ตรรกศาสตร์และการให้เหตุผล

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี ตรรกศาสตร์ และ การให้เหตผุ ล ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์

1. ประพจน์ 2. การเชอื่ มประพจน์ 3. การหาคา่ ความจริงของรูปแบบของประพจน์ หัวข้อเรือ่ ง ตรรกศาสตร์ 4. การสรา้ งตารางค่าความจรงิ 5. รูปแบบของประพจน์ทส่ี มมูลกนั 6. สัจนริ นั ดร์ 7. การอา้ งเหตุผล 8. ประโยคเปิด 9. ตวั บง่ ปริมาณ 10. ค่าความจรงิ ของประโยคเปิดท่มี ีตวั บ่งปริมาณตัวเดียว 11. สมมลู และนิเสธของประโยคทมี่ ีตัวบ่งปรมิ าณ 12. คา่ ความจรงิ ของประโยคเปดิ ที่มีตวั บง่ ปรมิ าณสองตัว

1. ประพจน์ ในชีวิตประจาวนั จะต้องมกี ารติดตอ่ ส่อื สารอยู่ ตลอดเวลา ไม่ว่าจะเปน็ การพดู หรือการเขียนขอ้ ความ เพอ่ื ให้อกี ฝ่ายได้รบั รู้ เขา้ ใจ ชัดเจน และบางคร้งั ตอ้ งมี การตดั สินใจ ซง่ึ ผู้ท่รี ับฟังหรืออ่านขอ้ ความดังกล่าวต้อง พิจารณาว่าขอ้ ความทพ่ี ูดหรอื นาเสนอนนั้ มีความน่าเช่ือถือ มากน้อยเพยี งใด มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

1. ประพจน์ ในการศกึ ษาวิชาตรรกศาสตร์จะพิจารณาวา่ ข้อความ หรือประโยคที่เปน็ จรงิ หรอื เป็นเท็จน้ัน จะเรยี กรปู แบบนี้วา่ “ประพจน์” ซง่ึ สามารถเลอื กตัดสินใจท่จี ะใช้ประโยคให้มี ความน่าเช่อื ถอื มากย่ิงขึน้ บทนิยามที่ 1 ประพจน์ คอื ประโยคหรือข้อความทอี่ ย่ใู นรปู ของประโยคบอกเลา่ หรือปฏเิ สธ ท่ีมีคา่ ความจริงเป็นจรงิ หรือเท็จอย่างใดอยา่ งหนึง่ เท่าน้นั มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

1. ประพจน์ การเป็น จริง หรอื เทจ็ ของประพจนน์ ัน้ ๆ เรียกวา่ คา่ ความจริง (Truth-Value) ประโยคหรอื ขอ้ ความ ลักษณะของรปู ค่าความจริงของประโยค ประโยค เซตวา่ งเป็นเซตยอ่ ยของทกุ เซต บอกเล่า เปน็ จริง 10 เปน็ ตวั ประกอบของ 15 บอกเล่า เปน็ เทจ็ π ไมเ่ ปน็ จานวนตรรกยะ ปฏเิ สธ เปน็ จรงิ เขาไมไ่ ดม้ าโรงเรยี นสาย ปฏเิ สธ ไม่สามารถบอกได้ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

1. ประพจน์ ประโยคหรอื ขอ้ ความ ลกั ษณะของรปู ประโยค คา่ ความจรงิ ของประโยค วันนเ้ี ป็นวันอะไร คาถาม ไมส่ ามารถบอกได้ ว้าว! สวยจงั ห้ามส่งเสยี งดงั คาอุทาน ไมส่ ามารถบอกได้ กรณุ าฟังทฉ่ี ันพูด คาสั่ง ไมส่ ามารถบอกได้ ประโยคแสดงความ ไมส่ ามารถบอกได้ ปรารถนา มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

1. ประพจน์ ประโยคหรอื ขอ้ ความ ลกั ษณะของรปู คา่ ความจรงิ ของประโยค ประโยค เซตวา่ งเปน็ สับเซตของทุกเซต 10 เปน็ ตวั ประกอบของ 15 บอกเล่า เปน็ จรงิ สรุป π ไมเ่ ป็นจานวนตรรกยะ เขาไมไ่ ด้มาโรงเรยี นสาย บอกเลา่ เปน็ เทจ็ ปฏิเสธ เป็นจรงิ ปฏิเสธ ไม่สามารถบอกได้ จากตารางขา้ งต้นพบว่า มีเพยี งขอ้ ความหรอื ประโยคที่อยู่ในรูปบอกเลา่ หรือปฏเิ สธเท่านั้นทสี่ ามารถบอกคา่ ความจรงิ ของประโยคได้ ขอ้ ความหรือประโยคทไ่ี มอ่ ยูใ่ นรปู บอกเล่าหรือปฏเิ สธ เช่น คาถาม คาสั่ง ขอร้อง อ้อนวอน ประโยคแสดงความปรารถนา หรือประโยคอทุ าน “ไม่เปน็ ประพจน์” มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

1. ประพจน์ ตัวอยา่ งที่ 1 ใหพ้ จิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้ ว่าเปน็ ประพจนห์ รอื ไมเ่ ปน็ ประพจนเ์ พราะเหตุใด 1. x เปน็ ตัวประกอบของ x2 − x เป็นประพจน์ เพราะบอกคา่ ความจริงไดว้ า่ เปน็ จรงิ 2. x เป็นจานวนจรงิ ใดๆ x2 − 2x +1 ≥ 0 เปน็ ประพจน์ เพราะบอกคา่ ความจรงิ ไดว้ า่ เป็น จรงิ 3. ไกง่ ามเพราะขน คนงามเพราะแต่ง ไมเ่ ป็นประพจน์ เพราะเปน็ สุภาษติ ซึ่งไม่สามารถ บอกค่าความจริงได้ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

1. ประพจน์ ตัวอยา่ ง 1 ให้พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ว่าเปน็ ประพจนห์ รือไมเ่ ปน็ ประพจน์เพราะเหตุใด 5. ปิติเป็นคนใจดี ไมเ่ ปน็ ประพจน์ เพราะถึงแมจ้ ะเป็นประโยคบอกเลา่ แตเ่ รอื่ งของความ ความใจดขี ึน้ อยู่กบั ความคดิ เหน็ ส่วนบุคคล จึงไมส่ ามารถบอกค่าความจริง ของประโยคได้ว่าเป็นจรงิ หรอื เทจ็ 6. เขาสูง 185 เซนติเมตร ไม่เป็นประพจน์ เพราะถึงแม้ว่าจะเปน็ ประโยคบอกเล่าแต่ไม่ สามารถบอกคา่ ความจริงของประโยคได้วา่ เปน็ จริงหรือเท็จ เนือ่ งจาก “เขา” ในทน่ี ้ไี ม่ทราบว่าหมายถึงใคร มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

2. การเชือ่ มประพจน์ วชิ าภาษาไทยใช้ “คาสนั ธาน” วิชาตรรกศาสตร์ เรยี กคาทีท่ าหน้าท่ีเปน็ คาสันธานของ ประพจน์ว่า “ตวั เชอื่ ม (Connective)” ในชวี ติ ประจาวนั คาสนั ธานท่นี กั เรยี นมักพบ ได้แก่ คาว่า “และ” “แต่” “หรอื ” สาหรบั ในวชิ าคณติ ศาสตรค์ าเชอื่ มที่พบ ได้แก่ คาวา่ “ถา้ ...แลว้ ...” “…ก็ตอ่ เมอ่ื …” และ หรือ ถา้ ...แลว้ ... …กต็ ่อเมื่อ… ไม่ บางครงั้ อาจจะใชค้ าวา่ “ไม”่ ทาใหม้ กี ารเปลี่ยนแปลงความหมายจาก รูปประโยคเดมิ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

2. การเช่อื มประพจน์ เชน่ 11 และ 13 เป็นจานวนเฉพาะ และ 5 ≠ -5 หรือ 5 - (-5) ≠ 0 หรือ ถา้ 240 เปน็ จานวนคู่ แลว้ 240 หารดว้ ย 2 ลงตวั ถา้ …แลว้ … รูปส่เี หลย่ี ม ABCD เปน็ รปู สเ่ี หล่ยี มคางหมู ก็ตอ่ เมอื่ ก็ต่อเม่ือ รูปส่เี หล่ยี ม ABCD มดี า้ นที่ขนานกนั หนึ่งคู่ π ไมเ่ ปน็ จานวนตรรกยะ ไม่ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

2. การเช่อื มประพจน์ เพอื่ ใหเ้ กดิ ความสะดวกเก่ยี วกบั การเชือ่ มประพจน์ จงึ ใชอ้ กั ษร ภาษาอังกฤษตวั พมิ พ์เล็ก เชน่ p , q , r , s , … แทนประพจน์ ในท่ีนีเ้ ราเรียก p , q , r , s , … ว่า “ประพจนย์ อ่ ย” ประพจน์ทเี่ กดิ จากการเชอ่ื มประพจน์ยอ่ ยตงั้ แตส่ อง ประพจน์ยอ่ ยข้นึ ไป เรยี กว่า “ประพจนเ์ ชงิ ประกอบ” มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

