Cálculo para la computacion

4.1. Continuidad y diferenciabilidad. 195Por lo tanto, si y0 = 0, la expresio´n define a y como funci´on de x en unentorno de (x0, y0); es decir, no podemos afirmar el resultado en los puntos(1, 0), (−1, 0). Si despejamos y en funcio´n de x, obtenemos dos posibles funciones: f (x) = 1 − x2, g(x) = − 1 − x2.Ninguna de las dos funciones son derivables en x = 0, lo que corresponde a lospuntos que quedan excluidos por el teorema de la funcio´n impl´ıcita.4.1.5. Derivadas de orden superior Para un campo f : D ⊂ Rn → R diferenciable hemos definido las derivadasparciales para cada punto del dominio y por lo tanto, estas definen un campoescalar para cada i con 1 ≤ i ≤ n: Dif : D ⊂ Rn → RTiene entonces sentido estudiar la diferenciabilidad de estos campos y calcularsus derivadas parciales. Las derivadas parciales de los campos Dif se deno-minan derivadas de segundo orden de f y las notaciones posibles para ellasson Çå ∂2f ∂ ∂f = ∂xi ∂xj ∂xi∂xj , Di(Djf ) = Dijf.Por el corolario 4.1.12, la continuidad de las derivadas parciales de segundoorden asegura la diferenciabilidad de las derivadas parciales de f ; en tal caso,decimos que f es de clase C2. Una importante propiedad de estos campos quedaestablecida por el siguiente teorema, que asegura que el orden de derivacio´nno influye en el resultado.Teorema 4.1.17 (de Schwarz) Sea f un campo escalar tal que sus deriva-das parciales de segundo orden son continuas; entonces, para cada i, j: Dijf = DjifPara los campos de clase C2 y para cada punto de su dominio, definimos lasiguiente matriz n × n, que se denomina matriz Hessiana de f en a:  D11f (a) D12f (a) · · · D1nf (a)  ∇2f (a) =  D21f (a) D22f (a) ··· D2nf (a)   ··· ...      ···   ···   Dn1f (a) Dn2f (a) · · · Dnnf (a) Ingenier´ıa Informa´tica

196 Ca´lculo para la computacio´nObs´ervese que, por el teorema de Schwarz, esta matriz es sim´etrica. A partirde ella, definimos el campo d2fa(u) = ut∇2f (a)u,que se denomina segunda diferencial de f en a. Como ya dijimos anteriormen-te, cuando trabajamos con expresiones matriciales, los vectores deben tratarsecomo matrices columna y por esta razo´n escribimos la matriz transpuesta uta la izquierda de la matriz hessiana.Ejemplo 4.1.12 Vamos a calcular d2fa para f (x, y) = 2x2y − xy2 y a =(2, −1): f (x, y) = 2x2y − xy2 ∇f (x, y) = (4xy − y2, 2x2 − 2xy) Ñé 4y 4x − 2y ∇2f (x, y) = 4x − 2y −2x Ñé ∇2f (2, −1) = −4 10 10 −4 Ñ éÑ é −4 10 d2f(2,−1)(u1, u2) = (u1 u2) 10 −4 u1 u2 d2f(2,−1)(u1, u2) = −4u21 + 20u1u2 − 4u2Como vemos en este ejemplo, la expresio´n obtenida para d2f(2,−1) es un po-linomio de grado 2 sin t´erminos de grado 1 y grado 0; estas expresiones sedenominan formas cuadra´ticas. Todo el desarrollo mostrado en esta seccio´n puede continuarse para defi-nir las derivadas parciales de o´rdenes superiores (orden tres, cuatro,. . . ). Sinembargo, en este curso solo trabajaremos con las derivadas de segundo orden.Por ejemplo, con estas derivadas, podemos mejorar la aproximaci´on dada porel vector gradiente en la definicio´n de diferenciabilidad.Teorema 4.1.18 (Fo´rmula de Taylor) Sea f : D ⊂ Rn → R un campoescalar dos veces diferenciable y con parciales de segundo orden continuas.Entonces:f (a + u) = f (a) + ∇f (a) · u + 1 ut∇2 f (a)u + u 2E(a, u), 2en donde l´ım u →0 E(a, u) = 0.Es decir, el campo f (a + u), en un entorno lo suficientemente pequen˜o de a,tiene un comportamiento parecido al polinomio de segundo orden f (a) + ∇f (a) · u + 1 ut∇2f (a)u. 2 E.T.S.I.Informa´tica

4.1. Continuidad y diferenciabilidad. 197Este polinomio tambi´en lo podemos escribir como:T (x) = f (a) + ∇f (a) · (x − a) + 1 (x − a)t∇2f (a)(x − a). 2Ejemplo 4.1.13 En el ejemplo 4.1.7 determinamos una aproximaci´on delcampo f (x, y) = sen(x2 + y) en x = 0.1, y = 0.1 usando el gradiente en(0, 0). Vamos a mejorar esta aproximaci´on utilizando el polinomio de Taylorde orden 2.∇f (x, y) = (2x cos(x2 + y), cos(x2 + y))∇f (0, 0) = (0, 1) Ñé∇2f (x, y) = 2 cos(x2 + y) − 4x2 sen(x2 + y) −2x sen(x2 + y) −2x sen(x2 + y) − sen(x2 + y) Ñé∇2f (0, 0) = 2 0 00 Ñ éÑ é 1 20f (x, y) ≈ 0 + (0, 1) · (x, y) + 2 (x y) 00 x = y + x2 yf (0.1, 0.1) ≈ 0.1 + 0.01 = 0.11f (0.1, 0.1) = sen(0.11) = 0.1097 . . .Como se observa, el resultado obtenido ahora esta´ ma´s cerca del valor real queel obtenido en el ejemplo 4.1.7. Igual que para funciones de una variable, tambi´en podemos definir el po-linomio de Taylor de cualquier orden y enunciar el correspondiente teorema.Por otra parte, las propiedades algebraicas del polinomio de Taylor que estu-diamos en el primer tema, tambi´en son aplicables a campos escalares, lo quepermite calcular los polinomios de Taylor de funciones expresadas en t´erminosde funciones elementales sin calcular expl´ıcitamente las derivadas parciales.Proposicio´n 4.1.19 1. El n-´esimo polinomio de Taylor de f + g es la suma de los n-´esimos polinomios de Taylor de f y g. 2. El n-´esimo polinomio de Taylor de f · g es el producto de los n-´esimos polinomios de Taylor de f y g desechando los sumandos de grado mayor que n. 3. El n-´esimo polinomio de Taylor de f ◦g es la composici´on de los n-´esimos polinomios de Taylor de f y g desechando los sumandos de grado mayor que n.Ingenier´ıa Informa´tica

198 C´alculo para la computaci´onEjemplo 4.1.14 Vamos a calcular el polinomio de Taylor de orden 2 del cam-po f (x, y) = x2 cos y en el punto (2, 0). Dado que x2 es un polinomio, coincidecon su polinomio de Taylor; por lo tanto, solo necesitamos centrarlo en 2: x2 = ((x − 2) + 2)2 = 4 + 4(x − 2) + (x − 2)2El polinomio de Taylor de cos y de orden 2 en 0 es: 1 − y2 . Por lo tanto, el 2polinomio de Taylor de f es: Ç y2 å 1 2T (x, y) = (4 + 4(x − 2) + (x − 2)2) − − {T´erminos con gr> 2} = = 4 + 4(x − 2) + (x − 2)2 − 2y2 = Ñ éÑ é 1 20 x−2 = 4 + 4(x − 2) + 2 (x − 2 y) 0 −4 y E.T.S.I.Informa´tica

4.1. Continuidad y diferenciabilidad. 199 Ejercicios b´asicos1. Consideramos el plano 3x − 2y + z = 0:a) Descr´ıbalo mediante ecuaciones param´etricas.b) Halle la ecuaci´on del plano paralelo que pasa por el punto (1, 0, −1).c) Determine la recta perpendicular al plano que pasa por el punto (1, 0, −1).2. Dados dos vectores u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3), definimos su pro- ducto vectorial como: e1 e2 e3 Ñ u3 , − u1 u3 , u1 éu × v = u1 u2 u3 = u2 v3 v1 v3 v1 u2 v2 v3 v1 v2 v2Este vector verifica que u × v = u v sen α, en donde α es el ´anguloformado por los dos vectores; adema´s, u × v es perpendicular a u y v.a) Calcule (−2, 2, 1) × (−1, 1, 1) y (−1, 1, 1) × (−2, 2, 1).b) Utilice el producto vectorial para determinar la ecuaci´on del plano con vectores directores (1, 1, 0) y (2, 0, −1) y que pasa por el punto (1, 1, 1).3. Halle la ecuaci´on del plano que pasa por los puntos (a, 0, 0), (0, b, 0) y (0, 0, c) si a, b y c son distintos de 0.4. Determine el dominio de los siguientes campos: a) f (x, y) = 1 − x2 − y2 b) f (x, y) = log x2 + y − 1 y25. Describa las curvas de nivel de los siguientes campos escalaresa) f (x, y) = y + cos 2x b) f (x, y) = ey−x26. Utilice la definicio´n para calcular Dvf (a), en donde f (x, y) = x2exy, a = (3, 0), v = (3, −2)Utilice igualmente la definici´on para determinar el vector ∇f (a).7. Halle el vector gradiente de los siguientes campos.a) h(x, y) = log(sen xy) b) g(x, y, z) = x2y3z4Ingenier´ıa Inform´atica

200 Ca´lculo para la computacio´n8. Calcule la tasa de cambio puntual del campo f (x, y) = x3 + 3xy en el punto (1, 1) a lo largo de la recta y = x y en la direcci´on de decrecimiento de x.9. Encuentre las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal al grafo x2 del campo f (x, y) = x+y en el punto (2, 2, 1).10. Para w = x2 xy y2 , x = cosh t, y = senh t, halle dw expresando w + dt expl´ıcitamente como funcio´n de t y derivando. Halle la derivada igual- mente utilizando la regla de la cadena.11. Use la diferencial para aproximar: 2 952 + 4 012, y 2 032 cos(−0, 05)12. Encuentre las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a la su- perficie x sen y + x2ez = 4 en el punto (2, π, 0).13. Pruebe que las superficies x2 − 2y2 + z2 = 0 y xyz = 1 son ortogonales en todos los puntos de intersecci´on. Es decir, las rectas normales a las curvas en estos puntos son ortogonales.14. Determine en qu´e puntos la expresi´on z3 + 3x2z − xy = 0 define a z como funcio´n de (x, y) y calcule en tal caso ∂z y ∂z . Utilice estas parciales ∂x ∂y para hallar el plano tangente a la superficie en el punto (1, 4, 1).15. Dado que el polinomio f (x, y) = 2 − x + 2y − 3xy + 2y2 − x2 tiene grado 2, coincide con su polinomio de Taylor de orden 2. Halle, “sin derivar”, el gradiente de f y la matriz hessiana en los puntos (0, 0) y (1, 0).16. Utilice la proposicio´n 4.1.19 para determinar el polinomio de Taylor de f (x, y) = xy − exp(x + y) de orden 2 en el punto (0, 0).17. Use el polinomio de Taylor de orden 2 para aproximar: 2 952 + 4 012, y 2 032 cos(−0, 05) E.T.S.I.Informa´tica

4.2. Optimizaci´on de campos escalares. 201 LECCIO´ N 4.2 Optimizacio´n de campos escalares Una de las aplicaciones del concepto de diferenciabilidad es el resolver pro-blemas de optimizaci´on, es decir, encontrar los valores ma´ximos y m´ınimos deuna magnitud definida a partir de uno o varios par´ametros. Estos problemas seresuelven f´acilmente si la magnitud solo depende de un para´metro, utilizandolas derivadas de orden superior de la funci´on de una variable determinada porel problema. El objetivo de esta leccio´n es generalizar esta t´ecnica a camposescalares, es decir, optimizar magnitudes (escalares) que dependen de variospara´metros.4.2.1. Extremos de campos escalares Empezamos introduciendo las definiciones b´asicas que utilizaremos a lolargo de la leccio´n.Definicio´n 4.2.1 Un conjunto D ⊂ Rn se dice que est´a acotado si existenr > 0 y x ∈ Rn tales que D ⊂ B(x, r).A partir de la definicio´n de entorno (ver definici´on 4.1.9), los conceptos deconjunto abierto y conjunto cerrado se establecen igual que en R: un conjuntoD se dice que es abierto, si es entorno de todos sus puntos; decimos que D escerrado, si su complementario es abierto. Sabemos que, para las funciones de una variable, una funcio´n continua yacotada en un dominio cerrado siempre alcanza un valor ma´ximo y un va-lor m´ınimo en tal dominio. Esta propiedad tambi´en se verifica para camposescalares, segu´n establecemos a continuacio´n.Teorema 4.2.2 Sea f un campo escalar continuo y A un subconjunto cerradoy acotado del dominio de f . Entonces existen x0, x1 ∈ A tales que f (x0) ≤f (x) ≤ f (x1) para todo x ∈ A.Es decir, f (x0) es el valor m´ınimo que toma el campo en el conjunto A y f (x1)es el valor ma´ximo. En tal caso, decimos que x0 es el punto m´ınimo y x1 esel punto m´aximo. Igual que en el caso real, para determinar los m´aximos y m´ınimos de uncampo debemos empezar por determinar los m´aximos y m´ınimos locales orelativos, es decir, los ma´ximos y m´ınimos respecto de los puntos cercanos a ´el.Ingenier´ıa Informa´tica

202 C´alculo para la computacio´n Definicio´n 4.2.3 1. f : D ⊂ Rn → R tiene un ma´ximo local (o relativo) en a ∈ D si existe r > 0, tal que f (a) ≥ f (x) para todo x ∈ B(a, r) ∩ D. 2. f : D ⊂ Rn → R tiene un m´ınimo local (o relativo) en a ∈ D si existe r > 0, tal que f (a) ≤ f (x) para todo x ∈ B(a, r) ∩ D. Utilizaremos la denominaci´on gen´erica de extremo para referirnos a un punto que sabemos que es m´aximo o m´ınimo. El siguiente teorema justifica la defi- nicio´n de puntos cr´ıticos, entre los cuales encontramos los extremos locales de un campo. Teorema 4.2.4 Si f : D ⊂ Rn → R es un campo escalar diferenciable y a ∈ D es un extremo local de f , entonces ∇f (a) = 0 = (0, . . . , 0); es decir, todas las derivadas parciales de f en a son nulas. Gr´aficamente, para funciones de una variable sabemos que la recta tangente al grafo de la funcio´n en un extremo son paralelas al eje OX. Si n = 2 tambi´en obtenemos una propiedad parecida, ya que si ∇f (a1, a2) = (0, 0), entonces el plano tangente al grafo en el punto (a1, a2) es perpendicular al vector (0, 0, −1), es decir, es paralelo al plano XY . Ejemplo 4.2.1 1. Para el campo f (x, y) = x2+y2 se verifica que ∇f (x, y) = (2x, 2y) y por lo tanto, su u´nico punto cr´ıtico es (x0, y0) = (0, 0). Es fa´cil razonar que este punto es m´ınimo del campo: x2 + y2 ≥ 0 = f (0, 0) 2. Para el campo f (x, y) = x2 − y2 se verifica que ∇f (x, y) = (2x, −2y) y por lo tanto, su u´nico punto cr´ıtico es (x0, y0) = (0, 0). En este caso, el punto no es un extremo ya que f (0, 0) = 0 y f (x, 0) = x2 > 0 para todo x = 0 y f (0, y) = −y2 < 0 para todo y = 0. En el ejemplo anterior, observamos que el rec´ıproco del teorema 4.2.4 no es cierto, es decir, que el gradiente sea nulo no asegura que ese punto sea un extremo. Los puntos en los cuales el vector gradiente es nulo se denominan puntos cr´ıticos y los puntos cr´ıticos que no son extremos locales se denominan puntos silla. Del teorema 4.2.4 se deduce el primer paso para determinar los extremos locales de un campo escalar: debemos localizar los puntos cr´ıticos y aquellos E.T.S.I.Inform´atica

4.2. Optimizaci´on de campos escalares. 203puntos en los que el campo no es diferenciable,3 ya que entre ellos estara´n todoslos extremos. El siguiente paso es clasificar estos puntos, es decir, determinarcua´les son ma´ximos, cua´les m´ınimos y cua´les no son extremos. Esta clasifi-cacio´n se puede hacer comparando el valor de la funci´on en el punto con losvalores de la funcio´n en los puntos cercanos; aunque no siempre ser´a sencillo,en muchas ocasiones, sera´ la u´nica forma de hacerlo. Para clasificar los puntoscr´ıticos, podemos utilizar el siguiente teorema, consecuencia del desarrollo deTaylor de la lecci´on anterior, y an´alogo al criterio de la derivada segunda parafunciones de una variable.Criterio de la hessiana. Para la funciones reales, el primer paso paraclasificar los puntos cr´ıticos era estudiar el signo de la derivada segunda. Enel caso de los campos escalares, este estudio lo haremos a partir de la matrizhessiana.Teorema 4.2.5 Sea a ∈ D un punto cr´ıtico del campo f : D ⊂ Rn → Rde clase C2 y consideremos la segunda diferencial de f en a, d2fa(u) =ut∇2f (a)u. 1. Si d2fa(u) > 0 para todo u = 0 (es decir, d2fa es definida positiva), entonces a es un m´ınimo local de f . 2. Si d2fa(u) < 0 para todo u = 0 (es decir, d2fa es definida negativa), entonces a es un ma´ximo local de f . 3. Si d2fa(u1) > 0 y d2fa(u2) < 0 para algu´n u1, u2 = 0 (es decir, d2fa es indefinida), entonces a es un punto silla de f .En cualquier otro caso, no considerado en el teorema, no podemos deducirnada; es decir, si la forma cuadr´atica es 0 en algunos vectores y positiva enel resto (semidefinida positiva), o bien si es 0 en algunos vectores y negativaen el resto (semidefinida negativa). Para analizar el signo de la forma cuadra´tica, es suficiente con dar unaexpresio´n para la misma en terminos de sumas y diferencias de cuadrados,lo cual conseguiremos utilizando la t´ecnica de compleci´on de cuadrados quehemos aprendido en los temas anteriores.Ejemplo 4.2.2 Vamos a hallar y clasificar los puntos cr´ıticos del campof (x, y) = 2x2 − xy − 3y2 − 3x + 7y: ∇f (x, y) = (4x − y − 3, −x − 6y + 7) 3Debemos incluir los puntos en donde la funcio´n no es diferenciable porque a ellos no lepodemos aplicar el teorema. Sin embargo, a lo largo del tema solo trabajaremos con funcionescuyos extremos se alcanzan en puntos en donde la funcio´n es diferenciable.Ingenier´ıa Informa´tica

204 Ca´lculo para la computacio´nEl puntro cr´ıtico es la soluci´on del sistema 4x − y − 3 = 0 −x − 6y + 7 = 0,es decir, (x0, y0) = (1, 1). La matriz hessina del campo es: Ñé ∇2f (x, y) = 4 −1 −1 −6Y la segunda diferencial es: Ñ 4 éÑ é −1 −1 u1d2f(1,1)(u1, u2) = (u1 u2) −6 u2 = 4u12 − 2u1u2 − 6u22 = (2u1 − 1 u2 )2 − 1 u22 − 6u22 2 4 1 25 = (2u1 − 2 u2)2 − 4 u22Por lo tanto, d2f(1,1)(u1, 0) = 4u21 > 0 y d2f(1,1)(u1, u2) = − 25 u22 < 0, si 42u1 = 1 u2. En consecuencia, el punto (1, 1) es un punto silla. 2Utilizando el m´etodo de compleci´on de cuadrados como en este ejemplo, siem-pre es posible expresar la forma cuadra´tica como: d2fa(u) = a1λ1(u)2 + · · · + anλn(u)2,en donde cada λi es una forma lineal. A partir de ah´ı, deducimos que:1. Si los n coeficientes ai son estrictamente positivos, la forma cuadr´atica es definida positiva y estara´ asociada a un m´ınimo.2. Si los n coeficientes son estrictamente negativos, la forma cuadr´atica es definida negativa y estar´a asociada a un ma´ximo.3. Si algu´n coeficiente es positivo y otro es negativo, la forma cuadra´tica es indefinida y estar´a asociada a un punto silla.4. En los dem´as casos (algu´n coeficiente es nulo y los dem´as son o todos positivos o todos negativos), la forma es semidefinida y no podemos deducir nada sobre el punto al que est´a asociada.Ejemplo 4.2.3 Supongamos que la matriz hessiana de un campo f en unpunto cr´ıtico a es 2 2 3 1  2 2 3 1     ∇2f (a) =     3 3 3 3     1131 E.T.S.I.Inform´atica

4.2. Optimizacio´n de campos escalares. 205La segunda diferencial en ese punto es la forma cuadr´atica siguiente:  2 2 3 1  x   2 2 3 1   3 3 3     y d2fa(x, y, z, t) = (x y z t)      3  z        1131 t = 2x2 + 2y2 + 3z2 + t2 + 4xy + 6xz + 2xt + 6yz + 2yt + 6ztEmpezamos por la variable x y multiplicamos y dividimos por el coeficientedel cuadrado de esta variable para obtener coeficientes ma´s simples. A conti-nuaci´on empezamos la transformaci´on consiguiendo que todos los sumandosdonde aparece x pertenezcan a un cuadrado:2x2 + 2y2 + z2 + 3t2 + 4xy + 6xz + 2xt + 6yz + 2yt + 6zt = = 1 (4x2 + 4y2 + 2z2 + 6t2 + 8xy + 12xz + 4xt + 12yz + 4yt + 12zt) 2 1 Ä(2x = 2 + 2y + 3z + t)2 − 4y2 − 9z2 − t2 − 12yz − 4yt − 6zt + 4y2 + 2z2 + 6t2 + 12yz + 4yt + 12ztä = 1 Ä(2x + 2y + 3z + t)2 − 7z2 + 5t2 + 6ztä 2En este primer paso, hemos conseguido que tanto la variable x como y quedendentro del cuadrado, as´ı que continuamos con la variable z. = 1 Ä(2x + 2y + 3z + t)2 − 1 (49z2 − 35t2 − 42zt)ä 2 7 1 Ä(2x 1 35t2)ä = 2 + 2y + 3z + t)2 − 7 ((7z − 3t)2 − 9t2 − = 1 Ä(2x + 2y + 3z + t)2 − 1 ((7z + 3t)2 − 44t2)ä 2 7 1 1 22 = 2 (2x + 2y + 3z + t)2 − 14 (7z + 3t)2 + 7 t2)Aunque solamente tenemos tres sumandos, debemos considerarlos como cua-tro, es decir, los coeficientes obtenidos son 1 , − 1 , 22 y tambi´en 0. En conse- 2 14 7cuencia, la forma es indefinida y el punto a no es extremo.M´etodo alternativo. En los casos en los que la forma cuadr´atica asociadaa un punto cr´ıtico no determine su condici´on de extremo o punto silla, solonos quedar´a comparar el valor del campo en el punto cr´ıtico con los valores asu alrededor. Dependiendo de la expresi´on del campo, esto puede ser bastantecomplicado. El siguiente resultado nos da un m´etodo alternativo para haceresta comparacio´n, en ´el utilizamos las funciones fa,v(t) = f (a + tv)Ingenier´ıa Inform´atica

206 Ca´lculo para la computaci´onque introdujimos para definir las derivadas direccionales.Teorema 4.2.6 Sea f : D ⊂ Rn → R un campo escalar y a ∈ D. Entonces:1. a es m´ınimo local de f si y solo si existe un nu´mero real ε > 0 tal que 0 es m´ınimo absoluto de todas las funciones fa,u, con u = 1, sobre el intervalo (−ε, ε).2. a es m´aximo local de f si y solo si existe un nu´mero real ε > 0 tal que 0 es m´aximo absoluto de todas las funciones fa,u, con u = 1, sobre el intervalo (−ε, ε).Una de las ventajas de este resultado esta´ en que “reduce” el estudio de ex-tremos locales de campos escalares al estudio de extremos de funciones de unavariable. Sin embargo, la aplicaci´on de este teorema en la pra´ctica no siem-pre sera´ sencilla, ya que, por un lado, las funciones fa,u dependen de n − 1para´metros y adema´s, necesitamos encontrar un valor de ε para que “todas”las funciones tengan a f (a) como valor extremo absoluto en (−ε, ε). El siguien-te corolario recoge algunas consecuencias del teorema anterior cuya aplicaci´onpra´ctica es ma´s simple de manejar.Corolario 4.2.7 Sea f : D ⊂ Rn → R un campo escalar y a ∈ D:1. Si 0 no es extremo local fa,u0, entonces a no es extremo local de f .2. Si 0 es m´aximo local fa,u1 y m´ınimo local fa,u2, entonces a no es extremo local de f .Ejemplo 4.2.4 Vamos a clasificar los puntos cr´ıticos de f (x, y) = x3 + y3.D1f (x, y) = 3x2 D2f (x, y) = 3y2Por tanto, el u´nico punto cr´ıtico es (0, 0). D11f (x, y) = 6x D21f (x, y) = 0 D22f (x, y) = 6y ÑéPor tanto, la matriz hessiana de f en (0, 0) es ∇2f (0, 0) = 0 0 y la 00forma cuadra´tica asociada es nula, por lo que no obtenemos informacio´n sobrela condicio´n del punto cr´ıtico. Consideremos la funcio´n: g(t) = f(0,0),(0,1)(t) = f (0, t) = t3La tercera derivada de g en t = 0 es 6, y por lo tanto, g tiene un punto deinflexio´n en 0. Por el apartado 1 del corolario 4.2.7, concluimos que el punto(0, 0) es un punto silla de f . E.T.S.I.Inform´atica

4.2. Optimizacio´n de campos escalares. 207 10 Y (0, 1) 7.5 5 X 2.5 f (x, y) = 3/21 0 f (x, y) = −3/2 0 1 -1 -1 0 Figura 4.7: Representaciones de f (x, y) = x3 + y3 sobre x2 + y2 = 1.4.2.2. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange En la secci´on anterior hemos afrontado el problema de hallar los extre-mos locales de un campo escalar, es decir, los extremos sobre subconjuntosabiertos dentro del dominio del campo. Sin embargo, en muchas ocasionesnos interesar´a estudiar los extremos sobre conjuntos cuyo interior es vac´ıo;por ejemplo, estudiar los extremos de un campo sobre R2 restringi´endonos auna circunferencia. Esta es la situacio´n que abordamos en esta seccio´n; con-cretamente, nos planteamos el siguiente problema: encontrar los extremos delcampo f (x1, . . . , xn) sobre un conjunto S definido a partir de k campos esca-lares gi(x1, . . . , xn): S = {(x1, . . . , xn) | gi(x1, . . . , xn) = 0, 1 ≤ i ≤ k}Ma´s brevemente, enunciamos el problema diciendo: encontrar los extremos delcampo escalar f con las condiciones o restricciones gi(x1, . . . , xn) = 0, paracada i tal que 0 ≤ i ≤ k. En el ejemplo 4.2.4 hemos visto que el campo f (x, y) = x3 + y3 no tieneextremos locales, es decir, el campo no alcanza ni ma´ximo ni m´ınimo sobreningu´n conjunto abierto. Sin embargo, en la figura 4.7, podemos apreciar queIngenier´ıa Inform´atica

208 Ca´lculo para la computacio´nsi restringimos el campo a la circunferencia x2 + y2 = 1, entonces s´ı aparecenvarios extremos. En el lado derecho de la misma figura 4.7, vemos la representacio´n delmismo campo, pero mediante las curvas de nivel para −3/2, −1, −1/2, 0,1/2, 1 y 3/2; tambi´en representamos la circunferencia x2 + y2 = 1 sobre laque queremos optimizar el campo. Si nos fijamos por ejemplo en el punto(0, 1) de la circunferencia, observamos que la circunferencia y la curva de nivelque pasa por este punto son tangentes. Si analizamos los valores del camposegu´n nos desplazamos sobre la circunferencia desde algu´n punto a la izquierdadel punto (0, 1) hasta algu´n punto a su derecha, observamos que hasta llegaral (0, 1) cortamos curvas de nivel correspondientes a valores crecientes delcampo, y a partir de (0, 1) cortamos curvas de nivel correspondientes a valoresdecrecientes del campo. Por lo tanto, podemos afirmar que (0, 1) es un ma´ximo(local) de f sobre la circunferencia. Este ejemplo, que ma´s adelante completaremos anal´ıticamente, motiva elsiguiente resultado que afirma que los candidatos a extremos est´an entre lospuntos tales que el conjunto de la restriccio´n y la curva o superficie de nivelson tangentes.Teorema 4.2.8 Sean f, g1, . . . , gk : D ⊂ Rn → R campos escalares diferen-ciables y con derivadas parciales continuas. Sea S un subconjunto de Rn cuyospuntos verifican las condiciones:gi(x1, . . . , xn) = 0 para todo iEntonces se verifica que: si x0 es un extremo local de f restringida a S, y{∇gi(x0) | 1 ≤ i ≤ k} es un sistema de vectores no nulos linealmente inde-pendientes,4 entonces existen nu´meros reales µi tales que ∇f (x0) = µ1∇g1(x0) + · · · + µk∇gk(x0)A las constantes µ1, . . . , µk se las denomina multiplicadores de Lagrange aso-ciados a x0.Este teorema nos da el primer paso a seguir para la determinacio´n de losextremos condicionados: Los extremos locales del campo f con las restricciones g1 = 0,. . . gk = 0, se encuentran entre los puntos (x1, . . . , xn) cuyas coordenadas son 4La condici´on “{∇gi(x0) | 1 ≤ i ≤ k} es un sistema de vectores no nulos linealmenteindependientes”, exigida en el teorema, se traduce en la pra´ctica a observar que el problemaesta´ bien planteado, es decir, que no hay condiciones superfluas, y que estas esta´n dadas dela mejor forma posible. E.T.S.I.Informa´tica

4.2. Optimizaci´on de campos escalares. 209 Y X Figura 4.8: Puntos cr´ıticos del ejemplo 4.2.5. solucio´n del sistema: g1(x1, . . . , xn) = 0 ... gk(x1, . . . , xn) = 0 D1f (x) = µ1D1g1(x) + · · · + µkD1gk(x) ... Dnf (x) = µ1Dng1(x) + · · · + µkDngk(x) Si x1, . . . , xn, µ1, . . . , µk es una soluci´on del sistema, (x1, . . . , xn) se de- nomina punto cr´ıtico de f con las restricciones gi, y µ1, . . . , µk son sus multiplicadores de Lagrange asociados.Ejemplo 4.2.5 Vamos a encontrar los puntos cr´ıticos del problema de extre-mos condicionados de la figura 4.7: f (x, y) = x3 + y3, g(x, y) = x2 + y2 − 1 = 0.El sistema de ecuaciones que tenemos que resolver es: 0 = x2 + y2 − 1 3x2 = 2xµ 3y2 = 2yµDe la segunda ecuacio´n obtenemos que x = 0 o bien 3x = 2µ. En el primercaso obtenemos, con la primera ecuacio´n las posibilidades y = 1 o y = −1. Conla condicio´n 3x = 2µ, utilizando la tercera ecuaci´on, obtenemos que y = 0 oIngenier´ıa Inform´atica

210 Ca´lculo para la computaci´on bien y = x y de ah´ı, utilizando la primera ecuaci´on deducimos los valores para x. De esta forma, calculamos todos los puntos cr´ıticos y sus correspondientes multiplicadores: (0, 1) → µ = 3/2 (1, 0) → µ = 3/2 (0, −1) → µ = −3/2 (−1, 0) → µ = −3/2 (√2/2, √2/2) → µ = 3√2/4 (−√2/2, −√2/2) → µ = −3√2/4 En la figura 4.8 aparecen representadas las cuatro curvas de nivel tangentes a la restriccio´n. Obs´ervese que el nu´mero de curvas de nivel tangentes coincide con el nu´mero de multiplicadores distintos. Los casos particulares ma´s simples sobre los que aplicamos el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange son los siguientes. Si n = 2 y k = 1, las curvas de nivel y la restriccio´n son curvas. Estas son tangentes si sus rectas tangentes son iguales, es decir, si sus vec- tores normales son paralelos: ∇f = µ · ∇g. (Ver parte izquierda de la figura 4.9). Si n = 3 y k = 1, el campo a optimizar se representa por superficies de nivel y la restriccio´n tambi´en describe una superficie. Como en el caso anterior, las superficies son tangentes si sus planos tangentes son iguales, es decir, los vectores normales son paralelos: ∇f = µ · ∇g. Si n = 3 y k = 2, el campo a optimizar se representa por superficies de nivel; la restriccio´n viene dada por la intersecci´on de dos superficies, es decir, una curva en R3. La curva es tangente a una superficie de nivel si la recta tangente a la primera esta contenido en el plano tangente a la superficie. Es decir, la recta normal a la superficie esta´ contenida en el plano normal a la curva: ∇f = λ · ∇g1 + µ · ∇g2. (Ver parte derecha de la figura 4.9). Igual que para los extremos no condicionados, despu´es de calcular los pun- tos cr´ıticos, el problema ser´a decidir cu´ales son m´aximos, cu´ales m´ınimos y cu´ales no son extremos. Para ello, recurrimos igualmente a la segunda deriva- da, es decir, a la matriz hessiana tal y como recoge el siguiente resultado. E.T.S.I.Inform´atica

4.2. Optimizaci´on de campos escalares. 211 ∇f ∇f ∇g ∇g1 ∇g2Figura 4.9: Relaci´on entre gradientes en el m´etodo de los multiplicadores deLagrange.Teorema 4.2.9 Sea a = (a1, . . . , an) un punto cr´ıtico de f con las restriccio-nes gi, 1 ≤ i ≤ k, y (α1, . . . , αk) sus multiplicadores de Lagrange; consideremosel campo F : D ⊂ Rn → R definido por F (x) = f (x) − α1g1(x) − · · · − αkgk(x);sea T el espacio vectorial tangente a S en a (la dimensio´n del subespacio Tes n − k). 1. Si d2Fa(u) > 0 para todo u ∈ T , u = 0, entonces a es punto m´ınimo. 2. Si d2Fa(u) < 0 para todo u ∈ T , u = 0, entonces a es punto ma´ximo. 3. Si d2Fa(u1) > 0 para algu´n u1 ∈ T , u1 = 0, y d2Fa(u2) < 0 para algu´n u2 ∈ T , u2 = 0, entonces a no es extremo. 4. En cualquier otro caso, no podemos deducir nada.Es decir, para determinar la naturaleza de un punto cr´ıtico a tenemos queestudiar el signo de la forma cuadra´tica d2Fa restringida al subespacio T .Ejemplo 4.2.6 Cyo(n√ti2n/u2a,n√d2o/c2o)n(eell ejemplo 4.2.5, vamos a clasificar los pun-tos cr´ıticos (0, 1) resto de los puntos se clasifican de formasimilar). En primer lugar, recordemos que, por el teroema 4.1.15, el espacio vectorialtangente a la curva g(x, y) = 0 en un punto (x0, y0) es: ∇g(x0, y0) · (u1, u2) = 0 (2x0, 2y0) · (u1, u2) = 0 2x0u1 + 2y0u2 = 0 x0u1 + y0u2 = 0Ingenier´ıa Informa´tica

