ວິຊາ ມໍປາຍ2

ກດິ ຈະກາໍ 1: ຊອກຄ່ າຂອງ cot  sec1   2   cos ec1 (2)    3     ກດິ ຈະກາໍ 2: ຊອກຄ່ າຂອງ sec  arctan 1   2  7. ຜນົ ຕໍາລາ ແລະ ສງັ ຄະນດິ ຂອງຕໍາລາປນີ້ີ ຂອງຕາໍ ລາດຕມມູ ຖາີ້ ວ່ າ sin y  x  y  arcsin x,    x    ຈະດດ:ີ້  2 2  d (sin y)  1 dx cos y dy  1 dx dy  1 (cos y  0 ເພາະ   y dx cos y 22 dy  1  1 dx 1 sin2 y 1 x2 ດ່ ງັ ນນັີ້ , arcsin x  1 dx  arcsin x  c 1 x2 1 x2 ແລະ ຖາ້ີ ວ່ າ (cos y  x ( y  arccos x,0  y   ) ຈະດດ:້ີ d (cos)  1 dx  sin y dy  1 dx dy   1 (cos y  0 ເພາະວ່ າ 0 x) dx sin x ດ່ ງັ ນນັ້ີ , dy  1  1 dx 1 cos2 y 1 x2 1  dx  arccos x  c 1 x2 ແລະ 1 x2 arccos x   ຖາີ້ ວ່ າ tan y  x  y  arctan x,    x    ຈະດດ:້ີ  2 2  d (tan y)  1 145 dx 1 dy  1 cos2 y dx SONEPHAN LORVANNA

dy  cos2 x   1 x2 2  1 dx  1  1 x2   ດ່ ງັ ນນັ້ີ ,  arctan x  1 ແລະ  1 dx  arctan x  c 1 x2  x2 ຄດິ ດລ່ ທໍານອງດຽວກນັ ກບັ ຂາ້ີ ງເທງິ ຈະດດ:້ີ x  1  dx  arctan x  c 1 x2 1 x2  arctan  ແລະ ຖາ້ີ ວ່ າ sec y  x ( y  sec1 x x  1) ຈະດດ:ີ້ d (sec y)  1 dx sec y tan y dy  1 dx dy 1   1 dx sec y tan y x x2 1  1 ,x 1  x2 1  ດ່ ງັ ນນັ້ີ :   x 1 , x  1 sec1 x  x2 1   x ແລະ dx  sec1 x  c, x  1 x x2 1 ຄດິ ດລທາໍ ນອງດຽວກນັ ກບັ ຂາີ້ ງເທງິ ນີ້ີ ຈະດດ:້ີ  cos ec1x    1 , x  1 x x2 1   dx  co sec1 x  c, x  1 x x2 1 ຕວົ ຢ່ າງ7: 1.1 earctan x dx |u  arctan x 0 1 x2  4   eudu  eu |04  e 4 1 0 SONEPHAN LORVANNA 146

3 2 3        2     3 4  12 1. dx  arcsin x | 2  arcsin  3  arcsin 2  1 x2 2 2  2 2 2 2.1 dx  arctan x |10  arctan(1)  arctan(0)    0   0 1 x2 4 4 3.2 dx  sec1 x| 2      x2 1 2 4 6 12 2x 3 3 dx  d  x   x   c  3   3   9x2 arcsin 2 4. 1 x  3 dx  1 dx 1 d  2x  1  2 x  34 x2 3 2  3  2  3    5.     arcsin  c 1 2 x  1 2 x 2 3   3   dx  dx arcsin x2 c 4xx2 4( x2)2 2  6. II. ຕໍາລາປນີີ້ີ້ ຂອງຕາໍ ລາອແີ ປກໂບລກິ 1. ເຂດກາໍ ນດົ , ເຂດຄ່ າ, ທດິ ປ່ ຽນແປງ, ເສນັີ້ ສະແດງ ແລະ ສູດ ອງິ ຕາມຄຸນລກັ ສະນະຂອງອແີ ປກໂບລກິ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະຂອງຕໍາລາປນີີ້ ເຊ່ ນັ :(ໃຫ້ີ g  f 1 ) - ເຂດກາໍ ນດົ ຂອງ g ແມ່ ນເຂດຄ່ າຂອງ f - ເສນັີ້ ສະແດງຂອງ g ເຄ່ ງິ ຄກື ບັ ເສນັີ້ ສະແດງຂອງ f ໂດຍທຽບໃສ່ ເສນັີ້ ຊ່ ື y  x ດ່ ງັ ນນັີ້ ຕາໍ ລາປນີ້ີ ຂອງບນັ ດາຕໍາລາອແີ ປກໂບລກິ ຮູບຮ່ າງ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະຕ່ດໍ ປນ:ີີ້ 1.1. ຕາໍ ລາປນີ້ີ ຂອງຕາໍ ລາຊນິ ອແີ ປກໂບລກິ ( sinh1 ) ເນ່ ືອງຈາກເຂດກໍານົດ ແລະ ເ ຂ ດ ກໍ າ ນ ົດ ຕໍ າ ລ າ ຊ ິນ ອີ ແ ປ ກ ໂ ບ ລ ິກ  x  ex  ex  ແມ່ ນ  sinh 2    ;  ເປນັ ຕາໍ ລາຂນີ້ ຕະຫຼອດ ແລະ ມເີ ສນັີ້ ສະແດງດ່ ງັ ຮູບລ່ ຸມນ:ີີ້ SONEPHAN LORVANNA 147

ໃຫ ີ້ y  sinh x  ex  ex ຈາກວທິ ຊີ ອກສູດຕາໍ ລາປນີີ້ ,ເມ່ ອື ຖອນເອາົ ຄ່ າຂອງ x ຈາກສມົ ຜນົ ຂາີ້ ງເທງິ ນດີ້ີ ດ:ີ້ 2 ຈະດດສີ້ ູດຂອງ sinh1 y  sinh x  ex  ex 2 ex  ex  2y  0 t  1 2 y  0, (t  ex ) t t2  2 yt 1  0 ເນ່ ອື ງຈາກ t  ex  0.ຈາກສມົ ຜນົ ພດຊະຄະນດິ ຂນັີ້ ສອງນດີີ້ ດ ້ີ t  ex  y  y2 1 x  ln( y  y2 1) x  sinh1 y  ln( y  y2 1) sinh1 x  ln(x  x2 1), x  ;  ຕວົ ຢ່ າງ. sinh1 0  ln1  0 1.2. ຕາໍ ລາປນີີ້ ຂອງຕາໍ ລາໂກຊນີ ອແີ ປກໂບລກິ ( cosh1) ເນ່ ອື ງຈາກເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາໂກຊນີ ອແີ ປກໂບລກິ  cosh x  ex  ex   2    ແມ່ ນ ; ,ເຂດຄ່ າແມ່ ນ 1;  ແລະ ຕໍາລານເີີ້ ປັນຕໍາລາຂນ້ີ ໃນຫວ່ າງ ; ,ດ່ ງັ ນນັີ້ ; ສໍາລບັ ຕໍາລາ cosh1) ເຂດກໍານດົ ແມ່ ນ 1;  ,ເຂດຄ່ າແມ່ ນ 0;  ;ເປນັ ຕໍາລາຂນີ້ ຕະຫຼອດ ແລະ ມເີ ສນັີ້ ສະແດງ ດ່ ງັ ໃນ ຮູບລ່ ຸມນ:ີີ້ ໃຫ້ີ y  cosh  ex  ex ຈາກວທິ ຊີ ອກຫາສູດຕາໍ ລາປນີ້ີ ,ເມ່ ອື ຖອນເອາົ ຄ່ າ x ຈາກສມົ ຜນົ ຂາີ້ ງເທງິ ນຈີ້ີ ະດດສີ້ ູດ: 2 ( cosh1) cosh1 x  ln(x  x2 1), x 1;  SONEPHAN LORVANNA 148

1.3. ຕາໍ ລາປນີ້ີ ຂອງຕໍາລາຕງັ ອແີ ປກໂບລກິ (tanh1) ເນ່ ອື ງຈາກເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາຕງັ ອແີ ປກໂບລກິ  tanh x  sinhx  ແມ່ ນ ; ,ເຂດຄ່ າແມ່ ນ  cosh x  1;1 ແລະ ຕໍາລານເີີ້ ປັນຕໍາລາຂນີ້ ຕະຫຼອດ.ດ່ ງັ ນນັ້ີ ສໍາລບັ (tanh1) ເຂດກໍານດົ ແມ່ ນ 1;1 ,ເຂດຄ່ າແມ່ ນ ;  ,ເປນັ ຕໍາລາຂນ້ີ ຕະຫຼອດ ແລະ ມເີ ສນັ້ີ ສະແດງດ່ ງັ ຮູບ: ໃຫ ້ີ y  cosh  ex  ex ຈາກວທິ ີຊອກຫາສູດຕໍາລາປີນີ້ ,ເມ່ ອື ຖອນເອາົ ຄ່ າ x ຈາກສມົ ຜົນຂາີ້ ງເທງິ ນຈີ້ີ ະດດີ້ ex  ex (tanh1) yex  yex  ex  ex ( y 1)ex  ( y 1)ex  0 ( y 1)e2x  ( y 1)  0 e2x  1 y 1 y x  tanh 1 y  ln  1 y   1 y    tanh 1 x  ln 1 x  , 1  x  1.  1 x  1.4. ຕາໍ ລາປນີ້ີ ຂອງຕາໍ ລາໂກຕງັ ອແີ ປກໂບລກິ (coth1) ເນ່ ອື ງຈາກ ເຂດກໍານດົ ຂອງຕໍາລາໂກຕງັ ອແີ ປກໂບລກິ  coth x  cosh x  ແມ່ ນ ; 0,  sinh x  ເຂດຄ່ າແມ່ ນ , 1  1,  ແລະ ຕໍາລານເີີ້ ປນັ ຕໍາລາແຮມຕະຫຼອດ.ດ່ ງັ ນນັ້ີ , ສໍາລບັ ຕໍາລາ (coth1) ເຂດກໍາ ນດົ ແມ່ ນ , 1  1, , ເຂດຄ່ າແມ່ ນ ; 0, ເປນັ ຕໍາລາແຮມຕະຫຼອດ ແລະ ມເີ ສນັ ສະແດງ ດ່ ງັ ໃນຮູບລ່ ຸມນ:ີ້ີ SONEPHAN LORVANNA 149

ໃຫ ້ີ y  coth x  ex  ex . ຈາກວທິ ຊີ ອກສູດຕາໍ ລາປນີ້ີ , ເມອຖອນເອາົ ຄ່ າ x ຈາກສມົ ຜນົ ຂາ້ີ ງເທງິ ນີ້ີ ຈະດດສ້ີ ູດ ex  ex ຂອງ (coth1) coth1 x  1 ln  x 1  , , 1  1,  . 2  x 1  2. ຜນົ ຕາໍ ລາ  ເນ່ ອື ງຈາກ sinh1 x  ln x  x2 1   d sinh1 x  d x  x2 1  1 d x x2 1 dx dx x  x2 1 dx ດດ ີ້  1  x  1  x  x2 1  x2 1  1 x2 1 ດ່ ງັ ນນັ້ີ , d sinh1 x  1 dx x  x2 1 ເມ່ ອື ຄດິ ດລ່ ຜນົ ຕາໍ ລາ ຈາກສູດ  cosh1 x  ln x  tanh 1 1  1 x  x2 1 , x  2 ln  1 x  ດດ ້ີ d cosh1 x  1 dx x2 1 d tanh 1 x  1 dx  x2 1 ຕວົ ຢ່ າງ. ຊອກ d tanh1 x sin x dx SONEPHAN LORVANNA 150

ບດົ ແກ:ີ້ ຈາກສູດ d tanh1 x  1 ແລະ ຫກຼັ ເກນຕອ້ີ ງໃສດດ:້ີ dx 1 x2 d tanh 1 x sin  1 x2 d sin x dx dx 1 sin  cos x x  cos x  sec 1 sin2 cos2 x 3. ສງັ ຄະນດິ ຈາກ d sinh1 x  1 dx x2 1 d cosh1 x  1 ແລະ d tanh1 x  1 dx x2 1 dx 1 x2  dx  sinh1 x  c x2 1 ດດ ີ້ dx  cosh1 x  c x2 1  dx tanh 1 x c 1 x2 1 dx ຕວົ ຢ່ າງ: ຄດິ ດລ່0 1 x2 ບດົ ແກ:້ີ ຈາກສູດສງັ ຄະນດິ ຂອງຕາໍ ລາ dx ແມ່ ນ sinh1 0 1 x2 ດດ ີ້1 dx  sinh1 x |10  sinh11 sinh1 0 0 1 x2  ຈາກສູດ sinh1 x  ln x  x2 1  1 dx ດດ ້ີ 0 1 x2  ln 1 2 SONEPHAN LORVANNA 151

ບດົ ເຝກິ ຫດັ I. ຕາໍ ລາປນີີ້ 1. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຕໍາລາປນິ້ີີ້ ຂອງຕາໍ ລາລ່ ຸມນ.ີ້ີ ກ. f (x)  4x ຂ. f (x)  2x  5 3 ຄ. f (x)  3x 11 ງ. f (x)  7  8x ຈ. f (x)  3x 11 ສ. f (x)  x3 1 ຊ. f (x)  8x3  5 ຍ. f (x)  x 1 x 1 ດ. f (x)  2x 1 ຕ. f (x)  2 2x  2 x 1 ຖ. f (x)  x  2 ທ. f (x)  3 x 1 2. ໃຫຕີ້ າໍ ລາ f (3x  2)  x 1 ຈ່ ງົ ຊອກ f 1(x) 3. ໃຫຕີ້ າໍ ລາ f (2x 1)  3x ຈ່ ງົ ຊອກ f 1(6) 4. ລ່ ຸມນແີ້ີ ມ່ ນເສນັີ້ ສະແດງຂອງຕໍາລາ y  f (x) ໂດຍບ່ ໍຕອ້ີ ງຊອກ f 1(x) ຈ່ ງົ ແຕມ້ີ ເສນັ້ີ ສະແດງຂອງຕໍາ ລາ y  f 1(x) 5. ໃຫ ີ້   sin 1  3  , ຈ່ ງົ ຊອກຄ່ າຂອງ cos, tan,sec,cos ec   2  6. ໃຫ ້ີ   tan 1  4  , ຈ່ ງົ ຊອກຄ່ າຂອງ sin  , cos , sec, co sec  3  7. ຈ່ ງົ ຄດິ ດລ່ ສາໍ ນວນລ່ ຸມນ.ີີ້ ກ. sin 1  sin  5   ຂ. sin1 sin 630   7   SONEPHAN LORVANNA 152

ຄ. sin  2 cos1   3   ງ. sin 1  cot     5    4  ຈ. tan  2 sec1  3   ສ, costan1  x   2   ຊ. tan(cot1(x)) ຍ. sin(sec1(x)) 8. ດາວທຽມທ່ ສີ ງັ ເກດໜ່ ວຍໂລກເຮາົ ຕາມມູມ  ດ່ ງັ ຮູບລ່ ຸມນ:ີີ້ ເຊ່ ງິ R ແມ່ ນລດັ ສະໝຂີ ອງໜ່ ວຍໂລກ (ໜ່ ວຍ ໂລກຖວື ່ າເປນັ ດາວກມົ ) ແລະ h ແມ່ ນດລ່ ຍະຫ່ າງລະຫວ່ າງໜາີ້ ໜ່ ວຍໂລກກບັ ດາວທຽມ. ກ. ຈ່ ງົ ສະແດງໃຫເີ້ ຫນັ ວ່ າ sin  R h R ຂ. ຈ່ ງົ ຊອກຄ່ າໃກສ້ີ ຸດຂອງ  ຖາີ້ ວ່ າດາວທຽມຫ່ າງຈາກໂລກ 1000 ກມ. (ໃຊ້ີ R  6378km). 9. ຍນົ ລໍາໜ່ ງງບນິ ດວີ້ ຍຄວາມດວບ່ ໍປ່ ຽນແປງ 400 ft / sec .ໃນລະດບັ 3000 ft ເທງິ ໜາ້ີ ນາໍີ້ . ຜູບ້ີ ງັ ຄບັ ຍນົ ຈະຖມິີ້ ຫບີ ເຄ່ ອື ງໃສ່ ຈດຸ p .ຖາີ້ ວ່ າແຮງຮຸ ກຖູກບັ ອາກາດບ່ ໍພໍດລ່ ,ຫບີ ເຄ່ ອື ງຈະເດນີ ຕາມເສນັີ້ ປຣາຮາໂບລາ ທ່ ມີ ສີ ມົ ຜນົ ແມ່ ນ: y  300  g x2 ເຊ່ ງິ g  32 ft / sec2,v ແມ່ ນຄວາມດວຂອງຍນົ ຈ່ ງົ ຄດິ ດລ່ ມູມ  ທ່ ປີ ະກອບຈາກ 2v2 ເລ່ ົາສາຍຕາຂອງຜູ ບີ້ ັງຄັບຍົນ ຫາຈຸດ p ແລະ ທິດເດີນຂອງຍົນເພືອໃຫຫ້ີ ີບເຄ່ ືອງຕົກໃສ່ ຈຸດ p ພໍດີ.( (1 f t( ft)  0,3048m) II. ຜນົ ຕໍາລາ ແລະ ສງັ ຄະນດິ ຂອງຕໍາລາປນີ້ີ ດຕມມູ ມຕິ ິ 153 1. ພສິ ູດ ກ. sin1 x  tan1 x 1 x2 SONEPHAN LORVANNA

