Cálculo para la computacion

2.2. Series Num´ericas. 95 El criterio de la ra´ız y el criterio del cociente para el calculo de l´ımitespermiten deducir el siguiente criterio para la convergencia de series.Corolario 2.2.23 (Criterio del cociente) Sea an una serie de t´ermi-nos positivos y consideremos el l´ımite = l´ım an+1 ; entonces: an1. Si < 1 la serie converge.2. Si > 1 la serie diverge. El caso l´ım an+1 = 1 queda fuera del teorema anterir, ya que a partir de ´el an ∞ n1emybna∞=r1gno1,2 verifican que el l´ımite de la condici´onno podemos deducir nada: la primera es divergente y la segundavale 1 para ambas series y,ns=in1es convergente. Igual que el criterio de la ra´ız, el uso del criterio del cociente nos da infor-maci´on para estimar errores.Proposicio´n 2.2.24 Sea an una serie convergente tal que l´ım an+1 ≤r<1 para todo n ≥ N ; si Sn an suma, es su sucesi´on de sumas parciales y S suentonces: S − SN ≤ aN +1 1−r Teniendo en cuenta las mismas consideraciones que hicimos para el criteriode la ra´ız, los siguientes casos particulares nos ayudar´an a aplicar este resultadoen la estimacio´n de errores. Si an+1 es creciente, para cada N podemos tomar r = l´ım an+1 . an an Syicauana+nn1doesesdteecrneu´cmieenrtoe,speaareastcraidctaaNmepnotedemmeonsortoqmuaer1r. = aN +1 , siempre aNEjemplo 2.2.14 Aplicamos los resultados anteriores paalraciaslerqieuen∞=e0stn1i!mpaasruademostrar que es convergente y determinar la sumasuma con un error menor que 10−3: l´ım 1/(n + 1)! = l´ım n 1 1 = 0 1/n! +Entonces, por el criterio del cociente, la serie es convergente. Adema´s, dado 1que an+1 = n+1 es decreciente y menor que 1 para cada n, si S es la suma anIngenier´ıa Informa´tica

96 C´alculo para la computacio´nde la serie y Sn la sucesio´n de sumas parciales: S − SN < 1/(N + 1)! = 1 · N! 1 − 1 1 N + NSi queremos que este error sea menor que 10−3, basta considerar N = 6: 6 1 = 1957 = 2.71805 n=0 n! 720Ma´s adelante, veremos que la suma de esta serie es el nu´mero e y el valoraproximado que nos da cualquier calculadora es 2.718281828.Ejemplo 2.2.15 Para la serie ∞1 podemos utilizar los mismos resulta-dos: n=1 n2n 1 1 (n + 1)2n+1 2 l´ım 1 = l´ım n 1) = 2(n + n2nEntonces, por el criterio del cociente, la serie es convergente. Si xn = an+1 = an n 1) , entonces:2(n + xn+1 = 2(n + 1)(n + 1) = 2n2 + 4n + 2 > 1 xn 2n(n + 2) 2n2 + 4ny en claonssuecceusei´onnciadeasanu+nm1 aess creciente. Por lo tanto, si S es la suma de la seriey Sn parciales: S − SN < (N + 1 − 1 ) = (N + 1 1)2N (1 2 1)2N −1Si queremos que este error sea menor que 10−3, basta considerar N = 8: 8 1 = 148969 = 0, 692750186011◊90476 n=1 n2n 215040Ma´s adelante, veremos que la suma de esta serie es log 2 y la aproximaci´onque nos da cualquier calculadora es 0, 6931471805.Teorema 2.2.25 (Criterio de Raabe) SÅea an ãuna serie de t´erminos an+1positivos y consideremos el l´ımite = l´ım n 1 − an ; entonces: 1. Si > 1 la serie converge. E.T.S.I.Informa´tica

2.2. Series Num´ericas. 972. Si < 1 la serie diverge.El caso = 1 queda fuera del resultado anterior, ya que a partir de ´el nopodemos deducir nada: para ∞ 1 , el l´ımite de la condicio´n de Raabe vale 1 n=1 n ∞1y es divergente; para la serie n=2 n(log n)2 el l´ımite de la condici´on es 1 y laserie es convergente. Es recomendable utilizar el criterio de Raabe despu´es del criterio del co-ciente en el caso en que este no decida nada. Debemos tener en cuenta quelas simplificaciones realizadas al aplicar el criterio del cociente pueden seru´tiles al aplicar el criterio de Raabe, pero NO las posibles sustituciones deinfinit´esimos. Como en los anteriores, el uso del criterio de Raabe tambi´en nos da infor-macio´n para estimar errores. Åã an+1Proposicio´n 2.2.26 Sea an una serie convergente tal que n 1 − an ≥r > 1 para todo n ≥ N ; si Sn es su sucesi´on de sumas parciales y S su suma,entonces: N aN+1 r−1 S − SN ≤ Teniendo en cuenta las mismas consideraciones que hicimos para el criteriode la ra´ız, los siguientes casos particulares nos ayudara´n a aplicar este resultadoen la estimacio´n de errores. Åã an+1Si la sucesio´n n 1 − an es decreciente, para cada N podemos tomar Çå r = l´ım n 1 − an+1 an Åã an+1Si la sucesi´on n 1 − an es creciente, para cada N podemos tomar Çå r = N 1 − aN+1 aNsiempre que este nu´mero sea estrictamente mayor que 1.Ejemplo 2.2.16 Vamos a usar el criterio de Raabe para probar que la serie ∞1n=1 n2 es convergente (aunque ya lo hemos hecho anteriormente) y determinarla suma parcial que estima su suma con un error menor que 10−3. Ç å = l´ım 2n2 + n = 2 l´ım n 1 − 1/(n + 1)2 (n + 1)2 1/n2Ingenier´ıa Informa´tica

98 C´alculo para la computaci´onPor el criterio de RaabeÅ, deducimoãs que la serie es efectivamente convergente.Por 2n2 + n tenemos que: otra parte, si xn = 1 − an+1 = (n + 1)2 , anxn+1 = (2(n + 1)2 + n + 1)(n + 1)2 = 2n4 + 9n3 + 15n2 + 11n + 3 > 1 xn (n + 2)2(2n2 + n) 2n4 + 9n3 + 12n2 + 4n Åã an+1 esEs decir, la sucesio´n n 1 − daensumas creciente y, por lo tanto, si S es la sumade la serie y Sn su sucesi´on parciales: N S − SN ≤ (N +1)2 2N 2+N −1 (N +1)2 = N −1 < N −N = 1 N2 − N N2 − N N −2Si queremos que este error sea menor que 10−3, basta considerar N = 1002.Ma´s adelante, calcularemos la suma exacta de esta serie y demostraremos queS = π2/6; si utilizamos un ordenador para calcular la suma parcial, obtendre-mos que: 1002 1 ≈ 1, 643936560 n=1 n2mientras que el valor aproximado de π2/6 que nos da cualquier calculadora es1, 644934066. Los teoremas vistos hasta ahora son va´lidos solamente para series de t´ermi-nos positivos. En esta, vamos a ver dos resultados que permiten estudiar al-gunas series con t´erminos de signo arbitrario.Definicio´n 2.2.27 Decimos que una serie an es absolutamente convergen-te si la serie |an| es convergente.Teorema 2.2.28 Toda serie absolutamente convergente es convergente. Una serie convergente pero no absolutamente convergente se dice condi-cionalmente convergente.Definicio´n 2.2.29 Una serie an se dice alternada si para todo n se verificaque an/an+1 < 0; es decir, su t´ermino general es de la forma (−1)nbn o(−1)n+1bn, en donde bn > 0 para todo n.Teorema 2.2.30 (Criterio de Leibniz) Sea (−1)nan una serie tal que 1. la sucesio´n an es decreciente y an > 0, E.T.S.I.Informa´tica

2.2. Series Num´ericas. 992. l´ım an = 0,entonces, la serie es convergente. (Obs´ervese que, segu´n hemos visto, la con-dici´on l´ım an = 0 es necesaria para cualquier serie.) ∞Proposicio´n 2.2.31 Sea (−1)nan una serie en las condiciones del criterio n=1de Leibniz, Sn su sucesi´on de sumas parciales y S su suma; entonces: |SN − S| < aN+1 En la acotaci´on del error tenemos que usar el valor absoluto porque en estecaso el error puede ser por exceso o por defecto.Ejemplo 2.2.17 Vamos a usar el criterio de Leibniz para probar que la seriearm´onica alternada ∞ (−1)n es convergente y determinar la suma parcial que n=1 nestima su suma con un error menor que 10−3.1. la sucesio´n 1 es decreciente y de t´erminos positivos, n2. l´ım 1 = 0, nPor el criterio de Leibniz, deducimos que la serie es efectivamente convergente.Por otra parte, si S es la suma de la serie y Sn su sucesio´n de sumas parciales: 1 |SN − S| < n + 1Si queremos que este error sea menor que 10−3, basta considerar N = 999. Enel tema siguiente, calcularemos la suma exacta de esta serie y demostraremosque S = − ln 2; si utilizamos un ordenador para calcular la suma parcial,obtendremos que: 999 (−1)n ≈ −0 6936474305 n=1 nmientras que el valor aproximado de − log 2 que nos da cualquier calculadoraes −0 6931471805.2.2.2. Esquemas pr´acticos En esta secci´on vamos a presentar algunas estrategias para abordar elestudio de la convergencia de series num´ericas. El siguiente esquema resume loscriterios que hemos introducido en el orden ma´s adecuado para su aplicaci´on.Ingenier´ıa Informa´tica

100 C´alculo para la computacio´n1. Comprobar si es una serie conocida: geom´etrica, arm´onica, cociente de polinomios, telesco´pica, . . . (A lo largo de este tema y el siguiente, se estudian distintos tipos de series; tener en cuenta las series ya conocidas puede ahorrar mucho trabajo).2. Condicio´n necesaria. Esta es la primera comprobacio´n que debe hacerse si el l´ımite es fa´cil de calcular.3. Criterios del cociente–Raabe o criterio de la ra´ız. El criterio del cociente o el de la ra´ız son los primeros que conviene utilizar; elegir uno u otro depende de la forma del t´ermino general de la serie. Optaremos preferi- blemente por el criterio del cociente cuando sea posible, ya que permite utilizar posteriormente el de Raabe.4. Criterio de condensaci´on. Es conveniente utilizarlo, cuando sea posible, en series donde interviene la funci´on logaritmo.5. Comparacio´n. Si ninguno de los criterios anteriores decide el car´acter de la serie, intentaremos buscar una serie conocida con la que poder com- pararla; solo la pra´ctica y la resoluci´on de bastantes problemas facilita esta etapa.El cociente an+1/an. Como ya se habr´a comprobado, el estudio del co-ciente an+1 es de gran utilidad para la determinaci´on del car´acter de una serie.A continaunacio´n, recogemos toda la informaci´on que puede obtenerse de dichocociente; dentro del esquema de la secci´on anterior, el estudio de este cocientese incluir´a en el primer paso.1. Si an+1 =r ∈R entonces la serie es una serie geom´etrica. an2. Si an+1 = αn + β con α, β, γ ∈ R la serie es hipergeom´etrica (ver ejercaicnios). αn + γ3. Si an >su0l´ıymaitane+nn1 o>pu1epdaerasetro0d:olan > N, la sucesi´on an es creciente y por tanto serie es divergente.4. Si an >0 y an+1 <1 para todo n > N, la sucesio´n an es decreciente. anSucesiones decrecientes. El criterio de condensaci´on y el criterio de Leib-niz incluyen, entre sus condiciones, el decrecimiento de una sucesio´n. Rapa-samos a continuaci´on los distintos m´etodos que hemos visto y utilizado parademostrar que una sucesio´n es decreciente: E.T.S.I.Informa´tica

