ວິຊາ ມໍປາຍ2

ເຮາົ ໄດ:ໍ້ 6 2   x  1 2   y  1 0    x y 2x   9   3 4   0 1   3x   3       4x  y  x  y  6 2x ໄດລໍ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ  3x  2  x  1, y  5  3 4x  y  9 ກດິ ຈະກາໍ 3: ຈ່ ງົ ຊອກຄ່ າຂອງ a,b a2 a  5 4  a b 1. a2 6   25 4 a   6  b  2    4 a  2  b2  4  2 b 2 7 a  2  7 a  5 2a  16 a  2a log b  16 log b 2    a 2. a b    log b  a b   (log b)2 b  b  2a  16  log b  (log b)2 2a  24 log b  2 log b a4 b  2b 2b  b  0 b0 5. ຄຸນລກັ ສະນະຂອງມາຕຣດິ ຫກັ ເກນ 1: ເມ່ ອືຼ A   a b ຈະໄດ:ໍ້ A2  a  d  A  ad  cb I  O  c   d  ເຊ່ ງິ I  1 0 , O   0 0    0   0 1   0  ຫກັ ເກນ 2: A   0   An   n 0       0  0  n  ຫກັ ເກນ 3: A    n   n f n       0  0 n  ຕວົ ຢ່ າງ: ໃຫ ້ໍ A   1 2 ຈ່ ງົ ຊອກ A2 , A3  3   4  ບດົ ແກ:້ໍ ຈາກ A   1 2 ແລະ A2  a  d  A  ad  cb I O  3   4  ເຮາົ ໄດ:້ໍ A2  1 4 A  4  6 I  A2  5A  2I  O SONEPHAN LORVANNA 46

 A2  5A  1 2    1 0   7 10  2I 5 4  2 0 1  15 22   3    ແລະ A3  5A2  2A  55A  2I   2I  27A 10I  27  1 2   10  1 0    37 54   3 4   0 1        81 118  ບດົ ເລກນຍີໍ້ ງັ ສາມາດແກດ້ໍ ວ້ໍ ຍວທິ ແີ ຍກສ່ ວນຄນມາຕຣດິ ກບັ ມາຕຣດິ ດ່ ງັ ນ:ີໍ້ A2  A.A  1 21 2   7 10  , A3  A2.A  7 10 1 2    37 54   4   4  15  15 22   4     3  3  22   3   81 18  ກດິ ຈະກາ1: ໃຫໍ້ A   a 1 ແລະ A2  3A  2I  O  b   2  ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ A ແລະ A3 ເມ່ ອືຼ : ບດົ ແກ:ໍ້ ອງີ ຕາມຫກັ ເກນ(1)   a b A2  a  d  A  ad  cb I  O A  c ,  d  ແລະ ບດົ ເລກທ່ ໃີ ຫມ້ໍ າ, ເມ່ ອືຼ ປຽບທຽບສາໍ ປະສດິ ທ່ ກີ ງົ ກນັ ຂອງ A ເຮາົ ຈະໄດລໍ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ : a  2  3  a  1, b  0 2a  b  2 ສະນນັໍ້ , ເຮາົ ໄດ:້ໍ A   1 1  0 2   ເຮາົ ມີ A2  3A   O  A2  3A   1 1    1 0    1 3 2I 2I 3 2  2  0 1   0   0     4  A3  3A2   1 3    1 1   1 7 2A 3 4  2 0 2   0   0   8   ວທິ ທີ ່່ ີ 2: ຈາກ A2  3A  2I  O ໄດ ໍ້  a 1 2  a 1   2  1 0    0 0  b  3 2   0 1   0   2   b     0   a2  b a  2    3a 3    2 0    0 0  b  4   3b 6   0 2   0   ab  2       0  a2  3a  b  2  0 1  a  1  0 2   3  a  1, b  0 ab  b  0 b  0 4  A   1 1  0   2  SONEPHAN LORVANNA 47

ເມ່ ອືຼ ຄນ A ໃສ່ ສະເໝຜີ ນົ A2  3A  2I  O ໄດ້ໍ A3  3A2  2AI  O A3  3A2  2A  33A  2I   2A  7A  6I  7 1 1   6  0 0    1 7  2   0 0   0   0     8  ກດິ ຈະກາ 2: ໃຫ ້ໍ A  1 3 ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ A3 ແລະ An ເຊ່ ງີ n 1, 2,3,........    1 2  ບດົ ແກ:ໍ້ ຈາກ A   1 3 ໄດ ໍ້ A2  1 2 A 2  3 I  A2  A  I O  1   2   A2   A  I  A3   A2  A  A I  A  I  1 0    0 1  A3k  Ik   1 0  0   1  A3k 1  A3k  IA  A 1 3    1 2  A3k 2  A3k A2  IA2  A I   2 3    1 1   1 0 , n  3k    0 1  ດ່ ງັ ນນັ້ໍ :  1 3 , n  3k 1 , k  1, 2,3,.....    1 2   2 3 n  3k  2. 1 , 1  ກດິ ຈະກາໍ 3: ໃຫ ໍ້ A  2 5 ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ A3  3A2  2A  I    1 2  ບດົ ແກ:້ໍ ຈາກ A   2 5  1   2  ໄດໍ້ A2  2  2 A  4  5 I  O A2  4A  I  O ເຮາົ ຄນ A ເຂາົໍ້ ທງັ ສອງຟາກໄດໍ້ A3  3A2  A2  A  O A3  3A2  4A  I   A  O A3  3A2  5A  I  0 A3  3A2  2A  I  3A  2I  0 A3  3A2  2A  I  3A  2I   2 5   2  1 0    8 15  3 1 2   0 1   3      8   SONEPHAN LORVANNA 48

ກດິ ຈະກາໍ 4: ໃຫ ້ໍ A  1 2  ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ A3 , I  A  A2  .......  A100 1 1 ບດົ ແກ:ໍ້ ຈາກ A  1 2  1 1 ໄດ້ໍ A2  11 A  1 2 I  A2  I  O  A2  I  A3  A ສະນນັໍ້ , I  A  A2  A3  I  A  A  I  O ດ່ ັ ງ ນັໍ້ ນ ,    I  A  A2  .......  A100  I  A  A2  A3  A4 I  A  A2  A3      A8 I  A  A2  A3  ......  A96 I  A  A2  A3  A100   A100  A4 25  I 25  I  1 0 \\  0 1    ກດິ ຈະກາໍ 5: ໃຫ ໍ້ A   1 3 A  3P  I  PQ ເຊ່ ງິ P, Q ເປນັ ມາຕຣດິ 2 2  2 , 4Q,  6  ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ PQ, QP, An. ບດົ ແກ:້ໍ ຈາກ 3P  4Q  A  3P  4Q  A 1 P  Q  I 2   Q  I P ຈາກເອາົ ສມົ ຜນົ 2 ລບົ ສມົ ຜນົ 1 ໄດໍ້ P   A  4I   3 3  2   2  ແລະ Q  A  3I   2 3  2   3  PQ   3 3  2 3   0 0  2     0   2   2 3   0  QP   2 3 3 3    0 0  2   2   0   3   2   0  ຈາກນໄີໍ້ ດ ້ໍ An  2P  4Qn  3n Pn  4nQn ຈາກ P  Q  I  Q  I  P ຈາກ PQ  0  PI  P  0 P2  P P3  P2  P  Pn  P ໃນທໍານອງດຽວກນັ ໄດ:້ໍ Q2  Q,...,Qn  Q ດ່ ງັ ນນັໍ້ An  2P  4Qn  3n Pn  4n Qn   3n1  2.4n 3n1  3.4n   2.3n  2.4n   2.3n  2.4n  ກດິ ຈະກາໍ 6 : ໃຫຈໍ້ ່ ງົ ຊອກຫາເສດສ່ ວນໃນການຫານ xn ໃຫ້ໍ x2  7x 10 ໃຫ ້ໍ A  3 1 ຈ່ ງົ ຊອກ An    2 4  SONEPHAN LORVANNA 49

ບດົ ແກ:້ໍ ຈາກໃຫ້ໍax  b ແມ່ ນເສດສ່ ວນ ແລະ Q  x ແມ່ ນຜນົ ຫານຂອງການຫານ xn ໃຫ້ໍ x2  7x 10  ສະນນັໍ້ , ເຮາົ ຂຽນໄດ້ໍ xn  x2  7x 10 Q x  ax  b * ເພ່ ອືຼ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ a ແລະ b ເຮາົ ຈະແທນຄ່ າ x ທ່ ເີ ປນັ ໃຈຜນົ ຂອງ x2  7x 10 ເຊ່ ງິ ໄດໍ້ x  2, x  5 ແທ່ ນ x  2, x  5 ໃສ່ ສມົ ຜນົ * ເຮາົ ຈະໄດລໍ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ ລ່ ຸມນ:ີໍ້ 2n  2a  b  a  5n  2n , b  5.2n  2.5n 5n  5a  b 3 3 ດ່ ງັ ນນັໍ້ , ເສດສ່ ວນທ່ ຊີ ອກໄດແ້ໍ ມ່ ນ 5n  2n x  5.2n  2.5n 33 ຈາກສມົ ຜນົ ໄດຂໍ້ າໍ້ ງເທງິ ແລະ A2  7A 10I  O ເຮາົ ໄດ.້ໍ An  5n  2n A  5.2n  2.5n I   5n  2n1 5n  2n  3 3  2.5n  2n1 .  2.5n  2n  II. ເດແຕກມນີ ງັ ແລະ ມາຕຣດິ ປນີໍ້ 1. ເດແຕກມນີ ງັ ( Determinants) ນຍິ າມ: ເດແຕກມນີ ງັ ແມ່ ນຄ່ າທ່ໄີ ດຈໍ້ າກການຄໍານວນມາຕຣດິ ເຊ່ ງິ ເປນັ ມາຕຣດິ ຈະຕຸລດັ ເທ່ າົ ນນັ້ໍ . ເດແຕກມນີ ງັ ຂອງ ມາຕຣດິ A ສນັ ຍະລກັ ດວ້ໍ ຍ det A ຫືຼ A . ເດແຕກມນີ ງັ ຂອງມາຕຣດິ 2 2 ໃຫ ້ໍ A   a11 a12  ຈ່ ງົ ຊອກເຮາົ ໄດໍ້ det A  a11 a12  a11a22  a21a12  a21 a22  a21 a22   ໃຫ ້ໍ A   a11 a12  ຈ່ ງົ ຊອກເຮາົ ໄດໍ້ det A  a11 a12  a11a22  a21a12  a21 a22  a21 a22   ຕວົ ຢ່ າງ: ໃຫ ້ໍ A   2 3 ແລະ B   1 3  4   4   5   2  ໃຫຈ້ໍ ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ 1) det A, det B 2) det  AB 3) det  A.det  B 4) det  A  B 5) det  A  det  B ບດົ ແກ:້ໍ 1) detA  2 3  25  43  10 12  2 45 1 3  12  43  2 12  10 detB  4 2 SONEPHAN LORVANNA 50

2) AB   2 3 1 3   2 12 6 6    14 12   4   2   4  20 12 10   24 22   5   4    det AB  14 12  1422  2412  308  288  20 24 22 3) det  A.det  B  210  20 4) A B   2 3   1 3    2 1 3  3    1 6  4 5   4 2   44 5  2   0        7  det  A  B  1 6 17  06  7  0  7 07 4) det  A  det  B  2  10  8 ເດແຕກມນີ ງັ ຂອງມາຕຣດິ 33 ການຄດິ ໄລ່ ເດແຕກມນີ ງັ ຂອງມາຕຣດິ 33 ຕາມວທິ ຂີ ອງຊາຣຸບແມ່ ນໃຫເ້ໍ ພ່ ມີ ຖນັ ທ່ ໝີ ່ ງ ແລະ ຖນັ ທ່ ີ ສອງ ຕ່ ມຼື ໃສ່ ຂາໍ້ ງຖນັ ທ່ ີ ສາມ (ເພ່ ມີ ແຖວທ່ ໜີ ່ ງ ແລະ ແຖວທ່ ສີ ອງ ຕ່ ມືຼ ໃສ່ ລ່ ຸມແຖວທ່ ີ ສາມ ) ແລວ້ໍ ນໍາເອາົ ຜນົ ບວກຂອງ ຜນົ ຄນຕາມແບບສະຫຽງລບົ ອອກຜນົ ບວກຂອງຜນົ ຄນຕາມແບບສະຫຽງຂນືຼໍ້ . ໃ ຫໍ້ A   a11 a12 a13  ເ ຮົ າ ໄ ດ້ໍ a11 a12 a13 a11 a12  a21 a22 a23  det A  a21 a22 a23 a21 a22    a31 a32 a33  a31 a32 a33 a31 a32   a11a22a33  a12a23a31  a13a21a32  a31a22a13  a32a23a11  a33a21a12 ຫຼື a11 a12 a13 det A  a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23   a11a22a33  a21a32a13  a31a12a23  a31a22a13  a11a32a23  a21a12a33 1 2 3  ຕວົ ຢ່ າງ: ໃຫ້ໍ A  1  1 3 5  ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ det A 5 11 ບດົ ແກ:ໍ້ 1 2 31 2 det A  1 3 5 1 3 1 5 111 5  1311  251  315  133  551  1112 SONEPHAN LORVANNA 51

 3310 15  9  25  22  58  56  2  2 1 3   ກດິ ຈະກາໍ 1 ໃຫ້ໍ A   1 1 1  ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ det A 2 4 4 ບດົ ແກ:ໍ້ 2 1 3 det A  1 1 1 244 2 1 3 11 1  214  143  211  213  241  114  8 12  2  6  8  4  18 10  8 ເຮາົ ສາມາດຊອກເດແຕກມນີ ງັ ຂອງມາຕຣດິ ຂະໜາດ 33 ໄດອ້ໍ ກີ ດ່ ງັ ນ:ີໍ້ ໃຫ ໍ້ A   a11 a12 a13  ເຮາົ ໄດໍ້ a11 a12 a13  a21 a22 a23  det A  a21 a22 a23    a31 a32 a33  a31 a32 a33 a11 a22 a23  12 a21 a23 13 a21 a22 11 a32 a33 a31 a33 a31 a32      1 1 a12  1 a13  a11 a22 a23  a12 a21 a23  a13 a21 a22 a32 a33 a31 a33 a31 a32       a11 a22a33  a32a23  a12 a21a33  a33a23  a13 a21a31  a31a22 ຫຼື       a11 a22a33  a32a23  a12 a23a31  a21a23  a13 a21a31  a31a22 ສ່ ງິ ທ່ ຄີ ວນເອາົ ໃຈໃສ່ : ການແຍກສ່ ວນນນັໍ້ ເຮາົ ສາມາດເລອືຼ ກເອາົ ຖນັ ທ່ ສີ ອງ ຫຼື ຖນັ ທ່ ສີ າມກໄໍ ດ້ໍ ຖາໍ້ ເຮາົ ວາງ: M11 a22 a23 , M12 a21 a23 , a13 a21 a22 a32 a33 a31 a33 a31 a32 Mij ມຊີ ່ ວຼື ່ າ ມເິ ນີ (min or) ຂອງ aij ເຊ່ ງິ ແມ່ ນເດແຕກມນີິ ງັ ຂອງມາຕຣິດທ່ ມີ ຂີ ະໜາດໜອ້ໍ ຍກວ່ າຂະໜາດ ມາຕຣິດ A ໜ່ ງຂນັໍ້ ແລະ ອງົ ປະກອບ Mij ແມ່ ນໄດຈໍ້ າກການລບອງົ ປະກອບ A ແຖວທີ i ແລະ ຖັນທີ j ດ່ ງັ ນນັ້ໍ .  a11 a12 a13  1 11 a11M11  1 12 a12M12  1 13 a13M13      Aa21a22 a23      a31 a32 a33  ສາມາດສະແດງໃຫເໍ້ ຫນັ ວ່ າ, ເມ່ ອຼື A ແມ່ ນມາຕຣດິ ຈະຕຸລດັ ຂະໜາດ n n SONEPHAN LORVANNA 52

