������ 1 = 0 ������������ −������������������−1 = −������������������−1 = −������������−������−1 ������ ������������ (������������)2 ������2������ 17
แบบฝึกหัดเรือ่ งการหา 1. กาหนดให้ ������ = 5������3 + 14������2 − 3������−13 + 9 จงหา ������������ ������������ 2. กาหนดให้ ������(������) = 6 จงหา ������′(1) ������4 จงหาค่าขอ 3. กาหนดให้ ������ ������ = ������3 − 5������2 + 3������ + 8 4. กาหนดให้ ������ = (������3 + 4������ − 6)(4������2 + 5) จงหา ������������ ������������ จงหา ������������ 5. กาหนดให้ ������ = 6 6������2−1 ������������ 6. กาหนดให้ ������ = 3������7+������−1 จงหา ������������ ������ ������������ 4������−1 จงหา ������������ 7. กาหนดให้ ������ = ������2+1 ������������ จงหา ������������ 8. กาหนดให้ ������ = (1 − ���1���2)(4������3 + 12) ������������ ������ 9. กาหนดให้ ������ = (9������+7)(������−6 + 1) จงหา ������������ 5 ������������ 10. กาหนดให้ ������ ������ = (2������5 − ������3)(������+1) จงหาค่า ������′( ������−1
าอนพุ นั ธข์ องฟงั กช์ ัน ������ อง ������ ทท่ี าให้ ������′ ������ = 0 (������) 18
แบบฝึกหัดเร่อื งการหาอนุพ 11. เราทราบวา่ อนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชัน ������ คือ 1 สาหรบั ทุกๆค่า ������ 2 ������ lim ������−3 = ������→9 ������−9 1 1 ������−32 12. เราทราบว่าอนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชัน คือ 3 สาหรบั ทกุ ค่า ������ ������3 1 lim ������3−2 = 1 เป็นฟงั กช์ ันที่หาค่าอนพุ ันธไ์ ด้สาหร���บ���ั →ท8ุกค������−า่ 8������ ������ 13. กาหนดให้ ������ และ 14. กาหนดให้ ������ เป็นฟังก์ชนั ท่หี าค่าอนุพันธ์ได้สาหรบั ทกุ ค่า ������ และ จงหาคา่ ������ ท่ที าให้ ������′ ������ = 2 15. กาหนดให้ ������ เปน็ ฟงั ก์ชันทีห่ าคา่ อนพุ ันธไ์ ดแ้ ละ ������′ ������ = −1 16. กาหนดให้ ������ เปน็ ฟงั กช์ ันท่ีหาคา่ อนุพนั ธไ์ ด้และ ������′ ������ = −3 17. กาหนดให้ ������ 1 = 2 และ ������′ 1 = −4 จงหา ������′(1) เม 17.1 ������ ������ = ������������(������) 17.2 ������ ������
พันธข์ องฟงั กช์ นั ������ > 0 จงหาค่า ������ ที่ทาให้ 1 ������ ������ ≠ 0 จงหาค่า ������ ท่ที าให้ 1 ������ ะ ������ ������ = ������ ������ + 5 ถา้ ������′ 1 = 4 จงหาค่า ������′(1) ะ ������ ������ = ������(������ + 5) สาหรบั ทกุ ค่า ������ ถ้า ������′ 1 = 2 สาหรับทุกคา่ ������ และ ������ −3 = 10 จงหาฟังกช์ ัน ������(������) 3 สาหรับทกุ คา่ ������ และ ������ 2 = −3 จงหาฟงั กช์ นั ������(������) มอ่ื ������ = ������(������) 19 ������
Piecewise Function + ตวั อย่าง: บริษัทผลิตของเลน่ สาหรบั เด็ก ต้องการทจ่ี ะผลิตรางรถ โด เคลอื่ นไปในแนวเส้นตรงดงั รปู กาหนดให้ฟงั กช์ ันการเคลื่อนที่ (หน่ว ������ ������ = ൞ เพกพดพพ เพอ่ื ใหร้ ถเคลือ่ นท่ไี ดส้ ะดวก ������(������) ต้องเปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เน่อื งและหาอ จงหาค่า ������ และ ������ ทท่ี าให้ ������ ������ เปน็ ฟังกช์ ันต่อเน่อื งและหาอนพุ นั
+ Differentiability ดยเร่ิมจากรถเคลอื่ นไปตามเสน้ โคง้ parabola หลงั จากนั้นก็ วยเป็นน้วิ ) ของรถเดก็ เลน่ นิยามโดย ������2 + ������������ + ������ ; ������ < −10 ൞10−������ + 5 ; ������ ≥ −10 42 อนุพันธไ์ ดท้ ่ี ������ = −10 นธ์ไดท้ ่ี ������ = −10 20
คาตอบ: 1. สาหรบั ������ ������ ต่อเนื่องที่ ������ = −10 จะไดว้ ่า lim ������→1 นน่ั คือ 10 − 10������ + ������ = 5 2. สาหรับ ������ ������ หาอนุพันธไ์ ด้ท่ี ������ = −10 แสดงวา่ ������′ −10 = lim ������ ������ −������(−10) ตอ้ งหาคา่ ได้ ������→−10 ������+10 ???
