Айдос Ерқара және Балықбаев Тахир - Математика

Е.Ж .Айдос Т.О .Бальщ баев тт в тш ш ш пэн1 бойы нш а ж огары оку орындарына тусуцплерге арналган оку к^ралы АЛМАТЫ 2 0 0 6

Айдос Еркдра Жолдыбайулы Балык|баев Тахир Оспанулы Жогары оку орындарына тусушшерге арналган МАТЕМАТИКА Казахстан Республикасыныц Быт жэне гылым министрлш бекткен АЛМАТЫ 2006

ББК 22.1 я 7 А 31 niicip ж азган дар : ф.-м.г.к., профессор К,. Ж. НАУРЫЗБАЕВ, ф.-м.г.к., профессор Е. М. ХАЙРУЛЛИН, ф.-м.г.к., доцент М. СИ ХО В А 31 Айдос Е.Ж ., Балыкбаев Т.О . Жогары оку орындарына тусуинлерге арналган математика. Оку куралы. — Ж Ш С Р П Б К “Дэу1р” . Алматы, 2006,— 464 бет. ISBN 9965-749-56-6 Ютап орта бш м багдарламасына сэйкес математиканы окытудьщ классикалык улгшер1мен катар Ka3ipri талаптарды уштастыра отырып жазылган. Мунда элементар математиканын материалдары мен математикалык анализ элементтер1 кзрас- тырылады. Ютап сонында (2005 ж.) жогары оку орындарына тусетш талапкерлерге арналган тест сурактары жэне шыгару y;n i;iepi келлршген. Ютап жогары оку орындарына тусушшерге, оларды да- йындайтын оку бел1мдершщ окытушьшарына, репетиторларга жэне элементар математиканы езд тн ш е окып дайындала- тын окырмандарга арналган. д 1602000000 © ИНТ, 2006 00(05)' 06 ® Балыкбам Т.О., 2006 ISBN 9965-749-56-6

AJIFbl с е з K£3ipri кезде математика пэш бойынша жогары оку орын- дарына TyceTiH талапкерлерге ар налган казак тииндеп оку куралдары табыла бермещц. Алдьщыздагы кпаи — авторлар- дьщ осы аталган олкылыктьщ орнын толтыруга багытталган алгашкы ецбеп. Мунда op6ip такырыпта алдымен материал- дьщ теориялык сурактары, содан сон олардьщ магынасын ашатын мысалдар, соцында тапсырмалар жауаптарымен 6ipre бершедь Элементар математиканьщ Heri3ri курамы болгандык- тан тендеулер мен тецазджтерге арналган сурактарга кеб1рек орын бервдц. Ютап соцында геометрия мен векторлык алге- бранын кейбф элементтерше арналган кыскаша материалдар, жогары оку орындарына тусушшерге арналган 600 тест ecemepi мен есеп шыгару улгшер! кел^ршген. Орта б ш м беру багдарламасынын колемшде функциянын нуктедеп meri сиякты курдел! математикалык угымдарды TyciHiKTi тшмен окушыга жети зу о пай емес. Bi3 алдымен функ­ циянын нуктедеп шегшщ Коши аныктамасында кездесетш О < \\х- х0|< 8, |f ( x ) - А\\ < £ сиякты логикалык символдар- га катысты сойлемдерд! талдаи, керекп кыска-кыска тужы- рымдар курастырдык- Содан кешн гана оларга сштеме жасай отырып функциянын нуктедеп шегш щ аныктамасын TyciHiKTi жэне карапайым сейлем туршде алуга мумкшдж туды. Алды- цыздагы к1тапта осы сиякты авгорлардын ез колтацбасы бар сурактарды жш кездест1руге болады. Окырмандарга айтатын тагы 6ip ж эй т — кейб1р казакша математикалык терминдер бойынша осы кунге дешн ортак niKip жок- Bi3re б ел гш терминологиялык сезджтерде: мы- салы, “ бесконечность” — “акы рсы з”, “ш е к а з ” ; ‘\"переменная величина ' — “айнымалы ш ама”, “айнымал шама” т.с.с. бо- лып, эртурл1 нускдца аударылган терминдер аз емес. Б1здщ ютабымыздагы терминдердщ кепиплш 1999 ж. “Рауан” баспасынан ш ы ккан, К,Р YKiMeTi жанындагы М ем л е к е т п к 3

терминология комиссиясы беюткен “К^закдиа-орысша, орыс- ша-казакша создж, математика” сездш нщ нускдсы бойынша алынды. Клтапты компьютерде теру жумысында кажырлылык, та- ныткан Айдосова Найла Еркаракдзына, Айдосов Шерхан Еркдраулына жэне пайдалы кенестер1 мен шюрлерш жазып ютаптын жарыкха шыгуына елеул! улесш коскдн ф.-м..г.д., проф. А.С.Сакабековке алгысымызды бишрем1з. Авторлар

ЖИЫН TYCIH in Математиканьщ бастапкы угымдарынын 6ipi — жиын. Жиын аныктауга болмайтын тусш ж . Жиын онын элемент- mepi деп аталатын сандардан, нуктелерден, тузулерден т.с.с. куралуы мумкш. М ысалы, 6ip тацбалы сандар жиыны: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 элементтершен турады. Б1рде 6ip элемент! жок. жиынды бос жиын деп атайды жэне оны 0 символымен белплеищ. Жиындарды кебш есе латыннын улкен эрщтер!мен: А, В, X, ал олардын элементтерш Kimi эрштермен: а, Ь, х, ... белгшейдь а е А немесе А э а жазуын: “а элемент! А жиынына raicTi (А жиынында жатады)” деп, ал а £ А жазуын: “а эле­ мент! А жиынына тиклч емес (А жиынында жатпайды)” деп окнды. Егер А жиыныньщ барлык, элементтер1 В жиынына да raicTi болса, онда А жиынын В жиыныньщ чижиыны деп атайды да А с В немесе В z> А деп белплейдг М ысалы, В — рационал сандар жиыны, ал А — натурал сандар жиыны б о л с а , онда А с В . К е з келген ж и ы н н ы н 1ш ж иы нд ары рет1нде бос жиынды жэн е сол жиыннын езш алуга болады. Егер А с В жэне А гз В болса, онда олар тен жиын: А = В. Акырлы ж эне акырсыз жиындар болады. М ысалы, барлык ею танбалы сандар — акырлы жиын, ал натурал сандар — акырсыз жиын. Жиындарды берудщ н е п з п eid Oflici бар: 1) Е гер А а к ы р л ы ж и ы н б о л с а , о н д а о н ы н б а р л ы к элементтерш а ^ ,а 2, . . . , а п жазып керсетуге болады: А = { а , , а 2, а п} . 2) Жалпы жагдайда, А жиыны кандай да 6ip непзп Тжиы- ныньщ керсети1ген а касиетше не болатын элементтер1н!н жиынтыгы рет1нде аныкталады ж эне оны А - { х е Т : а ( х ) } немесе Д = { л е Т\\ а ( х ) } 5

деп жазады. Мундагы а (х) жазуы х элемент! а кдсиетке ие екенш бивдредь М ы салы , А = {хе Z:(x-3)(2x-l)(x2-l)= 0 , jc> o } жиы- ныньщ элементтер! (л - 3)(2.v-1)(х2 - l) = О тецдеуш щ Tepic емес туб1рлерк 3,1. ЖИЫНДАРРА АМАЛДАР КДЛДАНУ Жиындарга жасалатын амалдардыц шпндеп б1здщ колда- натынымыз - 6ipiey жэне щ ш ы су. Корнекп болуы ушш жиын элементтер1 жататын жазыктык б е л т н штрихтап (ж щ ш ке сызыктар журпзш) бейнелейм1з (1.1-сурет). 1.4-сурет 6

А мен В жиындарынын 6ipieyi деп, осы ек! жиыннын ен болмаганда 6ipeyiHe raicTi элементтерден куралган С = А и В жиынын айтады. 1.2-суретте A kj В жиыны кос штрихтермен керсетшген. А мен В жиындарынын кнылысуы деп, осы ею жиынга да THidi элементтерден куралган С = А п В жиынын айта­ ды. 1.3-суретте С - А г л В жиыны кос штрихтармен керсетшген. Жиындардьщ киылысуы бос жиын А п В = 0 болуы да мумкш (1.4-сурет). Ею жиын ушш келт1ршген 6ipiry мен киылысу тусшисгерш кез келген акырлы санды жиындарга да айтуга болады. Бул жагдайда пп символдары аркылы Ах, А-,, Ап жиындарынын сэйкес, 6ipiryi мен киылысуын белплейдь КЕИБ1Р ЛОГИКАЛЫК, СИМВОЛДАР Математикалык сойлемдер/и жазуда унем;п болуы уиин логикалык символдарды пайдаланады. Б1з мунда ен карапа- йым жэне жш колданылатын логикалык символдарды гана кел'прем1з. а,/3, ... кандай да 6ip айтылымдар (шюрлер) ягни, эр- кайсысы туралы “ш ы н” немесе “ e T ip iK ” деп айтуга болатын хабарлы сейлемдер болсын. 3 белплеук “ а ш ю р ш е н /3 niKipi ш ыгады” дегещц бшд!ред1 (=> — импликация символы). а <=>[3 белгшеук “ a niKipi /3 ш ю р ш е парапар (эк ви ­ валента), ягни, а п ш р ш ен Д niKipi шыгады жэне Р пш рш ен a niKipi шыгады” дегещц 6umipefli (<=> — парапар символы). а л р жазуы: “ а ж э н е /3” дегещп 6Lnflipefli ( д — конъ­ юнкция символы). a v / i жазуы: “ а немесе /3 \" дегенд1 бш иред1( v — дизъ­ юнкция символы). Мх е X : а ( х ) жазуы — “ кез келген х е X э л е м е т т ушш а (х) касиет1орындалады” дегещц бщщред} ( V — жалпылык кванторы). Жалпылык кванторы ауызша тужырымдарда “бар­ лы к”, “кез келген”, “9p6ip” деген сездерд! ауыстырады. 7

V б е л п а агы лш ынныц “All — барлык,” деген с е з ш щ 6ipiHiui эрпшщ тецкеринп жазылуы. Зх е X : а ( х ) жазуы — “кдндай да 6ip х е X элемент- Tepi ymiH а касиет1 о р ы н д а л а д ы ” дегенд1 б1лд1ред1 ( 3 — бар болу кванторы). Бар болу кванторы: “табылады”, “бар” деген сездердщ орнына колданылады. 3 белпа агыл- ш ыннын “ Exists — бар” деген с е з ш щ 6ipiHini эр п ш щ Tepic аударылып жазылуы. М ы салы , “кез келген х ymiH х + у = 3 тендш орындала- тындай у саны табылады” деген сейлемд! логикалык символ- дар аркылы \\/хЗу : ( х + у = 3) деп жазуга болады. Егер а (х) касие™ орындалатын х е X эл е м е н т бар жэне ондай элемент жалгыз гана болса, онда 3!х е X : а (х ) деп жазады. Ескерту. Кванторлардыц орындарын ауыстырганда се й л ем н щ магынасы 03repin KeTyi мумкш. М ы салы , жога- рыда келпршген сейлемдеп кванторлардьщ орындарын ауыстырсак Зу Vx : (х + у = 3) болады да, алынган сойлем —“кандай да 6ip у бершсе х+у = 3 тещдп кез келген х ушш орындалады” деген магынаны бщщредь Алдьщгы сойлем — шын, ал соцгы алынган сойлем — жалган екенш ангару кцын емес.

