Estadistica para ingenieros

Apuntes de Estadística para IngenierosEjemplo. gonsideremos el experimento —le—torio de extr—er un— ™—rt— de un— ˜—r—j— esp—ñol—F ƒe— el su™esoA : o˜tener un— sot—D el su™eso B1 : o˜tener un— (gur— y el su™eso B2 : o˜tener un— ™—rt— de ™op—sFv—s distint—s pro˜—˜ilid—desD ™ondi™ion—d—s o noD ˜—jo l— de(ni™ión ™lási™—D son l—s siguientesX P [A] = 4 sotas 1 = 40 cartas 10 P [A | B1] = 4 sotas = 1 12 f iguras 3 P [A | B2] = 1 sota de copas = 1 10 copas . 10 gomo puede verseD B1 modi(™— l— pro˜—˜ilid—d — prioriD pero no —sí B2F €uede de™irse que B2 no ofre™einform—™ión —™er™— de AD o que A y B2 son independientesF†—mos — d—r — ™ontinu—™ión un— de(ni™ión de probabilidad condicionada que responde — est— ide— dere™—l™ul—r l— pro˜—˜ilid—d en fun™ión de l— inform—™ión existenteFv— probabilidad condicionada de un suceso A, conocido otro suceso BD denot—d— por P [A | B]D sede(ne ™omo el ™o™iente P [A ∩ B] , P [A | B] = P [B]siempre que P [B] = 0.…n— fun™ión de pro˜—˜ilid—d ™ondi™ion—d— P [·/B] es un— fun™ión de pro˜—˜ilid—d en tod— regl—X por t—ntoD™umple l—s mism—s propied—des que ™u—lquier fun™ión de pro˜—˜ilid—d sin ™ondi™ion—rFgomo hemos ™oment—doD l— ide— de l— pro˜—˜ilid—d ™ondi™ion—d— es utiliz—r l— inform—™ión que nos d— unsu™eso ™ono™ido so˜re l— o™urren™i— de otro su™esoF €eroD ™omo y— hemos puesto de m—ni(esto en un ejemploDno siempre un su™eso d— inform—™ión so˜re otroF in este ™—so se di™e que —m˜os su™esos son independientesF€or t—ntoXhos su™esos A y B se di™en independientes si P [A | B] = P [A] , o equiv—lentemente si P [B | A] = P [B]D oequiv—lentemente si P [A ∩ B] = P [A] × P [B] .Ejemplo. gontinu—ndo ™on el ijemplo QFQFQD lo más lógi™o es pens—r que los dos interruptores —™tú—nde form— independienteD en ™uyo ™—so P [E1 ∩ E2] = P [E1] P [E2] y tenemos queD P [E] = 1 + 1 − P [E1 ∩ E1] 2 2 = 1 + 1 − 1 1 = 3 . 2 2 22 4Nota. is muy import—nte no ™onfundir l— pro˜—˜ilid—d ™ondi™ion—d— de un su™eso — otro ™on l— pro˜—˜iliEd—d de l— interse™™ión de —m˜os su™esosF in l— pigur— QFP puede verse l— diferen™i— entre l—s pro˜—˜ilid—des™ondi™ion—d—s entre dos su™esos y l— pro˜—˜ilid—d de su interse™™iónF in términos ™oloqui—lesD podemosProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 47

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén —n—liz—r est—s pro˜—˜ilid—des ™omo el ™o™iente entre una parte y un todoF gu—ndo l— pro˜—˜ilid—d es ™ondi™ion—d— ese todo es el su™eso que ™ondi™ion—F gu—ndo l— pro˜—˜ilid—d no es ™ondi™ion—d—D ese todo es todo el esp—™io muestr—lF in —m˜os ™—sos es— parte es l— interse™™iónF pigur— QFPX isquem— —™er™— de l— de(ni™ión de pro˜—˜ilid—d ™ondi™ion—d—F Nota. „—m˜ién suele ser ˜—st—nte ™omún l— ™onfusión entre su™esos independientes y su™esos in™omp—E ti˜les o mutu—mente ex™luyentesF in este sentidoD re™ordemos que dos su™esos A y B son in™omp—ti˜les o mutu—mente ex™luyentes si A ∩ B = ∅, en ™uyo ™—so P [A ∩ B] = 0F €or su p—rteD A y B serán independientes si P [A ∩ B] = P [A] P [B]F v—s diferen™i—s entre —m˜os ™on™eptos son o˜vi—sF Ejemplo. v— pro˜—˜ilid—d de que el produ™to no se— el—˜or—do — tiempo es HFHSF ƒe soli™it—n tres pedidos del produ™to ™on l— su(™iente sep—r—™ión en el tiempo ™omo p—r— ™onsider—rlos eventos independientesF IF ¾guál es l— pro˜—˜ilid—d de que todos los pedidos se envíen — tiempoc in primer lug—rD notemos Ei —l su™eso enviar a tiempo el pedido i-ésimoF in ese ™—soD s—˜emos que P [Ei] = 0.95. €or su p—rteD nos piden P [E1 ∩ E2 ∩ E3] = P [E1] P [E2] P [E3] = 0.953, de˜ido — que los pedidos son independientesF PF ¾guál es l— pro˜—˜ilid—d de que ex—™t—mente un pedido no se envíe — tiempoc48 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros in este ™—so el su™eso que nos piden es más ™omplejoX P E¯1 ∩ E2 ∩ E3 ∪ E1 ∩ E¯2 ∩ E3 ∪ E1 ∩ E2 ∩ E¯3 = P E¯1 ∩ E2 ∩ E3 + P E1 ∩ E¯2 ∩ E3 + P E1 ∩ E2 ∩ E¯3 = 0.05 × 0.952 + 0.05 × 0.952 + 0.05 × 0.952 = 0.135, donde se h— utiliz—do que los su™esos E¯1 ∩ E2 ∩ E3, E1 ∩ E¯2 ∩ E3 y E1 ∩ E2 ∩ E¯3 son in™omp—ti˜lesF QF ¾guál es l— pro˜—˜ilid—d de que dos o más pedidos no se envíen — tiempoc „eng—mos en ™uent— que y— hemos ™—l™ul—do l— pro˜—˜ilid—d de que todos se envíen — tiempo y de que todos menos uno se envíen — tiempoF inton™esD P [dos o más pedidos no se envíen — tiempo] = 1 − P [todos se envíen — tiempo ∪ un pedido no se envíe — tiempo] = 1 − (0.953 + 0.135).Ejemplo. gonsideremos un pro™eso industri—l ™omo el que se esquem—tiz— en l— pigur— QFQF in di™hoesquem— se pone de m—ni(esto que un— unid—d será produ™id—d ™on éxito si p—s— en primer lug—r un™hequeo previo @eAY después puede ser mont—d— dire™t—mente @fAD redimension—d— @gA y después mont—d—@hA o —d—pt—d— @iA y después mont—d— @pAY posteriormente de˜e ser pint—d— @qA y (n—lmente em˜—l—d—@rAF gonsideremos que l—s pro˜—˜ilid—des de p—s—r exitos—mente ™—d— su˜pro™eso son tod—s ell—s igu—les— HFWSD y que los su˜pro™esos tienen lug—r de form— independiente unos de otrosF †—mos — ™—l™ul—r enes—s ™ondi™iones l— pro˜—˜ilid—d de que un— unid—d se— exitos—mente produ™id—Fƒi nos d—mos ™uent—D eD q y r son ineludi˜lesD mientr—s que un— unid—d puede ser produ™id— si p—s—por fD por g y h o por i y pF in not—™ión de ™onjuntosD l— unid—d será produ™id— si se d— A ∩ (B ∪ C ∩ D ∪ E ∩ F ) ∩ G ∩ H.gomo los pro™esos son independientes unos de otrosD no tenemos pro˜lem—s ™on l—s pro˜—˜ilid—des de l—sinterse™™ionesD pero tenemos que ™—l™ul—r l— pro˜—˜ilid—d de un— unión de tres ™onjuntosD B∪C ∩D∪E∩F Fin gener—lD P [A1 ∪ A2 ∪ A3] = P [(A1 ∪ A2) ∪ A3] = P [A1 ∪ A2] + P [A3] − P [(A1 ∪ A2) ∩ A3] = P [A1] + P [A2] − P [A1 ∩ A2] + P [A3] − P [A1 ∩ A3 ∪ A2 ∩ A3]Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo 49

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén = P [A1] + P [A2] − P [A1 ∩ A2] + P [A3] − (P [A1 ∩ A3] + P [A2 ∩ A3] − P [A1 ∩ A2 ∩ A3]) = P [A1] + P [A2] + P [A3] − P [A1 ∩ A2] − P [A1 ∩ A3] − P [A2 ∩ A3] + P [A1 ∩ A2 ∩ A3]in nuestro ™—soDP [B ∪ C ∩ D ∪ E ∩ F ] = P [B] + P [C ∩ D] + P [E ∩ F ] − P [B ∩ C ∩ D] − P [B ∩ E ∩ F ] − P [C ∩ D ∩ E ∩ F ] + P [B ∩ C ∩ D ∩ E ∩ F ] = 0.95 + 2 × 0.952 − 2×0.953 − 0.954 + 0.955 = 0.9995247‰— est—mos en ™ondi™iones de o˜tener l— pro˜—˜ilid—d que se nos pideXP [A ∩ (B ∪ C ∩ D ∪ E ∩ F ) ∩ G ∩ H] = P [A] P [B ∪ C ∩ D ∪ E ∩ F ] P [G] P [H] = 0.95 × (0.9995247) × 0.95 × 0.95 = 0.8569675.in estos ejemplosD el ™ál™ulo de l— pro˜—˜ilid—d de l—s interse™™iones h— result—do trivi—l porque los su™esos sonindependientesF ƒon em˜—rgoD esto no siempre o™urreF ¾gómo podemosD en gener—lD o˜tener l— pro˜—˜ilid—dde l— interse™™ión de dos o más su™esos no ne™es—ri—mente independientescin el ™—so de sólo dos su™esosD A y BD podemos dedu™ir que P [A ∩ B] = P [A|B] × P [B]dire™t—mente de l— de(ni™ión de pro˜—˜ilid—d ™ondi™ion—d—F e p—rtir de est— fórmul—D por indu™™iónD se puedeo˜tener l— ll—m—d— fórmul— produ™toD que se enun™i— de l— siguiente form—X si A1, A2, ..., An son su™esos deun esp—™io muestr—l no ne™es—ri—mente independientesD se veri(™— P [A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An] = P [A1]P [A2|A1]...P [An|A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An−1]50 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenierospigur— QFQX isquem— del pro™eso industri—l del ejemploEjemplo. …n lote de SH —r—ndel—s ™ontiene QH —r—ndel—s ™uyo grosor ex™ede l—s espe™i(™—™iones de diseñoFƒupong— que se sele™™ion—n Q —r—ndel—s —l —z—r y sin reempl—zo del loteFIF ¾guál es l— pro˜—˜ilid—d de que l—s tres —r—ndel—s sele™™ion—d—s se—n más grues—s que l—s espe™i(E ™—™iones de diseñoc gomenz—mos not—ndo los su™esos AiX l— íEésim— —r—ndel— extr—id— es más grues— que l—s espe™i(E ™—™iones de diseño, i = 1, 2, 3F inton™esD nos pidenP [A1 ∩ A2 ∩ A3] = P [A1] P [A2/A1 ] P [A3/A1∩A2 ] 30 29 28 =. 50 49 48PF ¾guál es l— pro˜—˜ilid—d de que l— ter™er— —r—ndel— sele™™ion—d— se— más grues— que l—s espe™i(™—E ™iones de diseño si l—s dos primer—s fueron más delg—d—s que l— espe™i(™—™iónc P A3/A¯1∩A¯2 30 =. 483.8. Teorema de la probabilidad total y Teorema de Bayesvos siguientes dos result—dos se ™ono™en ™omo Teorema de la probabilidad total y Teorema de Bayesrespe™tiv—menteD y jueg—n un import—nte p—pel — l— hor— de ™—l™ul—r pro˜—˜ilid—desF vos dos utiliz—n ™omoProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 51

