Estadistica para ingenieros

Capítulo 5Variables aleatorias con distribuciónconjunta il m—trimonio es l— prin™ip—l ™—us— de divor™ioF qrou™ho w—rxResumen. in el estudio de l—s v—ri—˜les —le—tori—s hemos p—s—do por —lto el he™ho de que un ™onjunto dedos o más v—ri—˜les puede verse —fe™t—do por un— serie de rel—™iones entre ell—sF il —nálisis desde el puntode vist— est—dísti™o de est—s rel—™iones es el o˜jetivo de este ™—pítuloF gomo ™—so espe™i—lD des™ri˜iremos deform— det—ll—d— el modelo que p—r— est—s rel—™iones propor™ion— l— distri˜u™ión norm—l multiv—ri—ntePalabras clave: distri˜u™ión ™onjunt—D distri˜u™ión m—rgin—lD distri˜u™ión ™ondi™ion—d—D ™ov—ri—nz—D ™oe(E™iente de ™orrel—™iónD norm—l multiv—ri—nteF5.1. Introducciónil mundo re—l está repleto de rel—™iones — todos los nivelesF xosotrosD por r—zones o˜vi—sD est—remos intereEs—dos prin™ip—lmente en l—s rel—™iones que —fe™t—n — v—ri—˜les que des™ri˜en fenómenos propios del —m˜iente™ientí(™oEte™nológi™oF ist—s rel—™iones pueden tener muy divers—s tipologi—sF €or ejemploD podrí—mos pens—ren rel—™iones ™—us—Eefe™toD ™omo l— queD por ejemploD expli™—rí— que un— págin— ‡e˜ teng— un t—m—ño ™onEsider—˜le debido — que llev— in™rust—do v—rios —r™hivos de vídeo y —udioD o l— que se est—˜le™e entre l— ed—den —ños de un vestigio y su ™ontenido en ™—r˜ono IR1F €ero no sólo tendremos rel—™iones ™—us—Eefe™toX porejemploD s—˜emos que el peso y l— est—tur— de un ser hum—no son v—ri—˜les muy rel—™ion—d—sD h—st— el puntoque no podemos de™ir que un— person— este o˜es— sólo ™on s—˜er su pesoD sino que de˜emos v—lor—rlo enrelación a su est—tur—F€or otr— p—rteD ™u—ndo un fenómeno es determinísti™o y está ˜ien estudi—doD l—s rel—™iones entre v—ri—˜lesson leyes más o menos sen™ill—sD peroD en ™u—lquier ™—soD son inmut—˜lesF €or ejemploD densidad = masa . vol.1Relación que, por cierto, sabemos que permite la datación del vestigio. WU

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén€eroD ¾qué o™urre ™u—ndo el fenómeno es —le—torioc v—s v—ri—˜les en ese ™—so son —le—tori—s y l—s rel—™iones quese pued—n d—r entre ell—s no siempre tienen por qué o˜ede™er — un— ley o˜jetiv— e in—movi˜leF €or ejemploDtodos somos ™ons™ientes de queD ™omo de™í—mosD existe un— rel—™ión entre el peso y l— —ltur— de un— person—Dpero no existe un— razón de conversión ™—p—z de ™—l™ul—r el peso ex—™to de —lguien — p—rtir de su —ltur—F isevidente que el tiempo de des™—rg— de un— págin— we˜ est—rá rel—™ion—do ™on el t—m—ño de los —r™hivos quel— ™on(gur—nD pero ¾™ómo de evidentec y ¾de qué form— es es— rel—™iónc em˜—s pregunt—s tr—t—rán de ser™ontest—d—s — lo l—rgo de este ™—pítuloFƒe—n X1, ..., XN v—ri—˜les —le—tori—sF il ve™tor orden—do  X1  FFF     XNes un vector aleatorio de dimensión NFr—˜l—remos de vectores aleatorios continuos o vectores aleatorios discretos ™u—ndo ™—d— un— de susv—ri—˜les se—n ™ontinu—s o dis™ret—sD respe™tiv—menteF €odrí—n d—rse vectores mixtosD pero su tr—t—mientoest—dísti™o no nos interes— por —hor—FEjemplo. gonsideremos el v—lor de un— señ—l —n—lógi™— que depende del tiempoD x (t)F in est— not—™iónDentendemos que el v—lor de l— señ—l podrí— ser distinto en ™—d— inst—nte de tiempo tF is muy fre™uenteque l— señ—l se o˜serve re—lmente ™ont—min—d— por un ruido —le—torio que t—m˜ién dependerá del tiempoDN (t)F in ese ™—soD si o˜serv—mos l— señ—l en los inst—ntes t1, ..., tN D el ve™tor  x (t1) + N (t1)  FFF     x (tn) + N (tn)es un ve™tor —le—torioFEjemplo. ƒe estudi— el tiempo que un usu—rio de snternet dedi™— — ver un— págin— ‡if (T ) en rel—™ión™on v—ri—˜les ™omo l— ™—ntid—d de texto que ™ontiene (T x)D el número de imágenes (I) y —nim—™ionespl—sh (F ) de l— págin—F inton™esD el ve™tor  T  Tx     I   Fes un ve™tor —le—torioF98 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para IngenierosEjemplo. ƒe ™ont—˜iliz— l— dur—™ión de l—s ll—m—d—s telefóni™—s — un— ™entr—lit—F €—r— ™—d— ™onjunto den-usu—rios de l— ™entr—lit—D ™—d— uno de ellos o™up— un tiempo Ti en su ll—m—d—F in ese ™—soD el ve™tor  T1  FFF     Tnes un ve™tor —le—torioF5.2. Distribuciones conjunta, marginal y condicionadail prin™ip—l o˜jetivo — —˜ord—r en el tem— es ™ómo medir l— in™ertidum˜re —so™i—d— — los su™esos que des™ri˜eun ve™tor —le—torioF ‰— vimos que en el ™—so de un— v—ri—˜le —le—tori— se tr—t—˜— de h—™erlo — p—rtir de l—fun™ión m—s— o l— fun™ión de densid—dF ehor—D ™omo v—mos — verD es —lgo más ™omplejoF5.2.1. Distribución conjuntav— distribución conjunta de probabilidad de un ve™tor —le—torio esD esen™i—lmenteD l— m—ner— en quese rep—rte l— pro˜—˜ilid—d entre todos los posi˜les result—dos del ve™torF €—r— des™ri˜irl— v—mos — de(nir los™on™eptos de fun™ión de densid—d o fun™ión m—s— —nálogos — los —so™i—dos — un— v—ri—˜le —le—tori—Fƒe— (X1, ..., XN ) un ve™tor —le—torio dis™retoF inton™esD se de(ne su función masa conjunta ™omo fX1,...,XN (x1, ..., xN ) = P [X = x1, ..., XN = xN ] .€or su p—rteD si (X1, ..., XN ) es un ve™tor —le—torio ™ontinuoD enton™esD su función de densidad conjuntaes un— fun™ión t—l que ˆˆP (X1, ..., XN ) ∈ A ⊂ RN = ... fX1,...,XN (x1, ..., xN ) dx1...dxN A⊂RNEjemplo. gonsideremos un ve™tor —le—torio ˜idimension—lD(X, Y ) D que tiene densid—d ™onjunt— fX,Y (x, y) = ce−x−y si 0 < y < x . 0 en otro ™—soin primer lug—rD podemos ™—l™ul—r l— ™onst—nte c teniendo en ™uent— que ˆ fX,Y (x, y) dxdy = 1. R2Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo 99

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén€or elloD ˆ∞ ˆx ˆ∞ cde donde c = 2F 1= ce−x e−y dy dx = , dx = ce−x 1 − e−x 2 00 0in segundo lug—rD por ejemploD ™—l™ulemos ˆ 1 ˆ 1−y P [X + Y ≤ 1] = 2e−x e−y dxdy 0y ˆ1 = 2e−y e−y − e−(1−y) dy 0 −1 − 2e + e2 = e2 .@ver pigur— SFIA pigur— SFIX ‚egión del pl—no donde se ™—l™ul— l— pro˜—˜ilid—dFEjemplo. gonsideremos dos v—ri—˜lesD X e Y D que tienen densid—d ™onjunt— fX,Y (x, y) = 1 si 0 ≤ x ≤ 3, 0≤y≤5 . 15 0 en otro ™—soist— densid—d ™onst—nte en el re™tángulo de(nido indi™— que l— distri˜u™ión de pro˜—˜ilid—d es uniformeen di™ho re™tánguloF †—mos — ™—l™ul—r l— pro˜—˜ilid—d de que Y se— m—yor que X @ver pigur— SFPA P [Y > X] = ˆ3 ˆ5 1 dy dx ˆ03 5 x 15 −x = dx 0 15 = x − x2 |03= 7 3 30 . 10100 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros pigur— SFPX ‚egión del pl—no donde se ™—l™ul— l— pro˜—˜ilid—dF5.2.2. Distribuciones marginales…n— vez que somos ™—p—™es de des™ri˜ir l— distri˜u™ión de pro˜—˜ilid—d de un ve™tor —le—torio medi—nte sufun™ión m—s— o su fun™ión de densid—d ™onjunt—D surge un nuevo pro˜lem—X qué o™urre si dese—mos ™ono™er l—distri˜u™ión de pro˜—˜ilid—d de un— o más v—ri—˜les del ve™torD no del ve™tor en su ™onjuntoF is— distri˜u™iónde un— o más v—ri—˜les de un ve™tor se ™ono™e ™omo distribución marginalFƒe— (X1, ..., XN ) un ve™tor —le—torio y (Xi1 , ..., Xik ) un su˜ve™tor de v—ri—˜les suyoF in ese ™—soXƒi el ve™tor es ™ontinuoD ˆˆfXi1 ,...,Xik (xi1 , ..., xik ) = ... fX1,...XN (x1, ..., xn) dxj . xj ∈/(xi1 ,...,xik ) xj ∈/(xi1 ,...,xik )ƒi el ve™tor es dis™retoD fXi1 ,...,Xik (xi1 , ..., xik ) = fX1,...XN (x1, ..., xn) . xj ∈/(xi1 ,...,xik )Ejemplo. ƒe— el ve™tor ˜idimension—l (X, Y ) ™on fun™ión de densid—d ™onjunt— fX,Y (x, y) = x · e−x(y+1)p—r— x, y > 0Fv— fun™ión de densid—d m—rgin—l de XD ˆ∞ ˆ∞ fX (x) = fX,Y (x, y) dy = xe−x(y+1)dy = e−x −∞ 0p—r— x > 0Fenálog—menteD l— fun™ión de densid—d m—rgin—l de Y D fY (y) = ˆ∞ fX,Y (x, y) · dx = ˆ∞ xe−x(y+1)dx = (1 1 + y)2 −∞ 0p—r— y > 0FProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 101

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de JaénEjemplo. gonsideremos dos v—ri—˜les dis™ret—sD Q y GD ™uy— fun™ión m—s—D fQ,G (q, g) , viene d—d— por fQ,G (q, g) g=0 g=1 g=2 g=3 q=0 0.06 0.18 0.24 0.12 . q=1 0.04 0.12 0.16 0.08ƒus m—rgin—les respe™tiv—s sonX fQ (q) = fQ,G (q, g) g 0.06 + 0.18 + 0.24 + 0.12 si q = 0 = 0.04 + 0.12 + 0.16 + 0.08 si q = 1 0.6 si q = 0 = 0.4 si q = 1y  0.06 + 0.04 si g = 0   fG (g) =  si g = 1 0.18 + 0.12 0.24 + 0.16 si g = 2    si g = 3 0.12 + 0.08Ejemplo. in un ejemplo —nterior ™onsiderᘗmos dos v—ri—˜les X e Y que tienen densid—d ™onjunt— fX,Y (x, y) = 1 si 0 ≤ x ≤ 3, 0≤y≤5 . 15 0 en otro ™—so†—mos — ™—l™ul—r sus densid—des m—rgin—lesX ˆ∞ fX (x) = fX,Y (x, y) dy −∞ ´5 = 1 dy si 0 ≤ x ≤ 3 0 15 0 en otro ™—so = 1 si 0 ≤ x ≤ 3 3 0 en otro ™—so102 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros ˆ∞ fY (y) = fX,Y (x, y) dx = −∞ ´3 1 dx si 0 ≤ y ≤ 5 0 15 0 en otro ™—so = 1 si 0 ≤ y ≤ 5 . 5 0 en otro ™—so€or t—ntoD —m˜—s m—rgin—les ™orresponden — send—s densid—des uniformesFEjemplo. v— densid—d ™onjunt— de X e Y esfX,Y (x, y) = 2x si 0 ≤ x ≤ 1, |y| < x2 . 0 en otro ™—sog—l™ulemos —m˜—s m—rgin—lesX ˆ∞ fX (x) = fX,Y (x, y) dy = −∞ ´ x2 2xdy si 0 ≤ x ≤ 1 −x2 0 en otro ™—so 4x3 si 0 ≤ x ≤ 1 = 0 en otro ™—so ˆ∞ fY (y) = fX,Y (x, y) dx = −∞ ´√1 2xdx si −1 ≤ y ≤ 1 |y| 0 en otro ™—so 1 − |y| si − 1 ≤ y ≤ 1 =. 0 en otro ™—so5.2.3. Distribuciones condicionadasƒi tenemos un ve™tor X = (X1, ..., XN ) , podemos ™onsider—r l— distri˜u™ión de pro˜—˜ilid—d de un ve™torform—do por un su˜™onjunto de v—ri—˜les de XD (Xi1 , ..., Xik ) , ™ondi™ion—d— —l he™ho de que se h—n d—dodetermin—dos v—lores en otro su˜™onjunto de v—ri—˜les de X, Xj1 = xj1 , ..., Xjl = xjl .Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo 103

