ຄະນິດສາດຍຸກສະໄໝໃໝ່ ເຫຼັ້ມ 2

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ + x + 2y =5  − 2y =1 x  2x = 6 x = 3  (1) 3+ 2y =5  2y = 2 y =1 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = (3,1). ( ) ( )x x 38. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ 2 + 3 + 2 − 3 14 . ວທິ ຄີ ດິ ( ) ( )➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ 2 + x x ເຮາົ ໄດ.້ 3 + 2− 3 14 ( )2 + 3 x + 1  14 ( )2 + x 3 ( ) ( )2 + 3 2x − 14 2 + 3 x + 1  0  = 72 −1 = 48 ( ) ( )x x  2 + 3  7 − 2 12  2 + 3  7 + 2 12 ( ) ( ) ( ) ( )2 + 2 2 3 x  2−  2+ 3 x  2+ 3 3 ( ) ( ) ( ) ( )2 + −2 3 x  2+  2+ 3 x  2+ 2 3 3  x  −2  x  2 −2 x2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S = − 2 , 2 . 39. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ 4 x+ x−1 − 5.2 x+ x−1+1 + 16  0 . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ 4 x+ x−1 − 5.2 x+ x−1+1 + 16  0 ເງົ່ອນໄຂ x 1ເຮາົ ໄດ.້ 4 x+ x−1 − 10.2 x+ x−1 + 16  0 ( )( )2 x+ x−1 − 2 2 x+ x−1 − 8  0 x + x −11  x + x −13 x −11− x  x −13− x x2 − 2x +1− x +1 0  x2 − 6x + 9 − x +1 0 x2 − 3x + 2  0  x2 − 7x + 10  0 (x − 1)(x − 2)  0  (x − 2)(x − 5)  0 x22 x5  2x5 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = 2 , 5 . 101

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ 40. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ 3x + x − 4  0. x2 − x − 6 ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ 3x + x − 4  0 ເຮາົ ໄດ.້ x2 − x − 6 3x + x − 4  0 x2 − x − 6  x −1 0 x2 − x − 6 x −1 0 (x + 2)(x − 3) − 2 x 1  x 3 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S =  − 2, 1 3 , +  . 41. ຊອກຫາຄົ່ າຂອງ m ເພົ່ ອໃຫອ້ ະສມົ ຜນົ 3x + 3 + 5 − 3x  m ມໃີ ຈຜນົ ໃນຫວົ່ າງ x R . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ 3x + 3 + 5 − 3x  m ເຊົ່ ງິ ມເີ ງົ່ອນໄຂ x  log2 5 ເຮາົ ໄດ.້ ( )2 3x + 3 + 5 − 3x  m2 8 + 2 15 + 2.3x − 32x  m 2 ( ) ( )4 15 + 2.3x − 32x  m2 − 8 2 ( )4.32x − 8.2 x − 60 + m 2 − 8 2  0 ( )( ) = 42 − 4 m2 − 8 2 − 60  0 ( )16 − 4 m4 − 16m 2 + 4  0 ( )m2 m2 − 16  0 m 2 (m + 4)(m − 4)  0  m  −4  m  4 ຕອບ: ຄ່ົ າຂອງ m ແມົ່ ນ m  −4  m  4 . 41. ຊອກຫາຄົ່ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫອ້ ະສມົ ຜນົ 2x + 7 + 2x − 2  m ມໃີ ຈຜນົ ໃນຫວ່ົ າງ x R . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ 2x + 7 + 2x − 2  m ເຊົ່ ງິ ມເີ ງ່ົອນໄຂ x 1ເຮາົ ໄດ.້ 102

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ ( )2 2x + 7 + 2x − 2  m2 2.2 x + 5 + 2 22x + 5.2 x − 14  m 2 2 22x + 5.2 x − 14  m 2 − 5 − 2.2 x ( ) ( )4 22x + 5.2 x − 14 = m2 − 5 − 2.2 x 2 4.22x + 10.2 x − 56 = (m 2 − 5) 2 − 4(m 2 − 5).2 x + 4.22x 10.2 x − 56 = (m 2 − 5) 2 − 4(m 2 − 5).2 x 4(m 2 − 5).2 x + 10.2 x = (m 2 − 5) 2 + 56 (4m 2 − 10).2 x = (m 2 − 5) 2 + 56  2 x = (m 2 − 5) 2 + 56 4m2 − 10  (m 2 − 5) 2 + 56  0 4m2 − 10 m 4 − 10m 2 + 81  0 4m2 − 10  4m2 − 10  0 m  − 10  m  10 22 ຕອບ: ຄ່ົ າຂອງ m ແມົ່ ນ m  − 10  m 10 . 2 2 43. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ 3x2 −1  2 x−1 . ວທິ ຄິ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ 3x2 −1  2x−1 ເຮາົ ໄດ.້ 3 x2 −1  2 x−1 x 2 − 1  (x − 1).log3 2 (x − 1)(x + 1 − log3 2)  0 (x − 1)(x + log3 3)  0 2 x  log3 3  x  1 2 S =   , log3 3   1 , +   −   2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S =   , log3 3   1 , +  . −   2 1 +1 2− 1 44. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ 2 x + 2 x  9 . ວທິ ຄິ ດິ ➢ 1 +1 + 2− 1  9 ເຮາົ ໄດ.້ ຈາກອະສມົ ຜນົ 2 x 2x 103

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ 1 +1 2− 1 2x + 2 x 9 1 4 9 2.2 x + 1 2x 21 2.2 x − 9.2 x + 4  0  2.2 1 − 1 2 1 − 4  0 x x  1  1 4 2 2x −1 1  2 x  x +1  0  1− 2x  0 xx (x  −1  x  0)   0  x  1   2 x  −1  0  x  1 2  S = −  , − 1  0 , 1  2  ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = −  , − 1 0 , 1  . 2  45. ຊອກຫາຄ່ົ າຂອງ m ເພົ່ ອໃຫອ້ ະສມົ ຜນົ 9 x − 2.3x − m  0 ມໃີ ຈຜນົ ໃນຫວົ່ າງ x 1 , 2 . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ 9 x − 2.3x − m  0 ການດົ ໃຫ້ 1  x  2  31  3x  32 ເຮາົ ໄດ.້ ການດົ ໃຫ້ X = 3x ເຮາົ ໄດ້3  X  9 ການດົ ໃຫ້ X  3  X = t + 3 ເຮາົ ໄດ.້ (t + 3)2 − 2(t + 3) − m  0 t 2 + 6t + 9 − 2t − 6 − m  0 t 2 + 4t + 3 − m  0 22 − (3 − m)  0   3−m0   3−m0  −20  3−m0 m3 ➢ ການດົ ໃຫ້ X = 3x ເຮາົ ໄດ້3  X  9 ການດົ ໃຫ້ X  9  X = t + 9 ເຮາົ ໄດ.້ 104

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ (t + 9) 2 − 2(t + 9) − m  0 t 2 + 18t + 81 − 2t − 18 − m  0 t 2 + 16m + 63 − m  0 82 + m − 63  0   63 − m  0   63 − m  0  16  0   63 − m  0 m  63 ຕອບ: ຄົ່ າຂອງ m ແມົ່ ນ m  63. 46. ຊອກຫາຄົ່ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫອ້ ະສມົ ຜນົ 2 x + 22−x  m ມໃີ ຈຜນົ . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ 2 x + 22−x  m ເຮາົ ໄດ.້ 2x + 22  m 2x  22x − m.2 x + 4  0 m2 −16  0 (m + 4)(m − 4)  0 m  −4  m  4 ຕອບ: ຄົ່ າຂອງ m ແມົ່ ນ m  −4  m  4 . 47. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ 6 x + 4  2 x+1 + 2.3x . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ 6 x + 4  2 x+1 + 2.3x ເຮາົ ໄດ.້ 6 x + 4  2 x+1 + 2.3x 6 − 2x  m ມໃີ ຈຜນົ . 3x.(2 x − 2) − 2(2 x − 2)  0 (2 x − 2)(3x − 2)  0 3x − 2  0  2x − 2  0 x  log3 2  x  1  S = log3 2 , 1  ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = log3 2 , 1  . 48. ຊອກຫາຄ່ົ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫອ້ ະສມົ ຜນົ 2x + 2 + ວທິ ຄີ ດິ 105

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ( )2 2x + 2 + 6 − 2x  m2 8 + 2 12 + 4.2 x − 22x  m 2 ( ) ( )4 12 + 4.2 x − 22x  m2 − 8 2 ( )4.2 x − 16.2 x − 48 + m 2 − 8 2  0  = 82 − (m 4 − 16m 2 + 16)  0 162 − 4(m 4 − 16m 2 + 16)  0 4m 4 − 16m 2  0 ( )4m2 m2 − 4  0 −2m2 ຕອບ: ຄ່ົ າຂອງ m ແມົ່ ນ − 2  m  2 . ( )49. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ 22x+1 − 9.2 x + 4 . x 2 + 2x − 3  0 . ວທິ ຄີ ດິ ( )➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ 22x+1 − 9.2 x + 4 . x 2 + 2x − 3  0 ເງ່ົອນໄຂ x 2 + 2x − 3  0  x  −3  x  1 ເຮາົ ໄດ.້ 2 2x+1 − 9.2 x + 4  0 2.22x − 9.2 x + 4  0 (2.2 x − 1)(2 x − 4)  0 2.2 x − 1  0  2 x − 4  0 x  −1  x  2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ S = −  , − 3  2 , +  . 50. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ  1  x−1  1 2 2 ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ  1  x−1  1 ເຮາົ ໄດ.້ 2 2  x −1 1 x(x − 1)  0 0 x 1 ຕອບ:ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = 0, 1  . 106

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ ບດົ ຄນົ້ ຄວາ້ ບດົ ທີ 4 ລະບບົ ສມົ ຜນົ ແລະ ອະສມົ ຜນົ ໃຈກາລງັ 1.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 4x − 3.2x+1 + 8  0 2x+1 −1 xx 3+ 2 + 3− 2 2 ( ) ( )2.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 3.ຊອກ m ເພ່ົ ອໃຫລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 2x + 3y = 2m 2x.3y = m+6 4.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ ( ) ( )x + 2 x2 +4x−8  x + 2 2x 5.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 23x  32x 6.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 3x − 3y = ( y − x)(xy + 8)  x 2 + y2 = 8 7.ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 4x − 2x − m  0 ມໃີ ຈຜນົ ຖກ x 0;1 8.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2x+2 + 5x+1  2x + 5x+2 9.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 3.4x+1 − 35.6x + 2.9x+1  0 10.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ x y−1 = 8  x 2 y−6 = 4 11.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2.9x + 4.6x − 4x  2x 3x+2 − 2x+2 12.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 3x + 2x = y +11 3y + 2y = x +11 13.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2x.9y = 36 3x.4y = 36 14.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2x − 2y = y − x   x 2 + xy + y2 = 3 15.ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 4x − 2x − m  0 ມໃີ ຈຜນົ x 1; 2 2 2x + 2 −1 . 2x+1 + 5 ( ) ( ) ( )16.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2x +1 2  17.ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 2x + 3y = 2m + 2m − 24 4x + 9y = 4m2 18.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2x2−x  4 19.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 3x +1 + 3x − 2  3 20.ຈ່ົ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 2x = 4y 4x = 32y 107