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaénprin™ip—l herr—mient— el ™on™epto de pro˜—˜ilid—d ™ondi™ion—d—FTeorema de la Probabilidad TotalF ƒe— P un— fun™ión de pro˜—˜ilid—d en un esp—™io muestr—lF ƒe—{A1, ..., AN } ⊂ F un— p—rti™ión del esp—™io muestr—l Ω y se— B un su™eso ™u—lquier—F inton™esD P [B] = P [B | A1] P [A1] + ... + P [B | AN ] P [AN ] .Teorema de BayesF in es—s mism—s ™ondi™ionesD si P [B] = 0DP [Ai | B] = P [B | A1] P P [B | Ai] P [Ai] AN ] P . [A1] + ... + P [B | [AN ]Ejemplo. ƒupong—mos que tenemos R ™—j—s ™on ™omponentes ele™tróni™—s dentroF v— ™—j— I ™ontienePHHH ™omponentesD ™on un S 7 de defe™tuos—sY l— ™—j— P ™ontiene SHH ™omponentesD ™on un RH 7 dedefe™tuos—sY l—s ™—j—s Q y R ™ontienen IHHH ™omponentesD ™on un IH 7 de defe™tuos—sFIF ¾guál es l— pro˜—˜ilid—d de es™oger —l —z—r un— ™omponente defe™tuos—c xotemos D : ™omponente defe™tuos— y Ci : ™omponente de l— ™—j— iEésim—F inton™esD se tiene que 2000 4 P [C1] = 2000 + 500 + 1000 + 1000 = 9 500 1 P [C2] = 2000 + 500 + 1000 + 1000 = 9 1000 2 P [C3] = 2000 + 500 + 1000 + 1000 = 9 1000 2 P [C4] = 2000 + 500 + 1000 + 1000 = 9edemásD P [D | C1] = 0.05D P [D | C2] = 0.4D P [D | C3] = 0.1 y P [D | C4] = 0.1F…tiliz—ndo el „eorem— de l— pro˜—˜ilid—d tot—lD P [D] = P [D | C1] P [C1] + P [D | C2] P [C2] + P [D | C3] P [C3] + P [D | C4] P [C4] 4122 = 0.05 + 0.4 + 0.1 + 0.1 = 0. 11111 9999PF ƒi se es™oge un— ™omponente —l —z—r y result— ser defe™tuos—D ¾™uál es l— pro˜—˜ilid—d de que pertenez™— — l— ™—j— Ic P [C1 | D] = P [D | C1] P [C1] = 0.05 4 = 0.2 P [D] 9 0.1111152 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros xúmero en ™—d— ™—j— µF I P Q „ot—l HFHI PH WS PS IRH HFI SS QS US ITS IFH UH VH IRS PWS „ot—l IRS PIH PRS THH gu—dro QFPX e™umul—doresFEjemplo. ƒe disponen tres ™—j—s donde se —lm—™en—n —™umul—dores según —p—re™e en el gu—dro QFPFƒe es™oge —l —z—r un— ™—j— y de ell—D — su vezD un —™umul—dorF IF ¾guál es l— pro˜—˜ilid—d de que se h—y— sele™™ion—do un —™umul—dor de HFHIµF c xotemos 0.01µF, 0.1µF y 1.0µF — los su™esos extraer un acumulador de 0.01µF D 0.1µF y 1.0µF respe™tiv—menteF he igu—l form—D notemos c1D c2 y c3 — los su™esos elegir la caja 1, la caja 2 y la caja 3D respe™tiv—menteF …tiliz—ndo el teorem— de l— pro˜—˜ilid—d tot—lD P [0.01µF ] = P [0.01µF / c1] P [c1] + P [0.01µF / c2] P [c2] + P [0.01µF / c3] P [c3] 20 1 95 1 25 1 5903 =++= = 0.23078. 145 3 210 3 245 3 25 578PF ƒi h— sido sele™™ion—do un —™umul—dor de IFHµF D ¾™uál es l— pro˜—˜ilid—d de que pro™ed— de l— ™—j— Ic …tiliz—ndo el teorem— de f—yesD P [c1 / 1.0µF ] = P [1.0µF / c1] P [c1] . P [1.0µF ]€or su p—rteD P [1.0µF ] = P [1.0µF / c1] P [c1] + P [1.0µF / c2] P [c2] + P [1.0µF / c3] P [c3] 70 1 80 1 145 1 6205 =++= = 0.48518, 145 3 210 3 245 3 12 789luego P [c1 / 1.0µF ] = 70 1 = 2058 = 0.33167. 145 3 6205 6205 12 789Ejemplo. ƒiguiendo ™on el ejemplo de l—s —r—ndel—s ™on grosor fuer— de l—s espe™i(™—™iones de diseñoD¾™uál es l— pro˜—˜ilid—d de que l— ter™er— —r—ndel— sele™™ion—d— se— más grues— que l—s espe™i(™—™ionesde diseñoc P [A3] = P [A3|A1∩A2 ]P [A1 ∩ A2] + P [A3|A¯1∩A2 ]P [A¯1 ∩ A2] +P [A3|A1∩A¯2 ]P [A1 ∩ A¯2] + P [A3|A¯1∩A¯2 ]P [A¯1 ∩ A¯2] 53Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén = P [A3|A1∩A2 ]P [A1]P [A2|A1 ] + P [A3|A¯1∩A2 ]P [A¯1]P [A2|A¯1 ] +P [A3|A1∩A¯2 ]P [A1]P [A¯2|A1 ] + P [A3|A¯1∩A¯2 ]P [A¯1]P [A¯2|A¯1 ] 28 30 29 29 20 30 =+ 48 50 49 48 50 49 29 30 20 30 20 19 ++. 48 50 49 48 50 49Ejemplo. in el ™—n—l de ™omuni™—™iones tern—rio que se des™ri˜e en l— pigur— QFRD se h— o˜serv—doque el dígito Q es envi—do tres ve™es más fre™uentemente que ID y P dos ve™es más fre™uentementeque IF g—l™ulemos l— pro˜—˜ilid—d de que un dígito ™u—lquier— envi—do — tr—vés del ™—n—l se— re™i˜ido™orre™t—menteFin primer lug—rD si not—mos P [X = 1] = pD enton™es P [X = 2] = 2p y P [X = 3] = 3pF €or otr— p—rteD™omo 1 = P [X = 1] + P [X = 2] + P [X = 3] = 6p,se tiene que 1 1 1 , . P [X = 1] = P [X = 2] = y P [X = 3] = 63 2ehor—D utiliz—ndo el teorem— de l— pro˜—˜ilid—d tot—lD P [d´ıgito OK] = P [d´ıgito OK / X = 1] P [X = 1] + P [d´ıgito OK / X = 2] P [X = 2] + P [d´ıgito OK / X = 3] P [X = 3] = P [Y = 1 / X = 1] P [X = 1] + P [Y = 2 / X = 2] P [X = 2] + P [Y = 3 / X = 3] P [X = 3] = (1 − α) 1 + (1 − β) 1 + (1 − γ) 1 = P. 632EjemploF gontinu—ndo ™on el —nteriorD si se re™i˜e un ID ¾™uál es l— pro˜—˜ilid—d de que se hu˜ier—envi—do un Ic…tiliz—ndo el teorem— de f—yesD P [X = 1 / Y = 1] = P [Y = 1 / X = 1] P [X = 1] . P [Y = 1]54 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros pigur— QFRX g—n—l tern—rio de ™omuni™—™iones ™on pro˜—˜ilid—d de ™ru™e€or su p—rteD P [Y = 1] = P [Y = 1 / X = 1] P [X = 1]luego + P [Y = 1 / X = 2] P [X = 2] + P [Y = 1 / X = 3] P [X = 3] 1−α β γ = + +, 6 64 1−α −1 + α = 2 −2 + 2α − 2β − 3γ . P [X = 1/Y = 1] = 6 1−α + β + γ 6 6 43.9. Más sobre el Teorema de Bayesv— import—n™i— del „eorem— de f—yes en ist—dísti™— v— mu™ho más —llá de su —pli™—™ión ™omo fórmul—que f—™ilit— pro˜—˜ilid—des ™ondi™ion—d—sF v— (losofí— que su˜y—™e en él h— d—do lug—r — tod— un— form— deentender l— ist—dísti™—D ll—m—d— por ello Estadística BayesianaF †—mos — tr—t—r de expli™—r los fund—mentosde est— m—ner— de entender el teorem—Fƒupong—mos que h—y un su™eso A so˜re el que tenemos un serio des™ono™imiento —™er™— de si se d— o no sed—F „—nto es —sí que tenemos que determin—r l— pro˜—˜ilid—d de di™ho su™esoD P [A]F is import—nte entenderque nosotros somos ™ons™ientes de que A h— o™urrido o no h— o™urridoX el pro˜lem— es pre™is—mente queno s—˜emos qué h— p—s—doF he™imos que es import—nte porque P [A] no represent— l— probabilidad de que AocurraD sino nuestro gr—do de ™reen™i— en que h— o™urridoFis posi˜le que no teng—mosD en prin™ipioD d—tos p—r— ™ono™er de form— ex—™t— ™uál es l— pro˜—˜ilid—d de AFeún —síD podrí—mos —trevernosD como expertos en el temaD — d—r un— estim—™ión de di™h— pro˜—˜ilid—dD P [A]Fe est— pro˜—˜ilid—d ini™i—l que d—mos l— v—mos — ll—m—r probabilidad a priori.ehor— ˜ienD hemos d—do un— pro˜—˜ilid—d — priori P [A] sin ningun— inform—™ión so˜re AF ƒupong—mos —hor—Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo 55

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaénque tenemos nuev— inform—™ión que nos d—rá pist—s —™er™— de si A h— o™urrido o noD y que di™h— inform—™iónestá re™ogid— en un su™eso que ll—m—remos B1F in ese ™—soD podrí—mos y de˜erí—mos actualizar la probabilidadde A ˜—sándonos en est— nuev— inform—™iónD propor™ion—ndo un— nuev— pro˜—˜ilid—d de A que teng— en ™uent—B1D es de™irD P [A |B1]D que ll—m—remos probabilidad a posterioriFin es— actualización de la probabilidad es donde entr— el „eorem— de f—yesD y— que nos di™e que P [A |B1 ] = P [B1 P [B1 |A] P [A] A¯ . |A] P [A] + P [B1 |A¯] Py˜sérvese que l— pro˜—˜ilid—d — posteriori es propor™ion—l — l— pro˜—˜ilid—d — prioriFpin—lmenteD es muy import—nte ver que podemos extender est— form— de tr—˜—j—r —pli™—ndo el teorem— deun— form— re™ursiv—F hespués de ™ono™er B1D nuestr— nuev— pro˜—˜ilid—d p—r— A es P [A |B1 ]F e˜us—ndo del— not—™iónD podemos de™ir que es— es nuestr— nuev— pro˜—˜ilid—d — priori y siD por ejemploD tenemos másinform—™ión so˜re AD d—d— por otro su™eso B2D información independiente de B1D l— nuev— pro˜—˜ilid—d— posteriori serí—P [A |B1∩B2 ] = P [B2 P [B2 |A∩B1 ] P [A |B1 ] P A¯ |B1 |A∩B1 ] P [A |B1 ] + P B2 |A¯∩B1 = P [B2 |A] P [A |B1 ] A¯ |B1 . P [B2 |A] P [A |B1 ] + P [B2 |A¯] Pis muy import—nte o˜serv—r que en este ™o™iente P [A |B1 ] o™up— el lug—r que —ntes o™up—˜— l— pro˜—˜ilid—d— prioriF edemásD est— segund— pro˜—˜ilid—d — posteriori podrí— ™onsider—rse ™omo l— nuev— pro˜—˜ilid—d —priori p—r— un— nuev— —pli™—™ión del teorem— ˜—s—d— en el ™ono™imiento de nuev— inform—™ión d—d— por unsu™eso B3F iste pro™eso de —™tu—liz—™ión de l—s pro˜—˜ilid—des — priori ˜—s—d— en l— inform—™ión disponi˜lepuede re—liz—rse ™u—nt—s ve™es se— ne™es—rioF†—mos — ilustr—r esto en un p—r de ejemplosF3.9.1. Ejemplo del juezƒupong—mos que un juez de˜e de™idir si un sospe™hoso es ino™ente o ™ulp—˜leF Él s—˜e que de˜e ser ™uid—dosoy g—r—ntist— ™on los dere™hos del —™us—doD pero t—m˜ién por su experien™i— p—rte de un— ™reen™i— en queel sospe™hoso puede ser ™ulp—˜le queD en ™u—lquier ™—soD estim— por de˜—jo de lo que re—lmente ™ree p—r—DinsistoD ser g—r—ntist— ™on los dere™hos del —™us—doF €ong—mos que estim— est— pro˜—˜ilid—d en un IH 7Fehor— empiez— — ex—min—r l—s prue˜—sF v— primer— de ell—s es un— prue˜— de ehx en l— que el —™us—do diopositivoX en™ontr—ron m—teri—l genéti™o en el —rm— del ™rimen queD según l— prue˜—D es suyoF is— prue˜— deehx d— positivo en el WWFS 7 de l—s ve™es en que se ™omp—r—n dos ehx9s idénti™osD pero t—m˜ién d— positivo@erróne—menteA en el HFHHS 7 de l—s ve™es en que se —pli™— — dos ehx9s distintosF „eniendo en ™uent— est—inform—™iónD el juez —pli™— por primer— vez el teorem— de f—yes ™on los siguientes d—tosX P [culpable] = 0.1D que es l— pro˜—˜ilid—d — priori que el juez ™onsider—F v— pro˜—˜ilid—d de que l— prue˜— de ehx de positivo si el —™us—do es ™ulp—˜le es P [ADN + |culpable] = 0.995.56 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros v— pro˜—˜ilid—d de que l— prue˜— de ehx de positivo si el —™us—do es ino™ente es P [ADN + |inocente] = 0.00005.ehor— y— puede —™tu—liz—r su gr—do de ™reen™i— en l— ™ulp—˜ilid—d del sospe™hosoX P [culpable |ADN + ] = P [ADN + P [ADN + |culpable] × P [culpable] × P [inocente] |culpable] × P [culpable] + P [ADN + |inocente] 0.995 × 0.1 = 0.995 × 0.1 + 0.00005 × 0.9 = 0.999548is de™irD —hor— piens— que el sospe™hoso es ™ulp—˜le ™on un WWFWSRV 7 de ™ertez—F pijémonos en que nuestr—pro˜—˜ilid—d — priori —p—re™e en los términos HFI en el numer—dor y HFI y HFW en el denomin—dorF is—D HFIDer— l— pro˜—˜ilid—d que tení—mos antes de la prueba de que fuer— ™ulp—˜le @y HFW de que fuer— ino™enteAYdespués de la prueba es— pro˜—˜ilid—d es HFWWWSRV de que se— ™ulp—˜le @y HFHHHRSP de que se— ino™enteAFƒin em˜—rgoD el sospe™hoso insiste en su ino™en™i—D y propone someterse — un— prue˜— de un dete™tor dementir—sF vos expertos s—˜en que un ™ulp—˜le es ™—p—z de eng—ñ—r — est— máquin— en el IH 7 de l—s ve™esD yque l— máquin— dirá el I 7 de l—s ve™es que un ino™ente mienteF xuestro sospe™hoso se somete — l— máquin— yést— di™e que es ino™enteF ¾guál será —hor— l— pro˜—˜ilid—d que el juez —sign— — l— ™ulp—˜ilid—d del sospe™hosoc„eniendo en ™uent— queX P [maquina− |culpable] = 0.1D P [maquina+ |inocente] = 0.01Dde˜e —pli™—r de nuevo el „eorem— de f—yesD ™onsider—ndo —hor— que l— pro˜—˜ilid—d — priori de que se—™ulp—˜le es WWFWSRV 7XP [culpable |maquina−] = P [maquina− P [maquina− |culpable] × P [culpable] × P [inocente] |culpable] × P [culpable] + P [maquina− |inocente] 0.1 × 0.999548 = 0.1 × 0.999548 + (1 − 0.01) × (1 − 0.999548) = 0.9955431.is de™irD —ún ™on es— prue˜— neg—tiv—D el juez —ún tiene un WWFSSRQI 7 de ™ertidum˜re de que el sospe™hosoes ™ulp—˜leF he nuevoD podemos resumir este p—so di™iendo que antes de la segunda prueba nuestr—pro˜—˜ilid—d de que fuer— ™ulp—˜le er— de HFWWWSRV @que —p—re™e en l— fórmul— o™up—ndo l— posi™ión de l—pro˜—˜ilid—d — prioriAD mientr—s que después de la segunda prueba es— pro˜—˜ilid—d es HFWWSSRQIFil pro™eso puede verse resumido en el gu—dro QFQF3.9.2. Ejemplo de la máquina de detección de fallosin un pro™eso industri—l de produ™™ión en serie de ™—pós de ™o™heD existe un— máquin— en™—rg—d— de dete™t—rdesperfe™tos que dese™hen un— piez— de ™—póF is— máquin— está ™—li˜r—d— p—r— dete™t—r un— piez— defe™tuos—™on un WH 7 de —™iertoD pero t—m˜ién dete™t— ™omo defe™tuos—s el S 7 de l—s piez—s no defe™tuos—sF ilen™—rg—do de ™—lid—d estim—D por estudios previosD que el por™ent—je gener—l de piez—s defe™tuos—s es del S 7Fiste en™—rg—doD ™ons™iente de que l— máquin— puede d—r por ˜uen—s piez—s que son defe™tuos—sD de™ide —™tu—rde l— siguiente form—X un— piez— que se— dete™t—d— ™omo no defe™tuos— p—s—rá otr—s dos ve™es por l— mism—máquin— dete™tor— y sólo será de™l—r—d— no defe™tuos— ™u—ndo en ningun— de es—s tres prue˜—sD de defe™tuos—FProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 57

