ຄະນິດສາດຍຸກສະໄໝໃໝ່ ເຫຼັ້ມ 2

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ  p  sin 3 x  cos x 1  sin 2 x cos2 x  sin 2 x  2 sin x cos x p  sin 3 x  cos3 x cos2 x  sin 2 x  2 sin x cos x p  sin x  cos x1  sin x cos x sin x  cos xsin x  cos x p  1  sin x cos x sin x  cos x ຕອບ: ສານວນແມ່ ນ p  1  sin x cos x . sin x  cos x 30.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດສານວນ p  1  cosa  1 cosa ໂດຍການດົ a 0, . 1  cosa 1 cosa ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກໝວດຄານວນ p  1  cosa  1  cosa ເຮາົ ໄດ.້ 1  cosa 1  cosa p 1  cos a 1  cos a  1  cosa1  cosa 1  cos a 1  cos a 1  cosa1  cosa p  1  cosa2  1  cosa2 sin 2 a sin 2 a p  1  cosa  1  cosa sin a sin a p  2  2 coseca sin a ຕອບ: ສານວນແມ່ ນ p  2 coseca . 31. ຄດັ ຈອ້ ນໝວດສານວນ cos3 a  cos3a  sin 3 a  sin 3a . cosa sin a 32.ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກໝວດຄານວນ cos3 a  cos3a  sin 3 a  sin 3a ເຮາົ ໄດ.້ cosa sin a cos3 a  cos3a  sin 3 a  sin 3a cosa sin a  cos3 a  cos2a cosa  sin 2a sin a  sin 3 a  sin 2a cosa  cos2a sin a cosa sin a        cos3 a  2 cos2 a  1 cosa  2 cosa sin 2 a  sin 3 a  2 sin a cos2 a  1  2 sin 2 x sin a cosa sin a 147

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ     cos3 a  4 cos3 a  3cosa  sin 3 a  3sin a  4 sin 3 a cosa sin a  3  3 cos2 a  3  5 sin 2 a  5 sin 2 a  3 cos2 a  5  1  cos2a  3  1  cos2a 22  2  8 cos2a 2  1  4 cos2a ຄດັ ຈອ້ ນໝວດສານວນ sin a  bsin a  b . 1 tan 2a c tan 2 b   32. ວທິ ຄີ ດິ s in a  bsin a  b 1  tan 2a c tan 2 b    ເຮາົ ໄດ.້ ຈາກໝວດຄານວນ   sina  bsina  b  sina  bsina  b 1  tan 2 a c tan 2 b 1  sin 2 a  cos2 b cos2 a sin 2 b  sina  bsina  bcos2 a sin 2 b sin 2 b cos2 a  sin 2 a cos2 b   sin a c sina  bsina  bcos2 a sin 2 b a sin b sin a cosb  cos osb  cosa sin b sin a  bsina  bcos2 a sin 2 b sina  bsina  b     cos2 a sin 2 b 33. ໃຫ ້ABC ຄານວນຄ່ າ 1  1  1 . ha hb hc ວທິ ຄີ ດິ  ສງັ ເກດຈາກຮູບແຕມ້ :  ສງັ ເກດ 1  1  1 ເຮາົ ໄດ:້ ha hb hc 148

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ha  2 p( p  AB)( p  AC )( p  BC)  2 S ABC BC BC hb  2 p( p  AB)( p  AC)( p  BC)  2 S ABC AC AC hc  2 p( p  AB)( p  AC)( p  BC)  2 S ABC AB AB  1  1  1  BC  AC  AB  p ha hb hc 2S ABC 2S ABC 2S ABC S ABC 111 p . ha hb hc S ABC  34. ຄດັ ຈອ້ ນໝວດສານວນ p  (1  c tan x) sin 3 x  (1  tan x) cos3 x 1  2 sin x cos x . ວທິ ຄີ ດິ   ຈາກໝວດຄານວນ p  (1  c tan x) sin 3 x  (1  tan x) cos3 x 1  2sin x cos x ເຮາົ ໄດ.້  p  (1  c tan x) sin 3 x  (1  tan x) cos3 x 1  2 sin x cos x  p  sin 3 x  cos x sin 2 x  cos3 x  sin x cos2 x 1  2 sin x cos x  p  sin x  cos x1  sin a cos x  sin x cos xcos x  sin x sin 2 x  cos2 x  2 sin x cos x p  sin x  cos xsin x  cos x2  p  sin x  cos x3  35. ຄດັ ຈອ້ ນໝວດສານວນ p  2 sin 2a  2 cos2 a  1 . cosa  sin a  cos3a  sin 3a ວທິ ຄີ ດິ   ຈາກໝວດຄານວນ p  2 sin 2a  2 cos2 a  1 3a ເຮາົ ໄດ.້ cosa  sin a  cos3a  sin  p  2 sin 2a  2 cos2 a  1 cosa  sin a  cos3a  sin 3a p  sin 3a 2sin 2a  cos2a cos a a  cos3a   sin p  sin 3a 2sin 2a  cos2a cos a a  cos3a   sin p  2 sin 2sin 2a  cos2a sin a a  2 sin 2a 2a sin p  2 2sin 2a  cos2a sin asin 2a  cos2a p 1 sin a 36. ຄດັ ຈອ້ ນໝວດສານວນ p  4 cos3 a sin 3a  4 sin 3 a sin 3a . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກໝວດຄານວນ p  4 cos3 a sin 3a  4 sin 3 a sin 3a ເຮາົ ໄດ.້ 149

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ p  4 cos3 a cos3a  4 sin 3 a sin 3a p  4(1  sin 2 a) cosa cos3a  4 sin 3 a sin 3a p  4 cosa cos3a  4 sin 2 a(cosa cos3a  sin a sin 3a) p  4 cosa cos3a  4 sin 2 a cos4a p  2 cos4a  2 cos2a  4 sin 2 a cos4a p  2 cos2a  2 cos4a(1  2 sin 2 a) p  2 cos2a  2 cos4a cos2a p  4 cos2a1  cos4a  2 p  4 cos2a cos2 2a p  4 cos3 2a 37. ໃຫ້sin x  cos x  7 ຈ່ ງົ ຄານວນ sin x.cos x . 5 ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກໝວດຄານວນ sin x  cos x  7 ເຮາົ ໄດ.້ 5 sin x  cos x2   7 2 5 sin 2 x  cos2 x  2 sin x.cos x  49 25 1  2 sin x.cos x  49 25 2 sin x.cos x  49  1 25 sin x.cos x  12 25 38. ຄດັ ຈອ້ ນໝວດສານວນ p  1 x  sin x  cos x.cot anx . sin 1  cotanx 1  tan x ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກໝວດຄານວນ p  1 x  1 sin x  cos x. cot anx ເຮາົ ໄດ.້ sin  cotanx 1  tan x p  1  sin x  cos x.cot anx sin x 1  cot anx 1  tan x p  1 x  cos 1 tan x  cos x.cot anx sin 1  tan x x.1  150

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ p  sin 1  tan x x  cos 1 tan x  sin 1 tan x x.1  tan x.1  x.1  p  sin tan x x  cos 1 tan x x.1  tan x.1  p  sin tan x. cos x x  cos cos x sin x x  sin x.cos x.cos x  p 1  1 cos x  sin x cos x  sin x p0 39. ສາລບັ ທຸກໆ ABC ມີ A, B, C  45 ຊອກຫາ tan 2A  tan 2B  tan 2C . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກໝວດຄານວນ tan 2A  tan 2B  tan 2C ເຮາົ ໄດ.້ tan 2A  tan 2B  tan 2C  tan2A  2B.1  tan 2A tan 2B  tan 2C   tan 2C.1  tan 2A tan 2B  tan 2C  (tan 2A tan 2B  1  1). tan 2C  tan 2A tan 2B tan 2C  tan 2A  tan 2B  tan 2C  tan 2A tan 2B tan 2C 40. ຖາ້ ວ່ າ 2sin x.sin y  3cos x.cos y  0 ຊອກຫາ p 2 sin 2 1 x  2 sin 2 1 y . x  3cos2 y  3cos2 ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກໝວດຄານວນ p  2 sin 2 x 1 x  2 sin 2 y 1 y ເຮາົ ໄດ.້  3cos2  3cos2  ຄດິ ໄລ່ ຈາກ 2sin x.sin y  3cos x.cos y  0 ເຮາົ ໄດ.້ 2 sin x.sin y  3cos x.cos y  sin x.sin y  3 cos x.cos y 2 tan x tan y  3 2  ສະນນັ້ p  2 sin 2 x 1 3 cos2 x  2 sin 2 1 y ເຮາົ ໄດ:້  y  3cos2 p 1  1 cos2 x 2 sin 2 x  3 cos2 x  cos2 y. 2 sin 2 y  cos2 y  cos2 x cos2 x cos2 y 3 y cos2 p  sec2 x  sec2 y 2 tan 2 x  3 2 tan 2 y  3  p  tan 2 x  1  tan 2 y  1 2 tan 2 x  3 2 tan 2 y  3 151

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ tan 2 x  12 tan 2 y  3  tan 2 y  12 tan 2 x  3 2 tan 2 x  3 2 tan 2 y  3 p   2tan x tan y2  3 tan 2 x  2 tan 2 y  3  2tan x tan y2  3 tan 2 y  2 tan 2 x  3 9 4tan x tan y2  6 tan 2 x  tan 2 y  p  4tan x tan y2  5 tan 2 x  5 tan 2 y 6 4tan x tan y2  6 tan 2 x  tan 2 y 9  p 4 3 2  5 tan 2 x  5 tan 2 y  6  p 2  4 3 2  6 tan 2 x  tan 2 y  9 2  p  9  5 tan 2 x  5 tan 2 y  6 9  6 tan 2 x  tan 2 y  9  p  15  5 tan 2 x  tan 2 y  18  6 tan 2 x  tan 2 y  p  5 3  tan 2 x  tan 2 y  6 3  tan 2 x  tan 2 y  p5 6 ຕອບ: ສານວນແມ່ ນ p  5 . 6 41. ໃຫ ້ tan x  2 ພສິ ູດວ່ າໝວດສານວນຕ່ ໄປນີ້ p  3sin 4 x  4 sin 3 x cos x  cos2 x ບ່ ຂນ້ ກບັ x . 2 sin 2 x  3 cos4 x  4 sin x.cos3 x ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກໝວດຄານວນ p  3sin 4 x  4 sin 3 x cos x  cos2 x ເຮາົ ໄດ.້ 2 sin 2 x  3 cos4 x  4 sin x.cos3 x  ເຮາົ ສງັ ເກດ tan x  2 ເຮາົ ໄດ້sin x  2 , cos x  1 ເຮາົ ໄດ.້ 55 3 2  4 4 2  3 . 1   1  2 5 5 5 5   p 2  4 3 2 2   3 1  4 2 . 1  5 5 5 5 48  32  5 p  25 25 25 40  3  8 25 25 25  p  48  32  5 40  3  8 152

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ p  21 35  p3 5 ຕອບ: ສານວນແມ່ ນ p  3 . 5  42. ຊອກຫາ a , b ເຮດັ ໃຫ້ acos x  1  b2  1  cos ax  b2  0 , ເຊ່ ງິ ວ່ າ x  R . ວທິ ຄີ ດິ   ຈາກນນັ້ acos x  1  b2  1  cos ax  b2  0 ເຮາົ ໄດ.້  acos x  1  b2  1  cos ax  b2  0 a cos x  a  b2  1  cos(ax  b2 )  0 a cos x  cos(ax  b2 )  a  1  b2  a  1  cos x  cos(x  b2 )  1  1  b2 cos x  cos(x  b 2 )  b 2   b2  0 b0 ຕອບ: ຄ່ າຂອງ a 1 ແລະ b  0 . 43. ສາລບັ ທຸກໆ ABC ເຮາົ ຈະໄດ ້ cos A C  cos B  cosC B . sin B sin sin Asin C sin Asin ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສານວນ cos A C  cos B C  cosC B ເຮາົ ໄດ.້ sin B sin sin Asin sin Asin cos A  cos B  cosC  sin A cos A  sin B cos B  sin C cosC sin B sin C sin Asin C sin Asin B sin Asin B sin C sin Asin B sin C sin Asin B sin C  sin A cos A  sin B cos B  sin C cosC sin Asin B sin C  sin 2A  sin 2B  sin 2C 2 sin Asin B sin C  2 sinA  BcosA  B  sin 2C  A  B    C 2 sin Asin B sin C  2 sinCcosA  B  2 sin C cosC 2 sin Asin B sin C  2sin CcosA  B  cosC 2 sin Asin B sin C 2 sin C 2 cos A  C  B  cos A  (B  C)    2   2  2 sin Asin B sin C 153

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ 2 sin C 2 cos   A cos   B    2  2   2 sin Asin B sin C  4 sin Asin B sin C 2 sin Asin B sin C 2 cos A  cosB  cosC  2 sin B sin C sin Asin C sin Asin B ຕອບ: ສານວນມຄີ ່ າແມ່ ນ cos A C  cos B C  cosC B  2 . sin B sin sin Asin sin Asin 44. ສາລບັ ທຸກໆ ABC ເຮາົ ຈະໄດ້sin 2A  sin 2B  sin 2C . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສານວນ sin 2A  sin 2B  sin 2C ເຮາົ ໄດ.້ sin 2A  sin 2B  sin 2C  2 sinA  BcosA  B  2 sin C cosC  2 sinA  BcosA  B  2 sin C cosC , A  B    C  2 sin  CcosA  B  2 sin C cosC  2 sin C cosA  B  2 sin C cosC  2 sin CcosA  B  cosC  2 sin C 2 cos A  C  B  cos A  (B  C)    2   2  2 sin C 2 cos   B  cos   A   2  2   2 sin C2 sin B sin A  4 sin Asin B sin C sin 2A  sin 2B  sin 2C  4 sin Asin B sin C ຕອບ: ສານວນມຄີ ່ າແມ່ ນ sin 2A  sin 2B  sin 2C  4 sin Asin B sin C . 45. ຄດັ ຈອ້ ນສານວນລ່ ຸມ tan a tan a     tan a    tan a  2   tan a tan a  2  .  3   3   3   3  ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສານວນ tan a tan a     tan a    tan a  2   tan a tan a  2  ເຮາົ ໄດ.້  3   3   3   3  tan a tan a     tan a    tan a  2   tan a tan a  2  3 3 3 3 tan a     tan a tan a  2   tan a    tan a  2   tan a 3 3 3 3  1   1  1  2  2 tan a  3  a  tan a  3  a  3  tan a  3  a  154

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ tan a     tan a tan a  2   tan a    tan a  2   tan a  3  3  3   3   tan 2 3 tan tan 33 3 tan a     tan a tan a  2   tan a    tan a  2   tan a  3  3  3   3    tan  3 tan tan 33 3 tan a     tan a  tan a  2   tan a     tan a  2   tan a 0  3  3   3  3  tan tan   3  3  33  tan a tan a     tan a    tan a  2   tan a tan a  2   3  3  3  3   3 ຕອບ: ສານວນ tan a tan a     tan a    tan a  2   tan a tan a  2   3 .  3   3   3   3  46. ໃຫ້cos2 x  cos2 y  m ຄດິ ໄລ່ cosx  ycosx  y. ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສານວນ cos2 x  cos2 y  m ເຮາົ ໄດ.້ cos2 x  cos2 y  m 1  cos2x  1  cos2y  m 22 cos2x  cos2y  2m  2 2 cos(x  y) cos(x  y)  2m  2 cos(x  y) cos(x  y)  2m  2 2  cos(x  y) cos(x  y)  m  1 ຕອບ: ສານວນ cos(x  y) cos(x  y)  m 1 . 47. ຄດັ ຈອ້ ນສານວນລ່ ຸມ 4 sin a sin   a  sin a    .  3  3  ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສານວນ 4 sin a sin   a  sin a    ເຮາົ ໄດ.້ 3  3  4 sin a sin   a sin a     2 sin a 2 sin   a  sin a     3  3   3   3   2 sin acos2a  cos 2   3 155

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ  2 sin a cos2a  sin a   2 sin a 1  2 sin 2 a  sin a  3sin a  4 sin 3 a  sin 3a  4 sin a sin   a  sin a     sin 3a 3   3 ຕອບ: ສານວນ 4 sin a sin   a  sin a     sin 3a .  3  3   48. 1  tan a1  2sin 2 a 1 ຄດັ ຈອ້ ນສານວນລ່ ຸມ  sin 2a . ວທິ ຄີ ດິ   1  tan a1  2sin 2 a 1 ຈາກສານວນ  sin 2a ເຮາົ ໄດ.້    1  tan a1  2 sin 2 a  1  tan a1  sin 2 a  sin 2 a 1  sin 2a 1  sin 2a  1  sin a  cos2 a  sin 2 a   cosa  1  sin 2a   cos a  sin a cos2 a  sin 2 a cos a1  sin 2a  cos a  sin a2 cosa  sin a  cosa1  sin 2a  cosa  sin a1  sin 2a  sin 2a cos a1  cosa  sin a cosa 1  sin a cosa 1  tan a   1  tan a1  2 sin 2 a  1  tan a 1  sin 2a  ຕອບ: 1  tan a1  2sin 2 a 1 ສານວນ  sin 2a  1  tan a . 49. ຄດັ ຈອ້ ນສານວນລ່ ຸມ sin 2a  sin 3a  sin 4a . cos2a  cos3a  cos4a ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສານວນ sin 2a  sin 3a  sin 4a ເຮາົ ໄດ.້ cos 2a  cos3a  cos 4a 156

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ sin 2a  sin 3a  sin 4a  sin 2a  sin 4a  sin 3a cos2a  cos3a  cos4a cos2a  cos4a  cos3a  2 sin 3a cosa  sin 3a 2 cos3a cosa  cos3a  sin 3a2 cosa  1 cos3a2 cosa  1  sin 3a cos3a  tan 3a  sin 2a  sin 3a  sin 4a  tan 3a cos2a  cos3a  cos4a ຕອບ: ສານວນ sin 2a  sin 3a  sin 4a  tan 3a . cos 2a  cos3a  cos4a 50. ພສິ ູດສານວນລ່ ຸມ p  sin 8 x  cos8 x 1  2 sin 2 x cos2 x ບ່ ຂນ້ ກບັ ຄ່ າ x . sin 6 x  cos6 x 1 3 ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສານວນ p  sin 8 x  cos8 x 1  2 sin 2 x cos2 x ເຮາົ ໄດ.້ sin 6 x  cos6 x 1 3    p  sin 4 x 2  cos4 x 2  1  2 sin 2 x cos2 x    sin 2 x 3  cos2 x 3  1 3  p  sin 4 x  cos4 x 2  2 sin 4 x cos4 x  1  2 sin 2 x cos2 x   sin 2 x  cos2 x 1  3sin 2 x cos2 x  1 3   p  sin 2 x  cos2 x 2  2 sin 2 x cos2 x 2  2 sin 4 x cos4 x  1  2 sin 2 x cos2 x 1  3sin 2 x cos2 x  1 3  p  1  2 sin 2 x cos2 x 2  2 sin 4 x cos4 x  1  2 sin 2 x cos2 x  3sin 2 x cos2 x 3 p   4 sin 2 x cos2 x  2 sin 4 x cos4 x  2 sin 2 x cos2 x  3sin 2 x cos2 x 3 p  4  2 sin 2 x cos2 x  2 sin 2 x cos2 x 33  p4 ຕອບ: ສານວນ p  4 . 157

