แผนการจัดการเรียนรู้ เรื่อง ตรีโกณมิติ

แผนการจดั กิจกรรมการเรยี นรู กลมุ สาระการเรยี นรคู ณิตศาสตร คณติ ศาสตรเ พ่ิมเตมิ 3 ชวงชน้ั ท่ี 3 มธั ยมศึกษาปที่ 5 รหสั วชิ า ค 32201 ภาคเรยี นท่ี 1 ปก ารศึกษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนว ยการเรยี นรทู ่ี 1 เร่อื ง ฟงกชันตรีโกณมติ ิ โรงเรยี นมัธยมวัดเบญจมบพิตร ช่ือครผู ูสอน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจดั การเรยี นรทู ี่ 27 เร่อื ง ตัวผกผันของฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ 1. ผลการเรียนรู/มาตรฐานการเรยี นรู 1) เขาใจฟง กชันตรโี กณมิติและนำไปใชในการแกปญ หา 2. สาระสำคัญ บทนยิ าม { }กำหนด f =(x,y) ∈  ×  y = sinx , - π ≤x ≤ π 2 2 { }เรียกฟง กช ันผกผนั f-1=(x, y) ∈  ×  x = siny , - π ≤y ≤ π 2 2 วา arcsine เขียนฟงกช ันผกผนั arcsine แทนดว ย arcsin หรอื sin-1 โดยท่ี y = arcsinx หรอื y = sin-1x ก็ตอ เม่ือ x = siny บทนยิ าม กำหนด f = {(x, y)∈×  y = cosx, 0 ≤ x ≤ π} บทนยิ าม เรยี กฟง กช ันผกผนั f -1= {(x, y)∈×  x = cosy, 0 ≤ y ≤ π} วา arccosine เขยี นฟงกช ันผกผัน arccosine แทนดวย arccos หรอื cos-1 โดยท่ี y = arccosx หรอื y = cos-1x ก็ตอ เม่ือ x = cosy { }กำหนด f =(x,y) ∈  ×  y = tanx , - π <x < π 2 2 { }เรยี กฟง กช ันผกผนั f-1=  π π (x, y) ∈  × x = tany , - <y < 2 2 วา arctangent เขยี นฟงกช ันผกผัน arctangent แทนดว ย arctan หรือ tan-1 โดยท่ี y = arctanx หรอื y = tan-1x ก็ตอเมอื่ x = tany

(x,{ }กำหนด f =y)  = , π π ,x≠0 บทนยิ าม ∈ × y cosecx - ≤ x ≤ 2 2 { }เรียกฟงกช นั ผกผัน f-1=(x, y) ∈   π π × x = cosecy , - ≤y ≤ , y≠0 2 2 วา arccosecant เขยี นฟงกชันผกผนั arccosecant แทนดวย arccosec หรือ cosec-1 โดยที่ y = arccosecx หรอื y = cosec-1x ก็ตอเมือ่ x = cosecy { }กำหนด f = π บทนยิ าม (x, y)∈×  y = secx , 0 ≤ x ≤ π , x ≠ 2 { }เรียกฟงกชันผกผัน f-1= π (x, y)∈×  x = secy , 0 ≤ y ≤ π , y ≠ 2 วา arcsecant เขียนฟง กชันผกผนั arcsecant แทนดว ย arcsec หรอื sec-1 โดยท่ี y = arcsecx หรอื y = sec-1x กต็ อ เม่ือ x = secy บทนยิ าม กำหนด f = {(x, y)∈×  y = cotx , 0 < x < π} เรียกฟงกชันผกผัน f -1= {(x, y)∈×  x = coty , 0 < y < π} วา arccotangent เขียนฟง กชันผกผนั arccotangent แทนดวย arccot หรือ cot-1 โดยที่ y = arccotx หรอื y = cot-1x ก็ตอเม่ือ x = coty โดเมนและเรนจของตวั ผกผันของฟง กชันตรีโกณมิติ กลุมท่ีมีมุมอยูในชวย -90o ถึง 90o กลุม ท่ีมีมมุ อยใู นชวย 0o ถึง 180o โดเมน เรนจ โดเมน เรนจ arcsin [-1, 1] arccos [-1, 1] [0, ] arctan arcsec arccosec arccot (0, )

3. ผลการการเรยี นรทู ค่ี าดหวัง 1) ดา นความรู (K) : นกั เรยี นสามารถ - เขาใจฟงกช ันตรีโกณมติ แิ ละนำไปใชในการแกปญหา 2) ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) : นักเรียนสามารถ - แกโจทยป ญ หาเรื่อง ตัวผกผันของฟงกชนั ตรโี กณมิติ ได - ใชเ หตผุ ลแกปญหาตวั ผกผนั ของฟงกช ันตรโี กณมิติ ได - เช่อื มโยงความรูตางๆ ของคณิตศาสตรไ ด - สอ่ื สาร สือ่ ความหมายทางคณิตศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดา นคุณลักษณะอนั พึงประสงค (A) : นักเรยี น - ทำงานเปนระบบ รอบคอบ - มรี ะเบยี บวินยั - มคี วามรบั ผดิ ชอบ 4. ดานคุณลักษณะของผูเ รียนตามหลกั สตู รมาตรฐานสากล 1) เปนเลิศวิชาการ 2) สื่อสองภาษา 3) ลำ้ หนา ทางความคดิ 4) ผลติ งานอยา งสรางสรรค 5. บูรณาการตามหลักของปรัชญาเศรษฐกิจพอเพียง 1) หลกั ความมเี หตผุ ล ปฏบิ ตั ิงานโดยใชความคิด แกป ญหาโดยใชป ญญา 2) เง่ือนไขความรู 6. สมรรถนะสำคัญของผเู รยี น 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกปญหา 7. ช้นิ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝกหดั ท่ี 9 เร่ือง ตวั ผกผนั ของฟง กชันตรโี กณมิติ ขอท่ี 8 - 9 8. การวดั และประเมินผล ผลการเรยี นรู วิธกี ารวดั ผล เครือ่ งมอื วดั ผล เกณฑการประเมิน ดา นความรู (K) พจิ ารณาจากความ แบบฝกหัดท่ี 9 นักเรียนทำแบบฝกหัด 1. เขา ใจฟงกช นั ถูกตองของแบบฝกหดั ขอท่ี 8 - 9 ถูกตองรอ ยละ 60 ตรโี กณมิติและนำไปใช ข้ึนไป ถือวา ผา นเกณฑ ในการแกป ญ หา ทีก่ ำหนด

ผลการเรียนรู วธิ กี ารวดั ผล เครือ่ งมือวดั ผล เกณฑการประเมนิ ดานทักษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลดาน นักเรียนไดคะแนนระดบั 1) แกโ จทยปญ หาเรื่อง การสังเกต ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน ตวั ผกผันของฟงกชนั ขน้ึ ไป ถือวา ผา น ตรีโกณมิติ ได แบบประเมนิ ผลดาน ทักษะ/กระบวนการ นักเรยี นไดคะแนนระดับ 2) ใชเ หตุผลแกปญหา การสังเกต คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ตวั ผกผันของฟงกชัน แบบประเมนิ ผลดา น ขึ้นไป ถือวาผาน ตรโี กณมติ ิ ได ทกั ษะ/กระบวนการ นกั เรยี นไดคะแนนระดับ 3) เช่ือมโยงความรูตางๆ การสังเกต แบบประเมนิ ผลดาน คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ของคณติ ศาสตรไ ด ทกั ษะ/กระบวนการ ขน้ึ ไป ถือวา ผา น 4) สื่อสาร ส่อื การสงั เกต นกั เรียนไดคะแนนระดบั คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ความหมายทาง ขน้ึ ไป ถือวาผาน คณติ ศาสตร และ นำเสนอขอมลู ดา นคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค (A) 1) ทำงานอยา งเปน การสังเกต แบบประเมิน นกั เรยี นไดคะแนนระดับ คุณลกั ษณะอันพงึ คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ขึ้นไป ถือวาผาน 2) มีระเบยี บวนิ ยั การสังเกต แบบประเมิน นกั เรียนไดคะแนนระดบั คุณลกั ษณะอนั พึง คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน 3) มีความรบั ผดิ ชอบ การสังเกต ประสงค ข้ึนไป ถือวาผา น แบบประเมนิ นักเรียนไดคะแนนระดบั คุณลกั ษณะอนั พึง คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน ประสงค ขน้ึ ไป ถือวาผาน 9. กิจกรรมการเรยี นรู ขน้ั นำ 1) ครสู นทนาทักทายนักเรยี น แลว ทบทวนความรเู รอื่ ง ตวั ผกผนั ของฟง กชันตรโี กณมิติ ดงั นี้

สูตรของตัวผกผันของฟงกชันตรีโกณมิติทีค่ วรรู 1. sin(arcsinx) = x 2. cosec(arccosecx) = x 3. cos(arccosx) = x 4. sec(arcsecx) = x 5. tan(arctanx) = x 6. cot(arccotx) = x 7. sin(arccosecx) = 1 8. cosec(arcsinx) = 1 x x 1 1 9. cos(arcsecx) = x 10. sec(arccosx) = x 11. tan(arccotx) = 1 12. cot(arctanx) = 1 x x 13. arcsin(-x) = -arcsinx 14. arccosec(-x) = -arccosecx 15. arccos(-x) = π - arccosx 16. arcsec(-x) = π - arcsecx 17. arctan(-x) = -arctanx 18. arccot(-x) = π - arccotx 19. arcsinx + arccosx = 90o 20. arctanx + arccotx = 90o 21. arcsecx + arccosecx = 90o 22. sin(arccosx) = 1 - x2 23. cos(arcsinx) = 1 - x2 ขัน้ สอน 1) ครใู หนักเรียนชวยกันทำแบบฝก หัดท่ี 9 เรือ่ ง ตวั ผกผันของฟง กช นั ตรโี กณมิติ ขอที่ 8 - 9 2) ในระหวา งทนี่ ักเรียนชว ยกันทำแบบฝกหัด ครูจะคอยใหคำแนะนำและเปดโอกาสใหนกั เรยี นได ถามขอสงสยั และเฉลยคำตอบในขอ ที่นักเรยี นทำเสร็จแลว เพอ่ื ใหน ักเรยี นตรวจสอบความถกู ตองของคำตอบ และเพื่อครูจะสามารถตรวจสอบความเขาใจของนักเรียนในระหวา งเรียนได ข้นั สรุป 1) นักเรียนและครรู ว มกนั สรุปความรู เร่อื ง ตัวผกผนั ของฟงกชนั ตรโี กณมิติ ท่ีไดจ ากการเรียน และ ครเู ปดโอกาสใหน ักเรียนซักถามปญ หาหรอื ขอสงสยั ตา งๆ 2) ครใู หนกั เรียนทำแบบฝก หัดท่ี 9 ขอท่ี 8 - 9 หากนักเรียนทำไมเ สรจ็ ในช่วั โมง จะใหนักเรียน นำกลับไปทำเปนการบา น แลวครูและนักเรยี นจะรว มกันเฉลยในชว งโมงถัดไป 3) ครแู นะนำใหน กั เรียนคนควา หาโจทยเ พม่ิ เตมิ จากแหลง เรยี นรตู างๆ 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลง เรียนรู 1) หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เร่ือง ฟงกช ันตรโี กณมิติ

แผนการจดั กิจกรรมการเรยี นรู กลมุ สาระการเรยี นรคู ณิตศาสตร คณติ ศาสตรเ พ่ิมเตมิ 3 ชวงชน้ั ท่ี 3 มธั ยมศึกษาปที่ 5 รหสั วชิ า ค 32201 ภาคเรยี นท่ี 1 ปก ารศึกษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนว ยการเรยี นรทู ่ี 1 เร่อื ง ฟงกชันตรีโกณมติ ิ โรงเรยี นมัธยมวัดเบญจมบพิตร ช่ือครผู ูสอน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจดั การเรยี นรทู ี่ 28 เร่อื ง ตัวผกผันของฟงกชนั ตรโี กณมติ ิ 1. ผลการเรียนรู/มาตรฐานการเรยี นรู 1) เขาใจฟง กชันตรโี กณมิติและนำไปใชในการแกปญ หา 2. สาระสำคัญ บทนยิ าม { }กำหนด f =(x,y) ∈  ×  y = sinx , - π ≤x ≤ π 2 2 { }เรียกฟง กช ันผกผนั f-1=(x, y) ∈  ×  x = siny , - π ≤y ≤ π 2 2 วา arcsine เขียนฟงกช ันผกผนั arcsine แทนดว ย arcsin หรอื sin-1 โดยท่ี y = arcsinx หรอื y = sin-1x ก็ตอ เม่ือ x = siny บทนยิ าม กำหนด f = {(x, y)∈×  y = cosx, 0 ≤ x ≤ π} บทนยิ าม เรยี กฟง กช ันผกผนั f -1= {(x, y)∈×  x = cosy, 0 ≤ y ≤ π} วา arccosine เขยี นฟงกช ันผกผัน arccosine แทนดวย arccos หรอื cos-1 โดยท่ี y = arccosx หรอื y = cos-1x ก็ตอ เม่ือ x = cosy { }กำหนด f =(x,y) ∈  ×  y = tanx , - π <x < π 2 2 { }เรยี กฟง กช ันผกผนั f-1=  π π (x, y) ∈  × x = tany , - <y < 2 2 วา arctangent เขยี นฟงกช ันผกผัน arctangent แทนดว ย arctan หรือ tan-1 โดยท่ี y = arctanx หรอื y = tan-1x ก็ตอเมอื่ x = tany

(x,{ }กำหนด f =y)  = , π π ,x≠0 บทนยิ าม ∈ × y cosecx - ≤ x ≤ 2 2 { }เรียกฟงกช นั ผกผัน f-1=(x, y) ∈   π π × x = cosecy , - ≤y ≤ , y≠0 2 2 วา arccosecant เขยี นฟงกชันผกผนั arccosecant แทนดวย arccosec หรือ cosec-1 โดยที่ y = arccosecx หรอื y = cosec-1x ก็ตอเมือ่ x = cosecy { }กำหนด f = π บทนยิ าม (x, y)∈×  y = secx , 0 ≤ x ≤ π , x ≠ 2 { }เรียกฟงกชันผกผัน f-1= π (x, y)∈×  x = secy , 0 ≤ y ≤ π , y ≠ 2 วา arcsecant เขียนฟง กชันผกผนั arcsecant แทนดว ย arcsec หรอื sec-1 โดยท่ี y = arcsecx หรอื y = sec-1x กต็ อ เม่ือ x = secy บทนยิ าม กำหนด f = {(x, y)∈×  y = cotx , 0 < x < π} เรียกฟงกชันผกผัน f -1= {(x, y)∈×  x = coty , 0 < y < π} วา arccotangent เขียนฟง กชันผกผนั arccotangent แทนดวย arccot หรือ cot-1 โดยที่ y = arccotx หรอื y = cot-1x ก็ตอเม่ือ x = coty โดเมนและเรนจของตวั ผกผันของฟง กชันตรีโกณมิติ กลุมท่ีมีมุมอยูในชวย -90o ถึง 90o กลุม ท่ีมีมมุ อยใู นชวย 0o ถึง 180o โดเมน เรนจ โดเมน เรนจ arcsin [-1, 1] arccos [-1, 1] [0, ] arctan arcsec arccosec arccot (0, )

3. ผลการการเรียนรทู ีค่ าดหวงั 1) ดา นความรู (K) : นกั เรียนสามารถ - เขาใจฟงกช นั ตรโี กณมิติและนำไปใชในการแกปญหา 2) ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรียนสามารถ - แกโ จทยปญหาเร่ือง ตัวผกผนั ของฟงกช ันตรีโกณมติ ิ ได - ใชเ หตุผลแกป ญ หาตวั ผกผนั ของฟงกชันตรีโกณมติ ิ ได - เชอ่ื มโยงความรูต า งๆ ของคณิตศาสตรไ ด - ส่อื สาร สอื่ ความหมายทางคณิตศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดานคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค (A) : นักเรียน - ทำงานเปน ระบบ รอบคอบ - มีระเบยี บวินยั - มีความรบั ผดิ ชอบ 4. ดานคุณลกั ษณะของผูเรียนตามหลักสตู รมาตรฐานสากล 1) เปน เลศิ วชิ าการ 2) ส่อื สองภาษา 3) ล้ำหนาทางความคดิ 4) ผลติ งานอยางสรางสรรค 5. บูรณาการตามหลกั ของปรชั ญาเศรษฐกจิ พอเพียง 1) หลกั ความมีเหตผุ ล ปฏิบัติงานโดยใชค วามคิด แกป ญหาโดยใชป ญ ญา 2) เงือ่ นไขความรู 6. สมรรถนะสำคญั ของผเู รยี น 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกป ญ หา 7. ช้ินงาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หดั ที่ 9 เร่ือง ตัวผกผนั ของฟง กชนั ตรีโกณมติ ิ ขอที่ 10 - 11 8. การวัดและประเมนิ ผล ผลการเรยี นรู วิธีการวัดผล เครอ่ื งมือวดั ผล เกณฑการประเมิน ดา นความรู (K) พิจารณาจากความ แบบฝก หัดที่ 9 นกั เรียนทำแบบฝกหัด 1. เขาใจฟงกชัน ถูกตองของแบบฝกหัด ขอ ที่ 10 - 11 ถูกตองรอ ยละ 60 ตรโี กณมิตแิ ละนำไปใช ข้ึนไป ถือวา ผา นเกณฑ ในการแกป ญหา ที่กำหนด

ผลการเรียนรู วธิ กี ารวดั ผล เครือ่ งมือวดั ผล เกณฑการประเมนิ ดานทักษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลดาน นกั เรียนไดคะแนนระดบั 1) แกโ จทยปญ หาเรื่อง การสังเกต ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ตวั ผกผันของฟงกชนั ขนึ้ ไป ถือวา ผา น ตรีโกณมิติ ได แบบประเมนิ ผลดาน ทักษะ/กระบวนการ นักเรียนไดคะแนนระดับ 2) ใชเ หตุผลแกปญหา การสังเกต คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ตวั ผกผันของฟงกชัน แบบประเมนิ ผลดา น ขึ้นไป ถือวา ผา น ตรโี กณมติ ิ ได ทกั ษะ/กระบวนการ นักเรยี นไดคะแนนระดบั 3) เช่ือมโยงความรูตางๆ การสังเกต แบบประเมนิ ผลดาน คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ของคณติ ศาสตรไ ด ทกั ษะ/กระบวนการ ขน้ึ ไป ถือวาผาน 4) สื่อสาร ส่อื การสงั เกต นกั เรยี นไดคะแนนระดับ คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ความหมายทาง ขน้ึ ไป ถือวาผา น คณติ ศาสตร และ นำเสนอขอมลู ดา นคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค (A) 1) ทำงานอยา งเปน การสังเกต แบบประเมิน นกั เรยี นไดคะแนนระดบั คุณลกั ษณะอันพงึ คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ข้นึ ไป ถือวาผา น 2) มีระเบยี บวนิ ยั การสังเกต แบบประเมิน นักเรียนไดคะแนนระดับ คุณลกั ษณะอนั พึง คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน 3) มีความรบั ผดิ ชอบ การสังเกต ประสงค ข้ึนไป ถือวาผาน แบบประเมนิ นกั เรียนไดคะแนนระดับ คุณลกั ษณะอนั พึง คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ประสงค ขน้ึ ไป ถือวาผาน 9. กิจกรรมการเรยี นรู ขน้ั นำ 1) ครสู นทนาทักทายนักเรยี น แลว ทบทวนความรเู รอื่ ง ตวั ผกผนั ของฟง กชันตรีโกณมติ ิ ดงั นี้

สูตรของตัวผกผันของฟงกชันตรโี กณมิตทิ คี่ วรรู 1. sin(arcsinx) = x 2. cosec(arccosecx) = x 3. cos(arccosx) = x 4. sec(arcsecx) = x 5. tan(arctanx) = x 6. cot(arccotx) = x 7. sin(arccosecx) = 1 8. cosec(arcsinx) = 1 x x 1 1 9. cos(arcsecx) = x 10. sec(arccosx) = x 11. tan(arccotx) = 1 12. cot(arctanx) = 1 x x 13. arcsin(-x) = -arcsinx 14. arccosec(-x) = -arccosecx 15. arccos(-x) = π - arccosx 16. arcsec(-x) = π - arcsecx 17. arctan(-x) = -arctanx 18. arccot(-x) = π - arccotx 19. arcsinx + arccosx = 90o 20. arctanx + arccotx = 90o 21. arcsecx + arccosecx = 90o 22. sin(arccosx) = 1 - x2 23. cos(arcsinx) = 1 - x2 ขนั้ สอน 1) ครใู หนกั เรยี นชว ยกันทำแบบฝก หดั ท่ี 9 เรือ่ ง ตัวผกผนั ของฟง กช นั ตรีโกณมิติ ขอท่ี 10 - 11 2) ในระหวางทน่ี ักเรียนชว ยกันทำแบบฝกหัด ครจู ะคอยใหค ำแนะนำและเปดโอกาสใหนกั เรียนได ถามขอสงสยั และเฉลยคำตอบในขอท่ีนกั เรยี นทำเสร็จแลว เพอ่ื ใหนักเรยี นตรวจสอบความถกู ตองของคำตอบ และเพื่อครูจะสามารถตรวจสอบความเขาใจของนักเรียนในระหวางเรยี นได ข้นั สรุป 1) นกั เรยี นและครูรวมกนั สรุปความรู เรอ่ื ง ตัวผกผันของฟงกชนั ตรโี กณมิติ ทไ่ี ดจ ากการเรียน และ ครเู ปดโอกาสใหน ักเรียนซักถามปญ หาหรอื ขอสงสัยตา งๆ 2) ครใู หนักเรยี นทำแบบฝก หดั ท่ี 9 ขอ ท่ี 10 - 11 หากนักเรียนทำไมเสรจ็ ในช่ัวโมง จะใหน ักเรยี น นำกลับไปทำเปนการบาน แลว ครแู ละนกั เรยี นจะรวมกันเฉลยในชวงโมงถัดไป 3) ครูแนะนำใหน ักเรียนคน ควา หาโจทยเพ่ิมเติมจากแหลงเรยี นรูตา งๆ 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลง เรียนรู 1) หนงั สือเรยี นรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เร่ือง ฟง กช ันตรโี กณมิติ

แผนการจัดกจิ กรรมการเรียนรู กลุมสาระการเรยี นรคู ณิตศาสตร คณติ ศาสตรเ พ่ิมเตมิ 3 ชวงชนั้ ที่ 3 มธั ยมศึกษาปที่ 5 รหสั วชิ า ค 32201 ภาคเรยี นท่ี 1 ปการศึกษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนวยการเรียนรูที่ 1 เรือ่ ง ฟง กชนั ตรีโกณมติ ิ โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร ช่อื ครูผสู อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรียนรูที่ 29 เรอ่ื ง เอกลักษณของฟงกชนั ตรโี กณมิติ 1. ผลการเรียนร/ู มาตรฐานการเรยี นรู 1) เขา ใจฟง กชันตรีโกณมติ ิและนำไปใชใ นการแกป ญหา 2. สาระสำคญั เอกลักษณฟงกช นั ตรโี กณมติ ิท่สี ำคัญ 1) เอกลักษณพื้นฐาน (basic identities) sinθ = 1 , cosecθ ≠ 0 cosθ = cosecθ , secθ ≠ 0 tanθ = 1 , cosθ ≠ 0 หรือ cotθ ≠ 0 sin(-θ) = secθ 1 cotθ -sinθ cos(-θ) = cosθ tan(-θ) = -tanθ 2) เอกลกั ษณแบบพีทาโกรสั (Pythagorean identities) sin2θ + cos2θ = 1 1 + cot2θ = cosec2θ 1 + tan2θ = sec2θ 3) เอกลักษณแบบฟงกช ันรว ม sin π - θ  = cosθ cos π - θ  = sinθ = cotθ 2 2 tan π - θ  2

4) เอกลกั ษณแบบผลบวกและผลตา ง sinAcosB + cosAsinB sin(A + B) = sinAcosB - cosAsinB sin(A - B) = cosAcosB - sinAsinB cos(A + B) = cosAcosB + sinAsinB cos(A - B) = tanA + tanB 1 - tanAtanB tan(A + B) = tanA - tanB 1 + tanAtanB tan(A - B) = 5) เอกลกั ษณแบบจำนวนทวีคณู sin2A = 2sinAcosA cos2A = cos2A - sin2A tan2A = 2tanA 1 - tan2A 1 - cos2A sin2A = 2 cos2A = 1 + cos2A 2 6) เอกลกั ษณแ บบครงึ่ มมุ sin A = 1 - cosA 2 ±2 1 + cosA cos A = ±2 2 A tan 2 = 1 - cosA ± 1 + cosA 7) เอกลกั ษณอืน่ ๆ sinA + sinB = 2sin A + B cos A - B 2 2 A + B A - B sinA - sinB = 2cos 2 sin 2 cosA + cosB = 2cos A + B cos A - B 2 2 A + B A - B cosA - cosB = -2sin 2 sin 2

3. ผลการการเรียนรทู ่ีคาดหวงั 1) ดา นความรู (K) : นกั เรยี นสามารถ - เขาใจฟงกช ันตรโี กณมติ แิ ละนำไปใชในการแกปญหา 2) ดานทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรียนสามารถ - แกโ จทยป ญหาเร่ือง เอกลักษณข องฟง กชันตรโี กณมิติ ได - ใชเหตผุ ลแกป ญ หาเอกลักษณของฟงกชันตรีโกณมติ ิ ได - เช่ือมโยงความรูตา งๆ ของคณิตศาสตรไ ด - สือ่ สาร ส่ือความหมายทางคณิตศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดา นคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค (A) : นักเรยี น - ทำงานเปนระบบ รอบคอบ - มีระเบียบวนิ ัย - มคี วามรับผดิ ชอบ 4. ดานคณุ ลักษณะของผเู รยี นตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล 1) เปน เลศิ วิชาการ 2) สอื่ สองภาษา 3) ลำ้ หนา ทางความคดิ 4) ผลิตงานอยางสรา งสรรค 5. บรู ณาการตามหลักของปรชั ญาเศรษฐกิจพอเพียง 1) หลกั ความมีเหตผุ ล ปฏบิ ัติงานโดยใชความคดิ แกป ญหาโดยใชป ญญา 2) เงื่อนไขความรู 6. สมรรถนะสำคัญของผเู รยี น 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกป ญ หา 7. ช้ินงาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หดั ที่ 10 เร่ือง เอกลกั ษณของฟงกช นั ตรีโกณมติ ิ ขอที่ 1 - 4 8. การวดั และประเมนิ ผล ผลการเรยี นรู วธิ ีการวดั ผล เคร่ืองมอื วดั ผล เกณฑการประเมิน ดานความรู (K) พิจารณาจากความ แบบฝกหัดที่ 10 นักเรียนทำแบบฝกหัด 1. เขาใจฟงกชนั ถูกตองของแบบฝกหดั ขอท่ี 1 - 4 ถูกตองรอ ยละ 60 ตรโี กณมติ แิ ละนำไปใช ขน้ึ ไป ถือวา ผา นเกณฑ ในการแกปญ หา ทีก่ ำหนด

ผลการเรยี นรู วธิ กี ารวดั ผล เคร่อื งมอื วัดผล เกณฑก ารประเมิน ดานทักษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลดา น นักเรยี นไดคะแนนระดับ 1) แกโ จทยปญ หาเร่ือง การสงั เกต ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน เอกลักษณของฟง กช นั ขึ้นไป ถือวาผาน ตรีโกณมิติ ได แบบประเมนิ ผลดาน ทักษะ/กระบวนการ นักเรยี นไดคะแนนระดบั 2) ใชเหตผุ ลแกป ญหา การสังเกต คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน เอกลักษณของฟง กช ัน แบบประเมินผลดา น ขึ้นไป ถือวาผาน ตรโี กณมติ ิ ได ทักษะ/กระบวนการ นกั เรียนไดคะแนนระดับ 3) เช่อื มโยงความรูตางๆ การสงั เกต แบบประเมนิ ผลดาน คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ของคณติ ศาสตรได ทกั ษะ/กระบวนการ ขึน้ ไป ถือวาผาน 4) สือ่ สาร สอ่ื การสงั เกต นกั เรยี นไดคะแนนระดับ คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน ความหมายทาง ขน้ึ ไป ถือวาผาน คณิตศาสตร และ นำเสนอขอมลู ดานคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค (A) 1) ทำงานอยา งเปน การสงั เกต แบบประเมนิ นกั เรียนไดคะแนนระดบั คณุ ลักษณะอนั พึง คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ข้ึนไป ถือวาผา น 2) มีระเบียบวินยั การสังเกต แบบประเมนิ นักเรียนไดคะแนนระดบั คณุ ลกั ษณะอนั พงึ คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน 3) มีความรับผิดชอบ การสงั เกต ประสงค ข้ึนไป ถือวาผา น แบบประเมนิ นกั เรยี นไดคะแนนระดบั คุณลักษณะอันพงึ คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน ประสงค ขน้ึ ไป ถือวา ผา น 9. กิจกรรมการเรียนรู ข้ันนำ 1) ครูสนทนาทักทายนกั เรยี น แลว ทบทวนความรเู รอ่ื ง ฟงกช ันตรโี กณมิติ ดงั นี้

เอกลักษณฟงกชนั ตรโี กณมติ ิทส่ี ำคัญ 1) เอกลกั ษณพนื้ ฐาน (basic identities) sinθ = 1 , cosecθ ≠ 0 cosθ = cosecθ , secθ ≠ 0 tanθ = 1 , cosθ ≠ 0 หรอื cotθ ≠ 0 sin(-θ) = secθ 1 cotθ -sinθ cos(-θ) = cosθ tan(-θ) = -tanθ 2) เอกลกั ษณแ บบพีทาโกรสั (Pythagorean identities) sin2θ + cos2θ = 1 1 + cot2θ = cosec2θ 1 + tan2θ = sec2θ 3) เอกลกั ษณแ บบฟงกชันรว ม sin π - θ  = cosθ cos π - θ  = sinθ = cotθ 2 2 tan π - θ  2 4) เอกลกั ษณแ บบผลบวกและผลตาง sinAcosB + cosAsinB sin(A + B) = sinAcosB - cosAsinB sin(A - B) = cosAcosB - sinAsinB cos(A + B) = cosAcosB + sinAsinB cos(A - B) = tanA + tanB 1 - tanAtanB tan(A + B) = tanA - tanB 1 + tanAtanB tan(A - B) =

5) เอกลักษณแ บบจำนวนทวีคูณ 2sinAcosA sin2A = cos2A = cos2A - sin2A 2tanA tan2A = 1 - tan2A sin2A = 1 - cos2A cos2A = 2 1 + cos2A 6) เอกลักษณแ บบครึง่ มมุ = = 2 = sin A 1 - cosA 2 = ±2 cos A 1 + cosA 2 ±2 A tan 2 1 - cosA ± 1 + cosA 7) เอกลักษณอืน่ ๆ sinA + sinB 2sin A + B cos A - B 2 2 A + B A - B sinA - sinB = 2cos 2 sin 2 cosA + cosB = 2cos A + B cos A - B 2 2 A + B A - B cosA - cosB = -2sin 2 sin 2 ขน้ั สอน 1) ครูบรรยายเก่ยี วกบั เอกลกั ษณของฟง กช นั ตรโี กณมติ ิ พรอมยกตัวอยา ง ดงั นี้ การพิสูจนเอกลักษณเปนการแสดงใหเห็นวาจำนวนทั้งสองฝงของเครื่องหมายเทากับของสมการ เทากันจริง โดยใชความรูเกี่ยวกับฟงกชันตรีโกณมิติ การพิสูจนเอกลักษณจึงชวยใหเห็นความสัมพันธตางๆ ระหวา งฟง กช นั ตรีโกณมิติ และเอกลกั ษณท ีพ่ สิ ูจนแ ลว สามารถนำไปอางอิงในการพสิ จู นเอกลกั ษณอน่ื ๆ ได

ตวั อยางที่ 45 จงพิสูจนวา 2cos2θ - sin2θ + 1 = 3cosθ วิธีทำ cosθ 2cos2θ - sin2θ + 1 2cos2θ - (1 - cos2θ) + 1 cosθ = cosθ = 3cos2θ cosθ = 3cosθ ตัวอยา งที่ 46 จงพิสูจนว า cosθ = 1 + sinθ วธิ ที ำ 1 - sinθ cosθ cosθ cosθ 1 + sinθ 1 - sinθ = 1 - sinθ  1 + sinθ  = cosθ(1 + sinθ) = 1 - sin2θ cosθ(1 + sinθ) = cos2θ 1 + sinθ cosθ ตวั อยางท่ี 47 จงพสิ ูจนว า cos3x - cos5x = tanx sin3x + sin5x -22ssinin33xx+2+255xxcsoins 3x - 5x วิธีทำ cos3x - cos5x = 3x 2- 5x sin3x + sin5x 2 = -2sin4xsin(-x) = 2sin4xcos(-x) = -(-sinx) cos(x) tanx

ตัวอยา งที่ 48 จงพสิ จู นวา 1 sinx = tan x วธิ ีทำ + cosx 2 ( )sin2 x ตัวอยางท่ี 49 sinx = 2 วธิ ีทำ 1 + cosx ( )1 + cos2 x 2 +2s2inco2xsc2o2xs x = 1 2 1 - = 2s2inco2xsc2o2xs x 2 = csoins2x2x = x tan 2 จงพิสจู นว า sin2θ + sinθ = tanθ sin2θ + cosθ + 1 sin2θ + sinθ 2sinθcosθ + sinθ sin2θ + cosθ + 1 = (2cos2θ - 1) + cosθ + 1 = sinθ(2cosθ + 1) 2cos2θ + cosθ sinθ(2cosθ + 1) = cosθ(2cosθ + 1) = tanθ 2) ครใู หน กั เรียนแบงกลุมชว ยกนั ทำแบบฝก หดั ท่ี 10 เรือ่ ง เอกลกั ษณของฟงกชนั ตรีโกณมิติ ขอ ท่ี 1 - 4 และนำเสนอหนา ชั้นเรียน 3) ในระหวา งทน่ี ักเรยี นชวยกันทำแบบฝกหดั ครูจะคอยใหค ำแนะนำและเปด โอกาสใหน กั เรียนได ถามขอสงสยั เพื่อครูจะสามารถตรวจสอบความเขา ใจของนกั เรียนในระหวางเรียนได

ขัน้ สรุป 1) นกั เรยี นและครูรวมกนั สรุปความรู เรือ่ ง เอกลกั ษณของฟง กชนั ตรีโกณมิติ ท่ีไดจ ากการเรยี น และครเู ปดโอกาสใหน ักเรียนซักถามปญหาหรอื ขอสงสยั ตางๆ 2) ครใู หน กั เรยี นแบงกลมุ ทำแบบฝก หดั ที่ 10 ขอท่ี 1 - 4 หากนักเรียนทำไมเ สรจ็ ในชว่ั โมง จะให นกั เรยี นนำกลับไปทำเปน การบาน แลว ครูและนกั เรยี นจะรวมกันเฉลยในชว งโมงถัดไป 3) ครูแนะนำใหนกั เรียนคนควาหาโจทยเพิม่ เตมิ จากแหลงเรยี นรูต างๆ 10. สื่อ อุปกรณ และแหลง เรยี นรู 1) หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เรื่อง ฟงกช นั ตรีโกณมิติ

แผนการจัดกจิ กรรมการเรียนรู กลุมสาระการเรยี นรคู ณิตศาสตร คณติ ศาสตรเ พ่ิมเตมิ 3 ชวงชนั้ ที่ 3 มธั ยมศึกษาปที่ 5 รหสั วชิ า ค 32201 ภาคเรยี นท่ี 1 ปการศึกษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนวยการเรียนรูที่ 1 เรือ่ ง ฟง กชนั ตรีโกณมติ ิ โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร ช่อื ครูผสู อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรียนรูที่ 30 เรอ่ื ง เอกลักษณของฟงกชนั ตรโี กณมิติ 1. ผลการเรียนร/ู มาตรฐานการเรยี นรู 1) เขา ใจฟง กชันตรีโกณมติ ิและนำไปใชใ นการแกป ญหา 2. สาระสำคญั เอกลักษณฟงกช นั ตรโี กณมติ ิท่สี ำคัญ 1) เอกลักษณพื้นฐาน (basic identities) sinθ = 1 , cosecθ ≠ 0 cosθ = cosecθ , secθ ≠ 0 tanθ = 1 , cosθ ≠ 0 หรือ cotθ ≠ 0 sin(-θ) = secθ 1 cotθ -sinθ cos(-θ) = cosθ tan(-θ) = -tanθ 2) เอกลกั ษณแบบพีทาโกรสั (Pythagorean identities) sin2θ + cos2θ = 1 1 + cot2θ = cosec2θ 1 + tan2θ = sec2θ 3) เอกลักษณแบบฟงกช ันรว ม sin π - θ  = cosθ cos π - θ  = sinθ = cotθ 2 2 tan π - θ  2

4) เอกลกั ษณแบบผลบวกและผลตา ง sinAcosB + cosAsinB sin(A + B) = sinAcosB - cosAsinB sin(A - B) = cosAcosB - sinAsinB cos(A + B) = cosAcosB + sinAsinB cos(A - B) = tanA + tanB 1 - tanAtanB tan(A + B) = tanA - tanB 1 + tanAtanB tan(A - B) = 5) เอกลกั ษณแบบจำนวนทวีคณู sin2A = 2sinAcosA cos2A = cos2A - sin2A tan2A = 2tanA 1 - tan2A 1 - cos2A sin2A = 2 cos2A = 1 + cos2A 2 6) เอกลกั ษณแ บบครงึ่ มมุ sin A = 1 - cosA 2 ±2 1 + cosA cos A = ±2 2 A tan 2 = 1 - cosA ± 1 + cosA 7) เอกลกั ษณอืน่ ๆ sinA + sinB = 2sin A + B cos A - B 2 2 A + B A - B sinA - sinB = 2cos 2 sin 2 cosA + cosB = 2cos A + B cos A - B 2 2 A + B A - B cosA - cosB = -2sin 2 sin 2

3. ผลการการเรียนรทู ่ีคาดหวงั 1) ดา นความรู (K) : นกั เรยี นสามารถ - เขาใจฟงกช ันตรโี กณมติ แิ ละนำไปใชในการแกปญหา 2) ดานทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรียนสามารถ - แกโ จทยป ญหาเร่ือง เอกลักษณข องฟง กชันตรโี กณมิติ ได - ใชเหตผุ ลแกป ญ หาเอกลักษณของฟงกชันตรีโกณมติ ิ ได - เช่ือมโยงความรูตา งๆ ของคณิตศาสตรไ ด - สือ่ สาร ส่ือความหมายทางคณิตศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดา นคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค (A) : นักเรยี น - ทำงานเปน ระบบ รอบคอบ - มีระเบียบวนิ ัย - มคี วามรับผดิ ชอบ 4. ดานคณุ ลักษณะของผเู รยี นตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล 1) เปน เลศิ วิชาการ 2) สอื่ สองภาษา 3) ลำ้ หนา ทางความคดิ 4) ผลิตงานอยางสรา งสรรค 5. บรู ณาการตามหลักของปรชั ญาเศรษฐกิจพอเพียง 1) หลกั ความมีเหตผุ ล ปฏบิ ัติงานโดยใชความคดิ แกป ญหาโดยใชป ญญา 2) เงื่อนไขความรู 6. สมรรถนะสำคัญของผเู รยี น 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกป ญ หา 7. ช้ินงาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หดั ที่ 10 เร่ือง เอกลกั ษณของฟงกช นั ตรีโกณมติ ิ ขอที่ 5 - 8 8. การวดั และประเมนิ ผล ผลการเรยี นรู วธิ ีการวดั ผล เคร่ืองมอื วดั ผล เกณฑการประเมิน ดานความรู (K) พิจารณาจากความ แบบฝกหัดที่ 10 นักเรียนทำแบบฝกหัด 1. เขาใจฟงกชนั ถูกตองของแบบฝกหดั ขอท่ี 5 - 8 ถูกตองรอ ยละ 60 ตรโี กณมติ แิ ละนำไปใช ขน้ึ ไป ถือวา ผา นเกณฑ ในการแกปญ หา ทีก่ ำหนด

ผลการเรียนรู วธิ กี ารวัดผล เครื่องมือวดั ผล เกณฑการประเมิน ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมินผลดา น นักเรียนไดคะแนนระดบั 1) แกโ จทยป ญ หาเรื่อง การสงั เกต ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน เอกลกั ษณของฟงกชนั ขึ้นไป ถือวา ผา น ตรโี กณมิติ ได แบบประเมนิ ผลดา น ทกั ษะ/กระบวนการ นกั เรียนไดคะแนนระดบั 2) ใชเหตผุ ลแกป ญ หา การสงั เกต คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน เอกลักษณของฟง กช ัน แบบประเมินผลดา น ข้นึ ไป ถือวาผาน ตรโี กณมติ ิ ได ทกั ษะ/กระบวนการ นกั เรยี นไดคะแนนระดบั 3) เช่ือมโยงความรูตางๆ การสังเกต แบบประเมนิ ผลดาน คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ของคณติ ศาสตรได ทักษะ/กระบวนการ ข้ึนไป ถือวา ผา น 4) สอื่ สาร สอื่ การสงั เกต นักเรยี นไดคะแนนระดบั คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน ความหมายทาง ข้นึ ไป ถือวา ผาน คณติ ศาสตร และ นำเสนอขอมูล ดานคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค (A) 1) ทำงานอยางเปน การสงั เกต แบบประเมิน นักเรียนไดคะแนนระดบั คณุ ลักษณะอันพึง คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ขึ้นไป ถือวาผาน 2) มีระเบียบวินยั การสงั เกต แบบประเมิน นักเรยี นไดคะแนนระดับ คุณลกั ษณะอันพงึ คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน 3) มีความรับผดิ ชอบ การสงั เกต ประสงค ขนึ้ ไป ถือวาผาน แบบประเมิน นักเรยี นไดคะแนนระดับ คุณลกั ษณะอนั พงึ คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ประสงค ขึ้นไป ถือวาผาน 9. กิจกรรมการเรยี นรู ข้ันนำ 1) ครสู นทนาทกั ทายนักเรยี น แลวทบทวนความรเู รื่อง เอกลักษณของฟง กชันตรีโกณมติ ิ ดังน้ี

ตัวอยางที่ 45 จงพิสจู นวา 2cos2θ - sin2θ + 1 = 3cosθ วิธที ำ cosθ 2cos2θ - sin2θ + 1 2cos2θ - (1 - cos2θ) + 1 cosθ = cosθ = 3cos2θ cosθ = 3cosθ ตวั อยา งท่ี 46 จงพิสจู นว า cosθ = 1 + sinθ วธิ ีทำ 1 - sinθ cosθ cosθ cosθ 1 + sinθ 1 - sinθ = 1 - sinθ  1 + sinθ  = cosθ(1 + sinθ) = 1 - sin2θ cosθ(1 + sinθ) = cos2θ 1 + sinθ cosθ ขั้นสอน 1) ครใู หนักเรยี นแบงกลมุ ชวยกนั ทำแบบฝก หดั ท่ี 10 เรอื่ ง เอกลักษณข องฟงกช นั ตรีโกณมติ ิ ขอ ที่ 5 - 8 และนำเสนอหนา ช้นั เรียน 2) ในระหวางท่นี ักเรยี นชว ยกันทำแบบฝก หัด ครจู ะคอยใหคำแนะนำและเปด โอกาสใหน กั เรยี นได ถามขอสงสัย เพ่ือครจู ะสามารถตรวจสอบความเขาใจของนกั เรียนในระหวา งเรียนได ขน้ั สรุป 1) นักเรยี นและครูรว มกันสรปุ ความรู เร่ือง เอกลักษณข องฟงกช ันตรีโกณมติ ิ ท่ีไดจ ากการเรยี น และครเู ปด โอกาสใหน ักเรยี นซักถามปญหาหรือขอ สงสยั ตา งๆ 2) ครูใหน กั เรียนแบงกลมุ ทำแบบฝกหดั ที่ 10 ขอท่ี 5 - 8 หากนกั เรยี นทำไมเ สรจ็ ในช่ัวโมง จะให นกั เรียนนำกลบั ไปทำเปน การบาน แลว ครูและนกั เรยี นจะรวมกนั เฉลยในชวงโมงถดั ไป 3) ครูแนะนำใหนกั เรียนคน ควา หาโจทยเ พมิ่ เตมิ จากแหลงเรียนรูต างๆ 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลงเรียนรู 1) หนังสอื เรียนรายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง ฟงกชนั ตรโี กณมิติ

แผนการจัดกจิ กรรมการเรียนรู กลุมสาระการเรยี นรคู ณิตศาสตร คณติ ศาสตรเ พ่ิมเตมิ 3 ชวงชนั้ ที่ 3 มธั ยมศึกษาปที่ 5 รหสั วชิ า ค 32201 ภาคเรยี นท่ี 1 ปการศึกษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนวยการเรียนรูที่ 1 เรือ่ ง ฟง กชนั ตรีโกณมติ ิ โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร ช่อื ครูผสู อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรียนรูที่ 31 เรอ่ื ง เอกลักษณของฟงกชนั ตรโี กณมิติ 1. ผลการเรียนร/ู มาตรฐานการเรยี นรู 1) เขา ใจฟง กชันตรีโกณมติ ิและนำไปใชใ นการแกป ญหา 2. สาระสำคญั เอกลักษณฟงกช นั ตรโี กณมติ ิท่สี ำคัญ 1) เอกลักษณพื้นฐาน (basic identities) sinθ = 1 , cosecθ ≠ 0 cosθ = cosecθ , secθ ≠ 0 tanθ = 1 , cosθ ≠ 0 หรือ cotθ ≠ 0 sin(-θ) = secθ 1 cotθ -sinθ cos(-θ) = cosθ tan(-θ) = -tanθ 2) เอกลกั ษณแบบพที าโกรสั (Pythagorean identities) sin2θ + cos2θ = 1 1 + cot2θ = cosec2θ 1 + tan2θ = sec2θ 3) เอกลักษณแบบฟงกช ันรว ม sin π - θ  = cosθ cos π - θ  = sinθ = cotθ 2 2 tan π - θ  2

4) เอกลกั ษณแบบผลบวกและผลตา ง sinAcosB + cosAsinB sin(A + B) = sinAcosB - cosAsinB sin(A - B) = cosAcosB - sinAsinB cos(A + B) = cosAcosB + sinAsinB cos(A - B) = tanA + tanB 1 - tanAtanB tan(A + B) = tanA - tanB 1 + tanAtanB tan(A - B) = 5) เอกลกั ษณแบบจำนวนทวีคณู sin2A = 2sinAcosA cos2A = cos2A - sin2A tan2A = 2tanA 1 - tan2A 1 - cos2A sin2A = 2 cos2A = 1 + cos2A 2 6) เอกลกั ษณแ บบครงึ่ มมุ sin A = 1 - cosA 2 ±2 1 + cosA cos A = ±2 2 A tan 2 = 1 - cosA ± 1 + cosA 7) เอกลกั ษณอืน่ ๆ sinA + sinB = 2sin A + B cos A - B 2 2 A + B A - B sinA - sinB = 2cos 2 sin 2 cosA + cosB = 2cos A + B cos A - B 2 2 A + B A - B cosA - cosB = -2sin 2 sin 2

3. ผลการการเรียนรทู ีค่ าดหวงั 1) ดา นความรู (K) : นกั เรียนสามารถ - เขาใจฟงกชนั ตรโี กณมติ ิและนำไปใชในการแกปญหา 2) ดา นทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรยี นสามารถ - แกโจทยปญ หาเร่ือง เอกลกั ษณข องฟง กชันตรีโกณมิติ ได - ใชเหตผุ ลแกปญ หาเอกลักษณของฟงกชันตรีโกณมิติ ได - เชอ่ื มโยงความรูต า งๆ ของคณิตศาสตรไ ด - ส่อื สาร สอ่ื ความหมายทางคณติ ศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดา นคุณลักษณะอนั พึงประสงค (A) : นักเรียน - ทำงานเปน ระบบ รอบคอบ - มรี ะเบียบวนิ ัย - มคี วามรบั ผิดชอบ 4. ดานคณุ ลกั ษณะของผเู รยี นตามหลักสตู รมาตรฐานสากล 1) เปน เลศิ วิชาการ 2) ส่ือสองภาษา 3) ล้ำหนาทางความคดิ 4) ผลิตงานอยางสรา งสรรค 5. บรู ณาการตามหลักของปรชั ญาเศรษฐกจิ พอเพยี ง 1) หลักความมีเหตุผล ปฏิบตั ิงานโดยใชความคิด แกปญหาโดยใชป ญ ญา 2) เง่ือนไขความรู 6. สมรรถนะสำคญั ของผูเ รยี น 1) ความสามารถในการคดิ 2) ความสามารถในการแกป ญ หา 7. ช้ินงาน / ภาระงาน 1) แบบฝกหัดท่ี 10 เรื่อง เอกลักษณข องฟงกช นั ตรโี กณมติ ิ ขอท่ี 9 - 12 8. การวดั และประเมนิ ผล ผลการเรยี นรู วธิ ีการวัดผล เครอ่ื งมอื วัดผล เกณฑการประเมิน ดานความรู (K) พิจารณาจากความ แบบฝก หัดท่ี 10 นักเรยี นทำแบบฝกหัด 1. เขาใจฟงกช นั ถกู ตองของแบบฝกหัด ขอ ที่ 9 - 12 ถูกตองรอ ยละ 60 ตรโี กณมิติและนำไปใช ข้นึ ไป ถือวา ผา นเกณฑ ในการแกป ญหา ท่ีกำหนด

ผลการเรียนรู วธิ กี ารวัดผล เครื่องมือวดั ผล เกณฑการประเมิน ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมินผลดา น นักเรียนไดคะแนนระดบั 1) แกโ จทยป ญ หาเรื่อง การสงั เกต ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน เอกลกั ษณของฟงกชนั ขึ้นไป ถือวา ผา น ตรโี กณมิติ ได แบบประเมนิ ผลดา น ทกั ษะ/กระบวนการ นกั เรียนไดคะแนนระดบั 2) ใชเหตผุ ลแกป ญ หา การสงั เกต คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน เอกลักษณของฟง กช ัน แบบประเมินผลดา น ข้นึ ไป ถือวาผาน ตรโี กณมติ ิ ได ทกั ษะ/กระบวนการ นกั เรยี นไดคะแนนระดบั 3) เช่ือมโยงความรูตางๆ การสังเกต แบบประเมนิ ผลดาน คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ของคณติ ศาสตรได ทักษะ/กระบวนการ ข้ึนไป ถือวา ผา น 4) สอื่ สาร สอื่ การสงั เกต นักเรยี นไดคะแนนระดบั คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน ความหมายทาง ข้นึ ไป ถือวา ผาน คณติ ศาสตร และ นำเสนอขอมูล ดานคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค (A) 1) ทำงานอยางเปน การสงั เกต แบบประเมิน นักเรียนไดคะแนนระดบั คณุ ลักษณะอันพึง คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ขึ้นไป ถือวาผาน 2) มีระเบียบวินยั การสงั เกต แบบประเมิน นักเรยี นไดคะแนนระดับ คุณลกั ษณะอันพงึ คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน 3) มีความรับผดิ ชอบ การสงั เกต ประสงค ขนึ้ ไป ถือวาผาน แบบประเมิน นักเรยี นไดคะแนนระดับ คุณลกั ษณะอนั พงึ คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ประสงค ขึ้นไป ถือวาผาน 9. กิจกรรมการเรยี นรู ข้ันนำ 1) ครสู นทนาทกั ทายนักเรยี น แลวทบทวนความรเู รื่อง เอกลักษณของฟง กชันตรีโกณมติ ิ ดังน้ี

ตัวอยางท่ี 47 จงพสิ จู นวา cos3x - cos5x = tanx sin3x + sin5x -22ssinin33xx+2+255xxcsoins 3x - 5x วิธที ำ cos3x - cos5x = 3x 2- 5x sin3x + sin5x 2 = -2sin4xsin(-x) = 2sin4xcos(-x) = -(-sinx) cos(x) tanx ข้ันสอน 1) ครใู หนกั เรียนแบงกลมุ ชว ยกันทำแบบฝกหดั ท่ี 10 เรอื่ ง เอกลกั ษณข องฟงกชันตรโี กณมิติ ขอ ท่ี 9 - 12 และนำเสนอหนา ชัน้ เรียน 2) ในระหวางท่ีนักเรยี นชว ยกนั ทำแบบฝกหัด ครูจะคอยใหคำแนะนำและเปดโอกาสใหนกั เรียนได ถามขอสงสยั เพ่ือครจู ะสามารถตรวจสอบความเขา ใจของนกั เรียนในระหวางเรียนได ขั้นสรุป 1) นักเรียนและครรู วมกันสรปุ ความรู เรอ่ื ง เอกลกั ษณข องฟงกช นั ตรโี กณมติ ิ ท่ีไดจากการเรยี น และครเู ปดโอกาสใหนักเรียนซกั ถามปญหาหรือขอ สงสัยตางๆ 2) ครูใหนกั เรยี นแบงกลุมทำแบบฝก หดั ที่ 10 ขอท่ี 9 - 12 หากนกั เรยี นทำไมเ สร็จในชัว่ โมง จะให นกั เรยี นนำกลับไปทำเปนการบา น แลวครแู ละนักเรียนจะรวมกันเฉลยในชวงโมงถัดไป 3) ครูแนะนำใหนกั เรยี นคน ควาหาโจทยเพม่ิ เติมจากแหลงเรยี นรูต างๆ 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลงเรียนรู 1) หนงั สือเรยี นรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เรื่อง ฟง กชันตรโี กณมิติ

แผนการจัดกจิ กรรมการเรียนรู กลุมสาระการเรยี นรคู ณิตศาสตร คณติ ศาสตรเ พ่ิมเตมิ 3 ชวงชนั้ ที่ 3 มธั ยมศึกษาปที่ 5 รหสั วชิ า ค 32201 ภาคเรยี นท่ี 1 ปการศึกษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนวยการเรียนรูที่ 1 เรือ่ ง ฟง กชนั ตรีโกณมติ ิ โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร ช่อื ครูผสู อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรียนรูที่ 32 เรอ่ื ง เอกลักษณของฟงกชนั ตรโี กณมิติ 1. ผลการเรียนร/ู มาตรฐานการเรยี นรู 1) เขา ใจฟง กชันตรีโกณมติ ิและนำไปใชใ นการแกป ญหา 2. สาระสำคญั เอกลักษณฟงกช นั ตรโี กณมติ ิท่สี ำคัญ 1) เอกลักษณพื้นฐาน (basic identities) sinθ = 1 , cosecθ ≠ 0 cosθ = cosecθ , secθ ≠ 0 tanθ = 1 , cosθ ≠ 0 หรือ cotθ ≠ 0 sin(-θ) = secθ 1 cotθ -sinθ cos(-θ) = cosθ tan(-θ) = -tanθ 2) เอกลกั ษณแบบพีทาโกรสั (Pythagorean identities) sin2θ + cos2θ = 1 1 + cot2θ = cosec2θ 1 + tan2θ = sec2θ 3) เอกลักษณแบบฟงกช ันรว ม sin π - θ  = cosθ cos π - θ  = sinθ = cotθ 2 2 tan π - θ  2

4) เอกลกั ษณแบบผลบวกและผลตา ง sinAcosB + cosAsinB sin(A + B) = sinAcosB - cosAsinB sin(A - B) = cosAcosB - sinAsinB cos(A + B) = cosAcosB + sinAsinB cos(A - B) = tanA + tanB 1 - tanAtanB tan(A + B) = tanA - tanB 1 + tanAtanB tan(A - B) = 5) เอกลกั ษณแบบจำนวนทวีคณู sin2A = 2sinAcosA cos2A = cos2A - sin2A tan2A = 2tanA 1 - tan2A 1 - cos2A sin2A = 2 cos2A = 1 + cos2A 2 6) เอกลกั ษณแ บบครงึ่ มมุ sin A = 1 - cosA 2 ±2 1 + cosA cos A = ±2 2 A tan 2 = 1 - cosA ± 1 + cosA 7) เอกลกั ษณอืน่ ๆ sinA + sinB = 2sin A + B cos A - B 2 2 A + B A - B sinA - sinB = 2cos 2 sin 2 cosA + cosB = 2cos A + B cos A - B 2 2 A + B A - B cosA - cosB = -2sin 2 sin 2

3. ผลการการเรยี นรูท่ีคาดหวัง 1) ดานความรู (K) : นักเรียนสามารถ - เขาใจฟงกช ันตรีโกณมติ ิและนำไปใชใ นการแกปญหา 2) ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรียนสามารถ - แกโจทยปญหาเรื่อง เอกลักษณของฟงกช ันตรีโกณมิติ ได - ใชเ หตุผลแกป ญหาเอกลกั ษณของฟงกชันตรีโกณมติ ิ ได - เชอื่ มโยงความรตู า งๆ ของคณิตศาสตรได - สื่อสาร สอ่ื ความหมายทางคณติ ศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดานคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค (A) : นักเรยี น - ทำงานเปนระบบ รอบคอบ - มีระเบยี บวนิ ยั - มีความรับผิดชอบ 4. ดา นคณุ ลักษณะของผเู รียนตามหลักสตู รมาตรฐานสากล 1) เปนเลิศวชิ าการ 2) ส่อื สองภาษา 3) ลำ้ หนาทางความคิด 4) ผลิตงานอยางสรา งสรรค 5. บูรณาการตามหลักของปรชั ญาเศรษฐกจิ พอเพียง 1) หลักความมีเหตผุ ล ปฏิบตั ิงานโดยใชค วามคิด แกปญหาโดยใชปญญา 2) เงอ่ื นไขความรู 6. สมรรถนะสำคญั ของผเู รียน 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกปญ หา 7. ช้ินงาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หดั ที่ 10 เรื่อง เอกลกั ษณข องฟง กช ันตรโี กณมติ ิ ขอท่ี 13 - 16 8. การวดั และประเมินผล ผลการเรยี นรู วิธกี ารวดั ผล เครือ่ งมอื วดั ผล เกณฑการประเมิน ดานความรู (K) พจิ ารณาจากความ แบบฝกหดั ที่ 10 นกั เรียนทำแบบฝกหัด 1. เขา ใจฟงกช นั ถกู ตองของแบบฝกหัด ขอท่ี 13 - 16 ถูกตองรอ ยละ 60 ตรโี กณมิติและนำไปใช ข้ึนไป ถือวา ผา นเกณฑ ในการแกปญ หา ท่ีกำหนด

ผลการเรยี นรู วิธีการวดั ผล เครอ่ื งมือวัดผล เกณฑก ารประเมนิ ดานทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมินผลดาน นกั เรยี นไดคะแนนระดบั 1) แกโจทยป ญหาเร่ือง การสงั เกต ทักษะ/กระบวนการ คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน เอกลักษณของฟงกชนั ขึ้นไป ถือวาผา น ตรีโกณมิติ ได แบบประเมินผลดาน ทกั ษะ/กระบวนการ นกั เรียนไดคะแนนระดับ 2) ใชเ หตุผลแกป ญ หา การสงั เกต คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน เอกลักษณของฟง กชนั แบบประเมินผลดาน ขนึ้ ไป ถือวา ผาน ตรโี กณมิติ ได ทกั ษะ/กระบวนการ นักเรยี นไดคะแนนระดบั 3) เช่ือมโยงความรูตางๆ การสงั เกต แบบประเมนิ ผลดาน คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน ของคณิตศาสตรไ ด ทกั ษะ/กระบวนการ ขึ้นไป ถือวาผา น 4) ส่อื สาร สอ่ื การสังเกต นักเรยี นไดคะแนนระดับ คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ความหมายทาง ขึ้นไป ถือวาผาน คณิตศาสตร และ นำเสนอขอมลู ดานคณุ ลักษณะอนั พงึ ประสงค (A) 1) ทำงานอยา งเปน การสังเกต แบบประเมนิ นกั เรยี นไดคะแนนระดับ คุณลกั ษณะอันพงึ คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ขึ้นไป ถือวาผาน 2) มรี ะเบียบวินัย การสังเกต แบบประเมนิ นักเรียนไดคะแนนระดับ คณุ ลักษณะอันพงึ คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน 3) มคี วามรับผดิ ชอบ การสังเกต ประสงค ขึน้ ไป ถือวา ผาน แบบประเมนิ นกั เรียนไดคะแนนระดบั คุณลกั ษณะอนั พงึ คุณภาพตั้งแต 2 คะแนน ประสงค ข้ึนไป ถือวา ผาน 9. กิจกรรมการเรยี นรู ขั้นนำ 1) ครูสนทนาทักทายนักเรยี น แลวทบทวนความรเู รอ่ื ง เอกลักษณของฟงกช นั ตรีโกณมติ ิ ดังนี้ ตัวอยางท่ี 48 จงพสิ จู นวา 1 sinx = tan x + cosx 2

( () )วธิ ที ำsinxsin2 x 1 + cosx 2 = x 1 + cos2 2 = 1 +2s2inco2xsc2o2xs x 1 2 - = 2s2inco2xsc2o2xs x 2 = csoins2x2x x = tan 2 ขน้ั สอน 1) ครใู หนกั เรยี นแบงกลุม ชว ยกนั ทำแบบฝกหัดท่ี 10 เรอ่ื ง เอกลักษณข องฟงกชันตรโี กณมติ ิ ขอ ที่ 13 - 16 และนำเสนอหนาชัน้ เรียน 2) ในระหวางทนี่ ักเรยี นชวยกนั ทำแบบฝก หัด ครจู ะคอยใหค ำแนะนำและเปด โอกาสใหน ักเรยี นได ถามขอสงสัย เพ่ือครูจะสามารถตรวจสอบความเขา ใจของนกั เรียนในระหวางเรยี นได ข้ันสรุป 1) นกั เรียนและครรู ว มกนั สรปุ ความรู เร่อื ง เอกลกั ษณข องฟงกชันตรีโกณมิติ ท่ีไดจ ากการเรยี น และครเู ปดโอกาสใหนักเรียนซกั ถามปญ หาหรอื ขอ สงสยั ตา งๆ 2) ครูใหนกั เรียนแบงกลมุ ทำแบบฝกหดั ท่ี 10 ขอที่ 13 - 16 หากนักเรยี นทำไมเ สร็จในช่วั โมง จะให นักเรยี นนำกลับไปทำเปนการบา น แลวครแู ละนกั เรียนจะรวมกันเฉลยในชว งโมงถดั ไป 3) ครูแนะนำใหนักเรยี นคน ควา หาโจทยเพิม่ เติมจากแหลง เรียนรตู างๆ 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลงเรยี นรู 1) หนงั สอื เรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เรื่อง ฟงกช นั ตรโี กณมิติ

แผนการจัดกจิ กรรมการเรียนรู กลุมสาระการเรยี นรคู ณิตศาสตร คณติ ศาสตรเ พ่ิมเตมิ 3 ชวงชนั้ ที่ 3 มธั ยมศึกษาปที่ 5 รหสั วชิ า ค 32201 ภาคเรยี นท่ี 1 ปการศึกษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนวยการเรียนรูที่ 1 เรือ่ ง ฟง กชนั ตรีโกณมติ ิ โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร ช่อื ครูผสู อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจัดการเรียนรูที่ 33 เรอ่ื ง เอกลักษณของฟงกชนั ตรโี กณมิติ 1. ผลการเรียนร/ู มาตรฐานการเรยี นรู 1) เขา ใจฟง กชันตรีโกณมติ ิและนำไปใชใ นการแกป ญหา 2. สาระสำคญั เอกลักษณฟงกช นั ตรโี กณมติ ิท่สี ำคัญ 1) เอกลักษณพื้นฐาน (basic identities) sinθ = 1 , cosecθ ≠ 0 cosθ = cosecθ , secθ ≠ 0 tanθ = 1 , cosθ ≠ 0 หรือ cotθ ≠ 0 sin(-θ) = secθ 1 cotθ -sinθ cos(-θ) = cosθ tan(-θ) = -tanθ 2) เอกลกั ษณแบบพีทาโกรสั (Pythagorean identities) sin2θ + cos2θ = 1 1 + cot2θ = cosec2θ 1 + tan2θ = sec2θ 3) เอกลักษณแบบฟงกช ันรว ม sin π - θ  = cosθ cos π - θ  = sinθ = cotθ 2 2 tan π - θ  2

4) เอกลกั ษณแบบผลบวกและผลตา ง sinAcosB + cosAsinB sin(A + B) = sinAcosB - cosAsinB sin(A - B) = cosAcosB - sinAsinB cos(A + B) = cosAcosB + sinAsinB cos(A - B) = tanA + tanB 1 - tanAtanB tan(A + B) = tanA - tanB 1 + tanAtanB tan(A - B) = 5) เอกลกั ษณแบบจำนวนทวีคณู sin2A = 2sinAcosA cos2A = cos2A - sin2A tan2A = 2tanA 1 - tan2A 1 - cos2A sin2A = 2 cos2A = 1 + cos2A 2 6) เอกลกั ษณแ บบครงึ่ มมุ sin A = 1 - cosA 2 ±2 1 + cosA cos A = ±2 2 A tan 2 = 1 - cosA ± 1 + cosA 7) เอกลกั ษณอืน่ ๆ sinA + sinB = 2sin A + B cos A - B 2 2 A + B A - B sinA - sinB = 2cos 2 sin 2 cosA + cosB = 2cos A + B cos A - B 2 2 A + B A - B cosA - cosB = -2sin 2 sin 2

3. ผลการการเรยี นรูท่ีคาดหวัง 1) ดานความรู (K) : นักเรียนสามารถ - เขาใจฟงกช ันตรีโกณมติ ิและนำไปใชใ นการแกปญหา 2) ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรียนสามารถ - แกโจทยปญหาเรื่อง เอกลักษณของฟงกช ันตรีโกณมิติ ได - ใชเ หตุผลแกป ญหาเอกลกั ษณของฟงกชันตรีโกณมติ ิ ได - เชอื่ มโยงความรตู า งๆ ของคณิตศาสตรได - สื่อสาร สอ่ื ความหมายทางคณติ ศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดานคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค (A) : นักเรยี น - ทำงานเปนระบบ รอบคอบ - มีระเบยี บวนิ ยั - มีความรับผิดชอบ 4. ดา นคณุ ลักษณะของผเู รียนตามหลักสตู รมาตรฐานสากล 1) เปนเลิศวชิ าการ 2) ส่อื สองภาษา 3) ลำ้ หนาทางความคิด 4) ผลิตงานอยางสรา งสรรค 5. บูรณาการตามหลักของปรชั ญาเศรษฐกจิ พอเพียง 1) หลักความมีเหตผุ ล ปฏิบตั ิงานโดยใชค วามคิด แกปญหาโดยใชปญญา 2) เงอ่ื นไขความรู 6. สมรรถนะสำคญั ของผเู รียน 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกปญ หา 7. ช้ินงาน / ภาระงาน 1) แบบฝก หดั ที่ 10 เรื่อง เอกลกั ษณข องฟง กช ันตรโี กณมติ ิ ขอท่ี 17 - 20 8. การวดั และประเมินผล ผลการเรยี นรู วิธกี ารวดั ผล เครือ่ งมอื วดั ผล เกณฑการประเมิน ดานความรู (K) พจิ ารณาจากความ แบบฝกหดั ที่ 10 นกั เรียนทำแบบฝกหัด 1. เขา ใจฟงกช นั ถกู ตองของแบบฝกหัด ขอท่ี 17 - 20 ถูกตองรอ ยละ 60 ตรโี กณมิติและนำไปใช ข้ึนไป ถือวา ผา นเกณฑ ในการแกปญ หา ท่ีกำหนด

ผลการเรียนรู วธิ กี ารวัดผล เครื่องมือวดั ผล เกณฑการประเมิน ดา นทักษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมินผลดา น นักเรียนไดคะแนนระดบั 1) แกโ จทยป ญ หาเรื่อง การสงั เกต ทักษะ/กระบวนการ คุณภาพต้ังแต 3 คะแนน เอกลกั ษณของฟงกชนั ขึ้นไป ถือวา ผา น ตรโี กณมิติ ได แบบประเมนิ ผลดา น ทกั ษะ/กระบวนการ นกั เรียนไดคะแนนระดบั 2) ใชเหตผุ ลแกป ญ หา การสงั เกต คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน เอกลักษณของฟง กช ัน แบบประเมินผลดา น ข้นึ ไป ถือวาผาน ตรโี กณมติ ิ ได ทกั ษะ/กระบวนการ นกั เรยี นไดคะแนนระดบั 3) เช่ือมโยงความรูตางๆ การสังเกต แบบประเมนิ ผลดาน คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ของคณติ ศาสตรได ทักษะ/กระบวนการ ข้ึนไป ถือวา ผา น 4) สอื่ สาร สอื่ การสงั เกต นักเรยี นไดคะแนนระดบั คุณภาพตั้งแต 3 คะแนน ความหมายทาง ข้นึ ไป ถือวา ผาน คณติ ศาสตร และ นำเสนอขอมูล ดานคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค (A) 1) ทำงานอยางเปน การสงั เกต แบบประเมิน นักเรียนไดคะแนนระดบั คณุ ลักษณะอันพึง คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ขึ้นไป ถือวาผาน 2) มีระเบียบวินยั การสงั เกต แบบประเมิน นักเรยี นไดคะแนนระดับ คุณลกั ษณะอันพงึ คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน 3) มีความรับผดิ ชอบ การสงั เกต ประสงค ขนึ้ ไป ถือวาผาน แบบประเมิน นักเรยี นไดคะแนนระดับ คุณลกั ษณะอนั พงึ คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ประสงค ขึ้นไป ถือวาผาน 9. กิจกรรมการเรยี นรู ข้ันนำ 1) ครสู นทนาทกั ทายนักเรยี น แลวทบทวนความรเู รื่อง เอกลักษณของฟง กชันตรีโกณมติ ิ ดังน้ี

ตัวอยา งที่ 49 จงพิสูจนวา sin2θ + sinθ = tanθ วิธีทำ sin2θ + cosθ + 1 sin2θ + sinθ 2sinθcosθ + sinθ sin2θ + cosθ + 1 = (2cos2θ - 1) + cosθ + 1 = sinθ(2cosθ + 1) 2cos2θ + cosθ sinθ(2cosθ + 1) = cosθ(2cosθ + 1) = tanθ ข้นั สอน 1) ครใู หนกั เรยี นแบงกลุมชว ยกันทำแบบฝกหัดท่ี 10 เรื่อง เอกลกั ษณข องฟงกช ันตรโี กณมติ ิ ขอที่ 17 - 20 และนำเสนอหนา ชน้ั เรียน 2) ในระหวา งท่นี ักเรียนชว ยกันทำแบบฝก หัด ครจู ะคอยใหคำแนะนำและเปด โอกาสใหน กั เรียนได ถามขอสงสัย เพื่อครจู ะสามารถตรวจสอบความเขาใจของนกั เรยี นในระหวางเรียนได ข้นั สรปุ 1) นักเรยี นและครูรวมกนั สรปุ ความรู เรอื่ ง เอกลกั ษณของฟงกชันตรีโกณมติ ิ ที่ไดจ ากการเรียน และครเู ปดโอกาสใหนักเรยี นซักถามปญหาหรือขอสงสัยตางๆ 2) ครูใหน กั เรยี นแบงกลุม ทำแบบฝกหดั ที่ 10 ขอท่ี 17 - 20 หากนกั เรยี นทำไมเสรจ็ ในชัว่ โมง จะให นกั เรยี นนำกลบั ไปทำเปนการบาน แลวครูและนักเรียนจะรวมกันเฉลยในชวงโมงถดั ไป 3) ครแู นะนำใหน ักเรยี นคน ควา หาโจทยเพิม่ เติมจากแหลง เรียนรตู างๆ 10. สื่อ อุปกรณ และแหลง เรยี นรู 1) หนงั สือเรยี นรายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรยี น เรื่อง ฟง กช ันตรีโกณมิติ

แผนการจัดกิจกรรมการเรยี นรู กลุมสาระการเรียนรคู ณติ ศาสตร คณิตศาสตรเ พ่มิ เตมิ 3 ชวงชนั้ ท่ี 3 มัธยมศกึ ษาปที่ 5 รหสั วิชา ค 32201 ภาคเรยี นที่ 1 ปก ารศึกษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนวยการเรยี นรูท่ี 1 เรือ่ ง ฟง กชันตรีโกณมติ ิ โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร ช่อื ครผู สู อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจดั การเรยี นรูท่ี 34 เรื่อง สมการฟง กช ันตรีโกณมติ ิ 1. ผลการเรียนร/ู มาตรฐานการเรยี นรู 1) เขาใจฟง กชนั ตรีโกณมติ แิ ละนำไปใชในการแกป ญหา 2. สาระสำคัญ สมการทม่ี ีฟง กชนั ตรีโกณมิตปิ รากฏอยู เรยี กวา สมการตรีโกณมติ ิ สมการตรีโกณมิตบิ างสมการ เชน cotA = 1 จะเปนจริงสำหรบั ทุกคาของ A ที่อยูในโดเมนของฟงกชันทั้งสองสมการเชน นี้มีชื่อเรียก tanA เฉพาะวา เอกลักษณ (identities) สมการตรโี กณมติ บิ างสมการเชน sinA = cosA จะเปนจริงสำหรบั บางคา ของ A ท่ีอยใู นโดเมนของฟงกชันทัง้ สอง 3. ผลการการเรียนรทู ี่คาดหวงั 1) ดา นความรู (K) : นักเรียนสามารถ - เขาใจฟงกชันตรีโกณมติ แิ ละนำไปใชในการแกป ญหา 2) ดานทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรียนสามารถ - แกโจทยปญหาเร่ือง สมการฟงกชันตรโี กณมติ ิ ได - ใชเหตผุ ลแกปญหาสมการฟงกชันตรโี กณมติ ิ ได - เชอ่ื มโยงความรูตางๆ ของคณิตศาสตรได - ส่อื สาร สือ่ ความหมายทางคณิตศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดา นคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค (A) : นักเรยี น - ทำงานเปน ระบบ รอบคอบ - มรี ะเบียบวินัย - มคี วามรบั ผิดชอบ 4. ดา นคณุ ลักษณะของผเู รียนตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปนเลศิ วชิ าการ 2) ส่อื สองภาษา 3) ล้ำหนา ทางความคดิ 4) ผลติ งานอยา งสรา งสรรค

5. บูรณาการตามหลกั ของปรชั ญาเศรษฐกจิ พอเพียง 1) หลักความมีเหตุผล ปฏบิ ตั ิงานโดยใชค วามคดิ แกป ญหาโดยใชปญ ญา 2) เง่ือนไขความรู 6. สมรรถนะสำคญั ของผูเรียน 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกป ญ หา 7. ชน้ิ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝกหดั ท่ี 11 เร่ือง ตวั ผกผนั ของฟงกช ันตรีโกณมิติ ขอท่ี 1 - 2 8. การวดั และประเมนิ ผล ผลการเรยี นรู วธิ กี ารวัดผล เคร่ืองมอื วัดผล เกณฑการประเมนิ ดานความรู (K) พจิ ารณาจากความ แบบฝก หัดที่ 11 นกั เรียนทำแบบฝกหัด 1. เขาใจฟงกชนั ถูกตองของแบบฝกหดั ขอ ที่ 1 - 2 ถกู ตองรอ ยละ 60 ตรีโกณมิติและนำไปใช ข้ึนไป ถือวาผานเกณฑ ในการแกปญ หา ทก่ี ำหนด ดา นทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลดาน นักเรียนไดคะแนนระดับ 1) แกโ จทยป ญ หาเร่ือง การสงั เกต ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน สมการฟง กชัน ข้นึ ไป ถือวาผาน ตรโี กณมติ ิ ได แบบประเมินผลดา น นกั เรยี นไดคะแนนระดบั ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน 2) ใชเหตผุ ลแกป ญหา การสังเกต ขึ้นไป ถือวาผา น สมการฟง กช นั แบบประเมนิ ผลดาน นกั เรยี นไดคะแนนระดบั ตรีโกณมิติ ได ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ขึ้นไป ถือวา ผาน 3) เชื่อมโยงความรูตางๆ การสงั เกต นักเรยี นไดคะแนนระดบั ของคณิตศาสตรไ ด คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ข้ึนไป ถือวาผาน 4) สือ่ สาร สอื่ การสงั เกต แบบประเมินผลดา น ความหมายทาง ทกั ษะ/กระบวนการ คณติ ศาสตร และ นำเสนอขอมูล

ผลการเรยี นรู วิธกี ารวดั ผล เคร่อื งมือวัดผล เกณฑการประเมิน ดา นคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค (A) แบบประเมิน นักเรยี นไดคะแนนระดับ 1) ทำงานอยางเปน การสังเกต คุณลกั ษณะอันพึง คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ข้ึนไป ถือวาผา น 2) มรี ะเบียบวินัย การสังเกต แบบประเมนิ นกั เรียนไดคะแนนระดับ คณุ ลกั ษณะอนั พึง คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน 3) มีความรับผิดชอบ การสังเกต ประสงค ข้ึนไป ถือวาผาน แบบประเมิน นกั เรียนไดคะแนนระดบั คุณลกั ษณะอันพงึ คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ประสงค ข้ึนไป ถือวา ผาน 9. กจิ กรรมการเรยี นรู ขัน้ นำ 1) ครสู นทนาทกั ทายนกั เรยี น แลวทบทวนความรเู รื่อง ฟง กช ันตรโี กณมิติ ดงั นี้ ฟงกช ัน โดเมน คาบ แอมพลิจูด เรนจ y = Asin(Bx + C)  2π A [-1, 1] B A [-1, 1] y = Acos(Bx + C)  2π ไมม ี B ไมม ี  { }y = Atan(Bx + C) ไมมี (-∞, -1]∪[1, ∞) - (2n + 1)π π ไมมี (-∞, -1]∪[1, ∞) 2 B  y = Acosec(Bx + C)  - {nπ} 2π B { }y = Asec(Bx + C) 2π - (2n + 1)π B 2 π y = Acot(Bx + C)  - {nπ} B

ขั้นสอน 1) ครบู รรยายเกีย่ วกบั สมการฟงกช นั ตรีโกณมติ ิ พรอมยกตัวอยาง ดงั นี้ การแกสมการตรีโกณมิติทำไดในทำนองเดียวกันกับการแกสมการทั่วไป เชน สมการเอกซโพเนน - เชยี ลหรอื สมการลอการิทึม โดยอาศัยความรเู ก่ียวกบั ฟงกชันตรีโกณมติ ิ เพ่ือหาคำตอบของสมการ เนื่องจากฟงกชันตรีโกณมิติไมเปนฟงกชัน 1 - 1 คาของฟงกชันตรีโกณมิติของจำนวนจริงหรือมุม ใดๆ อาจจะซำ้ กันได ดงั นั้น ในการหาคำตอบของสมการ ถาโจทยไมก ำหนดใหคำตอบอยูในชวงใดชว งหนึ่งแลว คำตอบควรจะอยูในรปู ของคา ท่ัวไป ตัวอยางท่ี 50 จงหาคำตอบของสมการ cosx = 1 , 0 < x < π วธิ ีทำ 2 2 1 ตัวอยา งท่ี 51 2 วธิ ีทำ เน่ืองจากคา ของ x ในชวง  0, π  ที่ทำให cosx = คือ π เพยี งคาเดยี ว ตัวอยา งท่ี 52 { }ดงั นนั้ เซตคำตอบ คือ 2 3 วธิ ีทำ π 3 จงแกส มการ sinθ = 1 2 1 5π คา ของ θ ในชวง [0, 2π] ทท่ี ำให sinθ = 2 คือ π และ 6 1 6 2 เนื่องจาก sin 2nπ + π  = sin π = เม่ือ n∈ 6 6 เนอื่ งจาก sin 2nπ + 5π  = sin 5π = 1 เมอ่ื n∈ 6 6 2 5π ดังน้นั คา ท่วั ไปของ θ ท่ที ำใหส มการเปน จรงิ คือ 2nπ + π และ 2nπ + 6 เม่อื n∈ 6 จงแกส มการ tanA = 1 คาของ A ในชวง [0, 2π] ท่ีทำให tanA =1 คอื π และ 5π 4 4 5π 4 ดังน้นั คาท่วั ไปของ A ท่ีทำใหส มการเปน จริง คือ 2nπ + π และ 2nπ + เมื่อ n∈ 4 { }น่ันคือจะสามารถเขียนเซตคำตอบใหมไดค ือ คือ x nπ + π , n∈ 4

ข้ันสรปุ 1) นักเรยี นและครูรว มกนั สรุปความรู เร่ือง สมการฟง กชันตรีโกณมิติ ที่ไดจ ากการเรยี นและครเู ปด โอกาสใหน ักเรียนซกั ถามปญ หาหรอื ขอสงสยั ตางๆ 2) ครใู หนักเรียนทำแบบฝกหดั ที่ 11 ขอ ท่ี 1 - 2 หากนักเรยี นทำไมเสร็จในชว่ั โมง จะใหน ักเรียนนำ กลับไปทำเปนการบา น แลวครแู ละนักเรยี นจะรวมกนั เฉลยในชว งโมงถดั ไป 3) ครแู นะนำใหน ักเรียนคนควา หาโจทยเ พิ่มเตมิ จากแหลงเรียนรตู างๆ 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลงเรยี นรู 1) หนังสอื เรยี นรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง ฟงกช ันตรโี กณมิติ

แผนการจัดกิจกรรมการเรยี นรู กลุมสาระการเรียนรคู ณติ ศาสตร คณิตศาสตรเ พ่มิ เตมิ 3 ชวงชนั้ ท่ี 3 มัธยมศกึ ษาปที่ 5 รหสั วิชา ค 32201 ภาคเรยี นที่ 1 ปก ารศึกษา 2563 เวลา 1 ชั่วโมง หนวยการเรยี นรูท่ี 1 เรือ่ ง ฟง กชันตรีโกณมติ ิ โรงเรียนมัธยมวัดเบญจมบพิตร ช่อื ครผู สู อน นายคเณศ สมตระกลู แผนการจดั การเรยี นรูท่ี 35 เรื่อง สมการฟง กช ันตรีโกณมติ ิ 1. ผลการเรียนร/ู มาตรฐานการเรยี นรู 1) เขาใจฟง กชนั ตรีโกณมติ แิ ละนำไปใชในการแกป ญหา 2. สาระสำคัญ สมการทม่ี ีฟง กชนั ตรีโกณมิตปิ รากฏอยู เรยี กวา สมการตรีโกณมติ ิ สมการตรีโกณมิตบิ างสมการ เชน cotA = 1 จะเปนจริงสำหรบั ทุกคาของ A ที่อยูในโดเมนของฟงกชันทั้งสองสมการเชน นี้มีชื่อเรียก tanA เฉพาะวา เอกลักษณ (identities) สมการตรโี กณมติ บิ างสมการเชน sinA = cosA จะเปนจริงสำหรบั บางคา ของ A ท่ีอยใู นโดเมนของฟงกชันทัง้ สอง 3. ผลการการเรียนรทู ี่คาดหวงั 1) ดา นความรู (K) : นักเรียนสามารถ - เขาใจฟงกชันตรีโกณมติ แิ ละนำไปใชในการแกป ญหา 2) ดานทกั ษะ / กระบวนการ (P) : นกั เรียนสามารถ - แกโจทยปญหาเร่ือง สมการฟงกชันตรโี กณมติ ิ ได - ใชเหตผุ ลแกปญหาสมการฟงกชันตรโี กณมติ ิ ได - เชอ่ื มโยงความรูตางๆ ของคณิตศาสตรได - ส่อื สาร สือ่ ความหมายทางคณิตศาสตร และนำเสนอขอมูล 3) ดา นคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค (A) : นักเรยี น - ทำงานเปน ระบบ รอบคอบ - มรี ะเบียบวินัย - มคี วามรบั ผิดชอบ 4. ดา นคณุ ลักษณะของผเู รียนตามหลักสูตรมาตรฐานสากล 1) เปนเลศิ วชิ าการ 2) ส่อื สองภาษา 3) ล้ำหนา ทางความคดิ 4) ผลติ งานอยา งสรา งสรรค

5. บูรณาการตามหลกั ของปรชั ญาเศรษฐกจิ พอเพียง 1) หลักความมีเหตุผล ปฏบิ ตั ิงานโดยใชค วามคดิ แกป ญหาโดยใชปญ ญา 2) เง่ือนไขความรู 6. สมรรถนะสำคญั ของผูเรียน 1) ความสามารถในการคิด 2) ความสามารถในการแกป ญ หา 7. ชน้ิ งาน / ภาระงาน 1) แบบฝกหดั ท่ี 11 เร่ือง ตวั ผกผนั ของฟงกช ันตรีโกณมิติ ขอท่ี 3 - 4 8. การวดั และประเมนิ ผล ผลการเรยี นรู วธิ กี ารวัดผล เคร่ืองมอื วัดผล เกณฑการประเมนิ ดานความรู (K) พจิ ารณาจากความ แบบฝก หัดที่ 11 นกั เรียนทำแบบฝกหัด 1. เขาใจฟงกชนั ถูกตองของแบบฝกหดั ขอ ที่ 3 - 4 ถกู ตองรอ ยละ 60 ตรีโกณมิตแิ ละนำไปใช ข้ึนไป ถือวาผานเกณฑ ในการแกปญ หา ทก่ี ำหนด ดา นทกั ษะ / กระบวนการ (P) แบบประเมนิ ผลดาน นักเรียนไดคะแนนระดบั 1) แกโ จทยป ญ หาเร่ือง การสงั เกต ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน สมการฟง กชนั ข้นึ ไป ถือวาผาน ตรโี กณมติ ิ ได แบบประเมินผลดา น นกั เรยี นไดคะแนนระดับ ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน 2) ใชเหตผุ ลแกป ญหา การสังเกต ขึ้นไป ถือวาผา น สมการฟง กช นั แบบประเมนิ ผลดาน นกั เรยี นไดคะแนนระดบั ตรีโกณมิติ ได ทกั ษะ/กระบวนการ คณุ ภาพต้ังแต 3 คะแนน ขึ้นไป ถือวา ผาน 3) เชื่อมโยงความรูตางๆ การสงั เกต นักเรยี นไดคะแนนระดับ ของคณิตศาสตรไ ด คณุ ภาพตั้งแต 3 คะแนน ข้ึนไป ถือวาผาน 4) สื่อสาร ส่อื การสงั เกต แบบประเมินผลดา น ความหมายทาง ทกั ษะ/กระบวนการ คณติ ศาสตร และ นำเสนอขอมลู

ผลการเรยี นรู วิธกี ารวดั ผล เคร่อื งมือวัดผล เกณฑการประเมิน ดา นคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค (A) แบบประเมิน นักเรยี นไดคะแนนระดับ 1) ทำงานอยางเปน การสังเกต คุณลกั ษณะอันพึง คณุ ภาพตั้งแต 2 คะแนน ระบบรอบคอบ ประสงค ข้ึนไป ถือวาผา น 2) มรี ะเบียบวินัย การสังเกต แบบประเมนิ นกั เรียนไดคะแนนระดับ คณุ ลกั ษณะอนั พึง คณุ ภาพต้ังแต 2 คะแนน 3) มีความรับผิดชอบ การสังเกต ประสงค ข้ึนไป ถือวาผาน แบบประเมิน นกั เรียนไดคะแนนระดบั คุณลกั ษณะอันพงึ คุณภาพต้ังแต 2 คะแนน ประสงค ข้ึนไป ถือวา ผาน 9. กจิ กรรมการเรยี นรู ขัน้ นำ 1) ครสู นทนาทกั ทายนกั เรยี น แลวทบทวนความรเู รื่อง ฟง กช ันตรโี กณมิติ ดงั นี้ ฟงกช ัน โดเมน คาบ แอมพลิจูด เรนจ y = Asin(Bx + C)  2π A [-1, 1] B A [-1, 1] y = Acos(Bx + C)  2π ไมม ี B ไมม ี  { }y = Atan(Bx + C) ไมมี (-∞, -1]∪[1, ∞) - (2n + 1)π π ไมมี (-∞, -1]∪[1, ∞) 2 B  y = Acosec(Bx + C)  - {nπ} 2π B { }y = Asec(Bx + C) 2π - (2n + 1)π B 2 π y = Acot(Bx + C)  - {nπ} B

ขัน้ สอน 1) ครูบรรยายเกีย่ วกบั สมการฟงกช ันตรีโกณมติ ิ พรอมยกตวั อยาง ดงั น้ี ตวั อยา งท่ี 53 จงแกส มการ sinA + cosA = 1 วิธที ำ sinA + cosA = 1 (sinA + cosA)2 = 1 sin2A + 2sinAcosA + cos2A = 1 2sinAcosA + 1 = 1 2sinAcosA = 0 sin2A = 0 พจิ ารณาจะไดวา 2A = 0 หรือ 2A = π หรอื 2A = 2π หรอื 2A = 3π หรือ 2A = 4π 3π น่นั คอื A = 0 หรอื A= π หรือ A=π หรอื A= 2 หรือ A = 2π เม่ือ A ∈[0, 2π] 2 ตรวจคำตอบ แทน A = 0 ในสมการ sinA + cosA = 1 sin0 + cos0 = 1 1 = 1 เปนจรงิ แทน A = π ในสมการ sinA + cosA =1 π 2 π sin 2 + cos 2 = 1 1 = 1 เปน จริง แทน A = π ในสมการ sinA + cosA = 1 sin π + cos π = 1 3π -1 ≠ 1 เปน เท็จ 2 แทน A= ในสมการ sinA + cosA = 1 sin 3π + cos 3π = 1 2 2 -1 = 1 เปนเท็จ แทน A = 2π ในสมการ sinA + cosA = 1 sin2π + cos2π = 1 1 = 1 เปน จรงิ จะไดคำตอบของสมการ sinA + cosA = 1 ในชวง [0, 2π] คือ 0, π และ 2π π 2 ดงั น้ันคำตอบทัว่ ไปของสมการ คอื 2nπ และ 2nπ + 2 เม่ือ n เปน จำนวนเต็ม

ตัวอยางท่ี 54 จงแกสมการ 2sin2θ + 3cosθ - 3 = 0 เม่อื 0o ≤ θ ≤ 360o วธิ ที ำ 2sin2θ + 3cosθ - 3 = 0 2(1 - cos2θ) + 3cosθ - 3 = 0 2 - 2cos2θ + 3cosθ - 3 =0 2cos2θ - 3cosθ + 1 =0 ให A = cosθ จะได 2A2 - 3A + 1 =0 (2A - 1)(A - 1) =0 A = 1 , 1 2 1 ดังนน้ั cosθ = 2 หรือ cosθ = 1 θ= 0o และ 360o 60o และ 300o θ= นน่ั คอื คาของ θ ในชว ง [0o , 360o ] ทท่ี ำใหส มการเปน จริง คือ 0o, 60o, 300o และ 360o ตัวอยางที่ 55 จงแกสมการ cos2x = cosx วธิ ที ำ cos2x = cosx 2cos2x - 1 = cosx 2cos2x - cosx - 1 = 0 (2cosx + 1)(cosx - 1) = 0 cosx = - 1 , 1 2 2π 2π 1 เนอื่ งจาก cos 2nπ + 3  = cos 3 = - 2 เม่อื n∈ แลว cos 2nπ + 4π  = cos 4π = - 1 เมือ่ n∈ 3 3 2 cos0 = cos(2nπ + 0) = 1 เมอื่ n∈ cos2π = cos(2nπ + 2π) = cos(2(n+1)π + 0) = 1 เมอ่ื n∈ นั่นคอื x มีคา เทา กับ  2nπ + 2π  ,  2nπ + 4π  และ 2nπ 3 3

ขน้ั สรุป 1) นกั เรียนและครูรวมกันสรปุ ความรู เรือ่ ง สมการฟงกช นั ตรีโกณมิติ และครเู ปด โอกาสใหนักเรียน ซักถามปญหาหรือขอสงสัยตางๆ 2) ครูใหน ักเรียนทำแบบฝก หดั ที่ 11 ขอ ที่ 3 - 4 หากนักเรียนทำไมเสร็จในช่ัวโมง จะใหนักเรียน นำกลับไปทำเปน การบาน แลวครูและนักเรียนจะรว มกันเฉลยในชวงโมงถดั ไป 3) ครูแนะนำใหนกั เรียนคนควา หาโจทยเ พิ่มเติมจากแหลงเรยี นรูตางๆ 10. ส่ือ อุปกรณ และแหลง เรียนรู 1) หนงั สอื เรยี นรายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร เลม 1 ม.5 2) เอกสารประกอบการเรียน เร่ือง ฟงกช ันตรโี กณมิติ