ຄະນິດສາດຍຸກສະໄໝໃໝ່ ເຫຼັ້ມ 2

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ 23. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ ln 2 e2x dx 0 ex 1 ວທິ ຄີ ດິ ln 2 e2x dx . ຈາກສງັ ຄະນດິ 0 ex 1 ການດົ ໃຫ້t  ex 1ex  t2  1 x  ln t2 1  dx  2t ຊອກຫາຂອບ dt t2 1 t1  e0  1  2 ແລະ t2  eln 2  1  3 ເຮາົ ໄດ.້  eln 2 2x dx  3 t 2  1 2  2t dt  0 e x  1 2t t2 1   2 3 t 2  1 dt 2  2 t3  t  3 3 2  2 3 3  3    2 2  2  3 3  2 2   2 2 3 3  eln 2 2x dx  2 2 3 0 ex 1 ln 2 e2x dx  2 2 . ex  3 ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ 1 0 24. ສງັ ຄະນດິ 1 x2  1 dx . 0 x 1 ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສງັ ຄະນດິ 1 x2  1 dx ເຮາົ ໄດ.້ 0 x 1  1 x 2  1 dx 1 (x  1)(x  1) dx 0 x 1 0 x 1  1 ( x  1)( x  1)(x  1) dx 0 x 1 1  ( x  1)(x  1)dx 0 197

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ 1  0 ( x  1)(x  1)dx  1  0 x3  x  x 1 dx   2 x5  2 x3  x2  1 5 3 2 x  0  2  2  1 1 532   13 30 1 x 2  1 dx   13 0 x 1 30 ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ 1 x 2  1 dx   13 . 0 x 1 30 25. ແກສງັ ຄະນດິ  cos x  2sin x 4 dx 0 4 cos x  3sin x ວທິ ຄີ ດິ ສງັ ເກດຈາກສງັ ຄະນດິ  cos x  2sin x dx ແລວ້ ການດົ tan x u  x  2 tan 1 (u)  dx  2du 4 4 cos x  3sin x 2 1 u2 0 ຈາກນນັ້ sin x  1 2u 2 , cos x  1  u 2 u 1 u2 ຊອກຫາຂອບຂອງສງັ ຄະນດິ u1  tan 0   0 , u2  tan    32 2 ແທນສງັ ຄະນດິ . 2 8 32 1 u2 4 u   2 1 u2 1 u2 4 cos x  2 sin x dx  2du 0 4 cos x  3sin x 0 1 u2 3 2u 1 u2 4 1u2 1u2 32 2 1  u 2  4u 2du  0 4(1  u 2 )  6u 1  u 2    32 2  u 2  4u  1 du 0 2u 2  3u  2 u 2  1 32 2 u 2  4u  1 0 x  22x  1 u 2   du 1 32 2  1 2u  4 1 1 2 1 du 0  5 u2  1 5  5 2u  1  .  . u 2  .    1 32 2 2u  4 du  1 32 2 1 du  1 32 2 2 du 5 0 u2 1 5 0 u2 5 0 2u  1 198

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ     1 32 2 2u du  1 32 2 4 du  1 32 2 1 du  1 32 2 2 du 5 0 u2 1 5 0 u2 1 5 0 u2 5 0 2u  1   1 ln u 2  1 32 2  4 tan 1 u 32 2  1 ln 2u 2  3u  2 32 2 5 05 05 0  1 ln u 2  1 32 2 5 2u 2  3u  2   4 tan 1 u 32 2 50 0  ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ ກາບັ່ ໄດ້ ຫຼ ບັ່ ມສີ ງັ ຄະນດິ . 26. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 1 3dx . 0 1 x3 ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສງັ ຄະນດິ1 1 3dx 0  x3 3dx 1 1 3dx  0 1  x3 0 (x  1)(x 2  x  1) 1  1  x2 x dx  x 1 x 1 3 0  3 1 2x 1  1 dx  1 dx 3 0 x 1 2 0 x2  x 1   1 d(x  1) 3 1 d(x2  x  1) 3 1 1 3   dx 0 x 1 2 0 x2  x 1 2 0 x2  x 1   1 d(x  1) 3 1 d(x2  x  1) 3 1 1 3   dx 0 x  1 2 0 x 2  x  1 2 0  2x  12  3 2 4 d  2x  1  3 1 d(x  1) 3 1 d(x2  x  1) 1 3    3 0 x 1 2 0 x2  x 1 2  2x  1  0 3 1 3 ln  2 x  1  1 3  3ln x 1 1  x2  1  3 tan 1 02 x 1 0 0  3ln 2  0  3 tan 1  3   tan 1  1   3 3  3ln 2  3      3ln 2   3 3 6 6 ຕອບ: 1 3dx  3 ln 2 3 ສງັ ຄະນດິ 0 1 x3 6 . 199

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ 27. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 1 x4  dx  3 . 0 4x2 ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສງັ ຄະນດິ 1 x4  dx  3 0 4x2  1 dx 1 dx  0 x 4  4x 2  3 0 (x 2  1)(x 2  3)  1 1  1  1 dx 2 0  x2 1 x2  3   1 1 dx 1 1 d  x  3  2 0 x2 1 2 3 0   2 x 1 3 1 1 tan 1  x  1 2 23 3  tan 1 x 1  0 0  1     1    24 2 36 1 x4  dx  3  1     1    4x2 2 4  23 6  0 ຕອບ: 1 dx  1     1    . ສງັ ຄະນດິ 0 x4  4x2  3 2 4  23 6   3 28. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ tan 2 x  cot an2 x  2dx .  6 ວທິ ແີ ກ ້  3 ຈາກສງັ ຄະນດິ tan 2 x  cot an2 x  2dx ເຮາົ ໄດ.້  6  3 sin 2 x  cos2 x  2 dx tan 2 x  cot an2 x  2dx   3   cos2 x sin 2 x 66  3 cos4 x  2 cos2 x sin 2 x  sin 4 x dx   cos2 x sin 2 x 6 200

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ  3  cos2 x  sin 2 x 2 dx cos x sin x   6   3 cos2 x  sin 2 x dx  cos x sin x 6   3 d sin 2x   sin 2x  6   ln sin 2x 3  6   ln sin 2   ln sin     3   3    ln sin    ln sin    3  3  0  tan 2 x  cot an2 x  2dx  0 3 ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ   6  29. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 3 dx   .  sin x sin x  6  6 ວທິ ຄີ ດິ   3 dx 3 2dx   sin x sin x     sin x cos x  3 sin 2 x 6  6 6 ການດົ ໃຫ ້t  tan x  x  2 tan 1 t  dx  2dt ຊອກຫາຂອບ t1  tan    2  3 ແລະ 2 1 t2 12  t2  tan    3 ແທນສງັ ຄະນດິ ເຮາົ ໄດ:້ 6  3 201

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ   3 dx 2 3 2dx 2dt  sin x sin x      2   2 1 t2 6  6 2  3  2t 2 1  t  3 1 2t 2 3 1 t 1  t  t   2 3 4(1  t 2 )dx dt  3 2t  2t 3  2 3t 3   2 3 4(1  t 2 )dx dt  3 2t  2t 3  2 3t 3 2 3 (1  t 2 )dx dt  2 3 t 3  (1  3)t 3 2 3 (1  t 2 )dx dt  2 tt  1 3 t  1 3  3 3 2  3  2 3 1  1  2 3 1 3 dt  22 3 1 3 1 3 t 2 2 3 t  1 2   3 t  3 3 2 2 3 ln t 2  ln t  3 22 3 1 3 2    (1  3) 3  ln 3   2 1 3    2 3 3)2  (1   3    2 3 ln (2  3) 2  (1   ln(2  3)  22 3 3  22 3 1 3 ln (  3)  3)   ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ ການດົ ບ່ັ ໄດ້ ຫຼ ບັ່ ມສີ ງັ ຄະນດິ .  30. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 4 sin 2 x  cos6 xdx 6x 1  4 ວທິ ຄີ ດິ    3 sin 2 2x 4 dx 4 4 1 sin 2 x  cos6 xdx   6x  1  6x  1 44 202

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ  sin 2  5  3 cos 4x 4 8 8 dx 4 x  cos 6 xdx   6x  1  6x  1 44    5 4 dx 3 4 cos 4x dx 8  6x  1 8  6x  1 44    5 4 (6 x  1  6 x )dx  3 4 cos 4xdx 8  6x 1 8  6x  1 44   4 5 4 d (6 x  1)  3 4 cos 4xdx dx     5 8  8 ln 6  6 x  1 8  6x  1 44 4    5 x 4  5 ln 6 x  1 4  3 4 cos 4xdx 8  8 ln 6  8  6x  1 4 4 4  5 5 ln 64 1 3 4 cos 4x 16 8 ln 6 1 dx     8  6x  1 64 4   5  3 4 cos 4xdx 32 8  6 x  1 4  ສງັ ເກດຈາກສງັ ຄະນດິ 4 cos4x ພຈິ າລະນາດັ່ ງັ ນ:ີ້  dx 6x 1 4 cos x  1  x 2  x 4  x 6  ....................................... 2! 4! 6! e x  1  x  x 2  x3  x 4  ......................................... 2! 3! 4! ສະນນັ້ ເຮາົ ຈະພຈິ າລະນາດັ່ ງັ ນ:ີ້ cos4x  1  (4x)2  1  8x2 2 6 x  e x ln 6  1  x ln 6   ເຮາົ ກຈະໄດສ້ ງັ ສງັ ຄະນດິ 4 sin 2  x  cos6 xdx  5  3 4 cos4xdx ດ່ັ ງັ ນ:ີ້ 6x 1 32 8  6x 1 44 203

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ   4 sin 2 x  cos6 xdx  5  3 4 cos4xdx  6x  1 32 8  6 x  1 44   5  3 4 1  8x 2 dx 32 8 1  x ln 6  1 4   5  3 4 8x2 1 dx 32 8  x ln 6  2 4  x2   2 2   4  ln 6  dx 4 1 dx  3 4    5  3  12 1 dx 32 ln 6   x  2  (ln 6) 2  x ln 6  2 8  x ln 6  2 4  ln 6  4 4  5 3 4  x 2 dx  3 12 4 1 32 ln 6  ln 6  8 (ln 6) 2 x ln 6        dx 2 44   5  3  x2  2 x  4   8 3 6  12 ln x ln 6  2  32 ln 6 2 ln 6  ln (ln 6)3 4  4 4  5   8 3 6  12  ln 4   ln 6 32 ln (ln 6)3 4   ln 6  ສງັ ຄະນດິ 4 sin 2 x  cos6 xdx 5  3 12  ln 4  ln 6 6x 1 32 ln (ln 6)3 4  ln 6  ຕອບ:   8 6  . 4 31. 2 ln( x  1)dx ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 1 x . 2 ວທິ ຄີ ດິ  2 ln( x  1)dx  ln( x  1) 2  2 1 dx 1 x2 x 1 1 x(x  1)   ln 3  ln 2  2  1  1 dx  2  1  x x 1 2  1 ln 3   ln x  2  4  x 1 1  1 ln  3    ln  2   ln  1   2  4   3   2  204

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ  1 ln 3   ln 4   1 ln 4  2 4 3 2 3 2 ln( x 1)dx  1 ln  4  x2 2  3  1 ຕອບ: 2 ln( x 1)dx  1 ln  4  ສງັ ຄະນດິ 1 x2 2  3  .  2 sin x dx . 0 sin x  cos x 32. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ ວທິ ຄີ ດິ  2 sin x dx ເຮາົ ໄດ:້ 0 sin x  cos x ຈາກສງັ ຄະນດິ   2 sin x dx  1 (1  0) 2  sin x  cos x x dx x cos 2 0 sin x  cos x x sin 0 sin x cos   1 (1  0) 2 dx 20  1 (1  0)   0 2 2   4  sin sin x x dx   . x cos 4 2 ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ  0 3 33. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ x5 1  x 2 dx 0 ວທິ ຄີ ດິ 3 ສງັ ເກດຈາກສງັ ຄະນດິ x5 1  x 2 dx . 0 ການດົ ໃຫ ້t  x2  1  x2  t 2  1  2xdx  2tdt ຊອກຫາຂອບ t1  1  1 ແລະ  t2  3 2  1  2 . 205

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ 32  x5 1  x 2 dx  (t 2  1)2 t.tdt 01 2  (t 2  1) 2 t 2 .dt 1 2  (t 4  2t 2  1)t 2 .dt 1 2  (t 6  2t 4  t 2 ).dt 1   t7  2 t5  t3 2 7 5 3  1    27  2.2 5  23    17  2.15  13   7 5 3 7 5 3    128  64  8    1  2  1    7 5 3  7 5 3    856  97   105 105   923 105 3 1  x 2 dx  923 . 105 ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ x5 0 1 34. 9  5 3 x x 1 dx ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 0  sin 2 (2x  1)  5 4x  1 ວທິ ຄີ ດິ 1 11 1 9  dx 9 9  dx 9  dx 0 0 0      0 53x x  5 4 1  1  53x dx  5 1  1  sin 2 x  1) sin 2 (2x  1) x 4x (2x 11  53x 25 1  9 9  x  1) dx  3ln 5 .  0 0 (2x  4x  14  16 5    sin 2    1  25  5 4    1  25     1 xc tan2x  1  1 ln sin( 2 x  1) 1  .5 9   3ln 16   2 4 9   53   16  0 3 ln 5 5   1  25  5 4    1  25      1 tan2x  1  1 sin( 2 x  1) 1     9 53 .5 xc ln 3 ln 5 16  9    3ln 5 16   2 4 0        1  25 .5  5 4    1  25      1 xc tan11   1 ln  sin 11    1 ln sin 1  16 9   3 ln 16  2 9 4  9 4  53 5  5    3 ln  206

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ ຕອບ:ສງັ ຄະນດິ 19  5 3x  x  1 dx    1  25 .5  5 4    1  25  0 sin 2 (2x x   16 9   3 ln 5 16   1) 5 4  1   53 5    3 ln    1 xc tan 11   1 ln  sin  11    1 ln sin 1 2  9  4  9 4 7 3 x  1 dx 0 3 3x  1 35. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ ວທິ ຄີ ດິ 777 3 dx    3 x 1 x 3 1 dx 0 3 3x  1 0 3 3x  1 dx  0 3 3x  1 77   1 3 3x  1 dx  2 3 d (3x  1) dx 3 0 3 3x  1 9 0 3 3x  1 77 1 3 3x 2 2 3 d (3x  1) 13    dx  dx 3 0 9 0 3 3x  1 77 1 3 3x 2 2 3 d (3x  1) 13     d (3x  1) dx 9 0 9 0 3 3x  1 1 77 5  13  3x  1 3 3 3x  12 3 15 0 3 0  1  7  1 5 5   1  3 7  12 3 12  15 3 3  (1) 3  31  1 15  46 15 7 ຕອບ:ສງັ ຄະນດິ 3 3 x  1 dx  46 . 0 3x  1 15 ສງັ ຄະນດິ 2210 x  sin xdx 36. 4 ວທິ ຄີ ດິ 207

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ   2210xsinxdx 2210 x dx  2 sin x dx 4 4 2  4 x2  1 cosx 2 ln 10 10 4  2 2  4  10 1 1   1 cos 2  cos(2 ) ln 10 2   10 2  36 10 ln 10 ສງັ ຄະນດິ 2210 x  sin xdx  36 . ຕອບ: 4 10 ln 10  1 37. ສງັ ຄະນດິ x 3 1 5  4x dx  x. tan 1 xdx 0 ວທິ ຄີ ດິ 1 x 3 1 1 5  4x dx  1 1 5 dx  x 2 tan 1 (x) 3 3 x2 x. tan 1 1     1 5  4xdx  xdx   dx 4 1 5  4x 4 1 5  4x 2 0 2 0 x2 1 0      1 1 5  4xdx  1 1 5 dx  1 3 x2  1  1dx 2 4 1 4 1 5  4x 2 0 x2 1 5  4xd(5  4x)  5 1 d(5  4x)  1 3x2 11      1 1 dx 2 16 1 8 1 2 5  4x 2 0 x 2  1     1 3 3 1 5 1 1 1 1 dx  dx 5  4x3 5  4x 2 0 x2 1 2 24 1 8 1 2 0    1 1  27  5 1  3  1 x 3  1 tan 1 x 3 2 24 8 20 2 0         1  1 3  0  1 tan 2 3  0 262 2    1  3  1    2 6 2 23  1 36  1x dx  3 xdx    1 . 5  4x 3 6 ຕອບ: x. tan 1 1 0 208

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ ບດົ ທີ 9 ສງັ ລວມຄວາມຮູມ້ ມູ ນກັ ເຕກັ ນດິ ທາງຄະນດິ ສາດ I. ແກສ້ ມົ ຜນົ ໂດຍໃຊເ້ ທກັ ນກິ . 1. lg 2 x 2 7 x 1   x2  x  12 . x  8x  13 2  2.  7x 2  2x  5  x2 log 2 8x 2  5x  7  log 3  3x 1 . 3. 5x 2  3x  2  3x2 8x15 4x 2  5x  13 4. log 7  2x 2  4x  5   x2  x2. 3x 2  3x  3  5. 3x 2  x  5  2x 2  8x  7 .7 x2 7x12 .  6. 3x 2  3x  1  4x 2  15x  28 .5 x2 12x35  (4x 2  6) . 7. log 2  7x  7   x  1.  6x  8  8. log 5 3 6x  7  x 1. 3x  4 9. 4x  11  5  3x  4x  5.53x11. 10. log 3  8x  13   log 5 3x  5 .  5x 7  11. log 7  x3 x3  4x2  3x 21   x2  10x  21 .  5x 2  13x     12. log3 2x2  3x  3  x2  3x  2  log3 x2  6x  1 .  13. x 2  7x  5  2  4x 2  4x 2  7x  10 .5 x2 .14x13 1 x41  27x  32 .49 2 .    14. 3x 2  7x  43 .7 2x7  2x2 15. log 3  7 x 3  3x2  7x  12   x3  6x2  11x  6. 6 x 3  3x2  4x  18 16. 62x4  5x  6 x2 3x  x 2  4 . 17. 2 x2 x  2 x8  8  2x  x 2 . 18.  2  3 5x21   2  3 5xx2  x 2  10x  21 .    19. 3  2 6x2 6  6x 2  6  3  2 x311x  x3  11x . 20. 711x  x 2  30  7 x2 30  11x . 209

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ 21. 1010x69  11x  60  x 2  7x  17  10 x2 8x8 . 22. 32x2 3x1  38x2 10x1  6x 2  7x  2 . 23. 17 x  5x2 13x1  12x 2  6  57x2 4x5 . 24. 2 2x2 2x1  5x  6x 2  1  24x2 3x2 .    25. 10  3 3x2 7x1  10x  3x 2  10  3 7x2 10x2  7x 2  7x  3 . 26. 735x2  737x2 4x  7x 2  9x  2 . 27. 33x  12  3x  32x7 . 28. 7132x  2x  7  7x  23  73x17 . 29. 672x  7x  21  65x14 . 30. 57x87  3x 2  13x  57  4x 2  7x  34  5 x2 13x4 . 31. 8127x  12  7x  14x  30  814x30 .    32. sin 1 32x  sin 1 5x11  7x  14 . 33. 3 1 x2  5 1 x2  4 1 x2 .  34. 3 7x5  27x5  1. 2 2 2 2 2x 2 2 2 2 2x 2 2 2 2 2x . 35. 7 x  24 x  25 x 36. 8 7 11x  6 7 11x  10 7 11x . 37. 9 x2 7 x10  41x2 7 x10  40 x2 7 x10 . 38. 44  117  125 . 3 2 x  3 2 x  3 2  x  3 2 x  3 2 x  3 2 x 39. 16 7 x2 5  63 7 x2 5  65 7 .x2 5 40. 10 9 x2 11  24 9 x2 11  26 9 .x2 11 41. 6 x2 3x4  8 x2 3x4  10 x2 3x4 . 42. 5 x2 9x16  13 x2 9x16  12 x2 9x16 . 43. x(x  1)(x  2)(x  3)  24 . 44. (x  3)(x  5)(x  2)(x  4)  48 . 45. (x  1)(x  3)(x  2)(x  7)(x 1)(x  3)(x  2)(x  7)  8  0 . 46. (x  11)(x  12)(x  14)(x  15)  4  0 . 47. x(x  22)(x  24)(x  26)  9  28(x  22)(x  24)(x  26) . 48. x 14  x  24 17 . 49. (x  1)(x  7)(x  11)(x  3)  231. 50. (x  1)(x  4)(x  6)(x  9)  16  0 . 210

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ 51. (x  1)(x  2)(x  2)(x  1)  4  0 . 52. (x  3)(x  7)(x 11)(x 15)  2103  205 . 53. x  3  2 x  5  7 5  x  2 . 54. x  1  3 x 2  7x  10  9  x 2  7x  10  2 . 55. x 2  4x  3   x 2  4x  3  x 2  x . 56. x 2  5x  6  x  3  3   x 2  5x  6  x 2  4x . 57. x 2  2x  3  x  1  5 3x  3   x 2  4x  3 . 58. 4 15  2x  x 2  7 x  3  3  3 x 2  4x  21  x . 59. 2.6 5  3x  2x 2  3.4 2x  5  4.3 6x 2  13x  5  5. 2x 2  9x  10 . 60. 5.8 6  4x  2x 2  3.4 4x 2  14x  6  7. x 2  8x  15 . 61. 4 x 2  8x  15  7. x  3  x  3  5.6 6  2x . 62. x3  3x  2x  3. 2  x  x  2x 2  3x  2  4  x . 63. 7  5x  5x  7  7  5x  5x 2  2x  7 . 64. x  2  7x  14  5. 8  4x . 65. 3x  2  4  6x  7. 12  8x . 66. x  1  2.4 x  1  3 . 67. 3x  5  6.4 3x  5  9 . 68. 7x  1  5.4 7x  1  4 . 69. 3x1  10  x . 70. 4 x  (x  8).2 x  1  2x  0 . 71. (x  4).9 x  (x  5).3x  1  0 . 72. 4 x2  (x 2  7).2 x2  12  4x 2  0 . 73. 4 x  (x 2  8).2 x  8x 2  0 . 74. 16 x  (x  69).4 x  134  2x . 75. 4 x  (2x  14).2 x  x 2  33  14x . 76. 25 x  7.5x  6  5x  x 2 . 77. 49 x  (x  8).7 x  7  7x . 78. x.9 x  (4x 2  8x  16).3x  112  4x 2  57x . 79. 9 x  37.3x  210  x 2  23x . 80. 6 x  (x  7).(3x  2 x )  x 2  14x  49  0 . 81. 4 x  25.2 x  100  15x  x 2 . 82. 9 x  2(x  4).3x  x 2  8x  12  0 . 211

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ 83. 42x  19.4 x  70  9x  x 2 . 84. 64 x  (32x  3).8x  31x 2  33x  4  2 . 85. 36 x  (20x  1).6 x  19x 2  17x  2 . 86. 9 x  (x3  4).3x  3x 2  3  0 . 87. 22x  (x  9).2 x  4x  20 . 88. 9 x  (x  11).3x  18  9x . 89. x2  48  10 x  4 . 3 x2  3 x 90. (x  4.5)4  (x  5.5)4  1 . 91. 2x 2  21x  11  2x 2  3x  9  18x  9 . 92. x  2  11  x  22  9x  x 2  11. 93. x  3  3 2  x  1. 94. 2x 2  3x  2x 2  3x  9  33 . 95. x  x  35 . x 2  1 12 96. 3 x  1  3 x  1  6 x 2  1 . 97. x  4 x  4  x  4 x  4  x  1. 98. x  ( 1  x  1)( 10  x  4) . 99. (3  x)3 3 x  (x  1)3 x 1  2. x 1 3 x 100. x  1  x  2  1 . 101. x  x  1  1 . 102. x  3  2 x  1  4 . 103. x  x  1. 104. 3x  2  4x  11 . x2 105. x  1  1  1 . 106. 2  2  2  2  2  2  2x  3. 2  2  2  2  2  2  2x  1 107. 3 x  4  6 x  5  x  4  6 x  5  20 . 108. 4x  136  40 x  9  3 x  58  14 x  9  5 . 109. x  1  2 x  2  x  1  2 x  2  3x  1. 212

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ 110. 4x  6  12 x  3  x  1  4 x  3  x  2  2 x  3 . 111. 9x  8  6 x  1  4x  5  12 x  1  49x  24  70 x  1  36x  13  84 x  1 112. 9x  8  6 x  1  7  x . 113. x  9  8 x  7  x  18  10 x  7  1 . 114. 9x  47  30 x  8  9x  49  66 x  8  6 . 115. 9x  14  12 x  2  4x  7  4 x  2  x  1  2 x  2 116. 9x  52  24 x  4  x  29  10 x  4  x 2  8x  15 . 117. 25x  49  10 x  2  25x  49  10 x  2  2 . 118. 16x  7  24 x  1  16x  7  24 x  1  6 . 119. 9x  17  6 x  2  25x  49  10 x  2  2x . 120. 49x  45  28 x  1  36x  35  12 x  1  5 . 121. 9x  13  12 x  1  49x  16  42 x  1  16x  17  8 x  1 . 122. 5 49x  45  28 x  1  7 25x  16  30 x  1  11 . 123. x2 1  2  x2 1  6  x2  1  12  3 .  3x  5x 7x 4 124. x2  x 1  x2  x 1  x2  x 1  x2  x 1 1. x 2  7x  12 x 2  9x  20 x 2  11x  30 x 2  13x  42 125. x 2  2  2  2  2  2  x  1  x2 2  2  2  2  2  2  x  1 . 2 42 126. 2  2  2  2  2  2  2x  2  2  2  2  2  2  2x  2 . 127. x  1  10 . x 1 x 1 x 1 ...... 128. x  2535  2535 . 2535 2535  2535  2535 2535  2535 x 213

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ    129. sinln x  sin ln x2  sin ln x3  0 . II. ເຕກັ ນກິ ການໃຊຕ້ າລາ. 130. ໃຫຕ້ າລາ 8 f (x)  4 f  1   log 3 x ຈົ່ ງົ ຊອກຫາ f (9)  f (10)  f (13) ເທົ່ າົ ກບັ ເທົ່ າົ ໃດ.  x  131. ໃຫຕ້ າລາ 3 f  3x  2   2 f  x 1   log 2 (5x  2) ຊອກຫາ f  16  ເທ່ົ າົ ກບັ ເທ່ົ າົ ໃດ.  x 1   3x 2  7     132. x 1 f  x  x 1  x   6 ຈົ່ ງົ ຊອກຫາ ການດົ ໃຫ້ f 1   x  1   5 ແລະ f 1.f  x  1  f (7)  f (8) ເທົ່ າົ ກບັ ເທົ່ າົ ໃດ. 133. ຈ່ົ ງົ ຊອກຫາຄົ່ າຂອງ f (x) ເມ່ົ ອ f 2 2x  3  2(x 2  2x  3) f (2x  3)  (x2  2x  3)2  0 ຈ່ົ ງົ ຊອກຫາ f (6) , f (7) . 134. ຊອກຫາຄົ່ າຂອງ f1(x) ແລະ f2 (x) ຈາກສມົ ຜນົ f 2 3x  1  (3x  7). f (3x  1)  12  10x  x 2 . 135. ຊອກຫາຄົ່ າຂອງ f (x) ຈາກຕາລາ f (x 2  6x  9)  x 2  8x  17 . 136. ຊອກຫາຄົ່ າຂອງ f1(x) ແລະ f2 (x) ຈາກສມົ ຜນົ  f 2 2 x  1  2(10  x). f (2 x  1)  x 2  20x  100  0 .  137. ຊອກຫາຄົ່ າຂອງ f1(x) ແລະ f2 (x) ຈາກສມົ ຜນົ f 2 3x  2  4 f (3x  2)  16x  x 2  60 . 138. ຊອກຫາຄົ່ າຂອງ f1(x) ແລະ f2 (x) ຈາກສມົ ຜນົ  f 2 x 2  3x  5  (8  x). f (x 2  3x  5)  12  10x  12x 2 . 139. ໃຫຕ້ າລາ f  x2  3x  2   x2  2x  5 ຊອກຫາ f (0) . x2  3x  7  140.  x   3x  2 ຈ່ົ ງົ ຊອກຫາ ການດົ ໃຫ້7 f 2x 1 3  5 f  2  3x   x2 f (10)  f (2)  f (5) . 141. ຊອກຫາຕາລາ f (x) ເມ່ົ ອຮູວ້ ່ົ າ fog (x)  2x 2  3x  2 ແລະ g(x)  3x  1. 142. ຊອກຫາຕາລາ f (x) ເມ່ົ ອ f (x 2  6x  7)  3x  2 . 143. ຊອກຫາຕາລາ f (x  1)  7 f (x)  5ຊອກຫາ f (x)  .........ເຮາົ ວົ່ າ f (1)  2 . 144. ໃຫຕ້ າລາ f (x  1)  f (x)  x 2 f (x) ໂດຍການດົ f (1)  3 ຊອກຫາ f (2016) . 145. ການດົ f (x) ເປນັ ຕາລາທມີ ໂີ ດແມນເປນັ ຈານວນຖວ້ ນ, ເຊ່ົ ງິ ວົ່ າ f (1)  2 ແລະ ສອດຄົ່ ອງກບັ ສມົ ຜນົ  f x  y 2  f (x)  ( y 2  2x). f ( y) ສາລບັ ທຸກໆຈານວນຖວ້ ນ x ແລະ y ຄົ່ າຂອງ f (100) ເທົ່ າົ ກບັ 100 ເທ່ົ າົ ໃດ. 146. ໃຫຕ້ າລາ f ມລີ ກັ ສະນະນ:ີ້ 1. f (x)  0 2. ສາລບັ ຈານວນຈງິ x ແລະ y ໃດໆ f (xy)  f (x) f ( y) . ດ່ົ ງັ ນນັ້ f (2533) ມຄີ ່ົ າເທົ່ າົ ກບັ ເທ່ົ າົ ໃດ? 214

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ  147.  x  1  ມຄີ ົ່ າເທ່ົ າົ ໃດ?. ຖາ້ f  x  1   x ສາລບັ ຈານວນ x  0 , 1 ແລະ 0 2 ແລວ້ f sec2  III. ເຕກັ ນກິ ການໃຊຫ້ ຼກັ ການຄານວນ. 1. ຈົ່ ງົ ຖອນຮາກຂນັ້ ສອງຂອງ 444......444888..........8889 . n n1 2. ຈ່ົ ງົ ຖອນຮາກຂນັ້ ສອງຂອງ 111......111  222..........222 2n n 3. ຊອກຫາຄົ່ າຂອງ  2  2 2  2  1  2  2 1 1 .......... .... 2  2 1 1  .   1 22  1  3   8  4. ຈ່ົ ງົ ຊອກຫາຄ່ົ າຂອງສານວນ A  3  4  5  ...... 2016 . 1!2!3! 2!3!4! 3!4!5! 2014!2015!2016! IV. ສມົ ຜນົ ໄຕມຸມມຕິ ິ ແລະ ລະບບົ ສມົ ຜນົ ໄຕມຸມມຕິ ິ 1. ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 1 sin x  sin x.cos x  2cos x  cos x.sin2 x  0    2. ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 4 sin6 x  cos6 x  2 cos4 x  sin4 x  8  4 cos2 2x 3. ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin 3x  sin 2x  1 2sin x cos2x 4. ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 1 5sin x  2cos2 x  0 5. ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin x  cos x  3 sin x  cos x    6. ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin3 x  cos3 x  2 cos5 x  sin5 x 7. ຈ່ົ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ x  y   3 cos x  cos y  1 8. ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ tgx  sin x  2 sin x cot gx 2 9. ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ  cos x cos x  2sin x  3sin x sin x  2 1 sin 2x 1    10. ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin2 x  sin2 3x  2 cos2 2x  0 11. ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ tgx  sin x  1 sin3 x cos x 12. ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin 2x.cot gx  tg2x   4 cos2 x 13. ຊອກ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 2sin x  mcos x 1 m ມໃີ ຈຜນົ 14. ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ msin x  5.cos x 1 m ມໃີ ຈຜນົ 15. ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin2 x  sin2 3x  cos2 x  cos2 3x 16. ຊອກ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 2m 1sin x  cos 2x 1 2m  0 ມໃີ ຈຜນົ 215

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ 17. ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 1 sin x  1 sin x  4 ; x 0;  1 sin x 1 sin x 3 18. ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin x 1 2sin x   3  4 cos2 x 19. ຈົ່ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ x  y    3 sin x  sin y  1 20.ຈົ່ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ sin x.cos y 1  4 cos x.sin y 3 4 x  y   3 21. ຈົ່ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ tgx 23  tgy  3 22.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 4cot g2x  cos2 x  sin2 x sin6 x  cos6 x 23.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ t gx  tg2x  sin 3x cos 2x 24.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2sin x  co t gx 1 2sin 2x 25.ຈ່ົ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ scionsxx..scionsyy1434 x  y    3 26. ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ ມໃີ ຈຜນົ cos x.cos y m  4 27.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ t g    x .tg    2x   1  3  3  x  y    3 28.ຈ່ົ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ sin2 x  sin2 y  1 2  29.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 8cot g2x  cos2 x  sin2 x sin 2x sin6 x  cos6 x 30.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ tgx  t g    x   tg    2x   3 3  3   3  31. ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 1 sin2 x  tg2x 4 1 sin2 x 32.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 1 3cos x  cos 2x  cos x  cos3x  2sin x.cos 2x 216

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ອຊ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ 33.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin10 x  cos10 x  sin6 x  cos6 x 4 4cos2 2x  sin2 2x 34.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ cos    x   cos    x   1  3   3  35.ຈົ່ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ x  y  2  3 tgx.tgy  3 36.ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ cos2 x  sin x  m  0 ມໃີ ຈຜນົ 37.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ cos x 1 2sin x 3  2cos2 x  sin x 1 38.ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ cos 2x  cos x  m  0 ມໃີ ຈຜນົ 39. ຊອກ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 2 sin 2 x  2m 1.sin x  m  0; x     ; 0  ມໃີ ຈຜນົ  2  40.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin x  1 cos x  4 1 cos x sin x 3 41. ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 5sin x  sin 3x  cos 3x   cos 3x 3 1 sin 2x  42.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin x.cos x 1 tgxcot gx 1  1 43.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin2 x  cos2 x  cos4 x 9 cos2 x  sin2 x  sin4 x 44.ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ cos 2x  2m 1cos x  m  1  0 ມໃີ ຈຜນົ 45.ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ cos x 1.cos 2x  m cos x   msin2 x ມີ 2 ໃຈຜນົ x   0; 2   3  217

ເອກະສານອາງອງີ 1. ຄະນດິ ສາດຍຸກສະໄໝໃໝ່ ຮຽບຮຽງໂດຍ : ທ່ ານ ບູນເຮອື ງ ພານປະເສດີ ຮ່ າໂນຍວນັ ທ່ ີ 10/01/2009