Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore คณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์

Description: คณิตศาสตร์

Search

Read the Text Version

คูม่ อื พฒั นาทกั ษะการเรียนรู้ เพ่ือเพิ่มผลสมั ฤทธ์ทิ างการเรียนส�ำหรับนกั ศกึ ษา หลกั สูตรการศึกษานอกระบบระดับการศกึ ษาขนั้ พืน้ ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551 รายวชิ า คณิตศาสตร์ (พค11001) ระดบั ประถมศึกษา ส�ำนกั งานสง่ เสริมการศกึ ษานอกระบบและการศึกษาตามอธั ยาศยั จังหวัดกาฬสนิ ธ์ุ ส�ำนกั งานสง่ เสรมิ การศกึ ษานอกระบบและการศกึ ษาตามอธั ยาศัย ส�ำนกั งานปลัดกระทรวงศึกษาธิการ กระทรวงศึกษาธกิ าร



คำ� น�ำ สำ� นกั งาน กศน.จงั หวดั กาฬสนิ ธ์ุ ในฐานะผรู้ บั ผดิ ชอบในการจดั การศกึ ษาใหก้ บั กลมุ่ เปา้ หมายประชาชน ทว่ั ไปทอี่ ยนู่ อกระบบโรงเรยี น โดยใชห้ ลกั สตู รการศกึ ษานอกระบบระดบั การศกึ ษาขน้ั พนื้ ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551 ในการจัดการศกึ ษาใหก้ ับกลมุ่ เป้าหมายดงั กลา่ ว และเพอ่ื เปน็ การตอบสนองนโยบายของกระทรวงศกึ ษาธิการ ในการยกระดับผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนของผู้เรียน กศน. หลักสูตรการศึกษานอกระบบระดับการศึกษา ขนั้ พนื้ ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551 ใหส้ งู ขน้ึ สำ� นกั งาน กศน.จงั หวดั กาฬสนิ ธ์ุ จงึ ไดจ้ ดั ทำ� คมู่ อื พฒั นาทกั ษะการเรยี น รู้ เพ่ือเพ่ิมผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนส�ำหรับนักศึกษา หลักสูตรการศึกษานอกระบบระดับการศึกษาขั้นพื้นฐาน พทุ ธศกั ราช 2551 ซง่ึ จะทำ� ใหผ้ เู้ รยี นเขา้ ถงึ สอ่ื ไดส้ ะดวก รวดเรว็ อนั จะสง่ ผลใหผ้ เู้ รยี นมผี ลสมั ฤทธทิ์ างการเรยี น ดขี น้ึ คู่มือพัฒนาทักษะการเรียนรู้ เพ่ือเพ่ิมผลสัมฤทธ์ิทางการเรียนส�ำหรับนักศึกษา หลักสูตรการศึกษา นอกระบบระดับการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551 มีเอกสารสรุปเนื้อหาที่ต้องรู้และแนวข้อสอบจาก การน�ำหนังสือเรียนของสำ� นกั งาน กศน. มาสรุปเนื้อหา ประเดน็ สำ� คัญและจัดทำ� แนวข้อสอบทส่ี อดคล้องตาม ผงั การออกขอ้ สอบในแตล่ ะรายวชิ าของสำ� นกั งาน กศน. สำ� หรบั คมู่ อื พฒั นาทกั ษะการเรยี นรู้ เพอื่ เพม่ิ ผลสมั ฤทธ์ิ ทางการเรียนส�ำหรับนักศึกษา หลักสูตรการศึกษานอกระบบระดับการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551 สำ� นกั งาน กศน.จังหวดั กาฬสินธุ์ ไดจ้ ดั ทำ� รายวชิ าบังคับ จำ� นวน 42 รายวิชา ทัง้ น้ี ส�ำนักงาน กศน.จังหวัด กาฬสนิ ธุ์ ไดเ้ ชิญผูเ้ ชยี่ วชาญดา้ นเนือ้ หา นกั วชิ าการศึกษา ครผู สู้ อน และผู้เกย่ี วข้อง มาสรุปคู่มือพฒั นาทกั ษะ การเรียนรู้ เพื่อเพ่ิมผลสัมฤทธ์ิทางการเรียนส�ำหรับนักศึกษา หลักสูตรการศึกษานอกระบบระดับการศึกษา ขนั้ พื้นฐาน พทุ ธศกั ราช 2551 ในรายวิชาดังกล่าว ส�ำนักงาน กศน.จังหวัดกาฬสินธุ์ หวังเป็นอย่างย่ิงว่าจะเป็นประโยชน์กับผู้เรียน กศน. หลักสูตร การศึกษานอกระบบระดับการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 ตามสมควร จึงขอขอบคุณผู้เช่ียวชาญ ด้านเนือ้ หา นกั วชิ าการศกึ ษา ครผู สู้ อน และผูเ้ ก่ียวข้องมา ณ โอกาสน้ี (นางสาวนพกนก บรุ ุษนนั ทน์) ผอู้ �ำนวยการสำ� นกั งาน กศน.จงั หวัดกาฬสินธุ์ มิถุนายน 2560 คณติ ศาสตร์ ระดับประถมศึกษา : พค11001 3 ส�ำนักงาน กศน.จงั หวัดกาฬสนิ ธุ์



สารบัญ หนา้ 3 คำ� นำ� 7 คาํ แนะนาํ การใชค ่มู ือ 8 โครงสรางรายวิชา 9 แบบทดสอบกอ นเรยี น 12 บทท่ี 1 จํานวนและการดาํ เนนิ การ 13 เรอื่ งท่ี 1 ประมาณคาเปน จํานวนได 16 เร่ืองที่ 2 บวก ลบ คณู หาร จํานวนนับและสามารถแกป ญ หาได 36 เรื่องที่ 3 การแยกตวั ประกอบของจํานวนนับ 39 เรอื่ งท่ี 4 ห.ร.ม. และ ค.ร.น. 44 บทที่ 2 เศษสวน 45 เรื่องที่ 1 บวก ลบ เศษสว นและโจทยป ญ หา 53 เรอ่ื งที่ 2 การคณู หาร เศษสว นและโจทยป ญ หา 59 เร่ืองท่ี 3 การบวก ลบ คณู หาร เศษสวนระคน และโจทยป ญ หา 61 บทที่ 3 ทศนยิ ม 62 เรอ่ื งท่ี 1 การเปรยี บเทยี บและเรยี งลําดับทศนิยม 67 เรื่องท่ี 2 การประมาณคาใกลเคยี งทศนิยม 69 เรื่องท่ี 3 การบวก ลบ คูณ หาร ทศนิยมและนําความรูไปใชแกโ จทยป ญ หาได 75 บทท่ี 4 รอ ยละ 76 เรื่องที่ 1 ความสมั พนั ธร ะหวาง เศษสวน และรอยละ 78 เรอ่ื งที่ 2 การแกโจทยป ญหาเกี่ยวกบั รอ ยละ คณิตศาสตร์ ระดบั ประถมศกึ ษา : พค11001 5 สำ� นักงาน กศน.จงั หวดั กาฬสินธ์ุ

สารบัญ (ตอ่ ) หนา้ 83 บทที่ 5 การวดั 84 เร่อื งที่ 1 การวัดความยาวและระยะทาง 86 เรอ่ื งที่ 2 การหาพนื้ ท่ี 89 เรอ่ื งที่ 3 ปรมิ าตรและความจุ 91 เรอื่ งท่ี 4 ทิศ และแผนผัง 94 เรอ่ื งท่ี 5 เงิน 101 เรื่องที่ 6 เวลา บทท่ี 6 เรขาคณติ 105 เรื่องท่ี 1 รูปเรขาคณติ หน่ึงมิติ 106 110 เรอ่ื งที่ 2 รปู เรขาคณติ สองมิติ 119 121 เร่ืองท่ี 3 รูปเรขาคณติ สามมติ ิ 122 เร่ืองที่ 4 ลูกบาศก์ เรอ่ื งท่ี 5 การสรางรูปเรขาคณติ บทท่ี 7 สถิตแิ ละความนา จะเปน เบ้ืองตน 126 เรอ่ื งที่ 1 สถิติ 127 132 เร่อื งที่ 2 ความนาจะเปน เบอ้ื งตน แบบทดสอบหลังเรียน 133 ภาคผนวก 136 เฉลยแบบทดสอบกอ นเรยี น – หลังเรยี น 137 แนวขอ้ สอบชดุ ที่ 1 139 แนวขอ้ สอบชดุ ที่ 2 151 แนวขอ้ สอบชดุ ท่ี 3 163 แนวข้อสอบชดุ ที่ 4 173 คำ� ส่ังส�ำนักงานส่งเสริมการศกึ ษานอกระบบและการศกึ ษาตามอัธยาศัย 185 เรื่อง แต่งตง้ั คณะกรรมการจดั ทำ� สอ่ื สรุปสาระความร้พู น้ื ฐาน รายวิชา คณติ ศาสตร์ คณะผจู ัดทาํ เอกสารสรุปเน้อื หาท่ตี ้องรู้ ส�ำนกั งาน กศน. 189 คณะผูจดั ทาํ แนวข้อสอบ สำ� นักงาน กศน.จงั หวัดกาฬสนิ ธุ์ 191 6 คณติ ศาสตร์ ระดับประถมศึกษา : พค11001 สำ� นักงาน กศน.จังหวัดกาฬสินธุ์





ค�ำแนะนำ� การใช้คมู่ ือ คมู่ อื พฒั นาทกั ษะการเรยี นรู้ เพอื่ เพมิ่ ผลสมั ฤทธท์ิ างการเรยี นสำ� หรบั นกั ศกึ ษา หลกั สตู รการศกึ ษา นอกระบบระดบั การศกึ ษาขนั้ พนื้ ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551 เปน็ คมู่ อื ทจี่ ดั ทำ� ขนึ้ สำ� หรบั ผเู้ รยี นทเ่ี ปน็ นกั ศกึ ษา การศึกษานอกระบบ ในการศกึ ษาคมู่ อื พฒั นาทกั ษะการเรยี นรู้ เพอ่ื เพม่ิ ผลสมั ฤทธท์ิ างการเรยี นสำ� หรบั นกั ศกึ ษาหลกั สตู ร การศึกษานอกระบบระดับการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551 รายวิชา คณิตศาสตร์ รหัสวิชา พค 11001 ระดับ ประถมศกึ ษา ผู้เรยี นควรปฏิบัตดิ งั น้ี 1. ศกึ ษาโครงสรา้ งรายวชิ าใหเ้ ขา้ ใจในหวั ขอ้ สาระสำ� คญั ผลการเรยี นรทู้ ค่ี าดหวงั และขอบขา่ ย เน้อื หา 2. ศึกษารายละเอียดเน้ือหาของแต่ละบทอย่างละเอียดจากหนังสือแบบเรียน สรุปเน้ือหาที่ ต้องรู้ และท�ำแบบทดสอบแล้วตรวจสอบกับแนวค�ำตอบ ถ้าผู้เรียนตอบผิดควรกลับไปศึกษาและ ทำ� ความเขา้ ใจในเน้อื หาน้ันอกี ครัง้ เพ่อื สร้างความเข้าใจกอ่ นทีจ่ ะศกึ ษาเรอื่ งต่อไป 3. คู่มือเล่มนม้ี เี นื้อหาประกอบดว้ ย 2 ส่วน คอื 1. สว่ นทเ่ี ป็นสรุปเนื้อหาท่ตี ้องรู้ 1. จ�ำนวนและการดำ� เนินการ 2. เศษส่วน 3. ทศนิยม 4. รอ้ ยละ 5. การวดั 6. เรขาคณิต 7. สถติ แิ ละความนา่ จะเปน็ เบือ้ งตน้ 2. แนวขอ้ สอบ ดังมรี ายละเอยี ดดังน้ี แนวขอ้ สอบ ชุดท่ี 1 แนวข้อสอบ ชดุ ท่ี 2 แนวข้อสอบ ชดุ ที่ 3 แนวข้อสอบ ชดุ ท่ี 4 คณิตศาสตร์ ระดบั ประถมศึกษา : พค11001 9 สำ� นกั งาน กศน.จงั หวัดกาฬสนิ ธ์ุ

2 โครงสรา งรายวิชาคณิตศาสตร ระดบั ประถมศกึ ษา (พค 11001) สาระสําคญั มคี วามรูความเขา ใจเก่ยี วกับจํานวนและตัวเลข เศษสวน ทศนยิ มและรอยละ การวัด เราขาคณิต สถิติ และความนา จะเปนเบื้องตน ผลการเรยี นรทู ค่ี าดหวัง 1. ระบุหรอื ยกตัวอยางเก่ียวกับจํานวนและตัวเลข เศษสวน ทศนิยมและรอยละ การวัด เรขาคณิต สถติ ิและความนา จะเปน เบ้อื งตน 2. สามารถคิดคํานวณและแกโจทยปญหาเก่ียวกับจํานวนนับเศษสวน ทศนิยม รอยละ การวัด เรขาคณิตได ขอบขา ยเนื้อหา บทที่ 1 จํานวนและการดาํ เนนิ การ บทท่ี 2 เศษสว น บทท่ี 3 ทศนยิ ม บทท่ี 4 รอยละ บทท่ี 5 การวัด บทที่ 6 เรขาคณิต บทท่ี 7 สถติ แิ ละความนา จะเปนเบ้ืองตน สื่อการเรียนรู เอกสารสรปุ เนอื้ หาท่ีตอ งรู 10 คณิตศาสตร์ ระดับประถมศกึ ษา : พค11001 ส�ำนักงาน กศน.จงั หวัดกาฬสินธ์ุ

3 แบบทดสอบก่อนเรียน 1. เลข 3 ในขอ้ ใดมีความต่างจากพวก 6. อาสาสมคั ร 30 คน ช่วยกนั ขุดบ่อน�าํ ก. 388 ข. 2,345 ในเวลา 5 วนั ขดุ ได้ 5 บ่อ ดงั น�นั ค. 3,649 6 ง. 2,367 ถา้ ขุด 1 วนั จะไดค้ ิดเ็นปก�ีส่วนของบ่อ 1 2. 147 - 69 มีค่าเท่าไร ก. 6 ก. 22 ข. 78 ข. 5 ค. 88 6 ง. 216 ค. 5 ง. 6 3. 4 × 2 มีความหมายตรงกบั ขอ้ ใด ก. 2 + 2 + 2 + 2 7. 0.67 = � + 0.07 ข. 4 + 4 ก. 0.677 ค. 4 × 4 × 4 × 4 ข. 0.64 ง. 2 × 2 × 2 × 2 ค. 0.74 ง. 0.6 4. 15 ÷ 3 =

10. ขอ้ ใดเ�นปทิศท�ีตรงขา้ มกบั ทิศใต้ 4 ก. ทิเศหนือ ข. ทิศตะวนั ตก 15 มีธนบตั รใบละหา้ ร้อยบาท 3 ใบ ค. ทิตศะวนั ออก ใบละหนึ �งร้อยบาท 9 ใบ ใบละหา้ สิบบาท ง. ทิศตะวนั ตกเฉียงใต้ 5 ใบ ใบละยสี� ิบบาท 10 ใบ�ละใบละสิบบาท 20 ใบ รวมท�งั หมดมเี งินกี�บาท 11. มนี �าํ มนั พืช 2 กิโลกรัม ใชไ้ ป1 กิโลกรัม ก. 1,950 บาท 1 ขีด เหลือน�าํ มนั พืชเท่าไร ข. 2,850 บาท ก. 900 กรัม ค. 3,000 บาท ข. 800 กรัม ง. 3,050 บาท ค. 700 กรัม ง. 600 กรัม �6.พบั ลกู บาศก์ �ต่ละลกู มปีริมาตร � ลกู บาศกเ์ นซติเมตรตามรูป 12. ขอ้ ใดไม่ใช่หน่วยการวดั จะไดรป้ ิมาตรเท่าไร ก. กรัม ข. เมตร � ซม. ค. เนซติเมตร ง. กิโลเมตร � ซม. 3 ซม. 13. กลอ่ งนมกวา้ ง 3 น�ิว ยาว 5 น�ิว สูง 6 น�ิว มปรี ิมาตรเท่าไร ก. 30 ลกู บาศกเ์ นซติเมตร ก. 15 ลกู บาศกน์ ิ �ว ข. 10 ลกู บากศเ์ นซติเมตร ข. 90 ลกู บาศกเ์ มตร ค. 15 ลกู บาศกเ์ นซติเมตร ค. 90 ลกู บากศน์ ิ �ว ง. 30 ตารางเนซติเมตร ง. 90 ตารางนิ�ว 17. โอกาสหรือความน่าจะเ�นปที�จะเกิดเหตกุ ารณ์ 14. กลางวนั : 12.00  กลางคืน : � ข�ึนในการทอดลกู เต๋ า 2 ลกู พร้อมกนั ลกู เต๋ า ก. 19.00 น. �ตม้ รวมกนั �ลว้ ต�าํ กวา่ 5 �ตม้ มีกี�เหตุการณ์ ข. 22.00 น. ก. 5 เหตุการณ์ ค. 24.00 น. ข. 6 เหตุการณ์ ง. 02.00 น. ค. 7 เหตุการณ์ ง. 10 เหตุการณ์ 12 คณติ ศาสตร์ ระดับประถมศึกษา : พค11001 สำ� นักงาน กศน.จงั หวัดกาฬสินธ์ุ

5 ใหใ้ ชต้ วั เลอื กต่อไนปี �ตอ�คา� ถามขอ้ �� � ขอ้ �� ก. 600 คน ข. ��0 คน ค. 10 คน ง. 1 คน 18. ถา้ โรงเรียนน�ีมคี รูและนกั เรียนท�งั หมด 1�200 คน �ะเ�นปนกั เรียนห��งกี�คน 19. ถา้ โรงเรียนน�ีมีครูและนกั เรียนท�งั หมด 1�200 คน �ะเ�นปนกั เรียนชายก�ีคน 20. ถา้ มีนกั เรียนชาย ��� คน �ะมคี รูกี�คน คณติ ศาสตร์ ระดับประถมศึกษา : พค11001 13 ส�ำนักงาน กศน.จังหวดั กาฬสนิ ธุ์

6 ����ี � จาํ นวนและการดาํ เนินการ สาระสําคญั 1. การอ่านและเขียนตวั เลขแทนจาํ นวน การรปะมาณค่า และการบวก ลบ คณู หาร การดาํ เนินการ เก�ียวกบั จาํ นวน การนาํ มาใชใ้ นชีวิตรปะจาํ วนั และการบรู ณาการกบั า�สตร์อน� ได้ 2. สมบตั ิของจาํ นวนนบั และน�ู ย์ สมบตั กิ ารสลบั ท�ีของการบวกและการคูณสมบตั ิการเลปย�ี นหมู่ การบวก การคณู สมบตั ิการบวกดว้ ยน�ู ย์ สมบตั ิการคณู ดว้ ยหน� �ง และสมบตั ิแยกตวั รปะกอบ สามารถนาํ ไปใชรป้ ะโยชนใ์ นการคิดคาํ นวณได้ ผลการเรียนร�ู�ี�คาด�ว�ั 1. รปะมาณค่าเ็นปจาํ นวนเต็มได้ 2. บวก ลบ คณู และหาร จาํ นวนนบั ได้ 3. แยกตวั รปะกอบของจาํ นวนนบั ได้ 4. หา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจาํ นวนนบั ที�กาํ หนดใหไ้ ด้ �����ายเน�� �า เร�องที� � การประมาณค่า เร�องท�ี 2 การบวก ลบ คูณและหาร จาํ นวนนบั และการแกั�ป้ หา เร�องท�ี 3 การแยกตวั รปะกอบ เร�องที� 4 ห.ร.ม. และ ค.ร.น. 14 คณิตศาสตร์ ระดบั ประถมศกึ ษา : พค11001 สำ� นกั งาน กศน.จงั หวัดกาฬสนิ ธ์ุ

7 เร�องท�ี � ประมาณค่าเป็ นจํานวนได้ 1. อ่านและเขยี นตวั เลขแทนจาํ นวนได้ จาํ นวน ใชใ้ นการบอกปริมาณของคน สตั ว์ สิ �งของต่าง ๆวา่ มมี ากหรือนอ้ ยเท่าไร ตวั เลข เ็นปส�ั ลกั �ณ์ท�ีใชแ้ ทนจาํ นวน ตวั เลขโดด เรานิยมใชต้ วั เลขแทนจาํ นวนต่าง ๆึซ �งประกอบดว้ ยตวั เลข�ดดสิบตวั ไดแ้ ก่ �� �� �� �� �� �� �� �� �� � เช่น จาํ นวนที�เขียนแทนดว้ ยตวั เลขสามหลกั เช่น ��� � อยใู่ นหลกั ร้อย � อยใู่ นหลกั สิบ � อยใู่ นหลกั หน่วย � � � อา่ นวา่ สองร้อยสามสิบแดป ตวั เลขหนา้ สุดหรือทางาซ้ ยมอื สุด คือ ตวั เลขหลกั ร้อย ตวั เลขถดั ตวั หนา้ มาทางขวามอื คือ ตวั เลขหลกั สิบ ตวั เลขสุดทา้ ยหรือขวามือสุด คือ ตวั เลขในหลกั หน่วย ตวั เลขเจด็ หลกั เช่น ��������� � อยใู่ นหลกั ลา้ น � อยใู่ นหลกั แสน � อยใู่ นหลกั หม�ืน 5 อยใู่ นหลกั พนั 6 อยใู่ นหลกั ร้อย 1 อยใู่ นหลกั สิบ � อยใู่ นหลกั หน่วย � � � � � � � � � อ่านวา่ สามลา้ นสองแสนส�ีหม�นื หา้ พนั หกร้อยสิบแดป 2. ค่าประจาํ หลกั และค่าของตวั เลข ��� ค่าประจาํ หลกั ของตวั เลขท�ีอยถู่ ดั ไทปางาซ้ ยมอื ของตวั เลขแต่ละหลกั จะเพิ �มข�ึนเ็นปสิบเท่าเสมอ และค่าของตวั เลขแต่ละหลกั จะมีค่าเท่ากบั ผลคณู ของตวั เลขนั �น ๆกบั ค่ารปะจาํ หลกั ของตวั เลขนั �น ��� การอา่ นตวั เลขแทนจาํ นวน จะอา่ นแทนค่ารปะจาํ ตาํ แหน่ง เรียงตามลาํ ดบั จากค่ารปะจาํ หลกั ท�ีมี ค่ามากที�สุดไจปนถึ งค่าประจาํ หลกั ที�มีค่านอ้ ยที�สุด เช่น คณิตศาสตร์ ระดบั ประถมศึกษา : พค11001 15 สำ� นกั งาน กศน.จงั หวัดกาฬสินธ์ุ

8 ตวั อย่าง จาํ นวน ����������� ล้าน จาํ นวน ร้อย สิบ หน่วย �สน ห�น� �นั ร้อย สิบ หน่วย ค่ารปะจาํ ����������� ���������� ��������� ������� ������ ����� 100 10 1 หลกั ตวั เลขใน � � � � � � �� � แต่ละหลกั ค่าของ ����������� ���������� ��������� ������� ������ ����� 700 80 9 ตวั เลขตาม ค่าประจาํ หลกั �1��������� อ่านวา่ สองร้อยสิบหกลา้ นสามแสนหา้ หมน�ื ส�ี�นั เจ็ดร้อยแดปสิบเกา้ 3. การเขียนจาํ นวนในรูปกระจาย สามารถเขียนจาํ นวนในรูขปองการบวกของค่าประจาํ หลกั ดงั นี � ตวั อย่าง จงเขียน ��������� ในรูปของการกระจาย วธิ ีคดิ ��������� � �9�1�000�000� � ���100�000� � ���10�000� �1�1�000� � ���100� � ���10�����1� นน�ั คอ� ��������� � 9�000�000 � �00�000 � �0�000 � 1�000 � �00 � �0 �� 4. การเรียงลาํ ดบั จาํ นวน การเรียงลาํ ดบั จาํ นวน โดยการนาํ จาํ นวนหลาย ๆจาํ นวนมาเรปียบเทียบกนั ทีละคู่ แลว้ เรียงลาํ ดบั จากจาํ นวนนอ้ ยไหปาจาํ นวนมาก หรือจากจาํ นวนมากไหปาจาํ นวนนอ้ ย วธิ ีการเรปียบเทียบ ใหด้ ทู ีละหลกั วา่ ตวั เลขในหลกั เดียวกนั จาํ นวนใดมีค่ามากกว่า แต่ถา้ มี ค่าของหลกั เลขตวั แรกเท่ากนั ก็ใหด้ ตู วั เลขในหลกั ถดั ไปทาํ เช่นนี �ไจปนครบทุกหลกั ตวั อย่าง จงเรปียบเทียบวา่ ������ กบั ������ จาํ นวนใดมคี ่ามากกวา่ แลว้ เรียงลาํ ดบั จากมากไนปอ้ ย วธิ คี ดิ จาํ นวนท�งั สอง มีค่าตวั เลขในหลกั หมื�น หลกั �นั และหลกั ร้อยเท่ากนั จึ งให�้ ิจาร�าตวั เลข ในหลกั ถดั ไปคือ หลกั สิบ จะเห็นวา่ หลกั สิบของจาํ นวน ������ คือ � มีค่าเ็นป �� แต่หลกั สิบของจาํ นวน ������ คือ � มีค่าเ็นป �� ดงั นั �น ������ มคี ่ามากกว่า ������ จึ งเขียนเรียงลาํ ดบั ไดด้� �งั �น�ี��� ������ 16 คณิตศาสตร์ ระดบั ประถมศกึ ษา : พค11001 ส�ำนักงาน กศน.จังหวดั กาฬสินธ์ุ