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ 21.ຊອກ m ເພ່ົ ອໃຫລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ x + y = m ມສີ ອງໃຈຜນົ ຕ່ົ າງກນັ 2x + 2y =8 22.ຈົ່ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 4x − 3y =7 4x.3y = 144 23.ຈ່ົ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 2x−1.3x+2  36 24.ຊອກ m ເພ່ົ ອໃຫລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 4x − 3.2x+1 − m  0 ມໃີ ຈຜນົ ຖກ x  R 25.ຈົ່ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 2x + 2 + 11− 2x  5 26.ຈ່ົ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 9x − 4.3x+1 + 27  0 27.ຈົ່ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 2x−1  7 − x 28.ຈົ່ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 2x.5y = 20 5x.2y = 50 29.ຈ່ົ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 2x + 3y = 17 6 3.2x − 2.3y = 30.ຈົ່ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 2x2 −2x−3  3x2 −2x−3 31.ຊອກ m ເພ່ົ ອໃຫລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 4x − 2x+1 − m  0 32.ຊອກ m ເພ່ົ ອໃຫລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 4x − 2x+2 − m  0 ມໃີ ຈຜນົ x −1; 2 33.ຈ່ົ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ x + y = 4 10 2x − 2y = 34.ຈ່ົ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 3x = 2y +1 3y = 2x +1 35.ຈ່ົ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 5x + 3x  8x 36.ຈ່ົ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ x − 3y = 1  2 + 3y = 19 x 37.ຈ່ົ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ x + 2y =5  − 2y =1 x x x 3 + 2− 3  14 ( ) ( )38.ຈ່ົ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 2 + 39.ຈ່ົ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 4x+ x−1 − 5.2x+ x−1+1 +16  0 40.ຈ່ົ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 3x + x −4  0 x2 − x −6 41.ຊອກ m ເພ່ົ ອໃຫລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 3x + 3 + 5 − 3x  m ມໃີ ຈຜນົ x  R 42.ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 2x + 7 + 2x − 2  m 43.ຈົ່ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 3x2 −1  2x−1 108

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ 44.ຈ່ົ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 2 1 +1 2− 1  9 x +2 x 45.ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 9x − 2.3x − m  0 ມໃີ ຈຜນົ ຖກ x 1; 2 46.ຊອກ m ເພ່ົ ອໃຫລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 2x + 22−x  m 47.ຈ່ົ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 6x + 4  2x+1 + 2.3x 48.ຊອກ m ເພ່ົ ອໃຫລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 2x + 2 + 6 − 2x  m ( )49.ຈ່ົ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 22x+1 − 9.2x + 4 . x2 + 2x − 3  0 50.ຈົ່ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ  1  x−1  1  2  2 109

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ ຂະໜານຕອບບດົ ທີ 5 ລະບບົ ສມົ ຜນົ ແລະ ສມົ ຜນົ ໂລກາລດິ 73. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ log4 (log2 x) + log2 (log4 x)  2 . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ log4 (log2 x) + log2 (log4 x)  2 ເງ່ົອນໄຂ x 1ເຮາົ ໄດ.້ log4 (log2 x) + log2 (log4 x)  2 1 log2 (log2 x) + log2 (log2 x) − 1  2 2 log2 (log2 x) + 2 log2 (log2 x)  2 3 log2 (log2 x)  2 log2 (log2 x)  2 3 2 log2 x  2 3 2 x  223 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S =  2 2  . 2 3 ,+  74. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ log2 x − 1  3 . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ log2 x − 1  3ເງ່ົອນໄຂ x 1ເຮາົ ໄດ.້ log2 x − 1  3 x −1  23 x −1 8 (x − 1) 2 − 82  0 (x − 9)(x − 7)  0  7x9 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = 7 , 9 . 75. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ log2 x + 3  log2 x + 1 . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ log2 x + 3  log2 x + 1 ເຮາົ ໄດ.້ log2 x + 3  log2 x + 1 lloogg22 x +30   log2 x +1 0 + 1)2 x +1 0 log2 x+3 x  (log2 110

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ  x  1  x  1    8  2 1 x log2 x + 3 log 2 x + 2 log2 x +1 2 2  x  1  x  1    8  2 1 x lo g 2 x + log2 x − 2  0 2 2 1  x 1   1 x 1 2 82  x 2    4 1x2 8 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S =  1 , 2  .  8  ( )76. log 2 x2 + y2 + 6= 4 ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ  + log3 y =1  log3 x ວທິ ຄີ ດິ ( )➢ ຈາກລະບບົ ສມົ ຜນົ lo g2 x2 + y2 + 6 = 4 ເຊ່ົ ງິ ວົ່ າ x 1 , y  1 ເຮາົ ໄດ.້  + log3 y = 1  log2 x ( )lo x2  g 2 + y2 + 6 =4 + log3 y =1  log3 x x2 + y2 + 6 = 24   xy = 3 (x + y)2 − 2xy = 10   xy = 3 (x + y)2 − 2xy = 10   xy = 3  x + y = 4  xy = 3  x + y = −4  x + y = 4    xy = 3  xy = 3  t 2 + 4t + 3 = 0 (t )  t 2 − 4t + 3 = 0 t 2 − 4t + 3 = 0 (t − 1)(t − 3) = 0 t =1  t =3 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = (1,3),(3,1). 111

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ 77. ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ log x y + logy x = 2  x + y=6  ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກລະບບົ ສມົ ຜນົ log x y + log yx = 2 ເຊ່ົ ງິ ວົ່ າ x0 , y0 , x  1 , y  1ເຮາົ ໄດ.້  x + y= 6  lo g x y + log y x = 2  x + y=6   logx y + logy x = 2 log 2 y − 2 logx y +1= 0 x (logx y − 1)2 = 0 logx y − 1 = 0 logx y = 1  y = x (3)  (2) x+ x=6 2x = 6 x=3 y=3 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = (3,3). 78.ແກອ້ ະສມົ ຜນົ log2 (x + 1)  5 − x . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ log2 (x + 1)  5 − x ເຊົ່ ງິ ວ່ົ າ x  −1ເຮາົ ໄດ.້ log2 (x + 1)  5 − x (x + 1)  25−x x + 1 32 2x (x + 1).2 x  32  x −3 0 x3 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S = 3, +  . ( )79. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ log2 x 2 − 3x + 2  log2 (x + 14). ວທິ ຄີ ດິ ( )➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ log2 x 2 − 3x + 2  log2 (x + 14)ເຊົ່ ງິ ວົ່ າ Df = −14, −1  2, +  ເຮາົ ໄດ.້ x2 − 3x + 2  x + 14 x2 − 4x −12  0 (x + 2)(x − 6)  0 x  −2  x  6 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S = − ,−2 6, + . 112

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ  x+ y=6 80. ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ log2 x + log2 y = 2log2 3 ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກລະບບົ ສມົ ຜນົ  x x + y=6 2 log2 3 ເຊົ່ ງິ ວົ່ າ x0 , y0 ເຮາົ ໄດ.້ log2 + log2 y =  x+ y=6 log2 xy = 3  x + y= 6  xy = 8  t 2 − 6t + 8 = 0 (t − 2)(t − 4) = 0 t=2  t=4 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S = ( 2, 4 ),( 4, 2 ). 81. ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ  x2 − y2 = 3  log3 (x + y) + log5 (x − y) = 1 ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກລະບບົ ສມົ ຜນົ  (x x2 − y2 =3 − y) = 1ເຊົ່ ງິ ວົ່ າ x+ y0 , x− y0 ເຮາົ ໄດ.້  log3 + y)+ log5 (x  x2 − y2 = 3 x + y = 3  (3)  x− log 3 (x + y) + log5 (x − y) = 1 y  log3  x 3 y  + log5 (x − y) = 1 − 1 − log3 (x − y) + log5 (x − y) = 1 log5 (x − y) − log3 (x − y) = 0 log3 (x − y) − log3 (x − y) = 0 log3 5  log3 (x − y) = 0 x − y = 1 (3) x+ y=3 + x + y =3  − y =1  x  2x = 4 x=2 y =1 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = ( 2,1). 113

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ 82. ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ 2xx+−lloogg22 y=4 y=2 ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກລະບບົ ສມົ ຜນົ 2xx+−lloogg22 y=4 ເຊົ່ ງິ ວ່ົ າ y0 ເຮາົ ໄດ.້ y=2 + 2xx+−lloogg22 y=4 y=2  3x = 6 x = 3  (1) 3 + log2 y = 4 log2 y = 4 − 3 log2 y = 1  y=2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S = ( 3, 2 ). 83. ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ log3 x+ 2 log2 y =3  xy =9 ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກລະບບົ ສມົ ຜນົ log3 x + 2log2 y = 3 ເຊົ່ ງິ ວ່ົ າ x 0, y 0 ເຮາົ ໄດ.້  xy =9 lologg3 3xxy + y=3 = log3 9 loyg. l3oxg3+xy==23  t 2 − 3t + 2 = 0 t =1  t = 2  y = 1  log3 x = 2  x = 9  y = 2  log3 x = 1 x = 3 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S = ( 9, 1),(3,2). 84. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ log 2 (2 x) − log2 x3 1. 2 ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ log 2 (2x) − log2 x3  1 ເຊົ່ ງິ ວົ່ າ x  0 ເຮາົ ໄດ.້ 2 114

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ log 2 (2 x) − log2 x3 1 2 (log2 x + 1)2 − 3 log2 x  1 log 2 x + 2 log2 x +1− 3 log2 x 1 2 log 2 x − log2 x  0 2 (log2 x)(log2 x − 1)  0 0  log2 x  1 20  x  21 1 x  2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = 1, 2. 85. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ log2 x + logx 4  3. ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ log2 x + logx 4  3ເຊ່ົ ງິ ວົ່ າ x  0 , x  1ເຮາົ ໄດ.້ log2 x + logx 4  3 log 2 x − 3 log2 x + 2  0 2 (log2 x − 1)(log2 x − 2)  0 1  log2 x  2 2 x4 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S = 2, 4. ( )86. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ log2 4 x − 2 x+1  x . ວທິ ຄີ ດິ ( )➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ log2 4 x − 2 x+1  x ເຊ່ົ ງິ ວ່ົ າ x 1ເຮາົ ໄດ.້ ( )log2 4 x − 2 x+1  x 4 x − 2 x+1  2 x 2 2x − 3.2 x  0 ( )2 x 2 x − 3  0 0 2x 3  x  log2 3 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S = 1, log2 3 . 87. ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ  x log2 y + y log2 x = 16  − log2 y=2 log2 x ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກລະບບົ ສມົ ຜນົ  x log2 y+ y log2 x = 16 ເຊົ່ ງິ ວົ່ າ x 0, y 0 ເຮາົ ໄດ.້  x− log2 y = 2 log2 115

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ  x log2 y + y log2 x = 16  log2 x − log2 y = 2  x log2 y + y log2 x = 16 x log2 y + x log2 y = 16 2x log2 y = 16 x log2 y = 8 log2 y = 3 x log2 log2 x.log2 y = 3 (3)  log2 y = log2 x − 2  (3) log2 x(log2 x − 2) = 3 log 2 x − 2 log2 x − 3 = 0 2 (log2 x + 1)(log2 x − 3) = 0 x1 = 1  x2 = 8 2 y1 = 1  y2 =2 8 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S =   1 , 1  , (8 , 2)  .   2 8     88. ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ log x (2x + y − 2) = 2 log y (2 y + x − 2) = 2 ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກລະບບົ ສມົ ຜນົ log x (2x + y − 2) = 2 ເຊ່ົ ງິ ວ່ົ າ x  1, y  1 ແລະ ຄ່ົ າຂອງ y = x ເຮາົ ໄດ.້ log y (2 y + x − 2) = 2 logx (2x + x − 2) = 2 2x + x − 2 = x2 x2 − 3x + 2 = 0 (x − 1)(x − 2) = 0 x = 1 (x  )  x = 2 x=2 y=2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S = (2, 2). 3.x log2 y + 2.y log2 x = 10 89. ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ   log4 x2 + log2 y = 2 ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກລະບບົ ສມົ ຜນົ 3.x log2 y + 2.y log2 x = 10 ເຊ່ົ ງິ ວ່ົ າ x 0, y 0 ເຮາົ ໄດ.້  2 + log2 = 2  log4 x y 116

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ 3.x log2 y + 2.x log2 y = 10   log2 x + log2 y = 2  .x log2 y =2   log2 xy = 2 lo g2 x.log 2 y= 1  log2 xy 2  = log2 x. log 2 y =1  y=4  x  log2 x. log 2 4 =1 x log2 x(2 − log2 x) = 1 (log2 x − 1)2 = 0 x=2  y= 4=2 2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S = (2, 2). 90. ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ log y x − log1 y2 =3  x  xy = 4 ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກລະບບົ ສມົ ຜນົ log y x − log1 y2 = 3ເຊ່ົ ງິ ວ່ົ າ x  0, y  0,x 1 , y  1ເຮາົ ໄດ.້  x  xy = 4 log y x − log 1 y 2 = 3 x  xy = 4  logy x − log1 y 2 = 3 x log y x + 2 x = 3 log y lo g 2 x − 3 log y x + 2 = 0 y (logy x − 1)(logy x − 2) = 0 logy x − 1 = 0  logy x − 2 = 0 x = y  x = y2 ➢ເມົ່ ອ y = x ແທນສມົ ຜນົ 2 ເຮາົ ໄດ.້ x2 − 4 = 0 (x + 2)(x − 2) = 0 x = −2 (x  )  x = 2  x=2 y=2 S1 = ( 2 , 2 ) 117

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ ➢ເມ່ົ ອ y 2 = x ແທນສມົ ຜນົ 2 ເຮາົ ໄດ.້ xy = 4 y2.y = 4 y3 = 4  y = 3 4  x = 3 16 ( )S2 = 3 16 , 3 4 ( ) ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = S1  S2 = 3 16 , 3 4 , (2, 2 ) . ( )91. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ log22 x + 2 log2 x − 3 x 2 − 5x + 4  0 . ວທິ ຄີ ດິ ( )➢ 2 x 2 − 5x + 4  0 ເຊົ່ ງິ ວົ່ າເງົ່ອນໄຂ x  1  x  4 ເຮາົ ໄດ.້ ຈາກອະສມົ ຜນົ log 2 x + 2 log2 x −3 log 2 x + 2 log2 x − 3  0 2 (log2 x + 3)(log2 x − 1)  0 log2 x + 3  0  log2 x − 1  0 x1  x2 8 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S = − ,1 4 ,+  . 92. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ log22 x − log2 x − 2  0 . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ log22 x − log2 x − 2  0 ເຊ່ົ ງິ ວົ່ າເງ່ົອນໄຂ x  0 ເຮາົ ໄດ.້ log 2 x − log2 x − 2  0 2 (log2 x + 1)(log2 x − 2)  0 log2 x + 1  0  log2 x − 2  0 x1  x4 2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = −  , 1  4 ,+  . 2  93. ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ  y2 + 2x .y = 22 x +1  x2 =6 − log2  y ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກລະບບົ ສມົ ຜນົ  y 2 + 2 x.y = 22x+1 ເຊົ່ ງິ ວ່ົ າ y  0 ເຮາົ ໄດ.້   x2 = 6 − log2 y 118

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ  y 2 + 2 x.y = 2 2x+1   x2 = 6 − log2 y  y 2 + 2 x.y − 2 2x+1 = 0  y = 2 2x + 8.2 2x = 9.2 2x y1 = − 2x − 3.2 x  y2 = − 2x + 3.2 x 2 2 y1 = −2.2 x (y  )  y2 = 2 x  y = 2 x  (2) x 2 = 6 − log2 2 x x2 + x − 6 = 0 (x + 3)(x − 2) = 0 x = −3  x = 2 y=1  y=4 8 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S =  − 3, 1 , (2 , 4 ) .  8   ( )94. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ logx−1 x2 − 2x − 3  logx−1(x + 7). ວທິ ຄີ ດິ ( )➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ logx−1 x2 − 2x − 3  logx−1(x + 7)ເຊົ່ ງິ ວົ່ າເງົ່ອນໄຂ x  3ເຮາົ ໄດ.້ ( )logx−1 x 2 − 2x − 3  logx−1 (x + 7) x2 − 2x − 3  x + 7 x2 − 3x −10  0 (x + 2)(x − 5)  0 x  −2  x  5 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S = 5, +  . 2 x − 2y = (log5 y − log5 x)(xy + 3)  x2 + y 2 =18 95. ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ  ວທິ ຄີ ດິ 2 x − 2y = (log5 y − log5 x)(xy + 3) ເຊ່ົ ງິ ວ່ົ າ  x2 + y 2 =18 ➢ ຈາກລະບບົ ສມົ ຜນົ x0 , y  0 ເຮາົ ໄດ.້  ສງັ ເກດຈາກສມົ ຜນົ ເຮາົ ເຫນັ ວົ່ າ 2x − 2 y = 0 , (log5 y − log5 x)(xy + 3) = 0 ສະນນັ້ : (log5 y − log5 x)(xy + 3) = 0 log5 y − log5 x = 0  xy + 3 = 0 y = x  xy = −3 (xy  )  ດ່ົ ງັ ນນັ້ ເຮາົ ໄດ້ y = x ດ່ົ ງັ ນ:ີ້ 119

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ x2 + y 2 =18 x2 + x2 = 18 x2 − 32 = 0 (x + 3)(x − 3) = 0 x+3=0  x−3=0 x = −3(x  )  x = 3 x=3  y=3 S = ( 3, 3) ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = ( 3,3). 96. ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ y log xy =x 4 1  log 2( y − x) = ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກລະບບົ ສມົ ຜນົ  y logx y = x 4 ເຊົ່ ງິ ວ່ົ າ y x0 ເຮາົ ໄດ.້  log2 (y − x) = 1  y logx y = x 4  log2 (y − x) = 1  y logx y = x 4 logx y = 4 logy x lo g 2 y − 22 =0 x (logx y + 2)(logx y − 2) = 0 logx y + 2 = 0  logx y − 2 = 0 y = x−2  y = x2  ແທນຄົ່ າ y = 1 ໃສ່ົ ສມົ ຜນົ (2)ເຮາົ ໄດ.້ x2 log 2  1 − x = 1  x2  1 −x=2 x2 120

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ 1 − x 3 = 2.x 2 x3 + 2x2 −1= 0 (x + 1)(x 2 + x − 1) = 0 x = −1 (x  )  x 2 + x − 1 = 0 x2 + x −1= 0 x1 = −1+ 5 (x  )  x2 = 5 −1 2 2 ( ) x = 5 − 1  y = 4 = 3 + 5  y  x 2 2 2 5 −1  S1 =  5 −1 ,3+ 5  22  ແທນຄ່ົ າ y = x 2 ໃສົ່ ສມົ ຜນົ (2)ເຮາົ ໄດ.້ ( )log2 x 2 − x = 1 x2 − x − 2 = 0 (x + 1)(x − 2) = 0 x + 1 = 0 (x  )  x − 2 = 0 x−2=0 x=2  x = 2  y = 22 = 4 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ S = ( 2 , 4 ),  5 −1 ,3+ 5  . 2 2  97. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ log2 (x + 1) + log5 (x − 1)  2 . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ log2 (x + 1) + log5 (x − 1)  2 ເຊົ່ ງິ ວ່ົ າເງົ່ອນໄຂ x 1ເຮາົ ໄດ.້ log2 (x + 1) + log5 (x − 1)  2 log  x + 1  + log5 (x − 1)  0  4  2 0  log  x + 1   1  0  log5 (x − 1)  1  4  2 4 x +18  1 x −15 3 x7  2 x6 S = 3 , 6  ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = 3 , 6  . 98. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ log2 x − 1  3 − log2 x . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ log2 x − 1  3 − log2 x ເຊ່ົ ງິ ວົ່ າເງ່ົອນໄຂ x  0 ເຮາົ ໄດ.້ 121

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ log2 x − 1  3 − log2 x  log2 x − 1  0  3 − log2 x  0  log2 x − 1  (3 − log2 x)2  x2    x8 log2 x − 1  log22 x − 6 log2 x + 9  x2   x8 log 2 x − 7 log2 x + 10  0 2  x2   x8 (log2 x − 2)(log2 x − 5)  0  x2    x8 x  4  x  32 2 x4 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S =  2 , 4  . 99. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ log 2 x − log2 x − 2  0 . 2 x log2 2 ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ log 2 x − log2 x−2  0 ເຊົ່ ງິ ວ່ົ າເງ່ົອນໄຂ x0 , x  2 ເຮາົ ໄດ.້ 2 log2 x 2 log22 x − log2 x − 2  0 x log2 2  (log2 x + 1)(log2 x − 2)  0 log2 x − 1 (2x − 1)(x − 4)  0 x−2  S =  1 , 2  4 , +    2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S =  1 , 2  4 , +  .  2  xy = 32 100. ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ logy x = 4 ວທິ ຄີ ດິ 122

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ ➢ ຈາກລະບບົ ສມົ ຜນົ  xy = 32 ເຊ່ົ ງິ ວ່ົ າ y 1 , x  0 ເຮາົ ໄດ.້ logy x = 4  xy = 32  x = 32 log y x = 4 y  log y  32  = 4 y 5 −1= 4 log2 y log2 y − 1 = 0  y=2 x = 32 =16 2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ S = (16 , 2 ).  log 2 (xy) = 4  = 2 101. ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ log2  x  y ວທິ ຄີ ດິ  log 2 (xy) = 4  = 2 ➢ ຈາກລະບບົ ສມົ ຜນົ log2  x  ເຊ່ົ ງິ ວົ່ າ y0 , xy  0 ເຮາົ ໄດ.້ y  log2 (xy) = 4 xxy = 16  = 2  y =4 log2  x   y xy =16   x = 4 y  4 y.y = 16 y2 − 4 =0 ( y − 2)(y − 2) = 0 y = −2  y = 2 x = −8  x = 8 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ S = ( − 8 , − 2 ), (8 , 2).  log2 (xy) − log2 x3 = 0  log y 102. ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ   x  lo y 2 g2 − lo 0 g4 x.log2 y = ວທິ ຄີ ດິ 123

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ➢ ຈາກລະບບົ ສມົ ຜນົ logl2ogxy2 (x−y)l−ogll4ooggx.2l2oxgy3 =0 ເຊົ່ ງິ ວ່ົ າ y0 , x  0 , y  0 ເຮາົ ໄດ.້ 2 y= 0  log2 (xy) − 3log2 x = 0  y  2  x 2 log2 y = 0 log y  − 2 log2 x.log2  (log 2 x + log2 y)(2 log2 y) − 3log2 x = 0  2 log2 x.log2 y =  x   y  log2 2 log 2 x. log 2 y + 2 log 2 y − 3log2 x = 0  2 log2 2  x.log2 y = log2  x   y  2 log 2 y + 2 log2 x. log 2 y − 3log2 x = 0 2 log2 x = 3 2 log22 y y (3) − 2 log2 2 log2 x.log2 y = log2 x − log2 y log2 x = log2 y y (4)  (3) = (4) 1 − 2 log2 2 log22 y = log2 y 3 − 2 log2 y 1 − 2 log2 y (log2 y ) 3 2 log2 y y − 1− 1 y  =0 − 2 log2 2 log2 log2 y = 0  2 log2 y − 1 = 0 3 − 2 log2 y 1 − 2 log2 y y =1  2 log2 y − 4 log 2 y − 3 + 2 log2 y=0 2  4 log 2 y − 4 log2 y +3=0 (y  ) 2  y =1  x =1 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ S = (1, 1 ). 103. ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ x − y = (log3 y − log2 x)(xy + 2)  + y 2 =8  x2 ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກລະບບົ ສມົ ຜນົ x − y = (log3 y − log2 x)(xy + 2) ເຊ່ົ ງິ ວ່ົ າ y0 , x  0 , y  0 ເຮາົ ໄດ.້  + y 2 =8  x2  ຈາກສມົ ຜນົ y = x ເຮາົ ໄດ.້ 124

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ x2 + y2 =8 x2 + x2 =8 x2 − 4 = 0 (x + 2)(x − 2) = 0 x = −2 (x  )  x = 2  x=2 y=2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ S = ( 2, 2 ). 104. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ logx (2x + 8)  2 . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ logx (2x + 8)  2 ເຊົ່ ງິ ວົ່ າເງ່ົອນໄຂ x  0 , x  1ເຮາົ ໄດ.້ logx (2x + 8)  2 2x + 8  x2 x2 − 2x − 8  0 (x + 2)(x − 4)  0 −2 x4 0 x 1  1 x  4 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S = 0,1   1 , 4 . ( )105. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ log2 x 2 − 6 x+ 5 2. log2 − (2 x) ວທິ ຄີ ດິ ( )➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ log2 x 2 − 6 x+ 5  2 ເຊ່ົ ງິ ວ່ົ າເງ່ົອນໄຂ x 1ເຮາົ ໄດ.້ log2 − (2 x) ( )log2 x 2 − 6x + 5 2 log2 (2 − x) ( ) log2 x 2 − 6x + 5  2 log2 (2 − x) x2 − 6x + 5  x2 − 4x + 4 2x 1 x 1 2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S =  − , 1  .  2  106. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ 2log22 x log1 x  3. + 2x 2 ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ 2log22 x log1 x  3ເຊ່ົ ງິ ວ່ົ າເງົ່ອນໄຂ x  0 ເຮາົ ໄດ.້ + 2x 2 125

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ 2 log22 x log1 x 3 + 2x 2 x log2 x + 2  3 x log2 x x 2 log2 x − 3.x log2 x + 2  0 ( )( )x log2 x − 1 x log2 x − 2  0  1  x log2 x  2 x log2 x  1  x log2 x  2 log2 x  0  log2 x  1 x log2 x 1  log 2 x −10 2 log2 x x  1  (2x − 1)(x − 2)  0 x −1 x 1  x  1  1 x  2 2  S = 0 , 1   1, 2  2  ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = 0 , 1  1, 2 . 2  107. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ log2  log 1 x + log 1 x − 3  1.  2 2 ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ log2  log 1 x + log 1 x − 3  1ເຊ່ົ ງິ ວົ່ າເງົ່ອນໄຂ x  0 ເຮາົ ໄດ.້  2 2 log1 x + log 1 x − 3  2 22 − log2 x − 2 log2 x − 3  2 3log2 x + 3  −2  log2 x  − 5 3 −5 x2 3  −5  ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S = 2 3 , +  .  108. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ log2 2 x − log2 x3 − 1  0 . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ log2 2 x − log2 x3 − 1  0 ເຊົ່ ງິ ວົ່ າເງ່ົອນໄຂ x  0 ເຮາົ ໄດ.້ 126

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ log2 x − log2 x3 −1 0 2 4 log 2 x − 3 log2 x −1 0 2 (4 log2 x + 1)(log2 x − 1)  0 − 1  log2 x 1 4 1 x2 42 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = 1 ,  .  2  4 2  109. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ log3 x −1  2 . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ log3 x −1  2 ເຊົ່ ງິ ວ່ົ າເງົ່ອນໄຂ x  0 ເຮາົ ໄດ.້ log3 x − 1  2 (log3 x − 1)2 − 22  0 (log3 x − 3)(log3 x + 1)  0 1  x  27 3  S = 1 , 27  3 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = 1 , 27 .  3 110. ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ  (xy). log3  x  = 1 log3 y  log3 x + log3 y = 1 ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກລະບບົ ສມົ ຜນົ  (xy). log3  x  = 1 ເຊົ່ ງິ ວ່ົ າ y0 , x  0 , y  0 ເຮາົ ໄດ.້ log3 y  log3 x + log3 y = 1 + log 3 x − log3 y =1 log 3 x + log3 y =1  2 log3 x = 2 x=3 y =1 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ S = ( 3, 1 ). 111. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ log2 x + log2 (x − 2)  3 . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ log2 x + log2 (x − 2)  3 ເຊົ່ ງິ ວົ່ າເງົ່ອນໄຂ x  2 ເຮາົ ໄດ.້ 127

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ log2 x + log2 (x − 2)  3 ( )log2 x 2 − 2x  3 x2 − 2x  8 x2 − 2x − 8  0 (x + 2)(x − 4)  0 −2 x4  S = 2 , 4 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = 2 , 4. 112. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ log2 x.log3 x + 2  log3 x + log2 x2 . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ log2 x.log3 x + 2  log3 x + log2 x2 ເຊ່ົ ງິ ວົ່ າເງົ່ອນໄຂ x  0 ເຮາົ ໄດ.້ log2 x.log3 x + 2  log3 x + 2 log2 x (log2 x − 1)(log3 x − 2)  0 log2 x − 1  0  log3 x − 2  0 x2  x9  S =  2,9 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S =  2,9 . 113. ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ x = 1 + log3 y  yx =9  ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກລະບບົ ສມົ ຜນົ x = 1 + log3 y ເຊົ່ ງິ ວົ່ າ x  0 , y  0 ເຮາົ ໄດ.້  yx =9   x = 1 + log3 y  y = 3x−1  y =9  x  (3x−1 ) x = 9 3x2−x = 32  x2 − x − 2 = 0 (x + 1)(x − 2) = 0 x = −1  x = 2  x = −1 y = 1 9  x = 2  y = 32−1  y = 3  S = (2 , 3),  − 1 , 1 . 9    ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ S = (2 , 3),  − 1 , 1  . 9    128

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ 114. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ log 2 x − 3log2 x + 2  0 . 2 x2 − 2x − 3 ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ log 2 x − 3log2 x + 2  0 ເຊ່ົ ງິ ວ່ົ າເງົ່ອນໄຂ x  0 ເຮາົ ໄດ.້ 2 x2 − 2x − 3 log22 x − 3 log2 x + 2  0 x2 − 2x − 3 (log2 x − 1)(log2 x − 2)  0 (x + 1)(x − 3) (x − 2)(x − 4)  0 (x + 1)(x − 3)  S = 2 , 3 4 , +   ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = 2 ,3 4, +  . 115. ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ  3 x.2 y = 12 2 log (x + y)= 3 ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກລະບບົ ສມົ ຜນົ  3x.2 y = 12 ເຮາົ ໄດ.້ log (x + y)= 2 3 3x.2 y = 12  y=3−x   x + y = 3  3x.23−x = 12 8 3  x = 12 2  3  x = 3 2 2  x =1  y =3−1= 2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ S = (1, 2). 116. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ lo g 2 x  x  + log2 x2 1.  8  ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ log2x  x  + log2 x2  1ເຊ່ົ ງິ ວ່ົ າເງ່ົອນໄຂ x0 , x  1 ເຮາົ ໄດ.້  8  2 129

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ log 2 x  x  + log2 x2 1  8 log2x x − log2x 8 + 2 log2 x  1 log2 x − 3 +1 + 2 log2 x 1 log2 x +1 log2 x log2 x − 3 + (log2 x + 1)(2 log2 x − 1)  0 log2 x + 1 2 log22 x + 2 log2 x − 4  0 log2 x + 1 (log2 x − 1)(log2 x + 2)  0 log2 x + 1 (4x − 1)(x − 2)  0 2x −1  S = 1 , 1    2 , +    4 2  ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S = 1 , 1    2 ,+  .  4 2  117. ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ log22 x + log 2 y = 13  log2 2 (xy) = 5 ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກລະບບົ ສມົ ຜນົ log 2 x + log 2 y = 13 ມເີ ງ່ົອນໄຂ x0 , y  0 ເຮາົ ໄດ.້  2 2  log2 (xy) = 5 log 2 x + log 2 y = 13  2 2 y =5  log2 x + log2  (5)2 − 2 log2 x. log 2 y = 13   log2 x + log2 y = 5 lologg2 x + log 2 y=5 2 x log2 y=6  t 2 − 5t + 6 = 0 (t − 2)(t − 3) = 0 t=2  t=3  log2 x = 2 → x = 4  log2 y = 3 → y = 8  log2 x = 3 → x = 8  log2 y = 2 → y = 4 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ S = (4, 8), (8, 4 ). 118. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ log1 (x + 4)  x − 7 . 3 130

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ວທິ ຄີ ດິ ເຮາົ ໄດ.້ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ log1 (x + 4)  x − 7 ເຊົ່ ງິ ວ່ົ າເງ່ົອນໄຂ x  −4 3 log1 (x + 4)  x − 7 3 x + 4  37−x (x + 4).3x  37  −4  x  5 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S = − 4 ,5 . 119. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ 3log32 x + x log3 x  6 . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ 3log32 x + xlog3 x  6 ເຊົ່ ງິ ວົ່ າເງ່ົອນໄຂ x  0 ເຮາົ ໄດ.້ 3log32 x + x log3 x  6 2x log3 x  6 x log3 x  3 log32 x − 1  0 (log3 x + 1)(log3 x − 1)  0 − 1  log3 x  1  1x3 3 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S =  1 ,3  .  3  120. ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ  x + y=6 = 3 log2 x + log2 y ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກລະບບົ ສມົ ຜນົ  x + y=6 = 3ມເີ ງົ່ອນໄຂ x0 , y  0 ເຮາົ ໄດ.້ log2 x + log2 y x + y = 6   xy = 8  t 2 − 6t + 8 = 0 (t − 2)(t − 4) = 0 t=2  t=4  x=2 y=4  x=4 y=2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ S = (2, 4), (4, 2 ). ( )121. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ log1 x 2 − x − 2  log1 (x + 13). 33 131

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ ວທິ ຄີ ດິ ( )➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ log1 x 2 − x − 2  log1 (x + 13) ເຊົ່ ງິ ວ່ົ າເງົ່ອນໄຂ −13  x  −1  x  2 ເຮາົ ໄດ.້ 33 ( )log1 x 2 − x − 2  log1 (x + 13) 33 x2 − x − 2  x + 13 x2 − 2x −15  0 (x + 3)(x − 5)  0 −3 x5  − 3  x  −1  2  x  5 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S = − 3 , −1  2,5. 122. ແກອ້ ະສມົ ຜນົ log1 (log2 x)  −1. 3 ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກອະສມົ ຜນົ log1 (log2 x)  −1ເຊົ່ ງິ ວ່ົ າເງ່ົອນໄຂ x 1ເຮາົ ໄດ.້ 3 log2 x  3 x  23 x8 0 x8 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງອະສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = 0,8. 132

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ບດົ ຄນົ້ ຄວາ້ ບດົ ທີ 6 ສູດໄຕມຸມມຕິ ິ 1.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ 4sin3 a.cos 3a + 4 cos3 a.sin 3a 2.ພສິ ູດວ່ົ າໝວດຄານວນຕົ່ ໄປນບີ້ ່ົ ຂນ້ ກບັ x. P = 7 sin8 x + cos8 x −12sin6 x + 6sin4 x + 4sin2 x.cos2 x − 8sin4 x.cos4 x 3.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ 4 cos a.cos   − a .cos   + a   3  3  4.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ sin2 a − 4sin2 a sin2 a + 4sin2 a − 4 5.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ p = ( ) ( )tg2x 1+ cos2 x + cot g2x 1+ sin2 x − 3 ( )tg2x − cot g2x 2 6.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ p = sin2 3a − cos2 3a sin2 a cos2 a 7.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ p = tgx + 2tg2 2x + 4 t g2 4x + 8tg28x 8.ສາລບັ ທຸກໆ ABC ເຮາົ ມີ cot gA.cot gB + cot gB.cot gC + cot gC.cot gA = ...? ຈົ່ ງົ ຄດັ ຈອ້ ນ 9.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ: p = 1+ 4sin2 x.cos2 x + 4sin x.cos x + cos4 x − 5cos2 x − 4sin x.cos x + 6sin2 x 10.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ p = tga + tg  a +   + t g  a + 2   3   3  11.ຖາ້ sin4 x + cos4x = 1 ເຮາົ ຈະໄດ້p = sin8 x + cos4 x a b a+b a3 b3 (sin2 a + b) − sin2 a − sin2 b p= sin2 (12.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ a + b) − cos2 a − cos2 b . 13.ໃຫ້ tgx − cot gx = 2 ຊອກ tg2x + cot g2x = ...? 14.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ p= sin (a + b) + sin(a − b) cos (a + b) − cos(a − b) . 15.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ p = ( )cos a tg2a + sin2 a + cos2 a . tga + cot ga 16.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ p = tg3a −1 + cot g3a − tg3a sin2 a sin a.cos a cos2 a 133

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ 17.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ p = 1+ cos a + cos 2a + cos 3a 2 cos2 a + cos a −1 18.ໃຫ ້ tg a = 1 ຄດິ ໄລ່ົ P = tga + sin a − cos a 22 tga − sin a + cos a 19.ໃຫ ້ ABC ເຮາົ ມີ m 2 + m2b + m 2 = ...? a c 20.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ P = cos a + sin a − cos a − sin a cos a − sin a cos a + sin a 21.ໃຫທ້ ຸກໆ ABC ເຮາົ ມີ cos2 A + cos2 B + cos2 C = ...? 22.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ: p = sin4 x + 6 cos2 x + 3cos4 x + cos4 x + 6sin2 x + 3sin4 x 23.ໃຫ້ ABC ເຮາົ ມີ a2 sin 2B + b2 sin 2A = ...? 24.ຄດິ ໄລົ່ P = cos a.cos 2a.cos 4a...cos 2n a = ...? 25.ຈ່ົ ງົ ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ 4 cos3 a.sin a − 4sin3 a.cos a 26.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ 1 sin 4a . cos 2a + cos 4a 1 + cos 2a 27.ສາລບັ ທຸກໆ ABC ເຮາົ ມ:ີ sin2 A + sin2 B + sin2 C ເທ່ົ າົ : 28. x  R ໝວດຄານວນ cos2 x + cos2  2 + x  + cos2  2 − x  ເທົ່ າົ :  3   3  29.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ P= sin3 x + sin2 x.cos x − cos x 1− 2sin x.cos x 30.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ P = 1− cos a − 1+ cos a . 1+ cos a 1− cos a 31.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ P = cos3 a − cos 3a + sin3 a + sin 3a cos a sin 3 sin (a + b)sin (a − b) 32.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວດ P = 1− tg2a.cot g2b 134

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ 33.ໃຫ ້ ABCເຮາົ ມ:ີ P= 1 1 + 1 ເທົ່ າົ : ha hb hc 34.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ P = (1+ cot gx)sin3 x + (1+ tgx)cos3 x (1+ 2sin x.cos x). 35.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ P = ( )2 sin 2a + 2 cos2 a −1 . cos a − sin a − cos 3a + sin 3a 36.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ 4 cos3 a.cos 3a + 4sin3 a.sin 3a 37.ໃຫ ້sin x + cos x = 7. ໝວດຄານວນ sin x.cos x ເທົ່ າົ : 5 38.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ P = 1 − sin x − cos x.cot gx . sin x 1+ cot gx 1+ tgx 39.ສາລບັ ທຸກໆ ABC ເຮາົ ມ:ີ A, B, C  450, ເຮາົ ມ:ີ tg2A + tg2B + tg2C ເທ່ົ າົ : 40. 2sin x.sin y − 3cos x.cos y = 0 ເຮາົ ຈະໄດ:້ P= 2 sin 2 x 1 3 cos 2 x + 2 sin 2 y 1 3 cos 2 y ເທົ່ າົ . + + 41.ໃຫ້ tgx = 2 ພສິ ູດວົ່ າໝວດຄານວນຕ່ົ ໄປນບີ້ ົ່ ຂນ້ ກບັ x. P = 3sin4 x + 4sin3 x.cos x + cos2 x 2sin2 x + 3cos4 x − 4sin x.cos3 x ( )42.ຊອກ a,b a (cos x −1) + b2 −1− cos ax + b2 = 0x. 43.ສາລບັ ທຸກໆ ABCເຮົ າມ:ີ P = cos + cos B + cos C sin B.sin c sin A.sin C sin A.sin B 44.ສາລບັ ທຸກໆ ABCເຮາົ ມີ sin 2A +sin 2B+sin 2C 45.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ. tga.tg  a +   + tg  a +   .tg  a + 2  + tga.g  a + 2  .  3   3  3   3 46.ໃຫ້ cos2 x + cos2 y = m ຄດິ ໄລົ່ cos(x + y).cos (x − y). 47.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ 4 sin a.sin   − a .sin   + a .  3  3 48.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ (1+ tga )(1− 2sin2 a ) 1+ sin 2a 49.ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ P = sin 2a + sin 3a + sin 4a . cos 2a + cos 3a + cos 4a 50.ພສິ ູດວົ່ າໝວດຄານວນຕ່ົ ໄປນບີ້ ົ່ ຂນ້ ກບັ x . P = sin8 x + cos8 −1 + 2 sin2 x.cos2 x sin6 x + cos6 x −1 3 135

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ ຂະໜານຕອບ ບດົ ທີ 6 ສູດໄຕມູມມຕິ ິ 123. ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ 4 sin3 a cos3a + 4 cos3 a sin 3a . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສານວນ 4 sin3 a cos3a + 4 cos3 a sin 3a ເຮາົ ໄດ.້ 4 sin3 a cos3a + 4 cos3 a sin 3a = 2 sin2 a(2 cos3a sin a) + 2 cos2 a(2 sin 3a cosa) = 2 sin2 a(sin 4a − sin 2a) + 2 cos2 a(sin 4a + sin 2a) = 2 sin2 a sin 4a − 2 sin2 a sin 2a + 2 cos2 a sin 4a + 2 cos2 a sin 2a = 2 sin 4a(cos2 a + sin2 a) + 2 sin 2a(cos2 a − sin2 a) = 2 sin 4a + sin 4a = 3sin 4a ຕອບ:ຄດັ ຈອ້ ນ 4 sin3 a cos3a + 4 cos3 a sin 3a = 3sin 4a . 124. ພສິ ູດວ່ົ າໝວດຄານວນຕົ່ ໄປນບີ້ ົ່ ຂນ້ ກບັ ຄ່ົ າຂອງ x . p = 7 sin8 x + cos8 x − 12sin6 x + 6 sin4 x + 4 sin2 x cos2 x − 8sin4 x.cos4 x . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສານວນ p = 7 sin8 x + cos8 x − 12sin6 x + 6 sin4 x + 4 sin2 x cos2 x − 8sin4 x.cos4 x ເຮາົ ໄດ.້ p = 7 sin8 x + cos8 x − 12sin6 x + 6 sin4 x + 4 sin 2 x cos2 x − 8 sin 4 x.cos4 x ( ) ( )p = 6 sin8 x + sin8 x + cos8 x + 6 sin4 x 1 − 2 sin2 x + sin2 2x − 1 sin4 2x 2 ( )p = 6 sin8 x + 1 − sin2 2x + 1 sin4 2x + 6 sin4 x 1 − 2 sin2 x + sin2 2x − 1 sin4 2x 82 ( )p = 6 sin8 x + 1 + 6 sin4 x 1 − 2 sin2 x − 1 sin4 2x 4 ( )p = 6 sin8 x + 6 sin4 x 1 − 2 sin2 x − 1 sin4 2x + 1 4 p = 6 sin4 x(sin4 x − 2 sin2 x + 1) − 1 sin4 2x + 1 4 p = 6 sin4 x(1 − sin2 x) 2 − 3 sin4 2x + 1 8 p = 3 sin4 2x − 3 sin4 2x + 1 88 p =1 ຕອບ:ຄ່ົ າຂອງ p ແມົ່ ນ p = 1. 125. ຈົ່ ງົ ຄດັ ຈອ້ ນໝວດສານວນ 4 cos a. cos  − a .cos  + a  .  3  3  ວທິ ຄີ ດິ 136

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ  ຈາກສານວນ 4 cosa.cos  − a .cos  + a  ເຮາົ ໄດ.້  3  3  ( )( )4 cosa.cos  − a .cos  + a  = cosa. cosa + 3 sin a cosa − 3 sin a 3  3  ( )= cosa. cos2 a − 3sin2 a = cos3 a − 3(1 − cos2 a).cosa = 4 cos3 a − 3cosa = cos3a ຕອບ: ຄດັ ຈອ້ ນ 4 cos a. cos  − a .cos  + a  = cos3a .  3  3  126. ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ p = sin2 2a − 4 sin2 a 4 . sin2 2a + 4 sin2 a − ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສານວນ p = sin2 2a − 4 sin2 a 4 ເຮາົ ໄດ.້ sin2 2a + 4 sin2 a − p = sin2 2a − 4sin2 a 4 sin2 2a + 4sin2 a − = sin2 2a − 4sin2 a = sin2 2a − 4sin2 a sin2 2a − 4 1− sin2 a sin2 2a − 4 cos2 a ( )p p = (sin2 a)(1− cos2 a) = tan 4 a (cos2 a)(1− sin2 a)  p = tan 4 a ຕອບ: ຄດັ ຈອ້ ນ p = sin2 2a − 4sin2 a = tan 4 a . sin2 2a + 4sin2 a − 4 ( ( ) () )127. tan 2 ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ p= x 1 + cos2 x + c tan 2 x 1 + sin2 x −3 . tan 2 x − c tan 2 x 2 ວທິ ຄີ ດິ ( ( ) () ) ຈາກສານວນ p =tan 2 x 1 + cos2 x + c tan 2 x 1 + sin2 x − 3 ເຮາົ ໄດ.້ tan 2 x − c tan 2 x 2 ( )p = tan 2 x + sin2 x + c tan 2 x + cos2 x − 3 tan 2 x − c tan 2 x 2 137

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ( )p = tan 2 x + c tan 2 x − 2 tan 2 x − c tan 2 x 2 p = (tan x − (tan x − c tan x)2 tan x)2 c tan x)2 (tan x + c p = (tan x 1 tan x)2 +c ( ) p = tan 2 x tan 2 x + 1 2 p = sin2 x cos2 x p = sin2 2x 4 ( ( ) () )ຕອບ: tan 2 ຄດັ ຈອ້ ນ p= x 1 + cos2 x + c tan 2 x 1 + sin2 x −3= sin 2 2x . tan 2 x − c tan 2 x 2 4 128. ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ sin 2 3a − cos2 3a . sin2 a cos2 a ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສານວນ sin 2 3a − cos2 3a ເຮາົ ໄດ.້ sin2 a cos2 a sin2 3a − cos2 3a = sin2 3a cos2 a − cos2 3a sin2 a sin2 a cos2 a sin2 a cos2 a = 1 (sin 4x + sin 2x)2 − (sin 4x − sin 2x)2 4 sin2 a cos2 a = 1 (2 sin 4a)(2 sin 2a) 4 sin2 a cos2 a = sin 4a sin 2a sin2 a cos2 a = 8 cos2a sin2 3a − cos2 3a = 8 cos2a sin2 a cos2 a ຕອບ: ຄດັ ຈອ້ ນ sin2 3a − cos2 3a = 8 cos 2a . sin2 a cos2 a 129. ຄດັ ຈອ້ ນໝວດຄານວນ tan x + 2 tan 2x + 4 tan 4x + 8c tan 8x . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສານວນ tan x + 2 tan 2x + 4 tan 4x + 8c tan 8x ເຮາົ ໄດ.້ 138

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ tan x + 2 tan 2x + 4 tan 4x + 8c tan 8x = tan x + 2 tan 2x + 4(tan 4x + 2c tan 8x) = tan x + 2 tan 2x + 4 sin 4x + cos8x + c tan 8x   cos4x sin8x  = tan x + 2 tan 2x + 4 cos4x + c tan 8x   cos4x sin8x  = tan x + 2 tan 2x + 4c tan 4x = tan x + 2(tan 2x + 2c tan 4x) = tan x + 2 sin 2x + cos4x + c tan 4x   cos2x sin 4x  = tan x + 2 cos2x + c tan 4x   cos2x sin 4x  = tan x + 2c tan 2x = c tan x tan x + 2 tan 2x + 4 tan 4x + 8c tan 8x = c tan x ຕອບ: ຄດັ ຈອ້ ນ tan x + 2 tan 2x + 4 tan 4x + 8c tan 8x = c tan x . 130. ສາລບັ ທຸກ ABC ເຮາົ ມີc tan A.c tan B + c tan B.c tan C + c tan C.c tan A . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສານວນ c tan A.c tan B + c tan B.c tan C + c tan C.c tan A  A + B + C =  ເຮາົ ໄດ.້ c tan A.c tan B + c tan B.c tan C + c tan C.c tan A = c tan A.c tan B + c tan C(c tan B + c tan A) = c tan A.c tan B + c tan C(c tan A + c tan B) = c tan A.c tan B + c tan C c tan Ac tan B− 1  c tan( A + B) = c tan A.c tan B + c tan C c tan Ac tan B− 1  c tan( − C) = c tan A.c tan B − (c tan Ac tan B − 1) =1 c tan A.c tan B + c tan B.c tan C + c tan C.c tan A = 1 ຕອບ: ຄົ່ າຂອງ c tan A.c tan B + c tan B.c tan C + c tan C.c tan A =1. 131. ຄດັ ຈອ້ ນສານວນ p = 1 + 4 sin2 x.cos2 x + 4 sin x.cos x + cos4 x − 5 sin4 x − 4 sin x.cos x + 6 sin2 x . ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສານວນ p = 1 + 4 sin2 x.cos2 x + 4 sin x.cos x + cos4 x − 5sin4 x − 4 sin x.cos x + 6 sin2 x ເຮາົ ໄດ.້ 139

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ p = (1 + sin 2x)2 + cos4 x + sin4 x − 6 sin4 x − 4 sin x.cos x + 6 sin2 x ( )p = (1 + sin 2x)2 + 1 − 2 sin2 x.cos2 x − 4 sin x.cos x + 6 sin2 x 1 − sin2 x p = (1 + sin 2x)2 + 1 + 4 sin2 x.cos2 x − 4 sin x.cos x p = (1 + sin 2x)2 + 4 sin2 x.cos2 x − 4 sin x.cos x + 1 p = (1 + sin 2x)2 + (1 − sin 2x)2 p = 1 + sin 2x + 1 − sin 2x  p=2 ຕອບ: ຄດັ ຈອ້ ນ p = 2 . 132. ຄດັ ຈອ້ ນສານວນ tan a + tan a +   + tan a + 2  .  3   3  ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສານວນ tan a + tan a +   + tan a + 2  ເຮາົ ໄດ.້  3   3  tan a + tan a +   + tan a + 2  = tan a + sin a +   + sin a + 2   3   3   + 3   + 3    2  cos a cos a  3  3  = sin a + sin a + 3 cosa + sin a − 3 cosa cosa cosa − 3 sin a cosa + 3 sin a = sin a + 8sin a cosa cosa cos2 a − 3sin2 a (( )) ( )= (sin a) cos2 a − 3 sin 2 a + (8sin a cosa)(cosa) (cosa) cos2 a − 3 sin 2 a cos2 a − 3sin2 a (cosa) = 9 sin a − 12sin3 a 4 cos3 a − 3cosa = 3 3sin a − 4 sin3 a  4 cos3 a − 3cosa = 3 tan 3a  tan a + tan a +   + tan a + 2  = 3 tan 3a  3  3  ຕອບ: ຄດັ ຈອ້ ນ tan a + tan a +   + tan a + 2  = 3 tan 3a .  3   3  133. ຖາ້ sin 4 x + cos4 x = 1 ເຮາົ ຈະໄດ້ p = sin8 x + cos8 x . a b + a3 b3 a b ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກຄ່ົ າຄານວນ sin 4 x + cos4 x = 1 ເຮາົ ໄດ.້ a b + a b 140

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ b sin4 x + a cos4 x = 1 ab a + b  p = sin8 x + cos8 x a3 b3 p = b3 sin8 x + a3 cos8 x (ab)3 ( ) ( )p = b b sin4 x 2 + a a cos4 x 2 1 (ab)3 = (a + b)3 ( ) ( )ຕອບ: 2 +a 2 b b sin4 x a cos4 x 1 ເຮາົ ໄດ້ p = (ab)3 = . (a + b)3 134. ຄດັ ຈອ້ ນໝວດສານວນ P = sin2 (a + b) − sin2 a − sin 2 b . sin2 (a + b) − cos2 a − cos2 b ວທິ ຄີ ດິ P = sin2 (a + b) − sin2 a − sin2 b sin2 (a + b) − cos2 a − cos2 b P = (sin a cosb + cosa sin b)2 − sin2 a − sin 2 b (sin a cosb + cosa sin b)2 − cos2 a − cos2 b P = sin2 a cos2 b + 2 sin a sin b cosa cosb + cos2 a sin2 b − sin2 a − sin2 b sin2 a cos2 b + 2 sin a sin b cosa cosb + cos2 a sin2 b − cos2 a − cos2 b P = sin2 a cos2 b − sin2 a + cos2 a sin2 b − sin2 b + 2 sin a sin b cosa cosb sin2 a cos2 b − cos2 b + cos2 a sin2 b − cos2 a + 2 sin a sin b cosa cosb ( ) ( )P = − sin2 a 1 − cos2 b − sin2 b 1 − cos2 a + 2 sin a sin b cosa cosb ( ) ( )− cos2 b 1 − sin2 a − cos2 a 1 − sin2 b + 2 sin a sin b cosa cosb P = − sin2 a sin2 b − sin2 b sin2 a + 2 sin a sin b cosa cosb − cos2 b cos2 a − cos2 a cos2 b + 2 sin a sin b cosa cosb P = 2 sin a sin b cosa cosb − 2 sin2 a sin2 b 2 sin a sin b cosa cosb − 2 cos2 a cos2 b  P = − 2 sin a sin b(cosa cosb − sin a sin b) 2 cos a cosb(cosa cosb − sin a sin b) P = − sin a sin b cosa cosb P = − tan a tan b ຕອບ: ເຮາົ ໄດ້P = sin2 (a + b) − sin2 a − sin 2 b = − tan a tan b . sin2 (a + b) − cos2 a − cos2 b 135. ໃຫ້tan x − c tan x = 2 ໝວດສານວນ tan 2 x + c tan 2 x ເທ່ົ າົ ກບັ ເທົ່ າົ ໄດ.້ ວທິ ຄີ ດິ 141

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ tan 2 x + c tan 2 x = (tan x − c tan x) 2 + 2 tan x.c tan x = (2) 2 + 2 =4+2 =6 tan 2 x + c tan 2 x = 6 ຕອບ: ສານວນ tan 2 x + c tan 2 x = 6 . 136. ຄດັ ຈອ້ ນໝວດສານວນ P = sin(a + b) + sin(a − b) . cos(a + b) + cos(a − b) ວທິ ຄີ ດິ P = sin(a + b) + sin(a − b) cos(a + b) + cos(a − b) P = sin a cosb + cosa sin b + sin a cosb − cosa sin b cosa cosb − sin a sin b + cosa cosb + sin a sin b  P = 2sin a cosb 2 cosa cosb P = sin a cosa P = tan a  P = sin(a + b) + sin(a − b) = tan a cos(a + b) + cos(a − b) ຕອບ: ສານວນ P = sin(a + b) + sin(a − b) = tan a . cos(a + b) + cos(a − b) ( )137. cos2 ຄດັ ຈອ້ ນໝວດສານວນ P = cosa tan 2 a + sin2 a + a . tan a + c tan a ວທິ ຄີ ດິ ( )P = cosa tan 2 a + sin2 a + cos2 a tan a + c tan a ( )P = cosa tan 2 a + 1 tan 2 a + 1 tan a P = cosa. tan a P = cosa. sin a = sin a cosa ( )ຕອບ: ສານວນ P = cosa tan 2 a + sin2 a + cos2 a = sin a . tan a + c tan a 138. ຄດັ ຈອ້ ນໝວດສານວນ P = tan 3 a − sin 1 + c tan 3 a − tan 3 a . sin 2 a a cosa cos2 a ວທິ ຄີ ດິ 142

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ P = tan 3 a − 1 + c tan 3 a − tan 3 a sin2 a sin a cosa cos2 a P = sin a − 1 + cosa − sin3 a cos3 a sin a cosa sin3 a cos3 a P = sin a − sin3 a − 1 + cosa cos3 a cos3 a sin a cosa sin3 a ( )P = sin a 1 − sin2 a − 1 + cosa cos3 a sin a cosa sin3 a P = sin2 a − 1 + cosa sin a cosa sin a cosa sin3 a P = cosa − 1 − sin2 a sin3 a sin a cosa P = cosa − cos2 a sin3 a sin a cosa P = cosa − cosa sin2 a sin3 a sin3 a ( )P = cosa 1 − sin2 a sin3 a P = cos2 a = tan 3 a sin3 a ຕອບ: ສານວນ P = tan 3 a − sin 1 + c tan 3 a − tan 3 a = tan 3 a . sin 2 a a cosa cos2 a 139. ຄດັ ຈອ້ ນໝວດສານວນ 1 + cosa + cos2a + cos3a . 2 cos2 a + cosa −1 ວທິ ຄີ ດິ 1 + cosa + cos2a + cos3a = 1 + cos2a + cos3a + cosa 2 cos2 a + cosa −1 2 cos2 a + cosa −1 = 1 + cos2a + 2 cos2a cosa 2 cos2 a + cosa −1 ( )= 2 cos2 a − 1 (2 cosa + 1) + 1 2 cos2 a + cosa −1 = 4 cos3 a + 2 cos2 a − 2 cosa − 1 + 1 2 cos2 a + cosa −1 ( )= 2 cosa cos2 a + cosa − 1 2 cos2 a + cosa −1 = 2 cosa 1 + cosa + cos2a + cos3a = 2 cosa 2 cos2 a + cosa −1 ຕອບ: ສານວນ 1 + cosa + cos2a + cos3a = 2 cos a . 2 cos2 a + cosa −1 140. ໃຫ ້ tan a = 1 ຄດິ ໄລົ່ tan a + sin a − cosa ເທົ່ າົ ກບັ ເທ່ົ າົ ໃດ. 2 2 tan a − sin a + cosa 143

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ວທິ ຄີ ດິ a 2 tan ➢ຈາກຄົ່ າຂອງ tan a = 1  tan a =2 =1 = 4  sin a = 4  cosa = 3 ເຮາົ ໄດ.້ 2 2 1− 1 3 5 5 1 − tan 2 a 24 tan a + sin a − cosa 4 + 4 − 3 23 23 3 5 5 15 = = = tan a − sin a + cosa 4 − 4 + 3 17 17 3 5 5 15  tan a + sin a − cosa = 23 tan a − sin a + cosa 17 ຕອບ: ຄ່ົ າຂອງ tan a + sin a − cos a = 23 . tan a − sin a + cos a 17 141. ໃຫ້ABC ມເີ ສນັ້ ເນນັ້ ຈອມກາງແມົ່ ນ ma , mb , mc ຈ່ົ ງົ ຄດິ ໄລ່ົ ma2 + mb2 + mc2 ເທ່ົ າົ ກບັ ເທົ່ າົ ໃດ. ວທິ ຄີ ດິ ເຮາົ ສາມາດສງັ ເກດຈາກຮູບດົ່ ງັ ນ:ີ້  ຊອກຫາ ma ເຮາົ ໄດ:້ 2ma2 = a2 + b2 + c2 (1) . 2  ຊອກຫາ mb ເຮາົ ໄດ:້ 2mb2 = a2 + c2 + b2 (2) . 2  ຊອກຫາ mc ເຮາົ ໄດ:້ 2ma2 = b2 + c2 + a2 (3) . 2 ➢ສງັ ເກດຈາກຂາ້ ງເທງີ ເຮາົ ໄດ:້ (1) + (2) + (3) ຈະໄດ.້ 2ma2 + 2mb2 + 2mc2 = 2(a 2 + b2 + c2) + a2 + b2 + c2 2 ( )2m2 + mb2 + m 2 = 5 (a 2 + b2 + c2 ) a c 2 ma2 + mb2 + mc2 = 5 (a 2 + b2 + c2) 4 ຕອບ: ຄົ່ າຂອງ ma2 + mb2 + mc2 = 5 (a 2 + b2 + c2). 4 142. ຄດັ ຈອ້ ນໝວດສານວນ cos a + sin a − cos a − sin a . cos a − sin a cos a + sin a 144

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ ວທິ ຄີ ດິ cosa + sin a − cosa − sin a = (cosa + sin a)2 − (cosa − sin a)2 cosa − sin a cosa + sin a cos2 a − sin2 a = (cosa + sin a + cosa − sin a)(cosa + sin a − cosa + sin a) cos2 a − sin2 a = (2 cosa)(2 sin a) cos 2a = 2(2 sin a cosa) cos 2a = 2 sin 2a cos 2a = 2 tan 2a  cosa + sin a − cosa − sin a = 2 tan 2a cosa − sin a cosa + sin a ຕອບ: ສານວນ cosa + sin a − cosa − sin a = 2 tan 2a . cosa − sin a cosa + sin a 143. ສາລບັ ທຸກຄ່ົ າຂອງ ABC ຊອກຫາ cos2 A + cos2 B + cos2 C ເທ່ົ າົ ກບັ . ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສານວນ cos2 A + cos2 B + cos2 C ເຮາົ ໄດ້ A + B + C =  ດົ່ ງັ ນ.ີ້ cos2 A + cos2 B + cos2 C = cos Acos A + cosB cos B + cosC cosC = cos A cos( − (B + C)) + cos B cos( − ( A + C)) + cosC cos( − ( A + B)) = − cos A cos(B + C) − cos B cos(A + C) − cosC cos(A + B) = − 1 (cos(A + B + C) + cos(B + C − A) + cos(A + B + C) + cos(A + C − B) + cosC cos(A + B)) 2 = − 1 (cos( ) + cos( − 2A) + cos( ) + cos( − 2B) + cos( ) + cos( − 2C)) 2 = − 1 (− 1 − cos(2A) − 1 − cos(2B) − 1 − cos(2C)) 2 145

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ = − 1 (− 3 − cos(2A) − cos(2B) − cos(2C)) 2 = 3 + 1 (cos(2A) + cos(2B) + cos(2C)) 22 = 3 + 1 (2 cos(A + B)cos(A − B) + cos(2C)) 22 ( )= 3 + 1 2 cos( − C)cos(A − B) + 2 cos2 C − 1 22 = 3 − 1 + cosC(cosC + cos(A − B)) 22 = 1+ cosC − 2 sin A + C − B  sin A − B − C    2   2  = 1+ cos C 2 sin  − B − B  sin A −  + A    2  2  = 1 + cosC(− 2 cos B cos A) = 1 − 2 cos AcosB cosC ຕອບ: cos2 A + cos2 B + cos2 C =1 − 2 cos A cos B cosC . 144. ຄດັ ຈອ້ ນໝວດສານວນ p = sin4 x + 6 cos2 x + 3 cos4 x + cos4 x + 6 sin2 x + 3sin4 x . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກສານວນ p = sin4 x + 6 cos2 x + 3 cos4 x + cos4 x + 6 sin2 x + 3sin4 x ເຮາົ ໄດ.້ p = sin4 x + 6 cos2 x + 3cos4 x + cos4 x + 6 sin2 x + 3sin4 x p = sin4 x + 6 − 6 sin2 x + 3(1 − sin2 x) 2 + (1 − sin2 x) 2 + 6 sin2 x + 3sin4 x p = sin4 x + 6 − 6 sin2 x + 3(1 − 2 sin2 x + sin4 x) + (1 − 2 sin2 x + sin4 x) + 6 sin2 x + 3sin4 x p = 4 sin4 x − 12sin2 x + 9 + 4 sin4 x + 4 sin2 x + 1 ( ) ( )p = 3 − 2 sin2 x 2 + 2 sin2 x + 1 2 p = 3 − 2 sin2 x + 2 sin2 x + 1 p=4 ຕອບ: ສານວນມຄີ ່ົ າແມົ່ ນ p = 4 . 145. ໃຫ້ABC ໃຫຄ້ ານວນ a 2 .sin 2B + b 2 .sin 2A . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ສງັ ເກດຈາກຮູບສາມແຈດົ່ ງັ ຮູບ: 146

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ ➢ ສງັ ເກດຈາກສູດໄຕມູມມຕິ :ິ a A = b sin A = a sin B  sin B = b sin A ແລະ sin sin B b a S ABC = 1 absin C = 1 bcsin A= 1 ac sin B ສະນນັ້ ເຮາົ ສາມາດປຽບທຽບຈາກ a 2 .sin 2B + b2 .sin 2A 2 2 2 ເຮາົ ໄດ:້ a 2 .sin 2B + b 2 .sin 2A = 2a 2 sin B sin B + 2b 2 sin Asin A a 2 .sin 2B + b 2 .sin 2A = 2a 2 (sin B)sin B + 2b 2 (sin A)sin A = 2a 2  b sin A sin B + 2b 2  a sin B  sin A a  b  = 2absin Asin B + 2absin B sin A = 2ab(sin Asin B + sin B sin A) = 2absin(A + B) / A + B + C =   A + B =  − C = 2absin( − C) = 4 1 absin C  2  a 2 .sin 2B + b 2 .sin 2 A = 4S ABC ຕອບ: a2.sin 2B + b2 .sin 2A = 4SABC . 146. ຄດິ ໄລົ່ ສານວນ p = cosa cos2a cos4a.......... .......... ..... cos2n a . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກສານວນ p = cosa cos2a cos4a.......... .......... ..... cos2n a ໃນການຄານວນຈະໃສ່ົ ລກັ ສະນະອຸປະໄນ ທາງຄະນດິ ສາດ ເຮາົ ໄດ.້ ❖ ການດົ ໃຫ້n = 0 ເຮາົ ໄດ້ p = cos a  p= 2 sin a cosa = sin 20+1 a . 2 sin a 20+1 sin a ❖ ການດົ ໃຫ້n =1ເຮາົ ໄດ້ p = cosa cos2a  p= 2sin a cosa cos2a = 2sin 2a cos2a = sin 4a 2sin a 2  2sin a 21+1 sin a sin 4a = sin 21+1 a . 21+1 sin a 21+1 sin a ❖ ການດົ ໃຫ້n = 2 ເຮາົ ໄດ້ p = cosa cos2a cos4a  p =  sin 4a  cos 4a  p = 2 sin 4a cos4a  22 sin a  2 2+1 sin a sin 8a = sin 2 2+1 a . 2 2+1 sin a 2 2+1 sin a . . 147

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ . ❖ ການດົ ໃຫ້n = n ເຮາົ ໄດ້ p = cosa cos 2a cos 4a.......... coc2 n a = sin 2 n+1 a . 2 n+1 sin a ຕອບ: ຄ່ົ າຂອງ p = cosa cos 2a cos 4a.......... coc2 n a = sin 2 n+1 a . 2 n+1 sin a 147. ຄດັ ຈອ້ ນສານວນ 4 cos3 a sin a − 4 sin3 a cosa . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກສານວນ 4 cos3 a sin a − 4 sin3 a cosa ເຮາົ ສາມາດ. ( )4 cos3 a sin a − 4 sin3 a cos a = 4 sin a cos a cos2 a − sin2 a = 2(2 sin a cosa)(cos2a) = 2 sin 2a cos2a 4 cos3 a sin a − 4 sin3 a cosa = sin 4a ຕອບ: ຄ່ົ າຂອງ 4 cos3 a sin a − 4 sin3 a cosa = sin 4a . 148. ຄດັ ຈອ້ ນສານວນ 1 sin 4a  1 cos 2a . + cos4a + cos2a ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກສານວນ 1 sin 4a  1 cos 2a ເຮາົ ໄດ.້ + cos4a + cos2a sin 4a  cos2a = 2 sin 2a cos2a cos2a 1 + cos4a 1 + cos2a (2 cos2 2a)  (2 cos2 a) = 4 sin a cosa cos2 2a (2 cos2 2a)  (2 cos2 a) = 4 sin a cosa cos2 2a 4 cos2 2a cos2 a = sin a cosa = tan a ຕອບ: ຄົ່ າຂອງ 1 sin 4a  1 cos 2a = tan a . + cos4a + cos2a 149. ສາລບັ ທຸກໆ ABC ຊອກຫາຄ່ົ າຂອງ sin2 A + sin2 B + sin2 C . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກສານວນ sin2 A + sin2 B + sin2 C ເຮາົ ໄດ.້ sin2 A + sin2 B + sin2 C = sin Asin A + sin B sin B + sin C sin C 148

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ = sin Asin( − (B + C)) + sin B sin( − ( A + C)) + sin C sin( − ( A + B)) = sin Asin(B + C) + sin B sin(A + C) + sin C sin(A + B) = 1 (cos( − 2A) − cos ) + 1 (cos( − 2B) − cos ) + 1 (cos( − 2C) − cos ) 222 = 1 (− cos(2A) + 1) + 1 (− cos(2B) + 1) + 1 (− cos(2C) + 1) 222 = 3 − 1 (cos2A + cos2B + cos2C) 22 = 3 − 1 (2 cos(A + B)cos(A − B) + cos2C) 22 ( )= 3 − 1 2 cos( − C)cos(A − B) + 2 cos2 C − 1 22 ( )= 3 − 1 − 2 cos(C)cos(A − B) + 2 cos2 C − 1 22 = 1 + (cos(C)(cos(A − B) − cosC)) =1 + cosC 2 sin A − B − C  sin A + C − B    2   2  =1 + cosC 2 sin 2A −   sin  − 2B    2  2  =1 − 2 cos AcosB cosC 150. ໃຫ້x  R ຂອງໝວດຄານວນ cos2 x + cos2  2 + x  + cos2  2 − x  . 3  3  ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກໝວດຄານວນ cos2 x + cos2  2 + x  + cos2  2 − x  ເຮາົ ໄດ.້ 3  3  cos2 x + cos2  2 + x  + cos2  2 − x  = 1 + cos2x 1 + cos 4 + 2x  1 + cos 4 − 2x  + 3  + 3  3  3  2 2 2 = 3 + 1  cos 2 x + cos 4 + 2x  + cos 4 − 2 x   2 2 3  3  = 3 + 1 (cos2x − cos2x) 22 =3 2 151. ຄດັ ຈອ້ ນໝວດສານວນ p = sin3 x + sin2 x cos x − cos x . 1 − 2sin x cos x ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກໝວດຄານວນ p = sin3 x + sin2 x cos x − cos x ເຮາົ ໄດ.້ 1 − 2sin x cos x 149

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ ( )p = sin3 x − cos x 1 − sin2 x cos2 x + sin2 x − 2 sin x cos x p = sin3 x − cos3 x cos2 x + sin2 x − 2 sin x cos x p = (sin x − cos x)(1 − sin x cos x) (sin x − cos x)(sin x − cos x) p = 1 − sin x cos x sin x − cos x ຕອບ: ສານວນແມົ່ ນ p = 1 − sin x cos x . sin x − cos x 152. ຄດັ ຈອ້ ນໝວດສານວນ p = 1 − cosa + 1 + cosa ໂດຍການດົ a 0, . 1 + cosa 1 − cosa ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກໝວດຄານວນ p = 1 − cosa + 1 + cosa ເຮາົ ໄດ.້ 1 + cosa 1 − cosa p= (1 − cos a )(1 − cosa) + (1 + cosa)(1 + cosa) (1 + cos a )(1 − cosa) (1 − cosa)(1 + cosa) p = (1 − cosa)2 + (1 + cosa)2 sin2 a sin2 a p = 1 − cosa + 1 + cosa sin a sin a p = 2 = 2 coseca sin a ຕອບ: ສານວນແມົ່ ນ p = 2 coseca . 153. ຄດັ ຈອ້ ນໝວດສານວນ cos3 a − cos3a + sin3 a + sin 3a . cosa sin a 154. ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກໝວດຄານວນ cos3 a − cos3a + sin3 a + sin 3a ເຮາົ ໄດ.້ cosa sin a cos3 a − cos3a + sin3 a + sin 3a cosa sin a = cos3 a − (cos2a cosa − sin 2a sin a) + sin3 a − (sin 2a cosa + cos2a sin a) cosa sin a (( ) ) ( ( ) )= cos3 a − 2 cos2 a − 1 cosa − 2 cosa sin2 a + sin3 a − 2 sin a cos2 a + 1 − 2 sin2 x sin a cosa sin a 150