2. การเชือ่ มประพจน์ เช่น 1 เป็นจานวนเต็มบวก และ -1 เปน็ จานวนเต็มลบ ประพจนเ์ ชงิ ประกอบ ประพจน์ย่อย ตวั เชอ่ื ม ประพจน์ย่อย มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

2. การเช่อื มประพจน์ เนอ่ื งจากรูปแบบของประพจน์เกิดจากการเชือ่ ม ประพจน์ย่อยต้ังแตส่ องประพจน์ขนึ้ ไป เพอ่ื ให้สะดวกใน การพจิ ารณาคา่ ความจริงของรปู แบบของประพจนจ์ งึ กาหนดให้ T แทนประพจนท์ ม่ี ี F แทนประพจนท์ มี่ คี ่า คา่ ความจริงเป็นจรงิ ความจรงิ เปน็ เทจ็ มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

2. การเช่ือมประพจน์ 2.1 การเช่ือมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “และ (and)” การเช่ือมประพจนด์ ้วย “และ” รปู แบบของ p q p∧q ประพจนท์ เ่ี กดิ ขนึ้ จะมคี ่าความจริงเปน็ จรงิ ใน T TT กรณีทปี่ ระพจนท์ น่ี ามาเช่ือมมคี า่ ความจรงิ T FF เป็นจรงิ ทง้ั คู่ ส่วนกรณคี า่ ความจรงิ อนื่ ๆ F TF รูปแบบของประพจนม์ คี า่ ความจริงเป็นเท็จ F FF มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

2. การเชือ่ มประพจน์ 2.1 การเช่อื มประพจน์ดว้ ยตัวเชอื่ ม “และ (and)” p∧ q พจิ ารณาค่าความจรงิ ของ “2 เป็นจานวนเฉพาะ และ 3 เป็นจานวนค่ี” p แทน 2 เป็นจานวนเฉพาะ 2 เปน็ จานวนเฉพาะ มีคา่ ความจรงิ เปน็ จรงิ q แทน 3 เปน็ จานวนคี่ 3 เป็นจานวนคี่ มีคา่ ความจริงเปน็ จรงิ ดังน้ัน ประพจน์ “2 เปน็ จานวนเฉพาะและ 3 เป็นจานวนค”ี่ มีค่า pq p∧q TT T ความจรงิ เปน็ จริง TF F FT F p ∧q FF F พจิ ารณาค่าความจรงิ ของ “2 + 2 = 4 และ 2 + 4 = 8” p แทน 2 + 2 = 4 q แทน 2 + 4 = 8 2+2=4 มีคา่ ความจริงเป็นจรงิ 2+4=8 มีคา่ ความจริงเปน็ เท็จ ดงั นั้น รูปแบบของประพจน์ “2 + 2 = 4 และ 2 + 4 = 8” มีคา่ ความจริงเปน็ เทจ็ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

2. การเชื่อมประพจน์ 2.2 การเชือ่ มประพจนด์ ้วยตัวเชอื่ ม“หรอื (or)” การเชื่อมประพจน์ด้วย “หรอื ” รูปแบบของ p q p∨q ประพจนท์ เี่ กิดขน้ึ จะมคี า่ ความจริงเปน็ เทจ็ ใน T TT กรณีทป่ี ระพจน์ทน่ี ามาเชอ่ื มมคี ่าความจริง T FT เป็นเทจ็ ทง้ั คู่ ส่วนกรณคี ่าความจริงอื่นๆ F TT รปู แบบของประพจนม์ ีค่าความจรงิ เปน็ จรงิ F FF มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

2. การเชื่อมประพจน์ 2.2 การเช่ือมประพจนด์ ้วยตวั เชือ่ ม“หรือ (or)” p∨ q พจิ ารณาค่าความจรงิ ของ “21 เปน็ จานวนค่ี หรอื 21 หารดว้ ย 2 ไม่ลงตวั ” p แทน 21 เป็นจานวนค่ี 21 เปน็ จานวนค่ี มีคา่ ความจริงเปน็ จรงิ q แทน 21 หาร 2 ไมล่ งตวั 21 หารด้วย 2 ไม่ลงตวั มีคา่ ความจริงเป็นจรงิ ดังนนั้ รูปแบบของประพจน์ “21 เปน็ จานวนคี่ หรอื 21 หารดว้ ย 2 p q p∨q TTT ไมล่ งตวั ” มคี า่ ความจรงิ เปน็ จริง TFT FTT p ∨q FFF พจิ ารณาคา่ ความจริงของ “22 ≠ (−2)2 หรอื 3 < 4” p แทน 22 ≠ (−2)2 q แทน 3 < 4 22 ≠ (−2)2 มคี า่ ความจริงเป็นเทจ็ 3 < 4 มีคา่ ความจรงิ เป็นจริง ดังนน้ั รูปแบบของประพจน์ “22 ≠ (−2)2 หรอื 3 < 4” มคี ่าความจริงเปน็ จรงิ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

2. การเช่อื มประพจน์ 2.3 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชือ่ ม“ถ้า...แลว้ ... (if…then…)” การเช่อื มประพจนด์ ้วย “ถา้ ...แลว้ ...” รูปแบบ p q p→q ของประพจน์ทเ่ี กดิ ขนึ้ จะมี คา่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ T TT ในกรณที ป่ี ระพจน์ยอ่ ยทเ่ี ปน็ เหตมุ ีคา่ ความจรงิ T FF เป็นจรงิ และประพจน์ยอ่ ยทเ่ี ปน็ ผลมคี ่าความ F TT จรงิ เปน็ เทจ็ สว่ นกรณคี ่าความจริงอ่นื ๆ F FT รปู แบบของประพจนม์ คี ่าความจรงิ เป็นจรงิ มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

2. การเชอ่ื มประพจน์ 2.3 การเชอื่ มประพจนด์ ้วยตวั เชือ่ ม“ถ้า...แลว้ ... (if…then…)” พจิ ารณาประพจน์ → p แทน ถา้ 2 เปน็ จานวนอตรรกยะ 2 p q q แทน 2 เป็นจานวนตรรกยะ “ถ้า 2 เปน็ จานวนอตรรกยะ แล้ว 2 2 เปน็ จานวนตรรกยะ” มีค่าความจริงเป็นจรงิ 2 p q p→q เพราะประพจน์ “ 2 เปน็ จานวนอตรรกยะ แล้ว 2 TTT TFF เป็นจานวนตรรกยะ” มีค่าความจริงเปน็ จรงิ ทงั้ คู่ FTT FFT p→q พิจารณา ประพจน์ “ถ้า 3 เป็นจานวนค่ี แล้ว 32 เปน็ จานวนค”ู่ p แทน 3 เป็นจานวนคี่ มคี า่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ เพราะประพจน์ “3 เปน็ จานวนค”ี่ และ q แทน 32 เปน็ จานวนคู่ “32 เป็นจานวนค”ู่ มคี ่าความจรงิ เป็นจรงิ และเทจ็ มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏราไพพรรณี

2. การเชอื่ มประพจน์ 2.3 การเชือ่ มประพจนด์ ว้ ยตัวเชอ่ื ม“ถ้า...แล้ว... (if…then…)” ทฤษฎีบทส่วนใหญใ่ นวิชาคณติ ศาสตรจ์ ะอยใู่ นรูป p → q เช่น ถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ตัดกนั แล้วมมุ ตรงขา้ มจะมขี นาดเท่ากนั ถา้ รูปสามเหล่ียม ABC เป็นรปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ แลว้ มุมทกุ มุมของรูป สามเหลยี่ ม ABC จะมขี นาด 60๐ ตวั เชอ่ื ม “ถ้า...แลว้ ...” อาจเขียนอยู่ในรปู อืน่ ทีม่ ีความหมายเหมอื นกนั เชน่ “ถา้ ....ดังนน้ั ...” “ถ้า…ได้จะ…” เปน็ ตน้ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

2. การเชือ่ มประพจน์ 2.4 การเช่อื มประพจนด์ ว้ ยตวั เช่อื ม “...กต็ ่อเมื่อ... (…if and only if…)” การเชื่อมประพจนด์ ว้ ย “…กต็ อ่ เมอ่ื …” p q p↔q รปู แบบของประพจน์ทเ่ี กดิ ขน้ึ จะมคี า่ ความจรงิ T T T เปน็ จรงิ ในกรณที ปี่ ระพจนท์ น่ี ามาเชื่อมมคี ่า TFF ความจรงิ เปน็ จริงเหมอื นกนั สว่ นกรณที ี่ FTF ประพจน์ที่นามาเชอ่ื มมีคา่ ความจรงิ ต่างกนั FFT รปู แบบของประพจน์จะมคี า่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

2. การเชือ่ มประพจน์ 2.4 การเชือ่ มประพจนด์ ้วยตัวเชอ่ื ม“...ก็ตอ่ เม่อื ... (…if and only if…)” p↔ q พิจารณาค่าความจรงิ ของ “25 เป็นจานวนค่ี ก็ตอ่ เมอื่ 25 หารดว้ ย 2 ไม่ลงตวั ” 25 เปน็ จานวนคี่ มีคา่ ความจริงเปน็ จริง p แทน 25 เป็นจานวนค่ี 25 หารด้วย 2 ไม่ลงตัว มีค่าความจริงเป็นจรงิ q แทน 25 หารด้วย 2 ไมล่ งตัว ดงั นั้น รปู แบบของประพจน์ “25 เปน็ จานวนคี่ ก็ตอ่ เมอ่ื p q p↔q TTT 25 หารดว้ ย 2 ไม่ลงตวั ” มีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ q TFF FTF p↔ FFT พจิ ารณาค่าความจริงของ “3 ĭ (4 + 2) = 3 กต็ อ่ เมอ่ื 4 + 2 = 12” 3 ĭ (4 + 2) = 3 มคี า่ ความจรงิ เป็นเทจ็ p แทน 3 ĭ (4 + 2) = 3 4 + 2 = 12 มีค่าความจริงเป็นเท็จ q แทน 4 + 2 = 12 ดงั นนั้ รปู แบบของประพจน์ “3 ĭ (4 + 2) = 3 ก็ตอ่ เมื่อ 4 + 2 = 12” มีค่าความจรงิ เป็นจรงิ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

2. การเชื่อมประพจน์ 2.4 การเช่อื มประพจน์ดว้ ยตัวเชือ่ ม “...ก็ตอ่ เม่ือ...(if and only if)” กาหนด p และ q เป็นประพจนย์ อ่ ย ให้ตรวจสอบค่าความจรงิ ของ p ↔ q และ p q p→q q →p (p → q) ∧ (q → p) p ↔ q TT T T TT TF F T FF FT T F FF FF T T TT จากตารางข้างต้น จะพบวา่ p ↔ q มคี า่ ความจรงิ เหมอื นกบั (p → q) ∧ (q → p) ทกุ กรณี กล่าวไดว้ า่ รูปแบบของประพจน์ p ↔ q มีความหมายเหมอื นรปู แบบของประพจน์ (p → q) ∧ (q → p) มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

2. การเช่อื มประพจน์ 2.5 นเิ สธของประพจน์ การเปน็ นิเสธด้วยคาว่า “ไม”่ ในตรรกศาสตร์ p ~p หมายถึง การปฏเิ สธค่าความจรงิ ของประพจน์ TF เดมิ ดงั นน้ั จากตารางจะพบวา่ ค่าความจริงของ FT ประพจนท์ เ่ี ป็น นิเสธของประพจนเ์ ดมิ จะมคี า่ ความจรงิ ตรงข้ามกบั คา่ ความจริงของประพจน์ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี เดิมเสมอ

2. การเช่อื มประพจน์ 2.5 นิเสธของประพจน์ ~p F p T T F เช่น p แทน 12 = 4 + 8 มคี ่าความจริงเปน็ จรงิ ~p แทน 12 ≠ 4 + 8 มคี า่ ความจริงเป็นเทจ็ q แทน วาฬไม่เป็นสัตว์ทเี่ ลย้ี งลกู ด้วยน้านม มคี า่ ความจริงเปน็ เทจ็ ~q แทน วาฬเป็นสัตวท์ เ่ี ล้ียงลกู ดว้ ยน้านม มคี ่าความจริงเปน็ จรงิ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

2. การเช่อื มประพจน์ สรุป มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

2. การเชื่อมประพจน์ ตวั อยา่ งที่ 2 ใหเ้ ขียนประพจน์ต่อไปน้ีอยใู่ นรปู สญั ลกั ษณ์ 1) โลมาหรือวาฬเป็นสตั วเ์ ลี้ยงลกู ด้วย 2) 4 ไมเ่ ทา่ กบั 6 และ -4 นอ้ ย นา้ นม กว่า 0 วธิ ีทา ให้ p แทน โลมาเป็นสัตว์เลยี้ ง วิธีทา ให้ p แทน 4 ไมเ่ ท่ากับ 6 ลกู ด้วยน้านม q แทน -4 น้อยกว่า 0 q แทน วาฬเปน็ สตั วเ์ ล้ียง ดังนัน้ p ∧ q แทน 4 ไม่เทา่ กับ 6 และ -4 น้อยกว่า 0 ลกู ดว้ ยนา้ นม ดังน้นั p ∨ q แทน โลมาหรือวาฬ มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี เป็นสตั วเ์ ลี้ยงลกู ด้วยน้านม

2. การเชื่อมประพจน์ ตัวอย่างท่ี 3 ให้เขียนขอ้ ความแทนสัญลกั ษณต์ อ่ ไปน้ี เมือ่ กาหนด p แทน ประพจน์ “ฉนั ตงั้ ใจฟังคณุ ครสู อนหนงั สือ” q แทน ประพจน์ “ฉนั เขา้ ใจเนื้อหาที่เรยี น” 1) ~p ∨ q วิธีทา จาก p แทนประพจน์ “ฉันตัง้ ใจฟังคณุ ครสู อนหนังสอื ” จะได้ ~p แทนประพจน์ “ฉันไมต่ ง้ั ใจฟังคณุ ครสู อนหนังสอื ” และ q แทนประพจน์ “ฉนั เข้าใจเน้ือหาท่เี รียน” ดงั นั้น ~p ∨ q แทนประพจน์ “ฉนั ไมต่ ้งั ใจฟังคุณครสู อนหนงั สือ หรือฉนั เข้าใจเน้ือหาที่เรียน” มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

2. การเชอ่ื มประพจน์ เมอื่ กาหนด p แทน ประพจน์ “ฉนั ตั้งใจฟังคุณครูสอน หนังสือ” q แทน ประพจน์ “ฉนั เข้าใจเนือ้ หาทเ่ี รยี น” 2) ~p → ~q วิธีทา จาก p แทนประพจน์ “ฉันต้งั ใจฟงั คณุ ครสู อนหนังสอื ” จะได้ ~p แทนประพจน์ “ฉันไม่ตง้ั ใจฟงั คุณครสู อนหนังสอื ” และ q แทนประพจน์ “ฉันเขา้ ใจเนื้อหาท่ีเรยี น” จะได้ ~q แทนประพจน์ “ฉันไมเ่ ขา้ ใจเน้ือหาทีเ่ รยี น” ดงั นั้น ~p → ~q แทนประพจน์ “ถา้ ฉนั ไมต่ ้งั ใจฟงั คณุ ครูสอน หนงั สอื แล้วฉันไม่เขา้ ใจเนื้อหาท่เี รยี น” มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

3. การหาคา่ ความจรงิ ของรปู แบบ ประพจน์ คา่ ความจริงของประพจน์เชิงประกอบขน้ึ อยู่กบั ค่าความจริง ของประพจน์ยอ่ ยและตัวเชือ่ มประพจน์ ดังนัน้ การหาค่าความจริง ของรูปแบบของประพจน์ จงึ นยิ มเขียนรปู แบบของประพจน์ในรปู สญั ลกั ษณ์ แลว้ ใช้ตารางค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชือ่ มตา่ งๆ เพื่อให้สะดวกตอ่ การหาค่าความจรงิ หรือหาค่าความจริงจากกรณี ค่าความจริงของประพจนย์ อ่ ยตามข้อตกลงของแตล่ ะตวั เช่ือม มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

3. การหาค่าความจริงของประพจน์ เชงิ ประกอบ ตวั อยา่ งที่ 4 กาหนด p, q, r และ s เปน็ ประพจน์ ทม่ี คี ่าความจริงเป็นจริง จริง เท็จ และเทจ็ ตามลาดับ ให้หาค่าความจรงิ ของรูปแบบของ ประพจน์ต่อไปน้ี 1 ) (p ∨ ∼r) → (s ↔ q) 2) [(∼r ∧ q) ↔ (s ∧ ∼p)] → r มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

3. การหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ 1) (p ∨ ∼r) → (s ↔ q) เชิงประกอบ วธิ ีทา (p ∨ ∼ r ) → (s ↔ q) จากโจทย์กาหนดให้ p เป็นจรงิ q เป็นจริง T TF FT r เป็นเทจ็ และ s เป็นเทจ็ TF F ดังนัน้ รปู แบบของประพจน์ (p ∨ ∼r) → (s ↔ q) มคี ่าความจรงิ เป็นเทจ็ มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

3. การหาคา่ ความจริงของประพจน์ 2) [(∼r ∧ q) ↔ (s ∧∼p)] → r เชงิ ประกอบ วธิ ที า [(∼ r ∧ q) ↔ (s ∧ ∼ p)] → r จากโจทย์กาหนดให้ p เปน็ จรงิ q เปน็ จรงิ TF T F FT r เป็นเท็จ และ s เป็นเท็จ TF FF T ดังนั้น รปู แบบของประพจน์ [(∼r ∧ q) ↔ (s ∧∼p)] → r มีค่าความจริงเปน็ จรงิ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

3. การหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ ตัวอย่างท่ี 5 กาหนดใหป้ ระพจน์ เชงิ ประกอบ (p ∧ ∼r) → (p→q) มคี า่ ความจรงิ เปน็ เท็จ จงหาค่าความจริงของประพจน์ p, r และ q วธิ ที า ถา้ (p ∧ ∼r) → (p→q) มีคา่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ พจิ ารณาโดยแผนภาพดังน้ี (p ∧ ∼ r) → (p → q) F ดงั นัน้ ค่าความจริงของประพจน์ p, q T F และ r เป็น T, F และ F ตามลาดับ T TF T F มหาวิทยาลยั ราชภัฏราไพพรรณี