0 2 3 0   ຕວົ ຢ່ າງ ໃຫ ້ໍ A   0 4 5 0  ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ det  A 1 1 3  0    2 0 0 3  ບດົ ແກ:້ໍ 0230 230 det  A  0 4 5 0 5 0  23 2 3  2 4  12 011 3 45 113 2003 2. ຄຸນລກັ ສະນະຂອງເດແຕກມນີ ງັ ໃຫ້ໍ A ແລະ B ແມ່ ນມາຕຣດິ ຈະຕຸລດັ ເຮາົ ໄດ:ໍ້ 1) det I  1 2) ເມ່ ອຼື A ມຖີ ນັ ຫຼື ແຖວໃດໜ່ ງແມ່ ນສນໝດົ  det  A  0 3) ເມ່ ອຼື A ມີ 2 ຖນັ ຫຼື 2 ແຖວ ຄກຼື ນັ  det  A  0 4)  det  AB  det  Adet B 1 2 3  1 0 4     ຕວົ ຢ່ າງ ໃຫ ້ໍ A   0 0 0  , B   1 0 3  4  2 5   2 0 5  ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ det  A , det B ບດົ ແກ:້ໍ ເຮາົ ໄດ້ໍ det  A  0 2 31 31 2 0 0 0 4 52 52 4 ແລະ ເຮາົ ໄດ້ໍ det  B  0 1 31 41 4 0 0 0 2 52 5 1 3 1 2 2   1 3 2  1   ກດິ ຈະກາໍ 1 ໃຫ ້ໍ A   3 2 , B   2 4 4  1 2 2   1 5 2  ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ det  A , det B ບດົ ແກ:ໍ້ ເຮາົ ໄດ້ໍ det  A   2 1  2 3 1  2 1 2  2 14 16  0 23 2 2 21 ແລະ ເຮາົ ໄດ້ໍ det B   4 43 2 3 2 2 2  12  32  20  0 5 25 24 4 3. ມາຕຣດິ ປນີ້ໍ inverseof matrix ນຍິ າມ: ຖາໍ້ ວ່ າ AB  BA  I ເຮາົ ເວາົ້ໍ ວ່ າ B ເປັນມາຕຣິດປີນ້ໍ ຂອງ A ແລະ A ເປັນ ມາຕຣິດປີນ້ໍ ຂອງ B ສນັ ຍະລກັ ດວໍ້ ຍ B  A1 ແລະ A  B1 . ຈາກນຍິ າມເຮາົ ໄດ:ໍ້ AA1  A1A  I SONEPHAN LORVANNA 53

 A1 1  A a) ມາຕຣດິ ປນີໍ້ ຂອງມາຕຣດິ ທ່ ມີ ຂີ ະໜາດ 2 2 ຫກັ ເກນ: ຖາໍ້ ວ່ າ A   a b  ແລະ det  A  0 ແລວ້ໍ ຈະໄດ້ໍ A1  1  d b   c d   c    det  A  a  ຖາ້ໍ ວ່ າມີ B1 , A1 ແລະ  AB1 ແລວໍ້  AB 1  B1A1.  P1AP n  P1AnP ຕວົ ຢ່ າງ 1 ໃຫ ້ໍ A  1 2 , B  3 0  4     3  1 1  1) ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ມາຕຣດິ ປນີໍ້ ຂອງ A , B 2) ຈ່ ງົ ຊອກຫາມາຕຣດິ X ກ. AX  B ຂ. XA  B ບດົ ແກ:ໍ້ det  A  1 2 1 4 2   2 2  4 1   3  1) 3  46  2  A1  2  3    2 1   2 1 0    det  B  3 0  30  3 B1  1 1 0    3  1  3   1 1 3  1  1  3 2) ກ. AX  B  A1AX  A1B  2 2  3 0   6 1 0 1   5 1  1   1 1   91     X  A1B   3 2     22 0  1    4  1  2 2 2 ຂ. XA  B  XAA1  BA1 3 0  2 2   6  0 3  0   6 3  1  3       X  BA1  1   2 1    2  3 1 1     1 1   2 2 2 2 2 ກດິ ຈະກາໍ 1 ໃຫ ໍ້ A   2 3 , B   3 1  4   2 1  5   ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ກ.  AB1 A  ຂ. A1B 1  ຄ. A2 B1 1 A1 ບດົ ແກ:້ໍ ກ.  AB1 A B1A1A  B1  1  1 1  3 det  B  2 det  B  3 1  3  2  5 2 1 SONEPHAN LORVANNA 54

1  1   5  ເຮາົ ໄດໍ້ B1  1  1 1   1  1 1   5   3  5  2 3  2 det B  2    3  5 5 1  1   5  ດ່ ງັ ນນັ້ໍ ,  AB 1 A   5    2  3  5 5 1  1    5  A1B 1  B1 1  5 3   2 3    ຂ. A1  B 1 A  5   4 2  5    5   24 3 1   2  2   55 5   5 5       4 12 6 3  16 21   5  5  5   5  5 1  2  2   5 5   ດ່ ງັ ນນັໍ້ ,   A1B 16 21 5 5        ຄ. A2 B1 1 A1  A2 A1B1A 1 A1  AAA1BAA1  AIBI  AB  2 3 3 1   1  4 5  2  6 6 2  3    0 5  12 10 4  5   2    9   ດ່ ງັ ນນັ້ໍ ,A2 B1 1 A1   0 5   2  9   ກດິ ຈະກາໍ 2 ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ X ເມ່ ອຼື ຮວ້ໍ ່ າ X  X 1  4 1    0 4  ບດົ ແກ:້ໍ ວາງໃຫ ໍ້ X  a b ຈາກ X  X 1   4 1 1    0   c d   4  ເມ່ ອືຼ ຄນ X ໃສ່ 1 ໄດໍ້ X 2  I  X 4 1   a b  4 1  4   c     0  d   0 4   4a  c 4b  d    4a a  4b   c  0, a  d 4d   4c c  4d   4a     SONEPHAN LORVANNA 55

ເມ່ ອຼື ແທນຄ່ າ c  0, a  d ໃສ່ X  X 1  4 1 ເຮາົ ໄດ້ໍ    0 4  a b   1  a b    4 1  a  a2  0 a   0 4   0     1 b   a2  a b    a 1   4 1  a   0 a     0   0 4   1  a b  b   4 1  a a2   0      a 1  4   0 a   a2  4a 1  0, a2 1 b  a2  0 ຈາກການແກສ້ໍ ມົ ຜນົ a2  4a 1  0 ເຮາົ ໄດ:້ໍ a  2  3 ຫືຼ a  2  3  32 3  32 3  2 3 6   2  3  ດ່ ງັ ນນັ້ໍ , X    ຫືຼ X   6   0 2  3   0 2  3  ກດິ ຈະກາໍ 3 ໃຫ ໍ້ A  5 1 , P  1 1 , P 1 AP   4 0      0   1 5   a b   6  ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ a, b ບດົ ແກ:້ໍ ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ a, b P1 AP   4 0  AP  1 14 0  0       6   a b   0 6   5a 5  b    4 6  1  5b   4a   1  5a   4b  5  a  4, 5  b  6, 1 5a  4a, 1 5b  4b  a  1, b  1 ກດິ ຈະກາໍ 4 ໃຫ ໍ້ A  3 2 , P  a b , ad  bc  1, a  0, P 1 AP   x y  1    0   2  d c   x  ແລະ a, b,c, d  ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ x, y ບດົ ແກ:້ໍ ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າ x, y P1 AP   x y  0   x   d b  3 2  a b    x y    1  c   0   c a   2  d   x  SONEPHAN LORVANNA 56

 3ad  2ab  bc  2cd 2b2  4bd  2d 2    x y  2ab  ad  3bc    0   2a2  4ac  2c2 2cd   x   2a2  4ac  2c2  0  a  c2  0 ຈາກ c  a ແລະ ad  bc 1 ໄດ້ໍ a b  d   1 ຈາກນີໍ້ a  0 ແລະ a, b, c, d ເປນັ ຈາໍ ນວນຖວ້ໍ ນໄດ:້ໍ a 1, b  d 1, c  a ດ່ ງັ ນນັ້ໍ , P1 AP   b  d 2 b  d 2    1 2   x y  0  d   0   0  b  1   x   x 1, y  2 ກດິ ຈະກາໍ 5 ໃຫ ້ໍ A   12 10  , Q   p 1  , L   0  ,   .  13   2 q      15    0  ເມ່ ອືຼ AQ  QL ຈ່ ງົ ຊອກ p, q,,  ບດົ ແກ:ໍ້ AQ  QL   12 p  20 12 10q    p   15 p  26 15 13q       2  q  12 p  20   p 1 15 p  26  2 2 12 10q   3 15 13q   q 4 ຈາກ 1 ແລະ 2 ໄດ້ໍ 3p2 10 p  8  0  p  2, 4 . 3 ເມ່ ອືຼ p  2 ໄດ້ໍ   2 , ເມ່ ອຼື p4 ໄດ້ໍ   3 3 ຈາກ 3 ແລະ 4 ໄດໍ້ 2q2  5q  3  0  q  1, 3 . 2 ເມ່ ອຼື q  1ໄດ້ໍ   2 ເມ່ ອືຼ q 3 ໄດໍ້   3 2 ຈາກ    ໄດ້ໍ p  2, q  3 ,  1,   3 2 b) ມາຕຣດິ ປນີໍ້ ຂອງມາຕຣດິ ຂະໜາດ 33 ໃຫມ້ໍ າຕຣດິ A ເປນັ ມາຕຣດິ ຈະຕຸລດັ ແລະ ມາຕຣດິ ປນີ້ໍ ຂອງ A ຂຽນແທ່ ນດວໍ້ ຍ adj  Ad . A1  1 A adj  A ເມ່ ອືຼ det  A  0 det  ໂດຍທ່ ີ adj  A  t Cij  ເຊ່ ງິ Cij   1 i j Mij SONEPHAN LORVANNA 57

 a11 a12 a13  t  a11 a12 a13   a11 a21 a31        ໃຫ ້ໍ A   a21 a22 a23  , tA  a21 a22 a23    a12 a22 a32   a31 a32 a33   a31 a32 a33   a13 a23 a33  ມຊີ ່ ວຼື ່ າ ມາຕຣດິ ປ່ ຽນແຖວເປນັ ຖນັ Transpos of Matrix ຕວົ ຢ່ າງ 1 ກ. t 1 2    1 3  4   2   3   4  t  1 0 1  1 5 0      ຂ.  5 3 1    0 3 2  0 2 7 1 1 7 1 2 3  ກດິ ຈະກາໍ 1 ໃຫ້ໍ A  1 3  5  ຈ່ ງົ ຊອກຫາ A1 1 5 12 1 2 3  12 3 ບດົ ແກ:ໍ້ ຈາກ A  11 3 5  ເຮາົ ໄດ້ໍ A  1 3 5 3 5 12  1 5 12 ເຮາົ ໄດ:ໍ້ C11   1 11 M11  1 3 5  11 , C12   1 12 M12  1 1 5  7 5 12 1 12 C13   1 13 M13  1 1 3 , C21   1 21 M 21  1 2 3 1 2 5  9 5 12 C22   12 2 M 22  1 1 3 9 , C23   1 23 M 23  1 1 2  3 1 12 1 5 C31   1 31 M 31  1 2 3 , C32   1 32 M 32  1 1 3 3 1 1  2 5 5 C33   1 33 M 33  1 2 3 3 1 5 adj  A  t Cij  t  11 7 2   11 9 1   13   adj  A   9 9   7 9 2  1 2 2 3 1 1  11 9 1  3   ດ່ ງັ ນນັໍ້ , A1   7 9 2  2 3 1 SONEPHAN LORVANNA 58

ຫກັ ເກນ: ຖາໍ້ ວ່ າ A   a11 a12 a13  ແລະ ເມ່ ອຼື det  A  0  a21 a22 a23     a31 a32 a33   a22 a32  a21 a23 a21 a22   a23 a33 a31 a33 a31 a32     a13  ຈະມີ A1  1   a12 a33 a11 a13  a11 a12   a32 a31 a33 det  A  a13 a31 a32  a23   a12  a11 a13 a21 a23 a11 a12   a22 a21 a22   1 3 1  1 3 11     ກດິ ຈະກາໍ 2 ໃຫ ໍ້ A   2 5 3  ຈ່ ງົ ຊອກຫາ A1   2 5 3   3 1 9   3 1 9  1 3 1 ບດົ ແກ:້ໍ ເນ່ ອືຼ ງຈາກ 2 5 3  45  27  2  15  54  3  20  0 31 9  1 3 11  1 t  48 27 13 1  48 28 4  93 20   20  11  2 5  28 12 8     27 12 3 1 4 1 1 13 8 III. ລະບບົ ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອ 1. ລະບບົ ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອ Systems of Linear Equations ລະບບົ ສມົ ຜນົ ລທີ ່ ມີ ີ n ສມົ ຜນົ ແລະ n ຕວົ ປ່ ຽນແມ່ ນລະບບົ ສມົ ຜນົ ທ່ ຂີ ຽນຢ່ ໃນ  ...   a x a x a x b   11 1 12 2 1n n 1   ...   21 1 22 2 2n n a x a x a x bຮບຮ່ າງ 2 (1)  ..................................................... a x a x a x b    ...   n n1 1 n2 2 nn n ij ເມ່ ອຼື i 1, 2,..., n; j 1, 2,..., n ແລະ x x x a b b bໂດຍທ່ ີ , ,... ເປນັ ຕວົ ປ່ ຽນ 1, 2,..., n 1 2n ເປນັ ຈາໍ ນວນຈງິ ຄງົ ຄ່ າ ເຊ່ ນັ : ລະບບົ ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອທ່ ມີ ີ 2 ສມົ ຜນົ ແລະ 2 ຕວົ ປ່ ຽນ ຈະຂຽນດ່ ງັ ນ:ີໍ້  a x a x b  12 2  1 11 1     21 1 a x a x b 2 22 2 ລະບບົ ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອທ່ ມີ ີ 3 ສມົ ຜນົ ແລະ 3 ຕວົ ປ່ ຽນ ຈະຂຽນດ່ ງັ ນ:ີໍ້   a x a x a x b11 1 1 a x a x a x b  21 1 2 12 2 13 3 22 2 23 3 a x a x a x b   31 1  3 32 2 33 3 SONEPHAN LORVANNA 59

