E-HANDOUT MATEMATIKA WAJIB KELAS XI SEMESTER 3

1. Untuk membuat 1 meja tulis diperlukan waktu pemasahan 2 jam, pemasangan 1 jam, dan pengecatan 1 jam. Sedangkan untuk membuat 1 meja makan diperlukan waktu pemasahan 1 jam, waktu pemasangan 2 jam, dan waktu pengecatan 1 jam. 2. Dari tenaga kerja yang ada waktu yang tersedia (dalam 1 bulan) untuk masing- masing tahap pekerjaan itu adalah sebagai berikut. Pada tahap I tersedia waktu 180 jam, tahap II tersedia 160 jam, dan tahap III tersedia 100 jam. 3. Keuntungan yang dapat diraih dari penjualan 1 buah meja tulis adalah Rp 60.000,00 dan untuk 1 buah meja makan adalah Rp 40.000,00. Permasalahannya: • Buatlah model matematikanya Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Masalah 2: Keterangan-keterangan dari dari masalah 2 dapat kita rangkum seperti dalam tabel : Meja tulis Pemasahan Pemasangan Pengecatan Keuntungan (jam) (jam) (jam) 60.000 2 1 1 Meja makan 1 2 1 40.000 Waktu yg 180 160 100 tersedia Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Misalkan meja tulis diproduksi sebanyak x dan meja makan diproduksi sebanyak y, maka: •Waktu yang diperlukan untuk pemasahan (dalam jam) : 2x + y  180 •Waktu yang diperlukan untuk pemasangan (dalam jam) : x + 2y  160 •Waktu yang diperlukan untuk pengecatan ( dalam jam) : x + y  100 Dengan mengingat bahwa x dan y menyatakan banyak barang, maka x dan y mustahil negatif dan harus merupakan bilangan cacah, maka x  0, y  0, dan x,y C Keuntungan bersih (dalam rupiah ) = 60.000x + 40.000y dengan harapan keuntungan yang sebesar-besarnya (maksimum) Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Jadi model matematikanya adalah : 2x  y  180 x  2y 160  x  y  100  x0   y0 Dengan fungsi sasaran : Z = 60.000x + 40.000y (maksimum) Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Masalah 3: Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati Seorang pedagang semen hendak mengangkut 60 ton beras dari gudang ke tokonya. Untuk keperluan tersebut, ia menyewa dua jenis ken-daraan, yaitu truk dan pick up. Dalam sekali jalan, satu truk dapat mengangkut 3 ton semen. Sedangkan pick up dapat mengangkut 2 ton semen. Untuk sekali jalan, sewa truk adalah Rp 20.000,00 sedangkan pick up Rp 15.000,00. Dengan cara sewa seperti ini, pedagang semen tersebut diharuskan menyewa kedua jenis kendaraan itu sekurang- kurangnya 24 kendaraan. Permasalahan: Buatlah model matematikanya

Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati Masalah 3: Misalkan : x = banyaknya truk dan y = banyaknya pick up Truk Pick up Minimum Banyaknya kendaraan x y 24 Banyaknya muatan (ton) 3x 2y 60 Dari diagram tersebut, diperoleh sistem pertidaksamaan: x + y ≥ 24 3x + 2y ≥ 60 x, y ≥ 0 Fungsi objektif: meminimumkan z = 20.000x + 15.000y

KESIMPULAN Ada kata : • Maksimum, persediaan, modal, tidak lebih dari maka tada yang digunakan ≤ • sekurag-kurangnya, paling sedikit, minimum maka tanda yang digunakan ≥ Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

SMAK SANTA MARIA MALANG Nilai Optimum dari soal cerita Matematika SMA kelas XI IIN SETYAWATI,S.Pd Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Langkah-langkah menentukan nilai optimum dengan metode uji titik pojok (substitusi) 1) Ubah masalah tersebut ke dalam model matematika yaitu dengan membuat tabel, fungsi pembatas dan fungsi tujuan.Tabel di sini untuk mempermudah membaca data. Fungsi pembatas/kendala yaitu beberapa pertidaksamaan linier yang berhubungan dengan permasalahan tersebut. Fungsi tujuan/objektif yaitu suatu fungsi yang berhubungan dengan tujuan yang akan dicapai. Biasanya fungsi tujuan dinyatakan dengan f(x,y) = ax + by atau z = ax + by 2) Lukislah daerah penyelesaian dari fungsi pembatasnya 3) Tentukan koordinat-koordinat titik ujung daerah penyelesaian 4) Ujilah masing-masing titik ujung daerah penyelesaian 5) Tentukan nilai terbesar/terkecilnya sesuai dengan tujuan yang akan dicapai Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Contoh Soal 1: Suatu perusahaan mebel ingin membuat dua jenis meja, yaitu meja tulis dan meja makan. Untuk membuat meja-meja itu diperlukan 3 tahapan pekerjaan, yaitu: tahap I (pemasahan), tahap II (pemasangan), dan tahap III (pengecatan). Berdasarkan pengalaman beberapa tahun dalam memproduksi meja ini diperoleh fakta sebagai berikut: Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

1. Untuk membuat 1 meja tulis diperlukan waktu pemasahan 2 jam, pemasangan 1 jam, dan pengecatan 1 jam. Sedangkan untuk membuat 1 meja makan diperlukan waktu pemasahan 1 jam, waktu pemasangan 2 jam, dan waktu pengecatan 1 jam. 2. Dari tenaga kerja yang ada waktu yang tersedia (dalam 1 bulan) untuk masing- masing tahap pekerjaan itu adalah sebagai berikut. Pada tahap I tersedia waktu 180 jam, tahap II tersedia 160 jam, dan tahap III tersedia 100 jam. 3. Keuntungan yang dapat diraih dari penjualan 1 buah meja tulis adalah Rp 60.000,00 dan untuk 1 buah meja makan adalah Rp 40.000,00. Permasalahannya: a) Berapa banyak meja tulis dan meja makan harus dibuat supaya keuntungan yang diperoleh sebesar-besarnya? b) Berapa rupiah keuntungan maksimum itu? Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Penyelesaian : Keterangan-keterangan dari dari masalah 2 dapat kita rangkum seperti dalam tabel : Meja tulis Pemasahan Pemasangan Pengecatan Keuntungan (jam) (jam) (jam) 60.000 2 1 1 Meja makan 1 2 1 40.000 Waktu yg 180 160 100 tersedia Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Misalkan meja tulis diproduksi sebanyak x dan meja makan diproduksi sebanyak y, maka: •Waktu yang diperlukan untuk pemasahan (dalam jam) : 2x + y  180 •Waktu yang diperlukan untuk pemasangan (dalam jam) : x + 2y  160 •Waktu yang diperlukan untuk pengecatan ( dalam jam) : x + y  100 Dengan mengingat bahwa x dan y menyatakan banyak barang, maka x dan y mustahil negatif dan harus merupakan bilangan cacah, maka x  0, y  0, dan x,y C Keuntungan bersih (dalam rupiah ) = 60.000x + 40.000y dengan harapan keuntungan yang sebesar-besarnya (maksimum) Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Jadi model matematikanya adalah : 2x  y  180 (0,180) dan (90,0) x  2y 160 (0,80) dan (160,0)  x  y  100 (0,100) dan (100,0)  x0   y0 Dengan fungsi sasaran : Z = 60.000x + 40.000y (maksimum) Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati Gambar semua kendala 250 200 2x + y = 180 (garis pemasahan) 2x + y ≤ 180 (ARSIRAN KE ATAS) 150 100 x + y ≤ 100 (ARSIRAN KE ATAS) x + y = 100 (garis pengecatan) 50 x + 2y = 160 (garis pemasangan) x ≥ 0 DP x + 2y ≤ 160 (ARSIRAN KE ATAS) 0 50 100 150 200 250 y≥0

Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati Perhitungan penyelesaian optimal diperoleh dari irisan kendala “pengecatan” dan “pemasangan” sebagai berikut: x + 2y = 160 x + y = 100 - y = 60 x + 60 = 100 x = 40 Persamaan 1…...……... optimalnya : x=40, y=60 Perhitungan penyelesaian optimal diperoleh dari irisan kendala “pemasahan” dan “pengecatan” sebagai berikut: 2x + y = 180 x + y = 100 - x = 80 80 + y = 100 y = 20 Persamaan 2…...……... optimalnya : x=80, y=20

Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati Metode Uji Titik Sudut 250 Perhitungan penyelesaian optimal diperoleh dari irisan kendala “pengecatan” dan “pemasangan” 200 (persamaan 1) 150 (0,100) Perhitungan penyelesaian optimal 100 (40,60) diperoleh dari irisan kendala “pemasahan” dan “pengecatan” (persamaan 2) 50 (80,20) (90,0) DP 0 50 100 150 200 250

Nilai-nilai pada Titik Sudut Titik A(0,100) B(80,20) C(40,60) D(90,0) x 0 80 40 90 y 100 20 60 0 60.000x + 40.000y 4.000.000 5.600.000 4.800.000 5.400.000 Nilai maksimum Kesimpulan a) banyak meja tulis = 80 buah dan meja makan = 20 buah harus dibuat supaya keuntungan yang diperoleh sebesar- besarnya b) keuntungan maksimum itu = Rp 5.600.000 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Masalah 2: Seorang pedagang semen hendak mengangkut 60 ton semen dari gudang ke tokonya. Untuk keperluan tersebut, ia menyewa dua jenis ken- daraan, yaitu truk dan pick up. Dalam sekali jalan, satu truk dapat mengangkut 3 ton semen. Sedangkan pick up dapat mengangkut 2 ton semen. Untuk sekali jalan, sewa truk adalah Rp 20.000,00 sedangkan pick up Rp 15.000,00. Dengan cara sewa seperti ini, pedagang semen tersebut diharuskan menyewa kedua jenis kendaraan itu sekurang- kurangnya 24 kendaraan. Permasalahan: Berapa banyak truk dan pick up yang harus disewa agar biaya yang dikeluarkan minimum? Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Masalah 3: Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati Misalkan : x = banyaknya truk dan y = banyaknya pick up Truk Pick up Minimum Banyaknya kendaraan x y 24 Banyaknya muatan (ton) 3x 2y 60 Dari diagram tersebut, diperoleh sistem pertidaksamaan: x + y ≥ 24 (0,24) dan (24,0) 3x + 2y ≥ 60 (0,30) dan (20,0) x, y ≥ 0 Fungsi objektif: meminimumkan z = 20.000x + 15.000y

Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati Gambar kendala pertama dan kedua y 50 DP 40 x + y = 24 30 20 x + y ≥ 24 (ARSIRAN KE BAWAH) 10 3x + 2y ≥ 60 (ARSIRAN KE BAWAH) 3x + 2y = 60 x≥0 0 10 20 30 40 50 X y≥0

Metode Uji Titik Sudut y 50 DP 40 (0, 30) 30 Nilai obj. : 450.000 20 (12,12) dari eliminasi Nilai obj. : 420.000 10 (24, 0) Nilai obj. : 480.000 0 10 20 30 40 50 X Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Perhitungan penyelesaian optimal Perhitungan penyelesaian optimal diperoleh dari irisan kendala “pemasahan” dan “pemasangan” sebagai berikut: x + y = 24 x 2 2x + 2y = 48 3x + 2y = 60 x 1 3x + 2y = 60 - - x = - 12 12 + y = 24 x = 12 y = 12 Jadi penyelesaian optimalnya : x = 12, y =12 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Nilai-nilai pada Titik Sudut Titik A(24,0) B(12,12) C(0,30) x 24 12 0 y 0 12 30 450.000 20.000x + 15.000y 480.000 420.000 Nilai minimum Kesimpulan Biaya minimumnya = Rp 420.000,00 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

SMAK SANTA MARIA MALANG Matematika SMA kelas XI IIN SETYAWATI,S.Pd Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

CONTOH SOAL 1 : Nilai maksimum dari bentuk obyektif K = 3x + 4y yang memenuhi system pertidaksamaan : 1. Nilai maksimum dari bentuk obyektif  x0  y  0 2x  y  11 x  2 y  10 dengan (x,y)  R adalah …. Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Langkah-langkah penyelesaian :  Arsirlah daerah yang tidak memenuhi x ≥ 0  Arsirlah daerah yang tidak memenuhi y  0  Gambar garis 2x + y = 11, kemudian arsirlah daerah yang tidak memenuhi 2x + y  11 x 0 ������������ Koordinatnya : y 11 ������ (0,11) dan (������������������,0) 0 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Langkah-langkah penyelesaian :  Gambar garis x + 2y = 10 , kemudian arsirlah daerah yang tidak memenuhi x + 2y  10 x 0 10 Koordinatnya : y 5 0 (0,5) dan (10,0)  Himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang merupakan irisan keempat penyelesaian pertidaksamaan di atas seperti gambar di bawah ini : Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

(0,11) x≥0 ELIMINASI (0,5) HP y 0 (������������,0) (10,0) x + 2y ≤ 10 y ≥ 0 ������ 2x + y ≤ 11 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Perhitungan penyelesaian optimal diperoleh dari eliminasi sebagai berikut: x + 2y = 10 (x 2) 2x + 4y = 20 2x + y = 11 - (x 1) 2x + y = 11 - 3y = 9 y=3 x + 2y = 10 x + 6 = 10 x=4 Persamaan 1…...……... optimalnya : x=4, y= 3 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Nilai-nilai pada Titik Sudut Titik A(������������������,0) B(4,3) C(0,5) x ������������ 4 0 ������ y 0 3 5 3x + 4y 24 20 16,5 Nilai maksmum Kesimpulan nilai maksimum itu = 24 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

CONTOH SOAL 2 : Nilai minimum f(x,y) = 7x + 4y – 10 dari daerah penyelesaian Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Langkah-langkah penyelesaian :  Arsirlah daerah yang tidak memenuhi x ≥ 0  Arsirlah daerah yang tidak memenuhi y  0  Gambar garis 3x + 5y = 5, kemudian arsirlah daerah yang tidak memenuhi 3x + 5y ≥ 5 x 0 ������ Koordinatnya : ������ (0,1) dan (������ ,0) ������ y10 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Langkah-langkah penyelesaian :  Gambar garis 3x + 2y = 3 , kemudian arsirlah daerah yang tidak memenuhi 3x + 2y ≥ 3 x 0 1 Koordinatnya : y3 0 (0, 3) dan (1,0) 2 2  Himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang merupakan irisan keempat penyelesaian pertidaksamaan di atas seperti gambar di bawah ini : Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

(0, 23) Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati x≥0 DAERAH (0,1) PENYELESAIAN ELIMINASI y 0 (1,0) (������������,0) 3x + 5y ≥ 5 y≥0 3x + 2y ≥ 3

Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati Perhitungan penyelesaian optimal diperoleh dari eliminasi sebagai berikut: 3x + 5y = 5 3x + 2y = 3 - 3y = 2 y = 2 3 3x + 2y = 3 3x + 4 = 3 3 3x = 9 −4 = 5 33 5 5∙ 1 5 x = 3 : 3= 3 = 9 3 59, 2 Persamaan 1…...……... optimalnya : x= y= 3

Nilai-nilai pada Titik Sudut Titik A( ������������,0) B( ������������,������������) C(0,������ ) x ������ ������ y ������ ������ ������ 0 ������ 0 7x + 4y – 10 ������������ − ������������ ������ ������ ������ ������ = ������ ������������ + ������������ − ������������ ������ –4 ������ ������������ = − ������ Kesimpulan Nilai minimum nilai minimumnya = – 4 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

CONTOH SOAL 3 : Nilai maksimum fungsi objektif: 4x + y dari grafik penyelesaian berikut adalah ... l2 l1 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

CONTOH SOAL 3 : l2 ≈ 6x + 12y = 72 x + 2y = 12 l1 ≈ 12x + 6y = 72 2x + y = 12 Eliminasi kedua garis : 2x + y = 12 (x 2) 4x + 2y = 24 x + 2y = 12 (x 1) x + 2y = 12 – 3x = 12 x=4 2x + y = 12 l2 8 + y = 12 l1 y = 4 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Nilai-nilai pada Titik Sudut Titik A(0,12) B(4,4) C(0,6 ) x 0 40 y 12 4 6 4x + y 12 20 6 Kesimpulan Nilai maksimum nilai maksimumnya = 20 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

MATRIKS

Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati Peta Konsep

Susunan horisontal (mendatar) disebut baris. Susunan vertikal (tegak) disebut kolom Banyak baris x banyak kolom disebut ordo matriks Jika banyak elemen pada baris sama dengan banyak elemen pada kolom(baris = kolom = n) maka matriks tersebut berordo n Sebuah matriks ditulis dengan huruf besar Jika matriks A mempunyai m baris dan n kolom maka ordo matriks A adalah m x n dan ditulis Amxn Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati Bentuk Umum  a11 a12 ... a13  baris ke 1  a21 a22 ... a23  Matriks A =  ... ...  baris ke 2  ... am2 ... ...  am1 amn baris ke m kolom ke 1 kolom ke 2 kolom ke n Matriks A di atas berordo m x n dengan amn adalah elemen matriks pada baris ke-m dan kolom ke-n.

Definisi MATRIKS TRANSPOS Transpos dari suatu matriks A adalah sebuah matriks baru  Transpos atau putaran dari suatu yang disusun dengan cara matriks A ditulis At atau ������′ menuliskan baris pertama (dibaca A transpos atau matriks A menjadi kolom A aksen). Diperoleh dengan cara pertama matriks baru, baris kedua matriks A menjadi kolom mengubah setiap baris dari matriks A menjadi kolom pada matriks ������′. Jadi, kedua matriks baru, baris ketiga (A)m x n maka (At)n x m matriks A menjadi kolom ketiga matriks baru,...,dan seterusnya. Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

MATRIKS KESAMAAN DUA TRANSPOS MATRIKS Sifat-sifat matriks transpos Dua matriks A dan B a) (At)t = A dikatakan sama (A = B) jika b) (A + B)t = At + Bt dan hanya jika c) (A . B)t = Bt . At d) k(At) = (kA)t a) ordo kedua matriks sama Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati b) elemen-elemennya yang bersesuaian (seletak) juga sama.

Contoh Soal 1 : Tentukan ordo matriks A =  1 3 2 4  Baris 1 5 0 2 3 Baris 2 Kolom 3 Kolom 1 Kolom 2 Kolom 4 Banyak baris 2, banyak kolom 4 A adalah matriks berordo 2 x 4 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Contoh Soal 2: Matriks A =  1 2 3  baris ke 1 4 5 6 baris ke 2 kolom ke 1 kolom ke 2 kolom ke 3 •matriks A berordo 2 x 3 •4 adalah elemen baris ke 2 kolom ke 1 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati

Contoh Soal 4: Perhatikan matriks berikut: Contoh Soal 3:  1 0 0 0 1 0  1 2 3 4  I= A =  2 5 0 1 0 0 1  5 6 7 8  I adalah matriks Identitas  9 0 4 2  yaitu matriks diagonal yang elemen-elemen pada diagonal utama bernilai satu Banyak baris 4, banyak kolom 4 A adalah matriks berordo 4 Matematika Wajib Kelas XI - SMAK SANTA MARIA MALANG - Iin Setyawati