finite Integral) ดงั รปู จงหาพ้ืนทบี่ รเิ วณที่ กน ������ (นั่นคอื พน้ื ทแ่ี รเงา , ������1, ������2 , ⋯ [������������−1, ������������] หลงั จากนนั้ สร้าง ฉาก ������ = ������������ − ������������−1 ≤ ������ ≤ ������ ������)∆������������ ≈ ������ พืน้ ทสี่ เ่ี หลี่ยมจะ σ������������=1 ������(������������)∆������������ ������ = lim σ������������=1 ������(������������)∆������������ 14 max ∆������→0
GeoGebra + D 1. เขา้ ไปยังเว็ปไซต์ https://www.geogebra.org/ 2. คลิกป่มุ รูปสเี่ หล่ยี ม 9 จุดมมุ บนขวา แลว้ เลอื ก GeoGebra C 3. ในชอ่ ง Input ให้พิมพฟ์ งั กช์ ันที่ตอ้ งการ เชน่ ������ ������ = −0.5������3 + 2������2 + 1
Definite Integral Classic 15
4. กาหนดคา่ ขอบเขตของการอินทเิ กรต เชน่ ������ = (−2,0) และ
������ = (3,0) 16
5. ต้งั คา่ slider ดงั รูป ใหค้ ลิกท่หี มายเลข 1 และหมายเลข 2 ตามล
ลาดบั 17
6. ใหต้ ั้งคา่ slider ดงั ตัวอยา่ งในรปู โดยท่ี ������ เป็นจานวนช่องทจ่ี ะ
ะแบง่ ในตวั อย่าง 1 ≤ ������ ≤ 100 18
7. กาหนดคา่ UpperSum โดยพิมพค์ าว่า UpperSum แล้วคาส
ส่งั กจ็ ะปรากฏขึ้นมา หลงั จากน้นั ใหเ้ ราตั้งคา่ ดังตวั อยา่ งเชน่ 19
8. กาหนดคา่ LowerSum โดยพิมพค์ าว่า LowerSum แล้วคาส
ส่งั กจ็ ะปรากฏขึ้นมา หลงั จากนน้ั ใหเ้ ราตั้งคา่ ดังตวั อยา่ งเชน่ 20
9. เนือ่ งจากสขี อง UpperSum และ LowerSum ใกล้เคยี งกัน อาจ ปุ่มวงกลมดงั รปู แล้วเลอื ก Setting
จจะตอ้ งตง้ั คา่ สีใหมเ่ พื่อใหง้ า่ ยตอ่ การสงั เกต โดยการคลกิ ขวาท่ี 21
10. หลังจากนั้นจะเหน็ คาสง่ั ใหเ้ ลือกสี ดงั ตวั อยา่ ง
22
11. หากตอ้ งการดคู วามแตกต่างระหว่าง UpperSum และ Lowe
erSum ก็สามารถทาไดด้ งั ตวั อยา่ ง 23
12. พมิ พค์ าส่งั Integral เพอื่ ทจี่ ะดคู ่าปริพันธ์จากดั เขตบนช่วงท่เี ร LowerSum และ Integral ดงั ตวั อย่าง
ราสนใจ แลว้ ดูความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งค่า UpperSum 24
Applications of Definite In ตวั อย่าง: สมมตใิ หร้ ถยนตเ์ คลอื่ นทดี่ ว้ ยความเร็ว ������ ������ = 5 เมตร วนิ าที (พจิ ารณา ∆������ ในชว่ ง ∆������ = 4) ดงั นัน้ ������ = ∆������ นั่นคือ ∆������ Area under function: ������ 1 ; 0 ≤ ������ ≤ 2 ถา้ ลองเปลี่ยนเปน็ ������ ������ = ቐ ������ พน้ื ทีใ่ ตก้ รา ������ 2 ; ������ > 2 ������
ntegral (Area under function) ร/วินาที และเราสนใจการเปลี่ยนแปลงของระยะทางในช่วงเวลา 4 อ ∆������ = ������∆������ = 5 ������ ∙ 4������ = 20 ������ ������ าฟจะบอกอะไรเรา??? 25
Applications of Definite In ตัวอยา่ ง: ดวงกมลเดนิ จากบา้ นไปตลาดดว้ ยอตั ราเร็ว ������ ������ กิโล 23 ������ ������ ������������ = 6 ก. ดวงกมลเดนิ ไดร้ ะยะทาง 6 กโิ ลเมตรตอ่ ช่วั โมง ข. ดวงกมลเดนิ ได้ระยะทาง 6 กโิ ลเมตรภายใน 3 ชั่วโมง ค. ดวงกมลเดินไดร้ ะยะทาง 6 กิโลเมตรขณะท่ี ������ = 3 ง. อัตราเร็วในการเดนิ ของดวงกมลเพม่ิ ขึ้น 6 กโิ ลเมตร ระหวา่ งช
ntegral (Area under function) ลเมตร/ช่วั โมง (โดยท่ี ������ มีหน่วยเป็นชั่วโมง) หมายความว่าอย่างไร ชว่ั โมงท่ี 2 และ 3 26
Applications of D ตวั อยา่ ง: กรกชมีรายได้คดิ เปน็ ������ ������ (หนว่ ยเป็น 1000 บาท/เด ในเดือนทหี่ นึ่ง ดังนนั้ 3 + 15 ������ ������ ������������ = 19 หมายความวา่ อย ก. กรกชได้รบั เงินเพ่มิ มาคิดเปน็ 19,000 บาท ระหวา่ งเดอื นท ข. โดยเฉลีย่ แลว้ กรกชมรี ายไดค้ ดิ เปน็ 19,000 บาทต่อเดือน ค. กรกชได้รบั รายไดเ้ ปน็ เงนิ 19,000 บาทในเดอื นทหี่ า้ ง. ส้นิ เดอื นทีห่ า้ กรกชได้รับเงนิ ทงั้ หมดคิดเป็น 19,000 บาท
Definite Integral ดือน) โดยที่ ������ เปน็ จานวนของเดอื น ถา้ กรกชได้รบั 3,000 บาท ย่างไร ทห่ี นึ่งถึงเดอื นทีห่ า้ 27
Applications of D ตัวอยา่ ง: กาหนดให้ ������ ������ คือปริมาณนา้ ตาลที่ผลติ ได้ (หนว่ ยเป็น ผลิตในแตล่ ะวัน 04 ������′ ������ ������������ หมายความว่า ก. อตั ราการเปลยี่ นแปลงของปรมิ าณการผลติ นา้ ตาลในช่วง 4 ข. เวลาท่ีใชใ้ นการผลิตนา้ ตาล 4 กิโลกรัม ค. อัตราการเปล่ยี นแปลงของการผลติ นา้ ตาล ณ ช่วั โมงท่ี 4 ง. ปรมิ าณนา้ ตาลทผ่ี ลติ ไดใ้ นช่วง 4 ช่วั โมงแรก
Definite Integral นกโิ ลกรัม) ในโรงงานแหง่ หน่งึ โดยที่ ������ เป็นจานวนชัว่ โมงในการ าอยา่ งไร ขว่ั โมงแรก 28
Applications of D ตัวอยา่ ง: จานวนประชากรของเมืองหน่ึงเพ่ิมข้ึนดว้ ยอตั รา ������ ������ = มีจานวนประชากร 1000 คน จงหาจานวนประชากร ขณะท่ี ������ = ก. ������′ 6 − ������′ 2 ข. 26 ������ ������ ������������ ค. 06 ������ ������ ������������ ง. 1000 + 26 ������ ������ ������������
Definite Integral = 300 ∙ ������0.3������ คน/ปี (������ เปน็ จานวนป)ี ขณะท่ี ������ = 2 6 29
Applications of D ตัวอยา่ ง: ความสงู ของน้าในบ่อนา้ เปลี่ยนแปลงดว้ ยอัตรา ������ ������ = 0 น้าในบอ่ มคี วามลกึ 35 เซนตเิ มตร จงหาการเปลยี่ นแปลงของคว ก. 34 ������ ������ ������������ ข. 45 ������ ������ ������������ ค. 04 ������ ������ ������������ ง. 44 ������ ������ ������������
Definite Integral 0.2 เซนติเมตรต่อนาที (โดยท่ี ������ มหี น่วยเปน็ นาที) ขณะท่ี ������ = วามสงู ของนา้ ขณะ ������ = 4 30
Applications of D ตัวอยา่ ง: สมมตใิ หว้ ตั ถเุ คล่อื นท่ไี ปตำมแกน ������ (หน่วยเป็นเซน ������ 0 = 15 รูปดำ้ นลำ่ งแสดงกรำฟของฟังกช์ นั ������(������) (ความ 1. จงหาการกระจดั ระหวา่ 2. จงหาระยะทางทง้ั หมดทว่ี 3. จงบอกตาแหน่งของวตั ถ 4. ให้ประมาณค่าตาแหน่งข 5. ให้ประมาณค่าตาแหนง่ ข
Definite Integral นตเิ มตร) กำหนดใหต้ ำแหน่งเรม่ิ ตน้ ท่ี ������ = 0 วนิ ำที เทำ่ กบั มเรว็ ของการเคลือ่ นท่ี) เลข 4, 5, 24 แสดงพ้ืนที่ใตก้ ราฟ าง ������ = 0 ถึง ������ = ������ วัตถุเคล่อื นทีไ่ ดร้ ะหว่าง ������ = 0 ถงึ ������ = ������ ถุท่เี วลา ������, ������ และ c ของวัตถุทีม่ ีค่าความเร่งเป็นบวกมากทส่ี ดุ บนชว่ ง [0, ������] ของวตั ถุท่มี คี ่าความเร่งเปน็ บวกทมี่ ากทสี่ ุดบนช่วง [0, ������] 31
Applications of D ตวั อยา่ ง: กาหนดกราฟของความเรว็ ในการเคลือ่ นท่ขี องวตั ถุชนิดหนง่ึ 1. จงหาตาแหน่งทว่ี ัตถุหยดุ การเคล่อื นที่ 2. จงหาระยะทางทงั้ หมดทว่ี ตั ถเุ คล่อื นทไ่ี ด้
Definite Integral งที่เคล่อื นทไ่ี ปตามแกน ������ ดงั รปู ถ้าวตั ถเุ ริ่มท่ี ������ = 2 เมื่อ ������ = 0 32
Applications of D ตัวอย่าง: (Area of an Enclosed Region) จงหาพืน้ ที่ของบริเวณ และเสน้ ������ = −������
Definite Integral ณท่ีปดิ ล้อมด้วยเสน้ โคง้ พาราโบลา ������ = 2 − ������2 33
Applications of D ตัวอย่าง: (Finding Area using Subregions) จงหาพื้นทีท่ ป่ี ิดลอ้
Definite Integral อมดว้ ยเสน้ โคง้ ������ = ������ และ ������ = ������ − 2 และแกน ������ 34
Referen 1. Roger B. Nelsen, Proof without Words: Integra No. 2 (Apr., 1991), p. 130 2. Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Calcu
nces ation by Parts, Mathematics Magazine, Vol. 64, ulus, 10th edition 35
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- 197
- 198
- 199
- 200
- 201
- 202
- 203
- 204
- 205
- 206
- 207
- 208
- 209
- 210
- 211
- 212
- 213
- 214
- 215
- 216
- 217
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- 223
- 224
- 225
- 226
- 227
- 228
- 229
- 230
- 231
- 232
- 233
- 234
- 235
- 236
- 237
- 238
- 239
- 240
- 241
- 242
- 243