Cálculo para la computacion

5.2. Ecuaciones diferenciales. 245 Un criterio de clasificaci´on de las ecuaciones diferenciales es el orden dederivaci´on m´as alto que interviene en la ecuacio´n, y que llamamos orden de laecuacio´n. As´ı, y + 4y = 2 es de orden 3, y = −32 es de orden 2, (y )2 − 3y = ex es de orden 1, y − sen y = 0 es de orden 1.En esta leccio´n, estudiamos las ecuaciones diferenciales ordinarias de primerorden que, en general, se representan como F (x, y, y ) = 0,en donde F es un campo escalar de tres variables. En el resto de la lecci´on,vamos a estudiar algunas propiedades teo´ricas de este tipo de ecuaciones, yvamos a introducir las t´ecnicas para encontrar la solucio´n de algunas clasesespec´ıficas de ecuaciones.5.2.1. Soluciones de una ecuacio´n diferencial Veamos los distintos tipos de soluciones de una ecuacio´n diferencial (solu-cio´n general, solucio´n singular y soluci´on particular) y los problemas que cabeplantearse en su estudio. Consideremos la EDO de primer orden y + 2y = 0. Es fa´cil comprobar quetodas las funciones de la forma ϕC (x) = Ce−2xson soluciones de dicha ecuaci´on para cada C ∈ R; dicha solucio´n, expresadaen funci´on del par´ametro C, se denomina soluci´on general de la ecuaci´on. Sinembargo, en algunas ocasiones, y debido a las manipulaciones algebraicas quese realizan para resolver las ecuaciones, podr´an existir otras soluciones que noentren en el esquema de las soluciones generales; estas soluciones se denominansoluciones singulares. Por ejemplo, la ecuaci´on y = xy − (y )2 admite comosolucio´n general: ϕC (x) = Cx − C2, C ∈ R,pero la funci´on ϕ(x) = x2/4 tambi´en es una soluci´on y no entra en el esquemade solucio´n general anterior (ver figura 5.1). Los ejemplos anteriores muestran que, por lo general, una ecuaci´on dife-rencial admite infinitas soluciones. Para evitar esta multiplicidad es necesarioIngenier´ıa Informa´tica

246 C´alculo para la computaci´on y = x2 42 y = Cx -C2 -2 2 Figura 5.1: Soluciones de la ecuacio´n y = xy − (y )2.introducir condiciones iniciales, es decir, imponer que la funci´on (soluci´on)o sus derivadas tomen un determinado valor en un punto. Por ejemplo, unproblema del tipo y + 4y = 2 y(0) = 2 , y (0) = 1se denomina problema de Cauchy o de condiciones iniciales y la soluci´on delproblema se denomina soluci´on particular. Aunque siempre es posible plantearse la existencia de soluciones de unaecuaci´on diferencial, so´lo cabe la posibilidad de plantearse la unicidad de lasmismas en los problemas de condiciones iniciales. Por ejemplo, la solucio´ngeneral de la EDO y +2y = 0 es ϕC(x) = Ce−2x. Si le imponemos la condici´oninicial y(0) = 2, entonces ϕ2(x) = 2e−2x es la u´nica solucio´n del problema. Por lo tanto, en el estudio de ecuaciones diferenciales podemos distinguirdos problemas fundamentales: Dada una ecuaci´on diferencial con condiciones iniciales, ¿podemos afir- mar que dicho problema tiene solucio´n? Si dicho problema tiene soluci´on ¿es u´nica? Dada una ecuacio´n diferencial para la cual podemos afirmar que tiene soluci´on ¿c´omo hallamos dicha soluci´on? El primer punto puede ser entendido como la parte te´orica del tema yen ella se pueden formular otro tipo de preguntas ma´s especificas: ¿cu´al esel mayor dominio que se puede considerar para la solucio´n? ¿existe algunarelaci´on de dependencia entre las soluciones? ¿la dependencia de la solucio´ngeneral respecto de los para´metros es continua, es diferenciable? E.T.S.I.Inform´atica

5.2. Ecuaciones diferenciales. 247 El problema de encontrar las soluciones es, en general, bastante compli-cado; como ocurre con el c´alculo integral, so´lo para algunos tipos de ecuacio-nes es posible obtener sus soluciones mediante m´etodos sencillos. Cuando noes posible determinar las soluciones anal´ıticas se pueden aplicar t´ecnicas deaproximacio´n o utilizando los desarrollos en serie de potencias o en series deFourier de las soluciones.5.2.2. Existencia y unicidad de soluciones Aunque la forma general de una EDO de primer orden responde al esque-ma F (x, y, y ) = 0, los resultados te´oricos que presentamos en esta seccio´nse aplican al caso particular en el que, mediante manipulaciones algebraicas,hemos podido “despejar” la derivada de la inco´gnita y expresarla en funci´onde x e y; en este caso decimos que la ecuaci´on est´a resuelta respecto de laderivada y un problema de Cauchy asociado tendr´ıa la siguiente forma:y = f (x, y), y(x0) = y0, (x0, y0) ∈ Dom(f ) (p)Una funcio´n ϕ : I → R es soluci´on del problema (p) si 1. ϕ es continua y derivable. 2. x0 ∈ I, ϕ(x0) = y0. 3. (x, ϕ(x)) ∈ Dom(f ) para todo x ∈ I. 4. ϕ (x) = f (x, ϕ(x)) para todo x ∈ I.Decimos que la ecuaci´on y = f (x, y) tiene la propiedad de unicidad enI si para cada (x0, y0) ∈ Dom(f ) se verifica que: Si ϕ : I → R y ψ : I → R son dos soluciones del problema (p) entonces ϕ(x) = ψ(x) para todo x ∈ I. El siguiente resultado proporciona condiciones necesarias para garantizar laexistencia y la unicidad de soluciones que esta´n relacionadas respectivamentecon la continuidad de f y con su diferenciabilidad.Teorema 5.2.2 Consideremos el problema: y = f (x, y), y(x0) = y01. Si f es continua en un conjunto de la forma [x0 − ε, x0 + ε] × [y0 − δ, y0 + δ], entonces el problema tiene soluci´on definida en algu´n intervalo I ⊂ [x0 − ε, x0 + ε].Ingenier´ıa Inform´atica

248 Ca´lculo para la computaci´on2. Si f es diferenciable y su parcial respecto de y es continua en un entorno de (x0, y0), entonces el problema tiene soluci´on u´nica en algu´n entorno de x0. En los siguientes ejemplos se pone de manifiesto la necesidad de las condi-ciones del teorema anterior.Ejemplo 5.2.3 Consideremos la ecuaci´on y = y2La funcio´n nula es solucio´n de esta ecuaci´on (solucio´n particular). Por otraparte, las funcionesϕc(x) = −1 x ∈ (−∞, −c) ∪ (−c, ∞) x+ctambi´en son soluciones (solucio´n general). Es f´acil comprobar que cualquierproblema de condiciones iniciales tiene soluci´on entre alguna de las anteriores;finalmente, dado que la funci´on f (x, y) = y2 es diferenciable y sus parcialesson continuas, la ecuaci´on anterior tiene la propiedad de unicidad y por lotanto podemos concluir que las soluciones anteriores son las u´nicas solucionesde la ecuaci´on. Y ϕC (x) = 1 (x + C )3 27 X ϕ(x) = 0Figura 5.2: Soluciones de la ecuacio´n y = y2/3Ejemplo 5.2.4 Consideremos la ecuaci´on y = y2/3La funcio´n nula es solucio´n de esta ecuacio´n. Por otra parte, las funciones ϕc(x) = 1 (x + c)3 x∈R 27 E.T.S.I.Informa´tica

