الرياضيات العلمي - الصف الثاني عشر

‫‪� ،‬س ≤ ‪0‬‬ ‫(�س ‪4)1+‬‬ ‫‪� ،‬س > ‪0‬‬ ‫‪� ) 8‬إذا كان ق(�س) = (�س ‪4)1-‬‬ ‫ف�أجب عن ك ٍّل مما ي�أتي ‪:‬‬ ‫�أ ) جد ق (�س) لجميع قيم �س ‪� ،‬س ≠‪َ0‬‬ ‫ب) ب نّي �أ َّن ق اقتران غير قابل للا�شتقاق عند �س = ‪0‬‬ ‫‪� ) 9‬إذا كان �ص‪ = 3‬ق(‪�4‬س‪� –2‬س) ‪ ،‬ق(‪ ، 4 =)5‬ق(‪ ، 8- = )5‬فجد ��سص ‪⎥.‬‬ ‫�س= ‪َ1-‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪� )10‬إذا كان ق(�س) = جاهـ(�س) ‪ ،‬هـ (‪= )1‬‬ ‫‪ ،‬هـ (‪ ، 0 = )1‬هـ (‪،4 = )1‬‬‫‪3‬‬ ‫فجد ق (‪ )1‬عل ًما ب أ� َّن ق‪ ،‬ق قابلان للا�شتقاق‪ً َ َ ً.‬‬ ‫‪� )11‬إذا كان ق(�س) = �س‪�2 + 3‬س ‪ ،‬هـ (�س) = ‪�3‬س‪ ، 2‬فجد كل ًّا مما ي�أتي‪:‬‬ ‫ب) ( َق‪ °‬هـ) ً(‪)2‬‬ ‫�أ ) ( َق ‪ °‬هـ) َ(‪)2‬‬ ‫‪� )13‬إذا كان �ص = �س هـ (�س) ‪ ،‬وكان هـ(‪ ، 6 = )1-‬هـ (‪ ،2 = )1-‬فجد ��سص عند �س= ‪َ َ َ1-‬‬ ‫‪ )12‬إ�ذا كان ل(�س) = ق(هـ(�س))‪ ،‬وكان هـ (‪ ، 4 = )1‬ل(‪ ، 2= )1‬ق(‪ ،5- = )4‬فجد هـ (‪)1‬‬ ‫�صَ‬ ‫‪ )14‬إ�ذا كان جا �ص = ظا �س ‪ ،‬ف�أثبت أ� َّن ‪ :‬ظا�ص =‬ ‫‪ 2‬قا‪�2‬س‪�(+‬ص)‪ً2‬‬ ‫‪َ1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪� ،‬س ≠ ‪ 0‬ف أ�ثبت �أ َّن ق (‪= )5‬‬‫‪َ12‬‬‫�س‬ ‫‪-‬‬ ‫�س‪2‬‬ ‫‪� )15‬إذا كان ق(‪�3‬س‪= )1-‬‬ ‫‪� )16‬إذا كان جتا �ص – �س �ص = ‪�2‬س ‪ ،‬ف�أثبت �أ َّن‪:‬‬ ‫� ًص ( �س ‪ +‬جا �ص ) ‪َ � +‬ص ( ‪َ � + 2‬ص جتا �ص ) = ‪0‬‬ ‫‪� )17‬إذا كانت �ص = أ� جا�س – ب جتا�س ‪� ،‬أ ‪ ،‬ب ثابتان‪ ،‬ف أ�ثبت �أ َّن ‪:‬‬ ‫(�ص)‪� + 2‬ص‪ = 2‬أ�‪ + 2‬ب‪َ2‬‬ ‫‪� )18‬إذا كان �ص‪ = 3‬ق(‪� 2‬س‪� - 2‬س ) ‪ ،‬ق (‪ ، 4 = )6‬ق(‪ ، 8 - = )6‬فجدَ‬ ‫��سص عند �س = ‪. 2‬‬ ‫‪149‬‬

‫‪� )19‬إذا كان ق(�س) = �س‪� – 3‬س‪ ، 2‬هـ (�س) = ‪�3‬س‪� + 2‬س ‪ ،‬فجد كل ًّا مما ي أ�تي‪:‬‬ ‫ب) ( َق‪ °‬هـ) ً (‪)1‬‬ ‫أ� ) ( َق‪ °‬هـ) َ (‪)1‬‬ ‫‪)∗20‬اعتما ًداعلىال�شكل(‪)4-2‬الذييمثلمنحنىالاقترانقفيالفترة[‪،]3،3-‬جدكل ًّامماي أ�تي‪:‬‬ ‫أ� ) قيم �س حيث ‪� < 3-‬س < ‪ 3‬التي يكون عندها الاقتران ق غير مت�صل‪.‬‬ ‫ب) قيم �س حيث ‪� < 3-‬س < ‪ 3‬التي يكون عندها الاقتران ق غير قابل للا�شتقاق‪.‬‬ ‫ال�شكل(‪)4-2‬‬ ‫‪ )21‬يتكون هذا ال�س�ؤال من (‪ )8‬فقرات من نوع الاختيار من متعدد‪ ،‬ويلي كل فقرة أ�ربعة بدائل‬ ‫واحد فقط منها �صحيح ‪� ،‬ضع دائرة حول رمز البديل ال�صحيح‪:‬‬ ‫(‪� )1‬إذا كان منحنى الاقتران ق يمر بالنقطة (‪ ،)3 ،2‬وكان المما�س المر�سوم لمنحنى ق عند‬ ‫هذه النقطة ي�صنع زاوية قيا�سها ‪ ْ45‬مع الاتجاه الموجب لمحور ال�سينات‪ ،‬ف�إ َّن‪:‬‬ ‫ت�ساوي‪:‬‬ ‫ق(�س) ‪3 -‬‬ ‫ن�سهـــ←ــ‪2‬ـــا‬ ‫‪�3 - 6‬س‬ ‫د)–‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جـ) ‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب)‬ ‫�أ ) ‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ت�ساوي‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-π‬‬ ‫جا‪�2‬س‬ ‫(‪� )2‬نسهـــ←ـــ‪π4‬ــا‬ ‫�س ‪-‬‬ ‫�أ ) ‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫د) ‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جـ)‬ ‫ب) �صفر‬ ‫‪2‬‬ ‫(∗) ال�س�ؤال من �أ�سئلة الاختبارات الدولية‪.‬‬ ‫‪150‬‬

‫‪ +‬هـ) ت�ساوي‪:‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ -‬جتا(‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪ )3‬نهـهــــ←ـ‪0‬ـا‬ ‫‪3‬‬ ‫هـ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫د)‬ ‫‪3-‬‬ ‫جـ)‬ ‫‪1-‬‬ ‫ب)‬ ‫‪1‬‬ ‫�أ )‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ق(‪3+2‬هـ)‪ -‬ق(‪)2‬‬ ‫‪ -‬هـ‬ ‫ت�ساوي‪َ:‬‬ ‫(‪ )4‬إ�ذا كان ق (‪ , 6 = )2‬ف�إ َّن نهـهــــ←ـ‪0‬ا‬ ‫د)–‪2‬‬ ‫جـ) – ‪6‬‬ ‫ب) ‪18‬‬ ‫�أ ) – ‪18‬‬ ‫(‪� )5‬إذا كان مع ّدل التغير في الاقتران ق(�س) في الفترة [‪ ,2-‬م ] ي�ساوي‬ ‫ف إ� َّن ق‪ )2 –( +‬ت�ساوي‪َ:‬‬ ‫م‪4 - 2‬‬ ‫م‪2+‬‬ ‫د) ‪4‬‬ ‫جـ) ‪4 -‬‬ ‫ب) �صفر‬ ‫�أ ) ‪2‬‬ ‫(‪ )6‬إ�ذا كان مقدار التغير في الاقتران ق(�س) عندما تتغير �س من �س إ�لى �س ‪ +‬هـ ي�ساوي‬ ‫هـ‪ , 3‬ف�إ َّن ق (‪ )3‬ت�ساوي‪َ:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫�س‪2‬هـ ‪� +‬س هـ‪+ 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫د) – ‪3‬‬ ‫جـ) �صفر‬ ‫ب) – ‪9‬‬ ‫أ� ) ‪9‬‬ ‫(‪� )7‬إذا كان ق(�س) = | ‪�2 – 4‬س| ف�إ َّن ق (‪َ:)2‬‬ ‫د) غير موجودة‬ ‫جـ) �صفر‬ ‫ب) – ‪2‬‬ ‫�أ ) ‪2‬‬ ‫ق‬ ‫(‪ )8‬إ�ذا كان ق(‪ ، 5 = )4‬ق (‪ ، 1 – = )4‬ق(‪ 2 = )4‬ف إ� َّن = (‬ ‫) (‪ )4‬ت�ساوي‪َ َ ً َ:‬‬‫ق‬ ‫د) ‪6‬‬ ‫جـ) – ‪6‬‬ ‫ب) – ‪9‬‬ ‫�أ ) ‪11‬‬ ‫‪151‬‬

‫” توظيف علم التفا�سل في مجالات متعددة تخدم العلوم الاأخرى‪ ،‬كعلوم الفيزياء والكيمياء‬ ‫وعلوم الف�ساء والاقت�ساد وال�سناعات‪ .‬وت�سم درا�سة خ�سائ�س الاقترانات‪ ،‬من حيث نهاياتها‬ ‫وات�سالها ومجالات تزايدها وتناق�سها ومجالات تقعرها‪ ،‬كذلك ” توظيف المعادلات التفا�سلية‬ ‫في مجالات الات�سالات والمركبات الف�سائية وفي المجالات الع�سكرية‪ ،‬كما ” توظيفها في العلوم‬ ‫الحياتية وال�سكانية‪.‬‬ ‫‪152‬‬

.á£≤f óæY ¢SɪŸG ádOÉ©e OÉéjGE .≈dhC’G á≤à°ûŸG ≈∏Y á«°Sóæg πFÉ°ùe πM .´QÉ°ùàdGh ,áYöùdGh ,áaÉ°ùŸG ≈∏Y á«∏ªY πFÉ°ùe πM .»æeõdG ∫ó©ŸG Ωƒ¡Øe Ò°ùØJ .øeõdÉH á£ÑJôŸG ä’óq ©ŸG ≈∏Y á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£Jh πFÉ°ùe πM .¬d ¢übÉæàdGh ójGõàdG ä’É›h ,¿GÎb’ ≈dhC’G á≤à°ûŸG ÚH ábÓ©dG ¿É«H .≈£©e ¿GÎb’ ¢übÉæàdGh ójGõàdG äGÎa ójó– ‘ ≈dhC’G á≤à°ûŸG QÉÑàNG ΩGóîà°SG .≈£©e ¿GÎb’ áLô◊G §≤ædG ójó– .¬d á«∏ëŸG iƒ°ü≤dG º«≤dGh ,¿GÎb’ ≈dh’C G á≤à°ûŸG ÚH ábÓ©dG ¿É«H ¿GÎb’ á≤∏£ŸG h á«∏ëŸG iƒ°ü≤dG º«≤dG OÉéjG ‘ ≈dhC’G á≤à°ûŸG QÉÑàNG ΩGóîà°SG .äóLho ¿EG ,≈£©e ,πØ°S’C G ≈dGE h ≈∏Y’C G ≈dGE ô©≤àdG äGÎa ójó– ‘ á«fÉãdG á≤à°ûŸG QÉÑàNG ΩGóîà°SG .iƒ°ü≤dG º«≤dGh ,±É£©f’G §≤fh .iƒ°ü≤dG º«≤dG øª°†àJ á«∏ªY πFÉ°ùe πM 153

‫‪á«FÉjõ«ah á«°Sóæg äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫اﻟﻔﺼﻞ ا ول‬ ‫‪Geometric and Physical Applications‬‬ ‫تجد معادلة المما�س عند نقطة‪.‬‬ ‫تحل م�سائل هند�سية على الم�ستقة الاأولى‪.‬‬ ‫تحل م�سائل عملية على الم�سافة‪ ،‬وال�سرعة‪ ،‬والت�سارع‬ ‫تف�سر مفهوم المعدل الزمني‪.‬‬ ‫تحل م�سائل وتطبيقات حياتية على المعدلات المرتبطة بالزمن‪.‬‬ ‫‪Geometrical Applications‬‬ ‫أو ًﻻ ‪á«°Sóæg äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫جــد م�ساحــة المثلــث النــا‪ œ‬عــن‬ ‫تقاطــع محــور ال�سينــات والمما�ــس‬ ‫والعمودي على المما�س لمنحنى الاقتران‬ ‫ق(�س) = �س‪ 1+2‬عند النقطة (‪.)2،1‬‬ ‫انظر ال�سكل (‪.)1-3‬‬ ‫ال�سكل (‪)1-3‬‬ ‫تعلمت �ساب ًقا اأ َّن ميل المما�س لمنحنى الاقتران ق(�س) عند النقطة (�س‪،1‬ق(�س‪ ))1‬ي�ساوي‬ ‫الم�ستقة الاأولى للاقتران ق عند تلك النقطة‪.‬‬ ‫‪C‬ا… ‪C‬ا ‪s‬ن م«ل ال`‪ªª‬ا‪ ≈ª°ùJh ,(1¢S) ¥ = (1¢S)¥,1¢S óæY ¢S‬ال‪£≤æ‬ة ‪£≤f (1¢S)¥ ,1¢S‬ة “ا‪n( ) ( ).¢S‬‬ ‫‪154‬‬

‫ال�سكل (‪)2-3‬‬ ‫ب�سكل عام إاذا كان للاقتران �س= ق(�س)‬ ‫م�ستقة عند النقطة (�س‪�،1‬س‪ ،)1‬فعندئذ يكون‬ ‫لمنحنى ق مما�س عند تلك النقطة‪ ،‬ميله ي�ساوي‬ ‫ق (�س‪.)1‬وتكون معادلة مما�سه هي‪َ:‬‬ ‫�س ‪� -‬س‪ = 1‬ق (�س‪�( )1‬س ‪� -‬س‪َ)1‬‬ ‫انظر ال�سكل (‪.)2-3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اإذا علمت أا َّن ق(�س) = �س‪ ، 3+2‬جد معادلة ك ٍّل من المما�س‪ ،‬والم�ستقيم العمودي على المما�س‬ ‫لمنحنى الاقتران ق عند النقطة (‪.)4،1‬‬ ‫الحل‬ ‫‪ )1‬معادلة المما�س لمنحنى الاقتران‬ ‫العمودي على المما�س‬ ‫ق(�س) = �س‪ 3 + 2‬عند النقطة (‪ )4،1‬هي ‪:‬‬ ‫�س‪ = 4-‬ق(‪�()1‬س – ‪َ)1‬‬ ‫َق (�س) = ‪�2‬س‪ ،‬ومنه َق (‪2 = )1‬‬ ‫اإذن معادلة المما�س هي‪� :‬س‪�(2 = 4 -‬س‪)1-‬‬ ‫ال�سكل (‪)3-3‬‬ ‫ومنه �س= ‪�2‬س ‪2 +‬‬ ‫‪ )2‬معادلة العمودي على المما�س عند النقطة (‪ )4،1‬هي‪:‬‬ ‫‪ôcòJ‬‬ ‫(�س ‪� -‬س‪َ)1‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫�س‪� -‬س‪=1‬‬ ‫ق (�س‪)1‬‬ ‫‪ )1‬ميل الم�ستقيم×ميل العمودي عليه = ‪1-‬‬ ‫‪ )2‬الم�ستقيم العمودي على منحنى اقتران‬ ‫(�س‪)1-‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫�س‪= 4 -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫عند نقطة هو نف�سه العمودي على‬ ‫‪9‬‬ ‫�س ‪+‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫ومنه �س =‬ ‫مما�سمنحنىالاقترانعندهذهالنقطة‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫انظر ال�سكل (‪.)3-3‬‬ ‫‪155‬‬