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén P [Culpable] Antes de Después de la prueba la prueba 1ª prueba: ADN+ HFI P [ADN +|culpable]×0.1 = 0.9995482ª prueba: maquina− P [ADN +|culpable]×0.1+P [ADN +|inocente]×(1−0.1) HFWWWSRV P [maquina−|culpable]×0.999548 = 0.9955431 P [maquina−|culpable]×0.999548+P [maquina−|inocente]×(1−0.999548)gu—dro QFQX isquem— del pro™eso iter—tivo del teorem— de f—yes en el ejemplo del juezF v— pro˜—˜ilid—d apriori @—ntes de ™—d— prue˜—A es l— que se utiliz— en l— fórmul— p—r— o˜tener l— pro˜—˜ilid—d a posteriori@despúés de ™—d— prue˜—AF v— pro˜—˜ilid—d a posteriori @despuésA de un— prue˜— es l— pro˜—˜ilid—d a priori@—ntesA de l— siguiente prue˜—Fƒupong—mos que un— piez— p—s— l—s tres ve™es y d— no defe™tuos—X ¾™uál es l— pro˜—˜ilid—d de que re—lmentese— no defe™tuos—c†—mos — empez—r not—ndo —de™u—d—mente los su™esosF xot—remos D —l su™eso ser defe™tuos— y por + — d—rpositivo ™omo defe™tuos— en l— prue˜— de l— máquin—F ƒ—˜emos queXP [D] = 0.05D que es l— pro˜—˜ilid—d — prioriYP [+ |D] = 0.9 yP [+ |D¯ ] = 0.05Fv— pro˜—˜ilid—d — priori de que un— piez— se— no defe™tuos— es de HFWSD pero si es dete™t—d— ™omo defe™tuos—un— primer— vezD di™h— pro˜—˜ilid—d p—s— — ser P D¯ |+¯ = P [+¯ P [+¯ |D¯ ] P D¯ |D] P [D] |D¯ ] P D¯ + P [+¯ 0.95 × 0.95 = 0.95 × 0.95 + 0.1 × 0.05 = 0.9944904.is— pro˜—˜ilid—d p—s— — ser l— pro˜—˜ilid—d — priori p—r— l— segund— vez que d— no defe™tuos—F €or t—ntoD l—pro˜—˜ilid—d de que se— no defe™tuos— si d— neg—tivo por segund— vez esP D¯ |+¯ +¯ = P [+¯ P [+¯ |D¯ ] 0.9944904 − 0.9944904) |D¯ ] 0.9944904 + P [+¯ |D] (1 0.95 × 0.9944904 = 0.95 × 0.9944904 + 0.1 × (1 − 0.9944904) = 0.9994172.pin—lmenteD l— pro˜—˜ilid—d de que se— no defe™tuos— si d— neg—tivo por ter™er— vez esP D¯ |+¯ +¯ +¯ = P [+¯ P [+¯ |D¯ ] 0.9994172 |D¯ ] 0.9994172 + P [+¯ |D] (1 − 0.9994172) 0.95 × 0.9994172 = 0.95 × 0.9994172 + 0.1 × (1 − 0.9994172) = 0.9999386.gomo podemos verD si un— piez— d— no defe™tuos— tres ve™esD l— pro˜—˜ilid—d de que se— re—lmente nodefe™tuos— es —ltísim—D del orden del WWFWW 7D —sí que el método ide—do por el respons—˜le de ™—lid—d p—re™e™onsistenteF58 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros P D¯ Antes de Después de la prueba la prueba [[++¯¯ ||DD¯¯P]]00[+..¯99|99D¯94PP]440[[19.++¯¯P970542||[DD+¯¯+++¯]]|PPP00D¯..[[[99+++]¯¯¯099|||.49DDD944519]]](((0711142−−−000...999995)4944=9107420)).9==94004..999990994491378261ª prueba: +¯ HFWS P2ª prueba: +¯ HFWWRRWHR P3ª prueba: +¯ HFWWWRIUPgu—dro QFRX isquem— del pro™eso iter—tivo del teorem— de f—yes en el ejemplo de l— máquin— de dete™™iónde f—llosF v— pro˜—˜ilid—d a priori @—ntes de ™—d— prue˜—A es l— que se utiliz— en l— fórmul— p—r— o˜tener l—pro˜—˜ilid—d a posteriori @despúés de ™—d— prue˜—AF v— pro˜—˜ilid—d a posteriori @despuésA de un— prue˜— esl— pro˜—˜ilid—d a priori @—ntesA de l— siguiente prue˜—FProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 59

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén60 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Capítulo 4Variable aleatoria. Modelos dedistribuciones de probabilidad w—s — pes—r de todo esoD —unque l— m—l— suerte exist—D muy po™os reporteros veter—nos ™reen de verd—d en ell—F in l— guerr—D l—s ™os—s suelen dis™urrir más ˜ien según l— ley de l—s pro˜—˜ilid—desX t—nto v— el ™ánt—ro — l— fuente que —l (n—l h—™e ˜—ngF erturo €érez ‚everteD en Territorio ComancheResumen. in este ™—pítulo ™ontinu—mos ™on el estudio de l— pro˜—˜ilid—dD utiliz—ndo el ™on™epto de v—ri—˜le—le—tori— p—r— referirnos — experimentos donde el result—do qued— ™—r—™teriz—do por un v—lor numéri™oF ƒepresent—n —lgunos de los modelos más h—˜itu—les de —sign—™ión de pro˜—˜ilid—des y sus propied—des másrelev—ntesFPalabras clave: v—ri—˜le —le—tori—D v—ri—˜le dis™ret—D fun™ión m—s— de pro˜—˜ilid—dD v—ri—˜le ™ontinu—D fun™iónde densid—d de pro˜—˜ilid—dD fun™ión de distri˜u™iónD medi—D v—ri—nz—D distri˜u™ión ˜inomi—lD distri˜u™iónde €oissonD distri˜u™ión geométri™—D distri˜u™ión uniformeD distri˜u™ión exponen™i—lD distri˜u™ión q—mm—Ddistri˜u™ión norm—lF4.1. Introducciónin el tem— —nterior hemos visto que l— ist—dísti™— se o™up— de experimentos —le—toriosF in gener—lD en gien™i—y „e™nologí— se suele —n—liz—r ™u—lquier experimento medi—nte un— o v—ri—s medid—s del mismoF €or ejemploDse —n—liz— un o˜jeto según su pesoD su volumenD su densid—dD su ™ontenido de —gu—FFFY o se —n—liz— el trá(™ode snternet según el número de ™onexiones — un servidorD el volumen tot—l de trá(™o gener—doD l— velo™id—dFFFin estos sen™illos ejemplos o˜serv—mos que se h— des™rito un fenómeno físi™oD ™omo puede ser un o˜jeto oel est—do de un— red de ™omuni™—™iones en un momento d—doD medi—nte uno o v—rios números o v—ri—˜lesFgu—ndo ese fenómeno es de tipo —le—torioD v—mos — ll—m—r — es— —sign—™ión variable aleatoriaFgonsideremos un experimento pro˜—˜ilísti™o ™on un esp—™io muestr—l Ω en el que se h— de(nido un— fun™iónde pro˜—˜ilid—d P [·] . TI

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén…n— variable aleatoria @— p—rtir de —hor— v.a.A es un número re—l —so™i—do —l result—do de un experimento—le—torioF ƒe tr—t—D por t—ntoD de un— fun™ión re—l ™on dominio en el esp—™io muestr—lD X : Ω → R.€odemos pens—r en un— vF—F ™omo en un— v—ri—˜le —so™i—d— — un— po˜l—™ión ™on™eptu—lD y— que sólo podráo˜serv—rse ™u—ndo se tomen muestr—s suy—sFin l— not—™ión que v—mos — utiliz—r represent—remos l—s v—ri—˜les —le—tori—s ™omo fun™iones siempre enm—yús™ul—sD y — sus v—lores ™on™retos siempre en minús™ul—F is de™irD si queremos referirnos — un— vF—F —ntesde o˜serv—r su v—lorD podemos not—rl— ™omo X, por ejemploY pero un— vez que se o˜serv— el v—lor de di™h—v—ri—˜le @y— no esD por t—ntoD —lgo —le—torioAD de˜emos not—r — ese v—lor en minús™ul—D por ejemploD ™omo xF€or ejemploD podemos de™ir que l— v—ri—˜le —le—tori— X que ™orresponde — l— puntu—™ión o˜tenid— —l l—nz—r eld—do puede tom—r los v—lores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6F €odremos pregunt—rnos por l— pro˜—˜ilid—d de que X tomeel v—lor x = 4 o de que X ≤ 6F ƒi l—nz—mos el d—do y o˜serv—mos que h— s—lido un TD diremos que x = 6Fxo olvidemos que el o˜jeto de l— ist—dísti™— ™on respe™to — l— o˜serv—™ión de fenómenos —le—torios es medirl— ™ertidum˜re o l— in™ertidum˜re —so™i—d— — sus posi˜les result—dosF el des™ri˜ir estos result—dos medi—ntev—ri—˜les —le—tori—sD lo que tenemos son result—dos numéri™os sujetos — in™ertidum˜reF il o˜jetivo —hor— es™u—nti(™—r l— pro˜—˜ilid—d de esos result—dos numéri™os de —lgun— form—F4.2. Variable aleatoria discreta4.2.1. Deniciónƒe di™e que un— vF—F es discreta si el ™onjunto de todos los v—lores que puede tom—r es un ™onjuntoD — losumoD numer—˜le @dis™retoAF Ejemplo. ƒon v—ri—˜les dis™ret—sX il número de —™™identes l—˜or—les en un— empres— —l —ñoF il número de errores en un mens—je tr—nsmitidoF il número de piez—s defe™tuos—s produ™id—s — lo l—rgo de un dí— en un— ™—den— de produ™™iónF il número de dí—s de ˜—j— de un tr—˜—j—dor —l mesF4.2.2. Función masa de probabilidadh—d— un— vF—F dis™ret—D XD se de(ne su función masa de probabilidad ™omo f (x) = P [X = x] ,p—r— ™—d— x ∈ R.62 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para IngenierosNota. y˜sérvese que un— fun™ión m—s— de un— vF—F dis™ret— está de(nid— en todos los puntos de l— re™t—re—lD pero sólo v—ldrá distinto de ™ero en un ™onjuntoD — lo sumoD numer—˜leD que ™orresponde ™on losúni™os v—lores que pueden d—rse de l— v—ri—˜leFƒe— X un— vF—F dis™ret— y f (x) su fun™ión m—s—F inton™esX IF f (x) ≥ 0 p—r— todo x ∈ R. PF x∈R f (x) = 1. QF in gener—lD p—r— ™u—lquier ™onjunto B, P [X ∈ B] = f (xi) , xi ∈Bdonde xi son v—lores posi˜les de X.4.2.3. Función masa de probabilidad empíricain l— prá™ti™— n—die ™ono™e l— —uténti™— fun™ión m—s— de un— v—ri—˜le dis™ret—D pero podemos —proxim—rl—medi—nte l— función masa de probabilidad empírica —so™i—d— — un— muestr— de result—dosFƒi tenemos un— ™ole™™ión de posi˜les result—dos de l— v—ri—˜le XD x1, ..., xN , est— fun™ión —sign— —l v—lor x l—fre™uen™i— ™on l— que di™ho v—lor se d— en l— muestr—D es de™irD femp (x) = nu´mero de valores xi iguales a x N .ƒi el t—m—ñoD N D de l— muestr— es gr—ndeD est— fun™ión tiende — l— —uténti™—D es de™irD p—r— ™—d— x ∈ RF l´ım femp (x) = f (x) . N →∞Ejemplo. in l— pigur— RFI —p—re™e l— fun™ión m—s— empíri™— ™orrespondiente —l l—nz—miento de un d—doTHH ve™esF ist— fun™ión empíri™— —p—re™e represent—d— en ˜—rr—s verti™—lesD mientr—s que l— fun™ión m—s—teóricaD f (x) = 1 D p—r— x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 —p—re™e represent—d— ™omo un— líne— horizont—lF €uede —pre™i—rE 6se ™ómo propor™ion—n pro˜—˜ilid—des teóri™—s y empíri™—s ˜—st—nte p—re™id—sF xo o˜st—nteD ¾de˜erí—mos™on™luir — l— luz de estos THH d—tos que el d—do no está ™—rg—doc4.2.4. Media y varianza de una variable aleatoria discretah—d— un— vF—F dis™ret—D XD ™on fun™ión m—s— de pro˜—˜ilid—d f (x)D se de(ne su medi— o esper—nz— m—temáti™—™omo EX = x × f (x). xProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 63

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén pigur— RFIX pun™ión m—s— empíri™— de un— muestr— de THH l—nz—mientos de un d—doFgomo en el ™—so de l— medi— muestr—l de unos d—tosD l— medi— de un— vF—F se interpret— ™omo el ™entro degr—ved—d de los v—lores que puede tom—r l— v—ri—˜leD ™on l— diferen™i— que en un— medi— muestr—lD el peso de™—d— v—lor lo d— l— fre™uen™i— de di™ho v—lor en los d—tos y —quí el peso lo determin— l— pro˜—˜ilid—dD d—d—por l— fun™ión m—s—Fh—d— un— vF—F dis™ret—D XD ™on fun™ión m—s— de pro˜—˜ilid—d f (x)D se de(ne su v—ri—nz— ™omo V arX = (x − EX)2 × f (x). xv— form— más ™ómod— de ™—l™ul—r en l— prá™ti™— l— v—ri—nz— es des—rroll—ndo previ—mente el ™u—dr—do que—p—re™e en su de(ni™iónD y— que V arX = (x − EX)2 × f (x) = (x2 − 2xEX + EX2) × f (x) xx = x2 × f (x) − 2EX × x × f (x) + EX2 × f (x) x xx =E[X2] − 2EX2 + EX2 = E[X2] − EX2.el ig√u—l que o™urre ™on l— v—ri—nz— muestr—l es ™onveniente de(nir l— desvi—™ión típi™— de un— vF—FD ™omoσ = V arXD que tiene l—s mism—s unid—des que l— medi— y que se puede interpret—r ™omo un— medi— delgr—do de v—ri—™ión del ™onjunto de v—lores que puede tom—r l— vF—F respe™to del v—lor de l— medi—F4.3. Modelos de distribuciones de probabilidad para variables dis- cretasƒegún lo que hemos visto h—st— —hor—D l— form— en que se —sign— pro˜—˜ilid—d — los result—dos de un—v—ri—˜le —le—tori— dis™ret— viene d—d— por l— fun™ión m—s— de pro˜—˜ilid—dF e est— m—ner— de determin—r l—64 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenierospro˜—˜ilid—d —so™i—d— — los result—dos de l— v—ri—˜le l— v—mos — ll—m—r — p—rtir de —hor— distribución deprobabilidad de un— vF—F hémonos ™uent— queD ™omo —™—˜—mos de ™oment—rD p—r— determin—r l— distri˜u™iónde pro˜—˜ilid—d de un— vF—F sólo tenemos que d—r su fun™ión fun™ión m—s— de pro˜—˜ilid—dFƒin em˜—rgoD de˜emos tener en ™uent— que en l— vid— re—l n—die ™ono™e ™uál es l— —uténti™— distri˜u™ión depro˜—˜ilid—d de un— vF—FD porque n—die s—˜e — priori ™uál es l— fun™ión m—s— de di™h— v—ri—˜leF „odo lo másDpodemos ™—l™ul—r l— fun™ión m—s— empíri™— — p—rtir de los d—tos de un— muestr—F eún —síD lleg—rá el momentode pasar al límiteD es de™irD de indu™ir un— fórmul— teóri™— que ™orrespond— — l— distri˜u™ión de pro˜—˜ilid—dque proponemos y que se p—rez™— — l— distri˜u™ión empíri™— de los d—tos de l— muestr—F€—r— —yud—r — ese paso al límiteD en ist—dísti™— se estudi—n modelos teóricos de distribuciones de pro-babilidadF ƒe tr—t— de fórmul—s teóri™—s de fun™iones m—s— que pueden result—r —de™u—d—s p—r— determin—d—sv—ri—˜les —le—tori—sFr—y un— metáfor— que puede —yud—r — entender ™ómo se —sign— un— distri˜u™ión de pro˜—˜ilid—d y so˜re l— que—˜und—remos en lo su™esivoX ¾qué o™urre ™u—ndo queremos ™ompr—r unos p—nt—lonesc in gener—l —™udimos— un— tiend— de mod— yX IF he entre un— serie de modelosD elegimos el modelo que ™reemos que mejor nos v—F PF fus™—mos l— t—ll— que h—™e que mejor se —juste — nosotrosD según nuestr—s ™—r—™terísti™—sF€ues ˜ienD en el ™—so de l—s vF—F nuestras características son l—s posi˜les o˜serv—™iones que tenemos so˜re l— vF—F queD por ejemploD pueden determin—r un— distri˜u™ión empíri™— —so™i—d— — un— muestr—Y los modelos de l— tiend—D entre los que elegimos el que más nos gust—D son los modelos teóri™os que v—mos — empez—r — estudi—r — ™ontinu—™iónY y la talla que h—™e que los p—nt—lones se —justen — nosotros —de™u—d—mente son los p—rámetros de los modelos teóri™osFin lo que rest— de este ™—pítulo v—mos — des™ri˜ir —lgunos de los modelos teóri™os de pro˜—˜ilid—d másh—˜itu—les en el ám˜ito de l—s sngenierí—sD ™omenz—ndo por el ™—so de vF—F dis™ret—sF4.3.1. Distribución binomialƒe— X un— vF—F dis™ret— que tom— los v—lores x = 0, 1, ..., nD donde n es un número n—tur—l ™ono™idoF ƒe di™eque X sigue un— distribución binomial de parámetros n y p @y se not— X → B (n, p)A si su fun™ión m—s—es f (x) = n px (1 − p)n−x x = n! px (1 − p)n−x , x = 0, 1, 2, ..., n. x! (n − x)!Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo 65

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén0.4 B(10,0.25)0.30.20.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.4 B(10,0.5)0.30.20.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.4 B(10,0.75)0.30.20.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 pigur— RFPX pun™iones m—s— de distri˜u™iones ˜inomi—lesFƒe— X → B (n, p)F inton™es EX = np V arX = np (1 − p) .Caracterización de la distribución binomialF ƒupong—mos que un determin—do experimento —le—toriose repite n ve™es de form— independiente y que en ese experimento h—y un su™eso que denomin—mos éxito,que o™urre ™on pro˜—˜ilid—d ™onst—nte pF in ese ™—soD l— v—ri—˜le —le—tori— X que mide el número de éxitossigue un— B (n, p)Fin est— ™—r—™teriz—™ión es import—nte o˜serv—r que l—s dos hipótesis fund—ment—les de est— distri˜u™ión sonX los experimentos se repiten de form— independiente y l— pro˜—˜ilid—d de éxito es constanteFin l— medid— en que est—s dos hipótesis no se—n válid—sD l— distri˜u™ión ˜inomi—l no será —de™u—d— p—r— l—v—ri—˜le que ™uent— el número de éxitosF…n ejemplo p—rti™ul—r de distri˜u™ión ˜inomi—l lo ™onstituye l— denomin—d— distribución de BernouilliFƒe tr—t— de un— distri˜u™ión B (1, p)D ™on fun™ión m—s— f (x) = 1 − p si x = 0 . p si x = 166 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros x H I P Q RP [X = x] 4 0.200.84 4 0.210.83 4 0.220.82 4 0.230.81 4 0.240.80 0 1 2 3 4 = 0.41 = 0.41 = 0.15 = 0.03 = 0.00 gu—dro RFIX pun™ión m—s— de un— B (4, 0.2)Ejemplo. gonsideremos ™omo vF—F el número de dí—s — l— sem—n— que un joven de hoy ™onsuEme —l™oholF ¾€odrí—mos pens—r que se tr—t— de un— vF—F ™on distri˜u™ión B (7, p)D donde p =nu´mero medio de d´ıas de consumo c €ro˜—˜lemente noD porque 7IF €uede d—rse el efecto resacaD es de™irD si se ™onsume mu™ho un dí—D huir del —l™ohol —l dí— siguienteY o el efe™to inverso un clavo quita otro clavoY o FFFY en de(nitiv—D ™ir™unst—n™i—s que romp—n l— hipótesis de independen™i— en el ™onsumo en dí—s distintosFPF istá ™l—ro que l— pro˜—˜ilid—d de ™onsumir un m—rtes no esD en gener—lD l— mism— que un sᘗdoF „—mpo™o todos los jóvenes tienen l— mism— pro˜—˜ilid—d de ™onsumir —l™ohol un dí— ™u—lquier—FEjemplo. …n ingeniero se ve o˜lig—do — tr—nsmitir dígitos ˜in—rios — tr—vés de un sistem— de ™omuEni™—™iones ˜—st—nte imperfe™toF €or estudios previosD estim— que l— pro˜—˜ilid—d de que un dígito setr—nsmit— in™orre™t—mente es del PH 7F il ingeniero enví— un mens—je de R dígitos y se pregunt— ™uántosse re™i˜irán in™orre™t—menteFhesde el punto de vist— est—dísti™o nosotros no podemos responder — es— pregunt—F in re—lid—dD n—diepuede responder — es— pregunt— ™on ™ertez—D porque existe in™ertidum˜re l—tente en ell—X el —z—r deterEmin—rá ™uántos dígitos se ™ruz—nF vo que sí podemos h—™er es f—™ilit—rle el gr—do de ™ertez—D es de™irD l—pro˜—˜ilid—dD de ™—d— uno de los posi˜les result—dosFgon™ret—menteD si —n—liz—mos l— v—ri—˜le XX número de dígitos que se reciben incorrectamenteD teniendoen ™uent— que el ens—yo de ™—d— envío de ™—d— dígito se h—rá de form— independiente y que nos h— di™hoque l— pro˜—˜ilid—d de que un dígito se re™i˜— in™orre™t—mente es HFPD podemos —(rm—r que un modelo depro˜—˜ilid—d —de™u—do p—r— di™h— v—ri—˜le es un— distri˜u™ión B(4, 0.2)F ist— distri˜u™ión nos permite™—l™ul—r l— pro˜—˜ilid—d de que se ™ru™en HD ID PD Q o R de los dígitosF vo esquem—tiz—mos en l— t—˜l——djunt—F †istos los result—dosD de˜emos de™irle —l ingeniero que es h—rt—mente impro˜—˜le que le f—llenlos R dígitosD pero que tiene un— pro˜—˜ilid—d @ver gu—dro RFIA de 0.41 + 0.15 + 0.03 + 0.00 = 0.59de que le f—lle el envío de —l menos uno de ellosFProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 67

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén4.3.2. Distribución de Poissonƒe— X un— vF—F dis™ret—D que puede tom—r los v—lores x = 0, 1, 2, ... ƒe di™e que X sigue un— distribuciónde Poisson de parámetro λ @y se not— X → P (λ)A si su fun™ión m—s— es f (x) = e−λ λx , x = 0, 1, 2, ... x!ƒe— X → P (λ)F inton™es EX = λ V arX = λ.Caracterización de la distribución de PoissonF gonsideremos el número de éxitos en un periodo detiempo donde los éxitos —™onte™en — r—zón de λ ve™es por unid—d de tiempo @en promedioA y de form—independienteF in ese ™—so X : nu´mero de ocurrencias del suceso por unidad de tiempoes un— v—ri—˜le de Poisson de parámetro λ, y se not— X → P (λ) .in est— ™—r—™teriz—™iónD l—s hipótesis fund—ment—les —hor— sonX l— independencia de l—s re—liz—™iones y el promedio constante de o™urren™i—s por unid—d de tiempoF Ejemplo. v— distri˜u™ión de €oisson suele utiliz—rse ™omo modelo p—r— el número de —™™identes o™urridos en los individuos de un— po˜l—™ión — lo l—rgo de un periodo de tiempoF vo que mu™h— gente no termin— de —sumir es que h—™er es— suposi™ión equiv—le — de™ir que todos esos individuos tienen el mismo riesgo de tener un —™™idente y que el he™ho de que un individuo teng— un —™™idente no modi(™— p—r— n—d— l— pro˜—˜ilid—d de sufrir un nuevo —™™identeF is evidente que en mu™h—s situ—™iones de l— vid— re—l eso no es ™iertoD —sí que el modelo no será —de™u—do en ell—sF Ejemplo. ytr— —pli™—™ión muy ™omún de l— distri˜u™ión de €oisson es —l número de p—rtí™ul—s por unid—d de volumen en un )uido ™u—ndo un— disolu™ión está re—lmente ˜ien disuelt—F in ™—so de que los d—tos indiquen que l— distri˜u™ión de €oisson no es —de™u—d—D podrí—mos de he™ho inferir que l— disolu™ión no está ˜ien disuelt—F Ejemplo. in el ™ontexto de l—s redes de tele™omuni™—™ionesD el uso más ™omún de l— distri˜u™ión de €oisson es en el ám˜ito del número de soli™itudes de servi™io — un servidorF €or ejemploD se suele ™onsider—r que el nº de ll—m—d—s — un— ™entr—lit— o el nº de ™onexiones — un servidor sigue un— distri˜u™ión de €oissonF68 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros ƒin em˜—rgoD h—y que de™ir que —unque este uso de l— distri˜u™ión de €oisson es muy ™omúnD es evidente que l— hipótesis de que el promedio λ de˜e ser ™onst—nteD no se d— en est—s —pli™—™ionesD y— que uno de los fenómenos más ™ono™idos en tele™omuni™—™iones es el de la hora cargadaX no es el mismo promedio de ll—m—d—s el que se produ™e — l—s IP del mediodí— que — l—s Q de l— m—ñ—n—F vo que se suele h—™er es —pli™—r uno de los prin™ipios más import—ntes —unque menos es™ritos de l— ingenierí—D l— ley de wurphy @si algo puede ir mal, prepárate para ello, porque en algun momento irá mal AX —síD l—s redes de tele™omuni™—™iones suelen dimension—rse p—r— ser ™—p—™es de fun™ion—r en el peor de los es™en—rios posi˜lesD es de™irD ™u—ndo el promedio de soli™itudes es el que se d— en l— hor— ™—rg—d—FAproximación de la binomial. Ley de eventos raros. ƒupong—mos queD ™omo en l— ™—r—™teriz—™iónde l— distri˜u™ión ˜inomi—lD un determin—do experimento —le—torio se repite n ve™es de form— independientey que en ese experimento h—y un su™eso que denomin—mos éxito, que o™urre ™on pro˜—˜ilid—d ™onst—nte pFedi™ion—lmenteD supong—mos que el experimento se repite un gr—n número de ve™esD es de™irD n es gr—nde yque el éxito es un su™eso r—roD es de™irD p es pequeñoD siendo el promedio de o™urren™i—sD µ = npF in ese ™—soDl— v—ri—˜le —le—tori— X que mide el número de éxitos sigue @—proxim—d—menteA un— P (µ)Fin est— segund— ™—r—™teriz—™ión se suele ™onsider—r —™ept—˜le l— —proxim—™ión si n > 20 y p < 0.05. ƒin > 100D l— —proxim—™ión es gener—lmente ex™elente siempre y ™u—ndo np < 10F r—y que tener en ™uent— quep—r— esos v—lores de los p—rámetrosD l— distri˜u™ión ˜inomi—l tendrí— ˜—st—ntes pro˜lem—s p—r— ser ™omput—d—Dy— que se exigirí—D entre otros ™ál™ulosD el ™ál™ulo de n! p—r— un v—lor de n —ltoD por lo que l— —proxim—™iónes muy útilFEjemplo. ƒupong—mos que un f—˜ri™—nte de m—quin—ri— pes—d— tiene inst—l—dos en el ™—mpo QVRHgener—dores de gr—n t—m—ñoF ƒi l— pro˜—˜ilid—d de que ™u—lquier— de ellos f—lle dur—nte el —ño en ™ursoes de 1 D determinemos l— pro˜—˜ilid—d de que 1200a. R gener—dores f—llen dur—nte el —ño en ™ursoDb. wás I de un gener—dor f—lle dur—nte el —ño en ™ursoFil promedio de motores que f—ll—n en el —ño es λ = np = (3840)(1/1200) = 3.2Fƒe— X l— v—ri—˜le que de(ne el número de motores que pueden f—ll—r en el —ñoD ™on v—lores x =0, 1, 2, 3, ...., 3840Fin prin™ipioD X → B (3840, 1/1200) , pero d—do que n es muy gr—nde y p muy pequeñoD podemos™onsider—r que X → P (3.2)F €or t—ntoD P [X = 4] = e−3.23.24 = 0.178 09 4!€or su p—rteD P [X > 1] = 1 − P [X = 0, 1] = 1 − e−3.23.20 − e−3.23.21 = 0.828 80 0! 1!Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo 69

0.4 Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén 0.3 P(1) 0.2 0.1 0 5 10 15 20 25 P(5) 0 −5 0 5 10 15 20 25 0.2 P(10)0.15 0.1 0 5 10 15 20 250.05 0 pigur— RFQX pun™iones m—s— de distri˜u™iones de €oissonF −5 0.20.15 0.10.05 0 −54.3.3. Distribución geométricaƒe— X un— vF—F dis™ret— que puede tom—r los v—lores x = 0, 1, 2, ... ƒe di™e que sigue un— distribucióngeométrica de p—rámetro p @y se not— X → Geo (p)AD ™on 0 < p < 1D si su fun™ión m—s— es f (x) = p (1 − p)x , p—r— x = 0, 1, 2, ...ƒe— X → Geo (p)F inton™esD 1−p EX = p 1−p V arX = p2 .Caracterización de la distribución geométricaF ƒupong—mos que un determin—do experimento —le—toriose repite su™esiv—mente de form— independiente y que en ese experimento h—y un su™eso que denomin—moséxito, que o™urre ™on pro˜—˜ilid—d ™onst—nte pF in ese ™—soD l— v—ri—˜le —le—tori— X que ™uent— el número defr—™—sos h—st— que o™urre el primer éxito sigue un— Geo (p)F70 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros 0.4 Geo(0.25) 0.3 0.2 0.1 0 −5 0 5 10 15 20 25 0.8 Geo(0.5) 0.6 0.4 0.2 0 −5 0 5 10 15 20 25 0.8 Geo(0.75) 0.6 0.4 0.2 0 −5 0 5 10 15 20 25 pigur— RFRX pun™iones m—s— de distri˜u™iones geométri™—sF Ejemplo. ƒiguiendo ™on un ejemplo —nteriorD so˜re el ingeniero que enví— dígitos — tr—vés de un ™—n—l imperfe™toD —hor— se pl—nte— ™uántos dígitos se re™i˜irán ™orre™t—mente h—st— que uno se ™ru™eD s—˜iendo que l— pro˜—˜ilid—d de que uno ™u—lquier— lo h—g— es de HFPF v— v—ri—˜le de interés —hor— es Y X nº de dígitos que se reciben bien hasta el primero que se cruzaF ist— v—ri—˜le tiene ™omo modelo de pro˜—˜ilid—d un— distri˜u™ión Geo(0.2)F qr—™i—s — este modeloD podemos de™irleD por ejemploD que l— pro˜—˜ilid—d de que envíe ˜ien dos y que f—lle el ter™ero es de P [Y = 2] = 0.2 × 0.82 = 0.128.4.3.4. Distribución binomial negativaƒe— un— vF—F dis™ret— que puede tom—r los v—lores x = 0, 1, 2, ... ƒe di™e que X sigue un— distribuciónbinomial negativa de p—rámetros a y p @y se not— X → BN (a, p)AD ™on a > 0 y 0 < p < 1D si su fun™iónm—s— es f (x) = Γ (a + x) pa (1 − p)x Γ (a) Γ (x + 1) p—r— x = 0, 1, 2, ...donde Γ (x) = ´∞ sx−1e−sds es l— fun™ión g—mm—F 0y˜sérvese que l— distri˜u™ión geométri™— es un ™—so p—rti™ul—r de l— ˜inomi—l neg—tiv—D ™u—ndo a = 1FProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 71

ƒe— X → BN (a, p)F inton™es Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén 1−p EX = a p 1−p V arX = a p2Caracterización de la distribución binomial negativa. ƒe— un determin—do experimento —le—torio quese repite su™esiv—mente de form— independiente y donde h—y un su™eso que denomin—mos éxito, que o™urre™on pro˜—˜ilid—d ™onst—nte pF in ese ™—soD l— v—ri—˜le —le—tori— X que ™uent— el número de fr—™—sos h—st—que o™urre el k-ésimo éxito sigue un— BN (k, p)F in este ™—soD —demásD y d—do que Γ (r) = (r − 1)! si r es unenteroD f (x) = (k + x − 1)! pk (1 − p)x p—r— x = 0, 1, 2, ... (k − 1)!x! = k + x − 1 pk (1 − p)x p—r— x = 0, 1, 2, ... k−1Caracterización de la distribución binomial negativaF ƒe—n X1, ..., Xn vF—F independientesa ™on distriE˜u™ión Geo (p)F in ese ™—soD X = n Xi sigue un— BN (n, p)F he nuevo o˜sérvese que el primer p—rámetro i=1es un enteroF aPodemos quedarnos por ahora con la idea de que v.a. independientes son aquellas tales que el resultado de cualquiera deellas no afecta al resto.Ejemplo. gontinu—ndo ™on el ejemplo de l— tr—nsmisión de dígitos — tr—vés de un sistem— imperfe™EtoD ¾™uántos dígitos se tr—nsmitirán ™orre™t—mente h—st— que dos lo h—g—n in™orre™t—mentec he nuevotenemos que —sumir que no h—y un— respuest— p—r— estoD pero sí podemos ™onsider—r un modelo depro˜—˜ilid—d p—r— ello que nos —yude — tom—r de™isionesFƒe— ZX nº de dígitos que se reciben bien hasta que dos se cruzanF ist— vF—F sigue un— distri˜u™iónBN (2, 0.2)F qr—™i—s — este modeloD podemos de™irle —l ingenieroD por ejemploD que l— pro˜—˜ilid—d deque se le ™ru™en P dígitos ™on IH o menos envíos es P [Z ≤ 8] = 8 P [Z = z] = 8 (2 + z − 1)! 0.220.8z = 0.62 (2 − 1)!z! z=0 z=072 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros 0.1 BN(2.5,0.25) 0.06 BN(5,0.25)0.05 0.04 0.02 0 0 −10 0 10 20 30 40 −10 0 10 20 30 400.4 0.2 BN(2.5,0.5) BN(5,0.5)0.3 0.150.2 0.10.1 0.05 0 0 −10 0 10 20 30 40 −10 0 10 20 30 400.8 0.4 BN(2.5,0.75) BN(5,0.75)0.6 0.30.4 0.20.2 0.1 0 0 −10 0 10 20 30 40 −10 0 10 20 30 40 pigur— RFSX pun™iones m—s— de distri˜u™iones ˜inomi—les neg—tiv—sF4.4. Variable aleatoria continua4.4.1. Denición…n— v—ri—˜le —le—tori— es continua si el ™onjunto de v—lores que puede tom—r sólo puede en™err—rse eninterv—losD form—ndoD por t—ntoD un ™onjunto ™on un número in(nito no numer—˜le de elementosF Ejemplo. ƒon v—ri—˜les —le—tori—s ™ontinu—sX v— tensión de fr—™tur— de un— muestr— de —sf—ltoF il grosor de un— lámin— de —luminioF il pr de un— muestr— de lluvi—F v— dur—™ión de un— ll—m—d— telefóni™—F4.4.2. Histogramar—y un— diferen™i— fund—ment—l entre l—s v—ri—˜les dis™ret—s y l—s ™ontinu—sX en l—s dis™ret—s podemosD —lmenosD numer—r los posi˜les v—lores y ™ont—r el número de ve™es que s—le ™—d— v—lor posi˜le en un— muestr—Fƒin em˜—rgoD por el ™—rá™ter que tienen los interv—los de números re—lesD por muy gr—nde que fuer— l— muestr—Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo 73

Histograma con N=100 datos Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén Histograma con N=1000 datosDensidad 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Densidad 0.0 0.2 0.4 0.6 0.80123456 02468 pigur— RFTX ristogr—m—sFque tomár—mos de un— v—ri—˜le ™ontinu—D j—más tendrí—mos más de un v—lor de —lgunos puntos que puedetom—r l— v—ri—˜le1F€or es— r—zónD en un— v—ri—˜le ™ontinu— no podemos de(nir un— fun™ión m—s— empíri™—D pre™is—mente porquelos v—lores de un— v—ri—˜le ™ontinu— no tienen m—s— de pro˜—˜ilid—dFƒin em˜—rgoD ™omo s—˜emosD existe un— represent—™ión —nálog— — l— fun™ión m—s— empíri™— que permite—proxim—r l—s pro˜—˜ilid—des de los v—lores de un— v—ri—˜le ™ontinu—X el histogr—m—F†—mos — ™onsider—r un sen™illo ejemplo p—r— ilustr—r est— ™uestiónX medi—nte ‚ simul—mos dos muestr—s deun— v—ri—˜leD un— ™on N = 100 v—lores y otr— ™on N = 1000F ristogr—m—s —so™i—dos — est—s muestr—sD ™onIH y QI interv—losD respe™tiv—menteD —p—re™en en l— pigur— RFTF „eniendo en ™uent— que el áre— de l—s ˜—rr—srepresent— l— fre™uen™i— rel—tiv— ™on que se d—n los v—lores de los su™esivos interv—los en l— muestr—D en estoshistogr—m—s podemos ver que l— v—ri—˜le tom— m—yorit—ri—mente v—lores ™er™—nos — ™eroY t—nto más lej—no —l™ero es un v—lorD menos pro˜—˜le p—re™e serF iste des™enso de l— pro˜—˜ilid—d es —demásD muy —™us—doD ™—siexponen™i—lF€or otr— p—rteD o˜sérvese que —l p—s—r de IHH d—tos en l— muestr— — IHHH d—tosD el histogr—m— es˜oz— l— form—de un— fun™ión re—l de v—ri—˜le re—lF in gener—lD ™u—nto m—yor es N más se —proxim—n los histogr—m—s — l—form— de un— fun™ión ™ontinu—F †—mos — ir viendo ™uál es l— utilid—d de es— fun™ión desde el punto de vist—del gál™ulo de €ro˜—˜ilid—desFƒi en el histogr—m— de l— izquierd— de l— pigur— RFT quisiér—mos ™—l™ul—r l— pro˜—˜ilid—d en l— muestr— de—lguno de los interv—los que de(nen el grá(™oD l— respuest— serí— el áre— de l— ˜—rr— so˜re di™ho interv—loF ƒiquisiér—mos l— pro˜—˜ilid—d en l— muestr— de v—rios interv—losD sum—rí—mos l—s áre—s de l—s ˜—rr—sFil pro˜lem— es que p—r— que l—s pro˜—˜ilid—des en l— muestr— se p—rez™—n — l—s verd—der—s pro˜—˜ilid—deses ne™es—rio que el t—m—ño de l— muestr— se— gr—ndeD ™u—nto m—yorD mejorF in ese ™—soD tendrí—mos un 1Esto sucedería siempre que tomemos un número suciente de decimales en cada valor.74 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieroshistogr—m— más p—re™ido —l de l— dere™h— de l— pigur— RFTF in élD de nuevoD si queremosD por ejemploD ™—l™ul—r P [a < X < b] ,de˜erí—mos sum—r l—s áre—s de l—s ˜—rr—s que form—n el interv—lo (a, b)D si es que h—y interv—los que form—nDex—™t—menteD el interv—lo (a, b) .€ero si el t—m—ño de l— muestr— es lo su(™ientemente —mplio p—r— poder pasar al límite y en™ontr—r un—fun™ión re—l de v—ri—˜le re—l f (x) que represente l— líne— que de(ne el histogr—m—D ™—l™ul—r un— pro˜—˜ilid—ddel tipo P [a < X < b] sum—ndo l—s áre—s de l—s ˜—rr—s de los interv—los in(nitesim—les que form—n el interv—lo(a, b) equiv—le — integr—r di™h— fun™ión en el interv—lo (a, b)D es de™irD ˆb P [a < X < b] = f (x) dx. a4.4.3. Función de densidadh—d— un— vF—F ™ontinu—D XD l— función de densidad de probabilidad de X es —quell— fun™ión f (x) t—lque p—r— ™u—lesquier— a, b ∈ R o a, b = ±∞D ˆb P [a < X < b] = f (x) dx aNota. h—do que — efe™tos del ™ál™ulo de integr—les un punto no —fe™t— —l result—do de l— integr—lD sia, b ∈ RD podemos de™ir que ˆb P [a < X < b] = f (x) , ˆab P [a ≤ X < b] = f (x) , ˆab P [a < X ≤ b] = f (x) , ˆab P [a ≤ X ≤ b] = f (x) . aiste he™ho pone de m—ni(esto que los v—lores ™on™retos de un— v—ri—˜le —le—tori— ™ontinu— no tienenm—s— de pro˜—˜ilid—dD y— que ˆ x0 P [X = x0] = f (x) dx = 0, x0pero sí tienen densid—d de pro˜—˜ilid—dD f (x0)F ist— densid—d de pro˜—˜ilid—d represent— l— pro˜—˜ilid—dde los interv—los in(nitesim—les de v—lores —lrededor de x0F esíD —unque P [X = x0] = 0D si f (x0) tom—un v—lor —ltoD querrá de™ir que los v—lores —lrededor de x0 son muy pro˜—˜lesFh—d— un— vF—F ™ontinu—D X ™on fun™ión de densid—d f (x)X 75Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de JaénIF f (x) ≥ 0 p—r— todo x ∈ R.PF ´∞ f (x) = 1. −∞QF in gener—lD p—r— ™u—lquier ™onjunto de números re—lesD BD ˆ P [X ∈ B] = f (x) dx. B4.4.4. Función de distribuciónƒe de(ne l— función de distribución de probabilidad de una v.a. continua X ™omo ˆx F (x) = P [X ≤ x] = f (t) dt. −∞ƒi X es un— vF—F ™ontinu— ™on fun™ión de densid—d f (x) y fun™ión de distri˜u™ión F (x)D enton™es IF l´ımx→−∞ F (x) = 0. PF l´ımx→∞ F (x) = 1. QF F es ™re™ienteF RF F es ™ontinu—F SF f (x) = F (x) .Ejemplo. gonsidérese un— v—ri—˜le —le—tori— ™ontinu—D X, ™on fun™ión de densid—d f (x) = ce−a|x|.†—mos — ™—l™ul—r l— ™onst—nte c, l— fun™ión de distri˜u™ión y P [X ≥ 0]Fin primer lug—rD ˆ∞ ˆ0 ˆ∞ 1 = f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx ˆ−0∞ −∞ˆ 0 2c ∞ , = c exp (ax) dx + = a c exp (−ax) dx −∞ 0luego es ne™es—rio que c = a F 2€or otr— p—rteD ˆx F (x) = f (t) dt = 1 eax si x < 0 −∞ 2 1−e−ax 1 + 2 si x ≥ 0 2€or últimoD P [X ≥ 0] = ´∞ f (x) dx = 1 . 2 0v— fun™ión de densid—d y l— de distri˜u™iónD p—r— a = 1D —p—re™en en l— pigur— RFUF76 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenierospigur— RFUX pun™ión de densid—d @izquierd—A y de distri˜u™ión @dere™h—AFEjemplo. gonsideremos un— vF—F ™ontinu— ™on fun™ión de distri˜u™ión d—d— por  0 si x < 0  F (x) = x si 0 ≤ x < 1 .  1 si x ≥ 1 in ese ™—soD l— fun™ión de densid—d es 1 si 0 ≤ x ≤ 1f (x) = F (x) = 0 en otro ™—soqrá(™—menteD —m˜—s fun™iones —p—re™en en l— pigur— RFVF in est— v—ri—˜leD todos los puntos tienen l—mism— densid—d de pro˜—˜ilid—dD indi™—ndo que todos los interv—los de l— mism— longitudD dentro de[0, 1] , tienen l— mism— pro˜—˜ilid—dF4.4.5. Función de distribución empíricael igu—l que o™urre ™on l— fun™ión m—s— empíri™— ™on respe™to — l— fun™ión m—s— y —l histogr—m— ™on respe™to— l— fun™ión de densid—dD l— fun™ión de distri˜u™iónD indistint—mente de que se tr—te de un— v—ri—˜le dis™ret—o ™ontinu—D t—m˜ién tiene un— versión muestral.gon™ret—menteD si tenemos un— v—ri—˜le —le—tori— X y un— muestr— suy— de t—m—ño N, (x1, ..., xN ) , l— funciónde distribución empírica se de(ne ™omo nu´mero de valores ≤ x SN (x) = N .ist— fun™ión se utiliz— p—r— —proxim—rse — l— fun™ión de distri˜u™iónD y— que p—r— un gr—n número de v—loresDProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 77

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén pigur— RFVX pun™ión de densid—d @izquierd—A y de distri˜u™ión @dere™h—AFl— ™urv— empíri™— se p—re™erá ˜—st—nte — l— fun™ión de distri˜u™iónF hi™ho de otr— form—D l´ım SN (x) = F (x) , N →∞p—r— ™—d— xFEjemplo. in el ejemplo —nterior se h—˜l—˜— de un— v—ri—˜le —le—tori— ™ontinu— ™uy— fun™ión de distriE˜u™ión es   0 si x < 0  F (x) = x si x ∈ [0, 1] .  1 si x > 1 in l— pigur— RFW hemos represent—do dos fun™iones de distri˜u™ión empíri™—s —so™i—d—s — send—s muestr—sde t—m—ño N = 10 @izquierd—A y N = 100 @dere™h—AFy˜sérvese que ™u—ndo —ument— el t—m—ño de l— muestr— @N AD l— fun™ión de distri˜u™ión empíri™— sep—re™e ™—d— vez más — l— fun™ión de distri˜u™iónF4.4.6. Media y varianza de una v.a. continuaƒe— X un— vF—F ™ontinu— ™on fun™ión de densid—d f (x)F ƒe de(ne su medi— o esper—nz— m—temáti™— ™omo ˆ∞ EX = x × f (x)dxF −∞v— interpret—™ión de l— medi— de un— vF—F ™ontinu— esD de nuevoD l— de un v—lor ™entr—l —lrededor del que sed—n el ™onjunto de re—liz—™iones de l— vF—F ytr— interpret—™ión es l— de valor esperadoD en el sentido de que78 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros pigur— RFWX pun™iones de distri˜u™ión empíri™—sFes el v—lor de l— v—ri—˜le —le—tori— en el que — priori se tienen más esper—nz—sFEjemplo. ƒe— un— vF—F ™ontinu— ™on fun™ión de densid—d fX (x) = 1 si x1 ≤ x ≤ x2 . x2 −x1 0 en otro ™—sog—l™ulemos su medi—X ˆ x2 1 EX = x · · dx x1 x2 − x1 = 1 · x2 x2 = 1 · x22 − x21 x2 − x1 2 x1 2 x2 − x1 = 1 · (x2 − x1) · (x2 + x1) = 1 (x1 + x2) , 2 x2 − x1 2es de™irD el punto medio del interv—lo [x1, x2]FEjemplo. ƒe— un— vF—F ™ontinu— ™on fun™ión de densid—d fX (x) = λe−λx si x ≥ 0 . 0 en otro ™—soProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 79

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaéng—l™ulemos su medi—X ˆ∞ EX = x · λ · e−λx · dx 0 u=x dv = λ · e−λx · dx ∞ ˆ ∞ = 0 −x · e−λx + e−λx · dx 0 =0+ − 1 e−λx ∞1 =. λ 0λ†—mos — introdu™ir —hor— el ™on™epto de v—ri—nz— de un— vF—F ™ontinu—D que de nuevo se interpret— ™omo un—medid— de l— ™on™entr—™ión de los v—lores de l— vF—F en torno — su medi—Fƒe— un— vF—F XF ƒe de(ne su varianza ™omo V ar [X] = E (X − EX)2 .is de™irD es l— medi— de l—s desvi—™iones —l ™u—dr—do de los v—lores de l— v—ri—˜le respe™to de su medi—Fv— r—íz ™u—dr—d— de l— v—ri—nz—D σ = V ar [X] se ™ono™e ™omo desviación típicaFgomo en el ™—so de l—s vF—F dis™ret—sD existe un método más ™ómodo p—r— el ™ál™ulo de ™u—lquier v—ri—nz—Fin ™on™retoD V ar [X] = E (X − EX)2 = E X2 − 2X · EX + (EX)2 = E X2 − 2 · EX · EX + (EX)2 = E X2 − (EX)2 .gomo se ™oment—˜— —nteriormenteD l— interpret—™ión de l— v—ri—nz— es l— de un promedio que mide l— dist—n™i—de los v—lores de l— v—ri—˜le — l— medi— de ést—F ƒi l— v—ri—nz— es pequeñ—D indi™— un— —lt— ™on™entr—™ión delos v—lores de l— v—ri—˜le en torno — l— medi—Y y vi™evers—D si l— v—ri—nz— es gr—ndeD indi™— —lt— dispersión delos v—lores de l— v—ri—˜le respe™to de l— medi—FEjemplo. g—l™ulemos l— v—ri—nz— de un— vF—F ™ontinu— ™on fun™ión de densid—d fX (x) = 1 si x1 ≤ x ≤ x2 . x2 −x1 0 en otro ™—so ˆ x2 1 · dx = 1 x23 − x31 E X2 = x2 · 3 x2 − x1 x1 x2 − x1 = x22 + x1x2 + x21 . 380 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros enteriormente h—˜í—mos demostr—do que EX = x1 + x2 , 2 por t—ntoD V ar [X] = E X2 − EX2 = x22 + x1x2 + x12 − (x1 + x2)2 = (x2 − x1)2 . 3 4 12 Nota. istim—™iones muestr—les de medi— y v—ri—nz— de un— vF—F €ro˜—˜lemente l—s mentes más despiert—s y— se h—y—n pl—nte—do qué rel—™ión h—y entre l— medi— y l— v—ri—nz— de un— vF—F @dis™ret— o ™ontinu—A y l— medi— y l— v—ri—nz— de unos d—tosD de(nid—s en el ™—pítulo de ist—dísti™— hes™riptiv—F v— respuest— l— veremos más —del—nteD pero podemos ir —v—nz—ndo que l— rel—™ión es p—re™id— — l— que se d— entre los di—gr—m—s de ˜—rr—s y l—s fun™iones m—s— o entre los histogr—m—s y l—s fun™iones de densid—dF is de™irD si tenemos unos d—tos de un— v—ri—˜leD en otr—s p—l—˜r—sD un— muestr— de un— v—ri—˜leD l— medi— y l— v—ri—nz— de l— muestr— serán —proxim—™iones de l— medi— y l— v—ri—nz— de l— v—ri—˜le —le—tori—D —proxim—™iones que de˜en ser t—nto mejores ™u—nto m—yor se— el t—m—ño de l— muestr—F Nota. gomport—miento de l— medi— y l— v—ri—nz— frente — ™—m˜ios de origen y es™—l—F …n ™—m˜io de origen de un— v—ri—˜le ™onsiste en sum—r o rest—r un— determin—d— ™—ntid—d — los v—lores de l— v—ri—˜leD mientr—s que un ™—m˜io de es™—l— supone multipli™—r por un f—™tor di™hos v—lroesF in gener—lD si X es un— v—ri—˜le ™u—lquier—D un ™—m˜io de origen y es™—l— supone ™onsider—r aX + bF ‰— ™oment—mos en el ™—pítulo de ist—dísti™— hes™riptiv— el ™omport—miento de l— medi— y l— v—ri—nz— muestr—l frente — estos ™—m˜ios de origen y es™—l—F ehor— nos referimos —quí —l ™omport—miento de sus homólogos po˜l—™ion—lesF iste result—do es muy útil en l— prá™ti™— y es válido t—nto p—r— v—ri—˜les ™ontinu—s ™omo p—r— dis™ret—sF gon™ret—menteD si X es un— vF—F y a, b ∈ RD enton™es E [aX + b] = aE [X] + b V ar [aX + b] = a2V arXNota. ƒi tenemos un— ™ole™™ión de v—ri—˜les —le—tori—s independientesD es de™irD que son o˜serv—d—s sinque ningun— de ell—s pued— in)uir so˜re l—s otr—sD es muy útil pl—nte—rse en o™—siones por l— medi— y l—v—ri—nz— de l— sum— de tod—s ell—sF†—mos — ™onsider—r l—s v—ri—˜les X1, ..., XnD que pueden ser dis™ret—s o ™ontinu—sF €ues ˜ienD se tiene quel— medi— de l— sum— es l— sum— de l—s medi—s y que l— v—ri—nz— de l— sum— es l— sum— de l—s v—ri—nz—sYProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 81

es de™irD Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén E [X1 + ... + Xn] = EX1 + ... + EXn V ar [X1 + ... + Xn] = V arX1 + ... + V arXn4.5. Modelos de distribuciones de probabilidad para variables con- tinuasgomo en el ™—so de l—s v—ri—˜les dis™ret—sD v—mos — des™ri˜ir — ™ontinu—™ión los modelos de distri˜u™iones depro˜—˜ilid—d más usu—les p—r— v—ri—˜les ™ontinu—sFhe nuevo tenemos que insistir que l— utilid—d de estos modelos r—di™— en que v—n — f—™ilit—rnos l— m—ner— enque se rep—rte l— pro˜—˜ilid—d de los v—lores de l— v—ri—˜leF4.5.1. Distribución uniforme (continua)ƒe di™e que un— vF—F ™ontinu— X que sólo puede tom—r v—lores en el interv—lo (x1, x2) sigue un— distribuciónuniforme entre x1 y x2 @y se not— X → U (x1, x2)A si su fun™ión de densid—d es f (x) = 1 si x1 < x < x2 . x2 −x1 0 en otro ™—soƒe— X → U (x1, x2)F inton™es EX = x1 + x2 2 V arX = (x2 − x1)2 . 12Caracterización de la distribución uniformeF ƒi X es un— vF—F t—l que dos interv—los ™u—lesquier— entrex1 y x2 de l— mism— longitudD tienen l— mism— pro˜—˜ilid—dD enton™es X → U (x1, x2) .il ejemplo más h—˜itu—l de est— v—ri—˜le es l— v—ri—˜le uniforme en el interv—lo (0, 1) ; v—lores simul—dos deest— v—ri—˜le son los que se ™—l™ul—n ™on l— orden RND de ™u—lquier ™—l™ul—dor—F4.5.2. Distribución exponencialist— distri˜u™ión suele ser modelo de —quellos fenómenos —le—torios que miden el tiempo que tr—ns™urre entreque o™urren dos su™esosF €or ejemploD entre l— puest— en m—r™h— de un— ™iert— ™omponente y su f—llo o eltiempo que tr—ns™urre entre dos ll—m—d—s ™onse™utiv—s — un— ™entr—lit—F82 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenierosƒe— X un— vF—F ™ontinu— que puede tom—r v—lores x ≥ 0F ƒe di™e que X sigue un— distribución exponencialde parámetro λ @y se not— X → exp (µ)A si su fun™ión de densid—d λe−λx si x ≥ 0 f (x) = 0 en otro ™—so .y˜sérvese que su fun™ión de distri˜u™ión es F (x) = P [X ≤ x] = 1 − e−λx si x ≥ 0 . 0 en otro ™—soƒe— X → exp (λ)F inton™esD 1 EX = λ 1 V arX = λ2 .Caracterización de la distribución exponencialF ƒe— X → P (λ) un— vF—F dis™ret— que ™uent— el númerode éxitos en un determin—do periodo de tiempoF in ese ™—soD el tiempo que p—s— entre dos éxitos ™onse™utivosDT D es un— vF—F que sigue un— exp (λ)FEjemplo. …n elemento r—di—™tivo emite p—rtí™ul—s según un— v—ri—˜le de €oisson ™on un promedio deIS p—rtí™ul—s por minutoF in ese ™—soD el tiempoD T D que tr—ns™urre entre l— emisión de un— p—rtí™ul— yl— siguiente sigue un— distri˜u™ión exponen™i—l de p—rámetro λ = 15 p—rtí™ul—s por minutoF iste modelonos permiteD por ejemploD ™—l™ul—r l— pro˜—˜ilid—d de que entre p—rtí™ul— y p—rtí™ul— p—sen más de IHsegundosD d—do por ˆ∞ P [T > 10/60] = 15e−15tdt = e−15/6. 1/6Ejemplo. ‚e™ordemos que h—˜í—mos ™oment—do que l— distri˜u™ión de €oisson se solí— utiliz—r en el™ontexto de l—s redes de ™omuni™—™iones ™omo modelo p—r— el número de soli™itudes — un servidor porunid—d de tiempoF ƒegún est— ™—r—™teriz—™ión que —™—˜—mos de verD eso equiv—le — de™ir que el tiempoque p—s— entre dos soli™itudes — un servidor sigue un— distri˜u™ión exponen™i—lF€or ejemploD supong—mos que el número de ™onexiones — un servidor p„€ sigue un— distri˜u™ión de€oisson de medi— PFS ™onexiones — l— hor—F in ese ™—soD podrí—mos pregunt—rnos ™uál es l— pro˜—˜ilid—dde que p—sen más de dos hor—s sin que se produz™— ningun— ™onexiónF „eniendo en ™uent— que el tiempoentre ™onexiones seguirí— un— distri˜u™ión exponen™i—l de p—rámetro PFSD es— pro˜—˜ilid—d serí— ˆ∞ P [T > 2] = 2.5e−2.5xdx = e−5 2Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo 83

o ˜ien Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén P [T > 2] = 1 − P [T ≤ 2] = 1 − FT (2) = 1 − 1 − e−2.5×2 = e−5.r—y un— interes—nte y ™urios— propied—d de l— distri˜u™ión exponen™i—lD ™ono™id— ™omo propiedad de nomemoriaF ƒi X es un— vF—F ™on distri˜u™ión exp(λ) y t y s son dos números positivosF inton™esX P [X > t + s|X > s] = P [X > t]v— form— de demostr—rlo es muy sen™ill—X P [X > t + s|X > s] P [X > t + s ∩ X > s] = P [X > t + s] = P [X > s] P [X > s] e−λ(s+t) = e−λt = P [X > t] = e−λs†—mos — tr—t—r de entender l— tr—s™enden™i— de est— propied—d en el siguiente ejemploFEjemplo. il tiempo de vid—D T D de un ™ir™uitoD sigue un— distri˜u™ión exponen™i—l de medi— dos —ñosFg—l™ulemos l— pro˜—˜ilid—d de que un ™ir™uito dure más de tres —ñosX P [T > 3] = e− 1 3 2ƒupong—mos que un ™ir™uito llev— S —ños fun™ion—ndoD y que nos pl—nte—mos l— pro˜—˜ilid—d de que —únfun™ione Q —ños másF ƒegún l— propied—d de no memori—D es— pro˜—˜ilid—d es l— mism— que si el ™ir™uito—™—˜—r— de ™omenz—r — fun™ion—rD es de™irD P [T > 3 + 5|T > 5] = P [T > 3] = e− 1 3 2hesde un punto de vist— prá™ti™oD p—re™e po™o ™rei˜leD porque entendemos que los S —ños previos defun™ion—miento de˜en h—˜er —fe™t—do — l— (—˜ilid—d del ™ir™uitoD pero si ™reemos que l— distri˜u™ión deltiempo de vid— de éste es exponen™i—lD tenemos que —sumir est— propied—dF4.5.3. Distribución Gammaƒe— X un— vF—F ™ontinu— que puede tom—r v—lores x ≥ 0F ƒe di™e que X sigue un— distribución Gamma dep—rámetros a y λ @y se not— X → Gamma (a, λ)A si su fun™ión de densid—d es f (x) = λ (λx)a−1 e−λx u (x) , Γ (a)donde Γ (x) = ´∞ sx−1e−sds es l— fun™ión g—mm—F 0y˜sérvese que en el ™—so en que a = 1 se tiene l— distri˜u™ión exponen™i—lF84 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros exp(1) 1 0.5 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0.2 exp(5) 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0.1 exp(10) 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 pigur— RFIHX pun™iones de densid—d de distri˜u™iones exponen™i—lesFin el ™ontexto de l—s tele™omuni™—™ionesD h—y un ™—so espe™i—lmente interes—nteF ƒi a = nD número n—tur—lD l—distri˜u™ión se denomin— Erlang. vo que l— h—™e interes—nte es que est— distri˜u™ión se utiliz— ™omo modelodel tiempo que p—s— entre n ll—m—d—s telefóni™—sD por ejemploFytro ™—so p—rti™ul—r lo ™onstituye l— distribución χ2 con r grados de libertadD que no es más que un—Gamma r , 1 F ist— distri˜u™ión se utiliz—D por ejemploD p—r— ev—lu—r l— ˜ond—d del —juste de un— distri˜u™ión 2 2teóri™— — unos d—tosD ™omo veremos más —del—nteFƒe— X → Gamma (a, λ)F inton™es a EX = λ a V arX = λ2 .Caracterización de la distribución GammaF ƒe— X → P (λ) un— vF—F dis™ret— que ™uent— el número deéxitos en un determin—do periodo de tiempoF in ese ™—soD el tiempo que p—s— entre el k−ésimo éxito y elk + rD T D es un— vF—F que sigue un— Gamma (r, λ)F h—do que r es un enteroD en re—lid—d es un— Erlang (r, λ)FCaracterización de la distribución Gamma. ƒe—n X1, ..., Xn vF—F independientes ™on distri˜u™ión exp (λ)Fin ese ™—soD X = n Xi sigue un— Gamma (n, λ)F he nuevo o˜sérvese que el primer p—rámetro es un enteroD i=1luego se tr—t— de un— irl—ngFProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 85

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén Gamma(2.5,1) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Gamma(5,1)0.00 0.10 0.20 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 300.00 0.02 0.04 0.06 Gamma(2.5,0.2) 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 Gamma(5,0.2) 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 300.000 0.010 0.020 0.030 Gamma(2.5,0.1) 0.000 0.005 0.010 0.015 Gamma(5,0.1) 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30 pigur— RFIIX pun™iones de densid—d de distri˜u™iones q—mm—4.5.4. Distribución normalƒe— X un— vF—F ™ontinu— que puede tom—r ™u—lquier v—lor re—lF ƒe di™e que X sigue un— distribución normalo gaussiana, de parámetros µ y σ @y se not— X → N (µ, σ)A, si su fun™ión de densid—d es f (x) = √ 1 exp − (x − µ)2 p—r— todo x ∈ R. 2πσ2 2σ2y˜sérvese que es l— úni™— distri˜u™ión que hemos visto h—st— —hor— que tom— todos los v—lores entre −∞ y+∞Fƒe— X → N (µ, σ)F inton™es EX = µ V arX = σ2.il propio nom˜re de l— distri˜u™ión normal indi™— su fre™uente uso en ™u—lquier ám˜ito ™ientí(™o y te™nológi™oFiste uso t—n extendido se justi(™— por l— fre™uen™i— o norm—lid—d ™on l— que ™iertos fenómenos tienden —p—re™erse en su ™omport—miento — est— distri˜u™iónD y— que mu™h—s v—ri—˜les —le—tori—s ™ontinu—s present—nun— fun™ión de densid—d ™uy— grá(™— tiene form— de ™—mp—n—F istoD — su vezD es de˜ido — que h—y mu™h—sv—ri—˜les —so™i—d—s — fenómenos n—tur—les ™uy—s ™—r—™terísti™—s son ™omp—ti˜les ™on el modelo —le—torio quesupone el modelo de l— norm—lX g—r—™teres morfológi™os de individuos @person—sD —nim—lesD pl—nt—sD FFFA de un— espe™ie @t—ll—sD pesosD enverg—dur—sD diámetrosD perímetrosD FFFAF86 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros0.4 N(0,1) 0.1 N(0,4)0.3 0.050.20.1 −5 0 5 10 0 N(1,1) −10 −5 0 5 10 0 −10 0.10.4 N(1,4)0.30.2 0.050.1 0 −5 0 5 10 0 −10 N(−1,1) −10 −5 0 5 100.40.3 0.10.2 N(−1,4)0.1 0 0.05 −10 −5 0 5 10 0 10 −10 −5 0 5 pigur— RFIPX pun™iones de densid—d de l— distri˜u™ión norm—lg—r—™teres (siológi™os @efe™to de un— mism— dosis de un fárm—™oD o de un— mism— ™—ntid—d de —˜onoAFg—r—™teres so™iológi™os @™onsumo de ™ierto produ™to por un mismo grupo de individuosD puntu—™ionesde ex—menFFFAFg—r—™teres psi™ológi™os @™o™iente intele™tu—lD gr—do de —d—pt—™ión — un medioD FFFAFirrores ™ometidos —l medir ™iert—s m—gnitudesF†—lores est—dísti™os muestr—lesD ™omo por ejemplo l— medi—Fytr—s distri˜u™iones ™omo l— ˜inomi—l o l— de €oisson son —proxim—d—s por l— norm—lD FFFin gener—lD ™omo veremos enseguid—D ™u—lquier ™—r—™terísti™— que se o˜teng— ™omo sum— de mu™hos f—™toresindependientes en™uentr— en l— distri˜u™ión norm—l un modelo —de™u—doFixiste otr— r—zón más pr—gmáti™— p—r— el uso t—n extendido de l— distri˜u™ión norm—lX sus propied—desm—temáti™—s sonD ™omo iremos viendoD ™—si inmejor—˜lesF iso ™ondu™e — que ™—si siempre se tr—te de forzar —lmodelo norm—l ™omo modelo p—r— ™u—lquier v—ri—˜le —le—tori—D lo ™u—lD en o™—siones puede ™ondu™ir — erroresimport—ntes en l—s —pli™—™iones prá™ti™—sF vo ™ierto es que t—m˜ién son fre™uentes l—s —pli™—™iones en l—s quelos d—tos no siguen un— distri˜u™ión norm—lF in ese ™—so puede ser relev—nte estudi—r qué f—™tores son losque provo™—n l— pérdid— de l— norm—lid—d yD en ™u—lquier ™—soD pueden —pli™—rse té™ni™—s est—dísti™—s que norequier—n de es— hipótesisFProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 87

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de JaénTipicación de la distribución normal. ƒe— X → N (µ, σ)F inton™esD Z = X − µ → N (0, 1) , σpropied—d que suele ™ono™erse ™omo tipicación de la normal.ist— ™ono™id— propied—d tiene un— —pli™—™ión prá™ti™— muy usu—lF h—d—s l—s ™—r—™terísti™—s de l— densid—dg—ussi—n—D no es posi˜le ™—l™ul—r pro˜—˜ilid—des —so™i—d—s — l— norm—l de form— ex—™t—D y— que l—s integr—lesdel tipo ˆ b √ 1 exp a 2πσ2 − (x − µ)2 dx 2σ2no pueden ser expres—d—s en términos de l—s fun™iones usu—lesD y sólo pueden ™—l™ul—rse por métodos nuEméri™osF xo o˜st—nteD existen t—˜l—s donde —p—re™en multitud de v—lores de l— fun™ión de distri˜u™ión de l—distri˜u™ión N (0, 1) y — p—rtir de ellos se pueden ™—l™ul—r otr—s t—nt—s pro˜—˜ilid—desD utiliz—ndo l— propied—dde tipi(™—™iónF €or ejemploD si queremos ™—l™ul—r l— pro˜—˜ilid—d de que un— v—ri—˜le X → N (µ, σ) esté enel interv—lo [a, b]D tenemos P [a ≤ X ≤ b] = P a−µ ≤ X−µ ≤ b−µ = FZ b−µ − FZ a−µ , σσσ σ σdonde FZ (·) es l— fun™ión de distri˜u™ión de un— v—ri—˜le Z → N (0, 1)D que puede ev—lu—rse medi—nte el usode t—˜l—sF †—mos — verlo en un ejemploFEjemplo. in el —rtí™ulo Índi™es de rel—™ión pesoEt—ll— ™omo indi™—dores de m—s— mus™ul—r en el —dultodel sexo m—s™ulino de l— revist— Revista Cubana Aliment. Nutr. @IWWVYIP@PAXWIESA —p—re™e un™ole™tivo de v—rones ™on un peso ™uy— medi— y desvi—™ión estánd—r sonD respe™tiv—menteD TSFT y IIFUFIF ¾gómo podemosD medi—nte l—s t—˜l—s de l— N (0, 1)D ™—l™ul—rD por ejemploD l— pro˜—˜ilid—d de que uno de esos v—rones pese más de UTFPS kilosc X − 65.6 76.25 − 65.6 P [X > 76.25] = P > 11.7 11.7 = P [Z > 0.91] = 1 − P [Z < 0.91] = 1 − 0.819PF ¾‰ l— pro˜—˜ilid—d de que pese menos de TH kilosc X − 65.6 60 − 65.6 P [X < 60] = P < 11.7 11.7 = P [Z < −0.48] = P [Z > 0.48] = 1 − P [Z < 0.48] = 1 − 0.684QF ¾‰ l— pro˜—˜ilid—d de que pese entre TH y UTFPS kilosc P [60 < X < 76.25] = P [X < 76.25] − P [X < 60] = 0.819 − (1 − 0.684)88 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenierospigur— RFIQX fúsqued— de pro˜—˜ilid—des en l— t—˜l— de l— N (0, 1)F †—lor de l— pro˜—˜ilid—d — l— izquierd— deHFWIRF ¾guánto pes—rá —quel v—rón t—l que un S 7 de v—rones de ese ™ole™tivo pes—n más que élc is de™irD ¾™uál será el v—lor de x t—l que P [X > x] = 0.05 oD equiv—lentementeD P [X < x] = 0.95F h—do que X − 65.6 x − 65.6 x − 65.6 P [X < x] = P < =P Z< 11.7 11.7 11.7t—n sólo tenemos que ˜us™—r el v—lor z = x−65.6 t—l que P [Z < z] = 0.95D IFTRS @—proxim—d—menteAD 11.7en ™uyo ™—soD x = 65.6 + 11.7 × 1.645FProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 89

