Calculus Teaching Techni เทคนิคการสอนแคลค อาจารยม์ นสกิ าร สาขาวิชาคณิตศาสตรแ์ ล โรงเรียนมหิดลว Department of Mathematics and Com Mahidol Wittayanusorn School
ระดับมธั ยมศึกษาปีท่ี 6 iques and Applications คูลสั และบทประยุกต ์ ร จนั ทรส์ ร้าง ละวทิ ยาการคานวณ วทิ ยานสุ รณ์ mputational Science 1
อนุพันธ์ของฟงั ก์ชนั (De ในชว่ งวนั หยดุ สุดสปั ดาห์ ณคณุ ขับรถพาครอบครวั ไปเท่ียวชายทะเล ขึ้นอยกู่ บั ปัจจัยตา่ งๆเชน่ ปริมาณรถบนถนน สภาพถนน สภาพอากาศ ท้ังหมดหรอื อตั ราเรว็ เฉลี่ยในช่วงเวลาที่สนใจได้ ตวั อยา่ ง: ถา้ ระยะทางท่รี ถยนต์เคล่อื นที่ได้ (หนว่ ยเป็นกโิ ลเมตร) เมอื่ เ จากสมการทีก่ าหนดสามารถหาระยะทางท่ีรถยนตเ์ คลื่อนที่ได้ ดังน้ี เวลา (ชั่วโมง) 0 6 0 ระยะทางที่รถยนตเ์ คลื่อนทไี่ ด้ (กิโลเมตร)
erivative of a Function) โดยทีเ่ ขาไมไ่ ด้ขบั ดว้ ยอัตราเร็วคงทตี่ ลอดเวลา ขบั ช้าบา้ งเร็วบ้าง ศ เปน็ ตน้ ดังนั้นเราสามารถบอกคา่ อตั ราเรว็ เฉลยี่ ของการเดนิ ทาง เวลาผา่ นไป ������ ช่วั โมง คิดเปน็ ������ ������ = 25������2 เม่ือ ������ ∈ [0,2] 0.5 1 1.5 6.25 25 56.25 2
ดงั นนั้ จะได้ระยะทางทีร่ ถยนตเ์ คลื่อนทไี่ ด้ในช่วงเวลาตา่ งๆดงั น้ี ช่วงเวลา (ช่ัวโมง) ระยะทาง ������ = 0 ถงึ ������ = 0.5 ������ = 0.5 ถงึ ������ = 1 6.25 ������ = 1 ถงึ ������ = 1.5 25 − 56.2 และสามารถหาอัตราเร็วเฉลยี่ ในชว่ งเวลาต่างๆไดด้ งั ต่อไปน้ี ชว่ งเวลา (ชว่ั โมง) ������ = 0 ถงึ ������ = 0.5 ������ = 0.5 ถงึ ������ = 1 ������ = 1 ถงึ ������ = 1.5
งท่ีรถยนต์เคลื่อนทไ่ี ด้ (กโิ ลเมตร) 5 − 0 = 6.25 − 6.25 = 18.75 25 − 25 = 31.25 อัตราเรว็ เฉล่ยี (กโิ ลเมตรตอ่ ชั่วโมง) 6.25 = 12.5 0.5−0 18.75 = 37.5 1−0.5 31.25 = 62.5 3 1.5−1
นอกจากนีเ้ รายงั สามารถหาอตั ราเรว็ เฉลย่ี ในชว่ งเวลาสนั้ ๆทใ่ี กล้ ������ ชว่ งเวลา (ชั่วโมง) อตั รา ������ = 1 ถงึ ������ = 1.1 ������ = 1 ถงึ ������ = 1.01 ������ 1.1 −������( ������ = 1 ถงึ ������ = 1.001 1.1−1 ������ 1.01 −������ 1.01−1 ������ 1.001 − 1.001− ถ้า ℎ เปน็ จานวนจริงทไี่ ม่เทา่ กบั 0 จะไดว้ ่าอตั ราเรว็ เฉลยี่ ในช่วงเว ������ 1+ℎ −������(1) = 25(1+ℎ ℎ = 25ℎ2+ นัน่ คอื อัตราเรว็ เฉลย่ี ในช่วงเวลา ������ = 1 ถงึ ������ = 1 + ℎ เมือ่ ℎ จะเห็นไดว้ ่าย่งิ ช่วงเวลาสน้ั ลง อตั ราเร็วเฉลีย่ ขณะที่ ������ = 1 จะยงิ่
= 1 ได้ดังตารางต่อไปน้ี าเรว็ เฉล่ยี (กิโลเมตรตอ่ ช่วั โมง) (1) = 30.25−25 = 52.5 0.1 ������(1) = 25.5025−25 = 50.25 1 0.01 −������(1) = 25.050025−25 = 50.025 −1 0.001 วลา ������ = 1 ถึง ������ = 1 + ℎ จะเทา่ กบั 4 ℎ)2−25(1)2 = 25 1+2ℎ+ℎ2 −25 ℎℎ +50ℎ+25−25 = 25ℎ2+50ℎ = 25ℎ + 50 ℎℎ ≠ 0 คือ 25ℎ + 50 กโิ ลเมตรตอ่ ช่ัวโมง งเขา้ ใกล้ 50 กิโลเมตรตอ่ ชั่วโมง
ดงั นน้ั เม่ือ ℎ → 0 จะได้ว่า อตั ราเร็วเฉลย่ี ในชว่ งเวลา ������ = 1 ถงึ lim ������ 1+ℎ −������ 1 = lim 25ℎ + ℎ→0 ℎ ℎ→0 เรยี กคา่ นว้ี ่าอัตราเรว็ ของรถยนต์ ณ ขณะเวลา ������ = 1 คุณครสู ามารถใช้ GeoGebra เพ่ืออธิบายอตั ราการเปล่ยี นแปลง ณ https://www
������ = 1 + ℎ คอื + 50 = 50 กิโลเมตรตอ่ ช่ัวโมง ณ ขณะเวลาใดๆได้ ตามลงิ ก์ หรือ QR code ดา้ นลา่ งน้นี ะคะ w.geogebra.org/m/cw3tzgtt 5
บทนยิ าม 1: ให้ ������ เปน็ ฟงั กช์ นั และ ������ อยู่ในโดเมนของ ������ อตั รา เทียบกับ ������ เมือ่ ค่า ������ เปลย่ี นจาก ������ เป็น ������ + ℎ คือ ������ ������+ อัตราการเปลี่ยนแปลง (instantaneous rate of change) ของ lim ������ ℎ→0
าการเปลี่ยนแปลงเฉลยี่ (average rate of change) ของ ������ +ℎ −������(������) ง ℎ เทียบกบั ������ ขณะท่ี ������ = ������ คือ ������ ������+ℎ −������(������) ℎ 6
ตวั อย่างท่ี 2: ณ งานเลยี้ งสังสรรค์วนั เกดิ แห่งหนงึ่ เจา้ ของงานไดส้ ในลูกโปง่ (หน่วยเปน็ ลูกบาศก์เซนตเิ มตร) และ ������ เปน็ ความยาวขอ 1. จงหาอัตราการเปลย่ี นแปลงเฉลย่ี ของปรมิ าตรของลมในลูกโป่งเ เปลย่ี นจาก 9 เปน็ 12 เซนติเมตร 2. จงหาอัตราการเปลย่ี นแปลงเฉลยี่ ของปรมิ าตรของลมในลูกโป่งเ เปลีย่ นจาก ������ เปน็ ������ + ℎ เซนตเิ มตร
สบู ลมเขา้ ลกู โป่งซึง่ มลี กั ษณะทรงกลม ให้ ������ เป็นปริมาตรของลม องรศั มีของลกู โปง่ (หน่วยเปน็ เซนตเิ มตร) โดยท่ี ������ = 4 ������������3 3 เทียบกบั ความยาวของรศั มีของลกู โป่ง เมอ่ื ความยาวของรศั มี เทยี บกบั ความยาวของรศั มีของลกู โปง่ เมื่อความยาวของรศั มี 7
3. จงหาอตั ราการเปล่ยี นแปลงของปรมิ าตรของลมในลกู โปง่ เทยี บ อัตราการเปลย่ี นแปลงเป็นจานวนจริงบวกแสดงวา่
บกบั ความยาวของรศั มขี องลกู โปง่ ขณะรัศมยี าว 12 เซนติเมตร 8
ตัวอยา่ ง 3: ในคาบเรียนวชิ าเคมี นกั เรียนไดท้ าการทดลองผสมสาร ตามเวลา ������ (หน่วยเป็นนาท)ี ตามสมการ ������ = −8 (������+1)2 1. จงหาอัตราการเปล่ยี นแปลงเฉลย่ี ของปรมิ าณของสาร ������ เทียบก 2. จงหาอตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉลยี่ ของปรมิ าณสาร ������ เทยี บกบั เว
ร โดยทปี่ รมิ าณของสาร ������ (หน่วยเป็นกรัม) จะเปลี่ยนแปลงไป กบั เวลา เมือ่ เวลาเปลย่ี นจาก 0 เปน็ 3 นาที วลา เม่อื เวลาเปลยี่ นจาก ������ เปน็ ������ + ℎ นาที 9
3. จงหาอัตราการเปลย่ี นแปลงของปรมิ าณของสาร ������ เทยี บกบั เว อตั ราการเปลย่ี นแปลงเป็นจานวนจริงลบ แสดงวา่
วลา ขณะเวลา 3 นาที 10
บทนิยาม 2: ให้ ������ เปน็ ฟังกช์ นั อนพุ ันธ์ (derivative) ของฟงั ก์ชัน ������′ ������ = lim ������ ������+ℎ −������(������) ℎ→0 ℎ ถา้ ������′(������) มีคา่ จะกล่าวว่าฟงั กช์ นั ������ มอี นพุ นั ธ์ที่ ������ หรอื ฟงั กช์ ัน ถา้ ������′(������) ไม่มคี ่า จะกล่าวว่าฟงั กช์ ัน ������ ไม่มีอนพุ นั ธท์ ่ี ������ หรือฟังก สัญลักษณ์ของอนุพันธข์ องฟงั กช์ ัน: กาหนดให้ ������ เป็นฟงั ก์ชันท่ีน เขยี นแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ดงั ตอ่ ไปนี้ ������′ ������ = ������������ = ������ ������ ������ = ������ ������������ ������������
น ������ ท่ี ������ เขยี นแทนดว้ ย ������′(������) นยิ ามโดย ) ������ หาอนุพันธไ์ ด้ที่ ������ กช์ นั ������ หาอนพุ นั ธไ์ ม่ไดท้ ี่ ������ นยิ ามโดยสมการ ������ = ������ ������ อนพุ ันธ์ของฟังกช์ นั ที่ ������ สามารถ ������′ = lim ������ ������+ℎ −������(������) ℎ→0 ℎ 11
ตัวอย่างท่ี 4: กาหนดให้ ������ ������ = 4������2 + 7������ − 1 จงหา ������′( อาจเขยี นโดยใชส้ ญั ลกั ษณ์แบบอน่ื ไดเ้ ชน่ ������������ = ������������ ������ ������ ������ = ������������ ������′ =
(������) 12
สญั ลกั ษณ์ ������′ ������ = lim ������ ������+ℎ −������(������) เป็นอนพุ ันธข์ องฟังกช์ ัน ������ ℎ ℎ→0 อนพุ ันธ์ของฟงั กช์ ัน ������ ท่ี ������ = ������ คือ ������′ ������ = lim ������ ������+ℎ −������ ℎ→0 ℎ ������ ������ แทน������������ อาจใช้สัญลักษณ์ ������ |������=������ หรือ ������′ ������������ ������������ |������=������ ตัวอย่างท่ี 5: กาหนดให้ ������ ������ = ������ − 2 จงหา ������′(5)
ที่ ������ ใดๆ ดังนั้น สาหรับจานวนจรงิ ������ ที่อยู่ในโดเมนของ ������ ������(������) (������) 13
ตวั อย่างท่ี 6: กาหนดให้ ������ ������ = |������| จงหาอนพุ นั ธข์ องฟงั กช์ นั
น ������ ท่ี ������ = 0 14
15
บทพสิ จู น์ท่นี า่ สนใจ: กาหนดให้ ������ ������ = ������������ ที่ซ่ึง ������ เปน็ จาน บทพิสูจน์ กรณที ่ี 1 เมื่อเลขยกกาลงั เป็นจานวนเตม็ บวก ������′ ������ = lim ������ ������+ℎ −������(������) ℎ→0 ℎ = lim (������+ℎ)������−������������ ℎ→0 ℎ ������ ������ ������ = lim 0 ������������+ 1 ������������−1ℎ+ 2 ������������−2ℎ2+⋯ ℎ→0 ������ ℎ 2 = lim ������������������−1ℎ+ ������������−2ℎ2+⋯+ℎ������ ℎ→0 ℎ ������ = lim ������������������−1 + 2 ������������−2ℎ + ⋯ + ℎ→0 = ������������������−1
นวนจรงิ ใดๆ ดังนั้น ������′ ������ = ������������������−1 ⋯+ ������ ℎ������−������������ ������ + ℎ������−1 16
กรณีที่ 2 เมื่อเลขยกกาลงั เปน็ จานวนเตม็ ลบ พิสูจนโ์ ดยการใช้ Quotient Rule จะไดว้ า่ ������ ������−������ = ������ ������������ ������������ กรณที ่ี 3 เมื่อเลขยกกาลงั เปน็ จานวนจริงใดๆ (general case) พิสจู นโ์ ดยการใช้ logarithmic differentiation กาหนดให้ ������ = ������������ ดงั นนั้ ln ������ = ln ������������ = ������ ln ������ ดังนน้ั จะไดว้ า่ ������ ln ������ = ������ (������ ln ������) ������������ ������������ 1 ∙ ������������ = ������ ������ ������������ ������ ������������ = ������������ = ������∙������������ = ������������������−1 ������������ ������ ������
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- 197
- 198
- 199
- 200
- 201
- 202
- 203
- 204
- 205
- 206
- 207
- 208
- 209
- 210
- 211
- 212
- 213
- 214
- 215
- 216
- 217
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- 223
- 224
- 225
- 226
- 227
- 228
- 229
- 230
- 231
- 232
- 233
- 234
- 235
- 236
- 237
- 238
- 239
- 240
- 241
- 242
- 243