Estadistica para ingenieros

Apuntes de Estadística para Ingenieros „ipo de prue˜— …nil—ter—l — fil—ter—l …nil—ter—l l— izquierd— — l— dere™h— ripótesis H0 : β0 = b0 H0 : β0 = b0 H0 : β0 = b0 ist—dísti™o H1 : β0 < b0 H1 : β0 = b0 H1 : β0 > b0 de ™ontr—ste t= βˆ0 −b0 , se2 = SSyy −βˆ1SSxy = SSE ‚egión n−2 n−2 de re™h—zo s2e 1 + x¯2 n SSxx pEv—lor ƒupuestos t < tα;n−2 |t| > t1−α/2;n−2 t > t1−α;n−2 P [Tn−2 < t] 2P [Tn−2 > |t|] P [T > t] vos d—dos en l— ƒe™™ión IHFQ gu—dro IHFQX gontr—ste so˜re β010.4.2. Inferencia sobre la ordenada en el origeniste último ejemplo pone de m—ni(esto que t—m˜ién puede tener interés re—liz—r ™ontr—stes so˜re el v—lor deβ0F €—r— elloD el gu—dro IHFQ des™ri˜e el pro™edimiento de un ™ontr—ste de este tipoFpin—lmenteD teng—mos en ™uent— que podrí— ser de interés un ™ontr—ste ™onjunto so˜re β0 y β1D por ejemploDdel tipo β0 = 0D β1 = 1F r—y que de™ir que este tipo de ™ontr—stes múltiples super—n los ™ontenidos de est——sign—tur—F vo úni™o que podrí—mos h—™er en un ™ontexto ™omo el nuestro es re—liz—r sendos ™ontr—stes so˜reβ0 y β1 por sep—r—doD teniendo en ™uent— el nivel de signi(™—™ión de —m˜os ™ontr—stesFEjemplo. in el ejemplo —nteriorD v—mos — ™ontr—st—r siD en efe™toD β0 = 0D lo que equiv—ldrá — ™on™luirque no h—y r—zones p—r— pens—r que el espe™trómetro está m—l ™—li˜r—doF €—r— elloD βˆ0 = y¯ − βˆ1x¯ = 0.636por lo t—ntoD 0.636 − 0 t = = 0.746. 2.286 1 + 502 11 11000gomoquier— que 0.746 < t0.975;9 = 2.261D t—mpo™o tenemos r—zones p—r— pens—r que β0 = 0 ™on un WS 7de ™on(—nz—D luegoD en resumenD no existen r—zones p—r— pens—r que el espe™trómetro está m—l ™—li˜r—doFEjemplo. sm—ginemos que dese—mos ™ompro˜—r experiment—lmente queD t—l y ™omo predi™e l— ley deyhmD l— tensión @V A entre los extremos de un— resisten™i— y l— intensid—d de ™orriente @IA que ™ir™ul—por ell— se rel—™ion—n siguiendo l— ley V = R × I,donde R es el v—lor de l— resisten™i—F xosotros v—mos — re—liz—r l— ™ompro˜—™ión ™on un— mism— resisten™i—Dv—ri—ndo los v—lores de l— intensid—dD por lo que l— e™u—™ión equiv—le — V = β0 + β1 × I,siendo β0 = 0 y β1 = RF vos d—tos son los que —p—re™en en el gu—dro IHFRF„enemos que re—liz—r un ™ontr—steD H0 : β0 = 0 frente — H1 : β0 = 0 que equiv—le — ™ontr—st—r en re—lid—dProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 197

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén y˜serv—™ión s @meA † @†A I HFIT HFPT P TFSR IFHR Q IPFUT PFHP R IWFPT QFHS S PSFTQ RFHT T QIFVI SFHQ U QVFPI TFHQ V RUFRH UFHQ W SRFHH VFHT IH THFVH VFWW II TVFHH IHFHI gu—dro IHFRX h—tos p—r— l— ™ompro˜—™ión de l— vey de yhmque nuestros —p—r—tos de medid— están ˜ien ™—li˜r—dosD puesto que l— ley de yhm o˜lig— — que β0 = 0F†—mos —lláX SSxx = 5105.90 SSyy = 107.25 SSxy = 739.49 βˆ1 = 0.14 βˆ0 = 0.25 s2e = 0.022esí puesD 0.25 − 0 t = = 3.531. 0.022 1 + 33.142 11 5105.90h—do que t0.975,9 = 2.262D tenemos que re™h—z—r l— hipótesis H0 : β0 = 0D lo que ½contradice la ley deOhm! vo que este —nálisis pone de m—ni(esto es que tenemos —lgún pro˜lem— en nuestr—s medi™ionesFhejemos un po™o de l—do este último result—doF ƒi queremos estim—r el v—lor de l— resisten™i—D un—estim—™ión puntu—l esD ™omo hemos vistoD Rˆ = βˆ1 = 0.14D y un interv—lo de ™on(—nz— —l WS 7 de ™on(—nz—@omitimos los det—lles de los ™ál™ulosA result— ser (0.141, 0.149)Fpin—lmenteD podemos t—m˜ién propor™ion—r un interv—lo de ™on(—nz— p—r— l— orden—d— en el origenD d—dopor P β0 ∈ βˆ0 − t1− α ;n−2 × s.e. βˆ0 , βˆ0 + t1− α ;n−2 × s.e. βˆ0 = 1 − α. 2 2Ejemplo. in el ejemplo del espe™trómetroD el interv—lo de ™on(—nz— p—r— l— orden—d— en el origen es(−1.29, 2.57)D luego es ™on(—˜le pens—r que β0 = 0F in sum—D hemos ™ompro˜—do que es posi˜le β1 = 1 yβ0 = 0D luego hemos ™ompro˜—do que l— e™u—™ión y = x no puede ser re™h—z—d— ™on los d—tos disponi˜lesDes de™irD que no h—y r—zones p—r— pens—r que el espe™trómetro esté m—l ™—li˜r—doF198 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros Ejemplo. in el ejemplo de l— ™ompro˜—™ión de l— vey de yhmD el interv—lo de ™on(—nz— —l WS 7 p—r— l— orden—d— en el origen es (0.09, 0.41)F h—do que ese interv—lo no in™luye —l ™eroD podemos —(rm—r ™on un WS 7 de ™on(—nz— que l— re™t— de regresión no p—s— por el origenD lo que ™ontr—di™e l— vey de yhmF10.5. El coeciente de correlación linealβˆ1 mide en ™ierto modo l— rel—™ión que existe entre l— v—ri—˜le dependiente y l— v—ri—˜le independienteD y—que se interpret— ™omo el in™remento que sufre Y por ™—d— in™remento unit—rio de XF ƒin em˜—rgoD es un—medid— sujet— — l— es™—l— de l—s v—ri—˜les X e Y D de m—ner— que se h—™e difí™il poder ™omp—r—r distintos βˆ1sentre síFin est— se™™ión v—mos — de(nir el ll—m—do coeciente de correlación linealD que ofre™e un— medid—™u—ntit—tiv— de l— fort—lez— de l— rel—™ión line—l entre X e Y en l— muestr—D pero que — diferen™i— de βˆ1D es—dimension—lD y— que sus v—lores siempre están entre −1 y 1D se—n ™u—les se—n l—s unid—des de medid— de l—sv—ri—˜lesFh—d— un— muestr— de v—lores de dos v—ri—˜les (x1, y1) , ..., (xn, yn)D el coeciente de correlación linealmuestral r se de(ne ™omo SSxy √ SSxx SSyy r= SSxxSSyy = βˆ1 .gomo ™omentᘗmosD l— interpret—™ión del v—lor de r es l— siguienteX r ™er™—no o igu—l — H impli™— po™— o ningun— rel—™ión line—l entre X e Y. gu—nto más se —™erque — I ó EID más fuerte será l— rel—™ión line—l entre X e Y F ƒi r = ±1D todos los puntos ™—erán ex—™t—mente en l— re™t— de regresiónF …n v—lor positivo de r impli™— que Y tiende — —ument—r ™u—ndo X —ument—D y es— tenden™i— es más —™us—d— ™u—nto más ™er™—no está r de IF …n v—lor neg—tivo de r impli™— que Y disminuye ™u—ndo X —ument—D y es— tenden™i— es más —™us—d— ™u—nto más ™er™—no está r de EIFNota. in l— pigur— IHFS —p—re™en —lgunos de los supuestos que —™—˜—mos de enun™i—r respe™to — losdistintos v—lores de rF r—y que h—™er hin™—pié en que r sólo es ™—p—z de des™u˜rir l— presen™i— de rel—™iónde tipo line—lF ƒiD ™omo en el último grá(™o — l— dere™h— de est— (gur—D l— rel—™ión entre X e Y no es detipo line—lD r no es —de™u—do ™omo indi™—dor de l— fuerz— de es— rel—™iónFNota. in l— pigur— IHFT —p—re™e un v—lor —típi™o entre un ™onjunto de d—tos ™on un— rel—™ión line—l másque evidenteF €or ™ulp— de este d—toD el ™oe(™iente de ™orrel—™ión line—l será ˜—joF ¾ué de˜e h—™erse enProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 199

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén 0 20 40 60 80 100 −60 −40 −20 0 −30 −20 −10 0 10 20 6000 10000 −100 0 2000 0 20 60 100 0 20 60 100 0 20 60 100 0 20 60 100 Correlación lineal positiva fuerte Correlación lineal negativa fuerte Ausencia de correlación lineal Correlación parabólica pigur— IHFSX †—lores de r y sus impli™—™ionesFeste ™—soc in gener—lD no se de˜en elimin—r d—tos de un— muestr—D pero podrí— o™urrir que d—tos —típi™os™orrespond—n — errores en l— tom— de l—s muestr—sD en el registro de los d—tos oD in™lusoD que re—lmente nopro™ed—n de l— mism— po˜l—™ión que el resto de los d—tosX en ese ™—soD elimin—rlos podrí— est—r justi(™—dode ™—r— — —n—liz—r de un— form— más pre™is— l— rel—™ión line—l entre los d—tosFNota. gorrel—™ión frente — ™—us—lid—dF r—y que h—™er un— —dverten™i— import—nte —™er™— de l—s interEpret—™iones del ™oe(™iente de ™orrel—™ión line—lF is muy fre™uente que se utili™e p—r— justi(™—r rel—™iones™—us—Eefe™toD y eso es un gr—ve errorF r sólo indi™— presen™i— de rel—™ión entre l—s v—ri—˜lesD pero eso nopermite inferirD por ejemploD que un in™remento de X se— l— ™—us— de un in™remento o un— disminu™iónde Y FEjemplo. €—r— los d—tos del ejemplo so˜re l— —˜sor™iónD ™—l™ulemos r e interpretémosloFin el ™—so del por™ent—je de —˜sor™ión en fun™ión del volumen de ™ompuestoD r = √ 36.24 = 0.129; 37.30 × 2126.61vemos que l— rel—™ión es muy pequeñ—Y de he™hoD ™ompro˜—mos medi—nte un ™ontr—ste de hipótesis so˜reβ1 que er— no signi(™—tiv—Fin el ™—so del por™ent—je de —˜sor™ión en fun™ión del tiempo de —˜sor™iónD r = √ 36.24 = 0.944. 744 × 2126.61ist— rel—™ión sí result— ser muy fuerte y en sentido dire™toF €or eso —l re—liz—r el test so˜re β1D éste síresultó ser signi(™—tivoFxo podemos olvid—r que el ™oe(™iente de ™orrel—™ión line—l muestr—lD rD mide l— ™orrel—™ión entre los v—lores200 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros r = 0.27 r^2 = 0.07 Slope = 0.26 Intercept = 3.56 y End 0 2 4 6 8 10 LS Line Add Point Delete Point 0 2 4 6 8 10 Move Point x pigur— IHFTX …n d—to —típi™o entre d—tos rel—™ion—dos line—lmenteFde X y de Y en l— muestr—F ixiste un ™oe(™iente de ™orrel—™ión line—l simil—r pero que se re(ere — todos losposi˜les v—lores de l— v—ri—˜leF ividentementeD r es un estim—dor de este ™oe(™iente po˜l—™ion—lFh—d—s dos v—ri—˜les X e Y D el coeciente de correlación lineal poblacional, ρD se de(ne ™omoa √ ρ = E [(X√− EX) (Y − EY )] = √V arX β1. V arXV arY V arYaEste concepto se estudia también en el capítulo de vectores aleatorios.snmedi—t—mente surge l— ™uestión de l—s inferen™i—sF €odemos y de˜emos utiliz—r r p—r— h—™er inferen™i—sso˜re ρF he tod—s form—sD en re—lid—d est—s inferen™i—s son equiv—lentes — l—s que h—™emos so˜re β1D y— que l—rel—™ión entre β1 y ρ provo™— que l— hipótesis H0 : β1 = 0 se— equiv—lente — l— hipótesis H0 : ρ = 0F €odemosDpor lo t—ntoD utiliz—r el ™ontr—ste resumido en el gu—dro IHFP p—r— b1 = 0 y teniendo en ™uent— que √ n−2 r√ . t = 1 − r2Ejemplo. †—mos — ™ontr—st—r H0 : ρ = 0 frente — H1 : ρ = 0 de nuevo en el ejemplo de l— —˜sor™iónF √ 0√.944× 9−2il est—dísti™o de ™ontr—ste es t = 1−0.9442 = 7.60D que ™oin™ide ™on el v—lor de t ™u—ndo ™ontr—st—mosH0 : β1 = 0D frente — H1 : β1 = 0F †emos queD en efe™toD es el mismo ™ontr—steFProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 201

10.6. Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén Fiabilidad de la recta de regresión. El coeciente de determi- nación linealgomo hemos vistoD el ™oe(™iente de ™orrel—™ión line—l puede interpret—rse ™omo un— medid— de l— ™ontri˜u™iónde un— v—ri—˜le — l— predi™™ión de l— otr— medi—nte l— re™t— de regresiónF in est— se™™ión v—mos — ver un—medid— más —de™u—d— p—r— v—lor—r h—st— qué punto l— v—ri—˜le independiente ™ontri˜uye — prede™ir l— v—ri—˜ledependienteF‚e™ordemos lo que h—˜í—mos o˜serv—do en l— pigur— IHFRF ellí tení—mos un— re™t—D l— de l— izquierd—D que—p—rentemente er— buenaD mientr—s que l— de l— dere™h— —p—rentemente er— peorF ƒin em˜—rgoD y— dijimos queeso er— inex—™toF in re—lid—d nosotros no dese—mos ™ompro˜—r ex—™t—mente si los puntos están o no en torno— l— re™t— de regresiónD sino en qué medid— l— re™t— de regresión expli™— Y en fun™ión de XF†—mos — entr—r en det—llesF xe™esit—mos que l— re™t— explique Y en fun™ión de X porque Y tiene d—tos quepresent—n un— ™iert— v—ri—˜ilid—dX ¾™uánt— v—ri—˜ilid—dc gu—ndo de(nimos l— v—ri—nz—D es— v—ri—˜ilid—d l—medimos ™omo n SSyy = (yi − y¯)2 , i=1de t—l m—ner— que ™u—nto más v—ríen los d—tos de Y m—yor será SSyyF €or otr— p—rteD ™u—ndo —just—mos porl— re™t— de regresión yˆx = βˆ0 + βˆ1 × xD medimos el error que ™ometemos en el —juste ™on n SSE = (yi − yˆx)2 . i=1†—mos — ponernos en l—s dos situ—™iones límite que pueden d—rse en ™u—nto — l— pre™isión de un— re™t— deregresiónX √ √V arY ρ ƒi X no tiene ningún tipo de rel—™ión line—l ™on Y D enton™es ρ = 0D en ™uyo ™—so β1 = = 0 y V arX l— re™t— es simplemente yˆi = β0 + β1xi = y¯. is de™irD si X no tiene ningún tipo de rel—™ión line—l ™on Y D enton™es l— mejor predi™™ión que podemos d—r por el método de mínimos ™u—dr—dos es l— medi—F edemásD en ese ™—so n SSE = (yi − yˆi)2 i=1 n = (yi − y¯)2 = SSyy, i=1 es de™irD SSE es el tot—l de l— v—ri—™ión de los v—lores de Y F istá ™l—ro que est— es l— peor de l—s situ—™iones posi˜les de ™—r— — l— pre™isiónF √ √V arY F edemásD si l— ƒi l— rel—™ión line—l entre X eY es tot—lD enton™es ρ = 1, en ™uyo ™—so β1 = V arX202 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros rel—™ión line—l es tot—lD y = yˆxD de m—ner— que n SSE = (yi − yˆi)2 = 0. i=1 ist—D desde luegoD es l— mejor de l—s situ—™iones posi˜lesFv— ide— de l— medid— que v—mos — utiliz—r es ™u—nti(™—r en qué medid— est—mos más ™er™— o más lejos deest—s dos situ—™ionesF h—do que SSED que es l— medid— del error de l— re™t— de regresiónD puede ir de 0 @mejorsitu—™ión posi˜leA — SSyy @peor situ—™ión posi˜leAD t—n sólo tenemos que rel—tiviz—r en un— es™—l— ™ómod— un—medid— de este errorFƒe de(ne el coeciente de determinación lineal ™omo r2 = 1 − SSE . SSyyxótese que l— not—™ión es r —l ™u—dr—doD y— queD en efe™toD en un— regresión line—l simple ™oin™ide ™on el™oe(™iente de ™orrel—™ión line—l —l ™u—dr—doF€or lo t—ntoD l— interpret—™ión de r2 es l— medid— en que X ™ontri˜uye — l— expli™—™ión de Y en un— es™—l— deH — ID donde el H indi™— que el error es el tot—l de l— v—ri—™ión de los v—lores de Y y el I es l— pre™isión tot—lDel error HF v— medid— suele d—rse en por™ent—jeF hi™ho de otr— form—XAproximadamente 100 × r2 % de la variación total de los valores de Y respecto de su mediapueden ser explicada mediante la recta de regresión de Y dada XF Ejemplo. in el ejemplo de l— —˜sor™ión expli™—d— por el tiempo de exposi™iónD r2 = 0.892D de m—ner— que podemos de™ir que el VW 7 de l— v—ri—™ión tot—l de los v—lores del por™ent—je de —˜sor™ión puede ser expli™—d— medi—nte l— re™t— de mínimos ™u—dr—dos d—do el tiempo de exposi™iónF is evidente que es un por™ent—je import—nteD que propor™ion—rá predi™™iones rel—tiv—mente (—˜lesF10.7. Predicción y estimación a partir del modelo‚e™ordemos que en el modelo —just—do de l— re™t— de regresiónD yˆx = βˆ0 + βˆ1xyD por otro l—doD E [Y /X=x] = β0 + β1x,luego yˆx puede interpret—rse de dos form—sXIF gomo predicción del v—lor que tom—rá Y ™u—ndo X = xFProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 203

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén PF gomo estimación del v—lor medio de Y p—r— el v—lor X = x, es de™irD de E [Y /X=x]Fem˜—s ™—ntid—des están sujet—s — in™ertidum˜reD que será t—nto m—yor ™u—nto más v—ri—˜ilid—d teng— Y, yGopeor se— el —juste medi—nte l— re™t— de regresiónFvo que v—mos — ver en est— se™™ión p—r— ™on™luir el tem— es ™ómo est—˜le™er regiones de conanza p—r— est—spredi™™iones de los v—lores de Y y p—r— l—s estim—™iones de los v—lores medios de Y d—dos v—lores de XF istosresult—dos requieren que se veri(quen los supuestos —di™ion—les so˜re los errores d—dos en l— se™™ión IHFQF€odemos g—r—ntiz—r ™on un (1 − α) × 100 % de ™on(—nz— que ™u—ndo X = xD el v—lor medio de Y se en™uentr—en el interv—lo  1 (x − x¯)2  yˆx − t1−α/2;n−2 × se + SSxx , yˆx + t1−α/2;n−2 × se 1 (x − x¯)2 n + , n SSxxes de™irD podemos g—r—ntiz—r que   P E[Y /X=x] ∈ yˆx ∓ t1−α/2;n−2 × se 1 + (x − x¯)2  |X=x = 1 − α. n SSxxesimismoD podemos g—r—ntiz—r ™on un (1 − α)×100 % de ™on(—nz— que ™u—ndo X = xD el v—lor Y se en™uentr—en el interv—lo  yˆx − t1−α/2;n−2 × se 1 (x − x¯)2 × 1 (x − x¯)2 1 + n + SSxx , yˆx + t1−α/2;n−2 se 1+ + , n SSxxes de™irD podemos g—r—ntiz—r que   1 (x − x¯)2 P Y ∈ yˆx ∓ t1−α/2;n−2 × se 1+ + SSxx  |X=x = 1 − α nNota. xo de˜emos olvid—r que los modelos de regresión que podemos estim—r lo son — p—rtir de los d—tosde un— muestr— de v—lores de X e Y F e p—rtir de estos modelos podemos o˜tenerD ™omo —™—˜—mos dere™ord—rD predi™™iones y estim—™iones p—r— v—lores d—dos de X. h—do que el modelo se ˜—s— pre™is—menteen esos valores de la muestraD no es ™onveniente h—™er predi™™iones y estim—™iones p—r— v—lores de Xque se en™uentren fuer— del r—ngo de v—lores de X en l— muestr—FEjemplo. in l— pigur— IHFU —p—re™e l— re™t— de regresión p—r— los d—tos del ejemplo so˜re l— —˜sor™ióndel ™ompuesto junto ™on líne—s que ™ontienen los interv—los de ™on(—nz— —l WS 7 p—r— l—s predi™™iones yl—s estim—™iones —so™i—d—s — los distintos v—lores de XF204 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

Apuntes de Estadística para Ingenieros x 110 105 100 Resistencia observed 95 fit conf int pred int 90 85 80 50 60 70 x 80 90 100 Velocidadpigur— IHFUX ‚e™t— de regresión ™on interv—los de ™on(—nz— —l WS 7 p—r— l—s predi™™iones @fr—nj—s más exteErioresA y p—r— l—s estim—™iones @fr—nj—s interioresA en el ejemplo de l— —˜sor™iónFy˜sérvese que l— —mplitud de los interv—los se h—™e m—yor en los v—lores más extremos de XF is de™irDlos errores en l—s estim—™iones y en l—s predi™™iones son m—yores en estos v—lores más extremosF istode˜e ser un motivo — —ñ—dir —l ™oment—rio —nterior p—r— no h—™er estim—™iones ni predi™™iones fuer— delr—ngo de v—lores de X en l— muestr—F€or otr— p—rteD nos pl—nteᘗmos —l ™omienzo de ™—pítulo que serí— de interés estim—r el por™ent—je de—˜sor™ión que tendrá —lguien que se somet— — un tiempo de exposi™ión —l ™ompuesto de V hor—sF iso esun— predi™™iónD —sí que ™omo estim—™ión puntu—l d—remos yˆ8 = 46.82 + 1.60 × 8 = 59.59y ™omo interv—lo de predi™™ión —l WS 7D  yˆx ∓ t1−α/2;n−2 × se 1 (x − x¯)2 = ∓ × 1 (8 − 12)2 1 + +  59.59 2.36 5.73 1+ +  = (45.17, 74.00) . n SSxx 9 744€or el ™ontr—rioD im—ginemos que los tr—˜—j—dores de un— empres— v—n — est—r sometidos todos ellos —un tiempo de exposi™ión de V hor—sF in ese ™—soD no tiene sentido que nos pl—nteemos un— predi™™iónp—r— s—˜er ™uál v— — ser su por™ent—je de —˜sor™iónD y— que ™—d— uno de ellos tendrá un por™ent—jedistintoY lo que sí tiene sentido es que nos pl—nteemos ™uál v— — ser el por™ent—je medio de —˜sor™ión delos tr—˜—j—dores sometidos — V hor—s de exposi™ión —l ™ompuestoF isto es un ejemplo de l— estim—™iónde un v—lor promedioF v— estim—™ión puntu—l es l— mism— que en l— predi™™iónD es de™irD SWFSWD pero elinterv—lo de ™on(—nz— —l WS 7 es    yˆx ∓ t1−α/2;n−2 × se 1 + (x − x¯)2 = 59.59 ∓ 2.36 × 5.73 1 (8 − 12)2  +  = (54.66, 64.52) . n SSxx 9 744Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo 205

Dpto de Estadística e I.O. Universidad de Jaén10.8. Diagnosis del modelo„odo lo rel—™ion—do ™on inferen™i— so˜re el modelo de regresión se h— ˜—s—do en el ™umplimiento de lossupuestos des™ritos en el —p—rt—do IHFQF gomo y— ™oment—mosD en l— medid— en que todos o —lgunos de estossupuestos no se denD l—s ™on™lusiones que se extr—ig—n en l— inferen™i— so˜re el modelo podrí—n no ser válid—sFis por ello que es ne™es—rio ™ompro˜—r estos supuestos medi—nte herr—mient—s de di—gnósti™oF equí v—mos —ver sólo l—s más ˜ási™—sD vin™ul—d—s —l —nálisis de los residuos y — l— grá(™— de residuos frente — los v—lores—just—dosF10.8.1. Normalidad de los residuosintre los supuestos del modelo ™onsider—mos que los residuosD es de™irD i = yi − yˆisiguen un— distri˜u™ión norm—lFxi que de™ir tiene que ™ompro˜—r est— hipótesis en trivi—lX ˜—st—rá ™on ™—l™ul—r los residuosD —just—rles un—distri˜u™ión norm—l y re—liz—r un ™ontr—ste de ˜ond—d de —juste medi—nteD por ejemploD el test de uolmogorovEƒmirno'F10.8.2. Gráca de residuos frente a valores ajustadosil resto de supuestos se re(eren — l— v—ri—nz— ™onst—nte de los residuosD — su medi— ™ero y — su independen™i—F…n— de l—s herr—mient—s di—gnósti™—s más simples p—r— est—s hipótesis es l— ll—m—d— gráca de residuos frentea valores ajustadosF ƒe tr—t— de represent—r en unos ejes ™—rtesi—nosXIF in el eje ˆD los v—lores yˆi de l— muestr—FPF in el eje ‰D los residuosD i = yi − yˆiFr—˜itu—lmenteD se le —ñ—de — est— grá(™— l— re™t— de regresión de l— nu˜e de puntos result—nteF†—mos — ir viendo ™ómo de˜e ser est— grá(™— en el ™—so de que se ™umpl—n ™—d— uno de los supuestosXIF ƒi l— medi— de los residuos es ™eroD l— nu˜e de puntos de l— grá(™— de˜e h—™ernos pens—r en un— re™t— de regresión horizont—l situ—d— en el ™eroD indi™—ndo que se— ™u—l se— el v—lor yˆiD l— medi— de los residuos es ™eroFPF ƒi los errores son independientesD no de˜e o˜serv—rse ningún patrón en l— grá(™—D es de™irD ningún efe™to en ell— que h—g— pens—r en —lgún tipo de rel—™ión entre yˆi y iFQF ƒi los errores tienen un— v—ri—nz— ™onst—nte @se h—˜l— enton™es de homocedasticidadAD l— dispersión verti™—l de los puntos de l— grá(™— no de˜e v—ri—r según v—ríe el eje ˆF in ™—so ™ontr—rioD se h—˜l— de heterocedasticidadF…n— últim— o˜serv—™iónX si se d—n tod—s l—s ™ondi™iones que —™—˜—mos de men™ion—r so˜re l— grá(™— deresiduos frente — v—lores —just—dosD enton™es es probableD pero no se tiene l— segurid—dD de que los supuestosdel modelo se—n ™iertosF206 Prof. Dr. Antonio José Sáez Castillo

ResidualsApuntes de Estadística para Ingenieros −15 −10 −5 0 5 Residuals vs Fitted 5 4 2 50 55 60 65 70 75 80 85 Fitted values lm(Porcentaje.Absorbido ~ Tiempo) pigur— IHFVX qrá(™— de v—lores —just—dos vs residuos en el ejemplo de l— —˜sor™ión Ejemplo. €or últim— vez v—mos — ™onsider—r el ejemplo de l— —˜sor™iónF in l— pigur— IHFV —p—re™e el grá(™o de residuos vs v—lores —just—dos y podemos ver que — primer vist— p—re™e que se d—n l—s ™ondi™iones requerid—sX IF vos puntos se sitú—n en torno —l eje Y = 0D indi™—ndo que l— medi— de los residuos p—re™e ser ™eroF PF xo se o˜serv—n p—trones en los residuosF QF xo se o˜serv— m—yor v—ri—˜ilid—d en —lgun—s p—rtes del grá(™oF r—y que tener en ™uent— que son muy po™os d—tos p—r— s—™—r ™on™lusionesFProf. Dr. Antonio José Sáez Castillo 207