เอกสารประกอบการสอนวิชาสถิติเพื่อการวิเคราะห์ข้อมูล มหาวิทยาลัยราชภัฏลำปาง 2561

ห น้ า | 98 ภาพ 6.2 H A : μ1  μ 2  0 ส่วนการทดสอบสมมตุ ฐิ านทีข่ อบเขตปฏิเสธอยู่ปลายโค้งสถิตทิ ้ังสองด้านเรียกว่า การ ทดสอบสองทาง (Two-sided Test หรอื Two-tailed Test) เม่ือ HA : μ1  μ2  0 ขอบเขตปฏิเสธ H0 จะอยู่ปลายโค้งทั้งสองด้าน ดังภาพ 6.3 (ในส่วนแรเงา) ภาพ 6.3 H A : μ1  μ 2  0 สาหรับ การทดสอบทางเดียวอาจเรียกได้ว่า การทดสอบแบบมีทิศทาง (Directional Test) และ การทดสอบสองทาง อาจเรียกได้ว่าการทดสอบแบบไม่มีทิศทาง (Non-directional Test) ในการทดสอบสมมตุ ฐิ านโดยทัว่ ไป หากผู้วจิ ัยสนใจเพียงว่าค่าพารามิเตอรแ์ ตกต่างกัน หรือไม่ หรือตัวแปรมีความสัมพนั ธ์กนั หรือไม่เท่าน้ัน จะใช้การทดสอบแบบไม่มีทิศทาง แต่ถ้า การเก็บข้อมูลอยู่ภายใต้สภาพที่คงทีแ่ น่นอน และผู้วิจัยมองเห็นแนวโน้มว่าพารามิเตอร์ค่าหนึ่ง จะมากกว่าหรอื น้อยกว่าอีกค่าหน่ึง เชน่ คะแนนการทดสอบหลงั เรียน (Post-test) จะสูงกว่า คะแนนการทดสอบก่อนเรียน (Pre-test) ในกรณีเช่นน้จี ะใช้การทดสอบแบบมีทิศทาง ขอบเขตวิกฤติ (Critical Region หรอื CR) ขอบเขตวิกฤติ เป็นขอบเขตที่ใช่ช่วยในการตัดสินใจที่จะปฏิเสธ H0 หรือไม่ปฏิเสธ H0 สิ่งที่ใช้ตัดสินคือค่าวิกฤติ (Critical Value) ซึ่งได้จากตารางค่าสถิติที่เลือกใช้ เช่น ถ้า

ห น้ า | 99 เลือกใช้การทดสอบซีที่ระดับความมีนัยสาคัญ 1 % ขอบเขตวิกฤติและค่าวิกฤติ แสดงในรูป 6.4 , 6.5 และ 6.6 ตามลาดบั Z.01 = +2.33 +2.33 ภาพ 6.4 ขอบเขตวิกฤติ ทรี่ ะดบั ความมีนยั สาคัญ .01 HA : μ1  μ2  0 โดยที่ ค่า Z = +2.33 คือ ค่าวิกฤติ และถ้าค่า z ที่คานวณได้มีค่ามากกว่า 2.33 แสดง ว่าปฏิเสธ H0 Z.01 = -2.33 -2.33 ภาพ 6.5 ขอบเขตวิกฤติ ทรี่ ะดับความมีนยั สาคัญ .01 HA : μ1  μ2  0 โดยที่ ค่า Z = -2.33 คือ ค่าวิกฤติ และถ้าค่า z ที่คานวณได้มคี ่าน้อยกว่า -2.33 แสดงวา่ ปฏิเสธ H0 -2.57 +2.57 ภาพ 6.6 ขอบเขตวิกฤติ ทีร่ ะดับความมีนยั สาคญั .01 HA : μ1  μ2  0 โดยที่ ค่า Z = -2.57 และ +2.57 คือ ค่าวิกฤติ และถ้าคา่ z ที่คานวณได้มคี ่ามากกว่า 2.57 หรอื น้อยกว่า -2.57 แสดงวา่ ปฏิเสธ H0 ความผิดพลาด 2 ประเภท (Two Types of Error)

ห น้ า | 100 ในการทดสอบสมมุติฐาน ไม่ว่าจะปฏิเสธ H0 หรือไม่ปฏิเสธ H0 ก็ตามมักจะเกิด โอกาสผิดพลาดได้ 2 อย่าง คือ ความผิดพลาดจากการปฏิเสธสมมุติฐานที่เป็นจริง (True Hypothesis) และความผิดพลาดจากการไม่ปฏิเสธสมมตุ ฐิ านทีเ่ ปน็ เทจ็ (False Hypothesis) สมมตุ ฐิ าน H0 จรงิ เทจ็ ไม่ปฏิเสธ ถกู ต้อง Type II Error ปฏิเสธ Type I Error ถกู ต้อง ไม่ปฏิเสธ สมมุตฐิ าน H0 ปฏิเสธ จรงิ เทจ็ 1- α β α 1-β ภาพ 6.7 ความผดิ พลาดจากการปฏิเสธสมมตุ ฐิ านที่เปน็ จริง (True Hypothesis) และความ ผดิ พลาดจากการไม่ปฏิเสธสมมุตฐิ านที่เปน็ เทจ็ (False Hypothesis) โดยที่ α คือ โอกาสปฏิเสธสมมตุ ฐิ านทีเ่ ปน็ จริง 1- α คือ โอกาสไม่ปฏิเสธสมมตุ ฐิ านที่เปน็ จริง คือ โอกาสไม่ปฏิเสธสมมตุ ฐิ านที่เป็นเทจ็ β คือ โอกาสปฏิเสธสมมุติฐานทีเ่ ปน็ เทจ็ 1- β ค่า α จะใช้กับสมมุติฐานที่เป็นจริง ส่วน β จะใช้กับสมมุติฐานที่เป็นเท็จ ทั้ง α และ β เป็นสิง่ ทีผ่ ู้วจิ ยั ไม่ต้องการแต่หลีกเลี่ยงไม่ได้ ดงั นน้ั จงึ ตอ้ งการใหค้ ่า α และ β น้อยทีส่ ุดเท่าที่ จะเป็นได้ ค่า α , β และ n เป็นค่าที่มีความสัมพันธ์กัน ถ้าต้องการให้ค่าน้อย มีวิธีเดียวคือ เพิ่มค่า n นน่ั คือใช้กลุ่มตัวอย่างที่มขี นาดใหญ่ข้นึ ส่วนค่า α และ β จะเป็นปฏิภาคผกผันต่อกันคือ เม่ือค่า α มาก ค่า β จะน้อย แต่ ถ้าให้ α มีคา่ น้อย β จะมีคา่ มาก 4. อา้ นาจการทดสอบ (Power of Test)

ห น้ า | 101 อานาจในการทดสอบกค็ ือโอกาสทีจ่ ะปฏิเสธสมมุตฐิ านทีเ่ ปน็ เทจ็ ซึง่ มีคา่ เท่ากับ 1-β ในการทดสอบสมมุติฐานต้องการให้ค่า 1-β มีค่ามากๆ เพราะแสดงให้เห็นว่าการทดสอบครั้ง นั้น มีอานาจการทดสอบสูง และมีความผิดพลาดน้อย เพราะค่า β ต่า จากตัวเลขที่แสดง ไว้ข้างต้น คือ µ = 140 ซม. และ µ = 142 ซม. จะได้ β = .0808 ดังน้ัน 1-β = 1-.0808 = .9192 นับได้ว่าการทดสอบสมมตุ ฐิ านดังกล่าวมีอานาจถึงการทดสอบค่อนข้างสงู คอื .9192 ในการทดสอบสมมุติฐานที่จะกล่าวถึงต่อไปในหนังสือนี้ จะไม่นาค่าอานาจการ ทดสอบมาเกี่ยวข้อง เพราะการคานวณค่า β ค่อนข้างยุ่งยาก และสมมุติฐานที่ตั้งขึ้นสาหรับ การทดสอบส่วนใหญ่ก็ได้มาจากการคาดคะเนที่มีหลักการซึ่งน่าจะเป็นสมมุติฐานที่เป็นจริง มากกว่าเท็จการทดสอบสมมตุ ฐิ านจงึ ใชค้ ่าระดบั นัยสาคัญมาเกี่ยวข้องเพียงค่าเดียว 5. สรุป สมมุติฐานการวิจัยเป็นการคาดคะเนคาตอบการวิจัยไว้ล่วงหน้าอย่างมีเหตุผล โดย สมมุติฐานเขียนได้ 2 แบบ ได้แก่ สมมุติฐานทางการวิจัยซึ่งเขียนในรูปแบบความเรียงและ สมมุติฐานทางสถิติซึ่งเขียนในรูปแบบสัญลักษณ์ทางสถิติ สมมุติฐานการวิจัยจะสามารถสรุป ผลการวิจัยได้เม่ือมีการดาเนินการตรวจสอบสมมุติฐานตามขั้นตอนอย่างครบถ้วนได้แก่ 1) กาหนดสมมุติฐาน H0 และ HA 2) กาหนดระดับความมีนัยสาคญั (α) 3) เลือกใช้สถิติทดสอบ ที่เหมาะสมกับสมมุติฐาน และเง่ือนไงที่กาหนดอาจเป็น Z-test, t-test, χ2 -test หรือ F-test 4) หาขอบเขตวิกฤติ (CR) จากตาราง 5) คานวณค่าสถิติจากกลุ่มตัวอย่าง 6) สรุปผลการ ทดสอบ 6. แบบฝึกหดั

ห น้ า | 102 1. ในการศึกษากลุ่มเยาวชนของชุมชนแห่งหนึ่งในปีหนึ่ง ทาการสารวจในกลุ่มตัวอย่าง จานวน 370 คน ผลการสารวจปรากฏดังตาราง สภาพการอยู่ การติดยาเสพติด อาศัย ติดยาเสพติด ไม่ติดยาเสพติด อยู่กับบิดา มารดา 18 165 อยู่กบั ญาตพิ ี่นอ้ ง 27 44 อยู่ตามลาพัง 105 11 รวม 150 220 จงเขียน ลาดบั ข้ันในการทดสอบสมมุติฐาน (Steps in Testing Hypothesis) โดยใช้ระดับ นยั สาคัญ .01 เพือ่ ศกึ ษาความสัมพันธ์ระหว่างสภาพการอยู่อาศยั กับการตดิ ยาเสพติด 2. ในการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างพฤติกรรมของเด็ก กับวิธีการเลี้ยงดูในครอบครัว (3 แบบ) จากกลุ่มตัวอย่างจานวน 60 ราย ได้ผลดังแสดง วิธีการเลีย้ งดู พฤติกรรมเด็ก แบบ 1 แบบ 2 แบบ 3 รวม เกบ็ ตวั 21 แบบกลางๆ 13 (7) 4 (5.25) 4 (8.75) 24 แสดงตัว 15 5 (8) 9 (6) 10 (10) 60 รวม 2 (5) 2 (3.75) 11 (6.25) 20 15 25 จงเขียน ลาดับข้ันในการทดสอบสมมุติฐาน (Steps in Testing Hypothesis) โดยใช้ระดับ นัยสาคัญ .05 7. Link ที่นกั ศกึ ษาจะเข้าไปทา้ การศกึ ษาด้วยตนเอง

ห น้ า | 103 1. https://youtu.be/T-oTdl_kHqY 2. https://youtu.be/UMYkzDLBjLM 3. https://www.youtube.com/watch?v=timC61ppf6Q 8. แหลง่ คน้ คว้าเพิ่มเตมิ กนกทิพย์ พัฒนาพัวพันธ์. (2543). สถิติอ้างอิงเพื่อการวิจัยทางการศึกษา. ภาควิชาการ ประเมินผลและวิจยั ทางการศกึ ษา คณะศึกษาศาสตร์ มหาวิทยาลัยเชียงใหม่. เกียรตสิ ุดา ศรีสขุ . (2552). ระเบียบวิธีวจิ ยั Research Methodology. คณะศึกษาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เชียงใหม.่ สุชาดา กีระนันทน์. (2542). ทฤษฏีและวิธีการส้ารวจตัวอย่าง. ภาควิชาสถิติ คณะพานิชย ศาสตร์และการบญั ชี จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลยั . บทที่ 7 สหสมั พันธ์

ห น้ า | 104 สาระการเรียนรู้ 1. ความหมายสหสัมพนั ธ์ 2. สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบเพียร์สัน(The Pearson Product MomentCorrelation Coefficient หรอื rXY) 3. สั ม ป ร ะ สิ ท ธิ์ ส ห สั ม พั น ธ์แ บบ ส เปี ยร์ แ ม น ( The Spearman’s Rank difference Correlation Coefficient หรอื rs) 4. สั ม ป ร ะ สิ ท ธิ์ ส ห สั ม พั น ธ์ แ บ บ เ ค น ด อ ล ( Kandall’s coefficient of Correlation หรอื W ) 5. สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบพอยท์ไบซีเรียล (The Point-biserial Coefficient of Correlation หรอื rpb ) 6. สมั ประสิทธิ์สหสมั พันธ์แบบฟาย (The phi Coefficient หรอื  ) 7. สมั ประสิทธิส์ หสมั พนั ธ์เตตระคอริค (Tetrachoric Correlation Coefficient หรอื rt) 8. สมั ประสิทธิ์สหสัมพนั ธ์แบบไบซีเรยี ล (Biserial Correlation Coefficient หรอื rbis) 9. สหสมั พนั ธ์แบบบางสว่ น (Partial Correlation Coefficient หรอื rij,k) 10. สหสัมพันธ์แบบคอนติงเจนซีและไควสแควร์ (Contingency Correlation Coefficient and Chi-Square หรอื rc and 2) จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ 1. อธิบายความหมายของสหสัมพนั ธ์ได้อย่างถูกต้อง 2. คานวณหาค่า rXY ได้อย่างถูกต้อง 3. คานวณหาค่า rs ได้อย่างถูกต้อง 4. คานวณหาค่า W ได้อย่างถูกต้อง 5. คานวณหาค่า rpb ได้อย่างถูกต้อง 6. คานวณหาค่า  ได้อย่างถูกต้อง 7. คานวณหาค่า rt ได้อย่างถูกต้อง 8. คานวณหาค่า rbis ได้อย่างถูกต้อง 9. คานวณหาค่า rij,k ได้อย่างถกู ต้อง 10. คานวณหาค่า rc and 2 ได้อย่างถูกต้อง 1. สหสมั พนั ธ์ (Correlation)

ห น้ า | 105 สหสัมพันธ์ (Correlation) คือ ความสัมพันธ์ของข้อมูลต้ังแต่ 2 ชุดขึ้นไป หรือ ความสัมพันธ์ของตัวแปรตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป เช่น ความสัมพันธ์ระหว่างความสูงกับน้าหนัก ความสัมพันธ์ระหว่างผลสัมฤทธิท์ างการเรียนกบั ระดับสติปัญญา ซึ่งความสัมพันธ์ของตัวแปร จะมากน้อยเพียงใดดูจากค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ (The coefficient of correlation) ซึ่งมีสูตร การคานวณแตกต่างกนั ไปตามระดับการวดั ของตวั แปรคู่นั้นๆ ได้แก่ 1. สถิตไิ คสแควร์สาหรับการทดสอบความเป็นอิสระต่อกัน 2. สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบเพียร์สัน( The Pearson Product MomentCorrelation Coefficient หรอื rXY) 3. สมั ประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบสเปียร์แมน (The Spearman’s Rank difference Correlation Coefficient หรอื rs) 4. สั ม ป ร ะ สิ ท ธิ์ ส ห สั ม พั น ธ์ แ บ บ เ ค น ด อ ล ( Kandall’s coefficient of Correlation หรอื W ) 5. สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบพอยท์ไบซีเรียล (The Point-biserial Coefficient of Correlation หรอื rpb ) 6. สัมประสิทธิส์ หสมั พันธ์แบบฟาย (The phi Coefficient หรอื  ) 7. สมั ประสิทธิ์สหสมั พันธ์เตตระคอริค (Tetrachoric Correlation Coefficient หรอื rt) 8. สัมประสิทธิส์ หสมั พนั ธ์แบบไบซีเรยี ล (Biserial Correlation Coefficient หรอื rbis) 9. สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบบางสว่ น (Partial Correlation Coefficient หรอื rij,k) 10. สมั ประสิทธิส์ หสัมพนั ธ์แบบคอนติงเจนซี (Contingency Correlation Coefficient หรอื rc) สาหรับรายละเอียดการศึกษาได้จากหนังสือเกี่ยวกบั สถิติภาคบรรยายได้เช่นกนั ในที่นี้ จะแสดงการคานวณสมั ประสทิ ธ์สหสมั พันธ์บางสูตรเท่าน้ัน 1.1 สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบเพียร์สัน (The Pearson Product Moment Correlation Coefficient หรอื ������������������) ตวั แปรทั้งคู่มรี ะดบั การวัดแบบอันตรภาคหรอื อตั ราส่วน  X  XY  Y 22    สตู รr XY  XX  YY

ห น้ า | 106 หรอื สตู ร N XY  X Y    r  XY 2 2 N X2  X   N  Y2  Y    ตัวอย่าง 7.1 หาความสมั พนั ธ์ระหว่างคะแนนการทดสอบครั้งที่ 1 กบั การทดสอบคร้ังที่ 2 ครั้งท่ี 1 คร้ังท่ี 2 XY X2 Y2 (X) (Y) 10 8 80 100 64 9 10 90 81 100 8 9 72 64 81 7 7 49 49 49 6 4 24 36 16 5 3 15 25 9 4 5 20 16 25 3 6 18 9 36 52 52 368 380 380

ห น้ า | 107 สูตร rXY= N  XY  X  Y      2 2    2 2     N X  X N Y  Y   = 8368 5252 8380 522 8380 522 = 2944  2704 3040  27043040  2704 = 240 336 = + 0.714 สรุปได้ว่าคะแนนการทดสอบคร้ังที่ 1 กับคร้ังที่ 2 มีความสัมพันธ์ทางบวกระดับสูง แปลความได้ว่าคนที่ทาคะแนนสอบคร้ังที่ 1 ดีส่วนใหญ่มีแนวโน้มจะทาคะแนนสอบคร้ังที่ 2 ได้ดดี ้วย 1.2 สั ม ป ร ะ สิ ท ธิ์ ส ห สั ม พั น ธ์ แ บ บ ส เ ปี ย ร์ แ ม น ( The Spearman’s Rank difference Correlation Coefficient หรอื rs) ตวั แปรท้ังคู่มรี ะดับการวดั แบบจัดอันดบั สตู ร ������������ = 1 − 6 ∑ ������2 ������(������2−1) D คือ ผลตา่ งระหว่างตาแหน่งหรอื อนั ดับแตล่ ะคู่ n คือ จานวนคู่ ตัวอย่าง 7.2 หาความสัมพันธ์ระหว่างทกั ษะทางศิลปะกับทักษะทางดนตรี นักเรยี น อันดบั ทางศิลปะ อนั ดบั ทางดนตรี ก 1 2 ข 2 1 ค 3 3 ง 4 4 จ 5 4

ห น้ า | 108 หมายเหตุ ในกรณีมีอันดับซ้าในชุดเดียวกันต้องจัดอันดับเรียงลาดับแล้วเฉลี่ย เช่น อันดับทางดนตรีของ ง กับ จ ได้อันดับ 4 เท่ากันจัดใหม่เป็นอนั ดับ 4 และ 5 นามาเฉลีย่ ได้ 4.5 การคิดค้านวณ อนั ดบั ศิลปะ อนั ดับดนตรี D D2 1 2 -1 1 2111 3300 4 4.5 -0.5 0.25 5 4.5 0.5 0.25 ∑D2 = 2.50 แทนค่า ������������= 1   62.50   525 1  = 1- 0.125 = +.875 สรปุ ได้วา่ ทกั ษะทางศิลปะกับดนตรีมีความสัมพนั ธ์ทางบวกระดบั สูง แ ป ล ค ว า ม ไ ด้ ว่ า ก า ร ใ ห้ อั น ดั บ ทั ก ษ ะ ท า ง ศิ ล ป ะ กั บ อั น ดั บ ท า ง ด น ต รี ส่ ว น ใ ห ญ่ สอดคล้องกัน 1.3 สั ม ป ร ะ สิ ท ธิ์ ส ห สั ม พั น ธ์ แ บ บ เ ค น ด อ ล ( Kandall’s coefficient of Correlation หรอื W ) ตวั แปรมีระดับการวัดแบบจดั อันดบั เหมอื นแบบสเปียร์แมน แตม่ ีขอ้ มูลมากกว่า 2 ชดุ สูตร W= 12 ∑ ������2 ������2������(������2−1)

ห น้ า | 109 m คือ จานวนกรรมการตัดสิน n คือ จานวนสิง่ ของที่จะตัดสิน R คือ ผลรวมของอันดบั แต่ละแถว D คือ ผลตา่ งของ R กับ R̅ หรอื R  R R̅ คือ ค่าเฉลี่ยของ R (���̅��� = ∑ ������/������) ตรวจสอบ  R  mNN  1 (ถ้าไม่เท่ากนั แสดงว่าคิดตาแหน่งผดิ ) 2 หมายเหตุ ถ้ามีตาแหน่งซ้าในการให้ตาแหน่งของกรรมการแต่ละคนต้องจัดลาดับ ใหม่ แล้วเฉลี่ยเหมอื นแบบสเปียร์แมน ตัวอย่าง 7.3 หาความสัมพันธ์ของการจัดอนั ดับของกรรมการ หรือความสอดคล้องของการ ตัดสินของกรรมการในการตดั สินความประพฤติของนักเรียน 4 คน จากกรรมการตดั สิน 5 คน นกั เรียน กรรมการ ผลรวม หน่งึ สอง สาม สี่ ห้า อนั ดับ (R) D =(R − R̅) D2 ก 2 1 2 3 2 10 -2.5 6.25 ข 1 3 1 21 8 -4.5 20.25 ค 3 2 4 1 4 14 1.5 2.25 ง 4 4 3 4 3 18 5.5 30.25 ∑R=50 ∑D2=59

ห น้ า | 110 ตรวจสอบ ∑R = mNN  1 2 = 544  1 2 = 50 ถูกต้อง จาก R   R N = 50 4 ได้ R  12.5 สตู ร W  = 12 D2 แทนค่า m2N N2 1 = 1259 25416 1 = + 0.472 สรุปได้วา่ กรรมการตดั สินสอดคล้องกันในระดับต่า 1.4 สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบพอยท์ไบซีเรียล (The Point-biserial Coefficient of Correlation หรอื rpb ) ถ้ากาหนดตัวแปร X เป็นตัวแปรต่อเน่ือง และตัวแปรY แบ่งเป็น 2 ลักษณะจริง ( True Dichotomy) โดยแทนลักษณะหนึ่งด้วยตัวเลข 1 ส่วนอีกลักษณะหนึ่งด้วยเลข 0 เช่น เพศ (หญิง = 1 , ; ชาย = 0 )เป็นต้น rสตู ร pb   Xp  Xq  pq  SD   X  โดยที่ X p คือ ค่าเฉลีย่ ของ Xเมื่อ Y = 1 X q คือ ค่าเฉลี่ยของ Xเมือ่ Y = 0

ห น้ า | 111 SDX คือ ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของคะแนน X ท้ังหมด p คือ สัดส่วนของ X เมือ่ Y =1 q คือ สดั ส่วนของ X เมือ่ Y = 0 การค้านวณ ขั้นท่ี 1 แทนข้อมลู ลักษณะหน่งึ ดว้ ย 0 อีกลกั ษณะหนง่ึ ด้วย 1 ขนั้ ท่ี 2 คานวณค่า SDX , X p , X q ขั้นท่ี 3 คานวณค่า p และ q โดย p+q =1 เสมอ ขน้ั ท่ี 4 แทนค่าในสตู ร คานวณค่า rpb ตวั อย่าง 7.4 จงหาความสมั พันธ์ของคะแนนสถิตกิ บั คาตอบข้อหนึง่ ของนักเรียน 5 คน คะแนน ค้าตอบ 39 ถกู 38 ถกู 36 ถูก 33 ผดิ 29 ผดิ จากสตู ร rpb   Xp  X q  pq  SD   X  สตู ร SD   X2   X 2  XY N N  39 1 38 1 X2 XY X2 36 1 1521 หรอื ลดตัวเลข 91 81 33 0 1444 โดยเอา 30 ลบ 81 64 29 0 1296 ออกจาก X ทุกค่า 61 36 175 1089 30 9 841 -1 0 1 6191 25 191

ห น้ า | 112 2 2 แทนค่า SDX = 6191  175  = 191   25  5  5  5  5  = 1238.20 1125 = 38.20  25 = 13.20 = 13.20 = 3.63 = 3.63 คานวณ X p = 36  38  39 = 113 = 37.67 33 Xq = 29  33 = 62 = 31 22 คานวณ p = 3 = .60 และ q = 2 = .40 55 แทนค่า r pb  37.67  31 .60.40  3.63  = 6.67 .24 3.63 = .896 สรุปได้วา่ คะแนนวิชาสถิตกิ ับคาตอบข้อน้ีมคี วามสัมพันธ์ในระดับสูง แปลความได้วา่ นักเรียนทีท่ าคะแนนได้ดีส่วนใหญ่มแี นวโน้มจะตอบข้อนีถ้ กู ตอบ 1.5 สัมประสิทธิ์สหสมั พันธ์แบบฟาย ( The phi Coefficient หรอื  ) ตวั แปรทั้งสองเปน็ True Dichotomy มีรปู แบบดงั น้ี ตวั แปรที่ 1 ตัวแปรที่ 2 ab a+b cd c+d a+c b+d

ห น้ า | 113 สตู ร Φ ad  bc a  bc  da  cb  d ตวั อย่าง 7.5 หาความสัมพนั ธ์ระหว่างความคิดเห็นกับเพศ ชาย หญิง รวม เหน็ ด้วย 90 10 100 ไม่เหน็ ด้วย 10 90 100 รวม 100 100 200 สูตร Φ ad  bc a  bc  da  cb  d แทนค่า  9090  1010 = .80 100100100100 สรุปได้วา่ ความคิดเหน็ กับเพศมีความสมั พนั ธ์ในระดับสงู แปลความได้วา่ ชายส่วนใหญ่มแี นวโน้มเหน็ ดว้ ย 1.6 สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เตตระคอริค (Tetrachoric Correlation Coefficient หรอื rt) การหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เตตระคอริค เป็นการหาความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรที่ จัดข้อมูลในตาราง 2 × 2 โดยตัวแปรท้ังสองเป็นตัวแปรที่ต่อเนื่องแต่ถูกแบ่งเป็นสองรายการ (Artificial Dichotomy) ซึง่ โดยธรรมชาติแล้วไม่ได้มีลักษณะเป็นสองรายการ แตถ่ กู ทาให้เป็นสอง รายการ สาหรับวิธีการคานวณหาสัมประสิทธิ์สหสมั พนั ธ์เตตระคอริคมดี งั นี้ 1. จดั ข้อมูลใหอ้ ยู่ในตาราง 2 × 2 ตัวแปรที่ 2 ตวั แปรที่ 1 ab cd

ห น้ า | 114 2. หาค่า ad และ bc 3. คานวณค่า ab แล้วนาค่าทีไ่ ด้ไปเทียบกับตารางที่ 13 ในภาคผนวก เพือ่ แปลงเปน็ cd ค่าสัมประสิทธิ์สหสมั พันธ์เตตระคอริค (rt) 3.1 ถ้า ad > 1 จะได้ rt เปน็ ค่าบวก bc 3.2 ถ้า ad < 1 ให้นาค่า bc ไปเทียบกับตาราง แต่ rt ที่ได้จะเปน็ ค่าลบ bc ad ตัวอย่าง 7.6 จากผลการสอบนักศึกษาจานวน 50 คน โดยใช้แบบสอบที่เป็นอัตนัยจานวน 3 ข้อ เม่ือตรวจให้คะแนนเรียบร้อยแล้วได้แบ่งนักศึกษาออกเป็นสองกลุ่ม ปรากฏว่ามีนักศึกษาที่ ได้คะแนนรวมสูง 25 คน และกลุ่มที่ได้คะแนนรวมต่า 25 คน หลังจากนั้นจึงนาแต่ละกลุ่มมา พิจารณาว่าในคาถามข้อที่ 1 มีนักศึกษาตอบได้คะแนนสูงหรือต่า ผลปรากฏว่าในกลุ่มที่ได้ คะแนนรวมสูงมีนกั ศกึ ษาตอบคาถามข้อที่ 1 ได้คะแนนสูง 17 คน และกลุ่มที่ได้คะแนนรวมต่ามี นักศึกษาที่ตอบคาถามข้อที่ 1 ได้คะแนนสูง 15 คน จงคานวณหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ ระหว่างคะแนนรวมกับคะแนนคาถามข้อที่ 1 คะแนนรวม รวม สูง ตา่ คะแนนข้อท่ี 1 สูง 17 15 32 ตา่ 8 10 18 รวม 25 25 50 วิธีทา a = 17 b = 15 c=8 d = 10 ad = (17)(10) bc (15)(8) = 1.417

ห น้ า | 115 เมื่อนาค่า ad = 1.417 ไปเทียบกบั ตารางสัมประสิทธิ์สหสัมพนั ธ์เตตระคอริค เพื่อ bc หาค่าสมั ประสิทธิ์สหสมั พันธ์เตตระคอริค ได้ rt = 0.14 สรปุ ได้วา่ คะแนนรวมกบั คะแนนคาถามข้อที่ 1 มีความสมั พันธ์ในระดบั ตา่ แปลความได้วา่ กลุ่มที่ได้คะแนนรวมสูงมีแนวโน้มว่าจะตอบคาถามขอ้ ที่ 1 ผดิ 1.7 สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบไบซีเรียล (Biserial Correlation Coefficient หรอื rbis) การหาค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพนั ธ์แบบไบซีเรยี ลมีข้อตกลงเบือ้ งตน้ ดังน้ี 1. ตัวแปรตัวหนึ่งมีลักษณะต่อเน่ือง (Continuous Variable) แต่ตัวแปรอีกตัวหนึ่งมี ลักษณะแบ่งได้เป็นสองรายการ (Artificial Dichotomy) 2. ลักษณะการกระจายของประชากรของตัวแปรต่อเนื่อง ไม่จาเป็นต้องมีการแจกแจง เป็นโค้งปกติ (Normal Distribution) เพียงแต่ให้มีการแจกแจงเป็นโค้งเดียว (Unimodal) และ ค่อนขา้ งสมมาตร (Symmetry) 3. ลักษณะการกระจายของประชากรของตัวแปรที่เป็นสองรายการ จะต้องมีการแจก แจงเป็นโค้งปกติและตอ่ เนื่องกนั สตู รทีใ่ ช้ในการคานวณ rb = X̅p − X̅q ∙ pq หรอื rb = X̅p − X̅t ∙ p St Y St Y เมือ่ rb คือ ค่าสมั ประสิทธิส์ หสมั พันธ์แบบไบซีเรยี ล X̅p คือ ค่าเฉลีย่ ของตัวแปรตอ่ เนื่องพวกแรก X̅q คือ ค่าเฉลีย่ ของตัวแปรตอ่ เนื่องพวกที่สอง X̅t คือ ค่าเฉลี่ยที่ได้จากตัวแปรต่อเนือ่ งของขอ้ มลู ท้ังหมด St คือ ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของกลุ่มรวม p คือ สัดส่วนจานวนข้อมูลทีอ่ ยู่ในพวกแรก q คือ สดั ส่วนจานวนข้อมลู ที่อยู่ในพวกที่สอง Y คือ ความสงู ของโค้งปกติ (Ordinate) ทีจ่ ุดแบ่งระหว่าง 2 กลุ่ม โดยพิจารณาจากค่า p

ห น้ า | 116 ตัวอย่าง 7.7 จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระหว่างคะแนนภาคทฤษฎีและภาคปฏิบัติใน ภาคทฤษฎีได้ดาเนินการทดสอบด้วยแบบสอบถาม ส่วนภาคปฏิบัติใช้วิธีวัดผลโดยพิจารณา เกณฑผ์ า่ นและไม่ผ่าน ผลการทดสอบปรากฏดงั ตาราง คะแนน คะแนนภาคทฤษฎี รวม ภาคปฏิบัติ 10 - 20 21 - 31 32 - 42 43 - 53 54 - 64 39 ผา่ น 0 7 11 ไม่ผ่าน 5 8 14 10 0 50 รวม 5 7 32 1 11 16 11 วิธีทา้ ̅Xp = 41.51 X̅q = 25 St = 13.12 p = 39 = 0.78 50 q = 11 = 0.22 50 เมื่อ p = 0.78 จากการเปิดตารางที่ 2 พืน้ ที่ใต้โค้งปกติได้ Z = 0.77 และจากการ เปิดตารางที่ 6 ความสงู ของโค้งปกติเม่อื Z = 0.77 ได้ Y = 0.2966 จากสตู ร rb = X̅p − X̅q ∙ pq St Y = 41.51−25 ∙ (0.78)(0.22) = 0.73 13.12 0.2966 สรุปได้วา่ คะแนนภาคทฤษฎีและภาคปฏิบัติมีความสมั พนั ธ์กนั ในระดับสูง แปลความได้วา่ ผทู้ ีท่ าคะแนนทฤษฏีได้สงู มีแนวโน้มว่าจะทาคะแนนภาคปฏิบัติได้สงู

ห น้ า | 117 1.8 สหสมั พันธ์แบบบางส่วน (Partial Correlation Coefficient หรอื rij,k) การศกึ ษาวิจยั ทีม่ ีตัวแปรที่สนใจหลายตัวและตัวแปรเหล่านั้นต่างก็มีความสมั พันธ์กัน ในกรณีที่ต้องการหาความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสองตัว ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ที่คานวณ ได้ จะมีความสัมพันธ์ของตัวแปรอื่นๆ เข้ามาเกี่ยวข้องด้วย ไม่ใช่เป็นความสัมพันธ์ระหว่างตัว แปรท้ังสองเท่านั้น ฉะน้ันในการหาความสัมพันธ์จึงต้องอาศัยการหาสหสัมพันธ์บางส่วน (Partial Correlation) ซึง่ เป็นการหาความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสองตัวโดยถือว่าตวั แปรอ่ืนๆ ที่ เหลือคงที่ ถ้าให้ rXY .Z แทนสมั ประสิทธิ์สหสัมพันธ์บางส่วน ค่าสัมประสิทธิน์ ้ีเป็นค่าสัมประสิทธิ์ สหสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร X และตัวแปร Y เม่ือตัวแปร Z คงที่หรืออาจใช้สัญลักษณ์ที่เป็น ตวั เลขแทนตัวอักษรกไ็ ด้ เชน่ r12 .3 ถ้าตอ้ งการศึกษาความสมั พันธ์ของตวั แปรที่ 2 และตัวแปร ที่ 3 โดยใหต้ ัวแปรที่ 1 คงที่ สมั ประสิทธิส์ หสัมพันธ์จะเขียนแทนด้วย r23 .1 ค่าสหสัมพันธ์ที่มีตัวแปรที่เกี่ยวข้อง 3 ตัว โดยมีตัวแปรตัวหนึ่งคงที่เรียกว่า First Order Partial Correlation ซึง่ มีสูตรทัว่ ไปดังน้ี rij .k = rij− (rik)(rjk) √(1 − ri2k)(1 − rj2k) เมือ่ rij .k คือ ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพนั ธ์ระหว่างตัวแปร i และตัวแปร j โดยตวั แปร k คงที่ rik คือ ค่าสมั ประสิทธิ์สหสัมพนั ธ์ระหว่างตัวแปร i และตวั แปร k rjk คือ ค่าสมั ประสิทธิ์สหสัมพนั ธ์ระหว่างตวั แปร j และตัวแปร k rXY .Z = rXY− (rXZ)(rYZ) √(1 − rX2Z)(1 − rY2Z) rYZ .X = rYZ− (rXY)(rXZ) √(1 − rX2Y)(1 − rX2Z) r12 .3 = r12− (r13)(r23) √(1 − r123)(1 − r223)

ห น้ า | 118 r23 .1 = r23− (r12)(r13) √(1 − r122)(1 − r123) ถ้ามีตัวแปรที่เกี่ยวข้อง 4 ตัว โดยมีตัวแปรสองตัวคงที่ ค่าสหสัมพันธ์บางส่วนเรียกว่า Second Order Partial Correlation มีสตู รดงั น้ี rij .kl = rij .k − (ril .k)(ril .k) √(1 − ri2l .k)(1 − ri2l .k) เมื่อ rij .kl คือ ค่าสมั ประสิทธิส์ หสมั พันธ์ระหว่างตัวแปร i และตัวแปร j โดยตัวแปร k และ l คงที่ rij .k คือ ค่าสัมประสิทธิส์ หสมั พันธ์ระหว่างตวั แปร i และตัวแปร j โดยตัวแปร k คงที่ rjl .k คือ ค่าสมั ประสิทธิส์ หสัมพนั ธ์ระหว่างตวั แปร j และตัวแปร l โดยตัวแปร k คงที่ ril .k คือ ค่าสัมประสิทธิส์ หสัมพันธ์ระหว่างตวั แปร i และตัวแปร l โดยตัวแปร k คงที่ เชน่ r12 .34 = r12 .3 − (r14 .3)(r24 .3) √(1 − r124 .3)(1 − r224 .3) ดังนนั้ ค่าสมั ประสิทธิ์สหสัมพันธ์บางส่วนที่มีตัวแปร m ตวั มีสตู รท่วั ไปดงั น้ี r12 .34…m = r12 .34…(m−1) − rlm .34…(m−1) ⋅ r2m .34…(m−1) √[1 − rl2m .34…(m−1)][1 − r22m .34…(m−1)]

ห น้ า | 119 ตัวอย่าง 7.8 จากข้อมูลต่อไปนีจ้ งหา r12 .3 , r14 .3 , r24 .3 และ r12 .34 ตัวแปร 1 2 3 4 1 1.00 2 0.60 1.00 3 0.40 0.30 1.00 4 0.50 0.80 0.40 1.00 วิธีทา r12 .3 = r12 − (r13)(r23) √(1 − r123)(1 − r223) 0.60 − (0.40)(0.30) = √[1 − (0.40)2] [1 − (0.30)2] = 0.55 r14 .3 = r14 − (r13)(r43) √(1 − r123)(1 − r423) 0.50 − (0.40)(0.40) = √[1 − (0.40)2] [1 − (0.40)2] = 0.40 r24 .3 = r24 − (r23)(r43) √(1 − r223)(1 − r423) 0.80 − (0.30)(0.40) = √[1 − (0.30)2] [1 − (0.40)2] = 0.78

ห น้ า | 120 = r12 .3 − (r14 .3)(r24 .3) √(1 − r124 .3)(1 − r224 .3) r12 .34 0.55 − (0.40)(0.78) = √[1 − (0.40)2] [1 − (0.78)2] = 0.41 การคานวณที่แสดงไว้ข้างต้นเป็นสูตรที่ใช้สาหรับการวิเคราะห์ข้อมูลในสถิติภาค บรรยายเท่านั้น ส่วนสถิติภาคอ้างอิงซึ่งเป็นสถิติศึกษาผลจากกลุ่มตัวอย่าง แล้วนาผลที่ได้ อ้างอิงไปยังประชากรเป้าหมายก็จะมีสูตรการคานวณทางสถิติพื้นฐานในลักษณะที่คล้ายคลึง กัน ซึ่งมีหลักการเหมือนกันแต่อาจมีความแตกต่างเกี่ยวกับการใช้สัญลักษณ์แทนค่าสถิติ (Statistics) ที่คานวณจากกลุ่มตัวอย่างกับค่าพารามิเตอร์ (Parameters) ที่คานวณจาก ประชากร และหากต้องการประมาณค่าประชากรจากกลุ่มตัวอย่างต้องมีการทดสอบ สมมุติฐานที่ระดับนัยสาคัญที่ผู้ศึกษากาหนดเป็นลาดับต่อไป ซึ่งผู้ศึกษาสามารถศึกษาเพิ่มเติม ได้จากสถิติอา้ งองิ ท่วั ไปตามลาดบั 1.9 สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบคอนติงเจนซี (Contingency Correlation Coefficient หรอื rc) Joseph F. Healey (2009, p 260) The chi square ( 2) test has probably been the most frequently used test of hypothesis in the social sciences, a popularity that is due largely to the fact that the assumptions and requirements in step1 of the five-step model are easy to satisfy. Specifically, the tcan be conducted with variables measured at the nominal level (the lowest level of measurement) and , because it is a nonparametric, or “distribution-free” test, chi square requires no assumption at all about the shape of the population or sampling distribution. สถิตทิ ดสอบไคสแควร์ (2) เปน็ สถิติแบบนอนพารามิตริก (Nonparametric Statistics) ซึ่งเป็นสถิติที่ไม่คานึงถึงลักษณะการแจกแจงของประชากร โดยการใช้สถิติทดสอบไคสแควร์มี วัตถปุ ระสงค์ในการทดสอบ 3 ประการได้แก่ 1 . การทดสอบภาวสารูปสนิทดี (test of goodness of fit) มีวัตถปุ ระสงค์เพือ่ ทดสอบ เกี่ยวกับลักษณะต่างๆ ของประชากรว่าเปน็ ไปตามที่คาดไว้หรือไม่

ห น้ า | 121 2 . การทดสอบความเป็นอิสระ (test of independence) มีวัตถุประสงค์เพื่อทดสอบ ความเป็นอิสระหรอื ความสัมพนั ธ์ระหว่างตัวแปร 2 ตัว และตวั แปรมีสเกลการวดั แบบแบ่ง ประเภทซึ่งมีขอ้ มูลเป็นจานวนนับในรูปความถี่ สดั ส่วน หรอื ร้อยละ 3 . การทดสอบความเป็นเอกพันธ์ (test of homogeneity) วัตถุประสงค์เพื่อทดสอบ เกีย่ วกบั ตัวแปรตามทีส่ นใจศกึ ษาของประชากรกลุ่มตา่ ง ๆ ว่ามาจาก ประชากรเดียวกันหรอื ไม่ หรอื มาจากประชากรทีม่ กี ารแจกแจงแบบเดียวกันหรือไม่ ในทีน่ ้ีจะนาเสนอเฉพาะการใชส้ ถิตทิ ดสอบไคสแควร์ในการทดสอบความเป็นอิสระหรือ ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร 2 ตัว และตัวแปรมีสเกลการวัดแบบแบ่งประเภทซึ่งมีข้อมูลเป็น จานวนนับในรูปความถี่ ซึ่งผลการวิเคราะห์จะสามารถระบุเพียงว่าตัวแปรท้ังสองมีความ เกีย่ วข้องกนั หรอื ไม่แตไ่ ม่สามารถระบุระดับความสัมพันธ์ได้ว่ามีระดบั ความสัมพนั ธ์กนั ในระดับ ใด การทดสอบความเป็นอิสระ (2- test for independence) ข้อมูลที่ได้จะอยู่ใน ระดับ นามบัญญัติ (Nominal scale) ซึ่งอาจเป็นจานวนความถี่ สัดส่วน ร้อยละ ก็ได้ โดยแต่ละตัวแปร จะแบ่งเป็น 2 กลุ่ม หรือประเภทขึ้นไป เช่น เพศ (ชาย - หญิง) กับวุฒิการศึกษา (ต่ากว่า ปริญญาตรี, ปริญญาตรี) จะได้รูปแบบเป็น 2 x 2 ดังนั้นรูปแบบการวิเคราะห์อาจเป็นได้หลาย รปู แบบขึน้ อยู่กับจานวนกลุ่มของแตล่ ะตัวแปร (2 x 2, 2 x 4, 3 x 2 เปน็ ต้น) จากข้อมูลดงั กล่าว สามารถนามาสร้างตารางที่แสดงการจาแนกลักษณะซึ่งเรียกว่าตารางการณ์จร contingency Table โดยตัวแปรที่ 1 แบ่งเป็นแถว (Row) และตัวแปรอีกตัวหนึ่งเป็น c สดมภ์ (Column) ลักษณะตารางเปน็ ตารางการณจ์ ร 2 × 2 ตัวแปรที่ 2 ตัวแปรที่ 1 C1 C2 รวม r1 a(n11) b(n12) a  b(n1 ) r2 c(n21) d(n22) c  d (n2 ) รวม a  c(n1 ) b  d (n1 ) N

ห น้ า | 122 การต้ังสมมุติฐานทางสถิติ H0 : ตัวแปรทั้งสองตวั ไม่มคี วามสมั พันธ์กนั (เป็นอิสระต่อกนั ) H1 : ตวั แปรทั้งสองตัวมคี วามสัมพนั ธ์กนั สูตรในการค้านวณ r     2  c Oij  Eij 2 i1 j 1 Eij , df = (r-1)(c-1) เมือ่ Oij = ความถี่ที่ได้จากการสังเกต (Observed Frequency) ในแถวที่ i คอลัมน์ที่ j Ei = ความถีท่ ีค่ าดหวงั (Expected Frequency ) ในแถวที่ i คอลมั น์ที่ j ri = ผลรวมของแนวแนวนอน (Row) cj = ผลรวมของแถวแนวตั้งหรอื หลัก (Column) n = ความถี่รวมทั้งหมด rc  i1 j1 คือ ผลรวมของท้ังหมดทุกแถวทกุ คอลมั น์ Eij  n1  nn1 N สูตรค่าความถีท่ ี่ควรจะเป็น ni  คือ ความถี่รวมในแถวที่ i n  j คือ ความถี่รวมในคอลมั นท์ ี่ j N คือ ความถีร่ วมทั้งหมด r คือ จานวนแถว c คือ จานวนคอลัมน์ เกณฑ์ในการตัดสินค่าทไ่ี ดจ้ ากการค้านวณ ถ้าคา่ 2 ที่คานวณได้มคี ่ามากกว่าหรือเท่ากับค่า 2,(r-1)(c-1) จากตาราง ที่ df เท่ากบั (r-1)(c-1) จะปฏิเสธสมมุติฐาน H0 หมายความว่า ตัวแปรท้ังสองตัวมีความสัมพันธ์กัน (ไม่เป็น อิสระต่อกัน)

ห น้ า | 123 ตัวอยา่ ง 7.9 ในการศกึ ษาความพึงพอใจของผปู้ กครองนักเรียนที่มตี ่อการบริหารโรงเรียน โดย เกบ็ ข้อมูลกบั ผปู้ กครองอาชีพตา่ งๆ จานวน 238 คน ได้ผลดงั นี้ อาชีพ ระดับพึงพอใจ ข้าราชการ มาก ปานกลาง น้อย รวม เกษตรกร 57 คา้ ขาย 30 20 7 82 99 รวม 40 30 12 238 47 33 19 117 83 38 ลองทดสอบว่า อาชีพของผู้ปกครองเกีย่ วข้องกับความพึงพอใจในการบริหารโรงเรียนหรือไม่ที่ ระดับความมนี ยั สาคญั 0.05 วิธีทา ตงั้ สมมุติฐานทางสถติ ิ H0 : อาชีพไม่มคี วามสัมพันธ์กับความพึงพอใจ H1 : อาชีพมคี วามสัมพนั ธ์กับความพึงพอใจ ก้าหนดค่า  = 0.05 เลือกสถติ ิทดสอบ เนือ่ งจากค่า df = (3 - 1)(3 - 1) = 4 Eij  n1  nn1 N คา่ ความถท่ี ่ีควรจะเป็นในแตล่ ะช่องคา้ นวณได้จากสตู ร อาชีพ ระดบั พึงพอใจ ข้าราชการ มาก ปานกลาง น้อย เกษตรกร คา้ ขาย E11  (57)(117)  28.02 E12  (57)(83)  19.08 E13  (57)(38)  9.10 238 238 238 E 21  (82)(117)  40.31 E22  (82)(83)  28.60 E23  (82)(38)  13.09 238 238 238 E31  (99)(117)  48.67 E32  (99)(83)  15.81 E33  (99)(38)  15.81 238 238 238

ห น้ า | 124 นาค่า E ทีไ่ ด้เขียนลงในตาราง โดยใส่เกบ็ เอาไว้ อาชีพ มาก ระดับพึงพอใจ น้อย รวม 30 (28.02) ปานกลาง 7(9.10) 57 ข้าราชการ 40 (40.31) 20 (19.88) 12(13.09) 82 เกษตรกร 47(48.67) 30 (28.60) 19(15.81) 99 ค้าขาย 33(34.53) 238 117 83 38 รวม หมายเหตุ: ตัวเลขในวงเลบ็ คือ ค่าความถี่ที่ควรจะเปน็ หรอื ความถาคาดหวัง r     2  c Oij  Eij 2 คานวณค่า 2 โดยแทนค่าลงในสูตร i1 j 1 Eij 30  28.022  20  19.882  7  9.102 + = 28.02 19.88 9.10 40  40.312  30  28.602  12  13.092 + 40.31 28.60 13.09 47  48.672  33  34.522  12  13.092 48.67 34.53 13.09 = 0.14 + 0.12 + 0.49 + .0024 + .049 + .076 + .034 + .068 + .091 = 1.0704 ภาพ 7.1 ตารางความมนี ยั สาคญั ระดบั ต่างๆ ท่มี า: http://coursewares.mju.ac.th:81/e-learning48/ba361/chapter8/ans8.htm

ห น้ า | 125 นาค่า 2 ที่คานวณได้ไปเทียบกบั ค่าวิกฤติจากตาราง ซึง่ มีคา่ 2 (.05, 4) = 9.484 แสดงวา่ ค่า 2 คานวณ  2 วิกฤต จึงยอมรับ H0 ดังนั้น ผลการทดสอบสมมุติฐานสรุปได้ว่า อาชีพของผู้ปกครองไม่มีความสัมพันธ์กับ ความพึงพอใจในการบริหารอย่างไม่มีนัยสาคัญทางสถิติหรือกล่าวได้ว่า อาชีพกับความพึง พอใจไม่เกีย่ วข้องกัน ตัวอย่าง 7.10 ในการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างอาชีพผู้ปกครองกับการเลือกโปรแกรมการ เรียนของนกั เรียนระดับชน้ั มัธยมศกึ ษาตอนปลาย โดยสุ่มนักเรียนมาจานวน 390 คน จาแนกได้ ดังตาราง อาชีพ โปรแกรม ก ข ค ง รวม 390 1 23 40 16 81 2 11 75 107 207 3 1 31 60 102 รวม 35 146 183 26 จงทดสอบว่าอาชีพผู้ปกครองมีความสัมพันธ์กับการเลือกโปรแกรมการเรียนอย่างมี นยั สาคัญทางสถิติหรอื ไม่ วิธีทา ขัน้ ท่ี 1 ������0 : การเลือกโปรแกรมการเรยี นไม่มีเกี่ยวข้องกบั อาชีพผู้ปกครอง ������1 : การเลือกโปรแกรมการเรยี นเกี่ยวข้องกับอาชีพผู้ปกครอง ขั้นท่ี 2 α = 0.01 ข้ันท่ี 3 ใช้ 2 – test , df = (3-1)(4-1) = 6 ขัน้ ท่ี 4 หา CR

ห น้ า | 126 ������62,0.01 = 16.8 r     2  c Oij  Eij 2 ข้นั ท่ี 5 คานวณ i1 j 1 Eij ������������������ ������������������ (������������������ − ������������������) (������������������ − ������������������)2/ ������������������ 23 7.3 15.7 33.76 ������1 11 18.6 -7.6 3.11 1 9.1 -8.7 7.21 40 30.3 9.7 3.11 ������2 75 31 77.5 -2.5 0.08 16 38.2 -7.2 1.36 ������3 107 38.0 -22.0 12.74 60 97.1 9.9 1.01 2 47.9 12.1 3.06 ������4 14 10 5.4 -3.4 2.14 390 13.8 0.2 0.003 6.8 3.2 1.51 390.0 69.09 1 ������2คานวณ เท่ากบั 69.09∗∗ มากกว่า x2ตาราง ปฏิเสธ ������0 ขน้ั ท่ี 6 สรปุ ได้วา่ การเลือกโปรแกรมการเรยี นของนักเรียนระดบั ช้ันมธั ยมปลายมีความสัมพันธ์ กบั อาชีพผู้ปกครองอย่างมนี ัยสาคญั ทางสถิติทีร่ ะดบั 0.01

ห น้ า | 127 หลงั จากทีก่ ารทดสอบ2 แล้ว ปฏิเสธ ������0 ผวู้ ิจยั ตอ้ งการทราบต่อไปว่าตวั แปรท้ังสอง มีความสัมพันธ์กันในระดับใด ก็คานวณค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบคอนติงเจนซี (C) โดยมี สูตรดังน้ี สูตร C = √2+2������ ........... เมือ่ ������2 คือ ค่า ไคสแควร์ทีค่ านวณได้ n คือ จานวนกลุ่มตวั อย่าง จากตวั อย่างข้างต้นสามารถคำนวณค่ำสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบคอนติงเจนซีได้ ดังน้ี C = √ 69.09 = 0.69 69.09+390 สรุปได้ว่า การเลือกโปรแกรมการเรียนของนักเรียนระดับชั้นมัธยมปลายมี ความสัมพันธ์กับอาชีพผู้ปกครองอย่างมีนัยสาคัญทางสถิติที่ระดับ 0.01 และมีความสัมพันธ์ กันในระดบั ปานกลาง เมือ่ พจิ ารณาด้วยค่าสัมประสิทธ์สิ หสมั พันธ์แบบคอนติงเจนซี 2. เกณฑก์ ารแปลผลค่าระดบั ความสมั พนั ธ์ การบอกระดับหรือขนาดของความสัมพันธ์ จะใช้ตัวเลขของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ หากค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์มีค่าเข้าใกล้ -1 หรือ 1 แสดงถึงการมีความสัมพันธ์กันใน ระดับสูง แต่หากมีค่าเข้าใกล้ 0 แสดงถึงการมีความสัมพันธ์กันในระดับน้อย หรือไม่มีเลย สาหรับการพิจารณาค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ โดยทั่วไปอาจใชเ้ กณฑด์ งั น้ี (Hinkle D. E. 1998, p.118)

ห น้ า | 128 ค่า r ระดับของความสัมพันธ์ .90 r 1.00 มีความสมั พันธ์กันสงู มาก .70 r .90 มีความสมั พันธ์กนั ในระดับสูง .50 r  .70 มีความสัมพันธ์กันในระดับปานกลาง .30 r .50 มีความสมั พันธ์กนั ในระดับตา่ .00r.30 มีความสมั พันธ์กันในระดับตา่ มาก 3. สรุป สหสัมพันธ์ เป็นการศึกษาความสัมพันธ์ของข้อมูลตั้งแต่ 2 ชุดขึ้นไป หรือ ความสัมพนั ธ์ของตัวแปรต้ังแต่ 2 ตัวขึน้ ไป ซึ่งมีวธิ ีในการวิเคราะหห์ ลากหลายรูปแบบขึ้นอยู่กับ ระดับและลักษณะของข้อมูลเป็นสาคัญ โดยการหาค่าสหสัมพันธ์หากศึกษาจากประชากรการ วิเคราะห์ข้อมูลในสถิติภาคบรรยาย ในกรณีศึกษาจากกลุ่มตัวอย่างและต้องการสรุปผลไปยัง ประชากรต้องใช้สถิติภาคอ้างอิงซึ่งมีสูตรการคานวณทางสถิติพื้นฐานในลักษณะที่คล้ายคลึง กัน แต่มีความแตกต่างเกี่ยวกับการใช้สัญลักษณ์แทนค่าสถิติ (Statistics) ที่คานวณจากกลุ่ม ตัวอย่างกับค่าพารามิเตอร์ (Parameters) ที่คานวณจากประชากร และหากต้องการประมาณ ค่าประชากรจากกลุ่มตัวอย่างต้องมีการทดสอบสมมุติฐานที่ระดับนัยสาคัญที่ผู้ศึกษากาหนด เป็นลาดบั ต่อไป ซึ่งผู้ศึกษาสามารถศึกษาเพิม่ เติมได้จากสถิติอา้ งองิ ท่วั ไป

สหสัมพนั ธแ์ บบตา่ งๆ สัญลักษณ์ ชนิดของตวั แปร x (Correlation Coefficient) rxy มาตราอันตรภาคหรอื อตั ราส่วน Pearson Product Momet Spearman rank order rs มาตราเรียงอันดบั Kandall’s W มาตราเรียงอนั ดบั (>2ตัวแปร) Point Biserial rpb มาตราอนั ตรภาคหรอื อตั ราส่วน Biserial rbis มาตราอันตรภาคหรอื อัตราส่วน

ห น้ า | 129 ชนิดของตัวแปร y สถิติทดสอบ มาตราอันตรภาคหรอื อัตราส่วน ตาราง Pearson , มาตราเรียงอันดับ ������ = r������������√n−2 , ������������ = ������ − 2 √1−������������������2 ตาราง Spearman , ������ = ������������√n−2 , ������������ = ������ −2 √1−������������2 มาตราเรียงอนั ดับ (>2ตวั แปร) Z-test, 2 = ������(������ − 1)������, ������������ = ������ − 1 Dichotomy แท้ t  rpb n2 , df  n  2 1  rp2b Dichotomy ไม่แท้ t  rs n  2 , df = n-2 1  rs2

ห น้ า | 130 สหสมั พันธ์แบบตา่ งๆ สญั ลักษณ์ ชนิดของตัวแปร x (Correlation Coefficient) ф True Dichotomy (2 ลักษณะ) Phi (ฟี) Tetrachoric rt Artificial Dichotomy (2 ลกั ษณะ) Partial Correlation Coefficient rij,k มาตราอนั ตรภาคหรอื อัตราส่วน (>2ตวั แปร) Contingency rc มาตรานามบญั ญัติ (>2 ลกั ษณะ)

ชนิดของตวั แปร y สถิติทดสอบ True Dichotomy (2 ลักษณะ) n  20 Z =  n n < 20 2 = n 2 ; df = 1 Artificial Dichotomy (2 ลักษณะ) ������ = ������������ ∙ √n (YY′) √(������������′)(������������′) มาตราอนั ตรภาคหรอื อตั ราส่วน t  rab.c n  k , df = n-k r2 (>2ตวั แปร) 1  ab .c มาตรานามบัญญตั ิ (>2 ลักษณะ) 2- test

ห น้ า | 131 4. แบบฝึกหดั 1. นกั วิจยั ต้องการทราบว่าความพึงพอใจในการทางานมคี วามสัมพนั ธ์กับผลการปฎิบัติงาน หรอื ไม่ จงึ ทาการเก็บรวบรวมข้อมลู จากครู-อาจารย์จานวน 15 คน ซึ่งได้ขอ้ มูลดังน้ี คนท่ี X Y 132 222 323 454 533 644 721 832 944 10 1 2 11 5 4 12 2 2 13 3 3 14 4 3 15 3 4

ห น้ า | 132 2. ในการวิจัยเพื่อสารวจความวิตกกังกลในการเรียน ของนักศึกษาชายและหญิง ผลการ สารวจปรากฏดงั ตาราง ความวิตกกงั วล เพศ สงู ตา้่ ชาย 62 48 หญิง 73 42 จงทดสอบว่า ความวติ กกงั วลในการเรียนมคี วามสัมพนั ธ์กบั เพศของนกั ศึกษาหรอื ไม่ 5. Link ที่นักศกึ ษาจะเขา้ ไปทา้ การศกึ ษาด้วยตนเอง 1. https://www.youtube.com/watch?v=77mLl6aPXOs https://www.youtube.com/watch?v=lT90A24R8l0&t=624s 6. แหลง่ คน้ ควา้ เพมิ่ เตมิ กนกทิพย์ พัฒนาพัวพันธ์. (2543). สถิติอ้างอิงเพื่อการวิจัยทางการศึกษา. ภาควิชาการ ประเมินผลและวิจยั ทางการศกึ ษา คณะศึกษาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เชียงใหม่. กานดา พูนลาภทวี. (2539). สถิติเพือ่ การวจิ ัย. ภาควิชาครุศาสตรเ์ ทคโนโลยี คณะครศุ าสตร์ อุตสาหกรรมและวิทยาศาสตร์ สถาบนั เทคโนโลยีพระจอมเกล้าพระนครเหนอื . เกียรตสิ ุดา ศรีสุข. (2552). ระเบียบวิธีวจิ ยั Research Methodology. คณะศึกษาศาสตร์ มหาวิทยาลัยเชียงใหม.่ วิเชียร เกตุสิงห์. (2521). สถิติวิเคราะห์ส้าหรับการวิจัย. กองวิจัยการศึกษา สานักงาน คณะกรรมการการศกึ ษาแหง่ ชาติ. สวสั ดิ์ ประทมุ ราช. (2526). สถิติมลู ฐานทางจิตวิทยาและการศึกษา. ศูนย์สง่ เสริมวิชาการ กรงุ เทพ ฯ.

ห น้ า | 133 สุชาดา กีระนันทน์. (2542). ทฤษฏีและวิธีการส้ารวจตัวอย่าง. ภาควิชาสถิติ คณะพานิชย ศาสตร์และการบญั ชี จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย. Joseph F. Healey (2009, p 260). Statistics a tool for social research. Eighth edition Christopher Newport University. WODSWORTH CENGAGE LEARNING.

ห น้ า | 134 บทที่ 8 คะแนนมาตรฐาน สาระการเรียนรู้ 1. ความหมายและความสาคญั ของคะแนนมาตรฐาน 2. Z-Score 3. T-Score 4. Normalized T-Score 5. การประยุกต์ใช้คะแนนมาตรฐานในการตดั เกรด จุดประสงค์การเรยี นรู้ 1. อธิบายความหมายและความสาคญั ของคะแนนมาตรฐาน 2. คานวณหาคะแนนมาตรฐาน Z-Score ได้อย่างถูกต้อง 3. คานวณหาคะแนนมาตรฐาน T-Score ได้อย่างถูกต้อง 4. คานวณหาคะแนนมาตรฐาน Normalized T-Score ได้อย่างถกู ต้อง 5. สามารถนาความรู้เรอ่ื งคะแนนมาตรฐานไปประยุกต์ใชใ้ นการตัดเกรดได้อย่างถูกต้อง

ห น้ า | 135 1. ความหมายและความสา้ คัญของคะแนนมาตรฐาน คะแนนมาตรฐาน หมายถึง หนว่ ยของการวัดชนดิ หนง่ึ ทีแ่ ปลงรปู มาจากคะแนนดิบเพื่อ เปลี่ยนระดับผลการวัดจากระดับอันดับ (Ordinal Scale) เป็นระดับช่วงระยะ (Interval Scale) ที่ นิยมใชไ้ ด้แก่ Z-Score และ T – Score สาเหตทุ ีต่ อ้ งมีการแปลงรูปจากคะแนนดิบเนื่องมาจาก คะแนนดิบเป็นคะแนนที่ได้จากการสอบ หรือการทากิจกรรมใด ๆ ซึ่งเป็นคะแนนที่บ่งถึง ปริมาณที่ทาได้จากข้อมูลท้ังหมด ไม่สามารถตีความหมายได้แน่ชัดว่ามีสภาพการเรียนรู้มาก น้อยเพียงไร เช่น นิสิตคนหนึ่งสอบวิชาหนึ่งได้คะแนน 35 คะแนนจากท้ังหมด 80 คะแนน เรา จะยังบอกไม่ได้ว่านิสิตคนน้ันเก่งหรืออ่อนอย่างไร จนกว่าจะนาคะแนนนี้ไปเปรียบเทียบกับ คะแนนของคนอ่นื ๆ ที่เรยี นวิชาเดียวกันกับเขา 2. คะแนนซี (Z-Score) Z-Score คือ ค่าที่บอกให้ทราบความแตกต่างระหว่างค่าของข้อมูลนั้นกับค่าเฉลี่ยเลข คณิตของข้อมูลชุดน้ันเปน็ กีเ่ ท่า ของสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน คานวณได้จากสตู ร Zscore = xi− x̅ S เมือ่ Zi คือ คะแนนมาตรฐาน xi คือ คะแนนดบิ ของขอ้ มลู x̅ คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต S คอื สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน ภาพ 8.1 โค้งปกติของคะแนน Z-Score

ห น้ า | 136 ตวั อย่าง 8.1 ในการสอบคดั เลือกพนกั งานเข้าทางานในบริษัทแห่งหน่ึง กาหนดให้ตอ้ งสอบ 3 ด้าน คือ ด้านความรู้ ด้านทักษะปฏิบัติ และด้านมนุษยสัมพันธ์ โดยคะแนนเต็มด้านละด้าน 100 คะแนน ถ้านาย ก ทาคะแนนด้านความรู้ ได้ 70 คะแนน ด้านทักษะปฏิบัติได้ 80 คะแนน และด้านมนุษยสัมพันธ์ได้ 82 คะแนน ตามลาดับถ้าการสอบคัดเลือกพนักงานในรอบนี้มีผู้เข้า สอบจานวน 50 คน ได้ผลการสอบดงั ตาราง ค่าเฉลีย่ คะแนน คะแนน คะแนน ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน ดา้ นความรู้ ดา้ นทกั ษะปฏิบตั ิ ด้านมนษุ ยสัมพนั ธ์ 54 65 75 5 20 15 อยากทราบว่านาย ก ทาคะแนนการสอบด้านใดได้ดที ี่สดุ วิธีทา แทนค่าขอ้ มลู ตามตารางเพือ่ หาค่า Z แตล่ ะดา้ นจากสูตร Zscore = xi− x̅ S ค่าเฉลีย่ (x̅) คะแนน คะแนน คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ด้านความรู้ ด้านทกั ษะปฏิบัติ ดา้ นมนุษยสัมพนั ธ์ (S) คะแนนทีไ่ ด้ (xi) 54 65 75 คะแนนมาตรฐาน (Zi) 5 20 15 70 80 82 3.2 0.75 0.47 สรุปได้วา่ นาย ก ทาคะแนนสอบด้านความรู้ได้ดีที่สุด โดยมีคะแนนมาตรฐานซี เท่ากบั 3.2 ขอ้ สังเกต 1. คะแนนมาตรฐานเป็นตวั เลขไม่มีหน่วย 2. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนมาตรฐานทั้งหมดของชดุ ข้อมูล จะมีคา่ เท่ากับ 1 3. คะแนนมาตรฐานของขอ้ มลู ใด ๆ จะเปน็ บวก หรอื ลบก็ได้ข้ึนอยู่กับค่าของขอ้ มูลนั้นๆ กบั มัชฌิมเลขของข้อมลู ชดุ นั้นวา่ ค่าใดมีคา่ มากกว่ากนั 4. คะแนนมาตรฐานโดยทั่วไปจะมีค่า -3 ถึง +3 แต่อาจจะมีบางข้อมูลที่มีคะแนน มาตรฐานสงู หรือต่ากว่านีเ้ ลก็ น้อย

ห น้ า | 137 5. เม่ือแปลงข้อมูลทุก ๆ ค่าในข้อมูลชุดใดชุดหนึ่งให้เป็นคะแนนมาตรฐาน ถ้านาค่า มาตรฐานเหล่านั้นมาคานวณหาค่ามัชฌิมเลขคณิตจะได้เท่ากับ 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จะได้เท่ากับ 1 (คะแนนมาตรฐานจะมีมัชฌิมเลขคณิตเท่ากับ 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เท่ากบั 1) 3. คะแนนที (T-Score) T-Score หมายถึง คะแนนที่ผ่านกระบวนการทางสถิติมาแล้วและมีคะแนนเฉลี่ย เท่ากับ 50 มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 10 และมีการแจกแจงเป็นโค้งปกติ ซึ่งเป็นคะแนน มาตรฐานทีแ่ ปลงมาจากคะแนนมาตรฐานซี เพื่อแก้จดุ ออ่ นบางประการของคะแนนมาตรฐานซี เชน่ ปัญหาคะแนนมาตรฐานซีทีต่ ดิ ลบ เปน็ ต้น สตู รในการคานวณ คือ Tscore = 50 + 10Z เมื่อ T คือ คะแนนมาตรฐานที Z คือ คะแนนมาตรฐานซี คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต S คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ภาพ 8.2 โค้งปกติของคะแนน T-Score

ห น้ า | 138 ตัวอยา่ ง 8.2 จากข้อมลู ในตัวอย่างที่ 8.1 จงคานวณหาค่าคะแนนในรปู แบบคะแนนที วิธีทา แทนค่าขอ้ มูลตามตารางเพื่อหาค่า T-Score แตล่ ะดา้ น จากสูตร Tscore = 50 + 10Z ค่าเฉลี่ย (x̅) คะแนน คะแนน คะแนน ส่ ว น เ บี่ ย ง เ บ น ด้านความรู้ ด้านทกั ษะปฏิบัติ ดา้ นมนษุ ยสมั พนั ธ์ มาตรฐาน (S) คะแนนที่ได้ (xi) 64 75 85 คะแนนมาตรฐาน 5 20 15 (ZScore) 70 0.25 82 ค่าเฉลีย่ (TScore) 1.2 62 0.75 -0.2 52.5 48 สรุปได้ว่า หากเทียบคะแนนเต็มร้อยคะแนนตาม TScore นาย ก ทาคะแนนด้านความรู้ ได้สูงสุดเท่ากับ 82 รองลงมาคือด้านทักษะปฏิบัติเท่ากับ 57.5 และน้อยสุดในด้านมนุษย สมั พนั ธ์เท่ากบั 54.7 4. คะแนนทีปกติ (Normalized T-Score) Normalized T-Score การพัฒนามาจากคะแนน TScore เนือ่ งจากคะแนนทีจะต้องมีการ แจกแจงเป็นโค้งปกติ ซึง่ ปกติคะแนนดิบที่เราได้มานั้นมกั จะไม่เป็นโค้งปกติถ้าหากเราแปลงเป็น คะแนนที โดยใช้สูตร T=10Z+50 การแจกแจงของคะแนนก็ยังเป็นรูปเดิม หรือรักษาเค้าโครง ของคะแนนดิบทุกประการ แต่ข้อเท็จจริงแล้ว การกระจายของข้อมูลใดๆ ควรจะเป็นโค้งปกติ แต่ที่ไม่เป็น เนื่องมาจากข้อสอบ หรือเคร่ืองมือวัดของเราคุณภาพไม่ดีพอ ดังนั้นจึงทาการปรบั คะแนนให้เปน็ โค้งปกติเสีย โดยการคิดเปน็ คะแนนที-ปกติ ขัน้ ตอนการคิดคะแนนทปี กติ 1. เขียนคะแนนดิบเรียงจากมากไปหาน้อย ให้คะแนนสูงสุดอยู่ด้านบน หาความถี่ของ คะแนนแตล่ ะคะแนน

ห น้ า | 139 2. หาความถีส่ ะสม โดยการนาความถี่ของคะแนนน้ัน รวมกับความถีส่ ะสมของคะแนนที่อยู่ ต่ากว่าตัวมันเอง 1 บรรทดั 3. คานวณหาค่า (cf + 0.5 f) ค่านจี้ ะนาไว้ใชห้ า Percentile ของคะแนน 4. เปิดตารางการแปลงคะแนนดบิ ให้เปน็ คะแนนทีปกติ โดยใช้ค่าในคอลัมน์ (cf + 0.5f) ตวั อย่าง 8.3 ในการสอบวิชาหน่งึ จานวนนกั ศึกษา 20 คน ได้คะแนนสอบ ดงั น้ี 24, 20, 15, 12, 24, 27, 14, 18, 20, 19, 23, 20, 21, 20, 23, 24, 25, 20, 17, 15 การแปลงคะแนนดิบใหเ้ ปน็ คะแนนทีปกติ ข้นั ท่ี 1 เรียงคะแนนจากมากไปน้อยแลว้ หาความถี่ คะแนนดิบ Tally ความถ่ี (f) ความถ่สี ะสม (cf) 27 / 1 25 / 1 24 /// 3 23 // 2 21 / 1 20 ///// 5 19 / 1 18 / 1 17 / 1 15 // 2 14 / 1 12 / 1

ห น้ า | 140 ขั้นท่ี 2 หาความถีส่ ะสม คะแนนดิบ Tally ความถ่ี (f) ความถ่สี ะสม (cf) 27 / 1 20 25 / 1 19 24 /// 3 18 23 // 2 15 21 / 1 13 20 ///// 5 12 19 / 1 7 18 / 1 6 17 / 1 15 // 2 4+1= 5 14 / 1 2+2= 4 12 / 1+1= 2 1 1

ห น้ า | 141 ขนั้ ท่ี 3 คานวณหาค่า (cf + 0.5f) คะแนนดิบ Tally ความถ่ี (f) ความถส่ี ะสม (cf) (cf + 0.5f) 27 25 / 1 20 19.50 24 23 / 1 19 18.50 21 20 /// 3 18 16.50 19 18 // 2 15 14.00 17 15 / 1 13 12.50 14 12 ///// 5 12 9.50 /1 7 6.50 / 1 6 5.50 / 1 5 4.50 // 2 2 + 0.5(2) = 4 3.00 / 1 1 + 0.5(1) = 2 1.50 / 1 0 + 0.5(1) = 1 0.50 0 ข้ันท่ี 4 เปิดตารางการแปลงคะแนนดิบให้เป็นคะแนนทีปกติ (อ้างใน ประภัสสร โคตะ ขนุ : https://sites.google.com/site/prapasara/f5-1 เข้าถึงขอ้ มูลเมือ่ 12 สิงหาคม 2561)

ห น้ า | 142 คา่ (cf + 0.5f) ๒๐ 19.5 55 55 56 57 58 59 60 62 65 70 คะแนน T ปกติ 19.0 54 55 55 56 57 58 59 61 63 66 ๑๙ สาหรบั ผเู้ ข้าสอบ 18.5 54 54 55 56 56 57 59 60 62 64 69 20 คน 18.0 53 54 54 55 56 57 58 59 61 63 66 ๑๘ 17.5 53 53 54 55 55 56 57 58 60 62 64 69 17.0 52 53 53 54 55 56 56 58 59 60 63 66 ๑๗ 16.5 52 52 53 53 54 55 56 57 58 59 61 64 69 16.0 51 52 52 53 54 54 55 56 57 58 61 62 66 ๑๖ 15.5 51 51 52 52 53 54 55 55 56 58 59 61 64 69 15.0 50 51 51 52 53 53 54 55 56 57 58 60 62 65 ๑๕ 14.5 50 50 51 51 52 53 53 54 55 56 57 59 61 63 68 14.0 50 50 51 51 52 52 53 54 54 55 56 58 59 62 65 ๑๔ 13.5 49 50 50 51 51 52 52 53 54 55 56 57 58 60 63 68 13.0 49 49 49 50 51 51 52 52 53 54 55 56 57 59 61 65 ๑๓ 12.5 48 49 49 49 50 51 51 52 52 53 54 55 56 58 60 62 68 12.0 48 48 49 49 49 50 51 51 52 53 53 54 55 57 58 61 64 ๑๒ 11.5 47 48 48 49 49 49 50 51 51 52 53 54 55 56 57 59 62 67 11.0 47 47 48 48 48 49 49 50 51 51 52 53 54 55 56 58 60 64 ๑๑ 10.5 46 47 47 48 48 48 49 49 50 51 51 52 53 54 55 57 59 62 67 10.0 46 46 47 47 47 48 48 49 49 50 51 51 52 53 54 56 57 60 63 ๑๐ Cf + 0.5f 9.5 45 46 46 47 47 47 48 48 49 49 50 51 52 52 53 55 56 58 61 66 9.5 9.0 9.0 45 45 45 46 46 47 47 48 48 49 49 50 51 52 53 54 55 57 59 63 8.5 8.0 8.5 45 45 45 45 46 46 47 47 48 48 49 49 50 51 52 53 54 56 58 60 7.5 7.0 8.0 44 44 45 45 45 46 46 46 47 47 48 49 49 50 51 52 53 54 56 58 6.5 6.0 7.5 43 44 44 44 45 45 45 46 46 47 47 48 48 49 50 51 52 53 55 57 5.5 5.0 7.0 43 43 43 44 44 44 45 45 46 46 47 47 48 48 49 50 51 52 54 55 4.5 4.0 6.5 42 43 43 43 44 44 44 45 45 45 46 46 47 48 48 49 50 51 52 54 3.5 3.0 6.0 42 42 42 43 43 43 44 44 44 45 45 46 46 47 47 48 49 50 51 53 2.5 2.0 5.5 41 41 42 42 42 43 43 43 44 44 44 45 45 46 47 47 48 49 50 51 1.5 1.0 5.0 41 41 41 41 42 42 42 42 43 43 44 44 45 45 46 46 47 48 49 50 0.5 4.5 40 40 40 41 41 41 41 42 42 42 43 43 44 44 45 45 46 47 48 49 4.0 39 39 40 40 40 40 41 41 41 42 42 42 43 43 44 44 45 46 46 47 3.5 38 38 39 39 39 39 40 40 40 41 41 41 42 42 43 43 44 44 45 46 3.0 37 38 38 38 38 38 39 39 39 40 40 40 41 41 42 42 43 43 44 45 2.5 36 36 37 37 37 37 38 38 38 38 39 39 39 40 40 41 41 42 42 43 2.0 35 35 35 36 36 36 36 37 37 37 37 38 38 38 39 39 40 40 41 42 1.5 34 34 34 34 34 35 35 35 35 36 36 36 36 37 37 38 38 38 39 40 1.0 32 32 32 32 32 33 33 33 33 34 34 34 34 35 35 35 36 36 37 37 0.5 29 29 29 29 29 30 30 30 30 30 31 31 31 31 32 32 32 33 33 34

ห น้ า | 143 ช่องทีเ่ ราต้องใช้คือช่องซ้ายมอื สดุ เปน็ ค่า (cf + 0.5f) และช่องที่ระบุจานวนผู้เข้าสอบ 20 คน (ล้อมกรอบด้วยเส้นสแี ดง) วิธีอ่านค่าจากตารางคอื อ่านคลุมแนวต้ัง ตั้งแตด่ ้านบนลงมา ด้านล่าง ค่า ( cf + 0.5f ) ค่าแรกสุดในตารางของเรา คือ 19.5 เม่ือดูจากตารางพบว่าจะได้ค่า คะแนนทีปกติเท่ากบั 70 ค่า (cf + 0.5f) ถัดมาในบรรทัดที่ 2 คือ 18.5 เม่ือดูจากตาราง จะเห็นว่าได้ค่าคะแนน ทีปกติ เท่ากบั 64 ค่า (cf + 0.5f) ถัดมาในบรรทัดที่ 3 คือ 16.5 เม่ือดูจากตาราง จะเห็นว่าได้ค่าคะแนน ทีปกติ เท่ากับ 59 ทาเชน่ นเี้ รื่อยๆ ไปจนครบทกุ บรรทัด คะแนน Tally ความถ่ี (f) ความถ่สี ะสม (cf) (cf + 0.5f) คะแนน T ดิบ ปกติ 27 /1 20 19.5 70 25 64 24 /1 19 18.5 59 23 55 21 /// 3 18 16.5 53 20 49 19 // 2 15 14.0 45 18 44 17 /1 13 12.5 42 15 40 14 ///// 5 12 9.5 36 12 30 / 1 7 6.5 / 1 6 5.5 / 1 5 4.5 // 2 4 3.0 / 1 2 1.5 / 1 1 0.5 ถ้าจานวนผู้เข้าสอบมีเป็นจานวนมาก เช่นเกิน 60 คน ขึ้นไปในที่นี้ก็จะไม่สามารถใช้ ตารางนี้หาคะแนนทีปกติได้ ในโปรแกรมคานวณคะแนนทีปกตินี้ได้เพิ่มช่อง Percentile ซึ่งจะ เป็นตัวบอกว่าผเู้ ข้าสอบมีตาแหน่งของคะแนนเหนือกว่าผสู้ อบท้ังหมดอยู่เท่าไร เป็นพืน้ ทีใ่ ต้เส้น โค้งปกติตรงตาแหน่งผเู้ ข้าสอบน้ันอยู่

ห น้ า | 144 = (������������+0.5 ������) พืน้ ทีใ่ ต้เส้นโค้งปกติ จานวนผู้เข้าสอบ เม่ือนาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ คูณด้วย 100 จะได้ค่า Percentile ของคะแนนของผู้เข้า สอบรายน้ัน เมือ่ ทราบพืน้ ที่ใต้เส้นโค้ง เราสามารถหาย้อนกลับได้ว่า คะแนน Z เท่าใดทาให้เกิด พืน้ ที่ใต้เส้นโค้งปกติ ค่าดังกล่าว สมการของเส้นโค้งปกติหาได้จาก f(z) = 1 e−21z2 √2π เมือ่ ได้ค่าคะแนน Z แล้ว หาคะแนน T ปกติ ได้จาก T = 10* Z + 50 เมือ่ เพิม่ คอลัมน์ Percentile จะได้ดงั ตาราง คะแนน ความถ่ี ความถ่ี (cf + 0.5f) คะแนน T ดิบ Tally (f) สะสม (cf) Percentile ปกติ 19.5 70 27 / 1 20 18.5 97.50 64 19 16.5 92.50 59 25 / 1 18 14.0 82.50 55 15 12.5 70.00 53 24 /// 3 13 9.5 62.50 49 12 6.5 47.50 45 23 // 2 7 5.5 32.50 44 6 4.5 27.50 42 21 / 1 5 3.0 22.50 40 4 1.5 15.00 36 20 ///// 5 2 0.5 7.50 30 1 2.50 19 / 1 18 / 1 17 / 1 15 // 2 14 / 1 12 / 1

ห น้ า | 145 เปรียบเทียบกับผลลัพธ์ที่ได้จากโปรแกรม ในโปรแกรมจะเห็นว่าคานวณคะแนนที ปกติ เปน็ ทศนิยม 2 ตาแหน่ง ขณะนีอ้ าศยั การเปิดตารางจะได้คะแนนทีปกติเป็นจานวนเต็ม RawScore Frequency Cum Freq Percentile T Score Grade 27.00 1 20 97.50 69.50 A 25.00 1 19 92.50 64.40 A 24.00 3 18 82.50 59.40 B+ 23.00 2 15 70.00 55.30 B 21.00 1 13 62.50 53.20 C+ 20.00 5 12 47.50 49.30 C 19.00 1 7 32.50 45.40 D+ 18.00 1 6 27.50 44.00 D+ 17.00 1 5 22.50 42.40 D+ 15.00 2 4 15.00 39.60 D 14.00 1 2 7.50 35.60 F 12.00 1 1 2.50 30.50 F ขนั้ ท่ี 5 เมื่อแปลงคะแนนดบิ เป็นคะแนนทีปกติ เรียบร้อยแลว้ ต่อไปกเ็ ข้าสู่ข้ันตอนการตัดเกรด