9 �� �าร�ร��าณ��า การบอกขนาด รปิมาณหรือจาํ นวนสิ �งของต่าง ๆ�ี�เก�ยี วขอ้ งกบั ชีวติ ประจาํ วนั บางครั �ง ไม่ตอ้ งการความละเอยี ดมาก จึ งใชก้ ารประมาณค่าใกลเ้ คียงส�งนิ �นั ๆมาก��ีส�ด เพอื� การจดจาํ ไดง้ ่าย 5�� การประมาณค่าใกลเ้ คียงจาํ นวนเตม็ สิบ 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 ��� อยร่� ะหว่าง ��� กบั ��� �ต่อยใ่� กล้ ��� มากกวา่ ดงั น�นั ค่าประมาณใกลเ้ คียงจาํ นวนเตม็ สิบของ ��� คือ ��� �ละ ��� อยก่� ึ �งกลางระหวา่ ง ��� �ละ ��� ค่าประมาณใกลเ้ คียงจาํ นวนเตม็ สิบของ ��� คือ ��� การประมาณค่าใกลเ้ คียงจาํ นวนเต็มสิบของจาํ นวนใด ๆใหพ้ จิ ารณาตวั เลขในหลกั หน่วยของ จาํ นวนน�นั �า้ หลกั หน่วยมีค่าต�าํ กว่า � ใหปร้ ะมาณเ็นปจาํ นวนเตม็ สิบ��ีมคี ่านอ้ ยกว่า�ละ�า้ หลกั หน่วย มีค่าเ�5่า�ก�บั � หรือหน่วยส�งกว่า � ใหปร้ ะมาณเ็นปจาํ นวนเตม็ สิบ��ีมีค่ามากกวา่ การรปะมาณค่าใกลเ้ คียงจาํ นวนเตม็ ร้อย พนั หมน�ื �สน การรปะมาณค่าใกลเ้ คียงจาํ นวนเต็มร้อย พนั หมนื� �สน กใ็ ชห้ ลกั การเดียวกนั คือ ให้พจิ ารณา ��� ���ใ�ห��� ��� �����า� ���า คณิตศาสตร์ ระดับประถมศึกษา : พค11001 17 สำ� นักงาน กศน.จงั หวดั กาฬสนิ ธุ์

10 �ร�อง�� 2 บวก ลบ คูณ หาร จาํ นวนนับและสามารถแก้ปัญหาได้ 1. สมบตั ขิ องจาํ นวนนบั และศูนย์ และการนาํ ไปใช้ ในการแก้ปัญหา จาํ นวนน�ั คือ จาํ นวนเตม็ �ว� ไ��้ �่ �� �� �� �� �� ��� ส่วน � เ็นปตวั เ�� �ต่ไม่�ช่จาํ นวนน�ั 6.1 สมบตั ขิ องหนง� �� �ารคณู จาํ นวน�� ��ว้ ยหน� �งหรือคณู หน� �ง�ว้ ย จาํ นวน�� �จ�ไ��้ �คูณเท่า��ั จาํ นวนน�นั เช่น �1=4 หรือ 1  4 = 4 2� �ารหารจาํ นวน�� ��ว้ ยหน� �ง จ�ไ��้ �หารเท่า��ั จาํ นว�นนเัชน่ �÷1=3 หรือ 7 ÷ 1 = 7 6.2 สมบัตขิ องศูนย์ �� �าร�ว�จาํ นวน�� ��ว้ ยศนู ยห์ รือ�าร�ว�นศู ย�์ ว้ ยจาํ นวน�� �จ�ไ��้ ��ว�เท่า��ั จาํ นวนน�นั เช่น �+�=2 หรือ 0 + 2 = 2 �� �ารคณู จาํ นวน�� ��ว้ ยศนู ย์ หรือ�ารคณู นศู ย�์ ว้ ยจาํ นวน�� �จ�ไ��้ �คณู เท่า��ั นศู ย์ เช่น 2×0=0 หรือ 0 × 2 = � �� �ารหารนศู ย�์ ว้ ยจาํ นวน�� �ที�ไม่�ช่นศู ย์ จ�ไ��้ �หารเท่า��ั นศู ย์ เช่น �÷6=0 หรือ 0 ÷ 8 = 0 หมายเหต� �นทางคณิตศาสตร์ เราไม่�ช้ � เ็นปตวั หาร �งั นั �น �ารหารจาํ นวน�� ��ว้ ย � ไมม่ ี ความหมายทางคณิตศาสตร์ เช่น � ÷ 0 ไม่มีความหมายทางคณิตศาสตร์ หรือ 36 ÷ 0 ไมม่ ีความหมายทางคณิตาศสตร์ หรือ ��� ÷ 0 ไมม่ ีความหมายทางคณิตศาสตร์ �� �า้ ��คูณ�อง � จาํ นวน�� �เท่า��ั นศู ย์ จาํ นวน��จาํ นวนหน� �งอยา่ งนอ้ ยหน� �งจาํ นวน ตอ้ งเ็นปศนู ย์ 4×0=0 เช่น หรือ 0 × � = � 18 คณิตศาสตร์ ระดบั ประถมศกึ ษา : พค11001 สำ� นักงาน กศน.จังหวดั กาฬสนิ ธ์ุ

11 2. การบวก การลบ การคณู การหาร จาํ นวนนับ และการแก้ปัญหา 2.� การบวก ความหมายของการบวก การบวก คือ การนาํ จาํ นวนต�งั แต่ สองจาํ นวนข�ึนไมปารวมกนั จาํ นวนท�ีไดจ้ ากการรวมจาํ นวน ต่าง ๆเขา้ ดว้ ยกนั เรียกวา่ “ ผลรวม” หรือ “ผลบวก” และใ�เ้ ครื�องหมาย + เ�นปส�ั ลกั ��แสดงการบวก การบวกจาํ นวนสองจาํ นวนและสามจาํ นวนท�ีมกี ารทด มวี �� ีทาํ และว�� ีค�ดเ�่นเดียวกบั การบวกที�ไม่ มีทด แต่เม�ือ�ลบวกของตวั เลขในแต่ละหลกั ไดต้ �งั แต่ �� ข�ึนไปจะตอ้ งทดเลขตวั หนา้ ขึ �นไปบวกกบั ตวั เลข ในหลกั ท�ีส�งกวา่ �ดั ไขปา้ งหนา้ ตวั อย�างท�ี 1 ��� + ��� มีค่าเท่าไร วธิ ีทํา ��� + ��� ต�งั ตวั เลขแต่ละตวั ใหม้ หี ลกั ตรงกนั แลว้ บวกทีละหลกั 867 ตอบ ��� ตวั อย�างที� 2 จงหา�ลบวกของ ��,��� ��,��� และ ��,��� วธิ ที าํ  � � ,5 6 � 8 7 ,1 4 9 + 6 0 ,9 7 5 1 7 9 ,6 8 6 ตอบ ���,��� คณติ ศาสตร์ ระดบั ประถมศกึ ษา : พค11001 19 ส�ำนักงาน กศน.จังหวดั กาฬสนิ ธ์ุ

12 โจทย์ปัญหาการบวก ตวั อย่าง สวน�รกเก�บม��ร้าว�ด้ ����� �� สวน��ีสองเก�บ�ด้ ����� �� สวน�ี�สามเกบ� �ด้ ����� �� รวมเก�บม��ร้าว�ดก้ ี��� ร���ยคส�ั �กั �ณ� ค�อ ����� + ����� + ����� =  วธิ ที าํ สวน�รกเกบ� ม��ร้าว�ด้ ����� �� สวน��ีสองเกบ� �ด้ ����� + �� สวน�ี�สามเก�บ�ด้ ����� �� รวมเก�บม��ร้าว�ด้ ������ �� ตอบ ������ �� ��บัตกิ าร��บั ทขี� องการบวก ตวั อยา่ ง�ี� � ��� + ��� = ��� ��� + ��� = ��� ดงั น�นั ��� + ��� = ��� + ��� ตวั อยา่ ง�ี� � � � �+ ��� + ��� 234 875 875 �า� นวนสอง�า� นวน�ี�นา� มาบวกกนั สามาร�ส�บั ��ีกนั �ด้ �ดย�ี���บวกยงั คงเ�่าเดิม ดงั เ�่น �� + �� = �� + �� เราเรียกคุณสมบตั ิขอ้ นี �ว่า “��บัตกิ าร��บั ทข�ี องการบวก” ��บัตกิ าร�ป�ยี� �ห�ู่ ��บัตกิ าร�ป�ยี� �ห�่ขู องการบวก � + �+ � = (3 + 5) + 2 3 + 5 + 2 = 3 + (5 + 2) = 8 +2 = 3+7 = 10 = 10 ดงั น�นั (� + � ) + � = � + (� + �) ��� + ��� + ��� = (121 + 122) + 321 121 + 122 + 321 = 121 + (122+321) = 243 + 321 = 121 + 443 = 564 = 564 ดงั น�นั (��� + ���) + ��� = ��� + (��� + ���) 20 คณิตศาสตร์ ระดบั ประถมศึกษา : พค11001 สำ� นักงาน กศน.จังหวดั กาฬสนิ ธุ์

13 ในการบวกจาํ นวนสามจาํ นวน ตอ้ งบวกทีละสองจาํ นวนกอ่ น โดยจะบวกสองจาํ นวนใดก่อนกไ็ ด้ แลว้ จึ งไบ�วกกบั จาํ นวนท�ีเหล�อ ผลบวกจะเท่ากนั เราเรียกสมบตั �ขอ้ �วนา่ ี “�มบัตก� าร��ลย� �หม่ขู องการบวก” และ น�ยมใส่เ�ร�องหมายวงเลบ็ � � �น�ั จาํ นวนสองจาํ นวนที�จะบวกก่อน เราสามาร�แสดง���สมบตั �การเล��ยี นหมข่� องการบวกได้ ดงั นี � ตวั อย่าง �� + �� + �� = ��� + ��� + �� ว�� ��� � �� + �� + �� = 53 + 34 = 87 ว�� �� � � = 41 + �1� + 34� = 41 + 46 = 87 โดยทว�ั ไน��ยมนาํ สมบตั �การเล�ีย� นหม่ข� องการบวก ไใ�ชบ้ วกจาํ นวนสองจาํ นวนทนี� อ้ ย ก่อนแลว้ จึ งไบ�วกกบั จาํ นวนที�มาก เช่น ว�� ีท�ี � หร�อ�า้ มสี องจาํ นวนใดท�ีบวกกนั แลว้ ไดผ้ ลบวกลงทา้ ยดว้ ย � ก็จะบวกสองจาํ นวนน�นั ก่อน แลว้ จึ งบวกดว้ ยจาํ นวนที�เหล�อ จะช่วยให�้ �ดเลขง�่านยขึ ��� การลบ ความหมายของการลบ การลบ ��อ การนาํ จาํ นวนหนึ �งหกั ออกจากอกี จาํ นวนหนึ �ง หร�อเ็น�การเ�รียบเทียบจาํ นวนสองจาํ นวน ึ� �งจาํ นวนท�ีเหลอ� หร�อจาํ นวนที�เ็น�ผลต่างของสองจาํ นวนน�เีรียกว่า “ผลลบ” และใช้ เ�ร�องหมาย � เ็น�ส�ั ลกั ��แสดงการลบ การลบ�ม� ก� ารกร��ายข�ามหลกั การลบท�ีมกี ารกระจายขา้ มหลกั ใชเ้ มอ� ตวั เลขในแต่ละหลกั ของตวั ต�งั นอ้ ยกวา่ ตวั ลบ ึ� �งอยใ่� นหลกั เดียวกนั จึ งตอ้ งมกี ารกระจายต�งวัขตา้ มั หลกั โดยกระจายตวั ต�งั ในหลกั ท�ีส�งกว่า ึ� �งอย�่� ดั ไข�า้ งหนา้ หนึ �งหลกั มา รวมกบั ตวั ต�งั ตวั ท�ีนอ้ ยกวา่ น�ี แลว้ จึ งนาํ ตวั ลบมาหกั ออก ึ� �งเราสามาร�แสดงว�� ีการลบท�ีมกี ารกระจายหลกั ได้ ดงั น�ี คณติ ศาสตร์ ระดับประถมศึกษา : พค11001 21 สำ� นกั งาน กศน.จงั หวัดกาฬสนิ ธุ์

14 ตวั อ�่างท�ี 3 จงหาผลลบของ ��� กบั ���  รปะโยคส�ั ลกั �์ คือ ��� � ��� = วธิ ีทํา � � � ��� – ��� ตอบ ��� ตวั อ�่างท�ี 4 จงหาผลลบของ ����� – ����� วธิ ีทาํ �� �� � � � �– 66 22 44 99 90 2 ตอบ ��� ความสัมพนั ธ์ระหว่างการบวกและการลบ เน�ืองจากการลบ คือ การนาํ จาํ นวนหนึ �งออกจากอกี จาํ นวนหนึ �ง จึ งเ็นปการกระทาํ ที�กลบั กนั กบั การบวก หรือตรงขา้ มกบั การบวก กล่าวคือ การบวกเ็นปการนาํ จาํ นวนสองจาํ นวนมารวมกนั ผลบวกจะมีค่า มากข�ึน แต่การลบเ็นปการนาํ จาํ นวนสองจาํ นวนมาหกั ออกจากกนั ผลลบจะมีค่านอ้ ยลง ดงั ตวั อยา่ งขา้ งบน จะเห็นว่า การลบ การบวก ตวั ต�งั – ตวั ลบ = ผลลบ ผลลบ + ตวั ลบ = ตวั ต�งั �– � = � �+ � =� ตวั ต�งั + ตวั ลบ = ผลลบ ในทางกลบั กนั ผลลบ – ตวั ลบ = ตวั ต�งั ดงั น�นั จากความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งการบวกและลบน�ี เราสามารถนาํ ไใปชต้ รวจสอบผลลบว่าถกู ตอ้ ง หรือไม่โดยวิธีการบวกดงั น�ี 22 คณิตศาสตร์ ระดบั ประถมศกึ ษา : พค11001 สำ� นกั งาน กศน.จงั หวัดกาฬสนิ ธ์ุ

15 ตวั อย�า�ท�ี 5 จงหาผลลบแลว้ ตรวจคาํ ตอบ ตรวจคาํ ตอบ ตรวจคาํ ตอบ ��� – ��� + ��� – ��� + ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� เ็น�คาํ ตอบท�ี�ก� ตอ้ ง ��� เ็น�คาํ ตอบท�ี�ก� ตอ้ ง การบวกลบระคน �งการ นอกจากความสมั พนั ธด์ งั กลา่ วขา้ งตน้ แลว้ บางคร�ัง�จทยอ์ าจกาํ หนดร�ะ�ยค ส�ั ลกั �์ที�มที ั บวกและลบจาํ นวนเลขต่าง ๆในขอ้ เดียวกนั มาใหท้ าํ ในวงเลบ็ ก่อน ตวั อย�า�ที� 6 ��,���,��� + ���,���� – ���,��� �   วธิ ที ํา � , � � �, � � � + � � �, � � � 3 , 4 8 0, 0 5 2 – � � �, � � � � , � � �, � � � ตอบ �,���,��� โจทย์ปัญหาการลบ ตวั อย�า�ที� 7 แมค่ า้ ขายสม้ �อ�ด้ ��� ผล ขายมงั ค�ด�ด้ ��� ผล แมค่ า้ ขายสม้ �อมากกวา่ มงั คด� ก�ีผล ร�ะ�ยคส�ั ลกั �์ ค�อ ��� – ��� �  วธิ ที ํา แมค่ า้ ขายสม้ �อ�ด้ ��� – ผล ขายมงั ค�ด�ด้ ��� ผล แม่คา้ ขายสม้ �อมากกว่ามงั ค�ด �� ผล ตอบ �� ผล คณติ ศาสตร์ ระดบั ประถมศกึ ษา : พค11001 23 สำ� นกั งาน กศน.จงั หวดั กาฬสนิ ธ์ุ

16 ��� การคูณ ความหมายของการคูณ การคณู ค�อ การบวกจาํ นวนท�ีเท่า ๆกนั หร�อเ็นปการนบั เ�ิ ม� จาํ นวนคร�ังละเท่า ๆกนั และสามารถ แสดง�ดโ้ ดยการคณู จาํ นวนเ�ยี ง � จาํ นวน ค�อ จาํ นวนท�ีเทา่ กนั กบั จาํ นวนครั �งที�บวกกนั จาํ นวนที��ดจ้ ากการ คูณ� จาํ นวนเขา้ ดว้ ยกนั เรียกว่า � ผลคณู � และใชเ้ คร�องหมาย × เ็นปสญั ลกั ษณ์แสดงการคณู ใชเ้ ขียนอยู่ ระหวา่ งตวั เลข � จาํ นวนท�ีนาํ มาคณู กนั การคณู จ� งเ็นปวธิ ีลดั ของการบวก และรปะโยคท�ีแสดงการคูณทางขวาม�อนั �น เรียกว่า รปะโยค สญั ลกั ษณ์ของการคณู ดงั นี � ตวั ต�งั × ตวั คณู = ผลคณู ตวั อย่าง จงหาผลคูณของ ��� × 36 �บบท�ี � �บบที� � วธิ ที ํา วธิ ีทํา 234 × 30 + 6 234 × 36 36 1404 + 234 × 6 1404 + 7 0 2 0 234 × 30 702 8,4 2 4 8,4 2 4 ตอบ 8,424 ตอบ 8,424 วธิ คี ดิ วธิ ีน�ีใชค้ ่ารปะจาํ หลกั ของตวั คณู วธิ ีคดิ วธิ ีน�ีเลขตวั หลงั ของผลคูณแต่ละตวั แต่ละตวั คณู กบั ตวั ตั �ง แลว้ นาํ ผลคณู มาบวกกนั จะอยตู่ รงหลกั เดียวกนั กบั ตวั คณู ตวั นั �น แลว้ นาํ ผลคูณแต่ละตวั มาบวกกนั วธิ ีที� � โดยการแยกเ็ปนตวั ประกอบของตวั คูณ ตวั ประกอบของตวั คณู ค�อ การเปลยี� นตวั คณู ใหเ้็นปเลขหลกั เดียว โดยแยกตวั คูณใหเ้็นป ผลคณู ของจาํ นวนเลขหลกั เดยี ว เช่น �� = 3 × 7 เราเรียก � และ � วา่ เ็นปตวั ประกอบของ �� 24 คณติ ศาสตร์ ระดับประถมศกึ ษา : พค11001 สำ� นกั งาน กศน.จังหวดั กาฬสินธ์ุ

17 วธิ ีน�ีตวั ต�งั จะเ็นปเลขก�ีหลกั กต็ าม �า้ ตวั คณู เ็นปเลขหลกั เดียวจะทาํ ได�้ ะดวกและง่ายข� �นกวา่ ที�ตวั คณู เ็นปเลขหลายหลกั เพราะไม่ตอ้ งนาํ ผลคูณมาบวกกนั อกี เพยี งแต่ใชต้ วั คูณคูณตวั ตั �งทีละตวั จนหมด ตวั อย่าง จงหาผลคูณของ ��� กบั �� การคณู ตามแนวนอน การคณู ตามแนวตง�ั วธิ ีทาํ 21 = 3 × 7 วธิ ที ํา 21 = 3 × 7 274 × 21 = 274 × (3 × 7) 274 × 274 × = (274 × 3) × 7 21 3 = 822 × 7 822 × = 5,754 7 ตอบ �,��� 5,754 ตอบ �,��� วธิ คี ดิ 1. แยกตวั คูณค�อ �� ออกเ็นป � × 7 2. นาํ � �� �งเ็นปตวั คณู ที�นอ้ ย คณู กบั ��� ก่อน จะได้ ��� (เหต�ท�ีนาํ ตวั เลขนอ้ ยคูณก่อน เพ�อจะ ไดผ้ ลคูณเ็นปจาํ นวนเลขนอ้ ย ๆง่ายแก่การคณู เลขตวั ต่อไ)ป 3. นาํ � ไคปูณ��� ดงั นั �นจะไดผ้ ลคณู เ็นป �,��� วธิ ีที� � �ดยการแยกตวั คณู ท�ีเ็นปพห�คณู ของ �� วธิ ีน�ีจะใชเ้ มอ� ตวั คณู เ็นปพห�คณู ของ �� ค�อ ตวั คณู ที�ลงทา้ ยดว้ ย � นั น� เอง ตวั อย่างจงหาผลคูณของ ��� กบั �� การคูณตามแนวนอน การคณู ตามแนวต�งั วธิ ีทาํ 30 = 3 × 10 วธิ ีทาํ 30 = 3 × 10 324 × 30 = 324 × (3 × 10) 324 × = (324 × 3) × 10 3 = 972 × 10 972 × = 9,720 10 ตอบ �,��� 9,720 ตอบ 9,720 คณิตศาสตร์ ระดับประถมศึกษา : พค11001 25 สำ� นักงาน กศน.จังหวดั กาฬสนิ ธุ์

18 วธิ ีที� � โดยวธิ ีการกระจายจาํ นวนตามค่าประจาํ หลกั วิธีน�ีช่วยใหก้ ารหาผลคณู ง่ายขึ �น สาํ หรับการคณู จาํ นวนท�ีมเี ลขหลาย �หลกั ใหก้ ระจายจาํ นวนที�มี หลกั มากกว่า ไม่วา่ จาํ นวนน�นั จะเ็นปตวั ตั �งหรือตวั คณู แลว้ จึ งคณู กบั อกี จาํ นวนหนึ �ง�นจาจกึ นั งนาํ ผลคณู แต่ ละตวั มาบวกกนั เหมือนวธิ ีท�ี � ของการคณู โดยวธิ ีลดั นั น� เอง ตวั อย่าง จงหาผลคูณของ ��� กบั �� การคณู ตามแนวนอน การคูณตามแนวต�งั วธิ ที าํ วิธีทาํ 382 × 23 = (300 + 80 + 2) × 23 382 × 300 + 80 + 2 × = (300 × 23) + (80 × 23) + (2 × 23) 23 23 = 6,900 + 1,840 + 46 6,900 + 1,840 + 46 = 8,786 = 8,786 ตอบ �,786 ตอบ 8,786 แบบฝึ กหดั ก. ใหห้ าผลคณู ต่อไนปี � โดยวิธีลดั (�) 36 × 17 (�) 4� × 22 (�) �� × 40 (�) 79 × 30 (�) ��3 × 21 ข. ใหห้ าผลคณู ต่อไนปี � โดยการแยกตวั ประกอบของตวั คณู (�) �4 × 20 (�) 63 × 21 (�) 1�4 × 24 (�) �83 × 32 ค. ใหห้ าผลคณู ต่อไนปี � โดยวธิ ีกระจายจาํ นวนตามค่าประจาํ หลกั ตามแนวนอน (�) 78 × 60 (�) 98 × 72 (�) 82� × �6 (�) 999 × 80 เม�ือตวั คณู เ็นปจาํ นวนเลข สามหลกั สาํ หรับตวั คูณท�ีเ็นปจาํ นวนเลขสามหลกั นี � เราสามาร�หาผลคณู ไดห้ ลายวธิ ี แต่วิธีที�เหมาะสมและ สะดวกคือ 26 คณติ ศาสตร์ ระดบั ประถมศึกษา : พค11001 สำ� นกั งาน กศน.จังหวดั กาฬสนิ ธ์ุ

19 วธิ ีที� � โดยวธิ ีลดั วิธีน�ีนิยมใชค้ ณู จาํ นวนเลขตามแนวตั �ง และมีวิธีคดิ เหมอ� นตวั คณู ��ีเน�จาํ นวนเลข�องหลกั ดงั นั �น จะใหต้ วั อยา่ งเฉพาะการคณู ตามแนวตั �ง ดงั น�ี ตวั อย่าง��� × 125 แบบที� � แบบที� � วธิ ีทาํ วธิ ีทาํ 267 × 267 × 125 125 1335 + 267 × 5 1335 + 5340 267 × 20 534 26700 267 × 100 2 67 3 3,3 7 5 3 3,3 7 5 ตอบ 33,375 ตอบ 33,375 วธิ ที ี� � โดยการแยกตวั คณู �ี�เน�พห�คณู ของ �� วิธีน�ีจะใชเ้ มอ� ตวั คณู เ�น�พห�คณู ของ �� เช่นเดียวก�ั ตวั คณู �ี�เน�เลข�องหลกั ดงั นี � ตวั อย่างท�ี � จงหา�ลคณู ของ ��� × ��� การคณู ตามแนวนอน การคณู ตามแนวต�งั วธิ ที าํ วธิ ที าํ ��� = 25 × 10 = 5 × 5 × 10 250 = 25 × 10 = 5 × 5 × 10 372 × 250 = 372 × (5 × 5 × 10) 372 × = (372 × 5) × 5 × 10 5 = (1,860 × 5) × 10 1,860 × = 9,300 × 10 5 = 93,000 9,300 × ตอบ ��,��� 10 93,000 ตอบ 93,000 คณติ ศาสตร์ ระดับประถมศึกษา : พค11001 27 สำ� นกั งาน กศน.จงั หวัดกาฬสนิ ธ์ุ

20 ตวั อย�า�ท�ี � �ง���ลคณ� �อง ��� ก�ั ��� การคูณตามแนวนอน การคูณตามแนวต��ั วธิ ที าํ วธิ ที ํา ��� = 10 × 10 ��0 = 10 × 10 362 × 100 = 362 × (10 × 10) 362 × = (362 × 10) × 10 10 = 3,620 × 10 3,620 × = 36,200 10 ตอบ ��,��� 36,200 ตอบ 36,200 ส�� �รั���ั คณ� ��เนป ��� �� �งเ�นป���ค�ณ�อง �� เร��ะสงั เก�เ��น��� �ลค�ณ�อง��� น�น เล��ด ���ค�ณก�ั ��� �ะ��ค��เ���ก�ั เล���� น�นนั �น��อ��� ยด�� ย �� (น�� ย์ � ��ั ) นั น� เอง ��ก��ั อย�� ง�� � เร�ส���ร����ลคณ� �อง ��� ก�ั ��� �ด�� ��โ� ดย��� �ลดั �� �ง�ะสะด�กก���ดงั น� � การคณู ตามแนวนอน การคณู ตามแนวต��ั วธิ ที าํ 362 × 100 = 36,200 วธิ ีทาํ 362 × ตอบ ��,��� 100 36,200 โจทย์ปัญหาการคณู ตอบ 36,200 ตวั อย�า�ที� � กระเ��ย���ง� ก�โลกรั�ละ �� ��� ��� ��ย�ด� � ก�โลกรั� �ะ�ดเ� ง�นเ����ร วธิ ที าํ รปะโยคสญั ลกั ษณ์ คือ 18 × 9 =  กระเ��ย���ง� ก�โลกรั�ละ �� ��� ��ย�ด� � ก�โลกรั� ดงั น�นั �ะ�ดเ� ง�น 18 × 9 = ��� ��� ตอบ ��� ��� 28 คณติ ศาสตร์ ระดับประถมศึกษา : พค11001 ส�ำนกั งาน กศน.จังหวดั กาฬสนิ ธ์ุ

21 ตว� อ�่างท�ี � ขา้ วสาร�งั ละ ��� บาท น�าํ ลปาขวดละ �� บาท �า้ ืซ �อขา้ วสาร � �งั น�าํ ปลา �� ขวด จะตอ้ งจ่ายเงินทั �งหมดเท่าไร วธิ ที าํ รปะโยคสญั ลกั ษณ์ คือ (130 × 4) + (18 × 14) =  ขา้ วสาร�งั ละ ��� บาท ืซ�อ � �งั คิดเ�นปเงิน 130 × 4 = 520 บาท น�าํ ปลาขวดละ �� บาท ืซ�อน�าํ ปลา �� ขวด คิดเ�นปเงิน �� × 14 = 252 บาท ดงั น�นั จะตอ้ งจ่ายเงินท�งั หมด ��� + ��� = ��2 บาท ตอบ ��� บาท �ม�ต� กิ าร���� ทขี� องการคณู การคูณตามแนวต�ง การคณู ตามแนวนอน 3×2 = 6 3× 2 × 2×3 = � 2 3 ดงั น�นั � × 2 = 2 × 3 6= 6 10 × 9 = 90 10 × 9 × 9 × 10 = �� 9 10 ดงั น�นั �� × 9 = 9 × 10 90 = 90 จาํ นวนสองจาํ นวนท�ีมาคูณกนั สามาร�สลบั ท�ีกนั ได้ กล่าวคือ ตวั ตั �ง�ละตวั คณู สลบั ที�กนั ไดโ้ ดยท�ีผลคณู ยงั คงเท่าเดิม ดงั เ�่น � × 2 = 2 × 3 หรือ �� × 9 = � × 10 เราเรียกสมบตั ิขอ้ น�ีว่า “�ม��ตกิ าร���� ทขี� องการคณู ” �ม��ตกิ าร�����ี น�ม่ขู องการคูณ 3 × 5 × 6 = (3 × 5) × 6 3×5×6 = 3 × (5 × 6) = 3 × 30 = 15 × 6 = 90 = 90 ดงั น�นั (� × 5) × 6 = 3 × (5 × 6) การนาํ จาํ นวนสามจาํ นวนมาคณู กนั จะคูณสองจาํ นวน�ดกอ่ น�ลว้ ไคปูณกบั จาํ นวนท�ีเหลอื ผลคูณจะเท่ากนั เสมอ เราเรียกสมบตั ิขอ้ นี �ว่า “�ม�ต� กิ าร�����ี น�ม่ขู องการคณู ” คณิตศาสตร์ ระดบั ประถมศกึ ษา : พค11001 29 ส�ำนกั งาน กศน.จังหวดั กาฬสนิ ธุ์

22 รปะโยชนข์ อ้ นี �ก็เ�อื� จะชว่ ยใหค้ ิดเลขง่ายข�ึน โดยยึ ดหลกั ขอ้ ใดขอ้ หนึ � �งดงั นี 1. คณู สองจาํ นวนท�ีนอ้ ยก่อน แลว้ จึ งคณู กบั จาํ นวนท�ีเหลือ 2. คณู สองจาํ นวนท�ีไดผ้ ลคณู ลงทา้ ยดว้ ย � ก่อน แลว้ จึ งคูณกบั จาํ นวนท�ีเหลอื 3. �า้ มีจาํ นวนที�ลงทา้ ยดว้ ย � อยหู่ นึ �งจาํ นวนที�ไม่เกิน � หลกั ใหค้ ูณสองจาํ นวนท�ีไม่ลง ทา้ ยดว้ ย � ก่อน แลว้ จึ งคณู จาํ นวนท�ีลงทา้ ยดว้ ย � สมบตั กิ ารแจกแจงของการคณู (5 + 10) × 4 = 15 × 4 (5 + 10) × 4 = (5 × 4) + (10 × 4) = 60 = 20 + 40 = 60 ดงั น�นั (5 + 10) × 4 = (5 × 4) + (10 × 4) การนาํ จาํ นวนใด ๆไปคณู กบั ผลบวกของจาํ นวนอกี สองจาํ นวน จะมีผลคูณเท่ากบั การนาํ จาํ นวนน�นั ไคปณู ทีละจาํ นวน แลว้ บวกกนั เราเรียกสมบตั ิขอ้ นี �ว่า “สมบตั กิ ารแจกแจงของการคณู ” สมบตั ิการแจกแจงของการคณู นี � นิยมนาํ ไใปชใ้ นการคูณจาํ นวน � จาํ นวน ที�เ็นปตวั เลข ต�งั แต่ � หลกั ข�ึนไปโดยวธิ ีกระจายจาํ นวนตามคาํ ประจาํ หลกั ตามแนวนอน แต่สาํ หรับในชั �นน�ี นิยมใชก้ บั ตวั คูณท�ีเ็นปเลขไม่เกนิ สองหลกั ึ� �งผเู้ รียนไดเ้ รียนมาบา้ งแลว้ ในการคณู ท�ีมตี วั คูณเ็นปเลขหลกั เดียวนั น� เอง ��� การหาร ความหมายของการหาร การหารเ็นปการแบ่งของออกเ็นปกลุ่มยอ่ ยเท่า ๆกนั หรือเ็นปการนบั ลดลงครั �งละเท่า ๆกนั และ สามาร�แสดงไดโ้ ดยการหารของจาํ นวนเ�ยี ง � จาํ นวน จาํ นวนที�ไดจ้ ากการหารกนั ของ � จาํ นวน เรียกวา่ “ผลหาร” และใชเ้ ครื�องหมาย ÷ เ็นปส�ั ลกั �ณ์แสดงการหาร เช่น � ÷ 2 ตวั อย�าง�� � �� �า้ ลบออก คร�ังละ � จะตอ้ งลบกี�คร�ัง จึ งจะหมด คร�ังที� � �� � � เหลือ �� คร�ังที� � �� � � เหลือ � คร�ังที� � � � � เหลือ � คร�ังที� � � � � เหลือ � คร�ังที� � � � � เหลือ � จะเห็นวา่ �� ลบออกคร�ังละ � ได้ � คร�ัง จึ งจะหมด นนั� คือ �� ÷ 3 = 5 30 คณติ ศาสตร์ ระดับประถมศึกษา : พค11001 ส�ำนักงาน กศน.จงั หวัดกาฬสนิ ธุ์

23 การลบออกคร�ังละเท่า ๆกนั จนครั�งสุดทา้ ย�ดผ้ ลลบเ�นป � ดงั ตวั อยา่ งท�ี � เรียกว่า “การหารลงตวั ” แต่ถา้ ลบออกจนคร�ังสุดทา้ ย�มเ่�นปน�ู ย์ ดงั ตวั อยา่ งที� � เรียกว่า “การหารไม่ลงตวั ” และ จา� นวนที�เหลอ� จากการลบออกคร�ังสุดทา้ ย เรียกว่า “เศษ” ประโยคสญั ลกั ษณ์แสดงการหาร มีดงั นี � ตวั ต�งั ÷ ตวั หาร = ผลหาร ความสมั พนั ธร์ ะหว่างการคูณและการหาร มมี ะนาว � กอง ผล กองละ 4 ผล รวมมีมะนาวท�งั หมด �� ประโยคสญั ลกั ณษ์ ค�อ � � 4 = 12 มมี ะนาวท�งั หมด �� ผล มมี ะนาวท�งั หมด �� ผล แบ่งเ� นป � กอง แบ่งกองละ � ผล �ดม้ ะนาวกองละ � ผล �ดม้ ะนาว � กอง ประโยคสญั ลกั ษณค์ �อ �� รปะโยคสญั ลกั ณษ์ ค�อ �� ÷4=3 ÷ 3= 4 ตวั ต�งั ตวั คณู ผลคูณ ตวั ต�งั ตวั หาร ผลหาร � � 4 = 12 12 ÷ 3= 4 12 ÷ 4= 3 ตวั ต�งั ตวั หาร ผลหาร คณิตศาสตร์ ระดับประถมศึกษา : พค11001 31 ส�ำนกั งาน กศน.จงั หวดั กาฬสินธ์ุ

24 จากตวั อยา่ งขา้ งตน้ จะเห็นวา่ การคณู และการหารมีความสมั พนั ธก์ นั กลา่ วคือ 1. การคณู เ�ลยี� นเ็น�การหาร �ดด้ งั นี � 1.1 การคณู เ�ลย�ี นเ็น�การหาร เม�อื - ตวั ต�งั ของการคณู จะเล��ียนเ็น�ตวั หารหรือผลหาร - ตวั คณู ของการคณู จะเ�ลีย� นเ็น�ผลหารหรือตวั หาร - ผลคณู ของการคณู จะเล��ียนเ็น�ตวั ตั �ง 1.2 ร�ะ�ยคส�ั ลกั �ณ์แสดงการคณู เล�ี�ยนเ็น��ระ�ยคส�ั ลกั ณ�์แสดงการหาร�ด้ 2. การหารเล�ย�ี นกลบั เ็น�การคูณ�ด้ ดงั นี � ตวั หาร × ผลหาร = ตวั ต�งั ตวั ต�งั ÷ ตวั หาร = ผลหาร �ระ�ยคส�ั ลกั �ณ์ คือ ��� ÷ 8 =  วธิ ที ํา วธิ คี ดิ วธิ ีน�ีใชต้ วั หารหารตวั ต�งั ทีละหลกั 023 1. นาํ � �ห�าร � �� �งเ็น�เลขหลกั สูงส�ด ก่อน 8)184 จะเห็นว่า � มากกว่า � �ะน�นั ใหพ้ ิจารณา 16 – ��รวมกบั หลกั ถดั ��เ็น� �� 24 – 2. นาํ � �ห�าร �� จากตารางการคณู 24 8 × 2 = �� �� �งเ็น�ค่าที�ใกลเ้ คียง �� มากที�ส�ด และ�ม่เกิน �� ดงั น�นั ผลหาร คือ 00 � ใส่�วเ้ หนือ � �� �งเ็น�หลกั สิบของตวั ต�งั นาํ �� �ล�บออกจาก �� เหลือเ�� ชกั � ตอบ �� ลงมาใหต้ รงหลกั เ็�น �� ตรวจคาํ ตอบ � × 23 = ��� 3. นาํ � �ห�าร �� จากตารางการคณู 8 × 3 = �� ดงั น�นั ผลหารคือ � ใส่�วเ้ หนือ แสดงวา่ คาํ ตอบถกู ตอ้ ง � �� �งเ็น�ตวั ต�งั แลว้ นาํ �� ท�ี�ด�้ ล�บกบั �� �ด้ � ดงั น�นั ผลหารท�งั หมด คือ �� 32 คณิตศาสตร์ ระดบั ประถมศึกษา : พค11001 ส�ำนกั งาน กศน.จังหวัดกาฬสนิ ธ์ุ

25 วธิ ี��ิ �า���ท�ี� ท���ิง�อง�า��า���ั� � ��ใ่ �่เศ�ษ�แ�จ้ ร�ง เ�รา�ก่อน��จ�นาํ � �าหารนั �น �� � เ�น�ตวั หารก่อนจ� ง�าํ ใหค้ ่าของ จาํ นวนเ�ข��เห�อ� อยนู่ อ้ ย�ง��� เ�่า ดงั นั �น ถา้ ตอ้ งการหาเษ�ศ�แ�จ้ ร�ง ตอ้ งนาํ � �าคู�กบั � เ�น� �� จ� งจ� เ�น�เ�ศษ�แ�จ้ ร�ง แต่ถา้ เ�น�การหาร����เษ�ศั �ง � คร�ัง ใหน้ าํ เคษศรั �งแรกบวกดว้ ย ตวั อย่าง 1,526 ÷ 28 =  วธิ ี��ิ �า���ท�ี�ท���ิง วธิ ที าํ �� = � � � 1� ตอ้ งหาเขศษองตวั ส�ด�า้ ยก่อน ค�อ � � � = 12 ��1526 �� นาํ � �� �งเ�น�เตศษวั แรก��บวกค�อ �� � � �� � 8 1 เษศ� �ด้ �� จ� งเ�น�เศษ��แ�จ้ ร�ง 5 � เศษ� ข�นั �� � �ด้ ���� � �� � 2 =1,526 เศ�ษ�แ�จ้ ร�ง �� � �� � 2 = 1� ตอบ �� เษศ�� ตรวจคาํ ตอบ ข�นั �� � �ด้ ��� � �� � � = �81 แสดงวา่ คาํ ตอบถกู ตอ้ ง คณติ ศาสตร์ ระดบั ประถมศกึ ษา : พค11001 33 ส�ำนักงาน กศน.จงั หวดั กาฬสนิ ธุ์

26 เ��อตวั หารเ็นปเลขสา�หลกั วธิ ีที�ง่ายค�อการหารยาว ตวั อยา่ ง ��,��8 ÷ 462 =  วิธีทาํ 1 1 2 ��� ) � � � � � ��� – ��� ��� – ���� – ��� ��� ผลหาร ค�อ ��� เษศ��� ตอบ ��� เษศ��� ตรวจคาํ ตอบ (��� � 112) � 404 = 51,744 � 404 = 52,148 แสดงว่า คาํ ตอบถกู ตอ้ ง แบบฝึ กหดั ก. จงหาคาํ ตอบต่อไนปี � (1) 9 ÷ 2 =  เศษ  (2) 25 ÷ 5 =  เศษ  (3) 75 ÷ 7 =  เศษ  (4) 100 ÷ 9 =  เศษ  (5) �ีเงาะอยู่ �� กิ�ลกรั� แบ่ง�ส่�ะลอ�ละ � กิ�ลกรั� ที�เหลอ� �หล้ กู รับประทาน ลกู จะไดร้ ับรปะทานเงาะกี�กิ�ลกรั� (6) เล�ยี งเ็ดป ��� ตวั แบ่งขาย � ครั �ง คร�ังละเท่า ๆกนั ขายเ็ดปไดค้ รั �งละกี�ตวั และจะเหลอ� เ็ดปก�ีตวั ข. จงหาผลหารแลว้ ตรวจคาํ ตอบ (1) 20 ÷ 3 (2) 35 ÷ 4 (�) �� ÷ 2 (4) 150 ÷ 12 (5) 1,031 ÷ 51 (6) 28,023 ÷ 145 34 คณิตศาสตร์ ระดับประถมศึกษา : พค11001 ส�ำนกั งาน กศน.จงั หวดั กาฬสนิ ธุ์

27 โจทย์ปัญหาการหาร ตวั อย่าง คนงาน � คน รับจา้ งขดุ บ่อ��่ง�น� �งไดค้ ่าจา�้งง�ท�ั ด ������ บาท �า้ �บ่งเง�นค่าจา้ ง เท่า ๆกนั จะไดค้ นละเท่าไร ร�ะ��ค��ั ลกั �� ค�อ ������ � 7 �  วธิ ีทํา คนงานไดค้ ่าจา้ งขุดบ่อท�งั ��ด ������ บาท �บ่งเง�นค่าจา้ งเท่า ๆกนั � คน ดงั น�นั จะไดค้ นละ � � ������ บาท ����� บาท ตอบ ����� บาท คณิตศาสตร์ ระดับประถมศกึ ษา : พค11001 35 สำ� นักงาน กศน.จงั หวัดกาฬสินธ์ุ

28 ตวั อย่าง ������� ����� ด�� � น�� ���������ง ����ง�� ��� ด�� � ������ด�� �����ง ��������ั ��ั �� ��� ����� � 250 �  วธิ ีทาํ ���� ��� ����� ด�� � น�� ���������ง ����ง�� ��� ด�� � ดงั น�นั ������ด� �� ���� ง ���� ���� 750 960 750 – 210 ดงั น�นั ������ด� �� ���� ง �������� ����� ด�� � ��� �� ����ง ����� ��� ด�� � ตวั อย่าง �ด�ั �����������ง�ด� ����� ��� �ด�ั �������ง����ด� ����� ��� ��ดั ���� ���� ����ด� ����� ��� ��������� �����ง�ด�� ง�น�ด�ั ����������� ��������ั ��ั �� ��� ������ � ����� � ������ � � �  วธิ ที าํ �ด�ั �����������ง�ด� ����� ��� ��ดั �������ง����ด� ����� ��� �ด�ั ������������ด� ����� ��� ��������ดั ��������ง�ด�� งน� ����� ��� ดงั น�นั ����� ���� �����ง�ด�� ง�น��ดั ����� ����� � � � ����� ��� ตอบ ����� ��� 36 คณิตศาสตร์ ระดับประถมศึกษา : พค11001 สำ� นักงาน กศน.จังหวดั กาฬสนิ ธุ์

29 โจทย์ปัญหาการบวก ลบ คณู และหาร โจ�ยัญป� หา�ซ �งเ�นปเร�ืองราว�ี�เกย�ี วขอ้ งกบั �ีวติ รปะจาํ วนั นั �น อาจมกี ารแกัญป้ หาโดยวิธีการบวก ลบ คูณและหารปนกนั อยู่ ดงั ตวั อยา่ งต่อไนปี � ตวั อย่าง นายม�งิ ขายโคเน�ือ � ตวั หนกั ตวั ละ ��� กิโลกรัม และ ��� กิโลกรัมตามลาํ ดบั โดยขาย กิโลกรัมละ �� บา� แลว้ ืซ�อตน้ กลา้ มะม่วง�นั ธ�ดีมา ��� ตน้ ราคาตน้ ละ �� บา� จะเหลอื เงินเ�่าไร รปะโยค�ญั ลกั ณ�� คือ ���� � ���� � �� � ���� × 2�� �  วธิ ีทํา โคเน�ือตวั แรกมีน�าํ หนกั ��� กิโลกรัม โคเน�ือตวั �ี��องมีน�าํ หนกั ��� + กิโลกรัม โคเน�ือ � ตวั มนี �าํ หนกั รวม ��� × กิโลกรัม ขายกิโลกรัมละ �� บา� – บา� ���� บา� ���� – รวมเ� นปเงิน�ี�ขายโคได้ ����� บา� ตน้ กลา้ มะม่วง�นั ธด� ีราคาตน้ ละ �� × บา� ืซ�อตน้ กลา้ มะมว่ ง ��� ตน้ คิดเ�นปเงิน�ื�ีซ �อตน้ กลา้ มะมว่ ง ���� บา� เงิน��ีขายโคได้ ����� – บา� จ่ายเงินค่าตน้ กลา้ มะมว่ ง ���� บา� ดงั น�นั จะเหลือเงิน ����� บา� ตอบ ������ บา� คณิตศาสตร์ ระดับประถมศึกษา : พค11001 37 ส�ำนกั งาน กศน.จังหวัดกาฬสินธ์ุ

30 เร�อง�ี� 3 การแยกตวั ประกอบของจาํ นวนนับ 3.1 ตวั ประกอบของจาํ นวนนบั และการหาตวั ประกอบ ความหมายของตวั รปะกอบ ตวั ประกอบของจาํ นวนนับใดๆ ก��อ� จํานวนนับ�ห�ี ารจาํ นวนนับได้ลงตวั วธิ ีการหาตวั ประกอบ นาํ � ไหปาร � ได�� งตวั ดงั นั �น � �นปตวั ประกอบของ � นาํ � ไหปาร � ได�� งตวั ดงั นั �น � �นปตวั ประกอบของ � ไม่มจี าํ นวนนบั อ�น�ี�นาํ ไหปาร � ได�� งตวั อกี ดงั นั �น � มตี วั ประกอบ � ตวั ค�อ � ��ะ � 3.2 จาํ นวนเฉพาะและตวั ประกอบเฉพาะ � จาํ นวนนับ��ี�ากกว�า � และ�ตี ัวประกอบเพียง � ตวั 3.2.1 จาํ นวนเฉพาะ �อ� � และ ตัวเอง เรียกว�าจํานวนเฉพาะ พจิ ารณาตวั รปะกอบของจาํ นวนต่อไนปี � มตี วั ประกอบ � ตวั ค�อ � ��ะ � � มีตวั รปะกอบ � ตวั ค�อ � ��ะ � � มีตวั รปะกอบ � ตวั ค�อ � ��ะ � จาํ นวนนบั ขา� งตน� �ต่�ะจาํ นวนมตี วั รปะกอบ��ีต่างกนั �พยี ง�องตวั ค�อ � ��ะตวั ของมนั �อง 3.2.2 ตวั ประกอบเฉพาะ ตวั รปะกอบของ �� มี � ตวั ค�อ �� �� �� �� � ��ะ �� �ต่ � ��ะ � ��่านั �น�ี��นปจาํ นวน��พาะ ดงั น�นั � ��ะ � �นปตวั รปะกอบ��ี�นปจาํ นวน��พาะของ �� เรียกตัวประกอบ��ีเป� นจํานวนเฉพาะว�า ตัวประกอบเฉพาะ ตวั รปะกอบของ �� มี �� �� �� �� �� ��� �� ��ะ �� ตวั ประกอบ��พาะของ �� ค�อ �� � ��ะ � 38 คณิตศาสตร์ ระดบั ประถมศึกษา : พค11001 สำ� นักงาน กศน.จังหวัดกาฬสินธ์ุ

31 3.3 การแยกตวั ประกอบ การเขียนจาํ นวนในรูปผลคณู ของตวั รปะกอบ ตวั รปะกอบของ �� ค�อ �� �� �� �� �� � และ �� เราสามารถเขียนจาํ นวนในรูปผลคูณของ ตวั รปะกอบของแต่ละจาํ นวนนั �นได้ เช่น �� = 1 × 12 �ร�อ �� = 2 × � �ร�อ �� = 3 × 4 พจ� ารณาการเขียน �� ในรูผปลคณู ของตวั ประกอบสองตวั ��ีไมม่ ตี วั ใดเ็นป � 12 = 2 × � �ร�อ �� = 3 × 4 เน�องจาก � และ � ไมเ่็นปตวั รปะกอบเฉพาะ ดงั นั �น เราสามารถเขียน � และ � ในรูผปลคูณของตวั ประกอบ ต่อไไปดอ้ กี ดงั นี � 12 = 2 × � �ร�อ �� = 3 × 4 = 2×2×3 = 3 ×2×2 เมอ� เราเขียน 12 = 2 × 2 × 3 �ร�อ �� = 3 × 2 × 2 จะเ็นปการเขียน �� ในรูป ผลคูณของตวั ประกอบเฉพาะ การแยกตวั รปะกอบของจาํ นวนนบั ใดๆเ็นปการเขียนจาํ นวนนบั นั �นในรูกปารคณู ของตวั รปะกอบเฉพาะ ตวั อย่าง จงแยกตวั รปะกอบของ �� วธิ ีทาํ �� = 3 × 1� = 3×2×8 = 3×2×2×2×2 แยกตวั รปะกอบของ �� ได้ 3 × 2 × 2 × 2 × 2 �ร�อ � × 2� ตอบ �� = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 �ร�อ � × 2� จาํ นวน��คี ูณกบั ตวั เอง�ลาย ๆครั �ง เช่น 2 × 2 × 2 × 2 สามารถเขียนในรูปเลขยกกาํ ลงั ไดเ้็นป � � อา่ นวา่ สองยกกาํ ลงั ส�ี คณติ ศาสตร์ ระดับประถมศึกษา : พค11001 39 สำ� นักงาน กศน.จังหวดั กาฬสินธุ์

32 3.3.� การ�ยกตวั ประกอบโดยวธิ ตี �งั หาร ใน�ารแย�ตวั ร���อบ�อง �� เราอา จทาํ ไดโ้ ดยนาํ จาํ นวนเ�พา�ที�หาร �� ไดล้ งตวั มาหาร �� แลว้ พิจารณาผลหารไดล้ งตวั มาหารผลหารนั �น ทาํ เช่นน�ีเร�อยไจ�น�ร�ทั ง� ผลหารท�ีไดเ้�น�จาํ นวนเ�พา� เรา�ามาร�เ�ียน �� ในรูผ�ลคูณ�องตวั หารท��ตวั �บั ผลหาร��ดทา้ ย �� �งท��ตวั เ�น�จาํ นวนเ�พา� ตวั อยา่ ง จงแย�ตวั ร���อบ�อง �� วิ�ีทาํ � ) �� � ) �� � แย�ตวั ร���อบ�อง �� ได้ 2 × 2 × 5 3.3.2 การหาผลคณู โดยใช้ตวั ประกอบ �ารหาผลคณู ร�หวา่ งจาํ นวน�องจาํ นวนอาจทาํ ไดโ้ ดยเ�ียนจาํ นวนใดจาํ นวนหน� �ง ในรู�ผลคณู �อง ตวั ร���อบ แลว้ ใชค้ �ณ�มบตั ิ�ารเล�ย�ี นหม�ู่ อง�ารคูณ ตวั อย่าง จงหาผลคณู �� × 35 ตรวจคาํ ตอบโดยใชค้ ณู ในแนวตั �ง วธิ ีทาํ 97 × 35 = 97 × (5 × 7) 97 × = (97 × 5) × 7 35 = 485 × 7 = 3,395 485 + ตอบ �,��� �,��� �,��� ตอบ �,��� 40 คณิตศาสตร์ ระดับประถมศกึ ษา : พค11001 ส�ำนกั งาน กศน.จงั หวดั กาฬสนิ ธุ์

33 เร�องที� 4 ห.ร.ม. และ ค.ร.น. 4.� การหา ห.ร.ม. ตวั หารร่วม เราทราบมาแลว้ ว่าตวั รปะกอบของจาํ นวนใด ๆสามารถนาํ ไปหารจาํ นวนนั �นไดล้ งตวั เช่น ตวั รปะกอบของ �� �ือ �� �� �� �� � และ �� ทุกตวั สามารถนาํ ไหปาร �� ไดล้ งตวั ดงั นั �นเราอาจเรียกตวั รปะกอบของ �� แต่ละตวั นี �วา่ เป็ นตวั หาร ของ �� ลอง��จาร�าตวั หารของ � และ �� ตวั หารของ � �ือ �� �� �� � ตวั หารของ �� �ือ �� �� �� �� �� �� ตวั หารของ � และ �� ที�เหมอื นกนั �ือ �� � และ � เราเรียก �� � และ � ว่า เ�นป ตวั หารร่วมหรือ ตวั ประกอบร่วม ของ � และ �� จาํ นวนนบั ใดๆท�ีนาํ ไหปาร จาํ นวนนบั ต�งั แต่สองจาํ นวนข�นึ ไปลงตวั ทุกจาํ นวน เรียกจาํ นวนนบั ใดๆนั�นว่า “ตวั รปะกอบ ” หรือตวั หารร่วม ตวั อย่าง จงหาตวั หารร่วมของ �� �� และ �� วธิ ที ํา ตวั หารของ � �ือ �� �� � ตวั หารของ �� �ือ �� �� �� �� ตวั หารของ �� �ือ �� �� �� �� ตวั หารร่วมของ �� �� และ �� �ือ �� � ตอบ � และ � 4.1.1 ตวั หารร่วม (ห.ร.ม.) �ือ �� �� �� �� �� ตวั หารของ �� ตวั หารของ �� �ือ �� �� �� �� ��� �� ตวั หารร่วมของ �� และ �� �ือ �� �� � ตวั หารร่วมท�ีม�ี ่ามากที�สุดของ �� และ �� �ือ � เราเรียกตวั หารร่วมท�ีม�ี ่ามากที�สุดว่า ตวั หารร่วมมาก ใชต้ วั ยอ่ ว่า ห�ร�ม� ดงั น�นั ตวั หารร่วมมาก หรือ ห�ร�ม� ของ �� และ �� �ือ � คณิตศาสตร์ ระดบั ประถมศกึ ษา : พค11001 41 สำ� นักงาน กศน.จงั หวัดกาฬสินธ์ุ

34 ตวั อย่างจงหา ห.ร.ม. ของ �� แ�ะ �� วธิ ีทํา ตวั หารของ �� ��อ �� �� �� �� �� �� ตวั หารของ �� ��อ �� �� �� �� ตวั หารร่วมมาก หร�อ ห.ร.ม. ของ �� แ�ะ �� ��อ � ตอบ � 4.1.2 การหา ห.ร.ม. โดยวธิ ีแยกตวั ประกอบ การหา ห.ร.ม. ของจาํ นวนต่าง ๆเราอาจใชก้ ารแยกตวั รปะกอบช่วยหาได้ โดยนาํ ตวั ประกอบ �ี�เหมอ� นกนั มา��� กนั ตวั อยา่ งเช่น เราจะหา ห.ร.ม. ของ �� แ�ะ �� เม�อแยกตวั รปะกอบของ �� แ�ะ �� จะไดด้ งั น�ี 18  2  3  3 27  3  3  3 จาํ นวน�ี�ม�ี ่ามาก�ี���ด��ีหาร �� แ�ะ �� �งตวั ��อจาํ นวน�อี� ยใ่� นร�ป� � 3 นั น� ��อ ห.ร.ม. ของ �� แ�ะ �� ��อ � � 3 � � �องด�ตวั อยา่ งใหม่ เราจะหา ห.ร.ม. ของ �� แ�ะ �� �� � 2 � 2 � 2 � � �� � 2 � 3 � � จาํ นวน��ีม�ี ่ามาก�ี���ด�ี�หาร �� แ�ะ �� �งตวั ��อ จาํ นวน��ีอยใ่� นร�ป� � � นั น� ��อ ห.ร.ม. ของ �� แ�ะ �� ��อ � � � � 1� 42 คณิตศาสตร์ ระดบั ประถมศกึ ษา : พค11001 สำ� นกั งาน กศน.จงั หวัดกาฬสนิ ธุ์

35 4.�.� การหา ห.ร.ม. ��ยวธิ กี ารต�งั หาร ในการหา ห.ร.ม. ของจาํ นวนหลาย ๆจาํ นวน เราอาจใชว้ ิธตี ั�งหารทาํ นองเดียวกบั การแยก ตวั ประกอบ โดยวธิ ีตั �งหาร�ด้ ตวั อยา่ งเช่น เราจะหา ห.ร.ม. ของ ��, �� และ �� เรา�ามาร�ทาํ �ดด้ งั น�ี ��� หาจาํ นวนเ��าะที�เนปตวั หารร่วมของ 2 � ��, ��, �� ��, �� และ �� เช่น � นาํ � �หปาร ��, �� และ �� �, �, �2 �ด�้ ลหารเ�นป �, � และ �� ตามลาํ ดบั ��� หาจาํ นวนเ��าะท�ีเนปตวั หารร่วมของ 2 � ��, ��, �� �, � และ�� �� �งเ�นป�ลหารท�ี�ด้ เช่น � นาํ � �หปาร �� �, �, �� �, � และ �� �ด�้ ลหารเ�นป �, �, � ตามลาํ ดบั 2, 3, 4 ��� หาจาํ นวนเ��าะท�ีเนปตวั หารร่วมของ 2 � ��, ��, �� �, � และ � �� �งเ�นป�ลหารท�ี�ด้ แต่�มม่ จี าํ นวนเฉพาะ �� �, �, �� ดงั กล่าว 2, 3, 4 ดงั น�นั ตวั หารร่วมมากที���ด หร�อ ห.ร.ม. ห.ร.ม. ของ ��, �� และ �� ของ ��, �� และ �� ��อ �ล��� ของตวั หารร่วมทก� ตวั ��อ � � 3 � � �� �งเท่ากบั � � 3 � � ตอบ � 4.2 การหา ค.ร.น. ตวั คณู ร่วม จาํ นวนท�ีมี � เ�นปตวั รปะกอบ ��อ �, �, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ... จาํ นวนที�มี � เ�นปตวั รปะกอบ ��อ �, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ... จาํ นวนที�มที �งั � และ � เ�นปตวั รปะกอบ ��อ ��, ��, ��, ... เราเรียกจาํ นวนท�ีมที ั �ง � และ � เ�นปตวั ประกอบวา่ ตวั ��� ร่วม ของ � และ � ตวั คณู ร่วม�องจาํ นวนต�งั �ต่�องจาํ นวน��น�ป หมาย�ง� จาํ นวนนบั ท�มี จี าํ นวนเห�่าน�ัน เป็ นตวั ประกอบ ตวั อย่าง จงหาตวั ��� ร่วมของ � และ � วธิ ที าํ จาํ นวนที�มี � เ�นปตวั ประกอบ ��อ �, �, �, ��� ��, ��, ��, ��, ��, ��, ... จาํ นวนที�มี � เ�นปตวั ประกอบ ��อ �, �, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ... ตวั ��� ร่วมของ � และ � ��อ ��, ��, ��, ... ตอบ ��, ��, �� คณติ ศาสตร์ ระดับประถมศกึ ษา : พค11001 43 สำ� นักงาน กศน.จังหวัดกาฬสินธุ์

36 4.2.1 ตวั คูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) จาํ นวน��ี�ี � เ�นปตวั รปะกอบ ค�อ �, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ... จาํ นวน�ี��ี � เ�นปตวั รปะกอบ ค�อ �, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ... ตวั ค�ู ร่ว�ของ � แ�ะ � ค�อ ��, ��, ... ตวั ค�ู ร่ว��ี��คี ่านอ้ ย�ี���ดของ � แ�ะ � ค�อ �� เรียกตวั คู�ร่ว���ี�คี ่านอ้ ย��ี��ดวา่ ตวั ค�ู ร่ว�นอ้ ย ใชต้ วั ยอ่ วา่ ค.ร.น. ดงั น�นั ตวั ค�ู ร่ว�นอ้ ย หร�อ ค.ร.น. ของ � แ�ะ � ค�อ �� ตวั อย่าง จงหา ค.ร.น. ของ � แ�ะ � วธิ ีทาํ จาํ นวน�ี��ี � เ�นปตวั ประกอบ ค�อ �, �, ��� ��, ��, ��, ��, ��, ��, ... จาํ นวน�ี��ี � เ�นปตวั รปะกอบ ค�อ �, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ... ตวั ค�ู ร่ว�ของ � แ�ะ � ค�อ ��, ��, ��, ... ตวั ค�ู ร่ว�นอ้ ย หร�อ ค.ร.น. ของ � แ�ะ � ค�อ �� ตอบ �� 4.2.2 การหา ค.ร.น. โดยวธิ แี ยกตวั ประกอบ ในการหา ค.ร.น. ของจาํ นวนต่าง ๆเราอาจใชก้ ารแยกตวั รปะกอบช่วยหาได้ เช่น เราจะหา ค.ร.น. ของ � แ�ะ � เ��อแยกตวั ประกอบของ � แ�ะ � ไดด้ งั นี � � = 2 ×2 6 = 2 ×3 จะเห�นวา่ จาํ นวน�ี�นอ้ ย�ี���ด��ี�ี � แ�ะ � เ�นปตวั รปะกอบ ค�อ �� �� �ง �� = 2 × 2 × 3 เราได้ 2 × 2 × 3 จากวิธีการดงั น�ี � =2×2 6 =2×3 2 × 2 × 3 = 12 ดงั น�นั ค.ร.น. ของ � แ�ะ � ค�อ �� 44 คณติ ศาสตร์ ระดับประถมศึกษา : พค11001 ส�ำนกั งาน กศน.จังหวดั กาฬสนิ ธุ์

37 ตวั อย่าง จงหา ค.ร.น ของ �� �ล� �� วธิ ที าํ ค.ร.น. ของ �� �ล� �� ค�อ � � 5 � 7 � ��5 ตอ� ��� ����� �า��า ������ ��ยวธิ ีต�งั �า� ในการหา ค.ร.น. ของจาํ นวนหลาย ๆจาํ นวน เราอาจใชว้ ิธตี ั�งหาร ตวั อยา� ง จงหา ค.ร.น. ของ �, ��, �ล� �� ��� หาจาํ นวนเ��า���ีเน�ตวั หารร�ว�ของ 2 � �, ��, �� �, ��, �ล� �� หร�ออยา� งนอ้ ย � จาํ นวน เช�นนาํ � ��หาร �, 5, � �, �� �ล� �� �ลหาร เ�น� �, � �ล� � ตา�ลาํ ด�ั ��� หาจาํ นวนเ��า���ีเน�ตวั หารร�ว�ของ 2 � �, ��, �� �, � �ล�� หร�ออยา� งนอ้ ย � จาํ นวน เช�น � เ�รา�นาํ �ห�าร �� �, �, � � �ล� � �ดล้ งตวั �ต�นาํ ��หาร � ��ล� งตวั เขียน � �วด้ งั เดิ� 2, 5, 3 ��� หาจาํ นวนเ��า��ี�เน�ตวั หารร�ว�ของ 2 � �, ��, �� �, � �ล� � หร�ออยา� งนอ้ ย � จาํ นวน �ต�จาํ นวนเ��า�น�นั ����ี �� �, �, � 2, 5, 3 ดงั น�นั จาํ นวน�นี� อ้ ย��ี��ด�ี �, �� �ล� �� ค.ร.น. ของ �, �� �ล� �� เ�น�ตวั ร��กอ�ค�อ � � 2 � 2 � 5 � 3 � �2� ค�อ � � 2 � 2 � 5 � 3 � �2� ตอบ ��� ตวั อย่าง จงหา ค.ร.น. ของ ��, ��, �� วธิ ีทํา � � ��, ��, �� � � �, �, � � � �, �, � �, �, � ค.ร.น. ของ ��, �� �ล� �� ค�อ � � 2 � 3 � � � � � 3 � ��� ตอบ ��� คณิตศาสตร์ ระดบั ประถมศึกษา : พค11001 45 ส�ำนักงาน กศน.จงั หวัดกาฬสนิ ธ์ุ

38 ���ี� � เศษส่ วน สาระสําคญั การอ่านและเขียนเษสศ่วน การเรปียบเทียบเษสศ่วน การบวก ลบ คณู หาร เสษศ่วน และ การแกโ้ จทยัญป์ หาตามสถานการณ์ ผลการเรียนร�ู�ค�ี า��ว�ั 1. บวก ลบ เสษศ่วนและนาํ ความรู้เก�ียวกบั เสษศ่วนไปใชแ้ กโ้ จทยัญป์ หาได้ 2. คูณหาร เศษส่วนและนาํ ความรู้เก�ียวกบั การคูณเสษศ่วนไใปชแ้ กโ้ จทยัญป์ หาได้ 3. บวก ลบ คณู หารเสษศ่วนและนาํ ความรู้ไใปชแ้ กโ้ จทยัญป์ หาได้ ����่ายเน�� �า เร�อ�ที� � การบวก ลบ เษศส่วนและโจทยัญป์ หา เร�อ�ที� 2 การคูณหาร เสศษ่วนและโจทยัญป์ หา เร�อ�ที� 3 การบวก ลบ คูณหารเษสศ่วนระคนและโจทยัญป์ หา 46 คณิตศาสตร์ ระดบั ประถมศึกษา : พค11001 สำ� นักงาน กศน.จงั หวัดกาฬสินธุ์

39 เ��ืองท�ี � บวก ลบ เศษส่วนและโจทย์ปัญหา 1. ความหมาย ลกั ษณะและเศษส่วน �.� เศษส่วน ห�าย�� ง ส่วน�่าง �ของ�า� นวนเ���ที���� แ�ง่ ออ�เ�น�ส่วน��เท่า ��น� เ�่น ���วง��� � วง แ�่งออ�เ�น� � ส่วนเท่า ��น� ส่วนที�แ�เงาเ�น� � ส่วน �น � ส่วน 1 เขียนแทนดว้ ย 4 อา่ นว่า “เศษหน� �งส่วนสี�” ��ส��ีเห�ยี� � � ��� แ�่งออ�เ�น� � ส่วนเท่า ��น� ส่วนท�ีแ�เงาเ�น� � ส่วน�น � ส่วน 2 เขียนแทนดว้ ย 5 อ่านวา่ “เศษสองส่วนหา้ ” ลกั ษณะของเศษส่วน มี 3 ชนดิ คอื 1 3 2 11 5 7 15 1. เศษส่วนแท้ เ�น�เศสษ่วนท�ี�ี�ว� เษนศอ้ ย�ว่า�ว� ส่วน เ�่น 124 , , , 2. เศษเ��นเ�น�เษสศ่วนท�ี��ี ว� เษศ�า��วา่ �ว� ส่วน เ�่น 5 3. �า� นวน��� เ�น��า� นวนท�ี��ี า� นวนเ��� แ��เศษส่วนแท้ 7 , 3 เ�น่ 3 1 , 5 4 , 11 5 2 7 12 คณิตศาสตร์ ระดับประถมศึกษา : พค11001 47 ส�ำนกั งาน กศน.จังหวดั กาฬสินธ์ุ

40 2. การอ่านเศษส่วน เศษส่วนจาํ นวนคละ เศษเกนิ ภาพ เขียนเป็ น อ่านว่า เขียนเป็ น อ่านว่า 1. จาํ นวนคละ เศษส่ วน 2. 1 หน� ��เษหศน� �� เศหษา้ 4 5 ส่วนส� 1 ส่วนส� 4 1 ส��เหศษน� �� 17 เสษศิบเจ็ด 8 8 2 ส่วนแดป ส่วนแดป 3. การเขยี นเศษส่วนให้อย่ใู นรูปเศษส่วนอย่า��า�ํ จาํ นวนคละ �ละเศษเกนิ �.1 �า�เ���นเศษส่วน�ห�้ ��่� น��ปเษสศ่วน��า่ ���า 4 = 2 8 4 2= 1 63 48 คณติ ศาสตร์ ระดับประถมศกึ ษา : พค11001 สำ� นักงาน กศน.จงั หวัดกาฬสินธ์ุ

41 3.2 วิธีเขียนจาํ นวนคละใหอ้ ยใู่ นรูเปษเศกิน ทาํ ไดโ้ ดยนาํ ตวั ส่วนไปคณู กบั จาํ นวนเต็มแลว้ บวกกบั ตวั เศษตวั ส่วนคงเดิม 1 2 ตวั อยา่ งเช่น จงทาํ ใหเ้็นปเศษเกิน 3 วิธีทาํ 3 1 = (3 x 2) 1 2 2 61 = 2 = 7 2 7 ตอบ 2 4. การเปรียบเทยี บเศษส่วน � การเรปียบเทียบเสษศ่วน ค�อ การนาํ เอาเศษส่วนมาเรปียบเทียบกนั โดยใชเ้ คร�องหมายต่าง �ดงั นี �า้ เศสษ่วนมคี ่าเท่ากนั ใชเ้ คร�องหมาย = �า้ เสษศ่วนมคี ่าไมเ่ ท่ากนั ใชเ้ คร�องหมายนอ้ ยกว่า (�) หร�อมากกว่า (�) วธิ กี ารเปรียบเทยี บเศษส่วน ตอ้ งทาํ ตวั ส่วนใหเ้ ท่ากนั ก่อนเปรียบเทียบ 4.1 การเปรียบเทียบเษสศ่วนท�ีมีตวั ส่วนเท่ากนั แต่มคี ่าไมเ่ ท่ากนั ใชเ้ คร�องหมาย � หร�อ � < 1 3 4 4 4.2 เษศส่วนท�ีมคี ่าเท่ากนั = 12 24 คณติ ศาสตร์ ระดับประถมศกึ ษา : พค11001 49 ส�ำนักงาน กศน.จงั หวัดกาฬสินธ์ุ

42 5. การบวก ลบ เศษส่วนและโจทย์ปัญหา 5.� การบวกและการลบเศษส่วน การบวกและการลบเศษส่วนท�มี ตี วั ส่วนเท่ากนั การบวกและการลบเสษศ่วน��มต� วั ส่วนเ�่ากนั ���� าํ �งั น� � (1) นาํ ตวั เมษศาบวกลบกนั (2) ตวั ��เน�ตวั ส่วน�ช�� าํ นวนเ��ม ตวั อย่าง การบวก การลบ 1111 1111 4444 4444 วธิ ที าํ = = วธิ ที ํา = = การทาํ เศษส่วนให้มคี ่าเท่ากนั 1) การ��า�ส่วน ����า�าํ นวน��เ�่ากนั มา��� �ั �งตวั เษแศละตวั ส่วน เช่น 1 1 2 2 2  22  4 1  13  3 3 33 9 2) การ��นเศษส่วน ����า�าํ นวน��เ�่ากนั มา�าร�ั �งตวั เแษศละตวั ส่วน เช่น 2 2 2 1 4  4  2  2  4  44  1 12 12  4 3 50 คณติ ศาสตร์ ระดับประถมศึกษา : พค11001 สำ� นักงาน กศน.จังหวดั กาฬสินธุ์


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook