ວິຊາ ມໍປາຍ2

ສາທາລະນະລດັ ປະຊາທປິ ະໄຕ ປະຊາຊນົ ລາວ ສນັ ຕພິ າບ ເອກະລາດ ປະຊາທປິ ະໄຕ ເອກະພາບ ວດັ ທະນະຖາວອນ  ກະຊວງສກຶ ສາທກິ ານ ແລະ ກລິ າ ກມົ ສາ້ ງຄູ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ ເອກະສານປະກອບການສອນ ວຊິ າ: ຄະນດິ ສາດມດັ ທະຍມົ 2 ສາຍ: ຄຄູ ະນດິ ສາດ ລະບບົ 12+4 ປີ 4 ປະລນິ ຍາຕີ x  1  dx 1 x2 1 x2  arctan  arctan x  c ແລະ ຮຽບຮຽງ ແລະ ຈັດພມິ ໂດຍ: ປຕ ສອນພນັ ລວນັ ນາ ສກົ ຮຽນ 2019 - 2020

ເອກະສານປະກອບການສອນ ວຊິ າ: ຄະນດິ ສາດມດັ ທະຍມົ 2 ສາຍ ຄຄູ ະນດິ ສາດ ລະບບົ 12+4 ປີ 4 ຮຽບຮຽງ ແລະ ຈດັ ພມິ ໂດຍ: ປຕ ສອນພນັ ລວນັ ນາ ກວດແກໂ້ ດຍ: ປທ ຈນັ ທອນ ແກວ້ ມະນໄີ ຊ ປທ ເມງິ ຄາ ແກວ້ ພູວງົ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ສກົ ຮຽນ 2019 - 2020

ຄານາ ເອກະສານປະກອບການສອນວຊິ າຄະນດິ ສາດມດັ ທະຍມົ 2 ເຫຼມັ້ ນີ້ ມຈີ ດຸ ປະສງົ ເພ່ື ອຮບັ ໃຊກ້ ານຮຽນ-ການ ສອນ ໃນສາຍຄູຄະນດິ ສາດລະບບົ ປະລນິ ຍາຕີ 12+4 ປີ4 ເພື່ ອເປນັ ການປັບປຸ ງຄຸນນະພາບ ແລະ ປະສດິ ທພິ າບຂອງ ການສາ້ ງຄໃູ ຫດ້ ຂີ ນ້ ເທ່ື ອລະກາ້ ວ. ໃນເອກະສານປະກອບການສອນຫຼກັ ສູດເຫຼມັ້ ນີ້ ຜູຮ້ ຽນຈະໄດຮ້ ຽນຮູ,້ ມຄີ ວາມເຂາົ້ ໃຈ, ເກດີ ທກັ ສະຫຼາຍຢ່ື າງ ເປນັ ພນ້ ຖານອນັ ສາຄນັ ໃຫແ້ ກື່ ນກັ ຮຽນຄູ ແລະ ນາໃຊເ້ ຂາົ້ ໃນການດາລງົ ຊວີ ດິ ເຊື່ ງິ ປມ້ ເຫມຼັ້ ນປີ້ ະກອບມີ 11 ບດົ . ເມ່ື ອເຫນັ ຄວາມສາຄນັ ແລະ ຄວາມຮຽກຮອ້ ງຕອ້ ງການຄດ່ື ງັ ທື່ ກີ ື່ າວມາຂາ້ ງເທງິ ນນັ້ ຂາ້ ພະເຈາົ້ ຈ່ື ງຶ ໄດມ້ ີ ການຮຽບຮຽງ ແລະ ຈດັ ພມີ ເອກະສານປະກອບການສອນນຂີ້ ນ້ ມາເພ່ື ອຮບັ ໃຊເ້ ຂາົ້ ໃນຂະບວນການຮຽນ - ການສອນ ໃນສາຍຄດູ ື່ ງັ ກ່ື າວ. ເຖງິ ຢ່ື າງໃດກຕາມການການຮຽບຮຽງ ແລະ ການຈດັ ພມີ ເອກະສານປະກອນການສອນໃນຄງັ້ ນອີ້ າດບື່ ປາສະຈາກ ແລະ ຫຼກີ ລຽ້ ງບ່ືໄດຂ້ ຂ້ າດຕກົ ບກົ ພ່ື ອງທາງດາ້ ນເນອ້ ໃນ, ຫຼກັ ໄວຍາກອນ, ການພມີ ແລະ ການຈດັ ວາງຮູບພາບອ່ື ນໆ. ຫວງັ ຢ່ື າງຍື່ ງິ ວ່ື າ ບນັ ດາຜູອ້ ່ື ານ ແລະ ຊມົ ໃຊປ້ ມ້ ເຫຼມີ້ ນເີ້ ມ່ື ອພບົ ເຫນັ ຂຂ້ າດຕກົ ບກົ ພ່ື ອງບ່ື ສອດຄ່ື ອງຂໃຫທ້ ື່ ານ ສ່ື ງົ ຄາຕານຕິ ຊິ ມົ ມາຫາຜູຮ້ ຽງຮຽງ ຂາ້ ພະເຈາົ້ ຈະຖວື່ າທຸກຄາຄດິ ເຫນັ ຂອງທື່ ານເປນັ ຂມ້ ູນທື່ ມີ ຄີ ຸນຄ່ື າ ແລະ ເປນັ ການຊື່ ວຍ ປບັ ປ່ື ຸງຄຸນນະພາບການສກຶ ສາໃຫສ້ ູງຂນຶ້ . ສາລະບານ

ບດົ ທີ 1 ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອ.......................................................................................................1 ບດົ ທ2ີ I. ການຫານຂາດ....................................................................................................1 ບດົ ທ3ີ II. ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອດໂີ ອຟງັ ທາຍ....................................................................................1 ບດົ ທີ 4 ອນັ ດບັ ຈານວນ........................................................................................................9 ບດົ ທີ 5 I. ນຍິ າມຂອງອນັ ດບັ ຈານວນ......................................................................................9 ບດົ ທີ 6 II. ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ ແລະ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ູນ...................................................................12 ບດົ ທີ 7 III. ຂອບເຂດ ແລະ ການຈອ້ ມຂອງອນັ ດບັ .....................................................................25 ບດົ ທີ 8 IV. ການນາໃຊອ້ ນັ ດບັ ຈານວນ...................................................................................27 ບດົ ທີ 9 ລະບບົ ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອ..............................................................................................36 ບດົ ທີ 10 I. ມາຕຣດິ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະຂອງມາຕຣດິ ...................................................................36 II. ເດແຕກມນີ ງັ ແລະ ມາຕຣດິ ປນີ້ ...............................................................................50 III. ລະບບົ ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອ.........................................................................................59 ການຜນັ ປື່ ຽນລເີ ນແອ...............................................................................................73 I. ການຜນັ ປ່ື ຽນລເີ ນແອ............................................................................................73 II. ການວາງແຜນລເີ ນແອ………………………………….………………………………83 ຈານວນສນົ ..........................................................................................................90 I. ຄວາມຮູທ້ ື່ ວົ ໄປກື່ ຽວກບັ ຈານວນສນົ ...........................................................................90 II. ຮູບຮ່ື າງໄຕມູມຂອງຈານວນສນົ ...............................................................................97 ສະຖຕິ .ິ ..............................................................................................................108 I. ການປະເມນີ ຄ່ື າ.................................................................................................109 II. ການທດົ ສອບສມົ ມຸດຖານທາງສະຖຕິ .ິ .....................................................................113 III. ການວເິ ຄາະຖດົ ຖອຍ ແລະ ສະຫະການພວົ ພນັ ..........................................................119 ຕາລາອແີ ປກໂບລກິ ................................................................................................129 I. ຄຸນລກັ ສະນະ ແລະ ເສນັ້ ສະແດງຂອງຕາລາອແີ ປກໂບລກິ ................................................129 II. ຂອບເຂດ ແລະ ຜນົ ຕາລາຂອງຕາລາອແີ ປກໂບລກິ ........................................................132 III. ສງັ ຄະນດິ ຂອງຕາລາອແີ ປກໂບລກິ ......................................................................... 134 ຕາລາປນີ້ I. ນຍິ າມ, ຄຸນລກັ ສະນະຂອງຕາລາປນີ້ ແລະ ຕາລາປນີ້ ໄຕມູມມຕິ .ິ ........................................138 II. ຕາລາປນີ້ ຂອງຕາລາອແີ ປກໂບລກິ ...........................................................................147 ຕາລາໄຕມມູ ........................................................................................................156 I. ຄຸນລກັ ສະນະ ແລະ ເສນັ້ ສະແດງຂອງຕາລາໄຕມູມ........................................................156 II. ຂອບເຂດ ແລະ ຜນົ ຕລາຂອງຕາລາໄຕມມູ ມຕິ .ິ ...........................................................162 ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ..............................................................................................169 I. ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນັ້ ໜ່ື ງຶ ..................................................................................170 II. ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເີ ນແອຂນັ້ ສອງທ່ື ມີ ສີ າປະສດິ ຄື່ ງົ ຄື່ າ…………………………………174

ບດົ ທ1ີ 1 ເລຂາຄະນດິ ວເິ ຄາະໃນກາງຫາວ.................................................................................185 I. ຜນົ ຄນູ ມທີ ດິ ແລະ ຜນົ ຄນູ ປະສມົ ຂອງສາມເວກັ ເຕ.ີ ..............................................185 - 190

ບດົ ທ1ີ ສມົ ຜນົ ລແີ ນແອ I. ການຫານຂາດ 1. ການຫານຂາດ ຈາໍ ນວນຖວ້ ນ b ຫານຂາດໃຫຈ້ າໍ ນວນຖວ້ ນ a , ຂຽນດວ້ ຍ a b ” ອ່ ານວ່ າ a ຫານຂາດ b ”. ຖາ້ ວ່ າ c  ເຊ່ ງຕອບສະໜອງໃຫ້b  a c . ເອາົ ໃຈໃສ່ : ພວກເຮາົ ຂຽນ a b ຖາ້ ວ່ າ a ຫານຂາດ b ແລະ ຂຽນ a b ຖາ້ ວ່ າ a ບ່ ຫໍ ານຂາດ b ຕວົ ຢ່ າງ 1. ກ. 24  6  4 ໝາຍຄວາມວ່ າ ” 24 ຫານຂາດໃຫ້ 6 ” ຫືຼ “ 6 ຫານຂາດ 24 ” ຫືຼ ຂຽນ “ 6 24 ” ສະຫຼຸບ: ຖາ້ ຂຽນ “ 6 24 ” ອ່ ານວ່ າ “ 6 ຫານຂາດ 24 ” ດ່ ງນນ້ ຂຽນ a b ອ່ ານວ່ າ a ຫານຂາດ b 2. ຄຼຸນລກສະນະຂອງການຫານຂາດ ຫກເກນ: ສໍາລບທຸຼກໆ a , b , c  , ພວກເຮາົ ມ:ີ 1) a b ແລະ a c ແມ່ ນມີ a b  c 2) a b ແມ່ ນມີ a b 3) a b ແລະ b c ແມ່ ນມີ a c 4) a b ແລະ b c ແມ່ ນມີ a bx  cy ສາໍ ລບ x, y  3. ອຸຼປະຄູນຮ່ ວມໃຫຍ່ ສຼຸດ ນຍາມ: ຕວົ ຫານຮ່ ວມໃຫຍ່ ສຼຸ ດຂອງສອງຈາໍ ນວນຖວ້ ນ a ແລະ b ( a , b ບ່ ໍເທ່ າົ ສູນພອ້ ມກນ) ແມ່ ນຈາໍ ນວນຖວ້ ນ d ທ່ ຫີ ານຂາດ a ແລະ ຫານຂາດ b . d ເອນີ້ ວ່ າອຼຸປະຄູນຮ່ ວມໃຫຍ່ ສຸຼດຂອງ a ແລະ b . ສນຍາລກດວ້ ຍ: gcd a,b  d ຫືຼ a,b  d ຕວົ ຢ່ າງ1: ຈ່ ງົ ຊອກອຼຸປະຄູນຮ່ ວມໃຫຍ່ ສຼຸດຂອງ 24 ແລະ 60 ແກ:້ ເຫນວ່ າ ອຸຼປະຄູນຮ່ ວມຂອງ 24 ແລະ 60 ແມ່ ນ 1, 2, 3, 4, 6, 12 ອຸຼປະຄນູ ຮ່ ວມໃຫຍ່ ສຸຼດຂອງ 24 ແລະ 60 ແມ່ ນ 12 ດ່ ງນນ້ gcd 24,60 12 ກດຈະກາໍ 1: ກ. gcd 8, 12  ? ຂ. gcd 16, 24  ? ຄ. gcd 30,50  ? 4. ການຫານແບບອານກຣໍ ດຊ໌ ຫກເກນ: ໃຫສ້ ອງຈາໍ ນວນຖວ້ ນຕາມໃຈ a ແລະ b  0 ຈະມຈີ າໍ ນວນຖວ້ ນ q ພຽງຕວົ ດຽວ (ເອນີ້ ວ່ າ ຜນົ ຫານ) ແລະ r (ເອນີ້ ວ່ າຕວົ ເສດ) ດວ້ ຍເງ່ອືຼ ນໄຂ 0  r  a ທ່ ສີ ອດຄ່ ອງໃຫ້ a  qb  r ເອນີ້ ວ່ າການຫານ ແບບອານກຣໍ ດຊ.໌ SONEPHAN LORVANNA 1

ຕວົ ຢ່ າງ1: ຈ່ ງົ ຊອກຫາ gcd 758, 242  ? 2 ຊອກ gcd 758,242  ? 758  3.242  32 242  7.32  18 32  1.18  14 18  1.14  4 14  3.4  2 4  2.2  0 ດ່ ງນນ້ gcd 758,242  2 ກດຈະກາໍ 1: ກ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ gcd 172, 20  ? ຂ. ຈ່ ງົ ຊອກຫາ gcd 578, 832  ? ຕວົ ຢ່ າງ2: ຊອກຈາໍ ນວນຖວ້ ນ x, y   ເພ່ ອຼື ໃຫ້ gcd a.b  ax  by ຂອງສານວນ gcd237,81  237x  81y ວທແີ ກ:້ gcd 237,81  237x  81y # ຊອກ gcd 237,81  ? 237  2.81  75 81  1.75  6 75  12.6  3 6  2.3  0 gcd 237,81  3 # ຊອກຫາ x, y ເພ່ ອືຼ ເຮດໃຫ້ gcd 237,81  237x  81y 3  75 12.6 3  75 1281  75 3  13.75 12.81 3  13237  2.81 12.81 3  13.237  38.81 ດ່ ງນນ້ : x  13, y  38 ຕວົ ຢ່ າງ3: ຊອກຈາໍ ນວນຖວ້ ນ x, y   ເພ່ ອຼື ໃຫ້ gcd a.b  ax  by ຂອງສານວນ gcd180, 252  180x  252y ວທແີ ກ:້ ຈາກ gcd180, 252  180x  252y ຊອກ gcd 180,252  ? 252  1180 72 180  272  36 72  236 0 ໄດ້ : gcd 180,252  36 SONEPHAN LORVANNA

ຊອກຄ່ າຂອງ x, y ເພ່ ອືຼ ເຮດໃຫ້ gcd 180,252 180 x 252y 3 36  180  2 72 36  180  2252 180 36  3180  2 252 ດ່ ງນນ້ , x  3 ແລະ y  2 ຕວົ ຢ່ າງ4: ຊອກຈາໍ ນວນຖວ້ ນ x, y   ເພ່ ອຼື ໃຫ້ gcd a.b  ax  by ຂອງສານວນ gcd143, 252 143x  252y ວທແີ ກ:້ ຊອກ gcd 143,252  ? 252  1143 109 143  1109  34 109  3 34  7 34  4 7  6 7  1 6 1 6  61 0 ໄດ:້ gcd 143,252 1 ຊອກຄ່ າຂອງ x, y ເພ່ ອືຼ ເຮດໃຫ້ gcd 143,252 143x  252y 1  7 1 6  7  34  4 7  5 7  34  5109  3 34  34  5109 16 34  5109 16143 109  21109 16143  21252 143 16143  37 143  21 252 ດ່ ງນນ້ , x  37 ແລະ y  21 ຕວົ ຢ່ າງ5: ຊອກຈາໍ ນວນຖວ້ ນ x, y   ເພ່ ອຼື ໃຫ້ gcd a.b  ax  by ຂອງສານວນ gcd306,657  306x  657y ວທແີ ກ:້ ຊອກ gcd 306,657  ? 657  2 306  45 306  6 45  36 45  1 36  9 36  4 9  0 ໄດ້ : gcd 306,657  9 SONEPHAN LORVANNA