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ບດົ ຄນົ້ ຄວາ້ ບດົ ທີ 7 ສມົ ຜນົ ໄຕມຸມມຕິ ິ 1.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin x  cos x  sin 2x  1 2.ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ sin2 x  6sin x cos x  1 m cos2 x  0. ມໃີ ຈຜນົ 3.ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 3.sin x  m cos x  1 m ມໃີ ຈຜນົ 4.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin2 x  sin2 x  sin2 3x. 5.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 51 cos x  sin4 x  cos4 x. 6.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ cos3 x.cos3x  sin3 x.sin 3x  cos 4x. 7.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 1 2cos 2x.tgx  sin 2x.cos2 x  cos 2x. 8.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin6 x  cos6 x 1  tg2x . sin4 x  cos4 x 1 2 9.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ tgx  sin 2x  2 10.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin6 x  cos6 x  2  cos 4x 11.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 3tg2x  cotgx  4sin2x. 12.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin 2x  3.sin x.  13.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 1 2 sin x cos x  sin 2x  2 1 14.ຊອກ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ sin x  cos x  2sin.x cos x 1  m ມໃີ ຈຜນົ 15.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ cos x   1 2 16ຈົ່ ງົ .ແກສ້ ມົ ຜນົ sin x 1 17.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin x  3 cos x  sin x  3 cos x  2 18.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ cos x  0. 19.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2cos 2x.cos x  8sin2 x  7 cos x  9  0. 20.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 1  1  2 2 cos x sin x 21.ແກສ້ ມົ ຜນົ sin4 2x  cos4 2x  cos4 4x.   .tg    tg  4  x  4  x  22.ແກສ້ ມົ ຜນົ tg2x  tgx.cot g2x  1. 23.ແກສ້ ມົ ຜນົ tgx  cot gx  sin 2x 1. 24.ແກສ້ ມົ ຜນົ 3  1tgx  3. cos2 x 25.ແກສ້ ມົ ຜນົ sin 2x  2cos x. 1 sin x 158

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ 26.ແກສ້ ມົ ຜນົ cos 2x  3cos x  2  0. 27.ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ sin4 x  cos4 x  cos2 x  1 sin2 2x  m  0. ມໃີ ຈຜນົ 4 28.ສມົ ຜນົ tgx  cot g2x  3  2.sin 2x. 29.ຊອກ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ m  2sin x  2m cos x  2m 1 ມໃີ ຈຜນົ 30.ແກສ້ ມົ ຜນົ cotgx  3tgx  cot g2x  3. 31.ແກສ້ ມົ ຜນົ sin x   2 2 32.ແກສ້ ມົ ຜນົ 4sin3 x  5cos 2x  2sin x 1  0. 33.ແກສ້ ມົ ຜນົ tg3x  tgx  sin 2x.  34.ແກສ້ ມົ ຜນົ 2sin3 x  cos x. 2sin2 x  3  3sin x.cos 2x 1  cos 3x  2 cos2 x  0 35.ແກສ້ ມົ ຜນົ cos2 x  3 sin 2x  2  sin2 x. 36.ແກສ້ ມົ ຜນົ sin 2x  cos 2x  2 sin 3x. 37.ແກສ້ ມົ ຜນົ cos x  sin x  2sin 2x 1. 38.ແກສ້ ມົ ຜນົ cos3x  sin x. 39.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ cos x  sin x  2 2 40.ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ m  2sin x  2m cos x  2m 1 ມໃີ ຈຜນົ 41.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 3cos x  sin x  sin 2x  3 42.ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ sin2 x  sin x.cos x  2  m cos2 x  0 ມໃີ ຈຜນົ 43.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ cos x  3 sin x  1 cos x  44.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2 cos4 x  sin4 x  2  sin 2x  45.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ cos6 x  sin6 x  4 sin 4x 1 8  46.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ cos4 x  sin4 x  2 cos 2x 1 47.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ cos x  sin x 2 1 tgx  cot g2x cot gx 1 48.ຊອກ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 2sin x  cos x  sin 2x  m 1  0 ມໃີ ຈຜນົ 49.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2cos2 x  3sin x  3  0 50.ຈົ່ ງົ ຊອກຫາຄົ່ າໃຫຍ່ົ ສຸດ ແລະ ຄ່ົ ານອ້ ຍສຸດຂອງຕາລາ y 2cos x  sin x 1 cos x  sin x  2 159

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ ຂະໜານຕອບ ບດົ ທີ 7 ສມົ ຜນົ ໄຕມມູ ມຕິ ິ 1. ແກສ້ ມົ ຜນົ sin x  cos x  4 sin 2x  1 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ sin x  cos x  4 sin 2x  1 ເຮາົ ໄດ.້ sin x  cos x  4 sin 2x  1  sin x  cos x  0  sin x  cos x  0 sin x     0  4    2k  x    2k 4  5  2k  x    2k 44  ສມົ ຜນົ sin x  cos x  4 sin 2x  1 ເຮາົ ໄດ.້  sin x  cos x  4 sin 2x  1 cos x  sin x  4 sin 2x  1 cos x  8sin x cos x  1  sin x cos x1  8sin x  1  sin x  ຖາ້ ວ່ າ sin x  0  x  k ເຮາົ ໄດ.້ cos x1  8  0  1  0 cosx 1  x  k ສະນນັ້ S1  k.  ຈາກສມົ ຜນົ sin x  cos x  4 sin 2x  1 ເຮາົ ໄດ.້ sin x  cos x  4 sin 2x  1  sin x  cos x  0  sin x  cos x  0 sin x     0  4  0  2k  x      2k 4   2k  x  5  2k 44  ສມົ ຜນົ sin x  cos x  4 sin 2x  1 ເຮາົ ໄດ.້ sin x  cos x  4 sin 2x  1 sin x  cos x  4 sin 2x  1 sin x  8sin x cos x  1  cos x sin x1  8 cos x  1  cos x 160

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ  ຖາ້ ວ່ າ cos x  0  x    2k ເຮາົ ໄດ.້ 2 sin x1  8  0  1  0 sin x  1  x    2k 2 ສະນນັ້ S2    2k  .    2  ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ S  S1  S2  k ,   2k  .  2   2. ຊອກຫາຄ່ າຂອງ m ເພ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ sin 2 x  6 sin x cos x  (1  m) cos2 x  0 ມໃີ ຈຜນົ ໃນຫວ່ າງ x   ,   .  4 2  ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ sin 2 x  6 sin x cos x  (1  m) cos2 x  0 ເຊ່ ງິ ໃຈຜນົ ແມ່ ນ  x  2  sin x  1 ເຮາົ ໄດ.້ 42 2 1  cos2x  3sin 2x  (1  m)1  cos2x   0 2 2 1  cos2x  6 sin 2x  (1  m)1  cos2x  0  1  cos2x  6 sin 2x  1  cos2x  m cos2x  m 6 sin 2x  m cos2x  2  m 6 sin 2x  m cos2x  2  m 36  m 2 36  m 2 36  m 2  sin  2x  cos1  6 m2    2m  36   36  m 2  ຈາກນນັ້   x     cos1  6 m2   2x  cos1  6 m2     cos1  6 m2  ເຮາົ ໄດ.້ 4 2 2 36  36  36  sin   cos1  6 m2    sin 2x  cos1  6 m2   sin  cos1  6 m2   2 36   36  36   6  2m  m 36  m2 36  m2 36  m2  2m  m  2m  6 36  m2 36  m2 36  m2 36  m 2 2  m  m  2  m  6 m    m  4 161

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ ຕອບ: ຄ່ າຂອງ m ແມ່ ນ m  4 . 3. ຊອກຫາຄ່ າຂອງ m ເພ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 3sin x  m cos x 1  m ມໃີ ຈຜນົ . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 3sin x  m cos x 1  m .  3 sin x  m cos x  1  m 9  m2 9  m2 9  m2 sin x  cos1  3    1 m 9  m2  9  m2   1  sin  x  co s1  3    1   m2  9 1 1 m 1 9  m2  9  m2 1 m  9  m2  m 1 m2  9  1 m  9  m2 m 1 m2  9  1 m  9  m2 m2  2m  1  m2  9  m2  2m  1  m2  9   2m  1  9 m  4 ຕອບ: ຄ່ າຂອງ m ແມ່ ນ m  4 . 4. ແກສ້ ມົ ຜນົ sin 2 x  sin 2 2x  sin 2 3x . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ sin 2 x  sin 2 2x  sin 2 3x ເຮາົ ໄດ.້ sin 2 x  1  cos4x  1  cos6x 22 2 sin 2 x  1  cos4x  1  cos6x 2 sin 2 x  2  cos4x  cos6x sin 2 x  1  cos5x cos x 1  cos2 x 1  cos5x cos x  cos2 x  cos5x cos x cos5x cos x  cos2 x  0 cos xcos5x  cos x  0 cos x sin 2x sin 3x  0  2 sin x 1  sin 2 x sin 3x  0  sin x  0  1  sin 2 x  0  sin 3x  0 x  k  x     2k  x  k 23 162

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ S   k , k ,   2k  .  3 2    5. ແກສ້ ມົ ຜນົ 51  cos x  2  sin 4 x  cos4 x . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 51  cos x  2  sin 4 x  cos4 x ເຮາົ ໄດ.້   51  cos x  2  sin 2 x  cos2 x sin 2 x  cos2 x 51  cos x  2  1  cos2 x  cos2 x 5  5cos x  3  2 cos2 x 2 cos2 x  5cos x  2  0 2 cos x  1cos x  2  0  2 cos x  1  0  cos x  2  0 x  . 2cosx  1  0 cos x   1 2 x   2  2k 3 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ S   2  2k  .  3   6. ແກສ້ ມົ ຜນົ cos3 x.cos3x  sin 3 x.sin 3x  cos4x . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ cos3 x.cos3x  sin 3 x.sin 3x  cos4x ເຮາົ ໄດ.້ cos3 x.cos3x  sin 3 x.sin 3x  cos4x (1  sin 2 x) cos x cos3x  sin 3 x.sin 3x  cos4x cos x cos3x  sin 2 xcos x cos3x  sin x.sin 3x  cos4x cos x cos3x  sin 2 x cos4x  cos4x 2 cos x cos3x  1  cos2xcos4x  2 cos4x cos2x  cos2x cos4x  2cos4x     cos2x  cos2x 2 cos2 2x  1  2 2 cos2 2x  1    cos2x  cos2x 2 cos2 2x  1  2 2 cos2 2x  1 2 cos3 2x  4 cos2 2x  2 2 cos3 2x  4 cos2 2x  2  0 (cos2x  1)(2 cos2 2x  2 cos2x  2)  0  cos2x 1  0  2 cos2 2x  2 cos2x  2  0 x  k  cos2x  1  5  cos2x  1  5  cos2x   2 22 x  k 2  x 1 cos1  1  5   k 2 2 163

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ S   k , 1 cos1  1  5   k  .  2 2   2  7. ແກສ້ ມົ ຜນົ 1  2cos2x. tan x  sin 2x.cos2 x  cos2x . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 1  2cos2x. tan x  sin 2x.cos2 x  cos2x ເຊ່ ງິ x    2k ເຮາົ ໄດ.້ 2 cos x  2cos2x.sin x  cos x sin 2x.cos2 x  cos x cos2x cos x  2 sin x cos2 x  cos x cos2x cos x  sin 2x cos x  cos x cos2x cos xcos2x  sin 2x  1  0 cos x  0  cos2x  sin 2x  1  0 x    2k x   2  cos2x  sin 2x  1  0 cos 2x     cos   2k   4 4  2x       2k  2x      2k 44 44 x  k  x    k 4 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ S  x  k ,   k  .  4   8. ແກສ້ ມົ ຜນົ sin 6 x  cos6 x 1  tan 2 x . sin 4 x  cos4 x 1 2 ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ sin 6 x  cos6 x 1  tan 2 x ເຊ່ ງິ x  2k ເຮາົ ໄດ.້ sin 4 x  cos4 x 1 2 2    sin 2 x 3  cos2 x 3  1  tan 2 x    sin 2 x 2  cos2 x 2  1 2    sin 2 x  cos2 x sin 2 x  cos2 x 2  3sin 2 x cos2 x  1  tan 2 x  sin 2 x  cos2 x 2  2 sin 2 x cos2 x  1 2  1  3sin 2 x cos2 x  1  tan 2 x 1  2 sin 2 x cos2 x  1 2 3sin 2 x cos2 x  tan 2 x 2 sin 2 x cos2 x 2  sin 2 2x tan 2 x  3  0 x  k  tan 2 x  3  0 x  k  x     k 3 164

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ S  x  k ,    k  .  3   9. ແກສ້ ມົ ຜນົ tan x  sin 2x  2 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ tan x  sin 2x  2 ເຮາົ ໄດ.້ tan x  sin 2x  2 sin x  sin 2x  2 cos x 1 sin x  sin 2x cos x  2 cos x  1 sin x  2 sin x cos2 x  2 cos x  sin x 1  2 cos2 x  2 cos x  tan x 1  2 cos2 x  2  ການດົ ໃຫ້u  tan x  cos2 x  1 ແທນ 1 u2 u1  2 1 2    2 1 u   u1  u 2  2  21  u 2  u 3  2u 2  3u  2  0 u  1u 2  u  2  0  u  1  0  u 2  u  2  0 x   u  1  0  tan x  1  x     2k 4 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ S     2k  .  4   10.ແກສ້ ມົ ຜນົ sin 6 x  cos6 x  2  cos4x . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ sin 6 x  cos6 x  2  cos4x ເຮາົ ໄດ.້ 165

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ    sin 2 x 3  cos2 x 3  2  cos4x 1  3sin 2 x cos2 x  2  cos4x 1  3 sin 2 2x  2  cos4x 4  1  3 sin 2 2x  2  1  2 sin 2 2x 4 2 sin 2 2x  3 sin 2 2x  1  1 4  sin 2x  0 x  k 2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ S   k  .    2  11. ແກສ້ ມົ ຜນົ 3tan 2x  cotanx  4sin 2x . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 3tan 2x  cotanx  4sin 2x ເຮາົ ໄດ.້ 3tan 2x  cot anx  4 sin 2x 3 sin 2x  cos x   8 sin x cos x  cos2x sin x   3 cos x  8 cos x sin 2 x cos2x 3 cos x  8 cos x sin 2 x cos2x  0 cos x3  4(1  cos2x) cos2x  0 cos x  0  4 cos2 2x  4 cos2 2x  3  0 x    2k  (2 cos2x  3)(2 cos2x  1)  0 2  2cos2x  1  0 x     2k 3 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ S    2k ,    2k  .  3   2  12.ແກສ້ ມົ ຜນົ sin 2x  3 sin x . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ sin 2x  3 sin x ເຮາົ ໄດ.້ 2 sin x cos x  3 sin x 2 sin x cos x  3 sin x  0  sin x 2 cos x  3  0 sin x  0  2 cos x  3  0  x  k  x     2k 6 166

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ S  k ,   2k  .  6   13.ແກສ້ ມົ ຜນົ (1  2)(sin x  cos x)  sin 2x  2 1 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ (1  2)(sin x  cos x)  sin 2x  2 1ເຮາົ ໄດ.້ (1  2)(sin x  cos x)  2  1  sin 2x  (1  2)2 (sin x  cos x)2  2  1  sin 2x 2  3  2 2 1  sin 2a  (3  2 2)  2( 2  1) sin 2x  sin 2 2x sin 2 2x  (3  2 2  2 2  1) sin 2x  0   sin 2x sin 2x  4  4 2  0 sin 2x  0  sin 2x  4  4 2  0 x    sin 2x  0 x  k 2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ S  k . 14. ຊອກຫາຄ່ າ m ເພ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ sin x  cos x  2sin x cos x 1  mມໃີ ຈຜນົ . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ sin x  cos x  2sin x cos x 1  mເຮາົ ໄດ.້ sin x  cos x  sin 2x  m  1 sin x  cos x2  m  1  sin 2x2 1  sin 2x  (m  1)2  2(m  1) sin 2x  sin 2 2x  sin 2 2x  (2m  3) sin 2x  m2  2m  0 ,  1  sin 2x  1  ການດົ ໃຫ້ t  sin 2x   1  t  1ເຮາົ ໄດ.້ t 2  (2x  3)t  m2  2m  0  ການດົ ໃຫ້ t  1  X  t  1 t  X  1ເຮາົ ໄດ.້ X  12  (2m  3)X  1  m2  2m  0 X 2  2X  1  (2m  3) X  2m  3  m2  2m  0 X 2  (2m  5) X  m2  4m  4  0  m  (2m  5)2  (2m  4) 2  4m  9  2m  5  0  m9 4m  9  0 4  ການດົ ໃຫ້ t  1  X  t  1 t  X  1ເຮາົ ໄດ.້ 167

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ X  12  (2m  3)X  1  m2  2m  0 X 2  2X  1  (2m  3) X  2m  3  m2  2m  0 X 2  (2m  1) X  m2  2  0    (2m  1)2  4(m2  2)  4m  9  m2  2  0 4m  9  0  m2  2  0 2m  1  0  2m 2   m 9 2  2 m   4 m  m1  2    2m 2   9  2  9m ສະນນັ້ ເຮາົ ສາມາດການດົ  m  4   2 m 4 2.  ຕອບ: ຄ່ າຂອງ m ແມ່ ນ  9  m  2 . 4 15.ແກສ້ ມົ ຜນົ cos x   1 . 2 ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ cos x   1 ເຮາົ ໄດ.້ 2 cos x   1 2  cos x  cos  2  2k  3  x   2  2k 3 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ S   2  2k  .  3   16. ແກສ້ ມົ ຜນົ sin x 1 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ sin x 1ເຮາົ ໄດ.້ sin x  sin   2k  2   x    2k 2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ S    2k  .    2  168

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ 17. ແກສ້ ມົ ຜນົ sin x  3 cos x  sin x  3 cos x  2 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ sin x  3 cos x  sin x  3 cos x  2 ເຮາົ ໄດ.້  sin x  3 cos x 2  sin x  3 cos x  2   sin x  3 cos x 2  sin x  3 cos x  2  0  sin x  3 cos x  1 sin x  3 cos x  2  0  sin x  3 cos x  1  0  sin x  3 cos x  2  0 x   sin x  3 cos x  1  0  sin x  3 cos x  1 1 sin x  3 cos x  1 22 2 sin x     sin   2k   3 6   x      2k  x        2k 36 36 x     2k  x    2k 62  S     2k ,   2k   6 2   ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ S     2k ,   2k  .  6 2   18. ແກສ້ ມົ ຜນົ cos x  0 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ cos x  0 ເຮາົ ໄດ.້ cosx  cos   2k  2  x    2k  x  3  2k 22 19. ແກສ້ ມົ ຜນົ 2 cos2x.cos x  8sin 2 x  7 cos x  9  0 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 2 cos2x.cos x  8sin 2 x  7 cos x  9  0ເຮາົ ໄດ.້ 169

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ    2 2 cos2 x  1 .cos x  8 1  cos2 x  7 cos x  9  0 4 cos3 x  2 cos x  8  8 cos2 x  7 cos x  9  0 4 cos3 x  8 cos2 x  5 cos x  1  0 (cos x  1)(2 cos x  1)2  0  cos x 1  0  2 cos x 1  0 x  k  x     2k 3 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ S  k ,    2k  .  3   20. ແກສ້ ມົ ຜນົ 1 x  1 x  2 2 . cos sin ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 1 x  1 x  2 2 ເຮາົ ໄດ.້ cos sin sin x  cos x  2 2 cos x sin x  sin x  cos x  2 2 cos x sin x 1 sin x  1 cos x   sin 2x 22  sin x     sin 2x  0  4 2 sin 3x    cos x     0  2 8  4 2 sin 3x    sin   x  0  2 8 4   sin 3x     0  sin   x  0  2 8 4  sin 3x     sink   sin   x  sink   2 8 4   x    2k  x    k 12 3 4 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ S    2k ,   k  . 12 3 4   21. ແກສ້ ມົ ຜນົ sin 4 2x  cos4 2x x   cos2 4x . tan   x . tan   4  4  ວທິ ຄີ ດິ 170

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ  ຈາກສມົ ຜນົ sin 4 2x  cos4 2x x   cos2 4x ເຮາົ ໄດ.້ tan   x. tan   4  4  1  1 sin 2 4x  cos2 4x. tan   x. tan   x   tan   x. tan   x  1 2 4  4  4  4   1  1 sin 2 4x  1  sin 2 4x 2 sin 2 4x  0  sin 4x  0 x  k 4 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ S   k  .    4  22.ແກສ້ ມົ ຜນົ tan 2 x  tan x cot an2x  1 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ tan 2 x  tan x cot an2x 1ເຮາົ ໄດ.້ tan 2 x  tan x  1 tan 2x   tan 2 x  tan x. 1  tan 2 x  1 2 tan x 2 tan 3 x  tan x  tan 3 x  2 tan x tan 3 x  tan x  0  tan x tan 2 x  1  0 tan x  0  tan x  1  0  tan x  1  0 x  k  x     2k 4 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ S  k ,    2k  .  4   23.ແກສ້ ມົ ຜນົ tanx  c tan x  sin 2x 1 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ tanx  c tan x  sin 2x 1ເຮາົ ໄດ.້ sin x  cos x  sin 2x 1 cos x sin x 171

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ sin x sin x  cos x cos x  sin 2x  1 cos x sin x 1 sin 2xsin 2x  1  1 2  sin 2 2x  sin 2x  2  0 (sin 2x  2)(sin 2x  1)  0 sin 2x  2 x    sin 2x  1  sin 2x  sin    2k  2  2x     2k 2  x     k 4 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ S      k   4    24. ແກສ້ ມົ ຜນົ 3 x  3 tan x  3. cos2 ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 3 x  3 tan x  3 ເຮາົ ໄດ.້ cos2 3 sec2 x  3 tan x  3 3  3 tan 2 x  1  3 tan x   tan x 3 tan x  3  0 tan x  0  3 tan x  3  0 x  k  x    k 3 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ S   k ,   k   3    25. ແກສ້ ມົ ຜນົ sin 2x  2 cos x . 1  sin x ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ sin 2x  2 cos x ເຮາົ ໄດ.້ 1  sin x sin 2x  2 cos x(1  sin x) 2 cos x sin x  2 cos x(1  sin x)  0 cos x2 sin x  2 sin x  2  0 cos x  0  4 sin x  2 172

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ x    2k  x     2k  x      2k 26 6 x    2k  x     2k  x  5  2k 2 66 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ S     2k ,    2k , 5  2k   2 6 6    26.ແກສ້ ມົ ຜນົ cos2x  3cos x  2  0 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ cos2x  3cos x  2  0 ເຮາົ ໄດ.້ cos2x  3cos x  2  0  2 cos2 x  1  3cos x  2  0 2 cos2 x  3cos x  1  0 (2 cos x  1)(cos x  1)  0  2cos x  1  0  cos x  1  0 x   2  2k  x  k 3 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ S   k , 2  2k   3    27.ຊອກຫາຄ່ າຂອງ m ເພ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ sin 4 x  cos4 x  cos2x  1 sin 2 2x  m  0 ມໃີ ຈຜນົ . 4 ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ sin 4 x  cos4 x  cos2x  1 sin 2 2x  m  0ເຮາົ ໄດ.້ 4 1  1 sin 2 2x  cos2x  1 sin 2 2x  m  0 24 1  1 sin 2 2x  cos2x  m  0 4  1  1 1  cos2 2x  cos2x  m  0 4 1 cos2 2x  cos2x  1  m  0 , 1 cos2x 1 44  cos2 2x  4 cos2x  1  4m  0  ການດົ ໃຫ້ t  cos2x   1  t  1ເຮາົ ໄດ.້ t 2  4t  1  4m  0  ການດົ ໃຫ້ t  1  X  t  1 t  X  1ເຮາົ ໄດ.້ X  12  4X  1  1  4m  0 X 2  2X  1  4X  4  1  4m  0 173

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ X 2  6X  6  4m  0 32  6  4m  0   6  4m  0   6  4m  0  60   m3  mm602343 2   m 3 4  ການດົ ໃຫ້ t  1  X  t  1 t  X  1ເຮາົ ໄດ.້ X  12  4X  1  1  4m  0 X 2  2X  1  4X  4  1  4m  0 X 2  2X  (2  4m)  0  2  4m  0 m1 2  ສະນນັ້ ເຮາົ ສາມາດການດົ  m   3    x   1   m   1 .  4   2  2 ຕອບ: ຄ່ າຂອງ m ແມ່ ນ m   1 . 2 28.ແກສ້ ມົ ຜນົ tan x  c tan 2x  3  2sin 2x . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ tan x  c tan 2x  3  2sin 2x ເຮາົ ໄດ.້ sin x  cos2x  3  2 sin 2x cos x sin 2x sin x sin 2x  cos2x cos x  3  2 sin 2x cos x sin x  cos x  3  2 sin 2x cos x sin 2x 1  3  2 sin 2x sin 2x  sin 2x3  2 sin 2x  1 2 sin 2 2x  3sin 2x  1  0 sin 2x  12 sin 2x  1  0  sin 2x  1  0  2 sin 2x  1  0 174

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ sin 2x  1  sin 2x  1 2 2x    2k  2x    2k  2x      2k 26 6  x    k  x    k  x  5  2k 4 12 12 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ S    k   k , 5  2k  .  , 12   4 12  29.ຊອກຫາຄ່ າຂອງ m ເພ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ sin 2 x  4 sin x cos x  2m cos2 x  0 ມໃີ ຈຜນົ . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ sin 2 x  4 sin x cos x  2m cos2 x  0 ເຮາົ ໄດ.້ sin 2 x  4 sin x cos x  2m cos2 x  0  1  cos2x  2 sin 2x  2m1  cos2x   0 2 2 1  cos2x  4 sin 2x  2m  2m.cos2x  0 4 sin 2x  (2m  1).cos2x  2m  1  4 sin 2x  2m  1 cos2x   2m  1 4m2  4m  17 4m2  4m  17 4m2  4m  17  2m  1  1  2m  1  1 4m2  4m  17 4m2  4m  17  ຈາກສມົ ຜນົ 2m  1  1 ເຮາົ ໄດ.້ 4m2  4m  17 2m  1  1 4m2  4m  17  4m2  4m  17  2m  1 4m2  4m  17  4m2  4m  1 8m  16  m2  ຈາກສມົ ຜນົ 2m  1  1 ເຮາົ ໄດ.້ 4m2  4m  17 4m2  4m  17  2m  1  4m2  4m  17  4m2  4m  1 m2 ຕອບ: ຄ່ າຂອງ m ແມ່ ນ m  2 . 30.ແກສ້ ມົ ຜນົ c tan x  3 tan x  c tan 2 x  3 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ c tan x  3 tan x  c tan 2 x  3 ເຮາົ ໄດ.້ 175

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ c tan x  3 tan x  c tan 2 x  3  c tan 2 x  3  c tan 2 x  3 c tan x  c tan 2 x  3 c tan x  1  0  c tan 2 x  3  0  c tan x  1  0 x     k  x    k 64 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ S     k ,   k  .  6 4   31. ແກສ້ ມົ ຜນົ sin x   2 . 2 ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ sin x   2 ເຮາົ ໄດ.້ 2  sin x  sin    2k  4  x     2k  x      2k 44 x     2k  x  5  2k 44 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ ນ S     2k , 5  2k  .  4 4   32.ແກສ້ ມົ ຜນົ 4sin 3 x  5cos2x  2sin x 1  0 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 4sin 3 x  5cos2x  2sin x 1  0 ເຮາົ ໄດ.້ 4sin 3 x  5(1  2sin 2 x)  2sin x 1  0 4sin 3 x 10 sin 2 x  2sin x  4  0 (sin x 1)(4sin 2 x  6sin x  4)  0  sin x 1  0  2sin 2 x  3sin x  2  0 sin x  1  2sin x  1  0  sin x  2  0 (x ) x    2k  x     2k  x  7  2k 2 66 ຕອບ: ມໃີ ຈຜນົ ແມ່ ນ S    2k ,   2k , 7  2k  .  6 6   2  33.ແກສ້ ມົ ຜນົ tan 3x  tan x  sin 2x . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ tan 3x  tan x  sin 2x ເຮາົ ໄດ.້ 176

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ  sin 3x  sin x  sin 2x cos3x cosx sin 4x  sin 2x cos3x cos x  0 sin 2x2 cos2x  cos3x cos x  0 sin 2x  0  2 cos2x  cos3x cos x  0 x  k  2 cos2x  1 cos4x  1 cos2x  0 22  3 cos2x  1 cos4x  0 x   22 ຕອບ: ມໃີ ຈຜນົ ແມ່ ນ S  k.  34.ແກສ້ ມົ ຜນົ 2sin 3 x  cos x 2sin 2 x  3  3sin xcos2x 1  cos3x  2cos3 x  0 . ວທິ ຄີ ດິ   ຈາກສມົ ຜນົ 2sin 3 x  cos x 2sin 2 x  3  3sin xcos2x 1  cos3x  2cos3 x  0 ເຮາົ ໄດ.້    2sin 3 x  cos x 2sin 2 x  3  3sin x 2 cos2 x  4 cos3 x  3cos x  2 cos3 x  0 2sin 3 x  2 cos x sin 2 x  6sin x cos2 x  6 cos3 x  0 2sin 2 xsin x  cos x  6 cos2 xsin x  cos x  0  sin x  cos x 2sin 2 x  6 cos2 x  0  sin x  cos x  0  2  8cos2 x  0 sin x     0  1  2 cos x1  2 cos x  0  4 x    k  x    2k  x  2  2k 43 3 ຕອບ: ມໃີ ຈຜນົ ແມ່ ນ S    k ,   2k , 2  2k  .  3 3   4  35.ແກສ້ ມົ ຜນົ cos2 x  3 sin 2x  2  sin 2 x . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ cos2 x  3 sin 2x  2  sin 2 x ເຮາົ ໄດ.້ 1  cos2x  3 sin 2x  2  1  cos2x 22 1  cos2x  2 3 sin 2x  4  1  cos2x cos2x  3 sin 2x  2 1 cos2x  3 sin 2x  1 22 sin 2x     sin   2k   6 2  177

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ  2x      2k 62 2x    2k 3  x    k 6 ຕອບ: ມໃີ ຈຜນົ ແມ່ ນ S    k  .    6  36.ແກສ້ ມົ ຜນົ sin 2x  cos2x  2 sin 3x . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ sin 2x  cos2x  2 sin 3x ເຮາົ ໄດ.້ 1 sin 2x  1 cos2x  sin 3x 22 sin 2x     sin 3x  0  4 2 cos 5 x   sin   x   0 2 8 8 2  2sin 3  5 x sin   x   0  8 2  8 2 sin 3  5 x   0  sin   x   0 8 2  8 2 3  5 x  k    x  k 82 82 x  3  2k  x    2k 20 4 ຕອບ: ມໃີ ຈຜນົ ແມ່ ນ S   3  2k ,   2k  .  20 4    37.ແກສ້ ມົ ຜນົ cosx  sin x  2sin 2x  1. ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ cosx  sin x  2sin 2x  1ເຮາົ ໄດ.້ cos x  sin x  1  2sin 2x cos x  sin x2  1  2sin 2x2 1  sin 2x  1  4sin 2x  4sin 2 2x 4sin 2 2x  3sin 2x  0 sin 2x4sin 2x  3  0  sin 2x  0  4sin 2x  3  0 x  k  x  1 sin 1 3   k 2 2 4 178

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ ຕອບ: ມໃີ ຈຜນົ ແມ່ ນ S   k , 1 sin 1 3   k  .  2  4    2  38.ແກສ້ ມົ ຜນົ sin 3x  sin x . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ sin 3x  sin x ເຮາົ ໄດ.້ sin 3x  sin x  0 2 cos4xsin2x  0 cos4x  0  sin2x  0 4x    2k  2x  k 2  x    k  x  k 82 2 ຕອບ: ມໃີ ຈຜນົ ແມ່ ນ S  8  k , k  . 2 2  39.ແກສ້ ມົ ຜນົ sin x  cos x  2 . 2 ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ sin x  cos x  2 ເຮາົ ໄດ.້ 2 sin x  cos x2   2  2 2 1  sin 2x  1 2 sin 2x   1  2x    7  2k 2 6 2x  7  2k  x     2k 6 6  x  7  k 12 ຕອບ: ມໃີ ຈຜນົ ແມ່ ນ S   7  k ,    2k  .  12 6    40.ຊອກຫາຄ່ າຂອງ m ເພ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ m  2sin x  2mcosx  2(m 1) ມໃີ ຈຜນົ . ວທິ ຄີ ດິ . ຈາກສມົ ຜນົ m  2sin x  2mcosx  2(m 1) ເຮາົ ສາມາດສງັ ເກດໄດດ້ ່ ງັ ນ:ີ້  m2  sin x   5m 2 2m  cos x  2m 1 2  4m  4m 5m  4  4 5m2  4m  4 179

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ 1  2m 1  1 5m2  4m  4  2m 1  1  2m 1  1 5m2  4m  4 5m2  4m  4  ສງັ ເກດຈາກສມົ ຜນົ 2m 1  1ເຮາົ ໄດ.້ 5m2  4m  4  2m  1  5m2  4m  4 5m2  4m  4  0    2m 1  0    2m 1  0 5m2  4m  4  (2m  2)2 m  1   m  1 5m2  4m  4  4m2  8m  4 m  1   m  1 m2  4m  0  S1  R 2m 1  1 ເຮາົ ໄດ.້  ສງັ ເກດຈາກສມົ ຜນົ 5m2  4m  4 5m2  4m  4  2m  1  5m2  4m  4  0   2m 1  0   2m 1  0 5m2  4m  4  2(m  1) m  1   m  1 m2  4m  0  m  1  m  4 S2   ,1 4, ຕອບ: ຄ່ າຂອງ m ແມ່ ນ S  S1  S2   ,14,. 41. ແກສ້ ມົ ຜນົ 3sin x  cosx sin 2x  3 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 3sin x  cosx sin 2x  3 ເຮາົ ໄດ.້ 3sin x  cos x2  3  sin 2x2 91  sin 2x  9  6sin 2x  sin 2 2x sin 2 2x  3sin 2x  0  sin 2xsin 2x  3  0 sin 2x  0  sin 2x  3  0 x  k 2 ຕອບ: ມໃີ ຈຜນົ ແມ່ ນ S   k  .  2    180

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ 42.ຊອກຫາຄ່ າຂອງ m ເພ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ sin 2 x  sin x.cos x  2  mcos2 x  0 ມໃີ ຈຜນົ x    ,   . 4 4  ວທິ ຄີ ດິ . ຈາກສມົ ຜນົ sin 2 x  sin x.cos x  2  mcos2 x  0 ເຮາົ ສາມາດສງັ ເກດໄດດ້ ່ ງັ ນ:ີ້ sin 2 x  sin x.cos x  2  mcos2 x  0 1  cos2x  1 sin 2x  2  m1  cos2x   0 22 2 1  cos2x  sin 2x  2  m1  cos2x  0 1  mcos2x  sin 2x  m  3  1 m  cos 2 x  1 sin 2x  m3 2  2m m2  2m  2 m2  2m  2 m  2   2  m3  2 2 m2  2m  2 2  ສງັ ເກດຈາກສມົ ຜນົ m3  2 ເຮາົ ໄດ.້ m2  2m  2 2 2m  6   2m2  4m  4  2m2  4m  4  6  2m  6  2m  0   6  2m  0 2m2  4m  4  0 2m2  4m  4  4m2  24m  36   m3 m2 10m  16  0  2m3 S1  2,3.  ສງັ ເກດຈາກສມົ ຜນົ m3  2 ເຮາົ ໄດ.້ m2  2m  2 2 2m2  4m  4  2m  6   2m  6  0   2m  6  0 2m2  4m  4  0 2m2  4m  4  4m2  24m  36  m3 m2 10m  16  0  3 m8 ຕອບ: ຄ່ າຂອງ m ແມ່ ນ S  S1  S2  2,8. 43.ແກສ້ ມົ ຜນົ 3 sin x  cos x  1 . cos x ວທິ ຄີ ດິ 181

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ  ຈາກສມົ ຜນົ 3 sin x  cosx  1 ເຊ່ ງິ x   2k ເຮາົ ໄດ.້ cos x 2 3 sin x  cos x  1 cos x  3 sin x cos x  cos2 x  1 3 sin 2x  1  cos2x  1 22 3 sin 2x  1 cos2x   1 22 2 sin 2x     sin 7  2k   6  6  2x    7  2k  2x      7  2k 66 66 x    k x    x     k 23 ຕອບ: ມໃີ ຈຜນົ ແມ່ ນ S      k  .  3     44.ແກສ້ ມົ ຜນົ 2 sin 4 x  cos4 x  2  sin 2x . ວທິ ຄີ ດິ   ຈາກສມົ ຜນົ 2 sin 4 x  cos4 x  2  sin 2x ເຮາົ ໄດ.້  2 sin 4 x  cos4 x  2  sin 2x 21  1 sin 2 2x   2  sin 2x 2  2  sin 2 2x  2  sin 2x  0 sin 2 2x  sin 2x  0 sin 2xsin 2x 1  0  sin 2x  0  sin 2x 1  0 x  k  x    k 24 ຕອບ: ມໃີ ຈຜນົ ແມ່ ນ S   k ,   k  .  2 4  45.ແກສ້ ມົ ຜນົ sin 6 x  cos6 x  3 sin 8x  1. 8 ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ sin 6 x  cos6 x  3 sin 8x  1ເຮາົ ໄດ.້ 8 182

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ    sin 2 x 3  cos2 x 3  3 sin 8x  1 8    sin 2 x  cos2 x sin 2 x  cos2 x 2  3sin x cos x  3 sin 8x  1 8 1  3 sin 2x  3 sin 8x  1 28 1 sin 8x  1 sin 2x  0 82 sin 2x cos2x cos4x  sin 2x  0 sin 2xcos2x cos4x  1  0  sin 2x  0  cos2x cos4x  1  0 x  k  cos2x cos4x  1  0 2   cos2x 2 cos2 2x 1  1  0  cos2x 2 cos2 2x 1  1  0 2 cos3 2x  cos2x  1  0  cos2x 1 2 cos2 2x  2 cos2x 1  0  cos2x  1  0  2 cos2 2x  2 cos2x  1  0 x   cos2x 1  0 cos2x  1 2x    2k  x    k 2 ຕອບ: ມໃີ ຈຜນົ ແມ່ ນ S   k ,   k  .  2 2    46.ແກສ້ ມົ ຜນົ sin 4 x  cos4 x  2sin 2x 1. ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ sin 4 x  cos4 x  2sin 2x 1ເຮາົ ໄດ.້    sin 2 x 2  cos2 x 2  2sin 2x 1   sin 2 x  cos2 x 2  2sin x cos x  2sin 2x 1 1  sin 2x  2sin 2x 1  3sin 2x  2 sin 2x  2 3 x  1  sin 1  2    k 2  3  ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ S  1  sin 1  2    k    3  .  2  183

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ 47.ແກສ້ ມົ ຜນົ 1  2cos x  sin x . c tan x tan 2x c tan x 1 ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 1  2 cos x  sin x ເຮາົ ໄດ.້ c tan x tan 2x c tan x 1 1  2cos x  sin x tan x  c tan 2x c tan x  1  sin 2x cos x  2cos x  sin x sin x sin 2x  cos2x cos x cos x  sin x sin x sin 2x cos x  2 sin x cos x  2sin x cos x  2 sin x  0  sin x 2cosx  2  0 sin x  0  2 cos x  2  0 x  k  x    2k 4 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ S  k ,   2k  .  4   48.ຊອກຫາຄ່ າຂອງ m ເພ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 2sin x  cosx sin 2x  m 1  0 ມໃີ ຈຜນົ . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 2sin x  cosx sin 2x  m 1  0 ເຮາົ ໄດ.້ 2sin x  cos x  sin 2x  m 1  0 2sin x  cos x  1 m  sin 2x 4sin x  cos x2  1  m  sin 2x2 41  sin 2x  1  2m  sin 2x  m2  2m sin 2x  sin 2 2x  sin 2 2x  2m 1sin 2x  m2  2m  3  0  m 12  m2  2m  3  0   m2  2m  3  0   m2  2m  3  0  m 1 0  m2  2m  3  0  40  m2  2m  3  0  m 1  0 184

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ  40 m 1m  3  0  m 1m  3  0  m  1 1 m  3  40  1  m  3  m  1  1 m  3 ຕອບ: ຄ່ າຂອງ m ແມ່ ນ 1  m  3 . 49.ແກສ້ ມົ ຜນົ 2cos2 x  3sin x  3  0 . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສມົ ຜນົ 2cos2 x  3sin x  3  0 ເຮາົ ໄດ.້  2 1 sin 2 x  3sin x  3  0 2  2sin 2 x  3sin x  3  0 2sin 2 x  3sin x  1  0 sin x 12sin x 1  0 x    2k  x    2k 26 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ S    2k ,   2k  .  6   2  50. ຊອກຫາຄ່ າໃຫຍ່ ສຸດ ແລະ ນອ້ ຍສຸດຂອງຕາລາ y  sin x  2cos x 1 . sin x  cos x  2 ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກຕາລາ y  sin x  2cos x 1 ເຮາົ ໄດ.້ sin x  cos x  2 y  sin x  cos x  2  cos x 1 sin x  cos x  2 y  1 cosx 1 sin x  cos x  2 ເຮາົ ສງັ ເກດເຫນັ ວ່ າ: sin cosx 1  2  0 ສະນນັ້ ຄ່ າຂອງ ymax 1 x  cosx ເຮາົ ສງັ ເກດເຫນັ ວ່ າ: y 1 sin cosx 1 2 , x   ສະນນັ້ ຄ່ າຂອງ ymax  1 x  cosx  185

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ ບດົ ທີ 8 ສງັ ລວມບດົ ເລກສງັ ຄະນດິ ເສ່ັ ງັ ເຂາົ້ ມະຫາວທິ ະຍາໄລຕ່ັ າງໆທ່ັ ຫີ ວຽດນາມ 1. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 1 (2x  1)e xx2 dx ວທິ ຄີ ດິ 0 ຈາກສງັ ຄະນດິ 1 (2x  1)e xx2 dx ເຮາົ ໄດ.້ 0  1 (2x  1)e xx2 dx   1 e xx2 d (x  x 2 ) 00   e xx2 1  (e0  e0 ) 0 0 ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ 1 (2x  1)e xx2 dx  0 . 0 2. ໂດຍ x  0;   ການດົ a, b ເຮດັ ໃຫ ້ 1 x  a cos x  b cos x . 4  cos 1  sin x 1  sin x ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສມົ ຜນົ 1 x  a cos x  b cos x ເຮາົ ໄດ ້ cos 1  sin x 1  sin x 1  a cos x  b cos x cos x 1  sin x 1  sin x 1  cos x a(1  sin x)  b(1  sin x)  cos  1  sin 2 x  x 1  a(1  sin x)  b(1  sin x) cos x cos x  a(1  sin x)  b(1  sin x)  1 a  b  (a  b) sin x  1 (a  b) sin x  a  b  1 sin x  a  b  1 ab x  arcsin a  b  1   a  b   ຈາກເງ່ັອນໄຂ x  0;   ເຮາົ ໄດ.້ 4  0  arcsin a  b  1    ab  4 0 a b 1 2 ab 2 01 1  2 ab 2 2 2  1 1 2 ab ຕອບ:ຄ່ັ າຂອງ x  arcsin a  b  1  ເມັ່ ອ 2  2  1  1 .  a  b  2  a b 186

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ  1  dx  3. 4 4 ຄດິ ໄລັ່ I  dx ແລະ J 0 cos x 0 cos3 x ວທິ ຄີ ດິ ສງັ ເກດຈາກ 1  sec x ດັ່ ງັ ນນັ້ cos x  dx  4 sec xdx   1 I 4 0 cos x 0 I   sec x sec x  tan x dx 4 0  sec x  tan x  I    sec2 x  sec x tan x dx 4 sec x  tan x 0 I   d (sec x  tan x)  ln sec x  tan x  4 4 0 sec x  tan x 0 I  ln sec    tan    ln sec0  tan0 4 4 I  ln 2  1   dx ແກສ້ ງັ ຄະນດິ J  4 0 cos3 x   dx  J 4  4 sec3 xdx 0 cos3 x 0   J  4 sec x(tan 2 x  1)dx  4 sec x tan 2 xdx  4 sec xdx   0 0 0     4 sec3 xdx  4 sec x tan x tan xdx  4 sec xdx 0 00      4 sec3 xdx  sec x tan x 4  4 sec3 xdx  4 sec xdx 0 00 0   xdx  1 sec x tan x   1 ln 2 1 4 4 sec3 0 2 02 J  1  sec  . tan     1 ln 2 1 2  4  4  2 J  2  1 ln 2  1 22 4. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ  sin x  cos x  1 dx 2 sin x  2 cos x  3 0 ວທິ ຄີ ດິ ສງັ ເກດຈາກສງັ ຄະນດິ  sin x  cos x  1 dx ແລວ້ ການດົ tan x u  x  2 tan 1 (u)  dx  2du 2 sin x  2 cos x  3 2 1 u2 0 ຈາກນນັ້ sin x  1 2u 2 , cos x  1  u 2 ແທ່ັ ນສງັ ຄະນດິ u 1 u2 ຊອກຂອບ u1  tan(0)  0 ,u2  tan   1 4  187

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ    2u 2    1  u 2  1 2  u  1  u 2 sin x  cosx 1 1 1 2du dx  0 sin x  2cosx  3 0  2u  2 1  u2  1  u2   u2  1  u2 1   3   1 2u 1  u2  1  u2 2du 2 sin x  cosx 1 dx  . 1 0 sin x  2cosx  3 0 2u  2(1  u 2 )  3(1  u 2 )  u 2   1 2u2  2u 2du 2 sin x  cosx 1 dx  . 1 0 sin x  2cosx  3 0 u 2  2u  5  u 2   u2  u 2 2u  5)(u2 0 sin x  cosx 1 dx  4 1   1) du sin x  2cosx  3 0 (u2    2  sin x  cosx 1 dx  2 1  3x  5  3x 1 du 5 0 x2  2x  x2 1  0 sin x  2cosx  3 5 2 1  3x  5 du 2 1 3x  1 du 5 0 x2  2x  5  5 0 x2  1     2 1  3x  5 du 2 1 3x  1 du 5 0 x2  2x  5  5 0 x2  1       3 (2x  2)  4   3 (2x) 1   21 2 du 2 1 2 du  5 0 x2  2x  5  5 0 x2  1    3 (2x  2)  4  2  3 (2x) 1   21 2 du 1 2 du  5 0 x2  2x  5  5 0 x2  1  (2x  2) x2  2x  5  3 1 du  2 1 x2  4  5 du  3 1 (2 x) du 2 1 1 1 du 0  5 0 2x  5 0 x2 1  5 0 x2      5   2 ln x2  2x  5 1  4 tan 1 x  1 1  3 ln x2  1 1  2 tan 1x 1 5 05  2 0 5 05 0  2 ln 5   4    tan 1 1    3 ln(2)  2 5 8 5 4  2 5 20 ຕອບ:ສງັ ຄະນດິ  sin x  cos x  1 dx  2 ln  5   4    tan 1  1    3 ln(2)  2 2 sin x  2 cos x  3 5  8  5 4  2  5 20 0 5. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 1 (3x  1) dx 0 (x  3)3 ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສງັ ຄະນດິ 1 (3x  1) dx 0 (x  3)3 188

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ  1 (3x  1) dx  1 (3x  9  8) 0 (x  3)3 dx 0 (x  3)3 x3 1  1 3 0 (x  3)3 1 dx dx  8 0 (x  3)3 11  3  4 (x  3) (x  3) 2 0 0 1 3  1  4 3449 1 18 ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ 1 (3x  1) dx  1 . 0 (x  3)3 18 6. 1x ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 0 (x  1)3 dx ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສງັ ຄະນດິ1x dx 0 (x  1)3  1x 1 (x  1  1) dx  dx 0 (x  1)3 0 (x  1)3 x 1 1 1 dx   1 dx  0 (x  1)3 0 (x  1)3 11  1  1 (x  1) 2(x  1) 2 0 0 1 1  1  1 282 1 8 ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ 1x dx  1 . 0 (x  1)3 8 7. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 1 x2 1 dx 0 x4 1 ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສງັ ຄະນດິ1 x2 1 dx 0 x4 1 189

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ  1 x 2  1 dx  1 x2 1 dx 0 x4 1 0 (x 2  2x  1)(x 2  2x  1)   1 1 2x  1 dx  1 1 2x  1 dx 2 0 x2  2x 1 2 0 x2  2x 1 2 (2x  2) dx  1 2 (x  2) 2 2 dx   1 1 1 2 0 x2  2x 1 2 0 x2  2x 1   2 1 (2x  2) dx  2 1 (x  2) dx 4 0 x2  2x 1 4 0 x2  2x 1 1  2 ln x 2  2x  1 4 x2  2x 1 0  2 ln 2  2  2 ln 3  2 4 2 2 4 ສງັ ຄະນດິ 1 x2 1 dx  2 ln 3  2. ຕອບ: 0 x4 1 4 8. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ  e2x sin 2 xdx 0 ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສງັ ຄະນດິ  e2x sin 2 xdx 0    e2x sin 2 xdx  1  e2x dx  1  e2x cos2xdx 0 20 20  1 e2x   e2x  404 cos2x  sin 2x 0  e2x (1  cos2x  sin 2x)  4 0 0 ຕອບ:ສງັ ຄະນດິ  e2x sin 2 xdx  0 . 0  cos x dx 9. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 2 0 2  cos2x ວທິ ຄີ ດິ  cos x dx ຈາກສງັ ຄະນດິ 2 0 2  cos2x   2 cos x  cos x dx 0 2  cos2x dx  2 0 2  1  2 sin 2 x  d (sin x)  2 0 3  2 sin 2 x 190

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ 2  d ( 2 sin x )   2 3 20 2 1   2 sin x  3   2 arccos 2 sin x  2 2 3 0  2  arccos 2     2  3 2   cos x dx  2  arccos 2     . 2  cos2x 2  3 2  ຕອບ:ສງັ ຄະນດິ 2 0 10. 1 dx ແກສ້ ງັ ຄະນດິ  2x cos dx 1 x 2 1 ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສງັ ຄະນດິ1 dx dx  2x cos 1 1 x 2 dx dx  1 1  1 x 2  2x cos  1 1 (x 2  cos ) 2  1  cos2  1 dx dx 1 (x  cos ) 2  sin 2   d  x  cos   sin    1 1 sin  1  x  cos  2 1  sin    1 arctan x  cos  1 sin   sin   1  1  arctan 1  cos   arctan 1  cos   sin   sin    sin   ຕອບ:ສງັ ຄະນດິ 1 dx dx  1  arctan 1  cos   arctan 1  cos   .  2x cos  1 sin   sin    sin   1 x 2 11. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 2a x2  a 2 dx a ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສງັ ຄະນດິ 2a x2  a 2 dx ການດົ ໃຫ ້ x  a sec  dx  a sec tan d ຊອກຫາຂອບ a x1  a sec1 1  0 x2  a sec 2  2  sec1 (2) 2  sec1 (2)   3 191

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ  x2  a2 dx  3 a2 sec tan2 d  2a a0  a2 sec     3  3 sec tan2 d 3 0  0 0   a2  tan   sec3  d ສງັ ເກດຈາກຂທ້ ສີ າມ(3)ເຮາົ ໄດ.້ 2a x2  a2 dx  a 2  3   1 sec x tan x   1 ln sec x  tan x    a  2 2  3 3 0 0  a 2  3   1 3  1 ln 2  3   2 2    a2 3  ln 2  3 2   ຕອບ:ສງັ ຄະນດິ 2a x2  a2 dx  a2 3  ln 2  3 . a2 12.  4 sin 3 x ຊອກສງັ ຄະນດິ 2 dx 0 1  cos x ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສງັ ຄະນດິ  4 sin 3 x dx 2 0 1  cos x    4 sin 2 x sin x 2 2 dx 4 sin 3 x dx  0 1  cos x 0 1  cos x  4  (1  cos2 x) 2 d (cos x) 0 1  cos x    4 2 1  cos xd (cos x) 0  4 cos x  cos2 x  0 2  2  41  1   2 2 ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ  4 sin 3 x dx  2 2 0 1  cos x 13. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ a x2  a 2 dx 0 ວທິ ຄີ ດິ a x2 x2  a2   a a x2  a2 dx  x dx 0 0 0 x2  a2  a 2 2  a x 2  a 2  a 2 dx 0 x2  a2 192

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ   a 2 2  a x 2  a 2 dx  a a 2 dx 0 x2  a2 0 x2  a2  a 2 2  2 x 2  a 2 a  a 2 cosh1 ( x ) a 30 20   a 2 2  2 a  a 2  a 2 cosh a   a 2 3 2   a2   cosh a    2 2 1  2  3 aa 2 x 2  a 2 dx  a 2   a a 2 2 3   ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ 0 2  1  cosh   aa 2 .   14. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 2 1  sin xdx 0 ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສງັ ຄະນດິ 2 1  sin xdx 0  2 1  sin xdx  2 4 cos   x dx 0 0  4 2  8sin   0 x   4 2  2  8sin    sin     4  4 16 sin   4 8 2 ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ ຂອງ 2 1  sin xdx  8 2 . 0 15. 3 dx ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 8 sin 2 x cos2 x  8 ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສງັ ຄະນດິ3 sin 2 dx x ເຮາົ ໄດ້ 8 x cos2  8 193

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ  3 dx  3 4dx 8 x cos2  8 8 sin 2 x  1  cos2x1  cos2x 8  3 4dx 8  8 1  cos2 2x  4 3 dx 8 sin 2 2x  8   2cot an(2x) 8 3 8  2 cot an    cot an 3    4   4   2(1  1) 4 ຕອບ:ສງັ ຄະນດິ ແມ່ັ ນ 3 sin 2 dx x  4. 8 x cos2  8 16. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 2 dx 1 x 1  x 1 ວທິ ຄີ ດິ   2 dx 2 x 1  x 1 dx    1 x  1  x  1 1 x  1  x  1 x  1  x  1   1 2 x  1  x  1 dx 21  2  3 (x  1)3  (x  1)3    1  3 (3)3  (2)3  (2)3   3 3 3  4 2  9 3  12 2 ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ 2 dx  9 3  12 2 . 1 x 1  x 1 17. ແກສ້ ມົ ຜນົ x (u  x2 )du  sin x . 0 ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສງັ ຄະນດິ ເຮາົ ໄດ້ x (u  x2 )du  sin x . 0 194

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ x (u  x 2 )du  sin x 0  u2 x  sin x 2  x 2u  0 x 2  x 3  sin x 2 x 2  2x3  2 sin x x 2 (1  2x)  2 sin x x0 18. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ b x ln 2 xdx 1 ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສງັ ຄະນດິ b x ln 2 xdx 1  b x ln 2 xdx  x 2 ln 2 x b  b 1 21 x ln xdx 1  b 2 ln 2 b  x 2 ln x b  1 b 2 2 21 xdx 1   b2 ln 2 b  ln b  1 x 2 b 2 41     b2 ln 2 b  ln b  1 b2  1 24    ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ b x ln 2 xdx  b2 ln 2 b  ln b  1 b2  1 . 4 12  19. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 2 x cos2 xdx . 0 ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສງັ ຄະນດິ 2 x cos2 xdx 0   1  2 x cos2 xdx  2 x(1  cos2x)dx 0 20   1   1  2 xdx 2 cos2xdx 20 20   1 sin 2x  2 84 0  8 ຕອບ:ສງັ ຄະນດິ  x cos2 xdx   . 2 8 0 20. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 2 dx 2 3 x x2 1 195

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສງັ ຄະນດິ 2 dx 2 3 x x2 1   2  sec  2 3x dx  sec x 2  sec 2 2 x2 1 2 3 3     4 6 12 2 dx   2 x 2  1 12 3x ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ 2 dx   . x 2  1 12 2 3x 21. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ  cos x sin xdx . 0 ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສງັ ຄະນດິ  sin xdx . cos x 0     cos x sin xdx  2 cos x sin xdx   cos x sin xdx 00 2    2 sin xd (sin x)   sin xd (sin x) 0 2 2   3 sin 3 x 2  2 sin 3 x  03 2  2   sin 3 x   3   sin 3 x 2   2 0  2 1  1 3 4 3  sin xdx  4 . ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ cos x 03 22. ໃຫຕ້ າລາ: f (x)  sin x sin 2x cos5x 22.1. ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາລາ ຫຼ ສງັ ຄະນດິ .  sin x sin 2x cos5xdx  1  sin xsin 7x  sin 3xdx 2  1  sin x sin 7x  sin x sin 3xdx 2  1  cos8x  cos6x  cos 2x  cos 4xdx 4  1  1 sin 8x  1 sin 6x  1 sin 2x  1 sin 4x  c 48 6 2 4  196