ເຮາົ ສາມາດຂຽນລະບບົ ສມົ ຜນົ (1) ໃນຮບຮ່ າງມາຕຣສິ ໄດດໍ້ ່ ງັ ລ່ ຸມນີໍ້    1n   1  1 2n  2  2  a a a x b 11 a a a x b 21 .... 12 .... 22  . . . .  .   .       . . . .  .   .   . . . .  .   .       a a a x b n1 .... nn   n  n n2 aa aa aa xx bbbຖາໍ້ ໃຫ້ໍ 11 . ..      1n   1  1  21 12 2n  2 ແລະ  2  .  . B    A . ...   . ,X     n   . 22 .  .   .  . ..   .. .. a a a n1 n2 … nn   xn ຈະສາມາດຂຽນໄດ ໍ້ AX  B ໃນການແກລໍ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອນເີ້ໍ ຮາົ ສາມາດແກໄໍ້ ດຫໍ້ າຍວທິ ດີ ່ ງັ ຈະໄດສ້ໍ ະເໜໃີ ນຕ່ ໄໍ ປນ:ີໍ້ 2. ການແກລໍ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ ໂດຍນາໍ ໃຊມ້ໍ າຕຣດິ ປນີ້ໍ ຈາກລະບບົ ສມົ ຜນົ AX  B ຖາ້ໍ ວ່ າມາຕຣດິ A ມມີ າຕຣດິ ປນີ້ໍ ຄ:ືຼ A1 ແ ມ່ ນ ເ ຮົາ ສ າ ມ າ ດ ຊ ອ ກໃ ຈ ຜົນ ຂ ອ ງ ລ ະ ບົບ ສົມ ຜົນ ໄ ດ ້ໍ, ໝ າ ຍ ຄ ວ າ ມ ວ່ າ ຈ າ ກ AX  B ຈ ະ ໄ ດ ້ໍ A1AX  A1B ຫຼື X  A1B ດ່ ງັ ນນັ້ໍ ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ ຊອກໄດຈໍ້ າກ X  A1B ຕວົ ຢ່ າງ 1. ຊອກໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ 2x  3y  7 x  2 y  4 ບດົ ແກ:ໍ້ ຈາກສມົ ຜນົ ເຮາົ ຂຽນໄດ້ໍ12 3  x   7 2  y  4 ເຊ່ ງິ ໄດ້ໍ A  2 3 ແລະ B  7 1 2 4 ຈາກ A  2 3 ເຮາົ ໄດ ໍ້ A1  2 3 1 2 1 2  ດ່ ງັ ນນັໍ້ ເຮາັ ໄດ້ໍ  x   2 3 7  2  y  1  4 1   2  ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ ແມ່ ນ x  2, y 1 SONEPHAN LORVANNA 60

ກດິ ຈະກາໍ 1. ຊອກໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ 2x1x1 3x22x2 x3x3109 2x1  3x2  x3  11 ບດົ ແກ:້ໍ ຈາກລະບບົ ສມົ ຜນົ ເຮາົ ຂຽນໄດ້ໍ 2 2 1  x1   9 1 3 1  x2  10   2 3 1  x3 11 2 2 1 9 ເຊ່ ງິ ເຮາົ ໄດ້ໍ A  1 3 1 ແລະ B  10 2 3 1 11 2 2 1  0 1 1  Aຈາກ A  1 3 1 ເຮາົ ໄດ້ໍ 1  1 0  1  2 3 1  3 2 4 ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ ແມ່ ນ x1  1, x2  2 ແລະ x3  3 ກດິ ຈະກາໍ 2 ຈ່ ງົ ຊອກ x, y, z. ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ ດວຍ້ໍ ມາຕຣດິ ປນີໍ້ .  x 3y  z  4   2 x  5y  3z  3 3x  y  9z  32 ບດົ ແກ:ໍ້ ສາມາດຂຽນລະບບົ ສມົ ຜນົ ທ່ ໃີ ຫມໍ້ າ ໃນຮບຮ່ າງມາຕຣດິ ໄດດ້ໍ ່ ງັ ນ:ີ້ໍ  1 3 1 x   4   93    .  2 5  y    3 3 1 z 32 1 3 1 ເນ່ ອຼື ງຈາກ det  A  2 5 3  45  27  2  15  54  3  20 31 9  1 3 11 1 t  48 27 13 1  48 28 4  3 20   20    2 5 9   28 12 8     27 12 1  1 1 1   13 8  3  4 1  20    x  48 28 4 4   192  84 128   20  1   y    1  27 12 11  3    1  108  36  32    40    2  .  z  20  13 8  32  20  52  24  32   20   3   60   20  ຄໍາຕອບ x 1, y  2, z  3 3. ການແກລ້ໍ ະບບົ ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອໂດຍໃຊເ້ໍ ດແຕກມນີ ງັ SONEPHAN LORVANNA 61

ເຊ່ ນັ ດຽວກບັ ການແກລ້ໍ ະບບົ ສມົ ຜນົ ໂດຍໃຊມ້ໍ າຕຣິດປິນໍ້ ເຊ່ ງິ ຈາກລະບບົ ສົມຜົນເຮາົ ຂຽນໃນຮບຮ່ າງ ມາຕຣດິ ຄ:ຼື  21 2  …  11 1 1n n  1 a x a x a x b a x a x a x b 21 1   22 2  …  2 2n n ................................................... a x a x a x b n1  n2 2  …  n 1 2\\nn n ເຮາົ ຂຽນໃນຮບຮ່ າງມາຕຣດິ ຄືຼ   a a a 11 12 … 1n     22 …  1  1 a a a x b 21 ..  2 2n   .. .   x b .  2   n   ..    . .    . .  x b n  a a a n1 n2 … nn   ....  aa aa aa bbbເຊ່ ງິ 11 12 1n   21 2n   . ....  1 A .   2 . 22  ແລະ B    . .   .. .  n    .. .. a a a n1 .... nn  n2 ດ່ ງັ ນນັ້ໍ ຈະໄດໃໍ້ ຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ ແມ່ xi  det( Ai ) det( A) ເຊ່ ງິ Ai ແມ່ ນມາຕຮດິ ຊ່ ງແທນຖນັ ທີ i ດວໍ້ ຍອງົ ປະກອບຂອງມາຕຮດິ B ຕວົ ຢ່ າງ 1. ຈ່ ງົ ຊອກໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ 32xx11  3x2x241  ບດົ ແກ:ໍ້ ຈາກລະບບົ ສມົ ຜນົ ເຮາົ ມີ A  2 3 ແລະ B  4 3 1 1 ໄດ ້ໍ det(A)  2 3  2  9  7 3 1 ມີ A1  4 3  det( A)  4 3  4  3  14 1 1 1 1 ດ່ ງັ ນນັໍ້ x1  det( A1)  7  1 det( A) 7 SONEPHAN LORVANNA 62

ແລະ x2  det( A2 )  14  2 det( A) 7 ກດິ ຈະກາໍ 1. ຈ່ ງົ ຊອກໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ 2x1x1 x23x2 x3  3   x3  11 x1  x2  2x3  2   1 1 1 3   B  11 ບດົ ແກ:ໍ້ ຈາກລະບບົ ສມົ ຜນົ ເຮາົ ມີ A  2 3 1  ແລະ 1 1 2   2  1 1 1 1 1 1 1 1  det(A)  2 3 1  2 3 1 2 3  6 1 2 1 4  5 1 1 2 1 1 2 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 det(A1)  11 3 1  11 3 1 11 3  18  2 11 6  3  22  10 2 1 2 2 1 22 1 1 3 1 1 3 1 1 3 det(A2 )  2 11 1  2 11 1 2 11  22  3  4 11 2 12  10 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 3 1 1 31 1 det(A3)  2 3 11  2 3 11 2 3  6 11 6  9 11 4  5 1 1 2 1 1 2 1 1 ດ່ ງັ ນນັໍ້ x1  10  2 , x2  10  2 ແລະ x3  5 1 5 5 5 ກດິ ຈະກາໍ 2. ຈ່ ງົ ຊອກຫາໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ 2xx11xx22x23 x3 3  3  x1  x3  3 2 1 2  3 1 2 2 3 2 2 1 3  ວທິ ແີ ກ:ໍ້ ເຮາົ ມີ A  1 1 1 , A1  3 1 1 , A2  1 3 1 , A3  1 1 3 1 0 1  3 0 1 1 3 1 1 0 3  2 1 2 2 1 det A  1 1 1 1 1  2 1 2 1  2 1 0 11 0 3 1 2 3 1 det A1  3 1 1 3 1  3  2  4  3  2 2 0 120 SONEPHAN LORVANNA 63

2 3 22 3 det A1  1 3 1 1 3  6  3  4  6  4  3  2 1 2 1 1 2 2 1 3 2 1 det A3  1 1 3 1 1  4  3  3  2  6 1 0 21 0 x1  det A1  2  1, x2  det A2  2  1, x3  det A3  6 3 det A 2 det A 2 det A 2 4. ການແກລ້ໍ ະບບົ ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອດວໍ້ ຍວທິ ກີ າໍ ຈດັ ຕວົ ປ່ ຽນຂອງກາວ-ຈແໍ ດນ ນຍິ າມ: ມາຕຮດິ ຂະຫຍາຍ  A | B ສາໍ ລບັ ລະບບົ ສມົ ຜນົ . a11x1  a12 x2  a13x3   a1n xn  b1 a21x1  a22 x2  a23x3   a2n xn  b2  am11x1  am2 x2  am3x3   amn xn  bm ຄມືຼ ມາຕຣດິ aa1211 a12 a13 a1n b1  a22 a23 a2n b2       am11 am2 am3 amn bm  ຕວົ ຢ່ າງ: x  y  2z  9 1 1 2 9 2x  3y  z  11  2 3 1 11 3x  y  z  4 3 1 1 4  1 3 0 4 1  x  3y  4w  1 0 1  y  Z  2w  1 1 1 1 2 1  x  y  5z  3w  1  1 5 3 2 2x  y  z  2 2 11 0 ວທິ ກີ ານກາໍ ຈດັ ຂອງກາວ-ຈແໍ ດນ (Gauss Jordanelimination) ຈະໃຊກ້ໍ ານດໍາເນນີ ການເບອືຼ້ໍ ງຕນົໍ້ ແບບແຖວ ຂອງມາຕຮດິ ຂະຫຍາຍແລວ້ໍ ໃນການແກລ້ໍ ະບບົ ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອເຊ່ ງິ ມຂີ ະບວນການອະທບິ າຍໄດດ້ໍ ່ ງັ ນ:ີ້ໍ ກ່ ອນທ່ ຈີ ະໄດເໍ້ ວາົ້ໍ ເຖງິ ຂະບວນການຂອງການກໍາຈດັ ຂອງກາວ-ຈໍແດນນນັໍ້ ຈາໍ ເປນັ ທ່ ຈີ ະຕອໍ້ ງມມີ າຮດິ ທ່ ມີ ີ ລກັ ສະນະສອງຮບແບບຄຼື ມາຕຮດິ ເອຊລີ ອນແບບແຖວ ( row echelon matrix ) ແລະ ຮດີ ວິ ເອຊລີ ອນແບບ ແຖວ (reduced row echelon matrix ) ໂດຍຈະກາໍ ນດົ ໄວໃ້ໍ ນນຍິ າມຕ່ໄໍ ປນ:ີ້ໍ ນຍິ າມ: ມາຕຮດິ A ຂະໝາດ m n ຈະເປນັ ມາຕຮດິ ເອຊລີ ອນແບບແຖວ ກຕໍ ່ ໍເມ່ ອືຼ ມຄີ ຸນລກັ ສະນະຕ່ໄໍ ປນ.ີ້ໍ SONEPHAN LORVANNA 64

1. ມຈີ ໍານວນຖວ້ໍ ນບວກ K,1  K  m, ທ່ ອີ ງົ ປະກອບທຸກຕວົ ໃນແຖວທີ K 1, ແຖວທີ K 1 ໄປເລອຼື້ໍ ຍໆຈນົ ເຖງິ ແຖວທີ m ເປນັ ສນ, ສ່ ວນໃນແຕ່ ລະແຖວຈາກແຖວທີ 1 ເຖງິ ແຖວທີ k ຈະມອີ ງົ ປະກອບຢ່ າງໝອ້ໍ ຍໜ່ ງຕວົ ທ່ ີ ບ່ ໍເປນັ ສນ. 2. ອງົ ປະກອບຕວົ ທາໍ ອດິ ທ່ ຈີ ະບ່ ໍເປນັ ສນໂດຍນບັ ຈາກແຖວທາງທາໍ້ ຍຂອງແຖວທ່ ີ 1 ເຖງິ ແຖວທີ k ຕອໍ້ ງເປນັ 1 ໂດຍວ່ າຖາໍ້ ເລກ 1 ຕວົ ທໍາອດິ ຂອງແຖວທີ I ແລະ ຖນັ ທີ p , ເລກ 1 ຕວົ ທໍາອດິ ຂອງແຖວທີ j ແລະ ຖນັ ທີ q ແລະ i < j ແລວໍ້ p < q ແລະ ຖາໍ້ A ມຄີ ຸນລກັ ສະນະເພ່ ມີ ເຕມີ ອກີ ວ່ າ ອງົ ປະກອບຕວົ ທໍາອດິ ທ່ ບີ ່ ໍເປັນສນຂອງ ແຖວທີ i ຖນັ ທີ j ແລວ້ໍ ອງົ ປະກອບຕວົ ນນັໍ້ ຕອ້ໍ ງເປນັ ອງົ ປະກອບຕວົ ດຽວຂອງຖນັ ທີ j ທ່ ບີ ່ ເໍ ທ່ າົ ກບັ ສນຈະເວາົໍ້ ວ່ າ A ເປນັ ມາຕຮດິ ຮດິ ວິ ເອຊລີ ອນແບບແຖວ. ຕວົ ຢ່ າງ: 1. ມາຕຮດິ ຕ່ໄໍ ປນ,ີ້ໍ ມາຕຮດິ ໃດເປນັ ມາຕຮດິ ເອຊລີ ອນແບບແຖວ ແລະ ມາຕຮດິ ໃດເປນັ ມາຕຮດິ ຮດິ ວິ ເອຊລີ ອນ ແບບແຖວ. 1 2 0 4 2 1 0 0 0 0 0 1 3 5 0 1 0 0 A  0 0 0 1 1; B  0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 6 0 2 0 2 C  0 1 0 4 ; D  0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ພຈິ າລະນາຈາກນຍິ າມ ແລວໍ້ ຈະໄດຂ້ໍ ສໍ້ໍ ະຫຸບວ່ າ 1. A ບ່ ໍເປນັ ມາຕຮດິ ເອຊລິ ອນແບບແຖວ, ເນ່ ອືຼ ງຈາກມບີ າງແຖວ, ເຊ່ ນັ ໃນແຖວ 3 ອງົ ປະກອບຕວົ ທາໍ ອດິ ທ່ ບີ ່ ໍເປນັ ສນຄືຼ 1 ເກດີ ໃນແຖວທີ 3 ແລະ ຖນັ ທີ 4, ສ່ ວນໃນແຖວທີ 4 ອງົ ປະກອບຕວົ ທໍາອດິ ທ່ ບີ ່ ເໍ ປນັ ສນຄຼື 1 ເກດີ ໃນແຖວ ທີ 4 ແລະ ຖນັ ທີ 4 ອງົ ປະກອບຕວົ ທໍາອດິ ທ່ ບີ ່ ໍເປນັ ສນຄຼື 1 ເກດີ ໃນແຖວທີ 4 ແລະ ຖນັ ທີ 4 ເຊ່ ງິ ເກດີ ຂໍຂ້ໍ ດັ ແຍ່ ງ ກບັ ນຍິ າມຂອງມາຕຮດິ ເອຊລິ ອນແບບແຖວ ຂໍໍ້ 2. 2. B ເປນັ ທງັ ມາຕຮດິ ເອຊລິ ອນ ແລະ ມາຕຮດິ ຮດິ ວິ ເອຊລິ ອນແບບແຖວ. 3. C ເປນັ ທງັ ມາຕຮດິ ເອຊລິ ອນແບບແຖວ ແລະ ມາຕຮດິ ຮດິ ວິ ເອຊລິ ອນແບບແຖວ. 4. D ເປນັ ມາຕຮດິ ເອຊລິ ອນແບບແຖວແຕ່ ບ່ ໍເປນັ ມາຕຮດິ ຮດິ ວິ ເອຊລິ ອນແບບແຖວ, ຍອໍ້ ນວ່ າ 1 ເກດີ ຈາກແຖວ ທີ 4 ແລະ ຖນັ ທີ 4 ແຕ່ ໃນຖນັ ທີ 4 ມອີ ງົ ປະກອບຕວົ ອ່ ນືຼ ບາງຕວົ ທ່ ບີ ່ ເໍ ປນັ ສນນາໍ . ການກາໍ ຈດັ ກາວ-ຈແໍ ດນມວີ ທິ ກີ ານດ່ ງັ ນ:ີ້ໍ 1. ຂຽນມາຕຮດິ ຂະຫຍາຍ  A B ຂອງລະບບົ , ເມ່ ອືຼ A ເປນັ ມາຕຮດິ ທ່ ມີ ອີ ງົ ປະກອບເປນັ ສໍາປະສດິ ຂອງຕວົ ລບັ ໃນລະບບົ ແລະ B ເປນັ ມາຕຮດິ ຖນັ ຊ່ ງມອີ ງົ ປະກອບເປນັ ຈາໍ ນວນຄງົ ຄ່ າ 2. ໃນວທິ ກີ ານດໍາເນນີ ການເບອືຼ້ໍ ງຕນົ້ໍ ກ່ ຽວກບັ ແຖວຢ່ າງໃດຢ່ າງໝ່ ງເພ່ ອຼື ປຽ່ນ  A B ໃຫເໍ້ ປນັ ມາຕຮດິ ຮດິ ວິ ເອຊິ ລອນແບບແຖວ. SONEPHAN LORVANNA 65

3. ອ່ ານຜນົ ຮບັ ຈາກມາຕຮດິ ຮດິ ວິ ເອຊລີ ອນແບບແຖວທ່ ໄີ ດດໍ້ ວໍ້ ຍການປ່ ຽນໃຫເໍ້ ປນັ ລະບບົ ສມົ ຜນົ ກ່ ຽວກບັ ມາຕ ຮດິ ນນັໍ້ . ກດິ ຈະກາໍ 1 . ຈ່ ງົ ໃຊກ້ໍ ານກາຈດັ ກາວ-ຈແໍ ດນ ແກລ້ໍ ະບບົ ສມົ ພນົ ຕ່ ໍໄປນ:ີໍ້ x  y  2z  3 2x  y  z  6 x  3y  5 ບດົ ແກ:້ໍ ດາເນນີ ການຕາມລາດບັ ຂນັ້ໍ ຕອນຕ່ ໄໍ ປນ:ີ້ໍ ຈາກລະບບົ ສມົ ພນົ ລເີ ນແອຂາ້ໍ ງເທງິ ເຮາົ ຫາມາຕຮດິ ແຕ່ ເຕມີ ທ່ ກີ ງົ ກບັ ລະບບົ ສມົ ພນົ ໄດຄໍ້ :ືຼ 1 1 2    A B   2 1 1  1 3 0  ເຮາົ ຈະໃຊກ້ໍ ານປະຕບິ ດັ ການ ເບອຼື້ໍ ງຕນົ້ໍ ກ່ ຽວກບັ ແຖວເພ່ ອຼື ປ່ ຽນ  A B ໃຫຢໍ້ ່ ໃນຮບມາຕຮດິ ເອຊລີ ອນແບບ 1 0 0  ແຖວ ເຊ່ ງິ ຈະຈດັ ໃຫຢໍ້ ່ ໃນຮບ 0  1 0  0 0 1  ເຊ່ ງິ ເປັນມາຕຮດິ ຂະຫຍາຍຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ ທ່ ມີ ໃີ ຈຜນົ x  a, y  b, z  c ວທິ ່ ກີ ານປ່ ຽນ  A B ເປນັ ມາຕຮດິ ຮດິ ວີ ເອຊລີ ອນແບບແຖວ ເຮາົ ຈະດາໍ ເນນີ ຕາມຂນັໍ້ ຕອນດ່ ງັ ນ:ີໍ້ ໃນຖນັ ທໍາອດິ ເຮາົ ຈະໃຊກ້ໍ ານປະຕບິ ດັ ເບອຼືໍ້ ງຕນົ້ໍ ກ່ ຽວກບັ ແຖວທ່ ເີ ໝາະສມົ ເພ່ ອຼື ໃຫໄໍ້ ດໍ້ 1 ໃນແຖວທໍາອດິ ແລວໍ້ ໃຫຖ້ໍ ເຼື ອາົ 1 ເປນັ ຫກັ , ເຮາົ ຈະໃຊໃໍ້ ນການປະຕບິ ດັ ການເບອຼື້ໍ ງຕນົ້ໍ ກ່ ຽວກບັ ແຖວຂທໍໍ້ ່ ີ 3 ເພ່ ອືຼ ເຮດັ ໃຫອ້ໍ ງົ ປະກອບ ທ່ ເີ ຫອືຼ ທງັ ໝດົ ໃນຖນັ ທີ 1 ເປນັ 0: 1 1 2 3  2R1  R2  R2 1 1 2 3     0  2 1 1 6  3 3 0  R1  R3  R3  1 3 0 5  0 4 2 2  ຈາກນນັໍ້ ເຮາົ ໃຊກ້ໍ ານປະຕບິ ດັ ການເບອືຼໍ້ ງຕນົ້ໍ ກ່ ຽວກບັ ແຖວເພ່ ອໃຫໄ້ໍ ດ້ໍ 1 ໃນຕໍາແໜ່ ງແຖວທສີ ອງແລວ້ໍ ຖເຼື ອາົ 1 ເປນັ ຫກັ , ເຮາົ ໃຊກ້ໍ ານປະຕບິ ດັ ການເບອືຼ້ໍ ງຕນົໍ້ ກ່ ຽວກບັ ແຖວທີ 3 ເພ່ ອືຼ ເຮດັ ໃຫອ້ໍ ງົ ປະກອບທ່ ເີ ຫອຼື ທງັ ໝດົ ໃນຖນັ ທີ ສອງເປນັ 0 ໝດົ 1 1 1 3 3  1R1  R2  R2 1 0 0 2  3 0  0   R2 0 1 10   1 0 1  4 2 2  4R1  R3  R3 0 0 1 1  ດ່ ງັ ນນັໍ້ ໃຈຜນົ ຄ:ືຼ x  2, y  1, z 1 ເມ່ ອຼື ໃຊກໍ້ ານປະຕບິ ດັ ການເບອຼື້ໍ ງຕນົ້ໍ ກ່ ຽວກບັ ແຖວເພ່ ອຼື ປ່ ຽນ A B ໃຫຢໍ້ ່ ໃນຮບມາຕຣດິ ຮດີ ວິ ເອຊລິ ອນແບບແຖວ ໃຫເ້ໍ ກດີ ແຖວໜ່ ງືຼ ທ່ ມີ ອີ ງົ ປະກອບທງັ ໝດົ ເປນັ ສນ, ຍກົ ເວນັ້ໍ ອາດເປນັ ໄປໄດສ້ໍ ໍາລບັ ຕວົ ປະກອບອນັ ສຸດທາ້ໍ ຍທ່ ບີ ່ ໍເປນັ ສນແລວໍ້ ຈະບ່ ມໍ ໃີ ຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ ຫຼື ມໃີ ຈຜນົ ຫາຍສຸດຊ່ ງຈະໄດສໍ້ ະແດງໃນຕວົ ຢ່ າງຕ່ໄໍ ປນ:ີໍ້ ກດິ ຈະກາໍ 2 . ຈ່ ງົ ແກລໍ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ ຕ່ ໍໄປນໂີ້ໍ ດຍໃຊວໍ້ ທິ ກີ າຈດັ ຂອງ ກາວ-ຈແໍ ດນ. SONEPHAN LORVANNA 66

x  2y  3z 1   x y z  2 x  2 y  2z  1 ບດົ ແກ:ໍ້ 1 2 2 1  R1  R2  R2 1 2 2 1   A B  1 1  0 3  1 2   3 3  1 2 2 2  1R1  R2  R3 0 4 4 2  ເນອືຼ ງຈາກແຖວທ່ ີ 3 ໃນມາຕຣິດສຸ ດທາ້ໍ ຍມອີ ງົ ປະກອບເປັນ 0 ໝດົ ຍກົ ເວນັ້ໍ ອງົ ປະກອບຕວົ ສຸ ດທາ້ໍ ຍ, ສໍາລບັ ລະບບົ ສມົ ຜນົ ທ່ ມີ ສີ ມົ ຜນົ ສຸດທາໍ້ ຍເຊ່ ງິ ອ່ ານໄດຈ້ໍ າກ 0=-2 ສະແດງວ່ າລະບບົ ສມົ ຜນົ ບ່ ໍມໃີ ຈຜນົ . ກດິ ຈະກາໍ ທ່ ີ 3 ຈ່ ງົ ແກລ້ໍ ະບບົ ສມົ ຜນົ x1x1 x 2 x3  x4 0  o 3x2  x3  2x4 2x1  6x2  2x3  x4  16  1 1 1 1 8  1 1 1 1 8  R2  R1  R2 1  0  R3  2R1  R3 ບດົ ແກ:ໍ້  2 3 1 2 0  0 4 0 1 2  6 2 4 4 1 16  1 0  ຈາກມາຕຣດິ ຂະຫຍາຍສຸດທາ້ໍ ຍຂຽນເປນັ ລະບບົ ສມົ ຜນົ ໄດດ້ໍ ່ ງັ ນ:ີໍ້ x1  5 x4  4, x2  1  2, x3  2 4 4x4 ຈາກສມົ ຜນົ ທີ 1 ໄດໍ້ x1  4  5 x4 4 ຈາກສມົ ຜນົ ທີ 2 ໄດ ້ໍ x2  2  1 x4 4 ຈາກສມົ ຜນົ ທີ 3 ໄດ ້ໍ x3  2 ຖາ້ໍ ໃຫໍ້ x4  m R ແລວໍ້ ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ ແມ່ ນ x1  4  5 , x2  2  1 m, x3  2 ແລະ x4 m m 4 ສະແດງວ່ າ: ລະບບົ ສມົ ຜນົ ມຫີ າຍໃຈຜນົ SONEPHAN LORVANNA 67

ບດົ ເຝກີ ຫດັ I. ມາຕຣດິ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະຂອງມາຕຣດິ 1. ຈງົ ບອກຂະໜາດຂອງມາຕຣດິ ຕ່ໄໍ ປນ:ີໍ້ ກ. A   4 3  1 2  1 5 ຂ. B   1 4  3 1  1  2 3 ຄ. C   0 4 1   2 1 3 2. ຈ່ ງົ ຂຽນອງົ ປະກອບຂອງມາຕຣດິ A ຂະໜາດ 3  3 ເຊ່ ງິ ຮວໍ້ ່ າອງົ ປະກອບ 2 i j  i j aij   0 i j  2 3. ຈ່ ງົ ຊອກຄ່ າຂອງ a,b, x, y : ກ.  x  1   y y  x  y 2 ຂ.  a a  b 2    1 52 2x x2  y 4 ຄ.  a2 6    25 4  b  b 7 4 a  2 ງ.  2a log b   1a6 log b2  a b b 4. ຄດິ ໄລ່  1 1 3  2 0 1 ກ.  2 0 5  1 4  2   3 2 0  0  2 3  1 4   2 0  ຂ. 3 0 1  21 1  2 1   3 1  ຄ. 1 2 3 1  2  3 SONEPHAN LORVANNA 68

ງ.  1  1 2 3 2  3 ຈ.  2 31 5 3 1  1 2 1 4  2 431 1 3 11 ສ.  3 2 1  1 5. ໃຫ ໍ້  2 1 2 , B  10  3 21 0 1 1 0  ກ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ 23A  B 5A ຂ. ເມ່ ອຼື X  A  2X  2A  B. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ X . 6. ໃຫ ້ໍ 2A  B   0 13, B  03 31 ຈ່ ງົ ຊອກຫາ A ແລະ B 3 7. ໃຫ ໍ້ A   a b1 , B   1 a , C   a 1 b x 1. ເມ່ ອຼື AB  C b a b ab  ຈ່ ງົ ຊອກຄ່ າຂອງ X 8. ໃຫ ້ໍ A   2 32, B   x y1, O   0 0 . ເມ່ ອຼື AB  O 3 2 0 0 ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ x, y. 9. ໃຫ ້ໍ A   a 1 a3 , A2  A  6I  O. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ a 6  2a 2a  4 10. ໃຫ ໍ້ A   a b , A2  A 12I  O. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ບວກຂອງເສນັ້ໍ ເນ່ ງັ ຈອມ. c d 11. ໃຫ ໍ້ A   a 11, A2  2A  AI  O. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ A3 b 12. ໃຫ ໍ້ A   a b , b  0, A3  E. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ a, b. b a 13. ໃຫ ້ໍ A   17 13 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ A10. 4 7 14. ໃຫ ້ໍ A   3 23, E  10 10, A  5P  Q, E  P  Q. 2 ຈ່ ງົ ຊອກ P,Q. SONEPHAN LORVANNA 69

