BA102 คณิตศาสตร์ธุรกิจ ป.ตรี

สมการเชิงเส้น (Linear equation) • สมกำรเชิงเส้น คือ สมการที่สามารถถกู จดั รูปได้ ใน รูปแบบตอ่ ไปนีค้ ือ Ax  B • เมื่อ A  0และ B เป็นจานวนจริงใดๆ และ x เป็นตวั แปร ที่ เราต้องการทราบคา่ สมกำรเชงิ เส้น เป็นรูปแบบของระบบสมการที่ง่ายท่ีสดุ ที่สามารถหาผลเฉลยได้ 51

สมการเชิงเส้นทม่ี ตี วั แปรมากกว่า 1 ตวั แปร Ax  By  C Ax  By  Cz  D a1x1  a2x2  ...  anxn  b 52

ระบบสมการเชิงเส้ น y 6 (0, 5) 5 (1, 4) x y 3 4 (2, 3) 3 (3, 2) (5, 2) 2 1 (3, 0) (4, 1) (5, 0) x 2 11 0 1 2345 6 7 (2, 1) x y 5 2 (1,  2) 3 (0,  3)

ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร • สมการเชิงเส้นสองตวั แปร มีรูปทว่ั ไปเป็น เม่ือ A, B และ C เป็นจานวนจริงใดๆ คงที่ และ A, B ไมเ่ ทา่ กบั ศนู ย์ 54

ระบบสมกำรเชงิ เส้นสองตวั แปร 2x  3y  4 x  3y  1 3x  y  5 y  4  2x x  y 1 3 (x  y)  57 y 3 4 3x  y  40 0x  y  3

ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร x y 5 x 012345 x y 3 1 y 5x 5 4 3 2 1 0 2 y  x  3 3 2 1 0 1 2 y 6 (0, 5) 5 (1, 4) x y 3 (2, 3) 4 (3, 2) (5, 2) 3 2 1 (3, 0) (4, 1) (4, 1) (5, 0) x 2 11 0 1 234 5 6 7 (2, 1) x y 5 2 (1,  2) 3 (0,  3)

ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร ให้ a, b, d, e และ f เป็นจำนวนจรงิ ท่ี a, b ไมเ่ ป็น ศนู ยพ์ รอ้ มกนั และ c, d ไมเ่ ป็นศนู ยพ์ รอ้ มกนั เรยี กระบบท่ี ประกอบดว้ ยสมกำร ax  by  e cx  dy  f วำ่ ระบบสมกำรเชงิ เสน้ สองตวั แปรทม่ี ี x และ y เป็นตวั แปร a และ c เป็นสมั ประสทิ ธขิ ์ อง x b และ d เป็นสมั ประสทิ ธขิ ์ อง y

ระบบสมกำรเชงิ เส้นสองตัวแปร คำตอบของระบบสมกำรเชงิ เสน้ สองตวั แปร คอื คอู่ นั ดบั (x, y) ทส่ี อดคลอ้ งกบั สมกำรทงั้ สองของระบบสมกำร หรอื คอู่ นั ดบั (x, y) ทค่ี ำ่ x และค่ำ y ทำใหส้ มกำรทงั้ สองของระบบสมกำรเป็นจรงิ

ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร 3x  y  3 1 x 01 23 2x  y  2 y  3x  3 3 0 36 2 4 2 y  2 2x 2 0 y 3x  y  3 6 5 4 3 มเี พยี งคอู่ นั ดบั เดยี ว 2 1 x หรอื มเี พยี งคำตอบเดยี ว 2 11 0 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 2x  y  2

ระบบสมกำรเชงิ เส้นสองตวั แปร x2y 1 1 y 2x  4y  2 2 3 x y  x 1 y  2x  2 24 2 x2y 1 2x  4y  2 0 0.5 0.5 1 10 0 1 0 1 2 3 x 1 2 0.5 0.5 31 1 2 มหี ลำยคอู่ นั ดบั หรอื มหี ลำยคำตอบ

ระบบสมกำรเชงิ เส้นสองตวั แปร y 3x  2y  6 3x  2y  6 1 8 2y  3x  3 2 7 6 5 x y  3x  6 y  3x  3 4 22 3 2y  3x  3 0 3 1.5 2 1 x 6 5 4 3 2 11 0 1 2 3 4 5 6 1 4.5 0 2 26 1.5 3 4 3 7.5 3 ไมม่ คี อู่ นั ดบั หรอื ไมม่ คี ำตอบ

ระบบสมกำรเชงิ เส้นสองตัวแปร สำหรบั ระบบสมกำรเชงิ เสน้ สองตวั แปรใด ๆ ax  by  e cx  dy  f คำตอบของระบบสมกำรคอื คอู่ นั ดบั (x, y) ทท่ี ำใหส้ มกำรทงั้ สองเป็นจรงิ ซง่ึ เป็นไปได้ 3 กรณีคอื มเี พยี งคำตอบเดยี ว มหี ลำยคำตอบ ไมม่ คี ำตอบ

กำรแก้ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตัวแปร วิธีการแทนที่ จดั สมกำรใดสมกำรหน่ึง ใหฝ้ งั่ ซำ้ ยมเี พยี งตวั แปรหน่ึงตวั และสมั ประสทิ ธเิ ์ป็นของมนั เป็น 1 นำตวั แปรทไ่ี ดไ้ ปแทนในอกี สมกำร แกส้ มกำรเพอ่ื หำคำ่ ตวั แปร นำตวั แปรทไ่ี ดไ้ ปแทนในสมกำรจำกขอ้ แรก แกส้ มกำรเพอ่ื หำคำ่ ตวั แปร

กำรแก้ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร วิธีการแทนที่ จงแกร้ ะบบสมกำร 3x  5y  26 y  2x 3x  5y  26 3x  5(2x )  26 3x  10x  26 13x  26 x  26 13 2

กำรแก้ระบบสมกำรเชงิ เส้นสองตวั แปร วิธีการแทนที่ จงแกร้ ะบบสมกำร 3x  5y  26 y  2x แทน x  2 ใน y  2x  2( 2 ) 4 เน่ืองจาก x2 y4 ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมกำรน้ีคอื ค่อู นั ดบั (2, 4)

กำรแก้ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร วิธีการแทนที่ จงแกร้ ะบบสมกำร 2x  5y  7 x  1 y 2x 5y  7 2( 1 y )  5y  7 2  2y  5y  7 2  3y  7 3y  7  2  9 y 9 3 3

กำรแก้ระบบสมกำรเชงิ เส้นสองตวั แปร วิธีการแทนที่ จงแกร้ ะบบสมกำร 2x  5y  7 x  1 y แทน y  3 ใน x  1 y  1 3  4 เน่ืองจาก x  4 y3 ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมกำรน้คี อื ค่อู นั ดบั (4, 3)

กำรแก้ระบบสมกำรเชงิ เส้นสองตัวแปร วิธีการแทนที่ จงแกร้ ะบบสมกำร 2x  4  y 5x  3y 10 2x  4 y 2x  y  4 y  4  2x 5x  3y  10 5x  3( 4  2x )  10 5x 12  6x  10

กำรแก้ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตัวแปร วิธีการแทนที่ จงแกร้ ะบบสมกำร 2x  4  y 5x  3y 10 5x 12  6x  10 12  x  10 x  10  12  2 x 2

กำรแก้ระบบสมกำรเชงิ เส้นสองตวั แปร วิธีการแทนที่ จงแกร้ ะบบสมกำร 2x  4  y 5x  3y 10 แทน x  2 ใน y  4  2x  4  2( 2 )  4 4  0 เนื่องจาก x2 y0 ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมกำรน้ีคอื ค่อู นั ดบั (2, 0)

แบบทดสอบย่อยท่ี 1 หน้ำ 1 จงแกร้ ะบบสมกำรในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ีโดยใชห้ ลกั กำรแทนท่ี 1 x  y  12 4 4x  3y  5 y  3x x  y3 2 x  3y  28 5 3x  2 y  27 y  5x x y4 3 5x  2 y  1 6 3x  5y  14 2x  y  13 x  2y  10

แบบทดสอบย่อยท่ี 1 หน้ำ 2 จงแกร้ ะบบสมกำรในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ีโดยใชห้ ลกั กำรแทนท่ี 7 3x  4  y 10 3x  2 y  19 2x  y  0 x y 8 8 2x 5  y 11 3x  y  5 x 3y  0 y  3x  5 9 7x  4 y  13 12 4x  y  3 x y 1 y  4x 3

กำรแก้ระบบสมกำรเชงิ เส้นสองตัวแปร วิธีการกาจดั ตวั แปร จดั สมกำรทงั้ หมดใหอ้ ย่ใู นรปู Ax  By  C เลอื กวำ่ จะกำจดั ตวั แปรใดใหห้ ำยไปก่อน ทำใหส้ มั ประสทิ ธขิ์ องตวั แปรดงั กลำ่ วใหเ้ ทำ่ กนั ทงั้ สองสมกำร โดยนำตวั เลขใด ๆ มำคณู ทกุ พจน์ของสมกำร ซง่ึ อำจจะคณู เพยี งแคส่ มกำรเดยี วหรอื ทงั้ สองสมกำรกไ็ ด้ เมอ่ื ไดส้ มกำรทม่ี สี มั ประสทิ ธขิ ์ องตวั แปรเทำ่ กนั แลว้ กน็ ำ สมกำรดงั กลำ่ วมำบวกหรอื ลบกนั

กำรแก้ระบบสมกำรเชงิ เส้นสองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร แกส้ มกำรหำค่ำของตวั แปร นำคำ่ ตวั แปรทไ่ี ดไ้ ปแทนในสมกำรใดกไ็ ด้ แกส้ มกำรหำคำ่ ตวั แปรทเ่ี หลอื จะไดค้ ำตอบของระบบสมกำรทต่ี อ้ งกำร

กำรแก้ระบบสมกำรเชงิ เส้นสองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร จงแกร้ ะบบสมกำร x  y  5 x y 3 xy  5 1 xy  3 2 1 2 x y  x y  5  3 xyxy  8 2x  8 x 8 4 2

กำรแก้ระบบสมกำรเชงิ เส้นสองตัวแปร วิธีการกาจดั ตวั แปร จงแกร้ ะบบสมกำร x  y  5 x y 3 แทน x  4 ใน 1 x4 xy  5 4 y  5 y  54 1 y 1 ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมกำรน้คี อื ค่อู นั ดบั (4,1)

กำรแก้ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร จงแกร้ ะบบสมกำร x  2y 1 x2y 5 x2y  1 1 x2y  5 2 2x  6 1 2 2x  6 x 6 2 3

กำรแก้ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร จงแกร้ ะบบสมกำร x  2y 1 x2y 5 แทน x  3 ใน 1 x3 x2y  1 3 2y  1 2y  1  3 2 y  2 y  2  1 2 ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมกำรน้คี อื ค่อู นั ดบั (3, 1)

กำรแก้ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตัวแปร วิธีการกาจดั ตวั แปร จงแกร้ ะบบสมกำร x  2y  7 2x  y  4 2 2 x2y  7 1 3 1 2x  y  4 2 2 2x  y  2  4 3 1 4x  2y  8 x2y  7 5x  15

กำรแก้ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร จงแกร้ ะบบสมกำร x  2y  7 2x  y  4 แทน x  3 ใน 1 5x  15 x  15 5 3 x2y  7 3 2y  7 2y  7  3 4

กำรแก้ระบบสมกำรเชงิ เส้นสองตัวแปร วิธีการกาจดั ตวั แปร จงแกร้ ะบบสมกำร x  2y  7 2x  y  4 2y  4 y 4 2 2 ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมกำรน้ีคอื ค่อู นั ดบั (3, 2)

แบบทดสอบย่อยท่ี 2 หน้ำ 1 จงแกร้ ะบบสมกำรในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ีโดยใชว้ ธิ กี ำรกำจดั ตวั แปร 1 xy2 4 2x  y  15 2x  y  5 x  y  10 2 3x  y  12 5 6x  y 1 x y 4 5y  17  6x 3 2x  y  5 6 y  96x x y  2 6x  3y  15

แบบทดสอบย่อยท่ี 2 หน้ำ 2 จงแกร้ ะบบสมกำรในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ีโดยใชว้ ธิ กี ำรกำจดั ตวั แปร 7 2x  y  12 10 4x  3y  19 3x  2 y  3 2x  y  13 8 xy3 11 x  4 y  16 3x  2 y  19 3x  5y  20 9 x  3y  19 12 2x  y  8 2x  y  10 5x  2 y  16

กำรแก้ระบบสมกำรเชงิ เส้นสองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร จงแกร้ ะบบสมกำร 2x  3y  15 5x  2y 1 2x  3y  15 1 2 5x  2y  1 3 4 2 1 4x  6y  30 3 2 15x  6y  3 34 11x  33 11x  33

กำรแก้ระบบสมกำรเชงิ เส้นสองตัวแปร วิธีการกาจดั ตวั แปร จงแกร้ ะบบสมกำร 2x  3y  15 5x  2y 1 แทน x  3 ใน 2 11x  33 x  33 11 3 5x  2y  1 5( 3 )  2y  1 15  2 y  1

กำรแก้ระบบสมกำรเชงิ เส้นสองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร จงแกร้ ะบบสมกำร 2x  3y  15 5x  2y 1 15  2 y  1 2 y  1  15 2y  14 y 14  2 7 ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมกำรน้ีคอื ค่อู นั ดบั (3,  7)

กำรแก้ระบบสมกำรเชงิ เส้นสองตัวแปร วิธีการกาจดั ตวั แปร จงแกร้ ะบบสมกำร 2x  4y  5 4x  8y  9 2 1 2x  4y  5 1 4x  8y  9 2 4x  8y  10 3 2 3 0  0  19 0  19 ดงั นัน้ ระบบสมกำรน้ี ไม่มีคาตอบ

กำรแก้ระบบสมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร วิธีการกาจดั ตวั แปร จงแกร้ ะบบสมกำร 3x  y  4 9x  3y  12 3 1 3x  y  4 1 9x  3y  12 2 3 9x  3y  12 23 0 0  0 0 0 ดงั นัน้ ระบบสมกำรน้ี มีหลายคาตอบ

แบบทดสอบย่อยท่ี 3 จงแกร้ ะบบสมกำรในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี 1 5x  3y  20 4 3x 15y  0 3x  6 y  12 6x 10 y  0 2 4x  3y  28 5 xy7 5x  6y  35 x  y  3 3 2x 8y  0 6 x 3y  4 4x 5y  0 2x  6 y  8

โจทย์สมการเชิงเส้ นสองตัวแปร 90

โจทย์สมกำรเชงิ เส้นสองตวั แปร ผลบวกของจำนวนสองจำนวนมคี ำ่ เท่ำกบั 5 ขณะท่ี ผลต่ำงของสองจำนวนน้ีเทำ่ กบั 3 จงหำจำนวนทงั้ สอง กำหนดตวั แปร ให้ x แทน จำนวนทหี่ นึง่ y แทน จำนวนทสี่ อง สรำ้ งระบบสมกำร xy 5 1 x y 3 2

โจทย์สมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร แกร้ ะบบสมกำร xy 5 1 2 x y 3 1 2 2x 8 2x  8 x 8 2 x 4

โจทย์สมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร แกร้ ะบบสมกำร แทน x  4 ใน 1 xy 5 4y 5 y  54 y 1 ดงั นัน้ จำนวนสองจำนวนน้ีคอื 4 และ 1

โจทย์สมกำรเชิงเส้นสองตัวแปร ถำ้ ครง่ึ หน่ึงของผลบวกของจำนวนสองจำนวนเป็น 43 และสำมเทำ่ ของจำนวนน้อย มำกกว่ำสองเทำ่ ของจำนวนมำกอยู่ 23 จงหำจำนวนสองจำนวนนนั้ กำหนดตวั แปร ให้ x แทน จำนวนน้อย y แทน จำนวนมำก สรำ้ งระบบสมกำร 1 (x  y )  43 1 2 2 3x  2 y  23

โจทย์สมกำรเชงิ เส้นสองตวั แปร 1 2 แกร้ ะบบสมกำร 3 1 (x  y )  43 4 2 2 3x  2 y  23 2 3 1 (x  y )  43 4 2 2 x  y  86 2x  2 y  172 3x  2 y  23 5x  195

โจทย์สมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร แกร้ ะบบสมกำร 5x  195  39 x  195 5 แทน x  39 ใน 3 x  y  86 39  y  86  47 y  86  39 ดงั นัน้ จำนวนสองจำนวนน้ีคอื 39 และ 47

โจทย์สมกำรเชิงเส้นสองตวั แปร อตั รำคำ่ เขำ้ ชมกำรแขง่ ขนั ฟุตบอลนกั พเิ ศษครงั้ หน่ึงเป็น ดงั น้ี ผใู้ หญ่คนละ 200 บำท เดก็ คนละ 100 บำท ปรำกฏวำ่ มผี เู้ ขำ้ ชมทงั้ หมด 10,000 คน และขำยบตั รเขำ้ ชมไดเ้ งนิ 1,260,800 บำท อยำกทรำบวำ่ มผี ใู้ หญ่และเดก็ เขำ้ ชมกำรแขง่ ขนั ฟุตบอลครงั้ น้ีอยำ่ ง ละกค่ี น

โจทย์สมกำรเชิงเส้นสองตัวแปร 1 2 กำหนดตวั แปร ให้ x แทน จำนวนเดก็ y แทน จำนวนผใู้ หญ่ สรำ้ งระบบสมกำร x  y  10,000 100x  200y  1, 260,800

โจทย์สมกำรเชงิ เส้นสองตวั แปร แกร้ ะบบสมกำร x  y  10,000 1 2 100x  200y  1, 260,800 3 100  1 100x  100y  1,000,000 2 3 0  100y  260,800 y  260,800 100  2, 608

โจทย์สมกำรเชิงเส้นสองตัวแปร แกร้ ะบบสมกำร แทน y  2608 ใน 1 x  y  10,000 x  2, 608  10,000 x  10,000  2, 608  7,392 ดงั นัน้ จำนวนผเู้ ขำ้ ชมกำรแขง่ ขนั ฟุตบอลครงั้ น้ีมี ผใู้ หญ่ 2,608 คน เดก็ 7,392 คน