ຂ. cos ec1x    tan1 x 2 1 x2 2. ຊອກ dy dx ກ. y  ex sec1 ຂ. y  x2 (sin1 x)3 ຄ. y  tan1 1 x ງ. y  (1 cos ec1x)10 1 x ສ. sin1(xy)  cos1(x  y) ຈ. y  sin1(x2 ln x) 3. ຄດິ ດລ່ ສງັ ຄະນດິ ລ່ ຸມນ:ີີ້ 1 dx 2 11 x2 3 1. dx 2.  2 x x2 1 3.  1 dx x 2 4. 1 ex x dx  16  e2 3 x dx dx 6. sec2 xdx 1 tan2 x 5.   x 1 1 7.  dx 1 xdx dx 1 ln2 x x 8. 2 4  3x2 2 dx 10.  dx 1 x6 9. 2 x2 x2 1 x 11.  2x2 dx  7 12.   4 dx 2 2  4x x 13. x2dx 14.  3  x2 dx x2  4 x 15.  dx 16.  dx 9x2  4 x 9x  4 17.  x5dx 18. ex 3  4x2x dx 5  9x 19.  5x  9x2 dx 20.  xdx 5 4x  x2 21. sin1 xdx 22. x tan1 xdx 43 23. sec1  d 24.  x tan1 xdx III. ຕ2 ໍາລາປນີີ້້ີ ຂອງຕາໍ ລາອແີ ປກໂບລກິ 1 1. ຈ່ ງົ ສະແດງໃຫເ້ີ ຫນັ ວ່ າ  1) cosh1 x  ln x  x2 1 .x 1,  SONEPHAN LORVANNA 154

2) coth 1 x  ln  x  1  .x  , 1  1,   x  1  3) d cosh1 x  1 dx x2 1 4) d tanh1 x  1 dx 1 x2 2. ໂດຍໃຊເ້ີ ສນັ້ີ ສະແດງຂອງຕໍາລາ csc h ແລະ sec h ຈ່ ງົ ຊອກເຂດກໍານດົ , ແຕມ້ີ ເສນັ້ີ ສະແດງ ແລະ ສູດ ຂອງຕໍາລາ csc h1 ແລະ sec h1 . 3. ຈ່ ງົ ສະແດງໃຫເ້ີ ຫນັ ວ່ າ 1) d coth 1 x  1 dx  x2 1 2) d csc h1x  1 dx x x2 1 3) d sec h1x  1 dx x 1 x2 4. ຈ່ ງົ ຊອກຜນົ ຕໍາລາຂນັີ້ ໜ່ ງຂອງຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີ້ີ  1) y  cosh1 x2 2) y  x sinh1 x 3) y  x tanh1 x  ln 1 x2 4) y  x sinh1  x / 3  9  x2 5) y  sec h1 1 x2 , x  0 6) y  coth1 x2 1 5. ຈ່ ງົ ຄດິ ລ່ ສງັ ຄະນດິ ລ່ ຸມນ:ີີ້ 1)  1 dx 4  x2 3 1 dx 2) 2 x2 1 1 3) 21 0 1 x2 dx SONEPHAN LORVANNA 155

ບດົ ທີ 9 ຕາໍ ລາໄຕມມູ I. ຄຸນລກັ ສະນະ ແລະ ເສນັັ້ ສະແດງຂອງຕາໍ ລາໄຕມຸມ 1. ຕາໍ ລາຮອບວຽນ ນຍິ າມ ຕໍາລາ y  f  x ເອນີ້ັ ວ່ າຕໍາລາຮອບວຽນຖາ້ັ ມຈີ ານວນຈງິ p  0 ທ່ ຕີ ອບສະໜອງເງ່ອນໄຂ x p  f x 2 ຕາໍ ລາໄຕມມູ ມຕິ ໃິ ນວງົ ມນົ ຫວົ ໜ່ ວຍ ນຍິ າມ: ເມ່ ອໃຫ້ັ A x, y ແມ່ ນເມດັ ທ່ ຢີ ່ ູຕາມວງົ ມນົ ຫວົ ໜ່ ວຍເຊ່ ງິ ວ່ າ OA ປະກອບກບັ ແກນ ox ເປນັ ມູມ  ເວລານເີັ້ ຮາົ ຈະໄດັ້ cos  x, sin   y, tan  sin x cos x  cos x cos x sin x 3. ຄຸນລກັ ສະນະຂອງຕາໍ ລາ f  x  sin x ຕາໍ ລາ f  x  sin x ເປນັ ຕໍາລາຮອບວຽນທ່ ມີ ຮີ ອບວຽນແມ່ ນ 2 ເພາະ sin  x  2   sin x ເຊ່ ງິ ທ່ ສີ ະແດງຂອງຕໍາລາ f  x  sin x ມຮີ ູບຮ່ າງດ່ ງັ ຮູບທ1ີ SONEPHAN LORVANNA 156

ຮູບທ1ີ : ເສນັັ້ ສະແດງຂອງຕາໍ ລາ f  x  sin x ຈາກເສນັັ້ ສະແດງຂອງຕໍາລາ f  x  sin x ສາມາດສະຫຸບໄດ່ ວ່ າ: -ເສນັ້ັ ສະແດງຂອງຕໍາລາເປນັ ເສນັັ້ ຕ່ ເໍ ນ່ ອງ ແລະ ເປນັ ຮອບວຽນທ່ ມີ ຮີ ອບວຽນເທ່ າົ 2 -ຕໍາລາ f  x  sin x ເປນັ ຕາໍ ລາຄກີ ເພາະວ່ າ sin x  sin x ສະນນັັ້ ເສນັັ້ ສະແດງຂອງຕາໍ ລາ f  x  sin x ຈ່ ງມເີ ມດັ 0, 0 ເປນັ ເມດັ ເຄ່ ງິ ຄ -ເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາແມ່ ນ Df  R ເຂດຄຸນຄ່ າຂອງຕໍາລາແມ່ ນ Rf  1;1 4. ຄຸນລກັ ສະນະຂອງຕາໍ ລາ f  x  cos x ຕາໍ ລາ f  x  cos x ເປນັ ຕໍາລາຮອບວຽນທ່ ມີ ຮີ ອບວຽນແມ່ ນ 2 ເພາະ cos x  2   cos x ເປນັ ເສນັັ້ ສະແດງຂອງຕາໍ ລາມຮີ ູບຮ່ າງດ່ ງັ ຮູບ2 sin x  sin x ຈາກເສນັັ້ ສະແດງຂອງຕໍາລາ f  x  cos x ສາມາດສະລຸບໄດວ້ັ ່ າ: -ເສນັັ້ ສະແດງຂອງຕໍາລາເປນັ ເສນັ້ັ ຕໍເນ່ ອງ ແລະ ເປນັ ຮອບວຽນເທາົ -ຕາໍ ລາ f  x  cos x ເປນັ ຕາໍ ລາຄເູ ພາະ cosx  cos x ສະນນັ້ັ ເສນັ້ັ ສະແດງຂອງຕາໍ ລ f  x  cos x ຈ່ ງມແີ ກນ oy ເປນັ ແກນເຄ່ ງິ ຄ. -ເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕາໍ ລາແມ່ ນ Df  R -ເຂດຄຸນຄ່ າຂອງຕໍາລາແມ່ ນ f  x  tan x 5. ຄຸນລກັ ສະນະຂອງຕາໍ ລາ f  x  tan x ຕໍາລາ f  x  tan x ເປນັ ຕໍາລາຮອບວຽນທ່ ມີ ຮີ ອບວຽນແມ່ ນ  ເພາະ tan  x    tan x ເສນັັ້ ສະແດງຂອງຕໍາລາ f  x  tan x ມຮີ ູບຮາງດງັ ຮູບທີ 3 SONEPHAN LORVANNA 157

ຮູບທ່ ີ 3: ເສນັ້ັ ສະແດງຂອງຕາໍ ລາ f  x  tan x ຈາກເສນັັ້ ສະແດງຂອງຕາໍ ລາ f  x  tan x ສາມາດສະຫຸບໄດວ້ັ ່ າ: -ເສນັ້ັ ສະແດງຂອງຕາໍ ລາບ່ ໍເປນັ ເສນັັ້ ຕ່ ເໍ ນ່ ອງເຊ່ ງິ ມຮີ ອບວຽນເທ່ າົ  -ເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາແມ່ ນ Df  R    K  ເຊ່ ງິ K Z    2  -ເຂດຄຸນຄ່ າຂອງຕໍາລາແມນ Rf R tan x  sin x cos x 6. ຄຸນລກັ ສະນະຂອງຕາໍ ລາ f  x  cot x ຕໍາລາ f  x  cot x ເປນັ ຕໍາລາຮອບວຽນທ່ ມີ ຮີ ອບວຽນແມ່ ນ  ເພາະ ເຊ່ ງິ ເສນັ້ັ ສະແດງຂອງຕາໍ ລາ f  x  cot x ມຮີ ູບຮາງດງັ ຮູບ 4 ຮູບ 4: ເສນັັ້ ສະແດງຂອງຕໍາລາ f  x  cot x ຈາກເສນັັ້ ສະແດງຂອງຕໍາລາ f  x  cot x ສາມາດສະຫຸບໄດວ້ັ ່ າ: -ເສນັັ້ ສະແດງຂອງຕາໍ ລາບ່ ໍເປນັ ເສນັ້ັ ຕ່ ໍເນ່ ອງເຊ່ ງິ ມຮີ ອບວຽນເທ່ າົ -ເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາແມ່ ນ Rf  R - cot x  cos x sin x 7. ຄຸນລກັ ສະນະຂອງຕາໍ ລາ f  x  sec x ຕໍາລາ f  x  sec x ເປນັ ຕາໍ ລາຮອບວຽນທ່ ມີ ຮີ ອບວຽນແມ່ ນ 2 ເພາະ sec x  2   sec x ເຊ່ ງິ ເສນັ້ັ ສະແດງຂອງຕໍາລາ f  x  sec x ມຮີ ູບຮາງດງັ ຮູບ 5 SONEPHAN LORVANNA 158

ຮູບ 5. ເສນັັ້ ສະແດງຂອງຕໍາລາ f  x  sec x ຈາກເສນັັ້ ສະແດງຂອງຕໍາລາ f  x  sec x ສາມາດສະຫຸບໄດວັ້ ່ າ: - ເສນັັ້ ສະແດງຂອງຕາໍ ລາບ່ ໍເປນັ ເສນັັ້ ຕ່ ໍເນ່ ອງເຊ່ ງິ ມຮີ ອບວຽນເທ່ າົ 2 - ເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາແມ່ ນ Df  R    K  ເຊ່ ງິ K Z    2  - ເຂດຄຸນຄ່ າຂອງຕໍາລາແມ່ ນ Rf  , 11,  - s ecx  1 cos x 8. ຄຸນລກັ ສະນະຂອງຕາໍ ລາ f  x  cos ecx ຕາໍ ລາ f  x  cos ecx ເປນັ ຕາໍ ລາຮອບວຽນທ່ ມີ ຮີ ອບວຽນແມ່ ນ 2 ເພາະ cos ec x  2   cos ecx ເຊ່ ງິ ເສນັ້ັ ສະແດງຂອງຕາໍ ລາ f  x  cos ecx ມຮີ ູບຮາງດງັ ຮູບ 6 ຮູບທີ 6 ເສນັັ້ ສະແດງຂອງຕໍາລາ 159 ຈາກເສນັ້ັ ສະແດງຂອງຕໍາລາ f  x  cos ecx ສາມາດສະຫຸບໄດວ້ັ ່ າ: -ເສນັ້ັ ສະແດງຂອງຕາໍ ລາບ່ ໍເປນັ ເສນັັ້ ຕ່ ເໍ ນອງເຊ່ ງມຮີ ອບວຽນເທ່ າົ 2 -ເຂດກາໍ ນດົ ຂອງຕໍາລາແມ່ ນ Df  R  K ເຊ່ ງິ K  Z -ເຂດຄຸນຄ່ າແມ່ ນ Rf  , 11,  SONEPHAN LORVANNA

- sec x  1 sin x ຕວົ ຢ່ າງ 1. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຮອບວຽນຂອງຕໍາລາ f  x  cos3x ບດົ ແກ:ັ້ ເຮາົ ຮູຕ້ັ ໍາລາ f  x ເປນັ ຕາໍ ລາຮອບວຽນຖາ້ັ ວ່ າ f  x  P  f  x ສະນນັ້ັ ເຮາົ ໄດ.້ັ cos3x  2   cos3x ຫ cos 3 x  2   cos 3x ຫ cos  x  2   cos 3x ສະນນັັ້ 3   3  f  x  cos3x ມຮີ ອບວຽນແມ່ ນ 2 3 ຕວົ ຢ່ າງ2 . ຈ່ ງົ ຊອກຫາຮອບວຽນຂອງຕໍາລາ f  x  tan 2x ບດົ ແກ:້ັ ເມາົ ມີtan 2x    2 tan 2x ຫ tan 2  x    tan 2x  2  ສະນນັັ້ ຕາໍ ລາ f  x   sin 2x ມຮີ ອບວຽນແມ່ ນ  2 ຕວົ ຢ່ າງ3ຈ່ ງົ ຊອກຮອບວຽນຂອງຕໍາລາ f  x  sin 2x  3cos 2x ບດົ ແກ ້ັ :ຈາກ f  x  sin 2x  3cos 2x  2  1 sin 2x  3 cos 2x   2 2   2  cos  sin 2x  sin    3 3   2 sin  2x      2 x        3   2  ສະນນັັ້ ຮອບວຽນຂອງຕໍາລາແມ່ ນ  ຕວົ ຢ່ າງ 4. ຈ່ ງົ ແຕມ້ັ ເສນັັ້ ສະແດງຂອງຕໍາລາ f  x  sin  x     3  ບດົ ແກ ັ້ :ອງີ ຕາມສນັ້ັ ສະແດງຂອງຕໍາລາ sin x ຈະໄດເ້ັ ສນັັ້ ສະແດງຂອງຕາໍ ລາ f  x  sin  x    ແມ່ ນການຍາ້ັ ຍ  3  ຂະໜານເສນັັ້ ສະແດງຂອງຕາໍ ລາ f  x  sin  x    ແມ່ ນການຍາັ້ ຍຂະໜານເສນັ້ັ ສະແດງຂອງຕາໍ ລາ sin x ໄປ  3  ແກນ ox ທດິ ບວກ  ຫວົ ໜ່ ວຍ 3 ຕວົ ຢ່ າງ 5. ຈ່ ງົ ແຕມ້ັ ເສນັ້ັ ສະແດງຂອງຕໍາລາ f  x  cos x  2 ບດົ ແກ ັ້ ອງີ ຕາມເສນັັ້ ສະແດງຂອງຕໍາລາ cos x ຈະໄດເ້ັ ສນັັ້ ສະແດງຂອງຕາໍ ລາ f  x  cos x  2 ແມ່ ນການຍາັ້ ຍ SONEPHAN LORVANNA 160

ຂະໜານເສນັ້ັ ສະແເດງຂອງຕໍາລາ cos x ໄປຕາມແກນ oy ຂນັ້ ເບອັ້ ງເທງິ 2 ຫວົ ໜ່ ວຍ ຕວົ ຢ່ າງ6. ຊອກຫາຄ່ າໃຫຍ່ ສຸດ ຄ່ າໜອ້ັ ຍສຸດຂອງຕໍາລາ f  x  cos x  sin x ບດົ ແກ:ັ້ ຈາກ f  x 2  cos x  sin x   2 cos x  2 sin x   2 cos  x    2  2 2   2  ຮູແ້ັ ຕ່ ວ່ າ 1  cos  x     1  4  ສະນນັ້ັັ້ ຄ່ າໃຫຍ່ ສຸດຂອງຕາໍ ລາແມ່ ນ 2 ແລະ ຄ່ າໜອ້ັ ຍສຸດຂອງຕາໍ ລາແມ່ ນ  2 ຕວົ ຢ່ າງ7. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າໜອ້ັ ຍສຸດ, ຄ່ ານອັ້ ຍສຸດຂອງຕາໍ ລາ f  x  sin2 x  sin x  2 ບດົ ແກ:້ັ ຈາກ f  x  sin2 x  sin x  2  sin2 x  2 1 sin x  1  2  1 2 24 f x   sin x  1 2  7  2  4 ສະນນັັ້ ຕໍາລາມຄີ ່ າໜອັ້ ຍສຸດເທ່ ອ sin x  1  0 ຫ sin x  1 ແລະ ຄ່ ານອ້ັ ຍສຸດເທ່ າົ 7 ຕາໍ ລາຈະມຄີ ່ າໃຫຍ່ 22 4 ສູດເມອ sin x  1 ແລະ ຄ່ າໃຫຍ່ ສຸດເທ່ າົ 4 ຕວົ ຢ່ າງ 8. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າໃຫຍ່ ສຸດນອ້ັ ຍສຸດຂອງຕໍາລາ f  x  6  4 cos x  sin2 x   6  4 cos x  1 cos2 x  5  4 cos x  cos2 x ຍອ້ັ ນວ່ າ 1cos x 1ສະນນັ້ັ  1 4  4 cos x  cos2 x  f  x  1 2  cos x2 ຕາໍ ລາຈະມຄີ ່ າໃຫຍ່ ສຸດເມ່ ອໃຫ້ັcos x  1ແລະ ຈະມຄີ ່ າໜອ້ັ ຍສຸດເທ່ າົ 10 ຕາໍ ລາຈະຄ່ າໜອ້ັ ຍສຸດເມ່ ອໃຫັ້cos x 1ແລະ ມຄີ ່ າໃຫຍ່ ສຸດເທ່ າົ 2 SONEPHAN LORVANNA 161

II. ຂອບເຂດ ແລະ ຜນົ ຕາໍ ລາຂອງໄຕມຸມ 1. ຂອບເຂດຂອງຕາໍ ລາໄຕມຸມ ຕວົ ຢ່ າງ 1: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ tan x  sin x lim x0 cos x 1 tan x  sin x sin x  sin x cos x ບດົ ແກ:ັ້ ເຮາົ ມີ lim  lim x0 cos x 1 x0 cos x 1  lim sin x  sin x  cos x  lim sin x  (cos x 1)  lim(sin x)  0 x0 cos x 1 x0 cos x 1 x0 ດ່ ງັ ນນັັ້ : lim tan x  sin x x0 cos x 1 ຕວົ ຢ່ າງ 2: lim tan x  cot x x sin x  cos x 4 tan x  cot x sin x  cos x cos x sin x ບດົ ແກ:ັ້ ເຮາົ ມີ lim  lim x sin x  cos x x sin x  cos x 44  lim (sin x  cos x)(sin x  cos x) x sin x  cos x(sin x  cos x) 4 lim (sin x  cos x) sin   cos  x sin x  cos x 4 4   lim sin   cos  2 2 4 x 44 4 ດ່ ງັ ນນັັ້ : lim tan x  cot x  2 2 x sin x  cos x 4 ຕວົ ຢ່ າງ 3: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ sin2 x lim x0 cos x 1 ບດົ ແກ:ັ້ ເຮາົ ມີ lim sin2 x  lim 1 cos2 x x0 cos x 1 x0 cos x 1  lim (1 cos x)(1 cos x)  lim (1 cos x)(cos x 1) x0 cos x 1 x0 cos x 1  lim((1 cos x))  2 x0 ໃນການຄດິ ໄລ່ ຂອບເຂດຂອງຕາໍ ລາໄຕມມູ ນເີັ້ ຮາົ ສາມາດນາໍ ໃຊສັ້ ູດພນ້ັ ຖານ lim sin x  1 x0 x ພສິ ູດ: ໃຫ ັ້   x 22 - SONEPHAN LORVANNA 162

ສງັ ເກດຈາກຮູບເຫນັ ວ່ າ SOAH  SvOAH  SOBC ຊ່ ງວ່ າ SOAH  1 OC  AH  1 sin x 2 2 SOAC  1 x(OA)2  x 2 2 SOBC  1 OC  BC  1 tan x 2 2 ດ່ ງັ ນນັ້ັ ເຮາົ ໄດ:ັ້ 1 sin x  x  1 tan x 2 22 sin x  x  tan x ຍອ້ັ ນ   x ສະນນັັ້ sin x  0 2 2 ຫານທງັ ສອງຟາກໃຫັ້ sin x ໄດ ັ້ sin x  x  tan x sin x sin x sin x 1  x  1 ຫ 1  x  cos x sin x cos x sin x cos x  x  1 sin x lim cos x  lim x  lim1 x0 x0 sin x x0 1  lim x  1 x0 sin x ດ່ ງັ ນນັ້ັ lim sin x  1 x0 x ຕວົ ຢ່ າງ 4: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ lim sin 5x x0 x ບດົ ແກ:ັ້ ເຮາົ ມີ lim sin 5x  lim sin 5x  lim sin 5x  5 x0 x x0 5x x0 5x ຕວົ ຢ່ າງ 5: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ lim 1 cos 2x x0 x2 ບດົ ແກ:ັ້ ເຮາົ ມີ lim1 cos 2x  lim1 (1 2sin2 x) xx0 2 x0 x2 lim 2 sin 2 x  lim  2 sin x 2  2 x2  x  x0 x0 ຕວົ ຢ່ າງ 6: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ 2x  sin 3x lim x0 3x  sin 2x  2x  sin 3x    ບດົ ແກ:ັ້ ເຮາົ ມີ lim 2x  sin 3x  lim  3x  x 2x  3x  sin 2x x0  sin  x0 x SONEPHAN LORVANNA 163

  2 sin 3x   lim  23 sin 3x   2 3  1  3   32  3 2 lim  x  x0  3x  x0  sin 2x   sin 2x   x  2x  ຕວົ ຢ່ າງ 7: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ sin 2x lim x 2x  2 ບດົ ແກ:ັ້ ວາງ 2x   t  x    t 22 ເມ່ ອ x ຈະໄດ ັ້ t 0 2 sin 2x sin 2    t  2 2  ດ່ ງັ ນນັັ້ : lim  lim x 2x  x t 22  lim sin 2  t   lim sin t  1 x t x t 22 ດ່ ງັ ນນັ້ັ lim sin 2x  1 x 2x  2 2. ຜນົ ຕາໍ ລາຂອງໄຕມມູ ອງິ ຕາມນຍິ າມຂອງຜນົ ຕໍາລາເຮາົ ສາມາດຊອກຫາຜນົ ຕາໍ ລາຂອງຕໍາລາໄຕມູມຕ່ າງໆໄດັ້ - ຜນົ ຕາໍ ລາຂອງຕາໍ ລາ f  x  sin x ຈາກນຍິ າມຜນົ ຕາໍ ລາ f  x  lim f  x  h  f  x h h0 ຈະໄດັ້ f  x  lim f  x  h  f  x h h0 ອງິ ຕາມສູດ sin A  sin B  2cos A  B sin A  B ຈະໄດ ້ັ 22 2 cos  x  h  sin h  2  2 f  x   lim h0 h cos  x  h  sin h  2  2 f  x  lim h0 h 2 f x  lim cos  x  h  lim sin h ຊ່ ງວ່ າ lim sin h 1  2  2 ?0 2 h0 h0 h h 22 ດ່ ງັ ນນັ້ັ f  x  cos x ສໍາລບັ ຕາໍ ລາໄຕມມູ ອ່ ນກຄໍ ດິ ໄລແບບດໜວກນັ ເຮາົ ຈ່ ງສະຫູບໄດດ້ັ ່ ງັ ນ:ີັ້ SONEPHAN LORVANNA 164

1. sin x  cos 2. cos x  sin x 3. tan x  1 x cos2 4. cot x  1 x sin2 5. sec x  sec x tan x 6. cos ecx  cos ecx cot x ຖາ້ັ ວ່ າ u ເປນັ ຕາໍ ລາຕວົ ປ່ ຽນ x ຈະໄດ້ັ 1. sin u  ucosu 2. cosu  usin u 3. tan u  u cos2 u 4. cot u  u sin2 u 5. secu  usecu tan u 6. cos ecu  ucos ecu cot u ຕວົ ຢ່ າງ 8. ຈງົ ຊອກຜນົ ຕໍາລາຂອງຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີັ້ 1. f  x  sin 2x2 1 2. f  x  tan3 2x 3. f  xsin x  cos 2x 4. f  x  cos4 x  tan x3 5. f  x  sin x cot 2x 6. f  x  sec x ບດົ ແກ:ັ້ 1. f  x  2x2 1 cos2x2 1  4x.cos 2x2 1 2. f  x  3 tan 2 2x tan 2x  3 tan2 2x 2x  3 tan2 2x 2 2x cos2 cos2 2x f  x  6 tan2 2x cos2 2x 3. f  x  sin x  cos 2x  cos x  2x sin 2x  cos x  2sin 2x SONEPHAN LORVANNA 165

     4.    x3  f x cos 4 x tan x3  4 cos3 x  cos x  cos2 x3 f  x  4 cos3 x.sin x  3x2 cos2 x3 5. f   x   sin x  .cot 2x  sin x.cot 2x  cos x.cot 2x  sin x    2 x      sin2 2x   f   x   cos x. cot 2x  2sknx sin2 2x  6. f  x  x  sec x tan x  1 sec x tan x 2x SONEPHAN LORVANNA 166

ບດົ ເຝກີ ຫດັ I. ຕາໍ ລາໄຕມຸມ 1. ຈ່ ງົ ຊອກຮອບວຽນຂອງຕາໍ ລາລ່ ຸມນີັ້ ກ . f  x  sin 4x ຂ. f  x  sin 3x ຄ. f  x  cos 2x ງ. f  x  cos3x sin x ຈ. f  x  sin2 x 2. ຈ່ ງົ ແຕມັ້ ເສນັັ້ ສະແດງຂອງຕໍາລາລ່ ຸມນີັ້ ກ. f  x  cot  x     3  ຂ. f  x  cot 3x ຄ. f  x  sin  x 1 ງ. f  x  2sin x 1 ຈ. f x  tan  x     3  3 ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າໃຫຍ່ ສຸດ-ຄ່ າໜອ້ັ ຍສຸດຂອງຕໍາລາລ່ ຸມນ່ ີ ກ. f  x  3 cos x  sin x ຂ. f  x  cos2 x  sin x ຄ. f  x  cos 2x  sin x ງ. f  x  4sinx 3cos 2x ຈ. f  x  sin2 x  3sin x 1 ສ. f  x  sin2 x  3cos2 x  sin x II. ຂອບເຂດ ແລະ ຜນົ ຕາໍ ລາຂອງໄຕມຸມ 1. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລຂອບເຂດລ່ ຸມນ:ີ້ັ ກ. cos 3x lim x cos x 2 ຂ. lim sin2 x x 1 cos x ຄ. lim cos 3x  cos x x0 sin x ງ. lim sin 3x x0 2x ຈ. lim cos 4x  cos 2x x0 2x SONEPHAN LORVANNA 167

ສ. lim cos x x   2x 2 2. ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລຜນົ ຕາໍ ລາຂອງຕາໍ ລາລ່ ຸມນ:ີັ້ ກ. f  x  2sin x  3cos x ຂ. f  x  tan3 2x ຄ. f  x  sin3 x  cos3 x ງ. f  x 1n2  cos x ຈ. f  x  tan 1 x4  ສ. f  x 1n1 cos2 x ຊ. f  x  sin x 1 cos x ຍ. f  x  x3 sin x2 ດ. f  x  sin x.sin 2x ຕ. f x  tan 1 1 2x SONEPHAN LORVANNA 168

ບດົ ທີ 10 ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ໝາຍເຖງິ ສມົ ຜນົ ທ່ີ ບີ ນັ ຈຜຸ ນົ ຕາໍ ລາຕ່ີ າງໆຂອງຕວົ ປີ່ ຽນຕາມໜ່ີ ງຕວົ ຫຼື ຫາຼ ຍຕວົ ຫຼື ຜນົ ຕາໍ ລາຂອງຕໍາລາທ່ີ ບີ ີ່ ຮໍ ຄູ້ ່ີ າທຽບເອກະລາດໜີ່ ງຕວົ ຫຼື ຫຼາຍກວີ່ າ ປະກດົ ຢີ່ ໃນສມົ ຜນົ . ຕວົ ຢີ່ າງ: 1, dy  y  e2x 2, d2y  3 dy  4 y  0 3, dx  dy  x  y dx dx2 dx dt dt ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ບີ່ ໍສະເພາະແຕ່ີ ຮຽນທາງດາູ້ ນຄະນດິ ສາດເທ່ີ າົ ນນັູ້ , ແຕີ່ ຍງັ ນາໍ ໃຊເູ້ ປນັ ຕວົ ແບບ, ແກ ູ້ ບນັ ຫາແບບ,ແກບູ້ ນັ ຫາທາງຟຊີ ກິ , ວສິ ະວະກາໍ ສາດ ແລະ ວທິ ະຍາສາດອ່ີ ນືຼ ໆໄດອູ້ ກີ , ຕວົ ຢີ່ າງເຊ່ີ ນັ : m dv  mg  av2 m d2y  ky d 2v  9,8 dt dt 2 dx2 ຕາໍ ລາ y  x ເວາົູ້ ວີ່ າ ແມ່ີ ນໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຖາູ້ ມນັ ຫາກຕອບສະໜອງສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະ ຄະນດິ ສໍາລບັ ທຸກໆຄີ່ າຂອງ x ຢີ່ ໃນເຂດກາໍ ນດົ ຂອງມນັ . ຕວົ ຢີ່ າງ: 1 ຈ່ີ ງົ ສະແດງວ່ີ າ y  Ce3x 1, C ເປີ່ ນັ ຈາໍ ນວນຄງົ ຄີ່ າໃດໜ່ີ ງ ແມ່ີ ນໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ dy  3x  3 ແລະ ແຕມູ້ ເສນັູ້ ໂຄງູ້ ຂອງໃຈຜນົ ສໍາລບັ C  1, 2, 3 dx ບດົ ແກ:ູ້ ຈາກບດົ ເລກ y  Ce3x 1 ເຮາົ ໄດ ູ້ dv  3Ce3x ດ່ີ ງັ ນນັູ້ dx  dy  3x  3Ce3x  3 Ce3x 1  3Ce3x  3Ce3x  3  3 ສະນນັູ້ , ສມົ ຜນົ ຈລຸ ະຄະນດິ ຕອບສະໜອງສໍາລບັ dx ທຸກໆຄີ່ າຂອງ x ເສນັູ້ ໂຄງູ້ ຂອງໃຈຜນົ ສໍາລບັ C  1;2;3ສະແດງດີ່ ງັ ຕ່ີໄໍ ປນ.ີູ້ SONEPHAN LORVANNA 169