‫�س‪ 3+‬عند النقطة‬ ‫‪1‬‬ ‫جد معادلة المما�س والعمودي على المما�س لمنحنى الاقتران ق(�س) =‬ ‫(‪.)2،1‬‬ ‫ملاحظة‬ ‫يكونمما�سمنحنىالاقترانق(�س)عمود ًّياعلىمما�سمنحنىالاقترانهـ(�س)عندنقطةتقاطعهما‬ ‫(�س‪�،1‬ص‪� ،)1‬إذا كانت ق(�س‪ ،)1‬هـ (�س‪ )1‬موجودتين‪ ،‬وكانت ق(�س‪ × )1‬هـ (�س‪َ َ َ َ1- = )1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إ�ذا كان ق(�س) = �س‪ ، 2‬هـ (�س) = �س‪�2-2‬س‪ ،1+‬فجد النقطة التي يكون عندها مما�ّسا منحنيي‬ ‫الاقترانين ق‪ ،‬هـ متعامدين‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫َق (�س) = ‪�2‬س ‪ ،‬هـ َ(�س) = ‪�2‬س‪2-‬‬ ‫(لماذا؟)‬ ‫‪1-‬‬ ‫(�س) * هـ (�س) =َ‬ ‫َق‬ ‫�س(‪�2‬س‪1- = )2-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫�أي أ� َّن ‪�4‬س‪�4-2‬س‪0=1+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ومنه �س =‬ ‫ومنه (‪�2‬س‪0= 2)1-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ,‬هـ (‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫لاحظ �أن ق(‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إ�ذن النقطة التي يكون عندها مما�ّسا منحنيي الاقترانين متعامدين هي (‬ ‫‪2‬‬ ‫بينِّ �أ َّن مما�س منحنى الاقتران ق(�س) = �‪4‬س ‪ ،‬ومما�س منحنى الاقتران هـ (�س) = �س متعامدان عند نقطة‬ ‫تقاطع المنحنيين‪.‬‬ ‫‪156‬‬

‫‪3‬‬ ‫بينِّ أ� َّن لمنحنى الاقتران ق(�س) = �س‪�6-2‬س‪ 12+‬مما�ًّسا �أفق ًّيا عند النقطة (‪.) 3 ،3‬‬ ‫الحل‬ ‫المما�س ا ألفقي هو‪:‬‬ ‫المما�سالذييوازيمحورال�سينات‬ ‫ويكون ميله ي�ساوي �صف ًرا‪.‬‬ ‫ميل المما�س عند النقطة (�س‪� ، 1‬ص‪ ) 1‬هو ق (�س‪َ،)1‬‬ ‫ق (�س‪�2 = )1‬س‪َ6 - 1‬‬ ‫َق (‪6 - 3 * 2 = )3‬‬ ‫= �صف ًرا‬ ‫�إذن لمنحنى ق مما�س �أفقي عند النقطة (‪.)3،3‬‬ ‫انظر ال�شكل (‪.)4-3‬‬ ‫ال�شكل (‪)4-3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫بينِّ أ� َّن لمنحنى الاقتران ق(�س) = جا‪�2‬س مما�ًّسا �أفق ًّيا في الفترة [‪] π ، 0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫�إذا كان مما�س منحنى الاقتران ق(�س) = �س‪�3+2‬س‪ 1+‬عند �س = �س‪ 1‬ي�صنع زاوية قيا�سها ‪ °45‬مع‬ ‫الاتجاه الموجب لمحور ال�سينات‪ ،‬فجد �إحداث ّيي نقطة التما�س‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫ميل الم�ستقيم (المما�س) = ظا هـ‬ ‫ق (�س‪ = )1‬ظا ‪َ°45‬‬ ‫حيث هـ الزاوية التي ي�صنعها‬ ‫‪�2‬س‪1= 3+1‬‬ ‫ومنه �س‪1- =1‬‬ ‫المما�س مع الاتج��اه الموجب لمحور‬ ‫ال�سينات‬ ‫إ�ذن نقطة التما�س هي‪�( :‬س‪ ، 1‬ق(�س‪)1- ، 1-( = ) )1‬‬ ‫‪157‬‬

‫‪4‬‬ ‫إ�ذا كان الاقتران ق(�س) = جـ �س‪ + 2‬جـ �س ‪ ، 2+‬وكان قيا�س زاوية ميل المما�س لمنحنى‬ ‫الاقتران ق عند النقطة (‪،2‬ق(‪ ))2‬هو‪ ، °135‬فجد قيمة الثابت جـ ‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫جد الإحداثي ال�سيني للنقط التي يكون عندها المما�س لمنحنى الاقتران ق(�س) = �س‪�4-4‬س‪4+2‬‬ ‫موازيًا للم�ستقيم الذي معادلته ل‪� :‬ص‪�4+‬س‪0=1+‬‬ ‫الحل‬ ‫افر�ض �أ َّن ميل المما�س م ‪ ،‬و ميل الم�ستقيم م‪. 1‬‬ ‫والنقطة (�س‪� ، 1‬ص‪ )1‬نقطة التما�س لمنحنى الاقتران ق‪.‬‬ ‫إ�ذن م = ق (�س‪�4 = )1‬س‪�8 - 13‬س‪َ1‬‬ ‫وبما أ� َّن مما�س منحنى الاقتران ق عند النقطة (�س‪� ، 1‬ص‪ )1‬يوازي الم�ستقيم ل‪� ،‬إذن‪:‬‬ ‫م = م‪1‬‬ ‫‪�4‬س‪�8 - 13‬س‪ 4- = 1‬لماذا؟‬ ‫‪�4‬س‪�8 - 13‬س‪0= 4 + 1‬‬ ‫‪�(4‬س‪�()1- 1‬س‪� + 12‬س‪0 = )1- 1‬‬ ‫ومنه �س‪1 =1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+ 1-‬‬ ‫�س‪= 1‬‬ ‫أ�و‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5 -1-‬‬ ‫�س‪= 1‬‬ ‫أ�و‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫بينِّ �أ َّن لمنحنى الاقتران ق(�س) = �س‪ 1 + 2‬مما�سينْ مر�سومين من النقطة (‪ ،) 0 ، 0‬ثم جد معادلة‬ ‫ك ٍّل منهما‪.‬‬ ‫‪158‬‬

‫الحل‬ ‫النقطة (‪ )0،0‬لا تقع على منحنى الاقتران ق‪ ،‬لماذا؟‬ ‫افر�ض �أ َّن النقطة (�س‪�،1‬ص‪ )1‬نقطة تما�س تقع على منحنى الاقتران ق‪.‬‬ ‫ومنه �ص‪� =1‬س‪1+ 12‬‬ ‫ميل المما�س عند نقطة التما�س = ميل منحنى الاقتران ق عند تلك النقطة‪.‬‬ ‫ميل المما�س= ق (�س‪ )1‬عند نقطة التما�سَ‬ ‫= ‪�2‬س‪1‬‬ ‫معادلة المما�س هي‪� :‬ص = ‪�2‬س‪�( 1‬س‪)0-‬‬ ‫�ص = ‪�2‬س‪� 1‬س‬ ‫ق(�س‪� = )1‬ص‪1‬‬ ‫ومنه �س‪�2 = 1 + 12‬س‪12‬‬ ‫ومنه �س‪1= 12‬‬ ‫أ�ي أ� َّن قيم �س‪ 1‬هي‪1 ،1- :‬‬ ‫نقطة التما�س الأولى هي‪ ،)2،1-( :‬نقطة التما�س الثانية هي‪)2،1( :‬‬ ‫انظر ال�شكل (‪.)5-3‬‬ ‫∴ معادلة المما�س الأول هي‪� :‬ص = ‪�2-‬س‬ ‫معادلة المما�س الثـاني هي‪� :‬ص = ‪�2‬س‬ ‫ال�شكل (‪)5-3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫بينِّ �أ َّن لمنحنى الاقتران ق(�س) = ‪� -5‬س‪ ، 2‬مما�سين مر�سومين من النقطة (‪ )0،3‬التي لا تقع‬ ‫عليه‪.‬‬ ‫‪159‬‬

‫‪ ) 1‬جد ميل المما�س لمنحنى الاقتران ق(�س) = �س‪�6+2‬س‪ 5-‬عند النقطة (‪.)2 ، 1‬‬ ‫‪ ) 2‬جد معادلة المما�س لمنحنى الاقتران ق(�س) = �س‪ ، 3‬عند نقطة تقاطعه مع الم�ستقيم‬ ‫�س‪� -‬س‪0 = 6 -‬‬ ‫‪ ) 3‬جد النقط الواقعة على منحنى الاقتران ق(�س) = �س‪�3 - 2‬س ‪ 3 +‬التي ي�سنع عندها المما�س‬ ‫‪ π3‬راد‬ ‫مع الاتجاه الموجب لمحور ال�سينات‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫زاوية قيا�سها‬ ‫‪ ) 4‬جد النقط الواقعة على منحنى العلاقة (�س‪� = 2)4-‬س‪ 2+‬التي يكون عندها المما�س موازيًا‬ ‫للم�ستقيم الذي معادلته‪�3 :‬س ‪�6 +‬س ‪0=2 +‬‬ ‫‪ ) 5‬جد معادلة المما�س لمنحنى الاقتران ق(�س) = �س‪�4-2‬س‪ 3+‬بحيث يكون المما�س عمود ًّيا‬ ‫على الم�ستقيم الذي معادلته‪�6 :‬س ‪�3 -‬س‪0= 5 -‬‬ ‫عند النقطة (‪)2،1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ) 6‬جد معادلة المما�س والعمودي على المما�س لمنحنى الاقتران ق(�س) =‬ ‫�س‬ ‫‪ ) 7‬جد قيمة ك ٍّل من الثابتين ب‪،‬جـ ال نّلتين تجعلان الم�ستقيم الذي معادلته‪� :‬س‪� -‬س ‪ 0=2 -‬مما�ًّسا‬ ‫لمنحنى الاقتران ق(�س) = �س‪ + 2‬ب �س ‪ +‬جـ عند النقطة (‪.)2 ، 0‬‬ ‫النقطة‬ ‫عند‬ ‫‪2-‬‬ ‫ق(�س) =‬ ‫يم�س منحنى الاقتران‬ ‫‪�2‬س‪� -‬س‪ +‬جـ =‪0‬‬ ‫‪ ) 8‬اإذا كان الم�ستقيم‬ ‫�س‬ ‫(�س‪�،1‬س‪ )1‬فجد قيم الثابت جـ‪.‬‬ ‫‪ ) 9‬جد معادلتي المما�سين لمنحنى العلاقة �س= �س‪�4- 2‬س عند نقطتي تقاطع منحناها مع محور‬ ‫ال�سادات‪.‬‬ ‫‪ )10‬جد قيا�س الزاوية التي ي�سنعها مما�س منحنى العلاقة‪� :‬س‪� +2‬س‪�6 + 2‬س‪�2 -‬س ‪ 0=2 +‬عند‬ ‫النقطة ( ‪ )1- ، 3‬مع الاتجاه الموجب لمحور ال�سينات‪.‬‬ ‫عند‬ ‫�س‬ ‫قا‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‬ ‫ظتا‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫ق(�س)‬ ‫الاقتران‬ ‫لمنحنى‬ ‫المما�س‬ ‫على‬ ‫والعمودي‬ ‫المما�س‬ ‫�جسد=معاد‪π4‬لة‬ ‫‪)11‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪160‬‬

‫‪ )12‬جد معادلة المما�س لمنحنى الاقتران ق(�س) = �س عند نقطة تما�سه مع منحنى الاقتران‬ ‫‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‬ ‫‪3‬‬ ‫�س‪-2‬‬ ‫=‬ ‫هـ(�س)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )13‬جد م�ساحة المثلث القائم الزاوية‪ ،‬المكون من المما�س المر�سوم لمنحنى العلاقة‬ ‫�س= �س ‪� ،‬س>‪ 0‬عند النقطة (‪ )2،4‬ومحور ال�سينات والم�ستقيم �س=‪.4‬‬ ‫‪ُ )14‬ح َّل الم�س أالة الواردة بداية الدر�س‪.‬‬ ‫‪161‬‬

Physical Applications á«FÉjõ«a äÉ≤«Ñ£J ‫ﺛﺎﻧ ًﻴﺎ‬ ó©H êÈdG í£°S øY QÉàeC’ÉH ¬YÉØJQG ¿s GE å«M ,≈∏YCG ≈dEG É«v °SGC Q êôH í£°S øe º°ùL ±òbo âfÉc GPGE êÈdG ´ÉØJQG óL ,2¿5 - ¿25 = (¿)± ábÓ©dÉH ≈£©e ácô◊G AóH øe á«fÉK ¿ .(ç/Ω55 - ) …hÉ°ùJ ¢VQ’C G ¬dƒ°Uh á¶◊ º°ùé`dG áYöS ∑ôëàj º«°ùéo `d ¿ Δ + ¿ ≈dEG ¿ øe á«æeõdG IÎØdG ‘ (´) ᣰSƒàŸG áYöùdG ¿s GC É≤k HÉ°S âª∏©J :»g (¿)± = ∫ ábÓ©dG ≥ah ,º«≤à°ùe §N ≈∏Y ᫶ë∏dG áYöùdG ≈ª°ùàa IOƒLƒe ±Δ É`0``←```¡‫ﻥ‬Δf âfÉc GPEGh , (¿)± -(¿Δ+¿)± = ±Δ =´ ¿Δ ¿Δ ¿Δ .´ õeôdÉH É¡d õeôjh ¿ óæY º«°ùéo ∏d :¿s EÉa (¿)± = ∫ ábÓ©dÉH ¿ á¶ë∏dG ‘ ¬©bƒe Oó–h º«≤à°ùe §N ≈∏Y º«°ùLo ∑ô– GPEG n(¿)± = (¿)´ å«M ´ »g ¿ á¶ë∏dG ‘ (áYöùdG) ᫶ë∏dG áYöùdG ‘ º«°ùéo `dG ´QÉ°ùJ ≈ª°ùj (¿)´ = (¿) ± ¿s ÉE a ,¿ ‘ ¥É≤à°TÓd Ók HÉb (¿)± ¿Éc GPEGh n k n.(¿)ä õeôdÉH ¬d õeôjh ¿ á¶ë∏dG 1 ,ÊGƒãdÉH øeõdG ¿ å«M ,3 +2¿3 -3¿ = (¿)± ábÓ©dG ≥ah º«≤à°ùe §N ≈∏Y º«°ùLo ∑ôëàj .¿m GƒK 4 = ¿ óæY ¬YQÉ°ùJh º«°ùéo `dG áYöS Ö°ùMG ,QÉàe’C ÉH áaÉ°ùŸG ± π◊G n¿6-2¿3 = (¿) ± = (¿)´ áYöùdG ç/Ω24 = (4)´ k n6-¿6 = (¿) ± = (¿)´ = (¿)ä ´QÉ°ùàdG 2ç/Ω18 = (4)ä ¬æeh 162

‫بالثواني‪،‬‬ ‫الزمن‬ ‫ن‬ ‫النم�س=افة‪π6‬بال أاثماتنايةر‪،.‬‬ ‫= ‪4‬جا‪3‬ن – ‪5‬جتا‪3‬ن‪ ،‬حيث ف‬ ‫‪1‬‬ ‫الم�سافة و ال�سرعة و الت�سارع عندما‬ ‫اإذا كانت ف(ن)‬ ‫فاح�سب كل ًّا من‬ ‫‪2‬‬ ‫يتحرك ُج�سيم على خط م�ستقيم وفق العلاقة ف(ن) = ن‪6-3‬ن‪،1+2‬حيث ن الزمن بالثواني‪،‬‬ ‫ف الم�سافة بالاأمتار‪ ،‬جد �سرعة الـ ُج�سيم عندما ينعدم ت�سارعه‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫ال�سرعة ع(ن) = ف (ن) = ‪3‬ن‪12 - 2‬نَ‬ ‫الت�سارع ت(ن) = ف (ن) = ‪6‬ن ‪ً12 -‬‬ ‫عندما ينعدم ت�سارعه فاإ َّن ت(ن) =‪0‬‬ ‫∴ ‪6‬ن ‪0 = 12 -‬‬ ‫ومنه ن =‪ ،2‬أاي ينعدم ت�سارع الـ ُج�سيم عندما ن = ‪ 2‬ثانية‪.‬‬ ‫اإذن ع(‪12- = )2(12 - 2)2(3 = )2‬م‪/‬ث‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اإذاكانتف(ن) =ن‪9-3‬ن‪15+2‬ن‪،‬هيالعلاقةالزمنيةلحركة ُج�سيم علىخط م�ستقيم‪،‬حيث‬ ‫ن الزمن بالثواني‪ ،‬ف الم�سافة بال أامتار‪ ،‬فجد ت�سارع الـ ُج�سيم في اللحظة التي تنعدم فيها �سرعته‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫قذف ج�سم راأ�س ًّيا للاأعلى من نقطة على �سطح الاأر�س‪ ،‬بحيث يكون ارتفاعه عن �سطح الاأر�س‬ ‫بالاأمتار بعد ن ثانية من بدء الحركة معطى بالعلاقة ف (ن) = ‪30‬ن ‪5 -‬ن‪ ،2‬جد ك ًّلا مما ي أاتي‪:‬‬ ‫‪ )1‬ال�سرعة الابتدائية للج�سم‪.‬‬ ‫‪ )2‬أاق�سى ارتفاع َي ِ�س ُل إاليه الـج�سم‪.‬‬ ‫‪ )3‬اللحظة التي تكون عندها �سرعة الـج�سم ‪10‬م‪/‬ث‪.‬‬ ‫‪ )4‬الزمن اللازم حتى يعود الـج�سم إالى �سطح الاأر�س‪.‬‬ ‫‪163‬‬

‫الحل‬ ‫‪ )1‬ال�سرعة الابتدائية (ع‪ )0‬للج�سم هي ال�سرعة التي قذف بها الـج�سم �أي عندما (ن=‪)0‬‬ ‫ع(ن) = ‪10-30‬ن ومنه ع‪30 = 0‬م‪/‬ث‬ ‫‪ )2‬ي�صل الـج�سم إ�لى أ�ق�صى ارتفاع عندما ت�صبح ال�سرعة ع = ‪ ،0‬أ�ي أ� َّن ‪10- 30‬ن =‪ 0‬ويتحقق‬ ‫ذلك عندما ن = ‪3‬ث‪ ،‬وعند هذه اللحظة تكون الم�سافة المقطوعة ف(‪45=45 - 90 = )3‬م‪.‬‬ ‫‪ )3‬ع = ‪10-30‬ن =‪ ،10‬ومنه ن = ‪ 2‬ثانية‬ ‫‪ )4‬عندما يعود الـج�سم �إلى �سطح ا ألر�ض تكون ف = ‪ 0‬ومنه ‪30‬ن ‪5 -‬ن‪0=2‬‬ ‫ن (‪5 - 30‬ن) = ‪ ،0‬ومنه ن = ‪ ،0‬ن = ‪ 6‬ثانية‬ ‫وبما�أ َّن ن=‪0‬هيلحظةالانطلاق‪�،‬إذنيعودالـج�سم إ�لى�سطحالأر�ضبعد‪6‬ثوا ٍنمنبدءالحركة‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ُح َّل الم�س�ألة الواردة بداية الدر�س‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫�أ�سقط ج�سم من ارتفاع ‪120‬م عن �سطح ا ألر�ض �سقو ًطا ح ًّرا؛ حيث �إ َّن الم�سافة المقطوعة با ألمتار‬ ‫بعد ن ثانية هي ف‪(1‬ن) = ‪5‬ن‪ 2‬وفي الوقت نف�سه قذف ج�سم من �سطح ا ألر�ض للأعلى حيث‬ ‫�إ َّن الم�سافة التي يقطعها هي ف‪(2‬ن) = ‪60‬ن ‪5 -‬ن‪ ،2‬جد اللحظة التي يكون لهما الارتفاع نف�سه‬ ‫عن �سطح ا ألر�ض‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫يكون الـج�سمان على الارتفاع نف�سه عن �سطح ا ألر�ض عندما ف‪(1‬ن) ‪ +‬ف‪(2‬ن) =‪120‬م‬ ‫‪5‬ن‪60+2‬ن ‪5 -‬ن‪120=2‬‬ ‫‪60‬ن = ‪ 120‬ومنه ن = ‪2‬ثانية‬ ‫أ�ي أ� َّن الج�سمين يكونان على الارتفاع نف�سه بعد ثانيتين من بدء حركتهما‪.‬‬ ‫‪164‬‬

‫‪ )1‬يتحرك ُج�سيم على خط م�ستقيم وفق العلاقة ف(ن) = ن‪6 -3‬ن‪9 +2‬ن ‪ ،3 +‬حيث ن الزمن‬ ‫بالثواني‪ ،‬ف الم�سافة المقطوعة بالاأمتار‪ ،‬فجد ك ًّلا مما ي أاتي‪:‬‬ ‫اأ ) ال�سرعة الابتدائية لل ُج�سيم‪.‬‬ ‫ب) ت�سارع الـ ُج�سيم لحظة �سكونه‪.‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ن‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‬ ‫ن‬ ‫‪2‬جا‪(2‬‬ ‫=‬ ‫ف(ن)‬ ‫العلاقة‬ ‫وفق‬ ‫م�ستقيم‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫ُج�سيم‬ ‫يتحرك‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫الم�سافة بال أامتار‪ ،‬ن‪ :‬الزمن بالثواني‪ ،‬جد ت�سارع الـ ُج�سيم عندما‬ ‫حيث ف‪:‬‬ ‫]‬ ‫‪2‬‬ ‫[‪، 0‬‬ ‫ن‬ ‫تكون �سرعته ‪ 3‬م‪/‬ث‪.‬‬ ‫‪ )3‬قذف ج�سم ر أا�س ًّيا إالى ال أاعلى من نقطة على �سطح ال أار�س بحيث كان بعده عن �سطح ال أار�س‬ ‫بعد ن ثانية هو ف(ن) = ‪19.6‬ن ‪4.9 -‬ن‪ 2‬متر‪ ،‬فجد ك ًّلا مما ي أاتي‪:‬‬ ‫اأ ) اأق�سى ارتفاع ي�سل اليه الـج�سم عن �سطح ال أار�س‪.‬‬ ‫ب) ت�سارعه في اللحظة ن‪.‬‬ ‫جـ) �سرعة الـج�سم لحظة و�سوله اإلى �سطح ال أار�س‪.‬‬ ‫‪ )4‬قذف ج�سم ر أا�س ًّيا اإلى الاأعلى من نقطة على �سطح ال أار�س؛ بحيث يكون ارتفاعه عن �سطح‬ ‫ال أار�س بعد زمن ن ثانية هو ف(ن) = ‪128‬ن‪16-‬ن‪ 2‬قدم‪ ،‬فجد ك ًّلا مما ي أاتي‪:‬‬ ‫اأ ) مجموعة قيم ن التي تكون عندها ال�سرعة �سالبة‪.‬‬ ‫ب) اأق�سى ارتفاع ي�سل اليه الـج�سم عن �سطح ال أار�س‪.‬‬ ‫جـ) ت�سارع الـج�سم عند اأي لحظة‪.‬‬ ‫د ) �سرعة الـج�سم الابتدائية‪.‬‬ ‫‪ُ )5‬قذ َف ج�سم راأ�س ًّيا إالى اأعلى من نقطة على �سطح الاأر�س؛ بحيث يكون ارتفاعه عن �سطح‬ ‫ال أار�س بالاأقدام بعد ن ثانية معطى وفق العلاقة ف(ن) = ‪96‬ن ‪16 -‬ن‪ .2‬جد �سرعة الـج�سم‬ ‫عندما يكون على ارتفاع ‪ 80‬قد ًما‪.‬‬ ‫‪165‬‬

‫‪ )6‬قذف ج�سم ر أ��س ًّيا إ�لى ا ألعلى من نقطة على �سطح الأر�ض بحيث إ� َّن بعده عن نقطة القذف‬ ‫بعد ن ثانية من بدء الحركه معطى بالعلاقة ف(ن) = �أ ن ‪5 -‬ن‪ 2‬بالأمتار‪ ،‬فجد قيمة أ� عل ًما ب�أ َّن‬ ‫أ�ق�صى ارتفاع و�صل اليه الـج�سم ‪ 80‬مت ًرا‪.‬‬ ‫‪ُ )7‬قذف ج�سم ر�أ�س ًّيا �إلى �أعلى من نقطة على ارتفاع ‪ 60‬مت ًرا من �سطح ا ألر�ض وفق العلاقة‬ ‫ف(ن) = ‪40‬ن‪5-‬ن‪ 2‬حيث ن الزمن بالثواني‪ ،‬ف الم�سافة با ألمتار ‪ِ ،‬جد كلاًّ مما ي�أتي‪:‬‬ ‫�أ ) الزمن الذي ي�ستغرقه الـج�سم حتى يعود �إلى نقطة القذف‪.‬‬ ‫ب) الزمن الذي ي�ستغرقه الـج�سم حتى يعود �إلى �سطح الأر�ض‪.‬‬ ‫جـ) �أق�صى ارتفاع ي�صل اليه الـج�سم عن �سطح ا ألر�ض‪.‬‬ ‫د ) متى ت�صبح �سرعه الـج�سم ‪ 30‬م‪/‬ث ؟‬ ‫هـ) متى ي�صبح ارتفاع الـج�سم ‪ 135‬مت ًرا عن �سطح ا ألر�ض؟‬ ‫‪ )8‬أ��سقط �شخ�ص ج�س ًما من ال�سكون من �سطح بناية وفق العلاقة ف‪(1‬ن) = ‪16‬ن‪ ،2‬وفي اللحظة‬ ‫قدم‪/‬ث من‬ ‫مقدارها ‪20‬‬ ‫ج�س ًما عمود ًّيا إ�لى �أ�سفل ب�سرعة ابتدائية‬ ‫�شخ�ص ثا ٍن‬ ‫نف�سها قذف‬ ‫‪1‬‬ ‫الج�سم ا ألول‬ ‫ف‪(2‬ن) = ‪20‬ن ‪16 +‬ن‪ ، 2‬ف إ�ذا ارتطم‬ ‫وفق العلاقة‬ ‫ال�سطح نف�سه‬ ‫ثانية‬ ‫‪2‬‬ ‫بعد‬ ‫من ارتطام الج�سم الثاني بالأر�ض‪ ،‬فجد ارتفاع البناية‪.‬‬ ‫‪ )9‬يتحرك ُج�سيم على خط م�ستقيم بحيث �إ َّن �سرعته ع = �أ ف ‪� ،‬أ > ‪ ،0‬ف >‪ ،0‬ف‪ :‬الم�سافة‬ ‫بالأمتار‪� ،‬إذا علمت �أ َّن ت�سارعه ‪8‬م‪/‬ث‪ .2‬فجد قيمة الثابت �أ‪.‬‬ ‫‪ )10‬يتحرك ُج�سيم على خط م�ستقيم ح�سب العلاقة ع‪2 - 1 =2‬ف‪ 2‬حيث ع ال�سرعة‪،‬‬ ‫ف الم�سافة بالأمتار‪ .‬جد ت�سارع الـ ُج�سيم عندما تنعدم �سرعته‪.‬‬ ‫‪166‬‬

‫‪Related Rates‬‬ ‫ﺛﺎﻟ ًﺜﺎ ‪øeõdÉH á£ÑJôŸG ä’ó©ŸG‬‬ ‫أاطلق �سارو‪ ñ‬عمود ًّيا ل أاعلى ب�سرعة ‪100‬م‪/‬ث‪ ،‬وعلى بعد ‪200‬متر من نقطة انطلاق‬ ‫ال�سارو‪ ،ñ‬كان م�ساهد جال�ًسا على الاأر�س ينظر اإلى ال�سارو‪ ،ñ‬جد معدل تغير زاوية ارتفاع‬ ‫نظر الم�ساهد عندما يكون ال�سارو‪ ñ‬على ارتفاع ‪ 400‬متر من �سطح ال أار�س‪.‬‬ ‫تعلمت �ساب ًقا أان ��سس ‪,¢S Ò¨àŸÉH ¢U •ÉÑJQG ádÉM ‘ ¢S Ò¨àª∏d áÑ°ùædÉH ¢U Ò¨J ∫ó©e ƒg‬‬ ‫‪øeõdÉH ábÓY ¬d É¡æe πw ch ,äGÒ¨àe IóY ÚH •ÉÑJQG É¡«a IÒãc iôNCG ä’ÉM ∑Éæg ¿s CG ÒZ‬‬ ‫ويعبر عنها بال�سي≠ التالية‪:‬‬ ‫ن‪.‬‬ ‫الزمن‬ ‫إالى‬ ‫بالن�سبة‬ ‫�س‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫�س‬ ‫ن‬ ‫معدل تغير �س بالن�سبة اإلى الزمن ن‪.‬‬ ‫�س‬ ‫ن‬ ‫ت�سمى هذه العلاقات ‪H‬ا‪ ä’ó©Ÿ‬ا‪£ÑJôŸ‬ة ‪H‬ال‪õ‬م‪ ،ø‬ولها تطبيقات فيزيائية وحياتية متنوعة‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫تتحرك نقطة على منحنى العلاقة �س‪� + 2‬س‪�5 - 2‬س‪�3 +‬س‪ ،0= 6 -‬فاإذا كان معدل تغير‬ ‫إاحداثيها ال�سيني بالن�سبة اإلى الزمن ‪� 3‬سم‪/‬ث عند النقطة (‪ ،)2،1‬فجد معدل تغير اإحداثيها‬ ‫ال�سادي بالن�سبة اإلى الزمن عند النقطة نف�سها‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫افر�س أا َّن النقطة (�س‪�،‬س) تقع على منحنى العلاقة‪.‬‬ ‫= ‪� 3‬سم‪/‬ث ‪ ،‬عند النقطة (‪.)2 ، 1‬‬ ‫�س‬ ‫المعطيات ‪:‬‬ ‫ن‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫�س‬ ‫عند النقطة (‪.)2،1‬‬ ‫ن‬ ‫المطلوب ‪:‬‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫ا�ستق طرفي المعادلة �سمن ًّيا بالن�سبة إالى‬ ‫‪،‬‬ ‫وللح�سول على علاقة تربط بين المعدلات‬ ‫الزمن فتح�سل على‪:‬‬ ‫‪167‬‬

‫=‪0‬‬ ‫�ص‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‬ ‫‪5-‬‬ ‫�ص‬ ‫‪�2‬ص‬ ‫‪+‬‬ ‫�س‬ ‫‪�2‬س‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫=‪0‬‬ ‫�س‬ ‫(‪�2‬س‪)5-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫�ص‬ ‫(‪�2‬ص‪)3+‬‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫لماذا؟‬ ‫�س‬ ‫×‬ ‫‪�2-5‬س‬ ‫=‬ ‫�ص‬ ‫ن‬ ‫‪�2‬ص‪3+‬‬ ‫ن‬ ‫�أ َّن‪:‬‬ ‫�ص=‪ 2‬نجد‬ ‫�س=‪،1‬‬ ‫‪،3‬‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫وبتعوي�ض‬ ‫ن‬ ‫�ص‬ ‫�سم‪/‬ث‬ ‫‪79‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪73‬‬ ‫=‬ ‫ن‬ ‫�سم‪/‬ث‪.‬‬ ‫‪97‬‬ ‫أ�ي �أ َّن معدل التغير في الإحداثي ال�صادي عند النقطة (‪ )2 ، 1‬ي�ساوي‬ ‫‪2‬‬ ‫قر�ص معدني دائر ُّي ال�شكل يتمدد بالحرارة محاف ًظا على �شكله‪ ،‬تزداد م�ساحة �سطحه بمعدل‬ ‫‪�6‬سم‪/2‬ث‪ ،‬جد معدل تغير طول ن�صف قطر القر�ص؛ عندما يكون طول ن�صف قطره ‪�3‬سم‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫افر�ض أ� َّن‪:‬‬ ‫نق = طول ن�صف قطر القر�ص في اللحظة ن‪.‬‬ ‫م = م�ساحة �سطح القر�ص في اللحظة ن‪.‬‬ ‫م‬ ‫= ‪�6‬سم‪/2‬ث‬ ‫ن‬ ‫المعطيات‪:‬‬ ‫نق = ‪�3‬سم‪.‬‬ ‫عندما‬ ‫نق‬ ‫المطلوب‪:‬‬ ‫ن‬ ‫العلاقة التي تربط بين متغيرات الم�س�ألة م‪ ،‬نق هي‪:‬‬ ‫م = ‪ π‬نق‪)1( ........ 2‬‬ ‫على‪:‬‬ ‫تح�صل‬ ‫الزمن‬ ‫�إلى‬ ‫بالن�سبة‬ ‫الننعقلاقة‪�..).1..(..‬ض‪(.‬من ًّي‪2‬ا)‬ ‫وبا�شتقاق طرفي‬ ‫م‬ ‫‪π‬نق‬ ‫=‪2‬‬ ‫ن‬ ‫نق = ‪�3‬سم في العلاقة (‪ )2‬تجد �أ َّن‪:‬‬ ‫= ‪�6‬سم‪/2‬ث‪،‬‬ ‫م‬ ‫وبالتعوي�ض عن‬ ‫ن‬ ‫نق‬ ‫‪�6‬سم‪/2‬ث = ‪�3 × π2‬سم ×‬ ‫ن‬ ‫‪168‬‬

‫‪1π‬‬ ‫‪� 1π‬سم‪/‬ث‬ ‫=‬ ‫نق‬ ‫ومنه‬ ‫ن‬ ‫�سم‪/‬ث‪.‬‬ ‫�أي أ� َّن طول ن�صف قطر القر�ص يزداد بمعدل‬ ‫‪1‬‬ ‫كرة من الجليد تن�صهر ب�سبب الحرارة بحيث تبقى محافظة على �شكلها‪ ،‬إ�ذا كان طول ن�صف‬ ‫قطرها يتناق�ص بمعدل‪�0.01‬سم‪/‬ث ‪ ،‬فجد كلاًّ مما ي�أتي‪:‬‬ ‫‪ ) 1‬معدل تناق�ص حجم الكرة عندما يكون طول ن�صف قطرها ‪�10‬سم‪.‬‬ ‫‪ )2‬معدل تناق�ص م�ساحة �سطح الكرة عندما يكون طول ن�صف قطرها ‪�5‬سم‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫رجلطوله‪1.7‬متراً‪،‬ي�سيرعلى�أر�ضم�ستويةب�سرعة‪2‬م‪/‬ثمبتع ًداعنعمودكهرباء‬ ‫فيقمتهم�صباح‪ ،‬يرتفع‪�5.1‬أمتارعن�سطحالأر�ض‪،‬جدمعدلتغيرطولظلالرجل‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫افر�ض أ� َّن‪� :‬س ُبعد الرجل عن عمود الكهرباء‪.‬‬ ‫�ص طول ظل الرجل‪.‬‬ ‫ال�شكل (‪)6-3‬‬ ‫انظر ال�شكل (‪)6-3‬‬ ‫حدد الثوابت والمتغيرات والمع ّدلات الزمنية المعطاة والمطلوبة كما ي�أتي‪:‬‬ ‫المعطيات‪:‬‬ ‫الثوابت‪ :‬طول الرجل = ‪ 1.7‬م ‪ ،‬طول عمود الكهرباء = ‪ 5.1‬م‬ ‫‪.‬‬ ‫�ص‬ ‫ظل الرجل‬ ‫طول‬ ‫‪،‬‬ ‫�س‬ ‫عمود الكهرباء‬ ‫عن‬ ‫المتغيرات‪ُ :‬بعد الرجل‬ ‫= ‪2‬م‪/‬ث‬ ‫�س‬ ‫المعدلات المعطاة‪:‬‬ ‫ن‬ ‫�ص‬ ‫ن‬ ‫المعدلات المطلوبة‪:‬‬ ‫ابحث عن علاقة تربط بين المتغيرات �س‪� ،‬ص‪ ،‬فتجد من خلال ت�شابه المثلثين أ� ب جـ‪ ،‬د هـ جـ �أن‪:‬‬ ‫ومنه ‪� 3‬ص = �س ‪� +‬ص‬ ‫�س ‪� +‬ص‬ ‫=‬ ‫‪5.1‬‬ ‫ومنه‬ ‫�س‪�+‬ص‬ ‫=‬ ‫أ� ب‬ ‫�ص‬ ‫‪1.7‬‬ ‫�ص‬ ‫د هـ‬ ‫‪169‬‬

‫‪�2‬س = �س ‪)1( ..........‬‬ ‫�سمن ًّيا‬ ‫(‪)1‬‬ ‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫ا�ستق‬ ‫‪،‬‬ ‫�س‬ ‫‪،‬‬ ‫�س‬ ‫وللح�سول على علاقة تربط بين المعدلات‪:‬‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫بالن�سبة إالى الزمن فتح�سل على‪:‬‬ ‫‪)2(............‬‬ ‫�س‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫ومنه‬ ‫‪،‬‬ ‫�س‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫‪2‬‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫‪2‬‬ ‫�س‬ ‫ن‬ ‫أا َّن‪:‬‬ ‫تـجد‬ ‫(‪،)2‬‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫عن‬ ‫وبالتعوي�س‬ ‫‪1‬‬ ‫�س‬ ‫× ‪1 = 2‬م‪/‬ث‪.‬‬ ‫=‬ ‫ن‬ ‫‪2‬‬ ‫اأي اأ َّن طول ظل الرجل يزداد بمعدل ‪1‬م‪/‬ث‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫في مثال (‪ )3‬جد معدل تغير ُبعد راأ�س الرجل عن الم�سباح؛ عندما يكون الرجل على بعد ‪3‬‬ ‫اأمتار عن عمود الكهرباء‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫يرتفع بالون ر أا�س ًّيا اإلى اأعلى بمعدل ثابت قدر ُه ‪ 40‬م‪/‬د‪ ،‬ر�س َد ُه م�ساهد يقف على ال أار�س‪ ،‬ويبع ُد‬ ‫‪120‬م عن موقع البالون على ال أار�س‪ ،‬جد معدل تغير زاوية ارتفاع نظر الم�ساهد للبالون؛ عندما‬ ‫يكون البالون على ارتفاع ‪120‬م عن �سطح الاأر�س‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫افر�س اأ َّن هـ زاوية ارتفاع نظر الم�ساهد في اللحظة ن‪،‬‬ ‫و أا َّن �س ارتفاع البالون عن �سطح الاأر�س‪،‬‬ ‫انظر ال�سكل (‪ .)7-3‬الرا�سد‬ ‫(الم�ساهد)‬ ‫ال�سكل (‪)7-3‬‬ ‫�س‬ ‫د‬ ‫م‪/‬‬ ‫=‪40‬‬ ‫ن‬ ‫المعطيات‪:‬‬ ‫عندما �س = ‪120‬م‬ ‫هـ‬ ‫المطلوب‪:‬‬ ‫ن‬ ‫�س‬ ‫(‪)1‬‬ ‫‪..........‬‬ ‫‪120‬‬ ‫العلاقة التي تربط بين المتغيرين �س‪ ،‬هـ هي ظاهـ =‬ ‫‪170‬‬

‫وبا�شتقاق العلاقة (‪� )1‬ضمن ًّيا بالن�سبة �إلى الزمن نجد �أ َّن‪:‬‬ ‫�ص‬ ‫‪1‬‬ ‫هـ‬ ‫‪π‬‬ ‫‪)2( ...........‬‬ ‫ن‬ ‫*‬ ‫=‬ ‫ن‬ ‫قا‪2‬هـ *‬ ‫‪4‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪ ،‬وبالتالي‬ ‫=‬ ‫عندما �ص = ‪120‬م ي�صبح المثلث القائم متطابق ال�ضلعين‪ ،‬فعندئذ ت�صبح هـ‬ ‫قا‪2‬هـ = ‪ ،2‬وبالتعوي�ض في المعادلة (‪ )2‬تجد أ� َّن‪:‬‬ ‫راديان‪ /‬ث‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫هـ‬ ‫ومنه‬ ‫‪40‬‬ ‫*‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫هـ‬ ‫‪*2‬‬ ‫ن‬ ‫ن‬ ‫‪6‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مثلث متطابق ال�ضلعين طول ك ٍّل من �ضلعيه المتطابقين ‪�8‬سم ‪ ،‬يزداد قيا�س الزاوية المح�صورة‬ ‫بينهما بمعدل ‪/°2‬د‪ ،‬جد معدل التغير في م�ساحة المثلث في ك ٍّل من الحالات ا آلتية‪:‬‬ ‫‪ )1‬عندما يكون قيا�س الزاوية المح�صورة بينهما ‪.°60‬‬ ‫‪ )2‬عندما يكون قيا�س الزاوية المح�صورة بينهما ‪.°120‬‬ ‫قارن بين الإجابتين وف�سر ذلك‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫دائرتان متحدتان في المركز‪ ،‬طولا ن�صفي ُقطريهما ‪�5‬سم‪�20 ،‬سم‪ ،‬ابتد�أت الدائرة ال�صغرى تت�سع‬ ‫بحيث يزداد طول ن�صف قطرها بمعدل ‪�2‬سم‪/‬د‪ ،‬وفي اللحظة نف�سها �أخذت الدائرة الكبرى ت�صغر‬ ‫بحيث يتناق�ص طول ن�صف قطرها بمعدل ‪�1‬سم‪/‬د‪ ،‬جد معدل التغير في الم�ساحة المح�صورة بين‬ ‫الدائرتين في اللحظة التي تنطبق الدائرتان على بع�ضهما‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫افر�ض �أ َّن الزمن لتغيرهما هو ن دقيقة‬ ‫طول ن�صف قطر الدائرة ال�صغرى = ‪2+5‬ن لماذا؟‬ ‫طول ن�صف قطر الدائرة الكبرى = ‪ -20‬ن لماذا؟‬ ‫م(ن) الم�ساحة المح�صورة بينهما‬ ‫م(ن) = ‪ -20( π‬ن)‪2 + 5( π - 2‬ن)‪2‬‬ ‫م = ‪� 0‬أي عندما ‪ -20‬ن = ‪2 + 5‬ن‬ ‫عندما‬ ‫م‬ ‫المطلوب‪:‬‬ ‫ن‬ ‫‪171‬‬

‫ومنه ‪3‬ن = ‪15‬‬ ‫∴ ن = ‪ 5‬دقائق‪.‬‬ ‫= ‪ -20( π 2 -‬ن) ‪2 + 5( π 4 -‬ن)‬ ‫م‬ ‫ن‬ ‫م‬ ‫= ‪� π 90 - = )10 + 5( π 4 - )5 -20( π 2-‬سم‪/2‬د‬ ‫ن‬ ‫عندما ن = ‪ ،5‬ف إا َّن‬ ‫‪fh ôµa‬ا‪¢ûb‬‬ ‫ما دلالة الاإ�سارة ال�سالبة التي ح�سلت عليها في حل مثال(‪)5‬؟‬ ‫‪Y IQƒ°üHh‬امة‪ ,‬لحل م‪°ù‬ا‪F‬ل ا‪ ä’ó©Ÿ‬ا‪£ÑJôŸ‬ة ‪H‬ال‪õ‬م‪ ∂æµÁ ø‬ا‪ÑJ‬ا´ ا‪ƒ£ÿ‬ا‪ ä‬ا’‪«JB‬ة‪:‬‬ ‫‪ )1‬ار�سم �سك ًلا تقريب ًّيا للم�ساألة مو ّن�س ًحا عليه البيانات المعطاة‪ ،‬اإن اأمكنك ذلك‪.‬‬ ‫‪ )2‬حدد الثوابت والمتغيرات‪ ،‬والمعدلات الزمنية المعطاة والمطلوبة‪.‬‬ ‫‪ )3‬ابحث عن علاقة ريا�سية م�ستعي ًنا بالر�سم تربط متغيرات الم�ساألة؛ بحيث تكون معدلات جميع‬ ‫متغيرات الم�ساألة معلومة با�ستثناء المعدل المطلوب اإيجاده‪.‬‬ ‫‪ )4‬ع ِّو�س عن الثوابت في العلاقة التي ح�سلت عليها قبل اإجراء عملية الا�ستقاق لطرفيها في‬ ‫حالات معينة تتطلب ذلك‪.‬‬ ‫‪ )5‬ا�ست َّق طرفي العلاقة التي ح�سلت عليها بالن�سبة اإلى الزمن؛ للح�سول على علاقة اأخرى تربط‬ ‫بين المعدلات‪.‬‬ ‫‪ )6‬ع ِّو�س بالقيم المعلومة لاإيجاد المطلوب‪.‬‬ ‫‪172‬‬

‫‪ )1‬مكعب من الثلج يتناق�س طول �سلعه بمعدل ‪� 0.0001‬سم‪/‬ث‪ ،‬جد معدل التغير في ك ٍّل من‬ ‫حجمه وم�ساحته الكلية؛ عندما يكون طول �سلعه ‪�10‬سم‪.‬‬ ‫‪ )2‬يرتكز �سلم طوله ‪ 5‬أامتار بطرفه العلوي على حائط عمودي‪ ،‬وبطرفه ال�سفلي على اأر�س‬ ‫‪1‬‬ ‫م‪/‬ث‪ ،‬فجد �سرعة انخفا�س‬ ‫م�ستوية إاذا تحرك الطرف ال�سفلي مبتع ًدا عن الحائط بمعدل‬ ‫‪2‬‬ ‫الطرف العلوي لل�سلم؛ عندما يكون طرفه ال�سفلي على بعد ‪3‬م عن الحائط‪.‬‬ ‫‪�16 ™ª≤dG ´ÉØJQG ¿Éc GPÉE a ,≈∏YÓC d ¬JóYÉb ºFÉb …ôFGO •hô πµ°T ≈∏Y ™ªb (3‬سم‪ ،‬وطول‬ ‫ن�سف قطر قاعدته ‪�8‬سم‪�ُ ،‬س َّب فيه �سائل بمعدل ‪�12‬سم‪/3‬ث‪ ،‬جد معدل تغير م�ساحة �سطح‬ ‫ال�سائل في القمع عندما يكون ارتفاع ال�سائل ‪�8‬سم‪.‬‬ ‫‪ájhGõdG ¢SÉ«b ,Úª«≤à°ùe Ú£N πµ°T ≈∏Y ÚØ∏à ÚgÉŒG ‘ ¬°ùØf AÉæ«ŸG øe ¿Éàæ«Ø°S â≤∏£fG (4‬‬ ‫بينهما (‪ ،)5120‬اإذا كانت �سرعة ال أاولى ‪30‬كم‪�/‬ساعة‪ ،‬و�سرعة الثانية ‪40‬كم‪�/‬ساعة‪ ،‬فجد‬ ‫معدل تغير البعد بينهما عندما يكون بعداهما عن نقطة الانطلاق ‪6‬كم‪8 ،‬كم على الترتيب‪.‬‬ ‫‪ )5‬بد أات النقطتان أا‪ ،‬ب الحركة م ًعا من نقطة الاأ�سل (م)؛ بحيث تتحرك النقطة ب على المحور‬ ‫ال�سيني الموجب مبتعدة عن نقطة ال أا�سل ب�سرعة ‪�2‬سم‪/‬ث‪ ،‬وتتحرك النقطة اأ في الربع الاأول على‬ ‫منحنىالاقترانق(�س)=�س‪،3‬بحيثتبقىاأب دائ ًماعمود نّيةعلىمحورال�سيناتالموجب‪،‬جد‪:‬‬ ‫اأ ) معدل التغير في م�ساحة المثلث أا ب م بعد ثانية واحدة من بدء الحركة‪.‬‬ ‫ب) معدل التغير في طول وتر المثلث أا ب م بعد ثانية واحدة من بدء الحركة‪.‬‬ ‫‪ُ )6‬ح َّل الم�ساألة الواردة في بداية الدر�س‪.‬‬ ‫‪ )7‬بد أات نقطة الحركة على دائرة مركزها نقطة ال أا�سل من النقطة (‪ )0 ،5‬باتجاه عك�س عقارب‬ ‫ال�ساعة‪ ،‬بحيث يزداد طول القو�س الدائري الذي تر�سمه النقطة في اأثناء حركتها بمعدل‬ ‫‪�10‬سم‪/‬ث‪ ،‬جد معدل ابتعاد النقطة المتحركة عن النقطة (‪)0،5‬؛ عندما يقابل القو�س الذي‬ ‫راد‬ ‫‪π‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫تر�سمه النقطة زاوية مركزية مقدارها‬ ‫‪173‬‬

‫‪ )8‬تتمدد أا�سلاع مربع بمعدل ‪�4‬سم‪/‬ث‪ُ ،‬ر ِ�سمت دائرة حول المربع بحيث تلام�س روؤو�سه ‪،‬‬ ‫واأخذت تتمدد مع المربع بحيث تبقى محافظة على �سكلها وو�سعها‪ ،‬جد معدل التغير في‬ ‫م�ساحة المنطقة المح�سورة بين الدائرة والمربع‪ ،‬عندما يكون طول �سلع المربع‪�10‬سم‪.‬‬ ‫‪ )9‬م�سعدان كهربائيان م�ستقران في الطابق الاأر�سي‪ ،‬الم�سافة ال أافقية بينهما ‪ 8‬أامتار‪ ،‬بداأ الم�سعد‬ ‫ال أاول يرتفع اإلى ال أاعلى ب�سرعة ‪ 2‬م‪/‬ث ‪ ،‬وبعد ثانيتين بد أا الم�سعد الثاني في الارتفاع ب�سرعة‬ ‫‪1‬م‪/‬ث ‪ .‬جد معدل تغير الم�سافة بين الم�سعدين بعد ثانيتين من بدء حركة الم�سعد الثاني‪.‬‬ ‫‪174‬‬

‫‪π°VÉØàdG ≈∏Y á«∏ªY äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫‪Applications of Derivative‬‬ ‫تحدد النقط الحرجة لاقتران معطى‪.‬‬ ‫تحدد فترات التزايد والتناق�س لاقتران معطى‪.‬‬ ‫ت�ستخدم اختبار الم�ستقة ال أاولى في تحديد فترات التزايد والتناق�س والقيم الق�سوى‪ ،‬اإن وجدت‪ ،‬لاقتران معطى‪.‬‬ ‫تتعرف مفهوم التقعر ونقط الانعطاف‪ ،‬وتحدد فترات التقعر لاأعلى ولاأ�سفل لاقتران ما با�ستخدام الم�ستقة‬ ‫الثانية‪.‬‬ ‫ت�ستخدم اختبار الم�ستقة الثانية لتعيين القيم الق�سوى المحلية‪.‬‬ ‫تحل م�سائل عملية على القيم الق�سوى‪.‬‬ ‫‪Critical Points‬‬ ‫أو ًﻻ ‪áLô◊G §≤ædG‬‬ ‫جد النقط الحرجة للاقتران ق(�س) = | �س‪�2 – 2‬س |‪� ،‬س [‪.]3 ،1‬‬ ‫�سيتناول هذا الدر�س تطبي ًقا اآخر للم�ستقة الاأولى‪ ،‬وهو ال‪ §≤æ‬الح‪Lô‬ة‪.‬‬ ‫إاذا كانت �س‪� 1‬سمن مجال الاقتران ق‪ ،‬ف إا َّن القيمة �س‪ 1‬ت�سمى ‪ª«b‬ة ح‪Lô‬ة للاقتران ق إاذا تحقق اأ َّن‪:‬‬ ‫ق (�س‪ 0 = )1‬أاو ق (�س‪ )1‬غير موجودة‪ .‬وفي هذه الحالة ت�سمى النقطة �س‪،1‬ق(�س‪َ َ) ()1‬‬ ‫‪£≤f‬ة ح‪Lô‬ة للاقتران ق‪.‬‬ ‫‪175‬‬

‫‪1‬‬ ‫جد النقط الحرجة للاقتران ق(�س) = ‪�3‬س‪� - 2‬س‪� ، 3‬س [ ‪]3 ، 2-‬‬ ‫الحل‬ ‫ق (�س) = ‪�6‬س ‪�3 -‬س‪ ، 2‬ق(�س) =‪ 0‬عندما ‪�6‬س ‪�3 -‬س‪ 0= 2‬ومنه‪َ َ:‬‬ ‫‪�3‬س(‪� - 2‬س) =‪� 0‬أي عند‪� :‬س=‪� ،0‬س= ‪ 2‬وكلاهما في الفترة [‪]3 ،2-‬‬ ‫وتكون ق(�س) غير موجودة عندما �س = ‪� ،2-‬س= ‪ ( 3‬أ�طراف الفترة)َ‬ ‫وعليه يكون للاقتران ق �أربع نقط حرجة هي‪)0 ،3 ( ، )4 ، 2( ، )0،0( ، )20،2-( :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جد النقط الحرجة للاقتران ق(�س) = �س‪�12- 3‬س ‪� ،1+‬س [‪]3،3-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫[‪]π ،0‬‬ ‫جا‪� 3‬س ‪� ،‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫جد النقط الحرجة للاقتران ق(�س) = جا �س ‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الحل‬ ‫ق (�س) = جتا �س‪ -‬جا‪�2‬س جتا �س = جتا �س(‪ -1‬جا‪�2‬س)‪ ،‬ق (�س) = جتا‪�3‬سَ َ‬ ‫ق (�س) =‪ 0‬عندما‪:‬‬ ‫جتا �س= ‪ 0‬أ�ي عند �س =‬ ‫‪َπ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وتكون ق (�س) غير موجودة عندما �س= ‪� ،0‬س= ‪ ( π‬أ�طراف الفترة)َ‬ ‫هي‪:‬‬ ‫حرجة‬ ‫ق ثلاث نقط‬ ‫(وع‪0‬ل‪،‬يه‪0‬ي) ‪،‬كو(ن ل‪π2‬لاق‪،‬ترا‪23‬ن‬ ‫) ‪.)0،π( ،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جد النقط الحرجة للاقتران ق(�س) = جا �س‪ -‬جا‪�2‬س ‪� ،‬س [‪]π ،0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫جد النقط الحرجة للاقتران ق(�س) = ‪� -4 3‬س‪� ، 2‬س [‪]3،3-‬‬ ‫‪176‬‬

‫�س‬ ‫‪2-‬‬ ‫الحل‬ ‫(‪� - 4‬س‪2)2‬‬ ‫*‬ ‫‪3‬‬ ‫ق(�س) =‬ ‫‪َ،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ق(�س) = ‪ 0‬عندما الب�سط = ‪� 0‬أي �أ َّن �س =‪َ0‬‬ ‫وتكون ق(�س) غير موجودة عندما المقام = ‪ ،0‬وعند أ�طراف الفترة‪ ،‬أ�ي عندماَ‬ ‫�س= ‪� ،2-‬س = ‪� ،2‬س = ‪� ،3-‬س = ‪3‬وعليه يكون للاقتران خم�س نقط حرجة هي‪:‬‬ ‫(‪) 5- 3 ،3 ( ،) 0 ،2 ( ،) 4 3 ،0( ،) 0 ،2-( ،) 5- 3 ،3-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫جد النقط الحرجة للاقتران ق(�س) = ‪� 3‬س‪� ، 2‬س [‪]2،2-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫يمثل ال�شكل (‪ )8-3‬منحنى الم�شتقة الأولى للاقتران‬ ‫ق(�س) المعرف على الفترة [‪ ]2،2-‬اعتمد على‬ ‫ذلك في تعيين النقط الحرجة للاقتران ق‪.‬‬ ‫ال�شكل (‪)8-3‬‬ ‫الحل‬ ‫للاقتران نقط حرجة عندما ق(�س) =‪ ،0‬أ�و غيرَ‬ ‫موجودة (ويكون ذلك عند المقطع ال�سيني لمنحنى‬ ‫الم�شتقة الأولى و�أطراف الفترة)‬ ‫�أي عندما �س= ‪2 ،2- ،1 ،1-‬‬ ‫وعليه يكون للاقتران �أربع نقط حرجة هي‪:‬‬ ‫(‪ ،1-‬ق(‪ ،1( ،))1-‬ق(‪ ،2-( ،))1‬ق(‪ ،2( , ))2-‬ق(‪.))2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ُح َّل الم�س�ألة الواردة في بداية الدر�س‪.‬‬ ‫‪177‬‬

‫‪ )1‬جد النقط الحرجة لك ٍّل من الاقترانات الاتية‪:‬‬ ‫اأ ) ق(�س) = �س‪�4-4‬س‪� ، 1+‬س [‪]2، 2-‬‬ ‫ب) ق(�س) = جا �س‪ +‬جتا �س ‪� ،‬س [‪]π2 ،0‬‬ ‫جـ) ق(�س) = �س‪� | 2‬س‪� ، |1-‬س [‪]2 ،3-‬‬ ‫‪� ،‬س [‪] π ، 0‬‬ ‫د ) ق(�س) = جتا‪�2‬س‬ ‫‪� ≤ 2- ،‬س ≤ ‪1‬‬ ‫�س‪1+2‬‬ ‫‪� < 1 ،‬س ≤ ‪2‬‬ ‫هـ) ق(�س) = ‪�2‬س‬ ‫‪ )2‬جد قيم اأ‪ ،‬ب التي تجعل للاقتران ق(�س) = �س‪ + 3‬أا �س‪ + 2‬ب �س نقطتين حرجتين‬ ‫عند �س = ‪� ،1-‬س = ‪.3‬‬ ‫‪ )3‬يمثل ال�سكل (‪ )9-3‬منحنى الم�ستقة ال أاولى‬ ‫لــلاقــتران كثير الحـــدود ق المــعــ َّرف على‬ ‫الفترة[‪ ]3،3-‬اعتمد على ذلك في تعيين‬ ‫ال�سكل (‪)9-3‬‬ ‫النقط الحرجة للاقتران ق‪.‬‬ ‫�س‪1 - 3‬‬ ‫‪ )4‬جد النقط الحرجة للاقتران ق(�س) =‬ ‫�س‪1 + 3‬‬ ‫‪178‬‬

‫‪Increasing and Decreasing‬‬ ‫ﺛﺎﻧ ًﻴﺎ ‪¢übÉæàdGh ójGõàdG‬‬ ‫اعتما ًدا على ال�سكل (‪ )10-3‬الذي يمثل منحنى الاقتران‬ ‫‪� -4‬س‪� ≤ 3- ، 2‬س ≤‪1‬‬ ‫ق(�س) = ‪3‬‬ ‫‪� < 1 ،‬س ≤‪3‬‬ ‫�سف �سلوك منحنى الاقتران ق كلما زادت‬ ‫قيم �س في الفترة[‪]3،3-‬‬ ‫ال�سكل (‪)10-3‬‬ ‫لاحظ من خلال ال�سكل (‪ )10-3‬ما ي أاتي‪:‬‬ ‫‪ )1‬في الفترة [‪ ]0 ،3-‬كلما زادت قيم �س زادت قيم ق(�س)‪ ،‬وفي هذه الحالة يكون ق متزاي ًدا‬ ‫على الفترة[‪ ]0 ،3-‬مث ًلا ‪ 1- < 2-‬واأي ً�سا ق (‪ < )2-‬ق (‪.)1-‬‬ ‫‪ )2‬وفي الفترة [ ‪ ]1 ،0‬كلما زادت قيم �س نق�ست قيم ق(�س)‪ ،‬وفي هذه الحالة يكون ق متناق ً�سا‬ ‫>‬ ‫‪1‬‬ ‫< ‪ ، 1‬و أاي ً�سا ق (‬ ‫‪1‬‬ ‫على الفترة [ ‪]1 ،0‬‬ ‫(‪.)1‬‬ ‫ق‬ ‫)‬ ‫مث ًلا‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )3‬في الفترة [ ‪ ]3 ،1‬كلما زادت قيم �س بقيت قيم ق(�س) ثابتة‪ ،‬وفي هذه الحالة يكون ق ثاب ًتا‬ ‫‪3‬‬ ‫> ‪ ،2‬ولكن ق (‬ ‫‪3‬‬ ‫على الفترة [ ‪ ]3 ،1‬مث ًلا‬ ‫) = ق(‪.)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اإذاكانق(�س)اقترا ًنامع َّر ًفاعلىالفترة[ أا‪،‬ب]وكان�س‪�،1‬س‪ [ 2‬اأ‪،‬ب]‪،‬عندئ ٍذيكونالاقترانق‪:‬‬ ‫‪ )1‬متزاي ًدا على الفترة [ أا ‪ ،‬ب] إاذا كان ق(�س‪ < )1‬ق(�س‪ )2‬لك ِّل �س‪� <1‬س‪2‬‬ ‫‪ )2‬متناق ً�سا على الفترة [ اأ ‪ ،‬ب] إاذا كان ق(�س‪ > )1‬ق(�س‪ )2‬لك ِّل �س‪� <1‬س‪2‬‬ ‫‪ )3‬ثاب ًتا على الفترة [ اأ ‪ ،‬ب] اإذا كان ق(�س‪ = )1‬ق(�س‪ )2‬لك ِّل �س‪� <1‬س‪2‬‬ ‫ومن التعريف لاحظ أا َّن الاقتران ق يكون متزاي ًدا عندما ي�سعد منحناه إالى الاأعلى كلما تحركت‬ ‫�س إالى اليمين‪ ،‬ويكون متناق ً�سا عندما يهبط منحناه إالى اأ�سفل كلما تحركت �س اإلى اليمين‪.‬‬ ‫‪179‬‬

‫ال�سكل (‪)11-3‬‬ ‫في ال�سكل (‪ )11-3‬إاذا ر�سمت مما�ًّسا لمنحنى ق في‬ ‫الفترة (‪ )0،3-‬تجد اأ َّن المما� َّس ي�سنع زاوية حادة (هـ‪)1‬‬ ‫مع الاتجاه الموجب لمحور ال�سينات‪.‬‬ ‫ومنه ظاهـ‪ ،0 > 1‬ماذا تتوقع أان تكون إا�سارة ق(�س)؟َ‬ ‫واإذا ر�سمت مما�ًّسا لمنحنى ق في الفترة (‪ )3،0‬نجد أا َّن‬ ‫المما�س ي�سنع زاوية منفرجة (هـ‪ )2‬مع الاتجاه الموجب‬ ‫لمحور ال�سنات‪.‬‬ ‫ومنه ظاهـ‪ ،0 <2‬ماذا تتوقع اأن تكون إا�سارة ق(�س)؟َ‬ ‫‪ájô¶f‬‬ ‫اإذا كان ق(�س) اقترا ًنا مت�س ًلا على الفترة [ اأ‪،‬ب]‪ ،‬وقاب ًلا للا�ستقاق على الفترة ( أا‪،‬ب) وكان‪:‬‬ ‫‪ )1‬ق(�س) > ‪ ،0‬لجميع قيم �س ( أا ‪ ،‬ب)‪ ،‬ف إا َّن ق(�س) يكون متزاي ًدا على الفترة [ اأ ‪ ،‬ب]‪.‬‬ ‫‪ )2‬ق(�س) < ‪ ،0‬لجميع قيم �س (اأ ‪ ،‬ب)‪ ،‬ف إا َّن ق(�س) يكون متناق ً�سا على الفترة [ اأ ‪ ،‬ب]‪َ.‬‬ ‫‪ )3‬ق (�س) = ‪ ،0‬لجميع قيم �س ( أا ‪ ،‬ب)‪ ،‬فاإ َّن ق(�س) يكون ثاب ًتا على الفترة [ اأ ‪ ،‬ب]‪ََ.‬‬ ‫يمكنك من خلال هذه النظرية تحديد فترات التزايد والتناق�س للاقتران ق‪ ،‬وذلك ب إايجاد الم�ستقة‬ ‫ال أاولى للاقتران ق ‪ ،‬ودرا�سة اإ�سارتها كما في الاأمثلة ال آاتية‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫حدد فترات التزايد وفترات التناق�س للاقتران ق(�س) = �س‪�3 - 3‬س ‪� ،‬س [‪]2 ، 2-‬‬ ‫الحل‬ ‫ق اقترانمت�سلعلىالفترة[‪]2، 2-‬وقابلللا�ستقاقعلىالفترة(‪)2،2-‬لاأ َّنهعلى�سورةكثيرحدود‬ ‫ق(�س) = ‪�3‬س‪ ،3 - 2‬ق(�س) =‪ ،0‬عندما ‪�(3‬س ‪�()1-‬س ‪َ َ0= )1 +‬‬ ‫∴ �س = ‪� ،1-‬س = ‪1‬‬ ‫الجدول (‪)1-3‬‬ ‫يبين الجدول (‪ )1-3‬إا�سارة ق(�س)‪َ،‬‬ ‫وبتطبيق النظرية أاعلاه تجد أا َّن‪:‬‬ ‫‪180‬‬