15. ໃຫ ້ໍ  2 14, ຈ່ ງົ ຊອກ A2  3A 1 16. ໃຫ້ໍ 11 2 , ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ A2  2A 3 II. ເດແຕກມນີ ງັ ແລະ ມາຕຣດິ ປນີໍ້ 1. ໃຫ ໍ້ A   2 155, B    5 14.C   5 410, D   2 53 7  3 3 1 ຈ່ ງົ ຊອກຫາ det A, det B, det C, det D ແລະ A1, B1,C 1, D1. 2. ໃຫ ້ໍ   3 7 , B   1 31 ຈ່ ງົ ຊອກ X  1 2 2 ກ. AX  B ຂ. XA  B ຄ. AXB  A 3. ໃຫ ້ໍ A  x 1 y 4 3. ມີ A1 ແລະ A  A1 ເມ່ ອຼື x, y ? 2   1  3   2 4. ໃຫ ໍ້  2 1 3 2   2 ກ. A  E2  ? ຂ. ຈ່ ງົ ສະແດງໃຫເ້ໍ ຫນັ ວ່ າ ເມ່ ອືຼ A6  E ແລວໍ້ A  E  A2  ...  A5  0 ຄ. A  E  A2  ...  A14  ? 5. ໃຫ ໍ້ A   4 12, B  11 12, P  11 2 . 1 1 ກ. ໃຫ ໍ້ B  P1 AP. ຈ່ ງົ ຊອກ B n . ຂ. ຈ່ ງົ ຊອກ An . 6. ກ. ໃກ ້ໍ A   5 45. ຈ່ ງົ ຊອກ An . 7 ຂ. ໃຫອ້ໍ ນັ ດບັ ຈານວນຈງີ an ,bn : a1  a, an 1  5an  4bn , b1  b,bn 1  7an  4bn , a28  0,b28  1 1 2 3  1 2 3  2 1 0 1 2 3 7. ໃຫໍ້ A  1 3 5 , B  1 3 3,C  9 4 6, D   2 2 4 1 5 12 1 2 4  5 3 8  3 4 3 SONEPHAN LORVANNA 70

ຈ່ ງົ ຊອກຫາ det A, det B, det C, det D ແລະ A1, B1,C 1, D1  11  3 1  1 2 3   3 3  8. ກ. ໃຫໍ້ A  1 3 5 , B   7 3 2  5 12   1 1  3 3 2 1    3 3  1 2 3  6  2  3 ຂ. ໃຫໍ້ A  1 3 3, ແລະ A   1 1 0  1 2 4  1 0 1  ຖາມວ່ າ B ເປນັ ມາຕຣດິ ປນີໍ້ ຂອງ A ?  2 1 0  ຊ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ C12, C23 ແລະ A1 9. ໃຫໍ້ 9 4 6  5 3 8 III. ລະບບົ ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອ 1. ຈ່ ງົ ແກລໍ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ ລ່ ຸມນໂີໍ້ ດຍໃຊເໍ້ ດແຕກມນີ ງັ ກບັ ແອດຈອຍ. ກ. yx  4 ຂ. 2x  3y  2 2x  3y  22; 2 y  x  5  0 ຄ. 3y  2x  1 2x  y  2z 1 x  3y 1  0 ງ. 2 y  4z  3  y  4x  2z  2  0 ຈ. 3x1x132x2x24 x32 1 x  y  z  2 x3  ສ. x  2 y  3y  1 x1  2x3  5 3x  y  5z  4 x  2y  3z  0 3x  y  2z  1 ຊ. 3x  3y  z  5 ຍ. 2x  3y  z  2 x  2 y  2z  1 x  2 y  2z  10  2x  y  z  0  xyz4 ດ. 4x  3y  2z  2 ຕ. x  2 y  2z  2  2x  y  3z  0  z  x  y  2 2. ຈ່ ງົ ແກລໍ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ ລ່ ຸມນດີ້ໍ ວໍ້ ຍວທິ ຂີ ອງກາວ-ຈແໍ ດນ. ກ.  x2y  0 ຂ. 2x  3y  1 2x  4 y  1 5x  8y  0 SONEPHAN LORVANNA 71

ຄ.  xy 1 ງ. 4a  5b  22 2x  3y  2   3a  4b  1  4x  y  2  x  y  z  30 ຈ. 2x  y  3z  18 ສ. 4x  y  4z  0  2x  y  z  8  5y  3z  4  7x  y  2z  3 x  y  z  6 ຊ. 4x  2 y  4z  2  ຍ.  x  y  z  2  3x  3y  6 y  3 x  y  z  0 x  2y  z  3 2x  y  3z  2   ດ.  3x  y  6 ຕ.  yzx0  2x  y  1  3x  2 y  0 x  5y  7z  7  2x 3y  z  8  ທ. x  4 y  2z  4 ຖ.  4x  y  z  9  3x  y  2z  9  5x  y  z  9  2 y  2z  2  rt 1 ນ. 2x  y  z  3  ບ.  3r  s  6 x  y  3z  2 5r  6t  12 SONEPHAN LORVANNA 72

ບດົ ທີ 4 ການຜນົ ປ່ ຽນລເີ ນແອ I. ການຜນັ ປ່ ຽນລເີ ນແອ 1. ນຍິ າມ ແລະ ຕວົ ຢ່ າງ ຖາ້ ວ່ າ  x    a b x  y   c       d   y  ເພ່ ນິ ວ່ າເມດັ ທ່ ມີ ຕີ ວົ ປະສານ  x, y ເປັນເງາົ ຂອງເມດັ ທ່ ມີ ຕີ ວົ ປະສານ  x, y ທ່ ດີ ດາ້ າກການຜນັ ປ່ ຽນລເີ ນແອ a b  . ໃນກລໍ ະນນີ ,ີ້ a b ແມ່ ນມາຕຮດິ ຂອງການຜນັ ປ່ ຽນລເີ ນແອທ່ ປີ ່ ຽນາາກ x y  d     c   c d  ເປນັ  x y . ຕວົ ຢ່ າງ 1 : າ່ ງົ ຊອກເງາົ ຂອງເສນັ້ ຊ່ 3x  2y 1 ທ່ດີ ດາ້ າກການຜນັ ປ່ ຽນລເີ ນແອ 2 1    3 2  ບດົ ແກ:້ ໃຫ້  x y  3x  2y 1 ແລະ  x y ເປັນເງາົ ຂອງ  x y ທ່ ດີ ດາ້ າກການຜນັ ປ່ ຽນລເີ ນແອ 2 1 ດດ ້  x    2 1 x     y   3     3 2    2   y   x    2 11  x   y   3       2   y   x    2 1 1  x   y   3 2        y   x    2x  y   y   3x  2y      x  2x  y ແລະ y  3x  2y ແທ່ ນໃສ່ 3x  2y 1 32x  y  23x  2y 1 12x  7 y 1 ດ່ ງັ ນນັ້ ເງາົ ຂອງເສນັ້ ຊ່ 3x  2y 1 ທ່ດີ ດາ້ າກການຜນັ ປ່ ຽນລເີ ນແອ 2 1 ແມ່ ນ ເສນັ້ ຊ່ 12x  7 y 1    3 2  ກດິ າະກາໍ : 1. າ່ ງົ ຊອກເງາົ ຂອງເສນັ້ ຊ່ 6x 3y  2  0 ທ່ດີ ດາ້ າກການຜນັ ປ່ ຽນລແີ ນແອ A   2 1  2   1  2. າ່ ງົ ຊອກເງາົ ຂອງເສນັ້ ຊ່ 2x  y 1 0 ທ່ດີ ດາ້ າກການຜນັ ປ່ ຽນລແີ ນແອ A   2 1  2   1  ຕວົ ຢ່ າງ 2: າ່ ງົ ຊອກ A ມາຕຣດິ ການຜນັ ປ່ ຽນລເີ ນແອ ທ່ ມີ ກີ ານສະທອ້ ນເຄ່ ງີ ຄທຽບໃສ່ ເສນັ້ ຊ່ y  1 x 3 ບດົ ແກ:້ ໃຫ້ p x, y ເປນັ ເງາົ ຂອງ p  x, y ທ່ດີ ດາ້ າກການຜນັ ປ່ ຽນນີ້ ສະແດງວ່ າເມດັ  x  x , y  y   2 2  ເປນັ SONEPHAN LORVANNA 73

 ເມດັ ເຄ່ ງິ ການຂອງ PP ແລະ ເມດັ ຢ່ ໃນເສນັ້ ຊ່ y1x າາກນດີ້ ດ:້ 3 y  y  1  x  x 2 32 3y  3y  x  x x  3y  x  3y 1  ເສນັ້ ຊ່ pp ຕງັ້ ສາກກບັ ເສນັ້ ຊ່ y  1 x ເຊ່ ງິ ຜນົ ຄນຂອງສໍາປະສດິ ມມ ຂອງສອງເສນັ້ ຊ່ ແມ່ ນ: 3 1  y  y  1 3 x  x y  y  3 x  x y  y  3x  3x 3x  y  3x  y 2 າາກ 1 ແລະ 2 າະດດ:້ x  3y  x  3y   3x  y  3x  y  x  3y  x  3y 9x  3y  9x  3y 10x  8x  6y x  1 4x  3y ແທ່ ນໃສ່ 1 5 1 4x  3y  3y  x  3y 5 4 x  3 y  3y  x  3y 55 4x  3y  3y  x  3y 5 4x  3y 15y  5x 15y 15y  9x 12 y y  1 3x  4y 5  x  14x 3y  າະດດ:້  5   y  1 3x  4y 5  x   1  4 3  x  y  5  3 4       y  SONEPHAN LORVANNA 74

ດ່ ງັ ນນັ້ , ການຜນັ ປ່ ຽນລແີ ນແອທ່ ຊີ ອກແມ່ ນ A  1  4 3 5  3   4   ແນະນາໍ ການຜນັ ປ່ ຽນລເີ ນແອ ບາງຊະນດິ : ກລໍ ະນີ 1:  x  x   x    1 0  x  y  y  y   0 1       y  ການຜນັ ປ່ ຽນລເີ ນແອ 1 0 ແມ່ ນການເຄ່ ງີ ຄທຽບໃສ່ ແກ່ ນ x  1  0 ກລໍ ະນີ 2: x  x   x    1 0 x   y   0     y  y    1   y  ການຜນັ ປ່ ຽນລເີ ນແອ  1 0 ແມ່ ນການເຄ່ ງິ ຄທຽບໃສ່ ແກ່ ນ y    0 1  ກລໍ ະນີ 3:  x  x   x    1 0  x  y  y   0 1    y      y  SONEPHAN LORVANNA 75

ການຜນັ ປ່ ຽນລເີ ນແອ  1 0 ແມ່ ນການເຄ່ ງີ ຄທຽບເມດັ ເຄາົ້ .  1  0 ກລໍ ະນີ 4: x  y   x    0 1 x  x  y   1    y     0  y  ການຜນັ ປ່ ຽນລເີ ນແອ 0 1 ແມ່ ນການເຄ່ ງິ ຄທຽບໃສ່ ເສນັ້ ຊ່ y  x    1 0  ກລໍ ະນີ 5: x   y   x    0 1 x    y   1    y   x    0  y  SONEPHAN LORVANNA 76

ການຜນັ ປ່ ຽນລເີ ນແອ 0 1 ແມ່ ນການເຄ່ ງິ ຄທຽບໃສ່ ເສນັ້ ຊ່ y  x    1 0  ກລໍ ະນີ 5: ໃນເມ່ ອ  x, y ດດາ້ າກການຄນໃຫາ້ າໍ ນວນາງິ ໜ່ ງໃສ່  x, y ຫ  x  kx   x    k 0 x   kx  y   0     y    k   y  2. ຄ່ າສະເພາະ ແລະ ເວກັ ເຕສີ ະເພາະ ໃຫມ້ າຕຣດິ າະຕຸລດັ A ແລະ ສມົ ຜນົ Ax  x 1 ຄ່ າຂອງ  ທ່ ສີ ມົ ຜນົ 1 ມໃີ າຜນົ x  0 ຕ່ າງສນ, ມຊີ ່ ວ່ າຄ່ າສະເພາະຂອງ A ແລະ ໃາຜນົ ມຊີ ່ ວ່ າເວກັ ເຕີ ສະເພາະທ່ ກີ ່ ຽວຂອ້ ງກບັ ຄ່ າສະເພາະນນັ້ ໆ. ຕວົ ຢ່ າງ1: ໃຫ ້ A   8 4  າ່ ງົ ຊອກຄ່ າສະເພາະ ແລະ ເວກັ ເຕສີ ະເພາະຂອງມາຕຣດິ ນ.ີ້  2   2  ວທິ ແິ ກ:້ າາກ Ax  x / x   x1  x2 ເຮາົ ດດ:້ 82  4   x1    x1  2 x2 x2 SONEPHAN LORVANNA 77

82xx11 4x2  x1  2x2  x2 8   x1  4x2  0  2   x2  0 2x1 ຊອກ: detA  E  0 / E  10 01 ແລະ A  E   8   4  2 2 ດ່ ງັ ນນັ້ : 8 4 2 2 0 8  2    8  0 2 10  24  0   4  6  0   4;   6 ດ່ ງັ ນນັ້   4 ແລະ   6 ແມ່ ນຄ່ າສະເພາະຂອງມາຕຣດິ A - ເມ່ ອແທນຄ່ າ   4 ໃສ່ ສມົ ຜນົ 8   x1  4x2 0  2  x2 0 2x1 າະດດ:້ 4 x1  4x2  0 2 x1  2x2  0 x1  x2 ຖາ້ ວ່ າ: x1  1 x2  1 ແລະ x  x(1)  11 ເປນັ ເວກັ ເຕສີ ະເພາະໜ່ ງທ່ ກີ ່ ຽວຂອ້ ງກບັ ຄ່ າສະເພາະ   4 ຂອງມາຕຣດິ A - ເມ່ ອແທນຄ່ າ  6 ໃສ່ ສມົ ຜນົ 8   x1  4x2 0  2  x2 0 2x1 າະດດ:້ 2 x1  4x2  0 2 x1  4x2  0 x1  2x2 ຖາ້ ວ່ າ: x1  2 x2  1 ແລະ x  x(2)  12 ເປນັ ເວກັ ເຕສີ ະເພາະໜ່ ງທ່ ກີ ່ ຽວຂອ້ ງກບັ ຄ່ າສະເພາະ   6 ຂອງມາຕຣດິ A ຕວົ ຢ່ າງ2: ໃຫ ້ A   2 0 າ່ ງົ ຊອກຄ່ າສະເພາະ ແລະ ເວກັ ເຕສີ ະເພາະຂອງມາຕຣດິ ນ.ີ້  1   3  ວທິ ແີ ກ:້ າາກ Ax  x / x   x1  x2 ເຮາົ ດດ:້  2 0   x1    x1  1 3 x2 x2 SONEPHAN LORVANNA 78

2xx113xx12  x2 2   x1 0  0  3  x1   x2 ຊອກ: detA  E  0 / E  10 01 ແລະ A  E    2  0  1  3  ດ່ ງັ ນນັ້ : 2 0 1 3 0 2  3    0   2;   3 ດ່ ງັ ນນັ້   2 ແລະ   3 ແມ່ ນຄ່ າສະເພາະຂອງມາຕຣດິ A - ເມ່ ອແທນຄ່ າ  2 ໃສ່ ສມົ ຜນົ 2   x1 0 0  3  x1  x2 າະດດ:້  x1  x2  0 ຖາ້ ວ່ າ: x1  1 x1  x2 x2  1 ແລະ x  x(1)  11 ເປນັ ເວກັ ເຕສີ ະເພາະໜ່ ງທ່ ກີ ່ ຽວຂອ້ ງກບັ ຄ່ າສະເພາະ   2 ຂອງມາຕຣດິ A - ເມ່ ອແທນຄ່ າ  3 ໃສ່ ສມົ ຜນົ 2   x1 0 0  3  x1  x2 າະດດ:້  x1 0 (ບ່ ໍເໝາະສມົ )  x1 0 ຕວົ ຢ່ າງ3: ໃຫ ້ A   0 1 າ່ ງົ ຊອກຄ່ າສະເພາະ ແລະ ເວກັ ເຕສີ ະເພາະຂອງມາຕຣດິ ນ.ີ້  3   2  ວທິ ແີ ກ:້ າາກ Ax  x / x   x1  x2 ເຮາົ ດດ:້  0  1   x1    x1  3 2 x2 x2   x2 x1  x2  3x1  2x2  x1  x2  0  0  3x1  2   x2 ຊອກ: detA  E  0 / E  10 01 ແລະ A  E     1    3 2 ດ່ ງັ ນນັ້ :  1 3 2 0 SONEPHAN LORVANNA 79

 2    3  0 2  2  3  0  1  3   1;   3 ດ່ ງັ ນນັ້   1 ແລະ   3 ແມ່ ນຄ່ າສະເພາະຂອງມາຕຣດິ A - ເມ່ ອແທນ   1 ໃສ່ ສມົ ຜນົ  x1  x2 0 0  3x1  2  x2 າະດດ:້ x13x1x2 0 0 3x2  2x1  2x2  0 x1  x2 ຖາ້ ວ່ າ: x1  1 x2  1 ແລະ x  x(1)  11 ເປນັ ເວກັ ເຕສີ ະເພາະໜ່ ງທ່ ກີ ່ ຽວຂອ້ ງກບັ ຄ່ າສະເພາະ   1 ຂອງມາຕຣດິ A - ເມ່ ອແທນ  3 ໃສ່ ສມົ ຜນົ  x1  x2 0 0  3x1  2  x2 າະດດ:້  3x1  x2 0  3x1  x2 0  3x1  x2 ຖາ້ ວ່ າ: x1  1 x2  3 ແລະ x  x(2)  1 3 3. ການນາໍ ໃຊຄ້ ່ າສະເພາະ ແລະ ເວກັ ເຕສີ ະເພາະໃນການກາໍ ນດົ ເສນັ້ ຂນັ້ ສອງ າາກການຄນຂອງມາຕຣິດ, ສາມາດຂຽນຮບຮ່ າງກໍາລງັ ສອງທ່ ເີ ປັນສມົ ຜນົ ເສນັ້ ຂນັ້ ສອງ ໃນຮບມຮ່ າງ ມາຕຣດິ ດ່ ງັ ລ່ ຸມນ:ີ້ ຕວົ ຢ່ າງ1: x2  2xy  y2  8x  y  0 ວທິ ແີ ກ:້ ຕາມສດ: ax2  2bxy  cy 2  dx  ey  f  0 ເຮາົ ດດ:້ x2 1 2xy  y2  8x  y  0 a  1, b  1, c  1, d  8, e  1, f  0 A  ba b    1 11 c 1 ເຮາົ ມ:ີ Ax  x SONEPHAN LORVANNA 80

11 11 x1     x1  x2 x2 xx11  x2  x1  x2  x2 x111x1  x2  0  0  x2 ຊອກ: detA  E  0 / E  10 01 ແລະ A  E  11  1 1   ດ່ ງັ ນນັ້ : 1  10 1 1  1 1 1  0 2  2  0   0,   2 ແທນສດ: 1x2  2 y2  d eX  xy  f  0 2y2  8x  y  0 ແມ່ ນສມົ ຜນົ ຂອງປາຣາໂບນັ ຕວົ ຢ່ າງ2: x2  24xy  y2  5 ວທິ ແີ ກ:້ ຕາມສດ: ax2  2bxy  cy 2  dx  ey  f  0 ເຮາົ ດດ:້ x2 12  2xy  y2  0 a  1, b  12, c  1, d  0, e  0, f  5 A  ba b    112 121 c ເຮາົ ມ:ີ Ax  x   1  12  x1    x1  12 1 x2 x2 x1121x12x2x2 x1  x2 112x1x1  12 x2 0  0 1  x2 ຊອກ: detA  E  0 / E  10 01 ແລະ A  E  112  12   1 ດ່ ງັ ນນັ້ : 1   12  12 1   0 1 1 144  0 2 145  0   0,   145 SONEPHAN LORVANNA 81

ແທນສດ: 1x2  2 y2  d eX  xy  f  0 145y2  5 y  1 ແມ່ ນສມົ ຜນົ ເສນັ້ ຊ່ 29 ຕວົ ຢ່ າງ3: x2  6xy  9y2  10 ວທິ ແີ ກ:້ ຕາມສດ: ax2  2bxy  cy 2  dx  ey  f  0 ເຮາົ ດດ:້ x2  2  3xy  9y2  5 a  1, b  3, c  9, d  0, e  0, f  10 A  ba b    1 93 c 3 ເຮາົ ມ:ີ Ax  x  1 3  x1    x1  3 9 x2 x2 3x1x139x2x2x1x2 1   x1  3x2  0  9  x2  0 3x1 ຊອກ: detA  E  0 / E  10 01 ແລະ A  E  13  9 3   ດ່ ງັ ນນັ້ : 1  3 0 3 9 1 9   9  0 2 10  0   0,   10 ແທນສດ: 1x2  2 y2  d eX  xy  f  0 10y2  10 y  1 ແມ່ ນສມົ ຜນົ ເສນັ້ ຊ່ ໃນກໍລະນທີ ່ ວົ ດປ, ສາມາດຂຽນສມົ ຜນົ ເສນັ້ ຂນັ້ ສອງລ່ ຸມນໃີ້ ນແບບມາຕຣິດ ແລະ ປ່ ຽນຮບດວ້ ຍການຜນັ ປ່ ຽນລເີ ນແອດ່ ງັ ນ:ີ້ ax2  2bxy  cy2  dx  ey  f  0 x y   a b  x    d e  x   f 0  b c  y   y       Xˆ t AXˆ  KXˆ  f  0 ເຊ່ ງິ Xˆ   x  , A   a b  , k  d e  y   b c      SONEPHAN LORVANNA 82

ໃຫ້ Xˆ  Xxˆ ເຊ່ ງິ xˆ   x  ແລະ X ເປນັ ມາຕຣດິ ຂະໜານ 2 2 ທ່ ຖີ ນັ ຂອງມນັ ເປນັ ເວກັ ເຕສີ ະເພາະຂະໜານຂອງມນັ ເທ່ າົ  y    ກບັ 1 ທ່ ກີ ່ ຽວຂອ້ ງກບັ ຄ່ າສະເພາະ 1, 2 ຕາມລໍາລບັ ຂອງມາຕຮດິ A . ແທນ Xˆ  Xxˆ ໃສ່ ສມົ ຜນົ Xˆ t AXˆ  KXˆ  f  0 ດດ:້  Xxˆt AXxˆ  KXxˆ  f  0  t xˆ X t AX xˆ  KX  xˆ  f  0 t xˆ  1 0  xˆ   kx  xˆ  f 0  0 2    1x2   y2  d e X  x   f 0  y   ສະຫຸບວ່ າ, ດວ້ ຍການຜນັ ປ່ ຽນລເີ ນແອ, ສາມາດປ່ ຽນສມົ ຜນົ ຂນັ້ ສອງ ax2  2bxy  cy2  dx  ey  f  0 ໃຫຢ້ ່ ໃນຮບຮ່ າງ 1x2   y2  d e X  x   f  0 ເຊ່ ງິ X ເປັນມາຕຣິດທ່ ຖີ ັນຂອງມນັ ເປັນເວກັ ເຕີ  y    ສະເພາະຂະໜານເທ່ າົ 1 ທ່ ກີ ່ ຽວຂອ້ ງກບັ ຄ່ າສະເພາະ 1, 2 ຕາມລາໍ ລບັ ຂອງມາຕຣດິ A   a b  .  b c    II. ການວາງແຜນລເີ ນແອ 1. ການວາງແຜນລເີ ນແອ ການວາງແຜນລເີ ນແອແມ່ ນການຊອກຄ່ າໃຫຍ່ ສຸ ດ, ນອ້ ຍສຸດຂອງຕໍາລາລເີ ນແອພາຍໃຕເ້ ງ່ອນດຂໃດໜ່ ງ. ການວາງແຜນລີເນແອ ມບີ ດົ ບາດສໍາຄນັ ໃນການຜະລິດ ຫ ການບໍລິຫານຊັບພະຍາກອນ ເພ່ ອໃຫບ້ ັນລຸ ຜົນ ປະໂຫຍດສງສຸດ ຫ ຄ່ າສນິ້ ເປອງນອ້ ຍສຸດ. ຕວົ ຢ່ າງ1: ໃນໂຮງງານແຫ່ ງໜ່ ງຕອ້ ງການຜະລດິ ສນິ ຄາ້ 2 ຊະນດິ ຄ: A ແລະ B າາໍ ນວນ x1 ແລະ x2 ຕາມລໍາດບັ ເຊ່ ງິ ສນິ ຄາ້ A ແຕ່ ລະອນັ ໃຊເ້ ວລາ 5 ຊ່ ວົ ໂມງ ເພ່ ອຜະລດິ ຊນິ້ ສ່ ວນຂອງມນັ , 3 ຊ່ ວົ ໂມງ ເພ່ ອປະກອບ ແລະ 4 ຊ່ ວົ ໂມງ ເພ່ ອຫຸມ້ ຫ່ ໍ. ສ່ ວນສນິ ຄາ້ B ແຕ່ ລະອນັ ໃຊເ້ ວລາ 2 ຊ່ ວົ ໂມງ ເພ່ ອຜະລດິ ຊນິ້ ສ່ ວນຂອງມນັ , 12 ຊ່ ວົ ໂມງເພ່ ອ ປະກອບ ແລະ 8 ຊ່ ວົ ໂມງ ເພ່ ອຫຸມ້ ຫ່ .ໍ ໂຮງງານແຫ່ ງນມີ້ ເີ ວລາພຽງແຕ່ 40 ຊ່ ວົ ໂມງ ເພ່ ອຜະລດິ ຊນິ້ ສ່ ວນຂອງມນັ , 60 ຊ່ ວົ ໂມງ ເພ່ ອປະກອບ ແລະ 48 ຊ່ ວົ ໂມງ ເພ່ ອຫຸມ້ ຫ່ .ໍ ກາໍ ດລາາກ A ແຕ່ ລະອນັ ແມ່ ນ 7000 ກບີ າາກ B ແຕ່ ລະອນັ ແມ່ ນ 21000 ກບີ . າ່ ງົ ຊອກຫາາາໍ ນວນສນິ ຄາ້ x1 ແລະ x2 ເພ່ ອໃຫດ້ ດກ້ າໍ ດລສງສຸດ ແລະ ຊອກກາໍ ດລ ດ່ ງັ ກ່ າວ. ວທິ ແີ ກ:້ າາກບດົ ເລກເຮາົ ດດ:້ ເຄ່ ອງາກັ A ເຄ່ ອງາກັ B ເວລາທ່ ໃີ ຊ້ ສນິ້ ສ່ ວນ 5 2 40 ປະກອບ 3 12 60 ຫຸມ້ ຫ່ ໍ 4 8 48 SONEPHAN LORVANNA 83

ກາໍ ດລ 7 21 ເຮາົ ມເີ ງ່ອນດຂ: x1  0, x2  0 ຕໍາລາເປາົ້ ໝາຍ p  7x1  21x2  max ຜະລດິ ສນິ້ ສ່ ວນ 5x1  2x2  40 ປະກອບ 3x1 12x2  60 ຫຸມ້ ຫ່ ໍ 4x1  8x2  48 ດ່ ງັ ນນັ້ , P ມຄີ ່ າໃຫຍ່ ສຸດເມ່ ອ x1  4 ແລະ x2  4 P = 74 +214 =112 ຕວົ ຢ່ າງ2: ຊ່ າງຫດັ ຖະກາໍ ຕອ້ ງການເຮດັ ເຄ່ ອງປະດບັ 2ຊະນດິ າາໍ ນວນ x1 ແລະ x2 ຕາມລາໍ ດບັ ເຊ່ ງິ ຊະນດິ ທ1ີ ດດກ້ າໍ ດລ 32000 ກບີ ແຕ່ ຕອ້ ງໃຊເ້ ວລາຕີ 2 ຊ່ ວົ ໂມງ, ປະກອບເຂາົ້ ກນັ 7 ຊ່ ວົ ໂມງ ແລະ ຄດັ ໃຫເ້ ລອ້ ມ 6 ຊ່ ວົ ໂມງ. ຊະນດິ ທີ 2 ດດກ້ າໍ ດລ 24000 ກບີ ແຕ່ ຕອ້ ງໃຊເ້ ວລາຕີ 2 ຊ່ ວົ ໂມງ, ປະກອບເຂາົ້ ກນັ 7 ຊ່ ວົ ໂມງ ແລະ ຄດັ ໃຫເ້ ລອ້ ມ 3 ຊ່ ວົ ໂມງ. ຊ່ າງມເີ ວລາຕີ 40 ຊ່ ວົ ໂມງ, ປະກອບເຂາົ້ ກນັ 70 ຊ່ ວົ ໂມງ ແລະ ຄດັ ໃຫເ້ ລອ້ ມ 48 ຊ່ ວົ ໂມງ. າ່ ງົ ຊອກ ຄ່ າຂອງ x1 ແລະ x2 ເພ່ ອໃຫດ້ ດກ້ າໍ ດລສງສຸດ ແລະ ຊອກຫາກາໍ ດລດ່ ງັ ກ່ າວ. ວທິ ແີ ກ:້ າາກບດົ ເລກເຮາົ ດດ:້ ຊະນດິ ທ1ີ ຊະນດິ ທ2ີ ເວລາທ່ ໃີ ຊ້ ຕີ 2 5 40 ປະກອບ 7 7 70 ຄດັ 6 3 48 ກາໍ ດລ 32 24 ຕາໍ ລາເປາົ້ ໝາຍ p  32x1  24x2  max ເຮາົ ມເີ ງ່ອນດຂ: x1  0, x2  0 ຕີ 2x1  5x2  40 84 SONEPHAN LORVANNA

ປະກອບ 7x1  7x2  70 ຄດັ 6x1  3x2  48 ດ່ ງັ ນນັ້ , P ມຄີ ່ າໃຫຍ່ ສຸດເມ່ ອ x1  6 ແລະ x2  4 P = 326 +244 =288 ຕວົ ຢ່ າງ3: ອໍານວຍການໂຮງຮຽນອະນຸບານແຫ່ ງໜ່ ງຕອ້ ງການໃຫນ້ ກັ ຮຽນຂອງລາວດດຮ້ ບັ ວຕິ າມນິ 3 ຊະນດິ ໃນແຕ່ ລະມ.້ ວຕິ າມນິ A ຢ່ າງໜອ້ ຍາາໍ ນວນ 30 ຫວົ ໜ່ ວຍ, ວຕິ າມນິ D ຢ່ າງໜອ້ ຍາາໍ ນວນ 20 ຫວົ ໜ່ ວຍ ແລະ ວຕິ າມນິ E ຢ່ າງໜອ້ ຍາາໍ ນວນ 24 ຫວົ ໜ່ ວຍ. ເພ່ ອບນັ ລຸເງ່ອນດຂດ່ ງັ ກ່ າວ, ລາວໃຫອ້ າຫານເສມີ 2 ປະເພດາາໍ ນວນ y1 ຖງົ ແລະ y2 ຖງົ ຕາມລາໍ ດບັ . ຮວ້ ່ າປະເພດທ1ີ ລາຄາ 80000 ກບີ ຕ່ ໍຖງົ ແລະ ປະເພດທີ 2 ລາຄາ 160000 ກບີ ຕ່ ໍຖງົ . ອາຫານເສມີ ປະເພດທີ 1 າະໃຫວ້ ຕິ າມນິ A າາໍ ນວນ 2 ຫວົ ໜ່ ວຍ, ວຕິ າມນິ D າາໍ ນວນ 5 ຫວົ ໜ່ ວຍ ແລະ ວຕິ າມນິ E າາໍ ນວນ 2 ຫວົ ໜ່ ວຍ. ອາຫານເສມີ ປະເພດທີ 2 າະໃຫວ້ ຕິ າມນິ A າາໍ ນວນ 6 ຫວົ ໜ່ ວຍ, ວຕິ າມນິ D າາໍ ນວນ 1 ຫວົ ໜ່ ວຍ ແລະ ວຕິ າມນິ E າາໍ ນວນ 3 ຫວົ ໜ່ ວຍ. າ່ ງົ ຊອກາາໍ ນວນ y1 ເເລະ y2 ເພ່ ອໃຊາ້ ່ າຍເງນິ ຕ່ ໍາ ສຸດ ແລະ ຕອບສະໜອງຄວາມຕອ້ ງການ. ວທິ ແີ ກ:້ າາກບດົ ເລກເຮາົ ດດ:້ ປະເພດທ1ີ ປະເພດທ2ີ ຫວົ ໜ່ ວຍ ວຕິ າມນິ A 2 6 30 ວຕິ າມນິ D 5 1 20 ວຕິ າມນິ E 2 3 24 ລາຄາ 80 000 160 000 ຕໍາລາເປາົ້ ໝາຍ C  80y1 160y2  min ເຮາົ ມເີ ງ່ອນດຂ: y1  0, y2  0 ວຕິ າມນິ A 2y1  6y2  30 SONEPHAN LORVANNA 85

ວຕິ າມນິ D 5y1  y2  20 ວຕິ າມນິ E 2y1  3y2  24 ດ່ ງັ ນນັ້ , P ມຄີ ່ ານອ້ ຍສຸດເມ່ ອ y1  9 ແລະ y2  2 P = 809 +1602 =1040 ຕວົ ຢ່ າງ4: ກ. Max Z  3x1  2x2 ພາຍໃຕເ້ ງ່ອນດຂ x1  3x2  5 2x1  5x2  6 x1, x2  0 ບດົ ແກ ້ ແຕມ້ ເຂດໃນແຜ່ ນພຽງ ox1x2 ທ່ ຕີ ອບສະໜອງຕາມເງ່ອນດຂ ເຊ່ ງິ ເອນີ້ ວ່ າເຂດເງ່ອນດຂ  x1  3x 2  5  x1  -7; x2  4  2x1  5x 2  6  SONEPHAN LORVANNA 86

ໃຫເ້ ມດັ Z ມຄີ ່ າຫາຍສຸດແມ່ ນ  7, 4ເຊ່ ງິ ເປນັ ເມດັ ສຸດທາ້ ຍທ່ ເີ ສນັ້ ລະດບັ າະຜ່ ານພນົ້ ເຂດເງ່ອນດຂ ຫ ເປນັ ເມດັ ສງສຸດສໍາລບັ ຕາໍ ລາ Z ດ່ ງັ ນນັ້ Min Z  3 7 24  21 8  13 ຂ. Min Z  3x1  4x2 ພາຍໃຕເ້ ງ່ອນດຂ x1  x2  2 2x1  3x 2  6 x1, x2  0 ວທິ ແີ ກ:້ ແຕມ້ ເຂດໃນແຜ່ ນພຽງ ox1x2 ທ່ ຕີ ອບສະໜອງຕາມເງ່ອນດຂ ເຊ່ ງິ ເອນີ້ ວ່ າເຂດເງ່ອນດຂ  x1  x2  2 6  x1  0; x2  2  2x1  3x 2   ໃຫເ້ ມດັ Z ມຄີ ່ າໜອ້ ຍສຸດແມ່ ນ 0, 2 ເຊ່ ງິ ເປນັ ເມດັ ສຸດທາ້ ຍທ່ ເີ ສນັ້ ລະດບັ າະຜ່ ານພນົ້ ເຂດເງ່ອນດຂ ຫ ເປນັ ເມດັ ໜອ້ ຍສຸດສໍາລບັ ຕໍາລາ Z ດ່ ງັ ນນັ້ Min Z  30 42  0  8  8 ກດິ າະກາໍ 1: ເາາົ້ ຂອງຟາມລຽ້ ງແຫ່ ງໜ່ ງ ໃນແຕ່ ລະມລ້ າວຕອ້ ງການໃຫສ້ ດັ ຂອງລາວດດຮ້ ບັ ທາດອໂີ ອດຢ່ າງໜອ້ ຍ 36 mg, ທາດເຫກັ ຢ່ າງໜອ້ ຍ 84 mg , ທາດສງັ ກະສຢີ ່ າງໜອ້ ຍ 16 mg ເພ່ ອບນັ ລຸເງ່ອນດຂດ່ ງັ ກ່ າວລາວດດໃ້ ຫອ້ າຫານ ສາໍ ເລດັ ຮບ 2 ຊະນດິ ລະ: y1 ຖງົ ແລະ y2 ຖງົ . ຮວ້ ່ າຊະນດິ y1 ຖງົ ລະ 20000 ກບີ ແລະ າະໃຫ້ ທາດອໂີ ອດ 3 mg , ທາດເຫກັ 6 mg , ທາດສງັ ກະສີ 1 mg. ຊະນດິ y2 ຖງົ ລະ15000 ກບີ ແລະ າະໃຫທ້ າດອໂີ ອດ 2 mg , ທາດ ເຫກັ 6 mg , ທາດສງັ ກະສີ 4 mg.າ່ ງົ ຊອກຫາາາໍ ນວນຂອງ y1, y2 ເພ່ ອໃຫຄ້ ່ າໃຊາ້ ່ າຍຕ່ າໍ ສຸດ ແລະ ຕອບສະໜອງ ຕາມຄວາມຕອ້ ງການ. 3x1  4x2  120 ກດິ າະກາໍ 2: ກ. MaxZ  5x1  4x2 ພາຍໃຕເ້ ງ່ອນດຂ 4x1  3x2  20 x1, x2  0 SONEPHAN LORVANNA 87

ບດົ ເຝກິ ຫດັ 1. າ່ ງົ ຊອກເງາົ ຂອງເສນັ້ ຊ່ ຕ່ ໍດປນີ້ ທ່ດີ ດາ້ າກການຜນັ ປ່ ຽນລເີ ນແອ A   3 1  6 2   ກ. 2x  y  3  0 ຂ. 3x  y  2  0 2. າ່ ງົ ຊອກຄ່ າສະເພາະ ແລະ ເວກັ ເຕສີ ະເພາະຂອງມາຕຣດິ ລ່ ຸມນ:ີ້ ກ. 8 4     2 2  ຂ. 2 1    1 3  ຄ. 2 2  1  5 ງ. 2 0    1 2  3. າ່ ງົ ປ່ ຽນສມົ ຜນົ ເສນັ້ ຂນັ້ ສອງລ່ ຸມນໃີ້ ຫຢ້ ່ ໃນຮບຮ່ າງມາດຖານ ແລະ ບອກຊ່ ຂອງເສນັ້ : ກ. 2x2  4xy  y2  8  0 ຂ. x2  2xy  y2  8xx  y  0 ຄ. x2  24xy  y2  5 ງ. 8xy  3y2 1 4. ເາາົ້ ຂອງຟາມລຽ້ ສດັ ແຫ່ ງໜ່ ງ ໃນແຕ່ ລະມລ້ າວຕອ້ ງການໃຫສ້ ດັ ຂອງລາວດດຮ້ ບັ ທາດອໂີ ອດຢ່ າງໜອ້ ຍ 36 mg, ທາດເຫກັ ຢ່ າງໜອ້ ຍ 84 mg , ທາດສງັ ກະສຢີ ່ າງໜອ້ ຍ 16 mg ເພ່ ອບນັ ລຸເງ່ອນດຂດ່ ງັ ກ່ າວລາວດດໃ້ ຫອ້ າຫານສໍາ ເລດັ ຮບ2 ຊະນດິ ລະ: y1 ຖງົ ແລະ y2 ຖງົ . ຮວ້ ່ າຊະນດິ y1 ຖງົ ລະ 20000 ກບີ ແລະ າະໃຫ້ ທາດອໂີ ອດ 3 mg , ທາດເຫກັ 6 mg , ທາດສງັ ກະສີ 1 mg. ຊະນດິ y2 ຖງົ ລະ15000 ກບີ ແລະ າະໃຫທ້ າດອໂີ ອດ2 mg , ທາດເຫກັ 6 mg , ທາດສງັ ກະສີ 4 mg.າ່ ງົ ຊອກຫາາາໍ ນວນຂອງ y1, y2 ເພ່ ອໃຫຄ້ ່ າໃຊາ້ ່ າຍຕ່ ໍາສຸດ ແລະ ຕອບສະໜອງຕາມ ຄວາມຕອ້ ງການ. 5. າ່ ງົ ຊອກຫາຄໍາຕອບຂອງການວາງແຜນລເີ ນແອລ່ ຸມນ:ີ້ ກ. Max Z  5x1  7x2 ພາຍໃຕເ້ ງ່ອນດຂ: 2x1  3x2  12 3x1  x2  12 ຂ. Max Z  x1  5x2 x1, x2  0 ພາຍໃຕເ້ ງ່ອນດຂ: SONEPHAN LORVANNA 88

ຄ. Max Z  5x1  4x2 2x1  x2  10 ງ. Max Z  5x1  7x2 x1  2x2  10 າ. Max Z = 3x1+5x2 x1, x2  0 ພາຍໃຕເ້ ງ່ອນດຂ: x1  x2  2 2x1  3x2  6 x1, x2  0 ພາຍໃຕເ້ ງ່ອນດຂ: x1  2x2  2 2x1  x2  2 x1, x2  0 ພາຍໃຕເ້ ງ່ອນດຂ 2x1 +x2  4 x1 +2x2  6 x1,x2  0 ສ. Max Z  4x1  3x2 ພາຍໃຕເ້ ງ່ອນດຂ ຊ. Min Z  2x1  3x2 x1  x2  4 ຍ. Min Z  3x1  4x2 2x1  x2  6 ດ. Max Z  2x1  3x2 x1, x2  0 ພາຍໃຕເ້ ງ່ອນດຂ x1  x2  2 2x1  3x 2  6 x1, x2  0 ພາຍໃຕເ້ ງ່ອນດຂ x1  x2  2 2x1  3x 2  6 x1, x2  0 ພາຍໃຕເ້ ງ່ອນດຂ x1  2x2  4 x1  x2  3 x1,x2  0 SONEPHAN LORVANNA 89

ບດົ ທີ 5 ຈາໍ ນວນສນົ I. ຄວາມຮທູ້ ົ່ ວົ ໄປກ່ົ ຽວກບັ ຈາໍ ນວນສນົ ພວກເຮາົ ຮແູ້ ລວູ້ ວົ່ າສມົ ຜນົ : ax2  bx  c  0 , ບ່ົ ໍມໃີ ຈຜນົ ໃນກົ່ ມຈາໍ ນວນຈງິ ,ຖາູ້ ວ່ົ າ   0 ເຊ່ົ ນັ : x2  2x  2  0, x2  2x  3  0 ລວູ້ ນແຕົ່ ບ່ົ ໍມໃີ ຈຜນົ ໃນຈາໍ ນວນຈງິ . ເພ່ົ ອແກໄູ້ ຂບນັ ຫາດ່ົ ງັ ກົ່ າວ ເພ່ົ ນີ ຈົ່ ງໄດສູ້ າູ້ ງຈາໍ ນວນໜ່ົ ງຂນູ້ ມາ ທົ່ ມີ ກີ າໍ ລງັ ສອງເທ່ົ າົ -1 ເອນີູ້ ວົ່ າຈາໍ ນວນຫວົ ໜົ່ ວຍສໍານກ ສນັ ຍາລກັ ດວູ້ ຍ i ແລະ i2  1 ດົ່ ງັ ນນັູ້ , ສມົ ຜນົ x2  2x  2  0 ສາມາດແກໄູ້ ຂໄດູ້ ແລະ ມໃີ ຈຜນົ ແມົ່ ນ x 1 i .ສໍານວນ 1 i ຫ ໃນຮບຮ່ົ າງທ່ົ ວົ ໄປ a  bi ( a,b  R ). ເອນີູ້ ວ່ົ າຈາໍ ນວນສນົ 1. ຈາໍ ນວນສນົ 1.1 ນຍິ າມ ຈາໍ ນວນສນົ ແມ່ົ ນຈາໍ ນວນທົ່ ມີ ຮີ ບລກັ ສະນະ : a  bi ໃນນີູ້ a,b  R ແລະ ຈາໍ ນວນ i ຕອບສະໜອງ i2  1. ສນັ ຍາລກັ ຈາໍ ນວນສນົ ດົ່ ງັ ກົ່ າວດວູ້ ຍ z  a  bi ແລະ ເອນີູ້ ວ່ົ າຮບຮ່ົ າງພດຊະຄະນດິ ຂອງຈາໍ ນວນສນົ . i ເອນີູ້ ວ່ົ າຫວົ ໜ່ົ ວຍສໍານກ a ເອນີູ້ ວ່ົ າພາກສວນຈງິ b ເອນີູ້ ວ່ົ າພາກສວນຈງິ  c  a  bi / a,b  R,i2  1 ແມົ່ ນກົ່ ມຈາໍ ນວນສນົ ຈາໍ ນວນສນົ z  a  bi ເມົ່ ອ b  0 ແມົ່ ນຈາໍ ນວນຈງິ ເຮາົ ມ:ີ z  a  0i  a  R ຈາໍ ນວນສນົ z  a  bi ເມ່ົ ອ a  0 ແມ່ົ ນຈາໍ ນວນສໍານກ ເຮາົ ມ:ີ z  0  bi  bi c ຈາໍ ນວນສນົ z  a  bi ເມ່ົ ອ a  0 ແລະ b  0 ແມົ່ ນທງັ ຈາໍ ນວນຈງິ ແລະ ຈາໍ ນວນສາໍ ນກເຮາົ ມີ 0  0  0i ຕວົ ຢົ່ າງ: 1. ຈາໍ ນວນສນົ z  5  7i ມພີ າກສົ່ ວນຈງິ ເທົ່ າົ ກບັ 5 ແລະ ພາກສົ່ ວນສໍານກເທ່ົ າົ ກບັ 7 2. ຈາໍ ນວນສນົ z  i ສະແດງວົ່ າ z  0  1i ມພີ າກສົ່ ວນຈງິ ແມ່ົ ນ 0 ແລະ ພາກສ່ົ ວນສໍານກແມົ່ ນ - 1 ກດິ ຈະກາໍ : ຈ່ົ ງົ ກາໍ ນດົ ພາກສົ່ ວນຈງິ ແລະ ພາກສ່ົ ວນສໍານກຂອງຈາໍ ນວນສນົ ຕົ່ ໍໄປນ:ີູ້ 1) i  (2  4i)  (3  2i) 2) 2  3i2 1.2 ຄົ່ າຂອງ in ຈາກ i2  1 ເຮາົ ສາມາດຄດິ ໄລົ່ ຄົ່ າຂອງ in ໄດດູ້ ົ່ ງັ ນ:ີູ້ SONEPHAN LORVANNA 90

i2  1 i3  i2  i  i i4  i3 i 1 i5  i4 i  i i6  i5 i  1 i7  i6  i  i i8  i7 i  1 ດົ່ ງັ ນນັູ້ ສາມາດສະຫບໄດດູ້ ົ່ ງັ ນ:ີູ້ i4n  1,i4n1  i,i4n2  1,i4n3  i ຕວົ ຢ່ົ າງ1: ຈົ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ົ i25, i102 ບດົ ແກ:ູ້  i25  i24 i  i2 12 i  112 i  i 51     i102 i2 1 51  1 ກດິ ຈະກາໍ : ຈົ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ົ i2015, i2020, 2i60  5i127  3i137 1.3ການເທົ່ າົ ກນັ ຂອງສອງຈາໍ ນວນ ໃຫສູ້ ອງຈາໍ ນວນສນົ : z1  a1  b1i (a1,b1  R) ແລະ z2  a2  b2i (a2,b2  R) z1  z2 ກ່ົ ຕໍ ່ົ ໍເມົ່ ອ a1  a2;b1  b2 ຕວົ ຢົ່ າງ1: ໃຫູ້ z1  x  5i ແລະ z2  8  yi z1  z2 ກ່ົ ຕໍ ່ົ ໍເມ່ົ ອ x  8 ແລະ y  5 1.4 ການສະແດງຈາໍ ນວນສນົ ເທງິ ໜາູ້ ພຽງຕວົ ປະສານ - ໃນໜາູ້ ພຽງຕວົ ປະສານ oxy ຈາໍ ນວນສນົ z  a  bi(a,b  R) ໄດສູ້ ະແດງດວູ້ ຍເມດັ M ທ່ົ ມີ ຕີ ວົ ປະສານ (a,b) ປນີູ້ ຄນເມດັ M (a,b) ທ່ົ ສີ ະແດງຈາໍ ນວນສນົ z1  a1  b1i ເພົ່ ນີ ຍງັ ຂຽນ M (a  bi) ຫ M (z) - ໜາູ້ ພຽງຕວົ ປະສານທ່ົ ສີ ະແດງຈາໍ ນວນສນົ ນນັູ້ ເອນີູ້ ວ່ົ າ: ໜາູ້ ພຽງຈາໍ ນວນສນົ - ເມດັ ເຄາົູ້ ຂອງລະບບົ ເສນັູ້ ເຄາົູ້ ສະແດງຈາໍ ນວນ 0 - ບນັ ດາເມດັ ຢ່ົ ເທງິ ເສນັູ້ ເຄາົູ້ ນອນ ox ສະແດງບນັ ດາຈາໍ ນວນຈງິ , ດ່ົ ງັ ນນັູ້ ເສນັູ້ ເຄາົູ້ ນອນ ox ຍງັ ເອນີູ້ ວົ່ າເສນັູ້ ເຄາົູ້ ຈງິ - ບນັ ດາເມດັ ຢ່ົ ເທງິ ເສນັູ້ ເຄາົູ້ ນອນ oy ສະແດງບນັ ດາຈາໍ ນວນສາໍ ນກ, ດ່ົ ງັ ນນັູ້ ເສນັູ້ ເຄາົູ້ ນອນ oy ຍງັ ເອນີູ້ ວ່ົ າເສນັູ້ ເຄາົູ້ ສໍານກ. SONEPHAN LORVANNA 91

ຕວົ ຢ່ົ າງ: ໃນຮບ: ມບີ ນັ ດາເມດັ O, A, B,C, D, E, F ສະແດງບນັ ດາຈາໍ ນວນສນົ ຕາມລໍາດບັ ດ່ົ ງັ ນ:ີູ້ 0,1,i, 2, 2i,1 2i, 2  i 2. ການຄາໍ ນວນຈາໍ ນວນສນົ 2.1 ການບວກ ແລະ ການລບົ ຈາໍ ນວນສນົ ກ. ການບວກຈາໍ ນວນສນົ ຜນົ ບວກຂອງສອງຈາໍ ນວນສນົ : z1  a1  b1i, z2  a2  b2i (a1,b1, a2,b2  R) ຈະໄດ ູ້ : z1  z2  (a1  a2 )  (b1  b2 )i ດົ່ ງັ ນນັູ້ , ຢາກບວກຈາໍ ນວນສນົ ກບັ ຈາໍ ນວນສນົ ແມ່ົ ນເຮາົ ບວກພາກສ່ົ ວນຈງິ ກບັ ພາກສ່ົ ວນຈງິ ນາໍ ກນັ ແລະ ບວກ ພາກສົ່ ວນສາໍ ນກກບັ ພາກສົ່ ວນສາໍ ນກນາໍ ກນັ ຕວົ ຢົ່ າງ1: 1. 2  i  1 5i  3 4i 2. 3 3i  1 3i  4 ກດິ ຈະກາໍ : ຈ່ົ ງົ ນວນເລກລົ່ ມນີູ້ 1) 2  4i3 5i  74  2i 2) 1 2i2  2  3i3 2i ຂ. ຄນລກັ ສະນະຂອງການບວກຈາໍ ນວນສນົ 1. (z1  z2 )  z3  z1  (z2  z3) ສາໍ ລບັ z1, z2, z3 C 2. z1  z2  z2  z1 , z1, z2 C 3. z1  0  0  z1  z1 , z1 C SONEPHAN LORVANNA 92

ໃນຈາໍ ນວນສນົ z  a  bi ຖາູ້ ສນັ ຍາລກັ ຈາໍ ນວນສນົ a  bi ແມ່ົ ນ z 93 ເຮາົ ມ:ີ z  (z)  (z)  z  0 ຈາໍ ນວນສນົ z ເອນີູ້ ວ່ົ າຈາໍ ນວນກງົ ກນັ ຂາູ້ ມກບັ ຈາໍ ນວນສນົ z ຄ. ການລບົ ຈາໍ ນວນສນົ ຜນົ ລບົ ຂອງສອງຈາໍ ນວນສນົ z1 ແລະ z2 ແມ່ົ ນຜນົ ບວກຂອງ z1 ກບັ z2 ໝາຍຄວາມວົ່ າ: z1  z2  z1  (z2 ) ຖາູ້ ວ່ົ າ z1  a1  b1i, z2  a2  b2i, (a1, a2,b1,b2  R) ແມົ່ ນ: z1  z2  (a1  a2 )  (b1  b2 )i \\ 2.2 ການຄນຈາໍ ນວນສນົ ກ. ການຄນຂອງສອງຈາໍ ນວນສນົ ໃຫສູ້ ອງຈາໍ ນວນສນົ z1  a1  b1i, z2  a2  b2i, (a1, a2,b1,b2  R) ຈະໄດ:ູ້ z1  z2  a1  b1ia2  b2i   a1a2  a1b2i  a2b1i  b1b2i2 / i2  1  a1a2  b1b2   a1b2  a2b1 i ຕວົ ຢົ່ າງ: 1. 2  i1 2i  21 (1)(2)  (2 2  (1)(1))i  4  3i ກດິ ຈະກາໍ : ຈົ່ ງົ ຄາໍ ນວນເລກລ່ົ ມນ:ີູ້ 1) (3 4i)(1 2i)  (2i  3)(7  2i) 2) (2  i)2(3  2i) ຂ. ຄນລກັ ສະນະຂອງການຄນຈາໍ ນວນສນົ ໃຫ ູ້ z1, z2, z3 C ຈະໄດ:ູ້ z1  z2  z2  z1  z1  z2  z3  z1  z2  z3  1 z1  z1 1  z2  z3 z1  z1z2  z1z3 2.3 ຈາໍ ນວນຄາດຄ່ົ ກ. ນຍິ າມ: ຈາໍ ນວນຄາດຄົ່ ຂອງ z  a  bi ແມົ່ ນ z  a  bi ຂສໍູ້ ງັ ເກດ: - z ແລະ z ເຄົ່ ງິ ຄກນັ ທຽບໃສົ່ ແກນຈງິ ໃນລະບບົ ເສນັູ້ ເຄາົູ້ ຈາໍ ນວນສນົ SONEPHAN LORVANNA

- ການຊອກຫາຈາໍ ນວນສນົ ຄາດຄ່ົ ຂອງ z ແມ່ົ ນພຽງປົ່ ຽນເຄ່ົ ອງໝາຍໃຫພູ້ າກສວນສາໍ ນກ. ຕວົ ຢົ່ າງ1: ຈົ່ ງົ ຊອກຈາໍ ນວນຄາດຄົ່ ຂອງຈາໍ ນວນສນົ ລົ່ ມນ:ີູ້ 1) z  4  3i 2) z  3i ບດົ ແກ:ູ້ 1) z  4  3i  4  3i 2) z  3i  3i ຂ. ຄນລກັ ສະນະຂອງຈາໍ ນວນຄາດຄ່ົ zz z1  z2  z1  z2 z1  z2  z1  z2 z1  z1 , z2 0 z2 z2 z  z  a2  b2 ຕວົ ຢົ່ າງ: ໃຫຈູ້ າໍ ນວນສນົ z1, z2 ເຊົ່ ງິ ວົ່ າ z1  z2  8 10i .ຈົ່ ງົ ຊອກຫາ z1  z2 ບດົ ແກ:ູ້ ຈາກ z1  z2  8 10i ເຮາົ ໄດ ູ້ : z1  z2  8 10i z1  z2  8 10i z1  z2  8 10i SONEPHAN LORVANNA 94

ດົ່ ງັ ນນັູ້ , z1  z2  8 10i 2.4 ການຫານຈາໍ ນວນສນົ ກບັ ຈາໍ ນວນສນົ ຕ່ົ າງສນ ໃຫສູ້ ອງຈາໍ ນວນ z1  a1  b1i, z2  a2  b2i, (a1, a2,b1,b2  R) ຈະໄດ ູ້ z1  a1  b1i ເມົ່ ອຄນຈາໍ ນວນຄາດຄົ່ ຂອງພດກບັ ຈາໍ ນວນພດ ແລະ ພດ z2 a2  b2i z1  (a1  b1i)(a2  b2i)  a1a2  a1b2i  a2b1i  b1b2i2  (a1a2  b1b2 )  a2b1  a1b2 i z2 (a2  b2i)(a2  b2i) a22  b22 a22  b22 a22  b22 ສົ່ ງິ ທ່ົ ຄີ ວນເອາົ ໃຈໃສ່ົ : - ສໍາລບັ z  0 ເຮາົ ມີ 1  1 z1  z1 ເອນີູ້ ວ່ົ າ ຈາໍ ນວນປນີູ້ ຂອງ z z ຕວົ ຢົ່ າງ: 1) 2  4i  2  4i1 2i  7  8i  7  8i   7  8 i 1 2i 1 2i1 2i 12  22 5 5 5 ກດິ ຈະກາໍ : ຈ່ົ ງົ ຄດິ ໄລ່ົ 1) 1 4i 2i 2) (2  i)  (1 i)(4  3i) 3  2i 2.5 ຮາກຂນັູ້ ສອງຂອງຈາໍ ນວນສນົ ໃຫຈູ້ າໍ ນວນສນົ x  iy ແມົ່ ນຮາກຂນັູ້ ສອງຂອງຈາໍ ນວນສນົ z  a  bi ໝາຍຄວາມວົ່ າ a  bi  x  iy ຂນູ້ ກາໍ ລງັ ສອງທງັ ສອງພາກເຮາົ ໄດູ້ a  bi  x2  y2  2xyi ອງິ ຕາມການເທົ່ າົ ກນັ ຂອງສອງຈາໍ ນວນສນົ ເຮາົ ໄດ:ູ້ x2  y2  a...........(1)  2xy  b.................(2) ຈາກສມົ ຜນົ (2) ເຮາົ ໄດ:ູ້ y b ແທນໃສົ່ (1) 2x ເຮາົ ໄດ:ູ້ x2   b 2  a  4x4  4ax2  b2  0  2x  ວ່ົ າງໃຫ ູ້ t  x2,t  0  4t2  4at  b2  0 SONEPHAN LORVANNA 95