คลกิ ที่หมายเลข 1 และคลกิ ที่ Check Box หมายเลข 2 ดังรูป 42
14. หลังจากนั้นใหพ้ มิ พ์ Caption อาจจะต้งั วา่ Show ������′(������) และ
ะเลอื กสิ่งท่อี ยากจะให้แสดงหรือไมใ่ หแ้ สดง ดงั รปู ขา้ งลา่ ง 43
15. สาหรบั การบนั ทกึ ขอ้ มลู ใหไ้ ปท่ปี ่มุ ด้านบนขวามอื และคลกิ sav
ve ดงั ในรปู 44
16. หลังจากนั้นใหใ้ ส่หวั ขอ้ เร่อื งที่ Title แลว้ กดปุ่ม Save
45
17. สามารถเขา้ ไปดทู ่ี account แลว้ เลือก resources กจ็ ะเหน็ ไฟ
ฟลท์ ี่เรา save ไว้ ดังรปู 46
Increasing/ Decre อนพุ ันธข์ องฟังกช์ ันสามารถใชบ้ อกลักษณะของฟงั กช์ นั วา่ เป็น ฟ Test for Increasing/ Decreasing Functions: กาหนดให้ บน (������, ������) 1. ถ้า ������′ ������ > 0 สาหรับทุกๆคา่ ������ บนชว่ ง ������, ������ ดังน้ัน ������ เ 2. ถา้ ������′ ������ < 0 สาหรบั ทุกๆคา่ ������ บนชว่ ง (������, ������) ดังน้นั ������ เ 3. ถ้า ������′ ������ = 0 สาหรับทุกๆคา่ ������ บนชว่ ง (������, ������) ดงั นน้ั ������ เ
easing Functions ฟงั ก์ชนั เพม่ิ หรอื ฟงั กช์ ันลดได้ ������ เปน็ ฟังก์ชันทีต่ อ่ เนื่องบน [������, ������] และสามารถหาอนพุ ันธไ์ ด้ เป็นฟงั กช์ ันเพิม่ บนช่วง [a, b] เป็นฟงั ก์ชนั ลดบนชว่ ง [������, ������] เปน็ ฟงั กช์ นั คงทบ่ี นชว่ ง [������, ������] 47
Increasing/ Decre 1. ถา้ ������′ ������ > 0 สาหรบั ทกุ ๆค่า ������ บนชว่ ง ������, ������ ดังนัน้ ������ เ บทพสิ ูจน์
easing Functions เป็นฟังก์ชนั เพม่ิ บนช่วง [a, b] 48
แบบฝกึ หดั เรื่องอนพุ 1. อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชนั พหนุ ามจะเป็นฟงั ก์ชนั พหนุ าม (จรงิ ) 2. ถา้ ������ เปน็ ฟงั กช์ นั ท่ีหาคา่ อนพุ ันธ์ไดท้ ่จี ดุ ������ ดงั นัน้ ������ ������ ������ ������������ 3. ถา้ ������ = ������2 ดงั น้นั ������′ = 2������ (เทจ็ ) 4. ถา้ ������ = ������������ + ������ ดังน้นั ������������ = ������ (จรงิ ) 1| (เท็จ) 5. ถ้า ������ = ������2 + ������ ดังน���น้ั ��������� ������′ = |2������ + 6. ถา้ ������ 0 = 0 ดงั นัน้ ������′ 0 = 0 (เทจ็ ) 7. ถา้ ������ ������ หาค่าอนพุ ันธไ์ ดท้ ี่ ������ = 1 ดงั น้ัน ������ ������ เปน็ ฟังก์ชันท 8. สมการของเสน้ สมั ผัสของเสน้ โคง้ ������ = ������(������) ท่จี ดุ (������, ������(������) 9. อนพุ ันธ์ของฟงั กช์ นั ������(������) เทียบกบั ������ คือ ������′(������) ( ������′(������) ������(������) 10. ถ้า ������′ ������ หาค่าได้และ ������′ ������ > 0 สาหรับทกุ ๆค่า ������ บนช
พนั ธข์ องฟงั ก์ชนั = ������′(������) (จรงิ ) 2 ������(������) ทีต่ อ่ เน่อื งที่ ������ = 1 (จรงิ ) 49 )) คอื ������ − ������ ������ = ������′ ������ (������ − ������) (เท็จ) (เท็จ) ช่วง ������ ดังนนั้ ������(������) เป็นฟังก์ชันเพ่มิ บนชว่ ง ������ (จรงิ )
Maximum and Min กราฟของฟงั ก์ชัน ������ = ������(������) มคี า่ ต่าสุดสัมพัทธ์ (local minimum สัมพัทธ์ (local maximum) ท่จี ุดท่ีเปลี่ยนจากฟังก์ชนั เพม่ิ เปน็ ฟังก เทา่ กบั 0
nimum Problems m) ท่จี ุดท่เี ปลย่ี นจากฟังกช์ นั ลดเป็นฟงั กช์ ันเพ่มิ และคา่ สูงสดุ กช์ นั ลด นัน่ คือ ท่จี ดุ นนั้ จะมีค่าความชันของเส้นสัมผัสเสน้ โค้ง 50
Maximum and Min ตัวอยา่ ง: จงหาขนาดของสเี่ หลย่ี มมมุ ฉากท่มี พี น้ื ทม่ี ากทีส่ ดุ ทีส่ ามา กราฟ ������ = 8 − ������3
nimum Problems ารถบรรจุในบรเิ วณท่ลี อ้ มรอบดว้ ยแกน ������ แกน ������ และ 51
Maximum and Min ตวั อย่าง: กระดาษแผน่ หนง่ึ ยาว 12 นว้ิ และกวา้ ง 6 น้วิ และมมุ ขว รอยพบั
nimum Problems วาล่างของกระดาษถกู พบั ขนึ้ ดังรปู จงหาความยาวท่สี นั้ ท่ีสดุ ของ 52
53
ปรพิ ันธข์ องฟงั กช์ ัน (Integration) Calculus Teaching Techni เทคนิคการสอนแคลค อาจารยม์ นสกิ าร สาขาวชิ าคณติ ศาสตรแ์ ล โรงเรียนมหดิ ลว Department of Mathematics and Com Mahidol Wittayanusorn School
ระดับมัธยมศึกษาปีท่ี 6 iques and Applications คูลสั และบทประยุกต ์ ร จนั ทรส์ ร้าง ละวทิ ยาการคานวณ วทิ ยานสุ รณ์ mputational Science 1
ปฏยิ านุพนั ธ กาหนดฟงั กช์ นั ������ ถา้ ������ เป็นฟงั ก์ชันท่ซี ง่ึ ������′ ������ = ������(������) สาห จะเรยี กฟังก์ชนั ������ ว่า ปฏยิ านพุ นั ธ์ ของฟงั ก์ชนั ������ ตัวอยา่ ง ������ ������ = ������4 + 6������2 เปน็ ปฏิยานุพันธข์ อง ������ ������ = ขอ้ สังเกต ปฏยิ านุพันธ์ของฟงั กช์ นั ������ มไี ด้มากกวา่ หนง่ึ ฟงั กช์ นั ตัวอยา่ ง ฟงั ก์ชันตอ่ ไปน้เี ปน็ ปฏยิ านพุ ันธข์ อง ������ ������ = 4������3 + ������1 ������ = ������4 + 6������2 + 1 ������2 ������ = ������4 + โดยท่ัวไปแล้ว ถ้า ������ ������ = ������4 + 6������2 + ������ โดยที่ ������ เปน็ คา่
ธ์ของฟงั ก์ชนั หรบั ทกุ ค่า ������ ทอ่ี ยใู่ นโดเมนของ ������ = 4������3 + 12������ น + 12������ + 6������2 − 4 ������3 ������ = ������4 + 6������2 − 0.5 าคงตวั ใดๆ จะได้วา่ ������′ ������ = 4������3 + 12������ = ������(������) 2
ปฏิยานุพนั ธ์ของ บทนยิ าม: กาหนดให้ ������ และ ������ เป็นฟงั ก์ชันทซี่ ง่ึ ������′ ������ = ������( เราจะเรยี กฟังกช์ ัน ������ วา่ เปน็ ปฏิยานุพนั ธ์ (antid สญั ลักษณ์: เราจะเขียนรปู ท่วั ไปของปฏิยานพุ ันธ์ของฟงั ก์ชัน ������ (indefinite integral) ของฟงั ก์ชัน ������ เทยี บกับตวั แปร ������ หรอื ดังนน้ั ถา้ ������′ ������ = ������ ������ แล้ว ������ ������ ������������ = ������ ������ + ������ เม
งฟงั ก์ชนั (������) สาหรับทกุ ๆ ������ ทอ่ี ยูในโดเมนของ ������ derivative) ของฟงั กช์ ัน ������ ด้วยสัญลกั ษณ์ ������ ������ ������������ เรียกว่า ปริพนั ธ์ไมจ่ ากดั เขต อเรยี กว่า ปริพันธ์ของฟังก์ชนั ������ เทยี บกับตวั แปร ������ มื่อ ������ คือคา่ คงตวั ใดๆ 3
ปฏยิ านพุ นั ธ จงหาปฏยิ านุพ 1. ������ ������ = 6������5 − 6������3 + 6 2. ������ ������ = 10������4 + 4������3 − 6������ + 18 3. ������ ������ = (������ − 1)(8������ − 8) 4. ������ ������ = ������ − 1 ������ 5. ������ ������ = ������7 − 10 6. จ���ร���ิง������หร=ือ เ���ท������2็จ��� +ป54ฏ���ยิ ���า4นพุ นั ธ์ของฟังกช์ นั มีเพียงฟังกช์ ันเดียว 7. 8. จรงิ หรอื เท็จ ถ้า ������ เปน็ ปฏยิ านพุ นั ธ์ของ ������ ดงั นั้น ������ เป 9. จริง หรอื เทจ็ ถา้ ������ เปน็ ปฏิยานุพันธ์ของ ������ ดังน้นั ������ +
ธข์ องฟงั ก์ชนั พันธ์ของฟงั ก์ชนั ตอ่ ไปนี้ ว ป็นฟงั ก์ชันท่หี าอนุพนั ธ์ได้ + ������ จะเป็นปฏยิ านพุ นั ธข์ อง ������ ดว้ ย โดยท่ี ������ เปน็ คา่ คงที่ใดๆ 4
สตู รปฏิยานพุ นั 1. ถา้ ������ เป็นคา่ คงตัว แลว้ ������ ������������ = ������������ + ������ เมื่อ ������ คอื ค่า 2. ถา้ ������ เป็นจานวนจริง และ ������ ≠ −1 แล้ว ������������������������ = ������������ 3. ถ้า เปน็ คา่ คงตวั แล้ว ������ ������ ������ ������ ������������ ������ ������������ = ������+ ������������ 4. ������ ������ ± ������ ������ ������������ = ������ ������ ������������ ± ������ ������ ������������ Ex1. 6������5+4������4 ������������ 2������ Ex2. 5������4 − 3������2 + 7������ ������������ Ex3. 2������ ������ + 1 ������ − 2 ������������ Ex4. ������ ������ − ������ ������������ Ex5. (3������ + 4)5������������ Ex6. 3������(������2 − 5)3������������
นธข์ องฟงั กช์ นั าคงตัวใดๆ ������+1 เมอ่ื ������ คอื คา่ คงตัวใดๆ + ������ +1 5
เทคนิคการ การหาปริพันธโ์ ดยการแทนค ในบางครง้ั เพื่อให้ง่ายตอ่ การหาปรพิ ันธ์ เราจาเป็นตอ้ งจดั รปู ใหม และใชเ้ ทคนิคการแทนคา่ ให้ ������ = ������ ������ จะได้วา่ ������������ = ������′ ������ หลงั จากทแ่ี ทนคา่ จะได้ ℎ ������ ������������ = ������ ������ ������������ = ������ ������ ตวั อยา่ ง : จงหาค่าของ ������ ������ − 1������������ ตวั อยา่ ง: จงหาคา่ ของ ������ ������������ 1−4������2
รหาปริพนั ธ์ ค่า (Integration by Substitution) ม่ เช่น ℎ ������ ������������ = ������ ������ ������ ������′ ������ ������������ ������ ������������ + ������ = ������ ������ ������ + ������ 6
เทคนิคกา การหาปริพันธท์ ลี ะสว่ น (In จาก ������ ������������ = ������������������ + ������������������ จะไดว้ ่า ������������������ = ������ ดังนน้ั ������������������ = ������ ������������ − ������������������ = ������������ − ดงั นั้นสูตรการหาปริพนั ธท์ ีละสว่ นคอื ������������������ = ������������ − หลกั ในการเลอื ก ������ และ ������������ 1. ������ ควรจะเป็นฟังกช์ ันท่ีหาอนพุ นั ธ์ได้ง่าย 2. ถ้า ������������ = ������ ������ ������������ ดังน้ันปรพิ นั ธ์ ������ ������ 3. ������������������ จะตอ้ งไม่ยงุ่ ยากกวา่ ������ ������������
ารหาปรพิ ันธ์ ntegration by Parts) ������ ������������ − ������������������ ������������������ ������������������ ������������ จะต้องหาคา่ ได้ง่าย 7
Proof Without Words of Integration จากรปู ฟังกช์ ัน ������ = ������(������) จะอยบู่ นแกนแนวนอน และ ������ = ������ ดงั นนั้ พื้นท่สี ฟี ้า = ������������ ������ ������ ������′ ������ ������������ (หรอื ������������((������������)) ������������������) สำมำ 1. พื้นทีท่ ้งั หมดของสเี่ หล่ยี มมมุ ฉาก (แดง+ฟ้า+เหลอื ง) = ������ ������ ������ 2. ลบออกดว้ ยพ้ืนทีข่ องสีเหลอื ง ซงึ่ เท่ากบั ������ ������ ������ ������ 3. ลบออกดว้ ยพ้ืนทีส่ แี ดง ซ่ึงเทา่ กบั ������������ ������ ������ ������′ ������ ������������ (หรือ ������ สังเกตวา่ บทพสิ จู นน์ ้ีใชส้ าหรบั กรณีที่ ������ = ������(������) และ ������ = ������(������ เนอ่ื งจาก ������ < ������, ������ ������ < ������ ������ และ ������ ������ < ������(������)
n by Parts ถูกเขยี นขนึ้ โดย Nelsen [1] ������ จะอย่บู นแกนแนวตงั้ กำหนดให้ ������ < ������ ำรถคำนวณไดจ้ ำก ������(������) )������������((������������)) ������������������ ������) เปน็ ฟงั ก์ชันเพม่ิ 8
Proof Without Words of Integra สาหรับกร และ ������ เป สงั เกตวา่ ดังน้นั จะได สามารถเข − น่นั คือ ������������((������������)) ������������������ = ������ ������ ������ ������ − ������ ������ ������ ������ − ������������((������������)) ������������ ������ න ������ ������ ������′ ������ ������������ = ������ ������ ������ ������ ������
ation by Parts ถูกเขยี นขนึ้ โดย Nelsen [1] รณนี ้ี ������ เป็นฟงั กช์ นั เพ่ิม เนื่องจาก ������ < ������ และ ������ ������ < ������(������) ปน็ ฟังกช์ ันลด เนอ่ื งจาก ������ ������ < ������(������) (ฟา้ + แดง) – แดง - ขาว = (ฟา้ + เหลอื ง) – เหลอื ง – ขาว ด้ว่า ������������((������������)) ������������������ − ������ ������ ������ ������ = ������������ ������ ������ ������������ − ������ ������ ������(������) ������ ขยี นใหมไ่ ดเ้ ปน็ ������(������) ������(������) − න ������������������ = ������ ������ ������ ������ − ������ ������ ������ ������ − න ������������������ ������(������) ������(������) ������������ หรอื 9 ������ − ������ ������ ������ ������ − න ������ ������ ������′ ������ ������������ ������
ตวั อยา่ ง: จงหาปริพนั ธ์ ������ ������ + 1 ������������
10
ตวั อยา่ ง: จงหาปรพิ นั ธ์ cos ������ ln sin ������ ������������
11
การหาปรพิ ันธ์โดยการ Linear Factor Rule: สาหรับ factor ที่อยใู่ นรูป (������������ + ������)������ ������1 + ������2 (������������+������) (������������+������)2 โดยที่ ������1, ������2, ⋯ , ������������ เป็นค่าคงที่ที่ต้องคานวณหา Quadratic Factor Rule: สาหรบั แตล่ ะ factor ทีอ่ ยใู่ นรปู (������������2 ������1������+������1 + ������2������+������2 (������������2+������������+������) (������������2+������������+������ โดยท่ี ������1, ������2, ⋯ ������������ และ ������1, ������2, ⋯ ������������ เป็นค่าคงทีท่ ่ตี ้องคา
รแยกเป็นเศษส่วนยอ่ ย เศษสว่ นยอ่ ยจะประกอบดว้ ย ������ ส่วน คอื 2 + ⋯ + ������������ (������������+������)������ + ������������ + ������)������ เศษสว่ นยอ่ ยจะประกอบด้วย ������ ส่วน คือ ������)2 + ⋯ + ������������������+������������ (������������2+������������+������)������ านวณหา 12
การหาปริพนั ธโ์ ดยการ ตวั อย่าง: จงหาคา่ ของ 4������2+3������+1 ������������ ������2(������+1)
รแยกเปน็ เศษสว่ นย่อย 13
ปรพิ ันธจ์ ากดั เขต (Def คาถาม: กาหนดให้ ������ = ������(������) เปน็ ฟงั ก์ชันท่นี ยิ ามบนชว่ งปิด ������, ������ ล้อมรอบดว้ ยเสน้ โค้ง ������ = ������ ������ เสน้ ������ = ������ และ ������ = ������ และแก ดว้ ยสเี ขยี ว) คาตอบ: เรม่ิ จากการแบง่ ช่วง [������, ������] ออกเป็น ������ ชว่ งยอ่ ย ������0, ������1 , สเ่ี หลี่ยมมุมฉากดงั รูป ซึง่ มี ������ = 5 จะเหน็ ไดว้ ่าฐานของสี่เหลยี่ มมมุ ฉ แต่ละรปู มคี วามยาว ∆������1 = ������1 − ������0, ∆������2 = ������2 − ������1 ⋯ , ∆������������ และความสูงของสเี่ หลย่ี มมมุ ฉากจะเท่ากบั ������������ = ������(������������) โดยที่ 1 ≤ ดงั นั้นผลรวมของพื้นทส่ี เี่ หลี่ยมมมุ ฉากท้ังหมดเท่ากับ σ������������=1 ������(������������ ซงึ่ เรยี กผลรวมนวี้ ่า Riemann Sum ยงิ่ ������ มคี ่ามากขึ้น ผลรวมของพ ยิง่ เข้าใกลพ้ ้ืนทใี่ ตเ้ สน้ โคง้ ทเ่ี ราตอ้ งการหา น่ันคอื ������ = lim σ max ∆������→0 ดงั นนั้ ปริพนั ธ์จากดั เขต บนช่วง ������, ������ นยิ ามโดย ������������ ������ ������ ������������
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- 197
- 198
- 199
- 200
- 201
- 202
- 203
- 204
- 205
- 206
- 207
- 208
- 209
- 210
- 211
- 212
- 213
- 214
- 215
- 216
- 217
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- 223
- 224
- 225
- 226
- 227
- 228
- 229
- 230
- 231
- 232
- 233
- 234
- 235
- 236
- 237
- 238
- 239
- 240
- 241
- 242
- 243