ສົມຜົນຈຸນລະຄະນິດ Differential Equations

ມະຫາວິທະຍາໄລສະຫວນັ ນະເຂດ ຄະນະສກຶ ສາສາດ ພາກວຊິ າຄວູ ທິ ະຍາສາດທາມະຊາດ ສົມຜົນຈຸນລະຄະນິດ Differential Equations ສາລບັ ນັກສກຶ ສາສາຂາ: ຄູຟຊີ ກິ ສາດ ລະບົບ 12+4 ຮຽບຮຽງໂດຍ: ນາງ ວິໄລສະຫວນັ ເລືອງລິດ...................................... ກວດແກ້ໂດຍ: ອິນປັນ ພິລາບດຸ .................................................... ກິ ກອງມະນ.ີ ......................................................... ມະຫາວິທະຍາໄລສະຫວັນນະເຂດ ສກົ ສຶກສາ 2022-2023

ຄຳນຳ ເອກະສຳນປະກອບກຳນສອນ ”ສມົ ຜົນຈຸນລະຄະນິດ” ເຫຼັ້ມນຜ້ັຼ ຂູ້ ຽນໄດຮູ້ ຽບຮຽງຂນ້ຼັ , ໂດຍມຈຸດປະສົງເພື່ອ ແນ່ໃສຮ່ ບໃຊູ້ກຳນຮຽນກຳນສອນໃນລະດບປະລິນຍຳຕ ສຳຍຄຟຊີ ກິ ສຳດ ລະບົບປະລິນຍຳຕ 12+4 ປີ 3. ຜູ້ຂຽນໄດູ້ ຮວບຮວມ ແລະ ຮຽບຮຽງຂຼ້ັນມຳຈຳກເອກະສຳນ ແລະ ປຶ້ມຄ່ມທ່ເື ປນັ ພຳສຳລຳວ ແລະ ພຳສຳຕຳ່ ງປະເທດ ແລະ ມຳ ຈຳກກຳນສອບຖຳມຄຜູ້ມປະສົບກຳນສອນໃນວິຊຳນ້ັຼໃນໄລຍະຜຳ່ ນມຳ. ຈດຸ ປະສົງຕັຼົ້ນຕໍແຕ່ລະເນັ້ຼອໃນປ້ຶມເຫຼ້ັມນັຼ້ ແມ່ນເພື່ອເປນັ ບອ່ ນອງ ແລະ ເປັນທດິ ທຳງອນໜື່ງໃຫູ້ແກ່ບນດຳຄ ສອນວິຊຳຄະນດິ ສຳດ ແລະ ນກສກສຳ ພອູ້ ມດວູ້ ຍຜທູ້ ່ມື ຄວຳມສົນໃຈກ່ຽວກບວຊິ ຳສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນິດ. ເນຼອັ້ ໃນສຳຄນຂອງປ້ຶມເຫ້ັຼມນັຼ້ ໄດູ້ເວຳົຼັ້ ເຖງິ ຄວຳມໝຳຍຂອງສົມຜົນຈຸນລະຄະນິດ, ກຳນແກ້ສູ ມົ ຜົນຈຸນລະນິດ ຂັນ້ຼ ໜືງ່ ດູວ້ ຍວິທຕ່ຳງໆ, ສົມຜນົ LAGRANCE, ສົມຜນົ CLIRAUT, ສມົ ຜົນຈຸນລະຄະນິດລເນແອຂັ້ຼນສອງທ່ື ມສຳປະສິດຄົງຄຳ່ ແລະ ກຳນແກສູ້ ມົ ຜົນຈຸນລະຄະນດິ ດູ້ວຍວທິ LAGRANCE. ປມ້ຶ ເຫ້ຼັມນຼັໄ້ ດູ້ຮຽບຮຽງຂັຼ້ນເປນັ ເທືອ່ ທຳອິດຂອງຜູ້ຂຽນ, ແນນ່ ອນວຳ່ ຍ່ອມມຂໍ້ຂຳດຕົກບົກຜ່ອງໃນບຳງຈຸດ ອຳດຈະເປນັ ເນຼອ້ັ ໃນ ແລະ ຄຳສບ ຫ ສຳນວນ, ເພຳະສະນັ້ຼນ ໃນນຳມຜູ້ຂຽນຂໍສະແດງຄວຳມຍິນດຮບເອົຳຄຳຕຳນິຕິ ຊົມ ແລະ ຂຂໍ ອບໃຈມຳຍງທ່ຳນເປັນຢ່ຳງສງຕໍ່ຄຳແນະນຳຂອງຜອູ້ ່ຳນທຸກໆທ່ຳນດູວ້ ຍຄວຳມຈິງໃຈ ເພືອ່ ຈະໄດູ້ປັບປຸງ ແລະ ແກູ້ໄຂເນຼັ້ອໃນທ່ືຍງບ່ໍທນຄົບຖວູ້ ນ ແລະ ແກໄູ້ ຂເພມ່ື ເຕມໃຫູ້ມເນັ້ອຼ ໃນຄົບຖ້ວູ ນສົມບນກວ່ຳເກ່ົຳ. ຂຳູ້ ພະເຈົຼ້ັຳຖ ວ່ຳທກຸ ຄຳຄດິ ຄຳເຫນຂອງບນດຳທ່ຳນເປັນຂໍ້ມນອນມຄນຸ ຄ່ຳ ແລະ ເປນັ ກຳນຊວ່ ຍປັບປງຸ ຄຸນນະພຳບກຳນສກສຳໃຫູ້ ພດທະນຳຍິງື່ ໆຂນັຼ້ ໄປ. ຜຮູ້ ຽບຮຽງ ວິໄລສະຫວນ ເລອງລິດ i

ສຳລະບຳນ ໜ້ຳູ ບດົ ທ 1 ກຳນກຳນດົ ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ................................................................................1 1. ຄວຳມໝຳຍຂອງສມົ ຜົນຈຸນລະຄະນດິ ......................................................................................... 1 2. ໃຈຜົນຂອງສົມຜົນຈຸນລະຄະນິດ................................................................................................. 2 ບດົ ທ 2 ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂັ້ຼນໜືງ່ (FIRST ORDER DIFFERENTIAL) .............................4 1. ສົມຜົນທ່ືແຍກຕວົ ປ່ຽນໄດູ້ ........................................................................................................ 4 2. ສມົ ຜນົ ເອກະພນ ................................................................................................................... 93 3. ສົມຜນົ ລເນແອ..................................................................................................................... 99 ບດົ ທ 3 ສມົ ຜນົ LAGRANCE y=xα(y')+β(y') ............................................................ 106 ບດົ ທ 4 ສົມຜນົ CLIRAUT y=x(y')+φ(y') .................................................................. 112 ບດົ ທ 5 ສົມຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເນແອຂັຼນ້ ສອງທມ່ື ສຳປະສດິ ຄງົ ຄຳ່ ................................................ 116 1. ສົມຜົນຈຸນລະຄະນດິ ລເນແອຂັຼນ້ ສອງທື່ມສຳປະສິດຄງົ ຄຳ່ ............................................................. 116 2. ສມົ ຜົນລເນແອຂັນ້ຼ ສອງເອກະພນ............................................................................................ 116 3. ສມົ ຜົນເອກະພນ ................................................................................................................. 118 4. ເທກນິກກຳນແກູ້ສົມສົມຜນົ ຈຸນລະຄະນດິ ລເນແອຂັນຼ້ ສອງທ່ືມສຳປະສດິ ຄົງຄ່ຳ.................................. 121 ບດົ ທ 6 ແກສູ້ ມົ ຜນົ ຈຸນລະຄະນດິ y'+py'+q.y=f(x) ດວູ້ ຍວທິ LAGRANGE.......................... 162 ii

ບດົ ທີ 1 ການການດົ ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ສາມາດນາໄປໃຊ້ໃນການແກໄ້ ຂບນັ ຫາໃນຫຼາຍວຊິ າເຊັນ່ ບນັ ຫາການເຄ່ືອນທືຂ່ີ ອງ ວັດຖຸ ການພິຈາລະນາບນັ ຈຸ ແລະ ກະແສໃນວງົ ຈອນໄຟຟ້າ ໃນວິຊາຟີຊິກສາດ ບັນຫາກ່ຽວກບັ ປະຕກິ ິລຍິ າທາງເຄມີ ໃນວິຊາເຄມີສາດ ລວມທັງບນັ ຫາກ່ຽວກບັ ການຫາຄ່າຄວາມຊັນໃນວຊິ າຄະນິດສາດ (Slope determination in mathematics ). 1. ຄວາມໝາຍຂອງສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນິດ ສົມຜົນຈນຸ ລະຄະນດິ ມນີ ິຍາມດ່ັງນີ:້ ນຍິ າມ 1.1 ສມົ ຜົນຈນຸ ລະຄະນດິ ແມນ່ ໝາຍເຖງິ ສົມຜນົ ທບືີ່ ນັ ຈຕຸ າລາ ແລະ ຜນົ ຕາລາເຊືິ່ງຕວົ ລບັ ແມ່ນຕາລາ, ສັນຍາລັດດ້ວຍ: 1) y'  dy dx 2) (x2 1) dy  3xy  8 dx 3) y''  2y'  y  x  4 ນຍິ າມ 1.2 ຂັ້ນີ ຂອງສົມຜົນຈນຸ ລະຄະນິດ ແມ່ນຂ້ີັນໃຫຍ່ສຸດຂອງຜົນຕາລາທືນ່ີ ອນຢູ່ໃນສົມຜົນດັ່ງກ່າວ. 1. ສົມຜນົ ຈຸນລະຄະນິດຂັີ້ນໜງ່ື (First order differential) ມີຮບຮາ່ ງທົວ່ັ ໄປດັງ່ ນ້:ີ 1. A(x) dy  B(x)y  f (x) ຫຼ dx 2. A(x)y'  B(x)y  f (x) ເຊ່ງິື ວ່າ y'  dy dx 2. ສມົ ຜນົ ຈຸນລະຄະນິດຂັ້ນີ ສອງ (Second order differential) ມີຮບຮາ່ ງທັ່ວົ ໄປດັງ່ ນີ້: 1. d2y  p dy  qy  f (x) ຫຼ dx2 dx 2. ay''  by'  cy  Q(x)    3. ສມົ ຜົນຈຸນລະຄະນິດຂ້ນີັ ສງ (High order differential) ມິຮບຮາ່ ງທັົວ່ ໄປດັ່ງນ້:ີ a(y ')\"  an1(y ')n1 ...  a2(y ')2  a1y ' a0y  f (x) ຫຼ a(y ')\"  an1(y ')n1 ...  a2(y ')2  a1y ' a0y  0 2. ຊະນິດຂອງສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຜນົ ຈຸນລະຄະນິດມີ 2 ຊະນິດຄ: - ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ເອກະພັນ 1

ສມົ ຜົນມີຮບຮ່າງ M(x, y)  N(x, y) dy  0 ເປນັ ສົມຜົນເອກະພນັ ທ່ືີສາມາດຂຽນໃນຮບຮ່າງ: dx 1) dy  f  x  ຫຼ dy  f  y ........................(1) ຫຼ dx  y  dx  x   2) a(x) dy  b(x)y  g(x).......................(2) ເມ່ືອ g(x)  0 ເອ້ນີ ວ່າ: ສມົ ຜນົ ລີເນແອ dx ຂັນ້ີ ໜງ່ື ເອກະພນັ - ສົມຜົນຈນຸ ລະຄະນດິ ບໍເ່ ອກະພນັ a(x) dy  b(x)y  g(x).......................(1) ເມືອ່ g(x)  0 ເຮົາສາມາດຫານ a(x) dx ທັງສອງເບອ້ີ ຈະໄດ້ dy  b(x) y  g(x) dx a(x) a(x) ໃຫ້ P(x)  b(x) ແລະ f (x)  g(x) ເຊ່ືິງສາມາດຂຽນໃນຮບຮ່າງໃໝ່ a(x) a(x) dy  P(x)y  f (x) dx ເອນີ້ ວາ່ : ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອຂີ້ັນໜື່ງບເ່ໍ ອກະພນັ 3. ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ນຍິ າມ 3.1 ຈະເອ້ີນຕາລາທີ່ບື ່ໍໄດ້ຢູ່ໃນຮບຂອງຜນົ ຕາລາຂອງຕາລາ ແລະ ສອດຄອ່ ງກບັ ສົມຜນົ ຈຸນລະຄະນິດວ່າ ໃຈ ຜົນໂດຍຈະຢູ່ໃນຮບແບບຂອງຕາລາທືມີ່ ີນິຍາມຢູ່າງຖກຕ້ອງ ຕວົ ຢາູ່ ງ 1. ຈ່ງັົ ສະແດງ y  e2x ເປນັ ໃຈຜນົ ຂອງ y\"  4y  0 ວທິ ແີ ກ້ ຈາກ y  e2x  y  e2x  y '  d e2x  2e2x dx  y\"  d 2e2x  4e2x dx ແທນຄ່າໃນ y\"  4y  0 ຈະໄດ້ 4e2x  4e2x  0 ຖກຕ້ອງ ດ່ັງນີ້ັນ y  e2x ເປນັ ໃຈຜນົ ຂອງ y\"  4y  0 ຕວົ ຢາູ່ ງ 2. ຈງ່ັົ ສະແດງ x3  3xy2  1 ແມ່ນໃຈຜົນຂອງ 2xy dy  x2  y2  0 ໃນຫວ່າງ 0  x  1 dx ວທິ ແີ ກ້ ຈາກ x3  3xy2  1  d x3  3xy2  d (1) dx dx d x3   d 3xy2   0 dx dx 2

 3x2  y2 d 3x  3x d y2  0 dx dx 3x2  3y2  6xy dy  0 dx  6xy dy   3x2  3y2 dx     dy  3 x2  y2 dx 6xy  x2  y2  2xy ແທນຄ່າໃນ 2xy dy  x2  y2  0 dx ຈະໄດ້ 2xy  x2  y2   x 2  y2  x2  y2  x2  y2 0 ຖກຕ້ອງ  2xy    ດ່ັງນນ້ັີ x3  3xy2  1 ເປນັ ໃຈຜນົ ຂອງ 2xy dy  x2  y2  0 dx ກດິ ຈະກາທາ້ ຍບດົ (ໃຫນ້ ກັ ສກສາແກເ້ ອງ) 1. ຈົັ່ງສະແດງວາ່ y  x2 ເປັນໃຈຜົນຂອງ y ' 2x  0 2. ຈງ່ັົ ຊແ້ີ ຈງວ່າ y  ln(x  2) ເປັນໃຈຜົນຖກຕອ້ ງຂອງ y'  1 x2  3. ຈັົ່ງພິສດວາ່ ຕາລາ y  x2  C ex2 , C ຄງົ ຄ່າ ເປນັ ໃຈຜົນທົວ່ັ ໄປທ່ືີຖກຕ້ອງຂອງສົມຜົນຈນຸ ລະຄະນິດ y ' 2xy  2xex2 4. ຈ່ງັົ ພິສດວາ່ ຕາລາ y  C1ex  C2xex , C1C2  0 ຄົງຄາ່ ເປັນໃຈຜນົ ທັວົ່ ໄປຂອງສົມຜນົ ຈນຸ ລະຄະນິດ y\"  2y ' y  0 ສາລບັ ທຸກໆຄ່າຂອງ x ;  5. ຈງ່ັົ ພິສດວາ່ ຕາລາ y  Cxex , C  0 ເປັນໃຈຜົນທົວັ່ ໄປຂອງສົມຜົນຈຸນລະຄະນິດ y\"  2y ' y  0 ສາລັບທຸກໆຄ່າຂອງ x  ;  6. ຈັ່ງົ ສະແດງ y  2x 1 ເປນັ ໃຈຜນົ ສະເພາຂອງບັນຫາເລ່ືີມຕົນີ້ xy'  y  1, y(2)  3 3

ບດົ ທີ 2 ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂັີນ້ ໜງ່ື (First order differential) ການແກ້ສົມຜນົ ຈນຸ ລະຄະນິດຂ້ີັນໜງື່ ໂດຍທ່ວັົ ໄປສົມຜົນຈນຸ ລະຄະນດິ ຂ້ີັນໜ່ງື ສາມາດຂຽນໃນຮບຮ່າງທັົ່ວ ໄປໄດ້ໃນຮບ dy  f (x, y) ເມື່ອຕາລາມີຄວາມຕ່ໍເນື່ອງໃນ ຂອງ xy . dx ສມົ ຜນົ ຈຸນລະຄະນິດຂັນີ້ ໜືງ່ (First order differential) ແບ່ງເປັນປະເພດຕ່າງໆ ໂດຍອາໄສຮບແບບ ຂອງສົມຜົນດ່ັງນີ້: 1) ສຜົ ົນທ່ີແື ຍກຕວົ ປຽູ່ ນໄດ້ (Separable Equations) 2) ສົມຜົນເອກະພນັ (Homogeneous Equations) 3) ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອ (Linear Equations) 1. ສມົ ຜນົ ທແ່ີື ຍກຕວົ ປຽູ່ ນໄດ້ (Separable Equations) ສມົ ຜນົ ຈຸນລະຄະນິດ dy  f (x, y) ສາມາດຂຽນໃນຮບແບບ M(x)dx  N(x)dy  0 (1) dx ໂດຍທ:ືີ່ M(x) ເປນັ ຕາລາຂອງ x ຕົວດຽວ N(y) ເປັນຕາລາຂອງ y ຕວົ ດຽວ ແລວ້ ເຮາົ ຈະເອນີ້ ສົມຜົນ (1) ສົມຜົນທີືແ່ ຍກຕວົ ປູ່ຽນໄດ້ (Variable Separable) ເຊ່ືິງຈະໄດ້ໃຈຜົນຂອງສມົ ຜນົ ໂດຍການເອົາສັງຄະນິດຈະໄດ້ໃນຮບແບບ  M(x)dx   N(x)dy  C ເມ່ືອ C ຄົງຄາ່ ບ່ເໍ ຈາະຈງົ ແລະ ມພີ ຽງ ຄ່າດຽວເທ່ັົານັນີ້ . ຕວົ ຢາູ່ ງ 1. ຈງ່ັົ ຊອກຫາໃຈຜົນຂອງສມົ ຜນົ (1 x)dy  ydx  0 ບດົ ແກ້ ຈາກສມົ ຜນົ (1) ຈດັ ຮບໃໝ່ເອາົ (1 x)y ຫານທງັ ສອງເບອ້ີ ງ ຈະໄດ້ dy  dx  0, ເອົາສັງຄະນິດເຂົ້ີາທັງສອງເບອີ້ ງໄດ້  dy   dx  C1 y 1 x y 1 x  dy  1 d(1 x)  C1  ln y  ln 1 x  C1 ຫຼ ln y  ln 1 x  C1 y 1 x y  eln1x C1  e .eln1x C1 c1  1 x ec1  ec1 (1 x) ໂດຍວາງໃຫ້ A  ec1 ດງ່ັ ນີັ້ນ y  A(1 x) ເປັນໃຈຜນົ ທວ່ັົ ໄປຂອງສົມຜົນ (1 x)dy  ydx  0 .  ຕວົ ຢາູ່ ງ 2. ຈງັ່ົ ແກ້ສມົ ຜົນ e2y  y cos x dy  ey sin 2x, y(0).................(1) dx ບດົ ແກ້ ຈາກສົມຜນົ (1) ຈັດຮບໃໝ່ໂດຍນາເອົາ ey cos x ຫານທັງສອງເບອີ້ ງ ຈະໄດ້ dy  dx  0, ເອາົ ສັງຄະນດິ ເຂີົ້າທັງສອງເບີອ້ ງໄດ້  dy   dx  C1 y 1 x y 1 x  e2yy ey dy  sin 2x dx ຫຼ ey  yey dy  sin xdx ເພາະວາ່ sin 2x  2sin x cos x cos x 4

  ໄດ້ ey  yey dy  2 sin xdx ຈະໄດ້ ey  yey  2cos x  C ...................(2) e0 (0)e0  e0  2 cos 0  C  2  2  C  C  4 ດງ່ັ ນັນ້ີ ໃຈຜນົ ສະເພາະຂອງບນັ ຫາຄ່າເລ່ີມື ຕົ້ນີ ແມ່ນ ey  yey  ey  2cos x  4 ເປນັ ໃຈຜນົ ທົ່ວັ ໄປຂອງສມົ ຜົນ (1 x)dy  ydx  0 . 2. ການແກສ້ ມົ ຜນົ ທແື່ີ ຍກຕວົ ປຽູ່ ນໄດ້ໃນຮບຮາ່ ງຕາ່ ງໆ 2.1 ຮບຮາ່ ງທສື່ີ າມາດແຍກຕວົ ປຽູ່ ນໄດແ້ ບບງາ່ ຍດາຍ y '  f (x) ຫຼ dy  f (x) dx ແນະນາວທິ ຫີ າໃຈຜົນເຮົາມີ y'  f (x) dy  f (x) dx dy  f (x)dx  dy   f (x)dx y   f (x)dx  C  y  F(x)  C ເມື່ອ F(x) ເປັນເຄົາ້ີ ຕາລາຂອງ f (x) ແລະ C ຄົງຄາ່ . ຕວົ ຢາູ່ ງ. ຈ່ັງົ ແກ້ສົມຜນົ ຈນຸ ລະຄະນິດລຸ່ມນີ້ 1) y'  2x 1 ວິທີແກ້: ຈາກ y'  2x 1 dy  2x 1 dx dy  (2x 1)dx  dy   f (x)dx y  x2  x  C ດັງ່ ນີ້ັນ ໃຈຜນົ ທື່ເີ ຮົາຕ້ອງການຊອກແມ່ນ y  x2  x  C 2) 3xy'  x2  2x 1 ວິທແີ ກ:້ ຈາກ 3xy'  x2  2x 1 y'  x2  2x 1 3x dy  x2  2x 1  x2  2x  1 dx 3x 3x 3x 3x 5

dy  1 x  2  1 dx 3 3 3x dy   1 x  2  1  dx  3 3 3x   dy    1 x  2  1 dx  3 3 3x  dy   1 xdx   2 dx   1 dx 3 3 3x  dy  1  xdx  2  dx   1 dx 3 3 3x y  1 x2  2 x  ln 3 x  C 33 ດັງ່ ນີນັ້ ໃຈຜນົ ທືເ່ີ ຮົາຕ້ອງການຊອກແມ່ນ y  1 x2  2 x  ln 3 x  C 33 3) cos3 x dy  2cos x  sin x dx ວິທີແກ້: ຈາກ cos3 x dy  2cos x  sin x dx dy  2cos x  sin x dx cos3 x dy  2cos x  sin x dx cos3 x cos3 x dy   2 cos x  sin x  dx  cos3 x cos3 x   dy  2  2 cos x dx    sin x dx  cos3 x  cos3 x   y  2 1 dx  cos2 x  sin x cos3 x dx  y  2 tan x   cos3 x d cos x  y  2 tan x  2 1 x  C cos2 ດັ່ງນນັີ້ ໃຈຜນົ ທເືີ່ ຮົາຕ້ອງການຊອກແມ່ນ y  2 tan x  2 1 x  C cos2 4) y '  1 x 1 ວິທແີ ກ:້ ຈາກ y' 1 x 1 y' 1 x 1 6

dy  1 dx x 1 dy   x 1  dx  1   dy    x 1 1 x  (x  1) ຈາກ  1 du  ln u C   u y  ln x 1  C ດ່ງັ ນີ້ນັ ໃຈຜົນທເືີ່ ຮົາຕ້ອງການຊອກແມ່ນ y  ln x 1  C 5) y '  x3 x 1 ວທິ ແີ ກ້: ຈາກ y'  x3 x 1 y'  x3 x 1 dy  x3 dx x 1 dy  x3 dx x 1  dy    x 2  x  1  1 dx   x 1  dy   x 2dx   xdx   dx   x 1 1 dx  y  x3  x2  x  1 d(x 1) ຈາກ  1 du  ln u C 32 x 1 u y  x3  x2  x  ln x 1  C 32 ດັ່ງນນ້ີັ ໃຈຜົນທື່ເີ ຮົາຕ້ອງການຊອກແມ່ນ y  x3  x2  x  ln x 1  C 32 6) ຈົ່ັງແກ້ສົມຜົນຈນຸ ລະຄະນິດ y'  3x  8 x2  5x  6 ວທິ ີແກ:້ ຈາກ y'  3x  8 6 x2  5x  dy  3x 8 dx x2  5x  6 dy  3x 8 dx (x  2)(x  3) 7

3x  8  A  B (x  2)(x  3) x  2 x  3  (x 3x  8 3)   Ax  3 3   Bx  2 3  2)(x  x 2x  x 2 x   3x  8  A x  3  Bx  2  3x 8  Ax  3A  Bx  2B 3x  8  A  B x  3A  2B  A  B  3  A  2, B  1 3A  2B  8 ເຮົາໄດ້ 3x  8  2  1 ສະນີນ້ັ ເຮົາໄດ້ (x  2)(x  3) x  2 x  3 dy   x 2 2  x 1 3  dx      dy    x 2 2  x 1 3 dx    y   x 2 2 dx   x 1 3 dx   y  2 x 1 2 d x  2   x 1 3 d  x  3   y  2 ln x  2  ln x  3  C y  ln x  22  ln x  3  C y  ln x  22 x  3   C  ດັງ່ ນັນີ້ ໃຈຜົນທື່ີເຮົາຕ້ອງການຊອກແມ່ນ y  ln x  22 x  3   C .  7) ຈງ່ັົ ແກສ້ ົມຜົນຈນຸ ລະຄະນິດ y'  x3 x 1 ວທິ ແີ ກ້: ຈາກ y'  x3 x 1 dy  x3 dx x 1 dy  x3 dx x 1 8

 dy   x3 dx x 1 y    x 2  x 1  1 dx   x 1 y   x2dx   xdx   dx   x 1 1 dx  y  x3  x2  x   1 dx 1 3 2 x 1 y  x3  x2  x  ln x 1  C 32 ດັ່ງນີນ້ັ ໃຈຜົນທເ່ືີ ຮົາຕ້ອງການຊອກແມ່ນ y  x3  x2  x  ln x 1  C . 32 8) ຈງັົ່ ແກ້ສົມຜນົ ຈນຸ ລະຄະນິດ y'  x2  3x 10 x2  2x  9 ວທິ ີແກ:້ ຈາກ y'  x2  3x 10 x2  2x  9 dy  x2  3x 10 dx x2  2x  9 dy   x2  3x 10  dx  x2  2x  9     dy    x2  3x 10  dx  x2  2x  9    y   dx  x 2 x 1 dx  2x  9 y  x  1  2x  2 9 dx 2 x2  2x  2x  2  2x   y  x  1 2 x 2 9 d x2  2x  9 y  x  1 ln x2  2x  9  C 2 1  y  x  ln x2  2x  9 2  C y  x  ln x2  2x  9  C ດັ່ງນີ້ນັ ໃຈຜນົ ທ່ເືີ ຮົາຕ້ອງການຊອກແມ່ນ y  x  ln x2  2x  9  C . 9) ຈງ່ັົ ແກ້ສົມຜົນຈຸນລະຄະນດິ y'  x3  2x2 10x 1 x2  2x  9 9

ວທິ ແີ ກ:້ ຈາກ y '  x3  2x2 10x 1 x2  2x  9 dy  x3  2x2 10x 1 dx x2  2x  9 dy   x3  2x2 10x  1  dx  x2  2x  9     dy   x3  2x2 10x 1   dx  x2  2x  9  y   xdx   x2 x 1 dx  2x  9 y  x2  1 1 x2  2x  9 dx 22  y  x2  1 1 d x2  2x  9 2 2 x2  2x  9  y  x2  ln 1 2 x2  2x  6 2 C y  x2  ln x2  2x  6  C 2 ດງັ່ ນ້ີັນ ໃຈຜົນທ່ເືີ ຮົາຕ້ອງການຊອກແມ່ນ y  x2  ln x2  2x  6  C . 2 ກດິ ຈະກາ: ໃຫນ້ ກັ ສກສາແກເ້ ປັນກຸ່ມ ຈົັ່ງແກ້ສົມຜົນຈຸນລະຄະນດິ ລຸ່ມນ້ີ: 1) y '  x2  3x  3 2) sin xy '  4sin 2x 3) y '  1 2x  5 4) y'  x2 1  6  5x 5) y '  x3  x2  4x  2 x 1 6) y '  x2  4 x 7) y dy  ex dx 8) xy '  x3  3x2  2x  2 9) y '  e2x , y(0)  4 ຈງົັ່ ຊອກຫາ y ແລະ C 10

 10)   y' 4 y2 1 , y  4  1 ຈ່ົັງຊອກຫາ y ແລະ C 2.2 ສົມຜົນຈນຸ ລະຄະນດິ ຂີນ້ັ ໜືງ່ ໃນຮບຮາ່ ງ y '  ax2 1  c  bx  ແນະນາວທິ ີແກ້ ເຮົາມີ y '  ax2 1  c  bx dy  1 dx ax2  bx  c dy  ax2 1  c dx  bx  dy   ax2 1  c dx  bx y   ax2 1  c dx  bx  ຖາ້ ວາ່   0 ແມນ່ :  y  1 dx  1 ax 2  bx  c dx a(x  x1)  (x  x2 ) y  1 1 dx a (x  x1)  (x  x2 ) y  1  (x 1 )  (x 1 )  dx   x1 x  a(x1  x2 )  2  1  1 dx  1 a(x1   (x  x1)  y )  (x  dx  x2 x )  2 1  1 1  a(x1    x   y   x1 )  d( x  x )  x2) ( x x1 ) d(x ( x ) 2 2  y  1 a(x1  x2 ) ln x  x1  ln x  x2 y  1 ln x  x1  C. a(x1  x2 ) x  x2  ຖາ້ ວາ່   0 ແມ່ນ: y   ax 2 1  c dx   a(x 1 x0 ) dx  bx  y  1 1 a (x  x0 )2 dx y  1 (x  x0)2d(x  x0) a 11

y  1 . (x  x0 )21  C a 2 1 y  1  C. a(x  x0)  ຖ້າວ່າ   0 ແມນ່ : y   ax2 1  c dx    dx c  dx  bx  b a  a x2 x  a y  1  dx c a bx x2   aa y  1  dx a b 2  b 2       x  a    a  c  2   2  a    y  1 dx a  x  b 2   b 2  c  2a   2a  a y  1 dx a  x  b 2  b2  c  2a  4a 2 a y  1 dx a  x  b 2  b2  4c  2a  4a 2 4a 2 y  1 dx a  x  b 2  b2  4ac  2a  4a 2 y  1 dx 2 d  x  b  a    2a   b 2  b2  4ac  x  2a   4a 2 y 1. 1 xb b2  4ac a ln 2 4a2  C 2 b2  4ac 4a 2 xb b2  4ac 2 4a 2 12

y 1 xb b2  4ac 2a ln 2 4a2  C b2  4ac 4a 2 xb b2  4ac 2 4a 2 ຕວົ ຢາູ່ ງ 1. ຈົ່ັງແກສ້ ມົ ຜນົ y'  x2  1  2 3x ວິທີແກ:້ ເຮົາມີ y'  x2 1  2  3x dy  1 dx x2  3x  2 dy  x2  1  2 dx 3x  dy   x 2  1  dx 3x 2 y   x2  1  dx 3x 2 y   (x  dx 1) 2)(x y    (x 1 2)  (x 1    1) dx   y   x 1 2 dx   1 dx  x 1 y   x 1 2 d(x  2)   1 d(x 1)  x 1 y  ln x  2  ln x 1  C y  ln x  2  C x 1 ດງັ່ ນ້ນີັ ໃຈຜົນຂອງສມົ ຜນົ ແມນ່ y  ln x2 C x 1 ຕວົ ຢາູ່ ງ 2. ຈັງ່ົ ແກສ້ ົມຜນົ y'  x2  1  9 6x ວິທແີ ກ້: ເຮົາມີ y'  x2  1 9 6x dy  1 dx x2  6x  9 13

dx  x2  1  9 dy 6x  dx   x 2  1  dy 6x 9 y   x2  1  dy 6x 9 y   (x dx  3)2 y  (x  3)2dx y  (x  3)2d(x  3) y  (x  3)21  C 2 1 y  1  C. x3 ດັ່ງນີນ້ັ ໃຈຜົນຂອງສມົ ຜນົ ແມນ່ y 1  C. x3 ຕວົ ຢາູ່ ງ 3. ຈົັງ່ ແກສ້ ມົ ຜນົ y'  x2 1 1 x ວິທີແກ້: y '  x2 1 1 ເຮົາມີ x dy  1 dx x2  x 1 dx  1 dy x2  x 1  dx   x2 1  dy x 1 y   x2 1 dy x 1 y   dx  x  1 2  1  1  2  4 14

y   dx 1 2  x  2   3  4 y  dx  x  1 2   3 2  2     4 d  x  1   2  y   1 2  3 2  x  2      4 ນາໃຊ້ສດ  du(x) 2  1 arctan u(x)  C u(x)2  a aa y 1 x1 arctan 2  C 33 22 y  2 arctan 2x 1  C 33 ດັ່ງນີ້ນັ ໃຈຜົນຂອງສມົ ຜນົ ແມນ່ y  2 arctan 2x 1  C. 33 ຕວົ ຢາູ່ ງ 4. ຈງ່ັົ ແກ້ສມົ ຜນົ y'  x2  1  6 5x ວິທີແກ້: ເຮົາມີ y'  x2 1  6  5x dy  1 dx x2  5x  6 dy  x2  1  6 dx 5x  dy   x 2  1  6 dx 5x y   x2  1  6 dx 5x y   (x  dx  2) 3)(x y    (x 1 3)  (x 1 2)     dx   15

y   x 1 3 dx   x 1 dx   2 y   x 1 3 d(x  3)   x 1 d(x  2)   2 y  ln x  3  ln x  2  C y  ln x  3  C x2 ດັງ່ ນັີ້ນ ໃຈຜົນຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ນ y  ln x3 C x2 ຕວົ ຢາູ່ ງ 5. ຈງ່ົັ ແກ້ສົມຜົນ y'  x2  1  4 4x ວທິ ແີ ກ:້ ເຮົາມີ y'  x2  1  4 4x dy  x2  1  4 dx 4x dx  x2  1  4 dy 4x  dx   x2  1  4 dy 4x y   x2  1  4 dy 4x y   (x dx  2)2 y  (x  2)2dx y  (x  2)2d(x  2) y  (x  2)21  C 2 1 y  1  C. x2 ດ່ັງນີັນ້ ໃຈຜົນຂອງສົມຜນົ ແມ່ນ y 1  C. x2 ຕວົ ຢາູ່ ງ 6. ຈງ່ັົ ແກ້ສົມຜົນ y'  x2  1  9 6x ວິທແີ ກ:້ ເຮາົ ມີ y'  x2  1 9 6x 16

dy  1 dx x2  6x  9 dx  x2  1  9 dy 6x  dx   x 2  1  9 dy 6x y   x2  1  9 dy 6x y   (x dx  3)2 y  (x  3)2dx y  (x  3)2d(x  3) y  (x  3)21  C 2 1 y  1  C. x3 ດັ່ງນນ້ັີ ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ນ y 1  C. x3 ຕວົ ຢາູ່ ງ 7. ຈງົັ່ ແກສ້ ົມຜນົ y'  x2  1  4 4x ວທິ ີແກ:້ ເຮົາມີ y'  x2  1  4 4x dy  1 dx x2  4x  4 dx  x2  1  4 dy 4x  dx   x2  1  4 dy 4x y   x2  1  4 dy 4x y   (x dx  2)2 y  (x  2)2dx y  (x  2)2d(x  2) y  (x  2)21  C 2 1 17

y  1  C. x2 ດ່ັງນັນ້ີ ໃຈຜນົ ຂອງສົມຜົນແມນ່ y 1  C. x2 ຕວົ ຢາູ່ ງ 8. ຈົງັ່ ແກສ້ ົມຜົນ y'  x2 1 16 ວິທີແກ້: ເຮາົ ມີ y'  x2 1 16 dy  1 dx x2 16 dx  x2 1 dy 16  dx   x 2 1 dy 16 y   x2 1 dy 16 y   (x dx  4)2 y  (x  4)2dx y  (x  4)2d(x  4) y  (x  4)21  C 2 1 y  1  C. x4 ດງັ່ ນັ້ີນ ໃຈຜນົ ຂອງສົມຜົນແມນ່ y 1  C. x4 ຕວົ ຢາູ່ ງ 9. ຈ່ົັງແກສ້ ມົ ຜົນ y'  x2 1  25 10x ວທິ ແີ ກ້: ເຮາົ ມີ y'  x2 1  25 10x dy  1 dx x2 10x  25 dx  x2 1  25 dy 10x  dx   x2  1  25 dy 10x 18

y   x2 1  25 dy 10x y   (x dx  5)2 y  (x  5)2dx y  (x  5)2d(x  5) y  (x  5)21  C 2 1 y  1  C. x5 ດັ່ງນັີນ້ ໃຈຜນົ ຂອງສົມຜນົ ແມນ່ y 1  C. x5 ຕວົ ຢາູ່ ງ 10. ຈງ່ັົ ແກສ້ ມົ ຜົນ y'  1 x2  1 4 ວິທແີ ກ:້ ເຮົາມີ y' 1 x2  1 4 dy  1 dx x2  1 4 dx  1 dy x2  1 4  dx   1 1 dy  x2 4 y   1 1 dy  x 2 4 y   dx 2 1   x  2 y   x  1 2dx  2 y   x  1 2d  x  1   2  2  19

 x  1 21  2  y   C 2 1 y  1  C. x1 2 ດັ່ງນນັີ້ ໃຈຜົນຂອງສມົ ຜົນແມ່ນ y 1  C. x1 2 ຕວົ ຢາູ່ ງ 11. ຈົງ່ັ ແກ້ສມົ ຜນົ y' 2 x2  1 9 ວິທີແກ:້ ເຮາົ ມີ y' 2 x2  1 9 dy  2 dx x2  1 9 dx  2 dy x2  1 9  dx   2 1 dy  x2 9 y   2 1 dy  x 2 9 y   2dx 2 x1    3 y   2x  1 2dx  3 y   2x  1 2d  2x  1   3  3   2x  1 21  3  y   C 2 1 20

y  2  C. x1 3 ດັງ່ ນ້ນັີ ໃຈຜນົ ຂອງສົມຜນົ ແມ່ນ y 2  C. x1 3 ຕວົ ຢາູ່ ງ 12. ຈ່ັງົ ແກສ້ ມົ ຜົນ ຈງັົ່ ແກສ້ ົມຜນົ y' 1 1 x2  1 x  2 16 ວທິ ີແກ:້ ເຮົາມີ y' 1 x2  1 x  1 2 16 dy  1 dx x2  1 x  1 2 16 dx  1 dy x2  1 x  1 2 16  dx   1 1 dy 1x x 2   2 16 y   1 1 dy 1x x2   2 16 y   dx 2 1   x  4 y   x  1 2dx  4 y   x  1 2d  x  1   4  4   x  1 21  4  y   C 2 1 y  1  C. x1 4 21

ດັງ່ ນ້ນີັ ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜົນແມ່ນ y 1  C. x1 4 ກດິ ຈະກາ: ຈົງ່ັ ແກສ້ ົມຜນົ ຈຸນລະຄະນດິ ລຸ່ມນ້:ີ 1) y '  x  1 x  4 6 2) y '  x  1 x  2 2 3) y '  x  1 x  7 4 4) y '  x 1 7 x  5) y '  x  1 x  2 5 6) y '  x 1 5 x  7) y '  x  1 x  6 8 8) y '  x  1 x  4 4 9) y '   x 1 x  8  1  10) y'  x  1 1 22x  ບນັ ດາສດທພີ່ື ວົ ພນັ ກບັ ການແກເ້ ລກ 1. xdx  x1  C   1  1 2.  u x d u x  u  x 1 C   1  1 3.  1 dx  ln x C x 4.  1 d u x  ln ux C ux 5. x2 1 a2 dx  1 ln arctan x  C  a a 22

6.   1  a2 du(x)  1 arctan u(x) C a a u( x)2 7. a2 1 dx  1 ln ax C  x2 2a ax 8.  a2 1 du(x)  1 ln a  u(x) C 2a a  u(x)  u(x)2 9. 1 dx  1 ln xa C x2 a2 2a xa 10.   1  2 du(x)  1 ln u(x) a C 2a u(x)  a u(x)2 a 11. x2  bx   x  b 2  b2  2  4 12. x2  bx   x  b 2  b2  2  4 2.3 ສົມຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂ້ີັນໜງື່ ໃນຮບຮາ່ ງ y '  mx  n c ax2  bx   ແນະນາວທິ ີແກ້ ເຮາົ ມີ y '  mx  n c ax2  bx  dy  mx  n dx ax2  bx  c dy  mx  n c dx ax2  bx   dy   mx n c dx ax2  bx  y   ax 2 mx  c  ax 2 n  c  dx   bx  bx  y   ax2 mx  c dx   ax2 n  c dx  bx  bx y  m ax2 x  c dx  n ax2 1  c dx  bx  bx y  m  ax2 2ax  c dx  n ax2 1  c dx 2a  bx  bx y  m  2ax  b  b dx  n ax2 1  c dx 2a ax2  bx  c  bx 2ax  b 1 ax2  bx   bx  y  m   b  dx  n dx 2a   bx  c ax 2  c ax 2  c 23

y  m  2ax  b c dx  m  ax2 b  c dx  n ax 2 1  c dx 2a ax2  bx  2a  bx  bx d(ax2  bx  c)  mb ax2  bx  c 2a   y  m 2 1  dx  n ax2 1  dx 2a  bx  bx ax c c m ax 2  mb  1 y  2a ln  bx  c    2a  n  dx  b c  a  x 2  a x  a  m ax 2 1  mb  1 dx y  2a ln  bx  c  a   2a  n   b c   a a  x2  x  m ax2 1  mb  1 y  2a ln  bx  c  a   2a  n  dx x2  b x  c aa ນາໃຊ້ສດ: x2  bx   x  b 2  b2  a  a2 y  m ln ax 2  bx  c  1   mb  n   1 dx 2a a  2a  b 2  b 2      x  a    a  c  2   2  a    m ax 2 1  mb  1 y  2a ln  bx  c  a   2a  n  2  2 dx    x  b  b  c  2a  2a a m ax 2 1  mb  1 y  2a ln  bx  c  a   2a  n  dx 2 b2  x  b   4a 2  c  2a a m ax 2 1  mb  1 y  2a ln  bx  c  a   2a  n  2  b2 dx  4a 2  x  b  4ac  2a 4a 2 m ax 2 1  mb  1 y  2a ln  bx  c  a   2a  n  2  b2  4ac dx  4a 2  x  b  2a m ax 2 1  mb  1  b  y  2a ln  bx  c  a   2a  n  d  x  2a  2 b2  x  b    4ac  2a 2a ນາໃຊ້ສດ  du(x) 2  1 arctan u(x)  C u(x)2  a aa 24

y  m ln ax 2  bx  c  1   mb  n . 1 arctan x b 2a a  2a b2  4ac 2a 2a b2  4ac 2a y  m ln ax 2  bx  c  1   mb  n  . 2 2ax  b 2a a  2a  arctan b2  4ac b2  4ac ຕວົ ຢາູ່ ງ 1. ຈົັ່ງແກສ້ ົມຜນົ y'  x2 x 2 6  5x  ວທິ ີແກ້: ເຮາົ ມີ y'  x2 x2 6  5x  dy  x  2 dx x2  5x  6 dy  x2 x 2 6 dx  5x   dy   x 2 x 2 dx  5x  6 y   x2 x 2 dx  5x  6 y   x2  x  6  x2  2  6 dx  5x 5x y   x2  x  6 dx   x2  2  dx 5x 5x 6 y  1  x2 2x  6 dx  2 x2  1  dx 2  5x 5x 6 y  1  2x  5  5 dx  2 x2  1  dx 2 x2  5x  6 5x 6 y  1  2x  5 6 dx  5  x2  1  dx  2 x2  1  dx 2 x2  5x  2 5x 6 5x 6 y  1  2x  5 6 dx  9  x2  1  dx 2 x2  5x  2 5x 6 y  1  d(x2  5x  6) dx  9  (x  1  dx 2 x2  5x  6 2 3)(x 2) y  1 ln x2  5x  6  9   x 1  x 1 2 dx 2 2  3  y  1 ln x2  5x  6  9  x 1 dx   x 1 2 dx  2 2 3   25

y  1 ln x2  5x  6  9  x 1 d(x  3)   x 1 2 d(x  2) 2 2 3  y  1 ln x2  5x  6  9 ln x 3  ln x 2   C 2 2 y  1 ln x2  5x  6  9 ln x  3  C 2 2 x2 ດັງ່ ນນັ້ີ ໃຈຜນົ ຂອງສົມຜນົ ແມນ່ y  1 ln x2  5x  6  9 ln x3 C 2 2 x2 ຕວົ ຢາູ່ ງ 2. ຈົ່ງັ ແກ້ສົມຜນົ y'  x2 x2 1 ວິທີແກ້: ເຮາົ ມີ y'  x2 x2 1 dy  x  2 dx x2 1 dy  x2 x2 1dx  dy   x2 dx x2 1 y   x2 dx x2 1 y   x x 1  2  dx  2 x2 1  y   x dx   2 dx x2  1 1 x 2 y  1  2x dx  2 1 dx 2 x2 1 1 x2 y  1  2x  5 5 dx  2 1 dx 2 x2 1 x2 1 y  1  2x 5 dx  5  1 dx  2 1 dx 2 x2 1 2 x2 1 x2 1 y  1  2x 5 dx  9  1 dx 2 x2 1 2 1 x 2 y  1  d(x2 1) dx  9  (x 1 dx 2 x2 1 2 1)(x 1) y  1 ln x2 1  9   1  x 1 dx 2 2  x 1 1 26

y  1 ln x2 1  9  1 dx   x 1 1 dx  2 2 x 1  y  1 ln x2 1  9  1 d(x 1)   1 d(x 1) 2 2 x 1 x 1 y  1 ln x2 1  9 ln x 1  ln x 1   C 2 2 y  1 ln x2 1  9 ln x 1  C 2 2 x 1 ດັ່ງນນັ້ີ ໃຈຜົນຂອງສົມຜົນແມ່ນ y  1 ln x2 1  9 ln x 1  C. 2 2 x 1 ກດິ ຈະກາ: ຈົງັ່ ແກສ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນິດລຸ່ມນ:້ີ 1) y'  x2 x 1  7x 3 2) y '  3x2 x3  5  9x 3) y '  x 1 x2  5x  2 4) y '  x3 1 3x2  7x 5) y '  5x2 x4  4  2x 6) y'  x2 x5  5 10x 7) y'  x2 x7  6x 1 8) y'  x8 1 4x2  6x 9) y'  x2 1 x 21  4x  10) y'  x2 2x 10x 10  ສດທື່ີໃຊເ້ ຂາ້ີົ ໃນການແກບ້ ດົ ເລກ 1. xdx  x1  C   1  1 2.  u x d u x  u  x 1 C   1  1 3.  1 dx  ln x C x 27

4.  1 d u x  ln ux C ux 5. x2 1 a2 dx  1 ln arctan x  C  a a 6.   1  a2 du(x)  1 arctan u(x) C a a u( x)2 7. a2 1 dx  1 ln ax C  x2 2a ax 8.  a2 1 du(x)  1 ln a  u(x) C 2a a  u(x)  u(x)2 9. 1 dx  1 ln xa C x2 a2 2a xa 10.   1  2 du(x)  1 ln u(x) a C 2a u(x)  a u(x)2 a 11. x2  bx   x  b 2  b2  2  4 12. x2  bx   x  b 2  b2  2  4 2.4 ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂີ້ັນໜງື່ ໃນຮບຮາ່ ງ y'  anxn  an1xn1  ...  a0 ax  b ຕວົ ຢາູ່ ງ 1. ຈ່ົງັ ແກສ້ ົມຜົນ y '  x3  5x2  x  5 x2 ວທິ ແີ ກ:້ ເຮາົ ມີ y '  x3  5x2  x  5 x2 dy  x3  5x2  x  5 dx x  2 dy  x3  5x2  x  5 dx x2  dy   x3  5x2  x  5dx x 2 y  x3  5x2  x  5 dx x2 y    x 2  3x  5  5 dx   x 2 28

y   x2dx  3 xdx  5 dx  5 x 1 dx  2 y  x3  3x2  5x  5 1 d(x  2) 32 x2 y  x3  3x2  5x  5ln x  2  C 32 ດັ່ງນັ້ີນ ໃຈຜນົ ຂອງສົມຜົນແມ່ນ y  x3  3x2  5x  5ln x  2  C 32 ຕວົ ຢາູ່ ງ 2. ຈົັງ່ ແກ້ສມົ ຜົນ y '  5x2  x  5 x2 ວທິ ີແກ້: ເຮາົ ມີ y '  5x2  x  5 x2 dy  5x2  x  5 dx x  2 dy  5x2  x  5 dx x2  dy   5x 2 x 5dx x2 y   5x 2 x 5dx x2 y    3x  5  x 5 2 dx   y  3 xdx  5 dx  5 x 1 2 dx  y  3x2  5x  5 x 1 2 d(x  2) 2  y  3x2  5x  5ln x  2  C 2 ດັ່ງນັີ້ນ ໃຈຜົນຂອງສົມຜົນແມ່ນ y  3x2  5x  5ln x  2  C 2 ກດິ ຈະກາ: ຈັ່ົງແກ້ສມົ ຜົນຈຸນລະຄະນິດລຸ່ມນີ:້ 1) y '  x2  7x  3 x 1 2) y '  3x2  9x  5 x3 29

3) y '  x2  5x  2 x 1 4) y '  3x2  7x 1 x3 5) y '  5x2  2x  4 x4 6) y '  x2 10x  5 x5 7) y '  x2  6x 1 x7 8) y '  4x2  6x 1 x8 9) y '  x2  4x  21 1 x 10) y '  x2 10x 10 2x 2.5 ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂີັ້ນໜື່ງໃນຮບຮາ່ ງ y '  1 ax2  bx  c  ແນະນາວທິ ີແກ້ ເຮາົ ມີ y '  1 ax2  bx  c dy  1 dx ax2  bx  c dy  1 dx ax2  bx  c  dy   1 dx ax2  bx  c y   dx  b c   a a  a x2  x  y 1  dx a x2  b x  c aa ນາໃຊ້ສດ: x2  bx   x  b 2  b2  2  4 30

y 1  dx a  b 2  b 2     x  a    a  c  2   2  a    y  1 dx a  x  b 2   b 2  c  2a   2a  a y 1  dx a  x  b 2  b2  c  2a  4a 2 a 1 d  x  b  a  2a  y  2  x  b   b2  4ac  2a 4a 2 ນາໃຊ້ສດ  du(x)  ln u(x)  u(x)2  k  C u(x)2  k y 1 ln x  b   x  b 2  b2  4ac  C. a 2a  2a  4a 2 ຕວົ ຢາູ່ ງ 1. ຈັງ່ົ ແກສ້ ົມຜນົ y '  1 2x2  5x  6 ວິທແີ ກ້: ເຮາົ ມີ y '  1 2x2  5x  6 dy  1 dx 2x2  5x  6 dy  1 dx 2x2  5x  6  dy   1 dx 2x2  5x  6 y 1 dx 2x2  5x  6 y   dx  5 3  2 2 x2  x  31

y 1  dx 2 x2  5 x 3 2 y  x3  3x2  5x  5 1 d(x  2) 32 x2 y  x3  3x2  5x  5ln x  2  C 32 ນາໃຊ້ສດ: x2  bx   x  b 2  b2  2  4 y 1  dx 2 5 2  5 2      x 2   2  3  2  2      y  1 dx 2  x  5 2   5 2  3  4   4  y  1 dx 2  x  5 2   5 2  3  4   4  y 1  dx 2  x  5 2  25  3  4  16 y 1  dx 2  x  5 2  25  48  4  16 1 d  x  5  2  4  y  2  x  5   23  4 16 ນາໃຊ້ສດ  du(x)  ln u(x)  u(x)2  k  C u(x)2  k y 1 ln x  5   x  5 2  23 C a4  4  16 ດ່ັງນ້ີນັ ໃຈຜົນຂອງສົມຜນົ ແມນ່ y  1 ln x  5   x  5 2  23  C. a4  4  16 32

ຕວົ ຢາູ່ ງ 2. ຈງ່ັົ ແກສ້ ົມຜນົ y '  1 4  6x  3x2 ວິທີແກ:້ ເຮົາມີ y '  1 4  6x  3x2 dy  1 dx 4  6x  3x2 dy  1 dx 4  6x  3x2  dy   1 dx 4  6x  3x2 y 1 dx 4  6x  3x2 y   dx  4  3  3  2x  x 2  y 1  dx 3 4  2x  x2 3 y 1  dx 3 4 2x  x2  3 y 1  dx 3 4 x  2x2  3 ນາໃຊ້ສດ: x2  bx   x  b 2  b2  2  4 y 1  dx 3 4   x  12 1 3 y 1  dx 3 4 1 x 12 3 y 1  dx 3 7  x 12 3 33

y 1  d(x 1) 3  7 2  12    x  3 ນາໃຊ້ສດ  du(x)  arcsin u(x)  C a2  u(x)2 a y  1 arcsin x 1  C 37 3 ດງັ່ ນີນ້ັ ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜົນແມ່ນ y  1 arcsin x 1  C 37 3 ກດິ ຈະກາ: ຈັງ່ົ ແກສ້ ມົ ຜົນຈຸນລະຄະນິດລຸ່ມນີ້: 1) y '  1 4x2 10x  5 2) y '  1 2 2x2  6x  3 3) y '  1 2x2  x  3 4) y '  1 9x2  6x 1 5) y '  1 3x2  8x 1 6) y '  1 2x2  3x  9 7) y '  1 5 12x  4 2x2 8) y '  1 2x2  3x  9 9) y '  1 3x2  5x  4 10) y '  1 9  3 2x  2x2  ບັນດາສດທພີື່ ວົ ພນັ ກບັ ການແກເ້ ລກ 1. dx  ln x  x2  k  C x2  k 34

2.  du(x) u(x)2  k  C  ln u(x)  u(x)2  k 3. dx  arcsin x  C a a2  x2 4.  du(x)  arcsin u(x)  C a2  u(x)2 a 5. dx  ln x  x2  k  C x2  k 6.   du(x)  ln u(x)  u(x)2  k  C u(x)2  k 7. x2  bx   x  b 2  b2  2  4 8. x2  bx   x  b 2  b2  2  4 2.6 ສມົ ຜົນຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນັີ້ ໜ່ງື ໃນຮບຮາ່ ງ y '  mx  n ax2  bx  c  ແນະນາວິທີແກ້ ເຮົາມີ y '  mx  n ax2  bx  c dy  mx  n dx ax2  bx  c dy  mx  n dx ax2  bx  c  dy   mx  n dx ax2  bx  c  mx  n   dx y   ax2  bx  c ax2  bx  c  y mx dx   n dx ax2  bx ax2  bx  c  c y  m ax2 x dx  n 1 dx  bx ax2  bx  c  c y  m  2ax dx  n 1 2a ax2  bx dx  c ax2  bx  c 35

y  m  2ax  bb dx  n 1 2a ax2  bx  c dx ax2  bx  c  2ax  b  b  1 dx  ax2  bx  c  bx  ax2  bx  c  y  m   dx  n 2a ax2  c y  m  2ax b dx  m  ax2 b dx  n  1 dx 2a ax2  bx  2a  bx ax2  bx  c c  c   y  m d(ax2  bx  c)  mb 1 dx 1 dx  n 2a ax2  bx  c 2a ax2  bx  c ax2  bx  c y  m  2ax b dx   n  mb   1 dx 2a ax2  bx   2a  ax2  bx  c c    y  m 1  mb  1 dx  2a   2a 2d ax2  bx  c ax2  bx  c  n  a  x2  b x  c   a a   1 1 2  y  m . ax 2 2a  bx  c  1  n  mb  1 dx a  2a   1 1  b 2  b 2 2     x  a   a  c  2  2  a     1   y  m . 2a ax2  bx  c 2 1  n  mb  1 dx 1 a  2a   b 2  b 2  2  x  a   a  c  2   2  a        y  m . 1  mb  1 dx a  2a  2a ax2  bx  c  n  2 2    x  b   b  c  2a  2a a y  m . 1  mb  dx a  2a  2a ax2  bx  c  n  2   x  b  b2  c  2a 4a 2 a y m. ax2  bx  c  1  n  mb   dx 2a a  2a   b 2 b2 4ac  x  2a   4a 2  4a 2 y  m . 1  mb  dx a  2a  2a ax2  bx  c  n  2   x  b  b2  4ac  2a 4a 2 36

y  m . ax2  bx  c  1  n  mb  ln x  b   x  b 2   b2  4ac 2  C. 2a a  2a  2a  2a   4a 2    ຕວົ ຢາູ່ ງ 1. ຈງັົ່ ແກ້ສມົ ຜົນ y '  11x  3 2x2  9x  4 ວິທແີ ກ:້ ເຮົາມີ y '  11x  3 2x2  9x  4 dy  11x  3 dx 2x2  9x  4 dy  11x  3 dx 2x2  9x  4  dy   11x  3 dx 2x2  9x  4 y 11x  3 dx 2x2  9x  4 y  11x  3 dx 2  x2  9 x  2   2  y 1  11x  3 dx 2 x2  9 x  2 2     y 1   11x  3 dx 2  x2  9 x  2  x 2  9 x  2  2 2  y 1  11x dx  1  3 dx 2 x2  9 x  2 2 x2  9 x 2 22 y  11  x dx  3  1 dx 2 x2  9 x  2 2 x2  9 x 2 22 y  11  2x dx  3  1 dx 22 x2  9 x  2 2 x2  9 x 2 22 37

y  11  2x  9  9 3  1 dx 22 2 2 dx  2 x2  9 x 2 x2  9 x  2 2 2  2x  9 9   2  11  2  dx  3 1 dx y  22   x2  9 x  2 9  2  x2  9 x 2 2 2   x2  x  2 2 2x  9 9 x2  9 2 y  11  dx  11  2 dx  3  1 dx 22 x 22 x2  9 x 2 2 x2  9 x 2  2 2 2 2 d  x 2  9 x  2    2 x   y  11  9 dx  99  1 dx  12  1 dx 22 42 9 2 42 x2  9 x 2 x2 2 x2 x  2 2 2 d  x 2  9 x  2    2 x   y  11  9 dx  87  1 dx 22 42 x2  9 x 2 x2 2 2 2 11 d  x2  9 x  2  87 1 dx 22  x2  2 x   42 y   9 dx    9 2  9 2 2     2      x  2    2  2 2 2    y  11  x2  9 x  2  1 d  x2  9 x  2   87 1 dx  2 2  2  42  2 2   x  9 2   9 2  2  4   4   x2  9 x2  1 1  2  2  1 1 y  11 d  x2  9 x  2   87 1 dx  2  42  2 2  9 2 81  x  4   16  2 2 1  x 2  9x  2  2 d  x  9   2   4  y  11  1  87  dx 22 42 2  x  9   113 2  4 16 38

1 d  x  9   4  11  x2 9  2 87 y22   2 x  2   42 dx 2  x  9   113  4 16 y  11 x2  9 x  2  87 ln  x  9    x  9 2  113 C 22 2 42  4   4  16 ດັ່ງນ້ັີນ ໃຈຜົນຂອງສມົ ຜົນແມນ່ : y  11 x2  9 x  2  87 ln  x  9    x  9 2  113  C. 22 2 42  4   4  16 ຕວົ ຢາູ່ ງ 2. ຈັ່ົງແກ້ສົມຜົນ y '  5x 1 3x2  8x  4 ວທິ ແີ ກ້: ເຮາົ ມີ y '  5x 1 3x2  8x  4 dy  5x 1 dx 3x2  8x  4 dy  5x 1 dx 3x2  8x  4  dy   5x 1 dx 3x2  8x  4 y 5x 1 dx 3x2  8x  4 y 5x 1 dx 3 x2  8 x  4  3 3  y 1  5x 1 dx 3 x2  8 x  4 33     y 1   5x  1  dx 3  x2  8 x  4  x2  8 x  4  33 3 3  39

    y 5   x 1  dx 3  x2  8 x  4  x2  8 x  4  33 3 3  y 5  x dx  1  1 dx 3 x2  8 x  4 3 x2  8 x  4 33 33 y  5  2x dx  1  1 dx 23 x2  8 x  4 3 x2  8 x  4 33 33 y  5  2x  8  8 1  1 dx 23 3 3 dx  3 x2  8 x  4 x2  8 x  4 33 33  2x  8 8   3  5  3  dx  1 1 dx y  23   x2  8 x  4 8 4  3  x2  8 x  4 33 3 3   x2  x  33 y  5  2x  8 4 dx  5  8 1  dx 23 3 23 3 dx  3 x2  8 x  4 x2  8 x  x2  8 x  4 33 33 33 y   2 5  2x  8 4 dx  40  dx  1  dx 3 3 63 x2  8 x  4 3 x2  8 x  4 x2  8 x  33 33 33 y   2 5  2x  8 4 dx  40  dx 4  6  dx 3 3 63 8x 63 x2  8 x  4 x2 x2  8 x  33 33 33 y   2 5  2x  8 4 dx  17  dx 3 3 33 x2  8 x  4 x2  8 x  33 33 5 d  x2  8 x  4  17 dx 3  x2  3 x  3  33 y    8 4 dx   2 4   x2  8 x  33 3  3  40

5 d  x2  8 x  4  17 dx 3  x2  3 x  3  33 y    8 4 dx   2  8 2  8 2  33 4   x       3  3   3   2   2        y 5  x2  8 x  4  1 d  x 2  8 x  4   17 dx  3 3 2  3 3  33  2 3  4  8 2  8 2  3   6    6   x  y 5  x2  8 x  4  1 d  x 2  8 x  4   17 dx  3 3 2  3 3  33  2 3  4  4 2  4 2  3   3    3   x  5  x2 8x4 1 1 17 dx 23  33 2 33  1 1  y    2 4   x  4 2   4 2  3 3   3    5  x2  8 x  4 1 1 17 dx  3 3 2  y    2 3  1 1 33 2 4   x  4   16 2 3  3 9 1 5  x2  8 x  4 2 17 dx  3 3  y    23 1 33 2 28   x  4  2 9  3 5  8 4 2 1 17 d  x  4  23  3 3  33  3  y   x2  x   2  28    x  4 2  3   3   5  8 4 1 17 x 4 3  3 3 33 3 y  x 2  x  2  arcsin  C  28 3 41

1 y 5  x2  8 x  4 2  17 arcsin 3x  4  C 3  3 3  33 28 ດັງ່ ນີນ້ັ ໃຈຜົນຂອງສົມຜນົ ແມນ່ : 1 y 5  x2  8 x  4 2  17 arcsin 3x  4  C. 3  3 3  33 28 ຕວົ ຢາູ່ ງ 3. ຈົັ່ງແກ້ສມົ ຜນົ y '  x3 2x2  9x  4 ວິທແີ ກ້: ເຮາົ ມີ y '  x3 2x2  9x  4 dy  x  3 dx 2x2  9x  4 dy  x  3 dx 2x2  9x  4  dy   x3 dx 2x2  9x  4 y x  3 dx 2x2  9x  4 y  x  3 dx 2  x2  9 x  2   2  y 1  x  3 dx 2 x2  9 x  2 2     y 1   x 3 dx 2  x2  9 x  2  x 2  9 x  2  2 2  y 1  x dx  1  3 dx 2 x2  9 x  2 2 x2  9 x 2 22 y 1  x dx  3  1 dx 2 x2  9 x  2 2 x2  9 x 2 22 42

y  2 1  2x dx  3  1 dx 2 x2  9 x  2 2 x2  9 x 2 22 y  2 1  2x  9  9 3  1 dx 2 2 2 dx  2 x2  9 x 2 x2  9 x  2 2 2  2x  9 9  2  1  2  dx  3 1 dx y    x2  9 x  2 2  x2  9 x 2 2 2 2 9   x2  2 x  2  2 2x  9 9 x2  9 2 y  2 1  dx  2 1  2 dx  3  1 dx 2 x 2 x2  9 x 2 2 x2  9 x 2  2 2 2 2 d  x 2  9 x  2    2 x   y  1  9 dx  9  1 dx  12  1 dx 22 4 2 9 2 42 x2  9 x 2 x2 2 x2 x  2 2 2 d  x 2  9 x  2    2 x   y  1  9 dx  21  1 dx 22 42 x2  9 x 2 x2 2 2 2 1 d  x2  9 x  2  21 1 dx 22  x2  2 x   42 y   9 dx    9 2  9 2 2     2      x  2    2  2 2 2    y 1  x2  9 x  2  1 d  x2  9 x  2   21 1 dx  2 2  2  42  2 2   x  9 2   9 2  2  4   4   x2  9 x2  1 1  2  2  1 1 y 1 d  x2  9 x  2   21 1 dx  2  42  2 2  9 2 81  x  4   16  2 2 43

1  x 2  9x  2  2 d  x  9   2   4  y  1  1  21  dx 22 42 2  x  9   113 2  4 16 1 d  x  9   4  1  x2 9  2 21 y  2   2 x  2   42 dx 2 2  x  9   113  4 16 y 1 x2  9 x  2  21 ln  x  9    x  9 2  113 C 22 2 42  4   4  16 ດັງ່ ນີັ້ນ ໃຈຜົນຂອງສມົ ຜົນແມ່ນ: y 1 x2  9 x  2  21 ln  x  9    x  9 2  113 C 22 2 42  4   4  16 ຕວົ ຢາູ່ ງ 4. ຈົ່ງັ ແກ້ສົມຜນົ y '  x 1 3x2  8x  4 ວິທແີ ກ້: ເຮາົ ມີ y '  x 1 3x2  8x  4 dy  x 1 dx 3x2  8x  4 dy  x 1 dx 3x2  8x  4  dy   x 1 dx 3x2  8x  4 y x 1 dx 3x2  8x  4 y x 1 dx 3x2  8x  4 44

y 1  x 1 dx 3 x2  8 x  4 33     y 1   x 1  dx 3  x2  8 x  4  x2  8 x  4  33 3 3      y 1   x 1  dx 3  x2  8 x  4  x2  8 x  4  33 3 3  y 1  x dx  1  1 dx 3 x2  8 x  4 3 x2  8 x  4 33 33 y  1  2x dx  1  1 dx 23 x2  8 x  4 3 x2  8 x  4 33 33 y  1  2x  8  8 1  1 dx 23 3 3 dx  3 x2  8 x  4 x2  8 x  4 33 33  2x  8 8   3  1  3  dx  1 1 dx y  23   x2  8 x  4 8 4  3  x2  8 x  4 33 3 3   x2  x  33 y  1  2x  8 4 dx  1  8 1  dx 23 3 23 3 dx  3 x2  8 x  4 x2  8 x  x2  8 x  4 33 33 33 y   213  2x  8 4 dx  8  dx  1  dx 3 63 x2  8 x  4 3 x2  8 x  4 x2  8 x  33 33 33 y   1 3  2x  8 4 dx  8  dx 4  6  dx 2 3 63 8x 63 x2  8 x  4 x2 x2  8 x  33 33 33 45

y   213  2x  8 4 dx  1  dx 3 33 x2  8 x  4 x2  8 x  33 33 1 d  x2  8 x  4  1 dx 3  x2  3 x  3  3 y    8 4 dx   2 3 4   x2  8 x  33 3  3  1 d  x2  8 x  4  1 dx 3  x2  3 x  3  3 y    8 4 dx   2 3  8 2  8 2  33 4  x       3 3   3   2   2        y 1  x2  8 x  4  1 d  x 2  8 x  4   1 dx  3 3 2  3 3  3  2 3  3 4  8 2  8 2  3 6   6    x    y 1  x2  8 x  4  1 d  x 2  8 x  4   1 dx  3 3 2  3 3  3  2 3  3 4  4 2  4 2  3 3   3    x    1  x2  8 x  4 1 1 1 dx  3 3 2  y    2 3  1 1 33 4  4 2  4 2  2 3  x  3    3    1  x2  8 x  4 1 1 1 dx  3 3 2  y    2 3  1 1 33 2 4   x  4   16 2 3  3 9 1  x 2  8x  4 2  3 3  1 1 dx y    23 1 33 2 28   x  4  2 9  3 46