5.2. Ecuaciones diferenciales. 249son tambi´en soluciones (ver figura 5.2). Por tanto, esta ecuaci´on no tiene lapropiedad de unicidad en R2 pero s´ı tiene la propiedad de unicidad en losconjuntos R × (−∞, 0) y R × (0, ∞) ya que la funcio´n f (x, y) = y2/3 es dife-renciable en estos conjuntos y las parciales son continuas.5.2.3. Resolucio´n de EDO Aunque, en general, una ecuaci´on diferencial ordinaria de primer orden esuna expresi´on impl´ıcita del tipo F (x, y, y ) = 0, en esta leccio´n, vamos a abor-dar el estudio de t´ecnicas para resolver las ecuaciones diferenciales ordinariasde primer orden de la forma P (x, y) + Q(x, y)y = 0,en donde, P y Q son campos escalares continuos. Obs´ervese que en estos casoses inmediato despejar y para resolverla respecto de la derivada y poder aplicarlos resultados de la seccio´n anterior. Los m´etodos que veremos en esta secci´on se presentan como algoritmos demanipulaci´on formal de las expresiones; algunos pasos de estos m´etodos pue-den requerir condiciones adicionales sobre los dominios o sobre las funciones:en los problemas concretos, debemos asegurarnos de que tales condiciones severifican, o bien asegurarnos de que tales manipulaciones pueden realizarse. As´ı mismo, algunas manipulaciones pueden alterar parcialmente los re-sultados finales: an˜adir soluciones, perder soluciones, restringir o ampliar eldominio,. . . : debemos tener esto en cuenta en los problemas concretos, y hacerun estudio posterior en el que se aborden estas cuestiones. Adem´as, en muchos casos, el m´etodo de resolucio´n no conduce a una ex-presi´on expl´ıcita de las soluciones si no a una definici´on impl´ıcita. De hecho,el objetivo de todos los m´etodos que estudiamos en este tema es eliminar losoperadores de derivaci´on en las ecuaciones, y convertir las ecuaciones diferen-ciales en ecuaciones no-diferenciales, cuya resolucio´n es, en la mayor´ıa de loscasos, mucho ma´s compleja. Las ecuaciones diferenciales fundamentales son Ecuaciones de variables separables. Ecuaciones exactas. Ecuaciones lineales. (Estas ecuaciones pueden ser estudiadas a partir de las ecuaciones exactas pero dada su importancia y el hecho de tenerIngenier´ıa Inform´atica

250 C´alculo para la computacio´n m´etodos propios para su resolucio´n, hace que las destaquemos como fundamentales) A partir de estos tipos concretos se pueden estudiar otros tipos de ecua-ciones ma´s generales; para ello vamos a usar dos t´ecnicas b´asicas: Factores integrantes. Cambio de variable.Estas t´ecnicas transforman la ecuacio´n estudiada en otra fundamental. En con-creto, un cambio de variable puede conducir a una ecuaci´on de variables sepa-rables (p.e. las ecuaciones homog´eneas), a ecuaciones lineales (p.e. ecuacionesde Bernouilli) o a ecuaciones exactas; por otra parte, los factores integrantestransforman una ecuaci´on en otra exacta.5.2.4. Ecuaciones de variables separables Una ecuaci´on de variables separadas es una ecuaci´on de la forma P (x) + Q(y)y = 0 Si, mediante operaciones algebraicas elementales, es posible transformaruna ecuacio´n en otra con la forma anterior, decimos que es una ecuacio´n devariables separables. Estas ecuaciones se resuelven de la siguiente forma: P (x) + Q(ϕ(x))ϕ (x) = 0 (integraci´on)(P (x) + Q(ϕ(x))ϕ (x)) dx = C (linealidad)P (x) dx + Q(ϕ(x))ϕ (x) dx = C (sustituci´on)P (x) dx + Q(y) dy = C (primitiva) En el tercer paso hemos aplicado el m´etodo de sustitucio´n utilizado elcambio de variable: y = ϕ(x), dy = ϕ (x)dx. Por lo tanto, si encontramos dosprimitivas p y q de P y Q respectivamente, las soluciones de la ecuaci´on inicialverificaran la expresio´n impl´ıcita: p(x) + q(y) = CSi es posible, resolveremos esta ecuaci´on para obtener una expresio´n expl´ıcitay = f (x) de la solucio´n de la EDO. E.T.S.I.Inform´atica

5.2. Ecuaciones diferenciales. 251Ejemplo 5.2.5 (x2 + 4)y = xy es una ecuacio´n de variables separables: x 4 = yx2 + y x2 x 4 dx − dy = 0 + y1 log(x2 + 4) − log |y| = C12|y| = e−C1 x2 + 4y = ±e−C1 x2 + 4y = C2 x2 + 4 , C2 ∈ R − {0} Al separar las variables en el primer paso de la resoluci´on hemos efectuadouna divisio´n por y, lo que excluye del proceso posterior las soluciones que seanulan en algu´n punto. Sin embargo, la funcio´n nula y = 0 es soluci´on dela ecuacio´n inicial y, por la propiedad de unicidad, la u´nica que pasa por lospuntos del eje de abcisas. Por tanto, las soluciones de la ecuacio´n son: ϕC (x) = C x2 + 4, C ∈ R Y ϕC(x) = C√x2 + 4 X Figura 5.3: Soluciones de (x2 + 4)y = xy5.2.5. Ecuaciones exactasDefinicio´n 5.2.3 La ecuaci´on P (x, y)+y Q(x, y) = 0 se dice exacta si el cam-po vectorial F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) es una diferencial exacta; es decir, siIngenier´ıa Informa´tica

252 Ca´lculo para la computacio´nexiste una campo escalar U (potencial) tal que ∇U (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)): D1U (x, y) = P (x, y) D2U (x, y) = Q(x, y)Por ejemplo, la ecuaci´on (xy2 + x) + (yx2)y = 0 es exacta ya que existe 1una funcio´n U (x, y) = 2 (y2 x2 + x2) que verifica ∇U (x, y) = (xy2 + x, yx2) = (P (x, y), Q(x, y))Proposicio´n 5.2.4 Si P (x, y) + y Q(x, y) = 0 es una ecuaci´on exacta, U esla funci´on potencial de (P, Q) y f es una funcio´n real de variable real tal queU (x, f (x)) = C para algu´n C ∈ Dom(f ), entonces f es soluci´on de la ecuaci´onP (x, y) + y Q(x, y) = 0. La demostracio´n de esta proposici´on es una mera comprobaci´on (aunqueen el segundo paso aplicamos una versio´n de la regla de la cadena que estu-diaremos en el tema siguiente). U (x, f (x)) = C d (U (x, f (x))) = 0 dx D1U (x, f (x)) + D2U (x, f (x))f (x) = 0 P (x, f (x)) + Q(x, f (x))f (x) = 0 P (x, y) + Q(x, y)y = 0El siguiente resultado, conocido como lema de Poincar´e, proporciona un m´eto-do sencillo para determinar si una ecuaci´on es exacta. Para ello, damos pre-viamente una definici´on que utilizamos en el teorema.Definicio´n 5.2.5 Un conjunto D ⊂ R2 tiene forma de estrella si existe unpunto (a, b) ∈ D de tal forma que los segmentos que unen este punto concualquier otro del conjunto, est´a contenido en el conjunto.Teorema 5.2.6 (Lema de Poincare´) Consideremos dos campos escalares,P y Q, en R2 y cuyo dominio es un conjunto en forma de estrella. P (x, y) +y Q(x, y) = 0 es una ecuaci´on exacta si y solo si D2P (x, y) = D1Q(x, y).Ejemplo 5.2.6 La ecuaci´on (xy2 + x) + (yx2)y = 0es exacta ya que: ∂ (xy2 + x) = 2xy = ∂ (yx2) ∂y ∂x E.T.S.I.Informa´tica

5.2. Ecuaciones diferenciales. 253 Y x2(y2 + 1) = C XFigura 5.4: Soluciones de (xy2 + x) + (yx2)y = 0Ahora, hallamos un funcio´n potencial de (xy2 + x, yx2) en R2:U (x, y) = yx2 dy = 1 y2 x2 + ϕ(x) 2xy2 + x = ∂ ( 1 y2 x2 + ϕ(x)) = xy2 + ϕ (x) ∂x 2ϕ (x) = x ϕ(x) = 1 x2 2 1U (x, y) = 2 (y2x2 + x2)Las soluciones de la ecuacio´n planteada (ver figura 5.4) son aquellas definidasimpl´ıcitamente por y2x2 + x2 = C C ∈ [0, +∞)C = 0 no define ninguna funcio´n y para C > 0 las funciones soluci´on son:fC (x) = C − 1 gC (x) = − C − 1 x2 x2Podemos observar que ninguna de las soluciones anteriores corta el eje de or-denadas. Cualquier solucio´n que pase por este eje deber´ıa ser una extensio´nde alguna solucio´n fC o gC, lo cual es imposible, ya que estas funciones nopueden ser extendidas con continuidad al punto x = 0.5.2.6. Ecuaciones lineales Las ecuaciones de la forma y + p(x)y + q(x) = 0Ingenier´ıa Informa´tica