ຊອກຫາຄ່ າຂອງ x, y ເມ່ ອຼື gcd 306,657  306x  657y 9  45 136  45  306  6 45 9  7  45  306  7 657  2306  306  15 306  7  657 ດ່ ງນນ້ , x  15 ແລະ y  7 ກດຈະກາໍ : ຈ່ ງົ ຊອກຫາຈາໍ ນວນຖວ້ ນ x, y  ເພ່ ອືຼ ໃຫ້ gcd a,b  ax  by ຂອງນາໍ ນວນລ່ ມນ:ີ້ ກ. gcd726, 275  726x  275y ຂ. gcd 98, 72  98x  72y II. ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອດໂີ ອພງທາຍ ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອດໂີ ອພງທາຍແມ່ ນສມົ ຜນົ ທ່ ມີ ຮີ ູບຮ່ າງ ax  by  c ເຊ່ ງການຊອກໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ນີ້ ແມ່ ນເຮາົ ຈະຊອກໃນກ່ ຸຼມຈາໍ ນວນຖວ້ ນ. ເງ່ອືຼ ນໄຂຈາໍ ເປນ ແລະ ພຽງພໍເພ່ ອຼື ໃຫສ້ ມົ ຜນົ ax  by  c ມໃີ ຈຜນົ ຖວ້ ນ ຫກເກນ 1: ໃຫ້ a,b, c ແມ່ ນສາມຈາໍ ນວນຖວ້ ນ, ເຊ່ ງ a ແລະ b ບ່ ໍເທ່ າົ ສູນພອ້ ມກນ. ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອດໂີ ອພງທາຍ ax  by  c ຈະມໃີ ຈຜນົ : 1. ເມ່ ອຼື d  gcd a,b c . 2. ຖາ້ ວ່ າ x0 , y0 ແມ່ ນໃຈຜນົ ໜ່ ງຂອງ ax  by  c , ແມ່ ນໃຈຜນົ ຖວ້ ນທ່ ວົ ໄປຂອງມນຈະມຮີ ູບຮ່ າງ: x  x0  b t ; y  y0  a t ແລະ t d d ຫກເກນ2: ໃຫ້a,b,c  , ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອດໂີ ອພງທາຍ ax  by  c ຈະບ່ ໍມໃີ ຈຜນົ ຖວ້ ນ: ຖາ້ ວ່ າ d  a,b c ຫກເກນ3:ໃຫ້ a , b , c  ແລະ x  ຈະສອດຄ່ ອງກ ນກບກາ ນພົວພນທຽ ບເທ່ ົາ ລີເນແ ອໂມ ດູ ຍ ໂລ ax  c mod b ກຕໍ ່ ເໍ ມ່ ອຼື ມີ y  ແລະ ax  by  c ຕວົ ຢ່ າງ: ຈ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 6x  9y  21 ກອ່ ນອ່ ນເຮົາຊອກຫາ gcd 6,9  ?= 9 16  3 6  230 ເຫນວ່ າ gcd 6,9  3 21 ສະນນ້ັ ສມົ ຜນົ ມໃີ ຈຜນົ ໃນຈາໍ ນວນຖວັ້ ນ ຈະໄດ້ 3  9 16 ຄນູ 7 ເຂາົ້ ທງສອງຟາກ 21  79  76 ສະນນ້ x0  7 , y0  7 ແມ່ ນໃຈຜນົ ຖວ້ ນໜ່ ງຂອງສມົ ຜນົ . ເຮາົ ໄດໃ້ ຈຜນົ ທ່ ວົ ໄປ: x  x0  b t ແລະ y  y0  a t d d x  7  9 t ແລະ y 7 6t 3 3 ດ່ ງນນ້ , ໃຈຜນົ ທ່ ວົ ໄປແມ່ ນ x  7  3t , y  7  2t ເຊ່ ງ t  ຕວົ ຢ່ ງ2: ຈ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 1215x  2755y  560 SONEPHAN LORVANNA 4

ວທແີ ກ:້ ຊອກຫາ gcd(1215, 2755)  5 ແລະ ເຮາົ ເຫນວ່ າ 5 560 ສະນນ້ ສມົ ຜນົ ມໃີ ຈຜນົ ຖວ້ ນ. - ເພ່ ອຼື ຊອກໃຈຜນົ ນຖວ້ ນ x, y  Z ເຮາົ ຊອກໃຈຜນົ ຖວ້ ນ x0, y0  Z ໜ່ ງຂອງສມົ ຜນົ . ຈາກ 1215x  2755y  560 ເຮາົ ພອ້ ມຫານໃຫ້ 5 ໃສ່ ທງສອງພາກ ເຮາົ ໄດ:້ 243x  551y 112 ດວ້ ຍການຂຽນຂະຫຍາຍແບບອານກຣໍ ດຊຄ: 551  2 243  65 243  3 65  48 65  1 48 17 48  217 14 17  114  3 14  4 3  2 3  1 2 1 2  1 2  0 ເຮາົ ຂຽນປນີ້ ຄນືຼ ໄດດ້ ່ ງນ:ີ້ 1  3  2  3  (14  4 3)  5 3 14  5(17 14) 14  517  614  517  6(48  217)  17 17  6 48  17(65  48)  6 48  17  65  23 48  17  65  23(243  3 65)  86 65  23 243  86(551 2 243)  23 243  243(195)  551(86)  243(195)  551(86) 1 ດ່ ງນນ້ x0  195, y0  86  (x, y)  (195  551t, 86  2243t),t  Z ຕວົ ຢ່ າງ3: ຈ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 123x  360y  99 ໄດ:້ gcd123,360  3 ເຮາົ ໄດ:້ 120  2.41 38 41  1 38  3 38  12 3  2 3  1 2 1 ໄດ:້ 1  3 2 SONEPHAN LORVANNA 5

 3  38 12 3  12.3  38  1341 38  38  13 4114 38  13 4114120  2 41  13 4114120  28 41  41 4114120 ຄນູ 33 ເຂາົ້ ທງສອງພາກ. 411353 120462  33  x0  1353 y0  462 ໄດ້ : x  1353 120t   y  462  41t ດ່ ງນນ້ , ໃຈຜນົ ຖວ້ ນທ່ ວົ ໄປແມ່ ນ:  x, y  1353120t, 462  41t  ຕວົ ຢ່ າງ4: 13x  4mod37 ວທແີ ກ:້ ຈາກບດົ ເລກຈະໄດ:້ 13x  37 y  4 37  213 11 13  111 2 11  5 2 1 ເຮາົ ໄດ:້ 1 11 5 2  11 513 11  611 513  637  213  513  6 37 17 13  1317  6 37  1 1317  7 mod 37 ຈາກ : 13x  4mod37 1337 x  68 mod 37 1mod17 x   31 37 mod 37   31 mod 37 x   37  6 mod 37 x  6 mod 37  x  6  37t ແທນໃສ່ ສມົ ຜນົ ທີ (1) ຈະໄດ້ :136  37t   37 y  4 SONEPHAN LORVANNA 6

78  481t  37 y  4  y  74  481t 37  2 13t ກດຈະກາໍ : ກ. ຈ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 43x  4mod31 ຂ. ຈ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 172x  20y 1000 SONEPHAN LORVANNA 7

ບດົ ເຝກຫດ I. ຈ່ ງົ ຊອກຈາໍ ນວນຖວ້ ນ x, y  ເພ່ ອືຼ ໃຫ້ gcd a, b  ax  by ຂອງສາໍ ນວນລ່ ຼຸມນ:ີ້ 1. gcd785, 242  758x  242y 2. gcd726, 275  726x  275y 3. gcd616, 427  616x  427y 4. gcd936,666  936x  666y 5. gcd1137, 419 1137x  419y 6. gcd 14,75 14x  75y 7. gcd 49,60  49x  60y 8. gcd4147,10672  4147x 10670y 9. gcd143, 252 143x  252y 10. gcd306,657  306x  657y II. ຈ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ ລເີ ນແອດໂີ ອພງທາຍຕ່ ໍໄປນ:ີ້ 1. 1521x  632y 13293 2. 377x  233y 1 3. 578x 832y 14932 4. 1215x  2755y 1 5. 1215x  2755y  560 6. 30x 14y  6 7. 123x  360y  99 8. 587x 832y 14932 9. 13x  4mod37 10. 41x  32mod101 11. 34x  4mod31 SONEPHAN LORVANNA 8

ບດົ ທ2ີ ອນັ ດບັ ຈາໍ ນວນ I. ນຍິ າມຂອງອນັ ດບັ ຈາໍ ນວນ ຈາໍ ນວນ a1, a2, a3, ... , an , ... ທ່ີ ຂີ ນ້ຶ ກບັ ຕໍາແໜີ່ ງບ່ີ ອນຢີ່ ເຊີ່ ນັ : 1, 4,7,10 , ... 1, 1 , 1 , 1 , ... 2 4 6 1, 1, 1, 1, ... , (1)n, ... a1, a2 , a3, a4 , ... , an , ... ຫືຼ ຕໍາລາທມີ ເີ ຂດກາໍ ນດົ ແມ່ີ ນກ່ີ ມຈາໍ ນວນຖວຶ້ ນບວກ ມຊີ ່ີ ວີ ີ່ າ ອນັ ດບັ ຈາໍ ນວນ, ເຮາົ ໃຊຶ້ ສນັ ຍາລກັ an ແທ່ີ ນອນັ ດບັ a1, a2, a3, ... , an , ... ແລວ້ຶ ຈະເອນີ້ຶ ວ່ີ າ: a1 ແມີ່ ນພດົ ທ່ີ ີ1 ຂອງ an , a2 ແມີ່ ນພດົ ທ່ີ ີ 2 ຂອງ an , ... , an ແມ່ີ ນພດົ ທີ n ຫຼື ພດົ ທີ່ ວົ ໄປຂອງan . ເຮາົ ອາດສະເໜອີ ບັ ດບັ ດວ້ຶ ຍຫາຍຮບແບບດີ່ ງັ ນ:ີຶ້ - ດວ້ຶ ຍການຂຽນສາມ ຫຼື ສີ່ ພີ ດົ ທໍາອດິ ເຊ່ີ ນັ : 1, 1 , 1 , 1 , ... 2 4 6 - ດວ້ຶ ຍການຂຽນພດົ ທີ່ ວົ ໄປ ເຊີ່ ນັ : ອນັ ດບັ an ເຊີ່ ງິ an  2n 1 - ດວ້ຶ ຍເສນັ້ຶ ສະແດງ ເຊ່ີ ງິ ແມີ່ ນເສນັ້ຶ ສະແດງຂອງຕໍາລາບ່ີ ຕໍ ີ່ ໍເນີ່ ອຼື ງ an  f  x ເຊ່ີ ນັ : an  2 n 1 ຕວົ ຢີ່ າງ1: ຈ່ີ ງົ ຊອກຫາ 6 ພດົ ທາໍ ອດິ ຂອງອນັ ດບັ an  ທີ່ ກີ າໍ ນດົ ໃຫດຶ້ ີ່ ງັ ລີ່ ມນ:ີຶ້ ກ. an  (1)n  2n1 ຂ. an  2 1 n ຄ. an  n 2n 1 SONEPHAN LORVANNA 9

ງ. an  n  (2)n1 ບດົ ແກ ຶ້ ກ. an  (1)n  2n1 ວທິ ແີ ກ:ຶ້ ເຮາົ ຊອກຫາ 6 ພດົ ທາໍ ອດິ ຂອງ an  (1)n  2n1 ແມີ່ ນ: a1  (1)1  211  1 22  1 4  3 a2  (1)2  221  1 23  1 8  7 a3  (1)3  231  1 24  116  15 a4  (1)4  241  1 25  1 32  33 a5  (1)5  251  1 26  1 64  63 a6  (1)6  261  1 27  1128  129 ດີ່ ງັ ນນັ້ຶ , 6 ພດົ ທໍາອດິ ຂອງອນັ ດບັ an  (1)n  2n1 ແມ່ີ ນ 3, 7, 15, 33, 63 ແລະ 129 ຂ. an 2 1 n ວທິ ແີ ກ:ຶ້ ເຮາົ ຊອກຫາ 6 ພດົ ທາໍ ອດິ ຂອງ an  2 1 ແມ່ີ ນ: n a1  2  1  2 1  1 1 1 1 1 a2  2 1  4 1  3 2 2 2 a3  2  1  6 1  5 3 3 3 a4  2 1  8 1  7 4 4 4 a5  2 1  10 1  9 5 5 5 a6  2  1  12 1  11 6 6 6 ດ່ີ ງັ ນນັຶ້ , 6 ພດົ ທາໍ ອດິ ຂອງອນັ ດບັ an  2 1 ແມີ່ ນ 1, 3, 5, 7, 9, 11 n 2 3 4 5 6 ຄ. an  n 2n 1 ວທິ ແີ ກ:ຶ້ ເຮາົ ຊອກຫາ 6 ພດົ ທໍາອດິ ຂອງ an  n ແມ່ີ ນ 2n 1 a1  1  1  1 1 2 1 1 2 1 1 a2  2  2  2 2  2 1 4 1 3 a3  3  3  3 231 6 1 5 a4  4  4  4 2  4 1 8 1 7 SONEPHAN LORVANNA 10

a5  5  5  5 2 5 1 10 1 9 a6  6  6  6 2  6 1 12 1 11 ດ່ີ ງັ ນນັຶ້ , 6 ພດົ ທາໍ ອດິ ຂອງອນັ ດບັ an  n ແມ່ີ ນ: 1, 2, 3, 4, 5, 6 2n 1 3 5 7 9 11 ງ. an  n  (2)n1 ວທິ ແີ ກ:້ຶ ເຮາົ ຊອກຫາ 6 ພດົ ທໍາອດິ ຂອງ an  n  (2)n1 ແມີ່ ນ a1  1 (2)11  1 (2)0  11  2 a2  2  (2)21  2  (2)1  2  2  0 a3  3  (2)31  3  (2)2  3  4  7 a4  4  (2)41  4  (2)3  4  8  4 a5  5  (2)51  5  (2)4  5 16  21 a6  6  (2)61  6  (2)5  6  32  26 ດີ່ ງັ ນນັຶ້ , 6 ພດົ ທາໍ ອດິ ຂອງອນັ ດບັ an  n  (2)n1 ແມີ່ ນ 2, 0, 7,  4, 21,  26 ຕວົ ຢ່ີ າງ2: ຈ່ີ ງົ ຊອກຫາ 5 ພດົ ທາໍ ອດິ ຂອງອນັ ດບັ bnທີ່ ກີ າໍ ນດົ ໃຫດ້ຶ ີ່ ງັ ຕີ່ໄໍ ປນ:ີ້ຶ ກ. an  n 1, bn  a2n1  2 ຂ. an  n bn  (a2n )2 1 ຄ. an  n bn  a3n  4 ງ. an  6  n bn  (an1)n  2 ວທິ ແີ ກ:ຶ້ ກ. an  n 1, bn  a2n1  2 ແກ:ຶ້ ເຮາົ ໄດ ຶ້ 5 ພດົ ທໍາອດິ ຂອງ an  n 1, bn  a2n1  2 ແມີ່ ນ b1  a2.11  2  a3  2  4  2  2 b2  a2.21  2  a5  2  6  2  4 b3  a2.31  2  a7  2  8  2  6 b4  a2.41  2  a9  2  10  2  8 b5  a2.51  2  a11  2  12  2  10 ດ່ີ ງັ ນນັຶ້ , 5 ພດົ ທໍາອດິ ຂອງອນັ ດບັ an  n 1, bn  a2n1  2 ແມ່ີ ນ 2, 4, 6, 8, 10 ຂ. an  n bn  (a2n )2 1 ແກ:ຶ້ ເຮາົ ໄດ ້ຶ 5 ພດົ ທາໍ ອດິ ຂອງ an  n bn  (a2n )2 1 ແມ່ີ ນ b1  (a2.1)2  1  a22  1  (2)2  1  5 b2  (a2.2 )2  1  a42  1  (4)2  1  16  1  17 b3  (a2.3 )2  1  a62  1  (6)2  1  36  1  37 b4  (a2.4 )2  1  a82  1  (8)2  1  64  1  65 b5  (a2.5 )2 1  a1 2 1 (10)2 1  100  1  101 0 ດີ່ ງັ ນນັຶ້ , 5 ພດົ ທາໍ ອດິ ຂອງອນັ ດບັ an  n bn  (a2n )2 1 5, 17, 37, 65, 101 SONEPHAN LORVANNA 11

ຄ. an  n bn  a3n  4 ແກ:ຶ້ ເຮາົ ໄດ ຶ້ 5 ພດົ ທາໍ ອດິ ຂອງ an  n bn  a3n  4 ແມີ່ ນ b1  a3.1  4  a3  4  3  4  1 b2  a3.2  4  a6  4  6  4  2 b3  a3.3  4  a9  4  9  4  5 b4  a3.4  4  a12  4  12  4  8 b5  a3.5  4  a15  4  15  4  11 ດີ່ ງັ ນນັ້ຶ , 5 ພດົ ທໍາອດິ ຂອງອນັ ດບັ an  n bn  a3n  4 ແມ່ີ ນ -1, 2, 5, 8,11 ງ. an  6  n bn  (an1)n  2 ແກ:້ຶ ເຮາົ ໄດ ້ຶ 5 ພດົ ທໍາອດິ ຂອງ an  6  n bn  (an1)n  2 ແມີ່ ນ b1  (a11)1  2  a21  2  41  2  6 b2  (a21)2  2  a32  2  32  2  11 b3  (a31)3  2  a43  2  23  2  10 b4  (a41)4  2  a54  2  14  2  3 b5  (a51)5  2  a65  2  05  2  2 ດີ່ ງັ ນນັຶ້ , 5 ພດົ ທໍາອດິ ຂອງອນັ ດບັ an  6  n bn  (an1)n  2 ແມີ່ ນ 6, 11, 10, 3, 2 ກດິ ຈະກາໍ : 1. ໃຫ ຶ້ an  n2 ຈີ່ ງົ ຊອກຫາ 5 ພດົ ທໍາອດິ ຂອງອນັ ດບັ n 1 2. ກາໍ ນດົ ໃຫຶ້ an  n ແລະ bn  a3n 2  2 . ຈີ່ ງົ ຊອກຫາ 5 ພດົ ທໍາອດິ ຂອງ bn II. ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ ແລະ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນ 1. ນຍິ າມອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ ອນັ ດບັ an ແມີ່ ນອນັ ດບັ ທະວີບວກ ຖາຶ້ ວີ່ າມຈີ ໍານວນຄງົ ຄ່ີ າ d ທີ່ ີຕອບສະໜອງໃຫຶ້ an1  an  d, n  1, 2,3,... ເຊ່ີ ງິ d ມຊີ ີ່ ວຼື ີ່ າ ‘’ຕວົ ທະວ’ີ ’ ຫືຼ ‘’ ຜນົ ຕີ່ າງຮີ່ ວມ’’. ຕວົ ຢີ່ າງ 1. 2,5,8,11,...ແມີ່ ນອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ ເພາະວ່ີ າມຕີ ວົ ທະວເີ ທ່ີ າົ 2 ຍອຶ້ ນ: 5  2  8  5 11 5    3 2. ພດົ ທີ່ ວົ ໄປ ແລະ ຜນົ ບວກ n ພດົ ທໍາອດິ ຂອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ ພດົ ທີ່ ວົ ໄປຂອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ ຖາ້ຶ ກາໍ ນດົ ໃຫຶ້ a1 ເປນັ ພດົ ທໜີ ່ີ ງ ແລະ d ເປນັ ຕວົ ທະວບີ ວກ ແລວ້ຶ ສາມາດຂຽນພດົ ອີ່ ນືຼ ໆ ຂອງອນັ ດບັ ທະວີ ບວກໃນຮບຂອງ a1 ແລະ d ໄດດຶ້ ່ີ ງັ ນ:ີຶ້ a1  a1 a2  a1  d a3  a2  d  (a1  d )  d  a1  2d a4  a3  d  a1  2d   d  a1  3d an  an1  .  a1  n  2 d   a1  n 1 d d SONEPHAN LORVANNA 12

ດີ່ ງັ ນນັຶ້ , ພດົ ທີ່ ວົ ໄປຂອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກແມ່ີ ນ an  a1  n 1 d ຕວົ ຢ່ີ າງ 1. ໃຫຶ້ an ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ, ເຊີ່ ງິ ມພີ ດົ ທີ 5 ເທີ່ າົ ກບັ 15 ແລະ ພດົ ທີ 36 ເທ່ີ າົ ກບັ 77 . ຈີ່ ງົ ຊອກ ຫາພດົ ທີ 1 ແລະ ຜນົ ຕີ່ າງຮ່ີ ວມຂອງ an . ບດົ ແກ:ຶ້ ຈາກ an  a1  n 1 d ຈະໄດຶ້ a5  a1  5 1 d 15  a1  4d ... 1 ຈະໄດ້ຶ a36  a1  36 1 d  77  a1  35d ... 2 ຈາກ  aa11  4d  15  35d  77 31d  62  d  2 ແທນໃສີ່ ຜນົ ຜນົ 1 ຈະໄດ້ຶa1  4 2  15  a1  7 ດ່ີ ງັ ນນັຶ້ a1  7 ແລະ d  2 ຕວົ ຢີ່ າງ2: ເຮາົ ມສີ າມຈາໍ ນວນລຽງກນັ : a1 , a2 , a3 ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ a1  a2  a3  24 ..............1 ແລະ a12  a22  a32  242 .........2 - ຖາ້ຶ ວີ່ າ a1 , a2 , a3 ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ ຈະໄດ:້ຶ a1  a3  a2  a1  a3  2a2 2 ເຮາົ ຈະໄດ:ຶ້ a1  a3   a2  24  2a2  a2  24  a2  24  8 3 ເຮາົ ໄດ:ຶ້  a2  8 ຈາກ: a1  a2  a3  24 ..............1 ສະນນັ້ຶ , ສາມຈາໍ ນວນລຽງກນັ : a1 , a2 , a3 ແມີ່ ນ: 7 , 8 , 9 ດ່ີ ງັ ນນັຶ້ , 7  8 9  24 ແລະ 72  82  92  242 ໝາຍເຫດ: ອາດຈະແກລ້ຶ ະບບົ ສມົ ຜນົ ຊອກຫາ: a1 , a2 , a3 ໄດຄ້ຶ ກຼື ນັ . ຕວົ ຢີ່ າງ3: ເຮາົ ມ:ີ 1, l og4 5 , l og8 x ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ a1  1, a2  l og4 5 ແລະ a3  l og8 x ຊອກຫາຄີ່ າຂອງ x  ? ຈາກສດ: an  a1  n 1 d ຈະໄດ:ຶ້ a3  a1  2d ............. (1) ເຮາົ ມີ ຕວົ ທະວແີ ມ່ີ ນ: d  log4 5 1 ແທນໃສີ່ ສມົ ຜນົ (1) ຈະໄດ:້ຶ log8 x  1 2log4 5 1 log8 x  1 2 log4 5  2 log8 x  2 log4 5 1 log8 x  log4 25  log2 2 SONEPHAN LORVANNA 13

1 log2 x  log2 25  log2 2 3 1 log2 x  log2 25  log2 2 3 1 A  loga A  loga B, B  0 / loga ( B ) log2 x3  log2 5  log2 2 log2 3 x  log2 5  x   5 3  125 2  2  8 ດີ່ ງັ ນນັ້ຶ , ເຮາົ ໄດຄ້ຶ ່ີ າຂອງ x  125 8 ຂອງ x  125 8  ຜນົ ບວກຂອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ ໃຫ້ຶ Sn ເປນັ ຜນົ ບວກຂອງ n ພດົ ທໍາອດິ ຂອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກທີ່ ມີ ີ a1 ເປນັ ພດົ ທີ່ ີ 1 ແລະ d ເປນັ ຜນົ ຕ່ີ າງຮີ່ ວມຈະໄດ:ຶ້ Sn  a1  a2  a3    an Sn  a1  a1  d     a1  n  2 d   a1  n 1 d   an 1 ຫຼື Sn  a1  n 1 d   a1  n  2 d     a1  d   a1 2 ເອາົ 1  2 ຈະໄດ:້ຶ 2Sn  n a1  n 1 d   Sn  n 2a1   n  1 d  2 ດີ່ ງັ ນນັ້ຶ , ສດຜນົ ບວກ n ພດົ ທາໍ ອດິ ຂອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກແມ່ີ ນ: Sn  n 2a1  n 1 d  ຫຼື Sn  n  a1  an  2 2 ຕວົ ຢ່ີ າງ1: ຈ່ີ ງົ ຊອກຜນົ ບວກຂອງ 25 ພດົ ທາໍ ອດິ ຂອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ 2,8,14, 20, ບດົ ແກ:້ຶ ຈາກອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ 2,8,14, 20, ເຮາົ ມີ a1 ແລະ d  8  2 14 8  20 14    6 ຈາກສດ Sn  n 2a1   n  1 d  2 ຈະໄດ ້ຶ Sn  25 2 2  25 16 2 Sn  25 4  24  6 2 Sn  25  22  24  3 2 Sn  252  72 Sn  2574 Sn  1850 ຫຼື ຈາກສດ Sn  n  a1  an  2 SONEPHAN LORVANNA 14

Sn  25  a1  a25  ແຕີ່ ວີ່ າ a25  a1  n 1 d  2  246  2 144  146 2 Sn  25 2 146 2 Sn  251 73  2574 1850 ດີ່ ງັ ນນັ້ຶ Sn  1850 ຕວົ ຢ່ີ າງ2: ໃຫ ຶ້ S10  100 ແລະ S100  10 - ຊອກຫາ S110  ? ວທິ ແີ ກ:ຶ້ ຈາກສດ: Sn  n  2a1  n 1 d  (1) 2  S10  10  2a1  9d   110001102200  2a1  9d  ......... 2  S100 2  2a1  9d  .......... 3   99d ຈະໄດ:ຶ້   100  2a1   2 100  52a1  9d   20  2a1  9d   20  2a1  9d ........2   5  2a1  9d   10a1  45d ..........3 10  50  2a1  9d  1  1  ຄນ 5 ໃສີ່ ສມົ ຜນົ (1)-(2) ຈະໄດ:້ຶ 99  4d  d   99 ແທນໃສີ່ ສມົ ຜນົ (2) 4 ຈະໄດ:ຶ້ 20  2a1  9   99   4  40  8a1  891  a1  971 ແທນໃສີ່ ສມົ ຜນົ (1) 8 ຈາກ (1) : Sn  n  2a1   n  1 d  2 ຈະໄດ:້ຶ S110  110 2  971   110 1   99  2 8   4  S110  55  971  109    99   55  971  10791   4 4  4   55   9820   55  2455  135025 4  S110  135025 ດ່ີ ງັ ນນັຶ້ , S110  135025 ຕວົ ຢີ່ າງ3: a1, a2 , a3, ...., a13 ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ , a7  183 ແລະ d  14 - ຊອກຫາ a1  a2  a3  .... a13  S13  ? ຈາກສດ: Sn  n  2a1  n 1 d  (1) 2 ເຮາົ ມສີ ດພດົ ທີ່ ວົ ໄປ: an  a1  n 1 d  a7  a1  7 1 d ຈະໄດ:້ຶ 183  a1  614 a1  183 84  267 SONEPHAN LORVANNA 15

ໄດ:້ຶ a1  267 ແທນໃສ່ີ (1) ຈະໄດ:ຶ້ S13  13 2  267   12  14  13267  84  13183  2379 2 ດ່ີ ງັ ນນັ້ຶ , S13  2379 ໝາຍເຫດ: ຖາ້ຶ ວີ່ າ a,b, c ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ ຈະໄດ:້ຶ b ac 2 ກດິ ຈະກາໍ : 1. ຈີ່ ງົ ຊອກຜນົ ບວກ n ພດົ ທາໍ ອດິ ຂອງອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ 3,7,11,15, 2. ໃຫຶ້ a,b, c ເປນັ ຂາຶ້ ງຂອງຮບສາມແຈສາກ, ເຊ່ີ ງິ a  b  c ຈ່ີ ງົ ຊອກອດັ ຕາສີ່ ວນພວົ ພນັ a : b : c . ໂດຍທີ່ ວົ ໄປເພ່ີ ນິ ສນັ ຍາລກັ ຜນົ ບວກດວ້ຶ ຍເຄີ່ ອຼື ງໝາຍ  ແລະ ອ່ີ ານວ່ີ າຊກິ ມາເຊ່ີ ນັ : n  ak  a1  a2  a3    an k 1 5 ຕວົ ຢີ່ າງ 4: 1.  k  1 2  3  4  5 k 1 4 2. 2k 1  1 3  5  7  16 k 1 ສດຜນົ ບວກພນຼື້ຶ ຖານ: ກ. 1 2  3 n  n  n n 1 k k 1 2 ຂ. 12  22  32    n2  n k 2  n n 12n 1 k 1 6 ຄ. n k3  n  1 13  23  33    n3  k 1   2 n ຄນລກັ ສະນະຂອງ  ມດີ ີ່ ງັ ນຄີຶ້ :ືຼ ກ. n c  nc ເມີ່ ອຼື c ເປນັ ຈາໍ ນວນຄຄງົ ຄ່ີ າ  k 1 nn ຂ.  cak  c ak k 1 k 1 n nn ຄ. ak  bk   ak  bk k 1 k 1 k 1 ຕວົ ຢີ່ າງ1: B  n  1  k 1  n  2k  k 1  2k2   2k k 1 k 1  n n n n   2k2  k 1  2 k2   k  1 k 1 k 1 k 1 k 1  2  n n 1 2n  1  n  n 1  n  6 2  n  2n2  n  2n 1 n2  n  n  3  2     2n 2n2  2n 1 3n2  3n  6 SONEPHAN LORVANNA 16

 4n3  4n2  2n  6n3  6n2  10n3 102  2n 66   5n3  5n   n n2  5n 1 n 3 3 B   2k2  k  n n2  5n  1  1 k 1 3     10 10 10 10 ຕວົ ຢ່ີ າງ2: C  k3  9k 2 18k  k 3  9 k 2 18 k k 1 k 1 k 1 k 1  n  2  n 1  n  n 1   2   6   C   n  1  9 n 1  2n   18  2  10 1 2 10 1  10 10  1   2  6    10   9 10  1  2n   18  3   5112 151121 18511  3025  3465  990  7480  10 C  k3  9k 2  18k  7480 k 1 ຕວົ ຢີ່ າງ3: 7 10 ak  b  4  63 ແລະ bk  a  8  65 k 1 b? k 1 - ຊອກຫາຄ່ີ າຂອງ a ແລະ 7 777 ເຮາົ ມ:ີ ak  b  4  ak  b  4  63 k 1 k 1 k 1 k 1  a  n  n 1   nb  4n  63    2  ຈະໄດ:້ຶ a  7 7 1   7b  28  63    2  28a  7b  63  28 4a  b  9  4 4a  b  5 ...... (1) ເຮາົ ມ:ີ 10 bk  a  8  65 k 1 ຈະໄດ:ຶ້ b  k k  1   ak  8k  65    2  b  10 11   10a  80  65    2  55b  10a  80  65 11b  2a  16  13 11b  2a  29.........2 SONEPHAN LORVANNA 17

ເຮາົ ໄດ:ຶ້ 4a  b  5 ............1  2a 11b  29 ....  2  ເອາົ ສມົ ຜນົ 1  22 4a  b  5 ຈະໄດ:້ຶ  2a 11b  29 21b  63  b  3 ຈະໄດ:ຶ້ 4a  3  5  a  2 ດີ່ງັ ນນັ ້ຶ , a  2 ແລະ b  3 ຕວົ ຢີ່ າງ4: ຈ່ີ ງົ ຄດິ ໄລ່ີ ສາໍ ນວນລມນ:ີ້ຶ ກ . n1 k1 k k 1 n 1 ຂ.  k1 k  k 1 ຄ. n k  k  1 k  2  1  k 1 ວທິ ແີ ກ:້ຶ ກ . n1 k1 k k 1 ວາງ k 1  A B ຊອກຫາ A ແລະ B k k 1 k 1 k 1  A  B k k 1 k 1 Ak 1  Bk  1 Ak  A  Bk 1 k  A  B 0  A 1 , B  1   A  1 n k 1  A  B  1  1 k k 1 k k 1 k 1 k 1 n k 1  1  1    1  1    1  1   ....  1 2   2 3   3 4  k 1 k 1   n 1 2  1    n 1  1    1  n 1 1    n 1   1 n   n   1 1  n 11  n n1 n1 n1 SONEPHAN LORVANNA 18

ດີ່ ງັ ນນັຶ້ , n k 1  n k 1 n 1 k 1 n 1 ຄນຈາໍ ນວນຄາດຄີ່ ໃສີ່ ຂ k1 k  k 1    n 1 n k 1 k n k 1 k ຈະໄດ:ຶ້       2 2 k1 k  k 1 k1 k  k 1 k 1  k k 1 k 1  k   n k 1  k  n k 1  k k1 k 1 k k 1 n  k 1 k 2 1   3 2 4 3  ....  k 1       n 1  n  2  n  n 1  n 1  n  1 n 1  n 1 1 n 1  n 11 ດ່ີ ງັ ນນັຶ້ ,  k1 k  k 1 ຄ. n k  k  1 k  2  1  k 1 ວາງ n k k 1  2  A 1  1 ຊອກຫາ A, B ແລະ C k 1 k k 1 k  2  1  k Ak 1k  2  Bk k 1  C k k 1 1 ສາໍ ລບັ : k 0 A 1 2 k  1 B  1 k  2 C  1 2 1 1        n 1 n  2 1 2  n 1 2 1 k 1 k 1  k 1   k 1 2k  1  k 2k 1 2k    ຈະໄດ:ຶ້       k k  2 k k 2 2   1 n  1   k 2 1  k 1 2  2  k     k 1  1 1  1  1    1  2  1    1  2  1    1  2  1   ... 2 3   2 3 4   3 4 5   4 5 6    n 1 2  n 2  1    n 1  2  n 1    1  n 2 1  n 1 2    1 n   1 n 1   n     1 1  1  n 1  2  2 n 1  2  ດ່ີ ງັ ນນັ້ຶ , n k k 1  2  1 1  1  n 1  2  2 n 1  2    1  k k 1 SONEPHAN LORVANNA 19

 10 ກດິ ຈະກາໍ : 1.  6k 2  4k  5 k 1  10 2.  k k 2 1 k 1 3. ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນ ນຍິ າມ ອນັ ດບັ an ແມ່ີ ນອນັ ດບັ ທະວຄີ ນ ຖາຶ້ ວີ່ າມຈີ າໍ ນວນຄງົ ຄີ່ າ r ທີ່ ຕີ ອບສະໜອງ ໃຫ ຶ້ an1  r , an n  1, 2,3, ເຊີ່ ງິ r ມຊີ ີ່ ວືຼ ີ່ າ ‘’ ຕວົ ທະວຄີ ນ‘’. ຕວົ ຢີ່ າງ 5. 3,6,12,ແມີ່ ນອນັ ດບັ ທະວຄີ ນເພາະວີ່ າມຕີ ວົ ທະວເີ ທ່ີ າົ ກບັ 2 ຍອ້ຶ ນ: 6  12    2 36 ຕວົ ຢີ່ າງ 6. 2, 4,12,ບ່ີ ແໍ ມ່ີ ນອນັ ດບັ ທະວຄີ ນເພາະວີ່ າບ່ີ ສໍ າມາດຊອກຕວົ ທະວຄີ ນຍອ້ຶ ນ: 4  12 24 4. ພດົ ທ່ີ ວົ ໄປ ແລະ ຜນົ ບວກ n ພດົ ທາໍ ອດິ ຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ນ ຖາ້ຶ ກາໍ ນດົ ໃຫ້ຶa1 ເປນັ ພດົ ທໜີ ່ີ ງ ແລະ r ເປນັ ຕວົ ທະວຄີ ນ ແລວຶ້ ສາມາດຂຽນພດົ ອີ່ ນຼື ໆ ຂອງອນັ ດບັ ທະວີ ບວກໃນຮບຂອງ a1 ແລະ r ໄດດ້ຶ ່ີ ງັ ນ:ີ້ຶ ຈາກ an1  r an a1  a1 a2  a1r a3  a2r  a1r  r  a1r2  a4  a3r  a1r2 r  a1r3  an  an1r  a1rn2 r  a1r3 ດີ່ ງັ ນນັຶ້ , ພດົ ທີ່ ວົ ໄປຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ນແມີ່ ນ an  a1rn1 ຕວົ ຢີ່ າງ1: ໃຫອ້ຶ ນັ ດບັ ທະວຄີ ນ, ເຊີ່ ງິ ມພີ ດົ ທີ 7 ເທ່ີ າົ ກບັ 1 ແລະ ພດົ ທີ 3 ເທ່ີ າົ ກບັ 1 ຈ່ີ ງົ ຊອກຫາຕວົ 1458 18 ທະວຄີ ນຂອງອນັ ນ.ີຶ້ ວທິ ແີ ກ:ຶ້ ເຮາົ ມອີ ນັ ດບັ ທະວຄີ ນ: a7 1 ແລະ a3 1 1458 18 - ຊອກຫາ r  ? ຈາກສດ: an  a1rn1 (1) SONEPHAN LORVANNA 20

ຈະໄດ:້ຶ a7  a1r6  1  a1r6 ............ 1 1458 ຈະໄດ:ຶ້ a3  a1r2  1  a1r 2 ............ 2 18 1 ເອາົ ສມົ ຜນົ ທີ 1 2 ຈະໄດ:ຶ້ 1458  a1r6  18  r4 r4  1 r  1 1 a1r2 1458 81 3 18 ດີ່ ງັ ນນັ້ຶ , r  1 3 ຕວົ ຢີ່ າງ2: ຈ່ີ ງົ ຊອກຫາສ່ີ ຈີ າໍ ນວນສບັ ໃສີ່ ຫວີ່ າງຈາໍ ນວນ 160 ແລະ 5 ເພີ່ ອືຼ ປະກອບເປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນ. ວທິ ແີ ກ:ຶ້ ເຮາົ ມ:ີ a1  160 ແລະ an  5 - ຊອກຫາ a2, a3 , a4 , a5 ຈາກສດ: an  a1rn1  a6  a1r5 ເຊງິ ວ່ີ າ: a6  5 ຈະໄດ:ຶ້ 5  160r5  r5  5  1 r  5  1 5  1 ໄດ:ຶ້ a1  6 ແທນໃສ່ີ (1) 160 32  2  2 ໄດ:້ຶ r  1 2 - ຊອກ a2  a1r  160  1   80  a2  80  2  - ຊອກ a3  a1r 2  160  1 2  40  a3  40  2  - ຊອກ a4  a1r3  160  1 3  20  a4  20  2  - ຊອກ a5  a1r4  160  1 4  10  a2  80  2  ດີ່ງັ ນນັ ຶ້ , 160, 80, 40, 20,10,5 ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນ ຕວົ ຢີ່ າງ3: ຈີ່ ງົ ພສິ ດວ່ີ າ ຖາຶ້ ມສີ າມຈາໍ ນວນປະກອບເປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ ແລະ ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນ ແມີ່ ນສາມຈາໍ ນວນນນັ້ຶ ຕອຶ້ ງເທ່ີ າົ ກນັ . ວທິ ແີ ກ:ຶ້ ໃຫ້ຶ a, b, 2, c ,18 ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນ - ຊອກຫາ: a, b ແລະ c ເຊ່ີ ງິ ວ່ີ າ a1  a, a2  b ແລະ a4  c ເຮາົ ມ:ີ a3  2 ແລະ a5  18 - ມຕີ ວົ ທະວແີ ມ່ີ ນ r2 (1) b ຈາກສດ: an  a1rn1 SONEPHAN LORVANNA 21

a3  a1r 2 2  a1r 2 a5  a1r 4  ຈະໄດ:ຶ້  18  a1r 4 ແທນຄີ່ າໃສ່ີ   a1  2 2  1284b1a2b612a1 ......... 1 2  b  .......... 2 ເຮາົ ຈະໄດ:ຶ້   18  a1  2 4  b  16a1 ເອາົ ສມົ ຜນົ 2  1 : 18  b4  9  4 b  42 2 4a1 b2 93 b2 ໄດ:້ຶ b 2 ແທນໃສ່ີ (1) 3 ຈະໄດ:ຶ້ r  2 3  r 3 2 3 - ຊອກ a2  a1r  2  3a1  a1  2 3 9 - ຊອກ a4  a1r3  2 33  2 27  6 99 ດີ່ ງັ ນນັຶ້ , a 2, b 2 ແລະ c  6 93 ກດິ ຈະກາໍ 1: ຈີ່ ງົ ຊອກຫາພດົ ທີ n (ພດົ ທ່ີ ວົ ໄປ) ແລະ ພດົ ທີ 10 ຂອງອນັ ດບັ ຕີ່ ໄໍ ປນ.ີ້ຶ ກ. 3,9, 27,81,... ຂ. 3 ,3,12, 48... 4 ກດິ ຈະກາໍ 2: ໃຫ້ຶ anແມ່ີ ນອນັ ດບັ ທະວຄີ ນ ຈ່ີ ງົ ຊອກຫາພດົ ທ1ີ ແລະ ຕວົ ທະວຄີ ນ. ກ. a2 5, a5  16 27 ຂ. a1  a4  7 , a2  a3  3 ເມ່ີ ອືຼ a1  1 ໃຫຶ້ Sn ເປນັ ຜນົ ບວກຂອງ n ພດົ ທໍາອດິ ຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ນທ່ີ ມີ ີ a1 ເປນັ ພດົ ທ1ີ ແລະ r ເປນັ ຕວົ ທະວຈີ ະໄດ:້ຶ Sn  a1  a2  a3  a4    an Sn  a1  a1r  a1r2  a3r2    anrn1 1 rSn  a1r  a1r2  a3r2    anrn 2 ເອາົ 1 - 2 ຈະໄດ ຶ້ Sn  rSn  a1  a1rn  Sn 1 r  a1 1 rn  Sn  a1 1 rn ເມ່ີ ອຼື r  1 1 r SONEPHAN LORVANNA 22

 ດີ່ ງັ ນນັຶ້ , ສດຜນົ n ພດົ ທໍາອດິ ຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ນແມ່ີ ນ: Sn  a1 1 rn ຫຼື Sn  a1  a1r n ເມ່ີ ອຼື r  1 1 r 1 r ຕວົ ຢີ່ າງ4: ຈ່ີ ງົ ຊອກຫາຜນົ ບວກຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ນຕີ່ ໍໄປນີຶ້ ກ. ພດົ ທີ 1 ເທີ່ າົ ກບັ 4 ແລະ ຕວົ ທະວເີ ທ່ີ າົ ກບັ 3 ຂ. ພດົ ທີ 1 ເທີ່ າົ ກບັ 3 ແລະ ຕວົ ທະວເີ ທ່ີ າົ ກບັ 1 2      ວທິ ແີ ກ:້ຶ ກ. ຈາກສດ Sn  a1 1 rn 4 1 3n 4 1 3n  2 3n  2 1 r   13 2 3    1 n  3  3   1 n    ຂ. 1  2    2  ຈາກສດ Sn  a1 1 rn    6  6   1 n  6 1 2n 1 r 1 1 1  2  22 ກດິ ຈະກາໍ : 1. ໃຫອ້ຶ ນັ ດບັ ທະວຄີ ນທ່ີ ມີ ີ a3  36 , a5  324 ຈ່ີ ງົ ຊອກຫາ a1 , r ແລະ S5 2. ໃຫຶ້ anເປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນທ່ີ ມີ ີ 9S3  S6  7 ຈ່ີ ງົ ຊອກຫາ a1 ແລະ r 5. ຜນົ ບວກອນັ ດບັ ທະວຄີ ນບີ່ ສໍ ນິ້ຶ ສດ ທີ່ ມີ ີ r  1  ຈາກ sn  a1 1 r n ແລະ r  0 ເຮາົ ສງັ ເກດ 3 ກລໍ ະນດີ ີ່ ງັ ນ:ີ້ຶ 1 r ຖາ້ຶ r  1 ແລະ n  ແມີ່ ນ rn  0 ຖາ້ຶ r  1 ແລະ n   ແມ່ີ ນ rn   ຖາ້ຶ r  1 ແລະ n   ບ່ີ ໍສາມາດຊອກຄ່ີ າຂອງ rn ໄດ ້ຶ ດ່ີ ງັ ນນັຶ້ s  a1 1 r ຕວົ ຢ່ີ າງ1: ຈີ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ບວກຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ນບີ່ ໍສນິຶ້ ສດຕີ່ ໄໍ ປນ.ີຶ້ 2  4  8  16     2  2 n1    3 9 27  3  4 8 16 ວທິ ແີ ກ:ຶ້ ເຮາົ ມີ a1 2 ແລະ r  3  9  27    2 2 4 8 3 39 ເຫນັ ວ່ີ າ r  2 1 ອງິ ຕາມສດ s  a1 2  2 6 3 1 r 1 2 1 33 ດີ່ ງັ ນນັຶ້ s  6 ກດິ ຈະກາໍ ຈີ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ບວກຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ນບີ່ ໍສນິ້ຶ ສດຕີ່ ໍໄປນ.ີຶ້ 8  6  9  27      3 n1     2 8  4  SONEPHAN LORVANNA 23

ຖາຶ້ ວ່ີ າ a1, a2, a3,, an, ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ ແລະ b1, b2, b3,, bn, ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນ. ເຮາົ ສາມາດຊອກຜນົ ບວກຂອງອນັ ດບັ ໃນຮບຮ່ີ າງ S  a1  a2  a3  ໃນການຊອກຫາຜນົ ບວກດ່ີ ງັ ກີ່ າວນີຶ້ b1 b2 b3 ສາມາດປະຕບິ ດັ ຕາມຂນັຶ້ ຕອນຕີ່ໄໍ ປນ.ີຶ້ ກ. ນາໍ ເອາົ ຕວົ ທະວີ r ຂອງອນັ ດບັ ທະວຄີ ນຫານທງັ ສອງເບອຼືຶ້ ງຂອງ S . ຂ. ນາໍ ເອາົ ຜນົ ບວກທີ່ ເີ ຮາົ ຕອຶ້ ງການຊອກຫາມາລບົ ໃຫອຶ້ ນັ ດບັ ທີ່ໄີ ດຈຶ້ າກຂໍຶ້ ກ ແລວ້ຶ ຈະໄດອຶ້ ນັ ດບັ ທະວຄີ ນ. ກດິ ຈະກາໍ : ຈ່ີ ງົ ຊອກຫາຜນົ ບວກ 1  5  9  13   2 4 8 16 ໝາຍເຫດ: ຖາ້ຶ ວ່ີ າ a, b, c ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນ ຈະໄດ ຶ້ b2  ac ກດິ ຈະກາໍ : ຈ່ີ ງົ ຊອກຫາ x, y ເພີ່ ອຼື ໃຫຶ້ 2, x, y ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ ແລະ x, y,9 ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນ 6. ອນັ ດບັ ທີ່ ມີ ຜີ ນົ ລບົ ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ ຫືຼ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນ ໃຫອຶ້ ນັ ດບັ an : a1, a2, a3,,an , ແລະ  bn : b1, b2, b3,, bn, ເຊ່ີ ງິ ວີ່ າ b1  a2  a1 b2  a3  a2 b3  a4  a3    bn1  an  an1 ເມ່ີ ອຼື ບວກຟາກຕີ່ ໍຟາກເຂາົຶ້ ກນັ ເຮາົ ໄດ:ຶ້ b1  b2  b3    bn1  an  a1 ດ່ີ ງັ ນນັ້ຶ ເມີ່ ອືຼ bn ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ ຫືຼ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນ ແມີ່ ນສາມາດຊອກຫາ b1  b2  b3    bn1 ແລະ an ໄດ:ຶ້ ຈາກ b1  b2  b3    bn1  an  a1 b1  b2  b3    bn1  a1  an ດີ່ ງັ ນນັ້ຶn1 an  a1  bK k 1 ຕວົ ຢີ່ າງ ໂດຍນາໍ ໃຊ ້ຶ bn, ເຊ່ີ ງິ bn  an1  an ຈີ່ ງົ ຊອກຫາພດົ ທີ່ ວົ ໄປຂອງອນັ ດບັ ລີ່ ມນ:ີຶ້ an:1, 2,5,10,17, 26, ວທິ ແີ ກ:້ຶ ຈາກ an:1, 2,5,10,17, 26, b1  a2  a1  2 1  1 b2  a3  a2  5  2  3 b3  a4  a3  10  5  5    bn:1,3,5, 7,9,11 SONEPHAN LORVANNA 24

