BA102 คณิตศาสตร์ธุรกิจ ป.ตรี

โจทย์สมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร

โจทย์สมกำรเชงิ เส้นสองตวั แปร เมอื ง ก และเมอื ง ข อยหู่ ำ่ งกนั 480 กโิ ลเมตร ประวทิ ย์ ขบั รถยนตจ์ ำกเมอื ง ก ไปเมอื ง ข สว่ นกำนดำขบั รถยนตจ์ ำกเมอื ง ข ไปเมอื ง ก บนเสน้ ทำงเดยี วกนั ทงั้ สองออกเดนิ ทำงเวลำ 6.00 น. พรอ้ มกนั เขำจะพบกนั เวลำ 9.00 น. โดยประวทิ ยข์ บั รถไดร้ ะยะทำง มำกกวำ่ กำนดำ 30 กโิ ลเมตร จงหำวำ่ แต่ละคนขบั รถดว้ ยอตั รำเรว็ เทำ่ ไร x กม./ชม. 9.00 น. y กม./ชม. ก 3 ชม. 480 กม. 3 ชม. ข

โจทย์สมกำรเชิงเส้นสองตัวแปร กำหนดตวั แปร ให้ x แทน อตั รำเรว็ ของประวทิ ย์ y แทน อตั รำเรว็ ของกำนดำ สรำ้ งระบบสมกำร 3x  3y  480 1 3x  3y  30 2

โจทย์สมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร 1 2 แกร้ ะบบสมกำร 3x  3y  480 3x  3y  30 1 2 6x  510 6x  510 x  510 6  85

โจทย์สมกำรเชิงเส้นสองตัวแปร แกร้ ะบบสมกำร แทน x  85 ใน 1 3x  3y  480 3( 85 )  3y  480 255  3y  480 3y  480  255  225 y  225  75 3 ดงั นัน้ ประวทิ ยข์ บั รถดว้ ยอตั รำเรว็ 85 กโิ ลเมตร/ชวั่ โมง กำนดำขบั รถดว้ ยอตั รำเรว็ 75 กโิ ลเมตร/ชวั่ โมง

ระบบสมการ 106

บทที่ 3 เมทริกซ์ Matrix 107

นิยามของเมทริกซ์ 1. นิยามของเมทริกซ์ ภายใน นิยามท่ี 1 เมทริกซ์ คือ กลมุ่ ของจานวนจริง หรือ จานวนเชิงซ้อน มาจดั เรียงเป็นรูปส่เี หลยี่ มผืนผ้าเป็น แถวตามแนวนอน (Horizontal) และ แนวตงั้ (Vertical) เคร่ืองหมาย [ ] หรือ ( ) ซง่ึ มีแถวตามแนวนอนเรียกวา่ แถว (Row) และตามแนวตงั้ เรียกวา่ หลกั หรือคอลมั น์ (Column)

นิยามของเมทริกซ์ เรียกจานวนแต่ละจานวนในเมทริกซ์ว่า สมาชิก (element) โดยทัว่ ไปจะใช้อกั ษรตัวพมิ พ์ใหญ่ เช่น A, B, C…. แทน เมทริกซ์ และอกั ษรตัวพมิ พ์เลก็ เช่น a, b, c….. แทน สมาชิกของเมทริกซ์

โดยทวั่ ไปนิยมใช้ในรูปต่อไปนีแ้ ทน  a11 a12   a1n     a21 a22   a2n  A        am1 am2   amn  ใช้สัญลกั ษณ์ เป็ น A  aij mn หรือ Amn

ประเภทของเมทริกซ์ 1. เมทริกซ์แถว (row matrix) เมทริกซ์ท่ีมี 1 แถวและ n หลกั เช่น 2. เมทริกซ์หลกั (Column m5atrix3)  8 เมทริกซ์ที่มี m แถวและ 1 สดมภ์ เช่น 5  3     8

3. เมทริกซ์จตั รุ สั (Square Matrix) คือ เมทริกซ์ที่มี จานวนแถวเทา่ กบั จานวนหลกั (m=n) หรือเรียกวา่ เมทริกซ์อนั ดบั n มีรูปทว่ั ไปคือ a11 a12   a1n  a21  a22   a2n  A        an1 an2   ann  สมาชิกที่อยใู่ นตาแหน่ง i=j เรียก เสน้ เสน้ ทแยงมมุ หลกั

4. เมทริกซ์ศนู ย์ (Zero Matrix หรือ Null Matrix) คือ เมทริกซ์ท่ีมีสมาชิกทกุ ตวั เป็นศนู ย์หมด เช่น O= 000 หรือ 000 000 000 000

5. เมทริกซ์ทแยงมมุ (Diagonal Matrix) คือเมทริกซ์จตั รุ ัสที่มีสมาชิกทกุ ตวั ท่ีไมไ่ ด้อยู่ บนเส้นทแยงมมุ หลกั มีคา่ เป็นศนู ย์ทงั้ หมด เช่น 200 หรือ 4000 030 0300 004 0020 0001

6. เมทริกซ์เชิงสเกล่าร์(Scalar Matrix) คือเมทริกซ์ทแยงมมุ ทม่ี สี มาชิกทกุ ตวั บน เส้นทแยงมมุ หลกั มีคา่ เทา่ กนั ทงั้ หมด เชน่ 400 5000 040 004 หรือ 0500 0050 0005

7. เมทริกซ์เอกลกั ษณ์ (Identity Matrix หรือ Unit Matrix) คือ เมทริกซ์ทแยงมมุ ทีม่ สี มาชิกทกุ ตวั บน เส้นทแยงมมุ หลกั มีคา่ เทา่ กบั 1 ทงั้ หมด ใช้สญั ลกั ษณ์ I หรือ In แทนเอกลกั ษณ์เมทริกซ์อนั ดบั n เชน่ 100 1000 I3 = 0 1 0 หรือ I4 = 0 1 0 0 001 0 0 1 0 0001

Ex. A= 3201 7164 เป็ นเมทริกซ์ขนาด _____2____ แถว ____4_____ หลกั เขยี นด้วยสัญลกั ษณ์ __A__2___4______

Ex. จงบอกประเภทและอนั ดบั ของเมทริกซ์ลกั ษณะ พเิ ศษตอ่ ไปนี ้ 1. O = 000 เมทริกซ์ศูนย์ อนั ดบั 23 000 2. A = 1 เมทริกซ์หลกั อนั ดบั 21 8

Ex. จงบอกประเภทและอนั ดบั ของเมทริกซ์ลกั ษณะ พิเศษตอ่ ไปนี ้ 3. B = 2 4 6 8 0 เมทริกซ์แถว อนั ดบั 15 200 เมทริกซ์ทแยงมุม อนั ดบั 3 4. C = 0 3 0 004

พชี คณติ ของเมทริกซ์ 2. พีชคณิตของเมทริกซ์ 2.1 การเท่ากนั ของเมทริกซ์ (Equal Matrix) ถ้า A  aij mn และ B  bij  pq จะได้ A = B กต็ ่อเมอื่ m = p และ n = q และ aij = bij ทุกค่าของ i และ j

Ex. A  0 06.5, B  0 0.25 1.5 1 0.5 3 2  ดงั น้ัน A  B Ex. A  2 53, B  2  9 4 4 5  ดงั น้ัน A  B

2.2 การบวกลบเมทริกซ์ (Matrix Addition or Subtraction) ให้ A  aij mn และ B  bij  pq แล้ว A + B = C โดยท่ี C  cij mn  aij  bij mn หมายเหตุ เมทริกซ์สองเมทริกซ์ นามาบวก หรือ ลบกนั ได้ ก็ต่อเมือ่ เมทริกซ์ทงั้ สองมีมิติเท่ากนั เท่านนั้

Ex. A = -1 2 4 และ B = 4 2 -3 3 -6 10 1 79 จงหา C = A + B และ D = A - B วธิ ีทา C  1 4 22 43  3 4 1  3 1 67 10  9 4 1 19 D  1 4 22 4  (3)   5 0 7  3 1 67 10  9   2 13 1

2.3 การคูณเมทริกซ์ 1) การคูณเมทริกซ์ดว้ ยสเกล่าร์ (Scalar Multiplication) หรือการคูณดว้ ยจานวนจริง ให้ A  aij mn และ k เป็ นสเกลาร์ ดงั น้ัน kA  kaij mn น่ันคอื เป็ นการนา k คูณกบั สมาชิกทุกตวั ในเมตริกซ์ เช่น k a b ka kb c d = kc kd

Ex. A = 1 -5 3 41 0 จงคานวณหา 4A , -3A วธิ ีทา 4A   4(1) 4(5) 4(3)  4  20 12 4(4) 4(1) 4(0) 16 4 0   3A    3(1)  3(5)  3(3)   3 15  9  3(4)  3(1)  3(0) 12 3 0 

2.3 การคูณเมทริกซ์ 2) การคูณเมทริกซ์ดว้ ยเมทริกซ์ น่ันคอื เป็ นการนา คูณกบั สมาชิกทุกตวั ในเมตริกซ์ เช่น A.B A= a b . B= abc 2x3 c d 3x2 de f หมายเหตุ เมทริกซ์สองเมทริกซ์ นามาคูณกนั เมทริกซ์ทง้ั สองมีมิติ ไม่เท่ากนั ได้

Ex. จงหาผลคณู ของเมตริกซ์ AB เมื่อ 1 2 3  2 0 A  0 1 1 , B  4 1 5 2  3 7 3 วธิ ีทา  (1)(2)  (2)(4)  (3)(7) (1)(0)  (2)(1)  (3)(3)  AB   (0)(2)  (1)(4)  (1)(7) (0)(0)  (1)(1)  (1)(3)    (5)(2)  (2)(4)  (3)(7) (5)(0)  (2)(1)  (3)(3)  31 11    3 2     3  7

ชนิดของเมทริกซ์ 3. ชนิดของเมทริกซ์ 3.1 เมทริกซ์สลบั เปลีย่ น (Transposed Matrix) หรือ ทรานสโพสของเมทริกซ์ A คือ เมทริกซ์ท่ีได้จาก การเปล่ยี นแถวนอนของเมทริกซ์ A ทกุ แถวให้เป็นแถวตงั้ ถ้า A  aij mn แล้ว เมทริกซ์สลบั เปลย่ี นของ A คอื A  aij nm และใช้สัญลกั ษณ์ At หรือ A' แทนเมทริกซ์สลบั เปลยี่ นของ A

การหา ทรานสโพสของเมทริกซ์ เช่น a11 a12 a13 A= a21 a22 a23 a31 a32 a33 a41 a42 a43 4x3 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 At = a31 a32 a33 a34 3x4

Ex. จงหาทรานสโพสของเมทริกซ์ตอ่ ไปนี ้ 12 At = 1 3 4 A= 3 0 2 0 7  -4 7 4 4 -1 Bt =  4 2 7 B = 2 3 -4  4 3 2  -7 2 3   2 1 4 3  C= 8 Ct = 2 8 2 2

ดเี ทอร์มิแนนท์ของเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนท์ของเมทริกซ์ A เขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ det A หรือ |A|

ดเี ทอร์มแิ นนท์ของเมทริกซ์ ดีเทอร์มแิ นนต์ของเมทริกซ์ มีความสาคญั ในการคานวณทาง คณิตศาสตร์ วิธีคานวณหาดีเทอร์มิแนนต์มีหลายวธิ ีดงั นี ้ 1. การหาโดยตรง (ในกรณีของเมทริกซ์ขนาดเลก็ ได้แก่ 2x2 , 3x3 ) เช่น

เมทริกซ์ขนาด 2x2 (หาดเี ทอร์มแิ นนต์ได้ในกรณขี องเมทริกซ์จตุรัสเท่าน้ัน) a b + c d  A  ,det(A)  ad  cb -

ตัวอย่าง - A   3 5   7  4 + det(A)  (3)(7)  (4)(5) = 21 – 20 =1 ดงั น้ัน det(A) หรือ |A| = 1

เมทริกซ์ขนาด 3x3 -- - a1 b1 c1  a1 b1 A  a2  b2 c2  a2 b2 a3 b3 c3  a3 b3 ++ + det(A)  a1b2c3  b1c2a3  c1a2b3  a3b2c1  b3c2a1  c3a2b1 เมทริกซท์ ่ีมีขนาดมากกวา่ น้ีจะทาแบบน้ีไม่ได้ ตอ้ งใชว้ ธิ ีกระจาย cofactor เท่าน้นั

ตวั อย่าง กาหนดให้ -- -  1 0  5 1 0 A   2 3  7   2 3  4 2 9  4 2 ++ + det(A)  (1)(3)(9)  (0)(7)(4)  (5)(2)(2)  (4)(3)(5)  (2)(7)(1)  (9)(2)(0) = -27 + 0 + 20 + 60 + 14 + 0 = 67 ดงั น้ัน det A หรือ |A| = 67

บทที่ 4 การแก้ระบบสมการเชิงเส้ น โดยใช้กฎของแครมเมอร์ 137

การใช้กฏของแครมเมอร์ เหมาะสาหรับระบบทมี่ สี มการจานวนไม่มาก ในท่ีนีใ้ ช้สาหรับแก้ระบบสมการ 3 ตวั แปร

พจิ ารณาสมการ a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = c1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = c2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = c3 เม่ือ a, c เป็น คา่ คงท่ี และ x1, x2, x3 เป็ น ตวั แปรท่ีต้องการห

พจิ ารณาสมการ a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = ระบบสมการนีส้ ามารถเขียนอยใู่ นรูปสมการเมทริกซ์ ได้ดงั นี ้ โดยที่ A.X = C A= a11 a12 a13 x1 c1 a21 a22 a23 , X = x2 , C = c2 a31 a32 a33 x3 c3

สูตรการแก้สมการ โดยใช้กฎของแครมเมอร์ Xi = |������������������| ; |A| ≠ 0 |������| ดีเทอร์มิแนนทข์ อง Ax ดีเทอร์มิแนนทข์ อง A

เมอื่ |������������������| |������| Xi = ดงั นนั้ X1 = |������������������| X2 = |������| X3 = เมื่อ |A| ≠ 0 |������������������| |������| |������������������| |������|

และ ������������������ = c1 a12 a13 c2 a22 a23 c3 a32 a33 ������������������ = a11 c1 a13 ������������������ = a21 c2 a23 a31 c3 a33 a11 a12 c1 a21 a22 c2 a31 a32 c3

ตวั อย่าง จงแกส้ มการต่อไปน้ี (โดยใชก้ ฎของแครมเมอร์) x1 + 2x2 - x3 = 2 x1 + 2x3 = -1 2x1 + x2 + 3x3 = 1

x1 + 2x2 - x3 =2 x1 + 2x3 วธิ ีทา จดั ระบบสมการใหม่ใหAอ้ .ยXใู่ นร=ูปสCมการ2=เมxท1ร+ิกซ-์ 1x12 + 3x3 = โดยที่ 1 2 -1 x1 2 A = 1 0 2 , X = x2 , C = -1 213 x3 1

จาก Xi = |������������������| |������| หาคา่ |A| , |Ax1| , |Ax2| และ |Ax3| หาคา่ ดีเทอร์มแิ นนท์

หาค่า |A| = 1 2 1 1 2 1 2 -1 1 0  = 2  1 0 A= 1 0 2 213 = 2 1 3  2 1 = --- ดงั น้ัน |A| = 1 2 1 1 2 1 0  2  1 0 2 1 3  2 1 + ++ (1)(0)(3) + (2)(2)(2) + (-1)(1)(1) – (2)(0)(-1) – (1)(2)(1) – (3)(1)(2) 0+8–1–0–2–6 -1

หาค่า |Ax1| =  2 2 1 2 2 นาค่า C มาแทนใน 1 0  หลกั ที่ 1 ของ 2  1 0 เมตริกซ์ A 2  1 1 3  1 1 -- - C= -1 =  2 2 1 2 2 1 1 0  2   1 0  1 1 3  1 1 = +++ = ดงั น้ัน |Ax1| = (2)(0)(3) + (2)(2)(1) + (-1)(-1)(1) – (1)(0)(-1) – (1)(2)(2) – (3)(-1)(2) 0+4–1–0–4+6 7

หาค่า |Ax2| = 1 2 1 1 2 นาคา่ C มาแทนใน 1  หลกั ที่ 2 ของ 1 2  1 1 เมตริกซ์ A 2 2 1 3  2 1 -- - C= -1 = 1 2 1 1 2 1 1 1  2  1 1 2 1 3  2 1 = +++ = ดงั น้ัน |Ax2| = (1)(-1)(3) + (2)(2)(2) + (-1)(-1)(1) – (2)(-1)(-1) – (1)(2)(1) – (3)(1)(2) –3+8–1–2–2 – 6 -6

หาค่า |Ax3| = 1 2  2 1 2 นาค่า C มาแทนใน 1 0 1 1 0 หลกั ท่ี 3 ของ 2 2 1 1  2 1 เมตริกซ์ A C= -1 = - -- 1 1 2 2  1 2 1 0 1 1 0 2 1 1  2 1 = +++ = ดงั น้ัน |Ax3| = (1)(0)(1) + (2)(-1)(2) + (2)(1)(1) – (2)(0)(2) – (1)(-1)(1) – (1)(1)(2) 0– 4+ 2 –0 + 1 – 2 -3