254 C´alculo para la computacio´nse denominan ecuaciones lineales de primer orden. Si las funciones p y q soncontinuas, la ecuaci´on tiene soluci´on definida en la intersecci´on de los dominiosde las dos funciones y adema´s, cada problema de Cauchy asociado a unaecuaci´on lineal tiene solucio´n u´nica. Aunque veremos otra forma de resolver este tipo de ecuaciones (factores in-tegrantes), en esta seccio´n vamos resolverlas por el m´etodo m´as utilizado, quese conoce como variaci´on de las constantes. Para ello, vamos a empezar resol-viendo un tipo particular, las ecuaciones lineales homog´eneas, que respondena la forma p(x)y + y = 0,es decir, q es la funci´on nula. Estas ecuaciones se resuelven mediante separacio´nde variables: p(x)y + y = 0 y = −p(x) ã y Å −p(x) dx = Cλ(x), y = C exp C ∈REl siguiente resultado nos da el fundamento te´orico para el m´etodo de resolu-ci´on de cualquier ecuaci´on lineal que no sea homog´enea a partir de la soluci´onuna homog´enea.Teorema 5.2.7 (Conjetura de Lagrange) Consideremos la ecuaci´on li-neal y + p(x)y + q(x) = 0 (5.1)y sea yh una soluci´on de la ecuaci´on y + p(x)y = 0, que se denomina ecuacio´nlineal homogenea asociada a (5.1). Entonces, las soluciones de (5.1) son de laforma y = c(x)yh, en donde c(x) es una funci´on derivable.El procedimiento para resolucio´n de una ecuacio´n lineal se resume entoncescomo sigue. 1. Resolvemos la ecuacio´n lineal homog´enea asociada y + p(x)y = 0 2. Sustituimos la constante C que aparece en la soluci´on general anterior, por una funci´on continua c(x). 3. Imponiendo la expresio´n anterior como soluci´on, determinamos las fun- ciones c y por lo tanto la solucio´n general de la ecuacio´n lineal.Ejemplo 5.2.7 Para identificar la ecuaci´on (y − 1) sen x − y = 0 como unaecuaci´on lineal, la escribimos y − y sen x + sen x = 0 E.T.S.I.Informa´tica

5.2. Ecuaciones diferenciales. 255Resolvemos la ecuacio´n lineal homog´enea asociada utilizando separacio´n devariables: y − y sen x = 0 y = sen x y yh = Ce− cos xPor la conjetura de Lagrange, sabemos que existe una soluci´on de la ecuaci´onpropuesta que tiene la forma yp = c(x)e− cos x, en donde c(x) es una funci´on de-rivable. Imponiedo esta funci´on como soluci´on podemos determinar f´acilmentela funcio´n c: d Äc(x)e− cos ä − Äc(x)e− cos ä sen x = − sen x dx x xc (x)e− cos x + c(x) sen xe− cos x − c(x) sen xe− cos x = − sen x c (x)e− cos x = − sen x c (x) = − sen xecos x c(x) = ecos x + CPor lo tanto, la soluci´on de la ecuacio´n de partida es y = (ecos x + C)e− cos x = 1 + Ce− cos x.Observamos en el ejemplo anterior que la solucio´n general ha quedado expre-sada como suma de dos funciones. La primera es la funcio´n constantementeϕp(x) = 1 y que es una soluci´on particular de la ecuacio´n (se obtiene haciendoC = 0); la segunda es la solucio´n general de la ecuaci´on homog´enea asociada,yh = Ce− cos x. Este esquema lo encontramos en todas las ecuaciones lineales,segu´n recoge el siguiente resultado.Teorema 5.2.8 (Principio de superposicio´n) La soluci´on general de unaecuaci´on lineal de primer orden se puede escribir como y = yp + Cyh, C ∈ Ren donde yp es una soluci´on de la ecuaci´on e yh es una soluci´on de la ecuaci´onhomog´enea asociada.5.2.7. Factores integrantes Hemos estudiado en las secciones anteriores los tipos fundamentales deecuaciones diferenciales. Como dijimos en la introduccio´n, usando diversast´ecnicas podemos lograr, en algunos caso, transformar una ecuaci´on dada enotra fundamental. En esta secci´on estudiamos los factores integrantes, quetransforman una ecuacio´n en exacta.Ingenier´ıa Informa´tica

256 C´alculo para la computaci´onDefinicio´n 5.2.9 El campo escalar µ(x, y) es un factor integrante de la ecua-ci´on P (x, y) + y Q(x, y) = 0 si la ecuaci´on µ(x, y)P (x, y) + y µ(x, y)Q(x, y) = 0es exacta.Trivialmente, si f es soluci´on de P (x, y) + y Q(x, y) = 0, tambi´en es solu-ci´on de µ(x, y)P (x, y) + y µ(x, y)Q(x, y) = 0; es decir, resolviendo la ecua-cio´n exacta, encontramos las soluciones de la ecuaci´on inicial. Sin embargo, laecuaci´on µ(x, y)P (x, y) + y µ(x, y)Q(x, y) = 0 puede tener m´as soluciones queP (x, y) + y Q(x, y) = 0 y por tanto, deberemos verificar las soluciones obteni-das al terminar el c´alculo y descartar las que no sean soluciones de la ecuacio´ninicial ; en particular, puede haber funciones que verifiquen µ(x, y) = 0 y queno sean soluciones de la ecuacio´n inicial. Por ejemplo, la ecuaci´on (y2 +1)+(yx)y = 0 no es exacta, pero µ(x, y) = xes un factor integrante de la misma, pues la ecuaci´on (xy2 + x) + (yx2)y = 0es una ecuacio´n exacta (ver ejemplo 5.2.6). En este caso, la ecuacio´n exactano an˜ade soluciones a la ecuaci´on propuesta. En general, no es fa´cil predecir qu´e ecuaciones admiten factores integran-tes. Sin embargo, s´ı es fa´cil caracterizar las ecuaciones que admiten un factorintegrante con una condici´on adicional. Por ejemplo, pensemos que nuestro factor integrante es una funcio´n queso´lo depende de x. El objetivo es deducir en que condiciones la ecuacio´nP (x, y) + y Q(x, y) = 0 admite un factor integrante λ(x), es decir, en quecondiciones existe una funcio´n λ(x) tal que λ(x)P (x, y) + y λ(x)Q(x, y) = 0es una ecuacio´n exacta. Si esta ecuacio´n fuera exacta, entonces: ∂ (λ(x)P (x, y)) = ∂ (λ(x)Q(x, y)) ∂y ∂x λ(x)D2P (x, y) = λ (x)Q(x, y) + λ(x)D1Q(x, y) λ (x) = D2P (x, y) − D1Q(x, y) (=∗) h(x) λ(x) Q(x, y) log λ(x) = h(x) dx Åã λ(x) = exp h(x)dxObs´ervese que para que (∗) sea posible, la expresio´n D2P (x, y) − D1Q(x, y) Q(x, y) E.T.S.I.Informa´tica

5.2. Ecuaciones diferenciales. 257tiene que ser una funcio´n h(x) que so´lo dependa de x, y esta es la condicio´nque se debe cumplir para garantizar la existencia de un factor integrante queso´lo dependa de x. Adem´as, este m´etodo nos proporciona un procedimientopara calcular ese factor integrante. En este caso, λ(x) = exp ( h(x)dx). El siguiente resultado nos proporciona una tabla de condiciones para laexistencia de factores integrantes. Y, para cada una de ellas, nos indica laforma de obtener el factor integrante.Proposicio´n 5.2.10 Consideremos la ecuaci´on P (x, y) + y Q(x, y) = 0; paraella se verifican las siguientes condiciones de existencia de factores integrantes:1. Si D1Q(x, y) − D2P (x, y) = h(x) y H es una primitiva de h, entonces − Q(x, y) λ(x) = exp H(x) es un factor integrante de la ecuaci´on.2. Si D1Q(x, y) − D2P (x, y) = h(y) y H es una primitiva de h, entonces P (x, y) λ(y) = exp H(y) es un factor integrante de la ecuaci´on.3. Si D1Q(x, y) − D2P (x, y) = h(x+y) y H es una primitiva de h, entonces P (x, y) − Q(x, y) µ(x, y) = exp H(x + y) es un factor integrante de la ecuaci´on.4. Si D1Q(x, y) − D2P (x, y) = h(x−y) y H es una primitiva de h, entonces − P (x, y) − Q(x, y) µ(x, y) = exp H(x − y) es un factor integrante de la ecuaci´on.5. En general, si D1Q(x, y) − D2P (x, y) = h(nx + my) y H es una primi- mP (x, y) − nQ(x, y) tiva de h, entonces µ(x, y) = exp H(nx + my) es un factor integrante de la ecuacio´n.6. Si D1Q(x, y) − D2P (x, y) = h(xy) y H es una primitiva de h, entonces xP (x, y) − yQ(x, y) µ(x, y) = exp H(xy) es un factor integrante de la ecuaci´on.Ejemplo 5.2.8 Resolvamos la ecuacio´n (y2 − x) + 2yy = 0. Esta ecuaci´onadmite un factor integrante que depende solo de x: D2P (x, y) − D1Q(x, y) = 2y − 0 = 1 = h(x) Q(x, y) 2yEl factor integrante es λ(x) = ex. Resolvemos la ecuaci´on exacta ex(y2 − x) +2yexy = 0 cuyas soluciones est´an definidas en forma impl´ıcita por y2ex − xex + ex = CLas soluciones son: fC (x) = √ e−x −1+x y gC (x) = −√Ce−x − 1 + x. CIngenier´ıa Inform´atica

258 Ca´lculo para la computaci´on5.2.8. Cambios de variables La segunda t´ecnica para la transformacio´n de ecuaciones diferenciales enecuaciones fundamentales es el cambio de variable. El m´etodo general consisteen introducir una nueva variable dependiente y, en algunos casos, una nuevavariable independiente que estar´an relacionadas con las variables iniciales. El caso ma´s sencillo consiste en sustituir u´nicamente la variable dependien-te y por otra nueva variable z que se definira´ a partir de una relacio´n del tipoz = f (x, y) o bien y = g(x, z); al hacer el cambio en las variables dependientes,debemos entender estas igualdades como z(x) = f (x, y(x)) y y(x) = g(x, z(x))respectivamente.Ejemplo 5.2.9 Vamos a utilizar el cambio de variable y = xz para resolverla ecuacio´n diferencial (x2 − y2) + 3xyy = 0. En primer lugar, derivamos laigualdad del cambio de variable para deducir la relacio´n entre las derivadas delas dos variables: y = z + xzAhora ya podemos sustituir completamente la variable y para obtener unanueva ecuacio´n con inc´ognita z: (x2 − y2) + 3xyy = 0 (x2 − (xz)2) + 3x(xz)(z + xz ) = 0 1 + 2z2 + 3xzz = 0La ecuaci´on resultante es de variables separables que resolvemos como sigue. 1 + 2z2 = −3xzz 1 = 1 − 3z z x + 2z2 dx + 1 3z dz = C1 x + 2z2 3 log |x| + 4 log(1 + 2z2) = C1 4 log |x| + 3 log(1 + 2z2) = C2 log x4(1 + 2z2)3 = C2 x4(1 + 2z2)3 = C3 > 0Finalmente, deshaciendo el cambio, se obtienen las soluciones de la ecuacio´ninicial: Ç y2 å3 1 x2 x4 + 2 = C3,x = 0 , C3 > 0 (x2 + 2y2)3 = C3x2,x = 0, C3 > 0 E.T.S.I.Inform´atica

5.2. Ecuaciones diferenciales. 259 En algunos casos, el cambio de variable aconsejado para transformar unaecuacio´n diferencial consiste en cambiar tanto la variable independiente comola variable dependiente por dos nuevas variables.Ejemplo 5.2.10 Para calcular la ecuaci´on diferencial y = 2x + y utili- 3x + y − 1zamos el doble cambio de variable t=x−1 z = y+2En la segunda igualdad se entiende que z es funci´on de t, es decir, z(t) =y(t + 1) + 2. Por lo tanto, z (t) = y (t + 1), es decir, z = y , y la ecuacio´n setransforma en: z = 2(t + 1) + (z − 2) 3(t + 1) + (z − 2) − 1 z = 2t + z 3t + zEsta ecuaci´on se resuelve aplicando un nuevo cambio de variable: z = tu,z = u + tu . u + tu = 2t + tu 3t + tu u + tu = 2+u 3+u tu = 2 + u − u = − u2 +u 3 + u u +3 0 = u +3 u + 1 u2 +u t C1 = ln u3 + ln |t| (u + 1)2 C2 = |tu3| , C2 > 0 (u + 1)2Al deshacer el cambio de variable z = tu obtenemos C2 = |z3| , C2 > 0 (z + t)2 C3 ∈ R C3 = (z z3 , + t)2Y al deshacer el doble cambio t = x − 1, z = y + 2 obtenemos C = (y + 2)3 , C ∈R (y − x + 3)2Ingenier´ıa Informa´tica

260 Ca´lculo para la computaci´on Tal y como ocurr´ıa en el c´alculo de primitivas, la dificultad de aplicar elm´etodo de sustitucio´n es determinar el cambio de variable m´as adecuado quepermita transformar nuestra ecuaci´on en una ecuacio´n fundamental. Comoveremos en la relacio´n de ejercicios, existen modelos de ecuaciones para loscuales se recomienda un cambio de variable concreto. La dificultad entoncesestar´a en reconocer el modelo.5.2.9. Otros tipos En esta seccio´n, vamos a ver algunos tipos de ecuaciones ma´s espec´ıficoscuya resolucio´n hace uso de los m´etodos estudiados en las secciones anteriores.Ecuaciones homog´eneas. Un campo escalar f : Rn → R se dice homog´eneode grado p si f (tx, ty) = tpf (x, y). La ecuacio´n P (x, y) + y Q(x, y) = 0 se dicehomog´enea si los campos P y Q son homog´eneos del mismo grado y, en talcaso, el cambio de variable y = xz la transforma en una ecuaci´on de variablesseparables.Ecuaciones y = f (ax + by + c). Estas ecuaciones se resuelven fa´cilmenteutilizando el cambio de variable z = ax + by + c, que conduce siempre a unaecuacio´n en variables separables en x y z. Ää Estas ecuaciones se resuelven de acuer-Ecuaciones y = f a1x+b1y+c1 . a2x+b2y+c2do al siguiente esquema:Si c1 = c2 = 0, la ecuacio´n es homog´enea (ver m´as arriba en esta secci´on).Si a1b2 = b1a2, el cambio de variable z = a1x + b1y conduce a unaecuaci´on en variables separables con inc´ognita z.Si a1b2 = b1a2, el sistema de ecuaciones (num´ericas) a1x + b1y + c1 = 0 a2x + b2y + c2 = 0tiene solucio´n u´nica, (α, β) y el cambio de variables t = x − α, z = y − β,conduce a una ecuacio´n homog´enea donde t es la variable independientey z es la inco´gnita.Ecuaciones de Bernouilli. Las ecuaciones de la forma y + yp(x) = ynq(x) E.T.S.I.Informa´tica

5.2. Ecuaciones diferenciales. 261se denominan ecuaciones de Bernouilli. Para n = 0 esta ecuaci´on es una ecua-ci´on lineal, para n = 1 esta ecuaci´on es una ecuaci´on en variables separables y,en otro caso, podemos dividir ambos miembros de la igualdad por yn y aplicarel cambio de variable z(x) = (y(x))1−n que conduce a una ecuaci´on lineal.Ecuaciones de Riccati. Las ecuaciones de la forma y + p(x)y2 + q(x)y = r(x)se denominan ecuaciones de Riccati. No es posible dar un m´etodo de resolucio´ngeneral para este tipo de ecuaciones, sin embargo, s´ı es posible llegar a susolucio´n general en el caso en que se conozca una soluci´on particular quedebera´ ser calculada “a ojo”. Supongamos que ϕ(x) es una solucio´n de laecuaci´on de Riccati; en este caso, el cambio de variable z = y − ϕ(x) conducea una ecuaci´on de Bernouilli con inco´gnita z.5.2.10. Trayectorias ortogonales Un problema geom´etrico y f´ısico que se puede abordar fa´cilmente con ecua-ciones diferenciales es la descripcio´n de familias de curvas. Esta representacio´nfacilita, entre otras casos, el ca´lculo de sus curvas ortogonales. Tal y como hemos estudiado anteriormente en el curso, la ecuaci´on U (x, y) = Cdescribe la familia de curvas que son curvas de nivel del campo f . Derivandoambos lados de la igualdad respecto de x (consideramos que la variable yes dependiente de x), eliminamos el para´metro C y obtenemos una ecuaci´ondiferencial que describe la misma familia de curvas: D1U (x, y) + y D2U (x, y) = 0Supongamos ahora que queremos hallar la familia de curvas ortogonales a unafamilia dada, es decir, la familia de curvas que se intersecan ortogonalmenteen cada punto con familia dada.Teorema 5.2.11 La familia de curvas ortogonales a las soluciones de y = 1f (x, y) es la familia de soluciones de la ecuaci´on y = − f (x, y) .Este resultado es una consecuencia inmediata del hecho de que y es la pen-diente de la curva en cada punto y de que, si m y m son las pendientes dedos rectas ortogonales, entonces mm = −1.Ingenier´ıa Inform´atica

262 C´alculo para la computacio´nEjemplo 5.2.11 Para hallar la familia de curvas ortogonal a y = Cx, despeja-mos en primer lugar el par´ametro C para expresar esta familia como ecuacio´ndiferencial: y = Cx y =C x xy − y = 0 x2 y − xy = 0El teorema anterior se puede aplicar de forma ma´s directa sustituyendo en laecuacio´n anterior y por −1/y para obtener la ecuaci´on de la familia ortogonal:y + x =0 y y = −x y yy = −x y dy = − x dx y2 = − x2 + C1 2 2y2 + x2 = CEs decir, la familia ortogonal son las circunferencias centradas en el origen. E.T.S.I.Inform´atica

5.2. Ecuaciones diferenciales. 263 Ejercicios b´asicos1. Distinga si las siguientes expresiones son ecuaciones diferenciales y de- termine el tipo (ordinarias o en derivadas parciales) y el orden.(a) x2 + 3y2 = 5xy (b) x2 + 3y − 5(y )3 = 0(c) 1 + y + y + y = 0 (d) xy − y sen x 5 Å ∂z ã2(e) x dy − sen x = ex (f ) ∂x + xy ∂z = 3xyz dx ∂y2. Consideremos la ecuacio´n y + 2y = 0. Se pide:a) Estudiar la existencia y unicidad de soluciones.b) Comprobar que la funci´on y = Ce−2x es una soluci´on general.c) Determinar la soluci´on particular que pasa por el punto (0, 3).3. Compruebe que las funciones de la forma y = c1ex +c2e−x son soluciones de la ecuacio´n y − y = 0 y halle soluciones para:a) el problema de condiciones iniciales: y(0) = 0, y (0) = 1.b) el problema de condiciones de frontera: y(0) = 0, y(1) = 1.c) el problema de condiciones generales: y(0) = 0, y (0) = 0.d ) el problema de condiciones generales: y(0) = 0, y (0) = 1.4. Compruebe que la ecuacio´n xyy − log x = 0 es de variables separables y resu´elvala.5. Consideremos la ecuacio´n diferencial y = y2 − 4. Se pidea) Estudiar la existencia y unicidad de solucionesb) Resolver la ecuacio´n y obtener la solucio´n general.c) Calcular la solucio´n particular que pasa por (0, 0).d ) Calcular las soluciones singulares que pasan por (0, 2) y (0, −2).6. Compruebe que la ecuaci´on (2x − 3y) + (2y − 3x)y = 0 es exacta y resu´elvala.7. Pruebe que la ecuacio´n (x2 + 2xy − y2) + (y2 + 2xy − x2)y = 0 admite un factor que depende solo de x + y y resuelva la ecuaci´on.8. Estudie en que condiciones una ecuacio´n admite un factor integrante que s´olo depende de x2y y utilice dicha condicio´n para resolver la ecuacio´n −y2 + (x2 + xy)y = 0.Ingenier´ıa Inform´atica

264 Ca´lculo para la computacio´n9. Consideremos la ecuaci´on lineal (y − 1) sen x − y = 0. Se pide: a) Resolver la ecuacio´n lineal por el m´etodo de variaci´on de las cons- tantes. b) Las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales tambi´en se pueden resolver utilizando un factor integrante que s´olo depende de x. Apli- que este m´etodo para resolver la ecuacio´n. c) Resuelva la ecuaci´on diferencial lineal y + y = 3x + 4 de dos formas x distintas: variaci´on de las constantes y factor integrante.10. Estudie la seccion 5.2.9, compruebe que y = xy es una ecuaci´on x2 − y2 homog´enea y resu´elvala.11. Estudie la seccion 5.2.9, identifique la ecuacio´n y = tg2(x + y) y re- su´elvala.12. Estudie la seccion 5.2.9 para saber identificar y resolver las siguientes ecuaciones: a) y = x+y b) y = 1−x−y c) y = x + 2y + 1 2x x+y 2x + y + 313. Estudie la seccion 5.2.9, compruebe que la ecuacio´n y + y = x√y es de x Bernouilli y resu´elvala.14. Estudie la seccion 5.2.9, compruebe que y = 2x2 + 1 y − 2y2 es una x ecuaci´on de Ricatti y que ϕ(x) = x es una soluci´on; resuelva la ecuacion.15. Estudie la seccio´n 5.2.10 y halle la familia de curvas ortogonal a x2 + y2 = C.16. Entre los modelos estudiados en el tema, determine el tipo de ecuacio´n diferencial e indique la forma de resolverla: (a) y = sen(x + y) (b) exyy = e−y + e−2x−y (c) y + 2y = sen x (d) 2y2exy2 + 2xyy exy2 = 0 (e) (2 + x)y = 3y (f ) y + 3xy = xy3 (g) y = 3x + 2y (h) 2 cos(2x − y) − y cos(2x − y) = 0 x 1 (i) y = −2 − y + y2 (j) y = 2x2 + x y − 2y2 (k) y − y = x3 √3 y (l) y = x−y−3 x+y−1 (m) y = 1 + ey−x+5 (n) (x − 1)y + y = x2 − 1 (o) y = x2 + y2 (p) y + 2xy = 2x 2xy E.T.S.I.Informa´tica

5.2. Ecuaciones diferenciales. 265 Relaci´on de ejercicios1. Para calcular algunas integrales del tipo f (ex) dx se puede utilizar el cambio de variable t = ex. Aplique este cambio a las siguientes integrales y determine el tipo de integral resultante: (a) 1 − ex dx (b) (ex − e2x + 1) dx 1 + ex 1)(ex2. Calcular la integral ln x dx aplicando los siguientes m´etodos: x a) Integracio´n inmediata o cambio de variable directo. b) Integracio´n por partes.3. Calcule las siguientes integrales utilizando los m´etodos de integracio´n inmediata o por cambio de variable directo: (1) dx (2) 27 dx (3) 4x5 dx (4) (4x2 − 3x + 1) dx (5) (2x2 − 5)3 dx (6) √ dx x (7) 1 dx (8) 3√x5 dx √ x 3 x2 dx (9) (3x + 4)2007 dx (10) √(535xx++46)4dx (11) x(3x2 − 5)7 dx (12) (13) ln x dx (14) arc tg x dx x 2 4 + x2 ar√c c1o−s xx−2 x dx (16) (15) a2x dx (17) (e2x + 2)5e2x dx (18) √eexxd+x 1 (19) 8x2 2 dx (20) 3x2 − 4x 1 dx x3 − x3 − 2x2 + dx (21) tg x (22) x2 cos(x3 − 7) dx (23) (24) se√n x√x dx cos 3x esen 3x dx (25) √1 ex e2x dx (26) senh ln x dx − xIngenier´ıa Inform´atica

266 C´alculo para la computaci´on4. Calcule las siguientes integrales utilizando el m´etodo de integracio´n por partes: (1) x sen 5x dx (2) x2 ln(x) dx (3) x arc tg x dx (4) x3ex dx (5) x2 log x dx (6) x3 cos x2 (7) x3 4 − x2 dx (8) √3x93−dxx2 (9) ex cos x dx (10) cos(log x) dx (11) arc tg x dx (12) arc sen(x) dx5. Calcule las siguientes integrales aplicando un cambio de variable directo: (1) ln ln x dx (2) x cos2 x2 dx x6. Calcule las siguientes integrales del tipo f (ex) dx:(1) √eexxd+x 1 (2) dx (3) (e2x + 2)5e2x dx ex − 2e−x √1d−xe2x dx 2ex ex − 3e2x(4) (5) − −1 dx (6) 1 + ex dx e2x7. Para calcular algunas integrales del tipo f (√x) dx puede resultar u´til aplicar el cambio de variable t = √x. Utilice este cambio para calcular las siguientes integrales: (1) √ »√dxx− 1 (3) (1 − x2)√x dx e x dx (2)8. Calcule las siguientes integrales racionales:(1) dx (2) x2 + 3x − 4 dx x2 − 1 x2 − 2x − 8 2x3 + x2 + 4 3x + 5(3) x2 +4 dx (4) − x2 − x dx x3 + 1 dx 2x2 3x + 3(5) 2x2 − 2x + 1 (6) x3 − − +x− 1 dx x2 2x2 + 2x − 2 3x3 + 3x2 − 5x + 7(7) x3 + 2x dx (8) x4 − 1 dx(9) x +3 dx (10) x3 + 2x2 + 2x + 1 dx − 5x + (x2 − x + 1)2 x2 7 3x5 + 10x4 + 32x3 + 43x2 + 44x + 36 x+4 (x2 + 4x + 4)(x4 + 8x2 + 16)(11) (x2 −x+ 1)2 dx (12) dx E.T.S.I.Informa´tica

