Cálculo para la computacion

1.2. Los nu´meros complejos. 45 X2 + Y 2 = 1 X2 − Y 2 = 1 Y Y (cosh θ, senh θ) (cos θ, sen θ) A´ rea= θ/2 A´ rea= θ/2 1X 1XFigura 1.3: Representaci´on de las funciones circulares e hiperb´olicas.2. cosh(z + u) = cosh z cosh u + senh z senh u3. cosh2 z − senh2 z = 14. senh 2z = 2 senh z cosh z5. cosh 2z = cosh2 z + senh2 z6. 2 cosh2 z = 1 + cosh 2z7. 2 senh2 z = cosh 2z − 18. senh z cosh u = 1 (senh(z + u) + senh(z − u)) 29. senh z senh u = 1 (cosh(z + u) − cosh(z − u)) 210. cosh z cosh u = 1 (cosh(z + u) + cosh(z − u)) 2 La justificacio´n de los nombres de estas funciones aparece en la figura 1.3.En el tema siguiente estudiaremos con ma´s detalle la curva que aparece di-bujada a la derecha de esta figura y que se conoce como hip´erbola. Si lascoordenadas de un punto de la circunferencia de radio 1 son las funciones tri-gonom´etricas aplicadas a la medida del arco, las coordenadas de la hip´erbolason las funciones hiperbo´licas.Ingenier´ıa Inform´atica

46 Ca´lculo para la computacio´n1.2.4. Funciones trigonom´etricas A partir de las expresiones para eix y e−ix deducimos expresiones para elseno y el coseno de un nu´mero real x:eix = cos x + i sen x  cos x = eix + e−ix  2     eix − e−ix 2ie−ix = cos x − i sen x  sen x =  Por lo tanto, para definir las funciones trigonom´etricas sobre nu´mero complejosgeneralizando las definiciones sobre nu´meros reales, necesariamente tenemosque partir de estas igualdades.Definicio´n 1.2.18 Sobre el cuerpo C se definen las funciones sen, cos y tgcomo sigue:sen z = eiz − e−iz cos z = eiz + e−iz tg z = sen z 2i 2 cos zIgual que la f´ormula de Moivre se utiliza para deducir expresiones para el senoo coseno de ´angulos mu´ltiples, la definici´on de las funciones trigonom´etricasusando la exponencial compleja permite deducir expresiones para las potenciasdel seno o el coseno. Vemos a continuacio´n un ejemplo: Ç eiθ − e−iθ å3 2isen3 θ = = − 1 Äe3iθ − 3e2iθ e−iθ + 3eiθ e−2iθ − e−3iθ ä 8i = − 1 Äe3iθ − 3eiθ + 3e−iθ − e−3iθ ä 8i = 1 Äe3iθ − e−3iθ − 3(eiθ − e−iθ )ä − 8i = − 1 (2i sen 3θ − 3 · 2i sen θ) 8i = 3 sen θ − 1 sen 3θ 4 4 El siguiente teorema da la expresio´n de estas funciones en t´erminos de suparte real y parte imaginaria.Teorema 1.2.19 1. sen(x + yi) = sen x cosh y + i cos x senh y 2. cos(x + yi) = cos x cosh y − i sen x senh y E.T.S.I.Informa´tica

1.2. Los nu´meros complejos. 47Demostraci´on: sen(x+iy) = 1 (ei(x+iy) − e−i(x+iy)) 2i 1 = 2i (eix−y − e−ix+y) = 1 (e−y (cos x + i sen x) − ey(cos x − i sen x)) 2i 1 1 = 2i (e−y − ey) cos x + 2i (e−y + ey)i sen x = −i 1 (e−y − ey ) cos x + 1 (e−y + ey ) sen x 2 2 = sen x cosh y + i cos x senh y cos(x+iy) = 1 (ei(x+iy) + e−i(x+iy)) 2 1 = 2 (eix−y + e−ix+y) = 1 (e−y (cos x + i sen x) + ey(cos x − i sen x)) 2 1 1 = 2 (e−y + ey) cos x + 2 (e−y − ey)i sen x = cos x cosh y − i sen x senh y 2Proposicio´n 1.2.20 Las funciones seno y coseno verifican las siguientes igual-dades:1. sen −z = − sen z; cos −z = cos z2. sen(z + u) = sen z cos u + cos z sen u3. cos(z + u) = cos z cos u − sen z sen u4. cos2 z + sen2 z = 15. sen(z + 2nπ) = sen z; cos(z + 2nπ) = cos z6. sen(z + π ) = cos z; cos(z + π ) = − sen z 2 27. sen(z + π) = − sen z; cos(z + π) = − cos z; sen(π − z) = sen z; cos(π − z) = − cos z8. sen 2z = 2 sen z cos z9. cos 2z = cos2 z − sen2 z10. 2 cos2 z = 1 + cos 2z11. 2 sen2 z = 1 − cos 2zIngenier´ıa Inform´atica

48 C´alculo para la computaci´on12. sen z cos u = 1 (sen(z + u) + sen(z − u)) 213. sen z sen u = 1 (− cos(z + u) + cos(z − u)) 214. cos z cos u = 1 (cos(z + u) + cos(z − u)) 215. sen z + sen u = 2 sen z + u cos z − u 2 216. sen z − sen u = 2 cos z + u sen z − u 2 217. cos z + cos u = 2 cos z + u cos z − u 2 218. cos z − cos u = −2 sen z + u sen z−u 2 2 Se puede ver que todas estas propiedades coinciden con las que ya cono-cemos para nu´meros reales (y no puede ser de otra manera). Sin embargo,trabajando con nu´meros complejos tenemos una herramienta muy sencilla pa-ra poder deducirlas. E.T.S.I.Inform´atica

1.2. Los nu´meros complejos. 49 Ejercicios b´asicos1. Determine el menor conjunto num´erico al que pertenecen los siguientesnu´meros: √3, √4,0.5, 4, 2 , 6 , π, i2, 2 + 3i, 0.Û3 3 32. Simplifique las siguientes operaciones:(5 + 3i)(2 − i) − (3 + i), (1 − 2i)3, 1 i−17, 5 − 8i i, 3 − 4i3. Resuelva la siguiente ecuaci´on SIN expresar la inco´gnita en su formabin´omica. 2z 2z 5 1+ i 2+i i − =4. Resuelva el siguiente sistema SIN expresar las inc´ognitas en su formabin´omica.  4z + 3w = 23   z + iw = 6 + 8i5. Resuelva la siguiente ecuaci´on SIN expresar la inco´gnita en su forma bin´omica. z2 + 2z − 1 = 06. Exprese en forma polar los siguientes nu´meros i − 1, −1 − i. 1, −1, i, −i, 1 − i, 1 + i,7. Dados z1 = eiπ/4 y z2 = e−iπ/3:a) Calcule el argumento de z1z22 y de z13/z2.b) Calcule la parte real y la parte imaginaria de z12 + iz2.8. Calcule las siguientes exponenciales complejas e1−πi, e2+3πi/4, exp(2 + 7π i). 69. Utilice la fo´rmula de Moivre para probar: sen 5θ = 16 sen5 θ − 20 sen3 θ + 5 sen θ10. Encuentre las tres ra´ıces cu´bicas de (8 + 8i).11. Encuentre todas las soluciones de las siguientes ecuaciones: z2 + 2z + 2 = 0, z3 + 8 = 0, z4 + 5z2 + 4 y factorice en R y en C los polinomios que aparecen en las ecuaciones.Ingenier´ıa Informa´tica

50 C´alculo para la computaci´on12. Calcule el logaritmo de −1.13. Pruebe que log − 1 − i 1 √3 = −i 2π . 2 2 314. Aplique la definici´on para expresar en forma bin´omica los siguientesnu´meros: cosh( π i) y sen( 5 π + i). 4 615. Exprese sen4 θ y cos6 θ en funcio´n des seno y coseno de mu´ltiplos de θ.16. Resuelva las siguientes ecuaciones SIN expresar la inco´gnita es forma bin´omica pero expresando las soluciones de esa forma: cos z = 3 i, senh z = −2 417. Deduzca las siguientes igualdades haciendo uso de la definicio´n de las funciones hiperb´olicas y trigonom´etricas. cosh2 z − senh2 z = 1, 2 cos2 z = 1 + cos 2z18. Para las funciones hip´erbolicas definidas en R demuestre que:d senh x = cosh x, d cosh x = senh x, d tgh x = 1 − tgh2 xdx dx dx E.T.S.I.Informa´tica

1.2. Los nu´meros complejos. 51 Relaci´on de ejercicios (I)1. Calcule el valor num´erico de las siguientes expresiones: 5!, 100! 10! · 5! , (n + 1)! Ç7å 98! , 6! · 8! (n − 1)! , Ç100å Ç3n + 2å Ç1/2å 4, 99 , 3n , 52. Use la fo´rmula del Binomio de Newton para desarrollar en forma po- lino´mica las siguientes expresiones:a) (a + b)7b) (x − 1)4c) Å 2 ã2 2x3 − 5x23. Calcule el valor de a, b, c y d para que se verifique:a) (2 − 3y)3 = 8 − 9y3 + 2aby2 − 2abyb) (x − c)2 + d 2 = x2 + x + 14. Simplifique la operaci´on q(x) − p(x)r(x), en donde: p(x) = 2x + 3, q(x) = x3 − 2x + 1, r(x) = x4 − 1.5. Utilice la t´ecnica de complecio´n de cuadrados sobre las siguientes expre- siones:a) x2 − 2xb) 4x2 + 8x − 16. Obtenga una expresi´on polin´omica centrada en x = 1 a partir del poli- nomio p(x) = x3 − 3x2 + 3x − 1.7. Aplique la t´ecnica de completar cuadrados al polinomio ax2 +bx+c paradeducir la f´ormula de la resoluci´on de ecuaciones de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 =⇒ x = −b ± √ − 4ac b2 2a8. Calcule el cociente y el resto de las siguientes divisiones de polinomios:a) (x4 − 3x2 + 7x − 2) : (x + 1)b) (6x4 − x3 + 3x + 5) : (2x2 + x − 2)Ingenier´ıa Informa´tica

52 Ca´lculo para la computacio´n 9. Averigu¨e el valor de m para que el resto obtenido de la divisio´n del polinomio x4 − 5x2 + mx − 1 entre x + 1 sea −2.10. Factorice el polinomio p(x) = 3x3 − x2 − 7x + 5.11. Halle razonadamente una ecuaci´on de segundo grado, con coeficientes enteros, que tenga por soluciones los nu´meros:a) 2 y − 3 (Sol: x2 + x − 6 = 0) (Sol: 5x2 − 16x + 3 = 0)b) 1 y 3 512. Halle el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes polinomios:a) x(x+2)2(x−1)(x+1)2, x2(3x+3)(x−1) y (3x+2)(4x+4)(x−1)2x2b) x4 + 2x3 − x2 − 2x y 2x3 − x2 − 7x + 613. a) ¿Cua´l es el polinomio de orden 10 en el punto x0 = 3 de la funcio´n f (x) = x3 − 2x2 + 3x − 1? b) ¿Es cierto que el polinomio de Taylor de orden 5 de una funcio´n tiene grado 5 ? c) Si el polinomio de orden 5 de una funci´on f en el punto x0 = −2 es P (x) = x5 − x4 + x3 − x2 + x − 1, ¿Cu´anto vale la derivada tercera de f en “-2”, f (3)(−2)? ¿Podemos conocer el valor exacto de f (0)?14. Calcule los polinomios de Taylor de ordenes 1, 2, 3, 4 y 5 en el punto x0 = 0 de la funcio´n cos x.15. Calcule los polinomios de Taylor de ordenes 1, 2, 3, 4 y 5 en el punto x0 = 1 de la funci´on √x.16. Calcule el polinomio de Taylor de orden 12 de la funci´on f (x) = sen(x2) en el punto x = 0.17. Descomponga en forma de suma de fracciones simples: 2x − 3 8 x−1 x2 − 9 x2 + 6x + 5 x3 + x2 − 6x18. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:  2x − 2λx = 0  x2 + y2 + z2 = 1        2y − 2λy = 0  z − x2 = 1    x2 + 4y2 − 4 = 0  x2 − 5x + 6 = 0    19. Simplifique las siguientes operaciones y exprese el resultado en formabin´omica: 1−i , 5 1 3i − 5 1 3i , 1 (1 + i)2 , i2007 , (1 − i)8 1+i − + 2 E.T.S.I.Inform´atica

1.2. Los nu´meros complejos. 5320. Resuelva la siguiente ecuacio´n SIN escribir la inco´gnita en su forma bin´omica. 3 − zz¯ 2i z + z¯i − 5 =  z −w +u = 3−i   21. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:  z + iw = 6 + 8i   w + 2iu = −i  22. Sin operar la expresi´on, calcule el mo´dulo de: z = (1 + 2i)3(4 − 3i)4 (3 + 4i)4(2 − i)323. Exprese sen 3θ, cos 6θ, sen 4θ y cos 5θ como polinomios en sen θ o en cos θ.24. Encuentre y representa gr´aficamente todas las ra´ıces cuartas de Ä1 − i√3ä25. Encuentre y represente gra´ficamente las ra´ıces quintas del nu´mero com- plejo −1.26. Encuentre todas las soluciones (reales y complejas) de las siguientes ecua- ciones: x2 + x + 1 = 0, y4 + 91 = 0, z4 + 1 = 0, y factorice en R y en C los polinomios que aparecen en las ecuaciones.27. Calcule los logaritmos neperianos de los siguientes nu´meros complejos, indicando cual es el logaritmo principal 2, −5, i, i − 1, 1 + i√3, Ä√3 − i√3ä228. Exprese cos4 θ, sen3 θ, cos5 θ y sen6 θ en t´erminos de senos y cosenos de mu´ltiplos de θ.29. Deduzca las siguientes igualdades haciendo uso de la definicio´n de las funciones hiperb´olicas en el cuerpo de los nu´meros complejos. a) senh z cosh u + cosh z senh u = senh(z + u) b) cosh2 z − senh2 z = 1 c) cosh2 z + senh2 z = cosh 2z d) senh z cosh u = 1 (senh(z + u) + senh(z − u)) 2Ingenier´ıa Informa´tica

54 Ca´lculo para la computaci´on Relaci´on de ejercicios (II)1. Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado y comprobar el resul-tado:a) Å 7ã (Sol: x = 1/3) 2(3x − 1) + 3(x − 2) = 4 − 6 x + 6b) 3 − 2x − 5 − 3x = 3− x (Sol: Sin soluci´on) 4 10 5c) x − 3 = 2x − 12 (Sol: Infinitas soluciones) 2 42. Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado:a) x2 − 64 = 0 (Sol: x = ±8) (Sol: x = 0 , 81)b) 3x2 − 243x = 0 (Sol: y = −3)c) 2y2 + 12y = −18 (Sol: Sin soluci´on)d ) 2z2 + 7 = z (Sol: t = 2 , −3)e) 4 − 6 = 2 t−1 t+13. Resuelva las siguientes ecuaciones bicuadradas:y4 + 3y2 + 2 = 0 z4 − 3z2 − 4 = 0 t6 − 7t3 − 8 = 0 (Sol: Sin solucio´n, z = ±2, t = −1 , 2)4. Resuelva las siguientes ecuaciones:a) 3x3 − x2 − 7x + 5 = 0 (Sol: x = 1, −5/3)b) x4 − 4x3 + 7x2 − 12x + 12 = 0 (Sol: x = 2)5. Resuelva las siguientes ecuaciones:a) x · Ä3 − x−5 ä − 2 = x2−2 − x+8 (Sol: = 0, 53 ) 3 6 = ±√5 , 7 ) 4 1 3 1b) (z2 − 5) · (6z2 − 5z + 1) = 0 (Sol: z , 2c) (x + 2)(x + 3) = 2 (Sol: x = −1 , −4)6. Resuelva las siguientes ecuaciones irracionales:a) √ + 1 = 2 (Sol: t = 3) t (Sol: v = 5) (Sol: Sin solucio´n)b) √2v − 1 + √ − 1 = 5 vc) √2w + 8 + √ = 2 w E.T.S.I.Informa´tica

1.2. Los nu´meros complejos. 557. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por los m´etodos de igua- lacio´n, sustitucio´n y reducci´on e interpretar geom´etricamente los resul- tados:a)  2x + 3y = −4 b)  2x + 3y = −4 c)  x+y = 4     x − 2y = 5  4x + 6y = −9  3x + 3y = 12(Sol: a) (x, y) = (1, −2) es la interseccio´n de dos rectas que se cortan.b) Sin soluci´on pues las rectas son paralelas. c) Infinitas solucionespues las dos rectas son coincidentes)8. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: x − 2y + 3z = 7  x − 2y + 3z = 7  x − 2y + 3z = 7      a) 2x − 3y + 5z = 1 b) 2x − 3y + 5z = 1 c) x − 2y + 3z = 7   3x − y − 2z = 4  3x − y + 4z = 4  7x − 8y + z = 2     (Sol: a) (x, y, z) = (−11,−21,−8). b) Sin solucio´n. c) Infinitassoluciones)9. Use la f´ormula del Binomio de Newton para desarrollar en forma po- lin´omica las siguientes expresiones: a) (x − 2)5 b) (1 − 2x)3 c) (z + 1/2)3 d ) (6x − 7x)410. Identifique el binomio de Newton equivalente a los siguientes polinomios: a) x2 − 4x + 4 b) 4x2 − 4x + 1 c) x3 − 3x2 + 3x − 1 d ) 8x3 + 12x2 + 6x + 111. Utilice la t´ecnica de compleci´on de cuadrados sobre las siguientes expre- siones:a) x2 + 4x + 7 (Sol: (x + 2)2 + 3)b) x2 − 9x + 2 Ä 9 ä2 (Sol: x − − 73 ) 2 412. Calcule el cociente y el resto de las siguiente divisio´n de polinomios: (−6x3 + 4x2 + x − 7) : (3x + 2)Ingenier´ıa Informa´tica

56 C´alculo para la computacio´n13. Factorice el polinomio r(x) = 2x3 − 14x + 1214. Simplifique las siguientes fracciones algebraicas:x2 − 3x + 2 (x + 3)2 · (x2 − 1) x3 − 19x − 30x2 + 2x − 3 (x2 − 9) · (x2 + 2x + 1) x3 − 3x2 − 10x15. Opere y simplifique: 35 x2 + x + 6 − x 2 2 + x 3 3x − 2 − x2 − 4 5x + +x2 x+2 6 − x2 x +3 3 (x 1 + x2 − 1 + 25 − x2 1 25 −x− − 4x + + 5)2 10x −16. Exprese los siguientes polinomios en t´erminos de los monomios indicados:a) 2x5 − 3x2 + x − 4 en potencias de (x − 1).b) x3 + 6x2 + 12x + 8 en potencias de (x + 2).17. Halle los polinomios de Taylor de las siguientes funciones en los puntos indicados y de los o´rdenes indicados:a) f (x) = sen x, orden 2n en π/2 b) f (x) = √x, orden 4 en 4c) f (x) = ex sen x, orden 8 en 0 d ) f (x) = tg x, orden 5 en 018. Calcule el polinomio de Taylor de orden 3 de la funcio´n f (x) = e−x sen x en el punto x = 0.19. Descomponga en forma de suma de fracciones simples: x+1 x2 + 3x − 2 4−x x3 + 6x2 + 9x (x + 1)2(x + 2)2 2x2 − x − 3 2x − 1 1 x2 x2 + 3x + 10 (x + 1)(x2 + 1) 1 − x420. Exprese en forma bin´omina las soluciones de la siguiente ecuacio´n: 1 = 2 2 3i + 3 1 2i z + +21. Exprese en forma polar los siguientes nu´meros√3 − i√3, −√3 − i, 1 + i√3, Ä√3 − i√3ä2, −3 + 3i22. Calcule las siguientes exponenciales complejas e15−8i, exp(1 − 5π i), e π i e1− 3π i , 3 2 4 E.T.S.I.Informa´tica

1.2. Los nu´meros complejos. 5723. Utilice la f´ormula de Moivre para probar: cos 8θ = 128 cos8 θ − 256 cos6 θ + 160 cos4 θ − 32 cos2 θ + 1.24. Encuentre y represente gr´aficamente las ra´ıces sextas del nu´mero com- plejo −i.25. Encuentre todas las soluciones (reales y complejas) de las siguientes ecua- ciones: t6 − 2t4 + 4t2, z4 + z2 + 1 = 0 y factorice en R y en C los polinomios que aparecen en las ecuaciones.26. Descomponga en fracciones simples las siguientes expresiones racionales 1 x4 + x3 − 5x − 1 x6 − 2x4 + 4x2 , x4 + 5x2 + 427. Pruebe que: log(5 + 12i) = log 13 + i1.176...28. Exprese en forma bino´mica los siguientes nu´meros: cos( 3 i), senh((1 + i)π/3). 429. Calcule z = x + iy en los siguientes casos: cosh z = −2 y sen z = 2.30. Deduzca las siguientes igualdades haciendo uso de la definici´on de las funciones trigonom´etricas en el cuerpo de los nu´meros complejos. a) sen z cos u + cos z sen u = sen(z + u) b) cos2 z + sen2 z = 1 c) 2 sen z cos z = sen 2z d) cos z cos u = 1 (cos(z + u) + cos(z − u)) 231. Obtenga la expresio´n bin´omica de tgh(x + iy) y de tg(x + iy).32. Deduzca la siguiente expresi´on: tg(z + u) = tg z + tg u . 1 − tg z tg uIngenier´ıa Inform´atica



TEMA 2Sucesiones y series num´ericasObjetivos: Los objetivos son: (1) estudiar la convergencia de las sucesionesnum´ericas; (2) saber aplicar los criterios para estudiar la convergencia de seriesnum´ericas; (3) saber estudiar la convergencia de series de potencias; (4) sabersumar de forma exacta algunas series num´ericas y de potencias; (5) utilizardiversos m´etodos para saber determinar la suma de una serie con un errordeterminado.Prerrequisitos: Manipulaci´on de expresiones y propiedades de las funcioneselementales. Concepto de l´ımite de una funcio´n y c´alculo de l´ımites (regla deL’Hoˆpital).Contenido: Leccio´n 2.1 Sucesiones nume´ricas. Definicio´n, caracter´ısticas y con- vergencia. Estudio de la convergencia y c´alculo de l´ımites. Infinit´esimos equivalentes. Leccio´n 2.2 Series nume´ricas. Definici´on, propiedades elementales y suma de series. Criterios de convergencia. Series de potencias y series de Taylor, aplicaciones a la suma y aproximacio´n de series num´ericas.59

60 Ca´lculo para la computacio´nLECCIO´ N 2.1 Sucesiones num´ericas La palabra sucesi´on designa una colecci´on ordenada de objetos, de modoque uno de ellos se identifica como el primero, otro como el segundo, etc. Porlo tanto, una sucesi´on num´erica es una secuencia de nu´meros ordenados.Definicio´n 2.1.1 Una sucesio´n de nu´meros reales es una aplicaci´on a : N →R. 0 1 2 3 ... n ... ↓ ↓ ↓ ↓ ... ↓ ... a0 a1 a2 a3 . . . an . . .Estas funciones se representan con notacio´n de sub´ındices en lugar de conpar´entesis, es decir, al 0 le hace corresponder a0 (en lugar de a(0)), al 1 lehace corresponder a1 (en lugar de a(1)), y as´ı sucesivamente. Los nu´meros reales a0, a1, a2, a3, . . . , an, . . . son los t´erminos de la sucesio´n;an es el t´ermino n-´esimo de la sucesi´on, es decir, el t´ermino que ocupa laposicio´n n y se denomina t´ermino general de la sucesi´on; y la sucesi´on completase denota {an}, o simplemente an. En algunas ocasiones no sera´ posible o nointeresara´ comenzar la sucesi´on con a0, sino en cualquier otro t´ermino, demodo que la sucesi´on ser´a: {ak, ak+1, ak+2, . . . } para algu´n k > 0.Ejemplo 2.1.1 Veamos algunos ejemplos de sucesiones:Los t´erminos de la sucesi´on an = 1 con n ≥ 1 son n 1, 1 1 1 . . . , 1 . . . 2, 3, 4, nLos t´erminos de la sucesio´n bn = (−1)n son 1, −1, 1, −1, 1, . . . , (−1)n, . . .Los t´erminos de la sucesio´n cn = 2n − 1 con n ≥ 1 son n2 21 − 1 , 22 − 1 , 23 − 1 , 24 − 1 · · · = 1, 3 , 7 , 15 , . . . 12 22 32 42 4 9 16Los t´erminos de la sucesi´on dn = 1+2 +3+···+n con n ≥ 1 son nn1 , 1 + 2 , 1 +2+ 3 , 1 + 2 + 3 + 4 , · · · = 1, 3 , 2 , 5 , . . .11 22 33 44 4 9 128 E.T.S.I.Inform´atica

2.1. Sucesiones num´ericas. 61 En los ejemplos anteriores, hemos definido la sucesi´on a partir de la fo´rmu-la que proporciona el t´ermino general. Sin embargo, existen otras formas deexpresar o dar a conocer los t´erminos de una sucesi´on. Una de ellas es uti-lizando una propiedad caracter´ıstica. Por ejemplo, la sucesi´on de nu´merosnaturales acabados en 7 es {7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, . . . }, la sucesi´on de nu´me-ros pares es {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, . . . }, la sucesio´n de mu´ltiplos de 3 es{3, 6, 9, 12, 15, . . . } o la sucesio´n de nu´meros primos es {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . }. Otra forma de definir una sucesio´n es mediante una ley de recurrenciao fo´rmula que permita calcular un t´ermino a partir de los t´erminos que lepreceden. En este caso sera´ necesario conocer uno o varios t´erminos iniciales.Por ejemplo, la ley de recurrencia:  a1 = 1   an = n + an−1 si n > 1define la sucesi´on {1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, . . . }; cada t´ermino an es la suma de losn primeros nu´meros naturales y tambi´en se puede expresar as´ı: n n(n + 1) 2 an = k = k=1Dependiendo de la ley de recurrencia, a veces es necesario conocer ma´s de unt´ermino de la sucesi´on. Por ejemplo, la ley de recurrencia  a1 = a2 =1   an = an−1 + an−2 si n > 2que define la sucesi´on {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . }, conocida como sucesi´on deFibonacci. Como en el caso anterior, para calcular el t´ermino general de lasucesio´n ser´a necesario resolver la ecuaci´on de recurrencia (contenidos de laasignatura de Matem´atica Discreta) y, en este caso, obtenemos que:an = √15 Ç1 + √5 ån − √15 Ç1 − √5 ån 2 2Definicio´n 2.1.2 Sea an una sucesio´n de nu´meros reales:1. Decimos que an es creciente si an ≤ an+1 para todo n y decimos que es estrictamente creciente si an < an+1 para todo n.2. Decimos que an es decreciente si an ≥ an+1 para todo n y decimos que es estrictamente decreciente si an > an+1 para todo n.Ingenier´ıa Inform´atica

62 C´alculo para la computacio´nDe forma gen´erica, decimos que una sucesi´on es mon´otona si verifica algunade las propiedades de la definici´on anterior. Para estudiar la monoton´ıa deuna sucesi´on, tenemos que probar que se verifica una determinada desigual-dad; para ello, podemos utilizar m´etodos de demostraci´on como induccio´n oreduccio´n al absurdo o simplemente las propiedades de la relacio´n de orden.Ejemplo 2.1.2 Vamos a analizar la monoton´ıa de las sucesiones del ejem-plo 2.1.1.1. La sucesi´on an = 1 es estrictamente decreciente: n n<n+1 n n 1 < 1 + 11 n+1 < n La segunda y tercera desigualdades se deducen a partir de las propieda- des de la relaci´on de orden entre nu´meros reales que hemos recordado en el tema anterior; en concreto, la propiedad de compatibilidad de la relaci´on con el producto.2. La sucesi´on bn = (−1)n no es mon´otona: b1 = −1 < b2 = 1, pero b2 = 1 > b3 = −1.3. La sucesio´n dn = 1+2+3+···+n es estrictamente decreciente. En nn lugar de analizar directamente la desigualdad dn+1 < dn vamos a ana- lizar dn+1 < 1, que es equivalente, ya que dn una sucesio´n de t´erminos positivdons. dn+1 = (1 + 2 + 3 + · · · + n + (n + 1))nn dn (1 + 2 + 3 + · · · + n)(n + 1)n+1 = 2(n + 1)(n + 2)nn 2n(n + 1)(n + 1)n+1 Ç ån = n+2 n n 1 n(n + 1) + < 1 · 1n = 1 La desigualdad del desarrollo anterior se basa en que n+2 < 1, lo n(n + 1) E.T.S.I.Informa´tica

2.1. Sucesiones num´ericas. 63 cual es cierto para todo n ≥ 2: n≥2 n2 > 2 n + n2 > n + 2 n(n + 1) > n + 2 1 > n+2 n(n + 1) Como puede comprobarse en el u´ltimo apartado del ejemplo anterior, lasdemostraciones de monoton´ıa pueden ser bastante complicadas y requerir laaplicaci´on de diversas t´ecnicas. El siguiente resultado aporta una t´ecnica ma´sa este tipo de problemas.Teorema 2.1.3 Si f : R → R es una funci´on creciente en [0, ∞), entonces lasucesi´on an = f (n) es creciente.Ejemplo 2.1.3 Vamos a usar este resultado para estudiar la monoton´ıa de 2n − 1la sucesio´n cn = n2 del ejemplo 2.1.1. Por tanto, vamos a considerar lafunci´on f (x) = 2x − 1 y para estudiar su monoton´ıa, vamos a analizar el signo x2de su derivada. f (x) = 2x − 1 x2 f (x) = 2xx2 log 2 − 2x(2x − 1) x4 f (x) = 2x (x log 2 − 2) + 2 x3 x3“Ordenar” los factores y t´erminos de f (x) es la parte complicada del proceso; 2la derivada es positiva si x > log 2, ya que en ese caso todos los elementos dela expresio´n son positivos: x>0 =⇒ 2x >0 x3 x>0 =⇒ 2 x3 2 =⇒ x log 2 − 2 > 0 x > log 2Por lo tanto, f es creciente en [2, ∞) y en consecuencia cn es creciente sin ≥ 2.Ingenier´ıa Inform´atica

64 Ca´lculo para la computacio´nDefinicio´n 2.1.4 Sea an una sucesio´n de nu´meros reales: 1. Decimos que an est´a acotada superiormente si el conjunto {an | n ∈ N} est´a acotado superiormente; es decir, si existe un nu´mero real M tal que an ≤ M para todo n. 2. Decimos que an est´a acotada inferiormente si el conjunto {an | n ∈ N} est´a acotado inferiormente; es decir, si existe un nu´mero real M tal que M ≤ an para todo n. 3. Decimos que an est´a acotada si el conjunto {an | n ∈ N} est´a acotado superior e inferiormente; es decir, si existe un nu´mero real positivo M tal que |an| ≤ M para todo n.Ejemplo 2.1.4 En el ejemplo 2.1.1, las sucesiones an, bn y dn esta´n acotadas,y la sucesi´on cn esta´ acotada inferior pero no superiormente.2.1.1. Convergencia de una sucesi´on La caracter´ıstica m´as importante que se estudia en una sucesio´n es su com-portamiento a largo plazo, es decir, la tendencia de los t´erminos de la sucesio´nhacia un valor l´ımite. Esta posible propiedad se denomina convergencia.Definicio´n 2.1.5 Sea an una sucesio´n.1. Decimos que ∈ R es el l´ımite de la sucesi´on an si para todo ε > 0,existe un nu´mero natural N tal que |an − | < ε para todo n ≥N (v´ease la figura 2.1). En tal caso escribimos l´ım an = l´ım an =y decimos que an es convergente y converge a . Si la n→∞ sucesi´on no esconvergente, decimos que es divergente.2. Decimos que +∞ es el l´ımite de la sucesi´on an si para todo M ∈ R, existe un nu´mero natural N tal que an > M para todo n ≥ N . En tal caso, decimos que an diverge a +∞ y escribimos l´ım an = +∞.3. Decimos que −∞ es el l´ımite de la sucesi´on an si para todo M ∈ R, existe un nu´mero natural N tal que an < M para todo n ≥ N . En tal caso, decimos que an diverge a −∞ y escribimos l´ım an = −∞. E.T.S.I.Informa´tica

2.1. Sucesiones num´ericas. 65 R +ε −ε 1 2 3 4 5 ... N ... NFigura 2.1: Si l´ım an = entonces para n ≥ N los t´erminos de la sucesio´ndistan de menos de ε unidades. En adelante utilizaremos la siguiente notaci´on: R = R ∪ {−∞, +∞}; esteconjunto se denomina R ampliado. La definicio´n de l´ımite no da ninguna clave para calcular el l´ımite de unasucesi´on, solo nos da una propiedad para verificar si un nu´mero es o no l´ımi-te. En estos casos, es necesario deducir propiedades que ayuden a establecert´ecnicas de c´alculo de l´ımite.Proposicio´n 2.1.6 Una sucesio´n convergente tiene un u´nico l´ımite. En la mayor´ıa de los casos, las propiedades algebraicas del l´ımite que vemosen los pro´ximos resultados sera´n suficientes para abordar el ca´lculo de l´ımites.Proposicio´n 2.1.7 Sean an y bn dos sucesiones convergentes a y m respec-tivamente; entonces:1. l´ım(an + bn) = + m2. l´ım anbn = · m3. Si bn =0 para todo n y m = 0, entonces l´ım 1 = 1 . bn m4. Si bn >0 para todo n≥N y m = 0, entonces l´ım 1 = +∞ bn5. Si bn <0 para todo n≥N y m = 0, entonces l´ım 1 = −∞ bn Esta proposicio´n se generaliza a l´ımites infinitos con la proposicio´n siguien-te. En el enunciado de la misma vamos a utilizar varias expresiones donde seutiliza el s´ımbolo ∞; tales expresiones deben considerarse como abreviaturas;por ejemplo, +∞ + = +∞ debe leerse como sigue: el l´ımite de una sucesi´onque es suma de una sucesi´on divergente a +∞ y otra convergente a , es +∞.Ingenier´ıa Inform´atica

66 Ca´lculo para la computacio´nProposicio´n 2.1.8 Las siguientes igualdades simb´olicas son v´alidas:1. ±∞ + = ±∞2. (+∞) + (+∞) = (+∞), (−∞) + (−∞) = (−∞).3. (+∞)(+∞) = +∞, (−∞)(−∞) = +∞, (+∞)(−∞) = −∞.4. 1/(±∞) = 0 Como se puede ver, las siguientes situaciones no est´an contempladas en laproposici´on anterior y, por tanto, no pueden resolverse directamente: Å ∞ ã Å0ã ∞ 0, , (0 · ∞), ((+∞) − (+∞)).Si, en una primera evaluacio´n, nos encontramos con uno de estos casos, dire-mos que el l´ımite est´a indeterminado (a priori). En estos casos necesitaremosrealizar transformaciones algebraicas que conviertan la expresi´on de la suce-sio´n en otra que s´ı permita calcular el l´ımite. Este tipo de problemas se conocecomo c´alculo de l´ımites y para su resolucio´n, se estudian algunos t´ecnicas ycriterios de convergencia. Un tipo de expresiones que no hemos considerado en los resultado anterio-res son las de la formaan = xnyn; para trabajar con ellas usaremos siempre lasiguiente igualdad: xnyn = eyn log xnTeniendo en cuenta que la funcio´n exponencial es continua en R, y quel´ım ex = +∞, y l´ım ex = 0, podemos escribir que:x→+∞ x→−∞ l´ım xnyn = el´ım(yn log xn)Este razonamiento se basa en el teorema 2.1.19 que estudiaremos ma´s adelante.En estas sucesiones, surgen tres nuevos tipos de indeterminaciones, 1∞, ∞0, 00,ya que se reducen a la indeterminacio´n 0 · ∞ en el exponente de la igualdadanterior.Ejemplo 2.1.5 La sucesi´on an = 1 del ejemplo 2.1.1 es convergente y su nl´ımite es 0 aplicando la propiedad 4 de la proposici´on 2.1.8. A partir de ella,podemos deducir el l´ımite de cualquier expresi´on racional sin m´as que aplicarlas propiedades de la proposicio´n 2.1.7. E.T.S.I.Informa´tica

2.1. Sucesiones num´ericas. 67Ejemplo 2.1.6 La eliminaci´on de indeterminaciones se basa fundamental-mente en la transformacio´n de la expresio´n de una sucesi´on de forma que laspropiedades algebraicas s´ı puedan ser aplicadas. Por ejemplo, si miramos la n2 − 1sucesio´n an = n2 + 1 como el cociente de los polinomios n2 − 1 y n2 + 1cuyos l´ımites son +∞, no podemos aplicar la propiedad sobre el cociente desucesiones, sin embargo la sucesi´on puede ser transformada como sigue: an = n2 − 1 = 1 − 1 ; n2 + 1 1 + n2 1 n2ahora, las sucesiones del numerador y denominador convergen a 1, y por lotanto, s´ı podemos aplicar la propiedad sobre el cociente de sucesiones. l´ım n2 − 1 = l´ım 1 − 1 = 1 =1 n2 + 1 1 + n2 1 1 n2Proposicio´n 2.1.9 Toda sucesi´on convergente est´a acotada. Sin embargo, no todas las sucesiones acotadas son convergentes. Por ejem-plo, la sucesi´on an = (−1)n es acotada pero no es convergente.Proposicio´n 2.1.10 Toda sucesi´on mon´otona y acotada es convergente y, enparticular, se verifica Toda sucesi´on creciente y acotada superiormente es convergente. Toda sucesi´on decreciente y acotada inferiormente es convergente. Toda sucesi´on creciente y no acotada superiormente diverge a +∞. Toda sucesi´on decreciente y no acotada inferiormente diverge a −∞.Ejemplo 2.1.7 La sucesio´n an = n es creciente y no acotada y por tanto, 1l´ım n = +∞. La sucesio´n bn = n es decreciente y acotada inferiormente y enconsecuencia convergente. Por la proposici´on 2.1.8 podemos afirmar que: l´ım 1 = 0 n En el tema anterior, presentamos el cuerpo de los nu´meros reales como elu´nico cuerpo ordenado y completo. La propiedad de completitud es justamentela que acabamos de enunciar: toda sucesi´on mon´otona y acotada es convergen-te. Por lo tanto, esta debe ser la propiedad que nos permita construir todos losnu´meros reales; concretamente, podemos establecer un propiedad ma´s fuerte:todo nu´mero real puede ser construido como l´ımite de una sucesi´on mon´otonade nu´meros racionales. Los nu´meros racionales pueden ser operados siempre deIngenier´ıa Inform´atica

68 C´alculo para la computaci´onforma exacta usando su expresio´n decimal; sin embargo, los numeros irracio-nales no pueden ser expresados de esta forma, ya que la secuencia de decimaleses siempre infinita y no es peri´odica. Por esta razo´n, para muchas aplicacionespra´cticas, es necesario trabajar con aproximaciones de los nu´meros irraciona-les, y al forma de determinar estas aproximaciones es construyendo sucesionesmono´tonas que converjan al nu´mero dado. Este es el principal objetivo de laleccio´n siguiente, en donde aprenderemos a construir sucesiones convergentesa un nu´mero real dado y a controlar la precisio´n de sus aproximaciones.Ejemplo 2.1.8 Consideramos la sucesio´n an definida recursivamente por  = 2 a0 an+1 = an + 1 si n≥0 2 anLos t´erminos de esta sucesio´n son nu´meros qruaeciosunal´lıems;itveaemso√s 2a. demostrar quean es decreciente, acotada inferiormente y En primer lugar, demostramos por induccio´n que la sucesi´on esta´ acotadainferiormente por 1 y superiormente por 2:(i) 2 ≥ a0 = 2 > 1.(ii) Supongamos que 1 ≥ ak ≥ 2 y demostremos la desigualdad para ak+1: 1 ≤ ak ≤ 2 11 ≤1 2 ≤ ak ≤1 1 2≤ ak 1 2 ak 1 ≤ ak + ≤ 2 2 1 ≤ ak+1 ≤ 2 En el penu´ltimo paso, hemos sumado, miembro a miembro, las desigual- dades de las dos l´ıneas anterioresPor lo tanto, efectivamente 1 ≤ an ≤ 2 para todo n. Para demostrar el decrecimento de la sucesi´on, observamos en primer lugarque 1 1 a2n − 2 an an 2an an − an+1 = an − an − = an − = 2 2Por lo tanto, solo tenemos que demostrar que an2 ≥ 2 para todo n. Estadesigualdad la vamos a demostrar tambi´en por induccio´n.Trivialmente a20 = 4 > 2; si a2k ≥ 2, entonces a2k+1 = Ç + 1 å2 = ak2 + 1 +1 (∗) 2 an−1 1 +1 = 2 ak ak 4 ak2 2 an−1 2 ≥ E.T.S.I.Inform´atica

2.1. Sucesiones num´ericas. 69La desigualdad (∗) es consecuencia de que x2 + y2 ≥ 2xy para todo x, y ∈ R,ya que (x − y)2 ≥ 0 x2 − 2xy + y2 ≥ 0 x2 + y2 ≥ 2xyPor lo tanto, la sucesio´n an es decreciente y acotada y en consecuencia esconvergente. Supongamos que = l´ım an; entonces an+1 tambi´en converge ay por lo tanto: 1 1 an = l´ım an+1 = l´ım an + = 2 + 2y por lo tanto el nu´mero verifica que 2 = 2, es decir, = √2. El nu´mero √2 no es un nu´mero racional y, por lo tanto, solo podemos tra-bajar con ´el usando esta representacio´n o bien utilizando alguna aproximaci´on,como la que podemos obtener a partir de la sucesio´n del ejemplo anterior. Enlteacmcibo´in´ensi√gu2iepnetreo, veremos c´omo determinar otras sucesiones cuyo l´ımite sea que sean m´as eficientes como m´etodo de aproximaci´on paraese nu´mero. Hemos afirmado que √2 no es un nu´mero real, pero no hemos justificadoesta afirmaci´on. Vamos a dar una demostracio´n formal usando el m´etodo dereducci´on al absurdo, es decir, Svai m√o2seas suponer que s´ı es racional para obteneruna conclusi´on contradictoria. racional, entonces existen dos naturales p2p y q “primos entre s´ı” y tales que 2 = q2 ; en tal caso, p2 = 2q2 (2.1)y 2 divide a p2 y en consecuencia a p, pudiendo escribir p = 2k; deducimosentonces que: 4k2 = 2q2 y de ah´ı: 2k2 = q2;por lo tanto, 2 divide a q2 y en consecuencia a q, lo cual es contradictorio conla elecci´on de p y q como nu´meros prims entre s´ı.Ejemplo 2.1.9 La sucesi´on an = Å + 1 ãn 1 nes una sucesi´on creciente y acotada y en consecuencia es convergente. El l´ımitede esta sucesi´on es un nu´mero irracional y transcendente (es decir, no es ra´ızde ningu´n polinomio de coeficientes racionales). As´ı se define el nu´mero deno-tado por e y que es base del logaritmo neperiano y de la funci´on exponencial.Ingenier´ıa Inform´atica

70 C´alculo para la computaci´onPodemos aproximar el valor de este nu´mero tomando valores suficientementealtos de n; en las lecciones siguientes aprenderemos otras formas ma´s eficientespara hacerlo. En concreto, las cinco primeras cifras significativas del nu´meroe son: e ≈ 2.7182 . . . . El nu´mero e se puede utilizar para calcular l´ımites de sucesiones que con-ducen a la indeterminacio´n 1∞. Para ello, utilizamos una generalizaci´on dell´ımite que hemos visto en el ejemplo anterior.Proposicio´n 2.1.11 Si xn es una sucesi´on divergente a ±∞, entonces Å 1 ãxn = e l´ım 1 + xnEjemplo 2.1.10l´ım Ç 3n å2n = l´ım Ç + 1 å2n 3n − 1 1 3n − 1 = l´ım Ç + 1 å3n−1 2n/(3n−1) 1 3n − 1 = e2/3Ejemplo 2.1.11 La sucesi´on an = 1 + 1 + · · · + 1 − log n 2 nes una sucesi´on decreciente y acotada y, en consecuencia, convergente. El l´ımi-te se denomina constante de Euler, se denota por γ y su valor aproximado es0.577 . . . . De la constante γ de Euler se conocen muchas menos propiedades que parael nu´mero ‘e’ o el nu´mero π; por ejemplo, no se sabe au´n si este nu´mero esracional. Tambi´en se puede utilizar para calcular otros l´ımites.Ejemplo 2.1.12l´ım 1 + 1 + · · · + 1 = l´ım an + log n = Ç an å Ç å 2 n log n l´ım log n +1 = γ +1 =1 log n ∞Criterios de convergencia Hasta ahora, para calcular los l´ımites, nos he-mos l´ımitado ha “reescribir” el t´ermino general para poder aplicar las propie-dades algebraicas o usar l´ımites conocidos. Esta t´ecnica puede resultar insufi-ciente en muchos casos, as´ı que necesitamos abardar otro tipo de resultados. E.T.S.I.Informa´tica

2.1. Sucesiones num´ericas. 71 Los resultados que vemos a continuaci´on establecen condiciones para unasucesi´on que permitan concluir su convergencia o divergencia. Para aplicarestos resultados, debemos asegurarnos de que todas las condiciones exigidasen el criterio son verificadas.Teorema 2.1.12 (Teorema de Compresio´n) 1. Sean an, bn y cn tres sucesiones tales que an ≤ cn ≤ bn y l´ım an = l´ım bn = ∈ R; entonces, l´ım cn = .2. Sea an una sucesi´on convergente a 0 y bn una sucesi´on acotada; entonces, l´ım anbn = 0.Ejemplo 2.1.13 Para estudiar la convergencia de la sucesi´on cn = 1 1 + 1 2 + ·· · + n2 1 n n2 + n2 + +buscamos dos sucesiones convergentes y con el mismo l´ımite que permitanacotar el t´ermino general de la sucesi´on cn: 0 ≤ 1 1 + 1 2 + ··· + n2 1 n ≤ 1 1 = n 1 n2 + n2 + + n n2 + n2 +La desigualdad de la izquierda es consecuencia de que cada sumando es posi-tivo. La desigualdad de la derecha se deduce de que cada sumando es menorque el primero, n≥1 n2 + n ≥ n2 + 1 11 n2 + n ≤ n2 + 1 .Dado que l´ım 0 = 0 = l´ım n 1, podemos deducir, aplicando el primer apar- n2 +tado del teorema 2.1.12, que l´ım cn = 0.Ejemplo 2.1.14 Aplicando el segundo apartado del teorema 2.1.12, podemosdeducir que sen n n l´ım = 0,pues la sucesio´n an = sen n se puede expresar como producto de una sucesi´on nacotada (sen n) por otra sucesio´n ( ) convergente a 0. 1 n El siguiente resultado se aplica en el ca´lculo de l´ımites de sucesiones y seasemeja bastante a la regla de L’Hoˆpital utilizada en el c´alculo de l´ımites defunciones.Ingenier´ıa Inform´atica

72 C´alculo para la computacio´nTeorema 2.1.13 (Criterio de Sto¨ltz-Cesaro) Sea bn una sucesi´on cre-ciente y divergente a +∞ y sea an otra sucesi´on: si el l´ımite l´ım an+1 − an bn+1 − bnexiste, entonces el l´ımite l´ım an tambi´en existe y ambos coinciden. bnEjemplo 2.1.15 Consideremos la sucesi´on 1+2+...n que verifica las con- n2diciones del teorema 2.1.13. Entonces l´ım 1+2+...n = l´ım n+1 = l´ım n+1 = 1 n2 (n + 1)2 − n2 2n + 1 2. Obs´ervese en el ejemplo anterior, la conveniencia de aplicar este criteriocuando la sucesi´on del numerador o del denominador esta´ constituida por unasuma de t´erminos. Sin embargo, debemos tener en cuenta que aunque esteresultado se suele aplicar en forma de igualdad, l´ım an = l´ım an+1 − an , bn bn+1 − bnsi al estudiar el l´ımite del segundo miembro deducimos que no existe, entoncesno podemos concluir que el l´ımite del primer miembro tampoco exista; en estassituaciones debemos desestimar el uso de este criterio e intentar otro m´etodo.Ejemplo 2.1.16 Sean an = (−1)n y bn = n (bn es creciente y divergente a+∞); en este caso, la sucesio´n an+1 − an es la sucesio´n {−2, 2, −2, . . . } que bn+1 − bnes divergente y, sin embargo, la sucesio´n an = (−1)n es convergente a 0. bn nCorolario 2.1.14 (Criterio del cociente) Sea xn una sucesi´on de t´ermi-nos positivos , entonces, l´ım √n xn = . tal que l´ım xn+1 = xnEste resultado es, efectivamente, una consecuencia del Criterio de Stoltz eigualmente se suele escribir como una igualdad: l´ım √ = l´ım xn+1 n xn xnSin embargo, debemos tener en cuenta que puede existir el l´ımite del primermiembro y no existir el l´ımite del segundo.Ejemplo 2.1.17 Si reescribimos la sucesi´on an = √ utilizando la funcio´n nnlogaritmo, observamos que una primera evaluaci´on de su l´ımite nos conduce auna indeterminaci´on Å log nã n l´ım √ = l´ım exp = exp(0 · ∞) nn E.T.S.I.Informa´tica

2.1. Sucesiones num´ericas. 73Sin embargo, podemos utilizar el criterio del cociente para su c´alculo, ya que l´ım n + 1 = 1 ny en consecuencia l´ım √ = l´ım n + 1 = 1 nn n El estudio de la convergencia y el ca´lculo del l´ımite de una sucesi´on est´a re-lacionado con el comportamiento de los t´erminos de la sucesi´on a largo plazo;por tanto, no es necesario que las condiciones que se exigen en los criterios an-teriores se verifiquen para todos los t´erminos de la sucesi´on, es suficiente queesto ocurra a partir de un t´ermino determinado. Por ejemplo, si un criterioexige que la sucesio´n sea creciente, no importara´ que los primero t´erminos noverifican esta propiedad, ser´a suficiente si la sucesio´n es creciente partir de unt´ermino.Subsucesiones Una subsucesio´n es un subconjunto de t´erminos de la suce-sio´n ordenados de la misma forma y que constituyen una nueva sucesi´on. Lautilidad de las subsucesiones es estudiar el l´ımite de una sucesio´n por casos.Definicio´n 2.1.15 Decimos que la sucesi´on bn es una subsucesi´on de an siexiste una aplicaci´on f : N → N estrictamente creciente tal que: bn = af(n).La condicio´n de crecimiento de f asegura que el orden de los t´erminos de lasubsucesi´on es el mismo que el de los t´erminos de la sucesio´n de origen. Por ejemplo, para una sucesi´on cualquiera, an, los t´erminos correspondien-tes a los ´ındices pares forman una subsucesio´n, a2n = {a2, a4, a6, a8, a10, a12, . . . };e igualmente, los t´erminos correspondientes a los ´ındices impares, a2n−1 = {a1, a3, a5, a7, a9, a11, . . . }Ejemplo 2.1.18 La aplicaci´on f (n) = n2 − 1 es creciente, y por lo tanto, (−1)nan2−1 es una subsucesio´n an. Para an = n esta subsucesi´on es: −1 , 1 −1 , 1 −1 , 1 . . . 3 8, 15 24 , 35 48 ,Los resultados fundamentales sobre sucesiones son los siguientes.Teorema 2.1.16 Una sucesi´on an converge a ∈ R si y solo si toda subsu-cesi´on converge a .Ingenier´ıa Informa´tica

74 C´alculo para la computacio´nCorolario 2.1.17 Si bn y cn son subsucesiones de an tales que l´ım bn =l´ım cn, entonces la sucesi´on an no es convergente.Este es el primer criterio de convergencia que hemos visto cuya conclusi´on esque una sucesi´on no es convergente.Proposicio´n 2.1.18 Supongamos que dos subsucesiones bn y cn de an veri-fican que l´ım bn = l´ım cn = y {an} = {bn} ∪ {cn}; entonces, l´ım an = .Este resultado se puede generalizar a cualquier familia “finita” de subsucesio-nes que recubra la sucesi´on completa.Ejemplo 2.1.19 Hemos mencinado anteriormente que la sucesi´on an = (−1)nno es convergente, pero ahora disponemos de una herramienta sencilla parademostrarlo: bn = a2n = (−1)2n = 1 =⇒ l´ım bn = 1 cn = a2n+1 = (−1)2n+1 = −1 =⇒ l´ım cn = −1Ejemplo 2.1.20 Consideremos la sucesio´n an = cos(nπ/2) . Las cuatro sub- nsucesiones a4n−1, a4n−2, a4n−3 y a4n son convergentes a 0 y constituyen unaparticio´n (clasificaci´on exhaustiva y excluyente) de los t´erminos de la sucesi´on cos(nπ/2)an. Por lo tanto, l´ım n = 0.Convergencia de sucesiones y funciones Los conceptos de l´ımite desucesio´n y l´ımite de funci´on est´an estrechamente relacionados. De hecho, laconvergencia de funciones se puede definir en t´erminos de l´ımites de sucesiones:Teorema 2.1.19 (Caracterizacio´n secuencial) Consideremos una fun-ci´on f: D ⊆ R → R y a ∈ R. l´ım f (x) = ∈ R si y solo si: para toda x→asucesi´on {xn} ⊂ D, con xn = a para todo n, y l´ım xn = a, severifica que l´ım f (xn) = . Si trabajamos con funciones continuas, entonces podemos sustituir porf (a) en el teorema. Este resultado tiene importantes consecuencias pra´cticasrespecto del ca´lculo de l´ımites si lo usamos junto con el siguiente.Teorema 2.1.20 1. Todas las funciones elementales (ver secci´on 2.2.5) son continuas en su dominio. E.T.S.I.Informa´tica

2.1. Sucesiones num´ericas. 75 2. Si una funci´on est´a determinada, en un entorno de un punto a, por operaciones algebraicas (suma, producto, cociente y composici´on) entre funciones elementales, entonces la funci´on es continua en a. En la pagina 66 utilizamos estos resultados para justificar la forma en laque estudiamos las sucesiones potenciales-exponenciales: l´ım xnyn = exp(l´ım(yn log xn))Ejemplo 2.1.21 πn − 1 π √3 2 + 3n 3 2 l´ım sen = sen =ya que l´ım sen πn − 1 = π , l´ım sen x = sen π y la funci´on seno es continua 2 + 3n 3 3en R. x→π/3Ejemplo 2.1.22 Tambi´en podemos usar la caracterizacio´n secuencial parademostrar que una funci´on no tiene l´ımite en algu´n punto. Por ejemplo, as´ı po-demos probar fa´cilmente que la funci´on sen x NO tiene l´ımite en +∞, es decir,“ l´ım sen x no existe”. Para ello, tomamos dos sucesiones divergentes a +∞: x→+∞ xn = 2πn yn = π + 2πn 2Dado que: l´ım sen xn = l´ım 0 = 0 = 1 = l´ım 1 = l´ım sen ynpodemos concluir que la funci´on sen x no tiene l´ımite en +∞. Otra importante consecuencia de la caracterizacio´n secuencial es que pode-mos utilizar todos los m´etodos de c´alculo de l´ımites de funciones en sucesiones,por ejemplo, la regla de L’Hˆopital.Ejemplo 2.1.23 Para calcular el l´ımite de sucesiones l´ım log n consideramos elcorrespondiente l´ımite de funciones l´ım log x y aplicamos n x→∞ x la regla de L’Hˆopitalpara obtener el resultado: l´ım log x = l´ım 1/x = l´ım 1 = 0 x 1 x x→∞ x→∞ x→∞Como consecuencia de la caracterizaci´on secuencial l´ım log n = 0. n Obs´ervese que, en el ejemplo anterior, no se ha aplicado la regla de L’Hˆopitalen el l´ımite de sucesiones sino en un l´ımite de funciones. Es decir, cambiar lan por la x no es un simple cambio de letra, con ´el representamos el cambio deconsiderar la expresi´on como funcio´n en lugar de como sucesio´n.Ingenier´ıa Inform´atica

76 Ca´lculo para la computacio´nInfinit´esimos e infinitos equivalentes La equivalencia de sucesiones esla u´ltima herramienta que introducimos para el c´alculo de l´ımites, aunquetambi´en la utilizaremos en la lecci´on siguiente para el estudio de series.Definicio´n 2.1.21 Dos funciones f y g, son equivalentes en a si l´ım f (x) = 1 g(x) x→aLa equivalencia de funciones es realmente importante en los casos en que lasdos funciones converge a 0 o divergen a ±∞ en a, ya que en ellos la definici´onde equivalencia da indeterminaciones del tipo 0 y ∞ respectivamente. 0 ∞Definicio´n 2.1.22 1. Decimos que la funci´on f (x) es un infinit´esimo en a si l´ım f (x) = 0 y x→a f (x) = 0 en un entorno reducido de a. 2. Decimos que la funci´on f (x) es un infinito en a si l´ım f (x) = ∞. x→aEjemplo 2.1.24 Para ver que sen x y x son dos infinit´esimos equivalentesnecesitamos comprobar que 1. efectivamente son infinit´esimos, l´ım sen x = 0 y l´ım x = 0, x→0 x→0 2. y que son equivalentes, l´ım sen x (L=H) l´ım cos x =1 x 1 x→0 x→0Ejemplo 2.1.25 Las funciones polinomicas son infinitos en a = ∞ y sonequivalentes al mon´omio de mayor grado:l´ım anxn + · · · + a1x + a0 = l´ım 1 + an−1 + · · · + a1 + a0 =1 anxn x xn−1 xnx→∞ x→∞ En el teorema siguiente vemos co´mo se puede utilizar la equivalencia defunciones en el c´alculo de l´ımites de funciones.Teorema 2.1.23 Sean f y g dos infinit´esimos (resp. infinitos) equivalentesen a y h(x) otra funci´on definida en un entorno de a. Entonces: l´ım f (x)h(x)existe si y solo si l´ım g(x)h(x) existe, y en tal caso coinciden. x→a x→a Este teorema justifica la t´ecnica que se conoce como sustituci´on de infi-nit´esimos o infinitos equivalentes ya que, en la pra´ctica, las equivalencias dadas E.T.S.I.Informa´tica

2.1. Sucesiones num´ericas. 77en el enunciado, se convierten en igualdades, de forma que, en las condicionesdel teorema, escribimos: l´ım h(x) = l´ım h(x) f (x) g(x) x→a x→aLos infinit´esimos e infinitos tambi´en pueden sustituirse si aparecen dividiendoal resto de la funcio´n o sucesi´on y en general tendr´ıamos que, en las condicionesdel teorema anterior, y para cualquier α ∈ R: l´ım h(x) = l´ım h(x) (f (x))α (g(x))α x→a x→aNo podemos sustituir infinit´esimos o infinitos en otras situaciones y, en par-ticular, no se pueden sustituir si aparecen como sumando. En el siguienteejemplo, una incorrecta sustituci´on de infinit´esimos nos lleva a un resultadoerr´oneo.Ejemplo 2.1.26 El siguiente desarrollo es incorrecto l´ım x − sen x = l´ım x−x = 0 x3 x3 x→0 x→0pues se han aplicado infinit´esimos equivalentes (sen x ≡ x en 0) en una suma.El l´ımite puede calcularse correctamente utilizando la regla de L’Hˆopital:l´ım x − sen x = l´ım 1 − cos x = sen x = 1 x3 3x2 6x 6x→0 x→0Las equivalencias fundamentales de infinit´esimos son: sen x ≡ x en 0 en 0 tg x ≡ x en 0 1 − cos x ≡ x2 en 0 2 en 0 en 0 arc sen x ≡ x en 0 arc tg x ≡ x ex − 1 ≡ x log(1 + x) ≡ xA partir de estas se pueden obtener muchas otras con los siguientes resultados:Teorema 2.1.24 Sean f y g dos infinit´esimos (resp. infinitos) equivalentesen a y sea h(x) continua en b y tal que h(b) = a. Entonces, f ◦ h y g ◦ h soninfinit´esimos (resp. infinitos) equivalentes en b.Ingenier´ıa Informa´tica

78 Ca´lculo para la computaci´onEn el enunciado anterior, queda impl´ıcito que las composiciones se puedenrealizar en un entorno de b.Proposicio´n 2.1.25 Si f y g son infinit´esimos (resp. infinitos) equivalentesen a y λ ∈ R∗, entonces λf y λg tambi´en son infinit´esimos (resp. infinitos)equivalentes en a.Con estos resultados se pueden deducir otras equivalencias: tg(x2 − 1) ≡ x2 − 1 en 1 ax − 1 ≡ x log a en 0 log x ≡ x − 1 en 1De manera an´aloga a las funciones, podemos definir las sucesiones equivalentesy trabajar con infinit´esimos e infinitos.Definicio´n 2.1.26 Decimos que dos sucesiones an y bn, son equivalentes si l´ım an = 1 bnDefinicio´n 2.1.27 Decimos que la sucesi´on an es un infinit´esimo si l´ım an =0 y an = 0 para todo n ≥ N . Decimos que an es un infinito si l´ım an = ∞.La caracterizacio´n secuencial de l´ımite de funcio´n, permite crear equivalenciasentre sucesiones infinitesimales.Proposicio´n 2.1.28 Sean f y g dos infinit´esimos (resp. infinitos) equiva-lentes en a y an una sucesi´on convergente a ‘a’ y contenida en un entornoreducido de ‘a’. Entonces, f (an) y g(an) son infinit´esimos (resp. infinitos)equivalentes.Ejemplo 2.1.27 La equivalencia sen 1 ≡ 1 n nes v´alida, ya que las dos sucesiones son convergentes a cero y las funcionesf (x) = sen x y g(x) = x son infinit´esimos equivalentes en 0.La F´ormula de Stirling provee una equivalencia de infinitos y que es impres-cindible en muchas ocasiones para trabajar con sucesiones en las que intervieneel operador factorial: nne−n√2πn n! l´ım = 1 E.T.S.I.Inform´atica

2.1. Sucesiones num´ericas. 79Ejemplo 2.1.28 Para calcular el l´ımite de la sucesio´n an = n! utilizamos la nnfo´rmula de Stirling, el criterio de Sto¨ltz y algunas manipulaciones algebraicas: l´ım n! = l´ım nne−n√2πn (F. de Stirling) nn √2πnnn = l´ım »(»e2n2ππ(en(nn+++11−1))−e−n√√22ππnn)((»C2rπit(.nd+e St¨oltz) = l´ım » 1) + √2πn) = l´ım 1)( 2π(n √2πn) en (e − + 1) + Å 2π ã = l´ım en(e − 1)(»2π2(nπ + 1) − √2πn) = ∞ = 0En la cuarta igualdad, hemos multiplicado numerador y denominador por laexpresi´on conjugada a la que aparec´ıa en el numerador; el objetivo es eliminarlas ra´ıces y la indeterminaci´on (∞ − ∞).Ejemplo 2.1.29 El ca´lculo hecho en el ejemplo 2.1.11 demuestra que las su-cesiones 1+ 1 +···+ 1 y log n son infinitos equivalentes. 2 n Aunque habitualmente utilizamos las equivalencias para “sustituir” fun-ciones arbitrarias por polinomios, en algunos ocasiones puede que necesitemosintroducir otro tipo de funciones cuyas propiedades faciliten las simplificacio-nes posteriores mejor que los polinomios. Este es el caso de la funci´on logarit-mo, que puede ayudar a eliminar exponentes. Vamos a utilizar esta idea en elsiguiente ejemplo.Ejemplo 2.1.30 Una primera evaluacio´n del l´ımite que calculamos a conti-nuaci´on conduce a una indeterminaci´on (∞ − ∞). √ √3 n) √   n+1 3n 3n n l´ım( + 1 − = l´ım 3 −1 √   n+1 3n = l´ım log 3 n 1 + 1 = l´ım 3 √ log n n − ã = l´ım 1 3n Ån 1 1 3 √ + 3n n = l´ım 1√ 1 Ç å = l´ım 3 3 nn 1 1 3n2/3 = ∞ = 0Ingenier´ıa Inform´atica

80 Ca´lculo para la computacio´n Tanto en la segunda como en la cuarta igualdad hemos utilizado la equivalencia log x ≡ x − 1, en 1; primero para poder “eliminar” el exponente 1/3 y despu´es para “eliminar” la funcio´n logaritmo. E.T.S.I.Inform´atica

2.1. Sucesiones num´ericas. 81 Ejercicios b´asicos1. Consideremos las siguientes sucesiones: an = (−1)n , bn = n n 1 n + a) Calcule los primeros t´erminos de las sucesiones y deduzca “intuiti- vamente” las caracter´ısticas de las sucesiones (monoton´ıa, acotacio´n y convergencia). b) Estudie formalmente las propiedades de monoton´ıa, acotacio´n y convergencia.2. Consideremos la siguiente sucesi´on definida por:  a1 =1   an = 3an−1 si n > 1 a) Calcule los primeros t´erminos de las sucesiones y deduzca “intuiti- vamente” las caracter´ısticas de las sucesiones (monoton´ıa, acotaci´on y convergencia). b) Determine el t´ermino general de la sucesio´n y calcule su l´ımite.3. Calcule los siguientes l´ımites l´ım n+3 , l´ım n + 3n3 , l´ım 3 − n5 n3 + 4 n3 + 4 n3 + 4 Deduzca la regla que determina el l´ımite del cociente de dos expresiones racionales.4. Consideremos la sucesio´n  = 3 a1 an = √1 + an−1 a) Determine los 5 primeros t´erminos de la sucesio´n. b) Demuestre por inducci´on que la sucesio´n es decreciente. c) Demuestre por inducci´on que 1 ≤ an ≤ 3 para todo n ∈ N. d ) ¿Podemos afirmar que la sucesio´n es convergente? En tal caso, cal- cule su l´ımite.5. Calcule los siguientes l´ımites utilizando las constantes ‘e’ y γ. Å n + 2 ã5−n 1 1 n + 4 , 3 2n + a) l´ım b) l´ım(1 + + ··· + 1)Ingenier´ıa Inform´atica

82 Ca´lculo para la computaci´on6. Utilice el teorema de compresio´n para calcular: l´ım n n k . k=1 n2 +7. Utilice subsucesiones para calcular el l´ımite de la sucesio´n {1, 0, 1 , 1 , 0, 1 , 1 , 0, 1 , . . . , n 3 2 , 0, 1 , . . . } 2 2 4 3 8 + 2n/38. Utilice el criterio de Sto¨ltz y el del cociente para calcular los siguientes l´ımites: a) l´ım log(1 · 2··· · · n) , b) l´ım 1 » + 1)(3n + 2) . . . (3n + n) n log n n n (3n9. Consideremos la sucesi´on an = n 2+(−1)n n a) ¿Es posible utilizar el criterio del cociente para calcula su l´ımite? b) Utilice subsucesiones para calcular su l´ımite.10. Demuestre que no existe el l´ımite l´ım sen 1 y calcule, si es posible, el x→0 x siguiente: l´ım 2 + x 1 sen x→0 x11. Calcule el l´ımite l´ım( √ − √ − 1). 4n 4n E.T.S.I.Informa´tica

2.2. Series Num´ericas. 83LECCIO´ N 2.2 Series Num´ericas Estamos acostumbrados a sumar una cantidad finita de nu´meros (dosnu´meros, tres, cuatro,. . . ) pero ¿es posible sumar un conjunto infinito de nu´me-ros? La intuicio´n nos puede jugar una mala pasada, haci´endonos pensar queal sumar “infinitos” nu´meros se obtendr´a “infinito”. Y, aunque en algunasocasiones sea as´ı, tambi´en es posible que el resultado de sumar “infinitos”nu´meros sea un nu´mero real. Por ejemplo, supongamos que nos colocamos a un metro de distancia aun determinado punto y que nos queremos acercar a ´el dando pasos de lasiguiente forma: cada paso tiene como longitud exactamente la mitad de ladistancia que nos separa del destino. Si fu´eramos capaces de dar pasos “tanpequen˜os”, esta claro que nunca llegar´ıamos a nuestro objetivo, es decir, pormuchos pasos que demos, como mucho recorrer´ıamos 1 metro. Si pudi´esemosdar pasos indefinidamente, la distancia recorrida ser´ıa 1 + 1 + 1 + ··· + 1 + ··· 2 4 8 2ny esta “suma infinita” valdr´ıa exactamente 1. Adema´s de formalizar la nocio´n de suma infinita, en esta leccio´n nos vamosa plantear dos cuestiones. Por un lado, vamos a estudiar condiciones que debencumplir una sucesio´n de nu´meros para poder afirmar que puede ser sumada;por otra parte, en aquellos casos en los que podamos obtener la suma, estu-diaremos si es posible hallar el valor exacto o, en caso contrario, obtendremosvalores aproximados.Definicio´n 2.2.1 Sea an una sucesio´n de nu´meros reales.1. La sucesi´on Sn dada por Sn = a1 + · · · + an ∞ se denomina serie num´erica asociada a an y se denota an. n=12. El nu´mero an se denomina t´ermino n-´esimo de la serie y el nu´mero Sn es la n-´esima suma parcial de la serie.3. Denominaremos suma de la serie al l´ımite, si existe, de la sucesi´on de sumas parciales; si este l´ımite es , escribiremos ∞ an = a1 + · · · + an + · · · = n=1Ingenier´ıa Inform´atica

84 Ca´lculo para la computaci´on Si este l´ımite es un nu´mero real, diremos que la serie es convergente, en caso contrario diremos que es divergente; si el l´ımite es +∞ o −∞, diremos que la serie diverge a +∞ o −∞ respectivamente.4. La convergencia o divergencia de una serie se denomina car´acter de la serie. En la definicio´n anterior hemos considerado que el primer elemento de lasuma es exactamente a1; esto lo hacemos por simplicidad, pero en la pr´acticapodremos iniciar la suma en cualquier t´ermino de la sucesi´on. En estos casos,debemos entender que suma parcial Sn es la suma hasta el t´ermino an. Porotra parte, el sumando incial puede repercutir en el valor de la suma, pero,como veremos m´as adelantes, no influye en el car´acter de la serie.Ejemplo 2.2.1 Consideremos la sucesi´on an = 1 , n ≥ 0. La sucesi´on de 2n ∞ 1sumas parciales de la serie 2n es n=0 Sn = 1 + 1 + · · · + 1 2 2nUtilizando los m´etodos de la leccio´n anterior, concretamente el criterio deSt¨oltz, podemos estudiar la convergencia de la serie: Å 1 1 ã 1 2 2nl´ım Sn = l´ım + + · · · + = l´ım 2n + 2n−1 +· · · + 2 + 1 2n (2n+1 + 2n + 2n−1 + +2+ 1) − (2n + 2n−1 + + 2 + 1) = l´ım · · · 2n+1 − 2n · · · = l´ım 2n+1 = l´ım 2 = 2 2n+1 − 2n 2−1 ∞ 1 2nPor lo tanto, podemos escribir: = 2. n=0Proposicio´n 2.2.2 Si la sucesi´on bn se obtiene a partir de la sucesi´on anan˜adiendo, eliminando o modificando un conjunto finito de t´erminos, entonceslas series asociadas tienen el mismo car´acter. En particular, si an = bm para todo n ≥ N1 y para todo m ≥ N2, entonceslas series asociadas a an y bn tienen el mismo cara´cter. Un ejemplo inmediato ∞donde se ve la importancia de esta propiedad es el siguiente: las series an n=1 ∞y an tienen el mismo car´acter. n=5 E.T.S.I.Informa´tica

2.2. Series Num´ericas. 85 Esta propiedad es de gran utilidad pues nos dice que, al igual que ocurr´ıacon las sucesiones, cuando estudiamos la convergencia de una serie, podemosprescindir de los primeros t´erminos (un conjunto finito cualquiera de ellos).Por ejemplo, si la condicio´n de un teorema es que los t´erminos de la serie seanpositivos, tambi´en podremos aplicar este resultado a una serie cuyos primerost´erminos no los sean, con tal de que, a partir de un t´ermino, “todos los dem´as”sean positivos. Atendiendo a esta propiedad, en adelante, cuando simplemente estemosestudiando el cara´cter de una serie, no ser´a necesario indicar cua´l es el primert´ermino de la misma escribiendo simplemente: an. Sin embargo, a la horade calcular la suma de una serie s´ı es necesario conocer el primer t´ermino.Teorema 2.2.3 (Serie armo´nica) La serie ∞ 1 se denomina serie arm´oni-ca y es divergente a +∞. n=1 nHemos enunciado este resultado como teorema por tratarse de una seriedestacada muy importante en el estudio general de series; sin embargo, ya lodedujimos en la leccio´n anterior en el ejemplo 2.1.11, en donde vimos que la 1sucesi´on de sumas parciales de la serie armo´nica, Sn = 1+ 2 + ··· + 1 , es ndivergente a +∞. ∞∞Teorema 2.2.4 Si la serie an converge a ‘a’ y la serie bn converge a n=1 n=1‘b’, entonces se verifica que ∞1. la serie (an + bn) converge a ‘a + b’, y n=1 ∞2. la serie c · an converge a ‘c · a’, para todo c ∈ R. n=1 Å1 1 ã n 2nEjemplo 2.2.2 La serie + es divergente. Para demostrarlo, vamosa usar el teorema anterior y a razonar por reducci´on al absurdo.Si la serie Å1 + 1ã fuera convergente, entonces, por el teorema ante- n 2nrior, tambi´en lo ser´ıa Ç1 + 1å 1 = 1 n 2n − 2n n,lo cual est´a en contradicci´on con el teorema 2.2.3.Ingenier´ıa Informa´tica

86 Ca´lculo para la computacio´n El razonamiento realizado en el ejemplo anterior se puede generalizar f´acil-mente para demostrar el siguiente resultado ∞∞Corolario 2.2.5 Si an es convergente y bn es divergente, entonces la n=1 n=1∞serie (an + bn) es divergente.n=1Teorema 2.2.6 (Condicio´n Necesaria) Si una serie an es convergente,entonces l´ım an = 0. La demostracio´n de esta propiedad se basa en la siguiente relacio´n entre elt´ermino n-´esimo de la serie y la sucesio´n de sumas parciales: an = Sn − Sn−1Como Sn−1 es una subsucesio´n de Sn que, por hip´otesis es convergente, en-tonces Sn−1 y Sn tienen el mismo l´ımite y, por lo tanto, l´ım an = 0. El resultado anterior se denomina condici´on necesaria de convergencia porque establece que es “necesario” que el t´ermino general converja a 0 para quela ser´ıe pueda ser convergente. Sin embargo, esta condici´on no es suficiente;por ejemplo, la sucesio´n an = 1/n converge a 0, pero la serie asociada esdivergente.Ejemplo 2.2.3 Sabiendo que la sucesi´on de sumas parciales de una serie esSn = ne+n1 podemos averiguar el t´ermino general de la serie an = Sn − Sn−1 = n+1 − n = (1 − e)n + 1 en en−1 enComo l´ım ne+n1 = 0, entonces (por definicio´n) la serie es convergente y, aplican-do la condicio´n necesaria, se obtiene que l´ım (1 − e)n + 1 = 0 en Obs´ervese que este resultado se puede utilizar como criterio de convergenciapara calcular el l´ımite de una sucesi´on a partir de la convergencia de la seriecorrespondiente. Otra aplicacio´n de la condici´on necesaria es utilizarla como m´etodo de re-futaci´on en el estudio de la convergencia de una serie, considerando el siguienteresultado equivalente:Corolario 2.2.7 Si l´ım an = 0, entonces an es divergente. E.T.S.I.Informa´tica

2.2. Series Num´ericas. 87Ejemplo 2.2.4 Aplicando la condici´on necesaria, deducimos la divergencia nde la serie n + 1 ,, pues l´ım n = 1 = 0. n+1Teorema 2.2.8 (Serie telesco´pica) Sea bn una sucesi´on num´erica. La se- ∞rie (bn − bn+1) se denomina serie telesc´opica. Esta serie converge si y solo n=N ∞si la sucesi´on bn converge y en tal caso, (bn − bn+1) = bN − l´ım bn+1. n=N Este resultado es una consecuencia directa de la definici´on de suma de seriecomo l´ımite de la sucesi´on de sumas parciales ∞ (bn − bn+1) = l´ım Sn n=N = l´ım(bN − bN¨+¨1 + bN¨+¨1 − bN¨+¨2 + · · · +  b n − bn+1) ¨¨¨ = l´ım(bN − bn+1) = bN − l´ım bn+1Ejemplo 2.2.5 Aunque el resultado anterior pueda parecer trivial, la dificul-tad de su aplicacio´n est´a en detectar si efectivamente una serie es telesco´pica,para ello, en la mayor´ıa de los casos tendremos que transformar la expresi´onde la serie para obtener la forma adecuad. Por ejemplo, la serie ∞ log n + 1no parece que sea telesc´opica tal y como esta´ escrita, pero las prno=p2iedadesndela funcio´n logaritmo permiten deducir que s´ı lo es. ∞ n + 1 ∞ + 1) − log n) = l´ım Sn = n log = (log(nn=2 n=2 = l´ım(log¨¨3 − log 2) + (log¨¨4 − log¨¨3) + (log¨¨5 − log¨¨4)+ ¨ ¨¨ ¨¨ + · · · + ($log$(n$+$1$) − log n) = = − log 2 + l´ım log(n + 1) = +∞Un error muy comu´n es tratar las series como sumas finitas, operar de lasiguiente manera∞ (log(n + 1) − log n) = (log¨¨3 − log 2) + (log¨¨4 − log¨¨3) + (log¨¨5 − log¨¨4) + . . . ¨ ¨¨ ¨¨n=2Aparentemente, se simplifican “todos” los sumando escepto − log 2 y podemosconcluir err´onemanete que esta es la suma de la serie. Por eso, nunca debemostrabajar directamente con la secuencia infinita de sumandos, sino que debemostrabajar con la suma parcial, teniendo en cuenta los u´ltimos sumandos.Ingenier´ıa Informa´tica

88 C´alculo para la computacio´n ∞Teorema 2.2.9 (Serie Geome´trica) Si a = 0, la serie arn = a + ar + n=0ar2 + · · · + arn + . . . se denomina serie geom´etrica de t´ermino inicial ‘a’ yraz´on ‘r’. Esta serie verifica:  a 1−r ∞  converge a si |r| < 1  si |r| ≥ 1 arn  diverge n=0  La serie del ejemplo 2.2.1 es una serie geom´etrica de razo´n 1/2; en ´el cal-culamos la suma usando el criterio de Sto¨ltz, pero ahora vamos a utilizar otrom´etodo que puede utilizarse en otros tipos de series. Concretamente, vamos asimplificar la expresi´on de la sucesio´n de sumas parciales de la siguiente forma: Sn = a + ar + ar2 + . . . + arn−1 −rSn = − ar − ar2 − . . . − arn−1 − arn (1 − r)Sn = a −arnLa igualdad que aparece debajo de la l´ınea se obtiene sumando miembro amiembro las dos anteriores; a partir de ella, se obtiene f´acilmente una expresio´nma´s simplificada para Sn: a − arn 1−r Sn = ;tomando l´ımites, deducimos el resultado anterior.Corolario ∞ solo is an+1 =r ∈Rpara todo n. |r| < 1 an tal caso 2.2.10 La serie an es geom´etrica si y y en n=N Adem´as, esta serie converge si y solo si∞ aN 1− an = r .n=NEjemplo 2.2.6 Estudiamos las siguientes series geom´etricas ∞ 1 an+1 3n+2 1 3n+2 an 3n+3 3 : Como = = = r, entonces la serie es geom´etri- por tanto, la serie es convergente nca=1de razo´n 1/3 y primer t´ermino 1/27; y su suma es 1/18. ∞ 23n Como an+1 23n+37n 8 7n an 7n+123n 7 : = = = r, entonces la serie es de raz´on 8/7 y en gn=eo1m´etrica consecuencia divergente a +∞. ∞ (−1)n+1 Como an+1 = − 1 5n−1 an 5 : = r, entonces la serie es geom´etrica primer t´ermino nd=e1raz´on −1/5 y 1; por tanto, la serie es convergente y su suma es 5/6. E.T.S.I.Informa´tica

2.2. Series Num´ericas. 89Teorema 2.2.11 (Serie Aritme´tico-Geome´trica) Las series del tipo ∞ (an + b)rn, a = 0, n=Nse denominan series aritm´etico-geom´etrica y convergen si y solo si |r| < 1. En el caso de que sean convergentes, las series aritm´etico-geom´etricas sesuman aplicando un proceso similar al utilizado en las series geom´etricas. Con-cretamente, repitiendo dos veces el mismo proceso para llegar a una expresio´nde Sn ma´s simplificada.Ejemplo 2.2.7 La serie ∞ n+ 3 es una serie aritm´etico geom´etrica de raz´on n=0 2n1 y, por lo tanto, convergente. Su suma se calcula as´ı:2 Sn = 3 + 4 + 5 + ... + n+3 2 22 2n−1 − 1 Sn = − 3 − 4 − ... − n+2 − n+3 2 2 22 2n−1 2n 1 Sn = 3 + 1 + 1 + ... + 1 − n+3 2 2 22 2n−1 2n − 1 Sn = − 3 − 1 − ... − 1 − 1 − n+3 4 2 22 2n−1 2n 2n+1Sumando las dos u´ltimas igualdades obtenemos finalmente: 1 = 2 − n+ 4 − n+3 4 Sn = 4 2n Å 2n+1 ã Sn 2 n+ 4 n+3 − 2n − 2n+1 ∞ n+3 = Å − n+ 4 − n + 3ã = 8 n=0 2n l´ım 4 2 2n 2n+1Definicio´n 2.2.12 Se dice que la serie an es hipergeom´etrica si an > 0para todo n y el t´ermino general verifica an+1 = αn + β an αn + γTeorema 2.2.13 (Serie hipergeome´trica) Una serie an hipergeom´etri- αn + βca con an+1 = αn + γ es convergente si y s´olo si γ > α + β. an En el caso de que sean convergentes, las series hipergeom´etricas se sumanaplicando el siguiente proceso: (1) Escribimos por filas la igualdad an+1(αn +γ) = an(αn + β) para n = 1, n = 2,. . . , (2) sumamos todos los miembrosderechos y todos los miembros izquierdos, y (3) operamos para obtener unaexpresio´n de Sn lo ma´s simplificada posible y poder calcular su l´ımite.Ingenier´ıa Inform´atica

90 C´alculo para la computacio´nEjemplo 2.2.8 Para sumar la serie hipergeom´etrica ∞ 1 1) procedemos n=1 n(n +de la siguiente manera: Como an+1 = n 2 escribimos, por filas, la expresio´n“(n + 2)an+1 = nan” para n = 1a,n2, ... n+ , n: 3a2 = 1a1 4a3 = 2a2 5a4 = 3a3 ... = ... (n + 2)an+1 = nan 3a2 + 4a3 + 5a4 + · · · + (n + 2)an+1 = a1 + 2a2 + 3a3 + · · · + nan −a1 + a2 + a3 + a4 + · · · + an + (n + 2)an+1 = 0 Sn − 2a1 + (n + 2)an+1 = 0y de la u´ltima expresio´n deducimos que Sn = 2a1 − (n + 2)an+1 = 2 1 − (n n+2 2) 2 + 1)(n +y, por lo tanto ∞1 1) = Ç − (n n+2 å = 1 n=1 n(n + l´ım 1 + 1)(n + 2)2.2.1. Criterios de convergencia Estudiar la convergencia de una serie utilizando las sumas parciales nosiempre ser´a sencillo; encontrar una expresi´on para las sumas parciales quepermita calcular su l´ımite es, en general, un problema bastante dif´ıcil. Poresta raz´on, el estudio de las series se hara´ en dos etapas: en primer lugar,se estudiara´ solamente el car´acter de la serie; en segundo lugar, si la seriees convergente, afrontaremos el ca´lculo de su suma o bien aproximaremos suvalor. En esta secci´on vamos a estudiar algunos resultados que establecen con-diciones que permiten concluir la convergencia de una serie sea convergente.Estos resultados se conocen como criterios de convergencia y para aplicarlossera´ muy importante comprobar que se verifican todas las condiciones exi-gidas. Por ejemplo, los primeros resultados son aplicables solamente a seriescuyos t´erminos (a partir uno dado) son siempre positivos. Estas series verifi-can la siguiente propiedad, que aunque bastantes intuitiva, tiene importantesaplicaciones de cara a la evaluacio´n aproximada de series. E.T.S.I.Informa´tica

2.2. Series Num´ericas. 91Proposicio´n 2.2.14 Si an es una sucesi´on de t´erminos positivos, la sucesi´onde sumas parciales asociada a ella es creciente y en consecuencia, la serie an es o bien convergente o bien divergente a +∞.Teorema 2.2.15 (Criterio de condensacio´n) Sea an una sucesi´on de-creciente de t´erminos positivos. Entonces las series an y 2ka2k tienen nkel mismo car´acter.Corolario 2.2.16 (Series p-armo´nicas) Las series 1 para p>0 se npdenominan p–arm´onicas; convergen si p > 1, y divergen si 0 < p ≤ 1. Por el criterio de c2o2knkpde=nsacÅio´2np,1−l1aãskercieonvern1gpenttieensei el mismo car´acter que serie geom´etrica y solo si p > 1.la La importancia de las series p–arm´onicas est´a en que nos ayudar´an a estu-diar otras series si las utilizamos conjuntamente con otros criterios, como losde comparacio´n o condensacio´n.Ejemplo 2.2.9 Para estudiar el cara´cter de la fsuenriceio´nn∞=2long(alor1gitnm)o2 utilizamosel criterio de condensacio´n (la aparicio´n de la nos indicaque puede ser el m´etodo adecuado). Dado que las sucesiones n y log n son 1crecientes, la sucesio´n n(log n)2 es tambi´en creciente y n(log n)2 es decreciente;por el criterio de condensaci´on, la serie propuesta tiene el mismo car´acter que 2k = 1 1 2k(log 2k)2 (log 2)2 k2 k kque es convergente por ser la serie 2–arm´onica.Teorema 2.2.17 (Criterio de comparacio´n) Sean an y bn dos se-ries tales que 0 ≤ an ≤ bn para todo n ∈ N. 1. Si bn converge entonces an tambi´en converge. 2. Si an diverge entonces bn tambi´en diverge.Ejemplo 2.2.10 La serie 1 es convergente ya que n + 2n 11 n + 2n ≤ 2ny la serie 1 es convergente (geom´etrica de razo´n 1/2). 2nIngenier´ıa Inform´atica

92 C´alculo para la computaci´onA veces, en situaciones “parecidas” no es posible aplicar este criterio decomparaci´on esta´ndar. Por ejemplo, la serie 1 es “parecida” a la del 2n−nejemplo anterior e intuimos que tambi´en ser´a convergente; sin embargo, nopodemos utilizar el criterio de comparacio´n. En estos casos, necesitamos uncriterio que permita comparar las expresiones en t´erminos relativos (cociente).Teorema 2.2.18 (Comp. por paso al l´ımite) Sean an y bn dos se-ries de t´erminos positivos, tal que bn = 0 para todo n. Sise verifica: = l´ım an entonces bn 1. Si > 0 ambas series tienen el mismo car´acter. 2. Si = 0 y bn converge, entonces an tambi´en converge. 3. Si = ∞ y an converge, entonces bn tambi´en converge.Ejemplo 2.2.11 Veamos varios ejemplos:1. La serie 1 es convergente ya que 1 es convergente y 2n − n 2n 1 Ç n å 2n = l´ım 1 − 2n l´ım 1 =1 2n−n2. La serie n sen 1 es divergente pues 1 diverge y n2 n l´ım n sen 1 = l´ım sen 1 =1 n2 n2 1/n 1/n23. La serie 1 es divergente pues 1 diverge y log n nl´ım 1 = l´ım n = l´ım n+1−n = log n log n log(n + 1) − log n 1 Å ã n = l´ım 1 = 1 = ∞ 0+ log n+1 n El criterio de comparacio´n por paso al l´ımite se utiliza frecuentemente paraeliminar “expresiones despreciables” en el t´ermino general de una serie, antesde aplicarle un criterio, con el fin de que los c´alculo sean m´as sencillos.Ejemplo 2.2.12 En el denominador de la expresio´n 3n − 1 el t´ermino 2n + 5n + log n5n + log n es “despreciable” frente a 2n para valores “grandes” de n. Por lo E.T.S.I.Inform´atica

2.2. Series Num´ericas. 93tanto, consideramos la expresi´on 3n − 1 que comparamos con la original 2n 3n − 1 2n + 5n + log 2n 2n l´ım 3n − 1 = l´ım n = 1 2n + 5n + log nOmitimos los detalles del ca´lculo del u´ltimo l´ımite, para el cual se usa el crite-rio de St¨oltz. Aplicando el criterio de comparaci´on por paso al l´ımite se deduce 3n − 1 3n − 1las series 2n + 5n + log n y 2n tienen el mismo cara´cter; dado que3n − 1 es una serie aritm´etico-geom´etrica convergente, podemos afirmar 2n 3n − 1que 2n + 5n + log n es convergente.Corolario 2.2.19 Sean an y bn dos sucesiones positivas e infinit´esimos equi-valentes; entonces las series an y bn tienen el mismo car´acter. La siguiente propiedad se deduce f´acilmente aplicando el criterio de com-paraci´on a las sucesiones an y 1/n, y es u´til para el c´alculo de algunos l´ımites.Corolario 2.2.20 Si an es una serie de t´erminos positivos y convergente,entonces l´ım nan = 0 La demostraci´on es inmediata usando deducci´on al absurdo: si el l´ımitefuera distinto de cero, 0 = l´ım nan = l´ım an , 1/nentonces la serie tendr´ıa el mismo cara´cter que 1 que es divergente. n Los criterios estudiados hasta ahora, establecen relaciones entre el cara´cterde dos series, reducen el estudio del cara´cter de una serie al estudio del car´acterde otra serie. En primer lugar, debemos destacar que la relacio´n se reduce soloal car´acter, pero no al de la suma, segu´n vemos en el siguiente ejemplo.Ejemplo 2.2.13 Segu´n el criterio de comparacio´n, las series ∞1 y ∞ 2k = ∞ 1 n=1 n2 k=0 22k k=0 2ktiene el mismo car´acter. Veremos ma´s adelante en el curso que ∞1 = π2 y n=1 n2 6ya sabemos que ∞1 = 2. Es decir, aunque el cara´cter coincide, las sumasson diferentes. k=0 2kIngenier´ıa Inform´atica

94 Ca´lculo para la computacio´n Los criterios que estudiamos en el resto de la seccio´n establecen condicionessobre el t´ermino general para deducir su cara´cter.Teorema 2.2.21 (Criterio de la=rl´ıam´ız√)n aSne;a an una serie de t´erminospositivos y consideremos el l´ımite entonces:1. Si < 1 la serie converge.2. Si > 1 la serie diverge.El caso l´ım √n an = 1 queda fuera del teorema anterior, ya que a partir ∞ enm∞=b1an1r2gov,elraifipcrainmeqruae 1 y el l´ımite de lade ´el no podemos deducir nada: n es divergente ycondicio´n vale 1 para ambas seriesn=y1, sinla segunda es convergente. Otra cara´cteristica de los criterios que estudiamos en el resto de la seccio´nes que tambi´en proveen informacio´n sobre los errores estimados al tomar unasuma parcial como aproximaci´on de la suma de la serie. Antes de ver el corres-pondiente resultado para el criterio de la ra´ız, vamos a observar la siguientepropiedad de la series de t´erminos positivos: la sumas parciales de estas seriesson aproximaciones “por defecto” de su suma. Esta afirmacio´n es consecuenciadel hecho de que para estas series, la sucesio´n de sumas parciales es creciente: Sn+1 = Sn + an > Sn.Proposicio´n 2.2.22 Sea an una serie convergente tal que √n an ≤ r < 1para todo n ≥ N ; si Sn es su sucesi´on de sumas parciales y S su suma,entonces: rN +1 1−r S − SN ≤ Si el l´ımite l´ım √n an = es estrictamente menor que 1, podemos aplicar elresultado anterior porque tenemos asegurada la existencia del nu´mero r y paracada r la existencia del nu´mero N . Para acotar el error cometido al tomar unasuma parcial en lugar de la suma exacta, necesitamos entonces determinar losnu´meros r y N adecuados para conseguir un error menor que el desado. Lossiguientes casos particulares, aunque bastante significativos, nos facilitar´an larealizaci´on de este tipo de tareas.Si √n an es creciente, para cada N podemos tomar r = l´ım √n an .Si √n an es decreciente, para cada N podemos tomar r = N√aN , siemprey cuando este nu´mero sea menor estrictamente que 1. E.T.S.I.Informa´tica