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaénpigur— RFIRX fúsqued— de v—lores z en l— t—˜l— de l— N (0, 1)F †—lor de Z que dej— — l— dere™h— un— pro˜—˜ilid—dde HFWSTeorema Central del LímiteF ƒe—n X1, ..., XN vF—F independientesD tod—s ell—s ™on l— mism— distri˜u™iónde pro˜—˜ilid—dD distri˜u™ión de medi— µX y desvi—™ión típi™— σX F in ese ™—soD l— sum— de est—s v—ri—˜lessigue —proxim—d—mente un— distri˜u™ión norm—l ™u—ndo N es elev—doD es de™irD N√ Xi ≈ N N µX , N σX . i=1„ipi(™—ndoD podemos reenun™i—r el „eorem— gentr—l del vímite di™iendo que Ni=1√Xi − N µX ≈ N (0, 1) . N σXiste teorem— es el que propor™ion— un— justi(™—™ión m—temáti™— del porqué l— distri˜u™ión g—ussi—n— es unmodelo —de™u—do p—r— un gr—n número de fenómenos re—les en donde l— vF—F o˜serv—d— en un momento d—does el result—do de sum—r un gr—n número de su™esos —le—torios element—lesFEjemplo. gonsideremos X1, ..., XN v—ri—˜les independientes ™on distri˜u™ión U [0, 1]F ƒegún el teorem—™entr—l del límiteD N Xi ≈ N 0.5N, N F €—r— poner este result—do de m—ni(esto se h— re—liz—do i=1 12el siguiente experimentoX€—r— N = 1, 2, 5 y 10D se h— simul—do un— muestr— de IHHHH d—tos de N XiD di˜uj—ndo su histogr—m— i=190 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros 140 N=1 250 120 N=2 100 0.2 0.4 0.6 0.8 1 200 80 60 150 40 20 100 0 50 0 0 0 0.5 1 1.5 2 300 350 N=5 N=10 250 300 200 250 150 200 100 150 50 100 0 50 012345 0 0 2 4 6 8 10 pigur— RFISX slustr—™ión del „eorem— gentr—l del vímiteFen ™—d— ™—soF istos histogr—m—s —p—re™en en l— pigur— RFISF in ell— se pone de m—ni(esto ™omo segúnN ™re™eD el histogr—m— se v— p—re™iendo ™—d— vez más — un— densid—d g—ussi—n—FEjemplo. ƒupong—mos que est—mos re—liz—ndo un ex—men de ISH pregunt—sD ™—d— un— de ell—s ™on un—puntu—™ión de I punto y que en fun™ión de ™ómo hemos estudi—doD ™onsider—mos que l— pro˜—˜ilid—dde ™ontest—r —™ert—d—mente un— pregunt— ™u—lquier— es de HFUF hémonos ™uent— que el result—do de un—pregunt— ™u—lquier— sigue un— distri˜u™ión B (1, 0.7)D ™uy— medi— es 1 × 0.7 = 0.7 y ™uy— v—ri—nz— es1 × 0.7 × (1 − 0.7) = 0.21F€or su p—rteD el result—do (n—l de l— prue˜— será l— sum— de l—s ISH puntu—™ionesF €odrí—mos ver esteresult—do según un— B (150, 0.7)D pero los ™ál™ulos serí—n muy tediosos de˜ido — los f—™tori—les de l— fun™iónm—s— de l— distri˜u™ión ˜inomi—lF in este ™—soD mere™e l— pen— que utili™emos el „eorem— gentr—l delvímiteD según el ™uál el result—do (n—lD XD seguirí— —proxim—d—mente un— distri˜u™ión √ N 150 × 0.7, 150 × 0.21 ,es de™irD X → N (105, 5.612) . esíD si por ejemploD nos pl—nte—mos ™uál es l— pro˜—˜ilid—d de —pro˜—rDést— será P [X > 75] = P [Z > −0.952] = 0.830.ist— —pli™—™ión se ™ono™eD en gener—lD ™omo aproximación normal de la binomial.inun™i—ndo el „eorem— gentr—l del vímite en términos de l— medi—D X¯ D de l—s v—ri—˜les X1, ..., XN D podemosde™ir que si N es gr—ndeD √ X¯ ≈ N (µ, σ/ N )Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo 91

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de JaénEjemplo. …n ingeniero diseñ— un —p—r—to de medid— que re—liz— un— —proxim—™ión más impre™is— queel —p—r—to tr—di™ion—l pero mu™ho más ˜—r—t—F €—r— redu™ir el m—rgen de error de l— medid— re—liz—d—Del ingeniero propondrá que se re—li™en un número determin—do de medid—s so˜re el mismo o˜jeto y quese ™onsidere l— medi— de est—s medid—s ™omo v—lor (n—l de l— medid— del o˜jetoFsni™i—lmenteD el ingeniero h—™e un— v—lor—™ión que le llev— — ™on™luir que el —p—r—to está ˜ien ™—li˜r—doDes de™irD que l— medi— de l— medid— del —p—r—to ™oin™ide ™on l— medid— re—lD y que l— desvi—™ión típi™—de l—s medid—s del —p—r—to es igu—l — HFUSF¾guánt—s medid—s de˜e proponer el ingeniero p—r— que el error de medid— se— inferior — HFI ™on un WS 7de pro˜—˜ilid—dcimpe™emos ™onsider—ndo que ™—d— medid—D XiD tiene ™omo medi— el verd—dero v—lor de l— medid— delo˜jetoD x0D y desvi—™ión típi™— HFUSF €or su p—rteD l— medid— (n—l será X¯ = n Xi D donde re—lmente nos i=1 ninteres— ™ono™er el v—lor de nF €—r— elloD teng—mos en ™uent— que se nos pide que P X¯ − x0 < 0.1 ≥ 0.95.y queD ™onsider—ndo el „eorem— gentr—l del vímiteD X¯ → N x0, 0√.75 F €or su p—rteD n − 0.1 √√ n n 0.1P X¯ − x0 < 0.1 =P x0 − 0.1 < X¯ < x0 + 0.1 =P <Z < 0.75 0.75 √ 0.1 n =1−2× 1−P Z < . 0.75 √√ X¯ − x0 0.1 n 0.1 nƒi queremos que P < 0.1 ≥ 0.95D enton™es P Z < 0.75 ≥ 0.975D de donde 0.75 ≥ 1.96 yenton™esD n ≥ 216.09Fgomo ™on™lusiónD más le v—le —l ingeniero disminuir l— desvi—™ión típi™— del —p—r—to de medid—F4.6. Cuantiles de una distribución. Aplicaciones€—r— —™—˜—r el tem— v—mos — ver un— de l—s —pli™—™iones más sen™ill—s pero — l— vez más útiles de los modelosde pro˜—˜ilid—dF he˜o de™ir que son numeros—s l—s o™—siones que desde distintos —m˜ientes ™ientí(™os y de l—sngenierí— he —sesor—do — profesion—les ™on respe™to — ™uestiones que tienen que ver ™on lo que est— se™™ión—n—liz—F vos ejemplos que v—mos — ™onsider—r sonD grosso modoD síntesis de ell—sFgon™ret—menteD v—mos — ™omenz—r de(niendo el cuantil p @p ∈ [0, 1]A de un— distri˜u™ión de pro˜—˜ilid—dde un— vF—F XF ƒe— ést— dis™ret— o ™ontinu—D denominemos f (x) — su fun™ión m—s— o de densid—dFƒe de(ne el ™u—ntil pD Qp de su distri˜u™ión ™omo el primer v—lorD xD de l— v—ri—˜le t—l que P [X ≤ x] ≥ pX ƒi l— v—ri—˜le es dis™ret—D Qp seráD por t—ntoD el primer v—lor t—l que f (x) ≥ p. xi ≤x92 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros xótese queD —l ser l— v—ri—˜le dis™ret—D puede que no logremos o˜tener un— igu—ld—d del tipo xi≤x f (x) = pF ƒi l— v—ri—˜le es ™ontinu—D Qp sí puede o˜tenerse ™omo el v—lor x t—l que ˆx f (t) dt = p, −∞ o lo que es lo mismoD ™omo el v—lor x t—l que F (x) = pD siendo F l— fun™ión de distri˜u™ión de l— v—ri—˜leFis muy fre™uente que l— pro˜—˜ilid—d p — l— que se —so™i— un ™u—ntil se exprese en por™ent—jeF in ese ™—soDlos ™u—ntiles t—m˜ién se pueden ll—m—r percentilesF €or ejemploD el ™u—ntil HFS es el per™entil SHD l— medi—n—Fhesde luegoD lo más import—nte es que interpretemos qué signi(™— el ™u—ntil p de un— vF—F gomo en ist—dísti™—hes™riptiv—D se re(ere —l v—lor de l— v—ri—˜le que dej— por de˜—jo de sí un— propor™ión p de v—lores de l— v—ri—˜leFinton™esD si un v—lor ™on™reto ™orresponde ™on un ™u—ntil altoD podemos de™ir que re—lmente es un v—lor altodentro de l— distri˜u™ión de pro˜—˜ilid—d de l— v—ri—˜leD y vi™evers—F †—mos — tr—t—r de —™l—r—rlo ™on —lgunosejemplosF4.6.1. La bombilla de bajo consumo marca ANTEin el ™—pítulo de introdu™™ión ™omentᘗmos l—s espe™i(™—™iones té™ni™—s que —p—re™í—n en el envoltoriode un— ˜om˜ill— de IR‡ de l— m—r™— ex„iD entre l—s que se de™í— que tení— un— dur—™ión de V —ñosFiso ™ontr—di™e nuestr— sens—™ión de que este tipo de lámp—r—s dur—n mu™ho menos yD en ™u—lquier ™—soD esun— simpli(™—™ión in—dmisi˜leD porque es evidente que l— dur—™ión de l— ˜om˜ill— es un— v—ri—˜le sujet— —in™ertidum˜reD es de™irD un— v—ri—˜le —le—tori—F†—mos — h—™er un p—r de —sun™ionesF in primer lug—rD es pro˜—˜le que lo que quisier—n de™ir en el envoltorioes que l— duración media es de V —ños @lo ™uálD por ™iertoD t—m˜ién podrí— ser o˜jeto de ™ontroversi—AFin segundo lug—rD d—do que tenemos que proponer un modelo de distri˜u™ión de pro˜—˜ilid—d p—r— l— duEr—™ión de l— lámp—r—D v—mos — ™onsider—r el más sen™illo que suele emple—rse en este tipo de —pli™—™ionesXl— distri˜u™ión exponen™i—lF ist— hipótesis t—m˜ién podrí— ser dis™utid—D pero otros modelos más ™omplejosD™omo l— distri˜u™ión ‡ei˜ullD ™ompli™—rí—n ˜—st—nte nuestros ™ál™ulos queD por otr— p—rteD tienen sólo (nesilustr—tivosF€or t—ntoD v—mos — suponer que l— dur—™ión de l— ˜om˜ill— es un— v—ri—˜le —le—tori—D DD ™on distri˜u™iónexponen™i—l de medi— V —ños yD por t—ntoD ™on p—rámetro λ = 1/8F ehor— que y— tenemos un modelopro˜—˜ilísti™o podemos pl—nte—rnos mu™h—s ™os—sX¾is muy pro˜—˜le que l— lámp—r— —l™—n™e su vid— medi—c ˆ ∞ 1P [D > 8] = e− x dx = e−8/8 = 0.3678794. 8 88y˜sérvese que eso es —lgo que o™urrirá ™on ™u—lquier exponen™i—lX l— pro˜—˜ilid—d de que se supere l—medi— es sólo del QTFUW 7F hi™ho de otr— form—D l— medi— es el per™entil TQ —proxim—d—menteD lo queimpli™— que sólo el QU 7 —proxim—d—mente de l—s lámp—r—s super—n su vid— medi—FFF ¾sorprendentecProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 93

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén¾‰ ™uál es el v—lor que super—n el SH 7 de l—s lámp—r—sc ƒe tr—t— de l— medi—n—D M e = F −1 (0.5) ,donde F () es l— fun™ión de distri˜u™iónF €or t—ntoD l— medi—n— es l— solu™ión de l— e™u—™ión 1 − e−λMe = 0.5,que result— ser Me = log0.5 = 8 × log2 = 5.545177. vuegoD visto de otr— form—D el SH 7 de l—s lámp—r—s −λse rompen —ntes de SFSRS —ñosF€—r— termin—rD —nimo — los le™tores interes—dos — que ˜usquen inform—™ión so˜re el ™ómputo de l— vid—medi— de este tipo de lámp—r—sD ˜—s—do en l— re—liz—™ión de prue˜—s —™eler—d—s so˜re un— muestr— @˜—st—nteredu™id—D por ™iertoA de lámp—r—sF4.6.2. Las visitas al pediatra de los padres preocupadosvos que tenemos hijos pequeños o˜serv—mos ™on ™iert— —nsied—d l— evolu™ión de su peso y su —ltur—F gu—ndov—mos —l pedi—tr—D éste pes— y mide —l ˜e˜é yD o˜vi—menteD te di™e cómo estáF €ero el pro˜lem— es que no˜—st— ™on que me dig— ™uánto pes— y mide mi hijo o mi hij—D sino que me dig— ™uánto pes— y ™uánto mide enrel—™ión ™on los niños o niñ—s de su mism— ed—dF in es— ™uestión es dónde entr—n los per™entilesFin este ™—so jug—mos ™on l— vent—j— de que se h—n he™ho multitud de estudios previos que determin—n quet—nto el peso ™omo l— —ltur— son v—ri—˜les que siguen un— distri˜u™ión norm—lF wás —únD se h—n determin—dol—s medi—s y l—s desvi—™iones típi™—s de niños y niñ—s desde los H meses h—st— l— ed—d —dult—F†—mos — ponernos en un— situ—™ión ™on™ret—D ™entrándonos en el pesoF „engo un hijo de tres meses que pes—SFT kilosF v— pregunt— es ¾está gordo? ¾es bajito? in ™u—lquier ™—soD cómo de gordo o de bajitoF il pedi—tr—s—˜e por estudios previos2 que el peso de niños de tres meses es un— N (6, 1.2)F vo que se pl—nte— es en quéposi™ión se sitú— el peso de mi hijoD SFT kilosD dentro de es— distri˜u™iónF ƒi X es el pesoD d—do que P [X ≤ 5.6] = 0.369,el pedi—tr— me dirá que mi hijo está en el per™entil QUD lo que quiere de™ir que es un pelín ˜—jo de pesoD perodentro de niveles r—zon—˜lesF 2Fuente: http://www.familia.cl/salud/curvas_de_crecimiento/curvas_de_crecimiento.htm94 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenierospigur— RFITX gurv—s de ™re™imiento de H — PR mesesFProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 95

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén96 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo