Estadistica para ingenieros

Apuntes de Estadística para Ingenieros Versión 1.3, junio de 2012 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo Dpto de Estadística e Investigación Operativa Universidad de Jaén



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Apuntes de Estadística para Ingenieros Prof. Dr. Antonio José Sáez CastilloDepartamento de Estadística e Investigación Operativa Universidad de Jaén Versión 1.3 Junio de 2012

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén2 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Índice general1. Introducción 11IFIF ¾ué signi(™— ist—dísti™—c F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IIIFPF v— ist—dísti™— en el ám˜ito de l— gien™i— y l— sngenierí— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IPIFPFIF ijemplo de l—s ™—p—s de óxido de sili™io F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IPIFPFPF ijemplo de l— ˜om˜ill— de ˜—jo ™onsumo F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IPIFPFQF ijemplo de los niveles de plomo F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IRIFPFRF ijemplo de los ™ojinetes F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IRIFPFSF ijemplo de l— —˜sor™ión de un ™ompuesto — distint—s dosis y en distintos tiempos de —˜sor™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IRIFPFTF ijemplo de los —™™identes l—˜or—les F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ISIFPFUF ijemplo de l— ™o˜ertur— de l— —nten— de telefoní— móvil F F F F F F F F F F F F F F F F F ISIFPFVF ijemplo de l— señ—l —le—tori— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ISIFQF he(ni™iones ˜ási™—s F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ISI Estadística descriptiva 172. El tratamiento de los datos. Estadística descriptiva 19PFIF sntrodu™™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IWPFPF „ipos de d—tos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IWPFQF wétodos grá(™os y numéri™os p—r— des™ri˜ir d—tos ™u—lit—tivos F F F F F F F F F F F F F F F F F F PHPFRF wétodos grá(™os p—r— des™ri˜ir d—tos ™u—ntit—tivos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PIPFSF wétodos numéri™os p—r— des™ri˜ir d—tos ™u—ntit—tivos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PSPFSFIF wedid—s de tenden™i— ™entr—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PSPFSFIFIF wedi— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PSPFSFIFPF wedi—n— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PTPFSFIFQF wod— o interv—lo mod—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PTPFSFPF gu—ntiles F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PUPFSFQF wedid—s de v—ri—™ión o dispersión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PV Q

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén PFSFQFIF †—ri—nz— muestr—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PV PFSFQFPF hesvi—™ión típi™— o est—nd—r muestr—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PW PFSFQFQF goe(™iente de v—ri—™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QH PFSFRF wedid—s de form—F goe(™iente de —simetrí— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QI PFSFSF €—rámetros muestr—les y p—rámetros po˜l—™ion—les F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QPPFTF wétodos p—r— dete™t—r d—tos ™u—ntit—tivos —típi™os o fuer— de r—ngo F F F F F F F F F F F F F F QQ PFTFIF wedi—nte l— regl— empíri™— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QQ PFTFPF wedi—nte los per™entiles F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QQPFUF ƒo˜re el ejemplo de l—s ™—p—s de dióxido de sili™io F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QRII Cálculo de Probabilidades 373. Probabilidad 39QFIF sntrodu™™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QWQFPF ixperimentos —le—torios y experimentos determinísti™os F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RHQFQF he(ni™ión de pro˜—˜ilid—d F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RHQFQFIF Álge˜r— de ™onjuntos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RHQFQFPF isp—™io muestr—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RIQFQFQF pun™ión de pro˜—˜ilid—d F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RQQFRF snterpret—™ión fre™uentist— de l— pro˜—˜ilid—d F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RSQFSF snterpret—™ión su˜jetiv— de l— pro˜—˜ilid—d F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RSQFTF isp—™io muestr—l ™on result—dos equipro˜—˜lesF pórmul— de v—pl—™e F F F F F F F F F F F F F F RTQFUF €ro˜—˜ilid—d ™ondi™ion—d—F sndependen™i— de su™esos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RTQFVF „eorem— de l— pro˜—˜ilid—d tot—l y „eorem— de f—yes F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SIQFWF wás so˜re el „eorem— de f—yes F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SSQFWFIF ijemplo del juez F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F STQFWFPF ijemplo de l— máquin— de dete™™ión de f—llos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SU4. Variable aleatoria. Modelos de distribuciones de probabilidad 61RFIF sntrodu™™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TIRFPF †—ri—˜le —le—tori— dis™ret— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TPRFPFIF he(ni™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TPRFPFPF pun™ión m—s— de pro˜—˜ilid—d F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TPRFPFQF pun™ión m—s— de pro˜—˜ilid—d empíri™— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TQRFPFRF wedi— y v—ri—nz— de un— v—ri—˜le —le—tori— dis™ret— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TQRFQF wodelos de distri˜u™iones de pro˜—˜ilid—d p—r— v—ri—˜les dis™ret—s F F F F F F F F F F F F F F F TRRFQFIF histri˜u™ión ˜inomi—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TS4 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros RFQFPF histri˜u™ión de €oisson F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TV RFQFQF histri˜u™ión geométri™— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UH RFQFRF histri˜u™ión ˜inomi—l neg—tiv— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UIRFRF †—ri—˜le —le—tori— ™ontinu— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UQ RFRFIF he(ni™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UQ RFRFPF ristogr—m— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UQ RFRFQF pun™ión de densid—d F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F US RFRFRF pun™ión de distri˜u™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UT RFRFSF pun™ión de distri˜u™ión empíri™— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UU RFRFTF wedi— y v—ri—nz— de un— vF—F ™ontinu— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UVRFSF wodelos de distri˜u™iones de pro˜—˜ilid—d p—r— v—ri—˜les ™ontinu—s F F F F F F F F F F F F F F F VP RFSFIF histri˜u™ión uniforme @™ontinu—A F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F VP RFSFPF histri˜u™ión exponen™i—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F VP RFSFQF histri˜u™ión q—mm— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F VR RFSFRF histri˜u™ión norm—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F VTRFTF gu—ntiles de un— distri˜u™iónF epli™—™iones F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F WP RFTFIF v— ˜om˜ill— de ˜—jo ™onsumo m—r™— ex„i F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F WQ RFTFPF v—s visit—s —l pedi—tr— de los p—dres preo™up—dos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F WR5. Variables aleatorias con distribución conjunta 97SFIF sntrodu™™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F WUSFPF histri˜u™iones ™onjunt—D m—rgin—l y ™ondi™ion—d— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F WWSFPFIF histri˜u™ión ™onjunt— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F WWSFPFPF histri˜u™iones m—rgin—les F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IHISFPFQF histri˜u™iones ™ondi™ion—d—s F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IHQSFQF sndependen™i— est—dísti™— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IHUSFRF wedi—sD v—ri—nz—s y ™ov—ri—nz—s —so™i—d—s — un ve™tor —le—torio F F F F F F F F F F F F F F F F F IIISFRFIF gov—ri—nz— y ™oe(™iente de ™orrel—™ión line—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IIISFRFPF †e™tor de medi—s y m—triz de v—ri—nz—sE™ov—ri—nz—s de un ve™tor F F F F F F F F F F F F IIVSFSF histri˜u™ión norm—l multiv—ri—nte F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IIWIII Inferencia estadística 1256. Distribuciones en el muestreo 127TFIF sntrodu™™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IPUTFPF wuestreo —le—torio F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IPVTFQF histri˜u™iones en el muestreo F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IPVTFRF histri˜u™iones en el muestreo rel—™ion—d—s ™on l— distri˜u™ión norm—l F F F F F F F F F F F F F F IPWProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 5

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén7. Estimación de parámetros de una distribución 133UFIF sntrodu™™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IQQUFPF istim—™ión puntu—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IQRUFPFIF he(ni™ión y propied—des dese—˜les de los estim—dores puntu—les F F F F F F F F F F F F F IQRUFPFPF istim—™ión de l— medi— de un— vF—F v— medi— muestr—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F IQSUFPFQF istim—™ión de l— v—ri—nz— de un— vF—F †—ri—nz— muestr—l F F F F F F F F F F F F F F F F F IQSUFPFRF istim—™ión de un— propor™ión po˜l—™ion—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IQUUFPFSF y˜ten™ión de estim—dores puntu—lesF wétodos de estim—™ión F F F F F F F F F F F F F F F IQVUFPFSFIF wétodo de los momentos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IQVUFPFSFPF wétodo de máxim— verosimilitud F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IQWUFPFTF „—˜l— resumen de los estim—dores de los p—rámetros de l—s distri˜u™iones más ™omunes IRPUFQF istim—™ión por interv—los de ™on(—nz— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IRPUFQFIF snterv—los de ™on(—nz— p—r— l— medi— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IRRUFQFPF snterv—los de ™on(—nz— p—r— un— propor™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IRTUFQFQF snterv—los de ™on(—nz— p—r— l— v—ri—nz— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IRTUFQFRF ytros interv—los de ™on(—nz— F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IRUUFRF ‚esolu™ión del ejemplo de los niveles de plomo F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IRV8. Contrastes de hipótesis paramétricas 149VFIF sntrodu™™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IRWVFPF irrores en un ™ontr—ste de hipótesis F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ISIVFQF pEv—lor de un ™ontr—ste de hipótesis F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ISQVFQFIF he(ni™ión de pEv—lor F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ISQVFQFPF gál™ulo del pEv—lor F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ISSVFRF gontr—ste p—r— l— medi— de un— po˜l—™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ISTVFRFIF gon muestr—s gr—ndes @n ≥ 30A F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ISTVFRFPF gon muestr—s pequeñ—s @n < 30A F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ISVVFSF gontr—ste p—r— l— diferen™i— de medi—s de po˜l—™iones independientes F F F F F F F F F F F F F F ISWVFSFIF gon muestr—s gr—ndes @n1, n2 ≥ 30A F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ISWVFSFPF gon muestr—s pequeñ—s @n1 < 30 o n2 < 30A y v—ri—nz—s igu—les F F F F F F F F F F F F F ITHVFSFQF gon muestr—s pequeñ—sD v—ri—nz—s distint—s y mismo t—m—ño muestr—l F F F F F F F F F ITIVFSFRF gon muestr—s pequeñ—sD v—ri—nz—s distint—s y distinto t—m—ño muestr—l F F F F F F F F ITIVFTF gontr—ste p—r— l— diferen™i— de medi—s de po˜l—™iones —p—re—d—s F F F F F F F F F F F F F F F F ITPVFTFIF gon muestr—s gr—ndes @n ≥ 30A F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ITPVFTFPF gon muestr—s pequeñ—s @n < 30A F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ITPVFUF gontr—ste p—r— l— propor™ión en un— po˜l—™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ITRVFVF gontr—ste p—r— l— diferen™i— de propor™iones F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ITT6 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para IngenierosVFWF gontr—ste p—r— l— v—ri—nz— de un— po˜l—™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ITUVFIHF gontr—ste p—r— el ™o™iente de v—ri—nz—s F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ITUVFIIF gontr—ste p—r— l—s medi—s de más de dos po˜l—™iones independientesF exy†e F F F F F F F F F ITVVFIPF il pro˜lem—s de l—s prue˜—s múltiplesF wétodo de fonferroni F F F F F F F F F F F F F F F F F F IUIVFIQF ‚esolu™ión del ejemplo del del diámetro de los ™ojinetes F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IUP9. Contrastes de hipótesis no paramétricas 173WFIF sntrodu™™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IUQWFPF gontr—stes de ˜ond—d de —juste F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IUQWFPFIF „est χ2 de ˜ond—d de —juste F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IURWFPFPF „est de uolmogorovEƒmirno' F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IUVWFQF gontr—ste de independen™i— χ2 F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IUWWFRF ‚esolu™ión del ejemplo de los —™™identes l—˜or—les F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IVQ10.Regresión lineal simple 185IHFIF sntrodu™™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IVSIHFPF istim—™ión de los ™oe(™ientes del modelo por mínimos ™u—dr—dos F F F F F F F F F F F F F F F F IVVIHFQF ƒupuestos —di™ion—les p—r— los estim—dores de mínimos ™u—dr—dos F F F F F F F F F F F F F F F IWPIHFRF snferen™i—s so˜re el modelo F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IWQIHFRFIF snferen™i— so˜re l— pendiente F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IWQIHFRFPF snferen™i— so˜re l— orden—d— en el origen F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IWUIHFSF il ™oe(™iente de ™orrel—™ión line—l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IWWIHFTF pi—˜ilid—d de l— re™t— de regresiónF il ™oe(™iente de determin—™ión line—l F F F F F F F F F F F F PHPIHFUF €redi™™ión y estim—™ión — p—rtir del modelo F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PHQIHFVF hi—gnosis del modelo F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PHTIHFVFIF xorm—lid—d de los residuos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PHTIHFVFPF qrá(™— de residuos frente — v—lores —just—dos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PHTIV Procesos aleatorios 20911.Procesos aleatorios 211IIFIF sntrodu™™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PIIIIFIFIF he(ni™ión F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PIPIIFIFPF „ipos de pro™esos —le—torios F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PIPIIFPF hes™rip™ión de un pro™eso —le—torio F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PISIIFPFIF hes™rip™ión est—dísti™— medi—nte distri˜u™iones multidimension—les F F F F F F F F F F F PISIIFPFPF pun™ión medi— y fun™iones de —uto™orrel—™ión y —uto™ov—ri—nz— F F F F F F F F F F F F F PISIIFQF „ipos más ™omunes de pro™esos —le—torios F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PIUProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 7

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén IIFQFIF €ro™esos independientes F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PIU IIFQFPF €ro™esos ™on in™rementos independientes F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PIV IIFQFQF €ro™esos de w—rkov F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PIV IIFQFRF €ro™esos dé˜ilmente est—™ion—rios F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PIW IIFQFSF €ro™esos ergódi™os F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PPI IIFRF ijemplos de pro™esos —le—torios F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PPP IIFRFIF ‚uidos ˜l—n™os F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PPP IIFRFPF €ro™esos g—ussi—nos F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PPQ IIFRFQF €ro™esos de €oisson F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PPR8 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Prólogoil o˜jeto fund—ment—l de l— edi™ión de este do™umento es f—™ilit—r — los —lumnos de ingenierí— de l— is™uel—€olité™ni™— ƒuperior de vin—res el des—rrollo de los ™ontenidos teóri™os de l— —sign—tur— EstadísticaF hesde unpunto de vist— menos lo™—lD espero que se— útilD en —lgun— medid—D — todo —quel que ne™esite ™ono™imientos˜ási™os de l—s té™ni™—s est—dísti™—s más usu—les en el —m˜iente ™ientí(™oEte™nológi™oFe todos ellosD —lumnos y le™tores en gener—lD quiero f—™ilit—rles el privilegio de —prender de quienes yo he—prendidoD sugiriéndoles ™u—tro m—nu—les que p—r— mí h—n sido referen™i—s fund—ment—lesF ƒe tr—t—D en primerlug—rD del m—gní(™o li˜ro de ƒheldon wF ‚ossD Introducción a la EstadísticaF in él puede en™ontr—rse l—m—yor p—rte de lo que v—mos — estudi—r —quíD expli™—do de form— sen™ill— y ™l—r—D pero t—m˜ién ™oment—rioshistóri™osD reseñ—s ˜i˜liográ(™—s so˜re m—temáti™os y est—dísti™os relev—ntes y ejemplos muy —propi—dosFin segundo lug—rD re™omiendo los tr—˜—jos de ‡illi—m x—vidiD Estadística para ingenieros y cientícosD yt—y hevoreD Probabilidad y estadística para ingeniería y cienciasD so˜re todo por l— —™tu—lid—d de mu™hosde sus ejemplos y por ™ómo enf—tiz—n el ™—rá™ter —pli™—doD prá™ti™oD de l— ist—dísti™— en el ám˜ito de l—gien™i— y l— „e™nologí—F pin—lmenteD de˜o men™ion—r t—m˜ién el li˜ro de wendenh—l 8 ƒin™i™hD Probabilidady Estadística para Ingeniería y CienciasD que in™luyeD ™omo los dos —nterioresD unos ejemplos y ejer™i™iospropuestos m—gní(™osFin el —™tu—l ™ontexto del isp—™io iuropeo de idu™—™ión ƒuperiorD l— —sign—tur— Estadística tieneD en l— m—yorp—rte de los gr—dos en ingenierí—D un ™—rá™ter ˜ási™o y un— dot—™ión de T ™réditos ig„ƒF esí o™urreD porejemploD en l—s r—m—s de industri—les o tele™omuni™—™iones que se imp—rten en l— …niversid—d de t—énF ytr—sr—m—sD ™omo l— de ingenierí— ™ivilGminer—D h—n opt—do por in™luirl— ™omo —sign—tur— o˜lig—tori—D ™omp—rtid—™on un— —sign—tur— de —mpli—™ión de m—temáti™—s en l— que se proponen Q ™réditos ig„ƒ de est—dísti™—F gontodoD ™reo que estos —puntes pueden —d—pt—rse — esos distintos ™ontextosD —™l—r—ndo qué tem—s pueden sermás —de™u—dos p—r— ™—d— titul—™iónF in ™on™retoX IF €—r— l—s distint—s espe™i—lid—des de l— r—m— de industri—les serí—n oportunos los ™—pítulos ID PD QD RD TD UD VD W y IHF il ™—pítulo WD so˜re ™ontr—stes no p—r—métri™os puede d—rse — modo de semin—rioD si el des—rrollo de l— do™en™i— —sí lo sugiereF ƒin em˜—rgoD el ™—pítulo IHD so˜re regresión line—l simpleD me p—re™e impres™indi˜le en l— form—™ión de un futuro ingeniero industri—lF PF in los gr—dos de l— r—m— de tele™omuni™—™ionesD ™reo que son ne™es—rios los ™—pítulos ID PD QD RD SD TD UD V y IIF ‚esult— —sí el tem—rio quizá más exigenteD de˜ido — l— ne™esid—d de introdu™ir un ™—pítulo so˜re ve™tores —le—torios previo — otro so˜re pro™esos esto™ásti™osF ued— — ini™i—tiv— del do™ente l— posi˜ilid—d de re™ort—r —lgunos —spe™tos en los tem—s tr—t—dos en —r—s — h—™er más liger— l— ™—rg— do™enteF QF pin—lmenteD en los gr—dos de l— r—m— ™ivil y miner—D donde l— dot—™ión de ™réditos es menorD ™reo que W

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén son —de™u—dos los ™—pítulos ID PD QD RD TD UD V y IHD si ˜ien elimin—ndo —lgunos de sus —p—rt—dosD ™uestión ést— que dejoD de nuevoD — jui™io del do™enteF „—m˜ién sugiero que se tr—˜—jen los pro˜lem—s so˜re estos ™—pítulos dire™t—mente en el ™ontexto de un—s prá™ti™—s ™on orden—dorFƒólo me qued— pedir dis™ulp—s de —ntem—no por l—s err—t—s queD pro˜—˜lementeD ™ontienen est—s págin—sF ysruego que me l—s h—gáis lleg—r p—r— ™orregirl—s en posteriores edi™ionesF vin—resD junio de PHIPF10 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Capítulo 1Introducción vleg—rá un dí— en el que el r—zon—miento est—dísti™o será t—n ne™es—rio p—r— el ™iud—d—no ™omo —hor— lo es l— h—˜ilid—d de leer y es™ri˜ir rFqF ‡ells @IVTTEIWRTAResumen. il ™—pítulo in™luye un— introdu™™ión del término Estadística y present— los ™on™eptos más ˜ási™osrel—tivos — po˜l—™iones y muestr—sFPalabras clave: est—dísti™—D po˜l—™iónD po˜l—™ión t—ngi˜leD po˜l—™ión ™on™eptu—lD v—ri—˜leD muestr—D muestr——le—tori— simpleF1.1. ¾Qué signica Estadística?ƒi ˜us™—mos en el hi™™ion—rio de l— ‚e—l e™—demi— isp—ñol— de l— vengu— @h‚eiA el vo™—˜lo Estadística—p—re™en tres —™ep™iones de di™h— p—l—˜r—1X IF Estudio de los datos cuantitativos de la población, de los recursos naturales e industriales, del tráco o de cualquier otra manifestación de las sociedades humanas. PF Conjunto de estos datos. QF Rama de la matemática que utiliza grandes conjuntos de datos numéricos para obtener inferencias basadas en el cálculo de probabilidades.€ro˜—˜lemente el más ™omún de los signi(™—dos ™ono™idos de l— p—l—˜r— se— el segundoD y por ello solemosver en los medios de ™omuni™—™ión que ™u—lquier re™opil—™ión de ™ifr—s referentes — —lgún —sunto es ll—m—do@de form— muy redu™™ionist—A estadística o estadísticasFƒin em˜—rgoD el v—lor re—l de l— Estadística ™omo ™ien™i— tiene que ver mu™ho más ™on l— primer— y l— ter™er——™ep™ión del h‚eiF gon™ret—menteD el primero de los signi(™—dos se ™orresponde ™on lo que v—mos — estudi—r™omo Estadística DescriptivaD donde l— ist—dísti™— se utiliz— p—r— resumirD des™ri˜ir y explor—r d—tosD y elter™ero ™on lo que denomin—remos Inferencia EstadísticaD donde lo que se pretende medi—nte l— ist—dísti™— 1http://buscon.rae.es/draeI/SrvltGUIBusUsual?LEMA=estad %C3 %ADstica II

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaénes utiliz—r d—tos de un ™onjunto redu™ido de ™—sos p—r— inferir ™—r—™terísti™—s de éstos —l ™onjunto de todosellosF1.2. La Estadística en el ámbito de la Ciencia y la Ingenieríail p—pel de l— ist—dísti™— en l— gien™i— y l— sngenierí— hoy en dí— es ™ru™i—lD fund—ment—lmente porque—l —n—liz—r d—tos re™opil—dos en experimentos de ™u—lquier tipoD se o˜serv— en l— m—yorí— de l—s o™—sionesque di™hos d—tos están sujetos — —lgún tipo de in™ertidum˜reF il investig—dor o el profesion—l de˜e tom—rde™isiones respe™to de su o˜jeto de —nálisis ˜—sándose en esos d—tosD p—r— lo ™u—l de˜e dot—rse de herr—mient—s—de™u—d—sFe ™ontinu—™ión v—mos — des™ri˜ir un— serie de pro˜lem—s prá™ti™os en los que se pl—nte—n situ—™iones de estetipoF †—mos — ponerle un nom˜re espe™í(™o porque iremos men™ionándolos — lo l—rgo del ™ursoD ™onformese—mos ™—p—™es de responder — l—s ™uestiones que ™—d— uno de ellos dej—n —˜iert—sF1.2.1. Ejemplo de las capas de óxido de silicioil —rtí™ulo †irgin †ersus ‚e™y™led ‡—fers for purn—™e u—li(™—tionX ss the ixpense tusti(edc @†F gzitrom ytF ‚ee™eD en Statistical Case Studies for Industrial Process ImprovementD eƒe y ƒsewD IWWUXVUEIHRA des™ri˜eun pro™eso p—r— el ™re™imiento de un— ™—p— delg—d— de dióxido de sili™io so˜re pl—™—s de sili™io que se us—n enl— f—˜ri™—™ión de semi™ondu™toresF in él —p—re™en d—tos rel—tivos — l—s medi™iones del espesorD en —ngstroms ◦@AAD de l— ™—p— de óxido p—r— prue˜—s re—liz—d—s en PR pl—™—sX en ™on™retoD se re—liz—ron W medi™iones en ™—d—un— de l—s PR pl—™—sF v—s pl—™—s se f—˜ri™—ron en dos series distint—sD IP pl—™—s en ™—d— serieF ist—s pl—™—ser—n de distintos tipos y se pro™es—ron en distint—s posi™iones en el hornoD y— que entre otros —spe™tosD elpropósito de l— re™opil—™ión de los d—tos er— determin—r si el espesor de l— ™—p— de óxido est—˜— —fe™t—do porel tipo de pl—™— y por l— posi™ión en el hornoF €or el ™ontr—rioD el experimento se diseñó de t—l m—ner— queno se esper—˜— ningun— diferen™i— sistemáti™— entre l—s dos seriesF vos d—tos se muestr—n en l— „—˜l— IFIFvo primero que s—lt— — l— vist— —l mir—r esos d—tos es que es muy ™ompli™—do h—™erse un— ide— glo˜—l de los ◦result—dosF €—re™en est—r en torno — WH AD pero ™on v—ri—™iones import—ntes respe™to de ese v—lorF elgun—s dees—s v—ri—™iones son espe™i—lmente ll—m—tiv—s @UUFSD IHTFUD FFFAX ¾qué p—só en es—s pl—™—sc in sum—D es evidenteque se h—™e ne™es—ri— un— m—ner— sistemáti™— de —n—liz—r los d—tosD tr—t—ndo de des™ri˜irlos de form— pre™is—y o˜jetiv—D respondiendo — l—s pregunt—s que su˜y—™en en el diseño del experimentoX ¾son l—s dos series deexperimentos homogéne—sc ¾—fe™t— el tipo de pl—™—c ¾—fe™t— l— posi™ión en el hornoc FFF1.2.2. Ejemplo de la bombilla de bajo consumoin el envoltorio de l— ˜om˜ill— m—r™— ex„i de IR‡ se —(rm— liter—lmente Lámpara ahorradora de energía.Duración 8 años Fhe˜o re™ono™er de que tengo mis dud—sF €—r— empez—rD ¾es que — los V —ñosD de repenteD l— lámp—r— serompec €or otr— p—rteD ™reo que todos nosotros hemos experiment—do el he™ho de que ést—s lámp—r—s quesupuest—mente tienen un— dur—™ión m—yor que l—s tr—di™ion—les lámp—r—s in™—ndes™entes @según el envoltorioDV ve™es m—yorAD sin em˜—rgoD se rompen ™on f—™ilid—dF vuegoD ¾qué quiere de™ir ex—™t—mente el envoltorio —l—(rm—r que su dur—™ión es de V —ñosc12 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenierosƒerie €l—™— WHFHH WPFPH WRFWH WPFUH ◦ VVFPH WPFHH WVFPH WTFHH I I WIFVH WRFSH WQFWH UUFQH VWFWH VUFWH WPFVH WQFQH I P WHFQH WIFIH WQFQH WQFSH A VVFIH WHFIH WIFWH WRFSH I Q WPFTH WHFQH WPFVH WIFTH WIFUH VWFQH WSFSH WQFTH I R WIFIH VWFVH WIFSH WIFSH WIFT WQFIH VVFWH WPFSH WPFRH I S UTFIH WHFPH WTFVH VRFTH WPFH WSFUH WHFWH IHHFQH WSFPH I T WPFRH WIFUH WIFTH WIFIH VUFP WPFRH VVFUH WPFWH WPFTH I U WIFQH WHFIH WSFRH VWFTH WPFU WSFVH WIFUH WUFWH WSFUH I V WTFUH WQFUH WQFWH VUFWH WHFT WPFHH WHFSH WSFPH WRFQH I W WPFHH WRFTH WQFUH WRFHH WQFQ WHFIH WIFQH WPFUH WRFSH I IH WRFIH WIFSH WSFQH WPFVH VVFH WPFPH VWFRH WRFSH WSFRH I II WIFUH WUFRH WSFIH WTFUH WHFU WIFRH WHFSH WSFPH WQFIH I IP WQFHH VWFWH WQFTH VWFHH WHFR WHFWH VWFVH WPFRH WQFHH P I WIFRH WHFTH WPFPH WIFWH VWFQ VUFTH VVFWH WHFWH WPFVH P P WIFWH WIFVH WPFVH WTFRH WQFR VTFSH WPFUH WHFWH WPFVH P Q WHFTH WIFQH WRFWH VVFQH UUFS WPFPH WHFUH WIFQH WQFTH P R WQFIH WIFVH WRFTH VVFWH WQFT WUFWH WPFIH WIFTH WVFRH P S WHFVH WIFSH WIFSH WIFSH WPFR WIFHH WPFIH WIFVH WRFHH P T VVFHH WIFVH WHFSH WHFRH WQFV WIFSH VWFRH WQFPH WQFWH P U VVFQH WTFHH WPFVH WQFUH VUFW VWFTH WHFPH WSFQH WQFHH P V WRFPH WPFPH WSFVH WPFSH WHFH WIFRH WPFVH WQFTH WIFHH P W IHIFSH IHQFIH IHQFPH IHQFSH WRFH IHPFSH IHPFHH IHTFUH IHSFRH P IH WPFVH WHFVH WPFPH WIFUH WHFQ VVFSH VUFSH WQFVH WIFRH P II WPFIH WQFRH WRFHH WRFUH VWFT WPFIH WIFPH WPFQH WIFIH P IP WIFH £WTFI VWFH WHFV gu—dro IFIX h—tos del espesor de l—s ™—p—s de óxido de sili™ioProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 13

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaénin re—lid—dD nosotros de˜eremos —prender — —n—liz—r este pro˜lem—D —sumiendo que l— dur—™ión de est—˜om˜ill— no es un v—lor (jo y ™ono™idoD sino que está sujeto — in™ertidum˜reF vo que h—remos será dot—rnosde un modelo m—temáti™o que nos permit— v—lor—r si es pro˜—˜le o no que un— lámp—r— ex„i se romp——ntes de un —ñoD después de tres —ñosD et™F1.2.3. Ejemplo de los niveles de plomo…n —rtí™ulo pu˜li™—do en Journal of Environmental Engineering en PHHPD titul—do ve—™h—te from v—nd hisEposed ‚esidenti—l gonstru™tion ‡—steD present— un estudio de l— ™ont—min—™ión en ˜—sureros que ™ontienendese™hos de ™onstru™™ión y desperdi™ios de demoli™ionesF he un sitio de prue˜— se tom—ron RP muestr—s delixi—doD de l—s ™u—les PT ™ontienen niveles dete™t—˜les de plomoF ƒe pone —sí de m—ni(esto que sólo un— p—rtede los ˜—sureros está ™ont—min—d— por plomoF v— ™uestión es ¾qué propor™ión supone est— p—rte ™ont—min—d—de l— super(™ie tot—l de los ˜—sureroscƒi un— ingenier— dese— o˜tener — p—rtir de esos d—tos un— estim—™ión de l— propor™ión de los ˜—sureros que™ontiene niveles dete™t—˜les de plomo de˜e ser ™ons™iente de dos ™uestionesX IF is imposi˜le —n—liz—r todos los rin™ones de todos los ˜—surerosF PF ƒi se ˜—s— sólo en los d—tos del —rtí™uloD es— estim—™ión será sólo esoD un— estim—™ión ˜—s—d— en es— muestr—D que es de sólo RP d—tosF he˜erí—D por t—nto o˜tener t—m˜ién un— estim—™ión del error que está ™ometiendo —l h—™er l— estim—™iónF gon —m˜os result—dosD l— estim—™ión en sí y un— ™u—nti(™—™ión del error que podrí— ™ometer ™on ell—D in™luso podrá o˜tener un r—ngo donde l— verd—der— propor™ión se en™uentr—D ™on un —lto nivel de ™on(—nz—F1.2.4. Ejemplo de los cojinetes…n ingeniero industri—l es respons—˜le de l— produ™™ión de ™ojinetes de ˜ol—s y tiene dos máquin—s distint—sp—r— elloF ve interes— que los ™ojinetes produ™idos teng—n diámetros simil—resD independientemente de l—máquin— que los produ™eD pero tiene sospe™h—s de que está produ™iendo —lgún pro˜lem— de f—lt— de ™—li˜r—™iónentre ell—sF €—r— —n—liz—r est— ™uestiónD extr—e un— muestr— de IPH ™ojinetes que se f—˜ri™—ron en l— máquin—eD y en™uentr— que l— medi— del diámetro es de SFHTV mm y que su desvi—™ión estánd—r es de HFHII mmF ‚e—liz—el mismo experimento ™on l— máquin— f so˜re TS ™ojinetes y en™uentr— que l— medi— y l— desvi—™ión estánd—rsonD respe™tiv—menteD SFHUP mm y HFHHU mmF ¾€uede el ingeniero ™on™luir que los ™ojinetes produ™idos porl—s máquin—s tienen diámetros medios signi(™—tiv—mente diferentesc1.2.5. Ejemplo de la absorción de un compuesto a distintas dosis y en distintos tiempos de absorción…n equipo de investig—dores que tr—˜—j—n en segurid—d en el tr—˜—jo está tr—t—ndo de —n—liz—r ™ómo l—piel —˜sor˜e un ™ierto ™omponente quími™o peligrosoF €—r— elloD ™olo™— diferentes volúmenes del ™ompuestoquími™o so˜re diferentes segmentos de piel dur—nte distintos interv—los de tiempoD midiendo —l ™—˜o de esetiempo el por™ent—je de volumen —˜sor˜ido del ™ompuestoF il diseño del experimento se h— re—liz—do p—r— quel— inter—™™ión esper—˜le entre el tiempo y el volumen no in)uy— so˜re los result—dosF vos d—tos se mostr—ránen el último tem—F14 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenierosvo que los investig—dores se ™uestion—n es si l— ™—ntid—d de ™ompuesto por un l—do y el tiempo de exposi™ión—l que se somete por otroD in)uyen en el por™ent—je que se —˜sor˜eF he ser —síD serí— interes—nte estim—rel por™ent—je de —˜sor™ión de person—s que se somet—n — un— exposi™ión de un— determin—d— ™—ntid—dD porejemploD dur—nte V hor—sF1.2.6. Ejemplo de los accidentes laboralesin un— empres— se sospe™h— que h—y fr—nj—s hor—ri—s donde los —™™identes l—˜or—les son más fre™uentesF€—r— estudi—r este fenómenoD ™ont—˜iliz—n los —™™identes l—˜or—les que sufren los tr—˜—j—dores según fr—nj—shor—ri—sD dur—nte un —ñoF vos result—dos —p—re™en en l— t—˜l—Fror—s del dí— xúmero de —™™identes VEIH hF RU IHEIP hF SP IQEIS hF SU ISEIU hF TQgon es— inform—™iónD los respons—˜les de segurid—d de l— empres— de˜en de™idir si h—y fr—nj—s hor—ri—s dondelos —™™identes son más pro˜—˜les o siD por el ™ontr—rioD éstos o™urren —˜solut—mente —l —z—rF1.2.7. Ejemplo de la cobertura de la antena de telefonía móvil‚edu™iendo mu™ho el pro˜lem—D supong—mos que un— —nten— de telefoní— móvil tiene un— ™o˜ertur— que—˜—r™— — ™u—lquier móvil dentro de un ™ír™ulo de r—dio rF …n ingeniero puede suponer que un teléfono™on™reto puede est—r situ—do en cualquier punto al azar de ese ™ír™uloD pero ¾™ómo pl—sm—r esoc €or ejemploDsi nos ™entr—mos en l— dist—n™i— — l— —nten—D ¾™u—lquier dist—n™i— es igualmente probablec ¾‰ qué podemosde™ir de l—s ™oorden—d—s en un momento ™on™reto del móvilc1.2.8. Ejemplo de la señal aleatoriain el ™ontexto de l—s tele™omuni™—™ionesD ™u—lquier señ—l de˜e ™onsider—rse —le—tori—D es de™irD de˜e tenerse en™uent— que ™u—ndo l— o˜serv—mosD p—rte de ell— es de˜id— — l— in™ertidum˜re inherente — ™u—lquier pro™eso de™omuni™—™iónF ‰ es queD por multitud de r—zonesD n—die tiene g—r—ntí—s que l— señ—l envi—d— se— ex—™t—menteigu—l — l— señ—l re™i˜id—F…n ingeniero de˜e tener en ™uent— eso yD — pes—r de todoD ser ™—p—z de —n—liz—r l—s propied—des más relev—ntesde ™u—lquier señ—l y de estudi—r su ™omport—miento en ™u—lquier momento del pro™eso de ™omuni™—™iónF€or ejemploD hoy en dí— un— señ—l sufre multitud de tr—nsform—™iones en el pro™eso de ™omuni™—™iónF g—d—un— de es—s tr—nsform—™iones se ™onsider— el result—do del p—so de l— señ—l por un sistem—F il ingeniero de˜eser ™—p—z de ™ono™er l—s ™—r—™terísti™—s más relev—ntes de l— señ—l — lo l—rgo de tod—s es—s tr—nsform—™ionesF1.3. Deniciones básicas€—r— (n—liz—r este primer tem— de introdu™™iónD v—mos — ir (j—ndo l—s de(ni™iones más element—les queutiliz—remos — lo l—rgo del ™urso y que y— h—n sido motiv—d—s en l— introdu™™ión de los ejemplos —nterioresFProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 15

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaénƒe denomin— población — un ™onjunto de individuos o ™—sosD o˜jetivo de nuestro interésF€odemos distinguir entre po˜l—™iones t—ngi˜les y po˜l—™iones ™on™eptu—lesF…n— po˜l—™ión es tangible si ™onst— de elementos físi™os re—les que form—n un ™onjunto (nitoF€or ejemploD si est—mos ™onsider—ndo el estudio de l— —ltur— de los —lumnos de l— is™uel—D el ™onjunto deestos —lumnos es un— po˜l—™ión t—ngi˜leF…n— po˜l—™ión conceptual no tiene elementos re—lesD sino que sus ™—sos se o˜tienen por l— repeti™ión de unexperimentoF€or ejemploD ™u—ndo pl—nteᘗmos l—s prue˜—s so˜re pl—™—s de sili™ioD vemos que h—y t—ntos ™—sos ™omo prueE˜—s pued—n h—™erseD lo que supone un ™onjunto in(nito de ™—sosF in po˜l—™iones ™on™eptu—les es imposi˜leDpor t—ntoD ™ono™er todos los ™—sosD y tenemos que ™onform—rnos ™on muestr—s de los mismosF…n— variable o dato es un— ™—r—™terísti™— ™on™ret— de un— po˜l—™iónF€or ejemploX ƒi ™onsider—mos l— po˜l—™ión de todos los —lumnos de l— is™uel—D podemos (j—rnos en l— v—ri—˜le alturaF ƒi ™onsider—mos el supuesto de l—s prue˜—s so˜re pl—™—s de sili™ioD podemos ™onsider—r l— v—ri—˜le espesor de la capa de óxido de silicio generadaFƒe denomin— muestra — ™u—lquier su˜™onjunto de d—tos sele™™ion—dos de un— po˜l—™iónFil o˜jetivo de un— muestr—D y— se— en un— po˜l—™ión t—ngi˜le o en un— po˜l—™ión ™on™eptu—l es que loselementos de l— muestr— representen —l ™onjunto de todos los elementos de l— po˜l—™iónF ist— ™uestiónD l—™onstru™™ión de muestr—s —de™u—d—sD represent—tiv—sD es uno de los —spe™tos más deli™—dos de l— ist—dísti™—Fxosotros v—mos — ™onsider—r en est— —sign—tur— sólo un tipo de muestr—sD denomin—d—s muestras aleatoriassimplesF in un— muestr— —le—tori— simpleD todos los elementos de l— po˜l—™ión de˜en tener l—s mism—sposi˜ilid—des de s—lir en l— muestr— yD —demásD los elementos de l— muestr— de˜en ser independientesX el ques—lg— un result—do en l— muestr— no de˜e —fe™t—r — que ningún otro result—do s—lg— en l— muestr—F€or ejemploD podrí—mos est—r interes—dos en l— po˜l—™ión de todos los esp—ñoles ™on dere™ho — voto @po˜l—™iónt—ngi˜leD pero enormeAD de los que querrí—mos ™ono™er un d—to o v—ri—˜leD su inten™ión de voto en l—s próxim—sele™™iones gener—lesF h—do que est—mos h—˜l—ndo de millones de person—sD pro˜—˜lemente de˜eremos es™ogerun— muestr—D es de™irD un su˜™onjunto de esp—ñoles — los que se les re—liz—rí— un— en™uest—F ƒi queremos quees— muestr— se— —le—tori— simpleD de˜eremos tener ™uid—do de que todos los esp—ñoles ™on dere™ho — vototeng—n l—s mism—s posi˜ilid—des de ™—er en l— muestr— y de que l— respuest— de un entrevist—do no —fe™te — l—de ningún otroF gomo not— ™urios—D s—˜ed que l— m—yorí— de l—s en™uest—s n—™ion—les se h—™en ví— telefóni™—Dlo ™u—l es un— pequeñ— viol—™ión de l—s hipótesis de muestr— —le—tori— simpleD y— que h—y esp—ñoles ™ondere™ho — voto que no tienen teléfonoD luego es imposi˜le que s—lg—n en l— muestr—F16 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Parte IEstadística descriptiva IU



Capítulo 2El tratamiento de los datos. Estadísticadescriptiva is un error ™—pit—l el teoriz—r —ntes de poseer d—tosF snsensi˜lemente uno ™omienz— — —lter—r los he™hos p—r— en™—j—rlos en l—s teorí—sD en lug—r en™—j—r l—s teorí—s en los he™hos ƒherlo™k rolmes @eF gF hoyleAD en Un escándalo en BohemiaResumen. in este ™—pítulo —prenderemos métodos p—r— resumir y des™ri˜ir ™onjuntos de d—tos — tr—vés dedistintos tipos de t—˜l—sD grá(™os y medid—s est—dísti™—sFPalabras clave: d—tos ™u—ntit—tivosD d—tos ™u—lit—tivosD d—tos dis™retosD d—tos ™ontinuosD distri˜u™ión defre™uen™i—sD di—gr—m— de ˜—rr—sD di—gr—m— de se™toresD histogr—m—D medi—D medi—n—D mod—D ™u—ntilesD v—ri—nz—Ddesvi—™ión típi™—D —simetrí—D d—tos —típi™osF2.1. Introduccióny˜tenidos — tr—vés de en™uest—sD experimentos o ™u—lquier otro ™onjunto de medid—sD los d—tos est—dísti™ossuelen ser t—n numerosos que result—n prá™ti™—mente inútiles si no son resumidos de form— —de™u—d—F €—r—ello l— ist—dísti™— utiliz— t—nto té™ni™—s grá(™—s ™omo numéri™—sD —lgun—s de l—s ™u—les des™ri˜imos en este™—pítuloF€odemos de™ir que existe un— ™l—si(™—™iónD un t—nto —rti(™i—lD de los d—tosD según se re(er—n — un— po˜l—™iónt—ngi˜leD en ™uyo ™—so se ™ono™erán todos los ™—sosD o — un— po˜l—™ión ™on™eptu—lD en ™uyo ™—so sólo se™ono™erá un— muestr— @—le—tori— simpleAF ƒin em˜—rgoD est— ™l—si(™—™ión no tiene ningún efe™to en lo rel—tivo— lo que v—mos — estudi—r en este ™—pítuloF2.2. Tipos de datosvos d—tos @o v—ri—˜lesA pueden ser de dos tiposX cuantitativos y cualitativos. IW

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaénvos d—tos cuantitativos son los que represent—n un— ™—ntid—d re)ej—d— en un— es™—l— numéri™—F e su vezDpueden ™l—si(™—rse ™omo d—tos cuantitativos discretos si se re(eren —l ™onteo de —lgun— ™—r—™terísti™—D od—tos cuantitativos continuos si se re(eren — un— medid—Fvos d—tos cualitativos o categóricos se re(eren — ™—r—™terísti™—s de l— po˜l—™ión que no pueden —so™i—rse— ™—ntid—des ™on signi(™—do numéri™oD sino — ™—r—™terísti™—s que sólo pueden ™l—si(™—rseF Ejemplo. †e—mos —lgunos ejemplos de ™—d— uno de estos tipos de v—ri—˜lesX in el ejemplo del óxido de sili™ioD l— v—ri—˜le espesor es ™u—ntit—tiv— ™ontinu—F in el ejemplo de los ™ojinetesD el diámetro de los cojinetes es un— v—ri—˜le ™u—ntit—tiv— ™ontinu—F in el ejemplo de los niveles de plomoD se está —n—liz—ndo si un— muestr— ™ontiene niveles dete™t—E ˜les o noF ƒe tr—t—D por t—ntoD de un— v—ri—˜le ™u—lit—tiv— ™on dos ™—tegorí—sX sí contiene niveles detectables o no contiene niveles detectablesF in el ejemplo de los —™™identes l—˜or—lesD l— v—ri—˜le número de accidentes laborales es ™u—ntit—tiv— dis™ret—D mientr—s que l—s fr—nj—s hor—ri—s ™onstituyen un— v—ri—˜le ™u—lit—tiv—F2.3. Métodos grácos y numéricos para describir datos cualitativosv— form— más sen™ill— de des™ri˜ir de form— numéri™— un— v—ri—˜le ™u—lit—tiv— es determin—r su distri˜u™iónde fre™uen™i—sF €or su p—rteD est— distri˜u™ión de fre™uen™i—s determin— — su vez l—s represent—™iones grá(™—smás usu—lesFƒupong—mos que tenemos un— v—ri—˜le ™u—lit—tiv—D que tom— un— serie de posi˜les v—lores @™—tegorí—sAF ilnúmero de ve™es que se d— ™—d— v—lor es l— distribución de frecuencias de l— v—ri—˜leF ƒi en vez de d—r elnúmero de ve™es nos (j—mos en l— propor™ión de ve™esD tenemos l— distribución de frecuencias relativasFv—s represent—™iones grá(™—s más usu—les son los di—gr—m—s de ˜—rr—s y los di—gr—m—s de se™toresFvos diagramas de barras son un— represent—™ión de ™—d— un— de l—s ™—tegorí—s de l— v—ri—˜le medi—nte un—˜—rr— ™olo™—d— so˜re el eje ˆ y ™uy— —ltur— se— l— fre™uen™i— o l— fre™uen™i— rel—tiv— de di™h—s ™—tegorí—sFvos diagramas de sectores son ™ír™ulos divididos en t—ntos se™tores ™omo ™—tegorí—sD se™tores ™uyo ángulode˜e ser propor™ion—l — l— fre™uen™i— de ™—d— ™—tegorí—F20 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros g—tegorí— pre™uen™i— pre™uen™i— rel—tiv— €—ís xúmero de re—™tores nu™le—res €ropor™ión félgi™— R HFHRI pr—n™i— PP HFPPS pinl—ndi— P HFHPH elem—ni— U HFHUI rol—nd— I HFHIH t—pón II HFIIP ƒue™i— Q HFHQI ƒuiz— I HFHIHist—dos …nidos RU HFRVH „y„ev WV IFHHH gu—dro PFIX „—˜l— de fre™uen™i—sFEjemplo. „om—mos ™omo po˜l—™ión los WV re—™tores nu™le—res más gr—ndes en todo el mundoF xos(j—mos en l— v—ri—˜le o d—to referente —l p—ís donde están lo™—liz—dosFvos d—tos serí—n Bélgica, Bélgica, Bélgica, Bélgica, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Francia, Finlandia, Finlandia, Alemania, Alemania, Alemania, Alemania, Alemania, Alemania, Alemania, Holanda, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Japón, Suecia, Suecia, Suecia, Suiza, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, EstadosUnidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, EstadosUnidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, EstadosUnidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, EstadosUnidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos, Estados Unidos.v—s distri˜u™iones de fre™uen™i—s y de fre™uen™i—s rel—tiv—s podemos resumirl—s en un— tabla de fre-cuencias ™omo l— que —p—re™e en el gu—dro PFIF€or su p—rteD l—s represent—™iones medi—nte di—gr—m—s de ˜—rr—s y se™tores de estos d—tos —p—re™en en l—pigur— PFI y l— pigur— PFP respe™tiv—menteF2.4. Métodos grácos para describir datos cuantitativosƒi tenemos un— v—ri—˜le ™u—ntit—tiv— dis™ret— y ést— tom— po™os v—loresD podemos tr—t—rl— ™omo si fuer— un—v—ri—˜le ™u—lit—tiv—D ™—l™ul—r su distri˜u™ión de fre™uen™i—s y di˜uj—r un di—gr—m— de ˜—rr—sF Ejemplo. in un— empres— ™on ™—den— de mont—je donde se emp—quet—n piez—s en ™—j—s se re—liz— un estudio so˜re l— ™—lid—d de produ™™iónF vos d—tos siguientes inform—n so˜re el número de piez—s defe™tuos—s en™ontr—d—s en un— muestr— de ™—j—s ex—min—d—sX HHHHHHIIIIIIIIIPPPPPPPPPPQQQQQQQRRRRRRRSSSSTTTTTUUUVVWProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 21

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén Reactores nucleares. País de origen10 20 30 400 Alemania Bélgica EEUU Finlandia Francia Holanda Japón Suecia Suiza pigur— PFIX hi—gr—m— de ˜—rr—sF Reactores nucleares. País de origen EEUU Finlandia Bélgica Alemania Suiza Suecia Japón Holanda Francia pigur— PFPX hi—gr—m— de se™toresF il di—gr—m— de ˜—rr—s —so™i—do —p—re™en en l— pigur— PFQFƒin em˜—rgoD l— m—yorí— de v—ri—˜les ™u—ntit—tiv—s son de tipo ™ontinuoD de m—ner— que tom—n dem—si—dosv—lores ™omo p—r— que l— represent—™ión de su distri˜u™ión de fre™uen™i—s se— útil1F €or ello el método grá(™omás ™omún y tr—di™ion—l p—r— d—tos ™u—ntit—tivos es el histogr—m—Fil histograma es un— v—ri—nte del di—gr—m— de ˜—rr—s donde se —grup—n los v—lores de l— v—ri—˜le en interv—losp—r— que estos interv—los teng—n fre™uen™i—s m—yores que unoF€—r— o˜tener un histogr—m— de form— m—nu—l de˜en seguirse los siguientes p—sosX IF g—l™ul—mos el númeroD N D de interv—los que v—mos — utiliz—rF ƒe re™omiend— que se— —proxim—d—mente igu—l — l— r—íz ™u—dr—d— del número de d—tosF ƒin em˜—rgoD los progr—m—s est—dísti™os suelen utiliz—r otro métodoD ll—m—do Método de SturgesD en el que N = log2 n + 1 D donde n es el número de d—tos y [] es l— fun™ión p—rte enter—F 1Si toma muchos valores, muy probablemente la mayor parte de ellos sólo aparezca una vez, por lo que la distribución defrecuencias será casi siempre constante e igual a 1.22 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros Número de piezas defectuosas 0 2 4 6 8 10 0123456789 pigur— PFQX hi—gr—m— de ˜—rr—sFPF g—l™ul—mos el r—ngoD RD del histogr—m—D que será liger—mente más —mplio que el r—ngo de los d—tosF il histogr—m— de˜e ™omenz—r en un número @xmA liger—mente por de˜—jo del mínimo de los d—tos y termin—r en un número @xM A liger—mente por en™im— del máximoF il r—ngo del histogr—m— seráD por t—ntoD R = xM − xmFQF g—l™ul—mos l— longitudD LD de los interv—losD ™omo el ™o™iente entre el r—ngo del histogr—m— y el númerode interv—losD es de™irD L = R F NRF ƒe ™onstruyen los N interv—losX I1 = [xm, xm + L) I2 = [xm + L, xm + 2L) I3 = [xm + 2L, xm + 3L) ... IN = [xm + N × L, xM ).SF €—r— ™—d— interv—loD ™ont—mos el número de d—tos que h—y en élD es de™irD l— fre™uen™i— del interv—loFTF il histogr—m— es un di—gr—m— de ˜—rr—s donde en el eje ˆ se ™olo™—n los interv—los y so˜re ellos se ™onstruyen ˜—rr—s ™uy— —ltur— se— l— fre™uen™i— o l— fre™uen™i— rel—tiv— del interv—loF in este ™—soD l—s ˜—rr—s de˜en di˜uj—rse sin esp—™io entre ell—sF in o™—sionesD en vez de tom—r l— fre™uen™i— rel—tiv— ™omo —ltur— de l—s ˜—rr—sD se tom— di™h— fre™uen™i— rel—tiv— ™omo áre— de l—s ˜—rr—sX en ese ™—soD se h—˜l— de un histogr—m— en es™—l— de densid—dFNota. €or ™uestiones que det—ll—remos más —del—nte es import—nte dest—™—r que el por™ent—je de d—tosque ™—e dentro de un interv—lo es propor™ion—l —l áre— de l— ˜—rr— que se ™onstruye so˜re ese interv—loF€or ejemploD si el áre— de un— ˜—rr— es el QH 7 del áre— tot—l del interv—loD enton™es el QH 7 de los d—tosestán en di™ho interv—loFProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 23

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén Tiempos de procesado Frecuencia 123456789 0.00 0.96 1.92 2.88 3.84 4.80 pigur— PFRX ristogr—m—F€or otr— p—rteD ¾qué p—s—rí— si tom—mos un número muy gr—nde de d—tosc il número de interv—losdel histogr—m— serí— t—m˜ién muy gr—ndeD y l—s ˜—rr—s serí—n muy estre™h—sD de m—ner— que en vez dep—re™er un di—gr—m— de ˜—rr—sD p—re™erí— l— grá(™— de un— fun™ión re—l de v—ri—˜le re—lF r—˜l—remos deest— fun™ión y del áre— de˜—jo de ell— en ˜reveF €or ™iertoD ¾™ómo se ™—l™ul— el áre— ˜—jo est— fun™ióncEjemplo. vos d—tos siguientes ™orresponden —l tiempo ne™es—rio p—r— pro™es—r PS tr—˜—jos en un— g€…F IFIU IFTI IFIT IFQV QFSQ IFPQ QFUT IFWR HFWT RFUS HFIS PFRI HFUI HFHP IFSW HFIW HFVP HFRU PFIT PFHI HFWP HFUS PFSW QFHU IFR†—mos — ™—l™ul—r un histogr—m— p—r— esos d—tosF √ IF h—do que 25 = 5D utiliz—remos S interv—losFPF il mínimo de los d—tos es HFHP y el máximo RFUSD de m—ner— que podemos ™onsider—r ™omo r—ngo del histogr—m— el interv—lo [0, 4.8]D ™uy— longitud @r—ngo del histogr—m—A es RFV.QF v— longitud de los interv—los esD en ese ™—soD 4.8 = 0.96F 5RF gonstruimos los interv—losX I1 = [0, 0.96) I2 = [0.96, 1.92) I3 = [1.92, 2.88) I4 = [2.88, 3.84) I5 = [3.84, 4.8)24 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para IngenierosSF g—l™ul—mos l— distri˜u™ión de fre™uen™i— —so™i—d— — esos interv—losX „iempo de pro™es—do pre™uen™i— [0, 0.96) V V [0.96, 1.92) S [1.92, 2.88) Q [2.88, 3.84) I [3.84, 4.8)TF pin—lmenteD represent—mos el di—gr—m— de ˜—rr—s @pigur— PFRAF2.5. Métodos numéricos para describir datos cuantitativosis ™ierto que un di—gr—m— de ˜—rr—s o un histogr—m— nos —yud—n — tener un— im—gen de ™ómo son los d—tosDpero norm—lmente es ne™es—rio ™omplement—r es— im—gen medi—nte medid—s queD de form— o˜jetiv—D des™ri˜—nl—s ™—r—™terísti™—s gener—les del ™onjunto de d—tosF†—mos — ver en este —p—rt—do tres tipos de medid—sD que ˜ási™—mente responden — tres pregunt—sX por dóndeestán los datos @medid—s de posi™iónAD cómo de agrupados están los datos @medid—s de dispersiónA y quéforma tienen los datos @medid—s de form—AF2.5.1. Medidas de tendencia centralv—s medidas de tendencia central son medid—s de posi™ión que tr—t—n de est—˜le™er un v—lor que pued—™onsider—rse el centro de los d—tos en —lgún sentidoF2.5.1.1. Mediaƒe— un ™onjunto de d—tos de un— v—ri—˜le ™u—ntit—tiv—D x1, ..., xnF v— media de los d—tos es x¯ = n xi . i=1 nist— medid— es l— más ™omún dentro de l—s de tenden™i— ™entr—l y ™orresponde —l centro de gravedad de losd—tosFis inmedi—to ™ompro˜—r que si se re—liz— un ™—m˜io de origen y es™—l— so˜re los d—tosD del tipo y = ax + bDl— medi— sufre el mismo ™—m˜ioD es de™irD y¯ = ax¯ + bFhe igu—l form—D si tenemos d—tos de l— sum— de dos o más v—ri—˜lesD l— medi— de l— sum— es l— sum— de l—smedi—s de ™—d— v—ri—˜leFProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 25

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén2.5.1.2. Medianaƒe— un ™onjunto de d—tos de un— v—ri—˜le ™u—ntit—tiv—D x1, ..., xnF yrdenemos l— muestr— de menor — m—yorDx(1), ..., x(n)Fv— mediana es el v—lor de l— v—ri—˜le que dej— el mismo número de d—tos —ntes y después que élD un— vezorden—dos estosFil ™ál™ulo de l— medi—n— dependerá de si el número de d—tosD nD es p—r o imp—rX ƒi n es imp—rD l— medi—n— es el v—lor que o™up— l— posi™ión n+1 un— vez que los d—tos h—n sido orden—dos 2 @en orden ™re™iente o de™re™ienteAD porque éste es el v—lor ™entr—lF is de™irX Me = x( n+1 ) F 2 ƒi n es p—rD l— medi—n— es l— medi— —ritméti™— de l—s dos o˜serv—™iones ™entr—lesF gu—ndo n es p—rD los dos x( +x( d—tos que están en el ™entro de l— muestr— o™up—n l—s posi™iones n y n + 1F is de™irX Me = n ) n )+1 F 2 2 2 2 2v— medi—n— ™orresponde ex—™t—mente ™on l— ide— de v—lor ™entr—l de los d—tosF he he™hoD puede ser un v—lormás represent—tivo de éstos que l— medi—D y— que es más robusta que l— medi—F †eámos qué signi(™— esto enun ejemploFEjemplo. gonsideremos los d—tos siguientesX 0012345ƒu medi— es 0+0+1+2+3+4+5 = 2.1429D y su medi—n— PF 7€ero im—ginemos que por error o por ™—su—lid—d o˜tenemos un nuevo d—to enormemente gr—nde enrel—™ión —l resto de d—tosD VHF in ese ™—soD l— medi— serí— 0 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 80 = 11.875 8y l— medi—n— PFSF is de™irD un solo d—to puede despl—z—r enormemente l— medi—D h—st— ™onvertirl— en un—medid— po™o represent—tiv—D pero sólo despl—z—rá liger—mente l— medi—n—F ise es el motivo por el que sedi™e que l— medi—n— es un— medid— robustaF2.5.1.3. Moda o intervalo modalin prin™ipio l— moda se de(ne ™omo el v—lor más fre™uente de los d—tosF vo que o™urre es que si éstos sond—tos de un— v—ri—˜le ™ontinu— o dis™ret— ™on mu™hos v—loresD puede que los d—tos —pen—s se repit—nF in ese™—soD en el queD ™omo vimos en l—s represent—™iones grá(™—sD se de˜e —grup—r por interv—losD no de˜e d—rseun v—lor ™omo mod—D sino un intervalo modalD —quél ™on m—yor fre™uen™i— —so™i—d—F26 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros2.5.2. Cuantilesvos cuantiles son medid—s de posi™ión pero no ne™es—ri—mente lig—dos —l centro de los d—tosF v— ide— — l—que responden es muy sen™ill— y muy prá™ti™—F ƒe tr—t— de v—lor—r de form— rel—tiv— ™ómo es un d—to respe™todel ™onjunto glo˜—l de todos los d—tosFƒiD por ejemploD un niño de R —ños pes— IQ kilosD ¾está desnutridoc ¾está s—noc v— respuest— de˜e ser quedependeF ¾hónde vive el niñoc is import—nte porqueD por ejemploD en ist—dos …nidos los niños son en gener—lmás gr—ndes queD por ejemploD en t—pónF uizá más que el peso nos interese s—˜er qué posi™ión rel—tiv— tieneel peso del niño dentro de l— po˜l—™ión de l— que form— p—rteF €or ejemploD si nos di™en que el niño está entreel I 7 de los niños que menos pes—nD pro˜—˜lemente tiene un pro˜lem— de ™re™imientoFil cuantil p @QpA de unos d—tos (0 ≤ p ≤ 1)D serí— un v—lor de l— v—ri—˜le situ—do de modo que el 100p % delos v—lores se—n menores o igu—les que él y el resto @100(1 − p) %A m—yoresFxo o˜st—nteD en l— prá™ti™— v—mos — en™ontr—r un pro˜lem— p—r— en™ontr—r ™u—ntilesD so˜re todo ™on po™osd—tosX lo más h—˜itu—l es que no exist— el v—lor ex—™to que deje — l— izquierd— el 100p % de los v—lores y elresto — l— dere™h—F €or ese motivoD los progr—m—s est—dísti™os utiliz—n un—s fórmul—s de interpol—™ión p—r—o˜tener el v—lor del ™u—ntil entre los dos v—lores de los d—tos que lo ™ontienenF in nuestro ™—soD — l— hor—de o˜tener ™u—ntilesD l— —pli™—™ión de es—s fórmul—s de interpol—™ión a mano h—rí—n muy lentos y pes—doslos ™ál™ulosD por lo que v—mos — —pli™—r un ™onvenio mu™ho más sen™illoX —proxim—remos el v—lor del ™u—ntil™orrespondiente de l— siguiente form—XIF ƒi el 100p % de nD donde n es el número de d—tosD es un enteroD kD enton™es Qp = .x(k) +x(k+1) 2PF ƒi el 100p % de n no es un enteroD lo redonde—mos —l entero siguienteD kD y enton™es Qp = x(k)Fxo olvidemosD sin em˜—rgoD que los progr—m—s est—dísti™os v—n — utiliz—r l—s fórmul—s de interpol—™ión p—r—™—l™ul—r el v—lor de los ™u—ntilesD de m—ner— que no de˜e extr—ñ—r si se o˜serv—n pequeñ—s diferen™i—s —l™omp—r—r nuestros result—dos a mano ™on los de estos progr—m—sFixisten diversos nom˜res p—r— referirse — —lgunos tipos de ™u—ntilesF intre ellosX vos percentiles son los ™u—ntiles que dividen l— muestr— en IHH p—rtesD es de™irD son los ™u—ntiles HFHI @per™entil IAD HFHP @per™entil PAD FFFD HFWW @per™entil WWAF ƒi not—mos por Pα —l per™entil αD ™on α = 1, 2, 3, ..., 99D se tiene que Pα = Qα/100F in ist—dísti™— hes™riptiv— es más fre™uente h—˜l—r de per™entiles que de ™u—ntiles porque se re(eren — ™—ntid—des entre H y IHHD en t—nto por ™ientoD que son más h—˜itu—les de v—lor—r por todo el mundoF vos cuartiles dividen — l— po˜l—™ión en ™u—tro p—rtes igu—lesD es de™irD ™orresponden — los ™u—ntiles HFPSD HFS @medi—n—A y HFUSFEjemplo. gonsideremos de nuevo los d—tos ™orrespondientes —l tiempo de pro™es—do de PS t—re—s en un—g€…F ehor— los hemos orden—do de menor — m—yor @en S (l—sAXProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 27

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén HFHP HFUS IFIU IFTI PFSW HFIS HFVP IFPQ IFWR QFHU HFIW HFWP IFQV PFHI QFSQ HFRU HFWT IFRH PFIT QFUT HFUI IFIT IFSW PFRI RFUS†—mos — ™—l™ul—r distint—s medid—s de posi™ión y — ™oment—rl—sFin primer lug—rD l— medi— es IFTQF v— medi—n— o™up— el lug—r IQ en l— muestr— orden—d—D y su v—lor esIFQVF y˜sérvese que l— medi— es —lgo m—yor que l— medi—n—X esto es de˜ido — l— presen™i— de —lgunosv—lores signi(™—tiv—mente más —ltos que el restoD ™omo pudimos ver en el histogr—m—F€or su p—rteD el P25 o ™u—ntil HFPS o™up— l— posi™ión UD y— que el PS 7 de PS es TFPSF €or t—ntoD P25 = 0.82Fhe igu—l form—D P75 = Q0.75 = 2.16D el v—lor que o™up— l— posi™ión IWF €odemos verD por t—ntoD que losv—lores más ˜—jos están muy —grup—dos —l prin™ipioD y se v—n dispers—ndo más ™onforme se h—™en más—ltosF2.5.3. Medidas de variación o dispersiónv—s medidas de variación o dispersión están rel—™ion—d—s ™on l—s medid—s de tenden™i— ™entr—lD y— quelo que pretenden es ™u—nti(™—r ™ómo de ™on™entr—dos o dispersos están los d—tos respe™to — est—s medid—sFxosotros nos v—mos — limit—r — d—r medid—s de dispersión —so™i—d—s — l— medi—Fv— ide— de est—s medid—s es v—lor—r en qué medid— los d—tos están —grup—dos en torno — l— medi—F ist— ™uestiónt—n simple es uno de los motivos más —˜surdos de l— m—l— prens— que tiene l— ist—dísti™— en l— so™ied—d engener—lF v— gente no se fí— de lo que ellos ll—m—n la Estadística entre otros motivosD porque p—re™e que todoel mundo ™ree que un— medi— tiene que ser un v—lor válido p—r— todosD y eso es m—teri—lmente imposi˜leFEjemplo. €ensemos en l— medi— del s—l—rio de los esp—ñolesF in PHHS fue de IVFUSH euros —l —ñoF ehor— ˜ienD es— medi— in™luye t—nto — l—s regiones más des—rroll—d—s ™omo — l—s más desf—vore™id—s yD evidentementeD l— ™ifr— gener—rá mu™ho m—lest—r en gr—n p—rte de l— po˜l—™ión @™on tod— segurid—dD más del SH 7AD ™uyo s—l—rio está por de˜—joFEjemplo. ixiste un— fr—se muy ™ono™id— que di™e que la Estadística es el arte por el cuál si un español se come un pollo y otro no se come ninguno, se ha comido medio pollo cada unoF is— fr—se se us— en mu™h—s o™—siones p—r— ridi™uliz—r — l— ist—dísti™—D ™u—ndo en re—lid—d de˜erí— servir p—r— des—™redit—r — quien l— di™eD por su ignor—n™i—Fr—y que de™ir que l— ist—dísti™— no tiene l— ™ulp— de que l— gente espere de un— medi— más de lo que es ™—p—zde d—rD ni de que muy po™— gente ™onoz™— medid—s de dispersión —so™i—d—s — l— medi—F2.5.3.1. Varianza muestralh—dos unos d—tos de un— v—ri—˜le ™u—ntit—tiv—D x1, ..., xnD l— varianza muestral2 de esos d—tos ess2n−1 = n (xi − x¯)2 . i=1 1 n−28 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para IngenierosNota. €—r— ™—l™ul—r a mano l— v—ri—nz— result— más ™ómodo des—rroll—r un po™o su fórmul—D ™omo v—mos— verX sn2 −1 = n (xi − x¯)2 = n xi2 − 2x¯ n xi + nx¯2 = n x2i − 2x¯nx¯ + nx¯2 = i=1 i=1 i=1 i=1 n−1 n−1 n−1 n xi2 − nx¯2 . i=1 1 n−gu—nto m—yor se— l— v—ri—nz— de unos d—tosD más dispersosD heterogéneos o v—ri—˜les son esos d—tosF gu—ntomás pequeñ— se— un— v—ri—nz— de unos d—tosD más —grup—dos u homogéneos son di™hos d—tosFEjemplo. …n— muestr— —le—tori— simple de l— —ltur— de S person—s —rroj— los siguientes result—dosX 1.76 1.72 1.80 1.73 1.79g—l™ulemos su medi— y su v—ri—nz— muestr—lFvo úni™o que ne™esit—mos es 5 xi = 8.8 y 5 xi2 = 15.493F e p—rtir de estos d—tosD i=1 i=1 8.8 x¯ = = 1.76 5y sn2 −1 = 15.493 − 5 × 1.762 = 0.00125 4in lo que respe™t— —l ™omport—miento de l— v—ri—nz— muestr—l frente — ™—m˜ios de origen y es™—l—D sólo le—fe™t—n los segundosF is de™irD si tenemos que y = ax + bD se veri(™— que sy2;n−1 = a2sx2;n−1Fpin—lmenteD si ˜ien h—˜í—mos ™oment—do que en el ™—so de l— medi—D si tenemos l— sum— de v—ri—s v—ri—˜lesDl— medi— tot—l es l— sum— de l—s medi—s de ™—d— v—ri—˜leD no o™urre —sí ™on l— v—ri—nz— en gener—lF2.5.3.2. Desviación típica o estandar muestralil prin™ip—l pro˜lem— de l— v—ri—nz— es su unid—d de medid—F €or ™ómo se de(ne siD por ejemploD l— v—ri—˜lese expres— en kilosD l— medi— t—m˜ién se expres— en kilosD pero l— v—ri—nz— se expres— en kilos2D lo que h—™eque se— difí™il v—lor—r si un— v—ri—nz— es muy elev—d— o muy pequeñ—Fis por ello que se de(ne l— desviación típica o estandar muestral de los d—tos ™omo sn−1 = sn2−1D™uy— unid—d de medid— es l— mism— que l— de l— medi—FProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 29

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén Nota. v— ‚egl— impíri™— ƒi el histogr—m— —so™i—do — unos d—tos tiene l— form— de un— ™—mp—n— o de un— joro˜—D el ™onjunto de d—tos tendrá l—s siguientes ™—r—™terísti™—sD lo que en —lgunos li˜ros se ™ono™e ™omo Regla EmpíricaX IF eproxim—d—mente el TV 7 de los d—tos est—rá en el interv—lo (x¯ − sn−1, x¯ + sn−1) . PF eproxim—d—mente el WS 7 de los d—tos est—rá en el interv—lo (x¯ − 2sn−1, x¯ + 2sn−1) . QF g—si todos los d—tos est—rán en el interv—lo (x¯ − 3sn−1, x¯ + 3sn−1) . pigur— PFSX ‚epresent—™ión grá(™— de l— regl— empíri™—F2.5.3.3. Coeciente de variacióngomo —™—˜—mos de de™irD de˜emos propor™ion—r ™—d— medi— junto ™on —lgun— medid— de dispersiónD prefeErentemente l— desvi—™ión típi™—F …n— form— de v—lor—r en términos rel—tivos ™ómo es de dispers— un— v—ri—˜lees pre™is—mente propor™ion—r el ™o™iente entre l— desvi—™ión típi™— y l— medi— @en v—lor —˜solutoAD lo que se™ono™e ™omo coeciente de variación.h—do un ™onjunto de d—tos de medi— x¯ y desvi—™ión típi™— sn−1D se de(ne su coeciente de variación ™omo CV = sn−1 . |x¯|v— prin™ip—l vent—j— del ™oe(™iente de v—ri—™ión es que no tiene unid—des de medid—D lo que h—™e más fá™ilsu interpret—™iónF30 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para IngenierosEjemplo. €—r— los d—tos de tiempo de pro™es—do en un— g€… de PS t—re—sD l— v—ri—nz— es IFRPD luego sudesvi—™ión est—nd—r es IFIWD y el ™oe(™iente de v—ri—™ión 1.19 = 0.73F €or t—ntoD l— desvi—™ión estánd—r es 1.63—lgo más del UH 7 de l— medi—F isto indi™— que los d—tos no están muy ™on™entr—dos en torno — l— medi—Dpro˜—˜lemente de˜ido — l— presen™i— de los v—lores —ltos que hemos ™oment—do —ntesFNota. il ™oe(™iente de v—ri—™iónD t—l y ™omo está de(nidoD sólo tiene sentido p—r— ™onjuntos de d—tos™on el mismo signoD es de™irD todos positivos o todos neg—tivosF ƒi hu˜ier— d—tos de distinto signoD l—medi— podrí— est—r próxim— — ™ero o ser ™eroD imposi˜ilit—ndo que —p—rez™— en el denomin—dorFNotaF ƒuele ser fre™uente el error de pens—r que el ™oe(™iente de v—ri—™ión no puede ser m—yor que ID lo™u—l es riguros—mente f—lsoF ƒi lo expres—mos en por™ent—jeD el ™oe(™iente de v—ri—™ión puede ser superior—l IHH 7 sin más que l— desvi—™ión típi™— se— m—yor que l— medi—D ™os— ˜—st—nte fre™uenteD por ™iertoFNotaF e l— hor— de interpret—r el ™oe(™iente de v—ri—™ión inmedi—t—mente surge l— pregunt— de ¾cuándopodemos decir que es alto y cuándo que es bajo? ‚e—lmenteD no existe un— respuest— pre™is—D sino quedepende del ™ontexto de los d—tos que estemos —n—liz—ndoF ƒiD por ejemploD est—mos —n—liz—ndo unos d—tosque por su n—tur—lez— de˜en ser muy homogéneosD un ™oe(™iente de v—ri—™ión del IH 7 serí— enormeD perosi por el ™ontr—rio est—mos —n—liz—ndo d—tos que por su n—tur—lez— son muy v—ri—˜lesD un ™oe(™iente dev—ri—™ión del IH 7 serí— muy pequeñoF€or todo elloD lo re™omend—˜le es —n—liz—r el ™oe(™iente de v—ri—™ión entendiendo su signi(™—do numéri™oDes de™irD entendiendo que se re(ere — l— ™omp—r—™ión de l— desvi—™ión típi™— ™on l— medi—D e interpret—ndosu v—lor en rel—™ión —l ™ontexto en el que estemos tr—˜—j—ndoF2.5.4. Medidas de forma. Coeciente de asimetríav—s medidas de forma ™omp—r—n l— form— que tiene l— represent—™ión grá(™—D ˜ien se— el histogr—m— o eldi—gr—m— de ˜—rr—s de l— distri˜u™iónD ™on un— situ—™ión ideal en l— que los d—tos se rep—rten en igu—l medid—— l— dere™h— y — l— izquierd— de l— medi—Fis— situ—™ión en l— que los d—tos están rep—rtidos de igu—l form— — uno y otro l—do de l— medi— se ™ono™e™omo simetríaD y se di™e en ese ™—so que l— distri˜u™ión de los d—tos es simétri™—F in ese ™—soD —demásD sumedi—n—D su mod— y su medi— ™oin™idenF€or ™ontr—D se di™e que un— distri˜u™ión es asimétrica a la derecha si l—s fre™uen™i—s @—˜solut—s o rel—tiv—sAdes™ienden más lent—mente por l— dere™h— que por l— izquierd—F ƒi l—s fre™uen™i—s des™ienden más lent—mentepor l— izquierd— que por l— dere™h— diremos que l— distri˜u™ión es asimétrica a la izquierdaF€—r— v—lor—r l— simetrí— de unos d—tos se suele utiliz—r el coeciente de asimetría de FisherX n (xi −x¯)3 i=1 As = n−1 . s3n−1Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo 31

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaény˜sérvese que p—r— evit—r el pro˜lem— de l— unid—d y h—™er que l— medid— se— es™—l—r y por lo t—nto rel—tiv—Ddividimos por el ™u˜o de su desvi—™ión típi™—F he est— form— podemos v—lor—r si unos d—tos son más o menossimétri™os que otrosD —unque no estén medidos en l— mism— unid—d de medid—F v— interpret—™ión de este™oe(™iente de —simetrí— es l— siguienteX „—nto m—yor se— el ™oe(™iente en v—lor —˜solutoD más —simétri™os serán los d—tosF il signo del ™oe(™iente nos indi™— el sentido de l— —simetrí—X ˆ ƒi es positivo indi™— que l— —simetrí— es — l— dere™h—F ˆ ƒi es neg—tivoD indi™— que l— —simetrí— es — l— izquierd—F pigur— PFTX porm—s típi™—s de distri˜u™iones de d—tosF Ejemplo. €—r— los d—tos de tiempo de pro™es—do en un— g€… de PS t—re—sD el ™oe(™iente de —simetrí— de pisher es HFWID lo queD ™omo h—˜í—mos visto y ™oment—do ™on —nteriorid—dD pone de m—ni(esto que l— distri˜u™ión es —simétri™— — l— dere™h—D de˜ido — l— presen™i— de tiempos de pro™es—do ˜—st—nte —ltos en rel—™ión —l restoF2.5.5. Parámetros muestrales y parámetros poblacionalesgu—ndo se tr—˜—j— ™on un— muestr— de un— po˜l—™iónD y— se— ést— t—ngi˜le o ™on™eptu—lD l—s distint—s medid—sde posi™iónD dispersión y form—D se denomin—n parámetros muestralesF r—y que tener en ™uent— queprá™ti™—mente siempre se tr—˜—j— ™on muestr—sD y— que o ˜ien tr—˜—j—mos ™on po˜l—™iones ™on™eptu—les o™on po˜l—™iones t—ngi˜les @(nit—sD por t—ntoAD pero ™on mu™hísimos elementosFprente — estos p—rámetros muestr—les se en™uentr—n los p—rámetros —nálogos referidos — tod— l— po˜l—™iónFistos p—rámetrosD ll—m—dos parámetros poblacionalesD sonD en gener—lD imposi˜les de ™ono™er3F €or ejemEploD l— medi— po˜l—™ion—l se ™—l™ul—rí— igu—l que l— medi— muestr—l de unos d—tosD pero —pli™—d— l— fórmul— —todos los elementos de l— po˜l—™iónF gomo eso es prá™ti™—mente imposi˜le de poner en l— prá™ti™—D veremos 3Salvo en el caso de poblaciones nitas con pocos elementos.32 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenierosen ™—pítulos posteriores que los p—rámetros muestr—les se utiliz—n en l— prá™ti™— p—r— —proxim—r o estim—r losp—rámetros po˜l—™ion—lesF2.6. Métodos para detectar datos cuantitativos atípicos o fuera de rangor—y o™—siones en que un ™onjunto de d—tos ™ontiene un— o más o˜serv—™iones inconsistentes en —lgún sentidoF€or ejemploD en los d—tos de tiempo de pro™es—do en un— g€… de PS t—re—sD supong—mos que tenemosun— o˜serv—™ión másD igu—l — VSD de˜ido — que l— g€… se ˜loqueó y hu˜o que reini™i—rl—F iste d—toD quepro˜—˜lemente no deseemos in™luirD es un ejemplo de ™—so de d—to —típi™o o v—lor fuer— de r—ngoFin gener—lD un— o˜serv—™ión que es inusu—lmente gr—nde o pequeñ— en rel—™ión ™on los demás v—lores de un™onjunto de d—tos se denomin— dato atípico o fuera de rangoFistos v—lores son —tri˜ui˜lesD por lo gener—lD — un— de l—s siguientes ™—us—sX IF il v—lor h— sido introdu™ido en l— ˜—se de d—tos in™orre™t—menteF PF il v—lor proviene de un— po˜l—™ión distint— — l— que est—mos estudi—ndoF QF il v—lor es ™orre™to pero represent— un su™eso muy po™o ™omúnFe ™ontinu—™ión v—mos — proponer dos m—ner—s de determin—r si un d—to es un v—lor fuer— de r—ngoF2.6.1. Mediante la regla empíricaiste método es —de™u—do si el histogr—m— de los d—tos tiene form— de ™—mp—n—D en ™uyo ™—so podemos —pli™—rl— regl— empíri™— p—r— dete™t—r qué d—tos están fuer— de los r—ngos lógicos según est— regl—Fƒegún ell—D el WWFS 7 de los d—tos están en el interv—lo [x¯ − 3sn−1, x¯ + 3sn−1]D luego se considerarán datosatípicos los xi que no pertenezcan al intervalo [x¯ − 3sn−1, x¯ + 3sn−1] .2.6.2. Mediante los percentilesƒupong—mos que tenemos un ™onjunto de d—tos x1, ..., xnF il pro™edimiento es el siguienteX IF ƒe ™—l™ul—n los ™u—rtiles primero y ter™eroD es de™irD los per™entiles PS y USD P25 y P75F ƒe ™—l™ul— el ll—m—do rango intercuartílico @IR o RI AD IR = P75 − P25F PF ƒe ™onsider—n datos atípicos —quellos inferiores — P25 − 1.5IR o superiores — P75 + 1.5IRFProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 33

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaénwedi—s hesvF „ípi™— g† goefF esimetr헃erie I WPFHI QFTP PSFRH EIFUWƒerie P WPFUR QFUQ PRFVT IFUIgu—dro PFPX ‚esumen des™riptivo de los d—tos de l—s pl—™—s de sili™io Ejemplo. †—mos — ver si h—y —lgún d—to —típi™o entre los d—tos de tiempo de pro™es—do en un— g€… de PS t—re—sF h—do que el histogr—m— no tení— form— de ™—mp—n—D el método de l— regl— empíri™— no es el método más —de™u—do p—r— l— dete™™ión de v—lores —típi™osF €or su p—rteD P50 = 1.38D P25 = 0.82 y P75 = 2.16F €or t—ntoD IR = 2.16−0.82 = 1.34D y el interv—lo fuer— del ™ú—l ™onsider—mos v—lores fuer— de r—ngo es [0.82 − 1.5 × 1.34, 2.16 + 1.5 × 1.34] = [−1.19, 4.17]F he est— form—D el v—lor RFUS es un v—lor fuer— de r—ngoFr—y un— versión grá(™— de este método p—r— dete™t—r v—lores —típi™os medi—nte los per™entilesX se ll—m—diagrama de caja o diagrama de cajas y bigotes o @en inglésA boxplotF iste di—gr—m— in™luye en ungrá(™oX IF il v—lor de l— medi—n— @o segundo ™u—rtilD Q2AX ese es el ™entro de l— ™—j—F PF il v—lor de los per™entiles PS y USD ™u—rtiles primero y ter™ero respe™tiv—mente @Q1 y Q3AX son los l—dos inferior y superior de l— ™—j—F QF il di—gr—m— no represent— los límites P25 − 1.5 × IR y P75 + 1.5 × IRF in su lug—rD señ—l— los últimos puntos no —típi™os por de˜—jo @LiA y por en™im— @LsAD es de™irD señ—l— el último d—to por en™im— de P25 − 1.5 × IR y el último d—to por de˜—jo de P75 + 1.5 × IRD y los represent— ™omo bigotes que s—len de l— ™—j—F RF xorm—lmente represent— ™on ™ír™ulos los d—tos —típi™osF2.7. Sobre el ejemplo de las capas de dióxido de silicio‰— est—mos en ™ondi™iones de responder en p—rte — l—s ™uestiones que qued—ron l—tentes en el tem— deintrodu™™ión so˜re el ejemplo de l—s pl—™—s de sili™ioF†—mos — ™omenz—r re—liz—ndo un resumen des™riptivo de los d—tosD sep—r—ndo por seriesD propor™ion—ndomedi—D desvi—™ión típi™—D ™oe(™iente de v—ri—™ión y ™oe(™iente de —simetrí—F „odos estos result—dos —p—re™enen l— „—˜l— PFPFin primer lug—rD es ™ierto queD ™omo —puntᘗmos en el tem— de introdu™™iónD los v—lores están en torno — WH@l— medi— es WP más o menosAF edemásD vemos que sí que h—y un— v—ri—˜ilid—d moder—d— de los d—tosD ™on ung† en torno —l PS 7D lo que indi™— queD —l p—re™erD l—s distint—s ™ondi™iones en que ™—d— medi™ión se re—lizóD—fe™t—ron en —lgun— medid— el result—doX todo esto es muy prelimin—r porque no tenemos l— inform—™ión™omplet— de en qué ™ondi™iones se re—liz—ron ™—d— un— de l—s medi™ionesF €or el ™ontr—rioD podemos o˜serv—r—lgo muy ll—m—tivoF vos d—tos de l— primer— serie son ™l—r—mente —simétri™os — l— izquierd— @™oe(™iente de34 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenierospigur— PFUX hes™rip™ión de un di—gr—m— de ™—j—F puenteX httpXGGesFwikipedi—ForgGwikiGhi—gr—m—•de•™—j——simetri— de EIFUWAD mientr—s que los de l— segund— serie son ™l—r—mente —simétri™os — l— dere™h— @™oe(™ientede —simetrí— de IFUIAF h—do que no er— esper—˜le que surgier—n diferen™i—s entre l—s dos seriesD de˜emospregunt—rnos qué p—sóF€—r— tr—t—r de —n—liz—r más profund—mente los d—tosD v—mos — propor™ion—r t—m˜ién los dos di—gr—m—s de™—j— de —m˜—s seriesF ep—re™en en l— pigur— PFVF gon ell—sD v—mos — resumir —hor— l—s de™isiones que los—utores tom—ron en vist— de los result—dos y l—s ™on™lusiones — l—s que lleg—ronFy˜sérvese que l—s diferen™i—s entre l—s series no —fe™t—n sorprendentemente —l ™onjunto de l—s muestr—sD sinosólo — los v—lores —típi™os que se ven en —m˜os di—gr—m—s de ™—j—F iso probaría queD en efe™toD no h—y ningun—diferen™i— sistemáti™— entre l—s seriesFv— siguiente t—re— es l— de inspe™™ion—r los d—tos —típi™osF ƒi mir—mos ™on —ten™ión los d—tosD vemos que l—sV medi™iones más gr—ndes de l— segund— serie o™urrieron en l— pl—™— IHF el ver este he™hoD los —utores deltr—˜—jo inspe™™ion—ron est— pl—™— y des™u˜rieron que se h—˜í— ™ont—min—do ™on un residuo de l— pelí™ul—D loque o™—sionó es—s medi™iones t—n gr—ndes del espesorF he he™hoD los ingenieros elimin—ron es— pl—™— y tod—l— serie enter— por r—zones té™ni™—sF in l— primer— serieD en™ontr—ron t—m˜ién que l—s tres medi™iones más˜—j—s se h—˜í—n de˜ido — un ™—li˜r—dor m—l ™on(gur—doD por lo que l—s elimin—ronF xo se pudo determin—r™—us— —lgun— — l— existen™i— de los dos d—tos —típi™os rest—ntesD por lo que perm—ne™ieron en el —nálisisF €orúltimoD nótese que después de este pro™eso de depur—™ión de los d—tos que el —nálisis medi—nte ist—dísti™—hes™riptiv— h— motiv—doD l— distri˜u™ión de los d—tos tiene un— evidente form— de ™—mp—n—FProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 35

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén pigur— PFVX hi—gr—m—s de ™—j— de los d—tos del espesor de l—s ™—p—s de dióxido de sili™io36 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Parte IICálculo de Probabilidades QU



Capítulo 3Probabilidad †emos que l— teorí— de l— pro˜—˜ilid—d en el fondo sólo es sentido ™omún redu™ido — ™ál™uloY nos h—™e —pre™i—r ™on ex—™titud lo que l—s mentes r—zon—˜les tom—n por un tipo de instintoD in™luso sin ser ™—p—™es de d—rse ™uent—‘FFF“ is sorprendente que est— ™ien™i—D que surgió del —nálisis de los juegos de —z—rD lleg—r— — ser el o˜jeto más import—nte del ™ono™imiento hum—no‘FFF“ v—s prin™ip—les ™uestiones de l— vid— sonD en gr—n medid—D meros pro˜lem—s de pro˜—˜ilid—dF €ierre ƒimonD w—rqués de v—pl—™eResumen. il ™—pítulo propor™ion— un tr—t—miento de los experimentos ™uyos result—dos no se pueden prede™ir™on ™ertez— — tr—vés del ™on™epto de pro˜—˜ilid—dF ƒe —n—liz—n l—s propied—des de l— pro˜—˜ilid—d y se introdu™et—m˜ién el ™on™epto de pro˜—˜ilid—d ™ondi™ion—d—D que surge ™u—ndo un su™eso modi(™— l— —sign—™ión depro˜—˜ilid—des previ—FPalabras clave: experimento —le—torioD experimento determinísti™oD esp—™io muestr—lD su™esoD pro˜—˜ilid—dDpro˜—˜ilid—d ™ondi™ion—d—D independen™i— de su™esosF3.1. Introducciónin nuestr— vid— ™otidi—n— —so™i—mos usu—lmente el ™on™epto de Probabilidad — su ™—li(™—tivo probable,™onsider—ndo probables —quellos eventos en los que tenemos un —lto gr—do de ™reen™i— en su o™urren™i—Fin est— líne—D Probabilidad es un ™on™epto —so™i—do — l— medid— del azarF „—m˜ién pens—mos en el —z—rvin™ul—doD fund—ment—lmenteD ™on los juegos de —z—rD pero desde es— ópti™— t—n redu™id— se nos es™—p—n otrosmu™hísimos ejemplos de fenómenos de l— vid— ™otidi—n— o —so™i—dos — dis™iplin—s de distint—s ™ien™i—s dondeel —z—r jueg— un p—pel fund—ment—lF €or ™it—r —lgunosX ¾ué número de unid—des de produ™™ión s—len ™—d— dí— de un— ™—den— de mont—jec xo existe un número (jo que pued— ser ™ono™ido — prioriD sino un ™onjunto de posi˜les v—lores que podrí—n d—rseD ™—d— uno de ellos ™on un ™ierto gr—do de ™ertez—F ¾guál es el t—m—ño de un p—quete de inform—™ión que se tr—nsmite — tr—vés de r„„€c xo existe en re—lid—d un número (joD sino que éste es des™ono™ido — prioriF QW

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén ¾guál es l— posi™ión de un o˜jeto dete™t—do medi—nte q€ƒc hi™ho sistem— o˜tieneD re—lmenteD un— estim—™ión de di™h— posi™iónD pero existen márgenes de error que determin—n un— región del pl—no donde el o˜jeto se en™uentr— ™on —lt— pro˜—˜ilid—dF ¾ué ruido se —dhiere — un— señ—l que se enví— desde un emisor — un re™eptorc hependiendo de l—s ™—r—™terísti™—s del ™—n—lD di™ho ruido será más o menos relev—nteD pero su presen™i— no podrá ser ™ono™id— — prioriD y de˜erá ser diferen™i—d— de l— señ—l primitiv—D sin que se ™onoz™— ést—D teniendo en ™uent— que se tr—t— de un ruido aleatorioFin todos estos ejemplos el —z—r es un f—™tor insosl—y—˜le p—r— ™ono™er el ™omport—miento del fenómeno enestudioF3.2. Experimentos aleatorios y experimentos determinísticosin gener—lD un experimento del que se ™ono™en todos sus posi˜les result—dos y queD repetido en l—s mism—s™ondi™ionesD no siempre propor™ion— los mismos result—dos se ™ono™e ™omo experimento aleatorioFin ™ontr—posi™iónD un experimento determinístico es —quel donde l—s mism—s ™ondi™iones —segur—n quese o˜teng—n los mismos result—dosFvo que el gál™ulo de €ro˜—˜ilid—des ˜us™— es en™ontr—r un— medid— de l— in™ertidum˜re o de l— ™ertidum˜reque se tiene de todos los posi˜les result—dosD y— que j—más @o muy difí™ilmenteA se podrá ™ono™er — prioriel result—do de ™u—lquier experimento donde el —z—r esté presenteX — est— medid— de l— in™ertidum˜re l—denomin—remos probabilidad1F3.3. Denición de probabilidad„enemosD por t—ntoD que pro˜—˜ilid—d es l— —sign—™ión que h—™emos del gr—do de ™reen™i— que tenemos so˜rel— o™urren™i— de —lgoF ist— —sign—™iónD sin em˜—rgoD de˜e ser coherenteF ist— ne™esid—d de que —signemospro˜—˜ilid—des —de™u—d—mente se v— — pl—sm—r en est— se™™ión en tres regl—sD ™ono™id—s ™omo axiomasD quede˜e ™umplir ™u—lquier rep—rto de pro˜—˜ilid—desF3.3.1. Álgebra de conjuntosƒi ™onsider—mos un experimento —le—torioD podemos ™—r—™teriz—r los posi˜les result—dos de di™ho experimento™omo ™onjuntosF is de interésD por t—ntoD rep—s—r los ™on™eptos y propied—des ˜ási™—s del álge˜r— de ™onjuntosFin todo este —p—rt—do no de˜emos olvid—r que los ™onjuntos represent—n en nuestro ™—so los posi˜les result—dosde un experimento —le—torioF…n conjunto es un— ™ole™™ión de elementosFƒe di™e que B es un subconjunto de A si todos sus elementos lo son t—m˜ién de AD y se not—rá B ⊂ AF 1Es mejor que aceptemos desde el principio que la Estadística no es la ciencia de la adivinación: tan sólo se ocupa decuanticar cómo de incierto es un evento y, ocasionalmente, de proponer estrategias de predicción basadas en dicha medida dela incertidumbre.40 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros€—r— ™—d— A se veri(™— ∅ ⊂ A ⊂ A ⊂ Ω.ƒi C ⊂ B y B ⊂ AD enton™esD C ⊂ A. isto se ™ono™e ™omo propied—d tr—nsitiv—Fv— unión de B y A es un ™onjunto ™uyos elementos son los elementos de A y BD y se not— A ∪ BF ist—oper—™ión veri(™— l— propied—d ™onmut—tiv— y —so™i—tiv—Fƒi A ⊂ BD enton™es A ∪ B = B.v— intersección de A y B es el ™onjunto form—do por los elementos ™omunes de A y BD y se not— AB oA ∩ B. ist— oper—™ión veri(™— l— propied—d ™onmut—tiv—D —so™i—tiv— y distri˜utiv— respe™to de l— uniónFhos ™onjuntosD A y BD se di™en mutuamente excluyentes, disjuntos o incompatibles si su interse™™iónes v—™í—D es de™irD A ∩ B = ∅.ƒi dos ™onjuntos A y B son disjuntosD su unión suele not—rse A + BFvos ™onjuntos A1, ..., AN se di™en mutuamente excluyentes si Ai ∩ Aj = ∅ p—r— todo i = j.…n— partición es un— ™ole™™ión de ™onjuntosD A1, ..., AN t—l queX—A A1 ∪ ... ∪ AN = Ω˜A Ai ∩ Aj = ∅ p—r— todo i = j.il conjunto complementario de un ™onjunto AD A¯ ó AcD está form—do por todos los elementos de Ω queno pertene™en — AFƒe sigue por t—ntoD A ∪ A¯ = Ω A ∩ A¯ = ∅ (Ac)c = A Ω¯ = ∅ Si B ⊂ A → A¯ ⊂ B¯ Si A = B → A¯ = B¯.pin—lmenteD men™ionemos l—s ll—m—d—s veyes de worg—nX A ∪ B = A¯ ∩ B¯ A ∩ B = A¯ ∪ B¯. 413.3.2. Espacio muestralgonsideremos un experimento —le—torioFProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaénil ™onjunto form—do por todos los posi˜les result—dos del experimento —le—torio re™i˜e el nom˜re de espaciomuestralD y lo not—remos h—˜itu—lmente ™omo Ω.gu—lquier su˜™onjunto de un esp—™io muestr—l re™i˜e el nom˜re de suceso o eventoFr—˜l—remos de ensayo o realización de un experimento —le—torio re(riéndonos — un— eje™u™ión de di™hoexperimentoF esíD diremos que en un ens—yo ocurre un suceso A si se o˜serv— en di™ho ens—yo ™u—lquierresult—do in™luido en el su™eso AF…n— o˜serv—™ión import—nte es que el esp—™io muestr—l no tiene por qué ser úni™oD sino que dependerá de loque deseemos o˜serv—r del experimento —le—torioF †—mos — poner este he™ho de m—ni(esto en los siguientesejemplosF Ejemplo. ƒi ™onsider—mos el l—nz—miento de un d—doD un esp—™io muestr—l serí— Ωa{IDPDQDRDSDT}F vos su™esos más element—les posi˜les son {I}D {P}D {Q}D {R}D {S} y {T}F ytros su™esos no element—les pueden ser {IDP}D {m—yor que P}D {p—r}D FFF ƒin em˜—rgoD supong—mos que est—mos l—nz—ndo un d—do porque no tenemos ningun— moned— — m—noD y sólo dese—mos ver si el result—do es p—r o imp—rF in ese ™—soD el esp—™io muestr—l serí— Ω = {par, impar}F Ejemplo. …n experimento h—˜itu—l en fiologí— ™onsiste en extr—erD por ejemploD pe™es de un ríoD h—st— d—r ™on un pez de un— espe™ie que se dese— estudi—rF il número de pe™es que h—˜rí— que extr—er h—st— ™onseguir el ejempl—r dese—do de l— espe™ie en estudio form—rí— el esp—™io muestr—lD Ω = {1, 2, 3, ...}D si es que el investig—dor dese— o˜serv—r ex—™t—mente el número de pe™es h—st— extr—er ese ejempl—r dese—doF y˜sérvese que se tr—t— de un ™onjunto no —™ot—doD pero numer—˜leF gomo ejemplos de posi˜les su™esos de interés podrí—mos poner los eventos {IDPDQDRDS}D {m—yor o igu—l — S}DFFF ƒupong—mos —hor— que el investig—dor sólo está interes—do en ™ompro˜—r si h—™en f—lt— más de S exE tr—™™iones p—r— o˜tener un ejempl—r de l— espe™ie en estudioF in ese ™—soD el esp—™io muestr—l serí— Ω = {> 5, ≤ 5}F Ejemplo. ƒi ™onsider—mos el experimento —le—torio ™onsistente en elegir un número —˜solut—mente —l —z—r entre H y ID un esp—™io muestr—l serí— Ω = [0, 1]F e diferen™i— de los —nteriores ejemplosD este esp—™io muestr—l no es (nitoD ni siquier— numer—˜leF gomo ejemplo de su™esos posi˜les en este esp—™io muestr—l podemos dest—™—rD entre otrosD {menor que HFS} D {m—yor que HFPS}D {menor que HFUS} DFFF ytro esp—™io muestr—l podrí— ser o˜serv—r el v—lor de™im—l m—yor más ™er™—noF €or ejemploD si s—le HFPSD me interes— HFQF in ese ™—so el esp—™io muestr—l serí— Ω = 0.1, 0.2, ...1F iste esp—™io muestr—l servirí—D por ejemploD p—r— sorte—r números entre I y 10D sin más que multipli™—r el result—do o˜tenido por IHF42 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenierosin estos últimos ejemplos podemos ver que h—y dos gr—ndes tipos de esp—™ios muestr—les según el número desu™esos element—lesF…n esp—™io muestr—l se di™e discreto si está form—do por un ™onjunto (nito o in(nito numer—˜le de su™esoselement—lesF€or el ™ontr—rioD un esp—™io muestr—l se di™e continuo si está form—do por un ™onjunto no numer—˜le desu™esos element—lesF3.3.3. Función de probabilidadh—do un esp—™io muestr—l Ω ™orrespondiente — un experimento —le—torioD un— función de probabilidadp—r— ese esp—™io muestr—l es ™u—lquier fun™ión que —signe — ™—d— su™eso un número en el interv—lo [0, 1] y queveri(queP [A] ≥ 0, p—r— ™u—lquier evento A.P [Ω] = 1.h—d— un— ™ole™™ión de su™esos A1, A2, ..., An mutu—mente ex™luyentesD es de™irD t—les que Ai ∩ Aj = ∅ p—r—todo i = j, n P [∪ni=1Ai] = P [Ai] . i=1Nota. r—y que not—r que se puede d—r más de un— fun™ión de pro˜—˜ilid—d —so™i—d— —l mismo esp—™iomuestr—lF €or ejemploD —so™i—do —l esp—™io muestr—l Ω = {cara, cruz}, del l—nz—miento de un— moned—Dpueden d—rse un número in(nito no numer—˜le de medid—s de l— pro˜—˜ilid—dY ™on™ret—menteD —so™i—d—s— ™—d— ele™™ión P [cara] = p P [cruz] = 1 − p,p—r— ™—d— p ∈ [0, 1] . eunque si l— moned— no está ™—rg—d—D ™omo su™ede h—˜itu—lmenteD se ™onsider— el™—so en que p = 1 . 2Ejemplo. †olviendo so˜re el l—nz—miento del d—doD si éste no está ™—rg—doD podemos de(nir l— siguientefun™ión de pro˜—˜ilid—dX 1 , P [{i}] = 6 i = 1, 2, ..., 6.Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo 43

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén pigur— QFIX gir™uito in ese ™—soD podemosD — su vezD ™—l™ul—r —lgun—s pro˜—˜ilid—desF €or ejemploD P ({par}) = P [{2, 4, 6}] = P [{2}] + P [{4}] + P [{6}] 111 = + + = 0.5. 666 in este ™ál™ulo se h— tenido en ™uent— l— ter™er— ™ondi™ión de l— de(ni™ión —xiomáti™—Fgomo ™onse™uen™i— de l— de(ni™ión se veri(™—nD entre otr—sD l—s siguientes propied—desD que —demás f—™ilit—n˜—st—nte los ™ál™ulosX P [∅] = 0. ƒe— A un su™eso ™u—lquier—F inton™esD P A¯ = 1 − P [A] . ƒe—n A y B dos su™esos ™u—lesquier—F inton™esD P A ∩ B¯ = P [A] − P [A ∩ B] . ƒe—n A y B dos su™esos ™u—lesquier—F inton™esD P [A ∪ B] = P [A] + P [B] − P [A ∩ B] .Ejemplo. il ™ir™uito que —p—re™e en l— pigur— QFI está ™onstituido por dos interruptores @switchesA enp—r—leloF v— pro˜—˜ilid—d de que ™u—lquier— de ellos esté ™err—do es de 1 F 2€—r— que p—se ™orriente — tr—vés del ™ir™uito ˜—st— ™on que p—se ™orriente por —lguno de los dos interrupEtoresD esto esD que —l menos uno de ellos esté ™err—doF €or t—ntoD si not—mos por E —l su™eso que pasecorriente a través del circuito y Ei —l su™eso que el interruptor i esté cerrado, enton™esD P [E] = P [E1 ∪ E2] = P [E1] + P [E2] − P [E1 ∩ E2] = 1 + 1 − P [E1 ∩ E2] ≤ 1. 2 2€—r— ™ono™er est— pro˜—˜ilid—d de form— ex—™t— ne™esit—mos s—˜er ™ómo —™tú—n de form— ™onjunt— —m˜os™ir™uitosF44 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros Nº de lanzamientos IH IHH PSH SHH USH IHHH Nº de caras R RT IPR PRR QUW SHI HFR HFRT HFRWT HFRVV HFSHSQ HFSHI N. de caras N. de lanzamientos gu—dro QFIX eproxim—™ión fre™uentist— — l— pro˜—˜ilid—d de ™—r— en el l—nz—miento de un— moned—F3.4. Interpretación frecuentista de la probabilidadv— interpret—™ión más ™omún —l ™on™epto de pro˜—˜ilid—d tiene que ver ™on los promedios de o™urren™i— delos su™esos del experimento en ™uestiónF€ensemos en el l—nz—miento de un— moned—X si de™imos que l— pro˜—˜ilid—d de ™—r— es HFSD entendemos quesi l—nz—mos l— moned— un gr—n número de ve™es y —not—mos el número de ™—r—sD ést—s serán más o menos l—mit—dFqener—liz—ndo este pro™esoD podrí—mos de™ir que l— pro˜—˜ilid—d de un evento AD P [A] , es P [A] = l´ım nA , n→∞ ndonde nA es el número de o™urren™i—s de A en n ens—yos del experimentoFist— interpret—™ión se ™ono™e ™omo denición frecuentista de la probabilidad. ƒe tr—t— de un— interpret—™iónde ™—rá™ter eminentemente prá™ti™o porque permite un— —proxim—™ión físi™— —l ™on™epto de pro˜—˜ilid—dDpero se ve limit—d— por l—s ™ompli™—™iones que supone l— de(ni™ión en términos de un límite queD ™omo t—lDsólo se —l™—nz— en el innitoF edemásD desde un punto de vist— re—list—D ¾en qué o™—siones podremos repetirel experimento un gr—n número de ve™escEjemplo. ƒe h—n re—liz—do IHHH l—nz—mientos de un— moned—F in el gu—dro QFI —p—re™e un resumen de esepro™esoF €uede o˜serv—rse ™omo ™u—nto m—yor es el número de l—nz—mientosD más se —proxim— l— fre™uen™i—rel—tiv— —l v—lor 1 D de m—ner— que podrí—mos pens—r que l— pro˜—˜ilid—d de ™—r— es igu—l que l— pro˜—˜ilid—d 2de ™ruz e igu—les —m˜—s — 1 D —unque esto sólo es un— suposi™iónD o un— —proxim—™iónD y— que p—r— —pli™—r 2estri™t—mente l— de(ni™ión fre™uentist— de˜erí—mos ™ontinu—r h—st— el in(nitoD lo que result— imposi˜leFist— interpret—™ión fre™uentist— de l— pro˜—˜ilid—d permite inferir lo que podemos ll—m—r frecuencias espe-radas. ƒi un evento A tiene —sign—d— un— pro˜—˜ilid—d P [A]D enton™esD si repetimos el experimento —le—torion ve™esD lo más esperable es que el número de ve™es que se de el evento A será n × P [A] . wás —del—ntepodremos m—tiz—r ™on más rigor — qué nos referimos ™on lo más esperable.Ejemplo. ƒiguiendo ™on el ejemplo de l— moned—D si l— l—nz—mos QRV ve™esD lo esper—˜le es que s—lg—n—lrededor de 348 × 0.5 = 174 ™—r—sF3.5. Interpretación subjetiva de la probabilidadƒi nos di™en que l— pro˜—˜ilid—d de que lluev— m—ñ—n— es del QS 7D ¾™ómo podemos interpret—r eso en términosfre™uentist—sc xo tiene sentido pens—r en que podemos repetir el experimento día de mañana mu™h—s ve™es y™ont—r ™uánt—s ve™es llueveF ¾€odrí—mos pens—r si hubiera muchos días como el de mañana, aproximadamentellovería en el 35 % de ellosc €ero eso no tiene sentido porque el dí— de m—ñ—n— es úni™oFProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 45

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaénv— interpret—™ión su˜jetiv— de l— pro˜—˜ilid—d tiene que ver ™on l— vin™ul—™ión de este ™on™epto ™on el gr—dode in™ertidum˜re que tenemos so˜re l—s ™os—sF ƒi tenemos un experimento —le—torioD el result—do de di™hoexperimento es in™iertoF v— pro˜—˜ilid—d de un result—do del experimento es el gr—do de ™reen™i— que yo tengoen l— o™urren™i— de di™ho result—doF ise gr—do de ™reen™i— es person—lD luego es su˜jetivoD pero lógi™—menteDde˜erá est—r —™orde ™on l— inform—™ión que tenemos so˜re el experimentoF3.6. Espacio muestral con resultados equiprobables. Fórmula de La- placeytro punto de vist— que permite —˜ord—r el pro™eso de —sign—™ión de pro˜—˜ilid—d — su™esos es el siguienteX™ontinu—ndo ™on el ejemplo de l— moned—D en este experimento son dos los result—dos posi˜lesD y no h—y r—zonesp—r— pens—r que uno de ellos es más probable que otroD —sí que tiene sentido ™onsider—r que l— pro˜—˜ilid—dde ™—r— y l— pro˜—˜ilid—d de ™ruz son —m˜—s del SH 7Fin gener—lD si el esp—™io muestr—l está form—do por N result—dos posi˜les y todos ellos tienen l— mism—pro˜—˜ilid—d @equipro˜—˜lesAD podrí—mos de™ir que l— pro˜—˜ilid—d de un evento A, P [A] , es P [A] = NA , Ndonde NA es el número de result—dos f—vor—˜les — l— o™urren™i— de A.ist— fórmul—D ™ono™id— ™omo fórmula de Laplace t—m˜ién es fund—ment—lmente prá™ti™—F €or ejemploD nospermite dedu™ir que 1 P [cara] = 2en el l—nz—miento de un— moned— sin tener que l—nz—r l— moned— un gr—n número de ve™esFƒin em˜—rgoD l— de(ni™ión tiene dos gr—ndes in™onvenientesX el ™onjunto de result—dos posi˜lesD N D tiene queser (nito yD —demásD todos los result—dos posi˜les de˜en tener l— mism— pro˜—˜ilid—d @™on lo ™u—lD lo de(nidoqued— implí™it—mente inmerso en l— de(ni™iónAF3.7. Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos€—r— introdu™ir de m—ner— intuitiv— el ™on™epto de pro˜—˜ilid—d ™ondi™ion—d— de˜emos pens—r en l— pro˜—E˜ilid—d ™omo medid— de l— ™reen™i— en l— o™urren™i— de los su™esosF€ensemos en un experimento —le—torio y en un su™eso de di™ho experimentoD AD en el queD en prin™ipioDtenemos un gr—do de ™reen™i— P [A] ; pero supong—mos que ™ono™emos —lgo del result—do de di™ho experimentoY™on™ret—menteD s—˜emos que h— o™urrido un su™eso BF €—re™e lógi™o pens—r que es— inform—™ión ™ono™id—so˜re el result—do del ens—yo modi(™—rá nuestro gr—do de ™reen™i— en AX ll—memos — este nuevo gr—do de™reen™i— P [A | B]D probabilidad de A conocida B o probabilidad de A condicionada a BFEjemplo. gonsideremos el su™eso A : el dí— de hoy v— — llover y el su™eso B : el dí— de hoy está nu˜l—doF y˜vi—menteD l— pro˜—˜ilid—d P [A] será menor que l— pro˜—˜ilid—d P [A | B] , y— que el he™ho de que esté nu˜l—do refuerz— nuestr— ™reen™i— en que lluev—F46 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo