ຄະນິດສາດຍຸກສະໄໝໃໝ່ ເຫຼັ້ມ 2

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ 1 = 0 ( x − 1)(x + 1)dx ( )1 = 0 x3 + x − x −1 dx =  2 x5 + 2 x3 − x2 1 5 3 2 − x  0 = 2 + 2 − 1 −1 532 = − 13 30 1 x 2 − 1 dx = − 13 0 x +1 30 ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ 1 x 2 − 1 dx = − 13 . 0 x +1 30 25. ແກສງັ ຄະນດິ  cos x + 2sin x dx 4cos x + 3sin x 4 0 ວທິ ຄີ ດິ ສງັ ເກດຈາກສງັ ຄະນດິ  cos x + 2sin x dx ແລວ້ ການດົ tan x =u  x = 2 tan −1 (u)  dx = 2du 4 4 cos x + 3sin x 2 1+ u2 0 ຈາກນນັ້ s in x = 1 2u 2 , cos x = 1 − u 2 +u 1+ u2 ຊອກຫາຂອບຂອງສງັ ຄະນດິ u1 = tan 0  = 0 , u2 = tan   = 3 − 2 2 ແທນສງັ ຄະນດິ . 2 8 3−2 1− u2 +4 u   2 1+ u2 1+ u2 4 cos x + 2 sin x dx = 2du 0 4 cos x + 3sin x 0 1− u2 +3 2u 1+ u2 4 1+u2 1+u2 3−2 2 1 − u 2 + 4u 2du = 0 4(1 − u 2 ) + 6u 1 + u 2  ( )( )3−2 2 = u 2 − 4u − 1 du 0 2u 2 − 3u − 2 u 2 + 1 3−2 2 u 2 − 4u − 1 ( )= 0 (x − 2)(2x + 1) u 2 + 1 du 3−2 2  1 2u + 4 1 1 2 1 du 0  5 u2 + 1 5 − 5 2u + 1 = . − . u 2 − .   = 1 3−2 2 2u + 4 du − 1 3−2 2 1 du − 1 3−2 2 2 du 5 0 u2 +1 5 0 u−2 5 0 2u + 1 201

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ    = 1 3−2 2 2u du + 1 3−2 2 4 du − 1 3−2 2 1 du − 1 3−2 2 2 du 5 0 u2 +1 5 0 u2 +1 5 0 u−2 5 0 2u + 1 ( )= 1 ln u 2 + 1 3−2 2 + 4 tan −1 u 3−2 2 − 1 ln 2u 2 − 3u − 2 3−2 2 5 05 05 0 = 1 ln u 2 + 1 3−2 2 5 2u 2 − 3u − 2 ( )+ 4 tan −1 u 3−2 2 50 0 = ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ ກາບ່ົ ໄດ້ ຫຼ ບົ່ ມສີ ງັ ຄະນດິ . 26. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 1 3dx . 0 1+ x3 ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສງັ ຄະນດິ1 3dx 0 1+ x3 3dx 1 1 3dx = 0 1 + x 3 0 (x + 1)(x 2 − x + 1) 1  1 − x2 x dx  x +1 −x +1 =3 0 − 3 1 2x −1 + 1 dx  1 dx =3 0 x +1 2 0 x2 − x +1   1 d(x + 1) 3 1 d(x2 − x + 1) 3 1 1 =3 − − dx 0 x +1 2 0 x2 − x +1 2 0 x2 − x +1   1 d(x + 1) 3 1 d(x2 − x + 1) 3 1 1 =3 − − dx 0 x + 1 2 0 x 2 − x + 1 2 0  2x − 1 2 + 3 2 4 d  2x + 1  3 1 d(x + 1) 3 1 d(x2 − x + 1) 1 3 = − − 3 2 0 x +1 2 0 x2 − x +1 0  2x − 1  +1 3 3 ln x 2  2 x + 1  1 3 = 3ln x + 1 1 − − 1 − 3 tan −1 02 x +1 0 0 = 3ln 2 − 0 − 3 tan −1  3  − tan −1  1   3 3 = 3 ln 2 − 3  −   = 3 ln 2 −  3 3 6 6 ຕອບ: 1 3dx = 3ln 2 − 3 ສງັ ຄະນດິ 0 1+ x3 6 . 202

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ 27. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 1 x4 + dx + . 0 4x2 3 ວທິ ຄີ ດິ ຈາກສງັ ຄະນດິ 1 x4 + dx + 3 0 4x2  1 dx 1 dx = 0 x 4 + 4x 2 + 3 0 (x 2 + 1)(x 2 + 3) = 1 1  1 − 1 dx 2 0  x2 +1 x2 + 3  = 1 1 dx 1 1 d  x  3 − 2 0 x2 +1  2 2 3 0  x +1 3 1 1 tan −1  x  1 2 23 3 = tan −1 (x) 1 − 0 0 = 1    − 1    24 2 36 1 x4 + dx + 3 = 1    − 1    4x2 2 4  23 6  0 ຕອບ: 1 dx = 1    − 1    . ສງັ ຄະນດິ 0 x4 + 4x2 + 3 2 4  23 6   3 28. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ  tan 2 x + cot an2 x − 2dx .  6 ວທິ ແີ ກ ້  3 ຈາກສງັ ຄະນດິ tan 2 x + cot an2 x − 2dx ເຮາົ ໄດ.້  6  3 sin2 x + cos2 x − 2 dx tan 2 x + cot an2 x − 2dx =  3   cos2 x sin2 x 66  3 cos4 x − 2 cos2 x sin2 x + sin4 x dx  cos2 x sin2 x = 6 203

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫວຼ ງນາ້ ທາ  3  cos2 x − sin2 x  2 dx cos x sin x =  6  = 3 cos2 x − sin 2 x dx  cos x sin x 6  = 3 d (sin 2x)  sin 2x  6  = ln sin 2x 3  6 =  ln sin 2  − ln sin     3  3  =  ln sin   − ln sin     3  3  =0  tan 2 x + cot an2 x − 2dx = 0 3 ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ   6  29. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 3 dx   .  x sin x sin + 6  6 ວທິ ຄີ ດິ   3 dx 3 2dx =  sin x sin x +    sin x cos x + 3 sin2 x 6  6 6 ການດົ ໃຫ ້t = tan x  x = 2 tan −1 (t)  dx = 2dt ຊອກຫາຂອບ t1 = tan   = 2 − 3 ແລະ 2 1+ t2  12  t2 = tan   = 3 ແທນສງັ ຄະນດິ ເຮາົ ໄດ:້ 6  3 204

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ   3 dx 2− 3 2dx 2dt  sin x sin x +   =  2   2 1+ t2 6  6 2  3  2t 2 1 − t + 3 1 2t 2 3 1 +t 1 + t  +t  ( )2− 3 4(1 + t 2 )dx dt = 3 2t − 2t 3 + 2 3t 3  ( )2− 3 4(1 + t 2 )dx dt = 3 2t − 2t 3 + 2 3t 3 2− 3 (1 + t 2 )dx dt = −2 3 t 3 − (1 + 3)t 3 2− 3 (1 + t 2 )dx dt = −2 tt − 1+ 3 t + 1+ 3  3 3 2− 3  2+ 3 1 − 1 + 2+ 3 1 3 dt  2+2 3 1+ 3 1+ 3 t 2+ 2 3 t + 1+ −2 ( )= 3 t − 3 3 2 2+ 3 ln t 2 − (1 + − ln t  3 2+2 3 1+ 3 2− ( )= 3) 3  ln 3   2 1+ 3   = 2+ 3 ln ( 3)2 − (1 + − 3  −  2+ 3 ln (2 − 3) 2 − (1 + − ln(2 + 3)  2+2 3 3  2+2 3 1+ 3 ( )3) ( )3)  = ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ ການດົ ບົ່ ໄດ້ ຫຼ ບ່ົ ມສີ ງັ ຄະນດິ .  30. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 4 sin2 x + cos6 xdx − 6x +1 4 ວທິ ຄີ ດິ  sin 2  3 sin2 2x 4 dx 4 4 1− x + cos6 xdx = − 6x + 1 − 6x + 1 44 205

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ    5 + 3 cos 4x 4 8 8 dx 4 sin 2 x + cos 6 xdx = − 6x + 1 − 6x + 1 44   = 5 4 dx +3 4 cos 4x dx 8 − 6x + 1 8 − 6x + 1 44  4 (6 x + 1 − 6 x )dx + 3 4 cos 4x  = 5 dx 8 − 6x +1 8 − 6x + 1 44   4 5 4 d (6 x + 1) + 3 4 cos 4xdx dx −   = 5 8 − 8 ln 6 − 6 x + 1 8 − 6x + 1 44 4   = 5 x 4 − 5 +3 4 cos 4x ln 6 x + 1 4 dx 8 − 8 ln 6 − 8 − 6x + 1 4 4 4  5 5 ln 64 +1 3 4 cos 4x 16 8 ln 6 +1 dx = − − + 8 − 6x + 1 64 4  = 5 + 3 4 cos 4xdx 32 8 − 6 x + 1 4  ສງັ ເກດຈາກສງັ ຄະນດິ 4 cos4xd x ພຈິ າລະນາດົ່ ງັ ນ:ີ້ − 6x +1 4 cos x = 1 − x 2 + x 4 − x 6 + .......... .......... .......... ......... 2! 4! 6! e x = 1 + x + x 2 + x3 + x 4 + .......... .......... .......... .......... . 2! 3! 4! ສະນນັ້ ເຮາົ ຈະພຈິ າລະນາດ່ົ ງັ ນ:ີ້ cos4x  1 − (4x)2 = 1 − 8x2 2 6 x = e x ln6  1 + x ln 6   x + cos6 6x +1  ເຮາົ ກຈະໄດສ້ ງັ ສງັ ຄະນດິ 4 sin2 xdx = 5 + 3 4 co s4xdx ດ່ົ ງັ ນ:ີ້ − 32 8 − 6x +1 44 206

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ   4 sin2 x + cos6 xdx = 5 + 3 4 cos4xdx − 6x + 1 32 8 − 6x + 1 44  = 5 + 3 4 1 − 8x 2 dx 32 8 −1 + x ln 6 + 1 4  = 5 − 3 4 8x2 −1 dx 32 8 − x ln 6 + 2 4  x2 −  2  2   4  ln 6  dx 4 1 dx + 3 4   = 5 − 3 − 12 1 dx 32 ln 6 −  x + 2  (ln 6) 2 − x ln 6 + 2 8 − x ln 6 + 2 4  ln 6  4 4  5 3 4  2 dx  3 12 −4 1 32 ln 6 − ln 6  8 (ln 6) 2 ln 6  = − x − + − x + dx 2 44   5 − 3  x2 − 2 x  4 +  3 6 − 12 ln x ln 6 + 2  32 ln 6 2 ln 6 − 8 ln (ln 6)3 4 − 4 4  5 +  3 6 − 12  ln 4 +  ln 6 32 8 ln (ln 6)3 4 +  ln 6  ຕອບ: 4 sin 2 x + cos6 xdx  5 +  3 − 12  ln 4 +  ln 6 ສງັ ຄະນດິ − 6x +1 32 8ln 6 (ln 6)3 4 +  ln 6 . 4 31. 2 ln( x + 1)dx ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 1 x . 2 ວທິ ຄີ ດິ  2 + 1) 2 2 ln(x + 1) − ln( x 1 dx dx = + 1 x2 x 1 1 x(x + 1) =  ln 3 − ln 2 + 2  1 − 1 dx  2  1  x x +1 2 = 1 ln 3  + ln x  2  4  x +1 1 = 1 ln 3  +  ln 2  − ln 1   2  4   3   2  207

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ = 1 ln 3  + ln 4  = 1 ln 4  2 4 3 2 3 2 ln(x + 1) = 1 ln 4  x2 dx 2  3  1 ຕອບ: 2 ln(x + 1)dx = 1 ln 4  ສງັ ຄະນດິ 1 x2 2  3  .  2 sin x dx . sin x + cos x 32. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ  0 ວທິ ຄີ ດິ  2 sin x dx ເຮາົ ໄດ:້ 0 sin x + cos x ຈາກສງັ ຄະນດິ   2 sin x dx = 1 (1 − 0) 2  sin x + cos x dx x+ cos 2 0 sin x + cos x x+ sin 0 x sin x cos  = 1 (1 − 0) 2 dx 20 = 1 (1 − 0)  − 0 2 2  = 4  sin x dx =  . x+ cos 4 2 sin x ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ  0 3 33. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ x5 1 + x 2 dx 0 ວທິ ຄີ ດິ 3 ສງັ ເກດຈາກສງັ ຄະນດິ x 5 1 + x 2 dx . 0 ການດົ ໃຫ້t = x 2 + 1  x 2 = t 2 − 1  2xdx = 2tdt ຊອກຫາຂອບ t1 = 1 = 1 ແລະ ( )t2 = 3 2 + 1 = 2 . 208

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ 32  x5 1 + x 2 dx = (t 2 − 1) 2 t.tdt 01 2 = (t 2 − 1) 2 t 2 .dt 1 2 = (t 4 − 2t 2 + 1)t 2 .dt 1 2 = (t 6 − 2t 4 + t 2 ).dt 1 =  t7 − 2 t5 + t3 2 7 5 3  1 =   27 − 2.2 5 + 23  −  17 − 2.15 + 13   7 5 3 7 5 3 =   128 − 64 + 8  −  1 − 2 + 1    7 5 3   7 5 3  =  856 + 97  105 105 = 923 105 3 1 + x2 dx = 923 . 105 ຕອບ: ສງັ ຄະນດິ x5 0 1 34. 9  53 x x 1 dx ແກສ້ ງັ ຄະນດິ 0 + sin2 (2x + 4x + 1) 5 − 1 ວທິ ຄີ ດິ 1 11 1 9  dx 9 9  dx 9  dx 0 0 0   ( )  0 5 3 x + x + 1 = 53x dx + 1 + x sin2 (2x + 1) 4x x (2x 5 − 1 5 4 − 1 sin 2 + 1) 11  53x 25 1  9 9  x d  3ln 5 .  0 (2x  (4x − 1)4 0 16 5 = + + sin 2 + 1) x =   1 + 25 .5  5 4  −  1 + 25  +  − 1 xc tan(2x + 1) + 1 ln(sin(2x + 1)) 1   16 9   3ln 5 16   2 4 9   53     0 3 ln 5   1 + 25  5 4  −  1 + 25  +  − 1 tan(2x + 1) + 1 ln(sin(2x + 1)) 1 =  .5  9 53 xc 3 ln 5 16  9    3ln 5 16   2 4 0     =   1 + 25  5 4  −  1 + 25  +  − 1 xc tan11 + 1 ln sin 191   − 1 ln(sin(1))  .5  9   3ln 5 16  2 9 4  4   53   16  3ln 5 209

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ ຕອບ:ສງັ ຄະນດິ 1  5 3 x + x + 1) + 5 1 − dx =   1 5 + 25  5 4  −  3 1 5 + 25  sin2 (2x x   .5 9   ln 16  9 4 1   53  0  16  3 ln +  − 1 xc tan 11 + 1 ln sin 11  − 1 ln(sin(1)) 2  9 4  9 4 7 3 x +1 dx 0 3 3x + 1 35. ແກສ້ ງັ ຄະນດິ ວທິ ຄີ ດິ 777 3 3 dx = dx + x +1  3 x 1 dx 0 3 3x + 1 0 3 3x + 1 0 3 3x + 1 77  = 1 3 3x + 1 dx + 2 3 d (3x + 1) dx 3 0 3 3x + 1 9 0 3 3x + 1 77 1 3 (3x 1) 2 2 3 d (3x + 1) 3  = + dx + dx 3 0 9 0 3 3x + 1 77 1 3 (3x )2 2 3 d (3x + 1) 13  = + + 1) + dx d (3x 9 0 9 0 3 3x + 1 77 1 5 + 13 = (3x + 1) 3 3 (3x + 1)2 3 15 0 3 0 = 1  (7 + 1) 5 − (1) 5  + 1  3 (7 + 1)2 −3 (1)2  15 3 3 3 = 31 + 1 15 = 46 15 7 3 x + 1 dx = 46 . 0 3 3x + 1 15 ຕອບ:ສງັ ຄະນດິ ສງັ ຄະນດິ −2210 x − sinxdx 36. 4 ວທິ ຄີ ດິ 210

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ   −2210x−sinxdx= −2210 x dx − 2 (sin x )d x 4 4 −2 = 4 x2 + 1 cosx 2 ln10  10 4  −2 −2 = 4  10 1 −1  + 1 (cos 2 − cos(−2 )) ln10 2  −10 2 = 36 10 ln10 ສງັ ຄະນດິ −2210 x − sinxdx = 36 . ຕອບ: 4 10 ln10 3 dx + x. tan −1 xdx  1 x 37. ສງັ ຄະນດິ −1 5 − 4x 0 ວທິ ຄີ ດິ 1 x 3 1 1 5 − 4x dx + 1 1 5 dx + x 2 tan −1 (x) 3 3 x2 x. tan −1 −1     −1 5 − 4xdx + xdx = − dx 4 −1 5 − 4x 4 −1 5 − 4x 2 0 2 0 x2 +1 0   =  − 1 1 5 − 4xdx + 1 1 5 3x2 +1−1 dx − 1 dx 2 4 −1 4 −1 5 − 4x 2 0 x2 +1   =  + 1 1 3x2 +1−1 5 − 4xd(5 − 4x) − 5 1 d(5 − 4x) + 1 dx 2 16 −1 8 −1 2 5 − 4x 2 0 x 2 + 1  =  + 1 3 3 1 −5 1 +1 1 1 dx − dx (5 − 4x)3 5 − 4x 2 0 x2 +1 2 24 −1 8 −1 2 0 =  + 1 (1 − 27) − 5 (1 − 3) + 1 x 3 − 1 tan −1 (x) 3 2 24 8 20 2 0 ( ) ( ( ) )=  + 1 + 1 3 − 0 − 1 tan 2 3 − 0 262 2 =  + 1 + 3 − 1    2 6 2 23 = +1 36  1x dx + 3 xdx =  + 1 . 5 − 4x 3 6 ຕອບ: x. tan −1 −1 0 211

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ ບດົ ທີ 9 ສງັ ລວມຄວາມຮູມ້ ູມນກັ ເຕກັ ນດິ ທາງຄະນດິ ສາດ I. ແກສ້ ມົ ຜນົ ໂດຍໃຊເ້ ທກັ ນກິ . 1. lg 2 x 2 +7 x +1  = x2 − x − 12 . x + 8x + 13 2 ( )2.  7x 2 − 2x − 5  x2 log2 8x 2 − 5x + 7 = log3 + 3x −1 . 3. 5x 2 − 3x + 2 = 3 x2 +8x−15 4x2 + 5x −13 4. log  2x 2 + 4x + 5  = x 2 − x−2. 3x 2 + 3x + 3 7 ( )5. 3x 2 + x + 5 = 2x 2 + 8x − 7 .7(x2 ).+7x−12 ( )6. 3x 2 + 3x + 1 = 4x 2 + 15x − 28 .5x2 +12x−35 − (4x 2 + 6) . 7. log2  7x + 7  = x − 1.  6x + 8  8. log5 3 6x + 7 = x +1. 3x + 4 9. 4x + 11= 5 − 3x + (4x − )5 .53x+11 . 10. log3  8x −13  = log5 (3x − 5).  5x − 7  11. log7  x3 x3 − 4x2 + 3x 21 = x2 − 10x + 21. − 5x 2 + 13x − ( ) ( )12. log3 2x2 − 3x + 3 = x2 + 3x + 2 + log3 x2 − 6x +1 . ( )13. x 2 − 7x + 5 = 2 − 4x 2 + 4x 2 + 7x − 10 .5x2 −14x+13 . 1 x−41 + 27x − 32 .492 . ( ) ( )14. 3x 2 + 7x + 43 .72x−7 = 2x2 15. log3  7 x 3 − 3x 2 + 7x + 12  = x3 − 6x2 + 11x − 6. 6 x 3 + 3x 2 − 4x + 18 16. 62x+4 + 5x = 6 x2 −3x + x 2 + 4 . 17. 2 x2 −x − 2 x+8 = 8 + 2x − x 2 . 18.  2 + 3 5x−21 −  2 − 3 5x−x2 = x 2 − 10x + 21. ( ) ( )19. 3 + 2 6x2 +6 + 6x 2 + 6 = 3 + 2 x3 +11x + x3 + 11x . 20. 711x − x 2 − 30 = 7 x2 +30 − 11x . 212

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ 21. 1010x−69 + 11x − 60 = x 2 − 7x + 17 + 10x2 −8x+8 . 22. 32x2 −3x−1 − 38x2 −10x+1 = 6x 2 − 7x + 2 . 23. 17x + 5−x2 +13x−1 = 12x 2 + 6 + 57x2 −4x+5 . 24. 2 −2x2 +2x+1 + 5x = 6x 2 + 1 + 24x2 −3x+2 . ( ) ( )25. 10 − 3 3x2 −7x+1 + 10x − 3x 2 = 10 + 3 7x2 −10x+2 + 7x 2 − 7x + 3 . 26. 735x−2 − 737x2 −4x = 7x 2 − 9x + 2 . 27. 33−x + 12 = 3x + 32x−7 . 28. 713−2x + 2x + 7 = 7x − 23 + 73x−17 . 29. 67−2x = 7x − 21 + 65x−14 . 30. 57x−87 + 3x 2 + 13x − 57 = 4x 2 − 7x + 34 + 5x2 −13x+4 . 31. 812−7x + 12 − 7x = 14x − 30 + 814x−30 . ( ) ( )32. sin1 3−2x − sin1 5x−11 = 7x − 14 . 33. 3 1+ x+2 = 5 1+ x+2 − 4 1+ x+2 . ( )34. 3 7x−5 = 27x−5 − 1. 2 2+ 2+ 2+ 2+x 2 2+ 2+ 2+ 2+x 2 2+ 2+ 2+ 2+x . 35. 7 x = 24x − 25x 36. 8 7− 11−x + 6 7− 11−x = 10 7− 11−x . 37. 9 x2 −7 x+10 = 41x2 −7 x+10 − 40 x2 −7 x+10 .  3+ 2 x + 3− 2 x  3+ 2 x + 3− 2 x 38. 44 + 117 = 125 . 3+ 2 x + 3− 2 x 39. 16 7− x2 +5 + 63 7− x2 +5 = 65 7− .x2 +5 40. 10 9− x2 −11 + 24 9− x2 −11 = 26 9− .x2 −11 .6 + 8 = 10x2 −3x+4 41. x2 −3x+4 x2 −3x+4 42. 5 = 13x2 −9x+16 x2 −9 x+16 − 12x2 −9x+16 . 43. x(x − 1)(x − 2)(x − 3) = 24 . 44. (x + 3)(x + 5)(x − 2)(x − 4) = −48 . 45. (x +1)(x + 3)(x + 2)(x + 7)(x −1)(x − 3)(x − 2)(x − 7) + 8 = 0 . 46. (x − 11)(x − 12)(x − 14)(x − 15) − 4 = 0 . 47. x(x − 22)(x − 24)(x − 26) + 9 = 28(x − 22)(x − 24)(x − 26) . 48. (x −1)4 + (x − 2)4 =17 . 49. (x − 1)(x − 7)(x − 11)(x + 3) = 231. 50. (x + 1)(x + 4)(x + 6)(x + 9) − 16 = 0 . 213

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ 51. (x + 1)(x + 2)(x − 2)(x − 1) − 4 = 0 . 52. (x − 3)(x + 7)(x −11)(x +15) − 2103 = 205. 53. x − 3 + 2 x − 5 = 7 5 − x + 2 . 54. x − 1 + 3 x 2 − 7x + 10 = 9 − x 2 + 7x − 10 + 2 . 55. x 2 − 4x + 3 + − x 2 + 4x − 3 = x 2 − x . 56. x2 − 5x + 6 + x − 3 − 3 = − x 2 + 5x − 6 + x2 − 4x . 57. x2 = 2x − 3 + x = 1 + 5 3x − 3 + − x2 + 4x − 3 . 58. 4 15 − 2x − x 2 + 7 x − 3 + 3 = 3 x2 + 4x − 21 + x . 59. 2.6 5 − 3x − 2x 2 + 3.4 2x − 5 = 4.3 6x 2 − 13x − 5 + 5. 2x 2 − 9x + 10 . 60. 5.8 6 + 4x − 2x 2 − 3.4 4x 2 − 14x + 6 = 7. x 2 − 8x + 15 . 61. 4 x 2 − 8x + 15 + 7. x − 3 + x = 3 + 5.6 6 − 2x . 62. x3 − 3x + 2x + 3. 2 − x + x = 2x2 − 3x − 2 + 4 − x . 63. 7 − 5x + 5x − 7 + 7 = 5x + 5x2 − 2x − 7 . 64. x − 2 + 7x − 14 = 5. 8 − 4x . 65. 3x − 2 + 4 = 6x − 7. 12 − 8x . 66. x − 1 = 2.4 x − 1 + 3 . 67. 3x − 5 = 6.4 3x − 5 − 9 . 68. 7x − 1 = 5.4 7x − 1 − 4 . 69. 3x+1 = 10 − x . 70. 4 x + (x − 8).2 x + 1 − 2x = 0 . 71. (x + 4).9 x − (x − 5).3x + 1 = 0 . 72. 4 x2 + (x 2 − 7).2 x2 + 12 − 4x 2 = 0 . 73. 4 x − (x 2 + 8).2 x + 8x 2 = 0 . 74. 16x + (x − 69).4 x + 134 = 2x . 75. 4 x + (2x − 14).2 x + x 2 + 33 = 14x . 76. 25x − 7.5 x + 6 + 5x = x 2 . 77. 49x + (x + 8).7 x + 7 = 7x . 78. x.9 x + (4x 2 − 8x − 16).3x + 112 = 4x 2 + 57x . 79. 9 x − 37.3x + 210 = x 2 + 23x . 80. 6 x − (x + 7).(3x + 2 x ) − x 2 − 14x − 49 = 0 . 81. 4 x − 25.2 x + 100 + 15x = x 2 . 82. 9 x − 2(x + 4).3x + x 2 + 8x + 12 = 0 . 214

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ 83. 42x − 19.4 x + 70 − 9x = x 2 . 84. 64x − (32x + 3).8x + 31x 2 + 33x + 4 = 2 . 85. 36x − (20x − 1).6 x + 19x 2 + 17x = 2 . 86. 9 x − (x3 + 4).3x + 3x 2 + 3 = 0 . 87. 22x − (x + 9).2 x + 4x = −20 . 88. 9 x − (x + 11).3x + 18 = −9x . 89. x2 + 48 = 10 x − 4 . 3 x2 3 x 90. (x − 4.5)4 + (x − 5.5)4 = 1. 91. 2x2 + 21x − 11 − 2x2 + 3x + 9 = 18x − 9 . 92. x + 2 + 11− x + 22 + 9x − x2 = 11. 93. x + 3 − 3 2 − x = 1 . 94. 2x2 + 3x + 2x 2 + 3x + 9 = 33. 95. x + x = 35 . x2 −1 12 96. 3 x + 1 − 3 x − 1 = 6 x 2 − 1 . 97. x + 4 x − 4 + x − 4 x − 4 = x −1. 98. x = ( 1 + x + 1)( 10 + x − 4) . 99. (3 − x)3 3− x + (x − 1)3 x −1 = 2. x −1 3− x 100. x − 1 + x − 2 = 1. 101. x − x − 1 = 1. 102. x − 3 + 2 x + 1 = 4 . 103. x − x =1. 104. 3x − 2 + 4x = 11. x−2 105. x − 1 − 1 = 1 . 106. 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2x + 3. 2 − 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2x = 1 107. 3 x + 4 + 6 x − 5 − x + 4 − 6 x − 5 = 20 . 108. 4x + 136 − 40 x + 9 + 3 x + 58 −14 x + 9 = 5. 109. x −1 + 2 x − 2 + x −1 − 2 x − 2 = 3x + 1. 215

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ 110. 4x − 6 −12 x − 3 − x + 1 − 4 x − 3 = x − 2 − 2 x − 3 . 111. 9x − 8 − 6 x −1 − 4x + 5 −12 x −1 = 49x − 24 − 70 x −1 − 36x + 13 − 84 x −1 112. 9x − 8 − 6 x −1 = 7 − x . 113. x + 9 − 8 x − 7 − x + 18 −10 x − 7 =1 . 114. 9x − 47 − 30 x − 8 + 9x + 49 − 66 x − 8 = 6 . 115. 9x −14 −12 x − 2 − 4x − 7 − 4 x − 2 = x −1 − 2 x − 2 116. 9x − 52 − 24 x + 4 + x + 29 −10 x + 4 = x2 − 8x + 15. 117. 25x − 49 + 10 x − 2 − 25x − 49 −10 x − 2 = 2 . 118. 16x − 7 + 24 x −1 − 16x − 7 − 24 x −1 = 6 . 119. 9x −17 − 6 x − 2 + 25x − 49 −10 x − 2 = 2x . 120. 49x − 45 − 28 x −1 − 36x − 35 −12 x −1 = 5 . 121. 9x + 13 −12 x + 1 − 49x −16 − 42 x + 1 = 16x −17 − 8 x + 1 . 122. 5 49x − 45 − 28 x −1 − 7 25x −16 − 30 x −1 =11. 123. x2 1 + 2 + x2 1 + 6 + x2 − 1 + 12 = 3 . − 3x − 5x 7x 4 124. x2 + x +1 + x2 + x +1 + x2 + x +1 + x2 + x +1 =1. x2 − 7x + 12 x2 − 9x + 20 x 2 − 11x + 30 x 2 − 13x + 42 125. x 2 − 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + x + 1 − x 2 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + x = 1 . 2 42 126. 2 − 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2x − 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2x = 2 . 127. x + 1 =10 . x+ 1 x+ 1 x+ 1 ...... 128. x = 2535 + 2535 . 2535 2535 + 2535 + 2535 2535 + 2535 x 216

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ ( ) ( )129. sin(ln x) + sin ln x2 + sin ln x3 = 0 . II. ເຕກັ ນກິ ການໃຊຕ້ າລາ. 130. ໃຫຕ້ າລາ 8 f (x) + 4 f  1  = log 3 x ຈົ່ ງົ ຊອກຫາ f (9) + f (10) + f (13) ເທົ່ າົ ກບັ ເທົ່ າົ ໃດ.  x  131. ໃຫຕ້ າລາ 3 f  3x − 2  + 2 f  x +1  = log2 (5x + 2) ຊອກຫາ f 16  ເທ່ົ າົ ກບັ ເທ່ົ າົ ໃດ.  x +1   3x − 2  7 ( ) ( )132. x −1  x  x −1 + 1 . f  x  ຈ່ົ ງົ ຊອກຫາ ການດົ ໃຫ້ f +1 − f  x + 1  = 5 ແລະ f  x + 1 = 6 f (7) + f (8) ເທ່ົ າົ ກບັ ເທ່ົ າົ ໃດ. 133. ຈົ່ ງົ ຊອກຫາຄົ່ າຂອງ f (x) ເມົ່ ອ f 2 (2x + 3) − 2(x 2 + 2x − 3) f (2x + 3) + (x2 + 2x − 3)2 = 0 ຈ່ົ ງົ ຊອກຫາ f (6) , f (7) . 134. ຊອກຫາຄົ່ າຂອງ f1 (x) ແລະ f2 (x) ຈາກສມົ ຜນົ f 2 (3x − 1) − (3x − 7). f (3x − 1) + 12 = 10x − x 2 . 135. ຊອກຫາຄົ່ າຂອງ f (x) ຈາກຕາລາ f (x 2 + 6x + 9) = x 2 + 8x − 17 . 136. ຊອກຫາຄົ່ າຂອງ f1 (x) ແລະ f2 (x) ຈາກສມົ ຜນົ ( )f 2 2 x − 1 − 2(10 − x). f (2 x − 1) + x 2 − 20x + 100 = 0 . ( )137. ຊອກຫາຄ່ົ າຂອງ f1 (x) ແລະ f2 (x) ຈາກສມົ ຜນົ f 2 3x + 2 − 4 f (3x + 2) + 16x = x 2 + 60 . 138. ຊອກຫາຄ່ົ າຂອງ f1 (x) ແລະ f2 (x) ຈາກສມົ ຜນົ ( )f 2 x 2 + 3x + 5 − (8 − x). f (x 2 + 3x + 5) + 12 + 10x = 12x 2 . 139. ໃຫຕ້ າລາ f  x2 − 3x + 2  = x2 + 2x + 5 ຊອກຫາ f (0) . x2 + 3x + 7 ( )140. − 5 f  x  = + 3x + 2 ຈົ່ ງົ ຊອກຫາ ການດົ ໃຫ້7 f 2x −1 −3  2 − 3x  x2 f (10) − f (2) + f (5) . 141. ຊອກຫາຕາລາ f (x) ເມົ່ ອຮູວ້ ົ່ າ fog(x) = 2x 2 + 3x + 2 ແລະ g(x) = 3x + 1. 142. ຊອກຫາຕາລາ f (x) ເມ່ົ ອ f (x 2 + 6x + 7) = 3x − 2 . 143. ຊອກຫາຕາລາ f (x + 1) = 7 f (x) − 5 ຊອກຫາ f (x) = ......... ເຮາົ ວົ່ າ f (1) = 2 . 144. ໃຫຕ້ າລາ f (x + 1) − f (x) = x 2 f (x) ໂດຍການດົ f (1) = 3 ຊອກຫາ f (2016) . 145. ການດົ f (x) ເປນັ ຕາລາທມີ ໂີ ດແມນເປນັ ຈານວນຖວ້ ນ, ເຊ່ົ ງິ ວ່ົ າ f (1) = 2 ແລະ ສອດຄົ່ ອງກບັ ສມົ ຜນົ ( )f x − y 2 = f (x) + ( y 2 − 2x). f ( y) ສາລບັ ທຸກໆຈານວນຖວ້ ນ x ແລະ y ຄ່ົ າຂອງ f (100) ເທ່ົ າົ ກບັ 100 ເທົ່ າົ ໃດ. 146. ໃຫຕ້ າລາ f ມລີ ກັ ສະນະນ:ີ້ 1. f (x)  0 2. ສາລບັ ຈານວນຈງິ x ແລະ y ໃດໆ f (xy) = f (x) f ( y) . ດ່ົ ງັ ນນັ້ f (2533) ມຄີ ່ົ າເທົ່ າົ ກບັ ເທ່ົ າົ ໃດ? 217

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄູຫຼວງນາ້ ທາ f  x  = 1   x −1 x 2 ( )147. ມຄີ ົ່ າເທົ່ າົ ໃດ?. ຖາ້ ສາລບັ ຈານວນ x  0 ,1 ແລະ 0  ແລວ້ f sec2  III. ເຕກັ ນກິ ການໃຊຫ້ ຼກັ ການຄານວນ. 1. ຈ່ົ ງົ ຖອນຮາກຂນັ້ ສອງຂອງ 444......444888..........8889 . n n−1 2. ຈ່ົ ງົ ຖອນຮາກຂນັ້ ສອງຂອງ 111......111− 222.......... 222 2n n 3. ຊອກຫາຄ່ົ າຂອງ  2 − 2 2  2 − 1  2 − 1 .......... ..... 2 − 1  .  + 1  22 + 1  23 + 1  28 + 1 4. ຈົ່ ງົ ຊອກຫາຄ່ົ າຂອງສານວນ A = 3 + 4 + 5 + ...... + 2016 . 1!+2!+3! 2!+3!+4! 3!+4!+5! 2014!+2015!+2016! IV. ສມົ ຜນົ ໄຕມຸມມຕິ ິ ແລະ ລະບບົ ສມົ ຜນົ ໄຕມຸມມຕິ ິ 1. ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 1+ sin x + sin x.cos x + 2 cos x − cos x.sin2 x = 0 ( ) ( )2. ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 4 sin6 x + cos6 x + 2 cos4 x + sin4 x = 8 − 4cos2 2x 3. ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin3x + sin2x = 1+ 2sin xcos2x 4. ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 1− 5sin x + 2 cos2 x = 0 5. ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin x + cos x = 3 sin x − cos x ( ) ( )6. ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin3 x + cos3 x = 2 cos5 x + sin5 x 7. ຈົ່ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ x −y =   3 cos x − cos y = −1 8. ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ tgx − sin x = 2 sin x cot gx 2 9. ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ ( )cos x (cos x + 2sin x ) + 3sin x sin x + 2 =1 sin 2x −1 ( ) ( )10. ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin2 x + sin2 3x − 2 cos2 2x = 0 11. ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ tgx − sin x = 1 sin3 x cos x 12. ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin 2x.(cot gx + tg2x) = 4cos2 x 13. ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 2sin x + mcos x =1− mມໃີ ຈຜນົ 14. ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ msin x + 5.cos x =1+ m ມໃີ ຈຜນົ 15. ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin2 x + sin2 3x = cos2 x + cos2 3x 16. ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 2(m +1)sin x + cos 2x −1− 2m = 0 ມໃີ ຈຜນົ 17. ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 1+ sin x + 1− sin x = 4 ; x (0; ) 1− sin x 1+ sin x 3 218

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ວຼ ງນາ້ ທາ 18. ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin x (1+ 2sin x) = 3 − 4cos2 x 19. ຈົ່ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ x + y =   3 sin x + sin y = 1 20. ຈົ່ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ sin x.cos y = −1  = 4 cos x.sin y −3 4 x + y =   3 21. ຈ່ົ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ tgx + tgy = 2 33 22. ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 4 cot g2x = cos2 x − sin2 x sin6 x + cos6 x 23. ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ t gx + tg2x = −sin 3x cos 2x 24. ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 2sin x + co t gx = 1+ 2sin 2x 25. ຈົ່ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ scionsxx..scionsyy==1434 26. ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ x + y=  m ມໃີ ຈຜນົ  3 4 cos = x.cos y 27. ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ t g   − x  .tg   + 2x  = 1  3   3  x − y =   3 28. ຈົ່ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ sin2 x + sin2 1 y = 2 ( )29.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 8cot g2x = cos2 x − sin2 x sin 2x sin6 x + cos6 x 30. ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ tgx + t g   + x  + tg   + 2x  = 3 3  3   3  31. ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 1+ sin2 x − tg2x = 4 1− sin2 x 32.ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 1+3cos x + cos 2x −cos x = cos3x + 2sin x.cos 2x 33. ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin10 x + cos10 x = sin6 x + cos6 x 4 4 cos2 2x + sin2 2x 219

ພມິ ແລະ ແກໂ້ ດຍ: ຊອ ປຕ ສຸພນັ ແສນສມົ ພອນ ວທິ ະຍາໄລຄຫູ ຼວງນາ້ ທາ 34. ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ cos   + x  + cos   − x  =1  3   3  35. ຈ່ົ ງົ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ x + y = 2  3 tgx.tgy = 3 36. ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ cos2 x − sin x + m = 0 ມໃີ ຈຜນົ 37. ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ cos x (1− 2sin x) 3 = 2 cos2 x − sin x −1 38. ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ cos 2x − cos x − m = 0 ມໃີ ຈຜນົ 39. ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ 2 sin 2 x − (2m +1).sin x + m = 0; x   −  ;0  ມໃີ ຈຜນົ  2  40. ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin x + 1+ cos x = 4 1+ cos x sin x 3 41. ຈ່ົ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ 5  sin x + sin 3x + cos 3x  = cos 3x +3  1+ sin 2x  42. ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin x.cos x (1+ tgx)(cot gx +1) = 1 43. ຈົ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ sin2 x − cos2 x + cos4 x =9 cos2 x − sin2 x + sin4 x 44.ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ cos 2x − (2m +1)cos x + m =1 = 0 ມໃີ ຈຜນົ 45.ຊອກ m ເພົ່ ອໃຫສ້ ມົ ຜນົ (cos x +1).(cos 2x − mcos x) = msin2 x ມີ 2 ໃຈຜນົ x   0; 2   3  220

ເອກະສານອາງອງີ 1. ຄະນດິ ສາດຍຸກສະໄໝໃໝ່ ຮຽບຮຽງໂດຍ : ທ່ ານ ບູນເຮອື ງ ພານປະເສດີ ຮ່ າໂນຍວນັ ທ່ ີ 10/01/2009