ຄະນິດສາດ ມ ຕົ້ນ ເຫຼັ້ມ 1

ສາທາລະຘະລດັ ບະຊາທິບະໄຕ ບະຊາຊຘ຺ ລາວ ສຘັ ຕພິ ານ ຽຬກະລາດ ບະຊາທິບະໄຕ ຽຬກະພານ ວດັ ທະຘະຖາວຬຘ --------------------- ກະຊວງສກຶ ສາທິກາຘ ຾ລະ ກລິ າ ກມ຺ ສາ້ ງຄູ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ົວງຘາ້ ທາ ຽຬກະສາຘບະກຬນກາຘສຬຘ ຄະຘດິ ສາດ ມ ຕຘ຺້ (ຽຫັົ້ມ I) (ນດ຺ ຽລກພຬ້ ມດວ້ ຍນດ຺ ຾ກ)້ ສາຍຄຄູ ະຘດິ ສາດ ລະນນ຺ 12+4 x2010  3 x2009  4 x2008  12 x2007  0 ຾ບ຿ດຍ: ບຕ ນຘຸ ບຘັ ຬຘິ ທະວງ຺ ສາ ສກ຺ ອຼຘ 2019-2020

ຽຬກະສານປະກຬບການສຬນ ຄະນ຋ິ ສາ຋ ມ ຌນ຺້ົ (ຽຫົ້ມ I) (ບ຋຺ ຽລກພຬ້ົ ມ຋ວ້ົ ຊບ຋຺ ຾ກ)ົ້ ສາຊຄຄູ ະນ຋ິ ສາ຋ ລະບບ຺ 12+4 ຾ປ຿຋ຊ: ປຌ ບນຸ ປນ ຬນິ ທະວງ຺ ສາ ກວ຋຾ກ຿ົ້ ຋ຊ: 1. ປທ ຈນທຬນ ຾ກວົ້ ມະນໄີ ຉ 2. ປທ ຽມງີ ຄາໍ ຾ກວົ້ ພວູ ງ຺ 3. ຜຉ ປຌ ສພຸ ນ ຾ສນສມ຺ ພຬນ 4. ປຌ ວຼງມະນີ ລາວຈູ ສກ຺ ອຼນ 2019-2020

຃າໍ ຌາໍ ຽຬກະສາຌ ຎະກຬຍກາຌສຬຌຽຫົມໄ ຌໄ ຾ຎຂຌໄ ມາ຿ຈງມ຅ຈຸ ມໃ ຸ ຄໝາງຽຑໃ ຬເຆຽໄ ຎຌຽຬກະສາຌຎະກຬຍກາຌ ອຼຌ-ກາຌສຬຌ ຾ລະ ຽຑໃ ຬເຫຌໄ ກສກສາ ສາງ຃຃ູ ະຌຈິ ສາຈ ແຈສໄ ກສາ຃ຌ຺ໄ ຃ວາໄ ຈວໄ ງຉຌ຺ ຽຬຄ ຽຑໃ ຬຽຑໃ ມ຋ກສະ຋າຄ ຈາໄ ຌກາຌ຾ກ຿ໄ ຅ຈຍຌຫາ ຾ຉໃ ຎະຉຽິ ສຈຍໃແໍ ຈວໄ ໃ າ ຃ະຌຈິ ສາຈຽຎຌວຆິ າ຋ໃ ຂຬໄ ຌ຃າໄ ຄງາກ ຾ລະ ຉຬໄ ຄເຆຽໄ ຋ກຌກິ ຋ໃ ຫົາກ ຫົາງ ເຌກາຌ຾ ກແໄ ຂຍຌຫາ ຫົາງ຃ຄໄ ຋ໃ ຽອຈເຫຌໄ ກອຼຌ຋ໍໄ ຾ລະ ຍໃ ໍຢາກອຼຌ ຋າຄຽລຬກຽມໃ ຬມຍຌຫາກ຃ໍ ຉຬໄ ຄຈຸ ໝໃ ຌເຌກາຌສກສາ຃ຌ຺ໄ ຃ວາໄ ຾ກຍໄ ຈ຺ ຽຐກຫຈ, ວຼກຍາໄ ຌ ຾ລະ ຬໃ ຌໂ ຾ຉໃ ວ຋ິ ຽຫໃ າົ຺ ຌ຅ໄ ະຊກເ຅ຏູອໄ ຼຌ ຫົ ຍໃ.ໍ ຏູ຾ໄ ຎໝຌໄ ເ຅ວໃ າຌກອຼຌ຋ຸກ຃ຌ຺ ສາມາຈອຼຌ຃ະຌຈິ ສາຈແຈຈໄ ໝຈ຺ ຋ຸກ຃຺ ຌ ຂ຾ໍ ຉໃ ເຫຌໄ ກອຼຌມຽວລາ ຽລກ ຌຬໄ ງ ຾ລວໄ ຅ຍຎມໄ ຽຫມົ ໄ ຌມໄ າຬໃ າຌ ຉກຉໃ ຬຄຽ຋ກຌກິ ຾ລະ ວ຋ິ ຃ຈິ ແລໃ ຾ລວໄ ຅ໃ ເຫແໄ ຈໄ ຽຑໃ ຬ຅ະແຈຌໄ າໍ ແຎເຆເໄ ຌຉໃ ໜໍ າໄ . ຎມໄ ຽຫົມໄ ຌໄ ຽຎຌຎມໄ ຋ໃ ແຈລໄ ວຍລວມຂໍສໄ ຬຍງາກ຋ໃ ຽຎຌຍ ຌຫາຉຄໄ ຾ຉໃ ຂຌໄ ຑຌໄ ຊາຌ຅ຌ຺ ຽຊຄິ ຂຌໄ ຎະງຸກ຋ຸກ຾ຄໃ຋ຸກມຸມ ມາຬະ຋ຍິ າງລະຬຼຈ ຾ລະ ຍາຄ຾ຄໃ຃ຈິ ຋ໃ ຍໃ ໍ຃ວຌຽຍໃ ຄິ ຂາໄ ມ ຽອຈເຫຎໄ ມໄ ຽຫົມໄ ຌຽໄ ຎຌຽຑໃ ຬຌ຋ໃ ອູເໄ ຅ , ຽຎຌ຃ູ຋ໃ ຃ໃ ຬງຫວໃ ຄ ແງ, ຽຎຌກກິ ຋ໃ ຌຈຑຍ຺ ແຈ຋ໄ ຸກຽວລາ ຽອຈເຫຌໄ ກອຼຌມ຃ວາມຑຬໄ ມເຌກາຌອຼຌຉໃ ລໍ ະຈຍຆຌໄ ມຈ຋ະງມ຺ ຉຬຌຎາງ ຾ລະ ວ຋ິ ະງາແລ ຢໃ າຄໝຌໄ ເ຅. ຂາໄ ຑະຽ຅າ຺ໄ ຏູ ໄ ຾ຎຫວຄຢໃ າຄງໃ ຄິ ວໃ າຽຬກະສາຌ ຽຫົມໄ ຌກໄ ຃ໍ ຄ຺ ຍໃ ໍຎາສະ຅າກ ຂໍຂໄ າຈຉກ຺ ຍກ຺ ຑໃ ຬຄ ຍາຄຎະກາຌແຈໄ . ສະຌຌໄ , ຊາໄ ຋ໃ າຌຽຫຌ຅ຈຸ ຍກ຺ ຑໃ ຬຄ ຫົ ຅ຈຸ ຏຈິ ຑາຈ ຂໍ຃ວາມອໃ ວມມມາງຄ຋ໃ າຌສໃ ຄ຺ ຃ໍາ຃ຈິ ຽຫຌມາງຄຂາໄ ຑະຽ຅າ຺ໄ ຽຑໃ ຬ ຅ະແຈຎໄ ຍຎຸຄ຾ກແໄ ຂເຌ຃ຄໄ ຉໃ ແໍ ຎ.



ສາລະນາຘ 1. ຄໍາຖາມຊຸດທີ 1 …..........…………..……...........................……..…………...........…....1 2. ນດົ ແກຄ້ າໍ ຖາມຊຸດທີ 1 …..........…………...........................……..……..…...........…....10 3. ຄໍາຖາມຊຸດທີ 2 ..........…………..……...........................……..…………...........…....34 4. ນດົ ແກຄ້ ໍາຖາມຊຸດທີ 2 …..........…………...........................……..…………........…....43 5. ຄາໍ ຖາມຊຸດທີ 3 …..........…………..……...........................……..………….........…...69 6. ນດົ ແກຄ້ າໍ ຖາມຊຸດທີ 3 …..........…………...........................……..…………...............78 7. ຄໍາຖາມຊຸດທີ 4 …..........…………..……...........................……..…………...........…102 8. ນດົ ແກຄ້ ໍາຖາມຊຸດທີ 4 …..........…………...........................……..…………..........….110 9. ຄໍາຖາມຊຸດທີ 5 …..........…………..……...........................……..………..…...........137 10. ນດົ ແກຄ້ ໍາຖາມຊຸດທີ 5 …..........…………..........................……..…………..........…145

຃ໍາຊາມຆຸຈ຋ີ 1 ໝາງຽວຈ: ຅ໃ ຄ຺ ຽ຤ຨື ກ຃າໍ ຉຨຍ຋ໃ ຊີ ກື ຉຨໄ ຄ຋຦ີ ຸຈ 1. ຅າໍ ຌລຌ຋ຈ຺ ຦ະຌງິ ມ຺ ຉໍາ຾ໜໃ ຄ຋ີ 2555 ຂຨຄ 4 ຾ມໃ ຌຉລ຺ ຽ຤ກເຈ 7 ກ. 1 ຂ. 2 ຃. 4 ຄ. 5 2. ຊາໄ 1  1  1 ຾຤ລໄ 1  1  1  1  1 ແຈ຃ໄ ໃ າ຾ມໃ ຌຂໍເໄ ຈ 12 3 4 12 20 30 42 56 ກ. 3 ຂ. 1 8 6 ຃. 5 ຄ. 1 24 4 3. ຃ໃ າຂຨຄ k ຋ໃ ຦ີ ຨຈ຃ໃ ຨຄກຍັ ຦ມ຺ ຏຌ຺ 2213 k  2205  11012 k ຾ມໃ ຌຂໍເໄ ຈ ກ. 1102 ຂ. 1012 ຃. 1112 ຄ. 1002 4. ຅າໍ ຌລຌ຋ຈ຺ ຦ະຌງິ ມ຺ ໜໃ ຄຶ ມ຦ີ ໃ ຉີ ໍາ຾ໜໃ ຄ ຉລ຺ ຽ຤ກຉໍາ຾ໜໃ ຄ຋ໍາຨຈິ ຊຈັ ຅າກ຅ຈຸ ຾ມໃ ຌຽ຤ກ 0, ຉລ຺ ຽ຤ກຉາໍ ຾ໜໃ ຄ຋ີ ຦າມມ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຏຌ຺ ຍລກຂຨຄຉລ຺ ຽ຤ກຉໍາ຾ໜໃ ຄ຋຦ີ ຨຄກຍັ ຉໍາ຾ໜໃ ຄ຋຦ີ ໃ ,ີ ກາໍ ຤ຄັ ຦ຨຄຂຨຄຉລ຺ ຽ຤ກຉໍາ຾ໜໃ ຄ຋ີ ຦າມວົາງກລໃ າ຦ໃ ຽີ ຋ໃ າ຺ ຂຨຄຏຌ຺ ຃ູຌຂຨຄຉລ຺ ຽ຤ກຉາໍ ຾ໜໃ ຄ຋຦ີ ຨຄກຍັ ຉາໍ ຾ໜໃ ຄ຋຦ີ ໃ ຢີ ໃ ູ 1 ຾຤ະ ຦ໃ ຽີ ຋ໃ າ຺ ຂຨຄຉລ຺ ຽ຤ກ ຉໍາ຾ໜໃ ຄ຋຦ີ ຨຄຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຦າມຽ຋ໃ າ຺ ຂຨຄຉລ຺ ຽ຤ກຉໍາ຾ໜໃ ຄ຋຦ີ ໃ ີ ຅າໍ ຌລຌ຋ຈ຺ ຦ະຌງິ ມ຺ ຌ຾ີໄ ມໃ ຌຂໍເໄ ຈ ກ. 0.0373 ຂ. 0.0374 ຃. 0.0375 ຄ. 0.0376 5. ຃ໃ າຂຨຄ 111,111,111,1111, 000, 000, 000, 005  1 ຾ມໃ ຌຂໍເໄ ຈ ກ. 222,333,444,555 ຂ. 234,345, 456,567 ຃. 333,333,333,334 ຄ. 323,323,323,344 6. ເວໄ a  b  c  d   2 , ab  bc  cd  ac  ad  bd   7 , abc  bcd  cda  dab  8, 1 1 1 1 1 ຂເໍໄ ຈ຾ມໃ ຌ຃ໃ າຂຨຄ a b c d 1  a1  b1  c1  d ກ. 2 ຂ. 4 ຃. 8 ຄ. 16 7. ຊາໄ a ວາຌຈລໄ ງ 10 ຽວຨົື ຽ຦ຈ 5 ຾຤ະ b ວາຌຈລໄ ງ 10 ຽວົຨື ຽ຦ຈ 2 ຾຤ລໄ 3a  2b ວາຌຈລໄ ງ 5 ຽວຨົື ຽ຦ຈຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ກ. 1 ຂ. 2 ຃. 3 ຄ. 4 1

8. ຩາກ຋຦ີ ຨຄ຋ໃ ຽີ ຎັຌ຅າໍ ຌລຌຍລກຂຨຄ 4 x4  12 x3  13 x2  6 x  1 ຾ມໃ ຌຂໍເໄ ຈ ກ. 2x2  3x  1 ຂ. 2x2  3x  1 ຃. 2x2  1 ຄ. 2x2  3x  1 9. ຦ໍາ຤ຍັ ຅າໍ ຌລຌຊລໄ ຌ a ກາໍ ຌຈ຺ ເວໄ a ໝາງຽຊຄິ a  2 ຽມໃ ຨື a  50 ຾຤ະ a ໝາງຽຊຄິ  a  4  ຽມໃ ຨື a  50 ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາ຅າໍ ຌລຌ 32 ໝາງຽຊຄິ ຅າໍ ຌລຌຊລໄ ຌຂເໍໄ ຈ ກ. 49 ຂ. 49 ຃. 32 ຄ. 30 10. ຅າໍ ຌລຌຊລໄ ຌຍລກ n ຋ໃ ຽີ ຩຈັ ເວໄ 1  1  1  ...  1 8 1 2 2  3 3  4 n  n1 ຃ຂື ໍເໄ ຈ ກ. 70 ຂ. 75 ຃. 80 ຄ. 85 11. ຊາໄ x2  y  21 ຾຤ະ x2  2 x y  y  49 ຽຽ຤ລໄ ຂໍເໄ ຈ຾ມໃ ຌ຃ໃ າຂຨຄ x  y ກ. 8 ຂ. 9 ຃. 10 ຄ. 11 12. ຾ງກ຦ໃ ລຌ຃ູຌຑະວຸຑຈ຺ 6x  32  7 x  3  5 ຾ມໃ ຌຂເໍໄ ຈ ກ. 2x  43x  2 ຂ. 6x  23x  2 ຃. 6x  18x  3 ຄ. 2x  53x  14 13. ຽມໃ ຨື a : b : c  b2 : c2 : a2 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຃ໃ າຂຨຄ a  b  c3 ມ຃ີ ໃ າ຾ມໃ ຌຂໍເໄ ຈ 3abc ກ. 1 ຂ. 1 2 3 ຃. 9 ຄ. 1 9 14. ຊາໄ a  b  c  0 ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາ຃ໃ າຂຨຄ a  1  1   b  1  1   c  1  1  b c a c a b ກ. 0 ຂ.  3 ຃. 3 ຄ. 6 15. ກາໍ ຌຈ຺ ເວໄ a  b  c ຊາໄ d ມ຃ີ ໃ າຽຑໃ ມີ ຂຌຶໄ 6 % ຾຤ລໄ ຂເໍໄ ຈ຤ໃ ຸມຌຊີໄ ກື ຉຨໄ ຄ bcd ກ. a ຽຑໃ ມີ ຂຌຶໄ 6 % ຾຤ະ b ຽຑໃ ມີ ຂຌຶໄ 6 % ຂ. a ວຸົຈ຤ຄ຺ 6 % ຾຤ະ b ຽຑໃ ມີ ຂຌຶໄ 12 % ຃. a ຽຑໃ ມີ ຂຌຶໄ 12 % ຾຤ະ b ວຸຈົ ຤ຄ຺ 6 % ຄ. a ວຸຈົ ຤ຄ຺ 12 % ຾຤ະ b ວຸົຈ຤ຄ຺ 6 % 16. ຅າກ Ax  12  B x  1x  1  C x  12  4 x2 , A , B , C ມີ ຃ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ ກ. A  B  C  1 ຂ. A  2 , B  C  1 ຃. A  B  1 , C  2 ຄ. A  C  1 , B  2 2

   17. ຊາໄ  a , b  ຽຎັຌ຃ໍາຉຨຍຂຨຄ຤ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ 3x  y x  275 , 2x  y y  322 ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາ຃ໃ າ ຂຨຄ a2  2 a b  b2 ກ. 25 ຂ. 16 ຃. 5 ຄ. 0 18. ເວໄ sin x . cos x  12 ຃ໃ າຂຨຄ sin 4 x  cos 4 x  a ຾຤ະ ຨຸຎະ຃ູຌຩໃ ລມວົາງ຦ຸຈຂຨຄ a ກຍັ 25 b b ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 1 ຾຤ລໄ a  b ມ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ກ. 900 ຂ. 945 ຃. 962 ຄ. 989 19. ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາ຃ໃ າຂຨຄ x ຅າກຨະ຦ມ຺ ຏຌ຺ 6 x 2 2 1 3 2 3 1  10 ກ. x   3 ຂ. x   3 ຃. x  3 ຄ. x  3 20. ຊາໄ ຽ຦ຌັໄ ຆໃ ື k x  2 y  9  0 ຾຤ະ 8x  12 y  3  0 ຉຄັໄ ຦າກກຌັ ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາ຃ໃ າຂຨຄ k3  3k2  3k  1 ກ. 1 ຂ. 8 ຃. 27 ຄ. 64 21. ຊາໄ ຽ຦ຌັໄ ຆໃ ື L ຏໃ າຌຽມຈັ  3 ,  2 ຾຤ະ  2 , p  ຾຤ະ ຂະໜາຌກຍັ ຽ຦ຌັໄ ຆໃ ື 2 x  3 y  4  0 ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາ຃ໃ າຂຨຄ p ກ. p   8 ຂ. p   2 3 3 ຃. p 2 ຄ. p 8 3 3 22. y x2  6x  6 1 ມ຃ີ ໃ າຌຨໄ ງ຦ຸຈຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ x x2 ກ. p   12 ຂ. p   11 ຃. p   10 ຄ. p   9 23. x  10  x5  x3  x  12 ຃າໍ ຉຨຍຂຨຄ຦ມ຺ ຏຌ຺ ຌກີໄ ຄ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈ x  11 x6 x4 x  13 ກ. 2 x  7  10 ຂ. x2  289 2 ຃.  x  17   x  2   0 ຄ. x7  5  2   17  2 24. ກາໍ ຌຈ຺ ເວໄ x ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌ຅ຄິ ຿ຈງ຋ໃ ີ x2  1  6 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຃ໃ າຂຨຄ x3  1 ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ x2 x3 ກ. 9 ຂ. 12 3

