ຄະນິດສາດຍຸກສະໄໝໃໝ່ ເຫຼັ້ມ 2

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ( ) ( )= cos3 a − 4 cos3 a − 3 cosa + sin3 a − 3sin a − 4 sin3 a cosa sin a = 3 − 3cos2 a − 3 + 5sin2 a = 5sin2 a − 3cos2 a = 5  1 − cos2a − 3  1 + cos2a 22 = 2 − 8 cos2a 2 = 1 − 4 cos2a ຄດັ ຈອ້ ນໝວດສານວນ sin(a + b)sin(a − b) 1 − tan 2 a c tan 2 b ( )( )32. . ວທິ ຄີ ດິ sin(a + b)sin(a − b) 1 − tan 2 a c tan 2 b ( )( )➢ ເຮາົ ໄດ.້ ຈາກໝວດຄານວນ ( )( )sin(a + b)sin(a − b) = sin(a + b)sin(a − b) 1 − tan 2 a c tan 2 b 1 − sin2 a  cos2 b cos2 a sin2 b = sin(a + b)sin(a − b)cos2 a sin2 b sin2 b cos2 a − sin2 a cos2 b = − (sin a sin(a + b)sin(a − b)cos2 a sin2 b a sin b ) )(sin a cosb + cos cosb − cosa sin b sin(a + b)sin(a − b)cos2 a sin 2 b sin(a − b)sin(a + b) = − = − cos2 a sin2 b 33. ໃຫ້ABC ຄານວນຄົ່ າ 1 + 1 + 1 . ວທິ ຄີ ດິ ha hb hc ➢ ສງັ ເກດຈາກຮູບແຕມ້ : ➢ ສງັ ເກດ 1 + 1 + 1 ເຮາົ ໄດ:້ ha hb hc 151

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ ha = 2 p( p − AB)( p − AC)( p − BC ) = 2 S ABC BC BC hb = 2 p( p − AB)( p − AC)( p − BC ) = 2 S ABC AC AC hc = 2 p( p − AB)( p − AC)( p − BC ) = 2 S ABC AB AB  1 + 1 + 1 = BC + AC + AB = p ha hb hc 2S ABC 2S ABC 2S ABC S ABC 1+1+1= p . ha hb hc S ABC  34. ຄດັ ຈອ້ ນໝວດສານວນ p = (1 + c tan x) sin3 x + (1 + tan x) cos3 x (1 + 2 sin x cos x) . ວທິ ຄີ ດິ  ➢ ຈາກໝວດຄານວນ p = (1 + c tan x) sin3 x + (1 + tan x) cos3 x (1 + 2sin x cos x)ເຮາົ ໄດ.້  p = (1 + c tan x) sin3 x + (1 + tan x) cos3 x (1 + 2 sin x cos x) ( )p = sin3 x + cos x sin2 x + cos3 x + sin x cos2 x (1 + 2 sin x cos x) ( )p = ((sin x + cos x)(1 − sin a cos x) + sin x cos x(cos x + sin x)) sin2 x + cos2 x + 2 sin x cos x p = (sin x + cos x)(sin x + cos x)2  p = (sin x + cos x)3 ( )35. ຄດັ ຈອ້ ນໝວດສານວນ p = 2 sin 2a + 2 cos2 a − 1 . cosa − sin a − cos3a + sin 3a ວທິ ຄີ ດິ ( )➢ ຈາກໝວດຄານວນ p = 2 sin 2a + 2 cos2 a − 1 3a ເຮາົ ໄດ.້ cosa − sin a − cos3a + sin ( )p = 2 sin 2a + 2 cos2 a − 1 cosa − sin a − cos3a + sin 3a p = (sin 3a 2(sin 2a + cos2a) cos a) − sin a) − (cos3a − p = (sin 3a 2(sin 2a + cos2a) cos a) − sin a) − (cos3a − p = (2 sin 2(sin 2a + cos2a) sin a) a) + (2 sin 2a 2a sin p = 2 2(sin 2a + cos2a) sin a(sin 2a + cos2a) p= 1 sin a 36. ຄດັ ຈອ້ ນໝວດສານວນ p = 4 cos3 a sin 3a + 4 sin3 a sin 3a . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກໝວດຄານວນ p = 4 cos3 a sin 3a + 4 sin3 a sin 3a ເຮາົ ໄດ.້ 152

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ p = 4 cos3 a cos3a + 4 sin3 a sin 3a p = 4(1 − sin2 a) cosa cos3a + 4 sin3 a sin 3a p = 4 cosa cos3a − 4 sin2 a(cosa cos3a − sin a sin 3a) p = 4 cosa cos3a − 4 sin2 a cos4a p = 2 cos4a + 2 cos2a − 4sin2 a cos4a p = 2 cos2a + 2 cos4a(1 − 2 sin2 a) p = 2 cos2a + 2 cos4a cos2a p = 4 cos2a1 + cos4a  2 p = 4 cos2a cos2 2a p = 4 cos3 2a 37. ໃຫ ້sin x + cos x = 7 ຈ່ົ ງົ ຄານວນ sin x.cos x . 5 ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກໝວດຄານວນ sin x + cos x = 7 ເຮາົ ໄດ.້ 5 (sin x + cos x)2 =  7 2 5 sin 2 x + cos2 x + 2 sin x.cos x = 49 25 1 + 2 sin x.cos x = 49 25 2 sin x.cos x = 49 − 1 25 sin x.cos x = 12 25 38. ຄດັ ຈອ້ ນໝວດສານວນ p = 1 x − sin x − cos x.cot anx . sin 1 + cotanx 1 + tan x ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກໝວດຄານວນ p = 1 x − 1 sin x − cos x. cot anx ເຮາົ ໄດ.້ sin + cotanx 1 + tan x p = 1 − sin x − cos x.cot anx sin x 1 + cot anx 1 + tan x p = 1 x − cos 1 tan x) − cos x. cot anx sin 1+ tan x x.(1 + 153

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ p = 1 + tan x x) − 1 tan x) − sin 1 tan x) sin x.(1 + tan cos x.(1 + x.(1 + p = sin tan x x) − 1 tan x) x.(1 + tan cos x.(1 + p = sin tan x.cos x x) − cos cos x sin x) x.(cos x + sin x.(cos x + p= 1 − 1 cos x + sin x cos x + sin x p=0 39. ສາລບັ ທຸກໆ ABC ມີ A, B, C  45 ຊອກຫາ tan 2A + tan 2B + tan 2C . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກໝວດຄານວນ tan 2A + tan 2B + tan 2C ເຮາົ ໄດ.້ tan 2A + tan 2B + tan 2C = tan(2A + 2B).(1 − tan 2A tan 2B) + tan 2C = − tan 2C.(1 − tan 2A tan 2B) + tan 2C = (tan 2A tan 2B − 1 + 1).tan 2C = tan 2A tan 2B tan 2C  tan 2A + tan 2B + tan 2C = tan 2A tan 2B tan 2C 40. ຖາ້ ວ່ົ າ 2 sin x.sin y − 3cos x.cos y = 0 ຊອກຫາ p= 2 sin2 1 x + 2 sin2 1 y . x + 3cos2 y + 3cos2 ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກໝວດຄານວນ p = 2 sin2 x 1 x + 2 sin2 y 1 y ເຮາົ ໄດ.້ + 3cos2 + 3cos2  ຄດິ ໄລົ່ ຈາກ 2 sin x.sin y − 3 cos x.cos y = 0 ເຮາົ ໄດ.້ 2 sin x.sin y = 3 cos x.cos y  sin x.sin y = 3 cos x.cos y 2 tan x tan y = 3 2  ສະນນັ້ p = 2 sin2 x 1 3 cos2 x + 2 sin2 y 1 3 cos2 y ເຮາົ ໄດ:້ + + p= 1 + 1 x 2 sin 2 cos2  y. sin 2 + 3 cos2  cos2 cos2 x + 3 cos2 x cos2 2 cos2 y cos2 y x x y y p = sec2 x + sec2 y 2 tan 2 x + 3 2 tan 2 y + 3  p = tan 2 x + 1 + tan 2 y + 1 2 tan 2 x + 3 2 tan 2 y + 3 154

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ p = (tan 2 x + 1)(2 tan 2 y + 3) + (tan 2 y + 1)(2 tan 2 x + 3) ( )(2 tan 2 x + 3 2 tan 2 y + 3) = 2(tan x tan y)2 + 3 tan 2 x + 2 tan 2 y + 3 + 2(tan x tan y)2 + 3 tan 2 y + 2 tan 2 x + 3 +9 4(tan x tan y)2 + 6 tan 2 x + tan 2 y ( )p = 4(tan x tan y)2 + 5 tan 2 x + 5 tan 2 y + 6 4(tan x tan y)2 + 6 tan 2 x + tan 2 y + 9 ( )p 4 3 2 + 5 tan 2 x + 5 tan 2 y + 6  p= 2 ( )4 3 2 + 6 tan 2 x + tan 2 y + 9 2 ( )p = 9 + 5 tan 2 x + 5 tan 2 y + 6 9 + 6 tan 2 x + tan 2 y + 9 ( )p = 15 + 5 tan 2 x + tan 2 y ( )18 + 6 tan 2 x + tan 2 y ( )p = 5 3 + tan 2 x + tan 2 y ( )6 3 + tan 2 x + tan 2 y  p=5 6 ຕອບ: ສານວນແມ່ົ ນ p = 5 . 6 41. ໃຫ ້ tan x = 2 ພສິ ູດວົ່ າໝວດສານວນຕ່ົ ໄປນີ້ p = 3sin4 x − 4 sin3 x cos x + cos2 x ບົ່ ຂນ້ ກບັ x . 2 sin 2 x + 3 cos4 x − 4 sin x.cos3 x ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກໝວດຄານວນ p = 3sin4 x − 4 sin3 x cos x + cos2 x ເຮາົ ໄດ.້ 2 sin 2 x + 3 cos4 x − 4 sin x.cos3 x  ເຮາົ ສງັ ເກດ tan x = 2 ເຮາົ ໄດ້sin x = 2 , cos x = 1 ເຮາົ ໄດ.້ 55 3 2  4 − 4 2  3 . 1   1  2 5 5 5 5 + p= 2  4 3 2 2  + 3 1 − 4 2 . 1  5 5 5 5 48 − 32 + 5 p = 25 25 25 40 + 3 − 8 25 25 25  p = 48 − 32 + 5 40 + 3 − 8 155

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ p = 21 35  p=3 5 ຕອບ: ສານວນແມົ່ ນ p = 3 . 5 ( )42. ຊອກຫາ a , b ເຮດັ ໃຫ້ a(cos x − 1) + b2 − 1 − cos ax + b2 = 0 , ເຊ່ົ ງິ ວ່ົ າ x  R . ວທິ ຄີ ດິ ( )❖ ຈາກນນັ້ a(cos x − 1) + b2 − 1 − cos ax + b2 = 0 ເຮາົ ໄດ.້ ( )a(cos x − 1) + b2 − 1 − cos ax + b2 = 0 a cos x − a + b 2 + 1 − cos(ax + b 2 ) = 0 a cos x − cos(ax + b 2 ) = a − 1 − b 2  a = 1  cos x − cos(x + b 2 ) = 1 − 1 − b 2 cos x − cos(x + b 2 ) = −b 2  − b2 = 0 b=0 ຕອບ: ຄົ່ າຂອງ a =1 ແລະ b = 0. 43. ສາລບັ ທຸກໆ ABC ເຮາົ ຈະໄດ ້ cos A C + cos B + cosC B . sin B sin sin Asin C sin Asin ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສານວນ cos A + cos B + cosC B ເຮາົ ໄດ.້ sin B sin C sin Asin C sin Asin cos A + cosB + cosC = sin Acos A + sin B cosB + sinC cosC sin B sinC sin Asin C sin Asin B sin Asin B sin C sin Asin B sinC sin Asin B sinC = sin Acos A + sin B cosB + sinC cosC sin Asin B sin C = sin 2A + sin 2B + sin 2C 2sin Asin B sinC = 2 sin(A + B)cos(A − B) + sin 2C  A + B =  − C 2sin Asin B sinC = 2 sin(C)cos(A − B) + 2 sin C cosC 2sin Asin B sin C = 2 sin C(cos(A − B) + cosC) 2sin Asin B sinC 2 sin C 2 cos A + C − B  cos A − (B + C)    2   2  = 2sin Asin B sinC 156

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ 2 sin C 2 cos  − A cos  − B   2  2 = 2 sin Asin B sin C = 4 sin Asin B sin C 2 sin Asin B sin C =2 cos A + cosB + cosC = 2 sin B sin C sin Asin C sin Asin B ຕອບ: ສານວນມຄີ ົ່ າແມົ່ ນ cos A + cos B + cosC B = 2 . sin B sin C sin Asin C sin Asin 44. ສາລບັ ທຸກໆ ABC ເຮາົ ຈະໄດ້sin 2A + sin 2B + sin 2C . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສານວນ sin 2A + sin 2B + sin 2C ເຮາົ ໄດ.້ sin 2A + sin 2B + sin 2C = 2 sin(A + B)cos(A − B) + 2 sin C cosC = 2 sin(A + B)cos(A − B) + 2 sin C cosC , A + B =  − C = 2 sin( − C)cos(A − B) + 2 sin C cosC = 2 sin C cos(A − B) + 2 sin C cosC = 2 sin C(cos(A − B) + cosC) = 2 sin C 2 cos A + C − B  cos A − (B + C )    2   2 = 2 sin C 2 cos  − B  cos  − A    2  2  = 2 sin C(2 sin B sin A) = 4 sin Asin B sin C sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C ຕອບ: ສານວນມຄີ ່ົ າແມ່ົ ນ sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin Asin B sin C . 45. ຄດັ ຈອ້ ນສານວນລົ່ ຸມ tan a tan a +   + tan a +   tan a + 2  + tan a tan a + 2  .  3   3  3   3  ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສານວນ tan a tan a +   + tan a +   tan a + 2  + tan a tan a + 2  ເຮາົ ໄດ.້  3   3   3   3  tan a tan a +   + tan a +   tan a + 2  + tan a tan a + 2  3 3 3 3 tan a +   − tan a tan a + 2  − tan a +   tan a + 2  − tan a 3 3 3 3  −1+ −1+ −1  2  2 tan a + 3 − a  tan a + 3 − a − 3  tan a + 3 − a  157

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ tan a +   − tan a tan a + 2  − tan a +   tan a + 2  − tan a  3 + 3  3 +  3 tan  tan  tan 2 −3 33 3 tan a +   − tan a tan a + 2  − tan a +   tan a + 2  − tan a  3 + 3  3 +  3   − tan  −3 tan tan 3 33 tan a +   − tan a + tan a + 2  − tan a +   − tan a + 2  + tan a 0  3  3   3  3    −3= −3 tan tan 33  tan a tan a +   + tan a +   tan a + 2  + tan a tan a + 2  = −3  3  3  3   3 ຕອບ: ສານວນ tan a tan a +   + tan a +   tan a + 2  + tan a tan a + 2  = −3 .  3   3   3   3  46. ໃຫ້cos2 x + cos2 y = m ຄດິ ໄລົ່ cos(x + y)cos(x − y). ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສານວນ cos2 x + cos2 y = m ເຮາົ ໄດ.້ cos2 x + cos2 y = m 1 + cos2x + 1 + cos2y = m 22 cos2x + cos2y = 2m − 2 2 cos(x + y) cos(x − y) = 2m − 2 cos(x + y) cos(x − y) = 2m − 2 2  cos(x + y) cos(x − y) = m − 1 ຕອບ: ສານວນ cos(x + y) cos(x − y) = m − 1 . 47. ຄດັ ຈອ້ ນສານວນລົ່ ຸມ 4 sin a sin  − a  sin a +   .  3  3  ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສານວນ 4 sin a sin  − a  sin a +   ເຮາົ ໄດ.້  3  3  4 sin a sin  − a  sin a +   = 2 sin a 2 sin  − a sin a +     3  3  3  3  = 2 sin acos2a − cos 2   3 158

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ = 2sin a cos2a + sin a ( )= 2 sin a 1 − 2 sin2 a + sin a = 3sin a − 4 sin3 a = sin 3a  4 sin a sin  − a  sin a +   = sin 3a 3   3 ຕອບ: ສານວນ 4 sin a sin  − a  sin a +   = sin 3a .  3  3  ( )48. ຄດັ ຈອ້ ນສານວນລົ່ ຸມ (1 + tan a)1 − 2sin2 a . 1 + sin 2a ວທິ ຄີ ດິ ( )❖ ຈາກສານວນ (1 + tan a)1 − 2sin2 a ເຮາົ ໄດ.້ 1 + sin 2a ( ) ( )(1 + tan a)1 − 2 sin2 a = (1 + tan a)1 − sin2 a − sin2 a 1 + sin 2a 1 + sin 2a ( )1 + sin a  cos2 a − sin2 a =  cosa  1 + sin 2a ( )= (cos a + sin a) cos2 a − sin 2 a cos a(1 + sin 2a) = (cos a + sin a)2 (cosa − sin a ) cosa(1 + sin 2a) = (cosa − sin a)(1 + sin 2a) + sin 2a) cos a(1 = cosa − sin a cosa =1 − sin a cosa =1 − tan a ( ) (1 + tan a)1 − 2 sin2 a = 1 − tan a 1 + sin 2a ( )ຕອບ: (1 ສານວນ + tan a)1 − 2 sin2 a = 1 − tan a . 1 + sin 2a 49. ຄດັ ຈອ້ ນສານວນລ່ົ ຸມ sin 2a + sin 3a + sin 4a . cos 2a + cos3a + cos 4a ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສານວນ sin 2a + sin 3a + sin 4a ເຮາົ ໄດ.້ cos 2a + cos3a + cos 4a 159

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ sin 2a + sin 3a + sin 4a = sin 2a + sin 4a + sin 3a cos2a + cos3a + cos4a cos2a + cos4a + cos3a = 2 sin 3a cosa + sin 3a 2 cos3a cosa + cos3a = sin 3a(2 cosa + 1) cos3a(2 cosa + 1) = sin 3a cos3a = tan 3a  sin 2a + sin 3a + sin 4a = tan 3a cos2a + cos3a + cos4a ຕອບ: ສານວນ sin 2a + sin 3a + sin 4a = tan 3a . cos 2a + cos3a + cos 4a 50. ພສິ ູດສານວນລ່ົ ຸມ p = sin8 x + cos8 x −1 + 2 sin 2 x cos2 x ບ່ົ ຂນ້ ກບັ ຄົ່ າ x . sin 6 x + cos6 x −1 3 ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສານວນ p = sin8 x + cos8 x −1 + 2 sin 2 x cos2 x ເຮາົ ໄດ.້ sin 6 x + cos6 x −1 3 ( ) ( )p = sin4 x 2 + cos4 x 2 − 1 + 2 sin2 x cos2 x ( ) ( )sin2 x 3 + cos2 x 3 − 1 3 ( )p = sin4 x + cos4 x 2 − 2 sin4 x cos4 x − 1 + 2 sin2 x cos2 x ( )( )sin2 x + cos2 x 1 − 3sin2 x cos2 x − 1 3 (( ) )p = sin2 x + cos2 x 2 − 2 sin2 x cos2 x 2 − 2 sin4 x cos4 x − 1 + 2 sin2 x cos2 x 1 − 3sin2 x cos2 x − 1 3 ( )p = 1 − 2 sin2 x cos2 x 2 − 2 sin4 x cos4 x − 1 + 2 sin2 x cos2 x − 3sin2 x cos2 x 3 p = − 4 sin2 x cos2 x + 2 sin4 x cos4 x + 2 sin2 x cos2 x − 3sin2 x cos2 x 3 p = 4 − 2 sin2 x cos2 x + 2 sin2 x cos2 x 33  p=4 ຕອບ: ສານວນ p = 4 . 160

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ ບດົ ຄນົ້ ຄວາ້ ບດົ ທີ 7 ສມົ ຜນົ ໄຕມຸມມຕິ ິ 1.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin x − cos x + sin 2x =1 2.ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ sin2 x − 6sin x cos x + (1− m)cos2 x = 0. ມໃີ ຈຜນົ 3.ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 3.sin x + mcos x =1− m ມໃີ ຈຜນົ 4.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin2 x = sin2 x + sin2 3x. 5.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 5(1+ cos x) = sin4 x + cos4 x. 6.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ cos3 x.cos 3x − sin3 x.sin 3x = cos 4x. 7.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 1+ 2(cos 2x.tgx − sin 2x).cos2 x = cos 2x. 8.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin6 x + cos6 x −1 = tg2x sin4 x + cos4 x −1 . 2 9.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ tgx + sin 2x = −2 10.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin6 x + cos6 x = 2 − cos 4x 11.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 3(tg2x + cotgx) = −4sin2x. 12.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin 2x = 3.sin x. ( )13.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 1− 2 (sin x cos x ) + sin 2x = 2 −1 14.ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ sin x + cos x + 2sin.x cos x −1 = mມໃີ ຈຜນົ 15.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ cos x =−1 2 16ຈົ່ ງົ .ແກສ້ ມົ ຜນົ sin x =1 17.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin x + 3 cos x + sin x + 3 cos x = 2 18.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ cos x = 0. 19.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2 cos 2x.cos x + 8sin2 x + 7 cos x − 9 = 0. 20.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 1 − 1 = −2 2 cos x sin x 21.ແກສ້ ມົ ຜນົ sin4 2x + cos4 2x = cos4 4x.   .tg    tg  4 − x  4 + x  22.ແກສ້ ມົ ຜນົ tg2x + tgx.cot g2x = 1. 23.ແກສ້ ມົ ຜນົ tgx + cot gx = sin 2x −1. 24.ແກສ້ ມົ ຜນົ 3 = 1tgx + 3. cos2 x 25.ແກສ້ ມົ ຜນົ sin 2x = −2 cos x. 1+ sin x 161

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ 26.ແກສ້ ມົ ຜນົ cos 2x + 3cos x + 2 = 0. 27.ຊອກ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ sin4 x = cos4 x − cos2 x + 1 sin2 2x − m = 0. ມໃີ ຈຜນົ 4 28.ສມົ ຜນົ tgx + cot g2x = 3 − 2.sin 2x. 29.ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ (m + 2)sin x − 2mcos x = 2(m +1) ມໃີ ຈຜນົ 30.ແກສ້ ມົ ຜນົ cotgx − 3tgx = cot g2x − 3. 31.ແກສ້ ມົ ຜນົ sin x = − 2 2 32.ແກສ້ ມົ ຜນົ 4sin3 x + 5cos 2x + 2sin x −1 = 0. 33.ແກສ້ ມົ ຜນົ tg3x + tgx = sin 2x. ( )34.ແກສ້ ມົ ຜນົ 2sin3 x − cos x. 2sin2 x − 3 − 3sin x.(cos 2x +1) + cos3x + 2cos2 x = 0 35.ແກສ້ ມົ ຜນົ cos2 x + 3 sin 2x = 2 + sin2 x. 36.ແກສ້ ມົ ຜນົ sin 2x + cos 2x = 2 sin 3x. 37.ແກສ້ ມົ ຜນົ cos x −sin x − 2sin 2x =1. 38.ແກສ້ ມົ ຜນົ cos3x = sin x. 39.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ cos x + sin x = 2 2 40.ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ (m + 2)sin x − 2mcos x = 2(m +1) ມໃີ ຈຜນົ 41.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 3(cos x + sin x) − sin 2x = 3 42.ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ sin2 x − sin x.cos x + (2 − m)cos2 x = 0ມໃີ ຈຜນົ 43.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ cos x + 3 sin x = 1 cos x ( )44.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2 cos4 x + sin4 x = 2 + sin 2x cos6 x + sin6 x − 4 sin 4x = 1 8 ( )45.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ ( )46.ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ cos4 x + sin4 x = 2cos 2x −1 47.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ (cos x + sin x) 2 1 = cot gx +1 tgx + cot g2x 48.ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 2(sin x − cos x) + sin 2x + m −1 = 0 ມໃີ ຈຜນົ 49.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2 cos2 x + 3sin x − 3 = 0 50.ຈົ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ົ າໃຫຍົ່ ສຸດ ແລະ ຄົ່ ານອ້ ຍສຸດຂອງຕາລາ y= 2 cos x + sin x +1 cos x + sin x + 2 162

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ ຂະໜານຕອບ ບດົ ທີ 7 ສມົ ຜນົ ໄຕມມູ ມຕິ ິ 155. ແກສ້ ມົ ຜນົ sin x − cos x + 4 sin 2x = 1 . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ sin x − cos x + 4 sin 2x = 1 ເຮາົ ໄດ.້ sin x − cos x + 4sin 2x = 1  sin x − cos x  0  sin x − cos x  0 sin x +    0  4  − + 2k  x +   2k 4 − 5 + 2k  x   + 2k 44 ❖ ສມົ ຜນົ sin x − cos x + 4 sin 2x = 1 ເຮາົ ໄດ.້ − (sin x − cos x) + 4 sin 2x = 1 cos x − sin x + 4sin 2x = 1 cos x + 8sin x cos x = 1 + sin x cos x(1 + 8sin x) = 1 + sin x  ຖາ້ ວົ່ າ sin x = 0  x = k ເຮາົ ໄດ.້ cos x(1 + 8  0) = 1 + 0 cos x =1  x = k ສະນນັ້ S1 = k. ❖ ຈາກສມົ ຜນົ sin x − cos x + 4 sin 2x = 1 ເຮາົ ໄດ.້ sin x − cos x + 4sin 2x = 1  sin x − cos x  0  sin x − cos x  0 sin x −    0  4  0 + 2k  x −    + 2k 4  + 2k  x  5 + 2k 44 ❖ ສມົ ຜນົ sin x − cos x + 4 sin 2x = 1 ເຮາົ ໄດ.້ (sin x − cos x) + 4 sin 2x = 1 sin x − cos x + 4sin 2x = 1 sin x + 8sin x cos x = 1 + cos x sin x(1 + 8 cos x) = 1 + cos x 163

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ  ຖາ້ ວົ່ າ cos x = 0  x =  + 2k ເຮາົ ໄດ.້ 2 sin x(1 + 8  0) = 1 + 0 sin x = 1  x =  + 2k 2 ສະນນັ້ S 2 =  + 2k  .   2  ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S = S1  S2 = k ,  + 2k  .  2   156. ຊອກຫາຄ່ົ າຂອງ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ sin2 x − 6 sin x cos x + (1 − m) cos2 x = 0 ມໃີ ຈຜນົ ໃນຫວົ່ າງ x   ,   .  4 2  ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ sin2 x − 6 sin x cos x + (1 − m) cos2 x = 0 ເຊົ່ ງິ ໃຈຜນົ ແມົ່ ນ  x  2  sin x 1 ເຮາົ ໄດ.້ 42 2 1 − cos2x − 3sin 2x + (1 − m)1 + cos2x  = 0 2 2 1 − cos2x − 6 sin 2x + (1 − m)(1 + cos2x) = 0  1 − cos2x − 6sin 2x + 1 + cos2x − m cos2x = m 6sin 2x + m cos2x = 2 − m 6 sin 2x + m cos2x = 2 − m 36 + m2 36 + m2 36 + m2  sin 2x + cos−1  6 m2   = 2−m  ຈາກນນັ້ 36 +  36 + m2   x     + cos−1  6 m2   2x + cos−1  6 m2    + cos−1  6 m2  ເຮາົ ໄດ.້ 4 2 2 36 + 36 + 36 + sin  + cos−1  6 m2    sin 2x + cos−1  6 m2   sin + cos−1  6 m2   2 36 + 36 + 36 + 164

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ 6  2−m − m 36 + m2 36 + m2 36 + m2  2−m − m  2−m  6 36 + m2 36 + m2 36 + m2 36 + m2 2 − m  −m  2 − m  6 m =   m  −4 ຕອບ: ຄ່ົ າຂອງ m ແມົ່ ນ m  −4 . 157. ຊອກຫາຄ່ົ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 3sin x + mcosx =1− m ມໃີ ຈຜນົ . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ 3sin x + mcosx =1− m .  3 sin x + m cos x = 1 − m 9 + m2 9 + m2 9 + m2 sin x + cos−1  3   = 1− m + m2  9 + m2 9  − 1  sin x + cos−1  3    1 9 + m2  −1 1− m 1 9 + m2 − 9 + m2 1− m  9 + m2  m −1 m2 + 9  1− m  9 + m2 m −1 m2 + 9  1− m  9 + m2 m2 − 2m + 1  m2 + 9  m2 − 2m + 1  m2 + 9  − 2m + 1  9 m  −4 ຕອບ: ຄ່ົ າຂອງ m ແມົ່ ນ m  −4 . 158. ແກສ້ ມົ ຜນົ sin 2 x = sin 2 2x + sin 2 3x . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ sin 2 x = sin 2 2x + sin 2 3x ເຮາົ ໄດ.້ sin2 x = 1 − cos4x + 1 − cos6x 22 2 sin2 x = 1 − cos4x + 1 − cos6x 2 sin2 x = 2 − (cos4x + cos6x) sin2 x = 1 − cos5x cos x 1 − cos2 x =1 − cos5x cos x  cos2 x = cos5x cos x 165

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ cos5x cos x − cos2 x = 0 cos x(cos5x − cos x) = 0 cos x sin 2x sin 3x = 0 ( )2 sin x 1 − sin2 x sin 3x = 0  sin x = 0  1 − sin2 x = 0  sin 3x = 0 x = k  x =   + 2k  x = k 23 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S =  k , k ,  + 2k  .  2   3  159. ແກສ້ ມົ ຜນົ 5(1 + cos x) = 2 + sin4 x − cos4 x . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ 5(1 + cos x) = 2 + sin4 x − cos4 x ເຮາົ ໄດ.້ ( )( )5(1 + cos x) = 2 + sin2 x + cos2 x sin2 x − cos2 x 5(1 + cos x) = 2 + 1 − cos2 x − cos2 x 5 + 5cos x = 3 − 2 cos2 x 2 cos2 x + 5cos x + 2 = 0 (2 cos x + 1)(cos x + 2) = 0  2 cos x + 1 = 0  cos x + 2 = 0 (x  ). 2cos x + 1 = 0 cos x = − 1 2 x =  2 + 2k 3 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S =  2 + 2k  .  3   160. ແກສ້ ມົ ຜນົ cos3 x.cos3x − sin3 x.sin 3x = cos4x . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ cos3 x.cos3x − sin3 x.sin 3x = cos4x ເຮາົ ໄດ.້ cos3 x.cos3x − sin3 x.sin 3x = cos4x (1 − sin2 x) cos x cos3x − sin3 x.sin 3x = cos4x cos x cos3x − sin2 x(cos x cos3x − sin x.sin 3x) = cos4x cos x cos3x − sin2 x cos4x = cos4x 2 cos x cos3x − (1 − cos2x)cos4x = 2 cos4x cos2x + cos2x cos4x = 2cos4x ( ) ( ) cos2x + cos2x 2 cos2 2x − 1 = 2 2 cos2 2x − 1 ( ) ( )cos2x + cos2x 2 cos2 2x − 1 = 2 2 cos2 2x − 1 166

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ 2 cos3 2x = 4 cos2 2x − 2 2 cos3 2x − 4 cos2 2x + 2 = 0 (cos2x − 1)(2 cos2 2x − 2 cos2x − 2) = 0  cos2x −1 = 0  2 cos2 2x − 2 cos2x − 2 = 0 x = k  cos2x = 1 − 5  cos2x = 1 + 5 ( cos2x  ) 2 22 x = k 2  x= 1 cos −1  1 − 5  + k 2 2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S =  k , 1 cos−1  1 − 5  + k  .  2 2   2  161. ແກສ້ ມົ ຜນົ 1 + 2(cos2x. tan x − sin 2x).cos2 x = cos2x . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ 1 + 2(cos2x. tan x − sin 2x).cos2 x = cos2x ເຊົ່ ງິ x   + 2k ເຮາົ ໄດ.້ 2 cos x + 2(cos2x.sin x − cos x sin 2x).cos2 x = cos x cos2x cos x − 2 sin x cos2 x = cos x cos2x cos x − sin 2x cos x = cos x cos2x cos x(cos2x + sin 2x − 1) = 0 cos x = 0  cos2x + sin 2x − 1 = 0 x =  + 2k (x  ) 2  cos2x + sin 2x − 1 = 0 cos 2x −   = cos  + 2k   4 4  2x −  = −  + 2k  2x −  =  + 2k 44 44 x = k  x =  + k 4 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S = x = k ,  + k  .  4   162. ແກສ້ ມົ ຜນົ sin 6 x + cos6 x −1 = tan 2 x . sin 4 x + cos4 x +1 2 ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ sin 6 x + cos6 x −1 = tan 2 x ເຊ່ົ ງິ x + 2k ເຮາົ ໄດ.້ sin 4 x + cos4 x +1 2 2 ( ) ( )sin2 x 3 + cos2 x 3 − 1 = tan 2 x ( ) ( )sin2 x 2 + cos2 x 2 + 1 2 167

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ( )(( ) )sin2 x + cos2 x sin2 x + cos2 x 2 − 3sin2 x cos2 x − 1 = tan 2 x ( )sin 2 x + cos2 x 2 − 2 sin 2 x cos2 x − 1 2  1 − 3sin 2 x cos2 x − 1 = tan 2 x 1 − 2 sin2 x cos2 x − 1 2 3sin 2 x cos2 x = tan 2 x 2 sin2 x cos2 x 2 ( )sin2 2x tan 2 x − 3 = 0 x = k  tan 2 x − 3 = 0 x = k  x =   + k 3 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = x = k ,   + k  .  3   163. ແກສ້ ມົ ຜນົ tan x + sin2x = −2 . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ tan x + sin 2x = −2ເຮາົ ໄດ.້ tan x + sin 2x = −2 sin x + sin 2x = −2 cos x 1 (sin x + sin 2x cos x) = −2 cos x ( )1 sin x + 2 sin x cos2 x = −2 cos x ( )sin x 1 + 2 cos2 x = −2 cos x ( )tan x 1 + 2 cos2 x = −2  ການດົ ໃຫ້u = tan x  cos2 x =1 ແທນ 1+ u2 u1 + 2 1   = −2 1 + u2   u(1 + u 2 + 2) = −2(1 + u 2 ) u 3 − 2u 2 + 3u + 2 = 0 (u + 1)(u 2 + u + 2) = 0  u + 1 = 0  u 2 + u + 2 = 0 (x  ) u + 1 = 0  tan x = −1  x = −  + 2k 4 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S = −  + 2k  .  4   164. ແກສ້ ມົ ຜນົ sin6 x + cos6 x = 2 − cos4x . 168

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ sin6 x + cos6 x = 2 − cos4x ເຮາົ ໄດ.້ ( ) ( )sin2 x 3 + cos2 x 3 = 2 − cos4x 1 − 3sin2 x cos2 x = 2 − cos4x 1 − 3 sin2 2x = 2 − cos4x 4 ( )1 − 3 sin2 2x = 2 − 1 − 2 sin2 2x 4 2 sin2 2x − 3 sin2 2x = 1 − 1 4  sin 2x = 0 x = k 2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S =  k  .    2  165. ແກສ້ ມົ ຜນົ 3(tan 2x + cot anx) = −4sin 2x . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ 3(tan 2x + cotanx) = −4sin 2x ເຮາົ ໄດ.້ 3(tan 2x + cot anx) = −4 sin 2x 3 sin 2x + cos x  = −8 sin x cos x  cos2x sin x   3 cos x = −8 cos x sin2 x cos2x 3cos x + 8 cos x sin2 x cos2x = 0 cos x(3 + 4(1 − cos2x) cos2x) = 0 cos x = 0  4 cos2 2x − 4 cos2 2x − 3 = 0 x =  + 2k  (2 cos2x − 3)(2 cos2x + 1) = 0 2  2 cos2x + 1 = 0 x =   + 2k 3 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S =  + 2k ,   + 2k  .  3   2  166. ແກສ້ ມົ ຜນົ sin 2x = 3 sin x . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ sin 2x = 3 sin x ເຮາົ ໄດ.້ 2sin x cos x = 3 sin x 169

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ 2 sin x cos x − 3 sin x = 0 ( )sin x 2 cos x − 3 = 0 sin x = 0  2 cos x − 3 = 0  x = k  x =   + 2k 6 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = k ,   + 2k  .  6   167. ແກສ້ ມົ ຜນົ (1 − 2)(sin x + cos x) + sin 2x = 2 −1 . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ (1 − 2)(sin x + cos x) + sin 2x = 2 −1ເຮາົ ໄດ.້ (1 − 2)(sin x + cos x) = 2 − 1 − sin 2x ( )(1 − 2)2 (sin x + cos x)2 = 2 2 − 1 − sin 2x ( )3 − 2 2 (1 − sin 2a) = (3 − 2 2) − 2( 2 − 1) sin 2x + sin2 2x sin2 2x + (3 − 2 2 − 2 2 + 1) sin 2x = 0 ( ) sin 2x sin 2x + 4 − 4 2 = 0 sin 2x = 0  sin 2x + 4 − 4 2 = 0 (x  )  sin 2x = 0 x = k 2 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = k . 168. ຊອກຫາຄ່ົ າ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ sin x + cos x + 2sin x cos x −1= mມໃີ ຈຜນົ . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ sin x + cos x + 2sin x cos x −1= mເຮາົ ໄດ.້ sin x + cos x + sin 2x = m + 1 (sin x + cos x)2 = (m + 1 − sin 2x)2 1 + sin 2x = (m + 1)2 − 2(m + 1) sin 2x + sin2 2x  sin2 2x − (2m + 3) sin 2x + m2 + 2m = 0 , − 1  sin 2x  1  ການດົ ໃຫ້ t = sin 2x  − 1  t  1ເຮາົ ໄດ.້ t 2 − (2x + 3)t + m2 + 2m = 0  ການດົ ໃຫ້ t  −1  X = t + 1 t = X − 1ເຮາົ ໄດ.້ (X − 1)2 − (2m + 3)(X − 1) + m2 + 2m = 0 X 2 − 2X + 1 − (2m + 3) X + 2m + 3 + m2 + 2m = 0 X 2 − (2m + 5) X + m2 + 4m + 4 = 0  m = (2m + 5) 2 − (2m + 4) 2 = 4m + 9  2m +50  m−9 4m +90 4 170

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ  ການດົ ໃຫ້ t  1  X = t − 1 t = X + 1ເຮາົ ໄດ.້ (X + 1)2 − (2m + 3)(X + 1) + m2 + 2m = 0 X 2 + 2X + 1 − (2m + 3) X − 2m − 3 + m 2 + 2m = 0 X 2 − (2m + 1) X + m 2 − 2 = 0   = (2m + 1)2 − 4(m 2 − 2) = 4m + 9  m2 − 2  0 4m + 9  0 − 2m 2  m 2 − 2  0  2m + 1  0   − m− 9 2  2 m  4 m  m−1  2   − 2m 2 ( )2  m  2 = − 9  m  ສະນນັ້ ເຮາົ ສາມາດການດົ  m  − 9   − 4 2.  4 ວທິ ຄີ ດິ ຕອບ: ຄ່ົ າຂອງ m ແມົ່ ນ − 9  m  2. 4 169. ແກສ້ ມົ ຜນົ cos x = − 1 . 2 ❖ ຈາກສມົ ຜນົ cos x = − 1 ເຮາົ ໄດ.້ 2 cos x = − 1 2  cos x = cos  2 + 2k  3  x =  2 + 2k 3 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S =  2 + 2k  .  3   170. ແກສ້ ມົ ຜນົ sin x =1 . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ sin x =1ເຮາົ ໄດ.້ sin x = sin  + 2k  2   x =  + 2k 2 171

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S =  + 2k  .    2  171. ແກສ້ ມົ ຜນົ sin x + 3 cos x + sin x + 3 cos x = 2 . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ sin x + 3 cos x + sin x + 3 cos x = 2 ເຮາົ ໄດ.້  sin x + 3 cos x 2 + sin x + 3 cos x = 2   sin x + 3 cos x 2 + sin x + 3 cos x − 2 = 0  sin x + 3 cos x − 1 sin x + 3 cos x + 2 = 0  sin x + 3 cos x − 1 = 0  sin x + 3 cos x + 2 = 0 (x  ) sin x + 3 cos x − 1 = 0  sin x + 3 cos x = 1 1 sin x + 3 cos x = 1 22 2 sin x +   = sin  + 2k   3 6   x +  =  + 2k  x +  =  −  + 2k 36 36 x = −  + 2k  x =  + 2k 62  S = −  + 2k ,  + 2k   6 2   ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S = −  + 2k ,  + 2k  .  6 2   172. ແກສ້ ມົ ຜນົ cosx = 0 . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ cos x = 0ເຮາົ ໄດ.້ cosx = cos  + 2k  2  x =  + 2k  x = 3 + 2k 22 173. ແກສ້ ມົ ຜນົ 2 cos2x.cos x + 8sin2 x + 7 cos x − 9 = 0 . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ 2 cos2x.cos x + 8sin2 x + 7 cos x − 9 = 0 ເຮາົ ໄດ.້ 172

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ( ) ( )2 2 cos2 x − 1 .cos x + 8 1 − cos2 x + 7 cos x − 9 = 0 4 cos3 x − 2 cos x + 8 − 8 cos2 x + 7 cos x − 9 = 0 4 cos3 x − 8 cos2 x + 5 cos x − 1 = 0 (cos x − 1)(2 cos x − 1)2 = 0  cos x −1 = 0  2 cos x −1 = 0 x = k  x =   + 2k 3 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S = k ,  + 2k  .  3   174. ແກສ້ ມົ ຜນົ 1 x − 1 x = −2 2 . cos sin ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ 1 − 1 x = −2 2 ເຮາົ ໄດ.້ cos x sin sin x − cos x = −2 2 cos x sin x  sin x − cos x = −2 2 cos x sin x 1 sin x − 1 cos x = − sin 2x 22  sin x −   + sin 2x = 0  4 2 sin 3x −   cos x +   = 0  2 8  4 2 sin 3x −   sin  − x  = 0  2 8 4   sin 3x −   = 0  sin  − x  = 0  2 8 4  sin 3x −   = sin(k )  sin  − x = sin(k )  2 8 4   x =  + 2k  x =  + k 12 3 4 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S =  + 2k ,  + k  . 12 3 4   175. ແກສ້ ມົ ຜນົ sin4 2x + cos4 2x x  = cos2 4x . tan  − x. tan  + 4  4  ວທິ ຄີ ດິ 173

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ sin 4 2x + cos4 2x  = cos2 4x ເຮາົ ໄດ.້ tan  − x. tan  + x 4  4  1 + 1 sin2 4x = cos2 4x. tan  − x . tan  + x   tan  − x . tan  + x  = 1 2 4  4  4  4   1 + 1 sin2 4x = 1 − sin2 4x 2 sin2 4x = 0  sin 4x = 0 x = k 4 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S =  k  .    4  176. ແກສ້ ມົ ຜນົ tan 2 x + tan x cot an2x = 1 . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ tan 2 x + tan x cot an2x = 1 ເຮາົ ໄດ.້ tan 2 x + tan x = 1 tan 2x ( ) tan 2 x + tan x. 1 − tan 2 x = 1 2 tan x 2 tan 3 x + tan x − tan 3 x = 2 tan x tan 3 x − tan x = 0 ( )tan x tan 2 x − 1 = 0 tan x = 0  tan x − 1 = 0  tan x + 1 = 0 x = k  x =   + 2k 4 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S = k ,   + 2k  .  4   177. ແກສ້ ມົ ຜນົ tanx + c tan x = sin 2x −1 . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ tanx + c tan x = sin 2x −1ເຮາົ ໄດ.້ sin x + cos x = sin 2x − 1 cos x sin x 174

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ sin x sin x + cos x cos x = sin 2x − 1 cos x sin x 1 sin 2x(sin 2x − 1) = 1 2  sin2 2x − sin 2x − 2 = 0 (sin 2x − 2)(sin 2x + 1) = 0 sin 2x = 2 (x  )  sin 2x = −1  sin 2x = sin −  + 2k  2  2x = −  + 2k 2  x = −  + k 4 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S =  −  + k   4    178. ແກສ້ ມົ ຜນົ 3 x = 3 tan x + 3. cos2 ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ 3 x = 3 tan x + 3 ເຮາົ ໄດ.້ cos2 3 sec2 x = 3 tan x + 3 3 ( )3 tan 2 x + 1 = 3 tan x + ( )tan x 3 tan x − 3 = 0 tan x = 0  3 tan x − 3 = 0 x = k  x =  + k 3 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S =  k ,  + k   3    179. ແກສ້ ມົ ຜນົ sin 2x = −2 cos x . 1 + sin x ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ sin 2x = −2 cos x ເຮາົ ໄດ.້ 1 + sin x sin 2x = −2 cos x(1 + sin x) 2 cos x sin x + 2 cos x(1 + sin x) = 0 cos x(2 sin x + 2 sin x + 2) = 0 cos x = 0  4 sin x = −2 175

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ x =  + 2k  x = −  + 2k  x =  +  + 2k 2 6 6 x =  + 2k  x = −  + 2k  x = 5 + 2k 2 6 6 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S =   + 2k , −  + 2k , 5 + 2k   2 6 6    180. ແກສ້ ມົ ຜນົ cos2x + 3cosx + 2 = 0 . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ cos2x + 3cosx + 2 = 0 ເຮາົ ໄດ.້ cos2x + 3cos x + 2 = 0 ( )2 cos2 x − 1 + 3 cos x + 2 = 0 2 cos2 x + 3cos x + 1 = 0 (2 cos x + 1)(cosx + 1) = 0  2 cos x + 1 = 0  cos x + 1 = 0 x =  2 + 2k  x = k 3 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S =  k , 2 + 2k   3    181. ຊອກຫາຄ່ົ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ sin4 x + cos4 x − cos2x + 1 sin2 2x − m =0 ມໃີ ຈຜນົ . 4 ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ sin4 x + cos4 x − cos2x + 1 sin 2 2x − m = 0 ເຮາົ ໄດ.້ 4 1 − 1 sin2 2x − cos2x + 1 sin2 2x − m = 0 24 1 − 1 sin2 2x − cos2x − m = 0 4 ( )1 − 1 1 − cos2 2x − cos2x − m = 0 4 1 cos2 2x − cos2x + 1 − m = 0 44  cos2 2x − 4 cos2x + 1 − 4m = 0 , − 1  cos2x  1  ການດົ ໃຫ້ t = cos2x  − 1  t  1ເຮາົ ໄດ.້ t 2 − 4t + 1 − 4m = 0  ການດົ ໃຫ້ t  −1  X = t + 1 t = X − 1ເຮາົ ໄດ.້ (X − 1)2 − 4(X − 1) + 1 − 4m = 0 X 2 − 2X + 1 − 4X + 4 + 1 − 4m = 0 176

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ X 2 − 6X + 6 − 4m = 0 32 − 6 + 4m  0   6 − 4m  0   6 − 4m  0  60   m 3  mm6−02343 2   m− 3 4  ການດົ ໃຫ້ t  1  X = t − 1 t = X + 1ເຮາົ ໄດ.້ (X + 1)2 − 4(X + 1) + 1 − 4m = 0 X 2 + 2X + 1 − 4X − 4 + 1 − 4m = 0 X 2 − 2X − (2 + 4m) = 0  2 + 4m  0 m−1 2  ສະນນັ້ ເຮາົ ສາມາດການດົ  m  − 3    x  − 1  = m  − 1 .  4   2  2 ຕອບ: ຄ່ົ າຂອງ m ແມ່ົ ນ m  − 1 . 2 182. ແກສ້ ມົ ຜນົ tan x + c tan 2x = 3 − 2sin2x . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ tan x + c tan 2x = 3 − 2sin2x ເຮາົ ໄດ.້ sin x + cos2x = 3 − 2 sin 2x cos x sin 2x sin x sin 2x + cos2x cos x = 3 − 2 sin 2x cos x sin x  cos x = 3 − 2 sin 2x cos x sin 2x 1 = 3 − 2 sin 2x sin 2x  sin 2x(3 − 2 sin 2x) = 1 2 sin2 2x − 3sin 2x + 1 = 0 (sin 2x − 1)(2 sin 2x − 1) = 0  sin 2x − 1 = 0  2 sin 2x − 1 = 0 177

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ sin 2x = 1  sin 2x = 1 2 2x =  + 2k  2x =  + 2k  2x =  −  + 2k 26 6  x =  + k  x =  + k  x = 5 + 2k 4 12 12 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S =  + k ,  + k , 5 + 2k  .  12 12   4  183. ຊອກຫາຄ່ົ າຂອງ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ sin2 x + 4 sin x cos x + 2m cos2 x = 0 ມໃີ ຈຜນົ . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ sin2 x + 4 sin x cos x + 2m cos2 x = 0 ເຮາົ ໄດ.້ sin2 x + 4 sin x cos x + 2m cos2 x = 0  1 − cos2x + 2 sin 2x + 2m1 + cos2x  = 0 2 2 1 − cos2x + 4 sin 2x + 2m + 2m.cos2x = 0 4 sin 2x + (2m − 1).cos2x = −2m − 1  4 sin 2x + 2m − 1 cos2x = − 2m − 1 4m2 − 4m + 17 4m2 − 4m + 17 4m2 − 4m + 17  2m + 1 1  2m + 1  −1 4m2 − 4m + 17 4m2 − 4m + 17 ❖ ຈາກສມົ ຜນົ 2m + 1  −1 ເຮາົ ໄດ.້ 4m2 − 4m + 17 2m + 1  −1 4m2 − 4m + 17  4m 2 − 4m + 17  −2m − 1 4m2 − 4m + 17  4m2 + 4m + 1 8m  16  m2 ❖ ຈາກສມົ ຜນົ 2m + 1  1 ເຮາົ ໄດ.້ 4m2 − 4m + 17 4m2 − 4m + 17  2m + 1  4m2 − 4m + 17  4m2 + 4m + 1 m2 ຕອບ: ຄ່ົ າຂອງ m ແມ່ົ ນ m  2. 184. ແກສ້ ມົ ຜນົ c tan x − 3 tan x = c tan 2 x − 3 . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ c tan x − 3 tan x = c tan 2 x − 3 ເຮາົ ໄດ.້ 178

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ c tan x − 3 tan x = c tan 2 x − 3  c tan 2 x − 3 = c tan 2 x − 3 c tan x (c tan 2 x − 3)(c tan x − 1) = 0  c tan 2 x − 3 = 0  c tan x − 1 = 0 x =   + k  x =  + k 64 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມົ່ ນ S =   + k ,  + k  .  6 4   185. ແກສ້ ມົ ຜນົ sin x = − 2 . 2 ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ sin x = − 2 ເຮາົ ໄດ.້ 2  sin x = sin −  + 2k  4  x = −  + 2k  x =  +  + 2k 4 4 x = −  + 2k  x = 5 + 2k 4 4 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ແມ່ົ ນ S = −  + 2k , 5 + 2k  .  4 4   186. ແກສ້ ມົ ຜນົ 4sin3 x + 5cos2x + 2sin x −1 = 0. ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ 4sin3 x + 5cos2x + 2sin x −1 = 0 ເຮາົ ໄດ.້ 4sin3 x + 5(1 − 2sin2 x) + 2sin x −1 = 0 4sin3 x −10sin2 x + 2sin x + 4 = 0 (sin x −1)(4sin2 x − 6sin x − 4) = 0 sin x −1 = 0  2sin2 x − 3sin x − 2 = 0 sin x = 1  2sin x + 1 = 0  sin x − 2 = 0 (x ) x =  + 2k  x = −  + 2k  x = 7 + 2k 2 66 ຕອບ: ມໃີ ຈຜນົ ແມົ່ ນ S =  + 2k ,−  + 2k , 7 + 2k  .  6 6   2  187. ແກສ້ ມົ ຜນົ tan3x + tan x = sin2x . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ tan3x + tan x = sin2x ເຮາົ ໄດ.້ 179

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ  sin3x + sin x = sin 2x cos3x cosx sin 4x − sin 2x cos3x cosx = 0 sin 2x(2 cos2x − cos3x cos x) = 0 sin 2x = 0  2cos2x − cos3x cosx = 0 x = k  2 cos2x − 1 cos4x − 1 cos2x = 0 22  3 cos2x − 1 cos4x = 0 (x  ) 22 ຕອບ: ມໃີ ຈຜນົ ແມ່ົ ນ S = k. ( )188. ແກສ້ ມົ ຜນົ 2sin3 x − cos x 2sin2 x − 3 − 3sin x(cos2x +1) + cos3x + 2cos3 x = 0 . ວທິ ຄີ ດິ ( )❖ ຈາກສມົ ຜນົ 2sin3 x − cos x 2sin2 x − 3 − 3sin x(cos2x +1) + cos3x + 2cos3 x = 0 ເຮາົ ໄດ.້ ( ) ( )2sin3 x − cos x 2sin2 x − 3 − 3sin x 2 cos2 x + 4 cos3 x − 3cos x + 2 cos3 x = 0 2 sin3 x − 2 cos x sin2 x − 6sin x cos2 x + 6 cos3 x = 0 2sin2 x(sin x − cos x) − 6 cos2 x(sin x − cos x) = 0 ( )(sin x − cos x) 2sin2 x − 6 cos2 x = 0  sin x − cos x = 0  2 − 8cos2 x = 0 sin x −   = 0  (1 − 2 cos x)(1 + 2 cos x) = 0  4 x =  + k  x =  + 2k  x = 2 + 2k 43 3 ຕອບ: ມໃີ ຈຜນົ ແມ່ົ ນ S =  + k ,  + 2k , 2 + 2k  .  3 3   4  189. ແກສ້ ມົ ຜນົ cos2 x + 3 sin 2x = 2 + sin2 x . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ cos2 x + 3 sin 2x = 2 + sin2 x ເຮາົ ໄດ.້ 1+ cos2x + 3 sin 2x = 2 + 1− cos2x 22 1+ cos2x + 2 3 sin 2x = 4 +1− cos2x cos2x + 3 sin 2x = 2 1 cos2x + 3 sin 2x = 1 22 sin 2x +   = sin  + 2k   6 2  180

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ  2x +  =  + 2k 62 2x =  + 2k 3  x =  + k 6 ຕອບ: ມໃີ ຈຜນົ ແມົ່ ນ S =  + k  .    6  190. ແກສ້ ມົ ຜນົ sin 2x + cos2x = 2 sin3x . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ sin 2x + cos2x = 2 sin3x ເຮາົ ໄດ.້ 1 sin 2x + 1 cos2x = sin3x 22 sin 2x +   − sin 3x = 0  4 2 cos 5 x +   sin  − x  = 0 2 8 8 2  2sin 3 − 5 x  sin  − x  = 0  8 2  8 2 sin 3 − 5 x  = 0  sin  − x  = 0 8 2  8 2 3 − 5 x = k   − x = k 82 82 x = 3 − 2k  x =  − 2k 20 4 ຕອບ: ມໃີ ຈຜນົ ແມ່ົ ນ S =  3 − 2k ,  − 2k  .  20 4    191. ແກສ້ ມົ ຜນົ cosx − sin x − 2sin2x = 1. ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ cosx − sin x − 2sin2x = 1ເຮາົ ໄດ.້ cos x − sin x = 1− 2sin 2x (cos x − sin x)2 = (1 − 2sin 2x)2 1− sin 2x = 1− 4sin 2x + 4sin2 2x 4sin2 2x − 3sin 2x = 0 sin 2x(4sin 2x − 3) = 0  sin 2x = 0  4sin 2x − 3 = 0 x = k  x = 1 sin−1 3  + k 2 2 4 181

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ ຕອບ: ມໃີ ຈຜນົ ແມ່ົ ນ S =  k , 1 sin −1  3  + k  .    2 2 4  192. ແກສ້ ມົ ຜນົ sin3x = sin x . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ sin3x = sin x ເຮາົ ໄດ.້ sin3x − sin x = 0 2 cos(4x)sin(2x) = 0 cos(4x) = 0  sin(2x) = 0 4x =  + 2k  2x = k 2  x =  + k  x = k 82 2 ຕອບ: ມໃີ ຈຜນົ ແມ່ົ ນ S =  + k , k  .  2 2   8  193. ແກສ້ ມົ ຜນົ sin x + cos x = 2 . 2 ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ sin x + cos x = 2 ເຮາົ ໄດ.້ 2 (sin x + cos x)2 =   2 2 2 1+ sin 2x = 1 2 sin 2x = − 1  2x =  − 7 + 2k 2 6 2x = 7 + 2k 6  x = 7 + k  x = −  + 2k 12 6 ຕອບ: ມໃີ ຈຜນົ ແມົ່ ນ S =  7 + k , −  + 2k  .  12 6    194. ຊອກຫາຄົ່ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ (m + 2)sin x − 2mcosx = 2(m +1) ມໃີ ຈຜນົ . ວທິ ຄີ ດິ ❖. ຈາກສມົ ຜນົ (m + 2)sin x − 2mcosx = 2(m +1) ເຮາົ ສາມາດສງັ ເກດໄດດ້ ົ່ ງັ ນ:ີ້  m+2  sin x +  5m 2 2m  cos x = 2(m +1) 2 + 4m + 4m 5m + 4 + 4 5m2 + 4m + 4 182

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ −1  2(m +1)  1 5m2 + 4m + 4  2(m +1)  1  2(m +1)  −1 5m2 + 4m + 4 5m2 + 4m + 4 → ສງັ ເກດຈາກສມົ ຜນົ 2(m +1)  −1ເຮາົ ໄດ.້ 5m2 + 4m + 4 − 2(m + 1)  5m2 + 4m + 4 5m2 + 4m + 4  0   − 2(m + 1)  0   − 2(m + 1)  0 5m2 + 4m + 4  (2m + 2)2 m  −1   m  −1 5m2 + 4m + 4  4m2 + 8m + 4 m  −1   m  −1 m2 − 4m  0  S1 = R 2(m +1)  1 ເຮາົ ໄດ.້ → ສງັ ເກດຈາກສມົ ຜນົ 5m2 + 4m + 4 5m2 + 4m + 4  2(m + 1)  5m2 + 4m + 4  0   2(m +1)  0   2(m +1)  0 5m2 + 4m + 4  2(m + 1)  m  −1 m  −1  m2 − 4m  0  m  −1  m  4 S2 = − ,−1  4,+ ຕອບ: ຄ່ົ າຂອງ m ແມ່ົ ນ S = S1  S2 = − ,−14,+. 195. ແກສ້ ມົ ຜນົ 3(sin x + cosx)− sin2x = 3 . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ 3(sin x + cosx)− sin2x = 3 ເຮາົ ໄດ.້ 3(sin x + cos x)2 = (3 + sin 2x)2 9(1 + sin 2x) = 9 + 6sin 2x + sin2 2x sin2 2x − 3sin 2x = 0  sin 2x(sin 2x − 3) = 0 sin 2x = 0  sin 2x − 3 = 0 x = k 2 ຕອບ: ມໃີ ຈຜນົ ແມົ່ ນ S =  k  .  2    183

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ 196. ຊອກຫາຄົ່ າຂອງ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ sin2 x − sin x.cos x + (2 − m)cos2 x = 0 ມໃີ ຈຜນົ x  −  ,   . 4 4  ວທິ ຄີ ດິ ❖. ຈາກສມົ ຜນົ sin2 x − sin x.cos x + (2 − m)cos2 x = 0 ເຮາົ ສາມາດສງັ ເກດໄດດ້ ົ່ ງັ ນ:ີ້ sin2 x − sin x.cos x + (2 − m)cos2 x = 0 1 − cos2x − 1 sin 2x + (2 − m)1 + cos2x  = 0 22 2 1 − cos2x − sin 2x + (2 − m)(1 + cos2x) = 0 (1 − m)cos2x − sin 2x = m − 3  1− m  cos 2 x − 1 sin 2x = m−3 2 − 2m m2 − 2m + 2 m2 − 2m + 2 m + 2  − 2  m−3  2 2 m2 − 2m + 2 2 → ສງັ ເກດຈາກສມົ ຜນົ m−3 − 2 ເຮາົ ໄດ.້ m2 − 2m + 2 2 2m − 6  − 2m2 − 4m + 4  2m2 − 4m + 4  6 − 2m  6 − 2m  0   6 − 2m  0 2m2 − 4m + 4  0 2m2 − 4m + 4  4m2 − 24m + 36   m3 m2 −10m + 16  0  2m3 S1 = 2,3. → ສງັ ເກດຈາກສມົ ຜນົ m−3  2 ເຮາົ ໄດ.້ m2 − 2m + 2 2 2m2 − 4m + 4  2m − 6   2m − 6  0   2m − 6  0 2m2 − 4m + 4  0 2m2 − 4m + 4  4m2 − 24m + 36  m3 m2 −10m + 16  0  3 m8 ຕອບ: ຄົ່ າຂອງ m ແມົ່ ນ S = S1  S2 = 2,8. 197. ແກສ້ ມົ ຜນົ 3 sin x + cos x = 1 x . cos 184

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ 3 sin x + cosx = 1 ເຊົ່ ງິ x  + 2k ເຮາົ ໄດ.້ cos x 2 3 sin x + cos x = 1 cos x  3 sin x cos x + cos2 x = 1 3 sin 2x + 1+ cos2x = 1 22 3 sin 2x + 1 cos2x = − 1 22 2 sin 2x +   = sin 7 + 2k   6  6  2x +  = 7 + 2k  2x +  =  − 7 + 2k 66 66 x =  + k (x  )  x = −  + k 23 ຕອບ: ມໃີ ຈຜນົ ແມ່ົ ນ S =  −  + k  .  3    ( )198. ແກສ້ ມົ ຜນົ 2 sin4 x + cos4 x = 2 + sin 2x . ວທິ ຄີ ດິ ( )❖ ຈາກສມົ ຜນົ 2 sin4 x + cos4 x = 2 + sin 2x ເຮາົ ໄດ.້ ( )2 sin4 x + cos4 x = 2 + sin 2x 21 + 1 sin2 2x  = 2 + sin 2x 2  2 + sin2 2x − 2 − sin 2x = 0 sin2 2x − sin 2x = 0 sin 2x(sin 2x −1) = 0  sin 2x = 0  sin 2x −1 = 0 x = k  x =  + k 24 ຕອບ: ມໃີ ຈຜນົ ແມ່ົ ນ S =  k ,  + k  .  2 4    199. ແກສ້ ມົ ຜນົ sin6 x + cos6 x − 3 sin8x = 1. 8 ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ sin6 x + cos6 x − 3 sin8x = 1ເຮາົ ໄດ.້ 8 185

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ( ) ( )sin2 x 3 + cos2 x 3 − 3 sin8x = 1 8 ( )(( ) )sin2 x + cos2 x sin2 x + cos2 x 2 − 3sin x cos x − 3 sin8x = 1 8 1− 3 sin 2x − 3 sin8x = 1 28 1 sin8x + 1 sin 2x = 0 82 sin 2x cos2x cos4x + sin 2x = 0 sin 2x(cos2x cos4x + 1) = 0  sin 2x = 0  cos2x cos4x +1 = 0 x = k  cos2x cos4x + 1 = 0 2 ( ) cos2x 2 cos2 2x −1 + 1 = 0 ( )cos2x 2 cos2 2x −1 + 1 = 0 2 cos3 2x − cos2x + 1 = 0 ( )(cos2x + 1) 2 cos2 2x − 2 cos2x + 1 = 0  cos2x + 1 = 0  2 cos2 2x − 2 cos2x + 1 = 0 (x  ) cos2x +1 = 0 cos2x = −1 2x =  + 2k  x =  + k 2 ຕອບ: ມໃີ ຈຜນົ ແມ່ົ ນ S =  k  + k  .  2 ,    2 200. ແກສ້ ມົ ຜນົ sin4 x + cos4 x = 2sin 2x −1. ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ sin4 x + cos4 x = 2sin 2x −1ເຮາົ ໄດ.້ ( ) ( )sin2 x 2 + cos2 x 2 = 2sin 2x −1 ( ) sin2 x + cos2 x 2 − 2sin x cos x = 2sin 2x −1 1− sin 2x = 2sin 2x −1  3sin 2x = 2 sin 2x = 2 3 x = 1  sin −1  2   + k 2  3 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ S = 1  sin −1  2   + k   2  3 .  186

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ 201. ແກສ້ ມົ ຜນົ 1 = 2(cos x + sin x) . +c tan x tan 2x c tan x + 1 ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ 1 = 2 (cos x + sin x) ເຮາົ ໄດ.້ +c tan x tan 2x c tan x + 1 1 = 2(cos x + sin x) tan x + c tan 2x c tan x + 1  sin 2x cosx = 2(cos x + sin x) sin xsin 2x + cos2x cosx cosx + sin x sin x sin 2x cosx = 2 sin x cos x  2sin x cosx − 2 sin x = 0 ( )sin x 2cos x − 2 = 0 sin x = 0  2cosx − 2 = 0 x = k  x =  + 2k 4 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ S = k ,  + 2k  .  4   202. ຊອກຫາຄ່ົ າຂອງ m ເພ່ົ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 2(sin x + cosx)+ sin 2x + m −1 = 0 ມໃີ ຈຜນົ . ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກສມົ ຜນົ 2(sin x + cosx)+ sin 2x + m −1 = 0ເຮາົ ໄດ.້ 2(sin x + cos x) + sin 2x + m −1 = 0 2(sin x + cos x) = (1 − (m + sin 2x)) 4(sin x − cos x)2 = (1 − (m + sin 2x))2 4(1 − sin 2x) = 1 − 2(m + sin 2x) + m2 + 2m sin 2x + sin2 2x  sin2 2x + 2(m −1)sin 2x + m2 − 2m − 3 = 0 ( )(m −1)2 − m2 − 2m − 3  0   m2 − 2m − 3  0   m2 − 2m − 3  0  m −1 0  m2 − 2m − 3  0  40  m2 − 2m − 3  0  m −1  0 187

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ  40 (m +1)(m − 3)  0  (m +1)(m − 3)  0  m  1 −1 m  3  40  −1  m  3  m  1  −1 m  3 ຕອບ: ຄົ່ າຂອງ m ແມ່ົ ນ −1  m  3 . 203. ແກສ້ ມົ ຜນົ 2 cos2 x + 3sin x − 3 = 0 . ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສມົ ຜນົ 2 cos2 x + 3sin x − 3 = 0 ເຮາົ ໄດ.້ ( )2 1 − sin2 x + 3sin x − 3 = 0 2 − 2sin2 x + 3sin x − 3 = 0 2sin2 x − 3sin x +1 = 0 (sin x −1)(2sin x −1) = 0 x =  + 2k  x =  + 2k 26 ຕອບ: ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ S =  + 2k ,  + 2k  .  6   2  204. ຊອກຫາຄົ່ າໃຫຍ່ົ ສຸດ ແລະ ນອ້ ຍສຸດຂອງຕາລາ y = sin x + 2cosx +1 . sin x + cosx + 2 ວທິ ຄີ ດິ ➢ ຈາກຕາລາ y = sin x + 2cosx +1 ເຮາົ ໄດ.້ sin x + cosx + 2 y = sin x + cos x + 2 + cos x −1 sin x + cos x + 2 y = 1+ cosx −1 sin x + cos x + 2 ➢ເຮາົ ສງັ ເກດເຫນັ ວ່ົ າ: cosx −1  0 ສະນນັ້ ຄ່ົ າຂອງ ymax =1 sin x + cos x + 2 ➢ເຮາົ ສງັ ເກດເຫນັ ວ່ົ າ: y = 1+ cosx −1 , x =  ສະນນັ້ ຄົ່ າຂອງ ymax = −1 sin x + cosx + 2 188

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ບດົ ທີ 8 ສງັ ລວມບດົ ເລກສງັ ຄະນດິ ເສົ່ ງັ ເຂາົ້ ມະຫາວທິ ະຍາໄລຕ່ົ າງໆທົ່ ຫີ ວຽດນາມ 1. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 1 (2x − 1)e x−x2 dx ວທິ ຄີ ດິ 0 ຈາກສງັ ຄະນດິ 1 (2x − 1)e x−x2 dx ເຮາົ ໄດ.້ 0  1 (2x − 1)e x−x2 dx = − 1 e x−x2 d (x − x 2 ) 00 = − e x−x2 1 = −(e0 − e0 ) 0 =0 ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ 1 (2x − 1)e x−x2 dx = 0 . 0 2. ໂດຍ x  0;   ການດົ a, b ເຮດັ ໃຫ້ 1 x = a cos x + b cos x . 4  cos 1 − sin x 1 − sin x ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສມົ ຜນົ 1 x = a cos x + b cos x ເຮາົ ໄດ້ cos 1 − sin x 1 − sin x 1 = a cos x + b cos x cos x 1 − sin x 1 − sin x 1 = cos x a(1 − sin x) + b(1 − sin x)  cos  1 − sin2 x  x 1 = a(1 − sin x) + b(1 − sin x) cos x cos x  a(1 − sin x) + b(1 − sin x) = 1 a + b − (a + b) sin x = 1 (a + b) sin x = a + b − 1 sin x = a + b − 1 a+b x = arcsin a + b − 1   a + b  ➢ ຈາກເງ່ົອນໄຂ x  0;   ເຮາົ ໄດ.້ 4  0  arcsin a + b − 1    a+b  4 0 a +b −1 2 a+b 2 01− 1  2 a+b 2 2− 2  1 1 2 a+b 189

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ຕອບ:ຄົ່ າຂອງ x = arcsin a + b − 1  ເມ່ົ ອ 2 − 2  1  1 .  a + b  2 + a b  1  dx  3. 4 ຄດິ ໄລົ່ I = dx ແລະ J = 4 0 cos x 0 cos3 x ວທິ ຄີ ດິ ສງັ ເກດຈາກ 1 = sec x ດົ່ ງັ ນນັ້ cos x   I= 4 1  0 cos x dx = 4 sec xdx 0 I =  sec x sec x + tan x dx 4 0  sec x + tan x  I =   sec2 x + sec x tan x d x 4 sec x + tan x 0 I =  d (sec x + tan x) = ln sec x + tan x  4 4 0 sec x + tan x 0 I = ln sec   + tan   − ln sec(0) + tan(0) 4 4 I = ln 2 + 1 ❖  dx ແກສ້ ງັ ຄະນດິ J = 4 0 cos3 x   dx  J= 4 = 4 sec3 xdx 0 cos3 x 0   J = 4 sec x(tan 2 x + 1)dx = 4 sec x tan 2 xdx + 4 sec xdx   0 0 0     4 sec3 xdx = 4 sec x tan x tan xdx + 4 sec xdx 00 0      4 sec3 xdx = sec x tan x 4 − 4 sec3 xdx + 4 sec xdx 0 00 0   xdx = 1 sec x tan x  + 1 ln 2 +1 4 4 sec3 0 2 02 J = 1  sec  . tan    + 1 ln 2 +1 2  4  4  2 J = 2 + 1 ln 2 + 1 22 4. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ  sin x − cos x + 1 dx 2 sin x + 2 cos x + 3 0 ວທິ ຄີ ດິ ສງັ ເກດຈາກສງັ ຄະນດິ  sin x − cos x + 1 dx ແລວ້ ການດົ tan x =u  x = 2 tan −1 (u)  dx = 2du 2 sin x + 2 cos x + 3 2 1+ u2 0 ຈາກນນັ້ s in x = 1 2u 2 , cos x = 1 − u 2 ແທົ່ ນສງັ ຄະນດິ +u 1+ u2 190

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ ຊອກຂອບ u1 = tan(0) = 0 ,u2 = tan   =1 4     2u 2  −  1 − u 2  + 1 2  +u  1 + u 2 sin x − cosx +1 1 1 2du dx = 0 sin x + 2cosx + 3 0  2u  2 11 − u2  1+ u2  1+ u2  + u2 + + 3   2u −1 + u2 + 1 + u2 2 sin x − cosx +1 dx = 1 . 2du 0 sin x + 2cosx + 3 0 2u + 2(1 − u2 ) + 3(1 + u2 ) 1 + u2   2u 2 2 u2 + sin x − cosx +1 dx = 1 + 2u .12+duu2 0 2u + 5 0 sin x + 2cosx + 3   u2 + u 2 sin x − cosx +1 dx = 4 1 du 0 sin x + 2cosx + 3 0 (u2 + 2u + 5)(u2 + 1)   +5 2 x+ sin x − cosx +1 dx = 2 1 − 3x + 3x − 1 du 5 0 x2 + 2 x2 + 1  0 sin x + 2cosx + 3 5 2 1 − 3x + 5 du 2 1 3x − 1 du 5 0 x2 + 2x + 5  5 0 x2 + 1   = + 2 1 − 3x + 5 du 2 1 3x − 1 du 5 0 x2 + 2x + 5  5 0 x2 + 1   = +  − 3 (2x + 2) + 4  2  3 (2x) −1  = 21 2 du 1 2 du + 5 0 x2 + 2x + 5  5 0 x2 + 1   − 3 (2x + 2) + 4   3 (2x) −1  = 21 2 du 2 1 2 du + 5 0 x2 + 2x + 5  5 0 x2 + 1  (2x + 2) 2 4 3 (2x) −2 1 x2 + 2x + 5 2x 5 x2 +1 5 x2 + = −3 1 5 du + 1 x2 + + 5 du + 1 du 1 1 du 0  0  0  0     5 = − 2 ln x2 + 2x + 5 1 + 4 tan−1 x + 1 1 + 3 ln x2 + 1 1 − 2 tan−1(x) 1 5 05  2 0 5 05 0 = 2 ln 5  + 4   − tan −1  1   + 3 ln(2) − 2 5 8 5 4  2  5 20 ຕອບ:ສງັ ຄະນດິ  sin x − cos x + 1 dx = 2 ln 5  + 4   − tan −1  1   + 3 ln(2) − 2 2 sin x + 2 cos x + 3 5  8  5 4  2  5 20 0 5. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 1 (3x + 1) dx 0 (x + 3)3 ວທິ ຄີ ດິ 191

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ຈາກສງັ ຄະນດິ1 (3x + 1) dx 0 (x + 3)3  1 (3x + 1) dx = 1 (3x + 9 − 8) 0 (x + 3)3 dx 0 (x + 3)3 x+3 1 1 dx − 8  1 dx =3 0 (x + 3)3 0 (x + 3)3 11 =− 3 + 4 (x + 3) 0 (x + 3) 2 0 =1− 3 + 1 − 4 3449 =1 18 ສງັ ຄະນດິ 1 (3x + 1) 1 ຕອບ: 0 (x + 3)3 dx = 18 . 6. 1x ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 0 (x + 1)3 dx ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສງັ ຄະນດິ1x dx 0 (x + 1)3  1x 1 (x + 1 − 1) dx = dx 0 (x + 1)3 0 (x + 1)3 x +1 1  1 = 0 (x + 1)3 1 dx dx − 0 (x + 1)3 11 =− 1 + 1 (x + 1) 2(x + 1) 2 0 0 =1− 1 + 1 − 1 282 =1 8 ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ 1x dx = 1 . 0 (x + 1)3 8 7. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 1 x2 −1 dx 0 x4 +1 ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສງັ ຄະນດິ1 x2 −1 dx 0 x4 +1 192

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ  1 x 2 − 1 dx = 1 x2 −1 dx 0 x4 +1 0 (x 2 + 2x + 1)(x 2 − 2x + 1)  = 1 1 2x − 1 dx − 1 1 2x + 1 dx 2 0 x2 − 2x +1 2 0 x2 + 2x +1 2 (2x − 2) dx − 1 2 (x + 2) 2 2 dx  = 1 1 1 2 0 x2 − 2x +1 2 0 x2 + 2x +1  = 2 1 (2x − 2) dx − 2 1 (x + 2) dx 4 0 x2 − 2x +1 4 0 x2 + 2x +1 1 = 2 ln x2 − 2x + 1 4 x2 + 2x +1 0 = 2 ln 2 − 2 = 2 ln 3 − 2 4 2+ 2 4 ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ 1 x2 −1 dx = 2 ln 3 − 2. 0 x4 +1 4 8. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ  e2x sin2 xdx 0 ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສງັ ຄະນດິ  e2x sin2 xdx 0    e 2x sin 2 xdx = 1  e 2x dx − 1  e 2x cos 2xdx 0 20 20 = 1 e2x  − e2x  404 (cos2x + sin 2x) 0 = e2x (1 − cos2x  4 + sin 2x) 0 =0 ຕອບ:ສງັ ຄະນດິ  e2x sin2 xdx = 0 . 0  cos x dx 9. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 2 0 2 + cos2x ວທິ ຄີ ດິ  cos x dx ຈາກສງັ ຄະນດິ 2 0 2 + cos2x   2 cos x  cos x dx 0 2 + cos2x dx = 2 0 2 + 1 − 2 sin2 x  d(sin x) =− 2 0 3 − 2 sin2 x 193

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ 2 d( 2 sin x) 2 3 = − 20 2 1 −  2 sin x  3  = 2 arccos 2 sin x  2 2 3 0 = 2  arccos 2  −   2  3 2   cos x dx = 2  arccos 2  −   . 2 + cos2x 2 3 2  ຕອບ:ສງັ ຄະນດິ 2 0 10. 1 dx ແກສ້ ງັ ຄະນດິ − 2x cos dx −1 x 2 +1 ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສງັ ຄະນດິ1 dx dx − 2x cos +1 −1 x 2 dx dx  1 1 = −1 x 2 − 2x cos + 1 −1 (x 2 − cos ) 2 + 1 − cos2  1 dx dx −1 (x − cos ) 2 + sin 2  = d x − cos  = 1 1  sin  sin −1  x − cos 2 + 1  sin  = 1 arctan x − cos  1 sin  sin  −1 = 1  arctan 1 − cos  + arctan 1 + cos   sin  sin   sin ຕອບ:ສງັ ຄະນດິ 1 dx dx = 1  arctan 1 − cos  + arctan 1 + cos   . − 2x cos + 1 sin  sin   sin  −1 x 2 11. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 2a x 2 − a 2 dx a ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສງັ ຄະນດິ 2a x 2 − a 2 dx ການດົ ໃຫ້ x = a sec  dx = a sec tan d ຊອກຫາຂອບ a x1 = a sec1 1 = 0 x2 = a sec 2  2 = sec−1 (2) 2 = sec−1 (2) =  3 194

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ   2a x2 − a2 dx = 3 a2 sec tan2 d a0  a2 sec   sec3   3  3 sec tan2 d 3 0  0 0  = a2 = tan  −  d ສງັ ເກດຈາກຂທ້ ສີ າມ(3)ເຮາົ ໄດ.້ 2a x2 − a2 dx = a 2  3 −  1 sec x tan x  − 1 ln sec x + tan x    a  2 2 3 3 0 0 = a 2  3 −  1 3 − 1 ln 2 + 3   2 2  ( )= a2 3 + ln 2 + 3 2 ( )ຕອບ:ສງັ ຄະນດິ 2a x2 − a 2 dx = a 2 3 + ln 2 + 3 . a2 12.  4 sin3 x ຊອກສງັ ຄະນດິ 2 dx 0 1 + cos x ວທິ ຄີ ດິ ❖ ຈາກສງັ ຄະນດິ  4 sin3 x 2 dx 0 1 + cos x    4 sin2 x sin x 2 2 dx 4 sin3 x dx = 0 1 + cos x 0 1 + cos x = −4  (1 − cos2 x) 2 d(cosx) 0 1 + cos x  = − 4 2 (1 − cos x )d (cos x) 0 = 4 cos x − cos2 x  0 2  2 = 41 − 1   2 =2 ຕອບ:  4 sin3 x ສງັ ຄະນດິ 2 dx = 2 0 1 + cos x 13. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ a x 2 + a 2 dx 0 ວທິ ຄີ ດິ a a x2 x2 + a2 −  a x2 + a2 dx = x dx 0 0 0 x2 + a2 = a 2 2− a x2 + a2 − a2 dx 0 x2 + a2 195

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ  = a 2 2 − a x 2 + a 2 dx + a a 2 dx 0 x2 + a2 0 x2 + a2 = a 2 2 − 2 x 2 + a 2 a + a 2 cosh−1 ( x ) a 30 20 ( )= a 2 2 + 2 a − a 2 + a 2 cosh a  − a 2 3 2 ( )= a 2  cosh a   + 2 2 − 1 +  2  3 a−a 2 x 2 + a 2 dx = a 2   a a  2 2  3  ( )ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ 0 2 − 1 + cosh + a−a 2.  14. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 2 1 + sin xdx 0 ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສງັ ຄະນດິ 2 1 + sin xdx 0  2 1 + sin xdx = 2 4 cos  − x dx 0 0  4 2 = 8sin  − 0 x   4 2  2 = 8sin   − sin  −  4  4 =16sin   4 =8 2 ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ ຂອງ 2 1 + sin xdx = 8 2 . 0 15. 3 dx ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 8 sin2 x cos2 x  8 ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສງັ ຄະນດິ3 sin2 dx x ເຮາົ ໄດ້ 8 x cos2  8 196

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ  3 dx = 3 4dx 8 x cos2 8   (1 − cos2x)(1 + cos2x) 8 sin 2 x 8 = 3 4dx 8  8 1 − cos2 2x = 4 3 dx 8 sin2 2x  8  = 2cot an(2x) 8 3 8 = 2 cot an   − cot an 3    4   4  = 2(1 + 1) =4 ຕອບ:ສງັ ຄະນດິ ແມ່ົ ນ 3 sin2 dx x = 4. 8 x cos2  8 16. 2 dx x +1 + x −1 ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 1 ວທິ ຄີ ດິ ( ) 2 dx 2 x +1 − x −1 dx = ( )( )1 x + 1 + x − 1 1 x + 1 + x − 1 x + 1 − x − 1 ( )= 1 2 x + 1 − x − 1 dx 21 ( )2 = 3 (x + 1)3 − (x − 1)3 ( ) ( )1 = 3 (3)3 − (2)3 − (2)3 ( )= 3 3 3 − 4 2 =9 3 −12 2 2 dx = 9 3 −12 2 . ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ 1 x +1 + x −1 17. ແກສ້ ມົ ຜນົ x − x2 )du = sin x . (u 0 ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສງັ ຄະນດິ ເຮາົ ໄດ້ x (u − x 2 )du = sin x . 0 197

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ x (u − x 2 )du = sin x 0  u2 x = sin x 2 − x 2u  0 x 2 − x3 = sin x 2 x 2 − 2x3 = 2 sin x x 2 (1 − 2x) = 2 sin x x=0 18. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ b x ln2 xdx 1 ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສງັ ຄະນດິ b x ln 2 xdx 1  b x ln 2 xdx = x 2 ln 2 x b − b 1 21 x ln xdx 1 = b 2 ln 2 b − x 2 ln x b + 1 b 2 2 21 xdx 1 ( )= b 2 ln 2 b − ln b + 1 x 2 b 2 41 ( ) ( )= b2 ln2 b − ln b + 1 b2 − 1 24 ( ) ( )ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ b x ln2 xdx = b2 ln2 b − ln b + 1 b2 − 1 . 4 12  19. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 2 x cos2 xdx . 0 ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສງັ ຄະນດິ 2 x cos2 xdx 0   1  2 x cos2 xdx = 2 x(1 + cos2x)dx 0 20  = 1  + 1  2 xdx 2 cos 2xdx 20 20 = + 1 sin 2x  2 84 0 = 8 ຕອບ:ສງັ ຄະນດິ  x cos2 xdx =  . 2 8 0 20. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 2 dx 2 3 x x2 +1 198

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສງັ ຄະນດິ 2 dx 2 3 x x2 +1  ( )2 − sec 2  2 3 3x dx = sec x 2 = sec 2 x2 +1 2 3 = − =  4 6 12 2 dx =  2 x2 + 1 12 3x ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ 2 dx =  . x2 + 1 12 2 3x 21.  cos x sin xdx . ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 0 ວທິ ຄີ ດິ  ຈາກສງັ ຄະນດິ 0 cos x sin xdx .     cos x sin xdx = 2 cos x sin xdx −  cos x sin xdx 00 2   = 2 sin xd (sin x) −  sin xd (sin x) 0 2 =2   3 sin3 x 2 − 2 sin3 x  03 2 = 2   sin3 x   3   sin3 x 2 −  2 0 = 2 (1 + 1) 3 =4 sin xdx = 4 . 3 3  ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ 0 cos x 22. ໃຫຕ້ າລາ: f (x) = sin x sin 2x cos5x 22.1. ຊອກຫາເຄາົ້ ຕາລາ ຫຼ ສງັ ຄະນດິ .  sin x sin 2x cos5xdx = 1  sin x(sin 7 x − sin 3x)dx 2 = 1  (sin x sin 7 x − sin x sin 3x)dx 2 = 1  (cos8x − cos 6x + cos 2x − cos 4x)dx 4 = 1  1 sin 8x − 1 sin 6x + 1 sin 2x − 1 sin 4x  + c 48 6 2 4  199

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ 23. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ ln 2 e2x dx 0 ex +1 ວທິ ຄີ ດິ ln 2 e2x dx . ຈາກສງັ ຄະນດິ 0 ex +1 ການດົ ໃຫ້t = ex +1ex =t2 −1 x = ln t 2 −1  dx = 2t ຊອກຫາຂອບ dt t2 −1 t1 = e0 + 1 = 2 ແລະ t2 = eln 2 + 1 = 3 ເຮາົ ໄດ.້ ( )eln 2 2x dx = 3 t 2 − 1 2 • 2t dt  0 e x + 1 2t t2 −1 ( )= 2 3 t 2 − 1 dt 2 = 2 t3 − t  3 3 2 = 2 3 3 − 3  −  22 − 2  3 3 = 2 2  = 2 2 3 3  eln 2 2x dx = 2 2 3 0 ex +1 ln 2 e2x dx = 2 2 . ex + 3 ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ 1 0 24. ສງັ ຄະນດິ 1 x 2 − 1 dx . 0 x +1 ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສງັ ຄະນດິ 1 x 2 − 1 dx ເຮາົ ໄດ.້ 0 x +1  1 x 2 − 1 dx = 1 (x − 1)(x + 1) 0 x +1 dx 0 x +1 =1( x − 1)( x + 1)(x + 1) dx 0 x +1 1 = 0 ( x − 1)(x + 1)dx 200