ‪1‬ـ‪-‬ـا ق(�س) ≠ ن�هســــ←ــ‪1‬ا‪ +‬ق(�س)‪� ،‬إذن ن�هســـ←ــ‪1‬ا ق(�س) غير موجودة‪،‬‬ ‫وعليه ف�إ َّن الاقتران ق غير مت�صل عند �س =‪1‬‬ ‫‪ )4‬ابحث في ات�صال الاقتران ق عند �س= ‪ 2-‬من اليمين‪.‬‬ ‫ن�هســـ←ــ‪-‬ــ‪2‬ـ‪+‬ا ق(�س) = ‪2- = 2 + 2- × 2‬‬ ‫ق(‪ ، 2- = )2-‬بما �أن ن�سهـــ←ــ‪-‬ــ‪2‬ا‪ +‬ق(�س) = ق(‪)2-‬‬ ‫∴ الاقتران ق مت�صل عند العدد ‪ 2-‬من اليمين‪.‬‬ ‫‪ )5‬ابحث في ات�صال ق عند �س = ‪ 5‬من الي�سار‪.‬‬ ‫ن�هســــ←ــ‪5‬ـ‪-‬ا ق(�س) = ‪ ، 9‬ق( ‪9 = )5‬‬ ‫∴ الاقتران ق مت�صل عند �س= ‪ 5‬من الي�سار‪.‬‬ ‫مما �سبق ينتج �أ َّن الاقتران ق مت�صل على الفترة [‪. }1{ - ]5 ، 2-‬‬ ‫‪� ≤ 3 ،‬س < ‪5‬‬ ‫ �س‪ 2‬‬ ‫‪� ≤ 5 ،‬س <‪7‬‬ ‫�إذا كان ق(�س) = �س ‪ 20 +‬‬ ‫ ‪ 9‬‬ ‫‪� ،‬س = ‪7‬‬ ‫فابحث في ات�صال الاقتران ق على الفترة [‪ ، )7 ، 3‬والفترة [‪.]7 ، 3‬‬ ‫‪60‬‬

‫‪� ،‬س ≤ ‪3‬‬ ‫�س‪64 - 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� ،‬س > ‪3‬‬ ‫�س ‪4 -‬‬ ‫‪� -‬س ‪4 +‬‬ ‫إ�ذا كان ق(�س) =‬ ‫فابحث في ات�صال الاقتران ق على مجاله‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫قاعدة الاقتران ق تتفرع عند �س= ‪3‬‬ ‫في الفترة ( ‪ )3 ، ∞ -‬الاقتران ق مت�صل لأ َّنه على �صورة اقتران ن�سبي معرف على مجاله‪.‬‬ ‫في الفترة (‪ ) ∞ ، 3‬الاقتران ق مت�صل أل َّنه على �صورة كثير حدود‪.‬‬ ‫ابحث في ات�صال الاقتران ق عند نقطة التفرع وهي‪� :‬س = ‪3‬‬ ‫ق( ‪37 = )3‬‬ ‫�نسهــ←ــ‪3‬ــ‪+‬ا ق(�س) = ‪1 = 4 + 3 -‬‬ ‫‪37‬‬ ‫=‬ ‫‪37 -‬‬ ‫=‬ ‫‪64 - 3 3‬‬ ‫�نسهــ←ــ‪3‬ــ‪-‬ا ق(�س) =‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪4-3‬‬ ‫بما أ� َّن ن�سهـــ←ـ‪3‬ــ‪+‬ا ق(�س) ≠ ن�سهـــ←ــ‪3‬ـ‪-‬ا ق(�س) ‪� ،‬إذن ن�هســــ←ـ‪3‬ا ق(�س) غير موجودة‬ ‫وعليه ف إ� َّن الاقتران ق غير مت�صل عند �س= ‪3‬‬ ‫مما �سبق ينتج �أ َّن الاقتران ق مت�صل على ح ‪}3{ -‬‬ ‫‪� ،‬س ≠‪5‬‬ ‫�س‪25 - 2‬‬ ‫إ�ذا كان ل(�س) =‬ ‫‪� ،‬س =‪5‬‬ ‫�س ‪5 -‬‬ ‫‪� + 5‬س‬ ‫فابحث في ات�صال الاقتران ل على مجاله‪.‬‬ ‫‪61‬‬

‫‪3‬‬ ‫إ�ذا كان ق(�س) = |‪�3‬س – ‪ ، | 9‬فابحث في ات�صال الاقتران ق على الفترة [‪] 5 ،1‬‬ ‫الحل‬ ‫اكتب الاقتران ق ب�صورة مجز�أة دون ا�ستخدام رمز القيمة المطلقة على الفترة [‪ ، ]5 ، 1‬فتح�صل‬ ‫على‪:‬‬ ‫‪� 3 - 9‬س ‪� ≤ 1 ،‬س < ‪3‬‬ ‫ق (�س) = ‪�3‬س ‪� ≤ 3 ، 9 -‬س ≤‪5‬‬ ‫‪ )1‬الاقتران ق مت�صل على الفترة (‪ ، ) 3 ،1‬أل َّنه على �صورة كثير حدود‪.‬‬ ‫‪ )2‬الاقتران ق مت�صل على الفترة (‪ ، ) 5 ،3‬لأ َّنه على �صورة كثير حدود‪.‬‬ ‫‪ )3‬ابحث في ات�صال الاقتران ق عند نقطة التفرع �س= ‪3‬‬ ‫ن�هســــ←ــ‪3‬ـ‪-‬ـا ق(�س) = ‪0 = 3 × 3 – 9‬‬ ‫ن �هـســــ←ـ‪3‬ــ‪+‬ـا ق(�س) = ‪ ، 0 = 9 – 3 × 3‬ق(‪0 = )3‬‬ ‫بما �أن ن�هســـ←ــ‪3‬ــا ق(�س) = ق(‪� )3‬إذن ق (�س) مت�صل عند �س = ‪3‬‬ ‫‪ )4‬ابحث في ات�صال الاقتران ق عند �س = ‪ 1‬من اليمين‪:‬‬ ‫ن�هســـ←ــ‪1‬ــ‪+‬ا ق(�س)= ‪ ، 6 = 3 - 9‬ق(‪6 = )1‬‬ ‫�إذن ق(�س) مت�صل عند العدد ‪ 1‬من اليمين‪.‬‬ ‫‪ )5‬ابحث في ات�صال الاقتران ق عند �س= ‪ 5‬من الي�سار‪:‬‬ ‫ن�هســـ←ــ‪5‬ـ‪-‬ـا ق(�س)= ‪ ، 6 = 9 – 5 × 3‬ق(‪6 = )5‬‬ ‫�إذن ق(�س) مت�صل عند العدد ‪ 5‬من الي�سار‪.‬‬ ‫وعليه ف إ�‪َّ 3‬ن الاقتران ق مت�صل على الفترة [‪.] 5 ، 1‬‬ ‫إ�ذا كان ق(�س) = |‪� – 0.1‬س | ‪ ،‬فابحث في ات�صال الاقتران ق على الفترة[ ‪.]0.9 ، 0.01‬‬ ‫‪62‬‬

‫‪� ،‬س >‪6‬‬ ‫�س‪� - 2‬س ‪30 -‬‬ ‫‪4‬‬ ‫أ� �س ‪ 6 -‬أ�‬ ‫‪� ،‬س = ‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إ�ذا كان هـ (�س) =‬ ‫‪� ،‬س < ‪6‬‬ ‫ب �س‬ ‫مت�ص ًال على ح ‪ ،‬فجد قيمة ك ٍّل من الثابتين �أ ‪ ،‬ب ‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫بما أ� َّن الاقتران هـ مت�صل على ح �إذن فهو مت�صل عند كل نقطة في ح ‪.‬‬ ‫وعليه‪ :‬ن�هســـ←ــ‪6‬ــ‪+‬ا ق(�س) = ق(‪)6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫�س‪� - 2‬س ‪30 -‬‬ ‫ن�هســـ←ــ‪6‬ـ‪+‬ا‬ ‫أ� �س ‪ 6 -‬أ�‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪�( )6 -‬س‪)5+‬‬ ‫(�س‬ ‫ن�هســـ←ــ‪6‬ــ‪+‬ا‬ ‫(�س ‪)6 -‬‬ ‫�أ‬ ‫‪ ،‬ومنه �أ = ‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫أ�‬ ‫وكذلك ن�هســـ←ــ‪6‬ـ‪-‬ا ق(�س) = ق(‪)6‬‬ ‫ن�هســـ←ــ‪6‬ــ‪-‬ا ب �س = ق(‪)6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ×6‬ب = ‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ومنه ب =‬ ‫‪� ≤ π - ،‬س <‪0‬‬ ‫�أ� �سس ‬ ‫جا‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫إ�ذا كان ع(�س) = ‪� ، 2‬س = ‪0‬‬ ‫ب (‪ �+2‬س) ‪� < 0 ،‬س ≤ ‪π‬‬ ‫مت�ص ًال على الفترة [‪ ،]π ، π-‬فجد قيمة ك ٍّل من الثابتين أ� ‪ ،‬ب‬ ‫‪63‬‬

‫‪� ≤ 2- ،‬س <‪1‬‬ ‫‪�3‬س‪5 + 2‬‬ ‫‪� ≤ 1 ،‬س ≤ ‪2‬‬ ‫‪ )1‬إاذا كان ق(�س) =‬ ‫‪� 8‬س‬ ‫فابحث في ات�صال الاقتران ق على الفترة [‪.] 2 ،2-‬‬ ‫‪ )2‬اإذا كان ل(�س) = |‪�2‬س – ‪ ،| 10‬فابحث في ات�صال الاقتران ل على الفترة[‪.]8 ،10-‬‬ ‫‪� ،‬س < ‪3‬‬ ‫�س‪27 - 3‬‬ ‫‪ )3‬إاذا كان ع(�س) =‬ ‫‪� ،‬س ≥ ‪3‬‬ ‫‪� - 3‬س‬ ‫‪� + 5‬س‬ ‫فابحث في ات�صال الاقتران ع على ح‪.‬‬ ‫‪� ،‬س< ‪4‬‬ ‫‪� - 4‬س‬ ‫‪� ،‬س ≥‪4‬‬ ‫‪ )4‬اإذا كان ل(�س) = |�س‪|16 – 2‬‬ ‫فابحث في ات�صال الاقتران ل على مجاله‪.‬‬ ‫�س =‪3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪� <3‬س < ‪4‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪ )5‬إاذا كان ع(�س) = [�س] ‪5 +‬‬ ‫‪،‬‬ ‫�س= ‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫فابحث في ات�صال الاقتران ع على الفترة [‪.]4 ،3‬‬ ‫‪64‬‬

‫‪� ≤0 ،‬س < ‪3‬‬ ‫�س ‪1 +‬‬ ‫‪ )6‬إاذا كان ق(�س) = [‪� 0.25‬س ‪� ≤3 ، ]2 +‬س < ‪6‬‬ ‫‪� ،‬س = ‪6‬‬ ‫|‪� - 9‬س|‬ ‫فابحث في ات�صال الاقتران ق على الفترة [‪.] 6 ،0‬‬ ‫‪� ،‬س≠‪2‬‬ ‫�س‪(2 + 2‬هـ ‪� )1 -‬س‪4-‬هـ‬ ‫‪ )7‬إاذا كان الاقتران ع(�س) =‬ ‫‪� ،‬س = ‪2‬‬ ‫�س ‪2 -‬‬ ‫‪� + 5‬س‬ ‫مت�ص ًال على ح‪ ،‬فجد قيمة الثابت هـ‪.‬‬ ‫�س <‪2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪�2‬س‬ ‫‪ )8‬اإذا كان ع(�س) =‬ ‫‪� ≤ 2‬س < ‪4‬‬ ‫‪،‬‬ ‫[‪�0.5‬س‪]2 +‬‬ ‫�س ≥ ‪4‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪�5‬س‬ ‫�س‪36 - 2‬‬ ‫فابحث في ات�صال الاقتران ع لجميع قيم �س الحقيقية‪.‬‬ ‫‪� ≤ 1- ،‬س < ‪0‬‬ ‫[�س] ‪� +‬س‬ ‫‪� ≤0 ،‬س ≤ ‪2‬‬ ‫�س‬ ‫‪�3‬س‪2‬‬ ‫‪ )9‬اإذا كان ق(�س) =‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫فابحث في ات�صال الاقتران ق على الفترة [‪.]2 ،1-‬‬ ‫‪ ،‬فما قيم أا التي تجعل الاقتران ل مت�ص ًال على مجموعة‬ ‫�س‪�5 + 2‬س ‪2+‬‬ ‫‪ )10‬اإذا كان ل(�س) =‬ ‫اأ �س‪� + 2‬س ‪3 +‬‬ ‫الاأعداد الحقيقية ح ؟‬ ‫‪65‬‬

‫‪ )1‬معتم ًادا ال�صكل(‪ ،)30-1‬الذي يمثل منحنى الاقتران ع‪،‬جد ك ًّال مما ياأتي‪:‬‬ ‫اأ ) ن�سهـــ←ــ‪0‬ـ‪+‬ـاع(�س)‬ ‫ب) ن�سهـــ←ــ‪2‬ـ‪-‬ـاع(�س)‬ ‫جـ) ن�سهـــ←ــ‪3‬ـاع(�س)‬ ‫ال�صكل (‪)30-1‬‬ ‫د ) �نسهــ←ـــ‪4‬ـاع(�س)‬ ‫هـ) مجموعة قيم اأ حيث ن�هســــ←ـاأــاع(�س) غير موجودة‪.‬‬ ‫و ) مجموعة قيم ب حيث ع اقتران غير مت�صل عند �س= ب ‪.‬‬ ‫‪ )2‬اإذا كانت ن�هســـ←ـــ‪3‬ا ق(�س) = ‪ ، 4‬ق(‪ ، 6 = )3‬فجد قيمة‪:‬‬ ‫ن�هســـ←ـــ‪1‬ا ق‪� 2( 2‬س‪� – ) 1+‬س ‪) (2+‬‬ ‫‪� ،‬س > ‪3‬‬ ‫�س‬ ‫|�س‪--3‬‬ ‫‪ )3‬إاذا كان ق(�س)=‬ ‫‪� ،‬س ≤ ‪3‬‬ ‫‪|3‬‬ ‫جـ �س‪4 - 2‬‬ ‫وكانت ن�هســـ←ـــ‪3‬ا ق(�س) موجودة ‪ ،‬فما قيمة الثابت جـ؟‬ ‫‪ ،‬فجد قيمة الثابت أا التي تجعل‬ ‫�س‪( + 2‬اأ ‪� )13+‬س ‪ +‬اأ‬ ‫‪ )4‬اإذا كان ق(�س) =‬ ‫�س ‪2 -‬‬ ‫ن�سهـــ←ــ‪2‬ـا ق(�س) موجودة‪.‬‬ ‫‪66‬‬

‫‪� ،‬س >‪5‬‬ ‫|�س‪�4- 2‬س‪|5-‬‬ ‫‪� ،‬س < ‪5‬‬ ‫|�س‪|5 -‬‬ ‫‪� )5‬إذا كان ق(�س) =‬ ‫�س ‪5 +‬‬ ‫‪π‬‬ ‫�أ جتا‬ ‫‪5‬‬ ‫وكانت ن�هســـ←ـــ‪5‬ا ق(�س) موجودة ‪ ،‬فجد قيمة الثابت �أ‪.‬‬ ‫‪ )6‬جد ك ًّال من النهايات الآتية‪:‬‬ ‫�س ‪ +‬جا ‪�2‬س‬ ‫�س ‪ -‬جا �س‬ ‫‪�3‬س‬ ‫ب) ن�سهـــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫‪ -1‬جتا ‪�2‬س‬ ‫�أ ) ن�سهـــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫�س‪�3 - 2‬س‬ ‫ن�هســـ←ــ‪3‬ـا‬ ‫)‬ ‫د‬ ‫‪) 1-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫ن�سهـــ←ــ‪1‬ـا‬ ‫جـ)‬ ‫�س‪� -‬س‪1- 1+‬‬ ‫�س‬ ‫�س ‪1-‬‬ ‫�س‪� |2 - 3‬س|‬ ‫�نسهــ←ــ‪4‬ـا‬ ‫)‬ ‫و‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�‪1‬س‬ ‫هـ ) �نسهـــ←ـ‪-‬ــ‪3‬ا‬ ‫‪�2‬س‪�5 - 2‬س ‪12 -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫�س‪�2+ 2‬س ‪3 -‬‬ ‫جتا �س ‪ 3 -‬جا �س‬ ‫ح ) ن�سهـــ←ــ‪π‬ـا‬ ‫�س‪ + 2‬جا ‪�2‬س‬ ‫ز ) ن�سهـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫‪� 6‬س ‪π -‬‬ ‫‪�3‬س‬ ‫‪ +‬هـ)‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ -‬جتا(‬ ‫‪12‬‬ ‫ي ) هنـهــ←ـــ‪0‬ـا‬ ‫جتا ‪�3‬س ‪ -‬جتا ‪�5‬س‬ ‫ط) �نسهــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫‪3‬‬ ‫هـ‬ ‫‪� 2‬س‪2‬‬ ‫‪ ،‬فجد قيمة الثابت ب‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪�4‬س‪ - 2‬جا ب �س‬ ‫‪� )7‬إذا كانت ن�هســـ←ــ‪0‬ا‬ ‫‪4‬‬ ‫ب �س ‪ -‬ظا ‪�4‬س‬ ‫‪67‬‬

‫‪� ،‬س ≠ ‪2‬‬ ‫|��سس‪ |42--2‬‬ ‫‪ ) 8‬إ�ذا كان ق(�س) =‬ ‫‪� ،‬س = ‪2‬‬ ‫‪� + 2‬س ‬ ‫فابحث في ات�صال الاقتران ق عند �س= ‪2‬‬ ‫‪� ≤ 1-‬س<‪3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪| 1 -‬‬ ‫�س‬ ‫|‬ ‫‪� ≤ 3‬س<‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪� ) 9‬إذا كا ن ع(�س) =‬ ‫[‪�0.5‬س ‪, ]3 +‬‬ ‫فابحث في ات�صال الاقتران ع عند �س= ‪3‬‬ ‫‪� < ،‬س <‬ ‫‪� )10‬إذا كان ل(�س) = ‪2-‬‬ ‫‪�6-‬س ‪�[ -‬س]‬ ‫‪� ،‬س =‬ ‫‪�< ،‬س<‬ ‫فابحث في ات�صال الاقتران ل عند �س =‬ ‫‪ )11‬ابحث في ات�صال الاقتران ع(�س) = [�س] ‪� +‬س على الفترة (‪. ]2 ،1‬‬ ‫‪� ،‬س < ‪1‬‬ ‫�س‪3‬‬ ‫‪� ،‬س ≥ ‪1‬‬ ‫‪ )12‬إ�ذا كان هـ(�س) = ‪�2‬س ‪1 -‬‬ ‫فابحث في ات�صال الاقتران هـ لجميع قيم �س الحقيقية‪.‬‬ ‫‪68‬‬

‫‪� ≤2- ،‬س <‪1-‬‬ ‫��سس‪ 1 1-+2‬‬ ‫‪� )13‬إذا كان ق(�س) =‬ ‫‪� ≤1- ،‬س < ‪1‬‬ ‫�س[�س] ‬ ‫فابحث في ات�صال الاقتران ق على الفترة [‪.)1 ،2-‬‬ ‫فابحث في ات�صال الاقتران‬ ‫‪،‬‬ ‫‪ ،‬هـ (�س) = [�س]‬ ‫�س‪1 - 2‬‬ ‫=‬ ‫ل(�س)‬ ‫كان‬ ‫�إذا‬ ‫‪)14‬‬ ‫�س ‪2 +‬‬ ‫ل × هـ على الفترة [‪]2 ،0‬‬ ‫‪ )15‬يتكون هذا ال�س�ؤال من (‪ )10‬فقرات‪ ،‬كل فقرة لها أ�ربعة بدائل مختلفة‪ ،‬واحد منها فقط‬ ‫�صحيح‪� ،‬ضع دائرة حول رمز البديل ال�صحيح في ما ي�أتي‪:‬‬ ‫(‪� )1‬إذا كانت ن�سهـــ←ــ‪3‬ا ق(�س) = ‪ ، 4‬ق(‪ ،6 = )3‬فما قيمة�نسهــ←ــ‪1‬ـا ق‪�2( 2‬س‪� - )1+‬س‪ 7+‬؟( )‬ ‫د ) ‪37‬‬ ‫جـ) ‪22‬‬ ‫ب) ‪13‬‬ ‫�أ ) ‪17‬‬ ‫(‪� )2‬إذا كان ق اقترا ًنا مت�ص اًل عند �س=‪ ، 4‬وكان ‪3‬ق(‪ ،6= )4‬وكانت ن�سهـــ←ـــ‪4‬ـ‪+‬اق(�س) =‪4‬ب‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ف�إ َّن قيمة الثابت ب ت�ساوي‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫د ) ‪2-‬‬ ‫جـ)‬ ‫ب) ‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫�أ )‬ ‫ق‪�(2‬س)‬ ‫= ‪ ، 3‬ف إ� َّن ن�سهـــ←ـــ‪2‬ـا‬ ‫ق(�س)‬ ‫�نسهـــ←ــ‪2‬ــا‬ ‫وكانت‬ ‫‪،‬‬ ‫حدود‬ ‫كثير‬ ‫اقترا َن‬ ‫�إذا كان ق‬ ‫(‪)3‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫ت�ساوي‪:‬‬ ‫د) ‪36‬‬ ‫ب) ‪ 18‬جـ) ‪6‬‬ ‫�أ ) ‪9‬‬ ‫‪69‬‬

‫(‪ )4‬معتم ًدا ال�شكل(‪ )31-1‬الذي يمثل منحنى الاقتران ق المع َّرف على مجموعة الأعداد‬ ‫الحقيقية ح‪ ،‬ف�إ َّن مجموعة قيم �أ حيث �نسهــ←ــأ�ـا ق(�س) = �صف ًرا هي‪:‬‬ ‫ال�شكل (‪)31-1‬‬ ‫أ� ) {‪} 0 ، 2-‬‬ ‫ب) { ‪} 0‬‬ ‫جـ) { ‪} 2 ، 0‬‬ ‫د ) {‪} 2 ،0 ، 2-‬‬ ‫(‪ )5‬ن�سهـــ←ــ‪-‬ــ‪2‬ا ‪��--24‬سس‪ 2‬ت�ساوي‪:‬‬ ‫د) ‪3‬‬ ‫جـ) ‪3-‬‬ ‫ب) �صفر‬ ‫�أ ) ‪1-‬‬ ‫ت�ساوي‪:‬‬ ‫‪�6‬س‪�18 + 4‬س‪2‬‬ ‫(‪ )6‬نهــــــا‬ ‫‪�2‬س‪�3 - 2‬س‪3‬‬ ‫�س← ‪0‬‬ ‫د) ‪9‬‬ ‫جـ) ‪3‬‬ ‫ب) ‪2-‬‬ ‫�أ ) ‪6-‬‬ ‫(‪� )7‬إذا كان ق اقترا ًنا مت�ص ًال عند �س= ‪ ، 1‬وكان ق(‪ ، 4 = )1‬ف إ� َّن‬ ‫|�س‪|1-‬‬ ‫�س ‪1-‬‬ ‫ت�ساوي‪) (:‬‬ ‫ن�سهـــ←ــ‪1‬ــ‪+‬ا‬ ‫‪ +‬ق(�س)‬ ‫د ) غير موجودة‬ ‫�أ ) ‪ 3‬ب) ‪ 1‬جـ) ‪5‬‬ ‫‪70‬‬

‫( ‪ ) 8‬معتم ًدا ال�شكل (‪ )32-1‬الذي يمثل‬ ‫منحنى الاقتران ق المعرف على ح‪،‬‬ ‫ما مجموعة قيم �أ التي تجعل‬ ‫�نسهـــ←ـأ�ـا ق(�س) غير موجودة؟‬ ‫ال�شكل (‪)32-1‬‬ ‫أ� ) {‪ }3 ،1 ،0‬ب) {‪ } 4 ،3 ،1‬جـ) {‪ } 4 ،3 ،1 ،0‬د){‪} 3 ،1‬‬ ‫‪� ،‬س < ‪π‬‬ ‫( ‪� ) 9‬إذا كان ل(�س)= ‪2‬جتا‪�2‬س‬ ‫‪� ،‬س ≥ ‪π‬‬ ‫�أ �س‪2 π + 2‬‬ ‫ف إ� َّن قيمة �أ التي تجعل الاقتران ل مت�ص ًال عند �س= ‪ π‬هي‪:‬‬ ‫جـ) ‪ 4-‬د ) ‪4‬‬ ‫ب) �صفر‬ ‫�أ ) ‪2-‬‬ ‫�س = ‪1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‪� )10‬إذا كان ق(�س)=‬ ‫‪� < 1‬س < ‪2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫[�س] ‪5+‬‬ ‫‪،‬‬ ‫�س = ‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫جـ) [‪ ) 2 ، 1‬د ) (‪] 2 ، 1‬‬ ‫ف إ� َّن الاقتران ق مت�صل على الفترة‪:‬‬ ‫�أ ) [‪ ] 2 ، 1‬ب) (‪) 2 ،1‬‬ ‫‪71‬‬

‫‪2á«fÉãdG IóMƒdG‬‬ ‫اﻟﺘﻔﺎﺿـﻞ‬ ‫‪Di erentiation‬‬ ‫تت†صمن بع†س الظواهر في حياتنا تغي ًارا في كمياتها اأو قيا�صاتها بالن�صبة لمتغير آاخر‪ ،‬مثل �سرعة‬ ‫�صارو‪ ñ‬بالن�صبة للزمن‪ ،‬اأو قيمة العملة بالن�صبة لعملة أاخر‪ ،i‬أاو حجم بالون كروي بالن�صبة لطول‬ ‫ن�صف قطره ‪ ... ،‬اإل‪ُ ،ï‬ي�صتخدم علم التفا�صل في درا�صة مثل هذه التغيرات‪.‬‬ ‫تطور علم التفا�صل عبر درا�صة ثلث م�صائل رئي�صة هي‪:‬‬ ‫م�ص أالة المما�س و م�صاألة ال�سرعة و م�صاألة القيم الق�صو‪( i‬الكبر‪ i‬وال�صغر‪.)i‬‬ ‫و �صنقدم في هذه الوحدة مفهوم الم�صتقة وقواعد اإيجادها‪.‬‬ ‫‪72‬‬

.É«v °Sóæg ¿GÎbG ≈æëæŸ ¢SɪŸGh ™WÉ≤dG ∞°Uh .∞jô©àdG ΩGóîà°SÉH ÉgOÉéjGE h á≤à°ûª∏d ºm ¡a QÉ¡XGE .áØ∏àfl ≠«°üH ∞jô©àdG ΩGóîà°SÉH á£≤f óæY ¿GÎb’ ≈dhC’G á≤à°ûŸG ÜÉ°ùMh ∞°Uh .≈dhC’G á≤à°ûŸG øY ÒÑ©à∏d áØ∏àfl RƒeQ ΩGóîà°SG .á£≤f óæY ¥É≤à°TÓd á«∏HÉ≤dGh ∫É°üJ’G ÚH õ««ªàdG .¥É≤à°T’G á«∏HÉb ΩóY π«∏©J 73

‫‪äÉ≤à°ûŸGh Ò¨àdG ∫ó©e‬‬ ‫اﻟﻔﺼﻞ ا ول‬ ‫‪Rate of Change and Derivatives‬‬ ‫تجد معدل التغير في فترة محددة‪.‬‬ ‫تف�سر مفهوم معدل التغير هند�ص ّاًيا‪ ،‬وفيزيائ ّاًيا‪.‬‬ ‫تتعرف الم�صتقة ال أاولى لاقتران عند نقطة‪ ،‬و ُتف�سرها هند�ص ّاًيا‪.‬‬ ‫تجد الم�صتقة الاأولى لاقتران عند نقطة با�صتخدام التعريف‪َ ،‬وب�صورتها العامة ‪.‬‬ ‫تبحث في قابلية ا�صتقاق اقتران على فترة‪.‬‬ ‫تف�سر العلقة بين ات�صال اقتران عند نقطة‪ ،‬وقابلية ا�صتقاقه عند هذه النقطة‪.‬‬ ‫تدر�س قابلية اقتران لل�صتقاق عند نقطة معينة م�صتعينا بالات�صال‪ ،‬وتف�سر الحالات التي يكون فيها الاقتران‬ ‫غير قابل لل�صتقاق عند نقطة‪.‬‬ ‫‪Rate of Change‬‬ ‫‪Òq ¨àdG ∫óq ©e‬‬ ‫أو ًﻻ‬ ‫عند رمي حجر في بركة ماء راكدة تتكون دائرة يزداد طول قطرها بمرور الزمن ‪ .‬ما مع ّدل‬ ‫الزيادة في م�صاحة الدائرة عندما يزداد طول قطرها من ‪� 8‬صم اإلى ‪� 10‬صم ؟‬ ‫ُي�صتعمل معدل التغير في مجالات كثيرة‪ ،‬مثل‪ :‬درا�صة تزايد عدد ال�صكان ومع ّدلات الاإنتا‪،ê‬‬ ‫وال�سرعة والت�صارع‪.‬و ُت�صكل درا�صة حركة ُج َ�صيم يتحرك على خط م�صتقيم (اأفقي أاو عمودي)‪،‬‬ ‫وميل القاطع الوا�صل بين نقطتين على منحنى اقتران م�صاألتين مهمتين في ا�صتخدامات معدل‬ ‫التغير‪.‬‬ ‫‪74‬‬

‫اإذا تغيرت قيمة متغير مثل �س من �س‪ 1‬إالى �س‪ 2‬ف إا َّن مقدا‪ Q‬التغير ‘ �س هو �س‪� –2‬س‪ ،1‬و�ص‪Ô‬مز‬ ‫للتغير في �س بالرمز ∆�س ( ويقر أا دلتا �س )‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جد ∆�س اإذا تغ ّيرت �س من ‪ 2.3‬اإلى ‪2.5‬‬ ‫الحل‬ ‫∆ �س = �س‪� - 2‬س‪0.2 = 2.3 - 2.5 = 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جد ∆ �س في الحالات ال آاتية‪:‬‬ ‫‪� )1‬س‪� ، 4 = 1‬س‪3.7 = 2‬‬ ‫‪ )2‬إاذا تغيرت �س من �س‪ = 1‬ن إالى �س‪ = 2‬ن ‪1 +‬‬ ‫مقدا‪ Q‬التغير ‘ الاقتران‬ ‫إاذا كان �س = ق(�س) اقترا ًانا معر اًفا على الفترة[ اأ ‪ ،‬ب ] وتغيرت �س من �س‪ 1‬اإلى �س‪2‬‬ ‫فاإ َّن �س �صتتغير تب اًعا لذلك من قيمة �س‪ 1‬اإلى قيمة �س‪ ،2‬حيث �س‪ = 1‬ق(�س‪، )1‬‬ ‫�س‪ = 2‬ق(�س‪.)2‬‬ ‫ُيرمز لمقدار التغير في قيمة الاقتران ق بالرمز‬ ‫∆ �س = �س‪� -2‬س‪ = 1‬ق(�س‪ - )2‬ق(�س‪ ∆ =)1‬ق(�س)‬ ‫‪2‬‬ ‫اإذا كان �س = ق(�س) = �س‪�4 -2‬س ‪َ ،1 +‬ف ِجد مقدار التغير في الاقتران ق في الحالات الاآتية ‪:‬‬ ‫‪ )1‬إاذا تغيرت �س من ‪ 1‬اإلى ‪3‬‬ ‫‪ )2‬إاذا تغيرت �س من �س‪ = 1‬ن إالى �س‪ = 2‬ن – ‪1‬‬ ‫‪75‬‬

‫= �س‪� - 2‬س‪1‬‬ ‫الحل‬ ‫= ق(‪ - )3‬ق(‪)1 + 4 – 1 ( – )1+ 3 × 4 – 23( = )1‬‬ ‫‪� ∆ )1‬س‬ ‫‪� ∆ )2‬س‬ ‫= ( ‪� = ) 2 - ( – ) 2 -‬صف ًارا‬ ‫= ق(ن ‪ - )1 -‬ق(ن)‬ ‫= ( (ن ‪ ( 4 – 2)1 -‬ن ‪ ( – ) 1 + ) 1 -‬ن‪4 – 2‬ن ‪)1 +‬‬ ‫= ن‪ 2 – 2‬ن ‪ 4 -1 +‬ن ‪ – 1 + 4 +‬ن‪ 4 + 2‬ن – ‪2– 5 = 1‬ن‬ ‫تتغير‬ ‫عندما‬ ‫�س‬ ‫في‬ ‫معدل التغير‬ ‫ُي�صمى‬ ‫�س‬ ‫∆‬ ‫�س‪ 2‬ف إا َّن المقدار‬ ‫≠‬ ‫�س‪1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫= ق(�س)‬ ‫�س‬ ‫كان‬ ‫اإذا‬ ‫�س‬ ‫∆‬ ‫إال��ىسس‪�22‬س‪��2--‬سحسي‪11‬ث‪=:‬‬ ‫�س‪1‬‬ ‫من‬ ‫�س‬ ‫�قس(‪�1‬س‪)1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ق(� �س‪2‬س)‪2‬‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫∆‬ ‫‪-‬‬ ‫�س‬ ‫∆‬ ‫حيث �س‪� = 2‬س‪� ∆ + 1‬س‬ ‫‪3‬‬ ‫اإذا كان ق(�س) = �س‪� - 3‬س ‪ ،‬فجد معدل التغير في الاقتران ق عندما تتغير �س من ‪ 1-‬إالى ‪2‬‬ ‫الحل‬ ‫∆ �س‬ ‫=‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫ق(‪ - )2‬ق(‪)1-‬‬ ‫=‬ ‫∆ �س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)1-( -2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اإذا كان �س = ق(�س) = ‪� – 5‬س‪ ،2‬جد معدل التغير في الاقتران ق إاذا تغيرت �س من ‪ 2‬اإلى ‪.2.1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫اإذا كان ق(�س) = | ‪�2‬س ‪ ، |6 -‬فجد معدل التغير في الاقتران ق في الفترة [‪.]4 ، 1‬‬ ‫‪� ،‬س‪� ، 1 = 1‬س‪4 = 2‬‬ ‫‪� ،‬س ≥ ‪3‬‬ ‫الحل‬ ‫‪� ،‬س < ‪3‬‬ ‫‪�2‬س ‪6 -‬‬ ‫ق(�س ) = ‪� 2 - 6‬س‬ ‫‪76‬‬

‫‪2-‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫ق(‪ - )4‬ق(‪)1‬‬ ‫=‬ ‫�ص‬ ‫∆‬ ‫∴‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1-4‬‬ ‫�س‬ ‫∆‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.]5‬‬ ‫‪،‬‬ ‫الفترة[‪3‬‬ ‫في‬ ‫ق‬ ‫الاقتران‬ ‫في‬ ‫التغير‬ ‫معدل‬ ‫فجد‬ ‫‪]1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫�س‬ ‫‪2‬‬ ‫[‬ ‫ق(�س)=‬ ‫كان‬ ‫إ�ذا‬ ‫ال�شكل (‪)1-2‬‬ ‫التف�سير الهند�سي لمع ّدل التغير‬ ‫يمثل ال�شكل (‪ )1 -2‬منحنى الاقتران ق‪.‬‬ ‫النقطتان �أ(�س‪� ،1‬ص‪ ، )1‬ب(�س‪� ،2‬ص‪)2‬‬ ‫واقعتان عليه‪.‬‬ ‫ُي�سمى الم�ستقيم الوا�صل بين النقطتين أ� ‪ ،‬ب قاط ًعا‬ ‫لمنحنى الاقتران ق‪.‬‬ ‫ال�شكل (‪)1-2‬‬ ‫تعريف ميل الم�ستقيم �إذا ُعلمت نقطتان عليه‬ ‫�قس(‪�1‬س‪)1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫∆∆ق�(��سص�س‪2‬س)=‪2‬‬ ‫=‬ ‫��سص‪11‬‬ ‫‪-‬‬ ‫��سص‪22‬‬ ‫ميل �أ ب =‬ ‫العلاقة بين ميل الم�ستقيم وزاوية ميله‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫ظا هـ‬ ‫ ‬ ‫حيث هـ زاوية ميل أ� ب (وهي الزاوية المح�صورة بين أ� ب والاتجاه الموجب لمحور ال�سينات)‪.‬‬ ‫أ�ي �أ َّن‪:‬‬ ‫ميل القاطع = مع ّدل التغير = ظا هـ‬ ‫‪5‬‬ ‫جد ميل القاطع الوا�صل بين النقطتين ‪ ، 2‬ق(‪ ، 5 ، )2‬ق(‪ )5‬الواقعتين على منحنى الاقتران( ) ( )‬ ‫ق حيث ق(�س) = �س‪�3 – 2‬س ‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫ميل القاط ع = مع ّدل تغير الاقتران ق في الفترة[‪]5 ، 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫=‬ ‫‪)2-( -10‬‬ ‫=‬ ‫ق(‪ - )5‬ق(‪)2‬‬ ‫=‬ ‫ ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2- 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪77‬‬

‫‪4‬‬ ‫إاذا كان القاطع الما ‪t‬ر بالنقطتين (‪ ، 1‬ق(‪ ، 3( ،))1‬ق(‪ ))3‬ي�صنع زاوية قيا�صها ‪ °135‬مع‬ ‫الاتجاه الموجب لمحور ال�صينات‪ ،‬فجد مع ّدل تغير الاقتران ق في الفترة [‪.]3 ، 1‬‬ ‫التف�سير الفي‪õ‬يا‪F‬ي لمع ّدل التغير‬ ‫في درا�صة حركة ُج�صيم يتحرك على خط م�صتقيم اأفقي أاو عمودي غال اًبا ما ُي�صتخدم محور اأفقي‬ ‫مع نقطة اأ�صل عليه بو�صفه ‪‰‬وذ اًجا للم�صتقيم الذي يتحرك عليه الج�صيم‪ .‬في هذه الحالة ُيعتبر التحرك‬ ‫في الاتجاه الموجب اإذا كان من الي�صار اإلى اليمين‪ ،‬وفي الاتجاه ال�صالب إاذا كان من اليمين اإلى الي�صار‪.‬‬ ‫على فر�س اأ َّن ُج�صي ًاما يتحرك على خط م�صتقيم بحيث كان موقعه من نقطة الاأ�صل في اأية لحظة ن‬ ‫معر ًافا بالقاعدة ف(ن)‪ ،‬إاذا تغيرت ن من ن‪ 1‬إالى ن‪ 2‬ف إا َّن موقع ال ُج�صيم �صيتغير من الموقع ف(ن‪)1‬‬ ‫اإلى الموقع ف(ن‪. )2‬اإذا قطع ال ُج�صيم خلل الفترة الزمنية [ن‪ ، 1‬ن‪ ]2‬م�صافة ∆ ف فاإ َّن الن�صبة ‪:‬‬ ‫∆ ن)‬ ‫∆ف‬ ‫∆ن > ‪0‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ف(ن‪)1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ف(ن‪1‬‬ ‫=‬ ‫ف(ن‪ - )2‬ف(ن‪)1‬‬ ‫=‬ ‫∆ن‬ ‫∆ن‬ ‫ن‪- 2‬ن‪1‬‬ ‫∆ف‬ ‫∆ن‬ ‫ُت�صمى ال�‪ö‬عة المتو�س‪£‬ة لل ُج�صيم في الفترة الزمنية [ن‪ ،1‬ن‪ ]2‬و ُيرمز لها بالرمز ع ‪ ،‬اأي أا َّن ع =‬ ‫ال�سرعة المتو�صطة (ع) ل ُج�صيم يتحرك على خط م�صتقيم في الفترة الزمنية [ن‪ ، 1‬ن‪ ]2‬هي معدل‬ ‫التغيرفي اقتران الم�صافة ف(ن) وبالرموز‪:‬‬ ‫∆ن > ‪0‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ف(ن‪)1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫∆ ن)‬ ‫‪+‬‬ ‫ف(ن‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪ -‬ف(ن‪)1‬‬ ‫ف(ن‪2‬ن)‪2‬‬ ‫=‬ ‫∆ف‬ ‫ع=‬ ‫‪-‬ن‪1‬‬ ‫∆ن‬ ‫∆ن‬ ‫‪6‬‬ ‫يتحرك ُج�صيم على خط م�صتقيم ح�صب العلقة ف(ن) = ن‪ -2‬ن حيث ن الزمن بالثواني ‪،‬‬ ‫ف(ن) الم�صافة بال أامتار ‪ ،‬اأجب عن ال�ص ؤوالين الاآتيين‪:‬‬ ‫‪ )1‬هل �سرعة ال ُج�صيم ثابتة أام متغيرة ؟ ب ِّنرر اإجابتك‪.‬‬ ‫‪ )2‬اح�صب ال�سرعة المتو�صطة لل ُج�صيم في الفترة الزمنية [‪. ]5 ، 2‬‬ ‫‪78‬‬

‫الحل‬ ‫‪ )1‬الم�سافة المقطوعة بين ن =‪ ، 1‬ن = ‪ : 2‬هي ف(‪ – )2‬ف(‪ 2 = 0 – 2 = )1‬م‬ ‫الم�سافة المقطوعة بين ن =‪ ، 2‬ن = ‪ : 3‬هي ف(‪ – )3‬ف(‪ 4 = 2 – 6 = )2‬م‬ ‫ال�سرعةمتغيرة؛لأ َّنالم�سافةالمقطوعةفيالفترةالزمنية[‪]2 ،1‬تختلفعنهافيالفترةالزمنية[‪]3،2‬‬ ‫= ‪6‬م‪/‬ث‬ ‫‪2 - 20‬‬ ‫=‬ ‫‪ -‬ف(‪)2‬‬ ‫ف(‪)5‬‬ ‫=‬ ‫∆ف‬ ‫‪ )2‬ع =‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫∆ن‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫يتحرك ُج�سيم على خط م�ستقيم ح�سب العلاقة ف(ن) = ‪ 3‬ن‪4 – 2‬ن ‪20 +‬؛ حيث ف ُبعد‬ ‫الج�سيم با ألمتار عن نقطة ثابتة (و) ‪ ،‬ن الزمن بالثواني ‪ ،‬اح�سب ال�سرعة المتو�سطة للج�سيم في‬ ‫الفترة الزمنية [‪. ]4 ، 1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫�إذا كان معدل التغير في الاقتران ق في الفترة [‪ ]6 ، 1‬ي�ساوي ‪ ،12‬وكان‬ ‫هـ (�س) = ‪�2‬س – ‪ 3‬ق(�س) ‪َ ،‬ف ِجد معدل التغير في الاقتران هـ في الفترة [‪.]6 ، 1‬‬ ‫الحل‬ ‫لماذا؟( ) ( )‬ ‫= ‪12‬‬ ‫ق(‪ - )6‬ق(‪)1‬‬ ‫‪ ∆1- 6‬هـ‬ ‫‪3 - 6 * 2‬ق(‪3 - 1 * 2 - )6‬ق(‪)1‬‬ ‫=‬ ‫هـ(‪ - )6‬هـ(‪)1‬‬ ‫=‬ ‫∆ �س‬ ‫‪1- 6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ق(‪ - )6‬ق(‪) ()1‬‬ ‫‪3-‬‬ ‫‪2 - 12‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬ق(‪)1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬ق(‪- )6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪12‬‬ ‫=‬ ‫ ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪34- = 36‬‬ ‫* ‪- 2 =12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫�إذا كان معدل التغير في الاقتران ق في الفترة [‪ ]4 ، 1‬ي�ساوي ‪ ، 6‬وكان‬ ‫هـ (�س) = ‪� 3‬س – ق(�س) ‪َ ، 2 +‬ف ِجد معدل التغير في الاقتران هـ في الفترة [‪.]4 ، 1‬‬ ‫‪79‬‬

‫‪ )1‬إاذا كان ق(�س) = �س‪� –2‬س ‪ ،‬فجد مقدار التغير في قيمة الاقتران ق إاذا تغيرت �س من ‪:‬‬ ‫ب) �س‪ 2 = 1‬إالى �س‪ + 2 = 2‬هـ‬ ‫اأ ) ‪ 3‬اإلى ‪4‬‬ ‫‪ )2‬إاذا كان ق(�س) = �س‪ ، 3– 2‬فجد معدل التغير في الاقتران ق عندما تتغير �س من (‪ )1‬إالى (‪ + 1‬هـ)‪.‬‬ ‫‪ )3‬تحرك ُج�صيم في الم�صتو‪ i‬الاإحداثي على خط م�صتقيم من النقطة اأ (�س ‪� ،‬س) اإلى النقطة‬ ‫ب (‪ .)5 ،2‬اإذا كانت ∆�س = ‪� ∆ ، 0.1‬س = ‪ 0.6‬فجد اإحداثيي النقطة اأ‪.‬‬ ‫‪� )4‬صفيحة معدنية مربعة ال�صكل تتمدد بالحرارة محافظة على �صكلها‪ ،‬اإذا زاد طول �صلعها من‬ ‫‪�6‬صم اإلى ‪� 6.1‬صم‪َ ،‬ف ِجد معدل تغير م�صاحة ال�صفيحة بالن�صبة اإلى طول �صلعها‪.‬‬ ‫‪ )5‬إاذا كان معدل التغير في الاقتران ق على الفترة [ ‪ ]2 ، 1-‬ي�صاوي ‪ ، 5‬فجد معدل التغير في‬ ‫الاقتران هـ(�س) = ‪� 4‬س‪3 - 2‬ق(�س) على الفترة نف�صها ‪.‬‬ ‫‪ُ )6‬قذف ج�صم ر أا�ص َّيا ل ألعلى بحيث يكون ُبعده (ف) بال أامتار عن �صطح الاأر�س َبعد (ن) ثانية‬ ‫معط ًاى بالعلقة ف(ن) = ‪60‬ن – ‪5‬ن‪ 2‬جد‪:‬‬ ‫أا ) ال�سرعة المتو�صطة للج�صم في الفترة الزمنية [‪.]5 ، 2‬‬ ‫ب) ال�سرعة المتو�صطة للج�صم بدلالة ∆ ن ؛ اإذا تغيرت ن من �صفر إالى ∆ ن‪.‬‬ ‫‪ )7‬اإذا كان معدل التغير في الاقتران ق على الفترة [‪ ]4 ، 1‬ي�صاوي ‪ ، 3‬وكان ق(‪ + )1‬ق(‪،2 = )4‬‬ ‫فجد معدل التغير في الاقتران هـ(�س) = ق‪�(2‬س) على الفترة [‪. ]4 ، 1‬‬ ‫‪ )8‬اإذا كان معدل التغير في الاقتران ق على الفترة [‪ ]5 ، 2‬ي�صاوي ‪ ، 7‬و كان معدل تغيره على‬ ‫الفترة [‪ ]9 ، 5‬ي�صاوي ‪ ،14‬فجد معدل التغير في الاقتران ق على الفترة [‪.]9 ، 2‬‬ ‫‪80‬‬

‫‪ ) 9‬اإذا كان القاطع الما ‪t‬ر بالنقطتين (‪ ، 1‬ق(‪ )4 ، 2( ، ))1‬الواقعتين على منحنى الاقتران ق‬ ‫‪ π 3‬راد‬ ‫ق(‪.)1‬‬ ‫فجد‬ ‫ال�صينات‪،‬‬ ‫لمحور‬ ‫الموجب‬ ‫الاتجاه‬ ‫مع‬ ‫‪4‬‬ ‫قيا�صها‬ ‫زاوية‬ ‫ي�صنع‬ ‫|‪�2‬س ‪� ≤ 0 ، | 3 -‬س < ‪2‬‬ ‫‪ )10‬إاذا كان ق(�س ) = [ �س ‪� ≤ 2 ، ] 1 +‬س < ‪6‬‬ ‫فجد معدل التغير في الاقتران ق عندما تتغير �س من ‪ 1‬اإلى ‪. 4‬‬ ‫‪ )11‬إاذا كان ق(�س) = ( �س‪� + 2‬س) ‪ ، 1-‬وكان مقدار التغير في قيمة الاقتران ق عندما تتغير �س‬ ‫) ‪ ،‬فجد قيمة �س‪ 2‬حيث �س‪0> 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫من ‪ 1‬إالى �س‪ 2‬ي�صاوي ( ‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ )12‬يمثل ال�صكل (‪ )2-2‬منحنى الاقتران ق على الفترة [ ‪. ] 5 ،1‬‬ ‫جد ميل العمودي على القاطع اأ ب ‪.‬‬ ‫ال�صكل (‪)2-2‬‬ ‫‪81‬‬

‫‪First Derivative‬‬ ‫ﺛﺎﻧ ًﻴﺎ ‪≈dh’C G á≤à°ûŸG‬‬ ‫الم�صتقيم‪.‬‬ ‫هذا‬ ‫بميل‬ ‫النهاية‬ ‫هذه‬ ‫علقة‬ ‫وح ِّندد‬ ‫‪،‬‬ ‫�س‬ ‫∆‬ ‫ن∆�هـســـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫فجد‬ ‫‪،‬‬ ‫ب‬ ‫‪+‬‬ ‫اأ�س‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫كان‬ ‫إاذا‬ ‫�س‬ ‫∆‬ ‫تع َّلمت �صاب اًقا معدل التغير لاقتران معط اًى وتف�صيره الهند�صي والفيزيائي‪ .‬في هذا الدر�س �صوف‬ ‫ت�صتخدم النهايات ومعدل التغير ل إايجاد الم�صتقة ق للقتران ق ‪ ،‬و�صيظهر لك أا َّن ق (�س‪ )1‬تمثلَ َ‬ ‫ميل المما�س لمنحنى �س = ق(�س) عند النقطة ( �س‪ ،1‬ق(�س‪ ، ))1‬واإذا كان �س = ق(ن) يمثل اقتران‬ ‫م�صافة لج�صم يتحرك على خط م�صتقيم ف إا َّن ق (ن‪ )1‬ي�صف ال�سرعة اللحظية للج�صم عند الزمن ن‪َ.1‬‬ ‫في ال�صكل (‪ )3-2‬إاذا تحركت النقطة ب على‬ ‫منحنى الاقتران ق مقتربة من النقطة أا‪ ،‬ف إا َّنك تلحظ‬ ‫اأ َّن �س‪ 2‬تقترب من �س‪ ،1‬واأ َّن ∆�س ت�صغر �صي ًا‪Ä‬ا ف�صي ًا‪Ä‬ا‪،‬‬ ‫وتب ًاعا لذلك ي أاخذ القاطع ( اأ ب ) أا�صكا ًالا مختلفة‬ ‫أاب‪ ، 1‬أاب‪ ، 2‬أاب‪....، 3‬وتتغير ∆ �س‪.‬‬ ‫ال�صكل (‪)3-2‬‬ ‫عندما ت ؤوول ∆ �س إالى ال�صفر ( أاي تقترب اإلى القيمة �صفر) يوؤول القاطع ( أا ب) إالى مما� ّس‬ ‫لمنحنى الاقتران ق عند النقطة أا (تنطبق ب على اأ )‪ ،‬اأي ي ؤوول ميل القاطع اإلى ميل المما� ّس عند‬ ‫النقطة اأ(�س‪� ، 1‬س‪ .)1‬في هذه الحالة ي�صبح ميل المما� ِّنس لمنحنى ق عند النقطة أا (�س‪� ، 1‬س‪)1‬‬ ‫∆ �س‬ ‫اإن ُوجدت‪.‬‬ ‫∆ �س‬ ‫ي�صاوي ن∆�هـســــ←ــ‪0‬ا‬ ‫‪82‬‬

‫معدل التغير في �س بالن�صبة إالى �س اأو الم�ستقة الا‪C‬ولى للاقتران ق عند‬ ‫∆ �س‬ ‫ُي�صمى المقدار ن∆هـ�ــســـ←ــ‪0‬ا‬ ‫∆ �س‬ ‫النق‪£‬ة (�س‪ ،1‬ق(�س‪ ))1‬و ُيرمز لها باأحد الرموز الاآتية‪:‬‬ ‫��سس |‬ ‫�س| اأوَ َ‬ ‫�س = �س‪1‬‬ ‫�س = �س‪1‬‬ ‫ق (�س‪ )1‬أاو‬ ‫ق(�س‪� ∆ + 1‬س) ‪ -‬ق(�س‪)1‬‬‫�قس(‪�1‬س‪)1‬‬‫‪-‬‬ ‫ق(� �س‪2‬س)‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫∆�سَ‬ ‫ن∆ه�ـســــ←ــ‪0‬ا‬ ‫=‬ ‫أاي اأ َّن ق (�س‪� = )1‬نسه‪2‬ـــ←ــ�ـسـ‪1‬ـا‬ ‫إاذا كان �س = ق(�س) اقترا ًانا مع َّر اًفا على فترة مفتوحة تحتوي �س‪ ،1‬وكانت‬ ‫ق(�س‪ + 1‬هـ) ‪ -‬ق(�س‪)1‬‬ ‫موجودة ‪ ،‬فاإ َّن هذه النهاية ُت�صمى الم�صتقة ال أاولى للقتران‬ ‫نهـهـــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫هـ‬ ‫��سس |‬ ‫ق عند �س = �س‪. 1‬‬ ‫�س = �س‪1‬‬ ‫و ُيرمز لها بالرمز ق(�س‪ )1‬اأوَ‬ ‫ويكون ق (�س‪ )1‬هو ميل المما�س لمنحنى ق عند �س‪َ.1‬‬ ‫لاحظ أا َّنه ” ا�صتخدام هـ بد ًالا من ∆ �س للتب�صيط ‪.‬‬ ‫إاذا كانت النهاية موجو‪ IO‬نقول إا َّن ق قابل للا�ستقاق عند �س‪ ، 1‬أاو يوجد لمنحنى الاقتران ق مما�س‬ ‫عند �س‪. 1‬‬ ‫اأما اإذا كانت النهاية ‪Z‬ير موجو‪ IO‬فنقول إا َّن ق (�س‪ )1‬غير موجودة اأي إا َّن ق ‪Z‬ير قابل للا�ستقاقَ‬ ‫عند �س‪.1‬‬ ‫‪83‬‬

‫‪1‬‬ ‫إ�ذا كان ق(�س) = �س‪ ، 3 + 2‬فجد ‪ ،‬ق(‪َ.)1‬‬ ‫الحل‬ ‫ق (‪ = )1‬نهـهـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫((‪+1‬هـ)‪َ)4( - )3 + 2‬‬ ‫هـ‬ ‫= نههـــــ←ـا‪0‬‬ ‫ق(‪+1‬هـ) ‪ -‬ق(‪)1‬‬ ‫هـ‬ ‫=‪2‬‬ ‫هـ ( ‪+2‬هـ)‬ ‫نهـهــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫=‬ ‫هـ‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬هـ‬ ‫نهـهــ←ــ‪0‬ــا‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3+‬‬ ‫هـ‪2‬‬ ‫‪2+1‬هـ‪+‬‬ ‫= نهـهــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫هـ‬ ‫هـ‬ ‫هـ‬ ‫لاحظ أ� َّن ق(‪ 2 = )1‬تمثل ميل المما�س لمنحنى الاقتران ق عند النقطة (‪َ.)4 ، 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ق(‪4+2‬هـ) ‪ -‬ق(‪)2‬‬ ‫‪6‬هـ‬ ‫‪َ.‬‬ ‫�إذا كان ق (‪ ، 9 = )2‬فجد نهـهــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫م‬ ‫الحل‬ ‫‪4‬‬ ‫بفر�ض �أ َّن ‪4‬هـ = م ⇐ هـ =‬ ‫عندما هـ ←‪ 0‬ف إ� َّن م ←‪0‬‬ ‫ق(‪+2‬م) ‪ -‬ق(‪)2‬‬ ‫نمهــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫=‬ ‫ق(‪ )2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ق(‪4+2‬هـ)‬ ‫∴ نهـهــــ←ـ‪0‬ا‬ ‫‪6‬هـ‬ ‫م‬ ‫‪*6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ق(‪ +2‬م ) ‪ -‬ق(‪)2‬‬ ‫نمهــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫م‬ ‫‪3‬‬ ‫* ‪َ6=9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫ق (‪= )2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫�أجب عن ك ٍّل مما ي�أتي‪:‬‬ ‫‪� )1‬إذا كان ق(�س) = �س‪�2 + 3‬س ‪ ،‬فجد ق (‪.)1 -‬‬ ‫ق(‪ - )0‬ق(‪5‬هـ)َ‬ ‫‪3‬هـَ‬ ‫‪ )2‬إ�ذا كان ق(‪ ،6 = )0‬فجد نههــــــ←ا‪0‬‬ ‫‪84‬‬

‫في تعريف الم�صتقة‪ ،‬إاذا ا�صتخدمت الرمز �س بد ًالا من الرمز �س‪ + 1‬هـ (اأي أا َّن �س= �س‪ + 1‬هـ) ف إا َّن‬ ‫هـ = �س ‪� -‬س‪1‬‬ ‫و إا َّن �س ← �س‪ 1‬عندما هـ ←‪0‬ويكون‬ ‫ق(�س) ‪ -‬ق(�س‪)1‬‬ ‫�س‪� -‬س‪َ1‬‬ ‫= ن�هســــ←ـ�ــسا‪1‬‬ ‫ق(�س‪+1‬هـ) ‪ -‬ق(�س‪)1‬‬ ‫نهـهـــ←ـا‪0‬‬ ‫=‬ ‫ق (�س‪)1‬‬ ‫هـ‬ ‫�س‪:1‬‬ ‫عند‬ ‫ق‬ ‫لم�صتقة‬ ‫الاآتية‬ ‫ال�صورة‬ ‫إالى‬ ‫يمكن التو�صل‬ ‫وعليه؛‬ ‫‪º«ª©J‬‬ ‫ق(�س) ‪ -‬ق(�س‪َ)1‬‬ ‫�س‪� -‬س‪1‬‬ ‫ق (�س‪ = )1‬ن�سهــــ←ـ�ـسـ‪1‬ـا‬ ‫‪3‬‬ ‫إاذا كان ق(�س) = �س ‪ ، 1 +‬فجد ق (‪َ.)3‬‬ ‫الحل‬ ‫�س ‪2 - 1 +‬‬ ‫ق(�س) ‪ -‬ق(‪)3‬‬ ‫�س ‪3 -‬‬ ‫�س ‪3 -‬‬ ‫= ن�سهــــ←ــ‪3‬اَ‬ ‫ق(‪ =)3‬ن�هســــ←ــ‪3‬ـا‬ ‫�س ‪4-1 +‬‬ ‫= ن�هســــ←ــ‪3‬ا‬ ‫�س ‪2 + 1 +‬‬ ‫*‬ ‫‪2‬‬ ‫�س ‪- 1 +‬‬ ‫= ن�هســــ←ــ‪3‬ا‬ ‫(�س‪� ( )3-‬س ‪)2 + 1 +‬‬ ‫�س ‪2 + 1 +‬‬ ‫�س ‪3 -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫�س‬ ‫= ن�سهـــ←ــ‪3‬ـا‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫��سس‬ ‫�س‬ ‫‪2‬‬ ‫�س ‪1 +‬‬ ‫عند �س = ‪2‬‬ ‫‪ ،‬فجد‬ ‫اإذا كان �س = ق(�س) =‬ ‫‪4‬‬ ‫إاذا كان ق(�س) = | �س‪ |1-‬فجد ق(�س) عند ك ٍّل من القيم ال آاتية‪َ:‬‬ ‫‪� )2‬س = ‪0‬‬ ‫‪� )1‬س = ‪3‬‬ ‫‪85‬‬

‫لماذا؟‬ ‫‪� ،‬س ≥ ‪1‬‬ ‫�س ‪1 -‬‬ ‫الحل‬ ‫‪� ،‬س < ‪1‬‬ ‫ق(�س) = | �س‪= |1-‬‬ ‫‪� - 1‬س‬ ‫�س ‪2-1 -‬‬ ‫ق(�س) ‪ -‬ق(‪)3‬‬ ‫‪ )1‬ق(‪ = )3‬ن�سهـــ←ــ‪3‬ـا‬ ‫�س ‪3 -‬‬ ‫�س ‪3 -‬‬ ‫‪َ1‬‬ ‫=‬ ‫= ن �هـســــ←ـ‪3‬ا‬ ‫‪� -1‬س‪1-‬‬ ‫ق(�س) ‪ -‬ق(‪)0‬‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫‪َ1-‬‬ ‫=‬ ‫= ن �هـســــ←ـ‪0‬ا‬ ‫‪ )2‬ق(‪ = )0‬ن�سهـــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫ليكن الاقتران ق مع َّر ًافا عند العدد �س = اأ ‪:‬‬ ‫ق(�س) ‪ -‬ق( أا )‬ ‫�س ‪ -‬أا‬ ‫ق‪ ( +‬اأ ) = �نسهــ←ـاأــ‪+‬ـا‬ ‫موجودة ‪ ،‬فاإ َّن ق‪ ( +‬اأ ) ُت�صمى الم�صتقةَ َ‬ ‫‪ )1‬إاذا كانت‬ ‫ال أاولى للقتران ق من اليمين عند �س = اأ ‪.‬‬ ‫ق(�س) ‪ -‬ق( اأ )‬ ‫�س ‪ -‬أا‬ ‫ق‪ ( -‬اأ ) = �نسهــ←ـاأــ‪-‬ـا‬ ‫موجودة ‪ ،‬ف إا َّن ق‪ ( -‬أا ) ُت�صمى الم�صتقةَ َ‬ ‫‪ )2‬إاذا كانت‬ ‫الاأولى للقتران ق من الي�صار عند �س = اأ ‪.‬‬ ‫‪ )3‬اإذا كانت ق‪ ( -‬اأ ) = ق‪ ( +‬أا ) = ل ‪ ،‬ف إا َّن ق( أا ) موجودة وت�صاوي ل ‪ ،‬وبخلف ذلك‪َ َ َ،‬‬ ‫فاإ َّن ق ( أا ) غير موجودة أاو ق(�س) غير قابل لل�صتقاق عند �س = أا ‪َ.‬‬ ‫‪� ،‬س ≥ ‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪� ،‬س < ‪3‬‬ ‫�س‪2‬‬ ‫إاذا كان ق(�س) = ‪�6‬س‪9 -‬‬ ‫فابحث في قابلية الاقتران ق لل�صتقاق عند �س = ‪. 3‬‬ ‫الحل‬ ‫لاحظ اأ َّن قاعدة الاقتران ق تتفرع عند �س = ‪ 3‬؛ لذا يجب اإيجاد ق‪ ، )3(-‬ق‪)3(+‬‬ ‫‪�6‬س ‪َ َ9 - 9 -‬‬ ‫�س ‪َ3 -‬‬ ‫= ن�سهـــ←ــ‪3‬ــ‪-‬ا‬ ‫ق(�س) ‪ -‬ق(‪)3‬‬ ‫ق‪� = )3(-‬نسهـــ←ــ‪3‬ـ‪-‬ـا‬ ‫�س ‪3 -‬‬ ‫=‪6‬‬ ‫‪)3-‬‬ ‫‪�( 6‬س‬ ‫= ن�سهـــ←ــ‪3‬ـ‪-‬ا‬ ‫‪3‬‬ ‫�س‪-‬‬ ‫‪86‬‬

‫ق(�س) ‪ -‬ق(‪)3‬‬ ‫�س‪3 -‬‬ ‫�س‪َ9 - 2‬‬ ‫�س‪3 -‬‬ ‫= ن�هســـــ←ــ‪3‬ـ‪+‬ا‬ ‫ق‪�= )3(+‬نسهـــ←ـ‪3‬ــ‪+‬ا‬ ‫=‪6‬‬ ‫(�س‪)3+‬‬ ‫ن�سهـــ←ــ‪3‬ـا‪+‬‬ ‫=‬ ‫(�س‪�( )3-‬س‪)3+‬‬ ‫= ن�سهـــ←ــ‪3‬ــ‪+‬ا‬ ‫�س ‪3 -‬‬ ‫بما أا َّن ق‪ = )3(-‬ق‪َ َ6 = )3(+‬‬ ‫∴ ق (‪ ،6 = )3‬أاي أا َّن الاقتران ق قابل لل�صتقاق عند �س= ‪َ3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪�4‬س ‪� ≤ 3- ، 1 +‬س < ‪1‬‬ ‫اإذا كان كان ق(�س) = ‪�2‬س ‪� ≤ 1 ، 3 +‬س ≤ ‪5‬‬ ‫جد َق(‪َ ، )1-‬ق (‪ )1‬اإن وجدت‪.‬‬ ‫في كثير من الاأحيان تحتا‪ ê‬درا�صة م�صتقة الاقتران عند أاي نقطة في مجاله ‪ ،‬اأي درا�صة الم�صتقة‬ ‫الاأولى كاقتران في �س‪ .‬ل إايجاد هذا الاقتران ‪� ،‬صع الرمز �س بد ًالا من الرمز �س‪ 1‬في تعريف الم�صتقة‪.‬‬ ‫‪º«ª©J‬‬ ‫ق(�س‪+‬هـ) ‪ -‬ق(�س)‬ ‫ق(�س) = نههـــــــ←ــ‪0‬ا‬ ‫هـ‬ ‫‪َ)1( ............‬‬ ‫واإذا ا�صتبدلت ع بـ ( �س ‪ +‬هـ) ‪ ،‬اأي أا َّن ع = �س ‪ +‬هـ فاإ َّن هـ = ع – �س ‪.‬‬ ‫عندما هـ ←‪ 0‬فاإ َّن ع ← �س ‪ .‬ت�صبح المعادلة (‪ )1‬على ال�صورة ال آاتية‪:‬‬ ‫‪º«ª©J‬‬ ‫ق(ع ) ‪ -‬ق(�س)‬ ‫ق(�س) = نعهـــ←ـ�ــسا‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫‪َ)2( ............‬‬ ‫يمكنك إايجاد ق (�س) با�صتخدام اإحد‪ i‬ال�صورتين (‪َ.)2( ، )1‬‬ ‫‪º«ª©J‬‬ ‫اإذا كان الاقتران ق مع َّر ًافا على الفترة [اأ ‪ ،‬ب] ‪ ،‬فاإ َّن ق ( اأ )‪ ،‬ق (ب) غير موجودتين؛ ل أا َّن قَ َ‬ ‫غير مع ّرف على ي�صار العدد أا‪ ،‬وغير مع ّرف على يمين العدد ب‪.‬‬ ‫‪87‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫�إذا كان ق(�س) = ‪� – 1‬س‪� ، 2‬س [‪ ، ]4 ، 1‬فجد ك ًّال مما ي�أتي‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫َق‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪َ )2‬ق (‪)3‬‬ ‫‪َ )1‬ق (�س)‬ ‫الحل‬ ‫‪�( -1‬س‪+‬هـ)‪� -1( - 2‬س‪)2‬‬ ‫هـَ‬ ‫= نههـــــ←ـا‪0‬‬ ‫ق(�س‪+‬هـ) ‪ -‬ق(�س)‬ ‫ق(�س) = نههـــــ←ـا‪0‬‬ ‫هـ‬ ‫= ‪�2-‬س‬ ‫‪-‬هـ)‬ ‫‪�2-‬س‬ ‫(‬ ‫هـ‬ ‫= نهـهـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫‪� +1-‬س‪2‬‬ ‫‪�2-‬س هـ ‪ -‬هـ ‪2‬‬ ‫‪�-1‬س‪2‬‬ ‫= نهـهـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫هـ‬ ‫هـ‬ ‫(الفترة مفتوحة‪ ،‬لماذا ؟)‬ ‫∴ ق(�س) = ‪�2 -‬س لجميع قيم �س (‪َ)4 ، 1‬‬ ‫‪ )2‬ق(‪6 - = 3 ×2- = )3‬‬ ‫= ‪ََ3 -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‪×2-‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫(‬ ‫‪ )3‬ق‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫يمكن �إيجاد ق (�س) ‪� ،‬س (‪ )4 ، 1‬في الفرع (‪ )1‬بالطريقة ا آلتية ‪:‬‬ ‫‪-1‬ع‪� +1 - 2‬س‪َ2‬‬ ‫ع ‪� -‬سَ‬ ‫نهــــــا‬ ‫=‬ ‫ق(ع ) ‪ -‬ق(�س)‬ ‫نهـــــا‬ ‫=‬ ‫ق (�س)‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫ع ←�س‬ ‫ع ←�س‬ ‫= ‪�2 -‬س‬ ‫(�س‪-‬ع) (�س ‪ +‬ع)‬ ‫نهـــــا‬ ‫=‬ ‫�س‪ - 2‬ع‪2‬‬ ‫نهــــــا‬ ‫=‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫ع ←�س‬ ‫ع ←�س‬ ‫‪7‬‬ ‫إ�ذا كان ق(�س) = �س‪� 3 –3‬س‪� + 2‬س‪� ،‬س ح فجد ق(�س) با�ستخدام تعريف الم�شتقة‪َ.‬‬ ‫الحل‬ ‫ق(ع ) ‪ -‬ق(�س)‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫ع‪ 3 - 3‬ع‪ + 2‬ع‪� -‬س‪�3 + 3‬س‪� - 2‬س‬ ‫ق(�س)‬ ‫ع ‪� -‬سَ‬ ‫نهــــــــا‬ ‫=‬ ‫نهــــــــا‬ ‫=‬ ‫ع ←�س‬ ‫ع ←�س‬ ‫ع ‪� -‬س‪+‬‬ ‫ع‪� - 2‬س‪2‬‬ ‫ع‪� - 3‬س‪3‬‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫نعهـــ←ـ�ـســـا‬ ‫‪3‬نعهـــ←ـ�ــســا‬ ‫= نعهــ←ـ�ــســا‬ ‫‪88‬‬

‫‪+1‬‬ ‫(ع ‪� -‬س) (ع ‪� +‬س)‬ ‫‪3‬نهعـــــ←ـ�ـسـا‬ ‫�س‪�+‬س‪)2‬‬ ‫�س)(ع‪+ 2‬ع‬ ‫‪-‬‬ ‫(ع‬ ‫نعهـــ←ـ�ـســـا‬ ‫=‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫= ‪� 3‬س‪�6 – 2‬س ‪1 +‬‬ ‫‪4‬‬ ‫فجد ق(�س) با�ستخدام تعريف الم�شتقة‪َ.‬‬ ‫�س‬ ‫إ�ذا كان ق(�س) =‬ ‫�س‪8 + 2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫�أثبت أ� َّن معدل تغير م�ساحة الدائرة بالن�سبة إ�لى طول ن�صف قطرها (عند أ�ي قيمة) ي�ساوي‬ ‫محيط الدائرة‪.‬‬ ‫البرهان‬ ‫معدل تغير اقتران عند نقطة هو م�شتقة الاقتران عند تلك النقطة‪ ،‬كما تعلمت في بداية هذا الدر�س‪.‬‬ ‫بفر�ض �أ َّن طول ن�صف قطر الدائرة �س والم�ساحة م ‪ ،‬فتكون م(�س) = ‪� π‬س‪.2‬‬ ‫والمطلوب �إثبات أ� َّن م (�س) = ‪�π2‬س‬ ‫‪π‬ع‪� π - 2‬س‪َ2‬‬ ‫م (�س)‬ ‫‪-‬‬ ‫م(ع )‬ ‫ع ‪� -‬سَ‬ ‫�س‬ ‫‪-‬‬ ‫ع‬ ‫= نعهــ←ـ�ــسـا‬ ‫=عنهــ←ـ�ـسـا‬ ‫(�س)‬ ‫م‬ ‫‪( π‬ع ‪� -‬س) (ع ‪� +‬س)‬ ‫نعهــ←ـ�ــسـا‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫(ع‪� - 2‬س‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫=عنهـ←ــ�ـسـا‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫= نعهــ←ـ�ـســا ‪( π‬ع ‪� +‬س ) = ‪�π2‬س وحدة طول‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪5‬‬ ‫�صفيحة معدنية مربعة ال�شكل تتمدد بانتظام محافظة على �شكلها‪ .‬جد معدل التغير في م�ساحة‬ ‫هذه ال�صفيحة بالن�سبة �إلى طولها‪ ،‬عندما يكون طولها ‪� 20‬سم‪.‬‬ ‫‪89‬‬

‫‪9‬‬ ‫إاذا كان ق اقترا اًنا قاب اًل لل�صتقاق‪ ،‬ف أاثبت اأ َّن‪:‬‬ ‫= ‪4‬ق(�س)َ‬ ‫ق(�س ‪2 -‬هـ)‬ ‫‪-‬‬ ‫ق(�س ‪2 +‬هـ)‬ ‫نهـهـــ←ــ‪0‬ـا‬ ‫هـ‬ ‫البرهان‬ ‫بطرح و إا�صافة ق(�س) في الب�صط‬ ‫‪2‬هـ)‬ ‫‪-‬‬ ‫ق(�س‬ ‫‪-‬‬ ‫ق(�س)‬ ‫‪+‬‬ ‫ق(�س)‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬هـ)‬ ‫‪+‬‬ ‫ق(�س‬ ‫نهـهـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫=‬ ‫‪2‬هـ)‬ ‫‪-‬‬ ‫ق(�س‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬هـ)‬ ‫‪+‬‬ ‫ق(�س‬ ‫نهـهــــ←ـ‪0‬ا‬ ‫هـ‬ ‫هـ‬ ‫‪2‬هـ)‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ق(�س‬ ‫‪-‬‬ ‫ق(�س)‬ ‫ق(�س)‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬هـ)‬ ‫‪+‬‬ ‫ق(�س‬ ‫نهـهـــ←ـ‪0‬ا‬ ‫هـ‬ ‫نهـهـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫هـ‬ ‫=‬ ‫‪-‬و‬ ‫ف إان هـ =‬ ‫‪،‬‬ ‫بفر�س و = ‪2 -‬هـ‬ ‫ل‬ ‫بفر�س ل = ‪2‬هـ ‪ ،‬ف إان هـ =‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫واأ َّن و ← ‪ 0‬عندما هـ ← ‪0‬‬ ‫واأ َّن ل ← ‪ 0‬عندما هـ ← ‪0‬‬ ‫ق(�س) ‪ -‬ق(�س ‪ +‬و)‪+‬‬ ‫نوهـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫ق(�س ‪ +‬ل) ‪ -‬ق(�س)‬ ‫نهــــــا‬ ‫=‬ ‫‪-‬و‬ ‫ل‬ ‫ل←‪0‬‬ ‫‪22‬‬ ‫ق(�س ‪ +‬و) ‪ -‬ق(�س)‪+‬‬ ‫ق(�س ‪ +‬ل) ‪ -‬ق(�س)‬ ‫‪2‬نهــــــا‬ ‫و‬ ‫ل‬ ‫‪2‬نهـــــا‬ ‫ل←‪0‬‬ ‫=‬ ‫و ←‪0‬‬ ‫= ‪َ 2‬ق (�س) ‪َ 2‬ق (�س) = ‪َ 4‬ق (�س)‪+‬‬ ‫‪90‬‬

‫‪ )1‬ا�صتخدم تعريف الم�صتقة لاإيجاد الم�صتقة الاأولى لك اًّل من الاقترانات ال آاتية عند قيمة (قيم) �س‬ ‫المبينة اإزاء ك ٍّل منها‪:‬‬ ‫‪� ،‬س = ‪3‬‬ ‫اأ ) ق(�س) = ‪�5 – 8‬س‬ ‫‪� ،‬س = ‪1-‬‬ ‫ب) م(�س) = �س‪� + 3‬س‪2‬‬ ‫جـ) ل(�س) = �س ‪ ، 1 -‬حيث �س ≥‪� ، 1‬س = ‪5‬‬ ‫‪� ≤ 0 ،‬س ≤ ‪3‬‬ ‫�س‪� - 2‬س‬ ‫د ) ع(�س) =‬ ‫‪� < 3 ،‬س ≤ ‪6‬‬ ‫‪�5‬س ‪9 -‬‬ ‫عند �س =‪� ، 0‬س= ‪� ،3‬س = ‪6‬‬ ‫‪� ،‬س = ‪� ، 1‬س = ‪2‬‬ ‫هـ) ك(�س) =| �س‪|4 –2‬‬ ‫‪� ،‬س = –‪1‬‬ ‫‪�2‬س‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫و)‬ ‫�س ‪3 +‬‬ ‫‪)2‬جد ��سس لك ٍّل من الاقترانات الاآتية م�صتخد اًما تعريف الم�صتقة‪:‬‬ ‫أا ) �س= �س‪4� -2‬س ‪� ،‬س ≠‪0‬‬ ‫ب) �س = ‪�2‬س ‪� ، 6 -‬س>‪3‬‬ ‫د ) �س = ‪� 3‬س‬ ‫جـ) �س = �س‪3‬‬ ‫‪ )3‬إاذا كان ق اقترا اًنا قابل لل�صتقاق‪ ،‬فاأثبت أا َّن‪:‬‬ ‫ق(�س‪+‬هـ) ‪ -‬ق(�س‪ -‬هـ)‬ ‫= ‪2‬ق(�س)َ‬ ‫هـ‬ ‫اأ ) ن ههـــــ←ــ‪0‬ا‬ ‫= ق(�س) ‪� -‬س ق(�س)َ‬ ‫ع ق(�س) ‪� -‬س ق(ع )‬ ‫ب ) نعهــ←ـ�ــسـا‬ ‫ع ‪�-‬س‬ ‫‪91‬‬

‫= ‪3‬ق(�س) ‪�3 +‬س ق(�س)َ‬ ‫‪3‬ع ق(ع) ‪�3 -‬سق(�س )‬ ‫جـ ) نعهــ←ـ�ـسـا‬ ‫ع ‪�-‬س‬ ‫ق(‪2 - 5‬هـ) ‪ -‬ق(‪4 + 5‬هـ)َ‬ ‫هـ‬ ‫‪� ) 4‬إذا كان ق(‪ 6 = )5‬فجد نهـهـــ←ــ‪0‬ا‬ ‫‪ )5‬إ�ذا كان ق(�س) = (�س‪� -‬أ ) ل(�س) ‪ ،‬حيث ل(�س) اقتران مت�صل عند �س = أ� ‪� ،‬أ ثابت‪ ،‬فب ّنِ ْي‬ ‫با�ستخدام تعريف الم�شتقة �أن ق( أ� ) = ل( أ� ) ‪َ.‬‬ ‫‪ )6‬أ�نبوب من المعدن أ��سطواني ال�شكل يزيد ارتفاعه عن طول ن�صف قطر قاعدته بمقدار وحدتين‪،‬‬ ‫�ُس ِّخن ا ألنبوب بالحرارة فبد�أ بالتمدد محاف ًظا على �شكله‪ ،‬جد معدل تغير م�ساحته الجانبية‬ ‫بالن�سبة إ�لى طول ن�صف قطر قاعدته؛ عندما يكون طول ن�صف قطر قاعدته ‪� 6‬سم ‪.‬‬ ‫‪ )7‬إ�ذا كان مقدار التغير في لااقتران ق عندما تتغير �س من �س إ�لى �س ‪ +‬هـ ي�ساوي‬ ‫(‪� 6‬س‪2‬هـ ‪�6 +‬س هـ‪2 +2‬هـ‪ ،)3‬حيث‪ :‬هـ عدد حقيقي يقترب من ال�صفر‪ ،‬فجد ق (‪َ.)2-‬‬ ‫‪ )8‬مكعب معدني يتمدد بانتظام محاف ًظا على �شكله‪ ،‬جد مع ّدل تغير حجم المكعب بالن�سبة �إلى‬ ‫طول �ضلعه‪ ،‬عندما يكون طول �ضلعه وحد َت ْي طو ٍل‪.‬‬ ‫‪� )9‬أثبت أ� َّن معدل تغير حجم الكرة بالن�سبة إ�لى طول ن�صف قطرها (عند �أية قيمة)‪ ،‬ي�ساوي‬ ‫م�ساحة �سطحها‪.‬‬ ‫‪92‬‬

‫‪¥É≤à°T’Gh ∫É°üJ’G‬‬ ‫ﺛﺎﻟ ًﺜﺎ‬ ‫‪Continuity and Differentiability‬‬ ‫اإذا كان ق(�س) = | �س –‪ ،|1‬ف أاجب عما ي أاتي‪:‬‬ ‫‪ )1‬ابحث في ات�صال الاقتران ق عند �س=‪.1‬‬ ‫‪ )2‬ابحث في قابلية الاقتران ق لل�صتقاق عند �س=‪.1‬‬ ‫‪ )1‬للبحث في ات�صال الاقتران ق عند �س=‪ 1‬يجب اإيجاد النهاية عن يمين العدد ‪ 1‬وعن ي�صاره‪،‬‬ ‫لماذا؟‬ ‫ن�هســـ←ــ‪1‬ـ‪+‬ا ق(�س) = ن�هســــ←ـ‪1‬ـا‪�( +‬س‪0= )1-‬‬ ‫�نسهــ←ــ‪1‬ــ‪-‬ا ق(�س) = ن�هســــ←ــ‪1‬ا‪�-1( -‬س) =‪0‬‬ ‫ومنه ن�سهـــ←ــ‪1‬ا ق(�س) =‪0‬‬ ‫ق(‪0= )1‬‬ ‫∴ ق مت�صل عند �س =‪ 1‬ل أا َّن ن�هســــ←ـ‪1‬ـا ق(�س) = ق(‪)1‬‬ ‫‪ )2‬وللبحث في قابلية الاقتران ق لل�صتقاق عند �س=‪ ،1‬لا بد من إايجاد ق‪ = )1(-‬ق‪، )1(+‬لماذا؟‬ ‫= ‪َ َ َ1‬‬ ‫ق(‪)1‬‬ ‫ق(�س)‬ ‫�س ‪0-1-‬‬ ‫ن�هســــ←ــ‪1‬ا‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫�س‬ ‫ن�هســـ←ــ‪1‬ــ‪+‬ا‬ ‫=‬ ‫(‪)1‬‬ ‫ق‪+‬‬ ‫�س ‪1 -‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪� -1‬س‬ ‫ن�سهـــ←ــ‪1‬ـ‪-‬ا‬ ‫=‬ ‫ق(‪)1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ق(�س )‬ ‫ن�هســـ←ــ‪1‬ــ‪-‬ا‬ ‫ق‪-‬‬ ‫�س ‪1-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫�س‬ ‫= ‪َ1-‬‬ ‫=‬ ‫(‪)1‬‬ ‫∴ ق (‪ )1‬غير موجودة لاأ َّن ق‪ ≠)1( +‬ق‪)1(-‬‬ ‫لاحظ في الم�صاألة ال�صابقة اأ َّن الاقتران ق مت�صل عند النقطة ‪ ، 1‬ق(‪ )1‬لكنه غير قابل لل�صتقاقَ َ َ ( )‬ ‫عند هذه النقطة‪.‬‬ ‫‪93‬‬

‫وال آان‪ ،‬اإذا كان اقتران ما قاب ًال لل�صتقاق عند �س = �س‪ 1‬فهل يكون مت�ص اًل عندها ؟ واإذا كان غير‬ ‫مت�صل عند �س = �س‪ 1‬فهل يمكن أان يكون قاب اًل لل�صتقاق عند �س = �س‪1‬؟‬ ‫‪1 ájô¶f‬‬ ‫إاذا كان ق اقترا ًانا قاب ًال لل�صتقاق عند �س = �س‪ 1‬ف إانه يكون مت�ص ًال عند �س = �س‪.1‬‬ ‫�قس(‪�1‬س‪)1‬‬ ‫ق(�س)‬ ‫البرهان‬ ‫�س‬ ‫‪-‬‬ ‫ن�هســــ←ــ�ـسا‪1‬‬ ‫موجودةَ‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫(�س‪)1‬‬ ‫ق‬ ‫بما اأ َّن ق قابل لل�صتقاق عند �س = �س‪ ، 1‬فاإ َّن‬ ‫والمطلوب اإثبات اأ َّن ن�سهـــ←ـ�ـسـ‪1‬ـا ق(�س) = ق(�س‪)1‬‬ ‫�س ‪� -‬س‪1‬‬ ‫�س ‪� -‬س‪1‬‬ ‫‪� ،‬س ≠ �س‪) ( ) (1‬‬ ‫ق(�س) ‪ -‬ق(�س‪ = )1‬ق(�س) ‪ -‬ق(�س ‪)1‬‬ ‫ق(�س‪)1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ق(�س)‬ ‫ب أاخذ النهاية للطرفين‬ ‫�س‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫�س‬ ‫ن�هســـ←ــ�ــسـ‪1‬ا ق(�س) ‪ -‬ق(�س‪)1‬‬ ‫�س‪) ()1‬‬ ‫*‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫(�س‬ ‫ن�هســــ←ــ�ـسـ‪1‬ا‬ ‫ن�هســــ←ــ�ـسـ‪1‬ا‬ ‫ن�هســـ←ــ�ــسا‪ 1‬ق(�س) ‪ -‬ن�سهـــ←ــ�ـسـ‪1‬ا ق(�س‪ = )1‬ق (�س‪َ0 * )1‬‬ ‫ن�هســـ←ــ�ـاس‪1‬ق(�س) ‪ -‬ق(�س‪0 = )1‬‬ ‫∴ ن�سهـــ←ــ�ــسا‪ 1‬ق(�س) = ق(�س‪)1‬‬ ‫وبما أا َّن ق(�س‪ )1‬معرفة ‪ ،‬فاإ َّن ق(�س) مت�صل عند �س = �س‪.1‬‬ ‫‪� ،‬س >‪2-‬‬ ‫�س‪�4- 3‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪� ،‬س ≤ ‪2-‬‬ ‫‪�8‬س ‪ +‬اأ‬ ‫اإذا كان ق(�س) =‬ ‫قاب اًل لل�صتقاق عند �س = ‪َ ، 2-‬فجد قيمة الثابت أا ‪.‬‬ ‫‪94‬‬

‫الحل‬ ‫بما أ� َّن ق اقتران قابل للا�شتقاق عند �س = ‪ ، 2-‬ف�إ َّن ق(�س) مت�صل عند �س = ‪ ، 2-‬أ�ي أ� َّن‬ ‫�نسهــ←ــ‪-‬ــ‪2‬ا ق(�س) موجودة وعليه يكون‪:‬‬ ‫�نسهــ←ــ‪-‬ــ‪2‬ــ‪-‬ا (‪�8‬س‪� +‬أ) = ن�هســــ←ــ‪-‬ــ‪2‬ـ‪+‬ا ( �س‪� 4 –3‬س)‬ ‫‪� + 16 -‬أ = ‪ ،8 + 8-‬ومنه �أ = ‪ 16‬‬ ‫هند�سيًّا �إذا كان ق اقترانًا قابلاً للا�شتقاق عند �س = �س‪ 1‬ف إ�نَِّه يوجد لمنحنى الاقتران ق مما�ًسا واح ًدا فقط‬ ‫عند �س‪ ،1‬ق(�س‪) (. )1‬‬ ‫والمثال ا آلتي يو�ضح أ� ِّن عك�س النظرية (‪ )1‬غير �صحيح‪� ( .‬أي �أ َّنه‪ :‬إ�ذا كان ق اقترا ًنا مت�ص اًل عند‬ ‫�س= �س‪ ، 1‬فلي�س �شر ًطا �أن يكون قاب اًل للا�شتقاق عند �س = �س‪)1‬‬ ‫�س ‪� ، 3 +‬س ≥ ‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪�3‬س‪� ، 7 -‬س < ‪ ، 4‬ف أ�جب عن ك ٍّل مما ي أ�تي‪:‬‬ ‫�إذا كان ق(�س) =‬ ‫‪ )1‬ابحث في ات�صال الاقتران ق عند �س = ‪4‬‬ ‫‪ )2‬ابحث في قابلية الاقتران ق للا�شتقاق عند �س = ‪4‬‬ ‫الحل‬ ‫‪ )1‬ن�سهـــ←ــ‪4‬ـ‪-‬ـا ق(�س) = ن�هســـ←ــ‪4‬ــ‪-‬ا (‪�3‬س‪5 = 7 - 12 = )7-‬‬ ‫ن�هســـ←ــ‪4‬ــ‪+‬ا ق(�س) = ن�هســــ←ـ‪4‬ــ‪+‬ا ( �س ‪5 = 3 + 4 = )3 +‬‬ ‫ومنه‪ :‬ن�هســــ←ــ‪4‬ـا ق(�س) = ‪5‬‬ ‫ق(‪5 = 3 + 4 = )4‬‬ ‫‪95‬‬

‫∴ الاقتران ق مت�صل عند �س= ‪ 4‬أل َّن نه�ـســــ←ــ‪4‬اق(�س) = ق(‪)4‬‬ ‫‪ )2‬إليجاد ق (‪ )4‬جد ق‪ ، )4( -‬ق‪ ، )4( +‬لماذا؟‬ ‫‪�3‬س ‪َ َ َ5 - 7 -‬‬ ‫�س ‪َ4 -‬‬ ‫ن�سهـــ←ــ‪4‬ـ‪-‬ا‬ ‫=‬ ‫ق(�س ) ‪ -‬ق(‪)4‬‬ ‫(‪� = )4‬نسهــ←ــ‪4‬ــ‪-‬ـا‬ ‫ق‪-‬‬ ‫�س ‪4 -‬‬ ‫=‪3‬‬ ‫‪�(3‬س ‪)4 -‬‬ ‫= ن�هســـ←ــ‪4‬ـ‪-‬ـا‬ ‫�س ‪4 -‬‬ ‫�س ‪5 - 3 +‬‬ ‫ق(‪)4‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ق(�س )‬ ‫�س ‪4 -‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-‬‬ ‫�س‬ ‫�س ‪2 -‬‬ ‫�س ‪َ4 -‬‬ ‫= ن�هســــ←ــ‪4‬ـ‪+‬ا‬ ‫ن �هـســـ←ــ‪4‬ـ‪+‬ا‬ ‫=‬ ‫ق‪ = )4( +‬ن �هـســـ←ــ‪4‬ـ‪+‬ا‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫�س ‪4 -‬‬ ‫= ن�هســــ←ــ‪4‬ـ‪+‬ا‬ ‫�س ‪2 +‬‬ ‫*‬ ‫�س ‪2 -‬‬ ‫= ن�سهـــ←ــ‪4‬ـ‪+‬ا‬ ‫‪4‬‬ ‫(�س ‪� ()4 -‬س ‪)2 +‬‬ ‫�س ‪2 +‬‬ ‫�س ‪4 -‬‬ ‫ق(‪ )4‬غير موجودة أل َّن ق‪ ≠ )4( -‬ق‪ . )4(+‬أ�ي أ� َّن ق غير قابل للا�شتقاق عند �س= ‪َ َ َ.4‬‬ ‫لاحظ هنا أ� َّن ق اقتران مت�صل عند �س= ‪ 4‬لكن ق (‪ )4‬غير موجودة‪َ.‬‬ ‫�س ‪2-‬‬ ‫ملاحظة‬ ‫�س ‪4 -‬‬ ‫�س ‪� ( )2 +‬س ‪. )2 -‬‬ ‫بتحليل المقام �إلى(‬ ‫يمكنك �إيجاد ن�هســـ←ــ‪4‬ـ‪+‬ا‬ ‫‪� ،‬س ≥ ‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪� ،‬س < ‪2‬‬ ‫�س‬ ‫‪ ،‬ف�أجب عن ك ٍّل مما ي�أتي‪:‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫إ�ذا كان ق(�س) =‬ ‫‪�5‬س‪1 -‬‬ ‫‪ )1‬ابحث في ات�صال الاقتران ق عند �س=‪2‬‬ ‫‪ )2‬ابحث في قابلية ا�شتقاق الاقتران ق عند �س = ‪2‬‬ ‫‪96‬‬

á£≤f óæY É¡à≤à°ûe åëH ” »àdG á≤HÉ°ùdG á∏ãeC’G ‘ äÉfGÎb’G πc ¿s GC â¶M’ ∂fs GC ós H ’ ÒZ ¿GÎb’G ¿Éc GPGE ;á£≤f óæY ¿GÎb’G á≤à°ûŸ çóëj GPÉe øµd ,á£≤ædG √òg óæY á∏°üàe âfÉc ?á£≤ædG √òg óæY π°üàe .ÉgóæY ¥É≤à°T’G á«∏HÉ≤H á£≤f óæY ∫É°üJ’G ΩóY ábÓY á«JB’G ájô¶ædG ¢ûbÉæJ 2 ájô¶f .ÉgóæY ¥É≤à°TÓd πHÉb ÒZ ¬fq ÉE a ((1¢S)¥ ,1¢S) á£≤ædG óæY π°üàe ÒZ Éfk GÎbG ¥ ¿Éc GPGE 3 : »JCÉj ɪY ÖLÉC a , [2 + ¢S 13 ] = (¢S)¥ ¿Éc GPEG .1 = ¢S óæY ¥É≤à°TÓd ¥ ¿GÎb’G á«∏HÉb åëHG (1 .3 = ¢S óæY ¥É≤à°TÓd ¥ ¿GÎb’G á«∏HÉb åëHG (2 π◊G 1 = ¢S ∫ƒM ¥ ¿GÎb’G ∞jô©J óYGC (1 ( 3 ,0 ] ¢S πµd 2 = (¢S)¥ ?GPÉŸ .∂dP øe ≥r ≤s – . 1 =¢S óæY π°üàe ¥ (1)¥ ( ¢S)¥ 2-2 1 - ¢S (1)¥ 1 - ¢S - n0 = É1``←````¢¡Sf = É1``←````¢¡Sf = 3 = ¢S ∫ƒM ¥ ∞jô©J óYCG (2 3 > ¢S ≥ 0 , 2 = [ 2+¢S 13 ] 6 > ¢S ≥ 3 , 3 .3 = ¢S óæY ¥É≤à°TÓd ¬à«∏HÉb åëÑJ ¿GC πÑb 3 = ¢S óæY ¥ ¿GÎb’G ∫É°üJG ‘ åëHG 3 = (¢S) ¥ É+`3``←```¢¡Sf ,2= (¢S)¥ É-``3``←```¢¡Sf 97

‫بما �أ َّن ن�سهـــ←ــ‪3‬ـ‪-‬ـا ق(�س) ≠ ن�سهـــ←ــ‪3‬ـ‪+‬ا ق (�س) ‪ ،‬ف�إن‪:‬‬ ‫ن�هســــ←ـ‪3‬ـا ق(�س) غير موجودة ‪� ،‬أي أ� َّن ق غير مت�صل عند �س = ‪3‬‬ ‫وعليه ف�إ َّن ق غير قابل للا�شتقاق عند �س = ‪ ( 3‬نظرية ‪.)2‬‬ ‫�س ‪� ≤ 0 ، 1 +‬س < ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س‪� ≤ 2 ، 1 - 2‬س ≤ ‪5‬‬ ‫إ�ذا كان ق(�س) =‬ ‫فابحث قابلية لااقتران ق للا�شتقاق عند �س = ‪� ، 2‬س = ‪.4‬‬ ‫‪ ،‬فجد ق(�س) على مجاله‪َ.‬‬ ‫‪� ≤ 1 ،‬س ≤‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫�س‬ ‫‪�3‬س‪� < 2 ، 1 +‬س ≤ ‪5‬‬ ‫إ�ذا كان ق(�س)=‬ ‫الحل‬ ‫‪ )1‬ق اقتران غير قابل للا�شتقاق عند �س=‪� ، 1‬س= ‪ 5‬لأ َّنهما طرفا فترة‬ ‫‪ ،‬لماذا؟‬ ‫‪2‬‬ ‫�س =‬ ‫نا�بهســحـ←ــ‪2‬ـثـ‪-‬افيقات(��صسا)ل=لاان�قهستـرـاـ←ــن‪2‬ـ‪-‬اق(عن�‪6‬دس‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫=‬ ‫‪)4-‬‬ ‫ن�هســـ←ــ‪2‬ــ‪+‬ا ق(�س) = ن �هـســــ←ـ‪2‬ا‪�3(+‬س ‪7 = )1+‬‬ ‫بما أ� َّن ن�هســـ←ــ‪2‬ــ‪-‬ا ق(�س) ≠ ن�هســــ←ـ‪2‬ــ‪+‬ا ق(�س)‪ ،‬ف إ� َّن ن�سهـــ←ــ‪2‬ـا ق(�س) غير موجودة‬ ‫∴ ق غير مت�صل عند �س = ‪ 2‬وعليه ف�إ َّن ق(‪ )2‬غير موجودة‪َ.‬‬ ‫‪ )3‬ابحث الم�شتقة عندما ‪� <1‬س< ‪2‬‬ ‫ق(�س)َ‬ ‫ق(ع )‬ ‫�س‬‫‪-‬‬ ‫ع‬ ‫نعهـــ←ـ�ـسا‬ ‫=‬ ‫(�س)‬ ‫ق‬ ‫‪-‬‬ ‫‪)4-‬‬ ‫‪6� ( - )4-‬س‬ ‫( ‪6‬ع‬ ‫= نعهـ←ـ�ــسـا‬ ‫ع ‪� -‬س‬ ‫‪98‬‬