຃. 14 ຄ. 16 25. ຊາໄ a ຽຎັຌ຃ໃ າວົາງ຋຦ີ ຸຈຂຨຄ x ຅າກຨະ຦ມ຺ ຏຌ຺ 5x  1  9 x  3   6 x  2 ຾຤ະ b ຽຎັຌ຃ໃ າຌຨໄ ງ຋຦ີ ຸຈຂຨຄ x ຅າກຨະ຦ມ຺ ຏຌ຺ 2 2x  1  2  x  1   0 ຽຽ຤ລໄ a  b2 ມ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ 3 5 2 ກຍັ ຂເໍໄ ຈ ກ. 165 ຂ. 169 4 4 ຃. 179 ຄ. 183 5 5 26. ມລີ ຈັ ຦ະຈຸຽຩຈັ ຩລ຺ໄ ງາລ 100 m , ຉຨໄ ຄກາຌຨຨໄ ມຩລ຺ໄ ຦ລຌຢໃ ູ຾຃ມ຾ມໃ ຌາໍໄ ຽຎັຌຩູຍ຦ໃ ຾ີ ຅຦າກ ຿ຈງມີ ຃ລາມງາລຽຎັຌ x m ຾຤ະ ມຽີ ຌຨືໄ ຋ີ A m2 ຊາໄ 3  x  100 ຾຤ລໄ ຽຌຨືໄ ຋ີ A ມ຃ີ ໃ າຢໃ ູ຤ະວລໃ າຄຂໍໄ ເຈ ກ. 282  A  800 ຂ. 318  A  1200 ຃. 100  A  982 ຄ. 100  A  800 27. ຽຨມັ ມແີ ຎວົຌິໄ ຽກມ຿ຆ຤າງກາຌໜໃ ຄຶ ຿ຈງຉຨໄ ຄຉຨຍ຃ໍາຊາມ 25 ຂໍ,ໄ ຊາໄ ຉຨຍຊກື ແຈຂໄ ຤ໍໄ ະ 5 ຃ະ຾ຌຌ, ຉຨຍ ຏຈິ ຊກື ວກັ ຂໍ຤ໄ ະ 4 ຃ະ຾ຌຌ, ຾ຉໃ ຊາໄ ຍໃ ໍຉຨຍ຅ະຉຨໄ ຄຊກື ວກັ ຂໍ຤ໄ ະ 3 ຃ະ຾ຌຌ ຽມໃ ຨື ຽກມ຦ຌິໄ ຦ຸຈ຤ຄ຺ ຽຨມັ ມີ ແຈ຃ໄ ະ຾ຌຌ 64 ຃ະ຾ຌຌ ຽຨມັ ມຉີ ຨຍຊກື ຋ຄັ ໝຈ຺ ຅ກັ ຂໍໄ ກ. 12 ຂ. 15 ຃. 18 ຄ. 21 28. ລ຤ີ ະມວີ ຼົ ຌຍາຈ, ວົຼຌ຦ຨຄ຦ະຈຄຶ ຾຤ະ ວົຼຌ຦ະຈຄຶ ຃ຈິ ຽຎັຌຽຄຌິ 42 ຍາຈ, ຿ຈງມວີ ຼົ ຌຍາຈວົາງກລໃ າ ວຼົ ຌ຦ຨຄ຦ະຈຄຶ 4 ວຼົ ຌ ຾຤ະ ຽມໃ ຨື ຌຍັ ຅າໍ ຌລຌວົຼຌຽຍຄິ ຾຤ລໄ ມວີ າົ ງກລໃ າ 79 ວຼົ ຌ, ຾ຉໃ ຍໃ ຽໍ ຊຄິ 93 ວຼົ ຌ ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາວຼົ ຌ຋ໃ ລີ ຤ີ ະຽກຍັ ແລມໄ ຿ີ ຨກາຈຽຎັຌວຼົ ຌ຦ຨຄ຦ະຈຄຶ ຅ກັ ວົຼຌ ກ. ວາົ ງກລໃ າ 15 ວຼົ ຌ ຂ. ຍໃ ຽໍ ກຌີ 19 ວົຼຌ ຃. ວົາງກລໃ າ 17 ວົຼຌ ຾ຉໃ ໜຨໄ ງກລໃ າ 20 ວົຼຌ ຄ. ວາົ ງກລໃ າ 15 ວົຼຌ ຾ຉໃ ຍໃ ໍຽກຌີ 19 ວົຼຌ 29. ເວໄ O ຽຎັຌ຅ຈຸ ກາໍ ຽຌຈີ ຂຈີ ຽ຦ຌັໄ ຆໃ ື OA ຾຤ະ OB ຋ໃ ຽີ ຩຈັ ເວຽໄ ມຈັ A ຾຤ະ ຽມຈັ B ຢໃ ູຽ຋ຄິ ຽ຦ຌັໄ ຆໃ ື 2 x  y  4 ຿ຈງມີ OA  OB ຾຤ະ ມຸມ AOB ຽຎັຌມຸມ຦າກ ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາຽຌຨືໄ ຋ີ OAB ກ. 1.2 ວລ຺ ໜໃ ລງຽຌຨືໄ ຋ີ ຂ. 2.3 ວລ຺ ໜໃ ລງຽຌຨືໄ ຋ີ ຃. 3 ວລ຺ ໜໃ ລງຽຌຨືໄ ຋ີ ຄ. 3.2 ວລ຺ ໜໃ ລງຽຌຨືໄ ຋ີ 30. ABD ຽຎັຌຩູຍ຦າມ຾຅຦າກ AB  10 , AD  24 ຾຤ະ BC : CD  3 : 1 ຽຌຨືໄ ຋ີ  ACD ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈ (ຈໃ ຄັ ຩູຍ຤ໃ ຸມຌ)ີໄ 4

ກ. 20 ວລ຺ ໜໃ ລງຽຌຨືໄ ຋ີ ຂ. 30 ວລ຺ ໜໃ ລງຽຌຨືໄ ຋ີ ຃. 40 ວລ຺ ໜໃ ລງຽຌຨືໄ ຋ີ ຄ. 60 ວລ຺ ໜໃ ລງຽຌຨືໄ ຋ີ 31. ຩູຍ຋າຈ຤ຼມກຸຈຉຌັ ມຩີ ູຽ຃ໃ ຄິ ກາຄຽຎັຌຩູຍ຋ໃ ໍວຼົ ມ຋ໃ ມີ ຑີ ຌືໄ ຽຎັຌຩູຍ຅ະຉຸ຤ຈັ (ຈໃ ຄັ ຩູຍ) ງາລຂາໄ ຄ຤ະ 1 cm , ABCD ຾຤ະ EFGH ຽຎັຌຩູຍ຅ະຉຸ຤ຈັ ຽຆໃ ຄິ ຂະໜາຌກຌັ ມຂີ າໄ ຄງາລຂາໄ ຄ຤ະ 6 cm ຾຤ະ 3 cm ຉາມ ຤າໍ ຈຍັ , ຃ລາມ຦ູຄຂຨຄຩູຍ຋າຈ຤ຼມກຸຈຉຌັ ຽ຋ໃ າ຺ 4 cm ຾຤ະ ຾ຉໃ ຤ະ຤ຼມຂາໄ ຄຽ຋ໃ າ຺ ກຌັ ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາຍ຤ໍ ມິ າຈ ຂຨຄຩູຍ຋າຈ຤ຼມກຸຈຉຌັ (຦ມ຺ ມຸຈຉໃ ຩໍ ູຍ຋າຈ຤ຼມກຸຈເວຽໄ ຎັຌຩູຍ຋າຈ຦ໃ ຤ີ ຼມ ຋ໃ ມີ ຃ີ ລາມ຦ູຄ h  4 cm ) ກ. 8 h  44 cm3 ຂ. 9 h  44 cm3 ຃. 9 h  44 cm3 ຄ. 15h  44 cm3 32. ຅າກຩູຍ AB ຽຎັຌຽ຦ຌັໄ ຉຈິ ລຄ຺ ມຌ຺ ງາລ 6 cm , O ຽຎັຌ຅ຈຸ ເ຅ກາຄຂຨຄລຄ຺ ມຌ຺ , AE ງາລ 4 cm , OD  DE  2 cm ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາ຃ລາມງາລຂຨຄ຤ຈັ ຦ະໝີ ກ. 10 cm ຂ. 5 cm ຃. 3 cm ຄ. 2 cm 33. ຩູຍ຦ໃ ຾ີ ຅ ABCD ຽຽຌຍເຌລຄ຺ ມຌ຺ ຋ໃ ມີ ີ O ຽຎັຌ຅ຈຸ ເ຅ກາຄ ຊາໄ ຉໃ ໍ AD ແຎຉຈັ BC ຢໃ ູຽມຈັ P ຽຩຈັ ເວໄ ຽກຈີ ມຸມ 35 ຨຄ຺ ຦າ, ຋ໃ ີ A ມຽີ ຦ຌັໄ ຉຈິ ຽມໃ ຨື ຂຈີ ແຎຉຈັ CB ຾຤ລໄ ຉໃ ຨໍ ຨກແຎ຋ໃ ີ Q ຽຩຈັ ເວຽໄ ກຈີ ມຸມ 15 ຨຄ຺ ຦າ, ຋ໃ ຨຌຆໃ ື AC ຾຤ະ BD ຉຈັ ກຌັ ຋ໃ ີ E ຾຤ະ ມຸມ OCA ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 15 ຨຄ຺ ຦າ ຂະໜາຈຂຨຄມຸມ ABD ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈ ກ. 40 ຂ. 50 ຃. 60 ຄ. 70 5

34. ABC ຽຎັຌຩູຍ຦າມ຾຅຋ໃ ມີ ີ AB  BC ຿ຈງເວໄ D, E ຾຤ະ F ຽຎັຌຽມຈັ ຋ໃ ຢີ ໃ ູ຋ໃ ຨຌຆໃ ື AB , BC ຽຽ຤ະ AC ຉາມ຤ໍາຈຍັ ຊາໄ ED  DF , DF  AC , FE  BC ຂເໍໄ ຈ຤ໃ ຸມຌຏີໄ ຈິ ກ. DF ຂະໜາຌກຍັ FC ຂ. ມຸມ DEF  ມຸມ ADF ຃. ມຸມ DBE  ມຸມ ECF ຄ. ມຸມ BDE  ມຸມ DFE 35. ຅າກຩູຍວກ຺ ຾຅຦ະຽໝີ ABCDEF ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາຨຈັ ຉາ຦ໃ ລຌ຤ະວລໃ າຄ ຽຌຨືໄ ຋ຑີ າກ຦ໃ ລຌ຋ໃ ຋ີ າ຦ີ ກຍັ ຽຌຨືໄ ຋ີ ຂຨຄຩູຍວກ຺ ຾຅ ABCDEF ກ. 1 : 2 ຂ. 1 : 3 ຃. 2 : 3 ຄ. 3 : 4 36. ຅າກຩູຍ PT ຽຎັຌຽ຦ຌັໄ ຉຈິ ລຄ຺ ມຌ຺ ຋ໃ ຽີ ມຈັ T ຾຤ະ PBA ຽຎັຌຽ຦ຌັໄ ຆໃ ,ື O ຽຎັຌ຅ຈຸ ເ຅ກາຄຂຨຄລຄ຺ ມຌ຺ ຊາໄ APˆT  90 ຾຤ະ PA2  PB 2  2 PT 2  X OT 2 ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາ຃ໃ າຂຨຄ X ກ. 1 ຂ. 2 ຃. 3 ຄ. 4 37. ຅າກຩູຍ຦າມ຾຅ ABC ມລີ ຄ຺ ມຌ຺ O ຍຌັ ຅ຢຸ ໃ ູ຋າຄເຌ ຂຈີ MN ຏໃ າຌ O ຂະໜາຌກຍັ ຂາໄ ຄ AC ຊາໄ AB BC ຾຤ະ CA ງາລ 17 cm, 15 cm, 10 cm, ຉາມ຤ໍາຈຍັ ຃ລາມງາລຂຨຄ຤ລຄຩຨຍຩູຍ຦າມ຾຅ BMN ງາລຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ ກ. 32 cm ຂ. 27 cm 6

຃. 21 cm ຄ. 18 cm 38. ຾ມຄມຸມຉລ຺ ໜໃ ຄຶ ຉຈິ ຢໃ ູຂາໄ ຄ A ຂຨຄກ໋ຨຄເ຦ຨຌັ ໜໃ ຄຶ , ຽວຌັ ຾ມຄລຌັ ຉລ຺ ໜໃ ຄຶ ຉຈິ ຢໃ ູຽ຋ຄິ ຐາ B ຂຨຄກ໋ຨຄ ວໃ າຄ ຅າກຂຨຍຽ຋ຄິ ຂຨຄຂາໄ ຄ C ຢໃ ູ 1 cm ຉໃ າໍ ຾ໜໃ ຄຂຨຄ຾ມຄມຸມ ຾຤ະ ຾ມຄລຌັ ມ຤ີ າງ຤ະຨຼຈຈໃ ຄັ ຩູຍ(ວລ຺ ໜໃ ລງຽຎັຌຆຄັ ຉ຾ີ ມຈັ ) ແ຤ງະ຦ຌັໄ ຋຦ີ ຸຈຽ຋ຄິ ກ໋ຨຄຈາໄ ຌຌຨກ຅າກ຾ມຄມຸມຽຊຄິ ຾ມຄລຌັ ຽຎັຌຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ກ. 13 cm ຂ. 10 2 cm ຃. 40  101 cm ຄ. 14.5 cm 39. ຊາໄ ຂຈີ ຽ຦ຌັໄ ຽຌໃ ຄັ ຅ຨມແຈໄ 101 ຽ຦ຌັໄ ຅າກ຾ຉໃ ຤ະ຅ຨມຂຨຄຩູຍວົາງ຾຅ ຩູຍວາົ ງ຾຅ຌຌັໄ ມ຅ີ ກັ ຂາໄ ຄ ກ. 101 ຂ. 102 ຃. 103 ຄ. 104 40. ຅າກຩູຍ ABCD ຽຎັຌຩູຍ຋າຈ຦າມ຤ຼມ຋ໃ ມີ ີ AB  BC  CD  BD  AD  CA ຃ໃ າຂຨຄ cos y ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ (ຈໃ ຄັ ຩູຍ) ກ. 1 ຂ. 1 2 2 ຃. 1 ຄ. 3 3 2 41. ຃ຌ຺ ຑາງຽຩຨື ຏູໜໄ ໃ ຄຶ ຑາງແຎແຈໄ 48 km ຽຽ຤ລໄ ຑາງກຍັ ຃ຌື ຍໃ ຨຌຽກໃ າ຺ ເຆຽໄ ລ຤າ 14 ຆໃ ລ຺ ຿ມຄ, ຎາກຈ຺ ລໃ າຑາງຽຩຨື ຉາມກະ຾຦ຌາໍໄ ແຈໄ 4 km ເຆຽໄ ລ຤າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຑາງກຍັ ຃ຌື 3 km ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ກະ຾຦ຌາໍໄ ແວຆົ ໃ ລ຺ ຿ມຄ຤ະ຅ກັ ກ຿ິ ຤ ຾ມຈັ ກ. 0.5 ຂ. 1 ຃. 1.2 ຄ. 1.5 42. ຅ໃ ຄ຺ ຑ຅ິ າ຤ະຌາຂໍ຃ໄ ລາມ຤ໃ ຸມຌີໄ 1). ຊາໄ ຃ໃ າ຦ະຽ຤ໃ ງຽ຤ຂາ຃ະຌຈິ ຂຨຄ a , b , c , d , e ຃ື x ຾຤ລໄ ຃ໃ າ຦ະຽ຤ໃ ງຽ຤ຂາ຃ະຌຈິ ຂຨຄ a  k , b  2k , c  k , d  2 k , e ຃ື x ຽຆຌັ ກຌັ 7

2). ຊາໄ ຃ໃ າ຦ະຽ຤ໃ ງຽ຤ຂາ຃ະຌຈິ ຂຨຄ 10 , 10 , 12 , 15 , 16 , 18 , b , b , b ຃ື b  3 ຾຤ລໄ ຃ໃ າມຈັ ຋ະງະຊາຌຽຎັຌ 16 ຂ຦ໍໄ ະວຸົຍກໃ ຼລກຍັ ຂໍ຃ໄ ລາມຽຍຨືໄ ຄຉຌ຺ໄ ຂເໍໄ ຈຊກື ກ. ຊກື ຋ຄັ ຦ຨຄຂໍໄ ຂ. ຊກື ຂໍໄ 1) ຑຼຄຂຈໍໄ ຼລ ຃. ຊກື ຂໍໄ 2) ຑຼຄຂຈໍໄ ຼລ ຄ. ຏຈິ ຋ຄັ ຦ຨຄຂໍໄ 43. ຂມໍໄ ູຌຆຸຈໜໃ ຄຶ ຆຨກວາ຃ໃ າ຦ະຽ຤ໃ ງຽ຤ຂາ຃ະຌຈິ ແຈໄ 58 ຃ະ຾ຌຌ ຊາໄ ຽຑໃ ມີ ຃ະ຾ຌຌເ຦ໃ ຨກີ 3 ຤າງກາຌ຃:ື 40, 43, 51 ຾຤ລໄ ຅ະແຈ຃ໄ ໃ າ຦ະຽ຤ໃ ງຽ຤ຂາ຃ະຌຈິ ຽຎັຌ 54 ຃ະ຾ຌຌ ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາຂມໍໄ ູຌ຋າໍ ກ. 6 ຤າງກາຌ ຂ. 7 ຤າງກາຌ ຃. 8 ຤າງກາຌ ຄ. 9 ຤າງກາຌ 44. ເຌກາຌ຋ຈ຺ ຦ຨຍ຃ລາມຊະຌຈັ ຂຨຄຌກັ ຩຼຌກໃ ຸມໜໃ ຄຶ ມຉີ າຉະ຤າຄ຾຅ກຢາງ຃ລາມຊໃ ຂີ ຨຄຏຌ຺ ຄາຌຈໃ ຄັ ຉາຉະ຤າຄ຤ໃ ຸມຌີໄ ຃ໃ າ຦ະຽ຤ໃ ງຽ຤ຂາ຃ະຌຈິ ຂຨຄ຃ະ຾ຌຌ຦ຨຍຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 11 ຾຤ລໄ ຌກັ ຩຼຌ຋ໃ ຦ີ ຨຍແຈ຃ໄ ະ຾ຌຌເຌ ຆໃ ລຄ 10 – 14 ຃ະ຾ຌຌ ມ຅ີ ກັ ຃ຌ຺ ຆໃ ລຄ຃ະ຾ຌຌ ຃ລາມຊໃ ີ (຃ຌ຺ ) 0–4 4 5–9 5 10 – 14 15 - 19 x ກ. 10 7 ຂ. 12 ຃. 14 ຄ. 16 45. ມກີ ະ຾຅ 4 ໜໃ ລງ ຾຤ະ ມ຤ີ ກູ ຅ະ຾຅ 4 ຤ກູ ລາຄ຤ລມກຌັ ຢໃ ູຽ຋ຄິ ຿ຉະ, ຤ູກກະ຾຅ 1 ຤ູກ ແຂກະ຾຅ແຈໄ 1 ໜໃ ລງຽ຋ໃ າ຺ ຌຌັໄ ຦ໃ ຸມ຅ຍັ ກະ຾຅ມາ 2 ໜໃ ລງ ຑຨໄ ມ຋ຄັ ຤ກູ ກະ຾຅ 2 ຤ກູ ຃ໃ າກະຉລຄ຋ໃ ຅ີ ະແຂກະ຾຅ເວຊໄ ກື ຋ຄັ ຦ຨຄໜໃ ລງມ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ ກ. 1 ຂ. 1 2 3 ຃. 1 ຄ. 1 4 6 46. ມໝີ ໃ ຍູ າໄ ຌ຾ວໃ ຄໜໃ ຄຶ ມຎີ ະຆາກຨຌ຋ຄັ ໝຈ຺ 756 ຃ຌ຺ , ຢໃ ູມາລຌັ ໜໃ ຄຶ ຌາງຍາໄ ຌຎະກາຈເວຆໄ າລຍາໄ ຌມາຎະຆຸມ ຽຑໃ ຨື ຤ຄ຺ ຃ະ຾ຌຌ຦ຼຄຉຈັ ຦ຌິ ກໃ ຼລກຍັ ກຈິ ຅ະກາໍ 2 ຢໃ າຄ ລໃ າ຅ະຨະຌງຸ າຈເວຈໄ ໍາຽຌຌີ ກາຌແຈໄ ວົື ຍໃ ໍ ຿ຈງ຋ໃ ຆີ າລ ຍາໄ ຌ຋ຸກ຃ຌ຺ ຅ະຉຨໄ ຄຨຨກ຦ຼຄ຦ະໜຍັ ຦ະໜຌູ ວົື ຃ຈັ ຃າໄ ຌ ຿ຈງ຅ະ຦ະ຤ະ຦ຈິ ຍໃ ແໍ ຈ,ໄ ຏຌ຺ ຎາກຈ຺ ລໃ າ ກຈິ ຅ະ ກາໍ ຋າໍ ຨຈິ ມຏີ ູຨໄ ຨກ຦ຼຄ຦ະໜຍັ ຦ະໜຌູ 476 ຃ຌ຺ , ກຈິ ຅ະກາໍ ຋ີ 2 ມຏີ ູ຦ໄ ະໜຌູ 294 ຃ຌ຺ ຾຤ະ ຏູ຋ໄ ໃ ຃ີ ຈັ ຃າໄ ຌ຋ຄັ 2 ກຈິ ຅ະກາໍ ມີ 169 ຃ຌ຺ ຊາມລໃ າຏູ຋ໄ ໃ ຦ີ ະໜຍັ ຦ະໜຌູ ຋ຄັ 2 ກຈິ ຅ະກາໍ ມ຅ີ ກັ ຃ຌ຺ ກ. 175 ຂ. 183 ຃. 191 ຄ. 202 47. ຊາໄ ຿ງຌວົຼຌ 1 ວົຼຌ 9 ຃ຄັໄ ຾຤ລໄ ຅າໍ ຌລຌຂຨຄຏຌ຺ ກາຌ຿ງຌ຋ໃ ຽີ ຎັຌແຎແຈຽໄ ຋ໃ າ຺ ກຍັ 29  512 ຩູຍ຾ຍຍ ເຌ 8

ຍຌັ ຈາ 512 ຩູຍ຾ຍຍ ຅ະມ຅ີ ກັ ຩູຍ຾ຍຍ຋ໃ ຅ີ າໍ ຌລຌ຃ຄັໄ ຋ໃ ວີ ຼົ ຌຨຨກວລ຺ ວົາງກລໃ າ຅າໍ ຌລຌ຃ຄັໄ ຋ໃ ວີ ຼົ ຌຨຨກ ກຨໄ ງ. ກ. 256 ຂ. 280 ຃. 384 ຄ. 448 48. ເຌຩູຍ a ມຩີ ູຍ຦ໃ ຾ີ ຅ 1 ຩູຍ ເຌຩູຍ b ມຩີ ູຍ຦ໃ ຾ີ ຅ 3 ຩູຍ ເຌຩູຍ c ມຩີ ູຍ຦ໃ ຾ີ ຅ 6 ຩູຍ ຊາມລໃ າເຌຩູຍ d  ມຩີ ູຍ຦ໃ ຾ີ ຅຅ກັ ຩູຍ ຾຤ະ ຩູຍ e ມຩີ ູຍ຦ໃ ຾ີ ຅຅ກັ ຩູຍ a b c d  e ກ. 5 ຩູຍ ຾຤ະ 30 ຩູຍ ຂ. 10 ຩູຍ ຾຤ະ 50 ຩູຍ ຃. 10 ຩູຍ ຾຤ະ 60 ຩູຍ ຄ. 20 ຩູຍ ຾຤ະ 100 ຩູຍ 9

ຍຈ຺ ຾ກ຃ໄ າໍ ຊາມຆຸຈ຋ີ 1 1. ຽຌໃ ຨື ຄ຅າກ 4  0.571428 7 ຾ຉໃ 2555  6  425  5 ( ຆຸຈ຤ະ 6 ຉໍາ຾ໜໃ ຄ ມີ 425 ຆຸຈ ຽ຦ຈ 5 ) ຽວົຨື ຽ຦ຈຨກີ 5 ໝາງຽຊຄິ ຉາໍ ຾ໜໃ ຄ຋ີ 5 ຂຨຄ 0.571428 ຌຌັໄ ຽຨຄ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຉາໍ ຾ໜໃ ຄ຋ີ 2555 ຂຨຄ 4 ຾ມໃ ຌ 2 7 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 2. ກາໍ ຌຈ຺ 1  1  1 ຽຩາ຺ ຅ໃ ຄິ ຉຨໄ ຄເຆຽໄ ຄໃຨື ຌແຂຌກີໄ ຍັ ຋ຸກຽ຤ກ຦ໃ ລຌ 12 3 4 1  1  1  1  1   1  1    1  1    1  1    1  1    1  1  12 20 30 42 56  3 4   4 5   5 6   6 7   7 8   1 1  1  1  1  1  1  1  1 1 34 4 5 5 6 6 7 78  1 1 38 5 24 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 3. ເຆ຃ໄ ລາມຩູກໄ ໃ ຼລກຍັ ຽ຤ກຑຌືໄ ຊາຌ ຾຤ລໄ ຾ກ຦ໄ ມ຺ ຏຌ຺ ຅າກ 2213  2  32   2  31   1  30  18  6  1  25 ... 1 ຅າກ 2205  2  52   2  51   0  50  50  10  0  60 ... 2 ຅າກ 11012  1  23   1  22   0  21   1  20  8 4  0 1  13 ... 3 ຅ະແຈ ໄ 2213 k  2205  11012  k 25k  60  13 k 25k  13k  60 12 k  60 k 5 10

ຎໃ ຼຌຽຎັຌຽ຤ກຊາຌ 2 ຅ະແຈ:ໄ 5  1012 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 4. ກາໍ ຌຈ຺ ເວ຅ໄ າໍ ຌລຌ຋ຈ຺ ຦ະຌງິ ມ຺ ຉາໍ ຾ໜໃ ຄ຋ີ 2, 3, 4 ຾ມໃ ຌ a , b , c ຅ະຂຼຌແຈຽໄ ຎັຌ 0.0abc bac ... 1 ຾຤ະ b2  4 a c  1 ... 2 4a  3c ... 3 ຾຋ຌ຃ໃ າ b  a  c ເ຦ໃ (2) a2  2 a c  c2  4 ac  1 a2  2ac  c  1 a  c2  1 ... 4 ຅າກ (3) a  3c 4 ຾຋ຌ຃ໃ າ a  3c ເ຦ໃ (4) ຅ະແຈ ໄ 4  3 c  c2  1 4    1 c 2  1  4 c2  16 c 4 ຅າກ a  3c ຅ະແຈ ໄ a  34 4 4 a 3 ຅າກ b  a  c ຅ະແຈ ໄ b  3  4 b7 ຢໃ ູເຌຩູຍ຾ຍຍຂຌຶໄ ກາໍ ຤ຄັ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , 0.0abc  0.0374 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 5. ຦ໍາ຤ຍັ ຂໍຌໄ ຽີໄ ວຌັ ຉລ຺ ຽ຤ກ຾຤ລໄ ຉກ຺ ເ຅ ຾ຉໃ ຅ຄິ ຾຤ລໄ ກ຃ໍ ື ຽຩຈັ ຾ຍຍເຈເວຉໄ ລ຺ ຽ຤ກເຌ ຦ຨຄແຈ ໄ 111,111,111,1111, 000, 000, 000, 005  1  1 999,999,999,9991, 000, 000, 000, 005  9 99  1 999,999,999,9991, 000, 000, 000, 005  9 3    1 1012  1 1012  5  9 3  1 1024  4 . 1012  4 3   1 1012  2 2 3 11

  1 1012  2 3  1 1 , 000 , 000 , 000 , 002  3  3,333,333, 333, 334 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 6. ຍຈ຺ ຽ຤ກກາໍ ຌຈ຺ 1  1  1  1  1 ... 1 a bcd ຃ຌູ ຈລໄ ງ abcd ຋ຄັ ຦ຨຄຑາກ ຅ະແຈ ໄ abc  bcd  cda  dab  abcd ຑ຅ິ າ຤ະຌາ 1  a1  b1  c1  d   1  a  b  c  d   ab  bc  cd  ac  ad  bd   abc  bcd  cda  dab  abcd ຾຋ຌ຃ໃ າ຅າກຍຈ຺ ຽ຤ກ abcd  abc  bcd  cda  dab  8 ຅ະແຈໄ 1  a1  b1  c1  d   1   2   7  8  8 8 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 7. ກາໍ ຌຈ຺ a ວາຌຈລໄ ງ 10 ຽ຦ຈ 5 ຅ະແຈ ໄ a  10 x  5 ຽມໃ ຨື x ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌຊລໄ ຌ ... 1 ກາໍ ຌຈ຺ b ວາຌຈລໄ ງ 10 ຽ຦ຈ 2 ຅ະແຈ ໄ b  10 y  2 ຽມໃ ຨື y ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌຊລໄ ຌ ... 2 ... 3 (1)  3 ຅ະແຈ ໄ 3a  30 x  15 ... 4 (3)  2 ຅ະແຈ ໄ 2b  20 y  4 (3)  4 ຅ະແຈໄ 3a  2b  30 x  20 y  11 3a  2b  30 x  20 y  10  1 3a  2b  56 x  4y  2  1 ຽຌໃ ຨື ຄ຅າກ 6 x  4y  2 ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌຊລໄ ຌ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , 3a  2b ວາຌຈລໄ ງ 5 ຽ຦ຈ 1 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ກ ລ຋ິ ຤ີ ຈັ 2: a ວາຌຈລໄ ງ 10 ຽ຦ຈ 5 ຦ມ຺ ມຸຈເວໄ a  5 b ວາຌຈລໄ ງ 10 ຽ຦ຈ 2 ຦ມ຺ ມຸຈເວໄ b  2 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , 3a  2b  11 ຽມໃ ຨື ວາຌຈລໄ ງ 5 ຽ຦ຈ 1  8. ເວໄ 4 x4  12 x3  13 x2  6 x  1  2x2  Ax  B 2  4 x4  A2 x2  B2  4A x3  4 B x2  2 AB x   4 x4  4A x3  A2  4 B x2  2 A B x  B2 ຅ະແຈ ໄ 4 A   12 A 3 ຾຤ະ 2 A B   6 B 1 ຩາກຂຌັໄ ຦ຨຄຂຨຄ 4 x4  12 x3  13 x2  6 x  1 ຾ມໃ ຌ 2 x2  3 x  1 12

຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ກ  9. ຅າກ a  a  4  ຽມໃ ຨື a  50  32  36     40       44        48     ... 1 ... 2                  52 ຅າກ a  a  2 ຽມໃ ຨື a  50      52       52           48    ຅າກ (1) ຾຤ະ (2) 48  48 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , 32  48 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 10. ຑ຅ິ າ຤ະຌາ຾ຉໃ ຤ະຽ຤ກ຦ໃ ລຌ ຿ຈງຽຩຈັ ເວຽໄ ຎັຌຩູຍ຾ຍຍຄໃາງ 1 2   1 1 2  1  2   1 2  2 1 1  1  2 1 1 3   1 3  2 3   2 3  3  2 2 2 2 3 23 1 4   1 4  3 4   3 4  4  3 3 3 3 4 34    1   1  n n  1   n  n1  n  n  1  n n  1  n  n 1 n  n  1  n1  n ຅າກ 1  1  1  ...  1  8 1 2 2  3 3  4 n  n1       ຦ະ຾ຈຄລໃ າ 2  1  3  2  4  3  ...  n  1  n  8 n 11 8 n 1  9 ຂຌຶໄ ກາໍ ຤ຄັ ຦ຨຄ຋ຄັ ຦ຨຄຑາກ n  12  92 13

n  1  81 n  80 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 11. ຑ຅ິ າ຤ະຌາເວຈໄ ຅ີ ະຑຍ຺ ລໃ າຽຎັຌ຦ມ຺ ຏຌ຺ ກາໍ ຤ຄັ ຦ຨຄ x2  2x y  y  49  x  y 2  49 x y  7 ... 1 ... 2 ຑ຅ິ າ຤ະຌາ຅າກຍຈ຺ ຽ຤ກ x2  y  21 ... 3 x  y x  y  21  ຅າກ (1) ຅ະແຈໄ 7 x  y  21 x y  3 ຽຨາ຺ 1  2 ຅ະແຈໄ 2 x  10 x 5 ຅າກ (1) ຅ະແຈໄ y  2 y4 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , x  y  5  4  9 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 12. ຊາໄ ເວໄ x  3  A ຅າກຍຈ຺ ຽ຤ກ຅ະແຈໄ 6 A2  7 A  5 ຅ະຽຩຈັ ເວ຾ໄ ງກ຦ໃ ລຌ຃ູຌແຈຄໄ ໃາງຂຌຶໄ 6x  32  7x  3  5  6 A2  7 A  5  2 A  13 A  5 ຾຋ຌ຃ໃ າ x  3  A ຅ະແຈໄ  2x  3  1 3x  3  5  2 x  53x  14 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ ລ຋ິ ຤ີ ຈັ : ຅າກຑະວຸຑຈ຺ 6x  32  7x  3  5 ເວ຾ໄ ຋ຌ x   3 ຅ະແຈໄ 6 3  32  7 3  3  5   5 ຾຋ຌ x   3 ເຌ຋ຸກຉລ຺ ຽ຤ຨື ກ(຋ຸກຂໍ)ໄ ຽວຌັ ລໃ າ຾ມໃ ຌຉລ຺ ຽ຤ຨື ກຂໍໄ ຄ ຅ະແຈໄ 2 2  53 3  14   5 ຽ຋ໃ າ຺ ກຌັ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຂໍໄ ຄ ຊກື ຉຨໄ ຄ 13. ຅າກ a : b : c  b2 : c2 : a2 ຅ະແຈ ໄ a  b2 ຾຤ະ b  c2 b c2 c a2 a  b3 c2 b  c3  c3  c7 b6 b6  b3  2 c4 c2 b7  c7 ຅ະແຈໄ b  c 14

຅າກ a  b3 ຅ະແຈ ໄ a c3 c c2 c2 ແຈໄ a  b  c ຌຌັໄ ຾ມໃ ຌ a  b  c3  c  c  c3  27 c3  9 3abc 3c.c.c 3c3 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 14. ກາໍ ຌຈ຺ a  b  c  0 ... 1 ຅ະແຈ ໄ a  b   c ... 2 a  c  b ... 3 b  c  a ຅າກ a  1  1   b 1  1   c  1  1   a  a  b  b  c  c b c a c a b b c c a a b   a  c    a  b    b  c  b b c c a a   a  c    a  b    b  c  b c  a ຾຋ຌ຃ໃ າ (1), (2) ຾຤ະ (3) ຅ະແຈໄ    b     c     a  b c  a  11 1  3 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 15. ກາໍ ຌຈ຺ ເວໄ a  b  c bc d ຽຆໃ ຌັ 1 2  4 (຦ມ຺ ມຸຈຽຎັຌຉລ຺ ຽ຤ກຄໃາງໂ) 2 4 8 ແຈ ໄ a  1 , b  2 , c  4 , d  8 ຊາໄ d ຽຑໃ ມີ ຂຌຶໄ 6 % ຂຨຄ຦ໃ ຄິ ຽກໃ າ຺ ແຈ ໄ a  b  c  1.06  2.12  4.24 b c d 2.12 4.24 8.48  a ຽຑໃ ມີ ຂຌຶໄ 1.06  1  0.06 ຽກໃ າ຺ a ຽຎັຌ 1 ຽຑໃ ມີ ຂຌຶໄ 0.06 ຽກໃ າ຺ a ຽຎັຌ 100 ຽຑໃ ມີ ຂຌຶໄ 0.06  100  6 %  b ຽຑໃ ມີ ຂຌຶໄ 2.12  2  0.12 ຽກໃ າ຺ b ຽຎັຌ 2 ຽຑໃ ມີ ຂຌຶໄ 0.12 15

ຽກໃ າ຺ b ຽຎັຌ 100 ຽຑໃ ມີ ຂຌຶໄ 0.12  100  6 % 2 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 16. Ax  12  B x  1x  1  C x  12  4 x2      A x2  2x  1  B x2  1  C x2  2x  1  4 x2 A x2  2Ax  A B x2  B  C x2  2Cx  C  4 x2  A x2  B x2  C x2   2Ax  2Cx  A  B  C  4 x2 A  B  C x2   2A  2Cx  A  B  C  4 x2  0 x  0 ຽມໃ ຨື ຎຼຍ຋ຼຍ຦ໍາຎະ຦ຈິ ຅ະແຈໄ ABC  4 ... 1  2A  2C  0 ... 2 A BC0 ... 3 ຽຨາ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ 1  3 ຅ະແຈໄ 2A  2C  4 ... 4 ຽຨາ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ 2  4 ຅ະແຈໄ 4C  4 C 1 ຽຽ຋ຌ຃ໃ າ C  1 ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (4) 2A  21  4 2A  2  4 2A  2 A 1 ຽຽ຋ຌ຃ໃ າ C  1, A  1 ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (1) 1 B 1  4 B2  4 B2 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , A  1 , B  2 , C  1 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ  17. ຅າກ  3x  y x  27 5 3xx  y  315 xx  y  15 ... 1  ຽຽ຤ະ  2x  y y  32 2  2yx  y  25 2 2 yx  y  210 x  yy  10 ... 2 ຽຨາ຺ 1  2 ຅ະແຈໄ x  3 y 2 x  3y ... 3 2 ຽຽ຋ຌ຃ໃ າ x  3y ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (2) ຅ະແຈໄ 2  3 y  y  y  10 2  16

3y2  y2  10 2 ຃ູຌ 2 ຽຂາ຺ໄ ຋ຄັ 2 ຑາກ 3y2  2y2  20 5y2  20 y2  4 y 2 ຽຽ຋ຌ຃ໃ າ y  2 ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (3) ຅ະແຈໄ x  3 2  3 2 ຽຽ຋ຌ຃ໃ າ y   2 ເ຦ໃ ຦ມ຺ ຏຌ຺ (3) ຅ະແຈໄ x  3  2   3 2 ຃າໍ ຉຨຍຂຨຄ຤ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ ຾ມໃ ຌ 3 , 2 ,  3 ,  2 ກາໍ ຌຈ຺ ເວໄ a , b  ຽຎັຌ຃າໍ ຉຨຍຂຨຄ຦ມ຺ ຏຌ຺ a3 , b2    ຦ະຌຌັໄ , a2  2ab  b2  a  b2  3  22  25 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 18. ຽຨາ຺ ຂໍມໄ ຌູ ຋ໃ ຍີ ຈ຺ ຽ຤ກກາໍ ຌຈ຺ ເວມໄ າເຆກໄ ຍັ ຦ູຈແຉມຸມມຉິ ຋ິ ໃ ມີ ຢີ ໃ ູກ຅ໍ ະ຦າມາຈຆຨກວາ຃າໍ ຉຨຍແຈໄ ຅າກ sin2 A  cos2 A  1  ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , sin2 A  cos2 A 2  12 sin4 A  2sin2 Acos2 A  cos4 A  1 sin4 A  cos4 A  1  2sin2 Acos2 A sin4 A  cos4 A  1  2sin Acos A2 sin4 A  cos4 A  1  2 12 2  25  sin4 A  cos4 A  1  288 625 sin4 A  cos4 A  a b ຋ະລ຃ີ ູຌຩໃ ລມເວງໃ ຦ຸຈຂຨຄ 337 ຾຤ະ 625 ຾ມໃ ຌ 1 ໝາງຽຊຄິ a  337 ຾຤ະ b  625 ຅ະແຈ ໄ a  b  337  625  962 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 19. 6  x  2  2 1 3 2 3 1  10 17

6  x 2 2 1 3 2 3 9 6  x 2 2 1 3  21 3 6  x 2 2 3 1  7 3 6  x 2 2 9 1  7 6  x 2 2 79 7 6  x 2 2 2 7 6  x 27 6  x 9 x 3 x  3 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 20. ຅າກຍຈ຺ ຽ຤ກ k x  2 y  9  0 2y   kx 9 y  kx9 22 ຦າໍ ຎະ຦ຈິ ມຸມ m1  k ... 1 2 ... 2 ຾຤ະ 8 x  12 y  3  0 12 y  8 x  3 y  8 x 3 12 12 y  2 x1 34 ຦ໍາຎະ຦ຈິ ມຸມ m2  2 3 ຽ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄ຋ຄັ ຦ຨຄ຅ະຉຄັໄ ຦າກກຌັ ຽມໃ ຨື m1 . m2   1   k  2    1  2 3  k  1 3 k 3 18

຃ໃ າຂຨຄ k3  3k 2  3k  1  k  13  3  13  64 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ 21. ຽ຦ຌັໄ ຆໃ ື L ຏໃ າຌຽມຈັ 3 ,  2 ຅ະແຈ ໄ x1  3 , y1   2 ຾຤ະ ຏໃ າຌຽມຈັ 2 , p ຅ະແຈ ໄ x2  2 , y2  p ກາຌຆຨກວາ຦ໍາຎະ຦ຈິ ມຸມ m1 ຽມໃ ຨື ຩູ຦ໄ ຨຄຽມຈັ ຆຨກແຈ຅ໄ າກ຦ູຈ m1  y2  y1 x2  x1 ຾຋ຌ຃ໃ າ຅ະແຈໄ m1  p2  p2 23 1 m1   p  2 ຽ຦ຌັໄ ຆໃ ື 2 x  3 y  4  0 3y  2x  4 y  2x 4 33 m2  2 3 ຽ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄ຋ຄັ ຦ຨຄ຅ະຂະໜາຌກຌັ ກຉໍ ໃ ຽໍ ມໃ ຨື m1  m2  p  2  2 3 p 22 3 p 8 3 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 22. ຅າກຍຈ຺ ຽ຤ກ y  x2  6x  6  1 ຾ຎຄເວຢໄ ໃ ູເຌຩູຍ y  a x2  bx  c ຩູຍ຾ຍຍຎາຣາ຿ຍຌ x x2 y   x2  2 x. 1  1   6 x  1   2 x x2   x y   x2  1 2  6 x  1   2  x  x ກາໍ ຌຈ຺ ເວໄ k  x 1 x ຅ະແຈ ໄ y  k 2  6 k  2 ຩູຍຎາຣາ຿ຍຌ ຅າກ຦ູຈ຃ໃ າໜຨໄ ງ຦ຸຈຂຨຄ y  a x2  bx  c ມ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 4ac  b2 4a ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຃ໃ າໜຨໄ ງ຦ຸຈຂຨຄ y  k 2  6 k  2 ມ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 41  2  62   8  36   11 4 1 4 ຦ະ຾ຈຄລໃ າ຃ໃ າໜຨໄ ງ຦ຸຈຂຨຄ y  x2  6x  6  1 ມ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ  11 ຽຆຌັ ກຌັ x x2 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 23. ຅າກຍຈ຺ ຽ຤ກ x  10  x5  x3  x  12 x  11 x6 x4 x  13 19

x  10  x  12  x  3  x  5 x  11 x  13 x  4 x  6 x  10x  13  x  12x  11  x  3x  6  x  5x  4 x  11x  13 x  4x  6 x2  23 x  130  x2  23 x  132  x2  9 x  18  x2  9x  20 x  11x  13 x  4x  6 2  2 x  11x  13 x  4x  6 x 1  13  1  11x x  4x  6 x  11x  13  x  4x  6 x2  10 x  24  x2  24 x  143 24 x  10 x  143  24 14 x  119 x  119 14 x  81 2 ລ຋ິ ຤ີ ຈັ : ເວໄ x  11  x  6  x  4  x  13  0 4 x  34  0 4 x  34 x  81 2 ຅າກ຃າໍ ຉຨຍຂໍໄ ກ. 2 x  7  10 2 x  17 x  17 2 x  81 2 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 24. ຅າກຍຈ຺ ຽ຤ກກາໍ ຌຈ຺ ເວໄ x2  1  6 ຦າມາຈ຾ຎຄແຈຈໄ ໃ ຄັ ຌີໄ x2  x  1 2  x2  2x 1   1  x x2 x  x  1 2  x2  1 2  x x2  x  1 2  6  2  x  x  1 2  4  x  x  1    2  x 20

຾຤ະ ຅າກ  x  1 3  x3  3 x2  1   3x  1 2  13  x x x x3  x  1 3   x3  1   3 x  1  ...   x  x3   x ... 1 ... 2 ຾຋ຌ຃ໃ າ x  1  2 ເ຦ໃ  ແຈ ໄ x3  1   23  3 2   14 x x3 ຾຋ຌ຃ໃ າ x  1  2 ເ຦ໃ  ແຈ ໄ x3  1   23  32  14 x x3 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຃ໃ າຂຨຄ x3  1 ຃ລຌ຅ະຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 14 ວາົ ງ຋ໃ ຦ີ ຸຈ x3 ລ຋ິ ຤ີ ຈັ : ຊາໄ x2  1  N ຅ະແຈ ໄ x3  1  N  1 N 2 x2 x3 ຅າກຍຈ຺ ຽ຤ກ x2  1  6 ຅ະແຈ ໄ x3  1  6  1 62  14 x2 x3 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຃ໃ າຂຨຄ x3  1 ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 14 x3 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 25. ຅າກ 5x  1  9 x  3   6 x  2 5 x  5  9 x  3   6 x  12  4 x  2   6 x  12 6 x  4 x   12  2 2 x   14 x  7 ຃ໃ າເວງໃ ຦ຸຈຂຨຄ x ຾ມໃ ຌ  7 a  7 2 2x  1  2  x  1   0 3 5 2 ຃ຌູ 30 ເ຦ໃ ຅ະແຈໄ 202x  1  12 x  1   0  2 40 x  20  12 x  6  0 52 x  26  0 52 x  26 x  26 52 x 1 2 ຃ໃ າຌຨໄ ງ຦ຸຈຂຨຄ x ຾ມໃ ຌ 1 2 b1 2 a  b2    7  1 2  2 21

a  b2    13 2  2 a  b2  169 4 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 26. ລຈັ ຦ະຈຸຽຩຈັ ຩລ຺ໄ ງາລ 100 ຾ມຈັ , ຦ລຌຽຎັຌຩູຍ຦ໃ ຾ີ ຅຦າກກລາໄ ຄ x ຾ມຈັ , ງາລ 100  2x ຾ມຈັ , ຩູລໄ ໃ າ ຽຌຨືໄ ຋ຂີ ຨຄຩູຍ຦ໃ ຾ີ ຅຦າກ຾ມໃ ຌ  ຤ລຄງາລ  ຤ລຄກລາໄ ຄ S  x 100  2 x S  100x  2 x2 ...  ກາໍ ຌຈ຺ ເວໄ 3  x  10 ... 1 ຃ຌູ 100 ຋ຄັ ຦ຨຄຑາກ 300  100x  1000 ... 2 ຂຌຶໄ ກາໍ ຤ຄັ ຦ຨຄ຋ຄັ ຦ຨຄຑາກຂຨຄ (1) ຅ະແຈ:ໄ 9  x2  100 ຃ູຌ  2 ຋ຄັ ຦ຨຄຑາກ  18   2x2   200 ... 3  200   2x2   18 ຽຨາ຺ 2  3 ຅ະແຈ:ໄ 100  100 x  2x2  982 100  S  982 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 27. ຃ະ຾ຌຌຽຉມັ ຂຨຄ຃າໍ ຊາມ 25 ຂໍໄ ຾ມໃ ຌ 125 ຃ະ຾ຌຌ ຊາໄ ຉຨຍຊກື ໝຈ຺ ຾ຉໃ ຽຨມັ ມຉີ ຨຍແຈໄ 64 ຃ະ຾ຌຌ ຦ະ຾ຈຄລໃ າ ຉຨໄ ຄຉຨຍຊກື ຽກຌີ 12 ຂໍໄ ຾ຌໃ ຌຨຌ ຅ໃ ຄິ ຉຈັ ຂໍໄ ກ ຨຨຨກແຈຽໄ ຤ງີ ມ຃ີ າໍ ຊາມ຋ຄັ ໝຈ຺ 25 ຂໍໄ ຽຨມັ ມຉີ ຨຍຊກື x ຂໍໄ ຽຨມັ ມຉີ ຨຍຏຈິ y ຂໍໄ ຅າໍ ຌລຌຂ຋ໍໄ ໃ ຍີ ໃແໍ ຈຉໄ ຨຍ 25  x  y ຂໍໄ ຃ະ຾ຌຌ຅າກກາຌຉຨຍຊກື x ຂໍໄ  5 x ຃ະ຾ຌຌ ຃ະ຾ຌຌ຅າກກາຌຉຨຍຏຈິ y ຂໍໄ   4 y ຃ະ຾ຌຌ ຃ະ຾ຌຌ຅າກກາຌ຋ໃ ຍີ ໃ ໍແຈຉໄ ຨຍ຃າໍ ຊາມ 25  x  y  325  x  y ຃ະ຾ຌຌ ຽມໃ ຨື ຦ຌີໄ ຦ຸຈຽກມ ຽຨມັ ມແີ ຈ຃ໄ ະ຾ຌຌ 64 ຃ະ຾ຌຌ 5 x  4y  75  3 x  3 y  64 8 x  y  139 8 x  139  y x  139  y ... 1 8 ຽຌໃ ຨື ຄ຅າກ x ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌຊລໄ ຌຍລກ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , 8 ຅ະຉຨໄ ຄວາຌ 139  y ຂາຈ ຾຤ະ y ຅ະຉຨໄ ຄຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌ຃ກິ ຾຋ຌ຃ໃ າ y  1 ຅ະແຈໄ x  139  1  140  17 1 88 2 22

຾຋ຌ຃ໃ າ y 3 ຅ະແຈ ໄ x  139  3  142  17 3 8 8 4 ຾຋ຌ຃ໃ າ y 5 ຅ະແຈ ໄ x  139  5  144  8 8 8 ຾຋ຌ຃ໃ າ y 7 ຅ະແຈ ໄ x  139  7  146  18 1 8 8 4 ຽວຌັ ລໃ າ y  1 , y  3 ຅ະແຈໄ x ຍໃ ໍຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌຊລໄ ຌ ຾຤ະ y 7 ຅ະແຈ ໄ x  18 1 ຽຩຈັ ເວໄ x y  25 ຽຆໃ ຄິ ຽກຌີ ກລໃ າ 25 ຂໍໄ ຽຑາະ຃ໍາຊາມມຑີ ຼຄ 25 ຂໍໄ 4 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຽຨມັ ມຉີ ຨຍຊກື ຋ຄັ ໝຈ຺ 18 ຂໍໄ ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 28. ມວີ ົຼຌ 2 ຦ະຈຄຶ  x ວຼົ ຌ ຃ຈິ ຽຎັຌຽຄຌິ  1 x ຍາຈ 2 ຽວຨົື ຽຄຌິ  42  1 x ຍາຈ 2 ຽຎັຌວຼົ ຌຍາຈ  x  4 ຍາຈ ຽວຨົື ຽຄຌິ ຦ໃ ລຌ຋ໃ ຽີ ຎັຌວົຼຌ຦ະຈຄຶ   42  1 x   x  4  2   42  1 x  x  4 2  38  3 ຍາຈ x 2 ຃ຈິ ຽຎັຌວຼົ ຌ຦ະຈຄຶ ແຈໄ  4  38  3 x  152  6x ວົຼຌ  2 ຽມໃ ຨື ຌຍັ ວົຼຌຽຍໃ ຄິ ຾຤ລໄ ມວີ ົາງກລໃ າ 79 ວົຼຌ ຾ຉໃ ຍໃ ຽໍ ຊຄິ 93 ວົຼຌ ຂຼຌຽຎັຌຨະ຦ມ຺ ຏຌ຺ ແຈຈໄ ໃ ຄັ ຌີໄ 79  x  x  4  152  6x  93 79  x  x  4  152  6x  93 79  156 4x  93  77   4x   63 ຃ູຌ - 1 ຽຂາ຺ໄ ຅ະແຈໄ 77  4x  63 63  4x  77 ວາຌ 4 ຋ຄັ ໝຈ຺ ຅ະແຈ:ໄ 15 3  x  19 1 44 ຽຎັຌວົຼຌ຦ຨຄ຦ະຈຄຶ ວົາງກລໃ າ 15 ວົຼຌ ຾ຉໃ ຍໃ ໍຽກຌີ 19 ວົຼຌ ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ 29. ຅າກຍຈ຺ ຽ຤ກ A , B ຢໃ ູຽ຦ຌັໄ ຆໃ ື 2 x  y  4 ຿ຈງ OA  OB ຾຤ະ OAB ຽຎັຌມຸມ຦າກ 23

ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , Aˆ  Bˆ  45 ຅າກວົກັ ກາຌ ແ຤ໃ ງະວໃ າຄ຤ະວລໃ າຄຽມຈັ P x1 , y1 ວາຽ຦ຌັໄ ຆໃ ື a x  by  c  0 ຾ມໃ ຌ a x1  b y1  c a2  b2 ແ຤ໃ ງະວໃ າຄ຤ະວລໃ າຄຽມຈັ 0 , 0 ວາຽ຦ຌັໄ ຆໃ ື 2 x  y  4 ຾ມໃ ຌ 0  0  4  4 22  12 5 ຅າກຩູຍ OC ຉຄັໄ ຦າກກຍັ AB ຽຩຈັ ເວໄ OAˆC  OBˆC  Aˆ  Bˆ  45 ຦ະ຾ຈຄລໃ າ AC  BC  OC  4 5 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຽຌຨືໄ ຋ຂີ ຨຄຩູຍ຦າມ຾຅ OAB  1  AB  OC 2  1  2OC  OC 2  OC2   4 2  16  3.2  5 5 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ 30. ເຌຩູຍ຦າມ຾຅຦າກ ABD ແຈ:ໄ BD2  AB2  AD2 BD2  102  242 BD2  100  576 BD2  676 BD  26 BC : CD  3 : 1  3 x : x BD  3 x  x  4 x 4 x  26 x  26  6.5 4 ຽຌຨືໄ ຋ຂີ ຨຄຩູຍ຦າມ຾຅ ABD  1  AB  AD 2 ABD  1  10  24 2 ABD  120 ຂຈີ AE ຉຄັໄ ຦າກກຍັ BD ຋ໃ ຽີ ມຈັ E ຽຌຨືໄ ຋ຂີ ຨຄຩູຍ຦າມ຾຅ ABD  1  BD  AE 2 120  1  BD  AE 2 24

120  1  26  AE 2 AE  120  2  120 26 13 ຽຌຨືໄ ຋ຂີ ຨຄຩູຍ຦າມ຾຅ ACD  1  CD  AE 2  1  6.5  120 2 13  30 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 31. ຍໃ ຨຌ຋ໃ ມີ ຩີ ູຽ຃ໃ ຄິ ກາຄຂຨຄຩູຍ ມຍີ ໍ຤ມິ າຈຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ  1  1  4  4 cm3 ຍ຤ໍ ມິ າຈຂຨຄຩູຍ຋າຈ຤ໃ ຼມ຋ໃ ຉີ ໃ ໍເໝໃ PGHEF  1  33  h cm3 3 ຍ຤ໍ ມິ າຈຂຨຄຩູຍ຋າຈ຤ໃ ຼມ຋ຄັ ໝຈ຺ PDABC  1  63  h  4 cm3 3 ຍໍ຤ມິ າຈຂຨຄຩູຍ຋າຈ຤ໃ ຼມກຸຈ  1  63 h  4  1 32 h  4 33  9 h  44 cm3 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 32. ຂຈີ OF ຉຄັໄ ຦າກກຍັ CD ຋ໃ ຽີ ມຈັ F ເວໄ CD  y ຃ລາມ຦ໍາຑຌັ ຤ະວລໃ າຄຽ຦ຌັໄ ຉຈິ ກຍັ ຽ຦ຌັໄ ຉຈັ ລຄັ ມຌ຺ ຅ະແຈ:ໄ AB2  AC . AE 62  y  64 36  4y  6 y6  9 y3 CE  y  2  3  2  5 CF  FE  5 2 FD  5  2  1 22 ເຌຩູຍ຦າມ຾຅຦າກ DOF 25

OD2  OF2  FD2 OF2  OD2  FD2 OF 2  22   1 2 2 OF 2  4  1  16  1  15 44 4 OF 2  15 ... 1 4 ເຌຩູຍ຦າມ຾຅຦າກ COD r 2  OF2  CF 2 r2  15   5 2  15  25  40  10 4 2 4 4 4 r  10 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 33. 1). 1ˆ  15 OA  OC ( ຏຌ຺ ຍລກມຸມເຌຂຨຄຩູຍ຦າມ຾຅ຽ຋ໃ າ຺ 180 ) 2). 1ˆ  15  AOˆC  180 ( ມຸມ຋ໃ ຩີ ໃ ລມ຋ໃ ຨຌກຄ຺ ຈຼລກຌັ ຽ຋ໃ າ຺ ຽ຃ໃ ຄິ ໜໃ ຄຶ ຂຨຄມຸມເ຅ກາຄ ) 15  15  AOˆC  180 ( ເຌຩູຍ຦າມ຾຅ເຈໜໃ ຄຶ ຊາໄ ຉໃ ໍຂາໄ ຄເຈຂາໄ ຄໜໃ ຄຶ ຂຨຄຩູຍ຦າມ຾຅ຨຨກແຎ AOˆC  150 ມຸມຑາງຌຨກ຋ໃ ຽີ ກຈີ ຂຌຶໄ ຅ະຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຏຌ຺ ຍລກຂຨຄມຸມຑາງເຌ຋ໃ ຍີ ໃ ໍ 3). ABˆC  75 4). ABˆC  2ˆ  AQˆB 75  2ˆ  15 ຾ມໃ ຌມຸມຉຈິ ກຌັ ) 2ˆ  60 5). 2ˆ  3ˆ  60 ( ມຸມ຋ໃ ຽີ ກຈີ ຅າກຽ຦ຌັໄ ຉຈິ ກຍັ ຽ຦ຌັໄ ເຌລຄ຺ ມຌ຺ ຅ະຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ມຸມເຌ຦ໃ ລຌ຿຃ຄໄ ຂຨຄ ລຄ຺ ມຌ຺ ຋ໃ ຢີ ໃ ູກຄ຺ ກຌັ ຂາໄ ມ ) 6). AQˆB  APˆQ  QAˆ P  180 ( ຃ກື ຍັ ຂໍໄ 2 ) 15  35  QAˆ P  180 QAˆ P  130 QAˆ P  2ˆ  BAˆ P 130  60  BAˆ P BAˆ P  70 7). ABˆD  BAˆP  3ˆ  180 ( ຃ກື ຍັ ຂໍໄ 2 ) ABˆD  70  60  180 ABˆD  50 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 26

34. ABC ຽຎັຌຩູຍ຦າມ຾຅຋ມີ ີ AB  BC ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ABC ຽຎັຌຩູຍ຦າມ຾຅຋ຼຄ ຾຤ະ ມຸມ DAˆ F  ECˆF 1). DE // FC ຽຩຈັ ເວມໄ ຸມ EDˆ F  DFˆA  90 2). DEˆF  ADˆ F ຑ຅ິ າ຤ະຌາຩູຍ຦າມ຾຅ ADF ຾຤ະ ຩູຍ຦າມ຾຅ CEF ມ:ີ 2.1). AFˆD  CEˆF  90 ຑ຅ິ າ຤ະຌາ 2.2). DAˆ F  ECˆF ຽຎັຌມຸມຽກໃ າ຺ ຂຨຄຩູຍ຦າມ຾຅຋ຼຄ BAC 2.3). ADˆ F  CFˆE ຾ຉໃ ມຸມ CFˆE  DEˆF ຽຑາະລໃ າ DE // AC ADˆ F  DEˆF 3). DBˆE  ECˆF ຅າກ຃ຸຌ຤ກັ ຦ະຌະຂຨຄຩູຍ຦າມ຾຅຋ຼຄ ABC ມຂີ າໄ ຄ AB  BC ຾຤ະ ມີ 2 ມຸມ ຽ຋ໃ າ຺ ກຌັ DAˆF  ECˆF ຽຎັຌ຦ຨຄມຸມຽ຋ໃ າ຺ ກຌັ ຾ຉໃ ມຸມ DBˆF ຽຎັຌມຸມ຅ຨມຂຨຄຩູຍ຦າມ຾຅, DBˆF  ECˆF (຅ະຽ຋ໃ າ຺ ກຌັ ກຉໍ ໃ ຽໍ ມໃ ຨື ABC ຽຎັຌຩູຍ຦າມ຾຅຦ະຽໝ)ີ 4). BDˆ E  DFˆE ຑ຅ິ າ຤ະຌາ຅າກຩູຍ຦າມ຾຅ AFD ຾຤ະ ຩູຍ຦າມ຾຅ FDE ມີ 4.1). AFˆD  FDˆ E  90 ຑ຅ິ າ຤ະຌາ 4.2). ADˆ F  DEˆF ຅າກຂໍໄ 2 FAˆ D  DFˆE ຾ຉໃ ມຸມ BDˆ E  FAˆ D ຽຎັຌມຸມ຦ະວົຍັ ເຌ຋ໃ ີ DE // AC BDˆ E  DFˆE ຾ຉໃ ມຸມ ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 35. ເຌຽ຤ໃ ຨື ຄຂຨຄຽ຤ຂາ຃ະຌຈິ ວາກມກີ າຌ຦າໄ ຄຽຑໃ ມີ ຽຉມີ ແຈ຅ໄ ະຆໃ ລງເວກໄ າຌ຃ໍາຌລຌຄໃາງຂຌຶໄ ຂຈີ GH , IJ , KL ຩູຍ຦າມ຾຅຋ໃ ມີ ຉີ ລ຺ ຽ຤ກກາໍ ກຍັ ຋ຄັ ໝຈ຺ 18 ຩູຍ ຅ະມຽີ ຌຨືໄ ຋ຽີ ຋ໃ າ຺ ກຌັ ໝຈ຺ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຨຈັ ຉາ຦ລຌຽຌຨືໄ ຋ຑີ າກ຦ໃ ລຌ຋ໃ ຋ີ າ຦ຉີ ໃ ຽໍ ຌຨືໄ ຋ຩີ ູຍວກ຺ ຾຅ ABCDEF  1 : 3 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 36. ຅າກຩູຍຂຈີ OC  AB ຢໃ ູຽມຈັ C ຂຈີ OB ເວໄ OT  PC  r 27

BC  CA  t , OC  PT  y ເຌຩູຍ຦າມ຾຅຦າກ BOC : r2  t2  y2 ກາໍ ຌຈ຺ ເວ ໄ PA2  PB2  2 PT 2  X OT 2 a  2t2  a2  2 y2  X r2 a2  4at  4t 2  a2  2 y2  X r2 2a2  4at  4t 2  2 y2  X r2  2a2  4at  2t2  2t2  2 y2  X r2    2 a2  2at  t2  2 t2  y2  X r2 2a  t2  2r2  X r2 2r2  2r2  X r2 4r 2  X r 2 X  4r2 r2 X 4 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ 37. ຅າກຩູຍ OA ຾຤ະ OC ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , 1ˆ  2ˆ ຾຤ະ 3ˆ  4ˆ ຾ຉໃ 2ˆ  5ˆ ຾຤ະ 1ˆ  5ˆ ຃ກື ຌັ ຽຩຈັ ເວໄ MO  MA ເຌ຋ໍາຌຨຄຈຼລກຌັ ຽຩາ຺ ຦າມາຈຑ຦ິ ູຈແຈລໄ ໃ າ NO  NC ຽຆຌັ ກຌັ BA  BC  17  15 BM  MA  BN  NC  32 BM  MO  BN  NO  32 ຤ລຄຩຨຍຂຨຄຩູຍ຦າມ຾຅ BMN  32 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 38. ຾ຍກ໋ຨຄເ຦ຨຨກ, P ຽຎັຌຉໍາ຾ໜໃ ຄຂຨຄ຾ມຄມຸມ , Q ຽຎັຌຉໍາ຾ໜໃ ຄຂຨຄ຾ມຄລຌັ , ແ຤ງະ຦ຌັໄ ຋຦ີ ຸຈ຤ະວລໃ າຄ ຾ມຄມຸມກຍັ ຾ມຄລຌັ ຽມໃ ຨື ຾ຍກ໋ຨຄເ຦ຨຨກມາ ຃:ື ຽ຦ຌັໄ ຆໃ ື PQ ເຌຩູຍ຦າມ຾຅຦າກ PQR ຅ະແຈລໄ ໃ າ PR  8  2  1  5 cm QR  10  2  12 cm PQ2  PR2  QR2 PQ2  52  122  25  144  169 PQ  13 cm 28

ແ຤ງະ຦ຌັໄ ຋຦ີ ຸຈຽ຋ຄິ ກ໋ຨຄເ຦຅າກ຾ມຄມຸມຽຊຄິ ຾ມຄລຌັ ຾ມໃ ຌ 13 cm ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 39. ຅າໍ ຌລຌຽ຦ຌັໄ ຽຌໃ ຄັ ຅ຨມ຋ໃ ຂີ ຈີ ຅າກ຅ຨມເຈໜໃ ຄຶ ຅ະໜຨໄ ງກລໃ າຂາໄ ຄຂຨຄຩູຍວົາງ຾຅ຢໃ ູ 3 ຉະວຨົ ຈ ຽຆໃ ຌັ : ຩູຍ຦ໃ ຾ີ ຅຅ະຂຈີ ຅າກ A ແຈໄ 1 ຽ຦ຌັໄ (1  4 ຢໃ ູ 3 ), ຩູຍວາໄ ຾຅຅ະຂຈີ ຅າກ A ແຈໄ 2 ຽ຦ຌັໄ ( 2  5 ຢໃ ູ 3 ) ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຊາໄ ຂຈີ ຽ຦ຌັໄ ຽຌໃ ຄັ ຅ຨມ຅າກ຅ຨມເຈໜໃ ຄຶ ແຈໄ 101 ຽ຦ຌັໄ ຩູຍວົາງ຾຅ຌຌັໄ ຅ະມຂີ າໄ ຄ  101  3  104 ຂາໄ ຄ ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ 40. ຂຈີ DE ເວໄ AB  BC  CD  BD  AD  CA  2 x ,  ABC ຽຎັຌຩູຍ຦າມ຾຅຋ຼຄ AE ຾ຍໃ ຄຽ຃ໃ ຄິ BC , BE  EC  x , ຅າກ  ABE , AE  2x2  x2  3 x ຾ຉໃ BCD , ຽຎັຌຩູຍ຦າມ຾຅຋ຼຄ ຾຤ະ DE  AE  3 x , ຽຩຈັ ເວໄ ADE ຽຎັຌຩູຍ຦າມ຾຅຋ຼຄ, ຂຈີ EF  AD ຽຩຈັ ເວໄ DF  FA  x , ຅າກ  AEF , cos y  AF  x 1 AE 3x 3 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 41. ເວ຦ໄ ຑີ າງຑາງຽຩຨື ແຈຆໄ ໃ ລ຺ ຿ມຄ຤ະ x kmເຌຌາໍໄ ຌຄິໄ , ກະ຾຦ຌາໍໄ ແວົຆໃ ລ຺ ຿ມຄ຤ະ y km  ຑາງຽຩຨື ຉາມຌາໍໄ 1 ຆໃ ລ຺ ຿ມຄແຈ຋ໄ າຄ x  y km ຑາງຽຩຨື ກຍັ (ຎີຌໄ ກຍັ ຋ຈິ ຌາໍໄ ແວົ) 1 ຆໃ ລ຺ ຿ມຄແຈ຋ໄ າຄ x  y km  ຑາງຽຩຨື ຉາມຌາໍໄ ແຈ຋ໄ າຄ x  y km ເຌຽລ຤າ 1 ຆໃ ລ຺ ຿ມຄ ຑາງຽຩຨື ຉາມຌາໍໄ ແຈ຋ໄ າຄ 48 km ເຌຽລ຤າ 48 ຆໃ ລ຺ ຿ມຄ x y ຑາງຽຩຨື ຉາມຌາໍໄ ແຈ຋ໄ າຄ 4 km ເຌຽລ຤າ 4 ຆໃ ລ຺ ຿ມຄ x y ຑາງຽຩຨື ກຍັ (ຎີຌໄ ກຍັ ຋ຈິ ຌາໍໄ ແວົ)ແຈ຋ໄ າຄ x  y km ເຌຽລ຤າ 1 ຆໃ ລ຺ ຿ມຄ ຑາງຽຩຨື ກຍັ (ຎີຌໄ ກຍັ ຋ຈິ ຌາໍໄ ແວົ)ແຈ຋ໄ າຄ 48 km ເຌຽລ຤າ 48 ຆໃ ລ຺ ຿ມຄ x y ຑາງຽຩຨື ກຍັ (ຎີຌໄ ກຍັ ຋ຈິ ຌາໍໄ ແວົ)ແຈ຋ໄ າຄ 3 km ເຌຽລ຤າ 3 ຆໃ ລ຺ ຿ມຄ x y 29

 ຑາງຽຩຨື ຉາມຌາໍໄ ຾຤ະ ກຍັ ຃ຌື ຍໃ ຨຌຽກໃ າ຺ ກຌິ ຽລ຤າ 14 ຆໃ ລ຺ ຿ມຄ ... 1 48  48  14 xy xy 4 3 ... 2 xy xy ຅າກ (2) 4x  4y  3x  3y x  7y ຾຋ຌ຃ໃ າ x  7y ເ຦ໃ (1) ຅ະແຈ ໄ 48  48  14 8y 6y 6  8  14 yy 14  14 y y 1 ຦ະ຾ຈຄລໃ າກະ຾຦ຌາໍໄ ແວຆົ ໃ ລ຺ ຿ມຄ຤ະ 1 km ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 42. 1). ຃ໃ າ຦ະຽ຤ໃ ງຽ຤ກ຃ະຌຈິ ຂຨຄ a , b , c , d , e  x ຃ໃ າ຦ະຽ຤ໃ ງຽ຤ກ຃ະຌຈິ ຂຨຄ a  k , b  2k , c  k , d  2k , e  ak  b  2k  c  k  d  2k e  abcd e  x ຽຆຌັ ກຌັ 5 5 ຃ໃ າ຦ະຽ຤ໃ ງຽ຤ກ຃ະຌຈິ ຂຨຄ a  k , b  2k , c  k , d  2k , e ຾ມໃ ຌ x ຊກື ຾຤ລໄ 2). ຊາໄ ຃ໃ າ຦ະຽ຤ໃ ງຽ຤ກ຃ະຌຈິ ຂຨຄ 10 , 10 , 12 , 15 , 16 , 18 , b , b , b ຾ມໃ ຌ b  3 ຾຤ລໄ ຃ໃ າມຈັ ຋ະ ງະຊາຌ ຾ມໃ ຌ 16 ຆຨກວາ຃ໃ າ຦ະຽ຤ໃ ງຽ຤ກ຃ະຌຈິ ແຈຈໄ ໃ ຄັ ຤ໃ ຸມຌ:ີໄ b  3  10  10  12  15  16  18  b  b  b 9 9b  27  81  3b 9b  3b  81  27 6b  54 b  54 6 b9 ຅ຈັ ຤ຼຄຂມໍໄ ຌູ ເໝໃ ຅າກຌຨໄ ງແຎວາວົາງແຈຈໄ ໃ ຄັ ຉໃແໍ ຎຌີໄ 9 , 9 , 9 , 10 , 10 , 12 , 15 , 16 , 18 ຃ໃ າມຈັ ຋ະງະຊາຌຂຨຄຂໍມໄ ູຌ຾ມໃ ຌ 10 ຃ໍາຉຨຍຂໍໄ 2 ຏຈິ ຂ຦ໍໄ ະວຸຍົ ຋ໃ ຊີ ກື ຉຨໄ ຄ຃ຂື ໍໄ 1 ຊກື ຑຼຄຂໍຈໄ ຼຄ ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 43. ຅າກ຦ູຈ X  X N 58   X ... 1 N ວົື  X  58 N 30

ຽຑໃ ມີ ຃ະ຾ຌຌ 3 ຤າງກາຌ຃:ື 40, 43, 51 ... 2 54   X  40  43  51 N 3 54N  162   X  134  X  54 N  28 ຽຨາ຺ 1  2 ຅ະແຈໄ   X 58 N  54 N  28 N 7 ຅າໍ ຌລຌຂໍມໄ ຌູ ຋ໍາຨຈິ ມີ 7 ຤າງກາຌ ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 44. ຅າກຂມໍໄ ູຌຉາຉະ຤າຄ຋ໃ ກີ າໍ ຌຈ຺ ຆໃ ລຄ຃ະ຾ຌຌ ຃ລາມຊໃ ີ  fi  ຅ຈຸ ຽ຃ໃ ຄິ ກາຄຆຌັໄ xi  fi xi 04 4  28 59 4 2 5  7  35 5 7 x  12  12x 10  14 x 12 15  19 7 17 7  17  119 N  x  16  fi xi  12x  162 ຃ໃ າ຦ະຽ຤ໃ ງຽ຤ກ຃ະຌຈິ ແຈ຅ໄ າກ: X  fi xi N X  12x 162  11 x  16 12x 162  11x  176 12x 11x  176  162 x  14 ຌກັ ຩຼຌ຋ໃ ຦ີ ຨຍແຈ຃ໄ ະ຾ຌຌເຌຆໃ ລຄ 10 – 14 ຃ະ຾ຌຌ ມ຅ີ າໍ ຌລຌ 14 ຃ຌ຺  ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 45. ເວກໄ ະ຾຅຋ຄັ ຦ໃ ໜີ ໃ ລງ຾ມໃ ຌ A , B , C , D ຾຤ະ a , b , c , d ຾ມໃ ຌ຤ກູ ກະ຾຅ຉາມ຤າໍ ຈຍັ ຤ູກ ຾ມໃ a , b a , c a , d b , c b , d c , d A, B  A,C  A, D  B,C  B,D  C,D  ຅ະແຈໄ ns  36 ຾຤ະ nE  6 nE ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , PE  nS   6  1 36 6 31

຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຄ 46. ເຌລຄ຺ ມຌ຺ ຋ຄັ ໝຈ຺ ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌຆາລຍາໄ ຌ຋ຄັ ໝຈ຺ ຃:ື 756 ຃ຌ຺ ຾຤ະ ຍ຤ໍ ຽິ ລຌ A ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌຆາລຍາໄ ຌ຋ໃ ຦ີ ະໜຍັ ຦ະໜຌູ ກຈິ ຅ະກາໍ ຋າໍ ຨຈິ (476 ຃ຌ຺ ) ຾຤ະ ຍ຤ໍ ຽິ ລຌ B ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌຆາລຍາໄ ຌ຋ໃ ຦ີ ະໜຍັ ຦ະໜຌູ ກຈິ ຅ະກາໍ ຋ີ 2 (294 ຃ຌ຺ ) ຅າກຌ຅ີໄ ະຽວຌັ ລໃ າ ຦ໃ ລຌຂຨຄ A ຽຽ຤ະ B ຋ຍັ ຆຨໄ ຌກຌັ ກ຃ໍ ື ຅າໍ ຌລຌຂຨຄຏູ຋ໄ ໃ ຦ີ ະໜຍັ ຦ະໜຌູ ຋ຄັ ຦ຨຄກຈິ ຅ະກາໍ ຾຤ະ ຦ໃ ລຌ C ຾ມໃ ຌ຅າໍ ຌລຌຏູ຋ໄ ໃ ຃ີ ຈັ ຃າໄ ຌ຋ຄັ ຦ຨຄກຈິ ຅ະກາໍ (169 ຃ຌ຺ ) ຽຨາ຺ A  B  C ຅ະຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 476  294  169  939 ຽຆໃ ຄິ ເຌ຅າໍ ຌລຌຌ຅ີໄ ະຽວຌັ ລໃ າຽຩາ຺ ແຈຌໄ ຍັ ຦ໃ ລຌຂຨຄ A ຾຤ະ B ຋ຍັ ຆຨໄ ຌກຌັ ຦ຨຄ຃ຄັໄ ຽຑາະ຦ະຌຌັໄ , ຊາໄ ຤ຍ຺ ຨຨກ ຈລໄ ງຎະຆາກຨຌ຋ຄັ ໝຈ຺ (756 ຃ຌ຺ ) ກ຅ໍ ະແຈ຃ໄ ໃ າ຦ໃ ລຌຂຨຄ A ຾຤ະ B ຋ຍັ ກຌັ ຌີໄ ຏູ຋ໄ ໃ ຦ີ ະໜຍັ ຦ະໜຌູ ຋ຄັ ຦ຨຄກຈິ  939  756  183 ຃ຌ຺ ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 47. ເວໄ H  ຾ມໃ ຌວົຼຌຨຨກວລ຺ , T  ຾ມໃ ຌວົຼຌຨຨກກຨໄ ງ ຽມໃ ຨື ຿ງຌວົຼຌຎະມາຌ 3 ຃ຄັໄ ກ຅ໍ ະແຈ຃ໄ າໍ ຉຨຍຈໃ ຄັ ຌີໄ ຅າໍ ຌລຌ຃ຄັໄ ຏຌ຺ ຂຨຄກາຌ຿ງຌ຋ໃ ຽີ ຎັຌແຎແຈໄ ຅າໍ ຌລຌຩູຍ ຅າໍ ຌລຌ຃ຄັໄ ຋ໃ ວີ ົຼຌຨຨກ ຋ໃ ຿ີ ງຌວົຼຌ ຾ຍຍ ວລ຺ ວົາງກລໃ າກຨໄ ງ H ,T 2  21 0 1 HH , HT , TH , TT 1 2 HHH , HHT , HTH , HTT 4  22 THH , THT , TTH , TTT 4 3 8  23 ຽຌໃ ຨື ຄ຅າກເຌກາຌ຿ງຌ຾ຉໃ ຤ະ຃ຄັໄ ວຼົ ຌ (຋ໃ ຦ີ ະໝໃ າໍ ຦ະຽໝ)ີ ມ຿ີ ຨກາຈຨຨກວລ຺ ວົື ກຨໄ ງຽ຋ໃ າ຺ ໂກຌັ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຍໃ ໍ ລໃ າຍຈ຺ ຽ຤ກ຅ະຊາມ຅າໍ ຌລຌ຃ຄັໄ ຋ໃ ວີ ົຼຌຨຨກວລ຺ ວົາງກລໃ າຨຨກກຨໄ ງ ວົື ຅າໍ ຌລຌ຃ຄັໄ ຋ໃ ວີ ຼົ ຌຨຨກກຨໄ ງວົາງກລໃ າ ຨຨກວລ຺ ກ຅ໍ ະແຈ຃ໄ ໍາຉຨຍຈຼລກຌັ ຾຤ະ ຅າໍ ຌລຌຩູຍ຾ຍຍ຋ໃ ຽີ ຎັຌແຎແຈຽໄ ມໃ ຨື ຿ງຌ n ຃ຄັໄ ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 2n ຩູຍ຾ຍຍ ຑ຅ິ າ຤ະຌາຽມໃ ຨື n ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌ຃ໃ ູ ຅ະມ຿ີ ຨກາຈ຋ໃ ວີ ົຼຌຨຨກວລ຺ ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຨຨກກຨໄ ງຽຆໃ ຌັ : ຊາໄ ຿ງຌ 2 ຃ຄັໄ ຩູຍ ຾ຍຍ H , T ຾຤ະ ຩູຍ຾ຍຍ TH ຽຎັຌ ຩູຍ຾ຍຍ຋ໃ ວີ ຼົ ຌຨຨກວລ຺ ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຨຨກກຨໄ ງ, ຦ໃ ລຌຩູຍ຾ຍຍຨໃ ຌື ໂ ຅ະ ຽຎັຌກ຤ໍ ະຌວີ ຼົ ຌຨຨກວລ຺ (ກຨໄ ງ) ວົາງກລໃ າຨຨກກຨໄ ງ (ວລ຺ ) ຑ຅ິ າ຤ະຌາຽມໃ ຨື n ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌ຃ກິ ຅ະຍໃ ມໍ ຿ີ ຨກາຈ຋ໃ ວີ ຼົ ຌຨຨກວລ຺ ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຨຨກກຨໄ ງ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຅າໍ ຌລຌ຃ຄັໄ ຋ໃ ວີ ຼົ ຌຨຨກວລ຺ (ກຨໄ ງ) ວາົ ງກລໃ າຨຨກກຨໄ ງ (ວລ຺ ) ຅ໃ ຄິ ຽຎັຌ 1 ຂຨຄ຅າໍ ຌລຌຩູຍ຾ຍຍ຋ຄັ ໝຈ຺ (ງກ຺ ຽລຌັໄ ຽມໃ ຨື 2  n  1) ຽຆໃ ຌັ : ຽມໃ ຨື n  3 ແຈໄ 4 ຃ຄັໄ  4  1 23  1  8 2 2  ຽມໃ ຨື n  9 ແຈໄ  1 29  1  512  256 ຃ຄັໄ 2 2  ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ກ 32

48. ຦ຄັ ຽກຈຽຍໃ ຄິ ຅ະຽວຌັ ລໃ າ ຽມໃ ຨື ຾ຍໃ ຄ຦ໃ ຾ີ ຅ຈລໄ ງຽ຦ຌັໄ n ຽ຦ຌັໄ ຅ະມຩີ ູຍ຦ໃ ຾ີ ຅຋ຄັ ໝຈ຺ S  1  2  ...  n  1 ຩູຍ ຽຆໃ ຌັ : ຈໃ ຄັ ກ຤ໍ ະຌ຤ີ ໃ ຸມຌີໄ a. n  0 , S  1 ຩູຍ b. n  1 , S  1  2  3 ຩູຍ c. n  2 , S  1  2  3  6 ຩູຍ ຦ະ຾ຈຄລໃ າ ເຌກ຤ໍ ະຌຂີ ຨຄ d  ຽຌໃ ຨື ຄ຅າກ n  3 ຽຑາະ຦ະຌຌັໄ , ຅າໍ ຌລຌຩູຍ຦ໃ ຾ີ ຅຋ຄັ ໝຈ຺ S  1  2  3  4  10 ຩູຍ ຦ໃ ລຌກ຤ໍ ະຌຂີ ຨຄ e ຽຩາ຺ ກ຦ໍ າມາຈ຃ຈິ ແ຤ໃ ແຈລໄ ໃ າ ຽຎັຌກ຤ໍ ະຌຂີ ຨຄກາຌ຾ຍໃ ຄ຋າຄຉຄັໄ ຎະ຦ມ຺ ກຍັ ຋າຄຂລາຄ ຽຌໃ ຨື ຄ຅າກ຾ຍໃ ຄ຋າຄຉຄັໄ n  3 ຦ະ຾ຈຄລໃ າ S (຋າຄຉຄັໄ )  10 ຩູຍ ຾຤ະ ຽຌໃ ຨື ຄ຅າກກາຌ຾ຍໃ ຄ຋າຄຂລາຄ n  2 ຦ະ຾ຈຄລໃ າ S (຋າຄຂລາຄ)  6 ຩູຍ ຦ະຌຌັໄ , ຦ໃ ຾ີ ຅຋ໃ ຽີ ກຈີ ຅າກກາຌ຾ຍໃ ຄ຋າຄຉຄັໄ ຾຤ະ ຋າຄຂລາຄຑຨໄ ມກຌັ ຾ມໃ ຌຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ  10  6  60 ຩູຍ ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 33

຃າໍ ຊາມຆຸຈ຋ີ 2 ໝາງຽວຈ: ຅ໃ ຄ຺ ຽ຤ຨື ກ຃າໍ ຉຨຍ຋ໃ ຊີ ກື ຉຨໄ ຄ຋຦ີ ຸຈ 1. ຅າໍ ຌລຌ຋ໍາມະຆາຈ 5 ຅າໍ ຌລຌຉໃ າຄກຌັ ຾ຉໃ ຤ະ຃ໃ ຂູ ຨຄ຅າໍ ຌລຌຈໃ ຄັ ກໃ າລຉໃ າຄກຌັ ຢໃ ູ 2, 4, 6 ວົື 8 ຾຤ະ ເຌ 5 ຅າໍ ຌລຌຌຌັໄ ມຑີ ຼຄ 2 ຅າໍ ຌລຌ຋ໃ ມີ ຽີ ຤ກວກົັ ຈຼລ ຊາໄ ຏຌ຺ ຃ູຌຂຨຄ຅າໍ ຌລຌ຋ຄັ 5 ວາຌຈລໄ ງ 11 ຂາຈ ຾຤ລໄ ຏຌ຺ ຃ຌູ ຌຌັໄ ມ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ກ. 80640 ຂ. 135135 ຃. 153153 ຄ. 765765 2. ມ຤ີ ະ຃ຄັ 3 ຤ະ຃ຄັ , ຤ະ຃ຄັ ຋ີ 1 ຉ຋ີ ຸກໂ 3 ຌາ຋,ີ ຤ະ຃ຄັ ຋ີ 2 ຉ຋ີ ຸກໂ 30 ຌາ຋ີ ຾຤ະ ຤ະ຃ຄັ ຋ີ 3 ຉ຋ີ ຸກໂ 7 60 ຌາ຋ີ ຊາໄ ຤ະ຃ຄັ ຽ຤ໃ ມີ ຉຑີ ຨໄ ມກຌັ ຽລ຤າ 8:00 ຌາ຋ີ ຾຤ະ ຅ະຉຑີ ຨໄ ມກຌັ ຨກີ ຃ຄັໄ ຽລ຤າເຈ 7 ກ. 8:30 ຌາ຋ີ ຂ. 8:45 ຌາ຋ີ ຃. 9:00 ຌາ຋ີ ຄ. 9:25 ຌາ຋ີ 3. ຊາໄ 1 1 1 1 ຦າມາຈຂຼຌເຌຩູຍ຾ຍຍ 2 a ຃ໃ າຂຨຄ a  b  1ມ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈ 22 . 44 . 88 . ... . 10241024 2b ກ.  250 ຂ.  252 ຃.  254 ຄ.  256 11 11 11 11 ຾ມໃ ຌຂເໍໄ ຈ 2 3 4 5 6 7 2552 2553 4. ຃ໃ າຂຨຄ 1 1  1 1  1 1  ...  11    2553 2554 3456 78 ກ. 1000 ຂ. 1277 ຃. 2549 ຄ. 2550 5. ຊາໄ P  44423836  36 ຾຤ະ Q  B  A ຽມໃ ຨື A ຽຎັຌຽ຤ກ຦ໃ ລຌຢໃ າຄຉໃ ໍາ຋ໃແີ ຈ຅ໄ າກ B A 1 1  1  1  1  1 ຃ໃ າຂຨຄ PQ ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຽ຋ໃ າ຺ ເຈ B 2 3 4 5 6 ກ. 1531 ຂ. 1557 ຃. 1613 ຄ. 1657 6. ຃ໃ າຂຨຄ  1 1  1  ...  1 2 ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈ  2 1 3 2 4 3 16    15  ກ. 5 ຂ. 7 ຃. 9 ຄ. 11 7. ຊາໄ x  y  z ຃ໃ າຂຨຄ 5x2  8y2  7 z2 ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈ 123 ກ. 5x ຂ. 5y 34

຃. 5z ຄ. 6x 8. ຂເໍໄ ຈຽຎັຌ຃ໍາຉຨຍຂຨຄຨະ຦ມ຺ ຏຌ຺ x  6  x  6 ຾ມໃ ຌຂເໍໄ ຈ ກ. 6 ຂ. x  0 ຃. x  0 ຄ. ຅າໍ ຌລຌ຅ຄິ ເຈໜໃ ຄຶ 9. ຊາໄ a 1 2 ຾຤ະ ab  b a  1  6 ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາ b3  1 a a b ab b3 ກ. 2 ຂ. 14 ຃. 18 ຄ. 36 10. ກາໍ ຌຈ຺ ເວໄ x  y  xy ຽມໃ ຨື x 0 ຾຤ະ y  0 , a  0 , b  0 ຾຤ະ c  0 ຾຤ລໄ x y a  b c ຃ຂື ເໍໄ ຈ ກ. abc ຂ. abc abc 2a  2b  2c ຃. abc ຄ. abc ab  ac  bc a2b  b2c  c2a 11. ຊາໄ n ຽຎັຌ຦ໍາຎະ຦ຈິ ຂຨຄ x3 ຂຨຄຏຌ຺ ຃ຌູ 5x3  2x2  7x  8 ກຍັ 2x3  4x2  10x  6 ຃ໃ າ ຂຨຄ 2n  4  2  2n  n ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ 2n  2  4 2 ກ. 13 7 ຂ. 13 7 16 12 ຃. 11 7 ຄ. 11 7 8 12 12. ຃ໃ າຂຨຄຂໍເໄ ຈມ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 1  x x2  x 1 x 1 x ກ. 0 ຂ. 1 ຃. 1  x ຄ. x  1 13. ຏຌ຺ ຍລກຂຨຄ຃ໍາຉຨຍຂຨຄ຦ມ຺ ຏຌ຺ x2010  3 x2009  4 x2008  12 x2007  0 ກ. 3 ຂ. 4 ຃. 12 ຄ. 19 a3  b3 111 14. b3 a3  a2 ab b2 ມ຃ີ ໃ າກຄ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ  a  b  a  b  1 11  b a  b a  ba ກ. a  b ຂ. b  a ຃. a  b ຄ. a b 15. ກາໍ ຌຈ຺ a , b , c ຾຤ະ d ຽຎັຌ຃າໍ ຉຨຍຂຨຄ຦ມ຺ ຏຌ຺ x  22  x  33  x  44  2 ຃ໃ າຂຨຄ 35

a2  b2  c2  d 2 ຽຎັຌຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ກ. 66 ຂ. 77 ຃. 88 ຄ. 99 16. ຊາໄ 1  1  1  ...  1  A ຾຤ະ 1  1  1  ...  1  B ຾຤ລໄ 23 50 51 52 53 100 1  1  1  ...  1 ມ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ເຈ 35 99 ກ. A  B ຂ. A  B 2 2 ຃. A B ຄ. A B 2 2  x y z  1  17. ກາໍ ຌຈ຺ ເວໄ x , y , z ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌ຅ຄິ ຍລກ຋ໃ ຦ີ ຨຈ຃ໃ ຨຄກຍັ ຤ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺  x  1  25 z    y  1  49 x ຊາໄ z 1  m ຽມໃ ຨື m, n ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌຊລໄ ຌຍລກ ຿ຈງ຋ໃ ີ ຨຸຎະ຃ຌູ ຩໃ ລມເວງໃ ຦ຸຈຂຨຄ m , n  1 y 2 ຾຤ລໄ ຃ໃ າຂຨຄ m  n ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ ກ. 325 ຂ. 331 ຃. 625 ຄ. 637 18. ຊາໄ  2  x  2 ຾຤ລໄ x2  4  x2 ມ຃ີ ໃ າຏຌ຺ ຉໃ າຄຂຨຄ຃ໃ າວົາງ຦ຸຈ ຾຤ະ ໜຨໄ ງ຦ຸຈ ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈ ກ. 3 ຂ. 7 2 4 ຃. 2 ຄ. 9 4 19. ກາໍ ຌຈ຺ ເວໄ px  x3  x2 qx  32x4  64x3  x2 ຾຤ະ rx ຾຋ຌກາໍ ຤ຄັ ຦ຨຄຂຨຄຏຌ຺ ຍລກຂຨຄຑະວຸຑຈ຺ ໜໃ ຄຶ ຋ໃ ຽີ ຎັຌ຦ໃ ລຌ຃ຌູ ຂຨຄຑະວຸຑຈ຺ 4x4  36x2  17 ຾຤ລໄ rx ຦ຨຈ຃ໃ ຨຄກຍັ ຂເໍໄ ຈ ກ. rx ຽຎັຌ຦ໃ ລຌ຃ຌູ ໜໃ ຄຶ ຂຨຄ px ຾຤ະ qx ຂ. rx ຽຎັຌ຦ໃ ລຌ຃ຌູ ໜໃ ຄຶ ຂຨຄ px ຾ຉໃ ຍໃ ຽໍ ຎັຌ຦ໃ ລຌ຃ຌູ ຂຨຄ qx ຃. rx ຽຎັຌ຦ໃ ລຌ຃ຌູ ໜໃ ຄຶ ຂຨຄ qx ຾ຉໃ ຍໃ ໍຽຎັຌ຦ໃ ລຌ຃ຌູ ຂຨຄ px ຄ. rx ຽຎັຌ຦ໃ ລຌ຃ຌູ ຋ຄັ ຂຨຄ px ຾຤ະ qx 20. ຊາໄ 0  x  1 ຾຤ລໄ 2 x  1  x ມ຃ີ ໃ າວົາງ຦ຸຈຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈຉໃ ໍແຎຌີໄ ກ. 5 ຂ. 9 12 4 36

຃. 17 ຄ. 33 8 16 21. ກາໍ ຌຈ຺ ຤ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ x2  y2  17 ຊາໄ a ,b, c , d ຽຎັຌ຃າໍ ຉຨຍຂຨຄ຤ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ ຋ໍາຨຈິ  x  y 5 a  b  c  d ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ ກ. 4 ຂ. 6 ຃. 8 ຄ. 10 22. ຦ມ຺ ຏຌ຺ x2  2x  k  3  0 ຃ໃ າ k ຅ະຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌຊລໄ ຌວົາງ຋ໃ ຦ີ ຸຈ ຽຆໃ ຄິ ຩາກ຦ມ຺ ຏຌ຺ ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌ ຅ຄິ ຃ຂື ໍເໄ ຈ ກ. 1 ຂ. 2 ຃. 3 ຄ. 4 23. ຽມໃ ຨື ວາຌຑະວຸຑຈ຺ 2x4  7x3  ax2  7x  b ຈລໄ ງ x  1 ຂາຈຑຈໍ ີ ຾຤ະ ແຈ຃ໄ ໍາຉຨຍຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 2x3  9x2  7x  b ຃ໃ າຂຨຄ a  b ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈ ກ.  3 ຂ. 1 ຃.  2 ຄ. 4 24. r ຅າກລຄ຺ ມຌ຺ 2 ລຄ຺ ຤ຈັ ຦ະໝີ 2 r ຾຤ະ r ຉາມ຤າໍ ຈຍັ ຊາໄ ຃ໃ າຂຨຄ r ຽຑໃ ມີ ຂຌຶໄ 20 % ຾຤ລໄ ຽຌຨືໄ ຋ຑີ າກ຦ໃ ລຌ ຋າ຦຅ີ ະຽຑໃ ມີ ຂຌຶໄ ຅ກັ ຽຎີຽຆຌັ ກ. 20 % ຂ. 24 % ຃. 40 % ຄ. 44 % 25. ຅າກຩູຍ X ຽຎັຌ຅ຈຸ ຽ຃ໃ ຄິ ກາຄ AB ຾຤ະ P ຽຎັຌ຅ຈຸ ຽ຃ໃ ຄິ ກາຄ AX , Y ຽຎັຌ຅ຈຸ ຽ຃ໃ ຄິ ກາຄ AC , Q ຽຎັຌ ຅ຈຸ ຽ຃ໃ ຄິ ກາຄ AY ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາຽຌຨືໄ ຋ຑີ າກ຦ໃ ລຌ຋ໃ ຋ີ າ຦ຉີ ໃ ຽໍ ຌຨືໄ ຋ຩີ ູຍ຦າມ຾຅ ABC ກ. 1 ຂ. 3 4 5 ຃. 3 ຄ. 5 16 16 37

26. ຅າກຩູຍ ຽຌຨືໄ ຋ຑີ າກ຦ໃ ລຌ຋ໃ ຋ີ າ຦ຽີ ຋ໃ າ຺ ຅ກັ m2 ຂ. 20 3 ກ. 10 3 ຄ. 40 3 ຃. 30 3 27. ຅າກຩູຍ BT ຾຤ະ AT ຽຎັຌຽ຦ຌັໄ ຉຈິ ລຄ຺ ມຌ຺ O ຋ໃ ຽີ ມຈັ B ຾຤ະ A ຉາມ຤າໍ ຈຍັ ມຸມ BTˆA  72 ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາຂະໜາຈຂຨຄມຸມ CDˆ B ກ. 32 ຂ. 40 ຃. 36 ຄ. 45 28. ຅າກຩູຍກາໍ ຌຈ຺ ເວໄ GC ຾຤ະ DH ຽຎັຌຽ຦ຌັໄ ຦ໍາຑຈັ ລຄ຺ ມຌ຺ ຋ໃ ມີ ຽີ ມຈັ A ຾຤ະ B ຉາມ຤ໍາຈຍັ DC ຉຈັ FAB ຋ໃ ຽີ ມຈັ E ຽຩຈັ ເວໄ FEˆD  160 ຾຤ະ BDˆ E  80 ຂະໜາຈຂຨຄ ACˆE ກຄ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈ ກ. 40 ຂ. 50 ຃. 60 ຄ. 70 29. ຅າກຩູຍ ຊາໄ AD : DB  3 : 1 ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາຨຈັ ຉາ຦ໃ ລຌຂຨຄ AF : FC ຽມໃ ຨື DF // BE ຾຤ະ DE // BC ກ. 3 : 2 ຂ. 4 : 3 ຃. 5 : 4 ຄ. 9 : 7 38

30. ຩູຍ຦າມ຾຅຦ະຽໝີ ABC ຽມຈັ D ຽຽ຤ະ ຽມຈັ E ຢໃ ູ຋ໃ ຨຌຆໃ ື AC ຽຽ຤ະ AB ຽຩຈັ ເວໄ CD  AE ຉໃ ໍ BD ຾຤ະ CE ຉຈັ ກຌັ ຢໃ ູຽມຈັ X ຾຤ລໄ ຂະໜາຈຂຨຄມຸມ BXˆC ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ ກ. 100 ຂ. 120 ຃. 125 ຄ. 135 31. ຅າກຩູຍ ຊາໄ ລຄ຺ ມຌ຺ O ຽຽ຤ະ ລຄ຺ ມຌ຺ P ຉຈັ ກຌັ ຋ໃ ຽີ ມຈັ E ຽຽ຤ະ C ຾຤ລໄ OBˆC ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈ ກ. 27 ຂ. 30 ຃. 42 ຄ. 45 32. ຽ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄຂໍເໄ ຈ຦ຨຈ຃ໃ ຨຄກຍັ ຦ມ຺ ຏຌ຺ ax  by  c  0 ຽມໃ ຨື a  0 , b  0 , c  0 ກ. ຂ. ຃. ຄ. 33. ຅າກຽ຦ຌັໄ ຦ະ຾ຈຄຂຨຄ຦ມ຺ ຏຌ຺ ຽ຦ຌັໄ ຆໃ ຋ື ໃ ລ຺ ແຎ຃ື ax  by  c  0 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຦ມ຺ ຏຌ຺ ຽ຦ຌັໄ ຆໃ ື L ເຌຩູຍມ຃ີ ໃ າ a , b ຽຽ຤ະ c ຉາມ຤າໍ ຈຍັ ກຄ຺ ກຍັ ຂເໍໄ ຈ ກ. a  3 , b   1 , c   6 ຂ. a  3 , b  1 , c   6 ຃. a   3 , b  1 , c   6 ຄ. a   3 , b   1 , c  6 34. ຊາໄ ຎາ຤າ຿ຍຌ y  ax2  bx  16 ຉຈັ ຾ກຌ x ຋ໃ ຽີ ມຈັ  4 , 0 ຽຽ຤ະ   2 , 0 ຾຤ລໄ ຽ຦ຌັໄ ຆໃ ື y  2x  8 ຉຈັ ຎາ຤າ຿ຍຌ຋ໃ ຽີ ມຈັ ເຈ 39

ກ.  1 ,  10 , 1 ,  6 ຂ. 4 , 0 ,   1 ,  10 ຃. 2 ,  4 ,   1 , 10 ຄ. 4 , 0 ,  2 ,  4 35. ຾ຍໃ ຄຽຄຌິ 3400 ຍາຈ ເວໄ ຋າໄ ລ ກ, ຂ ຾຤ະ ຃ ຿ຈງ຋ໃ ຋ີ ຸກໂຍາຈ຋ໃ ີ ຋າໄ ລ ກ ແຈຩໄ ຍັ ຋າໄ ລ ຂ ຅ະແຈຩໄ ຍັ 3 ຍາຈ ຾຤ະ ຋ຸກໂ 2 ຍາຈ ຋ໃ ີ ຋າໄ ລ ຂ ແຈຩໄ ຍັ ຋າໄ ລ ຃ ຅ະແຈຩໄ ຍັ 3 ຍາຈ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຋າໄ ລ ກ, ຂ ຾຤ະ ຃ ແຈໄ ຩຍັ ຽຄຌິ ຃ຌ຺ ຤ະຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ກ. 400 , 1200 , 1800 ຍາຈ ຂ. 300 , 900 , 2200 ຍາຈ ຃. 250 , 750 , 2400 ຍາຈ ຄ. 200 , 600 , 2600 ຍາຈ 36. ຑໃ ໍ຃າໄ ຏູໜໄ ໃ ຄຶ ຉຈັ ຏາໄ ຨຨກຽຎັຌ 50 ຏຌື ຽ຋ໃ າ຺ ກຌັ , ຊາໄ ຽຂາ຺ ຉຈັ ຍາຄຏຌື ງາລແຎ 2 ວົາ ຦ໃ ລຌຌຨກຌຌັໄ ຦ຌັໄ ແຎຽ຃ໃ ຄິ ວົາ ຎາກຈ຺ ລໃ າຽມໃ ຨື ຽຂາ຺ ຉຈັ ຏາໄ ຃ຍ຺ 50 ຏຌື ຾຤ລໄ ຅ະມຏີ າໄ ຽວຨົື ຢໃ ູ 10 ວົາ ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາຏາໄ ຋ໃ ຑີ ໃ ຃ໍ າໄ ຉຈັ ງາລແຎມ຅ີ ກັ ຏຌື ກ. 4 ຂ. 5 ຃. 6 ຄ. 7 37. ເຆ຅ໄ ກັ ຦ູຍຌາໍໄ ຅າກວລໄ ງຂຌຶໄ ຊຄັ ຽຑໃ ຨື ເວຽໄ ກຈີ ກາຌຉກ຺ ຉະກຨຌ ເຌ຤ະຈຐູ ຺ຌຽຎີຈເຆຽໄ ຃ໃ ຨື ຄ຋ຄັ ຦ຨຄ ຎາກຈ຺ ລໃ າ ຌາໍໄ ຽຉມັ ຊຄັ ເຌຽລ຤າ 9 3 ຆໃ ລ຺ ຿ມຄ ຅າກກາຌ຋ຈ຺ ຤ຨຄຽຎີຈຽ຋ໃ ຨື ຤ະຽ຃ໃ ຨື ຄ ຎາກຈ຺ ລໃ າຽ຃ໃ ຨື ຄ຦ູຍຌາໍໄ ຽ຃ໃ ຨື ຄຌຨໄ ງ຅ະ 8 ເຆຽໄ ລ຤າວາົ ງກລໃ າຽ຃ໃ ຨື ຄ຦ູຍຌາໍໄ ຽ຃ໃ ຨື ຄເວງໃ 10 ຆໃ ລ຺ ຿ມຄ ຅ໃ ຄິ ຦ູຍຌາໍໄ ແຈຽໄ ຉມັ ຊຄັ ເຌ຤ະຈູ຾຤ຄໄ ຽຎີຈເຆແໄ ຈ຦ໄ ະຽຑາະ ຽ຃ໃ ຨື ຄ຦ູຍຌາໍໄ ຽ຃ໃ ຨື ຄຌຨໄ ງຽ຃ໃ ຨື ຄຈຼລ ຢາກຩູລໄ ໃ າເຌ຤ະຈູ຾຤ຄໄ ຦ູຍຌາໍໄ ຽຉມັ ຊຄັ ຅ະຉຨໄ ຄເຆຽໄ ລ຤າຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ກ. 33 ຆໃ ລ຺ ຿ມຄ ຂ. 20 ຆໃ ລ຺ ຿ມຄ 4 ຃. 25 ຆໃ ລ຺ ຿ມຄ ຄ. 30 ຆໃ ລ຺ ຿ມຄ  38. ຊາໄ 90 A ຽຎັຌມຸມ຾ວມົ ຾຤ະ cos A  2 ຾຤ລໄ cos ec2 A  tan2  A ມ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ 3 sec A ກ. 9 ຂ. 13 5 5 ຃. 26 ຄ. 36 15 15 39. ຎະຉູຩລ຺ໄ ຩາລ 4 m ຽຎີຈຎະຉແູ ຈກໄ ລາໄ ຄຽຎັຌມຸມຑຼຄ 60 ວຍີ ຂະໜາຈເວງໃ ຋຦ີ ຸຈ຋ໃ ຏີ ໃ າຌຎະຉູຌແີໄ ຈຑໄ ຈໍ ມີ ີ ຃ລາມກລາໄ ຄຎະມາຌຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ກ. 3 m ຂ. 3.2 m ຃. 3.4 m ຄ. 3.5 m 40. ເຌກາຌ຦ຨຍຽ຦ຄັ ລຆິ າໜໃ ຄຶ ຃ໃ າ຦ະຽ຤ໃ ງຽ຤ກ຃ະຌຈິ ຂຨຄ຃ະ຾ຌຌ຦ຨຍຽ຦ຄັ ຂຨຄຌກັ ຩຼຌວຨໄ ຄຌຽີໄ ຋ໃ າ຺ ກຍັ 53 ຃ະ຾ຌຌ, ຾ຉໃ ຅າກາຌກລຈ຦ຨຍຑຍ຺ ລໃ າມຂີ ຦ໍໄ ຨຍຂຨຄຌກັ ຩຼຌຨກີ 2 ຃ຌ຺ ຋ໃ ງີ ຄັ ຍໃແໍ ຈກໄ ລຈ, ຽມໃ ຨື ກລຈ຦ໍາຽ຤ຈັ ຾຤ລໄ ຎາກຈ຺ ລໃ າ ຃ໃ າ຦ະຽ຤ໃ ງຽ຤ກ຃ະຌຈິ ຂຨຄ຃ະ຾ຌຌ຦ຨຍຽ຦ຄັ ຂຨຄຌກັ ຩຼຌວຨໄ ຄຌຽີໄ ຋ໃ າ຺ ກຍັ 55 ຃ະ຾ຌຌ ຾຤ະ ຏຌ຺ ຤ລມຂຨຄ຃ະ຾ຌຌ຦ຨຍຽ຦ຄັ ຽຑໃ ມີ ຂຌຶໄ ຨກີ 180 ຃ະ຾ຌຌ ຅າໍ ຌລຌຌກັ ຩຼຌເຌວຨໄ ຄຌຽີໄ ຋ໃ າ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ ກ. 37 ຃ຌ຺ ຂ. 35 ຃ຌ຺ ຃. 33 ຃ຌ຺ ຄ. 31 ຃ຌ຺ 40

41. ຃ໃ າ຦ະຽ຤ໃ ງຽ຤ກ຃ະຌຈິ ຤ະວລໃ າຄ a ກຍັ b ຾ມໃ ຌ x , ຃ໃ າ຦ະຽ຤ໃ ງຽ຤ກ຃ະຌຈິ ຤ະວລໃ າຄ b ກຍັ c ຾ມໃ ຌ y , ຃ໃ າ຦ະຽ຤ໃ ງຽ຤ກ຃ະຌຈິ ຤ະວລໃ າຄ a ກຍັ c ຾ມໃ ຌ z ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຃ໃ າ຦ະຽ຤ໃ ງຽ຤ກ຃ະຌຈິ ຤ະວລໃ າຄ a , b ຾຤ະ c ກຄ຺ ກຍັ ຂໍເໄ ຈ ກ. 1 x  y  z ຂ. 1 x  y  z 6 3 ຃. 1 x  y  z ຄ. 2 x  y  z 2 3 42. ຉາຉະ຤າຄ຾຅ກຢາງ຃ລາມຊໃ ຃ີ ະ຾ຌຌ຦ຨຍຽ຦ຄັ ລຆິ າ຃ະຌຈິ ຦າຈ ຌກັ ຩຼຌຆຌັໄ ມ 3 ມີ 5 ຆຌັໄ , ຾ຉໃ ຤ະຆຌັໄ ມີ ຃ລາມກລາໄ ຄຽຎັຌ 5 ຽ຋ໃ າ຺ ກຌັ , ຅ຈຸ ຽ຃ໃ ຄິ ກາຄຂຨຄຆຌັໄ ຋ີ 3 ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 23, ຃ລາມຊໃ ຅ີ າກຆຌັໄ ຃ະ຾ຌຌ຅າກຌຨໄ ງ ວາວາົ ງ຾ມໃ ຌ 4, 10, 12, 8, 6 ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາ຃ໃ າ຦ະຽ຤ໃ ງຽ຤ກ຃ະຌຈິ ຃ະ຾ຌຌ຦ຨຍຽ຦ຄັ ລຆິ າ຃ະຌຈິ ຦າຈຂຨຄ ຌກັ ຩຼຌກໃ ຸມຌີໄ ກ. 22.25 ຃ະ຾ຌຌ ຂ. 23.25 ຃ະ຾ຌຌ ຃. 24.25 ຃ະ຾ຌຌ ຄ. 25.25 ຃ະ຾ຌຌ 43. ຨຈັ ຉາກາຌໝຌູ ຎໃ ິຌຂຨຄກຄ຺ ຤ໍຎໄ ໃ ຼຌ຾ຎຄຉາມກາໍ ຤ຄັ ຦ຨຄຂຨຄຨຈັ ຉາ຃ລາມແລຂຨຄກະ຾຦຤ມ຺ ເຌຂະຌະ຋ໃ ີ ຨຈັ ຉາ຃ລາມແລຂຨຄກະ຾຦຤ມ຺ ຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 20 km/ h ຦ຄັ ຽກຈແຈລໄ ໃ າກຄ຺ ຤ໝໍໄ ຌູ ຎໃ ິຌແຈໄ 5 ຩຨຍຉໃ ຌໍ າ຋ີ ຉໃ ໍມາ ຦ຄັ ຽກຈຽວຌັ ກຄ຺ ຤ໍໝໄ ຌູ ຎໃ ິຌ 600 ຩຨຍຉໃ ຆໍ ໃ ລ຺ ຿ມຄ ຃ລາມແລເຌ຃ະຌະຌຌັໄ ຽຎັຌຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ກ. 20 2 km/ h ຂ. 20 3 km/ h ຃. 20 5 km/ h ຄ. 20 7 km/ h 44. ມ຦ີ ະວົາກຢໃ ູ 16 ເຍ ຿ຈງຂຼຌ຦ະຽຑາະ຅າໍ ຌລຌຊລໄ ຌ຤ຍ຺ ຃ກິ  1 ,  3 ,  5 , ... ເ຦ໃ ແລເໄ ຌກ໋ຨຄຨຌັ ໜໃ ຄຶ ຊາໄ ຦ໃ ຸມ຅ຍັ ຂຌຶໄ ມາ 1 ເຍ ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາ຃ໃ າກະຉລຄ຋ໃ ຅ີ ະ຅ຍັ ແຈ຦ໄ ະວົາກ຋ໃ ມີ ໝີ າງຽ຤ກ຋ໃ ຦ີ ຨຈ຃ໃ ຨຄກຍັ ຃າໍ ຉຨຍ ຂຨຄ຦ມ຺ ຏຌ຺ x3  7x2  7x  15  0 ກ. 0 ຂ. 1 16 ຃. 2 ຄ. 3 16 16 45. ເຌແ຤ງະ 3 ລຌັ ຃າຈ຃ະຽຌໃ ແຈລໄ ໃ າຐ຺ຌຨາຈ຅ະຉກ຺ ວົື ຍໃ ໍຉກ຺ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຿ຨກາຈ຋ໃ ຐີ ຺ຌ຅ະຉກ຺ ຑຼຄ 2 ລຌັ ຾ມໃ ຌ ຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ກ. 1 ຂ. 2 3 3 ຃. 3 ຄ. 3 5 8 46. ຿ຩຄຩຼຌ຾ວໃ ຄໜໃ ຄຶ ມຌີ ກັ ຩຼຌ຋ໃ ມີ ຃ີ ລາມ຦າມາຈຑຽິ ຦ຈເຌ຦າຂາລຆິ າຉໃ າຄໂຈໃ ຄັ ຌີໄ ຋າໄ ລ ຦ະໝຨຌ ລຆິ າ ລ຋ິ ະງາ຦າຈ, ຑາ຦າ຤າລ ຾຤ະ ຑາ຦າຨຄັ ກຈິ , ຋າໄ ລ ມຨຈ ລຆິ າຑາ຦າຨຄັ ກຈິ , ຋າໄ ລ ແຆ ລຆິ າ຃ະຌຈິ ຦າຈ ຾຤ະ ລ຋ິ ະງາ຦າຈ, ຋າໄ ລ ຦າມາຈ ລຆິ າ຃ະຌຈິ ຦າຈ ຾຤ະ ຦ຄັ ຃ມ຺ ຦ກຶ ຦າ, ຋າໄ ລ ຦ຄ຺ ກາຌ ລຆິ າຑາ຦າຨຄັ ກຈິ ຾຤ະ ຃ະຌຈິ ຦າຈ. ຊາໄ ຿ຩຄຩຼຌ຾ວໃ ຄຌຉີໄ ຨໄ ຄກາຌ຅ຈັ ຌກັ ຩຼຌ຋ໃ ມີ ຃ີ ລາມ຦າມາຈຑຽິ ຦ຈ຋ຄັ 5 ຃ຌ຺ ຽຂາ຺ໄ ຩຼຌເຌວຨໄ ຄຩຼຌຑຽິ ຦ຈ ຋ຄັ 5 ລຆິ າ ຿ຈງເວຌໄ ກັ ຩຼຌ຃ຌ຺ ໜໃ ຄຶ ຽຂາ຺ໄ ຩຼຌແຈຑໄ ຼຄ 1 ລຆິ າ ຽ຋ໃ າ຺ ຌຌັໄ 41

ຢາກຩູລໄ ໃ າຌກັ ຩຼຌ຃ຌ຺ ເຈແຈ຃ໄ ຈັ ຽ຤ຨື ກເວຩໄ ຼຌເຌ຦າຂາລຆິ າເຈ ລຆິ າ຋ໃ ເີ ວຩໄ ຼຌ ລ຋ິ ະງາ຦າຈ ຑາ຦າ຤າລ ຑາ຦າຨຄັ ກຈິ ຃ະຌຈິ ຦າຈ ຦ຄັ ຃ມ຺ ຦ກຶ ຦າ ຆໃ ຌື ກັ ຩຼຌ ກ ຋ ຦ະໝຨຌ ຋ ມຨຈ ຋ ຦ຄ຺ ກາຌ ຋ ຦າມາຈ ຋ ແຆ ຂ ຋ ແຆ ຋ ຦ະໝຨຌ ຋ ມຨຈ ຋ ຦ຄ຺ ກາຌ ຋ ຦າມາຈ ຃ ຋ ຦າມາຈ ຋ ແຆ ຋ ຦ະໝຨຌ ຋ ມຨຈ ຋ ຦ຄ຺ ກາຌ ຄ ຋ ຦ຄ຺ ກາຌ ຋ ຦າມາຈ ຋ ແຆ ຋ ຦ະໝຨຌ ຋ ມຨຈ 47. ຽຨາ຺ ຅າໍ ຌລຌ 0, 3 , 4, 5 ຾຤ະ 6 ມາ຃ໍາຌລຌຈໃ ຄັ ຌີໄ x  0  3  4  5  6 ຽມໃ ຨື  ຽຎັຌ  ວົື  ກໍ ແຈໄ ຃ໃ າກະຉລຄ຋ໃ ີ x ຅ະມ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍັ 8 ວົື  8 ຾ມໃ ຌຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ກ. 0 ຂ. 1 8 ຃. 1 ຄ. 1 4 2 48. ຊຄ຺ ຨຌັ ໜໃ ຄຶ ມໝີ າກຍ຦ີ ຾ີ ຈຄ 6 ໜໃ ລງ, ຦ຂີ ຼລ 5 ໜໃ ລງ, ຦ຂີ າລ 3 ໜໃ ລງ ຦ຄັ ຊຄ຺ ວຍົັ ຉາ ຾຤ລໄ ຅ຍັ ມາ 1 ໜໃ ລງ ມາລາຄແລ຋ໄ າຄຌຨກ ຾຤ລໄ ຅ຍັ ຂຌຶໄ ມາຨກີ 1 ໜໃ ລງ ຃ໃ າກະຉລຄຂຨຄກາຌ຋ໃ ຅ີ ະ຅ຍັ ແຈໝໄ າກຍໝີ າກ຋າໍ ຨຈິ ຽຎັຌ຦຾ີ ຈຄ ຾຤ະ ໝາກ຋ີ 2 ຍໃ ຾ໍ ມໃ ຌ຦຾ີ ຈຄ຾ມໃ ຌຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ກ. 3 ຂ. 1 7 14 ຃. 15 ຄ. 24 32 91 49. ຤ລຈ຤າງຢໃ ູໝາກຍາຌຎະກຨຍຈລໄ ງຩູຍ 5 ຾຅, 6 ຾຅ ຿ຈງ຋ໃ ຩີ ູຍ 5 ຾຅ ຾ຉໃ ຤ະຩູຍ຅ະຊກື ຨຨໄ ມຩຨຍ ຈລໄ ງຩູຍ 6 ຾຅ ຅າໍ ຌລຌ 5 ຩູຍ, ເຌຂະຌະ຋ໃ ຩີ ູຍ 6 ຾຅ ຾ຉໃ ຤ະຩູຍ຅ະຊກື ຨຨໄ ມຩຨຍຈລໄ ງຩູຍ 6 ຾຅ 3 ຩູຍ ຾຤ະ ຩູຍ 5 ຾຅ 3 ຩູຍ, ຊາໄ ຢໃ ູໝາກຍາຌມຩີ ູຍ 5 ຾຅ 12 ຩູຍ ຾຤ະ ຅ະມຩີ ູຍ 6 ຾຅ ຋ຄັ ໝຈ຺ ຅ກັ ຩູຍ ກ. 18 ຂ. 20 ຃. 30 ຄ. 60 42

ຍຈ຺ ຾ກ຃ໄ ໍາຊາມຆຸຈ຋ີ 2 1. ເວ຅ໄ າໍ ຌລຌ຋ໍາມະຆາຈຌຨໄ ງ຦ຸຈ຾ມໃ ຌ x ຅າໍ ຌລຌ຋ໍາມະຆາຈຉລ຺ ຊຈັ ແຎ຋ໃ ຉີ ໃ າຄກຌັ ຢໃ ູ 2 , 4 , 6 ວົື 8 ຃ື x  2 , x  4 , x  6 ຾຤ະ x  8 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຅າໍ ຌລຌ຋ໍາມະຆາຈ຋ຄັ 5 ຅າໍ ຌລຌ ຾ມໃ ຌ x , x  2 , x  4 , x  6 , x  8 ເຌ຅າໍ ຌລຌ຋ຄັ 5 ຅າໍ ຌລຌຌມີໄ ຑີ ຼຄ຦ຨຄ຅າໍ ຌລຌ຋ໃ ຽີ ຎັຌຽ຤ກວກົັ ຈຼລ x ຾຤ະ x  2 ຅ະຉຨໄ ຄຽຎັຌຽ຤ກຉລ຺ ຈຼລ ຾຤ະ x  4 ຅ະຉຨໄ ຄຽຎັຌຽ຤ກ຦ຨຄວົກັ ຅າໍ ຌລຌ຋າໍ ຨຈິ x ຾຤ະ x  2 ຅ະຽຎັຌຽ຤ກຉລ຺ ຈຼລກຉໍ ໃ ຽໍ ມໃ ຨື x ຅ະຉຨໄ ຄຽຎັຌຽ຤ກ 6 ວົື 7 ຊາໄ x  6 ຽ຤ກ຋ຄັ 5 ຅າໍ ຌລຌ຃ື 6 , 8 , 10 , 12 , 14 ຽຆໃ ຄິ ຽມໃ ຨື ຽຨາ຺ ຋ຄັ 5 ຅າໍ ຌລຌມາ຃ູຌກຌັ ຾຤ລໄ ຅ະວາຌ 11 ຍໃ ຂໍ າຈ ຦ະ຾ຈຄລໃ າ x ຉຨໄ ຄຉໃ າຄ 6 ຊາໄ x  7 ຽ຤ກ຋ຄັ 5 ຅າໍ ຌລຌ຃ື 7 , 9 , 11 , 13 , 15 ຽຆໃ ຄິ ຽມໃ ຨື ຽຨາ຺ ຋ຄັ 5 ຅າໍ ຌລຌມາ຃ຌູ ກຌັ ຾຤ລໄ ຅ະວາຌ 11 ຂາຈ ຽຑາະຏຌ຺ ຃ູຌຂຨຄ຅າໍ ຌລຌ຋ຄັ 5 ມີ 11 ຽຎັຌ຦ໃ ລຌ຃ຌູ ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , ຏຌ຺ ຃ຌູ ຂຨຄ຅າໍ ຌລຌ຋ຄັ 5 ຅າໍ ຌລຌ຾ມໃ ຌ: 7  9  11  13  15  135135 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 2. ຽມໃ ຨື ຉ຤ີ ະ຃ຄັ ຑຨໄ ມກຌັ ຋ຄັ 3 ຨຌັ , ຃ຄັໄ ຋ໍາຨຈິ ຽມໃ ຨື ຽລ຤າ 8:00 ຌາ຋,ີ ຤ະ຃ຄັ ຋ຄັ 3 ຨຌັ ຅ະຉຑີ ຨໄ ມກຌັ ຨກີ ຃ຄັໄ ໜໃ ຄຶ ວາແຈ຅ໄ າກ ຋ະລ຃ີ ຌູ ຩໃ ລມໜຨໄ ງ຦ຸຈຂຨຄຽລ຤າ຤ະ຃ຄັ ຾ຉໃ ຤ະຨຌັ ຉີ ຽ຤ກ຦ໃ ລຌ຋ໃ ກີ າໍ ຌຈ຺ ເວໄ 20 , 30 , 60 177 ຋ະລ຃ີ ູຌຩໃ ລມໜຨໄ ງ຦ຸຈຂຨຄ຅າໍ ຌລຌຑູຈ 20 , 30 , 60 ແຈ ໄ 60 ຨຸຎະ຃ຌູ ຩໃ ລມວົາງ຦ຸຈຂຨຄຑູຈ 1 , 7 , 7 ແຈໄ 1 ຋ະລ຃ີ ຌູ ຩໃ ລມໜຨໄ ງ຦ຸຈຂຨຄ 20 , 30 , 60  60  60 ຌາ຋ີ 177 1 ຤ະ຃ຄັ ຅ະຉຑີ ຨໄ ມກຌັ ຨກີ ຃ຄັໄ ຽມໃ ຨື ຽລ຤າຏໃ າຌແຎ 1 ຆໃ ລ຺ ຿ມຄ ຅ະຉຑີ ຨໄ ມກຌັ ຨກີ ຽລ຤າ 9:00 ຌາ຋ີ ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 3. ຾ຎຄຑຌືໄ ຽ຤ກກາໍ ຤ຄັ ເວກໄ າງຽຎັຌຑຌືໄ 2 ຾຤ລໄ ຑ຅ິ າ຤ະຌາຉາມຽ຤ກກາໍ ຤ຄັ      1 1 1 1 111 1 22 . 44 . 88 . ... . 10241024  22 . 22 4 . 23 8 . ... . 210 1024  21  2  3  ...  10 ... 1 2 22 23 21 0 ເວ ໄ S 1  2  3  ...  10 ... 2 2 22 23 210 ຽຨາ຺ 2  2 ຅ະແຈໄ 2S 1  2 3  ...  10 ... 3 2 22 29 ຽຨາ຺ 3  2 ຅ະແຈໄ S   1  1  1  ...  1   10 2 22 23 29  210 43

 ຅າກ຦ູຈ S  1  a1 1  r n 1 r ຩູລໄ ໃ າ a1  1,r 1, n9 2 2 1 1   1 9  2  2   S 1  10 1 1 210 2 S  1  1  1   10  29  210 S  211  2  10  2048  12  2036  509 210 1024 1024 256  ຅າກ 111 1 509 512  3 2 3 1 ຅ະແຈ ໄ 22 . 44 . 88 . ... . 10241024  2256  2256 256  2 256 ຅າກຍຈ຺ ຽ຤ກກາໍ ຌຈ຺ ເວ຅ໄ ະແຈໄ a  3 , b  256 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , a  b  1  3  256  1   252 ຃າໍ ຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 4. ຆຨກວາ຋ະລ຃ີ ູຌຩໃ ລມໜຨໄ ງ຦ຸຈ ຾຤ະ ຤ຍ຺ ກຌັ ຽຎັຌຑຈ຺ ໂ 11 11 11 11 2 3 4 5 6 7 2552 2553 ກາໍ ຌຈ຺ S 1 1  1 1  1 1  ...  11    3456 78 2553 2554 111 1 S 23  45  6 7  ...  2552  2553 1 1 1 1 34 56 78 2553  2554 S  3  4  5  6  7  8  ...  2553  2554 2  3  4  5  6  7  ...  2552  2553 S  2554 2 S  1277 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຂ 5. ກາໍ ຌຈ຺ ເວໄ x  40 ຽຆໃ ຄິ ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌ຋ໃ ຢີ ໃ ູຽ຃ໃ ຄິ ກາຄ຤ະວລໃ າຄ຅າໍ ຌລຌ 44, 42, 38, 36 ຽຑໃ ຨື ຤ະຈລກຉໃ ກໍ າຌ ຃ຈິ ແ຤ໃ ຑ຅ິ າ຤ະຌາ P  44423836  36  x  4x  2x  2x  4  36  x2  16x2  4  36  x4  20 x2  100   x2  10 2 44

 x2  10  402  10  1590 ຑ຅ິ າ຤ະຌາ A  1  1  1  1  1  1 B 23456  1 1  1 2 12 30  30  5  2 60  37 60 ຈໃ ຄັ ຌຌັໄ , Q  B  A  60  37  23 ຌຌັໄ ຾ມໃ ຌ: P  Q  1590  23  1613 ຃ໍາຉຨຍ: ຂໍໄ ຃ 6. ຅ະຽຩຈັ ຾ຍຍເຈເວຑໄ ູຈຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌຊລໄ ຌ 1 a b  a b a b   ຽຩາ຺ ເຆວໄ ົກັ ກາຌ຃ຈັ ຩາກຨຨກ຅າກຑູຈ ab a b a b  1 1  1  ...  1 2  2 1 3 2 4 3 16    15    2 1  3 2  4  3  ...  16  15 2  2 1 32 43   16  15           16  15  15  14  13  12  ...  2  1 2   16  2 1  4  12  32 9 ລ຋ິ ຤ີ ຈັ : ຽຌໃ ຨື ຄ຅າກ 1 1 1  ...  1 2 1 3 2 4 3 16  15 ກ຃ໍ ື 1 2  1  1  ...  1 ຌຌັໄ ຽຨຄ 1 2 3 3 4 15  16 ກ຤ໍ ະຌຌີ ຽີໄ ວຌັ ລໃ າ຅າໍ ຌລຌເຌ ຤ຼຄຉຈິ ຉໃ ກໍ ຌັ ກາໍ ຌຈ຺ ລໃ າຊາໄ aa  a  ...  a m1  m2 m2  m3 m3  m4 mn1  mn   a mn  m1 ຽມໃ ຨື m ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌຊລໄ ຌ຤ຼຄຉຈິ ຉໃ ໍກຌັ ຾຤ະ a ຽຎັຌ຅າໍ ຌລຌ຅ຄິ ເຈໜໃ ຄຶ 45