ວິຊາ ມໍປາຍ2

   4a 2  4(b2 )  4a2  4b2  4(a2  b2 )  2    2 a2  b2 t1  2a  2 a2  b2  a a2  b2 4 2 t2  2a  2 a2  b2  a a2  b2 4 2 ເຫນັ ວົ່ າ t2  a  a2  b2  0 ບົ່ ໍເໝາະສມົ 2 ສໍາລບັ x2  t  x   t ເຮາົ ໄດ:ູ້ x   a  a2  b2 ແທນໃສົ່ ສມົ ຜນົ (1) 2  a a2  b2 2 a a2  b2  a  y   a2  b2  a    y2 2 2 ໄດ:ູ້  2  a y2    ດ່ົ ງັ ນນັູ້ ,  a a2  b2  a2  b2  a  ກລໍ ະນີ a  bi      2 2  a  bi ຄດິ ໄລ່ົ ກ່ົ ຽວກບັ ວທິ ຂີ າູ້ ງເທົ່ ງິ ກົ່ ຈໍ ະໄດ:ູ້  a a2  b2  a2  b2 a  a  bi        2 2  ຕວົ ຢ່ົ າງ: ຈ່ົ ງົ ຄດິ ໄລ່ົ z ຖາູ້ ວ່ົ າ: z  2  4i ບດົ ແກ:ູ້ ອງິ ຕາມສດ  a a2  b2  a2  b2  a  a  bi      2 2  ຈະໄດ:ູ້ :  22  42  2  i 22  42 2    2 52 i 52 2    5 1i 5 1 z  2  4i    2   2    2   2   ກດິ ຈະກາໍ : ຈົ່ ງົ ຊອກຫາ z ຂອງຈາໍ ນວນສນົ ລ່ົ ມນ:ີູ້ 1) z  11 2) z  3  4i 2.6 ສມົ ຜນົ ພດຊະຄະນດິ ໃນຈາໍ ນວນສນົ ຕວົ ຢ່ົ າງ: ຈ່ົ ງົ ແກສູ້ ມົ ຜນົ ລ່ົ ມນ:ີູ້ 1. (2  3i)x  x 1 SONEPHAN LORVANNA 96

2. 2  i x  1 3i 2i 2i ບດົ ແກ:ູ້ 1. ຈາກ (2  3i)x  x 1 (2  3i)x  x  1 2  3i 1 x  1 1 2i x  1  x  1  1 2i  1 2i  1  2 i 1 2i 1 4 5 5 5 ດ່ົ ງັ ນນັູ້ ; ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ 1  2i 55 2. 2  i x  1 3i 2i 2i  2  i  2  i x   1  3i2  i  2  i  2  i i2i 2 2  4i 1 x  2  7i  3 41 41 1 4i x  1 7i 55  1 4i x  1 7i x  1 7i  (1 7i)(1 4i)  29  3i  29  3 i 1 4i 1  16 17 17 17 ດົ່ ງັ ນນັູ້ ; ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ 29  3 i 17 17 ກດິ ຈະກາໍ : ຈ່ົ ງົ ແກສູ້ ມົ ຜນົ ລ່ົ ມນ:ີູ້ 1) 3x  (2  3i)(1 2i)  5  4i 2) 2x2  3x  4  0 II. ຮບຮົ່ າງໄຕມມມຕິ ຂິ ອງຈາໍ ນວນສນົ 1. ໂມດນຂອງຈາໍ ນວນສນົ ໂມດນຂອງຈາໍ ນວນສນົ z  a  bi,(a,b  R) ແມ່ົ ນໄລຍະຫົ່ າງແຕົ່ ເມດັ ເຄາົູ້ ຫາເມດັ ທ່ົ ສີ ະແດງຈາໍ ນວນສນົ z ສນັ ຍາລກັ ດວູ້ ຍ r  z  z  z  a2  b2 ຕວົ ຢ່ົ າງ1: ຖາູ້ ໃຫູ້ M a,b ແມົ່ ນເມດັ ທ່ົ ສີ ະແດງຈາໍ ນວນສນົ z  a  bi,(a,b  R) ດ່ົ ງັ ຮບຈະໄດູ້ r  OM  a2  b2 SONEPHAN LORVANNA 97

ຕວົ ຢົ່ າງ2: ຈ່ົ ງົ ຊອກຫາໂມດນຂອງຈາໍ ນວນສນົ z 1 2i ບດົ ແກ:ູ້ z  12  22  5 ກດິ ຈະກາໍ : ຈົ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ົ z ຂອງຈາໍ ນວນສນົ ລົ່ ມນ:ີູ້ 1) z 1 3i 2) z  3i  2 i 1 i i ຄນລກັ ສະນະຂອງໂມດນ z ໃຫຈູ້ າໍ ນວນສນົ z ມແີ ຕ່ົ ສົ່ ວນຈງິ ໂມດນຂອງ z ແມ່ົ ນຄ່ົ າສໍາບນຂອງສ່ົ ວນຈງິ ນນັູ້ z  0 ເມົ່ ອ z  0 z2  zz zz z1z2  z1 z2 zn  z n z1  z1 ເມ່ົ ອ z2  0 z2 z2 z1  z2  z1  z2 ຕວົ ຢົ່ າງ3: ກ. ໃຫູ້ z  4  3i ຈ່ົ ງົ ຄດິ ໄລົ່ z4 4 42  32     ບດົ ແກ:ູ້ ຈາກ z4  z 4  25 4  54  625 ຂ. ໃຫ ູ້ z1  4  3i, z2  1 5i . ຈົ່ ງົ ຊແີູ້ ຈງວ່ົ າ z1  z2  z1  z2 ບດົ ແກ:ູ້ ເຮາົ ມີ z1  z2  4  3i  1 5i  5  2i  z1  z2  52  22  29 SONEPHAN LORVANNA 98

ແລະ z1  42  32  5, z2  12  52  26 ຈະໄດ ູ້  z1  z2  5  26 29  5  26 ດົ່ ງັ ນນັູ້ ; z1  z2  z1  z2 ກດິ ຈະກາໍ : ໃຫຈູ້ າໍ ນວນສນົ z1  1 3i ແລະ z2  1 3i ຈ່ົ ງົ ຄດິ ໄລົ່ z12  z22 ແລະ z16 z22 2. ອາກກຍມງັ ຂອງຈາໍ ນວນສນົ z  0 ໃຫູ້ M ເປນັ ເມດັ ໜົ່ ງຢ່ົ ໃນໜາູ້ ພຽງຈາໍ ນວນສນົ ທົ່ ສີ ະແດງຈາໍ ນວນສນົ z  a  bi ມມ  ທົ່ ປີ ະກອບລະຫວົ່ າງ OM ກບັ ແກນຈງິ ເບອູ້ ງບວກ ເອນີູ້ ວ່ົ າ ອາກກຍມງັ ຂອງຈາໍ ນວນສນົ z ແລະ ສນັ ຍາລກັ ດວູ້ ຍ arg z   ເຊ່ົ ງິ tan  b , 0    2 a ຕວົ ຢ່ົ າງ: ຈົ່ ງົ ຊອກຫາອາກກຍມງັ ຂອງຈາໍ ນວນສນົ z  1 3i ແກ:ູ້ ຈາກ z  1 3i ເຮາົ ມີ tan  3 3 1 ສງັ ເກດເຫນັ ວ່ົ າ a 1  0,b  3  0 ຈາໍ ນວນສນົ ຢົ່ ໃນສ່ົ ວນສົ່ ທີ ໜີ ົ່ ງ ດ່ົ ງັ ນນັູ້ ; 3  tan      33 ກດິ ຈະກາໍ : ຈົ່ ງົ ຊອກຫາອາກກຍມງັ ຂອງຈາໍ ນວນສນົ ຕົ່ໄໍ ປນ:ີູ້ 1) z  1 3i 2) z  1 3i 3. ຮບຮົ່ າງໄຕມມມຕິ ຂິ ອງຈາໍ ນວນສນົ ຫກັ ເກນ: ຈາໍ ນວນສນົ z  a  bi,(a,b  R), z  0 ທຂີ ຽນໃນຮບຮ່ົ າງ z  r(cos  i sin) ໃນນີູ້ r  0 ເອນີູ້ ວ່ົ າຮບຮ່ົ າງໄຕມມມຕິ ຂິ ອງຈາໍ ນວນສນົ . ເພ່ົ ອຊອກຫາ z  r(cos  i sin) ເຮາົ ປະຕບິ ດັ ດົ່ ງັ ນ:ີູ້ 1. ຊອກຫາ r ເຊົ່ ງິ ແມົ່ ນໂມດນຂອງ z 2. ຊອກຫາ  ເຊ່ົ ງິ ແມ່ົ ນອາກກຍມງັ ຂອງ z ຕວົ ຢ່ົ າງ1: ຈ່ົ ງົ ຂຽນຈາໍ ນວນລ່ົ ມນເີູ້ ປນັ ຮບຮ່ົ າງໄຕມມມຕິ .ິ ກ. z  3  i  ແກ:ູ້ ເຮາົ ມີ r  3 2 12  4 2, tan  1    36 ດ່ົ ງັ ນນັູ້ ; z  2  cos   i sin    6 6  ຕວົ ຢົ່ າງ2: ຈ່ົ ງົ ຮຽນຈາໍ ນວນສນົ ຕົ່ໄໍ ປນໃີູ້ ນຮບຮົ່ົ່ າງ ໄຕມມມຕິ ິ SONEPHAN LORVANNA 99

1) z  1i  3 1 i 2) z   3  i ບດົ ແກ:ູ້ 1) z  1i  1 i  1 i   i 1 i 1 i  1 i  ຈາກ: z  r cos  i sin  ເຮາົ ມ:ີ r  02  12  1 sin   b  sin   1  sin   1  sin   sin          r 1  2  2 ດົ່ ງັ ນນັູ້ z  cos      i sin      2   2   2) ເຮາົ ມ:ີ r   3 2  12  4  2 tan  1  tan   3 3 3 tan   tan  6 tan   tan      6    5 6 ເຮາົ ໄດ:ູ້ z  2  cos 5  i sin 5   6 6   ດ່ົ ງັ ນນັູ້ 3 23  5 5 3 8 5  i sin 5 3 z3   3i   6  i sin 6   6 6  cos cos ຕວົ ຢ່ົ າງ3: ຈົ່ ງົ ຂຽນຈາໍ ນວນສນົ ຕ່ົໄໍ ປນໃີູ້ ນຮບຮ່ົ າງ ພດຊະຄະນດິ 1) z  2 cos120  i sin120  2) z 3  cos   i sin    6 6  ບດົ ແກ:ູ້ 1) z  2(cos120  i sin120 ) z  2( 1  i 3) 22 z 2 i 6 22 2) z 3  cos   i sin    6 6  SONEPHAN LORVANNA 100

ກດິ ຈະກາໍ : z  3( 3  1 i) 22 z  3i 3 22 ຈົ່ ງົ ຂຽນຈາໍ ນວນລ່ົ ມນເີູ້ ປນັ ຮບຮ່ົ າງໄຕມມມຕິ ິ ກ. z  3 ຂ. z  5i ຄ. z 1 i ສົ່ ງີ ທຄີ ວນເອາົ ໃຈໃສ່ົ : 1. r  z  1 ແມົ່ ນ z  cos  i sin,(  R) ຈາໍ ນວນສນົ z ແມົ່ ນບນັ ດາເມດັ ຢ່ົ ຕນມວງົ ມນົ ຫວົ ໜ່ົ ວຍ 2. ເມົ່ ອ z  0 ແມົ່ ນ r  z  0 ແຕ່ົ ອາກກຍມງັ ຂອງ z ກາໍ ນດົ ບ່ົໄໍ ດ.ູ້ 4. ການຄາໍ ນວນຈາໍ ນວນສນົ ດວູ້ ຍຮບຮົ່ າງໄຕມມມຕິ ິ 4.1 ການຄນ ແລະ ການຫານ ຖາູ້ ວົ່ າ z1  r1(cos1  i sin1) ແລະ z2  r2 (cos2  i sin2 ) ຈະໄດ:ູ້ z1  z2  r1  r2[cos(1 2 )  i sin(1 2)] (r1 , r2 ) z1  r1 [cos(1 2 )  i sin(1 2 )] (r2  0) z2 r2 z2  2(cos30  i sin 30 ) . ຈ່ົ ງົ ຊອກ z1  z2 ແລະ ຕວົ ຢ່ົ າງ: ຖາູ້ ໃຫູ້ z1  6(cos 45  i sin 45 ) ແລະ z1 z2 ແກ:ູ້ ເຮາົ ມີ z1  z2  6 2[cos(45  30 )  i sin(45  30 )] 12(cos 75  i sin 75 ) z1  6 [cos(45  30 )  i sin(45  30 )]  3(cos15  i sin15 ) z2 2 ກດິ ຈະກາໍ : ຈົ່ ງົ ຊອກຫາ z1  z2 ແລະ z1 ຂອງຈາໍ ນວນສນົ ລົ່ ມນ:ີູ້ z2 1. z1  1 i ແລະ z2  3  i 4.2 ການຂນູ້ ກາໍ ລງັ ໃຫຈູ້ າໍ ນວນສນົ z  r(cos  i sin) ຈະໄດ:ູ້ zn  rn (cos n  i sin n) ຕວົ ຢົ່ າງ: 1. ຖາູ້ ວົ່ າ z  3(cos30  i sin 30 ) ຈົ່ ງົ ຊອກ z3 ແກ:ູ້ ຈາກ z  3(cos30  i sin 30 )  z3  33(cos330  i sin 330 )  27(cos90  i sin 90 )  27 6 3i  2. ຈົ່ ງົ ຄດິ ໄລົ່ ເຮາົ ມີ z 3  i  2( 3  1 i)    i sin  )  2[cos(  )  i sin(  )] 2(cos 22 66 66 SONEPHAN LORVANNA 101

ຈະໄດູ້ z6  26[cos 6(  )  i sin 6(  )]  64[cos( )  i sin( )]  64(cos  i sin )  64 66 ຕວົ ຢົ່ າງ2: ຈົ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ົ : 1)  1 i 3 3  6 3)  5  3i 3 21 4)  4i 6  1 i   1 2i 3   1 i 3  2) 3  i ບດົ ແກ:ູ້ 1) 1 i 3 3  1 i  ວາງ:  z1  1 i 3  2 ເຮາົ ມ:ີ r  12  3  2 tan  b  3  3  tan      a1 33 ເຮາົ ໄດ:ູ້ z1  2  cos   i sin    3 3   z2 1i ເຮາົ ມ:ີ r  12 12  2 tan  b  1  1  tan      a1 44 ເຮາົ ໄດ:ູ້ z 2  2  cos   i sin    4 4   2  cos   i sin   3 1 i 3 3 3   3 3    1 i    zzດົ່ ງັ ນນັູ້   1        2  2  cos 4  i sin 4     2  cos       i sin      3    3 4   3 4      2  cos   i sin   3   12 12     3        2  i 2     4 4  2  2 2  2 cos i sin 2 2 2i  6 2) 3  i SONEPHAN LORVANNA 102

 ເຮາົ ມ:ີ r  3 2  12  4  2 tan  1   3   tan   tan        5 3 3 6 6  6  ດ່ົ ງັ ນນັູ້ 6    5  i sin 5  6  26 cos 5  i sin 5   641 0  64 3i   6 6   2 cos 3)  5  3i 3 21  1 2i 3  ວາງ: z  5  3i 3 1 2i 3    5  3i 3 1 2i 3  5 10i 3  3i 3  6i2 ( 3)2  13 13 3i  1 112 13  12  2 3i 2i 3  21 ເຮາົ ໄດ:ູ້ z  1 3i    21    2   1  3 i   2 2  221  cos 2  i sin 2 21  3 3   221  cos 21 2  i sin 21 2   3 3   221 (cos14  i sin14 )  221 4)  4i 3 6 `  1 i   ວາງ: z  4i  4i 1 i 3  4 3  4i   3i 1 i 3 (1 i 3)(1 i 3) 1 3  2 ເຮາົ ມ:ີ r   3 12  4  2 tan  1   3   tan   tan        5 3 3 6 6  6 ເຮາົ ໄດ:ູ້ z  2  cos 5  i sin 5   6 6  ດ່ົ ງັ ນນັູ້ z6   2  cos 5  i sin 5  6  6 6   SONEPHAN LORVANNA 103

 64(cos 5  i sin 5 ) ຈົ່ ງົ ຊອກ z4  64(110)  64 ກດິ ຈະກາໍ : . ຖາູ້ ວ່ົ າ z  2(cos 60  i sin 60 ) 5. ສດມວົ (Moivre) ຈາກຈາໍ ນວນສນົ z  r(cos  i sin) ຖາູ້ ວ່ົ າ n ເປນັ ຈາໍ ນວນຖວູ້ ນບວກ n  1 zn  r(cos n  i sin n)n  rn (cos n  i sin n) ເມົ່ ອ r  1 ເຮາົ ມ:ີ (cos  i sin)n  cos n  i sin n ເອນີູ້ ວ່ົ າສດມວົ 6. ຮາກຂນັູ້ n ຂອງຈາໍ ນວນສນົ z ໃຫຈູ້ າໍ ນວນສນົ z  r(cos  i sin) ຍອູ້ ນ cos,sin ມຮີ ອບວຽນແມົ່ ນ 2k . ດົ່ ງັ ນນັູ້ ສາມາດ ຂຽນໄດູ້ : z  r[cos(  2k )  i sin(  2k )] ແລະ ຮາກຂນັູ້ n ຂອງຈາໍ ນວນສນົ z ແມົ່ ນ: n z  n r[cos(  2k )  i sin(  2k )] ເຊົ່ ງີ ວ່ົ າ k  0,1, 2,......, n 1 nn ຕວົ ຢົ່ າງ1: ໃຫູ້ z  27i ຈົ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ົ 3 z ບດົ ແກ:ູ້ ກົ່ ອນອົ່ ນເຮາົ ປົ່ ຽນ z ໃຫຢູ້ ່ົ ໃນຮບຮ່ົ າງໄຕມມມຕິ ກິ ົ່ ອນ ເຮາົ ມີ r  272  27 ແລະ  2 ໄດ ູ້ z  27(cos   i sin  ) 22 ດົ່ ງັ ນນັູ້ , 3 z  3 27    2k     2k   3     4k   i sin    4k   2 3   2 3  cos  3   3  cos    i sin           ສໍາລບັ k  0  3 z  3 cos   i sin    33  3 i 6 6  2 2 ສາໍ ລບັ k 1 3 z  3 cos 5  i sin 5    33  3i 6 6  2 2 ສໍາລບັ k 2 3 z  3 cos 9  i sin 9   3 cos 3  i sin 3   3i 6 6  2 2  ດົ່ ງັ ນນັູ້ ; ຮາກຂນັູ້ ສາມຂອງ z  27i ແມົ່ ນ 33  3 i , 3 3  3i ແລະ 3i 2 2 2 2 ກດິ ຈະກາໍ : 1. ໃຫູ້ z  i ຈ່ົ ງົ ຊອກ 4 z 2. ໃຫູ້ z  1 i 3 ຈົ່ ງົ ຊອກ 3 z SONEPHAN LORVANNA 104

ບດົ ເຝກິ ຫດັ I. ຄວາມຮທູ້ ່ົ ວົ ໄປກ່ົ ຽວກບັ ຈາໍ ນວນສນົ 1. ໃຫບູ້ ນັ ດາຈາໍ ນວນສນົ 2  3i;1 2i;2  i ກ. ຈ່ົ ງົ ສະແດງບນັ ດາຈາໍ ນວນສນົ ດົ່ ງັ ກ່ົ າວເທ່ົ ງິ ໜາູ້ ພຽງຈາໍ ນວນສນົ ຂ. ຈ່ົ ງົ ຂຽນຈາໍ ນວນຄາດຄ່ົ ຂອງແຕ່ົ ລະຈາໍ ນວນສນົ ດົ່ ງັ ກ່ົ າວພອູ້ ມນນັູ້ ກ່ົ ໃໍ ຫສູ້ ະແດງເທງິ ໜາູ້ ພຽງຈາໍ ນວນສນົ . ຄ. ຈົ່ ງົ ຂຽນຈາໍ ນວນກງົ ກນັ ຂາູ້ ມຂອງບນັ ດາຈາໍ ນວນສນົ ດ່ົ ງັ ກ່ົ າວ ພອູ້ ມທງັ ສະແດງເທງິ ຈາໍ ນວນສນົ . 2. ຈ່ົ ງົ ກາໍ ນດົ ພາກສ່ົ ວນຈງິ ແລະ ພາກສ່ົ ວນສາໍ ນກຂອງບນັ ດາຈາໍ ນວນສນົ ຕ່ົໄໍ ປນ:ີູ້ ກ. i  (2  4i)  (3  2i)  2 ຂ. 2  3i ຄ. (2  3i)(2  3i) ງ. i(2  i)(3  i) 3. ຈົ່ ງົ ຄາໍ ນວນ 1) (2  4i)(3 5i)  7(4  3i) 2) 1 2i2  2  3i3 2i 3) (2  i)  (1 i)(4  3i) 3  2i 4) (4  3i)(1 2i)  4  3i 1 2i 5) 2i 2  1i 2 1i 2 2i 2 6) SONEPHAN LORVANNA 105

7) (1 i)(2  i)  (1 i)(2  i) 2i 2i 4. ຈ່ົ ງົ ຄດິ ໄລ່ົ 1) 2i60  5i127  3i176 2) 6i150  9i177 2i16  7i51  2 3) 2  i 3 4) 2  2i3 5) 1 i10 4. ຈ່ົ ງົ ຊອກຈາໍ ນວນປນີູ້ ຂອງຈາໍ ນວນສນົ ຕ່ົ ໄໍ ປນີູ້ 1) 2  i 3 2) 1i 5 3  2i 5. ໃຫູ້ z  3  7i ຈ່ົ ງົ ຄດິ ໄລ່ົ z  z ແລະ z z 6. ຈ່ົ ງົ ຊອກຫາຮາກຂນັູ້ ສອງ 1. -11 2. 3  4i 3. 4  6i 5 7. ຈົ່ ງົ ແກສູ້ ມົ ຜນົ ລົ່ ມນ:ີູ້ 1) 3x  (2  3i)(1 2i)  5  4i 2) (5  7i)  3x  (2  5i)(1 3i) 3) 3x(2  i) 1  2ix(1 i)  3i 4) 2x2  3x  4  0 5) 3x2  2x  7  0 6) x2  x  7  0 3x2  3  2i 2 x  (1 i)3  i 8x 1i  7) 8) x3  3x2  4x  2  0 9) x3  (2  2i)x2  (5  4i)x 10i  0 10) x4 1  0 11) x4  7x2 10  0 II. ຮບຮ່ົ າງໄຕມມມຕິ ິ 1. ຈ່ົ ງົ ຄດິ ໄລົ່ z ຮວູ້ ່ົ າ z 1 3i 2. ໃຫຈູ້ າໍ ນວນສນົ z1  1 3i ແລະ z2  1 3i ຈົ່ ງົ ຄດິ ໄລົ່ z12  z22 ແລະ z16  z22 SONEPHAN LORVANNA 106

3. ຈົ່ ງົ ຄດິ ໄລົ່ ໂມດນຂອງຈາໍ ນວນສນົ z  3i  2 i 1 i i 4. ຈ່ົ ງົ ຄດິ ໄລົ່ ອາກກຍມງັ ຂອງຈາໍ ນວນສນົ ຕ່ົ ໄໍ ປນີູ້ 1) z 1 i 2) z  1  i 1 22 5. ໃຫຈູ້ າໍ ນວນສນົ z1  1 i ແລະ z2  3  i 1) ຈ່ົ ງົ ຂຽນ z1 ແລະ z2 ໃນຮບຮົ່ າງໄຕມມມຕິ ິ 2) ນາໍ ໃຊຜູ້ ນົ ໄດຮູ້ ບັ ໃນຂໍູ້ 1) ຈົ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ົ z1  z2 ແລະ z1 z2 6. ໃຫຈູ້ າໍ ນວນສນົ z1  6  i , z2  2  2i ແລະ z3  z1 . ຈ່ົ ງົ ຂຽນ z1 , z2 ແລະ z3 ໃນຮບ ຮົ່ າງໄຕ z2 ມມມຕິ ິ ຈ່ົ ງົ ຂຽນຈາໍ ນວນສນົ ຕົ່ ໄໍ ປນໃີູ້ ນຮບຮ່ົ າງໄຕມມມຕິ ີ 1) z  1i 2)  3 1 i z   3i 7. ຈົ່ ງົ ຂຽນຈາໍ ນວນສນົ ຕ່ົໄໍ ປນໃີູ້ ນຮບຮ່ົ າງພດຊະຄະນດິ 2) z  1) z  2(cos120  i sin120 ) 3(cos   i sin  ) 66 8. ຈົ່ ງົ ຄດິ ໄລົ່ 1) z   1 3i 3  6 3) z   5  3i 3 21  1 i   1 2i 3  2) z  3  i 4) z   4i 6  1i 3  9. ຈ່ົ ງົ ຊອກ 1) 4 i 2) 3 1 i 3 SONEPHAN LORVANNA 107

SONEPHAN LORVANNA 108

ບດົ ທີ 6 ສະຖຕິ ິ I. ການປະເມນີ ຄ່ າ (Estimation) ເພ່ ນິ ເອນີີ້ ຄ່ າສະເລ່ ຍ, ຄ່ າສະເລ່ ຍ, ຄ່ າຜນັ ປ່ ຽນ, ຄ່ າຜນັ ປ່ ຽນມາດຕະຖານ ແລະ ອດັ ຕາສ່ ວນຂອງຕວົ ຢ່ າງວ່ າ ຄ່ າສະຖິຕິ. ສ່ ວນຄ່ າສະເລ່ ຍ, ຄ່ າສະເລ່ ຍ, ຄ່ າຜັນປ່ ຽນ, ຄ່ າຜັນປ່ ຽນມາດຕະຖານ ແລະ ອັດຕາສ່ ວນຂອງ ປະຊາກອນ ເອນີີ້ ວ່ າ: ພາຣາມເິ ຕີ (Parameters). ການປະເມນີ ຄ່ າແມ່ ນການໃຊຄ້ີ ່ າສະຖຕິ ິ ເພ່ ອື ປະເມນີ ພາຣາມເິ ຕ.ີ ການປະເມນີ ຄ່ າມສີ ອງແບບຄ:ື ແບບເມດັ ແລະ ແບບຫວ່ າງ. 1. ການປະເມນີ ຄ່ າແບບເມດັ ການປະເມນີ ຄ່ າແບບເມດັ ແມ່ ນການປະເມນີ ຄ່ າພາຣາມເິ ຕີ ດວ້ີ ຍຄ່ າສະຖຕິ ພິ ຽງແຕ່ ໜ່ ງຄ່ າເທ່ າົ ນນັີ້ ເຊ່ ນັ : n  Xi ຄ່ າສະເລ່ ຍຂອງຕວົ ຢ່ າງ x  i1 ແມ່ ນຕວົ ປະເມນີ ຄ່ າແບບເມດັ ຂອງຄ່ າສະເລ່ ຍປະຊາກອນ  . n n (Xi  X )2 ຄ່ າຜນັ ປ່ ຽນຕວົ ຢ່ າງ s2  i1 n 1 ແມ່ ນຕວົ ປະເມນີ ຄ່ າແບບເມດັ ຂອງຄ່ າຜນັ ປ່ ຽນປະຊາກອນ 2 . ຄ່ າອດັ ຕາສ່ ວນຕວົ ຢ່ າງ pˆ  x ແມ່ ນຕວົ ປະເມນີ ຄ່ າແບບເມດັ ຂອງຄ່ າອດັ ຕາສ່ ວນປະຊາກອນ p . n ຕວົ ຢ່ າງ 1. ຈາກການສ່ ມຕວົ ຢ່ າງນກັ ຮຽນ ຊນັີ້ ມ.7 ຈາໍ ນວນ 10 ຄນົ ເພ່ ອື ຖາມອາຍ ໄດຂ້ີ ໍມີ້ ູນດ່ ງັ ນ:ີ້ີ 15, 16, 15, 17, 16, 19, 18, 17, 18, 17. ຈ່ ງົ ປະເມນີ ຄ່ າສະເລ່ ຍອາຍນກັ ຮຽນຊນັ້ີ ມ.7. ບດົ ແກ:້ີ ອາຍສະເລ່ ຍຂອງນກັ ຮຽນຊນັ້ີ ມ.7 ແມ່ ນ: n  Xi ອງິ ຕາມສູດ: x  i1 n ເຮາົ ໄດ:້ີ x  15 16 15 17 16 19 18 17 18 17 10  168  16,8 10 ດ່ ງັ ນນັ້ີ , ອາຍສະເລ່ ຍຂອງນກັ ຮຽນຊນັ້ີ ມ.7 ແມ່ ນ 17 ປ.ີ ກດິ ຈະກາໍ 1: ຄະນະວກິ ານຂອງໂຮງຮຽນມດັ ທະຍມົ ຕອີ້ ງການປະເມນີ ຈາໍ ນວນນກັ ຮຽນທ່ ມີ ກັ ວຊິ າຄະນດິ ສາດວ່ າມີ ຈກັ ເປເີ ຊນັ ຈ່ ງໄດສີ້ ່ ມຕວົ ຢ່ າງນກັ ຮຽນຈາໍ ນວນ 50 ຄນົ , ມຈີ າໍ ນວນ 35 ຄນົ ມກັ ຮຽນວຊິ າຄະນດິ ສາດ. ຈ່ ງປະເມນີ ຄ່ າອດັ ຕາສ່ ວນຂອງນກັ ຮຽນທ່ ມີ ກັ ວຊິ າຄະນດິ ສາດ. 2. ການປະເມນີ ຄ່ າແບບຫວ່ າງ ການປະເມນີ ຄ່ າແບບຫວ່ າງແມ່ ນການປະເມນີ ພາຣາມເິ ຕຈີ ະຢ່ ູຫວ່ າງໃດ. ຄ່ າກະຕວງທ່ ພີ າຣາມເິ ຕີ ຈະຢ່ ູໃນ ຫວ່ າງທ່ ຄີ າດໄວເ້ີ ພ່ ນິ ວ່ າ ລະດບັ ຄວາມສໍາຄນັ ແລະ ສນັ ຍະລກັ ດວີ້ ຍ . ເຮາົ ເອນີ້ີ 1 100% ວ່ າລະດບັ ຄວາມ SONEPHAN LORVANNA 108

ເຊ່ ອື ໝນັີ້ . ໃນການປະເມນີ ຄ່ າແບບຫວ່ າງຕ່ ໍໄປນີີ້ ຈະສກສາແຕ່ ລະກລໍ ະນປີ ະຊາກອນມພີ ຽງກ່ ມດຽວເທ່ າົ ນນັ້ີ . 2.1 ການປະເມນີ ຄ່ າສະເລ່ ຍຂອງປະຊາກອນແບບຫວ່ າງ ເມ່ ອື ປະຊາກອນມກີ ານກະຈາຍແບບປກົ ຕິ ແລະ ຮູຄ້ີ ່ າຜນັ ປ່ ຽນຂອງປະຊາກອນ 2 , ຫວ່ າງທ່ ປີ ະເມນີ  ຄ່ າ ສະເລ່ ຍຂອງປະຊາກອນດວີ້ ຍລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັ້ີ 1 100% ແມ່ ນ: x  Z / 2     x  Z / 2  1 n n ເຊ່ ງິ  ເປນັ ຄ່ າສະເລ່ ຍຂອງປະຊາກອນ x ເປນັ ຄ່ າສະເລ່ ຍຂອງຕວົ ຢ່ າງ  ເປນັ ຄ່ າຜນັ ປ່ ຽນມາດຕະຖານຂອງປະຊາກອນ ( 2 ເປນັ ຄ່ າຜນັ ປ່ ຽນຂອງປະຊາກອນ) n ເປນັ ຂະໜາດຂອງຕວົ ຢ່ າງ Z /2 ເປນັ ຄ່ າສະຖຕິ ິ Z ທ່ ສີ າມາດໄດຈີ້ າກຕາຕະລາງ ຕົວຢ່ າງ1: ນໍາີ້ ໜັກກະປ໋ ອງທ່ ີຜະລິດຈາກໂຮງງານແຫ່ ງໜ່ ງ ມີການກະຈາຍແບບປົກກະຕິດວ້ີ ຍຄ່ າຜັນປ່ ຽນ ມາດຕະຖານ 2,51. ເມ່ ອື ເລອື ກກະປ໋ ອງນມີ້ີ າ 10 ອນັ ເຫນັ ວ່ າມນີ າໍ້ີ ໜກັ ດ່ ງັ ນ:ີ້ີ 10,1 9,7 10,1 10,3 10,1 9,8 9,9 10,4 10,3 9,8 ຈ່ ງົ ປະເມນີ (ຊອກຫວ່ າງທ່ ກີ ວມ) ນາໍ້ີ ໜກັ ສະເລ່ ຍຂອງກະປ໋ ອງທ່ ຜີ ະລດິ ຈາກໂຮງງານແຫ່ ງນດີີ້ ວ້ີ ຍ ລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັ້ີ 95%. ບດົ ແກ:້ີ ນາໍ້ີ ໜກັ ສະເລ່ ຍຂອງກະປ໋ອງທ່ ເີ ລອື ກມາແມ່ ນ: x   xi 10  10,1+9,7+0,1+10,3+10,1+9,8+9,9+10,4+10,3+9,8 10  100, 6  10, 06 10   1 0,95  0, 05  Z /2  Z0,025  1, 96 ດ່ ງັ ນນັ້ີ , ຕາມສູດ 1 ຈະໄດ:ີ້ 10, 06 1,96 2,51    10, 06 1,96 2,51 10 10 8,50    11, 62 ໝາຍຄວາມວ່ ານໍາີ້ ໜກັ ສະເລ່ ຍຂອງກະປ໋ ອງທ່ ຜີ ະລຈິ າກໂຮງງານແຫ່ ງນຢີ້ີ ່ ູລະຫວ່ າງ 8,50 ແລະ 11,62 ເຊ່ ງິ ມຂີ ໍມ້ີ ນູ ເຊ່ ອື ຖໄື ດດ້ີ ວ້ີ ຍລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັ້ີ 95%. ເມ່ ອື ປະຊາກອນມກີ ານກະຈາຍແບບປກົ ກະຕິ ແລະ ບ່ ໍຮູຄີ້ ່ າຜນັ ປ່ ຽນຂອງປະຊາກອນ  2 ແລະ ຂະໜາດ ຕວົ ຢ່ າງ n  30 , ຫວ່ າງທ່ ປີ ະເມນີ ແມ່ ນ  ຄ່ າສະເລ່ ຍຂອງປະຊາກອນດວີ້ ຍລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັ້ີ SONEPHAN LORVANNA 109

1 100% ແມ່ ນ: x  t/2 n 1 s    x  t 2 n 1 s n n ກດິ ຈະກາໍ 2: ຈາກຕວົ ຢ່ າງ 1, ສມົ ມດບ່ ໍຮູ ້ີ ຈ່ ງົ ຊອກຫວ່ າງທ່ ປີ ະເມນີ  . ຄ່ າສະເລ່ ຍຂອງປະຊາກອນ ດວ້ີ ຍລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັ້ີ 95%. ບດົ ແກ:ີ້ ຈາກຕວົ ຢ່ າງ 1, ເຮາົ ມ:ີ n 10; X 10,06 ນາໍ ໃຊສ້ີ ູດ: S  1 n (Xi  X )2 ຈະໄດ:ີ້ i 1 n 1 S  1 10, 2 10, 072  9, 7 10, 072  ...  9,8 10, 072 9  0, 245   1 0,95  0, 05  t /2 n 1  t0,0259  2, 262 (ຈາກຕາຕະລາງ) ດ່ ງັ ນນັີ້ , ຕາມສູດ (2) ຈະໄດ:້ີ 101, 06  2, 262 0, 245    101, 06  2, 262 0, 245 10 10 9,885    10, 235 ໝາຍຄວາມວ່ າ ນໍາີ້ ໜັກສະເລ່ ຍຂອງກະປ໋ ອງທ່ ີຜະລດິ ຈາກໂຮງງານແຫ່ ງນຢີ້ີ ່ ູລະຫວ່ າງ 9,885 ແລະ 10,235 ເຊ່ ງິ ຂມໍ້ີ ູນນເີ້ີ ຊ່ ອື ຖໄື ດດ້ີ ວີ້ ຍລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັ້ີ 95%. ເມ່ ອື ປະຊາກອນມກີ ານກະຈາຍແບບປກົ ກະຕິ ແລະ ບ່ ໍຮູ ້ີ 2 ຄ່ າຜນັ ປ່ ຽນຂອງປະຊາກອນ ແລະ ຂະໜາດ ຂອງຕົວຢ່ າງ n  30 , ຫວ່ າງທ່ ີປະເມີນແມ່ ນ  ຄ່ າສະເລ່ ຍຂອງປະຊາກອນ ດວີ້ ຍລະດັບຄວາມເຊ່ ືອໝັນ້ີ 1 100%ແມ່ ນ: X  Z / 2 s    X  Z / 2 s 3 n n 2.2 ການປະເມນີ ຄ່ າຜນັ ປ່ ຽນຂອງປະຊາກ່ ອນແບບຫວ່ າງ ເພ່ ອື ປະເມນີ ຄ່ າຜນັ ປ່ ຽນຂອງປະຊາກອນ  2 ແບບຫວ່ າງດວີ້ ຍລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັີ້ 1 100% , ເພ່ ນິ ນາໍ ໃຊສ້ີ ູດ: n 1 s2   2  n 1 s2 4 2/2 n 1   2 1 / 2 n 1 ກດິ ຈະກາໍ 1: ຈບັ ປ໋ ອງນາໍ້ີ ອດັ ລມົ ຍ່ ຫີ ໍໜ້ີ ່ ງມາ 10 ອນັ . ເຫນັ ວ່ າມບີ ໍລມິ າດ (cm3): 324 321 325 330 329 325 320 322 326 321 ຈ່ ງົ ປະເມນີ ຫວ່ າງທ່ ມີ ຄີ ່ າຜນັ ປ່ ຽນບໍລມິ າດນາໍ້ີ ອດັ ອດັ ລມົ ຍ່ ຫີ ນໍ້ີ ດີີ້ ວີ້ ຍລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັີ້ 95% ບດົ ແກ:ີ້ ນາໍ ໃຊສ້ີ ູດ:s21 n (Xi  X )2, n  10 n 1 i 1 SONEPHAN LORVANNA 110

n  xi X  i1 n  324  321 325  330  329  325  320  322  326  321 10  324,3 n  ( Xi  X )2  324  324,32  321 324,32  325  324,32  330  324,32 i 1  329  324,32  325  324,32  320  324,32  322  324,32  326  324,32  321 324,32  104,1 ຈ່ ງໄດ:້ີ s2  1 104,1  11,567 10 1 ຮູວີ້ ່ າ:  1 0,95  0,05 ເຮາົ ໄດ:້ີ 2 / 2 v   2 9  19, 023 (ຈາກຕາຕະລາງ) 0,025 2 / 2 v   2 9  2, 700 0,975 ໝາຍຄວາມວ່ າ ຄ່ າຜັນປ່ ຽນຂອງບໍລມິ າດນໍາີ້ ອດັ ລມົ ຍ່ ຫີ ໍນີ້ ີ້ີ ຢ່ ູລະຫວ່ າງ 5,472 ແລະ 38,557 ດວ້ີ ຍ ລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັີ້ 95%. 2.3 ການປະເມນີ ຄ່ າອດັ ຕາສ່ ວນຂອງປະຊາກອນແບບຫວ່ າງ ເພ່ ອື ປະເມນີ ອດັ ຕາສ່ ວນ ຂອງປະຊາກອນ ທ່ ີສນັ ຍາລັກດວ້ີ ຍ p, ດວີ້ ຍລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝັນີ້ 1 100% , ເພ່ ນິ ນາໍ ໃຊສີ້ ູດ: pˆ  z / 2 pˆ 1 pˆ   p  pˆ  z / 2 pˆ 1 pˆ  5 n n ເຊ່ ງິ pˆ  x ແມ່ ນອດັ ຕາສ່ ວນຂອງຕວົ ຢ່ າງ ຂະໜາດ n ແລະ x ແມ່ ນຈາໍ ນວນຕວົ ຢ່ າງທ່ ເີ ກດີ ເຫດການທ່ ີ n ເຮາົ ສນົ ໃຈ ກດິ ຈະກາໍ 1: ເມ່ ອື ຖາມນກັ ຮຽນ 144 ຄນົ ໃນສະຖາບນັ ແຫ່ ງໜ່ ງ ເຫນັ ວ່ າຜູທ້ີ ່ ມີ ຈີ ກັ ຄດິ ໄລ່ ຈາໍ ນວນ 54 ຄນົ . ຈ່ ງົ ປະ ເມນີ ອດັ ຕາສ່ ວນຂອງນກັ ຮຽນທ່ ມີ ຈີ ກັ ຄດິ ໄລ່ ໃນສະຖາບນັ ແຫ່ ງນີີ້ ດວີ້ ຍລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັ້ີ 95%. ບດົ ແກ:ີ້ ຈາກບດົ ເລກເຮາົ ມ:ີ n 144, x  54 ແລະ 1 100%  95% ຈ່ ງໄດ:ີ້ pˆ  54  0,375 144 SONEPHAN LORVANNA 111

  1 0,95  0,05    0,0025 2 ຈາກຕາຕະລາງ ເຮາົ ຮູວ້ີ ່ າ z0,025  1,96 ຈາກສູດ (5) ຈະໄດ:ີ້ pˆ  z / 2 pˆ 1 pˆ   p  pˆ  z / 2 pˆ 1 pˆ  n n 0,375 1,96 0,375 0, 625  p  0,375 1,96 0,375 0, 625 144 144 0, 296  p  0, 454 ໝາຍຄວາມວ່ າ ອດັ ຕາສ່ ວນຂອງນກັ ຮຽນທ່ ມີ ຈີ ກັ ຄດິ ໄລ່ ໃນສະຖາບນັ ແຫ່ ງນຢີີ້ ່ ູລະຫວ່ າງ 0,296 ແລະ 0,454 ດວີ້ ຍລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັີ້ 95%. 3. ຂະໜາດຂອງຕວົ ຢ່ າງ ຫວ່ າງທ່ ປີ ະເມນີ ໃນຂອງຂໍມ້ີ ູນທ່ ຜີ ່ ານມາ ໄດຄີ້ ດິ ໄລ່ ເງ່ອື ນໄຂທ່ ຮີ ູຂີ້ ະໜາດຂອງຕວົ ຢ່ າງ. ແຕ່ ໃນຕວົ ຈງິ ເຮາົ ຕອີ້ ງກໍານດົ ຂະໜາດຂອງຕວົ ຢ່ າງ ເພ່ ອື ໃຫຜີ້ ນົ ຂອງການປະເມນີ ສອດຄ່ ອງກບັ ບລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັ້ີ ທ່ ຕີ ອີ້ ງການ ແລະ ເພ່ ອື ໃຫສ້ີ ອດຄ່ ອງກບັ ບຄ່ າຜດິ ດ່ ຽງ e. 3.1 ຂະໜາດຕວົ ຢ່ າງສໍາລບັ ການປະເມນີ ຄ່ າສະເລ່ ຍ ເມ່ ອື ເລອື ກຕວົ ຢ່ າງຂະໜາດ n   Z / 2 2 7  e  ເພ່ ອື ປະເມນີ ຄ່ າສະເລ່ ຍຂອງປະຊາກອນລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັ້ີ ຈະມຄີ ່ າຜດິ ດ່ ຽງບ່ ໍເກນີ e  Z / 2  8 n ກດິ ຈະກໍາ1: ເມ່ ອື ເລອື ກຕວົ ຢ່ າງຂະໜາດ 50 ມາປະເມນີ ຄ່ າສະເລ່ ຍດວ້ີ ຍລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັ້ີ 95% ໄດຫ້ີ ວ່ າງ 23,5  2,88 ເຫນັ ວ່ າຫວ່ າງນກີີ້ ວາີ້ ງເກນີ ໄປ, ຕອີ້ ງການໃຫຫ້ີ ວ່ າງທ່ ກີ ວມຄ່ າສະເລ່ ຍນແີີ້ ຄບລງົ ໂດຍໃຫມ້ີ ຄີ ່ າຜດິ ດ່ ຽງ ບ່ ເໍ ກນີ 1. ຖາມວ່ າຕອີ້ ງໃຊຂີ້ ະໜາດຕວົ ຢ່ າງເທ່ າົ ໃດ ? ບດົ ແກ:້ີ ຮູວີ້ ່ າ:   1 0,95  0, 05    0, 025 2 Z / 2  Z0,025  1, 96 ອງີ ຕາມສູດ e  Z / 2  n ເຮາົ ໄດີ້ Z / 2   2,88    2,88 50  10,35 n 1, 96 ດ່ ງັ ນນັີ້ , n ຂະໜາດຕວົ ຢ່ າງເພ່ ອື ເຮດັ ໃຫຫີ້ ວ່ າງທ່ ກີ ວມຄ່ າສະເລ່ ຍນແີີ້ ຄບລງົ ໂດຍໃຫມ້ີ ຄີ ່ າຜດິ ດ່ ຽງບ່ ໍເກນີ 1. ນໍາໃຊສ້ີ ູດ (7), ຈະໄດ:້ີ SONEPHAN LORVANNA 112

n   Z / 2 2   1,9610,35 2  414, 709  415  e   1  3.2 ຂະໜາດຂອງຕວົ ຢ່ າງສາໍ ລບັ ການປະເມນີ ອດັ ຕາສ່ ວນ ດວ້ີ ຍລະດບັ ຄວມເຊ່ ອື ໝນັ້ີ 1 100% ຂະໜາດຕວົ ຢ່ າງທ່ ຕີ ອ້ີ ງໃຊງີ້ ານປະເມນີ ຄ່ າຂອງ p ດວີ້ ຍອດັ ຕາ ສ່ ວນຂອງປະຊາກອນ ແມ່ ນ: n  pˆ 1 pˆ   Z / 2 2 9  e  ເພ່ ອື ໃຫຄີ້ ່ າຜດິ ດ່ ຽງບ່ ໍເກນີ e  Z / 2 pˆ 1 pˆ  10 n ເຫນັ ວ່ າ n  1  Z / 2 2 11 4  e  ແມ່ ນຂະໜາດຕວົ ຢ່ າງທ່ ໃີ ຫຍ່ ທ່ ສີ ດສໍາລບັ ການປະເມນີ p, ເຊ່ ງິ 1 ແມ່ ນຄ່ າໃຫຍ່ ສດຂອງ pˆ 1 pˆ  . 4 ກດິ ຈະກາໍ 1: ຜູຜີ້ ະລດິ ໄຟຟາ້ີ ແຫ່ ງໜ່ ງ ຢາກຮູອີ້ ດັ ຕາສ່ ວນການນໍາໃຊດ້ີ ອກໄຟຂອງຕນົ . ຖາມວ່ າລາວຕອ້ີ ງເລອື ກຂະ ໜາດຕວົ ຢ່ າງເທ່ າົ ໃດ ຈ່ ງຈະໄດລ້ີ ະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັ້ີ ໃນການປະເມນີ 96% ແລະ ຄ່ າຜດິ ດ່ ຽງບ່ ເໍ ກນີ 0,08 ? ບດົ ແກ:້ີ ຈາກບດົ ເລກເຮາົ ຮູ:້ີ e  0,08;   0,04. ຈາກຕາຕະລາງເຮາົ ຮູ ້ີ Z0,02  2, 054. ນາໍ ໃຊສີ້ ູດ (11) ຈະໄດ:້ີ n  1  Z0,02 2  1  2, 054 2  164,804  165 4  0, 08  4  0, 08    II. ການທດົ ສອບສມົ ມດຕຖິ ານທາງສະຖຕິ ິ 1. ການທດົ ສອບສມົ ມດຕຖິ ານທາງສະຖຕິ ິ ( Hypothesis Testing) ເປັນໜ່ ງໃນວທິ ກີ ານຕ່ າງໆທ່ ຊີ ່ ວຍຕດັ ສນິ ໃຈກ່ ຽວກບັ ບຄ່ າສະຖຕິ ິ ທ່ ຄີ ດິ ໄລ່ ມານນັີ້ ສອດຄ່ ອງກບັ ບຄ່ າຈງິ ຫື ບ່ ໍ ແລະ ດວ້ີ ຍຄວາມຫວງັ ໃດໜ່ ງ ໄດແີ້ ກ່ ການທດົ ສອບສມົ ມດຕຖິ ານທາງສະຖຕິ ິ ເຊ່ ງິ ຈະສະເໜຕີ ່ໄໍ ປນ:ີ້ີ ສມົ ມດຕຖິ ານແມ່ ນຫຍງັ ? ສມົ ມດຕຖິ ານ ແມ່ ນຂໍສີ້ ມົ ມດທ່ ກີ ່ ຽວຂອ້ີ ງກບັ ພາຣາມເິ ຕີ ເພ່ ອື ໄວທີ້ ດົ ສອບວ່ າສ່ ງິ ທ່ ພີ ຈິ າລະນາຢ່ ູນນັີ້ ເປັນໄປ ຕາມຄາດໝາຍໄວ້ີ ຫື ບ່ .ໍ ສມົ ມດຕຖິ ານອາດເປນັ ຈງິ ຫື ບ່ ໍເປນັ ຈງິ ກໄໍ ດ.້ີ ໃນຂະບວນທດົ ສອບສມົ ມດຕຖິ ານ ກ່ ອນອ່ ນື ໝດົ ຕອີ້ ງຕງັີ້ ສມົ ມດຕຖິ ານກ່ ອນຄ:ື 1. ສມົ ມດຕຖິ ານທ່ ທີ ດົ ສອບເອນີ້ີ ວ່ າ: ສມົ ມດຕຖິ ານຫກັ ແລະ ສນັ ຍະລກັ ດວີ້ ຍ H0. 2. ສມົ ມດຕຖິ ານທ່ ຂີ ດັ ແຍ່ ງກບັ ບສມົ ມດຕຖິ ານຫກັ ເອນີ້ີ ວ່ າ: ສມົ ມດຕຖິ ານເລອື ກ ແລະ ສນັ ຍະລກັ ດວີ້ ຍ H1. ສມົ ມດຕຖິ ານເລອື ກ ເປັນສມົ ມດຕຖິ ານທ່ ີປະຕິເສດສມົ ມດຕຖິ ານຫກັ . ເຮາົ ຕອີ້ ງເອາົ ໃຈໃສ່ ກບັ ບການຕັງ້ີ ສມົ ມດຕຖິ ານ ເພ່ ອື ໃຫສີ້ ອດຄ່ ອງກບັ ບບນັ ຫາເຊ່ ນັ : SONEPHAN LORVANNA 113

ສໍາລບັ ການທດົ ສອບສມົ ມດຕຖິ ານກ່ ຽວກບັ ບຄ່ າສະເລ່ ຍຂອງ 1 ປະຊາກອນ, ການຕງັີ້ ສມົ ມດຕຖິ ານໃນຮູບ ແບບໃດ ລ່ ມນຈີີ້ ່ ງສອດຄ່ ອງກບັ ບບນັ ຫາ: H0 :   0 H1 :   0 ຫື H0 :   0 H1 :   0 ຫື H0 :   0 H1 :   0 ກດິ ຈະກາໍ 1: ໄດກີ້ າໍ ນດົ ມາດຕະຖານຂອງລູກຄໍາຜາຍທ່ ໃີ ຊໃ້ີ ນເຄ່ ອື ງຈກັ ຊະນດິ ໜ່ ງ ຕອີ້ ງໃຫຄ້ີ ່ າຜນັ ປ່ ຽນມາດຕະຖານ ເສນັີ້ ຜ່ າກາງບ່ ໍເກນີ 0,0040cm. ຈ່ ງົ ຕງັ້ີ ຂໍສ້ີ ມົ ມດຕຖິ ານເພ່ ອື ທດົ ສອບວ່ າ ລູກຄໍາຜາຍດ່ ງັ ກ່ າວໄດມີ້ າດຕະຖານ ຫື ບ່ ໍ ? 2.1 ການທດົ ສອບສມົ ມດຕຖິ ານສາໍ ລບັ 1 ປະຊາກອນ ຂນັ້ີ ຕອນໃນການທດົ ສອບສມົ ມດຕຖິ ານທາງສະຖຕິ ິ ມດີ ່ ງັ ນ:ີ້ີ 1. ກາໍ ນດົ ສມົ ມດຕຖິ ານ 2. ກາໍ ນດົ ລະດບັ ຄວາມສໍາຄນັ 3. ເລອື ກສະຖຕິ ິ ທ່ ໃີ ຊທ້ີ ດົ ສອບ ແລະ ຄດິ ໄລ່ ຄ່ າສະຖຕິ ທິ ່ ໃີ ຊທ້ີ ດົ ສອບ 4. ກາໍ ນດົ ເຂດປະຕເິ ສດ ແລະ ເຂດຍອມຮບັ H0. 5. ສະຫບຜນົ ໄດຮ້ີ ບັ ຈະຖວື ່ າຍອມຮບັ H0 ເມ່ ອື ຄ່ າຂອງສະຖຕິ ທິ ່ ໃີ ຊທ້ີ ດົ ສອບຢ່ ູໃນເຂດຍອມຮບັ ແລະ ຈະປະຕເິ ສດ H0 ໃນ ກລໍ ະນກີ ງົ ກບັ ນຂາ້ີ ມ. 2.1.1 ສູດການທດົ ສອບກ່ ຽວກບັ ບຄ່ າສະເລ່ ຍ ທ່ ຂີ ະໜາດຂອງຕວົ ຢ່ າງບ່ ໍຫດ 30. ຖາີ້ ວ່ າ ວາງ H1 :   0 , n ຈໍານວນຕວົ ຢ່ າງບ່ ໍຫດ 30 n  30 ແລະ ລະດບັ ຄວາມສໍາຄນັ ແມ່ ນ  ຕອີ້ ງໃຊສີ້ ະຖຕິ ິ Z  X  0  n ເພ່ ອື ທດົ ສອບ (ກລໍ ະນບີ ່ ໍຮູ ີ້  ໃຫໃີ້ ຊ້ີ S ແທນ) ໃນກລໍ ະນນີ ,ີີ້ ຖາ້ີ ວ່ າ H1 :   0 ວາງ ເຂດປະຕເິ ສດ H0 ແມ່ ນເຂດທ່ ີ Z   Z ຖາີ້ ວ່ າ ວາງ H1 :   0 ເຂດປະຕເິ ສດ H0 ແມ່ ນເຂດທ່ ີ Z  Z 114 SONEPHAN LORVANNA

ຖາ້ີ ວ່ າ ວາງ H1 :   0 ເຂດປະຕເິ ສດ H0 ແມ່ ນເຂດທ່ ີ Z  Z /2 ຫື ເຂດທ່ ີ Z  Z /2 ກດິ ຈະກາໍ 1: ເວລາມາດຕະຖານ ສໍາລບັ ປະກອບເຄ່ ອື ງຫນິີ້ ຊະນດິ ໜ່ ງເທ່ າົ 0,52 ນາທ,ີ ເມ່ ອື ກໍາມະກອນຜູໜີ້ ່ ງ ປະກອບເຄ່ ອື ງຫນິ້ີ ຊະນດິ ນີີ້ 75 ອນັ ດວີ້ ຍເວລາສະເລ່ ຍອນັ ລະ 0,49 ນາທີ ແລະ ດວ້ີ ຍຄ່ າຜນັ ປ່ ຽນມາດຕະຖານ 0,15 ນາທີ. ຈ່ ົງທົດສອບດວີ້ ຍລະດັບຄວາມສໍາຄັນ 0,05 ວ່ າກາມະກອນຜູ ນ້ີ ີ້ີ ໃຊເີ້ ວລາໜີ້ອຍກວ່ າເວລາ ມາດຕະຖານ ເພ່ ອື ປະກອບເຄ່ ອື ງຫນິ້ີ ຊະນດິ ດ່ ງັ ກ່ າວ. 2.1.2 ສູດການທດົ ສອບກ່ ຽວກບັ ບຄ່ າສະເລ່ ຍ ທ່ ຂີ ະໜາດຕວົ ຢ່ າງ ບ່ ໍເຖງິ 30. ຖາີ້ ວ່ າ ວາງ H1 :   0 , n ຈໍານວນຕວົ ຢ່ າງບ່ ໍຫດ 30 ແລະ ລະດບັ ຄວາມສໍາຄນັ ແມ່ ນ  ຕອ້ີ ງໃຊີ້ ສະຖຕິ ິ T  X  0 s n ເພ່ ອື ທດົ ສອບ. ໃນກລໍ ະນນີ ,ີີ້ ຖາີ້ ວ່ າ H1 :   0 ວາງ ເຂດປະຕເິ ສດ H0 ແມ່ ນເຂດທ່ ີ T  t n 1 : ໃນກລໍ ະນນີ ,ີີ້ ຖາ້ີ ວ່ າ H1 :   0 ວາງ ເຂດປະຕເິ ສດ H0 ແມ່ ນເຂດທ່ ີ T  t n 1 : ໃນ ກໍ ລ ະ ນີນີີ້, ຖີ້າວ່ າ H1 :   0 ວ າງ ເຂ ດ ປ ະ ຕິເສ ດ H0 ແ ມ່ ນ ເຂ ດ ທ່ ີ T  t /2 n 1 ຫື T  t n 1 : ກດິ ຈະກາໍ 1: ຈາກການສງັ ເກດ ອາຍທ່ ໃີ ຊງີ້ ານໄດຂ້ີ ອງເຄ່ ອື ງໃຊໄີ້ ຟຟາ້ີ ຊະນດິ ໜ່ ງ (ຫວົ ໜ່ ວຍເປນັ ຊ່ ວົ ໂມງ) ໄດີ້ ຄ່ າຕວົ ຈງິ ດ່ ງັ ຕ່ໄໍ ປນ:ີ້ີ 32, 41, 42, 49 ແລະ 53, ແຕ່ ຜູຜ້ີ ະລດິ ຮບັ ປະກບັ ນວ່ າ ອາຍທ່ ໃີ ຊງ້ີ ານໄດຂ້ີ ອງເຄ່ ອື ງໃຊີ້ ໄຟຟາີ້ ຊະນດິ ນແີີ້ ມ່ ນ 50 ຊ່ ວົ ໂມງ. ຈ່ ງົ ທດົ ສອບຄວາມຢນື ຢນັ ຂອງຜູຜີ້ ະລດິ ເຄ່ ອື ງໃຊໄີ້ ຟຟາ້ີ ຊະນດິ ນດີີ້ ວ້ີ ຍ SONEPHAN LORVANNA 115

  0,05 . 2.2 ການທດົ ສອບສມົ ມດຕຖິ ານສາໍ ລບັ 2 ປະຊາກອນ 2.2.1 ສູດທ່ ໃີ ຊໃີ້ ນການທດົ ສອບຄວາມແຕກຕ່ າງ ລະຫວ່ າງຄ່ າສະເລ່ ຍ 2 ປະຊາກອນໃນກລໍ ະນຂີ ະໜາດຕວົ ຢ່ າງແຕ່ ລະປະຊາກອນ ບ່ ຫໍ ດ 30. ຖາ້ີ ວ່ າ ວາງ H1 :   0  d0 ແລະ ລະດບັ ຄວາມສາໍ ຄນັ ແມ່ ນ  ຕອ້ີ ງໃຊສ້ີ ະຖຕິ ິ  Z  X1  X 2  d0  2  2 1  2 n1 n2 ເພ່ ອື ທດົ ສອບ (ກລໍ ະນບີ ່ ຮໍ ູ ້ີ  ໃຫໃີ້ ຊີ້ S ແທນ). ໃນກລໍ ະນນີ :ີີ້ ໃນກລໍ ະນນີ ,ີ້ີ ຖາ້ີ ວ່ າ H1 : 1  2  d0 ວາງ ເຂດປະຕເິ ສດ H0 ແມ່ ນເຂດທ່ ີ Z   Z ໃນກລໍ ະນນີ ,ີ້ີ ຖາ້ີ ວ່ າ H1 : 1  2  d0 ວາງ ເຂດປະຕເິ ສດ H0 ແມ່ ນເຂດທ່ ີ Z  Z ໃນກລໍ ະນນີ ,ີີ້ ຖາ້ີ ວ່ າ H1 : 1  2  d0 ວາງ ເຂດປະຕເິ ສດ H0 ແມ່ ນເຂດທ່ ີ Z  Z /2 ຫື Z  Z /2 ກດິ ຈະກາໍ 1: ເຈາົ້ີ ຂອງບໍລສິ ດັ ຜະລດິ ດອກໄຟຍ່ ຫີ ໍໜ້ີ ່ ງ ໄດຢ້ີ ືນຢນັ ວ່ າຜນົ ຜະລດິ ຂອງຕນົ ມຄີ ນນະພາບສູງກວ່ າ ຜນົ ຜະລດິ ຂອງຄ່ ູແຂ່ ງ. ເຈາົີ້ ຂອງບໍລສິ ດັ ດ່ ງັ ກ່ າວໄດໃ້ີ ຫຄີ້ ວາມເຫນັ ດວີ້ ຍການເລອື ກຕວົ ຢ່ າງດອກໄຟຂອງຕນົ 40 ດອກ ໄດອ້ີ າຍສະເລ່ ຍທ່ ໃີ ຊງີ້ ງານໄດີ້ 647 ຊ່ ວົ ໂມງ ແລະ ຄ່ າຜນັ ປ່ ຽນມາດຕະຖານ 27 ຊ່ ວົ ໂມງ. ພອີ້ ມນນັ້ີ , ຈາກ ຕວົ ຢ່ າງດອກໄຟຄ່ ູແຂ່ ງ 40 ຕວົ ຢ່ າງ ໄດອ້ີ າຍສະເລ່ ຍດວ້ີ ຍລະດບັ ຄວາມສໍາຄນັ 638 ຊ່ ວົ ໂມງ ແລະ ຄ່ າຜນັ ປ່ ຽນ ມາດຕະຖານ 31 ຊ່ ວົ ໂມງ. ຈ່ ງົ ທດົ ສອບດວີ້ ຍລະດບັ ຄວາມສໍາຄນັ 0,05 ວ່ າຄາໍ ຢນື ຢນັ ຂອງເຈາົີ້ ຂອງບໍລສິ ດັ ດ່ ງັ ກ່ າວ ເປນັ ຈງິ ຫື ບ່ ໍ? 2.2.2 ສູດທ່ ໃີ ຊໃີ້ ນການທດົ ສອບຄວາມແຕກຕ່ າງ ລະຫວ່ າງຄ່ າສະເລ່ ຍຂອງ 2 ປະຊາກອນໃນກໍລະນີ ບ່ ຮໍ ູຄ້ີ ່ າຜນັ ປ່ ຽນຂອງພວກມນັ , ຂະໜາດຕວົ ຢ່ າງແຕ່ ລະປະຊາກອນບ່ ໍຫດ 30 ແລະ ຄາດວ່ າຄ່ າຜນັ ປ່ ຽນຂອງ 2 ປະຊາກອນນນັີ້ ເທ່ າົ ກບັ ນ. ຖາີ້ ວ່ າ ວາງ H1 :   0  d0 ແລະ ລະດບັ ຄວາມສໍາຄນັ ແມ່ ນ  ຕອ້ີ ງໃຊສີ້ ະຖຕິ ິ  T  X1  X 2  d0 n 1 s2  1 s22 1  n2  n1  n2   n1n2  n1  n2  2   SONEPHAN LORVANNA 116

ດວີ້ ຍມຕິ ເິ ອກະລາດ v  n1  n2  2 ເພ່ ອື ທດົ ສອບ ໃນກລໍ ະນນີ :ີ້ີ ຖາ້ີ ວ່ າ ວາງ H1 : 1  2  d0 ວາງ ເຂດປະຕເິ ສດ H0 ແມ່ ນເຂດທ່ ີ T  t v : ຖາີ້ ວ່ າ ວາງ H1 : 1  2  d0 ວາງ ເຂດປະຕເິ ສດ H0 ແມ່ ນເຂດທ່ ີ T  t v : ຖາີ້ ວ່ າ ວາງ H1 : 1  2  d0 ວາງ ເຂດປະຕເິ ສດ H0 ແມ່ ນເຂດທ່ ີ T  t /2 v ຫື T  t /2 v . ກດິ ຈະກາໍ 1: ນກັ ທລະກດິ ຜູໜ້ີ ່ ງ ໄດເີ້ ລອື ກຕວົ ຢ່ າງທ່ ເີ ປນັ ຮາີ້ ນຄາ້ີ 15 ຮາີ້ ນໃນຕະຫາດແຫ່ ງທ1ີ ເຫນັ ວ່ າ ມລີ າຍ ໄດສ້ີ ະເລ່ ຍ 3,5 ລາ້ີ ນຕ່ ໍເດອື ນ ແລະ ມຄີ ່ າຜນັ ປ່ ຽນມາດຕະຖານ 0,5 ລາີ້ ນກບີ . ເມ່ ອື ເລອື ກຕວົ ຢ່ າງ 10 ຮາ້ີ ນໃນ ຕະຫາດທີ 2 ເຫນັ ວ່ າມບີ ລາຍໄດສ້ີ ະເລ່ ຍ 4 ລາີ້ ນກບີ ຕ່ ເໍ ດອື ນ ແລະ ມຄີ ່ າຜນັ ປ່ ຽນ 1 ລາ້ີ ນກບີ . ຈ່ ງົ ທດົ ສອບວ່ າ ລາຍ ໄດສີ້ ະເລ່ ຍຂອງຮາີ້ ນຕ່ ໍເດອື ນໃນຕະຫາດທ່ ີ 1 ຈະໜອີ້ ຍກວ່ າລາຍໄດສີ້ ະເລ່ ຍຕ່ ໍເດອື ນຂອງຮາ້ີ ນຄາ້ີ ໃນຕະຫາດທ່ ີ 2 ຫື ບ່ ໍ ດວີ້ ຍລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັ້ີ 95%. 2.2.3 ສູດທ່ ໃີ ຊໃີ້ ນການທດົ ສອບ ຄວາມແຕກຕ່ າງລະຫວ່ າງຄ່ າສະເລ່ ຍ 2 ປະຊາກອນໃນກໍລະນບີ ່ ໍຮູຄີ້ ່ າຜນັ ປ່ ຽນ ຂອງພວກມນັ , ຂະໜາດຕວົ ຢ່ າງແຕ່ ລະປະຊາກອນຫດ 30 ແລະ ຄາດວ່ າຄ່ າຜນັ ປ່ ຽນຂອງສອງປະຊາກອນນຕີ້ີ ່ າງ ກບັ ນ. ຖາີ້ ວ່ າ ວາງ H1 :   0  d0 ແລະ ລະດບັ ຄວາມສໍາຄນັ ແມ່ ນ  ຕອີ້ ງໃຊສ້ີ ະຖຕິ ິ  T  X1  X 2  d0 s12  s22 n1 n2  s2 s2   1  2  ດວີ້ ຍມຕິ ເິ ອກະລາດ v  n1 n2 ເພ່ ອື ທດົ ສອບ ໃນກລໍ ະນນີ ີີ້  s2   s2   1   2   n1 n2 n1 1 n2 1 ຖາີ້ ວ່ າ ວາງ H1 : 1  2  d0 ວາງ ເຂດປະຕເິ ສດ H0 ແມ່ ນເຂດທ່ ີ T  t v, ຖາີ້ ວ່ າ ວາງ H1 : 1  2  d0 ວາງ ເຂດປະຕເິ ສດ H0 ແມ່ ນເຂດທ່ ີ T  t v, ຖາີ້ ວ່ າ ວາງ H1 : 1  2  d0 ວາງ ເຂດປະຕເິ ສດ H0 ແມ່ ນເຂດທ່ ີ T  t /2 ຫື T  t /2 ກດິ ຈະກາໍ 1: ຈາກຂໍມ້ີ ູນໃນກດິ ຈະກາໍ ເທງິ ນີ້ີ ໂດຍຖວື ່ າຄ່ າຜນັ ປ່ ຽນຂອງລາຍໄດ້ີ ຂອງຮາີ້ ນຄາີ້ ຕາມແຕ່ ລະຕະຫາດນນັ້ີ SONEPHAN LORVANNA 117

ຕ່ າງກບັ ນ. ຈ່ ງົ ທດົ ສອບວ່ າລາຍໄດແ້ີ ຕ່ ລະຮາີ້ ນຕ່ ໍເດອື ນໃນ 2 ຕະຫາດ ແຕກຕ່ າງກບັ ນ ຫື ບ່ ໍ ດວີ້ ຍລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັ້ີ 99%. 3. ການທດົ ສອບຄວາມເປນັ ເອກະລາດຕ່ ໍກບັ ນ ການທດົ ສອບຄວາມເປນັ ເອກະລາດຕ່ ໍກບັ ນ ແມ່ ນການທດົ ສອບວ່ າ 2 ຄນລກັ ສະນະທ່ ເີ ປນັ ເອກະລາດຕ່ ໍ ກບັ ນ ຫື ບ່ ໍ ຫື 2 ຄນລກັ ສະນະມຄີ ວາມສໍາພນັ ກບັ ນ ຫື ບ່ .ໍ ສມົ ມດຕຖິ ານໃນການທດົ ສອບນຈີ້ີ ະມຮີ ູບຮ່ າງ: H0 : ຄນລກັ ສະນະທ່ ສີ ງັ ເກດ 2 ຢ່ າງນີ້ີ ເປນັ ເອກະລາດຕ່ ໍກບັ ນ H1 : ລກັ ສະນະທ່ ສີ ງັ ເກດ 2 ລກັ ສະນະນີ້ີ ບ່ ເໍ ປນັ ເອກະລາດຕ່ ໍກບັ ນ ຫື H0 : ຄນລກັ ສະນະທ່ ສີ ງັ ເກດ 2 ຢ່ າງນີີ້ ມຄີ ວາມສາໍ ພນັ ຕ່ ກໍ ບັ ນ H1 ; ຄນລກັ ສະນະທ່ ສີ ງັ ເກດ 2 ຢ່ າງນີ້ີ ບ່ ໍມຄີ ວາມສາໍ ພນັ ຕ່ ໍກບັ ນ ຕວົ ຢ່ າງ1: ຂມໍ້ີ ູນລ່ ມນີ້ີ ແມ່ ນຈາໍ ນວນຜູທ້ີ ່ ນີ ຍິ ມົ ເຮອື ນຢ່ ູ ທ່ ພີ ວົ ພນັ ກບັ ບອາຊບີ ຂອງຫວົ ໜາີ້ ຄອບຄວົ ເມ່ ອື ຕອ້ີ ງການທດົ ສອບວ່ າ ຊະນດິ ເຮອື ນຢ່ ູຂ່ ນີ້ ກບັ ບອາຊບີ ຫວົ ໜາີ້ ຄອບຄວົ ຫື ບ່ ໍ ອາດຈະວາງສມົ ມດຖານ ດ່ ງັ ນ:ີີ້ H0 : ຊະນດິ ເຮອື ນຢ່ ູ ບ່ ຂໍ ່ ນີ້ ກບັ ບອາຊບີ ຫວົ ໜາີ້ ຄອບຄວົ H1 : ຊະນດິ ເຮອື ນຢ່ ູ ຂ່ ນີ້ ກບັ ບອາຊບີ ຫວົ ໜາ້ີ ຄອບຄວົ ການທດົ ສອບປະເພດນໃີ້ີ ຊສີ້ ະຖຕິ ິ r   2  c Oij  Eij i1 j1 Eij ເຊ່ ງິ SONEPHAN LORVANNA 118

r ແມ່ ນຈາໍ ນວນກ່ ມຂອງຄນລກັ ສະນະທີ 1 c ແມ່ ນຈາໍ ນວນກ່ ມຂອງຄນລກັ ສະນະທີ 2 Oij ແມ່ ນຄວາມຖ່ ີ ຫື ຈາໍ ນວນຕວົ ຢ່ າງ ທ່ ມີ ຄີ ນລກັ ສະນະຕາມກ່ ມທ່ ີ i ຂອງຄນລກັ ສະນະທີ 1 ແລະ ມຄີ ນ ລກັ ສະນະທີ j ຂອງຄນລກັ ສະນະທີ 2 Eij  ni.  n. j n ni. ແມ່ ນຈາໍ ນວນຕວົ ຢ່ າງລວມໃນແຖວທີ n. j ແມ່ ນຈາໍ ນວນຕວົ ຢ່ າງລວມໃນແຖວທີ n ແມ່ ນຈາໍ ນວນຕວົ ຢ່ າງລວມທງັ ໝດົ ຖາ້ີ ວ່ າ ວາງສມົ ມດຕຖິ ານດ່ ງັ ຂາີ້ ງເທງິ ນ,ີ້ີ ເຂດປະຕເິ ສດ H0 ດວີ້ ຍລະດບັ ຄວາມສໍາຄນັ  ແມ່ ນເຂດທ່ ີ  2  2 r 1c 1. ກດິ ຈະກາໍ 1: ບລໍ ສິ ດັ ຜະລດິ ນາໍີ້ ມນັ ພດື ຊະນດິ ໜ່ ງ ໄດເ້ີ ລອື ກຕວົ ຢ່ າງຮາ້ີ ນຂາຍອາຫານໃນຕວົ ເມອື ງໜ່ ງ ຈາໍ ນວນ 600 ຮາີ້ ນ ແລະ ຖາມຍ່ ຫີ ໍນ້ີ າໍີ້ ມນັ ພດື ທ່ ຮີ າີ້ ນອາຫານເຫ່ າົ ນນັີ້ ໃຊໄີ້ ດຂີ້ ໍມີ້ ນູ ດ່ ງັ ນ:ີ້ີ ຈ່ ງົ ທດົ ສອບດວ້ີ ຍລະດບັ ຄວາມສໍາຄນັ ວ່ າຍ່ ຫີ ໍນີ້ ໍາ້ີ ມນັ ທ່ ໃີ ຊໃ້ີ ນຮາີ້ ນອາຫານຂນ້ີ ກບັ ບຂະໜາດຂອງຮາີ້ ນ ອາຫານ ຫື ບ່ ໍ ? III. ການວເິ ຄາະຖດົ ຖອຍ ແລະ ສະຫະການພວົ ພນັ ການວເິ ຄາະຖດົ ຖອຍ ແມ່ ນການສກສາກ່ ຽວກບັ ບການພວົ ພນັ ລະຫວ່ າງປ່ ຽນເອກະລາດ ເຊ່ ງິ ໝາຍເຖງິ ຕວົ ປ່ ຽນທ່ ເີ ຮາົ ສກສາຢ່ ູກບັ ບຕວົ ປ່ ຽນອກີ ໜ່ ງຕວົ ທ່ ເີ ອນີີ້ ວ່ າ ຕວົ ປ່ ຽນຕາມ ເຊ່ ງິ ເປັນຕວົ ປ່ ຽນທ່ ປີ ່ ຽນໄປຕາມການ ປ່ ຽນແປງຂອງຕວົ ປ່ ຽນເອກະລາດ. ໃນການວເິ ຄາະຖດົ ດຖອຍ, ຖາີ້ ວ່ າຕວົ ປ່ ຽນເອກະລາດມພີ ຽງຕວົ ປ່ ຽນດຽວເຮາົ ເອນີ້ີ ການວເິ ຄາະນວີີ້ ່ າ: ການ ວເິ ຄາະຖົດຖອຍແບບງ່ າຍດາຍ. ແຕ່ ຖາ້ີ ວ່ າມຕີ ວົ ປ່ ຽນເອກະລາດ 2 ຕວົ ຂນີ້ ໄປເຮາົ ເອນີີ້ ວ່ າ: ການວເິ ຄາະຖດົ ຖອຍ ແບບພະຫພດົ . ການພວົ ພນັ ທ່ ີກ່ າວມານແີ້ີ ມ່ ນແທນດວີ້ ຍສມົ ຜນົ ຂນັີ້ ໜ່ ງ (ສມົ ຜນົ ລີເນແອ). ມກີ ານພວົ ພນັ ທ່ ບີ ່ ໍ ສາມາດແທນດວີ້ ຍສມົ ຜນົ ຂນັ້ີ ໜ່ ງ. SONEPHAN LORVANNA 119

ດ່ ງັ ນນັີ້ , ຈ່ ງສະຫບໄດວ້ີ ່ າ: ຕ່ໄໍ ປນີີ້ ພວກເຮາົ ຈະເວາົ້ີ ເຖງິ ການວເິ ຄາະຖດົ ຖອຍ ທ່ ກີ ານພວົ ພນັ ສາມາດແທນດວີ້ ຍສມົ ຜນົ ຂນັ້ີ ໜ່ ງ. 1. ການວເິ ຄາະຖດົ ຖອຍແບບງ່າຍດາຍ ການວເິ ຄາະຖດົ ຖອຍແບບງ່າຍດາຍ ແມ່ ນເວາົ້ີ ເຖງິ ການແທນສູດການພວົ ພນັ ລະຫວ່ າງສອງປະຊາກອນ ທ່ ີ ແທນຄ່ າຂອງພວກມນັ ດວ້ີ ຍປ່ ຽນ x ແລະ y ຕາມລາດບັ ດວ້ີ ຍ ສມົ ຜນົ ເສນັ້ີ ຊ່ ື yˆ  a  bx . ເພ່ ນິ ເອນີີ້ ສມົ ຜນົ ວ່ າ ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອຖດົ ຖອຍ. ບ່ ແໍ ມ່ ນວ່ າທກໆການພວົ ພນັ ລະຫວ່ າງກ່ ມຂມໍ້ີ ູນ x ແລະ y ສາມາດແທນດວ້ີ ຍສມົ ຜນົ ເສນັ້ີ ຊ່ ື . ຖາີ້ ວ່ າກຣາບ (Graph) ຂອງການພວົ ພນັ ລະຫວ່ າງ x ແລະ y ຫາກຄາ້ີ ຍຄເື ສນັ້ີ ຊ່ ກື ານແທນການພວົ ພນັ ດ່ ງັ ກ່ າວດວ້ີ ຍສມົ ຜນົ ລເີ ນ ແອຖດົ ຖອຍ ຈ່ ງເຫນັ ວ່ າເໝາະສມົ . ກດິ ຈະກໍາ1: ພຈິ າລະນາການພວົ ພນັ ລະຫວ່ າງ x ຄ່ າໃຊຈີ້ ່ າຍໃນການໂຄສະນາກບັ ບ y ລາຍຮບັ ທ່ ໄີ ດຮ້ີ ບັ ຈາກການ ຂາຍສນິ ຄາ້ີ ຊະນດິ ໜ່ ງ (ຫວົ ໜ່ ວຍ: ພນັ ກບີ ) 1.1. ວທິ ກີ າໍ ລງັ ສອງນອ້ີ ຍສດ (Least squar method) ເມ່ ອື ມີ n ແຝດຂໍມີ້ ູນທ່ ບີ ອກການພວົ ພນັ ລະຫວ່ າງ x ແລະ y ດ່ ງັ ນ:ີີ້  x1, y1  x2, y2 ,..., xn, yn  ວທິ ກີ ໍາລງັ ສອງນອ້ີ ຍສດ ແມ່ ນວທິ ສີ າ້ີ ງສມົ ຜນົ ລເີ ນແອຖດົ ຖອຍ yˆ  a  bx ທ່ ສີ ອດຄ່ ອງກບັ ບເງ່ອື ນໄຂທ່ ີ ວ່ າ ຄ່ າຄາດເຄ່ ອື ນ nn  L   yi  yˆi 2   yi  a  bxi 2 i1 i1 ຕອີ້ ງມຄີ ່ ານອ້ີ ຍສດ. ຈາກທດິ ສະດຕີ ໍາລາຫາຍຕວົ ປ່ ຽນຈະໄດີ້ SONEPHAN LORVANNA 120

n  XiYi  nx  y i 1 b n , a  y  bx X 2  nx 2 i i 1 ກດິ ຈະກາໍ 1: ຈາກຂໍມີ້ ູນກ່ ຽວກບັ ບລາຍຮບັ ແລະ ຄ່ າໃຊຈີ້ ່ າຍໃນການໂຄສະນາ ທ່ ກີ ່ າວມາຂາີ້ ງເທງິ ນີ້ີ ກ. ຈ່ ງົ ຂຽນສມົ ຜນົ ລເີ ນແອຖດົ ຖອຍ ຂ. ອະທບິ າຍຜນົ ທ່ໄີ ດໃ້ີ ນຂໍີ້ ກ. ຄ. ພະຍາກອນລາຍຮບັ ເມ່ ອື ຈະໃຊງ້ີ ບົ ປະມານໃນການໂຄສະນາ ເປນັ ເງນິ 1). 550 000 ກບີ 2). 870 000 ກບີ 1.2. ສໍາປະສດິ ຂອງການຕດັ ສນິ ໃຈ (Coefficient of Determination) ຈດປະສງົ ໃນການສກສາການພວົ ພນັ ລະຫວ່ າງຕວົ ປ່ ຽນຕາມ ແລະ ຕວົ ປ່ ຽນເອກະລາດ ແມ່ ນເພ່ ອື ນາໍ ເອາົ ການພວົ ພນັ ນນັີ້ ໄປໃຊພີ້ ະຍາກອນຄ່ າຂອງຕວົ ປ່ ຽນຕາມ. ເພ່ ອື ບນັ ລຈດປະສງົ ທ່ ກີ ່ າວມານອີີ້ າດໃຊສ້ີ ມົ ຜນົ ຖດົ ຖອຍ ເພາະວ່ າອງີ ຕາມຄວາມເປນັ ຈງິ ຂອງສມົ ຜນົ ຖດົ ຖອຍ ແລວ້ີ ເຫນັ ວ່ າຕວົ ປ່ ຽນເອກະລາດ ມອີ ດິ ທພິ ນົ ຕ່ ໍຕວົ ປ່ ຽນຕາມ. ຄ່ າທ່ ບີ ອກ ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອຖດົ ຖອຍ ທ່ ໄີ ດມີ້ ານນັ້ີ ເໝາະສມົ ກບັ ບການພວົ ພນັ ລະຫວ່ າງສອງຕວົ ປ່ ຽນທ່ ໃີ ຫີ້ ມາ ຫື ບ່ ໍ ເອນີີ້ ວ່ າ ສໍາປະສດິ ຂອງການຕດັ ສນິ ໃຈ. ຕວົ ຢ່ າງ1: ມຂີ ມໍ້ີ ນູ ກ່ ຽວກບັ ບການພວົ ພນັ ລະຫວ່ າງສອງຕວົ ປ່ ຽນ x ແລະ y ດ່ ງັ ນ:ີ້ີ ສາມາດສະແດງການພວົ ພນັ ລະຫວ່ າງ x ແລະ y SONEPHAN LORVANNA 121

ເມ່ ອື ທຽບໃສ່ ເສນັີ້ ຊ່ ື ເຊ່ ງິ ເປັນເສນັ້ີ ສະແດງຂອງສມົ ຜນົ ລເີ ນແອຖົດຖອຍ ສໍາລບັ ການພວົ ພນັ ລະຫວ່ າງ x ແລະ y ຂາ້ີ ງເທງິ ນີ້ີ ເຫນັ ວ່ າມີ yi  yˆ  xi  ທ່ ເີ ອນີ້ີ ວ່ າ ຄ່ າອະທບິ າຍບ່ ໄໍ ດໂ້ີ ດຍຖດົ ຖອຍ ແລະ yˆ  xi   y ທ່ ເີ ອນີີ້ ວ່ າ ຄ່ າອະທບິ າຍໄດໂີ້ ດຍຖດົ ຖອຍ. ອດັ ຕາສ່ ວນລະຫວ່ າງ ຄ່ າຜນັ ປ່ ຽນຂອງຄ່ າອະທບິ າຍໄດ້ີ ໂດຍຖດົ ຖອຍ ກບັ ບຄ່ າຜນັ ປ່ ຽນທງັ ໝດົ ເອນີີ້ ວ່ າ ສາໍ ປະສດິ ການຕດັ ສນິ ໃຈ, ສນັ ຍະລກັ ດວ້ີ ຍ r2 ເຊ່ ງິ ມສີ ູດຄດິ ໄລ່ : r2   yˆi  y 2  yi  y 2 ສາມາດຂຽນສາໍ ປະສດິ ຂອງການຕດັ ສນິ ໃຈໃນຮູບແບບອ່ ນື ໄດດ້ີ ່ ງັ ນ:ີ້ີ r2 1 sx2 s 2 y  yˆi  y 2  yˆi  y 2 n2 n2 ເຊ່ ງິ :  sx2  , s 2  y ສງັ ເກດເຫນັ : - ເມ່ ອື sx2  sy2  yˆi  y  r2  0 ສະແດງວ່ າ x ແລະ y ບ່ ໍມກີ ານພວົ ພນັ ກບັ ນ ແລະ  yˆi  y 2  0  yˆi  y  b  0 ເຊ່ ງິ ອາດຈະສະແດງດວ້ີ ຍຮູບພາບ ຕ່ໄໍ ປນ:ີ້ີ ໃນກໍລະນນີ ,ີ້ີ ສະແດງວ່ າ ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອຖດົ ຖອດ ທ່ ໄີ ດມີ້ ານນັ້ີ ບ່ ໍເໝາະສມົ ກບັ ບການພວົ ພນັ ລະຫວ່ າງ ສອງຕວົ ປ່ ຽນທ່ ໃີ ຫມີ້ າ. - ເມ່ ອື r2  1 yi  yˆi ການພວົ ພນັ ລະຫວ່ າງ x ແລະ y ອາດສະແດງດວີ້ ຍຮູບພາບຕ່ໄໍ ປນ:ີ້ີ SONEPHAN LORVANNA 122

ໃນກໍລະນນີ ,ີ້ີ ສະແດງວ່ າ ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອຖດົ ຖອຍ ທ່ໄີ ດມີ້ ານນັ້ີ ເໝາະກບັ ບການພວົ ພນັ ລະຫວ່ າງສອງຕວົ ປ່ ຽນທ່ ໃີ ຫມີ້ າ. ສາມາດສະແດງໃຫເີ້ ຫນັ ວ່ າ: r2  n xi yi   xi  yi 2       n xi2 2 n 2 xi  yi2  yi  ເຊ່ ງິ ແມ່ ນສູດການຄດິ ຄ່ າຂອງ ທ່ ບີ ່ ໍຈາໍ ເປນັ ຕອີ້ ງສາ້ີ ງສມົ ຜນົ ຖດົ ຖອຍ. ກດິ ຈະກາໍ 1: ນກັ ຄນົີ້ ຄວາ້ີ ຜູໜີ້ ່ ງສນົ ໃຈການພວົ ພນັ ລະຫວ່ າງລາຍໄດ້ີ ແລະ ຄ່ າໃຊຈ້ີ ່ າຍປະຈາໍ ປີຂອງຄອບຄວົ ໃນຕວົ ເມອື ງໜ່ ງໂດຍເກບັ ບກາໍ ຂມໍີ້ ນູ ໄດດ້ີ ່ ງັ ນ:ີ້ີ 2. ສໍາປະສດິ ສະຫະການພວົ ພນັ r  x xy y  x  x 2  y  y 2 ຫື r  n xy   x y  n x 2    x 2 n y 2    y 2      ມຊີ ່ ວື ່ າສາໍ ປະສດິ ສະຫະການພວົ ພນັ . ຄ່ າຂອງສໍາປະສດິ ສະຫະການພວົ ພນັ ຈະຢ່ ູລະຫວ່ າງ -1 ຫາ 1 r  0 ເມ່ ອື n xy   x y  0 SONEPHAN LORVANNA 123

r  0 ເມ່ ອື n xy   x y  0 ຈາກສູດຖດົ ຖອຍ n xy   x y b  n x2   x2 ແລະ n x2   x2   0 ສະເໝ.ີ ດ່ ງັ ນນັ້ີ , r ແລະ b ມເີ ຄ່ ອື ງໝາຍຄກື ບັ ນ. ເຄ່ ອື ງໝາຍຂອງ r ຈະຊບີີ້ ອກການພວົ ພນັ ລະຫວ່ າງ x ແລະ y ເຊ່ ນັ : - ເມ່ ອື r  0  b  0 ລເີ ນແອຖດົ ຖອຍເປນັ ເສນັ້ີ ຊ່ ແື ຮມ ເຊ່ ງິ ໝາຍເຖງິ ເມ່ ອື x ຈະເພ່ ມີ ຂນ້ີ y ຈະຫດລງົ . - ເມ່ ອື r  0  b  0ລເີ ນແອຖດົ ຖອຍເປນັ ເສນັີ້ ຊ່ ທື ່ ຊີ ນັ ຂນ້ີ ເຊ່ ງິ ໝາຍເຖງິ ເມ່ ອື x ເພ່ ມີ ຂນ້ີ y ຈະເພ່ ມີ ຂນ້ີ . ກດິ ຈະກາໍ 1: ມຂີ ໍມ້ີ ນູ ກ່ ຽວກບັ ບລາຄາສນິ ຄາີ້ ໃໝ່ ຊະນດິ ໜ່ ງ ແລະ ປະລມິ ານຄວາມຕອີ້ ງການ ຈ່ ງົ ຊອກຄ່ າສາໍ ປະສດິ ສະຫະການພວົ ພນັ ລະຫວ່ າງ x ແລະ y ພອ້ີ ມທງັ ໃຫຄ້ີ ວາມໝາຍ SONEPHAN LORVANNA 124

ບດົ ເຝກິ ຫດັ I. ການປະເມນີ ຄ່ າ (Estimation) 1. ຈາກການສອບຖາມນກັ ຮຽນຈາໍ ນວນ 120 ຄນົ , ພບົ ວ່ າໃຊໂ້ີ ທລະສບັ ມຖື ຍື ່ ຫີ ໍ້ີ SAMSUNG ຈາໍ ນວນ 90 ຄນົ . ຈ່ ງົ ປະເມນີ ຄ່ າອດັ ຕາສ່ ວນຂອງຜູໃີ້ ຊໂີ້ ທລະສບັ ມຖື ຍື ່ ຫີ ໍນີ້ .ີີ້ 2. ເມ່ ອື ອາຍທ່ ໃີ ຊງ້ີ ານໄດຂ້ີ ອງດອກໄຟຍ່ ຫີ ໍໜີ້ ່ ງ ມກີ ານແຈກຢາຍປກົ ກະຕດິ ວ້ີ ຍຄ່ າຜນັ ປ່ ຽນມາດຕະຖານ 40. ຈາກ ຕວົ ຢ່ າງ 30 ຕວົ ຢ່ າງ ໄດອ້ີ າຍສະເລ່ ຍ 780 ຊ່ ວົ ໂມງ. ຈ່ ງົ ປະເມນີ ອາຍທ່ ໃີ ຊງີ້ ານໄດໂີ້ ດຍສະເລ່ ຍຂອງດອກໄຟຍ່ ຫີ ໍນ້ີ ີ້ີ ດວີ້ ຍລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັີ້ 96% 3. ຈາກຂໍມີ້ ນູ ຜ່ ານມາ ໃຫຮີ້ ູວີ້ ່ ານາໍີ້ ໜກັ ຂອງນກັ ຮຽນໃນໂຮງຮຽນແຫ່ ງໜ່ ງ ມກີ ານແຈກຢາຍແບບປກົ ກະຕິ ດວ້ີ ຍຄ່ າ ຜນັ ປ່ ຽນມາດຖານ 4,5 kg. ຈາກການສມຕວົ ຢ່ າງນກັ ຮຽນຈໍານວນ 23 ຄນົ ເຫນັ ວ່ າມຄີ ່ າສະເລ່ ຍຂອງນໍາ້ີ ໜັກ 65,5 kg. ຈ່ ງົ ປະເມນີ ຄ່ າສະເລ່ ຍນາໍີ້ ໜກັ ຂອງນກັ ຮຽນ ດວີ້ ຍລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັ້ີ 90%. 4. ເມ່ ອື ເລອື ກເຄ່ ອື ງໄຟຟາ້ີ ຊະນດິ ໜ່ ງ 10 ອນັ ຂອງຍ່ ຫີ ໍໜ້ີ ່ ງ ເຫນັ ວ່ າມອີ າຍສະເລ່ ຍທ່ ໃີ ຊງ້ີ ານໄດ້ີ 1200 ຊ່ ວົ ໂມງ ແລະ ຄ່ າຜນັ ປ່ ຽນມາດຕະຖານ 100 ຊ່ ວົ ໂມງ. ຈ່ ງົ ປະເມນີ ອາຍສະເລ່ ຍຂອງເຄ່ ອື ງໃຊໄີ້ ຟຟາີ້ ຊະນດິ ນີ້ີ ດວ້ີ ຍລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັີ້ 95%. 5. ອາຍທ່ ີໃຊງີ້ ານໄດຂ້ີ ອງດອກໄຟ 30 ດອກ ທ່ ີເລອື ກຈາກດອກໄຟຍ່ ຫີ ໍໜ້ີ ່ ງ ມຄີ ່ າຜັນປ່ ຽນມາດຕະຖານ 100 ຊ່ ວົ ໂມງ. ຈ່ ງົ ປະເມນີ ຄ່ າຜນັ ປ່ ຽນມາດຕະຖານ ດວ້ີ ຍລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັ້ີ 95%. 6. ຈາກການສ່ ມຕວົ ຢ່ າງນກັ ຮຽນ ຊນັ້ີ ມ.7 ຂອງໂຮງຮຽນມດັ ທະຍມົ ແຫ່ ງໜ່ ງ ຈໍານວນ 100 ຄນົ ພບົ ວ່ າຂບັ ຂ່ ີ ລດົ ຈກັ ມາໂຮງຮຽນດວີ້ ຍຕນົ ເອງຈໍານວນ 60 ຄນົ . ຈ່ ງົ ປະເມນີ ຄ່ າອດັ ຕາສ່ ວນຂອງນກັ ຮຽນທ່ ີຂບັ ຂ່ ີລດົ ຈກັ ມາ ໂຮງຮຽນດວີ້ ຍຕນົ ເອງ ດວີ້ ຍລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັ້ີ 95% 7. ບໍລສິ ດັ ນາໍີ້ ຫວານບໍລສິ ດັ ໜ່ ງພະຍາຍາມຈະໃຊແ້ີ ກວີ້ ເກ່ າົ . ເມ່ ອື ເລອື ກແກວ້ີ ເກ່ າົ ມາ 375 ກວດ ເຫນັ ວ່ າມແີ ກວີ້ ທ່ ີ ໃຊບ້ີ ່ໄໍ ດ້ີ 30 ກວດ. ຈ່ ງົ ປະເມນີ ອດັ ຕາສ່ ວນແກວີ້ ເກ່ າົ ທ່ ບີ ລໍ ສິ ດັ ນໄີ້ີ ດໃ້ີ ຊອີ້ ກີ ດວີ້ ຍລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັີ້ 95%. 8. ຈາກຂໍີ້ 2 ເພ່ ອື ໃຫອີ້ າຍສະເລ່ ຍທ່ ປີ ະເມນີ ຜດິ ຈາກຄ່ າຄວາມຈງິ ບ່ ໍເກນີ 10 ຊ່ ວົ ໂມງ. ຖາມວ່ າດວ້ີ ຍລະດບັ ຄວາມ ເຊ່ ອື ໝນັີ້ 95% ຕອີ້ ງເລອື ກຕວົ ຢ່ າງຂະໜາດເທ່ າົ ໃດມາປະເມນີ ? II. ການທດົ ສອບສມົ ມດຕຖິ ານທາງສະຖຕິ ິ 1. ເມ່ ອື ເລອື ກນກັ ຮຽນ 64 ຄນົ ຈາກໂຮງຮຽນແຫ່ ງໜ່ ງມາທດົ ສອບຄວາມໄວຂອງສະໝອງເຫນັ ວ່ າມຄີ ່ າສະເລ່ ຍ 103,5 ແລະ ທ່ ີຜ່ ານມາຮູວ້ີ ່ າ ຄວາມໄວຂອງສະໝອງນກັ ຮຽນໂຮງຮຽນແຫ່ ງນີ້ີ ມຄີ ່ າຜນັ ປ່ ຽນມາດຕະຖານ 16. ຖາມວ່ າ ຈະສະຫບໄດີ້ ຫື ບ່ ໍ ວ່ າຄວາມໄວຂອງສະໝອງຂອງນກັ ຮຽນໂຮງຮຽນນໂີີ້ ດຍສະເລ່ ຍເກນີ 100 ດວີ້ ຍ ລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັ້ີ 95%. 2. ຈາກຂໍ້ີ 1 ເມ່ ອື ເລອື ກນກັ ຮຽນພຽງແຕ່ 16 ຄນົ ແລວີ້ ໄດຄ້ີ ່ າສະເລ່ ຍເທ່ າົ 115, ຄ່ າຜນັ ປ່ ຽນມາດຕະຖານເທ່ າົ 12. ຈ່ ງົ ທດົ ສອບດວ້ີ ຍລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັີ້ 0,01 ວ່ າ ຄວາມໄວຂອງສະໝອງ ຂອງນກັ ຮຽນໂຮງຮຽນແຫ່ ງນີີ້ ໂດຍ ສະເລ່ ຍຈະເທ່ າົ 120. 3. ເຄ່ ອື ງຈກັ ຜະລດິ ແປງ້ີ ເດກັ 2 ເຄ່ ອື ງ ທ່ ຜີ ່ ານມາຮູວ້ີ ່ າ ຄ່ າຜນັ ປ່ ຽນມາດຕະຖານຂອງນໍາີ້ ໜກັ ແປງີ້ ທ່ ເີ ຄ່ ອື ງຈກັ 2 ເຄ່ ອື ງນີ້ີ ໃສ່ ລງົ ໃນກະປ໋ ອງເທ່ າົ 0,04 ແລະ 0,05 onz ຕາມລໍາດບັ . ຈາກຕວົ ຢ່ າງທ່ ີເລອື ກຈາກແຕ່ ລະຈກັ 100 SONEPHAN LORVANNA 125

ກະປ໋ ອງ ເຫນັ ວ່ ານາໍີ້ ໜກັ ສະເລ່ ຍຂອງແປງີ້ ທ່ ໃີ ສ່ ໃນກະປ໋ ອງຂອງຈກັ ທ່ ີ 1 ເທ່ າົ 6,11 onz; ນາີ້ ໜກັ ສະເລ່ ຍຂອງແປງ້ີ ທ່ ີ ໃສ່ ໃນກະປ໋ ອງຂອງຈກັ ທ່ ີ 2 ເທ່ າົ 6,14 onz. ຖາມວ່ າ ດວີ້ ຍລະດບັ ຄວາມສໍາຄນັ 0,05 ຈະເວາົ້ີ ໄດບີ້ ່ ໍວ່ ານາີ້ ໜກັ ສະເລ່ ຍຂອງແປງີ້ ທ່ ໃີ ສ່ ໃນກະປ໋ ອງຂອງຈກັ ທ່ ີ 2 ເຄ່ ອື ງນແີີ້ ຕກຕ່ າງກບັ ນ? 4. ເມ່ ອື ຕອ້ີ ງການສມົ ທຽບປະລມິ ານ ກາເຟອນິ ໃນກາແຟ 2 ຍ່ ຫີ ໍວ້ີ ່ າຕ່ າງກບັ ນ ຫື ບ່ ໍ ເພ່ ນິ ໄດເີ້ ອາົ ຕວົ ຢ່ າງ ກາແຟ ຍ່ ຫີ ໍ້ີ A ມາ 10 ປ໋ ອງ ເຫນັ ວ່ າມີ ກາເຟອນິ ໂດຍສະເລ່ ຍ 23,1mg ຄ່ າຜນັ ປ່ ຽນມາດຕະຖານ 1,5mg ແລະ ເອາົ ຕວົ ຢ່ າງກາແຟຍ່ ຫີ ໍີ້ B ມາ 8 ປ໋ ອງ ເຫນັ ວ່ າມກີ າເຟອນິ ໂດຍສະເລ່ ຍ 22,7mg ຄ່ າຜນັ ປ່ ຽນມາດຕະຖານ 1,7mg. ສມົ ມດວ່ າຂໍມ້ີ ູນທ່ ໄີ ດນີ້ ມີ້ີ າຈາກປະຊາກອນ ທ່ ມີ ກີ ານແຈກຢາຍປກົ ກະຕທິ ່ ມີ ຄີ ່ າຜນັ ປ່ ຽນຄກື ບັ ນ. ຖາມວ່ າ ດວີ້ ຍ ລະດບັ ຄວາມສາໍ ຄນັ 0,05 ຈະສະຫບໄດບີ້ ່ ໍວ່ າປະລມິ ານກາເຟອນິ ທ່ ມີ ໃີ ນກາເຟ 2 ຍ່ ຫີ ນໍີ້ ຕີ້ີ ່ າງກບັ ນ? 5. ໃນໄລຍະ 15 ປີທ່ ີຜ່ ານມາ ໂດຍສະເລ່ ຍ ປະລມິ ານນໍາີ້ ຝົນທ່ ີຕກົ ໃນພາກໃຕີ້ ໃນທາ້ີ ຍເດອື ນສງິ ຫາເທ່ າົ 1,94 inch ດວ້ີ ຍຄ່ າຜນັ ປ່ ຽນມາດຕະຖານ 0,45inch. ດວ້ີ ຍຄ່ າຜນັ ປ່ ຽນມາດຕະຖານ 0,26inch. ຖາ້ີ ວ່ າຂໍມ້ີ ູນນມີ້ີ າຈາກ ປະຊາກອນທ່ ີມກີ ານແຈກຍາຍປົກກະຕິ ດວ້ີ ຍຄ່ າຜັນປ່ ຽນຕ່ າງກບັ ນ ແລະ ມຄີ ວາມເຊ່ ືອໝັນີ້ ວ່ າໂດຍສະເລ່ ຍ ປະລມິ ານນໍາ້ີ ຝນົ ທ່ ຕີ ກົ ໃນພາກໃຕຕີ້ ອ້ີ ງຫາຍກວ່ າພາກເໜອື . ດວ້ີ ຍລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັ້ີ 99% ຈ່ ງົ ທດົ ສອບວ່ າ ໃນເດອື ນສງິ ຫາປະລມິ ານນາໍ້ີ ຝນົ ທ່ ຕີ ກົ ໃນພາກໃຕ ີ້ ຈະຫາຍກວ່ າພາກເໜອື ຫື ບ່ ໍ? 6. ໂຮງງານເຟນີ ເິ ຈແີ ຫ່ ງໜ່ ງ ໄດກ້ີ ວດສອບເຟນີ ເິ ຈທີ ່ ມີ ອີ ນັ ຕໍານິ 309 ອນັ ເມ່ ອື ຈໍາແນກເຟນີ ເິ ຈທີ ່ ມີ ອີ ນັ ຕໍານຕິ າມ ຊ່ ວງເວລາທ່ ຜີ ະລດິ ແລະ ຊະນດິ ຂອງອນັ ຕາໍ ນິ ໄດຂີ້ ມໍ້ີ ນູ ດ່ ງັ ນ:ີີ້ ຈ່ ງົ ທດົ ສອບດວີ້ ຍລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັ້ີ 95% ວ່ າຊະນດິ ຂອງອນັ ຕໍານິ ຈະຂນ້ີ ກບັ ບຊ່ ວງເວລາທ່ ຜີ ະລດິ ນີ້ີ ຫື ບ່ ?ໍ 7. ບໍລສິ ດັ ຜະລດິ ນມົ ຜງົ ແຫ່ ງໜ່ ງຢາກຮູວ້ີ ່ າຜູຊີ້ ສືີ້ ນົ ໃຈຄໍາເຕອື ນຕ່ າງໆ ທ່ ຕີ ດິ ໄວໃີ້ ນກະປ໋ ອງນມົ ນນັ້ີ ຫື ບ່ ໍ ຈ່ ງເລອື ກ ຕວົ ຢ່ າງຜູຊີ້ ນືີ້ ມົ ຜງົ 1000 ຄນົ ໄດຂ້ີ ໍມີ້ ນູ ດ່ ງັ ນ:ີີ້ ຈ່ ງົ ທດົ ສອບດວີ້ ຍລະດບັ ຄວາມເຊ່ ອື ໝນັີ້ 95% ວ່ າຄວາມສນົ ໃຈຕ່ ໍຄໍາເຕອື ນທ່ ຕີ ດິ ໄວກ້ີ ະປ໋ ອງ ນມົ ຜງົ ຂອງຜູຊ້ີ ຂືີ້ ນີ້ ກບັ ບລະດບັ ລາຍໄດຂີ້ ອງຜູຊີ້ ື້ີ ຫື ບ່ ໍ? SONEPHAN LORVANNA 126

III. ການວເິ ຄາະຖດົ ຖອຍ ແລະ ສະຫະການພວົ ພນັ 1. ທລະກດິ ແຫ່ ງໜ່ ງໄດສີ້ ນົ ໃຈຄວາມສໍາພນັ ລະຫວ່ າງລາຍຮບັ ແລະ ອດັ ຕາກໍາໄລຂອງຕນົ ຈ່ ງໄດເ້ີ ອາົ ຂມໍີ້ ູນຂອງຕນົ ໃນເວລາທ່ ຜີ ່ ານມາທ່ ສີ ະແດງໃນຕາຕະລາງລ່ ມນມີີ້ າສກສາ. ກ. ຈ່ ງົ ຂຽນສມົ ຜນົ ລເີ ນແອຖດົ ຖອຍ ທ່ ບີ ອກການພວົ ພນັ ລະຫວ່ າງ x ແລະ y ຂ. ຈ່ ງົ ພະຍາກອນອດັ ຕາກາໍ ໄລ ເມ່ ອື ທລະກດິ ນມີ້ີ ລີ າຍໄດ້ີ 1). 250 ລາ້ີ ນກບີ 2). 400 ລາ້ີ ນກບີ ຄ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາສາໍ ປະສດິ ຂອງການຕດັ ສນິ ໃຈ ແລະ ຕຄີ ວາມໝາຍຄ່ າທ່ໄີ ດມ້ີ າ 2. ບໍລສິ ດັ ປະກບັ ນໄພແຫ່ ງໜ່ ງໄດວ້ີ ເິ ຄາະຂໍມີ້ ູນປະກບັ ນໄພໃນປທີ ່ ຜີ ່ ານມາ ເຊ່ ງິ ຂໍໃີ້ ນການວເິ ຄາະປະກອບດວີ້ ຍຕວົ ເລກຜູປີ້ ະກບັ ນໄພຕາມຕວົ ແທນຂອງບໍລສິ ດັ ປະກບັ ນໄພນແີີ້ ປດຕວົ ແທນ ແລະ ຈາໍ ນວນເງນິ ທ່ ຈີ ່ າຍໃຫຜີ້ ູປີ້ ະກບັ ນໄພ ທ່ ຖີ ກື ເຄາະຮາີ້ ຍ: SONEPHAN LORVANNA 127

ຈ່ ງົ ຊອກຫາສໍາປະສດິ ສະຫະການພວົ ພນັ ລະຫວ່ າງ x ແລະ y ພອ້ີ ມທງັ ໃຫຄ້ີ ວາມໝາຍ SONEPHAN LORVANNA 128

®©ö êó 7 ª¿ì¾ºóÁ¯¡Â®ìò¡ I. £÷­ìñ¡¦½­½ Áì½ À¦­˜ ¦½Á©¤¢º¤ª¿ì¾ºóÁ¯¡Â®ìò¡ 1. ª¿ì¾§-ò ºòÁ¯¡Â®ìò¡ ª¿ì¾§ò-ºÁò ¯¡Â®ìò¡ª¾´ª¸ö ¯¼È - x ¦-ñ ¨¾ìñ¡©¸É ¨ sinh x À§…¤ª¿ì¾­¦š ¾´¾©¢¼­Ã­ »ø®Á®®¢º¤ª¿ì¾Ã¥¡¿ìñ¤Ä©É£õ: sinh x  ex  ex 2 À§¤… À¦˜-¦½Á©¤¢º¤ª¿ì¾´ó»ø®»È¾¤£©õ ¾ñ ¤»ø®1 »®ø êó 1 À¦˜­¦½Á©¤¢º¤ªð¾ì¾ f (x)  sinhx 129 ¥¾¡À¦­˜ ¦½Á©¤¢º¤ª¿ì¾ f (x)  sinh x ¦¾´¾©¦½Í®÷ Ä©É£õ: Œ ª¿ì¾ f (x)  sinh x À¯-ñ ª¿ì¾£¡ó À²¾½ sinh( x)  ex  ex   ex  ex   sinh x 22 DŒ À¢©¡¿­ö©¢º¤ª¿ì¾Á´­È  R f RŒ À¢©£­÷ £È¾¢º¤ª¿ì¾Á´È­  R f 2. ª¿ì¾Â¡§-ò ºòÁ¯¡Â®ìò¡ ª¿ì¾Â¡§-ò ºÁò ¯¡Â®ìò¡ª¾´ªö¸ x ¦ñ-¨¾ìñ¡©¸É ¨ cosh x À§¤… ª¿ì¾­š¦¾´¾©¢¼­Ã­ »®ø Á®®¢º¤ª¿ì¾Ã¥¡¿ìñ¤Ä©É£õ: SONEPHAN LORVANNA

cosh x  ex  ex 2 À§…¤À¦­˜ ¦½Á©¤¢º¤ª¿ì¾´ó»®ø »¾È ¤£õ©„¤»ø® 2 »®ø êó 2 À¦­˜ ¦½Á©¤¢º¤ª¿ì¾ f (x)  cosh x ¥¾¡À¦­˜ ¦½Á©¤¢º¤ª¿ì¾ f (x)  cosh x ¦¾´¾©¦½Í®÷ Ä©É£õ: Œ ª¿ì¾ f (x)  cosh x À¯ñ-ª¿ì¾£ÀøÈ ²¾½ cosh(x)  ex  ex  ex  ex  cosh x 22 Œ À¢©¡¿­ö©¢º¤ª¿ì¾Á´­È D f  R Œ À¢©£÷­£¾È ¢º¤ª¿ì¾Á´­È R f  1,  3. ª¿ì¾ªñ¤ºòÁ¯¡Â®ìò¡ ª¿ì¾ªñ¤ºÁó ¯¡Â®ì¡ò ª¾´ª¸ö ¯¼È - x ¦ñ-¨¾ìñ¡©¸É ¨ tanh x À§¤… À»ö¾´ó: tanh  simhx  ex  ex cosh x ex  ex À§¤… À¦­˜ ¦½Á©¤¢º¤ª¿ì¾´ó»®ø »¾È ¤£õ©¤„ »ø®3 SONEPHAN LORVANNA 130

»ø®êó 3 Àສ-ັ້ ¦½Á©¤¢º¤ª¿ì¾ f  x  tanh x ¥¾¡À¦­˜ ¦½Á©¤¢º¤ª¿ì¾ f  x  tanh x ¦¾´¾©¦½ÍЮĩɣõ: ª¿ì¾ f  x  tanh x À¯ñ-ª¿ì¾£ó¡À²¾½ tanh x  ex  ex   ex  ex   tanh x ex  ex ex  ex Œ À¢©¡¿-ö©¢º¤ª¿ì¾Á´-È Df  R Œ À¢©£÷-£È¾¢º¤ª¿ì¾Á´-È Rf  1, 4. ª¿ì¾Â¡ª¤ñ ºóÁ¯¡Â®ì¡ò ª¿ì¾Â¡ª¤ñ ºóÁ¯¡Â®ìò¡ª¾´ªö¸¯¼È - x ¦ñ-¨¾ì¡ñ ©É¸¨ coth x À§…¤À»¾ö ´ó À§¤… À¦­˜ ¦½Á©¤¢º¤ª¿ì¾´ó»®ø »È¾¤£õ©„¤»®ø .4 cosh x ex  ex coth x  sinh x  ex  ex »®ø êó 4 À¦­˜ ¦½Á©¤¢º¤ª¿ì¾ f  x  coth x ¥¾¡À¦­˜ ¦½Á©¤¢º¤ª¿ì¾ f  x  coth ¦x ¾´¾©¦½Í®Ð Ä©£É õ: ª¿ì¾ f  x  coth xÀ¯-ñ ª¿ì¾£¡ó À²¾½ coth x  ex  ex   ex  ex  coth x ex  ex ex  ex Œ À¢©¡¿-©ö £÷-£È¾¢º¤ª¿ì¾Á´ È-Df  R 0 Œ À¢©£È-÷ £¾È ¢º¤ª¿ì¾Áມ່ ນ Rf  R 0 1.5 ¦ø©²›­«¾­¢º¤ª¿ì¾ºóÁ¯¡Â®ìò¡ coth2 x  sinh2 x 1 1. SONEPHAN LORVANNA 131

2. coth 2x  cosh2 x  sinh2 x 3. sinh 2 x  2sinhxcoshx 4. sinh  x  y  sinh x cosh y  cosh xsinh y 5. sinh  x  y  sinh x cosh y  cosh xsinh y 6. co-s x  y  cosh x cosh y  sinh xsinh y 7. cos x  y  cosh x cosh y  sinh xsinh y 8. tanh  x  y  tanh x  tanhy 1 tanhxtanhy 9. tanh  x  y  tanh x  tanhy 1 tanhxtanhy 10. coth  x  y  1 cosh x cosh y cothx cothy 11. coth  x  y  1 cosh x cosh y cothx cothy sinhxcoshy  1 sinh  x  y  sinh  x  y 12. 2 13. sinhxsinhy  1 cosh  x  y  cosh  x  y 2 14. cosh x cosh y  1 co8sh  x  y  cosh  x  y ª¸ö µÈ¾¤ 1. «¾É ¸¾È sinh x2 15 ¥‰¤§º¡¹¾£È¾¢º¤ cosh x , tanh x Áì½ coth x ®ö©Á¡É: ¥¾¡¦ø© cosh2 x  sinh2 x 1 2  ¥½Ä©É cosh2 x  1 sinh2  1   8 1 64  289  15 225 225 cosh x  17 8 15 ¥¾¡ tanh x  sinh x  15 8 cosh x 17 17 15 17 Áì½ cosh x  cosh x  15  17 ¡ò©¥½¡¿: sinh x 8 8 15 1. ¥¤‰ §º¡£¾È ¢º¤ x ¥¾¡¦´ö °-ö 5cosh x  3sinh x  4 2. ¥¤‰ §º¡¹¾¢º¤ x ¥¾¡¦´ö °ö- 2cosh 2x 10sinh 2x  5 II. ¢º®À¢© Áì½ °ö-ª¿ì¾¢º¤ª¿ì¾ºóÁ¯¡Â®ì¡ò SONEPHAN LORVANNA 132

1. ¢º®À¢©¢º¤ª¿ì¾ºóÁ¯¡Â®ìò¡ lim tanh x ªö¸µ¾È ¤1: ¥¤‰ £ò©ÄìÈ x0 sinh 2x ແກ:È ້ັ À»¾ö ´ó tanh x lim x0 sinh 2x sinhx  lim cosh x x x0 2 sinhsinxhcoxsh 2x  2 sinh x cosh lim x0  lim 1 x  1 2 cosh2 2 ¡ò©¥½¡¿1: x0 sinh2 x 1. ¥¤‰ £©ò ÄìÈ lim x0 sinh 2x  2sinh x  cosh x 1 2. °-ö ª¿ì¾¢º¤ª¿ì¾ºÁó ¯¡Â®ì¡ò ¡¾­£ò©Äì°È ö­ª¿ì¾¢º¤ª¿ì¾ºóÁ¯¡Â®ìò¡­¦š ¾´¾©­¿Ã§¦É ø©°ö­ª¿ì¾¢º¤ª¿ì¾Ã¥¡¿ì¤ñ êĆ ©É¦ ½ÀÎÃó - ´.6  ex  ex sinh x ¥¾¡ 2 ¥½-Ä©É sinh x'  e x  ex ' ex  ex  2  2     cosh x  ©„¤­˜­ sinh x'  cosh x ¦¿ì®ñ ª¿ì¾ºˆ­Å¡£Ò ò©ÄìÈÁ®®©¼¸¡­ñ À»ö¾¥‡¤¦¾´¾©¦½Í®Ð Ä©ÀÉ ¯ñ­¦ø©©¤„ ­š: 1.sinh x'  cosh x 2. cosh x'  sinh x 1 3.  tanh x'  cosh2x 4. coth x' 1 sinh2x «É¾¸È¾ u ເ¯-ñ ª¿ì¾ª¾´ª¸ö ¯¼È -¥x½Â©É: 1. sinh x'  u' cosh u 2. cosh x'  u' sinh u 3.  tanh x'  u' u cosh2 4. coth x'  u' u sinh2 ªö¸µ¾È ¤1: ¥¤‰ £©ò ÄìªÈ ¿ì¾¢º¤°ö­ª¿ì¾ì´È÷ ­š: 1. f  x  sinh 3x  cosh2 x SONEPHAN LORVANNA 133

2. f  x  tanh x2 1 3. f  x  sinh3 2x Á¡É:  1. À»¾ö ´ó f '  x  sinh 3x  cosh2 x '  3x' cosh 3x  2cosh cosh x'  3cosh 3x  2coshxsinhx  3cosh 3x  2coshxsinhx ©„¤­˜­ f '  x  3cosh 3x  sinh 2x  x2 1 ' f ' x  cosh2 x2 1  2. À»¾ö ´ó   2x cosh2 x2 1 3. À»ö¾´ó f '  x  3sinh2 2x sinh 2x'  3sinh2 2x2cosh 2x -  6sinh2 2x cosh 2x ¡©ò ¥½¡¿1: ¥‰¤£©ò Äì°È ö­ª¿ì¾¢º¤ª¿ì¾ìÈ´÷ ­š 1. f  x  sinh2 x tanhx 2. f  x  x cosh  xx 1 3. f  x  1 cosh x 1 sinh 2x III. ¦ñ¤£½-©ò ¢º¤ª¿ì¾ºóÁ¯¡Â®ì¡ò ¡¾­£ò©ÄìȦñ¤£½­©ò ¢º¤ª¿ì¾ºóÁ¯¡Â®ìò¡­š¡ð£É¾¨£õ¡ñ®¡¾­£©ò Äì¦È ñ¤£½­ò©¢º¤ª¿ì¾Äª´÷´ ¥¾¡ cosh x'  sinh x Íô d cosh x  sinh x dx d cosh x  sinh xdx   d cosh x   sinh xdx ©¤„ ­­˜  sinh xdx  cosh x  c ¦¿ìñ®ª¿ì¾ºóÁ¯¡Â®ìò¡º†­Å¡ÒÀ»©ñ £õ¡­ñ ¦½­˜­¦¾´¾©¦½Í®Ð Ä©û©„¤­š: 1.  sinh xdx  cosh x  c 2.  cosh xdx  sinh x  c 3.  1 x dx  tanh x  c 4.  1 x dx   coth x  c cosh2 sinh2 SONEPHAN LORVANNA 134

ª¸ö µÈ¾¤: 1. ¥¤‰ £©ò Äì¦È ¤ñ £½­ò©ìÈ´÷ ­š 1.  sinh 3xdx 2.  cosh2 xdx 3.  tanh xdx Á¡É: 1. À»¾ö ´ó  sinh 3xdx   3 sinh 3xdx 3  1  sinh 3 xd 3 x 3  1 cosh 3x  c 3 2. ¥¾¡ cosh 2x  cosh2 x  sinh2 x  2cosh2 x 1 cosh2 x  cosh 2x 1 dx 2 ©¤„ ­­˜  cosh2 xdx   cosh 2 x1dx 2  1  cosh 2x 1 dx 2  1 sinh 2x  1 x  c 42 3. À»¾ö ´ó  tanh xdx   sinh x dx cosh x   d cosh x  ln  cosh x  c cosh x ¡©ò ¥½¡¿1: ¥¤‰ £ò©ÄìȦ¤ñ £½­ò©ìÈ÷´­š 1.  sinh 3x cosh 2 xdx 2.  cosh 1 dx x coth x ¡©ò ¥½¡¿2: ¥‰¤£©ò ÄìȦñ¤£½­©ò ì÷È´­š 1 1.  cosh x 0 1 2.  sinh2x cosh x 0 SONEPHAN LORVANNA 135

®ö©À±ò¡¹©ñ I. ª¿ì¾ºóÁ¯¡Â®ì¡ò 1. «É¾¸¾È sinh x  5 ¥¤‰ §º¡£¾È ¢º¤cosh x ,tanh x Áì½ c-oth x 2. «¾É ¸¾È coth x 152 ¥¤‰ §º¡£¾È ¢º¤ sinh 2x Áì½ cosh 2x 4 3. ¥‰¤§º¡¹¾£È¾¢º¤ x ¥¾¡¦ö´°­ö ì´È÷ ­š: ¡. 4cosh x  sinh x  4 ¢. 3sinh x  cosh x 1 4 tanh x  1 1 £. cosh x ¤. 4cosh 2x  2sinh x  7 ¦. 3cosh 2x  5  cosux  22 II. ຂອບເຂ©¢º¤ª¿ì¾ºÁó ¯¡Â®ì¡ò 1. ¥¤‰ £ò©ÄìÈ¢º®À¢©¢º¤ª¿ì¾ì÷È´­š ¡. lim sinh2 x x0 cosh x 1 ¢. cosh 2x 1 lim £. x0 cossihn3hxx cosh x lim x0 sinh2 x ¤. lim sinh 2x  sinh x ¥. x0 sinh 2x sinh 2x  2sinh x lim cosh2 x  cosh x x0 2 .¥¤‰ §º¡°­ö ª¿ì¾¢º¤ª¿ì¾ì÷È´­š ¡. f  x  cosh 3x ¢. f  x  sinh2 x  x cosh 2x  £. f  x  tanh x2 1 ¤. f  x  sinh 2 x 1 tanh x ¥. f  x  ln sinh 2x III. ¦ñ¤£½-©ò ¢º¤ª¿ì¾ºÁó ¯¡Â®ì¡ò 1. ¥‰¤£©ò ÄìȦñ¤£½­ò©ì´È÷ ­š: ¡.  cosh xdx 2 ¢.  sinh2xdx £.  ex coshxdx SONEPHAN LORVANNA 136

¤.  cosh 2xsinh 3xdx ¥.  sinh4xdx 2. ¥¤‰ £ò©ÄìȦ¤ñ £½­ò©ì÷È´­š:  ¡. x2 cosh x3 1 dx ¢.  cosh3x sinh xdx £. cosh2x sinh2 xdx ¤. cosh2x sinh3 xdx ¥.  x2 cosh 2xdx SONEPHAN LORVANNA 137

ບດົ ທີ 8 ຕໍາລາປນີີ້ I. ນຍີ າມ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະຂອງຕາໍ ລາປນີ້ີ 1. ນຍິ າມຂອງຕໍາລາປນີີ້ ໃຫຕ້ີ ໍາລາ y  f (x), x  E  Df ຖາ້ີ ວ່ າສາມາດຊອກຫາຕໍາລາ x  g( y), y  Rf ເພນິ ເວາົ້ີ ວ່ າ g ແມ່ ນຕໍາລາປນີ້ີ ຄນື ຂອງຕາໍ ລ່ າ f ແລະ ສນັ ຍະລກັ g  f 1 ຕວົ ຢ່ າງ1: ໃຫຕ້ີ າໍ ລາ f (x)  2x  3 ຈ່ ງົ ຊອກຕາໍ ລາປນີ້ີ ຂອງ f (x) ບດົ ແກ:້ີ ຈາກ f (x)  2x  3 y  2x 3  x y3 2 ດງັ ນນັີ້ ຕາໍ ລາປນີີ້ ແມ່ ນ f 1 (x)  x 3 2 ກດິ ຈະກາໍ 1: ໃຫຕ້ີ າໍ ລາ f (x)  x3 1ຈ່ ງົ ຊອກ f 1(9) ກດິ ຈະກາໍ 2: ໃຫຕີ້ າໍ ລາ y  ln x, x  0  x  ey ສະນນັີ້ g(x)  ex ແມ່ ນຕາໍ ລາປນີ້ີ ຂອງຕໍາລາ f (x)  ln x, x  0 2. ຄຸນລກັ ສະນະຂອງຕໍາລາປນີີ້ ຖາີ້ ວ່ າ f 1(x) ເປນັ ຕາໍ ລາປນີ້ີ ຂອງ f(x) ແລວີ້ ຈະດດວີ້ ່ າ: ຖາີ້ ວ່ າ y  f (x) ຈະດດີ້ x  f 1(x) Df 1  Df ເຂດກາໍ ນດົ ຂອງ f 1 ແມ່ ນເຂດຄ່ າຂອງ f ເສນັີ້ ສະແດງຂອງຕໍາລາ y  f 1(x) ແລະ ເສນັ້ີ ສະແດງຂອງ y  f (x) ເຄ່ ງິ ຄທື ຽບໃສ່ ເສນັີ້ ຊ່ ື y  x ( f f 1)(x)  ( f 1 f )(x)  x ຖາ້ີ ວ່ າຕໍາລາ y  f (x) ແຮມຕະຫຼອດ ຫຼື ຂນ້ີ ຕະຫຼອດໃນເຂດ E ຈະມຕີ ໍາລາປີນ້ີ ຂອງ f (x) ເຊງິ E ຈະ ກາຍເປນັ ເຂດຄ່ າຂອງຕໍາລາປນີ້ີ ນ.ີ້ີ SONEPHAN LORVANNA 138

ຕົວຢ່ າງ 4: y  x2, x  0  x  y , y  0 ສະແດງວ່ າ g(x)  x ແມ່ ນຕໍາລາປີີ້ນຂອງຕໍາລາ f (x)  x2, x  0 y  x2, x  0  x   y, y  0 ສະແດງວ່ າ g(x)   x ແມ່ ນຕາໍ ລາ ປນິີ້ ຂອງຕາໍ ລາ y  x2, x  0 3. ຕໍາລາປນີ້ີ ຂອງຕາໍ ລາ sin ຕໍາລາ y  sin x ຂນ້ີ ຕະຫຼອດໃນຫວ່ າງ   ;   ແລະ ມເີ ຂດຄ່ າແມ່ ນ 1;1 ດ່ ງັ ນນັ້ີ ;  2 2 ຕໍາລາ y  sin x ຈ່ ງມຕີ ໍາລາປີນ້ີ ສນັ ຍະລກັ ດວີ້ ຍ y  sin1 x ເຊງິ x 1;1 ແລະ ເຂດຄ່ າ ຂອງມນັ SONEPHAN LORVANNA 139

ແມ່ ນ   ;    2 2 ສ່ ງິ ທ່ ຄີ ວນເອາົ ໃຈໃສ່ : ບາງປມື້ີ ເພ່ ນິ ສນັ ຍະລກັ ດວີ້ ຍ y  sin1 x ດວ້ີ ຍ arcsin x ເພາະວ່ າ sin(arcsin x)  x ການຊອກຫາ arcsin x ແມ່ ນຊອກມູມທຢີ ່່ ູຫວ່ າງ   ;    2 2 ແລະ sin ຂອງມມູ ທຊີ ອກມຄີ ່ າເທ່ າົ x ຕວົ ຢ່ າງ 1. arcsin(1)    ເພາະວ່ າ sin       1   2 2 2 arcsin  1    ເພາະວ່ າ sin     1  2    2 6 6 arcsin   1     ເພາະວ່ າ sin       1  2    2 6 6 ຂໍສີ້ ງັ ເກດ: arcsin x   arcsin  x y  arcsin x  sin y  x 4. ຕາໍ ລາປນີີ້ ຄນືີ້ ຂອງຕໍາລາ cos x ຕໍາລາ y  cos x ແຮມ້ີ ຕະຫຼອດໃນຫວ່ າງ 0;  ແລະ 1;1 ແມ່ ນເຂດຄ່ າຂອງຕໍາລານ.ີີ້  ດ່ ງັ ນນັ້ີ , ຕໍາລາ y  cos x ຈ່ ງມຕີ ໍາລາປີນີ້ ສນັ ຍະລກັ ດວ້ີ ຍ y  cos1 x ເຊ່ ງິ x  1;1 ແລະ ເຂດຄ່ າຂອງມນັ ແມ່ 0;  SONEPHAN LORVANNA 140

ສ່ ງິ ທຄີ ວນເອາົ ໃຈໃສ່ : ບ່ າງປມື້ີ ເພນິ ສນັ ຍະລກັ cos1 x ດວີ້ ຍ ar cos x ເພາະວ່ າ: cos(arccos x)  x ການຊອກຫາ arccos x ແມ່ ນຊອກມູນທຫີ ວ່ າງ 0;  ແລະ cos ຂອງມມູ ທ່ ຕີ ອ້ີ ງການຊອກເທ່ າົ x ຕວົ ຢ່ າງ2: arccos(1)   ເພາະວ່ າ cos    1 arccos  1    ເພາະວ່ າ arccos     1  2    2 3 3 arccos   1   2   ເພາະວ່ າ cos  2    1  2   3  2 3 3 ຂສໍ້ີ ງັ ເກດ: arccos x    arccos  x y  arccos x  cos y  x arcocs  x  arccos  x   2 5. ຕາໍ ລາປນີ້ີ ຂອງຕາໍ ລາ tan ຕໍາລາ y  tan x ຂນ້ີ ຕະຫຼອດໃນຫວ່ າງ    ;   ແລະ ມເີ ຂດຄ່ າແມ່ ນ ;    2 2  ດ່ ງັ ນນັີ້ ; ຕໍາລາ y  tan x ຈ່ ງມຕີ ໍາລາປີນ້ີ ສນັ ຍະລກັ ດວ້ີ ຍ y  tan1 x ເຊ່ ງິ x  ;  ແລະ ເຂດຄ່ າຂອງມນັ ແມ່ ນ    ;   .   2 2 SONEPHAN LORVANNA 141

ສ່ ງິ ທຄີ ວນເອາົ ໃຈໃສ່ : ບ່ າງປມືີ້ ເພນິ ສນັ ຍະລກັ tan1 x ດວ້ີ ຍ arc tan x ເພາະວ່ າ: tan(arctan x)  x. ການຊອກຫາ arc tan x ແມ່ ນຊອກຢ່ ູມນູ ທຫີ ວ່ າງ    ;   ແລະ   2 2 tan ຂອງມູນທຊີ ອກມຄີ ່ າເທ່ າົ ກບັ x ຕວົ ຢ່ າງ3: arc tan 3   ເພາະວ່ າ tan     3   3 3  arc tan  3    ເພາະວ່ າ tan       3 3   3 ຂໍສ້ີ ງັ ເກດ: arctan x   arctan  x y  arctan x  tan y  x 6. ຕໍາລາປນີ້ີ ຄນືີ້ ຂອງຕາໍ ລາ sec, cos ec ແລະ cot ຕໍ າ ລ າ y  sec x ຂີ້ນ ຕ ະ ຫຼ ອ ດ ໃ ນ ຫ ວ່ າ ງ 0;      ;  ແ ລ ະ ມ ີ ເ ຂ ດ ຄ່ າ ແ ມ່ ນ 2   2  ;11; , ດ່ ງັ ນນັີ້ , ຕໍາລາ y  sec x ຈ່ ງມຕີ ໍາລາປນີ້ີ ແລະ ສນັ ຍະລກັ ດວ້ີ ຍ y  sec1 x ເຊງິ x ;11; ແລະ ເຂດຄ່ າຂອງມນັ ແມ່ ນ 0;      ;  . 2   2  SONEPHAN LORVANNA 142

ຕໍ າ ລ າ y  co sec x ແ ຮ ມ ຕ ະ ຫຼ ອ ດ ໃ ນ ຫ ວ່ າ ງ 0;      ;  ແລະ ມີເ ຂ ດ ຄ່ າ 2   2  ;11; ດ່ ງັ ນນັ້ີ , ຕໍາລາ y  co sec x ຈ່ ງິ ມຕີ ໍາລາປີນີ້ ສນັ ຍະລກັ ດວ້ີ ຍ y  co sec1 x ເຊງິ x ;11; ແລະ ເຂດຄ່ າຂອງມມນັ ແມ່ ນ 0;      ;  2   2  SONEPHAN LORVANNA 143

ຕາໍ ລາ y  cot x ແຮມຕະຫຼອດໃນຫວ່ າງ 0;  ແລະ ມເີ ຂດຄ່ າແມ່ ນ ;   ດ່ ງັ ນນັ້ີ ;ຕາໍ ລາ y  cot x ຈ່ ງິ ມຕີ ໍາລາປນີ້ີ ສນັ ຍະລກັ ດວ້ີ ຍ y  cot1 x ເຊງິ x  ;  ແລະ ເຂດຄ່ າຂອງມນັ ແມ່ ນ 0;  . ຕໍາລາ y  cot x ແຮມຕະຫຼອດໃນຫວ່ າງ 0;  ແລະ ມເີ ຂດຄ່ າແມ່ ນ ;  ແມ່ ນ  ເຂດຄ່ າຂອງຕໍາລານ.ີ້ີ ດ່ ງັ ນນັ້ີ ; ຈ່ ງມີ y  cot1 x ເຊງິ x  ;  ແລະ ເຂດຄ່ າຂອງມນັ ແມ່ ນ 0;  . ສ່ ງິ ທ່ ຄີ ວນເອາົ ໃຈໃສ່ : ບາງປມີ້ ເພ່ ນິ ສນັ ຍະລກັ y  cot1 x ດວ້ີ ຍ arc cot x ຂສໍີ້ ງັ ເກດ: arc cot x   arc cot x 2 y  arc cot x  cot y  x ຕວົ ຢ່ າງ4: ຈ່ ງົ ຊອກຫາ cos, tan,sec, ແລະ cot  ຖາ້ີ ວ່ າ   ar sin 2 3 ບດົ ແກ:ີ້ ສງັ ເກດຮູບສາມແຈ ເພາະວ່ າ   ar sin 2 ຈ່ ງສາມາດໃຫຄ້ີ ່ າຂອງຂາີ້ ງເຊ່ ງິ ໜາີ້ ມນູ  ເທ່ າົ 2 ແລະ ຂາີ້ ງກງົ ສາກເທ່ າົ 3. 3 ດ່ ງັ ນນັ້ີ ; ຂາີ້ ງຕດິ ແປະມນູ  ແມ່ ນ 32  22  5 ຈາກນຈີີ້ ່ ງດດ້ີ cos  5 , tan  2 , sec  3 , cos ec  3 , cot   5 3 5 5 22 SONEPHAN LORVANNA 144