2.2. Series Num´ericas. 1011. Si an − an+1 > 0, entonces an es decreciente.2. Si an+1 < 1, entonces an es decreciente. an3. Si f : [N, +∞) → R es una funci´on decreciente tal que f (n) = an para todo n ≥ N , entonces an es una sucesi´on decreciente a partir de N (para determinar si una funcio´n es decreciente podemos utilizar su derivada).4. Por u´ltimo, podemos utilizar las propiedades algebraicas de la relacio´n de orden para deducir algunas propiedades sobre monoton´ıa de sucesiones y funciones como por ejemplo: a) Si f y g son funciones crecientes, entonces f + g creciente. b) Si f y g son funciones crecientes y positivas, entonces f · g es cre- ciente. c) f es creciente si y solo si −f es decreciente. d ) Si f es positiva, entonces f es creciente si y solo si 1/f es decreciente. e) Si f y g son funciones crecientes, entonces f ◦ g es creciente. f ) Si f es una funcio´n creciente y dn es una sucesi´on decreciente, entonces f (dn) es una sucesi´on decreciente. g) Si h es una funcio´n decreciente y dn es una sucesio´n decreciente, entonces f (dn) es una sucesi´on creciente.2.2.3. Series de potencias Algunas de las series que hemos estudiado hasta ahora conten´ıan para´me-tros en su t´ermino general, incluso hemos podido sumar alguna de ellas dandosu suma en funcio´n de ese par´ametro: ∞ = 1 1 x, |x| < 1 − xn n=0Como hemos podido comprobar, no siempre es asequible sumar una serie,pero aun as´ı podemos estar interesados en estudiar las propiedades de la seriee incluso la relacio´n de dependencia de la serie respecto de ese para´metro. En esta seccio´n y en la siguiente, vamos a estudiar un tipo de funci´on cuyaexpresio´n se escribe mediante una serie cuyo t´ermino general depende de lavariable de la funci´on, las series de potencias.Definicio´n 2.2.32 Una serie de potencias es una funci´on definida por unaexpresi´on de la forma: f (x) = an(x − a)n nEl nu´mero a se denomina centro de la serie.Ingenier´ıa Inform´atica

102 Ca´lculo para la computacio´n Tal y como acordamos en la lecci´on anterior, omitimos los l´ımites de lossumatorios por simplicidad y porque el sumando inicial de la serie no influye ensus caracter´ısticas. S´ı tendremos que explicitarlo cuando necesitemos trabajarcon el valor real de la suma.Eje1.mpnlo(x2−.n21.1)n8 es una serie de potencias centrada en 1; en este caso, an = 1 . n2. senn x no es una serie de potencias. nTeorema 2.2.33 Toda serie de potencias an(x − a)n converge absoluta-mente para cada x ∈ I, en donde I es, o bien R, o bien un intervalo tal que(a − R, a + R) ⊂ I ⊂ [a − R, a + R]. En el segundo caso, el nu´mero R sedenomina radio de convergencia de la serie. El intervalo I se denomina campo de convergencia de la serie y es el dominiode la funci´on determinada por la serie de potencias. Por las caracter´ısticas de laexpresi´on de una serie de potencias, bastara´ con aplicar el criterio del cocienteo el de la ra´ız para hallar el radio de convergencia, sin embargo, necesitaremostrabajar algo ma´s para estudiar la convergencia de la serie en los dos extremosdel campo.Ejemplo 2.2.19 Para hallar el campo de convergencia de (x − 1)n , apli- log ncamos el criterio del cociente a la sucesio´n de valores absolutos:l´ım |x − 1|n+1 · log n = |x − 1| l´ım log n = |x − 1| log(n + 1) |x − 1|n log(n + 1)Por lo tanto, la serie converge si |x − 1| < 1. Por el teorema anterior, solotenemos que analizar la convergencia de la serie para x = 0 y x = 2 pa-ra determinar completamente el campo de convergencia. Para x = 0 la serie (−1)nresultante es log n cuya convergencia podemos deducir con el criterio deLeibniz. Para x = 2 la serie resultante es 1 n , cuya divergencia podemos logdeducir con el criterio de condensaci´on. Por lo tanto, el campo de convergenciade la serie es [0, 2). El siguiente resultado establece la continuidad y derivabilidad de las fun-ciones definidas por series de potencias y extiende la propiedades algebraicasde la derivacio´n e integracio´n a series.Teorema 2.2.34 Para la serie de potencias S(x) = an(x − a)n se verificaque: E.T.S.I.Informa´tica

2.2. Series Num´ericas. 1031. (Teorema de Abel) la funci´on S es continua en su campo de convergen- cias.2. S es una funci´on derivable en el interior del campo de convergencia y suderivada se obtiene “derivando t´ermino a t´ermino la serie”: dÇ å nan(x − a)n−1 dx n an(x − a)n = nAdem´as, el radio de convergencia de la derivada coincide con el de S.3. Una primitiva de la funci´on S es: Çå an n+ an(x − a)n dx = 1 (x − a)n+1 n nAdem´as, el radio de convergencia de la primitiva coincide con el de S. En los dos u´ltimo puntos del teorema anterior se afirma la coincidenciade los “radios” de convergencia, pero no de los “campos” de convergencia,es decir, la convergencia en los extremos del campo puede variar al derivar ointegrar.Ejemplo 2.2.20 El campo de convergencia de la serie de potencias xn es n2 xn−1 ,[−1, 1], sin embargo, la serie de las derivadas, n no converge en x = 1y por lo tanto su campo de convergencia es [−1, 1). Las propiedades de derivacio´n e integracio´n de series de potencias consti-tuyen una herramienta fundamental para sumar series, tal y como vemos enel ejemplo siguiente.Ejemplo 2.2.21 En la secci´on anterior hemos probado que: ∞ = 1 1 x, si |x| < 1. − xn n=0Aplicando el operador primitiva obtenemos: ∞ xn+1 = log |1 − x| + C = log(1 − x) + C, si |x| < 1.n=0 n + 1Evaluando ambas expresiones en x = 0, deducimos que C = 0. Adema´s, parax = −1, la serie converge (criterio de Leibniz) y por el teorema de Abel, laigualdad tambi´en se verifica en ese punto. Por lo tanto: ∞ xn+1 = log(1 − x), si − 1 ≤ x < 1.n=0 n + 1Ingenier´ıa Informa´tica

104 C´alculo para la computacio´n2.2.4. Series de Taylor Las funciones expresadas mediante series de potencias se comportan esen-cialmente como polinomios, por esta raz´on, nos planteamos en esta secci´onexpresar cualquier funci´on como serie de potencias. Vamos a ver que, en par-ticular, todas las funciones elementales pueden representarse de esta forma. Aunque en muchos casos, el m´etodo seguido en el ejemplo 2.2.21, permi-tir´a expresar una funci´on como series de potencias, en la mayor´ıa de los casosnecesitaremos construirla a partir de su polinomio de Taylor. Recordemos queel polinomio de Taylor de orden n de una funcio´n f en el punto x0 es unpolinomio de grado menor o igual que n tal que su valor en x0 y el valor delas n primeras derivadas coinciden con los de f . Su expresio´n ana´litica es:f (x0) + f (x0)(x − x0) + f (x0) (x − x0)2 + . . . 2··· + f (n)(x0 ) (x − x0)n = n f (i)(x0) (x − x0)i n! i=0 i! Aunque tiene sentido determinar el polinomio de Taylor en cualquier punto,en la pra´ctica solo es interesante en aquellos puntos para los cuales es posiblehallar el valor de sus derivadas sucesivas de manera exacta y poder obteneras´ı polinomios cuyos coeficientes sean nu´meros racionales. En la secci´on 2.2.5repasamos la familia de funciones conocidas como funciones elementales ydeterminamos sus polinomios de Taylor en el punto m´as adecuado. El primer resultado fundamental para los objetivos de este tema es elsiguiente, que caracteriza los polinomios de Taylor de una funci´on como sumejor aproximacio´n polin´omica.Teorema 2.2.35 Sea Tn el polinomio de Taylor de orden n de f en x0. En-tonces, Tn es el u´nico polinomio tal que y:l´ım f (x) − Tn(x) = 0 (x − x0)nx→x0 Es decir, el polinomio Tn es la “mejor aproximacio´n”, en un entorno de x0,por polinomios de grado menor o igual que n. Por ejemplo, en las figuras de lap´agina 14 podemos ver que los polinomios de Taylor de la funcio´n exponencial“se parecen” cada vez m´as a esta funcio´n segu´n aumentamos el grado delpolinomio, y que el intervalo en el que ma´s se parecen es cada vez mayor. Otra aplicaci´on de este resultado es el m´etodo mostrado en el siguientecorolario para obtener nuevos pares de infinit´esimos equivalentes. E.T.S.I.Informa´tica

2.2. Series Num´ericas. 105Corolario 2.2.36 Sea f una funcio´n (n + 1)-veces derivable en un entornoabierto de x0. Entonces, f (x)−Tn(x) y f (n+1)(x0) (x−x0)n+1 son infinit´esimos (n + 1)!equivalentes en x0.Ejemplo 2.2.22 Para la funcio´n exponencial y para n = 0, obtenemos laequivalencia ex − 1 ≡ x, en x = 0, que aprendimos en el tema anterior. Paran = 1 obtenemos que ex − 1 − x ≡ x2 , en x= 0. 2Aunque podemos demostrar fa´cilmente esta equivalencia usando el Teoremade L’Hˆopital, el polinomio de Taylor es la herramienta para construirlos. La posibilidad de aproximar el valor de una expresi´on matema´tica, solo esu´til si podemos controlar el error que se comete. El teorema siguiente nos daun m´etodo para hacerlo cuando usamos polinomios de Taylor.Teorema 2.2.37 (de Lagrange) Sea f una funcio´n definida en un entornoabierto de x0 y supongamos que f es (n + 1)-veces derivable en este entorno.Sea Tn el polinomio de Taylor de orden n de f en x0 y En(x) = f (x) − Tn(x).Entonces, para cada x = x0 existe un nu´mero c (que depende de x y de n)comprendido estrictamente entre x y x0 y tal que: En(x) = f (n+1)(c) (x − x0)n+1 (n + 1)!La fo´rmula del resto dada en este teorema se conoce como f´ormula de Lagrange.Aunque no es la u´nica posible, s´ı es la ma´s utilizada por su simplicidad. Laexpresi´on En puede ser negativa, sin embargo, al trabajar con errores, nodistinguimos entre errores por exceso y por defecto, y por eso entendemos queel error es su valor absoluto: ε = |En|.Ejemplo 2.2.23 Para calcular el nu´mero ‘e’ con un tres decimales exactos,debemos evaluar la funci´on exponencial en el punto x = 1 con un error ε <10−4. Si utilizamos el polinomio de Taylor de orden n en 0 de la funcio´nexponencial que calculamos en el primer tema (ver seccio´n 2.2.5), cometeremosel siguiente error: ε= (n ec 1)! 1n+1 = (n ec c ∈ (0, 1) + + 1)! ,Dado que no conocemos el valor de c (y no podemos, ni pretenderemos calcu-larlo), no podemos conocer el error exacto. Por esta raz´on, lo que hacemos esIngenier´ıa Inform´atica