ເຫນັ ວີ່ າ bn:1,3,5,7,9,11ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກທ່ີ ມີ ຕີ ວົ ທະວແີ ມ່ີ ນ: d  31  5  3  9  7 11 9  2 ຈະໄດຶ້ bn  a1  n 1 d  1 2n 1 1 2n  2  2n 1 n1 n1  1 2 K  1 , ເຮາົ ມີ k 1 k 1 n1 n1         an  a1  bK  1 k 1 k 1 2K 1 n kn n 1 n k 1 2 ແລະ c  nc k 1 an 1 n 1n 11  n 1 nn 1  n  n2  2n 1 2 ດ່ີ ງັ ນນັ້ຶ an  n2  n 1 ກດິ ຈະກາໍ ໂດຍນາໍ ໃຊ ຶ້ bn , ເຊ່ີ ງິ bn  an1  an ຈ່ີ ງົ ຊອກຫາພດົ ທ່ີ ວົ ໄປຂອງອນັ ດບັ ລີ່ ມນ:ີຶ້ an: 4,5,7,11,19,35, III. ຂອບເຂດ ແລະ ການຈອຶ້ ມຂອງອນັ ດບັ 1. ຂອບເຂດຂອງອນັ ດບັ ຂອບເຂດຂອງອນັ ດບັ ຈະໃຊເຶ້ ພີ່ ອຼື ພຈິ າລະນາຄ່ີ າພດົ ທີ n , an ຂອງອນັ ດບັ ບີ່ ໍສນິ້ຶ ສດ ເມີ່ ອຼື n ມຄີ ່ີ າໃຫຍີ່ ຂນຶ້ ໂດຍບີ່ ໍສນິຶ້ ສດ n   1.1 ຖາຶ້ n   ແລວຶ້ ເຮດັ ໃຫຄ້ຶ ີ່ າ an ຂອງອນັ ດບັ ເຂາົ້ຶ ໃກ ຶ້ ຫືຼ ເທີ່ າົ ກບັ ຈາໍ ນວນຈງິ L ພຽງຈາໍ ນວນດຽວເທ່ີ າົ ນນັ້ຶ , ແລວຶ້ ເອນີຶ້ L ” ຂອບເຂດຂອງອນັ ດບັ ” ເຊ່ີ ງິ ສນັ ຍາລກັ ດວຶ້ ຍ lim an  L. n 1.2 ອນັ ດບັ ບີ່ ໍສນິ້ຶ ສດ an ທີ່ ມີ ຂີ ອບເຂດ ເອນີຶ້ ວ່ີ າ “ ອນັ ດບັ ຈອ້ຶ ມ ” 1.3 ອນັ ດບັ an ທ່ີ ບີ ່ີ ມໍ ຂີ ອບເຂດ ຫືຼ lim an  ເອນີ້ຶ ວ່ີ າ “ ອນັ ດບັ ຫວາ ” n ຕວົ ຢ່ີ າງ: ຈ່ີ ງົ ສກສາການຈອ້ຶ ມ ຫືຼ ການຫວາ ຂອງອນັ ດບັ ຕ່ີ ໄໍ ປນ:ີຶ້ a. an  n2 n 1 2  3n  b. an  n2 1 n 1 SONEPHAN LORVANNA 25

ວທິ ແີ ກ:້ຶ a. an  n2 n 1 2  3n  lim an  lim n2 n 1 2  3n  n n n 1 1  1 1 n  n lim an  lim 1  3 2   lim 1 3 2   0 n  n2  n  n2  n n n2 n n lim an  0 n ດີ່ ງັ ນນັ້ຶ ອນັ ດບັ an  n2 n 1 2 ເປນັ ອນັ ດບັ ຈອ້ຶ ມ  3n  b. an  n2 1 n 1 n2 1 n2 1  1  n 1  1  n 1 n  n  lim an  lim  lim  lim   n 1 1  1 1 n n n n  n n lim an   n ດີ່ ງັ ນນັ້ຶ ອນັ ດບັ an  n2 1 ເປນັ ອນັ ດບັ ຫວາ n 1 ກດິ ຈະກາໍ ອນັ ດບັ an   1 n1 ຈີ່ ງົ ສກສາການຈອຶ້ ມ ຫຼື ການຫວາຂອງອນັ ດບັ ນ.ີ້ຶ ຫກັ ເກນຂອງຂອບເຂດຂອງອນັ ດບັ ທ່ີ ຈີ າໍ ເປນັ ຕອ້ຶ ງຈ່ີ ໃືຼ ຫໄຶ້ ດ.ຶ້ ໃຫ້ຶ c ເປນັ ຈາໍ ນວນຄງົ ຄ່ີ າ k, n  , lim an  l ແລະ lim bn  M ຈະໄດ:ຶ້ n n 1. lim c  c n 2. lim can  cl n  3.     lim an  bn lim an lim bn L M n n n  4.   lim an  bn  lim an lim bn LM n n n 5. lim an  lim an  L n bn lim bn M n n   6. k k lim an lim an  lk n n 7. lim k an  k lim an k L n n 8. lim an  lim an  L n n 9. lim nk   n 10. lim c 0 nn k SONEPHAN LORVANNA 26

11. lim f n   ແລະ lim f n   ແລວ້ຶ lim f c 0 n n n n 12. lim f n  0 ແລະ lim g n  c , c0 ແລວ້ຶ lim g n  f n n n n 13. ຖາຶ້ c  1 ແລວ້ຶ lim cn  0 , ຖາຶ້ c  1ແລວ້ຶ c  1 ແລວຶ້ lim cn ບີ່ ໍມຂີ ອບເຂດ ແລະ c  1 n n ແລວຶ້ lim cn   n ກດິ ຈະກາໍ : ຈ່ີ ງົ ກວດເບ່ີ ງິ ວ່ີ າອນັ ດບັ ລີ່ ມນີຶ້ ເປນັ ອນັ ດບັ ຈອຶ້ ມ ຫຼື ອນັ ດບັ ຫວາ? a. 5n  3 lim n 1 4n b. lim 4n2  3 n 5n 1 c. lim 2.3n1  4 2  5.3n1 n  d. lim n2 1  n n ຫກັ ເກນ: ການຖກຼື ໜບີ ສອງສນົ້ຶ ເມ່ີ ອືຼ an  bn  cn , lim an L ແລະ lim cn L ແລວ້ຶ ໄດຶ້ lim bn L n n n ກດິ ຈະກາໍ ຈ່ີ ງົ ຄດິ ໄລີ່ ຂອບເຂດລ່ີ ມນີ້ຶ a. 1 1n lim x n b. lim cos n n n IV. ການນາໍ ໃຊອ້ຶ ນັ ດບັ ຈາໍ ນວນ ອນັ ດບັ ບທະວບີ ວກ ແລະ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນເຊີ່ ງິ ເຮາົ ໄດຮຶ້ ຽນມາແລວ້ຶ ໃນບດົ ນເີ້ຶ ຮາົ ຈະຮຽນເຖງິ ການນາໍ ໃຊ້ຶ ເຂາົ້ຶ ໃນຕວົ ຈງິ ກ່ີ ຽວກບັ ການຄດິ ໄລີ່ ງບົ ປະມານຕ່ີ າງໆມລີ າຍລະອຽດດ່ີ ງັ ນ:ີຶ້ 1. ຄີ່ າຫຍ້ຶ ຫຽ້ຶ ນ ແລະ ງບົ ປະມານ ຕວົ ຢີ່ າງ: 1. ຊາຍຜໜຶ້ ່ີ ງຕກົ ລງົ ຈ່ີ າຍໜີ້ຶ 5.800.000 ກບີ ທ່ີ ບີ ່ີ ມໍ ດີ ອກເບຍຶ້ , ຄງັຶ້ ທາໍ ອດິ ຈີ່ າຍ 100.000 ກບີ ແລະ ຄງັ້ຶ ຕີ່ ໍ ໄປຈ່ີ າຍເພີ່ ມີ 20.000 ກບີ . ຖາມວ່ີ າລາວຕອ້ຶ ງຈີ່ າຍໜຈີຶ້ ກັ ຄງັຶ້ ຈ່ີ ງຈະໝດົ ໜ.ີ້ຶ ວທິ ແີ ກ:້ຶ ຈາໍ ນວນເງນິ ໃນການຈ່ີ າຍໜຂີຶ້ ອງຊາຍຜນ້ຶ ຈີຶ້ ະເປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກຄ:ຼື 100.000 , 120.000 , 140.000 ,160.000  ລາວຈະໝດົ ໜເີ້ຶ ມ່ີ ອືຼ 100.000 120000 140000 160000    5800000 ເຫນັ ວີ່ າ a1  100000 ແລະ r  200000 ຊອກຫາ n ອງິ ຕາມ Sn  n 2a1   n  1 d  2 5800000  n 2 100000  20000 n 1 2 SONEPHAN LORVANNA 27

5800000  100000n 10000n2 10000n 10000n2  90000n  5800000  0 n2  9n  580  0 n  29n  20  0 n  29 ບ່ີ ໍເໝາະສມົ ແລະ n  20 ສະນນັ້ຶ n  20 ດ່ີ ງັ ນນັຶ້ , ລາວຕອ້ຶ ງຈ່ີ າຍໜີຶ້ 20 ງວດ ຈີ່ ງຈະໝດົ ໜ.ີຶ້ ກດິ ຈະກາໍ ບໍລສິ ດັ ໜ່ີ ງຊເືຼຶ້ ຄີ່ ອືຼ ງຈກັ ຊະນດິ ໜີ່ ງດວ້ຶ ຍລາຄາ 1700000 ກບີ . ຮວຶ້ ີ່ າຄີ່ າຫຍຶ້ ຫຽຶ້ ນຂອງມນັ ປລີ ະ 150000 ກບີ ກ. ຈີ່ ງົ ຂຽນສດຄໍານວນມນຄີ່ າຂອງເຄີ່ ອືຼ ງຈກັ ນີຶ້ ຫງັ ຈາກໃຊວ້ຶ ຽກແລວຶ້ n ປ.ີ ຂ. ຖາ້ຶ ວີ່ າບໍລສິ ດັ ຂາຍເຄີ່ ອືຼ ງຈກັ ນໃີຶ້ ນລາຄາ 200000 ກບີ , ຖາມວີ່ າບລໍ ສິ ດັ ໃຊເ້ຶ ຄ່ີ ອືຼ ງຈກັ ເປນັ ເວລາຈກັ ປ.ີ 2. ດອກເບຍຶ້ ດອກເບຍຶ້ ແມ່ີ ນຈາໍ ນວນເງນິ ທີ່ ໄີ ດຮຶ້ ບັ ຜນົ ຕອບແທນຈາກການໃຊປ້ຶ ະໂຫຍດຈາກເງນິ ນນັຶ້ ຕາມໄລຍະເວລາທີ່ ີ ກາໍ ນດົ . 2.1 ດອກເບຍ້ຶ ຝາກມກີ າໍ ນດົ ສມົ ມດເຮາົ ເອາົ ເງນິ ຈາໍ ນວນ P ກບີ ໄປຝາກທະນາຄານ ໃນອດັ ຕາດອກເບຍຶ້ r% ຕ່ີ ປໍ ີ ສະນນັຶ້ , ໃນ 1 ປຈີ ະ ໄດດຶ້ ອກເບຍຶ້ I  P  r  . ຖາ້ຶ ດອກເບຍຶ້ ນບີຶ້ ່ີ ໍກາຍເປນັ ເງນິ ຝາກ ຫຼື ຝາກມກີ າໍ ນດົ ແລວຶ້ ປຕີ ່ີ ໍໄປໆ ຈາໍ ນວນເງນິ ໃນ  100  ບນັ ຊຈີ ະແມ່ີ ນ P, P  I, P  2I, P  3I, ເຊີ່ ງິ ມນັ ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກເຊ່ີ ງິ ມຕີ ວົ ທະວເີ ທີ່ າົ ກບັ I . ດີ່ ງັ ນນັຶ້ , ກລໍ ະນນີ ຈີ້ຶ າໍ ນວນເງນິ ໃນບນັ ຊຫີ ງັ ຈາກຝາກໄດຶ້ n ປແີ ມີ່ ນ: an  P  nI , I  P  r  .  100  ກດິ ຈະກາໍ ເມີ່ ອຼື ເຮາົ ເອາົ ເງນິ ຈາໍ ນວນ 3000000ກບີ ໄປຝາກທະນາຄານແບບມກີ າໍ ນດົ ດວຶ້ ຍອດັ ຕາດອກເບຍ້ຶ 12% ຕ່ີ ໍປ.ີ ຈີ່ ງົ ຂຽນສດຄດິ ໄລ່ີ ຈາໍ ນວນເງນິ ໃນບນັ ຊເີ ມີ່ ອືຼ ຝາກໄດຶ້ n ປີ ແລະ ຄດິ ໄລີ່ ຈາໍ ນວນເງນິ ໃນບນັ ຊຫີ ງັ ຈາກການຝາກ ໄດ ຶ້ 10 ປ.ີ 2.2 ດອກເບຍ້ຶ ຝາກປະຍດັ ສມົ ມດເຮາົ ເອາົ ເງນິ ຈາໍ ນວນ P ກບີ ໄປຝາກທະນາຄານ ໃນອດັ ຕາດອກເບຍ້ຶ r% ຕ່ີ ໍປີ ສະນນັ້ຶ ໃນ 1 ປຈີ ະ ໄດດ້ຶ ອກເບຍຶ້ I  P  r  . ຖາຶ້ ວີ່ າດອກເບຍຶ້ ນກີຶ້ າຍເປນັ ເງນິ ຝາກ ຫຼື ຝາກປະຍດັ ແລວ້ຶ ປຕີ ີ່ ໆໍ ຈາໍ ນວນເງນິ ໃນບນັ ຊີ  100  ຈະແມ່ີ ນ: ໃນທາ້ຶ ຍປທີ ີ 1: A1  P  P  r  P 1 r  100 100  ໃນທາຶ້ ຍປທີ ີ 2: A2  A1  A1 r  A1 1 r   P 1 r  1 r   P 1 r 2 100 100  100  100  100  ໃນທາຶ້ ຍປທີ ີ 3: A3  A2  A2 r  A2 1 r   P 1 r 2 1 r   P 1 r 3 100 100  100  100  100  SONEPHAN LORVANNA 28

ໃນທາ້ຶ ຍປທີ ີ 4: An  An1  An1 r  An1 1 r   P 1 r n1 1 r   P 1 r n 100 100  100  100  100  ດີ່ ງັ ນນັ້ຶ , ສດຄໍານວນຈາໍ ນວນເງນິ ຝາກພາຍຫງັ ການຄດິ ໄລ່ີ ດອກເບຍຶ້ ຄງັຶ້ ທີ n ແມ່ີ ນ: An  P 1 in ເຊ່ີ ງິ i r 100 ຕວົ ຢ່ີ າງ ນາງ ມີ ເອາົ ເງນິ ຝາກທະນາຄານຈາໍ ນວນ 4.000.000 ກບີ ໃນບນັ ຊເີ ງນີ ຝາກປະຍດັ , ອດັ ຕາດອກເບຍຶ້ ທ່ີ ໄີ ດ້ຶ ຮບັ ຈາກທະນາຄານ 6% ຕີ່ ປໍ ີ ເມີ່ ອືຼ ຝາກຄບົ 5 ປີ ລາວຈະໄດຮ້ຶ ບັ ເງນິ ທງັ ໝດົ ເທ່ີ າົ ໃດ? ວທິ ແີ ກ ຶ້ ເຮາົ ມີ P  4000000 , i  6%  6  0, 06 ຕ່ີ ປໍ ,ີ n  5 100 ອງິ ຕາມ An  P 1 in An  40000001 0, 065  40000001, 065  40000001,3382  5352800 ດ່ີ ງັ ນນັຶ້ , ນາງ ດໍາ ຮບັ ເງນິ ທງັ ໝດົ 5352800 ເມ່ີ ອືຼ ຝາກຄບົ 5 ປີ ຈາກເງນິ ຕນົຶ້ 4000000 ກບີ . ຖາຶ້ ການຄດິ ໄລີ່ ດອກເບຍ້ຶ ໃນໜີ່ ງປມີ ຫີ າຍກວ່ີ າ 1 ຄງັ້ຶ ເຊ່ີ ນັ : ຄດິ ດອກເບຍ້ຶ ທກໆ 3 ເດອຼື ນ ຫືຼ ຄດິ ໄລ່ີ ດອກເບຍ້ຶ ທກໆ 6 ເດອຼື ນ ເປນັ ຕນົຶ້ . ສາມາດຄໍານວນໂດຍໃຊສ້ຶ ດດ່ີ ງັ ນ.ີຶ້ An  P 1 i mn m  ເຊ່ີ ງິ m ຈາໍ ນວນຄງັຶ້ ທ່ີ ຄີ ດິ ໄລີ່ ດອກເບຍ້ຶ ໃນ 1 ປ,ີ i ດອກເບຍ້ຶ ທີ່ ໄີ ດຮຶ້ ບັ ໃນແຕີ່ ລະງວດ. m ກດິ ຈະກາໍ ນາງ ວອນ ເອາົ ເງນິ ຝາກທະນາຄານຈາໍ ນວນ 4000000 ກບີ ໄປຝາກປະຍດັ ນາໍ ທະນາທານ ອດັ ຕາດອກ ເບຍຶ້ ປະຍດັ 6% ຕ່ີ ໍປ.ີ ເຊີ່ ງິ ທະນາຄານໄລ່ີ ດອກເບຍຶ້ ທກໆ 6 ເດອືຼ ນ ຖາມວີ່ າເມີ່ ອືຼ ຝາກຄບົ 5 ປີ ລາວມຍີ ອດໃນບນັ ຊີ ເງນິ ຝາກເທີ່ າົ ໃດ? 2.3 ກລໍ ະນເີ ອາົ ເງນິ ເຂາົ້ຶ ບນັ ຊຝີ າກປະຍດັ ທກໆງວດ ສມົ ມດເຮາົ ເອາົ ເງນິ ໄປຝາກປະຢດັ ງວດລະ P ກບີ , ອດັ ຕາດອກເບຍຶ້ ແມ່ີ ນ r% ຕ່ີ ງໍ ວດ. ເມ່ີ ອືຼ ເອາົ ເງນິ ເຂາົ້ຶ ບນັ ຊປີ ະຢດັ n ງວດ ແລວ້ຶ ເຮາົ ຈະມເີ ງນິ ລວມຂອງເງນິ ແຕີ່ ລະງວດດີ່ ງັ ນ:ີ້ຶ ເງນິ ຈາໍ ນວນ P ກບີ ທີ່ ເີ ຂາົ້ຶ ບນັ ຊໃີ ນງວດທີ 1ຈະກາຍເປນັ P 1 in1 ເງນິ ຈາໍ ນວນ P ກບີ ທີ່ ເີ ຂາົຶ້ ບນັ ຊໃີ ນງວດທີ 2 ຈະກາຍເປນັ P 1 in2 ເງນິ ຈາໍ ນວນ P ກບີ ທ່ີ ເີ ຂາົຶ້ ບນັ ຊໃີ ນງວດທີ 3 ຈະກາຍເປນັ P 1 in3  ເງນິ ຈາໍ ນວນ P ກບີ ທ່ີ ເີ ຂາົຶ້ ບນັ ຊໃີ ນງວດທີ n ກຍໍ ງັ ເທ່ີ າົ ເດມີ . ດ່ີ ງັ ນນັຶ້ , ຈາໍ ນວນເງນິ ລວມໃນບນັ ຊຝີ າກປະຍດັ ທງັ ໝດົ ແມ່ີ ນ: S  P 1 i n1  P 1 i n2    P 1 i  P ເຫນັ ວີ່ າ a1  P ແລະ r  1 i  ອງິ ຕາມ Sn  a1 1 rn 1 r SONEPHAN LORVANNA 29

 P 1 1 in  p 1 1 in   P 1 in 1 i  i ຈະໄດຶ້ S  1 1 i S  P 1 in 1 i ກດິ ຈະກາໍ ແຕີ່ ລະປີ ພ່ີ ເໍ ຖາົຶ້ ມີ ເອາົ ເງນິ ໄປເຂາົຶ້ ບນັ ຊຝີ າກປະຢດັ ດຂອງລາວ 1000000 ກບີ , ເຊີ່ ງິ ທະນາຄານໃຫດ້ຶ ອກ ເບຍຶ້ 8% ຕີ່ ປໍ .ີ ຖາມວ່ີ າເມ່ີ ອືຼ ລາວເອາົ ເງນິ ເຂາົຶ້ ບນັ ຊຂີ ອງລາວໃນຕນົຶ້ ປທີ ີ 11 ໃນບນັ ຊຂີ ອງລາວຈະມເີ ງນິ ທງັ ໝດົ ເທ່ີ າົ ໃດ. 2.4 ມນຄີ່ າປດັ ຈບນັ ເພ່ີ ອຼື ສາມາດຖອນເງນິ ຈາກບນັ ຊຝີ າກປະຢດັ ທ່ີ ໃີ ຫດຶ້ ອກເບຍ້ຶ i ເປເີ ຊນັ ຕີ່ ໍງວດໃຫຄຶ້ ບົ ຖວ້ຶ ນ m ງວດ ແລະ ງວດລະ P ກບີ ຕອ້ຶ ງມເີ ງນິ ໃນບນັ ຊ:ີ A  A1  A2    Am A  P 1 i 1  P 1 i 2    P 1 i m ເຫນັ ວີ່ າ a1  P 1 i 1 ແລະ r  1 i 1 P 1  i 1 1  1  i  m  P 1 i1 P  ຈະໄດຶ້ A   1 1 1  1  i  m   1 i 1 1 i  m   1i 1  1 1 i1 1i 1i ດ່ີ ງັ ນນັຶ້ A P 1 1 i m  i  ເພີ່ ນິ ເອນີຶ້ ຄີ່ ານວີຶ້ ີ່ າ ມນຄີ່ າປະຈບນັ ໃນການປະຢດັ ສາໍ ລບັ ຈີ່ າຍ m ງວດ ແລະ ງວດລະ P ກບີ . ການໃຊໜ້ຶ ີຶ້ ຫຼື ການຈາຍຜີ່ ອນກີ່ ສໍ າມາດໃຊສຶ້ ດມນຄີ່ າປະຈບນັ ນໄີຶ້ ດເ້ຶ ຊ່ີ ນັ ກນັ . ກດິ ຈະກາໍ 1. ເມີ່ ອຼື ລງອ່ີ ອນສີ ມອີ າຍ 60 ປ,ີ ລາວຕອ້ຶ ງການເງນິ ຈາກບນັ ຊຝີ າກປະຢດັ ປລີ ະ 5000000ກບີ , ພາຍໃນ 10 ປີ ເຊີ່ ງິ ການຖອນເທ່ີ ອືຼ ທີ 1 ເມ່ີ ອືຼ ລາວມອີ າຍ 61 ປ.ີ ການຝາກປະຢດັ ນທີຶ້ າງທະນາຄານໃຫດຶ້ ອກເບຍ້ຶ 8% ຕ່ີ ໍປ.ີ ຖາມ ວ່ີ າລາວຕອ້ຶ ງມເີ ງນິ ຝາກປະຢດັ ໃນບນັ ຊເີ ບອືຼຶ້ ງຕນົ້ຶ ແມ່ີ ນເທີ່ າົ ໃດ? 2. ນາງ ວອນຢມຼື ເງນິ 8000000 ກບີ ດວ້ຶ ຍດອກເບຍຶ້ 8% ຕີ່ ປໍ ີ ແລະ ຕອຶ້ ງສີ່ ງົ ຄນຼື ທກໆທາຶ້ ຍປ.ີ ຖາມວີ່ າລາວຕອ້ຶ ງ ໃຊຄ້ຶ ນຼື ປລີ ະເທ່ີ າົ ໃດ ເພ່ີ ອຼື ໃຫໝ້ຶ ດົ ໜໃີຶ້ ນ 5 ປ.ີ SONEPHAN LORVANNA 30

ບດົ ເຝກິ ຫດັ I. ອນັ ດບັ ຈາໍ ນວນ 1. ຈີ່ ງົ ຊອກຫາ 6 ພດົ ທໍາອດິ ຂອງອນັ ດບັ an ທ່ີ ກີ າໍ ນດົ ໃຫດຶ້ ີ່ ງັ ລີ່ ມນ:ີຶ້ a. an  1n  2n1 b. an  2 1 n c. an  n d. an  n  2n1 2n 1 e. an  2n 1 f. an  2n 1 n 1 2. ຈີ່ ງົ ຊອກຫາ 5 ພດົ ທໍາອດິ ຂອງອນັ ດບັ bnທ່ີ ກີ າໍ ນດົ ໃຫດ້ຶ ີ່ ງັ ລີ່ ມນ:ີຶ້ a. an  n 1, bn  a2n1 1 b. an  n , bn  a2n  1 c. an  n , bn  a3n  4 d. an  6  n , bn   an1 n  2 3. ຈ່ີ ງົ ສະເໜີ 6 ພດົ ທາໍ ອດິ ຂອງອນັ ດບັ ທ່ີ ມີ ພີ ດົ ທີ່ ວົ ໄປດວຶ້ ຍເສນັຶ້ ສະແດງ. a. an  2 b. an  1n n 1 1 n c. an  2 d. an  2n 1 e. an  1 f. an  1n 2n II. ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ ແລະ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ 1. ໃຫອຶ້ ນັ ດບັ ທະວບີ ວກ, ເຊີ່ ງິ ມພີ ດົ ທີ 42 ເທີ່ າົ ກບັ 95 ແລະ ຕວົ ທະວບີ ວກເທ່ີ າົ ກນັ 5. ຈີ່ ງົ ຊອກຫາພດົ ທ່ີ ວົ 2 ໄປ ແລະ ພດົ ທີ 54 ຂອງອນັ ດບັ ນ.ີຶ້ 2. ໃຫອ້ຶ ນັ ດບັ ທະວບີ ວກ, ເຊ່ີ ງິ ມພີ ດົ ທີ 4 ເທ່ີ າົ ກບັ 18 ແລະ ພດົ ທີ 7 ເທ່ີ າົ ກບັ 16 ຈີ່ ງົ ຊອກຕວົ ທະວບີ ວກ ແລະ ພດົ ທີ 1 ຂອງອນັ ດບັ ນ.ີ້ຶ 3. ໃຫອ້ຶ ນັ ດບັ ທະວບີ ວກຄ:ືຼ 5,12,19, 26,,670 ຈີ່ ງົ ຊອກຫາວ່ີ າອນັ ດບັ ນມີຶ້ ຈີ ກັ ພດົ ແລະ ຜນົ ບວກເທ່ີ າົ ກບັ ເທີ່ າົ ໃດ. 4. ເລກສາມຈາໍ ນວນລຽງກນັ ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ ຖາຶ້ ຜນົ ບວກຂອງສາມຈາໍ ນວນນເີຶ້ ທ່ີ າົ ກບັ 24 ແລະ ຜນົ ບວກ ກາໍ ລງັ ສອງຂອງແຕ່ີ ລະພດົ ເທີ່ າົ ກບັ 242 ແລວຶ້ ຜນົ ບວກຂອງພດົ ທໍາອດິ ແລະ ພດົ ສດທາ້ຶ ຍແມີ່ ນເທ່ີ າົ ໃດ. 5. ຈ່ີ ງົ ຊອກຫາຄີ່ າຂອງ x ເພີ່ ອືຼ ໃຫຶ້ 1,log4 5,log8 x ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ. 6. ໃຫອຶ້ ນັ ດບັ ທະວບີ ວກ, ເຊີ່ ງິ ມຜີ ນົ ບວກ 10 ພດົ ທໍາອດິ ເທີ່ າົ ກບັ 100 ແລະ ຜນົ ບວກ 100 ພດົ ທໍາອດິ ເທີ່ າົ ກບັ 10 ຈີ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ບວກ 110 ພດົ ທາໍ ອດິ ເທ່ີ າົ ກບັ ເທ່ີ າົ ໃດ. 7. ໃຫຶ້ a1, a2, a3,, a13 ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກທີ່ ມີ ຜີ ນົ ຕ່ີ າງຮ່ີ ວມເທີ່ າົ ກບັ 14 ແລະ a7  183 . ຈ່ີ ງົ ຊອກຫາ a1  a2  a3    a13 ເທ່ີ າົ ກບັ ເທ່ີ າົ ໃດ. SONEPHAN LORVANNA 31

8. ຈ່ີ ງົ ຊອກຫາຜນົ ບວກຂອງ m  n ພດົ ທໍາອດິ ຂອງອບັ ດບັ ທະວບີ ວກໜີ່ ງ, ເຊີ່ ງິ ໃນນນັ້ຶ ພດົ ທີ m ເທ່ີ າົ ກບັ n ແລະ n ເທ່ີ າົ ກບັ m . 9. ຈີ່ ງົ ພສິ ດວີ່ າ ຖາ້ຶ ຈາໍ ນວນ 1,1,1 ປະກອບເປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີິ ວກໜີ່ ງ, ແມ່ີ ນຈາໍ ນວນ a2 , b2 , c2 bc ca ba ກີ່ ເໍ ປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກເຊີ່ ນັ ກນັ . 10. ຈ່ີ ງົ ຄໍານວນ 20 n a. 3k b. 2k 1k 1 k 1 k 1  10 n c. k3  9k 2 18k d. 2k 1 k 1 k 1 7 10 11. ໃຫ້ຶ a ແລະ b ຄງົ ຄ່ີ າ ຖາ້ຶ ak  b  4  63 ແລະ bk  a  8  65 ແລວ້ຶ ຄີ່ າຂອງ a ແລະ k 1 k 1 b ເທີ່ າົ ໃດ. 12. ຈີ່ ງົ ຄດັ ຈອຶ້ ນຜນົ ບວກ a. n1 k1 k k 1 n 1 b.  k1 k  k 1 c. n k  k  1 k  2  1  k 1 ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນ 1. ໃຫອ້ຶ ນັ ດບັ ທະວຄີ ນ, ເຊ່ີ ງິ ມພີ ດົ ທີ 3 ເທ່ີ າົ ກບັ 2 ແລະ ຕວົ ທະວຄີ ນເທ່ີ າົ ກບັ 1 ຈີ່ ງົ ຊອກຫາພດົ ທີ 7 ຂອງອນັ 33 ດບັ ນ.ີຶ້ 2. ໃຫອ້ຶ ນັ ດບັ ທະວຄີ ນ, ເຊ່ີ ງິ ມພີ ດົ ທີ 7 ເທີ່ າົ ກບັ 1 ແລະ ພດົ ທີ 3 ເທ່ີ າົ ກບັ 1 ຈ່ີ ງົ ຊອກຫາຕວົ ທະວຄີ ນຂອງ 1458 18 ອນັ ນ.ີ້ຶ 3. ຈີ່ ງົ ຊອກຫາສ່ີ ຈີ າໍ ນວນສບັ ໃສີ່ ຫວີ່ າງຈາໍ ນວນ 160 ແລະ 5 ເພີ່ ອືຼ ປະກອບເປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນ. 4. ຈີ່ ງົ ພສິ ດວີ່ າ ຖາ້ຶ ມສີ າມຈາໍ ນວນປະກອບເປນັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ ແລະ ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນ ແມ່ີ ນສາມຈາໍ ນວນ ນນັ້ຶ ຕອ້ຶ ງເທ່ີ າົ ກນັ . 5. ຈ່ີ ງົ ຊອກຫາຄ່ີ າຂອງ a,b, c ເພີ່ ອືຼ ໃຫຶ້ a,b, 2,c,18 ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນ. 6. ຈີ່ ງົ ຊອກ a ເພີ່ ອືຼ ໃຫຶ້ 1,2,1 ເປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນ ແລະ a, b, 3c ເປນັ ອບັ ດບັ ທະວບີ ວກ c abc 7. ໃຫສ້ຶ ່ີ ຈີ າໍ ນວນເປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນ. ຖາຶ້ ວີ່ າຜນົ ຄນຂອງສີ່ ຈີ າໍ ນວນນເີ້ຶ ທ່ີ າົ 1 ແລະ ພດົ ທສີ ອງມຄີ ່ີ າເທ່ີ າົ ກບັ 1. ຈ່ີ ງົ 16 ຊອກຫາສີ່ ຈີ າໍ ນວນດີ່ ງັ ກີ່ າວ. 8. ຈ່ີ ງົ ຊອກຫາຜນົ ບວກຂອງອນັ ດບັ ບ່ີ ໍສນິຶ້ ສດຕ່ີໄໍ ປນ.ີຶ້ a. 5  10  20  40  b. 0,14  0,014  0,0014   3 9 27 SONEPHAN LORVANNA 32

c. 1  2  3  4  d. 1 lg 2  1 lg 4  1 lg8  1 lg16   3 9 27 81 4 8 16 32 e. 1 5  12  22  35  f. ln a  ln a  ln 4 a  8 a   3 32 33 34 9. ໃຫອຶ້ ບັ ລບັ ທະວຄີ ນແຮມບ່ີ ໍສນິ້ຶ ສດ ພດົ ທສີ ອງເທີ່ າົ ກບັ 4 ແລະ ມຜີ ນົ ບວກເທ່ີ າົ ກບັ 16 ຈີ່ ງົ ຊອກຫາຜນົ ບວກ ຂອງສາມພດົ ທໍາອດິ . 10. ໃຫອ້ຶ ນັ ດບັ ທະວຄີ ນ a  3, a, a  2 ທ່ີ ມີ ຕີ ວົ ທະວແີ ມີ່ ນ r ຈ່ີ ງົ ຊອກຫາ   arn1 n1 11. ຖາຶ້ ວ່ີ າ a,b,c,d ປະກອບເປນັ ອນັ ດບັ ທະວຄີ ນ ຈີ່ ງົ ພສິ ດວີ່ າ b  c2  c  a2  d  b2  a  d 2 12. ຈ່ີ ງົ ຊອກຫາ bn, ເຊີ່ ງິ bn1  an1  an ຈາກນນັ້ຶ ຈີ່ ງົ ຊອກພດົ ທີ່ ວົ ໄປຂອງ an ທ່ີ ກີ າໍ ນດົ ໃຫດ້ຶ ີ່ ງັ ຕ່ີໄໍ ປນ.ີ້ຶ a. an: 1,3,6,10,15, b. an : 2,8,18,32,50, c. an : 1,3,14,15, 23, d. an : 3,5,9,17,33, e. an: 7,19,37,61,91, f. an :1,3,7,15,31, III. ຂອບເຂດ ແລະ ການຈອຶ້ ມຂອງອນັ ດບັ b. an  1 2n 1. ຈີ່ ງົ ສກສາການຈອມຂອງອນັ ດບັ ຕີ່ໄໍ ປນ.ີຶ້ 1 2n a. an  3  0,5n c. an  2n d. an  n2  5n  n n 1 e. an  n2  2n 1 f. an  sin n3 n 1 n g. an  1n h. an  1 n2 1  n 1 n i. an  cos2 n 2n 2. ຈີ່ ງົ ຄໍານວນຂອບເຂດຕີ່ໄໍ ປນ.ີຶ້ a. lim 3n  5 b. lim 2n 1 n 8n2  2 n 6n2  3n 1 8  c. lim n 1  n d. lim n3  2n2  3 n n 6n2  3n 1 3n2  5n  1 n1  1 3 n3   e. lim 5n2  2n  6 f. lim n 2 n 5  n3  n4 g. lim 5n1  3 h. lim 2n  5 n 5n  2 n 5n i. lim 5.2n1  4 j. lim  2  sin n   n  n 3.2n1  3 n SONEPHAN LORVANNA 33

k. lim 7n  3n l. lim 3 2n  3n  6.5n n 5n 9 n 5.3n  7n  3 m. lim  4  cos n   n  n 3. ຖາ້ຶ an   4 n  3  9,n  ຈີ່ ງົ ຊອກຫາ lim an  5  n n 4. ຖາ້ຶ an  2n2  4n  3 , n  ຈີ່ ງົ ຊອກຫາ lim an n2  4ln n n 5. ຈີ່ ງົ ຊອກຫາ lim an ເຊີ່ ງິ ວ່ີ າ n a. an  1 2 3  n n2 n2 n2 n2 b. n1 2  3    n an  12  22  32   n2  c.  3  an   n3  12  22  32    n2 IV. ການນາໍ ໃຊອຶ້ ນັ ດບັ ຈາໍ ນວນ 1. ທາຶ້ ວແສງລງົ ທນ 3500000ກບີ ເປນັ ເວລາສາມປີໄດດຶ້ ອກເບຍ້ຶ 6% ຕີ່ ໍປທີ ບົ ຕນົ້ຶ ທນທກປີ ເມີ່ ອຼື ຄບົ ກາໍ ນດົ ຈະ ໄດເ້ຶ ງນິ ລວມທງັ ໝດົ ເທ່ີ າົ ໃດ? 2. ນາງວໄິ ລລງົ ທນ 4500000 ກບີ ເປັນເວລາສາມປີໄດດ້ຶ ອກເບຍ້ຶ 6% ຕີ່ ໍປີ ທກໆເດອຼື ນ ເມີ່ ອຼື ຄບົ ກໍານດົ ຈະໄດ້ຶ ເງນິ ລວມທງັ ໝດົ ເທີ່ າົ ໃດ? 3. ມນືຼ້ຶ ປີ້ຶ າ້ຶ ແດງບອກຫານສາວວ່ີ າໄດເ້ຶ ອາົ ເງນິ ຈາໍ ນວນໜ່ີ ງຝາກເຂາົຶ້ ບນັ ຊທີ ະນາຄານບອກວ່ີ າໃນ 10 ປີ ຂາຶ້ ງໜາ້ຶ ຈະໄດ້ຶ ເງນິ ລວມໃນບນັ ຊເີ ທ່ີ າົ ໃດ? 4. ລງມຢີ ມືຼ ເງນິ ປາຶ້ ບວົ ຈນັ 4000000 ເປນັ ເວລາ 2 ປີ ສນັ ຍາວີ່ າຈະຈ່ີ າຍດອກເບຍ້ຶ ໃຫໃ້ຶ ນອດັ ຕາ 9% ຕີ່ ໍປີ ຊໍາລະຕນົຶ້ ທນພອ້ຶ ມດອກເບຍ້ຶ ເມີ່ ອືຼ ຄບົ ກາໍ ນດົ ປາ້ຶ ບວົ ຈນັ ໄດຮຶ້ ບັ ດອກເບຍ້ຶ ແລະ ເງນິ ລວມເທ່ີ າົ ໃດ? 5. ທາຶ້ ວ ດວງຕາ ລງົ ທນ 8000000 ກບີ ເປນັ ເວລາ 6 ປີ ໄດຮຶ້ ບັ ດອກເບຍ້ຶ ອດັ ຕາ 8% ສະສມົ ສາມເດອຼື ນ ເມ່ີ ອືຼ ຄບົ ກາໍ ນດົ ລາວຈະໄດເຶ້ ງນິ ລວມເທີ່ າົ ໃດ ແລະ ໄດຮຶ້ ບັ ດອກເບຍຶ້ ລວມເທ່ີ າົ ໃດ? 6. ລງພອນຈີ່ າຍໜຈີຶ້ ໍານວນ 3250000ກບີ ໂດຍຈີ່ າຍເງນິ ທໍາອດິ 20000 ກບີ ແລວ້ຶ ຈ່ີ າຍເພ່ີ ມີ ຂນຶ້ ແຕີ່ ລະເດອືຼ ນ 15000ກບີ ຖາມວ່ີ າລາວຕອຶ້ ງຈ່ີ າຍຈກັ ເດອືຼ ນຈ່ີ ງໝດົ ໜ.ີ້ຶ 7. ເງນິ ເດອືຼ ນຂອງນາງຄໍາ ເພ່ີ ມີ ຂນ້ຶ ແຕ່ີ ລະປີ ດ່ີ ງັ ອນັ ດບັ ທະວບີ ວກ. ລາວໄດຮ້ຶ ບັ 440000 ກບີ ຕ່ີ ໍເດອືຼ ນ ເມ່ີ ອຼື ລາວເຮດັ ວຽກໃນປທີ ີ 25 . ຖາມວ່ີ າເງນິ ເດອຼື ນໃນປທີ ໍາອດິ ຂອງນາງຄາໍ ແມ່ີ ນເທ່ີ າົ ໃດ, ເພ່ີ ມີ ຂນ້ຶ ປລີ ະເທ່ີ າົ ໃດ ແລະ ໃນປທີ ີ 38 ທ່ີ ລີ າວເຮດັ ວຽກຈະໄດເຶ້ ງນິ ເດອືຼ ນເທີ່ າົ ໃດ? 8. ໂຮງງານຊເຼືຶ້ ຄ່ີ ອືຼ ງຈກັ ລາຄາ 1500000ກບີ ໃນທາຶ້ ຍປທີ ີ 9 ມນຄ່ີ າຂອງເຄີ່ ອຼື ງຈກັ ນແີ້ຶ ມີ່ ນ 420000 ກບີ ສມົ ມດວີ່ າ ຄ່ີ າຫຍ້ຶ ຫຽຶ້ ນແຕ່ີ ລະປຄີ ງົ ຄີ່ າ. ຈ່ີ ງົ ຊອກຫາຄ່ີ າຫຍຶ້ ຫຽ້ຶ ນຕ່ີ ປໍ ຂີ ອງເຄ່ີ ອືຼ ງຈກັ ນ.ີຶ້ 9. ລດົ ຍີ່ ຫີ ໍ້ຶ A ຄນັ ໜີ່ ງມລີ າຄາເບອືຼ້ຶ ງຕນົ້ຶ ແມີ່ ນ $25600ເຊ່ີ ງິ ຫດລາຄາລງົ $90 ຖາມວ່ີ າມນັ ຕອ້ຶ ງໃຊເຶ້ ວລາດນົ ປານໃດ ກີ່ ອນທລີ າຄາຈະຕກົ ລງົ ມາຕ່ີ າໍ ກວ່ີ າ $15000 SONEPHAN LORVANNA 34

10.ເມ່ີ ອຼື ເອາົ ເງນິ ເຂາົຶ້ ບນັ ຊຝີ າກປະຍດັ 3000000ກບີ ໂດຍໄດດ້ຶ ອກເບຍຶ້ 6% ຕີ່ ໍປແີ ລວ້ຶ ຈະສາມາດຖອນມາຈ່ີ າຍປລີ ະ ເທ່ີ າົ ໃດ 11. ປາຶ້ ຄາໍ ເອາົ ເງນິ ໄປເຂາົ້ຶ ບນັ ຊີ 2000000 ກບີ ແລະ ໄດດຶ້ ອກເບຍ້ຶ ບ່ີ ໍທບົ ຕນົ້ຶ ທນ10% ຕີ່ ໍປ.ີ ຖາມວີ່ າເງນິ ໃນບນັ ຊີ ຂອງປາຶ້ ຄາໍ ມເີ ທ່ີ າົ ໃດ? ເມ່ີ ອືຼ : ກ. ຝາກໄດ້ຶ n ປີ ຂ. ຝາກໄດຶ້ 5 ປີ 12.ຖາ້ຶ ວ່ີ າມໜີ ີ້ຶ5000000ກບີ ທີ່ ຕີ ອ້ຶ ງໃຊຄ້ຶ ນືຼ ໃຫໝ້ຶ ດົ ພາຍໃນ 18 ເດອືຼ ນ ແລະ ຕອ້ຶ ງໃຊເ້ຶ ດອືຼ ນລະເທ່ີ າົ ໃດເມີ່ ອຼື ດອກ ເບຍ້ຶ ແມ່ີ ນ 1% ຕີ່ ເໍ ດອຼື ນ? 13.ຖາມວີ່ າຕອຶ້ ງເອາົ ເງນິ ໄປຝາກປະຢດັ ນາໍ ທະນາຄານເທ່ີ າົ ໃດ? ກ. ແຕີ່ ລະປສີ າໍ ລບັ 6 ປີ ເພ່ີ ອືຼ ໃຫໄ້ຶ ດເຶ້ ງນິ 1500000ກບີ ເມ່ີ ອືຼ ຄດິ ໄລີ່ ດອກເບຍ້ຶ ທບົ ຕນົຶ້ ທນແຕີ່ ລະປີ ປລີ ະ 8% ຂ. ແຕ່ີ ລະ 3 ເດອືຼ ນ ເພີ່ ອຼື ໃຫໄຶ້ ດເຶ້ ງນິ 2000000 ກບີ ໃນທາຶ້ ຍປທີ ີ 4 ເມ່ີ ອືຼ ຄດິ ໄລ່ີ ດອກເບຍຶ້ ທບົ ທນແຕ່ີ ລະ 3 ເດອືຼ ນ ແລະ ດອກເບຍຶ້ ປລີ ະ 8% . 14.ຖາມວີ່ າຈະເປນັ ທາ້ຶ ຍປທີ ເີ ທີ່ າົ ໃດ ເມີ່ ອຼື ເອາົ ເງນິ ໄປຝາກປະຢດັ ນາໍ ທະນາຄານປລີ ະ1000000ກບີ ເມ່ີ ອືຼ ຄດິ ໄລ່ີ ດອກ ເບຍຶ້ ທບົ ທນແຕ່ີ ລະປີ ປລີ ະ 6% ເພ່ີ ອຼື ໃຫໄ້ຶ ດ ຶ້ 54864500ກບີ . 15.ຈ່ີ ງົ ຊອກຫາມນຄ່ີ າປະຈບນັ ຖາ້ຶ ວ່ີ າ: ກ. ຕອ້ຶ ງການໃຊເ້ຶ ງນິ ປລີ ະ 5000000ກບີ ພາຍໃນ 10 ປີ ດວ້ຶ ຍອດັ ຕາດອກເບຍຶ້ 7% ຕີ່ ໍປ.ີ ຂ. ຕອ້ຶ ງການໃຊເຶ້ ງນິ ແຕີ່ ລະ 3 ເດອຼື ນ 7500000 ກບີ ພາຍໃນ 3 ປີ ດວຶ້ ຍອດັ ຕາດອກເບຍຶ້ 8% ຕ່ີ ໍປີ ແລະ ຄດິ ໄລ່ີ ດອກເບຍຶ້ ແຕີ່ ລະ 3 ເດອຼື ນ. SONEPHAN LORVANNA 35

ບດົ ທ3ີ ລະບບົ ສມົ ຜນົ ລເີ ນແອ I. ມາຕຣດິ ແລະ ຄຸນລກັ ສະນະຂອງມາຕຣດິ 1. ນຍິ າມ ນຍິ າມ: ມາຕຣດິ ແມ່ ນຕາຕະລາງຈາໍ ນວນ ເຊ່ ງີ ອງົ ປະກອບຂອງມນັ ມຕີ າໍ ແໜ່ ງ ຫຼື ມເີ ລກທີ (ນາໍ້ໍ ເບ)ີ ແຖວ ແລະ ເລກ ທຖີ ນັ . A   a11 a12 a13   a21 a22 a23    ເຊ່ ງີ a11, a12,...a23 ເອນີໍ້ ວ່ າ: ອງົ ປະກອບຂອງມາຕຣດິ , ຕວົ ເລກທຮີ ອໍ້ ຍສະແດງເຖງິ ຕໍາແໜ່ ງຂອງອງົ ປະກອບ ດ່ ງັ ກ່ າວເຊ່ ນັ : a11 ແມ່ ນສະແດງເຖງິ ອງົ ປະກອບທ່ ຢີ ່ ແຖວທໜີ ່ ງຖນັ ທໜີ ່ ງ ແລະ a12 ແມ່ ນສະແດງເຖງິ ອງົ ປະກອບ ທ່ ຢີ ່ ແຖວທໜີ ່ ງຖນັ ທສີ ອງ.  ມາຕຣິດທ່ ມີ ີ m ມາຕແຖວ ແລະ n ຖນັ ອາດຂຽນ A  aij mn ເມ່ ອືຼ i 1, 2,3, 4,.....m; j 1, 2,3,.....n ຈາໍ ນວນແຖວ ແລະ ຖນັ ແມ່ ນຈະບອກຂະໜາດຂອງມາຕຣດິ . ຕວົ ຢ່ າງ: A  1 0 2 ແມ່ ນມາຕຣດິ ຂະໜາດ 23  0.5   3 3  ກດິ ຈະກາໍ 1: B   2 1 ແມ່ ນມາຕຣດິ ຂະໜາດ 22  3   1  ມາຕຣດິ ມພີ ຽງແຕ່ ແຖວດຽວເອນິໍ້ ວ່ າມາຕຣດິ ແຖວເຊ່ ນັ : 1 2 3, 1 0 0  1     0  ມາຕຣດິ ມພີ ຽງແຕ່ ຖນັ ດຽວເອນິ້ໍ ວ່ າມາຕຣດິ ຖນັ ເຊ່ ນັ :  3  ,   1 ມາຕຣດິ ທ່ ມີ ຈີ າໍ ນວນແຖວ ແລະ ຈາໍ ນວນຖນັ ເທ່ າົ ກນັ ເອນີ້ໍໍ້ ວ່ າມາຕຣດິ ຈະຕຸລດັ ເຊ່ ນັ : 1 4  0 2 1 a b 2     3  ,  1 3 2  ,  c d   1 0 3   ມາຕຣດິ ທ່ ມີ ອີ ງົ ປະກອບຢ່ ເສນັ້ໍ ເນ່ ງັ ຈອມຫກັ ຢ່ າງໜອໍ້ ຍໜ່ ງຕວົ ຕ່ າງສນນອກຈາກນນັ້ໍ ເທ່ າົ ສນໝດົ ເອນີໍ້ ວ່ າ: ມາຕຣດິ  1 0 1 0  2 0 0 1 0 0 2   5   0  ເນ່ ງັ ຈອມ ເຊ່ ນັ :  0 1  ,  0  ,  0 0 0  ,  0 0 0      0 0  0 3 ມາຕຣິດທ່ ີມອີ ົງປະກອບຢ່ ເທິງເສນັ້ໍ ເນ່ ງັ ຈອມທຸກຕວົ ເປັນສນໝົດເອີນໍ້ ວ່ າ: ມາຕຣິດສາມແຈເບອືຼໍ້ ງລ່ ຸມເຊ່ ນັ :  1 0 0     2 1 0  3 0 5 SONEPHAN LORVANNA 36