3. การหาค่าความจรงิ ของประพจน์ ตวั อยา่ งที่ 6 กาหนด p → q มคี ่าความจริง เชิงประกอบ เป็นเทจ็ q ∨ ∼r มีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ ให้ หาค่าความจรงิ ของรูปแบบของประพจน์ ∼p ∧ (∼r → ∼q ) วิธีทา จากโจทย์กาหนด p → q มคี า่ ความจรงิ เปน็ เท็จ และ q ∨ ∼r มีค่าความ จริงเปน็ จรงิ นาไปหาค่าความจริงของ p, q และ r ดังน้ี p→q q ∨ ∼r จะได้คา่ ความจริงของประพจน์ F T ยอ่ ย p เปน็ T, q เปน็ F และ ∼r เปน็ T TF FT ดงั นนั้ r เปน็ F มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

3. การหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ จะได้คา่ ความจรงิ ของประพจน์ เชงิ ประกอบ ยอ่ ย p เป็น T, q เปน็ F นาไปหาคา่ ความจรงิ ของ p, q และ r ดงั น้ี และ ∼r เปน็ T ∼p ∧ (∼r → ∼q ) ดงั นนั้ r เป็น F F TT T F ดงั นนั้ รูปแบบของประพจน์ ∼p ∧ (∼r→ ∼q ) มคี ่าความจริงเปน็ เทจ็ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

4. การสร้างตาราง การพิจารณาค่าความจริงของประพจน์เชงิ ค่าความจริง ประกอบ ต้องกาหนดคา่ ความจรงิ ของประพจนย์ ่อยทุก กรณที ี่เปน็ ไปได้ เช่น p 1. ถ้ามปี ระพจนย์ อ่ ยประพจนเ์ ดียว กรณเี กยี่ วกบั คา่ ความจริงทตี่ อ้ ง T พจิ าณาทัง้ หมด มี 2 กรณี เมื่อ F กาหนด p แทนประพจน์ มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

4. การสรา้ งตาราง ค่าความจรงิ pq 2. ถา้ มีประพจนย์ ่อยสองประพจน์ กรณีเกี่ยวกับ TT ค่าความจรงิ ทต่ี อ้ งพิจารณาท้งั หมดมี 4 กรณี เมือ่ TF กาหนด p และ q แทนประพจน์ FT FF pqr 3. ถา้ มปี ระพจนย์ ่อยสามประพจน์ กรณเี กย่ี วกบั T TT คา่ ความจริงที่ตอ้ งพจิ ารณาทัง้ หมดมี 8 กรณี TTF เมื่อกาหนด p , q และ r แทนประพจน์ T FT TFF มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี F TT F TF F FT F FF

4. การสร้างตาราง คา่ ความจริง รปู ทั่วไปของกรณีเก่ียวกับคา่ ความจริงที่ตอ้ งพิจารณาของ รปู แบบของประพจน์ที่มีประพจน์ย่อย n ประพจน์ คือ 2n กรณี มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

4. การสรา้ งตาราง ตวั อย่าง 7 กาหนดให้ p และ qเป็นประพจน์ จงสร้าง ค่าความจรงิ ตารางคา่ ความจริงของ (p → q) → (p ∧ q) วิธีทา รูปแบบของประพจน์ (p → q) → (p ∧ q) ประกอบดว้ ยประพจนย์ อ่ ย สองประพจน์ คอื p และ q จงึ มีกรณีเกีย่ วกบั ค่าความจริงทอ่ี าจเกดิ ขึ้นไดท้ ้งั หมด 4 กรณี จะไดต้ ารางคา่ ความจริงของ (p → q) → (p ∧ q) ดงั น้ี p q p → q p q p ∧ q (p → q) → (p ∧ q) TT T FF F F TF F FT F T FT T TF F F FF T TT T T มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

4. การสร้างตาราง คา่ ความจรงิ ตัวอยา่ ง 8 กาหนดให้ p, q และ r เปน็ ประพจน์ จงสรา้ งตารางค่าความจริงของ (p ∧ q) → r วิธที า รปู แบบของประพจน์ (p ∧ q) → r ประกอบดว้ ยประพจน์ย่อยสามประพจน์ คือ p, q และ r จึงมีกรณเี ก่ียวกบั คา่ ความจริงที่อาจเกิดขึน้ ได้ทง้ั หมด 8 กรณี จะได้ตารางคา่ ความจรงิ ของ (p ∧ q) → r ดงั น้ี มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

4. การสรา้ งตาราง r p∧q (p ∧ q) → r แหล่มเลย คา่ ความจริง T T T F T F pq T F T TT F F T TT T F T TF F F T TF T F T FT F F T FT FF FF มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

5. รปู แบบของประพจนท์ ี่ สมมูลกัน รปู แบบของประพจนส์ องรปู แบบ ใดๆทีม่ คี า่ ความจริงตรงกนั ทุกกรณี ตอ่ กรณี เรียกรปู แบบของประพจน์ ดังกลา่ วว่า “รปู แบบของประพจนท์ สี่ มมลู กนั ” มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

5. รูปแบบของประพจน์ท่ี ให้พจิ ารณาคา่ ความจริงของรูปแบบของประพจน์ p ∨ ∼q กบั ∼(∼p ∧ q) จากตารางค่าความจรงิ ทก่ี าหนด สมมลู กนั p q ∼p ∼q p ∨ ∼q ∼p ∧ q ∼(∼p ∧ q) TTFFTFT TFFTTFT FTTFFTF FFTTTFT จะเห็นวา่ คา่ ความจริงของรูปแบบประพจน์ p ∨ ∼q กับ ∼(∼ p ∧ q) ตรงกนั กรณีตอ่ กรณีโดยลักษณะเชน่ นจ้ี ะกล่าววา่ ประพจน์ p ∨ ∼q และ ∼(∼ p ∧ q) สมมลู กัน เขยี นแทนด้วย p ∨ ∼q ≡ ∼(∼ p ∧ q) มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

5. รปู แบบของประพจนท์ ี่ ตวั อย่างท่ี 9 กาหนด p, q และr เปน็ ประพจน์ ให้ สมมลู กัน ตรวจสอบว่ารปู แบบของประพจน์ (p →q) → r สมมูลกับ p → (q → r) หรือไม่ วธิ ที า สร้างตารางค่าความจรงิ ของ (p → q) → r กบั p → (q → r) ดังนี้ p q r p → q (p → q) → r q → r p → (q → r) TTT T T T T TTF T F F F TFT F T T T TFF F T T T FTT T T T T FTF T F F T FFT T T T T FFF T F T T มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

5. รปู แบบของประพจน์ท่ี p q r p → q (p → q) → r q → r p → (q → r) สมมลู กนั TTT T T T T TTF T F F F TFT F T T T TFF F T T T FTT T T T T FTF T F F T FFT T T T T FFF T F T T จะเห็นได้วา่ คา่ ความจรงิ ของรปู แบบของประพจน์ (p → q) → r กับ p → (q → r) ไม่ ตรงกนั ในบางกรณี ดงั นั้น (p → q) → r กับ p → (q → r) ไมส่ มมูลกัน มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

5. รปู แบบของประพจน์ที่ ตวั อยา่ งท่ี 10 ใหต้ รวจสอบวา่ ข้อความท่กี าหนดให้ สมมูลกนั สมมูลกันหรือไม่ “ถา้ 2π เปน็ จานวนอตรรกยะ แลว้ 2π + 1 เปน็ จานวนอตรรกยะ” “2π ไมเ่ ป็นจานวนอตรรกยะ หรอื 2π + 1 เป็นจานวนอตรรกยะ” วธิ ที า กาหนด p แทน 2π เป็นจานวนอตรรกยะ และ q แทน 2π + 1 เป็นจานวนอตรรกยะ จะไดว้ ่า ถา้ 2π เป็นจานวนอตรรกยะ แล้ว 2π + 1 เปน็ จานวนอตรรกยะ เขียนแทนด้วย p → q 2π ไม่เป็นจานวนอตรรกยะ หรือ 2π + 1 เป็นจานวนอตรรกยะ เขียนแทนดว้ ย ~p ∨ q มหาวิทยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

5. รูปแบบของประพจน์ท่ี สรา้ งตารางคา่ ความจรงิ ของ p → q กับ ~p ∨ q สมมูลกัน ดงั นี้ p q p → q ~p ~p ∨ q TTTFT TFFFF FTTTT FFTTT จะเห็นวา่ ค่าความจริงของรปู แบบของประพจน์ p → q กับ ~p ∨ q ตรงกันกรณีต่อกรณี ดังนัน้ p → q ≡ ~p ∨ q น่นั คอื ข้อความข้างตน้ ทั้งสองข้อความสมมลู กัน มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี

5. รูปแบบของประพจนท์ ี่ การตรวจสอบวา่ รปู แบบของ สมมลู กัน ประพจน์ 2 รปู แบบสมมลู กนั หรอื ไม่ นอกจากจะใช้การสรา้ งตารางค่าความจรงิ แลว้ สามารถใช้รปู แบบของ ประพจนท์ ีส่ มมลู กนั ได้ ดังนี้ กาหนด p, q และ r เป็นประพจน์ 1. กฎการสลับที่ 2. กฎการเปลีย่ นหมู่ (Commutative Law) (Associative Law) p∧q≡q∧p (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) p∨q≡q∨p (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) p↔q≡q↔p 3. กฎการแจกแจง (Distributive Law) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ราไพพรรณี