‫‪ )1‬ق(�س) >‪ 0‬على الفترة (‪ ،)1- ، 2-‬والفترة (‪ )2 ، 1‬وعليه يكون ق(�س) اقترا ًنا متزاي ًدا على‬ ‫الفترتين [‪َ.]2 ، 1[ ، ]1- ، 2-‬‬ ‫‪ )2‬ق(�س) < ‪ 0‬على الفترة (‪ )1 ، 1-‬وعليه يكون ق(�س) اقترا ًنا متناق ً�صا على الفترة [‪َ]1 ، 1-‬‬ ‫والجدول (‪ )1-3‬يو�ضح إ��شارة ق(�س) وفترات تزايد الاقتران ق‪ ،‬ويعبر عن التزايد بالرمز ( )‪َ،‬‬ ‫كما يو�ضح الجدول فترات تناق�ص الاقتران ق‪ ،‬ويعبر عن التناق�ص بالرمز ( )‪.‬‬ ‫لاحظ �أ َّنه لتحديد �إ�شارة الم�شتقة الأولى على فترة معينة بين نقطتين حرجتين؛ تقوم باختبار إ��شارة‬ ‫الم�شتقة الأولى عند �أي قيمة داخل الفترة وما تح�صل عليه من إ��شارة لهذه القيمة يمثل إ��شارة الم�شتقة‬ ‫الأولى على كل هذه الفترة‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫حدد فترات التزايد وفترات التناق�ص للاقتران ق(�س) = ‪�3‬س‪� -2‬س‪2-3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫حدد فترات التزايد وفترات التناق�ص للاقتران ق(�س) = جتا�س‪� ،‬س [‪] π2 ، 0‬‬ ‫الحل‬ ‫ق اقتران مت�صل على الفترة [‪ ] π2 ، 0‬وقابل للا�شتقاق على الفترة (‪)π2 ، 0‬‬ ‫الجدول (‪)2-3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫= ‪ -‬جا�س‬ ‫َق(�س)‬ ‫=‪ ،0‬عندما‬ ‫َق(�س)‬ ‫والجدول (‪ )2-3‬يبين إ��شارة ق(�س)‪ ،‬وبتطبيقَ‬ ‫اختبار الم�شتقة الأولى في التزايد والتناق�ص تكون‪:‬‬ ‫ق(�س) < ‪ ،0‬لك ٍّل �س (‪ )π ، 0‬وعليه يكونَ‬ ‫ق(�س) اقترا ًنا متناق ً�صا على الفترة [‪] π ، 0‬‬ ‫ق(�س) >‪ ،0‬لك ٍّل �س ( ‪َ.) π 2 ، π‬‬ ‫وعليه يكون ق(�س) اقترا ًنا متزاي ًدا على الفترة[ ‪.] π 2 ، π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫حدد فترات التزايد وفترات التناق�ص للاقتران ق(�س) = جا‪�2‬س‪� ،‬س [ ‪.] π 2 ، 0‬‬ ‫‪181‬‬

‫‪3‬‬ ‫حدد فترات التزايد وفترات التناق�ص للاقتران‪ :‬ق(�س) = ‪� 3‬س‪�6 - 3‬س‪2‬‬ ‫الحل‬ ‫ق اقتران مت�صل على ح‪.‬‬ ‫�س‪�4-2‬سَ‬ ‫‪�( 3‬س‪�6 -3‬س‪2)2‬‬ ‫ق (�س) =‬ ‫ق(�س) =‪0‬عندما الب�سط =‪َ،0‬‬ ‫ومنه �س‪�4 - 2‬س=‪� ،0‬أي �أن �س = ‪� ، 4‬س = ‪ 0‬تهمل (لماذا؟)‬ ‫ق (�س) غير موجودة عند �أ�صفار المقام �أي عند �س=‪� ،0‬س=‪َ6‬‬ ‫والجدول (‪ )3-3‬يبين إ��شارة ق(�س)‪ ،‬وبتطبيق اختبار الم�شتقة الأولى في التزايد والتناق�ص تكون‪َ:‬‬ ‫الجدول (‪)3-3‬‬ ‫ق(�س)> ‪ ،0‬لك ِّل �س (‪ ) ∞ ، 4( ،)0، ∞-‬وعليه يكون ق(�س) اقترا ًنا متزاي ًدا على الفترتين‬ ‫(‪َ) ∞ ، 4[ ،]0، ∞-‬‬ ‫ق(�س)<‪ ،0‬لك ِّل �س (‪ )4،0‬وعليه يكون ق(�س) اقترا ًنا متناق ً�صا على الفترة [‪َ.]4،0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫حدد فترات التزايد وفترات التناق�ص للاقتران‪ :‬ق(�س) = ‪� 3‬س ‪� ، 1-‬س ح‪.‬‬ ‫‪� ،‬س≤‪0‬‬ ‫�س‪�6+2‬س‪4+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪� < 0 ،‬س<‪1‬‬ ‫[�س‪]4+‬‬ ‫|‪�3‬س‪|1+‬‬ ‫إ�ذا كان ق(�س) =‬ ‫‪�≤ 1 ،‬س‬ ‫‪182‬‬

‫فحدد فترات التزايد وفترات التناق�ص للاقتران ق على مجاله‪.‬‬ ‫�س‪�6+2‬س‪� ، 4+‬س≤‪0‬‬ ‫الحل‬ ‫‪� < 0 ،‬س<‪1‬‬ ‫�أعد تعريف الاقتران ق(�س) = ‪4‬‬ ‫‪�≤ 1 ،‬س‬ ‫‪�3‬س‪1+‬‬ ‫ق(�س) اقتران مت�صل على ح‬ ‫‪�2‬س‪� ، 6+‬س<‪0‬‬ ‫َق(�س) =‬ ‫‪� < 0 ، 0‬س<‪1‬‬ ‫‪�< 1 ، 3‬س‬ ‫غير موجودة ‪� ،‬س = ‪� ، 0‬س = ‪1‬‬ ‫تكون ق(�س) غير موجودة عندما �س =‪� ،0‬س =‪َ1‬‬ ‫ق(�س) =‪ ،0‬عندما ‪�2‬س‪ ،0=6+‬أ�ي �أ َّن �س = ‪َ3-‬‬ ‫الجدول (‪)4-3‬‬ ‫والجدول (‪ )4-3‬يبين إ��شارة ق(�س)‪ ،‬وبتطبيق اختبار الم�شتقة الأولى في التزايد والتناق�ص تكون‪:‬‬ ‫ق(�س) <‪ ،0‬لك ِّل �س ( ‪ )3- ، ∞-‬وعليه يكون ق(�س) اقترا ًنا متناق ً�صا على الفترة (‪َ]3- ، ∞-‬‬ ‫ق(�س) >‪ ،0‬لك ِّل �س (‪ )∞ ، 1( ،)0 ، 3-‬وعليه يكون ق(�س) اقترا ًنا متزاي ًدا على الفترتينَ‬ ‫[‪َ)∞ ، 1[ ، ]0 ، 3-‬‬ ‫ق(�س) = ‪ ،0‬لك ِّل �س (‪ )1 ، 0‬وعليه يكون ق(�س) اقترا ًنا ثاب ًتا على الفترة [‪َ]1 ، 0‬‬ ‫‪183‬‬

‫‪ )1‬ح ِّدد فترات التزايد وفترات التناق�س لك ٍّل من الاقترانات ال آاتية‪:‬‬ ‫‪� ،‬س ح‪.‬‬ ‫أا ) ق(�س) = ‪�4‬س‪� -‬س‪2‬‬ ‫‪� ،‬س [‪]5 ، 5-‬‬ ‫ب) ق(�س) = |�س‪|9-2‬‬ ‫‪� ،‬س [‪] π 2 ، 0‬‬ ‫جـ) ق(�س) = جتا‪�2‬س‬ ‫‪� ،‬س ح‪.‬‬ ‫د ) ق(�س) = (‪� -1‬س)‪3‬‬ ‫‪� ،‬س ح‪.‬‬ ‫هـ) ق(�س) = (‪� -2‬س)‪4‬‬ ‫‪� ،‬س [‪]5 ، 5-‬‬ ‫و ) ق(�س) = ‪� - 25‬س‪2‬‬ ‫‪� ،‬س ح‪.‬‬ ‫ز ) ق(�س) = ‪�( 3‬س‪2)4-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫[‪] π 2 ، 0‬‬ ‫�س‬ ‫‪،‬‬ ‫جتا ‪�2‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫ح ) ق(�س) = جتا �س ‪-‬‬ ‫‪� ،‬س ≤ ‪1‬‬ ‫‪� - 3‬س‪2‬‬ ‫•) ق(�س) =‬ ‫‪� ،‬س > ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫�س‬ ‫‪� - 4‬س‪� ، 3‬س < ‪1‬‬ ‫ي) ق(�س) =‬ ‫‪3‬‬ ‫‪� ،‬س ≤ ‪1‬‬ ‫�س‬ ‫‪ )2‬يمثل ال�سكل (‪ )12-3‬منحنى اقتران‬ ‫الم�ستقة الاأولى للاقتران ق‪،‬حدد فترات التزايد‬ ‫وفترات التناق�س للاقتران ق‪.‬‬ ‫ال�سكل (‪)12-3‬‬ ‫‪ )3‬اإذا كان ق(�س) اقترا ًنا مت�س ًلا على الفترة [اأ ‪ ،‬ب] وقاب ًلا للا�ستقاق على الفترة ( أا ‪ ،‬ب) وكان‬ ‫ق(�س) > ‪ ،0‬لك ِّل �س (اأ ‪ ،‬ب)‪ ،‬وكان هـ (�س) = ق(�س) ‪� +‬س‪ ،3‬ف أاثبت أا َّن هـ (�س) متزايد‬ ‫على الفترة [اأ ‪ ،‬ب]‪َ.‬‬ ‫‪184‬‬

‫‪Extreme Values‬‬ ‫ﺛﺎﻟ ًﺜﺎ ‪iƒ°ü≤dG º«≤dG‬‬ ‫حدد النقط الحرجة والقيم الق�سوى ( إان ُوجدت) للاقتران ق(�س) = |‪� -1‬س‪�، |2‬س [‪.]4 ،3-‬‬ ‫مــن خــلال تــاأمــل ال�سكل (‪ )13-3‬الـــذي يمثل‬ ‫منحنىالاقتــران ق(�س) = ‪�4‬س ‪� -‬س‪� ،3‬س [‪، ]3 ، 3-‬‬ ‫يمكنك التحقق من اأ َّن‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أاكبر قيمة للاقتران ق(�س) في فترة مفتوحة‬ ‫هي‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫ق(‬ ‫‪)1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Y‬ظ‪≈ª‬‬ ‫‪ª«b‬ة‬ ‫ت�سمى‬ ‫القيمة‬ ‫هذه‬ ‫ومثل‬ ‫‪،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫حول العدد‬ ‫‪«∏‬ة للاقتران ق‪.‬‬ ‫ال�سكل (‪)13-3‬‬ ‫‪ )2‬ق(‪ )3-‬هي اأكبر قيمة للاقتران ق(�س) في الفترة [‪،]3 ، 3-‬‬ ‫ومثل هذه القيمة ت�سمى ‪ª«b‬ة ‪Y‬ظ‪ ≈ª‬م‪≤∏£‬ة للاقتران ق‪.‬‬ ‫القيمة‬ ‫هذه‬ ‫ومثل‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫العدد‬ ‫حول‬ ‫مفتوحة‬ ‫فترة‬ ‫في‬ ‫ق(�س)‬ ‫للاقتران‬ ‫قيمة‬ ‫أا�سغر‬ ‫هي‬ ‫)‬ ‫‪2-‬‬ ‫(‬ ‫ق‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ت�سمى ‪ª«b‬ة ‪«∏ iô¨°U‬ة للاقتران ق‪.‬‬ ‫‪ )4‬ق(‪ )3‬هي اأ�سغر قيمة للاقتران ق(�س) في الفترة [‪ ،]3 ، 3-‬ومثل هذه القيمة ت�سمى ‪ª«b‬ة‬ ‫‪ iô¨°U‬م‪≤∏£‬ة للاقتران ق‪.‬‬ ‫‪º∏q ©J‬‬ ‫ت�سمى القيم العظمى المحلية وال�سغرى المحلية للاقتران ‪ªk «b‬ا ‪«∏ iƒ°üb‬ة‪ ،‬كذلك ت�سمى القيم العظمى‬ ‫المطلقة وال�سغرى المطلقة للاقتران ‪ªk «b‬ا ‪ iƒ°üb‬م‪≤∏£‬ة‪.‬‬ ‫‪fh ôµa‬ا‪¢ûb‬‬ ‫معتم ًدا ال�سكل ال�سابق (‪ ،)14-3‬ما العلاقة بين النقط الحرجة للاقتران ق وقيمه الق�سوى؟‬ ‫‪185‬‬

‫إاذا كان ق(�س) اقترا ًنا مع َّر ًفا على الفترة [ اأ ‪ ،‬ب]‪ ،‬وكان �س‪ [ 1‬أا ‪ ،‬ب]‪ ،‬ف إا َّن‪:‬‬ ‫‪ )1‬ق(�س‪ª«b )1‬ة ‪Y‬ظ‪«∏ ≈ª‬ة للاقتران ق‪ ،‬اإذا ُوجدت فترة مفتوحة (ف) تحوي �س‪ ،1‬وكان‬ ‫ق(�س‪ ≤ )1‬ق(�س) لجميع قيم �س ف‪.‬‬ ‫‪ )2‬ق(�س‪ª«b )1‬ة ‪«∏ iô¨°U‬ة للاقتران ق‪ ،‬اإذا ُوجدت فترة مفتوحة (ف) تحوي �س‪ ،1‬وكان‬ ‫ق(�س‪ ≤ )1‬ق(�س) لجميع قيم �س ف‪.‬‬ ‫‪ )3‬ق(�س‪ª«b )1‬ة ‪Y‬ظ‪ ≈ª‬م‪≤∏£‬ة للاقتران ق‪ ،‬إاذا كان ق(�س‪ ≤ )1‬ق(�س) لجميع قيم �س [ اأ ‪ ،‬ب]‪.‬‬ ‫‪ )4‬ق(�س‪ª«b )1‬ة ‪ iô¨°U‬م‪≤∏£‬ة للاقتران ق‪،‬اإذا كان ق(�س‪ ≤ )1‬ق(�س) لجميع قيم �س [ اأ ‪ ،‬ب]‪.‬‬ ‫‪ájô¶f‬‬ ‫اإذا كان ق(�س) اقترا ًنا مع َّر ًفا على الفترة [ أا ‪ ،‬ب] وكانت ق(جـ) قيمة ق�سوى للاقتران ق‬ ‫حيث جـ [ أا ‪ ،‬ب]‪ ،‬ف إا َّن ق(جـ) غير موجودة اأو ق (جـ)=‪َ َ0‬‬ ‫‪ájô¶f‬‬ ‫نظرية (اختبار الم�ستقة الاأولى للقيم الق�سوى)‬ ‫اإذا كان ق(�س) اقترا ًنا مت�س ًلا على الفترة [ اأ ‪ ،‬ب]‪ ،‬وقاب ًلا للا�ستقاق على الفترة (اأ ‪ ،‬ب)‬ ‫وكانت النقطة (جـ ‪ ،‬ق(جـ)) نقطة حرجة للاقتران ق‪ ،‬حيث جـ (اأ‪،‬ب) عندئ ٍذ‪:‬‬ ‫‪ )1‬إاذا كان ق(�س) ≤ ‪ 0‬لك ِّل �س < جـ وكان ق(�س) ≤ ‪ 0‬لك ِّل �س > جـ ‪ ،‬ف إا َّن‪َ َ:‬‬ ‫ق(جـ) تكون ‪ª«b‬ة ‪Y‬ظ‪«∏ ≈ª‬ة للاقتران ق‪.‬‬ ‫‪ )2‬إاذا كان ق(�س) ≤ ‪ 0‬لك ِّل �س < جـ وكان ق(�س) ≤ ‪ 0‬لك ِّل �س > جـ ‪ ،‬فاإ َّن‪َ َ:‬‬ ‫ق(جـ) تكون ‪ª«b‬ة ‪«∏ iô¨°U‬ة للاقتران ق‪.‬‬ ‫‪186‬‬

‫وا ألمثلة الآتية تو�ضح ذلك‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جدالنقطالحرجةوالقيمالق�صوى(�إنوجدت)للاقترانق(�س) = �س‪�3 -3‬س‪� ،1 + 2‬س [‪.]4، 2-‬‬ ‫الحل‬ ‫لاح��ظ أ� َّن الاق�تران ق كث�ير حدود؛ فهو مت�ص��ل على الف�ترة [‪ ،]4 ، 2-‬وقاب��ل للا�شتقاق على‬ ‫الفترة(‪ )4 ،2-‬حيث‬ ‫ق(�س) = ‪�3‬س‪�6 - 2‬سَ‬ ‫ق(�س) = ‪� 0‬إذن ‪�3‬س‪�6 - 2‬س =‪َ0‬‬ ‫‪�3‬س(�س‪� ،0= )2-‬أي عندما �س = ‪� ، 0‬س =‪2‬‬ ‫وتكون ق(�س) غير موجودة‪ .‬عندما يكون �س = ‪� ،2-‬س =‪( 4‬طرفيَ ْ فترة)‪َ.‬‬ ‫ومن الجدول (‪ ،)5-3‬وبتطبيق اختبار الم�شتقة ا ألولى للقيم الق�صوى عند قيم �س التي يوجد‬ ‫الجدول (‪)5-3‬‬ ‫عندها نقط حرجة للاقتران ق‪.‬‬ ‫تجد �أ َّن للاقتران ق‪:‬‬ ‫قيمة عظمى محلية عند �س =‪ 0‬وهي ق(‪1 = )0‬‬ ‫قيمة �صغرى محلية عند �س = ‪ 2‬وهي ق(‪3- = )2‬‬ ‫قيمة عظمى مطلقة عند �س =‪ 4‬وهي ق(‪ ( 17 = )4‬طرف فترة ولا تعتبر قيمة عظمى محلية )‬ ‫قيمة �صغرى مطلقة عند �س = ‪ 2-‬وهي ق(‪( 19- = )2-‬طرف فترة ولا تعتبر قيمة �صغرى محلية)‬ ‫‪1‬‬ ‫حدد النقط الحرجة والقيم الق�صوى ( إ�ن وجدت) للاقتران ق(�س) = ‪�6‬س‪� -2‬س‪�9 -3‬س ‪،2 +‬‬ ‫�س [‪.]5 ، 1-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫حدد النقط الحرجة والقيم الق�صوى (�إن وجدت) للاقتران ق(�س) =‪�4‬س‪� -‬س‪1+2‬‬ ‫‪187‬‬

‫الحل‬ ‫ق(�س) كثير حدود مت�صل وقابل للا�شتقاق على ح‪.‬‬ ‫يكون للاقتران نقط حرجة عند ق(�س) =‪ ،0‬ق(�س) = ‪�2-4‬س=‪َ َ0‬‬ ‫ومنه �س= ‪2‬‬ ‫إ�ذن النقطة الحرجة هي (‪)5 ، 2‬‬ ‫الجدول (‪)6-3‬‬ ‫ومنالجدول(‪،)6-3‬الذييو�ضح إ��شارةق(�س)َ‬ ‫وح�سب اختبار الم�شتقة ا ألولى للقيم الق�صوى‬ ‫تجد �أ َّن للاقتران ق‪ :‬قيمة عظمى محلية‪ ،‬ومطلقة‬ ‫عند �س= ‪ 2‬وهي ق(‪. 5 = )2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ُح َّل الم�س�ألة الواردة في بداية الدر�س‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫جتا‪�3‬س‪،‬‬ ‫جد القيم الق�صوى المحليه والمطلقة (�إن ُوجدت) للاقتران ق(�س) = جتا�س ‪-‬‬ ‫�س [‪]π2 ، 0‬‬ ‫الحل‬ ‫ق(�س) مت�صل على الفترة [‪ ،] π2 ،0‬وقابل للا�شتقاق لك ٍّل �س (‪) π 2،0‬‬ ‫حيث ق(�س) = ‪-‬جا�س ‪ +‬جتا‪�2‬س جا�سَ‬ ‫(لماذا؟)‬ ‫ق(�س) = ‪-‬جا‪ �3‬سَ‬ ‫جد النقط الحرجة للاقتران وادر�س إ��شارة الم�شتقة ا ألولى حولها تجد أ� َّن‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪π‬‬ ‫ق(�س) =‪ 0‬عندما ‪ -‬جا‪�3‬س=‪ ،0‬ومنه �س= ‪π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ق(�س) غير موجودة عند �س= ‪ََπ 2 ، 0‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪، π2( ،‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫�إذن النقط الحرجة للاقتران ق هي‪، 0( :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪188‬‬

‫الجدول (‪)7-3‬‬ ‫ومن الجدول (‪ )7-3‬الذي يو�ضح �إ�شارة ق(�س)َ‬ ‫وبتطبيق اختبار الم�شتقة ا ألولى للقيم الق�صوى نجد �أ َّن للاقتران ق‪:‬‬ ‫قيمة �صغرى محلية ومطلقة عند �س= ‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫هي ق( ‪- = )π‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫هي‬ ‫وقيمة عظمى مطلقة عند �س = ‪π 2 ، 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫جد القيم الق�صوى المحلية ( إ�ن وجدت) للاقتران ق(�س) = �س ‪2 +‬جا�س‪� ،‬س [‪. ]π ، 0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫معتم ًدا ال�شكل (‪ )14-3‬الذي يمثل منحنى الم�شتقة ا ألولى للاقتران كثير الحدود ق المعرف على‬ ‫الفترة [‪ ،]3 ،3-‬جد ك ًّال مما ي�أتي‪:‬‬ ‫‪¢U‬‬ ‫‪(¢S)¥‬‬ ‫‪ )1‬مجموعة قيم �س الحرجة للاقتران ق‪.‬‬ ‫‪3- 2- 1-‬‬ ‫‪1 2 3 ¢S‬‬ ‫‪ )2‬مجالات التزايد والتناق�ص للاقتران ق‪.‬‬ ‫‪ )3‬قيم �س التي يكون للاقتران عندها قيم ق�صوى محلية ‪ .‬‬ ‫الحل‬ ‫ال�شكل (‪)14-3‬‬ ‫‪ )1‬للاقتران ق نقط حرجة عندما ق(�س) =‪� 0‬أو غير موجودةَ‬ ‫�أي عندما �س = ‪� ،3-‬س = ‪� ،2-‬س = ‪� ،2‬س = ‪( 3‬لماذا؟)‬ ‫وعليه ف�إ َّن مجموعة قيم �س الحرجة للاقتران ق هي {‪}3،2،2-،3-‬‬ ‫‪ )2‬من جدول الإ�شارات (‪ ،)8-3‬الذي يو�ضح إ��شارة ق(�س) نجد �أ َّن‪َ:‬‬ ‫ق اقتران متناق�ص في الفترتين [‪ ]3 ، 2[ ،]2- ، 3-‬الجدول (‪ )8-3‬‬ ‫ق اقتران متزايد في الفترة [‪]2 ، 2-‬‬ ‫‪ )3‬يوجد للاقتران ق قيمة �صغرى محلية عند �س = ‪2-‬‬ ‫يوجد للاقتران ق قيمة عظمى محلية عند �س = ‪2‬‬ ‫‪189‬‬

:á«J’B G äÉfGÎb’G øe πx µd ,(äóLho ¿EG) á≤∏£ŸGh á«∏ëŸG iƒ°ü≤dG º«≤dG óL (1 ]5 , 0] ¢S , 9 + ¢S6 - 2¢S = (¢S)¥ ( CG ]4 , 4-] ¢S , ¢S12 - 3¢S = (¢S)¥ (Ü ]4 , 0] ¢S , 3(¢S -2) = (¢S)¥ (`L 3 > ¢S ≥ 2- , 1+ 2¢S 5 ≥ ¢S ≥ 3 , 1+ ¢S3 = (¢S)¥ ( O ]3 , 1-] ¢S , |3(1- ¢S)| = (¢S)¥ ( `g ]3 , 0] ¢S , 3¢S 1 - 4¢S 1 = (¢S)¥ (h ]1 , 8-] ¢S , 3 4 2¢S 3 = (¢S)¥ ( R ]π2 , 0] ¢S , ¢SÉL +¢S = (¢S)¥ ( ì ]2 , 2-] ¢S , 3(¢S -1) = (¢S)¥ ( • ]3 , 3-] ¢S , 4(¢S -1) = (¢S)¥ ( … ¿GÎbÓd ¿s CG Úu H ,(3 , 2) á£≤ædG óæY á«∏fi ≈ª¶Y ᪫b (¢S)¥ Ohó◊G Òãc ¿GÎb’ ¿Éc GPEG (2 .(8- , 2) á£≤ædG óæY á«∏fi iô¨°U ᪫b 3((¢S)¥ -1) = (¢S) `g 190

‫‪¢U‬‬ ‫‪ )3‬معتم ًد� �ل�شكل (‪� )15-3‬لذي يمثل منحنى �لم�شتقة‬ ‫‪2 (¢S)¥‬‬ ‫� ألولى للاقتر�ن ق �لمت�شل على �لفترة[‪]2،2-‬‬ ‫جد ك ًّالا مما ي أاتي‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫�أ ) مجموعة قيم �س �لحرجة للاقتر�ن ق‪¢S .‬‬ ‫‪2- 1-‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫ب) مجالت �لتز�يد و�لتناق�س للاقتر�ن ق‪.‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫جـ) قيم �س �لتي يكون للاقتر�ن عندها قيم ق�شوى محلية‪.‬‬ ‫�ل�شكل (‪)15-3‬‬ ‫‪ )4‬يمثل �ل�شكل (‪ )16-3‬منحنى �لم�شتقة � ألولى للاقتر�ن ق �لمع َّرف على ح‪.‬‬ ‫�عتمد على ذلك في إ�يجاد ك ٍّل مما ي أاتي‪:‬‬ ‫�أ ) �لنقط �لحرجة للاقتر�ن ق‪.‬‬ ‫ب) مجالت �لتز�يد و�لتناق�س للاقتر�ن ق‪.‬‬ ‫�ل�شكل (‪)16-3‬‬ ‫جـ) قيم �س �لتي يكون للاقتر�ن عندها قيم ق�شوى محلية‪.‬‬ ‫‪191‬‬

‫‪Concavity‬‬ ‫راﺑ ًﻌﺎ ‪ô©≤àdG‬‬ ‫[‪ ، ] π 2 ، 0‬فجد نقط �لنعطاف‬ ‫�س‬ ‫جا‪�2‬س ‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫�إذ� كان ق(�س) = ‪2‬جتا�س ‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫لمنحنى �لقتر�ن ق‪.‬‬ ‫تعلمت �شاب ًقا بع�س تطبيقات �لم�شتقة � ألولى‪ ،‬مثل‪� :‬إيجاد فتر�ت �لتز�يد و�لتناق�س لمنحنيات‬ ‫�لقتر�نات‪.‬‬ ‫وفي هذ� �لدر�س �شتتعرف بع�س تطبيقات �لم�شتقة �لثانية للاقتر�ن مثل‪ :‬معرفة نوع تقعر منحنى‬ ‫�لقتر�ن‪ ،‬وتعيين نقط �لنعطاف لمنحناه‪ ،‬با إل�شافة إ�لى “ييز �لقيم �لق�شوى للاقتر�ن‪ ،‬و�شيتم تو�شيح‬ ‫ذلك في ما ياأتي‪:‬‬ ‫ق(�س)‬ ‫يبــين �ل�شــكل (‪ )17-3‬منحنــى �لقتر�ن ق‪،‬‬ ‫�لمعــ َّرف على �لفــترة [ أ� ‪ ،‬ب]‪� ،‬لقابــل للا�شتقاق‬ ‫�ل�شكل (‪)17-3‬‬ ‫علــى �لفــترة (�أ ‪ ،‬ب)‪ ،‬ويعنــي ذلــك �أ َّن لمنحنى ق‬ ‫عــد ًد� كبي ًر� مــن �لمما�َّشات على �لفــترة ( أ� ‪ ،‬ب) عند‬ ‫�لنقط (�س‪ ،‬ق(�س))‪ ،‬حيث �س (�أ ‪ ،‬ب)‪.‬‬ ‫لحظ أ� َّن جميع �لمما�شات �لمر�شومة عند �لنقط (�س ‪ ،‬ق(�س))‪ ،‬حيث �س ( أ�‪،‬جـ) تقع جميعها‬ ‫فوق منحنى �لقتر�ن ق‪ .‬ويقال في هذه �لحالة إ� َّن منحنى �لقتر�ن ق(�س) م≤©‪Ø°SCÓd ô‬ل على �لفترة‬ ‫[ �أ ‪ ،‬جـ ]‪.‬‬ ‫ولحظ أ� َّن جميع �لمما�شات �لمر�شومة عند �لنقط (�س ‪ ،‬ق(�س))‪ ،‬حيث �س (جـ ‪ ،‬ب) تقع‬ ‫جميعها تحت منحنى �لقتر�ن ق‪ .‬ويقال في هذه �لحالة �إ َّن منحنى �لقتر�ن ق(�س) م≤©‪YCÓd ô‬ل≈ على‬ ‫�لفترة [جـ ‪ ،‬ب]‪.‬‬ ‫‪192‬‬

‫ليكنق�قتر� ًنامع َّر ًفاعلى�لفترة[ أ� ‪ ،‬ب]‪،‬وقاب ًلاللا�شتقاقعلى�لفترة(�أ‪ ،‬ب)فيكونمنحنىق‪:‬‬ ‫‪ )1‬مقع ًر� للاأ�شفل على �لفترة [ أ� ‪ ،‬ب] �إذ� وقعت جميع مما�شاته فوق منحنى �لقتر�ن ق‬ ‫في �لفترة [ �أ ‪ ،‬ب]‪.‬‬ ‫‪ )2‬مقع ًر� للاأعلى على �لفترة [ �أ ‪ ،‬ب] إ�ذ� وقعت جميع مما�شاته تحت منحنى �لقتر�ن ق‬ ‫في �لفترة [ أ� ‪ ،‬ب]‪.‬‬ ‫وبالرجوع إ�لى �شكل (‪ )17-3‬لحظ أ� َّن منحنى �لقتر�ن ق مقعر للاأ�شفل على �لفترة [�أ‪ ،‬جـ]‪،‬‬ ‫وتجد �أ َّنه كلما ز�د � إلحد�ثي �ل�شيني لنقطة �لتما�س(�س‪ ،‬ق(�س)) َن َق�َس ميل �لمما�س لمنحنى ق عند‬ ‫هذه �لنقطة‪� ،‬أي �أ َّن ق(�س) �قتر�ن متناق�س على �لفترة (�أ ‪ ،‬جـ)‪ ،‬ومنه تكون �إ�شارة ق(�س) �شالبة‬ ‫على (�أ ‪ ،‬جـ)‪� ،‬أي �أ َّن ق(�س) < ‪ ، 0‬لك ِّل �س ( أ� ‪ ،‬جـ)‪ً َ.‬‬ ‫وبالمثل لحظ �أ َّن منحنى �لقتر�ن ق مقعر للاأعلى على �لفترة [جـ ‪ ،‬ب] ‪ ،‬و�أ َّنه كلما ز�دً‬ ‫� إلحد�ثي �ل�شيني لنقطة �لتما�س(�س‪ ،‬ق(�س)) ز�د ميل �لمما�س لمنحنى ق عند هذه �لنقطة‪ ،‬أ�ي‬ ‫أ� َّن ق(�س) �قتر�ن متز�يد على �لفترة (جـ ‪ ،‬ب)‪ ،‬ومنه تكون م�شتقة ق (�س) موجبة على �لفترة‬ ‫(جـ ‪ ،‬ب)‪ ،‬أ�ي أ�ن ق(�س) > ‪ ،0‬لك ِّل �س (جـ ‪ ،‬ب)‪َ َ.‬‬ ‫‪ً ôcòJ‬‬ ‫ميل �لمما�س لمنحنى �لقتر�ن ق عند �س = �س‪ 1‬ي�شاوي ق(�س‪َ.)1‬‬ ‫ق(�س‪ = )1‬ظا هـ ‪ ،‬حيث هـ ز�وية ميل �لمما�س عند �س‪ 1‬مع �لتجاه �لموجب لمحور �ل�شينات‪.‬‬ ‫‪َájô¶f‬‬ ‫( ا‪ QÉÑàN‬ا‪) ô©≤àd‬‬ ‫�إذ� كان ق �قتر� ًنا مت�ش ًلا على �لفترة [ �أ ‪ ،‬ب]‪ ، ،‬وكان ك ٌّل من ق(�س)‪ ،‬ق(�س)‪ ،‬مع ّرفين علىَ ً‬ ‫�لفترة (�أ ‪ ،‬ب) فاإ ّن َه ‪:‬‬ ‫‪ )1‬يكون منحنى �لقتر�ن ق مقع ًر� للاأ�شفل على �لفترة[ �أ ‪ ،‬ب]‪� ،‬إذ� كان ق(�س) < ‪ ، 0‬لك ِّلً‬ ‫�س ( أ� ‪ ،‬ب)‬ ‫‪ )2‬يكون منحنى �لقتر�ن ق مقع ًر� للاأعلى على�لفترة[ �أ ‪ ،‬ب]‪ ،‬إ�ذ� كان ق(�س) > ‪ ، 0‬لك ِّلً‬ ‫�س ( أ� ‪ ،‬ب)‬ ‫‪193‬‬

‫‪1‬‬ ‫إ�ذا كان ق(�س) = �س‪�3 – 3‬س‪�3 + 2‬س ‪ ، 1 +‬جد فترات التقعر للأ�سفل وللأعلى لمنحنى لااقتران ق‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫يمكنك تحديد فترات التقعر ل أل�سفل وللأعلى لمنحنى لااقتران ق ‪ ،‬من خلال إ��شارة م�شتقته الثانية‪.‬‬ ‫ق(�س) = ‪�3‬س‪�6 - 2‬س ‪َ3 +‬‬ ‫ًق(�س) = ‪�6‬س ‪6 -‬‬ ‫وتكون ق(�س) = ‪ ،0‬عندما ‪�6‬س ‪ ،0 = 6 -‬أ�ي أ� َّن �س = ‪ً1‬‬ ‫ومن الجدول (‪ ،) 9-3‬الذي يو�ضح �إ�شارة ق وح�سب اختبار التقعر تجد أ� َّن‪:‬‬ ‫منحنى لااقتران مقعر ل أل�سفل على الفترة (‪ ]1 ، ∞-‬لأ َّن ق(�س) < ‪ً،0‬‬ ‫لكل �س (‪ً .)1 ، ∞-‬‬ ‫الجدول (‪)9-3‬‬ ‫ومقعر للأعلى على الفترة [‪ )∞ ، 1‬أل َّن ق (�س) >‪ً،0‬‬ ‫لك ِّل �س (‪.) ∞ ، 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جد فترات التقعر ل أل�سفل وللأعلى لمنحنى لااقتران ق‪،‬‬ ‫حيث ق(�س) = �س‪�6 – 4‬س‪�12 + 3‬س‪� ،2‬س [‪.]5 ، 5 -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫[‪.]2 ، 2-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫حدد فترات التقعر ل أل�سفل وللأعلى لمنحنى لااقتران ق(�س) = �س ‪� , 5‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫الحل‬ ‫�س ‪َ45-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ق(�س) =‬ ‫‪1‬‬‫*‬‫‪4-‬‬ ‫=‬ ‫�س ‪95-‬‬ ‫‪4-‬‬ ‫=‬ ‫ق(�س)‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪� 5‬س‪ً9‬‬ ‫‪194‬‬

(10-3) ∫hó÷G k0=¢S ∫ƒM (¢S)¥ IQÉ°TGE ∫ÓN øe ßM’ ô©≤e ¥ ≈æëæe ¿s CG (10- 3) ∫hó÷G ‘ πØ°SÓC d ô©≤eh , ]0 , 2-] IÎØdG ≈∏Y≈∏YÓC d ]2 , 0 ] IÎØdG ≈∏Y 2 2 3 .¥ ¿GÎb’G ≈æëæŸ ô©≤àdG ä’É› óL , ¢S =(¢S)¥ øµ«d √ô©≤J √ÉŒG øe Òu ¨j ¥ ≈æëæe ¿s GC â¶M’ ∂fs CG óH ’ Ú≤HÉ°ùdG ,(2) ,(1) ÚdÉãŸG ∫ÓN øe ‘ (2 , 1) á£≤ædG ∫ƒM ≈∏YCG ≈dGE πØ°SGC øe √ô©≤J √ÉŒG Òs Z ó≤a ;¬dÉ› ‘ á£≤f ∫ƒM ,(2) ∫ÉãŸG ‘ (0 , 0) á£≤ædG ∫ƒM πØ°SGC ≈dEG ≈∏YGC øe √ô©≤J √ÉŒG Òs Z ¬fs GC ɪc ,(1)∫ÉãŸG .±É£©fG án £≤f É¡dƒM √ô©≤J √ÉŒG ¥ ¿GÎb’G Ò¨j »àdG §≤ædG √òg øe πw c ≈ª°ùJh ∞jô`©J √ÉŒG Ò¨j ¥ ≈æëæe ¿Éch ,1¢S …ƒ– áMƒàØe IÎa ≈∏Y Ók °üàe Éfk GÎbG ¥ ¿Éc GPGE .¥ ≈æëæŸ ±É£©fG á£≤f ≈ª°ùJ ((1¢S)¥ ,1¢S) á£≤ædG ¿s ÉE a 1¢S óæY √ô©≤J 3 :å«M ¥ ≈æëæŸ ±É£©f’G §≤f óL ì ¢S , 1 + 2¢S6 – 4¢S = (¢S) ¥ π◊G ì ¢S πu µd π°üàe ƒ¡a ;OhóM Òãc ¥ ¿GÎb’G :å«M ì ¢S πu µd Úàaôs ©e ¥ , ¥ ¿ƒµJh k n¢S12 – 3¢S4 = (¢S)¥ n12 – 2¢S12 = (¢S)¥ k k0=12 – 2¢S12 ÉeóæY 0 = (¢S) ¥ ¿ƒµJh 1 = ¢S ,1- =¢S ¬æeh ,0= (1 + ¢S)(1 - ¢S)12 ¬æeh 195

‫الجدول (‪)11-3‬‬ ‫ومن خلال درا�سة �إ�شارة ق فيً‬ ‫الجدول (‪ )11- 3‬نلاحظ �أ َّن ق‬ ‫يغير اتجاه تقعره عند �س= ‪،1-‬‬ ‫وعند �س = ‪ ،1‬لذلك ف إ� َّن‪:‬‬ ‫(‪ )4- ،1( ،)4- ،1-‬نقطتا انعطاف‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫إ�ذا كان ق(�س) = ‪�6‬س‪� – 3‬س‪ ،4‬فجد نقط لاانعطاف لمنحنى لااقتران ق (�إن ُوجدت)‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫جد قيم �س التي يكون لمنحنى لااقتران ق عندها نقط انعطاف‪ ،‬حيث‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫[‪]π 2 ، 0‬‬ ‫�س‬ ‫جا‪�2‬س‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ق(�س) = ‪2‬جا�س‪+‬‬ ‫الحل‬ ‫ق(�س) مت�صل على الفترة [‪ ، ]π 2 ،0‬وقابل للا�شتقاق على الفترة (‪)π 2 ،0‬‬ ‫لايجاد نقط لاانعطاف جد ق لتحديد فترات التقعر ألعلى و أل�سفل‪ً.‬‬ ‫ق (�س) = ‪2‬جتا�س ‪ +‬جتا‪�2‬سَ‬ ‫الجدول (‪)12-3‬‬ ‫ق (�س) = ‪2-‬جا�س ‪2-‬جا‪�2‬سً‬ ‫وتكون ًق (�س) = ‪0‬‬ ‫�إذن ‪2-‬جا�س ‪2-‬جا‪�2‬س = ‪0‬‬ ‫‪2-‬جا�س ‪4-‬جا�س جتا�س = ‪0‬‬ ‫‪2-‬جا�س( ‪2 + 1‬جتا�س) =‪0‬‬ ‫‪π4‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪π2‬‬ ‫�س=‬ ‫�أو‬ ‫‪،‬‬ ‫لماذا ؟)‬ ‫�إما ‪2-‬جا�س =‪ 0‬أ�و ‪2 + 1‬جتا�س=‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ومنه‪� ،‬س=‪ ( π 2 ، π ،0‬ترف�ض القيم ‪π2 ،0‬‬ ‫ومن خلال درا�سة �إ�شارة ق (�س) في الجدول (‪ )12 - 3‬لاحظ �أ َّن منحنىق يغير اتجاه تقعره عندً‬ ‫عند‬ ‫انعطاف‬ ‫نقط‬ ‫ثلاث‬ ‫ق‬ ‫للاقتران‬ ‫ف�إ َّن‬ ‫لذلك‬ ‫‪،‬‬ ‫‪π4‬‬ ‫�س = ‪� ، π‬س =‬ ‫‪،‬‬ ‫‪π2‬‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫‪π34‬‬ ‫�س = ‪� ، π‬س =‬ ‫‪،‬‬ ‫‪π32‬‬ ‫=‬ ‫�س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪196‬‬

‫‪4‬‬ ‫ُح َّل �لم�شاألة �لو�ردة في بد�ية �لدر�س‪.‬‬ ‫بالإ�شافة إ�لى �لتطبيقات �ل�شابقة ُت�شتخدم �إ�شارة �لم�شتقة �لثانية للاقتر�ن ق في “ييز �لقيم �لق�شوى‬ ‫�لمحلية للاقتر�ن‪ ،‬و�لنظرية �لآتية تو�شح ذلك‪.‬‬ ‫�ختبار �لم�شتقة �لثانية للقيم �لق�شوى �لمحلية‪:‬‬ ‫علىفر�س�أ َّن�لم�شتقة� ألولىق(�س)‪،‬و�لم�شتقة�لثانيةق(�س)‪،‬للاقتر�نق(�س)مع َّرفتانعند�س‪ ( 1‬أ�‪،‬ب)عندئ ‪m‬ذ‪:‬‬ ‫‪ )1‬إ�ذ� كان ق(�س‪ ،0= )1‬و ق(�س‪ ،0 > )1‬ف إا َّن للاقتر�ن ق قيمة �شغرى محلية عند �س‪ 1‬هي ق(�س‪ً َ)1‬‬ ‫‪ )2‬إ�ذ� كان ق(�س‪ ،0= )1‬و ق(�س‪ ،0 < )1‬ف إا َّن للاقتر�ن ق قيمة عظمى محلية عند �س‪ 1‬هي ق(�س‪َ ًً ََ)1‬‬ ‫‪ )3‬إ�ذ� كان ق(�س‪ ،0= )1‬و ق(�س‪ ، 0= )1‬فاإ َّن �لختبار يف�شل‪ ،‬فنبحث عن �لقيم �لق�شوىَ ً‬ ‫�لمحلية با�شتخد�م �ختبار �لم�شتقة �لأولى‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫إ�ذ� كان ق(�س) = �س‪�3 – 3‬س‪َ 2 + 2‬فجد �لقيم �لق�شوى �لمحلية للاقتر�ن ق با�شتخد�م �ختبار‬ ‫�لم�شتقة �لثانية‪.‬‬ ‫الحل‬ ‫ق(�س) = ‪�3‬س‪�6 – 2‬س‬ ‫وتكون ق(�س) = ‪� 0‬إذ� كان ‪�3‬س‪�6 – 2‬س =‪ 0‬أ�ي أ� َّن ‪�3‬س(�س ‪ 0= )2-‬ومنه‪� ،‬س=‪� ،0‬س=‪َ َ2‬‬ ‫�إذن للاقتر�ن ق نقطتان حرجتان هما‪)2- ، 2( ،)2 ، 0( :‬‬ ‫ق(�س) = ‪�6‬س ‪ ،6-‬وح�شب �ختبار �لم�شتقة �لثانية نجد �أ َّن‪:‬‬ ‫ق (‪ ، 0 < 6- = )0‬إ�ذن للاقتر�ن ق قيمة عظمى محلية عند �س =‪ 0‬هي ق(‪ً2 = )0‬‬ ‫ق (‪� 0 > 6 = )2‬إذن للاقتر�ن ق قيمة �شغرى محلية عند �س = ‪ 2‬هي ق(‪ً2- = )2‬‬ ‫‪ً5‬‬ ‫ليكن ق(�س) = �س‪�12 – 3‬س ‪ ،3 +‬جد �لقيم �لق�شوى �لمحلية للاقتر�ن ق با�شتخد�م �ختبار‬ ‫�لم�شتقة �لثانية‪.‬‬ ‫‪197‬‬

‫‪ )1‬حدد فتر�ت �لتقعر �إلى �لأعلى و�لتقعر �إلى �لأ�شفل لك ٍّل من منحنيات �لقتر�نات �لآتية‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫أ� ) ق(�س)= �س ‪+‬‬ ‫�س‬ ‫‪� ،‬س [‪]4،4-‬‬ ‫ب) ق(�س)= ‪� - 16‬س‪2‬‬ ‫‪� ،‬س < ‪2‬‬ ‫�س‪1-2‬‬ ‫‪� ،‬س ≤ ‪2‬‬ ‫جـ)ق(�س) = ‪� -5‬س‬ ‫د ) هـ (�س) = �س�‪-‬س‪) (2 1‬‬ ‫هـ) ق(�س) = جتا�س ‪ -‬جا �س‪� ، 1+‬س [‪] π ، 0‬‬ ‫‪ )2‬حدد نقط �لنعطاف ( إ�ن وجدت) لك ٍّل من منحنيات �لقتر�نات � آلتية‪:‬‬ ‫‪� ،‬س ح‬ ‫أ� ) ق(�س) = �س‪�6 -3‬س‪�9+2‬س‪2+‬‬ ‫‪� ،‬س ح‬ ‫‪12‬‬ ‫ب) ق(�س) = �س ‪� - 3‬س ‪3‬‬ ‫‪� ،‬س ح‬ ‫‪3‬‬ ‫جـ) ق(�س) = �س ‪5‬‬ ‫)‬ ‫‪π‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪π‬‬ ‫(‪-‬‬ ‫‪� ،‬س‬ ‫د ) ق(�س) = �س‪ -‬ظا �س‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )3‬جد �لقيم �لعظمى و�لقيم �ل�شغرى �لمحلية لك ٍّل من �لقتر�نات � آلتية‪ ،‬با�شتخد�م �ختبار �لم�شتقة‬ ‫�لثانية‪� ،‬إن �أمكن ذلك‪:‬‬ ‫‪� ،‬س [‪]π 2 ،0‬‬ ‫أ� ) ق(�س) = جا�س – جتا�س‬ ‫‪� ،‬س ح‬ ‫ب) ق(�س) = �س‪4‬‬ ‫جـ) ق(�س) = ‪� | 4‬س ‪� | - |2 -‬س ‪� + |1 +‬س ‪� ،‬س ح‬ ‫‪� ،‬س ≠ ‪٠‬‬ ‫‪128‬‬ ‫د ) ق(�س) = �س‪+ 2‬‬ ‫�س‬ ‫‪198‬‬