106 C´alculo para la computaci´on“estimar” dicho error en funci´on de n, sustituyendo el valor de c, o las subex-presiones en do´nde aparece, por valores mayores. En este caso, ec < e1 = e < 3y por lo tanto: ec 3 + 1)! + ε = (n < (n 1)!Si queremos que el error sea menor que 10−4, basta con encontrar el primer 3nu´mero natural n tal que (n + 1)! < 10−4, es decir, tal que (n + 1)! > 30000.Con n = 7 lo conseguimos y por lo tanto: e ≈ 1 + 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 685 = 2.718˚25396 2 3! 4! 5! 6! 7! 252Solo podemos estar seguros de los tres primeros decimales, aunque podemoscomprobar que los cuatro primeros decimales coinciden con los que nos dacualquier calculadora. No es dif´ıcil observar que los polinomios de Taylor no son m´as que la (n)(x0)sucesi´on de sumas parciales de la serie asociada a la sucesi´on f n! (x −x0 )n ;la correspondiente serie se denomina serie de Taylor de la funci´on f .Definicio´n 2.2.38 Dada una funci´on f infinitamente derivable en un inter-valo abierto I, denominamos serie de Taylor de f en x0 ∈ I a la serie: ∞ f (n)(x0) (x − x0)n x∈I n=0 n!Decimos que la serie representa a f en x si converge a f (x), es decir: ∞ f (n)(x0) (x − x0)n = f (x) n=0 n!Evidentemente la serie de Taylor para x0 representa a f en x0 pero puede nohacerlo en otros puntos. La representacio´n de la serie en otros puntos esta´ ca-racterizada por la convergencia a 0 de la expresi´on del resto.Teorema 2.2.39 La serie de Taylor de f en x0 representa a f en x si y solosi: f (n+1)(c) (n + 1)! l´ım En(x) = l´ım (x − x0)n+1 = 0 n→∞ n→∞Ejemplo 2.2.24 La serie de Taylor de la funci´on exponencial la representaen todo su dominio, R: l´ım En(x) = l´ım (n ec 1)! xn+1 + n→∞ n→∞ E.T.S.I.Inform´atica

2.2. Series Num´ericas. 107Para comprobar que este l´ımite es 0, podemos trabajar ma´s f´acilmente con suvalor absoluto. Si x < 0, entonces ec < 1 y por lo tanto (n ec 1)! |x|n+1 < |x|n+1 n−→→∞ 0 + (n + 1)!Si x > 0, ec < ex y por lo tanto (n ec 1)! xn+1 < ex xn+1 n−→→∞ 0 + (n + 1)!En los dos l´ımite calculados, hemos utilizado la relaci´on que aprendimos enla lecci´on anterior entre polinomios y funcio´n exponencial. Por otra parte,obs´ervese la necesidad de “eliminar” el nu´mero c antes de calcular el l´ımite,ya que este nu´mero depende tanto de x como de n y por lo tanto tambi´enest´a afectado por el operador l´ımite.A partir de la serie ∞1 = e podemos sumar todas las series del tipo n=0 n! P (n)(n + q)! , en donde P es un polinomio de grado p y q ∈ Z. El criterio delcociente permite demostrar que todas ellas son convergentes y el m´etodo quepresentamos en el ejemplo siguiente permite calcular su suma.Ejemplo 2.2.25 Vamos a sumar laexsperreiesanr∞=e1l(npon+l3in1o)!m. iPoadraelenlluom, uesraanddoor iden-tificaci´on de coeficientes, vamos a de lasiguiente forma n3 = A(n + 1)n(n − 1) + B(n + 1)n + C(n + 1) + DCada sumando, est´a formado por productos de expresiones consecutivas ytodas empezando por n + 1; como veremos, esto permitira simplificar cada su-mando con el factorial del denominador para conseguir que en cada numeradorquede una constante y en el denominador solo un factorial. Esta expresio´n sepuede obtener para cualquier polinomio P (n). Eliminando los par´entesis y agrupando los t´erminos obtenemosn3 = A(n + 1)n(n − 1) + B(n + 1)n + C(n + 1) + D = = An3 + Bn2 + (B − A + C)n + (C + D),y por lo tanto, A = 1, B = 0, C = 1, D = −1 y de ah´ı: n3 = (n + 1)n(n − 1) + (n + 1) − 1 = 1 + 1 − 1(n + 1)! (n + 1)! − n! + (n 2)! (n 1)!Ingenier´ıa Informa´tica

108 Ca´lculo para la computaci´onObservese que la u´ltima simplificacio´n solo es va´lida para n ≥ 2 pero la seriese suma desde n = 1; por esta raz´on, en el primer paso del siguiente desarrollo,“apartamos” el primer sumando de la serie: ∞ n3 = 1 + ∞ n3n=1 (n + 1)! = 2 + n=2 (n + 1)! 1 ∞ Ç 1 2 1 1 å n=2 (n − 2)! + n! − (n + 1)! = 1 + ∞ (n 1 2)! + ∞ 1 ∞1 2 n=2 − n=2 n! − n=2 (n + 1)! = 1 + ∞ 1 + ∞ 1 ∞1 2 n=0 n! n=2 n! − n=3 n! = 1 + e + (e − 1 − 1) − (e − 1 − 1 − 1 ) = e + 1 2 2En la cuarta igualdad hemos hecho un cambio de variable para que sea m´asfa´cil entender los siguientes pasos, pero estos pueden hacerse directamente. Lasseries que aparecen en la igualdad siguiente se corresponden con el nu´mero e,pero dado que no todas empiezan en n = 0 es necesario restar los sumandosque faltan.2.2.5. Funciones elementales Repasamos en esta seccio´n la familia de funciones conocidas como funcioneselementales y determinamos para cada una de ellas la correspondiente serie deTaylor. En particular, en las figuras de las p´aginas siguientes, vemos la representa-cio´n simult´anea de las funciones exponencial, seno y arcotangente con algunospolinomios de Taylor.Funcio´n Exponencial. Recordemos que el dominio de la funcio´n exponen-cial, ex = exp x, es R y d ex = ex ex dx = ex dxEl desarrollo de Taylor es:ex = 1 + x + x2 + ··· + xn + ecn xn+1 , (cn entre 0 y x) 2 n! (n + 1)!En el ejemplo 1.1.12, hemos deducido que la serie de Taylor representa a lafuncio´n exponencial en todo su dominio: ex = ∞ xn x∈R n=0 n! E.T.S.I.Informa´tica

2.2. Series Num´ericas. 109Funci´on Logaritmo Neperiano. El dominio de la funci´on logaritmo ne-periano, log x, es el intervalo (0, ∞) y d log x = 1 log x dx = x log x − x dx xHallamos es desarrollo de Taylor en x0 = 1:log x = (x − 1) − 1 (x − 1)2 + 1 (x − 1)3 + · · · 2 3 (−1)n+1 (−1)n ·· · + n (x − 1)n + cnn+1(n + 1) (x − 1)n+1Estando cn entre 1 y x. Para establecer la convergencia de la serie de Taylorno hace falta estudiar la convergencia del resto de Taylor. Sabemos que la serie ∞ xn converge si y solo si |x| < 1 y en tal cason=0 ∞ = 1 1−x xn n=0Integrando la igualdad anterior y estudiando la convergencia en los extremosde la serie obtenida, llegamos a ∞ xn+1 = ∞ xn = − log(1 − x), x ∈ [−1, 1) n=0 n + 1 n=1 n(En 1 la serie diverge y en −1 la serie converge por el criterio de Leibniz). Porlo tanto, log x = ∞ −(1 − x)n = ∞ (−1)n+1 (x − 1)n x ∈ (0, 2] n=1 n n=1 nAlternativamente, esta serie se puede escribir como: log(x + 1) = ∞ xn x ∈ (−1, 1] n (−1)n+1 n=1Funcio´n Seno. El dominio es R y d sen x = cos x sen x dx = − cos x dxEl desarrollo de Taylor essen x = x − x3 + x5 + ·· · + (−1)n x2n+1 + (−1)n+1(sen c) x2n+2 3! 5! (2n + 1)! (2n + 2)!siendo c un nu´mero entre 0 y x. Adema´s, es f´acil comprobar que la serie deTaylor representa a la funcio´n seno en todo su dominio: sen x = ∞ x2n+1 (2n + 1)! (−1)n n=0Ingenier´ıa Informa´tica

110 C´alculo para la computaci´onEn la figura de la p´agina 111, podemos ver las gr´aficas de la funci´on senoy de algunos de sus polinomios de Taylor. Vemos que, igual que ocurre conla funci´on exponencial, la convergencia de la serie es ¡¡muy r´apida¿¿, es decir,con pocos sumando conseguimos unas aproximaciones muy buenas en entornosbastante amplios de 0.Funci´on Coseno. El dominio de la funcio´n coseno es R y d cos x = − sen x cos x dx = sen x dxEl desarrollo de Taylor es cos x = 1 − x2 + x4 + ··· + (−1)n x2n + (−1)n+1(sen c) x2n+1 2! 4! (2n)! (2n + 1)!siendo c un nu´mero entre 0 y x. Adema´s, la serie de Taylor representa a lafunci´on coseno en todo su dominio: cos x = ∞ x2n (2n)! (−1)n n=0Funci´on Seno Hiperb´olico. La funcio´n seno hiperb´olico se define como ex − e−xsenh x = 2 , su dominio es R y d senh x = cosh x senh x dx = cosh x dxEl desarrollo de Taylor es senh x = x + x3 + x5 + ·· · + x2n+1 + (senh c) x2n+2 3! 5! (2n + 1)! (2n + 2)!siendo c un nu´mero entre 0 y x. Adema´s, la serie de Taylor representa a estafuncio´n en todo su dominio: senh x = ∞ x2n+1 n=0 (2n + 1)!Funcio´n Coseno Hiperb´olico. La funcio´n coseno hiperbo´lico se define co- ex + e−xmo cosh x = 2 , su dominio es R y d cosh x = senh x cosh(x) dx = senh x dxEl desarrollo de Taylor es cosh x = 1 + x2 + x4 + ··· + x2n + (senh c) x2n+1 2 4! (2n)! (2n + 1)! E.T.S.I.Inform´atica

2.2. Series Num´ericas. 111 Yf (x) = sin x X T1(x) = x Yf (x) = sin x X T5(x) = x − x3 + x5 3! 5! Yf (x) = sin x X T13(x) = x − x3 + x5 − x7 + x9 − x11 + x13 3! 5! 7! 9! 11! 13!Figura 2.2: Funcio´n seno y algunos polinomios de Taylor.Ingenier´ıa Inform´atica

112 Ca´lculo para la computaci´onsiendo c un nu´mero entre 0 y x. Adema´s, la serie de Taylor representa a estafunci´on en todo su dominio: cosh x = ∞ x2n n=0 (2n)!Funci´on Potencial. La funcio´n potencial se define como pα(x) = (1 + x)α α∈R NEl dominio de esta funcio´n depende de α: el intervalo [−1, ∞) es el dominiopara α > 0 y su dominio es (−1, ∞) si α < 0. La funcio´n potencial es derivableen (−1, ∞) y d dx (1 + x)α = α(1 + x)α−1Si α > 1, la funcio´n tambi´en es derivable en −1.El desarrollo de Taylor es: Çå Ç å Çå α α α(1 + x)α = 1 + αx + 2 x2 + · · · + n xn + n+1 (1 + c)α−n−1xn+1Aunque no es tan simple como para el resto de las funciones elementales,podemos probar que el resto converge a 0 si x ∈ (−1, 1) y por lo tanto, paratodo α: (1 + x)α = n∞=0Çαnåxn x ∈ (−1, 1)La convergencia en los extremos depende de α. No mostramos los detalles quenos llevan a las siguientes igualdades: ∞ (1 + x)α = α xn, x ∈ [−1, 1], α>0 n x ∈ (−1, 1], −1 < α < 0 x ∈ (−1, 1), α ≤ −1 n∞=0 (1 + x)α = α xn, n n∞=0 (1 + x)α = α xn, n n=0Nos queda por repasar las funciones trigonom´etricas e hiperbo´licas inversas.Las propiedades algebraicas de las series de potencias nos ayudar´an a determi-nar los desarrollos de estas funciones, pero no podremos utilizar las expresionesdel resto de Taylor.Funci´on Arco–Seno. El codominio de la funci´on arco-seno es [ −π/2, π/2],es decir: y = arc sen x si y solo si −π/2 ≤ y ≤ π/2 y sen y = x. d arc sen x = √1 1 x2 dx − arc sen x dx = x arc sen x + 1 − x2 E.T.S.I.Inform´atica

2.2. Series Num´ericas. 113Obtenemos la serie de Taylor a partir de la serie de Taylor de su derivada:d arc sen x = (1 + (−x2))−1/2 = n∞=0Ç−1n/2å(−x2)n = n∞=0(−1)nÇ−1n/2åx2ndxpara |x| < 1. Tras integrar y estudiar la convergencia en los extremos con elcriterio de Raabe, obtenemos: arc sen x = ∞ (−1)n Ç−1n/2åx2n+1 = ∞ (2n)! + 1) x2n+1 n=0 2n + 1 n=0 (2nn!)2(2npara |x| ≤ 1.Funcio´n Arco–Coseno. El codominio de la funcio´n arco-coseno es [0, π],es decir: y = arc cos x si y solo si 0 ≤ y ≤ π y cos y = x. d arc cos x = − √1 1 x2 dx − arc cos x dx = x arc cos x − 1 − x2El desarrollo de Taylor de la funci´on arco-coseno se obtiene fa´cilmente a partirde su relaci´on con la funcio´n arco-seno: arc cos x = π − arc sen x. Obs´ervese 2que, por lo tanto, para aproximar el arco-coseno de un nu´mero, tendremos queutilizar a su vez una aproximaci´on adecuada de π.Funci´on Arco–tangente. El codominio de la funcio´n arco-tangente es elintervalo [ −π/2, π/2], es decir: y = arc tg x si y solo si −π/2 ≤ y ≤ π/2 y tg y = x. d arc tg x = 1 1 dx + x2 arc tg x dx = x arc tg x − log(1 + x2)Nuevamente, obtenemos la serie de Taylor a partir de su derivada; por la sumade la serie geom´etrica sabemos que: d arc tg x = 1 = ∞ |x| < 1 dx 1 + x2 (−1)nx2n n=0Integrando y determinando la convergencia en los extremos con el criterio deLeibniz, obtenemos: arc tg x = ∞ x2n+1 |x| ≤ 1 2n + 1 (−1)n n=0Ingenier´ıa Inform´atica

114 Ca´lculo para la computaci´on Y π/2 −1 1f (x) = arctan x X T3(x) = x − x3 3 −π/2 Y π/2 −1 1f (x) = arctan x X T7(x) = x − x3 + x5 − x7 3 5 7 −π/2 Y π/2 −1 1 Xf (x) = arctan x −π/2T13(x) = x − x3 + x5 − x7 + x9 − x11 + x13 3 5 7 9 11 13Figura 2.3: Funcio´n arcotangente y algunos polinomios de Taylor. E.T.S.I.Informa´tica

2.2. Series Num´ericas. 115Funcio´n Argumento del Seno Hiperb´olico. La funcio´n inversa del senohiperbo´lico se denomina argumento del seno hiperb´olico, siendo R su dominioy codominio: argsenh x = log(x + 1 + x2) d argsenh x = √1 1 x2 dx + argsenh x dx = x argsenh x − 1 + x2Obtenemos el desarrollo en serie de Taylor como sigue: d argsenh x = (1 + x2)−1/2 = n∞=0Ç−1n/2åx2n dxpara |x| < 1. Integrando esta serie y deduciendo la convergencia en los extre-mos con el criterio de Raabe, obtenemos:argsenh x = ∞1 1 Ç−1n/2åx2n+1 = ∞ (2n)! + 1) x2n+1 n=0 2n + (2nn!)2(2n (−1)n n=0para |x| ≤ 1.Funcio´n Argumento del Coseno Hiperb´olico. La funci´on inversa delcoseno hiperb´olico se denomina argumento del coseno hiperb´olico, siendo [1, ∞)su dominio y [0, ∞) su codominio: argcosh x = log(x + x2 − 1) d argcosh x = √1 1 dx x2 − argcosh x dx = x argsenh x − x2 − 1Funcio´n Argumento de la Tangente Hiperbo´lica. La funci´on inversade la tangente hiperb´olica se denomina argumento de la tangente hiperb´olica,siendo el intervalo (−1, 1) su dominio y R su codominio: argtgh x = log 1+y 1 − y2 d argtgh x = 1 1 dx − x2 argtgh x dx = x argtgh x + log(1 − x2)Por la suma de la serie geom´etrica sabemos que: d argtgh x = 1 = ∞ dx 1 − x2 x2n n=0Ingenier´ıa Inform´atica

116 Ca´lculo para la computaci´onpara |x| < 1. Integrando esta serie obtenemos:argtgh x = ∞ x2n+1 |x| < 1 n=0 2n + 1La serie no converge en ninguno de los dos extremos.2.2.5.1. Evaluacio´n aproximada de Funciones Como ya sabemos, la principal aplicacio´n del desarrollo de Taylor es laevaluaci´on aproximada de funciones mediante los desarrollos deducidos en lasecci´on anterior. Debemos tener en cuenta que la evaluacio´n aproximada notiene ninguna utilidad si no se acompan˜a de una estimacio´n del error cometido.Para esto, podemos utilizar el resto de Taylor o, cuando se posible, las f´ormulasde estimacio´n asociadas a los criterios de convergencia de Leibniz, ra´ız, cocientey Raabe; en estos casos, tras escribir el valor de la funci´on en un punto comouna serie num´erica y aplicar el criterio adecuado. Sabemos que algunos desarrollos de Taylor son va´lidos solamente en unaparte del dominio, en estos casos, tendremos que utilizar algunas manipula-ciones algebraicas para evaluar las funciones en el resto de los puntos:Funci´on logaritmo. El desarrollo de Taylor de la funci´on logaritmo per-mite evaluar log x para x ∈ (0, 2]; para a ∈ (2, ∞) podemos utilizar lasiguiente igualdad: 1 a log a = − logFuncio´n potencial. Para evaluar una funci´on potencial fuera del inter-valo (−1, 1) podemos utilizar el √m3 1´e0to, dmouqltuipelisceammousesytrdaiveindieml ossigdueinentrtoeejemplo: si queremos aproximarde la raiz por 23:√3 10 = 3 10 8 = 2 3 1 + 1 = 2p1/3( 1/4) 8 4Funci´on arcocoseno. No disponemos de serie de Taylor para la funci´onarcocoseno, pero la igualdad: arc cos x = π − arc sen x 2ayuda a evaluar de forma aproximada esta funcio´n utilizando la funci´onarcoseno y una aproximaci´on de π.Funci´on arcotangente. Fuera del intervalo [−1, 1] podemos utilizar lasiguiente igualdad para aproximar la funci´on arcotangente: arc tg x = π − arc tg 1 2 x E.T.S.I.Informa´tica

2.2. Series Num´ericas. 1172.2.5.2. Suma de series num´ericas Las series de potencias, y las series trigonom´etricas que estudiamos en lasecci´on siguientes, permiten sumar muchas series num´ericas. En la siguientetabla resumimos las series de Taylor que hemos deducido anteriormente paralas funciones elementales: ∞ xn = ex, x∈Rn=0 n! ∞ xn = − log(1 − x), x ∈ [−1, 1)n=1 n ∞ x2n+1 = sen x, x∈R (2n + 1)! (−1)nn=0 ∞ x2n = cos x, x∈R (2n)! (−1)nn=0 ∞ x2n+1 = senh x, x∈Rn=0 (2n + 1)!nnnnn∞∞∞∞∞=====00000Ç(Ç2((−x2n−ααnnn21åå1n+)))!nxn=1Ç=nÇαn2=c−αåo,(1ns1=h/2+x0å,,xxα)2αn>,+x1−α=∈1>, Raxα0r∈c=s(e0−n1x,,1) |x| ≤ 1 ∞ (2n)! + 1) x2n+1 = arc sen x, |x| ≤ 1n=0 (2nn!)2(2nnn∞∞==00(2−n11+)n12xÇn2−n++1n11/2=åxa2rnc+t1g x, |x| ≤ 1 |x| < 1 = argsenh x, ∞ (2n)! + 1) x2n+1 = argsenh x, |x| < 1 (2nn!)2(2n (−1)nn=0 ∞ x2n+1 = argtgh x, |x| < 1n=0 2n + 1Ingenier´ıa Inform´atica

118 C´alculo para la computaci´on Ejercicios b´asicos1. Calcule la suma de la serie ∞ (−1)n+1 utilizando los siguientes m´etodos de la leccio´n anterior: con lna=a1yudna de las constante de Euler determine los l´ımites de las subsuceciones S2n y S2n+1 y deduzca a partir de ah´ı el l´ımite de la sucesi´on de sumas parciales Sn.2. Estudie la convergencia de las siguientes series analizando si son te- lesco´picas. ∞1 ∞ Å (n + 1)2 ã n=1 2n(n + 1) n=1 n(n + 2) a) b) log3. Utilice las propiedades elementales para estudiar la convergencia de las siguientes series y obtenga la suma de las convergentes. ∞ Å 1 ãn 3n2 ∞ 32n c) 100 1 2 5−n 92n−1 n=1 na) 5 + b) (−2)n n=0 n=04. Determine cu´ales de las siguientes series son aritm´etico-geom´etricas y su´melas sin utilizar ninguna fo´rmula:a) ∞ 2n − 1 b) ∞ n2 + 1 ∞ 3n 5n n=0 n=1 c) (2n − 1)en n=25. Determine cua´les de las siguientes series son hipergeom´etricas y su´melas sin utilizar ninguna f´ormula.a) ∞ 1, b) ∞ (a + 1) ··· (a + n) , c) ∞1 n=1 n n=2 n! n=3 n26. Estudie el car´acter de las siguientes series: ∞ ann! ∞ 1 1 n=1 nn 2 n a) b) a1+ +···+ , a ≥ 0 n=17. Las tablas de infinit´esimos e infinitos equivalentes que hemos estudia- do en la lecci´on anterior nos ayudan a determinar series con el mismo cara´cter a trav´es del criterio de comparaci´on. Utilizar esta idea para estudiar el car´acter de las siguientes series: a) ∞1 + 1 +··· + 1 , b) ∞ log n 2 n2 n n=1 2n3 − 1 n=1 E.T.S.I.Inform´atica

2.2. Series Num´ericas. 1198. Consideremos la sucesio´n an = xn para algu´n x > 0. n! a) Estudie la convergencia de la serie an. b) ¿Podemos deducir le valor l´ım an?9. Demuestre que la serie ∞ nn es convergente y aproxime el valor n=1 (2n + 1)n de su suma con un error menor que 10−3.10. Demuestre que la serie ∞ log n es convergente y aproxime su n (−1)n n=1 suma con un error menor que 10−3.11. Hallar los campos de convergencia de las series de potencias siguientes: a) ∞ xn ∞ c) ∞ (x + 3)n d) n! n=1 n! b) nn(x − 5)n (−1)nn! n∞=1 n2 (x − 1)n e) n∞=1 (n!)2 xn n=1 n=1 (2n)!12. Utilice el teorema 2.2.35 para demostrar que T (x) = x − x3 es el polino- 3 mio de Taylor de la funci´on arc tg x de orden 3 en el punto x = 0.13. Queremos aproximar el valor de √e, ¿qu´e funci´on considera m´as adecua- da para este objetivo, la funci´on exponencial o la funcio´n ra´ız cuadrada? Razone la respuesta y utilice la funci´on elegida para aproximar dicho nu´mero con un error menor que 10−3 (dos decimales exactos).14. Lea la parte de la seccio´n 2.2.5 dedicada a las funciones potenciales y posteriormente conteste los siguientes apartados a) Evalu´e y simplifique el nu´mero combinatorio 1/2 para n = 0, . . . , 4. n b) Simplifique la expresi´on 1/2 n c) Utilice la expresio´n obtenida en el apartado faunntceir´oinorfp(axr)a=ex√cr1ib+irxe.l polinomio de Taylor de orden n en 0 de la d ) cSuigyuaiesnudmoalasseain√di5caycieolnijeasedlemla´etsoedcocim´ona´s2.a2d.5e.c1u,acdoonsptarurayaapurnoaxismeraier su valor con un error menor que 10−3.15. Considere la funcio´n f (x) = x2e−x. a) Utilice el polinomio de Taylor de la funcio´n exponencial, su ex- presi´on del resto de Lagrange y las propiedades algebraicas para obtener el polinomio de Taylor de f y una expresi´on de su resto.Ingenier´ıa Inform´atica

120 Ca´lculo para la computaci´on b) ¿El resto obtenido en el apartado anterior es el resto de Lagrange de la funcio´n f ? En cualquier caso, util´ıcelo para hallar f ( 1/4) con un error menor que 10−4.16. Utilice el teorema 2.2.36 para determinar un infinit´esimo equivalente x2 − cos x2 + 1 en 0. U´ selo para calcular el siguiente l´ımite l´ım x2 − cos x2 + 1 x3ex x→017. Determine la serie de Taylor de la funcio´n f (x) = x usando el (1 − x)2 siguiente proceso. a) A partir de la serie de 1 1 x , obtenga por derivacio´n la de (1 1 x)2 . − − b) Exprese la funcio´n g como suma de fracciones simples. c) Utilice las propiedades algebraicas y los apartados anteriores para construir la serie de Taylor de f . ∞ n2 2n+118. Obtenga la suma de la serie (−1)n usando el siguiente proceso: n=3 ∞ a) Sume la serie de potencias n2xn usando las propiedades de deri- vacio´n y las propiedades alng=e1braicas de las series de potencias que permitan reducirla a una serie ma´s simple. b) Evalu´e la serie del apartado anterior en un valor de x adecuado para poder sumar la serie propuesta.19. Siguiendo el m´etodo del ejemplo 2.2.25, sume la serie ∞ n2 − 2 . n=2 n!20. Sume la serie ∞ xn (Indicacio´n: log t dt = t log(t) − 1). n=1 n2 E.T.S.I.Inform´atica

2.2. Series Num´ericas. 121 Relaci´on de ejercicios (I)1. Responder las siguientes preguntas razonando las respuestas con ((precisio´n)):a) Dadas dos sucesiones an y bn consideramos los conjuntos de sus elementos: A = {an}, B = {bn}. Si A = B, ¿podemos afirmar que l´ım an = l´ım bn?b) Es cierto que ¿toda sucesi´on acotada es convergente?c) ¿Es correcto escribir la igualdad simbo´lica ∞ = ∞? 0d) Si an+1 = sen n, ¿podemos afirmar que el l´ımite l´ım √n an no existe? ane) Las sucesiones an = sen n y bn ¿son infinit´esimos equivalentes?2. Determine el t´ermino general de la siguiente sucesi´on y calcule su l´ımite 0, 0 9, 0 99, 0 999, 0 9999, . . .3. Consideremos las siguientes sucesiones:an = −3n + 5 , bn = (−3)n , cn = n2 − 3n , dn = √n1+ 4 n n!Para cada una de ellas, calcule los primeros t´erminos, analice intuitiva-mente sus propiedades (monoton´ıa, acotacio´n y convergencia) y final-mente estu´dielas formalmente.4. Calcule y exprese de la forma m´as simplificada posible los primeros t´ermi- nos de las siguientes sucesiones an = n k , bn = (n + 1)(n + 2) · (n + n n) k=1 n 2n(2n + 1)(2n + 2) . . . (2n +5. Consideramos la siguiente sucesi´on definida por recurrencia:  = 2 a1 an = an−1 − 3 si n > 1a) Calcule los diez primeros t´erminos de la sucesi´on y analice intuiti- vamente sus caracter´ısticas (monoton´ıa, acotacio´n y convergencia).b) Estudie formalmente las propiedades de monoton´ıa, acotaci´on y convergencia.c) Deduzca el t´ermino general de la sucesio´n.6. Demuestre que si knp es el t´ermino de grado mayor en el polinomio P (n), entonces an = P (n) y bn = knp son infinitos equivalentes.Ingenier´ıa Informa´tica

122 C´alculo para la computaci´on7. Demuestre que an = log(n + k), bn = log(kn) y cn = log n son infinitos equivalentes y util´ıcelo para calcular el l´ımite l´ım 3 log(n − 7) 2 log(5n)8. Demuestre que an = (n + 1)α − nα y bn = αnα−1 son infinitos equiva- lentes.9. Calcule el l´ımite l´ım e√e√3 e . . . √n e n10. Escribiendo el cociente 1 como suma de fracciones simples, sim- m(m + 1) plifique la expresi´on de la sucesio´n en siguiente l´ımite para calcularlo: l´ım Ç1 + 1 + · · · + (n 1 + 1 å 1·2 2·3 − 1)n n(n + 1)11. Resuelva los siguientes l´ımites: b) l´ım n ( √ − n−√1 a) » na a) l´ım n − (n + a)(n + b)12. Los siguientes l´ımites se resuelven utilizando el criterio de St¨oltz o el criterio del cociente: a) l´ım 1p + 2p + · · · + np , (p ∈ N) np+1 » b) l´ım n (n + 1)(n + 2) . . . (n + n)13. Sea an una sucesio´n tal que l´ım an = a; utilice el criterio de St¨oltz para calcular a2 an 2 n l´ım a1 + + ·· · + n log14. Utilice el teorema de compresio´n para calcular el l´ımite de las sucesiones: a) (1 + √1)(1»+(n√−2)1.).!. (1 + √n) b) (−1)n n15. Utilice la constante de Euler para calcular el siguiente l´ımite l´ım n 1 1 + n 1 2 + · ·· + n 1 n + + +16. Utilice la caracterizaci´on secuencial y el teorema de L’Hˆopital para cal- nα cular l´ım en .17. Razonar con ((exactitud)) sobre la veracidad de las siguientes afirmacio- nes: E.T.S.I.Informa´tica

2.2. Series Num´ericas. 123 a) Si a una serie le quitamos un conjunto finito de t´erminos, la suma de la serie no var´ıa. b) Si una serie es convergente, el l´ımite de su t´ermino general es 0. c) Si el l´ımite de una sucesio´n es 0, la serie asociada es convergente. d ) Si an es una serie de t´erminos positivos y convergente, entonces an2 tambi´en es convergente. e) Si √aannteasmubni´eanseesriecodnevetr´egremnitneo. s positivos y convergente, entonces f ) Consideremos la serie (−1)n/n; por el criterio de condensacio´n, el car´acter de esta serie coincide con el de la serie 2k (−1)2k = 1 2k que es divergente. Por tanto, la serie (−1)n/n es divergente.18. Demuestre que la siguiente serie es telesc´opica, estudie su convergencia y su´mela si es posible. a) ∞ (−1)n−1(2n + 1) n=1 n(n + 1)19. Estudie la convergencia de la serie ∞1 y su´mela aplicando el siguiente procedimiento: n=1 n(4n2 − 1) a) Escriba el t´ermino general como suma de fracciones simples. b) Simplifique la expresi´on de la sucesio´n de sumas parciales utilizando la constante de Euler. c) Calcule el l´ımite de la expresi´on de la sucesio´n de sumas parciales obtenida en el apartado anterior.20. Estudie el car´acter y sume si es posible las siguientes series: a) ∞ 2n+3 b) ∞ (−1)n 3n 5n n=1 n=021. Sume la serie ∞ 2 + 4 + 8 + · · · + 2n 3n n=322. Sume las siguientes series aritm´etico-geom´etricas: ∞ 1−n ∞ n− 2 5n 2n c) d) (−1)n n=3 n=023. Teniendo en cuenta que es una serie hipergeom´etrica, sume la serie ∞1 n=3 n(n + 1)Ingenier´ıa Inform´atica

124 Ca´lculo para la computaci´on24. Criterio del logaritmo. Sea an una serie de t´erminos positivos. Si k = l´ım log 1 an log n entonces se verifica que Si k < 1 la serie diverge. Si k > 1 la serie converge. a) Estudie el criterio del logaritmo para estudiar la convergencia de series p-armo´nicas (corolario 2.2.16). b) Si es posible, aplique el criterio del logaritmo para estudiar la con- vergencia de las siguientes series: a) ∞ (−1)n b) ∞n ∞ d) ∞1 n=1 n2 2n n=4 n n=2 c) n n=325. Aplique infinitos equivalentes para encontrar series p-arm´onicas con el mismo cara´cter que las siguientes y deduzca su car´acter: a) ∞ n2 − 5n + 8 b) ∞ 4n2 + 5n − 3 n=1 n − 2 n=2 2 − 3n526. Repita seolnedjeorscipcoiolinaonmteiroisordepagrraaduonsapsyerqieredsepl etcitpiovanm∞=e1nQPte((nnp))a,raendeddouncdier P yQ que: a) Si q − p ≤ 1 la serie diverge. b) Si q − p > 1 la serie converge27. Sean f y g dos funciones crecientes y estrictamente positivas en su do- minio, h una funcio´n decreciente, cn una sucesio´n creciente y dn una sucesi´on decreciente. Utilice las propiedades algebraicas de la relacio´n de orden para demostrar que: a) f + g es una funcio´n creciente. b) f · g es una funci´on creciente. c) 1/f es una funci´on decreciente. d ) −f es una funci´on decreciente. e) f ◦ g es una funcio´n creciente y f ◦ h es una funcio´n decreciente. f ) f (cn) es una sucesi´on creciente y f (dn) es una sucesio´n decreciente. g) h(cn) es una sucesi´on decreciente y h(dn) es una sucesio´n creciente. E.T.S.I.Informa´tica

2.2. Series Num´ericas. 12528. Estudie el car´acter de las siguientes series: ∞ √1 ∞ n2 ∞1n∞=2 3 n2 n! nnn∞∞∞===221((n−−lo11g))nn2n+nn1−l2o11ng 1n− 1 − 1 n∞=1 2nn! 1 + 1 + · · · + 1 2 n n3 nnn∞=1 1 n∞=1 1n∞=2 (log n)r n∞=2((−lo1g)nn)2nnnn∞=1 n∞=1 an √n (−√1)n + 1 n∞=1 (3n + 2) · n4/3 −n na (a + 1) · · · (a + n) n! n! n·n∞=1 n + 1n 2n −n n∞=1 n 1 n∞=1 cos2 πnn∞=1 + n n− 2n 3 +·· + 1 n(log n)2 21 1 + cos2 n 1 · + 2n n∞=2 n∞=1 sin3 n 4n nnnn∞∞∞∞====1111((sÅ−nen1n!1))nÅ3−n34√πnn11n!2ãã n∞=1 n4n∞=1 n + 2n + · · · + n2 n3 n5 2nn∞=1 n∞=1n∞=1 1 (a > 0) sen 1 1 + an (−1)n n a(a + 1) . . . (a + n − 1) n∞=1 (n!)cn∞=1nba((b√+n1+) .1. . (b + n 1) n∞=1 (3n)! − 2√n − √ + − 1) n=1 (an)! 1+2+...n n nnn=1 n=129. Halle los campos de convergencia de las series de potencias siguientes: ∞ b) ∞ xn d) a) nnxn f) n h) c) n∞=1 (x − 1)n j) n∞=1 1 xn e) n∞=1 n2n n∞=1 n n∞=1 n∞=1 2n xn n∞=1 √n1 + 1 xn n+1 + 2n g) nxn (−1)n xn n+1 n∞=1 i) n∞=1 (−1)n (x + 2)n (−1)nn3 (x + 3)n k) n∞=1 n2 + 1 3n m) n∞=1 nn (x + 1)n l) n∞=1 1 n) (x − 1)n n! log(1 + (n + 1)! (x − 2)n n) (log n)xn 5n n∞=1 n∞=1 n˜) n=1 (n n! xn o) xn√ + 1)n n=2 n2 −nIngenier´ıa Inform´atica

126 C´alculo para la computacio´n p) ∞ √xn log 2n + 1 q) ∞ n2n xn r) n n n=1 (2n)! t) n=1 Å ∞ + 1 ãn2 ∞ n∞=1 n n n=1 (x + 1)n s) nn(x − 1)n log n n xn u) n∞=1 xn n=2 (log n)n30. Utilice el teorema 2.2.35 para demostrar que 1− x2 es el polinomio de 2 Taylor de la funcio´n cos x en el punto x = 0.31. a) Calcule e con un error menor que 10−8. ¿Cu´antas cifras decimales de esta aproximaci´on son exactas? b) Calcule sen 1 con un error menor que 10−4. c) Calcule log 1 5 con un error menor que 10−4.32. Lea la seccio´n 2.2.5.1 y util´ıcela para construir una serie cuya suma sea log 5. Aproxime la suma de dicha serie, es decir, el valor de log 5, con un error menor que 10−3.33. Para n = 1 y n = 2, exprese la funcio´n √1 + x como suma de su polino- mio de Taylor de orden n ma´s el correspondiente resto. Deduzca, para x > 0, las siguientes desigualdades: 1+ x − x2 ≤ √1 + x ≤ 1 + x 2 8 234. Para x > 0, pruebe que: (1 + x)1/3 − (1 + x − x2 ) ≤ 5x3 3 9 8135. Utilizando series de Taylor para determinar los infinit´esimos adecuados para calcular el l´ımite l´ım x2 + log(1 − x2) 2 cos x + ex2 −3 x→036. Represente mediante serie de potencias de x las siguientes funciones: a) f (x) = senh x b) f (x) = log 1 + x 1 − x ∞37. Sume la siguiente serie de potencias (n + 1)xn n=∞38. Sume las siguientes series: a) ∞n b) ∞ n2 n=2 (n + 1)! n=1 (n + 2)! E.T.S.I.Informa´tica

2.2. Series Num´ericas. 127 Relacio´n de ejercicios (II)1. Consideramos la siguiente sucesi´on definida por recurrencia:  = 3 b1 bn = bn−1 + n si n > 1 a) Calcule los diez primeros t´erminos de la sucesi´on y analice intuiti- vamente sus caracter´ısticas (monoton´ıa, acotacio´n y convergencia). b) Estudie formalmente las propiedades de monoton´ıa, acotacio´n y convergencia. c) Deduzca el t´ermino general de la sucesio´n.2. Justifique que las siguientes sucesiones son convergentes y calcule sus l´ımites  = √2 d1 = a > 0 c1 dn = a + (dn−1)2 cn = 2√cn−13. Resolver los siguientes l´ımites: a) l´ım log n b) l´ım log(n + 3) log 5n log n4. Los siguientes l´ımites se resuelven utilizando el criterio de St¨oltz o el criterio del cociente: a) l´ım √ + n b) l´ım 1 (2 + 32 + · · · + (n + 1)n ) n n2 n2 2 nn−1 c) l´ım (log n)2 d) l´ım 2 + 4 + · · · + 2n n 3 + 9 + · · · + 3n5. Utilice el criterio de St¨oltz y la equivalencia (n + 1)α − nα ≡ αnα−1 para calcular el l´ımite l´ım an = n8/3 . en Razone que, aplicando sucesivamente el criterio de Sto¨ltz, se puede llegar nα a la misma conclusio´n para el l´ımite l´ım an = en , para cada α6. Calcule el l´ımite l´ım n! utilizando el teorema de compresio´n. nn7. Utilice el teorema de acotaci´on para calcular los siguientes l´ımites: a) l´ım 1 + 1 +···+ 1 n2 (n + 1)2 (n + n)2Ingenier´ıa Inform´atica

128 C´alculo para la computaci´on8. Calcule el siguiente l´ımite l´ım log(1 + 1 + · · · + 1 ) 2 n log(log n)9. Para la siguiente sucesio´n, determine el t´ermino general de la sucesio´n y calcule su l´ımite. 0 3, 0 33, 0 333, 0 3333, . . .10. Para la siguiente sucesio´n, determine una forma recursiva de su t´ermino general y calcule su l´ımite. √5 4, » √5 4, 5 4 » √5 4, . . . 54 5411. Supongamos que l´ım an = a; halle los siguientes l´ımites: a) l´ım a1 + 2a2 +· · · + nan n2 b) l´ım ea1 + ea2/2 + · · · + ean/n − n log(n + 1)12. Demuestre que las siguientes series son telesc´opicas, estudie su car´acter y su´melas si es posible. a) ∞1 2) b) ∞ √√nn+√1n−+√1n c) (n + 1)(n + ã d) n∞=1 2n + n(n + 1) n∞=1 Å1 n=1 n − n 1 1 n=1 2n+1n(n + 1) + ∞ 3n + 4n 5n13. Estudie el car´acter y sume si es posible la serie . n=014. Sume las siguientes series aritm´etico-geom´etricas: ∞ (−1)n ∞n 2n 10n e) (n + 3) f) n=5 n=015. Deduzca la f´ormula general de la suma de la serie aritm´etico geom´etrica: ∞ si |r| < 1 (an + b)rn n=N16. Demuestre que la ∞ (1 + a)(1 n! an · · (1 + na) es hipergeom´etri- ca y su´mela si es + 2a) · serie posiblne=. 117. Demuestre que la serie ∞ a(a + 1) . . . (a + n − 1) es hipergeom´etrica y su´mela si es posible. n=1 b(b + 1) . . . (b + n − 1) E.T.S.I.Inform´atica

2.2. Series Num´ericas. 12918. Deduzca una fo´rmula general para la suma de una serie hipergeom´etrica.19. Deduzca el criterio de Pringsheim como corolario del criterio de compa- raci´on por paso al l´ımite. Criterio de Pringsheim. Sea an una sucesi´on de t´erminos positivos y su- pongamos que l´ım ncan = 0. Probar que: (1) si c > 1 entonces, an converge; (2) si c ≤ 1 entonces, an no converge.20. Series num´ericas e integrales impropias: Si f es positiva, continua y decreciente en x ≥ 1 y an = f (n), entonces an y ∞ f (x) dx 1tienen el mismo car´acter.Estudie el car´acter de las siguientes series utilizando este resultado cuan-do sea posible. ∞ n 1, ∞1 ∞ sen n , ∞ ∞ n−5n=1 n2 + n=3 n2 + 1 , n=1 n2 n=1 n2 e−n, n=1 ∞21. Consideremos la serie R(n)rn, en donde R es una funci´on racional. n=1 a) Si |r| = 1, utilice el criterio del cociente para demostrar que la serie converge si y solo si |r| < 1. b) Si r = 1, en la relacio´n anterior hemos analizado el car´acter de la serie resultante. Para r = −1, demuestre que: 1) Si q − p > 1 la serie converge absolutamente. 2) Si q − p = 1 la serie converge condicionalmente. 3) Si q − p < 1 la serie diverge. en donde p es el grado del polinomio del numerador y q es el grado del polinomio del denominador22. Estudiar el cara´cter de las siguientes series:a) ∞ sen 1 b) ∞ sen nxc) n∞=1 n d) n2e) f) n∞=1 n!g) 1 nn∞∞==21(n−(l1o)ngnn((2n)an!)4)2n! −2 n∞=1((√−n2)an+ 1 − √ ) na n=1 7n + 4 h) n∞=1 » (−1)n n=1 n(n + 1) ∞ (9 − a2)n3 + 3n2 + 1 ∞ 1+2+···+ni) n=1 7n4 − 1 j) n=1 nnIngenier´ıa Inform´atica

130 Ca´lculo para la computaci´on23. Progresiones aritm´eticas. Son sucesiones en las que cada t´ermino se ob- tiene a partir del anterior sum´andole una cantidad fija que llamamos diferencia. Una progresio´n aritm´etica queda determinada cuando cono- cemos uno de sus t´erminos y la diferencia; en particular, si a0 es el primer t´ermino y d es la diferencia, entonces el t´ermino general esan = a0 + nd para todo n ∈ Na) Si a1 = 0 y d = 3 ¿cua´nto vale a18?b) Si a10 = 14 y d = −2 ¿cu´anto vale a0?c) Determine el t´ermino general de una progresi´on aritm´etica de la que conocemos su t´ermino k-´esimo (ak) y la diferencia (d).d ) Si 2a − 1, 2a + 1 y 3a − 2 son t´erminos consecutivos de una progre- sio´n aritm´etica, ¿cua´nto vale a?, ¿cu´al es el t´ermino general de la progresio´n?e) Interpole cinco nu´meros en progresi´on aritm´etica entre los nu´meros 20 y 44.f ) Calcule la suma de los 10 primeros t´erminos de la progresi´on aritm´eti- ca an = 2n − 1.g) Encuentre la suma de los 100 primeros nu´meros pares. ¿Y los 500 primeros?h) Deduzca la fo´rmula de la suma de los n primeros t´erminos de una progresio´n aritm´etica.i ) Demuestre que la siguiente f´ormula de la suma de los n primeros nu´meros naturales:1+2+3 + 4+5 + · + n = n(n + 1) 224. Progresiones geom´etricas. Son sucesiones en las que cada t´ermino se ob- tiene a partir del anterior multiplica´ndolo por una cantidad fija que llamamos raz´on. Por lo tanto, una progresi´on geom´etrica queda determi- nada cuando conocemos uno de sus t´erminos y la raz´on. En particular, si a1 es el primer t´ermino y r es la raz´on, el t´ermino general esan = a1rn−1 para todo na) Demuestre que el cociente entre dos t´erminos consecutivos de una progresi´on geom´etrica es constante.b) Deduzca las condiciones que debe cumplir la raz´on de una progre- si´on geom´etrica creciente. ¿Y decreciente? ¿Y constante? E.T.S.I.Informa´tica

2.2. Series Num´ericas. 131c) Encuentre la razo´n y el vig´esimo t´ermino de las progresiones: 2, 6, 18, 54, 162, .... 5, −5, 5, −5, 5, −5, ... 8, 4, 2, 1, ... 1, √3, 3, 3√3, 9, . . .d ) Calcule el valor de a para que los nu´meros representados por a, a+2, a + 8 sean t´erminos consecutivos de una progresio´n geom´etrica.e) Interpole cuatro nu´meros en progresio´n geom´etrica entre los nu´me-ros 4 y 243 . 5 40f ) Deduzca la fo´rmula de la suma de los n primeros t´erminos de unaprogresi´on geom´etrica y aplique la f´ormula para demostrar que: 1+ 1 + 1 +·+ 1 = 2− 1 2 4 2n 2ng) Si 1 + 2 + 22 + 23 + ......... + 2n = 4095, ¿cua´nto vale n?h) Una persona comunica un secreto a otras tres. Diez minutos des- pu´es cada una de ellas lo ha comunicado a otras tres, y cada una de estas a otras tres nuevas en los diez minutos siguientes, y as´ı su- cesivamente. ¿Cua´ntas personas conocen el secreto despu´es de dos horas?i ) Segu´n una leyenda india, el inventor del ajedrez solicit´o como re- compensa que se pusiera 1 grano de trigo en la primera casilla del tablero, 2 en la segunda, 4 en la tercera, y as´ı sucesivamente; en ca- da una el doble que en la anterior. El rey acept´o, pero su sorpresa fue grande cuando vio no so´lo que no cab´ıan los granos en las casi- llas, sino que no hab´ıa suficiente trigo en todo el reino para cumplir el compromiso. Suponiendo que 10 granos de trigo pesan aproxi- madamente 1 gr. ¿podr´ıas averiguar cu´antos Kg. de trigo solicito´ el inventor?25. Utilice el teorema 2.2.35 para demostrar que x es el polinomio de Taylor de la funci´on sen x en el punto x = 0.26. Utilice el teorema 2.2.35 para demostrar que −1 + x es el polinomio de Taylor de la funci´on log x en el punto x = 1.27. a) Calcule √e con error menor que 10−5. b) Calcule e2 con error menor que 10−5. c) Calcule sen 2 con un error menor que 10−4.28. Para f (x) = x2 cos x, hallar f ( 7π/8) con un error menor que 10−4.Ingenier´ıa Inform´atica

132 Ca´lculo para la computaci´on29. Para x ∈ [0, 1] y n ∈ N, pruebe que: log(1 + x) − (x − x2 + x3 + · · · + (−1)n−1 xn ) < xn+1 2 3 n n+130. Utilizando series de Taylor para determinar los infinit´esimos adecuados para calcular el l´ımite l´ım 2(1 − cos x) sen x − x3 √4 1 − x2 (= 57 ) x5 − sen5 x 400 x→031. Sume la serie ∞ n2 + 3n − 1 n=2 n! E.T.S.I.Inform´atica

TEMA 3Curvas planasObjetivos: Los dos objetivos de fundamentales del tema son: (1) saber pa-rametrizar curvas planas de uso general y reconocer una curva a partir deuna parametrizaci´on; (2) reconocer y saber identificar las caracter´ısticas delas curvas c´onicas.Prerrequisitos: Conocimientos ba´sicos de algebra lineal (ecuaciones de unarecta, vectores, etc.). Trigonometr´ıa. Ca´lculo de l´ımites y derivacio´n. Repre-sentaci´on gr´afica de funciones de una variable (determinar dominio, puntos decorte con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos, inter-valos de concavidad y convexidad, puntos de inflexi´on, etc.)Contenido Leccio´n 2.1: Curvas parametrizadas. Concepto de parametrizaci´on y primeros ejemplos. Representacio´n de curvas planas. Curvas polares. Leccio´n 1.2: Co´nicas. Definici´on de c´onica. Identificacio´n de una c´oni- ca a partir de su ecuacio´n cartesiana. Parametrizacio´n de co´nicas. 133

134 C´alculo para la computacio´n El objetivo u´ltimo de las matema´ticas es modelar el mundo real. Es decir, representar y describir diversos aspectos del mundo real mediante conceptos matema´ticos que ayuden a estudiarlo. En particular, en este tema nos centra- mos en la representaci´on de objetos y figuras que gen´ericamente denominamos lugares geom´etricos. Podemos entender fa´cilmente cua´l es nuestro objetivo con el siguiente problema: traza en un papel tres rectas que se corten formando un tri´angulo y luego dale indicaciones a un compan˜ero para que haga exactamen- te el mismo dibujo. Seguramente, las indicaciones dadas estar´an basadas en objetos matem´aticos: sistemas de referencias, distancias, ´angulos,. . . Para lograr resolver el problema anterior no se necesitan demasiados ele- mentos, pero ¿c´omo har´ıamos lo mismo si en lugar de rectas quisi´eramos des- cribir una curva? Este es el problema general que abordamos en este tema. Aprenderemos a describir curvas, a dibujarlas a partir de una descripcio´n y, en particular, conoceremos un conjunto de curvas ampliamente usadas en ma- tema´ticas y f´ısica y que se denominan c´onicas. Aunque toda la teor´ıa que vamos a mostrar se puede aplicar f´acilmente a curvas en el espacio o incluso en dimensiones mayores a 3, nos vamos a centrar solamente en curvas en el plano. E.T.S.I.Inform´atica

3.1. Curvas parametrizadas. 135LECCIO´ N 3.1 Curvas parametrizadas Es f´acil imaginar una curva como una recta a la que se aplica un determi-nada deformacio´n. Es decir, una curva es una figura de una u´nica dimensio´npero que no sigue una direcci´on constante. Esta imagen intuitiva nos lleva a larepresentaci´on m´as sencilla de una curva: la descripci´on de cada punto de lamisma en funcio´n de un par´ametro. Por ejemplo, si queremos describir la tra-yectoria que seguimos en un paseo, bastar´ıa con dar nuestra posici´on en cadainstante de tiempo; en este caso, el tiempo ser´ıa el para´metro que describe lacurva trazada por nuestra trayectoria.Definicio´n 3.1.1 Un conjunto C ⊂ R2 se dice que es una curva parametri-zada si existe un intervalo I ⊆ R y dos funciones x : I → R, y : I → R talesque C = {(x(t), y(t)) | t ∈ I}Habitualmente, presentamos las curvas parametrizadas escribiendo:  X = x(t)     Y = y(t)   t∈I  o de forma ma´s compacta (X, Y ) = (x(t), y(t)), t ∈ I. Estas ecuaciones sedenominan ecuaciones param´etricas de la curva y la variable t se denominapar´ametro.Ejemplo 3.1.1 Ecuaciones param´etricas de una recta. La recta que pasa porun punto (a, b) en la direcci´on del vector v = (v1, v2) es:  X = a + v1t     Y = b + v2t   t∈R  En este caso, el par´ametro t representa la distancia al punt»o (a, b), siendo launidad de medida el mo´dulo del vector v, es decir, v 2 = v12 + v22. En la figura siguiente, representamos la recta que pasa por (−3, 3) y tomala direccio´n (2, 1), es decir, (X, Y ) = (−3, 3) + t(2, 1) = (−3 + 2t, 3 + t). En lafigura, destacamos el punto correspondiente a t = 5.Ingenier´ıa Inform´atica

136 Ca´lculo para la computacio´n Y(−3, 3) v = (2, 1) (X, Y ) = (−3, 3) + 5(2, 1) X El uso de letras en matem´aticas es imprescindible para representar varia-bles, constantes, para´metros,. . . Ya hemos advertido que habitualmente usa-mos letras cursivas (mayu´sculas o minu´sculas) para representar variables quea su vez pueden corresponder a cualquier objeto matem´atico: nu´meros natu-rales, racionales, reales, complejos, puntos en un plano, vectores,. . . Tambi´enhemos podido observar que solemos usar determinadas letras para objetosespec´ıficos: x para inco´gnitas de ecuaciones o para la abscisa de puntos; n, kpara nu´meros naturales; z para nu´meros complejos; t para representar el tiem-po,. . . Debe de quedar claro que estas identificaciones se hacen por tradicio´ny para ayudar a la lectura de fo´rmulas y expresiones, pero no es obligatorio yen muchos casos no respetaremos estas asociaciones. Por otra parte, en el ejemplo anterior, hemos usado letras en negrita pa-ra representar vectores. Siguiendo con la idea del p´arrafo anterior, es habitualusar algu´n elemento distintivo para estos objetos, como la letra negrita que usa-remos en el curso o flechas sobre las letras que podemos encontrar en algunostextos. Tambi´en debe quedar claro que estos elementos no son imprescindiblesy solo se usan para facilitar la lectura.Ejemplo 3.1.2 Parametrizaci´on de un segmento. En el ejemplo anterior, lasecuaciones se corresponden con una recta infinita. Sin embargo, es frecuenteque solo estemos interesados en el segmento que une dos puntos P1, P2. Y P1 (X, Y ) = (1 − t)P1 + tP2 P2 X Para parametrizar este segmento, basta tomar el vector director v =P−−1−P→2 = P2 − P1 y aplicar las ecuaciones del ejemplo anterior: (X, Y ) = E.T.S.I.Informa´tica

3.1. Curvas parametrizadas. 137P1 + tP−−1−P→2. Sustituyendo el vector por su definicio´n obtenemos(X, Y ) = (1 − t)P1 + tP2, t ∈ [0, 1] (3.1)En este caso, el par´ametro t es la proporcio´n de la distancia a P1 respecto dela longitud del segmento, es decir, t = |P1Q|/|P1P2|, en donde Q es el puntocorrespondiente al valor t del par´ametro. Por ejemplo, el segmento que une lospuntos (−1, −1) con (0, 2) es:(X, Y ) = (1 − t)(−1, −1) + t(0, 2) = (t − 1, 3t − 1), t ∈ [0, 1]Es interesante observar que esta parametrizaci´on no da u´nicamente informa-ci´on de los puntos que forman el segmento, tambi´en describe c´omo lo recorre-mos. En concreto, en la ecuacio´n (3.1), el valor t = 0 nos devuelve el punto P1,mientras que el valor t = 1 nos devuelve P2, es decir, recorremos el segmentodesde el punto P1 al P2. La siguiente parametrizacio´n tambi´en corresponde almismo segmento, pero recorri´endolo en sentido contrario:(X, Y ) = (1 − t)P2 + tP1, t ∈ [0, 1]Ejemplo 3.1.3 Ya sabemos que todas las funciones reales de variable realpueden representarse mediante su gra´fica. Esta gr´afica es un ejemplo de curvaparametrizada que se denomina grafo: gr(f ) = {(t, f (t)) | t ∈ Dom(f )}Es decir, las siguientes ecuaciones parametrizan el grafo:  X =t     Y = f (t)   t ∈ Dom(f )  En este caso, el para´metro coincide con la abscisa del punto. Se podr´ıa pensarque todas las curvas pueden ser representadas como grafos de una funci´on, sinembargo, esto no es cierto. Por ejemplo, ninguna funcio´n tiene como gra´fica atoda una circunferencia, aunque s´ı trozos de la misma.El concepto matema´tico que nos ayuda a manejar formalmente las ecuacionesparam´etricas es el de funci´on vectorial de variable real.Definicio´n 3.1.2 Una funci´on vectorial de variable real con dominio D ⊂ Res una aplicaci´on f : D → Rn. Esta funci´on f viene determinada por nfunciones reales de variable real, fi : D ⊂ R → R, de modo que f (t) =(f1(t), . . . , fn(t)).Ingenier´ıa Inform´atica

138 Ca´lculo para la computaci´onHabitualmente, trabajaremos con curvas con un aspecto suave y sin rupturas;para conseguir esto, necesitaremos que las parametrizaciones tengan ciertascaracter´ısticas.Definicio´n 3.1.3 Sea f = (f1, . . . , fn) : D ⊂ R → Rn: 1. Decimos que f es continua en a ∈ D si todas la funciones fi son conti- nuas en a. Decimos que f es continua en D si lo es en cada punto. 2. Decimos que f es derivable o diferenciable en a ∈ D, si todas la funciones fi son derivables en a y llamamos derivada de f en a al vector: f (a) = (f1(a), . . . , fn(a)).Definicio´n 3.1.4 1. Una curva C se dice continua si admite una parametrizaci´on continua. 2. Una curva se dice diferenciable si admite una parametrizaci´on derivable. 3. Una curva se dice regular si admite una parametrizaci´on f tal que f (t) = (0, 0) para cada t ∈ I. El aspecto de una curva continua corresponde a una curva que se puededibujar de un solo trazo. Por otra parte, sabemos que la gra´fica de una funci´onderivable tiene un aspecto suave, sin picos; sin embargo, para describir estetipo de curvas en general, no es suficiente con que la parametrizaci´on seadiferenciable, necesitaremos tambi´en que sea regular.Ejemplo 3.1.4 La gr´afica de la funcio´n y = |x| es una curva diferenciable,ya que la parametrizacion (x, y) = (t3, |t|3), t ∈ R, es una parametrizaci´ondiferenciable. Sin embargo, la curva no es regular.Debemos insistir en que el concepto de curva corresponde al subconjuntode puntos y no a la funci´on vectorial. De hecho, una curva admite muchasparametrizaciones distintas. Esto supone que, por ejemplo, √u3 nt,a√3ctu2r)vaes dife-renciable pueda tener parametrizaciones no diferenciables: ( unaparametrizacio´n no diferenciable de la gra´fica de f (x) = x2, que s´ı es unacurva diferenciable. De la misma forma, una curva regular puede tener para-metrizaciones no regulares: (t3, t6) es una parametrizacio´n diferenciable perono regular de la gr´afica de f (x) = x2, que s´ı es regular. En general, no es f´acil identificar una curva a partir de una parametriza-ci´on, sin embargo, no resulta dif´ıcil deducir determinadas caracter´ısticas queayudan a esbozar su forma. A continuacio´n mostramos algunas: E.T.S.I.Informa´tica

3.1. Curvas parametrizadas. 139Si x(t) es creciente en un intervalo, la curva se recorre de izquierda aderecha; si es decreciente, se recorre de derecha a izquierda.Si y(t) es creciente en un intervalo, la curva se recorre de abajo haciaarriba; si es decreciente, se recorre de arriba hacia abajo.Las ecuaciones x(t) = 0 e y(t) = 0 determinan los puntos de corte conlos ejes de coordenadas.Ejemplo 3.1.5 Vamos a esbozar la curva con la siguiente parametrizacio´n:  X = x(t) = t2 − 2t + 1     Y = y(t) = 2 − 2t2   t∈R  En primer lugar, vamos a representar gra´ficamente las funciones x(t) e y(t);para ello, son suficientes los conocimientos de ca´lculo en una variable y porello no mostramos los detallesx(t) y(t)1 2 1 t −1 1tLa funcio´n x pasa de decrecer a crecer en t = 1 y la funci´on y pasa de crecera decrecer en t = 0; los puntos correspondientes a estos valores del para´metroson: (x(0), y(0)) = (1, 2), (x(1), y(1)) = (0, 0)Por lo tanto: hasta (1, 2) la curva se recorre de derecha a izquierda y de abajoa arriba; desde (1, 2) hasta (0, 0) la curva se recorre de derecha a izquierda yde arriba a abajo; desde el punto (0, 0) se recorre de izquierda a derecha y dearriba a abajo. Teniendo en cuenta que la curva es regular, con la informacio´nanterior y situando los puntos de corte con los ejes, es f´acil dibujar la curva:Ingenier´ıa Informa´tica

140 Ca´lculo para la computaci´on Y (4,0) (1,2) X(0,0) Como hemos mencionado antes, si una curva es regular en un punto, enton-ces en ese punto la curva no tiene un pico. Geom´etricamente, esto se traduceen que es posible trazar una recta tangente a la curva en ese punto. Esta rectatangente se define a partir de la derivada de la parametrizaci´on.Definicio´n 3.1.5 Sea X = x(t), Y = y(t), t ∈ I una parametrizaci´on de lacurva C. Si (x (t0), y (t0)) = (0, 0), las siguientes ecuaciones, determinan larecta tangente a C en el punto (x(t0), y(t0)): X = x(t0) + λx (t0) Y = y(t0) + λy (t0)En donde λ es el par´ametro de la recta.En la definicio´n anterior, la recta tangente se define usando una parametriza-cio´n; podemos eliminar el par´ametro para obtener su ecuaci´on cartesiana:x (t0)(Y − y(t0)) = y (t0)(X − x(t0))Ejemplo 3.1.6 Si la curva es el grafo de una funci´on real de variable real,es decir, (X, Y ) = (t, f (t)), entonces, x(t0) = x0, y(t0) = f (x0), x (t0) = 1 ey (t0) = f (t0). Sustituyendo en la ecuaci´on anterior, obtenemos la conocidaexpresi´on de la recta tangente a la gra´fica de una funcio´n.Y − f (x0) = f (x0)(X − x0)Ejemplo 3.1.7 En la curva del ejemplo 3.1.5, X = x(t) = t2 − 2t + 1 Y = y(t) = 2 − 2t2 t∈R E.T.S.I.Informa´tica

3.1. Curvas parametrizadas. 141el vector tangente en (x(t), y(t)) es: (x (t), y (t)) = (2t − 2, −4t)Por lo tanto, el vector tangente en t = 0 es (−2, 0) y la recta tangente en (1, 2)es paralela al eje OX; el vector tangente en t = 1 es (0, −4) y la recta tangenteen (0, 0) es paralela al eje OY .Otra interpretaci´on del vector derivada proviene del campo de la f´ısica. Si laparametrizacio´n corresponde a la trayectoria de un movimiento en funci´on deltiempo, la derivada se corresponde con el vector velocidad. El problema de dar la parametrizaci´on de una curva descrita mediantepropiedades geom´etricas suele ser bastante sencillo, ya que, en la mayor´ıa delos casos, solo necesitamos aplicar elementos ba´sicos de geometr´ıa.Ejemplo 3.1.8 En este ejemplo, parametrizamos la curva que se denominacicloide y que se define como sigue: curva que describe un punto fijo de unacircunferencia que rueda sobre una recta. Y r XSi elegimos como para´metro el ´angulo de giro de la circunferencia y tomamosun detalle de la figura anterior, se puede deducir las ecuaciones de la cicloide: x(θ) = r(θ − sen θ) rθ r cos θ y(θ) r sen θ y(θ) = r(1 − cos θ) rθ rθ x(θ)Ingenier´ıa Inform´atica

142 Ca´lculo para la computacio´n3.1.1. Curvas polares Hemos visto en el tema anterior que una forma alternativa de representarlos puntos de un plano es mediante coordenadas polares. En general, un sistemade coordenadas polares queda determinado por un punto O, llamado polo, yuna semirecta con extremo en O, llamada eje polar. Dado un punto Q en elplano, consideramos la semirecta R con extremo en el polo y que pasa porQ (recta radial del punto); la posicio´n de Q en coordenadas polares se fijapor distancia del punto al polo, r, y el ´angulo θ entre el eje polar y la rectaradial medido en el sentido contrario a las agujas del reloj; el par (r, θ)p es ladescripci´on por coordenadas polares del punto Q. El sistema cartesiano y el sistema polar se superponen identificando el polocon el origen de coordenadas y el eje polar con el semieje positivo de OX. Y y (x, y) = (r, θ)P θ xXDefinicio´n 3.1.6 Dada una funci´on f : D ⊂ R → R, llamamos curva polarasociada a f al conjunto de puntos (f (θ), θ)p del plano polar.Es decir, la curva polar asociada a f queda determinada por las siguientesecuaciones param´etricas: X = f (θ) cos θ Y = f (θ) sen θ θ∈DAunque la parametrizacio´n anterior permite estudiar las curvas polares comocualquier curva param´etrica, es conveniente utilizar las propiedades espec´ıficasde este tipo de curvas.Proposicio´n 3.1.7 Si f (θ0) = 0, entonces la curva polar correspondiente yla circunferencia de centro en el origen y radio f (θ0) son tangentes en el punto(f (θ0), θ0)P .Proposicio´n 3.1.8 Si f (θ0) = 0 y f (θ0) = 0, entonces la recta radial con´angulo θ0 es tangente a la curva polar correspondiente en el punto (f (θ0), θ0)P . E.T.S.I.Informa´tica

3.1. Curvas parametrizadas. 143 La demostraci´on de este resultado es inmediata considerando la parame-trizacio´n correspondiente a la curva polar: x (θ) = f (θ) cos θ − f (θ) sen θ y (θ) = f (θ) sen θ + f (θ) cos θSi f (θ0) = 0, entonces para ese a´ngulo se anula el segundo sumando de las dosderivadas anteriores y x (θ0) = f (θ0) cos θ0 y (θ0) = f (θ0) sen θ0Si ademas f (θ0) = 0, entonces efectivamente el vector (x (θ0), y (θ0)) es efec-tivamente paralelo a (cos θ0, sen θ0).Ejemplo 3.1.9 Vamos a dibujar la curva polar r = 1 + 2 cos θ, θ ∈ [0, 2π]. Laparametrizacio´n de esta curva es:  X = (1 + 2 cos θ) cos θ   Y = (1 + 2 cos θ) sen θPero en lugar de usarla para dibujar la curva, vamos a representar primero lafunci´on en el plano cartesiano y a trasladar la gr´afica al plano polar usandolas propiedades establecidas en los resultados anteriores, segu´n se muestra enla p´agina 144. En primer lugar, dibujamos sobre los ejes de coordenadas un “mallado po-lar” sobre el que dibujaremos la curva. Esta malla es similar a la cuadr´ıculaque dibujamos en el plano cartesiano y que nos sirve de referencia; pero eneste caso, la malla est´a formada por rectas radiales correspondientes a a´ngulossignificativos y circunferencias centradas en el origen con diferentes radios.3.1.2. As´ıntotas Intuitivamente, una recta es as´ıntota de una curva si la distancia entre am-bas va decreciendo a 0 al desplazarnos sobre la recta. El estudio de la existenciade una as´ıntota es diferente dependiendo de si la recta es vertical, horizontal uoblicua. El siguiente resultado muestra las condiciones que debemos compro-bar para determinar la existencia de as´ıntotas.Ingenier´ıa Informa´tica

144 C´alculo para la computacio´n R 2π/3 π 2π Θ 3 2 4π/3 1 −1YY θ = π/3 θ = π/6 XX Y Yθ = 2π/3 θ = 5π/6 X X YYθ=π X X E.T.S.I.Inform´atica