m10− ������ ������ = ������(−10) า 21
อนพุ ันธ์ของฟงั กช์ นั ประกอบ ถา้ ������ หาอนุพันธไ์ ด้ที่ ������ และ ������ หาอนุพันธ์ไดท้ ่ี ������(������) แล้ว ������ ◦ จากสูตรนส้ี ามารถเขียนไดอ้ กี รปู แบบหนงึ่ ดังนี้ กาหนดให้ ������ = ������ ดงั น้นั ������������ = ������ ◦ ������ ′ ������ = ������′ ������ ������ ������′ ������ = ������′ ������ ������ ������������ นัน่ คอื ถ้า ������ เป็นฟังกช์ ันของ ������ และ ������ เปน็ ฟังก์ชันของ ������ จะได้ว ตวั อยา่ ง 7: กาหนดให้ ������ ������ = (4������ − 8)−3 จงหา ������′(������) เน่ืองจาก ������ ������ = ������(������(������)) โดยท่ี ������ ������ = 4������ − 8 และ ������ ดังนนั้ ������′ ������ = 4 และ ������′ ������ = −3������−4 จงึ ได้วา่ ������′ ������ = ������′ ������ ������ ������′ ������ = −12(4������ − 8)−4
บ (กฎลกู โซ่ chain rule) ◦ ������ ′(������) = ������′(������(������))������′(������) = ������(������) ������ ������ และให้ ������ = (������ ◦ ������)(������) จะได้วา่ ������ = ������ ������ ������ ������′ ������ = ������ ������ ������ ������������ = ������������ · ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ วา่ ������������ = ������������ · ������������ ������������ ������������ ������������ ������ ������ = ������−3 22
อนพุ ันธข์ องฟงั ตัวอยา่ ง: กาหนดให้ ℎ ������ = ������(������(������)) และ ������ ������ = ������(������(������ ถา้ อนพุ นั ธ์หาคา่ ไมไ่ ด้ให้เขยี น DNE 1. หาค่า ℎ′(−2) 2. หาคา่ ������′(−2)
งกช์ นั ประกอบ )) ใช้ประโยชนร์ ูปดา้ นล่างสาหรับการตอบคาถาม 23
อนุพนั ธ์ของฟัง ตัวอย่าง: สมมติมี snowball ทรงกลมก้อนหนึง่ กาลังละลาย ซึง่ รศั snowball กาลงั ละลายดว้ ยอัตราเรว็ เทา่ ไหร่ ขณะทร่ี ัศมี 10 เซนต
งกช์ ันประกอบ ศมลี ดลงดว้ ยอัตรา 0.75 ซม/นาที จงหาว่าพื้นทีผ่ วิ ของ ตเิ มตร 24
อนพุ ันธข์ องฟ ตัวอย่างท่ี 9: เด็กชายวษิ ณโุ ยนก้อนหนิ ลงไปในสระนา้ นงิ่ และทา เซนติเมตร/วนิ าที 1. จงเขียนสมการแสดงรศั มี ������ ของคลนื่ หลงั จากทกี่ อ้ นหนิ ถูกโยน 2. ถ้า ������ คอื พืน้ ท่ีของคลน่ื วงกลม จงอธิบายความหมายของ (������ ◦ 3. จงหาอตั ราการเปลย่ี นแปลงของพ้ืนที่ของคลื่น ขณะท่ี ������ = 5
ฟังกช์ นั ประกอบ าให้เกดิ คลน่ื เปน็ วงกลม ซง่ึ รศั มี ������ ของคล่นื เพ่มิ ขึ้นด้วยอตั รา 2 นลงไปในน้า ������ วินาที ◦ ������)(������) วนิ าที 25
อนพุ ันธ์ของฟ ตวั อยา่ ง: สมมตใิ ห้ความกว้างของรูปสเ่ี หลีย่ มมมุ ฉากเพมิ่ ข้นึ ทอ่ี ตั ร วินาที จงหาอตั ราการเปลย่ี นแปลงของพ้นื ท่ีเมอ่ื ความกวา้ งยาว 4
ฟงั กช์ นั ประกอบ รา 0.1 น้ิว/วนิ าที ขณะทีค่ วามยาวเพ่มิ ขึ้นดว้ ยอัตรา 0.2 นว้ิ / นิ้วและความยาว 8 นิ้ว 26
อนุพันธ์ของฟ ตวั อย่าง: คาบของการแกวง่ ของ pendulum ซ่งึ มีความยาว ������ เซนต ������ = 2������ ������ (หนว่ ยเปน็ ว ������ โดยท่ี ������ = 980 เซนตเิ มตร/วินาที สมมตใิ หอ้ ตั ราการเปลี่ยนแปลง อณุ หภมู ิ ������ (หน่วยเปน็ เซลเซยี ส) ดงั สมการ ������������ = 0.08 เซนติเม ������������ 1. จงหา ������������ เมอื่ ������ = 20 เซนตเิ มตร ������������ 2. ใชป้ ระโยชนข์ อ้ 1. ทีจ่ ะประมาณค่าการเปลีย่ นแปลงของ ������ เมือ่ ค่า 3. ทาเช่นเดยี วกบั ขอ้ 2. ท่ีจะประมาณค่าการเปล่ยี นแปลงของ ������ เม
ฟังกช์ นั ประกอบ 27 ติเมตร ถกู นิยามโดย วนิ าท)ี งของความยาวของ pendulum เทยี บกับ มตร/เซลเซยี ส าอณุ หภมู เิ พิม่ ข้ึน 1 องศาเซลเซียส มอ่ื ค่าอณุ หภูมลิ ดลง 2 องศาเซลเซียส
อนพุ นั ธ์ของ จงหาอนุพนั ธ์ของฟ 1. ������ ������ = (2������3 + ������−1)50 2. ������ = 3������2 − 2 3. ������ = (6������8 − 7)−19 4. ������ = 1 + 3) 5. ������ = 3 ������2−4������+8 ������ − 1 4(������ 6. ������ = (3������+7)5 (3������2+1)6 7. สมมตใิ ห้ ℎ ������ = ������(������(������)) โดยท่ี ������(������) และ ������(������) เปน็ ฟงั ก และ ������′(2) = −4 จงหาค่า ℎ′(−1) 8. จงหาฟังก์ชนั ������ ������ ทซี่ ่ึง ������′ ������ = (������(������))2 และ ������ 0 = 9. กาหนดให้ ������ ������ = ������ และ ������ ������ = 5������ + 4 จงหา ������′ ������+1 10. กาหนดให้ ℎ ������ 500 และ ℎ − 10 จงหา = 1−������2 ������ ℎ = 10.1 ������ℎ , ������������ ������������ ������ℎ
งฟงั กช์ ัน ฟังกช์ นั ตอ่ ไปนี้ ก์ชนั ที่หาค่าอนุพนั ธ์ได้ กาหนดให้ ������ −1 = 2, ������′ −1 = 3 2 ′(������) เมื่อ ������ ������ = ������(������(������)) 10.2 ������������ |������=2 28 ������������
เสน้ สมั ผสั เสน้ โค้ง ( จากรูปพิจารณาจุด ( ระหวา่ งจดุ ท้งั สองเรยี สามารถคานวณไดจ้ า ถา้ เรากาหนดให้ ������2 คาถาม: อะไรคอื ค่าความชนั ของเส้นสัมผสั ทจ่ี ุด ������1 การหาคา่ ความชนั ของ tangent line เราจะพิจารณาหาลิมติ ของ ความชันของ secant line lim ∆������ = lim ������ ������1+∆������ −������(������1) = ������′(������) ∆������→0 ∆������ ∆������→0 ∆������
(Tangent Line) (������1, ������(������1)) และ (������2, ������(������2)) บนกราฟ เสน้ ทลี่ ากเชือ่ ม ยกว่า secant line ดังน้ัน ความชนั ของเสน้ secant line าก ������ = ∆������ = ������ ������2 −������(������1) ∆������ ������2−������1 2 = ������1 + ∆������ ดังนน้ั จะได้วา่ ������ = ∆������ = ������ ������1 + ∆������ − ������(������1) ∆������ ∆������ 29
GeoGebra + 1. เข้าไปท่ลี ิงก์ https://www.geogebra.org/ และเล
+ Derivative ลือก GeoGebra Classic 30
2. สร้างฟงั กช์ นั ทต่ี อ้ งการ ดังตวั อย่าง ������ ������ = ������3 − 10������ + 4 ถา้ ต้องการตงั้ ค่าแกน x แกน y ใหค้ ลกิ ขวา หลงั จากนั้นคลกิ ท
4 ท่ี Graphics ดงั ในรปู 31
3. สรา้ ง Slider โดยคลกิ ที่ป่มุ ที่วงกลมสแี ดงดงั ในรปู และหลงั จาก
กน้นั ใหเ้ ลอื ก Slider 32
4. หลงั จากน้นั จะปรากฏดงั ในรปู ใหค้ ลกิ OK หรอื ปรบั เปลี่ยนคา่ M
Min Max ตามตอ้ งการ 33
5. หลงั จากต้งั คา่ Slider แลว้ ใหพ้ มิ พค์ าสั่ง ������ = ������ เพ่อื เป
ปน็ การสรา้ งเสน้ ตง้ั ฉากไวส้ าหรบั การเลื่อนจดุ บนกราฟ ดังรปู 34
6. สรา้ งจดุ ท่อี ยู่บนกราฟทตี่ ดั กับเสน้ ตง้ั ฉาก ������ = ������ ดงั รูป - คลกิ ทหี มายเลข 1 และ 2 ตามลาดบั - คลกิ จดุ บนกราฟท่ตี ัดกบั เส้นตง้ั ฉาก ������ = ������ (ถา้ จุดท่เี ราค
คลกิ เป็นจดุ บนกราฟจรงิ เราจะเห็นคาส่งั Intersect อตั โนมตั )ิ 35
7. ถ้าไม่อยากให้เสน้ ตง้ั ฉากปรากฏ ใหค้ ลิกขวาท่ีเส้นตง้ั ฉาก หลงั ต่อไปจะสรา้ งเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ (tangent line) ท่จี ดุ A ดงั ร 7.1 คลกิ ท่หี มายเลข 1 7.2 เลือก Tangents
งจากนั้นคลกิ ท่ี show object รูป s หมายเลข 2 7.3 คลิกท่จี ุด A และคลกิ ที่กราฟ 36
8. ต่อไปจะพิจารณาคา่ slope ของเส้นสมั ผัส 8.1 คลิกท่ีปมุ่ หมายเลข 1 ดงั รปู 8.2 คลกิ ที่ Slope (หมาย
ยเลข 2) 8.3 หลังจากนั้นคา่ slope จะปรากฏดังหมายเลข 3 37
9. ต่อไปเราจะสร้างจุดทสี่ มั พนั ธ์กับ ������ และ slope ������ ให้พิมพ์ P สังเกตวา่ ถา้ เราเลอื่ นค่า ������ ท่ี slider จดุ ������ กจ็ ะเปลยี่ นตาแหนง่
P = (a,m) ดงั ตวั อย่างในรูป งด้วย 38
10. เราตอ้ งการท่จี ะวาดกราฟของ derivative ของฟงั ก์ชัน ดังนั้นต โดยการคลิกขวาทจ่ี ดุ ������ แลว้ เลือก Show trace ดังรปู
ตอ้ ง plot ทุกๆจดุ ������ ที่สมั พนั ธก์ ับคา่ ������ 39
11. หลังจากกด Show trace แลว้ ใหเ้ ล่อื นคา่ slider ให้ครอบคล
ลมุ ทกุ จานวน จะไดจ้ ุดหลายจดุ ดังในรปู 40
12. เราสามารถตรวจสอบฟงั ก์ชนั อนพุ นั ธไ์ ด้ โดยพมิ พ์คาส่งั ������′(������)
) ซ่งึ จะปรากฏเป็นกราฟใหด้ งั รปู 41
13. เราสามารถตั้งคา่ ให้แสดงกราฟของอนพุ ันธข์ องฟงั กช์ นั ได้ โดยค
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- 197
- 198
- 199
- 200
- 201
- 202
- 203
- 204
- 205
- 206
- 207
- 208
- 209
- 210
- 211
- 212
- 213
- 214
- 215
- 216
- 217
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- 223
- 224
- 225
- 226
- 227
- 228
- 229
- 230
- 231
- 232
- 233
- 234
- 235
- 236
- 237
- 238
- 239
- 240
- 241
- 242
- 243