5.2. Ecuaciones diferenciales. 2679. Utilice los nu´meros complejos para calcular las siguientes integrales tri- gonom´etricas: (1) sen4 x dx (2) cos5 x dx (3) cos6 x dx10. Calcule las siguientes integrales trigonom´etricas.(1) sen x dx (2) cos2 x sen2 x dx (3) cos x dx cos3 x sen3 x + 2 cos2 x sen x dx(4) tg2 x dx (5) 1 + cos x (6) sen(2x) cos x dx(7) sec x dx (8) sec x tg x dx (9) dx cos x − sen x11. Escriba las siguientes expresiones sin utilizar funciones trigonom´etricas: (1) sen(arc cos x) (2) sen2(2 arc cos x) (3) cos(2 arc sen x) (4) senh(argcosh x)12. Resuelva las siguientes integrales irracionales. (1) √28 dx − x2 (2) √4x2 dx + 4 − 12x − 4x dx (4) x2√ad2x+ x2 (3) x √ + 4x − 4 x213. Calcule las siguientes integrales (1) x x2 dx (2) tg4 x dx cos2 arc tg x (4) (x − 2d)√x x + 2 (3) (x − 1)2 dx (5) √s1en+2cxods2xx (6) arc tg √ dx x (7) log Ä√ä dx (8) a2 x x4 dx xx + (9) 3x2y + 3xy2 − xy dx (10) 3x2y + 3xy2 − xy dy (11) x sen(x2y) dx (12) x sen(x2y) dy (13) x sen(xy) dx (14) x sen(xy) dy (15) ln x2 dx x14. Compruebe que las funciones de la forma y = c1x + c2x log x son solu- ciones de la ecuacio´n x2y − xy + y = 0 y proporcione una soluci´on para el problema de condiciones iniciales: y(1) = 3, y (1) = −1.Ingenier´ıa Informa´tica

268 C´alculo para la computacio´n15. Compruebe que la funcio´n y = C1 sen 3x + C2 cos 3x es una solucio´n general de la ecuacio´n y + 9y = 0 y proporcione la solucio´n particular que pasa por el punto x = π/6, y = 2, y = 1.16. Compruebe que la funcio´n y = C1 + C2 log x es una solucio´n general de la ecuacio´n xy + y = 0 y proporcione la soluci´on particular que pasa por el punto x = 2, y = 0, y = 1/2.17. Compruebe que las funciones de la forma y = c1x2 + c2x4 + 3 son solu- ciones de la ecuacio´n x2y − 5xy + 8y = 24. Encontrar si es posible una soluci´on para los siguiente problemas asociados a esta ecuaci´on (a) y(0) = 2, y (0) = 1 (b) y(−1) = 0, y(1) = 4 (c) y(1) = 1, y (1) = 2 (d) y(0) = 1, y(1) = 2 (e) y(0) = 3, y(1) = 2 (f ) y(1) = 3, y(2) = 1518. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: x2 + 2y =x y = 3y2 y(2 + x)y = 3y xy = y y √1 − 4x2 = yyy = sen x Å 1 ã2y √1 − x2 − 1 − y2 = 0 yy = x + log x xy = exp(3x + 2y) exyy = e−y + e−2x−y19. Entre los siguientes apartados, encuentre las ecuaciones diferenciales exactas que haya y resu´elvalas:2y2exy2 + 2xyy exy2 = 0 (4x3 − 6xy2) + (4y3 − 6xy)y = 0x2 1 (xy − y) = 0 (y + (x + tg xy)y )ey cos xy = 0 +y2 2 cos(2x − y) − y cos(2x − y) = 0(x + yy ) exp(−x2 − y2) = 0 1 (y2 − x2y ) = 0 (3y2 + 10xy2) + (6xy − 2 + 10x2y)y = 0(x−y)2yex + exy = 020. En los siguientes apartados halle el factor integrante (en funci´on s´olo dex o s´olo de y) y u´selo para resolver las ecuaciones:y + (x + 6y2)y = 0 (2x3 + y) + xy = 0(5x2 − y) + xy = 0 (5x2 − y2) + 2yy = 0(x + y) + y tg x = 0 (2x2y − 1) + x3y = 0y2 + (xy − 1)y = 0 (x2 + 2x + y) + 2y = 02y + (x − sen √y)y = 0 (−2y3 + 1) + (3xy2 + x3)y = 021. Pruebe que la ecuacio´n y − xy = 0 admite factores integrantes quea) dependen solo de x, E.T.S.I.Inform´atica

5.2. Ecuaciones diferenciales. 269b) dependen solo de y,c) dependen solo de xy.22. Pruebe que la ecuaci´on (−xy sen x + 2y cos x) + 2xy cos x = 0 admite un factor que depende solo de xy y util´ıcelo para resolverla.23. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden:y + 2 y = 3x + 1 y = ex − y x y − y = cos xy + 2y = sen xy + 2xy = 2x (3y + sen 2x) − y = 0(x − 1)y + y = x2 − 1 y + 5y = e5x24. Compruebe que las siguientes ecuaciones diferenciales son homog´eneasy resu´elvalas: = 2x + yy y y = x−y x+y x2 + y2 3x + 2yy = 2xy y = x25. Resuelva las siguientes ecuaciones utilizando un cambio de variable:y = (x + y + 1)2 y = tg2(x + y)y = 2 + √y − 2x + 3 y = sen(x + y)y = 1 + ey−x+5 y = x − y − 3 x + y − 1 x+y−6y = x−y26. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernouilli:y + 3xy = xy3 y + 2xy = xy2 y + y = xy2y − y = x3 √3 y yy − 2y2 = ex x27. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de Riccati utilizando lasolucio´n particular dada:y = −2 − y + y2, ϕ(x) = 2 y = e2x + (1 + 2ex)y + y2, ϕ(x) = −exy = 1 − x − y + xy2, ϕ(x) = 1 y = sec2 x − y tg x + y2, ϕ(x) = tg xy = 2x2 + 1 y − 2y2, ϕ(x) = x y = − 4 − 1 y + y2, ϕ(x) = 2 x x2 x x 1y + y2 + y = x2 , ϕ(x) = −1/x x28. Determine el tipo de curvas que corresponden a cada familia y halle sustrayectorias ortogonales:(a) x2 = Cy (b) 2x2 − y2 = C(c) y2 = 2Cx (d) x2 + y2 = 2ax29. Calcule las trayectorias ortogonales a cada una de las siguientes familiasde funciones:(a) y2 = Cx3 (b) y = Cex (c) y = C sen xIngenier´ıa Informa´tica



TEMA 6Integracio´nObjetivos: Los objetivos son: (1) saber calcular integrales definidas en unavariable y utilizarlas para abordar problemas geom´etricos y trabajar con seriesde Fourier; (2) saber calcular integrales definidas en dos variables mediante elteorema de Fubini y el teorema de cambio de variable; (3) utilizar integracio´npara resolver problemas geom´etricos y f´ısicos.Prerrequisitos: Haber cubierto los objetivos de los temas anteriores.Contenido: Leccio´n 6.1 Integracio´n de funciones de una variable. Inte- gral de Riemannn. Teorema fundamental del c´alculo y regla de Barrow. Integracio´n por partes y cambio de variable en las integrales definidas. Aplicaciones geom´etricas. Series de Fourier. Leccio´n 6.2 Integracio´n de campos escalares. Integral de Rie- mannn para campos escalares. Teorema de Fubini. Campos vectoriales y teorema de cambio de variable. Aplicaciones.Ingenier´ıa Informa´tica. Ca´lculo para la computaci´on 271

272 Ca´lculo para la computaci´on LECCIO´ N 6.1 Integracio´n de funciones de una variable El contenido de esta lecci´on esta´ dedicado a la integral de Riemannn o in-tegral definida de funciones de una variable. Aunque utilizaremos el ca´lculo de´areas para introducir los conceptos, las aplicaciones de la integral definida sonmu´ltiples, tanto en las matem´aticas como en las distintas ´areas de ingenier´ıa. Seguramente el alumno recuerde toda una colec- ci´on de fo´rmulas para calcular el a´rea de pol´ıgonos. Todas esas fo´rmulas tienen como punto de partida h la definicio´n del ´area de un recta´ngulo: el a´rea de un rect´angulo es el producto de sus dimensiones. A b partir de esta definicio´n, podemos calcular el ´area de cualquier pol´ıgono. Por ejemplo, en la figura de la izquierda, podemos ver que el ´area de un tri´angu-lo de base b y altura h es A = 1 bh. Adema´s, el a´rea de cualquier otra regi´on 2poligonal se puede calcular dividi´endola en tria´ngulos. A2 A1 A = A1 + A2 + A3 + A4 A3 A4 Pero, ¿co´mo calculamos el a´rea encerrada por una curva? No podemos ob-tener de forma directa una expresi´on para esa ´area, por lo que, en estos casos,buscamos un procedimiento para aproximar su valor. Por ejemplo, en la an-tigu¨edad, utilizaban pol´ıgonos regulares inscritos en un c´ırculo para aproximarel valor de su a´rea; cuantos m´as lados tomemos, mejor ser´a esta aproximaci´on. En una regio´n arbitraria, tambi´en podemos utilizar este procedimiento, porejemplo, inscribiendo franjas rectangulares podemos mejorar la aproximaci´onsi las tomamos cada vez ma´s estrechas. E.T.S.I.Informa´tica

6.1. Integraci´on de funciones de una variable. 273 Este es el punto de partida para definir la integral definida de una funcio´nde una variable. Para poder hacer los c´alculos de las ´areas necesitamos conocerlas dimensiones de los rect´angulos inscritos y por eso el ´area que resulta m´asf´acil de calcular es la regio´n que queda entre el grafo de la funcio´n de unavariable y el eje OX entre dos puntos de abscisas x = a y x = b. Y Graca de f : [a, b] ! R X ab Aunque tiene sentido estudiar la integrabilidad de cualquier funcio´n aco-tada, a lo largo del tema vamos a trabajar solamente con funciones continuasa trozos. Veremos que todas las funciones continuas son integrables, aunquehay funciones integrables que no son continuas; el estudio de dichas funcionesqueda fuera de los objetivos del curso. Volviendo al ejemplo de la figura de arriba, podemos plantear en primerlugar aproximar el a´rea de la regio´n tomando franjas rectangulares que que-den estrictamente dentro de la regi´on, es decir, obtener una aproximaci´on pordefecto. Y Graca de f : [a, b] ! R X x0 = a x1 x2 . . . xn

274 C´alculo para la computacio´nPara ello, elegimos un conjunto de puntos del intervalo [a, b], que llamamospartici´on a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b.Las bases de los recta´ngulos ser´an las diferencias (xi − xi−1) y las alturas sera´nlos valores m´ınimos que tome la funci´on en cada intervalo [xi−1, xi], mi = m´ın{f (t); t ∈ [xi−1, xi]}Recordemos que estos valores existen porque estamos suponiendo que la fun-cio´n f es continua. De esta forma, ya podemos calcular la aproximaci´on pordefecto del ´area, n LP = mi(xi − xi−1), i=1y que llamamos suma inferior de f para la particio´n P = {x0, x1, . . . , xn}.Tambi´en podemos hallar una aproximaci´on por exceso del ´area. Y Graca de f : [a, b] ! R x0 = a x1 x2 X . . . xn

6.1. Integraci´on de funciones de una variable. 275Definicio´n 6.1.1 Una funci´on f acotada sobre [a, b] se dice integrable en[a, b] si: sup{LP : P Partici´on de [a, b]} = ´ınf{UP : P Partici´on de [a, b]}En tal caso, este nu´mero recibe el nombre de integral de f sobre [a, b] y se bbdenota por f o f (x)dx (el s´ımbolo dx se usa para indicar la variable de a ala funci´on). Como ya hab´ıamos anunciado, las funciones continuas son integrables encada intervalo cerrado.Teorema 6.1.2 Toda funci´on continua en un intervalo cerrado I, es integra-ble en ese intervalo. En la definici´on 6.1.1 hemos utilizado los operadores sup e ´ınf que devuel-ven el l´ımite o extremo superior y el l´ımite o extremo inferior de un conjuntode nu´meros. En general, no es fa´cil calcular estos valores, aunque en algunoscasos es posible hacerlo utilizando t´ecnicas de ca´lculo de l´ımites si sabemosque la funcio´n es integrable.Ejemplo 6.1.1 Vamos a calcular el a´rea que queda entre la para´bola y = x2y el eje OX en el intervalo [0, 1].En lugar de trabajar con todas las particiones posibles, es suficiente consi-derar las particiones Pn = {0, 1 , 2 , . . . , n }, que se denominan particiones re- n n ngulares en n subintervalos, ya que cada uno de ellos tiene la misma amplitud.Esta familia es en realidad una sucesio´n y por lo tanto, las sumas superioreso inferiores asociadas son sucesiones num´ericas y determinamos el ´ınfimo y elIngenier´ıa Informa´tica

276 C´alculo para la computacio´nsupremo utilizando l´ımites: 1 x2dx = ´ınf{UP : P Partici´on de [0, 1]} 0 n = l´ım UPn = l´ım Mi(xi − xi−1) i=1 = l´ım n Å i ã2 Å 1 ã i=1 n n = l´ım 1 n i2 n3 i=1 = l´ım 1 (1 + 22 + 32 + · · · + n2) n3 1 n(n + 1)(2n + 1) 1 = l´ım n3 6 = 3La primera igualdad del desarrollo anterior tiene sentido porque la funcio´n x2es continua y por lo tanto integrable. Otra forma de simplificar el c´alculo es usando sumas de Riemannn. Dadauna partici´on P = {x0, . . . , xn} de un intervalo [a, b], y un conjunto de pun-tos ξ = {x∗1, . . . , xn∗ } tal que x∗i ∈ [xi−1, xi] para cada i, llamamos suma deRiemannn de f para P y ξ a: n RPξ = f (x∗i )(xi − xi−1), i=1Si la funci´on f es continua, las sumas de Riemannn tambi´en convergen ala integral. Como veremos m´as adelante, las sumas de Riemannn ser´an unaherramienta m´as flexible para justificar que una determinada magnitud puedeser calculada usando una integral. Debemos recordar que las integrales nosirven u´nicamente para calcular ´areas, aunque este ha sido el modelo quehemos utilizado para presentar el concepto.Teorema 6.1.3 Si f es una funcio´n continua y positiva en el intervalo [a, b], bentonces la integral definida f es el valor del ´area de la regi´on comprendida aentre el grafo de f y el eje OX en dicho intervalo.Ejemplo 6.1.2 El =a´re√a rd2e−unx2c.´ırSciucloonsseidpeureedmeocsaelcluilnatreravaplaort[i0r, de la gr´aficade la funci´on f (x) r], la regi´onentre el grafo de f y el eje OX es un cuarto de c´ırculo y por lo tanto: r ñ ôr r2 − x2dx = 2r2 arc sen x + 2x r2 − x2 = πr2A=4 r0 0 E.T.S.I.Inform´atica

6.1. Integracio´n de funciones de una variable. 277No incluimos los detalles del c´alculo de la primitiva puesto que ya ha sidoresuelta en el tema anterior. El siguiente resultado nos da la expresio´n para calcular el ´area comprendidaentre las gra´ficas de dos funciones.Corolario 6.1.4 Si f y g son dos funciones continuas en un intervalo [a, b]entonces el ´area que queda encerrada entre las gr´aficas de las dos funciones es b A = |g(x) − f (x)|dx a Para poder calcular la integral del corolario anterior, es necesario hacer usode la propiedad de aditividad para eliminar, en primer lugar, el valor absoluto;para ello, debemos determinar los puntos de corte de las dos gr´aficas y por lotanto los intervalos en los que la diferencia de las dos funciones es positiva onegativa.6.1.1. Teoremas y propiedades fundamentales Aunque hemos podido calcular una integral definida usando l´ımites de su-cesiones, este procedimiento dista mucho de ser eficaz. Las sumas de Riemannnsera´n la herramienta te´orica fundamental para la aplicacio´n de la integral adeterminados modelos matem´aticos o f´ısicos, pero no son una herramienta dec´alculo. El resultado central para abordar este objetivo es el Teorema funda-mental del c´alculo, que relaciona los dos conceptos b´asicos del C´alculo infini-tesimal, la derivaci´on y la integraci´on.Teorema 6.1.5 (Teorema Fundamental del Ca´lculo) Sea f una fun-ci´on continua en [a, b], y consideremos la funcio´n F definida como: t F (t) = f aEntonces, F es derivable y F = fEn el tema anterior hemos definido y trabajado con el concepto de primitivade una funci´on, pero no hemos podido saber hasta ahora para qu´e funcionesexiste primitiva. El teorema fundamental del ca´lculo resuelve este problema:toda funcio´n continua en un intervalo cerrado admite una primitiva en eseintervalo (aunque no est´e expresada en t´erminos de funciones elementales).Como corolario de este teorema obtenemos la Regla de Barrow.Ingenier´ıa Inform´atica

278 C´alculo para la computacio´nTeorema 6.1.6 (Regla de Barrow) Si f es continua en [a, b] y f = F ,entonces b ï òb F (x) f = F (b) − F (a) (Not=acio´n) aaEjemplo 6.1.3 Vamos a calcular de nuevo el ´area de la regio´n del ejem-plo 6.1.1 usando la regla de Barrow: 1 = ñ x3 ô1 = 1 30 3 x2dx 0 El hecho de tener un resultado tan potente como la Regla de Barrow paracalcular integrales definidas no debe llevarnos a la conclusi´on err´onea de quepodemos olvidar la definici´on de integral. Por otra parte, la regla de Barrowsolo es u´til para aquellas funciones que admiten una primitiva expresable ent´erminos de funciones elementales, y ya sabemos que no todas las funcionescontinuas admiten este tipo de primitivas. En estos casos, podr´ıamos recurrir am´etodos de aproximacio´n, entre los cuales se encuentra la evaluacio´n de sumasde Riemannn. El siguiente resultado recoge las propiedades algebraicas y otras propieda-des elementales de la integral definida.Teorema 6.1.7 Sean f y g dos funciones integrables en I y sea [a, b] ⊂ I.Entonces, se verifican las siguientes propiedades:b Ç b å Ç bå1. (f ± g) = f± g.a aa bb2. αf = α f para cualquier α ∈ R.aa b Å cã Ç bå3. f = f + f para cualquier c ∈ I.aa c ba4. f = − f ab Como herramientas para el ca´lculo de primitivas, hemos estudiado en eltema anterior el m´etodo de integraci´on por partes y los m´etodos de sustituci´on.Volvemos a recoger a continuaci´on estos resultados pero aplicados a la integraldefinida.Teorema 6.1.8 (Cambio de variable directo) Sean g continua en [a, b]y tal que g existe y es continua, y sea f continua entre g(a) y g(b), entonces: b g(b) f (u)du f (g(x))g (x)dx = a g(a) E.T.S.I.Informa´tica

6.1. Integracio´n de funciones de una variable. 279La ventaja de usar este resultado, y los siguientes, esta´ en que, para calcularuna integral definida, no necesitaremos completar el proceso de c´alculo de laprimitiva deshaciendo los cambios de variable que apliquemos. Bastara´ conmodificar los l´ımites de integraci´on usando la funcio´n que da el cambio devariable. En el segundo resultado de cambio de variable debemos tener en cuentaque la funci´on del cambio debe ser biyectiva.Corolario 6.1.9 (Cambio de variable inverso) Sea f una funci´on con-tinua en [α, β]. Consideremos una funcio´n g : I → [α, β] biyectiva, continua ycon primera derivada continua. Entonces, β g−1(β) f (x)dx = f (g(u))g (u)du α g−1(α)Ejemplo 6.1.4 En el ejemplo 6.1.2 hemos calculado el ´area de un c´ırculo deradio r utilizando una primitiva que se calcul´o en el tema anterior. Vamos arepetir el mismo c´alculo pero realizando el cambio de n la integral definida.A =4 r r2 − x2dx 0 x = r sen θ (esta funcio´n es biyectiva en [0, π/2]) dx = r cos θdθ x = 0 → θ = 0 x = r → θ = π/2=4 π/2 π/2 Å1 + 1 cos ã dθ 0 2 2 2θ r2 cos2 θdθ = 4r2 0 ïθ òπ/2=4r2 2 + 1 sen 2θ = 4r2 π = πr2 4 4 0Podemos observar que al evitar deshacer los cambios, las expresiones que ma-nejamos son ma´s simples.La t´ecnica de integracio´n por partes tambi´en tiene su enunciado correspon-diente con integrales definidas.Teorema 6.1.10 (Integracio´n por partes) Sean f y g dos funciones ta-les que f y g son continuas, entonces: b ï òb b f (x)g (x)dx = f (x)g(x) − g(x)f (x)dx a aaAparentemente, este resultado no conlleva ninguna ventaja de forma aislada,pero es u´til para usarlo conjuntamente con los cambios de variable.Ingenier´ıa Inform´atica

280 C´alculo para la computaci´onEjemplo 6.1.5 Utilizamos el resultado anterior para calcular la siguiente in-tegral definida π/2 cos x ln sen x dx π/6Para ello, utilizamos el cambio de variable t = sen x, dt = cos x dxLos l´ımite de integraci´on se modifican de la siguiente forma: para x = π/6, elvalor de t es 1/2, mientras que para x = π/2 el valor de t es 1.π/2 1 cos x ln sen x dx = ln t dtπ/6 1/2 u = ln t → du = dt t dv = dt → v = t ï ò1 1 dt = − ln(1/2) − ï ò1 = ln 2 1= t ln t − 1/2 2 2 −2 t 1/2 1/26.1.2. Aplicaciones geom´etricas En esta secci´on vamos a ver algunas aplicaciones geom´etricas de la inte-gral definida: volu´menes de revoluci´on y longitud de curva. En la relaci´on deejercicios se presentara´n algunas ma´s.C´alculo de volu´menes por secciones. Supongamos que tenemos el so´lidoacotado por dos planos perpendiculares al eje OX, X = a, X = b. Supongamosque para cada x ∈ [a, b] conocemos el ´area, A(x), de la secci´on del s´olido por elplano X = x y que la funcio´n A as´ı definida es continua en [a, b]. Si tomamosuna partici´on del intervalo, a = x0 < x1 < . . . < xn = b, el volumen del s´olidose puede aproximar por la suma de los volu´menes de los cilindros de base A(xi)y altura (xi − xi−1): n V ≈ A(xi)(xi − xi−1) i=1Obviamente, estas expresiones son Sumas de Riemann asociadas a la funci´onA(x), y por lo tanto, podemos afirmar que el volumen exacto es: b V = A(x)dx aEn algunos casos, el enunciado del problema dar´a la posici´on del so´lido res-pecto de los ejes coordenados, pero m´as frecuentemente, tendremos que elegirnosotros esta posicio´n, de tal forma que sea fa´cil calcular las a´reas A(x). E.T.S.I.Inform´atica

6.1. Integraci´on de funciones de una variable. 281Ejemplo 6.1.6 Se corta una cun˜a de un tronco (cil´ındrico) de radio 2 dmdando dos cortes con una sierra meca´nica que llegan hasta el centro del tronco.Si uno de los cortes se hace perpendicular y el otro formando un ´angulo de30◦ con el primero, ¿qu´e volumen tendra´ la cun˜a?Para hacer el ca´lculo utilizando el m´etodo de las secciones, situamos el so´lidocomo se muestra en la figura. La base de √la4 cun˜a, perpendicular al eje deltronco, es el interior del semic´ırculo y = − x2. Al hacer los cortes per-ep√se4n√−d3ic(xu42l−ayrexfso2r)amlyaejeeul nO´ara´Xena,gdulaelos lsadeecsce3ic0oc◦ni´oecnsonseoslnaAth(rxiipa´)no=tgeunl√ou23ss(ar4.e−cPto´axrn2gl)o.ulEtoalsnvtcooul,yuasmubeaanlstequureaesquer´ıamos calcular es: V= 2 2 42−√x32 dx = √3 ñ − x3 ô2 = 16 √3 −2 6 4x 3 −2 9 A= −2 Como caso particular, podemos calcular el volumen de s´olidos de revoluci´onusando el m´etodo de los discos. Si consideremos una regi´on plana determinadapor el grafo de una funci´on continua f entre a y b que gira alrededor del ejeOX, el so´lido generado verifica que las seccio´nes perpendiculares al eje OX,son circulos de radio f (x). Por tanto, el volumen del s´olido es: b V = πf (x)2 dx aC´alculo de volu´menes de revolucio´n por capas. Otra forma de generarun so´lido de revolucio´n es girando la regi´on determinada por una funci´oncontinua en un intervalo [a, b] con a ≥ 0, alrededor del eje OY . Para aproximarel valor de este volumen, consideremos una particio´n a = x0 < x1 < . . . <xn = b, y los puntos intermedios xi∗ = xi +xi−1 ; el volumen del s´olido se puede 2aproximar por la suma de los volu´menes de los cilindros cuya base es la coronaIngenier´ıa Inform´atica

282 C´alculo para la computaci´oncircular de radios xi−1 y xi y cuya altura es f (xi∗): n V ≈ f (x∗i )(πxi2 − πxi2−1) i=1 n = πf (xi∗)(xi + xi−i)(xi − xi−i) i=1 n = 2πf (x∗i )xi∗(xi − xi−i) i=1Obviamente, estas expresiones son Sumas de Riemann asociadas a la funcio´n2πxf (x), que es continua por serlo f ; por lo tanto, podemos afirmar que elvolumen exacto es: b V = 2πxf (x) dx a El m´etodo de las secciones es adecuado para s´olidos que no presentanperforaciones, en estos casos sera´ m´as recomendable utilizar el m´etodo de lascapas. Para calcular un volumen utilizando cualquiera de los dos m´etodos,tendremos que situar los ejes de coordenadas de tal forma que el c´alculo delas secciones o de las capas sea lo ma´s simple posible.Otras aplicaciones geom´etricas. Siguiendo la t´ecnica mostrada en losejemplos anteriores, se pueden calcular muchas otras magnitudes: aquellas quese puedan aproximar mediante sumas de Riemannn de una funcio´n continua.Mostramos a continuacio´n otras aplicaciones de la integral. Longitud de una curva parametrizada. Si γ(t) = (x(t), y(t)) es una curva parametrizada diferenciable y con derivada continua en [a, b], su longitud viene dada por la siguiente integral: b» = (x (t))2 + (y (t))2 dt a La expresi´on del integrando se denomina diferencial de longitud » d = (x (t))2 + (y (t))2 dt y expresa co´mo var´ıa la longitud de la curva respecto de la variaci´on del par´ametro. Como caso particular del anterior, la longitud de la gr´afica de una funci´on derivable f , en un intervalo [a, b] es: b» L = 1 + [f (x)]2 dx a E.T.S.I.Informa´tica