ຢ່ີ ໃນຕວົ ຢີ່ າງ 1, y  Ce3x 1 ເອນີູ້ ວີ່ າ “ໃຈຜນົ ທີ່ ວົ ໄປ” ຂອງສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ເນີ່ ອຼື ງຈາກມນັ ກີ່ ຽວຂອູ້ ງກບັ ຈາໍ ນວນຄງົ ຄີ່ າ C ທີ່ ບີ ່ີ ຮໍ ຄູ້ ີ່ າ. ຖາູ້ ໃຫູ້ ເງີ່ອືຼ ນໄຂເລີ່ ມີ ຕນົູ້ ສາໍ ລບັ ບນັ ຫາ ໝາຍວ່ີ າກາໍ ນດົ ຄ່ີ າຂອງ y ສາໍ ລບັ ຄີ່ າສະເພາະຂອງ x ນນັູ້ ຄ,ືຼ y  x0   y0 ແລວູ້ ເຮາົ ສາມາດຊອກຄ່ີ າຂອງ C ໄດູ້ ແລະ ເຮາົ ຈະໄດູ້ ໃຈຜນົ ສະເພາະ ຂອງບນັ ຫາ. ສະນນັູ້ , ເສນັູ້ ໂຄງູ້ ຂອງໃຈຜນົ ເມີ່ ອືຼ C  1;2;3 ໃນຕວົ ຢີ່ າງ 1 ຂາູ້ ງເທງິ ນລີູ້ ວູ້ ນແຕີ່ ແມ່ີ ນໃຈຜນົ ສະເພາະຂອງ dy  3x  3 dx ຕວົ ຢ່ີ າງ: 2 ຈ່ີ ງົ ຊອກຫາໃຈຜນົ ສະເພາະຂອງ dy  3x  3 y0  2 dx ບດົ ແກ ູ້ ຈາກຕວົ ຢ່ີ າງ 1 ເຮາົ ຮວູ້ ີ່ າ y  Ce3x 1 ແມ່ີ ນສມົ ຜນົ ທ່ີ ວົ ໄປຂອງສມົ ຜນົ ຈລຸ ະຄະນດິ . ໃນນ,ີູ້ ຖາູ້ y  2 ເມີ່ ອຼື x  0 ແລວູ້ 2  Ce30 1 c  3 ດີ່ ງັ ນນັູ້ , ໃຈຜນົ ສະເພາະແມີ່ ນ y  3e3x 1 ກດິ ຈະກາໍ . 1. ຈີ່ ງົ ພສິ ດວ່ີ າຕາໍ ລາ y  3e3x 1ຄງົ ຄີ່ າ ເປນັ ໃຈຜນົ ທ່ີ ວົ ໄປຂອງສມົ ຜນົ ຈລຸ ະຄະນດິ y''  2y'  y  0 ສໍາລບັ ທຸກໆ ຄີ່ າຂອງ x ,  . 2. ຈ່ີ ງົ ສະແດງວ່ີ າ y  2x 1 ເປນັ ໃຈຜນົ ສະເພາະຂອງບນັ ຫາເລ່ີ ມີ ຕນົູ້ xy'  y  1, y 2  3 I. ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນັູ້ ໜີ່ ງ 1. ສມົ ຜນົ ທແີ ຍກຕວົ ປ່ີ ຽນໄດ.ູ້ ນຍິ າມ: ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນັູ້ ໜ່ີ ງືຼ ທີ່ ສີ າມາດຂຽນໃນຮບຮ່ີ າງ dy  g(x)h( y) ................................(1) dx ເອນີູ້ ວ່ີ າ: ສມົ ຜນົ ທ່ີ ແີ ຍກຕວົ ປ່ີ ຽນໄດູ້ dy  dx 0 2). dy  xy2e2x3y  (xe2x )( y2e3y ) dx ຕວົ ຢ່ີ າງ 1). y x 1 dy dx d (x 1)  y  x 1  c1  ln y  ln 1 x  c1 2). dy  xy2e2x3y  (xe2x )( y2e3y ) ເປນັ ສມົ ຜນົ ແຍກຕວົ ປ່ີ ຽນໄດ ູ້ dx ຖາູ້ ເຮາົ ນາໍ ເອາົ p( y), g(x) h( y) ຫານສມົ ຜນົ (1) ແລວູ້ ເຮາົ ຈະຂຽນສມົ ຜນົ ໃໝີ່ ໄດດູ້ ່ີ ງັ ໃນຮບຮີ່ າງຂອງສມົ ຜນົ ທ່ີ ແີ ຍກຕວົ ປ່ີ ຽນໄດດູ້ ີ່ ງັ ສມົ ຜນົ (2) ຕີ່ໄໍ ປນ.ີູ້ p( y)dy  g(x)dx ....................................(2)  p( y)dy   g(x)dx ຫຼື p( y)  G(x)  c ....................................(3) ເມີ່ ອຼື p( y),G(x) ເປນັ ເຄາົູ້ າຕາໍ ລາ p( y) ແລະ g(x) ຕາມລໍາດບັ . ຕວົ ຢ່ີ າງ 3:ຈີ່ ງົ ຊອກຫາໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ (1 x) y (1 x)dy  ydx  0 ................(1) ບດົ ແກ:ູ້ ຈາກສມົ ຜນົ (1)ຈດັ ຮບໃໝີ່ ໂດຍນາໍ ເອາົ (1 x) y ຫານທງັ ສອງເບອືຼູ້ ງ SONEPHAN LORVANNA 170

ຈະໄດ ູ້ dy  dx  0 ,ເອາົ ສງັ ຄະນດິ ເຂາົູ້ ທງັ ສອງເບອຼືູ້ ງໄດູ້ dy  dx  c1 y x 1 y x 1  dy   dx d ( x  1)  c1  ln y  ln 1 x  c1 ຫຼື ln y  ln 1 x  c1 y x 1 y  e cln1x   el n 1x .ec1  1 x ec1  ec1 (1  x) 1 ໂດຍໃຫູ້ A  ec1 ດ່ີ ງັ ນນັູ້ y  A(1 x) ເປນັ ໃຈຜນົ ທີ່ ວົ ໄປຂອງສມົ ຜນົ (1).  ຕວົ ຢີ່ າງ 4: ຈ່ີ ງົ ແກສູ້ ມົ ຜນົ e2x  y cos x dy  ey sin 2x, y 0  0 1 dx ແກ:ູ້ ຈາກ ( 1 ) ຈດັ ຮບໃໝ່ີ ໂດຍນາໍ ເອາົ ey cos x ຫານທງັ ສອງເບອືຼູ້ ງຈະໄດູ້  e2x  ey y dy  sin 2x dx ຫຼື 2sin  2sin cos x ey  yey dy  2sin dx ເພາະວ່ີ າ cos x 2sin  2sin cos x   ໄດ ູ້ ey  yey )dy  2 (ey  yey )dy  2 sin xdx ຈະໄດ ູ້ e0  (0) e0  e0  2cos x  c  2  2  c  c  4 ey  yey  ey  2cos x  c .................. (2) ຈາກເງ່ີອຼື ນໄຂຕນົູ້ y  0 ເມີ່ ອຼື x  0 x  0 ເອາົ ຄີ່ າແທນໃສ່ີ ສມົ ຜນົ (2) ຈະໄດ:ູ້ e0  (0) e0  e0  2cos x  c  2  2  c  c  4 ດີ່ ງັ ນນັູ້ , ໃຈຜນົ ສະເພາະຂອງບນັ ຫາຄີ່ າເລ່ີ ມີ ຕນົູ້ ແມ່ີ ນ ey  yey  ey  2cos x  4 ey  yey  ey  2cos x  4 2. ສມົ ຜນົ ຈລະຄະນດິ ເອກະພນັ ສມົ ຜນົ ໃນຮບຮ່ີ າງ M  x, y  N  x, y dx 0 ເປນັ ສມົ ຜນົ ເອກະພນັ ຖາູ້ ສາມາດຂຽນໃຫຢູ້ ່ີ ໃນຮບຮີ່ າງ dy dx  f  x  ຫຼື dx  f x .................................... (1) dy  y  dy      y  ການຊອກຫາໃຈຜນົ ຊະນດິ ນີູ້ ເຮາົ ໃຫູ້ v y ແລວູ້ ຊອກວທິ ຊີ ອກຫາໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ທີ່ ແີ ຍກຕວົ ປີ່ ຽນ ໄດດູ້ ີ່ ງັ ນ:ີູ້ x ຈາກ v  y ໄດ ູ້ y  vx ແລະ v  x dv  f (v) dy  v  x dv  v  dv ແທນຄາໃສ່ີ v y ແລະ x dx dx dx dx x dy  v  x dv ໃນສມົ ຜນົ dy  f ( y ) ໄດ ູ້v  x dv  f (v) ຫຼື dx  dv  0 ...............(2) dx dx dx x dx x f (v)  v ຈະເຫນັ ວ່ີ າສມົ ຜນົ (2) ນເີູ້ ປນັ ສມົ ຜນົ ທ່ີ ແີ ຍກຕວົ ປີ່ ຽນໄດູ້ ເຮາົ ສາມາດເອາົ ສງັ ຄະນດິ ເຂາົູ້ ທງັ ສອງເບອືຼູ້ ງຂອງສມົ ຜນົ (2) ແລວູ້ ແທນຄ່ີ າ v  y v  y ຈະໄດໃູ້ ຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ (1) ຕາມຕອູ້ ງການ. x x ຕວົ ຢີ່ າງ 5 : ຈ່ີ ງົ ແກສູ້ ມົ ຜນົ dy  x  2y , y 3  3 ...................(1) dx 2 x ບດົ ແກ:ູ້ ເຮາົ ເຫນັ (1) ວີ່ າເປນັ ສມົ ຜນົ ເອກະພນັ ຂນັູ້ ສນ. ເຮາົ ດໍາເນນີ ການແກດູ້ ີ່ ງັ ຕ່ີໄໍ ປນີູ້ SONEPHAN LORVANNA 171

ໃຫູ້ y  vx ຈະໄດ ູ້ dy  v x dv ແທນໃສ່ີ ສມົ ຜນົ (1) ເຮາົ ໄດ ູ້v  x dv  x  2vx dx dx dx x ຫຼື v  x dv  dv  1 2v ຫຼື x dv  1 v  dv  dx  0 ເອາົ ສງັ ຄະນດິ ເຂາົູ້ ທງັ ສອງເບອຼືູ້ ງຂອງສມົ ຜນົ dx x dx 1v x (2) ເຮາົ ໄດ:ູ້  1 1 dv   1  ln C ຫຼືln 1 v  ln x  ln C ຫຼ ື ln 1 v  ln C  v x x ສະນນັູ້ 1 v  Cx ແຕ່ີ ວີ່ າ v  y ດ່ີ ງັ ນນັູ້ , 1 y  Cx  y  Cx2  x xx ແທີ່ ນຄີ່ າ y  3 ແລະ x  3ໃສ່ີ ໃນໃຈຜນົ ທ່ີ ວົ ໄປ,ເຮາົ ໄດູ້ 3  C 32  3  C  1 2 22 ດ່ີ ງັ ນນັູ້ ,ສຸດທາູ້ ຍເຮາົ ໄດໃູ້ ຈຜນົ ສະເພາະຂອງ(1) ແມ່ີ ນ y  1 x2  x 2 3. ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອ 3.1 ນຍິ າມສມົ ຜນົ ລເີ ນແອ ເຮາົ ເອນີູ້ ສມົ ຜນົ ທຢີ ີ່ ໃນຮບຮີ່ າງ ຫຼື ສາມາດຂຽນໃຫຢູ້ ່ີ ໃນຮບຮີ່ າງ a  x dy bx y  g x ເມີ່ ອຼື ax  0 ....................(1) dx ວ່ີ າ “ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອ”. ເມີ່ ອືຼ g  x  0 ສມົ ຜນົ (1) ເອນີູ້ ວີ່ າ ສມົ ຜນົ ເອກະພນັ ; ນອກນນັູ້ ບ່ີ ໍເອກະພນັ . dy  p  x  f (x) dx ຈາກສມົ ຜນົ (1) ເມີ່ ອຼື ເຮາົ ສາມາດເອາົ p  x   b  x a  x ຫານທງັ ສອງເບອຼືູ້ ງ ຈະໄດູ້ a  x g  x f (x)  ax dx  bx y  g  x ເຊີ່ ງິ ເຮາົ ສາມາດຂຽນໃຫຢູ້ ີ່ ໃນຮບຮີ່ າງໃໝ່ີ ຄືຼ dy  px  f (x) ..........(2) dy ax ax dx ເມີ່ ອຼື p  x  b x ແລະ f (x)  g  x ເຊ່ີ ງິ ສມົ ຜນົ (2) ແມ່ີ ນຮບຮ່ີ າງມາດຕະຖານ. a x ax ດ່ີ ງັ ນນັູ້ , ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອແມ່ີ ນສມົ ຜນົ ທສີ າມາດຂຽນໃນຮບຮີ່ າງຂອງສມົ ຜນົ (2) 1). x2 1 dy  3xy  8 2). dy  4 y  xex dx dx  ເຊີ່ ນັ : 3.2 ການແກສູ້ ມົ ຜນົ ລເີ ນແອ 1) ຈດັ ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອຂອງຮບຮ່ີ າງ (1) ໃຫຢູ້ ີ່ ໃນຮບຮ່ີ າງມາດຕະຖານຂອງສມົ ຜນົ (2) 2) ຈາກຮບຫີ່ າງມາດຕະຖານໄດ ູ້ p(x) ແລວູ້ ຊອກຕວົ ຄນສງັ ຄະນດິ (x)  e p(x)dx SONEPHAN LORVANNA 172

3) ຄນສມົ ສມົ ຜນົ ມາດຕະຖານດວູ້ ຍຕວົ ຄນສງັ ຄະນດິ ຜນົ ຮບັ ທາງຊາຍມຂືຼ ອງສມົ ຜນົ ຈະເປນັ ຜນົ ຕໍາລາຂອງຕວົ ຄນ ສງັ ຄະນດິ ແລະ y ເລຍີ ຄ:ືຼ x d e p( x)dx y  e p( x)dx f (x) dx d e p( x)dx y  e p( x)dx f (x) .........................(3) dx 4) ເອາົ ສງັ ຄະນດິ ເຂາົູ້ ທງັ ສອງເບອືຼູ້ ງຂອງສມົ ຜນົ (3) ແລວູ້ ຈະໄດໃູ້ ຈຜນົ ຕາມຕອູ້ ງການ ຕວົ ຢີ່ າງ6. ຈີ່ ງົ ແກສູ້ ມົ ຜນົ dy  4 y  x5ex x dy  4 y  e6ex .......................(1) dx x dx ບດົ ແກ:ູ້ ຈະເຫນັ ວີ່ າສມົ ຜນົ (1)ຍງັ ບ່ີ ຢໍ ່ີ ໃນຮບຮີ່ າງ dy  p( x) y  f (x) ສະນນັູ້ , ເຮາົ ຫານ x ທງັ ສອງຝາກຈະໄດູ້ dx dy  4 y  x5ex .................(2) dx x ໂດຍທີ p(x)   4 p(x)   4 ແລະ f (x)  x4ex  cx4 f (x)  x5ex ດີ່ ງັ ນນັູ້ ,ຊອກຫາຕວົ ຄນສງັ ຄະນດິ xx (x)    4 dx  e4ln x  x4 (x)    4 dx  e4ln x  x4 ຍອູ້ ນ alga b b alga b  b ແລວູ້ ເອາົ ໄປຄນກບັ x x e e  ສມົ ຜນົ (2) ທງັ ສອງເບອືຼູ້ ງຈະໄດູ້(x4 y)  xex  ex  c x4  dy 4  x4  dx  x y   x5ex ແລະ x4 dy  4x5 y  xex ຫຼື d (x4 y)  xex dx dx        d x4 y  x5exdx  d x4 y  x5exdx ໄດ ູ້ (x4 y)  xex  ex  c ດີ່ ນັ ນັູ້ , y  x5ex  x4ex  cx4 y  x5ex  x4ex  cx4 ເປນັ ໃຈຜນົ ທີ່ ວົ ໄປຂອງສມົ ຜນົ (1) ຕວົ ຢ່ີ າງ 7:ຈີ່ ງົ ແກສູ້ ມົ ຜນົ ບນັ ຫາເລ່ີ ມີ ຕນົູ້ dy  p( x) y  f (x) dy  2xy  x, y(0)  1......................(1) dx dx ບດົ ແກ:ູ້ ຈະເຫນົ ວີ່ າສມົ ຜນົ (1)ຢີ່ ໃນຮບຮ່ີ າງ p(x)  2x dy  p(x) y  f (x) ເຊງີ p(x)  2x dx ແລະ f (z)  x f (z)  x ດີ່ ງັ ນນັູ້ ຊອກຫາຕວົ ຄນສງັ ຄະນດິ  ( x    2 xdx  eex2 (x)  e2xdx  ex2 e y   1  cex2 dy d exex2 ສະນນັູ້ ,  ແລະ e x2  2xex2 y   x2 ຫຼື e y  e x2 xe x2 2 dx dx xe        d x2  x2 dxxex2 ໄດ ູ້ ex2 y   1 ex2  c ດ່ີ ງັ ນນັູ້ , y   1  cex2 ເປນັ ໃຈ  dxxe x2 d  22 ey ey ຜນົ ທ່ີ ວົ ໄປຂອງສມົ ຜນົ (1) ແຕ່ີ ໂຈດກາໍ ນດົ ເງີ່ອຼື ນໄຂເລ່ີ ມີ ຕນົູ້ ຄືຼ y   1  3 ex2 y(0)  1 ດ່ີ ງັ ນນັູ້ , ແທນຄີ່ າ x  0 , y  1, ລງົ ໃນສມົ ຜນົ ທີ່ ວົ 22 ໄປ ຈະໄດ ູ້c  3 11 c ຫຼື c 3 2 2 2 ດ່ີ ງັ ນນັູ້ , y   1  3 ex2 ເປນັ ໃຈຜນົ ສະເພາະຂອງສມົ ຜນົ (1) 22 SONEPHAN LORVANNA 173

II. ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເີ ນແອຂນັູ້ ສອງທ່ີ ມີ ສີ າໍ ປະສດິ ຄງົ ຄ່ີ າ 1. ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເີ ນແອຂນັູ້ ສອງທ່ີ ມີ ສີ າໍ ປະສດິ ຄງົ ຄ່ີ າ ນຍິ າມ. ສມົ ຜຈົ ນຸ ລະຄະນດິ ລເີ ນແອຂນັູ້ ສອງທ່ີ ມີ ສີ າໍ ະສດິ ຄງົ ຄ່ີ າຄຼື ສມົ ຜນົ ທີ່ ມີ ຮີ ບຮ່ີ າງ ຫຼື ສາມາດຂຽນໃຫຢູ້ ີ່ ໃນຮບ ຮ່ີ າງຂອງສມົ ຜນົ ( 1 ) ຕີ່ໄໍ ປນ.ີູ້ ay\"  by'  cy  f (x) ........... (1) ເມ່ີ ອືຼ a  0,b,c ເປນັ ຈາໍ ນວນຄງົ ຄີ່ າ ແລະ f (x) ເປນັ ຕໍາລາຕີ່ ໍເນີ່ ອຼື ງໃນຫວ່ີ າງໄຂບາງຫວີ່ າງເຊ່ີ ນັ : 1.5y\"  2 y'  y  x  4 2.y\"  y  ex 3.y\"  7 y'  y  0 1.1 ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອຂນັູ້ ສອງເອກະພນັ . ນຍິ າມ: ຈະເອນີູ້ ສມົ ຜນົ ay\"  by'  cy  0 ............(1) ເມີ່ ອຼື a  0,b,c  R ວ່ີ າ: '' ສມົ ຜນົ ຂນັູ້ ສອງເອກະພນັ '' . ເຊີ່ ນັ : 1). 2y\"  5y'  2y  0 2). 4y\"  8y  0 ໃນການຊອກຫາໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ຂນັູ້ ສອງລເີ ນແອທມີ ສີ ໍາປະສດິ ຄງົ ຄ່ີ າ, ເພ່ີ ນິ ສມົ ມຸດໃຫູ້ y  emx ເປນັ ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ( 2 ) . ຈາກ y  emx  y\"  memx ແລະ y\"  m2ex ແທນຄ່ີ າ y, y' ແລະ y\" ໃສີ່ ( 2 )      ໄດ ູ້ a m2emx  b memx  cemx  0 ຫຼື emx am2  bm  c  0 ເພາະ emx  0,x ດີ່ ງັ ນນັູ້ ; ໄດສູ້ ມົ ຜນົ ຊ່ີ ວຍຄຼື am2  bm  c  0 ............(3) ສະນນັູ້ ; ຈາກສມົ ຜນົ ( 3 ) ເຮາົ ໄດ:ູ້ m1  b  b2  4ac ຫຼື m2  b  b2  4ac 2a 2a ຈະເຫນັ ວີ່ າຄີ່ າຂອງ m1 ແລະ m2 ທ່ີໄີ ດນູ້ ນັູ້ ຂນືຼູ້ ຢ່ີ ກບັ ຄີ່ າຂອງ b2  4ac ວີ່ າມຄີ ່ີ າເປນັ ຄແືຼ ນວໃດ ເຊ່ີ ງິ ເຮາົ ຈະ ພຈິ າລະນາເປນັ ແຕ່ີ ລະກລໍ ະນດີ ່ີ ງັ ຕີ່ໄໍ ປນ.ີູ້ ກລໍ ະນທີ ີ 1: ຖາູ້ b2  4ac0 ຈະໄດູ້ m1  b  b2  4ac , m2  b  b2  4ac 2a 2a ເຊີ່ ງິ ເປນັ ຈາໍ ນວນຈງິ ທງັ ສອງ. ດີ່ ງັ ນນັູ້ ; ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ( 2 ) ໃນກລໍ ະນຄີ :ືຼ y  c1em1x  c2em2x ເມີ່ ອືຼ c1, c2 ເປນັ ຈາໍ ນວນຄງົ ຄີ່ າ ຕວົ ຢີ່ າງ: 1. ຈ່ີ ງົ ແກສູ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຕີ່ໄໍ ປນ.ີູ້ ກ. 2y\"  5y'  3y  0 ຂ. y\"  9y' 14y  0, y 0  1, y' 0  3 ບດົ ແກ:ູ້ ກ. ຈາກ 2y\"  5y'  3y  0 ມສີ ມົ ຜນົ ຊ່ີ ວຍຄ:ຼື 2m2  5m  3  0 ຫຼື 2m 1m  3  0 ໄດ ູ້ m1   1 , m2  3 2 ດີ່ ງັ ນນັູ້ ; ໃຈຜນົ ທີ່ ວົ ໄປແມີ່ ນ y  1x  c2e3 x . c1e 2 SONEPHAN LORVANNA 174

ຂ. ຈາກ y\"  9y' 14y  0 ມສີ ມົ ຜນົ ຊ່ີ ວຍຄ:ືຼ m2  9m 14  0 ຫຼື m  7m  2  0 ໄດ ູ້ m1  2, m2  7 ດີ່ ງັ ນນັູ້ ; ໃຈຜນົ ທ່ີ ວົ ໄປແມ່ີ ນ y  c1e2x  c2e7x ຈາກ y  2c1e2x  7c2e7x ດີ່ ງັ ນນັູ້ ; ຈາກເງີ່ອືຼ ນໄຂເລີ່ ມີ ຕນົູ້ ທີ່ ໃີ ຫມູ້ າຄ:ືຼ y 0  1 1  c1  c2 ............(1) ແລະ y' 0  3  3  2c1  7c2 .............(2) ເອາົ 2  21 ໄດູ້ c2  1 ແລະ c1  2 ດ່ີ ງັ ນນັູ້ ; ໄດໃູ້ ຈຜນົ ສະເພາະແມີ່ ນ y  2e2x  e7x ກລໍ ະນທີ ີ 2: ຖາູ້ b2  4ac  0 ຈະໄດ ູ້ m1  m2  b . ດີ່ ງັ ນນັູ້ ; ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ( 2 ) 2a ໃນກລໍ ະນນີ ຄີູ້ :ຼື  y  c1em1x  c2xem1x  c1  c2 em1x ເມີ່ ອຼື c1, c2 ເປນັ ຈາໍ ນວນຄງົ ຄີ່ າ ຕວົ ຢີ່ າງ 2. ຈ່ີ ງົ ແກລູ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຕ່ີ ໍໄປນ.ີູ້ ກ. y\"  2 3y'  3y  0 ຂ. y\"  4y'  4y  0, y 0  3, y' 0 1 ບດົ ແກ:ູ້ ກ. ຈາກ y\"  2 3y'  3y  0 ມສີ ມົ ຜນົ ຊີ່ ວຍຄ:ຼື m2  2 3m  3  0 ຫຼື  2 m  3  0 ໄດ ູ້m1  m2  3 ດີ່ ງັ ນນັູ້ ; ໃຈຜນົ ທີ່ ວົ ໄປ y  c1e 3x  c2xe 3x  c1  c2xe 3x. ຂ. ຈາກ y\"  4y'  4y  0 ມສີ ມົ ຜນົ ຊ່ີ ວຍຄ:ຼື m2  4m  4  0 ຫຼື m  22  0 ໄດ ູ້ m1  m2  2 ດ່ີ ງັ ນນັູ້ ; ໃຈຜນົ ທີ່ ວົ ໄປແມ່ີ ນ y  c1e2x  c2xe2x.    ຈາກ y  c1e2x  c2xe2x ໄດ ູ້ y'  2c1e2x  c2 e2x  2xe2x y'  2c1e2x  c2 e2x  2xe2x ດີ່ ງັ ນນັູ້ ; ຈາກເງ່ີອືຼ ນໄຂເລີ່ ມີ ຕນົູ້ ທ່ີ ໃີ ຫມູ້ າຄ:ືຼ y 03  3  c1 ແລະ y' 0  3 1  c2  2c1 ສະນນັູ້ , c13 ແລະ c2  5 ດີ່ ງັ ນນັູ້ ; ໄດໃູ້ ຈຜນົ ສະເພາະແມີ່ ນ y  3e2x  5xe2x  3  5xe2x. ກລໍ ະນທີ ີ່ ີ 3: ຖາູ້ b2  4ac0 ຈະໄດູ້ m1  m2  b . ດີ່ ງັ ນນັູ້ , ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ( 2 ) 2a ໃນກລໍ ະນນີ ຄີູ້ :ືຼ  y  c1em1x  c2xem1x  c1  c2x em1x ເມີ່ ອຼື c1, c2 ເປນັ ຈາໍ ນວນຄງົ ຄ່ີ າ ຕວົ ຢ່ີ າງ 2 : ຈ່ີ ງົ ແກສູ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ດີ່ ງັ ນ:ີູ້ ກ. y\"  2 3y'  3y  0 ຂ. y\"  4y'  4y  0, y 0  3, y' 0 1 ບດົ ແກ:ູ້ ກ. ຈາກ y\"  2 3y  3y  0 ມສີ ມົ ຜນົ ຊີ່ ວຍຄ:ືຼ m2  2 3m  3  0 ຫຼື  2 m  3  0 ໄດ ູ້ m1  m2  3 ດີ່ ງັ ນນັູ້ , ໃຈຜນົ ທ່ີ ວົ ໄປ  y  c1e 3x  c2xe 3x  c1  c2x e 3x ຂ. y\"  4y\"  4y  0 ມສີ ມົ ຜນົ ຊ່ີ ວຍຄ:ືຼ m2  4m  4  0 ຫຼື m  22  0 SONEPHAN LORVANNA 175

ໄດ ູ້ m1  m2  2 ດີ່ ງັ ນນັູ້ , ໃຈຜນົ ທີ່ ວົ ໄປແມ່ີ ນ y  c1e2x  c2xe2x.  ຈາກ y  c1e2x  c2xe2x. ໄດ ູ້ y\"  2c1e2x  c2 e2x  2xe2x ດີ່ ງັ ນນັູ້ , ຈາກເງີ່ອຼື ນໄຂເລີ່ ມີ ຕນົູ້ ທ່ີ ໃີ ຫມູ້ າຄ:ືຼ y 0  3  3  c1 ແລະ y' 0  3 1  c2  2c1 ສະນນັູ້ , c1  3 ແລະ c2  5 ດີ່ ງັ ນນັູ້ , ໄດໃູ້ ຈຜນົ ສະເພາະແມີ່ ນ y  3e2x  5xe2x  33  5xe2x. ກລໍ ະນທີ ີ 3: ຖາູ້ b2  4ac0 ໃນກລໍ ະນນີ ຮີູ້ າກເປນັ ຈາໍ ນວນສນົ ເຮາົ ໄດູ້ m   b  b2  4ac    i ເມ່ີ ອືຼ ,  ເປນັ ຈາໍ ນວນຈງິ . ດ່ີ ງັ ນນັູ້ , ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ( 2 ) ໃນ 2a ກລໍ ະນນີ ຄີູ້ ືຼ : y  e2x c1 cos  x  c2 x ເມີ່ ອຼື c1, c2 ເປນັ ຈາໍ ນວນຄງົ ຄີ່ າ. ຕວົ ຢ່ີ າງ 3. ຈີ່ ງົ ແກສູ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ດີ່ ງັ ນ.ີູ້ ກ. 3y\"  y'  y  0 ຂ. y\"  2y' 10y  0, y 0  4, y' 0 1 ບດົ ແກ:ູ້ ກ. ຈາກ 3y\"  y'  y  0 ມສີ ມົ ຜນົ ຊ່ີ ວຍຄ:ຼື 3m2  m 1  0 ໄດ ູ້ 1 1 431   1  11 i ສະນນັູ້ ,  1 ແລະ   11 m 23 6 6 6 6 ດີ່ ງັ ນນັູ້ , ໃຈຜນົ ທີ່ ວົ ໄປແມ່ີ ນ 1x  11 x  c2 sin 11 x  y  e 6  c1 cos 6 6 . ຂ. ຈາກ y\"  2y' 10y  0, y 0  4, y' 0 1 ມໃີ ຈຜນົ ຊີ່ ວຍຄ:ຼື m2  2m 10  0 ໄດູ້ m  1  12 101  1 3i ສະນນັູ້ ,  1,   3 ດ່ີ ງັ ນນັູ້ , ໃຈຜນົ ທ່ີ ວົ ໄປແມ່ີ ນ y  ex c1 cos3x  c2 sin 3x. ຈາກ y  ex c1 cos3x  c2 sin 3x. ໄດູ້ y'  ex c1  3c2 cos3x  c1  3c2 sin 3x ດ່ີ ງັ ນນັູ້ , ຈາກເງ່ີອຼື ນໄຂເລ່ີ ມີ ຕນົູ້ ທ່ີ ໃີ ຫມູ້ າຄ:ຼື y 0  4  4  c1 ແລະ y' 0  3 1  c1  3c2 ສະນນັູ້ , c1  4 ແລະ c2  1 c2  1 ດີ່ ງັ ນນັູ້ , ໄດູ້ ໃຈຜນົ ສະເພາະແມີ່ ນ: y  ex 4cos3x  sin 3x 1.2 ສມົ ຜນົ ຂນັູ້ ສອງບີ່ ເໍ ອກະພນັ . ນຍິ າມ: ຈະເອນີູ້ ສມົ ຜນົ ay\"  by'  cy  g  x .................1 ເມ່ີ ອືຼ a  0,b,c  ອ່ີ ານວ່ີ າ \" ສມົ ຜນົ ຂນັູ້ ສອງບີ່ ໍເອກະພນັ \" ແລະ g  x  0 ເຊ່ີ ນັ : 1). y\"  5y'  6y  x  ex 2). 3y\"  4y  sin 2x ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ( 1 ) ຈະຢີ່ ໃນຮບຮີ່ າງຜນົ ບວກຂອງສອງໃຈຜນົ ຄ:ຼື ໃຈຜນົ ທ່ີ ວົ ໄປ ແລະ ໃຈຜນົ ສະເພາະ ນນັູ້ ຄ,ຼື y  yc  x  yp  x ເຊ່ີ ງິ yc  x ແມີ່ ນໃຈຜນົ ທ່ີ ວົ ໄປສມົ ຜນົ ເອກະພນັ ay\"  by'  cy  0 SONEPHAN LORVANNA 176

ແລະ yp  x ແມ່ີ ນໃຈຜນົ ສະເພາະຂອງສມົ ຜນົ ບີ່ ໍເອກະພນັ g  x ທີ່ ຍີ ງັ ບໜທນັ ຮຄູ້ ່ີ າສາໍ ການຊອກຫາໃຈຜນົ ສະເພາະ yp  x ເຊີ່ ງິ ເປນັ ຮບຮ່ີ າງທີ່ ວົ ໄປຂອງ ປະສດິ ຄດຼື ່ີ ງັ ສະແດງໃນຕາຕະລາງຕ່ີໄໍ ປນ:ີູ້ g  x ຮບຮ່ີ າງທ່ີ ວົ ໄປຂອງ yp  x an xn  an1xn1   a1x  a0 xs An xn  An1xn1   A1x  A0 xs An xn  An1xn1   A1x  A0 ekx  an xn  an1xn1   a1x  a0 ekx xn sin kx ຫຼື xn cos kx  xs  Anxn   A0 cos kx   Anx   A0 sin kx eax sin  x ຫຼື eax cos  x xs  Acos  x  Bsin  xeax xneax sin bx ຫຼື xneax cos bx    xs  Anxn   A0 cos  x  Anxn   A0 sin  x eax ເຊີ່ ງິ s  0,1, 2 ແມ່ີ ນຈາໍ ນວນທ່ີ ນີ ອູ້ ຍສຸດ ເມ່ີ ອຼື ຄນ xs ເຂາົູ້ ໄປແລວູ້ ເຮດັ ໃຫພູ້ ດົ ໃນ yp  x ບີ່ ຊໍ າູ້ ກບັ ພດົ ໜີ່ ງືຼ ໃນ yc ຕວົ ຢ່ີ າງ4. ຈີ່ ງົ ແກສູ້ ມົ ຜນົ y  2y  y  ex ບດົ ແກ:ູ້ ຈາກ y  2y  y  ex ຊອກຫາ yc  x : ເຊ່ີ ງິ ສມົ ຜນົ ຊ່ີ ວຍຄືຼ m2  2m 1  0 ຫຼື m  22  0 ແລະ m1  m2  1 ດ່ີ ງັ ນນັູ້ , yc  x  c1ex  c2xex ເມ່ີ ອືຼ c1, c2 ເປນັ ຈາໍ ນວນຄງົ ຄ່ີ າ ຊອກຫາ yp  x : ເພາະວ່ີ າ g  x  ex ດ່ີ ງັ ນນັູ້ , ຈາກຕາຕະລາງໄດູ້ yp  x  xs Aex ເຊີ່ ງິ ເຮາົ ເລອືຼ ກ s  2 ໃນທ່ີ ນີ ຈີູ້ ່ີ ງບ່ີ ຊໍ າໍູ້ ກບັ ພດົ ໃດພດົ ໜ່ີ ງໃນ yc . ນນັູ້ ຄ,ືຼ yp  x  xs Aex ແລະ    y'  x  A 2xex  x2ex , y\"p  x  A 2ex  4xex  x2ex ແທນຄ່ີ າ yp  x, y'p  x ແລະ y\"p  x ໃສີ່ ສມົ ຜນົ ( 1 ) ໄດ:ູ້    y\"p  2 y' p  yp  A 2ex  4xex  x2ex  2A 2xex  x2ex  Ax2ex  ex 2 Ae x  ex ຫຼື 2A 1 ໄດ ູ້ A 1. ສະນນັູ້ , yp  x  1 x2ex 2 2 ດີ່ ງັ ນນັູ້ , ໃຈຜນົ ທ່ີ ນົ ໄປຂອງສມົ ຜນົ ( 1 ) ຄ:ືຼ y  yc x  yp x  c1ex  c2ex  1 x2ex 2 ຕວົ ຢ່ີ າງ 5. ຈ່ີ ງົ ແກສູ້ ມົ ຜນົ y\"  3y'  4y  4x2 ບດົ ແກ:ູ້ ຈາກ y\"  3y'  4y  4x2 ....................1 ຊອກຫາ yc  x : ເຊີ່ ງິ ສມົ ຜນົ ຊ່ີ ວຍຄຼື m2  3m  4  0 ຫຼື m  4m 1  0 ແລະ m1  4, m1  1 ດ່ີ ງັ ນນັູ້ ,  yc x  c1e4x  c2ex ເມ່ີ ອຼື c1, c2 ຄງົ ຄີ່ າ ຊອກຫາ yp  x : ເພາະວີ່ າ g  x  4x2 ດີ່ ງັ ນນັູ້ , yp  x  xs Ax2 ເລອຼື ກ s  0 SONEPHAN LORVANNA 177

ໄດ ູ້ yp  x  Ax2 ແລວູ້ y'p  x  2Ax ແລະ y\"p  x  2A ແທນຄີ່ າ yp  x , y'p  x ແລະ y\"p  x ໃສ່ີ ໃນສມົ ຜນົ ( 1 ) ຈະໄດ.ູ້ 2A  32Ax  4Ax2  4x2 ຫຼື 4Ax2  6A x  2A  4x2 ປຽບທຽບສໍາ ປະສດິ ຂອງ x ຈະໄດ:ູ້ 4A  4  A  1, 6A  0  A  0 ຫຼື 2A  0  A  0 ແຕີ່ ເມ່ີ ອືຼ ເອາົ A  1 A  1 ແລະ A  0 ໄປແທນໃສ່ີ yp  x ເຫນັ ວ່ີ າໃຊບູ້ ່ີໄໍ ດທູ້ ງັ ສອງຄີ່ າສະແດງວ່ີ າ yp  x  ບ່ີ ຢໍ ໃູ້ ນຮບຮີ່ າງ yp  x  Ax2 ເພາະສະນນັູ້ ແລວູ້ , ມາພຈິ າລະນາ yp  x  xs Ax2  Bx  c ເລອືຼ ກ s  0 ໄດູ້ yp  x  Ax2  Bx  c ແລວູ້ y'p  x  2Ax  B ແລະ y\"p  x  2A .ແທນຄ່ີ າ yp  x , y'p  x ແລະ y\"p  x ໃສ່ີ ໃນສມົ ຜນົ ( 1 ) ຈະໄດ.ູ້ 2A  32Ax  4Ax2  4x2 ຫຼື 4Ax2  4B  6A x  2A  3B  4C  4x2 ປຽບທຽບສາໍ ປະສດິ ຂອງ x ຈະໄດ:ູ້ 4A  4 .................. 2 4B  6A  0 ...................3 2A  3B  4C  0 .................... 4 ຈາກສມົ ຜນົ ( 2 ), ( 3 ) ແລະ ( 4 ) ໄດ ູ້ A 1, B  3 ,C   13 2 8 ສະນນັູ້ , yp  x2  3 x  13 2 8 ດີ່ ງັ ນນັູ້ , y  yc x  yp x  c1e4 x  c2e x  x2  3 x  13 2 8 ຕວົ ຢີ່ າງ 6. ຈີ່ ງົ ແກສູ້ ມົ ຜນົ y\"  4y'  4y  4sin x ບດົ ແກ:ູ້ ຈາກ y\"  4y'  4y  4sin x ...............1 ຊອກຫາ yc  x : ເຊ່ີ ງິ ສມົ ຜນົ ຊ່ີ ວຍຄຼື m2  4m  4  0 ຫຼື m  22  0 ແລະ m1  m2  2 ດີ່ ງັ ນນັູ້ ,  yc x  C1e2x  C2xe2x ເມ່ີ ອືຼ C1,C2 ຄງົ ຄ່ີ າ. ຊອກຫາ yp  x : ເພາະວີ່ າ g  x  4sinx ດີ່ ງັ ນນັູ້ , yp  x  xs  Acos x  B sin x ເລອືຼ ກ s  0 ໄດູ້ yp  x  Acos x  B sin x ແລວູ້ y'p  x  Asin x  B cos x, y\"p  x  Acos x  B sin x ແທນຄີ່ າ yp  x , y'p  x ແລະ y\"p  x ໃສີ່ ໃນສມົ ຜນົ ( 1 ) ຈະໄດ.ູ້ Acos x  B sin x  4Asin x  B cos x  4 Acos x  B sin x  4sin x 3A  4Bcos x  4A  3Bsin x  4sin x ປຽບສາໍ ປະສດິ ຂອງ sin x,cos x ຈະໄດ:ູ້ 4A  3B  4 2 3A 4B  0 3 ຈາກສມົ ຜນົ ( 2 ) ແລະ ( 3 ) ໄດ ູ້ A  16 , B  12 25 25 SONEPHAN LORVANNA 178

ສະນນັູ້ , y p  x    16 cos x  12 sin x 25 25 ດ່ີ ງັ ນນັູ້ , y  yc  x  yp  x  C1e2 x  C2 xe2x  16 cos x  12 sin x. 25 25 ຕວົ ຢີ່ າງ 7. ຈີ່ ງົ ແກບູ້ ນັ ຫາຄີ່ າເລ່ີ ມີ ຕນົູ້ y\"  y  4x 10sin x, y    0, y'    2 ບດົ ແກ:ູ້ ຈາກ y\"  y  4x 10sin x 1 ຊອກຫາ yc  x : y\"  y  0 ມສີ ມົ ຜນົ ຊີ່ ວຍຄຼື m2 1  0 ຫຼື m2  1 ແລະ m  i ດ່ີ ງັ ນນັູ້ , yc  x  C1 cos x  C2 sin x ເມ່ີ ອືຼ C1,C2 ເປນັ ຈາໍ ນວນຄງົ ຄີ່ າ. ຊອກຫາ yp  x : ເພາະວີ່ າ g  x  4x 10sin x ດີ່ ງັ ນນັູ້ , yp  x  yp1  x  yp2  x ຈາກຕາຕະລາງໄດ ູ້ yp1  x  xs  Ax  B ເລອຼື ກ s  0 ແລະ yp2  x  xs E cos x  F sin x ເລອືຼ ກ s  1 ໃນທີ່ ນີ ຈີູ້ ່ີ ງືຼ ຈະບ່ີ ຊໍ າູ້ ກບັ ພດົ ໃດພດົ ໜີ່ ງຼື ໃນ yc . ນນັູ້ ຄ,ືຼ yp  x  Ax  B  Ex cos x  Fx sin x ແລະ y'p  x  A  E cos x  F sin x  Ex cos x  Fx cos x y\"p  x  2E sin x  2F cos x  Ex cos x  Fxsin x ແທນຄ່ີ າ yp x, y'p x ແລະ y \"  x  ໃສີ່ ສມົ ຜນົ ( 1 ) ໄດູ້ p ປຽບທຽບສາໍ ປະສດິ : A  4, B  0, 2E 10, 2F  0  A  4, B  0, E  5, F  0 ສະນນັູ້ , yp  x  4x  5x cos x ດ່ີ ງັ ນນັູ້ ,ໃຈຜນົ ທີ່ ວົ ໄປຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ີ ນ y  yc  x  yp  x  C1 cos x  C2 sin x  4x  5x cos x 2 ຈາກເງ່ີອຼື ນໄຂເລ່ີ ມີ ຕນົູ້ ທ່ີ ໃີ ຫມູ້ າຄ:ືຼ y    0, y'    2 ແທນຄ່ີ າ x   , y  0 ໃນ ( 2 ): y    C1 cos  C2 sin  4  5 cos  0 ໄດ:ູ້ C1  9 ຈາກຕາໍ ລາຂອງ ( 2 ) y\"  9 sin x  C2 cos  4  5xsin x  5cos x ແລະ y\"  9 sin x  C2 cos  4  5xsin x  5cos x  2 ໄດູ້ C2  7 ດີ່ ງັ ນນັູ້ , ໃຈຜນົ ສະເພາະບນັ ຫາການເລີ່ ມີ ຕນົູ້ ແມ່ີ ນ: y  9 cos x  7sin x  4x  5x cos x SONEPHAN LORVANNA 179

ບດົ ເຝກິ ຫດັ I. ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນັູ້ ໜີ່ ງ 1. ຈ່ີ ງົ ແກສູ້ ມົ ຜນົ ຈລຸ ະຄະນດິ ທາີ ແຍກຕວົ ປ່ີ ຽນຕ່ີ ໍປນ.ີູ້ ກ. dy   x 12 ຂ. dy  2xy  0 dx dx ຄ. dx  e3xdy  0 ງ. dy   y 12 dx  0 ຈ. dN  N  Ntet2 ສ y ln x dx   y  1 2 dt dy  x  ຊ. dy  sin 5x ຍ. dy  y2 sin x  0 dx dx ດ. dy  x  y2 1 ຕ. dy  2 x 1 dx dx y 2 x  2 x 1 ຖ. y 1 x2 dy  xdx  0 ທ. ydy  1 ycos 2xdx  0 ນ. dy e3x2 y  ບ. 2xdy  1 y2 dx  0 dx dx  4    ປ. dQ  k Q  70 dt dt  4   ຜ. x2 1 , x  1 ຝ. dy  y2 1, y 2  2 ພ. x2 dy  y  xy, y(1)  1 dx x2 dx 1 ຟ. dy  2y  1, y(0)  5 ມ. xdx  yexdy  0, y(0) 1 dx 2    ຢ. 1x4 dy  x 14y2 dx  0, y(1)  0 2. ຈີ່ ງົ ແກສູ້ ມົ ຜນົ ຈນລະຄະນດິ ເອກະພນັ ລີ່ ຸມນີູ້ ກ. dy  y2  x2 ຂ. dy  x  y dx x2  xy dx x ຄ. dy  3x  y ງ. 2ydx  xdy  0 dx 2x ຈ. 2xy  3y2  dx  2xy  x2  dy  0 ສ. dy  y2  2x2 dx xy2  ຊ. 2xydy  y2  x2  ຍ. y2  yx dx  x2dy  0 dy xy x2  2y2 dy xy, y 1  1 dx x2  xy dx ດ.   ຕ. ຖ. dy  x2  y2 , y 1  2 ທ. xy2 dy  y3, y 1  2 dx xy dx ນ. x dy  y dx y  e x , y 1  1 SONEPHAN LORVANNA 180

3. ຈ່ີ ງົ ແກສູ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເີ ນແອຕ່ີ ໍໄປນ.ີູ້ ກ. dy  5y ຂ. dy  2 y  0 dx dx ຄ. dy  y  e3x ງ. 3 dy 12 y  4 dx dx ຈ. y'  3x2 y  x2 ສ. y'  2xy  x3 ຊ. x2 y'  xy  1 ຍ. y'  2y  x2  5 ດ. x dy  y  x2 sin x ຕ. x dy  2 y  3 dx dx ຖ. x dy  4 y  x3  x ທ. x2 y'  x  x  2 y  ex dx ນ. xy'  y  ex, y 1  2 ບ.  x 1 dy  y  ln x, y 1  10 dx ປ. y'  tan x y  cos2 x, y 0  1 ຜ. dy  y  f  x, y 0  0 ເມີ່ ອືຼ f  x  1, 0  x  1 0, x  1 dx ຝ. dy  2xy  f  x, y 0  2 ເມ່ີ ອືຼ f  x  x, 0  x  1 0, x  1 dx II. ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເີ ນແອຂນັູ້ ສອງທີ່ ມີ ສີ າໍ ປະສດິ ຄ່ີ ງົ ຄ່ີ າ 1. ຈ່ີ ງົ ແກສູ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລີ່ ຸມນ.ີູ້ ກ. y\"  5y  0 ຂ. y\"  y ' 2y  0 ຄ. y\"  2y ' 4y  0 ງ. y\"  6 y'  9 y  0 y\"  2y'  y  0 5 25 ຈ. y\"  2y'  5y  0 ສ. y\"  3y'  2y  0 ຊ. y\"  6y'  9y  0 ຍ. y\"  2y' 10y  0 ດ. y\" 16y  0 ຕ. y\"  6y'  25y  0 ຖ. y\"  6 y'  9 y  0 5 25 ທ. y\" 10y'  25y  0 ນ. y\"  y'  6y  0, y(0)  2, y'(0) 1 SONEPHAN LORVANNA 181

ບ. y\"  2y'  6y  0, y(0)  0, y'(0) 1 ປ. y\"  2y'  3y  0, y(0)  4, y'(0)  0 ຜ. y\"  2y'  6y  0, y(0)  3, y'(0)  1 ຝ. y\"  3y' 10y  0, y(0)  0, y'(0)  1 ພ. 4y\"  4y'  y  0, y(0)  2, y'(0)  2 ຟ. y\"  y'  0, y(0)  , y'(0)  0 ມ. y\"  y  0, y(0)  , y'(0)  0 ຢ. y\"  y'  6y  0, y(0)  2, y'(0) 1 2. ຈ່ີ ງົ ແກສູ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຕີ່ໄໍ ປນ.ີູ້ ກ. y\"  y'  2y  sin 2x ຂ. y\"  9x2  2x 1 ຄ. y\"  2y'  y  ex ງ. y\"  5y'  6y  x2  2x ຈ. y\"  2y'  5y  x2  3 ສ. y\"  y'  6y  2x3  5x2  7x  2 ຊ. y\"  y  sin x ຍ. y\"  y'  2y  e3x ດ. y\"  4y  sin x  sin 2x ຕ. y\"  2 y'  5 y  3cos  x     3  ຖ. y\"  3y'  2y  2x2  ex  2xex  4e3x ນ. y\"  y'  2y  2x  40cos x ບ. y\"  9y  x2e3x  6 ປ. y\"  2y'  3  4sin 2x ຜ. 2y\"  3y'  y  x2  3sin x ຝ. y\"  y  3x2  4sin x ພ. y\"  2y'  y  ex cos x ຟ. y\"  y'  y  sin2 x ມ. y\"  2y'  3y  x2 10sin x, y 0  2, y'0  4 ຢ. y\"  4y  x2  3ex , y 0  0, y' 0  2 3. ຈ່ີ ງົ ແກສູ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລ່ີ ຸມນ.ີູ້ SONEPHAN LORVANNA 182

ກ. y\"  5y  0 183 ຂ. y\"  y ' 2y  0 ຄ. y\"  2y ' 4y  0 ງ. y\"  6 y'  9 y  0 y\"  2y'  y  0 5 25 ຈ. y\"  2y'  5y  0 ສ. y\"  3y'  2y  0 ຊ. y\"  6y'  9y  0 ຍ. y\"  2y' 10y  0 ດ. y\" 16y  0 ຕ. y\"  6y'  25y  0 ຖ. y\"  6 y'  9 y  0 5 25 ທ. y\" 10y'  25y  0 ນ. y\"  y'  6y  0, y(0)  2, y'(0) 1 ບ. y\"  2y'  6y  0, y(0)  0, y'(0) 1 ປ. y\"  2y'  3y  0, y(0)  4, y'(0)  0 ຜ. y\"  2y'  6y  0, y(0)  3, y'(0)  1 ຝ. y\"  3y' 10y  0, y(0)  0, y'(0)  1 ພ. 4y\"  4y'  y  0, y(0)  2, y'(0)  2 ຟ. y\"  y'  0, y(0)  , y'(0)  0 ມ. y\"  y  0, y(0)  , y'(0)  0 ຢ. y\"  y'  6y  0, y(0)  2, y'(0) 1 4. ຈ່ີ ງົ ແກສູ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຕ່ີໄໍ ປນ.ີູ້ ກ. y\"  y'  2y  sin 2x ຂ. y\"  9x2  2x 1 ຄ. y\"  2y'  y  ex ງ. y\"  5y'  6y  x2  2x ຈ. y\"  2y'  5y  x2  3 ສ. y\"  y'  6y  2x3  5x2  7x  2 ຊ. y\"  y  sin x ຍ. y\"  y'  2y  ex SONEPHAN LORVANNA

ດ. y\"  4y  sin x  sin 2x ຕ. y\"  2 y'  5 y  3cos  x     3  ຖ. y\"  3y'  2y  2x2  ex  2xex  4e3x ນ. y\"  y'  2y  2x  40cos x ບ. y\"  9y  x2e3x  6 ປ. y\"  2y'  3  4sin 2x ຜ. 2y\"  3y'  y  x2  3sin x ຝ. y\"  y  3x2  4sin x ພ. y\"  2y'  y  ex cos x ຟ. y\"  y'  y  sin2 x ມ. y\"  2y'  3y  x2 10sin x, y 0  2, y'0  4 ຢ. y\"  4y  x2  3ex , y 0  0, y' 0  2 SONEPHAN LORVANNA 184

ບດົ ທີ 11 ເລຂາວເິ ຄາະນກາາຫາາວ I. ຜກົ ຄູກມທີ ດິ ແລະ ຜກົ ຄູກປະສມົ ຂອຫສາມເວາັ ເຕີ 1. ຕວົ ປະສາກຜກົ ຄູກມທີ ດິ ຂອຫສອຫເວາັ ເຕນີ ກາາຫາາວ ນກາາຫາາວ Oxyz , ນາສ້ າມເວາັ ເຕີ e1, e2, e3 ແມ່ ກສາມເວາັ ເຕພີ ກ້ ຖາກາວົ ໜ່ ວຍຂອຫລະບບົ ແລະ ນກສອຫເວາັ ເຕຕີ າມນຈ a  a1, a2, a3 ແລະ b  b1, b2, b3. ພວາເຮາົ ຈະໄປຊອາາາຕວົ ປະສາກຂອຫຜກົ ຄູກມທີ ດິ ຂອຫພວາມກັ ເຊ່ ຫິ ແມ່ ກ a  b . ຈາາຮູບຂຽກຂອຫເວາັ ເຕນີ ກໜ່ ຫຕາມພກ້ ຖາກາວົ ໜ່ ວຍ e1, e2, e3 ນກ າາຫາາວ; ເຮາົ ມ:ີ a  a1e1  a2e2  a3e3 ແລະ b  b1e1  b2e2  b3e3 ສະກກັ້ , ເມ່ ອກໍານຊຜ້ ກົ ຄູກມທີ ດິ ຂອຫ ສອຫເວາັ ເຕເີ ຮາົ ໄດ:້ a  b  a1b1 e1  e1   a1b2 e1  e2   a2b3 e2  e3   a2b1 e2  e1   a2b2 e2  e2   a3b1 e3  e1   a3b2 e3  e2   a3b3 e3  e3  ແມ່ ກຜກົ ຄູກມທີ ດິ ແຕ່ ນກກີ້ ພວາເຮາົ ຮູແ້ ລວ້ ວ່ າ:  e1  e1  e1  e1 sin e1, e1  e1 e1 sin 0  0  e2  e2  e2  e2 sin e2, e2  e2 e2 sin 0  0  e3  e3  e3  e3 sin e3, e3  e3 e3 sin 0  0 າ e1  e1  e2  e2  e3  e3 ແລະ ດາ້ ກອ່ ກ, ບກັ ດາເວາັ ເຕພີ ກ້ ຖາກ e1, e2, e3 ປະາອບເປກັ ຮູບທ່ ອກາ່ ຫົ ຕຫັ້ ສາາ. ດ່ ຫັ ກກັ້ , ອຫີ ຕາມກຍິ າມຜກົ ຄູກ  ມທີ ດິ ຂອຫສອຫເວາັ ເຕີ a  b  c າ c  a  b  a  b sin a,b ເຊ່ ຫິ ວ່ າ c  a ແລະ c  b ເຮາົ ຈະໄດ:້  e1  e2  e1  e2 sin e1, e2  e1 e2 sin 90  e3  e2  e3  e2  e3 sin e2, e3  e2 e3 sin 90  e1  e3  e1  e3  e1 sin e3, e1  e3 e1 sin 90  e2 ແລະ e1  e2  e3 ; e2  e3  e1 ; e3  e1  e2 ສະກກັ້ : a  b  a2b3  a3b2 e1  a3b1  a1b3 e2  a1b2  a2b1 e3 ເຊ່ ຫິ ແມ່ ກຮູບຂຽກຂອຫ a  b ພວາເຮາົ ຍຫັ ສຫັ ເາດເາກັ ອາີ ວ່ າ ບກັ ດາສໍາປະສດິ ຂອຫ e1, e2, e3 ລວ້ ກແຕ່ ມຮີ ູບຮ່ າຫທ່ ວົ ໄປແມ່ ກ AB  CD ເຊ່ ຫິ ນກວຊິ າພດຊະ ຄະກດິ ເພ່ ກິ ເອກີ້ : ຕວົ າາໍ ກດົ ຂກັ້ ສອຫ ແລະ ສກັ ຍາລາັ ດວ້ ຍເຄ່ ອຫໝາຍ A C ນກກ,ີ້ A, B,C, D ເອກີ້ ວ່ າອຫົ D B ປະາອບຂອຫຕວົ າາໍ ກດົ . ດ່ ຫັ ກກັ້ ຜກົ ຄກູ a  b ສາມາດຂຽກເປກັ : a  b  a2 a3 e1  a3 a1 e2  a1 a2 e3 ແລະ ເມ່ ອຂຽກເອາົ ພຽຫຕວົ ປະສາກ ab າຈໍ ະແມ່ ກ b2 b3 b3 b1 b1 b2 a  b   a2 a3 , a3 a1 , a1 a2  ຄແກວກກັ້ , ຈາາກຍິ າມຜກົ ຄກູ ມທີ ດິ ຂອຫສອຫເວາັ ເຕພີ ວາເຮາົ ມ:ີ  b2 b3 b3 b1 b1 b2    SONEPHAN LORVANNA 185

 າາັ ເາກເກ່ ອຫ: ຖາ້   a,b ແມ່ ກມູມລະາວ່ າຫສອຫເວາັ ເຕີ a  a1, a2, a3 ແລະ b  b1, b2, b3 ເຮາົ  ຈະໄດ:້ sin  sin a,b  a2 a3 2  a3 a1 2  a 1 a2 b2 b3 b3 b2 b1 b2 a12  a22  a32  b12  b22  b32 2. ເກອ້ ທ່ ຂີ ອຫຮູບສ່ ແີ ຈຂາ້ ຫຂະໜາກ ແລະ ເກອ້ ທ່ ຂີ ອຫຮູບສາມແຈນກ 3 ຖາ້ ຮູບສາມແຈໜ່ ຫມສີ ອຫຂາ້ ຫຖາສາ້ ຫຂກ້ ຈາາສອຫເວາັ ເຕີ a ແລະ b ນກາາຫາາວ, ແມ່ ກມກັ ຈະມີ ເກອ້ ທ່ ເີ ທ່ າົ າບັ ເຄ່ ຫິ ໜ່ ຫຜກົ ຄກູ ມທີ ດິ ຂອຫສອຫເວາັ ເຕດີ ່ ຫັ າ່ າວ;າ S 1 a b 2 ຖາ້ ວ່ າຮູບສ່ ແີ ຈຂາ້ ຫຂະໜາກໜ່ ຫມສີ ອຫຂາ້ ຫຖາສາ້ ຫຂກ້ ຈາາສອຫເວາັ ເຕີ a ແລະ b ນກາາຫາາວ, ແມ່ ກ ເກອ້ ທ່ ຂີ ອຫມກັ ເທ່ າົ າບັ ຜກົ ຄູກມທີ ດິ ຂອຫສອຫເວາັ ເຕດີ ່ ຫັ າ່ າວ າ S  a  b . ຕວົ ຢ່ າຫ1: ນາສ້ າມເມດັ A1; 1; 2, B 1;0;3, C 0; 2;1 ຈ່ ຫົ ຊອາາາເກອ້ ທ່ ີ SABC ວທິ ່ ແີ າ:້ ເຮາົ ຮູວ້ ່ າ ເກອ້ ທ່ ຂີ ອຫຮູບສາມແຈ ABC ແມ່ ກເທ່ າົ າບັ ເຄ່ ຫິ ໜ່ ຫຂອຫເກອ້ ທ່ ຮີ ູບສ່ ແີ ຈຂາ້ ຫຂະໜາກທ່ ີ ປະາອບຂກ້ ຈາາສອຫເວາັ ເຕີ AB ແລະ AC . ດ່ ຫັ ກກັ້ , ຈາາເຫ່ອກໄຂຂອຫບດົ ເລາທ່ ນີ າມ້ າເຮາົ ມ:ີ AB  11;0 11;3 2  2;1;1 AC  0 1;2  1;1 2  1;3;1 ສະກັກ້ ເຮົາໄດ:້ S ABC  1 AB  AC  1 1 12 1 2 2 2 12 50  5 2 າົວໜ່ ອຍ 2 2 3    22 1 1 1 1 3 ເກອ້ ທ່ .ີ ຕວົ ຢ່ າຫ2: ນາສ້ ອຫເວາັ ເຕີ a  2e2  e3 ແລະ b  e1  2e3. ຈ່ ຫົ ຊອາາາເກອ້ ທ່ ຂີ ອຫຮູບສ່ ແີ ຈຂາ້ ຫຂະທ່ ສີ າ້ ຫຂກ້ ຈາາສອຫເວາັ ເຕດີ ່ ຫັ າ່ າວ ແລະ ລວຫສູຫທຽບາບັ ພກ້ a ຂອຫມກັ . ວທິ ່ ແີ າ:້ ວາຫນາເ້ ກອ້ ທ່ ຂີ ອຫຮູບສ່ ແີ ຈຂາ້ ຫຂະໜາກທ່ ຕີ ອ້ ຫາາກຊອາາາແມ່ ກ: S ເຮາົ ມ:ີ ອຫິ ຕາມ: S  ab ແລະ ພວາເຮາົ ຍຫັ ຮູອ້ າີ ວ່ າ: a  b   2 11 00 2   4,1, 2  0 , , 0    22 11 S  a  b  42 12  22  21 ສະກກັ້ , ເກອ້ ທ່ ຂີ ອຫຮູບສ່ ແີ ຈຂາ້ ຫຂະໜາກ S  21 (າວົ ໜ່ ວຍເກອ້ ທ່ )ີ ວາຫນາລ້ ວຫສູຫຂອຫຮູບສ່ ແີ ຈຂາ້ ຫຂະໜາກທຽບາບັ ຂາ້ ຫພກ້ a ແມ່ ກ ha ເຮາົ ມ:ີ S  ha  a ha  S  21  21  21  4, 2 a 02  22 12 5 5 ດ່ ຫັ ກກັ້ , ລວຫສູຫຂອຫຮູບສ່ ແີ ຈຂາ້ ຫຂະໜາກທຽບາບັ ພກ້ a ແມ່ ກ ha  4, 2 (າວົ ໜ່ ວຍຄວາມຍາວ) ຕວົ ຢ່ າຫ3: ຮູບ ABCD ແມ່ ກຮູບສ່ ແີ ຈຂາ້ ຫຂະໜາກທ່ ມີ ຈີ ອມແມ່ ກ A1,3, 2, B2,0, 4,C 1, 2,5 ຈ່ ຫົ ຊອາາາ: າ. ຕວົ ປະສາກຂອຫເມດັ D SONEPHAN LORVANNA 186

ຂ. ເກອ້ ທ່ ຂີ ອຫ ABCD ບດົ ແາ:້ າ. ນາ້ D x; y; z ແລະ ຈາາຄຸກລາັ ສະກະຂອຫຮູບສ່ ແີ ຈຂາ້ ຫຂະໜາກໄດ້ AB  DC ເຊ່ ຫິ ວ່ າ AB  3;3;2, DC  1 x;2  y;5  z 3  1 x x  4 AB  DC  3  2  y    y  1 2  5  z z  3  D 4;1;3 ຂ. ເກອ້ ທ່ ຂີ ອຫ ABCD ບດົ ແາ:້ ເຮາົ ມີ AB  3;3;2, AD  3;2;1 ແທກສູດເຮາົ ໄດ:້ SABCD  AB  AD  3 22 2 32 3 3 2 307 າວົ ໜ່ ວຍເປກັ ເກອ້ ທ່ ີ 2   1 1  3 3 2 ດ່ ຫັ ກກັ້ , ເກອ້ ທ່ ຮີ ູບສ່ ແີ ຈຂາ້ ຫຂະໜາກ ABCD ເທົ່ າກັ ບ 307 (າວົ ໜ່ ວຍເປກັ ເກອ້ ທ່ )ີ 3. ຕວົ ປະສາກຜກົ ຄກູ ປະສມົ ສາມເວາັ ເຕີ ນກາາຫາາວ oxyz , ນາສ້ າມເວາັ ເຕເີ ອາະລາດລເີ ກແອ a, b, c ຕາມນຈ. ຖາ້ ພວາເຮາົ ເອາົ ຜກົ ຄູກມີ ທດິ a  b ຂອຫສອຫເວາັ ເຕີ a ແລະ b ຜກົ ຄູກບ່ ໍມທີ ດິ ນາເ້ ວາັ ເຕີ c . ສໍາກວກ (a  b)  c ທ່ ໄີ ດມ້ າກີ້ ເອກີ້ ວ່ າ ຜກົ ຄກູ ປະສມົ ຂອຫສາມເວາັ ເຕີ ແລະ ສກັ ຍາລາັ ດວ້ ຍ D(a,b, c)  (a  b) c . ຈາາເມດັ O ຕາມນຈ, ເຮາົ ວາຫ OA  a,OB  b ແລະ OC  c ດ່ ຫັ ຮູບລ່ ຸມກ:ີ້ ເອີກ້ OE ແມ່ ກເວັາເຕີາົວໜ່ ວຍຕັຫ້ ສາາາັບທັຫສອຫເວັາເຕີ OA ແລະ OB ເຮັດແກວນດນາ້ (OA,OB,OE ປະາອບເປັກຮູບສາມລ່ ຽມາຫົ ຕຫັ້ ສາາກໍາາກັ . ຄແກວກກັ້ ດ່ ຫັ ທ່ ພີ ວາເຮາົ ຮູແ້ ລວ້ ວ່ າຜກົ ຄູກມທີ ດິ ຂອຫສອຫເວາັ ເຕີ OA  AB , ຕຫັ້ ສາາາບັ OA ແລະ OB ທຫັ ມຂີ ະໜາກເທ່ າົ າບັ ເກອ້ ທ່ ີ S ຂອຫຮູບສ່ ແີ ຈຂາ້ ຫຂະ SONEPHAN LORVANNA 187

ໜາກເຊ່ ຫິ ມສີ ອຫຂາ້ ຫແມ່ ກ OA ແລະ OB ; າ OA  OB  S OE . ເຮາົ ສາ້ ຫຮູບາບັ ມຈີ ອມ O ແລະ ສາມຂາ້ ຫ ແມ່ ກ OA,OB ແລະ OC , ບໍລມິ າດ V ຂອຫຮູບາບັ ກເີ້ ທ່ າົ າບັ V  S.h ຊ່ ຫນກກີ້ h ແມ່ ກເຫາົ ສາຍສາາຂອຫເວາັ ເຕີ OC ນກເສກັ້ ຊ່ OE ຊ່ ຫາໍແມ່ ກລວຫສູຫຂອຫຮູບາບັ ທ່ ມີ ສີ າມຂາ້ ຫແມ່ ກສາມເວາັ ເຕີ OA  a,OB  b ແລະ OC  c .  ສະາຸບ: ຜກົ ຄູກປະສມົ D a,b, c ຂອຫສາມເວາັ ເຕີ a,b,c ເອາະລາດເລກແີ ອນກາາຫາາວ ມຄີ ່ າຂາດ ຕວົ ເທ່ າົ າບັ ບ່ ໍລມິ າດຂອຫຮູບາບັ ທ່ ສີ າ້ ຫຂກ້ ຈາາສາມເວາັ ເຕີ OA  a , OB  b ແລະ OC  c , ຄ່ າດ່ ຫັ າ່ າວເປກັ ບວາສາມເວາັ ເຕີ a,b, c ປະາອບເປກັ ຮູບສາມລ່ ຽມປກີ້ . ພິສູດ: ນກາາຫາາວ oxyz ,ນາສ້ າມເວັາເຕີເອາະລາດລີເກແອ a  a1, a2, a3; b  b1,b2,b3 ແລະ  c  c1,c2,c3 ເຮາົ ໄປຊອາາາຄ່ າຂອຫ D  a,b, c . ຈາາບດົ ຮຽກຂໍ້ 1 ພວາເຮາົ ມຕີ ວົ ປະສາກຂອຫ a  b ແມ່ ກ: ab   a2 a3 , a3 a1 , a1 a2  ແລະ ຈາາາາັ ເາກຜກົ ຄູກບ່ ໍມທີ ດິ ຂອຫສອຫເວາັ ເຕຕີ າມຕວົ  b2 b3 a3 a1 b! b2       ປະສາກນກາາຫາາວ ເຮາົ ມ:ີ   c  a2 a3 a3 a1 a1 a2 ນກວຊິ າ D a, b , c a b b2 b3 c1  b3 b1 c2  b1 b2 c3 ພດຊະຄະກດິ ກກັ້ ສໍາກວກ a2 a3 c1  a3 a1 c2  a1 a2 c3 ເພ່ ກິ ເອກີ້ ວ່ າ ຕວົ າາໍ ກດົ ຂກັ້ ສາມ ແລະ ຍກັ ຍາ b2 b3 b3 b1 b1 b2 a1 a2 a3 a1 a2 a3  ລາັ ດວ້ ຍ b1 b2 b3 , ສະກກັ້ D  a,b, c  b2 b2 b2 ແລະ ຈາາກພີ້ ວາເຮາົ ມ:ີ c1 c2 c3 c3 c3 c3 າັາເາກເກ່ ອຫ: ເຫ່ ອກໄຂຈໍາເປັກ ແລະ ພຽຫພໍເພ່ ອນາສ້ າມເວັາເຕີ a  a1, a2, a3; b  b1,b2,b3 ແລະ a1 a2 a3 c  c1, c2, c3 ນກາາຫາາວຂກ້ າບັ ໜາ້ ພຽຫດຽວແມ່ ກຜກົ ຄູກປະສມົ ຂອຫພວາມກັ ຕອ້ ຫເທ່ າົ ສູກ b1 b2 b3  0 . c1 c2 c3 4. ຄຸກລາັ ສະກະຂອຫຜກົ ຄູກປະສມົ ສາມເວາັ ເຕນີ ກາາຫາາວ  າ. ເຫ່ອກໄຂຈາໍ ເປກັ ແລະ ພຽຫພໍເພ່ ອນາຜ້ ກົ ຄກູ ປະສມົ D  a,b, c  0 ແມ່ ກສາມເວາັ ເຕີ a, b, c ຕອ້ ຫຢ່ ູໜາ້ ພຽຫດຽວາກັ . ຂ. ຜົກຄູກຈະປ່ ຽກເຄ່ ອຫໝາຍເມ່ ອເຮົາສັບປ່ ຽກຕໍາແໜ່ ຫຂອຫສອຫນກສາມເວັາເຕີ a, b, c ໝາຍຄວາມວ່ າ        D a,b,c  D b,a,c  D a,c,b  D c, b, c .  ຄ. ຖາ້ ຄູກຈາໍ ກວກຈຫິ ໜ່ ຫນກສາມເວາັ ເຕຂີ ອຫຜກົ ຄຸກປະສມົ D  a,b, c ແມ່ ກເທ່ າົ າບັ ຄູກຈາໍ ກວກຈຫິ ດ່ ຫັ າ່ າວ າບັ ຜກົ ຄກູ ປະສມົ . ໝາຍຄວາມວ່ າ:        D a,b,c  D a,b,c  D a,b,c  D a,b,c . ຫ. ຜກົ ຄກູ ປະສມົ ແຈາາດົ ນາາ້ ດົ ບວາ:      D a1  a2 bc  D a1  b  c  D a2,b,c        D a b1  b2 c  D a  b1  c  D a,b2,c SONEPHAN LORVANNA 188

     D ab c1  c2   D a  b  c1  D a,b,c2 5. ບລໍ ມິ າດຂອຫຮູບາບັ ຕວົ ຢ່ າຫ: ນາສ້ ່ ເີ ມດັ A0;1; 2 ; B 3; 2; 2 ; C 4; 2;6 ; D3;5; 2 . ຈ່ ຫົ ຊອາາາບລໍ ມິ າດຂອຫຮູບາອ້ ກສ່ ີ ໜາ້ ABCD . ຮູ ວ້ ່ າບໍລິມາດດ່ ັຫາ່ າວເທ່ ົາາັບ 1 ຂອຫບໍລິມາດຂອຫຮູ ບາັບທ່ ີສາ້ ຫຂກ້ ຈາາສາມເວັາເຕີ 6 AB, AC, AD . ວທິ ່ ແີ າ:້ ຈາາເຫອກໄຂຂອຫບດົ ເລາເຮາົ ມ:ີ AB 3; 3;0 ; AC 4;1; 4 ; AD3; 4;0 3 30 AB, AC, AD   1 4 1 4  1 84  14 66  ອຫິ ຕາມ: 340 ດ່ ຫັ ກກັ້ , ບໍລມິ າດຂອຫຮູບ ABCD 14 (າວົ ໜ່ ວຍບ່ ລໍ ມິ າດ). SONEPHAN LORVANNA 189

ບດົ ເຝາິ າດັ 1. ຄດິ ໄລ່ ເກອ້ ທ່ ຂີ ອຫຮູບສາມແຈ ABC ທ່ ນີ າດ້ ວ້ ຍ: າ. A2;1;1, B4,3,0 ແລະ A1;3; 2 ຂ. A0;0;0, B1, 2,3 ແລະ A1;2;6 ຄ. A1;2;3, B2, 1,0 ແລະ A1;10;6 2. ຮູບ ABCD ແມ່ ກຮູບສ່ ແີ ຈຂາ້ ຫຂະໜາກທ່ ມີ ຈີ ອມແມ່ ກ A1;3; 2 , A2;0; 4 ແລະ A1; 2;5 ຈ່ ຫົ ຊອາາາ: າ. ຕວົ ປະສາກຂອຫເມດັ D ຂ. ເກອ້ ທ່ ຂີ ອຫ ABCD . 3. A1;1;2, B2,0,1 ແລະ C k; 2; 1 ແມ່ ກສາມເມດັ ນກາາຫາາວ. ຈ່ ຫົ ຊອາາາຄ່ າຂອຫ k ເພ່ ອນາ້ ເກອ້ ທ່ ຂີ ອຫຮູບສາມແຈ ABC ເທ່ າົ າບັ 88 າວົ ໜ່ ວຍເກອ້ ທ່ .ີ 4. A, B,C ແມ່ ກສາມເມດັ ປາຍຂອຫສາມເວາັ ເຕີ a, b, c ຕາມລໍາລບັ . ຈ່ ຫົ ຊອາາາສູດເພ່ ອຄດິ ໄລ່ ເກອ້ ທ່ ທີ ຫັ ໝດົ ຂອຫຮູບາອ້ ກສ່ ໜີ າ້ OABC . 5. ຈ່ ຫົ ຊອາາາເກອ້ ທ່ ຂີ ອຫຮູບສາມແຈ ABC ເມ່ ອຮູ:້ A1;2;3, B2,1, 4 ແລະ C 0;5; 1 ແລະ ຄດິ ໄລ່ ເກອ້ ທ່ ຂີ ອຫຮູບສ່ ແີ ຈຂາ້ ຫຂະໜາກທ່ ມີ ສີ ອຫຂາ້ ຫແມ່ ກ AB, AC . SONEPHAN LORVANNA 190

ເອກະສານອາ້ ງອງີ 1. ປມ້ ແບບຮຽນຄະນດິ ສາດ ຊນັ້ ມດັ ທະຍມົ ສກຶ ສາ ປີທີ 7 ກະຊວງສກຶ ສາທກິ ານ ແລະ ກລິ າ ສະຖາບນັ ຄນົ້ ຄວ້ າ ວທິ ະຍາສາດການສກຶ ສາ ປີ 2016. 2. ປມ້ ແບບຮຽນຄະນດິ ສາດ ຊນັ້ ມດັ ທະຍມົ ສກຶ ສາ ປີທີ 6 ກະຊວງສກຶ ສາທກິ ານ ແລະ ກລິ າ ສະຖາບນັ ຄນົ້ ຄວ້ າ ວທິ ະຍາສາດການສກຶ ສາ ປີ 2015. 3. ປມ້ ແບບຮຽນຄະນດິ ສາດ ຊນັ້ ມດັ ທະຍມົ ສກຶ ສາ ປີທີ 5 ກະຊວງສກຶ ສາທກິ ານ ແລະ ກລິ າ ສະຖາບນັ ຄນົ້ ຄວ້ າ ວທິ ະຍາສາດການສກຶ ສາ ປີ 2014.

ລະບບົ -ພາກຮຽນ ໂຄງຮ່ າງຫກັຼ ສູດລາຍວຊິ າ ຈານວນຊວົ ໂມງ ຊ່ ວຊິ າ : ຄະນດິ ສາດມດັຼ ທະຍມົ 2 ຈານວນໜ່ ວຍກດິ ລະດບັຼ ຄາດໝາຍ ຫກັຼ ສູດສາ້ ງຄູມດັຼ ທະຍມົ ລະບບົ 12+4 ເນອ້ ໃນຫຍ້ ລະຫດັຼ ວຊິ າ: 0901703 ລະບບົ 4 ປີ ພາກຮຽນ 1 ປີ 4 ການດາເນນີ ການ 64 ຊ່ ວົ ໂມງຝກຶ ຫດຼັ , ແລະ 48 ຊ່ ວົ ໂມງວຽກມອບໝາຍ ສອນ 3(0-4-3) ອາທດິ ທີ 1 ເມ່ ອຮຽນຈບົ ວຊິ ານກຼັ ສກຶ ສາຈະສາມາດ: ອາທດິ ທີ 2 ອາທດິ ທີ 3 1. ອະທບິ າຍ ແລະ ກາໄດເ້ ນອ້ ໃນຫລກັຼ ສູດຄະນດິ ສາດຊນັຼ້ ມ.7 ອາທດິ ທີ 4 2. ແກບ້ ດົ ເລກ-ບດົ ຝກຶ ຫດັຼ ໃນປມຶ້ ແບບຮຽນຄະນດິ ສາດຊນຼັ້ ມ.7 ໄດຢ້ ່ າງຫລາກ ອາທດິ ທີ 5 ອາທດິ ທີ 6 ຫລາຍວທິ ີ ອາທດິ ທີ 7 3. ສາມາດເຊ່ ອມໂຍງບດົ ຮຽນທ່ ບີ ນັຼ ຈໃຸ ນຫລກຼັ ສູດມ.7 ເຂາົ້ ໃນສະຖານະການທ່ ີ ອາທດິ ທີ 8 ອາທດິ ທີ 9 ຫລາກຫລາຍໃນຊວີ ດິ ຕວົ ຈງິ ອາທດິ ທີ 10 ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອຂນຼັ້ 1, ອນຼັ ດບັຼ ຈານວນ, ລະບບົ ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອ, ການ ຜນຼັ ປ່ ຽນລເີ ນແອ, ອາທດິ ທີ 11 ຈານວນສນົ , ສະຖຕິ ກິ ະຕວງ, ຕາລາອແີ ປກຼັ ໂບ ລກິ , ຕາລາປນີ້ ຄນ, ຊຣີ ຂີ ອງອນຼັ ດບຼັ , ສມົ ອາທດິ ທີ 12 ອາທດິ ທີ 13 ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ , ເລຂາ ວເິ ຄາະໃນກາງຫາວ ອາທດິ ທີ 14 ການດາເນນີ ການຮຽນການສອນແມ່ ນມລີ ກຼັ ສະນະທວນຄນ ແລະ ນາພາແກບ້ ດົ ຝກຶ ຫດຼັ ຈານວນໜ່ ງຶ ໃນຫອ້ ງຮຽນ ແລະ ມວີ ຽກມອບ ໝາຍເພ່ ອຜນັຼ ຂະຫຍາຍຄວາມຮູອ້ ່ ນໆດວ້ ຍ ຕນົ ເອງ. ທວນຄນ ແລະ ນາພາແກບ້ ດົ ຝກຶ ຫດຼັ ກ່ ຽວກບັຼ ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອຂນຼັ້ 1 ທວນຄນ ແລະ ນາພາແກບ້ ດົ ຝກຶ ຫດັຼ ກ່ ຽວກບັຼ ອນຼັ ດບັຼ ຈານວນ ທວນຄນ ແລະ ນາພາແກບ້ ດົ ຝກຶ ຫດຼັ ກ່ ຽວກບຼັ ລະບບົ ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອ ທວນຄນ ແລະ ນາພາແກບ້ ດົ ຝກຶ ຫດັຼ ກ່ ຽວກບັຼ ການຜນັຼ ປ່ ຽນລເີ ນແອ ທວນຄນ ແລະ ນາພາແກບ້ ດົ ຝກຶ ຫດັຼ ກ່ ຽວກບຼັ ຈານວນສນົ ທວນຄນ ແລະ ນາພາແກບ້ ດົ ຝກຶ ຫດັຼ ກ່ ຽວກບັຼ ສະຖຕິ ກິ ະຕວງ ທວນຄນ ແລະ ນາພາແກບ້ ດົ ຝກຶ ຫດັຼ ກ່ ຽວກບຼັ ຕາລາອແີ ປກຼັ ໂບນລກິ ທວນຄນ ແລະ ນາພາແກບ້ ດົ ຝກຶ ຫດັຼ ກ່ ຽວກບັຼ ຕາລາປນີ້ ທວນຄນ ແລະ ນາພາແກບ້ ດົ ຝກຶ ຫດັຼ ກ່ ຽວກບຼັ ຕາລາປນີ້ (ຕ່ ) ທວນຄນ ແລະ ນາພາແກບ້ ດົ ຝກຶ ຫດຼັ ກ່ ຽວກບຼັ ຕາລາໄຕມຸມມຕິ ິ ທວນຄນ ແລະ ນາພາແກບ້ ດົ ຝກຶ ຫດັຼ ກ່ ຽວກບັຼ ຕາລາໄຕມຸມມຕິ ິ (ຕ່ ) ທວນຄນ ແລະ ນາພາແກບ້ ດົ ຝກຶ ຫດຼັ ກ່ ຽວກບຼັ ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ທວນຄນ ແລະ ນາພາແກບ້ ດົ ຝກຶ ຫດັຼ ກ່ ຽວກບັຼ ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ (ຕ່ ) ທວນຄນ ແລະ ນາພາແກບ້ ດົ ຝກຶ ຫດຼັ ກ່ ຽວກບັຼ ເລຂາວເິ ຄາະໃນກາງ ຫາວ

ອາທດິ ທີ 15 ທວນຄນ ແລະ ນາພາແກບ້ ດົ ຝກຶ ຫດຼັ ກ່ ຽວກບຼັ ເລຂາວເິ ຄາະໃນກາງ ຫາວ (ຕ່ ) ອາທດິ ທີ 16 ການຕລີ າຄາ ທວນຄນ ແລະ ນາພາແກບ້ ດົ ຝກຶ ຫດຼັ ກ່ ຽວກບັຼ ເລຂາວເິ ຄາະໃນກາງ ຫາວ (ຕ່ ) ເອກະສານອາ້ ງອງີ ຂນຶ້ ຫອ້ ງຮຽນ 10% ຂຽນໂດຍ ນກຼັ ສກຶ ສາມສີ ່ ວນຮ່ ວມ/ວຽກມອບໝາຍ 30% ເສງັຼ ກາງພາກ 20% ເສງຼັ ຈບົ ໜ່ ວຍກດິ 40% ປມຶ້ ແບບຮຽນຄະນດິ ສາດ ມ.7 ຕາວນັຼ ຂຸນບໄລ ສງຼັ ກດຼັ ພາກສາ້ ງຄວູ ທິ ະຍາສາດ ທາມະຊາດ ຄະນະສກຶ ສາສາດ ມະຫາວທິ ະຍາໄລແຫ່ ງຊາດ 54099733