ມາຕຣິດທ່ ີມອີ ງົ ປະກອບຢ່ ລ່ ຸມເສນັ້ໍ ເນ່ ງັ ຈອມທຸກຕົວເປັນສນໝດົ ເອນີໍ້ ວ່ າ: ມາຕຣິດສາມແຈເບືອຼໍ້ ງເທງິ ເຊ່ ນັ :  1 2 3    0 1 0   0 0 5 ມາຕຣດິ ຫວົ ໜ່ ວຍ ແມ່ ນມາຕຣດິ ຈະຕຸລດັ ທ່ ມີ ອີ ງົ ປະກອບຢ່ ເສນັ້ໍ ເນ່ ງັ ຈອມເປນັ ໜ່ ງໝດົ ຕວົ ນອກນນັ້ໍ ເປນັ ສນ ເຊ່ ງີ  1 0 1 0 0  0   ສນັ ຍະລກັ ດວ້ໍ ຍ I ເຊ່ ນັ : I1   1 , I2  0 1 0   0  0 1  2. ການເທ່ າົ ກນັ ຂອງ 2 ມາຕຣດິ ນຍິ າມ: ສອງມາຕຣດິ ເທ່ າົ ກນັ ກຕໍ ່ ເໍ ມ່ ອຼື ພວກມນັ ມຂີ ະໜາດເທ່ າົ ກນັ ແລະ ມອີ ງົ ປະກອບທ່ ຢີ ່ ຕາໍ ແໜ່ ງອນັ ດຽວກນັ ເທ່ າົ ນນັ້ໍ . 3 4 2   3 2 2  1   2.5 1 ຕວົ ຢ່ າງ: A   5 0  ແລະ B    ຈະໄດໍ້ A  B 2 0  ກດິ ຈະກາໍ 1: a  8  y  2 a 2   8 y ກຕໍ ່ ໍເມ່ ອຼື x  15    x   15 b   6  b  6 ກດິ ຈະກາໍ 2: ຊອກຫາຄ່ າຂອງ x, y ເພ່ ອໃຫໍ້ 2x  4 y  3  2 1 ບດົ ແກ:້ໍ ຈາກ 2x  4 y  3  2 1  2x  4  2 1 2  y  3  1  ໄດ:ໍ້ x  3, y  4 ກດິ ຈະກາໍ 3: ຊອກຫາຄ່ າຂອງ a, b, x, y ເພ່ ອໃຫ້ໍ  x2y a  2b    1 2  3a  4b   3   3x  3 y   4  ບດົ ແກ:້ໍ ຈາກ  x2y a  2b   1 2  3a  4b     3x  3 y   3 4  ໄດ:້ໍ x  2y 1  x  1, y  0 3x  3y  3 ແລະ a  2b  2  a  0,b 1 3a  4b  4 3. ການຄາໍ ນວນກ່ ຽວກບັ ມາຕຣດິ 3.1 ການບວກ ແລະ ການລບົ ມາຕຣດິ SONEPHAN LORVANNA 37

ນຍິ າມ: ສອງມາຕຣິດຈະບວກ ຫືຼ ລບົ ກນັ ໄດສ້ໍ ອງມາຕຣດິ ດ່ ງັ ກ່ າວຕອ້ໍ ງມຂີ ະໜາດເທ່ າົ ກນັ ໂດຍເອາົ ອງົ ປະກອບ ທ່ ຢີ ່ ຕາໍ ແໜ່ ງດຽວກນັ ບວກ ຫຼື ລບົ ກນັ .    ຖາໍ້ ໃຫ້ໍ ຈະໄດ:້ໍ A aij , B bij mn mn  A  B  aij  bij mn , i  1, 2,3, 4,.....m; j  1, 2,3,.....n  A  B  , i  1, 2,3, 4,.....m; j  1, 2,3,.....n aij  bij mn ຕວົ ຢ່ າງ: ໃຫ້ໍ A  1 2  B   0 5    3   3 4  ,  2  ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ A B AB ບດົ ແກ:້ໍ 1) A  B   1 2    0 5   1 0 2 5    1 3  3 4   3 2   3 4    6      3   2   6   2) A  B   1 2    0 5   1 0 2 5    1 7   3 4   3 2   4   0      3  3   2    2   ກດິ ຈະກາໍ 1: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ 1)  1    3   2   2      2) 1 2    0 5  4   3   3   2  3) a b    e f  d   g   c   h  ບດົ ແກ:ໍ້ 1)  1    3   2 1 3    4   2   2     0       2    2) 1 2    0 5   1 2    0 5  1 0 2 5    1 3 4   3 2  4   3 2   3 4    6  3     3    3   2    6     3) a b    e f    a  e b f   d   g h   c  g   c     d  h  3.2 ການຄນມາຕຣດິ ກບັ ຈາໍ ນວນຄງົ ຄ່ າ. ການຄນມາຕຣດິ ກບັ ຈາໍ ນວນຄງົ ຄ່ າແມ່ ນການຄນຈາໍ ນວນນນັໍ້ ໃສ່ ອງົ ປະກອບທຸກໆຕວົ ຂອງມາຕຣດິ ນນັ້ໍ . ຕວົ ຢ່ າງ: ໃຫໍ້ 38 SONEPHAN LORVANNA

 1 2 1  2 1 1  85    A   3 7 , B   4 3 2  4 6 1 1 1 ຄດິ ໄລ່ : 1) 2A, 2) 3B, 3) 2A  3B ບດົ ແກ:ໍ້  1 2 1  2 1 2  2 1 2   2 4 2        1) 2 A  2  3 7 5    3  2 72 5  2    6 14 10   4 6 8   4  2 6  2 8  2   8 12 16  ກດິ ຈະກາໍ 1: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່  2 1 1  3 2 3 1 31   6 3 3 3    132  1) 3B  4 3 2    34 33 32   9 6  1 1 1  31 31 31  3 3  2 4 2   6 3 3  2  6 4  3 2  3  8 1 1    132    1151  2) 2A  3B   6 14 10   9 6    6 12 14  9 10  6   23 4  8 12 16 3 3  83 12  3 16  3  15 19 ກດິ ຈະກາໍ 2: ໃຫ ້ໍ A   5 1 0  , B  1 2 2  ຄດິ ໄລ່ A 2B  3 2 4  1 0 1    ບດົ ແກ:ໍ້ A  2B   5 1 0  1 2 2   3 2  2 1 0   4  1    5 1 0    2 4 4   3 5 4   3 2 4   2 0 2  1 2      2  ກດິ ຈະກາໍ 3: ໃຫ ້ໍ C   1 1  , D  1 9 ຄດິ ໄລ່ aC  2a 1 D  0 6       5 5  ບດົ ແກ:້ໍ aC   2a 1 D  a  1 1    2a 1  1 9  0 6   5     5    a a   2a 1 18a  9  0  10a  5 10a  5  6a    3a 1 19a  9 10a  5  16a  5  ກດິ ຈະກາໍ 4: ໃຫ ້ໍ A   1 0  , B   0 1  2 1   1     0  ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ 1) 2 A  3B  4 A  5B SONEPHAN LORVANNA 39

2) ຖາ້ໍ ວ່ າ 3X  2B  X  4A ຖາ້ໍ ວ່ ຈ່ ງົ ຊອກມາຕຣດິ X ບດົ ແກ:ໍ້ 1) 2 A  3B  4 A  5B  2A 14B  2  1 0  14  0 1   2 0  0 14   2   1   4  14  1   0   2  0    2 14   0 14    2 14   4 14  14 0   10   2    2  2) 3X  2B  X  4A  2X  4A 2B X  2AB  2A  1 0    0 1   2 0    0 1   2 1 X B 2 1   1   4 2   1   3   2   0     0   2  ກດິ ຈະກາໍ 5: ໃຫ ໍ້ 2A  B   0 1 , A  2B   3 1  3 3  0    3  ຈ່ ງົ ຊອກມາຕຣດິ A ແລະ B 2 A  B   0 1 , A  2B   3 1  3 3  0    3   A  B   0 1 L1 2  3  L2   3    3 1   0  A  2B   3   2L1   0 1   0 1   0 2 2  3 4  3 4  6  A  B   3   A  2B  2  3   A  2B   6         3 1  3 1  3 1  A  2B   0   A  2B   0   A  2B   0    3    3    3  L1  L2   0 2 4A  6   2B   6      3 1  A  2B   0   3   3 A   3 3  6   3  SONEPHAN LORVANNA 40

 3A   3 3  6   3  A  1  3 3 3  6   3  A   1 1  2 1   B : L1  2  1 1  B   0 1  2 1  3 3   B  0 1   2 2  3  4   3  2  B   2 1  1   1  A   1 1 , B   2 1  2 1  1    1  ກດິ ຈະກາໍ 6: X  Y   0 0 ແລະ 2X  3Y  1 2  ຈ່ ງົ ຊອກຫາ ໃຫສ້ໍ ອງມາຕຣດິ X , Y ເຊ່ ງີ ຮວໍ້ ່ າ  0     0   3 1  X ແລະ Y ບດົ ແກ:້ໍ ຈາກບດົ ເລກເຮາົ ໄດລໍ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ  Y   0 0 1   3Y   0 0 1 X  0  2 3X  3Y 3 0  2   0    0     2 X 2 X 1 2  1 2   3Y        3 1   3 1  ເອາົ ສມົ ຜນົ (1) - (2) ເຮາົ ໄດ:້ໍ X   0 0  1 2  / 3 0 0   1   3   X   1 2  1  3 ຈາກສມົ ຜນົ (1) Y   0 0  X   0 0    1 2   1 2   0 0   0 0   3 1  3       1  3.3 ການຄນມາຕຣດິ ກບັ ມາຕຣດິ ໃຫສ້ໍ ອງມາຕຣດິ A ແລະ B ເຮາົ ສາມາດຊອກຜນົ ຄນຂອງ A ແລະ B ,  A B ໄດກ້ໍ ຕໍ ່ ໍເມ່ ອຼື ຈໍາ ນວນຖນັ ຂອງມາຕຣດິ A ເທ່ າົ ກບັ ຈາໍ ນວນແຖວຂອງມາຕຣດິ B . SONEPHAN LORVANNA 41

 a11 a12 ... a1n   b11 b12 ... b1 p   a21 a21 ... a2n   b21 b21 ... b2 p      . . . . . . . . ຖາ້ໍ ໃຫໍ້ A  , B   . . . . . . . . . . . . . . . .  bn1 bn2 ... bnp n p  am1 am2 ... amn mn  c11 c12 ... c1 p   c21 c21 ... c2 p    . . ຈະໄດຜໍ້ ນົ ຄນແມ່ ນ ມາຕຣດິ C  . .  ທ່ ມີ ຂີ ະໜາດ m p  . . . .  . . . .  cm1 cm2 ... cmp m p  a11 a12 ... a1n   b11 b12 ... b1 p   c11 c12 ... c1 p   a21 a21 ... a2n   b21 b21 ... b2 p   c21 c21 ... c2 p        . . .  . . . . . . . . ຄວາມວ່ າ: .         . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  am1 am2 ... amn   bn1 bn 2 ... bnp   cm1 cm2 ... cmp   ເຊ່ ງີ  bi1  cij  ai1 ai 2 ain   bi 2     bin   cij  ai1bj1  ai2bj2  ....  ainbjn. ຕວົ ຢ່ າງ: ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ 1) 2 3   2  1  2)  2   2 3  1  ບດົ ແກ:ໍ້ 1) 2 3   2  4  3  1  1  2)  2   2 3   22 23    4 6  1  1 2 1 3  2 3    ກດິ ຈະກາໍ 1: 1) a b p q 2) 6 51 0         c d   r s   4 0  7 8  SONEPHAN LORVANNA 42

1 0  1 1   3) 1 0 0   0 1  4)  3 2  1 2 3 1 1   0 1  0  2  0   2 4   3 1   1    ບດົ ແກ:້ໍ 1) a b p q    ap  br aq  bs     s   cp  dr   c d   r   cq  ds  2) 6 51 0   41 40      4   4 0  7 8   0  1 0 0  1 0  11 0 0  00 1 0  0 0  01 1 0 1 1   1   1 0 3)  0   0 1    0 11 0 0  0 1 0 11    0 1   0      1 1  2 0 2      4)  3 2  1 2 3    9 10 11  0  2 1  4  2 4   3   2 6 6  1   11   1 ກດິ ຈະກາໍ 2: ໃຫ ໍ້ A   2 2 , B   1 2  C   0 2  1   3 2 ,  1   0     3  ໃຫຄໍ້ ດິ ໄລ່ 1. AB 2. BA 3.  ABC 4. ABC ບດົ ແກ:້ໍ 1. AB  2 2 1 2    2  6 4  4    8 0 2   1 2   1  1 0   3     2      2. BA   1 2 2 2    2  2 2    4 2     0   62 6   8   3 2   1     6  3.  AB  C   8 0 0 2    0 16   1   3   2   2   1   4  4. BC   1 2 0 2    2 4   3   3   2   2   1   12  A BC    2 2 2 4    0 16   1   12   2   0   2   4  ໝາຍເຫດ: ໂດຍທ່ ວົ ໄປແລວ້ໍ , AB  BA ແຕ່ ບາງກລໍ ະນີ AB  BA  2 3   ເຊ່ ນັ : A  2   2 1 , B   7  2 1   3 2  SONEPHAN LORVANNA 43

 2 3  1  1     1 2  AB   2   2 1    7   2    3 2  1  1  2  2 1  2 3   1  1   2  3 2   2  BA         1   7 1 2   1 2  4. ຄຸນລກັ ສະນະຂອງການຄໍານວນມາຕຣດິ  ABC  ABC 1)  A  BC  AC  BC 2) A B  C   AB  AC 3) k  AB  kA B  AkB ເຫດເມ່ ອືຼ k ເປນັ ຈາໍ ນວນຄງົ ຄ່ າ. 4) AI  IA  A 5) A2  A.A, A3  A.A2  A2 A,......An  AAn1  An1A ຕວົ ຢ່ າງ: ໃຫ້ໍ A   2 x , B   2 1 ແລະ AB  0  3   2   y  1  ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ x ແລະ y ບດົ ແກ:້ໍ ຈາກ AB  0 ເຮາົ ມ:ີ 2 x 2 1   4  2x 2  x    0 0     6  2y 3  y   0 0   3 y  2 1     ເຮາົ ມໄີ ດລ້ໍ ະບບົ ສມົ ຜນົ 4  2x  0 2  x  0 6  2 y  0 3  y  0  x  2, y  3 ກດິ ຈະກາໍ 1: ໃຫໍ້ A  1 2    3 4  ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ x ແລະ y ເມ່ ອຼື : 1) AX  XA  A 2) AY  YA  O ບດົ ແກ:ໍ້ 1. ຈາກ AX  XA  A ໃ ຫ ໍ້ X  a b  ເຮາົ ຊອກ X ຈາກ AX  A ແລວ້ໍ ຈ່ ງກວດເງ່ ອຼື ນໄຂ  d   c  XA  A ຈາກ AX  A ໄດ:້ໍ SONEPHAN LORVANNA 44

AX   a  2c b  2d    1 2  3a  4c 3b  4d   3     4  a  2c  1 b  2d  2  3a  4c  3 a  1,b  0, c  0, d 1 X   1 0  0   1  3b  4d  4 ກວດເງ່ອຼື ນໄຂ XA  1 21 0  A X   1 0  4     0   3  0 1   1  2. ຈາກ AY  YA  O ໃຫ ໍ້ Y   e f  g   h  AX   e  2g f  2h    0 0  3e  4g 3f  4h   0     0  ເຮາົ ໄດ:ໍ້ e  2g  0 e  3  2g  0  e  o, f  0, g  0, h 0Y   0 0 f  4h   0  0  0  3 f  4h  0 ກວດເງອຼື ນໄຂ YA  0 01 2    0 0  O  X  0 0    4   0   0   0 0   3   0   0 ກດິ ຈະກາໍ 2: ໃຫໍ້ A   1 2  , B   k 2  3 4   3     9  ແລະ  A  B2  A2  2AB  B2 ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ 1. k 2. ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ າຂອງ x, y ເພ່ ອຼື ໃຫໍ້ B  xA  yI ບດົ ແກ:ໍ້ 1. ຈາກ  A  B2   A  B A  B  A2  AB  AB  B2  A2  2AB  B2 ໃນນ:ີ້ໍ AB  BA  2AB  BA  AB k 21 2   1 2k 2    4       3 9   3   3 4   3 9  k 6 20    k  6 20   42   3k  12   30   42   2k  8  20  k  6 3k 12  30 2. ຈາກ B  xA  yI SONEPHAN LORVANNA 45