Definisi : sub determinan dari matriks Notasi : ������������������ artinya : menghapus baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks tersebut MINOR Rumus = ad – bc Contoh Minor : ������22 ������23 ������������������ = ������32 ������33 minor dari ������������������ ������������������ = ������21 ������23 minor dari ������������������ ������31 ������33 ������������������ = ������21 ������22 minor dari ������������������ ������31 ������32 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Kofaktor Notasi : ������������������ minor Rumus : ������������������ = −1 ������+������ ������������������ i = baris j = kolom Notebook : 1) Jika i + j = genap maka hasilnya 1 2) Jika i + j = ganjil maka hasilnya − 1 Tanda-tanda kofaktor Matriks kofaktor : secara berurutan adalah : ������������������ ������������������ ������������������ +−+ ������������������ − ������������������ ������������������ C = ������������������ ������������������ ������������������ C= − + − C = − ������������������ ������������������ − ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ +−+ ������������������ − ������������������ ������������������ Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Matriks Adjoint Matriks adjoint adalah : transpose dari suatu matriks kofaktor kofaktor C= C11 C12 C13 , Matriks adjoint C21 C22 C23 C31 C32 C33 C11 C21 C31 Ct = C12 C22 C32 C13 C23 C33 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Invers matriks ordo 3 x 3 Notasi : ������−������ ������ ������ Rumus : ������−������ = ∙ adjoint A ������ adalah determinan matriks yang dapat dicari dengan 2 cara, yaitu : 1) Kaidah sarrus 2) Rumus : ������ = ������11 ������11 + ������12 ������12 + ������13 ������13 disebut Ekspansi Laplace Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL : 231 Tentukan invers dari matriks A = 4 1 2 534 Dapat dicari dengan 2 cara, yaitu : 1) Mencari minor 2) Mencari kofaktor 3) Mencari matriks adjoint 4) Mencari determinan matriks 5) Mencari invers matriks Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
LANGKAH 1 : MENCARI MINOR M= ������������������ ������������������ ������������������ 231 ������������������ ������������������ ������������������ A= 4 1 2 ������������������ ������������������ ������������������ 534 ������������������ = 1 2 = ad – bc = (������ x 4) – (2 x ������) = 4 – 6 = – 2 3 4 1 = ad – bc = (������ x 4) – (1 x ������) = 12 – 3 = 9 ������������������ = 3 4 3 ������������������ = 3 1 = ad – bc = (������ x 2) – (1 x ������) = 6 – 1 = 5 1 2 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
LANGKAH 1 : MENCARI MINOR M= ������������������ ������������������ ������������������ 231 ������������������ ������������������ ������������������ A= 4 1 2 ������������������ ������������������ ������������������ 534 ������������������ = 4 2 = ad – bc = (������ x 4) – (2 x ������) = 16 – 10 = 6 5 4 1 = ad – bc = (������ x 4) – (1 x ������) = 8 – 5 = 3 ������������������ = 2 4 5 ������������������ = 2 1 = ad – bc = (������ x 2) – (1 x ������) = 4 – 4 = 0 4 2 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
LANGKAH 1 : MENCARI MINOR M= ������������������ ������������������ ������������������ 231 ������������������ ������������������ ������������������ A= 4 1 2 ������������������ ������������������ ������������������ 534 ������������������ = 4 1 = ad – bc = (������ x 3) – (1 x ������) = 12 – 5 = 7 5 3 3 = ad – bc = (������ x 3) – (3 x ������) = 6 – 15 = 9 ������������������ = 2 3 5 ������������������ = 2 3 = ad – bc = (������ x 1) – (3 x ������) = 2 – 12 = – 10 4 1 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
LANGKAH 2 DAN 3 : MENCARI KOFAKTOR DAN MATRIKS ADJOINT −������ ������ ������ ������������������ − ������������������ ������������������ M = ������ ������ ������ C = − ������������������ ������������������ − ������������������ ������ ������ −������������ ������������������ − ������������������ ������������������ −������ −������ ������ C = −������ ������ −������ ������ ������ −������������ −������ −������ ������ Adjoint A = Ct = −������ ������ ������ ������ −������ −������������ Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati LANGKAH 4 : MENCARI DETERMINAN MATRIKS 1)Kaidah sarrus 2 (-) (-) (-) = [(2∙1∙4)+(3∙2∙5)+(1∙4∙3)] ������ = 4 3 12 3 – [(1∙1∙5)+(2∙2∙3)+(3∙4∙4)] 1 24 1 5 3 45 3 = (8 + 30 + 12) – (5 + 12 + 48) (+)(+)(+) = 50 – 65 = – 15 231 −������ −������ ������ C = −������ ������ −������ 2) Rumus : A = 4 1 2 ������ ������ −������������ 534 ������ = ������11 ������11 + ������12 ������12 + ������13 ������13 = 2 −2 + 3 −6 + 1 7 ������ = −4 −18 + 7 = −15
LANGKAH 4 : MENCARI INVERS MATRIKS ������−������ = ������ ∙ adjoint A = ������ ∙ −������ −������ ������ ������ −������ ������ ������ −15 ������ −������ −������������ −������ −������ ������ ������ ������ − ������ −15 −15 −15 15 5 3 ������−������= −������ ������ ������ = ������ − ������ ������ −15 −15 −15 5 5 ������ −������ −������������ −15 −15 −15 − ������ ������ ������ 5 3 15 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
PENERAPAN MATRIKS DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Penyelesaian SPLDV dengan metode determinan (aturan cramer) Diketahui SPLDV sebagai berikut : ������������ + ������������ = ������ ������������ + ������������ = ������ Persamaan matriksnya ditulis sebagai berikut : ������ ������ ������ ������ D = ������ ������ = ad – bc ������ ������ ������ = ������ ������ ������ disebut matriks koefisien D������ = ������ ������ ������ ������ = pd – bq D������ D������ x= D dan y= D ������ ������ D������ = ������ ������ = aq – pc Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati Penyelesaian SPLTV dengan metode determinan (aturan cramer) x= D������ D ������������ + ������������ + ������������ = ������ y= D������ Diketahui SPLTV sebagai berikut : ������������ + ������������ + ������������ = ������ D ������������ + ℎ������ + ������������ = ������ Persamaan matriksnya ditulis sebagai berikut : z= D������ D ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ (-���)��� (-) ���(���-) D = ������ ������ ������ ������ ������ = (aei + bfg + cdh) – ������ ������ ������ ������ = ������ ������ ℎ ������ ������ ������ ������ ℎ ������ ������ ℎ (bdi + afh + ceg) (+)(+)(+) disebut matriks ������ ���(���-) (-���)��� (-���)��� ������ koefisien D������ = ������ ������ ������ ������ ������ = (pei + bfr + cqh) – ������ ℎ ������ ������ ℎ (bqi + pfh + cer) ������ ������ ������ ������ ������(-) (-) (-) (+)(+)(+) D������ = ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ℎ ������ ������ ℎ (+)(+)(+) D������ = ������ ������ ������ ������ ������ = (aqi + pfg + cdr) – ������ ������ ������ ������ ������ (pdi + afr + cqg) = (aer + bqg + pdh) – (bdr + aqh + peg) (-) (-) (-) (+)(+)(+)
Kesimpulan : Jika D ≠ 0 maka SPL memiliki satu penyelesaian Jika D = 0, Dx ≠ 0 dan Dy ≠ 0 maka SPL tidak mempunyai penyelesaian Jika D = Dx = Dy = 0 maka SPL memiki tak berhingga penyelesaian Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 1 : Tentukan nilai x . y = … 2������ − 3������ = 7 x.y=8.3 3������ + 4������ = 36 ������ −������ = 24 ������ ������ D = =2. 4 – (–3) . 3= 8 + 9 = 17 D������ = ������ −������ = 7 . 4 – (–3) . 36 = 28 + 108 = 136 ������������ ������ D������ = ������ ������ = 2 . 36 –7. 3= 72 – 21 = 51 ������ ������������ Maka : x = D������ = 136 = 8 dan y= D������ = 51 =3 D 17 D 17 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 2 : Tentukan nilai x + y = … ������ − ������ = 4 2������ − 2������ = −1 D = ������ −������ =1. (–2) – (–1) . 2 = –2 + 2 = 0 ������ −������ D������ = ������ −������ = 4 . (–2) – (–1) . (–1) = – 8 – 1= – 9 −������ −������ D������ = ������ ������ = 1 . (–1) – 4 . 2 = – 1 – 8 = – 9 ������ −������ Jadi, SPLDV ini tidak memiliki penyelesaian (D = 0, Dx ≠ 0 dan Dy ≠ 0) karena tidak ada nilai x dan y yang memenuhi Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati CONTOH SOAL 3 : Tentukan nilai x . y = … ������ + ������ = 2 3������ + 3������ = 6 D = ������ ������ =1.3 –1.3 =3–3=0 ������ ������ D������ = ������ ������ ������ ������ = 2 . 3 – 6 . 1 = 6 – 6 = 0 D������ = ������ ������ =1.6–2.3 =6–6=0 ������ ������ Jadi, SPLDV ini memiliki penyelesaian yang tak berhingga banyaknya (D = Dx = Dy = 0) karena tiap nilai x dan y sembarang memenuhi hubungan tersebut
Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati CONTOH SOAL 4 : Ibu Rita membelanjakan uangnya sebesar Rp. 26.000,00 di toko untuk membeli 3 kg gula dan 2kg terigu. Ibu Siska membelanjakan Rp. 32.000,00 untuk membeli 4 kg gula dan 2 kg terigu. Di toko yang sama Ibu Retno membeli 1 kg gula dan 2 kg terigu. Ia harus membayar … 3������ + 2������ = 26.000 4������ + 2������ = 32.000 Misalkan : x = gula dan y = terigumaka SPLDV : Persamaan matriksnya : 3 2 ������ = 26.000 = 4 2 ������ 2 32.000 D = ������ ������ 6 –8 D������ −12.000 ������ ������ = 3 . 2 –4. 2 =– x= D = 6.000 −2 = D������ = ������������. ������������������ ������ = 26.000 . 2 – 2 . 32.000 y= D������ = −8.000 = 4.000 ������������. ������������������ ������ = 52.000 – 64.000 = –12.000 D −2 D������ = ������ ������������. ������������������ = 3 . 32.000 – 26.000 . 4 x + 2y ������ ������������. ������������������ = 6.000 + 2(4.000) = 96.000 – 104.000 = –8.000 = 14.000
CONTOH SOAL 5 : 2 3 (-) (-) (-) 3 x = D������ = −4 2 z= D������ −������������ D D 42 −2 = = −������ = 28 2������ + 3������ + 4������ = −4 D = 1 2 31 2 D������ = ������������ = – 40 1 5 71 5 D y= −������ ������ + 2������ + 3������ = 6 (+)(+)(+) ������ + 5������ + 7������ = −2 D = (2.2.7 + 3.3.1 + 4.1.5) – (4.2.1 + 2.3.5 + 3.1.7) −4 (-)3(-) (4-) −4 D = (28 + 9 + 20) – (8 + 30 + 21) = 57 – 59 = – 2 D������ = 6 2 3 6 3 = ((–4).2.7 + 3.3.(–2) + 4.6.5) – (4.2.(–2) + (–4).3.5 + 3.6.7) 2 −2 5 7 −2 5 = (–56 – 18 + 120) – (–16 – 60+ 126) (+)(+)(+) D������ = 2 = 46 – 50 = –4 + (–4).1.7) 1 −4 (-)4(-)2(-) −4 1 6 31 6 = (2.6.7 + (–4).3.1 + 4.1.(–2)) – (4.6.1 + 2.3.(–2) −2 7 1 −2 = (84 – 12 – 8) – (24 – 12 – 28) 2 = 64 – (–16) = 64 + 16 = 80 (+)(+)(+) 3(-) (−-) 4(-) 2 3 D������ = 1 2 6 1 2 = (2.2.(–2) + 3.6.1 + (–4).1.5) – ((–4).2.1 + 2.6.5 + 3.1.(–2)) 1 5 −2 1 5 = (–8 + 18 – 20) – (–8 + 60 – 6) (+)(+)(+) = –10 – 46 = – 56 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 6 : Tiga siswa Ani, Budi, dan Citra membeli buku, pensil dan pulpen. Ani membeli 3 buku, 3 pensil, dan 1 pulpen dengan harga Rp7.600,00. Budi membeli 2 buku, 2 pensil, dan 2 pulpen dengan harga Rp6.400,00 sedangkan Citra membeli 3 buku, 4 pensil dan 3 pulpen dengan harga Rp9.800,00. Untuk membeli 5 buku, 5 pensil, dan 5 pulpen uang yang harus disediakan adlah .... Misalkan : x = buku, y = pensil dan z = pulpen 3������ + 3������ + ������ = 7.600 Persamaan matriksnya : Maka SPLTV : 2������ + 2������ + 2������ = 6.400 331 ������ 7.600 3������ + 4������ + 3������ = 9.800 222 ������ = 6.400 343 ������ 9.800 3 (-) (-) (-) = (3.2.3 + 3.2.3 + 1.2.4) – (1.2.3 + 3.2.4 + 3.2.3) D=2 = (18 + 18 + 8) – (6 + 24 + 18) 3 13 3 3 = 44 – 48 = – 4 2 22 2 4 33 4 (+)(+)(+) Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
LANJUTAN CONTOH SOAL 6 : 5x + 5y + 5z = 5(2.000) + 5(200) + 5(1.000) (-) (-) (-) = 16.000 7.600 3 1 7.600 3 = (7600.2.3 + 3.2.9800 + 1.6400.4) – D������ = 6.400 2 2 6.400 2 (1.2.9800 + 7600.2.4 + 3.6400.3) 9.800 4 3 9.800 4 = (45.600 + 58.800 + 25.600) – (19.600 + 60.800+ 57.600) (+)(+)(+) = 130.000 – 138.000 = –8.000 3 7.60(0-) (-)1(-)3 7.600 = (3.6400.3 + 7600.2.3 + 1.2.9800) – D������ = 2 6.400 2 2 6.400 (1.6400.3 + 3.2.9800+ 7600.2.3) 3 9.800 3 3 9.800 (+)(+)(+) = (57.600 + 45.600 + 19.600) – (19.200 + 58.800 + 45.600) 3 3 7.600 3 3 = 122.800 – 123.600 = – 800 D������ = 2 2 6.400 2 2 = (3.2.9800 + 3.6400.3 + 7600.2.4) – 3 4 9.800 3 4 (7600.2.3 + 3.6400.4 + 3.2.9800) (-) (-) (-) (+)(+)(+) = (58.800 + 57.600 + 60.800) – (45.600 + 76.800 + 58.800) x= D������ = −8.000 = 2.000 = 177.200 – 181.200 = – 4000 D −4 y= D������ = −������.������������ = 200 z= D������ −������.������������������ = 1.000 D D −������ = −������ Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 7 : Sepuluh tahun yang lalu umur kakek enam kali umur adikku. Lima tahun yang akan datang jumlah umur kakek dan adikku sama dengan 93 tahun. Jika umur nenek lebih muda 6 tahun dari kakek. Berapa umur nenek sekarang. Misalkan : x = umur kakek sekarang dan y = Umur adikku sekarang Diperoleh persamaan : b) (x + 5)+(y + 5) = 93 x + y + 10 = 93 a) x – 10 = 6(y – 10) x + y = 83...................(2) x – 6y = –50 .............. (1) maka SPLDV : ������ − 6������ = −50 persamaan matriksnya : ������ −������ ������ = −������������ ������ + ������ = 83 ������ ������ ������ ������������ Jika A. X = B, maka berlaku aturan berikut : X = A–1 B A B ������ = ������ −������ −������ −������������ ������ ������ ������ ������������ Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
LANJUTAN CONTOH SOAL 7 : ������ = ������ −������ −������ −������������ ������ ������ ������ ������������ ubah tanda ������ ������ =1 ������ ������ ∙ −������������ −������ ������ ������������ 1 ∙1 −(−6) ∙1 tukar tempat ������ = 1 ������ ������ ∙ −������������ ������ 1+ 6 −������ ������ ������������ ������ ������ =1 1 ∙ (−50) + 6 ∙ 83 ������ = 1 −50 + 498 ������ (−1) ∙ (−50) + 1 ∙ 83 7 50 + 83 7 ������ = 1 448 ������ 448 ������ ������������ Umur kakek ������ 7 133 ������ ������ ������������ 64 tahun = ������ = 133 ������ umur nenek lebih muda 6 tahun dari kakek maka umur nenek adalah 64 – 6 = 58 tahun Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
KOMPOSISI TRANSFORMASI
KELAS XI MIPA – IPS Oleh : SMAK Santa Maria Malang Iin Setyawati Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
MATRIKS KOMPOSISI TRANSFORMASI NO TRANSFOR MATRIKS NO TRANSFORMASI MATRIKS (M) MASI (M) 5 Rotasi dengan cos ������ − sin ������ 1 Refleksi 10 pusat (0,0) dan sin ������ cos ������ terhadap 0 −1 sudut putar α ������ 0 Sumbu x −1 0 6 Dilatasi dengan 0 ������ 01 pusat (0,0) dan 2 Refleksi factor dilatasi k ������′ = ������ ∙ ������ − ������ + ������ terhadap 01 ������′ ������ − ������ ������ 10 Rotasi dan dilatasi Sumbu y dengan pusat P(a,b) 0 −1 dan sudut putar α 3 Refleksi −1 0 terhadap Refleksi terhadap Refleksi terhadap Garis y = x garis y = k garis x = h 4 Refleksi terhadap ������′ = −������ ������ ∙ ������ + ������������ ������′ = ������ ������ ∙ ������ ������ Garis y = –x ������′ ������ ������ ������ ������ ������′ ������ −������ ������ + ������������ Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
3 CARA MENENTUKAN HASIL KOMPOSISI DUA TRANSFORMASI 1) Menyelesaikan satu per satu 2) Menentukan M (matriks hasil komposisi) dengan cara dikalikan kemudian masukkan ke dalam rumus : ������′ =M∙ ������ maka ������ = ������−������ ������′ ������′ ������ ������ ������′ 3) Khusus untuk komposisi rotasi maka sudut rotasi (α ) dijumlahkan terlebih dahulu kemudian gunakan matriks rotasi dengan α adalah hasil penjumlahan sudut rotasi CATATAN UNTUK SUDUT ROTASI : • Pemutaran mempunyai arah positif jika berlawanan dengan arah putaran jarum jam • Pemutaran mempunyai arah negatif jika searah dengan arah putaran jarum jam Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
KOMPOSISI TRANSFORMASI DENGAN MATRIKS Bila T1 dinyatakan dengan matriks ������ ������ ������ ������ ������ ������ T2 dinyatakan dengan matriks ������ ������ Dua transformasi berturut-turut mula-mula T1 dilanjutkan dengan ������ ������ ������ ������ T2 ditulis M = T2 o T1 = ������ ������ ������ ������ Rumus komposisi transformasi : ������′ =M∙ ������ ������′ ������ kecuali Translasi : ������′ =M+ ������ ������′ ������ Luas Hasil Transformasi • Luas bangun hasil translasi, refleksi, dan rotasi adalah tetap. • Luas bangun hasil transformasi ������ ������ : ������′ = L × ������ ������ ������ ������ ������ ������ Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 1 : Ruas garis B(3, –2) ditranslasikan 2 satuan searah sumbu X dan 3 satuan searah sumbu Y. Tentukan bayangannya? Pergeseran 2 satuan arah X dan 3 satuan arah Y identik dengan 2 ������′ ������ komponen translasi T= 3 sehingga : ������′ =T+ ������ ������′ = 2 + ������ = 5 maka ������′ = (5,1) ������′ 3 −������ 1 CONTOH SOAL 2 : Kurva parabola y = 5x2 – 2x + 11 di refleksikan terhadap sumbu X. Tentukanlah persamaan parabola yang merupakan bayangan terakhir refleksi ! ������′ =M∙ ������ = 1 0 ∙ ������ = 1 ∙ ������ + 0 ∙ ������ = ������ ������′ ������ 0 −1 ������ 0 ∙ ������ + −1 ∙ ������ −������ maka x = ������′ dan Disubstitusi ke pers. parabola y = 5x2 – 2x + 11 − y = ������′ y = − ������′ (–������′) = 5(������′)2 –2(������′) + 11 –y = 5x2 – 2x + 11 y = –5x2 + 2x – 11 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 3 : Diketahui koordinat titik ( 1, –4 ). x=1 Tentukan bayangan titik itu setelah y = –4 dikenai transformasi rotasi yang berpusat di P(–1,3) sebesar 270˚ ������′ = ������������������ ������ − ������������������ ������ ∙ ������ − ������ + ������ a=–1 b=3 ������ ������′ ������������������ ������ ������������������ ������ ������ − ������ ������ ������′ = ������������������ ������������������������ − ������������������ ������������������������ ∙ ������ − −������ + −������ ������′ ������������������ ������������������������ ������������������ ������������������������ −������ − ������ ������ ������′ = ������ − −������ ∙ ������ + −������ ������′ = ������ ������ ∙ ������ + −������ ������′ −������ ������ −������ ������ ������′ −������ ������ −������ ������ ������′ = ������ ∙ ������ + ������ ∙ −������ + −������ ������′ = −������ + −������ ������′ −������ ∙ ������ + ������ ∙ −������ ������ ������′ −������ ������ ������′ = −������ ������′ ������ Jadi, bayangannya adalah (–8, 1 ) Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 4 : Diketahui koordinat titik ( 1, – 4 ). x=1 Tentukan bayangan tiik itu setelah y = –4 dikenai transformasi dilatasi yang berpusat di P (2,3) sebesar 2 ������′ = ������ 0 ∙ ������ − ������ + ������ a=2 b=3 k=2 ������′ 0 ������ ������ − ������ ������ ������′ = ������ ������ ∙ ������ − ������ + ������ ������′ = ������ ������ ∙ −������ + ������ ������′ ������ ������ −������ − ������ ������ ������′ ������ ������ −������ ������ ������′ = ������ ∙ (−������) + ������ ∙ −������ + ������ ������′ = −������ + ������ ������′ = ������ ������′ ������ ∙ (−������) + ������ ∙ −������ ������ ������′ −������������ ������ ������′ −������������ x = 3 dan y = 4 CONTOH SOAL 5 : Tentukan bayangan titik A(3,4) oleh rotasi 45o α = 45o + 135o = 180o dilanjutkan dengan rotasi 135o ! ������′ ������′ = ������������������ ������ − ������������������ ������ ∙ ������ ������′ = ������������������ ������������������������ − ������������������ ������������������������ ∙ ������ ������′ ������������������ ������ ������������������ ������ ������ ������������������ ������������������������ ������������������ ������������������������ ������ ������′ = −������ ������ ∙ ������ = (−������) ∙ ������ + ������ ∙ ������ ������′ = −������ ������′ ������ −������ ������ ������ ∙ ������ + (−������) ∙ ������ ������′ −������ Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 6 : Garis 2x + 3y = 6 ditranslasikan dengan 1 −3 −1 bayangannya adalah … matriks dan dilanjutkan dengan 2 M= −3 + 1 = −2 ������′ =M+ ������ ������′ = −2 + ������ ������′ = x – 2 2 −1 1 ������′ ������ ������′ 1 ������ ������′ = y + 1 maka x = ������′ + 2 dan Disubstitusi ke persamaan garis 2x + 3y = 6 y = ������′ – 1 2(������′ + 2) + 3(������′ – 1) = 6 2������′ + 4 + 3������′ – 3 = 6 2������′ + 3������′ + 1 = 6 2������′ + 3������′ = 5 2������ + 3������ = 5 CONTOH SOAL 7 : Koordinat bayangan titik (–2, –3) oleh translasi oleh T = 1 dan dilanjutkan refleksi terhadap garis y = –x adalah…. Translasi −7 = ������′ ������ ������′ 1 −������ ������′ −1 : ������′ =M+ ������ ������′ = −7 + −������ ������′ −10 Kemudian titik (–1, –10) dilanjutkan refleksi terhadap garis y = – x ������′′ = 0 −1 ∙ ������′ = 0 −1 ∙ −������ = ������ ∙ (−������) + (−������) ∙ (−������������) ������′′ ������′′ −1 0 ������′ −1 0 −������������ (−������) ∙ (−������) + ������ ∙ (−������������) ������′′ ������������ = ������ Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 8 : Bayangan segitiga dengan A(2,1), B(6,2), dan C(5, 4) jika dicerminkan terhadap sumbu Y dilanjutkan dengan rotasi (O , 900) adalah ….. −1 0 T1 = 0 1 ������ T2 = cos ������ − sin ������ sin ������ cos ������ M = T2 o T1 = ������ ������ ������ ������ = ������������������ ������������������ − ������������������ ������������������ −������ ������ ������ ������ ������ ������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������ ������ M= ������ −������ −������ ������ = ������ ∙ −������ + (−������) ∙ ������ ������ ∙ ������ + (−������) ∙ ������ = ������ −������ ������ ������ ������ ������ ������ ∙ −������ + ������ ∙ ������ ������ ∙ ������ + ������ ∙ ������ −������ ������ ������′ =M∙ ������ ������ −������ ∙ ������ ������ ������ ������′ ������ = −������ ������ ������ ������ ������ ������′ = ������ ∙ ������ + (−������) ∙ ������ ������ ∙ ������ + (−������) ∙ ������ ������ ∙ ������ + (−������) ∙ ������ ������′ −������ ∙ ������ + ������ ∙ ������ −������ ∙ ������ + ������ ∙ ������ + −������ ∙ ������ + ������ ∙ ������ ������′ = −������ −������ −������ Jadi, bayangannya adalah ������′ −������ −������ −������ ������′(–1, –2 ) , ������′(–2, –6 ) , ������′(–4, –5) Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 9 : T1 adalah transformasi rotasi dengan pusat O dan sudut putar 90º. T2 adalah transformasi pencerminan terhadap garis y = –x. Bila koordinat peta titik A oleh transformasi T2 o T1 adalah ������′ (8, –6), maka koordinat titik A adalah … T1 = ������������������ ������ − ������������������ ������ = ������������������ ������������������ − ������������������ ������������������ = ������ −������ T2 = 0 −1 ������������������ ������ ������������������ ������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������ ������ −1 0 M = T2 o T1 = ������ ������ ������ ������ = 0 −1 ������ −������ ������ = ������ ∙ ������ + ������ ∙ (−������) ������ ������ ������ ������ −1 0 ������ ������ ������ ������ ∙ ������ + (−������) ∙ (−������) M= ������ ∙ ������ + (−������) ∙ ������ ������ ∙ (−������) + (−������) ∙ ������ = −������ ������ ������ ������ (−������) ∙ ������ + ������ ∙ ������ (−������) ∙ (−������) + ������ ∙ ������ ������ ������ ������ ������ = ������′ ������ ������ −������ ������ ������ ������′ =M∙ ������ −������ = ������ ������ ∙ ������ Koordinat A(8,6) B AX Jika A. X = B, maka berlaku aturan : X = A–1 B ub−a������h������tan∙da−������������ ������ = −������ ������ −1 ������ =1 ������ = 1 ������ ������ ∙ ������ ������ ������ ������ −������ ������ −1 ������ −������ −������ ∙ (−1) ∙1 −0 ∙0 tukar tempat
CONTOH SOAL 10 : Titik P(4, 3) dicerminkan terhadap sumbu Y, kemudian ditransformasikan ������ 4 dengan matriks 2 ������ + 1 , menghasilkan bayangan P’(4, 1). Bayangan titik K(7, 2) oleh komposisi transformasi tersebut adalah ... T1 = −1 0 Pencerminan terhadap sumbu Y dan T2 = ������ 4 0 1 2 ������ + 1 ������ ������ ������ ������ ������ 4 −1 0 M = T2 o T1 = ������ ������ ������ ������ = 2 ������ + 1 0 1 M= ������ ∙ (−������) + ������ ∙ ������ ������ ∙ ������ + ������ ∙ ������ −������ ������ = −������ ������ ������ ∙ (−������) + (������ + ������) ∙ ������ ������ ∙ ������ + (������ + ������) ∙ ������ = −������ ������ + ������ −������ ������ ������′ =M∙ ������ ������ = −������ ������ ∙ ������ ������ = (−������) ∙ ������ + ������ ∙ ������ ������′ ������ ������ −������ ������ + ������ ������ ������ (−������) ∙ ������ + (������ + ������) ∙ ������ ������ = −������������ + ������������ ������′ =M∙ ������ ������′ = −������ ������ ∙ ������ ������ ������������ − ������ ������′ ������ ������′ −������ ������ ������ 3a – 5 = 1 ������′ (−������) ∙ ������ + ������ ∙ ������ −������ ������′ (−������) ∙ ������ + ������ ∙ ������ −������ 3a = 6 = = a = 6 = 2 3 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 11 : Transformasi ������ ������ + 1 yang dilanjutkan 1 −2 2 1 dengan transformasi −1 −3 terhadap titik A(2, 3) dan B(4, 1) menghasilkan bayangan A’(22, –1) dan B’(24, –17). Oleh komposisi transformasi yang sama, bayangan titik C adalah C’(70, 35). Koordinat titik C adalah … T1 = ������ ������ + 1 dan T2 = 2 1 1 −2 −1 −3 ������ ������ M = T2 o T1 = ������ ������ ������ ������ = 2 1 ������ ������ + 1 ������ ������ −1 −3 1 −2 M= ������ ∙ ������ + ������ ∙ ������ ������ ∙ (������ + ������) + ������ ∙ (−������) = ������������ + ������ ������������ (−������) ∙ ������ + (−������) ∙ ������ (−������) ∙ (������ + ������) + (−������) ∙ (−������) −������ − ������ −������ + ������ ������′ =M∙ ������ ������������ ������������ = ������������ + ������ ������������ ∙ ������ ������ ������′ ������ −������ −������������ −������ − ������ −������ + ������ ������ ������ ������������ ������������ = (������������ + ������) ∙ ������ + ������������ ∙ ������ (������������ + ������) ∙ ������ + ������������ ∙ ������ −������ −������������ (−������ − ������) ∙ ������ + (−������ + ������) ∙ ������ (−������ − ������) ∙ ������ + (−������ + ������) ∙ ������ Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
LANJUTAN CONTOH SOAL 11 : ������������ ������������ = ������������������ + ������ ������������������ + ������ – 5a + 9 = – 1 a = −10 = 2 −������ −������������ −������������ + ������ −������������ − ������ – 5a = – 10 −5 M= ������������ + ������ ������������ M= ������ ������ −������ − ������ −������ + ������ −������ ������ ������′ =M∙ ������ ������������ = ������ ������ ∙ ������ = ������ ∙ ������ + ������ ∙ ������ ������������ + ������������ ������′ ������ ������������ −������ ������ ������ −������ ∙ ������ + ������ ∙ ������ = −������������ + ������������ Eliminasi kedua persamaan : Substitusi ke persamaan 1 : 5x + 4y = 70 5x + 4y = 70 Koordinat titik C – 5x + 3y = 35 + 5x + 4(15) = 70 ������ 7y = 105 5x = 70 – 60 ������������ 105 5x = 10 y = 7 = 15 10 x= =2 5 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
KELAS XI MIPA – IPS Oleh : Komposisi Transformasi dari fungsi Iin Setyawati Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati
CONTOH SOAL 1 : Bayangan garis 3x + 2y = 6 apabila ditranslasikan oleh T(3, – 4), dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 2 adalah .... ������′ ������ ������′ ������ ������′ 3 ������ T= 3 sehingga : ������′ =T+ ������ = −4 + = ������ + 3 −4 ������ − 4 ������ ������ Dilanjutkan [O,2) maka Matriks dilatasi dengan k = 2 ������ ������ ������′′ =M∙ ������′ = ������ ������ ∙ ������ + 3 = 2 ∙ ������ + 3 + 0 ∙ (������ − 4) 2������ + 6 ������′′ ������′ ������ ������ ������ − 4 0 ∙ ������ + 3 + 2 ∙ (������ − 4) = 2������ − 8 maka ������′′ = 2x + 6 x = ������′′ − ������ Disubstitusi ke pers. garis 3 ������′′ − ������ ������′′ = 2y – 8 ������ y = ������′′+ ������ ������ + 2 ������′′+ ������ = 6 3x + 2y = 6 ������ ������ = 12 Maka bayangannya : Kalikan 2 3 ������′′ − ������ + 2 ������′′ + ������ 3 ������′′ – 18 + 2 ������′′+ 16 = 12 3x + 2y = 14 3 ������′′ + 2 ������′′= 14
CONTOH SOAL 2 : Persamaan bayangan garis y = – 6x + 3 karena transformasi oleh matriks ������ ������ kemudian dilanjutkan dengan −������ −������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ matriks ������ −������ adalah ... maka T1 = −������ −������ dan T2 = ������ −������ M = T2 o T1 = ������ ������ ������ ������ = ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ −������ −������ −������ M= ������ ∙ ������ + ������ ∙ (−������) ������ ∙ ������ + ������ ∙ (−������) = −������ −������ ������ ∙ ������ + (−������) ∙ (−������) ������ ∙ ������ + (−������) ∙ (−������) ������ ������ ������′ =M∙ ������ maka ������ = ������−������ ������′ = −������ −������ −������ ������′ ������′ ������ ������ ������′ ������ ������ ������′ ������ ������ −������ ∙ ������ ������ ������ ������′ = −������������ ������ ������ ������ ������′ ������ = −������ ∙ ������ − −������ −������ ������′ − −������������ −������ −������ ������′ ������ ������ ������ ������ ������′ ������ = ������ −������ −������ ������′
LANJUTAN CONTOH SOAL 2 : 5������′+ 4������′ 6 ������ ������ ������ ������ ������′ = ������ 5 ∙ ������′ + 4 ∙ ������′ = maka ������ = ������ −������ −������ ������′ ������ (−4) ∙ ������′ + (−2) ∙ ������′ −������������′−������������′ x= 5 ������′ + 4������ ′ dan y = −4 ������′ − ������ ������ ′ 6 ������ ������ 26 ������′ + 22������′ – 18 = 0 Disubstitusi ke pers. garis y = – 6x + 3 (bagi 2) −4 ������′ − ������ ������ ′ = – 6 5 ������′ + 4������ ′ + 3 13 ������′ + 11������′ – 9 = 0 ������ ������ Maka bayangannya : 13x + 11y – 9 = 0 −4 ������′ − ������ ������ ′ = –5 ������′– 4������′ + 3(kali 6) ������ −4 ������′ − ������������′ = 6(–5 ������′– 4������′ + 3) −4 ������′ − ������������′ + 30 ������′ + 24������′ – 18 = 0
CONTOH SOAL 3 : Persamaan bayangan garis y = x + 1 karena transformasi oleh matriks ������ ������ kemudian dilanjutkan dengan ������ ������ pencerminan terhadap sumbu X adalah ... T1 = ������ ������ dan T2 = ������ ������ maka M = T2 o T1 = ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ −������ ������ ������ ������ ������ M = ������ ������ ������ ������ = ������ ∙ ������ + ������ ∙ ������ ������ ∙ ������ + ������ ∙ ������ = ������ ������ ������ −������ ������ ������ ������ ∙ ������ + −������ ∙ ������ ������ ∙ ������ + (−������) ∙ ������ ������ −������ ������′ =M∙ ������ maka ������ = ������−������ ������′ = ������ ������ −������ ������′ ������′ ������ ������ ������′ ������ −������ ������′ ������ ������ −������ −������ ������′ = ������ −������ −������ ������′ ������ = ������ ∙ −������ − ������ ∙ ������ ������ ������ ������′ −������ − ������ ������ ������ ������′ ������ = ( − ������) −������ −������ ������′ = ������ ������ ������′ ������ ������ ������ ������′ ������ −������ ������′
LANJUTAN CONTOH SOAL 3 : ������ = ������ ������ ������′ = 1 ∙ ������′ + 2 ∙ ������′ ������ ������ −������ ������′ 0 ∙ ������′ + (−1) ∙ ������′ x = ������′+ 2������′ dan y = −������′ Disubstitusi ke persamaan garis y = x + 1 −������′ = ������′+ 2������′ + 1 0 = ������′+ 2������′ + 1 + ������′ ������′+ 3������′ + 1 = 0 Maka bayangannya : x + 3y + 1 = 0
CONTOH SOAL 4 : Persamaan bayangan kurva y = x2 – 2x – 3 oleh rotasi [O,1800] kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis ������ cos 1800 − sin 1800 −������ ������ y = – x adalah ... T1 = sin 1800 cos 1800 = ������ −������ rotasi T2 = ������ −������ Pencerminan y = – x −������ ������ M = T2 o T1 = ������ ������ ������ ������ = ������ −������ −������ ������ ������ ������ ������ ������ −������ ������ ������ −������ M= ������ ∙ (−������) + (−������) ∙ ������ ������ ∙ ������ + (−������) ∙ (−������) = ������ ������ −������ ∙ −������ + ������ ∙ ������ (−������) ∙ ������ + ������ ∙ (−������) ������ ������ ������′ =M∙ ������ maka ������ = ������−������ ������′ = ������ ������ −������ ������′ ������′ ������ ������ ������′ ������ ������ ������′ ������ ������ ������ −������ ������′ = ( − ������) ������ −������ ������′ = ������ ������ ������′ ������ = ������ ∙ ������ − ������ ∙ ������ −������ ������ ������′ −������ ������ ������′ ������ ������ ������′
LANJUTAN CONTOH SOAL 4 : ������ = ������ ������ ������′ = 0 ∙ ������′ + 1 ∙ ������′ = ������′ ������ ������ ������ ������′ 1 ∙ ������′ + 0 ∙ ������′ ������′ x = ������′ dan y = ������′ Disubstitusi ke persamaan kurva y = x2 – 2x – 3 ������′ = (������′)2 – 2(������′) – 3 Maka bayangannya : x = y2 – 2y – 3
CONTOH SOAL 5 : Bayangan kurva y = x2 – 1, oleh dilatasi pusat O dengan faktor skala 2, dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu Y, adalah T1 = ������ ������ dilatasi dan T2 = −1 0 Pencerminan sumbu Y ������ ������ 0 1 M = T2 o T1 = ������ ������ ������ ������ = −1 0 ������ ������ ������ ������ ������ ������ 0 1 ������ ������ M= (−������) ∙ ������ + ������ ∙ ������ (−������) ∙ ������ + ������ ∙ ������ = −������ ������ ������ ∙ ������ + ������ ∙ ������ ������ ∙ ������ + ������ ∙ ������ ������ ������ ������′ =M∙ ������ maka ������ = ������−������ ������′ = −������ ������ −������ ������′ ������′ ������ ������ ������′ ������ ������ ������′ ������ ������ ������ ������ ������′ = ������ ������ ������ ������′ ������ = −������ ∙ ������ − ������ ∙ ������ ������ −������ ������′ −������ − ������ ������ −������ ������′ ������ ������ ������ ������ ������′ ������ = − ������ ������ −������ ������′
LANJUTAN CONTOH SOAL 5 : ������ ������ ������ ������ ������′ = − ������ 2 ∙ ������′ + 0 ∙ ������′ ������ = − ������ ������ −������ ������′ ������ 0 ∙ ������′ + (−2) ∙ ������′ Maka bayangannya : ������ −2������′ = −������′ maka x = − ������′ ������ = 4 2 y = ½ x2 – 2 2 ������������′ ������′ ������ ������ y = ������′ ������ Disubstitusi ke persamaan kurva y = x2 – 1 ������′ = − ������′ 2 – 1 2 ������′ = ������′ 2 – 4 ������ 2 Bagi 2 ������′ = ������′ 2 – 1 ������′ = ½ ������′ 2 – 2 ������ 4 Kali 4
CONTOH SOAL 6 : Tentukan bayangan dari lingkaran dengan pusat (2, – 3)dan jari-jari 5 yang ditransformasikan oleh matriks ������ −������ kemudian ������ ������ ������ ������ dilanjutkan dengan matriks ������ ������ adalah T1 = ������ −������ dan T2 = ������ ������ maka M = T2 o T1 = ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ M = ������ ������ ������ −������ = ������ ∙ ������ + ������ ∙ ������ ������ ∙ (−������) + ������ ∙ ������ = ������ −������ ������ ������ ������ ������ ������ ∙ ������ + ������ ∙ ������ ������ ∙ (−������) + ������ ∙ ������ ������ ������ ������′ =M∙ ������ maka ������ = ������−������ ������′ = ������ −������ −������ ������′ ������′ ������ ������ ������′ ������ ������ ������′ ������ ������ ������ ������ ������′ ������ ������ ������′ = 0 ∙ ������′ + 1 ∙ ������′ ������ = ������ ∙ ������ − −������ ∙ ������ −������ ������ ������′ = −������ ������ ������′ (−1) ∙ ������′ + 0 ∙ ������′
LANJUTAN CONTOH SOAL 6 : ������ ������′ maka x = ������′ dan y = −������′ .................... Persamaan (1) ������ = −������′ Persamaan lingkaran dengan pusat (2, – 3) dan jari-jari 5 adalah : (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25 .............................................. Persamaan (2) Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) (������′ – 2)2 + (−������′ + 3)2 = 25 ������′ 2 − 4������′ + 4 + ������′ 2 − 6������′+ 9 – 25 = 0 ������′ 2 + ������′ 2 − 6������′ − 4������′– 12 = 0 Maka bayangannya : x2 + y2 – 6x – 4y – 12 = 0
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- 197
- 198
- 199
- 200
- 201
- 202
- 203
- 204
- 205
- 206
- 207
- 208
- 209
- 210
- 211
- 212