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaénist— distri˜u™ión vendrá ™—r—™teriz—d— por su fun™ión m—s— o su fun™ión de densid—d condicionadasD segúnse— el ve™tor dis™reto o ™ontinuoD y tendrá l— expresión fXi1 ,...,Xik |Xj1 =xj1 ,...,Xjl =xjl (xi1 , ..., xik ) = fXi1 ,...,Xik ,Xj1 ,...,Xjl (xi1 , ..., xik , xj1 , ..., xjl ) , fXj1 ,...,Xjl (xj1 , ..., xjl )donde fXi1 ,...,Xik ,Xj1 ,...,Xjl (xi1 , ..., xik , xj1 , ..., xjl ) es l— fun™ión m—s— o l— fun™ión de densid—d ™onjunt— del—s v—ri—˜les Xi1 , ..., Xik , Xj1 , ..., Xjl y fXj1 ,...,Xjl (xj1 , ..., xjl ) es l— fun™ión m—s— o l— fun™ión de densid—d™onjunt— de l—s v—ri—˜les Xj1 , ..., Xjl Fin el ™—so más h—˜itu—l en el que el ve™tor teng— dimensión dosD tenemos l— densid—d o l— fun™ión m—s— deX ™ondi™ion—d— — Y = y, fX|Y =y (x) = fX,Y (x, y) fY (y)o l— densid—d o l— fun™ión m—s— de Y ™ondi™ion—d— — X = x, fY |X=x (y) = fX,Y (x, y) . fX (x)Ejemplo. ƒe—n l—s v—ri—˜les X e Y ™on l— fun™ión m—s— ™onjunt— siguienteX y\x H I P H QGPV WGPV QGPV I QGIR QGIR H P IGPV H Hv—s m—rgin—les son  3 + 3 + 1 si x=0y 28 14 28   fX (x) = 9 + 3 + 0 si x = 1 28 14  3 + 0 + 0 si x = 2  28  3 + 9 + 3 si y = 0 28 28 28   fY (y) = 3 + 3 + 0 si y = 1 14 14  1 + 0 + 0 si y = 2  28gomo ejemplos de l—s ™ondi™ion—d—s @h—y T en tot—lA ™—l™ulemos l— fun™ión m—s— de X ™ondi™ion—d— —Y = 1 y l— de Y ™ondi™ion—d— — X = 1.  3 si x = 0  14  6  14 si x = 1 . fX|Y =1 (x) = 3  14  6  14 0 si x = 2 6 14  9 si y = 0  28  15  238 si x = 1 . fY |X=1 (y) = 14  15   28 0 si x = 2 15 28104 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenierosgomo es evidenteD un— vez que tenemos ™—r—™teriz—d— l— distri˜u™ión ™ondi™ion—d— de un— v—ri—˜le —le—tori——l v—lor de otr—D ™u—lquier ™—r—™terísti™— de di™h— distri˜u™iónD ™omo l— medi— o l— v—ri—nz—D puede ™—l™ul—rse— p—rtir de su fun™ión m—s— o su fun™ión de densid—dFEjemploF „—l y ™omo pl—nteᘗmos —l ™omienzo del ™—pítuloD supong—mos que l— posi™ión (X, Y ) de unteléfono móvil que re™i˜e ™o˜ertur— de un— —nten— de telefoní— se en™uentr— dentro de un ™ír™ulo de r—dior —lrededor de es— —nten—D que supondremos sin pérdid— de gener—lid—d que se en™uentr— en el origendel pl—noF †—mos — suponer que es— posi™ión es completamente al azar dentro del ™ír™uloF iso equiv—le —™onsider—r que l— densid—d ™onjunt— de˜e ser ™onst—nte en el ™ír™uloY p—r— que su integr—l se— l— unid—dDes evidente que 1 fX,Y (x, y) = πr2si x2 + y2 ≤ r2 y ™ero en ™u—lquier punto fuer— del ™ír™uloF †—mos — ver qué podemos —verigu—r so˜re l—s™oorden—d—s X e Y por sep—r—do @m—rgin—lesA y so˜re ™ómo —fe™t—n l— un— — l— otr— @™ondi™ion—d—sAFin primer lug—rD ˆ √ √ r2 −x2 2 r2 − x2 1 fX (x) = πr2 dy = √ πr2 − r2−x2si −r < x < rF v— m—rgin—l de Y es —nálog—D 2 r2 − y2 fY (y) = πr2si −r < y < rF istá ™l—ro que p—r— ™—d— ™oorden—d— por sep—r—doD los puntos más densosD más probablesDson los ™er™—nos —l origenD que es donde se d— el máximo de —m˜—s fun™ionesFehor— supong—mos que ™ono™emos un— de l—s ™oorden—d—s y ve—mos qué podemos de™ir so˜re l— otr—X fX|Y =y0 (x) = fX,Y (x, y0) = 2 1 fY (y0) r2 − y02si − r2 − y02 < x < r2 − y02F enálog—menteD fY |X=x0 (y) = fX,Y (x0, y) = 2 1 fX (x0) r2 − x20si − r2 − x20 < y < r2 − x02F ƒi nos d—mos ™uent—D —m˜—s son distri˜u™iones uniformesD lo que equiv—le— de™ir que s—˜er un— ™oorden—d— no me d— ningun— inform—™ión so˜re l— otr— ™oorden—d—FEjemplo. e l—s IP de l— no™he de un dí— de l— sem—n— ™omienz—n — ser registr—dos l—s nuev—s ll—m—d—s— un swit™h de telefoní—F ƒe— X el inst—nte de lleg—d— de l— primer— ll—m—d—D medid— en segundostr—ns™urridos tr—s l— medi—no™heF ƒe— Y el inst—nte de lleg—d— de l— segund— ll—m—d—F in el modelo másProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 105

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaénh—˜itu—l utiliz—do en telefoní—D X e Y son v—ri—˜les —le—tori—s ™ontinu—s ™on densid—d ™onjunt— d—d— por fX,Y (x, y) = λ2e−λy si 0 ≤ x < y , 0 en otro ™—sodonde λ es un— ™onst—nte positiv—F †—mos — ™—l™ul—r l—s distri˜u™iones m—rgin—les y ™ondi™ion—d—s quepueden d—rseX w—rgin—l de XX ˆ∞ fX (x) = λ2e−λydy = λe−λx si 0 ≤ x, x luego se tr—t— de un— distri˜u™ión exponen™i—l de p—rámetro λF w—rgin—l de Y : ˆy fY (y) = λ2e−λydx = λ2ye−λy si y ≥ 0F 0 ƒi nos (j—mosD est— densid—d es un— Gamma (2, λ)D es de™ir un— irl—ng de p—rámetros 2 y λF gondi™ion—d— de Y — los v—lores de X : fY /X=x (y) = fX,Y (x, y) = λe−λ(y−x) si y > x. fX (x) in est— expresión no de˜e olvid—rse que x es un v—lor (joD d—doF gondi™ion—d— de X — los v—lores de Y : fX/Y =y (x) = fX,Y (x, y) = 1 si 0 ≤ x < y. fY (y) y is de™irD ™ono™ido el inst—nte en que llegó l— segund— ll—m—d— (y)D no se s—˜e n—d— de ™uándo llegó l— primer— ll—m—d—D y— que l— distri˜u™ión de X ™ondi™ion—d— — Y = y es uniforme en (0, y)FEjemplo. gonsideremos que l— v—ri—˜le X represent— el input de un ™—n—l de ™omuni™—™iónD ™on posi˜lesv—lores +1 y −1 equipro˜—˜lesD y se— Y el dígito que lleg— —l destinoD ™on v—lores t—m˜ién +1 y −1F il™—n—l es un ™—n—l ˜in—rio simétri™o ™on pro˜—˜ilid—d de ™ru™e del S 7Fgon los d—tos expuestos podemos ™—r—™teriz—r medi—nte sus fun™iones m—s— l—s distri˜u™iones m—rgin—lesde X e Y D l— distri˜u™ión ™onjunt— de —m˜os y l—s dos distri˜u™iones ™ondi™ion—d—s posi˜les de ™—d—v—ri—˜le respe™to de l— otr—Fv— distri˜u™ión m—rgin—l de X viene d—d— por fX (x) = 1 si x = 1 2 1 si x = −1 2106 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenierosv— distri˜u™ión m—rgin—l de Y viene d—d— por P [Y = +1] = P [Y = +1 | X = +1] P [X = +1] + P [Y = +1 | X = −1] P [X = −1] = 0.95 × 0.5 + 0.05 × 0.5 = 0.5 P [Y = −1] = 0.5,es de™ir fY (y) = 1 si y =1 2 1 si y = −1 2v— distri˜u™ión de Y ™ondi™ion—d— —l su™eso X = +1 viene d—d— por: 0.95 si y = 1 fY |X=+1 (y) = 0.05 si y = −1v— distri˜u™ión de Y ™ondi™ion—d— —l su™eso X = −1 viene d—d— por: fY |X=−1 (y) = 0.95 si y = −1 0.05 si y = 1v— distri˜u™ión ™onjunt— de X e Y viene d—d— por fX,Y (x, y) = P [Y = y | X = x] P [X = x]  0.95 × 0.5 si x = +1, y = +1    0.05 × 0.5 si x = +1, y = −1     = 0.05 × 0.5 si x = −1, y = +1  0.95 × 0.5 si x = −1, y = −1      en otro caso 0v— distri˜u™ión de X ™ondi™ion—d— —l su™eso Y = +1 viene d—d— por fX|Y =+1 (x) = fX,Y (x, +1) = 0.95 si x = 1 fY (+1) . 0.05 si x = −1v— distri˜u™ión de X ™ondi™ion—d— —l su™eso Y = −1 viene d—d— por fX|Y =−1 (x) = fX,Y (x, −1) = 0.05 si x = 1 fY (−1) . 0.95 si x = −15.3. Independencia estadísticain el ™—pítulo referente — pro˜—˜ilid—d h—˜l—mos de independen™i— de su™esosF he™í—mos enton™es que dossu™esos A y B er—n independientes si y sólo si P [A ∩ B] = P [A] · P [B] .Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo 107

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaénist— de(ni™ión puede extenderse —l ™—so en que teng—mos dos v—ri—˜les —le—tori—s X e Y Fgon™ret—menteD diremos que X e Y son estadísticamente independientes si y sólo si fX,Y (x, y) = fX (x) · fY (y) ,donde fX,Y (·)D fX (·) y fY (·) son fun™ión de densid—d o fun™ión m—s—D dependiendo de si l—s v—ri—˜les sondis™ret—s o ™ontinu—sFv— interpret—™ión del he™ho de que dos v—ri—˜les —le—tori—s se—n est—dísti™—mente independientes es que el™omport—miento de un— no tiene ningún efe™to so˜re l— otr— y vi™evers—F g—˜e pregunt—rse en ese ™—soD quésentido tiene un— distri˜u™ión ™ondi™ion—d— de un— v—ri—˜le — otr— que no gu—rd— ningun— rel—™ión ™on ell—F†—mos — ™ompro˜—rlo ™—l™ul—ndo l—s distri˜u™iones ™ondi™ion—d—s de v—ri—˜les —le—tori—s est—dísti™—menteindependientesX fX|Y =y (x) = fX,Y (x, y) = fX (x) · fY (y) = fX (x) ; fY (y) fY (y)es de™irD el ™omport—miento —le—torio de un— v—ri—˜le —le—tori— ™ondi™ion—d— —l v—lor de otr— que es est—dísEti™—mente independiente de ell— @des™rito medi—nte l— fun™ión fX|Y =y (x)A es ™omplet—mente igu—l que si nose ™ondi™ion— — di™ho v—lor @des™rito por l— fun™ión fX (x)AFEjemplo. ƒe— el ve™tor (X, Y ) ™on fun™ión de densid—d ™onjunt— fX,Y (x, y) = 24xy si x, y ≥ 0 y x + y ≤ 1 . 0 en otro ™—sov— fun™ión de densid—d m—rgin—l de X : ˆ 1−x 24xy · dy = 12x (1 − x)2 si 0 ≤ x ≤ 1 fX (x) = 0v— fun™ión de densid—d m—rgin—l de Y X ˆ 1−y 24xy · dx = 12y (1 − y)2 si 0 ≤ y ≤ 1. fY (y) = 0gomo fX,Y (x, y) = fX (x) · fY (y) ,l—s v—ri—˜les X e Y no son independientesFEjemplo. ƒe— —hor— el ve™tor (X, Y ) ™on fun™ión de densid—d ™onjunt— fX,Y (x, y) = 4xy si 0 ≤ x, y y x, y ≤ 1 0 en otro ™—so108 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenierosv— fun™ión de densid—d m—rgin—l de XX ˆ1 fX (x) = 4xy · dy = 2x si 0 ≤ x ≤ 1 0v— fun™ión de densid—d m—rgin—l de Y X ˆ1 fY (y) = 4xy · dx = 2y si 0 ≤ y ≤ 1. 0gomo fX,Y (x, y) = fX (x) · fY (y) ,l—s v—ri—˜les —le—tori—s X e Y son independientesFEjemplo. ƒupong—mos que dos ™omponentes ele™tróni™—s tienen un— dur—™ión ™uy— distri˜u™ión de proE˜—˜ilid—d puede ™onsider—rse exponen™i—l de p—rámetro λ = 2 horas−1F v—s ™omponentes fun™ion—n enp—r—leloD por lo que podemos ™onsider—r que son independientesF €or lo t—ntoD su fun™ión de densid—d™onjunt— será fX,Y (x, y) = 2e−2x2e−2y = 4e−2(x+y)si x, y > 0F¾guál será l— pro˜—˜ilid—d de que —lgun— de l—s ™omponentes dure más de dos hor—sc €odemos pl—nte—rlo™omo P [X > 2 ∪ Y > 2] = P [X > 2] + P [Y > 2] − P [X > 2 ∩ Y > 2] = P [X > 2] + P [Y > 2] − P [X > 2] P [Y > 2] ,donde se h— utiliz—do en l— pro˜—˜ilid—d de l— interse™™ión el he™ho de que l—s v—ri—˜les son independientesFehor— sólo ˜—st—rí— re™ord—r que P [X > 2] = e−2×2 y P [Y > 2] = e−2×2F¾guál serí— l— pro˜—˜ilid—d de que l— dur—™ión tot—l de —m˜—s ™omponentes se— inferior — dos hor—sc v—dur—™ión tot—l vendrí— d—d— por X + Y D luego se nos pregunt— por ˆ 2 ˆ 2−x P [X + Y < 2] = 4e−2(x+y)dydx ˆ02 0 dx = 2e−2x 1 − e−2(2−x) ˆ02 = 2e−2x − 2e−4 dx 0 = 1 − e−4 − 2e−4 × 2 = 1 − 5e−4he l— interpret—™ión que hemos d—do de v—ri—˜les independientes se sigue de m—ner— inmedi—t— que si dosv—ri—˜les —le—tori—s son independientesD esto esD no m—ntienen ningun— rel—™iónD t—mpo™o lo h—rán fun™ionesProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 109

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaénsuy—sF iste he™ho se re™oge en el siguiente result—doF vo podemos enun™i—r más form—lmente di™iendo que siX e Y son v—ri—˜les —le—tori—s independientes y V = g (X) y W = h (Y ) son fun™iones suy—sD enton™esD V yW t—m˜ién son independientesFin el ám˜ito de l—s „ele™omuni™—™iones se d—n numeros—s situ—™iones donde —p—re™e un— v—ri—˜le —le—tori—W D sum— de otr—s dos v—ri—˜les —le—tori—s @gener—lmente ™ontinu—sA est—dísti™—mente independientesD Xe Y, es de™irD W = X + Y. €or ejemploD se d— ™u—ndo — un— señ—l X se le —dhiere un ruido que le es™omplet—mente —jeno @independienteAD Y F in ese ™—soD l— sum— represent— l— señ—l result—nte y querremos™ono™er su ™omport—miento —le—torio — p—rtir del de X e Y F isto se ™ono™e ™omo teorema de convoluciónFgon™ret—menteD se—n X e Y dos v—ri—˜les —le—tori—s independientes y se— W = X + Y F inton™esXƒi X e Y son ™ontinu—sD ˆ∞ fW (w) = fY (y) · fX (w − y) · dy −∞ = fX ∗ fY (w)donde fX y fY son l—s fun™iones de densid—d de X e Y D respe™tiv—menteFƒi X e Y son dis™ret—sD fW (w) = fY (y) · fX (w − y) y = fX ∗ fY (w)donde fX y fY son l—s fun™iones m—s— de X e Y D respe™tiv—menteFEjemplo. …n sistem— oper— ™on un— ™omponente ™l—ve ™uy— dur—™iónD T1, sigue un— distri˜u™ión exEponen™i—l de p—rámetro λF ƒi est— ™omponente f—ll—D inmedi—t—mente se pone en fun™ion—miento un—™omponente ex—™t—mente igu—l que h—st— enton™es h— fun™ion—do en standbyD ™uy— dur—™ión not—mos porT2D v—ri—˜le —le—tori— independiente de T1.ƒi pretendemos ™ono™er l— distri˜u™ión de pro˜—˜ilid—d de l— dur—™ión tot—l del sistem—D que vendrá d—d—por l— v—ri—˜le —le—tori— T = T1 + T2D podemos poner en prá™ti™— el teorem— de ™onvolu™iónF €—r— elloDteng—mos en ™uent— que fTi (x) = λe−λx, i = 1, 2,p—r— x > 0F €or t—ntoD ˆz fT (z) = λe−λxλe−λ(z−x)dx = λ2ze−λz 0p—r— z > 0F gomo vemosD se tr—t— de un— distri˜u™ión irl—ng de p—rámetros 2 y λF ƒi re™ord—mosD est—er— un— de l—s ™—r—™teriz—™iones de l— distri˜u™ión irl—ngD sum— de exponen™i—les independientesFin el ™—so de que en vez de dos v—ri—˜les —le—tori—s se teng— un ve™tor X = (X1, ..., XN ) D l— m—ner— n—tur—lde extender el ™on™epto de independen™i— es inmedi—t—F110 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenierosƒe di™e que el ve™tor está form—do por componentes independientes si fX1,...,XN (x1, ..., xN ) = fX1 (x1) · ... · fXN (xN ) .pin—lmenteD si se tienen dos ve™tores —le—torios XN×1 e YM×1D se di™e que son independientes si fX,Y (x1, ..., xN , y1, ..., yM ) = fX (x1, ..., xN ) fY (y1, ..., yM ) .5.4. Medias, varianzas y covarianzas asociadas a un vector aleatorioƒi tenemos un ve™tor —le—torio form—do por l—s v—ri—˜les —le—tori—s X1, ..., XN y g (·) es un— fun™ión de est—sv—ri—˜lesD enton™esD l— media o esperanza matemática de est— fun™ión es ˆ∞ ˆ∞ E [g (X1, ..., XN )] = ... g (x1, ..., xN ) · fX1,...,XN (x1, ..., xN ) · dxN · ... · dx1 −∞ −∞donde fX1,...,XN (x1, ..., xN ) es l— fun™ión de densid—d o l— fun™ión m—s— del ve™tor —le—torio @entendiendo eneste último ™—so l— integr—l ™omo un— sum—AFgomo ™onse™uen™i— inmedi—t— de est— de(ni™iónD tenemos un— primer— e import—nte propied—dX este oper—doresper—nz— multiv—ri—nte t—m˜ién es line—lD en el sentido que se re™oge en el siguiente result—doFgon™ret—menteD podemos form—liz—rlo di™iendo que si tenemos un ve™tor —le—torio (X1, ..., XN ) y α1, ..., αNes™—l—res ™u—lesquier—D enton™es E [α1X1 + ... + αN XN ] = α1E [X1] + ... + αN E [XN ] ,es de™irD l— medi— de l— sum— ponder—d— es l— sum— ponder—d— de l—s medi—sF €odemos tr—t—r de re™ord—reste result—do si pens—mos que es ex—™t—mente l— mism— propied—d que tiene el oper—dor integr—lD que partelas sumas y saca fuera los escalaresF5.4.1. Covarianza y coeciente de correlación linealenteriormente hemos ™oment—do que estudi—r ve™tores —le—torios desde un— perspe™tiv— est—dísti™— tienesentidoD so˜re todoD porque permite —n—liz—r l—s rel—™iones que se d—n entre l—s v—ri—˜les del ve™torF €orejemploD vimos ™ómo los v—lores de un— v—ri—˜le pueden —fe™t—r en m—yor o menor medid— — l— distri˜u™iónde pro˜—˜ilid—d de l—s otr—s v—ri—˜lesFƒin em˜—rgoD serí— muy interes—nte disponer de un— medid— numéri™— sen™ill— de ™—l™ul—r y de interpret—rp—r— ™u—nti(™—r —l menos en p—rte ™uál es el gr—do de rel—™ión existente entre dos v—ri—˜les de un ve™tor—le—torioFProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 111

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaénin este sentidoD d—do el ve™tor —le—torio (X, Y )D se de(ne l— correlación entre X e Y ™omo RXY = m11 = E [XY ] ,— p—rtir de l— ™u—l se puede ™—l™ul—r l— covarianza entre X e Y ™omo Cov (X, Y ) = E [(X − EX) · (Y − EY )] = E [XY ] − EX · EY = RXY − EX · EY.v— ™ov—ri—nz— entre dos v—ri—˜les2 es un— medid— de l— —so™i—™ión line—l existente entre ell—sF ƒerá positiv— sil— rel—™ión entre —m˜—s es dire™t— @si ™re™e un— ™re™e l— otr—A y neg—tiv— si es invers— @si ™re™e un— de™re™e l—otr—AY —demásD será t—nto m—yor en v—lor —˜soluto ™u—nto más fuerte se— l— rel—™ión line—l existenteF€—r— poder v—lor—r est— rel—™ión line—l en términos rel—tivos se est—nd—riz— l— ™ov—ri—nz—D d—ndo lug—r — loque se ™ono™e ™omo coeciente de correlación linealX Cov [X, Y ] ρ= . V ar [X] · V ar [Y ]†—mos — det—ll—r ™l—r—mente los posi˜les v—lores de ρ y su interpret—™iónX iste ™oe(™iente es siempre un número re—l entre EI y IF ƒi es ™eroD indi™— un— —usen™i— tot—l de rel—™ión line—l entre l—s v—ri—˜lesF ƒi es uno o menos uno indi™— un— rel—™ión line—l tot—l entre l—s v—ri—˜lesD dire™t— o invers— según lo indique el signo @esto lo veremos enseguid—AF in l— medid— en que esté más lejos del ™ero indi™— un— rel—™ión line—l más intens— entre l—s v—ri—˜lesFƒi dos v—ri—˜les —le—tori—s tienen ™ov—ri—nz— ™ero o equiv—lentementeD si RXY = EX · EY, se di™en que sonincorreladasF €or su p—rteD si dos v—ri—˜les —le—tori—s son t—les que RXY = 0, se di™e que son ortogonalesFhos v—ri—˜les —le—tori—s son in™orrel—d—s si ™—re™en de ™u—lquier tipo de rel—™ión line—lF €or otr— p—rteD de(niEmos —nteriormente el ™on™epto de independen™i— entre v—ri—˜le —le—tori—D que impli™—˜— l— —usen™i— de rel—™iónentre ell—sF „enemosD —síD dos ™on™eptosD independen™i— e in™orrel—™iónD que están ˜—st—nte rel—™ion—dosFin ™on™retoD dos v—ri—˜le —le—tori— independientesD X e Y D son siempre in™orrel—d—sD es de™irD ρX,Y = 0. v—r—zón es queD por ser independientesD fX,Y (x, y) = fX (x) · fY (y) , 2Si se considera la covarianza de una variable aleatoria consigo misma, Cov (X, X) = E [(X − EX) (X − EX)] = E (X − EX)2 = V arX,esta cantidad coincide con su varianza.112 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenierosluego ˆ∞ˆ∞ RXY = xy · fX (x) · fY (y) · dy · dx ˆ−∞∞ −∞ ˆ∞ = xfX (x) dx · yfY (y) dy = EX · EY, −∞ −∞en ™uyo ™—so Cov [X, Y ] = 0.v— pregunt— o˜vi— que surge — l— luz de este result—do esX ¾ y —l ™ontr—rioc ¾hos v—ri—˜le —le—tori— in™orrel—d—sserán independientesc y equiv—lentementeD ¾si dos v—ri—˜le —le—tori— no tienen ningun— rel—™ión de tipo line—l@in™orrel—d—sAD o™urrirá que t—mpo™o tienen ningun— rel—™ión de ningún tipo @independientesAc v— respuest—es que no en gener—lFEjemplo. ƒe— α un— v—ri—˜le —le—tori— ™on distri˜u™ión uniforme en (0, 2π)F ƒe—n X = cos α Y = sin α.ƒe tiene que ˆ 2π 1 EX = cos α dα = 0 2π ˆ02π 1 EY = sin α dα = 0 2π ˆ02π 1 E [XY ] = sin α cos α dα 2π 0 ˆ 2π 1 = sin 2αdα = 0, 2π 0por lo que X e Y son v—ri—˜les in™orrel—d—sF ƒin em˜—rgoD puede demostr—rse fá™ilmente que no sonindependientesFNota. v— rel—™ión más fuerte de tipo line—l que puede d—rse ™orresponde —l ™—so en que un— v—ri—˜le—le—tori— Y es ex—™t—mente un— ™om˜in—™ión line—l de otr—D XD es de™irD Y = aX + bF in ese ™—soD ρXY = 1 · signo (a) .v— demostr—™ión es muy sen™ill—F „eng—mos en ™uent— que E [XY ] = E [X (aX + b)] = aE X2 + bE [X] ,Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo 113

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaénluego Cov (X, Y ) = E [XY ] − EX · EYy = aE X2 + bE [X] − EX (aEX + b) = a E X2 − EX2 = aV arX V arY = E ((aX + b) − (aEX + b))2 = E (aX − aEX)2 = E a2 (X − EX)2 = a2E (X − EX)2 = a2V arX, ρXY = √ Cov (X, Y ) = √ aV arX = 1 · signo (a) . V arX · V arY V arXa2V arXNota. is import—nte insistir en que l— ™ov—ri—nz— y su versión est—nd—riz—d—D el ™oe(™iente de ™orrel—™iónline—lD propor™ion—n un— medid— de l— rel—™ión linealD no de otro tipoF €or ejemploD supong—mos que l—pigur— SFQ represent— los v—lores ™onjuntos de dos v—ri—˜les X e Y F istá ™l—ro que —m˜—s gu—rd—n un—™l—rísim— rel—™ión d—d— por un— p—rá˜ol—X de he™hoD Y = X2F ƒin em˜—rgoD el ™oe(™iente de ™orrel—™iónline—l entre —m˜—s será muy ˜—joD y— que en re—lid—dD l— rel—™ión que l—s une no es line—l en —˜solutoDsino p—r—˜óli™—F in este ™—√soD lo re™omend—˜le serí—D — l— vist— del grá(™oD de™ir que sí existe un— fuerterel—™ión line—l entre X e ± Y F pigur— SFQX wuestr— ™onjunt— de v—lores de dos v—ri—˜les —le—tori—sFgu—ndo se tienen muestr—s de p—res de v—ri—˜les —le—tori—sD podemos ™—l™ul—r l— versión muestr—l del ™oe(E™iente de ™orrel—™ión line—lF is— versión muestr—l d—rá un— estim—™ión del verd—dero v—lor del ™oe(™iente de™orrel—™ión @po˜l—™ion—lAF ist— ™uestión se —˜ord— ™on más det—lle en el ™—pítulo de regresiónF equí t—n sóloqueremos pl—sm—r ™on ejemplos ™ómo se tr—du™e el he™ho de que dos v—ri—˜les teng—n un m—yor o menor™oe(™iente de ™orrel—™iónF in l— pigur— SFR o˜serv—mos represent—™iones ™onjunt—s de muestr—s de p—res dev—ri—˜les en unos ejes ™—rtesi—nos @nu˜es de puntosAF g—d— punto de ™—d— eje ™—rtesi—no represent— un v—lor114 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenierosd—do de l— muestr— del p—r (X, Y )F ep—re™en R (gur—sD ™orrespondientes — R simul—™iones de p—res de v—ri—˜les(X, Y ) ™on distintos ™oe(™ientes de ™orrel—™iónF ro=1 4 ro=−1 4 8 6 6 5 4 4 2 3 0 2−2 1−4 0 −4 −2 0 2 −1 −4 −2 0 2 ro=0 4 ro=0.7075 4 4 6 3 4 2 2 1 0 0 −2−1 −4−2 −4 −2 0 2−3 −4 −2 0 2pigur— SFRX xu˜es de puntos ™orrespondientes — distintos posi˜les ™oe(™ientes de ™orrel—™ión line—lFEjemplo. ƒe—n X e Y l—s v—ri—˜le —le—tori— que miden el tiempo que tr—ns™urre h—st— l— primer— y l—segund— ll—m—d—D respe™tiv—menteD — un— ™entr—lit— telefóni™—F v— densid—d ™onjunt— de est—s v—ri—˜leses fX,Y (x, y) = e−y p—r— 0 < x < yF in un ejemplo —nterior y— vimos queD lógi™—menteD el tiempo h—st—l— segund— ll—m—d— depende del tiempo h—st— l— primer— ll—m—d—D pero ¾en qué gr—doc †—mos — —˜ord—reste pro˜lem— ™—l™ul—ndo el ™oe(™iente de ™orrel—™ión line—l entre —m˜—s v—ri—˜lesFProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 115

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaéngomo ρX,Y = √Cov(X,Y ) , tenemos que ™—l™ul—r Cov (X, Y )D V arX y V arY. V arXV arY ˆˆ E [XY ] = xyfX,Y (x, y) dxdy ˆ ∞ˆ y ˆ∞ x2 y dy = xye−ydxdy = ye−y 20 ˆ0∞ 0 0 = y3 e−y dy = 3. 02 ˆ ˆ∞ fX (x) = fX,Y (x, y) dy = e−ydy = e−xD p—r— x > 0, xluego ˆ ˆ∞luego EX = xfX (x) dx = xe−xdx = 1.€or t—ntoD 0 ˆ ˆy fY (y) = fX,Y (x, y) dx = e−ydx = ye−yD p—r— y > 0, 0 ˆ ˆ∞ EY = yfY (y) dy = y2e−ydy = 2. 0 Cov (X, Y ) = 3 − 1 × 2 = 1.€or su p—rteD ˆ ˆ∞ E X2 = x2fX (x) dx = x2e−xdx = 2 0 V arX = 2 − 12 = 1y ˆ ˆ∞ E Y 2 = y2fY (y) dy = y3e−ydy = 6 0 V arY = 6 − 22 = 2,—sí queD (n—lmenteD √1 1×2 ρX,Y = = 0.707.il result—do indi™— queD en efe™toD el gr—do de rel—™ión line—l es —lto y dire™toFv—s propied—des del oper—dor esper—nz— son muy útiles en l— prá™ti™—D por ejemploD ™u—ndo se tr—t— de ™ono™erl— v—ri—nz— de ™om˜in—™iones line—les de v—ri—s v—ri—˜lesF †e—mos —lgún ejemplo —l respe™to y después unresult—do gener—l que los englo˜e todosF116 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros Ejemplo. g—l™ulemos l— v—ri—nz— de X1 + X2 : E (X1 + X2)2 = E X12 + X22 + 2X1X2 = E X12 + E X22 + 2E [X1X2] V ar (X1 + X2) = E (X1 + X2)2 − E [X1 + X2]2 = E X12 + E X22 + 2E [X1X2] − (EX1 + EX2)2 = E X12 + E X22 + 2E [X1X2] − EX12 − EX22 − 2EX1EX2 = E X12 − EX12 + E X22 − EX22 + 2 (E [X1X2 − EX1EX2]) = V arX1 + V arX2 + 2Cov (X1, X2) . Ejemplo. g—l™ulemos l— v—ri—nz— de X1 − X2 : E (X1 − X2)2 = E X12 + X22 − 2X1X2 = E X12 + E X22 − 2E [X1X2] V ar (X1 − X2) = E (X1 − X2)2 − E [X1 − X2]2 = E X12 + E X22 − 2E [X1X2] − (EX1 − EX2)2 = E X12 + E X22 − 2E [X1X2] − EX12 − EX22 + 2EX1EX2 = E X12 − EX12 + E X22 − EX22 − 2 (E [X1X2 − EX1EX2]) = V arX1 + V arX2 − 2Cov (X1, X2) .€odemos gener—liz—r estos ejemplos en el siguiente result—doF ƒe— un— sum— de N −v—ri—˜lesD X = N αi ·Xi. i=1inton™esD NN V ar [X] = αi · αj · Cov (Xi, Xj) , i=1 j=1donde Cov (Xi, Xi) = V ar (Xi)D p—r— i = 1, ..., N FProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 117

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaénv— demostr—™ión es ˜ien sen™ill—F gomo X¯ = N αi · EXi, i=1 V ar [X] = E X − X¯ 2 =E N N αi · Xi − X¯i αi · Xi − X¯i i=1 i=1 NN Xi − X¯i Xj − X¯j = αi · αj · E i=1 j=1 NN = αi · αj · Cov (Xi, Xj) i=1 j=1pijémonos queD en el ™—so en que l—s v—ri—˜les se—n in™orrel—d—sD NN N V ar [X] = αi · αj · Cov (Xi, Xj) = αi2 · V ar [Xi] , i=1 j=1 i=1y— que Cov [X, Y ] = 0 si i = j . V ar [Xi] si i = j5.4.2. Vector de medias y matriz de varianzas-covarianzas de un vectorh—do un ve™tor de N −v—ri—˜lesD X = (X1, ..., XN ) , se de(ne su vector de medias ™omo  E [X1] µX =  FFF  ,    E [XN ]y su matriz de varianzas-covarianzas ™omo CX = (Ci,j )i,j=1,...,N ,donde Ci,j = V ar (Xi) si i = j . Cov (Xi, Xj) si i = jist— m—triz ™ontiene l—s v—ri—nz—s de ™—d— v—ri—˜le del ve™tor en l— di—gon—l y en el elemento (i, j) l— ™ov—ri—nz—entre l— i−ésim— y l— j−ésim— v—ri—˜leFin form— m—tri™i—lD l— m—triz de ™ov—ri—nz—s puede de(nirse ™omo€or otr— p—rteD CX N×N = E (X − µX )N×1 (X − µX )1×N .118 CX = E (X − µX ) (X − µX ) = E [XX ] − µX µX , Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenierosdonde — l— m—triz E [XX ] se le suele denomin—r matriz de correlaciones o de autocorrelacionesD y sele not— RX Fem˜—s m—tri™esD CX y RX D son m—tri™es simétri™—sFv— line—lid—d del oper—dor medi— f—™ilit— rápid—mente l— expresión del ve™tor de medi—s y l— m—triz dev—ri—nz—sE™ov—ri—nz—s de ™om˜in—™iones line—les de ve™toresD ™omo se re™oge en el siguiente result—doF gon™reEt—menteD si tenemos el ve™tor —le—torio XN×1 ™on ve™tor de medi—s µX y m—triz de v—ri—nz—s ™ov—ri—nz—s CXy el ve™tor YM×1 = AM×N · XN×1 + bM×1D enton™esD el ve™tor de medi—s y l— m—triz de v—ri—nz—s ™ov—ri—nz—sde Y vienen d—d—s por µY = AµX + b CY = ACX A .Ejemplo. †—mos — ver que l— —pli™—™ión de este result—do f—™ilit— ˜—st—nte determin—dos ™ál™ulosF €orejemploD si queremos ™—l™ul—r V ar (X1 + X2)D podemos tener en ™uent— que X1 + X2 = 1 1 X1 , X2de m—ner— que V ar (X1 + X2) = 1 1 V arX1 Cov (X1, X2) 1 1 Cov (X1, X2) V arX2 = V arX1 + V arX2 + 2Cov (X1, X2) .he igu—l form—D si queremos ™—l™ul—r V ar (5X1 − 3X2) , d—do que 5X1 − 3X2 = 5 −3 X1 , X2se tiene que V ar (5X1 − 3X2) = 5 −3 V arX1 Cov (X1, X2) 5 −3 Cov (X1, X2) V arX2 = 25V arX1 + 9V arX2 − 30Cov (X1, X2) .5.5. Distribución normal multivariantein el ™ontexto de los modelos de distri˜u™iones de pro˜—˜ilid—d p—r— v—ri—˜les —le—tori—sD l— distri˜u™iónnorm—l ™onstituye el ejemplo más relev—nteD t—nto por l— fre™uen™i— de su —pli™—™ión en ™—sos re—les ™omo porl— gr—n vers—tilid—d de sus propied—des m—temáti™—F in el ™ontexto de los ve™tores —le—torios que est—mostr—t—ndo en este ™—pítuloD nos o™up—mos de l— versión multiv—ri—nte de est— distri˜u™iónF he nuevo podemosProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 119

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaénest—r seguros de que se tr—t— del ™—so más interes—nte por dos motivosX porque —p—re™e ™omo modelo —de™u—doen un gr—n número de fenómenos de l— n—tur—lez— y porque sus propied—des m—temáti™—s on inmejor—˜lesF…n ve™tor form—do por N v—ri—˜les —le—tori—s X = (X1, ..., XN ) se di™e que sigue un— distribución normalmultivariante o distribución conjuntamente normal o conjuntamente gaussiana, ™on ve™tor demedi—s µX y m—triz de v—ri—nz—sE™ov—ri—nz—s CX D si su fun™ión de densid—d ™onjunt— es de l— form— fX (x) = 1 · exp − 1 (x − µX ) · CX−1 (x − µx) , (2π)N det (CX ) 2donde CX = (Ci,j )i,j=1,...,N Cij = V ar [Xi] si i = j Cov [Xi, Xj] si i = j x = (x1, ..., xN ) µX = (EX1, ..., EXN )y se not— X → NN (µX ; CX ) .†—mos — dest—™—r —lgun—s de l—s ex™elentes propied—des de l— distri˜u™ión norm—l multiv—ri—nteF gon™ret—EmenteD nos ™entr—remos en los siguientes result—dosX gu—lquier m—rgin—l sigue t—m˜ién un— distri˜u™ión norm—lF gu—lquier distri˜u™ión ™ondi™ion—d— sigue t—m˜ién un— distri˜u™ión norm—lF gu—lquier ™om˜in—™ión line—l de un ve™tor norm—l es t—m˜ién norm—lF†—mos — ™on™ret—rlosF in primer lug—rD si tenemos un ve™tor XN×1 = (X1, ..., XN ) ™on distri˜u™ión ™onjunEt—mente g—ussi—n— de ve™tor de medi—s µ y m—triz de ™ov—ri—nz—s CX D en ese ™—soD el su˜™onjunto de v—ri—˜lesdel ve™torD (Xi1, ..., XiM )D ™on M < N t—m˜ién sigue distri˜u™ión ™onjunt—mente g—ussi—n—D de p—rámetros(µi1, ..., µiM ) y m—triz de ™ov—ri—nz—s ™onstituid— por l—s (l—s y l—s ™olumn—s de CX ™orrespondientes — l—sv—ri—˜les Xi1, ..., XiM FEjemplo. ƒe— un ve™tor (X1, X2, X3) g—ussi—noD de ve™tor de medi—s ™ero y m—triz de ™ov—ri—nz—s 2 1 0  1 3 1 .  011in —pli™—™ión del result—do —nteriorD l—s m—rgin—les univ—ri—ntes siguen l—s distri˜u™iones siguientesXX1 → N (0, 2) , X2 → N (0, 3) , X3 → N (0, 1)F120 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros€or su p—rteD l—s m—rgin—les ˜iv—ri—ntes siguen l—s distri˜u™iones siguientesX(X1, X2) → N2 0 21(X1, X3) → N2 ,(X2, X3) → N2 0 13 0 20 , 0 01 0 31 , 0 11in ™u—nto — l—s distri˜u™iones ™ondi™ion—lesD ™u—lquier su˜™onjunto de v—ri—˜les de un ve™tor g—ussi—no™ondi™ion—do — los v—lores de ™u—lquier otro su˜™onjunto de v—ri—˜les del propio ve™tor sigue distri˜u™ión™onjunt—mente g—ussi—n—F gon™ret—menteD l— distri˜u™ión de XN×1 ™ondi™ion—d— — YM×1 = yM×1D siendo(X, Y )(M+N)×1 ™onjunt—mente g—ussi—noD es g—ussi—n— de ve™tor de medi—s E [X |Y=y] = µXN×1 + (CXY)N×M CY−1 M×M yM×1 − µYM×1y m—triz de v—ri—nz—sE™ov—ri—nz—s V ar X |Y=y = CX − CXY CY−1CXY ,donde el elemento (i, j) de CXY es Cov (Xi, Yj)FEjemplo. ƒiguiendo ™on el ejemplo —nteriorD v—mos — ™onsider—r l— distri˜u™ión de X1 ™ondi™ion—d— —(X2, X3) = (0.5, 0.25) .ƒegún el result—doD ést— es g—ussi—n—D de ve™tor de medi—s 31 −1 0.5 − 0 11 0.25 − 0E [X1 |X2=0.5, X3=0.25] = 0 + 1 0 = 0.125y m—triz de ™ov—ri—nz—s @es de™irD v—ri—nz—A 31 −1 1 V ar (X1 |X2=0.5, X3=0.25) = 2 − 1 0 11 0 = 1.5Ejemplo. gomo ™—so p—rti™ul—rD v—mos — des™ri˜ir ™on más det—lle el ™—so ˜iv—ri—nteD t—nto en lo querespe™t— — su densid—d ™omo — l—s distri˜u™iones m—rgin—les y ™ondi™ion—d—sFƒe— por t—nto un ve™tor (X, Y )2×1D ™on distri˜u™ión ™onjunt—mente g—ussi—n— de ve™tor de medi—sProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 121

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén(µX , µY ) y m—triz de ™ov—ri—nz—s C(X,Y ) = σX2 ρσX σY , ρσX σY σY2donde ρ = Cov(X,Y ) es el ™oe(™iente de ™orrel—™ión line—lF inton™esD det C(X,Y ) = σX2 σY2 1 − ρ2 y σX σY 1 1 − ρ 1 − ρ2 σX σY C(−X1,Y ) = σX2 . − ρ 1 σX σY σY2€or t—ntoD l— fun™ión de densid—d ™onjunt— es fX,Y (x, y) = 1 2πσX σY 1 − ρ2 · exp −1 (x − µX )2 − 2ρ (x − µx) (y − µY ) + (y − µY )2 . 2 (1 − ρ2) σX2 σX σY σY2ist— fun™ión —l™—nz— su máximoD 1√ , en el punto (µX , µY )F 2πσX σY 1−ρ2ividentementeD l—s distri˜u™iones m—rgin—les son N µX , σX2 y N µY , σY2 Fin lo que respe™t— — l—s distri˜u™iones ™ondi™ion—d—sD —pli™—ndo el último result—do tenemos que X | Y = y0 → N µX + ρ σX (y0 − µY ) ; σX2 1 − ρ2 Y | X = x0 → N σY 1 − ρ2 µY + ρ σY (x0 − µX ) ; σY2 . σXy˜sérvese queD ™urios—menteD l— v—ri—nz— ™ondi™ion—d— no depende del v—lor que ™ondi™ion—F isto tendráimport—ntes reper™usiones más —del—nteFgontinu—ndo ™on l—s propied—desD un— de l—s más útiles es su inv—ri—nz— frente — tr—nsform—™iones line—lesFgon™ret—menteD si tenemos un ve™tor —le—torio XN×1 = (X1, ..., XN ) ™on distri˜u™ión g—ussi—n—D ve™tor demedi—s µX y m—triz de ™ov—ri—nz—s CX D enton™es un— ™om˜in—™ión line—l suy—D YM×1 = AM×N · XN×1 + bM×1tiene distri˜u™ión g—ussi—n— de ve™tor de medi—s µY = A · µX + b y m—triz de ™ov—ri—nz—s CY = A · CX · A FEjemplo. ƒe—n dos v—ri—˜le —le—tori— X1 y X2 ™on distri˜u™ión ™onjunt—mente g—ussi—n— ™on medi—s™eroD v—ri—nz—s σX2 1 = 4 y σX2 2 = 9 y ™ov—ri—nz—D cX1,X2 = 3F ƒi est—s v—ri—˜les se tr—nsform—n line—lmente122 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenierospigur— SFSX ijemplos de densid—des de l— norm—l ˜iv—ri—ntes ™on µX = µY = 0D σX = σY = 1 y ρ = 0, 0.5D−0.5 y 0.9F @in httpXGGwwwFilriForgGsnfoƒervG‡e˜pu˜Gpulldo™sGvine—r•wixed•wodelsGeppendixhFhtmAFProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 123

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaénen l—s v—ri—˜les Y1 = X1 − 2X2 Y2 = 3X1 + 4X2l—s nuev—s v—ri—˜les tienen distri˜u™ión ™onjunt—mente g—ussi—n—D ™on medi—s 1 −2 0 0 (µY1 , µY2 ) = 3 4 ·= 00y m—triz de ™ov—ri—nz—s σY21 cY1,Y2 = 1 −2 43 13 = 28 −66 39 cY1 ,Y2 σY22 34 −2 4 −66 252ytr— de l—s más import—ntes propied—des es que se tr—t— del úni™o ™—so en el que independen™i— e in™orrel—™iónson equiv—lentesF is de™irD si XN×1 es un ve™tor ™on distri˜u™ión ™onjunt—mente g—ussi—n—D enton™es sus™omponentes son in™orrel—d—s si y sólo si son independientesFv— demostr—™ión es sen™ill—F ‰— s—˜emos que si son independientes son in™orrel—d—s @in™luso si l— distri˜u™iónno es ™onjunt—mente g—ussi—n—AF €or su p—rteD p—r— pro˜—r que si son in™orrel—d—s enton™es son independientessólo h—y que tener en ™uent— que si son in™orrel—d—sD l— m—triz de ™ov—ri—nz—s es di—gon—l y l— densid—d™onjunt— puede expres—rse ™omo produ™to de l—s m—rgin—lesD y— que fX (x1, ..., xN ) = 1 −1 (x − µX ) CX−1 (x − µX ) exp 2 (2π)N det (CX ) = 1 exp − 1 N xi − µi 2 2 σi (2π)N σ12...σN2 i=1 N = fXi (xi) . i=1donde x = (x1, ..., xN ) D µX = (µ1, ..., µN ) y  σ12 . . . 0  CX =  FFF FFF FFF  .    0 . . . σN2124 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Parte IIIInferencia estadística IPS



Capítulo 6Distribuciones en el muestreo €o™—s o˜serv—™iones y mu™ho r—zon—miento ™ondu™en —l errorY mu™h—s o˜serv—™iones y po™o r—zon—mientoD — l— verd—dF elexis g—rrelResumen. in este ™—pítulo se pretende ll—m—r l— —ten™ión —™er™— de que los p—rámetros muestr—les sonen re—lid—d v—ri—˜les —le—tori—sF ƒe —n—liz— —sí l— distri˜u™ión de pro˜—˜ilid—d de l— medi— muestr—l y de l—v—ri—nz— muestr—l en divers—s situ—™ionesFPalabras clave: distri˜u™iones en el muestreoD t de ƒtudentD p de ƒnede™orF6.1. Introducciónel estudi—r el ™on™epto de v—ri—˜le —le—tori—D dijimos que viene motiv—do porque mu™h—s de l—s v—ri—˜les quese o˜serv—n en l— vid— re—lD en el —m˜iente de l—s sngenierí—s en p—rti™ul—rD están sujet—s — in™ertidum˜reFiso quiere de™ir que si nosotros o˜tenemos —lgun—s o˜serv—™iones de es—s v—ri—˜les @muestr—sAD los d—tosno son igu—lesF is másD si o˜tenemos otr—s o˜serv—™ionesD l—s dos muestr—s t—mpo™o serán ni mu™ho menosidénti™—sF€or t—ntoD —l h—˜l—r de distri˜u™iones teóri™—s de pro˜—˜ilid—dD lo que pretendí—mos er— proponer un modeloque permitier— ™—l™ul—r pro˜—˜ilid—des —so™i—d—sD no — un— muestr— en p—rti™ul—r de d—tosD sino — tod—s l—sposi˜les muestr—sD ™on todos los posi˜les d—tos de l— v—ri—˜leF‚e™ordemos el ejemplo que pusimosX l—s distri˜u™iones de pro˜—˜ilid—d son ™omo un tr—je que elegimos p—r—ponernos ™u—lquier dí— dur—nte un periodo de tiempo —mplioF in l— medid— que el tr—je de un— v—ri—˜leDsu distri˜u™iónD le quede bienD los result—dos que o˜teng—mos medi—nte el ™ál™ulo de pro˜—˜ilid—des podrán—pli™—rse — ™u—lquier d—to o ™onjunto de d—tos de l— v—ri—˜leF €ero igu—lmenteD si un tr—je @un— distri˜u™iónde pro˜—˜ilid—d teóri™—A no le queda bien — un— v—ri—˜leD los result—dos teóri™osD o˜tenidos — p—rtir de un—fun™ión m—s— o un— fun™ión de densid—d teóri™—sD pueden no ser re—list—s respe™to — los result—dos empíri™osque se o˜teng—n medi—nte muestr—s de l— v—ri—˜leF¾ué nos qued— por h—™er — lo l—rgo del ™ursoc h—do queD en gener—lD l—s distri˜u™iones teóri™—s de pro˜—˜ilid—ddependen de uno o más p—rámetrosD lo que nos o™up—rá gr—n p—rte del resto del ™urso es tr—t—r de elegir IPU

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén—de™u—d—mente esos p—rámetrosF in el ejemplo de los tr—jes podí—mos pens—r que esto es ™omo —prender —es™oger l— t—ll— del tr—jeFin este ™—pítulo v—mos — ™omenz—r ™on —lgun—s ™uestiones teóri™—s —™er™— de lo que impli™— el pro™eso demuestreoD previo — l— ele™™ión de los p—rámetros yD posteriormenteD nos v—mos — ™entr—r en result—dos queimpli™— el muestreo de d—tos de v—ri—˜les que siguen un— distri˜u™ión norm—lF6.2. Muestreo aleatorioin multitud de ám˜itos de l— vid— re—l es evidente que l— mejor form— de —prender —lgo es — p—rtir de l—experien™i—F iso quiere de™ir que solemos utiliz—r —quello que vemos p—r— —prender p—ut—s y ™ondu™t—s queluego gener—liz—mosFin ist—dísti™— p—s— —lgo muy simil—rX ne™esit—mos ˜—s—rnos en muestr—s de un— v—ri—˜le p—r— poder —prenderde ell—s y gener—liz—rD inferirD —spe™tos referentes — l—s muestr—s — tod— l— po˜l—™iónFƒin em˜—rgoD ™omo en l— vid— re—lD en ist—dísti™— t—m˜ién de˜emos ser muy ™uid—dosos ™on los d—tos so˜re losque ˜—s—mos nuestro —prendiz—jeF ¾ué p—s—rí— si ˜—s—mos nuestro —prendiz—je en experien™i—s in™orre™t—s opo™o signi(™—tiv—sc€—r— que esto no o™urr— de˜emos ˜—s—rnos en muestr—s donde todos los individuos de l— po˜l—™ión pued—nverse represent—dosF €or otr— p—rteD es evidente que ™u—nto m—yores se—n l—s muestr—s más (—˜les de˜erí—nser nuestr—s inferen™i—sFil ™on™epto ™l—ve en este pl—nte—miento es el de muestra aleatoria simpleF ƒupong—mos que est—mos o˜serEv—ndo un— v—ri—˜le —le—tori—D XD en un— po˜l—™ión determin—d—F ‰— dijimos que un— muestr— —le—tori— simplede X ™onsiste en l— re™opil—™ión de d—tos de l— v—ri—˜leD medi—nte l— repeti™ión del experimento —l que está—so™i—d—D ™on dos ™ondi™iones ˜ási™—sX IF ue todos los elementos de l— po˜l—™ión teng—n l—s mism—s posi˜ilid—des de s—lir en l— muestr—F PF ue l—s distint—s o˜serv—™iones de l— muestr— se—n independientes entre síFin ese ™—soD los v—lores que tom— l— v—ri—˜le en ™—d— un— de l—s o˜serv—™iones de un— muestr— de t—m—ñonD X1, ..., XnD son en sí mismosD v—ri—˜les —le—tori—s independientes que siguen l— mism— distri˜u™ión depro˜—˜ilid—dD ll—m—d— distribución poblacionalF ist— distri˜u™ión esD en prin™ipioD des™ono™id—D por loque se intent—rá utiliz—r l— muestr— p—r— h—™er inferen™i— so˜re ell— yD —l menosD —proxim—r l— form— de est—distri˜u™iónF6.3. Distribuciones en el muestreoƒupong—mos que est—mos o˜serv—ndo un— v—ri—˜le —le—tori— XD y que o˜tenemos un— muestr— —le—tori—simple suy—D x11, ..., xn1 F gon esos d—tos podemos ™—l™ul—r l— medi— de l— muestr—D x¯1D y l— desvi—™ión típi™— del— muestr—D s1D por ejemploF€ero de˜emos ser ™ons™ientes de lo que signi(™— muestr— aleatoriaF il he™ho de que h—y—n s—lido los v—loresx11, ..., xn1 es fruto del —z—rF he he™hoD si o˜tenemos otr— muestr—D x12, ..., xn2 D o˜tendremos otr— medi—D x¯2 yotr— desvi—™ión típi™— de l— muestr—D s2F128 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros‰ siD su™esiv—menteD o˜tenemos un— y otr— muestr—D o˜tendremos un— y otr— medi— muestr—lD y un— y otr—desvi—™ión típi™— muestr—lF €or lo t—ntoD en re—lid—dD lo que est—mos viendo es que l— medi— y l— v—ri—nz—muestr—les @y en gener—lD ™u—lquier p—rámetro de un— muestr— —le—tori— simpleA sonD en re—lid—dD v—ri—˜les—le—tori—s queD ™omo t—lesD de˜en tener su distri˜u™iónD su medi—D su v—ri—nz—FFF†—mos — re™ord—r dos de(ni™iones que y— introdujimos —l ™omienzo del ™ursoF…n parámetro muestral es un p—rámetro @medi—D v—ri—nz—D FFFA referido — un— muestr— de un— v—ri—˜le—le—tori—F…n parámetro poblacional es un p—rámetro @medi—D v—ri—nz—D FFFA referido — l— distri˜u™ión po˜l—™ion—l deun— v—ri—˜le —le—tori—F€ues ˜ienD —so™i—dos — estos dos ™on™eptos tenemos —hor— l—s siguientes de(ni™ionesFv— distribución en el muestreo de un p—rámetro muestr—l es su distri˜u™ión de pro˜—˜ilid—dFil error estandar de un p—rámetro muestr—l es l— desvi—™ión típi™— de su distri˜u™ión en el muestreoFil pro˜lem— es queD en gener—lD es ˜—st—nte difí™il ™ono™er l— distri˜u™ión en el muestreo de los p—rámetrosmuestr—lesFƒin em˜—rgoD el ™—so en el que result— más sen™illo h—™erlo es pro˜—˜lemente el más import—nteF gomo v—mos— verD si l— v—ri—˜le que o˜serv—mos sigue un— distri˜u™ión norm—lD podremos ™ono™er de form— ex—™t— l—sdistri˜u™iones en el muestreo de los dos p—rámetros más import—ntesD l— medi— y l— v—ri—nz—F¾‰ si l— v—ri—˜le no es norm—lc ƒi lo que pretendemos es estudi—r l— medi— y l— v—ri—nz— muestr—lesD re™ordemosque el „eorem— gentr—l del vímite nos di™e que si un— v—ri—˜le es sum— de otr—s v—ri—˜lesD su distri˜u™ión es—proxim—d—mente norm—lD y l— medi— es sum— de l—s v—ri—˜les de l— muestr—F is de™irD si l— v—ri—˜le no esnorm—lD tod—ví— podemos tener ™on(—nz— de que lo que h—g—mos p—r— v—ri—˜les norm—les puede ser válidoF6.4. Distribuciones en el muestreo relacionadas con la distribución normalin este —p—rt—do simplemente v—mos — present—r un— serie de result—dos —™er™— de l— distri˜u™ión en elmuestreoD es de™irD —™er™— de l—s distri˜u™iones de pro˜—˜ilid—dD de —lgunos p—rámetros muestr—les que puedeno˜tenerse —so™i—dos — un— v—ri—˜le —le—tori— norm—lFelgun—s de est—s distri˜u™iones —p—re™en por primer— vezD —sí que de˜emos de(nirl—s previ—menteF €or otr—p—rteD sus fun™iones de densid—d son ˜—st—nte po™o tr—t—˜lesF isto no es ningún pro˜lem— hoy en dí—D gr—™i—s—l uso que podemos h—™er de los orden—dores p—r— ™u—lquier ™ál™uloF edemásD p—r— poder tr—˜—j—r ™on ell—s™u—ndo no tenemos un orden—dor — m—noD existen t—˜l—s que pueden ser impres—s en p—pel ™on mu™hos v—loresde sus fun™iones de distri˜u™iónFNota. …n— de l—s primer—s distri˜u™iones en el muestreo será l— χ2F ‚e™ordemos que un— distri˜u™ión χ2 ™onn gr—dos de li˜ert—d es un— distri˜u™ión q—mm— de p—rámetros n y 1 F 2 2Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo 129

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaénƒi Z es un— v—ri—˜le —le—tori— norm—l est—nd—r y S un— χ2 ™on n gr—dos de li˜ert—dD siendo —m˜—s indepenEdientesD enton™es Z t= S/nsigue un— distri˜u™ión ll—m—d— t de student con n grados de libertadFƒi S1 y S2 son v—ri—˜les —le—tori—s ™on distri˜u™ión χ2 ™on n1 y n2 gr—dos de li˜ert—d independientesD enton™es F = S1/n1 S2/n2sigue un— distri˜u™ión que se denomin— F con n1 y n2 grados de libertadFgon est—s de(ni™iones y— podemos d—r l—s distri˜u™iones en el muestreo de —lgunos p—rámetros muestr—lesimport—ntes —so™i—dos — l— norm—lX ƒe— X1, ..., Xn un— muestr— —le—tori— simple de un— v—ri—˜le N (µ, σ)F inton™esD el p—rámetro muestr—l t = X¯ −√µ Sn−1/ n sigue un— t de ƒtudent ™on n − 1 gr—dos de li˜ert—dF ƒe— un— muestr— X1, ..., Xn un— muestr— —le—tori— simple de un— v—ri—˜le N (µ, σ)F inton™esD el p—ráE metro muestr—l (n − 1) Sn2−1 σ2 χ2 = sigue un— χ2 ™on n − 1 gr—dos de li˜ert—dF ƒe—n X1, ..., Xn1 e Y1, ..., Yn2 muestr—s —le—tori—s simples de v—ri—˜les independientes ™on distri˜u™iones N (µ1, σ) y N (µ2, σ)F inton™esD el p—rámetro muestr—l t = X¯ − Y¯ − (µ1 − µ2) , Sp 1 + 1 n1 n2 donde Sn1−1 2 + (n2 − 1) 2 n1 + n2 − 2 Sp2 = (n1 − 1) Sn2−1 , sigue un— t de ƒtudent ™on n1 + n2 − 2 gr—dos de li˜ert—dF ƒe—n X1, ..., Xn1 e Y1, ..., Yn2 muestr—s —le—tori—s simples de v—ri—˜les independientes ™on distri˜u™iones N (µ1, σ) y N (µ2, σ)F inton™esD el p—rámetro muestr—l χ2 = (n1 + n2 − 2) Sp2 , σ2 sigue un— χ2 n1 + n2 − 2 gr—dos de li˜ert—dF ƒe—n X1, ..., Xn1 e Y1, ..., Yn2 muestr—s —le—tori—s simples de v—ri—˜les independientes ™on distri˜u™iones130 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para IngenierosN (µ1, σ) y N (µ2, σ)F inton™esD el p—rámetro muestr—l F= Sn1−1 2 /σ12 Sn2−1 2 /σ22sigue un— distri˜u™ión F ™on n1 − 1 y n2 − 1 gr—dos de li˜ert—dFProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 131

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén132 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Capítulo 7Estimación de parámetros de unadistribución ½h—tosD d—tosD d—tos3 Egritó imp—™ientementeEF xo puedo h—™er l—drillos sin —r™ill—F ƒherlo™k rolmes @eF gF hoyleAD en Las aventuras de los bombachos de cobreResumen. ƒe des™ri˜en l—s té™ni™—s más usu—les p—r— estim—r l— medi—D l— v—ri—nz— y otros p—rámetrospo˜l—™ion—les medi—nte v—lores —isl—dos @estim—™ión puntu—lA o medi—nte interv—los de ™on(—nz—FPalabras clave: estim—dor puntu—lD método de los momentosD método de máxim— verosimilitudD interv—lode ™on(—nz—D nivel de ™on(—nz—F7.1. Introducciónin ist—dísti™— h—y tres form—s de inferir un v—lor — un p—rámetro de un— po˜l—™iónX istim—ndo el v—lor ™on™reto de ese p—rámetroF istim—ndo un— región de ™on(—nz— p—r— el v—lor del p—rámetroF „om—ndo un— de™isión so˜re un v—lor hipotéti™o del p—rámetroF Ejemplo. il rendimiento de un equipo de tr—˜—jo en un— ™—den— de produ™™ión puede est—r represent—do por el número medio de ™omponentes produ™id—sF ƒupong—mos que un ingeniero pretende propor™ion—r inform—™ión —™er™— de este promedio en su equipoF ixisten v—ri—s posi˜ilid—desX €odrí— simplemente tr—t—r de estim—r el promedio de ™omponentes produ™id—s — tr—vés de un úni™o v—lor estim—doF €odrí— propor™ion—r un interv—lo de v—lores en el que teng— mu™h— ™on(—nz— que se en™uentr— el v—lor promedioF IQQ

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén €odrí— ™omp—r—r el v—lor promedio de su equipo ™on un v—lor hipotéti™o p—r—D por ejemploD demosE tr—r — l— empres— que tiene un mejor rendimiento que el promedio gener—l de l— empres—Fin este ™—pítulo nos ™entr—remos en l— primer— y l— segund— form—D que ™onsisten en propor™ion—r un v—lorque ™reemos que está ™er™— del p—rámetro @estim—™ión puntu—lA o en propor™ion—r un interv—lo en el que™on(—mos que se en™uentr— el p—rámetro des™ono™ido @estim—™ión por interv—los de ™on(—nz—AF v— ter™er—posi˜ilid—d se estudi—rá en el ™—pítulo de ™ontr—stes de hipótesisF7.2. Estimación puntual7.2.1. Denición y propiedades deseables de los estimadores puntuales…n estimador puntual, θˆD es un— regl— que nos di™e ™ómo ™—l™ul—r un— estim—™ión numéri™— de un p—rámetropo˜l—™ion—l des™ono™idoD θD — p—rtir de los d—tos de un— muestr—F il número ™on™reto que result— de un ™ál™uloDp—r— un— muestr— d—d—D se denomin— estimación puntualFEjemplo. ƒi dese—mos o˜tener estim—™iones de l— medi— de un— v—ri—˜le —le—tori—D lo que p—re™e más lógi™o serí— utiliz—r ™omo estim—dor l— medi— muestr—lF g—d— medi— muestr—l de ™—d— muestr— serí— un— estim—™ión puntu—l de l— medi— po˜l—™ion—lF¾ué serí— dese—˜le que le p—s—r— — ™u—lquier estim—dorc ¾ué ˜uen—s propied—des de˜erí— tener un ˜uenestim—dorc †—mos — ver dos de ell—sFin primer lug—rD p—re™e lógi™o pens—r que si ˜ien el estim—dor no propor™ion—rá siempre el v—lor ex—™to delp—rámetroD —l menos de˜erá est—˜le™er estim—™iones que se equivoquen en igu—l medid— por ex™eso que pordefe™toF iste tipo de estim—dores se denomin—n insesgadosF…n estim—dor θˆ de un p—rámetro θ se di™e insesgado si E θˆ = θ.ƒe denomin— sesgo de un estimador — E Θˆ − θ .y˜servemos que p—r— ™ompro˜—r si un estim—dor es insesg—doD en prin™ipio es ne™es—rio ™ono™er su distri˜u™iónen el muestreoD p—r— poder ™—l™ul—r su esper—nz— m—temáti™—Fedemás de l— f—lt— de sesgoD nos gust—rí— que l— distri˜u™ión de muestreo de un estim—dor tuvier— po™—v—ri—nz—D es de™irD que l— dispersión de l—s estim—™iones ™on respe™to —l v—lor del p—rámetro po˜l—™ion—lD fuer—˜—j—Fin este sentidoD se de(ne el error estandar de un estimador ™omo l— desvi—™ión típi™— de di™ho estim—dorDy se not— s.e.134 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenierosil estimador insesgado de mínima varianza de un p—rámetro θ es el estim—dor θˆ que tiene l— v—ri—nz—más pequeñ— de entre todos los estim—dores insesg—dosFr—y que de™ir que no siempre es fá™il en™ontr—r este estim—dorD y que en o™—siones se —dmite un ligero sesgo™on t—l que l— v—ri—nz— del estim—dor se— mínim—F7.2.2. Estimación de la media de una v.a. La media muestralƒe— un— vF—F XD y un— muestr— —le—tori— suy—D X1, ..., XN F inton™esD l— medi— muestr—lD X¯ = X1 + ... + XN Nes un estim—dor insesg—do de E [X] y su error est—nd—r es s.e.(X¯ ) = √σX . Nil result—do est—˜le™e —lgo que podí— h—˜erse intuido desde l— de(ni™ión de l— medi— o esper—nz— m—temáti™—de un— distri˜u™ión de pro˜—˜ilid—dX si tenemos unos d—tos @masA de un— vF—FD un— estim—™ión —de™u—d— del— medi— de l— vF—F es l— medi— de los d—tosFr—y que tener mu™ho ™uid—do ™on no ™onfundir l— medi— de l— vF—FD es de™irD l— medi— po˜l—™ion—lD ™on l—medi— de los d—tos de l— muestr—D es de™irD ™on l— medi— muestr—lF€or otr— p—rteD el error est—nd—r h—™e referen™i— — σX D que es un p—rámetro po˜l—™ion—l yD por lo t—ntoDdes™ono™idoF vo que se suele h—™er es ™onsider—r l— desvi—™ión típi™— muestr—l ™omo un— —proxim—™ión de l—po˜l—™ion—l p—r— ev—lu—r este error est—nd—rF7.2.3. Estimación de la varianza de una v.a. Varianza muestralƒe— un— vF—F X y un— muestr— —le—tori— simple suy—D X1, ..., XN F inton™esD l— v—ri—nz— muestr—lD N Xi − X¯ 2 i=1 SX2 ,N−1 = N −1es un estim—dor insesg—do de V ar [X]FNota. el hilo del ™oment—rio previo que hi™imos so˜re l— medi— muestr—l ™omo estim—dor natural de l—medi—D —hor— quizá sorprend— que en el denomin—dor de l— v—ri—nz— muestr—l —p—rez™— N − 1 y no N Fin este sentidoD si ™onsider—mos el estim—dor SX2 ,N = N Xi − X¯ 2 i=1 , NProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 135

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaénse tr—t—rí— de un estim—dor no insesg—doF e este estim—dor de l— v—ri—nz— se le ™ono™e h—˜itu—lmente™omo cuasivarianza muestral. yjoD h—y que —dvertir que en —lgunos li˜ros l— m—ner— de nom˜r—r — l—v—ri—nz— y — l— ™u—siv—ri—nz— muestr—les es justo —l ™ontr—rioFNota. il que l— v—ri—nz— muestr—lD SN2 −1D se— un estim—dor insesg—do de l— v—ri—nz—D σ2D no impli™— que l—desvi—™ión típi™— muestr—lD SN−1 = SN2 −1D se— un estim—dor insesg—do de σD pero en este ™—so sí o™urre —síF Ejemplo. wedi—nte ‚ hemos gener—do un— muestr— —le—tori— simple de IHHH v—lores de un— distri˜u™ión N (0, 1)F ƒ—˜emosD por t—ntoD que l— medi— @po˜l—™ion—lA de los d—tos es H y que l— v—ri—nz— @po˜l—™ion—lA es IF xo o˜st—nteD v—mos — suponer que des™ono™emos de qué distri˜u™ión pro™eden los d—tos y v—mos — tr—t—r de ajustar un— distri˜u™ión teóri™— p—rtiendo de los v—lores de l— muestr—X x1×1000 = (−0.9459, −0.9557, 0.2711, 0.2603, 1.014, ...) €—r— empez—rD de˜emos pens—r en un— distri˜u™ión —de™u—d—F €—r— ello puede o˜serv—rse el histogr—m— de los d—tos por si éste re™uerd— l— form— de —lgun— fun™ión de densid—d ™ono™id—F in este ™—soD el histogr—m— de l— muestr— —p—re™e en l— pigur— UFID histogr—m— que re™uerd— ™l—r—mente l— fun™ión de densid—d de un— distri˜u™ión norm—lF v— pregunt— inmedi—t— un— vez que se opt— por —just—r medi—nte un— distri˜u™ión norm—l es ¾qué norm—lc is de™irD ¾qué medi— y qué v—ri—nz— se proponen p—r— l— distri˜u™ión que queremos —just—r — estos d—tosc …n— respuest— — est— pregunt— l— propor™ion—n los estim—dores insesg—dos que hemos en™ontr—do p—r— estos p—rámetrosF gon™ret—menteD x¯ = −0.0133 y s999 = 0.9813, por lo que —just—rí—mos los d—tos de l— muestr— x medi—nte un— distri˜u™ión N (−0.0133, 0.9813) . v— densid—d de est— distri˜u™ión —p—re™e t—m˜ién en l— pigur— UFID en tr—zo ™ontinuoD y se o˜serv— que —just— muy ˜ien l— form— del histogr—m—F136 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros Histograma de la muestra Densidad 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 −3 −2 −1 0 1 2 3pigur— UFIX ristogr—m— p—r— l— muestr— x1×1000 ™on QH interv—los y fun™ión de densid—d de l— distri˜u™iónN (−0.0133, 0.9813)F7.2.4. Estimación de una proporción poblacionalƒupong—mos que dese—mos estim—r un— propor™ión pD des™ono™id—D que represent— l— pro˜—˜ilid—d de unsu™eso dentro de un esp—™io muestr—lF €—r— elloD se re—liz—n N experimentos —so™i—dos —l esp—™io muestr—l yse ™uent— el nº de ve™es que o™urre ese su™eso del ™uál queremos estim—r su pro˜—˜ilid—dD kF in ese ™—soD l—propor™ión muestr—lD k pˆ = , Nes un estim—dor insesg—do de pF edemásD su error est—nd—r es p(1 − p) s.e.(pˆ) = Nƒo˜re el error est—nd—rD o˜sérvese de nuevo queD d—do que p es des™ono™idoD en re—lid—d l— expresión de s.e.(pˆ)no puede ev—lu—rseF ƒin em˜—rgoD es ˜—st—nte ™omún que si el t—m—ño de l— muestr—D N D es gr—ndeD se utili™eel v—lor de l— estim—™iónD pˆD en lug—r de p en es— expresiónFhe tod—s form—sD o˜sérvese t—m˜ién que l— fun™ión f (p) = p(1 − p) es menor que 1 si 0 ≤ p ≤ 1D luego 4 s.e.(pˆ) ≤ 1 = √1 . 4N 2 Nis por ello que siempre podemos d—r est— ™—ntid—dD √1 D ™omo ™ot— superior del error est—nd—rF 2NEjemplo. ƒi el número de v—rones en un— muestr— de IHHH individuos de un— po˜l—™ión es SHUD podemos—proxim—r l— verd—der— propor™ión de v—rones en tod— l— po˜l—™ión medi—nte 507 pˆ = = 0.507, 1000™on un error est—nd—r por de˜—jo de √1 = 0.01581139F v— estim—™ión del error est—nd—r de l— 2 1000Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo 137

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaénestim—™ión serí— 0.507 × 0.493/1000 = 0.01580984X en este ™—soD l—s diferen™i—s son in—pre™i—˜lesF7.2.5. Obtención de estimadores puntuales. Métodos de estimaciónr—st— —hor— hemos puesto un ejemplo —™er™— de l— estim—™ión de l— medi— o l— v—ri—nz— de un— po˜l—™iónmedi—nte l— medi— y l— v—ri—nz— muestr—lF ƒin em˜—rgoD nosotros hemos visto mu™h—s distri˜u™iones teóri™—sque no dependen dire™t—mente de l— medi— o l— v—ri—nz—F €or ejemploD l— ˜inomi—l depende de pD l— q—mm—de dos p—rámetrosD a y λD FFF ¾gómo o˜tener estim—dores de estos p—rámetroscixisten diversos métodos de estim—™ión de p—rámetrosF xosotros v—mos — ver dos de los más sen™illosF7.2.5.1. Método de los momentos†—mos — expli™—r el método sólo p—r— distri˜u™iones de uno o dos p—rámetros po˜l—™ion—lesD que son l—súni™—s que hemos visto nosotrosFƒe— x1, ..., xn un— muestr— de un— v—ri—˜le —le—tori— XX IF ƒi l— distri˜u™ión de X depende de un sólo p—rámetroD θD l— medi— po˜l—™ion—l de X, E [X] = µD será fun™ión de θ, µ = f (θ)F in ese ™—soD el estim—dor medi—nte el método de los momentos de θ, θˆ, se o˜tiene despejándolo @si es posi˜leA de l— e™u—™ión x¯ = f θˆ F PF ƒi l— distri˜u™ión de X depende de dos p—rámetrosD θ1 y θ2D l— medi— po˜l—™ion—l de X, E [X] = µD será fun™ión de —m˜os, µ = f (θ1, θ2) e igu—lmente l— v—ri—nz— po˜l—™ion—l est—rá expres—d— ™omo fun™ión de estos p—rámetrosD V arX = σ2 = g (θ1, θ2)F in ese ™—soD los estim—dores medi—nte el método de los momentos de θ1 y θ2, θˆ1 y θˆ2, se o˜tienen despejándolos @si es posi˜leA del sistem— de e™u—™iones x¯ = f θˆ1, θˆ2 s2n−1 = g θˆ1, θˆ2 .Ejemplo. in l— distri˜u™ión ˜inomi—l s—˜emos que EX = np, por lo que p = EX F €or t—ntoD d—d— un— nmuestr— de t—m—ño N de l— v—ri—˜leD el método de los momentos propone ™omo estim—dor de p — x¯ pˆ = . n€or ™iertoD este estim—dor ™oin™ide ™on el que h—˜í—mos ™onsider—do en un prin™ipioD que er— l— propor™iónmuestr—lD es de™irD pˆ = k/N D pero puede h—˜er —lgun— ™onfusión en l— not—™iónF †e—mos porquéFƒe supone que tenemos un— muestr— de t—m—ño N de d—tos de un— ˜inomi—l de p—rámetro nD es de™irDtenemos n experimentosD N ve™esD o se—D un tot—l de n × N experimentosD ™on i xi éxitosF vuegoD enefe™toD pˆ = x¯ = n i xi , n ×Nes de™irD l— propor™ión muestr—lD ™o™iente del nº de éxitos entre el nº tot—l de experimentosF xo de˜emos™onfundirnos ™on l— expresión k/N que pusimos —ntes porque N no signi(™— lo mismo en —m˜os ™—sosF138 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para IngenierosEjemplo. in l— distri˜u™ión geométri™— s—˜emos que EX = 1 − 1D de donde p = 1 D luego el método p 1+EXde los momentos propone ™omo estim—dor — 1 pˆ = . 1 + x¯Ejemplo. in el ™—so de l— ˜inomi—l neg—tiv— tenemos dos p—rámetrosF ƒe s—˜e que a (1 − p) EX = p a (1 − p) V arX = p2he est— expresión de˜emos despej—r a y pF h—do que EX = p, V arXse tiene que p EX EX2 − V arX − EX a = EX × = EX × V arX = 1 p 1 − EX V arXde donde se proponen ™omo estim—dores x¯ pˆ = sX2 ,N−1 x¯2 aˆ = sX2 ,N−1 − x¯ .7.2.5.2. Método de máxima verosimilitudiste método o˜ede™e — un prin™ipio muy lógi™oX d—d— un— muestr—D es™oj—mos ™omo estim—™iones —quellosv—lores de los p—rámetros que h—g—n más creibles, más verosímilesD los d—tos de l— muestr—F€—r— des—rroll—r el método de˜emos tener en ™uent— que si tenemos un— muestr— —le—tori— simple de un—v—ri—˜le XD x1, ..., xnD y l— fun™ión m—s— o densid—d de l— v—ri—˜le es p (x)D enton™es l— fun™ión m—s— odensid—d de l— muestr— es p (x1, ..., xn) = p (x1) ...p (xn) .ist— fun™ión m—s— o densid—d represent— en ™ierto modo l— credibilidad de los d—tos de l— muestr—Fh—d— un— v—ri—˜le —le—tori— X ™on fun™ión m—s— o fun™ión de densid—d p (x) , que depende de unoo dos p—rámetrosD y un— muestr— —le—tori— simple de XD x1, ..., xnD l— verosimilitud de l— muestr—es l— fun™ión L = p (x1) ...p (xn) ,fun™ión que dependerá de los p—rámetros des™ono™idos de l— v—ri—˜leFProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 139

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén h—d— l— verosimilitud de un— muestr—D LD si L depende de un sólo p—rámetroD θD enton™es el estimador máximo-verosímil de θ se o˜tiene resolviendo el pro˜lem— de máximo siguienteX θˆ = arg m´ax L . θ si L depende de dos p—rámetrosD θ1 y θ2D enton™es los estimadores máximo-verosímiles de θ1 y θ2 se o˜tienen resolviendo el pro˜lem— de máximo siguienteX θˆ1, θˆ2 = arg ma´x L . θ1 ,θ2Nota. h—do que el máximo de un— fun™ión ™oin™ide ™on el máximo de su log—ritmoD suele ser muy útilm—ximiz—r el log—ritmo de l— fun™ión de verosimilitud en vez de l— fun™ión de verosimilitudFEjemplo. †—mos — ™—l™ul—r el estim—dor máximo verosímil del p—rámetro p de un— distri˜u™ión B (n, p)˜—s—do en un— muestr— x1, ..., xN Fin primer lug—rD l— fun™ión de verosimilitud es N n pxi (1 − p)n−xi xi Lx1,...,xN (p) = i=1 Nn p N xi (1 − p)nN − .Nxi = i=1 i=1 i=1 xiƒu log—ritmo result— Nn NN ln Lx1,...,xN (p) = ln i=1 xi + xi × ln p + nN − xi ln (1 − p) . i=1 i=1€—r— m—ximiz—r est— fun™ión deriv—mos respe™to — p e igu—l—mos — ™eroX N xi − nN − N xi = 0, i=1 i=1 p 1−pde donde N x¯ i=1 n p = xi = x¯ = x¯ . 1−p n − x¯ 1− nN − N xi n i=1vuego el estim—dor es x¯ pˆ = . ny˜sérvese que ™oin™ide ™on el estim—dor que o˜tuvimos por el método de los momentosFEjemplo. †—mos — ™—l™ul—r el estim—dor máximo verosímil del p—rámetro λ de un— distri˜u™ión exp (λ)˜—s—do en un— muestr— x1, ..., xN F140 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenierospun™ión de verosimilitudX N Lx1,...,xN (λ) = λe−λxi = λN e−λ .N xi i=1 i=1vog—ritmo de l— fun™ión de verosimilitudX N ln Lx1,...,xN (λ) = N ln λ − λ xi. i=1€—r— m—ximiz—r est— fun™iónD deriv—mos respe™to — λ e igu—l—mos — ™eroX N N λ − xi = 0, i=1de donde N1 λˆ = N xi = . i=1 x¯he nuevo el estim—dor máximo verosímil ™oin™ide ™on el propor™ion—do por el método de los momentosFEjemplo. in el ™—so de l— distri˜u™ión norm—lD tenemos dos p—rámetrosF †e—mos ™ómo pro™eder en est—situ—™iónF †—mos — preo™up—rnos por los estim—dores de l— medi— y de l— v—ri—nz—Xv— fun™ión de verosimilitudX = N √1 (xi −µ)2 √1 e .N− n (xi −µ)2 2πσ2 i=1 2σ2 Lx1 ,...,xN µ, σ2 e =− 2σ2 i=1 2πσ2ƒu log—ritmoX ln Lx1,...,xN µ, σ2 = − N ln (2π) − N ln σ2 − N (xi − µ)2 . 22 i=1 2σ2he˜emos m—ximiz—r est— fun™ión ™omo fun™ión de µ y σ2F €—r— elloD deriv—mos respe™to de —m˜—sv—ri—˜les e igu—l—mos — ™eroX d µ, σ2 = N (xi − µ) = 0 dµ ln Lx1,...,xN µ, σ2 i=1 d dσ2 ln Lx1,...,xN σ2 = −N + 1 N (xi − µ)2 =0 2σ2 2 i=1 (σ2)2he l— primer— e™u—™ión se sigue NNde donde (xi − µ) = xi − N µ = 0, i=1 i=1 µˆ = N xi = x¯. i=1 NProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 141

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén Modelo Estimadores por el Estimadores por el método método de los momentos de máxima verosimilitud B (n, p) P (λ) pˆ = x¯ pˆ = x¯ Geo (p) n n BN (a, p) λˆ = x¯ λˆ = x¯ exp (λ) pˆ = 1 pˆ = 1 Gamma (a, λ) 1+x¯ 1+x¯ ,x¯2 N (µ, σ) aˆ = pˆ = x¯ ƒólo por métodos numéri™os sX2 ,N−1−x¯ s2X,N −1 λˆ = 1 λˆ = 1 x¯ x¯ ,x¯2 λˆ = aˆ = x¯ ƒólo por métodos numéri™os sn2 −1 sn2 −1 µˆ = x¯, σˆ = sn−1 µˆ = x¯, σˆ = sngu—dro UFIX istim—dores por el método de los momentos y de máxim— verosimilitud de los p—rámetros de l—sdistri˜u™iones más usu—lesFhe l— segund—D sustituyendo en ell— µ por x¯, N (xi − x¯)2 = N i=1 σ2 , (σ2)2de donde N x¯)2 i=1 σˆ2 = (xi − = s2n. N Nota. he nuevo h—y que ll—m—r l— —ten™ión so˜re el he™ho de que hemos ˜us™—do un estim—dorD de máxim— verosimilitudD de σ2D no de σF ƒin em˜—rgoD no es muy difí™il demostr—r que el estim—dor de máxim— verosimilitud de σ en l— distri˜u™ión norm—l es l— ™u—sidesvi—™ión típi™— muestr—lD snF7.2.6. Tabla resumen de los estimadores de los parámetros de las distribuciones más comunesin tod— est— se™™iónD supong—mos que tenemos un— muestr— x1, ..., xN de un— v—ri—˜le —le—tori— XF vosestim—dores según el método de los momentos y de máxim— verosimilitud de los p—rámetros según l—s distriE˜u™iones que hemos des™rito —p—re™en en el gu—dro UFIF7.3. Estimación por intervalos de conanzaƒe— x1, ..., xN un— muestr— de un— determin—d— vF—F X ™uy— distri˜u™ión depende de un p—rámetro des™ono™idoθF …n intervalo de conanza p—r— θ ™on un nivel de signicación αD I (x1, ..., xN ) , es un interv—lo re—lque depende de l— muestr—D pero que no depende de θ t—l que P [θ ∈ I (x1, ..., xN )] = 1 − α.el v—lor 1 − α t—m˜ién se le ll—m— nivel de conanzaF142 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros Confidence intervals based on z distribution Confidence intervals based on z distribution Confidence intervals based on z distributionIndex | Index | | Index | 10 20 30 40 50 | 10 20 30 40 50 | | 10 20 30 40 50 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |0 0 0 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 Confidence Interval Confidence Interval Confidence Intervalpigur— UFPX histintos interv—los de ™on(—nz— p—r— un— medi— — un TV 7 @izquierd—AD — un WH 7 @™entroA y— un WW 7 @dere™h—AF €uede o˜serv—rse que —ument—r el nivel de ™on(—nz— h—™e más —mplios los interv—losF„—m˜ién puede o˜serv—rse que no todos los interv—los ™ontienen — l— medi— po˜l—™ion—l @HAD pero que el nºde éstos malos interv—los disminuye ™onforme —ument—mos el nivel de ™on(—nz—Fy˜sérvese que l— (losofí— de ™u—lquier interv—lo de ™on(—nz— es propor™ion—rD ˜—sándonos en los d—tosD un—región donde teng—mos un determin—do nivel de ™on(—nz— en que el p—rámetro se en™uentr—F gomo en el™—so de los estim—dores puntu—lesD el interv—lo de ™on(—nz— es —le—torioD y— que depende de los d—tos deun— muestr—F edemásD se d— por he™ho que existe l— posi˜ilid—d de que el verdadero p—rámetro θ no quedeen™err—do dentro del interv—lo de ™on(—nz—D ™os— que o™urrirí— ™on pro˜—˜ilid—d αFNota. el respe™to de l— interpret—™ión del nivel de ™on(—nz—D tenemos que de™ir queD d—do que desde el™omienzo del ™urso hemos —dopt—do un— interpret—™ión fre™uentist— de l— pro˜—˜ilid—dD un interv—lo de™on(—nz— —l WS 7D por ejemploD g—r—ntiz— que si tom—mos IHH muestr—s el p—rámetro po˜l—™ion—l est—rádentro del interv—lo en —proxim—d—mente WS interv—los ™onstruidosFƒin em˜—rgoD est— interpret—™ión es —˜surd— en l— prá™ti™—D porque nosotros no tenemos IHH muestr—sDsino sólo un—Fxosotros tenemos los d—tos de un— muestr—F gon ellos ™onstruimos un interv—lo de ™on(—nz—F ‰ —hor— sólo™—˜en dos posi˜ilid—desX o el p—rámetro está dentro del interv—lo o no lo estáF il p—rámetro es ™onst—nteDy el interv—lo t—m˜iénF ½xo podemos repetir el experimento3 is por ello que se h—˜l— de interv—los deconanzaD interpret—ndo que tenemos un— conanza del WS 7 en que el p—rámetro est—rá dentroFProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 143

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén7.3.1. Intervalos de conanza para la mediaƒe— X un— vF—F ™on distri˜u™ión norm—l de medi— µ des™ono™id— y v—ri—nz— σ2 ™ono™id—F ƒe— un— muestr—x = (x1, ..., xN ) de XD y x¯ l— medi— muestr—l —so™i—d—F inton™esD P µ∈ x¯ − z1− α √σ , x¯ + z1− α √σ = 1 − α, 2 N 2 Ndonde z1− α a es t—l que FZ z1− α = 1 − α D siendo Z → N (0, 1) . 2 2 2aEl valor de z1− α debe buscarse en la tabla de la normal o calcularse con ayuda del ordenador. 2is de™irD l— medi— se en™uentr— en el interv—lo x¯ − z1− α √σ , x¯ + z1− α √σ 2 N 2 N™on un (1 − α) 7 de ™on(—nz—Fxo o˜st—nteD h—y que re™ono™er que en l— prá™ti™— es po™o pro˜—˜le que se des™onoz™— el v—lor de l— medi—y sí se ™onoz™— el de l— v—ri—nz—D de m—ner— que l— —pli™—™ión de este teorem— es muy limit—d—F il siguienteresult—do responde pre™is—mente — l— ne™esid—d de extender el —nterior ™u—ndo se des™ono™e el v—lor de l—v—ri—nz—Fƒe— X un— vF—F ™on distri˜u™ión norm—l de medi— µ y v—ri—nz— σ2, —m˜—s des™ono™id—sF ƒe— un— muestr—x = (x1, ..., xN ) de XD l— medi— muestr—l x¯ y l— v—ri—nz— muestr—l s2X,N−1F inton™esD   P µ ∈ x¯ − t1− α sX2 ,N −1 , x¯ + t1− α s2X,N −1 = 1 − α, 2 N 2 N ;N −1 ;N −1 donde tα;N a es el v—lor t—l que FTN (tα;N ) = αD siendo TN un— vF—F ™on distri˜u™ión „ de ƒtudent ™on Ngr—dos de li˜ert—d.aEl valor de t1− α debe buscarse en la tabla de la t o calcularse con ayuda del ordenador 2is de™irD ™on(—mos en un (1 − α) 7 en que el interv—lo   sX2 ,N −1 x¯ − t1− α s2X,N −1 , x¯ + t1− α 2 N 2  ;N −1 ;N −1 N™ontiene — l— medi—D que es des™ono™id—FEjemplo. wedi—nte ‚ h—˜í—mos simul—do IHHH v—lores de un— distri˜u™ión N (0, 1)F v— medi— y l—desvi—™ión típi™— muestr—les de esos IHHH v—lores result—ron ser x¯ = −0.0133 y s999 = 0.9813F €or t—ntoDel interv—lo de ™on(—nz— que se est—˜le™e —l WS 7 de ™on(—nz— p—r— l— medi— es −0.0133 ∓ 1.96 √0.9813 = (−0.074, 0.0475) 1000144 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros y˜sérvese queD en efe™toD l— verd—der— medi—D µ = 0D está en el interv—lo de ™on(—nz—Fvos dos result—dos que —™—˜—mos de enun™i—r se ˜—s—n en que se ™ono™e l— distri˜u™ión ex—™t— de l— muestr—Dnorm—lD lo que permite dedu™ir que l— medi— muestr—l sigue t—m˜iénD y de form— ex—™t—D un— distri˜u™iónnorm—l de medi— µ y v—ri—nz— σ2 F ƒin em˜—rgoD gr—™i—s —l teorem— ™entr—l del límite se s—˜e que se— ™u—l Nse— l— distri˜u™ión de l—s v—ri—˜les de l— muestr— —le—tori— simpleD l— medi— muestr—l sigue —proxim—d—menteun— distri˜u™ión norm—l de medi— µ y v—ri—nz— σ2 D y— que se o˜tiene ™omo sum— de vF—F independientes ™on Nl— mism— distri˜u™iónF €or lo t—ntoD podemos o˜tener un interv—lo de ™on(—nz— aproximado p—r— ™u—lquiermedi— de ™u—lquier distri˜u™iónD ™omo se re™oge en el siguiente result—doFƒe— X un— vF—F ™on distri˜u™ión ™u—lquier— de medi— µ, des™ono™id—D y ™on v—ri—nz—D σ2. ƒe— un— muestr—x = (x1, ..., xN ) de X y l— medi— muestr—lD x¯. inton™esD si N es su(™ientemente elev—do @N > 30 es su(™ienteAD P µ∈ x¯ − z1−α/2 √σ , x¯ + z1−α/2 √σ 1 − α. N Nin est— expresiónD si σ es des™ono™id—D puede sustituirse por l— desvi—™ión típi™— muestr—lD sn−1FEjemplo. €—r— dimension—r el t—m—ño del ˜u'er de un modem ehƒv es ne™es—rio estim—r el promediode p—quetes de d—tos por milisegundo que re™i˜e el modemFƒe ™onsider— que el tiempo @en milisegundosA que tr—ns™urre entre p—quete y p—quete sigue un— distri˜uE™ión exponen™i—l de p—rámetro λF y˜sérvese que l— medi— de est— distri˜u™ión es µ = 1 D tiempo medio λentre p—quetesD por lo que λ es pre™is—mente el promedio de p—quetes por milisegundo que re™i˜e elmodemF €or lo t—ntoD el o˜jetivo es estim—r el p—rámetro λD que es el que se utiliz—rá p—r— dimension—rel modemFwedi—nte un sni'er —™opl—do —l modem p—r— ™—ptur—r d—tos del trá(™oD se tom—n d—tos de los tiemposentre p—quetes de IHHI p—quetesD por lo que se tienen IHHH d—tos de tiempos entre p—quetesF v— medi—de estos tiempos result— ser x¯ = 2.025D siendo l— desvi—™ión típi™— muestr—l de 1.921Fin primer lug—rD v—mos — ™—l™ul—r un interv—lo de ™on(—nz— @—l WS 7A p—r— l— medi— de l— distri˜u™iónDµX x¯ − z0.975 s√n−1 , x¯ + z0.975 s√n−1 = 2.025 ∓ 1.96 × √1.921 = (1.906, 2.144). n n 1000pin—lmenteD d—do que λ = 1 , el interv—lo de ™on(—nz— —l WS 7 de λ es 1 , 1 = (0.466, 0.525) . µ 2.144 1.906e título inform—tivoD el v—lor que se ™onsider— en el dimension—miento del modem es un múltiplo @eldo˜leD por ejemploA del extremo superior del interv—loD en este ™—so HFSPSFProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 145

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén7.3.2. Intervalos de conanza para una proporciónƒe— p l— pro˜—˜ilid—d des™ono™id— de un determin—do eventoD que ll—m—remos éxitoD que puede o™urrir enun determin—do experimentoF ƒupong—mos que tenemos un— muestr— de N re—liz—™iones independientes delexperimentoD y se— pˆ = k l— propor™ión de éxitos en l— muestr—F inton™esD si N es su(™ientemente elev—do N@N > 30AD se tiene que P p∈ pˆ − z1−α/2 pˆ(1 − pˆ) pˆ(1 − pˆ) 1 − α. N , pˆ + z1−α/2 NEjemplo. v— tunt— de end—lu™í— pretende impl—nt—r un progr—m— de —yud— — f—mili—s ™on f—mili—resdependientesF h—do que l— m—yor p—rte de los ƒervi™ios ƒo™i—les son ™ompeten™i— de los muni™ipiosD l—tunt— propor™ion—rá los medios e™onómi™osD pero serán éstos los en™—rg—dos de eje™ut—r el progr—m—Fvos ƒervi™ios ƒo™i—les de ™u—lquier muni™ipio —sumen queD por errores inevit—˜lesD no tod—s l—s f—mili—s— l—s que su˜ven™ion—n reunen los requisitos exigidosD pero l— tunt— les respons—˜iliz— de que esto noo™urr— en más del R 7 de ell—sF ƒi se super— este por™ent—jeD pen—liz—rá —l muni™ipioFin un muni™ipio se muestre—n PHH f—mili—s y se dete™t— que IP de ell—s @T 7A no ™umplen l—s ™ondi™ionesexigid—sF ¾he˜e l— tunt— s—n™ion—r —l muni™ipiocƒi nos (j—mos sólo en el v—lor de l— estim—™ión puntu—lD T 7D sí de˜erí— h—™erloD pero no serí— justoX IPerrores en un— muestr— de PHH pueden no ser un— eviden™i— su(™iente de que el por™ent—je super—r— elR 7Fgonsideremos un un interv—lo de ™on(—nz— p—r— l— propor™ión de errores @S 7 de signi(™—™iónA ™on losd—tos o˜tenidosX 0.06 ∓ 1.96 0.06(1 − 0.06) = (0.027, 0.093). 200€or t—ntoD no h—y eviden™i—s de que el por™ent—je se— superior —l R 7 y no de˜e s—n™ion—rse —l muni™ipioF7.3.3. Intervalos de conanza para la varianzaenálog—menteD pueden d—rse interv—los de ™on(—nz— p—r— l— v—ri—nz— ™on l— medi— ™ono™id— o des™ono™id—Dpero sólo ™u—ndo l— vF—F o˜serv—d— sigue un— distri˜u™ión g—ussi—n—F em˜os ™—sos se re™ogen en el siguienteresult—doFƒe— X un— vF—F ™on distri˜u™ión g—ussi—n— de medi— µ @des™ono™id—A y v—ri—nz— σ2F ƒe— un— muestr—x = (x1, ..., xN ) de X y l— medi— muestr—l x¯. inton™esa X P N (Xi − x¯)2 < σ2 < N (Xi − x¯)2 = 1 − α. i=1 i=1 χ21− α ;N −1 χ2α ;N −1 2 2aEl valor de χ2α/2;N−1 χ21−α/2;N−1y debe buscarse en las tablas de la distribución χ2 u obtenerse mediante el ordenador.146 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo