Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore รายงานการพัฒนาตนเองด้วยระบบออนไลน์ หลักสูตร “เทคนิคการสอนแคลคูลัสและบทประยุกต์”

รายงานการพัฒนาตนเองด้วยระบบออนไลน์ หลักสูตร “เทคนิคการสอนแคลคูลัสและบทประยุกต์”

Published by ครรชิต แซ่โฮ่, 2021-10-03 09:28:42

Description: นายครรชิต แซ่โฮ่ ตำแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครูชำนาญการ ปฏิบัติหน้าที่ ครูผู้สอนกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ได้เข้ารับการพัฒนาตนเองด้วยระบบออนไลน์ หลักสูตร “เทคนิคการสอนแคลคูลัสและบทประยุกต์” โครงการอบรมความรู้ทางวิชาการและการใช้เทคโนโลยีสารสนเทศสำหรับครูผู้สอนและบุคลากรในสถานศึกษา โรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ์ จ.นครปฐม ระหว่างวันที่ 22 – 23 สิงหาคม 2563

Search

Read the Text Version

������ 1 = 0 ������������ −������������������−1 = −������������������−1 = −������������−������−1 ������ ������������ (������������)2 ������2������ 17

แบบฝึกหัดเรือ่ งการหา 1. กาหนดให้ ������ = 5������3 + 14������2 − 3������−13 + 9 จงหา ������������ ������������ 2. กาหนดให้ ������(������) = 6 จงหา ������′(1) ������4 จงหาค่าขอ 3. กาหนดให้ ������ ������ = ������3 − 5������2 + 3������ + 8 4. กาหนดให้ ������ = (������3 + 4������ − 6)(4������2 + 5) จงหา ������������ ������������ จงหา ������������ 5. กาหนดให้ ������ = 6 6������2−1 ������������ 6. กาหนดให้ ������ = 3������7+������−1 จงหา ������������ ������ ������������ 4������−1 จงหา ������������ 7. กาหนดให้ ������ = ������2+1 ������������ จงหา ������������ 8. กาหนดให้ ������ = (1 − ���1���2)(4������3 + 12) ������������ ������ 9. กาหนดให้ ������ = (9������+7)(������−6 + 1) จงหา ������������ 5 ������������ 10. กาหนดให้ ������ ������ = (2������5 − ������3)(������+1) จงหาค่า ������′( ������−1

าอนพุ นั ธข์ องฟงั กช์ ัน ������ อง ������ ทท่ี าให้ ������′ ������ = 0 (������) 18

แบบฝึกหัดเร่อื งการหาอนุพ 11. เราทราบวา่ อนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชัน ������ คือ 1 สาหรบั ทุกๆค่า ������ 2 ������ lim ������−3 = ������→9 ������−9 1 1 ������−32 12. เราทราบว่าอนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชัน คือ 3 สาหรบั ทกุ ค่า ������ ������3 1 lim ������3−2 = 1 เป็นฟงั กช์ ันที่หาค่าอนพุ ันธไ์ ด้สาหร���บ���ั →ท8ุกค������−า่ 8������ ������ 13. กาหนดให้ ������ และ 14. กาหนดให้ ������ เป็นฟังก์ชนั ท่หี าค่าอนุพันธ์ได้สาหรบั ทกุ ค่า ������ และ จงหาคา่ ������ ท่ที าให้ ������′ ������ = 2 15. กาหนดให้ ������ เปน็ ฟงั ก์ชันทีห่ าคา่ อนพุ ันธไ์ ดแ้ ละ ������′ ������ = −1 16. กาหนดให้ ������ เปน็ ฟงั กช์ ันท่ีหาคา่ อนุพนั ธไ์ ด้และ ������′ ������ = −3 17. กาหนดให้ ������ 1 = 2 และ ������′ 1 = −4 จงหา ������′(1) เม 17.1 ������ ������ = ������������(������) 17.2 ������ ������

พันธข์ องฟงั กช์ นั ������ > 0 จงหาค่า ������ ที่ทาให้ 1 ������ ������ ≠ 0 จงหาค่า ������ ท่ที าให้ 1 ������ ะ ������ ������ = ������ ������ + 5 ถา้ ������′ 1 = 4 จงหาค่า ������′(1) ะ ������ ������ = ������(������ + 5) สาหรบั ทกุ ค่า ������ ถ้า ������′ 1 = 2 สาหรับทุกคา่ ������ และ ������ −3 = 10 จงหาฟังกช์ ัน ������(������) 3 สาหรับทกุ คา่ ������ และ ������ 2 = −3 จงหาฟงั กช์ นั ������(������) มอ่ื ������ = ������(������) 19 ������

Piecewise Function + ตวั อย่าง: บริษัทผลิตของเลน่ สาหรบั เด็ก ต้องการทจ่ี ะผลิตรางรถ โด เคลอื่ นไปในแนวเส้นตรงดงั รปู กาหนดให้ฟงั กช์ ันการเคลื่อนที่ (หน่ว ������ ������ = ൞ เพกพดพพ เพอ่ื ใหร้ ถเคลือ่ นท่ไี ดส้ ะดวก ������(������) ต้องเปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เน่อื งและหาอ จงหาค่า ������ และ ������ ทท่ี าให้ ������ ������ เปน็ ฟังกช์ ันต่อเน่อื งและหาอนพุ นั

+ Differentiability ดยเร่ิมจากรถเคลอื่ นไปตามเสน้ โคง้ parabola หลงั จากนั้นก็ วยเป็นน้วิ ) ของรถเดก็ เลน่ นิยามโดย ������2 + ������������ + ������ ; ������ < −10 ൞10−������ + 5 ; ������ ≥ −10 42 อนุพันธไ์ ดท้ ่ี ������ = −10 นธ์ไดท้ ่ี ������ = −10 20

คาตอบ: 1. สาหรบั ������ ������ ต่อเนื่องที่ ������ = −10 จะไดว้ ่า lim ������→1 นน่ั คือ 10 − 10������ + ������ = 5 2. สาหรับ ������ ������ หาอนุพันธไ์ ด้ท่ี ������ = −10 แสดงวา่ ������′ −10 = lim ������ ������ −������(−10) ตอ้ งหาคา่ ได้ ������→−10 ������+10 ???

m10− ������ ������ = ������(−10) า 21

อนพุ ันธ์ของฟงั กช์ นั ประกอบ ถา้ ������ หาอนุพันธไ์ ด้ที่ ������ และ ������ หาอนุพันธ์ไดท้ ่ี ������(������) แล้ว ������ ◦ จากสูตรนส้ี ามารถเขียนไดอ้ กี รปู แบบหนงึ่ ดังนี้ กาหนดให้ ������ = ������ ดงั น้นั ������������ = ������ ◦ ������ ′ ������ = ������′ ������ ������ ������′ ������ = ������′ ������ ������ ������������ นัน่ คอื ถ้า ������ เป็นฟังกช์ ันของ ������ และ ������ เปน็ ฟังก์ชันของ ������ จะได้ว ตวั อยา่ ง 7: กาหนดให้ ������ ������ = (4������ − 8)−3 จงหา ������′(������) เน่ืองจาก ������ ������ = ������(������(������)) โดยท่ี ������ ������ = 4������ − 8 และ ������ ดังนนั้ ������′ ������ = 4 และ ������′ ������ = −3������−4 จงึ ได้วา่ ������′ ������ = ������′ ������ ������ ������′ ������ = −12(4������ − 8)−4

บ (กฎลกู โซ่ chain rule) ◦ ������ ′(������) = ������′(������(������))������′(������) = ������(������) ������ ������ และให้ ������ = (������ ◦ ������)(������) จะได้วา่ ������ = ������ ������ ������ ������′ ������ = ������ ������ ������ ������������ = ������������ · ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ วา่ ������������ = ������������ · ������������ ������������ ������������ ������������ ������ ������ = ������−3 22

อนพุ ันธข์ องฟงั ตัวอยา่ ง: กาหนดให้ ℎ ������ = ������(������(������)) และ ������ ������ = ������(������(������ ถา้ อนพุ นั ธ์หาคา่ ไมไ่ ด้ให้เขยี น DNE 1. หาค่า ℎ′(−2) 2. หาคา่ ������′(−2)

งกช์ นั ประกอบ )) ใช้ประโยชนร์ ูปดา้ นล่างสาหรับการตอบคาถาม 23

อนุพนั ธ์ของฟัง ตัวอย่าง: สมมติมี snowball ทรงกลมก้อนหนึง่ กาลังละลาย ซึง่ รศั snowball กาลงั ละลายดว้ ยอัตราเรว็ เทา่ ไหร่ ขณะทร่ี ัศมี 10 เซนต

งกช์ ันประกอบ ศมลี ดลงดว้ ยอัตรา 0.75 ซม/นาที จงหาว่าพื้นทีผ่ วิ ของ ตเิ มตร 24

อนพุ ันธข์ องฟ ตัวอย่างท่ี 9: เด็กชายวษิ ณโุ ยนก้อนหนิ ลงไปในสระนา้ นงิ่ และทา เซนติเมตร/วนิ าที 1. จงเขียนสมการแสดงรศั มี ������ ของคลนื่ หลงั จากทกี่ อ้ นหนิ ถูกโยน 2. ถ้า ������ คอื พืน้ ท่ีของคลน่ื วงกลม จงอธิบายความหมายของ (������ ◦ 3. จงหาอตั ราการเปลย่ี นแปลงของพ้ืนที่ของคลื่น ขณะท่ี ������ = 5

ฟังกช์ นั ประกอบ าให้เกดิ คลน่ื เปน็ วงกลม ซง่ึ รศั มี ������ ของคล่นื เพ่มิ ขึ้นด้วยอตั รา 2 นลงไปในน้า ������ วินาที ◦ ������)(������) วนิ าที 25

อนพุ ันธ์ของฟ ตวั อยา่ ง: สมมตใิ ห้ความกว้างของรูปสเ่ี หลีย่ มมมุ ฉากเพมิ่ ข้นึ ทอ่ี ตั ร วินาที จงหาอตั ราการเปลย่ี นแปลงของพ้นื ท่ีเมอ่ื ความกวา้ งยาว 4

ฟงั กช์ นั ประกอบ รา 0.1 น้ิว/วนิ าที ขณะทีค่ วามยาวเพ่มิ ขึ้นดว้ ยอัตรา 0.2 นว้ิ / นิ้วและความยาว 8 นิ้ว 26

อนุพันธ์ของฟ ตวั อย่าง: คาบของการแกวง่ ของ pendulum ซ่งึ มีความยาว ������ เซนต ������ = 2������ ������ (หนว่ ยเปน็ ว ������ โดยท่ี ������ = 980 เซนตเิ มตร/วินาที สมมตใิ หอ้ ตั ราการเปลี่ยนแปลง อณุ หภมู ิ ������ (หน่วยเปน็ เซลเซยี ส) ดงั สมการ ������������ = 0.08 เซนติเม ������������ 1. จงหา ������������ เมอื่ ������ = 20 เซนตเิ มตร ������������ 2. ใชป้ ระโยชนข์ อ้ 1. ทีจ่ ะประมาณค่าการเปลีย่ นแปลงของ ������ เมือ่ ค่า 3. ทาเช่นเดยี วกบั ขอ้ 2. ท่ีจะประมาณค่าการเปล่ยี นแปลงของ ������ เม

ฟังกช์ นั ประกอบ 27 ติเมตร ถกู นิยามโดย วนิ าท)ี งของความยาวของ pendulum เทยี บกับ มตร/เซลเซยี ส าอณุ หภมู เิ พิม่ ข้ึน 1 องศาเซลเซียส มอ่ื ค่าอณุ หภูมลิ ดลง 2 องศาเซลเซียส

อนพุ นั ธ์ของ จงหาอนุพนั ธ์ของฟ 1. ������ ������ = (2������3 + ������−1)50 2. ������ = 3������2 − 2 3. ������ = (6������8 − 7)−19 4. ������ = 1 + 3) 5. ������ = 3 ������2−4������+8 ������ − 1 4(������ 6. ������ = (3������+7)5 (3������2+1)6 7. สมมตใิ ห้ ℎ ������ = ������(������(������)) โดยท่ี ������(������) และ ������(������) เปน็ ฟงั ก และ ������′(2) = −4 จงหาค่า ℎ′(−1) 8. จงหาฟังก์ชนั ������ ������ ทซี่ ่ึง ������′ ������ = (������(������))2 และ ������ 0 = 9. กาหนดให้ ������ ������ = ������ และ ������ ������ = 5������ + 4 จงหา ������′ ������+1 10. กาหนดให้ ℎ ������ 500 และ ℎ − 10 จงหา = 1−������2 ������ ℎ = 10.1 ������ℎ , ������������ ������������ ������ℎ

งฟงั กช์ ัน ฟังกช์ นั ตอ่ ไปนี้ ก์ชนั ที่หาค่าอนุพนั ธ์ได้ กาหนดให้ ������ −1 = 2, ������′ −1 = 3 2 ′(������) เมื่อ ������ ������ = ������(������(������)) 10.2 ������������ |������=2 28 ������������

เสน้ สมั ผสั เสน้ โค้ง ( จากรูปพิจารณาจุด ( ระหวา่ งจดุ ท้งั สองเรยี สามารถคานวณไดจ้ า ถา้ เรากาหนดให้ ������2 คาถาม: อะไรคอื ค่าความชนั ของเส้นสัมผสั ทจ่ี ุด ������1 การหาคา่ ความชนั ของ tangent line เราจะพิจารณาหาลิมติ ของ ความชันของ secant line lim ∆������ = lim ������ ������1+∆������ −������(������1) = ������′(������) ∆������→0 ∆������ ∆������→0 ∆������

(Tangent Line) (������1, ������(������1)) และ (������2, ������(������2)) บนกราฟ เสน้ ทลี่ ากเชือ่ ม ยกว่า secant line ดังน้ัน ความชนั ของเสน้ secant line าก ������ = ∆������ = ������ ������2 −������(������1) ∆������ ������2−������1 2 = ������1 + ∆������ ดังนน้ั จะได้วา่ ������ = ∆������ = ������ ������1 + ∆������ − ������(������1) ∆������ ∆������ 29

GeoGebra + 1. เข้าไปท่ลี ิงก์ https://www.geogebra.org/ และเล

+ Derivative ลือก GeoGebra Classic 30

2. สร้างฟงั กช์ นั ทต่ี อ้ งการ ดังตวั อย่าง ������ ������ = ������3 − 10������ + 4 ถา้ ต้องการตงั้ ค่าแกน x แกน y ใหค้ ลกิ ขวา หลงั จากนั้นคลกิ ท

4 ท่ี Graphics ดงั ในรปู 31

3. สรา้ ง Slider โดยคลกิ ที่ป่มุ ที่วงกลมสแี ดงดงั ในรปู และหลงั จาก

กน้นั ใหเ้ ลอื ก Slider 32

4. หลงั จากน้นั จะปรากฏดงั ในรปู ใหค้ ลกิ OK หรอื ปรบั เปลี่ยนคา่ M

Min Max ตามตอ้ งการ 33

5. หลงั จากต้งั คา่ Slider แลว้ ใหพ้ มิ พค์ าสั่ง ������ = ������ เพ่อื เป

ปน็ การสรา้ งเสน้ ตง้ั ฉากไวส้ าหรบั การเลื่อนจดุ บนกราฟ ดังรปู 34

6. สรา้ งจดุ ท่อี ยู่บนกราฟทตี่ ดั กับเสน้ ตง้ั ฉาก ������ = ������ ดงั รูป - คลกิ ทหี มายเลข 1 และ 2 ตามลาดบั - คลกิ จดุ บนกราฟท่ตี ัดกบั เส้นตง้ั ฉาก ������ = ������ (ถา้ จุดท่เี ราค

คลกิ เป็นจดุ บนกราฟจรงิ เราจะเห็นคาส่งั Intersect อตั โนมตั )ิ 35

7. ถ้าไม่อยากให้เสน้ ตง้ั ฉากปรากฏ ใหค้ ลิกขวาท่ีเส้นตง้ั ฉาก หลงั ต่อไปจะสรา้ งเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ (tangent line) ท่จี ดุ A ดงั ร 7.1 คลกิ ท่หี มายเลข 1 7.2 เลือก Tangents

งจากนั้นคลกิ ท่ี show object รูป s หมายเลข 2 7.3 คลิกท่จี ุด A และคลกิ ที่กราฟ 36

8. ต่อไปจะพิจารณาคา่ slope ของเส้นสมั ผัส 8.1 คลิกท่ีปมุ่ หมายเลข 1 ดงั รปู 8.2 คลกิ ที่ Slope (หมาย

ยเลข 2) 8.3 หลังจากนั้นคา่ slope จะปรากฏดังหมายเลข 3 37

9. ต่อไปเราจะสร้างจุดทสี่ มั พนั ธ์กับ ������ และ slope ������ ให้พิมพ์ P สังเกตวา่ ถา้ เราเลอื่ นค่า ������ ท่ี slider จดุ ������ กจ็ ะเปลยี่ นตาแหนง่

P = (a,m) ดงั ตวั อย่างในรูป งด้วย 38

10. เราตอ้ งการท่จี ะวาดกราฟของ derivative ของฟงั ก์ชัน ดังนั้นต โดยการคลิกขวาทจ่ี ดุ ������ แลว้ เลือก Show trace ดังรปู

ตอ้ ง plot ทุกๆจดุ ������ ที่สมั พนั ธก์ ับคา่ ������ 39

11. หลังจากกด Show trace แลว้ ใหเ้ ล่อื นคา่ slider ให้ครอบคล

ลมุ ทกุ จานวน จะไดจ้ ุดหลายจดุ ดังในรปู 40

12. เราสามารถตรวจสอบฟงั ก์ชนั อนพุ นั ธไ์ ด้ โดยพมิ พ์คาส่งั ������′(������)

) ซ่งึ จะปรากฏเป็นกราฟใหด้ งั รปู 41

13. เราสามารถตั้งคา่ ให้แสดงกราฟของอนพุ ันธข์ องฟงั กช์ นั ได้ โดยค