1 - т а р а у. САНДАР § 1. НАТУРАЛ САНДАР 1. Натурал сандарга кодданылатын арифметикалык амалдар Натурал сандар деп, нэрселерд1 санау yuiin колданыла­ тын 1, 2, 3, 4, ... сандарын айтады. О нды к санау ж уйесш - д е п кез келген натурал сан 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 цифрла- рынын (танбасандарыньщ) кемепмен жазылады. Мысалы, 347 жазуында 3 жуздж, 4 ондык, 7 б1рлж танбасандары бар, ягни, 347= 3 •100+4 •10+7. Натурал сандар жиынын N эршмен белплейдн Натурал сандар жиынында косу мен кебейту амалдары орындалады, ягни т, п натурал сандар болса, онда: р = т+п натурал сан (мундагы т мен п - косылгыштар, р - к,осынды)\\ р = тп натурал сан (мундагы т мен п - квбейтк 'штер, р - Ke6eumindi). Натурал сандарды косу мен кебейту амалдары ушш темендеп касиеттер орындалады: 1. а + b = Ь + а косудьщ орын ауыстырымдылык (комму- mamuemiK) касиетц 2. (о + Ь) + с = а +(Ь + с ) косудын. тер!мдтк (ассоциа- muemiic) касиетц 3. ab = Ьа кобейтуд'щ орын ауыстырымдылык касиетп 4. (аЬ)с = а{Ьс) квбейтуд'щ тер'шдшк касие'п; 5. а(Ь + с) = ab + ас квбейтуд/'и косуга катысты YfiecmipiMdmK (ducmpu6ymuemiK) касиетк Назарыцызга: натурал сандарды азайту немесе белу нэти- жесш де натурал сан алына бермейдг М ысалы, 4 — 11 = —7 натурал сан емес; 15 : 2 = 7,5 натурал сан емес. Егер т п = к болса, онда т - азайгыш, п - азайткыш, А-айырма деп, ал т.п = к болса, онда т - бвлчтш, л-белпш, 9

A-6o.iiiifli (m саны n санынын ece.iiri) деп аталады. Егер // сан ы ньщ е с ел ш т болса, онда т = кп болатындай к е N саны табылады. Сандардан арифметикалык амалдар мен жакдпа белгшер1 аркылы сандык ернектер алынады. Сандык ернектердеп арифметикалык амалдардьщ орында- лу peTi: алдымен ж а к т а ш ш д е п амалдар орындалады; жак- ша imiHfleri ернекте алдымен кебейту мен белу, содан сон косу мен алу орындалады (темендеп мысалды караныз): ^28- 93+^1927 - 1873^ •3 l j : 6 - 7 1 0 . 2. Бо.йнгш тк белплер1 Кейб1р жагдайларда т натурал санньщ п натурал санына калдыксыз белшетшш немесе белшбейтшш белу амалын орындамай турып-ак бшуге болады. 1.1-теорема. Егер ep6ip косылгыш кандай да 6ip санга белшсе, онда косынды да осы санга белшед1 (косындыньщ б е л ш п ш т т туралы теорема). 1.2-теорема. Егер кебей тш д ш щ ен болмаганда 6ip кебейтюнй кандай да 6ip санга белшсе, онда кебейтшд1 де осы санга белшед1 (кебейтшдшщ б е л ш п ш т т туралы тео­ рема). 1.3-теорема. Натурал сан 2-ге белшу1 ушш оньщ сонгы цифры 2- ге белшу1 к,ажегп жэне ж е т к ш к п . 1.4-теорема. Натурал сан 5-ке белшу1 ушш онын сонгы цифры 5 немесе 0 болуы к,ажегп жэне ж еткш кп . 1.5-теорема. Натурал сан 10-га белшу1 ушш оньщ сонгы цифры 0 болуы кажетп жэне ж еткш кп. 1.6-теорема. Натурал сан 4-ке (25-ке) белшу1 ymiH оньщ соцгы eKi цифрынан куралган санньщ 4 -к е (25-ке) белшу1 кажетп жэне жеткшкп. 1.7-теорема. Натурал сан 3-ке (9-га) белшу1 ушш оныц цифрларыныц косындысы 3-ке (9-га) белшу1 кажетп жэне жеткшкп. Мысалы, 1) 105+35+10 косындысы 5-ке болшед1 (1.4 пен 1.1-теоремаларды карацыз); 2) 71-72••••78-79 кобейпщ ца 10-га белшед1 (1.5 пен 1.2- теоремаларды караныз); Мысал. К,атар турган ек1 жуп натурал сандардын 6ipi 4-ке белшетшш дэлелдеу керек. 10

Д элелдеуг К ез келген катар турган 2п ж э н е 2п+2 (л-натурал сан) жуп сандарын алайык. Егер п жуп сан, ягни п = 2к (к в АО болса, онда 2п = 2 • 2к = Ак саны 4-ке болшед1 (Е2-теор е м а). Ал, п так сан, ягни п = 2к-\\ (Ае N) болса, онда 2п + 2 = 2(2к~\\) + 2 = 4 к саны 4 -к е болшедг Тапсырма. ТЪбектелген уш натурал санныц кебейт1нд1а 6-га болшетшш дэлелдеу керек. 3. Натурал санды жай кебейтмштерге ж ктеу Егер а санынын белпштер1 тек кана 1 мен а сандары бол­ са, онда а - н ы ж ай сан деп, ал а- нын 1 мен а сандардан баскз да белпштер1 бар болса а - ны курама сан деп атайды. М ысалы, 2, 3, 5, 7, 11, 13 сандары ж ай , ал 4, 6, 15 сандары курама сандар. 1 саны жай да курама да сан емес. 1.8-теорема (арифметиканын, непзп теоремасы). Кез кел­ ген натурал санды жай кебейтюштерге ж1ктеуге болады жэне ол жалгыз гана тэсшмен орындалады. Сандарды жай кебейтюштерге жжтегенде б о л ш п и т к белплерд1 пайдаланып, баган сызыгынын он жагына бел- пштердц ал сол жагына, белш пш тщ астына б о л й ш ш жаза­ ды. Мысалы 360 санын жжтешк. 360 180 90 45 15 5 1 10 а кебейтю ип и рет кайталанатын кебейтшд1ш а\" деп белгитейдг ’ а -а-...-а = а \" . Мундагы а\" орнепн дэреже, а -ны дэреженщ Heri3i, ал п-а\\ дэреженщ керсетюий деп атайды. Соны мен, 360 = 2 •2 •2 •3 •3 •5 = 2' •З2 ■5. 11

4 . Е ц улкен о р так белпш ж эне ец Kimi ортак еселж 45 санынын белпш терш щ жиыны А ={1; 3; 5; 9; 15; 45}, ал 60 санынын б ел п ш тер ш щ жиыны В = { 1 ; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60} болатыны тусшйсп. Осы 45 пен 60 санда- рынын ортак белпштер! деп, олардьщ белпштерш щ ортак элементтерш, ягни А мен В жиындарынын киылысуын /4п В = {1; 3; 5; 15} айтады. Осы элементтердщ ец улкенш (б1здщ мысалымызда ол 15) ец улкен ортак белпш ( E Y O B ) деп атаймыз жэне оны E Y O B (45; 60) = 15 аркылы белплейм1з. Егер EYO B(m ; п)= 1 болса, онда т мен п езара жай сандар деп аталады. М ысалы, 12 мен 25 езара жай сандар, ейткеш Е У О Б (1 2 ; 25) = 1. BipHeme сан ньщ ен улкен ортак белпш1н табу y m i H бул сандарды жай кебейтюштерге жжтеп, осы сандардыц барлы- гына ортак жай кеб е й тк ш т ер д щ ец Kimi дэреже KepceTKimi барын алады да оларды езара кебейтед1. Мысал. EYO B(126; 540; 630) табу керек. Uleuiyi: 126 2 540 2 630 63 3 270 2 315 21 3 135 3 105 77 45 3 35 1 15 3 7 55 1 1 126 = 2- 3- 3- 7 = 2 - З2 ■7, 540 = 2- 2- 2- 3 - 3 - 3 - 3 - 5 = 1 -У - 5, 630 = 2 -3 -3 -5 -7 = 2 - З2 -5 -7, Е О Б ( 126 ,5 4 0 ,6 3 0 )= 2 •32=18. Тапсырма. а) Е У О Б (144,72); б) E Y O B (1 2 0 ,144,324) табу керек. 4 -ке есел1 сандар жиыны А = {4; 8; 12; 16; ...} мен 6-га есел1 сандар жиынын В = {6; 12; 18; 24; ...} карастырайык Осы ею жиынньщ екеушде де бар 12, 24, 36, ... сандары, 4 пен 6 сандарыньщ ортак есел1ктер1 деп аталады. Ортак еселжтер жиыны дегешм1з А мен В жиындарынын киылы- суы, ягни С = А п В . Ортак есел1ктер ж и ыныньщ ен Kimi элементш бершген сандардын (6i3flin м ы салы м ы з ymiH 4 пен 6 сандарыньщ) 12

ец Kimi ортак, есел1п деп атаймыз да Е К О Е (4 ; 6) = 12 деп белгшейтш боламыз. BipHeme сандардыц Е К О Е табу ушш сандарды жай кебейтклштерге жжтеп, осы кебейтюштердщ эрб1реушен ец улкен дэреже кврсетюштер1 барын алады да оларды озара кебейтедь Мысал. ЕКОЕ(270; 300; 315) табу керек. Шешуi: 2 300 3 315 3 3 100 2 105 3 270 3 135 3 50 2 35 5 45 5 25 5 77 1 15 55 5 11 2 -3 3 - 5 , 3 0 0 = 3 2 2 •5 2, 3 1 5 = 3 Е К К О ( 2 7 0 ;3 0 0 ; 3 1 5 ) = 2 2 •З3 ■5 2 - 7 = 1 8 9 0 0 . Тапсырма. а) Е К О Е (25,38) б) Е К О Е (1 0 8 ; 2 16; 135) в) ЕКО Е (70; 35; 280) табу керек. § 2. РАЦИОНАЛ САНДАР 5. Жай белшектер. Дурыс жэне бурые белшектер. Аралас сандар Жай белшектер деп, т е N, п е N т у р ш д е п сан ды айтады, мундагы т б ел ш ектщ алымы, ал п — 6cuiMi деп аталады. Мысалы 1/ ЦО- — жай белшектер. Егер п = 1 болса —т болады да, оны m деп жазады. тБ-удан, кез-келген натурал санды бел1м1 1 болатын жай белш ек туршде жазуга болатынын корем!з. — белшепн т.п тур!нде де жазуга болады. т Егер алымы бол1м1нен Kimi болса, онда — — дурыс Ч белшек, ал алымы бел1мшен улкен немесе бел1мше тен бол- т са, онда — бурые белшек деп аталады. п 13

Натурал сан мен дурыс белшектен куралган косындыдан косу белпсш алып тастап жазу кабылданган: мысалы, 5 + ^ к о с ы н д ы с ы н 5с —3 деп ж азады ж э н е оны аралас сан деп атайды. Ол ею белжтен: 6ymiH ж э н е бвлшек бо.йктерден тура- 4 ды, мысалы, 3 — саныныц бутш бел1п 3-ке, ал бвлшек б е л т 4 — -ке тен. Кез-келген бурые белш еки аралас немесе натурал сан тур вде жазуга болады. Ол y m iH алымын бел1мше белу ке­ рек. Сонда белшд1 саннын бутш б е л т болады да, калдык — алымы, ал болпш — бел1м! болады: мысалы, ^ = 8^ . KepiciHme, кез-келген аралас немесе натурал санды бурые бвлшек туршде жазуга болады: Ол ушш оньщ бутш белйш болшектщ бол iMi не кебейтш, шыккан кобейтшдйе белшектщ алымын косу керек. , 1 7 -3 + 1 22 2 8-3 + 2 26 , 6 М ысалы, 1 - = - = — ; 8 - = з = ~Y’ 6 \" Т : 6. Белшектердщ тен д т. Белшектщ непзп кдеиеп. Белшектерд1 кыскарту ас Егер ad = be mendiei орындалса, онда ~b мен —d тен бвлшектер деп аталады. Мысалы, -32г = 4 , ейткеш, 2-6 = 3-4. -6 Бул аныктамадан белшектщ непзп кдеиетш аламыз. Егер бер'ыген белшектщ алымы мен бвл'т'т кандай да 6ip нел емес санга квбейтсе (немесе белее), онда берыген бвлшекке тен а ап бвлшек шыгады: тb = тon~, ейткеш , a(bn)=b(an) (мунда нату- рал сандарды кебейтудщ тер1мдийк жэне ауыстырымдылык завдары пайдаланылды (§1, 4°, 3° караныз)). Болш ектщ Heri3ri касиетш пайдалана отырып бершген белш екп баска турлерге ауыстыруга болады. Мысалы, 45 _ 15 _ 3 45 15 6 0 - 20 = 4 - Мунда, ^ болшегш 3-ке кькжартып — санын, 15 3 содан соц, — белшегш 5-ке кыскартып — алдык. Эрине, 14

----- Ti б1рден 15-ке кы с к ар т ы п алуга да болатын едь 60 4 . . Жалпы жагдайда, егер белшектщ алымы мен б ел ш 1еза- ра жай сандар болмаса белшек™ кыскартуга болады; алымы мен бел1м! озара жай сандар болатын белшекп кыскдртыл- 3 майтын белшек деп атайды: мысалы, — болшеп кыскартыл- майтын белшек. Белшекп кыскартудьщ непзп максаты — бершген белшекп кыскартылмайтын болшекпен ауыстыру. 7. Белшектер. и ортак, белгмге келпру 2 15 л — мен — белшектер! бершсш. Олардын бел1мдер1эртурл!: 3о 3 жэне 8. BipaK белшектщ н е п зп касиетш пайдаланып берш- ген белшектерд1 бел1мдер1 б1рдей болатын белшектермен ауыстыруга болады. Мундай турленд1руд1 белшектерд1 ортак, 2 мен бол1мш 8-ге бел1мге келт1ру деп атайды. 2 _н‘н 2 - 8 16 15 , кебейтш „ — = х т , ал — -тщ алымы мен б ел ш ш 3-ке 3-8 24 8 15-3 45 2 15 белшектер1 кебейтш — -■ = — аламыз. Сонымен, мен о •3 24 jо ортак б ел1мге келирщщ: 2 _ 1 6 . 15 _ 45 3 ~ 24 ’ 8 _ 24 ' Бершген белшектердщ ортак бел1мш 48-ге, 72-ге, жал­ пы алганда, 3-ке де 8-ге де белшетш кез-келген ортак бел1мге келт1руге болар едк 2 2 1 6 32 15 15 6 90 3 ~ 3^6 ~ 48’ 8 8-6 ” 48 ’ 2 _ 2-24 _ 48. 15 = 1 5 -9 = 135 3 \" 3• 2 4 ” 7 2 ’ 18 8 - 9 12' BipaK, есептеуд1 жецшдету ушш, бершген белшектердщ бел1мдершщ ен Kimi ортак eceлiгiнe (Е К О Е ) тен ец Kimi ор­ так бо.нмге Ke.'rripyrc тырысады. 7 11 .. Мысал. — ж эне ^ белшектерш ец Kimi ортак болш ге келт1ру керек. 15

Uleuiyi: 24 пен 30 сандарыньщ Е К О Е табамыз: Е К О Е (24; 30)= 120 (§1.4- кдрацыз). Одан сон, 120:24=5 7 тен болгандыктан, — белш егш щ бел1мш 120 келт1ру ушш оньщ алымы мен бел1мш 5-ке кебейтем1з: 7 7 -5 35 24 ~ 24-5 \" 120' 120:30=4 тен болгандыктан ^ -дщ бел1мш 120-га келлру ушш оньщ алымы мен бел1мш 4-ке кебейтем1з: 11 1 1 4 44 30 “ 30 -4 \" 20' Белшектер ортак бо;пмге келтаршдо: 7 _ 35 . _11 _ 44 24 “ 120’ 30 ~ 20 Мундагы 5 пен 4 сандарын, сэйкес, 6ipiHuii жэне екшил белшектердщ толыкгауыш кебейтиштер! деп атайды. Жогарыдагы iueiuiMfli кыскаш а былай жазады: 7 7/5 35 11 11/4 44 24 24 1 2 0 ’ 3 0 “ 30 _ 120' Сонымен, белшектерд1 ец Kimi ортак бел1мге келт1ру уннн: 1) Белшектердщ бвлшдер'тщ ЕКОЕ табады; 2) ЕКОЕ-mi op6ip бвлшге болin толыктауыш квбейтк'ш- mepdi ecenmeudi; 3) dp6ip белшектщ алымы мен бвл1мт сэйкес толык- тауыш квбейтк 'иитерге квбейтед1. 8. Белшектерге арифметикалык амалдар колдану Белшектерд1 косу жэне азайту а) Бел1мдер1 тец белшектерд1 косу (азай ту) уш ш , белшектердщ алымдарын косады (6ipiHmi белшектщ алымын екшпп б елш ектщ алымына азайтады), ал бел1мд1 сол туршде калдырады: о с _ а +с а с _ а- с bb b bb Ъ 16

б) Бе.ймдер! эр тур.й белшектерд1 косу (азайту) уппн белшектерд1 ортак бвльмге (эрине, ен Kimi ортак бел1мге келт1рген дурыс) келт!ред1, содан сон а) ережесш колданады. Егер мумкш болса, алынган болшекл кыскартады. 75 1-мысал: ^ мен — белшектерш косу керек. . 7 5 7'4 5 ° 28 15 43 , 7 Ш еи/л: 9 + 12 ~ 9 \" 12 “ 36 + 36 “ 36 ~ 3 6 ' 11 7 2-мысал: — -ден — -H i азайту керек. . 1 1 7 I I й 7 <3 _ 4 4 - 35 _ 9 3. еШу/ 30 24 ~ 30 24 ~ 120 ~ 1 20 ~ 4 0 ’ в) Аралас сандарды азайту ушш азайгыштын бутш б е л ь г1нен азайткыштьщ бутш б е л т н , содан сон азайгыштын белшек белншен азайткыштьщ белшек болшн азайтады. Мысалы: п 7 , 5 .7 5 . 1° 5'2 . 2 1 - 1 0 .11 9 — 4 — = 5 --------- = 5 -------------- = з ------------ = 5 — ; 8 12 8 12 8 12 24 24 г) Егер азайткыштыц белшек oo.iiri азайгыштын белшек белтнен артык болса, онда азайгыштын бутш б о л т н щ 6 ip- л т н щ 6 ipeviH оган тен белш екке ауыстырады. М ысалы: -j 5 9 _ . 5 9 _ - 5 '5 9 '4 . 3 5 - 3 6 8 \" 1 0 ~ 3 8 10 “ ^ 8 10 40 = 4, + —40 + —2 —5 - —3 6 = 4. 4--0----+---2--5------3--6-= 4,—39. 40 40 40 40 Аралас сандарды косу амалы да осы сиякты орындалады. ас Белшектерд1 кебейтч. —b мен —а болшектерш щ кобей- TiHflici — ал ы м ы б ерш ген б е л ш е к т е р д щ а л ы м д ар ы н ы н кебей тш д1а, ал бел1м1 олардын бол1мдершщ кебейтшд1с1 болатын болшекке тен: а с _ ас с d bd Аралас сандарды кебейту ушш оларды алдын ала бурые белшектер TypiHe келт1ред1, содан сон алдьщгы ережеш кол­ данады. мысалы: 2-99 17

1 1 = 7 19 = 7 - 1 9 133 = у 7 3 ‘ 6 \" 3 ‘ 6 “ 3-6 18 18' Егер eKi санньщ кебейтш д1а 1-ге тец болса, онда оларды 11 езара Kepi сандар деп атайды. Мысалы, 3 пен - , а мен ^ аЬ езара Kepi сандар; — мен — туршдеп кез келген eKi белшек езара Kepi сандар болады, ей ткеш , олардьщ к е б е ш т щ п а 1-ге тец Белшектерд1 белу. Белшект1 белшекке белу ушш б ел ш п и ш бел п ш ке Kepi болшекке кобейтедк а с _ a d _ ad b d b e be Аралас сандарды белу ушш, оларды алдын ала болшек турше келт1ред1, содан-сон алдьщгы айтылган ережеш кол- данады: мысалы, ,5 „1 —26 7 = 26 3 78 . 3- :2- = :- — •- =— Кез келген натурал санды белшек туршде жазуга бола- тындыкуан, натурал санды белшекке кебейтуге немесе белу­ ге болады. М ысалы, •1 - 2 - 1 = 2 5 _ 3 - 5 _ !5 3, ' ' 5 “ 1 ‘ 5 \" 1 4 \" 1-4 4 4’ 4 2 - 1 5 _ 4 , 5 _ 20 - 10 _ з 1 2) 6 \" Г б \" 1 -6 \" 6 \" 3 \" 3 ' МЫСАЛДАР Амалдарды орындау керек: 35 2) 1Л 2 5 +14 + 6 Uleiuyi: 11 5 11 5 1 1 - 5 6 _ ч) 8 —J 2 -6 —12 = 2 —12 - —12 = 2 ---1--2--- = 2 —= 2 - ; 12 7 1 5 _ 5 5 _ 5 8 _ 5-8 _ 4 \"^2 8 _ 2 8 _ 2 5 _ 2 - 5 _ 18

1 2 I'5 2'5 5 - 4 1 2) ’ 2 “ 5 “ 1 2 \" 5 = l 10 = 1 1 0 ’ 3 5 _ 3 ^ 5 ^ _ 9 + 10 _ 19 4 +6 ~ 4 + 6 12 ~ 1 2 ’ 3 1 11 11 10 5 2 :1 — = — 4 10 4 10 4 2 19 1 _ 19 19 _ 19 6 _ 6 _ 1 5l 6 1 2 ' 6 “ 1 2 ’ 6 _ 12 ' 19 _ 12 _ 2 ’ 2 + 2 = 2 = 3‘ ТАПСЫРМА врн ектщ мэн1н табу керек: 51 12\"\\ 3 ( 1 2 9 ^ 15 1 A- 'Ч б О 'П /Ю ’ V9 5 3 8 J 1 6 ’ 3 ) [ 3 12 + 1 12, :17 ; . 3 5 .1 2 ., 1 - 13 4) 4 ’ 6 + 2 ’ 3 ’ 9’ 5) 7 8 :4 4 ' 3 1 f 1 J ' l 1 ( \\ 231 22 ~ 4 ' * 2 + l l 2'~ 4 J ' 2 2 Л 1 7 ~ 4 9 / 147 Б- ° n U 3 L l 3 \\ U 2 ± - ” l -1* : 5 I 4 ' / 3 1 18 3 6 J 65 3 - 4 - 2- Ц- + 2 J - ) •1 --------- H 3 l + 5 13 12 18 2 4 J 31 521 2 6 j 2) 19 ( з 13 2 131 , ■1 2 14 84 ' V 42 18; 27 39 Жауабы: A. 1) 2; 2) Б. 1) 16; 2) 5. 9. Ондык белшектер Бел1м1 10, 100, 1000, ... , ягни, бел1м1 10-ныц кандай да 6ip д э р еж ес ш е тен жай б о л ш е к п акырлы ондык; белшек туршде жазуга болады. 19

7 12437 234 „ Мысалы, — ; 100000 жай белшектер1 акырлы ондык, болшек туршде, сэйкес 0,07; 12,437; 0,00234 деп жа- зылады. Осы акырлы ондык белшектердщ эркайсысы оларга сэй­ кес жай белшектердщ ондык ж1ктелу1 деп аталады. 7 12437 = 12,437; — 234 С о н ы м е н 6ipre — = 0,07; ^ = 0,00234 тецщктерш — берЬген жай белшектер акырлы ондык белшек- терге Ж1ктелд1 дейдг М ысалы, 7 мен 0,07 6ip гана санньщ эртурл1 белпленулер1 екеш есте болуы керек: 6ipiHLui белплеу — жай болшек туршде, ал eKiHimci — акырлы ондык бвлшек туршде. Сонымен 6ipre, кез келген акырлы ондык бвлшект1 —, р е N , q = 10\" туршдеп жай белшекке келпруге болады. Мысалы, 301^'> 12 3,0122 = —— 0, 00012 = -Ц-. ю4 ю5 С о й н п , ^ жай б е л ш е п н щ бол1м1 10 санынын кандай да 6ip дэрежесм болса, онда ол белшекпн' акырлы ондык болшекке Ж1'ктеуге болады екен. Kepiciiiiue, акырлы онды к бвлш ек — бол1м1 10-ныц кан­ дай да 6ip дэреж еа болатын жай белшекпн ондык жштелуг Натурал сан — акырлы енды к белшектщ дербес жагдайы екенш ескертем1з, мысалы: 3 = 3 ,0 = 3,00 = 3,000 = ... . Жалпы жагдайда мына теорема орындалады: р 2 .1 -теорема. К,ыскартылмайтын ~ч бвлшег! акырлы ондык белшекке ж/'ктелу/ уш/н, оныц q бвл'шМц 2 мен 5 - тен баска жай бвлг/'штерi болмауы кажетпн ж эне жетктют. Мысалдар. Бершген а) -4 ; б) 3 белшектерш акырлы ^ ондык болшекке ж1ктеу керек. Шеш'тк l-Toci.i. Болшектщ б е . т п 10” тен болатындай erin турлещцру. Ол ушш белшекпн алымы мен бел1мш 2-ге кобей- ту керек екенш кврем1з: 1 = 1 ^ = А = 0,8. 5 5 - 2 10

2-тэал . Болшектщ алымын бол1мше “бурыштап” болу: 4_ А >|ГН„ | = 0 . 8 . 40 40 0 б) Болшектщ 2.1-теоремасыньщ шартыи канагаттан- дыратындыгын т ексереш к: 40 = 2 •2 ■5 = 2 : ■5 Олай болса 3 2.1- теорема бойынша — белшеп акырлы ондык, болшекке жктеледк 2-uii тэсицц колданайык: 3 40 30 0,075 Олай болса, 3 — = 0,075. 300 40 280 _ 200 200 о\" Болшектщ neri3ri касиетш пайдалана отырып 7,234 бол- шепн томендепше жазуга болады: 234 2340 23400 7,234 = 7 — — = 7 _____ = 7- 1000 10000 100000 Будан, 7,234 = 7,2340 = 7,23400 = ... екенш керем1з. Соны мен, ондык белшектщ оц жагына нелдерд1 косып жаз- ганнан немесе ондык белшектщ оц жагындагы нолдерд1 алып тастаганнан ондык болшек езгермейдк ТАПСЫРМА 1. К е л е а болшектерд! акырлы онды к болшектерге ж iктоу керек: 7398153 1291 198 31 7 8 а) 100000 ; б) 100000' В) 1000' Г) 2 0 ; Д) 5 0 : Ж) 5 * 2. О н д ы к болшектерд1 жай б ел ш е к т е р т у р ж д е ж азу керек: а) 0,037; 6) 2.503; в) 0,713; г) 0,35; д) 7,22. 21

3. Б о л ш е к т е р д щ к а й с ы с ы а к ы р л ы о н д ы к б о л ш е к к е жжтелетшш аныктау керек: I- 2 1 -1 1 - _J_- 3 ’ 15 ’ 35 ’ 200 ’ 4 8 ' 10. Ондык белшектерге колданылатын амалдар Ондык белшектерд1 косу (азайту) ушш олардьщ б1рдей разрядтарын 6ipiHin астына 6ipi, ал утФД* УТ>РД*Н астына тусетшдей етш жазады да, натурал сандар сиякты косады (азайтады). Мысалы: 0,132 _ 9,871 16,200 2,354 7,320 4,752 2,486 2,551 1 1,448 Сонымен, 0,132+2,354=2,486; 9,871-7,320=2,551; 16,200-4,752=11,448. Ондык белшектерд1 кебейту ушш упрге назар аудармай (натурал сандарды кобейту сиякты) оларды ко б ей тт, кобей ткш тер дщ уйрлершен кешн барлыгы канша цифр болса, алынган кеб ей тш д ш щ оц жагынан сонш а цифр тастап yrip кою керек. М ы салы , 2,7-Hi 1,3-ке кебейтешк. Алдымен 2 7 - 13 =3 51 аламыз. Кобейтюштердщ уйрлершен кеш нп барлык цифрлар екеу болгандыктан, к е бей тш дш щ он жагынан eKi цифр тастап yTip коямыз: 2,7 •1,3 = 3,51. Егер упрмен ажырататын цифрлар кебейтшдще жеткпесе, онда кебейтшдшщ алдына нелдер жазады. Мысалы: х2,12 х 3,42 0,13 636 0,0002 212 0,000684 0,2756 Ондык белшектерд1 белу, а) 4 ,4 6 -н ы 2-ге белеш к. 2-ге алдымен санньщ бутш бел1пн, содан соц ондык улесш, ец соцында жуздж улесш белем1з, ягни 4,46:2=2,23. б) 1,2345-Ti 5-ке белеш к. Б е л ш д ш щ бутш бел ш нд е нелд1 аламыз (ойткеш, 6ip беске белшбецщ), ягни 1,2345:5=0.2469. в) 1,25-Ti 1,6-га б ел еш к. Бол ш и ш пен б о л п и т 10 есе арттырамыз. Сонда: 12,5:16=0,78125. 22

Санды ондык; белшекке белу ушш болпш тщ ут1ршен кешн к,анша цифр болса, б ел ш п ш пен белпш те упрд1 оцга сонша цифрга ж ы лж ы ты п, содан соц натурал сан га болу эд1сш колданады. ягни, Ескерту. Ондык, б о л ш е к п 10, 100, 1000, 10я сандарына кебейту (белу) уипн, yripfli оцга (солга) /;-тац- басанга жы лжы ту керек. М ы салы , 3,576 •1 0 0 = 3 5 7 ,6 ; 2,53:10=0,253. ТАПСЫРМА Орнектердщ мэнш табу керек: 33 176—- 1 7 0 —+ 3 ^ 152 ——148— 0,3 2) 6 3 12. А) 1) 48 0,8-0,25 0,2 ' 1—* ь 2 --5---1----- ■9,6 + 2,13 I6.6-3-3 5- 12 32 24 ’ 4) 14 6 3) (21-1,25): 2,5 0,4 (2,1 -1 ,9 6 5 ):(1 ,2 -0 ,0 4 5 ) _ 1:0,25 93 2 1 5 ^ -2 0 8 ^ + 0 5 0,0001:0,005 ’ 0,00325:0,013 1,6:0,625' 7 Жауаптары: А) 1) 6,5625; 2) 29 — ; 3) 84,075; 4 ) 2 , 5 . Б) 1) 3 6 5 1 ; 2) 6. О 11. Периодты ондык, белшектер тусппп Б1з осы уакытка дею н акырлы онды к болшек деп атала­ тын, ягни упрден кешн акырлы санды цифрлары болатын онды к болшектерд1 карастырдык. Ещц ут1рден кешн акыр­ сы з коп цифрлары бар акырсыз ондык белшек деп аталатын ондык болшектерд1 карастырамыз. 2.1-теорема бойынша (2.9 караныз), егер кыскартылмай- р тын ~ болшектщ бшнмшщ 2 мен 5-тен баска болпштер! Р болса, онда белшеп акырлы ондык белшекке жжтеле ал- 7 майды. М ысалы, х кыскартылмайтын болшектщ бол1м ш щ

жай белпип 3 болгандыктан, ол акырлы ондык болшекке жжтелмейд1 (2.1-теорема). Сонда да оган алымын бел1мше “бурыштап” болу ережесш колданайык: 1 \\ 9__ 70 0,777... '63 70 '63 70 ‘ 63 Бул есептеудщ op6ip кезецшде калдык 7, ал болшдще 7 цифры кайталанып отырды. Бул акырсыз процесс. Ол 6i3fli 0,777... орнепне алып келдг Мундагы коп нукте 7 цифры акырсыз коп кайталанатынын, ягни у-прден кейш кез келген орында (разрядта) 6ip гана 7 цифры туратынын корсетедк 0 , 7 7 7 .. . — opueriH акырсыз периодты ондык белшек, немесе кыскаш а периодты белшек деп атайды да, оны 0,(7) символымен белплейдк 0,777... = 0,(7) (ол, нел бутш жэне периодында жет1 деп окылады). 7 Сонымен, X саны 0,(7) туршдеп периодты болшекке жштелдк 7 9 = 0,777.. =0,(7). К елеа мысалдардагы тенджтерд1 тексерпцздер: •) — = 0 , ( 17 ) = 0 , 1 7 1 7 . . . ; 2) ^ = 0,(02) = 0,0202...; 1\\ 101 ,ч ,.4 143 4 ) — = 3,1(7) = 3,1777.... 900 = 0,1 = 0,11222- ’ Булардыц окылуы: 2) 0,(02) — нел бутш жоне периодын­ да нол eKi; 3) 0 ,11 (2 ) — нол бутш жузден он 6ip ж эне пери­ одында e K i; 4) 3,1(7) — уш бутш оннан 6ip жэне периодын­ да жетг Бутш санга немесе акырлы ондык белшекке акырсыз коп нолдердд т1ркеп жазып, оларды да периодында „0\" болатын акыр­ сыз ондык болшекке айналдыра аламыз, мысалы, 24

2 7 = 2 7 ,ООО...= 2 7 (0 ); 0,354=0,354000..=0,354(0). Олай болса, кез-келген бутш сан мен кез-келген акырлы ондык болшек, акырсыз периодты ондык болшектщ дербес турлер1 екен. 2.2-теорема. Кез-келген жай болшек акырсыз периодты ондык болшекке жжтеледг Буган Kepi теорема да дурыс: 2.3-теорема. Кез-келген периодты болшек — кандай да 6ip жай болшектщ ондык болшекке жжтелук Периодты ондык белшекп жай болшекке айналдыру ережеск Бершген периодты ондык бшшекпй жай болшек тур'шде жазу ушш, ек'тий периодко дейт турган саннан 6ipimui периодка дейт турган санды шегер'т, айырманы жай болшектщ алымы emedi, ал ж ай болшектщ бол!miне периодта канша цифр болса 9 санын сонша рет жазып оган (тогыздардан сои) ymip мен 6ipimui периодтыц арасында канша цифр болса, сонша нвлдердi пйркеп жазады. Мысалдар. Бершген санды жай болшек турщде жазу керек: а) 0,(45); ^ 3,1(73). 45-0 5 LUeiuyi: а) 0,(45) = 99 11’ б) 3,1(73) = 3 1 7 3 -3 1 _ 3142 _ 1571 990 ' 990 “ 495 ' Ескер1ту■. 240 - 24 216 жоне 2,4(0) = — = = 2,4 90 90 2 3 9 -2 3 216 2Ду9)’ = ----9--0--- = 90 = 2.4. теьцпктерщен 2,4=2,4(0)=2,3(9) аламыз. Сол сиякты, 7,25=7,25(0)=7,24(9); 0 ,0 3 1 = 0 ,0 3 1(0)= 0,030(9); 12,3018=12,3018(0)= 12,3017(9) болатынын корсетуге болады. Олай болса, периоды 9-га (немесе 0-ге) тен ондык белшект1 акырлы ондык белшекпен ауыстыруга болады екен. 25

Тапсырма: Периодты ондык белшекп жай болшек туршде жазу ке­ рек: А. 1 ) 0 , ( 4 ) ; 2 )0 ,(44); 3) 2,(44); 4 ) 3 , 1 ( 4 4 ) ; 5 ) 2 , ( 1 2 3 ) . Б. Орнектщ мэнш табу керек: 0,8(3) -0,4(6) 1,125+ 1,75-0,41(6) ' ; + 2,708(3) :2,5 1) , 5 0,59 ’ 2) ПО' 6 (1,3 + 0,7(6) + 0.(36))- — 5 Жауаптары. Б. 1) 7 ; 2) 2. о 12. Пропорция. Процент ас ас Пропорция деп, — мен — катынастарыныц тенднш - = ^ айтады; Мунда а мен с! пропорцияныц шетю, ал b мен с ортацгы мушелер1 деп аталады. Пропорцияныц кдсиеттерг 1. Пропорцияны оныц шетю мушелершщ кебейт1цщс1 мен ортацгы мушелершщ кебейтщщсшщ т е н д т туршде жазуга бо­ лады: —- — ad = be; bd 2. Пропорцияда шетю мушелер1 мен ортацгы мушелершщ орындарын ауыстыруга болады, ягни ^ ~ пропорциясынан dс db аЬ ~Ь —-а 1 с —а » с —~d пропорцияларын алуга оолады. Процент. О н ды к белшектердщ iuiimie процент деп атала- тын 0,01 б ел ш еп е м 1рде ж ш пайдаланылады. Процент — саннын жузден 6ip б е л т . Оны % символы аркылы белплейдк Мысалы, 5%, 1000%. 1) Процентт1 сан турш де ернектеу у ш ш п р о ц е н тт е корсейлген санды 100-ге беледь Мысалы, 125% =1,25; 2,3%=0,023. а 2) в-саныныц а % табу ушш, e-ны jq q *ге кебейту керек. 26

60 •30 10 М ысалы, 60-тьщ 30%-Ti j — = Iо -ге тен. 3) Процент! бойынша санды табу. а Егер х -сан ы н ы н а %- Ti e-га тен болса,онда - * ' J q q = ° т е н д т н е н х = —а -100 аламыз. Мысалы, егер жинак кассасына салынган акшаныц 3%-Ti 150 тенге болса, онда бул акша - у •100 = 5 0 0 0 тенге болганы. 4) в мен а сандарыныц проценттт кртынасын табу ушш, бул сандардыц катынасын 100% -ке кобейту керек, ягни - •100% — есептеу керек. а Мысалы, завод жоспарындагы 60 автомобиль орнына 66 66 автомобиль жасап шыгарса, онда ол жоспарды — 100% = 110% орындайды. Мысал. Банктерде жыл сайын салынган акшага 2% коса- ды. Банкке $150 салынды. 2 жылдан сон бул акша канша болады? Шешу'!. BipiHnii жылдьщ сонында акша 1 5 0 + 1 5 0 -0 ,0 2 = = $ 1 5 3 , ал eKiHLiii жылдьщ сонында 153 + 153 - 0,02 = $156,06 болады. Жалпы мынадай курдел1 процент формуласы бар: N = a (1 + 0,01 -р)'\\ мундагы а-бастапкы салынган акша, л-акшаньщ сакталу мерз1м1, N саны п жылдан к е ш н п акша шамасы, /^-процент саны. Назарыцызга: Процентке арналган ecenTcpni пропорция- лык схема аркылы шыгару ыцгайлы. ©йткеж, есептеп белпс1з шаманы ас пропорциясыныц торт мушес1|цц 6ipeyi деп алуга болады. Мысалы, 5%-Ti 20 тец санды табу керек. Б е л п а з санды х, жоне ол 100%-ке сэйкес деп алып, келес1 пропор- циялык схеманы жазуга болады 100% 20 —> 5 %.

Алл , кбул схеманы —Х = -10у0 пропорциясы турше кенп•рсек х = 100 20 = 400 аламыз. —- — Жай белшектерд1 салыстыру. Пропорцияныц касиеттерш жай белшектерд1 салыстыруга пайдалануга болады. ас Ереже. —b жоне а- он жай болшектерд1 салыстыру ymin ad ж э н е Ьс кобейтшдшерш салыстырады. Егер: ас 1) олар тен болса, онда —b = —а ; 2) олар тен емес болса, онда улкен кобейпши курамында а мен с сандарыньщ (ягни, белшектердщ алымдарыньщ) кай- сысы бар болса, сол санга (алымга) сэйкес келетш жай болшек улкен болады. 17 13 М ы салы , ж э н е — с а н д а р ы уипн 17 •1 4 = 2 3 8 < <13 -23=299 тещ п зд т орындалады. Ереженщ 2) пункп бо- 17 13 йынша, — < — • 13. Координата тузуй / тузуш щ бойынан кез келген О нуктесш санау басы етш алып оган 0 санын сэйкес коямыз. Тузудщ багытын аныктаймыз. Кез келген / нуктесш алып оган 1 сан ы н с э й к е с ко я м ы з. С о н ы м е н 6i3 [0; 1] б1рлiK кесшдш 1корсетт1к (1-сурет). Бул жагдайда координата тy:iyi 6epLidi дейдь 0p 6 ip нату­ рал санга немесе белшекке I тузушщ 6ip нуктеа сэйкес келедк Мысалы, 3 санына 0 нуктесшен бастап, бершген багытта, б1рлiK кесшдпп уш рет салгандагы А н у к т е а сэ й к е с келедк ,1 4 — санына, 0 нуктесшен бастап, бершген багытта, б1рл1к 1 кесш д Ы торт рет, содан соц тагы да кесшдшщ — б о л т н салгандагы В н у к те а сэй кес келед1. Егер / тузушщ М нуктеа кандайда 6ip х санына сэйкес келсе, онда х санын М нуктесшщ координатасы деп айтады да М(х) деп жазады. 1-суреттеп J, А, В нуктелершщ коорди- 1 наталары У(1), /1(3), В(4—). О нуктесшщ координатасы нелге тен, ягни 0(0). 28

А‘ О ./ Ав Ж____ А — 1 01 1 •4 '-/ -3 /- сурет 3 4 7- Ещц б1рлж кеацщ ш О нуктесшен бастап бершген багыт- к,а карама карсы багытта уш рет олшеп саламыз. Санау басы О нуктесшен салыстырганда А нуктесше симметриялы бола­ тын А' нуктесш аламыз. А н у ктесш щ координатасы 3 бол­ са, А' нуктесш щ координатасын -3 деп жазады да, “минус уш” деп окиды. Дал осы сиякты В нуктесше симметриялы HyKTeciHin координатасы ■А—” -ге тен болады. 3 пен —3, 1 мен „1 сандарын, жалпы а мен -а сапдарын карама- 4у —4 ^ карсы сандар деп атайды. О н у к т е с ш е н Караганда к о о р д и н а ­ та Ty3yiniH бершген багытында орналаскан пуктелерге сэ й - кес келетш (ягни, О нуктесшен бастап бершген багытта орналаскан нуктелердщ координаталары болатын) сандарды од сандар деп атайды: 1, 3, 4 ^ оц сандар. Оц сандарды I кейде «плюс» белпамен жазады: +1, +3, +4 у . О нуктесшен Караганда координата тузушщ бершген багытыпа карама-кар- сы багытта орналаскан пуктелерге сэйкес келетш сандарды Tepic сандар деп атайды: -3, —4 ^ Tepic сандар. О саны оц да, Tepic те сан емес болып есепгеледк 0 санына сойкес келетш О нуктеа координата тузушдеп оц координаталары бар нукте- лер мен Tepic координаталары бар нуктелерд1 ажыратып тура- ды. Координата тузушдеп корсетшген багытты оц (эдетте, ол оцга карай журпзшедО, ал оган карама-карсы багытты Tepic багыт деп атайды. Натурал 1,2,3,... сандарын оц бутш сандар деп те айтады. Натурал сандарга карама-карсы - 1 , —2, - 3 . . . сандарын Tepic бутш сандар деп атайды. О санын да бутш санга есептещц. Соны мен, 6yriii сандар — натурал сандар, натурал сандарга карама-карсы сандар жэне 0 саны. Бутш сандар жиынын Z аркылы белгшейдк Z = {... —3,—2 , - 1 , 0 ,1 ,2 ,3 , ...}. 29

Були сандар мен белшектер (он жэне Tepic) 6 ipiriп рационал сандар жиынын курайды. Бул жиынды Q деп б е л п л е й д к К е з -к е л г е н рационал сан ды —Р , / > e z7, < 7 e/ыv туршде жазуга бколады. q Qжиынында косу, азайту, кебейту жэне белу (нелге болу- ден баска) амалдарын орындауга болады. § 3. НАК,ТЫ САНДАР 14. Иррационал сандар. Накты сандар Иррационал (рационал емес) сан деп, акырсыз периодсыз он­ дык белшек туршде жазуга болатын санды айтады. Мысалы, 0,101 10 1110 11110... . Математикада б е л гш л саны, е саны (натурал логарифм Heri3i)—иррационал сандар. Иррационал сан т у с ш т н е келйретш мысалды мына теорема бередк “ Квадраты 2-ге тец рационал сан ж ок”. Бас- каша айтканда, рационал сандар жиынында х2—2 = 0 тендеуш шешу мумкш емес. Ойткеш , бул тендеудщ туб1рлер1 V2 мен - \\[2 — иррационал сандар. Осы сиякты квадраты 5-ке, 7-ге, 10-га тец рационал сан­ дар ж о к Квадраты корселлген сандарга тец иррационал сан­ дар сэйкес \\[\\0 деп белпленедь Оларга карама-кар- сы - 7 ^ 7 - 7 ^ 7 - VTo сандары да иррационал сандар. Рационал жэне иррационал сандар жиындарынын 6ipiryi накты сандар жиынын беред1 ж эне оны R аркылы белплейдг Кез келген накты санды акырсыз ондык белшек туршде жазуга болады. Егер сан рационал болса, онда белшек пери­ одты, егер сан иррационал болса, онда белшек периодсыз болады. 9p6ip накты санга координата тузушщ жалгыз нуктеа жэне KepiciHine, координата тузушщ op6ip нуктесше жалгыз накты сан сэй кес келед1. Баскаша айтканда, тузудег/нукте- лер жиыны мен накты сандар жиыныньщ арасында езара 6ipMdndi сэйкест/'к орнатуга болады. Накты сандар жиынын сандар Ty3yi деп те атайды. С ан ­ дар тузушщ геометриялык модел1 (бейнеЫ) — координата тузуг 30

Акырлы ондык болшектерд1 косу, азайту, кобейту жэне белу ережелер1 6i3re белгш . Акырсыз ондык белшектерге колданылатын бул амалдар ережелер1 ш е к а з процестерд1 та- лап етедЦ сондыктан да олар теориялык тургыдан гана ма- нызды. Практикада акырсыз ондык болшектер;и (пакты сандар­ ды) жуыктап косады, азайтады, кобейтед1 жэне боледг Он акырсыз ондык белшектеп yTipre дейшп санды осы белшектщ бутш бел1п деп атаймыз. Акырсыз онды к белш ектщ упрден кеш нп 6ipiHiiii цифр осы белш ектщ 6ipiHiiii разрядыныц цифры, упрден к е ш н п екшип цифр — екшип разрядтык цифр, ушшипеш-ушшпп разрядтык цифр, т.с.с. атайды. Е г е р а оц сан болса, онда —a T e p i c , ал a T e p i c сан болса, онда —а оц сан болады; а = 0 болса, онда —а = 0 болады. а накты сан ы ны н модул1 немесе абсолют шамасы деп, егер а оц сан болса, а санынын озш; егер а нол болса, нолдк егер a T e p i c сан болса — а с а н ы н айтады. Бул аныктамадан санныц модул1 он сан немесе нел бо- л аты ны н корем1з. М ы са л ы , а - л/2, Ь = —л/3, с = 0 болса, онда: |а \\= V2, \\ b \\ --b = -л/3, |с \\- 0 . 14'. Пакты сандарды салыстыру EKi акырсыз онды к болшек сандары 6epuicin (екеуш щ де периоды 9 емес деп санаймыз). Оларды салыстыру ушш келеа ережелерд1 колдануга болады. 1-ереже. Егер ек! накты санныц тацбалары б1рдей болып олардын модульдершщ б1рдей бутш бел1ктер1 ж эне сэй кес разрядтарыныц б1рдей цифрлары бар болса, онда олар тен болады. BipaK нел саны уипн: О = 0,000... = - 0,000... = +0,000... болатынын еске саламыз. 2-ереже. Tepic накты сан 0-ден Kimi жэне кез келген оц накты саннан Kimi. 0-саны кез келген он накты саннан Kimi. 3-ереже. EKi оц накты сандардыц кдйсысыныц бупн б о л т улкен болса сонысы улкен. Ал, егер бутш болжтер1 б1рдей болса, онда цифрлары эртурл! болатын ен K im i разрядына 31

караймыз: кайсы саннын. осы разрядынын цифры улкен болса. сол сан улкен. Tepic накты сандар ушш oopi Kepicimue: олардыц кдйсысы- ныц модул! K i m i болса, сонысы улкен болады. Егер а мен b накты сандары тец болса, онда а =Ь деп жазады. Егер де а саны Ь -дан Kimi болса, онда а < b немесе Ь > а деп жазады, а саны Ь-га тен емес болса, оны офЬ деп жазады. Мысалы: -3,1 мен -3,(1) сандарын салыстыру керек: |-3,1|=3,1=3,1000...; |-3,(1)|=3,(1)=3,111...; 3 , 1<3,(1) болгандыктан -3,1 > -3 ,( 1) болады (3-ереже). Жогарыдагы айтылган ережелерд1 геометриялык тургы- дан былайша айтуга болады: Бершген eKi санньщ координаталар тузу1нде кдйсысы он жагында орналасса сонысы улкен (од жай белшекгер.и салыс­ тыру ережеан § 2 , 12 п. карацыз). <, >-катан. тенс'пдЫ тсщбалары, ал > , < — катан емес тенс/'зд/'к танбалары. а< Ь жазуы “а саны 6-дан Kimi немесе а саны Ь-га тен ” деген айтылымдардьщ ен болмаганда 6ipeyiHin дурыс екешн бшд1ред1 ( а< Ь жазуын — “а саны 6-дан улкен е м е с ” — деп те окиды). Мысалы, 3 < 5 , 5 > 5 дурыс теназдщтер. д > 0 болса, онда а-ны T ep ic емес сан деп атайды. Егер а<Ь ж э н е Ь<с б о лса, онда а<Ь<с жазуы (кос теназдж) колданылады. 15. Сандык тецазд1ктердщ Kacnerrepi Кез-келген a,b,c,d накты сандар ушщ келес1 касиеттер орындалады. 1°. а<Ь болса, онда а<с<Ь болатындай с саны табылады; 2\". а<Ь ж э н е Ь<с болса, а<с болады (тенс1зд1ктерд!ц транзитивт1 (алмасымдылык) касиет!); 3°. Егер а<Ь болса, онда а+с< Ь+с\\ 4\". Егер а<Ь б о л с а , онда кез келген с>0 сан ы уш1н ас<Ьс; 5\". Егер а<Ь ж эне с<0 болса, онда ас>Ьс;

6°. Егер a<b ж ене c<d болса, онда а+ с < b+d\\ 7°. Егер a ,b ,c ,d — он сан д ар б о л ы п , а<Ь ж э н е c<d болса, онда ac<bd\\ 8\". Егер а<Ь ж эне c>d болса, онда c-a>d-b\\ 9°. Егер а>Ь>0 болса, онда -а< т b> 10°. Егер а>Ь>0 болса, онда кез келген натурал п саны ушш a\">b\" т е н а з д т орындалады. 16. Сандык, аралыкгар Томенде а мен b (а<Ь) сандары ны н ( н у к гелер ж щ ) арасында жаткан х-сандар жиы ны нан курал га н «аралык- тары керсетглген. Кестенщ 1-iui баганында кос тен аздж т! канагаттандыратын х сандар жиыны, 2-ini баганда оньщ ара- л ы к турдеп белплен\\л, З-mi баганда бул аралыктын атауы, ал 4-iiii баганда геометриялык бейнеа керсетьтген. Тецс1здж Белплену1 Аралык. Typi Геометриялык турждеп (атауы) бейнеа (а; Ь) жазу арал ык - 0 --------------------- 0 — (интервал) а <х <Ь кесжд1 аb ^ //////л////ф ^ а<х<Ь |а; Ь ] аb а<х< b ( а; Ь ] жартылай аb а<х<Ь \\а; b ) арал ык — «/./././,/,/,/,/,/,<)— ► жартылай арал ык аb х>а |а; +оо ) соуле а + °° х< b (—°о ; b \\ соуле // / // // // // // / /щ, х> а (а; + оо ) ашык соуле - ОО Ь х <b ( -оо ; Ь ) ашык соуле fj//////////////t а +оо //////////////^ , - оо Ь 3-99 33

“+°°”, белrijrepi сэй кес “плюс акы рсы зды к”, “минус акырсыздык”, “акырсыздык” деп окылады. Эдетте, “аралык”, “жартылай аралык”, “сэуле” атаулары эрдайым колданыла бермейд1, оларды “аралык” немесе “ин­ тервал” деген жалпы атаумен ауыстырады. 17. Накды санныц модулшщ касиеттери Координаталык тузудщ eKi нуктесппц аракдшыктыгыныц формуласы Bi3 жогарыда келлрген а санынын модулшщ аныктама- сын былайша жазуга болады [я, егер а > О, \\а\\= [ - а, егер а < 0. Геометриялык /пургыдан \\а\\символы координаталык тузуде 0 нуктесшен а нуктеане deuinei кашыктыкты кврсетед/. Модульдщ касиеттер1: 1°. \\а\\> 0. 2°. И = \\~а\\. 3\". \\ab\\ = |о|х |Н 4 й. |ар=а2. Егер координата тузушде е к 1нукте А(а), В(Ь) бершсе, онда олардьщ аракашыктыгы р (А; В) = \\а~Ь\\ формуласымен ернектеледй Модульдщ 2° касиет! бойынша р (А; В )= р (В ; А). М ысалы, р ( —2; 5 ) = |—2; —5| =|—7| = - ( - 7 ) = 7. 18. Нак^ы сандар уннн орындалатын амалдар ережеа Тицбалары oipdeii eKi санныц к,осындысын табу yiuin олар- дьщ модульдерin косып, косынды алдына косылгыштардьщ танбасы жазылады. Мысалы, ( + 1 2 ) + ( + 8 ) = + 2 0 ; ( —1 2 ) + ( - 8 ) = —20. 34

Тацбалары эртурл1 eKi санныц косындысын табу ушш косылгыштардагы улкен модульден Kimi модуль^ uierepin, айырма алдына модул1 улкен сан н ы ц тацбасын жазады. Мысалы, ( + 1 2 ) + ( —8 ) = + ( 1 2 - 8 ) = 4 ; (~ 1 2 )+ (+ 8 )= -(1 2 -8 )= -4 . Bip саннан екншл санды шегеру ушш, азайткышка карама- карсы санды азайгышка косады. Мысалы, 12—( —8 ) = 1 2 + ( + 8 ) = 2 0 ; 1 2 -(+ 8 )= 1 2 + (-8 )= 4 . Eki санныц кебейтшдкш (белш дкш ) табу yiuiii ол ею с а н ­ ныц модульдерш кобейтед1 де (6ipiHmi санныц модулш екшпп санныц модулше белед1 де), кобейтпуц (болшдО алдына — егер eKi сан б1рдей тацбалы болса “ + ” , ал ортурл1 тацбалы болса ” тацбасын жазады. Мысалы, ( —12) - (—8) = + 1 2 - 8 = 9 6 ; ( - 2 4 ) : ( + 3 ) = - у = - 8 . 19. Тенджпен байланыскдн накты сандар кдсиеттер1 Кез келген а, Ь жэне с накты сандары ушш мына тецщктер орындалады: 1) а+Ь = b +а косудыц орын ауыстырымдылык (комму- тативтк) зацы; 2) (а+Ь)+с = а+(Ь+с) косудыц тер1мдшк (ассоциативтж) зацы; 3) a b —ba кебейту дщ орын ау ы ст ы р ы м д ы л ы к (ком м у - тативтж) зацы; 4) (ab)c= a(bc) кебейтудщ тер1мдинк (ассоциативтж) зацы; 5) a(b+c) = ab+ac улеспр1мдипк (диструбутш тк) зацы; 6) а + 0 = а; 7) а+ (~ а) - 0; 8) а — b = а + ( - Ь)\\ 9) а - 1= а; 10) а - 0 = 0; И) - а = ( -1 )а; 12) а - = 1, (а ф 0 ); 13) а •i (Ь * 0); a do 20. Санныц бутш жэне белшек белштер! х — накты сан болсын. Оныц бутш бв.иг! деп, х-тен ас- пайтын ец улкен бутш санды айтады да, оны [х| деп белплейдг х санынын белшек бвлк1 деп, осы санмен оныц 6yTiH болiri нiц айырмасын, ягни, х —[х] айтады да, оны {х} деп белплейдь Сонымен, {х} = х —[х]. 35

М ысалы, [2,3 5]= 2 , { 2 ,3 5 } = 2 ,3 5 —2 = 0 ,3 5 ; [10] = 10; { 1 0}= 10—10=0; I—0 , 8 5 ] = —1; {—0 , 8 5 } = —0,8 5 —[—1] = 0 , 15. 21. Дэрежелер мен туб1рлер 1) а накты санньщ //-mi (п е N , п > 2 ) дэрежеЫ деп, эр- кайсысы а санына тен п кебейтиштердщ кебейицщсш айта­ ды да оны а\" символымен белплейдк а\" = а - а - . . . - а . п - рет Мундагы а саны дэреженщ Heri3i, ал п дэреже K ep ceT K iiu i деп аталады. а-ньщ 6ipiHiui дэрежеЫ а-га тец: а 1= а. а°=1, аФ 0 (0° аныкталмаган ернек). а\" =— (п е N, а * О). а ,, 1 1 М ысалы, 3 ' = —г = - . Бул аныктамадан Ke;ieci тещ пкп жазуга болады: (Й =(Ю Мысалы, ( ! ) - = ( ! ] ' ; ( ^ ) ’ = 4 ' =64. 1) п — натурал сан ж эн е я > 2 болсын. Tepic емес а санынын n-iui дореже;н арифметикалык Ty6ipi деп, n-iui дэр еж еа а-га тен mepic емес х санын айтады, ж ни х\" = а тецдеушщ Tepic емес Ty6ipm айтады ж эне оны у/а немесе а \" символымен белплейд1 ( «/~символын n-iui дэрежел/ радикал деп те атайды). 2-mi дэрежел1 туб1рд1 (квадрат T y6ipfli) Va деп белплейдг Мысалы, >/49 = 7, 1/125 = 5. I а = 0 болса, ^ 0 = 0 (н ем есе 0\" = 0 ). Егер a Tepic сан болса, онда а санынын «-mi дэрежел1

Ty6ipi x\"=a тендеушщ жалгыз Tepic наклы m euiiM i ретшде тек так, /г саны ушш гана аныкталады. Бул жагдайда да (я-так, болганда) Tepic накты а саныныц п -iu i дэрежел1 туб1рш сол '4 ci си м в о л ы м е н б е л п л е й д ь М ы салы , V - 8 = - 2 , о й тк еш (-2 )'1 = - 8 ; V - 343 = -3, ойткеш ( - 3 ) 5 = - 3 4 3 . т 2) Tepic емес а накты санынын рационам , т е Z , п е W дэр еж еа деп (4а) санын айтады. а санынын рационал дэрежесш келеа турлерде жазады / 1\\ I п, ( ^ ) ”' = Ы = (а '\" У '= '4 ^ = с Г . 3) Корсетюпп иррационал а саны, ал H e rn i я>0 саны болатын дэреже де аа туршде белпленед! ( а\" саны бар жэне ол жалгы з болатыны м атем ати калы к анализ курсында дэлелденедО. Дэрежелердщ кдсиеттерг Егер а>О, Ь>О болса, онда кез келген х, у накты сандары ушш мына касиеттер орындалалы: 1°. а х -ау - а х+у. 2». а х\\ау = с Г у. 3\". («')'■ = а ху. 4°. а *-Ьх = Ш \\ а/ 5\" —Ь* = Туб1рлердщ кдсиеттер1. Егер а > 0 жэне b > О болса, онда (а мен b сандарыныц баска жагдайлары томенде карас- тырылады): (а > О, b > 0) i°. '4^ ='47,.'4ь. 2\". ь * о. 3\"- = n47i. 4 \"- '\"47\" = ' 4 7 . 5°. '4а~4а =\"'4а . Мысал. Ыкшамдау керек: 79 а) у 7 — ; б) (4 а2) ; в )ф ]а ; г) 37

Uleuiyi: /,г т \\ -’ /7ТТТ /-7\" \\199 /22443 -VV2243 3 б) ( ^ ) = V H = ^ а)Г з 2 - Ш ~ Ш ~ 2 ; г) fV 7 = - Ф * = V ^ . в) 4Ж = = ^ ; 22. Радикалдардыц кдсиеттерше арналган ескертулер Б1з радикалдарга катысты 1°-5° касиеттерш тек а > 0 жоне Ь> О ушш гана тужырымдадык,. Егер радикалдьщ д эреж е корсетюип так сан болса, онда 1°-5° касиеттердеп а > 0 жоне b > 0 шарттарын алып тастауга да болады. BipaK кейГмр жагдай- ларда а немесе b сандарыньщ Tepic мондер1 пайда болу м у м к ш д т н есте устау керек. Бул жагдайда жуп дэрежел1 радикалдар упин кейб1р мэселелер пайда болады. Егер а мен Ь Tepic сандар, ал п жуп сан болса, онда '{fab = '{fa -'{fb т е н д т н жаза алмаймыз. Ce6e6i, тещцктщ он жагындагы орнект!н магынасы болмай калуы мумкш (мысалы, уЦ- 5)(- 6) = -У^5 деп жазуга болмайды гой). Сондыктан мундай жагдайда '{fab = '{/\\ab\\ = '{l\\a\\\\b\\ = ‘{/\\а\\ ■'{Щ т е ц д ж т е р ш п айдалан ы п 1°) касиетт1 к е л е а турде жазады '{fab = vj\\a\\ ■ц Щ . Д эл осы сиякты, егер а мен b Tepic тацбалы, ал // жуп сан болса, онда екшпп касиегп к е л е а турде жазады '\\1Й (Ь* 0) . 4\" касиетке де байкап карау керек. Айталык, V (V 3 -5 )2 орнепн ыкшамдау керек болсын. Егер жогарыдагы 4° касиегп колдансак, онда ^(Л -5): = 77Г7, ягни, тенджтщ он жагында магынасы ж ок орнек алар едж (•У з- 5 Tepic сан). Бул жагдайда да тещцк к е л е а турде жазылуы Tnic - 5)2 = VlV3 - 5|2 = . Осы сиякты, егер а < 0, п = 2к, т = 2к (k&N) болса, 38

Ill онда Ф/'\" = а\" т е н д т н щ н е п зш д е i](-2 Y = -2 дурыс емес тендж алар едж (сол жагында арифметикалык ry6ip!). Мунда да, турлещпру V (-2 )4 = Vl-2|4 =|-2| = 2 туршде болуы ™ ic. К,орыта айткднда, егер а<0, Ь<0, ал п жуп сан болса, онда тубфлердщ жогарыда аталган кдсиеттерш келеа турлерде жазады: \\fa b = \"/У •\"l\\b\\. ( 1) Ь ф 0. (2) I’ d\\b\\ (3) И) \" '4 7 = ^\\а\\к . л/я\"~ = У (/; = 2 болса y fif = |/;|). ЖАТТЫРУЛАР ,---------- / 6 4 . 3\">4 1. Есептеу керек: a ) V 6 2 5 - 9 - 3 6 ; б) л/6'’ -2 4 ; в) ^ 5 -,9 . 4 9 - 2. OpueKTi ыкдпамдау керек: а) З)\" - V 2 7 ; б) J { a + 3)\\ « < - 3 ; в) д/(.\\ - 5 ) \" , ,v > 5; г) ^(с/2 + l ) ' . с/ < - 1 . llleuiyi: 1. о) 1° колданамыз: V6 2 5 - 9 - 3 6 = л/625 •V9 •V36 = 25■ 3• 6 = 450; __________ 64 б) л/б6 - 2 4 = y l ¥ = 6 2 - 2 1 = 6 - ’ - 2 : = 216 •4 = 864. <64-324 Уб4 ■324 Уб4-У324 8-18 144 V529-49 ~ >/529-49 ~ V529-V49 ~ 23-7 ~ 161' 39

2) a) J ( l - -Уз)2 - л/27 = | l - V 3 | - W = - ( l - V 3 ) - V 3 : = —1+ х/з — Уз = —1; б) + 3 ) ' = |<7 + 3| = / < 0 болгандыктан/ = = - (о + 3 ) = —а - 3; в) \\li-\\-5)~ = |.y—5|= / мунда, л: — 5 > 0/= х ~5; г) Мунда я -ньщ кез келген м э ш ушш аг+1>1 болган­ дыктан, ^(сг + l)\" = а 2 + 1. 3) 0рнект1 ыкшамдау керек: С I> ( 11 5) — О б 3 -б5; 2)16J :16‘ ; 3) 16> 1 - \\ 64У ; 4 ) 2 5 3; Uleuiyi: V) I L. I 1 =6r * =6. 1) 6^ 21 21 4-1 2) 16? :166 = 16Гб = 16T = -УГб = 4. ( iN 14 4 4 3) 165 16” = \\6~4 = (24Y = = ‘V29 - 2 7 = 2V27 . V) 4) 25^ = ( 5 : )J = 5 7 = 5 I+^ = 5 - 5 ^ = 5 ^ 5 . 5)ЫГ27 V = 4) Есептеу керек: 3) >-l-O V s '27 Uleuiyi: \"ШЧ! 2 flY _ 3 3 9 I 40 Vv4, , + Ы 4+2 =4 ~“ 4 '

ТАПСЫРМА 1) К е б е й т ю и т туб1рден шыгару керек: а) V9 •а \" •b , и < О, 6 > О; б) л/144 •с/л•/?■', а <0, h < 0; в) л/32 V -А3 , а < 0 , /? > 0; г) y ll5 -a '-b (\\ а > О, й < 0; 2) Ыкшамдау керек: a) ^(V2 - 5 ) : ; б) ^ 2 - л / б ) : + ^/(.З-л/б)” ; 3) Есептеу керек: 23 3 4 I 1) 4 1 •163 •1б’ 5 •32~1 - 2 3; 2) 2 7 3 - 8 И -I — 3) (0,64)°'5 -7° •( 0 , 0 2 7 ) ' :9-°'5 •1 6 ° :( 0 ,2 5 )'''S - - - р 4-’ -8-s 2 -5 2\" - 9 - 5 19 125“1 4) \" Т1А6~-бл '• 57) ---- 2^755ч---- :’ 6) 75J3-•257 ’ v 0.25 7) (6,25)” •V-1о У - ( - 4 ) - '- ( 0 ,3 4 3 ) \" ; 41

8) 16~0'25 - (2V2 ) 3 ■ 1 6 '0-25 + ( 2 - Л ) 31 /V ) / V ^ - 't V 0-75 9) 0,09 \"°'5 - ( - 3 ) 0 ,Г 4. Vv 5 , , Жауаптары: 3). 1) 1. 2) 5 3 - . 3) 0,003. 4) 8. 5) 5. 6) 0,2. 7) 1,5. 8) - 1 ,7 5 . 9) 7200. § 4. КОМПЛЕКС САНДАР 23. Комплекс сандар туралы тусМ к Комплекс сан a+bi символымен белгшенедг Мундагы а мен b комплекс санньщ сэй кес накты жэне жорамал бел1ктер1 деп аталатын накты сандар; / символы жорамал 6ipjiiK деп аталады. Жорамал б1рлжтщ квадраты минус 6ipre тец. Коб1несе комплекс санды 6ip эршпен (жшрек z аркылы) белгшейдк z = a+bi. z= a+bi комплекс санынын накты жэне жорамал болжтерш сэ й к ес Reг (франц. “reel-накты ” co3i) ж э н е Jmz (франц. “ imaginaire-жорамал” co3i) аркылы белгшейдк a —Rez, b = Jmz. Егер о ^ ^ ж э н е b = b 2 болса, онда z ~ a t+b^ жэне z2= a2+b2i eKi комплекс сандары тец деп (z = z 2) саналады. Егер а=Ь=0 болса, онда z = a+bi комплекс саны нелге тец; Ь=0 болса, онда z=a (a+Oi=a ); а= 0 болса, онда z = bi деп жазылады (0 +bi = b i ). 24. Комплекс сандарга арифметикалык амалдар колдану z = a t+ bti мен z = a 2+ b j комплекс сандарыньщ косындысы (айырымы) деп, г = ( о |+ а 2)+(/)|+ 6 2)/ (z = (a ~ a 2)+(b ~b2)i) комп­ лекс санын айтады ( г = z, ± z2). z, = а, + b j мен z, = а 2 + b2i к о м п л е к с с а н д а р ы н ь щ Ko6eumindici деп, г = - btb2) + {atb2 + a: bx)/ комплекс санын айтады ( г = з, •- , ) . 42

г I = a x+t\\i мен г, = а, + b J комплекс сандарыньщ бвл'ш дк/ де п , о, а, + h}Ы a ji t +(tth а; + Ь; '■ + - ^ — г г 2-/ с/; + 6 ; / комплекс санын айтады Комплекс сандарга колданылатын арифметикалык амал- дардын Kacnenepi накты сандарга колданылатын арифмети­ калык амалдардын касиеттер1ндей болады (3.19 п. караныз). Осы касиеттерден, /2= —1 екешн ескерш , комплекс сандарга барлык арифметикалык амалдарды, кэд1мп ем мушелжтерге колданатын амалдар сиякты, орындауга болатынын керем1з. а + bi •+ j. турш деп белшект1 комплекс санга келт1ру уш ш , белшектщ алымын да, бшймш де c-cli санына кобейту керек; c+di мен c-di сандары гутнндес деп аталады. Мысал. 1. Есептеу керек: ( 1 + 2 /) /——— LUeiuyi: 1) (1 + 2/)/ = /+ 2 г = /- 2 = - 2 + /'; 3 + 2/ _ (З + 2/Xl + Z) _ 3 + 3/ + 2/ + 2г _ 3 + 5 / - 2 _ 1+ 5/ _ l_+ 5 1-/ ” (l-/'Xl+/) ~ 1—/\" 1+1 2h 3) ( - 2 + / ) - П— 1—5 i7 ( 1 + ( 1 —51 5_ 3. v~ - V 2“ J \\ z J 91 2. Тендеуд1 шешу керек: a) x 2 + 4 = 0; б) x 2 - 4.v + 13 = 0. Uleuiyi: а ) .y” + 4 = 0, .V2 = - 4 , д-, , = ± л А -4 = ± J - 1 - 4 = = t V 7 ! •V 4 = ±2/; .v, = 2/; ,v2 = -2/ . б) A,; = 2 ± л/ 4 - 1 3 = 2 ± = 2 ± 3/. .v, = 2 + 3/; л-, = 2 - 3/. 43

25 . Комплекс санныц тригонометриялык Typi Жазык.тык.тагы т ж бурышты ОХКкоординаталар жуйесш карастырайык,- 8 p 6 ip a+bi комплекс санга координаталары (а,Ь) болатын жазыктыктьщ нуктес1 жэне керкш ш е, жазыктыктын ap6ip (а,Ь) нуктесше a+bi комплекс саны сэ й к ес келед!, ягни a+bi комплекс сандар жиыны мен У жазыктыктыц А(а,Ь) нуктелер жиыны арасында езара 6ip мэцщ сэ й к естж бар. А(а.Ь) 0p6ip a+bi комплекс h санды координатанын бас 1 нуктесш ен шыгатын, ушы 1 1 А(а,Ь) нуктесшде болатын ОА вектор ретшде де бейнелейд1 О и X (cyperri караныз). ОА векторыньщ узынды- гын гэршмен: г = АВ, ал оньщ OX eciHin он багытымен жасайтын бурышын (р э р т м е н белплейж. Егер (cyperri караныз) sin Ф= — cos (p= —r eKeHiH ( 1) байкасак, онда b=rsin(p, a=rcos(p тенджтершен z = a+ bi= r{c.os(p + s'mcp) шыгатынын байкау киын емес. Мунда, г==\\1а2 + Ь2, (2) (3) bа Sin <Р= ~VГ<2r + bl2 ’ c o s ^ = _\\7la= + b2 (1) жазуды комплекс санньщ тригонометриялык Typi деп атайды. г накты санын ком плекс санныц модул! деп атайды да |z| аркылы б е л п л е й д г Ал радианмен элш енген (р бурышын z комплекс санынын аргумент! деп атайды ж эне оны Argz аркылы белплейдь Комплекс санньщ аргумент! 2 я -ге еселж бурышка дешнп дэлджпен аныкталган. Осы кепмэндшктен кутылу ymiH аргументтщ бас м э т деп аталып, argz аркылы белпленетш a r g z e ( - ? r , п \\ бурышы пайдаланылады. 44

z комплекс санынын аргумент! мен аргументтщ бас мэш Argz = argz + 2кп , k e Z кдтысымен байланыскан. Егер z, ф 0 мен О комплекс сандары тригонометриялык, z, = /^(cos<p, +/sin (pt) турде 6epu.ce: Zj = + 1*\\п<р2) ’ онда z, мен z, комплекс са н д а р ы н ь щ Ke6eumiHdici — модул1 к о б е й т ю ш т е р д щ модулдерщщ квбейтщд1сше, аргумент! — кобейтюштердщ аргументтерщщ косындысына тен комплекс сан болады г, г, = /',/•, [соь(ф , + <р,) + /sin(</7, + </>,)]; (4) ал z, мен z, комплекс сандарыньщ б о л щ ;а а - модулi б ел ш п ш пен белпштщ модулдерщщ белшдюше, аргумент! - белшпш пен белпштщ аргументтершщ айырмасына тец комплекс сан болады 7 - = — [cos (</>, -<p2) + i sin (<р, -</>,)]. ( 5) г = /'(coscp + / s i n ф) к о м п л ек с с а н ы н ы н //-mi дэрежес1 к е л е а Муавр формуласымен есептелед1 z\" = r\"[cosn(p + isiniHp). (6) z —/'(сс^ф + /sin ф) к о м п л е к с с а н ы н ы н барлык, /;-ш i дэрежел1 туб1рлер1 к е л е а формуламен есептелед; г г ( <р+ 2лк . (р+ 2лк\\ V : = V r I cos— - — + /sin— - — I, /t = 0,1,2, ..., n- \\ . (7) Мысалдар: Есептеу керек: a) ( l + /)IH; r5) V - T . Шешуi: a) a = 1, 6 =1 болгандыктан (2) бойынша ,-=|l + /|= V l : + 1 : = л/2; _„ 1 л/2 I л/2 ал, (3 ) б о й ы н ш а Sin 0 = - p r = — , Cosw = - t = = — , ягни n л/2 2 л/2 2 Ф = . Олай болса (6) бойынша 4г ч -1II) // /—\\II Юл . 1Ол ^

б) -1 = l(cosn + sinn) болгандык.тан ((7) кдраныз): zk = V-T = i/l(cos^ + /sin^) = ,r-( n + 2kn л + 2клЛ = V 1^co s----- ------ + 1 s in ------ ------ I, к = 0,1,2,3. Олай болса я +0 я + 0^ л/2~ >/2\" = 1|c o s — -— + / sin -------- = ----- + /------ . 4 4J 2 2 я + 2я . я + 2я 3я 3я л/2 л/2 ;— -— + /sin— -— = cos— + /sin— = —н------ 1 4 4 4 4 22 я + 4я . я + 4я 5я 5я л/2 л/2 = cos— -— + /sm— -— = cos— + /sin— = ----------/. 4 4 4 4 22 я + 6я я + вя 1я 1я л/2 л/2 г, = cos— -— + /sin— -— = cos— + /sin— = — - - — i. 4 4 4 4 22 ТАПСЫРМА Амалдарды орындау керек: 1) (2 + 3/) *(3 —/); 2) (1 - 2 / ) - ( 2 + /.4)22; -3)2 - 1 1+/’ 4) I 7 — 7 I ; 5) (1 -/')' 7) л/7; 8) ^1 + /л/3. 1 -/ 1+/л/Г3~ \\ 20 6) ;

2- т а ра у. АЛГЕБРАЛЫК, 0PH ЕКТЕР § 5. Н Е П З П TY CIH IK TEP 26. Алгебралык орнектер жэне олардыц аныкталу аймактары Сандар мен айнымалдарга косу, азайту, кобейту, болу, рационал дэрежеге шыгару, Ty6ip табу жэне жакшага алу амал- дарын колдана отырып алгебралык орнектер курауга болады. Мысалы: 1) ^ 1/ \\ 2) (■' За\" + 3а +1 2 crb-3 ab~ {a + b); a+b +-; 3) ---------- ; 5 а- 1 (I * \\3 ^ 33 - + - - - Ч ; 5) 6) ( V 2 - . y ) J : 7) а 2 -Ь>. Курамындагы айнымалдарга тек косу, азайту, кобейту, болу жэне бутш дэрежеге шыгару амалдарын гана колданып, алынган алгебралык орнеюм рационал орнек деп атайды. Жогарыдагы мысалдарда 1) - 4 ) ж эне 6) — рационал ернектер. Рационал орнектщ бол1мшде айнымалдар жок болса ол бутш орнек, ал бел1мшде айнымалдар бар болса — белшек ернек деп аталады. Жогарыдагы мысалдарда 1), 2) ж эне 6) — бутш, ал 3) пен 4) — болшек орнектер. Курамындагы айнымалдарга Ty6ip табу немесе болшек дэрежеге шыгару амалдары колданылган алгебралык орнект1 иррационал орнек деп атайды: 5) ж э н е 7) — иррационал орнектер. Алгебралык орнекп ец соцгы амалдыц нэтижесчмен атайды. Мысалы, 1) а +Ь+—— косынды; 2) 2 я 2 - 3 ab2(a + b )— айырма (айырманы косынды турше келт1руге болатындыктан, оны косынды деп те атай бередО; 3) (а - 1)(Л+с+5) — кебейтшдц 47

4) \" 3' ' +1 — белшд! (белщдш! кебейтшд1 туршде жазуга болатындыктан, оны кебейтшд1 деп те атай бередц 5)( г Н ) -д°реже; 6 ) т](а + 4/;)\"' — Ty6ip (туб1рд1 д э р е ж е т у р ш д е жазуга болатындыктан оны дэреже деп те атай бередь Алгебралык орнек магыналы болатын (ягни, орнектеп керсетшген амалдарды орындауга болатындай) айнымал- дардын мэндер жиыны осы ернектщ аныкталу аймагы неме­ се айнымалдардыц мумкш мэндер1 деп аталады. A) Бупн орнек озш щ курамындагы айнымалдардыц кез келген мэндер1 уцпн магыналы болады, оныц аныкталу ай­ магы — барлык сандар жиыны; Б) Белшек ернектщ, о ны ц бел1м1 нелге тец болатындай, 2 +Ь ^ айнымалдардыц мэндер1 уцпн магынасы ж о к Мысалы, орнепн1ц а = 1 мэнш де магынасы ж о к та, а-ны ц 1-ден баска, А-нщ кез-келген мэндер1 ушш магынасы бар болатын­ дыктан, ол орнектщ аныкталу аймагы: —оо<а<1, 1<а<+оо, оо оо . B) Иррационал ернектщ, жуп дэрежел1 туб1рдщ астындагы орнек Tepic сан кабылдайтындай, айнымалдардыц мэндершде м а гы н а сы болм айд ы . М ы с а л ы , J.\\ -1+2 epHeriHiH х<\\ мэндер! ушш магынасы болмайды, ягни оньщ аныкталу ай­ магы [ 1;+оо) . 27. Орнект! тепе-тец турлешйру /(.\\) = л*2 - 2 . v ж э н е g(.\\') = 4 . v - 5 ер н ектерш карасты- райык. М ысалы, х=2 тец болса, / (2) = 22 - 4 = 0, g(2) = 8 - 5 = 3 аламыз. Осы 0 жэне 3 сандарын x 2 -2.v жэне 4.V-5 ернектер1н1ц х = 2-ге сэйкес Mondepi деп атайды. Бершген орнектердщ аныкталу аймактарынын ортак бв/iieiH (киылысуын) осы орнектердщ аныкталу аймагы деп атай- мыз. X — бершген орнектердщ аныкталу аймагыныц шжиыны болсын. Егер осы орнектердщ X жиыныньщ op6ip элементше 48

сэй кес келетш мэндер1 б1рдей болса, онда олар X жиынында тепе-тен ернектер деп аталады. Тепе-тещик деп, курамындагы айнымалдардын барлык мумк1н мэндерщде дурыс болатын тещ икп айтады. М ысалы, х 5 пен л2 л-5; a+ b+с мен с +Ь+ а : (2 ab)2 пен 4 а2Ь2 — айнымалдардын кез келген мэндер жиынында тепе- тен ернектер. Тепе-тенджтер: a + b = b + a ; а + 0 = а; (<i+b)c = ac+ bc; 2а 10« ал = 5(„ 1 1) тендш я -н ьщ барлык мумкщ мэндерщде, ягни, а * 1 мэндерщде тепе-тегццк болады. Орнекп оган тепе-тен баска орнекпен ауыстыру — ернекп тепе-тец гурлендфу деп аталады. § 6. BYTIH РАЦИОНАЛ О РН ЕКТЕР 28. BipMyme.iiKTep жэне оларга амалдар колдану К,урамында сандар, айнымалдар, сандар мен айнымалдар­ дын натурал д эр еж еа жэне олардьщ кобейтпцца болатын орнек б1рмушел1к деп аталады. М ысалы, 2 я - 3 , 5 й 2; 1,5сгЬ-0,4/ю; л : •2 г - 3 ( - г ) - ( - 1 1 ) орнектер1 б1рмушел1ктер. Кез-келген ер н ек п кдлыпты турге, ягни 6ipinmi орында жалгыз сан ды к кебейтюш (коэффициент), ал б1рдей айны ­ малдардын кебейтщд1сщ дэреже турщде корсетшген турге келлруге болады. Мундагы, барлык айнымалдардын дэреже к о р с ет к ш т ер щ щ косындысы б1рмушел1кпц дэреж еа деп ата­ лады. EKi б1рмушел1к бершсщ. Егер олардьщ арасында кебейту белпсш койсак, онда бастапкы б1рмушел1ктердщ кобейпщ ца деп аталатын б1рмушел1к алынады. Б1рмушел1кп натурал д э - режеге шыгарса да б1рмушел1к алынады. Эдетте, нэтижеш калыпты турге келлредг Кдлыпты турге келт1ршген б1рмушел1ктер б1рдей немесе олардьщ тек кдна коэффициенттер1 гана эртурлi болса олар уксас б1рмушел1ктер деп аталады. Уксас б1рмушел1ктерд1 косуга жэне азайтуга болады, нотижесщде бастапкыга уксас б1рмушел1к алынады. Уксас 4-99 49