212 Ca´lculo para la computacio´nvPsoeanrriafidce(axnl0a,√yfo02r)/m2=(au((10u+,11,u)0,2)).lo=Psa0vra,ece(tsxod0re,esyc0irt)a, =nsogne(√ndt2ee/sl2av,e√froi2rfim/c2aa)n,(ulqo1us,e−veuuc21t)o=.res0,taens gdeenctiers,Para estudiar el punto (0, 1), utilizamos el campoF (x, y) = x3 + y3 − 3 (x2 + y2 − 1) 2∇F (x, y) = (3x2 − 3x, 3y2 − 3y) Ñé∇2F (x, y) = 6x − 3 0 0 6y − 3 Ñé∇2F (0, 1) = −3 0 03Para clasificar el punto (0, 1), estudiamos la forma cuadra´tica d2F(1,0) deter-minada por la hessiana anterior sobre los vectores tangentes a x2 + y2 − 1 enel punto (0, 1), que segu´n hemos visto arriba son (u1, 0): Ñ éÑ é −3 0d2F(0,1)(u1, 0) = (u1 0) 0 3 u1 = −3u21 < 0 0En consecuencia, (0, 1) es un ma´ximo local.Para estudiar el punto (√2/2, √2/2), utilizamos el campo G(x, y) = x3 + y3 −3√32√4 2 (x2 + y2 − 1)∇G(x, y) = Ç 2 x, 3y2 3√2 å 3x2 − −y Ñ√ é 6x 32 0∇2G(x, y) = − 2 √ 0 6y 32 Ñ√ é − 2∇2G(√2/2, √2/2) = 32 0 2 √ 0 32 2Para clasificar el punto (√2/2, √2/2), −es1tuedniaeml pous nlatofo(r√m2a/c2u, a√d2r/a´2ti)c,aqdu2eGse(√gu2´/n2,√2/2)sobre los vectores tangentes a x2 + y2hemos visto arriba son (u1, −u1): Ñ√ éÑ é 3√2 32 0 u1 2d2G(√2/2,√2/2)(u1, −u1) = (u1 − u1) 2 √ = u21 > 0 32 0 2 −u1En consecuencia, (√2/2, √2/2) es un m´ınimo local. E.T.S.I.Informa´tica

4.2. Optimizaci´on de campos escalares. 213Ejemplo 4.2.7 Vamos a estudiar ahora los extremos del campo f (x, y, z) =x2 + 2y − z2 sujeto a las restricciones 2x − y = 0 e y + z = 0. f (x, y, z) = x2 + 2y − z2 ⇒ ∇f (x, y, z) = (2x, 2, −2z) g1(x, y, z) = 2x − y ⇒ ∇g1(x, y, z) = (2, −1, 0) g2(x, y, z) = y + z ⇒ ∇g2(x, y, z) = (0, 1, 1)El sistema de ecuaciones que determina los puntos cr´ıticos es: 2x − y = 0 y+z = 0 2x = 2λ 2 = −λ + µ −2z = µEl sistema es simple y es f´acil deducir que el u´nico punto cr´ıtico es: a = (2/3, 4/3, −4/3), λ = 2/3, µ = 8/3Para clasificarlo, observemos en primer lugar que los vectores tangentes ala curva dada por la interseccio´n de g1(x, y, z) = 0 y g2(x, y, z) = 0 debenser perpendiculares a los vectores gradientes de g1 y g2, y por lo tanto sonparalelos a ∇g1(x, y, z) × ∇g2(x, y, z)Para el punto cr´ıtico calculado, obtenemos: ∇g1(2/3, 4/3, −4/3) × ∇g2(2/3, 4/3, −4/3) = (2, −1, 0) × (0, 1, 1) = e1 e2 e3 = 2 −1 0 = −e1 − 2e2 + 2e3 = (−1, −2, 2) 011y por lo tanto, los vectores tangentes son de la forma (−u, −2u, 2u). Ya podemos construir el campo F y determinar el signo de la formaIngenier´ıa Informa´tica

214 C´alculo para la computaci´oncuadr´atica asociada a su hessiana. F (x, y, z) = x2 + 2y − z2 − 2 (2x − y) − 8 (y + z) 3 3 4 8 ∇F (x, y, z) = (2x − 3 , 0, −2z − 3 ) á ë 20 0 ∇2F (x, y, z) = 0 0 0 0 0 −2 ëá ë á 0 −u 20 d2Fa(−u, −2u, 2u) = (−u − 2u 2u) 0 0 0 −2u = 0 0 −2 2u = 2u2 − 8u2 = −6u2 < 0Por lo tanto, a = (2/3, 4/3, −4/3) es un m´aximo local.M´etodo alternativo. Una forma alternativa de resolver el problema delca´lculo de los extremos condicionados es reduciendo las variables del campo apartir de las restricciones.Ejemplo 4.2.8 Vamos a repetir el ejemplo 4.2.7 utilizando este m´etodo. Paracalcular los extremos de f (x, y, z) = x2 + 2y − z2 sujeto a las restricciones2x − y = 0 e y + z = 0, podemos reducir las variables y y z, y = 2x z = −y = −2x,de forma que el problema es equivalente a obtener los extremos de la funci´onde una variable g(x) = f (x, 2x, −2x) = x2 + 4x − 4x2 = −3x2 + 4x.Para esta funcio´n podemos aplicar las t´ecnicas de optimizaci´on de funcionesde una variable: g(x) = −3x2 + 4x g (x) = −6x + 4 g (x) = 0 ⇔ x = 2/3 g (x) = −6 g (2/3) = −6 < 0 ⇒ x = 2/3 es m´aximo.Por lo tanto, el punto ( 2 , 4 , − 4 ) es un m´aximo local del campo g. 3 3 3 E.T.S.I.Inform´atica

4.2. Optimizacio´n de campos escalares. 215En este ejemplo, hemos podido reducir las variable porque las hemos despe-jado sin “perder” ningu´n punto. Esta condicio´n es imprescindible para poderaplicar el m´etodo. En muchos casos, la u´nica forma de trabajar con todos lospuntos usando este m´etodo ser´a dividir la regio´n en varios trozos, lo que su-pondr´a tener que resolver ma´s de un problema de optimizaci´on. Por ejemplo,para estudiar de esta forma el ejemplo 4.2.5 tendr´ıamos que dividir la regio´nen cuatro partes, y = 1 − x2 y = − 1 − x2 » x = 1 − y2 » x = − 1 − y2,y as´ı poder “cubrir” todos los puntos de la circunferencia.4.2.3. Extremos absolutos Para concluir la lecci´on, vamos a analizar como tendr´ıamos que resolver unproblema en el que necesitemos obtener los extremos absolutos de un camposobre un conjunto cerrado y acotado C. En primer lugar, dividimos C en dos conjuntos, C = U ∪ F , en donde U esel interior de C y F es el resto de sus puntos. Los candidatos a ser extremosabsolutos de f sobre C son:1. Los puntos cr´ıticos de f en U y los puntos de no diferenciabilidad.2. Los puntos cr´ıticos de f sobre F que puedan ser obtenidos por el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange o reduciendo variables.3. Todos los puntos que no se hallan considerado en los ´ıtemes anteriores.Para determinar el ma´ximo y el m´ınimo absoluto, basta con evaluar f sobretodos los puntos anteriores y determinar cu´al es el valor m´aximo y cua´l es elvalor m´ınimo.Ejemplo 4.2.9 Vamos a determinar los extremos absolutos del campo f (x, y) =xy(1 − x2 − y2) en el cuadrado 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 (ver figura 4.10).D1f (x, y, z) = y − 3x2y − y3 = 0, D2f (x, y, z) = x − 3y2x − x3 = 0y(1 − 3x2 − y2) = 0, x(1 − 3y2 − x2) = 0Dado que buscamos puntos cr´ıticos en el interior del cuadrado, entonces x = 0,y = 0. A partir de las ecuaciones 1 − 3x2 − y2 = 0 y 1 − 3y2 − x2 = 0, es fa´cildeducir que x = 1/2 e y = 1/2.Ingenier´ıa Informa´tica

216 Ca´lculo para la computaci´on Z Y X Figura 4.10: Representaci´on del ejemplo 4.2.9. Ahora hallamos los puntos cr´ıticos en los bordes del cuadrado usando la reducci´on de variables: Si x = 0, g1(y) = f (0, y) = 0, y debemos de considerar todos los puntos. Si y = 0, g2(x) = f (x, 0) = 0, y debemos de considerar todos los puntos. Si x = 1, g3(y) = f (1, y) = −y3; el u´nico punto cr´ıtico es y = 0 que queda en el extremo del intervalo. Si y = 1, g4(x) = f (x, 1) = −x3; el u´nico punto cr´ıtico es x = 0 que queda en el extremo del intervalo. Ahora solo tenemos que evaluar el campo en todos los puntos obtenidos y en los cuatro v´ertices del cuadrado para decidir cua´l es el m´aximo y cu´al el m´ınimo. f (1/2, 1/2) = 1/8 f (x, 0) = 0 f (0, y) = 0 f (1, 1) = −1 Por lo tanto, (1/2, 1/2) es el m´aximo absoluto y (1, 1) es el m´ınimo absoluto. E.T.S.I.Informa´tica

4.2. Optimizaci´on de campos escalares. 217 Ejercicios b´asicos1. Identifique y clasifique (si existen) los puntos cr´ıticos de los siguientes campos:a) z = x3 + y3 − 3xy b) z = x2y3(6 − x − y)2. Sea f (x, y) = (3 − x)(3 − y)(x + y − 3)a) Halle los puntos cr´ıticos de f y evalu´e el campo en ellos. Para clasificar los puntos cr´ıticos, tenemos que comparar el valor del campo en ellos con el valor del campo en su entorno. Para hacer esto, podemos recurrir al an´alisis de la expresio´n del campo, tal y como se indica a continuacio´n.b) Dibuje las regiones del plano tales que f = 0, f > 0 y f < 0.c) Utilice el apartado anterior para clasificar los puntos cr´ıticos.3. Calcule el valor ma´ximo de f (x, y, z) = x2 + 2y − z2 sujeto a las restric- ciones 2x − y = 0 e y + z = 0.4. Halle los valores extremos del campo escalar f (x, y, z) = x − 2y + 2z en la esfera x2 + y2 + z2 = 1.5. Lea la secci´on 4.2.3 y halle el valor m´aximo y el valor m´ınimo de f (x, y) = x2 − y2 en la regio´n x2 + y2 ≤ 1.6. Lea la seccio´n 4.2.3 y halle los m´aximos y m´ınimos absolutos de f (x, y) = x2 − xy + y2 + 1 en la regio´n triangular cerrada del primer cuadrante acotada por las rectas x = 0, y = 4, y = x.7. Utilice el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange para determinar las dimensiones de un estanque rectangular abierto cuya superficie sea m´ınima y su volumen sea V .8. Halle la ecuacio´n del plano que pasa por el punto (1, 2, 1) y determina con los ejes coordenados un tetraedro de volumen m´ınimo. Indicaci´on: como ecuacio´n del plano, utilice la ecuacio´n determinada por los puntos de corte con los ejes de coordenadas.9. Halle los puntos (x, y) y las direcciones para las que la tasa de cambio puntual de f (x, y) = 3x2 + y2 en (x, y) es m´axima entre los puntos de la circunferencia x2 + y2 = 1.Ingenier´ıa Inform´atica

218 C´alculo para la computaci´on Relacio´n de ejercicios (I)1. Determine el dominio de los siguientes campos: a) f (x, y) = x4 + y4 + 4x2y2 b) f (x, y) = xy x2 + y2 1 x2 − y2 c) f (x, y) = y cos x2 d) f (x, y) = x−y e) f (x, y) = x2 + y2 f ) f (x, y) = log(1 − xy) x 1 − cos x2 + y2 g) f (x, y) = log(x2 + y2) h) f (x, y) = tg(x2 − y2) i) f (x, y) = x3 + y3 j) f (x, y) = arc tg x+y x2 + y2 1 − xy2. Describa las curvas de nivel de los siguientes campos y dibuje algunas. Esboce sus gra´ficas: a) f (x, y) = 2x + y b) f (x, y) = cos(2x + y) c) f (x, y) = y2 − x d ) f (x, y) = ey−x2 e) f (x, y) = x2 + y2 − 1 f ) f (x, y) = arc tg y − x3. Halle la derivada direccional del campo f (x, y, z) = Ä x äz en el punto (1, 1, 1) en la direccio´n del vector (2, 1, −1). y4. Calcule las tasas de cambio puntuales de los siguientes campos en las direcciones indicadas: a) f (x, y) = x2 + y senh(xy) en (2, 0) en la direccio´n de √dexcr+ec7im−ie3n.to de x y a lo largo de la recta tangente a la curva y = b) f (x, y, z) = z en (−1, 1, 3) a lo largo de la curva: x = −1−2t, x2 + y2 y = 1 + t, z = 3 + 2t y en la direccio´n de decrecimiento de la y. c) f (x, y, z) = x2z en (2, −1, 3) en la direcci´on de decrecimiento de la y z y a lo largo de la recta normal al plano x + 2y − 2z = −6.5. Halle el vector gradiente de los siguientes campos: a) f (x, y) = ex cos y, b) f (x, y, z) = xyz , c) f (x, y) = tg(x2 + y2)6. Para z = f (t), t= x+ y , pruebe que: x2 ∂z = y2 ∂z xy ∂x ∂y7. Para el campo f (r, t) = tn e− r2 , halle un valor de la constante n para 4t que f satisfaga la siguiente ecuaci´on ∂f = 1∂ Çå ∂t r2 ∂r r2 ∂f ∂r E.T.S.I.Inform´atica

4.2. Optimizaci´on de campos escalares. 2198. Encuentre el punto de la superficie z = xy en donde la recta normal es paralela a la recta x = 3 − 2t, y = 4 + 5t, z = 3 + 3t.9. Encuentre la ecuaci´on del plano o recta tangente a la superficie o curva en el punto indicado, as´ı como la de la recta normal:a) x sen y + x2ez = 4 en (2, π, 0), b) x3y − x2 = 4 en (2, 1) y (2x − z)2c) xz2 + y3 = 19 en (2, 1, 3), d ) 3xey + xy3 = 2 + x en (1, 0)10. Encuentre el punto de la superficie z = x2+y2 en donde el plano tangente es paralelo al plano 6x − 4y + 2z = 5.11. Dado el polinomio f (x, y) = 1 + x − 3xy − x2 + 2x2y − x3, halle “sin derivar” el gradiente de f y la matriz hessiana en los puntos (0, 0) y (−1, 1).12. Identifique y clasifique (si existen) los puntos cr´ıticos de las siguientes funciones: z = x2 + (y − 1)2 z = x3 − 3xy2 + y2 z = x2 − (y − 1)2 z = x2y3(6 − x − y) z = 1 + x2 − y2 z = x3 + y3 − 3xy13. Aplique el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange para hallar las distancias m´aximas y m´ınimas de un punto de la elipse x2 + 4y2 = 4 a la recta x + y = 4. Indicacio´n: utilice la ecuacio´n de la distancia entre un punto y una recta.14. En los siguientes apartados, halle los m´aximos y m´ınimos absolutos de las funciones en los dominios dados: a) T (x, y) = x2 + xy + y2 − 6x en la placa rectangular 0 ≤ x ≤ 5, −3 ≤ y ≤ 3. b) f (x, y) = 48xy − 32x3 − 24y2 en la placa rectangular 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.15. Halle los valores ma´ximo y m´ınimo del campo f (x, y) = x2 − y2 en la regi´on x2 + y2 ≤ 1 para y ≥ 0.Ingenier´ıa Informa´tica

220 C´alculo para la computacio´n Relaci´on de ejercicios (II)1. Determine el dominio de los siguientes campos:a) f (x, y) = arc sen x y2 b) f (x, y) = x x2 + x2 + y2   sen(x2 + y2) x2 + y2c) f (x, y) = arc cos x d) f (x, y) = y x4 + y3e) f (x, y) = x2 + y2 f ) f (x, y) = x(y2)g) f (x, y) = a1r−c sceons2√xxx−−yyy h) f (x, y) = arc tg yi) f (x, y) = y x j ) f (x, y) = »log(y − x + 1)k) f (x, y) = tg x2 yl ) f (x, y) = log((16 − x2 − y2)(x2 + y2 − 4))2. Calcule las tasas de cambio puntuales de los siguientes campos en las direcciones indicadas:a) f (x, y) = arc tg(x2 + y2) en (1, −2) en la direcci´on de decrecimiento de la y y a lo largo de la recta y = 3x − 5.b) f (x, y) = x2exy en (3, 0) en la direcci´on de decrecimiento de la x y a lo largo de la recta normal a 3x − 2y = 9.c) f (x, y) = xex+y en (−3, 3) en la direccio´n de decrecimiento de la y y normal a la curva y = x2 + 3x + 33. Dada z = u(x, y)eax+by y sabiendo que D12u = 0, halle los valores de a y b tales que: D12z − D1z − D2z + z = 04. Sea f : D ⊂ R3 → R un campo escalar con las parciales de segundo orden continuas. Llamamos laplaciana de f al campo escalar ∆f = D11f + D22f + D33f El operador ∆ se denomina operador de Laplace y decimos que el campo f es arm´onico si ∆f = 0. Halle la laplaciana de los siguientes campos:a) f (x, y, z) = x2 + y2 + z2b) g(x, y, z) = xy + yz + xz5. Pruebe que las superficies x + y2 + 2z3 = 4 y 12x − (3 log y) + z−1 = 13son ortogonales en todos los puntos de intersecci´on. E.T.S.I.Informa´tica

4.2. Optimizaci´on de campos escalares. 2216. Encuentre la ecuaci´on del plano tangente al grafo del campo en el punto indicado, as´ı como la de la recta normal:a) f (x, y) = sen xy en (1, π/2, 1), b) f (x, y) = x2 en (2, 2, 1)c) f (x, y) = log(x2 + y) en (1, 0, 0), x+y d ) f (x, y) = x2exy en (3, 0, 9)7. Encuentre todos los puntos de la superficie z = x2y en donde el plano tangente es ortogonal a la recta x = 2 − 6t, y = 3 − 12t, z = 2 + 3t.8. Determine en qu´e puntos la expresi´on log(x2 + y2) − arc tg(y/x) = 0 dydefine a y como funci´on de x y hallar dx .9. Identifique y clasifique (si existen) los puntos cr´ıticos de las siguientes funciones:z = (x − y + 1)2 z = sen x cosh yz = 2x2 − xy − 3y2 − 3x + 7y z = e2x+3y(8x2 − 6xy + 3y2)z = x2 − xy + y2 − 2x + y z = (5x + 7y − 25)e−(x2+xy+y2)10. Utilice el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange para determinar las dimensiones de un paralep´ıpedo rectangular cuyo volumen sea m´aximo y su superficie total sea S.11. Halle los valores ma´ximo y m´ınimo del campo f (x, y) = x2y(4 − x − y) en el tri´angulo limitado por las rectas x = 0, y = 0, x + y = 6.12. Halle los puntos de la superficie z2 − xy = 1 ma´s pro´ximos al origen.13. Halle el valor ma´ximo de w = xyz entre todos los puntos pertenecientes a la intersecci´on de los planos x + y + z = 40 y z = x + y.Ingenier´ıa Inform´atica



TEMA 5Ecuaciones diferencialesObjetivos: Los objetivos son: (1) conocer y saber aplicar las t´ecnicas b´asicasdel ca´lculo de primitivas; (2) conocer y saber aplicar las t´ecnicas ba´sicas parala resolucio´n de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden; (3) saberidentificar los modelos b´asicos para aplicar el m´etodo m´as adecuado de ca´lculode primitiva o de resolucio´n de ecuaciones diferenciales.Prerrequisitos: Manipulaci´on de expresiones y derivaci´on de funciones ycampos escalares.Contenido: Leccio´n 5.1 Ca´lculo de primitivas. Integrales inmediatas. Teorema de cambio de variable. Teorema de integracio´n por partes. Integracio´n de funciones racionales. Integraci´on de funciones racionales sobre funciones trigonom´etricas. Leccio´n 5.2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Definiciones y propiedades. Ecuaciones en variables separadas. Ecuaciones lineales. Ecuaciones exactas. Resoluci´on de ecuaciones me- diante cambios de variable. Descripci´on de curvas mediante ecuaciones diferenciales.223

224 C´alculo para la computaci´onLECCIO´ N 5.1 C´alculo de Primitivas El c´alculo de primitivas es una parte del c´alculo integral que consiste enbuscar una funcio´n cuya derivada coincida con una expresio´n dada. Por estaraz´on, se dice que el c´alculo de primitivas es el proceso inverso a la derivacio´n.Sin embargo, a diferencia del c´alculo de derivadas, el ca´lculo de primitivasno se rige por unas reglas o f´ormulas que permitan obtener el resultado deforma meca´nica. Es ma´s, en muchos casos no es posible calcular la primitivade una expresio´n en t´erminos de funciones elementales, por ejemplo, para las sen xfunciones f (x) = e−x2 o g(x) = x se sabe que existen primitivas pero noes posible expresarlas en t´erminos de funciones elementales. En esta lecci´on veremos los tres m´etodos b´asicos de integraci´on (identifica-ci´on de integrales inmediatas, integraci´on por partes y sustituci´on) y propor-cionaremos las estrategias necesarias para abordar el ca´lculo de la primitivade algunos tipos de funciones (racionales, irracionales y trigonom´etricas).5.1.1. Primitivas El ca´lculo de primitivas es el proceso inverso a la derivacio´n. Consiste enbuscar una funci´on cuya derivada sea la original. Por ejemplo, dada la funcio´nf (x) = 3x2, el objetivo es encontrar una funci´on F (x) tal que F (x) = f (x); eneste caso, podemos considerar la funci´on F (x) = x3, pues F (x) = 3x2 = f (x).Definicio´n 5.1.1 Una funci´on F es una primitiva de f en el intervalo I siF (x) = f (x) para todo x en I.Obs´ervese que cualquier otra funcio´n construida a partir de la funci´on F (x)suma´ndole una constante tambi´en valdr´ıa, pues la derivada de cualquier fun-ci´on constante es 0. As´ı, FC(x) = x3 + C es tambi´en una primitiva de f (x) =3x2 ya que FC (x) = 3x2 = f (x).Proposicio´n 5.1.2 Si F es una primitiva de f en un intervalo I entonces lafunci´on G es primitiva de f si y s´olo si G es de la forma: G(x) = F (x) + C para todo x en Idonde C es una constante.Ahora, definimos el concepto de integral indefinida, tambi´en llamado antide-rivaci´on, que consiste en calcular todas las primitivas de una funcio´n. E.T.S.I.Inform´atica

5.1. Ca´lculo de Primitivas. 225Definicio´n 5.1.3 Se llama integral indefinida de la funci´on f al conjunto detodas las primitivas de la funci´on f (x). Esta operaci´on se denota as´ı f (x) dx = F (x) + Csiendo F una primitiva de f . En esta expresi´on, f (x) se llama integrando, dxindica la variable de integraci´on y C se denomina constante de integraci´on.Para el ejemplo anterior escribimos: 3x2 dx = x3 + CLa relacio´n que existe entre los conceptos de derivada y primitiva permitedeterminar algunas propiedades de esta u´ltima como, por ejemplo, la linealidado comportamiento frente a las operaciones de suma y producto por escalares.Proposicio´n 5.1.4 La integral indefinida verifica las siguientes propiedades: (f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx k · f (x) dx = k · f (x) dx, para todo k ∈ Rdonde k es una constante.Ejemplo 5.1.1 La integral indefinida de la funci´on 15x2 − 3 sen x es (15x2 − 3 cos x) dx = Ä5(3x2) + 3(− sen x)ä dx = = 5 3x2 dx + 3 − sen x dx = = 5x3 + 3 cos x + C En el resto del tema se proporcionan algunos m´etodos y estrategias para elc´alculo de primitivas. En primer lugar, se presentan los tres m´etodos b´asicos deca´lculo de primitivas: integracio´n inmediata, integraci´on por partes y cambiode variable o sustitucio´n. El objetivo en cada uno de ellos es conocer y saberaplicar el m´etodo en cada caso y as´ı aprender a identificar qu´e m´etodo es ma´sadecuado para calcular la primitiva de una funcio´n dada. Al final del tema se estudian algunos tipos particulares de integrales que re-ciben el nombre en funci´on de la expresio´n del integrando. En general, la tareaque hace m´as complejo el c´alculo de primitivas es identificar el modelo corres-pondiente al integrando con el fin de aplicar las t´ecnicas ma´s apropiadas. Enmuchos casos, la dificultad estara´ en la necesidad de realizar transformacionesalgebraicas que permitan identificar ese modelo.Ingenier´ıa Inform´atica

226 C´alculo para la computacio´n5.1.2. Integrales inmediatas Las f´ormulas de derivaci´on proporcionan un primer m´etodo para calcular laprimitiva de las funciones elementales. Decimos que una integral es inmediatasi la podemos reconocer utilizando directamente una f´ormula de derivaci´on. A continuacio´n proporcionamos unas tablas con las fo´rmulas de integraci´oninmediata obtenidas a partir de la derivada de las funciones elementales y laregla de la cadena.En primer lugar veamos las f´ormulas relativas a las funciones polino´micas:F´ormulas de derivaci´on Fo´rmulas de integracio´nd (k) = 0 0 dx = Cdxd xn+1dx (xn) = nxn−1 xn dx = n+1 + C, n = −1d (f n(x)) = nf n−1(x)f (x) f n(x)f (x) dx = f n+1(x) + C, n = −1dx n+1Ejemplo 5.1.2 Para calcular la integral cos x sen3 x dx de manera inmedia-ta es necesario identificar la expresio´n del integrando con el modelo f n(x)f (x)que aparece en la fo´rmula de integraci´on: f n(x)f (x) dx = f n+1(x) + C, n = −1 n+1En este caso, considerando que f (x) = sen x se obtiene el resultado de laintegral 1 4 cos x sen3 x dx = sen4 x + C Ahora veamos las fo´rmulas de integraci´on relativas a las funciones expo-nencial y logaritmo. Fo´rmulas de derivacio´n F´ormulas de integracio´n d (ex) = ex ex dx = ex + C dx d ax dx (ax) = ax ln a ax dx = ln a + C d (ef (x)) = ef (x) f (x) ef(x)f (x) dx = ef(x) + C dx d 1 1 dx (ln x) = x x dx = ln x + C d (ln f (x)) = f (x) f (x) dx = ln |f (x)| + C dx f (x) f (x)Ejemplo 5.1.3 Para calcular la integral tg x dx de manera inmediata, po-demos identificar la expresi´on del integrando con el modelo f (x) que aparece f (x) E.T.S.I.Informa´tica

5.1. C´alculo de Primitivas. 227en la fo´rmula de integraci´on f (x) dx = ln f (x) + C, f (x)y para ello, utilizamos que tg x = sen x y consideramos f (x) = cos x para cos xobtener el resultado de la integral tg x dx = sen x dx = − − sen x dx = − ln cos x + C. cos x cos xObs´ervese que en la segunda igualdad hemos introducido la constante −1 pa-ra que el integrando se corresponda exactamente con el modelo de la f´ormula. Como hemos visto en las tablas anteriores, cualquier regla de derivaci´onnos proporciona una regla de integracio´n. Por tanto, sera´ necesario considerarlas fo´rmulas de derivacio´n de todas las funciones elementales.Ejemplo 5.1.4 A partir de la fo´rmula de derivacio´n de la funcio´n argsenh f (x),d 1dx (argsenh x) = √1 + , y de la regla de la cadena, obtenemos: x2 d (argsenh f (x)) = » f (x) , dx 1 + f 2(x)y a partir de ah´ı, podemos obtener la siguiente f´ormula de integraci´on: f (x) dx = argsenh f (x) + C » 1 + f 2(x) A continuacio´n, presentamos las reglas de derivaci´on de las funciones tri-gonom´etricas e hiperbo´licas m´as usuales y que pueden ser de utilidad para elca´lculo de primitivas. F´ormulas de derivaci´on d (sen f (x)) = f (x) cos f (x) dx d dx (cos f (x)) = −f (x) sen f (x) d (tg f (x)) = f (x) sec2 f (x)) = f (x)(1 + tg2 f (x)) dxIngenier´ıa Inform´atica

228 C´alculo para la computacio´n F´ormulas de derivaci´on d (arc sen f (x)) = » f (x) dx 1 − f 2(x) d (arc cos f (x)) = » − f (x) dx 1 − f 2(x) d (arc tg f (x)) = 1 f (x) dx + f 2(x) d dx (senh f (x)) = f (x) cosh f (x) d (cosh f (x)) = f (x) senh f (x) dxEjemplo 5.1.5 Para calcular x sen x2 dx, usamos el modelo −f (x) sen f (x)identificando f (x) = x2: x sen(x2 ) dx = − 1 −2x sen x2 dt = − 1 cos x‘2 2 2Ejemplo 5.1.6 Para calcular la integral 1 x dx de manera inmediata, + x4 f (x)podemos identificar la expresio´n del integrando con el modelo 1 + f 2(x) queaparece en la f´ormula de derivacio´n de la funcio´n arc tg(f (x): d (arc tg(f (x))) = 1 f (x) , dx + f 2(x)Esta da lugar a la siguiente f´ormula de integraci´on: 1 f (x) dx = arc tg f (x) + C + f 2(x)Si consideramos que f (x) = x2 obtenemos el resultado de la integral 1 x dx = 1 1 2x dx = 1 arc tg(x2) + C + x4 2 + (x2)2 2 Como hemos podido observar en los ejemplos anteriores, la determinacio´nde una integral como inmediata depender´a de la habilidad que se tenga paraidentificar el integrando con alguna de las expresiones que aparecen en lasfo´rmulas de derivacio´n conocidas.5.1.3. Integraci´on por partes El objetivo del m´etodo de integraci´on por partes que introducimos en estasecci´on y de los m´etodos de sustituci´on de la secci´on siguiente es transfor-mar la integral inicial hasta obtener una integral inmediata. En algunos casossera´ necesario aplicar reiteradamente estos m´etodos, e incluso utilizar ambos. E.T.S.I.Informa´tica

5.1. C´alculo de Primitivas. 229 El teorema de integraci´on por partes se escribe en t´erminos de primitivascomo sigue:Teorema 5.1.5 Dadas dos funciones, u y v, derivables y con derivadas con-tinuas, se verifica: u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − v(x)u (x)dxAbusando de la notaci´on, el resultado anterior se escribe de forma m´as sim-plificada como: u dv = u v − v duSe recomienda usar este m´etodo cuando en la expresio´n del integrando secorresponda con el producto de dos funciones de distinto tipo. Por ejemplo,una expresi´on polin´omica por una exponencial o por una trigonom´etrica. Obs´ervese que al aplicar este m´etodo seguimos teniendo que calcular unaintegral indefinida. Por lo tanto, identificaremos como u a una de las expre-siones y como v a la otra expresi´on de tal manera que la integral resultantede aplicar el m´etodo sea m´as sencilla de calcular que la de partida.Ejemplo 5.1.7 Para calcular la integral xex dx identificamos las siguientesfunciones: u = x −→ du = dx dv = ex dx −→ v = exy aplicamos el m´etodo de integracio´n por partes: xex dx = xex − ex dxAl final, obtenemos una integral inmediata ex dx que calculamos para obte-ner el resultado final: xex dx = xex − ex + C = (x − 1)ex + CEn algunos casos, como en el ejemplo siguiente, ser´a necesario aplicar el m´etodoreiteradamente.Ejemplo 5.1.8 Para calcular la integral x2ex dx identificamos las siguien-tes funciones: u = x2 −→ du = 2x dx dv = ex dx −→ v = exIngenier´ıa Informa´tica

230 Ca´lculo para la computacio´ny aplicamos el m´etodo de integraci´on por partes: x2ex dx = x2ex − 2xex dx = x2ex − 2 xex dxLa integral que hemos obtenido se resuelve tambi´en por partes, como hemosvisto en el ejemplo anterior. Al final, agrupando las expresiones se obtiene: x2ex dx = x2ex − 2 xex dx = x2ex − 2(x − 1)ex = (x2 − 2x + 2)ex + C En ocasiones, cuando se aplica reiteradamente este m´etodo volvemos aobtener la integral de partida. Este tipo de integrales se denominan c´ıclicas y lasolucio´n se obtiene despejando la integral de partida de la ecuaci´on resultante.Ejemplo 5.1.9 Para calcular la integral ex sen x dx identificamos las si-guientes funciones: u = ex −→ du = ex dx dv = sen x dx −→ v = − cos xy aplicamos el m´etodo de integraci´on por partes: ex sen x dx = −ex cos x − −ex cos x dx = −ex cos x + ex cos x dxPara calcular la integral ex cos x dx que aparece en la expresi´on obtenida,identificamos las funciones como sigue: u = ex −→ du = ex dx dv = cos x dx −→ v = sen x,y volvemos a aplicar el m´etodo de integracio´n por partes, ex cos x dx = ex sen x − ex sen x dx,para obtener la misma integral de partida. Si agrupamos las expresiones: ex sen x dx = −ex cos x + ex sen x − ex sen x dx,podemos despejar la expresi´on ex sen x dx y obtener el resultado final:ex sen x dx = − ex cos x+ ex sen x + C 2En este tipo de integrales hay que tener especial cuidado en identificar lasmismas funciones en las dos veces que se aplica el m´etodo pues en otro caso seobtiene una identidad de la cual no es posible despejar la integral. E.T.S.I.Inform´atica

5.1. Ca´lculo de Primitivas. 231 Como vemos en el siguiente ejemplo, otra de las aplicaciones de este m´etodoes integrar funciones simples no inmediatas.Ejemplo 5.1.10 Para calcular la integral ln x dx identificamos las siguien-tes funciones: u = ln x −→ du = 1 dx x dv = dx −→ v = xy aplicamos el m´etodo de integraci´on por partes: ln x dx = x ln x − dx = x ln x − x + C5.1.4. Cambio de variable o sustitucio´n A partir de la regla de la cadena se deduce la fo´rmula general del cambiode variable que permite aplicar el m´etodo de sustitucio´n.Teorema 5.1.6 Dadas dos funciones f , g con f y g continuas, se verificaque: f (g(x))g (x)dx = F (g(x))donde F es una primitiva de la funcio´n f .A partir de este teorema se deducen dos m´etodos de sustituci´on, uno directoy otro inverso.5.1.4.1. Cambio de variable directo El primer m´etodo de sustitucio´n se puede esquematizar como sigue: f (g(x))g (x) dx =1 f (t) dt =2 F (t) =3 F (g(x)) + CEs decir, en primer lugar (1) hacemos la sustitucio´n: g(x) → t g (x)dx → dtA continuaci´on, (2) hallamos la integral f (t)dt = F (t); y por u´ltimo, (3) des-haciendo el cambio, t → g(x), se obtiene que la primitiva buscada es F (g(x)). Se recomienda usar este m´etodo cuando en la expresio´n del integrando seidentifica a una funci´on f (x) y a su derivada f (x). En este caso, sustituiremosla funci´on f (x) por la nueva variable, por ejemplo t, y su derivada f (x)dx pordt. Si la sustituci´on es acertada, habra´ desaparecido la variable x y la integralresultante ser´a ma´s sencilla.Ingenier´ıa Informa´tica

232 Ca´lculo para la computacio´nEjemplo 5.1.11 Para calcular x sen x2 dx hacemos la sustitucio´n: x2 → t 2x dx → dt,que permite transformar la integral anterior en una integral inmediata que seresuelve aplicando la f´ormula de integraci´on de la funci´on sen(x) de la siguientemanera: 1 1 2 −2 x sen(x2) dx = sen(t) dt = cos(t)Al final se deshace el cambio para obtener el resultado: x sen(x2) dx = − 1 cos(x2) + C 2Ejemplo 5.1.12 Para calcular cos x ln sen x dx hacemos la sustitucio´n sen x → t cos x dx → dtque permite transformar la integral anterior para obtener la integral cos x ln sen x dx = ln t dtEsta integral fue resuelta en el ejemplo 5.1.10. Al aplicar el resultado y deshacerel cambio se obtiene la soluci´on final: cos x ln sen x dx = ln t dt = t ln t−t = sen x ln sen x−sen x+C Al principio, es posible que apliquemos este m´etodo de sustitucio´n a inte-grales que, con un poco de experiencia, pueden ser consideradas como inme-diatas. En realidad, la identificacio´n de la f´ormula de integraci´on para calcularuna integral inmediata no dejan de ser un caso particular de este m´etodode sustitucio´n. Veamos a continuacio´n, c´omo calcular la misma integral delejemplo 5.1.6 utilizando un cambio de variable directo.Ejemplo 5.1.13 Para calcular la integral 1 x dx, que hab´ıamos resuelto + x4en el ejemplo 5.1.6 como inmediata, podemos aplicar la sustitucio´n x2 → t 2x dx → dtque permite transformar la integral anterior en una integral inmediata quese resuelve aplicando la f´ormula de integraci´on de la funcio´n arc tg(x) de lasiguiente manera: 1 x dx = 1 1 t2 dt = 1 1 1 t2 dt = 1 arc tg t + x4 2 2 + 2 + E.T.S.I.Inform´atica

5.1. C´alculo de Primitivas. 233Al final, se deshace el cambio para obtener el mismo resultado obtenido en elejemplo 5.1.6: 1 2 1 x dx = arc tg x2 + C + x45.1.4.2. Cambio de variable inversoEl segundo m´etodo de sustituci´on se puede esquematizar como sigue: f (x) dx =1 f (g(t))g (t) dt =2 F (t) =3 F (g−1(x)) + CEs decir, en primer lugar (1) se sustituye la variable inicial por una expresi´ondependiente de una nueva variable: x → g(t) dx → g (t)dtA continuaci´on (2) hallamos la integral f (g(t))g (t)dt = F (t); y por u´ltimo,(3) deshaciendo el cambio, t → g−1(x), se obtiene que la primitiva buscada esF (g−1(x)). En general, no es nada f´acil identificar cu´ando y co´mo aplicar este m´etodode cambio de variable inverso. Sin embargo, en la siguiente seccio´n veremos queforma parte de la estrategia a seguir en el ca´lculo de la primitiva de algunostipos espec´ıficos de funciones.Ejemplo 5.1.14 Para calcular la integral irracional 1 − x2 dx se reco-mienda, tal y como veremos en la secci´on siguiente, realizar el siguiente cambiode variable, cuyo objetivo es simplificar la ra´ız cuadrada: x → sen t dx → cos t dtDe esta forma, la integral anterior se trasforma en una integral trigonom´etrica 1 − x2 dx = 1 − sen2 t cos t dt = cos2 t dt,que podemos resolver, por ejemplo, utilizando la fo´rmula del coseno del ´angulomitad: 1 + cos 2t t sen 2t 2 2 4 cos2 t dt = dt = +La mayor´ıa de los m´etodos de integraci´on est´an basados en uno de los dosm´etodos de sustitucio´n. El problema se plantea en elegir el cambio de variablema´s adecuado en cada caso.Ingenier´ıa Inform´atica

234 C´alculo para la computaci´on5.1.5. Aplicaciones En funcio´n del m´etodo utilizado, las integrales se clasifican en “inmedia-tas”, “por partes” y “por sustitucio´n”. A continuaci´on presentamos otros tiposde integrales que reciben el nombre en funci´on de la expresi´on del integrando.Adem´as, veremos las estrategias utilizadas para calcular estas integrales queconsisten en realizar alguna transformacio´n algebraica y/o aplicar el m´etodode cambio de variable inverso utilizando alguna sustitucio´n espec´ıfica paracada caso.5.1.5.1. Integracio´n de funciones racionales Las funciones racionales son funciones que siempre pueden integrarse aun-que algunas veces puede ser bastante laborioso. El m´etodo consiste en des-componer el integrando en fracciones simples (como vimos en el primer tema)y aplicar la linealidad de la integral. De esta manera so´lo es necesario saberintegrar cada uno de los tipos de fracciones simples que podemos obtener enla descomposicio´n: (x dx dx y (x2 x+a c)n dx − a)n + bx +La primera de las integrales es inmediata y se resuelve aplicando la fo´rmulade derivacio´n de los logaritmos (si n = 1) o la f´ormula de derivaci´on de laspotencias (si n = 1).Ejemplo 5.1.15 Para calcular la integral 3 7 dx aplicamos la fo´rmulade integraci´on 2x − f (x) dx = ln |f (x)| + C, f (x)aunque antes ser´a necesario aplicar la linealidad de la integral: 3 dx = 3 2 dx = 3 ln |2x − 7| + C 2x − 7 2 2x − 7 2Ejemplo 5.1.16 Para calcular la integral (x 2 3)5 dx aplicamos la fo´rmulade integraci´on − f n(x)f (x) dx = f n+1(x) + C, n = −1, n+1aunque antes sera´ necesario aplicar la linealidad de la integral(x 2 3)5 dx = 2 (x − 3)−5 dx = 2 4 (x − 3)−4 = − 2(x 1 3)4 + C − − − E.T.S.I.Inform´atica

5.1. C´alculo de Primitivas. 235 Veamos ahora el procedimiento para calcular el segundo tipo de integralracional simple Mx + N dx, en donde x2 + bx + c no tiene ra´ıces reales. (x2 + bx + c)nSi n = 1 el procedimiento consiste en completar cuadrados en la expresi´on deldenominador x2 + bx + c = (x + A)2 + B = B Ç √1 å2 B (x + A) + 1y aplicar el cambio de variable directo t = √1 (x + A) o bien x = √ − A B BtAl final obtenemos una integral que podemos descomponer (aplicando la pro-piedad de linealiadad) como suma de dos integrales inmediatas de alguno deestos dos tipos: 2x 1 dx = ln(x2 + 1) + C y x2 1 1 dx = arc tg x + C x2 + +Ejemplo 5.1.17 Para calcular la integral x2 x+ 3 1 dx se completan cua-drados en la expresi´on del denominador +x + x2 + x + 1 = Å + 1 ã2 + 3 = 3 Ç √2x3 + √13 å2 + 1 x 2 4 4y se aplica el siguiente cambio de variable inverso t = √2x3 + √13 o bien x = √3 t − 1 2 2que permite transformar la integral de partida de la siguiente manera √ + 3 √3 t√3 + 5 3 1 1) 2 t2 + 1 x+ 3 dx = 2 t − 2 dt = √13 dt +x + x2 1 3 (t2 + 4Aplicando la propiedad de linealidad, la escribimos como suma de dos primi-tivas inmediatas de tipo logar´ıtmico y arcotangente:√13 t√3 + 5 dt = t2 t 1 dt + √53 t2 1 1 dt = t2 + 1 + + = 1 ln(t2 + 1) + √53 arc tg t 2Ingenier´ıa Inform´atica

236 C´alculo para la computaci´onAl final, deshaciendo el cambio se obtiene el resultado final: x+3 1 Å 4 ã √53 Ç √2x3 √13 åx2 + x + 2 3 1) 1 dx = ln (x2 + x + + arc tg + = = 1 ln 4 + 1 ln(x2 + x + 1) + √53 arc tg Ç √2x3 + √13 å + C 2 3 2 Ç √2x3 √13 å = 1 ln(x2 + x + 1) + √53 arc tg + + C 2Obs´ervese que la constante 1 ln 4 se ha eliminado al introducir la constante 2 3de integracio´n. Si n > 1 podemos obtener una expresio´n de la integral en t´erminos de lamisma integral pero con un grado menos (n − 1). Si repetimos este procedi-miento n − 1 veces obtendremos una expresi´on de la integral en t´erminos deuna integral de grado n = 1 como las que acabamos de estudiar antes. En cada paso, para obtener estas f´ormulas de reducci´on utilizaremos elm´etodo de integraci´on por partes aplicado a la misma integral que queremoscalcular, pero con un grado menos, es decir, la que resulta de cambiar n porn − 1.Ejemplo 5.1.18 Para calcular la integral (x2 1 1)2 dx consideramos la in- + 1tegral x2 + 1 dx e identificamos las siguientes funciones: u = x2 1 1 −→ du = − 2x dx + (x2 + 1)2 dv = dx −→ v = xy aplicamos el m´etodo de integraci´on por partes: 1 1 dx = x 1 + 2 x2 1)2 dx x2 + x2 + (x2 +Ahora aplicamos la siguiente descomposicio´n (linealidad) a la integral obtenidaen el segundo miembro:(x2 x2 1)2 dx = x2 + 1 −1 dx = x2 + 1 dx − (x2 1 1)2 dx = + (x2 + 1)2 (x2 + 1)2 + = x2 1 1 dx − (x2 1 1)2 dx + +lo que nos permite obtener la igualdad 1 1 dx = x 1 + Ç x2 1 1 dx − (x2 1 1)2 å x2 + x2 + 2 + + dx E.T.S.I.Informa´tica

5.1. Ca´lculo de Primitivas. 237de donde podemos obtener la siguiente fo´rmula de reducci´on para la integralque quer´ıamos calcular: (x2 1 1)2 dx = 1 Ç 1 + x2 1 1 å + 2 x + dx x2 +El resultado final es: (x2 1 1)2 dx = 1 Ç 1 + å + C + 2 x arc tg x x2 +En este ejemplo, so´lo ha sido necesario aplicar el procedimiento una vez, puesla integral era de grado n = 2; en el siguiente ejemplo, vemos la necesidad deaplicar dos veces el procedimiento de reducci´on, ya que la integral es de gradon = 3.Ejemplo 5.1.19 Para calcular la integral (x2 1 1)3 dx consideramos la in- + 1tegral (x2 + 1)2 dx e identificamos las siguientes funciones: u = (x2 1 1)2 −→ du = − 4x dx + (x2 + 1)3 dv = dx −→ v = xy aplicamos el m´etodo de integraci´on por partes: (x2 1 1)2 dx = (x2 x 1)2 + 4 (x2 x2 1)3 dx + + +Ahora aplicamos la siguiente descomposicio´n (linealidad) a la integral obtenidaen el segundo miembro:(x2 x2 1)3 dx = x2 + 1 −1 dx = x2 + 1 dx − (x2 1 1)3 dx = + (x2 + 1)3 (x2 + 1)3 + = (x2 1 1)2 dx − (x2 1 1)3 dx + +lo que nos permite obtener la igualdad (x2 1 1)2 dx = (x2 x 1)2 + Ç (x2 1 1)2 dx − (x2 1 1)3 å + + 4 + + dxde donde podemos obtener la siguiente fo´rmula de reducci´on para la integralque quer´ıamos calcular: (x2 1 1)3 dx = 1 Ç x 1)2 + 3 (x2 1 1)2 å + 4 (x2 + + dxYa hemos obtenido una fo´rmula de reducci´on para la integral de grado n = 3en funcio´n de la misma integral de grado n = 2. Ahora aplicar´ıamos el mismoIngenier´ıa Inform´atica

238 C´alculo para la computaci´onprocedimiento para reducir esta integral de grado n = 2 (ver ejemplo 5.1.18)y obtendr´ıamos la siguiente f´ormula de reduccio´n: (x2 1 1)2 dx = 1 Ç 1 + x2 1 1 å + 2 x + dx x2 +Al final, si agrupamos todas las expresiones, obtenemos el resultado en funcio´nde una integral inmediata que podemos calcular:(x2 1 1)3 dx = 4(x2 x 1)2 + 3x 1) + 1 x2 1 1 dx = + + 8(x2 + 8 + = 4(x2 x 1)2 + 3x + arc tg x +C + 8(x2 + 1) 85.1.5.2. Integraci´on de funciones trigonom´etricas En esta seccio´n vamos a ver las t´ecnicas ba´sicas para calcular integralesdonde aparecen funciones trigonom´etricas. En primer lugar insistimos una vezm´as en la conveniencia de tener presentes las distintas f´ormulas trigonom´etri-cas ba´sicas, para transformar las expresiones de forma que sea f´acil identificarel modelo ma´s adecuado. Las funciones que vamos a estudiar son racionales en sen y cos, es decir,se pueden escribir como R(sen x, cos x) en donde R(y, z) es una funcio´n racio-nal (cociente de dos polinomios de dos variables). Por ejemplo, las siguientesexpresiones son racionales en sen y cos: 3 sen2 x + cos x − 5 , sen x cos x , tg 2x; sen x + 2 x + cos2 x sen − 1mientras que estas otras no lo son: x3 + sen x , sen2 x , sen cos x cos2 x ecos x cos2 xDependiendo de la paridad de la funcio´n R(sen x, cos x) se aplica una de lassiguientes sustituciones:1. Si R(sen x, − cos x) = −R(sen x, cos x), se usar´a la sustituci´on sen x = t.2. Si R(− sen x, cos x) = −R(sen x, cos x), se usar´a la sustitucio´n cos x = t.3. Si R(− sen x, − cos x) = R(sen x, cos x), se usar´a la sustituci´on tg x = tdonde dt t2 1 + t2 + + dx = 1 , sen2 x = 1 t2 , cos2 x = 1 t2 E.T.S.I.Inform´atica

5.1. C´alculo de Primitivas. 2394. En cualquier otro caso, y como u´ltimo recurso, se usara´ la sustitucio´n tg(x/2) = t donde dx = 1 2 t2 dt, sen x = 1 2t , cos x = 1 − t2 + + t2 1 + t2Estos cambios de variable reducen el problema a integrar una funcio´n racional.Ejemplo 5.1.20 Para calcular la integral sen3 x cos2 x dx utilizamos el cam-bio de variable cos x = t y obtenemos una integral inmediatasen3 x cos2 x dx = Ä 1 − t2ä3 t2 √1−−1t2 dt = =− (t2 − t4) dt = − 1 t3 + 1 t5 3 5y deshaciendo el cambio llegamos a la solucio´n:sen3 x cos2 x dx = − 1 t3 + 1 t5 = 1 cos3 x + 1 cos5 x + C 3 5 −3 5Ejemplo 5.1.21 Para calcular la integral dx utilizamos el cambio 1 − sen xde variable tg(x/2) = t, ya que no es posible aplicar ninguno de los otros tres,y obtenemos una integral racional: dx 2 1 2 1 − sen x 1+t2 + 1)2 + = dt =2 dt = − 1 − 2t (t t 1 1+t2Deshaciendo el cambio llegamos a la solucio´n: 1 1 dx = −t 2 1 = −1 + 2 + C − sen x + tg(x/2)5.1.5.3. Integracio´n de funciones irracionales El u´ltimo tipo de funciones que vamos a estudiar son aquellas en las queaparece una ra´ız afectando a un polinomio. En general estas funciones no sonfa´cilmente integrables, pero existen algunos casos que se pueden afrontar con´exito.sionLesasrafudniccaiolense√s qxu2e+vbaxm+osca, integrar son funciones racionales en x y expre- es decir, de la forma R(x, x2 + bx + c) dx,en donde R(x, y) es una funci´on racional. Por ejemplo, las siguientes expresio-nes son de este tipo:√5x2 + 3 , √+x52√+x21 x √ 1 , 3x2 + 1 − 1 ; x x2 + + 7 x + 1Ingenier´ıa Informa´tica

240 C´alculo para la computaci´onmientras que las expresiones y 3x2 √+x52√−x21 + 1 − 1 x2 +1 +√lxn2x+ 1 + 7no los son: la primera no es racional (aparece ln x) y en la segunda, las subex-presiones con ra´ıces no son iguales. La forma m´as sencilla de afrontar este tipo de integrales es mediante uncambio de variable inverso utilizando funciones trigonom´etricas o hiperbo´licas(v´ease el ejemplo 5.1.14) con el fin de hacer desaparecer la ra´ız cuadrada. A continuaci´on presentamos las sustituciones que deben usarse segu´n eltipo de funcio´n irracional: R(x, 1 − x2) =⇒ x → sen t R(x, x2 − 1) =⇒ 1 x → sen t R(x, x2 + 1) =⇒ x → senh tLa expresio´n de la funci´on a integrar determinara´ si debemos elegir la funcio´nseno o la funcio´n coseno en la sustitucio´n. Estas sustituciones convierten el integrando en una composici´on de funcio-nes trigonom´etricas o hiperbo´licas que hemos estudiado en la secci´on anterior.Ejemplo 5.1.22 Para calcular la integral √ 1 dx utilizamos el cambio x2 −de variable = y obtenemos un integral x4 1 inmediata x sen t √ 1 cos t Ç cos t å 1 x2 − sen t − sen2 t 3 x4 dx = dt = − sen t cos2 t dt = cos3 t 1 sen4 tAl final, deshacemos el cambio para obtener el resultado √ 1 dx = 1 cos3 t = 1 cos3 arc sen 1 x2 − 3 3 x x4que podemos escribir del siguiente modo, utilizando expresiones irracionales(aplicando transformaciones algebraicas): √ 1 1 Ç √ − 1 å3 x2 − 3 x2 x4 dx = + C xAunque en el esquema anterior se han utilizado funciones cuadr´aticas simplesen el radicando de la expresio´n, no es dif´ıcil generalizar las sustituciones. Pa-ra ello so´lo ser´a necesario completar cuadrados siguiendo un procedimientosimilar al utilizado en las funciones racionales: x2 + bx + c = (x + A)2 + B E.T.S.I.Inform´atica

5.1. C´alculo de Primitivas. 241y aplicar el cambio de variable inverso t = √1 (x + A) o bien x = √ − A B Btpara obtener una funcio´n cuadra´tica simple en el radicando.Ejemplo 5.1.23 Para calcular la integral √ 1 5 dx se completancuadrados en la expresi´on del radicando x2 − 2x + x2 − 2x + 5 = (x − 1)2 + 4y se aplica el siguiente cambio de variable inverso t = 1 (x − 1) o bien x = 2t + 1 2que permite transformar la integral de partida de la siguiente manera√ 1 + 5 dx = » 1 + 4 dx = √4t12 + 4 2 dt = √t21+ 1 dt x2 − 2x (x − 1)2Ahora aplicamos el cambio de variable t = senh y a la integral obtenida √t21+ 1 dt = 1 cosh y dy = dy = y » senh2 y + 1y deshacemos los cambios para obtener el resultado: √ 1 dx = argsenh x − 1 + C x2 − 2x 2 + 5Ingenier´ıa Informa´tica

242 Ca´lculo para la computaci´on Ejercicios b´asicos1. Utilice el cambio de variable t = ex y las f´ormulas de derivaci´on vistas en el tema para calcular la integral 1 ex dx − e2x2. Un m´etodo sencillo para calcular las integrales trigonom´etricas del tipo senn x dx consiste en utilizar los nu´meros complejos. Para ello, expre- samos el integrando en t´erminos de senos y cosenos de mu´ltiplos de x y obtenemos una integral inmediata. Utilice este m´etodo para calcular sen3 x dx3. En algunas integrales irracionales que se resuelven aplicando la susti- tucio´n t = sen x, ocurre que al deshacer el cambio nos encontramos en la soluci´on con expresiones del tipo cos(arc sen x). En estos casos, resul- ta conveniente escribir la expresi´on en forma irracional. Para ello, so´lo necesitamos aplicar propiedades de las funciones trigonom´etricas. Por ejemplo, para obtener otra expresi´on de cos(arc sen x) aplicamos el teo- rema fundamental de la trigonometr´ıa (cos2 x + sen2 x = 1) y obtenemos » cos(arc sen x) = 1 − sen2(arc sen x) = 1 − x2 Aplique este procedimiento para obtener otra forma de escribir la expre- sio´n sen(2 arc cos x) sin utilizar funciones trigonom´etricas.4. Utilice integracio´n por partes para calcular ln2 x dx.5. Una misma integral se puede calcular aplicando distintos m´etodos de integraci´on y todos ellos deben proporcionar la misma primitiva, salvo constante. Calcule la integral sen2 x dx aplicando los siguientes m´etodos: a) Aplicando los cambios sugeridos para las integrales trigonom´etricas. b) Integracio´n por partes y fo´rmulas trigonom´etricas.6. Las expresiones 1 y 2 son iguales. Sin embargo, si calculamos la integral x 2x (inmediata) de cada una de ellas, obtenemos los siguientes resultados: 1 dx = ln x + C y 2 dx = ln(2x) + C x 2x ¿Son esos dos resultados realmente distintos ? E.T.S.I.Informa´tica

5.1. C´alculo de Primitivas. 2437. Para calcular la primitiva de una expresi´on con para´metros se procede como si los par´ametros fuesen nu´meros. Si en una integral hay varias va- riables entonces todas ellas, salvo la indicada, se consideran para´metros. Calcule las siguientes integrales prestando especial atenci´on al indicador de la variable (dx o dy).(1) λx dx (2) x dy (3) 2xy2 dx(4) 2xy2 dy (5) y2 x x4 dx (6) y2 x x4 dy + +8. Calcule las siguientes integrales:(1) (4x3 − 3x2 + 1 − π) dx (2) √ 2x 3 x2 dx(3) cos x sen3 x dx (4) tg x dx(5) x sen(x2) dx (6) 1 x dx (8) + x4 x3 (10) 1(7) 1 + x4 dx (12) x 1 − ln2 x dx (14)(9) x2ex dx (16) ex sen x dx (18)(11) ln x dx (20) x5 sen x3 dx(13) cos x log sen x dx ex tg ex dx(15) 3 7 dx (x 2 3)5 dx 2x − − x+ 3 1(17) x2 +x + 1 dx (x2 + 1)3 dx(19) sen3 x cos2 x dx 1√1√−−x1x2−1s√4−exxn1xddxdxx(21) 1 − x2 dx (22) (24)(23) √ 1 + 5 dx x2 − 2xIngenier´ıa Inform´atica

244 C´alculo para la computaci´onLECCIO´ N 5.2 Ecuaciones diferenciales Una ecuaci´on diferencial es una ecuaci´on donde la inco´gnita es una funci´ony en la expresi´on aparecen derivadas de la funci´on inc´ognita. Si la inco´gnita es una funci´on de una variable, decimos que la ecuaci´ondiferencial es ordinaria y, si la inco´gnita es un campo escalar decimos quela ecuaci´on diferencial es en derivadas parciales. En esta lecci´on solamenteestudiaremos las del primer tipo.Definicio´n 5.2.1 Una ecuaci´on diferencial ordinaria (en adelante, EDO) esuna ecuaci´on donde la inc´ognita es una funci´on y en la expresi´on aparecenderivadas de la funci´on inc´ognita.Ejemplo 5.2.1 La siguiente igualdad es una ecuacio´n diferencial: x2y − xy = 4y ,Dado que sobre la variable y aparece el operador derivada, esta debe ser consi-derada la inc´ognita de la ecuacio´n y sus soluciones sera´n de la forma y = ϕ(x),es decir, x es la variable independiente. La funci´on y = ϕ(x) = x2 − 4es una soluci´on de la ecuacio´n, segu´n comprobamos a continuacio´n. ϕ(x) = x2 − 4 ϕ (x) = √x 4 x2 −x2ϕ (x) − xy = √ x3 4 − x x2 − 4 = √ 4x 4 x2 − x2 − xϕ (x) = √ 4x 4 x2 −x2ϕ (x) − xy = 4ϕ (x)Ejemplo 5.2.2 El ca´lculo de primitivas, que estudiamos en la leccio´n anterior,constituye un m´etodo de resoluci´on de las ecuaciones diferenciales ordinariasdel tipo y = f (x),pues el objetivo era encontrar una funcio´n y = F (x) que verificase y = f (x).Por ejemplo, para encontrar una solucio´n de la ecuacio´n diferencial y = tg xcalculamos la siguiente integral y = tg x dx = C − ln cos x, C ∈ R E.T.S.I.Inform´atica